авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |

«Национальная академия наук Украины Институт прикладной математики и механики СЕРИЯ «ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ: МАТЕМАТИКА, ...»

-- [ Страница 2 ] --

Функция (x) монотонно возрастает на [R1 (r), R2 (r)] при любом r (0, 1). На самом деле, (x) = 6a(2ax1)1/2 2 0, если (2ax1)1/2 3a, а последнее неравенство имеет место при любом допустимом x и r. Дей ствительно, в силу (2.42) (2ax 1)1/2 R1 (r) и нетрудно проверить, что при любых r (0, 1) имеет место неравенство R1 (r) 1/3a.

Замечая, что (R1 (r)) 0, а (R2 (r)) 0 при любом r (0, 1), приходим к выводу, что функция (x) обращается в нуль в единственной точке 1 [R1 (r), R2 (r)], при любом r (0, 1).

Отметим также, что 1 a при всех 0 r 1. Действительно, так как a 1, то (a2 + b2 )3/2 a и, значит, (a) = 2(2a2 1)3/2 2a 0 при любом r (0, 1).

Итак, если x [R1 (r), 1 ], то функция (y) не положительна в точке y = (2ax 1)1/2 и, в силу монотонности (y), уравнение (2.43) не име ет решения на [x, (2ax 1)1/2 ] Из (2.44) следует, что если (y) 0, то ((1) ) (y) 0. Следовательно, x 1 (x) = max (1) (y) = (1) ((2ax 1)1/2 ) = (2.48) 2ax y при всех x [R1 (r), 1 ] и любом 0 r 1.

Если x [1, 2 ], то очевидно, при любом фиксированном r из (0, 1) уравнение (2.43) имеет единственный корень y0 на [x, (2ax1)1/2 ]. Нетруд но подсчитать, что при x = 1 y0 = (2a1 1)1/2, а если x = 2, то y0 = 2.

Таким образом, если x [1, 2 ], то 2 (x) = max (1) (y) = (1) (y0 ) (2.49) y Глава 2. Специальные классы аналитических функций при любом заданном r из (0, 1) и 1 (1 ) = 2 (1 ), 2 (2 ) = 3 (2 ).

Подставляя формулы (2.47) – (2.49) в (2.39), получим уравнения для трех дуг +, r = 1, 2, 3, составляющих непрерывную кривую +. Таким k образом, задача о максимуме решена.

Решение задачи о минимуме. Как и прежде, из геометрических со ображений следует, что (2) min = (x,,, + arg(a + bei )).

xa а также (2.37) и тождество a2 b2 = 1, Учитывая, что cos =, b имеем y 3 (2ax 1)y x (2) (y) =, y где, как и прежде y = |a + bei | и y [x, (2ax 1)1/2 ].

Так как при любом r из (0, 1) y 3 + (2ax 1)y + 2x ((2) ) (y) = 0, y то (x) = min (2) (y) = (2) (x) = x 2a.

y Случай, когда x = a (y () = 0 при = 0) охватывается приведенной схемой доказательства.

Подставляя последнее выражение в (2.39), получим нижнюю оценку для функции Q при фиксированном значении x, линейную относительно x.

Покажем, что дуги + и образуют замкнутую кривую Жорда на и, тем самым, мы завершим доказательство теоремы. Действитель но, как это было отмечено ранее, дуга +, состоящая из трех непре рывно - дифференцируемых дуг + оказывается непрерывной. Дуга k также непрерывна. Нетрудно проверить, что 1 (R1 (r)) = (R1 (r)) и 3 (R2 (r)) = (R2 (r)). Значит + образует непрерывную замкну тую кривую. Остается заметить, что при x [R1 (r), R2 (r)] пресечение + =. Замечание 1. Дуга + – непрерывно дифференцируема.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Действительно, существование непрерывной производной в точках + очевидно. Остается показать непрерывную дифференцируемость + k в точках 1 и 2. Для этого сначала покажем, что 1 (1 ) = 2 (1 ), 2 (2 ) = 3 (2 ).

Согласно формулам (2.29), (2.31) и (2.32) 3 1 (1 ) = +, 2 2(2a1 1) 3 2ay0 (1 ) 2 (1 ) = +.

2 2y0 (1 ) Так как при x = 1, y0 = (2ax 1)1/2, то a[(2a1 1)3/2 1 ] 1 (1 ) 2 (1 ) = = 0, (2a1 1) поскольку 1 – корень уравнения (2.28). Далее из (2.31), (2.32) и (2.33) следует, что 3 2ay0 (2 ) 2 (2 ) = +, 2 2y0 (2 ) 3 (2 ) = 1 + 2.

Так как при x = 2, y0 = 2, то 2 + 2a2 2 (2 ) 3 (2 ) = = 0, поскольку 2 – корень уравнения x2 + 2ax 3 = 0.

Выясним геометрические свойства граничных кривых.

Легко проверить выполнение неравенств k (x) 0, k (x) 0, k = 1, 3, при любом фиксированном r из (0, 1). Нетрудно убедиться и в том, что при любом r (0, 1) выполняются неравенства 2 (x) 0, 2 (x) 0.

На самом деле, 2 2 (x) = + y, y x x а так как 2 (y0 ) = 0, то, имея в виду неравенство (2.38), получим, что y 2 (x) 0. Дифференцируя функцию 2 (x) второй раз, находим, что 4(1 ay0 ) 2 (x) = 0, y0 (y0 ) Глава 2. Специальные классы аналитических функций где (y) определяется по формуле (2.43).

Таким образом, функции k (x), k = 1, 3, – монотонно возрастающие и, стало быть дуги +, k = 1, 3, – выпуклые. Функция 2 (x) – также k монотонно возрастающая и, следовательно, дуга + – вогнутая. Замечание 2. Дуга + не имеет точек пересечения с вещественной осью ни при каких r (0, 1), т.к. функция 3 (x) – монотонно возраста ющая и 3 (2 ) 0 при любом r из (0, 1).

Обозначим через x0 точку пересечения дуги + с вещественной осью, если такая точка существует.

Замечание 3. Дуга + пересекает вещественную ось в точке x0 = 2/3a, если 2 3 r 2 3,, 2 3+ и не имеет точек пересечения при других r из (0, 1).

Для доказательства достаточно решить систему неравенств:

1r R1 (r) = 1, 1+r 3a (2ax 1)3/2 x = 0. Левое нера где 1 – корень уравнения (x) = венство имеет место при r 2 3. Так как функция (x) – моно тонно возрастающая, то при x [R1 (r), 1 ], (x) 0. Таким образом, для выполнения неравенства x0 = 3a 1 достаточно проверить, что 1 (x0 ) 0. Действительно 27 9a2, если 1 a 2 3, и, следовательно, если 0 r.

2 3+ Обозначим через x1 точку пересечения дуги + с вещественной осью, если такая точка существует.

Замечание 4. Дуга + пересекает вещественную ось в точке x1, если 2 r, 2 3+ и не имеет точек пересечения при других r из (0, 1). Здесь x1 – един ственный положительный корень уравнения 2 (x) = 0.

Обозначим через x3 точку пересечения дуги с вещественной осью, если такая точка существует.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Замечание 5. Дуга пересекает вещественную ось в точке x3 = a/2, если r (2 3, 1), и не имеет точек пересечения при других r из (0, 1).

Приведем некоторые следствия теоремы 2.10.

Следствие 2.10.1. На классе S при заданных z, 0 |z| = r 1, и Re zf(z) = x, для Re zf (z) справедливы точные оценки:

(z) (z) f f 1r T (x), если 1+r x 1, z f (z) если 1 x (a2 + 3)1/2 a, T2 (x), 1 + Re (2.50) f (z) 1+r если (a2 + 3)1/2 a x 1r T3 (x), и z f (z) 1 + Re 2x a. (2.51) f (z) y 3 (2ax1)y +x Здесь T1 (x) = x 3 2ax1, T2 (x) = 2 x 1 3, где y0 – един 2 2y ственный положительный корень уравнения y 3 + (2ax 1)y 2x = 0;

T3 (x) = x x + a;

1 – единственный положительный корень уравнения (2ax 1)3/2 = x.

Следствие 2.10.2. В любой точке z, 0 |z| = r 1, на классе S справедливы точные оценки:

1 + r2 1 + 4r + r zf (z) zf (z) 1 + r 1 + Re 2 Re +, (2.52) (1 r)2 1 r f (z) f (z) 1r 3(1 r)4 + (1 + r) zf (z) zf (z) 1 + r 1 + Re Re + 2(1 r) f (z) f (z) 1r 1 4r + r +, (2.53) 1 r причем знак равенства имеет место только для функций Кёбе z f (z) =, (1 z) || = 1.

С геометрической точки зрения неравенства (2.52) и (2.53) равно сильны указанию для области мажорантной полуплоскости, обладаю щей тем свойством, что ее граница проходит через одну из угловых точек соединения + и в направлении касательной в этой точке к +.

Глава 2. Специальные классы аналитических функций Пользуясь мажорантными областями, можно было бы установить ряд других точных оценок на классе S. Для иллюстрации этого факта дадим способ получения точной верхней и точной нижней границ веще ственнозначного функционала zf (z) zf (z) I(f ) = m 1 + Re + nRe f (z) f (z) на классе S при произвольно фиксированных вещественных m и n.

Пусть область значений функционала I(f ) принадлежит комплексной плоскости u + iv. Среди параллельных прямых mv + nu + c = 0, имеющих общие точки с, выберем опорные прямые для области. Тем самым найдутся постоянные c1 и c2. Пусть, для определенности, c1 c и m 0, тогда, очевидно, c1 I(f ) c2.

Теперь, на основании теоремы 2.10, сформулируем ряд предложений, устанавливающих связь между значениями Re zf(z) и свойствами дуг (z) f линий уровня L(f, r), f S, быть выпуклыми или вогнутыми.

В дополнение к тому факту, что линия уровня L(f, r) любой функ ции f (z) класса S будет выпуклой при 0 r 2 2, имеют место следующие теоремы.

Теорема 2.11. Для каждого r из 2 3, дуга линии 2 3+ уровня функции f (z) S будет вогнутой, как только zf (z) R1 (r) Re c (r)R1 (r), (2.54) f (z) где 2(1 + r) c (r) =. (2.55) 3(1 + r2 ) Но для любого 0 найдется такая функция f (z) S, что некоторая дуга ее линии уровня не будет вогнутой, хотя на ней zf (z) R1 (r) Re (c (r) + )R1 (r).

f (z) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с замечанием 3, при r из, граничная кривая + области значе промежутка 2 3, 2 3+ ний функционала (2.28) пересекает вещественную ось в точке x0 = 2/3a.

Следовательно, для таких значений r при x [R1 (r), x0 ] выполняется неравенство zf (z) 1 + Re 0, f (z) т.е. дуги линий уровня L(f, r) любой функции f (z) S должны быть вогнутыми. Очевидно, c (r) = x0 /R1 (r). Теорема 2.12. Для каждого r из, 1 дуга линии уровня 2 3+ функции f (z) S будет вогнутой, как только zf (z) R1 (r) Re c (r)R1 (r), (2.56) f (z) где 1+r c (r) =. (2.57) 1r Здесь – единственный на [1, 2 ] корень уравнения 2 3y0 x = y0 (2ax 1)y0 + x, (2.58) а y0, в свою очередь, определяется как единственный положительный корень уравнения y 3 + (2ax 1)y 2x = 0. (2.59) Но для любого 0 найдется такая функция f (z) S, что некоторая дуга ее линии уровня не будет вогнутой, хотя на ней zf (z) R1 (r) Re (c (r) + )R1 (r).

f (z) Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2.11 с той лишь разницей, что при r 1 граничная кривая 2 3+ + пересекает вещественную ось в точке, лежащей на дуге +.

