авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ТЕПЛОМАССООБМЕНА

ЛЕКЦИЯ 1. Введение. Основные положения теории теплопроводности

Список лекций по теории теплообмена

ЛЕКЦИЯ 1. Введение. Основные

положения теории теплопроводности.

ЛЕКЦИЯ 2. Стационарная теплопроводность в пластине и цилиндре с постоянной и переменной

ЛЕКЦИЯ 3. Стационарная теплопроводность при наличии внутренних источников.

ЛЕКЦИЯ 4. Методы интенсификации теплопередачи. Прямой стержень постоянного сечения.

ЛЕКЦИЯ 5. Теплопередача через оребренную поверхность ЛЕКЦИЯ 6. Конвективный теплообмен в однофазной среде. Факторы. Мат. модель.

ЛЕКЦИЯ 7. Основы теории подобия и моделирования процессов теплоотдачи.

ЛЕКЦИЯ 8. Теплоотдача при продольном обтекании плоской поверхности ЛЕКЦИЯ 9. Теплоотдача при течении жидкости в трубах и каналах.

ЛЕКЦИЯ 10. Теплоотдача при течении жидкости в трубах и каналах (переходный режим) и при поперечном обтекании одиночной трубы и пучков труб.

ЛЕКЦИЯ 11. Теплоотдача при свободном движении жидкости ЛЕКЦИЯ 12. Специальные вопросы конвективного теплообмена в однородной среде (теплоотдача при сверхкритическом состоянии вещества и при течении газа с большой скоростью).

ЛЕКЦИЯ 13. Теплообмен при фазовых превращениях. Конденсация пара.

ЛЕКЦИЯ 14. Теплообмен при кипении однокомпонентной жидкости ЛЕКЦИЯ 15. Теплообмен излучением. Основные понятия. Виды лучистых потоков. Баланс тепло ты падающего излучения.

ЛЕКЦИЯ 16. Законы излучения абсолютно черных и серых тел.

ЛЕКЦИЯ 17. Лучистый теплообмен произвольно расположенных тел.

ЛЕКЦИЯ 18. Зональный метод расчета лучистого теплообмена. Теплообмен в газовой среде.

ЛЕКЦИЯ 19. Дифференциальные уравнения тепломассообмена и тепломассоотдачи.

ЛЕКЦИЯ 20. Тройная аналогия. Тепломассоотдача при конденсации пара ЛЕКЦИЯ 21. Нестационарная теплопроводность.

ЛЕКЦИЯ 22. Нагрев цилиндра. Регулярный режим.

ЛЕКЦИЯ 23. Основы расчета теплообменных аппаратов ЛЕКЦИЯ 24. Средний температурный напор. Поверочный тепловой расчет теплообменных аппа ратов.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА (имеющаяся в электронном виде) 1. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. – Новосибирск: Наука, 1970.

2. Исаченко В. П., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача. – Теория тепломассообмена. М.:

Энергия, 1981.

3. Лыков А. В. Теория теплопроводности. – М.: высшая школа, 1967.

4. Михеев М. А., Михеева И. М. Основы теплопередачи. – М.: Энергия, 1977.

5. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло и массообмена. – М.: Госэнергоиздат, 1961.

Введение Процессы переноса теплоты играют существенную роль в любом современном технологиче ском процессе. Этот курс посвящен изучению закономерностей процессов переноса теплоты, ме тодов расчета и анализа этих процессов. Если в термодинамике рассматриваются закономерности преобразования энергии, то в этом курсе изучаются механизмы переноса теплоты и их особенно сти.

Теория теплопередачи или теплообмена – это учение о самопроизвольных необратимых процессах распространения теплоты в пространстве. Перенос теплоты осуществляется тремя ос новными способами.

Теплопроводность представляет собой молекулярный перенос теплоты в телах или между ними, обусловленный переменностью температуры в рассматриваемом пространстве. Теплопро водность в чистом виде имеет место лишь в твердых телах.

Конвекция возможна только в текучей среде. Под конвекцией теплоты понимают процесс ее переноса при перемещении объемов жидкости или газа (текучей среды) в пространстве из области с одной температурой в область с другой температурой. При этом перенос теплоты неразрывно связан с переносом самой среды. Конвекция теплоты всегда сопровождается теплопроводностью.

Совместный процесс переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью называется конвектив ным теплообменом. В инженерных расчетах часто определяют конвективный теплообмен между потоком текучей среды и поверхностью твердого тела. Этот процесс конвективного теплообмена называют конвективной теплоотдачей или просто теплоотдачей.

В технике и в быту часто происходят процессы теплообмена между текучими средами, раз деленными твердой стенкой. Процесс передачи теплоты от горячей среды к холодной через разде ляющую их стенку называется теплопередачей.

Тепловое излучение – это процесс распространения теплоты с помощью электромагнитных волн, обусловленный только температурой и оптическими свойствами излучающего тела. При этом внутренняя энергия тела (среды) переходит в энергию излучения. Процесс превращения внутренней энергии вещества в энергию излучения, переноса излучения и его поглощения веще ством называется тепловым излучением.

Процессы теплопроводности и конвективного теплообмена могут сопровождаться теплооб меном излучением. Теплообмен, обусловленный совместным переносом теплоты излучением и теплопроводностью, называют радиационно-кондуктивным теплообменом. Если перенос теп лоты осуществляется еще и конвекцией, то такой процесс называют радиационно-конвективным теплообменом. Иногда эти виды переноса теплоты называют сложным теплообменом.

Многие процессы переноса теплоты сопровождаются переносом вещества. Например, при испарении воды в воздух, помимо теплообмена, имеет место и перенос образовавшегося пара в паровоздушной смеси. Перенос пара осуществляется как молекулярным, так и конвективным пу тем. Совместный молекулярный и конвективный перенос массы называют конвективным мас сообменом.

При теоретическом исследовании теплообмена приходится вводить некоторые модельные представления о среде, в которой происходят изучаемые процессы. Рассматриваемые газы, жидко сти и твердые тела в подавляющем большинстве случаев считаются сплошной средой, т. е. средой при рассмотрении которой допустимо пренебречь ее дискретным строением. Различают однород ные и неоднородные сплошные среды. В первых физические свойства в разных точках одинаковы при одинаковых температуре и давлении, в неоднородных средах – различны. Различают также изотропные и анизотропные сплошные среды. В любой точке изотропной среды ее физические свойства не зависят от выбранного направления, а в анизотропной среде некоторые свойства в данной точке могут быть функцией направления.

Сплошная среда может быть однофазной и многофазной. В однофазной среде, состоящей из чистого вещества или из смеси веществ, свойства изменяются в пространстве непрерывно. В мно гофазной среде, состоящей из ряда однофазных частей, на границах раздела свойства изменяются скачками. Теплообмен в однофазных и многофазных системах протекает по-разному.

Основные положения теории теплопроводности Явление теплопроводности связано с наличием в теле изменения температуры, т. е. с поняти ем температурное поле. Этим термином определяется совокупность данных о пространственно временном изменении температуры. В общем случае температурное поле является функцией t=f(x,y,z,), т. е. трехмерным нестационарным температурным полем. Если поле не зависит от времени, а только от пространственных координат x,y,z,, оно называется стационарным тем пературным полем.

Интенсивность изменения температуры t определяется градиентом температуры. Под этим термином понимают интенсивность изменения t вдоль нормали к изотермической поверхности (рис. 1.1). Это вектор, на правленный в сторону возрастания температуры и равный производной от t по этому направлению, т. е. grad t= n0 t/n, где n0 – единичный вектор, нор мальный к изотермической поверхности и направленный в сторону возрас Рис. 1.1. Изотермы тания температуры;

t/n – производная температуры по нормали n.

Тепловой поток (мощность передаваемой энергии) W, передаваемый теплопроводностью в твердом теле, определяется гипотезой (законом) Фурье: «W пропорционален градиенту темпера туры и площади изотермической поверхности переноса F», т. е. W =- grad t F. Коэффициент про порциональности называется коэффициентом теплопроводности или теплопроводностью.

Для теплового потока через единицу площади изотермической поверхности, т. е. для плотно сти теплового потока получаем q =W /F = - grad t или q x = - t/x, q y = - t/y, qz = - t/y.

Найдем уравнение теплопроводности, определяющее связь между изменением теплового потока в пространстве и изменением температуры во времени. Для этого выделим в твердом изо тропном теле элементарный объем со сторонами dx, dy и dz. В левую грань этого объема вдоль оси x за время d поступает количество теплоты Qx = qx dy dz d, где qx - плотность теплового потока вдоль x. С правой грани за это же время уходит Qx+dx = qx+dx dy dz d, где qx+dx - плотность теплово го потока на координате x+dx. Разложим qx+dx в ряд Тейлора вблизи точки x, ограничиваясь двумя членами разложения, т. е. qx+dx = qx + qx/x dx (+2qx/x2 dx2/2!+… опускаются). Количество тепло ты, аккумулированное элементом, найдем как разницу между поступившей и вышедшей теплотой:

dQx = Qx - Qx+dx = - qx/x dx dy dz d = - qx/x dv d, где v = dx dy dz – элементарный объем. Ана логично для осей y и z: dQy = Qy - Qy+dy = - qy/y dv d, dQz = Qz - Qz+dz = - qz/z dv d. Кроме нако пления теплоты в объеме могут быть внутренние источники теплоты (электрический ток, химиче ские реакции и т. п.) с объемной плотностью qv [Вт/м3]. В этом случае за время d в объеме dv вы делится теплота dQv = qv dv d. Накопленная в объеме и выделенная внутренними источниками те плота, согласно первому закону термодинамики, идёт только на изменение её внутренней энергии (работы против внешних сил нет, т. к. элемент не деформируется), т. е. dQ = dQx+dQy+dQz+dQv = dU = c dv d. Используя закон Фурье и сократив на dv, получим дифуравнение теплопроводности c t/ = ( t/x)/x + ( t/y)/y + ( t/z)/z + qv.

(1.1) Если = const, разделим обе части уравнения на c, обозначив a = /(c ), получим t/ = a 2t + qv/(c ), (1.2) где a – коэффициент теплопроводности;

2 – оператор Лапласа, который в декартовой системе ко ординат имеет вид 2/x2+2/y2+2/z2, а в цилиндрической 2/r2+(1/r) /r+(1/r2) 2/2+2/2.

Для решения конкретной задачи к этому уравнению теплопроводности надо добавить усло вия однозначности – геометрические условия, определяющие форму и размеры тела;

физические условия, определяющие теплофизические характеристики (ТФХ);

начальные условия, определяю щие температурное поле при =0, и граничные условия (ГУ), которые подразделяются на 4 рода.

