авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |

«ШЕМЯКОВ Н.Ф. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ Ч 1. Физические основы механики; Колебания и волны; Молекулярная физика и ...»

-- [ Страница 2 ] --

Поэтому, остатся только сумма всех внешних сил, т. е.

d vc (23) F m тела dt m тела а с или (24) F.

Формулу (24) называют уравнением движения центра инерции.

Центр масс механической системы движется, как двигалась бы м. т., в которой сосредоточена вся масса тел системы, под действием результирующей внешних сил, приложенных к м. т., входящим в систему.

Если система замкнута, то сумма всех внешних сил равна нулю:

d m тела v c 0;

dt m тела v c const, если m = const, то v c const.

Замечание: Скорость ц. и. определяется полным импульсом механической системы, поэтому перемещение ц. и. характеризует движение этой системы как единого целого. Этот вывод согласуется с законом инерции Галилея (для свободных тел).

Выводы о движении ц. и. позволяют широко использовать их при решении задач механики, поскольку уменьшают число уравнений, необходимых для решения задачи. Коэффициент пропорциональности m между импульсом и скоростью ц. и. равен сумме масс отдельных частиц, поэтому имеет смысл массы всей системы. В этом и заключается закон аддитивности масс. Для однозначного определения движения тела (м. т.) к уравнениям движения необходимо добавить начальные условия. В зависимости от положения и скоростей тел их движения могут сильно отличаться друг от друга: тело может описывать параболу, двигаться вверх или вниз по прямой относительно поверхности Земли и т. д. Движения выглядят неодинаково потому, что законы Ньютона описываются дифференциальными уравнениями, а этого недостаточно, Для этого и нужны начальные условия.

1.13. Закон всемирного тяготения Ярким примером триумфального успеха классической физики явилось открытие И.

Ньютоном закона всемирного тяготения в 1687 г. Используя законы движения планет Солнечной системы, установленные Кеплером, Ньютон открыл фундаментальный закон, который проявляется в виде сил притяжения между телами (рис. 6).

Сила притяжения двух м. т. прямо Рис. пропорциональна произведению масс взаимодействующих м. т. и обратно пропорциональна квадрату расстояния Mm F между ними:, (25) r где – гравитационная постоянная.

В векторном виде сила тяготения, Mm r F21 (26) r2 r r – единичный вектор, где F21, знак « » в формуле (26) F12 F21, F r показывает, что вектор r противоположно направлен вектору F 21.

Замечание: 1. Закон справедлив для м. т. или тел сферической симметрии с однородным распределением массы по объему.

2. Силы притяжения существенны для тел больших масс (космических размеров): планет;

звзд, галактик, «чрных дыр» и т. д., играют важную роль во Вселенной.

3. Силы односторонние (притяжения), центрально-симметричные. 4.

Радиус действия сил притяжения колеблется от размеров ядер до тел космических масштабов.

1.14. Полевые взаимодействия Взаимодействие между телами осуществляется полями. Тело массы М возбуждает в окружающем пространстве гравитационное поле, которое проявляется в виде действия на тело массы m силы (частный случай – молекулярные силы;

наблюдается слипание образцов).

Поля могут существовать самостоятельно, независимо от возбудивших его материальных тел (электромагнитные волны). Но не имеет смысла говорить о механических силах, действующих на различные силовые поля. В связи с этим по отношению к силовым полям третий закон Ньютона не выполняется. На тело действует сила со стороны поля, но нет силы противодействия.

Однако закон сохранения импульса распространяется и на поля.

Импульс поля проявляется в изменении импульса тела, излучившего или поглотившего энергию поля. При излучении тело теряет импульс, уносимый полем, а при поглощении тело получает импульс за счт поглощаемой энергии поля. Например, опыты П. Н. Лебедева по обнаружению давления света (давление солнечного ветра на «хвосты» комет).

1.15. Напряжнность поля тяготения По современным представлениям любое тело возбуждает в пространстве вокруг себя гравитационное поле.

Гравитационное поле – особая материальная среда, в которой проявляется воздействие на другие внеснные тела (физические приборы).

Таким образом, все гравитационные взаимодействия между телами осуществляются посредством поля тяготения.

Передача взаимодействия происходит со скоростью света (согласно теории Эйнштейна, однако по современным данным гравитационное взаимодействие происходит со скоростью на пять порядков больше, чем скорость света).

Полагают, что существуют особые частицы (гравитоны), которые и ответственны за взаимодействие гравитационных полей.

Любое изменение массы тел например, при взрывах сверхновых звезд) сопровождается возбуждением мощных гравитационных волн.

Количественной мерой поля тяготения является напряженность Рис. F E E F m или M r E. (27) r2 r И по модулю М/ r2.

Е= (28) Так как в формулах (27) и (28) отсутствует m, т. е. второе тело, то r – расстояние до той точки поля, в которой определяется напряженность поля тяготения, созданного телом массы М (рис. 7).

В качестве примера найдм напряжнность гравитационного поля на поверхности Земли, если Мз 5,98 1024 кг, Rз 6,37 106 м, Тогда 5,98 6,67 10 м Е 9,81.

62 с 6,37 Следовательно, напряжнность поля тяготения на поверхности Земли – ускорение свободного падения, Е = g.

Земля сплюснута с полюсов примерно на 21 км.

Ускорение силы тяжести меняется с широтой:

gполюс = 9,83 м/с2, gэкв = 9,78 м/с2, g = 0,05 м/с2, ( g = 0,03 м/с за счт вращения Земли, g = 0,02 м/с2 за счт деформации).

На рис. 8 приведн график зависимости g(r) в поле тяготения Земли.

Из графика видно, что зависимость g(r) сложная, особенно по мере удаления Рис. от поверхности Земли к ее центру (от мантии до твердого ядра Земли).

На границе мантии с жидким ядром хорошо виден скачок g в сторону увеличения.

По мере удаления от поверхности Земли g убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.

1.16. Сила тяготения. Сила тяжести. Вес тел Для неподвижного наблюдателя на тело, находящееся на поверхности Земли для произвольной широты (например, для Красноярска широтный = 56о ), действуют сила тяготения F и нормальная реакция опоры N угол (из-за малости угла между векторами F и G реакция опоры N проведена не перпендикулярно к поверхности Земли).

Результирующую этих сил Fцс называют центростремительной, которая сообщает телу нормальное ускорение, направленному по радиусу r окружности, описываемой телом при суточном вращении Земли.

Согласно третьему закону Ньютона = N, где G = mg G называют силой тяжести, является составляющей силы тяготения, которая направлена вдоль линии отвеса (рис. 9). В данном случае сила тяжести является весом тела Р.

Весом тела называют силу, с которой тело действует на опору или подвес. Сила тяготения равна силе тяжести тел только на полюсах, а центростремительная сила минимальна (равна нулю) на полюсах Земли и максимальна на экваторе. Действительно, согласно второму закону Ньютона Fцс = m aцс = v2/r, r = Rcos.

aцс, где В свою очередь линейная скорость связана с угловой скоростью соотношением v = r = Rcos.

Fцс= m 2 Rcos.

Тогда Cледовательно, на полюсе Fцс= 0, а на Рис. экваторе Fцс= m 2 R.

1.17. Невесомость и перегрузки В зависимости от вида движения вес тела изменяется, в связи с чем, возникают перегрузки или наступает невесомость.

Рассмотрим три случая. 1. Если тело покоится на поверхности стола, то на него действуют две силы: сила тяжести G и нормальная реакция опоры N (рис. 10).В этом Рис. случае вес тела равен силе тяжести.

2. Тело движется по наклонной плоскости с ускорением.

На него действуют четыре силы: сила тяги F, сила тяжести G, сила трения Fт р и нормальная реакция опоры N (рис. 11). В этом случае вес тела Р = Gy = mg cos.

3. Тело массой m поднимают на тросу вертикально вверх с ускорением (рис. 12. а). Закон движения тела Fн G m a.

Для нахождения веса тела запишем уравнение движения в проекции на ось У, т. е. Fн G = ma.

Тогда вес тела Р = Fн = G + ma или Р = m (a + g), где G = mg.

Таким образом, при движении тела вверх с ускорением возникает перегрузка, тело стало тяжелее на величину ma. Найдем вес тела при движении его вниз с ускорением (рис. 12, б).

Уравнение движения в проекции на ось У запишется в виде Fн G = ma. Вес тела Р = Рис. Fн = G ma.

Следовательно, вес тела в этом случае уменьшается на величину ma.

Если тело будет двигаться вниз с ускорение g = a, то наступает состояние невесомости, т. е. Р = 0. Рассмотрим физическую сущность невесомости и перегрузки. Например, при движении космической ракеты с ускорением после старта возникают перегрузки. При движении ее в космическом пространстве с выключенным двигателем давление тел на опору исчезает, наступает невесомость. Физическая сущность перегрузок заключается в том, что при движении тела с ускорением а, не все точки тела получают ускорение одновременно, т. е.

Рис. отдельные точки тела получают ускорение с запаздыванием – через деформацию.

Тело прижимается к опоре, и возникают перегрузки. Физическая сущность невесомости заключается в том, что когда исчезает сила тяги двигателей ракеты на нее и все тела, находящиеся в ней, действует только сила тяготения, т. е. на все точки тел одновременно действует ускорение свободного падения g. Сила тяготения принадлежит к массовым силам, которая приложена одновременно ко всем точкам тел. Эти точки тел получают одинаковые ускорения и скорости.

Всякое взаимодействие между ними исчезает, исчезает сила реакции опоры и сила давления на нее. Наступает невесомость.

Невесомость – состояние свободного падения тел под действием только одной силы тяготения.

1.18. Можно ли уменьшить силу тяготения На основании закона всемирного тяготения известно, что сила тяготения является силой притяжения между взаимодействующими телами.

