авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |

«ШЕМЯКОВ Н.Ф. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ Ч 1. Физические основы механики; Колебания и волны; Молекулярная физика и ...»

-- [ Страница 4 ] --

Пусть эта жидкость находится во вращающемся сосуде. Если она вращается вместе с сосудом как твердое тело, то частицы, расположенные на расстоянии R от оси сосуда, будут иметь скорость R. Такое твердотельное распределение v= скорости легко получить, если жидкость заморозить и привести во вращение с угловой скоростью, а затем ее разморозить.

Рис.7.17 Используя рис. 7.17, найдем ротор скорости в некоторой точке.

Циркуляция скорости по контуру ABCD (R12 – R22).

Г = (R1v1 – R2v2) = Площадь этого контура R1 R S R1 R2.

Следовательно, Г 2 и rot v 2.

S Теперь рассмотрим течение идеальной жидкости с таким распределением скоростей, для которого в каждой точке rot v 0.

В этом случае свойство потенциальности сохраняется с течением времени, что является следствием закона сохранения момента импульса.

Однако потенциальность поля скоростей еще не означает отсутствие вихревого движения.

Например, рассмотрим воронку водоворота.

При удалении от его центра скорость убывает обратно пропорционально расстоянию:

A v(r) r где А – некоторый параметр, характеризующий мощность вихря, а циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, например, по контуру ABCD (рис. 7.17) равна нулю.

Следовательно, в каждой точке rot v 0 и течение жидкости в водовороте потенциально, за исключением центра воронки водоворота.

Циркуляция скорости по любому контуру вокруг него не зависит от выбора контура и равна Г = 2 A, а ротор вектора скорости в этой точке бесконечно велик.

Оценим энергию W, приходящуюся на единицу длины такого вихря.

Для этого просуммируем кинетическую энергию Wk, т. е.

v2 A2 (7.72) dWk dV dv, 2 r где dV – бесконечно малые объемы жидкости, находящиеся на расстоянии r от оси вихря по всему объему сосуда;

– плотность жидкости.

Если характерный размер сосуда 2R, то R рсA 2 лn. (7.73) W a 7.13. Разрывные течения. Подъемная сила крыла Рассмотрим силовые действия потока жидкости или газа на помещенные в них тела. Силу F, действующую со стороны потока на тело, можно разложить на две составляющие: одну в Рис. 7.23 направлении потока (Fх) и вторую (Fy) – перпендикулярную потоку. Сила F зависит от формы и размеров тел, от ориентации тела относительно потока, относительно скорости потока и свойств жидкости. Силу Fx называют лобовым сопротивлением.

Силу Fy – подъемной силой, которая, например, действует на крылья самолетов или морских судов на подводных крыльях. Эта сила может быть направлена как вверх, так и вниз, в зависимости от ориентации крыльев относительно направления движения. Лобовое сопротивление слагается из двух сил: силы, возникающей за счет разности давлений на переднюю и заднюю поверхности тела, и вязких сил внутреннего трения.

При больших числах Рейнольдса (большие скорости движения) преобладают силы за счет разности давлений, при малых числах Рейнольдса – силы внутреннего трения. В дальнейшем в основном будем рассматривать стационарное течение идеальной жидкости. Если нет внешних сил, то жидкость течет параллельным потоком. При внесении в жидкость тела нарушается параллельность потока вблизи него (рис. 7.18).

Но на достаточно больших расстояниях от тела поток остается параллельным. По истечении некоторого времени движение жидкости устанавливается.

Если тело в такой жидкости движется равномерно, то при стационарном течении идеальной жидкости лобовое сопротивление будет равно нулю (парадокс Даламбера). Этот вывод относится только к лобовому сопротивлению, но не подъемной силе и моменту силы, с которым поток жидкости действует на тело.

Момент сил, относительно центра масс, равен нулю, когда тело симметрично и расположено Рис. 7. симметрично относительно потока. Если тело движется с ускорением, то парадокс Даламбера не возникает.

Парадокс Даламбера легко объясняется, если рассмотреть распределение линий тока. На рис. 7.18 изображены линии тока при стационарном обте-кании шара или цилиндра идеальной жидкостью, они симметричны, а скорости частиц жидкости в соответствующих точках перед, и за телом, равны по величине и отличаются только направлением. В уравнение Д. Бернулли скорость входит в квадрате.

Следовательно, распределение давления в потоке перед телом и за телом одинаково. Давление на переднюю поверхность тела уравновешивается давлением на заднюю поверхность,сила лобового сопротивления равна нулю.

Сила лобового сопротивления всегда направлена по течению, поэтому при обращении течения она должна изменить знак, следовательно, Fх = 0.

К подъемной силе это не применимо, так как нет оснований, утверждать, что при обращении направления потока должна изменить направление и подъемная сила. При стационарном течении жидкости поток ее является непрерывным. Однако в некоторых случаях уравнения гидродинамики допускают и такие стационарные течения, в которых скорость жидкости испытывает разрыв непрерывности, что было исследовано впервые Кирхгофом.

Так как в идеальной жидкости при любых движениях не могут возникать касательные силы, то возможны разрывные течения, в которых касательные составляющие скорости течения жидкости претерпевают разрыв на некоторой поверхности (неподвижной или движущейся). Такие течения называют тангенциальными разрывами, которые в несжимаемой жидкости гидродинамически неустойчивы.

Сами поверхности разрыва распадаются в вихри. Они характеризуются тем, что на некоторой линии обтекания тела происходит отрыв течения от тела. Таких течений можно представить бесчисленное множество. Они будут отличаться друг от друга только положением линии отрыва ВС и формой поверхности тангенциального разрыва АВСД (рис. 7.19).

Давление в области, где жидкость покоится, равно давлению на линии ВС, которое меньше давления в критической точке К.

Следовательно, равнодействующая сил давления, действующих на лобовую поверхность тела, превышает силу давления на заднюю поверхность тела, что и приводит к возникновению лобового сопротивления.

Если существует вязкость, то силы внутреннего трения мало существенны вдали от обтекаемого тела, так как малы.

Их влияние проявляется главным образом в тонком пограничном слое вблизи поверхности тела, где они велики, что и вызывает отрыв течения от тела. В результате вместо области застоя за телом возникает область интенсивного турбулентного движения, наличие которой и обуславливает Рис. 7.19 возникновение лобового сопротивления.

Существующие силы вязкости автоматически устраняют неоднозначность в положении линии отрыва, характерного для разрывных течений идеальной жидкости.

Чем уже область отрыва, тем меньше лобовое сопротивление. С целью его уменьшения самолетам и другим летательным аппаратам придают «обтекаемую форму».

В потоке вязкой жидкости силы внутреннего трения вызывают прилипание молекул жидкости (газа) к поверхности обтекаемого тела.

Толщина пограничного слоя зависит не только от свойств среды, но и от формы поверхности тела и возрастает в направлении потока от передней части тела к задней (числа Рейнольдса невелики).

Скорость в пограничном слое меняется в направлении, перпендикулярном слою, что приводит к вихревому движению в нем из-за существования момента импульса. Пограничный слой в задней части тела периодически отрывается от поверхности тела и приводит к качественным изменениям процесса обтекания.

Представление о пограничном слое можно использовать только для передней части тела, который распространяется до того места, где происходит отрыв течения от поверхности (линия отрыва).

Начиная с линии отрыва, за телом возникает область течения, длина которой намного больше характерного размера самого тела. Средняя скорость в этой области (куда попадают частицы из пограничного слоя) меньше скорости натекающего потока, а само течение – вихревое (турбулентное).

Эта область называется «следом». Наличие «следа» объясняет ту часть лобового сопротивления, которая обусловлена разностью давлений на переднюю и заднюю кромки тела. Чем шире область отрыва (шире «след»), тем больше лобовое сопротивление (рис. 7.24).

Существование следа используется при объяснении происхождения подъемной силы, в частности, действующей на крыло самолета и морских судов на подводных крыльях. Для возникновения подъемной силы необходимо, чтобы было несимметрично само крыло или оно несимметрично расположено относительно набегающего потока.

Применение закона сохранения момента импульса позволяет объяснить возникновение подъемной силы крыла. В начальный момент движения самолета на задней кромке крыла возникает вихрь (рис. 8.25), в котором воздух движется против часовой стрелки.

Достаточно развившись, вихрь отрывается от крыла и уносится потоком воздуха. Масса воздуха, унесенная вихрем, имеет некоторый момент импульса.

Так как момент импульса изолированной системы крыло-воздух должен остаться неизменным, то вокруг крыла возникает замкнутое циркулирующее течение в направлении, противоположном движению воздуха в вихре (рис. 7.20).

Над крылом скорость основного потока и циркулирующего по направлению совпадают, а под крылом их направления – противоположны.

Рис. 7.20 В результате под крылом возникает область повышенного давления, а над крылом – пониженного (этот же вывод следует и из уравнения Д. Бернулли).

Тогда результирующая сила давлений, действующих на поверхность крыла, будет направлена вверх и вызывает подъемную силу.

Зависимость величины подъемной силы от циркуляции скорости была установлена Жуковским и Кутта.

Согласно теореме Жуковского о циркуляции скорости для крыла, формула подъемной силы имеет вид Fy = vГ, (7.74) где – плотность воздуха;

– длина крыла;

v – скорость потока;

Г – циркуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему крыло.

Циркуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему крыло, Г dv, (7.75) где d – длина хорды;

– угол атаки.

