авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ...»

-- [ Страница 2 ] --

Пусть правая тройка a, b, c векторов.

Действительно, объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, равен площади a, b c cos.

основания на высоту Здесь - угол между векторами d = a,b и c.

Замечание Знак смешанного произведения совпадает со cos, и поэтому смешанное произведение знаком положительно, когда тройка векторов правая, и отрицательно, если тройка векторов левая.

Если перемножаемые векторы лежат в одной плоскости ( cos 0 ), то a, b, c - необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Пусть векторы заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат a xa i y a j z ak;

b xb i y b j z bk;

c xc i y c j z ck Известно, что a b y a z b z a y b i xa z b z a xb j xa y b y a xb k Скалярно умножим этот вектор на вектор c и, учитывая свойства скалярного произведения, получим a b c y a z b z a y b xc xa z b z a xb y c xa y b y a xb z c Это выражение может быть получено при вычислении определителя xa ya za a b c xb yb zb xc yc zc по элементам третьей строки, исходя из правила вычисления определителя.

abc abc cab Поэтому смешанное произведение трех векторов обозначают как a, b, c, не подчеркивая при этом, какая пара векторов умножается векторно.

Свойства смешанного произведения 1. a b c b c a c a b 2. При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак 3. Смешанное произведение обращается в нуль, если хотя бы один из перемножаемых векторов два из векторов коллинеарны три – компланарны.

Вычисление смешанного ax ay az 4.

произведения abс b x by bz cx cy cz.

5.Объем пирамиды равен v abс одна шестая объема параллелепипеда, построенного на ее сходящихся в одной вершине ребрах.

6. Вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

Лекция 7 Плоскость в пространстве R Изучение геометрических объектов с помощью метода координат начнем с простейших поверхностей и линий, а именно: плоскостей и прямых. Поверхности первого порядка – плоскости. В зависимости от выбора параметров, определяющих положение плоскости, получаем несколько видов уравнений плоскости.

Теорема Всякая плоскость в пространстве определяется линейным уравнением Ax By Cz D Уравнение называют общим уравнением плоскости Действительно, пусть в пространстве R3 задана плоскость P.

Выбираем на P какую-либо точку M 0 ( x0, y0, z0 ), и в некоторой точке плоскости построим P n A, B, C, перпендикулярный плоскости ненулевой вектор P.

Для того, чтобы произвольная точка M ( x, y, z ) пространства принадлежала плоскости P, необходимо и достаточно, чтобы M0M n, т.е n r - r0 - уравнение называется векторным уравнением плоскости.

n A, B, C и r - r0 x x0, y y0, z z0, Т.к.

то скалярное произведение можем заменить через координаты сомножителей, а именно:

A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) - уравнение называют - уравнением плоскости, проходящей через заданную точку M 0 ( x0, y0, z0 ).

Отметим, что вектор n A, B, C называют нормальным вектором плоскости и в качестве нормального вектора плоскости может быть взят любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости.

Легко доказывается и обратное:

Ax By Cz D 0 и нужно Дано уравнение R3.

убедиться, что оно описывает плоскость в пространстве Пусть ( x0, y0, z0 ) - какое-либо решение данного уравнения.

Ax0 By0 Cz0 D 0. Отсюда получаем Тогда D Ax0 By0 Cz0 и, подставляя в исходное уравнение, получаем: Ax By Cz Ax0 By0 Cz0 0, A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0.

Или а это есть уравнение плоскости, проходящей через точку A, B, C.

и имеющую нормальный вектор n ( x0, y0, z0 ) Следовательно, и равносильное ему уравнение Ax By Cz D 0 определяет плоскость.

Теорема доказана.

Рассмотрим важный частный случай построения уравнения плоскости, когда известны три точки M1 ( x1, y1, z1 ), принадлежащие плоскости и M 2 ( x2, y2, z2 ), M 3 ( x3, y3, z3 ) не лежащие на одной прямой.

Возьмем текущую точку M ( x, y, z ) плоскости и организуем три вектора M1M2 x2 x1, y2 y1, z2 z M1M3 x3 x1, y3 y1, z3 z M1M x1 x, y1 y, z1 z Эти векторы лежат в одной плоскости, уравнение которой и определяется. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю, то есть x x1 y y1 z z M1M M1M 2 M1M 3 x2 x1 y2 y1 z2 z1 x3 x1 y3 y1 z3 z есть уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M 1, M 2, M 3.

При решении задач часто используется так называемое уравнение плоскости в отрезках на осях.

Пусть в общем уравнении плоскости Ax By Cz D 0, A B C D 0.

Перенесем свободный член D в правую часть и разделим обе части уравнения на -, D тогда получим:

xyz abc D D D a,b,с где.

С A B Уравнение называют уравнением плоскости в отрезках на осях, т.к. числа a, b, c имеют простой геометрический смысл:

a - абсцисса точки пересечения плоскости с осью Ox, b ордината точки пересечения плоскости с осью Oy, с аппликата точки пересечения плоскости с осью Oz.

Действительно, точка пересечения плоскости с осью, скажем, Ox имеет ординату y 0 и аппликату z 0. Но x,0, координаты этой точки должны удовлетворять Ax B 0 C 0 D уравнению плоскости, т.е.

D x Отсюда получаем.

A Рассмотрим особенность расположения плоскости, заданной общим уравнением, если некоторые коэффициенты этого уравнения обращаются в нуль.

A 0, By Cz D 0 - плоскость параллельна оси Ox B 0, Ax Cz D 0 - плоскость параллельна оси Oy Ax By D 0 - плоскость параллельна оси Oz C 0, D 0, Ax By Cz 0 - плоскость проходит через начало координат.

A 0, B 0, Cz D 0 плоскость параллельна плоскости OXY B 0, C 0, Ax D 0 - плоскость параллельна плоскости OYZ A 0, C 0, By D 0 плоскость параллельна плоскости XOZ D 0, C 0, Ax By 0 плоскость проходит через координатную ось Oz D 0, B 0, Ax Cz 0 - плоскость проходит через координатную ось Oy D 0, A 0, By Cz 0 - плоскость проходит через координатную ось Ox D 0, A 0, B 0 - z 0 плоскость XOY D 0, C 0, B 0 - x 0 плоскость YOZ D 0, A 0, C 0 y 0 плоскость XOZ Замечание Если плоскость параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.

Пример Найти уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки A2,3, 1, B 1,2, Решение По условию уравнение плоскости имеет вид Ax By D 0 (*) - плоскость параллельна оси Oz.

Подставим координаты заданных точек в (*), получим 2 A 3B D A t,B 3t,D 7t, или как решение A 2 B D системы двух уравнений с тремя неизвестными, подставляя в (*), получаем x 3 y 7 Нормальное уравнение плоскости Пусть дана плоскость, проведем через начало координат прямую, перпендикулярно к плоскости – эта прямая нормаль, точка P – точка в которой прямая пересекает плоскость.

На нормали введем положительное направление от точки О к точке P,,, - углы, которые составляют направленная нормаль с осями координат, p - длина отрезка OP.

cos x cos y cos z p нормальное уравнение плоскости где A B cos cos A2 B 2 C 2 A2 B 2 C С D cos p A B C A2 B 2 C 2 2 Знак "плюс" или знак "минус" выбирается так, чтобы p 0.

Углы,, - это углы между вектором нормали n и осями координат соответственно.

Замечание В нормальном уравнении прямой сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах должна быть равна 1, а свободный член должен быть отрицателен.

Умножим общее уравнение на множитель Ax By Cz D A cos, B cos, C cos D p, Возведем первые три уравнения в квадрат и сложим 2 A2 B 2 C 2 1,отсюда, - нормирующий множитель.

A B C 2 2 Из уравнения D p, следует, что знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения.

Для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду обе части его умножают на нормирующий множитель, знак выбирают противоположный знаку свободного члена в общем уравнении плоскости.

Если D 0 знак выбирается произвольно.

Расстояние от точки до плоскости Определение Отклонением точки M * от данной плоскости называется число d, если M * лежит по ту сторону от плоскости, куда идет положительное направление нормали, и d, если M * лежит с другой стороны от данной плоскости. d.

d, когда точка M * и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и d, когда точка M * и начало координат лежат по одну сторону от плоскости, для точек лежащих на плоскости.

Чтобы найти отклонение какой-либо точки M * от некоторой прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки M *.

x* cos x* cos x* cos x* cos y* cos z* cos p d от точки x0,y0,z0 до плоскости Расстояние Ax By Cz D 0 определяется по формуле Ax 0 By 0 Cz 0 D d A2 B 2 C Пример Дана плоскость 3x 4 y 1z 14 0 и точка M 4,3,1. Найти отклонение точки от плоскости.

Решение 3 4 4 3 12 1 14 1 точка, 13 удалена от плоскости на расстояние 2.

Взаимное расположение двух плоскостей Угол между двумя плоскостями Линейный угол, являющейся мерой двугранного угла между плоскостями, равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям.

Для двух плоскостей, заданных уравнениями A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 направления перпендикуляров к ним совпадают с направлениями векторов N1 A1, B1, C1, N 2 A 2, B 2, C2.