Притяжение тел осуществляется посредством гравитационных полей предположительно с помощью особых частиц – гравитонов. Но как это происходит – пока загадка. Допустим, что космический корабль – спутник, находясь на орбите, конструктивно состоит из двух равных по массе частей, которые можно быстро разделить и развести на расстояние порядка 150 км.

Тогда на каждую часть будет действовать сила притяжения вдвое меньше силы тяготения, действующей на весь корабль – спутник.

Рассмотрим силы, действующие на корабль и его части. Эти силы являются центральными (рис. 13). Перенесем векторы сил F1 и F2 в одну точку параллельно самим себе так, чтобы совпали их начала и найдем результирующую этих сил Fp. Как видно на рис. 9, эта сила несколько меньше общей силы тяготения. Сила тяготения уменьшилась, что равносильно появлению небольшой отталкивающей силы.

Используя этот метод, можно без особой затраты энергии (кроме той, что расходуется на разделение частей корабля – спутника и на их соединение) удалиться из зоны сильного притяжения, например, какой-то звезды.

Постепенно корабль уйдет из зоны сильного тяготения.

Расчеты показывают, что эту важнейшую операцию можно осуществить всего за полтора-два часа, находясь на расстоянии около 30 тысяч км от центра тяготеющей звезды типа Сириус В.

Возможно, что техника будущего позволит Рис. 13 осуществить и такую инженерную задачу.

1.19. Движение тел переменной массы В классической механике изменение массы тел может произойти только за счет удаления части массы (dm 0) тела или добавления некоторой массы (dm 0).

Примеров движения тел с переменной массой можно привести много:

движение автомобиля, самолета, ракеты, поливочной машины, рост массы капель дождя при движении в атмосфере с пересыщенными водяными парами и т. д.

Для получения уравнения движения тел переменной массы достаточно использовать законы классической физики. Особый интерес этот вопрос получил в связи с развитием ракетной техники, используемой для космических полетов.

Рассмотрим подробнее принцип действия реактивного движения.

При полете ракеты после сгорания топлива из сопла с большой скоростью истекают газы, которые выбрасываются в направлении, противоположном движению ракеты (третий закон Ньютона). Естественно, в реальном полете на ракету действуют внешние силы (земное тяготение, сопротивление воздуха и т. д.). Без учета внешних сил система ракета – газ является замкнутой. В этом случае импульс системы не изменяется. Пусть в некоторый момент времени t масса ракеты m, а ее скорость u. Тогда импульс ракеты p mu.

Из-за непрерывного сгорания топлива спустя некоторое время dt масса и скорость ракеты получают приращения dm и du (dm 0). Соответственно импульс ракеты в этот момент будет выражен формулой m dm u du.

К этому импульсу необходимо добавить импульс газов, образующихся за это время dt, т. е. dmг v г,где dmг – масса, образующегося газа, vг – скорость истечения газа. С учетом этого найдем изменение импульса системы ракета-газ за время t + dt:

m dm u d u dm г v г m u F dt, где F – результирующая всех внешних сил, действующих на ракету.

Если dt 0 и du 0, то в пределе после раскрытия скобок и 0, dm u dm md u dmd u dm г v г F dt.

преобразований, получим Произведение (dmdu) исключаем как бесконечно малую величину второго порядка. Кроме того, согласно закону сохранения массы dm + dmг = u dm v г dm md u F dt или dm = – dmг. Тогда md u v г u dm F dt, или где v г u u о – относительная скорость истечения газов.

После подстановки относительной скорости в предыдущее равенство, md u u о dm F dt.

имеем (29) Так как это изменение произошло за время dt, то разделим правую и левую части последнего равенства на dt, получим du dm m uо F. (30) dt dt Уравнение (30) выражает второй закон Ньютона.

Однако к величине внешней силы добавлено слагаемое dm uо F ре ак, dt называемое реактивной силой, с которой на ракету действуют истекающие из сопла газы. Уравнение (30) было впервые получено И. В. Мещерским и является уравнением движения тел переменной массы. Уравнение Мещерского для замкнутой системы ракета – газ (внешние силы равны нулю) запишем в виде du dm m uо. (31) dt dt Найдем проекции уравнения (4.18) на направление движения:

du dm m uо dt dt mdu u о dm, (uо 0).

или Последнее равенство свидетельствует о том, что скорость истечения газов может меняться за время полета.

Для простоты будем считать, что uо =сonst.

Найдем скорость ракеты u:

dm du = – uо.

m После интегрирования dm u uо u о ln m C, m где значение С, связано с наличием начальных условий.

Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю (u = 0), а ее масса равна m0 (это не масса покоя), то 0 = – u0 ln m0 + C Тогда С = u0 ln m0.

m Окончательно скорость ракеты u = uо ln m или u m e u0. (32) mo Равенство (32) называется формулой Циолковского. Она справедлива для медленных движений, когда скорость ракеты и относительная скорость истечения газов много меньше скорости света в вакууме.

1.20. Момент силы относительно полюса Вектором момента силы относительно полюса называют векторное произведение радиус-вектора и вектора силы.

r F. (33) M Направление вектора момента силы можно найти по правилу правого F параллельно самому себе так, чтобы винта (рис. 14). Перенесем вектор и F. Если вращать головку винта совпали начала векторов в r направлении от вектора r к вектору F (, рис. 14), то поступательное движение винта укажет направление вектора момента силы M.

Замечание: В случае векторного произведения векторы М, r, F лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях Р и Q. Согласно определению векторного произведения, модуль вектора момента силы (34) M r F sin( r, F ), (r F ) – угол где между, Рис. векторами r и F [рис. (15)].

= r sin Расстояние называют плечом силы (кратчайшее расстояние между полюсом О и линией действия силы ОА).

= 0о, то Мmin = 0.

Если угол = /2, то Ммах = rF. Если угол Разложим силу, действующую на м. т., на две составляющие: F F F.

Согласно рис. 11 вращающий момент вызывает только сила F, а составляющая сила F может вызвать лишь поступательное движение вдоль радиус-вектора r. В этом случае момент силы запишется в виде: М = r Рис. F, где F F sin.

Вектор момента силы М определяется по правилу правого винта и направлен от нас перпендикулярно плоскости рис. 15 (обозначен «+»).

В СИ момент силы измеряется в ньютонах умноженных на метр (Нм).

1.21. Момент равнодействующей нескольких сил Если на м. т. (тело) одновременно действуют несколько сил, то n результирующая сила Fi, тогда суммарный F F 1 F2... Fn i момент силы n или M Mi.

M rF r F1 F2 M 1 M 2... M n Fn...

i Вектор момента результирующей силы относительно полюса 0 равен геометрической сумме векторов моментов составляющих сил относительно того же полюса.

1.22. Момент пары сил Парой сил называют две равные по величине, но противоположные по направлению силы, не лежащие на одной прямой.

Из определения пары сил следует, что.

F1 F2, F1 F r12 sin. По определению момента На рис. 16, плечо пары сил силы можно записать M1 r1 F1, M2 r2 F2.

Из определения пары сил следует, что.

F1 F2, F1 F На рис. 16, плечо пары сил r12 sin. По определению момента силы можно записать M1 r1 F1, M2 r2 F2.

Результирующий момент сил M M1 M 2.

Тогда момент пары сил Рис. 16 относительно полюса 0 запишется r1 r в виде M F1 F2, Учитывая, что F F2, получим r1 r2 ( r2 r1 ) r M F2 F2 F2 F2, где r r r1.

Вектор момента пары сил не зависит от положения полюса 0.

1.23. Момент внутренних сил Примером внутренних сил являются силы гравитационного взаимодействия двух и более частиц (тел) или силы кулоновского взаимодействия заряженных тел (частиц) замкнутой системы.

На основании третьего закона Ньютона эти силы попарно равны по величине и противоположны по направлению и лежат на одной линии действия (рис. 17).

Действительно, так как F12 F21, F12 F21.

Тогда r1 F1 2, M M12 r2 F21.

Рис. Моменты внутренних сил относительно одного и того же полюса (точки) 0 равны по величине и противоположны по направлению:

M 21. Тогда суммарный момент внутренних сил всегда равен нулю M (так как плечо у них одно и тоже).

n n r i Fij 0.

М M ij i, j 1 i, j Замечание: В случае центральных сил, когда направления векторов всех сил, действующих на м. т. системы проходят через неподвижный полюс 0, то момент таких сил всегда равен нулю (так как плечо отсутствует).

1.24. Момент силы относительно оси Рис. Если тело (или м. т. А) вращается относительно полюса 0 произвольным образом, то оно может повернуться вокруг оси, совпадающей с направлением вектора момента силы относительно полюса, лежащего на этой оси (рис. 14).

Проекция вектора момента силы на произвольную ось, проходящую через полюс, равна проекции на эту ось векторного произведения радиус вектора r и вектора силы F относительно полюса 0, лежащего на этой оси:

(35) M r F z z Разложим вектор внешней силы, действующий на м. т., на три составляющие, совпадающие с направлениями осей: Х, У, Z. Вектор силы F направлен параллельно оси Z. Вектор F 2 направлен перпендикулярно оси Z.

Вектор F3 направлен по касательной к окружности радиуса R в точке А, вдоль направления оси У, перпендикулярно к F1 и F 2.

Вектор момента силы F3, M3 r F3 ;

M3 r F3 sin 3.

мах M3 M3 r F3.

Угол 3 = /2, следовательно, Найдем вектор момента результирующей силы относительно произвольного полюса 0:

F1 F 2 F M rF r ;

или M r F1 r F2 r F M 1 – вектор момента силы F1 ;

M 2 – вектор или M M1 M 2 M 3, где момента силы F 2 ;

M 3 – вектор момента силы F3.

