авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |
-- [ Страница 1 ] --

Национальная академия наук Украины

Институт прикладной

математики и механики

СЕРИЯ

«ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ:

МАТЕМАТИКА,

МЕХАНИКА,

КИБЕРНЕТИКА»

ТОМ 5

В. Я. ГУТЛЯНСКИЙ

В. И. РЯЗАНОВ

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ

И ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

И

ОТОБРАЖЕНИЙ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ

ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

СЕРИЯ

«ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ:

МАТЕМАТИКА, МЕХАНИКА, КИБЕРНЕТИКА»

Том 5 В.Я. ГУТЛЯНСКИЙ В.И. РЯЗАНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ОТОБРАЖЕНИЙ КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 2011 УДК 517.54 В пятом томе серии «Задачи и методы: математика, механика, кибернетика» представлены исследования по теории конформных и квазиконформных отображений и их обобщений.

Первая часть монографии посвящена геометрической теории аналитических функций и содержит решение ряда трудных экстремальных задач этой теории. Вторая часть связана с исследованием локального поведения квазиконформного отображения в зависимости от аналитических свойств его комплексной характеристики с приложениями к теории симметрии Гардинера-Салливана и теории асимптотически конформных кривых Поммеренке. Дано точное решение известной задачи вращения Джона из теории упругости и усиление классической теоремы Тейхмюллера-Виттиха-Белинского о конформной дифференцируемости квазиконформных отображений. В заключительной части рассмотрены топологические аспекты теории квазиконформных отображений и их обобщений с приложениями к теории вариационного метода, уравнениям математической физики и исследованию поведения отображений в точке.

Для научных работников, аспирантов и студентов, специализирующихся в области теории функций и отображений.

У п'ятому томі серії «Задачi i методи: математика, механіка, кібернетика» представлені дослідження з теорії конформних і квазіконформних відображень та їх узагальнень. Перша частина монографії присвячена геометричній теорії аналітичних функцій і містить рішення ряду складних екстремальних задач цієї теорії. Друга частина пов'язана з дослідженням локальной поведінки квазіконформного відображення залежно від аналітичних властивостей його комплексної характеристики з застосуванням до теорії симетрії Гардінера-Саллівана і теорії асимптотично конформних кривих Поммеренке. Одержано точний розв'язок рішення відомої проблеми обертання Джона з теорії пружності і наведено посилення класичної теореми Тейхмюллера-Віттіха-Бєлінського про конформну диференційованість квазіконформних відображень. У заключній частині розглянуті топологічні аспекти теорії квазіконформних відображень та їх узагальнень з застосуванням до теорії варіаційного методу, рівнянь математичної фізики та досліджень поведінки відображень у точці.

Для науковців, аспірантів і студентів, що спеціалізуються в галузі теорії функцій і відображень.

Редакционная коллегия серии:

Б.В. Базалий, И.Н. Гашененко, В.Я. Гутлянский, А.М. Ковалев (ответственный редактор), А.А. Ковалевский, С.Я. Махно, В.И. Рязанов, В.Ю. Скобцов (ответственный секретарь), А.Ф. Тедеев, В.Н. Ткаченко, Н.С. Хапилова, А.Е. Шишков Рецензенты:

член-корр. НАН Украины Ю.Ю. Трохимчук, доктор физ.-мат. наук С.А. Плакса Утверждено к печати ученым советом Института прикладной математики и механики НАН Украины Научно-издательский отдел физико-математической и технической литературы Редактор И.Л. Абрамюк ISBN 978-966-00-1156-4 © В.Я. Гутлянский, В.И. Рязанов, ПРЕДИСЛОВИЕ Ушедший в историю ХХ век был отмечен выдающимися достижени ями в области теории функций комплексного переменного и многочис ленными приложениями этой теории к исследованию актуальных задач современного естествознания. Основополагающие работы начала про шлого века Бибербаха, Г.М. Голузина, Гронуолла, Кёбе, М.А. Лаврен тьева, Лёвнера, Пика и многих других математиков, заложили фунда мент современной геометрической теории аналитических функций и кон формных отображений. Двадцатые годы, благодаря открытиям Грётча и М.А. Лаврентьева, ознаменовались рождением теории квазиконформ ных отображений. Эта теория, возникшая первоначально на пути непо средственного развития классической теории функций комплексного пе ременного, за последние 50 лет сформировалась в одно из актуальных и интенсивно развивающихся областей современного анализа. Спектр при ложений теории квазиконформных отображений, в основе которой ле жит дифференциальное уравнение Бельтрами, также чрезвычайно ши рок и охватывает, например, такие области, как теория римановых по верхностей, пространства Тейхмюллера, клейновы группы, комплексные динамические системы, эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных.

При написании этой книги мы не ставили перед собой цель создать новую монографию по геометрической теории функций комплексного переменного, и уж тем более, осветить во всей полноте основные методы и результаты этой теории. Заинтересованный читатель найдет ответы на многие, возникающие у него вопросы, познакомившись с великолеп ными монографиями Г.М. Голузина [105], Дженкинса [170], В.Н. Дуби нина [178], Дьюрена [180], Г.В. Кузьминой [228], М.А. Лаврентьева и Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Б.В. Шабата [253], Н.А. Лебедева [258], И.М. Милина [289], Поммерен ке [311], Хеймана [388] по теории однолистных аналитических функций, и Альфорса [16], Астала, Иванца и Мартина [25], П.П. Белинского [48], Вяйсяля [91], Иванца и Мартина [192], С.Л. Крушкаля [223], С.Л. Круш каля и Кюнау [226], Лехто и Виртанена [270] и Ю.Г. Решетняка [333] по теории квазиконформных отображений.

Предлагаемая вниманию читателя книга посвящена некоторым, по мнению авторов, наиболее значимым результатам по теории конформ ных и квазиконформных отображений, полученных ими за последние десятилетия. Она состоит из трех самостоятельных, но тесно связанных друг с другом частей. Первая часть монографии посвящена геометриче ской теории аналитических функций и содержит решение ряда трудных экстремальных задач этой теории. Вторая часть связана с исследовани ем локального поведения квазиконформного отображения в зависимо сти от аналитических свойств его комплексной характеристики с при ложениями к теории симметрии Гардинера–Салливана и теории асимп тотически конформных кривых Поммеренке. Здесь также дано точное решение известной задачи вращения Джона из теории упругости и уси ление классической теоремы Тейхмюллера–Виттиха–Белинского о кон формной дифференцируемости квазиконформных отображений. В за ключительной части рассмотрены топологические аспекты теории ква зиконформных отображений и их обобщений с приложениями к теории вариационного метода, уравнениям математической физики и исследо ванию поведения отображений в точке.

Авторы надеются, что монография окажется полезной как для спе циалистов по комплексному анализу, так и для математиков, работа ющих в других областях и использующих методы современной теории функций.

Донецк, октябрь 2011 В.Я. Гутлянский В.И. Рязанов Часть I Однолистные аналитические функции ВВЕДЕНИЕ И ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ Первая часть монографии посвящена геометрической теории ана литических функций и конформных отображений и содержит решение ряда трудных экстремальных задач этой теории.

Экстремальные проблемы геометрической теории функций находят ся в тесной связи с основными задачами как самой теории, так и мно гочисленных её приложений. Возникшая в начале прошлого века в ра ботах Гурвица, Кёбе, Гронуолла, Бибербаха, Племея и других, и полу чившая затем мощный импульс благодаря исследованиям М.А. Лаврен тьева, Г.М. Голузина, Л.А. Аксентьева, И.А. Александрова, Ю.Е. Але ницина, И.Е. Базилевича, А.А. Гончара, В.Н. Дубинина, В.А. Зморо вича, С.Л. Крушкаля, Г.В. Кузьминой, П.П. Куфарева, Н.А. Лебеде ва, И.М. Милина, И.П. Митюка, П.М. Тамразова, Ю.Ю. Трохимчука, Бранжа, Гарабедяна, Грётча, Грунского, Дженкинса, Дьюрена, Кюнау, Лёвнера, Поммеренке, Хеймана, Шиффера, Шобера, и многих других авторов, эта область математики продолжает интенсивно развиваться в настоящее время. Развитые здесь методы площадей, контурного интегри рования, параметрический, структурных формул, внутренних и гранич ных вариаций, квадратичных дифференциалов и симметризации, при ближения функций и другие, см., например, [1, 11, 23, 31, 81, 102, 104, 105, 107, 110, 115, 130, 170, 178, 187, 228, 234, 258, 259, 273, 284, 289, 290, 311, 317, 363, 372, 378, 401], позволили решить широкий круг важных задач тео рии и практики конформных отображений. Обширная информация по истории развития геометрической теории функций комплексного пере менного содержится, например, в обзорных статьях И.Е. Базилевича и В.А. Зморовича [28, 188] и в обзоре "Методы и результаты геометриче ской теории функций" в монографии Г.М. Голузина [105].

Перейдем к обзору основных результатов части I.

Глава 1 содержит краткое введение в геометрическую теорию ана Геометрическая и топологическая теория функций и отображений литических функций и конформных отображений. Даны определения основных классов исследуемых функций и сформулирован ряд класси ческих результатов, систематически используемых нами в дальнейшем.

Среди них - классический принцип площадей Гронуолла и элементар ные оценки роста искажения и вращения для однолистных аналитиче ских функций, теоремы сходимости и компактности, в том числе, фун даментальная теорема Каратеодори о сходимости к ядру. В главе 2 мы исследуем некоторые специальные семейства аналитических функций в единичном круге D, а также классы конформных отображений круга на области с заданными геометрическими свойствами, такими, например, как их звездность, выпуклость и т.д. Первым центральным результатом этой главы является, предложенный нами в 1970 году, вариационный метод исследования экстремальных проблем в классах аналитических функций, имеющих параметрические представления с помощью инте гралов Стилтьеса. Приложение этого метода к классу C – Каратеодори аналитических функций в круге с положительной вещественной частью дано в §2.4. Полученные здесь результаты будут применены в главе III при решении общей проблемы искажения и вращения на классе всех кон формных отображений единичного круга. Другим центральным резуль татом данной главы является решение известной задачи И.Е. Базилеви ча и Г.В. Корицкого о выпуклых дугах линий уровня при конформных отображениях круга на области, звездообразные относительно начала координат.

