авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |

«Национальная академия наук Украины Институт прикладной математики и механики СЕРИЯ «ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ: МАТЕМАТИКА, ...»

-- [ Страница 3 ] --

Теорема 5.2. Пусть f (z, t) : H + D(t), 0 t T, однопарамет рическое семейство конформных отображений, нормированное услови ями: f (0, t) = A1, f (1, t) = A2, f (, t) = A3. Существует единственная параметризация разреза, при которой f дифференцируема по t локально равномерно относительно z H + и удовлетворяет уравнению f f z(z 1) =. (5.3) t z z Здесь = (t) - прообраз подвижного конца разреза при отображении f (z, t).

Отметим, что в формулировке теоремы можно отказаться от кусоч ной гладкости границы, если под Ak, k = 1, 2, 3 понимать три простых конца в смысле Каратеодори.

Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, сформули руем одно из следствий известной леммы Шварца.

Предложение 5.1. Пусть функция w(z) осуществляет конформ ное отображение H + на H + с разрезом вдоль аналитической кривой, вы Геометрическая и топологическая теория функций и отображений ходящим из точки, 0, нормированное условиями w(0) = 0, w(1) = 1, w() =. Тогда w(z) аналитична при z = 1 и w (1) 1. В случае знака равенства w(z) z.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть R – вещественная ось и [, ] – отрезок отрицательной части R, который переходит в разрез при отображении w(z). В силу принципа симметрии Римана–Шварца w(z) продолжается в нижнюю полуплоскость через R \ [, ] и представляет конформное отображение C \ [, ] на C \ { }. Здесь - зеркальное отражение относительно вещественной оси. В частности, w(z) аналитична в точке z = 1 и Im w (1) = 0. Обозначим через конформное отображение круга || 1 на плоскость с разрезом вдоль R. Очевидно + () = = 1 +....

Аналитическая функция h() = 1 в круге || 1, где 1 (1) = 0, удовлетворяет условиям леммы Щварца. Значит h (0) = w (1) 1. В случае знака равенства h(), то есть w(z) z.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 5.2. Введем в рассмотрение функцию w(z, t) = f 1 (f (z, 0), t), отображающую конформно H + на H + с разрезом. При этом, очевидно, w(z, 0) z и отображение оставляет неподвижными точки 0, 1 и. Не теряя общности, будем предполагать, что конец разреза, принадлежащий R, расположен левее начала коор динат. По теореме Каратеодори о сходимости к ядру w(z, •) непрерывна на [0, T ] при z H +. В силу предложения 5.1 и теоремы Вейерштрасса о сходимости последовательности голоморфных функций, w (1, t) = (t) – неотрицательная, непрерывная монотонно убывающая функция пара метра t, 0 t T.

Действительно, если 0 s t T, то к функции h(z) = w1 (w(z, t), s) применимо предложение 5.1, согласно которому h (1) = w (1, t)/w (1, s) 1.

Поскольку выбор параметризации разреза в нашем распоряжении, то можно положить (t) = et.

При выбранной параметризации разреза, при любых 0 s t T, рассмотрим функцию h(z, s, t) = f 1 (f (z, s), t), конформно отображаю щую H + на H + с разрезом и сохраняющую неподвижными точки 0, 1 и. По формуле Шварца для полуплоскости (t) z(z 1) Im h(x, s, t)dx h(z, s, t) = z +. (5.4) (x z)(x 1)x (t) Глава 5. Конформное отображение полигональных областей Теперь отметим, что при обоих предельных переходах s t и t s отрезок [, ] стягивается в точку (t) (соответственно, (s)) (ср. [105], с. 91). Далее, из (5.4) при z 1 находим 1 Im h(x, s, t)dx h (1, s, t) = est = 1 +. (5.5) (x 1)2 x Taк как h(w(z, s), s, t) = w(z, t), то из (5.4) следует, что w(z, s)(w(z, s) 1) Im h(x, s, t)dx w(z, t) w(z, s) =. (5.6) (x w(z, s))(x 1)x Эту формулу, по теореме о среднем, можно записать в виде w(z, s)(w(z, s) 1) Im h(x, s, t)dx w(z, t) w(z, s) = {...}, (x 1)2 x где x 1 x {...} = Re + iIm x w(z, s) x w(z, s) и x, x - некоторые точки из [, ]. Далее, из соотношений (5.5) и (5.6) следует, что w(z, t) w(z, s) t s w(z, s)(w(z, s) 1) lim = ( 1).

st ts e w(z, t) st Аналогичный результат получим, если устремим t s.

Таким образом, при выбранной параметризации разреза, функция w(z, t) дифференцируема по t локально равномерно относительно z H + и удовлетворяет уравнению w w(w 1) = (1 ).

t w Здесь = (t) – прообраз на R - подвижного конца разреза при отобра жении f : H + D(t).

Поскольку w(z, t) = f 1 (f (z, 0), t), то f (w(z, t), t) = f (z, 0).

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Отсюда и из известной теоремы Витали следует, что f (z, t) дифференци руема по t локально равномерно относительно z в верхней полуплоскости и удовлетворяет уравнению f f z(z 1) = ( 1).

t z z Замечая, что (t) 0, и переходя к новому параметру t (1 )dt, приходим к уравнению (5.3). Такую параметризацию разреза будем на звать стандартной.

Отметим здесь, что близкие вопросы, связанные с исследованием по лугрупп конформных отображений полуплоскости и круга при наличии граничных условий, рассматривались ранее в работах [274], с. 335, [110].

5.3. Уравнения для аксессорных параметров Возвращаясь к первоначально поставленной задаче, и предполагая, что прямолинейный разрез в области Dn (t) запараметризован стандарт ным образом, приходим к заключению, что функция f (z, t), конформно отображающая верхнюю полуплоскость на область Dn (t), и нормирован ная при всех t, 0 t T, условиями f (0, t) = A1, f (1, t) = A2, f (, t) = A3, одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям n f ((t) ak (t))k = c(t))(z (t)) (5.7) z k= и f f z(z 1) =. (5.8) t z (t) z Отсюда следует Теорема 5.3. Для всех 0 t T аксессорные параметры удовле творяют системе дифференциальных уравнений dak (t) ak (t)(ak (t) 1) =, k = 1,..., n 3, (5.9) dt (t) ak (t) n d(t) = (t)((t) 1) k + 2(t) 1, (5.10) dt (t) ak (t) k= n d ln c(t) = k 2, (5.11) dt k= Глава 5. Конформное отображение полигональных областей и начальным условиям ak (0) = ak, k = 1,..., n 3, a1 (0) = a0 (0) = (0) = 0 = f 1 (A, 0) (5.12) c(0) = c0.

Замечание 5.1. Если A = Ap, p = 1,..., n 3, то в формуле (5.9) отсутствует уравнение при k = p, а в формулах (5.10), (5.11) должно отсутствовать слагаемое при k = p.

Замечание 5.2. Из (5.9) – (5.12) следует, что c(t) = c0 etan, n d(t) d ln(1 ak (t)) = (1 (t)) k + an an1.

dt dt k= Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию (z, t) = ln f (z, s), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению z(z 1) ( 1) = + 1. (5.13) ( z) t z z Поскольку n (z, t) = ln c + ln(z (t)) + k ln(z ak (t)), k= то ее частные производные относительно параметра t и переменной z имеют вид n c (t) (t) ak (t) = k, (5.14) t c(t) z (t) k=1 z ak (t) n 1 = + k. (5.15) z z (t) k=1 z ak (t) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Подставляя (5.14) и (5.15) в уравнение (5.13), получим соотношение n c (t) (t) ak (t) k = c(t) z (t) k=1 z ak (t) n 1 = + k z (t) k=1 z ak (t) (t)(1 (t)) (t)(1 (t)) 1 z (t) + + 1, (5.16) (z (t)) z (t) которое должно выполняться при всех значениях параметра t и всех z из верхней полуплоскости.

Приравнивая вычеты левой и правой частей уравнения (5.16) в точ ках z = ak (t), (t), и сравнивая свободные члены, получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений dak ak (ak 1) =, k = 1,..., n 3, (5.17) dt ak n d = (2 1) + ( 1) k, (5.18) dt ak k= n d ln c = k 2. (5.19) dt k= Очевидно, ak (0) = ak, k = 1,..., n 3, a1 (0) = a0 (0) = (0) = 0 = f 1 (A, 0) (5.20) c(0) = c0.

Уравнения (5.17) – (5.19) вместе с начальными условиями (5.20) для аксессорных параметров позволяют путем интегрирования найти их зна чения в любой момент времени t, 0 t T, а значит решить поставлен ную выше задачу о конформном отображении верхней полуплоскости на данную полигональную область с прямолинейным разрезом при задан ных граничных нормировках.

