авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И

ИНФОРМАТИКИ

Кафедра высшей математики

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

Алгебра и геометрия

Самара, 2010

УДК 512.6, 514.1

Блатов И.А., Старожилова О.В. Алгебра и геометрия.

Конспект лекций.- Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2010. 230 Конспект лекций затрагивает такие разделы высшей математики как: линейная алгебра, аналитическая геометрия, элементы функционального анализа.

Каждая лекция заканчивается контрольными вопросами, которые помогут проверить теоретическое освоение курса, содержит большое количество задач для самостоятельного решения и ответы для проверки.

Рецензент:

Акчурин Э.М. –д.т.н., проф., профессор кафедры информатики и вычислительной техники ПГУТИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики ©Блатов И.А., Старожилова О.В., Содержание Введение Лекция 1 Линейная алгебра Линейные операции над матрицами Умножение матрицы на число Сложение и вычитание матриц Умножение матриц Контрольные вопросы к лекции по теме «Матрицы» Задачи для самостоятельного изучения Ответы к задачам для самостоятельного изучения Лекция 2 Теория определителей Исследование системы двух линейных уравнений Свойства определителей Методы вычисления определителей Вычисление определителя Вандермонда Контрольные вопросы к лекции «Теория определителей» Задачи для самостоятельного изучения Ответы к задачам для самостоятельного изучения Лекция 3 Ранг матрицы Элементарные преобразования матрицы Системы m линейных уравнений с n неизвестными Общий порядок решения системы общего вида Лекция 4 Обратная матрица Правило нахождения обратной матрицы Контрольные вопросы по теме «Обратная матрица» Задачи для самостоятельного изучения Ответы к задачам для самостоятельного изучения Лекция 5 Системы линейных алгебраических уравнений Общие сведения о системах линейных уравнений Методы решения систем линейных уравнений Метод Крамера Матричный метод Метод Гаусса Однородные системы линейных уравнений Общее решение однородной линейной системы Контрольные вопросы Задачи для самостоятельного решения Ответы к задачам для самостоятельного решения Собственные значения и вектора линейного оператора Свойства собственных чисел и собственных векторов Лекция 6 Скалярное произведение векторов Основные свойства проекций Свойства скалярного произведения Скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями Контрольные вопросы Задачи для самостоятельного изучения Ответы к задачам для самостоятельного изучения Векторное произведение векторов Свойства векторного произведения Контрольные вопросы по теме «Векторное произведение» Задачи для самостоятельного изучения Ответы к задачам для самостоятельного изучения Смешанное произведение векторов Свойства смешанного произведения Лекция 7 Плоскость в пространстве R3 Нормальное уравнение плоскости Расстояние от точки до плоскости Взаимное расположение двух плоскостей Угол между двумя плоскостями Условие параллельности двух плоскостей Условие перпендикулярности двух плоскостей Контрольные вопросы по теме «Плоскость» Задачи для самостоятельного изучения Ответы к задачам для самостоятельного изучения Лекция 8 Прямая линия Уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнение прямой проходящей через одну точку с угловым коэффициентом Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Уравнение пучка прямых с центром в точке Mx 0, y 0 Угол между двумя прямыми Уравнение в отрезках Нормальное уравнение прямой Расстояние от точки до прямой Контрольные вопросы Задачи для самостоятельного решения Ответы к задачам для самостоятельного решения Лекция 9 Прямая линия в пространстве Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей Параметрическое уравнение прямой Каноническое уравнение прямой Уравнение прямой, проходящей через две точки Переход от общих уравнений прямой к каноническим Взаимное расположение прямых в пространстве Задачи для самостоятельного решения Ответы к задачам для самостоятельного изучения Лекция 10 Взаимное положение прямой и плоскости Углом между прямой и плоскостью Условие параллельности прямой и плоскости Условие перпендикулярности прямой и плоскости Контрольные вопросы по теме «Прямая и плоскость» Задачи для самостоятельного изучения Ответы к задачам для самостоятельного решения Лекция 11 Кривые второго порядка Окружность Эллипс Свойства эллипса Гипербола Свойства гиперболы Парабола Свойства параболы Контрольные вопросы по теме «Кривые второго порядка» Задачи для самостоятельного изучения Ответы к задачам для самостоятельного решения Лекция 12 Преобразования системы координат на плоскости Параллельный перенос системы координат Поворот осей координат Классификация кривых второго порядка Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду Контрольные вопросы по теме «Параллельный перенос» Задачи для самостоятельного изучения Ответы к задачам для самостоятельного изучения Лекция 13 Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферическая система координат Задачи для самостоятельного изучения Ответы для самостоятельного решения Лекция 14 Поверхности второго порядка Сфера Поверхности вращения Эллипсоиды Двухполостный гиперболоид Однополосный гиперболоид Параболоиды Эллиптический параболоид Гиперболический параболоид Лекция 15 Цилиндрические и конические поверхности Цилиндрические поверхности Цилиндры Эллиптический цилиндр Гиперболический цилиндр Параболический цилиндр Конические поверхности Конус Лекция 16 Элементы функционального анализа Линейные пространства Метрические и нормированные пространства Глоссарий К лекции 1 К лекции 2 К лекции 3 К лекции 4 К лекции 5 К лекции 6 К лекции 7 К лекции 8 К лекции 9 К лекции 10 К лекции 11 К лекции 12 К лекции 13 К лекции 14 К лекции 15 К лекции 16. Рекомендуемая литература Введение « …и снова путем привычным.

Путь к знаниям — бесконечный путь…»

В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено совершенствованием вычислительной техники, благодаря которой существенно расширяется возможность успешного применения математики при решении конкретных задач.

Курс «Алгебра и геометрия» является одним из основных математических курсов, лежащих в основе математического образования студентов, заключается в необходимости подготовки студентов к изучению последующих математических и специальных дисциплин, большинство из которых связаны с основными понятиями алгебры и геометрии.

Знания и навыки, получаемые студентами в результате изучения дисциплины, необходимы для успешного освоения таких дисциплин, как «Высшая математика», «Вычислительная математика», «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы».

Курс построен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта России к дисциплине «Алгебра и геометрия». Учебная программа разработана на основе учебных планов специальностей «Программное обеспечение вычислительных и автоматизированных систем», 230201 «Информационные системы и технологии».

Конспект лекций затрагивает такие разделы высшей математики как: линейная алгебра, аналитическая геометрия, элементарную геометрию на основе аксиоматики, включая геометрические преобразования и построения, элементы функционального анализа.

Каждая лекция заканчивается контрольными вопросами, которые помогут проверить теоретическое освоение курса, содержит большое количество задач для самостоятельного решения и ответы для проверки.

Лекция 1 Линейная алгебра Линейная алгебра — важная в приложениях часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений.

Векторные пространства встречаются в математике и е приложениях повсеместно. Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках.

Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как теория матриц и определителей. Линейные уравнения, как уравнения прямых и плоскостей, стали естественным предметом изучения после изобретения Декартом и Ферма метода координат (около 1636). Гамильтон - автор термина «вектор».

Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е).

Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867).

Необходимость решения задач линейной алгебры возникает практически во всех прикладных математических расчетах.

Основными среди этих задач являются решение систем линейных уравнений, вычисление собственных значений и векторов, обращение матриц.

Определение Прямоугольной матрицей размерностью n на m называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов.

a11 a12 a1n a a2 n a A 21 am1 am 2 amn Величины, из которых состоит эта таблица, называются элементами матрицы и обозначаются той же буквой, только строчной, что и матрица, с указанием номера строки (первый индекс) и номера столбца (второй индекс).

Определение Матрица квадратная порядка – n квадратная таблица чисел, расположенных в строчках и n n n столбцах a11 a12 a1n a a2 n 21 a A.

an1 an 2 ann Обозначения: A – матрица, aij - элемент матрицы, i - номер строки, в которой стоит данный элемент, j - номер соответствующего столбца;

m – число строк матрицы, n – число ее столбцов. Числа m и n называются размерностями матрицы.

Пример b11 b12 b B b21 b22 b23 - квадратная матрица третьего b b32 b 31 порядка.

Определение Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называют главной диагональю, а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним, - побочной диагональю.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые первый и второй индеек b11, b22, b33 образуют главную диагональ. Элементы этой матрицы образуют b13, b22, b побочную диагональ.

Пример Найти элементы, лежащие на главной диагонали 1 3 матрицы. 0 1 4 1 Решение 1 3 0 2 4 1 Определение Квадратная матрица, независимо от ее порядка, называется единичной матрицей, если элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу обозначают E.

1 0 0 0 1 0 E 0 1 0 0 0 Определение Матрица-строка (матрица-столбец) матрица состоящая только из одной строки (столбца):

c D d11, d12, d13, d14 C c c, Определение Нулевая матрица - матрица, все элементы которой равны нулю.

Определение – Симметрическая матрица квадратная матрица элементы которой удовлетворяют условию aij a ji Определение Треугольная матрица - квадратная матрица элементы которой, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю, при этом матрица B, где bij 0 при i j, называется правой (или верхней) треугольной матрицей, а матрица C, где сij 0 при i j, называется левой (или нижней) треугольной матрицей:

b11 b1n b12 b13...

0 b2 n b22 b23...

B 0 b3n 0 b33...

...............

0 bmn 0 0...

c11 0 0...

c c22 0...

