авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |

«ШЕМЯКОВ Н.Ф. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ Ч 1. Физические основы механики; Колебания и волны; Молекулярная физика и ...»

-- [ Страница 3 ] --

dt Поскольку в движении участвует м. т. А, с массой m, то умножим равенство (50) на m и получим уравнение движения м. т. А в рассматриваемом случае:

mа о т н ma ma o или m aотн F Fи, (51) где F – сила, действующая на м. т. А.

Тогда – Fи m aО (52) называется силой инерции.

Особенность сил инерции заключается в том, что они не являются результатом взаимодействия м. т. или тел, а возникают при ускоренном движении подвижной системы отсчета.

При движении «НИ» системы отсчета с другим ускорением изменяется и поступательная сила инерции.

В таких случаях говорят, что сила инерции не инвариантна относительно «НИ» системы отсчета. Кроме того, для таких систем не выполняется третий закон Ньютона, т. к. нет взаимодействующих тел.

Однако эти силы столь же реальны, например, при торможении транспорта пассажира толкает вперед.

2.8. Сложное движение неинерциальной системы отсчета Под сложным движением неинерциальной системы отсчета подразумевается ее одновременное поступательное и вращательное движение вокруг полюса (точки) с постоянной угловой скоростью.

Согласно теореме Кориолиса:

Вектор полного ускорения равен геометрической сумме векторов относительного, переносного и кориолисова ускорений.

а а отн а пер а кор, (53) где вектор кориолисова ускорения a кор 2 v отн. (54) Вектор кориолисова ускорения равен удвоенному векторному произведению вектора угловой скорости и вектора относительной скорости.

Ускорение Кориолиса возникает из-за изменения относительной скорости м. т. при переносном движении и переносной скорости при относительном движении.

Абсолютная величина ускорения Кориолиса, v отн a кор 2 v sin, ( где – угловая скорость вращения подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Направление вектора ускорения Кориолиса можно получить, спроектировав вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную к вектору угловой скорости, и повернув эту проекцию на угол 90О в направлении вращения.

Вектор переносного ускорения a пер ао r. (56) Первое слагаемое мы рассмотрели выше.

Второе слагаемое после взятия двойного векторного произведения получило название центростремительного ускорения, направленного по радиусу к оси вращения a цс r. (57) 2.9. Центробежная сила инерции и сила Кориолиса Найдем уравнение сложного движения.

Умножим правую и левую части равенства (56) на массу м. т. (тела) m:

2m щ v отн mщ2 r.

ma ma отн ma или 2m щ v отн mщ2 r.

ma отн F ma где ma F – сила, возникающая в результате взаимодействия тел.

Fкор 2m v отн (58) – cила Кориолиса, перпендикулярна вектору угловой и вектору относительной скоростей;

направлена противоположна вектору ускорения Кориолиса;

определяется правилом правого винта;

относится к гироскопическим силам и работы не совершает;

возникает при вращении подвижной системы отсчета.

– поступательная сила инерции;

Fи ma o Fцб m r (59) – центробежная сила инерции, возникающая при вращении подвижной системы отсчета.

2.10. Свойства сил инерции 1. Силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета.

2. Силы инерции вызваны не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета.

3. К силам инерции не применим третий закон Ньютона, так как нет взаимодействующих тел.

4. Если некоторая система тел (м. т.) находится в неинерциальной системе отсчета, то силы инерции являются внешними силами, следовательно, системы не являются замкнутыми и поэтому не выполняются законы сохранения.

5. В неинерциальных системах отсчета силы инерции действуют точно также, как и силы взаимодействия тел, например, космонавт, весьма реально ощущает силу инерции, прижимающую его к креслу корабля, после старта ракеты на активном участке полета.

6. Силы инерции прямо пропорциональны массе тел. Поэтому в поле сил инерции все тела движутся с одинаковыми ускорениями (как и в поле сил тяготения).

2.11. Проявление сил инерции Если пассажир находится в автомобиле или другом подобном транспорте, который начинает движение, быстро ускоряясь, то его прижимает к спинке сидения (пассажир сидит лицом в направлении движения) поступательная сила инерции, наоборот, если автомобиль резко тормозит, то пассажир наклоняется вперед.

Когда автомобиль осуществляет поворот, то возникает центробежная сила инерции.

Проявление центробежной силы инерции можно наблюдать на ряде опытов. Один из них приведен на рис. 27.

Как видно, чем дальше на нити груз находится от оси вращения, тем больше центробежная сила инерции и тем больше угол отклонения нити от вертикали.

Проявление сил Кориолиса можно обнаружить на следующем примере.

Если пассажир перемещается по салону автобуса, который производит поворот, то на него, кроме центробежной силы инерции, будет действовать и сила Кориолиса.

Рис. В связи с этим легче удержаться, находясь в неподвижном состоянии.

Чтобы найти траекторию движения тел под действием сил Кориолиса, проделаем такой опыт.

По полированной поверхности вращающегося диска, с постоянной угловой скоростью (гончарный круг, круг для полировки и огранке кристаллов и т. д.), катится в направлении к оси вращения с относительной скоростью шар массой m (рис. 29, вид сверху).

В этом случае на него действует сила Кориолиса в направлении, указанном на рис. 29, по правилу правого винта.

Вектор угловой скорости направлен от нас (на рис. 29 – обозначен крестиком).

Если же шар будет катиться с относительной скоростью в направлении Рис. 29 от оси вращения, то изменится и направление действия силы Кориолиса Рис. 4. (рис. 30).

На рис. 29 и рис. 30 траектория движения шара – пунктирная линия.

Действие силы инерции испытывают летчики (перегрузки), выполняя фигуры высшего пилотажа.

Силы инерции используют в центробежных машинах, насосах, сепараторах и т. д.

Из-за вращения Земли вокруг своей оси любое свободно падающее тело в северном полушарии отклоняется к востоку и экватору.

Реки, текущие с севера на юг в северном полушарии, подмывают западный берег, а в южном – восточный.

При движении поезда с юга на север больше изнашиваются правые рельсы.

Неинерциальность систем отсчета можно проверить, используя маятники Фуко или Пошехонова.

Действие маятника Фуко довольно подробно описано во многих учебниках и пособиях по физике.

Поэтому рассмотрим принцип работы маятника Пошехонова.

Он состоит из прямоугольной вертикальной рамки 1, установленной на вращающей подставке 2 (ось рамки Рис. 30 закреплена в подшипнике 3).

В центре рамки на горизонтальной оси закреплен в подшипниках стержень 4 с массивными грузами 5 на его концах равной массы, способный совершать колебательные движения.

Сама подставка может быть приведена во вращение с помощью электромотора (рис. 31).

Принцип действия маятника основан на законе сохранения момента импульса I1 1 = I2 2 = сonst.

Приведем стержень с грузами 5 в колебательное движение.

Одновременно включим электродвигатель (на рис. 31 не показан) и платформа 2 начнет вращаться с постоянной угловой скоростью.

Когда стержень занимает горизонтальное положение, а грузы максимально удалены от вертикальной оси, маятник поворачивается вместе с платформой с 1 (момент инерции I максимален).

В следующий момент времени стержень занимает вертикальное положение (момент инерции I минимален).

Согласно закону сохранения импульса происходит возрастание угловой скорости 2, так как I2 I1. Поэтому рамка при вращении обгонит платформу.

Рис. 31 Следовательно, будет наблюдаться поворот плоскости колебаний стержня маятника.

Этот прибор можно использовать для обнаружения проявления сил инерции, в том числе и при вращении Земли. В отличие от маятника Фуко эффект поворота плоскости колебаний стержня – маятника с помощью маятника Пошехонова достигается значительно быстрее.

2.12. Эквивалентность гравитационных сил и сил инерции Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции установлен Эйнштейном.

Все физические явления в гравитационном поле происходят совершенно так же, как и в поле сил инерции, если напряженности обоих полей совпадают в соответствующих точках пространства, а начальные условия одинаковы для всех тел изолированной системы.

Если тело свободно падает в гравитационном поле напряженности g, то это поле будет полностью компенсировано полем поступательных сил инерции. Однако принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции не утверждает, что всякое гравитационное поле может быть заменено полем сил инерции, а гравитационные силы – силами инерции.

Это связано с тем, что силы тяготения направлены к центру тяготеющей массы, например, Земли, т. е. являются центральными (рис. 32).

Рис. 32 Рис. Ни какими ускоренными движениями системы отсчета нельзя этого получить.Так как силы инерции будут всегда направлены параллельно друг другу (рис. 33).Из принципа эквивалентности следует, что свойства пространства и времени в полях тяготения должны быть такими же, как и в неинерциональных системах отсчета.

Следовательно, в гравитационных полях, как и в неинерциальных системах отсчета, время неоднородно, а пространство является неевклидовым, неоднородным и неизотропным. Тем самым подтверждено гениальное предвидение Н. И. Лобачевского, Римана и др., что геометрия реального мира может быть и неевклидовой.По некоторым данным пространство не только искривлено, но и скручено.

2.13. Гравитационное смещение спектральных линий Примером эквивалентности гравитационных сил и сил инерции является гравитационное смещение спектральных линий (гравитационное «красное» смещение), теоретически предсказанное Эйнштейном.

Гравитационное «красное» смещение возникает, если наблюдатель в инерциальной системе отсчета неподвижен, но в ней имеется гравитационное поле напряженности g.

При распространении света по направлению гравитационного поля частота световой волны будет возрастать, а при распространении в противоположном направлении – убывать.

gd Величина смещения, c где – частота определенной спектральной линии;

0 – частота, воспринимаемая наблюдателем, покоящимся в инерциальной системе отсчета;

d – расстояние, проходимое светом в поле тяготения.

В этом случае гравитационное «красное» смещение является следствием замедления времени вблизи массивного тела (Земли, Солнца и т.