ГУ I рода. На поверхности тела задана температура tп=f(x,y,z,). Градиент неизвестен в отличие от ГУ II рода. Задана плотность теплового потока qп=f(x,y,z,). Учитывая закон Фурье, qп=- (t/x)п.

ГУ III рода. Задается в соответствии с гипотезой Ньютона: qп= (tср-tп), где – коэффициент те плоотдачи;

tср, tп – температуры среды и поверхности. Учитывая закон Фурье, - (t/x)п= (tс-tп).

ГУ IV рода. Тепловой контакт: (t/x)п1= (t/x)п2=q, tп1-tп2=q Rт (термическое сопротивление).

ПРАКТИКА Задачи Плотность теплового потока q через неограниченную стенку или другое тело, процесс теплопро водности в котором описывается одномерным уравнением теплопроводности с граничными усло виями первого рода (заданы температуры на поверхностях t1 и t2), коэффициентом теплопроводно сти, не зависящем от температуры, и протяженностью температурного поля, равной, описыва ется выражением, аналогичным математической записи закона Фурье ( q =- grad t), рассмотренно го в ЛЕКЦИИ 1, т. е. q = (t1 - t2) /. Опираясь на это выражение, решим следующие 5 задач Определить плотность теплового потока через неограниченный стальной лист толщиной 1.

0,02 м (материал – нержавеющая сталь 1Х18Н9Т с теплопроводностью 16,3 Вт/(м К)) при по стоянных температурах поверхностей 250 °C и 50 °C.

Ответ: 163 кВт/м2.

Определить коэффициент теплопроводности мельхиора марки МНЖМц 30-0,8-1, если плот 2.

ность теплового потока через плоскую стенку толщиной 0,050 м, выполненную из этого спла ва, при разности температур в 4,72 °C составляет 3500 Вт/м2.

Ответ: 37,1 Вт/(м К).

Плотность теплового потока через пластину толщиной 25 мм, изготовленной из медно 3.

никелевого сплава с теплопроводностью 171,6 Вт/(м К), равен 6864 Вт/м2. Определить раз ность температур на ограничивающих поверхностях.

Ответ: 1 °C.

Между нагревателем (573 К) и холодильником (353 К) установлен медный (380 Вт/(м К)) 4.

стержень диаметром 16 мм и длиной 250 мм. Определить величину теплового потока, переда ваемого вдоль оси стержня, если его боковая поверхность идеально теплоизолирована.

Ответ: 67,2 Вт.

При какой толщине теплоизоляционного материала с теплопроводностью 0,038 Вт/(м К) 5.

плотность теплового потока через него будет не больше 30 Вт/м2, если разность между тем пературами на его поверхностях составляет 50 градусов?

Ответ: не меньше 6,3 см.

Вопросы 1. Какие способы переноса теплоты вы знаете?

2. Что такое теплоотдача?

3. Что такое теплопередача?

4. Какие физические среды называются сплошными?

5. Сформулируйте разницу между изотропными и анизотропными сплошными средами?

6. Как выглядит уравнение нестационарной теплопроводности в трехмерном случае?

7. Как записываются граничные условия первого рода 8. Как выглядят ГУ II рода в общем случае и в случае идеальной теплоизоляции?

9. Что такое граничные условия третьего рода?

10. Граничные условия четвертого рода – как они записываются в случаях реального и идеального теплового контакта?

ЛЕКЦИЯ 2. Стационарная теплопроводность в пластине и цилиндре с постоянной и пере менной НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА. =const Неограниченной пластиной (стенкой) называется тело, у которого один размер конечный, а два других бесконечно велики (намного больше первого). При этом изменение температуры в теле происходит только по координате, совпадающей с конечным размером. Для определения теплово го потока, проходящего через пластину, надо найти градиент температуры, т.е. температурное по ле. В случае стационарной одномерной задачи без источников теплоты уравнение теплопро d2t/dx2 = 0.

водности (1.1) имеет вид: (2.1) Для решения конкретной задачи к (2.1) надо добавить условия однозначно- t сти. Пусть ось x расположена нормально к поверхности (рис. 2.1). Геометриче ские условия должны включать в себя известную толщину пластины. Физиче ские условия должны включать в себя теплопроводность материала пластины.

Начальные условия в случае стационарной задачи теряют смысл. На границах платины задаем ГУ-I: t=tс1 при x=0, t=tс2 при x=.

Двухкратное интегрирование (2.1) дает t = C1 x + C2, где C1, C2 – постоянные интегрирования. Для их определения воспользуемся граничными условиями. Из первого ГУ получаем C2=tс1, а из второго – C1=(tс2-tс1)/. Подставляя C1 и C2 в общее решение получим t = tс1 + (tс2-tс1) x/, т.е. t(x) – прямая линия.

Плотность теплового потока через пластину найдем по закону Фурье, учи Рис. 2.1. ГУ-I тывая, что dt/dx=C1=(tс2-tс1)/. Т.е. q=(tс1-tс2)/(/), где / – термич. сопротивление.

n Для n-слойной стенки плотность теплового потока q = (tс1-tс n+1)/ (i / i ).

i = Проанализируем теплопередачу через плоскую стенку (рис. 2.2).

В этом случае на поверхностях стенки имеет место теплоотдача к жид костям с разными температурами (tж1 и tж2) и разной интенсивностью теплообмена (1 и 2). Т.е. заданы ГУ-III: 1 (tж1-tc1)=- dt/dx, при x=0, 2 (tc2-tж2)=- dt/dx, при x=0. Общее решение то же t = C1 x + C2. Будучи подставлено в ГУ, оно дает систему уравнений с неизвестными C1 и C 1 (tж1-C2) = - C1, 2 (C1 + C2 - tж2) = - C1, решение которой дает C1=-(tж1-tж2)/[ (1/1+/+1/2)], C2=tж1-(tж1-tж2)/[1 (1/1+/+1/2)].

Подставляя C1 и C2 в общее решение получим t = f(x). А, зная, что dt/dx=C1, по гипотезе Фурье получим плотность теплового потока q=(tж1-tж2)/(1/1+/+1/2), где 1/ – термосопротивление теплоотдачи.

Если представить плотность теплового потока в виде q=k(tж1-tж2), Рис. 2.2. Теплопередача где k – коэффициент теплопередачи, получаем k=1/(1/1+/+1/2).

НЕОГРАНИЧЕННЫЙ ПОЛЫЙ ЦИЛИНДР. =const Найдем температурное поле в цилиндрической стенке с внутренним радиусом r1 и внешним – r2. Будем считать, что температура меняется только вдоль нормали к боковой поверхности и ос тается постоянной вдоль всей боковой поверхности. Внутренние источники теплоты отсутствуют.

Уравнение (1.2) в цилиндрических координатах в этом случае будет d2t/dr2+(1/r) dt/dr=0 (2.2).

ГУ-I на поверхностях цилиндра: t=tс1 при r=r1, t=tс2 при r=r2 (2.3).

Для интегрирования (2.2) заменим dt/dr на u и разделим переменные. du/r+u/r=0 или du/u=-r/r.

Интегрируя последнее равенство и потенцируя результат (ln(u)=-ln(r)+C1), имеем u=C1/r. Учиты вая замену u=dt/dr и интегрируя полученное еще раз, получаем t = C1 ln(r) + C2. Постоянные ин тегрирования найдем из граничных условий (2.3). C1=(tс1-tс2)/ln(r1/r2), C2=tс1-(tс1-tс2) ln(r1)/ln(r1/r2).

Подставив их в t = C1 ln(r) + C2, получим t = tс1-(tс1-tс2) ln(r/r1)/ln(r2/r1).

Тепловой поток через цилиндр длинной L найдем из гипотезы Фурье с учетом выражения производной. Получим: Q = 2 L (tс1-tс2)/ln(r2/r1).

Найдем плотность теплового потока на внутреннем и внешнем радиусах цилиндрах. Полу чим q1=(tс1-tс2)[r1/ln(r2/r1)], q2=(tс1-tс2)[r2/ln(r2/r1)].

Т.к. r2r1, q1q2, т.е. с увеличением r плотность теплового потока уменьшается из-за увеличения по верхности переноса теплоты. Поэтому в расчетах теплового потока через цилиндрическую поверхность ис пользуется понятие погонной (линейной) плотности теплового потока, т.е. потока теплоты через едини цу длины цилиндрической поверхности: ql=QL=(tс1-tс2)/[1/(2) ln(d2/d1)].

Рассмотрим теплопередачу через цилиндрическую поверхность (рис. 2.3). Пусть в трубе с внутренним диаметром d1 течет жидкость с темпе ратурой tж1 и интенсивностью теплообмена 1. По внешнему диаметру d труба омывается жидкостью с температурой tж2 и интенсивностью теплооб мена 2. Запишем поток теплоты на погонный метр трубы, идущий от одной жидкости к другой через твердую стенку: ql=1d1(tж1-tс1)=(tc1 tс2)/[ln(d2/d1)/(2)]=2d2(tc2-tж1). Если выделить частные температурные Рис. 2.3.

напоры и суммировать их, получим ql=(tж1-tж2)/[1/(1d1)+ln(d2/d1)/(2)+1/(2d2)], (2.4) где 1/(idi) – термическое сопротивление теплоотдачи цилиндрической поверхности.

Проанализируем влияние изменения внешнего диаметра трубы на ql при постоянстве других пара метров. Такая задача возникает, если выбирают материал для изоляции трубопровода. Из (2.4) видно, что при увеличении d2 термическое сопротивление увеличивается, а сопротивление теплоотдачи с внешней по верхности уменьшается, что связано с увеличением площади поверхности переноса теплоты. Очевидно, что есть экстремум функции ql=f(d2). Если приравнять нулю производную знаменателя по d2 {1/(2d2) 1/(2d22)=0}, получим значение внешнего диаметра, при котором общее термическое сопротивление ми нимально, d2кр=2/2. Отсюда вытекает, что d2кр уменьшается с уменьшением и увеличением. По этому, если надо выбрать материал для изоляции трубопровода с внешним диаметром d2, должно выпол няться условие d2d2кр, т.е. материал изоляции должен иметь теплопроводность из2d2/2.

НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА. =0(1+t) Запишем гипотезу Фурье для этого случая как q=-0(1+t) dt/dx. Разделим переменные q dx = -0(1+t) dt и проинтегрируем по x от 0 до, а по t от t1 до t2. Учитывая, что в стационарном состоянии q=const, получим q=0[1+(t1+t2)/2] (t1-t2) (-!). Определим теплопроводность материала при средней температуре стенки, как *=0[1+(t1+t2)/2] и получим плотность теплового потока через стенку в виде q=(t1-t2)/(/*), как в случае линейной задачи, но при среднем коэффициенте теплопроводности.

