авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ТЕПЛОМАССООБМЕНА ЛЕКЦИЯ 1. Введение. Основные положения теории теплопроводности Список лекций по теории теплообмена ЛЕКЦИЯ 1. Введение. Основные ...»

-- [ Страница 3 ] --

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛО- И МАССОБМЕНА Для определения теплового потока, переносимого от подвижной среды к по верхности тела, надо иметь поля температуры, скорости и концентрации вещества в пограничном слое. Ранее были получены уравнения для однокомпонентной среды без диффузионного переноса теплоты. Надо получить уравнения для двухкомпо нентной среды.

а). Уравнение энергии Уравнение энергии однокомпонентной среды получено ранее i/=-div(q). Учитывая, что теперь q=-grad(t)+iwi+g1(i1-i2), найдем составляющие правой части:

qx/x=- t/x +1(wx i/x+i wx/x)+[(i1-i2)gx1]/x 2 qy/y=- t/y +1(wy i/y+i wy/y)+[(i1-i2)gy1]/y 2 qz/z=- t/z +1(wz i/z+i wz/z)+[(i1-i2)gz1]/z 2 Подставив полученные частные производные в i/=-div(q) с учетом уравнения неразрывности, получим 1Di/d= t-div[(i1-i2)g1]. Считая, что перенос массы осу [ ществляется только концентрационной диффузией, и используя закон Фика, запи санный через относительную концентрацию m1=1/, где 1 – плотность данного компонента, – плотность смеси, получим g1=-Dm1. Окончательно уравнение энергии получаем в виде Di/d= t+[(i1-i2)Dm1]. В это уравнение входит отно [ сительная концентрация компонента в смеси. Таким образом, при наличии диффу зионного переноса массы система дифференциальных уравнений конвективного те плообмена становится незамкнутой. Требуется дифференциальное уравнение, опи сывающее распределение концентрации компонентов смеси.

б). Уравнение массообмена Для нахождения уравнения, описывающего распределение концентрации дан ного компонента в подвижной смеси, выделим в жидкости неподвижный недефор мируемый элементарный объем с ребрами dx, dy, dz и рассмотрим для него баланс массы, пренебрегая термо- бародиффузией. Считаем жидкость несжимаемой.

По оси x в данный объем вносится масса M1x=g1x dy dz d, а уносится M1(x-dx)=g1(x-dx) dy dz d. Раскладывая g1(x-dx) в ряд Тейлора вблизи точки x и ограничи ваясь двумя членами разложения, получаем, что в элементе аккумулирована масса dM1x=M1x-M1(x-dx)=-(g1x/x) dv d. Аналогично для остальных осей:

dM1y=M1y-M1(y-dy)=-(g1y/y) dv d, dM1z=M1z-M1(z-dz)=-(g1z/z) dv d. Аккумуляция массы в недеформируемом элементе приводит к изменению плотности данного компонента в этом объеме, т.е.

dM1=dM1x+dM1y+dM1z=d1 dv= dm1 dv. Подставив сюда выражения для dM1x, dM1y и dM1z, получим m1/d=-div(g1).

Учитывая полученные выражения и условие несжимаемости, получим диффе ренциальное уравнение массообмена Dm1/d=D(2m1/x2+2m1/y2+2m1/z2)=D2m1.

ТЕПЛО- И МАССООТДАЧА По аналогии с конвективным теплообменом процесс совместного молекулярно го и молярного переноса массы в подвижной многокомпонентной среде называют конвективным массобменом. При наличии массообмена усложняется и процесс теп лообмена, поскольку осуществляется дополнительный перенос теплоты за счет мас сообмена. Практический интерес представляет процесс теплообмена и массообмена при испарении, конденсации, сублимации и других подобных процессах. Поверх ность жидкой фазы (при испарении или конденсации) или твердой фазы (при суб лимации) играет роль полупроницаемой поверхности, у которой происходят процес сы теплообмена и диффузии. Например, при конденсации пара из парогазовой смеси пленка конденсата проницаема для молекул пара и непроницаема для молекул газа.

Аналогично теплоотдаче массообмен между паровой фазой и жидкой (твердой) поверхностью называют «массоотдачей». При этом аналогично закону Ньютона для теплоотдачи (q=(tст-tоб) [Вт/м2]), для практических расчетов массоотдачи исполь зуют g=b(ст-об) [кг/(м2с)], где b – коэффициент массоотдачи, отнесенный к разно сти концентраций диффундирующего вещества на поверхности (ст) и в объеме (об). Считая компоненты смеси идеальными газами и перейдя от концентрации к парциальному давлению, можно записать g=bp(pст-pоб), где bp=b/RT – коэффициент массоотдачи, отнесенный к разности парциального давления.

Рассмотрим процесс конденсации пара из парогазовой смеси на поверхности пленки конденсата при постоянном полном давлении смеси. Вследствие конденса ции пара на поверхности пленки парциальное давление пара pпсpпо, и имеет место диффузионный перенос массы пара в направлении пленки gп. Поскольку при посто янном полном давлении смеси dpп/dx=-dpг/dx, то газ должен диффундировать в на правлении, противоположном направлению диффузии пара, т.е. от пленки в среду.

Очевидно, что диффузионное перемещение газа от пленки в среду должно компен сироваться молярным (конвективным) переносом массы из объема в направлении пленки (полупроницаемой поверхности). Этот конвективный поток массы, возни кающий у полупроницаемой поверхности, называют стефановым потоком (по имени болгарского физика Стефана, который впервые рассмотрел этот процесс).

Обозначим скорость этого потока Wсп.

Суммарный поток пара на поверхности пленки можно представить в виде а поток газа на поверхности пленки gп.ст=-Dpп(dpп/dx)ст+п.ст Wсп.ст, gг.ст=-Dpг(dpг/dx)ст+г.ст Wсп.ст.