21 C c31 c32 c33...

...............

c cmn m1 cm 2 cm3...

Определение Две матрицы b11 b12... b1n a11 a12 a1n...

b... b2 n a b a22... a2 n B 21 A.........

............

...

bm1 bm 2... bmn am1 am 2... amn считаются равными, если размеры матриц (число строк и столбцов) одинаковы и равны элементы, лежащие на пересечении соответствующих строк и столбцов, то есть когда aij bij при любых i, j.

AT Определение Матрица называется транспонированной по отношению к матрице A, если элементы каждой строки матрицы A записываются в том же порядке в столбцы матрицы A T, причем номер столбца совпадает с номером строки.

a11 a12 a1n a11 a21... am...

a... a2 n a a22... am a A 21 A 12 T.....................

...

am1 am 2... amn a1n a2 n... amn Замечание Транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Связь между матрицей A и е aij a ji.

T транспонированной можно записать в виде Пример Найти матрицу транспонированную данной.

2 2 0 3 T A A 0 7 2 3 B 2 B T 1 2 Замечание Матрица размера 1х1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. (5)1х1 есть 5.

Линейные операции над матрицами Умножение матрицы на число В результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на число.

a11 a12... a1n a 21 a22... a2 n C= k A = k............

am1 am 2... amn k a11 k a12... k a1n k a k a22... k a2 n......

......

k am1 k am 2... k amn Чтобы умножить матрицу на число, нужно все элементы матрицы умножить на это число, т.е.

A aij, k R k A k aij где i 1, m j 1, n.

Пример 1 6 3 3 3 4 9 8 2 24 Замечание Из определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Свойства умножение матрицы на число 1. k A A k k m A k A m A 2.

3. k m A k m A m k A 4. k A B k A k B Проверим свойство 4.

0 3 1 2 A,B 2 2 3, k 4 1 0 1 2 0 3 1 2 3 2 2 2 3 12 4 1 0 0 3 1 2 1 2 3 4 1 0 2 2 2 3 12 6.

Сложение и вычитание матриц Определение Суммой (разностью) двух матриц называется матрица той же размерности, что и исходные, каждый элемент которой определяется как сумма (разность) соответствующих элементов матриц.

a11 b11 a12 b12 a13 b13 a1n b1n a b a2 n b2 n a22 b22 a23 b 21 21 C A B a31 b31 a3n b3n a32 b32 a33 b a b amn bmn am 2 bm 2 am3 bm m1 11 Замечание Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности.

Пример Найти сумму матриц A B, если 3 5 2 1 2. A 2 2 1 и B 3 4 4 3 0 1 2 Решение 3 1 5 2 2 3 4 7. A B 2 3 2 4 1 5 5 2 4 1 3 2 0 1 3 5 Пример Найти сумму матриц:

1 1 0 1 2 3 1 4 Решение 1 1 0 1 Суммировать матрицы - нельзя, 2 3 1 4 т.к. размеры матриц различны.

Свойства суммы матриц A B B A (коммутативный закон) 1.

A B C A B C ( ассоциативный закон) 2.

3. Если к матрице прибавить или от нее отнять нулевую матрицу той же размерности, то получим исходную матрицу A 0 A.

Замечание Складывать можно матрицы с одинаковым числом строчек и с одинаковым числом столбцов.

Пример Проверим свойство 5 2 A 3 5 B 2 1 6 3 7 0 7 A B 5 5 B A 5 4 10 4.

Умножение матриц Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя.

C cik Определение Матрица называется и B b jk, A aij произведением двух матриц: если е cik элементы определяются по следующему правилу:

cik ai1 b1k ai 2 b2k ai 3 b3k aij b j cik схематично изображается так:

Получение элемента i Определение Произведением матрицы на матрицу A mn называется матрица Cmk, каждый элемент которой, равен B nk сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A mn на B nk, т.е. Cmk cmk, где j -ый столбец матрицы n cmk amj b jk j Иными словами, перемножать можно те матрицы, у которых совпадают средние индексы. Крайние индексы определяют размерность получаемого результата cij Элемент матрицы – ответа принадлежащий i -ой строке и столбцу, вычисляется как произведение j -му i -ой строки первого сомножителя A mn на j -ый столбец второго сомножителя B nk.

Можно перемножать только те строки и столбцы, у которых одинаковое число элементов (смотри условие возможности умножения матриц). В результате получается число, равное сумме произведений соответствующих элементов (первый элемент строки на первый элемент столбца плюс второй элемент строки на второй элемент столбца и т. д. и, наконец, плюс произведение последних элементов).

Пример Выяснить размерность матрицы D2,3 R 3,5 T2, Решение Рассмотрим умножение матриц на примере: A 2,3 B3,4 C2, b11 b12 b b a13 c a11 c a12 c c b21 b22 b24 11 12 b a a 23 c c 21 b b34 21 22 a 22 c c 31 b32 b Пример 2 0 1 1 3 2 11 4 6 0 4 1 3 2 1 2 12 9 2 0 1 2 Основные свойства операции произведения матриц 1) В общем случае A B B A Определение Если A B B A то матрицы A и B называются перестановочными по отношению друг к другу.

A B C AB AC 2.

A E E A A При умножении любой квадратной 3.

матрицы на единичную первоначальная матрица не меняется.

Для операции транспонирования верны свойства:

A + B T = A T + B T 4.

A B T = B T A T 5.

k A B A k B k A B.

6.

Пример Проверим свойство 1 2 0 1 2, B, AB B A A 1 3 2 4 4 4 6 5 13 7 9 8, BA 17 AB 10 10 12 9 3 6 Замечание Действия над матрицами можно распространить на случай любого числа слагаемых.

Контрольные вопросы к лекции по теме «Матрицы»

1. Дать определение матрицы.

2. Классификация матриц по размерам.

3. Что такое нулевая матрица?

4. Что такое единичная матрица?

5. При каких условиях матрицы считаются равными?

6. Как выполняется операция транспонирования?

7. Когда возможна операция сложения матриц и как вычисляется результат?

8. Как найти произведение матрицы на число?

9. Когда возможна операция умножения матриц?

10. Какова размерность результата умножения?

11. По какому правилу вычисляется элемент матрицы результата при перемножении матриц?

12. Какие матрицы называются взаимно обратными?

Задачи для самостоятельного изучения Даны матрицы 3 2 1 1 1 2 2 7 3 C 1 4 A 0 1 2 B 2 2 1 1 5 4 2 3 1 1 2 D 5 3 1 4 2 2 1. Какую матрицу нужно прибавить к матрице A, чтобы получить единичную матрицу E ?

2. Найти A B.

3. Найти 3A.

4. Найти 5A.

5. Найти 2A 3B 2C.

6. Можно ли умножать матрицы и, если можно, указать размерность результата:

а) R 2,3T3,5 б) R 2,3S 5,3 в) R 2,3F3, 7. Найти произведения A B и B A и сравнить результаты.

8. Найти A D и D A.

9. Найти A E и E A ( E - единичная матрица) и сравнить результаты.

Ответы к задачам для самостоятельного изучения 1 4 3 3 9 6 2 2 ;

2. 2 5 1 ;

3. 0 6 ;

1. 0 3 1 8 5 3 15 1 5 5 7 15 5 10 ;

5. 4 6 4. 5 25 20 8 17 6. а) можно, 2,5, б) нельзя, в) можно, 2,15;

5 13 5 13 7. A B 6 2 1, B A 9 23 6, не равны;

3 33 21 5 4 0 9 8. A D 13 7 5 1, DA - не существует;

10 5 3 3 2 9. A F F A 0 1 1 5 Лекция 2 Теория определителей С точки зрения истории, феномен определителя стал изучаться ранее, чем сами матрицы. Первоначально, определитель был представлен как собственно система линейных уравнений. Определитель «определял» имеет система одно или несколько возможных решений.

Впервые определители начали использовать в китайских учебниках по математике. В Европе Крамер (1750) добавил к уже проведенным исследованиям в этой области, так называемое положение о системах уравнений. И только лишь в 1771г.

Вандермонд впервые представил определители в виде независимых функций, а в 1772г. Лаплас сделал популярным среди математиков общий метод разложения определителя на дополнительные миноры. Лагранж — первый, кто начал изучение определителей в рамках теории исключения. Гаусс в 1801г начал использовать феномен определителя в теории чисел.

Он ввел в обиход термин «детерминант» (Лаплас называл его «результантом»).

Теория определителей возникла при решении и исследовании систем линейных алгебраических уравнений со многими неизвестными.

Исследование системы двух линейных уравнений Теория определителей возникла при решении и исследовании систем линейных алгебраических уравнений со многими неизвестными.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

a1 x b1 y c a2 x b2 y c Найдем решение, умножая первое уравнение на b2, а второе на b1, получим c1b2 c2b x a1b2 a2b a2, а второе на a1, получим а, умножая первое уравнение на a1c2 a2 c y a1b2 a2b Таким образом, если a1b2 a 2 b1 0, то система имеет единственное решение.

a1 b a b, Определение Таблицу чисел составленную 2 из коэффициентов при неизвестных x и y, называют квадратной матрицей 2-го порядка, числа составляющие матрицу называют ее элементами.

a1b2 a2b1, Определение Выражение называется определителем 2-го порядка a1 b A a1 b2 a2 b a2 b.