Распределение температуры в стенке получим, интегрируя q dx = -0(1+t) dt по x от 0 до x, а по t от 2 t1 до t2. Имеем квадратное уравнение t +2t/+2qx/(0)-2t1/- t1 =0, решение которого с учетом q=(t1 { (1 + t ) [(1 + t ) (1 + t ) ] x / 1}. Видно, что распределение темпера t2)/(/*) имеет вид t = 1/ 2 2 1 1 туры по толщине стенки нелинейное, поэтому и градиент температуры в стенке тоже переменный. При по ложительном распределение температуры по толщине стенки имеет характер кривой, выпуклой вверх, т.е. с ростом температуры градиент температуры уменьшается.

НЕОГРАНИЧЕННЫЙ ПОЛЫЙ ЦИЛИНДР. =0(1+t) Для того чтобы найти тепловой поток через цилиндр, запишем гипотезу Фурье для погонной плотно сти теплового потока с учетом, что =0(1+t), т.е. ql=-0(1+t) 2r dt/dr. Разделим переменные и про интегрируем по r от r1 до r2, а по t от t1 до t2. Получим при * ql=(t1-t2)/[ln(d2/d1)/(2*)], что аналогично выражению, полученному раньше, но при средней теплопроводности *.

Для определения температурного поля цилиндра при переменной теплопроводности решим уравнение d((dt/dr))/dr+(1/r)d(t)t/dr=0. Воспользуемся подстановкой (dt/dr)=*(du/dr), (2.5) где * – постоянная, а u – переменная, удовлетворяющая равенству d2u/dr2+(1/r) du/dr=0, решение которого было получено раньше в виде u = tс1-(tс1-tс2) ln(r/r1)/ln(r2/r1).

Для нахождения искомого распределения температуры проведем интегрирование (2.5) с уче том того, что =0(1+t). Получим t2/2+t = t12/2+t1-(*/0) (t1-u). (2.6) Для определения постоянной * проведем интегрирование (2.5) в полном диапазоне измене ния параметров. Имеем *=0[1+(t1+ t2)/2]. Подставим полученные выражения для u и * в (2.6) и решим полученное квадратное уравнение. После простых преобразований получим t = 1/ { (1 + t ) [(1 + t ) (1 + t ) ] ln(r / r ) / ln(r / r ) 1}, почти как t в плоской стенке при (t).

2 2 1 2 1 1 ЛЕКЦИЯ 3. Стационарная теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты Внутренние источники теплоты в теле имеют место при протекании электрического тока, в случае химических реакций или при условии ядерных превращений. В общем случае эти источни ки теплоты характеризуются объемной плотностью тепловыделения qv [Вт/м3]. Определим темпе ратурное поле тел простой формы в условиях действия внутренних источников теплоты.

НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА ПРИ ГУ-III Пусть задана неограниченная пластина (рис. 3.1) толщиной 2 из ма териала с известной теплопроводностью. Разместим ось x нормально к поверхности пластины. Начало координат разместим в центре пластины.

На поверхностях пластины происходит теплообмен со средой с постоян ной температурой и заданной интенсивностью теплообмена. Для расчета температурного поля пластины надо решить уравнение d2t/dx2+qv/=0. Рис. 3.1.

(3.1) Симметрия ГУ позволяет писать dt/dx=0 при x=0 и -dt/dx=(t-tж) при x=.

Разделив переменные в (3.1), дважды интегрируем и получаем t=-qvx2/(2)+C1x+С2. Из dt/dx=0 при x=0 вытекает, что C1=0, а из -dt/dx=(t-tж) при x= получаем С2=tж+qv/+qv2/(2).

Тогда распределение температуры по толщине пластины имее вид t=tж+qv/+qv2[1-(x/)2]/(2).

Отсюда легко получить температуры центра и поверхности пластины, а также разницу температу ры по толщине пластины.

НЕОГРАНИЧЕННЫЙ ЦИЛИНДР ПРИ ГУ-III Определим температурное поле неограниченного сплошного цилиндра радиуса R при дейст вии распределенных источников теплоты. Считаем, что температура среды и интенсивность теп лообмена постоянны по высоте и боковой поверхности цилиндра. Тогда для определения темпера турного поля цилиндра надо решить уравнение d2t/dr2+(1/r) dt/dr+qv/=0 или эквивалентное ему уравнение (1/r)d/dr(r dt/dr)+qv/=0 с ГУ третьего рода: dt/dr=0 при r=0 и -dt/dr=(tст-tж) при r=R.

Для этого уравнение (1/r)d/dr(r dt/dr)+qv/=0 запишем как d/dr(r dt/dr)=-qvr/. Интегрирование дает r dt/dr=-qvr2/(2)+C1 или dt/dr=-qvr/(2)+C1/r. После второго интегрирования получим t=-qvr2/(4)+C1lnr+C2, где C1 и C2 – определяются из граничных условий dt/dr=0 при r=0 и dt/dr=(tст-tж) при r=R.

При r=0 находим, что dt/dr=-qvr/(2)+C1(1/r), т.е. C1=qvr2/(4)=0.

При r=R с учетом того, что C1=0, dt/dr = -qvR/(2)+C1(1/R)=-qvR/(2). Подставив это в ГУ-III, получим qvR/2=(tст-tж) и tст=qvR/(2)+tж.

Из t=-qvr2/(4)+C1lnr+C2 и tст=qvR/(2)+tж находим tст=qvR/(2)+tж=-qvr2/(4)+C2, откуда C2=tж+qvR/(2)+qvR /(4).

Подставив C1 и C2 в t=-qvr2/(4)+C1lnr+C2 окончательно получим t=tж+qvR/(2)+qv(R2-r2)/(4).

Это выражение дает возможность вычислить температуру любой точки цилиндрического стержня. Оно показывает, что распределение температуры в круглом стержне подчиняется пара болическому закону.

Из выражения для распределения температуры по радиусу при r=0 найдем температуру на оси цилиндра: t=tж+qvR/(2)+qvR2/(4).

Плотность теплового потока на поверхности цилиндра с учетом того, что tст=qvR/(2)+tж, q=(tст-tж)=qvR/2.

Полный тепловой поток с поверхности цилиндра Q=qF=(qvR/2)2Rl=qvR2l. Отсюда следует, что плотность теплового потока зависит только от производительности внутренних источников и от размера внешней поверхности радиусом R, через которую проходит тепловой поток.

Сравнивая распределение температуры в пластине [t=tж+qv/+qv(2-x2)/(2)] и цилиндре [t=tж+qvR/(2)+qv(R2-r2)/(4)], видим, что при одинаковых условиях разница температуры по тол щине пластины в два раза выше, чем по радиусу цилиндра.

ЛЕКЦИЯ 4. Методы интенсификации теплопередачи. Прямой стержень постоянного сечения Когда в лекции 2 рассматривалась теплопередача через цилиндрическую поверхность, было найдено выражение для вычисления погонной плотности теплового потока (2.4). Пренебрегая со противлением теплопроводности, в общем случае можно записать Q=(tж1-tж2)/[1/1F1+1/2F2]. (4.1) Если 12, то для существенного увеличения теплового потока надо увеличивать интен сивность теплообмена со стороны теплоносителя, что не всегда возможно, или увеличить поверх ность переноса теплоты. Практически такое увеличение поверхности осуществляется с помощью различных ребер, стержней или шипов. Объединяет эти элементы одна общая черта: в них можно пренебречь изменением температуры по толщине тела и рассматривать изменения температуры только вдоль его оси. На поверхности тела имеет место теплообмен со средой постоянной темпе ратуры, причем интенсивность этого процессу тоже можно считать постоянной. Таким образом, в теле типа ребра или стержня перенос теплоты вдоль его оси осуществляется теплопроводностью, а с его поверхности – теплоотдачей в среду.

Имеется большое число типов ребер. Наиболее распространенные среди них – прямые ребра постоянного и переменного сечения на плоской поверхности или по образующей цилиндрической поверхности, кольцевые и спиральные ребра на цилиндрической поверхности, килевые и т.п.

ПРЯМОЙ СТЕРЖЕНЬ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ Для нахождения теплового потока, передаваемого от стержня в среду, надо знать его температурное поле. Найдем дифференциаль ное уравнение, определяющее распределение температуры в прямом стержне постоянного сечения (рис. 4.1) с площадью поперечного сечения f и его периметром u. Расположим ось x вдоль оси стержня.

Выберем начало координат в основании стержня. Поток теплоты, входящий в сечение с координатой x по оси x, запишем в виде Qx= qx f = - f dt/dx. (4.2) На координате x+dx по оси x из выделенного элемента выхо дит поток теплоты Qx+dx= qx+dx f. Розложим qx+dx в ряд Тейлора, ог- Рис. 4.1. Перенос теплоты раничиваясь двумя членами разложения: qx+dx=qx+qx/x dx.

через стержень Уменьшение теплового потока вдоль оси x связано с отводом теплоты с поверхности стержня в среду. dQx=Qx-Qx+dx= f d2t/dx2 dx= (t-tж) u dx.

Переходя к превышению температуры стержня над температурой среды =t-tж, получим d /dx2=m2, где m= u /(f ) – характеристика стержня, представляющая собой меру отношения потоков теплоты теплоотдачей с поверхности стержня и теплопроводностью вдоль его оси. Общее решение этого дифференциального уравнения будет (x)=Ae-mx+Bemx=A ch(mx)+B sh(mx). (4.3) Для определения постоянных интегрирования A и B надо к основному диф. уравнению доба вить условия на границах стержня. В месте контакта стержня с поверхностью (при x=0) чаще все го известна температура t0. Рассмотрим несколько отдельных задач в зависимости от условий на другом конце стержня.

Задача 1. Бесконечно длинный стержень ГУ имеют вид: =t0-tж=0 при x=0;

=0 при x=.

Используя (4.3), из последнего ГУ получим B=0. Тогда из ГУ для x=0 получим A=0. Окон чательное решение имеет вид: (x) = 0 Ae.

-mx Тепловой поток, передаваемый стержнем в среду, находится как Q= u( x)dx =0 uf или как тепловой поток, поступающий в стержень при x=0, т.е. Q=- f (d/dx)x=0=0 uf.

Как и ожидалось, полученные результаты одинаковы.

Задача 2. Стержень конечной длины без теплообмена на торце Рассмотрим стержень длинной h, в основании которого задана температура t0, а на свобод ном торце теплообмен отсутствует, т.е. он закрыт адиабатной оболочкой.