Поскольку пленка непроницаема для газа, то поток газа на поверхности пленки должен равняться нулю. Тогда скорость стефанового потока на поверхности пленки с учетом Dp1/Dp2=R2/R1 будет Wсп.ст=-(DpпRп)/(г.стRг) (dpп/dx). Подставив это выра жение в gп.ст=-Dpп(dpп/dx)ст+п.ст Wсп.ст, получаем плотность потока пара на поверх ности пленки: gп.ст=-Dpп(dpп/dx)ст [1+(п.стRп)/(г.стRг)]=-Dpп(dpп/dx)ст P/pг.ст. Это ] уравнение впервые было получено Стефаном и отличается от закона Фика, который относится к условию беспрепятственного распространения обоих компонентов сме си при диффузии, сомножителем P/pг.ст, который учитывает дополнительный кон вективный перенос массы, возникающий у полупроницаемой поверхности. Сравни вая это уравнение с g=bp(pст-pоб), получаем коэффициент массоотдачи, отнесенный к разности парциального давления в виде bp=-Dpп(dpп/dx)ст (P/pг.ст)/(pпс-pпо).

Это уравнение называют дифференциальным уравнением массоотдачи.

ЛЕКЦИЯ 20. Тройная аналогия. Тепломассоотдача при конденсации пара ТРОЙНАЯ АНАЛОГИЯ Уравнение массообмена без учета термо- и бародиффузии имеет вид: Di/d=D2i.

Уравнение энергии без учета диффузионного переноса теплоты: Dt /d=a2t.

Уравнение движения (безнапорное течение без учета массовых сил): Dw /d=2w.

Эти уравнения по форме записи аналогичны и содержат в себе три параметра: D – коэффициент диффузии;

a– коэффициент температуропроводности;

– коэффици ент кинематической вязкости. Каждый из них характеризует соответствующий пе ренос: массы (D), энергии (a) и количества движения (). Размерность у них одина ковая [м /с], и при D=a= поля концентрации, температуры и скорости подобны, ес ли подобны условия однозначности (краевые условия).

По аналогии с критерием Прадтля Pr=/a, определяющим меру отношения гид родинамического и теплового пограничных слоев, соотношение Le=D/a называют критерием Люиса, являющимся мерой отношения полей концентраций и температу ры в пограничном слое. Отношение PrD=/D называют диффузионным критерием Прадтля. Он определяет подобие гидродинамического и концентрационного слоев.

Для процесса теплообмена, не усложненного массообменом (чистый теплооб мен) и без учета массовых сил, структура критериального уравнения для расчета те плообмена имеет вид Nu=f(Re, Pr). Если ввести понятие «диффузионный» критерий Нуссельта в виде NuD=bL/D, то, исходя из аналогии уравнений диффузии и тепло обмена, можно предположить, что структура критериального уравнения для массо обмена будет подобна структуре уравнения для теплообмена, т.е. NuD=f(Re, PrD), при этом вид функциональной зависимости остается без изменений. Однако подоб ный прием может применяться только для приближенных, оценочных расчетов, по скольку уравнение теплоотдачи существенно отличается от уравнения массоотдачи.

Кроме того, отличаются и условия однозначности (наличие стефанового потока).

ТЕПЛО- И МАССООТДАЧА ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ПАРА ИЗ ПАРОГА ЗОВОЙ СМЕСИ Этот процесс имеет широкое приме нение, в частности, при расчете конден сационных устройств паросиловых уста новок. Наличие в паре неконденсирую щихся газов приводит к уменьшению ин тенсивности конденсации из-за затрудне ния доступа пара к поверхности пленки конденсата. На рис. 20.1. схематично по казано распределение парциального дав ления и температуры у поверхности Рис. 20.1. Распределение концентраций и пленки конденсата толщиной. Измене- температуры при конденсации пара из ние парциального давления от pп0 до pп пов парогазовой смеси вызывает изменение температуры от tп0 до tп пов, т.е. появляется разность температу ры пара tд, обусловленная диффузией. Кроме того, у поверхности пленки возникает разность температур tф, обусловленная фазовым переходом, и разность температур по толщине пленки конденсата tк, определяющая ее термическое сопротивление.

Плотность парового потока на поверхности пленки конденсата с учетом коэф фициента массоотдачи bp может быть записана как gп пов=bp(pп0-pп пов). Плотность теплового потока от пара к стенке состоит из плотностей конвективного потока теп лоты и теплоты, перенесенной массообменом q=( tп0-tп пов)+gп повiп пов, где – ко эффициент теплоотдачи. При конденсации пара на границе раздела фаз выделяется теплота фазового перехода r и вместе с конвективным тепловым потоком передается стенке через пленку конденсата. Пренебрегая теплотой переохлаждения конденсата, можно представить плотность теплового потока в виде q=(tп0-tст)+rbp(pп0-pп пов), или, используя суммарный коэффициент теплоотдачи, q= (tп0-tст). В этом выраже нии коэффициент теплоотдачи отнесен к полной разности температуры.

Суммарное термическое сопротивление переносу темплоты можно представить как сумму термических сопротивлений пленки конденсата, фазового перехода и диффузионного переноса теплоты вмести с массой пара, т.е. R=Rп+Rф+Rд. Этим сопротивлениям соответствуют разности температуры, сумма которых равна полной разности температуры, т.е. t=tп0-tст=tп+tф+tд.

В большинстве случаев термическим сопротивлением фазового перехода мож но пренебречь и определять температуру внешней поверхности пленки конденсата по температуре насыщения пара при давлении pп ст, т.е. tпов=tп пов. Тогда термические сопротивления пленки конденсата и диффузионного переноса массы могут быть представлены в виде Rп=1/к, Rд=1/[+rbp(pп0-pп ст)/(tп0-tпов)], где к – коэффициент [ ] теплоотдачи при конденсации чистого пара, – коэффициент теплоотдачи от парп газовой смеси к пленке конденсата. Тогда суммарный коэффициент теплоотдачи бу дет =1/{1/к+1/[+rbp(pп0-pп ст)/(tп0-tпов)]}.

[ ] Исследования массотдачи при конденсации пара из парогазовой смеси на оди ночных трубах и пучках труб позволили получить обобщенную зависимость для ко эффициента массоотдачи NuD=C Re0,8 D-1/3 г-0,6, где D=(pп ст.-pп0)/P – критерий парциального давления пара;

г=pп0/P – Относительное содержание конденсирую щегося компонента. Постоянная C=0,47 для одиночной трубки;

C=0,53 для первого ряда;

C=0,82 для следующих рядов. Это уравнение используется при 350Re4800.

