авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |

«ШЕМЯКОВ Н.Ф. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ Ч 1. Физические основы механики; Колебания и волны; Молекулярная физика и ...»

-- [ Страница 5 ] --

При разряде конденсатора через лампу будет течь анодный ток Ia, а потенциал сетки упадет, что приведет к уменьшению анодного тока.

Если витки катушек намотаны параллельно, то за счет взаимной индукции затухание в контуре увеличится.

Возникнет отрицательная обратная связь.

Если же витки катушек намотаны антипараллельно, то затухание в контуре уменьшится, амплитуда колебаний начнет Рис. 3. возрастать.

Возникнет положительная обратная связь.

Вид фазовой кривой для такого случая приведен на рис. 3.2.

Если выполняется условие SM / C R, то состояние равновесия (т. 0) будет неустойчивым фокусом, где S – крутизна сеточной характеристики;

М – коэффициент взаимной индукции.

Любое малое отклонение системы от равновесия будет возрастать.

Колебательный контур начнет самовозбуждаться.

В контуре устанавливаются автоколебания с постоянной амплитудой, которая не зависит от начальных условий, а определяется параметрами системы.

Это есть общее свойство всех автоколебательных систем.

В пределе, при t автоколебательный режим достигается асимптотически, а фазовые траектории приближаются к некоторой постоянной траектории, называемой предельным циклом.

Например, эллипсу (на рис. 3. Рис. 3.3 эллипс изображен пунктиром).

Раскручивающаяся спираль 2 (рис. 3.3) есть фазовая траектория, выходящая на предельный цикл-эллипс, и относится к случаю, когда начальная амплитуда меньше предельной.

Если начальная амплитуда автоколебаний лампового генератора, возбуждающего электромагнитные колебания, больше предельной, то фазовая траектория, входящая в эллипс, стремится к предельному циклу-эллипсу с внешней стороны 1 (рис. 3.3).

3.3. Понятие о релаксационных колебаниях Если некоторый плавный процесс автоколебаний системы в некоторый момент времени испытывает резкое изменение, а затем снова возобновляется, и в дальнейшем периодически повторяется, то такие колебания называются релаксационными.

Такие колебания можно наблюдать, используя схему рис. 3.4, где ЛН – неоновая лампа, С – конденсатор, R – сопротивление, ЭДС источника тока.

Рис. 3. Неоновая лампа имеет нелинейную вольтамперную характеристику типа гистерезиса (рис. 3.5).

Если повышать напряжение на неоновой лампе, то при U = U2 (рис. 3.6) она загорается красноватым светом.

При дальнейшем повышении напряжения ток в лампе нарастает по линии СВА (рис. 3.5).

Если уменьшать напряжение на неоновой лампе, то при U1 U2 она гаснет (рис. 3.6).

Поэтому напряжения U1 и U2 называют потенциалами гашения и зажигания.

При замыкании цепи (рис. 3.4) конденсатор начнет заряжаться, напряжение на нем возрастает по закону t/ U = (1 – e ), где = RC – время релаксации.

При U = U2 конденсатор начнет Рис. 3. разряжаться через лампу. При U = U1 лампа погаснет и снова начнется зарядка конденсатора.

Такой процесс будет продолжаться периодически с периодом Т.

Зависимость напряжения от времени U = U(t) представлена на рис. 3.6 в виде пилообразной кривой.

В рассматриваемом случае автоколебания возникают из-за определенного времени релаксации, поэтому такие колебания Рис. 3.6 называются релаксационными.

4. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ 4.1. Волны продольные и поперечные После возбуждения колебаний в произвольной точке пространства, заполненного упругой (твердой, жидкой, газообразной) средой, в ней начинают распространяться волновые процессы.

Процесс распространения колебаний в упругой, однородной и непрерывной среде в пространстве и времени называют волновым процессом.

За время существования волны частицы среды совершают колебания около положения равновесия, причем различные частицы колеблются друг относительно друга со сдвигом по фазе и не переносятся волной.

Волновые процессы характерны для многих материальных объектов, начиная от элементарных частиц до гигантских космических структур.

Например, осцилляция Солнечной системы относительно плоскости галактического экватора происходит с периодом около 60 млн. лет.

Различают волны продольные и поперечные (рис. 4.1, а;

рис. 4.1, б).

Волны, в которых частицы среды колеблются вдоль направления их распространения, называют продольными.

При распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц, которые перемещаются в направлении распространения волны со скоростью v.

Волны, в которых частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны, называют поперечными.

Механические поперечные волны могут возникать лишь в среде, способной сопротивлению к сдвигу. Поэтому в жидкостях и газах возможно образование только продольных волн. В твердой среде (земная кора) возникают как продольные, так и поперечные волны.

Рис. 4. 4.2. Длина волны Расстояние между ближайшими частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе, называют длиной волны.

Волна, распространяясь со скоростью v за время T, пройдет путь, равный vT, т. е.

=vT (4.1) или =2 /, где T=2 /. (4.2) 4.3. Волновой фронт. Волновая поверхность Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые области пространства.

Геометрическое место точек, до которых распространились колебания к данному моменту времени, называют волновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называют волновой поверхностью.

Волновых поверхностей существует бесчисленное множество, в то время как волновой фронт в данный момент времени только один.

Волновые поверхности остаются неподвижными (т. к. проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе), а волновой фронт все время перемещается.

Волновая поверхность и фронт волны могут быть любой формы:

плоские, сферические, цилиндрические и т. д.

Следовательно, волновые поверхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей (рис. 4.2, а) или систему концентрических сфер (чередуются гребни и впадины волн, рис. 4.2, б).

Различают волны, Рис. 4.2 которые распространяются не только внутри сред, но и на их поверхности (например, ПАВ поверхностные акустические волны) и т. д.

Среды, в которых распространяются волны, бывают однородные и неоднородные, изотропные и анизотропные, сплошные (непрерывные) и т. д.

Среду называют однородной, если ее физические свойства не изменяются от точки к точке.

Если физические свойства cреды (вещества) изменяются от точки к точке, то ее называют неоднородной.

Среду называют изотропной, если ее физические свойства одинаковы по всем направлениям.

Если физические свойства среды неодинаковы по различным направлениям, то ее называют анизотропной.

Замечание: В действительности колеблются не только частицы, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме пространства.

Лекция 4.4. Уравнение плоской бегущей волны Для описания волновых процессов используют волновые уравнения.

Например, уравнение плоской бегущей волны можно представить в общем виде s(х, y, z, t) = 0. (4.3) В общем случае волны распространяются в пространстве в какой-то среде. При описании волн будем считать, что они распространяются, например, вдоль оси Х, т. е. только вдоль одного направления. Если источник колебаний будет находиться в начальный момент времени в точке 0, то спустя некоторое время после возбуждения колебаний, волна, распространяясь со скоростью v в направлении оси Х, достигнет точки М с некоторым запаздыванием (рис. 4.3), т. е.

= t х / v, t=t где х расстояние от источника колебаний до точки М;

v скорость распространения волны.

Таким образом, от уравнения колебаний s = Аcos( t + o) переходим к уравнению бегущей плоской волны s A cos t (4.4) o или s A cos t x. (4.5) o v Рис. 4.3 Используя формулу длины волны (4.1), перепишем последнее уравнение в виде s A cos t x o или s A cos t kx, (4.6) o где k= = (4.7) v волновое число.

В связи с тем, что волны распространяются в средах с пространственными координатами x, y, z и в течение некоторого времени t, используют понятие волнового вектора k.

Положение частиц среды, до которых распространилась волна, определяют радиус-вектором r.

Поэтому уравнение волны можно представить в следующем виде:

s A cos t kr, (4.8) o где kx x k y y k z z.

kr Без вывода приведем уравнение сферической волны, когда среда не поглощает энергию:

A sсф cos t kr, (4.9) o r A где амплитуда сферической волны.

r 4.5. Волновое уравнение Для однородной, изотропной, непрерывной среды, которая не поглощает энергию вместо уравнения волны используют волновое уравнение, представляющее собой дифференциальное уравнение в частных производных.

Волновое уравнение можно получить, если найти вторые частные производные по каждой из координат, используя уравнение плоской бегущей волны (4.8) s 2 kr s, A cos t o t s 2 k x s, k x A cos (4.10*) t kr o x s k 2 A cos ky s, t kr o y y s k 2A cos kz s.

t kr o z z После сложения производных по координатам, используем оператор Лапласа, 2 2 2 s 2 s.

s или s 2 2 2 2 y x z z x y Запишем волновое уравнение:

2 1 s 2 1 s s ks s или (4.10) s 0.

2 2 v v t t2 v Если волна при распространении изменяется по гармоническому закону, то она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям:

s k2s, s.

s= 1) 2) (4.11) t 4.6. Фазовая скорость Скорость распространения волны входит в значение фазы волны (4.5).

Фазовой называют скорость, с которой распространяется синусоидальная волна в данной среде.

Эта скорость равна скорости перемещения точек поверхности в пространстве, если значение фазы постоянно.

Действительно, для плоской бегущей волны, имеем t kx + o= const.

После дифференцирования, получим k (dx/dt) = или vф = dx/dt = /k. (4.12) Например, 1. Фазовая скорость распространения звука в газах или жидкостях vф2 = K, где К объемная упругость среды;

плотность среды.

RT v ф2 = 2. Если газ идеальный, то, M где показатель адиабаты;

R газовая постоянная;

Т абсолютная температура;

М молярная масса газа.