Углом атаки называют угол между направлением потока и хордой крыла (рис. 7.25).

Подъемную силу часто записывают в виде:

C yS v 2 / 2, (7.76) Fy где S – площадь сечения крыла (миндаль);

Су – коэффициент подъемной силы, безразмерная величина, зависящая от числа Рейнольдса Re, от отношения длины крыла к его хорде и угла атаки.

Силу лобового сопротивления находят по формуле C x S v 2 /2, (7.77) Fx где S – площадь сечения минделя;

Сх – коэффициент лобового сопротив ления, безразмерная величина;

является функцией числа Рейнольдса и учитывает свойства среды и форму тела.

Качеством крыла является коэффициент Fx С х k. (7.78) Fу С у Силу лобового сопротивления можно уменьшить, придавая самолетам (в том числе и крыльям) обтекаемую форму.

На рис. 7.21 приведены силы лобового сопротивления для цилиндра, шара и тела каплевидной формы.

Рис. 7. Для испытания крыла и летательных аппаратов используют аэродинамические трубы – обычные и сверхзвуковые.

В связи с рассмотренным, интересен, и нагляден для демонстрации на лекции эффект Магнуса.

Если неподвижный цилиндр обтекается равномерным потоком воздуха, перпендикулярным к его оси, то из-за симметрии возникает только лобовое сопротивление, подъемная сила не возникает.

Если же цилиндр привести во вращение и опустить, то появится и подъемная сила, перпендикулярная к внешнему потоку.

Сам цилиндр при этом отклоняется в сторону.

Действительно, из-за трения приходит в движение окружающий воздух и возникает на поверхности цилиндра пограничный слой.

Бумажный цилиндр, скатываясь с наклонной плоскости, при падении отклоняется назад (рис. 7.22).

При скоростях движения тел, равных или больше скорости звука в Рис. 7. среде возникает ударная волна, на фронте которой термодинамические параметры изменяются скачком.

Поэтому фронт ударной волны является скачком уплотнения.

Процесс сжатия газа на скачке уплотнения является адиабатическим и не является квазистатическим из-за малого времени прохождения газа через скачок уплотнения и необратим, так как ударное сжатие газа сопровождается возрастанием энтропии.

В этот момент тело испытывает большое сопротивление, называемое волновым z = v.

Одной из причин возникновения волнового сопротивления является разность давлений на передней и задней кромках обтекаемого тела.

Для уменьшения волнового сопротивления телам придают обтекаемую, заостренную форму (сверхзвуковые самолеты, ракеты и т. д.).

При сверхзвуковом движении кинетическая энергия движущихся тел необратимо превращается во внутреннюю энергию газа (выделяется тепло), что нашло применение для торможения в атмосфере космических кораблей при посадке их на Землю.

Окружающий космический корабль воздух нагревается до десятков тысяч градусов, что требует надежной теплоизоляционной защиты его специальным покрытием.

7.14. Гидродинамическая неустойчивость При малых числах Рейнольдса движение в жидкости или газе является ламинарным. При его увеличении ламинарное течение становится неустойчивым и переходит в турбулентное. Турбулентное течение – течение, гидродинамические характеристики которого (скорость, давление, а для газов – плотность и температура) быстро и нерегулярно изменяются во времени (флуктуируют). Примерами турбулентного течения являются:

движение воды в бурном горном потоке, водопаде и т. д. Законы гидродинамики широко используются для объяснения возникновения и развития процессов в мощных газовых потоках и молекулярных облаках, наблюдаемых во Вселенной.

На определенном этапе эволюции Метагалактики, в заполняющем ее газе, должны были возникнуть крупномасштабные гидродинамические движения, которые являются сверхзвуковыми и сопровождаются появлением разрывов – ударных волн со скачками скорости, давления, температуры и плотности вещества на их фронтах. Сверхзвуковая гидродинамика разрывных течений космической среды является основой для решения вопросов о происхождении вращения галактик, их скоплений и сверхскоплений.

Как выясняется, гидродинамика Вселенной является сложной, но изначально в ней отсутствовали первичные вихри.

Когда и как возникли протогалактические вихри, если они не могли существовать в ранней Вселенной?

В современных космологических гипотезах, предполагается, что вращательные движения космических масштабов рождаются тогда, когда в веществе Метагалактики появляются мощные сверхзвуковые движения с разрывами и ударными волнами.

Эти движения, первоначально безвихревые, сами собой рождают вихри и подпитывают их своей энергией. Такого рода процессы генерации завихренности известны в гидродинамике давно. Галактики, предположительно, рождаются в плотных слоях газа при распаде и фрагментации этих слоев.

Важную роль в появлении первичных неоднородностей и уплотнении сгустков газа играла гравитационная неустойчивость, сопровождаемая тепловой неустойчивостью, вследствие сил, возникающих из-за перепадов давления в неоднородной расширяющейся и охлаждающейся среде.

Новые порции газа, падающие под влиянием гравитации на уже образовавшиеся зародыши облаков газа, наталкиваются на почти неподвижные и более плотные слои газа. Натекающий газ резко тормозится и его скорость скачком падает в несколько раз в результате газ сильно уплотняется и нагревается (кинетическая энергия переходит в тепловую).

Граница между уже сжатым и падающим на него газом представляет собой то, что называют в гидродинамике фронтом ударной волны.

Законы сохранения импульса, энергии и массы для газа, пересекающего фронт ударной волны, обуславливают все свойства этого гидродинамического явления.

Из-за того, что скорость натекающего газа много больше скорости звука в нем и возникает фронт ударной волны, который в общем случае является не плоским, а искривленным.

Эти фронты соединяются и пересекаются друг с другом, образуя сложную пространственную структуру типа пчелиных сот.

При таких движениях частицы газа постоянно испытывают взаимные столкновения. Длина их свободного пробега должна быть меньше этих пространственных масштабов.

Учитывая то, что газ ионизирован и находится в состоянии плазмы, в нем наблюдаются взаимодействия частиц с многочисленными волнами, которые быстро и легко возбуждаются.

Поэтому длина свободного пробега частиц среды уже ограничивается их взаимодействием с плазменными волнами и оказывается весьма малой, что и позволяет использовать законы гидродинамики.

Рассмотрим физический механизм рождения завихренности в разрывных течениях газа.

Пусть имеется ламинарный параллельный поток газа, который натекает на сферический фронт ударной волны (рис. 7.23). На фронте ударной волны натекающий поток газа испытывает разрыв и перестраивается.

Согласно законам гидродинамики, перпендикулярная фронту составляющая скорости потока уменьшается скачком, касательная составляющая скорости остается неизменной.

Вследствие этого после пересечения фронта поток газа уже не будет параллельным, а станет расходящимся.

Это указывает на то, что сам поток получает вращение, когда он пересевает фронт ударной волны.

В гидродинамике Рис. 7. количественной мерой вращения является rotv – вихрь.

Перед фронтом вихрь равен нулю, а после фронта – не равен Рис. 7. нулю.

Такой же результат наблюдается и при натекании потока на плоский фронт ударной волны, так как натекающий в потоке газ, движется не строго по параллельным линиям.

В крупномасштабном потоке газа, натекающем на фронт ударной волны скопления или сверхскопления, зародышами уплотнения могут быть слабые неоднородности плотности сгущения и разрежения.

Процесс развития завихрения можно объяснить на следующем примере.

Если в параллельном потоке натекающего газа имеется сферическое сгущение вещества, то за плоским фронтом ударной волны, согласно расчетам на ЭВМ, возникает сложная картина завихренности (рис. 7.24).

Возникают два «буруна» по краям сжатого в направлении движения сгущения. Трехмерная картина этого явления много сложнее (рис. 7.25).

Рис. 7. Законы зарождения вихрей в гидродинамике формулируются общей теоремой Кельвина – Гельмгольца, об условиях сохранения вихрей.

Согласно теории, вихри не исчезают и не появляются, если выполнены четыре условия:

На жидкость или газ не действуют внешние силы или эти силы потенциальны.

В среде отсутствует вязкость.

В потоке отсутствуют разрывы (ударные волны).

4. Давление среды является функцией ее плотности (баротропия).

Одна из основных сил Вселенной – сила тяготения, является потенциальной и не Рис. 7. может создавать вихри (условие 1). Что касается вязкости, то в потоках без твердых стенок она способна лишь гасить вихри, но не рождать их (условие 2). Условие три рассмотрено выше.

Четвертое условие может нарушаться в областях сжатия за фронтом ударной волны.

Процесс зарождения вихря описывается уравнением Фридмана, который вывел его из общих гидродинамических уравнений движения при сжатии газа, когда нарушено четвертое условие.

Уравнение Фридмана используется при изучении зарождения и развития циклонов – крупномасштабных атмосферных вихрей и записывается в виде d rot v P. (7.79) dt В уравнении (7.79) слева стоит производная от вихря по времени.

Если эта производная равна нулю, то вихрь не возникает и не уничтожается, если уже существует. Если производная отлична от нуля, наблюдается изменение вихря – его усиление или рождение.

Вихрь – векторная величина и само уравнение Фридмана – векторное.

В его правой части стоит векторное произведение двух векторов – градиента плотности и градиента давления.

Векторное произведение и, следовательно, производная по времени от вихря отличны от нуля, когда векторы не параллельны. В гидродинамике эти векторы чаще всего параллельны, так как давление является функцией только плотности.

Например, в идеальном газе при адиабатическом процессе Р = С ( – 1), (7.80) где – показатель адиабаты;

С = сonst.