При 40Re350 для глубинных рядов пучка труб можно использовать уравнение NuD=0,52 Re0,5 D-1/3 г-0,6. В этих уравнениях критерий Рейнолдса рассчитывается по скорости парогазового потока перед трубкой или перед рядом труб. Определяющий размер – диаметр трубки. Физические параметры смеси определяются по ее состоя нию перед трубкой. В частности коэффициент динамической вязкости смеси µсм = [(1-г)µп+1,6гµп]/(1+0,6г).

В практических расчетах конденсации пара из парогазовой смеси влиянием те плоотдачи от пара к пленке можно пренебречь, как и теплотой переохлаждения кон денсата. Тогда получается, что для расчета суммарного коэффициента теплоотдачи можно не учитывать, но надо знать парциальное давление пара у поверхности пленки конденсата pп пов. Оно существенно зависит от интенсивности диффузии, скорости стефанового потока и т.п. По нему определяется и температура поверхно сти пленки конденсата. Найти его можно итерациями из rbp(pп0-pп пов)=к(tп пов-tст).

ЛЕКЦИЯ 21. Нестационарная теплопроводность Процессы теплопроводности в случаях, когда поле температур изменяется в те ле не только по пространству, но и во времени, называются нестационарными. Зада чи нестационарной теплопроводности рассматривают процессы нагрева и охлажде ния тел, связанные с термонапряженным состоянием, т.е. с термическим напряже нием, возникающим в теле при его нагревании или охлаждении. Современный ин женер обязан разбираться в вопросах постановки и решения задачи нестационарной теплопроводности. Математическая постановка этой задачи включает в себя: диф ференциальное уравнение теплопроводности (Фурье) и условия однозначности ре шения для конкретной задачи. Рассмотрим особенности нагрева-охлаждения тел при граничных условиях третьего рода.

ТЕРМИЧЕСКИ ТОНКИЕ ТЕЛА Запишем граничные условия (ГУ) третьего рода в виде - (t/x)п=(tс-tп). Вве дем избыточную температуру 0=tс-tп, тогда t/n=-/n, и ГУ представляются в виде (/n)п=0.

Используя методы теории подобия получим обобщенную переменную, назы ваемую критерием Био Bi=(L)/=(L/)/(1/). По своему физическому смыслу кри терий Био является мерой отношения термического сопротивления теплопроводно сти тела к термическому сопротивлению теплоотдачи с поверхности тела. Предста вив N=n/L, получим (/N)n=0=Bi 0.

Если Bi0 (практически достаточно, чтобы Bi0,1), что имеет место при малых L, т.е. для тел с высоким коэффициентом теплопроводности (чаще всего, металлов), то из (/N)n=0=Bi 0 следует, что /N0. Получается, что градиент температу ры по толщине очень мал и им можно пренебречь. Тела, в которых градиентом тем пературы по толщине можно пренебречь называются термически тонкими телами.

Для термически тонкого тела (далее просто тонкого тела) изменение темпера туры при нагревании или охлаждении можно найти из уравнения теплового баланса.

Допустим, что тонкое тело нагревается внутренними источниками теплоты с объем ной плотностью тепловыделения qv и находится в среде с постоянной температурой.

Считаем коэффициент теплоотдачи с поверхности тела в среду тоже постоянным.

Объем тела V, его поверхность F. Тогда уравнение теплового баланса можно пред ставить в виде cV dt/d=qvV-F(t-tc), где c, – удельная объемная теплоемкость и плотность материала тела. По своему физическому смыслу левый член этого урав нения является изменением внутренней энергии тела. Первое слагаемое правой час ти – теплота, выделяемая внутренними источниками в объеме тела, второе – тепло та, отданная с поверхности тела в среду. В стационарном состоянии изменения внутренней энергии нет, и из указанного уравнения получаем установившуюся тем пературу тела в конце процесса нагревания qvV=F(tуст-tc). Подставим полученное выражение в исходное уравнение баланса и разделим обе части уравнения на (tуст-tc).

Обозначим =(tуст-t)/(tуст-tc). Тогда уравнение cV dt/d=qvV-F(t-tc) приобретает вид -d/d=(F)/(cV), где m=(F)/(cV) называется темпом нагрева (охлаждения) тела. При постоянных теплофизических свойствах тела и постоянном коэффициенте теплоотдачи темп нагрева также является постоянным. Разделив переменные в -d/d=(F)/(cV), получим при постоянном темпе нагрева =e-m.

Таким образом, при нагревании тонкого тела внутренними источниками тепло ты в среде с постоянной температурой при постоянном темпе нагрева относительная избыточная температура изменяется по экспоненте. Прологарифмировав ее, имеем ln()=-m, откуда следует, что в полулогарифмических координатах график нагрева тонкого тела представляется прямой линией с тангенсом угла наклона к оси, рав ном темпу нагрева.

Тепловой баланс тонкого тела при охлаждении от некоторой температуры tуст в среде с постоянной температурой можно записать в виде -cV dt/d=F(t-tc), т.е.

уменьшение внутренней энергии тела равно тепловому потоку, отданному с поверх ности тела в среду. При относительной избыточной температуре тела в виде =(t-tс)/(tуст-tc) уравнение -cV dt/d=F(t-tc) превратится в -d/d=(F)/(cV).

Следовательно, решение уравнения -cV dt/d=F(t-tc) совпадает с решением урав нения -d/d=(F)/(cV) и все, сказанное выше для процесса нагрева, справедли во для процесса охлаждения тонкого тела.

Если в процессе нагрева или охлаждения тонкого тела коэффициент теплоот дачи оказывается переменным, то график изменения ln() от оказывается нели нейной зависимостью. Тогда, проведя касательную к графику в определенной точке (при 1), можно определить локальный темп нагрева (охлаждения) как тангенс угла наклона к оси.