ГУ в этом случае имеют вид: =t0-tж=0 при x=0;

d/dx=0 при x=h.

Используем второй вид общего решения (4.3). Тогда по условию при x=0 получим A=0. Для определения другой постоянной продифференцируем общее решение в соответствии с условием идеальной теплоизоляции при x=h. Тогда 0m sh(mh)+B m сh(mh)=0, откуда B=-0 sh(mh)/сh(mh), а распределение температуры (x) = 0 сh(m (h-x))/сh(mh).

Тепловой поток, передаваемый стержнем в окружающую среду, равен потоку, поступившему в основание стержня Q=- f (d/dx)x=0=0 uf th(mh).

Задача 3. Стержень конечной длины с теплообменом на торце Задан стержень длинной h, в основании которого задана температура t0, а на свободном тор це происходит теплообмен со средой с постоянной температурой, т.е. ГУ III рода. Тогда =t0-tж= при x=0;

- d/dx = 1 при x=h.

Используем второй вид общего решения (4.3). Тогда по условию при x=0 получим A=0. Для определения другой постоянной продифференцируем общее решение, результат подставим в ус ловие при x=h, введя N=1/(m). Получаем:

-[0 sh(mh)+B сh(mh)] = N [0 ch(mh)+B sh(mh)], от куда после простых преобразований находим B и распределение температуры по стержню (x) = 0 [сh(m(h-x))+N sh(m(h-x))]/[сh(mh)+N sh(mh)] Легко видеть, что при 1=0 (отсутствии теплооб мена на торце) это решение совпадает с (x) = 0 сh(m (h-x))/сh(mh), полученным для предыдуще го случая.

Тепловой поток, передаваемый стержнем, найдем, как в предыдущем случае, Q=- f (d/dx)x=0=0 uf [th(mh)+N]/[1 + N th(mh)].

Задача 4. Стержень с разными температурами на концах Задан стержень длинной h, на одном конце которого задана температура t1, а на другом – температура t2.

Граничные условия запишем в виде:

=1 при x=0;

=2 при x=h.

Используем второй вид общего решения (4.3). Тогда из условия при x=0 получим A=1. Из условия при x=h имеем B=[2 - 1 сh(mh)]/sh(mh).

Если подставить полученные постоянные в общее решение, после простых преобразований найдем распределение температуры по стержню (x) = [1 sh(m(h-x)) + 2 sh(mx))]/sh(mh).

Тепловой поток, передаваемый стержнем, найдем как h Q= u( x)dx =(1+2 uf [ch(mh)-1]/sh(mh).

ЛЕКЦИЯ 5. Теплопередача через оребренную поверхность {Q=(tж1-tж2)/[1/1F1+1/2F2]. (4.1)} Рассмотрим немного подробнее (4.1) и предположим, что 12 и со стороны меньшей интен сивности теплообмена поверхность теплообмена состоит из ребер (F2р) и межреберной поверхно сти (F2г), т. е. F2 = F2р + F2г. Будем считать, что интенсивность теплообмена с поверхности ребер и между ними одинаковая В этом случае тепловой поток, передаваемый с оребренной поверхности в среду, может быть записан в виде: Q=2[F2г(t2-tж2)+F2р(t*-tж2)], где t*- средняя температура ребра.

В связи с тем, что F2рF2г, с достаточной точностью это выражение можно заменить на а) Q=2[0+F2р(t*-tж2)]=2F2р(t*-tж2)= 2F2р(t2-tж2)(t*-tж2)/(t2-tж2). С другой стороны, тепловой поток на поверхности F1 можно записать по закону Ньютона б) Q=1F1(tж1-t1)1F1(tж1-t2), где t2– температура стенки, одинаковая как со стороны первого, так и второго теплоносителя, т. к. терми ческим сопротивлением теплопроводности пренебрегаем. Если в а) и б) выделить частные темпе ратурные напоры и суммировать их, можно после некоторых преобразований получить Q=F1(tж1-tж2)/[1/1+1/(2)], где – F2/F1 – коэффициент оребрения;

– (t*-tж2)/(t2-tж2) – эффек тивность ребра, т. е. отношение теплового потока, передаваемого ребром, к потоку, который ребро было бы способно передать, если бы температура ребра была постоянна по высоте и равнялась температуре в основании.

Рассмотрим прямое ребро постоянного профиля, наиболее часто встречающийся на практике тип ребра.

Задано прямое ребро (рис. 2.7) высотой h, длиной L, тол щиной 2. Расположим ось x вдоль высоты ребра. Площадь по перечного сечения ребра f=2L, а периметр u=2L+2. Учитывая, что L2, запишем характеристику ребра m= u /(f ) 2L /( 2 L) = /().

Тепловой поток, который рассеивается ребром, пренебрегая теплообменом ребра и учитывая значения f и u, получим из вы ражения для потока в стержне конечной длины без теплообмена на торце (лекция 5, задача 2) Q=- f (d/dx)x=0=0 uf th(mh)= 20L th(mh). Максимальный тепловой поток с поверхности ребра при постоянной темпера туре, равной температуре основания, будет Qmax=20Lh, а эффективность ребра = th(mh)/(mh).

Используя выражение в конце задачи 3 лекции 4, можно вычислить тепловой поток с учетом теп лообмена торца ребра Q=- f (d/dx)x=0=0 uf [th(mh)+N]/[1 + N th(mh)]. Можно также при близительно учесть тепловой поток с торца ребра, используя полученное выше выражение Q = 20L th(mh) и приведенную высоту ребра h0=h+.

Тепловой поток с погонного метра ребра из Q = 20L th(mh) можно записать как ql = 20 th(mh).

Анализ последнего выражения показывает, что тепловой поток является функцией двух пе ременных h и,которые, в свою очередь, определяют площадь продольного сечения ребра. По этому возникает вопрос про оптимальные размеры ребра заданной массы (площади продольного сечения), т. е. ребра, которое передает максимальное количество теплоты.

Пусть F=2h=const. Меняя в ql=20 th(mh) параметр h, согласно выражению h=F/(2), имеем ql=20th(mF/(2))=f().

Обозначив k=F/(2), продифференцируем ql = 20 th(mh). Получим ql/ = 0 / th(k)-30 (F/2) / -5/2(1/ch2(k)=0. После простых преобразований получим трансцендентное уравнение относительно k: 6k=sh(2k), численное решение которого дает опти мальное значение kопт=1,4192. Тогда из k=F/(2) отыскивается оптимальная полутолщина ребра опт=(F2/(4k2опт )1/3, а также оптимальная высота ребра hопт=F/(2опт).

Тепловой поток с погонного метра ребра оптимальных размеров: qопт=20 опт th(kопт).

ЛЕКЦИЯ 6. Конвективный теплообмен в однофазной среде Общее понятие конвективного теплообмена охватывает процессы переноса теплоты при движении жидкости или газа. Наибольший практический интерес представляет процесс переноса теплоты на границе жидкости и твердого тела, называемый теплоотдачей. Он является результа том суммарного действия переноса теплоты теплопроводностью в ламинарном пограничном слое и конвекцией вне этого слоя. Поток теплоты в процессе теплоотдачи определяется по гипотезе Ньютона Q= (tп-tж) F. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом теплоот дачи и учитывает конкретные условия теплообмена. Фактическое определение коэффициента теп лоотдачи может быть представлено как =q/|tп-tж|, т.е. коэффициент теплоотдачи численно равен плотности теплового потока при разнице температур между поверхностью тела и жидкостью в 1°.

Теплоотдача является достаточно сложным процессом, а коэффициент теплоотдачи зависит от большого числа факторов: физических свойств жидкости;

характера (режима) течения жидко сти;

природы возникновения движения (принудительное или свободное);

температуры жидкости и поверхности тела;

формы тела, его размеров;

ориентации в потоке жидкости и т.д.

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИНТЕНСИВНОСТЬ ТЕПЛООТДАЧИ.

Большое влияние на процесс теплоотдачи имеют такие теплофизические характеристики жидкости, как коэффициент теплопроводности, теплоемкость, плотность, коэффициент темпера туропроводности, которые встречаются и в задачах теплопроводности. В конвективном теплооб мене большое значение имеет вязкость жидкости. Между слоями жидкости, которые движутся с разными скоростями, согласно закону Ньютона возникает сила трения, которая противодействует этому движению и направлена по касательной в плоскости, сориентированной по потоку жидко µ сти. Касательное напряжение трения по закону Ньютона определяется как s=µ dw/dn [Н/м2]. Ко эффициент пропорциональности µ называется коэффициентом динамической вязкости. Отноше ние этого коэффициента к плотности жидкости называют коэффициентом кинематической вязко сти и обозначают =µ/. Эти коэффициенты существенно зависят от температуры. В капельных µ (не газообразных) жидкостях µ почти не зависит от давления, но существенно уменьшается с уве личением температуры. У газов µ увеличивается с увеличением температуры. Кинематическая вязкость капельных жидкостей уменьшается при увеличении температуры почти так, как и µ, потому что плотность жидкости слабо зависит от температуры. Напротив, у газов плотность резко уменьшается с ростом температуры, и при увеличении температуры быстро растет.

На конвективный теплообмен большое влияние оказывает тепловое расширение жидкости, которое характеризуется коэффициентом объемного расширения =1/v (dv/dt)p. У большинства капельных жидкостей этот коэффициент положительный и сравнительно маленький, за исключе нием области вблизи критического состояния. Для воды при t4°C 0. Для газов, подчиняющих ся уравнению Клайперона pv=RT, =1/T.

На интенсивность теплоотдачи имеет существенное влияние природа возникновения движе ния. Различают вынужденное движение жидкости, инициированное посторонними источником энергии (насос, компрессор, вентилятор …), и естественное (свободное) движение в поле массо вых сил (земного притяжения) при наличии разницы плотности холодной и горячей жидкости. Ес ли в первом случае скорость течения жидкости является независимой переменной, то во втором случае скорость является функцией разности температур нагретой и холодной жидкости, т.е. не является независимой переменной.