Отметим, что для вычисления длины разреза можно воспользовать ся соотношением n t ((t) ak (t))k dt, |(t)| = c(t)(t)(1 (t)) (5.21) 0 k= Глава 5. Конформное отображение полигональных областей если разрез выходит не из вершины многоугольника, и формулой n t ((t) ak (t))k dt, |(t)| = c(t)(t)(1 (t)) 0 k=1,k=p если разрез выходит из вершины Ap. Эти соотношения непосредственно вытекают из геометрического смысла параметра (t) и уравнения Лёв нера (5.3).

5.4. Существование и единственность аналитического реше ния Следуя работе [235], докажем, что система (5.9) – (5.11) вместе с начальными условиями (5.12) имеет единственное решение для 0 t T, которое является голоморфным относительно переменной t1/2.

Теорема 5.4. Система (5.9) – (5.11) вместе с начальными усло виями (5.12) имеет единственное аналитическое относительно t1/2 ре шение на некотором интервале 0 t t0.

Д о к а з а т е л ь с т в Выполнив в системе (5.9), (5.10) замену о.

переменной по формуле x = t, 0 t T, и сохранив за неизвестными функциями прежние обозначения, получим dak ak (ak 1) = 2x, k = 1,..., n 3, (5.22) dx ak d = 2x{2 1 + n2 ( 1) + n1 } dx n dak k 2x( + ak 1). (5.23) dx k= Будем искать решение системы (5.22), (5.23) при начальных условиях (0) = ak (0) = 0, k = 1, 0, и ak (0) = ak,0, k = 1,..., n 3 в виде степенных рядов ak (x) = 0 + ak,1 x +... + ak,p xp +..., k = 1, 0, ak (x) = ak,0 + ak,1 x +... + ak,p xp +..., k = 1,..., n 3, (5.24) (x) = 0 + 1 x +... + p xp +....

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Подставляя ряды (5.24) в уравнения (5.22), (5.23), и сравнивая коэф фициенты при x в первой степени, получим, для определения первых коэффициентов этих рядов, следующую систему уравнений q ak,1 =, k = 1, 0, 1 ak, q0 q 1 = +, 1 a0,1 1 a1, ak,1 = 0, k = 1,..., n 3, где q = 20 (0 1). Отсюда следует, что q a0,1 =, q a1,1 =, q 1 = (1 0 ).

1 Продолжая этот процесс, получим следующую систему уравнений a1,1 p + (pa0,1 a1,1 ) a1,p = 1, a0,1 p + (pa1,1 a0,1 ) a0,p = 0, (5.25) n k ak,p =, p + k= ak,p = k, k = 1,..., n 3.

Здесь k и зависят только от коэффициентов, предшествующих опре деляемому.

Исследование знакоопределенности определителя системы (5.25) сво дится к изучению квадратного трехчлена a0,1 a1,1 p2 + (1 a2 + 0 a2 )p a0,1 a1,1 (1 + 0 1) 1,1 0, при всех значениях p 1, так как 1 a1,1 = a0,1 и 1 a0,1 = a1,1.

Поскольку a0,1 a1,1 = q, а 1 a2 + 0 a2 = q(0 + 1 ), то квад 1,1 0, ратный трехчлен приводится к виду Q(p) = q(p2 + (0 + 1 )p + 0 + 1 1).

Глава 5. Конформное отображение полигональных областей Отсюда следует, что Q(p) 0 для всех p 1.

Таким образом, коэффициенты степенных рядов (5.24) определяют ся однозначно.

Теперь установим, что ряды (5.24) сходятся и, стало быть, представ ляют собой в круге сходимости единственное аналитическое решение си стемы (5.22), (5.23). Для этого перейдем в системе (5.22), (5.23) к новым переменным по формулам (ср. [5], с. 325) x yk = + Bk, k = 1, 2, ak x yk =, k = 3,..., n 1, (5.26) ak yn = 0, где Bk = 1/(1 ak2,1 ), k = 1, 2. Выполнив надлежащие преобразо вания, получим следующую систему n dyk x + uk,p yp = fk (x, y1,..., yn ), (5.27) dx p= k = 1,..., n.

Здесь uk,p – известные параметры, а fk (x, y1,..., yn ) - представляют со бой полиномы относительно указанных в скобках переменных, которые не содержат членов нулевого и первого измерения относительно пере менных yk.

Замечая, что yk (0) = 0, представим решение системы (5.26) в рядах вида ck,m xm, yk = (5.28) m= k = 1,..., n.

Подставив (5.28) в (5.27) и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим, для определения ck,m, следующую систему уравне ний (u1,1 + m)c1,m + u1,2 c2,m +... + u1,n cn,m = B1,m u2,1 c1,m + (u2,2 + m)c2,m +... + u2,n cn,m = B2,m................................................ (5.29)................................................

un,1 c1,m + un,2 c2,m +... + (un,n + m)cn,m = Bn,m, Геометрическая и топологическая теория функций и отображений где Bk,m уже известные параметры.

Покажем теперь, что система (5.27) имеет аналитическое решение y1,..., yn, обращающееся в нуль при x = 0.

Обозначим через - определитель системы (5.29). Разложим опре m делитель k,m, получаемый из определителя заменой его k-го столб m ца на столбец из правых частей системы (5.29), по элементам k-го столб ца. Будем иметь n m k,m = Aj,m k,j, j= m где k,j – алгебраические дополнения к элементам k-го столбца опреде лителя k,m. Пусть c = max |uk,j | по всем 1 k, j n. Тогда, применяя m к определителю k,j теорему Адамара, получим оценку k,j (c + m)n m (n 1)n1.

Кроме того, имеет место неравенство (c + m)n1 | |1 N/m, m где N - некоторая постоянная, не зависящая от m.

Полученные оценки приводят к неравенству n (m) |k,m || |1 | | |uk,m | = |Bj,m ||k,j | m, m m j= где n m = m1 Dn |Bj,m | j= и (n 1)n1.

Dn = N Обозначим через F (x, y1,..., yn ) функцию, мажорирующую каж дую функцию fk (x, y1,..., yn ).

Пусть up (x), (p = 1, 2,..., n) – решение системы уравнений dp u x = nDn F (x, u1,..., un ) dx с нулевыми начальными условиями. Тогда функции up (x) тождественно равны друг другу и являются решением уравнения du = nDn F (x, u), x (5.30) dx Глава 5. Конформное отображение полигональных областей где F (x, u) = F (x, u,..., u). Если dm xm, u(x) = (5.31) m= то dm = m1 nDn Gm, где Gm – полиномы от коэффициентов функций u(x), предшествующих определяемому, и от коэффициентов тех слагаемых в разложении функ ции F (x, u(x)), которые содержат x в степени m. Отсюда следует оценка m dm. Tо есть ряд (5.31) мажорирует ряд m xm.

(x) = (5.32) m= С другой стороны, ряд (5.31) мажорируется решением уравнения u = nDn F (x, u) (5.33) с нулевым начальным условием, так как из теоремы о неявных функциях следует, что уравнение (5.33) имеет аналитическое решение dm xm, u(x) = m= с коэффициентами dm = nDn Gm, где Gm – полиномы от d1,..., dm1 и тех коэффициентов разложения F (x, u), которые содержат x в степени m, удовлетворяющими неравенству dm dm.

Таким образом, в области сходимости решения уравнения (5.33) схо дится ряд (5.31), а вместе с ним и ряды (5.28), что доказывает существо вание аналитического решения системы (5.9) – (5.11).

Функция F (x, u) – голоморфна в C2. Пусть R, 0 R, фикси ровано и M = M (R) = max |F (x, u)|, в бикруге |x| R, || R. Тогда u для коэффициентов bk,p разложения этой функции в ряд Тейлора bk,p xk up, b0,0 = 0, b0,1 = 0, F (x, u) = (5.34) k,p= в силу неравенства Коши, (см. [396], с. 276) имеют место оценки M |bk,p |.

Rk+p Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Если положить |bk,p | = M/Rk+p, b0,0 = 0, b0,1 = 0, то ряд (5.34) мож но просуммировать в бикруге |x| R, || R и получить явный вид u мажорантной функции M R2 Mu (x, u) = M.

(R x)(R u) R Наряду с уравнением (5.33) рассмотрим уравнение v = n Dn (x, v). (5.35) Его аналитическое решение с нулевыми начальными данными мажори рует соответствующее решение уравнения (5.33), а значит, в силу нера венств |ck,m | m dm dm, и решение исходной системы (5.28).

Оценим радиус сходимости рядов системы (5.28). Для этого доста точно заметить, что степенной ряд, представляющий собой искомое ре шение уравнения (5.35), имеет радиус сходимости R = R2 /(R+2nM Dn )2.