Метод нагревания-охлаждения тонкого тела в среде с постоянной температурой эффективно используется для определения коэффициента теплоотдачи тел разной формы.

НАГРЕВ И ОХЛАЖДЕНИЕ ТЕРМИЧЕСКИ ТОЛСТЫХ ТЕЛ.

НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА Напомним, что неограниченной пластиной называется тело, у которого один размер конечный, а два других – бесконечно велики. Рассмотрим задачу определе ния температурного поля и количества аккумулированной теплоты при нагреве пла стины от начальной температуры t0 в среде с постоянной температурой tct0 при по стоянном коэффициенте теплоотдачи и постоянных ТФХ материала.

Допустим, что толщина пластины равна 2R, а нагрев симмет ричный, т.е. температура среды и интенсивность теплообмена с обе их сторон пластины одинаковы. Разместим начало координат в цен тре пластины (рис. 21.1), а ось x направим нормально к поверхности пластины. В этом случае математическую формулировку задачи можно представить так. Отыскивается решение уравнения теплопро водности t/=a 2t/x2 в области 0xR, 0, с ГУ: t/x=0 при x=0, (t/x)=(tс-t) при x=R, начальное условие (НУ): t=t0 при =0.

Перейдем от температуры t к избыточной температуре =tс-t.

Легко показать, что тогда уравнение t/=a 2t/x2 превращается в /=a /x, НУ и ГУ будут представлены в виде =0 =0=tс-t0, 2 x=0 /x=0, -(/x)=. Для решения этих уравнений используем Рис. 21.1. Сим метод разделения переменных (метод Фурье), для чего представим метричный на избыточную температуру в виде (x,)=1() 2(x). Тогда уравнение грев пластины при ГУ-III /=a /x представляется в виде 1()/1()=a2(x)/2(x)=-ak2.

2 Таким образом, из /=a 2/x2 получаем систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений: 1()=-ak2, 2(x)=-k22(x).

Общее решение первого уравнения системы имеет вид 1()=-Ce-ak, где C – постоянная интегрирования.

Общее решение второго уравнения системы может быть представлено как 2(x)=Acos(kx)+Bsin(kx).

Таким образом, общее решение уравнения /=a 2/x2 на основе метода разделения переменных представляется в виде (x,)=[Acos(kx)+Bsin(kx)] e-ak, где [ ] A, B и k – неизвестные постоянные, кото рые должны быть определены на основе краевых условий задачи.

Из x=0 /x=0 следует, что B0. То гда решение превращается в (x,)= -ak Acos(kx)e. Сократив подобные члены в этом уравнении и обозначив µ=kR и Bi=(/L)/, после несложных преобразова ний получим уравнение для определения постоянной интегрирования k или µ в виде µµ ctg(µ)=µ/Bi. Для решения этого уравнения обозначим его левую часть через y1, а пра вую – y2. Построим графики зависимостей y1 и y2 от µ (рис. 21.2). Первое уравнение дает котангенсоиду, второе – прямую с уг лом наклона к оси µ, пропорциональным 1/Bi. Точки пересечения графиков y1 и y дадут значения корней уравнения Рис. 21.2. Схема решения уравнения µµ ctg(µ)=µ/Bi. Из периодичности котангенса µµ ctg(µ)=µ/Bi выходит, что это уравнение имеет беско нечное число корней, которые удовлетворяют соотношению µ1µ2µ3…. Очевид но, что в силу этого неравенства существует бесконечное число частных решений вида (x,)= Acos(kx)e-ak, а общее решение уравнения /=a 2/x2 должно быть записано как сумма частных решений. Получаем (x,)= An cos(µ n x / R )e µ Fo, где n n = Fo=a/R, критерий Фурье (критерий временного подобия).

Для определения постоянных An используем начальное условие =0 =0=tс-t0.

An cos(µ n x / R) =0.

Откуда получаем Умножим обе части этого равенства на n = µ cos(µmx/R)dx и проинтегрируем по x от 0 до (в силу симметрии задачи). Приняв в внимание очевидное соотношение cos(a) cos(b)=0,5[cos(a-b)+cos(a+b)], при µnµm An cos(µ n x / R) =0, интеграл, стоящий в левой части можно представить в виде n = R I= cos(µ n x / R ) cos(µ m x / R)dx, I=0,5[R sin(µn-µm)/(µn-µm)+R sin(µn+µm)/(µn+µm)], или µµ µµ µµ µµ µµ µµ после несложных преобразований, учитывая ctg(µ)=µ/Bi, получаем что I=R/(µ2n-µ2m) µ µ µµ µ µ µµ [µnsin(µn)cos(µm)-µmsin(µm)cos(µn)]. Очевидно, что на основании ctg(µ)=µ/Bi все ин тегралы, стоящие под знаком суммирования, равняются нулю, за исключением од R An cos 2 (µ n x / R )dx =AnR/(2µn)[µn+ µn=µm.

µ µµ ного, когда Его легко вычислить An cos(µ n x / R) =0, по µ µ sin(µn)cos(µn)]. А интеграл, который стоит в правой части n = µ сле умножения ее на становится достаточно тривиальным cos(µnx/R)dx R 0 cos(µ m x / R )dx =0 R/µn sin(µn). Тогда An=0 2sin(µn)/[µn+sin(µn)cos(µn)]. Обозна µ µ µµ µ µ чив =[t(x,)-t0]/(tc-t0), после несложных преобразований получим окончательное решение поставленной задачи = 1 An cos(µ n x / R)e µ Fo, в котором An называют n n = начальными тепловыми амплитудами, зависящими от Bi и порядкового номера.

µµ µ µ An=0 2sin(µn)/[µn+sin(µn)cos(µn)]. Надо отметить, что разница между двумя корня ми уравнения ctg(µ)=µ/Bi при увеличении номера приближается к. Поэтому An µµ знакопеременны и A10.

Проведем некоторый анализ полученного выражения.