д.) и уменьшения частоты квантов света. Наблюдается в однородных и неоднородных гравитационных полях.

Замечание 1:

Причиной «красного» смещения может быть и оптический эффект Доплера при распространении светового сигнала из-за изменения расстояния между источником света и наблюдателем. Космологическое «красное»

смещение наблюдается у далеких галактик и квазаров. Наличие космологического «красное» смещения согласно теории объясняется как взаимное разбегание галактик (квазаров) друг от друга. Кроме того, причиной «красного» смещения может служить смещение линий в спектре излучения сверхплотных звезд (белые карлики).

В 1959 г., используя эффект Мессбауэра, удалось наблюдать гравитационное «красное» смещение при распространении света в поле тяготения Земли. Проходимый светом путь сверху вниз составил всего 20 м (у Парсела – 22 м). Ожидаемое смещение ( – 0) / 0 2 10 14.

Измерения дали близкий результат.

Это непосредственно является подтверждением принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции.

Замечание 2:

Кроме гравитационного «красного» смещения спектральных линий наблюдается гравитационное «фиолетовое» смещение спектральных линий, что вызвано взаимным сближением космических объектов.

Лекция 5. ЭЛЕМЕНТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИНАМИКИ 5.1. Постулаты теории относительности Классическая физика рассматривает движение макротел с медленными скоростями.

Описание взаимодействия тел с помощью потенциальной энергии предполагает мгновенное распространение.

Причем скорость этого распространения может быть сколь угодно большой.

Однако это противоречит экспериментальным данным, которые появились к концу XIX века.

По Эйнштейну существует максимальная конечная скорость распространения взаимодействий – скорость света в вакууме с 3 108 м/с.

В связи с механическим принципом относительности Галилея возникает вопрос:

равноправны ли все инерциальные системы отсчета при рассмотрении тепловых, электрических, магнитных, световых и других физических явлений, кроме механических?

Как показал, Эйнштейн принцип относительности распространяется на любые физические явления, а не только механические.

Позднее им была создана специальная теория относительности (СТО) для движения тел и частиц со скоростями v, близкими к скорости света в вакууме. В этой теории предполагается, как и в классической физике, что пространство изотропное и однородное и время однородное.

В основу СТО Эйнштейн положил два постулата:

I постулат (релятивистский принцип относительности):

в любых инерциальных системах отсчета все физические явления (механические, электрические, магнитные, световые и другие) при одних и тех же условиях протекают одинаково, т. е. никакими физическими опытами невозможно установить движется данная инерциальная система отсчета равномерно и прямолинейно или покоится.

Следовательно, все физические законы инвариантны (независимы) по отношению к выбору инерциальной системы отсчета.

II постулат (принцип инвариантности скорости света в вакууме):

Скорость света в вакууме не зависит от вида движения источника света, приемника и не зависит от направления в пространстве.

5.2. Преобразования Лоренца Для описания движения в СТО используют преобразования Лоренца, позволяющие переходить от координат одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно и обратно.

Преобразования Лоренца имеют наиболее простой вид в случае, когда сходственные оси декартовых координат неподвижной К и движущейся К * инерциальных систем отсчета попарно параллельны, и если система К * движется относительно системы К равномерно и прямолинейно со скоростью v = const вдоль, например, оси Х (рис. 5.1).

Начало отсчета времени выбирается в тот момент, когда координаты начала 0 и 0* обеих инерциальных систем отсчета К и К* совпадают, т. е. t = 0 и t* = 0.

С учетом этого преобразования Лоренца записываются в виде:

x* vt * x vt y = y*;

y* = y;

z = z*;

z* = z;

x ;

x* ;

1 ( v / c) 2 1 ( v / c) vx * / c 2 t vx / c t* t* (5.1) t ;

.

2 1 ( v / c) 1 ( v / c) Из преобразований Лоренца следует, что, в отличие от преобразований Галилея, координаты х и х* дополнительно умножаются на коэффициент 1 (5.2).

1 ( v / c) Кроме того, время также преобразуется.

Рис.

Галилей же считал, что время течет 5. одинаково в любых инерциальных системах отсчета.

Преобразования Лоренца линейны и при малых скоростях v c переходят в преобразования Галилея.

Вывод: Полученные Лоренцом преобразования координат и времени двух инерциальных систем отсчета удовлетворяют постулатам Эйнштейна.

Таким образом, в специальной теории относительности пространство и время взаимосвязаны и представляют единую сущность – четырехмерное пространство-время.

5.3. Относительность одновременности Для установления относительности одновременности двух пространственно разделенных событий необходимо иметь синхронизированные часы, расположенные там, где происходят эти события.

Синхронизация часов означает, что часы, фиксирующие время одного события, должны быть поставлены на t с позже других часов, фиксирующие другое событие. Например, прием светового сигнала вторыми часами можно определить по формуле x t, c где х – расстояние между событиями;

с –скорость света в вакууме.

Из постулатов СТО следует, что два пространственно разделенных события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, не будут одновременными в другой, движущейся относительно первой со v = const.

Например, пусть одна инерциальная система отсчета (ИСО) связана с Землей, а вторая с вагоном.

Выделим на Земле точки А, С и В, расположенные так, что АВ = ВС (рис. 5.2).

Для вагона точки обозначим через А*, С* и В*, причем А*В*= В*С*. В тот момент, когда одноименные точки совпадают, в точках А и С происходят два события, например вспышка света. Из-за изотропности пространства свет от точек А и С дойдет до точки В одновременно. Наблюдатель же в Рис. 5. точке В*, движущийся в направлении точки С*, заметит вначале вспышку, произведенную в точке С* и позднее в точке А*. Наблюдатель на Земле, находясь в точке В увидит два пространственно разделенных события, произошедшие одновременно, тогда как наблюдатель в точке В* заметит, что событие в точках А* и С* произойдут не одновременно.

Следовательно, понятие одновременности относительно, т. е. два пространственно разделенных события, одновременные в одной ИСО не будут одновременными в другой ИСО, движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно со скоростью v = const. Это относится лишь к событиям, между которыми отсутствуют причинно-следственная связь.

Причинно связанные события ни в одной ИСО не будут одновременными, так как во всех ИСО событие, являющееся причиной, всегда будет предшествовать следствию.

Такой же результат можно получить, используя преобразования Лоренца.

5.4. Относительность времени Существуют события, вызванные причинно-следственной связью.

Например, чтобы камень упал в воду, его нужно бросить.

Бросок является причиной, а падение камня в воду – следствием.

Рассмотренный вид связи имеет два свойства:

1) сначала происходит событие, являющееся причиной, а затем происходит событие, являющееся следствием первого;

2) если устранить событие, являющееся причиной, то не последует и другого события.

В связи с этим в СТО, хотя время и преобразуется, но последовательность во времени между причиной и следствием сохраняется.

Например, в ИСО, связанной с Землей произошел выстрел в момент времени t в точке с координатой х1, а пуля попала в мишень с координатой х2 в момент времени t2.

Тогда скорость пули u x 2 x1.

t 2 t Используя преобразования Лоренца найдем промежуток времени между этими же событиями в ИСО системы К* x1 ) / c (t 2 t1) v( x 2 (t 2 t1) uv t* * t1 (1 ), c 2 1 ( v / c) 1 ( v / c) где скорости u и v c. Так как t2 t1, то и t * * t1.

Поэтому (t 2 t1 ) t* *, (5.3) t 1 ( v / c) если событие происходит в одной и той же точке, т. е. х1 = х2.

t * 1 ( v / c) 2, Следовательно, t (5.4) т. е. промежуток времени между двумя событиями имеет меньшее значение в ИСО, связанной с точкой, где происходит событие.

В любой другой ИСО этот временной интервал будет больше.

Вывод: В движущейся ИСО время течет медленнее.

Эксперименты подтвердили полученный результат.

Например, время жизни покоящихся мюонов 2 мкс.

Мюоны же в потоках космических лучей движутся относительно Земли со скоростью v = 0,991 c и успевают пролететь расстояние не распадаясь 6 км, т. е. их время жизни с точки зрения земного наблюдателя в десятки раз больше.

5.5. Относительность длин Длина стержня в ИСО равна разности координат его концов.

Например, л x 2 x1, причем координаты х1 и х2 измеряются одновременно (наблюдатель покоится относительно стержня.

Однако результат изменяется, когда наблюдатель и стержень движутся друг относительно друга. В виду того, что понятие одновременности относительно и события одновременные в одной ИСО не будут одновременны в другой ИСО, поэтому длина стержня будет неодинаковой в различных ИСО.

Для вычисления длины стержня используют преобразования Лоренца.

Например, пусть некоторый стержень расположен параллельно оси 0Х в ИСО К, относительно которой он покоится.

Согласно рис. 6.3 длина стержня л x 2 x1.

В ИСО К*, движущейся относительно ИСО К равномерно и прямолинейно со скоростью v = const длина этого стержня Рис. 5. л* x * x1.

* Используя преобразования Лоренца, имеем * * x* vt * x1 vt 1 2 x1 ;

x2, 2 1 ( v / c) 1 ( v / c) т. е.

(x * x 1 ) v(t* * * t1 ).

л 2 x2 x 1 (v/c) Если координаты концов отрезка в ИСО К* одновременно (так как t * t 1 ), то * л* л 1 (v/c)2. (5.5) Следовательно, длина отрезка в любой ИСО, относительно которой он движется, меньше длины отрезка в неподвижной ИСО.

Однако это не означает, что стержень деформируется в движущейся ИСО.

5.6. Интервал между двумя событиями Любые события характеризуются точкой, где оно произошло, имеющей координаты х, у, z и временем t, т. е. каждое событие происходит в четырехмерном пространстве-времени с координатами х, у, z, t.