3. В однородной изотропной среде (твердое тело) фазовая скорость поперечных синусоидальных волн G vф2 =, где G модуль сдвига твердой среды;

плотность среды.

4. Фазовая скорость распространения поперечных волн вдоль струны F vф2 = нат, S где Fнат сила натяжения струны;

плотность материала струны;

S площадь сечения струны.

4.7. Групповая скорость В линейной среде волны распространяются независимо друг от друга.

Поэтому, если в данной среде одновременно распространяются N синусоидальных волн, можно применить принцип суперпозиции и найти результирующее смещение частиц среды в произвольный момент времени.

Используя Фурье-анализ и принцип cуперпозиции волн, можно любую несинусоидальную волну разложить на систему простейших синусоидальных волн, т. е. в виде волнового пакета или группы волн. В главе «Гармонический осциллятор» отмечалось, что совокупность частот простейших гармонических колебаний образует спектр частот (сплошной или дискретный), если среда не обладает дисперсией.

Дисперсией волн называют зависимость фазовой скорости в среде от частоты распространяющихся волн.

Дисперсия всегда связана с поглощением энергии средой.

Если среда обладает дисперсией, то составляющие группы волн в среде распространяются с различными скоростями и поэтому результирующая волна изменяется.

Рассмотрим группу из двух волн, которые характеризуются тем, что имеют равные амплитуды, но различаются частотами 1, 2 = 1+d (d 1) и волновыми числами k1, k2 = k1 + dk (dkk1). Волны распространяются вдоль одного направления (ось х). В результате сложения, имеем s A cos t kx A cos d t k dk x.

После преобразований (при сложении мы учли, что d, dk k и значениями d и dk можно пренебречь по сравнению величинами и k) получим, что td x dk s 2A cos cos t kx. (4.13) Амплитуда результирующей волны (квазисинусоидальной) имеет следующий вид:

td x dk A рез 2A cos. (4.14) Она зависит от координаты х, N M времени t и является медленно изменяющейся функцией (рис. 4.4).

Если скорость uг перемещения точки M (рис. 4.4), в которой амплитуда А имеет фиксированное значение, например, Арез= 2А, то закон движения точки Рис. 4. M запишется в виде x dk = сonst.

td dx После взятия производной по времени, имеем d dk = dt dx d или uг = =. (4.15) dt dk Скорость uг называют групповой.

Для сред, в которых наблюдается дисперсия волн, используют понятие групповой скорости, характеризующей быстроту переноса энергии волн.

4.8. Связь фазовой и групповой скоростей Известно, что волновое число или = kvф.

k vф Найдем производную по k:

d vф d vф.

k (4.16) dk dk С другой стороны, волновое число можно выразить через длины волны k=.

От этого равенства возьмем производную по :

dk d или dk =( )d. (4.17) Выражения (4.16) и (4.17) подставим в (4.15).

Учитывая, что k =, получим связь фазовой и групповой скоростей:

dv ф u г = vф ( ). (4.18) d Если в среде не наблюдается дисперсия волн, то dv ф = 0, d тогда фазовая и групповая скорости совпадают, т. е. uг = vф.

Зная зависимость скорости распространения от длины волны в среде v=f( ) и построив график, можно найти величину групповой скорости.

Действительно, проведя касательную к кривой в т. А (рис. 4.5) с координатами vi и i, можно найти отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равный значению групповой скорости ui (метод Эренфеста).

4.9. Энергия волн Рис. 4. При распространении волн в среде происходит перенос энергии волной. В это время в среде наблюдаются колебания ее частиц, т. е. частицы среды приобретают кинетическую (за счет движения) и потенциальную (за счет деформаций) энергии.

Найдем объемную плотность кинетической энергии wk cреды, в которой распространяется волна:

v2 dm d Wk v, wk (4.19) dV 2 dV где плотность среды;

v скорость колебания частиц cреды.

Скорость постоянна (v = сonst) в пределах объема dV.

Запишем формулу объемной плотности потенциальной энергии cреды:

v d Wp ф wp, (4.20) dV где плотность среды;

vф фазовая скорость волны в среде;

относительная деформация.

Полная объемная плотность механической энергии волн в среде равна сумме объемных плотностей кинетической и потенциальной энергий, т. е.

v v2 ф wk wp w. (4.21) 2 При распространении волн в среде непрерывно происходит передача энергии все новым и новым участкам среды за счет энергии источника.

В связи с этим объемная плотность полной механической энергии волн зависит и от координат, и от времени.

Объемная плотность полной энергии волн (см. гл. 6) за период m 2 A d 2 A dW w. (4.22) dV dV 4.10. Поток энергии. Вектор Умова Если на пути распространения волны поставить некоторую площадку dS, то в этом случае говорят о потоке энергии через эту площадку.

Отношение энергии, переносимой сквозь некоторую площадку к промежутку времени, за который произошел ее перенос, называют потоком энергии.

Согласно определению можно записать формулу потока энергии:

dW dФэ=. (4.23) dt Используя объемную плотность энергии w, запишем полную энергию волны dW= w (vdt) dS сos, где = vdt расстояние, на которое перемещается волна, имея скорость v за малое время dt;

угол между векторами скорости и нормалью к площадке (рис. 4.6) или dW w v ds dt, где ds ds n.

Следовательно, поток энергии переносимый волной d Фэ w v ds (4.24) или d Фэ U ds, (4.25) Рис. 4. где U wv (4.26) называют вектором Умова, или вектором плотности потока энергии.

Вывод: Модуль вектора Умова характеризует плотность потока энергии волны, переносимой через площадку перпендикулярно направлению dФ э распространению волны, т. е., U =.

dS Мощность потока энергии волны характеризуют интенсивностью волны.

Модуль среднего значения вектора плотности потока энергии волн, называют интенсивностью J.

Интенсивность волны энергия, переносимая волной через единицу поверхности за единицу времени перпендикулярно к направлению распространению волны.

Для плоской бегущей и сферической синусоидальных волн за период интенсивность волны определяется выражением v 2 A vw J U. (4.27) Реальные среды, в которых распространяются волны, всегда поглощают энергию. При этом происходит уменьшение амплитуды и интенсивности волны, т. е. волны затухают.

4.11. Стоячие волны Рассмотрим более подробно отражение волн. В частности, отражение волн от среды с большим волновым сопротивлением.

По существу, вторая среда является преградой. Например, воздух и стена здания.Запишем уравнения падающей и отраженной волн в виде s1 = А cos ( t kx), s2 = А cos ( t + kx + 0). (4.28) В отраженной волне 2 записана начальная фаза 0, равная разности фаз рассматриваемых колебаний, которая может принимать 0 или, т. к. при отражении фаза результирующей волны может изменяться.

Падающая и отраженная волны отличаются направлением скорости распространения, поэтому перед волновым числом в уравнении (4.28) взят знак « + ». При отражении от преграды происходит сложение волн (наблюдается явление интерференции) и возникает стоячая волна, уравнение которой имеет вид 0 S = 2Аcos(kx + )cos( t + ), (4.29) 2 где амплитуда стоячей волны Аст= 2Аcos(kx + ). (4.30) Из уравнения (4.29) заключаем, что в каждой точке стоячей волны наблюдается колебание такой же частоты и периода, но амплитуда волны зависит от координаты х.

Проведем анализ уравнения (4.30).

1. Условие максимума.

Фаза амплитуды стоячей волны равна целому числу, т. е.

кх + 0 = m, где m = 0, 1, 2,... или x + 0= m.

2 Найдем координату максимума (пучности):

m X max. (4.31) п Для простоты полагаем значение начальной фазы равной нулю. При таких условиях амплитуда стоячей волны максимальна:

м ах 2 А, т. к. cos (m ) = 1.

Ас т 2. Условие минимума Фаза амплитуды стоячей волны равна нечетному числу /2:

кх + = (2m+1) 2 2 или x+ = (2m+1).

2 С учетом того, что 0 / 2 = 0, для координаты минимума (узел) имеем 2m X min ;

у А мin 0. (4.32) ст Свойства стоячих волн:

1. Расстояние между узлом и пучностью равно:

xпуч хузел = /4.

2. Расстояние между соседними узлами или пучностями / 2, т. е.

длина стоячей волны / 2. Читателю предлагается самостоятельно ст = проверить результаты выводов по пп. 1 и 2.

3. В бегущей волне фаза колебаний зависит от координаты х, рассматриваемой колеблющейся частицы среды.

В стоячей же волне все частицы среды между двумя узлами совершают колебания с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами (сифазны), потому что аргумент cos( t + 0 / 2) в уравнении стоячей волны (4.29) не зависит от координаты х.

При переходе через узел фаза колебаний ( = t + 0 / 2) изменяется скачком на, т. к. в амплитуде стоячей волны сомножитель cos(kx + 0 / 2) изменяет свой знак на противоположный.

4. Если волна отражается от среды с большим волновым сопротивлением (неверно говорить «при отражении от более плотной среды», как это пишут иногда) фаза изменяется на противоположную. При этом происходит потеря половины длины волны, потому что на расстоянии, равном половине длины волны, фаза изменяется на. Поэтому после подстановки в уравнение стоячей волны (4.29), например, значения разности фаз 0 =, будем иметь s = 2Аsin (kx) sin( t).

Поскольку механические волны являются следствием возникновения деформаций в среде, вызванных источником упругих волн, то относительная деформация среды изменяется по закону ds = 2Aksin(kx + 0 )сos( t + 0 ), = (4.33) dx 2 где s смещение волны;

относительная деформация среды.