1. Допустим, что Bi (достаточно, чтобы Bi100). Тогда из ctg(µ)=µ/Bi следу µµ ет, что его корнями являются корни косинуса, т.е. µn=(2n-1)/2, а начальные тепло [ ] вые амплитуды знакопеременны и не зависят от Bi, т.е. An=(-1)n-1 4/[(2n-1))]. В этом случае скорость нагрева пластины /=a/R2 (1) n (2n 1) cos(µ n x / R)e µ Fo n n = пропорциональна коэффициенту температуропроводности и обратнопропорцио нальна квадрату размера пластины.

µµ 2. Допустим, что Bi0 (достаточно, чтобы Bi0,1). Тогда из ctg(µ)=µ/Bi имеем, что µ10, а последние корни µn(n-1). Из An=0 2sin(µn)/[µn+sin(µn)cos(µn)] сле µµ µ µ дует, что A11, а последние начальные тепловые амплитуды An0. Из ctg(µ)=µ/Bi µµ имеем, что при малых Bi с достаточной точностью µ 1Bi. Тогда =1-e-BiFo, т.е.нагрев пластины подчиняется закономерности нагрева термически тонкого тела с темпом нагрева m=/(cR).

ЛЕКЦИЯ 22. Нагрев цилиндра. Регулярный режим.

Рассмотрим процесс нагрева неограниченного сплошного цилиндра с внешним радиусом R от начальной температуры t0 в среде с постоянной температурой tсt при постоянном коэффициенте теплоотдачи с боковой поверхности цилиндра, как по периметру, так и по высоте цилиндра.

Введя в рассмотрение, как это было сделано ранее, избыточную температуру (r,)=tс-t(r,), математическую формулировку задачи можно представить в сле дующем виде.

Отыскивается решение уравнения /=a(2/r2+(1/r)/r) в области 0rR, 0 с начальными условиями =0, =0=tс-t0, и граничными условиями r=0, /r=0;

r=R, -(/r)=.

Используем, как и в предыдущей лекции, метод Фурье (разделения перемен (r,)=1()2(r).

ных). Будем считать, что Тогда уравнение /=a( /r )+(1/r)(/r) 2 может быть представлено в виде 1/1=a(2+(1/r)2)/2=-ak.

Как и в случае для пластин, из последнего уравнения имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения 1+ak21=0, 2+(1/r)2+k22=0. Общее решение первого из этих уравнений известно из предыдущей лекции 1()=Ae-ak. Второе уравнение является уравнением Бесселя нулевого порядка. Его общее решение име ет вид 2(r)=AJ0(kr)+BY0(kr), где J0(kr), Y0(kr) – функции Бесселя соответственно первого и второго рода нулевого порядка, имеющие вид J0(kr)=1 Y0(kr)=[ln(kr/2)+] [ (kr)2/(2)2+(kr)4/(24)2-(kr)6/(246)2+…, J0(kr)+(kr)2/(2)2 (1+1/2)(kr)4/(24)2+(1+1/2+1/3) (kr)6/(246)2+…, где – постоянная Эйлера.

Общее решение поставленной задачи: (r,)=1()2(r)=[AJ0(kr)+BY0(kr)] e-ak.

[ ] Постоянные интегрирования A, B и k определяются из краевых условий. Из ус ловия r=0, /r=0, учитывая, что J0(kr)=-kJ1(kr), Y0(kr)=-kY1(kr), и при r0, Y1-, а J10 имеем, что B0. Тогда общее решение превращается в.

Используем условие r=R, -(/r)=. Получим, учитывая производную от Бесселевой функции первого рода нулевого порядка AkJ1(kR) e-ak =AJ0(kR)e-ak 2 µ или, сократив полученное уравнение и обозначив kR=µ, а Bi=R/ (как и раньше), µ/Bi=J1(µ)/J0(µ).

µ µ Полученное уравнение аналогично уравнению для неограниченной пластины, только вместо котангенса стоит отношение функций Бесселя перого рода первого и нулевого порядков. Исходя из представленного выше выражения функции Бесселя первого рода нулевого порядка, можно легко вычислить функцию Бесселя первого порядка, откуда вытекает, что функция Бесселя первого рода нулевого порядка ана логична косинусу (но с переменным периодом и уменьшающейся амплитудой), а та µ µ же функция первого порядка аналогична синусу. Т.е. график функции J1(µ)/J0(µ) подобен графику котангенса. Очевидно, что решение уравнения µ/Bi=J1(µ)/J0(µ) по-µ µ добно решению аналогичного характеристического уравнения неограниченной пла стины и имеет бесконечное множество корней, удовлетворяющих соотношению µ1µ2µ3…, в силу которого существует бесконечное число частных решений уравнения /=a(2/r2)+(1/r)(/r) вида (r,)=AJ0(kr)e-ak, и общее решение будет: (r,)=, где постоянные интегрирования An подлежат определению.

Принимая во внимание ортогональность функций Бесселя с весом r, запишем начальное условие =0, =0=tс-t0 для последнего общего решения и умножим обе µ части уравнения на rJ0(µmr/R)dr и про интегрируем от 0 до R. В итоге получим R R rAn J 0 (µ n r / R) J 0 (µ m r / R)dr = 0 rJ 0 (µ m r / R)dr. При µmµn интеграл, стоящий в левой µ n =1 0 части этого уравнения, равен нулю (в соответствии с ортогональностью функций Бесселя и µ/Bi=J1(µ)/J0(µ)). Тогда после интегрирования при µm=µn получаем µ µ µ An=02J1(µn)/{µn[J0(µn) +J1(µn) ]}=02Bi/[J0(µn)(µ n+Bi )]. Подставим полученное µµ µ µ µµ 2 2 2 и обозначим =[t(r,)-t0]/(tc-t0), получим:

значение An в (r,)=AJ0(kr)e -ak = 1 An J 0 (µ n r / R )e µ n Fo, где начальные тепловые амплитуды n = µµ µ µ µµ An=2J1(µn)/{µn[J0(µn)2+J1(µn)2]}=2Bi/[J0(µn)(µ2n+Bi2)].