Заметим, что числители в формулах решения системы уравнений можно преобразовать c1 b1 a1 c A A c2 b2 a2 c x 1 y, a1 b1 a1 b A A a2 b2 a2 b Формулы называют формулами Крамера для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Замечание Вычислить определитель 2-го порядка означает найти разность из произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) и произведения элементов, находящихся на побочной, диагонали.

Крамер Габриэль (1704-1752) швейцарский математик, родился в Женеве, основные работы относятся к высшей алгебре и аналитической геометрии, установил правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными, заложил основы теории определителей.

Правило Крамера Если определитель системы не равен нулю, то решение системы единственно.

Каждое из неизвестных равно частному двух определителей с общим знаменателем, равным определителю системы, числителями служат определители, получаемые из определителя системы заменой столбца коэффициентов, стоящих при определяемом неизвестном, столбцом свободных членов уравнений системы.

Замечание Правило Крамера остается справедливым и для линейных систем n уравнений с n неизвестными при любом n.

Пример Решить систему уравнений x 2 y 8 Ответ: x 2, y 3 x y Определение Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной, система, обладающая хотя бы одним решением, называется совместной.

Пусть определитель системы a1x b1 y c a2 x b2 y c ab A 1 1 0, a2 b a1 b a1 0, a1 b2 a2 b1 Тогда, пусть тогда a2 b a a и b2 2 b1, введем обозначение 2, тогда b2 b1, a1 a но одновременно a2 a1, тогда a2 x b2 y a1 x b1 y Вывод: если c2 c1, то второе уравнение следствие первого, поэтому система сводится к одному уравнению, так как в этом уравнении два неизвестных, то система – неопределенна и имеет бесчисленное множество решений, если c2 c1, то уравнения противоречивы, и система не имеет решений.

Или если определитель системы A 0, то система имеет единственное решение, находящееся по формулам Крамера, или совместна, или определена.

A 0, а один из Если определитель системы определителей A1 0 или A 2 0, то система решений не имеет, она противоречива или несовместна.

Если А 0, и все определители равны нулю, а хотя бы один из коэффициентов при неизвестных не равен нулю, то система имеет бесконечное множество решений или неопределена.

2 x 3 y Пример Решить систему уравнений 4 x 6 y Ответ: решений нет 3x 4 y Пример Решить систему уравнений 6 x 8 y 3x Ответ: бесчисленное множество решений, y Замечание Геометрическое истолкование результатов исследования системы:

a2 b A 0, т.е. прямые не параллельны друг a1 b другу, и следовательно пересекаются в единственной точке a2 b A 0, т.е. прямые параллельны, если a1 b a2 b2 c, то прямые не сливаются и не имеют точек a1 b1 c пересечения, система не имеет решения a2 b2 c A 0, прямые сливаются система имеет a1 b1 c бесчисленное множество решений.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы.

Это число называется определителем Определение Определитель третьего порядка - число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

a11 a12 a a21 a22 a23 a11 a22 a33 a21 a32 a a31 a32 a a12 a23 a31 a13 a22 a31 a12 a23 a31 a21 a32 a Замечание Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников (правило Саррюса).

Оно заключается в следующем:

элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так: образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали.

Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали.

Пример 1 2 1 1 1 4 3 5 1 2 1 2 3 1 2 2 5 5 1 1 1 1 4 15 4 6 40 1 Определение Определитель n-го порядка называется a11 a12 a1n a21 a22 a2 n число an1 an 2 ann n! членов 1 a1k1 a2k2 ankn, каждое из r равное сумме которых соответствует одному из n! упорядоченных множеств k1k2 kn, полученных r - попарными перестановками элементов из множества 1,2,n.

Размерность матрицы, для которой ищется определитель, задает его порядок.

Замечание Получить формулы, аналогичные формулам для систем n уравнений с n неизвестными затруднительно, так как число слагаемых, из которых составляется определитель n го порядка очень быстро растет с увеличением порядка ( определитель n -го порядка содержит n!слагаемых ).

Замечание Число сомножителей в каждом произведении равно порядку матрицы.

Определение Матрица невырожденная - квадратная матрица имеющая определитель, отличный от нуля ( 0 ), в противном случае - матрица вырожденная или особая.

Замечание Определитель первого порядка равен тому единственному элементу, из которого состоит соответствующая матрица.

Замечание Определитель бывает только у квадратных матриц.

Замечание Иногда вместо термина определитель используют термин детерминант.

Замечание Если все элементы матрицы n -го порядка, расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю, то определитель такой матрицы равен произведению элементов, лежащих на главной диагонали.

a11 0 a21 a22 0 a11 a22 ann an1 an 2 ann Определение Определитель вида x1n 1 x1 x x2 n 1 x2 x Wn 1 x3 x3n x xn n 1 xn xn называется определителем Вандермонда порядка n (степенной определитель).

Вандермонд Александр (1735-1796) – французский математик, участник Великой французской революции. Родился в Париже. Предложив специальный символ определителя дал новый толчок развитию учению об определителях, впервые логично изложил теорию детерминантов Его труды были забыты во Франции и обратил внимание Л.Кронекер (немецкий математик уже через 100 лет, он также занимался системами линейных уравнений).

Определение Минор порядка k матрицы A определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов данной матрицы.

Пусть дана матрица А n -го порядка. Вычеркнем в ней i -ю строчку и k -й столбец и сдвинем, не нарушая порядка, оставшиеся элементы. Определитель полученной матрицы n 1 - го порядка называется минором элемента i -й строчки k -го столбца матрицы А и и обозначается Mik.

Пример. Дан определитель 1 2 5 1 1 a21 5 M 21 8 3 1 Замечание Определитель всякой матрицы есть число, то миноры элементов матрицы также являются числами. Для матрицы n -го порядка имеем n различным образом составленных миноров (для каждого элемента свой минор).

1ik Определение Минор взятый со знаком Mik называется алгебраическим дополнением этого элемента.

Обозначается Aik.

i k Aik 1 Mik Замечание Каждый элемент матрицы является ее минором 1-го порядка.

0 1 Пример Дан определитель. 3 2 4 1 Найти алгебраическое дополнение A13, A 21, A 32.

Решение 1 2 A 13 2 12 14, A 21 2 1 1, 4 1 1 0 A 32 2 Замечание Для элементов, расположенных на главной диагонали, алгебраическое дополнение совпадает с минором Aii 1 Mii Mii 2i Замечание Минор M ij элемента aij берется со своим знаком, если сумма его индексов четна, и с обратным, если сумма нечетна.

Свойства определителей 1. При транспонировании определитель матрицы не меняется («равноправие» строк и столбцов определителя) detA detAT a11 a12 a13 a11 a21 a a23 a a21 a22 a22 a a31 a32 a33 a13 a23 a 2. При перемене местами двух строчек (или столбцов) определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

4. Определитель матрицы А n -го порядка равен сумме произведений всех элементов какой-нибудь одной фиксированной строчки на их алгебраические дополнения n ain Ain aik Aik ai1Ai1 ai 2 Ai k Разложение называется разложением определителя по элементам i - строчки. Аналогичное равенство для столбцов.

Оказывается, что определитель равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения.

Замечание Определитель второго порядка вычислим, например, по элементам первой строки a11A11 a12 A12 a11 1 M11 a12 11 1 M a11 M11 a12 M12 a11 a 22 a12 a Запишем разложение данного определителя по элементам второй строки a11 a a21 A 21 a22A 22 a21 1 M 21 a22 2 1 2 M a21 a a21 M 21 a22 M 22 a21 a12 a22 a11 a11 a22 a12 a Полученный результат совпадает с результатом вычисления определителя по первой строке. Этот же результат получится и при разложении по любому из столбцов. Рекомендуем это проверить самостоятельно.

Из сказанного можно заключить, что определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

2 Пример Вычислить определитель 1 Решение 2 2 8 1 5 16 5 1 Найдем определитель третьего порядка, раскладывая его по элементам, например, третьего столбца a11 a12 a a 23 a13 A13 a 23 A 23 a33 A a 21 a a31 a32 a a13 1 M 13 a 23 1 M 23 a33 1 3 23 3 M a 21 a 22 a11 a12 a11 a a13 a 23 a a31 a32 a31 a32 a 21 a 1 2 1 Пример Вычислить определитель 0 Решение 1 2 1 3 2 A13 3 A 23 A 33 2 M 13 3 M 23 M 0 2 1 10 1 2 3 2 0 5 2 10 0 3 5 0 1 0 20 15 1 Таким образом, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Получается, что определитель n - го порядка мы найдем n 1 - го порядка.

через определители Замечание Это свойство позволяет вычисление определителя n -го порядка свести к вычислению n определителей - n 1 го порядка.