При этом скорость колебания частиц среды в стоячей волне ds = 2A cos(kx+ 0 )sin( t+ 0 ).

v= (4.34) dt 2 Следовательно, в стоячей волне опережает скорость по фазе на /2.

Поэтому, когда скорость достигает максимума, относительная деформация обращается в нуль и наоборот, когда скорость обращается в нуль, относительная деформация достигает максимума.

Причем амплитуда скорости va = 2A cos(kx + 0/2) и амплитуда относительной деформации смещения a= 2Aksin(kx + 0/2) зависят от координаты х по-разному, т. е. в пучностях стоячей волны размещаются пучности скорости и узлы деформаций среды, а в узлах стоячей волны узлы скорости и пучности деформаций.

В упругой стоячей волне энергия периодически переходит из потенциальной, которая локализована вблизи пучностей деформации, в кинетическую энергию, локализованную вблизи пучностей скорости и наоборот.

Таким образом, энергия периодически перемещается от пучностей к узлам и наоборот от узлов к пучностям.

Но в самих узлах и пучностях плотность потока энергии равна нулю.

Поэтому среднее за период значение плотности потока энергии равно нулю в любой точке стоячей волны, т. к. две бегущие навстречу друг другу волны образуют стоячую волну и переносят за период равную энергию в противоположных направлениях.

Собственные (резонансные) частоты стоячих волн.

На практике в случае свободных колебаний некоторых физических систем, например струн, столбов газа и др., устанавливаются стоячие волны, частоты которых удовлетворяют определенным условиям, т. е. могут принимать только определенные дискретные значения, называемые собственными частотами данной колебательной системы.

Например, в точках закрепления струн или стержней размещаются узлы смещения (пучности деформаций), а на свободных концах стержней пучности смещения (узлы деформации). При колебаниях воздушного столба в цилиндрической трубке у закрытого конца трубки размещается пучность давления, а у открытого узел давления. В качестве примера рассмотрим возникновение стоячих волн при изменении натяжения колеблющейся струны (параметрический резонанс). Частоты стоячих волн называют собственными, или резонансными, т. к. такие колебания сопровождаются резонансными явлениями. В отличие от пружинного, математического или физического маятников, которые при колебаниях имеют одну собственную резонансную частоту (одна степень свободы), натянутая струна имеет много резонансных частот.

Эти частоты в свою очередь кратны низшей частоте.

Более продолжительное время сохраняются те волны, которым соответствуют резонансные частоты. В точках закрепления струны возникают узлы (рис. 4.7). Для нахождения Рис. 4. резонансных частот воспользуемся тем, что длина стоячей волны связана с длиной самой струны:

, где m = 1, 2, 3,..., и определяет число гармоник.

=m Например, основной тон (мода) первая гармоника, соответствует 1 пучности, а длина струны длина волны первой =, (m = 1;

2 = 2 (m = 2;

гармоники). Для второй гармоники длина волны второй гармоники), для третьей 3 = 2 3/3 (m = 3;

длина волны третьей гармоники) и т. д. Частоты колебания стоячей волны можно найти по формуле v =m.

Замечание: Стоячая волна может существовать только при строго определенных частотах колебаний.

Действительно, по условию при отсутствии колебаний на правом конце закрепленной струны, где координата х =, а амплитуда обращается в нуль и разность фаз = 0 =, то Аст = 2А cos(kx ) = 2A sinkx.

В точках, где sin(kx) = 0, возникнут узлы и sin(k ) = 0.

Следовательно, k= m. (4.35) Общий вывод: Полученный результат является необычным для классической физики, потому что k и могут принимать строго определенные значения:

k=m, v.

=m Наблюдаемое аномальное явление весьма существенно повлияло на разгадку квантовых явлений.

Согласно выводам квантовой теории следует, что все микрообъекты обладают корпускулярными и волновыми свойствами.

4.12. Акустический эффект Доплера При неподвижном источнике колебаний, неподвижной среде и неподвижном приемнике частоты излучаемых, распространяемых и принимаемых волн равны.

Иначе дело обстоит, если они приходят в движение, т. е. происходит изменение частоты регистрируемых волн.

Изменение частоты колебания волн вследствие движения источника колебаний и приемника называют эффектом Доплера.

Рассмотрим несколько частных случаев, когда движется источник (приближается удаляется), или приемник (приближается удаляется), или оба вместе (приближаются удаляются).

1. Источник неподвижен, приемник приближается со скоростью u по прямой, совпадающей с осью Х (рис. 4.8, u1 v).

Длина волны в среде постоянна: = 0= v / 0, где частота колебаний источника;

0 длина волны в среде при неподвижном источнике.

Скорость распространения волны относительно приемника uотн = u1 + v, где v фазовая скорость волны в среде.

Тогда частота волны, регистрируемая движущимся приемником, Рис. 4.8 = (u1+v)/ о или = o (1 u1/v). (4.36) Знак “ " пишут в формуле (4.36), когда приемник удаляется.

Если приемник приближается к источнику так, что вектор его скорости u 1 образует угол 1 с осью Х, тогда частота волны, регистрируемая приемником, определяется формулой = 0 (1 u1 сos 1 / v). (4.37) 2. Приемник неподвижен, источник колебаний удаляется со скоростью u2 вдоль оси Х (рис. 4.9, u2 v).

Источник удаляется в среде за время, равное периоду ( t = T0), на расстояние u2 T0 = u2 /, T0 = 1/ 0, где 0 и T0 частота и период колебаний источника соответственно.

Поэтому при удалении источника Рис. 4. длина волны в среде отличается от длины волны при неподвижном источнике 0 (она растет) и определяется выражением = 0 + u2T0 = (u2 + v) / 0, (4.38) Найдем частоту, которую регистрирует приемник:

v, u2, (4.39) o v где « » соответствует приближению источника.

В случае, если источник движется со скоростью u2 под углом к оси Х,. (4.40) o u 1 cos v 3. Общий случай Источник и приемник движутся одновременно относительно среды со скоростями u2 и u1, соответственно.

В этом случае частота находится по общей формуле u 1 cos v. (4.41) o u 1 cos v Замечание: Верхний знак в формуле (4.41) соответствует приближению источника и приемника;

нижний знак обозначает, что источник и приемник удаляются.

Читателю предлагается вывести формулу (4.41) самостоятельно для случая, когда приближается источник и удаляется приемник.

Вывод: Движение источника звуковых колебаний и приемника приводят к изменению частоты волны, регистрируемой приемником.

Отличие результатов объясняется различными условиями при движении приемника и источника.

Это особенно заметно, когда скорости перемещения источника и приемника близки к скорости распространения волн в среде, в том числе и звуковых.

Например, когда скорость приближения приемника к источнику составляет девять десятых от скорости распространения волн в среде (u1= 0,9v), то частота звука, регистрируемая приемником, равна = 10 0, а при удалении приемника всего = 2 0.

Замечание: Казалось бы, какая разница что движется источник или приемник?

Но все дело в том, что важно не относительное движение источника и приемника, а их движение относительно среды, с которой связана система отсчета, и это не противоречит принципу относительности.

Заключение. Эффект Доплера наблюдается в любой среде. Большое значение он имеет в оптике («красное смещение» или «фиолетовое»).

Эффект Доплера используется для измерения скорости движущихся объектов.

Например, при наблюдении за светящимися источниками (звезды, галактики, квазары и т. п.) в космическом пространстве наблюдается смещение спектральных линий в область красных частот, что свидетельствует об их удалении, т.е. Вселенная расширяется.

4.13. Ударные волны При движении тел в средах со скоростями, равными или больше скорости звука, наблюдается резкое изменение параметров, характеризующих состояние вещества из-за сильных возмущений среды.Такие явления наблюдаются, например, при движении тел в газах со сверхзвуковыми скоростями, при мощнейших электрических разрядах во время удара их о преграду, при полетах сверхзвуковых самолетов, при взрывах сверхновых звезд и т. д. Во всех таких случаях скорость распространения возмущения уже зависит от его величины из-за возникновения ударных волн.

Ударной называют волну, распространяющуюся со сверхзвуковой скоростью, в которой происходит скачок физических величин, характеризующих состояние вещества плотности, давления, температуры, скорости движения частиц. Ударные волны возникают в средах: жидких, твердых, газообразных.

Рассмотрим механизм возникновения ударной волны. Пусть тело движется в газе со сверхзвуковой скоростью. Если скорость движения тела v меньше скорости звука в газе vзв (v vзв), то тело при своем движении излучает волны сжатия вперед по направлению движения. Газ плавно расходится, пропуская тело, обтекая его. Относительно системы отсчета, связанной с телом, на больших расстояниях от начала координат поток газа является плоскопараллельным, а вблизи тела линии потока газа плавно искривляются, огибая его. Если тело имеет обтекаемую форму, то за ним не возникает завихрений. Картина движения резко изменяется при сверхзвуковом движении тела. Газ не успевает расходиться перед телом, его догоняют сжатия (уплотнения) и возникает головной ударный фронт. В хвостовой части тела также образуется ударная волна. Газ, сначала сжатый в головной волне, затем расширяется до давления меньше первоначального.

Переход к первоначальному давлению и осуществляется в хвостовой волне. На некотором расстоянии от тела фронт ударной волны (головной и хвостовой) имеет форму конусов (рис. 4.10).

Из-за уплотнения газа в ударной волне происходит изменение его показателя преломления, что позволяет сфотографировать ударную волну. Кроме того, газ в ударной волне нагревается, т. к.

поток газа, натекая на тело, резко тормозится, вплоть до полной остановки.