Проведем некоторый анализ этого уравнения. Допустим, что Bi (достаточ но, чтобы Bi100). Тогда из уравнения µ/Bi=J1(µ)/J0(µ) вытекает, что его корнями µ µ µ являются J0(µ), не зависящие от Bi. Скорость нагрева цилиндра в этом случае, как и при нагревании пластины, пропорциональна коэффициенту теплопроводности и об ратно пропорциональна квадрату радиуса цилиндра.

Допустим, что Bi0 (достаточно, чтобы Bi0,1). Тогда из µ/Bi=J1(µ)/J0(µ), учи µ µ тывая разложение в ряд функций Бесселя, получим, что µ1(2Bi), а последние кор 0, µ ни этого уравнения совпадают с корнями J1(µ). Начальные тепловые амплитуды A1=1, A2=A3=…=0. Решение = 1 An J 0 (µ n r / R )e µ Fo, учитывая, что при малом n n = µ1 J0(µ1r/R)=1, превращается в =1-e µ -2BiFo, что соответствует нагреву «тонкого те ла», а темп нагрева цилиндра при тех же условиях в два раза выше, чем пластины.


Для определения количества теплоты, аккумулированной единицей длины ци линдра, используем очевидное соотношение: Q=cR2(tсредн-t0)=cR2средн(tс-t0).

R Среднюю относительную температуру цилиндра найдем как средн= r(r )dr.

R После интегрирования получим: средн=1 Bn e µ Fo, n n = µµ µµ /[µn2(µn2+Bi2)].

где Bn=2J1(µn)/µn An=4Bi НАГРЕВ ЦИЛИНДРА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ Рассмотрим нагрев цилиндра радиуса R высотой 2H от начальной температуры t0 в среде с температурой tс при постоянной интенсивности теплообмена на всех по верхностях. Поместим начало координат в центре цилиндра. Ось r направим нор мально к боковой поверхности цилиндра, ось совместим с осью цилиндра. Матема тическая формулировка задачи для избыточной температуры =tс-t может быть представлено в виде:

отыскивается решение уравнения /=a(2/r2+(1/r)/r+2/z2) в области 0rR, 0zH, 0 с начальным условием (r,z,0)=0=tс-t0, и граничными условиями (0,z,)/r=0 (симметрия по r);

(r,0,)/z=0 (симметрия по z);

-[(R,z,)/r] = [ ] (R,z,);

-[(r,H,)/r] = (r,H,).

[ ] Докажем, что решение поставленной задачи может быть найдено как произве дение решений для неограниченного цилиндра и для неограниченной пластины. Т.е.

(r,z,)=tс-t(r,z,)=1(r,)2(z,), где 1(r,)=tс-t(r,), 2(z,)=tс-t(z,).

Подставим (r,z,)=1(r,)2(z,) в /=a( /r +(1/r)/r+2/z2) и учиты 2 вая, что 1(r,) является решением для неограниченного цилиндра, а 2(z,) – для неограниченной пластины, после дифференцирования получим:

[1/-a(21/r2+(1/r)1/r)]2+[2/-a 22/z2]1=0.

] Выражения, которые стоят в квадратных скобках, равны нулю, поскольку они представляют собой дифференциальные уравнения для неограниченного цилиндра и пластины соответственно. Значит, выражение (r,z,)=1(r,)2(z,) является реше нием начального уравнения. Рассмотрим, как оно удовлетворяет граничным услови ям. Для этого подставим его в (0,z,)/r=0. Получим (1(0,)/r) 2(z,)=0. Для удовлетворения этому условию при любых значениях z надо чтобы 1(0,)/r=0. Это выражение являетсяусловием симметрии для неограниченного цилиндра.

Подставим (r,z,)=1(r,)2(z,) в -[(R,z,)/r]=(R,z,). Получаем [ ] -[1(R,)/r]2(z,)=1(R,)2(z,). Сократив на 2(z,)0, получаем ГУ для неог [ ] раниченного цилиндра.

Поступив так же с другими ГУ, получим, что 2(z,) удовлетворяет ГУ для не ограниченной пластины.

Таким образом, (r,z,)=1(r,)2(z,) являетсярешением для цилиндра конеч ной длины. Перейдя к относительнойбезразмерной температуре, получаем в развер (r, z, ) = 1 An J 0 (µ n r / R)e µ Fo Am cos(µ m z / H )e µ 2 Fo H нутом виде: где, n R m n =1 m= 2 FoR=a/R, FoH=a/H.

Иначе полученное решение можно записать (r, z, ) = 1 An Am J 0 (µ n r / R ) cos(µ m z / H )e (µ + µ 2 R 2 /H 2 )Fo R n m n =1 m = АНАЛИЗ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ Сравнивая решения задачи нестационарной теплопроводности пластины и ци линдра, можно отметить, что общая структура решения в относительных температу рах одинакова и отличается только выражением начальных тепловых амплитуд и базовыми функциями, используемыми в решении (косинус – для пластины, функция Бесселя – для цилиндра). Поэтому в общем виде решение задачи нестационарной теплопроводности можно представить как (, ) = An (µ n / R )e µ Fo, где An – n n = начальные температурные амплитуды, (µn/R) – базовая функция задачи, опреде µ ляющая распределение температуры по координате, R – характерный размер тела, µn – корни соответствующего характеристического уравнения, подчиняющиеся не равенству µ1µ2µ3…. В связи с этим, каждый следующий член равенства (, ) = An (µ n / R )e µ Fo с течением времени нагрева (критерия Fo) будет су n n = щественно меньше предыдущего. Поэтому, начиная с некоторого момента времени (значения Fo=Fo1), в этом равенстве можно ограничиться только первым членом ря да и представить решение как (, ) = A1 (µ1 / R )e µ Fo. Логарифмируя, получим [ ] 2 a ln[(, )] = ln A1 (µ1 / R )e µ Fo µ1 2.

