авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ...»

-- [ Страница 3 ] --

sin 5. Написать в полярных координатах уравнение прямой, отсекающей от полярной оси отрезок " a " и перпендикулярной к ней.

6. Написать в полярных координатах уравнение окружности с центром в точке C 0;

a и радиусом, равным " a ".

7. Преобразовать к полярным координатам уравнения линий:

x2 y2 a2, x2 y 2 a2 y 3, г) y x, а) б), в) д) x 2 y 2 a 2, е) x2 y 2 a2 x2 y 2.

8. Преобразовать к декартовым координатам уравнения линии и построить эти линии:

а) r cos a,б) r 2a sin, в) r 2 sin 2 2a 2.

9. Написать канонические уравнения кривых второго порядка:

9 а) r, б) r, в) r.

5 4 cos 4 5 cos 1 3 cos Ответы для самостоятельного решения a r 1. ;

cos r 2a cos ;

2.

a2, г) tg 1,, б) r a, в) r а) r 3.

sin cos д) r a cos, е) r 2 a 2 cos 2 ;

а) x a, б) x 2 y 2 2ay, в) xy a 2 ;

4.

x2 y2 x2 y 1, б) 1, в) y 2 6 x.

а) 5.

25 9 16 Лекция 14 Поверхности второго порядка С теоретико-множественной точки зрения, любая линия или поверхность есть множество точек. Каждое такое множество может обладать некоторыми свойствами.

Математики с древних времен пытались отыскать такие свойства, которые полностью определяли бы такие интуитивно понятные объекты как прямая, кривая, поверхность. Эта задача была окончательно решена лишь в двадцатом веке, когда было введено понятие размерности множества. Мы же ограничимся интуитивным пониманием линии и поверхности.

Поверхности второго порядка находят большое применение в различных областях знания и практики.

Рассмотрим плоскость, на которой геометрическими объектами являются различные линии и требуется изучать их свойства.

Для этого введем на плоскости некоторую декартову систему координат и возьмем на некоторой линии L произвольную точку M x, y. M x, y Если точку перемещать вдоль L, то ее координаты будут меняться, но не произвольно. Между ними существует некоторая связь, которая определяется геометрическими свойствами линии L.

y f x или F x, y Определение Cвязь называется уравнением линии L, если этим соотношениям удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих линии L..

Таким образом, координаты на плоскости позволяют для каждой линии выписать некоторое уравнение, которое определяется геометрическими свойствами линии, кроме того, оказывается, что каждому уравнению можно поставить в соответствие некоторую линию, и только координаты точек этой линии будут удовлетворять данному уравнению. В связи с этим возникают две задачи.

1. По геометрическим свойствам линии требуется составить ее уравнение.

2. По некоторому уравнению требуется установить геометрические свойства линии, которая этим уравнением определяется.

Эти две задачи и составляют предмет аналитической геометрии на плоскости.

Если взять трехмерное пространство, то к таким геометрическим объектам, как пространственные линии, добавляются новые геометрические объекты - поверхности в трехмерном пространстве.

Поскольку положение точки в пространстве определяется тремя координатами, то и условие, которому удовлетворяют все точки, принадлежащие данной поверхности, аналитически выражается уравнением F x, y, z 0.

Определение Уравнение поверхности - уравнение вида F x, y, z 0, которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности, и притом только этих точек.

Замечание Пространственные линии можно рассматривать как линии пересечения некоторых поверхностей.

В дальнейшем, множество всех точек плоскости будем R2, обозначать как двумерное пространство а трехмерное пространство - как пространство R.

второго порядка, за Замечание Поверхности исключением случаев сильного вырождения, можно разделить на пять классов:

эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы цилиндры.

Сфера Определение Сфера в пространстве R геометрическое место точек, одинаково удаленных от некоторой точки, называемой центром сферы.

Выведем уравнение сферы с центром в точке C ( x0, y0, z0 ), точки которой равноудалены от центра C на расстояние r, называемое радиусом сферы.

По определению сферы, координаты любой точки M ( x, y, z ) сферы удовлетворяют условию CM r, так как CM x x0, y y0, z z0, то x x0 2 y y0 2 z z0 CM r x x0 2 y y0 2 z z0 2 r Или Теорема Сфера радиуса r с центром в точке M 0 ( x0, y0, z0 ) имеет уравнение x x0 2 y y0 2 z z0 2 r Легко заметить, что если для точки M1 x1, y1, z1 CM1 r, то точка M 1 находится внутри M 2 x2, y2, z2 CM 2 r, то точка сферы, и если для точки M 2 находится вне сферы.

Следовательно, уравнению удовлетворяют только координаты множества точек сферы с центром в точке C и радиусом r и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на сфере. Поэтому уравнение есть искомое уравнение сферы.

Замечание Заметим, что уравнение сферы радиуса r с центром в начале координат есть уравнение x2 y 2 z 2 r 2.

Пример Рассмотрим множество точек плоскости, перпендикулярной оси OZ и проходящей через точку M 0 0,0,3.

Решение Так как эта плоскость параллельна плоскости OXY, то все ее точки имеют аппликату z 3. Если же возьмем какую-либо точку N x, y, z, не лежащую на заданной плоскости, то для нее z 3 3. Итак, уравнение z 3 есть уравнение заданной плоскости.

Пример Рассмотрим множество точек, равноудаленных от точек A(1,3,2) и B(1,1,0).

Решение По условию задачи AM BM, поэтому x 12 y 32 z 22 x 12 y 12 z После очевидных упрощений, получим x y z 3 0.

Если некоторая точка N не принадлежит заданному множеству точек, то есть AN BN, то для ее координат уравнение, соответствующее заданному множеству x y z 3 0.

Пример Какие геометрические образы соответствуют уравнениям:

а) x 2 y 2 z 2 0, б) x 2 y 2 z 2 4 0 в) x 2 y 2 z г) z 2 1 0 д) ?

x y z r 2 2 2 Решение а) это уравнение определяет точку O0,0,0, так как координаты лишь этой точки удовлетворяют уравнению.

б) это уравнение определяет пустое множество точек, так как в множестве действительных чисел нет таких, которые удовлетворили бы данному уравнению;

в) уравнение определяет ось OZ, так как любая точка оси OZ имеет координаты 0,0, z, которые удовлетворяют указанному уравнению;

г) поскольку z 2 1 z 1z 1 0, то уравнение определяет две плоскости z 1 и z 1, параллельные координатной плоскости Oxy ;

д) в этом случае рассматривается пересечение двух поверхностей, а именно: z 0, т.е. координатной плоскости Oxy и сферы радиуса r с центром в начале координат.

Очевидно, что результат пересечения есть окружность в плоскости Oxy с центром в начале координат и радиуса r, а ее уравнение, как следует из заданной системы, будет x2 y 2 z 2 r 2.

Из приведенных частных примеров видно, что уравнениям, в которые входят три, две, одна неизвестная, в пространстве R соответствует некоторая поверхность, а пересечение поверхностей определяет линию.

Исключением являются случаи, когда поверхность (можно привести примеры и с линией) "вырождается" в отдельные точки, в линии или представляет пустое множество точек.