Обозначим через S класс всех однолистных аналитических функ ций в единичном круге D = {z : |z| 1}, нормированных условиями f (0) = 0, f (0) = 1, а через S его подкласс, состоящий из функций f (z), для которых f (D) - звездообразная область относительно начала коор динат. Пусть f (z) S. При отображении круга D функцией f (z) S образом окружности z = rei,, радиуса r, 0 r 1, являет ся некоторая аналитическая кривая L(f, r), которую принято называть линией уровня функции f (z). Эта кривая принадлежит кольцу Kr : Rmin (r) |w| Rmax (r), где r r Rmin (r) =, Rmax (r) =.

2 (1 r) (1 + r) Дуга линии уровня называется выпуклой, если при непрерывном движении вдоль нее в положительном направлении касательная враща ется против часовой стрелки. С помощью функции zf (z) Q(f, z) = 1 + Re f (z) Часть I. Введение и обзор результатов необходимому и достаточному условию принадлежности точки w0 = f (z0 ), |z0 | = r, выпуклой дуге линии уровня L(f, r) можно придать сле дующий вид: Q(f, z0 ) 0 (ср. [105], с. 166). Если же Q(f, z0 ) 0, то точка w0 принадлежит вогнутой дуге линии уровня.

Уже достаточно хорошо изучен вопрос о выпуклости дуг линий уров ня L(f, r), f S, при малых значениях r. Так, например, известно, что если r (0, rc ), rc = 2 3, то L(f, r) - выпукла, какова бы ни бы ла функция f (z) класса S. При r rc поведение дуг линий уровня становится более сложным, Тем не менее, для таких r, на основании знания областей значений определенных комплекснозначных функцио налов, заданных на классе S, удается заметно увеличить информацию о геометрических свойствах линий уровня.

В параграфе 2.5 находится область значений функционала zf (z) I(f ) = Re + iQ(f, z), f (z) z D и фиксировано, на классе S, см. теорема 2.11, и, в качестве одно го из приложений этого результата к изучению геометрических свойств линий уровня, доказываются теоремы, устанавливающие связь между значениями Re zf(z) и выпуклыми (вогнутыми) дугами L(f, r), f S.

(z) f Здесь же приведены результаты, относящиеся к взаимному росту функ ционалов Re zf(z) и Q(f, z) на классе S.

(z) f Отметим, что в 1973 году Мокану и Рид [297] применили теорему 2.11 для решения проблемы - выпуклости в классе S. В §2.6 находится область значений системы функционалов zf (z) Pn (f ) = Jn |f (z)|, Re, n = 1, 2, f (z) z D и фиксировано. Здесь Jn (u, v) - непрерывно дифференцируемые вещественные функции в плоской области, образованной точками |f (z)|+ iRe zf(z), когда f (z) пробегает весь класс S. Это позволяет, с одной (z) f стороны, привести теоремы о взаимном росте некоторых функционалов на классе S и его подклассах, с другой стороны, установить те части кольца Kr, в которых любая дуга линии уровня L(f, r), f S, является выпуклой. В §2.7 доказано, что только и лишь только в кольце 1 + r2 r R (r) |w| Rmax (r) = 2 max (1 r) 2(1 + r) при произвольно фиксированном r (rc, 1) линия уровня L(f, r) при всех f S имеет выпуклые дуги.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Ранее, в работе [30] И.Е. Базилевич и Г.В. Корицкий установили теорему: существует абсолютная константа c, 0.333... c, 0.511..., не зависящая от r, такая, что в кольце Rmax (r) |w| Rmax (r) дуги линий уровня L(f, r) любой функции f S будут выпуклыми. Но имеется такое r 1 и такая функция f (z) класса S, что в более широком кольце ( )Rmax (r) |w| Rmax (r) на L(f, r) найдется невыпуклая дуга.

В §2.7 установлено точное значение абсолютной константы c на классе S, которое оказалось равным 1/3.

Глава 3, которая является центральной в первой части книги, по священа развитию параметрического метода Лёвнера и решению на этой основе общей проблемы роста, искажения и вращения при конформных отображениях единичного круга.

Алгебраическая структура множества всех однолистных функций, заданных в области G, оказывается нелинейной. Простые примеры по казывают, что это множество, например, нелинейно и невыпукло. Вме сте с тем, свойство однолистности инвариантно относительно операции композиции надлежащих отображений, что позволяет выделить соответ ствующие полугруппы конформных отображений и применить для их изучения алгебраические методы. Именно это свойство было положено Лёвнером в 1923 году [273] в основу разработанного им метода парамет рических представлений однолистных аналитических функций.

Обозначим через L класс всех однолистных аналитических функций в круге D, удовлетворяющих условиям: (0) = 0, (0) 0 и |(z)| при z D.

Очевидно, если k, k = 1, 2, принадлежат классу L, то и их компози ция 1 (2 (z)) принадлежит этому же классу. Поскольку тождественное отображение входит в класс L, то L образует полугруппу относительно операции композиции, а тождественное отображение играет в ней роль единицы.

Лёвнер в [273] исследовал задачу о представлении произвольного отображения из полугруппы L в виде композиции преобразований, бес конечно близких к тождественному. Другими словами, он изучил воз можность представления произвольного отображения из L в виде ком позиции инфинитезимальных преобразований полугруппы L, то есть как отображения вида (z) = (z, T, s;

p), где w(t) = (z, t, s;

p) – решение нелинейного дифференциального уравнения dw = w p(w, t) dt с начальным условием w(s) = z, 0 s t T, и однопарамет рическим семейством p(z, t) инфинитезимальных преобразований, таких Часть I. Введение и обзор результатов что p(·, t) C, где C – класс Каратеодори аналитических функций в круге D с положительной вещественной частью. Это уравнение извест но теперь как уравнение Лёвнера. Его исследованию посвящено большое число работ, см. [5, 102, 105, 120, 131, 273, 274, 311, 317, 388] и приведенную там библиографию. Сам Лёвнер изучил детально лишь частный случай этого уравнения. Так в работе [273] было доказано, что все отображения из L, которые отображают D на области, получаемые из круга D про ведением жорданового разреза, представимы в виде (z) = (z, T, s;

p).

При этом инфинитезимальные преобразования p(z, t) конкретизируются и приобретают вид µ(t) + z p(z, t) =, µ(t) z где µ(t) - равная по модулю единице непрерывная на [0, ) функция.

Соответствующее дифференциальное уравнение dw µ(t) + w = w dt µ(t) w также носит название уравнения Лёвнера.

Более общий случай уравнения Лёвнера был исследован в работах П.П. Куфарева [234, 236, 237], см. также [116, 312].

Естественно возникает вопрос о возможности представления любой функции класса S с помощью интегралов уравнения Лёвнера. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема: если f (z) – произвольная функция класса S, то существует функция p(w, t) измеримая по t на [0, ) при фиксированном w D и p(·, t) C, при почти всех t [0, ), такая, что f (z) = lim et (z, t), t где w = (z, t) – решение уравнения Лёвнера–Куфарева dw = wp(w, t), для п.в. t [0, ), dt с начальным условием w(0) = z D.

В основе доказательства этой теоремы лежат различные методы за мыкания некомпактных классов Лёвнера, см. [110,120,311,312]. В частно сти, в работе [312], см. также [311], с. 158, доказано, что любая функция класса S может быть включена в цепь подчинения Лёвнера, см. §3.2, и, значит, может быть получена по вышеприведенным формулам.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Другой подход основан на свойстве слабой компактности однопара метрических семейств регулярных вероятностных мер µt на единичной окружности, измеримых по параметру t и генерирующих, по формуле Рисса–Герглотца, соответствующие функции p(z, t), см. [120].

Наконец, третий подход базируется на компактности семейства функ ций {p(z, t)} в топологии слабой сходимости, определяемой соотношени ем pn (z, t)(t)dt p(z, t)(t)dt I I для любой ограниченной измеримой функции (t) на интервале I. При этом, сходимость предполагается локально равномерной по z D, см.

[110].

В заключительной части этой главы мы приводим элегантное ре шение гипотезы Бибербаха для третьего коэффициента, основанное на редукции нелинейной экстремальной задачи в классе S к линейной за даче на выпуклом классе C – Каратеодори. Несмотря на полное решение проблемы коэффициентов, найденное Д’Бранжем [76], приведенное на ми доказательство демонстрирует новые возможности параметрического метода.

Глава 4 посвящена решению общей задачи о росте, искажении и вра щении при конформных отображениях единичного круга.

Оценки углового смещения, роста, вращения и искажения при кон формных отображениях круга играют важную роль в геометрической теории функций и являются предметом интенсивных исследований, см., например, [4, 5, 8, 9, 27, 102, 104, 105, 108, 115, 118, 120–122, 131, 132, 135–138, 141, 146, 163, 170, 233, 255, 314]. Решение таких задач сводится к вопросам о точных оценках функционалов, зависящих от значений однолистной аналитической функции и ее производной в фиксированной точке еди ничного круга.

Точные элементарные оценки роста и искажения в классе S мы при вели в главе 1. Остановимся, более подробно, на результатах, связанных с оценками углового смещения и вращения при конформных отображе ниях.

В 1919 году Бибербах [65] установил первоначальную форму теоре мы вращения доказав, что в классе S при фиксированном z D спра ведливо неравенство 1 + |z| | arg f (z)| 2 ln, 1 |z| где рассматривается ветвь arg f (z), принимающая в начале координат Часть I. Введение и обзор результатов нулевое значение. Название теоремы происходит от хорошо известного геометрического смысла аргумента производной однолистной аналити ческой функции. Однако эта оценка оказалась не наилучшей. Спустя почти 17 лет, Г. М. Голузин [102], развивая параметрический метод Лёв нера, получил окончательное решение проблемы вращения, доказав для функций класса S, ставшие теперь классическими, следующие точные оценки: 4 arcsin |z|, |z| 1/ | arg f (z)| |z| + ln 1|z|2, 1/ 2 |z| 1.

В случае |z| 1/ 2 Г.М. Голузин указал также экстремальную функ цию. Вопрос о точности второй части неравенства впервые решил И.Е. Ба зилевич [26]. Эти пионерские работы послужили началом интенсивного развития параметрического метода и его приложений к исследованию экстремальных задач. Полный анализ знаков равенства в теореме вра щения был выполнен В.В. Горяйновым [108]. Отметим, что теорема вра щения в классе SM ограниченных однолистных функций установлена в работе [136], см., также, [137], а анализ всех экстремальных функций выполнен в работе [138].