5.5. Случай ступенчатой области Рассмотрим, более подробно, один частный случай конформного отоб ражения верхней полуплоскости на область ступенчатого вида. К такой задаче приводит, например, проблема исследования электромагнитного поля в торцевой зоне мощных турбогенераторов (см., например, [411], [400] c. 259 – 265).

Пусть N = 0, 1,... и фиксировано. Для любых положительных Mk и Qk, k = 1,..., N, Q0 = 0, обозначим через k вертикальную полуполосу в комплексной плоскости w k1 k k k = w: Qj Re w Qj, Im w Mj j=1 j=1 j= и рассмотрим, в качестве начальной области Dn, области следующего вида:

D3 = {w : ( arg w /2) (Im w ih)} и D2N +3 = D3 \ N k, k= Глава 5. Конформное отображение полигональных областей для N = 1, 2,.... Обозначим через fN (z), N = 0, 1,... конформное отображение верхнeй полуплоскости комплексной плоскости z на 2N +3– угольник D2N +3, нормированное условиями fN (0) = 0, fN (1) = A2N +2 и fN () =, где A2N +2 вершина области D2N +3 с нулевым внутренним уг лом в бесконечности. В соответствии с формулой Шварца-Кристоффеля (5.1), z 2N + ( ak )k d, fN (z) = c0 (5.36) 0 k= где a2N +2 = 1, a2N +1 = 0, 2k+1 = 1/2, k = 0,..., N, 2k = 1/2, k = 1,..., N, и 2N h (1 ak )k.

c0 = k= Наша цель, зная конформное отображение fN (z) верхней полуплос кости на область D2N +3 построить отображение fN +1 (z) верхней полу плоскости на область D2N +5. При N = 0 отображение f0 (z) выписывается в явном виде.

Эту цель мы достигнем в два этапа. На первом этапе строим отоб ражение fN (z, t1 ) верхней полуплоскости на область D2N +3 с горизон тальным разрезом длинны QN +1, выходящим из точки A = N Qk + k= i N +1 Mk. Область D2N +3 с отмеченным разрезом, которая представля k= ет собой полигональную область с 2N + 6 вершинами, обозначим через D2N +6.

На втором этапе, зная fN (z, T ), строим отображение fN (z, t) верхней полуплоскости на область D2N +6 с вертикальным разрезом, выходящим N + из точки k=1 (Qk + iMk ). По теореме Каратеодори о сходимости к ядру (см. глава 1, а также [13], с. 56) fN +1 (z) = lim fN (z, t). (5.37) t Этап 1. Начальная область представляет собой 2N + 3 угольник, следовательно n = 2N +3. Конформное отображение fN (z, T ) верхней по луплоскости на область D2N +3 с горизонтальным разрезом длинны QN +1, выходящим из точки A = N Qk + i N +1 Mk, в соответствии с фор k=0 k= мулой (5.2), имеет вид 2N + z ( ak (T ))k d.

fN (z, T ) = c(T ) ( (T )) (5.38) 0 k= Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Для определения акcессорных параметров, согласно теореме 5.3, имеем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений dak (t) = ak(t)a(t)1), (t)(ak k = 1,..., 2N, dt k (t) 2N + d(t) 1 (5.39) = (2(t) 1) + (t)((t) 1) k (t)ak (t) k= dt d ln c(t) = 1/2, dt и начальные условия ak (0) = ak, k = 1,..., 2N + 2, a1 (0) = a0 (0) = (0) = 0, (5.40) c(0) = c0.

Здесь 0 – единственный отрицательный корень уравнения N N + fN (0 ) = Qk + i Mk.

k=0 k= Уравнения (5.39) вмести с начальным условии (5.40) для акcессорных па раметров позволяют, путем интегрирования, найти их значения в момент времени t = T. Для определения момента времени T, можно использо вать уравнение (5.21) для вычисления длины разреза 2N T c(t)(t)3/2 ((t) ak (t))k dt.

QN +1 = 0 k= Остается заметить, что уравнение для параметра в системе (5.39), ко торое может быть записано в виде, 2N d d ln(1 ak ) = (1 ) k + 2N +3 2N +2, dt dt k= допускает первый интеграл 2N k 1 ak (t) (1 a1 (t))1/2 (1 a0 (t))1/2, t/ (t) = 1 e 1 ak k= Глава 5. Конформное отображение полигональных областей поскольку 2N +2 = 0. Его можно использовать для контроля точности вычислений.

Этап 2. На этом этапе нам известно конформное отображение fN (z, T ) верхней полуплоскости на область D2N +6, которое мы запишем в стан дартных обозначениях z 2N + ( ak )k d, fN (z, T ) = c 0 k= где a2N +5 = 1, a2N +4 = 0, 2 = 2, и 2N + h (1 ak )k.

c0 = k= Построим отображение fN (z, t) верхней полуплоскости на область D2N + N + с вертикальным разрезом, выходящим из вершины A2 = k=1 (Qk + iMk ). По формуле (5.2) при n = 2N + 6 при всех t 2N + z ( ak (t))k d, fN (z, t) = c(t) ( (t)) 0 k=1,k= причем 0 = 3/2 и 1 = 1/2. Заметим, что fM (z, 0) fN (z, T ).

Для определения аксессорных параметров, вновь применим теорему 5.3 с учетом замечания 5.1. Тогда получим следующую систему диффе ренциальных уравнений dak (t) = ak(t)a(t)1), (t)(ak k = 1, 0, 1, 3,..., 2N + 3, dt k (t) 2N + d(t) 1 (5.41) = (2(t) 1) + (t)((t) 1) k (t)ak (t) k=1,k= dt d ln c(t) = 1/2, dt и начальные условия ak (0) = ak, k = 1, 3,..., 2N + 3, a1 (0) = a0 (0) = (0) = a2, (5.42) c(0) = c0.

Уравнения (5.41) вместе с начальными условиями (5.42) для аксессор ных параметров позволяют, путем интегрирования, найти их значения Геометрическая и топологическая теория функций и отображений в любой момент времени t 0. Для определения длины разреза (t) можно использовать уравнение (5.21) 2N + t 3/ ((t) ak (t))k dt.

|(t)| = c(t)(t) 0 k=1,k= Остается заметить, что уравнение для параметра в системе (5.41), ко торое может быть записано в виде, 2N + d d ln(1 ak ) = (1 ) k + 2N +6 2N +5.

dt dt k=1,k= допускает первый интеграл 2N +3 k 1 ak (t) t/ (t) = 1 e 1 ak k=1,k= (1 a1 (t))1/2 (1 a0 (t))1/2 (1 a2 ), поскольку 2N +5 = 0.

Таким образом, искомое конформное отображение fN +1 (z) верхней полуплоскости на ступенчатую область D2N +5 имеет вид (5.36), если вме сто N положить N + 1 и аксессорные параметры ak выбрать в виде ak = lim ak+1 (t), k = 2,..., 2N + 2, t a1 = lim a0 (t).

t Здесь ak (t) – решение задачи Коши (5.41), (5.42).

Часть II К теории квазиконформных отображений на плоскости ВВЕДЕНИЕ И ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ Теория квазиконформных отображений на плоскости, основы кото рой были заложены в 20–30-е годы Грётчем [112] и М.А. Лаврентье вым [246], представляет собой одну из наиболее интенсивно развиваю щихся областей современной геометрической теории функций комплекс ного переменного.

В работах Альфорса, Астала, П.П. Белинского, Берса, Б.В. Боярско го, И.Н. Векуа, Л.И. Волковыского, Геринга, Иванца, С.Л. Крушкаля, Кюнау, М.А. Лаврентьева, Лехто, Мартина, Тейхмюллера, Е.М. Чирки, Б.В. Шабата и других авторов были изучены основные свойства квази конформных отображений на плоскости и некоторых их обобщений, а также обнаружены важные приложения ко многим разделам современ ного анализа (см., например, [12–20, 23–25, 35–48, 56, 60, 61, 83–85, 88, 89, 89, 97, 100, 101, 106, 174, 182, 183, 193, 203, 209, 247, 248, 250, 263–265, 280, 281, 299, 308, 326–331, 333, 361, 392, 393, 406]). Фундаментальные исследования Вуоринена, Вяйсяля, Геринга, В.А. Зорича, Мартио, Ю.Г. Решетняка, Рикмана и др., см., например, [90, 91, 96, 106, 189, 190, 282, 332, 371], поз волили распространить эту теорию на случай пространственных отоб ражений с ограниченным искажением, или, что то же самое, на класс квазирегулярных отображений.