Заметим, что поверхности принято классифицировать на алгебраические и трансцендентные.

Определение Поверхность называется алгебраической, если в некоторой прямоугольной декартовой системе координат она определяется уравнением F x, y, z где F x, y, z - многочлен относительно переменных x, y, z.

Степень этого многочлена относительно x, y, z называется порядком алгебраической поверхности.

Пример 3x 2 y 5z 2 0 есть алгебраическая поверхность первого порядка, Пример x 22 y 32 z 52 есть алгебраическая поверхность второго порядка.

Определение Всякая неалгебраическая поверхность называется трансцендентной.

Определение Поверхность второго порядка геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению ax 2 by 2 cz 2 dxy fxz gyz hx ky lz m где a, b, c, d, f, g, h, k, l, m - вещественные числа, причем хотя бы одно из чисел a, b, c, d, f, g отлично от нуля.

Мы будем подробно рассматривать следующие поверхности второго порядка:

Двуполостной гиперболоид: Эллиптический параболоид:

Эллипсоид: Однополостной гиперболоид:

Гиперболический параболоид Поверхности вращения Поверхность вращения — поверхность, созданная при вращении образующей вокруг оси. Например, если прямая пересекает ось вращения, то при е вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

Поверхность вращения является объектом изучения в математическом анализе, аналитической геометрии Определение Поверхность вращения - поверхность, образованная вращением какой-либо плоской линии вокруг прямой, лежащей в плоскости этой линии.

Для вывода уравнения поверхности вращения необходимо выбрать систему координат. Чтобы уравнение поверхности вращения выглядело проще, ось вращения принимают за одну из координатных осей.

Пусть в координатной плоскости Oyz задана кривая L уравнением F (Y, Z ) 0.

Вращаем кривую L вокруг оси Oy. Получим некоторую поверхность.

M x, y, z Пусть произвольная точка получившейся поверхности. Тогда MN x 2 z 2 MN M1N M1 N z,, т.к. если взять точку M 1 с отрицательной аппликатой, то.

M1 N z Z x2 z Y y, Следовательно, имеем и координаты точки M x, y, z удовлетворяют уравнению F y, x 2 z 2 Уравнение и есть искомое уравнение поверхности вращения.

Таким образом, чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением линии L, лежащей в плоскости Oyz, вокруг оси Oy, нужно в уравнении этой линии заменить z на x 2 z 2.Аналогичные правила будут иметь место и по отношению к уравнениям поверхностей, полученных вращением плоских линий вокруг других координатных осей.

Пример Найти уравнение поверхности вращения окружности x 2 y 2 R 2 около оси Ox.

Решение Следует в уравнении окружности заменить y на y 2 z 2. Получим уравнение поверхности вращения x y z R 2 2 2 т.е. получим уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом, равным R.

Пример Найти уравнение поверхности вращения y2 z 1.

эллипса вокруг оси Oz a 2 b Решение Поверхность 2 2 x y z 2 2 1 получаемая в a a b результате вращения, называется эллипсоидом вращения Эллипсоиды Определение Эллипсоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяемая уравнением x2 y2 z a 2 b2 c - полуоси эллипсоида, если они различны, то a, b, c эллипсоид трехосный, a b c - эллипсоид есть сфера.

Если две из величин одинаковы, то эллипсоид является поверхностью вращения, a b, - то ось вращения OZ.

В случае, когда пара полуосей имеет одинаковую длину, эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидом.

С помощью метода параллельных сечений исследуем форму эллипсоида.

Рассмотрим сечение плоскостями, параллельными плоскости OXY.

x2 y2 h 2 2 1 a В сечении получается b c z h h c плоскость z h пересекает эллипсоид по При эллипсу с полуосями h2 h a* a 1 b* b,.

c2 c Аналогично при рассмотрении сечений эллипсоида с плоскостями OXZ и OYZ. Сечением эллипсоида любой плоскостью является эллипс (в частном случае круг).

Определение Мнимый эллипсоид – поверхность определяемая уравнением x2 y2 z 1.

a2 b2 c Пример Найти уравнение поверхности вращения 2 x y 2 1 вокруг действительной оси.

гиперболы a b Решение Вращение происходит вокруг оси Ox, следовательно, уравнение поверхности вращения будет x2 y2 z a2 b2 b Такая поверхность носит название двуполостного гиперболоида вращения.

Различают одно и двухполостной гиперболоиды вращения. Первый получается при вращении вокруг мнимой оси, а второй – вращением гиперболы вокруг действительной оси.

Двухполостный гиперболоид Определение Двухполостный гиперболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением x2 y2 z a2 b2 c где a, b, c - полуоси гиперболоида.

Исследуем с помощью метода параллельных сечений форму двухполостного гиперболоида.

Рассмотрим сечение плоскостями, плоскостями OXZ и OYZ.

Сечение плоскостью OXZ определяется x2 z 2 2 a гипербола симметричная относительно OX c y и OZ.

Сечение плоскостью OYZ определяется y2 z 2 2 b гипербола симметричная относительно OY и c x OZ Рассмотрим сечение плоскостями, параллельными плоскости OXY.

x2 y2 h 2 2 1 В сечении получается a b c z h При h c плоскость z c пересекает двухполостный гиперболоид по эллипсу с полуосями h2 h a a 2 1, b b 2 * * c c Аналогично при рассмотрении сечений эллипсоида с плоскостями OXZ и OYZ.

Для обоих гиперболоидов сечения, параллельные оси z гиперболы (для однополостного гиперболоида может быть пара пересекающихся прямых), сечения, параллельные плоскости XOY – эллипсы.

Пример Найти уравнение поверхности вращения 2 x y 2 1 вокруг мнимой оси.

a b Решение Вращение происходит вокруг оси Оу, следовательно, уравнение поверхности вращения будет x2 y 2 z a 2 b2 a Такая поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения.

Однополосный гиперболоид Определение Однополосный гиперболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением x2 y2 z a 2 b2 c где a, b, c - полуоси гиперболоида, если они различны.

С помощью метода параллельных сечений исследуем форму однополостного гиперболоида.

Рассмотрим сечение плоскостями, плоскостями OXZ и OYZ.

Сечение плоскостью OXZ определяется x2 z 2 2 a - гипербола симметричная относительно OX и c y OZ.

Сечение плоскостью OYZ определяется y2 z 2 2 b - гипербола симметричная относительно OY и c x OZ Рассмотрим сечение плоскостями, параллельными плоскости OXY.

x2 y2 h 2 1 a В сечении получается b c z h Плоскость z h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями h2 h a a 1 2, b b 1 2, * * c c Аналогично при рассмотрении сечений эллипсоида с плоскостями OXZ и OYZ.

Замечание Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью (то есть может быть составлена из одних прямых);

если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней. Это свойство линейчатости однополостного гиперболоида используется в архитектуре.

Замечание Шуховская башня в Москве является гиперболоидной конструкцией. Она составлена именно из гиперболоидов, образованных прямыми стержнями, выполнена в виде несущей стальной сетчатой оболочки. Расположена в Москве на улице Шаболовка. Построена в 1919—1922г..