Кроме того, различают два режима течения жидкости: ламинарный и турбулентный. В пер вом режиме течения жидкость движется струями, которые не смешиваются, и перенос теплоты осуществляется на молекулярном уровне (теплопроводностью). При турбулентном течении про исходит интенсивное перемешивание среды, и перенос теплоты осуществляется как на молярном, так и на молекулярном уровнях. Однако, при развитом турбулентном движении в объеме жидко сти, у поверхности тела силы трения достаточно велики, поэтому образуется тонкий слой жидко сти, в котором сохраняется ламинарное течение (вязкий подслой пограничного слоя). при этом на самой поверхности тела скорость движения жидкости нулевая (условие «прилипания»). Это усло вие выполняется до тех пор, пока жидкость (газ) можно считать сплошной средой. Чем больше разреживание газа, тем меньше его взаимодействие со стенкой. Начинается «проскальзывание»

пристенного слоя. Наличие трения приводит к торможению пристенных слоев жидкости, и возни кает слой, в котором наблюдается существенный градиент скорости. Этот слой называют погра ничным слоем. Трудно точно установить верхнюю границу этого слоя. обычно под толщиной по граничного слоя понимают такое расстояние от стенки, при котором отличие скорости от скорости невозмущенного потока составляет 1 %.

Процесс теплообмена связан с наличием разности температуры поверхности тела и жидко сти. При этом у поверхности тела вместе с гидродинамическим пограничным слоем формируется и тепловой пограничный слой, в котором температура меняется от температуры стенки до темпе ратуры среды. Толщина теплового пограничного слоя может существенно отличаться от толщины гидродинамического пограничного слоя как в одну, так и в другую сторону.

Анализ процесса теплоотдачи начнем с рассмотрения системы дифференциальных уравне ний, описывающих этот процесс.

СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОЦЕССА ТЕПЛООТДАЧИ 1. Уравнение теплоотдачи У поверхности тела в ламинарном подслое пограничного слоя перенос теплоты осуществля ется на молекулярном уровне, поэтому, используя гипотезу Фурье, можно записать q=- (t/n)n=0.

С другой стороны, по закону Ньютона плотность потока в процессе теплоотдачи q= (tп-tж). Срав нивая эти потоки и обозначая 0=tп-tж, получим уравнение теплоотдачи: =-/0 (/n)n=0.

Получается, что для определения коэффициента теплоотдачи надо иметь распределение тем пературы в пограничном слое. Таким образом, имеем одно уравнение с двумя неизвестными.

2. Уравнение энергии Выделим в границах теплового и гидродинамического пограничного слоя неподвижный не деформируемый элемент объема его тепловой баланс, считая жидкость несжимаемой. Так же как при получении уравнения Фурье, запишем количество теплоты, которое поступает в элемент вдоль оси x в виде Qx=qx dy dz d, а теплоту, которая выходит из элемента на координате x+dx – Qx+dx=qx+dx dy dz d.

Разложим qx+dx в ряд Тейлора около точки x, ограничиваясь двумя членами разложения. По лучим аккумулированную теплоту в элементе в виде dQx=Qx-Qx+dx=-(qx/x) dv d. (a) Аналогично для остальных осей координат получим dQy=Qy-Qy+dy=-(qy/y) dv d, (b) dQz=Qz-Qz+dz=-(qz/z) dv d. (c) Согласно первому закону термодинамики, теплота, поступившая в элемент, при отсутствии работы (элемент не деформируется) расходуется на изменение энтальпии (теплосодержания) по тока, т.е.

dQ=dQx+dQy+dQz= di dv=-div(q) dv d. (d) Определим плотность теплового потока вдоль оси x. Перенос теплоты в подвижной среде осуществляется за счет теплопроводности qxт=- dt/dx и за счет конвекции qxк= wx i. Тогда qx/x=- t/x + i wx/x+ wx i/x.

2 (e) Аналогично для остальных осей qy/y=- 2t/y2+ i wy/y+ wy i/y.

(f) qz/z =- t/z + i wz/z+ wz i/z.

2 (g) Подставим (e), (f) и (g) в (d), сократим на dv и перенесем члены, содержащие в себе энталь пию, в левую часть уравнения. Получим di/d+ i div(w)+ (wx i/x+wy i/y wz i/z)= 2 t.

(h) Для несжимаемой жидкости div(w)=0, как будет показано ниже. Если считать, что энтальпия может быть представлена как i=cp t, то уравнение (h) может быть записано в виде Dt/d=a 2 t, (6.1) где a=/(cp ) – температуропроводность жидкости;

субстанциональная (полная) производная тем пературы по времени представляется как Dt/d=t/+wx t/x+wy t/y+wz t/z.

(6.2) По своему физическому смыслу в стационарном состоянии уравнение (6.1) является соотно шение между тепловым потоком, передаваемым конвекцией, и потоком, передаваемым теплопро водностью. В уравнении (6.1) еще одна неизвестная – скорость потока w (или ее проекции на оси координат). Таким образом, система уравнений пока остается незакнутой.

3. Уравнения движения (Навье – Стокса) Получение полного уравнения Навье – Стокса достаточно сложно, тем более что для анализа процесса теплопроводности необходимо учи тывать неизотермичность пограничного слоя. Рассмотрим упрощенный вывод этого уравнения для одномерного течения несжимаемой жидко сти, когда скорость потока изменяется только по одной координате. В основу вывода положим второй закон Ньютона, по которому сумма сил, которые действуют на тело, равна произведению массы тела на его уско рение. Выделим в пограничном слое плоского потока вязкой жидкости элемент с ребрами dx, dy (Рис. 6.1). Силы, действующие на выделенный элемент, можно разделить на объемные, действующие на все частицы жидкости в элементе, и поверхностные, которые действуют на гранях Рис. 6.1. К выводу диф элемента. К первой группе сил относятся сила тяжести, центробежная си- ференциального уравне ла и т.п. Ограничимся учетом только силы тяжести, тогда df1= g dv. (a) ния движения жидкости К поверхностным силам относятся: сила давления в потоке, которая уменьшается по направ лению течения, и сила трения. Выберем направление оси координат x по потоку жидкости (вдоль тела), а ось y нормально к поверхности тела. Тогда на координате x сила давления, действующая на выделенный элемент, будет df2=p(x) dy dz, а на координате x+dx – df2=p(x+dx) dy dz. Разложим p(x+dx) в ряд Тейлора вблизи точки x и ограничимся двумя членами разложения. Имеем p(x+dx)= p(x)+(p/x) dx. Равнодействующая сил давления с учетом последнего выражения имеет вид df2=df2-df2=-(p/x) dx dy dz=-(p/x) dv.

(b) В плоскости y слева на элемент жидкости действует сила трения, направленная вверх, по скольку скорость жидкости в элементе больше скорости жидкости вне него. Она равна df3=sy dx dz, где sy – напряжение силы трения. В плоскости y+dy действует направленная вниз сила трения, равная df3= dx dz. Разложим sy+dy в ряд Тейлора, как это было сделано для давления, и, ограни µ чившись двумя членами разложения и учитывая, что s=µ dw/dn (см. начало лекции), получим µ df3=df3 -df3 =µ ( w/y2) dv.

(c) Суммируя (a), (b) и (c), получаем проекцию на ось x сил инерции, которая согласно второму закону механики равна произведению массы элемента на его ускорение, т.е.

Dwx/d= g-p/x+µ 2w/y2.

µ (d) Неизотермичность пограничного слоя учтем следующим образом. Допустим, что в правой части уравнения (d) плотность жидкости линейно зависит от температуры =0(1+ ). Тогда пер вый член равенства (d) можно представить в виде 0 g+0 g и трактовать ее как сумму силы тяжести и подъемной силы, являющейся результатом неизотермичности пограничного слоя.

Большинство задач теплообмена автомодельны (инвариантны) по отношению к силе тяжести, по этому, как правило, сила тяжести из уравнения (d) исключается. Пренебрегая индексом при, представим (d) в окончательном виде, учитывая, что в общем случае wx меняется по 3 координа Dwx/d= gx -(1/) p/x+(2wx/x2+2wy/y2+2wz/z2), там (6.3) где субстанциональная (полная) производная Dwx/d=t/+wx t/x+wy t/y+wz t/z, а gx – проек ция ускорения силы тяжести на ось x.

Таким образом, получена проекция уравнения движения на ось x. Аналогично для остальных Dwy/d= gy -(1/) p/y+ 2wy, осей (6.4) Dwz/d= gz -(1/) p/z+ wz.

(6.5) С добавлением уравнений движения (6.3) – (6.5) к системе дифференциальных уравнений конвективного теплообмена появляется еще одна переменная – давление. Система уравнений ос тается незамкнутой.

4. Уравнение неразрывности Выделим в пограничном слое жидкости элементарный недеформируемый объем с ребрами dx, dy, dz, и рассмотрим поток массы через этот элемент. По оси x за время d в элемент поступает масса dMx=( w)x dy dz d, а покидает dMx+dx=( w)x+dx dy dz d. Как и раньше, разложим ( w) x+dx в ряд Тейлора вблизи точки x и, ограничившись двумя членами разложения, найдем аккумулиро ванную массу в элементе dM1=dMx- dMx+dx=-(( w)x/x) dv d. (a) Аналогично можно записать аккумулированную массу в элементе для потоков ассы по осям y и dz dM2=dMy- dMy+dy=-(( w)y/y) dv d. (b) dM3=dMz- dMz+dz=-(( w)z/z) dv d. (c) Аккумулированная масса в элементе идет на изменение плотности среды в объеме, т.е.

d dv=-((w)x/x+(w)y/y+(w)z/z) dv d, или d/d+(w)x/x+(w)y/y+(w)z/z=0. (6.6) Таким образом, получена замкнутая система уравнений конвективного теплообмена, реше ние которой позволяет определить искомый коэффициент теплоотдачи.

Для решения конкретной задачи данную систему надо дополнить условиями однозначности или краевыми условиями конвективной теплоотдачи, как и в случае задач теплопроводности. Эти условия должны включать в себя: физические условия (теплофизические характеристики среды и их зависимости от температуры);

геометрические условия (форма тела, его размеры, ориентация по отношению к потоку жидкости, размеры и форма канала, в котором течет жидкость и т.д.);

на чальные условия (температура и скорость жидкости на входе в канал, условия при натекании по тока на тело и т.п.);

условия на границе «тело – жидкость» (температура тела, скорость потока на поверхности тела и т.д.). Аналитическое решение такой задачи практически всегда сталкивается с неразрешимыми трудностями, и пока решения есть только для отдельных простых частных случа ев. Поэтому в исследовании теплоотдачи большое значение приобретают экспериментальные и численные методы.

ЛЕКЦИЯ 7. Основы теории подобия и моделирования процессов теплоотдачи Аналитический метод исследования любого явления заключается в решении дифференциального уравнения (системы уравнений) с соответствующими краевыми условиями. В результате чего находятся универсальные связи между переменными, характеризующими это явление. Однако чаще всего аналитическое решение не мо жет быть получено в явном виде из-за сложности как уравнений, так и условий од нозначности. Экспериментальный метод исследования явления дает достоверные данные про одиночный исследуемый случай. Для получения зависимости искомой переменной от любого параметра надо провести серию экспериментов, сохраняя при этом остальные параметры процесса постоянными, что не всегда возможно. Кроме того, надо иметь возможность перенести результаты эксперимента, полученные с помощью конкретной установки (модели), на другие процессы (натурные объекты).