Теорема 2.13. Для каждого r из (2 3, 1) дуга линии уровня функции f (z) S будет выпуклой, как только zf (z) c (r)R2 (r) Re R2 (r), (2.60) f (z) Глава 2. Специальные классы аналитических функций где 1 + r c (r) =. (2.61) 2(1 + r) Но для любого 0 найдется такая функция f (z) S, что некоторая дуга ее линии уровня не будет выпуклой, хотя на ней zf (z) (c (r) )R2 (r) Re R2 (r).

f (z) Д о к а з а т е л ь с т в о. Граничная кривая области значений функционала (2.28) пересекает вещественную ось при r (2 3, 1) в точке x3 = a/2. Стало быть, когда x3 Re zf(z) R2 (r), выполняется (z) f неравенство zf (z) 1 + Re 0, f (z) т.е. соответствующие дуги линии уровня L(f, r) – выпуклые. Наконец, x c =.

R2 (r) Заметив, что c = supr(rc,1) c (r) = 1/3, приходим к следующему заключению.

Существует абсолютная константа c = 1/3 и такая, что дуга линии уровня любой функции f (z) S будет выпуклой, если на ней 1+r zf (z) 1+r Re. (2.62) 3(1 r) f (z) 1r Но для любого 0 существует такое r 1 и такая функция f (z) S, что некоторая дуга ее линии уровня уже не будет выпуклой, хотя на ней 1+r zf (z) 1+r Re.

3(1 r) f (z) 1r Сформулируем вторую основную теорему.

Теорема 2.14. Область значений 1 (z) комплекснозначного функ ционала |f (z)| zf (z) I(f ) = ln + i Re, (2.63) |z| f (z) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений определенного на классе S, z принадлежит единичному кругу D и фик сировано, представляет собой замкнутое выпуклое множество в ком плексной плоскости I = I1 + iI2, ограниченное непрерывной кривой C + I2 1r 1+r I1 = ln, I2, (2.64) 1 r2 1 + r 1r и отрезком прямой C 1 r2 1 + r (1 + r) I1 = ln I2 + ln ln, (2.65) (1 r) 2r 1r 2r соединяющим концевые точки C +.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как вместе с функцией f (z) классу S принадлежат также функции f (z) при любом || = 1, то 1 (z) = 1 (r), r = |z|. В силу интегрального представления функций класса S, область 1 (r) совпадает с множеством 1 r2 1 r ln + ln +i dµ( ), 1 r2 |1 r|2 |1 r| | |= когда µ пробегает весь класс вероятностных мер, заданных на единичной окружности. А это означает, что 1 (r) совпадает с выпуклой оболочкой кривой C + 1 r2 1 r (t) = ln + ln +i, 0 t 2.

1 r2 |1 eit r|2 |1 eit r| Полагая 1 r I2 =, |1 eit r| мы завершаем доказательство. Следствие 2.14.1. На классе S при заданных z, 0 |z| = r 1, и |f (z)| для Re zf(z) справедливы точные оценки (z) f ln |f (z)| (1r) 1 r2 zf (z) 1+r r |f (z)| Re 2r +, (2.66) 2 ) ln 1+r r f (z) 1r (1 r 1r причем знаки равенства достигаются на функциях из семейства z fextr (z) =, (2.67) i1 z) (1 ei2 z) (1 e Глава 2. Специальные классы аналитических функций зависящим от трех вещественных параметров: 0 2, 1 2, 2 + 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прямая I2 = Re zf(z) пересекает область (z) f по горизонтальному отрезку с концами, лежащими на C + и C. Абсцис сы концов этого отрезка находятся из уравнений (2.64), (2.65) граничных кривых. Рассуждениями, аналогичными приведенным в предыдущем доказа тельстве, устанавливаются ограничения на рост модуля функции класса S при фиксированном значении Re zf(z).

(z) f Следствие 2.14.2. На классе S при заданных z, 0 |z| = r 1, и Re zf(z) для |f (z)| справедливы точные оценки (z) f (1+r) 1 r2 1 + r r 1r zf (z) 2r exp ln Re (1 r)2 1+r 2r 1r f (z) r zf (z) |f (z)| Re, (2.68) 1r f (z) причем знак равенства достигается на функциях из семейства (2.67).

2.6. Геометрия выпуклых отображений Опираясь на связь между звездообразными и выпуклыми однолист ными аналитическими функциями, приведем два результата, относящих ся к взаимному росту функционалов, определенных на классе S c.

Теорема 2.15. На классе S c при заданных z, 0 |z| = r 1, и |f (z)| для Re zff (z) справедливы точные оценки (z) z f (z) (1 r2 )|f (z)| 1 + Re f (z) ln [|f (z)|(1 r)2 ] 1 + r 2r +. (2.69) 1+r 1r (1 r2 ) ln 1r Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f (z) принадлежит кассу S c. Тогда функция zf (z) S и мы можем применить следствие 2.14.1.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Заметим, что знаки равенства в (2.69) достигаются на функциях из семейства z (1 eik z)k, f (z) = k= где k 0, 1 + 2 = 2, 0 1 2 2 + 1. Оценки вида (2.69) тесно связаны с геометрическими свойствами конформных отображений единичного круга на выпуклые области. При ведем один пример.

Хорошо известно, что кривизна Kr (f ) линии уровня L(r, f ) при од нолистных отображениях w = f (z) в точке z определяется по формуле 1 + Re zff (z) (z) Kr (f ) =.

|zf (z)| В качестве приложения неравенств (2.69) мы получаем оценки кривизны линий уровня при отображении круга на выпуклые области в зависимо сти от коэффициента искажения отображения в исследуемой точке, а именно на классе S c справедлива точная оценка ln [|f (z)|(1 r)2 ] 1+r Kr (f ) 2 1+r +.

1 r r|f (z)| |f (z)|(1 r2 ) ln 1r Напомним, что линия уровня L(r, f ) называется – выпуклой, если на ней z f (z) 1 + Re, 0 1.

f (z) Теорема 2.16. Для каждого фиксированного r, 0 r 1, дуга линии уровня L(f, r) любой функции класса S c будет – выпуклой, если на ней |f (z)|, 0 1. (2.70) 2 (1 r) 1r Но для любого 0 найдется такая функция f (z) S c, что некоторая дуга ее линии уровня не будет – выпуклой, хотя на ней |f (z)|.

2 (1 r) 1r Глава 2. Специальные классы аналитических функций Д о к а з а т е л ь с т в о. Из неравенства (2.69) следует, что z f (z) (1 r2 )|f (z)|.

1 + Re f (z) Так как в классе S c имеет место точное неравенство 1 |f (z)|, (1 + r)2 (1 r) то z f (z) 1r 1 + Re.

f (z) 1+r 1r Значит, если выполняется неравенство, т.е.

1+r 0 r rc =, 1+ то линия уровня любой функции f (z) S c является – выпуклой. Сле довательно, теорема 2.16 дополняет информацию о поведении дуг линий уровня L(r, f ), f (z) S c, при r (rc, 1).

2.7. О выпуклых дугах линий уровня В этом параграфе мы приводим точное решение задачи И.Е. Базиле вича и Г.В. Корицкого о выпуклых дугах линий уровня при конформных отображениях единичного круга на области, звездообразные относитель но начала координат.

Теорема 2.17. Для каждого фиксированного r, 2 3 r 1, дуга линии уровня L(f, r) любой функции f (z) класса S, находящаяся в кольце r r c |w|, (2.71) 2 (1 r) (1 r) где 1 + r c =, (2.72) 2(1 + r) r является выпуклой, но в более широком кольце (c ) (1r)2 |w| r для некоторой функции f (z) класса S найдется невыпуклая дуга.

(1r) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно следствию 2.10.1, на классе S имеет место точная оценка zf (z) 1 + |z| zf (z) 1 + Re 2Re. (2.73) 1 |z| f (z) f (z) А так как, в силу неравенства (2.66), 1 r2 zf (z) |f (z)| Re, r f (z) то 2(1 |z|2 ) 1 + |z| z f (z) 1 + Re |f (z)|. (2.74) 1 |z| f (z) |z| Докажем, что оценка (2.74) – точная в классе S. Для этого рассмотрим однопараметрическое семейство функций z f (z, t) =, 1 t 1, (2.75) 1 + 2tz + z принадлежащих классу S. Нетрудно проверить, что в (2.74) для функ ций вида (2.75) при любом t [1, 1] имеет место знак равенства. Дей ствительно, 1 6r2 + r4 2tr(1 + r2 ) rf (r) Q(f, r) = 1 + Re =. (2.76) (1 r2 )(1 + 2tr + r2 ) f (r) Обозначим |f (r, t)| = r(1+2tr +r2 )1 через x. Очевидно, когда t [1, 1], r r x.

2 (1 r) (1 + r) Выразив t через x и подставив в (2.76), получим равенство, что и дока зывает точность неравенства (2.74).

Из точного неравенства (2.74) следует, что 1 + Re rf (r) 0 для f (r) любой функции f (z) класса S, как только r(1 + r2 ) 1 + r2 r |f (z)| = ·.

2 )2 2 (1 r) 2(1 r 2(1 + r) Очевидно, указанное кольцо выпуклости (2.71) является наилучшим. Так как sup c (r) =, r(rc,1) Глава 2. Специальные классы аналитических функций то существует абсолютная константа c = 1/3, и такая, что в кольце 1 r r |w| 2 (1 r) 3 (1 r) дуга линии уровня L(f, r) любой функции f (z) S будет выпуклой.

Указанная константа является точной, поскольку для любого 0 су ществует такое r, 0 r 1, и такая функция f (z) S, для которых некоторая дуга линии уровня в более широком кольце 1 r r ( ) |w| 2 (1 r) 3 (1 r) уже не выпукла.

Глава ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ЛЁВНЕРА Глава 3, которая является центральной в первой части книги, по священа развитию параметрического метода Лёвнера и решению на этой основе общей проблемы искажения и вращения при конформных отоб ражениях единичного круга.

Как уже отмечалось во введении, алгебраическая структура мно жества однолистных функций, заданных в области G, оказывается до вольно сложной. Простые примеры показывают, что это множество, на пример, нелинейно и невыпукло. Вместе с тем, свойство однолистности инвариантно относительно операции композиции надлежащих отобра жений, что позволяет выделить соответствующие полугруппы конформ ных отображений и применить для их изучения алгебраические методы.

Именно это свойство было положено К. Лёвнером в 1923 году в основу разработанного им метода параметрических представлений однолистных аналитических функций. Более того, как мы увидим ниже, на этом пути прослеживаются глубокие связи между однолистными аналитическими функциями в единичном круге и функциями касса C – Каратеодори.

3.1. Полугруппы конформных отображений Обозначим через L класс всех однолистных аналитических функций в круге D, удовлетворяющих условиям: (0) = 0, (0) 0 и |(z)| при z D.

Очевидно, если k, k = 1, 2, принадлежат классу L, то и их компози ция 1 (2 (z)) принадлежит этому же классу. Поскольку тождественное отображение входит в класс L, то L образует полугруппу относительно операции композиции, а тождественное отображение играет в ней роль единицы.

Пусть {t }, t 0, 0 (z) z, – однопараметрическое семейство отоб ражений из L, дифференцируемое по t локально равномерно относитель Глава 3. Параметрический метод Лёвнера но z D. Тогда векторное поле t (z) |t=0 = v(z), t представляющее собой аналитическую в D функцию, называют инфи нитезимальным преобразованием полугруппы L. Выясним связь этого преобразования с функциями класса C – Каратеодори. Из леммы Швар ца следует, что |t (z)| |z| при всех t 0 и, значит, вектор v(z) образует с направлением z угол, не превышающий по модулю /2. Это означает, что аналитическая функция v(z) z в D имеет в этом круге неотрицательную вещественную часть. Так как v(0) = 0 и Im v (0) = 0, то v(z) = zp(z), где 0, а функция p(z) принадлежит классу аналитических в D функ ций с неотрицательной вещественной частью, нормированных условием p(0) = 1, то есть классу C – Каратеодори.