В 1932 году Грунский [114] установил точное неравенство в классе S f (z) 1 + |z| + ln(1 |z|2 ) ln ln, z 1 |z| где под ln(f (z)/z) понимается непрерывная ветвь, стремящаяся к нулю при z 0, и, как следствие, получил следующую точную оценку угло вого смещения при конформном отображении f (z) 1 + |z| arg ln.

z 1 |z| Точные оценки функционала 1 + |z| | arg f (z) arg(f (z)/z)| ln, 1 |z| на классе S позволили определить так называемый радиус звездности e/2 r = = 0.655...

e/2 + для функций класса S. Последнее означает, что образ любого круга |z| r r при отображении любой функцией класса S представляет собой Геометрическая и топологическая теория функций и отображений область звездообразную относительно начала координат. Точные оценки функционала | arg f (z) 2 arg(f (z)/z)| ln(1 |z|2 ), f S, привели к решению проблемы вращения в классе, состоящим из всех мероморфных и однолистных функций F (z) в области |z| 1 с разложе нием в ряд Лорана в окрестности z = вида F (z) = = z +a0 +a1 /z +..., см. [105], c. 144. Оценки других функционалов в классах однолистных аналитических функций, содержащих arg f (z) и arg(f (z)/z)), и их при ложения к изучению геометрии конформного отображения, можно най ти, например, в работах [111, 121, 146].

Общая проблема о росте, искажении и вращении при конформных отображениях единичного круга сводится к задаче о множестве (z) C2 = {(Z, W ) : Z, W C} значений системы функционалов f (z) zf (z) I(f ) = ln, ln z f (z) на классе S, где точка z D и фиксирована. Здесь под логарифмами понимаются непрерывные ветви, обращающиеся в нуль при z = 0.

Пусть I1 (f ) = J (|f (z0 )|, arg(f (z0 )/z0 ), |f (z0 )|, arg f (z0 )) – произвольный непрерывный функционал, зависящий от роста |f (z0 )|, углового смещения arg(f (z0 )/z0 ), искажения |f (z0 )| и вращения arg f (z0 ) отображения f S в фиксированной точке z0 D, |z0 | = r. Тогда J reRe Z, Im Z, eRe (W +Z), Im (W + Z), max I1 (f ) = max S Z,W (z0 ) и для решения общей задачи достаточно определить множество (z0 ).

Обозначим через C(T ) множество функций p(z, t), z D, t T, таких, что p(z, ·) измерима по t на интервале T и p(·, t) C для почти всех t T.

Следующий результат является принципиальным, поскольку он поз воляет параметризовать область значений нелинейного функционала I(f ) на классе S в терминах линейного непрерывного функционала на выпук Часть I. Введение и обзор результатов лом классе C(0, |z|). А именно, |z| d (z) = (Z, W ) : Z(h) = (h(, ) 1), |z| hz (0, )d W (h) =, 1 когда h(z, t) пробегает весь класс C(0, |z|). Из приведенного результата немедленно следует, что (z) – выпуклое замкнутое и ограниченное мно жество в пространстве R4, и, следовательно, его описание можно дать в терминах выпуклого анализа. Именно, Пусть = (,,, ) произволь ный вектор из R4. Обозначим через H () опорную функцию множества. Другими словами, H () = max, d = max(d1 + d2 + d3 + d4 ), d d где d = (d1, d2, d3, d4 ), а, d обозначает скалярное произведение и d. Заметим, что при || = 1 значение H () равно расстоянию от начала координат до опорной гиперплоскости множества, ортогональной к вектору. Функция H () является выпуклой и поэтому непрерывна в каждой внутренней точке своей области задания.

Под опорным множеством H () выпуклого множества будем по нимать множество точек d, для которых, d = H ().

Поскольку границу (z) множества (z) можно представить как объ единение опорных множеств H () по всем ненулевым векторам, то наша задача сводится к исследованию следующей экстремальной про блемы на классе S H (1, 2 ) = max U(f ), S где f (z0 ) z0 f (z0 ) U(f ) = Re 1 ln + 2 ln z0 f (z0 ) при всех 1 = i и 2 = i, таких, что |1 | + |2 | = 0.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений На этом пути мы получаем фундаментальный принцип редукции: в классе S при фиксированном z0, |z0 | = r 1, f (z0 ) z0 f (z0 ) max Re 1 ln + 2 ln = z0 f (z0 ) f S r d = max Re 1 (h(, ) 1) + 2 h (0, ).

1 hC Мы видим, что экстремальная задача на классе S свелась к задаче о максимуме сопряженного функционала G(h) = Re 1 (h() 1) + 2 h (0), 1 на классе C – Каратеодори. Класс C имеет интегральное представление Рисса–Герглотца 1 + z h(z) = dµ(), 1 z ||= является выпуклым компактным множеством в пространстве всех ана литических функций в единичном круге D и линейные задачи на C могут быть исследованы стандартными методами выпуклого анализа.

Отметим, что рассматриваемая экстремальная задача и её много численные частные случаи, отвечающие определенным значениям па раметров 1, 2, исследовались на протяжении прошлого века многими авторами и различными методами, см., например, [4, 5, 8, 9, 27, 102, 104, 105, 108, 115, 118, 120–122, 131, 132, 135–138, 141, 146, 163, 170, 255, 314, 381].

Исследованию сопряженной задачи посвящен §4.3. В итоге, мы при ходим к следующему результату, см. теоремы 4.5 и 4.6: в классе S при фиксированном z0, |z0 | = r 1, и произвольных 1 = i, 2 = i, таких, что 2 + 2 = 0, r f (z0 ) z0 f (z0 ) d H () max Re 1 ln + 2 ln = y(x(), ), z0 f (z0 ) f S где 2ax x2 1, y(x, ) = a + x + + x x Часть I. Введение и обзор результатов и x = x() – единственный, если l |2 | = 0, наибольший, если l = и 2l + 2 l2 0, и наименьший, если l = 0 и 2l + 2 l2 0, корень уравнения (x2 + ) 2ax x2 1 = sign (x + )(x3 ax2 + ax ) на интервале R : (1 )/(1 + ) x (1 + )/(1 ). Здесь a() = (1 + 2 )/(1 2 ). Если = = 0, то |f (z0 )| |z0 f (z0 )| max ln + ln = |z0 | |f (z0 )| f S r 1 + 2 d = + max(x ).

1 x xR Анализ и надлежащие вычисления, выполненные в диссертации [122] и опубликованные в монографии [5], позволили записать все интегралы в вышеприведенных формулах в элементарных функциях. В §4.7 мы при ведем соответствующие выкладки в частном случае при решении общей проблемы углового смещения и вращения при конформных отображени ях круга D функциями класса S и некоторых его подклассов.

В §4.5 исследована структура опорных множеств выпуклого множе ства (z). В частности, выписаны все опорные прямые в явном виде.

Описанию всех экстремальных функций посвящен §4.6. Отметим, что полный анализ экстремальных функций дан в работах [108,141], см. так же [131]. В §4.7, в качестве иллюстрации метода, рассмотрена следующая экстремальная задача. Пусть I(f ) = J(arg(f (z0 )/z0 ), arg f (z0 )) – произвольный непрерывный функционал, зависящий от углового сме щения arg(f (z0 )/z0 ) и вращения arg f (z0 ) отображения f S в фикси рованной точке z0 D. Обозначим через множество значений ком плекснозначного функционала f (z0 ) Z(f ) arg + i arg f (z0 ) = U + iV, f S, z где z0 D и фиксировано. Тогда max J(arg(f (z0 )/z0 ), arg f (z0 )) = max J(U, V ), S и для решения общей задачи достаточно определить множество. Оче видно, что вместо функционала Z(f ) можно рассмотреть любой другой Геометрическая и топологическая теория функций и отображений линейный комплекснозначный функционал, зависящий от arg(f (z0 )/z0 ) и arg f (z0 ), например, z0 f (z0 ) W (f ) arg + i arg f (z0 ) = X + iY, f S.

f 2 (z0 ) Действительно, если обозначить через (z0 ) множество значений функ ционала W (f ), то мы определим и как образ при линейном отобра жении вида U = 2 [X Y ] V = Y.

Справедлива теорема 4.10: на классе S при фиксированном z0, 0 |z0 | = r 1 и произвольных вещественных A и B, справедливы точные оценки z0 f (z0 ) || 1 + || || 1 + || A arg + B arg f (z) ln + ln 2 (z ) f0 2 1 || 2 1 || 1+ || || ln + 2 || arctan || || ( 2 x2 2 ) ( 2 x2 2 ) + arctan + arctan, 2 x( ) 2 x( + ) где = B A, = B + A, x2 = 2 x2 и x наибольший, если || ||, и наименьший, если || ||, положи тельный корень уравнения 1 + r2 2 1 + r x3 x + x = 0.

1 r2 1 r Из этой оценки следует, в частности, решение задачи вращения при кон формных отображениях круга на области с p – кратной симметрией вра щения относительно начала координат, см. [121], которая содержит в се бе, в качестве частного случая, классическую теорему вращения Г.М. Го лузина.

Заключительная глава 5 первой части книги посвящена развитию метода П.П. Куфарева об определении неизвестных параметров в форму ле Шварца–Кристоффеля применительно к случаю конформного отоб ражения верхней полуплоскости на полигональные области при наличии граничных нормировок.

Часть I. Введение и обзор результатов Проблема построения конформных отображений канонических об ластей на полигональные области остается актуальной до настоящего времени в связи с новыми приложениями теории комплексного потенциа ла в различных областях естествознания (см., например, [400] ). В связи с известным интегральным представлением таких отображений (см. [253], c. 162, [400], с. 65), проблема, по существу, состоит в определении неиз вестных параметров, входящих в формулу Шварца–Кристоффеля. К на стоящему времени разработаны различные эффективные методы чис ленного определения этих параметров (см. [92, 253, 375, 400] и цитируе мую там литературу). Один из таких методов восходит к известной ра боте П.П. Куфарева [235] (см., более подробно, [5], с. 296), который, на основе сочетания принципа симметрии и параметрического метода Лёв нера [273], редуцировал проблему определения неизвестных параметров в формуле Шварца–Кристоффеля к задаче численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Развивая идеи работы [235] и комбинируя их с современными методами численного ин тегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, Хопкинс и Робертс [391] достигли на этом пути новых глубоких результатов.

В ряде случаев требуется найти конформные отображения круга или полуплоскости на многоугольную область при надлежащих граничных нормировках, например, типа "три точки - в три точки". Отметим, на пример, что если в качестве таких трех точек в области выбрать вер шины многоугольника, то число подлежащих определению параметров уменьшается на три. Далее, если область неограничена, то включение в число таких точек надлежащих вершин многоугольника, расположен ных в бесконечности, оказывается целесообразным с вычислительной точки зрения. Для того, чтобы идеи работы [235] распространить на этот случай, нужно, прежде всего, модифицировать уравнение Лёвнера, при менительно к отображениям, сохраняющим фиксированные граничные точки.