Если первое событие имеет координаты х1, у1, z1, t1, другое с координатами х2, у2, z2, t2, то величину c2 (t2 x1 ) 2 y1 ) 2 z1 ) S12 t1 ) ( x 2 (y2 ( z2 (5.6) называют интервалом между событиями.

Если обозначить и t12 = t2 – t1, л12 x1 ) 2 y1 ) 2 z1 ) (x 2 (y 2 (z то интервал c 2 (t12 ) л 2.

(5.7) S Найдем величину интервала между двумя событиями в любой ИСО.

Для этого будем считать, что в ИСО для системы К S2 = c2 t2 – x2 - у2 – z2, где t = t2 – t1, x = x2 – x1, у = у2 – у1, z = z2 – z1.

Интервал между событиями в движущейся ИСО К* ( S*)2 = c2( t*)2 – ( x*)2 – ( у*)2 – ( z*)2.

Согласно преобразованиям Лоренца, имеем для ИСО К* Дt vДДx/ Дx vДД ;

у* = у;

z* = z;

Дt* Дx*.

1 (v/c) 1 (v/c) С учетом этого ( S*)2 = c2 t2 – x2 – у2 – z2 = S2 = inv. (5.8) Следовательно, интервал между двумя событиями является инвариантом к переходу от одной ИСО к другой.

5.7. Релятивистский закон сложения скоростей Используя преобразования Лоренца, имеем vdx* / c vdt* dt* dx* dx ;

dt ;

1 ( v / c) 2 1 ( v / c) Найдем скорость материальной точки (тела) в ИСО К dx* vdt* dx u dt dt* vdx* / c dx* / dt* v u* v или (5.9) u.

* / ( c 2 dt* ) * / c 1 vdx 1 vu Следовательно, uv u*, (5.10) 1 vu / c где u – скорость м. т. (тела) в ИСО К;

u* – скорость м. т. (тела) в К*;

v – относительная скорость движения ИСО К и К*.

cv При u* = c по формуле (5.9) для u имеем u c, т. е. тело не 1 v/c может двигаться со скоростью больше скорости света в вакууме.

5.8. Импульс в СТО Рассмотрим абсолютно упругий удар двух частиц с массами m1 и m2 в ИСО К и К*.

Согласно закону сохранения импульса, для системы К dr10 dr20 dr1 dr2, (5.11) m1 m2 m1 m dt 10 dt 20 dt 1 dt dr10, dr20, dt 10, dt 20 – соответственно перемещения и время где движения частиц до удара;

dr1, dr2, dt 1, dt 2 – соответственно перемещения и время движения частиц после удара.

Уравнение (5.11) запишем в проекциях на оси координат Х, У, Z:

dx10 dx 20 dx1 dx m1 m2 m1 m2 ;

dt 10 dt 20 dt 1 dt dy10 dy 20 dy1 dy (5.12) m2 2 ;

m1 m2 m dt 10 dt 20 dt 1 dt dz dz dz dz m1 10 m 2 20 m1 1 m 2 2.

dt 10 dt 20 dt 1 dt Для рассмотрения этого явления в ИСО системы К *, движущейся относительно системы К равномерно и прямолинейно со скоростью v = const, учтем, что * dt 10 ;

dt * * dt 1 ;

dt * dt 10 dt 20 ;

dt 1 dt 2.

20 Отрезки же длин dr10;

dr20;

dr1;

dr сократятся в направлении оси 0Х в соответствии с формулой (6.5), но останутся неизменными в направлении осей У и Z, так как у* = у, z* = z.

В связи с этим dx * dx i 1 ( v / c) 2 ;

dy * dy i ;

dz* dzi.

i i i С учетом этого для ИСО К* получим, что * dx* * dx* dx10 dx m2 20 m2 2 ;

m1 m dt10 dt 20 dt1 dt * dy* * dy* dy10 dy1 (5.13) m2 20 m2 2 ;

m1 m dt10 dt 20 dt1 dt * dz* * dz* dz10 dz m2 20 m2 m1 m dt10 dt 20 dt1 dt или в векторном виде * * * * dr10 dr20 dr1 dr2.

m1 m2 m1 m2 (5.14) dt 10 dt 20 dt 1 dt Анализ выражений (5.11) и (5.14) показывает, что представление импульса в виде dr p m dt обеспечивает инвариантность закона сохранения импульса по отношению к преобразованиям Лоренца, где dr – перемещение частицы (м. т.) в той ИСО, в которой определяется импульс ее p ;

dt – время, определяемое по часам, движущихся вместе с частицей (собственное время).

Так как, d t * 1 ( v / c) 2, dt то m dr p, (5.15) * dt 1 ( v / c) dr где v.

dt * Следовательно, релятивистский импульс частицы mv. (5.16) p 1 ( v / c) 5.9. Релятивистская энергия Сила, действующая на тело (частицу), совершает работу A ( F dr ).

С другой стороны работа совершается за счет изменения энергии А = W, где W – полная энергия.

W ( F dr ).

Следовательно, dp F Известно, что, dt d( m v ) p m v, тогда F.

а релятивистский импульс dt dr dW d( m v ) С учетом этого энергия.

dt dr v Так как, dt то энергия dW v d( m v ).

После интегрирования mv 2 d W vd ( m v ) m v dv.

В связи с тем, что 3 1)c ( 1 d v dv ;

v ;

2 c 1 ( v / c) имеем c2d v dv.

Следовательно, 1) c 2 d c2 d ( W m m 3 или md md mc 2 d mc 2 d mc 2.

W (5.17) 2 Это и есть полная энергия релятивисткой частицы.

Если тело покоится в ИСО, то v = 0, = 1, тогда W0 = mc2 – (5.18) энергия покоя частицы.

Кинетическая энергия частицы равна разности полной ее энергии и энергии покоя:

Wk = W – W0 = mc2 – mc2 (5.19) или Wk = mc2( – 1), т. е.

mc 2 ( 1).

Wk 1 ( v / c) Окончательно 1 ( v / c) 2 ) ( 2 (5.20) Wk mc.

1 ( v / c) Из формулы (6.20) после преобразований, имеем mc 2 (1 1 ( v / c) 2 )(1 1 ( v / c) Wk 1 ( v / c) 2 (1 1 ( v / c) 2 ) или mc 2 [1 (1 v 2 / c 2 )] Wk.

2 2 1 ( v / c) (1 v / c ) Следовательно, при v c из последней формулы получаем, что mv Wk, (6.21) т. е. релятивистская формула кинетической энергии переходит в классическую.

5.10. Связь массы, импульса и энергии релятивистской частицы Согласно классической физике, кинетическая энергия частицы mv Wk, а ее импульс p = mv.

p Тогда.

Wk 2m В релятивистском случае, согласно СТО, полная энергия частицы W = mc2.

Энергия покоя W0 = mc2.

Поэтому W = W0, где 1.

1 ( v / c) После подстановки.

W W 1 (v/c) Левую и правую части равенства (6.22) возведем в квадрат W W 1 v 2 / c или W2v W02.

W c Так как W2 = W02 и Р = mv, то W02и2 v W 2v m 2c 2 v 2и2 p 2с W02 W02 m 2c 4 m 2c W c2 c Следовательно, m 2c 4 p 2c W или W2/c2 p2 = m2c2. (5.22) Вывод: Из формулы (5.23) следует, что выполняется закон сохранения массы, так как энергия и импульс сохраняются.

Все физические законы механики должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца.

Например, интервал в СТО является инвариантом относительно преобразований Лоренца или инвариант четырехмерного вектора энергии – импульса частицы, inv = p2c2 – W2.

т. е.

В релятивистской механике импульс и энергия частицы являются компонентами одного векторного поля, т. е. четырехмерного вектора Wv с р2 m 2 с 2, где Н Р с – четырехмерный вектор импульса-энергии.

Символ H – представляет собой энергию системы, выраженную через координаты и импульсы, называют функцией Гамильтона.

Если рассматривается система из n не взаимодействующих частиц является замкнутой, то сумма четырех-векторов энергии-импульса всех частиц системы сохраняется. т. е.

n pi const, (5.23) i где = 0, 1, 2, 3.

Формула (5.23) выражает закон сохранения четырехмерного вектора энергии-импульса.

5.11. Релятивистская сила Для релятивистского импульса и релятивистской энергии имеем W W соответственно p иm v ;

W иmc 2, т. е. и. Тогда v.

p mc 2 c dp dW Используя связь силы с импульсом в виде, F ( v).

dt c dt dW v W dv Найдем вторую производную F.

dt c 2 2 dt c dW W Так как, mи и F v – мощность.

N c2 dt dv F m ma Следовательно, dt 1 v или ma [F ( F v )]. (5.24) c Формула (5.24) выражает закон силы в СТО.

Из анализа формулы (5.24) следует ряд выводов.

1. Постоянная по величине сила сообщает телу (частице) различное ускорение в зависимости от скорости движения тела.

2. С увеличением скорости ускорение, сообщаемое телу действующей силой, уменьшается и стремится к нулю при v c.

3. Ускорение, сообщаемое телу силой, зависит от того, под каким углом к скорости действует эта сила.

4. В общем случае вектор скорости направлен под углом к вектору силы.

5. Сила, действующая на тело вдоль направления движения ( F II v ), FII сообщает ему ускорение. (5.25) a II m и 6. Сила, действующая перпендикулярно вектору скорости ( F v ), сообщает телу ускорение F. (5.26) a mи 7. При скорости движения тела vc формула (5.24) переходит в классическую формулу: F = ma – второй закон Ньютона.

5.12. Термодинамика и специальная теория относительности Используя закон релятивистской связи массы, импульса и энергии, можно получить первое начало термодинамики.