Если же в среде имеется градиент плотности, например, распространение звуковых волн, перпендикулярно направлению изменения плотности, то появляются перепады давления в этом направлении. Поэтому, согласно уравнению Фридмана, обязательно возникает вихрь, т. е. звук возбуждает вращение среды.

Таким образом, в потоке газа, натекающего на фронт крупномасштабной ударной волны, может изначально иметься большое число различных по амплитуде и размерам неоднородностей плотности.

Каждое из них вызывает появление за фронтом ударной волны вихря (рис. 7.28;

7.29). В совокупности эти вихри образуют сложную турбулентную систему движений. Рождение и усиление вихрей представляет собой пример гидродинамической неустойчивости. Возникновение вихрей турбулентности при гидродинамической неустойчивости – явление обычное.

Следовательно, есть основание предполагать, как в общих чертах происходило зарождение вращения галактик, их скоплений и сверхскоплений и дальнейшая эволюция этих гигантских космических систем, образующих наблюдаемую крупномасштабную структуру Метагалактики.

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Лекция 1. Кинематика гармонических колебаний 1.1. Колебательные процессы Понятие колебаний относится к области физики, исследующей эти процессы в системах различной природы.

Колебательным называют такое движение, которое периодически повторяется через равные промежутки времени.

Колебательные процессы широко распространены в природе и технике.

Например, качания маятника часов, колебания силы переменного тока, колебания векторов напряженности электрических и магнитных полей, колебания элементарных частиц внутри атомов и молекул, а также колебательные и волновые процессы в глубинах безбрежного космоса и т. д.

Все колебания качественно различны по своей физической природе, но их количественные закономерности имеют много общего.

Теория колебаний описывает общие свойства колебаний в реальных системах и устанавливает связь между параметрами системы и ее колебательными характеристиками независимо от свойств конкретной системы, связанных с проявлением ее природы (механической, электромагнитной, световой, химической и т. д.).

Это значительно облегчает исследования особенно в тех случаях, когда они невозможны по техническим причинам или из-за отсутствия наглядности.

Например, колебания силы переменного тока, а тем более колебания электрона в атоме изучать гораздо труднее, чем простейшие механические колебания груза на пружине.

Простейшим случаем периодического колебания является гармоническое колебание.

Колебания, которые совершаются с течением времени по закону синуса или косинуса, называют гармоническими колебаниями.

Рассмотрим м. т. А, совершающую равномерное движение по окружности произвольного радиуса r против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью, т. е. конец радиус-вектора описывает окружность.

Обозначим модуль радиус-вектора r = A (рис. 1.1). Уравнение движения м. т. запишем в виде = о + t.

Найдем проекции радиус-вектора на оси координат Х и У.

Отрезок ОС равен rx = r sin = r sin( t + о) проекция радиус вектора на ось Х;

отрезок ОБ равен или rу= r cos( t + о) ry = r cos проекция радиус-вектора на ось У.

Если м. т. А совершит один оборот, то ее проекции на оси координат будут изменяться от нуля до максимума по модулю, равному r.

Пока м. т. А движется по окружности, в это время точки С и Б будут совершать возвратно Рис. 1.1 поступательное движение вдоль осей Х и У соответственно.

С течением времени этот процесс будет периодически повторяться, т. е.

возникнет колебательное движение.

Уравнение колебательного движения записывают в виде x A cos t o или y A sin t o. (1.1) В уравнениях (1.1): х – смещение м. т. в данный момент времени;

А – амплитуда колебания, характеризующая величину наибольшего смещения м.т. от положения равновесия;

амплитуда положительна, A 0;

= t + 0 – фаза колебания, определяет долю смещения в данный момент времени;

– циклическая (круговая) частота;

0 – начальная фаза колебания.

Циклическая частота связана с частотой колебаний и периодом Т известным соотношением = =2, T где =.

T Выбор начальной фазы совершенно произволен. Обычно в момент времени t = 0 полагают 0 = 0.

Кроме того, добавка 0 в аргументе cos или sin не меняет характер движения, но свидетельствует о непрерывности течения времени.

Рис. 1. Проекции радиус-вектора при его вращении против часовой стрелки с циклической частотой совершают гармонические колебания и являются функциями времени ( рис. 1.2), т. е. х = Аcos( t + 0).

1.2. Уравнение скорости материальной точки, совершающей гармонические колебания Если в качестве колебательной системы использовать, например, математический маятник (рис. 1.3), то в процессе его движения происходит периодическое изменение скорости и ускорения.

При движении маятника, после прохождения им положения равновесия, в направлении к состоянию I (в ту же сторону направлен и вектор скорости маятника) скорость убывает, а ускорение растет и в крайнем состоянии I скорость обращается в нуль. Ускорение в этот момент времени достигает своего максимума и направлено по касательной к дуге окружности к положению равновесия. При обратном движении маятника к положению равновесия вектор скорости направлен в сторону движения.

Модуль скорости растет по величине, а ускорение убывает (направление вектора ускорения теперь совпадает с направлением движения маятника). При достижении положения равновесия в точке 0 скорость достигает максимума, - ускорение обращается в Рис. 1.3 нуль.

После прохождения этого состояния скорость начинает убывать, а ускорение увеличивается (теперь вектор ускорения направлен к состоянию покоя со стороны состояния II и противоположен вектору скорости). При достижении крайнего положения II скорость обращается в нуль, ускорение достигает максимума. При движении маятника из состояния II снова к положению равновесия скорость, изменив направление, растет, соответственно ускорение, сохраняя направление, убывает. В точке скорость маятника максимальна, ускорение обращается в нуль. При дальнейшем движении маятника весь процесс периодически повторяется.

Найдем уравнения изменения скорости и ускорения маятника при гармонических колебаниях. Дифференцируя уравнение смещения (1.1) по времени t, найдем уравнение изменения скорости в любой момент времени (первая производная):

dx V= = Asin ( t + o) dt или v A cos( t ), (1.2) где ( А) – амплитудное значение скорости м. т., совершающей гармонические колебания.

Скорость опережает смещение по фазе на / 2 или отстает на 3 / 2.

Вывод: Скорость м. т. при колебательных процессах изменяется по гармоническому закону и является функцией времени.

1.3. Уравнение ускорения материальной точки, совершающей гармонические колебания Найдем уравнение изменения ускорения как первую производную скорости по времени (вторая производная смещения по времени):

d2x dv a A cos t o. (1.3) dt dt a A cos t или. o Используя уравнение (6.1) получим, что а= х. (1.4) Вывод: Ускорение изменяется по гармоническому закону, является функцией времени и опережает колебания смещения по фазе на и опережает колебание скорости по фазе на /2.

Величина А является амплитудным значением ускорения. На рис. 1.4, а, б, в приведены графики смещения, скорости и Рис. 1. ускорения как функций времени.

1.4. Начальные условия Величину амплитуды А и значение начальной фазы найдем, если в уравнениях (1.1) и (1.2) положить начальный момент времени t = 0.

Тогда уравнения примут вид хо = Асos о, vo = Asin о.

Решая эти уравнения совместно, найдем амплитуду и начальную фазу, если известны хо и vo.

Действительно, после преобразований, имеем хо2 = А2cos2 о, vo2 = А2 sin2 о или v o A 2 cos2 sin x.

o 2 o o Следовательно, v2 vo.

x2 o A tg ;

o o xo 1.5. Метод векторных диаграмм На оси Х выберем начало отсчета (точка 0) и отложим вектор длиной A, образующий с осью угол о. Приведем этот вектор во вращение против часовой стрелки с циклической частотой (рис. 1.5).

При этом проекция на ось Х конца вектора будет периодически совершать движение вдоль оси Х в пределах от А до +А, т. е. координата этой проекции будет изменяться по гармоническому закону:

х = А cos( t + o).

Если система одновременно участвует в нескольких колебаниях, то решение задачи значительно упрощается и становится наглядным при использовании метода векторных диаграмм (метод вращающего вектора на плоскости).

Особенно этот метод эффективен при сложении двух и более гармонических колебаний.

Вывод: проекция конца вектора на произвольную ось (например, ось Х) будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, циклической (круговой) частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и начальной фазой, равной углу, Рис. 1. образованному данным вектором с осью в начальный момент времени.

1.6. Сложение колебаний одного направления На практике довольно часто встречаются тела, которые одновременно участвуют в двух колебаниях, происходящих вдоль одного направления. Например, груз закреплен на пружине к потолку движущегося вагона, который сам совершает колебания в вертикальной плоскости (рис. 1.6), или груз, который закреплен на двух последовательно соединенных пружинах с Рис. 1.6 различными коэффициентами жесткости. Допустим, что колебания груза на пружине совершаются по закону х1 = А1cos( t + o1). (1.5) Колебания вагона совершаются по закону х2 = А2cos( t + o2). (1.6) Представим оба колебания с помощью вращающих векторов A 1 и A одинаковой круговой частотой (рис. 1.7). Используя правила сложения векторов, построим результирующий вектор A A1 A 2. (1.7) Проекция результирующего смещения х равна сумме отдельных проекций смещений грузов: х = х1 + х2. (1.8) Следовательно, действительно х представляет собой результирующее гармоническое колебание амплитуды А, циклической частоты и начальной фазы о, т. е.

х = А cos( t + o). (1.9) Для того чтобы написать уравнение результирующего гармонического колебания тела, одновременно участвующего в двух одинаково направленных гармонических колебаниях, необходимо знать амплитуду результирующего колебания и его начальную фазу.