Определение Углом между плоскостями называется угол между их нормальными векторами N1 и N 2, то есть 1 2 N1 N Поэтому угол между векторами равен углу между их нормальными векторами N1 N cos N1 N или A1 A2 B1 B2 C1 C cos A12 B12 C12 A2 B2 C 2 2 Угол между двумя плоскостями, точнее, один из двух смежных углов между двумя плоскостями, может быть вычислен как угол между нормальными векторами этих плоскостей.

Условие параллельности двух плоскостей Пусть даны две плоскости A1 x B1 y C1 z D1 A1 x B1 y C1 z D2 Данные плоскости параллельны, когда их нормальные векторы N1 A1, B1, C1, N A, B, C коллинеарны.

2 A2 B C 2 A B1 C Условие перпендикулярности двух плоскостей Данные плоскости перпендикулярны, когда их нормальные N1 A1, B1, C1, N2 A2, B2, C2, векторы перпендикулярны.

Условие перпендикулярности двух плоскостей A A2 B1 B2 C1C2 0.

Контрольные вопросы по теме «Плоскость»

1. Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение.

2. Написать общее уравнение плоскости 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Объяснить смысл величин, входящих в это уравнение.

4. Как вычислить угол между плоскостями?

5. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Задачи для самостоятельного изучения 1. Построить плоскости:

а) 5x 2 y 3z 10 0, б) 2 z 7 0, в) 3x 2 y z 0, г) 3x 2 y 6 0.

2. Построить плоскость 2 x 3 y 6 z 12 0 и найти углы нормали к плоскости с осями координат.

3. Даны точки M 10,1,3 и M 21,3,5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 и перпендикулярной к вектору M 1M 2.

4. Написать уравнение геометрического места точек, 3 равноудаленных от точек A 3;

,3 и В ( 0;

0 ).

2 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку М1 (0;

- 2;

3).

6. Найти угол между плоскостями:

а) x 2 y 2 z 8 0 и x z 6 0, б) x 2 z 6 0 и x 2 y 4 0, в) x 3z 8 0 и 2 x 6 z 7 0, г) 2 x 3 y z 3 0 и x y z 5 0.

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 1,1,2 и перпендикулярной к плоскостям x 2 y x 4 0 и x 2 y 2z 4 0.

8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M 1 1,2,0 и M 21,1,2 и перпендикулярной к плоскости x 2 y 2 z 4 0.

9. Найти расстояние от точки M 5,1,1 до плоскости x 2 y 2z 4 0.

10. Найти расстояние точки M 4,3,0 от плоскости, проходящей через точки M 11,3,0, M 24,1,2 и M 33,0,1.

11. Найти расстояние между параллельными плоскостями 4 x 3 y 5z 12 0 и 4 x 3 y 5z 8 0.

12. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 2 x y 3z 6 0 и x 2 y z 3 0 и через точку M 1,2,4.

13. Найти точку пересечения плоскостей 2 x y 3z 9 0, x 2 y 2 z 3 0, 3x y 4 z 6 0.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M 10,5,0, M 20,0,2 и перпендикулярной к плоскости x 5 y 2 z 10 0. Построить ее.

Ответы к задачам для самостоятельного изучения 2 3 cos, cos, cos ;

1.

7 4 x 4 y 2z 2 0 ;

2.

x y z 3 0;

3.

3 y 2z 0 ;

4.

а) 450, б) 78030, в) 0 0, г) 90 0 ;

5.

2x 3 y 4z 3 0 ;

6.

2x 2 y z 2 0 ;

7.

8. 3;

6;

9.

10. 2 2;

11. x 8 y 9 z 21 0 ;

12. 1,1,2 ;

13. 2 y 5z 10 0.

Лекция 8 Прямая линия Прямая линия – простейшая из кривых на плоскости. Задав на плоскости систему координат, можно положение любой прямой на координатной плоскости определять различными способами, т.е. при помощи различных параметров.

В зависимости от выбора этих параметров, определяющих положение прямой на плоскости, получаем несколько видов уравнений прямой.

Ax By C 0 - общее уравнение прямой.

C A 0, B 0 By C 0, y прямая параллельна B оси OX C B 0, A 0, Ax C 0, x прямая параллельна A оси OY A C 0, B 0, Ax By 0, y – прямая проходит через B начало координат.

A C B 0, то y x B B C 0, A 0, By 0, или y 0 - уравнение оси OX, C 0, B 0, Ax 0, или x 0 - уравнение оси OY.

Замечание Если прямая параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом Определение Угловой коэффициент прямой – тангенс угла наклона прямой к оси OX, угол отсчитывается от оси OX к прямой против часовой стрелки.

k tg 0, то k 0 - прямая параллельна оси OX,, то k, прямая перпендикулярна оси OX, не имеет углового коэффициента.

Возьмем произвольные две точки M 1 x1,y1, M 2 x2,y2, тогда угловой коэффициент находим y 2 y k.

x2 x Каждая прямая, не перпендикулярная к оси ОХ, определяется уравнением y kx b b 0, то y kx - прямая, проходит через начало координат и имеет угловой коэффициент k.

Выясним геометрический смысл коэффициентов k и b.

Рассмотрим вектор S B, A, очевидно, что он направлен вдоль прямой, т.к.

n S A B B A поэтому вектор S B, A называют направляющим вектором прямой.

Найдем точку M 0 пересечения прямой с осью ординат.

Так как абсцисса точки M 0 равна нулю, то ее ордината равна b, т.е. M 0 0, b.

Обозначим через угол между вектором S и осью Ox.

proxS S cos B, proy S S cos S sin A, A Тогда tg, т.е. k tg.

B Таким образом, k есть тангенс угла между заданной прямой и осью абсцисс, а свободный член b есть ордината точки пересечения прямой с осью ординат.

Число k называют угловым коэффициентом прямой, а b начальной ординатой.

Уравнение y kx b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Очевидно, что уравнением прямой с угловым коэффициентом можно описать любые прямые, кроме прямых, параллельных оси ординат, которые описываются уравнением x a, где a const.

Уравнение прямой проходящей через одну точку с угловым коэффициентом Пусть точка M x,y лежит на прямой, которая проходит через точку M 1 x1,y1, y y тогда k, или x x y y1 k x x уравнение прямой проходящей через одну точку с заданным угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Возьмем произвольные две точки M 1 x1,x2, M 2 x2,y2, тогда y 2 y угловой коэффициент находим k x2 x или, используя уравнение прямой проходящей через одну точку с заданным угловым коэффициентом, имеем y2 y x x y y x2 x или, преобразуя, y y1 x x.

y2 y1 x2 x уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Уравнение пучка прямых с центром в точке Mx 0, y Иногда уравнение пучка прямых записывают в виде A1 x B1 y C1 2 x B2 y C2 где A1 x B1 y C1 0, A2 x B2 y C2 0 - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке.

Угол между двумя прямыми Рассмотрим две прямые с угловыми коэффициентами 2 1, тогда tg 2 tg tg tg 2 1, 1 tg1 tg Но, учитывая tg1 k1, tg 2 k 2, имеем k 2 k tg 1 k1 k A1 A Так как k1, k 2 2, то, преобразуя, будем иметь B B A1 B2 A2 B tg A1 A2 B1 B При решении задач аналитической геометрии важно знать являются ли прямые параллельными, или они перпендикулярны друг другу.

Прямые параллельны, если tg1 tg 2 - углы наклона к оси ОХ одинаковы или A1 B k1 k 2, - условие параллельности двух прямых A2 B Прямые перпендикулярны, если угол между ними, т.е.

если 1 k1 k 2 0, или k k 1 - условие перпендикулярности A2 B или B1 A или A1 A2 B1 B2 0 условие перпендикулярности.

Замечание угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Пример Выяснить расположение прямых на плоскости y 2 x 1 и y 2 x 5 - параллельные прямые y 2 x 1, y x 1 - прямые перпендикулярные друг другу.

Уравнение в отрезках Пусть дано уравнение Ax By C где A 0, B 0, С преобразуем Ax By C или A B x y C C или x y C C A B, C C Вводя обозначения a, b, получим A B xy 1 - уравнение в отрезках.

ab Геометрический смыс уравнения в отрезкахл:

a,b - отрезки, которые отсекает прямая от начала координат.

Нормальное уравнение прямой Пусть дана прямая, проведем через начало координат прямую, перпендикулярно к данной – нормаль, точка Р – точка пересечения данной прямой с нормалью, угол от оси ОХ до направления нормали, p - расстояние от начала координат до прямой.

x cos y sin p 0 - нормальное уравнение прямой где A B C cos, sin p,.

A B A B A B 2 2 2 2 Знак "плюс" или знак "минус" выбирается так, чтобы p 0.

Здесь - угол между вектором нормали n и осью Ox Замечание В нормальном уравнении прямой сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах должна быть равна 1, а свободный член должен быть отрицателен.

Определение Отклонением точки M * от данной прямой называется число d, если M * лежит по ту сторону прямой, куда идет положительное направление нормали, и d, если M * лежит с другой стороны от данной прямой. d d, когда точка M * и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и d, когда точка M * и начало координат лежат по одну сторону от прямой, 0 для точек лежащих на прямой.

Чтобы найти отклонение какой-либо точки M * от некоторой прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки M *.

x* cos y* sin p.

Расстояние от точки до прямой Приведем общее уравнение прямой к нормальному виду Ax By C x cos y sin p оба уравнения определяют одну и ту же прямую, следовательно, коэффициенты этих уравнений пропорциональны.