Рис. 4.10 Кинетическая энергия газового потока переходит во внутреннюю энергию. Даже после прохождения ударной волны газ продолжает нагреваться, вплоть до температуры торможения, что может вызвать свечение газа, но не из-за трения тела в газе.

Причина свечения вызвана только его нагреванием в ударной волне.

Например, многие наблюдали свечение при падении метеоритов или метеоров. Из-за высокой температуры поверхность тел даже оплавляется (падающие ступени ракет-носителей и посадочные капсулы). Все эти процессы требуют затраты энергии со стороны тела, большая часть которой идет на образование ударных и обычных волн. Естественно тело при этом испытывает волновое сопротивление. Природа волнового сопротивления в случае ударных волн иная, чем при движении тел с дозвуковой скоростью.

Для уменьшения волнового сопротивления (zсвзв zзв) телу придают стреловидную форму. Поэтому в передней части тела образуется конической формы ударная волна, которая преломляет линии набегающего потока газа.

В хвостовой ударной волне они также испытывают преломление, переходя снова в параллельный поток. Обе ударные волны заметны на значительных расстояниях от тела, более чем 20 км. Их существование проявляется, например, в виде резких хлопков (акустический удар) от пролетающих сверхзвуковых самолетов. Ударная волна представляет собой узкую область волнового поля среды, порядка среднего расстояния между частицами газа среды, в которой плотность изменяется скачком. Мощные ударные волны, возникающие при термоядерных взрывах или при взрывах сверхновых звезд, сопровождаются яркой вспышкой, которая позволяет судить о приближении ударной волны.

В других случаях (когда вспышка не Рис. 4.11 возникает) о приближении ударной волны нельзя узнать заранее, тем они и коварны (выбитые стекла, сорванные крыши и т. д.). Если тело движется со скоростью меньше (рис. 4.11, а) или равной звуковой (рис. 4.11, б), то распространение звуковых волн происходит так, как показано на рис. 4.11, а, б, и сопровождается эффектом Доплера. Для нахождения угла сверхзвукового конуса ударной волны (рис. 4.12) можно использовать принцип Гюйгенса. Из каждой точки среды, через которую движется тело, распространяется вторичная волна как от точечного источника. Перед телом фронт волны точечный, т. к. тело обгоняет волну.

Позади тела радиусы вторичных волн растут со скоростью звука. Огибающая всех фронтов Рис. 4. вторичных волн является ударной волной в виде конуса. Ударная волна удаляется от тела со скоростью его движения.

Угол раствора ударного фронта определяется отношением скорости звука и скорости тела (рис. 4.12): sin = Vзв / vтела..

4.14. Солитоны Солитон уединенная волна, не изменяющая своей скорости и формы при перемещении в нелинейной среде с дисперсией.

Солитоны имеют большое значение в нелинейных волновых процессах, такое же, как и линейный гармонический осциллятор в классической физике. Разновидностью солитонов (уединенных волн) являются цунами океанские волны с большим фронтом, образующиеся в результате сильнейших подводных землетрясений.

Их скорость распространения колеблется от 100 до 1000 км/ч, а высота волнового гребня от 1 до 10 м. В прибрежных зонах она достигает до 50 м и выше, что естественно вызывает катастрофические последствия, особенно в прибрежных областях Тихого океана.

Солитоны относится к классу бегущих волн, описываемых волновым уравнением. При встречном движении двух солитонов они не искажают друг друга и не изменяют своих параметров.

Устойчивое волновое образование при взаимодействии солитонов может вызвать сдвиг фаз. Возникновение солитонов возможно только при наличии дисперсии и нелинейности и в системах, где диссипация энергии отсутствует (рис. 4.13).

Исследования солитонов на воде привели к интересным выводам.

Скорость их движения тем выше, чем больше глубина моря (океана). Для слоя воды около 10 м скорость уединенной волны достигает 35 км/ч.

Поэтому уединенные волны образуются на малой глубине при реальных скоростях современных морских судов.

Волна может отделиться от корабля, если он выйдет на глубокую воду, т. к. скорость уединенной волны при этом возрастает.

Профиль уединенной волны является сложной зависимостью от условий ее возбуждения и свойств среды, в которой она распростроняется.

Нелинейные эффекты, связанные с Рис. 4. образованием солитонов, нашли широкое практическое применение: генераторы и усилители электромагнитных сигналов, умножители модуляторов и т. д.

Нелинейные эффекты возникают при полетах самолетов, ракет и космических кораблей, а также при движении морских судов и т. п.

Типичным примером солитонов в твердых телах служат электрические домены (эффект Гана, 1963 г.), солитоны в слабосвязанных сверхпроводниках (эффекты Джозефсона, 1962 г.) и т. д.

…Могучие космические силы на части рвут Вселенские поля.

Там жар и холод, кочуя рядом, рождают новые тела...

Автор Лекция МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 1. ЭЛЕМЕНТЫ МОЛЕУЛЯРО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 1.1. Статистический и термодинамический методы изучения физики Для описания процессов, протекающих в твердых, жидких и газообразных телах, используют статистический и термодинамический методы исследования.

Теорию, изучающую свойства макроскопических тел, состоящих из большого числа одинаковых частиц (атомов, молекул, электронов и т. д.), называют статистической физикой.

В соответствии с принципом неопределенностей одновременно точное определение координат и скоростей частиц невозможно. Статистическая физика, используя законы теории вероятности, объясняет наблюдаемые на опыте физические свойства тел как усредненный результат действия отдельных частиц. Термодинамика изучает свойства макроскопических тел и протекающие в них процессы, не рассматривая их внутреннее строение.

Основу термодинамики составляют фундаментальные законы (начала), установленные как результат обобщения ряда опытных фактов.

Изучая одни и те же физические объекты с различных точек зрения, статистическая физика и термодинамика взаимно дополняют друг друга и, таким образом, дают более полное представление об изучаемых веществах.

1.2. Атомно-молекулярное строение вещества Физическое тело в любом состоянии состоит из мельчайших частиц:

атомов и молекул, которые хаотически движутся. Интенсивность этого движения зависит от температуры. Доказательством существования теплового хаотического движения молекул является броуновское движение 10 6 м, а размер молекул d (Броун, 1827 г.). Диаметр частиц Броуна – d 10 10 м.

Броуновское движение – беспорядочное (хаотическое) движение малых частиц, взвешенных в жидкости или газе, под действием ударов молекул окружающей среды.

Гениальную догадку об атомистическом строении вещества, высказанную мыслителями древности в XVII веке, подтвердил М. В.

Ломоносов, привлекая гипотезу атомно-молекулярного строения вещества для объяснения наблюдаемых физических и химических явлений.

Вещество – вид материи, состоящей из фундаментальных элементарных частиц кварков и лептонов (физическая или вещественная материальность).

Существует эфирная материальность (физический вакуум) состоящая из трех компонент: абсолютного физического вакуума (АФВ);

физического вакуума вещества (ФВВ);

физического вакуума антивещества (ФВА).

В основном вещество построено из электронов, протонов, нейтронов, масса которых не равна нулю.

Согласно представлениям современной физики атом – наименьшая часть химического элемента (микрочастица). Каждому химическому элементу соответствует определенный род (вид) атома, обозначенного химическим символом, например, медь – Сu железо – Fe, кислород – О и т.

д.

В свободном состоянии атомы образуют газ. В связанном состоянии (или в составе молекул) атомы образуют жидкие и твердые тела. Все физические и химические свойства атома определяются особенностями его строения. Наиболее полно свойства атомов определены квантовой механикой. Атом состоит из ядра и электронов.

В состав ядра атома входят протоны, несущие положительный элементарный заряд + е ( е =1,6 10 19 Кл), и нейтроны, не имеющие заряда.

10 11 – 10 10 м).

Размер атома определяется электронной оболочкой (d Электроны – частицы, несущие отрицательный элементарный заряд ( е).

Молекула – наименьшая частица вещества, обладающая его основными химическими свойствами и состоящая из атомов, которые соединены между собой химическими связями.

Число атомов в молекулах колеблется от двух до сотен и тысяч.

Атом или молекулу, потерявшие один или несколько электронов, называют положительным ионом с зарядом +nе, где n = 1, 2, 3,... – кратность ионизации, целое число. Атом или молекулу, присоединивший один или несколько электронов, называют отрицательным ионом с зарядом nе.

Мерой количества вещества в СИ считается моль.

Моль – количество вещества, в котором содержится число частиц, равное числу атомов в 0,012 кг изотопа углерода 6 C.

Массу моля вещества называют молярной массой и обозначают M.

Число молей m =, (1.1) M где m – масса вещества.

Единицей измерения молярной массы в СИ считается кг/моль.

Так как в одном моле вещества содержится число молекул, равное числу Авогаро (Na = 6,02 1023 моль 1), а масса моля равна малярной массе, масса одной молекулы М. (1.2) m Na кг Например, молярная масса воды M = 18, следовательно, моль масса молекулы воды m0 3 10 26 кг.

Если некоторая масса вещества содержит N молекул, то число молей = N/Na. (1.3) Если предположить, что молекулы воды имеют шарообразную форму и плотно прилегают друг к другу, то диаметр одной молекулы M м).

d= 3. (d 3 Na Моли различных газов при нормальных условиях (температуре t 0 = 0 оС и атмосферном давлении Р0 = 1,013 105 Па) занимают объем V = 22,4 10 3 м3.

1.3. Параметры состояния. Термодинамические системы Совокупность макроскопических тел, которые при взаимодействии обмениваются энергией между собой и окружающей средой, называют термодинамической системой.