Действительно, зная, что W2 m2 c 4 p2c или W2 p2c2, W0 (5.27) после дифференцирования имеем 2WdW = 2W0dW0 + 2pc2dp.

После деления последнего равенства на 2W и учитывая, что W0/W = 1/, получим dW = dW0/ + pc2dp/W.

W = mc Поскольку и p = mv, то dW = dW0/ + vdp, (5.28) где vdp = drdp/dt или drdp/dt = Fdr = dA.

Следовательно, формула (5.28) принимает вид dW = dW0/ + dA, (5.29) где dW – сообщенная системе энергия.

При = dW0 = dU – внутренняя энергия системы Тогда dW – энергия, подведенная к системе в виде теплоты dQ.

Таким образом, имеем dQ = dU + dA, (5.30) т. е. энергия, подведенная к системе в виде теплоты, расходуется на изменение внутренней энергии и на совершение системой работы против внешних сил, что и составляет физическую сущность первого начала термодинамики.

Лекция 6. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 6.1. Момент инерции материальной точки Момент инерции м. т. и тел является скалярной величиной и широко применяется не только в физике, но и ряде других дисциплин: теоретическая, прикладная механика и т. д.

Моментом инерции м. т. относительно полюса называют скалярную величину, равную произведению массы этой точки на квадрат расстояния до полюса.

Момент инерции м. т. можно найти по формуле I0 = m R 2, (6.1) где m – масса м. т.;

R – расстояние до полюса 0.

Единицей измерения момента инерции в СИ является килограмм, умноженный на метр в квадрате (кг м2).

6.2. Момент инерции системы материальных точек Тело можно представить состоящим из большого числа м.т., поэтому момент инерции системы м. т.

n mi R 2, Iтела (6.2) i i где mi – масса i-й м. т.;

Ri – ее расстояние до полюса 0.

Моментом инерции системы м. т. или тела относительно полюса (точки) называют алгебраическую сумму произведений масс м. т., из которых состоит тело, на квадрат расстояния их до полюса 0.

При непрерывном распределении массы по объему тела момент инерции относительно полюса находится по формуле m 2 (6.3) I0 R dm В случае момента инерции относительно полюса массу dm умножают на квадрат расстояния до неподвижной точки (полюса), а в случае момента инерции относительно оси – до неподвижной оси.

В декартовой системе координат сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающих в одной точке 0, равна удвоенному моменту инерции этого тела относительно этого же начала:

Ix + Iy+ Iz = 2I0. (6.4) 6.3. Теорема Штейнера Для установления связи (рис. 5.1) между моментом инерции тел относительно двух параллельных осей применяется теорема Штейнера (Штейнера – Гюйгенса):

I = Ic + md2. (6.5) Момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, параллельной данной, проходящей через центр масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Рис. 6. 6.4. Момент инерции однородного стержня Моменты инерции различных тел можно найти по формуле I = mR2, где – коэффициент пропорциональности, который зависит от формы тела и его расположения относительно оси вращения.

Найдем момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через один из его концов, перпендикулярно продольной геометрической оси симметрии (рис. 6.2). Пусть ось вращения ВВ проходит I = mL2, через правый конец стержня (т. Г), тогда где L длина стержня.

m L2.

Согласно теореме Штейнера, имеем I Ic Величину момента инерции Ic относительно оси, проходящей через центр масс (точка С), представим как сумму моментов инерции двух стержней с длинами ДС = СГ = L/2 и массой каждого, равной m/2 стержня, т. е.

L mL Ic 2 m.

Рис. 6. 22 Подставим значения момента инерции I и Ic в формулу теоремы mL2 mL mL Штейнера – Гюйгенса и найдем :.

4 После преобразования получим, что = 1 / 3.

Следовательно, момент инерции стержня относительно оси, mL2, Ic проходящей через центр масс, (6.6) Ic mL.

относительно оси ВВ, (6.7) 6.5. Момент инерции сплошного шара Сплошной однородный шар можно представить как сумму бесконечно тонких сферических слоев с массами dm = mdV/V (рис. 6.3). Объем сферического слоя dV представим в виде: dV = 4 r2dr, где r – радиус сферического слоя. Объем шара V = 4/3 R3, где R – радиус шара. Если шар полый, то момент инерции сферического слоя относительно его центра масс (точка С) Ic = mR, но Ix Iy Iz 2 Ic, где из симметрии Ix = Iy = Iz. Момент инерции за сферического слоя относительно диаметра r dr dm r 2 2m dI.

R Тогда момент инерции шара R 2 mR 5 2m mR 2.

Рис. 6.3 I r dr 3 3 R0 5R однородного состава относительно оси Примеры 6.5.1.

моментов инерции Тонкое кольцо 1. Сплошной 2. 3. Полый цилиндр с некоторых тел цилиндр радиуса R радиуса R внутренним r и внешним R радиусами I mR 1 m( R 2 r2 ).

I mR I 4. Тонкое кольцо радиусом R 5. Тонкий параллелепипед и шириной d.

1 m R I d. m( a 2 b 2 ).

2 6 I 6.6. Работа, совершаемая телом при вращательном движении Если произвольная м. т. вращается по окружности и на нее действует сила F (рис. 6.4), то при повороте на некоторый угол совершается элементарная работа А = F ds, где ds = r d.

Тогда А = (r F) d = M d. (6.8) Полученное выражение остается справедливым и случае системы м.т. (твердых тел), совершающих вращательное движение относительно оси Z при = сonst. В этом случае момент внутренних сил равен нулю и работа не совершается. Для нахождения полной работы необходимо вычислить интеграл:

Рис. 6.4 A Md M, (6.9) где =2 1.

Если действующая сила является потенциальной, то А = dWp, где dWp бесконечно малое изменение потенциальной энергии тела при повороте на малый угол d, т. е.

или Mz = dWp/d.

dWp = Mzd 6.7. Кинетическая энергия тела, совершающего вращательное движение Wk = mv2 / 2. Тогда для системы м. т.

Кинетическая энергия м. т.

1n m i v 2. Используя связь линейной скорости с угловой Wk или тела i 2i n 1 в виде vi = ri, получим Wк р в mi ri2 2 2. (6.10) I 2 i Замечание: При плоском движении тел (например, цилиндр скатывается по наклонной плоскости, рис. 6.5) полная скорость v vc r, (6.11) где С центр инерции.

Полная кинетическая энергия тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения его центра масс (центра инерции) и кинетической энергии вращательного движения тела относительно точки С, т. е.

m v2 Ic 2.

пост вр c Wk Wk Wк 2 (6.12) Замечание: При скатывании тела (без проскальзывания) на него Ic действует сила трения покоя F mg sin (рис. 6.5).

I c mr Несмотря на наличие диссипативной силы (сила трения покоя) можно применять законы сохранения, так как сила трения покоя приложена к точкам (А) тела, которые лежат на мгновенной оси вращения. Скорость таких точек равна нулю. Поэтому сила трения сцепления работы не совершает и не влияет на величину полной кинетической энергии.Роль силы трения сцепления заключается в том, чтобы привести тело во вращательное движение для обеспечения чистого качения. При этом работа Рис. 6. силы тяжести приводит к увеличению кинетической энергии как поступательного, так и вращательного движений.

6.8. Уравнения равновесия и движения твердого тела Для свободного тела, которое может перемещаться в любом направлении условием равновесия является равенство нулю векторной суммы всех сил, приложенных к телу, т. е.

Fi 0. (6.13) i Если тело находится в состоянии равновесия, то при повороте его на бесконечно малый угол потенциальная энергия не изменяется.

Следовательно, элементарная работа, равная изменению потенциальной энергии, равна нулю. Тогда 2+…+ n.

= 1+ или М1 + М2 + … + Мn.

или = (М1 + М2 + … + Мn) = 0, т. к. 0, то М1 + М2 + … + Мn = 0. (6.14) Тело, имеющее ось вращения, находится в состоянии равновесия, если алгебраическая сумма всех моментов сил относительно этой оси равна нулю.

Любое твердое тело является механической системой с шестью степенями свободы.

Для описания движения такого тела необходимо написать шесть независимых скалярных уравнений или два независимых векторных уравнения, т. е. уравнение движения центра инерции d vc (6.15) F m тела dt и уравнение моментов dL М внеш (6.16) dt Замечание: Есть некоторые задачи, ответ которых оказывается неопределенным. Например: 1. задача о распределении веса абсолютно твердой балки между тремя опорами, на которых она лежит;

2. задача о равновесии стола, стоящего на горизонтальной плоскости.

Механические системы, подобные абсолютно твердой балке на трех опорах или идеально твердый стол с четырьмя ножками, стоящий на идеальной твердой горизонтальной поверхности, являются статически неопределенными системами, т. к. балку и стол нельзя в реальных условиях считать идеально твердыми.

6.9. Свободные оси вращения Неподвижность осей вращения обеспечивается наличием опор на концах оси (вала) вращающихся тел подшипников.

Любое тело произвольной формы имеет три взаимно перпендикулярных оси, проходящих через центр масс, которые называют свободными осями, или главными осями инерции.

Для тел правильной геометрической формы (куб, шар и др.) легко указать эти оси (оси симметрии, рис. 6.6).Главной особенностью осей вращения тел является то, что в отсутствие момента внешних сил относительно центра масс тело может неограниченно долго вращаться вокруг свободных осей и, что важно, положение осей остается неизменным в пространстве с Рис. 6.6 течением времени. Согласно теории гироскопов, вращение будет устойчивым относительно главных осей инерции только в отсутствие внешних сил, причем наиболее устойчивым будет относительно оси I с максимальным моментом инерции, и минимальным относительно оси II.

Относительно оси III наблюдается промежуточное состояние.

Это наглядно можно демонстрировать на ряде опытов, например, вращение стержня (рис. 6.7).

При этом имеется в виду, что геометрические оси и оси вращения совпадают.