Параграф §5.2 содержит постановку задачи и некоторые предвари тельные результаты. В параграфе §5.3 приводится дифференциальное уравнение Лёвнера для полуплоскости с разрезом вдоль кривой Жорда на при условии, что точки 0, 1, и остаются неподвижными. В следу ющем параграфе проблема определения неизвестных параметров в фор муле Шварца–Кристоффеля редуцируется к задаче Коши интегрирова ния некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Параграф §5.5 посвящен вопросам разрешимости и единственности этой задачи и исследованию качественных свойств решения. В заключитель ном параграфе §5.6 дано приложение к случаю неограниченной области Геометрическая и топологическая теория функций и отображений специального вида, возникающей в задаче исследования электромагнит ного поля в торцевой зоне турбогенераторов.

Глава ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОЦЕНКИ Глава 1 содержит краткое введение в геометрическую теорию ана литических функций и конформных отображений. Даны определения основных классов исследуемых функций и сформулирован ряд класси ческих результатов, систематически используемых нами в дальнейшем.

Среди них - классический принцип площадей Гронуолла и элементарные оценки роста искажения и вращения для однолистных аналитических функций, теоремы сходимости и компактности, в том числе, фундамен тальная теорема Каратеодори о сходимости к ядру.

1.1. Однолистные функции и конформные отображения Напомним, что аналитическая функция f (z) в области G комплекс ной плоскости C называется однолистной, если f (z1 ) = f (z2 ) только для z1 = z2, другими словами, если отображение, осуществляемое функцией f (z), является взаимно однозначным.

В геометрической теории аналитических функций комплексного пе ременного особую роль играют конформные отображения.

Топологическое отображение f : G C называется конформным, если оно сохраняет углы в каждой точке z G. Поскольку для одно листной аналитической функции f (z), по теореме Гурвица, f (z) = 0, z G, мы приходим к заключению, что каждая однолистная аналитиче ская функция в области G реализует конформное отображение области G на область f (G).

В данной главе мы ограничимся случаем, когда G – односвязная область. В этом случае имеет место фундаментальная теорема Римана о конформном отображении односвязных областей.

Теорема Римана. Пусть G – произвольная односвязная область, отличная от всей комплексной плоскости, и точка z0 G. Тогда суще ствует единственная аналитическая функция f (z) в области G, нор Геометрическая и топологическая теория функций и отображений мированная условиями f (z0 ) = 0, f (z0 ) 0, которая осуществляет однолистное конформное отображение G на единичный круг D = {w :

|w| 1}.

Таким образом, мы можем ожидать, что основные свойства одно листных функций, определенных в односвязных областях, могут быть выражены через соответствующие свойства однолистных функций, опре деленных в канонической области D.

Обозначим через S класс однолистных аналитических функций в единичном круге D с разложением в ряд Тейлора вида an z n.

f (z) = z + n= Мы выбрали нормировку в виде f (0) = 0, f (0) = 1, для того, что бы обеспечить компактность класса S относительно топологии локально равномерной сходимости и исключить из рассмотрения несущественные параметры.

Алгебраическая структура множеств однолистных функций и, в част ности, класса S, оказывается довольно сложной. Простые примеры по казывают, например, что класс S нелинеен и не является выпуклым.

Вместе с тем, свойство однолистности инвариантно относительно опера ции композиции надлежащих отображений. Именно это свойство было положено Карлом Лёвнером в 1923 году в основу метода параметри ческих представлений однолистных аналитических функций. Развитию этого метода и решению на этом пути общей проблемы искажения и вращения при конформных отображениях единичного круга посвящена глава 3 настоящей книги.

Пусть теперь G – односвязная область, содержащая бесконечно уда ленную точку со связным компактным дополнением E, состоящем более, чем из одной точки. Выполняя надлежащее преобразование Мёбиуса, мы вновь можем применить теорему Римана. Теперь в качестве канониче ской области выберем внешность единичного круга = {z : |z| 1} и нормируем отображение так, чтобы бесконечно удаленная точка остава лась неподвижной. По теореме Римана, существует единственная функ ция вида F (z) = bz + b0 + b1 z 1... b 0, которая отображает конформно на область G.

Выполнив нормировку, а именно, полагая b = 1, введем в рассмот рение класс функций вида g(z) = z + b0 + b1 z 1..., Глава 1. Определения и элементарные оценки которые однолистны и мероморфны (имеют простой полюс в бесконеч ности) в области.

Заметим, что если f S, то функция g(z) = f (1/z) принадлежит классу и удовлетворяет условию g(z) = 0 в области, так как f (z) не имеет полюсов в единичном круге. Обратно, если g и c C \ g(), то функция f (z) = g(z 1 ) c принадлежит классу S.

Во многих случаях удобно рассматривать класс 0, состоящий из функций класса с так называемой гидродинамической нормировкой на бесконечности, т.е. таких, что g(z) = z + b1 z 1 + b2 z 2 +....

1.2. Принцип площадей Пусть g(z) – произвольная функция класса. Обозначим через E = E(g) дополнение к образу внешности единичного круга при отображении w = g(z). Дальнейшие рассмотрения основаны на простом геометриче ском факте: плоская мера Лебега компактного множества E(g) – неотри цательна. Этот факт, выраженный в терминах лорановских коэффици ентов bn разложения функции g(z) в окрестности бесконечно удаленной точки, носит название теоремы площадей. В 1914 году Гронуолл [113] впервые использовал принцип площадей и доказал следующую теорему.

Теорема площадей Гронуолла. Если g и g(z) = z + b1 z 1 + b2 z 2 +..., то n|bn |2 1.

n= Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда |E(g)| = 0, где |E| – двумерная мера Лебега множества E.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Д о к а з а т е л ь с т в о. Если g(z) = u + iv и на окружности |z| = r 1 выбрана положительная ориентация относительно начала координат, то, по формуле Грина, 1 0 |E(g(rz))| = du dv = u dv v du = |E(g(rz)| g(|z|=r) = Re g dg.

2i |z|=r Подставляя сюда разложение функции g(z) в ряд Лорана, получаем g dg = 2i |z|=r 2 nn rn eint reit nbn rn eint reit + = b dt = 2 n=1 n= n|bn |2 r2n 0.

=r n= Отсюда следует, в частности, что m n|bn |2 r2n r2 (m = 1, 2, 3... : r 1).

n= Если устремить r 1, а затем m, то можно убедиться в сходимости n|bn |2. Осуществляя предельный переход при r 1 0, мы по ряда лучаем основное неравенство площадей. Заключение о знаке равенства следует непосредственно из приведенных выше рассуждений. Следствие. Если g и g имеет вид g(z) = z + b1 z 1 + b2 z 2 +..., то |b1 | 1.

Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда g(z) = z + b0 + z 1, || = 1.

Глава 1. Определения и элементарные оценки Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственно из теоремы Гронуолла следует, что n|bn |2 1.

|b1 | n= Выясним вид экстремальных функций. Если |b1 | = 1, тогда все bn, n = 2, 3,..., должны равняться нулю. Следовательно, g(z) = z + b0 + b1 z 1.

Эта функция принадлежит классу. 1.3. Теоремы о росте и искажении Для вывода фундаментальных оценок об искажении и росте при кон формных отображениях единичного круга нам потребуется следующий вспомогательный результат.

Лемма 1.1. Пусть f S и f (z n ) n g(z) = z = z +..., n = 2, 3,...

zn Тогда g(z) принадлежит классу S и область g(D) обладает n-кратной симметрией относительно вращения с центром в начале координат.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как f S, то f (z) = 0 для z = и, значит, h(z) = n f (z n )/z n = 1 +... – аналитическая функция в круге D. Более того, если – корень n-ой степени из 1, то h(z) = h(z). Та ким образом, g(z) = zh(z) - аналитическая функция в D, нормированная условиями g(0) = 0, g (0) = 1 и g(z) = g(z). Для доказательства ее од нолистности в круге D, будем рассуждать от противного. Предположим, что существуют точки z1, z2 D, z1 = z2, такие, что g(z1 ) = g(z2 ). Тогда g n (z1 ) = g n (z2 ), f (z1 ) = f (z2 ) и, значит z1 = z2. Следовательно, z2 = z1, n n n n где n = 1. Так как g(z1 ) = g(z2 ) = g(z1 ) = g(z1 ), мы заключаем, что = 1. Итак, z1 = z2, что противоречит нашему предположению. Начнем с доказательства одного результата Бибербаха 1916 года, см. [63,64], который инициировал многочисленные исследования в теории однолистных аналитических функций.

Теорема 1.1. Если f S и имеет разложение вида f (z) = z + a2 z 2 +... + an z n +... z D, Геометрическая и топологическая теория функций и отображений то |a2 | 2.

Оценка точная и экстремальными являются только так называемые функции Кёбе z f (z) =, (1 z) где || = 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По лемме 1.1 функция 1 = z a2 z 1 +...

F (z) = 2 )]1/ [f (z принадлежит классу и, следовательно, |a2 | 2. В случае знака равен ства F (z) = z + b1 z 1 с |b1 | = 1 и, значит, f (z) = z(1 + b1 z)2. Напомним, что именно в работе [64] Бибербах высказал предполо жение, что в классе S должно выполняться точное неравенство |an | n для всех n = 2, 3,.... Эта смелая и предельно лаконичная в своей по становке гипотеза вызвала целую серию интенсивных исследований в теории однолистных функций и способствовала созданию эффективных методов решения актуальных проблем геометрической теории функций комплексного переменного, см., например, обзор "Методы и результаты геометрической теории функций" в монографии Г.М. Голузина [105], а также введение к книгу Дженкинса [170], с. 7–24. Спустя почти 70 лет гипотеза Бибербаха была блестяще доказана Д’Бранжем [76].

В 1907 году Кёбе, [208] доказал существование положительной кон станты, такой, что f S f (D) содержит круг |w|. Позднее, в году Бибербах [63] установил её точное значение, которое оказалось рав ным 1/4.

Теорема Кёбе об 1/4. Если f S, то f (D) = {|w| }.

f S Д о к а з а т е л ь с т в о. Если f S и w f (D), то функция wf (z) g(z) = S w f (z) Глава 1. Определения и элементарные оценки и ее разложение в ряд Тейлора в круге D имеет вид g(z) = z + (a2 + 1/w)z 2 +....