великим русским инженером, академиком Владимиром Григорьевичем Шуховым (1853—1939).

Шуховская башня имеет оригинальную изящную сетчатую конструкцию, благодаря чему достигается минимальная ветровая нагрузка, представляющая главную опасность для высоких сооружений. По форме секции башни — это однополостные гиперболоиды вращения, сделанные из прямых балок, упирающихся концами в кольцевые основания. Такие конструкции оказались легкими и прочными. Они часто употребляются для устройства высоких радиомачт, водонапорных башен.

Пример Найти уравнение поверхности вращения гиперболы z y 2 вокруг оси Oz.

Решение Поверхность z x 2 y 2, получаемая в результате вращения, называется параболоидом вращения.

Параболоиды Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (т.е. не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка. Параболоид тип поверхности второго порядка.

Эллиптический параболоид Определение Эллиптический параболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением x2 y 2z p q С помощью метода параллельных сечений исследуем форму эллиптического параболоида.

Рассмотрим сечение плоскостями, плоскостями OXZ и OYZ.

Сечение плоскостью OXZ определяется x 2 2 pz - парабола симметричная относительно OZ, с y вершиной в начале координат Сечение плоскостью OYZ определяется y 2 2qz - парабола симметрично относительно OZ x Рассмотрим сечение плоскостями, параллельными плоскости OXY.

x2 y 2h p В сечении получается q z h Плоскость z h пересекает эллиптический параболоид по a* 2hp, b* 2hq эллипсу с полуосями.

Аналогично при рассмотрении сечений эллипсоида с плоскостями OXZ и OYZ.

Сечения, параллельные оси Z – параболы, сечения, параллельные плоскости XOY – эллипсы.

Замечание Поверхность описывается семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх.

Замечание Если p q то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.

Гиперболический параболоид Определение Гиперболический параболоид – поверхность определяемая уравнением x2 y 2z pq Гиперболический параболоид (называемый в строительстве «гипар») — седлообразная поверхность, описываемая уравнением вида x2 y2 x y x y 2z p q p p q q Из второго представления видно, что гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью.

Определение Линейчатая поверхность поверхность, образованная движением прямой линии.

Поверхность может быть образована движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх, при условии, что первая парабола соприкасается со второй своей вершиной Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

С помощью метода параллельных сечений исследуем форму эллиптического параболоида.

Рассмотрим сечение плоскостями, плоскостями OXZ и OYZ.

Сечение плоскостью OXZ определяется x 2 2 pz - парабола симметричная относительно OZ, с y вершиной в начале координат Сечение плоскостью OYZ определяется y 2 h 2 z - парабола симметрично относительно q p x h OXZ Рассмотрим сечение плоскостями, параллельными плоскости OXY.

x2 h 2z p q В сечении получается y h Рассмотрим сечение плоскостями, параллельными плоскости OXY.

x2 y 2h p В сечении получается q z h Плоскость z h пересекает гиперболический параболоид по гиперболам.

Сечения, параллельные плоскостям OYZ и XOZ – параболы, сечения, параллельные плоскости XOY – гиперболы ( и пара пересекающихся прямых).

Замечание Поверхность может быть образована движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх, при условии, что первая парабола соприкасается со второй своей вершиной Лекция 15 Цилиндрические и конические поверхности Цилиндрические поверхности являются частным случаем линейчатых поверхностей. Цилиндрическая поверхность имеет бесконечно много разнообразных направляющих (изоморфных друг другу).

Характеристикой направляющей кривой, качественно влияющей на цилиндрическую поверхность, является замкнутость: если направляющая кривая замкнута, цилиндрическая поверхность называется замкнутой, и разомкнутой в противоположном случае.

Цилиндрические поверхности Определение Цилиндрическая поверхность поверхность, образованная прямыми (образующими), параллельными некоторой данной прямой L и пересекающими данную линию C (направляющую).

Беря за направляющие цилиндрических поверхностей различные кривые 2-го порядка, лежащие в плоскости OXY, и принимая направление оси OZ за направление образующих этих цилиндров, получаем уравнения цилиндрических поверхностей:

Допустим, что направляющая C задана уравнениями F ( x, y, z ) Ф( x, y, z ) а образующая L задана уравнениями X x Yy Zz m n p где X, Y, Z - текущие координаты точек, принадлежащих образующим, т.е. цилиндрической поверхности;

x, y, z координаты точек, принадлежащих направляющей C. Если из уравнений исключим x, y, z, то получим уравнение относительно переменных т.е. уравнение X,Y, Z, цилиндрической поверхности.

Заметим, что всякое уравнение вида F ( x, y) не содержащее координаты z, определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz.

На координатной плоскости Oxy уравнение определяет плоскую линию, которую обычно называют направляющей рассматриваемой цилиндрической поверхности.

В пространстве эта линия определяется двумя уравнениями F ( x, y) 0 и z 0.

Цилиндры Определение Тело, ограниченное замкнутой бесконечной цилиндрической поверхностью, называют бесконечным цилиндром.

Рассмотрим уравнения известных кривых второго порядка:

x2 y 2 x2 y 1, 1, y 2 2 px, a 2 b2 a 2 b и примем их за уравнения направляющих цилиндрических поверхностей.

Тогда в пространстве эти уравнения будут представлять следующие цилиндрические поверхности:

Определение Тело, ограниченное замкнутой конечной цилиндрической поверхностью и двумя сечениями, благодаря которым она была получена, называется цилиндром.

Классификация цилиндрических поверхностей второго порядка Параболический Эллиптический цилиндр:

цилиндр:

Пара совпавших Пара совпавших прямых:

плоскостей:

Гиперболический цилиндр:

Пара пересекающихся плоскостей:

Эллиптический цилиндр Определение Эллиптический цилиндр – поверхность определяемая уравнением x2 y a 2 b Ось цилиндра служит ось OZ.

Цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны оси OZ, а направляющей является эллипс.

Гиперболический цилиндр Определение Гиперболический цилиндр – поверхность определяемая уравнением x2 y a 2 b Ось цилиндра служит ось OZ.

Параболический цилиндр Определение Параболический цилиндр – поверхность определяемая уравнением y 2 2 px Сечениями цилиндров являются соответственно эллипсы, гиперболы и параболы.

Параболический цилиндр — цилиндрическая поверхность второго порядка, для которой направляющей служит парабола.

Его можно получить при перемещении параболы по прямой.

Тогда следом от параболы будет параболический цилиндр.

Каноническое уравнение: z = ax2, Конические поверхности Определение Коническая поверхность- поверхность, образованная прямыми (образующими конуса), проходящими через данную точку (вершину конуса) и пересекающими данную линию (направляющую конуса).

Пусть направляющая конуса задана уравнениями:

F ( x, y, z ) Ф( x, y, z ) а вершина S конуса имеет координаты x0, y0, z0.

Уравнения образующей запишем как уравнения прямой, проходящей через две точки S x0, y0, z0 и M x, y, z, принадлежащие направляющей:

X x0 Y y 0 Z z x x0 y y0 z z где X, Y, Z - текущие координаты точек образующих.