Лёвнер в [273] исследовал задачу о представлении произвольного отображения из полугруппы L в виде композиции преобразований, бес конечно близких к тождественному. Другими словами, он изучил воз можность представления произвольного отображения из L в виде ком позиции инфинитезимальных преобразований полугруппы L, то есть как отображения вида (z) = (z, T, s;

p), (3.1) где w(t) = (z, t, s;

p) – решение дифференциального уравнения dw = w p(w, t) (3.2) dt с начальным условием w(s) = z, 0 s t T, и однопараметриче ским семейством p(z, t) инфинитезимальных преобразований, таких что p(·, t) C.

Уравнение (3.1) известно теперь как уравнение Лёвнера. Его иссле дованию посвящено большое число работ, см. [5,102,105,110,120,131,273, 274, 311, 388] и приведенную там библиографию. Сам Лёвнер изучил де тально лишь частный случай этого уравнения. Так в работе [273] было доказано, что все отображения из L, которые отображают D на области, Геометрическая и топологическая теория функций и отображений получаемые из круга D проведением жорданового разреза, представи мы в виде (3.1). При этом инфинитезимальные преобразования p(z, t) конкретизируются и приобретают вид µ(t) + z p(z, t) =, µ(t) z где µ(t) - равная по модулю единице непрерывная на [0, ) функция.

Соответствующее дифференциальное уравнение dw µ(t) + w = w (3.3) dt µ(t) w также носит название уравнения Лёвнера.

Более общий случай уравнения (3.1) был исследован в работах Ку фарева [234, 236, 237].

3.2. Параметрическое представление конформных отобра жений Обратимся теперь к исследованию нашего основного объекта, класса S, состоящего из всех однолистных аналитических функций f (z) в круге D, нормированных условиями: f (0) = 0, f (0) = 1. Здесь мы обнару жим тесную связь между функциями класса S и однопараметрическими семействами функций класса C - Каратеодори:

1 + ei z p(z, t) = dµt (). (3.4) 1 ei z Пусть f S и отображает D на область G, которая получается из плоскости C удалением одного жорданового разреза, уходящего на бесконечносить. В силу принципа Линделёфа и теоремы Каратеодори о сходимости к ядру, см. главу 1, существует единственная параметриза ция разреза : w = (t), 0 t, при которой конформный радиус каждой области Gt = C \ t, t = {w : w = ( ), t}, относительно начала координат равняется et. Пусть f (z, t) – конформное отображение круга D на область Gt с нормировкой: f (0, t) = 0, fz (0, t) = et. Суще ствование такого отображение следует из теоремы Римана. Тогда, как показано в [105], c. 123, см. также [388], с. 99, функция f (z, t) непре рывно дифференцируема по t [0, ) локально равномерно по z D и f (z, t) f (z, t) µ(t) + z =z. (3.5) t z µ(t) z Глава 3. Параметрический метод Лёвнера Здесь, равная по модулю единице, функция µ(t) имеет простой геомет рический смысл, а именно µ(t) = f 1 ((t), t).

Между уравнением (3.5) и уравнением Лёвнера (3.3) существует про стая связь. Действительно, при всех s, t, 0 s t определены отображения (z, s, t) = f 1 (f (z, s), t) которые принадлежат полугруппе L и отображают D на области, полу чаемые из круга D проведением жорданового разреза. Следовательно, по теореме Лёвнера, (z, s, t) удовлетворяет уравнению (3.3). Более то го, существует локально равномерный предел f (z, s) = lim et (z, s, t). (3.6) t Так как f (z) = f (z, 0), то уравнение Лёвнера генерирует по формуле (3.6) подкласс S(L) класса S, состоящий из конформных отображений круга на области, которые получаются из плоскости C удалением одного жорданового разреза, уходящего на бесконечность. С другой стороны, из простых геометрических соображений и теоремы Каратеодори о сходи мости к ядру следует, что любая функция класса S может быть аппрок симирована, в топологии локально равномерной сходимости в круге D, последовательностью функций класса S(L).

Рассмотренные выше геометрические рассуждения, которые приве ли к уравнению Лёвнера вида (3.3), могут быть обобщены, используя понятие цепи подчинения, введенное Поммеренке [312].

Обозначим через G( ), 0, семейство односвязных областей в комплексной плоскости C, такое, что 0 G() G( ), 0, и G(0 ) G(0 ), n 0, G(n ) C, n, в смысле сходимо сти к ядру по Каратеодори. По теореме Римана существует конформное отображение f (z, ), отображающее круг D на G( ) и нормированное условиями f (0, ) = 0, fz (0, ) 0. Тогда, очевидно, имеет место подчи нение f (z, ) f (z, ) 0.

Отсюда и из теоремы Каратеодори о сходимости к ядру следует, что a1 ( ) = fz (0, ) – непрерывная строго монотонно возрастающая поло жительная функция на [0, ) и a1 ( ) при. Это позволяет ввести новый параметр t по формуле et = a1 ( ). В терминах нового пара метра отображающая функция f (z, t) f (z, (t)) разлагается в круге D в ряд вида f (z, t) = et z +..., 0 t.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Функция f (z, t), z D, 0 t, образует цепь подчинения Лёв нера, если f (z, t) = et z + a2 (t)z 2 +..., z D, (3.7) - аналитическая и однолистная функция в D при каждом t [0, ) и если f (z, s) f (z, ), 0 s. (3.8) Условие подчинения (3.8) означает, что существует единственная однолистная аналитическая функция (z, s, t) = est z +... в круге D, удовлетворяющая условию |(z, s, t)| |z|, и такая, что f (z, s) = f ((z, s, t), t), 0 s t. (3.9) Из (3.9) следует, что для (z, s, t) выполняется полугрупповое свойство (z, s, ) = ((z, s, t), t, ) (3.10) если 0 s t, а применение леммы Шварца приводит к фундаментальному неравенству Лёвнера 1 + |z| (1 est ).

|(z, s, t) z| 2|z| (3.11) 1 |z| Применяя теоремы о росте и искажении в классах S и C, можно уста новить, что цепь подчинения Лёвнера f (z, t) абсолютно непрерывна по t для каждого z D и удовлетворяет дифференциальному уравнению f (z, t) f (z, t) =z p(z, t), (3.12) t z с некоторой функцией p(z, t) класса C – Каратеодори, измеримой по t [0, ). В свою очередь, (z, s, t) = f 1 (f (z, s), t) удовлетворяет урав нению Лёвнера (z, s, t) = (z, s, t) p((z, s, t), t) (3.13) t и f (z, s) = lim et (z, s, t) (3.14) t локально равномерно в круге D.

Поскольку es f (z, s) S, то мы приходим к заключению, что любая функция f (z) класса S, которую можно включить в цепь подчинения Лёвнера f (z, t), f (z, 0) = f (z), может быть получена по формулам (3.12) – (3.14).

Глава 3. Параметрический метод Лёвнера Естественно возникает вопрос: можно ли по формулам (3.12) – (3.14) при условии, что функция p(z, t) C и измерима по t [0, ), получить все функции класса S? Утвердительный ответ на поставленный вопрос содержится в следующей теореме.

Теорема 3.1. Пусть f (z) – произвольная функция класса S. Тогда существует функция p(w, t) измеримая по t на [0, ) при фиксирован ном w D и p(·, t) C при почти всех t [0, ), такая, что f (z) = lim et (z, t), (3.15) t где w = (z, t) – решение уравнения Лёвнера dw = wp(w, t), для п.в. t [0, ), (3.16) dt с начальным условием w(0) = z D.

Из приведенной выше теории Лёвнера следует Предложение 3.1. (см. [105], с. 124.) Функции вида µ(t) + z f (z) = lim (z, t;

p), p(z, t) =, (3.17) µ(t) z t где µ(t) – непрерывная функция, равная по модулю единице, а w = (z, t;

p) – решение дифференциального уравнения w = wp(w, t) с на чальным условием w(0) = z, z D, образуют всюду плотный подкласс S(L) класса S, в топологии локально равномерной сходимости в круге D.

В основе доказательства теоремы 3.1 лежат различные методы за мыкания некомпактных классов Лёвнера, см. [110,120,311,312]. В частно сти, в работе [312], см. [311], с. 158, доказано, что любая функция класса S может быть включена в цепь подчинения Лёвнера и, значит, может быть получена по формулам (3.15), (3.16).

Другой подход основан на свойстве слабой компактности однопара метрических семейств регулярных вероятностных мер µt на единичной окружности, измеримых по параметру t и генерирующих, по формуле Рисса–Герглотца, соответствующие функции p(z, t), см. [120].

Наконец, третий подход базируется на компактности семейства функ ций {p(z, t)} в топологии слабой сходимости, определяемой соотношени ем pn (z, t)(t)dt p(z, t)(t)dt I I Геометрическая и топологическая теория функций и отображений для любой ограниченной измеримой на функции (t) на интервале I.

При этом, сходимость предполагается локально равномерной по z D, см. [110].

Результаты, аналогичные теореме 3.1, имеют место и для основных подклассов класса S. В качестве примера рассмотрим подкласс Sn, n = 1, 2,..., класса S, состоящий из функций w = f (z), отображающих круг D на области с n-кратной симметрией вращения относительно точки w = 0.

Теорема 3.2. Пусть f (z) – произвольная функция класса Sn. Тогда существует функция p(w, t) измеримая по t на [0, ) при фиксирован ном w D и p(·, t) C при почти всех t [0, ), такая, что f (z) = lim et (z, t), (3.18) t где w = (z, t) – решение уравнения Лёвнера dw = wp(wn, t), для п.в. t [0, ), (3.19) dt с начальным условием w(0) = z D.

Аналогичные результаты о параметрическом представлении имеют место и для других классов конформных отображений единичного кру га. Например, чтобы получить подкласс Sr класса S функций с веще ственными тейлоровскими коэффициентами, нужно в уравнении (3.16) взять p(z, t) также с вещественными коэффициентами. Чтобы выделить класс SM S конформных отображений, удовлетворяющих неравенству |f (z)| M, M 1, следует в формуле (3.15) выполнить предельный пе реход при t ln M.

3.3 Уравнение Лёвнера и экстремальные задачи В основе классического варианта параметрического метода иссле дования экстремальных задач на классе S лежит то обстоятельство, что точные оценки непрерывных функционалов на самом классе S и его под классе Лёвнера совпадают.

Пусть f (z) = z + a2 z 2 + a3 z 3 +.... - произвольная функция клас са S. Из предложения 3.1 следует, что если f S(L), то справедливы следующие параметрические представления начальных коэффициентов:

et µ(t)dt, a3 = a2 e2t µ2 (t)dt, a2 = 2 0 Глава 3. Параметрический метод Лёвнера где µ(t) – произвольная непрерывная функция, равная по модулю еди нице. Тогда, очевидно, max |a2 | = max |a2 | = 2.

f S f S(L) Лёвнер, используя эти формулы, впервые подтвердил гипотезу Бибер баха в случае n = 3, доказав, что в классе S справедлива точная оценка |a3 | 3. Доказательство оказалось не элементарным и вошло в ряд учеб ников по вариационному исчислению как пример исследования до конца нелинейной экстремальной задачи, см., например, [251], с. 344. Мы не станем здесь приводить оригинальное доказательство этого результата, которое кроме самой работы Лёвнера можно найти, например, в моно графиях [105], [388], а дадим новое доказательство, полученное нами в 1970 году и опубликованное в [5], c. 115, [122, 131].