В соответствии с рис. 1.7 и теоремой косинусов для результирующей амплитуды, имеем следующее равенство:

А2 = A12 + А22 + 2А1А2cos( o2 o1). (1.10) Используя тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенса (см.

рис. 1.7), найдем начальную фазу результирующего гармонического колебания в виде:

A1 sin A 2 sin o1 o tg. (1.11) o A1 cos A 2 cos o1 o Анализ уравнения (1.10) показывает, что величина результирующей амплитуды зависит от разности фаз складываемых Рис. 1. колебаний. В связи с этим возможны два случая:

1. Разность фаз равна четному числу = 02 01 = 0, 2, 4,.... (1.12) Действительно, например, = 0.

Согласно уравнению (2.10) имеем А2 = A12 + А22 +2А1А2, так как cos0 = 1.

Следовательно, А2 = (А1 + А2)2.

Вывод: Результирующая амплитуда равна сумме амплитуд складываемых Рис. 1.8 колебаний (рис. 1.8) А = А1 + А2.

2. Разность фаз равна нечетному числу :

= 02 01=, 3,.... (1.13) Складываемые колебания находятся в противофазе.

Тогда равенство (1.10) примет вид А2 = А12 + А22 2А1А поскольку сos( 02 01) = сos (+ ) = 1.

Следовательно, А = (А1 – А2)2 или А А1 А2.

(Амплитуда всегда положительна).

Вывод: Результирующая амплитуда равна модулю разности амплитуд складываемых колебаний.

Если складываются два колебания равных частот 1 = 2 = и равных амплитуд А1 = А2, но противоположных по фазе, то результирующая амплитуда равна нулю (А = 0), т. е. колебания полностью гасят Рис. 1. друг друга (рис. 1.9).

1.7. Биения Важное место в теории колебаний занимают биения.

Например, в случае сложения нескольких гармонических колебаний одного направления, равных амплитуд и частот, отличающихся незначительно: 1 и 2 = 1 +, где 1.

Уравнение первого и второго колебаний совершается по закону x1 A cos 1t, (1.14) x 2 A cos( 1 )t соответственно.

Поскольку амплитуды колебаний равны, а частоты мало отличаются друг от друга, это позволяет выбрать начало отсчета так, чтобы начальные фазы колебаний были равны нулю, уравнения (1.14). Но это возможно только в том случае, если смещения каждого колебания х1 и х одновременно достигают наибольшего значения. Тогда с этого момента начинается отсчет времени. После сложения левой и правой частей уравнений (1.14) получим х = х 1 + х t t или х = А соs 1t + A сos( 1+ )t = 2Aсos( ) сos [(2 1+ ) ].

Во втором сомножителе величиной t / 2 под знаком косинуса пренебрегаем в виду его малости, так как 1.

Тогда x 2Acos t cos 1 t. (1.15) В формуле (1.15) выражение в скобках представляет собой амплитуду гармонического колебания частоты 1. Амплитуда изменяется, но значительно медленнее, чем второй сомножитель. Это связано с тем, что 1 и за время, когда множитель соs 1t совершит несколько полных колебаний, имея период Т = 2 / 1, множитель в скобках мало изменится [cм. формулу (1.15)].

Результирующее колебание (1.15) можно считать гармоническим, амплитуда которого сама изменяется по некоторому периодическому закону. График изменения х(t) [формула (1.15)] представлен на рис.

1.10. Результирующее колебание при заданных условиях можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей Рис. 1.10 амплитудой и периодом Т1 = 2 /.

Такие колебания называют биениями.

t Выражение типа 2Acos( ) не является законом, по которому изменяется амплитуда результирующего колебания, так как оно изменяется в пределах от 2А до +2А, в то время как амплитуда всегда положительна.

Следовательно, амплитуда (рис. 1.11).

Aрез= 2Аcos t/2. (1.16) Как уже отмечалось, функция (1.16) является периодической с частотой, в два раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля.

Рис. 1. Выводы: 1. Частота пульсаций результирующей амплитуды называется частотой биений и равна разности частот складываемых колебаний, а именно: = [( 1+ ) 1].

2. Циклическая частота результирующего колебания равна полусумме частот складываемых колебаний, т. е. =( 1+ 1+ )/2= 1 + /2.

3. Множитель, равный результирующей амплитуде, определяет не только величину ее, но и влияет на фазу колебания. Это проявляется в том, что отклонения, соответствующие максимумам амплитуды, имеют противоположные знаки (см. рис. 1.10, точки С и Д).

4. В случае несоизмеримости частот складываемых колебаний возникает результирующее колебание, которое не является периодическим.

Явление биений широко используется на практике. Это один из вариантов амплитудно-модулированных колебаний. Например, при настройке музыкальных инструментов о качестве звучания определяют по исчезновению биений.

В этом случае происходит совпадение частоты колебания струны с частотой колебаний эталонного источника звука – камертона. Например, в радиотехнике с помощью биений производят настройку гетеродина.

В оптике световые биения относятся к явлению интерференции света, возникающей при наложении световых колебаний близких частот. В результате возникает быстро бегущая в пространстве интерференционная картина, т. е. в рассматриваемой точке интенсивность света периодически изменяется во времени с частотой, равной разности частот складываемых электромагнитных колебаний.

1.8. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Если частица (физическая система) совершает одновременно колебания во взаимно перпендикулярных направлениях, то она имеет две степени свободы. Например, груз массой m совершает колебания на пружине с коэффициентом упругости (жесткости) k вдоль стержня без трения и одновременно совершает колебания относительно вертикальной оси, отклоняясь на угол от положения равновесия (рис. 1.12). В результате возникает сложное результирующее колебание. Другим примером сложения взаимно перпендикулярных колебаний является равномерное движение м. т. по окружности [см.

(1.1)], где проекции ее на оси Х и У действительно совершают колебания во взаимно перпендикулярных направлениях. Для простоты положим, что круговые частоты этих колебаний одинаковы, но различаются амплитудами и Рис. 1.12 начальными фазами. Пусть одно из колебаний совершается вдоль оси Х с амплитудой А и начальной фазой, равной нулю.

Другое колебание совершается вдоль оси У с амплитудой В;

о – разность фаз складываемых колебаний.

x A cos t, (1.17) y B cos( t o).

Для получения уравнения результирующего колебания (уравнения траектории) из системы уравнений (1.17) исключим время t:

соs t = x /A, сos ( t + o) =y/B y cos t cos sin t sin или 0.

B После преобразований имеем y x 1 co s2 t sin cos 0, B A 1 co s2 t.

sin t где Тогда x y x cos 1 sin o o.

B A A Правую и левую части последнего равенства возведем в квадрат:

y2 x2 x 2 xy 2 cos cos sin 1.

0 0 B2 A2 A AB После несложных математических операций получим уравнение эллипса с произвольной ориентацией осей (рис. 1.13):

2 y x 2xy Cos Si n2. (1.18) o o B2 A 2 AB Частица совершает полный оборот за время, равное периоду колебаний Т.

Результирующее колебание называют эллиптически поляризованным.

Сложение таких колебаний можно наблюдать на опытах не только с механическими Рис. 1.13 системами, но и с электрическими, магнитными и т. д. На экране электронного осциллографа можно наблюдать результат сложения взаимно перпендикулярных электрических колебаний. Рассмотрим частные случаи:

1. Разность фаз складываемых колебаний равна целому числу, т. е. = m, где m = 0, 1, 2, 3,....

Знак «+» для четных m;

знак « » для нечетных m.

а). Например, = 1= t+ t= o= 0.

2 o После подстановки в формулу (6.53) получим уравнение прямой 2 y 2xy x AB A2 B или x y 0, A B x y.

откуда A B Следовательно, B y x. (1.19) A Вывод: При разности фаз складываемых взаимно перпендикулярных колебаний, равной нулю эллипс вырождается в отрезок прямой, лежащий в первой и третьей четвертях (рис. 1.14). После сложения колебание происходит с частотой и результирующей амплитудой C A2 B2, т. е. результирующее колебание действительно является гармоническим:

Рис. 1. A 2 B2 cos t.

ft б). Разность фаз, складываемых взаимно перпендикулярных колебаний равна, т. е. =2 1=.

В этом случае после подстановки = 0 в выражение (1.19) получим уравнение прямой:

y.

x xy 2xy y, или 0, или x A B AB A 2 AB B Следовательно, Рис. 1. B y x. (1.20) A Вывод: При разности фаз складываемых взаимно перпендикулярных колебаний, равной, эллипс вырождается в отрезок прямой, лежащий во второй и четвертой четвертях (рис.

1.15). После сложения колебания совершаются с частотой и результирующей амплитудой Результирующее колебание в A B2.

случаях а, и б при сложении взаимно перпендикулярных колебаний называют линейно – поляризованным.

2. Разность фаз складываемых взаимно перпендикулярных колебаний равна нечетному числу /2, т. е.

= (2m + 1) / 2, где m = 0, 1, 2, 3,....

Например, при m = 0, = /2. После подстановки = 0 в выражеие (1.18) получаем уравнение эллипса с направлением осей вдоль Х и У, полуоси которого соответственно равны амплитудам А и В (рис. 1.16):

у х 1.

АВ Замечание: При равенстве амплитуд А = В складываемых колебаний эллипс вырождается в окружность радиуса R (А = В = R):

х2 + у2 = R2.

В этом случае результирующее колебание называют поляризованным по Рис. 1. кругу. Выясним, в каком направлении частица будет двигаться по эллипсу или окружности в результате сложения взаимно перпендикулярных колебаний при разности фаз, равной /2.