Найдем проекцию вектора момента результирующей силы на ось Z.

Она будет равна сумме проекций моментов составляющих сил F1, F 2, M M1 M2 M3.

F 3 на эту ось:

z z z z F Из перпендикулярности векторов сил следует, что F1 F векторы моментов составляющих сил M 1 и M 2 перпендикулярны оси Z, поэтому их проекции на эту ось равны нулю.

Таким образом, M M3 R F3.

z z 1.25. Момент импульса материальной точки Одной из характеристик динамики вращательного движения является вектор момента импульса. Он используется широко не только в классической, но и квантовой механике. Закон сохранения момента импульса является одним из фундаментальных законов физики. Например, образование нашей Солнечной системы происходило при соблюдении этого закона.

Вектором момента импульса м. т. относительно полюса 0 называют r векторное произведение радиус-вектора и вектора импульса р относительно этого же полюса.

Радиус-вектор r проводится от полюса 0 до м. т. А. (рис. 19):

L rp r mv. (36) Модуль вектора момента импульса rp sin. (37) L r p sin( r p), Направление вектора момента импульса найдем по правилу правого винта. На рис. 19 вектор L направлен вниз (лежит в плоскости рисунка). При /2 момент импульса м. т.

= максимален и равен произведению модуля радиус-вектора и модуля вектора импульса или равен произведению модуля радиус-вектора, массы м. т. и модуля скорости:

Мmax = mvR, где R = rsin (рис. 19).

= 0о момент импульса При Рис. минимален и равен нулю: Мmin = 0.

Единицей измерения момента импульса в СИ является килограмм, умноженный на метр в квадрате, деленный на секунду.

1.26. Момент импульса системы материальных точек Если тело представить как систему м. т., то можно найти момент импульса тела относительно полюса 0.

Вектор момента импульса системы м. т. (тела) относительно полюса 0 равен геометрической сумме векторов моментов импульса, действующих на каждую м. т. в отдельности относительно того же полюса 0.

n L L1 L 2... L n Li.

i n n n или L Li ri p i ri ( mi v i ).

i1 i1 i Переходя к модулю момента импульса тела относительно полюса 0, и используя связь линейной скорости с угловой скоростью (vi = ri), после подстановки в последнее выражение, получаем:

L =I, (38) где I = mr2 – момент инерции системы материальных точек.

1.27. Момент импульса тела относительно оси Проекция момента импульса твердого тела на произвольную ось, проходящую через полюс 0, равна проекции на эту ось векторного произведения радиус-вектора и вектора импульса тела относительно того же полюса 0, лежащего на этой оси, т. е.

L r p. (39) Z Z Если у твердого тела ось симметрии совпадает с осью вращения, то векторы моментов импульсов для м. т., лежащих по разные стороны от оси вращения (на рис. 20 точки 1 и соответственно), при суммировании дают результирующий вектор момента импульса L, лежащий на оси вращения (рис. направление которого 20), определяется правилом правого винта и совпадает с направлением вектора угловой скорости, т. е.

L I. (40) Модуль этого вектора равен Рис. проекции вектора момента импульса на ось вращения, например, ось Z (см. рис. 20).

1.28. Закон сохранения момента импульса Используя связь момента силы и момента импульса для системы м. т.

относительно неподвижной оси (например, оси Z), имеем dL M внеш z.

dt z Если ось симметрии совпадает с осью вращения, то dL M внеш.

dt В случае замкнутой системы последнее выражение приобретает dL простой вид: 0, M внеш, Z dt Z dL или 0, dt т. е.

L const. (41) Формула (41) выражает закон сохранения вектора момента импульса.

В замкнутой (изолированной) системе тел (м.т.) суммарный вектор момента импульса остается неизменным.

Учитывая связь момента импульса с моментом инерции, имеем I const или I 1 1 I 2 2... I n const (42) n Закон сохранения вектора момента импульса является фундаментальным.

Замечание 1: Момент силы не зависит от того, вращается тело или нет вокруг оси, так как в состоянии покоя он уравновешен моментом других сил, действующих на это тело.

Если момент сил равен нулю, то тело вращается с постоянной угловой скоростью, т. е.

Id 0, Mвнеш 0.

dt Если момент инерции тела не равен нулю (I 0), тогда равна нулю производная угловой скорости по времени: d / dt = 0.

Отсюда следует, что угловая скорость есть величина постоянная:

= сonst.

Если момент инерции тела может изменяться вследствие изменения взаимного расположения отдельных его частей, то при М = 0, I = сonst.

Это значит, что изменение момента инерции тела влечет за собой изменение угловой скорости вращения, а именно: с увеличением момента инерции I его угловая скорость уменьшается и наоборот. Справедливость закона сохранения момента импульса неоднократно проверялась на ряде опытов. Например, опыт со скамьей Жуковского.

Замечание 2: Закон сохранения вектора момента импульса связан с изотропностью пространства как одного из свойств симметрии пространства времени. Под изотропностью пространства понимается следующее.

Если замкнутую систему тел повернуть в пространстве на некоторый угол (тела должны находиться в тех же условиях, что и до поворота), то это не отразится на ходе всех последующих явлений в этой системе. Используя изотропность пространства можно доказать закон сохранения вектора момента импульса. Если система замкнута, то на нее не действуют внешние силы, а действуют только внутренние. Пусть M 1, M 2,..., M n векторы моментов внутренних сил, действующих на м.т. системы относительно неподвижного полюса 0. Затем совершим поворот всей системы вокруг полюса на малый угол d, при этом направления скоростей всех м. т.

должны повернуться на такой же малый угол без изменения их величины.

Вследствие изотропности пространства момент всех внутренних сил работы не совершает, т. е. А = 0 независимо от величины угла d 0. Тогда n М M1 M 2... M n Mi i dL M внут 0.

или dt Следовательно, L const.

1.29. Связь вектора момента силы и вектора момента импульса Всякое движение м. т. или тел происходит в пространстве и времени, поэтому вектор момента импульса м. т. относительно произвольного полюса 0 (формула 3.22) продифференцируем по времени:

dL dr dp p r.

dt dt dt Однако, если полюс 0 не меняет своего положения в пространстве (неподвижен), первое слагаемое обращается в нуль, так как первая производная вектора перемещения по времени есть вектор мгновенной скорости.

dr p.

Тогда векторы коллинеарны, т. е.

dt Как известно, векторное произведение коллинеарных векторов равно dp dL dp r нулю, поэтому. Согласно 2-му закону Ньютона F.

dt dt dt Следовательно, dL r F M.

dt dL M устанавливает связь между вектором момента Выражение dt импульса и вектором момента силы в инерциальной системе отсчета.

Производная вектора момента импульса м. т. по времени относительно неподвижного полюса равна вектору момента силы, действующей на эту м.т. относительно этого же полюса.

Это положение можно распространить и на систему м. т. (при этом все внутренние силы можно исключить на основании третьего закона Ньютона).

Тогда изменение результирующего вектора момента импульса всех м. т.

системы равно геометрической сумме результирующего вектора всех внешних сил, действующих на данную систему м. т., т. е.

n n d Li М внеш M i, внеш I или 1 dt i i Моменты импульса и моменты сил тел зависят не только от величины и направления этих векторов, но и от пространственного положения полюса.

Моменты импульсов тел и моменты сил относительно оси (например, оси Z) являются проекциями соответствующих векторов относительно некоторого полюса 0, лежащего на этой оси. Одно векторное уравнение эквивалентно системе трех скалярных уравнений как проекций на соответствующие оси Х, У, Z:

dL ( M внеш ) х, dt x dL dL (43) M внеш, ( M внеш ) у, dt dt у dL ( M внеш ) z.

dt z Лекция 1. Законы сохранения в механике 1.1. Значение энергии Всякое изменение материи является движением, простейшими формами которого являются поступательное и вращательное движения.

Мерой поступательного движения является импульс. Однако эта динамическая характеристика, введенная Ньютоном, хотя и имеет фундаментальное значение, но не может служить универсальной мерой для всех форм движения материи, например, для вращательного, теплового и т. д.

Пусть однородный шар равномерно вращается вокруг неподвижной оси, совпадающей с осью симметрии, проходящей через центр инерции (рис. 1). Поскольку при вращении шара, любые его две диаметрально противоположные материальные точки имеют линейные скорости, равные по величине, но противоположные по v k. При этом направлению, т. е. vi = vk, v i суммарный импульс всего шара равен нулю. Однако Рис. тело может вращаться с любой угловой скоростью.

Импульс тела ни как не характеризует вращательное движение. В этом случае мерой вращательного движения шара является момент импульса.

Известно, что для осуществления равномерного вращательного движения тел вокруг некоторой оси необходимо непрерывно воздействовать внешней силой, которая расходуется на преодоление трения в местах закрепления оси вращения. Однако при трении выделяется тепло, а момент импульса остатся постоянным и никак не учитывает количество выделившегося тепла.

Поскольку физика изучает различные формы движения материи (механические, тепловые, электрические, магнитные и т. д.), то усилия учных разных стран были направлены на то, чтобы найти универсальную меру, учитывающую любое изменение материи. Единой мерой различных форм движения материи является физическая величина – энергия. В работах Ломоносова, Майера, Гельмгольца, Джоуля и других ученых был окончательно сформулирован всеобщий закон сохранения и превращения материи – закон сохранения энергии, который гласит: энергия не исчезает и не уничтожается, а переходит из одного вида в другой, в равных количествах.Закон сохранения энергии проверен многочисленными экспериментами и его достоверность не вызывает никаких сомнений. Анализ опытных фактов показывает, что энергия механического движения, например, при трении переходит в теплоту. Вообще механическое движение или любое другое не исчезает бесследно, а переходит в другие виды движения материи.