Пусть f (z) = z+a2 z 2 +a3 z 3 +.... принадлежит классу S и получается в, силу теоремы 3.1, по формулам (3.15), (3.16) с некоторой функцией p(z, t), p(·, t) C, для почти всех t [0, ). Если p(z, ln s) = 1 + p1 (s)z + p2 (s)z 2 +..., 0 s 1, то, по теореме 2.1, |pn (s)| 2, n = 1, 2,..., и для начальных коэффициентов справедливы параметрические представления 1 a a2 = p1 (s)ds, a3 = sp2 (s)ds.

0 Очевидно функции g(z) = p(z, ln s)ds и = 1 a2 z + a2 p2 (s)ds z 2 +...

g(z) принадлежат классу C - Каратеодори. В силу теоремы 2.1, все коэф фициенты Тейлора функций класса C не превосходят по модулю двух.

Следовательно, a2 p2 (s)ds 2.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений А тогда 1 |a3 | = a2 p2 (s)ds + (1 s)p2 (s)ds 2 + 1 = 3.

0 Аналитичность функции g(z) в круге D устанавливается обычным способом. Действительно, пусть z0 - фиксированная точка единичного круга и |z0 | + r 1, где 0. Тогда для |z| и s [0, 1] из формулы Рисса-Герглотца следует, что p(z0 + z, ln s) p(z0, ln s).

(1 r) z Таким образом, выполнены условия теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла:

p(z0 + z, ln s) p(z0, ln s) g (z0 ) = lim ds = z z0 = pz (z0, ln s) ds.

Отметим, что полное решение проблемы коэффициентов, получен ное Д’Бранжем в 1984 году, было дано также на основе параметрического метода Лёвнера.

Исследованию других экстремальных задач параметрическим мето дом посвящена следующая глава.

Глава РЕШЕНИЕ ОБЩЕЙ ПРОБЛЕМЫ ИСКАЖЕНИЯ И ВРАЩЕНИЯ Глава 4 посвящена решению общей задачи о росте, искажении и вра щении при конформных отображениях единичного круга. В основе реше ния, параметрический метод Лёвнера в форме, предложенной в главе 3, и фундаментальный принцип редукции экстремальных задач теории од нолистных функций к линейным экстремальным задачам на выпуклом классе C – Каратеодори.

4.1. Параметрическое представление функционалов Общая проблема об оценках роста, искажения и вращения при кон формных отображениях единичного круга сводится к задаче нахожде ния множества (z) C2 = {(Z, W ) : Z, W C} значений системы функционалов f (z) zf (z) I(f ) = ln, ln = {Z, W } (4.1) z f (z) на классе S, где точка z D и фиксирована. Здесь под логарифмами по нимаются непрерывные ветви, обращающиеся в нуль при z = 0. Посколь ку вместе с каждой функцией f (z) класса S этому же классу принадле жат функции вида ei f (zei ) при любом фиксированном [0, 2), то (z) = (|z|).

Пусть I1 (f ) = J (|f (z0 )|, arg(f (z0 )/z0 ), |f (z0 )|, arg f (z0 )) – произвольный непрерывный функционал, зависящий от роста |f (z0 )|, углового смещения arg(f (z0 )/z0 ), искажения |f (z0 )| и вращения arg f (z0 ) отображения f S в фиксированной точке z0 D, |z0 | = r. Тогда max J reRe Z, Im Z, eRe (W +Z), Im (W + Z), max I1 (f ) = S Z,W (r) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений и для решения экстремальной задачи достаточно определить множество (r) и выполнить надлежащие элементарные вычисления.

Обозначим через C(T ) множество функций p(z, t), z D, t T, таких, что p(z, ·) измерима по t на интервале T и p(·, t) C для почти всех t T.

Теорема 4.1. Множество (z0 ) значений системы функционалов f (z0 ) z0 f (z0 ) I(f ) = ln, ln, (4.2) z0 f (z0 ) на классе S, где z0 D и фиксировано, представимо в виде |z0 | |z0 | hz (0, )d d (z0 ) = (Z, W ) : Z(h) = (h(, ) 1), W (h) =, 1 0 (4.3) когда h(z, t) пробегает весь класс C(0, |z0 |).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f (z) – произвольная функция класса S. Тогда, по теореме 3.1, найдется функция p(z, t) класса C(0, ) такая, что f (z) = lim et (z, t), t где отображения w = (z, t) определяются как интегралы уравнения Лёвнера dw = wp(w, t) (4.4) dt с начальным условием w(0) = z, z D. Обозначим w0 (t) – интегральную кривую уравнения (4.4), проходящую через точку z0 при t = 0. Положим w0 (t) = (t)ei(t). Из уравнения (4.4) следует, что функции (t) и (t) удовлетворяют уравнениям d d = Re p(ei, t), = Im p(ei, t) (4.5) dt dt и начальным условиям: (0) = |z0 | = r, (0) = arg z0. Поскольку Re p(z, t) 0 в круге D то из первого уравнения системы (4.5) следует, что функция (t) монотонно убывает по t и (t) 0 при t.

Так как f (z0 ) ln = (1 p(w0 (t), t)) z Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения и z0 f (z0 ) ln = w0 (t)p (w0 (t), t) dt, f (z0 ) то, выполняя под знаками интегралов замену переменной t на по фор муле (4.5), получаем r f (z0 ) 1 p d ln =, z0 Re p r p (ei(t()), t()) d z0 f (z0 ) ei(t()) ln =. (4.6) f (z0 ) Re p Чтобы упростить и линеаризировать эти выражения, мы используем ав томорфизм в классе C – Каратеодори вида h((z) iIm h((0)) p(z) =, Re h((0)) где (z) – произвольное дробно-линейное отображение единичного круга D на себя.

Введем в рассмотрение функцию h(z, ) класса C(0, r), связанную с p(z, t) равенством z p ei 1z, t iIm p(ei, t) h(z, ) =, (4.7) Re p(ei, t) где и t рассматриваются как функции от. Замечая, что 1 iIm p(ei, t) h(, ) = Re p(ei, t) и ei p (ei, t) · (2 1), h (0, ) = Re p(ei, t) и заменяя в (4.7) p на h, приходим к формулам (4.3):

r f (z0 ) d ln = (h(, ) 1), z0 Геометрическая и топологическая теория функций и отображений r z0 f (z0 ) h (0, )d ln =. (4.8) 1 f (z0 ) Чтобы завершить доказательство теоремы 4.1, нужно еще показать, что для каждой функции h(z, ) C(0, r) существует f (z) S, такая, что выполнены соотношения (4.3). Это следует из того факта, что приве денные выше рассуждения обратимы. Соответствующие формулы об ращения мы выделим в отдельное предложение. Именно эти формулы позволяют находить экстремальные функции класса S. Предложение 4.1. Пусть h(z, ) C(0, r), r = |z0 |. Тогда суще ствует единственная функция f (z) класса S, которая определяется формулами (3.15), (3.16) c zei h iIm h(, ) 1zei p(z, t) =, (4.9) Re h(, ) и такая, что I(f ) = (Z(h), W (h)). Здесь и как функции переменной t определяются из уравнений r r d d t= Re h(, ), = arg z0 + Im h(, ). (4.10) Приведенное выше предложение можно записать в следующем виде, заметив, что w0 (t) = ei и положив (z, ) = (z, t)ei :

r d f (z) = lim exp h(, ) (z, ), (4.11) где (z, ) – решение следующей задачи Коши на интервале (0, r] :

d, (r, ) = ze arg z0.

=h, (4.12) d Замечание 4.1. Первые результаты о параметрическом представ лении функционалов в классе S через однопараметрические семейства функций класса C – Каратеодори были опубликованы в [120]. Линеари зация параметрических представлений и теорема 4.1 были установлены Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения в [122] и их подробные доказательства опубликованы в монографии [5], с. 108–115, см., также, [131].

4.2. Теоремы редукции В настоящем разделе, на примере задачи об области значений си стемы функционалов (4.1), мы устанавливаем тесные связи между экс тремальными задачами в классе S и сопряженными линейными экстре мальными задачами на классе C – Каратеодори.

Из теоремы 4.1 следует, что (z0 ) – выпуклое замкнутое и ограни ченное множество в R4. Действительно, формулы в (4.3) линейны от носительно h C(0, |z0 |), а сам класс C(0, |z0 |), в силу формулы Рисса– Герглотца, является выпуклым множеством. Замкнутость и ограничен ность следуют из непрерывности системы функционалов и компактности класса S.

Дадим описание множества (z0 ) в терминах выпуклого анализа.

Пусть = (,,, ) произвольный вектор из R4. Обозначим через H () опорную функцию множества. Другими словами, H () = max, d = max(d1 + d2 + d3 + d4 ), (4.13) d d где d = (d1, d2, d3, d4 ), а, d обозначает скалярное произведение и d. Заметим, что при || = 1 значение H () равно расстоянию от начала координат до опорной гиперплоскости множества, ортогональной к вектору. Функция H () является выпуклой и поэтому непрерывна в каждой внутренней точке своей области задания.

Под опорным множеством H () выпуклого множества будем по нимать множество точек d, для которых, d = H ().

Поскольку границу множества можно представить как объедине ние опорных множеств H () по всем ненулевым векторам, то наша задача сводится к исследованию следующей экстремальной проблемы на классе S H (1, 2 ) = max U(f ), (4.14) S где f (z0 ) z0 f (z0 ) U(f ) = Re 1 ln + 2 ln (4.15) z0 f (z0 ) при всех 1 = i и 2 = i, таких, что |1 | + |2 | = 0.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Определим на классе C – Каратеодори функционал G(h) = Re 1 (h() 1) + 2 h (0), (4.16) 1 (0, |z0 |] и фиксировано.

Теорема 4.2. Пусть = (,,, ) – отличный от нуля вектор из R4. Для того, чтобы функция f (z) из класса S вносила посредством системы I(f ) точку опорного множества H (), необходимо и доста точно представление ее в виде (4.11), где функция h(z, ) C(0, |z0 |) удовлетворяет условию G(h(·, )) = max Re 1 (h() 1) + 2 h (0) (4.17) 1 hC для почти всех (0, |z0 |).

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы 4. |z0 | d H () = max Re 1 (h(, ) 1) + 2 h (0, ) (4.18) 1 C(0,|z0 |) и достаточность условия (4.17) следует. Доказательство необходимости связано с возможностью синтеза из экстремалей функционала G(h) на классе C хотя бы одной функции h(z, ) C(0, |z0 |), удовлетворяющей условию (4.17). Этот вопрос решается положительно при исследовании граничных функций. Таким образом, имеет место следующий, принципиально новый, ре зультат.

Теорема редукции. В классе S при фиксированном z0, |z0 | = r f (z0 ) z0 f (z0 ) max Re 1 ln + 2 ln = z0 f (z0 ) f S r d = max Re 1 (h(, ) 1) + 2 h (0, ). (4.19) 1 hC Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения Мы видим, что экстремальная задача на классе S свелась к задаче о максимуме сопряженного функционала G(h) на классе C – Каратеодори.

Класс C имеет интегральное представление Рисса–Герглотца 1 + z h(z) = dµ(), 1 z ||= является выпуклым компактным множеством в пространстве всех ана литических функций в единичном круге D и линейные задачи на C могут быть исследованы стандартными методами выпуклого анализа.

Для иллюстрации, рассмотрим задачу об искажении при конформ ных отображениях круга D функциями класса S. Это частный случай задачи о максимуме функционала (4.19), когда 2 = 0 и 1 = ±1. По теореме редукции r f (z0 ) d max Re 1 ln = max Re [1 (h(, ) 1)]. (4.20) z0 f S hC С другой стороны, непосредственно из формулы Рисса–Герглотца следу ет, что при каждом фиксированном 0 r 2 Re [h() 1].

