авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«ISSN 2075-6836 Ф е д е ра л ь н о е го с уд а р с т в е н н о е б юд ж е т н о е у ч р е ж д е н и е н а у к и институт космических исследований российской академии наук (ики ран) ...»

-- [ Страница 3 ] --

{ } = K : K 0, kij k 1, (i j ), kii =1, (10.1) где kij — элементы матрицы K, представляющие собой коэффи циенты корреляции между ошибками измерений, число k за дано, а дисперсии ошибок kij известны и для простоты записи приняты далее единицами. Тогда Dmax Dk, где Dk вычисляется без учета условия K 0. Ниже будет показа но, что на самом деле это условие при вычислении гарантиро ванной дисперсии можно не учитывать. Тогда n n Dmax Dk max x Kx = xi2 + xi x j kij : kij k = kij i =1 i =1 j i n n n = (1- k ) xi2 + k xi2 + max xi x j kij : kij k kij i =1 j i i =1 i =1 или, окончательно, Dmax Dk = (1- k )D0 + kD1, (10.2) где D0 = xi — дисперсия оценки наименьших квадратов при i некоррелированных измерениях (это самый оптимистический 110 10. гарантированные характеристики точности случай), D1 = xi — гарантированная дисперсия при усло i вии, что корреляция может быть произвольной (самый песси мистический случай), т. е. формально при условии kij 1, ко торое не является ограничением на коэффициенты корреляции, так как выполняется всегда.

Как указывалось в п. 10.1, в неэкзотических случаях D0 при увеличении числа измерений. Поэтому при большом числе измерений в этих случаях Dmax kD1. Дисперсии D0 и D1 удов летворяют неравенству Коши* – Шварца** – Буняковского*** *** Огюстен Луи Коши (1789–1857) — великий французский ма тематик и механик. Разработал фундамент математического анализа, впервые дав строгое определение таким основным понятиям анали за как предел, непрерывность, производная, сходимость ряда и т. д. Внёс огромный вклад в математическую физику, рассмотрев решение крае вой задачи с известными начальными условиями (задача Коши). Один из основоположников механики сплошных сред. Занимался также алгеброй, теорией чисел, астрономией, оптикой и многими другими разделами физики и математики. Написал свыше 800 работ, полное со брание его сочинений состоит из 27 томов. Член Парижской академии наук, Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и других академий.

*** Карл Герман Амандус Шварц (1843–1921) — немецкий матема тик, член Берлинской академии наук, профессор Галльского, Цюрих ского, Гёттингенского и Берлинского университетов. Известен работа ми по геометрии, теории чисел.

*** Виктор Яковлевич Буняковский (1804–1889) — русский матема тик, вице-президент Академии наук (1864–1889). Основные труды по священы теории вероятностей и теории чисел. Активно занимался пе дагогической деятельностью. Его труды помимо выдающейся научной значимости отличались удивительной ясностью изложения, многие из них были переведены на иностранные языки. Одна из самых известных работ — трактат «Основания математической теории вероятностей», содержащий не только теорию, но и историю возникновения и разви тия этой науки, обсуждение многих практических приложений.

Пользовался огромным уважением современников как выдаю щийся ученый и блистательный педагог, лекции которого отличались ясностью, увлекательностью и изяществом изложения. Современники отмечали также его высокие нравственные качества. Любопытно, на пример, что за все годы преподавания Буняковский не пропустил ни одной своей лекции и ни разу не опоздал.

10.3. сравнение решений задач оптимального оценивания в двух простейших случаях… D1 nD0.

Из изложенного в разделе 8 материала следует, что, если воз можно повторение измерений, то при оптимальном плане изме рений здесь будет наблюдаться равенство.

Отметим более общий случай [Бахшиян и др., 1980], когда коэффициенты корреляции принадлежат многомерному пря моугольному параллелепипеду, т. е. элементы kij удовлетворяют неравенствам * -wij kij - kij wij, i, j =1,, n, * где kij — элементы некоторой известной номинальной корреля * ционной матрицы K, а неотрицательные элементы wij задают * разброс около K (kij = 1, wij = 0 при всех i). В этом случае Dmax Dw = x K * x + x + Wx +, где вектор x+ состоит из компонентов xi. Критерий достижи мости равенства Dmax = Dw приведен в книге [Бахшиян и др., 1980], но этот критерий является трудно проверяемым. Однако имеется простое достаточное условие достижимости равенства в последнем соотношении, которое имеет вид K* - O, W + O * при некоторой диагональной матрице. В случае K = = E, где E — единичная матрица, получаем W + E 0 и Dmax = Dw.