Объединение преимуществ аналитического и экспериментального методов исследо вания позволяет осуществить теория подобия, которую часто называют методом на учного обобщения.

Теория подобия исходит из следующего основного положения: «физическое явление определяется не отдельно взятыми параметрами, а некоторым их сум марным эффектом, который выражается комплексом первичных параметров».

Этот комплекс первичных параметров называют обобщенной переменной, критери ем или числом подобия. Например, физическое явление – течение жидкости в пря мой трубе – зависит от скорости потока, диаметра трубы и вязкости жидкости. От дельно взятые эти параметры не могут полностью характеризовать процесс течения жидкости. Однако комплекс, составленный из этих параметров, (Re=w d/ – число Рейнолдса) однозначно определяет характер течения жидкости.


Исследование физических явлений с помощью теории подобия имеет такие преимущества:

1. Сокращается число независимых переменных, которые характеризуют данное явление, что существенно упрощает экспериментальные исследования.

2. Раскрываются внутренние связи между переменными, характеризующими яв ление, поскольку обобщенные переменные находят на основе анализа диффе ренциальных уравнений, описывающих данное явление. Эти уравнения уста навливаются на основании общих законов природоведения и несут в себе все характерные особенности исследуемого процесса.

3. При исследовании явления с помощью обобщенных переменных рассматрива ется не одно конкретное явление, а группа подобных явлений (обобщенный ин дивидуальный случай).

Если условия однозначности решения задаются как перечисление первичных величин, то этим задается одно конкретное явление. При задании условий одно значности обобщенными переменными выделяется группа подобных явлений.

Рассматривая приведенное выше явление – течение в трубе – и задавая значе ния w=1 м/с, d=0,1 м, =10-4 м/с, получаем одно конкретное явление. Но, задавая обобщенную переменную Re=1000, получаем группу подобных явлений, внутри ко торой явления отличаются несущественными признаками. Сохраняя Re=1000 и ме няя конкретные значения переменных можно получить множество подобных явле ний, отличающихся только масштабом первичных величин.

ПОЛУЧЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Метод получения обобщенных переменных рассмотрим на примере класса яв лений теплопроводности. Группа подобных явлений этого класса, как было сказано выше, отличаются только масштабом первоначальных величин, а само явление опи сывается гипотезой (законом) Фурье q=- (dt/dn).

Приведем это уравнение к безразмерному виду и запишем для 1-го и 2-го явле ний. Получим: (/q) (dt/dn)+1=0, (a) (/q) (dt/dn)+1=0, (b) Если явления подобны, то первичные величины отличаются только масштабом, т.е. =k, q=kq q, t=kt t, n=kn n. Определим переменные явления (a) через пере менные явления (b). (k kt dt)/(kq kn q dn)+1=0. (c) Уравнения (b) и (c) должны быть тождественными при условии (k kt)/(kq kn)=1. (d) Очевидно, для того, чтобы физические величины явлений были подобными, достаточно умножить каждую из них на множитель преобразования. Но для того, чтобы явления были подобными, выбор множителей преобразования должен подчи няться некоторому условию. Для теплопроводности это условие (d). Перепишем его так t q n/( t q n)=1, t/(q n)= t/(q n)=idem.

(e) Уравнение (e) воспроизводит условие подобия явления теплопроводности:

t/(q n)=idem. (f) Уравнения (e) и (f) представляют собой смысл первой теоремы подобия: «если физические явления подобны, то обобщенные переменные этих явлений равны».

Сопоставляя (e) и (f), можно увидеть, что эти выражения записаны по одному принципу, из которого выходит правило получения обобщенных переменных (кри териев подобия): для получения критерия подобия надо дифференциальное урав нение привести к безразмерному виду, отбросив индексы и метки. Полученный комплекс является критерием подобия.

ОБОБЩЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА 1. Уравнение теплоотдачи =-/0(/n)n=0 или -(t/n)n=0=(tп-tж) представим в безразмерном виде, для чего разделим правую часть уравнения на левую. Получим:

t/(t/n)n=0+1=0, а, отбросив индексы и метки, и заменяя n размером L, Nu=L/ – безразмерный комплекс, который называется критерием Нуссельта. В этот кри терий входит искомая в задачах конвективного теплообмена величина – коэффици ент теплоотдачи, поэтому критерий Нуссельта называют еще и как «обобщенный (безразмерный) коэффициент теплоотдачи». Его физический смысл – мера отноше ния полного теплового потока к потоку, передаваемому теплопроводностью в по граничном слое (Nu=/(/L)).

2. Уравнение энергии запишем для случая одномерного стационарного течения как wx t/x=a 2t/x2. По физическому смыслу это уравнение представляет собой соот ношение конвективной составляющей переноса теплоты (левая часть) и кондуктив ной (правая часть). Разделим левую часть уравнения на его правую часть. Получим:

wx t/x/(a 2t/x2)-1=0, а, отбросив индексы и метки, и заменяя x размером L, Pe=wL/a. Полученный безразмерный комплекс называется критерием Пекле. По своему физическому смыслу критерий Пекле является мерой отношения теплового потока, передаваемого конвекцией, к тепловому потоку, передаваемому теплопро водностью в пределах пограничного слоя.

3. Уравнение движения содержит в себе четыре силы – подъемную, давления, тре ния и инерции, в отличии от предыдущих уравнений, представляющих собой дву члены. В символах уравнение движения можно записать в виде: И=П+Д+Т, где для одномерного стационарного течения И=wxt/x, П=g, Д=(1/)p/x, Т=2wx/y2.

Разделив уравнение движения на силу трения, отбросим индексы и метки и за меним x и y на линейный размер L. Из отношения сил инерции и трения имеем:

И/Т=(wx t/x)/(2wx/y2)=w2y2/(wx)=Re=wL/=idem. Полученный безразмер ный комплекс называется критерием Рейнольдса. По своему физическому смыслу он является мерой отношения сил инерции и трения в пограничном слое.

Рассмотрим отношение подъемной силы к силе трения. Получаем:

П/Т=g/(2wx/y2) Re=gL2 wL/(w )=Gr=gL3/2=idem. Найденный без размерный комплекс называется критерием Грасгофа. По физическому смыслу этот критерий представляет собой меру отношения подъемной силы к силе трения.

Рассмотрим отношение давления к трению. Получаем, учитывая приведенные замечания: Д/Т=p/x(1/)/(2wx/y2)/Re=py2 /(wx wL)=Eu=p/(w2)=idem.

Эта обобщенная переменная называется критерием Эйлера. Учитывая, что в зада чах гидродинамики представляет интерес не абсолютное давление, а перепад давле ния, в критерии Эйлера в качестве переменной стоит именно перепад давления. Фи зическим смыслом критерия Эйлера является отношение сил давления к силам тре ния. Однако, в свою очередь, перепад давления в потоке несжимаемой жидкости оп ределяется скоростью потока, т.е. является функцией критерия Рейнольдца, а не не зависимой переменной. Таким образом, Eu=f(Re) и не может быть независимой пе ременной в задачах теплообмена. Критерий Эйлера – искомая переменная в задачах гидромеханики.

4. Уравнение неразрывности представляется одночленом для стационарного течения несжимаемой жидкости, поэтому не может дать обобщенных переменных.

Для нестационарных процессов это уравнение дает критерий временного подобия процессов или критерий гомохронности.

Отношения обобщенных переменных тоже является безразмерным комплексом, что в некоторых случаях играет роль обобщенной переменой. Рассмотрим отноше ние двух критериев Пекле и Рейнольдса. Получим: Pe/Re=Pr=(wL/a)/(wL/)=/a.

Эта обобщенная переменная называется критерием Прандтля. Сюда входят только теплофизические свойства теплоносителя. Таким образом, этот критерий может учитывать влияние температуры на теплофизические свойства теплоносителя, а, следовательно, и на процесс теплоотдачи. С другой стороны, вязкость жидкости оп ределяет изменение скорости потока в пограничном слое и, следовательно, толщину гидродинамического пограничного слоя. Температуропроводность определяет ин тенсивность изменения градиента температуры в пограничном слое жидкости, т.е.

толщину теплового пограничного слоя. Таким образом, критерий Прандтля есть ме ра отношения гидродинамического и теплового пограничных слоев. При Pr=1 гид родинамический и тепловой пограничные слои равны, при Pr1 гидродинамический пограничный слой больше теплового, при Pr1 наоборот.

ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ПОДОБИЯ. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ УСЛОВИЯ ТЕПЛООТДАЧИ Анализ системы дифференциальных уравнений теплоотдачи позволил найти обобщенные переменные этого процесса: Nu, Pe, Re, Gr, Pr. Вторая теорема подо бия устанавливает функциональную связь между этими переменными: «интеграл системы дифференциальных уравнений, которые описывают какое-то физическое явление, может быть представлен в виде функциональной связи между обобщенны ми переменными этого явления».

Учитывая, что искомая переменная задач конвективного теплообмена (коэффи циент теплоотдачи) входит в критерий Нусельта, из второй теоремы подобия следу ет, что Nu=f(Pe, Re, Gr, Pr). Соотношения такого типа справедливы для средних по некоторой поверхности коэффициентов теплоотдачи. Для локальных (в данной точ ке) коэффициентов теплоотдачи следует ввести безразмерные координаты точки в виде симплекса типа x/L, y/L. Сюда, как и в критерий подобия входит величина L, так называемый «характерный или определяющий размер».

Характерным размером называют линейный размер тела, которое принимает участие в теплообмене, оказывающем наибольшее влияние на интенсивность тепло отдачи. В некоторых случаях место этого размера может занимать комплекс вели чин, имеющий размерность линейной величины. Рассмотрим, например, поперечное обтекание некоторого цилиндра потоком жидкости. Естественно, характер течения жидкости у поверхности цилиндра не зависит от его длины, но явно разный при об текании цилиндров разного диаметра. Следовательно, при исследовании теплоотда чи цилиндрических поверхностей в поперечном потоке жидкости в качестве харак терного размера надо использовать диаметр, а не длину поверхности. Определяю щий размер принято обозначать подстрочным индексом. Например, Red, Grx.