1+ Интегрирование приводит к хорошо известным двухсторонним оценкам |z| |z| |f (z)|. (4.21) 2 (1 |z|) (1 + |z|) Поскольку экстремалями в классе C являются лишь функции вида 1 + z h(z) =, || = 1, 1 z то, применяя формулы обращения из предложения 4.1, легко показать, что знак равенства в (4.21) достигается только на функциях Кёбе:

z f (z) =, || = 1.

(1 z) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений 4.3. Исследование сопряженной задачи Этот раздел посвятим исследованию задачи об экстремуме функци онала G(h) = Re 1 (h() 1) + 2 h (0), (4.22) 1 (0, r] и фиксировано, на классе C – Каратеодори.

Для этого рассмотрим на классе C более общую задачу об определе нии множества N значений комплекснозначного функционала t (h) = Re h(t) + iRe 1 h(t) + 2 h (0) (4.23) 1 t в комплексной плоскости = x + iy, которая может иметь и самостоя тельный интерес. В (4.23) t, 0 t 1, – фиксированное число и 1 = i, 2 = i. (4.24) Прежде чем сформулировать решение поставленной задачи, напом ним некоторые обозначения. Пусть t [0, 1) и 1 + t2 2t, R± = a(t) ± b(t).

a(t) =, b(t) = (4.25) 2 1 t 1t Отметим полезное тождество: a2 (t) b2 (t) = 1 при всех t [0, 1) и R+ = 1/R. Далее, положим 2 ( 2 + l± )( 2 + l± ) +, a± = l± = |2 |, (4.26) 0 l± и al± + (1)k 2 2 2 (al± )2 ( 2 + l± )( 2 + l± ) x± =. (4.27) k 2 + l± Теорема 4.3. Множество N значений функционала (4.23) на клас се C совпадает с замыканием выпуклой оболочки кривой = + с уравнением ± = (x, y) : y ± (x) = a + x 2ax x2 1, ± + (4.28) x x где R x R+.

Граница N множества N состоит из двух непрерывных кривых L+ и L :

Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения 1) если l+ = 0 и a 1, а также, если l+ = 0 и a (1, a+ ), то L+ + ;

при l+ = 0 и a a+, L+ состоит из двух дуг кривой +, когда x [R, x+ ] и x [x+, R+ ], и прямолинейного отрезка G+, соединяющего 1 гладким образом эти дуги;

2) если l = 0 и a 1, а также, если l = 0 и a (1, a ), то L ;

при l = 0 и a a, L состоит из двух дуг кривой, когда x [R, x ] и x [x, R+ ], и прямолинейного отрезка G, соединяющего 1 гладким образом эти дуги.

При этом, 2 l± G± = (x, y) : y± (x) = ± x + a( ± l± ) ± (4.29) 2l± l± и x± x x±.

1 Все граничные функции имеют вид 1 + zeitk f (z) = µk, (4.30) 1 zeitk k= и зависят от трех вещественных параметров µk 0, µ1 + µ2 = 1, tk [0, 2).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственно из формулы Рисса– Герглотца и линейности функционала (4.23) следует, что множество N получается по формуле 1 + t N= (x, y) : x(µ) = Re dµ(), 1 t ||= 1 + t 2t y(µ) = Re 1 + 2 dµ(), (4.31) 1 t 1 t ||= когда µ пробегает весь класс регулярных вероятностных мер на единич ной окружности. Из (4.31) следует, что 1 + tei N = co : =, 0 2. (4.32) 1 tei Геометрическая и топологическая теория функций и отображений i Чтобы охарактеризовать кривую 1+tei на плоскости x + iy, при 1te меним теорему 2.9 к рассматриваемой экстремальной задаче. Действи тельно, на основании этой теоремы, при каждом фиксированном t, t 1, и фиксированном значении Re h(t) = x из промежутка R x R+ b(t) extrhC Im (h) = extrZ extrW Re 1 Z + 2 W, (4.33) при условии, что Re Z = x. (4.34) Здесь Z = a(t) + b(t)ei, 0 2, 0 1, (4.35) и 1 ( 1)( + 1) + b2 (1 2 )ei, 0 2.

W= (4.36) bRe Так как в экстремальном случае ei = ±1, то extrhC,Re h=x Im (h) = extrT ± (), (4.37) где функция ± () определяется формулой b2 l± ± () = a + x (1 2 ), (4.38) b2 2 (x a)2 ± ± + x x 2x и |x a| T= : 1. (4.39) b Знак + в (4.37), (4.38) соответствует максимуму, а знак – соответству ет минимуму. Элементарные, легко воспроизводимые вычисления, свя занные с исследованием функции ± () на экстремум в промежутке T, завершают доказательство теоремы. В заключение заметим, что точкам границы N, принадлежащим ±, отвечают экстремальные функции ви да (k + z)/(k z), |k| = 1. В этом случае = 1. Если же точки лежат на прямолинейных отрезках G±, то экстремальные функции класса C – Каратеодори имеют вид (4.30). Воспользовавшись теоремой 4.3, легко найти решение задачи о мак симуме функционала (4.22) на классе C.

Теорема 4.4. Пусть t [0, 1) и фиксировано. Если 2 + 2 = 0, то = y + (x), max Re 1 (h() 1) + 2 h (0) (4.40) 1 hC Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения где функция y + (x) определена формулой (4.28) и x = x(t) – единствен ный, если l+ = 0, наибольший, если l+ = 0 и 2l+ + 2 l+ 0, и 2 наименьший, если 2l+ + l+ 0, корень уравнения (x2 + ) 2ax x2 1 = sign (x + )(x3 ax2 + ax ). (4.41) Если же = = 0, то в формуле (4.40) нужно положить:

a) x = R+, если 0 и 0, либо 0, + 0 и всех a(t), а также, если 0, 0, + 0 и a(t) (1, a ), где a = ;

(4.42) б) x = R, если 0, + 0 и всех a(t), а также, если 0, 0, + 0 и a(t) (1, a );

в) x = /, если 0, 0 и a(t) a.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что функционал, который мы оцениваем, лишь на константу отличается от мнимой части функционала (4.23). Таким образом, задача сводится к определению точек границы N множества N, в которых Im принимает максимальное значение.

Пусть и не равны нулю одновременно. Тогда, очевидно, y + (x) y (x) для всех x из промежутка R x R+, причем y + (R + 0) 0 и y + (R+ 0) 0. Из теоремы 4.3 следует, что если l+ = 0, то кривая y + (x) – выпуклая и, следовательно, maxx y + (x) = y + (), где – единственный корень уравнения y + (x) = 0.

В случае, если l+ = 0 и a (1, a+ ) ситуация аналогична. Наконец, если l+ = 0 и a a+, то выбор нужного корня уравнения y + (x) = осуществляется за счет наличия на границе N прямолинейного отрез 2 l ка G+. Действительно, если угловой коэффициент + 2l++ этого от резка положителен, то – наибольший корень уравнения, в противном случае – наименьший. Особый интерес представляет случай, когда угло вой коэффициент равен нулю. В этом случае максимум реализуется как в точках x+, n = 1, 2, см. формулу (4.27), так, очевидно, и в любой точке n интервала x+ x x+. При этом крайним точкам интервала отвеча 1 ют экстремальные функции вида (kn + z)/(kn z), |kn | = 1, n = 1, 2, а внутренним точкам - их выпуклые комбинации.

Пусть теперь = = 0. Тогда дело сводится к элементарной задаче нахождения максимума функции y + (x) = a + x x Геометрическая и топологическая теория функций и отображений в промежутке R x R+. Перейдем к выяснению вида экстремальных функций для функци онала (4.22). Для этого в пространстве R4 выделим множество R4 нену левых векторов = (,,, ) и его подмножества:

G = { R4 : 2l + 2 l2 = 0};

G± = { R4 : ±(2l + 2 l2 ) 0};

Gl = { R4 : l = 0}, где l = l+ = |2 |. Тогда, по теореме 2.9, экстремальные функции класса C(0, r) для сопряженной задачи имеют вид q(k0, z), 0 0, h(z, ) = (1 µ)q(k1, z) + µq(k2, z), 0 r, где k+z q(k, z) =, kz µ(), 0 µ() 1, – произвольная измеримая функция и l2 + ( 2 +l2 )(2 +l2 ) 1/ +l2 +( 2 +l2 )(2 +l2 ), если (1, 2 ) R4 \ Gl, 0 = 1 / 1+ /, если (1, 2 ) G Gl и 0, 1 в остальных случаях.

Равные по модулю единице функции kn () легко вычисляются, зная зна чения Re h(, ) = x и Im h(, ) в случае экстремума. Именно, пусть G(r) = { G : 0 0 r}. В принятых обозначениях (a 1 (1)n i 2a 2 1), n = 1, kn () = b при G(r) Gl, здесь = /. Далее, kn () = (axn 1 i(xn, a)), n = 1, 2, bxn Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения при G(r) \ Gl. Здесь (x, a) = sign (x + ) 2ax x2 1, al2 + (1)n (al2 )2 ( 2 + l2 )( 2 + l2 ) xn =. (4.43) 2 + l Наконец, функция k0 () определяется по формуле k0 () = (ax0 1 i(x0, a)), bx где x0 = a + b sign ( + ) при G Gl и 0 0 ;

x0 – наибольший (наименьший) при G+ (G ) и 0 r, и единственный при G+ G (G\Gl ) и 0 0, на интервале (1)/(1+) x (1+)/(1) корень уравнения (x2 + ) 2ax x2 1 = sign (x + )(x3 ax2 + ax ). (4.44) 4.4. Основное неравенство Результат, сформулированный в теореме 4.3 вместе с теоремой ре дукции позволяет полностью решить задачу о виде опорной функции H () для множества (|z0 |) значений системы функционалов (4.2) на классе S. Следующая теорема является центральным результатом дан ной главы.

Теорема 4.5. В классе S при фиксированном z0, |z0 | = r 1, и произвольных 1 = i, 2 = i, таких, что 2 + 2 = 0, |z0 | f (z0 ) z0 f (z0 ) d H () max Re 1 ln + 2 ln = y(x(), ), (4.45) z0 f (z0 ) f S где 2ax x2 1, y(x, ) = a + x + + (4.46) x x и x = x() – единственный, если l |2 | = 0, наибольший, если l = и 2l + 2 l2 0, и наименьший, если l = 0 и 2l + 2 l2 0, корень уравнения (x2 + ) 2ax x2 1 = sign (x + )(x3 ax2 + ax ) (4.47) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений на интервале R : (1 )/(1 + ) x (1 + )/(1 ). Здесь 1 + a() =. (4.48) 1 Если = = 0, то |f (z0 )| |z0 f (z0 )| max ln + ln = |z0 | |f (z0 )| f S |z0 | 1 + 2 d = + max(x ). (4.49) 1 x xR Частный случай теоремы 4.5, когда = = 0, мы выделим в виде отдельной теоремы Теорема 4.6. В классе S при фиксированном z0, |z0 | = r 1, для функционала f (z0 ) I(f ) = m ln + n ln |f (z0 )|, (4.50) z где m и n – произвольные вещественные числа, имеют место следую щие точные оценки:


1 1+r I(f ) m ln + n ln (4.51) 2 (1 r) (1 r) для всех r (0, 1), если m + n 0, m + 2n 0, а также для r (0, r1 ), если m + n 0, m + 2n 0, где m + 2n r1 = ;

(4.52) n + m n 1 1r I(f ) m ln + n ln (4.53) 2 (1 + r) (1 + r) для всех r (0, 1), если n 0, m + 2n 0, а также для r (0, r2 ), если n 0, m + 2n 0, где m + 2n r2 = ;

(4.54) n + m n (1 + r1 ) r I(f ) m ln + n ln + r(1 r1 )2 (1 r1 )2 (1 r2 ) r +2 n(m + n) ln (4.55) r Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения для r (r1, 1), если m + n 0, m + 2n 0;

(1 r2 ) r I(f ) m ln + n ln + r(1 + r2 )2 (1 + r2 )2 (1 r2 ) r +2 n(m + n) ln (4.56) r для r (r2, 1), если n 0, m + 2n 0.