Аналитический подход к исследованию квазиконформных отобра жений связан с изучением эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных, см., например, [25, 192, 249, 390]. В этом отношении уникальное положение в геометрической теории диф Геометрическая и топологическая теория функций и отображений ференциальных уравнений занимает комплексное уравнение Бельтра ми, которому удовлетворяет любой сохраняющий ориентацию гомеомор физм плоскости с обобщенными производными и, стало быть, любое ква зиконформное отображение. Поэтому многие свойства квазиконформ ных отображений и их обобщений могут быть получены, исходя из тео рии дифференциальных уравнений (см., например, [51, 52, 57–59, 69–71, 84,85,175,176,179,211,252,298,302,303,383,394,395]). Впервые это уравне ние в вещественной форме появилось в работе Бельтрами [49] в связи с изучением аналитических функций на поверхностях. Отметим, что лю бое квазиконформное отображение плоскости можно рассматривать как конформное отображение на соответствующей поверхности (см. [14,17]).

Аналитическое определение квазиконформного отображения, как гомео морфного обобщенного решения уравнения Бельтрами, фактически со держалось в одной из работ Моррей [298], опубликованной в 1938 году вне всякой связи с существовавшей уже тогда геометрической теори ей квазиконформных отображений. Полная эквивалентность этого опре деления геометрическому определению квазиконформных отображений была установлена много позже, благодаря работам Берса, Пфлюгера, Лехто, Мори и других авторов, к концу 50-х – началу 60-х годов (см., например, [53, 54, 270, 318]).

При аналитическом подходе к изучению квазиконформных отобра жений центральным является вопрос о взаимосвязи коэффициента урав нения Бельтрами с его решением. Поведение этой характеристики при локально равномерной сходимости отображений имеет очень сложную природу. Отметим, в частности, что непрерывность коэффициента Бель трами не влечет, в общем случае, дифференцируемость отображения с соответствующей точке. Это обусловлено тем, что решение уравнения Бельтрами связано с комплексной характеристикой посредством нели нейного преобразования, в котором к тому же задействован сингуляр ный интегральный оператор типа Кальдерона–Зигмунда – так называ емое комплексное преобразование Гильберта, именуемое также иногда преобразованием Альфорса-Берлинга (см., например., [16,17,55,181,185, 186, 191, 195–201, 267, 291–296]). В связи с вышеизложенным, одним из центральных вопросов, который мы намерены изучить в этой и в следу ющей части книги, как раз и связан с исследованием локального пове дения квазиконформного отображения в зависимости от аналитических свойств его комплексной характеристики.

Перейдем к краткому обзору основных результатов части II.

Глава 6 посвящена исследованию проблемы локального поведения квазиконформных отображений на плоскости и связанным с ней вопро Часть II. Введение и обзор результатов сам граничного соответствия. Особое внимание уделено случаю, когда комплексные характеристики квазиконформных отображений являют ся аппроксимативно непрерывными функциями, поскольку, как отмеча лось выше, даже их непрерывность не гарантирует существование пол ного дифференциала у соответствующего квазиконформного отображе ния. В основе исследования – введенное нами ранее [156, 157, 159], и раз виваемое во втором параграфе данной главы, понятие асимптотической однородности квазиконформного отображения в фиксированной точке, эквивалентное специальному типу дифференцируемости, восходящему к П.П. Белинскому ( [48], с. 41). В параграфе 6.1 рассмотрены основ ные пространства нормированных Q – квазиконформных автоморфиз мов комплексной плоскости и их комплексных характеристик и, на ба зе известной теоремы Берса–Боярского и свойства равностепенной аб солютной непрерывности, установлены предварительные результаты о сходимости. В этом же параграфе исследованы, важные для дальней ших рассуждений, частные случаи интегрируемости в квадратурах диф ференциального уравнения Бельтрами. В частности, установлен следу ющий результат, см., предложение 6.5, который будет служить источни ком, важных для дальнейшего, примеров квазиконформных отображе ний и их обобщений: если h FQ имеет комплексную характеристику вида z (z) = k(|z|), z где k( ) : R C – измеримая функция, то |z| z 1 + k( ) d h(z) = exp.

|z| 1 k( ) Параграф 6.2 целиком посвящен геометрическим и аналитическим ас пектам квазиконформных отображений, связанным с понятием асимп тотической однородности. Отображение f : G C, f (0) = 0, будем называть асимптотически однородным в точке 0 G C, если f (z) lim = z0 f (z) для любого C. Как легко видеть, асимптотически однородное отоб ражение f сохраняет инфинитезимальные окружности max|z|=r |f (z)| lim = 1, r0 min|z|=r |f (z)| Геометрическая и топологическая теория функций и отображений модули инфинитезимальных колец |f (z)| lim = ||, |z|0 |f (z)| и углы между лучами, выходящими из начала в направлении соответ ствующих точек, lim [arg f (z) arg f (z)] = arg z для любого C = C\{0}. Перечисленные геометрические свойства яв ляются характеристическими для асимптотической однородности и об наруживают ее близость с обычной конформностью. Связь между по нятием асимптотической однородности квазиконформного отображения и свойствами его комплексной характеристики устанавливает предложе ние 6.11, которое гласит: если f : C C, f (0) = 0, – квазиконформное отображение, комплексная характеристика которого µ(z), µ(0) = 0, ап проксимативно непрерывна в нуле, то отображение f асимптотически однородно в нуле.

Два следующих параграфа содержат приложения асимптотической однородности к вопросам граничного соответствия при квазиконформ ных отображениях, см. также [160]. В параграфе 6.3 исследованы сим метрии Гардинера–Салливана [94] и доказаны новые критерии того, что бы квазисимметричный автоморфизм вещественной оси был асимптоти чески симметричным или асимптотически конформным в смысле Карле сона [206], см. теорему 6.2. В заключительном четвертом параграфе рас смотрены квазиокружности и найдены эквивалентные условия, в терми нах квазиконформных отображений и их комплексных характеристик, обеспечивающие их асимптотическую конформность по Беккеру и Пом меренке [33]. В частности доказано, что кривая Жордана C яв ляется асимптотически конформной, если существует квазиконформное отображение f : C C, = f (S 1 ), S 1 = { : || = 1, } с комплексной характеристикой µ(z) такой, что для некоторого |µ(z) µ()| dmz = lim t0 t |z|t zD равномерно относительно S 1.

Отметим, что частный случай теоремы 6.4, когда µ() 0 на S 1, был установлен ранее в работе [157] на основе сочетания понятия асимп тотической однородности и геометрического критерия Беккера и Пом меренке [33].

Часть II. Введение и обзор результатов Развитию вариационного исчисления в различных классах квази конформных отображений и решению на этой основе актуальных экс тремальных проблем посвящена глава 7. Это направление представляет собой интенсивно развивающуюся ветвь современного анализа и теории функций. Фундаментальные результаты здесь получены, прежде всего, в работах П.П. Белинского, С.Л. Крушкаля, Шиффера, Шиффера и Шо бера, см. [48, 223, 403, 404] и цитируемую там литературу.

Основная цель данной главы представить достаточно общую, на наш взгляд, вариационную процедуру исследования экстремальных задач в компактных классах квазиконформных отображений, предложенную на ми в [129] и развитую в работах [125, 153, 359]. Известно, что множества комплексных характеристик, генерирующих с помощью уравнения Бель трами основные компактные классы квазиконформных отображений, яв ляются выпуклыми множествами. Более того, как это будет показано в части III книги, см., например, глава 12, теорема 12.2 и глава 13, теорема 13.2, доказано, что таким свойством обладает любой компактный класс квазиконформных отображений. Это обстоятельство позволяет выбрать вариацию комплексной характеристики µ(z) в виде следующей выпук лой комбинации µ(z, t) = µ(z) + t((z) µ(z)), где (z) – произвольная характеристика из рассматриваемого класса.

Применяя теоремы о зависимости решений уравнения Бельтрами от па раметра, легко выписать допустимые вариации в самом исследуемом классе квазиконформных отображений, см. например, теорему 7.1. Ши рокий произвол в выборе функции (z) позволяет вывести вариационный принцип максимума и выписать другие эффективные необходимые усло вия экстремума, см. например, теорему 7.2. Отметим, что дальнейшему развитию нашего подхода к построению вариационного исчисления, в частности, на классах Давида отображений с неограниченной дилата цией, с условием экспоненциального типа, посвящена заключительная часть монографии.

В качестве иллюстрации метода рассмотрены следующие две кон кретные экстремальные задачи. Первая из них связана с известной за дачей М.А. Лаврентьева. Именно, М.А. Лаврентьев [130] доказал точные неравенства |f1 (0)| · |f2 (0)| |a2 a1 |2, справедливые для пар аналитических в единичном круге функций fl (z), l = 1, 2, fl (0) = al, a1 =, a2 =, отображающих круга на неналегаю щие области.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Особо отметим, что теорема М.А. Лаврентьева содержит в себе, как частный случай, классическую теорему покрытия Кёбе об 1/4.