По теореме 1.1, |a2 +1/w| 2 и |a2 | 2. Следовательно, 1/|w| 2+|a2 | 4 и значит |w| 1/4. Таким образом, f S f (D) {|w| 1/4}. С дру гой стороны, функция Кёбе f (z) = z/(1 z)2 принадлежит кассу S и отображает D на всю комплексную плоскость с разрезом вдоль от рицательной части вещественной оси от до 1/4. Следовательно, f S f (D) {|w| 1/4}. Теорема искажения. Если f S и |z| 1, то 1 |z| 1 + |z| |f (z)|.

3 (1 |z|) (1 + |z|) Оценки точные и знак равенства реализуется только на функциях Кё бе.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f S, а точка a D и фиксирована.

Тогда функция z+a f 1+z f (a) a g(z) =, (1 |a|2 )f (a) также принадлежит классу S и разлагается в круге D в ряд вида 1 f (a) (1 |a|2 ) a z2 +....

g(z) = z + 2 f (a) По теореме 1. 2|z| f (z) 4|z| z, |z| 1.

2 1 |z| f (z) 1 |z| Далее, в силу этого неравенства f (reit ) 2r ln[(1 r2 )f (reit )] = eit.

it ) 2 1 r r f (re 1r В результате интегрирования по r от 0 до |z| с t = arg z, мы имеем |z| ln[(1 r2 )f (reit )] dr | ln(1 |z| )f (z)| r 1 + |z| 2 ln.

1 |z| Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Отделяя вещественную часть, приходим к неравенствам 1 + |z| 1 + |z| ln(1 |z|2 )|f (z)| 2 ln 2 ln, 1 |z| 1 |z| указанным в теореме. Теорема о росте. Если f S и |z| 1, то |z| |z| |f (z)|.

2 (1 |z|) (1 + |z|) Оценки точные и знак равенства реализуется только на функциях Кё бе.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f S и z = reit, 0 r 1. Так как f (0) = 0, то из правого неравенства теоремы об искажении следует, что r r r 1+ it it |f (z)| = f (e ) d |f (e )| d d (1 ) 0 0 r =.

(1 r) Это доказывает правую часть неравенства нашей теоремы. Для дока зательства левой части неравенства, предположим, что f (reit ) = Rei.

Если R 1/4, то неравенство очевидно. Таким образом, мы можем пред полагать, что R 1/4. По теореме Кёбе о покрытии прообраз сегмента w( ) = ei, 0 R при отображении f (z) принадлежит кругу D c концами в точках 0 и reit. Используя нижнюю оценку из теоремы иска жения, получаем, что |f (reit )| = R = |dw| = |f ()d| r 1 r |f ()|d|| d =.

3 (1 r) (1 + ) Детальную информацию о первых существенных результатах в тео рии однолистных функций можно найти, например, в монографиях Г.М. Го лузина [105], Дженкинса [170], Дьюрена [130] и Поммеренке [311].

Глава 1. Определения и элементарные оценки 1.4. Последовательности однолистных функций В данном параграфе мы приведем классические теоремы, связанные с вопросами сходимости и компактности для аналитических функций и конформных отображений, и начнем с фундаментальной теоремы Вей ерштрасса.

Теорема Вейерштрасса. Пусть последовательность fn (z) анали тических функций в области G сходится к предельной функции f (z) локально равномерно в G. Тогда f (z) также аналитическая функция в (m) области G. Более того, производные любого порядка fn (z) сходятся к f (m) (z) локально равномерно в G.

Далее, непосредственно из классического принципа аргумента для аналитических функций, следует Теорема Руше. Пусть – замкнутая кривая Жордана в односвяз ной области G. Если две аналитические функции f (z) и g(z) в области G удовлетворяют неравенству |f (z) g(z)| |f (z)| в точках кривой, то f (z) и g(z) имеют одинаковое число нулей внут ри.

Отсюда вытекает Теорема Гурвица. Если аналитические в области G функции fn (z) не обращаются в этой области в нуль и последовательность fn (z) схо дится к f (z) локально равномерно в G, то предельная функция f (z) либо тождественно равна нулю, либо не обращается в нуль в области G.

Из теоремы Гурвица следуют два фундаментальных заключения для однолистных аналитических функций:

1. Если последовательность однолистных аналитических функций fn (z) сходится к f (z) локально равномерно в G, то предельная функция либо также однолистна, либо является константой;

2. Если f (z) однолистна в G, то f (z) = 0 в этой области.

Напомним, что семейство F аналитических функций в области G на зывается нормальным, если любая последовательность fn F содержит подпоследовательность, сходящуюся локально равномерно в области G.

Семейство F аналитических функций в области G называется ком пактным, если оно нормально и замкнуто, то есть все предельные функ ции принадлежат семейству F.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Теорема Витали. Последовательность аналитических функций fn (z) в области G сходится локально равномерно в G к аналитической функции f (z), тогда и только тогда, когда:

1. fn (z) локально ограничена в G;

2. fn (zk ) f (zk ) при n для каждого k = 1, 2,... при условии, что zk z0 G, k.

Следующий результат является центральным для наших дальней ших рассуждений.

Теорема 1.2. Касс S является компактным относительно топо логии локально равномерной сходимости в круге D.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы о росте, если f (z) S, то |z| |f (z)|.

(1 |z|) Таким образом, класс S является локально ограниченным в D. По тео реме Арцела класс S является нормальным, а теорема Гурвица позволя ет сделать заключение, что все предельные функции либо однолистны, либо константы. Последняя возможность исключается, поскольку функ ции класса S нормированы условием f (0) = 1. Таким образом, класс S замкнут и, следовательно, компактен. Следующий результат, принадлежащий Каратеодори, дает геомет рическую интерпретацию сходимости последовательности fn (z) однолист ных аналитических функций в области G, в терминах надлежащей схо димости областей fn (G).

Предварительно напомним определение ядра последовательности плоских областей. Пусть Gn, n = 1, 2,... - последовательность односвяз ных областей в комплексной плоскости C, содержащих фиксированный круг K с центром в точке w0. Обозначим через E множество точек w C, таких, что каждая из них имеет окрестность, принадлежащую Gn для всех достаточно больших n. Очевидно, что все точки круга K входят в E, и значит E не пусто. Более того, E открыто и может быть представ лено в виде объединения конечного или счетного множества односвяз ных непересекающихся областей. Ту из них, которая содержит точку w0, обозначим через Gw0 и ее будем называть ядром последовательности Gn относительно точки w0.

Глава 1. Определения и элементарные оценки Теорема Каратеодори о сходимости к ядру. Пусть fn (z), fn (0) 0, n = 1, 2,..., - последовательность однолистных аналитических функ ций в круге D и Gn = fn (D). Последовательность fn (z) сходится ло кально равномерно в D тогда и только тогда, когда Gn сходятся к G = C, как к своему ядру. Если предельная функция f (z) = 0, то она отображает D на ядро G.

Доказательство этого, ставшего уже классическим, результата, а так же подробные доказательства приведенных ранее в этой главе теорем, читатель может найти практически в каждой из монографий по гео метрической теории функций комплексного переменного, см., например, [105, 311].

Глава СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В данной главе мы исследуем некоторые специальные семейства ана литических функций в единичном круге D, а также специальные классы конформных отображений круга на области с заданными геометрически ми свойствами, такими, например, как их звездность, выпуклость и т.д.

2.1. Принцип подчинения и класс C – Каратеодори Напомним классическую лемму Шварца. Пусть f (z) – аналитиче ская функция в круге D, такая, что |f (z)| 1, f (0) = 0.

Тогда |f (z)| |z|, и |f (0)| 1.

Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда f (z) = z, где – произвольная константа, равная по модулю единице.

Теорема 1.3. (Принцип подчинения). Пусть f и F – аналитиче ские функции в круге D, такие, что f (0) = F (0) и дополнительно F однолистна в D. Если f (D) F (D), пишем f F и читаем f подчинена F в D, тогда (a) f (z) = F (z), где – аналитическая функция в D и |(z)| |z|, (b) |f (0)| |F (0)| со знаком равенства тогда и только тогда, когда (z) = z, || = 1, (c) f (|z| r) F (|z| r) для всех r, 0 r 1.

Глава 2. Специальные классы аналитических функций Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как F аналитична и однолистна в D, то = F 1 f (z) удовлетворяет условиям леммы Шварца. Значит, |(z)| |z|, |F (0)| = |f (0)|| (0)| |F (0)| со знаком равенства тогда и только тогда, когда (z) = z. Так как f (z) = F ((z)) и |(z)| |z|, то f (|z| r) = F ((|z| r)) F (|z| r) для всех r, 0 r 1. Обозначим через H(D) пространство всех аналитических функций в единичном круге D с топологией локально равномерной сходимости, а через C – класс функций из H(D), таких что Re f (z) 0, и f (0) = 1, введенный и исследованный Каратеодори.


Отметим, что класс C представляет собой выпуклое компактное под множество в пространстве H(D).

Из принципа подчинения немедленно следует Теорема 2.1. Если f C и f (z) = 1 + c1 z +... + cn z n +..., то справедливы точные оценки:

1 |z| 1 + |z| |f (z)| 1 + |z| 1 |z| и для всех n = 1, 2,...

|cn | 2.

Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда 1 + z f (z) =, || = 1.

1 z Д о к а з а т е л ь с т в о. Первые оценки и втрое неравенства при n = 1 следуют немедленно из того факта, что f (1 + z)/(1 z) в круге D. Пусть теперь n 2. Функция h(z) = g(z 1/n ), где n f (e2ik/n z), g(z) = n k= также принадлежит классу C и, более того, h(z) = 1 + cn z +.... Значит |cn | 2 для всех n. Отметим, что из теоремы 2.1 следует локально равномерная ограни ченность класса C. Следовательно, по теореме Арцела, класс C является Геометрическая и топологическая теория функций и отображений компактным подмножеством пространства H(D). Таким образом, класс C представляет из себя выпуклое компактное подмножество простран ства H(D) и, следовательно, к этому классу применимы методы теории локально выпуклых линейных топологических пространств. С другой стороны, в чем мы убедимся ниже, класс C – Каратеодори тесно связан с конформными отображениями единичного круга.

Следующий классический результат, известный как теорема Рисса– Герглотца, дает интегральное представление класса C.

Теорема Рисса–Герглотца. Функция f принадлежит классу C тогда и только тогда, когда существует неубывающая функция µ на [0, 2], такая, что 2 1 + eit z f (z) = dµ(t), dµ(t) = 1. (2.1) 1 eit z 0 Здесь интеграл понимается в смысле Стилтьеса. Если µ нормирована так, что µ(t ) + µ(t+ ) µ(t) =, то такая µ в представлении Рисса–Герглотца единственна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f имеет вид (2.1). Тогда f аналитична вDи 1 + eit z Re f (z) = Re dµ(t) 1 eit z так как Re [(1 + z)/(1 z)] 0 для z D и µ не убывает. Более того, f (0) = 1 и, следовательно, f C.