Теоремы 4.5 и 4.6 содержат в себе, как частные случаи при надлежа щем выборе параметров m и n, результаты многих авторов, связанные с оценками роста и искажением при конформных отображениях, см., на пример, [4, 5, 8, 9, 26, 30, 63–65, 102, 105, 110, 111, 132, 135, 136, 138, 141, 146, 163, 170, 254, 255, 289, 314] и цитируемую там библиографию.

Выделим еще один важный частный случай теоремы 4.5, который позволяет обнаружить на (z0 ) семейства опорных отрезков.

Теорема 4.7. В классе S при фиксированном z0, |z0 | = r 1, при условии, что l = 0 и 2l + 2 l2 = 0, справедлива точная оценка r f (z0 ) z0 f (z0 ) d Re 1 ln + 2 ln y(x(), ) + z0 f (z0 ) r(1 r0 ) r + ( + l) ln + ln, (4.57) r0 (1 r2 ) l r где функции y(x, ) и x = x() определены по формулам (4.46) и (4.47), соответственно. Здесь a0 r0 = (4.58) a0 + и + ( 2 + l2 )( 2 + l2 ) a0 =. (4.59) l Анализ и надлежащие вычисления, выполненные в диссертации [122] и опубликованные в монографии [5], позволили записать интеграл в фор муле (4.45) в элементарных функциях. В следующем разделе мы при ведем, в качестве иллюстрации, соответствующие выкладки в частном случае при решении общей проблемы углового смещения и вращения при конформных отображениях круга D функциями класса S и некоторых его подклассов.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений 4.5. Геометрия множества значений системы функционалов Как мы уже выяснили ранее, (z0 ) представляет собой выпуклое, замкнутое, ограниченное множество в R4. Исследуем теперь структуру опорных множеств. Всюду ниже |z0 | = r.

При всех R4 \ G(r) экстремальные функции в классе C(0, r) для сопряженной задачи единственны и имеют вид k0 () + z h(z, ) =, 0 r.

k0 () z В этом случае опорное множество H () состоит из одной точки с коор динатами r r f (z0 ) d d ln = (h(, ) 1) = (x0 1 + i(x0, a)), z0 0 r r z0 f (z0 ) h (0, )d d ln = = (ax0 1 + i(x0, a)), (4.60) 1 f (z0 ) x 0 где функции k0 () и (x, a) определены надлежащим образов в секции 4.3.

Покажем, что во всех остальных случаях опорное множество H () представляет собой прямолинейный отрезок. Действительно, пусть G(r). Тогда экстремальные функции в классе C(0, r) не единственны. Они образуют однопараметрическое семейство:

q(k0, z), 0 0, h(z, ) = (4.61) (1 µ()) q(k, z) + µ() q(k, z), r, 1 2 где k+z q(k, z) = kz и функции kn (), n = 0, 1, 2, определены в §4.3. Пусть µ() – произволь ная измеримая функция со значениями из промежутка [0, 1]. Покажем, Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения что полученное по формулам f (z0 ) d Z = ln = (q(k0, ) 1) + z0 r d + [(1 µ()) q(k1, z) + µ() q(k2, z) 1], (4.62) z0 f (z0 ) qz (k0, 0) d W = ln = + 1 f (z0 ) r d + [(1 µ()) qz (k1, 0) + µ() qz (k2, 0) 1], (4.63) 1 множество опорных точек (Z, W ) R4 представляет собой отрезок пря мой в R4 с концами в точках (Zn, Wn ), n = 1, 2, где 0 r d d Zn = (q(k0, ) 1) + (q(kn, ) 1) ;

0 0 r qz (k0, 0) d qz (kn, 0) d Wn = +.

1 2 1 0 Действительно, пусть G(r) \ Gl, тогда 0 r d d Z= (q(k0, ) 1) + (q(k1, ) 1) + 0 r d + µ()[(q(k2, ) q(k1, )].

Так как q(k2, ) q(k1, ) = x2 x1 + i[(x2, a) (x1, a)] Геометрическая и топологическая теория функций и отображений и xn + (xn, a) = sign (xn + ) 2axn x2 1 =, n l n = 1, 2, то q(k2, ) q(k1, ) = x2 x1 + i (x2 x1 ) = (x2 x1 ) 1 + i.

l l Вынося постоянную за знак интеграла, поучим r r d d µ()[(q(k2, ) q(k1, )] = 1+i µ()(x2 x1 ).

l 0 В силу обобщенной теоремы о среднем r r d d µ()(x2 x1 ) = µ0 (x2 x1 ), (4.64) 0 где µ0 – некоторое число из промежутка [0, 1]. Отсюда следует, что Z = (1 µ0 )Z1 + µ0 Z2.

Аналогично, 0 r qz (k0, 0) d qz (k1, 0) d W= + + 1 2 1 0 r d + µ()[qz (k2, 0) qz (k1, 0)].

1 Элементарные вычисления показывают, что [q (k2, 0) qz (k1, 0)] = 1 2 z = {x2 x1 + i[x1 (x2, a) x2 (x1, a)]} x1 x 1 = {x2 x1 + i [x1 (x2 + ) x2 (x1 + )]} = x1 x2 l 1 = (x2 x1 ) 1 i.

x1 x2 l Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения Учитывая соотношение x1 x2 = ( 2 + l2 )( 2 + l2 )1, получим 2 + l [qz (k2, 0) qz (k1, 0)] = (x2 x1 ).

1 2 l(l + i) Тогда, в силу (4.64), r d µ()[qz (k2, 0) qz (k1, 0)] = 1 r 2 + l2 d = µ()(x2 x1 ) = l(l + i) r d = µ0 ()[qz (k2, 0) qz (k1, 0)].

1 Таким образом, W = (1 µ0 )W1 + µ0 W2.

Пусть, далее (1, 2 ) G(r) Gl, тогда q(2, ) q(k1, ) = 2i 2a 2 и 2a 2 1.

qz (k2, 0) qz (k1, 0) = 2i 1 2 Применение теоремы о среднем к интегралу r r d d µ() 2a 2 1 = µ0 2a 2 0 приводит к аналогичному результату:

(Z, W ) = ((1 µ0 )Z1 + µ0 Z2, (1 µ0 )W1 + µ0 W2 ).

Таким образом, точка (Z, W ), отвечающая экстремальной функции h(z, ) с произвольной измеримой µ(), есть точка отрезка прямой с концами (Z1, W1 ) и (Z2, W2 ). Перебрав все измеримые функции, получим все точ ки этого отрезка. Достаточно рассмотреть µ() µ0 = const, 0 µ0 1.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений 4.6. Экстремальные функции Обратимся к выяснению вопросов, связанных с нахождением экс тремальных функций для функционала U(f ).

В соответствии с формулами обращения из предложения 4.1, каж дой функции – параметру h C(0, r), r = |z0 |, отвечает единственная функция класса f, которая находится по формуле f (z) = lim et (z, t), (4.65) t где w = (z, t), (z, 0) = z, z D, - решение дифференциального урав нения Лёвнера dw = w p(w, t), для п.в. t [0, ), (4.66) dt с функцией wei h i Im h(, ) 1wei p (w, t) =. (4.67) Re h(, ) Здесь и, как функции переменной t, определяются из уравнений r r d d t= Re h(, ), = arg z0 + Im h(, ). (4.68) Таким образом, задача определения экстремальных функций f (z) S относительно функционала U(f ) может быть сформулирована следу ющим образом.

Пусть = (,,, ) – произвольный вектор из R4 и q(k0, z), 0 0, h(z, ) = (4.69) (1 µ())q(k1, z) + µ()q(k2, z), 0 r, соответствующие экстремальные функции для функционала G(h) = Re 1 (h() 1) + 2 h (0), (4.70) 1 на классе C – Каратеодори. Требуется найти общий интеграл нелиней ного дифференциального уравнения (4.66) с функцией вида (4.67) и вы полнить предельный переход (4.65).

Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения Ниже мы изложим, предложенный нами в [128, 131, 141] метод инте грирования уравнения Лёвнера.

Начнем со следующего замечания.

Замечание 4.1. Функция (t) = (t)ei(t), где (t) и (t) опреде ляются из формул (4.68), является частным решением уравнения (4.66), проходящим через точку при z0 = rei arg z0.

Действительно, d ln d ln d = +i, dt dt dt где, как следует из формул (4.68), d ln =, dt Re h(, ) а d d d Im h(, ) = =.

dt d dt Re h(, ) Таким образом, d ln 1 i Im h(, ) =.

dt Re h(, ) С другой стороны 1 iIm h(, ) p(, t) =, Re h(, ) что и завершает доказательство.

Следующие четыре результата содержат новые случаи интегрируе мости уравнения Лёвнера в квадратурах, которые тесно связаны с опре делением экстремалей функционала U(f ) на классе S.

Предложение 4.1. Пусть w = (t), |(t)| 1, – частное решение уравнения Лёвнера dw µ(t) + w = w, для п.в. t [0, ), (4.71) dt µ(t) w связанное с функцией µ(t) на [s, ), 0 s t, соотношением µ2 = const. (4.72) Тогда интеграл w = (z, t, s) уравнения (4.71), удовлетворяющий на чальному условию (z, s, s) = z, z D, для п.в. t [s, ), определяется из условия ( µ) d z · = 0. (4.73) dt 2 ( )( 1/ ) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Предложение 4.2. Пусть w = (t), |(t)| 1, – частное решение уравнения Лёвнера (4.71), связанное с функцией µ(t) на [s, ), 0 s t, соотношением µ = const. (4.74) Тогда интеграл w = (z, t, s) уравнения (4.71), удовлетворяющий на чальному условию (z, s, s) = z, z D, для п.в. t [s, ), определяется из условия et ( µ) d z · = 0. (4.75) dt 2 ( )2 ( 1/ ) Предложение 4.3. Пусть w = (t), |(t)| 1, – частное решение уравнения Лёвнера (4.71), а функции k (t), k = µ(t), k = 1, 2, вида 1 = R(t)(t), 2 (t) = (t)/R(t), |(t)| = 1, (здесь либо |R(t)| = 0, 1, Im R(t) = 0, либо |R(t)| = 1, Im R(t) = 0) связаны с (t) и µ(t) на интервале 0 t соотношениями µ2 1 2 = const, ( µ)2 ( 1 )( 2 ) = const.

2 ( 1/ ) Тогда:

1. k (t), k = 1, 2, – решения уравнения (4.71), 2. Общий интеграл w = (z, t, s), (z, s, s) = z, z D, уравнения (4.71) в точках дифференцируемости µ(t) удовлетворяет уравнению z2 ( µ)2 ( 1 )( 2 ) d · = 0. (4.76) 2 ( )2 ( 1/ ) dt Предложение 4.4. Пусть w = (t), |(t)| 1, – частное решение уравнения Лёвнера–Куфарева dw µ(t) + w (t) + w = w (1 ) + (4.77) dt µ(t) w (t) w для почти всех t [0, ), где (t) - произвольная измеримая функция, 0 1, |µ(t)| = 1, |(t)| = 1. Если на интервале [, t0 ) выполняются соотношения ( µ)( ) µ = const, = const, ( 1/ ) Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения то для интегралов уравнения (4.77), удовлетворяющих начальному усло вию (z,, ) = z, z D, в точках дифференцируемости функций µ(t), (t), d z ( µ)( ) · = 0. (4.78) dt ( )( 1/ ) Доказательство приведенных утверждений осуществляется непосред ственным дифференцированием соотношений (4.73), (4.74), (4.76) и (4.78).