Во все обобщенные переменные входят те или другие теплофизические свойст ва теплоносителя, существенно зависящие от температуры. В тоже время наличие разности температур стенка-жидкость приводит к образованию теплового погра ничного слоя, в котором теплофизические параметры теплоносителя существенно изменяются, что вносит искажения в распределение скорости в пограничном слое по сравнению с изотермическим течением. Этот фактор может существенно сказаться на интенсивности теплообмена. Такое влияние должно быть учтено в связях между обобщенными переменными. К тому же, при переносе результатов эксперимента на натурные объекты должно быть учтено то обстоятельство, что при обработке экспе риментальных данных теплофизические свойства жидкости принимались по опре деленной температуре.


Определяющей температурой называют температуру, по которой определя ются теплофизические параметры жидкости, входящие в обобщенные переменные, или сама такая переменная, например критерий Прандтля. Принято указывать опре деляющую температуру подстрочным индексом при критерии (ж – температура жидкости, ст – температура стенки, m – средняя температура). Например, Reж,d, Prж.

Учет влияния неизотермичности погранслоя на интенсивность теплообмена может быть проведен несколькими путями. Для газов при высоком температурном напоре (100°C) этот учет проводится введением в соотношения типа Nu=f(Pe, Re, Gr, Pr) симплекса типа (tг/tст)n. При этом показатель степени, как правило, разный при нагревании газа и при охлаждении. Можно вводить поправки или средние Tm.

ЛЕКЦИЯ 8. Теплоотдача при продольном обтекании плоской поверхности Рассмотрим плоскую поверх ность, на которую со скоростью w0 и температурой t0 набегает поток жид кости, направленный вдоль поверхно сти (Рис. 8.1). Выберем направление оси x вдоль поверхности, а оси y – нормально к поверхности. У поверх ности под действием сил трения воз Рис. 8.1. Схема течения жидкости у никает гидродинамический погранич плоской поверхности ный слой, в котором скорость меняет ся от 0 на стенке до w0 на внешней границе слоя. В начале поверхности образуется ламинарный пограничный слой, т.к. толщина слоя мала и превалируют силы трения.

По мере возрастания толщины пограничного слоя происходит разрушение ламинар ного течения и образование турбулентного пограничного слоя. Но, вблизи стенки в небольшом слое, где силы трения достаточно велики, сохраняется ламинарное тече ние. Этот слой называют вязким подслоем.

Разрушение ламинарного пограничного слоя начинается на некоторой коорди нате xкр1 и заканчивается на координате xкр2. Длина зоны ламинарного пограничного слоя зависит от степени турбулентности набегающего потока. В практических рас четах с достаточной точностью можно принять, что условная граница между лами нарным и турбулентным пограничным слоем отвечает значениям Reкр=(15)105.

В процессе теплоотдачи всегда есть разница температур между стенкой и сре дой, что приводит к образованию вместе с гидродинамическим теплового погранич ного слоя, в котором температура изменяется от tст до tж. Последний фактор приво дит к искажению распределения скорости в гидродинамическом пограничном слое, т.к. вязкость жидкости существенно зависит от ее температуры. В зависимости от теплофизических характеристик жидкости тепловой пограничный слой по толщине может быть как меньше, так и больше гидродинамический.

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ДЛЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ.

Точное решение системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена связано с большими трудностями даже при упрощении. Рас смотрим один из методов приближенного расчета.

Для этого выделим в пределах теплового и гидро динамического пограничных слоев два сечения A – B и C – D, отстоящих один от другого на dx (Рис. 8.2). Пусть толщина теплового пограничного слоя k меньше толщины гидродинамического слоя. Тепловой поток, идущий в элемент dx через се k Рис. 8.2. К уравнению чение A – B на координате x, Qx= cp wx t dy, а по Кружилина ток выходящий через сечение C – D на координате x+dx, Qx+dx=Qx+(dQx/dx) dx. То dk гда разница этих потоков dQx=- ( cp wx t dy) dx. Причем, в плоскости B – C в dx элемент поступает поток вместе с массой, внесенной в элемент по координате y. Из за того, что толщина теплового пограничного слоя меньше толщины гидродинами ческого, вносимая масса имеет температуру жидкости. Тогда, учитывая, что привне сенная масса равна разнице между массой, внесенной по оси x в сечение А – В, и dQy= той, что унесена с сечения имеем:

C – D, dk ( wx dy) dx. Далее, допустим, что температура жидкости больше темпера dx cp t туры стенки. Тогда от элемента отводится тепловой поток в стенку по плоскости А – D. Учитывая, что при любом характере течения в пограничном слое у стенки сохра няется ламинарное течение, в сечении А – D теплота отводится теплопроводностью.

Тогда, учитывая направление оси y, можно записать тепловой поток в сечении А – D в виде dQy=dt/dy)y=0 dx.

В случае стационарного состояния сумма потоков теплоты, входящей в элемент и выходящей из него равняется нулю. Считая теплофизические параметры жидкости dk ( (t 0 t ) wx dy) dx=a(dt/dy)y=0.(8.1) dx постоянными, получим уравнение Кружилина:

ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ.

Из курса «Гидродинамика» известно, что распределение скорости в погранич ном слое в условиях ламинарного течения в плоской поверхности подчиняется зако ну кубической параболы wx=a+by+сy2+dy3. Тогда учитывая условия на стенке: при y=0 wx=0 и d2wx/dy2=0 (линейность сил трения);

и на внешней границе шара: при y= wx=w0 и dwx/dy=0, получаем зависимость wx/w0=1,5(y/)-0,5(y/). (8.2) При этом толщина гидродинамического пограничного слоя составляет = (280 / 13) (x / w0 ). (8.3) Примем температуру поверхности стенки постоянной по длине. Тогда для пре вышения температуры =t-tст при y= 0=t0-tст и в связи с идентичностью условий на границе для обоих видов пограничных слоев, имеем /0=1,5(y/k)-0,5(y/k)3, (8.4) где k – толщина теплового пограничного слоя.

(d/dy)y=0=1,5 (0/k) Из этого вытекает (8.5) Используем уравнение (8.1) и соотношения (8.2) и (8.4). Сначала, используя их, k w0 (1,5(y/)-0,5(y/) )0(1,5(y/k)-0,5(y/k) )dy=0w 3 вычислим интеграл в (8.1).

((3/20)(k/) -(3/280)(k/) ). Обозначим =k/ и учитывая, что при k можно пренеб 2 речь более высокой степенью. Если подставим значение интеграла в (8.1) получим d/dx((3/20)w002)=1,5 a 0/k. (а) Исходя из аналогии теплового и гидродинамического пограничных слоев и учитывая, что их возникновение начинается одновременно с передней кромки стен ки, можно считать, что их толщины одинаково зависят от x, а их отношение от x не зависит. Тогда (а) можно представить в виде 0,1w03d/dx=a.

(б) d/dx = (140/13) / w0.

Из (8.3) выходит (в) Подставим (в) в (б) и примем (14/13) 1. Получаем: =Pr.

1/3 -1/ (8.6) 0,5 1/ Из (8.3), учитывая (8.6), имеем: k=4,64 x/(Re Pr ). (г) Коэффициент теплоотдачи найдем из уравнения теплоотдачи, если учтем (8.5).

Получаем: =/0 (/y)y=0=1,5/k=0,33/x Re0,5 Pr1/3.

(д) Переходя к безразмерному коэффициенту теплоотдачи, находим критериальное уравнение:

Nux=0,33 Rex0,5 Pr1/3. (8.7) Уравнение (8.7) получено в предположении, что теплофизические параметры тепло носителя постоянны. Если учесть поправку Михеева для капельных жидкостей, по лучаем уравнение для расчета локальных коэффициентов теплоотдачи в условиях ламинарного течения жидкости вдоль плоской поверхности Nuж, x=0,33 Reж, x0,5 Prж1/3 т. (8.8) В уравнении (8.8) в качестве определяющей принята температура невозмущенного потока, а определяющим размером – расстояние от передней кромки пластины. Для газов можно принять т=1.

Из (8.8) вытекает, что коэффициент теплоотдачи уменьшается при увеличении расстояния от передней кромки пластины по степенному закону =C x-0,5.

ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ.

Теоретические исследования теплоотдачи при турбулентном пограничном слое основаны на идее Рейнолдса про единство механизма конвективного переноса теплоты и механической энергии. Рас смотрим у поверхности пластины турбулентный пограничный слой толщиной т и ламинарный под слой толщиной л (рис. 8.3). Пусть ось x направле на вдоль пластины, а ось y нормально к поверхно сти. В ламинарном подслое изменение скорости по оси y очень существенно, а перенос теплоты осу ществляется теплопроводностью. Тогда плотность теплового потока, учитывая направление оси y, и Рис. 8.3. К выводу аналогии напряжение сил трения можно представить в виде Рейнольдса µ q=(dt/dy), s=µ(dwx/dy). Разделив одно на другое, µ имеем q=(s/µ) (dt/dy)/(dwx/dy). (а) Считая линейным распределение скорости и температуры в границах ламинар ного подслоя, и обозначив скорость на границе ламинарного подслоя как wг и тем µ пературу как tг, получим из (а) такое выражение: q=s (tг-tст)/(µwг). (б) Выделим в турбулентном пограничном слое плоскость А – А и рассмотрим пе ренос некоторой массы жидкости gт [кг/(м2 с)] через эту плоскость. Эта масса, дви гаясь сверху вниз, переносит количество теплоты gт cp t и количество движения gт w. Аналогично, из-за неразрывности потока, такая же масса движется от низа до верха и переносит поток теплоты gт cp t и количество движения gт w. Результирую щая плотность потока и касательные напряжения сил трения в плоскости А – А (тур булентное трение) qт=gт cp (t-t);

sт=gт cp (w-w). Разделив одно на другое получим аналогию Рейнольдца: qт=sт cp (t-t)/(w-w). (в) Если соотношение (б) учитывает перенесение теплоты в ламинарном подслое и, фактически, его термическое сопротивление, то (в) учитывает то же самое для турбулентного слоя. Общее термическое сопротивление перенесению теплоты должно равняться сумме сопротивлений ламинарного и турбулентного слоев. Рас пространив (в) на весь турбулентный слой, заменим соответственно t на t0, t на tг, а w на w0, w на wг и суммируем частичные температурные напоры. Получаем: t0 µ tг=qт(w0-wг)/(sт cp), tг-tст=qµwг/(s).

Из-за непрерывности теплового потока и сил трения можно считать, что q=qт, sт=s. Тогда q/(t0-tст)=(s cp/w0) /(1+(Pr-1) wг/w0)=(s cp/w0) E, (г) где E=1 при Pr=1. По определению, величина, стоящая в левой части выражения (q/(t0-tст)), является коэффициентом теплоотдачи. Определим силы трения через ко s=cf w02/2.