Исключая из уравнений x, y, z, получим уравнение относительно переменных X, Y, Z т.е. уравнение конической поверхности.

Конус Пример Найти уравнение поверхности, полученной вращением z y вокруг оси Oz.

Решение Поверхность вращения имеет z x 2 y 2 или уравнение z 2 x 2 y 2 и носит название прямого кругового конуса.

Определение Конус – поверхность определяемая уравнением x2 y2 z a2 b2 c Рассмотрим сечение плоскостями, z c x2 y В сечении получается a 2 b z c Сечение - эллипс с полуосями a и b Если a b, то конус круглый.

Определение Мнимый конус – поверхность определяемая уравнением x2 y2 z a 2 b2 c Это единственная точка (0,0,0) Поверхность конуса состоит из прямых линий (образующих), проходящих через его вершину и точки эллипса с полуосями a и b, плоскость которого перпендикулярна оси Z.

Лекция 16 Элементы функционального анализа Элементы функционального анализа относятся к разделу математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения.

Линейные пространства Теория линейных пространств находит чрезвычайно широкие применения в современной математике. Прежде всего, все линейные пространства разделяются на конечномерные и бесконечномерные.

Конечномерные пространства (одномерные, двумерные, трехмерные и т. д.) изучаются в линейной алгебре, которая является предметом этой книги.

Бесконечномерные пространства рассматриваются в различных разделах функционального анализа;

у нас они будут представлены в данной лекции.

Пусть L - некоторое множество объектов произвольной природы.

Определение Линейное пространство - множество L произвольных элементов, если на нем определены две операции:

1. операция сложения любых двух элементов этого множества 2. операция умножения элементов этого множества на комплексное число, причем эти операции удовлетворяют некоторым аксиомам.

- Каждой паре элементов x, y из этого пространства поставлен в соответствие элемент z этого пространства, называемый суммой элементов x, y (обозначение) z x y -Каждому элементу x из L и каждому комплексному числу поставлен в соответствие элемент из L, называемый произведением x.

Определение Аксиома — утверждение, принимаемое истинным без доказательства, а также как «фундамент» для построения доказательств.

Аксиомы линейного пространства 1. x y y x для любых x, y L, свойство коммутативности сложения x y z x y z x, y, z L, для любых 2.

свойство ассоциативности 0 L, такой, что 3. существует "нулевой" элемент x 0 x, x L, x x 0, x L для каждого существует 4.

"противоположный" ему элемент для любого элемента существует единица 5.

1 x x x L, x x x L,, C 6.

ассоциативность умножения на число x y x y x, y L C - первая 7.

дистибутивность x x x x L, C вторая 8. дистрибутивность Перечисленные аксиомы являются естественным обобщением хорошо известных свойств сложения и умножения чисел, сложения векторов и их умножения на число и т.д.

Замечание Впервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (384—322 до н. э.) и перешл в математику от философов Древней Греции Следствия аксиом Из того что существует "нулевой" элемент 0 L, такой, что x 0 x, x L, вытекает, что он единственный Доказательство От противного Пусть существуют два нулевых элемента 0 L, 0 L x 0 x, x L, отсюда 0 Имеем x 0 x, x L Следствия аксиом Из того что существует "противоположный " элемент, такой, что x x 0, x L, вытекает, что он единственный Доказательство От противного Пусть существуют два противоположных элемента x L, x L x x 0, x L Имеем, x x 0, x L Прибавим к обеим частям первого из этих равенств по вектору x L Получим x x x 0 x Но x x 0 отсюда 0 x 0 x т.е. x x.

Замечание Из аксиомы о существовании нулевого элемента следует, что линейное пространство – непустое множество.

Пример Линейное пространство векторов на плоскости (или в трехмерном пространстве) с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Нулевым элементом является нулевой вектор.

Пример Линейное пространство функций, непрерывных на данном отрезке a, b с обычными операциями сложения функций и умножения функции на действительное число.

Нулевой элемент - функция f ( x ) 0.

Пример Линейное пространство всех комплекснозначных функций u x iv x, где функции непрерывны на a, b с обычными операциями сложения функций и умножения функции на комплексное число. Нулевой элемент - функция f ( x) 0 i Пример Множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным пространством.

В силу предложения столбцы-решения системы можно складывать и умножать на число. При этом будут получаться снова решения этой системы. Значит, на множестве решений определены операции сложения и умножения на число. Легко проверить, что эти операции удовлетворяют требованиям из определения линейного пространства.

Определение Пусть теперь x1, x2 xn - некоторые элементы линейного пространства L, а c1, c2 cn произвольные комплексные (или действительные) числа.

c1 x1 c2 x2 cn xn, Элемент пространства L, равный называется линейной комбинацией элементов x1, x2 xn.

Определение Система (набор) элементов x1, x2 xn пространства L называется линейно независимой, если линейная комбинация c1 x1 c2 x2 cn xn равна нулевому элементу пространства только в случае c1 c2 cn 0.

Иными словами, система называется линейно независимой, если из равенства c1 x1 c2 x2 cn xn 0 следует, что c1 c2 cn Определение Система элементов пространства L называется линейно зависимой, если равенство c1 x1 c2 x2 cn xn выполнено при некотором наборе констант, хотя бы одна из которых отлична от нуля.

Пример В пространстве непрерывных функций (действительных;

на любом промежутке) система функций 1, x, 2 x 3 линейно зависима, поскольку 3 1 2 x 1 2 x 3 0, а система функций 1, x, x, x n при любом n N линейно независима, т.к.

c1 c2 x cn1 x n линейная комбинация представляет собой многочлен, а из алгебры известно, что многочлен тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда все его коэффициенты нулевые.

Сколько элементов может содержать линейно независимая система в том или ином линейном пространстве?

Очевидно, что в пространстве векторов на плоскости можно указать систему из двух линейно независимых векторов (это могут быть любые 2 неколлинеарных вектора), но уже любые вектора - линейно зависимы. Естественно назвать такое пространство двухмерным.

В то же время в пространстве непрерывных функций, как мы видим, можно указать любое наперед заданное число линейно независимых функций. Такое пространство естественно назвать бесконечномерным.

Определение Линейное пространство имеет размерность n (или, n-мерно), если в нем найдется n линейно независимых элементов, но любые (n+1) элемент линейно зависимы.

Определение Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем можно указать любое наперед заданное число линейно независимых элементов.

Пусть теперь L - n-мерное линейное пространство. По определению, в нем существует набор линейно независимых элементов u1, u2,, un.

f, u1, u2,, un Если f - произвольный элемент из L, то система линейно зависима, т.к. содержит (n+1) элемент. Значит, найдется набор констант c1, c2 cn, хотя бы одна из которых отлична от нуля, такой, что c0 f c1u1 cn un Очевидно с0 0, (в противном случае система оказалась бы линейно зависимой).

cn c1 c f u1 2 u2 Тогда un c0 c0 c т.е. элемент f оказался представленным в виде линейной комбинации элементов линейно независимой системы.