5. Если все элементы какой-нибудь строчки (или столбца) матрицы А n -го порядка умножить на число k, то определитель умножится на то же число (или общий множитель для элементов какой-нибудь строчки (или столбца) матрицы n го порядка можно выносить за знак определителя).

k a11 k a12 k a13 a11 a12 a a23 k a21 a a21 a22 a a31 a32 a33 a31 a32 a Доказательство k a11 k a12 k a a a21 a a31 a32 a k a11 a22 a33 k a13 a21 a32 k a12 a23 a k a13 a22 a31 k a12 a21 a33 k a11 a23 a k a11 a22 a33 a13 a21 a32 a12 a23 a31 a13 a22 a a12 a21 a33 a11 a23 a a11 a12 a k a21 a22 a a31 a32 a 6. Сумма произведений элементов одной строчки матрицы А n -го порядка на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строчки равна нулю.

j i a j1 Ai1 a j 2 Ai 2 a jn Ain 0 при А Если матрицы n -го порядка имеет две пропорциональные строчки (или столбца), то ее определитель равен нулю.

a11 a12 a k a11 k a12 k a13 a31 a32 a 7. Определитель матрицы А n -го порядка не изменится, если к элементам одной ее строчки прибавить соответствующие элементы другой строчки, умноженные на одно и то же произвольное число.

a1 k a2 k b2 b1 k a a1 b1 a a2 b2 k a a2 b2 a2 b 8. Если каждый элемент столбца или строки представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, у одного из которых соответствующий столбец составлен из первых слагаемых, а у второго – из вторых.

a1 a1 b1 a1 b1 a1 b a b b a2 b a2 a2.

2 2 1 0 2 0 Пример Вычислить определитель.

3 1 3 4 1 1 Решение Вычислим определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу.

Для этого найдем A 32 и A 42 :

1 1 2 1 A 32 2 2 1 15, A 42 2 2 1 4 1 2 3 3 1 0 2 0 1 15 1 15 Следовательно, 3 1 3 4 1 1 x3 2 x x 1 3 0.

Пример Решить уравнение. 4 x Решение x 1 3 3 x x 3 2 x 4 0.

x 4 44 4 x x 3 4 x 4 3 x 4 3 x 4 x 4 0.

x 3 x 4 4 x 4 0.

x 4 x 1 x1 4, x2 Методы вычисления определителей - для численных определителей – получение нулей в какой-нибудь строчке и сведение к одному определителю на единицу меньшого порядка - преобразование матрицы определителя к треугольному виду.

Вычисление определителя Вандермонда Пусть дан определитель x1 x1 2 n 1 x x2 x2 2 n 1 x Wn xn xn 2 n 1 xn вычтем из каждого столбца, начиная с последнего, предыдущий столбец, умноженный на xn.

Последняя строчка будет иметь вид: 1,0,0,,0, а произвольная строчка будет 1, xi xn, xi xi xn, xi2 xi xn,, xin2 xi xn Разлагая полученный определитель по элементам последней строчки, получим x1 x1 xn x1 2 x1 xn x1 xn n x2 x2 xn x2 2 x2 xn x2 xn n n Wn xn1 xn1 xn xn1 xn1 xn n xn1 xn Вынесем из строчек общий множитель x1 xn, x2 xn,, xn1 xn или x1 n 1 x x2 n 1 x n x1 xn x2 xn xn1 xn Wn n xn1 xn Wn xn x1 xn x2 xn xn1 Wn С определителем Wn 1 можно поступить также, и тогда Wn xn x1 xn x2 xn xn1 xn1 x1 xn1 x xi x j xn1 xn1 x2 x nij 111 124 Пример Вычислить определитель 1 3 9 1 4 1 Решение Данный определитель степенной или определитель Вандермонда, поэтому 11 1 12 4 4 1 4 2 4 3 3 1 3 2 2 1 13 9 1 4 16 Контрольные вопросы к лекции «Теория определителей»

У каких матриц может быть найден определитель?

1.

Как вычислить определитель второго порядка?

2.

Что такое минор?

3.

Что является алгебраическим дополнением элемента 4.

матрицы?

5. Как вычисляется определитель n-го порядка 6. Перечислите свойства определителей 7. Какой вид имеет определитель Вандермонда?

Задачи для самостоятельного изучения 1. Вычислить определитель дважды: по элементам первой строки и элементам первого столбца.

2. Вычислить определители:

1 311 0 2 5 0 2 4 1 ;

2) 5 4 1 ;

3) 1) 5 ;

0 121 1 2 7 1 2 1 0 2 1234 3 9 3 0214 6 331 0 2 4) ;

5) ;

6).

5 4 3102 2 803 1 2 1343 7 531 Ответы к задачам для самостоятельного изучения 1. 0;

2. 8;

3. -4;

4. -82;

5. 39;

6. - 20;

7. -492.

Лекция 3 Ранг матрицы Ранг матрицы - это неизменяемая числовая характеристика матрицы. Ранг матрицы показывает число линейно независимых строк и столбцов матрицы. Ранг существует как для квадратных, так и для прямоугольных матриц Рассмотрим прямоугольную матрицу a11 a12 a1n...

a... a2 n a A 21.........

...

am1 am 2... amn Определение Ранг матрицы А - наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.

Обозначения: rA, RA, RangA.

Замечание Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы принимают равным нулю 0 0 0 0 0, rA 0.

A 1 0 Пример Вычислить ранг матрицы. B 0 0 0 0 Решение Матрица B содержит единственный ненулевой элемент b11 1, являющийся минором 1-го порядка. Все определители более высоких порядков, составленные из элементов этой матрицы, будут содержать 0-ю строку и поэтому равны 0.

Следовательно, rB 1.

2 1 3 Пример Вычислить ранг матрицы 4 2 6 8 4 12 Решение Все миноры второго и третьего порядков данной матрицы равны нулю, т.к. элементы строк этих миноров пропорциональны.

Миноры первого порядка (сами элементы матрицы) отличны от нуля. Следовательно, ранг матрицы равен 1.

7 0 0 0 Пример Вычислить ранг матрицы 0 0 0 0 5 0 0 2 Решение Вычеркнув из этой матрицы вторую строку и выбрав первый и четвертый столбцы, получим минор 14 0.

Ранг матрицы равен 2.

1 0 Пример Вычислить ранг матрицы C 2 4 5.

3 4 Решение Единственным минором 3-го порядка является определитель матрицы C, но он равен 0, поскольку содержит пропорциональные столбцы. Следовательно, rC 3.

Для того, чтобы доказать, что rC 2, достаточно указать хотя бы один минор 2-го порядка, не равный 0, например, 4 0. Значит, rC 2.

1 2 Замечание Значение ранга матрицы не может превышать меньшей из ее размерностей.

Пример Вычислить ранг единичной матрицы 3-го порядка.

1 0 E 0 1 0, E 0 0 следовательно, rE 3.

Определение Базисный минор матрицы - всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы.

Ранг матрицы не изменится от следующих преобразований, называемых элементарными преобразованиями матрицы.

Элементарные преобразования матрицы - замена строк столбцами, а столбцов соответствующими строками;

- перестановка строк матрицы;

- вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

- умножение строки на число, отличное от нуля;

- прибавления к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на одно и то же число.

Пример Элементарные преобразования – перестановка строк матрицы 4 2 3 5 1 2 1 A 2 3 1 2 2 3 1 1 2 1 2 4 2 3 меняются местами первая и третья строки.

Ранг матрицы не меняется Пример Элементарные преобразования прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на число.

.

Символ, стоящий у первоначальной матрицы, показывает, что ко второй строке матрицы прибавляется первая, умноженная на (–2).

Пример Элементарные преобразования умножение строки матрицы на ненулевое число.

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матриц.

Подчеркнем, что сама матрица при элементарных преобразованиях меняется, но ранг матрицы не изменится.

Определение Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Записывается A ~ B.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической.

1 0 0 0 1 0.

0 0 1 0 0 0 Замечание Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех миноров затруднительно.

Поэтому в этом случае можно преобразовать матрицу к так называемому треугольному виду (когда элементы, стоящие ниже aii равны 0), воспользовавшись операциями, не изменяющими ранг матрицы эквивалентными преобразованиями.

Действительно, любая из этих операций переводит нулевые миноры в нулевые, а ненулевые – в ненулевые. Матрица, полученная в результате, не равна исходной, но имеет тот же ранг.

Пример Вычислить ранг матрицы.

1 1 2 1 1 2 3 1 A.

0 0 1 2 3 1 2 Решение Теоретически ранг этой матрицы может принимать значения от 1 до 4, так как из элементов матрицы можно создать миноры по 4-й порядок включительно. Но вместо того, чтобы вычислять все возможные миноры 4-го, 3-го и т.д. порядка, применим к матрице A эквивалентные преобразования.

Вначале добьемся того, чтобы в первом столбце все элементы, кроме первого, равнялись 0.

Для этого запишем вместо второй строки ее сумму с первой, а вместо третьей – разность третьей и удвоенной первой:

1 1 2 1 0 ~ 0 1 A 0.

01 0 1 5 0 Затем из третьей строки вычтем вторую, а к четвертой прибавим вторую:

1 1 2 1 5 0 ~ 0 ~ A 0 0 0 0 0 0 После вычеркивания нулевых строк получим матрицу размерности 2 5 для которой максимальный порядок миноров, а, следовательно, и максимально возможное значение ранга равно 2 :

~ 1 1 2 1 ~ ~ A 0 1 5 0 1. ~ 1 1 ~ 1 0, следовательно, r A r A 2.

~ Ее минор Системы линейных уравнений с неизвестными m n Определение Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида a11x1 a12 x2 a1n xn b1, a x a x a x b, 21 1 22 2 2n n am1 x1 am 2 x2 amn xn bm и bi, i 1,, m;

b 1,, n – некоторые известные где aij числа, а xn – неизвестные.

x1, x В обозначении коэффициентов aij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы a11 a12 a1n...

a... a2 n a A 21.........