Умножим общее уравнение на множитель Ax By C A cos, B sin, A p Возведем первые два уравнения в квадрат и сложим A 2 B 2 отсюда, - нормирующий множитель.

A B Из третьего уравнения A p, следует, что знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения.

Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду обе части его умножают на нормирующий множитель, знак выбирают противоположный знаку свободного члена в общем уравнении прямой.

Расстояние от точки до прямой равно модулю отклонения этой точки d Ax0 By 0 C d A2 B Чтобы определить расстояние от точки до прямой, нужно привести уравнение к нормальному виду, взяв левую часть полученного уравнения и подставить в нее вместо текущих координат координаты данной точки. Абсолютная величина полученного числа и даст искомое расстояние.

Пример Найти расстояние от точки A7,3 до прямой, заданной уравнением 3x 4 y 15 0.

Решение A2 B 2 9 16 25, C 15 0, поэтому нормирующий множитель равен, и нормальное уравнение прямой имеет вид:

3 x y 3 5 Подставив в его левую часть вместо x и y координаты точки A, получим, что ее отклонение от прямой равно 7 3 3 4,8.

3 5 Следовательно, расстояние от точки A до данной прямой равно 4,8.

Контрольные вопросы 1. Напишите известные виды уравнений прямой на плоскости и объясните смысл величин, входящих в эти уравнения.

2. Как вычислить угол между двумя прямыми?

3. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Задачи для самостоятельного решения 1. Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная е угловой коэффициент k и отрезок " b ", отсекаемый ею на оси Oy : а) k, b 3 ;

б) k 3, b 0 ;

в) k 0, b 2 ;

г) k, b 3.

2. Дана прямая 2 x 3 y 4 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 2,1 : а) параллельно данной прямой;

б) перпендикулярно к данной прямой.

3. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 2 x 3 y 5 0, 3x 2 y 7 0 и одна из его вершин A2;

3. Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

4. Даны уравнения двух сторон прямоугольника x 2 y 0, и уравнение одной из его диагоналей 7 x y 15 0. Найти вершины прямоугольника.

P 8;

12 на прямую, 5. Найти проекцию точки проходящую через точки A2;

3 и B 5;

1. Найти M 28, точку М1, симметричную точке относительно прямой, проходящей через точки A3, и B 1,2.

6. Даны середины сторон треугольника M 12,1, M 25, и M 33,4. Составить уравнения его сторон.

7. Даны вершины треугольника М1 ( 2;

1), М2 ( - 1;

- 1 ) и М3 ( 3;

2 ). Составить уравнения его высот.

8. Даны вершины треугольника А ( 1;

- 1 ), В ( - 2;

1 ) и С ( 3;

5 ). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

9. Определить угол между двумя прямыми:

а) 5x y 7 0, 3x 2 y 0;

;

б) 3x 2 y 7 0, 2 x 3 y 3 0 ;

в) x 2 y 4 0, 2 x 4 y 3 0 ;

г) 3x 2 y 1 0, 5x 2 y 3 0.

Даны уравнения сторон треугольника 3x 4 y 1 0, 10.

x 7 y 17 0, 7 x y 31 0. Доказать, что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника.

В треугольнике АВС даны: уравнение АВ 11.

AB 5x 3 y 2 0, уравнения высот AM 4 x 3 y 1 0 и BN 7 x 2 y 22 0. Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.

Составить уравнения сторон треугольника, если даны 12.

одна из его вершин В (- 4;

- 5) и уравнения двух высот 5x 3 y 4 0 и 3x 8 y 13 0.

Определить, при каких значениях " a " и " b " две прямые 13.

ax 2 y 1 0, 6 x 4 y b 0 : а) имеют одну общую точку;

б) параллельны;

в) совпадают.

Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой 14.

3x 4 y 12 0 от координатного угла.

Составить уравнение прямой, которая проходит через 15.

точку Р (2;

3) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый отрезок от начала координат.

Ответы к задачам для самостоятельного решения 1. а) 2 x 3 y 9 0, б) 3x y 0, в) y 2 0, г) 3x 4 y 12 0 ;

2. а) 2 x 3 y 7 0, б) 3x 2 y 4 0 ;

3. 3x 2 y 4 0 ;

4. (2;

1), (4;

2), (- 1;

7), (1;

8);

5. (- 12;

5);

6. M 110;

5 ;

7. 3x 2 y 0 ;

8. 2 x 3 y 13 0 ;

9. 7 x 2 y 12 0;

10. a) 5x y 28 0, б) 2 x 3 y 18 0, в) 0, г) 4 x 3 y 11 0 ;

x y 2 0 CA: 3x 2 y 13 0, CN:

11. BC:

4x y 3 12.

, б) при a 3 и arctg, в) при a 3 и 13. а) при b 2;

14. 6;

16;

3x 4 y 22 Лекция 9 Прямая линия в пространстве Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Прямую линию можно определить как геометрическое место точек, принадлежащих одновременно двум непараллельным плоскостям.

Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей Пусть уравнения плоскостей P1 и P2 заданы, тогда система уравнений A1 x B1 y C1 z D1 A2 x B2 y C2 z D2 определяет прямую линию, и систему называют общим уравнением прямой линии.

Прямая линия будет полностью определена, если на ней фиксировать точку M 0 x0, y0, z0 и вектор S m,n, p, параллельный этой прямой. Точку M иногда называют начальной точкой, а вектор S направляющим вектором прямой.

Определение Каждый, не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Любой из направляющих векторов задает направление прямой a l, m, n.

Параметрическое уравнение прямой Пусть r0 - радиус-вектор начальной точки M 0, r - радиус вектор текущей точки M прямой.

Тогда вектор M 0 M r r 0 коллинеарен направляющему вектору прямой S, следовательно, r r0 M 0M t S, где t - некоторое число, называемое параметром.

Уравнение называется векторным параметрическим уравнением прямой.

Если r x, y, z, r0 x0, y 0, z0, S m,n,p, то можно перейти к уравнения в координатном виде:

x x0 mt y y0 nt.

z z pt - параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку M 0 x0,y0,z0 в направлении вектора a l, m, n.

Изменяя значения t, можно получить координаты любой точки, лежащей на прямой.

Каноническое уравнение прямой Преобразуем параметрические уравнения к следующему x x m t y y t.

виду n z z p t Отсюда x x0 y y 0 z z.

m n p Уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Углы, образуемые прямой с осями координат, находят по формулам l m cos, cos, l m n l m2 n 2 2 2 n cos.

l 2 m2 n Уравнение прямой, проходящей через две точки В качестве направляющего вектора рассмотрим вектор a M1M 2, отсюда l x2 x1, m y2 y1, n z2 z x x1 y y1 z z x2 x1 y2 y1 z 2 z Переход от общих уравнений прямой к каноническим Чтобы перейти от общих уравнений прямой к каноническим, нужно найти какую-либо точку M1(x1,y1,z1) на прямой.

Пусть прямая L задана общим уравнением A1 x B1 y C1 z D A2 x B2 y C2 z D2 Координаты точки M1(x1,y1,z1) находятся как решение системы уравнения, задав одной из координат произвольное значение.

За направляющий вектор s можно взять вектор произведения нормальных векторов.

N1 A1, B1, C1 и N 2 A 2, B 2, C 2 :

i j k s N1 N 2 A 1 B1 C A2 B2 C Пример Уравнение прямой задано в общем виде x y z. Необходимо записать уравнение прямой в 2x y 4x 5 каноническом виде.

Решение Для записи уравнений нужно знать координаты какой-либо точки M 0 на прямой и координаты какого-либо направляющего вектора S прямой. Находим координаты точки M 0 x0,y0,z0.

Для этого одну из координат задаем произвольно (так, чтобы оставшаяся система двух уравнений с двумя неизвестными имела единственное решение), скажем, z 0 0.

После этого решаем систему относительно x0 и y x0 y0 0 4 0 1, M 0 ;

;

0.

2 x0 y0 4 0 5 0 Для определения вектора S нам нужны координаты еще одной точки M 1 на прямой, тогда в качестве направляющего вектора можно взять вектор M 0 M1.

Для вычисления координат берем, M например z1 1, а x1 и y1 находим из решения системы x1 y1 1 4 0 2, M ;

;

1.

2 x1 y1 4 1 5 0 3 Тогда S M0 M1 1;

4 ;

1.

Канонические уравнения прямой имеют вид x y 3 z 1 Один из направляющих векторов можно было найти и как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, т.е.

i j k S1 n1 n2 1 1 1.

2 1 Пример Даны канонические уравнения прямой x 1 y 1 z. Необходимо перейти к общим уравнениям.

1 2 Решение Записываем данные уравнения в виде системы x 1 y 2 x 2 y 1 2 x y 1 1,,.

x 1 z 3 x 1 z 3 x z 4 Последняя система и дает ответ.

Взаимное расположение прямых в пространстве Определение Углом между двумя прямыми в пространстве будем называть любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным прямым.

Следовательно, угол между двумя прямыми - это угол между их направляющими векторами, т.е.

S1 S2 m1m 2 n1n 2 p1p cos S1 S2 m1 n 1 p1 m 2 n 2 p 2 2 2 2 Условие перпендикулярности двух прямых - это условие перпендикулярности их направляющих векторов:

S1 S2 m1m2 n1n 2 p1p 2 0, Условие параллельности двух прямых - это условие параллельности (коллинеарности) их направляющих векторов:

m1 n1 p m2 n2 p Замечание Выделим особо тот частный случай, когда одна из плоскостей в системе есть плоскость Oxy, и, следовательно, рассматриваемая прямая лежит в координатной плоскости Oxy. В этом случае система может быть записана в z виде:.