Энергия является количественной мерой любого движения материи, а при движении изменяется состояние системы материальных объектов.

Всякая система характеризуется рядом физических величин, называемых параметрами состояния. Например, положение м.т. в пространстве характеризуется координатами и их относительными скоростями. При всяком изменении состояния системы изменяются параметры состояния.

Следовательно, энергия есть функция состояния системы.

Из динамики известно, что всякое изменение механического движения тела всегда происходит в результате его взаимодействия с другими телами.

Это взаимодействие количественно характеризуется силой. Следовательно, сила является причиной изменения механической энергии.

Мерой энергии, переданной от одного тела к другому, является физическая величина, называемая работой.

Общий вывод: энергия есть количественная мера любых форм движения материи. Работа – мера количества энергии, переданной при механическом взаимодействии от одного материального объекта к другому или превращение механического движения в другие формы.

1.2. Работа постоянной силы Механическая работа совершается, если тело (м.т.) под действием силы перемещается. Величина работы постоянной силы ( F const, F const ) равна произведению ее составляющей F на направление перемещения и величины этого перемещения (рис. 3.18):

А= F r= S, r, (1) где F = F cos,.

В векторном виде работа равна скалярному произведению вектора силы и вектора перемещения r cos, (2) A F r F где r.

cos cos F, Согласно (2) перемещение необязательно вызывается действием Рис. силы, входящей в эту формулу.

Особенно это проявляется при нахождении работы сил сопротивления и трения, которые никак не способствуют перемещению тела в заданном r направлении при 0, Fсопр 0, Fтр 0.

Следовательно, работа силы совершается независимо от того, под действием каких причин тело совершает перемещение. Работа, как показывает практика, может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Для выяснения этого воспользуемся формулой работы А = F s cos.

1. Работа силы положительна (А 0), если угол между векторами 0 (рис. 3, а).

силы и перемещения острый: cos Рис. 2. Работа силы отрицательна (А 0), если угол тупой: cos 0 (рис.

3, б). 3. Работа силы равна нулю (А = 0).

При этом возможны 3 случая: а) F = 0, если на тело не действуют силы, но оно движется равномерно и прямолинейно, б) r = 0, тело не перемещается, несмотря на действие силы (F 0). Пусть на тело действуют какие-то другие силы;

в) сила действует перпендикулярно к перемещению:

cos = 0, т. е. = /2 (рис. 3, в). Например, сила Кориолиса, сила Лоренца всегда перпендикулярны направлению перемещения.

В СИ работа измеряется в джоулях (Дж).

1.3. Работа переменой силы Для нахождения полной работы на конечном участке пути, когда на движущее тело действует переменная сила, необходимо весь путь разбить на малые участки пути (перемещения) и найти на каждом из них элементарную работу.

Любые элементарные перемещения (малые участки пути si) можно считать прямолинейными, в пределах их действующая сила остается постоянной, т.

е.

Fi = const. На элементарном участке пути Рис. si совершается элементарная работа:

Аi = F si cos i.

Работа на конечном участке пути n n n F Si.

A12 Ai F Si cos i i1 i1 i Для нахождения полной работы на всм участке пути перейдем к пределу, когда si 0. Тогда n A12 F si F ds (3) lim si 0i 1 или при бесконечно малом перемещении dr м. т. под действием силы совершает бесконечно малую работу (рис. 4, ds=dl):

А F dr F dr cos. (4) Поскольку работа не является функцией состояния системы, то она не может быть представлена в виде полного дифференциала, поэтому, вместo dA, будем использовать символ А.

Полная работа на участке 1 – A F dr. (5) Если на тело одновременно действуют несколько сил: F1, F2,..., Fn, то полная работа равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности:

Рис. n Ai.

A = A1 + A2 +...+ An = (6) i Работу можно найти графически (рис. 5), где она может быть представлена площадью криволинейной трапеции.

В случае прямолинейного движения тела (в прямоугольных декартовых координатах), учитывая, что dr dx i dy j dz k, где i, j, k – единичные векторы осей Х, У, Z соответственно, формулу (6) можно представить в виде ( F dx i ) ( F dy j ) ( F dz k ) = A F (dx i dy j dz k ) = F dx cos + F dy cos + F dz cos = Fx dx + Fy dy + Fz dz,,, – углы, которые вектор силы составляет с векторами i, j, k ;

где Fz = F cos – проекции F на оси координат.

Fx = F cos ;

Fy = F cos ;

1.4. Мощность. Коэффициент полезного действия в механике На практике важно знать, как быстро машина или механизм совершают работу.

Быстрота совершения работы характеризуется мощностью.

Cредняя мощность численно равна отношению работы к промежутку времени, за который совершается работа.

N = A/ t. (6) Если 0, то, перейдя к пределу, получим мгновенную мощность:

t A A N lim (7) t0t dt или F vdt A Fv. (8) N dt dt, (9) N Fv F v cos F, v или N = F v cos.

В СИ мощность измеряется в ваттах (Bт).

На практике важно знать производительность механизмов и машин или другой промышленной и сельскохозяйственной техники.

Для этого используют коэффициент полезного действия (КПД).

Коэффициентом полезного действия называют отношение полезной работы ко всей затраченной.

Aп 100%. (10) Аз или Nп 100%.

Nз 1.5. Кинетическая энергия Энергию, которой обладают движущиеся тела, называют кинетической энергией (Wk).

Найдем полную работу силы при перемещении м. т. (тела) на участке пути 1– 2. Под действием силы м. т. может изменять свою скорость, например, увеличивает (уменьшает) от v1 до v2.

md v dp Уравнение движения м. т. запишем в виде F.

dt dt r2 v md v Полная работа A или v dt.

A F dr A dt 1 r1 v v v2 mv2 mv После интегрирования A12 m, 2 2 v mv где называют кинетической энергией. (11) Wk Cледовательно, mv 2 mv1 A 12 Wk 2 Wk 1 Wk. (12) 2 Вывод: Работа силы при перемещении материальной точки равна изменению ее кинетической энергии.

Полученный результат можно обобщить на случай произвольной n n miv i Wk Wki системы м. т.:.

i1 i Следовательно, суммарная кинетическая энергия – величина аддитивная. Широкое применение имеет другая форма записи формулы mv mv 2 m p Wk кинетической энергии:. (13) 2m 2m 2m Замечание: кинетическая энергия – функция состояния системы, зависит от выбора системы отсчета и является величиной относительной.

В формуле А12 = Wk под А12 надо понимать работу всех внешних и внутренних сил. Но сумма всех внутренних сил равна нулю (на основании третьего закона Ньютона) и суммарный импульс равен нулю.

Но не так обстоит дело в случае кинетической энергии изолированной системы м. т. или тел. Оказывается, что работа всех внутренних сил не равна нулю.

Достаточно привести простой пример (рис. 6).

Как видно из рис. 6, работа силы f12 по перемещению м. т. массой m1 положительна A12 = (– f12) (– r12) и работа силы f21 по перемещению м.т. (тела) массой m2 также положительна:

Рис. A21 = ( + f21) ( + r21) 0.

Следовательно, полная работа внутренних сил изолированной системы м. т. не равна нулю:

А = А12 + А21 0.

Таким образом, суммарная работа всех внутренних и внешних сил идет на изменение кинетической энергии.

1.6. Потенциальная энергия Другим видом механической энергии является потенциальная энергия.

Энергию взаимного расположения тел, учитывающую вид их взаимодействия, называют потенциальной энергией.

Найдем работу силы тяжести, которую она совершает при равномерном движении тела без трения из положения 1 в 2 вдоль наклонной плоскости. Длина наклонной плоскости – S.

Высота от нулевого уровня до точки 1 равна h1, до точки 2 – h2. Угол между вертикалью (отвесной линией) и наклонной плоскостью равен (рис. 7 ).

Работа на участке S12 A12 = mg cos S, где mgcos – проекция силы тяжести на направление перемещения, Рис. 7 S cos =h1 – h2, или A12 = mg h1 – mg h2.

Величину WP = mgh – называют потенциальной энергией, которой обладает тело массой m, поднятое над поверхностью Земли.

В этом случае работа силы тяжести запишется в виде A12 = WP1 – WP2, где WP1 – потенциальная энергия тела в состоянии 1;

WP2 – потенциальная энергия тела в состоянии 2.

Окончательно, A12 = (WP2 WP1) = WP. (14) Вывод: Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии со знаком минус.

1.7. Консервативные и диссипативные силы Вычислим работу силы тяжести на замкнутой траектории (1 2 3 1).

Для этого вернемся к рис. 7.

Полную работу на замкнутой траектории (1 2 3 1) представим как сумму работ на отдельных участках пути:

А = А12 + А23 + А31.

1. Работу силы тяжести на участке 1 2 (А12) мы уже нашли (см.

выше):

A12 = mg cos S.

2. Работа силы тяжести на участке (2 3) равна нулю, так как угол между на правлением перемещения и направлением действия силы тяжести равен 90о, т. е. А23 = 0 (рис. 8). 3. Работа силы тяжести на участке (3 1) (рис. 9) A31 = mgh, где h = h1 h2 = S cos, так как угол между направлением перемещения и направлением действия силы тяжести равен 1800.

Вывод: Полная работа силы тяжести на замкнутом пути равна нулю.

Этот вывод может быть распространен на Рис. случай любой замкнутой траектории произвольной формы.

Силы, работа которых на замкнутом пути равна нулю, называют консервативными, или потенциальными.

Кроме того, работа консервативных сил не зависит от вида траектории перемещения тела, а зависит только от координат его начального и конечного перемещений.

Примерами таких сил, кроме силы тяжести, являются силы упругости и силы электромагнитного взаимодействия. Все силы, не относящиеся к консервативным, являются не Рис. потенциальными (неконсервативными). К ним относятся диссипативные силы, например, силы трения и сопротивления.