Для этого уравнения (1.17) представим в виде х = А cos t, y = Bcos( t + /2) = B sin t. (1.21) Если / 2, то при t = 0 частица будет находиться в состоянии =+ (рис. 1.17, а).

а б Рис. 1. По мере движения частицы по траектории, согласно выражению (1.21), координата х убывает, а координата у принимает отрицательные значения.

Следовательно, частица движется по траектории по часовой стрелке.

При /2 уравнения (1.17) запишутся в виде = x A cos t. (1.22) y B cos t B sin t.

Следовательно, частица будет двигаться по траектории против часовой стрелки (рис. 1.17, б).

1.9. Фигуры Лиссажу При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с различными амплитудами и частотами 1 2 и неодинаковыми начальными фазами возникают сложные результирующие колебания, которые называют фигурами Лиссажу.

Наблюдение фигур Лиссажу осуществляется, например, при сложении взаимно перпендикулярных электрических колебаний.

Если отношение круговых частот и разность фаз складываемых колебаний = /2, наблюдается кривая, напоминающая восьмерку (рис. 1.18).

При отношении круговых частот Рис. 1. и разности фаз складываемых колебаний = /2 наблюдается более сложная кривая (рис. 1.19).

Замечание 1: Число касаний фигуры Лиссажу со сторонами прямоугольниика, образованного амплитудами, равно величине отношения частот.

Замечание 2: Если частоты складываемых колебаний кратны n и m, тогда уравнения взаимно перпендикулярных колебаний запишутся в виде x Asin n t o1,. (1.23) Рис. 1. y Bsin m t o2.

Величины координат колеблющейся частицы одновременно повторяются через одинаковые промежутки времени, равные периоду Т, как наименьшему кратному периодов Т1 = 2 /(n ) и Т2 = 2 /(m ), соответствующие периодам колебаний вдоль осей Х и У.

Траектория результирующего колебания будет замкнутой, е форма зависит от амплитуд А и В, круговых частот n и m и значений начальных фаз 01 и 02.

1.10. Представление колебаний в комплексной форме Используя уравнение (1.3) или (1.4), которые описывают изменение ускорения м. т., совершающей гармонические колебания, перепишем его в d 2x + o2x = 0, следующем виде: (1.24) dt где 0 – собственная частота м. т.

Полученное выражение называют однородным дифференциальным уравнением второго порядка классического гармонического осциллятора.

Основным его свойством является линейность.

Это уравнение имеет два решения: первое в виде x1 = Acos ( t + o), (1.25) второе – x2 = Asin ( t + o). (1.26) Справедливость сказанного проверяется прямой подстановкой их в выражение (1.24).

Согласно принципу суперпозиции, решением уравнения (1.24) является любая линейная комбинация х1 и х2, например, выражение вида х = b1Acos( t + 0) + b2Asin( t + 0), где b1 и b2 – произвольные постоянные (могут быть и комплексные).

Если х1 и х2 – решения уравнения (1.24), то b1x1 и b2x2 также 1=–i являются решениями этого уравнения. Положив b1 = 1, b2 = – имеем решением уравнения функцию вида (t), т. е.

– iAsin( t + (t) = Acos( t + 0) 0). (1.27) Используя формулу Эйлера i e cos x i sin x, (1.28) получим уравнение гармонических колебаний в комплексной форме:

i t (t) Ae (1.29) Представление колебаний в комплексной форме широко используется в физической теории колебаний и волн, например, при рассмотрении уравнений колебаний переменного тока, так как это позволяет перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим, что значительно облегчает проведение расчетов электрических цепей и т. д.

Это выражение является однородным дифференциальным уравнением второго порядка и описывает гармонические колебания любой физической природы, начиная от простейших механических до сложнейших процессов периодических движений, например, движение электронов вокруг ядер атомов или колебания самих ядерных решеток и т. д.

2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 2.1. Движение системы вблизи устойчивого положения равновесия Свободными, или собственными, колебаниями называют колебания, которые происходят в системе, выведенной из положения равновесия и в дальнейшем предоставленной самой себе.

В связи с тем, что гармонические колебания характеризуются при движении изменением скорости и ускорения системы, необходимо найти причины этих колебаний, т. е. силы. Например, при колебаниях на тело (м.

т.), закрепленное на нити, действуют сила тяжести и сила натяжения нити.

Под действием равнодействующей этих сил и происходит процесс колебания тела (рис. 2.1). Причем при движении маятника от положения II к положению I и обратно направление силы периодически изменяется от Fmax до + Fmin.

Согласно второму закону Ньютона, вектор ускорения м. т., которая совершает гармоническое n Fi i колебание, a.

m Согласно уравнению (1.24), дифференциальным уравнением гармонических колебаний является выражение вида d2x + x = 0.

o dt Это выражение является однородным дифференциальным уравнением второго порядка и описывает гармонические колебания любой физической природы, начиная от простейших механических до сложнейших процессов периодических движений, например, движение электронов вокруг ядер атомов или колебания самих ядерных решеток и т. д.

2.2. Пружинный маятник Если колебательная система совершает гармонические колебания, имея одну степень свободы, то она называется линейным классическим гармоническим осциллятором.

Примерами классического линейного осциллятора являются пружинный маятник, математический, физический маятники и др.

Рассмотрим колебания пружинного маятника.

Пружинный маятник представляет собой некоторый груз массой m, закрепленный на пружине с коэффициентом жесткости k, совершающий свободные гармонические колебания (рис. 2.2).

Гармонические колебания называют свободными, если они совершаются только под действием сил, вызывающих эти колебания.

Частоту свободных гармонических колебаний называют собственной частотой ( 0), так как она зависит только от свойств самой физической системы.

Найдем дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний пружинного маятника. На маятник действует сила тяжести G = mg и сила упругости (закон Гука, рис. 2.2) Fупр = – кх, х – смещение ;

k – коэффициент где жесткости (упругости) пружины.

Эти силы в состоянии покоя равны по величине, но противоположны по направлению (третий закон Ньютона).

Однако при колебаниях сила упругости изменяется периодически по величине и по направлению.

Значит, силой, вызывающей колебания Рис. 2. пружинного маятника, является сила упругости.

При этом выполняется следующее соотношение:

maх = – kx, где dx, aх dt dx тогда kx. (2.1) m d t Последнее выражение приведем к нормальному виду однородного дифференциального уравнения второго порядка, описывающего одномерное (с одной степенью свободы) движение пружинного маятника, например, вдоль оси Х:

dx k x 0. (2.2) m d t Решением данного дифференциального уравнения является функция х = Асos ( оt + o). (2.3) Выразим k в уравнении (2.2) через собственную круговую частоту и смещение х.

Для этого достаточно вспомнить, что ускорение а х. (2.4) Используя выражения (2.1) и (2.4), запишем, что х.

F = ma = m (2.5) о С другой стороны, при колебаниях пружинного маятника роль действующей силы выполняет сила упругости (речь о ней шла выше) Fупр = – кх. (2.6) Из соотношений (2.5) и (2.6) имеем х = – кх.

m о После несложных преобразований получим k=m. (2.7) о Дифференциальное уравнение (6.24) принимает следующий вид:

dx 0x 0. (2.8) dt Напомним, что уравнение вида (2.8) является общим для всех физических систем различной природы, совершающих свободные смещения х используется гармонические колебания, только вместо величина, характеризующая колебания данной системы, например, колебание заряда (q), тока (I) и т. д. Сравнивая общее дифференциальное уравнение гармонических колебаний (2.8) и дифференциальное уравнение колебаний пружинного маятника (2.2), приходим к заключению, что квадрат круговой частоты прямо пропорционален коэффициенту жесткости пружины и обратно пропорционален его массе:

k. (2.9) m Найдем период колебаний пружинного маятника.

Из кинематики вращательного движения известно, что период и угловая скорость (круговая частота) связаны соотношением T=.

Следовательно, период колебаний пружинного маятника m.

T2 (2.10) k Вывод: Период колебаний пружинного маятника прямо пропорционален квадратному корню массы маятника и обратно пропорционален квадратному корню коэффициента жесткости пружины.

Замечание: Выводы, полученные при рассмотрении колебаний пружинного маятника, можно использовать в задачах, связанных с колебаниями атомов и молекул различных физических систем.

2.3. Физический маятник Твердое тело произвольной формы, свободно совершающее колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс, называют физическим маятником.

Согласно определению, физический маятник при колебаниях имеет одну степень свободы, т. е. действительно является одномерным гармоническим классическим осциллятором (рис. 2.3, где точка 0 называется осью качаний, а точка 0* центром качания физического маятника, точка C – центр масс).

При гармонических колебаниях угол отклонения от положения равновесия мал и составляет не более трех – пяти градусов, что позволяет в некоторых случаях полагать sin (если угол брать в радианах, а не в градусах), а сами колебания считать гармоническими и изохронными, т. е. их период или частота не Рис. 2. зависят от амплитуды колебания.

Сначала напишем дифференциальное уравнение колебаний физического маятника. Для этого рассмотрим, какие на него действуют силы.

Силу трения в точке подвеса 0 (ось Z) физического маятника не учитываем.


На физический маятник при колебаниях действуют сила тяжести G и нормальная реакция опоры F (рис. 2.3).

Для нахождения результирующей силы разложим силу тяжести на две взаимно перпендикулярные силы: G = mgsin и G = mgcos (рис. 2.3).