Задача об оценке произведения степеней конформных радиусов нена легающих областей изучалась многими авторами (более подробно см.

[258], с. 32).

Нами, вариационным методом, доказано следующее точное неравен ство: в классе Q – квазиконформных гомеоморфизмов комплексной плос кости, конформных в круге |z| R 1 и вне единичного круга и нор мированных условиями f (0) = a, f () =, f (z) a 2k(k cos 1) ei lim ln Re ln R, 1 k zf () z где k = (Q1)/(Q+1) и под логарифмом понимается непрерывная ветвь, обращающаяся в нуль при z стремящемся к бесконечности.

Очевидно, каждая функция с перечисленными выше свойствами ге нерирует пару отображений {f1 (z), f2 (z)} из класса М.А. Лаврентьева.

Для таких пар функций непосредственно из нашей оценки следуют точ ные неравенства RQ |a2 a1 |2 |f1 (0)| · |f2 (0)| R1/Q |a2 a1 |2.

Осуществляя предельный переход при Q, приходим к отмеченной выше оценке М.А. Лаврентьева.

Второй пример связан с приложением вариационного метода к дока зательству теорем существования решений с особенностями обобщенной системы Коши – Римана и их представления через квазиконформные гомеоморфизмы.

Пусть Q : C [1, ) – измеримая функция такая, что норма Q = esssupC Q конечна. Рассмотрим следующее эллиптическое дифференци альное уравнение в частных производных div(Q(z)grad U ) = 0. Это урав нение возникает при исследовании различных физических полей в неод нородных средах и естественным образом связано с обобщенной системой Коши–Римана Vx = QUy, Vy = QUx.

Если ввести в рассмотрение комплексный потенциал по формуле F (z) = U + iV, то система эквивалентна следующему уравнению Бель трами Fz = k(z)Fz.

Часть II. Введение и обзор результатов с измеримой функцией k(z) = (Q(z) 1)(Q(z) + 1)1. Вариационным методом доказана теорема 7.5: существует решение уравнения div(Q(z)grad U ) = с логарифмическими особенностями в точках z1 C и, представимое в виде U (z) = log |f (z) f (z1 )|, где f надлежащее квазиконформное отображение. При условиях Тейхмюллера– Виттиха–Белинского (см. §9.4) |Q(z) Q(z1 )| dx dy, |z z1 | |zz1 | и |Q(1/z) Q()| dx dy, |z| |z| существуют конечные пределы lim U (z) ln |z z1 |, Q(z1 ) zz lim U (z) ln |z| = 0.

Q() z Отметим, что если функция Q удовлетворяет более сильному усло вию Дини (r) dr, (r) = ess sup |Q(z) Q(zn )|, r |zzn |r то приведенные выше асимптотические формулы были доказаны Шиф фером и Шобером в работе [403]. Дальнейшему развитию этой темы по священ §14.3.

Принцип площадей занимает особое место в геометрической тео рии функций комплексного переменного благодаря своей простоте и эф фективности при исследовании широкого круга задач, см., например, [258, 289] и цитируемую там литературу.

В главе 8, на основе принципа площадей и принципа Дирихле, вы водится коэффициентное неравенство для квазиконформных гомеомор физмов f (z) расширенной комплексной плоскости, конформных в об ласти |z| 1 и нормированных условиями f () =, f () = 1.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Этот результат представляет собой аналог обобщенной теоремы площа дей Н.А. Лебедева и И.М. Милина [260] (см. также [289], теорема 1.1) и содержит в себе, в качестве предельного случая классическую теоре му площадей Гронуолла, а также неравенства площадей Н.А. Лебеде ва [257], Гарабедяна и Шиффера [93], Педерсона и Шиффера [307] и И.Е. Базилевича [29]. Наше основное неравенство содержится в теореме 8.1. Дальнейшее развитие этот подход получил в работах [164] и [142].

Отметим, что изучение метрико-геометрических свойств квазиконформ ных отображений, конформных в некоторой части области задания, бы ло начато С.Л. Крушкалём [220, 221], Кюнау [242] и Лехто [268], см. так же [269]. Обратим внимание лишь на одно следствие теоремы 8.1. Пусть f (z) – однолистная аналитическая функция в единичном круге |z| 1, нормированная условиями f (0) = 0, f (0) = 1 с Q – квазиконформным продолжением на плоскость C. Тогда zf (z) f () 1 + |z| ln + ln k ln, f (z) f () f (z) 1 |z| где k = (Q 1)/(Q + 1) и выбраны ветви логарифмов, обращающиеся в нуль при z = 0. В частности, при f () = имеет место точная оценка zf (z) 1 + |z| ln k ln.

f (z) 1 |z| Отметим, что последний результат, впервые установленный нами в году и опубликованный в работе [123], имеет важные приложения. На пример, это неравенство со ссылкой на книгу Лехто 1987 года, см. [269], было использовано в 1988 году Беккером и Роммеренке [33] при дока зательстве гельдеровости конформных отображений с квазиконформ ным продолжением. Другим приложением является следующий резуль тат геометрического характера: радиус звездности rs (k) в классе кон формных отображений единичного круга с Q = (1 + k)/(1 k) – ква зиконформным продолжением в C и нормировкой f (0) = 0, f (0) = 1, f () = равен th 4k. Другими словами, при таких отображениях любая окружность |z| = r при r rs (k) переходит в замкнутую аналитическую кривую, звездообразную относительно начала координат. Указанное зна чение радиуса звездности является точным. Осуществляя предельный переход при k 1, мы приходим к классическому результату о радиусе звездности в классе S.

В 1961 году Джон [172], изучая взаимосвязи между напряжением и вращением внутри упругого тела, доказал, что если f : Q Rn осу ществляет (1+) – билипшицево отображение куба Q Rn объема m(Q), Часть II. Введение и обзор результатов то f принадлежит классу BM O(Q) функций с ограниченным средним колебанием. Значит, существует универсальная постоянная D, такая что для данного куба и любого параллельного вложенного куба R |f (x) fR |dv D, m(R) R где fR обозначает интегральное среднее f по кубу R. Применив к ком понентам вектора f fR фундаментальную лемму о функциях класса BM O, доказанную совместно с Ниренбергом в работе [173], Джон пока зал, что для каждого M мера µ(M ) тех x из R, для которых |f (x)fR | M, удовлетворяет неравенству µ(M ) EeF M m(R) с универсальными постоянными E и F. В качестве иллюстрации по следнего результата, он установил следующую теорему вращения: если f : C C – (1 + ) – билипшицево отображение комплексной плоскости, такое что z для |z| b, f (z) = i ze для |z| a b и [0, ], то O(1 + log(b/a)).

Эта оценка не является оптимальной. Оказывается, что точное решение задачи следует искать в классе квазиконформных отображений, который включает в себя билипшицевы отображения. Более того, такой подход ведет к точным интегральным оценкам вращения в терминах локальных коэффициентов искажения.

Глава 9 посвящена точному решению задачи вращения Джона для произвольных билипшицевых отображений и их обобщений. Это реше ние выводится из следующего результата, установленного в работе [143].

Пусть f – квазиконформное отображение кругового кольца R(a, b) : a |z| b, с комплексной характеристикой µf (z) и такое, что f (z) = z для |z| = b и f (z) = zei для |z| = a. Тогда для любой непрерывной неубыва ющей выпуклой функции справедливы точные оценки dx dy dx dy (Kf (z)) (Kf (z)), |z|2 |z| R(a,b) R(a,b) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений где Kf (z) = (1 + |µf (z)|)/(1 |µf (z)|), а экстремальное отображение f имеет вид логарифмической спирали ln(|z|/b) f (z) = z exp i.

ln(b/a) Полагая (u) = u, мы получаем, что || 1 Kf (z) || + 1+ dx dy.

4 log2 (b/a) |z| 2 log(b/a) R(a,b) Оценка является точной и знак равенства реализуется для функции f (z). Поскольку L–билипшицево отображение является одновременно L2 –квазиконформным, то мы приходим к точному решению задачи Джо на:

|| (L 1/L) log(b/a), которое имеет место для любого L 1.

Оценки углового смещения при квазиконформных отображениях, учитывающие не только модуль комплексной характеристики, но и её аргумент, приведены в §9.3. В частности, неравенства для углового сме щения, содержащиеся в следствии 9.4 к теореме 9.5, являются ключевы ми при исследовании в §9.5 вопроса о конформной дифференцируемости квазиконформных отображений.

Пусть f : G C – квазиконформное отображение с комплексной характеристикой µ и пусть z0 G. Хорошо известно, что свойства регу лярности отображения f в точке z0 тесно связаны с регулярностью µ(z) в окрестности этой точки. В данном разделе мы исследуем конформность отображения f в точке z0. Это означает, что комплексная производная f (z) f (z0 ) f (z0 ) = lim z z zz существует в точке z0 и f (z0 ) = 0. Не теряя общности, мы будем пред полагать, что z0 = 0 и отображение нормировано условием f (0) = 0.