R Из полученного выражения следует, что зависимость логарифма избыточной температуры от времени при FoFo1 представляется прямой линией с углом накло на, независящим от координаты тела. Следовательно, весь процесс нагрева (или ох лаждения) тела можно разделить на три стадии. Первая стадия FoFo1 – неурегули рованный (нерегулярный) режим, характеризуемый тем, что на этой стадии нагрева температурное поле существенно зависит от начального распределения температу ры в теле. Любая неравномерность в начальном распределении температуры отра жается на температурном поле тела. Вторая стадия (при FoFo1) характеризуется тем, что зависимость относительной избыточной температуры от времени описыва ются простой экспонентой. Эту стадию называют регулярным режимом. Распре деление температуры в теле описывается базовой функцией и не зависит от началь ного распределения температуры. Третья стадия – стационарный режим, при кото ром температура тела равна температуре среды. В стадии регулярного режима, если [ ] 2 a продифференцировать ln[(, )] = ln A1 (µ1 / R )e µ Fo µ1 2 по времени, получим R µ 2 d[ln()]/d=-µ1 a/R =-m, где m – темп нагрева (охлаждения) тела. Для тел простых форм темп нагрева (охлаждения) пропорционален первому корню характеристиче ского уравнения (зависит от критерия Bi) и температуропроводности и обратно про порционален квадрату характерного размера тела. Эта закономерность позволила, в частности, разработать методы регулярного режима для оперативного определения теплофизических характеристик различных материалов.


ЛЕКЦИЯ 23. Основы расчета теплообменных аппаратов КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ Теплообменные аппараты – это устройства, в которых происходит нагрев одно го теплоносителя за счет теплоты, отбираемой у другого теплоносителя. По принци пу действия эти аппараты подразделяются на рекуперативные, регенеративные, сме сительные и аппараты с тепловыделяющими элементами (ТВЭЛ).

Рекуперативные – это аппараты, в которых горячий и холодный теплоноситель одновременно протекают через аппарат, а их потоки разделены твердой стенкой.

Такие аппараты широко распространены в технике и быту, а их примером является батарея отопительной системы.

Регенеративные – это аппараты, в которых одна и та же поверхность теплооб мена попеременно омывается то горячим, то холодным теплоносителем. При этом сначала поверхность аппарата аккумулирует теплоту горячего теплоносителя и на гревается, а потом отдает теплоту холодному теплоносителю и охлаждается. При мером подобных устройств являются воздухонагреватели доменных печей.

Смесительные – это аппараты, в которых происходит смешивание горячего и холодного теплоносителей. Примером такого аппарата является деаэратор системы регенеративного подогрева питательной воды турбоустановок, в котором смешива ются холодная питательная вода и водяной пар. Пар конденсируется, отдает теплоту фазового перехода и нагревает воду.

Аппараты с ТВЕЛ – это устройства, в которых теплоноситель охлаждает по верхность элемента, в котором происходит тепловыделение. Простым примером та кого аппарата является электрический чайник. В энергетике – это ядерные реакторы.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОВОГО РАСЧЕТА Различают конструктивный (проектный) и поверочный расчеты теплооб менных аппаратов. Целью конструктивного расчета является определение необхо димой площади поверхности переноса теплоты при заданном тепловом потоке и па раметрах теплоносителей на входе в аппарат. При поверочном расчете известна по верхность переноса теплоты и ее компоновка, а целью расчета является определение теплового потока, передаваемого аппаратом, при заданных расходах теплоносителей и их начальных параметрах. Независимо от конструкции теплообменного аппарата и типа расчета в основе теплового расчета лежат одни и те же уравнения. Это уравне ние теплового баланса и уравнение теплопередачи.

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА Полное изменение энтальпии теплоносителя вследствие теплообмена Q [Дж/с или Вт] определяется при постоянном массовом расходе теплоносителя G [кг/с] оп ределяется как Q=G(i''-i'), где i'' и i' – удельные энтальпии [Дж/кг] на входе и выходе.

Обозначив энтальпию горячего теплоносителя i1, а i2 – холодного, запишем уравнение теплового баланса (при отсутствии потерь теплоты в окружающую среду) Q=G1(i'1-i''1)=G2(i''2-i'2). Если в процессе теплообмена не происходит изменения агре гатного состояния теплоносителей, то это уравнение можно представить в виде Q=G1cp1(t'1-t''1)=G2cp2(t''2-t'2), где cp1 и cp2 – удельные теплоемкости теплоносителей, средние в данном диапазоне температур. Произведение расхода теплоносителя на его удельную теплоемкость Gcp=C [Вт/К] называют теплоемкостью массового рас хода теплоносителя, расходной теплоемкостью или водяным эквивалентом. Обозна чив C1=G1cp1, C2=G2cp2, получаем C1(t'1-t''1)=C2(t''2-t'2) или в безразмерном виде C1/C2=(t''2-t'2)/(t'1-t''1)=t2/t1. Это выражение показывает, что отношение расходных теплоемкостей обратно пропорционально отношению разностей температур тепло носителей. Это справедливо как для конечной разности температуры, так и для бес конечно малой, т.е. C1/C2=dt2/dt1.

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ Уравнение теплопередачи связывает тепловой поток с площадью поверхности переноса теплоты. Для элемента поверхности теплообменника оно может быть за писано в виде dQ=k(t1-t2)df, где k – коэффициент теплопередачи на элементарной площади поверхности df, t1-t2 – разность температур теплоносителей на этой по верхности (текущий температурный напор). Полный тепловой поток можно полу чить, если проинтегрировать это выражение по всей поверхности теплообменника F Q= k (t1-t2)df.

Определение теплового потока по последнему выражению требует задания за кона изменения по поверхности коэффициента теплопередачи и температурного на пора. Чаще всего в расчет вводится некоторый средний по поверхности коэффици ент теплопередачи, определяемый как kсредн=(k1F1+…+knFn)/Fi, где ki – коэффици ент теплопередачи на поверхности Fi, представляющей собой некую часть поверх ности F.

F Заменив в Q= k (t1-t2)df локальное значение k на его среднее значение и исполь 1F F или Q=kсреднtсреднF, где зуя теорему о среднем, получаем Q=kсредн (t1 - t 2 )df F 0 1 F средний температурный напор tсредн= (t1 - t 2 )df.

F 0 ЛЕКЦИЯ 24. Средний температурный напор. Поверочный тепловой расчет теплообменных аппаратов.