Для быстро вращающихся тел (роторы центрифуг, турбин и т. д.) эти оси совместить невозможно, поэтому используют насадки на гибкий вал.

Тогда при вращении физическая и геометрическая оси будут сближаться, т. е.

система автоматически центрируется.

Например, центровка катушек акустических систем динамиков, громкоговорителей (зазор между магнитной системой заполняется магнитной жидкостью дисперсный порошок магнетита).

При включении напряжения катушка диффузора автоматически центрируется, что Рис. 6.7 приводит к повышению качества звучания.

6.10. Гироскоп При вращении твердого тела с закрепленной точкой опоры различают три оси вращения: 1 мгновенная ось, 2 ось вращения тела, 3 ось направления момента импульса.

Это положение широко применяется для массивных тел, вращающихся с большой угловой скоростью.

К таким телам относятся гироскопы.

Гироскопом называют массивное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг одной из главных осей инерции.

Гироскоп имеет ось симметрии, которая может совпадать с одной из свободных осей инерции, обычно это главная ось инерции, которой соответствует максимальный момент инерции.

Такую ось называют осью гироскопа.

Если при вращении гироскопа ось вращения не изменяет своего положения в пространстве, тогда вектор мгновенной угловой скорости лежит на этой оси (рис. 6.8).

Вектор момента импульса гироскопа L I также направлен вдоль этой оси.

Если по каким-то причинам ось момента импульса меняет свое направление в пространстве, то изменяет свое положение мгновенная ось и ось гироскопа, т. е. если изменяется положение одной из осей гироскопа, то это влияет на положение других.

Если ось вращения гироскопа проходит через центр масс, тогда его вращение будет свободным, так как момент силы тяжести равен нулю при малых силах трения в подшипниках.

В технике для этих целей используют карданов подвес.

Если момент внешних сил равен нулю, то момент импульса гироскопа остается постоянным.

При неподвижном гироскопе его ось может быть направлена произвольно.

Но если он приведен во вращение, тогда ось будет сохранять направление в пространстве.

Картина резко изменяется, если на гироскоп начнет действовать внешняя сила (рис.

6.8).

При этом возникает дополнительный момент импульса dL по направлению, совпадающий с вектором момента внешних сил.

После сложения получим результирующий вектор L ре з L dL, (6.17) Рис. 6.8 в направлении которого повернется на угол d ось гироскопа и ось момента импульса.

Движение оси, вдоль которой направлен момент импульса гироскопа под действием внешних сил, называют прецессией.

При этом в движении задействованы все три главные оси вращения гироскопа:

а) вдоль оси Х направлен вектор момента импульса гироскопа;

б) вдоль оси У направлен вектор момента силы тяжести;

в) относительно оси Z происходит вращение гироскопа.

Найдем угловую скорость прецессии (рис. 6.9).

Приращение модуля вектора момента импульса dL = (L sin ) d.

По определению мгновенной скорости, имеем d пр =.

dt Учитывая, что dL d =, Lsin получаем dL пр =.

L sin dt Из динамики вращательного движения dL известно, что = M, где М = r mg sin ;

dt (r = АС);

[sin( ) = sin, рис. 6.9].

Рис. 6. Следовательно, угловая скорость прецессии mgr mr g ).

пр = ( пр (6.18) L L Угловая скорость прецессии прямо пропорциональна модулю момента силы тяжести и обратно пропорциональна моменту импульса гироскопа, и не зависит от угла наклона оси вращения гироскопа.

Конец вектора момента импульса L описывает при прецессии окружность радиуса R, лежащую в горизонтальной плоскости (рис. 6.9).

M Вектор момента силы тяжести и вектор наведенного момента импульса d L, поворачиваясь одновременно при вращении гироскопа, остаются перпендикулярными вектору момента импульса L. Кроме того, векторы L, M и взаимно перпендикулярны, тогда пр M пр L.

При вращении гироскопа на его опоры через ось оказывают давление гироскопические силы. Момент гироскопических сил равен по величине и направлению моменту приложенных к гироскопу всех внешних сил.

Например, большие гироскопические силы возникают у винтомоторных самолетов, роторов турбин, вертолетов и т. п. Для устойчивого полета в автоматическом режиме ракет, снарядов, космических кораблей и т. д. устанавливают автопилоты, основными элементами их являются гироскоп и гирокомпас. Явление прецессии широко распространено в природе и технике.

Лекция 7. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД 7.1. Упругие и пластические деформации Под действием приложенных сил тела изменяют свою форму и объем, т. е. деформируются.

Для твердых тел различают деформации: упругие и пластические.

Упругими называют деформации, которые исчезают после прекращения действия сил, а тела восстанавливают свою форму и объем.

Пластическими называют деформации, которые сохраняются после прекращения действия сил, а тела не восстанавливают свою первоначальную форму и объем.

Пластическая деформация возникает при холодной обработке металлов: штамповке, ковке и т. д.

Деформация будет упругой или пластической зависит не только от свойств материала тела, но и от величины приложенных сил.

Тела, которые под действием любых сил испытывают только упругие деформации, называют идеально упругими.

Для таких тел существует однозначная зависимость между действующими силами и вызываемыми ими упругими деформациями.

Мы ограничимся упругими деформациями, которые подчиняются закону Гука.

Все твердые тела можно разделить на изотропные и анизотропные.

Изотропными называют тела, физические свойства которых по всем направлениям одинаковы.

Анизотропными называют тела, физические свойства которых различны по разным направлениям.

Приведенные определения являются относительными, так как реальные тела могут вести себя как изотропные по отношению к одним свойствам и как анизотропные – к другим.

Например, кристаллы кубической системы ведут себя как изотропные, если в них распространяется свет, но они анизотропны, если рассматривать их упругие свойства.

В дальнейшем ограничимся исследованием изотропных тел.

Наиболее широкое распространение в природе имеют металлы с поликристаллической структурой.

Такие металлы состоят из множества мельчайших произвольно ориентированных кристаллов.

В результате пластической деформации хаотичность в ориентации кристаллов может нарушиться.

После прекращения действия сил, вещество будет анизотропным, что наблюдается, например, при вытягивании и кручении проволоки.

Силу, отнесенную к единице площади поверхности, на которую они действуют, называют механическим напряжением n.

Если напряжение не превосходит предела упругости, то деформация будет упругой.

Предельные напряжения, приложенные к телу, после действия, которых оно еще сохраняет свои упругие свойства, называют пределом упругости.

Различают напряжения сжатия, растяжения, изгиба, кручения и т. д.

Если под действием сил, приложенных к телу (стержню), оно растягивается, то возникающие напряжения называют натяжением F T. (7.1) S Если стержень сжать, то возникающие напряжения называют давлением:

F P. (7.2) S Следовательно, Т = Р. (7.3) Если 0 – длина недеформированного стержня, то после приложения силы он получает удлинение.

Тогда длина стержня. (7.4) Отношение к 0, называют относительным удлинением, т. е.

Дл е. (7.5) л На основании опытов, Гуком установлен закон: в пределах упругости напряжение (давление) пропорционально относительному удлинению (сжатию), т. е.

Д PE (7.6) или Д Т P, (7.7) где Е – модуль Юнга.

Соотношения (7.6) и (7.7) справедливы для любого твердого тела, но до определенного предела.

До точки А (предел упругости) после На рис. 7. прекращения действия силы длина стержня приведен график возвращается к первоначальной (область зависимости удлинения упругой деформации).

от величины За пределами упругости деформация приложенной силы. становится частично или полностью необратимой (пластические деформации). Для большинства твердых тел линейность сохраняется почти до предела упругости. Если Рис. 7.1 тело продолжать растягивать, то оно разрушится.

Максимальную силу, которую нужно приложить к телу, не разрушая его, называют пределом прочности (т. Б, рис. 7.1).

Рассмотрим произвольную сплошную среду. Пусть она разделена на части 1 и 2 вдоль поверхности А–а–Б–б (рис. 7.2).

Если тело деформировано, тогда его части взаимодействуют между собой по поверхности раздела, вдоль которой они граничат.

Для определения возникающих напряжений кроме сил, действующих в сечении А–а–Б–б, нужно знать, как эти силы распределены по сечению.

Обозначим через dF силу, с которой тело действует на тело 1 на бесконечно малой площадке dS. Тогда напряжение в соответствующей точке на границе сечения тела dF n, (7.8) n dS где n – единичный вектор нормали к площадке dS.

Напряжение -n в той же точке на границе Рис. 7.2 сечения тела 2, такое же по величине, по противоположное по направлению, т. е.

n. (7.9) n Для определения механического напряжения в среде, на противоположно ориентированной площадке, в какой-либо ее точке, достаточно задать напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках: Sx, Sy, Рис. 7. S–, проходящих через эту точку, например, точка 0 (рис. 7.3).

Это положение справедливо для покоящейся среды или движущейся с произвольным ускорением.

В этом случае nx ny nz, (7.10) n x y z Sy Sx Sz где nx, ny, nz ;

(8.11) S S S S – площадь грани АВС;

n – внешняя нормаль к ней.

Следовательно, напряжение в каждой точке упруго деформированного x, y, z, тела можно характеризовать тремя векторами или девятью их проекциями на оси координат Х, У, Z:

xx, xy, xz, yx, yy, yz, (7.12) zx, zy, zz, которые называют тензором упругих напряжений.

7.2. Общие свойства газов и жидкостей Согласно классической механике газы и жидкости характеризуются как сплошные среды, в которых при равновесии касательные напряжения не возникают, так как они не обладают упругостью формы (кроме жидких пленок и поверхностных слоев жидкости). Касательные напряжения могут только вызвать изменение формы элементарных объемов тела, а не величины самих объемов. Для таких деформаций в жидкостях и газах усилий не требуется, так как в них, при равновесии, касательные напряжения не возникают.