Следующий результат, который принято называть теоремой о конформ ной дифференцируемости Тейхмюллера–Виттиха–Белинского, является классическим, см. [270], с. 232: квазиконформное отображение f являет ся конформным в нуле, если |µf | dx dy.

|z| |z| Часть II. Введение и обзор результатов Доказательство этой теоремы имеет долгую историю. Тейхмюллер [373] в начале показал, что из этого условия следует, что |f (z)| C|z| при z 0 для квазиконформных диффеоморфизмов f. Затем Виттих [86] распространил этот результат на весь класс квазиконформных отобра жений. Наконец, П.П. Белинский [40, 48], см. также Лехто [262], доказал конформность отображения f (z) при указанном условии. Позднее, Райх и Вальчак [322], а также Бракалова и Дженкинс [75] несколько осла били условие для поведения |f (z)|. И лишь спустя почти полвека, уда лось значительно ослабить условие Тейхмюллера–Виттиха–Белинского, см. теорему 9.5 и [164, 398]. А именно, если |µ|2 dx dy · 2 |z| 1 |µ| |z| и если сингулярный интеграл µ dx dy · 2 z 1 |µ| |z| существует в смысле главного значения по Коши, тогда отображение f (z) конформно в точке z = 0.

Простые рассуждения показывают, что условие конформной диффе ренцируемости Тейхмюллера–Виттиха–Белинского влечет одновременно сходимость указанных двух интегралов. Однако обратное заключение не имеет места. Таким образом, наша теорема включает в себя теорему Тейхмюллера–Виттиха–Белинского как частный случай. Попутно заме тим, что теорема 9.6 дает решение рассмотренной ранее задачи Райха– Вальчака при выполнении нашего первого интегрального условия.

Заключительная глава 10 посвящена приложению теории квазикон формных отображений к построению вариаций конформных отображе ний.

Построение вариационного исчисления на классах однолистных ана литических функций опирается на надлежащие вариационные форму лы в этих классах функций, то есть, на формулы вида f (z) = f (z) + tq(z) + o(t), где t – малый параметр, а q(z) - аналитическая функция, которая должна обладать определенным произволом. В силу нелиней ности основных классов однолистных аналитических функций, постро ение вариационных формул представляет собой нетривиальную задачу.

В дальнейшем, в качестве объекта исследований мы выберем класс S.

Первые вариационные формулы для этого класса восходят к Адамару и Геометрическая и топологическая теория функций и отображений были получены на основе надлежащей вариации функции Грина. Затем Шиффер, Г.М. Голузин, М.А. Лаврентьев и многие другие авторы ис следовали эту проблему. Фундаментальный результат в данном направ лении был достигнут Шиффером [401] и Г.М. Голузиным [103], которые впервые вывели эффективные вариационные формулы и на их основе создали метод внутренних вариаций в теории конформных отображений единичного круга. Оригинальное доказательство вариационной теоремы Шиффера–Голузина достаточно объемно, а попытки ее распространения на многосвязный случай, многолистные функции и римановы поверхно сти натолкнулись на ряд непреодолимых аналитических трудностей. В связи с этим, например, П.П. Куфарев [238] вывел вариационную форму лу Шиффера–Голузина исходя из метода Лёвнера, а затем распростра нил новое доказательство на двухсвязный случай.

В данной главе мы знакомим читателя с "квазиконформной" верси ей доказательства фундаментальной вариационной теоремы Шиффера– Голузина, предложенной нами в 1980 году, см. [126]. Подход к постро ению вариаций, который мы изложим в §10.2 и 10.3, допускает далеко идущие обобщения и, в частности, применим к однолистным функциям, заданным в многосвязных областях и на римановых поверхностях.

Глава ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА Хорошо известно, что произвольное квазиконформное отображение дифференцируемо в смысле вещественного анализа лишь почти всюду в области своего задания. Как уже отмечалось выше, даже непрерывность комплексной характеристики в данной точке не гарантирует существо вание полного дифференциала у соответствующего квазиконформного отображения в этой точке. Исследование поведения таких отображений в окрестности точек, где отсутствует полный дифференциал, представляет собой актуальную проблему и требует создания специального инфините зимального аппарата. Глава 6 как раз и посвящена исследованию пробле мы локального поведения квазиконформных отображений на плоскости и связанным с ней вопросам граничного соответствия. Особое внимание уделено случаю, когда комплексные характеристики отображений явля ются аппроксимативно непрерывными функциями.

6.1 Квазиконформные отображения на плоскости 6.1.1. Пусть C – комплексная плоскость. Мы обозначим единичный круг |z| 1 через D, единичную окружность |z| = 1 через S 1 и верхнюю полуплоскость Im z 0 через H.

Сохраняющий ориентацию гомеоморфизм f класса ACL называется квазиконформным с комплексной характеристикой µ, если он удовлетво ряет уравнению Бельтрами fz = µ(z)fz (6.1) почти всюду для некоторой измеримой комплекснозначной функции µ c нормой µ = ess sup |µ(z)| q 1. (6.2) Если Q = (1 + q)/(1 q), то f называется также Q–квазиконформным.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Теорема существования для уравнения Бельтрами гарантирует на личие квазиконформного гомеоморфизма f для произвольной комплекс ной характеристики µ(z) (см., например, [16], с. 90, [69], [270], с. 194). Ес ли F – другой квазиконформный гомеоморфизм с той же комплексной характеристикой, то, по теореме единственности, см. [270], с. 183, F = f, (6.3) где – конформное отображение. Из (6.3), в частности, следует, что диф ференциальные свойства квазиконформного отображения в точке опре деляются исключительно его комплексной характеристикой в окрестно сти данной точки.

6.1.2. Теоремы сходимости и мажорирующие метрики. В даль нейших наших исследованиях ключевую роль будет играть известная теорема сходимости Берса–Боярского для Q–квазиконформных отобра жений: если fn f локально равномерно и µn почти всюду, то µ = также почти всюду (см., например, [270], с. 187).

Обозначим через FQ класс всех Q–квазиконформных автоморфиз мов f расширенной комплексной плоскости, нормированных условиями f (0) = 0, f (1) = 1, f () =. Пространство FQ с топологией локально равномерной сходимости является метризуемым и секвенциально ком пактным (см. [270], с. 78).

Метрика, определенная на FQ, называется генерирующей, если схо димость (fn, f ) 0 эквивалентна локально равномерной сходимости fn f. Одна из таких метрик имеет вид (см. [229], с. 243):

m (f, g) 2m (f, g) =, (6.4) 1 + m (f, g) m= где m (f, g) = max |f (z) g(z)|. (6.5) |z|m Абстрактные пространства B, в которых сходимость играет роль ис ходного понятия, были впервые рассмотрены в диссертации Фреше в 1906 году. Затем Урысон ввел в этих пространствах третью аксиому: ес ли компактная последовательность an B имеет единственную точку накопления a B, то lim an = a. Такие пространства принято назы вать L – пространствами. Аксиоме Урысона удовлетворяет, в частно сти, любая сходимость, порождаемая какой–либо метрикой, см. [229], с.

197-199, 215. Однако всем известная сходимость почти всюду для из меримых функций доставляет пример сходимости, не удовлетворяющей Глава 6. Локальные свойства аксиоме Урысона: любая последовательность, сходящаяся по мере, яв ляется компактной относительно сходимости почти всюду, но не любая такая последовательность сходится почти всюду.

Пусть MQ – пространство всех комплексных характеристик µ для отображений f FQ. Метрика r, определенная на MQ, называется ма жорирующей, если сходимость r(µn, n ) 0 влечет сходимость последо вательности (fn, gn ) к нулю для любой генерирующей метрики на FQ и для соответствующих отображений fn и gn FQ.

Предложение 6.1. Пусть для некоторого rm (µ, ) 2m r(µ, ) =, (6.6) 1 + rm (µ, ) m= где |µ(z) (z)| dmz.

rm (µ, ) = (6.7) |z|m Тогда r(µ, ) – мажорирующая метрика на MQ.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, предположим, что r(µn, n ) 0, но (fn, gn ) 0 для некоторой генерирующей метрики и некоторых последовательностей fn и gn FQ. В силу секвенциальной компактности класса FQ, можно считать, что fn f FQ и gn g FQ локально равномерно.