Взаимодействие в физике – воздействие тел или частиц друг на друга, приводящее к изменению состояния их движения.

Физические величины (например, давление, температура и т. д.), характеризующие состояние термодинамической системы в данный момент времени, называют параметрами состояния, или термодинамическими параметрами.

Число независимых параметров состояния равно числу степеней свободы термодинамической системы. Различают параметры состояния физической системы экстенсивные, т. е. пропорциональные массе системы (объем, внутренняя энергия, свободная энергия, энтропия, термодинамические потенциалы и другим видам энергий), и интенсивные, независящие от массы (давление, температура и прочие).

Рассмотрим некоторые из них.

Давление – физическая величина, характеризующая интенсивность сил, с которыми одно тело действует нормально (перпендикулярно) на поверхность другого – внутренний параметр системы.

При равномерном распределении силы по поверхности давление находится по формуле F p. (1.4) S В СИ единицей измерения давления считается паскаль (Па), 1 Н/м2 = 1 Па.

На практике традиционно используют некоторые внесистемные единицы. Например, 1 бар = 105 Па, 1 ат = 9,81 104 Па (техническая атмосфера), 1 мм рт. ст.= 1,33 102 Па, 1атм =1,033 ат =1,013 105 Па (нормальная атмосфера).

Для измерения давления используют манометры, барометры, вакуумметры, а также различные датчики давления.

Температура – физическая величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия для всех частей макроскопической системы и являющаяся мерой отклонения от этого равновесия.

Температура – функция состояния системы, не зависит от предыстории термодинамической системы (нулевое начало термодинамики).

Температуру невозможно измерить непосредственно.

Для измерения температуры используют температурные шкалы.

Например, газовая и термодинамическая температурная шкалы.

Термодинамическая температурная шкала основана на выводах второго начала термодинамики.

Абсолютная температура по термодинамической температурной шкале обозначается символом Т, в СИ измеряется в кельвинах (К).

Для термодинамической температурной шкалы, как и для любой другой, необходимо задать значения двух фиксированных температур.

Например, Т = 0 К (абсолютный нуль температуры) и Т = 273,15 К (точка плавления льда при нормальном давлении). На рис. 1.1 приведены некоторые температурные шкалы. Введение Т = 0 К является экстраполяцией и не требует реализации абсолютного нуля.

Термодинамическая (абсолютная) температурная шкала (шкала Кельвина) имеет единицы температуры, совпадающие с единицами температуры для стоградусной шкалы Цельсия, основанной на свойствах идеального газа и значениях t = 0 oC (точка плавления льда) и t = 100 oC (точка кипения воды).

Соотношение между температурами по шкале Цельсия и шкале Кельвина записывают в виде: Т = t oC + 273,15 oC.

На практике для измерения температуры используют термометры, градуированные по высокостабильным реперным точкам, таким, как тройная точка кислорода, водорода, аргона;

точки кипения этих и других газов (например, неона);

точки затвердевания чистых металлов и т. д., температуры которых по термодинамической температурной шкале найдены предельно точными измерениями.

При температуре абсолютного нуля Т = 0 К, согласно выводам классической физики, в телах полностью прекращается тепловое хаотическое движение.

Согласно квантовой теории, в области сверхнизких температур действуют законы квантовой механики. При Т = К в телах существуют нулевые колебания микрочастиц, энергию которых нельзя отнять никакими способами.

Состояние макроскопической системы определяется большим числом параметров, и установление равновесия по каждому из Рис. 1. параметров протекает по разному.

Состояние термодинамической системы, в которое она самопроизвольно приходит через достаточно большой промежуток времени, в условиях изоляции от окружающей среды, называют равновесным.

Состояние термодинамической системы, в котором хотя бы один из параметров, характеризующих ее состояние, изменяется, называют неравновесным.

В состоянии термодинамического равновесия параметры системы не меняются с течением времени во всех ее точках и прекращаются все необратимые процессы, связанные с диссипацией энергии.

Определяющей величиной вещества (газообразного, жидкого, твердого) является соотношение между средней кинетической энергией и средней потенциальной энергией молекул этого вещества, т. е.

Wp. (1.5) Т, Р Wk Для газовой фазы (Т, Р) 1, жидкой фазы (Т, Р) 1, твердой фазы (Т, Р) 1.

Если термодинамическую систему, находящуюся в неравновесном состоянии, изолировать от окружающей среды и предоставить самой себе, то она перейдет самопроизвольно в равновесное состояние.

Переход термодинамической системы из одного состояния в другое называют термодинамическим процессом.

Процесс перехода системы от неравновесного состояния к равновесному называют релаксацией.

Количественной мерой релаксации служит время релаксации.

Например, приближение к состоянию равновесия кристаллических структур в земной коре длится геологические эпохи (миллионы и миллиарды лет).

Все релаксационные процессы являются неравновесными.

Примерами термодинамических процессов являются:

1. Изохорический процесс (V = const) – процесс перехода термодинамической системы из одного состояния в другое при постоянном объеме – закон Шарля.

2. Изобарический процесс (Р = const) – процесс перехода термодинамической системы из одного состояния в другое при постоянном давлении – закон Гей-Люссака.

3. Изотермический процесс (T = const) – процесс перехода термодина мической системы из одного состояния в другое при постоянной температуре – закон Бойля – Мариотта.

4. Адиабатический процесс (Q = const) – процесс перехода термодинамической системы из одного состояния в другое без теплообмена с окружающей средой – закон Пуассона.

1.4. Уравнение состояния идеального газа В состоянии термодинамического равновесия параметрами системы являются давление Р, температура Т, объем V, масса m и т. д.

Указанные параметры (Р, V, T, m) не являются исчерпывающими из всего многообразия макроскопических параметров.

Все они описывают внутреннее состояние тел с точностью до флуктуаций.

Флуктуациями называют случайные отклонения физической величины от ее среднего значения.

Особенно малы флуктуации, когда физическая система находится в состоянии термодинамического равновесия.

Поэтому макроскопические параметры с высокой точностью характеризуют внутреннее состояние тел.

Закон, выражающий зависимость между параметрами состояния, называют уравнением состояния:

f (Р, V, T) = 0. (1.6) Установление вида этой функции в каждом конкретном случае является сложной задачей, которая решена только для идеальных газов.

Из-за серьезных трудностей получить уравнение состояния для жидких и твердых тел на основе микроскопических представлений пока не удалось.

Идеальным называют газ, взаимодействием между молекулами которого можно пренебречь.

Взаимодействие молекул идеального газа со стенками сосуда, в котором они находятся, – абсолютно упругое.

Газ – состояние вещества, в котором его частицы не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодействия и находятся в тепловом хаотическом движении, заполняя весь объем.

Газы широко распространены и в космическом пространстве.

Нейтральные, или ионизированные атомы межзвездной среды входят в состав галактик в виде молекулярных облаков, в которых рождаются звезды, звездные ассоциации и т. д.

В состав атмосферы Земли входят газы: азот, кислород, углекислый газ и т. д.

Опытным путем установлено, что при комнатной температуре и нормальном атмосферном давлении идеальный газ подчиняется уравнению Клапейрона.

Уравнение Клапейрона устанавливает зависимость между термодинамическими параметрами идеального газа : Р, V, Т – характеризующими его состояние, т. е.

РV = BT, (1.7) где В – коэффициент пропорциональности;

V – объем, занимаемый идеальным газом, зависит от массы газа m и его молярной массы М.

Уравнение состояния для одного моля идеального газа получено Менделеевым:

РVм = RT, (1.8) где R = 8,31 Дж / (моль К) – универсальная газовая постоянная;

Vм – объем одного моля идеального газа.

Для произвольной массы газа формула (12.8) принимает вид mR T РV =, (1.9) M m где m – масса газа;

– число молей.

= M Формулу (12.9) называют уравнением состояния идеального газа Менделеева – Клапейрона.

Из уравнения состояния идеального газа следует два следствия: закон Авогадро и закон Дальтона.

1.4.1. Закон Авогадро В равных объемах различных газов, находящихся при одинаковых давлениях и температурах, содержится одинаковое число молекул, равное постоянной Авогадро.

Следовательно, постоянная Авогадро – число структурных элементов (атомов, молекул, ионов или других частиц) в единице количества вещества (например, в одном моле). В частности, в 1 м3 любого идеального газа при t = 0 oC и Р = 1 атм содержится число молекул, равное числу Лошмидта, т. е. L = 2,7 1019 молекул.

1.4.2. Закон Дальтона В состоянии теплового равновесия давление в смеси химически не взаимодействующих идеальных газов равно сумме парциальных давлений отдельных газов, входящих в смесь.

Р = Р1 + Р2 + Р3 +... (1.10) Парциальным называют давление, которое имел бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал весь объем, равный объему смеси при той же температуре.


Пусть смесь состоит из Z газов. Число молекул первого газа равно N1, второго – N2 и т. д.

В состоянии термодинамического равновесия при постоянной температуре (Т = const) на основании уравнения Клапейрона для одного моля идеального газа (1.8) РV = RT, где R = Nak.

Тогда РV = NakT. Для произвольного числа молекул PV = NkT.

Уравнение состояния для каждого газа запишем в виде P1V = N1kT, P2V = N2kT,..., PzV = NzkT, где P1, P2,..., Pz – парциальные давления 1-го, 2-го и т.д. компонент смеси газов. После сложения получим PV = (P1 + P2 +... + Pz)V = kT(N1 + N2 +...+ Nz), где N = N1+ N2+...+ Nz – общее число частиц смеси газов.