1F Для определения среднего температурного напора по tсредн= (t1 - t 2 )df на F 0 до иметь распределение температуры теплоносителей вдоль поверхности теплооб мена. Это распределение зависит от схемы течения теплоносителей. Существует три простые схемы течения, представленные на рис. 24.1. Комбинируя эти схемы произ вольным образом можно получить достаточно сложные схемы течения.

Рассмотрим определение средней раз ности температур на примере прямоточно го течения теплоносителей. Допустим, что распределение температур теплоносителей по поверхности теплообмена соответствует данным, приведенным на рис. 24.2. Рис. 24.1. Основные схемы течения Выделим элементарную поверхность теплоносителей: а – прямоток, б – переноса теплоты df и из C1(t'1-t''1)=C2(t''2-t'2) противоток, в – перекрестный поток определим изменение температуры каждого теплоносителя на этой поверхности. dt1=-dQ/C1, dt2=dQ/C2. Полное измене ние температурного напора на поверхности df можно опре делить как dt=dt1-dt2 или dt=-dQ(1/C1+1/C2). Обозначив величину в скобках как m, получаем, учитывая dQ=k(t1-t2)df, что dt=-ktmdf. Разделив переменные в этом выражении, проинтегрируем по t от t1 до текущего значения и по f от 0 тоже до текущего значения. Получим, учитывая, что k и m Рис. 24.2. Изменение величины постоянные, ln(t/t1)=-kmf. Потенцируя полу- температур теплоно ченное выражение, получим изменение температурного на- сителей вдоль по верхности теплооб пора вдоль поверхности теплообмена t=t1e-mkf.

Таким образом, вдоль поверхности теплообмена темпе- мена при противотоке ратурный напор изменяется по экспоненциальному закону. При прямотоке, учиты вая, что m=(1/C1+1/C2) величина положительная, температурный напор уменьшается вдоль поверхности теплообмена. Имея распределение температурного напора по по верхности теплообмена t=t1e-mkf, определим средний температурный напор из 1F 1F tсредн= (t1 - t 2 )df. Для этого подставим t=t1e в tсредн= (t1 - t 2 )df и уч -mkf F F 0 0 тем, что в конце поверхности теплообмена (т.е. при f=F) t=t2. Получаем, что F mkf tсредн=(t1/F) e df =(t1-t2)/ln(t1/t2). Т.е., средний температурный напор оп ределяется, как средне-логарифмический между напорами на входе и выходе.

Для противотока выражения dt1=-dQ/C1 и dt2=dQ/C2, учитывая, что по поверх ности аппарата температура, как горячего, так и холодного теплоносителей умень шается, запишутся в виде dt1=-dQ/C1 и dt2=-dQ/C2. Очевидно, что m=(1/C1-1/C2) мо жет быть как положительной величиной (при C1C2), так и отрицательной, а также равной нулю (при C1=C2). Распределение температурного напора при этом подчиня ется зависимости t=t1e-mkf, но при отрицательном m температурный напор увели чивается вдоль поверхности теплообмена, а при m=0 остается постоянным. Средний температурный напор определяется также выражением tсредн=(t1-t2)/ln(t1/t2), где под t1 и t2 подразумевается больший и меньший из температурных напоров на входе или выходе из аппарата. Таким же способом средний температурный напор определяется и для перекрестной схемы течения теплоносителей.

Для сложных схем течения теплоносителей сначала определяется средний тем пературный напор для наиболее характерной простой схемы течения (прямоток или противоток), а потом с помощью номограмм, приводимым в справочной литературе, находится поправка на конструктивные особенности данной схемы. Окончательно расчетный средний температурный напор определяется как tсредн.сл.=tсредн.пр.

ОСОБЕННОСТИ ПОВЕРОЧНОГО ТЕПЛОВОГО РАСЧЕТА Конструктивный расчет теплообменных аппаратов выходит за рамки данного курса. Остановимся только на анализе особенностей поверочного теплового расчета.

Как указывалось выше, при поверочном расчете теплообменного аппарата известна компоновка поверхности теплообмена, расходы теплоносителей и их параметры на входе в аппарат. Определению подлежат передаваемый тепловой поток и параметры теплоносителей на выходе из аппарата. Таким образом, есть система двух уравнений (теплового баланса и теплопередачи) с тремя неизвестными. Решение такой задачи может проводиться только методом последовательного приближения.

На основе анализа работы подобных аппаратов принимается температура на выходе одного из теплоносителей, из уравнения теплового баланса определяется температура на выходе другого теплоносителя, рассчитывается теплообмен в аппа рате по средним температурам теплоносителей. По уравнению теплопередачи опре деляется тепловой поток, который может быть передан в данных условиях через за данную поверхность теплопередачи. При несовпадении теплового потока, получен ного из уравнения теплового баланса (для принятой температуры на выходе одного из теплоносителей) и определенного из уравнения теплопередачи, надо принять но вое значение температуры на выходе теплоносителя и повторить расчет. Может по надобиться несколько приближений расчета для достижения необходимой точности.

Есть возможность существенно уменьшить расход времени на последователь ные приближения. Допустим, что температурный напор в аппарате изменяется мало (по крайней мере, t1/t22), что чаще всего имеет место для аппаратов с противо точной схемой течения теплоносителей. Тогда можно записать tсредн=t1средн t2средн=(t'1+t''1)/2-(t''2+t'2)/2. Из уравнения теплового баланса выходит, что t''1=t'1-Q/C1 и t''2=t'2+Q/C2. Тогда tсредн=t'1-t'2-Q[1/(2C1)+1/(2C2)]. Подставим сюда выражение tсредн=Q/(kF) и решим относительно Q. Получим Q=(t'1-t'2)/[1/(kF)+1/(2C1)+1/(2C2)].

Использовать полученное можно так. По параметрам теплоносителей на входе рас считывается теплообмен в аппарате и коэффициент теплопередачи. Вычисляется Q, а из теплового баланса – температуры теплоносителей на выходе. Определяются средние температуры теплоносителей, уточняется, находится средний темпера турный напор и уточняется тепловой поток. В этом случае хватает одного прибли жения.



Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.