Убедимся, что такое представление единственно.

В самом деле, пусть элемент f можно представить двумя способами в виде линейной комбинации элементов системы:

f 1u1 n un f 1u1 n un Тогда 0 f f 1u1 n un 1u1 n un 1 1 u1 n n un В правой части мы получим линейную комбинацию элементов линейно независимой системы.

Из равенства этой линейной комбинации нулю следует равенство нулю всех коэффициентов.

Таким образом, 1 1 n n, т.е. два представления элемента f оказались совпадающими.

Мы пришли к следующему выводу: любой элемент n мерного линейного пространства можно представить (причем единственным способом) в виде линейной комбинации произвольных n элементов, образующих линейно независимую систему.

Этот факт весьма важен: в самом деле, n элементов линейно независимой системы в n-мерном пространстве оказываются теми "кирпичиками", из которых можно сложить абсолютно любой элемент пространства.

В силу важности этого факта введем специальное понятие базис линейного пространства.

Определение Система элементов линейного пространства называется базисом этого пространства, если любой элемент этого пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации элементов данной системы.

Как мы убедились, в n-мерном пространстве любая линейно независимая система из n элементов образует базис.

Естественно поставить вопрос: справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечномерных пространств, и что вообще представляет собой базис бесконечномерного пространства?

Само по себе сформулированное выше определение базиса никак не привязано к размерности пространства, поэтому формально такое определение годится и для бесконечномерного пространства.

Определение В n-мерном линейном пространстве L любая совокупность (система) n линейно независимых векторов называется базисом ei 1 e1, e2,..., en, ei n - базисные векторы.

x 1e1 2e2... nen 0 0 x Определение Если e1...en - базис в L, то для любого x L существуют числа x1, x2,..., xn :

x x1e1 x2e2... xnen x1, x2,..., xn.

Это разложение вектора по базису.

Теорема В данном базисе координаты вектора определены однозначно.

Доказательство(от противного):

Пусть в базисе e1 два набора чисел для вектора x x x1e1... xn en x1, x2,..., xn x x1 e1... xn en x1, x2,..., xn x x 0 x1 x1 e1... xn xn en линейно независимы, то все xi xi ei Так как xi xi Пример Базисы в линейном пространстве:

L R4 ;

a 1, 2,3, a 1e1 2e2 3e3 4e e1 1, 0, 0, e2 0,1, 0, e3 0, 0,1, e 0, 0, 0, 4 2) L A 2 x e e e e A 4 1 1 2 2 3 3 4 3 0 0 1 0 0 0 e ;

e2 ;

e3 ;

e 4 0 0 0 1 0 0 Определение Базис e1, e2,..., en в L называется ортогональным, если векторы ei попарно ортогональны.

Теорема Если векторы попарно ортогональны, то они являются линейно независимыми.

Определение Множество векторов на прямой назовем одномерным векторным пространством, множество векторов на плоскости - двумерным векторным пространством, в пространстве - трехмерным векторным пространством.

Определение Базис векторного пространства L упорядоченная система векторов пространства, состоящая: из одного ненулевого вектора, если пространство одномерное;

из двух неколлинеарных векторов, если пространство двумерное;

из трех некомпланарных векторов, если пространство трехмерное.

Замечание Очевидно, что в любом векторном пространстве можно выбрать бесконечно много базисов, число векторов в каждом из них равно размерности пространства.

В самом деле, базис бесконечномерного пространства, очевидно, не может состоять из конечного числа элементов, это должна быть бесконечная система. Но что понимать под "линейной комбинацией бесконечного числа элементов"?

Понятие линейной комбинации введено нами лишь для конечного числа элементов;

более того, аксиомы линейного пространства позволяют рассматривать сумму любого конечного числа слагаемых, но никак не определяют сумму бесконечного числа слагаемых.

Наконец, если мы даже определим бесконечную сумму (и, соответственно, бесконечную линейную комбинацию), то в каком смысле следует понимать равенство этой бесконечной суммы некоторому элементу пространства?

Таким образом, изучение базисов в бесконечномерных линейных пространствах немыслимо без рассмотрения бесконечных сумм (которые, как и в классическом анализе, будем называть рядами).

Изучение рядов, как и любых математических объектов, связанных с бесконечностью, невозможно без введения в том или ином виде понятия предела (так, в классическом анализе сумма числового ряда понимается как предел частичных сумм этого ряда). А понятие предела, в свою очередь, предполагает возможность тем или иным образом оценить "близость" друг к другу элементов пространства (так, классическое понятие предела числовой последовательности фактически означает, что члены последовательности все ближе и ближе приближаются к некоторому фиксированному числу, называемому пределом этой последовательности). Тем самым возникает необходимость во введении такого понятия, как расстояние между элементами пространства.

Иными словами, пространство должно быть наделено метрикой.

Пространство должно быть наделено не только линейной, но и метрической структурой. В этом заключается коренное отличие бесконечномерных линейных пространств от конечномерных.

Замечание В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. Для этого должна существовать нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, т.е. факторы единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.

Метрические и нормированные пространства Формально метрическим пространством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Морис Фреше впервые ввл понятие метрического пространства. Морис Рене Фреше (1878 - 1973) — французский математик.

В 1906 году ввел современные понятия метрического пространства, компактности, полноты и др.;

работал также в области теории вероятностей.

Определение Множество M называется метрическим пространством, если каждым двум элементам x, y этого множества поставлено в соответствие действительное число x, y, обозначаемое и называемое расстоянием между элементами x и y, причем выполнены следующие аксиомы:

1. x, y 0 для любых x, y M, x, y 0 в том и только в том случае, когда x y ;

2. x, y y, x для любых x, y M ;

3. x, y x, z z, y для любых x, y M x, y Функция называется метрикой данного пространства.

Аксиомы 1-3 будем называть аксиомами метрики.

Любое множество можно наделить метрикой:

Пример В евклидовом пространстве понятие «длина вектора» понимается интуитивно как расстояние между его началом и концом. Наиболее важными свойствами «длины вектора» являются следующие:

Длина нуль-вектора, O, равна нулю;

длина любого другого вектора положительна.

Умножение вектора на положительное число во столько же раз увеличивает длину вектора.

Действует неравенство треугольника.

Метрическое пространство - множество точек плоскости, где x, y расстояние между точками и определяется A, B x1 x2 y1 y2.

2 Замечание В приведенном примере третья аксиома, принимает вид A, B A, C C, B где A, B, C - произвольные точки плоскости.

Имеет наглядную интерпретацию: длина любой из сторон треугольника не превосходит суммы двух других сторон (равенство достигается, если треугольник "вырожден": точка C лежит на отрезке AB).

В связи с этим третью аксиому метрического пространства часто называют неравенством треугольника.

На множестве непрерывных функций можно ввести и так называемую среднеквадратичную метрику b f x g x f, g dx a (пространство с этой метрикой обозначают C2 a, b ), В линейных пространствах наряду с метрикой используют понятие нормы элемента.