Обратно, пусть f C. Если |z| r 1, тогда, по формуле Шварца, 2 reit + z reit + z Re f (reit ) dt = f (z) = dµr (t) reit z reit z 0 с функцией t Re [f (rei )] d.

µr (t) = Ясно, что µr (t) не убывает по t на промежутке [0, 2] и нормирована условиями µr (0) = 0, µr (2) = 1 для каждого 0 r 1, так как f (0) = 1.

Глава 2. Специальные классы аналитических функций В силу принципа выбора Хелли, найдется неубывающая последова тельность rn, такая, что 0 rn 1 и rn 1 при n, и неубывающая функция µ на [0, 2], для которых 2 h(t)dµn (t) h(t)dµ(t) 0 для любой функции h, непрерывной на [0, 2]. Так как rn eit + z eit + z it rn eit z e z равномерно относительно t, 0 t 2 и z, |z|, 0 1, можно выполнить предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса 1 + eit z f (z) = dµ(t) 1 eit z и, тем самым, завершить доказательство интегрального представления функций класса C.

Чтобы доказать единственность, мы применим формулу Стилтьеса– Перона t µ(t + 0) + µ(t 0) Re [f (rei )] d, = lim 2 r которая справедлива для любого 0 t 2. Приведем эквивалентную формулировку теоремы Рисса–Герглотца:

функция f принадлежит классу C, тогда и только тогда, когда существу ет единственная регулярная вероятностная мера µ на единичной окруж ности S 1 = { : || = 1}, такая, что 1 + z f (z) = dµ.

1 z ||= Геометрическая и топологическая теория функций и отображений 2.2. Звездообразные и выпуклые функции Класс функций C – Каратеодори тесно связан с некоторыми важны ми классами конформных отображений единичного круга.

Напомним, что множество G, 0 G, называется звездообразным относительно начала координат, если tw G для любого w G и всех 0 t 1.

Обозначим через S подкласс класса S, состоящий из функций f (z), для которых f (D) – звездообразная область относительно начала коор динат. Следующая теорема устанавливает связь между функциями клас сов C и S.

Теорема 2.2. Аналитическая функция f (z), f (0) = 0, f (0) = 1 в круге D принадлежит классу S тогда и только тогда, когда zf (z) = h(z) C.

f (z) Это соотношение однозначно определяет f по формуле z h() f (z) = z exp d.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала мы установим, что если f S, то область Gr = {f (z) : |z| r}, 0 r 1, является звездообразной относительно начала координат. Действительно, пусть t (0, 1) и (z) = f 1 (tf (z)). Функция определена и аналитична в круге D, поскольку f – однолистна и f (D) – звездообразна. Более того, (0) = 0, |(z)| 1, и по лемме Шварца |(z)| |z| в D. Если |z0 | r, то tf (z0 ) = f ((z0 )) f (|z| r).

Следовательно, Gr = {f (z) : |z| r} – звездообразна относительно 0.

Пусть теперь f (z) S. Так как Gr звездообразна, то из геометриче ских соображений следует, что arg f (rei ) представляет собой монотонно возрастающую функцию в промежутке 0 2. Следовательно, f (rei ) arg f (rei ) = Im [ln f (rei )] = Re rei 0.

f (rei ) Глава 2. Специальные классы аналитических функций В силу нормировки f (0) = 0, f (0) = 1, функция h(z) имеет устранимую особенность в точке z = 0 и h(0) = 1. То есть h(z) – аналитическая функ ция в круге D. В силу принципа минимума для гармонических функций и нормировки h(0) = 1, Re h(z) = 0 для любого z D. Таким образом, h(z) C.

Обратно, пусть h(z) принадлежит классу C. Тогда f (z) = 0 для z = 0, так как, в противном случае, функция h(z) должна была бы иметь полюс. Если f (z) = ak z k +..., то k = h(0) = 1. А это значит,что h(z) C, так как f (0) = 0, f (0) = 1. Поскольку arg f (rei ) монотонно возрастает на интервале 0 2, ее полное изменение 1 f (z) arg f (rei ) d = Re dz = 2.

i f (z) 0 |z|=r Из геометрических соображений теперь следует, что f (z) отображает окружность |z| = r взаимно однозначно на звездообразную относительно начала координат аналитическую кривую. Следовательно, f (z) – одно листна в круге |z| r и область Gr – звездообразна для любого 0 r 1.

Таким образом, f S. Чтобы завершить доказательство, заметим, что d zf (z)/f (z) ln[f (z)/z] =, dz z так как g(z) = ln[f (z)/z], g(0) = 0, определена и аналитична в круге D.

Интегрирование приводит к формуле z h() ln[f (z)/z] = d, которое эквивалентно второму заключению теоремы. Теорема 2.3. f S тогда и только тогда, когда существует регулярная вероятностная мера µ на единичной окружности, такая, что f (z) = z exp 2 ln(1 z)dµ.

||= Более того, такая мера единственна.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Д о к а з а т е л ь с т в о. Если f S, то по теореме Рисса–Герглотца и теореме 2.2, найдется единственная мера µ, такая, что z dµ d f (z) = z exp [(1 + z)/(1 z) 1].

z 0 ||= Выполняя интегрирование, получим f (z) = z exp 2 ln(1 z) dµ.

||= Обратно, если f представима в указанном выше виде, то zf (z)/f (z) C и f S по теореме 2.2. Пусть k 0, |k | = 1, k = 1, 2,..., n и 1 +... + n = 2. Тогда функция z f (z) = n k k=1 (1 k z) принадлежит классу S. Это следует из теоремы 2.3, если выбрать µ на единичной окружности таким образом, чтобы n µ= tk k, k= где tk 0, t1 +... + tn = 1 и k соответствует массе, сосредоточенной в точке k единичной окружности. Отметим, что f (D) представляет со бой всю комплексную плоскость с n разрезами вдоль лучей, выходящих из бесконечно удаленной точки и содержащих при своем продолжении точку 0. Функция Кёбе и её вращения отвечают частному случаю, когда n = 1.

Теперь мы дадим описание всех конформных отображений единич ного круга на выпуклые области. Напомним, что множество G называ ется выпуклым, если выполняется соотношение tw1 + (1 t)w2 G для любых w1, w2 G и 0 t 1.

Обозначим через S c подкласс касса S, состоящий из функций f, для которых f (D) – выпуклая область.

Глава 2. Специальные классы аналитических функций Теорема 2.4. Аналитическая функция f (z), f (0) = 0, f (0) = 1, в круге D принадлежит классу S c тогда и только тогда, когда zf (z) 1+ = h(z) C.

f (z) Это соотношение однозначно определяет f по формуле z h() f (z) = exp d d.

0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Вначале покажем, что если f S c, то область Gr = {f (z) : |z| r}, 0 r 1, является выпуклой. Положим z1 = z2, где |z1 | |z2 | 1. Тогда wt = tf (z1 ) + (1 t)f (z2 ) f (D) для 0 t 1, так как область f (D) выпуклая. Следовательно, wt = f (zt ) для некоторого zt D. Мы должны показать, что wt Gr. Пусть t [0, 1] и фиксировано и пусть g(z) = tf (zz1 /z2 ) + (1 t)f (z).

Тогда g(z) аналитична в круге D, g(0) = 0, а так как множество f (D) выпуклое, то g(D) f (D). Следовательно, g подчинена однолистной функции f в D. Применяя принцип подчинения, находим, что g(|z| r) Gr. Таким образом, wt = g(z2 ) D и Gr = {f (z) : |z| r} – выпуклая область при всех 0 r 1.

Пусть теперь f принадлежит классу S c. Так как Gr выпукла, то угол касательной к аналитической кривой w = f (rei ), 0 2, представляет собой неубывающую функцию параметра, то есть f (rei ) f (rei ) f = Re 1 + rei arg = Im ln 0.

f (rei ) Так как h(0) = 1, то, в силу принципа минимума для гармонической функции Re h(z), выполняется неравенство Re h(z) 0 в круге D. Зна чит, если f S c, то h C.

Обратно, пусть h(z) принадлежит классу C. Угол между нормалью к замкнутой аналитической кривой r = f (rei ) 0 2, и веще ственной осью записывается в виде + arg f (rei ). Следовательно, ( + arg f (rei )) = Re h(rei ) 0.

Мы также видим в результате интегрирования, что полное изменение этого угла равно 2. Значит f (z) отображает окружность |z| = r взаимно Геометрическая и топологическая теория функций и отображений однозначно на выпуклую кривую при каждом 0 r 1. Отсюда следует, что f однолистна и отображает D на выпуклую область. Непосредственно из теорем 2.2 и 2.4 вытекает связь между функция ми классов S и S c. Именно, f S c тогда и только тогда, когда g(z) S, где g(z) = zf (z).

Отсюда следует интегральное представление функций класса S c.


Теорема 2.5. f S c тогда и только тогда, когда существует регулярная вероятностная мера µ на единичной окружности, такая, что f (z) = exp 2 ln(1 z)dµ.

||= 2.3. Вариационный метод Как мы видели в предыдущих параграфах, многие важные специ альные классы аналитических функций и конформных отображений име ют параметрические представления с помощью интегралов Стилтьеса.

Построению вариационного исчисления в таких классах функций посвя щены многочисленные работы отечественных и зарубежных математи ков, см., например, [6, 7, 95, 104, 187, 259, 386] и цитируемую там литера туру. Развивая идеи работы [259], мы предложили, на наш взгляд, до статочно универсальный метод построения вариаций на таких классах аналитических функций, суть которого изложена ниже.

Пусть G – область в комплексной плоскости C и gk (z, t) – заданные непрерывные функции двух переменных в G [ak, bk ], аналитические по z G при каждом t из сегмента [ak, bk ]. Обозначим через M [ak, bk ] класс всех неубывающих функций µ(t) на [ak, bk ], нормированных условиями µ(ak ) = 0, µ(bk ) = 1. Обозначим через M – класс аналитических функ ций в области G, которые могут быть представлены в виде f (z) = F (z, u1 (z, µ1 ),..., un (z, µn )), (2.2) Глава 2. Специальные классы аналитических функций где bk uk (z, µk ) = gk (z, t)dµk (t). (2.3) ak Класс M равномерно ограничен внутри G. Отсюда следует его нормаль ность. Принцип выбора Хелли и теоремы Хелли о предельном перехо де под знаком интеграла Стилтьеса обеспечивают компактность класса M относительно локально равномерной сходимости в области G. Класс M является связным, что следует, например, из выпуклости множества M [ak, bk ].