Газы и жидкости обладают только объемной упругостью. В состоянии равновесия напряжения в них всегда нормальны к площадке, на которую они действуют, т. е.

Pn. (7.13) n Соответственно напряжение на площадках к координатным осям Px i, Py j, Pz k, x y z где i, j, k – координатные орты.


После подстановки последнего выражения в (7.10), получим Pn Px nx i Py ny j Pz nz k. (7.14) Скалярно умножив правую, и левую части выражения (7.14) на i, j, k найдем, что Р = Рх = Ру = Рz. (7.15) Таким образом, получили закон Паскаля: в состоянии равновесия величина нормального напряжения (давления) в газах или жидкостях не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

В случае газов нормальное напряжение всегда направлено внутрь газа, т. е. является давлением.

Как исключение, в жидкостях могут реализоваться натяжения (отрицательное давление), т. е. жидкость оказывает сопротивление на разрыв.

Так как обычные жидкости неоднородны, то в них напряжения также имеют характер давления. При переходе давления в натяжение происходит нарушение однородности сплошной среды. С этим положением связано то обстоятельство, что, газы обладают неограниченным расширением, т. е.

полностью занимают весь объем сосуда, в котором они заключены, а жидкости характеризуются собственным объемом в сосуде.

Давление, существующее в жидкости, вызвано ее сжатием. Поэтому упругие свойства жидкостей, по отношению к малым деформациям (касательные напряжения не возникают), характеризуются коэффициентом сжимаемости 1 dV (7.16) V dP или модулем всестороннего сжатия dP K V. (7.17) dV Формула (7.16) справедлива и для газов. Температура жидкости при сжатии остается постоянной. Малую сжимаемость жидкости можно проверить на ряде опытов. Например, при выстреле из винтовки в сосуд с водой, он разрывается на мельчайшие осколки. Это происходит потому, что при попадании пули в воду она должна либо сжать ее на величину своего объема, либо вытеснить наверх. Но для вытеснения недостаточно времени.

Поэтому происходит мгновенное сжатие – в жидкости возникает большое давление, которое и разрывает стенки сосуда. Аналогичные явления наблюдаются при взрывах глубинных бомб. Вследствие малой сжимаемости воды, в ней развиваются громадные давления, приводящие к разрушению подводных лодок.

Замечание: согласно теории «Великого Объединения» после горячего сингулярного состояния (10–20 млрд. лет назад), в первые мгновения возникновения Вселенной, за период 10 34 –10 32 с от начала расширения, решающую роль сыграла гравитация вакуума.

Свойства вакуума таковы, что вместе с плотностью энергии должны появиться и натяжения (как в упругом теле). Согласно теории, при температуре 1027 К и выше, существовало скалярное поле, которое обладало свойствами физического вакуума У такого поля имелось огромное отрицательное давление (натяжение), равное плотности энергии всего поля.

Такое поле называют «ложным вакуумом», его плотность 1074 г/cм3 = сonst.

В момент времени менее 10–34 с плотность расширяющейся реальной Вселенной была больше и гравитационные свойства «ложного вакуума» не проявлялись. При t =10 34c эти плотности стали равными. В этот момент и проявились свойства «ложного вакуума», вызвавшие стремительное расширение Вселенной при постоянной плотности «ложного вакуума». За период 10–34–10–32 с размеры Вселенной увеличились в 1050 раз.

Но состояние раздувающейся Вселенной неустойчиво. Температура и плотность обычной материи резко уменьшаются при таком темпе расширения. В это время происходит фазовый переход из состояния «ложного вакуума» с огромной плотностью в состояние, когда вся плотность массы (и энергии) переходит в плотность массы обычной материи. Это снова, привело к разогреванию вещества Вселенной до температуры 1027 К. Такой процесс сопровождался флуктуациями плотности первичного вещества Вселенной в силу квантовой природы материи. В веществе материи возникают звуковые волны. После дальнейшей эволюции вещества материи происходит возникновение протогалактик и других космических объектов. В настоящее время размер наблюдаемой области Метагалактики составляет 1010 световых лет, а полный размер ее 1033 световых лет.

7.3. Кинематика движущейся жидкости При движении жидкости можно проследить, что происходит с течением времени в каждой ее точке, т. е. можно указать величину и направление скорости движения различных частиц жидкости, которые в разные моменты времени проходят через одну и ту же точку пространства.

При фиксированном времени в пространстве возникает мгновенная картина распределения скоростей жидкости – поле скоростей.

Следовательно, в каждой точке пространства можно указать вектор скорости любой частицы, проходящей через эту точку в данный момент времени.

Линию, касательная к которой указывает направление скорости движения частицы, проходящей в рассматриваемый момент времени через эту точку касания, называют линией тока.

Если поле скоростей и соответствующие ему линии тока, не изменяются с течением времени, то движение жидкости называют стационарным.

Рассмотрим произвольный замкнутый контур L, в котором через каждую его точку, в один и тот же момент времени, проведены линии тока (рис. 7.4).

Они образуют поверхность, Рис. 7. называемую трубкой тока.

Скорости частиц жидкости направлены по касательным к линиям тока.

При течении жидкости они не пересекают боковой поверхности трубки тока.

На такие трубки тока можно разбить все пространство, занимаемое жидкостью.

Если поперечное сечение трубки тока бесконечно мало, то скорость частиц жидкости будет направлена вдоль оси трубки тока.

Массу жидкости, протекающую через поперечное сечение трубки тока за время dt, можно определить по формуле dm = S(vdt), (7.18) где – плотность жидкости;

S – площадь поперечного сечения трубки тока, нормально расположенной к линиям тока.

Для сечений трубки тока при стационарном течении жидкости dm = сonst.

Для двух произвольных поперечных сечений трубки тока S1 и S2 (рис.

7.4) выполняется равенство 1v1S1 = 2v2S2 (7.19) Если жидкость несжимаема, то 1= 2, тогда формула (7.19) принимает вид v1S1 = v2S2, (7.20) т. е. скорость течения жидкости обратно пропорциональна площади поперечного сечения трубки тока.

7.4. Стационарное движение идеальной жидкости Вследствие малой сжимаемости жидкости во многих случаях можно полностью пренебречь изменением ее объема, т. е. можно говорить об абсолютно несжимаемой жидкости.

Жидкость, в которой при любых движениях не возникают силы внутреннего трения, называют идеальной.

В идеальной жидкости могут существовать только силы нормального давления, которые можно вычислить с помощью уравнения состояния Р = f(, T).

Рис. 7. Если жидкость находится в движении, то наряду с нормальным напряжением в ней могут возникнуть и касательные силы, которые определяются скоростью деформации жидкости, т. е. равны производным деформации по времени. Поэтому их относят к разряду сил трения, или вязкости.

Рассмотрим стационарное движение идеальной жидкости в потенциальном поле сил (например, поле силы тяжести).

Работа, совершаемая силами давления при перемещении некоторой массы жидкости P1 P A A1 A2 m, (7.22) 1 где А1 – работа по перемещению левой границы АБ объема жидкости;

А2 – работа по перемещению правой границы ВГ объема жидкости против давления Р2 (рис. 7.5);

m – масса жидкости;

1 и 2 – плотности жидкости слева и справа в рассматриваемом объеме, соответственно.

Эта работа равна приращению полной энергии W, рассматриваемого объема жидкости (закон сохранения энергии для стационарного движения жидкости).

Изменение полной энергии W = (w2 – w1) m, (7.23) где w1, w2 – полные энергии, приходящиеся на единицу массы жидкости до и после перемещения соответственно. Используя формулы (7.22) и (7.23),получаем P1 P Рис. 7. w1 w2 const. (7.24) 1 Следовательно, при стационарном течении идеальной жидкости вдоль P одной и той же линии тока, величина w остается постоянной.

Полученную формулу (7.24) называют уравнением Д. Бернулли, которое справедливо и для сжимаемой жидкости.

Если жидкость несжимаема, то при ее течении не изменяется та часть полной энергии w, которая зависит от степени сжатия жидкости.

v Вся полная энергия w состоит из кинетической энергии w k и потенциальной энергии в поле силы тяжести wр= gh. Поэтому уравнение Бернулли принимает вид v2 P gh const. (7.25) Если тонкая трубка тока имеет переменное сечение (ее ось – горизонтальна), то h = сonst и уравнение (7.25) принимает более простой вид:

v2 P const. (7.26) Вывод: Давление в сечении трубки тем больше, чем меньше скорость течения жидкости. Согласно (7.26), скорость минимальна там, где максимально сечение трубки. Следовательно, в широких частях трубки давление максимально, а в узких – минимально.

На основании уравнений (7.26) и (7.24) можно сказать, когда при течении жидкости или газа они являются несжимаемыми.

Если рассматривать истечение идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или на дне сосуда, то частицы жидкости подходят к отверстию, имея скорость в поперечных направлениях. Из-за инерции это вызывает сжатие вытекающей струи (рис. 7.6).

Чтобы этого не наблюдалось, у отверстия закругляют края. Поэтому линии тока перед истечением постепенно изменяют направление на параллельные оси трубки, и сжатие струи не происходит (за исключением небольшого сжатия, вызванного силами поверхностного натяжения).

Применив уравнение Д. Бернулли к точкам А и Б произвольной линии тока (рис. 7.6), получим равенство v2 P0 P gh, (7.27) где v – скорость жидкости в точке Б ( в точке А скорость пренебрежимо мала);

Р0 – атмосферное давление;

h – высота столба жидкости.

Из (7.27) имеем v2 = 2gh.

(7.28) Равенство (7.28) называется формулой Торричелли.

Рис. 7.7 Для измерения скорости потока жидкости (газа) используют трубку Вентури (рис. 7.7).