...

am1 am 2... amn, которую назовм матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1, b2 bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1, c2 cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1, c2 cn вместо соответствующих неизвестных x1, x2 xn.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.

2. Система может иметь бесконечное множество решений.

3. Система вообще не имеет решения.

Определение Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Назовем расширенной матрицей системы матрицу вида a11 a12 b a1n a b a22 a2 n A 21 am1 am 2 bm amn.Вопросо том, имеет ли система решение или нет, связан не только с соотношением числа уравнений и числа неизвестных.

Пример x1 x2 1, 2 x1 2 x2 2, 3x 3x 1 система из трех уравнений с двумя неизвестными имеет решение x1 2, x2 1 и даже имеет бесконечно много решений.

Пример Решить систему уравнений x1 x2 x3 0, 2 x1 2 x2 2 x3 Решение Система из двух уравнений с тремя неизвестными, решений не имеет, то есть является несовместной.

Ответ на вопрос о совместности произвольной системы уравнений дает теорема Кронекера-Капелли.

Капелли Альфредо [1855 – 1910 итальянский математик.

Леонид Кронекер (1823–1891) - немецкий математик;

основные труды по алгебре и теории чисел.

Лекции Кронекера по теории чисел пронизаны идеей необходимости арифметизации математики. По его убеждению, основой математики должно быть число, а основой всех чисел – натуральное число, а потому в математике не существует ничего, кроме того, что может быть представлено в виде конечного ряда положительных целых чисел.

Известно его заявление на съезде в Берлине в 1886:

«Целые числа сотворил Бог, а все прочее – дело рук человеческих».

Теорема (теорема Кронекера-Капелли) Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы A*.

RgA RgA *.

Доказательство 1) Необходимость:

Пусть система совместна и c1, c2 cn — ее решение.

Тогда a11c1 a12c2 a1n cn b a c a c a c b 21 1 22 2 2n n, am1c1 am 2 c2 amn cn bm То есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы и, следовательно, столбцов любого ее базисного минора.

Поэтому добавление элементов этого столбца и любой строки расширенной матрицы к базисному минору даст нулевой определитель, то есть rA1 rA.

2) Достаточность:

Если rA1 rA,то любой базисный минор матрицы A является и базисным минором расширенной матрицы.

Поэтому столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов этого базисного минора, и, следовательно, линейную комбинацию всех столбцов матрицы A.

Если обозначить коэффициенты этой линейной комбинации c1, c2 cn, то эти числа будут решением системы, т.е. эта система совместна. Теорема доказана.

Замечание Теорема Кронекера-Капелли дает возможность определить, является ли система совместной, применяется она довольно редко, в основном в теоретических исследованиях. Причина заключается в том, что вычисления, выполняемые при нахождении ранга матрицы, в основном совпадают с вычислениями при нахождении решения системы.

Поэтому, обычно вместо того, чтобы находить RgA и RgA *, ищут решение системы.

Если его удается найти, то узнаем, что система совместна и одновременно получаем ее решение. Если решение не удается найти, то делаем вывод, что система несовместна.

Пример Определить совместность системы линейных уравнений:

x1 3x2 5 x3 7 x4 9 x5 x1 2 x2 3x3 4 x4 5 x5 2 x 11x 12 x 25 x 22 x 1 2 3 4 Решение 1 3 5 7 9 1 3 5 A 1 2 3 4 5 ~ 3 9 15 21 27 ~ 2 11 12 25 22 2 11 12 25 1 3 5 7 1 3 5 ~ 1 3 5 7 9 ~ 12 25 2 11 12 25 22 2 11 1 RgA 2.

11 6 5 0, 2 1 3 5 7 9 1 1 3 5 7 9 A* 1 2 3 4 5 2 ~ 0 0 0 0 0 2 11 12 25 22 4 2 11 12 25 22 RgA * 3 Система несовместна.

Ответ: решений нет.

Пример Определить совместность системы линейных уравнений.

x1 4 x2 3x 2 x 1 7 x1 10 x2 5 x 6 x 1 3x1 16 x2 Решение 1 3 1 A 7 10 ;

2 12 14 3 5 3 Rg A 1 4 1 1 4 1 1 4 3 2 4 0 14 7 0 2 1 4 A* 7 10 10 ~ 0 38 19 ~ 0 2 1 ~ 0 2 5 6 8 0 26 13 0 2 3 16 5 0 4 2 0 2 1 2.

2 0 Rg A * Система совместна.

x1 1 ;

x Ответ:.

Общий порядок решения системы общего вида 1. Необходимо определить совместность системы, т.е.

определить ранги матрицы системы A и расширенной матрицы A B. Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что если ранги этих матриц не совпадают, то система не совместна и нет смысла ее решать. Если же ранги матриц A и A B равны, то система совместна.

2. Для совместных систем линейных уравнений справедливы следующие теоремы:

-Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r n, то система имеет единственное решение.

- Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r n, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Лекция 4 Обратная матрица Обращение матриц – широко распространенная математическая задача. Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц. Она возникает при необходимости решения систем линейных уравнений. Наиболее эффективный метод решения системы линейных уравнений матричный.

Пусть имеем матрицу A.

Определение Матрицей, обратной матрице A, называется матрица A 1, обладающая следующим свойством:

A 1 A A A 1 E.

Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы. Причем сама является той же размерности, что и исходная матрица.

Можно показать, что для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е. 0 ).

Это условие является и достаточным для существования A 1 матрице A. Итак, всякая невырожденная матрица имеет обратную, и, притом, единственную.

Теорема Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.

Доказательство A A1 E, 1) Необходимость: так как то A A-1 E 1, A поэтому 2) Достаточность: зададим матрицу A 1.

Тогда любой элемент произведения A A (или A A ), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы A на алгебраические дополнения к элементам другого столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны A A Таким образом, 1 0 0 0 1 0 AA E.

0 0 0 Теорема доказана.

Правило нахождения обратной матрицы 1. Находим определитель матрицы. (Если 0, то матрица A 1 существует) 2. Составим матрицу B алгебраических дополнений элементов исходной матрицы A, т.е. в матрице B элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение Aij элемента aij исходной матрицы.

3. Транспонируем матрицу B и получим B T.

1T B 4. Найдем обратную матрицу A Замечание После вычисления обратной матрицы рекомендуется убедиться в том, что выполняется одна из частей условия A1A AA 1 E Пример Найти обратную матрицу для матрицы 1 0 3.

Решение Вычисления произведем в соответствии с описанным правилом.

1 Значит, A 1 существует.

1. 0 3 2. B 2 3 3. B T 0 1 3 2 1 4. A 1 3 0 1 0 1 2 1 3 1 0 3 5. A A 1 0 1 0 Обратная матрица найдена верно.

Пример 1 1 Дана матрица A 2 0 1. Найти обратную матрицу.

3 1 Решение Определитель матрицы 6 0 следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические дополнения к ее элементам:

A11 1, A12 7, A13 2, A 21 1, A 2 2 5, A 2 3 4, A 31 1, A 3 2 1, A 3 3 Не забудем, что алгебраические дополнения к элементам строки матрицы А образуют в обратной матрице столбец с тем же номером.

1 1 1 Итак, A 7 5 6 2 4 Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению A Найдем 1 1 1 1 1 1 A A 2 0 1 7 5 6 3 1 2 2 4 6 0 0 1 0 1 0 6 0 0 1 0 E 6 0 0 6 0 0 Тот же результат получим и при перемножении в обратном порядке.

Обращение матриц создает матрицу A 1, для которой произведение ее на исходную матрицу A дает единичную матрицу, т.е. матрицу с диагональными элементами, равными 1, и остальными – нулевыми.

Замечание Матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Пример Решить матричное уравнение:

X A B C, где:

2 5 5 3 5 A 3 7, B 2 5, C 1 3.

Решение Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

5 4 5 3 0 XA CB 1 3 2 5 1 X C B A Найдем матрицу A.

7 3 1 7 A 1, A 5 2, A 3 2.

0 1 7 5 3 X 1 2 3 2 1 Проверка:

3 2 2 5 0 XA 1 1 3 7 1 0 1 5 3 5 XA B 1 2 2 5 1 3 C Контрольные вопросы по теме «Обратная матрица»

1. Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице?

2. Условия существования обратной матрицы.

3. Перечислите этапы вычисления обратной матрицы.

Задачи для самостоятельного изучения Для матриц, соответствующих определителям задач 1, 2 из лекции 2, найти обратные матрицы.

Ответы к задачам для самостоятельного изучения 1. Не существует ( 0 );

2. Ответ проверяется путем умножения на исходную матрицу слева или справа Лекция 5 Системы линейных алгебраических уравнений Общие сведения о системах линейных уравнений Система линейных алгебраических уравнений имеет вид a11x1 a12 x2 a1m xm l a x a x a x l 21 1 22 2 2m m an1 x1 an 2 x2 anm xm ln Здесь, x1, x2,, xm - неизвестные. Коэффициенты aij и свободные члены l i - известные числа.


Если все свободные члены равны нулю, то систему называют однородной.

Если матрицу коэффициентов обозначить через A, столбец неизвестных через X, столбец свободных членов через L, то система примет вид A X L.

Так может быть представлена любая система.

Решением системы называется любой упорядоченный набор чисел, при подстановке которых вместо неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система линейных уравнений может иметь: единственное решение (система совместна и определена);

- более одного решения (система совместна и неопределена);

- не иметь решений (система несовместна).

Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов A этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы (теорема Кронекера - Капелли).

Система совместна тогда и только тогда, когда r A r A m.

Если ранг совместной системы равен числу неизвестных ( r m ), то система является определенной и имеет единственное решение.

Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система - неопределенная. В такой системе r базисных неизвестных и m r свободных будет неизвестных. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, можно найти соответствующие значения базисных неизвестных. Следовательно, система в этом случае имеет бесчисленное множество решений.

Система может и не иметь решений (система несовместна) в.

r A r A случае Решить систему - значит, найти все ее решения (в случае неопределенной системы - указать правило, по которому можно найти любое ее решение, т.е. дать формулу общего решения) или доказать ее несовместность.

Замечание однородная система линейных уравнений всегда совместна и имеет хотя бы одно решение x1 x2 xm 0.

Это решение не всегда единственно.

Методы решения систем линейных уравнений Крамер Габриэль (1704-1752) швейцарский математик, родился в Женеве, основные работы относятся к высшей алгебре и аналитической геометрии, установил правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными, заложил основы теории определителей.

Метод Крамера Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:

a11x1 a12 x2 a13 x3 b a21x1 a22 x2 a23 x3 b2, a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3.

Здесь a11, a12, a33 b1, b2, b3 - постоянные, x1, x2, x3 неизвестные.

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных, a11 a12 a a21 a22 a a31 a32 a называется определителем системы.

Составим ещ три определителя следующим образом:

заменим в определителе последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов b1 a12 a13 a11 b1 a 1 b2 a23 2 a21 b a22 a b3 a32 a33 a31 b3 a a11 a12 b 3 a21 a22 b a31 a32 b Система имеет единственное решение, если ее определитель не равен нулю. Это решение может быть найдено по формулам Крамера:

1 x1, x2 2, x3 Формулы называют формулами Крамера.

Теорема (правило Крамера) Если определитель системы 0 то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причм 1 x1, x2 2, x3 Доказательство Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :

A11a11x1 A11a12 x2 A11a13 x3 A11b1, A21a21x1 A21a22 x2 A21a23 x3 A21b2, A a x A a x A a x A b.

21 31 1 31 32 2 31 33 3 31 Сложим эти уравнения:

A11a11 A21a21 A31a31 x1 A11a12 A21a22 A31a32 x A11a13 A21a23 A31a33 x3 b1 A11 b2 A21 b3 A31.

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения.

По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца A11a11 A21a21 A31a Далее рассмотрим коэффициенты при x2 :

A11a12 A 21a22 A31a a22 a23 a12 a13 a12 a a12 a22 a32 a32 a33 a32 a33 a22 a a12 a12 a a22 a23 a a32 a32 a Аналогично можно показать, что и A11a13 A21a23 A31a33 Наконец несложно заметить, что b1 a12 a b1 A11 b2 A21 b3 A31 b2 a23 a b3 a32 a Таким образом, получаем равенство:

x1 Следовательно, x 2 x2, x3 Аналогично выводятся равенства и откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е.

несовместна.

Замечание Правило Крамера остается справедливым и для линейных систем n уравнений с n неизвестными при любом n.

Пример Решить систему уравнений x 2 y 3 x y Ответ: x 2, y 3.

А 0, то система имеет Если определитель системы единственное решение, находящееся по формулам Крамера, или совместна, или определена x x x x1, x2, xn n 1, А 0, Если определитель системы а один из определителей А1 0 или А2 0, то система решений не имеет, она противоречива или несовместна.

Если А 0, и все определители равны нулю, а хотя бы один из коэффициентов при неизвестных не равен нулю, то система имеет бесконечное множество решений или неопределена.

Правило Крамера позволяет найти единственное решение системы или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии.

2 x 3 y Пример Решить систему уравнений 4 x 6 y Ответ: решений нет 3x 4 y Пример Решить систему уравнений 6 x 8 y 3x Ответ: бесчисленное множество решений, y.

Пример Решить систему уравнений x 2y z 2, 1 2 2x 3y 2z 2, 2 3 2 5 2 4 11 8 31 3x y z 8.

2 1 2 3 2 10 28 26 8, 8 1 1 2 2 2 2 2 14 8 10 16, 38 1 2 3 2 3 2 26 20 22 3 1 Ответ: x 1, y 2, z 3.

Матричный метод Матричным методом могут быть решены только те системы, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля (матрица А невырожденная).

r A r A m Из этих условий следует, что и, следовательно, система совместна и определена.

Решение системы можно получить так:

A 1 AX A 1L Используя свойства произведения матриц и свойство обратной матрицы A A X A 1 L,, E X A 1L, X A 1L Т.е., для получения столбца неизвестных нужно обратную матрицу матрицы коэффициентов системы умножить на столбец свободных членов.

Пример x1 x2 x3 2 x1 x2 x3 3 матричным методом.

Решить систему x x 2 x 1 2 Решение Найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов 1 системы A 2 1 Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:

1 1 1 12 1 1 4 4 12 1 A 2 1 Поскольку 0, то A 1 существует.

1 1 A 11 A 13 1 A 12 B A 21 A 23 1 3 2 ;

B T 5 3 1.

A A A 33 0 1 3 2 31 A 32 1 1 A 5 3 1.

3 2 1 1 0 1 1 1 1 0 A A 5 3 1 2 1 1 0 1 0 E 3 2 1 1 1 2 0 0 Обратная матрица найдена верно.

Найдем решение системы 1 1 0 2 x X x 2 A L 5 3 1 3 2.

x 3 2 1 3 3 Следовательно, x1 1, x2 2. x3 3.

1 2 3 Проверка: 2 1 2 3 3 Система решена верно.

1 2 2 3 Метод Гаусса Этот метод решения систем линейных уравнений пригоден для решения систем с любым числом уравнений и неизвестных.

Суть метода Гаусса заключается в преобразовании заданной системы уравнений с помощью элементарных преобразований в эквивалентную систему ступенчатого треугольного вида. Метод Гаусса является более универсальным. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Полученная система содержит все неизвестные в первом уравнении. Во втором уравнении отсутствует первое неизвестное, в третьем уравнении отсутствуют первое и второе неизвестные и т. д.

Если система совместна и определена (единственное решение), то последнее уравнение содержит одно неизвестное.

Найдя последнее неизвестное, из предыдущего уравнения находим еще одно - предпоследнее.

Подставляя полученные величины неизвестных, мы последовательно найдем решение системы.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений, используемыми для приведения системы к треугольному виду, являются следующие преобразования:

- перестановка местами двух уравнений;

- умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;

- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят данную систему линейных алгебраических уравнений в эквивалентную систему.

Две системы называются эквивалентными, если всякое решение первой системы является решением другой системы и наоборот.

Пример Решить систему методом Гаусса.

x1 x2 x3 2 x1 x2 x3 x x 2 x 1 2 Решение Определитель системы не равен нулю. Поэтому система совместна и определена (решение единственно). Выполним преобразования.

Первое уравнение оставим без изменения. Для того, чтобы избавиться от первого неизвестного во втором и третьем уравнениях, к ним прибавим первое, умноженное на -2 в первом случае и на -1 - во втором x1 x2 x3 x2 x3 2 x 3x 2 Теперь избавимся от второго неизвестного в третьем уравнении. Для этого второе уравнение умножим на -2 и прибавим к третьему.

Получим эквивалентную заданной систему треугольного вида:

x1 x2 x3 x2 x3 x Решаем систему снизу вверх. Из третьего уравнения имеем x3 3 и, подставляя его во второе уравнение, находим x2 2.

Поставив найденные неизвестные в первое уравнение, получим x1 1.

1 2 3 Проверка: 2 2 3 3 Получили три тождества.

1 2 2 3 x1 2 x2 4 x3 Пример Решить систему 2 x1 3 x2 2 x3 3x 7 x 22 x 1 2 Решение 1 2 4 A 2 3 3 7 22 для исключения первого неизвестного во второй и третьей строках (уравнениях) умножим первую строку расширенной матрицы на -2 и -3 и сложим полученные результаты со второй и третьей строками соответственно.

1 2 4 1 1 2 4 0 1 10 3, 0 1 10 0 1 10 1 0 0 0 Следовательно, мы пришли к эквивалентной системе x1 2 x2 4 x3 x2 10 x3 Ее третье уравнение получено в результате сложения двух последних уравнений (строк).

r A 2 r A 3, Найдя мы приходим к выводу, что система несовместна. Об этом же говорит и противоречие в третьем уравнении системы.


x1 x2 2 x3 x4 Пример Решить систему 2 x1 2 x2 4 x3 2 x4 3x 3x 6 x 3x 1 2 3 Решение 2 1 1 A 2 2 4 2 3 6 3 Умножим первую строку расширенной матрицы на 2 и -3, сложим полученные результаты со второй и третьей строками 1 1 2 1 соответственно и получим 0 0 0 0 0.

0 0 0 0 Следовательно, мы пришли к эквивалентной системе, x1 x2 2 x3 x4 0 x1 0 x2 0 x3 0 x4 0 x 0 x 0 x 0 x 1 2 3 которая может быть представлена в виде x1 x2 2 x3 x4 поскольку два последних уравнения - истинные равенства.

r A r A 1 постольку система совместна, Поскольку но имеет множество решений.

Общее решение системы имеет вид x1 1 t 2v s, x2 t, x3 v, x4 s.