Выбирая надлежащим образом ядра gk (z, t) и функцию F, класс M можно специализировать. Например, если положить F = u1 (z, t), 1 + zeit g1 (z, t) =, 1 zeit z D, и a = 0, b = 2, то, по теореме Рисса–Герглотца, прийдем к классу C - Каратеодори. При F = z exp{2u1 }, u1 (z, t) = ln(1 zeit ), z D, а также считая a = 0, b = 2, получим, что M S, где S - класс всех однолистных звездообразных функций в единичном круге D.

Поскольку M [ak, bk ] – выпуклые множества, то допустимые вариа ции в классе M аналитических функций можно получить на основе вы пуклых вариаций функций µk (t). Действительно, если µk (t) M [ak, bk ], то функция µ (t) = (1 k )µk (t) + k k (t), (2.4) k где k 0 и 0 k 1, также принадлежит классу M [ak, bk ], какова бы ни была функция k (t) M [ak, bk ].

Подставляя (2.4) в (2.2), мы получаем вариационную формулу в классе M :

f (z) = f (z) + Q(z) + o(), (2.5) где bk n Q(z) = k Fuk (z, u1 (z, µ1 ),..., un (z, µn )) gk (z, t)d[k (t) µk (t)] (2.6) k=1 ak и o()/ 0 при 0 локально равномерно в области G.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Вариационная формула (2.5) является эффективным инструментом для приложений. Она позволяет сводить первоначальную, в общем слу чае, нелинейную экстремальную проблему на классе M к линейной экс тремальной проблеме на выпуклых классах M [ak, bk ].

Заметим, что все вариационные формулы, установленные ранее в работах [6,104,187,259,386], получаются из (2.5) при надлежащем выборе функций k (t).

Пусть J(w0, 0, w1, 1,..., wn, n ), отличная от постоянной аналитиче ская функция 2n + 2 комплексных переменных в некоторой области, до статочной для последующих построений. Для иллюстрации приложения вариационной формулы (2.5), рассмотрим на классе M комплекснознач ный функционал I(f ) = J(f (z0 ), f (z0 ), f (z0 ), f (z0 ),..., f n (z0 ), f n (z0 )) считая точку z0 фиксированной в области G. Тогда I(f ) = I(f ) + [f, Q] + o(), (2.7) где m ds Q(z) ds Q(z) [f, Q] = as + bs (2.8) dz s dz s s= и J J as =, bs =.

ws s Множество значений функционала I(f ), когда f пробегает весь класс M очевидно связно и замкнуто. Для определения его неособых в смысле Лебедева [254] граничных точек, т.е. точек I0, для которых существует внешняя по отношению к точка Ie такая, что |I Ie |, I, достигает минимума при I = I0, поступим следующим образом. Предпо ложим, что функция f вносит в область граничную точку I(f ).

Тогда найдется внешняя по отношению к области точка Ie, такая, что |I(f ) Ie | |I(f ) Ie |. Отсюда и из (2.7) следует выполнение неравен ства bk n Re ([f, Q] · I Ie ) = k k (t)d[k (t) µk (t)] 0, (2.9) k=1 ak где k (t) = Re ([f, Fuk gk ] · I Ie ). (2.10) Глава 2. Специальные классы аналитических функций Значит bk n k k (t)d[k (t) µk (t)] 0. (2.11) k=1 ak Отсюда, в силу произвольности выбора постоянных k 0, следует прин цип максимума: в случае экстремума bk bk min k (t)dk (t) = k (t)dµk (t). (2.12) k M [ak,bk ] ak ak Соотношение (2.12) можно записать в эквивалентном виде bk k (t)dµk (t) = Mk, (2.13) ak где Mk = min k (t). (2.14) t[ak,bk ] В дальнейшем будем предполагать, что непрерывные на [ak, bk ] функции k (t) принимают свое минимальное значение на этом промежутке конеч ное число раз. Ясно, что на всяком промежутке [k, k ] [ak, bk ], на ко тором k (t) Mk, экстремальная функция µk (t) принимает постоянное значение. Таким образом, мы приходим к заключению, что граничные функции f (z) M имеют вид L1 Ln (s) (s) µ(s) gn (z, t(s) ), f (z) = F z, µ1 g1 (z, t1 ),..., (2.15) n n s=1 s= (s) (s) где tk [ak, bk ], а неотрицательные числа µk связаны соотношением:

(1) (2) (L ) µk + µk +... + µk k = 1. При этом числа Lk равны числу корней урав (s) нения k (t) = Mk на [ak, bk ], а точки tk совпадают с самими корнями.

2.4. Экстремальные задачи на классе C В качестве примера, рассмотрим применение описанного выше ва риационного метода к исследованию экстремальных задач на классе C – Каратеодори.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Теорема 2.6. Пусть комплекснозначный функционал I(f ) = J(f (z0 ), f (z0 ), f (z0 ), f (z0 ),..., f n (z0 ), f n (z0 )) (2.16) определен на классе C. Тогда все граничные функции содержатся в се мействе L 1 + zeitk f (z) = µk, (2.17) 1 zeitk k= зависящем от конечного числа вещественных параметров µk 0, tk [0, 2). При этом L n + 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Вид граничных функций следует и формулы Рисса–Герглотца 1 + zeit f (z) = dµ(t) 1 zeit и формулы (2.15). В данном случае n ds 1 + zeit (t) = Re s |z=z0, dz s 1 zeit s= где s – комплексные параметры. Элементарный анализ показывает, что функция (t) может принимать свое минимальное значение на [0, 2) не более, чем в n + 1 точке. В частности, если функционал зависит лишь от f (z0 ) и f (z0 ) в од ной фиксированной точке, то экстремальные функции имеют вид (2.17) и содержат всего три независимых параметра. Однако даже в этом слу чае, решение конкретной экстремальной задачи до конца сопряжено с значительными аналитическими трудностями.

Следующий результат относится как раз к этому случаю и имеет многочисленные приложения к исследованию экстремальных задач на специальных классах однолистных аналитических функций.

Теорема 2.7. Пусть 0 |z0 | = r 1 и фиксировано. Тогда мно жество значений функционала J(h) = {h(z0 ), z0 h (z0 )} Глава 2. Специальные классы аналитических функций на классе C представляет собой компактное, выпуклое множество M(z0 ) в пространстве C2. При этом M(z0 ) = M(r) и 1+ M(r) = (0, 1 ) : 0 =, r2 || 1 = +, || r, || 1.

(1 )2 1 r Граничные функции имеют вид 1 + zei1 1 + zei h(z) = + (1 ), (2.18) 1 zei1 1 zei где 0 и k, k = 1, 2, – произвольные вещественные числа.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку C является выпуклым ком пактным подмножеством в пространстве всех аналитических функций в единичном круге, а оператор дифференцирования линейный и непрерыв ный, то M(z0 ) – выпуклое компактное подмножество в пространстве C2.

Поскольку в классе C действует автоморфизм h h, где h (z) = h(z), то J(h (z0 )) = J(h(z0 )) и, значит, M(z0 ) = M(z0 ) = M(r).

Так как любая функция класса Каратеодори представима в виде h(z) = 1+(z), где (z) – функция из леммы Шварца, то в силу леммы 1(z) 1+(z) Шварца, 0 = 1+ : || r. Пусть теперь в представлении h(z) = 1(z) функция (z) удовлетворяет условию (r) =, || r. Тогда функция (z) 1 rz 1 (z) = · 1 (z) z r также голоморфна в единичном круге и |1 (z)| 1 при |z| 1. При этом 1 r 1 (0) =, 1 (r) = (r).

1 || r Из леммы Шварца в инвариантной форме следует, что /r 1 (r) r.

1 1 (r) /r 2 (r) Решая последнее неравенство и учитывая, что h (r) =, мы за (1(r)) вершаем описание множества M(z0 ). Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Приведенное выше подход к доказательству теоремы 2.6 восходит к Шуру [410], и получил глубокое развитие в работе В.В. Горяйнова [109].

В следующих теоремах функцию, заданную в области {(, w) :

Re 0, |w| }, будем считать вещественной, конечной и при любом фиксированном достигающей своей точной верхней и точной нижней грани в любом круге на его окружности.

Теорема 2.8. [187]. Пусть 0 r 1 и I = extrf C extr|z|=r (f (z), zf (z)).

Тогда I достигается на функциях вида (2.18) и при этом I = extr extrw (, w), где изменяется в круге | a| b а w, при фиксированном, – на окружности 1 w ( 2 1) = (b | a|2 ).

2 Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, по теореме 2.7, все экстре мальные функции имеют вид 1 + zei1 1 + zei f (z) = + (1 ), (2.19) 1 zei1 1 zei где 0 и k, k = 1, 2, – произвольные вещественные числа. Пусть точка z = rei D и фиксирована. Тогда множество значений функции (2.19), когда параметры и k изменяются в указанных выше областях, пред ставляет собой замкнутый круг = a(r) + b(r)ei, где – произвольный параметр из сегмента [0, 1] и [0, 2]. При этом ei = ei1 + (1 )ei2 (2.20) и sin( + k ) k = arcsin. (2.21) a b cos( + k ) Замечая, что 2z 1 1+z = 1, (1 z) 2 1z находим, что множество значений для 2zf (z) на семействе (2.19) имеет вид 2zf (z) = (a(r) + b(r)ei )2 1 + b(r)(1 2 )ei, Глава 2. Специальные классы аналитических функций где [0, 2), причем = 1 + 2. (2.22) Таким образом, это множество при фиксированном значении = a(r) + b(r)ei представляет собой окружность, указанную в формулировке тео ремы. Заметим, что формулы (2.20) – (2.22), устанавливающие связь меж ду старыми и новыми параметрами, будут использованы нами в главе 4 при определении экстремалей в общей задаче искажения и вращения при конформных отображениях единичного круга.

Параметризацию множества M(z0 ) в форме, данной В.А. Зморови чем, можно вывести и из теоремы 2.7. Для этого положим 1+ = a + bei, где 1 + r2 2r a=, b=, 0 1, [0, 2), 2 1 r 1r и заметим, что 2 1 1+ = 1.

(1 ) 2 Тогда (0, 1 ) : 0 = a + bei, 1 = [(a + bei )2 1 + b2 (1 2 )ei ], M(r) = (2.23) где [0, 1],, [0, 2).

Действительно, в терминах новых параметров r2 || 2 = b2 (1 2 ).