Отсюда следует упомянутое выше равенство Dmax = Dk.

10.3. сравнение решений задаЧ ОПтимальнОгО Оценивания в двух ПрОстейших слуЧаях При гарантирующем и классиЧескОм ПОдхОдах Покажем удивительное совпадение состава оптимальных изме рений при двух различных подходах к модели ошибок. Рассмо трим сначала классический подход.

10.3.1. оптиМизация гарантированной диСперСии D Задача оптимизации алгоритма оценивания с точки зрения ми нимизации гарантированной дисперсии имеет вид 112 10. гарантированные характеристики точности min {Dmax : Hx = b}.

x Выбирая различные скалярные параметры lj ( j =1,, k m), находим для них различные оптимальные векторы-оценивате ли. Составляя из этих векторов матрицу оценивателя X размер ности km, можно найти, согласно изложенному ранее, множе ство весовых матриц { W }, так что каждой матрице соответствует МНК, дающий ту же оценку, что и оцениватель X. Рассмотрим задачу минимизации D1 (напомним, что D0 соответствует еди ничной корреляционной матрице и найдена в п. 10.2). Имеем, согласно (10.2), n n { } 1 = min 1 D1 : Hx = b = min xi : xi h i = b, * xi x i =1 i = и величина D1 связана с величиной D0 соотношением D D0 = n (см. п. 10.2).

Отсюда следует важный методологический вывод [Бахши ян, 1970]. В случае повторяющихся некоррелированных изме рений имеется m оптимальных точек повторения измерения, которые совпадают с оптимальными точками проведения из мерений (xi 0) для задачи минимизации гарантированной дисперсии D1, полученной при возможности произвольной корреляции между измерениями. При этом D1 = nD0, а число по вторений измерений ri пропорционально модулю коэффициен та xi, соответствующего i-му измерению в случае произвольной корреляции.

10.3.2. МиниМакСная задача оценивания при ограниченных по Модулю ошибках изМерений Такая задача рассматривалась М. Л. Лидовым [Лидов, 1964] и названа им «схемой бортиков». Предполагается, что ошибки измерений ограничены по модулю:

i M i, где Mi — известные числа. Тогда гарантированная ошибка изме рений равна 10.4. оптимизация гарантированных характеристик точности методом генерации столбцов n n lmax = max xi i = M i xi, i i =1 i = а ее минимизация сводится к задаче линейного программирова ния того же типа, что и задачи в п. 8.3, 10.3.1:

n l * = min M i xi : Hx = b.

xi i =1 Рассмотрим частный случай, когда Mi = M при всех i. Этот случай можно трактовать как допущение о пропорционально сти максимально возможных ошибок измерений их дисперси ям, которые в п. 10.3.1 приравнены к единицам. Тогда задачи линейного программирования, решаемые при нахождении ве * * личин l и 1 (см. п. 10.3.1), дают один и тот же оптимальный оцениватель, при этом l * = M 1.

* Отметим, что вместо условий на ошибки измерений можно было бы рассматривать аналогичные условия на их математиче ские ожидания:

E ( i ) M i.

При этом гарантированное математическое ожидание равно n Emax = max { E (l ) : E (i ) M i } = M i xi, i i = а задача минимизации Emax по линейному несмещенному оце нивателю приводит к той же по виду задаче линейного програм * мирования, что и задача нахождения l (см. выше).

Замечание 10.1. Можно показать, что решение указанной задачи линейного программирования дает оптимальный алго ритм оценивания в классе всех (как линейных, так и нелиней ных) несмещённых алгоритмов в «схеме бортиков» [Матасов, 1988а, б]. Это позволяет более прагматично отнестись к ка залось бы экзотической «схеме бортиков» и философски по смотреть на проблему использования всей информации в том случае, когда информация поставляется «игроком», сопротив ляющимся получению хорошей оценки.

114 10. гарантированные характеристики точности 10.4. ОПтимизация гарантирОванных характеристик тОЧнОсти метОдОм генерации стОлбцОв Рассмотренные выше оптимальные задачи оценивания сводят ся либо к задачам линейного программирования, число огра ничений которых равно размерности m вектора оцениваемых параметров, либо к задачам обобщенного линейного програм мирования с числом ограничений, пропорциональным m. Тру доемкость таких задач пропорциональна числу их ограничений.

Более сложные практические задачи не могут быть сведены к таким задачам, эффективно решаемым при небольших m.