Множество частных решений системы будет трехмерным, так как зависит от трех параметров.

t 2, v 1, s 3, получим Выбрав x2 2, x1 6, частное решение системы x3 1, x4 3.

Однородные системы линейных уравнений Системой однородных линейных уравнений называется система вида a11x1 a12 x2 a13 x3 a21x1 a22 x2 a23 x3 a x a x a x 31 1 32 2 33 Ясно, что в этой случае 1 2 3 0, т.к. все элементы одного из столбцов в этих определителях равны нулю.

Так как неизвестные находятся по формулам, 1 2 x y, z 3 то в случае, когда 0,, система имеет единственное нулевое решение x y z 0.

Однако, во многих задачах интересен вопрос о том, имеет ли однородная система решения отличные от нулевого.

Пусть дана система двух однородных уравнений a1 x b1 y c1 z a2 x b2 y c2 z Введем обозначения b1 c1 a1 c1 a1 b 1 2 b2 c2 a2 c2 a2 b i 0, то все решения Если хотя бы один из определителей определяются по формулам x 1 t y 2 t z 3 t где t - произвольное число.

Каждое решение получается при определенном t.

Если все определители равны 0, то система сводится к одному уравнению и имеет бесконечно много решений (двум неизвестным придать произвольное значение, а третье можно найти из уравнения.

31 x 2 y 5 z Пример Решить систему x 2 y 3z Ответ: x 2t, y 7t, z 4t.

Общее решение однородной линейной системы Рассмотрим однородную линейную систему a11x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n.

am1 x1 am 2 x2 amn xn Отметим, что такая система всегда совместна, поскольку имеет нулевое решение x1 x2 xn 0 называемое тривиальным.

Пусть ранг матрицы системы r n.

Предположим, что в базисный минор входят коэффициенты первых r уравнений. Тогда оставшиеся m r уравнений являются линейными комбинациями, то есть следствиями предыдущих.

Поэтому можно оставить в системе только первые r уравнений:

a11x1 a12 x 2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n ar1 x1 ar 2 x 2 ar n xn Оставим в левой части каждого уравнения неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, а остальные неизвестные перенесем направо:

a11x1 a12 x 2 a1r xr a1,r 1 xr 1 a1n xn a21x1 a22 x 2 a2 r xr a2,r 1 xr 1 a2 n xn ar1 x1 ar 2 x 2 arr xr ar,r1 xr 1 arn xn Эта система будет иметь единственное решение относительно неизвестных, xr, выражающее их через x1, x остальные неизвестные, xn, которым можно xr 1, xr придавать любые произвольные значения.

Таким образом, система при r n является неопределенной.

Определение Неизвестные x1, x2, xr коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы, называются базисными неизвестными, а остальные xr 1, xr 2, xn – свободными неизвестными.

Определение Решения системы называются линейно независимыми, если линейная комбинация a1 X 1 a2 X 21 ak X k дает нулевой столбец только при 0.

1 Покажем, что число линейно независимых решений системы равно n – r. Действительно, рассмотрим столбцы вида 1 0 0 ~ 1 ~ ~, X r 2,, X n X r 0 0 содержащие по n r чисел.

Очевидно, что эти столбцы линейно независимы, а любой другой столбец той же размерности является их линейной комбинацией.

Пусть эти столбцы задают значения свободных неизвестных системы.

Тогда базисные неизвестные будут однозначно определяться для выбранных свободных неизвестных из системы по правилу Крамера, и все решения системы, соответствующие наборам свободных неизвестных, образуют n r линейно независимых столбцов, то есть n r линейно независимых решений системы Определение Любые n r линейно независимых решений системы называются ее фундаментальной системой решений.

Замечание Любая линейная комбинация фундаментальной системы решений системы является ее решением.

x1 x 2 x3 x 4 2 x 3 x 4 x 2 x 1 2 3 Пример Решить систему.

3x1 2 x 2 5 x3 3x 4 x1 4 x 2 3x3 x 4 Решение 1 1 1 2 3 Найдем ранг матрицы системы. A 3 2 5 1 4 3 1 1 1 ~ 0 5 2 0.

Преобразуем ее к виду: A 0 5 2 0 5 2 Очевидно, что r A 2.

Пусть x1, x2 - базисные неизвестные, x3, x4 - свободные неизвестные.

Заменим исходную систему системой из первых двух уравнений, коэффициенты которых входят в базисный минор, и перенесем базисные неизвестные в правые части уравнений:

x1 x2 x3 x 2 x1 3x2 4 x3 2 x x3 1,x4 0. Тогда x1 1,4;

x2 0, Пусть x3 0,x4 1, то x1 1,x2 0.

Если Получена фундаментальная система решений.

Теперь общее решение системы можно записать в виде:

X C1 X 1 C2 X 2, где C1 и C 2 – любые произвольные числа.

Контрольные вопросы 1. Привести общий вид системы линейных алгебраических уравнений.

2. В чем особенность однородных систем?

3. Что такое решение системы?

4. Из чего состоят основная и расширенная матрицы системы?

5. Что такое ранг матрицы?

6. В чем состоит суть теоремы Кронекера - Капелли?

7. Каково соотношение между числом неизвестных, числом решений и рангом системы?

8. Что такое свободные неизвестные и когда их вводят?

9. Сформулировать теорему Крамера.

10. Как вычисляются неизвестные матричным методом?

11. В чем заключается идея метода Гаусса?

12. Какие преобразования матриц называются элементарными?

13. Какие системы являются эквивалентными?

14. Как контролируются полученные результаты решения системы?

Задачи для самостоятельного решения Исследовать, имеют ли решения приведенные ниже системы.

В случае наличия решений указать их число. Используя метод Крамера, найти решения систем 1, 2, 6.

x1 2 x2 x3 0 x1 2 x2 x3 1. 2 x1 x2 x3 0. 2. 2 x1 x2 x3 3.

x x 2x 0 x x 2x 1 1 2 3 x1 x2 x3 x4 0 x1 x2 x3 3. x1 x3 x4 1 4. x1 4 x2 2 x3 0.

5 x 2 x x x 2 3x 7 x 3x 1 2 3 4 2 x1 3x2 5 x3 7 x4 9 x5 5. x1 2 x2 3x3 4 x4 5 x5 2 x 11x 12 x 25 x 22 x 1 2 3 4 x1 2 x2 x3 x4 x x 2x x 1 2 3 6..

2 x1 x2 x3 x1 x2 2 x4 Решить системы 2 и 6 матричным методом и системы 2, 4, методом Гаусса.

Ответы к задачам для самостоятельного решения 2t 0 3t ;

2 ;

3. Система несовместна;

4.

1. 0 ;

2.

0 3 5t 5. Система несовместна;

6..

Собственные значения и вектора линейного оператора В электро-радиотехнических устройствах собственные значения матриц определяют характеристические постоянные времени и режимы работы этих устройств. Все это говорит о практической важности задач на нахождение собственных значений.

Определение Ненулевой вектор X, удовлетворяющий соотношению f(X) X называется собственным вектором, а соответствующее число - собственным значением линейного оператора f.

В матричном виде это соотношение можно записать в виде A X X или A E X Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение при условии A E Любой ненулевой вектор-решение есть собственный вектор, соответствующий собственному числу.

Раскрывая этот определитель, получим характеристический многочлен матрицы А.

Определение Уравнение A E называется характеристическим уравнением матрицы А.

Замечание Таким образом, собственные значения матрицы А являются корнями ее характеристического уравнения.

a11 a12... a1n a22...

a21 a2 n A E............

... amn am1 am представляет собой полином (многочлен) n -ой степени от и называется характеристическим полиномом матрицы A.

Легко видеть, что членом, имеющим относительно степень n, будет только произведение элементов главной A E.

диагонали определителя Все остальные члены характеристического определителя будут иметь относительно степень не выше n 2, так как A E, всякий член определителя содержащий множителем элемент aij, не может содержать множителями элементы aii и будет, следовательно, иметь относительно степень не выше n 2.

Для нахождения собственных векторов матрицы Aв A E X векторное уравнение нужно подставить найденные значения x и решать обычным образом.

Замечание Если x - собственный вектор матрицы А, то k x тоже собственный вектор матрицы А, т.к.

A E 0.

Замечание Одному собственному значению может соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов.

Пример Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе 1 матрицей A 1 Решение 1 2 x1 x 1 4 x по определению 2 x 1 x1 2 x2 x1 2 x2 x1 или т.е.

x1 4 x2 x1 4 x2 x2 x - собственный вектор, а это значит, что однородная система уравнений имеет ненулевой решение. Это эквивалентно, определитель системы равен нулю.

1 1 2, 2 3, - собственные значения матрицы А.

т.е.

x1 2 x2, x t 2,1, 1 2 Подставляя в систему x1 2 x2 x t 1,1.

2 3, получаем аналогично Пример Найти собственные значения и собственные 3 1 0 векторы матрицы A 1 1 0.

3 0 5 4 1 3 Решение Вычислим определитель матрицы A 3 1 0 1 0 A E 5 3 4 2 4 4 A E 2 2 Итак, A E Корни характеристического уравнения - это числа x1 2 и x1 2.

Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A подставим найденные значения x в систему при x 2 имеем систему линейных однородных уравнений x1 x2 0 x1 x2 3x1 7 x3 3x4 0 3x1 7 x3 3x4 4 x x 3 x x 0 5 x x 1 2 3 4 x Следовательно, собственному значению отвечают x 8,8, 3,15.