эффициент трения как (д) Тогда из (г) с учетом (д) получим критерий Стантона St=/( cp w0)=Nu/(Re)=cf/2.

Определив по уравнению Прандтля коэффициент трения как cf=0,0592/Re0,2, получим критериальное уравнение для расчета теплообмена при турбулентном течении вдоль пластины (при Pr=1 в виде Nu=0,0296 Re0,8.

Полученное уравнение хорошо согласуется с экспериментальными данными при Pr=1. Распространение полученного уравнения на жидкости с Pr1, проведен ные Михеевым, позволяют рекомендовать следующее уравнение для расчета мест ных коэффициентов теплоотдачи при турбулентном течении жидкости у плоской поверхности Nuж,x=0,0296 Reж,x0,8 Prж0,43 т.

В конце лекции определим известные соотношения, позволяющие найти тол щину турбулентного пограничного слоя т/x=0,367/Rex0,2, и толщину ламинарного подслоя л/т=194/Rex0,7.

ЛЕКЦИЯ 9. Теплоотдача при течении жидкости в трубах и каналах Процесс теплоотдачи при течении жидкости в трубах является более сложным процессом, чем течение у плоской поверхности, поскольку попе речное сечение трубы имеет конечные размеры. В связи с этим, начиная с не которого расстояния от входа в трубу, на жидкость по всему сечению канала действует тормозящее влияние сил Рис. 9.1. Стабилизация распределения трения. Отрезок трубы от входа до скорости при движении жидкости в трубе слияния пограничных слоев называют отрезком гидродинамической стабилизации потока и гидродинамическим начальным участком (рис. 9.1) Если число Рейнольдса вычислить как Re=wd/, где w – средняя скорость жидкости, d – внутренний диа метр трубы, – кинематическая вязкость жидкости, то ламинарное течение в трубах имеет место при Re 2300, турбулентное при Re 104. Течение при 2300 Re называется переходным. При ламинарном течении длина отрезка гидродинамиче ской стабилизации потока может приблизительно определяться как lн = 0,03 Re d.

Если поток в трубе неизотермический (tст tж) то вместе с гидродинамическим пограничным слоем у стенки трубы возникает тепловой пограничный слой, в кото ром температура жидкости изменяется от tст до tж. По мере удаления от входа в тру бу толщина этого слоя нарастает, и на некотором расстоянии от входа в трубу про исходит смыкание пограничного слоя. Но если форма профиля гидродинамического пограничного слоя в стабилизированном потоке остается постоянной (на основании уравнения неразрывности), то наличие теплообмена между жидкостью и стенкой трубы приводит к изменению формы профиля пограничного слоя. Для ламинарного режима течения теоретические решения определяют относительную длину отрезка тепловой стабилизации потока как: tст=const lн/d = 0,055 Pe;

q=const lн/d = 0,07 Pe.

При турбулентном течении жидкости в трубе (Re 104) гидродинамическая стабилизация потока наступает достаточно быстро из-за значительной толщины тур булентного пограничного слоя. По некоторым данным при Re 5104 практически с самого начала трубы устанавливается стабилизированное течение жидкости.

ТЕПЛООБМЕН ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ В настоящее время достаточно хорошо исследован теплообмен при ламинарном течении только в круглых трубах. Теплообмен в каналах произвольной формы при ламинарном течении исследован недостаточно, и поэтому общих рекомендаций по расчетам коэффициента теплоотдачи не существует.

Теоретические исследования теплообмена при стабилизированном ламинарном течении и условии одновременной тепловой и гидродинамической стабилизации по тока показали, что коэффициент теплоотдачи для стабилизированного теплообмена остается постоянным вдоль трубы и зависит только от условий на стенке. Обобщен ный коэффициент теплоотдачи в этом случае равен tст=const Nuстаб = 3,66;

q=const Nuстаб = 4,36.

Из дифференциального уравнения теплоотдачи в случае имеем, что (/n)/= /=const, т.е. отношение градиента температуры на поверхности в пограничном слое к температурному напору остается постоянным. Таким образом, при стабили зированном теплообмене градиент температуры на стенке изменяется с такой ин тенсивностью, как и температурный напор.

Наличие теплообмена при ламинарном течении в трубах при водит к тому, что температура по сечению потока изменяется, следовательно, по сечению потока изменяются теплофизические характеристики жидкости, в частности ее плотность. Поэтому в ламинарном потоке могут возникать вторичные течения, обу словленные естественной конвекцией, интенсивность которых за висит, в первую очередь, от разности температур «стенка – жид- Рис. 9.2. Схема кость», от теплофизических свойств жидкости, размера трубы, ее вторичного те ориентации и т.д. На рис. 9.2 условно показано вторичное течение чения в гори зонтальной тру в горизонтальной трубе при tст tж.

Очевидно, что при малых температурных напорах интенсив- бе при tст tж ность вторичных течений мала, и их влиянием на теплообмен можно пренебречь. В связи с этим, теплообмен при условии ламинарного течения жидкости в трубах под разделяются на два режима: вязкостный режим теплообмена, когда интенсивность вторичных течений, вызванных неизотермичностью жидкости, мала, и их влиянием на теплообмен можно пренебречь, и вязкостно-гравитационный режим теплооб мена, когда интенсивность вторичных течений жидкости имеет существенное влия ние на теплообмен. Оценка границы между вязкостным и вязкостно гравитационным режимами теплообмена достаточно условна. Можно считать, что такая граница соответствует следующему значению числа Релея Ram,d=(GrPr)m,d=810. При этом определяющей температурой принята средняя температура пограничного слоя, а определяющим размером – диаметр трубки.

Исследования вязкостного режима (Ram,d8105) позволяют для случая q=const рекомендовать следующее уравнение для расчета локальных коэффициентов тепло тдачи Nuж,x=0,33 Reж,x0,5 Pr0,43 (Prж/Prст)0,25 (x/d)0,1.

При вязкостно-гравитационном режиме теплообмена коэффициенты теплоот дачи могут быть в 3-5 раз больше, чем при вязкостном режиме, за счет влияния ес тественной конвекции. Однако, учет этой составляющей является достаточно слож ным, поскольку сравнительно небольшие отличия в граничных условиях могут при вести к результатам, которые существенно различаются. Это усложняет обобщение экспериментальных данных и получение универсальных уравнений. Приближенная оценка средней интенсивности теплообмена при вязкостно-гравитационном режиме может проводиться по уравнению Михеева Nuж,d=0,15 Peж,d0,33 Raж,d0,1 (Prж/Prст)0, l, где l – поправка на влияние участка гидродинамической стабилизации потока (l=1,9 при l/d=1 и l=1,0 при l/d=50).

ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ Как отмечалось выше, турбулентное течение в трубах имеет место при Re104.

Для получения зависимости интенсивности теплообмена от параметров потока вос пользуемся соотношением (г) из предыдущей лекции: q/(t0-tст)=(s cp/w0) /(1+(Pr-1) wг/w0)=(s cp/w0) E, где заменим скорость невозмущенного потока средней скоростью течения жидкости в сечении =(s cp/w)/(1+(Pr-1) wг/w)=(s cp/w) E.

При безотрывном течении в трубе гидравлическое сопротивление определяется силами трения по перимет ру канала. Выделим отрезок трубы длиной l между се чениями 1, где давление потока P1, и 2, где давление P (рис. 9.3). Разница давления P=P1-P2 при стабилизиро ванном течении определяется силами трения на стенке трубы. Тогда очевидным будет соотношение Pf = sF, где f – площадь поперечного сечения трубы, F – пло щадь внутренней поверхности трубы между сечениями. Рис. 9.3. К зависимости Учитывая значения f и F, а также закон Дарси в виде потери давления в пря P=cf(l/d)w2/2, получим для напряжения сил трения мой трубе.

s=cfw /8. Подставим полученное в исходное выражение =(s cp/w)/(1+(Pr-1) wг/w), найдем критерий Стантона (при Pr=1) St=cf/8. Используя формулу Никурадзе для коэффициента трения в прямой трубе, cf=0,184/Re0,2, получим (при Pr=1) Nuж,d=0,23Re0,8.

Полученное уравнение хорошо согласуется с данными экспериментальных ис следований при Pr=1. Однако распространение этого равенства на случаи Pr1 тре бует дальнейших экспериментальных исследований.

По данным Михеева средний коэффициент теплоотдачи при турбулентном те чении в трубе можно определять по выражению Nuж,d=0,021Reж,d0,8 Prж0,43тl, где т – поправка на неизотермичность, которая для капельных жидкостей может быть найдена, как т=(Prж/Prст)0,25, для газов при нагревании т=(Prг/Prст)0,25 и при их ох лаждении т=1;

l – поправка на влияние отрезка гидродинамической стабилизации потока, которая может определяться по таблицам в зависимости от Re и l/d. По это му же уравнению может быть проведен расчет теплообмена при турбулентном тече нии произвольного профиля, если в качестве определяющего размера принять экви валентный (гидродинамический) диаметр dэкв=4F/U, где F – площадь сечения пото ка;

U – смоченный периметр (периметр теплоотдачи).

Исследования теплообмена и гидродинамики в загнутых трубах и змеевиках показали, что наличие центробежных сил приводит к возникновению вторичной циркуляции, что разрушает ламинарное течение при значениях Re, значительно меньших, чем 2300. При этом переход к турбулентному течению происходит гораз до быстрее при практическом отсутствии переходного течения. Если принять кри тические значения критерия Рейнольдса как Reкр=11,6(d/D)0,5 и Reкр=18500(d/D)0,28, где d – диаметр трубы, D=2R, R – радиус изгиба трубы по средней линии, то при ReReкр расчет ведется по выражениям для ламинарного течения в трубах. При ReкрReReкр расчет теплообмена ведется по уравнениям для турбулентного тече ния. Если ReReкр, то значение коэффициента теплоотдачи, которое получено по равенствам для турбулентного течения, должны умножаться на поправочный коэф фициент r=1+1,8(d/D). Создание в трубах искусственной шероховатости, которая разрушает ламинарный подслой турбулентного пограничного слоя, приводит к уве личению теплоотдачи.

ЛЕКЦИЯ 10. Теплоотдача при течении жидкости в трубах и каналах (пере ходный режим) и при поперечном обтекании одиночной трубы и пучков труб Интенсивность теплообмена в условиях переходного режима течения (2300Re104) зависит от большого числа факторов, которые тяжело поддаются уче ту. До настоящего времени отсутствует удовлетворительная методика расчета теп лообмена в этом режиме. По рекомендациям В. П. Исаченко, приближенная оценка интенсивности теплообмена в переходной области может быть проведена следую щим образом.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.