Следовательно, полное давление смеси газов равно сумме парциальных давлений:

Р = Р1 + Р2 + Р3 +...+ Рz.

1.5. Давление в молекулярно-кинетической теории Взаимные столкновения молекул в объеме газа происходят чаще, чем их соударения со стенками сосуда, в котором находится газ.

Максвелл показал, что в случае идеального газа соударения между молекулами не влияют на давление газа, которое они оказывают на стенки сосуда, причем это давление не зависит от характера соударений молекул со стенками – упругие они или не упругие, т. е. давление не зависит от материала сосуда.

Если газ достаточно разрежен, то можно пренебречь размерами молекул и столкновениями их друг с другом. Будем учитывать только столкновения молекул со стенками сосуда, в котором заключен идеальный газ.

Следовательно, молекулы идеального газа можно рассматривать как материальные точки, не взаимодействующие между собой и движущиеся прямолинейно и равномерно между каждыми двумя последовательными столкновениями со стенками сосуда. Такая модель приводит к законам идеального газа.

Пусть молекулы идеального газа находятся в сосуде в форме куба с длиной ребра (рис. 1.2). Давление газа на стенки сосуда вызвано тем, что молекулы непрерывно сталкиваются с ними.

Рис. 1. Рис. 1. Рассмотрим движение молекул вдоль оси Х. Сила, с которой молекула действует на стенку, равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей со стороны стенки на молекулу (третий закон Ньютона).

Согласно второму закону Ньютона, сила равна скорости изменения импульса молекулы, т. е.

(m 0 u ) d(m 0 u ) p dp или F F. (1.11) t t dt dt Из-за абсолютного удара молекулы о стенку изменение импульса (m0u) = m0ux ( m0ux) = 2m0ux, где m0 – масса молекулы;

ux – проекция скорости молекулы на ось Х (рис. 1.3).

При повторном столкновении, этой молекулы с данной стенкой, она должна преодолеть расстояние 2 за время t. Следовательно, 2 = ux t.

Из-за многочисленных столкновений данной молекулы со стенкой вводят среднюю силу ее взаимодействия со стенкой, т. е.

Д(m0 u) m0 u x.

F Дt л Полученное выражение остается справедливым при взаимодействии молекулы с любой стенкой. (Как показывают расчеты, форма и размер сосуда, в котором находятся молекулы, не играет никакой роли).

Для того, чтобы найти полную силу, действующую на стенку со стороны всех молекул газа, находящихся в сосуде, необходимо просуммировать силы, вызванные ударами каждой молекулы.

Следовательно, результирующую силу, действующую со стороны всех молекул на стенку, запишем в виде:

N m0 2 m u2 u2 F u1x... u ix, (1.12) 2x Nx л л i где uix проекция скорости i-й молекулы на ось Х.

Введем среднюю квадратичную скорость молекул и запишем ее в виде u 1x u 2 x... u 2 2 Nx u.

x N С учетом этого, формулу (1.12) перепишем в виде m0 F u кв, х N. (1.13) л Такой же результат получится в случае движения молекул вдоль оси У и Z. Известно, что u2 = u 2 u2 u 2 или u2 u2 u2 u2. (1.14) x y z x y z В состоянии термодинамического равновесия, из-за хаотичности теплового движения молекул, все направления равновероятны, поэтому u2 u2 u2.

x y z u2 3 u2 3 u2 3 u Следовательно,.

кв x y z Таким образом, формула (1.13) принимает вид m0 N. (1.15) F u кв 3л 1 m0 u кв F По определению, давление P (1.16) N л2 3 V или 1 P n 0m0 u кв, (1.17) где n0 = N/V концентрация молекул.

Формулу (1.16) перепишем в виде:

2 m 0 u кв PV N, (1.18) 3 m0 u кв где (1.19) k средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Используя уравнение состояния идеального газа Менделеева m N Клапейрона (1.9) и формулу (1.3), получим PV RT RT.

M Na Используя формулу (1.18) и последнее соотношение, получим 2 m 0 u кв R N T N.

Na 3 Из последнего равенства с учетом (1.19) найдем среднюю кинетическую энергию молекул kT. (1.20) k Решая совместно (1.16) и (1.17) получим, что 2 PV N kT.

k 3 N kT n 0 kT.

или P (1.21) V Выводы: 1. С точки зрения молекулярно-кинетической теории, давление газа прямо пропорционально концентрации молекул газа и его абсолютной температуре.

2. Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа прямо пропорциональна абсолютной температуре.

1.6. Распределение энергии молекул идеального газа по степеням свободы Если предположить, что частицы идеального газа одноатомные молекулы, тогда вплоть до температур Т = 10 К их можно считать материальными точками.

Следовательно, каждая одноатомная молекула имеет три поступательные степени свободы (i = 3). (О степенях свободы см. «Физика.

Механика»).

Если газ находится в равновесном состоянии и масса каждой молекулы (атома) равна m0, то на основании формул (12.18) и (12.20), имеем 1 m0u 2 kT. (1.22) 3 2 В состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы движения частиц вещества (поступательную, вращательную и колебательную) приходится кинетическая энергия в среднем, равная kT/2.

В этом суть классического закона распределения энергии молекул системы по степеням свободы.

Если газ состоит из N молекул (частиц), то его полная кинетическая энергия 3N kT Wk =. (1.23) Тогда средняя кинетическая энергия одной молекулы Wk i kT, = (1.24) k N где i число степеней свободы.

1.7. Внутренняя энергия Основной характеристикой внутреннего состояния физической системы является ее внутренняя энергия.

Внутренняя энергия (U) включает в себя энергию хаотического (теплового) движения всех микрочастиц системы (молекул, атомов, ионов и т. п.) и энергию взаимодействия этих частиц, т. е. кинетическую, потенциальную и т. д., за исключением суммарной энергии покоя всех частиц.

Свойства внутренней энергии 1. В состоянии термодинамического равновесия частицы, входящие в состав макроскопических тел, движутся так, что их полная энергия все время с высокой точностью равна внутренней энергии тела.

2. Внутренняя энергия является функцией состояния физической системы.

3. Внутренняя энергия физической системы не зависит от пути перехода ее из одного состояния в другое, а определяется только значением внутренней энергии в начальном и конечном состояниях:

U = U2 U1.

4. Внутренняя энергия характеризуется свойством аддитивности, т. е.

она равна суммарной внутренней энергии тел, входящих в систему.

Замечание: частицы газа, кроме поступательных степеней свободы, имеют еще и внутренние.

Например, если частицами газа являются молекулы, то, кроме электронного движения, возможно вращение молекул, а также колебания атомов, входящих в состав молекул.

Поступательное движение частиц газа подчиняется классическим законам, а их внутренние движения носят квантовый характер.

Лишь при определенных условиях внутренние степени свободы можно считать классическими.

Для расчета внутренней энергии идеального газа используют закон равнораспределения энергии по классическим степеням свободы.

В случае идеального газа учитывается только кинетическая энергия поступательного движения частиц.

Если частицами газа являются отдельные атомы, то каждый имеет три поступательные степени свободы.

Следовательно, каждый атом обладает средней кинетической энергией:

= 3kT/2.

k Если газ состоит из N атомов, то его внутренняя энергия N kT. (1.25) U Если же идеальный газ состоит из молекул, то необходимо учитывать еще и вращательные степени свободы.

Например, молекулы водорода Н2, кислорода О2, азота N2 имеют две вращательные степени свободы (iвр = 2).

Тогда вклад во внутреннюю энергию идеального газа вращательных степеней свободы iвр Uв р NkT. (1.26) Если же возбуждаются еще и колебательные степени свободы молекул, то вклад их во внутреннюю энергию Uкол iкол NkT. (1.27) В формуле (1.27) учтено, что каждое колебательное движение молекул характеризуется средней кинетической и средней потенциальной энергиями, которые равны между собой.

Поэтому согласно закону равнораспределения энергии по степеням свободы на одну колебательную степень свободы приходится в среднем энергия kT.

Таким образом, если молекула двухатомная, то полное число степеней свободы ее i = 6.

Три из них поступательные (iпост = 3), две вращательные (iвр= 2) и одна колебательная (iкол = 1).

При температурах, когда еще «заморожены» колебательные степени свободы, внутренняя энергия двухатомных молекул идеального газа U U п о с т U вр NkT.

Если же колебательные степени свободы «разморожены», то внутренняя энергия двухатомных молекул идеального газа U = Uпост + Uвр + Uкол = 2 N kT.

Таким образом, внутренняя энергия одноатомного идеального газа N kT, U=N = (1.28) k где k = kT.

Число молей газа = N/ Na = m / M, то 3 mR T RT = U, (1.29) 2M где R – универсальная газовая постоянная, m – масса газа.

Для многоатомных газов im U RT, (1.30) 2M Вывод:

Из-за отсутствия взаимодействия между молекулами идеального газа внутренняя энергия его зависит от числа частиц, температуры и не зависит от объема (закон Джоуля).

Лекция 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРМОДИНАМИКИ 2.1. Теплота и работа Изменение состояния термодинамической системы при ее взаимодействии с внешней средой можно осуществить путем теплообмена или совершением работы.

Процесс передачи энергии системе от внешних тел, называют работой. Процесс обмена внутренними энергиями соприкасающихся тел, без совершения работы, называют теплообменом.


Процесс передачи энергии системе внешними телами путем теплообмена, называют теплотой (количеством теплоты).