Ax By D Рассмотрим вектор n A, B,0. Он расположен в плоскости Oxy, перпендикулярен к плоскости Ax By D и, следовательно, перпендикулярен к прямой, определяемой системой.

Поскольку далее будем рассматривать только точки плоскости Oxy, то третьи координаты точек и векторов не будем записывать, всегда подразумевая, что они равняются нулю. Как уже отметили, уравнению Ax By D 0 в z плоскости соответствует прямая. Поэтому в аналитической геометрии на плоскости уравнение Ax By D называют общим уравнением прямой.

Замечание Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox. Тогда направляющий вектор прямой s перпендикулярен Ox, и, m 0.

Следовательно, параметрические уравнения прямой примут x x1, вид y y1 tn, z z tp.

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде x x1 0, y y1 z z np.

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде x x1 y y1 z z.

0 n p Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям xx y y1 z z 0 0 p соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz.

Пример Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M 11;

0;

параллельно вектору s 2i 3j.

Решение x 1 z y Канонические уравнения:.

2 x 2t 1, Параметрические уравнения: y 3t, z 2.

Пример Найдите точку, симметричную данной x 0.5 y 1.5 z 1. M 0;

3;

2 относительно прямой.

0 Решение Составим уравнение плоскости перпендикулярной l.

n s 0,1,1.

: 0x 0 y 3 z 2 Следовательно, или y z 1 0.

Найдм точку пересечения прямой l и :

x 0.5, x 0.5 y 1.5 z 1.5 y t 1.5, t, 0 z t 1.5, y z 1 0.

t 1.5 t 1.5 1 0.

x 0.5, y 0.5, z 0.5, t 1.

Итак, N 0.5;

0.5;

0.5.

Пусть искомая точка M 1 имеет координаты M 1x, y, z.

MN NM1,, т.е.

Тогда очевидно равенство векторов 0.5;

2.5;

2.5 x 0.5;

y 0.5;

z 0.5. Откуда x 1, y 2, z или M 11;

2;

3.

Задачи для самостоятельного решения 1. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 2;

0;

3 параллельно: а) вектору x 1 y 2 z a 2;

3;

5,, б) прямой, в) оси 5 Ox.

2. Написать канонические и параметрические уравнения x 2 y 3z 4 прямой.

3x 2 y 5 z 4 3x 2 y z 1 3. Спроецировать прямую на 2 x 3e 2 z 2 плоскость x 2 y 3z 5 0.

4. Через точку М (2;

- 3;

1) провести прямую, 2 y z 1 перпендикулярную прямым и 2 x y 4 z 2 3x 2 z 6.

x y 3z 3 5. В плоскости XOZ найти прямую, перпендикулярную к x 2 y 1 z прямой и проходящую через начало 3 координат.

x 2z 1 6. Найти угол между прямой и прямой, y 2z 1 проходящей через начало координат и через точку M 1;

1;

1.

7. Написать уравнения прямой, проходящей через точку x 2 y z 4 M 4;

3;

0 и параллельной прямой 2 x y z 8. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки M 2;

3;

4 на ось OY.

9. Через точку M 2;

5;

3 провести прямую:

а) параллельную оси OZ;

x 1 y 2 z б) параллельную прямой ;

4 2 x y 3z 1 в) параллельную прямой.

5 x 4 y z 7 10. Проверить, пересекаются ли прямые:

x 1 y 7 z 5 x 6 y 1 z ;

а) и 2 2 1 4 4 x z 1 0 3x y z 4 б) и.

x 2 y 3 0 y 2z 8 Ответы к задачам для самостоятельного изучения x2 z 3 x2 y z y 1. а), б), 2 5 2 2 x2 y z в) ;

1 0 x 2t x 2 y 1 z, y 7t 1 ;

2.

2 7 z 4t x 8 y 5z 3 3. ;

x 2 y 3z 5 x 2 y 3 z ;

4.

34 xy z 5. ;

1 0 6. cos ;

x 4 y 3 z ;

7.

4 3 x2 y 3 z 8. ;

2 0 x 2 0 x 2 y 5 z 9. а), б), y 5 0 4 x 2 y 5 z в) ;

11 17 10. а) да, б) да.

Лекция 10 Взаимное положение прямой и плоскости Углом между прямой и плоскостью Пусть плоскость (Р) задана уравнением Ax By Cz D а прямая L - своими каноническими уравнениями x x0 y y 0 z z m n p Требуется найти угол между прямой и плоскостью.

Определение Углом между прямой и плоскостью назовем угол между прямой и ее проекцией на плоскость Тогда угол между прямой и плоскостью не превышает.

Пусть n - нормальный вектор плоскости, а S направляющий вектор прямой.

sin, то Т.к. cos 2 nS Am Bn Cp sin nS A 2 B 2 C2 m 2 n 2 p Поставим задачу определить координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Поскольку точка пересечения одновременно принадлежит и прямой и плоскости, то ее координаты x, y, z удовлетворяют x x0 y y0 z z системе уравнений m n p.

Ax By Cz D Запишем параметрические уравнения прямой x x0 mt, y y0 nt, z z0 pt.

Координаты точки пересечения x, y, z, найденные из уравнений прямой, должны удовлетворять уравнению плоскости, т.е.

Ax0 mt B y0 nt C z0 pt D 0.

Отсюда находим значение параметра t для точки пересечения Ax0 By0 Cy0 Cz t Am Bn Cp и затем с помощью параметрических уравнений прямой вычисляем координаты точки пересечения x, y, z. Возможны случаи:

Если Am Bn Cp n S 0, то прямая и плоскость имеют точку пересечения Am Bn Cp n S 0 и Если Ax0 By0 Cz0 D 0, то прямая параллельна плоскости, но не принадлежит плоскости.

Am Bn Cp n S 0 и Если Ax0 By0 Cz0 D 0, то прямая параллельна плоскости и точка x0, y0, z0 прямой удовлетворяет уравнению плоскости, т.е. прямая принадлежит плоскости.

Условие параллельности прямой и плоскости векторы a l, m, n и N A, B, C должны быть перпендикулярны Al Bm Cn -условие параллельности прямой и плоскости.

Пример Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую 3x 2 y 5 z 6 x 4 y 3z 4 x 1 y 5 z и параллельно прямой.

3 Решение Составим уравнение пучка плоскостей 3 x 2 y 5 z 6 x 4 y 3 z 4 или 3 x 2 4 y 5 3 z 6 4 используем условие параллельности прямой и плоскости Al Bm Cn имеем 33 22 4 35 3 1,имеем 4 x 6 y 8z 10 0.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости Векторы a l, m, n и N A, B, C должны быть параллельны ABC lmn -условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Пример Написать каноническое уравнение прямой, K 3;

7;

7 перпендикулярно проходящей через точку L 6;

2;

2, M 1;

5;

5, плоскости, содержащей точки N 2;

3;

1.

Решение За вектор нормали плоскости, проходящей через точки L, M, N, можно взять вектор, коллинеарный вектору LM LN :

LM 7i 7j 3k, LM 8i j 3k, i j k 3 18i 45j 63k 92i 5j 7k LM LN 7 8 1 n 2i 5j 7k Вектор нормали к плоскости является направляющим вектором прямой S, проходящей через току K перпендикулярно плоскости L M N :

x 3 y 7 z S:

2 каноническое уравнение прямой.

x3 y 7 z Ответ 2 Пример Написать общее уравнение плоскости, L 3;

2;

проходящей через точку и прямую x5 y 6 z 4 Решение По условию прямая проходит через точку M 5;

6;

9 в направлении вектора s 4i 4 j k. Чтобы найти вектор нормали плоскости, необходимо найти вектор LM 8i 8j 18k, а затем векторное произведение i j k 1 80i 64 j 64k 165i 4 j 4k s LM 4 8 n 5i 4 j 4k Следовательно, вектор нормали плоскости.

Тогда 5x 3 4 y 2 4z 9 0, 5x 4 y 4 z 0 общее уравнение плоскости.

Ответ 5x 4 y 4 z 13 0.

Пример Найти расстояние между прямыми:

x 5 y 5 z 8 x4 y6 z, 5 7 2 6 Решение Расстояние p между прямыми равно длине вектора, соединяющего две точки, принадлежащие разным прямым, который имеет среди всех возможных векторов наименьшую длину.

Если найти плоскость P,проходящую через одну прямую параллельно второй, то очевидно, что расстояние p между прямыми будет равно расстоянию между этой плоскостью и произвольной точкой второй прямой. Найдем эту плоскость.

С этой целью ищем вектор нормали плоскости P :

i j k 7 2 5 5i 5j 5k, n i j k.

6 1 x 5 y 5 z 8 0, P : x y z 8 -общее уравнение плоскости.

Находим нормальное уравнение плоскости P :

x y z 8 4 6 7 0, p 3 3 3 3 3 3 3 Ответ: p Пример Найти расстояние от точки M 7;

1;

8 до x 5 y 4 z прямой 3 Решение Найдем плоскость P, проходящую через точку M перпендикулярно заданной прямой L.