Определение Линейное пространство называется нормированным, если каждому элементу x этого пространства поставлено в соответствие действительное число x (норма x ), причем выполнены следующие аксиомы:

1. x 0 для любого x, причем x 0 тогда и только тогда, когда x 0 ;

2. x x для любого x x y x y для любых x, y из данного 3.

пространства.

Для линейных пространств над полем действительных чисел также вводится понятие нормированного пространства с теми же аксиомами.

Все метрические понятия переносятся и на нормированные пространства.

Неравенство, фигурирующее в третьей аксиоме, называется неравенством Минковского.


Минковский Герман (1864-1909, Гттинген) — немецкий математик, разработавший геометрическую теорию чисел и геометрическую четырхмерную модель теории относительности.

В этой модели время и пространство представляют собой не различные сущности, а являются взаимосвязанными измерениями единого пространства-времени, а все релятивистские эффекты получили наглядное геометрическое истолкование. Минковский провозгласил:

Отныне время само по себе и пространство само по себе становятся пустой фикцией, и только единение их сохраняет шанс на реальность.

Модель Минковского существенно помогла Эйнштейну в разработке общей теории относительности, полностью опирающейся на аналогичные идеи.

Пример Нормированные пространства - множества действительных чисел R и комплексных чисел C, где в качестве нормы числа рассматривается его модуль, а также пространство векторов на плоскости (или в пространстве) с нормой, равной длине вектора.

В пространстве непрерывных функций на (действительном или комплексном) норму можно ввести, например, следующими способами:

b f x dx f max f ( x ), f или a,b a Обозначение пространство непрерывных функций f x на отрезке a, b - Ca, b.

Отметим теперь следующий важный факт. В любом линейном нормированном пространстве можно ввести метрику следующим образом:

x, y x y При этом выполнение первой аксиомы метрического пространства следует из первой аксиомы нормированного пространства. Выполнение второй аксиомы также очевидно.

Наконец, выполнение третьей аксиомы метрического пространства следует из неравенства Минковского.

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

x y x y px, y px, z p y, z, x, y, z X Теорема Любое линейное нормированное пространство метрическое пространство Доказательство Нормы в пространстве непрерывных функций порождают соответственно равномерную и среднеквадратичную метрику, т.е. порождают Обратное утверждение, вообще говоря, неверно:

Не в любом метрическом пространстве можно ввести норму, поскольку понятие нормы вводится лишь в линейном пространстве, а метрическое пространство может не быть наделено линейной структурой.

Однако, если метрическое пространство наделено линейной структурой (является линейным пространством), то его всегда можно сделать нормированным, введя норму.

Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать исключительно линейные нормированные пространства, причем всюду (в случае необходимости) будем подразумевать, что пространство снабжено естественной (индуцированной) метрикой.

x, y x y.

Замечание Манхеттенская, или городская метрика:

координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами.

Замечание Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния d x, y y x Глоссарий К лекции Главная диагональ - совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним. а на отрезке.

Единичная матрица - квадратная матрица, независимо от ее порядка, элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю.

1 0 0 0 1 0 E 0 0 0 Матрица квадратная - матрица порядка для которой выполняется свойство: число строк равно числу столбцов.

Матрица- столбец- матрица состоящая только из одного c столбца C c c Матрица-строка - матрица состоящая только из одной строки D d11 d12 d13 d Нулевая матрица - матрица, все элементы которой равны нулю.

Перестановочные матрицы A и B - матрицы, для которых выполняется A B B A.

Побочная диагональ - совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним.

Произведение матрицы A mn на матрицу B nk - матрица Cmk, каждый элемент которой c mk, равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A mn на j -ый столбец матрицы B nk n Amn Bnk Cmk, т.е. Cmk cmk, где c mk a mj b jk j Прямоугольная матрица размерностью n на m называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A A n,m a n1 a n2 a nm Симметрическая матрица – квадратная матрица элементы aij a ji которой удовлетворяют условию Сумма (разность) двух матриц - матрица той же размерности, что и исходные, каждый элемент которой определяется как сумма (разность) соответствующих элементов матриц.

a11 b 11 a12 b 12 a1n b 1n a 21 b 21 a 22 b 22 a 2n b 2n A AB a b a m2 b 11 a mn b mn m1 T Транспонированная матрица A - матрица, если элементы каждой строки матрицы A записываются в том же порядке в столбцы матрицы A T, причем номер столбца совпадает с номером строки.

a 11 a 1n a 11 a 21 a m a a a 2n T a 12 a 22 a m a Треуголь A A n,m 21 A ная a a a 2n a mn матрица - a mn m1 1n a m квадратная матрица, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. При этом матрица B, где b ij 0 при i j, называется правой (или верхней) треугольной матрицей, а матрица C, где c ij 0 при i j, - левой (или нижней) c11 b11 b12 b13 b1n 0 c 21 c 31 0 b 22 b 23 b 2n C c 31 c 32 B 0 b 3n c 0 b 33 c cmn 0 b mn cm m1 cm2 0 К лекции Алгебраическое дополнение элемента A ik - минор M ik взятый со знаком i k A ik 1 M ik i k Вырожденная матрица - квадратная матрица имеющая определитель равный нулю.

Минор порядка k матрицы A - определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов данной матрицы.

Невырожденная матрица - квадратная матрица имеющая определитель, отличный от нуля ( 0 ), в противном случае матрица.

Несовместная система – система не имеющая ни одного решения.

Определитель Вандермонда порядка n - степенной определитель вида:

x1 x1 2 n 1 x x 2 x n 1 x2 2 Wn x n 1 xn x n n Определитель 3-го порядка - число, находящиеся по следующему правилу: сумма 6 слагаемых, из которых первые три взяты со знаком «+», а три – со знаком «-«.

Особая матрица - квадратная матрица определитель которой равен нулю.

Совместная система - система, обладающая хотя бы одним решением.

К лекции Базисный минор матрицы - всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы.

Неопределенная система - совместная линейная система если она имеет более одного решения.

Обратная матрица - называется матрица A A 1 A AA 1 E.

Определенная система - совместная линейная система, если она имеет единственное решение.

Определитель второго порядка - число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

a11 a a11a 22 a12a 21.

a 21 a Определитель третьего порядка - число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

a11 a12 a a 21 a 22 a 23 a11a 22a 33 a13a 21a 32 a12a 23a a 31 a 32 a a13a 22a 31 a12a 21a 33 a11a 23a Ранг матрицы – это порядок ее наибольшего ненулевого минора.

Теорема Кронекера-Капелли - система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы A *.

RgA RgA *.

Фундаментальная система решений - любые n – r линейно независимые решения системы.

Эквивалентные матрицы - матрицы, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

К лекции Однородная система – система уравнений у которой свободные члены равны нулю.

Правило Крамера :Если определитель системы не равен нулю, то решение системы единственно. Каждое из неизвестных равно частному двух определителей с общим знаменателем, равным определителю системы, числителями служат определители, получаемые из определителя системы заменой столбца коэффициентов, стоящих при определяемом неизвестном, столбцом свободных членов уравнений системы.