· 2 |1 | 1r Остается проверить это тождество. Так как 1 || 1+ Re = = a + b cos, |1 | то r2 ||2 r2 ||2 · = (a + b cos ).

|1 |2 1 r2 1 ||2 1 r Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Подставляя a 1 + bei || =, a + 1 + bei и выполняя элементарные вычисления находим, что r2 ||2 2 = b2 (1 2 ), (a + b cos ) 2 1 r 1 || завершая, тем самым, проверку.

В главе 4, при исследовании экстремальных задач на классе S, нам потребуется следующий результат.

Теорема 2.9. Пусть на классе C задан функционал I(f ) = (f (r), f (0)), (2.24) где r (0, 1) и фиксировано, а функция (, w) обладает теми же свой ствами, что и в теореме 2.8. Тогда extrf C I(f ) = extr extrw (, w), (2.25) причем изменяется в круге { : | a| b}, а область измене ния w при фиксированном есть окружность с центром в точке | 1+r2 2r 1|2 /(bRe ) и радиусом (b2 | a|2 )/(bRe ). Здесь a = 1r2 и b = 1r2.

Все экстремальные функции имеют вид (2.18).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f (z) C, z0 – фиксированная точка круга D и – произвольное число из сегмента [0, 2]. Легко видеть, что функция f ((z)) iIm f (z0 ) h(z) =, Re f (z0 ) где zei + z (z) =, 1 z0 zei также принадлежит классу C. Поскольку имеет место формула обраще ния zz h ei 10 iIm h(z0 ei ) zz f (z) =, Re h(z0 ei ) то I = extrf C (f (r), f (0)) 1 iIm h(r) (r2 1)h (r) = extrhC,. (2.26) Re h(r) Re h(r) Глава 2. Специальные классы аналитических функций По теореме 2.8, 1 iIm (r2 1)w I = extr extrw,, (2.27) Re rRe где и w изменяются в областях, указанных в теореме 2.8. Остается выполнить в (2.27) замену переменной на по формуле 1 iIm = Re и заметить, что это преобразование переводит круг | a| b в себя.

Заключение о виде экстремальных функций следует из теоремы 2.7. 2.5. Области значений функционалов и геометрические свой ства конформных отображений Следующие параграфы посвящены исследованию геометрических свойств конформных отображений единичного круга на звездообразные и выпуклые области.

Пусть f (z) S. При отображении круга D функцией f (z) S образом окружности z = rei,, радиуса r, 0 r 1, являет ся некоторая аналитическая кривая L(f, r), которую принято называть линией уровня функции f (z). По теореме о росте однолистной функции, см. §1.3, эта кривая принадлежит кольцу Kr : Rmin (r) |w| Rmax (r), где r r Rmin (r) =, Rmax (r) =.

(1 + r)2 (1 r) Дуга линии уровня называется выпуклой, если при непрерывном движении вдоль нее в положительном направлении касательная враща ется против часовой стрелки. С помощью функции zf (z) Q(f, z) = 1 + Re f (z) необходимому и достаточному условию принадлежности точки w0 = f (z0 ), |z0 | = r, выпуклой дуге линии уровня L(f, r) можно придать сле дующий вид: Q(f, z0 ) 0 (ср. [105], с. 166). Если же Q(f, z0 ) 0, то точка w0 принадлежит вогнутой дуге линии уровня.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Уже достаточно хорошо изучен вопрос о выпуклости дуг линий уров ня L(f, r), f S, при малых значениях r. Так, например, известно, что если r (0, rc ), rc = 2 3, то L(f, r) - выпукла, какова бы ни бы ла функция f (z) класса S. При r rc поведение дуг линий уровня становится более сложным. Тем не менее, для таких r, на основании знания областей значений определенных комплекснозначных функцио налов, заданных на классе S, удается заметно увеличить информацию о геометрических свойствах линий уровня.

В данном параграфе находится область значений функционала zf (z) I(f ) = Re + iQ(f, z), f (z) z D и фиксировано, на классе S, см. теорема 2.11, и, в качестве одно го из приложений этого результата к изучению геометрических свойств линий уровня, доказываются теоремы, устанавливающие связь между значениями Re zf(z) и выпуклыми (вогнутыми) дугами L(f, r), f S.

(z) f Здесь же приведены результаты, относящиеся к взаимному росту функ ционалов Re zf(z) и Q(f, z) на классе S.

(z) f Отметим, что в 1973 году Мокану и Рид [297] применили теорему 2.10 для решения проблемы - выпуклости в классе S.

В §2.6 находится область значений системы функционалов zf (z) Pn (f ) = Jn |f (z)|, Re, n = 1, 2, f (z) z D и фиксировано. Здесь Jn (u, v) - непрерывно дифференцируемые вещественные функции в плоской области, образованной точками |f (z)|+ iRe zf(z), когда f (z) пробегает весь класс S. Это позволяет, с одной (z) f стороны, привести теоремы о взаимном росте некоторых функционалов на классе S и его подклассах, с другой стороны, используя результаты §2.5, установить те части кольца Kr, в которых любая дуга линии уровня L(f, r), f S, является выпуклой. В §2.7 доказано, что только и лишь только в кольце 1 + r2 r R (r) |w| Rmax (r) = 2 max (1 r) 2(1 + r) при произвольно фиксированном r (rc, 1) линия уровня L(f, r) при всех f S имеет выпуклые дуги.

Ранее, в работе [30] И.Е. Базилевич и Г.В. Корицкий доказали тео рему: существует абсолютная константа c, 0.333... c, 0.511..., не Глава 2. Специальные классы аналитических функций зависящая от r, такая, что в кольце Rmax (r) |w| Rmax (r) дуги ли ний уровня L(f, r) любой функции f S будут выпуклыми. Но имеется такое r 1 и такая функция f (z) класса S, что в более широком кольце ( )Rmax (r) |w| Rmax (r) на L(f, r) найдется невыпуклая дуга.

В §2.7 установлено точное значение абсолютной константы c на классе S, которое оказалось равным 1/3.

Сформулируем первую основную теорему.

Теорема 2.10. Область значений (z) комплекснозначного функ ционала zf (z) zf (z) I(f ) = Re + i 1 + Re, (2.28) f (z) f (z) определенного на классе S, z принадлежит единичному кругу D и фик сировано, представляет собой замкнутое множество, ограниченное не прерывной кривой + и отрезком прямой, соединяющим концевые точки +. Пусть a = 1+|z|2, тогда при всех 0 |z| = r 1 кривая + 1|z| состоит из трех дуг +, k = 1, 2, 3 :

k a) + : I = x + i1 (x), если 1r R1 (r) x 1, где 1 1+r x 1 (x) = 3, (2.29) 2 2ax а 1 – единственный положительный корень уравнения (2ax 1)3/2 = x;

(2.30) б) + : I = x + i2 (x), если 1 x 2 = (a2 + 3)1/2 a, где y 3 (2ax 1)y0 + x 2 (x) = x 0 (2.31) 2 2y и y0 – единственный положительный корень уравнения y 3 + (2ax 1)y 2x = 0;

(2.32) в) + : I = x + i3 (x), если 2 x R2 (r) = 1+r, где 3 1r 3 (x) = x + a. (2.33) x Уравнение отрезка прямой имеет вид : I = x + i(2x a), R1 (r) x R2 (r). (2.34) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая связь между функциями классов C – Каратеодори и S, мы имеем zf (z) Re = Re h(z), f (z) и zf (z) zh (z) Re = Re h(z) +, f (z) h(z) и значит множество (z) совпадает с множеством значений функционала zh (z) Ih = Re h(z) + iRe h(z) + h(z) на классе C - Каратеодори. Для решения последней задачи мы приме ним теорему 2.8, согласно которой, множество значений функционала параметризуется следующим образом:

(z) = (|z|) : Re (a + bei ) b2 (1 2 )ei (a + bei ) + +i Re, 2(a + bei ) где 0 1,, [0, 2).

Таким образом, поставленная задача свелась к задаче на условный экстремум о нахождении максимума и минимума функции трех веще ственных переменных b2 (1 2 )ei (a + bei ) + Q(r;

,, ) = Re (2.35) 2(a + bei ) при условии, что Re (a + bei ) = x (2.36) и фиксировано в промежутке [R1 (r), R2 (r)].

Решение задачи о максимуме. Из (2.36) следует, что xa cos =.

b |xa| Значит, во-первых, параметр может изменяться от до 1, во-вторых, b| y() = |a + bi | = (b2 2 + 2ax a2 )1/2. (2.37) Глава 2. Специальные классы аналитических функций Из (2.37) непосредственно следует, что 2ax 1 R1 (r) 0 (2.38) при любом r из (0, 1) и любом допустимом значении параметра x. Учи тывая только что сказанное, имеем 3 Q= x + (x,,, ), (2.39) 2 где ei x + b2 (1 2 )Re =. (2.40) y2 a + bei Из элементарных геометрических соображений следует, что (1) max = (x,,, arg(a + bei )). (2.41) Выражая через y, после простых преобразований с учетом того, что a2 b2 1, получаем y 3 (2ax 1)y + x (1) (y) =. (2.42) y Так как ((1) ) = ((1) )y · y и y 0 при x = a, то стационарные точки определяются из уравнения (y) = y 3 + (2ax 1)y 2x = 0, (2.43) определенного на промежутке [x, (2ax 1)1/2 ]. В силу неравенства (2.38), функция (y) монотонно возрастает при любом допустимом значении параметра x и любом r (0, 1). Пусть y0 [x, (2ax 1)1/2 ] – корень уравнения (2.43). Покажем, что в этой точке функция (1) (y) имеет мак симум. Действительно, (y) ((1) ) (y) = (2.44) y и, стало быть, (y0 ) ((1) ) (y0 ) = 0. (2.45) y Найдем те значения параметра x из [R1 (r), R2 (r)], для которых уравнение (2.43) не имеет решения на промежутке [x, (2ax 1)1/2 ].

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений На левом конце области определения функция (y) принимает зна чение, равное x3 + (2ax 3)x, которое неотрицательно при x 2, где 2 = (a2 + 3)1/2 a, (2.46) и, в силу монотонности, (y) сохраняет положительный знак на проме жутке [x, (2ax 1)1/2 ] при любом x 2. Из (2.44) следует, что если (y) 0, то ((1) ) (y) 0, то есть при x [2, R2 (r)] 3 (x) = max (1) (y) = (1) (x) = 2a x. (2.47) x y Легко убедиться в том, что при любом r (0, 1) точка 2 принадлежит промежутку [R1 (r), R2 (r)].

На правом конце области определения функция (y) принимает зна чение, равное (x) = 2(2ax 1)3/2 2x.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.