2x 7 3 y 1 z 8 0, P : 2 x 3 y z 19 Найдем точку пересечения N прямой L и плоскости P.

Для этого следует решить систему линейных уравнений:

x 2t x 5 2t y 4 3 y 3t z 1 t z 1 t 22t 5 3 3t 4 1 t 19 2 x 3 y z 19 5 32 t N,,.

, 7 7 Расстояние p от точки M до прямой L равно MN, т.к.

44 39 29 MN i j k, то p MN 7 7 7 Ответ: p Контрольные вопросы по теме «Прямая и плоскость»

1. Как вычислить угол между прямой и плоскостью?

2. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Как выяснить, что прямая и плоскость имеют точку пересечения, прямая принадлежит плоскости, прямая параллельна плоскости и не принадлежит ей?

Задачи для самостоятельного изучения 1. Доказать, что прямая x 3t 2, y 4t 1, z 4t параллельна плоскости 4 x 3 y 6 z 5 0.

5 x 3 y 2 z 5 2. Доказать, что прямая лежит в 2 x y z 1 3. плоскости 4 x 3 y 7 z 7 0.

4. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

x 1 y 1 z, 2x 3 y z 1 0 ;

а) 2 x 3 y 2 z, x 2 y z 15 0 ;

5. б) 1 x 2 y 1 z, x 2 y 2z 6 0.

6. в) 2 3 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1;

2;

1) перпендикулярно к прямой x 2 y z 3 8..

x yz При каких значениях A и D прямая 9.

x 4t 2, y 4t 1, z t 3 лежит в плоскости 10.

Ax 2 y 4 z D 0 ?

11.

Найти проекцию точки M (3;

1;

3) на прямую 12.

x 3t, y 5t 7, z 2t 2.

13.

Найти проекцию точки M (5;

2;

1) на плоскость 14.

2 x y 3z 23 0.

15.

Найти точку Q, симметричную точке P(1;

3;

4) 16.

относительно плоскости 3x y 2 z 0.

17.

Найти уравнение плоскости, которая проходит через 18.

x4 y3 z.

19. точку M (3;

1;

2) и через прямую 5 2 x 3 y 1 z 20. Проверить, что прямые и 5 2 x 8 y 1 z пересекаются, и написать 21.

3 22. уравнение плоскости, проходящей через них.

23. Найти расстояние между двумя прямыми:

x 2 y 1 z x 7 y 1 z и.

3 4 2 3 4 Ответы к задачам для самостоятельного решения 1. а) 2;

3;

6, 4. (3;

- 2;

4);

5. (1;

4;

- 7);

б) прямая параллельна 6. (- 5;

1;

0 );

плоскости, в) прямая 7. x 9 y 22 z 59 лежит в плоскости;

8. 8x 22 y z 48 2. x 2 y 3z 0 ;

3. A 3, D 23 ;

9. 3.

Лекция 11 Кривые второго порядка В этом параграфе будем рассматривать алгебраические линии второго порядка. Самое общее уравнение алгебраической линии второго порядка имеет вид a11x 2 2a12 xy a22 y 2 2a1 x 2a2 y a0 Мы подробно рассмотрим кривые 2-го порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых;

до него их называли просто «сечениями конуса».

Аполлоний Пергский( 262г. до н. э.) -великий геометр античности, живший в III веке до н. э. Аполлоний прославился в первую очередь выдающейся работой «Конические сечения» ( книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Он ввл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата.

Определение Геометрическое место точек, отношение расстояний которых от фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) постоянно и равно числу e (эксцентриситету), является кривой второго порядка.

Если e 1 то это эллипс, если e = 1 то это парабола, если e то это гипербола.

Окружность Определение Окружность - геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой центром окружности.

Пусть центр окружности находится в точке C a, b.

Так как окружность есть множество M x, y, находящихся на точек расстоянии R (радиус окружности) от центра C a, b, то CM R, т.е x a2 y b2 R a, b уравнение окружности с центром в точке C и радиусом R.

Если центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение примет вид:

x2 y 2 R Пример Найти координаты центра и радиус окружности x 2 y 2 6 x 10 y 15 0.

Решение В данном уравнении выделим полные квадраты, прибавляя и вычитая соответствующие числа.

Получаем x 6 x 9 y 2 10 y 25 9 25 15 0, x 3 y 2 Отсюда, находим a 3, b 5, R 7.

Эллипс Определение Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

Выберем прямоугольную систему декартовых координат так, чтобы ось абсцисс проходила через оба фокуса F1 и F2, начало координат находится в середине отрезка F1 F2.

Если обозначить расстояние между фокусами F1 и F2 через 2c, тогда координаты фокусов будут соответственно c;

0 и c;

0.

Пусть M x, y - текущая точка эллипса.

Обозначим сумму расстояний F1M и F2 M через 2a ( a c по правилу треугольника), т.е.

F1M F2 M 2a, или x c 2 y 2 x c2 y 2 2a - уравнение эллипса.

Приведем его к более простой для исследований форме:

x c 2 y 2 x c 2 y 2, 2a x 2 2cx c 2 y 2 4a 2 4a x c y 2 x 2 2cx c 2 y 2, a 2 cx a x c y 2, a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x 2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2, a c2 x2 a2 y 2 a2 a2 c2.

Поскольку a c, то можно обозначить a 2 c 2 b b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b тогда получаем Окончательно получим (при выбранной системе координат) уравнение x2 y a 2 b Уравнение называют каноническим уравнением эллипса и c a 2 b2.

Замечание Так как в процессе преобразований дважды возводились в квадрат обе части уравнения, то необходимо проверить, не получены ли "лишние" точки.

Для этого нужно показать, что если координаты произвольной M 0 x0, y точки удовлетворяют уравнению, то F1M 0 F2 M 0 2a.

Замечание Оси координат Ox и Oy являются осями симметрии эллипса и, следовательно, начало координат является центром симметрии эллипса.

Рассмотрим часть эллипса, расположенную в первой четверти, для которой можем записать уравнение в виде:

x y b 1 a Отсюда видно, что если x 0, то y b и, далее, с ростом x значения y убывают. Когда x a, то y 0.

Числа a и b называют полуосями эллипса Учитывая симметрию эллипса относительно осей координат, можем построить полный эллипс.

Если изменяется величина с, то меняется форма эллипса, а именно: если c a, то b a и при c 0 эллипс становится окружностью с уравнением x2 y2 a Таким образом, окружность есть частный случай эллипса, когда полуоси эллипса равны между собой.

Если же c a, то b a 2 c 2 0, т.е. эллипс сжимается c вдоль оси Oy. Величина может служить числовой a характеристикой сжатия эллипса.

Определение Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси.

c a Форма эллипса зависит от b a Замечание Так как c a, то 1 у эллипса.

с2 a 2 b b b 1 или 1 a a чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут, в случае окружности 0.

Замечание x a cos t, y b sin t - параметрическое уравнение эллипса.

Определение Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно a центра на расстоянии от него называют директрисами эллипса.

a x Точки пересечения эллипса с осями симметрии A, B, AB называют вершинами эллипса.

r1 F1 P a ex, r2 F2 P a ex, - левый и правый фокальные радиусы точки P( x, y), a a q1 N1 P x, q2 N 2 P x, - расстояния от e e точки P до левой и правой директрисы.

Свойства эллипса 1. Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса).

2. Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2a и 2b ( 2a 2b ), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

3. Весь эллипс содержится внутри прямоугольника x a, y b.

4. Эксцентриситет эллипса e 1.

5. Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как a расстояние от центра эллипса до директрисы равно, e a а e 1, следовательно, a, а весь эллипс лежит в e прямоугольнике x a, y b ) Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi 6.

к расстоянию d i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Доказательство Расстояния от точки M ( x, y) до фокусов эллипса можно c c r1 a x a ex, r2 a x a ex представить так:

a a Составим уравнения директрис:

a a x 0 (D1), x 0 (D2).

e e a ex a ex Отсюда ri d i e, что и d1, d Тогда e e требовалось доказать.

Пример Определить вид и расположение кривой второго порядка x2 2 y 2 2x 3 y 0.

Решение Дополним члены, содержащие x и y соответственно, до полных квадратов:

x 1 2 y 3 1 4 y x 12 4 Отсюда получаем 17 8 Следовательно, кривая, заданная исходным уравнением, представляет собой эллипс с 17 полуосями a 1.46 и b 1.03.

8 Центр эллипса находится в точке O(1, ).

Замечание Из канонического уравнения эллипса легко заключить, что эллипс можно задать в параметрической форме.

x a cos t, y b sin t, где a, b –большая и малая полуоси, t —угол.

Гипербола Термин «гипербола» (греч. — избыток) был введн Аполлонием Пергским, поскольку задача о построении точки гиперболы сводится к задаче о приложении с избытком.

Определение Гипербола - геометрическое место точек, абсолютное значение разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

Расстояние между фокусами F1 и F2 обозначим 2c. Систему координат выберем так же, как при выводе уравнения эллипса.

Пусть точка M - произвольная точка гиперболы. Отрезки F1M и F2 M - фокальные радиусы точки M. Таким образом, для любой точки M F1M F2 M 2a Расстояние F1 F2 2c. Координаты F1 c,0, F2 c, Пусть точка M x, y - произвольная точка гиперболы.

Отрезки r1 F1M и r2 F2 M - фокальные радиусы точки M.