Формулы Крамера – формулы вида 1 x1, x2 2, x3 3, где b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b 1 b2 a 22 a 23, 2 a 21 b 2 a 23, 3 a 21 a 22 b b3 a 32 a 33 a 31 b 3 a 33 a 31 a 32 b Эквивалентные системы - две системы, если всякое решение первой системы является решением другой системы и наоборот.


Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений – преобразования вида:

- перестановка местами двух уравнений;

- умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;

- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

К лекции Базис в трехмерном пространстве R3 -- упорядоченная тройка любых линейно-независимых векторов.

Вектор - направленный отрезок или упорядоченную пару точек будем называть Длина - расстояние между началом и концом вектора Единичный вектор -вектор, длина которого равна единице.

Коллинеарные векторы – векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых.

Компланарные векторы - векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются Линейно-независимые вектора - вектора a, b, c, если они не лежат в одной плоскости.

x Направляющие косинусы вектора -косинусы углов вычисляемые по формулам:

xd xd y z cos ;

cos d ;

cos d xd y d z d d d d 2 2 Нулевой вектор - это вектор, начало и конец которого совпадают. Модуль нулевого вектора равен нулю, а направление не определено Орт вектора a называется вектор a 0, который имеет единичную длину и то же направление, что и вектор a.

a a0.

a Ортогональный базис - базис a, b, c, если векторы a, b, c попарно перпендикулярны.

Ортонормированный базис – базис a, b, c, если векторы a, b, c попарно перпендикулярны и имеют длину, равную единице.

К лекции Векторное произведение вектора a на вектор b - вектор c a b a, b, определяемый следующим образом:

1) длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т.е.

c a b sin, где - угол между векторами a и b ;

2) вектор c перпендикулярен векторам a и b ;

3) векторы a, b, c после приведения к общему началу образуют правую тройку векторов.

Левая тройка векторов - упорядоченная тройка векторов a, b, c, если наблюдатель, находящейся на конце вектора, видит кратчайший поворот от a к b происходящим по часовой стрелки.

Правая тройка векторов - упорядоченная тройка векторов a, b, c, если наблюдатель, находящейся на конце вектора, видит кратчайший поворот от a к b происходящим против часовой стрелки.

Проекция вектора a на вектор b - скалярная величина prb a a cos Скалярное произведение двух векторов - число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

a b a, b a b cosa, b Смешанное произведение трех векторов a, b, c - число, определяемое по формуле:

a, b, c a b c К лекции Алгебраическая поверхность - поверхность в некоторой прямоугольной декартовой системе координат она определяется уравнением F ( x, y, z ) где F ( x, y, z ) - целый многочлен относительно переменных x, y, z.

Трансцендентная поверхность - всякая неалгебраическая поверхность.

Сфера в пространстве R 3 - геометрическое место точек, одинаково удаленных от некоторой точки, называемой центром сферы.

Уравнение линии L - уравнение y f (x) или F ( x, y) если этим соотношениям удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих линии L.

Уравнение поверхности - уравнение вида F ( x, y, z ) 0, которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности, и притом только этих точек.

К лекции Векторное уравнение плоскости – уравнение вида:

n(r r0 ) Нормальный вектор плоскости - любой ненулевой вектор n A, B, C, перпендикулярный плоскости.

Нормальное уравнение плоскости - уравнение вида cos x cos y cos z p где A B cos, cos A2 B 2 C 2 A2 B 2 C C D cos p, A2 B 2 C 2 A2 B 2 C Общее уравнение плоскости – уравнение вида:

Ax By Cz D Отклонением точки M * от данной плоскости - число d, если M * лежит по ту сторону от плоскости, куда идет положительное направление нормали, и d, если M * лежит с другой стороны от данной плоскости. 0 для точек лежащих на плоскости.

Расстояние d от точки x0, y0, z0 до плоскости Ax By Cz D 0 определяется по формуле Ax 0 By 0 Cz 0 D d A2 B 2 C Угол между плоскостями - угол между их нормальными векторами N1 и N 2, т.е.

1 2 N1 N A1 A2 B1 B2 C1 C cos A B12 C12 A2 B2 C 2 2 2 Уравнением плоскости в отрезках - уравнение вида xyz abc a - абсцисса точки пересечения плоскости с осью Ox, b ордината точки пересечения плоскости с осью Oy, c аппликата точки пересечения плоскости с осью Oz.

Уравнение плоскости, проходящей через точку (x0,y0,z0) и имеющую нормальный вектор A(x - x0) B(y - y0) C(z - z0) 0.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M1, M2, M x x1 y y1 z z x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1 x 3 x1 y 3 y1 z 3 z Условие параллельности двух плоскостей – условие A2 B C 2 A1 B1 C Условие перпендикулярности двух плоскостей - условие A1 A2 B1 B2 C1C2 0.

К лекции Угловой коэффициент прямой – тангенс угла наклона прямой к оси ОХ, угол отсчитывается от оси ОХ к прямой против часовой стрелки.

y 2 y k k tg.

x 2 x Угол между двумя прямыми - угол k 2 k1 A1 B2 A2 B tg tg, 1 k1 k 2 A1 A2 B1 B xy 1.

Уравнение в отрезках уравнение вида:

ab Уравнение прямой с угловым коэффициентом - уравнение y kx b Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки - уравнение вида:

y y1 x x.

y2 y1 x2 x Уравнение прямой, проходящей через заданную точку уравнение вида:

y y0 k x x Уравнение пучка прямых - уравнение вида:

A1 x B1 y C1 2 x B2 y C2 Условие параллельности двух прямых – условие A1 B k1 k 2, A2 B Условие перпендикулярности двух прямых – условие k1 k2 1 A1 A2 B1B2 0.

К лекции Каноническое уравнение прямой уравнение вида x x0 y y0 z z m n p Нормальное уравнение прямой - уравнение вида x cos y sin p где A A C cos, sin,p, A2 B 2 A2 B 2 A2 B Общее уравнение прямой - уравнение вида Ax By D Отклонение точки M * от данной прямой - число d, если M * лежит по ту сторону прямой, куда идет положительное направление нормали, и d, если M * лежит с другой стороны от данной прямой, 0 для точек лежащих на прямой.

Параметрическое уравнения прямой - уравнение вида x x0 mt y y0 nt z z pt Расстояние от точки до прямой равно модулю отклонения этой точки d Ax0 By 0 C d A2 B Угол между двумя прямыми в пространстве - любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным прямым или угол между их направляющими векторами, т.е.

S1 S2 m1m2 n1n2 p1 p cos S1 S2 m1 n12 p12 m2 n2 p 2 2 2 Условие параллельности двух прямых - это условие параллельности (коллинеарности) их направляющих векторов:

m1 n1 p m2 n2 p Условие перпендикулярности двух прямых - это условие перпендикулярности их направляющих векторов:

S1 S2 m1m 2 n1n 2 p1p 2 0.