Покажем теперь, что f = g. По теореме Лебега о сходимости инте гралов, на MQ сходимость по метрике r(µn, n ) 0 эквивалентна сходи mes мости по мере µn n 0. Поэтому µn (z) n (z) (gn )z mes n (z) = 0 (6.8) 1 µn (z)n (z) (gn )z Для продолжения доказательства нам потребуется одно свойство нормированных Q–квазиконформных отображений, относящееся к иска жению площадей. Именно, для f FQ и любого измеримого множества E DR = {z C : |z| R} имеет место неравенство:

mes(f (E)) C(Q, R)(mesE)(Q), (6.9) где C и зависят только от Q, R и Q, соответственно (см., например, [24, 98, 101]).

Указанный результат влечет, что mes n = n gn 0, (6.10) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений где n представляет собой комплексную характеристику отображе ния hn = fn gn FQ2. Таким образом, hn h = f g 1 и, одновременно, mes n 0. По теореме сходимости Берса–Боярского мы заключаем, что f = g. Таким образом, по неравенству треугольника (fn, gn ) (fn, f ) + (gn, f ) при n. Последнее противоречит сделанному выше предположению.

Предложение 6.2. Пусть и r – генерирующая и мажорирующая метрики на FQ и MQ, соответственно. Тогда сходимость r(µt,j, µj ) 0 при t 0, равномерная относительно абстрактного параметра j J, влечет равномерную сходимость (ft,j, fj ) 0.

Действительно, допустим, что существуют 0 и последовательно сти tn 0, jn J такие, что (gn, hn ), где gn = ftn,jn, hn = fjn, n = 1, 2,....

Однако r(µn, n ) 0 и потому (gn, hn ) 0 в силу определения ма жорирующей метрики. Последнее противоречит сделанному выше пред положению.

6.1.3. О специальных классах квазиконформных отображе ний. В общем случае при |µ(z)| k 1 решение уравнения Бельтрами может быть записано в виде бесконечного ряда сингулярных интеграль ных преобразований типа Гильберта и Коши для комплексных характе ристик (см. [16, 69, 270]).

Здесь мы приводим явные решения уравнения Бельтрами для слу чаев, когда комплексные характеристики являются произвольными из меримыми функциями, но зависят только от одной вещественной пере меной x = Re z или y = Im z, либо от arg z или |z|.


Предложение 6.3. Пусть µ(z) : C C - произвольная измеримая функция с µ q 1, зависящая только от x = Re z и пусть x 1 + µ(t) (x) = dt. (6.11) 1 µ(t) Тогда формула w = f (z) = (x) + iy (6.12) задает единственное квазиконформное отображение C на себя с ком плексной характеристикой µ и нормировками:

f (0) = 0, f (i) = i, f () =. (6.13) Глава 6. Локальные свойства Кроме того, как видно из соотношений u = Re f (z) = Re (x), (6.14) v = Im f (z) = y + Im (x), (6.15) отображение f переводит вертикальные прямые в вертикальные прямые без каких–либо сжатий или растяжений, а мнимая ось отображается на себя тождественным образом, поскольку (0) = 0. Легко показать, что перечисленные геометрические свойства являются характеристическими для указанного класса квазиконформных отображений, так как (x) µ(z) = (6.16) (x) + зависит только от x.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, как видно непосредственно из формул, Q1 |x1 x2 | |f (z1 ) f (z2 )| Q|z1 z2 |. (6.17) Таким образом, f – гомеоморфизм плоскости класса ACL. Нормировка (6.13) очевидна.

Далее, 1 + µ(x) fx = (x) =, (6.18) 1 µ(x) fy = i. (6.19) Следовательно, 1 µ(x) fz = (fx + ify ) =, (6.20) 2 1 µ(x) 1 fz = (fx ify ) =, (6.21) 2 1 µ(x) и поэтому f удовлетворяет уравнению Бельтрами fz = µ(x)fz. (6.22) При этом, якобиан этого отображения 1 |µ(x)| Q1 J(z) = (6.23) |1 µ(x)| Геометрическая и топологическая теория функций и отображений положителен, то есть f сохраняет ориентацию (см. [270], с. 10). Тем са мым предложение 6.3 полностью доказано. Следствие. Пусть g FQ имеет комплексную характеристику (z), зависящую только от y = Im z. Тогда:

g(z) = x + i (y), (6.24) где y 1 (it) (y) = dt. (6.25) 1 + (it) Действительно, пусть f = A g A1, (6.26) где A() = ei 2 = i (6.27) – поворот на угол /2 против часовой стрелки. Тогда f (0) = 0, f (i) = i, f () = () и комплексная характеристика f, µ(z) = (iz), (6.28) зависит только от x = Re z. Таким образом, из (6.11), (6.12) и (6.26) получаем (6.24), (6.25).

На том же пути доказывается следующее предложение, которое вос ходит к Шатцу [397].

Предложение 6.4. Пусть FQ имеет комплексную характери стику (z), зависящую только от arg z. Тогда:

1/a arg z (z) = |z| exp i () d, (6.29) где a= ()d, Re a 0, (6.30) 2 1 (ei )e2i () =. (6.31) 1 + (ei )e2i Отметим, что при отображении радиальные линии arg z = const могут преобразовываться в бесконечно накручивающиеся спирали в том Глава 6. Локальные свойства и только в том случае, когда Im a = 0. При Im a = 0 все радиальные линии переходят в радиальные линии. Вещественная ось R (и верхняя полуплоскость H) сохраняются тогда и только тогда, когда Re ()d = Re ()d. (6.32) 0 Это так, к примеру, если комплексная характеристика симметрична относительно вещественной оси, то есть при выполнении равенства (ei ) = (ei ). (6.33) В этом случае a = Re c 0, (6.34) где c= ()d. (6.35) Пример 1. Если 0 – произвольная комплексная постоянная из еди ничного круга D и z (z) = 0, (6.36) z то z c (z) = |z|, (6.37) |z| где 1 + c0 = (6.38) 1 – произвольная комплексная постоянная с положительной вещественной частью.

В частности, если c0 = i, 0, то мы получаем квазиконформное отображение h(rei ) = r ei(ln r), (6.39) которое отображает радиальные линии arg z = const на соответствующие спирали. Отметим, что такие отображения были использованы Герингом [99] для решения известной проблемы Берса о структуре универсального пространства Тейхмюллера.

Пример 2. Если 0 – произвольная комплексная постоянная из еди ничного круга и 0, при Im z 0, (z) = при Im z 0, Геометрическая и топологическая теория функций и отображений то z+0 z, при Im z 0, 1+ (z) = z+0 z, при Im z 0.

1+ Д о к а з а т е л ь с т в о предложения 6.4. Пусть f – отображение из предложения 1.3 с комплексной характеристикой µ(z) = (eiz )e2iRe z, (6.40) зависящей только от x = Re z.

Тогда () = g() = A (f ) A1 (), (6.41) где A(w) = eiw, (6.42) A1 () = i(ln ). (6.43) Здесь через (ln ) обозначено главное значение логарифма, а комплекс ная постоянная = a1 определяется требованиями однолистности, а также непрерывности g во всей плоскости, включая отрицательную ве щественную ось.

Действительно, комплексная характеристика g равна () = (µAz /Az ) A1 ().

Переписав (6.41) в более явной форме, g() = e ln ||+i(arg ), (6.44) и доопределив g(0) = 0 и g() =, замечаем условие непрерывности g [() ( + 0)] = 2n, (6.45) n = 1, 2,.... Однолистность (инъективность) отображения g можно обеспечить только при n = 1, то есть при = a1.

Однолистность отображения g проверяется рассуждением от про тивного. Действительно, допустим, что при некоторых 1 = 2, 1 и 2 = 0, выполнено равенство g(1 ) = g(2 ). Тогда arg i P (t)dt i ln = 2m i, (6.46) arg где k = 0, ±1, ±2..., Глава 6. Локальные свойства 1 + µ(t) P (t) =, (6.47) 1 µ(t) Re P (t) Q1 0. (6.48) Из (6.46) в частности следует равенство arg 2 Re P (t)dt = m P (t)dt. (6.49) arg 1 В силу неравенства (6.48) последнее возможно только при m = 0 и arg 2 = arg 1. Но тогда из (6.46) немедленно получаем также равенство |1 | = |2 |, то есть 1 = 2. Наконец, приведем здесь еще одно предложение, которое будет слу жить источником, важных для дальнейшего, примеров квазиконформ ных отображений.

Предложение 6.5. Пусть h FQ имеет комплексную характери стику вида z (z) = k(|z|), (6.50) z где k( ) : R C – измеримая функция. Тогда |z| z 1 + k( ) d h(z) = exp. (6.51) |z| 1 k( ) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f – отображение из предложения 1.3 с µ(z) = k(eRe z ) (6.52) и g() = A f A1 (), (6.53) где A(w) = ew, (6.54) A1 () = ln. (6.55) Заметим, что здесь, не смотря на многозначность аналитической функ ции ln, функция g() является однозначной в силу специального вида функции f.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Запишем g в явном виде:

ln || 1 + µ(t) g() = exp dt. (6.56) || 1 µ(t) Отсюда видно, что модуль этой функции |g()| = exp{Re (ln ||)} (6.57) зависит только от модуля независимой переменной, то есть окружности с центром в нуле переходят в такие же окружности, но быть может, с другим радиусом.