Рассмотрим общий подход, позволяющий решать достаточ но широкий класс задач методом генерации столбцов, упомя нутым в разделе 9. Недостатком этого подхода является то, что число ограничений решаемой обобщенной задачи линейного программирования равно n + 1, где n — число измерений. Это приводит к большой трудоемкости метода генерации столбцов при больших n.

Рассмотрим сначала задачу минимизации гарантированной ошибки оценивания в более общей постановке, чем ранее. Пусть задано симметричное относительно нуля выпуклое замкнутое ограниченное множество M возможных значений вектора оши бок измерений. Рассмотрим минимаксную задачу оценивания l * = min max {x : Hx = b, M }, (10.3) x которая дает минимальное значение ошибки в наименее благо приятном случае. Задачу (10.3) можно переписать также в виде l * = min { f ( x ): Hx = b}, (10.4) x где f ( x ) = lmax = max {x : M }.

Будем при этом предполагать, что функция f ( x ), которая равна гарантированной ошибке оценивания при заданном оценивате ле x, может быть вычислена либо аналитически, либо достаточ но эффективно численными методами.

Переставим операции минимума и максимума (это возмож но согласно теореме фон Неймана) и учтем, что, согласно тео рии двойственности, { } min {x : Hx = b} = max b : H =, m.

x 10.2. гарантирующий подход к вычислению точности оценивания Тогда получим l * = max {b : H M }. (10.5) * Покажем, что задачу нахождения l удается решить эф фективно методом генерации столбцов. Для этого в соответ ствии с теоремой Каратеодори представим каждый элемент вы пуклого множества M как выпуклую комбинацию неизвестных ( j) n + 1 точек M, j = 1, …, n + 1. Тогда выписанная выше зада ча максимизации по запишется в виде {b : 0, } ( j) l * = max M, µ j 0 (10.6) i i, ( j ), µ j при условиях ( j) n+ n h =, i i + µ j i =1 j =1 где hi — n-мерные столбцы матрицы H.

Это есть обобщенная задача линейного программирова ния, размерность которой (т. е. число уравнений в ограничени ях) равна n + 1. Неограниченные по знаку переменные i можно всегда принимать базисными при решении обобщенной задачи линейного программирования методом генерации столбцов.

Это следует из того, что, если соответствующие столбцы попа дают в базис, то они оттуда не убираются при использовании метода генерации столбцов.

n+ Пусть = (, ) — вектор множителей Лагранжа ( — скаляр), определяемый из условия (см. п. 1.3):

B = ( b, 0), где B — базисная матрица размерности (n +1)(n +1), соответ ствующая текущему базису. Тогда достаточным условием опти мальности текущего базиса является выполнение равенства вида (9.2):

- min(-,1) = 0 max =, (10.7) M M и в базис вводится вектор условий (-,1), для которого.

Таким образом, для проверки условия оптимально сти и введения в базис вектора условий нужно уметь решать подзадачу 116 10. гарантированные характеристики точности f ( ) = max { : M }, которая по сделанному выше предположению о функции f ( x ) решается эффективно (например, аналитически). Поэтому вы * числение величины l методом генерации столбцов для задачи (10.6) эффективно. К тому же, согласно (1.23), имеется оценка близости текущего значения b целевой функции к оптимуму:

b * b + max -.

M Можно показать, что скаляр равен оптимальному значе * нию l, а в качестве оптимального оценивателя x можно взять вектор, удовлетворяющий достаточным условиям оптималь ности. Это следует из того, что двойственный вектор к двой ственной задаче (10.6) является вектором оптимизации в пря мой задаче (10.3).

литература [Авдеев и др., 1965] Авдеев Ю. Ф., Беляков А. И. и др. Полет космиче ских аппаратов. Примеры и задачи / Под ред. Г. С. Титова. М.:

Машиностроение, 1980.

[Балк, 1965] Балк М. Б. Элементы динамики космического полета. М.:

Наука, 1965.

[Бахшиян, 1970] Бахшиян Б. Ц. Выбор оптимальных моментов неза висимых траекторных измерений // Космич. исследования. 1970.

Т. 8. № 1. С. 3–7.

[Бахшиян, 1983] Бахшиян Б. Ц. Представление весовых матриц, опре деляющих заданную оценку наименьших квадратов // Навигаци онная привязка и статистическая обработка космической инфор мации М.: Наука.1983. С. 81–90.

[Бахшиян, 1989] Бахшиян Б. Ц. Критерии оптимальности и алгоритмы решения вырожденной и обобщенной задач линейного програм мирования // Экономика и математические методы. 1989. Т. 28.

№ 2. С. 314–324.

[Бахшиян, 2012] Бахшиян Б. Ц. Оценивание и коррекция параметров движущихся систем: Курс лекций. М.: ИКИ РАН, 2012.