Из формул (4.61) и (4.67) следует, что (1 (t))q(µ1, z) + (t)q(µ2, z), 0 t t0, p(z, t) = (4.79) q(µ, z), t t, 0 где kn i µn (t) = e (4.80) 1 kn и r r d d t= Re h(, ), = arg z0 + Im h(, ). (4.81) Приведенные выше формулы вместе с предложениями 4.1 - 4.4 поз воляют проинтегрировать уравнение Лёвнера с соответствующими пра выми частями и для экстремальных функций f (z) S получить надле жащие дифференциальные уравнения первого порядка типа Шиффера– Голузина с известными коэффициентами.


Именно:

1). При всех R4 \G(r) и таких, что 1 = 0 экстремальные функции f (z) для функционала U(f ) на классе S единственны и удовлетворяют уравнению f0 (1 f0 (1 + 2 )f (z)) zf (z) · = 1 (f (z) f0 )2 f (z) (z µ0 (0))2 (z 2 (R(0) + 1/R(0))(0)z + 2 (0)) =. (4.82) (z z0 )2 (z 1/0 ) z Здесь 1 2 (t) = µ2 2, (t) = ei, 1 Геометрическая и топологическая теория функций и отображений 2 (1 ||2 ) 1 (t) = + µ2 2 + R(t) + 0, 1 ( µ0 ) R(t) 1 r f0 d ln = (h(, ) 1).

z0 2). Если 1 = 0, а 2 = 0, то экстремальные функции f (z) S для функционала U(f ) также единственны и определяются из уравнения µ2 (0)0 f z2 2 (z µ0 (0)) 0 f (z) =. (4.83) z0 f (z)(f (z) f0 )2 z(z z0 )2 (z 1/0 ) z 3). При всех G(r) экстремальные функции не единственны, а образуют однопараметрическое семейство функций f (z, m0 ), 0 m0 1, удовлетворяющих уравнению z0 f0 µ1 (0)µ2 (0) (z µ1 (0))(z µ2 (0) f (z) =, (4.84) z0 f (z)(f0 f (z)) z(z z0 )(z 1/0 ) z если G(0), и могут быть получены как композиция F (z) двух однолистных аналитических функций, удовлетворяющих уравнениям ((z) µ0 (t0 ))2 (z µ1 (0))(z µ2 (0) (z) =, (4.85) (z)((z) (t0 ))((z) 1/ (t0 )) z(z z0 )(z 1/0 ) z и (z µ0 (t0 )) f0 (1 f0 (1 + 2 )F (z)) zF (z) =, (4.86) (z z0 )2 (z 1/0 ) F (z) z 1 (F (z) f0 ) соответственно, при G(r) \ G(0).

Все приведенные выше обыкновенные дифференциальные уравне ния интегрируются в элементарных функциях.

Для иллюстрации, приведем доказательство утверждения, сформу лированного в пункте 2.

Если 1 = 0 и 2 = i, то a( 2 + 2 ) + b 2 + x0 = (4.87) a2 2 + и ab 2 2 + 2 + i(d + a 2 + 2 ) i µ0 (t) = e. (4.88) a2 2 + Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения Легко проверить, что (t) = µ0 (t)e2i const.

µ0 (t) (t) Таким образом, в данном случае для интегрирования уравнения Лёвнера можно применить предложение 4.2. В соответствии с ним, общий инте грал уравнения (4.69) с µ = µ0 (t) вида (4.88) удовлетворяет соотношению (4.75). Проинтегрировав это соотношение по t от 0 до, и учитывая на чальное условие (z, 0) = z, z D, и формулу (4.65), для экстремальной функции f (z) S получаем обыкновенное дифференциальное уравнение µ2 (0)0 f z2 2 (z µ0 (0)) 0 f (z) =, (4.89) z0 f (z)(f (z) f0 )2 z(z z0 )2 (z 1/0 ) z где µ0 имеет вид (4.88), а r f0 d ln = (x0 1 + i(x0, a)).

z0 Заинтересованный читатель может обратиться за подробными дока зательствами всех приведенных выше соотношений, а также предложе ний 4.1 – 4.4, к работе [141].

4.7. Взаимный рост аргументов однолистной функции и её производной Как уже отмечалось выше, оценки углового смещения и вращения при конформных и более общих отображениях играют важную роль в геометрической теории функций и являются предметом интенсивных ис следований.

Пусть I(f ) = J(arg(f (z0 )/z0 ), arg f (z0 )) – произвольный непрерыв ный функционал, зависящий от углового смещения arg(f (z0 )/z0 ) и вра щения arg f (z0 ) отображения f S в фиксированной точке z0 D.

Обозначим через множество значений комплекснозначного функцио нала f (z0 ) Z(f ) arg + i arg f (z0 ) = U + iV, f S, z где z0 D и фиксировано. Тогда max J(arg(f (z0 )/z0 ), arg f (z0 )) = max J(U, V ), S Геометрическая и топологическая теория функций и отображений и для решения общей задачи достаточно определить множество. Оче видно, что вместо функционала Z(f ) можно рассмотреть любой другой линейный комплекснозначный функционал, зависящий от arg(f (z0 )/z0 ) и arg f (z0 ), например, z0 f (z0 ) W (f ) arg + i arg f (z0 ) = X + iY, f S.

f 2 (z0 ) Действительно, если обозначить через (z0 ) множество значений функ ционала W (f ), то мы определим и как образ при линейном отобра жении вида U = 2 [X Y ] V = Y.

Запишем теорему 4.1 применительно к комплекснозначному функ ционалу W (f ).

Теорема 4.8. Множество (z0 ) значений функционала z0 f (z0 ) W (f ) = arg + i arg f (z0 ) (4.90) f 2 (z0 ) на классе S, где z0 D и фиксировано, |z0 | = r, представимо в виде r d (z0 ) = X + iY : X(h) = Im hz (0, ) h(, ), 1 2 r d Y (h) = Im hz (0, ) + h (, ), (4.91) 1 когда h(z, t) пробегает весь класс C(0, r).

Непосредственно из теоремы 4.8, компактности и выпуклости класса C следует замкнутость, ограниченность и выпуклость множества (z0 ).

Заметим, что вместе с функцией h(z, t), классу C(0, |z0 |) принадлежит также функция вида h(, t). При этом z (X + iY )(h(, t)) = (X + iY )(h(z, t)).

z Следовательно, если точка (X, Y ) (z0 ), то множеству (z0 ) принад лежит также точка (X, Y ). Более глубокий анализ теоремы 4.8, поз волит нам ниже установить симметрию множества (z0 ) относительно обеих координатных осей.

Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения Теорема 4.9. Пусть f S и z0 D, |z0 | = r. Тогда при любых вещественных значениях параметров A и B имеют место следующие точные оценки z0 f (z0 ) max A arg 2 + B arg f (z0 ) f (z0 ) f S |z0 | t dt max Im p(t) + p (0), (4.92) 1t t pC где = B A, = B + A.

При этом t 1 + t 2t max Im p(t) + p (0) = max Im + = 1 t2 1 t 1 t pC ||= 1 + t x x2 1, (4.93) = + 1 t x где x = x(t) наибольший при || ||, и наименьший при || ||, положительный корень уравнения 1 + t2 2 1 + t x3 x + x = 0. (4.94) 1 t2 1 t Сформулируем основной результат.

Теорема 4.10. На классе S при фиксированном z0, 0 |z0 | = r и произвольных вещественных A и B, справедливы точные оценки z0 f (z0 ) || 1 + || || 1 + || A arg 2 + B arg f (z) ln + ln f (z0 ) 2 1 || 2 1 || 1+ || || ln + 2 || arctan || 1 || ( 2 x2 2 ) ( 2 x2 2 ) + arctan + arctan 2 x( ) 2 x( + ) H(,, r), (4.95) где = B A, = B + A, Геометрическая и топологическая теория функций и отображений x2 = (4.96) 2 x2 иx наибольший, если || ||, и наименьший, если || ||, поло жительный корень уравнения 1 + r2 2 1 + r x3 x + x = 0. (4.97) 1 r2 1 r Д о к а з а т е л ь с т в о. Подставим (4.93) в (4.92) и выполним под знаком интеграла замену переменной t x по формуле 1 + t2 x =, 1 t2 x x где x 1 при || || и x 1 при || ||. Интегрирование завершает доказательство теоремы. Укажем некоторые следствия теоремы 4.10. Прежде всего отметим, что из этой теоремы немедленно выводится теорема вращения Г. М. Го лузина и И. Е. Базилевича в классе S. Она получается при A = 0 и B = ±1. Далее, неравенство 1 + |z| | arg f (z) arg(f (z)/z)| ln, 1 |z| также является очевидным следствием теоремы 4.10, если положить A = B = ±1/2. Выбрав A = ±1, B = 0, получаем точную оценку | arg f (z) 2 arg(f (z)/z)| ln(1 |z|2 ), f S, в классе S. Используя теперь известную связь между функциями f и F классов S и, приходим к теореме вращения в классе :

|z| | arg F (z)| ln, |z| 1.

|z|2 Далее, если f (z) S, то функция f (z p ) (z) = z = z +...

zp Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения принадлежит подклассу Sp класса S функций, обладающих p - кратной симметрией вращения относительно начала координат, см. [105], с. 50.

Тогда f (z p ) 1p p arg p0 + arg f (z0 ).

arg (z0 ) = p z Полагая в теореме 4. p1 p+ A=, B=, 2p 2p p и рассматривая функционал в точке z0, мы получаем решение задачи вращения в подклассах Sp класса S однолистных аналитических функ ций в круге D, обладающих p – кратной симметрией вращения относи тельно начала координат, см. [121]. Заметим, что S1 = S.

Теорема 4.11. (Теорема вращения в классе Sp ). Пусть f Sp, p = 1, 2,... и z, 0 |z| = r 1, фиксировано. Тогда справедлива точная оценка 2 1+p py | arg f (z)| arctan + arctan + p p 2p p 1p py 1 1+ + arctan + ln + 2p p+1 2 p+ 1 p+ + ln ln, 2p p p p где x2 1 (x2 1)(x2 p2 ), =p, y= 2 p x px и x = x(r) наименьший положительный корень уравнения x3 ax2 + a p x p = 0, в котором a = (1 + r2p )/(1 r2p ).

В приложениях, при рассмотрении ряда частных случаев, теорема 4.9 может оказаться предпочтительнее ее развернутого варианта, теоре мы 4.10. Приведем два примера. Если положить A = 1/2, B = ±1/2, то = ±1, = 0, и непосредственно из теоремы 4.9 следует, что |z0 | |z0 | f (z0 ) 1 + t dt 2dt 1 + |z0 | arg max Im = = ln.

z0 1 t t 1t 1 |z0 | ||= 0 Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Чтобы оценить arg f (z0 ), нужно положить A = 0, B = ±1. Тогда = = ±1, и задача сводится, согласно теореме 4.9, к нахождению мак симума функции y/x + y на окружности (x a(t))2 + y 2 = b2 (t), где a(t) = (1 t2 )/(1 t2 ), b(t) = 2t/(1 t2 ), при всех 0 t |z0 |. Элементар ные вычисления показывают, что эта функция принимает максимальное значение при x0 = 1, если 0 t 1/ 2, и в точке a(t) 1 + (a(t) + 1)(a(t) 3) x0 (t) =, если t 1/ 2 (a(t) 3). Тогда |z0 | dt (1 + 1/x0 ) 2a(t)x0 x2 | arg f (z0 )|.

t Интегрирование приводит к формулам 4 arcsin |z|, |z| 1/ 2, | arg f (z)| |z| + ln 1|z|2, 1/ 2 |z| 1.