Тогда силы нормальной реакции опоры и параллельная составляющая силы тяжести будут взаимно компенсировать друг друга (третий закон Ньютона).

Силой, заставляющей физический маятник продолжать совершать гармонические колебания, остается перпендикулярная составляющая силы тяжести, которую часто называют возвращающей силой.

Такой же результат можно получить, если сложить вектор силы тяжести и вектор силы нормальной реакции опоры по правилу параллелограмма. Из динамики вращательного движения следует, что в этом случае на физический маятник (как любое твердое тело) действует момент силы М относительно оси Z, равный произведению момента инерции тела I на угловое ускорение относительно этой же оси:

M=I (2.11) d где. (2.12) dt Момент силы М равен произведению составляющей силы тяжести G на плечо :

М = mg sin (2.13) или М mg, где sin, что отмечалось выше.

Подставим значения выражений (2.12) и (2.13) в формулу (2.11):

d mg I 2. (2.14) dt Приведем выражение (2.14), предварительно разделив правую и левую части данного выражения на I, к виду d2 mg 0. (2.15) dt 2 I Таким образом, получили однородное дифференциальное уравнение второго порядка, характеризующее колебания физического маятника.

Его решением является функция 0 сos = ( t+ o), где 0 – амплитудное значение угла отклонения маятника от положения равновесия при его колебаниях.

Для нахождения собственной частоты 0 колебания физического маятника запишем общий вид дифференциального уравнения колебания системы:

d 0. (2.16) o dt Сравнивая дифференциальные уравнения (2.15) и (2.16), находим, что mg. (2.17) Следовательно, период колебаний физического маятника I T 2. (2.18) mg Вывод: Период колебаний физического маятника прямо пропорционален квадратному корню его момента инерции и обратно пропорционален квадратному корню произведения массы маятника, ускорения силы тяжести и плеча.

2.4. Математический маятник Математическим маятником называют материальную точку, закрепленную на невесомой и нерастяжимой нити, совершающую свободные гармонические колебания в вертикальной плоскости.

Математический маятник имеет одну степень свободы – еще один пример одномерного гармонического осциллятора. На математический маятник действуют две силы: сила тяжести G и сила натяжения нити Fн (рис. 2.4) Результирующая этих сил (перпендикулярная составляющая силы тяжести) и является той силой, под действием которой маятник совершает свободные гармонические колебания.

= 3 – 5о (рис. 2.4). Математический маятник при При этом угол колебаниях описывает часть дуги окружности радиуса R, где – длина нити.

Для вывода дифференциального уравнения колебания математического маятника воспользуемся дифференциальным уравнением колебания физического маятника [см. (2.15)], где момент инерции I физического маятника заменим на момент инерции материальной точки I=mR2, где m – масса м. т.

маятника;

R = – математического расстояние от м. т. до полюса 0.

После подстановки получим дифференциальное уравнение колебания математического маятника в виде d2 g 0. (2.19) 2 dt Решением данного уравнения является Рис. 2.4 функция вида = 0сos ( 0t + o). (2.20) Сравнив уравнения (2.16) и (2.19), найдем собственную круговую частоту 0 и период Т колебания математического маятника:

g. (2.21) 0 T Тогда. (2.22) g Период колебания математического маятника прямо пропорционален квадратному корню длины маятника и обратно пропорционален квадратному корню ускорения силы тяжести.

2.5. Приведенная длина физического маятника Анализ формул периода колебания физического и математического маятников показывает, что можно найти приведенную длину физического маятника (рис. 2.3), если приравнять их периоды Тфиз = Тматем, т. е.

п ривед I 2 2.

mgR g Тогда приведенная длина физического маятника I п ривед mR. (2.23) Приведенной длиной физического маятника называют длину такого математического маятника, когда периоды их колебаний совпадают.

На рис. 2.3 расстояние между точками 0 и 0* и есть приведенная длина физического маятника. Сами точки 0 и 0* взаимозаменяемы, т. е. при замене 0* и обратно период колебаний физического маятника точки 0 на сохраняется неизменным.

2.6. Энергия гармонических механических колебаний При гармонических колебаниях любых физических систем непрерывно и периодически происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.

Например, при колебаниях физического или математического маятников в крайних положениях потенциальная энергия максимальна, а при прохождении положения равновесия максимальна кинетическая энергия.

Найдем математические выражения для кинетической, потенциальной и полной механической энергий физических систем, совершающих гармонические колебания.

2.6.1. Кинетическая энергия Кинетическая энергия физической системы, совершающей гармонические колебания, Wk = mv2/2, где скорость v изменяется по гармоническому закону, v= A sin( t + o).

После подстановки формула кинетической энергии принимает вид A 2 Si n 2 ( t m ) Wк. (2.24) Выражение (2.24) удобнее представить в следующем виде:

m 2 A2 m 2 A 1 cos 2 t 2 0 1 cos 2 t 2 0.

Wk 4 Вывод: Кинетическая энергия физической системы также совершает гармонические колебания с круговой частотой 2, а величина ее 1 A2.

периодически изменяется от 0 до m 2.6.2. Потенциальная энергия В связи с тем, что любая физическая система, совершающая гармонические колебания, имеет общий вид дифференциального уравнения, на такую систему действует квазиупругая сила [похожая по действию на упругую силу (см. пружинный маятник, закон Гука), но по природе не являющаяся упругой].

Потенциальную энергию колеблющейся системы найдем по формуле потенциальной энергии упруго – деформированной пружины:

k x2.

Wр Согласно формул (1.1) и (2.9), после подстановки для потенциальной энергии, получим выражение 2 A2 cos( t m 0) (2.25) Wр 2 A m или. (2.26) 1 cos 2 t Wр o Вывод: Потенциальная энергия физической системы периоди чески изменяется от 0 до m 2A2/ и совершает гармонические колебания с круговой частотой 2.

Замечание: Осциллирующие системы довольно широко распространены в природе.

Для них выполняется следующее свойство: суммарная потенциальная энергия многих Рис. 2.5 систем имеет провалы – потенциальные ямы.

В качестве примера приведем график потенциальной энергии взаимодействия нейтральных атомов и молекул, потому что при этом наблюдаются периодические движения, к числу которых и относятся колебания (рис. 2.5).

2.6.3. Полная энергия гармонических колебаний По определению полная механическая энергия равна алгебраической сумме кинетической и потенциальной энергий:

W = Wк + Wр или с учетом выражений (2.24) и (2.25) 2 A 2 sin 2 ( A 2 cos 2 ( m m (2.27) t 0) t 0 ), W 2 где sin2( t + + cos2 ( t + o) o) = 1.

Полная механическая энергия физической системы, совершающей механические колебания, m 2 A. (2.28) W Такого результата и следовало ожидать, так как кинетическая и потенциальная энергии сдвинуты по фазе на.

Вывод: Полная механическая энергия физической системы, совершающей гармонические колебания, прямо пропорциональна произведению массы системы на квадрат ее круговой частоты, квадрат амплитуды и не зависит от времени.

Замечание: Поскольку квазиупругие силы являются консервативными, то полная механическая энергия гармонических колебаний в замкнутой системе должна оставаться постоянной (закон сохранения механической энергии).

Это мы и получили в действительности, см. формулу (2.28).

Графики изменения кинетической Wk, потенциальной Wр и полной Wп энергий в зависимости от времени приведены на рис.

2.6, а, б, в.

Анализ формул (2.24), (2.25) и (2.28) показывает, что средние значения Рис. 2. кинетической и потенциальной энергий физической системы (осциллятора) равны и каждое составляет половину их полной энергии:

A m W Wk Wp. (2.29) 4 2.7. Затухающие гармонические колебания На любое реальное тело, совершающее гармонические колебания, действуют не только квазиупругая сила, но и силы трения или сопротивления среды.

На преодоление трения в опорах и сопротивления окружающей среды, на создание упругих деформаций, возбуждение волн и т. д. требуется энергия.

Поэтому полная механическая энергия колеблющейся частицы непрерывно уменьшается, переходя в другие виды энергии в виде тепла, или рассеивается в окружающей среде.

Это сразу же скажется на величине амплитуды.

Она будет уменьшаться, т. е. колебания постепенно будут затухать, пока не прекратятся совсем.

Колебания называют затухающими, если убыль энергии физической системы не восполняется в процессе ее колебательного движения.

Для вывода дифференциального уравнения затухающих колебаний необходимо учесть все силы, действующие на частицу, совершающую колебания.

Кроме квазиупругой силы, вызывающей колебания, на частицу действуют силы сопротивления (трения) со стороны окружающей среды.

В качестве примера рассмотрим колебания шарика на пружине, происходящие в вертикальной плоскости вдоль оси У в вязкой среде, которая оказывает сопротивление движению по закону Стокса:

b v.

Fс При малых колебаниях и соответственно малых скоростях движения (ламинарное течение жидкости) сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости частицы и направлена в сторону, противоположную движению:

Fc = bv = b (dx/dt). (2.30) Следовательно, полная сила, действующая на частицу, равна геометрической сумме квазиупругой силы и силы сопротивления:

F = kx bv, (2.31) где d2 x.

F ma m (2.32) d t После подстановки равенств (2.30) и (2.32) в (2.31) получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка затухающих гармонических колебаний:


d x b dx k x. (2.33) m dt m dt Его решением является функция A 0 e t cos( t x o), (2.34) где A0 e t амплитуда затухания;

, и о некоторые постоянные.