[Бахшиян, Соловьев, 1998] Бахшиян Б. Ц., Соловьев В. Н. Теория и алго ритмы решения задач L- и MV-оптимального планирования экс перимента // Автоматика и телемеханика. 1998. № 8. С. 80–96.

[Бахшиян и др., 1980] Бахшиян Б. Ц., Назиров Р. Р., Эльясберг П. Е.

Определение и коррекция движения. М.: Наука, 1980.

[Бахшиян и др., 2000] Бахшиян Б. Ц., Матасов А. И., Федяев К. С. О ре шении вырожденных задач линейного программирования // Ав томатика и телемеханика. 2000. № 1. С. 105–117.

[Белецкий, 2009] Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел.

3-е изд. М.: Издво ЛКИ, 2009.

[Богачев и др., 2001] Богачев С. А., Мамон П. А., Миронов Ю. В., Ничи порович О. П. Баллистика и теория полета в примерах и задачах.

СПб.: ВИКУ, 2001.

[Бордовицына, Авдюшев, 2007] Бордовицына Т. В., Авдюшев В. А. Тео рия движения искусственных спутников Земли. Аналитические и численные методы: Учебное пособие. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007.

[БСЭ, 1969–1978] Большая советская энциклопедия. 3-е изд.: В 30 т.

М.: Советская энциклопедия, 1969–1978.

[Википедия] Википедия. Свободная энциклопедия. [Электрон. ре сурс]. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki.

[Данциг, 1966] Данциг Дж. Линейное программирование, его примене ния и обобщения М.: Прогресс, 1966.

[Иванов, Лысенко, 2004] Иванов Н. М., Лысенко Л. Н. Баллистика и на вигация космических аппаратов. 2-е изд. М.: Дрофа, 2004.

[Ильин, Позняк, 1968] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геоме трия. М.: Наука, 1968.

[Кононович, Мороз, 2009] Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии: учебное пособие. 3-е изд. М.: Едиториал УРСС, 2009.

[Лидов, 1964] Лидов М. Л. К априорным оценкам точности определе ния параметров по методу наименьших квадратов// Космич. ис след. 1964. Т. 2. № 5. С. 713–718.

[Лидов, 1971] Лидов М. Л. Математическая аналогия между некоторы ми оптимальными задачами коррекции траекторий и выбора со става измерений и алгоритмы их решения // Космич. исслед. 1971.

Т. 9. № 5. С. 687–706.

[Маркеев, 1999] Маркеев А. П. Задача трех тел и ее точные решения // Соросовский образовательный журнал+ 1999. Т. 9. С. 112–117.

[Матасов, 1988а] Матасов А. И. Об оптимальности линейных алгорит мов гарантирующего оценивания. Часть I // Космич. ислед. 1988.

Т. 26. № 5. С. 643–653.

[Матасов, 1988б] Матасов А. И. Об оптимальности линейных алгорит мов гарантирующего оценивания. Часть II // Космич. ислед. 1988.

Т. 26. № 6. С. 807–812.

[Охоцимский, Сихарулидзе, 1990] Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г.

Основы механики космического полета: Учебное пособие. М.:

Наука, 1990.

[Савченко, 2010] Савченко А. А. Персоналии в науке. Математики, ме ханики, физики, астрономы, химики. М.: Р. Валент, 2010.

[Сихарулидзе, 2011] Сихарулидзе Ю. Г. Баллистика и наведение лета тельных аппаратов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.

[Суханов, 2010] Суханов А. А. Астродинамика. М.: ИКИ РАН, 2010.

[Эльясберг, 1965] Эльясберг П. Е. Введение в теорию полета искус ственных спутников Земли. М.: Наука, 1965.

[Эльясберг, 1976] Эльясберг П. Е. Определение движения. М.: Наука, 1976.

[Эльясберг, 1983] Эльясберг П. Е. Измерительная информация: сколько её нужно? как её обрабатывать? М.: Наука, 1983.

[Elfving, 1952] Elfving G. Optimum allocation in linear programming // An nals of Mathematical Statistics. 1952. V. 23. P. 255.

[Rao, 1975] Rao C. R. On a unified theory of estimation in linear models — a review of recent results // Perspectives in probability and statistics. L.

etc.: Acad. Press, 1975. P. 89–104.

055(02)2 Ротапринт ИКИ РАН 117997, Москва, Профсоюзная, 84/ Подписано к печати 28.02.2013 г.

Заказ 3209 Формат 70108/32 Тираж 100 5,0 уч.-изд. л.



Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.