Диссипативными называют силы, работа которых отрицательна.

К неконсервативным силам относятся также гироскопические силы Лоренца и Кориолиса. От консервативных сил они отличаются тем, что определяются не только положением, но и скоростью движения тел. Работа таких сил равна нулю.

1.8. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия На рис. 10 приведен график зависимости силы тяготения от расстояния между взаимодействующими телами F(r).

Чтобы найти работу силы тяготения при перемещении тела массы m в гравитационном поле другого тела массы М на расстоянии (r2 r1), используем формулу работы в виде А = Fт (r2 r1). (15) Работа силы тяготения (консервативная сила) не зависит от формы траектории при перемещении тела, на которое она действует, а определяется координатами начального и конечного состояний тела.

Поэтому для нахождения работы А достаточно найти среднюю силу тяготения на участке (r2 r1), рис. 11.

Действительно, А12 = F (r1 r2) = F (r2 r1), mM где F=, r1 r или 1 1. (16) A12 mM Рис. r2 r После раскрытия скобок mM mM, (17) A r2 r где mM Wp C (18) r потенциальная энергия гравитационного Рис. 11 взаимодействия тел;

С произвольная постоянная.

Следовательно, А12 = (Wр2 Wр1) = Wp, (19) где Wр1, Wр2 потенциальные энергии взаимодействия тел m и М в состояниях 1 и 2, соответственно.

Вывод: Работа гравитационного взаимодействия тел равна изменению потенциальной энергии со знаком минус.

Кроме напряженности Е т, гравитационное поле характеризуется потенциалом поля тяготения т, т. е.

Wp =, т m где mM Wp = r + C.

Следовательно, потенциал поля тяготения M = +C (20) т r является энергетической характеристикой поля тяготения.

Если потенциалы некоторых точек 1 и 2 поля тяготения т2, то т1, работа силы тяготения при движении тела массы m из 1 в А12 = m( т1) = m т. (21) т Замечание:

В физике существует проблема энергии поля тяготения.

Теория позволяет для любого тела, имеющего массу, вычислить полную энергию его гравитационного поля во всем пространстве.

Но нельзя указать, в какой области пространства локализована эта энергия, т. е. нет понятия плотности гравитационной энергии в различных точках пространства.

Гравитационная энергия во Вселенной имеет большой количественный перевес над всеми остальными формами энергии.

Поток излучения от бесчисленных звезд Вселенной (ядер галактик, квазаров и т. д.) составляет лишь малую долю от гравитационной энергии.

Тяготение вообще исток, из которого берут основу и все остальные формы энергии материального мира Вселенной.

При взрывах сверхновых звезд (например, СН 1987А, голубой сверхгигант соседней галактики «Большое Магелланово Облако», взорвалась 23 февраля 1987 года) гравитационное поле превращает часть освободившейся энергии тяготения в другие виды энергии: световую, тепловую, энергию вращательного движения, энергию синтеза тяжелых ядер изотопов химических элементов тяжелее железа и пр.

Гравитация является высшей формой энергии, т.к. имеет нулевую энтропию, а низшая форма энергии тепловая, поскольку в теплоту могут превращаться все остальные виды энергий.

Противостоят гравитации только энергия реакции деления тяжелых ядер, энергия термоядерных реакций синтеза легких ядер и вращательные движения.

1.9. Потенциальная энергия упругодеформированного тела Найдем потенциальную энергию тела при перемещении его из состояния 1 в 2, если на него действует сила упругости пружины, один конец которой закреплен с телом, а другой с неподвижной опорой (рис. 12).

Работу силы упругости можно найти по формуле x (22) Aу F x dx, x если сила упругости действует вдоль оси 0Х, где F(x) = k x;

х cмещение.

После интегрирования получим x kx 2 kx1.

x Рис. 12 (23) (2 ) Aу k 2 2 x Сила упругости, так же как и сила тяжести, является консервативной, ее работа совершается за счет убыли потенциальной энергии пружины, т. е.

Ау = Wp,у = (Wp,у2 Wp,у1), (24) kx где Wp,у = (25) является потенциальной энергией упругодеформированной пружины (тела).

Работа силы упругости графически изображается Рис. 13 площадью заштрихованной трапеции (рис. 13).

1.10. Связь силы с потенциальной энергией Если известно выражение потенциальной энергии Wp(x, y, z), то можно найти силу, действующую на тело в любой точке силового поля.

Пусть тело (частица) или м. т. перемещается в пространстве.

Силы поля совершают над частицей элементарную работу A Fd r или dy j dz k.

A Fx i Fy j Fz k dx i Следовательно, A = Fx dx + Fy dy + Fz dz, Ах = Fxdx, Аy = Fydy, Аz = Fzdz.

С другой стороны, A = dWp.

Поскольку потенциальная энергия является полным дифференциалом, то Wp Wp Wp dWp dx dy dz, x y z где Wp Wp Wp,, x y z частные производные от Wp по х, у, z, cоответственно вычисляемые в предположении, что все другие аргументы, кроме рассматриваемых, являются фиксированными.

Анализируя рассмотренное выше, получаем Wp Wp Wp dx dy dz.

Fx dx + Fy dy + Fz dz = x y z Таким образом, Wp Wp Wp Fx, Fy, Fz x y z или Wp Wp Wp F i j k, x y z где выражение i j k x y z векторный оператор Гамильтона в декартовых координатах.

(Символ « » называют набла).

Таким образом, grad Wp. (26) F Wp Выражение gradWp или (dWp/dn) называют градиентом потенциальной энергии по направлению dn (наибольшая быстрота изменения потенциальной энергии по данному направлению).

Знак « » показывает, что вектор силы, действующий на частицу, направлен в сторону убывания потенциальной энергии.

1.11. Закон сохранения механической энергии Полной механической энергией называют сумму потенциальной и кинетической энергий.

Рассмотрим три случая, наиболее часто встречающиеся на практике.

1. Пусть имеем замкнутую систему материальных точек (тел), между которыми действуют консервативные силы.

Как было получено выше, механическая работа может быть совершена как за счет изменения кинетической энергии, так и за счет убыли потенциальной энергии. Действительно работа на участке пути S Wp = Wp1 Wp2 или A12 = Wk = Wk2 Wk1.

A12 = Анализируя полученные результаты, получаем W = Wp + Wk = 0 или Wp1 + Wk1 = Wp2 + Wk2.

В последнем равенстве слева и справа полная механическая энергия тел в первом и втором состояниях соответственно. Распространив полученный результат на произвольное число состояний, получим закон сохранения механической энергии:

Wp1 + Wk1 = Wp2 + Wk2 =...= const. (27) В изолированной системе, в которой между телами действуют консервативные силы, полная механическая энергия не изменяется.

Возможен лишь переход потенциальной энергии в кинетическую энергию и обратно кинетической энергии в потенциальную в равных количествах.

2. Пусть на систему материальных точек (тел), кроме внутренних консервативных сил, действуют внешние силы, т. е. система не замкнута.

В этом случае полную работу, совершаемую всеми силами приложенными, к i-й м. т., можно представить как алгебраическую сумму A*, где A Ai внутренних и внешних работ, т. е. Ai работа, i совершаемая всеми внутренними силами над i-й м. т.;

A* работа всех i внешних сил над i-й м. т. Полную работу найдем в виде n n A* W Wк2 Wк1.

Ai i i1 i n С другой стороны, Ai W Wр2 Wр1.

i Используя последние соотношения, получаем n Wp1 Wp2 Ai Wp2 Wp i n или Ai Wp2 Wк2 Wp1 Wк1.

i Следовательно, n A*.

W W2 W1 i i Вывод: Изменение полной механической энергии системы м. т. (тел), между которыми действуют внутренние консервативные силы, равно работе внешних сил, приложенных к системе м.т.

3. В замкнутой системе, содержащей N м. т. (тел), кроме консервативных сил, действуют диссипативные силы (например, силы трения, силы сопротивления).

А = Аконс + Адисс.

Полная работа всех сил Работа всех внутренних, консервативных сил равна убыли Аконс = Wp1 Wp2 = Wp.

потенциальной энергии:

Полная работа совершается за счет изменения кинетической энергии:

А = Wk2 Wk1 = Wk.

Из полученных последних трех выражений имеем Wp + Адисс Wk = или W = Wk + Wp = Адисс 0.

Вывод: Если в замкнутой системе м. т. действуют внутренние, консервативные и диссипативные силы, то полная механическая энергия убывает.

Закон сохранения механической энергии не выполняется, но выполняется всеобщий закон сохранения энергии, т. е. полная механическая энергия переходит в другие виды энергии. Например, при трении выделяется тепло, значит, механическая энергия перешла во внутреннюю энергию.

Замечание: Случай 3 приводит к диссипации энергии.

1.12. Закон сохранения механической энергии и однородность времени Из свойства симметрии однородности времени следует, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала системы отсчета.

Если в два произвольных момента времени все тела замкнутой системы поставлены в одинаковые условия, то, начиная с этих моментов времени, все явления в системе протекают одинаково. На основании классической механики Ньютона имеем А = Wk2 Wk1.

Силы, действующие на м. т., связаны с потенциальной энергией Wp Wp Wp Fx, Fy, Fz выражением, x y z где потенциальная энергия задана в виде функции состояния, т. е. Wp = Wp(x, y, z, t).

Например, поле, где находится м. т., изменяется со временем (пульсирует). Тогда работа всех сил Wp Wp Wp Wp Wp [( dt ) dt ], A dx dy dz x y z t t L Wp Wp Wp dWp dx dy dz.

где x y z Wp Следовательно, A dWp dt t L L или Wp A Wp1 Wp2 dt.


t L C другой стороны, полная работа A = Wk = Wk2 Wk1.