На рис. 2.7 приведен график свободных затухающих колебаний, где пунктирной линией показано изменение амплитуды этих колебаний с течением времени.

В справедливости выбранного решения можно убедиться следующим образом.

Для этого достаточно найти первую и вторую производные данного решения и затем подставить в Рис. 2. дифференциальное уравнение (2.33).

После подстановки найдем значение для постоянной и установим ее физический смысл, а также круговую частоту и период Т затухающих свободных колебаний.

Найдем первую производную смещения х, т. е. скорость:

dx t v A0 e cos t A0 t sin ( t 0 ).

e dt Вторая производная, т. е. ускорение t t dv e e 2 a A0 cos t 2A 0 Sin t o.

o dt Полученные значения смещения х, скорости v и ускорения а подставим в уравнение (2.33) и придем к следующему тождеству:

t t A0 e A0 e 2 cos t m b k sin t 2m b 0.

o o Поскольку в данном тождестве А0 = const, при любом t, то правую и левую части тождества разделим на A 0 e t, учитывая, что ( e t 0 ).

Получим выражение из двух слагаемых, сумма которых равна нулю:

2 cos t m b k sin t 2m b 0.

o o В полученном выражении одновременно sin и cos нулю не равны.

Выражение будет равно нулю, когда нулю будет равно каждое слагаемое одновременно, т. е.

m( 2 ) b + k = 0, (2.35) ( 2m b) = 0. (2.36) Получили два уравнения относительно переменных и.

Из выражения (2.36) имеем, что 2m b = 0, так как 0, откуда найдем коэффициента затухания b =.

2m Коэффициент затухания колебаний физической системы прямо пропорционален коэффициенту сопротивления окружающей среды и обратно пропорционален массе системы. Характеризует быстроту затухания свободных колебаний.

Величину коэффициента затухания подставим в формулу (2.35) 2 m b2 m b k 0.

2m 4m После незначительных преобразований найдем значение частоты затухающих колебаний и период Т:

b k. (2.37) 4m m k = o2, Вследствие того, что m где k – коэффициент квазиупругости, m – масса частицы, 0 – собственная круговая частота физической системы, период затухающих колебаний 1. (2.38) T o b2 4mk, то круговая частота будет мнимой и Замечание: Если произойдет не колебание, а апериодическое движение (закритическое затухание, кривая А, рис. 2.8). Кривая В (рис. 2.8) соответствует докритическому затуханию при b2 4mk, а кривая Б (рис. 2.8) характеризует критическое затухание (демпфирование) при b2 = 4mk.

Физическая система при этом приходит в равновесие за максимально короткое время. На практике используется для плавного закрытия дверей, в амортизаторах автомобилей, машин, Рис. 2.8 для успокоения колебания стрелочных приборов и т. д.

2.8. Основные параметры затухающих колебаний Для описания затухающих колебаний используются: время релаксации, коэффициент затухания, логарифмический коэффициент затухания, добротность системы и т. д.

1. Время релаксации.

Временем релаксации называют промежуток времени, за который амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз (е – основание натуральных логарифмов).

2. Коэффициент затухания.

Коэффициентом затухания называют физическую величину, обратно пропорциональную времени релаксации: = b или =. (2.39) 2m 3. Логарифмический декремент затухания.

Логарифмическим декрементом затухания называют натуральный логарифм отношения амплитуды в данный момент времени к амплитуде колебания спустя период.

Действительно, -t A0 e n T. (2.40) - t+T A0 e Логарифмический декремент затухания прямо пропорционален произведению коэффициента затухания и периоду затухающих колебаний.

4. Добротность системы Q.

Из параграфа 2.7 следует, что круговая частота частицы (шарика на пружине – осциллятора) с учетом сил сопротивления [формула (2.37)] меньше собственной частоты гармонических колебаний осциллятора без учета сил трения.

Следовательно, период затухающих колебаний Т, наоборот, больше периода собственных колебаний Т0.

Причина ясна. Вязкое трение тормозит движение шарика.

Физическую величину, характеризующую потери энергии при затухающих колебаниях, называют добротностью.

Добротность Q физической системы можно найти по формуле Wt (2.41) Q 2.

Wt Wt T Как известно, энергия прямо пропорциональна квадрату амплитуды, тогда формулу (2.41) можно представить в следующем виде:

A (t) 2 (2.42) Q2.

A ( t ) A ( t T) 1 e t 2 где t А(t) = A0 е.

При малых колебаниях физической системы (малы сопротивление, потери энергии) добротность можно найти при Т Т0 по формуле:

o Q= или Q.

Добротность безразмерна.

Таблица 2. Источник колебаний Q Возбужденное ядро 3 57 Fe Лазеры Колебания электронов в атомах Колебание струны Рис. 2.9 Колебания при 25 – землетрясении – В табл. 2.1 приведены значения добротности различных физических систем, совершающих колебания.

Затухающие колебания можно изучать, используя метод векторных диаграмм.

В этом случае вращение вектора амплитуды происходит по логарифмической спирали (фазовая траектория), асимптотически приближаясь к началу координат при t (фокус 0, рис. 2.9).

Уравнение логарифмической спирали имеет вид bt z=ae, где а и b – комплексные числа.

Если точка К движется по спирали с постоянной угловой скоростью, приближаясь к фокусу, то ее проекции на оси координат Х и У будут совершать затухающие колебания, и система не может совершать периодических движений.

2.9. Понятие о связанных гармонических осцилляторах Рассмотрим процесс малых колебаний двух пружинных маятников с массами грузов m1 и m2 и с коэффициентами жесткости пружин k1 и k соответственно, соединенных последовательно (рис.2.10).

Силы сопротивления не учитываем. Данная система, выведенная из положения равновесия, будет совершать связанные гармонические колебания с двумя степенями свободы. Используя динамику поступательного движения, для связанных пружинных маятников, запишем уравнения движения грузов в следующем виде:

d 2 x1 2 (n 1) 01x1 01x 2 0, (2.43) dt d2x 2 2 02 x 2 02 x1 0, (2.44) dt k2 n k2.

Рис. 2.10 k 2, 02, где k m1 m Используя метод характеристического уравнения, решения уравнений x1 A1ei t, x 2 A 2ei t, (2.43) и (2.44) запишем в виде: (2.45) где А1 и А2 некоторые постоянные. В результате после подстановки уравнения (2.45) в (2.43) и (2.44), используя только вещественные части этих решений, окончательно получим:

x1 = а1 cos( 1t + 01) + a2 cos( 2t + 02), (2.46) x2 = 1а1 cos( 1t + 01) + 2a2 cos( 2t + 02), (2.47) где а1, а2, 1, 2 – некоторые постоянные;

2 2 2 (n 1) 01 (n 1) 1, 2.

причем (2.48) 1 2 n 01 n Если ввести новые динамические переменные (обобщенные координаты) 1 и 2, т. е. 1 = а1cos ( 1t + 01), 2 = а2cos ( 2t + 02), то каждая переменная будет изменяться по гармоническому закону с амплитудами а1 и а2 и начальными фазами 01 и 02, соответственно.

Совершаемые новыми динамическими переменными 1 и 2 простейшие гармонические колебания называют нормальными колебаниями системы связанных осцилляторов (нормальными модами).

Лекция 2.13. Несинусоидальные колебания.

Фурье-анализ При сложении гармонических колебаний с набором различных круговых частот 1=, 2= 2, 3 = 3,..., k = k возникают уже не гармонические, но периодические колебания периода Т.

В этом случае любое сложное периодическое колебание (t) можно рассматривать как сумму более простых гармонических колебаний с частотами, кратными основной круговой частоте, и записать в следующем виде:

Ao (t) A k cos k t B k sin k t.

2 k Периодическая функция (t) представляет собой разложение сложного периодического колебания в ряд Фурье (гармонический анализ).

Члены ряда Фурье называются первой (основной) 1, второй 2, третьей 3 и т. д. гармониками общего периодического колебания (t).

Вся совокупность гармоник сложного колебания образует частотный спектр. Отдельные простые гармонические колебания, на которые разложено общее периодическое колебание, называют дискретным спектром частот в отличие от общего непериодического колебания, которое имеет непрерывный (сплошной) спектр частот от 0 до.

Используя метод Фурье можно осуществить оптическую фильтрацию пространственных частот, например, с помощью метода двойной дифракции.

2.10. Вынужденные механические колебания Все реальные колебания являются затухающими. Чтобы они совершались достаточно долго, необходимо периодически пополнять энергию колеблющейся системы, действуя на нее внешней силой, которая, сама изменяется по гармоническому закону:

F (t) = F cos вt. (2.49) Например, на пружинный маятник при колебаниях в вертикальной плоскости в нижней его точке действует периодическая внешняя сила.

Тогда вынужденные колебания физической системы совершаются согласно неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка:

2 F Cos вt d x 2 dx ox. (2.50) dt m d t Из математики известно, что его решением является решение общего однородного уравнения (2.50), обозначим его через x1(t), и частного решения собственно неоднородного уравнения в виде x2(t).

Действительно, после приложения внешней силы сначала возникает переходное состояние, при котором физическая система одновременно участвует в двух колебаниях.

Поэтому решением уравнения (2.44) будет выражение из двух слагаемых: x(t) = x1(t) + x2(t), где первое слагаемое x1(t) есть решение затухающего колебания, которое быстро затухает и, следовательно, его можно не учитывать.