собственные векторы вида x 0,0, 1,1.

x При имеем:

, Свойства собственных чисел и собственных векторов Если выбрать базис из собственных векторов 1.

x1, x2, x3, соответствующих собственным значениям 1, 2, матрицы A, то в этом базисе линейное преобразование имеет матрицу диагонального вида:

1 0 A 0 2 0 0 Если собственные значения преобразования 2.

различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

Если характеристический многочлен матрицы A 3.

имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица A имеет диагональный вид.

Лекция 6 Скалярное произведение векторов Определение Скалярное произведение двух векторов число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

a b a, b a b cosa, b Из определения следует формула для нахождения косинуса угла между векторами:

ab cos ab где - угол между векторами.

Определение Проекция вектора a на вектор b скалярная величина prb a a cos В зависимости от значения угла между векторами, проекция может принимать отрицательные, положительные или нулевое значения.

Теперь можно написать a b = b prb a = a pra b Из определения скалярного произведения следует, что если векторы ортогональны, то ab (условие ортогональности ненулевых векторов), обозначение: a b.

Замечание Проекция вектора на вектор есть число, оно может быть положительным, отрицательным и нулем.

Основные свойства проекций 1. Проекция суммы векторов равна сумме проекций pru a1 a n pru a1 pru a n 2. При растяжении вектора в раз его проекция a растягивается тоже в раз pru a pru a Проекция вектора на ось равна произведению длины 3.

вектора AB на косинус угла между вектором и осью:

x AB cos( AB, e).

Доказательство B B B A B2 A B1 A B A Действительно, пусть ( AB, e).Если, то A1B1 e, поэтому prL AB | A1B1 || A1B 2 | cos | AB | cos.

Если, то A1B1 e, и prL AB | A1B1 | | A1B 2 | cos(180 ) | A1B2 | cos | AB | cos Свойства скалярного произведения a,b = b,a 1.

a,a = a 2.

a + b,c = a,c + b,c 3.

(a, b) (a, b), - вещественное число 4.

5. если a 0,b 0, и a,b = 0, то a b i i = j j = k k = Скалярные произведения ортов i j = jk = k i = Скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями Пусть два вектора заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат a xa i y a j z ak;

b xb i y b j z bk Тогда скалярное произведение a b xa i y a j z ak xb i y b j z bk xa xb i i xa y b i j z a z b k k Помня, что от перестановки сомножителей скалярного произведения результат не меняется, получим i i j j k k 1;

i j i k j k Учитывая эти результаты, найдем a b xa xb y a y b z a z b Скалярное произведение векторов, заданных проекциями в декартовой системе координат, равно сумме произведений одноименных координат.

Замечание Формула справедлива только в ортонормированном базисе.

Косинус угла между векторами определится выражением xa xb y a y b z a z b ab cos xa y a z a xb y b z b ab 2 2 2 2 2.

Контрольные вопросы 1. Дать определение скалярного произведения двух векторов.

2. Какие значения могут получиться в результате скалярного произведения?

3. Перечислите свойства скалярного произведения.

4. Чему равно скалярное произведение вектора самого на себя?

5. Как вычислить скалярное произведение, если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе?

6. Сформулируйте необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов.

7. Как найти угол между векторами?

Задачи для самостоятельного изучения. Зная, что 1. Векторы a и b образуют угол a 3, b 4, вычислить:

1) a b ;

2) a 2 ;

3) b 2 ;

4) a b ;

5) 3a 2b a 2b ;

6) a b ;

7) 3a 2b.

2. Даны векторы a 4;

2;

4, b 6;

3;

2.

Вычислить 1)a b ;

2) a 2 ;

3) b 2 ;

4)2 a 3b a 2 b ;

5)a b 6)a b 2 3. Даны единичные векторы a, b, c, удовлетворяющие условию a b c 0. Вычислить a b b c c a.

4. Даны векторы a, b, c, удовлетворяющие условию a b c 0. Зная, что a 3, b 1, c 4, определить ab bc ca.

5. Известно, что a 3, b 5. Определить, при каком значении k векторы a kb, a kb будут взаимно перпендикулярны.

A 1;

2;

4, 6. Даны вершины треугольника B 4;

2;

0 и C 3;

2;

1. Определить его внутренний угол при вершине B и внешний угол при вершине A.

7. Вычислить проекцию вектора a 5;

2;

5на ось вектора b 2;

1;

2.

8. Найти проекцию вектора d 4;

3;

2 на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

9. Даны векторы a 3;

4, b 3;

4;

2 и 1;

c 1;

1;

4. Вычислить prbc a.

вектору 6, 8, 7,5, 10. Вектор x, коллинеарный образует острый угол с осью OZ. Зная, что длина вектора равна 50, найти его координаты.

Ответы к задачам для самостоятельного изучения 1. 1) -6;

2) 9;

3) 16;

4) 13;

5) -61;

6) 37;

7) 73.

2. 1) 22;

2)6;

3) 7;

4)-200;

5) 129;

6) 41.

3. -3/2.

4. -13.

.

5.

B 450, внешний при 6. Внутренний при вершине A 2700.

7. 6.

8.

9. 5.

10. {-24,32,30}.

Векторное произведение векторов Введем нелинейную операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена.

Определение Упорядоченная тройка векторов называется a, b, c правой, если наблюдателю, находящемуся на конце вектора, кратчайший поворот от a к b кажется происходящим против часовой стрелки.

В противном случае тройка векторов левая.

Пример i jk правая тройка j ik левая тройка Замечание Тройки компланарных векторов не относятся ни к правым, ни к левым Определение Векторное произведение вектора a на вектор b - вектор c a b a, b, определяемый следующим образом:

1) длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т.е.

с a b sin, c b где - угол между векторами a и b ;

2) вектор перпендикулярен c a векторам a и b ;

3) векторы a, b, c после приведения к общему началу образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения a b = -b a ;

1.

a + b c = a c + b c ;

2.

a b = a b ;

a - вещественное число;

3.

a b равен площади параллелограмма, 4.

построенного на векторах a, b ;

если a 0,b 0, и a b = 0, то a || b.

5.

Векторное произведение – момент M = r F или вектор b сила, приложенная к какой-либо точке M, а вектор a идет из точки O в мочку M, то вектор с - момент силы b относительно точки O.

Векторное произведение векторов, заданных своими проекциями в декартовой системе координат Пусть два вектора заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат a xa i y a j z ak;

b xb i y b j z bk;

Найдем векторное произведение a b xa i y a j z ak xb i y b j z bk xa xb i i xa y b i j z a z b k k Помня, что от перестановки сомножителей векторного произведения результат меняет знак, получим i i j j k k 0, i j j i k, j k k j i, k i i k j.

Учитывая эти результаты, найдем a b y a z b z a y b i xa z b z a xb j xa y b y a xb k или i j k a b xa ya za xb yb zb Т.о., вектор, получаемый в результате векторного произведения векторов, заданных своими координатами, получается из определителя, первой строкой которого являются координатные орты, вторая и третья строки состоят, соответственно, из координат первого и второго сомножителей.

Контрольные вопросы по теме «Векторное произведение»

1. Какая тройка векторов считается правой (левой)?

2. Что такое векторное произведение двух векторов?

3. Каков геометрический смысл модуля результата векторного произведения?

4. Как перемножить векторно векторы, заданные своими координатами в декартовой системе координат?

5. В чем состоит условие коллинеарности векторов?

6. Какой вид условие коллинеарности имеет в ортонормированной системе координат Задачи для самостоятельного изучения Определить, какой является тройка векторов a, b, c 1.

(правой или левой), если но мер а б в г д е Векторы aи b образуют угол. Зная, что 2.

a 6, b 5, вычислить a, b.

b 2 и a b 12. Вычислить a, b.

Даны:, a 10, 3.

Векторы a и b взаимно перпендикулярны. Зная, что 4.

a 3, b Вычислить:

a b a b ;

a b а) б) 3a b a 2b.

Векторы a и b образуют угол 5..

Зная, что a 1, b 2, вычислить:

2a b a 2b а) a b ;

б) 2 ;

в) a 3b 3a b.

a 3,1,2 b 1. Найти Даны векторы ;

1,2, 6.

координаты векторных произведений:

а) a b ;

б) 2a b b ;

в) 2a b 2a b.

Даны точки A1,2,0, B3,0,3 и C 5,2,6. Вычислить 7.

площадь треугольника ABC.

Даны вершины треугольника A1,1,2, B5,2,6 и 8.

C 1,3,1. Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины B на сторону AC.

Вектор x, перпендикулярный к векторам a 4,2,3 и 9.

b 0,1,3, образует с осью Oy тупой угол. Зная, что длина x равна 26, найти его координаты.

Ответы к задачам для самостоятельного изучения 1. а) правая;

б) левая;

в) левая;

г) правая;

д) векторы компланарны;

е) левая.

2. 15.

3. 16.

4. а) 24, б) 60.

5. а) 3;

б) 27;

в) 300.

6. а) {5,1,7};

б) {10,2,4};

в) {20,4,28}.

7. 14.

8. 5.

9. {-6,-24,8}.

Смешанное произведение векторов Определение Смешанное произведение трех векторов a, b, c - число a, b, c a b c.

Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.