Например, работу над газом, находящимся в цилиндре под поршнем, производят силы давления со стороны внешних сил (рис.2.1). Работа А *, совершаемая внешними телами над системой, численно равна и противоположна по знаку работе А, совершаемой системой над внешними телами, т. е. А = А*. По определению, давление Р = Fд / S.

Из механики известно, что работа А* = Fд h А* = Р ( h S ) = P V.

или (2.1) В процессе совершения работы над системой происходит изменение параметров, характеризующих ее состояние, например, давления, объема, температуры.

Изменить параметры состояния системы можно при теплообмене за счет передачи тепла от одного нагретого тела другому. Теплота – это не заключенная в Рис. 2.1 теле энергия, а то количество энергии, которое передается от горячего тела холодному. Таким образом, теплота и работа являются различными формами передачи энергии от одного тела другому.

Процессы работы и теплоты качественно различны. Совершение работы над системой может привести к изменению любого вида энергии:

кинетической, потенциальной и т. д. Если энергия сообщается системе в форме теплоты, то она идет на увеличение энергии теплового движения частиц системы, называемой внутренней энергией U системы. Часто оба способа передачи энергии системе могут осуществляться одновременно.

Например, при нагревании газа в сосуде с подвижным поршнем. Для перевода системы из одного состояния в другое, с помощью различных термодинамических процессов ей нужно сообщить различные количества теплоты. Следовательно, теплота и работа являются функциями процесса изменения состояния системы.

Поэтому элементарное количество теплоты, сообщенное системе в процессе бесконечно малого изменения ее состояния, подобно элементарной работе и не является полным дифференциалом.

Полная энергия термодинамической системы включает в себя сумму всех видов энергии частиц, входящих в систему: 1) кинетическую энергию хаотического движения атомов и молекул (поступательную, вращательную и колебательную энергии);

2) потенциальную энергию взаимодействия атомов и молекул;

3) энергию электронных оболочек атомов и ионов;

4) энергию взаимодействия протонов и нейтронов в ядрах атомов, и другие виды энергий.

Во всех процессах, не связанных с химическими реакциями и другими изменениями конфигурации электронных оболочек атомов и ионов, а также с ядерными реакциями в веществах, их энергии не изменяются и не влияют на изменение внутренней энергии. Внутренняя энергия идеального газа определяется только средней кинетической энергией теплового хаотического движения всех молекул. Изменение внутренней энергии при переходе системы из состояния 1 в состояние 2 не зависит от вида процесса перехода, а определяется только параметрами начального и конечного состояний, т. е.

U = U2 – U1. (2.2) Следовательно, внутренняя энергия является функцией состояния системы.

Работа и теплота зависят от вида процесса перехода системы из состояния 1 в состояние 2. Поэтому работа в тепловых процессах на замкнутом пути не равна нулю, и не является функцией состояния системы.

Действительно, пусть система (идеальный газ) переходит из состояния 1 в состояние 2 и обратно в результате двух различных равновесных процессов.

Графически можно изобразить только равновесные процессы. На P – V диаграмме (рис. 2.2) одному из них соответствует кривая А – Б – С. Работа на этом участке P dV (2.3), где А1 = давление Р ( АБ С) изменяется вдоль кривой А – Б – С.

Работа равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой А – Б – С.

Другому процессу соответствует кривая А – Д – С, т. е. работа A 2 P dV, (2.4) Рис. 2.2 ( А Д С) где давление изменяется вдоль кривой А – Д – С.

Эта работа равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой А – Д – С.

Полная работа не равна нулю, т. е.

А= А1 – А2 0.

Следовательно, она численно равна площади фигуры, ограниченной кривыми А – Б – С – Д – А.

В чем различие между температурой, теплотой и внутренней энергией?

1. Температура – мера средней кинетической энергии отдельных молекул или мера отклонения системы от термодинамического равновесия.

2. Теплота – количество энергии, переданной от одного тела другому.

Существуют три вида теплообмена: конвекция, излучение, теплопроводность.

Излучение – процесс передачи энергии путем теплообмена без совершения механической работы. Для передачи теплоты путем излучения не требуется вещество, как средство передачи теплоты от одного тела другому. Само существование жизни на Земле возможно только за счет получения энергии от Солнца. Кванты солнечного света непрерывным потоком устремляются к Земле, неся животворную энергию. На долю Земли приходится около 0,2 % всей энергии излучения Солнца (ежесекундно Земля получает примерно 2 кг фотонов). Остальные 99,8 % энергии излучения Солнца включены во всеобщую галактическую энергию и энергию всей Метагалактики. Эта энергия передается физическому вакууму. Условия нашего существования требуют известной температуры, и чтобы ее поддерживать, используется не увеличение энергии, а понижение энтропии.

Конвекция – процесс передачи теплоты за счет перемещения молекул из одной части объема в другую.

Хотя газы и жидкости являются плохими проводниками теплоты, тем не менее, они могут обеспечить довольно быструю передачу ее на значительные расстояния благодаря существованию конвекции. Различают конвекцию естественную и вынужденную. Например, нагретый атмосферный воздух поднимается вверх, а холодный опускается вниз. Вблизи батарей радиаторов отопления или других нагревателей Рис. 2.3 нагретый воздух расширяется, его плотность уменьшается, что и приводит к его подъему вверх помещения.

Крупномасштабные проявления естественной конвекции наблюдаются на примере океанских или морских течений (например, Куросиво, Гольфстрим и другие). Ветер – один из примеров явления конвекции, вызывающий изменение погодных условий. Возникновение конвективных потоков в сосуде с водой при ее нагревании изображено на рис. 13.3. Теплопроводность будет рассмотрена в разделе «Явления переноса».

3. Внутренняя энергия – полная энергия всех молекул газа.

Например, у двух нагретых медных цилиндров равной массы, имеющих одинаковые температуры внутренняя энергия двух вместе взятых цилиндров будет больше каждого из них в отдельности.

Количество же теплоты передаваться не будет, так как температуры одинаковы. Или, если смешать 100 г воды при температуре 50 оС с 200 г воды при температуре 20 оС, то количество теплоты будет переходить от воды с температурой 50 оС к воде с температурой 20оС, хотя внутренняя энергия воды при 20 оС больше из-за большей массы.

2.2. Первое начало термодинамики Количество теплоты, сообщенное системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение системой работы против внешних сил. Q = U + A. (2.5) Для бесконечно малого процесса перехода системы из одного состояния в другое первое начало термодинамики записывается в виде dQ = dU + dA. (2.6) 2.3. Теплоемкость идеального газа Тепловые свойства однородных тел в термодинамике характеризуются теплоемкостью.Теплоемкостью тела называют физическую величину, численно равную количеству теплоты, переданному телу, чтобы изменить его температуру на один кельвин.

dQ Ст =. (2.7) dT В СИ теплоемкость тела измеряется в Дж/K.

Теплоемкость тела зависит от его химического состава и вида термодинамического процесса, изменяющего состояние тела.

Удельной теплоемкостью (с) называют физическую величину, численно равную количеству теплоты, которое надо сообщить 1 кг вещества, чтобы изменить его температуру на один кельвин dQ с=. (2.8) mdT В Си удельная теплоемкость измеряется в Дж/(кг K).

Молярной теплоемкостью (С) называют физическую величину, численно равную количеству теплоты, которое необходимо сообщить одному молю вещества, чтобы изменить его температуру на 1 К.

dQ MdQ С=, (2.9) dT m dT где m – масса вещества;

M – молярная масса;

– число молей вещества.

В Си молярная теплоемкость измеряется в Дж /(моль К).

Для произвольной массы вещества m dQ CdT. (2.10) M Если в сосуде находится несколько газов, то молярная теплоемкость смеси газов C1 1 C 2 2... C n n (2.11) C.

2... n Удельная теплоемкость смеси газов C1m1 C 2 m 2... C n m n (2.12) C уд.

m1 m 2... m n 2.4. Применение первого начала термодинамики для изохорического процесса При изохорическом процессе объем, занимаемый газом, не изменяется, т. е. V = сonst ( V = 0) и А = P V = 0.

Для этого процесса первое начало термодинамики запишется в виде dQ = dU (2.13) или m dU C V dT, (2.14) M где СV – молярная теплоемкость при постоянном объеме.

Таким образом, вся теплота, переданная системе, идет на изменение ее внутренней энергии.

Внутренняя энергия идеального газа зависит от его массы, химического состава и температуры. Поэтому формула (2.14) справедлива для любого процесса изменения состояния идеального газа (изохорического, изобарического, изотермического, адиабатического).

Следовательно, внутреннюю энергию идеального газа для любого состояния можно найти по формуле m U CV T. (2.15) M 2.5. Применение первого начала термодинамики для изобарического процесса При изобарическом процессе перехода идеального газа из состояния в состояние 2 давление не изменяется, т. е. Р = const. Первое начало термодинамики для изобарического процесса записывают в виде dQ = dU + dA, так как все подведенное к системе тепло идет на изменение внутренней энергии системы и совершения системой работы. Если при изменении температуры молярная теплоемкость при постоянном давлении С р не изменяется, то теплоту, сообщенную газу в изобарическом процессе, можно m найти по формуле dQ C p dT. (2.16) M T m m Полное количество теплоты Q Cp dT C p ( T2 T1 ).

M M T Элементарную работу, совершаемую системой в изобарическом процессе найдем, используя уравнение состояния идеального газа Менделеева – Клапейрона:

m dA PdV R dT. (2.17) M Полная работа изобарического процесса T m m A R dT R ( T2 T1 ). (2.18) M M T Формула (2.17) позволяет выяснить физический смысл универсальной газовой постоянной M dA R. (2.19) m dT Рис. 2. Универсальная газовая постоянная численно равна работе, совершаемой молем идеального газа при изобарическом нагревании его на один кельвин.