Применяя формулу расстояния между двумя точками, имеем x c 2 y 2, r2 x c 2 y r1 или F1M F2 M 2a x c2 y 2 x c2 y 2 2a, Преобразуем x c2 y 2 x c 2 y 2a Возведем в квадрат x c y 2 4a 2 4a x c2 y 2 x c2 y 2, x c 2 y 2,возведем cx a 2 a в квадрат c x 2a cx a a 2a cx a c a y, 2 2 2 4 2 2 22 2 откуда c a2 x2 a2 y 2 a2 c2 a Обозначим b c 2 a 2, так как c a, то b - вещественная величина.

Итак, имеем b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b или x2 y a2 b каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола – кривая 2 –го порядка Число a называют действительной полуосью гиперболы, число b - мнимой полуосью.

Отметим, что согласно уравнению гипербола симметрична относительно осей координат и, следовательно, относительно начала координат. Т.к. из канонического уравнения гиперболы следует, что b y x a2, a то нет точек кривой в полосе a x a.

Кривая состоит из двух отдельных частей - ветвей гиперболы, лежащих в областях x a и x a.

x ветви гиперболы Можно показать, что при b неограниченно приближаются к прямым y x, не пересекая a этих прямых.

Эти две прямые называются асимптотами гиперболы.

Определение Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами.

c a Замечание Так как c a, то 1 у гиперболы.

с 2 a 2 b2, b b 2 1 или a a Эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит и форму самой гиперболы.

Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник Точки пересечения гиперболы с действительной осью называются вершинами гиперболы.

Определение Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее пересекает и расположенные a симметрично относительно центра на расстоянии от него называют директрисами гиперболы.

a x Директрисы гиперболы параллельны оси Oy и пересекают ось Ox между вершинами гиперболы.

Замечание Если a b, гипербола называется равнобочной.

Замечание В системе координат, оси которой совпадают с асимптотами - равнобочные гиперболы. Она имеет уравнение k y. Асимптоты равнобочной гиперболы взаимно x перпендикулярны.

x2 y 1.

Определение Сопряженные гиперболы a 2 b Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты.

r1 F1P a ex, r2 F2 P a ex - левый и правый фокальные радиусы точки Px, y, a a q1 N1P x, q2 N 2 P x - расстояния от e e точки P до левой и правой директрисы.

Свойства гиперболы 1.Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ox для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Oy ). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.


2.Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями b b y y x.

xи a a 3.Наряду с гиперболой можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением x2 y 1, a 2 b для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4.Эксцентриситет гиперболы e 1.

5.Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию d i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

Пример Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис гиперболы 9 x 2 16 y 2 144.

Решение Приведем данное уравнение к каноническому виду x2 y 1.

(разделив его на 144):

16 Отсюда следует, что a 2 16, b2 9.

Следовательно, a 4 -действительная полуось, b 3 мнимая полуось.

Тогда c a 2 b 2 16 9 Значит, фокусы имеют координаты F1 5,0, F2 5,0.

c Находим эксцентриситет.

a Уравнения асимптот имеют вид y x, а уравнения директрис x.

Парабола Определение Парабола - геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой (директриса не проходит через фокус).

Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через точку фокуса F перпендикулярно директрисе L, начало координат расположим в середине отрезка FN.

Расстояние между фокусом F и директрисой L обозначим p.

Значение p называют параметром параболы.

Пусть M x, y - текущая точка параболы, тогда, по определению параболы имеем QM FM или 2 p p x x y, 2 отсюда получаем y 2 2 px Уравнение называют каноническим уравнением параболы.

Вершина параболы находится в начале координат, и кривая симметрична относительно оси Ох.

- фокальный радиус точки Px, y, p r FP x p q NP x расстояние от точки до P директрисы.

Свойства параболы 1. Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы.

Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ox, а вершиной – начало координат.

2. Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Oxy.

При указанном выше выборе координатной системы ось параболы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости, то е уравнение будет иметь вид y 2 2 px.

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение x 2 2 py, если она лежит в верхней полуплоскости, и x 2 2 py — если в нижней полуплоскости.

Каждое из уравнений параболы называется каноническим.

Замечание Если для эллипса и гиперболы обозначим через r расстояние от текущей точки кривой до какого-либо фокуса, а через d - расстояние от этой точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то оказывается, что r e (эксцентриситет кривой).

d r 1, что следует из ее определения.

Для параболы же d Таким образом, для рассмотренных кривых второго порядка эллипса, гиперболы, параболы имеет место фокально директориальное свойство: отношение расстояния текущей точки кривой до фокуса к расстоянию до односторонней с этим фокусом директрисы равно эксцентриситету кривой, т.е.

1, эллипс r e 1, парабола.

d 1 г ипербола Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы получены при специальном выборе начала координат и направления осей координат, поэтому они просты и удобны для анализа.

Пример Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы y x 2.

Решение Если поменять ролями оси Ox и Oy, то каноническое уравнение параболы примет вид: x 2 2 px.

Сравнивая это уравнение с заданным, получим 2 p 1, отсюда p 1 2.

Следовательно, фокус параболы имеет координаты 0,1 4, а уравнение директрисы есть y 1 Контрольные вопросы по теме «Кривые второго порядка»

1. Дать определение окружности, эллипса.

2. Напишите канонические уравнения окружности, эллипса и объясните смысл величин, входящих в эти уравнения.

3. Что характеризует эксцентриситет эллипса?

4. Написать уравнения директрис эллипса, объяснить смысл величин в этих уравнениях, показать расположение директрис и эллипса на чертеже 5. Дать определения гиперболы, параболы.

6. Напишите канонические уравнения гиперболы и параболы, объясните смысл величин, входящих в эти уравнения.

7. Напишите уравнения директрис, асимптот гиперболы, покажите на чертеже их расположение относительно гиперболы.

8. Чему равен эксцентриситет параболы? Покажите на чертеже расположение директрисы относительно параболы.

Задачи для самостоятельного изучения 1. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

а) окружность проходит через точку A2;

6, и ее центр совпадает с точкой C 1;

2 ;

б) точки A3;

2 и B 1;

6 являются концами одного из диаметров окружности;

в) центр окружности совпадает с началом координат, и 3x 4 y 20 прямая является касательной к окружности;

г) центр окружности совпадает с точкой C 1;

2, и прямая 5x 12 y 9 0 является касательной к окружности.

2. Написать уравнение окружностей радиуса R 5, касающихся прямой x 2 y 1 0 в точке M 3;

1.

3. Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружности? Найти центр С и радиус R каждой из них:

а) x 5 y 2 25, б) x 2 y 2 64, 2 2 в) x 5 y 2 0, г) x 2 y 2 2 x 4 y 14 0.

2 4. Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая y kx а)пересекает окружность x 2 y 2 10 x 16 0 ;

б)касается этой окружности;

в) проходит вне этой окружности 5. Вычислить расстояние от центра окружности x y 2 x до прямой, проходящей через точки 2 пересечения двух окружностей:

x 2 y 2 5x 8 y 1 0, x 2 y 2 3x 7 y 25 0.

6. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

а) расстояние между его фокусами 2c 6 и эксцентриситет ;

б) его большая ось равна 20, а эксцентриситет ;

в) его малая ось равна 10, а эксцентриситет ;

г) расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами равно 4.

7. Дан эллипс 9 x 2 25 y 2 225. Найти:

а) его полуоси;

б)фокусы;

в)эксцентриситет;

г) уравнения директрис.

x2 y 8. Через фокус эллипса проведен 25 перпендикуляр к его большой оси. Определить расстояние от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.

9. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет, фокус F (4,1) и уравнение соответствующей директрисы y 3 0.

10. Точка A(1,5) лежит на эллипсе, фокус которого F (1;

4) F, а соответствующая директриса дана уравнением x 2 0. Составить уравнение этого эллипса.

11. Точка M1 (3;

1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой y 6 0. Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет.

x 2y 7 0 и 12. Найти точки пересечения прямой эллипса x 2 4 y 2 25.

13. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметричны относительно начала координат, зная, кроме этого, что:

а) расстояние между фокусами 2c 6 и эксцентриситет ;

б) ось 2a 16 и эксцентриситет ;

y x и расстояние между в) уравнение асимптот фокусами 2c 20 ;

г) расстояние между директрисами равно 22 и расстояние между фокусами 2c 26.

x2 y 1.

M1 (10;

5 ) на гиперболе 14. Дана точка 80 Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М1.

15. Убедившись, что точка M 1 5;

лежит на гиперболе x2 y 1, определить фокальные радиусы точки M 1.

16 16. Эксцентриситет гиперболы 2, центр е лежит в начале координат, один из фокусов F (12;

0). Вычислить расстояние от точки M 1 гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей данному фокусу.

x2 y 1, расстояние 17. Определить точки гиперболы 64 которых до правого фокуса равно 4,5.

18. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты е центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис:

а) 16 x 2 9 y 2 64 x 54 y 161 0 ;

б) 9 x 2 16 y 2 90 x 32 y 367 0.

19. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная что:

а) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси Ox, и е параметр p 3 ;

б) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox, и е параметр p 0.5 ;

в) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Oy, и е параметр p ;

г) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси Oy, и е параметр p 3.

20. Найти фокус F и уравнение директрисы параболы y 2 24 x.