7.5. Уравнения равновесия и движения жидкости Все силы, действующие в любой сплошной среде, разделяют на силы массовые (объемные) и поверхностные. Массовая сила прямо пропорциональна массе dm (или объему dV) элемента жидкости, на который она действует. Обозначим массовую силу через fdV, где f – называют объемной плотностью массовых сил. К массовым силам относят силы тяжести и силы инерции (в неинерциальных системах отсчета). В случае силы тяжести объемная плотность массовых сил f = g, где – плотность жидкости;


g – ускорение свободного падения.

Поверхностными называют силы, действию которых подвергается каждый объем жидкости, из-за касательных и нормальных напряжений к его поверхности со стороны окружающих частей жидкости.

Рис. 7.8 Если жидкость идеальная (или реальная вязкая жидкость покоится), то в ней действуют только силы нормального давления (при любом движении идеальной жидкости). Найдем проекцию результирующей сил давления на ось X, действующих на бесконечно малый объем dV (рис. 7.8).

Сила давления, действующая на левое основание равна произведению Р(х)dS, на правое – Р(х + dx)dS. Тогда проекция сил давления на ось Х, т. е.

[P(x) – P(x + dx)]dS или P P dSdx dV.

x x Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны к оси Х.

Поэтому проекции этих сил на ось Х равны нулю.

fS, вызванная На единицу объема жидкости действует сила поверхностными силами давления, т. е.

P P P (7.29) fS i j k, x y z где P P P fSx, fSy, fSz x y z или gradP. (7.30) fS Следовательно, объемная плотность результирующей сил давления, действующая на элементы объема жидкости, равна градиенту скаляра Р, взятому со знаком « », т. е. эта сила вызвана не величиной давления Р, а его изменениями в пространстве.

Сама величина Р определяет степень сжатия жидкости в рассматриваемой точке пространства. В состоянии равновесия сила fS уравновешена массовой силой f, т. е.

fS gradP. (7.31) Формулу (7.31) называют основным уравнением гидростатики.

В координатной форме основное уравнение гидростатики записывается в виде P P P. (7.32) fx, fy, fz x y z Для идеальной жидкости основное уравнение гидростатики имеет следующий вид:

dv f gradP, (7.33) dt dv где ускорение жидкости в рассматриваемой точке пространства;

v – dt скорость;

– плотность. Формулу (7.33) называют уравнением Эйлера.

Вывод: Из уравнения (7.31) следует, что при равновесии жидкости сила f (сила, действующая на единицу объема жидкости) выражается градиентом однозначной скалярной функции.

Это положение является необходимым и достаточным условием того, чтобы сила f была потенциальной. В не потенциальных силовых полях равновесие невозможно.

7.6. Гидростатика несжимаемой жидкости В отсутствии массовых сил (f = 0) уравнение (7.32) принимает вид:

P P P 0. (7.34) x y z Следовательно, при равновесии давление по всем направлениям в объеме жидкости или газа одно и то же.

Если жидкость помещена в силовое поле, например, в поле силы тяжести Земли, то f = g.

Если ось Z направлена вертикально вверх, то основное уравнение равновесия принимает вид P P P g, (7.35) 0, x y z Рис. 7. т. е. давление при равновесии не зависит от координат х и у (Р = сonst в каждой горизонтальной плоскости z = сonst – плоскости равного давления).

Поэтому свободная поверхность жидкости является горизонтальной.

Следовательно, при равновесии, давление зависит лишь от координаты z.

Из уравнения P g z следует, что при механическом равновесии произведение g также является функцией только координаты z.

Согласно уравнению состояния (7.21) температура жидкости определяется давлением и плотностью.

Вывод: В случае механического равновесия давление, плотность и температура жидкости являются функциями координаты z и не зависят от координаты х и координаты у.

Если жидкость однородна по составу, то после интегрирования уравнения P g z имеем Р = Р0 – gz, (7.36) где Р0 – атмосферное давление жидкости на высоте z = 0.

Формула (8.36) позволяет определить давление на дно и стенки сосуда, в том числе и на поверхность, погруженного в жидкость (газ) любого тела.

7.7. Закон Архимеда Выделим в жидкости произвольный объем, ограниченный некоторой замкнутой поверхностью S (рис. 7.9). При равновесии жидкости обращается в нуль равнодействующая сила и момент всех внешних сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости.

Равнодействующая сил гидростатического давления, действующая на поверхность S, равна весу жидкости G в объеме, ограниченном поверхностью S, направлена вертикально вверх и проходит через центр масс этого объема жидкости.

Сила G и сила давления на поверхность S, со стороны окружающей жидкости, являются внешними силами. Если удалить из Рис. 7. выделенного объема всю жидкость и на ее место поместить любое твердое тело такого же объема, то при равновесии в состоянии окружающей жидкости никаких изменений не произойдет. Не изменится и давление на поверхность S тела.

Давление, на погруженное в жидкость тело увеличивается с глубиной погружения по закону Р = gh. Архимед установил закон На тело, погруженное в жидкость или газ, при равновесии действует выталкивающая сила (сила Архимеда), численно равная весу жидкости (газа), вытесненной телом, направленная вертикально вверх.

Fa= gV, (7.37) где – плотность жидкости (газа);

g – ускорение свободного падения;

V – объем вытесненной телом жидкости (газа).

Для равновесия тел необходимо, чтобы вес вытесненной жидкости (газа) и сила Архимеда были направлены вдоль прямой, проходящей через центр масс жидкости, вытесненной телом, называемый центром плавучести тела (точка А, рис. 7.9). Положение центра плавучести тела определяет равновесие и устойчивость плавающего тела. Центр плавучести (точка А) лежит на одной вертикали с центром масс тела (точка С), помещенного в жидкость (рис. 7.10, а).

При Fa = G тело плавает внутри жидкости (газа).

При Fa G тело всплывает, а при Fa G – тонет.

Любое тело, плавающее на поверхности жидкости (Fa G), при смещении его из положения равновесия, изменяет форму вытесненного им объема жидкости, что вызывает изменение положения центра плавучести относительно плавающего тела.

В этом случае при равновесии центр масс корабля и центр плавучести лежат на одной прямой, совпадающей с вертикальной осью симметрии корабля.

При наклоне корабля центр плавучести смещается относительно корабля в точка А* (рис. 7.10, а, б). Сила Архимеда теперь проходит через точку А* и линия ее действия пересекает вертикальную ось симметрии корабля в точке М, называемую метацентром. Если метацентр лежит выше центра масс корабля, то момент пары сил Fa и G будет возвращать корабль в исходное, устойчивое положение. В этом случае равновесие корабля будет устойчивым.

Если метацентр лежит ниже центра масс корабля, то равновесие его неустойчиво.На законе Архимеда основано действие ареометра – прибора для измерения плотности. Различают ареометры постоянной массы – для жидкостей и постоянного объема – для Рис. 7.10 твердых тел.

7.8. Гидродинамика вязкой жидкости При движении реальной жидкости (газа), кроме сил нормального давления, между движущими ее слоями действуют касательные силы внутреннего трения (вязкости).

Согласно уравнению Д. Бернулли (7.24) при течении жидкости по горизонтальной, прямой трубе постоянного сечения, в которой отсутствуют силы внутреннего трения, при стационарном режиме, давление жидкости одинаково по всей длине трубы.

При течении вязкой жидкости давление падает в направлении ее течения (рис. 7.11).

Для осуществления стационарного течения жидкости на концах трубы необходимо поддерживать постоянную разность давлений, которая уравновешивается силами внутреннего трения, возникающими при ее течении.

Рис. 7.11 Если жидкость находится во вращающемся сосуде, то постепенно она также приходит во вращение.

Сначала начинают вращаться слои жидкости, прилегающие к стенке сосуда (за счет сил внешнего трения), затем вращение передается внутренним слоям (за счет сил внутреннего трения).

Вращение происходит при возникновении касательных сил между стенкой сосуда и жидкостью и между слоями жидкости, вращающимися с различными угловыми скоростями, пока вся жидкость не начнет вращаться, как твердое тело.

Природа сил внутреннего трения рассмотрена в разделе «Вязкость».

Здесь же остановимся только на количественных законах внутреннего трения.

Для равномерного перемещения подвижной пластины со скоростью v необходимо к ней приложить постоянную силу, направленную в сторону течения жидкости.

В этот момент на неподвижную пластину будет действовать равная по величине, но противоположно направленная сила, чтобы удержать ее в покое.

Рис. 7.17 Сила внутреннего трения v F S, h где – коэффициент вязкости, зависит от вещества жидкости и ее температуры, но не зависит от материала пластины;

S – площадь пластины;

h – расстояние между пластинами.

Если обе пластины движутся: верхняя – со скоростью v1, нижняя – со скоростью v2, то формула (7.48) принимает вид v2 v F S. (7.49) h При движении жидкости в направлении оси Х со скоростью v x, которая зависит только от координаты у [т. е. vx = vx(y), vy = vz = 0], действует касательная сила ух (индекс у указывает направление внешней нормали к верхней границе слоя, индекс х – направление действия силы) на единицу площади верхней границы слоя, со стороны вышележащих слоев жидкости.

Следовательно, vх, (7.50) ух у где ух = F/S.

Формула (7.50) справедлива для любого вида движения, причем касательные напряжения действуют не только в направлении течения жидкости, но и в плоскости, перпендикулярной течению, т. е. ух = ху.

7.9. Формула Пуазейля. Течение жидкости по трубе При течении вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрической трубе радиуса R линии тока ее параллельны оси трубы.

Выделим произвольную бесконечно узкую трубку тока.

Из условия не сжимаемости жидкости следует, что скорость течения v будет постоянной вдоль всей трубки тока, но может изменяться по мере удаления от оси трубы, т. е.

v = f(r), где r – расстояние от оси трубы.