К лекции Угол между прямой и плоскостью назовем угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

nS Am Bn Cp sim nS A2 B 2 C 2 m 2 n 2 p К лекции Гипербола - геометрическое место точек, абсолютное значение разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

x2 y a 2 b Кривая второго порядка - геометрическое место точек, отношение расстояний которых от фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) постоянно и равно числу e (эксцентриситету. Если e 1 то это эллипс, если e 1 то это парабола, если e 1, то это гипербола.

Окружность - геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой центром окружности. Уравнение окружности с центром в точке C (a, b) и радиусом R.

x a2 y b2 R Парабола есть геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой (директриса не проходит через фокус).

y 2 2 px Фокально-директориальное свойство отношение расстояния текущей точки кривой до фокуса к расстоянию до односторонней с этим фокусом директрисы равно эксцентриситету кривой, т.е.

1, эллипс r e 1, парабола d 1, гипербола Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами). Уравнение эллипса x2 y a 2 b К лекции Параллельный перенос системы координат – преобразование системы координат, при котором сохраняется направление координатных осей, но меняется x x a положение начала координат y y b Полярная система координат – система координат определяемая расстоянием r от взятой любой точки M до начала координат O и углом, образуемым отрезком OM с положительным направлением прямой Ox. Числа r и называются полярными координатами точки М, причем r называется радиус-вектором, - полярным углом.

Формулы перехода от декартовых координат к полярным координатам r 2 x 2 y.

y tg x Формулы перехода от полярных к декартовым x r cos координатам y r sin К лекции Бесконечный цилиндр - тело, ограниченное замкнутой бесконечной цилиндрической поверхностью.

Гиперболический цилиндр – поверхность определяемая уравнением x2 y a2 b Конус – поверхность определяемая уравнением x2 y2 z a2 b2 c Коническая поверхность- поверхность, образованная прямыми (образующими конуса), проходящими через данную точку (вершину конуса) и пересекающими данную линию (направляющую конуса).

Параболический цилиндр – поверхность определяемая уравнением y 2 2 px Цилиндр - тело, ограниченное замкнутой конечной цилиндрической поверхностью и двумя сечениями, благодаря которым она была получена.

Цилиндрическая поверхность - поверхность, образованная прямыми (образующими), параллельными некоторой данной прямой L и пересекающими данную линию С (направляющую).

Эллиптический цилиндр – поверхность определяемая уравнением x2 y a 2 b К лекции Гиперболический параболоид – поверхность определяемая уравнением x2 y 2z p q Двухполостный гиперболоид –поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением x2 y2 z a2 b2 c Линейчатая поверхность поверхность, образованная движением прямой линии.

Поверхность вращения - поверхность, образованная вращением какой-либо плоской линии вокруг прямой, лежащей в плоскости этой линии.

Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению ax 2 by 2 cz 2 dxy fxz gyz hx ky lz m 0, где a, b, c, d, f, g, h, j, k, l, m - вещественные числа, причем хотя бы одно из чисел a, b, c, d, f, g отлично от нуля.

Однополосный гиперболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением x2 y2 z a2 b2 c Эллипсоид –поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяемая уравнением x2 y2 z a2 b2 c Эллиптический параболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением x2 y 2z pq К лекции 16.

Аксиома — утверждение, принимаемое истинным без доказательства, а также как «фундамент» для построения доказательств Базис - система элементов линейного пространства, если любой элемент этого пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации элементов данной системы.

Базисом векторного пространства L - упорядоченная система векторов пространства, состоящая: из одного ненулевого вектора, если пространство одномерное;

из двух неколлинеарных векторов, если пространство двумерное;

из трех некомпланарных векторов, если пространство трехмерное.

Бесконечномерное линейное пространство – линейное пространство, если в нем можно указать любое наперед заданное число линейно независимых элементов.

Двумерное векторное пространство - множество векторов на плоскости.

Линейное пространство - множество L произвольных элементов, если на нем определены две операции:

операция сложения любых двух элементов этого множества операция умножения элементов этого множества на комплексное число, причем эти операции удовлетворяют некоторым аксиомам.

1.каждой паре элементов x, y из этого пространства поставлен в соответствие элемент z этого пространства, называемый суммой элементов x, y (обозначение) z x y 2.каждому элементу x из L и каждому комплексному числу поставлен в соответствие элемент из L, называемый произведением x.

Указанные операции удовлетворяют следующим аксиомам:

3) x y y x для любых x, y L, - свойство коммутативности сложения 4) x y z x y z для любых x, y, z L, свойство ассоциативности 0 L, такой, что 5) существует "нулевой" элемент x 0 x, x L, x x 0, x L для каждого существует 6) "противоположный" ему элемент 7) для любого элемента существует единица 1 x x x L, 8) x x x L,, C ассоциативность умножения на число 9) x y x y x, y L C - первая дистибутивность 10) x x x x L, C вторая дистрибутивность Метрическое пространство - множество M, если каждым двум элементам x, y этого множества поставлено в соответствие действительное число x, y, обозначаемое и называемое расстоянием между элементами x и y, причем выполнены следующие аксиомы:

1. x, y 0 для любых x, y M, причем x, y 0 в том и только в том случае, когда x y ;

2. x, y y, x для любых x, y M ;

3. x, y x, z z, y для любых x, y M Неравенство Минковского – неравенство треугольника.

x, y x, z z, y для любых x, y M Нормированное линейное пространство – линейное пространство, если каждому элементу x этого пространства поставлено в соответствие действительное число x (норма x ), причем выполнены следующие аксиомы:

1. x 0 для любого x, причем x 0 тогда и только тогда, когда x 0 ;

2. x x для любого x и x y x y для любых x, y из данного 3.

пространства.

Одномерное векторное пространство множество векторов на прямой.

Ортогональный базис - базис e1, e2,..., en в L, если векторы ei попарно ортогональны, т.е Размерность линейного пространства n (или, n-мерно), если в нем найдется n линейно независимых элементов, но любые (n+1) элемент линейно зависимы.

Система элементов линейно зависима – система элементов, если равенство c1 x1 c2 x2 cn xn 0 выполнено при некотором наборе констант, хотя бы одна из которых отлична от нуля.

x,x x Система (набор) элементов линейно 1 2 n независима в пространстве L, если линейная комбинация c1 x1 c2 x2 cn xn равна нулевому элементу пространства c1 c2 cn 0.

Трехмерное векторное пространство- множество векторов в пространстве.

Рекомендуемая литература Основная:

В.А.Ильин, Э.Г.Позняк " Аналитическая геометрия ", 1.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра – М.:

2.

Наука, Д.В.Беклемишев " Курс аналитической геометрии и 3.

линейной алгебры ", А.Г.Курош " Курс высшей алгебры ", 4.

О.Н.Цубербиллер " Задачи и упражнения по 5.

аналитической геометрии ", Д.К.Фаддев, И.С.Соминский " Сборник задач по 6.

высшей алгебре ", Ефимов А.В. Сборник задач по математике. Ч. 1 – М.:

7.

Наука, 1993.

Дополнительная литература.

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975.

1.

Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и 2.

задачах. Ч. 1 – М.: Высшая школа, 1996.

Л.А.Беклемишева, А.Ю.Петрович, И.А.Чубаров 3.

"Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре ",

Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.