Cледовательно, Wp (Wp2 + Wk2) (Wp1 +Wk2) =.

t dt L В случае замкнутой системы, в силу однородности времени, Wp производная потенциальной энергии по времени равна нулю, т. е. 0.

t Таким образом, получаем закон сохранения механической энергии W = Wk + Wp = const.

Замечание: В классической физике взаимосвязь кинетической энергии, импульса и массы описывается формулой Wk = p2 / (2m).

В релятивистской физике согласно специальной теории относительности полная энергия частицы W = mc2, р = mv – импульс частицы, где, 2 1 v /c т. е.

W 1 v 2 / c2 mc 2.

После преобразований получим формулу W2 = p2c2 + m2c4, которая выражает взаимосвязь массы, импульса и энергии, т. е. закон сохранения массы, импульса и энергии.

Так как для частиц изолированной системы р = const (закон сохранения импульса) и W = const (закон сохранения механической энергии), то из последней формулы следует, что m = const и c = const.

1.13. Движение частицы в потенциальном поле Полная энергия классической частицы W = Wo + Wk + Wp(r ), (28) 2 где W0 = mc – энергия покоя частицы;

Wk = p / 2m – кинетическая энергия частицы;

Wp(r) – потенциальная энергия во внешнем силовом поле.

Пусть энергия покоя частицы равна нулю, т. е. начало отсчета выбрано на уровне энергии покоя. Как известно, кинетическая энергия не может быть mv отрицательной, т. е. Wk = 0.

Cледовательно, во всех точках пространства, в которых частица может находиться в данный момент времени, потенциальная энергия меньше или равна полной энергии частицы, т. е. Wp(r) W = const. Поэтому частица не может проникать в области пространства, где значение потенциальной энергии силового поля превосходит полную энергию частицы.

Вывод: Если полная энергия частицы меньше значения ее потенциальной энергии (для удаленных областей пространства), то частица может проникать только в ограниченную область пространства – такое движение называют финитным.

Примером финитного движения является движение планет в Солнечной системе. Такое движение является весьма устойчивым, поскольку Солнечная система существует около пяти миллиардов лет. Если же частица может удаляться на неограниченное расстояние от системы отсчета, то такое движение называется инфинитным. Примером инфинитного движения является движение электрического заряда в поле одноименного заряда. Ограничения, связанные с инфинитными и финитными движениями, существуют только в классической механике. В квантовой механике возможен эффект просачивания частиц сквозь «потенциальный барьер» (туннельный эффект).

Рассмотрим, какие свойства характеризуют движение частицы с позиций классической механики. Пусть одномерная частица движется в потенциальном силовом поле вдоль оси Х (рис. 3.30), где приведен график зависимости потенциальной энергии силового поля от координаты х – Wp(x), которую называют «потенциальной ямой».

1. Пусть полная энергия частицы Рис. 14 отрицательна (W1 0), тогда неравенство Wp(r) W1 = const выполняется на отрезке от х = А до х = С (отрезок АС).

Следовательно, частица всегда находится внутри «потенциальной ямы»

– движение является финитным, кроме того, будет периодически повторяться, т. е. частица совершает колебательное периодическое движение.

Точки х = А и х = С, для которых выполняется равенство Wp(r) = W1, являются граничными. Графически эти точки определяются пересечением горизонтальной прямой W1 const с графиком функции Wp x и являются корнями уравнения Wр x W1, например, в точке А:

W1 = Wp(A) = mv2 / 2 + Wp(A), т. е. в точке поворота скорость частицы обращается в нуль.

Таким образом, границы движения классической частицы определяются значением полной энергии.

Например, если W = Wp2 0 (рис. 14), то движение частицы станет инфинитным. В точке В (рис. 14) для данной частицы потенциальная энергия минимальна: Wp(Б) = Wp,min.

В потенциальном силовом поле на частицу действует возвращающая сила Fx = dWp/ dx и в точке Б она обращается в нуль, а в крайних точках А и С на частицу действует максимальная сила.

Поэтому точке Б соответствует минимум потенциальной энергии, который определяет положение устойчивого равновесия.

2. Пусть график функции Wp(х) имеет вид, приведенный на рис. 15.

«Потенциальная яма» между точками х = Б и х = Г отделена справа потенциальным барьером х = Г, х = Д и х=Е.

В связи с этим движение частицы с W p1 внутри полной энергией «потенциальная яма» между точками х = Б, х = Г будет финитным.

Если же частица выйдет за потенциальный барьер, то ее движение станет инфинитным, но уже с одной граничной точкой х = Е.

Рис. В случае, когда полная энергия частицы равна W p 2, движение частицы является инфинитным в области пространства от х = А до х, а точкой устойчивого равновесия – т. х = В. В точке х = Д, которая является точкой неустойчивого равновесия, потенциальная энергии максимальна.

Однако при малейшем смещении частицы из точки х = Д сразу же возникает возвращающая сила, которая стремится удалить частицу в ту область пространства, где потенциальная энергия частицы будет минимальной.

1.14. Космические скорости. Законы Кеплера После длительной обработки многолетних наблюдений астронома Тихо Браге за движением планет Солнечной системы Кеплер эмпирически установил три закона движения планет:

1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого расположено Солнце.

2. Радиус-вектор планеты в равные промежутки времени описывает равные площади.

3. Квадраты периодов обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца.

Используя законы движения планет Солнечной системы, установленных Кеплером, Ньютон открыл закон всемирного тяготения.

Используя теорию движения планет Солнечной системы можно рассчитать траекторию движения искусственных спутников Земли и космических кораблей с выключенными двигателями (без учета сопротивления атмосферы Земли и гравитационного притяжения спутников – кораблей со стороны Солнца, Луны и других планет).

Полная энергия спутника в поле тяготения Земли равна W = Wk + Wp, т. е.

mv 2 mM mv mgr, W r 2 где m, M – массы спутника и Земли соответственно;

v – скорость спутника;

r – расстояние до него.

1. Если W 0, то движение финитно и происходит по эллиптической орбите. В случае кругового движения mv1 mM.

r r Следовательно, первая космическая скорость при r = RЗ v1 M/r gr V1 7,9 км/c. (29) 2. Минимальное значение энергии W, при котором движение спутника становится инфинитным (траектория – парабола ), равно нулю, т. е.

mv 2 mM W 0.

r Тогда вторая космическая скорость v2 2gr 11,2 км/c. (30) 3. Если полная энергия спутника положительна, то его движение станет гиперболическим и третью космическую скорость можно найти из условия mv 3 mM C, r 2 MC v где МС – масса Солнца. Тогда 42 км/с.

r min В направлении движения Земли v 3 16,7 км/c. В направлении противоположном движению Земли третья космическая скорость max v3 72,7 км/c.

1.15. Упругие и неупругие столкновения В физике под термином столкновения понимают не просто непосредственный удар, например, бильярдных шаров, а процесс в более широком смысле.

Столкновениями, или ударом, называют любые кратковременные взаимодействия частиц (тел).

Особенностью теории столкновений является то, что при этом детально не анализируются механизмы взаимодействия. Причина заключается в том, что анализ сил, возникающих при столкновении, весьма затруднителен, а во многих случаях и просто невозможен, и не только из-за малого промежутка времени процесса взаимодействия. Например, так обстоит дело с ядерными силами.

После столкновения частицы в конечном состоянии могут отличаться по своим внутренним свойствам от частиц в начальном состоянии.

В связи с этим различают упругие и неупругие столкновения.

Столкновениями обусловлены многие явления, рассматриваемые в различных разделах физики. Прежде всего, столкновения играют основную роль в структуре и динамике плазмы и газов.

Такие процессы, как передача тепла в газах, диффузии газов и другие, определяются свойствами сталкивающихся молекул и других частиц друг с другом. Свойства атомов, атомных ядер, и элементарных частиц можно исследовать одним из основных способов, изучая и анализируя их столкновения с другими частицами.

Для описания процесса взаимодействия привлекают законы сохранения. Поскольку законы сохранения справедливы не только в классической, но и в квантовой механике, то результаты, полученные из этих законов, применимы и к столкновениям квантовых частиц, например, атомов, ядер и др. частиц.

Для полного описания процесса столкновения используется понятие "сечение" столкновений. Важное место имеет выбор системы отсчета. К таким системам отсчета относят лабораторную систему (рис. 16, а, б).

Рис. 16 Систему отсчета, в которой столкновения частиц изучаются на опыте, называют лабораторной (Л.С.). Иногда в этой системе отсчета одна из частиц принимается покоящейся (ее называют мишенью), а другая частица, налетающая на нее, – снарядом (рис. 16, б). Для проведения теоретического анализа столкновений частиц используют также систему центра инерции (СЦИ) (рис. 17).

Система отсчета, в которой центр инерции покоится, а суммарный импульс частиц системы равен нулю, называют системой центра инерции.

В такой системе отсчета векторы импульсов сталкивающихся частиц равны по величине и противоположны по направлению.

Рис. 1.16.1. Упругое взаимодействие двух частиц Процесс упругого взаимодействия осуществляется в газах (столкновение молекул), ядерных реакциях (например, столкновение нейтрона с протоном).

Упругим называют столкновение, в результате которого внутреннее состояние взаимодействующих частиц не меняется.

Большинство упругих столкновений, за исключением ядерных реакций высоких энергий, относятся к медленным (нерелятивистским) процессам.