Практически изобарический процесс можно осуществить, например, при нагревании или охлаждении газа в цилиндре с подвижным поршнем, на который действует постоянная сила давления. P – V диаграмма изобарического процесса приведена на рис. 2.4, где площадь прямоугольника (заштрихованная часть рисунка) численно равна работе газа в этом процессе.

2.6. Уравнение Майера Найдем связь между Ср и Сv идеального газа. Используя формулы (2.14), (2.16), (2.17), запишем первое начало термодинамики в виде m m m C p dT C v dT R dT M M M или Ср = Сv + R. (2.20) Формулу (2.20) называют уравнением Майера.

2.7. Применение первого начала термодинамики для изотермического процесса При изотермическом расширении (сжатии) газа происходит переход его из состояния 1 в 2 при постоянной температуре, т. е.

Т = сonst, U = const (рис. 2.5).

Примерами изотермического процесса являются кипение, конденсация, плавление и кристаллизация химически чистых веществ, при постоянном внешнем давлении. Внутренняя энергия идеального газа при изотермическом процессе не изменяется, т. е.

m dU C V dT 0.

M Первое начало термодинамики для изотермического процесса записывают в виде dQ Рис. 2.5 = dA, так как все подведенное к системе тепло идет на совершения системой работы.

Молярная теплоемкость идеального газа в изотермическом процессе С=, так как dQ 0, dT = 0, dU = 0.

Работа изотермического процесса можно определить по формуле V2 V m dV A pdV RT.

M V V1 V Окончательно V m RT n 2.

A M V Графически работа в изотермическом процессе изображается площадью криволинейной трапеции (заштрихованная часть на рис. 2.5).

2.8. Применение первого начала термодинамики для адиабатического процесса Термодинамический процесс, в котором система при переходе из состояния 1 в состояние 2 не обменивается теплотой с окружающей средой, называют адиабатическим.

На практике адиабатический процесс можно осуществить при быстром расширении (сжатии) газа, когда Q 0. Например, быстро протекающее расширение газов в цилиндре двигателя внутреннего сгорания. В двигателе Дизеля воздух быстро сжимается адиабатически в 15 и более раз, чем в двигателе внутреннего сгорания. При этом температура воздуха повышается до 3000 оС, поэтому при впрыскивании горючей смеси происходит ее самовоспламенение.

При возникновении ударной волны газ адиабатически сжимается и сильно нагревается, так как он не успевает отдать выделившуюся теплоту.

Метеориты при вхождении в атмосферу оплавляются и испаряются в основном по этой причине, а не из-за наличия трения и сопротивления при движении в атмосферном воздухе.

Адиабатическое расширение приводит к охлаждению системы, что используется при сжижении газов (адиабатическое размагничивание парамагнитных солей позволяет получить температуры, близкие к абсолютному нулю).

К адиабатическим процессам относится и свободное расширение газов (рис. 13.6), так как Q = const, А = 0, U = 0, T = 0.

Теплоемкость вещества при адиабатическом процессе С = 0 (dQ = 0, dT 0).

Первое начало термодинамики для адиабатического процесса представим в виде dU = dA (2.21) или m dA C V dT.

M Следовательно, при адиабатическом процессе газ совершает работу за счет убыли его внутренней энергии.

Найдем вид уравнения состояния идеального газа для адиабатического процесса.

m Для одного моля идеального газа M изменение внутренней энергии Рис. 2. dU = CVdT. (2.22) При этом газ совершит работу dA = PdV. Согласно (2.20), получаем CVdT + PdV = 0 (2.23) Используя уравнение Менделеева – Клапейрона и уравнение Майера, получаем d(PV) PdV VdP. (2.24) dT R CP CV На основании формул (2.23) и (2.24) после преобразований имеем Ср РdV + Cv VdP = 0. (2.25) Уравнение (2.25), представим в виде С p dV dP 0, (2.26) Cv V P где Ср/Cv =. (2.27) называют коэффициентом Пуассона (показателем адиабаты).

После интегрирования (2.26) с учетом (2.27), получим nV nP nconst или РV const. (2.28) Выражение (2.28) называют уравнением адиабаты (уравнение Пуассона).

Используя уравнение Менделеева – Клапейрона, перепишем (2.28) в виде PT 1 const, VT const.

Р – V диаграмма адиабатического процесса приведена на рис. 2.7.

На рис. 2.7 видно, что кривая адиабаты идет круче, чем изотерма. Объясняется это тем, что при адиабатическом расширении идеального газа происходит не только уменьшение давления, но и понижение температуры, так как внутренняя энергия газа убывает. При адиабатическом сжатии газа растут давление и температура, не только из-за Рис. 2. уменьшения объема, но и из-за увеличения внутренней энергии.

После интегрирования выражения (2.21) получим формулу работы идеального газа в адиабатическом процессе m A12 C v T1 T2. (2.29) M Графически работа при адиабатическом процессе численно равна площади криволинейной трапеции (рис. 2.7, штрихованная часть графика).

Используя уравнение Майера (2.16) и формулу (2.27), получаем R СV. (2.30) г Тогда работа P 1V1 T A12 (2.31) T или P 1 V1 V A12 1, (2.32) V или P 1 V1 P A 12 1, (2.33) P где Р1, V1, T1, Р2, V2, T2 – давление, объем и температура идеального газа, соответственно в первом и втором состояниях.

2.9. Адиабатическое сжатие и расширение звуковых волн Воспринимаемые нашими органами слуха звуковые волны при распространении сжимаются и расширяются почти адиабатически (квазиадиабатически), так как чередование сжатия и разрежения, при распространении звуковых волн, происходит очень быстро.

При сжатии газа его температура повышается до тех пор, пока теплота не начнет поступать наружу. Если же газ расширяется, то его температура понижается до тех пор, пока в систему не начнет поступать теплота извне.

В звуковой волне, воспринимаемой ухом, теплопроводность воздуха мала, а расстояние между соседними областями сжатия и расширения относительно велики ( /2, где – длина волны). Все это происходит быстро, т. е. процесс адиабатический. Это используется при определении скорости распространения звука. Скорость звука K Vэв, с dP где K - – модуль всестороннего сжатия (коэффициент объемной упругости).

dV Дифференцируя уравнение Пуассона (10.28) по объему, получим dP V PV = 0, dV ад Р т. е. К = Р. Следовательно, скорость звука Vз в. (2.34) = 1,29 кг/м3.

Для воздуха при нормальных условиях;

= 1,4;

vзв 331 м/c, что хорошо согласуется с данными эксперимента.

2.10. Политропный процесс Политропным называют процесс, который описывается уравнением PV n const, (2.35) где n –показатель политропы.

Политропный процесс протекает при постоянной теплоемкости.

Найдем молярную теплоемкость Сn идеального газа в политропном процессе. Согласно первому началу термодинамики M dV.

Cn Cv P (2.36) m dT Уравнение состояния одного моля идеального газа PV = RT. (2.37) Решив совместно (2.35) и (.37), получаем TV n const. (2.38) n 1 T V n 1dV V n 1dT 0.

Дифференцируем уравнение (2.38): (2.39) Преобразуем последнее выражение к виду dV V. (2.40) dT n 1T Правую часть равенства (2.40) подставим в (2.36). Тогда (2.41) M V PV R R Cn CV P CV CV.

mn 1R m Tn 1 n T M R После подстановки выражения в формулу (2.41) CV окончательно получаем, что теплоемкость политропного процесса n R R Cn R const. (2.42) 1 n1 n1 Политропный процесс является обобщением всех изопроцессов.

Замечание:

1. Изобарический процесс, Р = сonst.

этом случае уравнение политропы PVn const принимает вид В PV0 const, так как показатель политропы n = 0, Cn = Cp.

2. Изотермический процесс, Т = сonst.

При n = 1 уравнение политропы переходит в уравнение изотермы, т. е.

PV = сonst.

Теплоемкость при постоянной температуре согласно (2.42) Cn = CT =.

3. Изохорический процесс, V = сonst.

При n = уравнение политропы переходит в уравнение изохоры.

Теплоемкость при постоянном объеме 4. Адиабатический процесс, Q = сonst.

При n = уравнение политропы переходит в уравнение адиабаты, а теплоемкость Cn = CQ = 0.

Найдем работу политропного процесса.

Рассмотрим два адиабатических состояния:

PV n P1V1n. (2.43) Из формулы (13.43) найдем давление P1 V1n P. (2.44) n V Работа политропного процесса n V2 V P1 V1n P1 V1 V1 (2.45) A PdV dV 1.

n n1 V V V1 V 2.11. Обратимые и необратимые процессы Для описания термодинамических процессов недостаточно одного первого начала термодинамики, так как оно ничего не говорит о направлении протекания процессов. Например, самопроизвольный процесс передачи теплоты от холодного тела к горячему невозможен.

Термодинамический процесс называют обратимым, если он протекает столь медленно, что его можно рассматривать как непрерывный ряд равновесных состояний.

Этот процесс перехода термодинамической системы из одного равновесного состояния в другое, допускает возвращение ее в первоначальное состояние, через ту же последовательность промежуточных состояний, что и в прямом процессе, но происходящем в обратном порядке.

Примером обратимого процесса являются незатухающие колебания тела на пружине в вакууме.

Термодинамический процесс, протекающий с конечной скоростью и сопровождающийся рассеянием энергии (из-за трения, теплопроводности и т. п.) называют необратимым.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.