21. На параболе y 2 16 x найти точки, фокальный радиус которых равен 13.

22. Составить уравнение параболы, если даны е фокус F (7;

2) и директриса x 5 0.

23. Определить точки пересечения прямой 3x 4 y 12 0 и параболы y 9 x.

24. В следующих случаях определить, как расположена данная прямая относительно данной параболы пересекается ли, касается или проходит вне е:

а) x y 2 0, y 2 8x б) 8x 3 y 15 0, x 2 3 y ;

в) 5x y 15 0, y 2 5x.

Ответы к задачам для самостоятельного решения 1. а) x 1 y 2 25, б) x 1 y 4 8, 2 2 2 г) x 1 y 4 8 ;


в) x 2 y 2 16, 2 x 42 y 12 5, x 22 y 32 5 ;

2.

а) C (5;

2), R 5, 3.

б) C (2;

0), R 8, 4.

в) уравнение определяет единственную точку (5;

2), 5.

г) уравнение не определяет никакого геометрического 6.

образа на плоскости;

3 7. а) k, б) k, в) k ;

4 4 8. 2;

x2 y 2 x2 y 1, б) 1, 9. а) 25 16 100 x2 y2 x 1, y 2 1;

10. в) г) 169 25 4 11. а) 5 и 3, б) F1 (4;

0), F2 (4;

0), в), г) x ;

5 12. 3 и 8;

13. 4 x 2 3 y 2 32 x 14 y 59 0 ;

14. 4 x 2 5 y 2 14 x 40 y 81 0 ;

15. x 2 2 y 2 6 x 24 y 31 0 ;

16. 4;

и (3;

2).

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 1, б) 1, в) 1, 17.

4 5 64 36 36 x2 y 1;

18. г) 144 19. x 4 5 y 1 0, x 10 0 ;

1 20. r1 2, r2 10 ;

4 21. 10;

9 22. 10;

и 10;

;

2 23. а) C (2;

3), a 3, b 4,, уравнения директрис:

24. 5x 19 0 5x 1 0, уравнения асимптот:

и 4 x 3 y 17 25. 4 x 3 y 0 ;

б) C (5;

1), a 8, b 6, 1.25, уравнения 26. директрис: x 11.4 и x 1.4, уравнения асимптот:

27. 3x 4 y 11 0, 3x 4 y 19 28. а) y 2 6 x, б) y 2 x, в) x 2 y, г) x 2 6 y ;

29. F (6;

0), x 6 0 F (6;

0);

30. (9;

12), (9;

- 12);

31. x y y 7;

32. (- 4;

6) - прямая касается параболы;

33. а) касается параболы, б) пересекает параболу в двух точках, в) проходит вне параболы.

Лекция 12 Преобразования системы координат на плоскости Параллельный перенос системы координат Мы рассматриваем прямоугольную декартову систему координат. При параллельном переносе системы координат сохраняется направление координатных осей, но меняется положение начала координат.

Пусть Oxy - "старая" система координат, а Oxy - "новая" система координат. Пусть произвольная точка M имеет координаты ( x, y ) в "старой" системе, и она же имеет координаты ( x, y )в новой системе, кроме того, пусть новое начало O имеет координаты ( a, b ) в "старой" системе.

Тогда. OM OO OM Т.к. при параллельном переносе осей координат базис не меняется, то при сложении векторов можно складывать их координаты.

Следовательно, имеем x x a y y b Формулы есть формулы перехода, связывающие "старые" и "новые" координаты.

Поворот осей координат Сейчас мы рассматриваем преобразование, заключающееся в повороте координатных осей с сохранением начала координат.

Пусть точка M имеет координаты ( x, y ) в "старой" системе и ( x, y )в координаты "новой" системе, – угол поворота осей координат, отсчитываемый в положительном направлении от "старой" оси Ox. В данном случае происходит изменение базиса (i, j ) на базис (i, j).

Запишем координаты векторов i и j в базисе (i, j ) i cos, cos cos,sin 2 j cos cos,sin 2 Тогда:

OM x i y j x i y j x cos i sin j y sin i cos j x cos y sin i x sin y cos j, т.е., мы получили x x cos y sin y x sin y cos или, в матричной форме x cos sin x y sin cos y Формулы выражают "старые" координаты через "новые".

cos sin Обозначим матрицу A, cos sin тогда x x A y y Как найти выражение "новых" координат через "старые"?

Поскольку матрица А невырожденная, то существует обратная матрица A-1.

Умножим соотношение (45) слева на A-1 и получим x y x x A 1 A 1 A A 1 A y y поскольку A *A, т.е. единичная матрица, то - x x A 1 y y cos sin A sin cos где, очевидно Классификация кривых второго порядка Преобразованиями, которые переводят декартову прямоугольную систему координат xOy в другую декартову прямоугольную систему координат xOy, являются поворот осей и перенос начала координат.

Теорема Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат линия задается алгебраическим уравнением степени n, то в любой другой декартовой прямоугольной системе координат уравнение линии будет иметь такой же вид и порядок.

Покажем, что при помощи поворота всегда можно избавиться от члена, содержащего смешанное произведение координат Bxy.

После поворота осей на угол старые координаты связаны с новыми формулами Ax 2 Cy 2 Dx Ey F Ax2 2 Axx0 Ax0 Cy2 2Cyy0 Cy 2 Dx Dx0 Ey Ey0 F 0.

x x cos y sin.

y x sin y cos Перепишем уравнение в новых координатах:

Ax Bxy Cy 2 Dx Ey F Ax2 cos2 2 Axy sin cos Ay2 sin Bx2 sin cos Bxy sin 2 Bxy cos2 By2 sin cos Cx2 sin 2 2Cxy sin cos Cy 2 cos Приравняем нулю получившийся коэффициент перед xy :

2 A sin cos B sin 2 B cos2 2C sin cos 0.

Или C A sin 2 B cos 2 0.

Если A C, так как B 0, то cos 2 0, то есть.

Если же A C, поделив на cos 2, мы получим, что B B 1 B tg2, то есть arctg.

C A AC AC Итак, в новой повернутой системе координат уравнение примет вид Ax2 Cy2 Dx Ey F 0.

Теперь B = 0.

Покажем, что переносом начала координат можно избавиться от членов первого порядка Dx и Ey в уравнении, которое будет иметь вид Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0.

Если система координат xOy получается из системы координат xOy переносом на вектор ( x0, y0 ), то связь координат в этих системах задается следующими равенствами:

x x x y y y Перепишем уравнение в новых координатах:

Обозначим через F свободный член:

F Ax0 Cy0 Dx0 Ey0 F.

2 Приравняем нулю коэффициенты при x и y:

2 Ax0 D 2Cy0 E Если A 0, то D 0, если C 0, то E 0, и уравнение не содержит членов первого порядка. Поэтому предположим, что A 0 и C 0. Тогда для координат вектора ( x0, y0 ) мы D E x0 y получим следующие выражения:,.

2A 2C В новых координатах уравнение примет вид Ax 2 Cy 2 F 0.

Мы показали, что всегда найдется такая система координат, в которой уравнение линии второго порядка будет иметь вид Ax2 By2 1, если F 0, или Ax2 By2 0, если F 0.

Теорема Существует система координат, в которой уравнение линии второго порядка принимает один из следующих девяти канонических видов:

x2 y 1 – уравнение эллипса;

1.

a 2 b x2 y 2. 2 2 1 – уравнение мнимого эллипса;

a b y x 3. 2 2 1 – уравнение гиперболы;

a b 4. y 2 px – уравнение параболы;

x2 y 0 – уравнение пары пересекающихся прямых;

5.

a 2 b x2 y 6. 2 2 0 – уравнение пары мнимых пересекающихся a b прямых;

7. y 2 b2 0 – уравнение пары параллельных прямых;

8. y 2 b2 0 – уравнение пары мнимых параллельных прямых;

9. y 2 0 – уравнение пары совпадающих прямых.

Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду Укажем, как можно с помощью преобразований координат, рассмотренных в предыдущем параграфе, привести общее уравнение кривой второго порядка a11x2 2a12xy a22 y 2 2a1 y 2a2 y a0 к каноническим уравнениям эллипса, гиперболы или параболы, или к случаям их выражения.

С помощью поворота осей координат на некоторый угол всегда можно избавиться от члена с произведением координат.

Действительно, a11x2 2a12xy a22 y2 2a1x 2a2 y a0 коэффициент которого a12 будет равен a12 a22 a11 sin cos a12 cos 2 sin Приравнивая коэффициент a12 к нулю, получим тригонометрическое уравнение a22 a11 sin cos a12 cos 2 sin 2 Отсюда получаем 2a tg 2.

a11 a Далее, по формулам тригонометрии, получаем нужные нам значения для sin и cos :

2tg tg 2 (здесь можно взять любое из двух 1 tg значений tg ), cos (здесь можно взять любой знак), 1 tg sin cos tg.

Следовательно, уравнение кривой в новых координатах Oxy примет вид:

a11x2 a22 y2 2a1 x 2a2 y a0 Если в уравнении a11 a22 0, то говорят, что это уравнение определяет линию эллиптического типа;

если же a11 a22 0, то говорят, что уравнение определяет линию гиперболического типа и, если один из коэффициентов a11 или a22 равен нулю, то уравнение определяет линию параболического типа. Далее с помощью параллельного переноса системы координат Oxy уравнение всегда можно привести к виду:

a11x2 a22 y2 a0 т.е. фактически к каноническому виду.