Второе слагаемое x2(t) соответствует решению незатухающих периодических колебаний с частотой, равной круговой частоте вынуждающей силы в:

x(t) x2(t) = Acos( вt + о), (2.51) где А – амплитуда вынужденных колебаний;

о – сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой.

Установившиеся вынужденные колебания физической системы являются также гармоническими (рис. 2.11).

Найдем значения амплитуды А и начальной фазы 0.. Для этого запишем первую и вторую производную частного решения уравнения (2.51) в виде:

dx vв А А в sin вt в cos вt. (2.52) o o dt dv (2.53) ав cos cos 2 А А t t.

в в в в o o dt Полученные значения смещения х, скорости vв и ускорения ав подставим в (2.50).

Тогда получим F cos t 2А cos А cos cos t.

2 А t t в в в в o в в o o o 2 m Для упрощения решения и быстрого получения результатов используем метод векторных диаграмм, так как последнее равенство показывает, что происходит сложение трех одинаково направленных гармонических колебаний с различными амплитудами, но одинаковой круговой частотой и начальными фазами, соответственно равными:

о1 = о+, = о+ /2, = о.

о2 о Вынужденные колебания происходят с результирующей амплитудой F/m.

Если положить начальный момент t = 0, то на рис. 2.12 можно изобразить векторы амплитуд всех четырех колебаний.

Согласно рис. 2.12, Рис. 2. имеем, что.

F А2 2 2 о в в m Результирующая амплитуда F. (2.54) A 2 2 m 2 o в в Вывод: Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения между круговой Рис. 2.12 частотой вынуждающей силы и собственной частотой физической системы и от коэффициента затухания.

Из рис. 2.12 найдем начальную фазу результирующего колебания о:

2 в tg 0 (2.55) 2 2 в Вывод: Сдвиг фаз между смещением пружинного маятника и вынуждающей силой зависит Рис. 2.13 сложным образом от коэффициента затухания, частоты вынуждающей силы и собственной частоты физической системы.

2.11. Механический резонанс В связи с тем, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы, проведем исследование этого вопроса более подробно. Для этого построим графики зависимости амплитуды А и начальной фазы 0 от круговой частоты вынужденных колебаний в (рис.

2.13, 2.14):

Анализ графиков показывает: 1. Если в, то А 0, tg 0 0, т. е. 0.

2. Если в 0, то 0 = 0, А = F/(m 02) статическое смещение, происходящее под действием постоянной силы, т. к. F(t) = Fcos t = const. Область резонанса: в = 0.

Согласно формуле (2.54) амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной:

F max А. (2.56) 2m в а значение tg 0,0 / Рис. 2. Механическим резонансом называют явление резкого возрастания амплитуды колебаний, когда круговая частота вынужденных колебаний в совпадает с собственной круговой частотой 0 физической системы.

В этом случае подкоренное выражение в (2.54) принимает минимальное значение. Из математики известно, если некоторая функция имеет минимум, то ее производная равна нулю, т. е.

42в 2 d в o 0.

d в Откуда следует, что рез 2.

2 (2.57) в Действительно, если сопротивление отсутствует ( = 0), то в = o и наступает резонанс, при котором амплитуда колебаний стремится к бесконечности (кривая 1, рис. 2.13).

0, что реально всегда имеет место на практике, тогда врез Если же o и пик соответствующих кривых при резонансе наступает ранее, чем частота вынужденных колебаний сравняется с собственной частотой колебаний физической системы (рис. 2.13, кривые 2, 3).

Явление резонанса очень широко используется в науке и технике.

Например, для обнаружения весьма слабых колебаний.

Действительно, каждая деталь, механизм, машина или постройка и т. д.

имеют собственную частоту колебания.

Если они при работе попадают под действие вынуждающей силы, т. е.

последствия при совпадении частот могут быть весьма опасными.

(Вспомните знаменитый мост, который был полностью разрушен, когда рота солдат шла по нему строем и в ногу).

Выше мы говорили, что при вынужденных колебаниях физической системы поглощается энергия, пополняемая вынуждающей силой. Среднее за период значение поглощаемой энергии, как показывают расчеты, m 2 А2 0.

Wп о г л в Такая же работа, но со знаком «+», совершается вынуждающей силой.

100% Рис. 2. Рис. 2. Вывод: Поскольку амплитуда вынужденных колебаний зависит от вынуждающей частоты и имеет резонансный максимум при в = o, то поглощаемая энергия, наоборот, имеет резонансный минимум не пик, а «провал» или «яму» (рис. 2.15).

Следовательно, при изучении зависимости поглощаемой энергии от вынуждаемой частоты можно также обнаружить резонансные явления и соответственно найти спектр собственных частот исследуемых физических систем (ядер, атомов и т. д.).

На рис. 2.16 приведен экспериментальный спектр поглощения синтетического алмаза, полученного на приборе Specord M-82, любезно предоставленный доцентом кафедры физики КГТУ А. Я. Корцем (18 мая 1995 г.). Алмазный порошок получен в лаборатории КГТУ методом направленного взрыва.

Лекция 2.12. Параметрические колебания.

Параметрический резонанс Параметрическими называют колебания, при которых один из параметров физической системы периодически изменяется.

Параметрические колебания наблюдаются в самых разнообразных физических системах: например, маятника в виде груза, подвешенного на нити, длину которой периодически изменяют (рис. 2.17).

Такой маятник с неподвижным подвесом совершает колебания с собственной частотой o2= g/, а сила натяжения нити максимальна в нижних положениях и минимальна в крайних.

Следовательно, если уменьшать длину в нижних и увеличивать в крайних состояниях, то при этом выполняется условие То о, Т н ак, (2.58) н ак 2 2n где Тнак и нак – период и частота накачки;

n – целое число (n = 1, 2, 3,...).

Наиболее эффективна накачка при n = 1.

В среднем за период работа внешней силы остается положительной, что способствует увеличению колебаний физической системы.

Выясним физическую сущность параметрических колебаний.

В состоянии 0 (рис. 2.17) совершается положительная работа (уменьшается длина маятника), т. е. увеличивается энергия колебаний, т. к. при этом растет амплитуда колебаний.

При удлинении нити (состояние 1, 1 ) отбирается энергия у маятника.

Рис. 2.17 Но сообщаемая энергия больше, чем отбираемая за период.

Почему?

Действительно, в состоянии равновесия сила натяжения нити не только уравновешивает силу тяжести, но и сообщает маятнику ускорение, а в крайних состояниях сила натяжения нити уравновешивает только составляющую силы тяжести.

Следует помнить, что для возбуждения параметрических колебаний принципиально важно, чтобы физическая система до этого уже совершала собственные колебания с частотой 0.

В колебательных системах с многими степенями свободы возможны нормальные колебания (моды) с частотами 1 и 2 (если система состоит из двух связанных маятников, индуктивно связанных контуров и т. д.).

Энергия колебаний, запасенная в какой-либо физической системе, содержит не только состояния с частотами: 2 1 и 2 2, но и, равными сумме и разности частот.

Параметрический резонанс – явление раскачивания колебаний при периодическом изменении параметров тех элементов колебательной системы, в которых сосредоточена энергия параметрических колебаний.

В колебательных системах с распределенными параметрами с большим числом степеней свободы также возможно возбуждение нормальных колебаний в результате параметрического резонанса.

Параметрический резонанс может приводить к раскачиванию изгибных колебаний вращающих валов различных механизмов и машин.

На явлении параметрического резонанса основано всем известное самораскачивание на качелях.

Параметрический резонанс учитывается и в небесной механике при расчете возмущений планетных орбит под влиянием других окружающих тел, при расчете излучения «черных дыр», в ядрах кристаллов и т. д.

3. АНГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 3.1. Нелинейный осциллятор Все физические системы совершают нелинейные колебания.

Нелинейным осциллятором называют систему, которая описывается нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, а вторая производная от переменной по времени входит в уравнение линейным образом.

Примерами таких систем могут служить колебания математического маятника, если его отклонить на большие углы от положения равновесия или пружинного маятника.

Такие колебания совершаются в потенциальных (консервативных) системах без внешнего воздействия и без диссипации энергии.

В указанных условиях нелинейные системы будут совершать ангармонические колебания, т. к. решения таких нелинейных дифференциальных уравнений, кроме гармоник первого порядка содержат гармоники более высокого порядка.

Примерами сложных колебаний являются межатомные, межмолекулярные и другие взаимодействия, которые не являются строго линейными, поэтому возникают не гармонические, а так называемые ангармонические колебания.

Ангармонизм колебаний объясняет тепловое расширение кристаллов.

С ангармонизмом связано отличие друг от друга изотермических и адиабатически упругих постоянных твердых тел и др. свойства.

Все нелинейные колебания не являются изохорными.

Принцип суперпозиции для нелинейных колебаний не выполняется.

3.2. Автоколебательные системы Системы, способные совершать незатухающие колебания в отсутствие периодического внешнего воздействия, называются автоколебательными системами.

Примерами таких систем являются: часы, двигатели внутреннего сгорания, ламповые генераторы электромагнитных колебаний и т. д.

В таких системах всегда присутствует источник энергии для восполнения потерь на диссипацию, например, выделение тепла джоуля ленца при протекании тока в электрической цепи лампового генератора.

Кратко рассмотрим Рис. 3.1 возникновение автоколебаний на примере лампового генератора электромагнитных колебаний (рис. 3.1), где Л – лампа-триод, S – сетка, А – анод, К – катод, L2 – индуктивность, R – сопротивление, C – емкость, L1 – катушка обратной связи, ЭДС источника тока.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.