Обратимся теперь к задаче об описании самого множества (z0 ) зна чений функционала W (f ) на классе f. Поскольку (z0 ) является вы пуклым множеством, то для определения его границы достаточно найти опорную функцию H (, r) = max Re ei W (f ) f S при всех вещественных значениях параметра [0, 2]. В силу теоремы 4.9, H (, r) = H(,, r), где = sin cos, = sin + cos.

Замечание 4.1. Поскольку () = () и () = (), то H (, r) = H (, r), и мы приходим к заключению, что множество (z0 ) симметрично относительно оси X. А поскольку множеству (z0 ) принадлежат одновременно точки (X, Y ) и (X, Y ), то (z0 ) симмет рично и относительно оси Y.

Зная опорную функцию к множеству (z0 ), теперь нетрудно дать описание и самого множества (z0 ).

Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения Теорема 4.12. Область (z0 ) значений комплекснозначного функ ционала z0 f (z0 ) W (f ) = arg 2 + i arg f (z0 ) = X + iY, f S, f (z0 ) 0 |z0 | = r 1, (4.98) представляет собой замкнутое выпуклое множество, симметричное относительно координатных осей X и Y, граница (z0 ) которого за висит только от r и задается следующим образом.

1) При 0 r 1/ 2 множество (z0 ) состоит из двух вертикальных отрезков X = ± ln, 1 r 1 r + ln(1 + r 2 r2 ) + 2 arctan |Y | ln, 1r 2 r соединенных гладким образом кривой с параметрическим уравнением 1 + i 1 + || sign 1 + || () = sign ln +i ln 2 1 || 2 1 || 1+ || sign()[ + i( + )] ln 2 arctan || 2 || 1 || ( 2 x2 2 ) 1 ( 2 x2 2 ) 1 + 2i arctan arctan, 2 x( ) 2 x( + ) когда параметр изменяется в интервале 0, и ее зеркальным отражением относительно оси X.

2) При 1/ 2 r 1 граница (z0 ) состоит из двух, отмеченных выше, вертикальных отрезков, двух горизонтальных отрезков r Y = ± + ln, 1 r + ln(r2 + 2r2 1) 2 arctan 2r2 |X| ln 1 r и четырех дуг кривой (), 0 2, соединяющих гладким образом отрезки. Здесь x2 = 2 x2 Геометрическая и топологическая теория функций и отображений и x наибольший при /2 и 3/2 2, и наименьший при 0 /2 и 3/2, положительный корень уравнения 1 + r2 2 1 + r x3 x + x = 0.

1 r2 1 r Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что область (z0 ) выпукла, и обозначим через угол между внешней нормалью к границе (z0 ) области (z0 ) в точке () и положительным направлением оси X. То гда Re ei () = = H (, r). Для завершения доказательства, доста точно воспользоваться теоремой 4.13 и правилом получения огибающей семейства прямых. Для иллюстрации предложенного нами ранее метода определения экстремальных функций, рассмотрим следующий частный случай.

Теорема 4.13. В классе S при фиксированном значении z0 D, |z0 | = r, справедлива точная оценка z0 f (z0 ) 1+r arg ln. (4.99) f (z0 ) 1r Знак равенства достигается только для функции z0 1 w(z) f (z) =, (4.100) (1 ir)2 1 + w(z) где 1 z/z0 1+r z/z i ln w(z) = e, = ±1. (4.101) 1r z/z 1+ z/z Здесь под z/z0 понимается непрерывная ветвь, обращающаяся в 1 при z z0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Оценки (4.99) проще всего следуют из (4.92) – (4.94) при A = B = ±1/2, то есть при = ±1 и = 0. В этом случае x0 = 1/a() и остается выполнить интегрирование.

Найдем экстремальные функции. По формулам (4.87)– (4.89), кото рые как раз отвечают нашему случаю, когда 1 = 0, а 2 = ±1, находим, что x0 = 1/a, b ± i i b(r) ± i i arg z µ0 (t) = e, µ0 (0) = e a a(r) Глава 4. Решение общей проблемы искажения и вращения и b (x0, a) = ±, a а уравнение (4.89) принимает вид z0 z µ0 (0) f · = f (z).

z0 µ0 (0) (z z0 )(z 1/0 ) z f (z)/z(f (z) f0 ) Здесь под f (z)/z понимается непрерывная ветвь, обращающаяся в при z 0 и r d f0 = z0 exp (x0 1 + i(x0, a)).

Остается выполнить интегрирование обыкновенного дифференциально го уравнения первого порядка с разделенными переменными и извест ными коэффициентами. Глава КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ Данная глава посвящена развитию метода П.П. Куфарева об опреде лении неизвестных параметров в формуле Шварца–Кристоффеля при менительно к случаю конформного отображения верхней полуплоскости на полигональные области при наличии граничных нормировок.

5.1. Постановка задачи Проблема построения конформных отображений канонических об ластей на полигональные области остается актуальной до настоящего времени в связи с новыми приложениями теории комплексного потенциа ла в различных областях естествознания (см., например, [400]). В связи с известным интегральным представлением таких отображений (см. [253], c. 162, [400], с. 65), проблема, по существу, состоит в определении неиз вестных параметров, входящих в формулу Шварца–Кристоффеля. К на стоящему времени разработаны различные эффективные методы чис ленного определения этих параметров (см. [92, 253, 375, 400] и цитируе мую там литературу). Один из таких методов восходит к известной ра боте П.П. Куфарева [235] (см., более подробно, [5], с. 296), который, на основе сочетания принципа симметрии и параметрического метода Лёв нера [273], редуцировал проблему определения неизвестных параметров в формуле Шварца–Кристоффеля к задаче численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Развивая идеи работы [235] и комбинируя их с современными методами численного ин тегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, Хопкинс и Робертс [391] достигли на этом пути новых глубоких результатов.

В ряде случаев требуется найти конформные отображения круга или полуплоскости на многоугольную область при надлежащих граничных нормировках, например, типа "три точки - в три точки". Отметим, на пример, что если в качестве таких трех точек в области выбрать вер Глава 5. Конформное отображение полигональных областей шины многоугольника, то число подлежащих определению параметров уменьшается на три. Далее, если область неограничена, то включение в число таких точек надлежащих вершин многоугольника, расположен ных в бесконечности, оказывается целесообразным с вычислительной точки зрения. Для того, чтобы идеи работы [235] распространить на этот случай, нужно, прежде всего, модифицировать уравнение Лёвнера, при менительно к отображениям, сохраняющим фиксированные граничные точки.

Данная глава посвящена дальнейшему развитию метода Куфаре ва применительно к случаю конформного отображения верхней полу плоскости на полигональные области при наличии граничных нормиро вок. Второй параграф содержит постановку задачи и некоторые пред варительные результаты. В параграфе 3 приводится дифференциальное уравнение Лёвнера для полуплоскости с разрезом вдоль кривой Жорда на при условии, что точки 0, 1, и остаются неподвижными. В следую щем параграфе проблема определения неизвестных параметров в форму ле Шварца–Кристоффеля редуцируется к задаче Коши интегрирования некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Пара граф 5 посвящен вопросам разрешимости и единственности этой задачи и исследованию качественных свойств решения. В заключительном па раграфе 6 дано приложение к случаю неограниченной области специаль ного вида, возникающей в задаче исследования электромагнитного поля в торцевой зоне турбогенераторов.

Пусть C – расширенная комплексная плоскость и H + – ее верхняя полуплоскость. Обозначим через Dn внутренность n–угольника с внут ренними углами при вершинах Ak, равными k, k = 1,..., n. Для лю бого многоугольника имеет место простое соотношение между числами k :

n k = n 2.

k= Если Ak являются конечными вершинами, то 0 k 2. Мы не требу ем, однако, чтобы Dn была ограниченной. Если вершина Ak находится в бесконечности, то угол между двумя прямыми с вершиной в этой точке определяется как угол в конечной точке их пересечения, взятый со зна ком минус. При таком определении угла в бесконечности остается в силе соотношение n k = n 2.

k= Центральным результатом в теории конформного отображения по лигональных областей является следующая теорема (см. [253], c. 162, Геометрическая и топологическая теория функций и отображений [400], с. 65) Теорема 5.1. Пусть Dn - односвязная область в комплексной плос кости C, ограниченная многоугольником с вершинами в точках A1,...,An и внутренними углами k, где 0 k 2, если Ak конечны и 2 k 0, если Ak =. Тогда существует конформное отобра жение верхней полуплоскости H + на Dn и любое такое отображение может быть представлено в виде n z (z ak )k 1 dz + c1.

f (z) = c (5.1) 0 k= Здесь a1,..., an - прообразы вершин A1,..., An.

Комплексные постоянные a1,..., an, c и c1, входящие в формулу (5.1), называются аксессорными параметрами интеграла Шварца - Кри стоффеля (5.1). Основная проблема конформного отображения полиго нальных областей состоит в определении этих аксессорных параметров.

На вещественной оси комплексной плоскости C фиксируем три точ ки an2 = 0, an1 = 1 и an = и среди множества конформных отобра жений вида (5.1) выберем то единственное, которое переводит эти точки, соответственно, в вершины An2, An1 и An. В соответствии с выбранной нормировкой, предполагая An2 конечной, получаем c1 = An2.

Далее мы поступим следующим образом. Фиксируем на части гра ницы области Dn, не содержащей вершин An2, An1, An, точку A и про ведем из этой точки внутрь области Dn прямолинейный разрез (t) пе ременной длины |(t)|, зависящей от вещественного параметра t. Пусть |(0)| = 0. Область с разрезом обозначим через Dn (t). Поскольку Dn (t) полигональная область, то функцию f (z, t), конформно отображающую верхнюю полуплоскость H + на Dn (t) и удовлетворяющую прежним усло виям нормировки, можно представить в виде n z (z ak (t))k dz + An2.

f (z, t) = c(t) (z (t)) (5.2) 0 k= Здесь a1 и a0 - прообразы точки A, k = k 1, an2 = 0, an1 = 1, при этом параметры 1 и 0 связаны соотношениями 1 + 0 = 1, если A = Ap, p = 1,..., n 3, и 1 + 0 = p, если A = Ap, p = 1,..., n 3.

Глава 5. Конформное отображение полигональных областей Пусть при t = 0 известны значения всех параметров, входящих в формулу (5.2), то есть известно конформное отображение f (z, 0) : H + Dn (0). Требуется определить конформное отображение f (z, t) : H + Dn (t) при всех допустимых значениях параметра t или, что то же, найти при таких t акcессорные параметры ak (t), (t) и c(t). Отметим здесь, что поскольку начальную область Dn (0) можно выбрать достаточно простой, то на этом пути последовательно можно получить конформные отобра жения полуплоскости на произвольные полигональные области.

5.2. Уравнение Лёвнера для полуплоскости В комплексной плоскости C рассмотрим однопараметрическое се мейство D(t), 0 t T, односвязных областей, которые получаются из односвязной области D = D(T ) с кусочно-гладкой границей проведени ем разреза вдоль кривой Жордана w = w(t), 0 t T, лежащего в D, кроме одного из своих концов w(T ), принадлежащего D. Пусть D(0) область с полным разрезом, а D(T ) - исходная область. Фиксируем на D три точки A1, A2, A3 и, не теряя общности, будем предполагать, что w(T ) не принадлежит дуге, связывающей эти точки.

По теореме Римана существует единственное конформное отобра жение w = f (z, t) верхней полуплоскости H + на D(t), нормированное условиями: f (0, t) = A1, f (1, t) = A2, f (, t) = A3.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.