Из уравнения следует, что мы имеем либо эллипс (если a и a22 одного знака, а a0 противоположного), либо мнимое место точек (если a11, a22, a0 имеют один знак), либо одну (если a11 и a22 имеют один знак, а a0 0 ), либо точку гиперболу (если a11 и a22 разных знаков и a0 0 ), либо две пересекающие прямые (если a11 и a22 разных знаков и a0 0 ).

Если же в уравнении один из коэффициентов a11 и a22, например, a22 обращается в нуль, то это уравнение с помощью переноса осей приведется к каноническому уравнению параболы y 2 px2 при a22 0 или к виду ax2 d 0 при a22 0, что дает или две параллельные прямые, или мнимое место точек.

Отсюда следует, что всякая кривая 2-го порядка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо представляет собой их "вырождение".

Пример Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 29 x 2 24 xy 36 y 2 82 x 96 y 91 0 и сделать чертеж.

Решение Здесь a11 29, a12 12, a22 36.

2tg 24 24 tg 2,, 7 1 tg 29 36 Поэтому 12tg 2 7tg 12 4 решая последнее уравнение, получим tg и tg 3 3, тогда cos.

Выбираем: пусть tg 4 Выбираем: пусть cos, тогда sin.

И формулы преобразования координат запишутся в виде:

4 x y, x 5 3 y x y.

5 Подставляем выражения "старых" координат через "новые" в исходное уравнение кривой и, проделав достаточно громоздкие, но простые преобразования, получаем:

20 x2 45 y2 8x 126 y 91 или, выделяя полный квадрат по x и y можем записать:

2 1 20 x 45 y 180, 5 отсюда:

2 1 x y 9 1 Введем новые координаты x x, y y, и в этих 5 координатах уравнение примет вид x2 y 2 1 т.е. данная кривая есть эллипс с полуосями 32 a 3 и b 2.

Контрольные вопросы по теме «Параллельный перенос»

1. Что такое параллельный перенос системы координат?

2. Приведите формулы связи "старых" и "новых" координат.

3. Приведите формулы связи "старых" и "новых" координат при повороте системы координат без изменения е начала.

4. Объясните методику приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду, используя последовательно поворот системы координат и параллельный перенос системы координат. Какой результат достигается на каждом из этих этапов преобразования системы координат?

Задачи для самостоятельного изучения 1. Выяснить геометрический смысл уравнений:

а) 4 x 2 y 2 0, б) 4 x 2 y 2 0, в) x 2 y 2 2 x 2 0, г) x 2 y 2 6 x 8 y 25 0, д) x 2 xy 0, е) y 2 16 0.

2. Поворотом осей координат преобразовать уравнения к каноническому виду и построить кривые:

а) 5x 2 4 xy 2 y 2 24, б) 2 x 2 4 xy y 2 12.

3. Преобразовать уравнения к каноническому виду и сделать чертеж:

а) 3x 2 2 xy 3 y 2 4 x 4 y 12 0, б) x 2 6 xy y 2 4 x 4 y 12 0, в) x 2 4 xy 4 y 2 20 x 10 y 50 0, г) x 2 4 xy 4 y 2 6 x 12 y 8 0.

Ответы к задачам для самостоятельного изучения 1. а) две прямые y 2 x, б) точка (0,0), в) мнимая окружность, г) точка (3,4), д) две прямые x 0, y x, е) две прямые y 4 ;

X2 Y y x 1 1, б) 1 1 1 ;

2. а) 24 24 2 y x y x 3. а) 1 1 1, б) 1 1 1, 8 4 8 4. в) y1 2 5 x1, г)две прямые x 2 y 3 Лекция 13 Полярная система координат Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Рене Декарту. Он стал основателем аналитической геометрии, в которой геометрические задачи переводились на язык алгебры при помощи метода координат.

Рене Декарт (1596 -1650) — французский математик, философ, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики. Открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе», 1637)стало революцией в геометрии. Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры.

Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями.

Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти.

Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке Кроме прямоугольной или декартовой системы координат часто используется полярная система координат.

Возьмем на плоскости направленную прямую Ox и на ней точку O.

Положение точки M на этой плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием r от взятой нами точки O и углом, образуемым отрезком OM с положительным направлением прямой Ox. Отсчет углов обычно ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Числа r и называются полярными координатами точки M, причем r называется радиус-вектором, полярным углом. Прямая Ox называется полярной осью, а точка O - полюсом полярной системы координат.

Определение Полярная система координат –система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел r,, определена заданием некоторой точки O, называемой полюсом, луча ОМ, исходящего из этой точки, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин.

Замечание Радиус-вектор r (как расстояние) всегда величина положительная, а угол может изменяться от 0 до 2 и далее до бесконечности.

Координатные линии полярной системы концентрические окружности с центром в точке O r const лучи, выходящие из точки O const.

Если полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось - с осью абсцисс, то прямоугольные координаты точки M выражаются через ее полярные координаты следующим образом:

Полярные координаты точки M выражаются через ее декартовы координаты такими формулами:

r 2 x 2 y y tg x Декартовы координаты выражаются через полярные координаты такими формулами x r cos y r sin и имея в виду, что r 0, видим, что Определяя величину y sin знак должен быть одинаков со знаком y, а знак r x cos - со знаком x.

r Пример Уравнение окружности с центром в полюсе и - R радиуса R Пример Декартовы координаты точки M (1;

1). Каковы полярные координаты этой точки?

Решение Так как r 2, tg 1, т.е. равно 34 или 74, но поскольку y 0, то и sin 0. Следовательно полярные, т.е. M 2 ;

7.

координаты точки M будут r 2, Пример Написать уравнение прямой x 3 в полярной системе координат.

Решение x r cos, то r cos 3 или r.

cos Пример Построить кривую, зная, что полярные координаты ее точек удовлетворяют уравнению r a1 cos, a 0.

Решение r a1 cos, a 0 -эта кривая называется кардиоида. Чтобы начертить эту кривую, нужно давать последовательно значения от 0 до (с некоторым шагом) и определять по ее уравнению соответствующие значения r.

Каждой из полученных пар чисел r, соответствует в плоскости полярной системы координат единственная точка.

Построив и соединив их плавной линией, получим кардиоиду.

Цилиндрическая система координат Определение Цилиндрической системой координат называют трхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путм добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задат высоту точки над плоскостью.

Точка P датся как,, z рекомендует использовать международный стандарт ISO 31-11.

В терминах прямоугольной системы координат:

0 — расстояние от O до P', ортогональной проекции точки P на плоскость XY. Или то же самое, что расстояние от P до оси Z.

0 3600 — угол между осью X и отрезком OP'.

z равна аппликате точки P Некоторые математики используют,, z.

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось Z взять в качестве оси симметрии.

Замечание Бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение x2 y 2 c2, а в цилиндрических — очень простое уравнение с.

Отсюда и идт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Цилиндрическая система координат — только одна из многих трхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

x r cos y r sin z z Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым координатам:

r 2 x 2 y y arctg ( ) x z z Сферическая система координат Сферическкую систему координат удобно определять соотносясь с декартовой прямоугольной системой координат.

Определение Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трх измерениях посредством задания трх координат, где r — расстояние до начала координат, а и — зенитный и азимутальный угол соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии.

Зенит - это направление вертикального подъма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей фундаментальной плоскости.

В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость в которой лежит экватор, или плоскость в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т.д., что порождает разные системы небесных координат.

Азимут - угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость, это плоскость xy. Зенит - некая удалнная точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат.

Тогда, углы и не имеют значения при r = 0, так же как и в первом случае, а не имеет значения при sin() = 0, так же как и в первом случае, (но уже при или ).

Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус вектора r на плоскость xy.

Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближнным) множества видов систем небесных координат. Три координаты определены как:

— расстояние от начала координат до заданной точки P.

— угол между осью Z и отрезком, соединяющим начало координат и точку P.

— угол между осью X и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой P, на плоскость XY (в Америке углы и меняются ролями).

Угол называется зенитным, или полярным, или нормальным, а так же он может быть назван английским словом colatitude, а угол — азимутальным.

Углы и не имеют значения при r = 0, а не имеет значения при sin() = 0 (то есть при = 0 или ).

Зависимо или независимо от стандарта (ISO 31-11), существует и такое соглашение или конвенция (англ.

convention), когда вместо зенитного угла, используется угол между проекцией радиус-вектора точки r на плоскость xy и самим радиус-вектором r, и равный -. Он называется углом подъма и может быть обозначен той же буквой. В этом случае он будет изменяться в пределах.

Переход от сферических координат к декартовым:

От декартовых к сферическим:

От сферических к цилиндрическим:

От цилиндрических к сферическим:

Задачи для самостоятельного изучения ;

r построить 1. В полярной системе координат точки A1 0;

3, A2 ;

2, A3 ;

2, A4 ;

2, A5 ;

4 2.

3 A ;

2, A7 ;

3, A8 ;

4, A9 ;

2 2 4 2 2. Построить линию r 2 2 cos (построение провести с помощью таблицы значений r для 0;

;

;

;

).

32 а) r a 3. Построить линии: (спираль Архимеда), б) r a1 cos (кардиоида).

b 4. Построить линии: а) r a, б), в) r.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.