Для расчета процесса упругого столкновения двух частиц применяют закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Для изолированной системы двух взаимодействующих частиц закон сохранения импульса запишем в виде pp p* p*, (31) 1 2 где р1 = m1v1, p2 = m2v2 – импульсы частиц до взаимодействия (m1, m2 и v1, v – массы и скорости частиц до взаимодействия);

p * = m1u1, p * = m2u2 – 1 импульсы этих же частиц после взаимодействия (u1, u2 – скорости частиц после взаимодействия). Закон сохранения энергии упругого столкновения ( p1 ) 2 ( p * ) p2 * p1 двух частиц 2 (32), 2m1 2 m 2 2 m1 2m 1.16.2. Лабораторная система отсчета Применяя закон сохранения центра масс (инерции) к системе двух частиц с учетом формул m1 r1 m 2 r rc (33) ;

r r1 r2, m1 m где rc – радиус-вектор центра масс;

r1, r2 – радиус-векторы частиц в выбранной системе отсчета, имеем m2 m r1 rc r, r2 rc r. (34) m1 m 2 m1 m Скорости частиц в ЛС можно выразить через скорость их центра инерции v и скорости их относительного движения v и v * c соответственно, до и после столкновения. Дифференцируя выражение (34) по времени и учитывая закон сохранения центра инерции (масс) d rc v c const, находим векторы скорости частиц до взаимодействия dt m2 m v1 v c v, v2 vc v (35) m1 m 2 m1 m и векторы скорости частиц после взаимодействия m2 m * * v*, v 2 (36) v1 vc vc v*.

m1 m 2 m1 m Формулы (35) и (36) учитывают закон сохранения импульса для взаимодействующих частиц.

1.16.3. Система центра инерции v c = 0. Векторы импульсов В системе центра инерции (СЦИ) взаимодействующих частиц в этой системе можно записать в виде m1 m p 1 m1 v 1 v m v;

m1 m m1 m p 2 m1 v 2 v m v;

m1 m m1 m 2 * p* * m v* ;

m1 v 1 v 1 m1 m m1 m m v*, p* m1 v * v* 2 m1 m m1 m m где (37) m1 m приведенная масса двух частиц.

Подставив полученные значения импульсов в формулу (37), получим:

* m2v2 m2v2 m 2 m1 m 2 2 mv 2 m 2 ( v* ) 2 m 2 (v ) v 2m1 2m 2 2 m1 m 2 2 2m1 2m (38) * m m1 m 2 * 2 m( v ) (v ).

2 m1 m 2 Из формулы (38) видно, что относительная скорость частиц до взаимодействия равна относительной скорости частиц после взаимодействия (v = v*), т.е. в результате столкновения частиц скорость относительного движения изменяет только свое направление, а по абсолютному значению остается неизменной (рис. 3.34). Угол – называют углом рассеяния в СЦИ, и по величине он может быть любым. Если рассматриваемые частицы движутся навстречу друг другу с равными по величине, но противоположно направленными векторами импульсов ( p * p * ), то суммарный импульс 1 системы из двух частиц равен нулю, т. е.

Рис. 18 p* p* 0. (39) 1 Поэтому при упругом и лобовом столкновение двух частиц (бильярдные шары) они «отражаются» друг от друга и удаляются в противоположных направлениях с теми же по величине скоростями.

Замечание: условие (39) выполняется и в случае неупругого столкновения частиц. Следовательно, как при упругих, так и неупругих столкновениях в СЦИ импульсы не зависят от угла.

Если же столкновение не лобовое (рис. 18), то скорости частиц после взаимодействия остаются неизменными по величине, но направление векторов скоростей (импульсов) частиц после столкновения составляет некоторый угол с их первоначальным направлением (рис. 18). При упругом взаимодействии величины импульсов не изменяются, т. е.

p* p*.

p p 1 Таким образом, в СЦИ процесс взаимодействия характеризуется высокой степенью симметрии и поэтому анализ движения в ней осуществить проще, чем в любой другой системе отсчета (например, в экспериментах на накопительных кольцах частицы движутся навстречу друг другу с равными по величине, но противоположно направленными импульсами).

Если процесс столкновения частиц является упругим, центральным и происходит, например, вдоль оси Х (рис. 19), то для нахождения величин скоростей частиц после взаимодействия воспользуемся законом сохранения импульса в проекциях на ось Х p* х * p 1х p 2х p1 (30) х или m1v1x m2 v 2 x m1u1x m2 u 2 x (31) и законом сохранения энергии в виде m1v1x m 2 v 2 x m1u1x m 2 u 2 x 2 Рис. 19 2 2, ( 32) 2 2 2 так как v 2 v2 v2 v 2, векторы скорости всех частиц параллельны оси Х, x y z v2 v 2. Формулы (31) и (32) то vy = 0, vz= 0 ( v 0X ) и, следовательно, x преобразуем к виду m1 ( v1x u1x ) m2 ( u 2 x v 2 x ). (33) m1 ( v1x u1x )( v1x u1x ) m2 ( v 2 x u 2 x )( u 2 x v 2 x ). (34) Решая совместно выражения (33) и (34), имеем v1x v 2 x u 2 x u1x, (35) где v1x v 2 x v x, u 2 x u1x v * – соответствующие проекции x относительных скоростей на ось Х двух частиц до и после столкновения.

Вывод: относительная скорость двух частиц до столкновения в точности равна их относительной скорости после столкновения. Такой вывод справедлив для любого лобового упругого удара независимо от того, какие массы имеют частицы.

Выражая последовательно u2x и u1x из формулы (35) и подставив их значения в выражение (33), находим скорости частиц после взаимодействия:

v1x ( m1 m 2 ) 2m 2 v 2 x u1x, (36) m1 m v 2 x ( m 2 m1 ) 2 m1 v1x u 2x. (37) m1 m Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Если массы взаимодействующих частиц равны (m1 = m2), то u1x = v2x, u2x = v1x, т. е. частицы обмениваются скоростями.

2. Вторая частица до столкновения покоится (v2 = 0): а) если массы взаимодействующих частиц равны (m1 = m2), то u1x = 0 и u2x = v1x, т. е. первое тело останавливается после столкновения, а вторая частица начинает двига ться со скоростью первой, какую она имела до столкновения;

б) если m1 m2, то первая частица продолжает двигаться в том же направлении, что и до удара, но с меньшей скоростью (u2 v1), скорость второй частицы после удара увеличится, т. е. u2 u1;

в) если m1 m2, то первая частица после столкновения изменит направление скорости (импульса) на противоположное, вторая частица начинает движение в том же направлении, в каком двигалась первая частица до столкновения;

г) если m1 m2 (случай упругого взаимодействия частицы с массивной неподвижной стенкой), то u v1, u2 = 0, т. е. направление скорости налетающей частицы после = соударения со стенкой изменится на противоположное, а величина останется неизменной.

1.16.4. Упругое столкновение в двух измерениях При рассмотрении столкновений в двух измерениях необходимо учитывать векторный характер импульсов взаимодействующих частиц. Из всех случаев столкновений обычно рассматривают два: 1) одна частица (снаряд) сталкивается с другой частицей (мишенью), находящейся до взаимодействия в состоянии покоя;

2) импульсы частиц до столкновения направлены вдоль одной прямой. Если столкновение не лобовое, то в любом случае импульсы частиц после столкновения не совпадают с первоначальными их направлениями. В этом случае столкновение является двумерным, так как траектории взаимодействующих частиц лежат в плоскости, образованной первоначальными и конечными направлениями векторов импульсов частиц.

Рассмотрим столкновение частицы массой m1, движущейся вдоль оси Х со скоростью v (импульсом p1 m1 v1 ), с покоящейся частицей массой m2 (рис. 19). После взаимодействия частицы разлетаются под углами 1и относительно направления вектора импульса первой частицы, параллельного оси Х.

Рис. 19 Например, для ядерных или электрически заряженных частиц процесс отклонения начинается до столкновения из-за существования ядерной или кулоновской силы, действующей между частицами.

Расстояние r0 на рис. 19 называют прицельным параметром, который является мерой отклонения от лобового столкновения. При r0 = столкновение является лобовым. Согласно закону сохранения импульса для изолированной системы, имеем p * p *, где p 2 0.Запишем pp1 2 закон сохранения импульса в проекциях:

а) на ось Х: m1v1 m1v1 cos 1 m 2 v * cos 2 ;

* б) на ось У:

0 m1v1 sin 1 m2 v * sin * 2.

Применяя закон сохранения энергии, находим m1 ( v1 ) 2 m2 ( v* ) 2 * m1 v1 2.

2 2 Из полученных трех уравнений следует, что можно найти только три неизвестные величины.

Если провести измерение, например угла 1, то переменные v1, v *, 2 можно найти, используя полученные выше три уравнения.

* Все скорости и углы измеряются значительно раньше или значительно позже столкновения, пока не действуют (или уже не действуют) силы взаимодействия между частицами.

1.16.5. Неупругое столкновение В результате неупругого столкновения двух макроскопических тел, они могут слипаться, и в дальнейшем будут двигаться как единое целое (рис. 20), где p m v1, p 2 M v 2, p ( m M) v.

Из-за необратимой деформации они не восстанавливают своей формы.

Энергия деформации переходит в теплоту Q.

Считая систему двух тел замкнутой, применяем закон сохранения импульса в векторном виде: m v M v 2 ( m M) v, (38) где m, M, v1, v 2 – массы и векторы скоростей тел до взаимодействия;

v – скорость слипшихся частиц после взаимодействия.

В проекции на ось Х mv1x+ Mv2x= (m + M)vx или mv1 + Mv2 = (m + M)v. (39) Формула (3.51) позволяет определить скорость слипшихся тел после их столкновения:

mv1x Mv 2 x (40) v.

mM Применяя общий закон сохранения энергии для такой системы, имеем Mv 2 (m M) v Рис. 20 mv1 2 Q, (41) 2 2 где Q – количество теплоты, выделившееся в результате деформации тел.