Выделим в трубе произвольный бесконечно малый цилиндрический элемент длины dx и радиуса r.

Ось Х совпадает с направлением течения жидкости и направлена вдоль оси трубы (рис. 7.12).

Рис.7. В направлении течения жидкости на боковую поверхность действует касательная сила внутреннего трения dv dF1 2 rL dx, (7.51) dr где – коэффициент вязкости;

L – длина трубы.

На оба основания цилиндра в том же направлении действует сила разности давлений dP r 2 P x P x dx r dF2 dx. (7.52) dx В случае стационарного течения жидкости результирующая сумма этих сил равна нулю, т. е.

dv dP 2L r. (7.53) dr dx Скорость v(r) = сonst и ее производная dv const.

dr Следовательно, должна быть постоянной и производная dР const, dх т. е.

Р2 Р dР const, dх L где Р1, Р2 – давления на входе и выходе трубы, соответственно.

Таким образом, Р1 Р dv r. (7.54) dr 2L После интегрирования выражения (8.54), получим Р1 Р 2 v r C.

4L Постоянную интегрирования С определим из условия, что на стенке трубы скорость течения жидкости должна обращаться в нуль при r = R, т. е.

Р1 Р2 2 v R r. (7.55) 4L Из формулы (7.55) следует, что скорость течения жидкости будет максимальной на оси трубы при r = 0:

р1 р 2 vмах R.

4L При удалении от оси трубы скорость течения изменяется по параболическому закону (рис. 7.13).

Определим ежесекундный расход жидкости при протекании ее через поперечное сечение трубы.

Массу жидкости, протекающую за одну секунду (расход жидкости) через сечение с внутренним r и внешним r + dr радиусами трубы, запишем в виде:

dQ= 2 rdr v. (7.56) Подставим значение скорости v из формулы (7.55) в (7.56).

Тогда полный расход жидкости R P1 P R2 r 2 rdr.

Q 2L Рис. 7.13 После интегрирования получим формулу Пуазейля:

P1 P2 Q R. (7.57) 8L Вывод: расход жидкости прямо пропорционален разности давлений на входе и выходе трубы, четвертой степени ее радиуса, плотности жидкости;

обратно пропорционален коэффициенту вязкости и длине трубы.

7.10. Закон подобия Пусть поток жидкости обтекает произвольное тело или систему тел.

Можно ввести бесконечное множество подобных систем и подобно расположенных тел, обтекаемых потоком другой жидкости.

Найдем условия, при которых оба потока будут механически подобны.

Зная характер течения для одной системы можно предсказать вид течения жидкости для другой. Это позволяет вместо реальных морских судов, самолетов, ракет, космических кораблей и т. д., проводить испытание их уменьшенных моделей.

Если поперечные сечения труб подобны, то они различаются только размерами. Поэтому для каждого сечения можно установить, так называемый характерный размер. Например, для цилиндрических труб эллиптического сечения за характерный размер можно принять длину большой или малой полуосей. Задание характерного размера должно определять и все прочие размеры поперечных сечений.

Рассмотрим поток жидкости, обтекающий какое-либо тело или систему тел, который характеризуется радиус-вектором r и скоростью жидкости v, в подобно расположенных точках. Введем характерный размер L и характерную скорость потока v0.

Свойства самой жидкости характеризуются плотностью, коэффициентом вязкости и сжимаемостью. Вместо сжимаемости удобнее использовать скорость звука u в жидкости.

При наличии силы тяжести жидкость будем характеризовать ускорением свободного падения g. При нестационарном течении жидкости необходимо ввести характеристическое время, за которое происходит изменение характера течения.

Используя уравнение движения, установим функциональную связь между следующими величинами: r, v, L, v0,, u, g и в виде шести независимых безразмерных комбинаций, т. е.

Lv 0 Lv v r,, Re – число Рейнольдса, v0 L где ;

v 0 – число Фруда;

F gL v – число Маха;

M (7.58) u v – число Струхаля.

S L Согласно правилам размерности, одна из этих комбинаций является функцией остальных, например, v r f, Re, F, M, S. (7.59) v0 L Если для двух различных течений пять из шести комбинаций совпадают, то совпадают и шестые.

Это положение является общим законом подобия течений.

Кинетическая энергия жидкости 1 Wk ~ v0 L.

Работа сил внутреннего трения A ~ v0 L2.

Тогда Wk Lv Re. (7.60) ~ A Вывод: Число Рейнольдса определяет относительную роль инерции и вязкости при течении жидкости или газа.

При больших Re основную роль выполняет инерция, а при малых – вязкость.

Для стационарного течения характерное время и число Струхаля S обращаются в бесконечность.

Число Маха в несжимаемой жидкости обращается в нуль.

Следовательно, v r f, Re, F. (7.61) v0 L Таким образом, течения подобны, если они имеют одинаковые числа Рейнольдса Re и Фруда F.

При Re 2000 течение является ламинарным, а при Re 2000 – турбулентным.

Замечание: При испытаниях на моделях применяется та же жидкость, в которой должна двигаться реальная система, поэтому критерии подобия Фруда и Рейнольдса (7.58) несовместимы друг с другом.

Действительно, представим эти критерии в виде L1 v 1 L2 v, 1 v2, v1 g1L1 g2 L где индекс 1 относится к реальной системе, а индекс 2 – к ее уменьшенной модели.

Чтобы добиться одновременного выполнения критерия Рейнольдса и Фруда необходимо применять жидкости с различными кинематическими вязкостями, что в большинстве случаев нереально.

Поэтому при испытаниях на моделях может выполняться только один из этих критериев.

Например, если число Рейнольдса велико, а число Фруда мало (порядка единицы), то движение жидкости в основном будет определяться инерцией и силой тяжести.

Так как влияние числа Рейнольдса мало, для подобия течения необходимо выполнение одного критерия Фруда (подобие будет иметь место при равенстве чисел Фруда).

При малых же числах Рейнольдса и больших числах Фруда главную роль выполняют инерция и вязкость, влияние силы тяжести незначительно (подобие наблюдается при равенстве чисел Рейнольдса).

7.11. Формула Стокса Рассмотрим движение тела в жидкости (например, при осаждении мелких частиц – седиментации). На частицу радиуса R при осаждении действуют три силы: сила тяжести G, сила сопротивления среды Fc и сила Архимеда Fa (рис. 7.14).

Для описания движения частицы относительно жидкости используется число Рейнольдса Rv Re,, (7.62) где v – cкорость частицы, R – ее характерный размер.

Замечание: Это число Рейнольдса отличается от числа Рейнольдса в случае течения жидкости, например, в трубе, т. к. относится к различным явлениям.

Рис. 7.14 Если число Рейнольдса много меньше единицы (для малых частиц, порошков и т. д., имеющих размеры порядка 0,1–0,05 мм и меньше), то обтекающий частицу поток жидкости является ламинарным.

При этом сила сопротивления Fc = bv, где b – коэффициент, зависящий от размеров и формы частицы и от вязкости жидкости.

Для частиц сферической формы радиуса R b=6 R. (7.63) Следовательно, сила сопротивления будет иметь вид (формула Стокса) Fc = 6 R v. (7.64) При наличии турбулентности сила сопротивления Fc ~ v2, а число Рейнольдса заключено в интервале (1–10). Формула (7.64) применяется для расчетов при проведении ряда физических опытов: определение заряда электрона методом Милликена, при изучении броуновского движения и т. п.

7.12. Потенциальное и вихревое движения Согласно классической механике, все движения жидкостей разделяются на потенциальные и вихревые.

Рассмотрим поле скоростей жидкости v(r) в некоторый фиксированный момент времени. Выделим в жидкости произвольный замкнутый контур L, с указанием направления обхода (рис. 7.15). Введем единичный вектор касательной и элемент длины dS контура L, взятые Рис. 7.15 в положительном направлении.

Циркуляцией вектора скорости по замкнутому контуру L называют интеграл Г vdS (7.65) L Г v dS.

или (7.66) L Если циркуляция вектора скорости по любому замкнутому контуру обращается в нуль, то движение жидкости называют потенциальным, если не равна нулю – вихревым. Определение потенциальности течения жидкости аналогично определению консервативных сил.

Следовательно, при потенциальном течении линейный интеграл v d S, взятый вдоль незамкнутой кривой, соединяющий точки А и Б, АБ зависит только от координат этих точек, но не зависит от формы кривой АБ.

По аналогии с потенциальной энергией можно ввести функцию координат, через которую скорость v определяется формулой v = grad, (7.67) где – потенциал скоростей.

Всякое течение идеальной жидкости, возникающее из состояния покоя под действием консервативных сил, является потенциальным. Примером потенциального течения является течение жидкости вдоль параллельных прямых линий с постоянной скоростью. Примером вихревого движения является плоское течение, в котором жидкость вращается по концентрическим окружностям с постоянной угловой скоростью (твердотельное вращение, рис. 7. 16). Циркуляция скорости по окружности радиуса R в этом случае Г = 2 R2. (7.68) Отношение Г 2 (7.69) S не зависит от радиуса R. Если угловая скорость вращения жидкости зависит от радиуса (дифференциальное вращение, например, галактик: Андромеда, нашей галактики – «Млечный Путь» и ряда других), то берут предел этого отношения при R 0, т. е.

Г lim 2. (7.70) R R Следовательно, этот предел равен удвоенному значению угловой скорости, с которой вращаются частицы жидкости вблизи оси 0, и называется вихрем, или ротором скорости v, т. е.

rot v 2. (7.71) Рис. 7.16 Если ротор скорости v известен в каждой точке жидкости, то можно найти циркуляцию скорости по любому замкнутому контуру, интегрируя значение ротора скорости v в каждой точке, лежащей внутри контура (рис.

7.17). Рассмотрим движение идеальной жидкости.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.