1.16.6. Сечение рассеяния Взаимодействие молекул и атомов характеризуют эффективным сечением (сечение рассеяния), которое зависит от характера сил взаимодействия между ними. Особую роль в атомной, ядерной физике и физике элементарных частиц играют эксперименты по рассеянию потока частиц мишенью.

Рассеянием называют процесс столкновения потока одинаковых частиц, характеризующихся параллельными импульсами, с мишенью. При этом каждая частица из всего потока взаимодействует только с одной из частиц мишени, являющихся рассеивающими центрами (рис. 3.38). Поток падающих частиц называют пучком. Если частицы в пучке имеют не только параллельные импульсы, но и равные энергии, то такой пучок называют моноэнергетическим. Все процессы столкновения частиц с мишенью характеризуют сечением рассеивания. В классической физике такое сечение рассеяния называют эффективным диаметром, т. е. = d2, где d – диаметр молекул.

Единичный акт столкновения частицы снаряда с рассеивающим центром мишени, в результате которого частица отклоняется в пределах телесного угла d, характеризуется дифференциальным сечением рассеяния dN d, (42) Рис. где d – дифференциальное сечение рассеяния, имеет размерность площади;

dN – число частиц, рассеиваемых в единицу времени в элементарный телесный угол d ;

– плотность потока частиц, т.

е. число частиц в пучке, пересекающих в единицу времени единичную площадку, перпендикулярную к направлению движения частиц.

Так как dN d, то d d d (43) d По определению отношение dN/d равно числу частиц, рассеиваемых в единицу времени в единичный телесный угол в направлении, которое определяется некоторыми углами и (рис. 22, где R – единичный радиус;

,0 2 ).

Телесный угол d на рис. показан заштрихованной площадкой на сфере единичного радиуса, причем d = sin d d.

Отношение dN/d описывает угловое распределение рассеянных Рис. частиц (распределение по углам и ).

dN 1 d.

Поэтому (44) d d Кроме дифференциального сечения рассеяния d существует понятие полного сечения рассеяния d d (45) d sin d d.

d d 0 Для определения сечения рассеяния достаточно знать только импульсы частиц. Координаты знать не обязательно.

Поэтому понятие классического сечения рассеяния используют и в квантовой механике для описания столкновения микрочастиц. В ядерной физике единицей измерения сечения рассеяния является барн (1 барн = 10 см2). Это связано с геометрическими размерами ядер.

Для детального описания процесса рассеяния в классической физике используют прицельный параметр r (рис. 23), который равен наикратчайшему расстоянию, на котором частица-снаряд прошла бы от центра рассеяния в том случае, если бы взаимодействие между частицами Рис. отсутствовало.

Анализ формулы (45) показывает, что полное сечение рассеяния имеет смысл площади, затеняемой центром рассеяния в направлении падения пучка. Частицы-снаряды пучка, нацеленные на мишень, будут рассеяны центром.

Следовательно, дифференциальное сечение рассеяния – часть площади. В случае сферически симметричного рассеивающего центра она имеет форму кольца (рис. 24, а, б).

Частицы, нацеленные в кольцо рассеиваются в некотором интервале углов, соответствующем значениям прицельного Рис. параметра, между внутренним, и внешним радиусами кольца. В процессе упругого рассеяния микрочастиц изменяются их импульсы.

Наряду с этими процессами могут изменяться также внутренние состояния частиц (квазиупругие процессы) или образуются другие микрочастицы (неупругие процессы).

2. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В МЕХАНИКЕ 2.1. Инерциальные системы отсчета При рассмотрении перемещений м. т. (тел) в кинематике выяснилось, что всякое движение относительно, поэтому можно использовать различные системы отсчта.

Выбор системы отсчта в кинематике не являлся существенным, так как все системы отсчта кинематически равноправны. Первый закон Ньютона указывает на необходимость выбора вполне определнной системы отсчта. Почему?

Например, если в некоторой системе отсчта м. т. движется равномерно и прямолинейно, то в системе отсчета, движущейся относительно первой с ускорением, это уже переменное движение.

Следовательно, первый закон Ньютона не может быть справедливым во всех системах отсчета и просто теряет смысл.

В связи с этим классическая физика постулирует существование инерциальных систем отсчта.

Примером инерциальной системы отсчта является гелиоцентрическая система с центром в ц. м. Солнечной системы, а координатные оси – световые лучи, направленные на различные три звезды, не лежащие в одной плоскости.

Существуют инерциальные системы отсчта, в которых все свободные тела движутся равномерно и прямолинейно или покоятся.

Неинерциальность геоцентрической системы отсчта (Земной) объясняется вращением Земли вокруг своей оси и Солнца, т. е. движение является ускоренным относительно инерциальной системы Коперника.

2.2. Преобразования Галилея Многочисленные опыты показывают, что второй закон Ньютона не может быть справедливым так же, как и первый, в любой системе отсчта, поскольку ускорение имеет неодинаковые значения в различных системах отсчта, движущихся друг относительно друга ускоренно. Сила не может зависеть от выбора системы отсчта, так как она определяется только взаимным расположением и относительными скоростями м. т. системы, а эти величины от выбора системы отсчта не зависят.

Пусть м. т. М движется в инерциальной системе отсчта S. Рассмотрим другую S*, систему отсчта движущуюся относительно первой равномерно и Рис. 25 прямолинейно со скоростью u = const.

Координатные оси систем S и S* взаимно параллельны и в начальный момент времени t = 0 совпадают начала систем 0 и 0 *, а скорость u направлена параллельно оси Х.

В некоторый момент времени t положение м. т. М в системе S характеризуется радиус-вектором r, а в системе S* – радиус-вектором r *.

Положение начала 0* относительно начала 0 характеризуется радиус R, причм R u t (рис. 25). Векторы вектором связаны r, r *, R r r * u t, t t *.

r =r *+R соотношением или (46) Запишем (4.1) в проекциях на оси координат:

х = х* + ut*, у = у*, z = z*, t = t*. (47) Уравнения (47) называют преобразованиями Галилея, которые позволяют перейти от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Таким образом, преобразования Галилея выражают классические представления о пространстве и времени. Физические законы инвариантны относительно преобразований Галилея. Время и размеры тел остаются неизменными в различных инерциальных системах отсчта.

2.3. Классический закон сложения скоростей Дифференцируя правую и левую части выражения (5.1) по времени t, dr * dr v* u, v получим или u (48) dt dt (абсолютная скорость), v * – cкорость где v – скорость м. т. М в системе S м. т. М в системе S* (относительная скорость), u – переносная скорость.

Формула (48) выражает классический закон сложения скоростей.

Абсолютная скорость м. т. М равна векторной сумме относительной и переносной скоростей.

Дифференцируя правую и левую части выражения (48) по времени t, получим а = а*, т. е. абсолютное ускорение равно относительному.

a* показывает, что система S* Равенство также является а инерциальной, как и система S, причм F F *.

Вывод: Система отсчта, движущаяся прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчта, является инерциальной. В инерциальных системах отсчта одновременно выполняются 1-й, 2-й и 3-й законы Ньютона, а сила инвариантна относительно преобразований Галилея.

2.4. Механический принцип относительности Галилея Никакими механическими опытами, производимыми внутри инерциальной системы отсчта, нельзя установить, находится она в покое или движется равномерно и прямолинейно (Принцип относительности Галилея).

Позднее Эйнштейн обобщил принцип относительности Галилея:

Вообще никакими физическими опытами (механическими, тепловыми, электрическими, магнитными, оптическими и т. д.), производимыми в инерциальной системе отсчта, нельзя установить факта е покоя или равномерного и прямолинейного движения. Согласно современной парадигме установлен всеобщий принцип относительности.

2.5. Неинерциальные системы отсчета В предыдущих разделах пособия всякое движение описывалось относительно инерциальных систем отсчета, т. е. таких систем, которые покоятся или движутся равномерно и прямолинейно. Если же система движется с ускорением относительно инерциальной, то она является неинерциальной системой отсчета.

Неинерциальными системами отсчета называют системы отсчета, которые движутся относительно инерциальных систем отсчета, с ускорением.

В природе на Земле и в Космосе большинство объектов совершают в основном вращательные движения в глобальных масштабах. В частности, наша Земля вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца и, следовательно, система отсчета, связанная с Землей, не будет инерциальной.

2.6. Кинематика поступательного движения в неинерциальной системе отсчета Пусть м. т. А движется относительно неинерциальной системы отсчета «НИ» (координаты – x*, y*, z* ).

Сама система движется относительно инерциальной (неподвижной) системы отсчета (x, y, z) поступательно с ускорением а0 (рис. 4.2).

Согласно рис. 26 имеем r ro R, (48) где r0 – радиус-вектор, соединяющий начала ОО* систем отсчета;

R – радиус-вектор, характеризующий положение т. А относительно подвижной системы отсчета;

r – радиус-вектор, характеризующий положение т. А относительно неподвижной системы отсчета.

Рассмотрим случай, когда неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальной системы отсчета поступательно с ускорением а0.

Всякое движение в пространстве осуществляется с течением времени, поэтому, дифференцируя по времени дважды выражение (48), получим d 2 ro d2R d2r.

d t2 d t d t (49) Согласно определению мгновенного ускорения, имеем а ao a отн, (50) где а0 – переносное ускорение, вызванное поступательным движением подвижной «НИ»

системой отсчета относительно инерциальной;

аотн – относительное ускорение, Рис. вызванное движением т. А относительно подвижной «НИ»;

а – полное (абсолютное) ускорение т. А относительно инерциальной системы отсчета «И»:

Вывод: Вектор полного ускорения м. т. равен геометрической сумме векторов переносного и относительного ускорений.

2.7. Сила инерции Второй закон Ньютона является законом поступательного движения в инерциальных системах отсчета, т. е.

d 2r F ma m.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.