Характеристика отображения g() равна () = (µAz /Az ) A1 ().

Нормировки g(0) = 0, g(1) = 1, g() = очевидны, поскольку 1 + µ(t) Q1 Re (6.58) 1 µ(t) и, следовательно, при || |g()| ||Q, (6.59) а при || |g()| ||Q. (6.60) Однолистность отображения g легко доказывается рассуждением от противного. Действительно, допустим, что при некоторых 1 и 2 = и выполнено равенство h(1 ) = h(2 ). Тогда из соотношения (6.57) получаем равенство |1 | = |2 |. После этого из (6.56) замечаем, что и arg 2 = arg 1.

Непрерывность и однолистность отображения g на плоскости уже гарантирует его гомеоморфность, см. ( [270], с. 6. Принадлежность его классу ACL очевидна из (6.56). Таким образом, g является искомым отображением h FQ. Делая в (6.56) элементарные замены переменных, приходим к формуле (6.51). 6.2. Об асимптотической однородности 6.2.1. Хорошо известно, что произвольное Q–квазиконформное отоб ражение f : G C, являясь непрерывным по Гельдеру с показателем = 1/Q внутри G, дифференцируемо почти всюду, см. [100] и [229], Глава 6. Локальные свойства с. 128. Следующий простой пример Q–квазиконформного автоморфизма комплексной плоскости C f (z) = z|z| Q 1, который получается по формулам (6.1) – (6.3) при = q z, указывает z на отсутствие полного дифференциала в точках z = 0 и z =. Даже непрерывность комплексной характеристики µ(z) соответствующего Q– квазиконформного отображения, как показывает пример (см. [48], с. 41) f (z) = z(1 ln |z|), не спасает положения, и без дополнительных ограничений на µ(z) ве роятно трудно ожидать, в общем случае, более точную информацию о поведении f (z) в фиксированной точке.

В направлении исследования проблемы регулярности Q–квазикон формных отображений, тесно связанной с изучением геометрических свойств соответствующих гомеоморфизмов, был получен ряд результа тов фундаментального характера. Тейхмюллер [223], Виттих [226], П.П. Бе линский [48] и Лехто (см. [270], с. 248) доказали, что сходимость инте грала |µ(z) µ(z0 )| dmz |z z0 | |zz0 |r влечет дифференцируемость отображения f в точке z0 с невырожден ным якобианом. Особый интерес представляет случай, когда µ(z0 ) = 0, поскольку тогда f конформно в точке z0 и f (z0 ) = 0,. Нетривиальное развитие этого результата содержится в работах Шатца [397] и Райха и Вальчака [322]. Применяя свою формулу явного представления гомео морфного решения уравнения Бельтрами, Боярский доказал регуляр ность в точке при условии, что p µ(z) µ(z0 ) dmz z z |zz0 |r и p 2. Близкие вопросы были исследованы также Б.В. Шабатом [394] и Л.И. Волковыским [89].

Как уже отмечалось выше, непрерывность комплексной характери стики еще не гарантирует наличие полного дифференциала у соответ ствующего гомеоморфизма уравнения Бельтрами в фиксированной точ ке. Вместе с тем, как это впервые по–видимому было отмечено П.П. Бе линским (см. [48], с. 41), при непрерывности µ(z) во всякой достаточно Геометрическая и топологическая теория функций и отображений малой окрестности произвольной точки |z z0 | r справедливо пред ставление f = A( r)((z z0 ) + µ(z0 )(z z0 ) + o( r)), (6.61) в котором, в отличие от обычной дифференцируемости, A( r) может не иметь предела при r 0. Не теряя общности, можно предполагать в формуле (6.61) z0 = 0, f (0) = 0 и µ(z0 ) = 0, поскольку вернутся к первоначальному случаю всегда можно в результате рассмотрения ком позиции f с надлежащими мебиусовым и афинным отображениями.

Понятие "слабой конформности" Q – квазиконформного отображения f в точке z = 0, выражаемое формулой f (z) = A(|z|)(z + o(|z|)), и возможность его описания в терминах аппроксимативной непрерывно сти комплексной характеристики |µ(z)|dmz t2 |z|t при t 0, оказалось также весьма полезным для приложений (см., на пример, [156], [157]).

6.2.2. Определение асимптотической однородности. Отобра жение f : G C, f (0) = 0, будем называть асимптотически однородным в точке 0 G C, если f (z) lim = (6.62) z0 f (z) для любого C. В дальнейшем используется сокращенная запись (6.62) в виде f (z) f (z).


Очевидно, что асимптотическая однородность квазиконформного отображения f в нуле эквивалентна одновременному выполнению следу ющих двух условий f (z) = A(|z|)(z + o(|z|)), (6.63) где o(|z|)/|z| 0 при |z| 0, и A(t) lim = 1, t 0. (6.64) 0 A() Глава 6. Локальные свойства Далее, как легко видеть, асимптотически однородное отображение f сохраняет инфинитезимальные окружности max|z|=r |f (z)| lim = 1, (6.65) r0 min|z|=r |f (z)| модули инфинитезимальных колец |f (z)| lim = || (6.66) |z|0 |f (z)| и углы между лучами, выходящими из начала в направлении соответ ствующих точек, lim[arg f (z) arg f (z)] = arg (6.67) z для любого C = C\{0}. Перечисленные геометрические свойства яв ляются характеристическими для асимптотической однородности и об наруживают ее близость с обычной конформностью.

Следует подчеркнуть, что, несмотря на (6.67), при асимптотической однородности радиальные линии могут переходить в бесконечно накру чивающиеся спирали, как это показывает пример отображения 1/ f (z) = zei( ln |z|), f (0) = 0.

Следующий результат является основным для дальнейшего изуче ния асимптотической однородности, поскольку значительно облегчает проверку условия (6.62) и одновременно вскрывает природу введенного понятия.

Пусть M – произвольное подмножество комплексной плоскости C с z = 0 в качестве точки накопления. Полагаем inf |m|,mM |m| M () =.

sup|m|,mM |m| Теорема 6.1. Пусть f : C C, f (0) = 0, и M – подмножество C, для которого lim sup M (). (6.68) Если существует предел f (m) lim =, z C, (6.69) f (m) m mM то f является асимптотически однородным в нуле.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Следующее утверждение говорит о точности условия (6.68) на мно жество M.

Предложение 6.6. Пусть для любого квазиконформного отобра жения f : C C, f (0) = 0, существование предела (6.69) влечет асимптотическую однородность f в нуле. Тогда множество M удо влетворяет условию (6.68).

Таким образом, для выполнения заключения теоремы 6.1, условие (6.68) на степень возможной прореженности множества M является не только достаточным, но и необходимым. В частности, в качестве множе ства M в теореме 6.1 можно взять любой непрерывный путь в начало координат или дискретное множество, скажем, mn = 1/n, n = 1, 2,....

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 6.1. По условию (6.69) имеем, что lim F (, m) =, C, (6.70) m mM где функции F (, z) = f (z)/f (z), z C = C \ {0}, C, являются Q–квазиконформными отображениями по переменной. Хо рошо известно, что (6.70) влечет локально равномерную сходимость от носительно C (см. [270], c. 74).

Предположим, что условие (6.62) не выполнено для f. Тогда най дутся C, 0 и последовательность zn 0, zn C, n = 1, 2,..., такие, что |F (, zn ) |. (6.71) С другой стороны, по условию (6.68), найдется последовательность mn M для n N такая, что 0 |n | 1, где zn n =, =.

mn 2 lim sup0 M () Таким образом, F (n, mn ) F (, zn ) =.

F (n, mn ) В силу равномерности предела (6.70) относительно параметра на лю бом компакте, F (n, mn ) n и F (n, mn ) n. Поскольку же n Глава 6. Локальные свойства 0, то F (, zn ) при zn 0. Последнее противоречит (6.71) и, следовательно, сделанное выше предположение неверно. Д о к а з а т е л ь с т в о предложения 6.6. Допустим, что lim sup M () =. (6.72) Покажем, что тогда найдется такое f, для которого имеет место (6.69), а условие асимптотической однородности (6.62) не выполнено. Пример будет базироваться на предложении 6.5.

По условию (6.72), найдется последовательность 0 такая, что M (n ) e4n, для всех n = 1, 2,.... Зафиксируем n и обозначим через (n, tn ) интервал длины 4n с тем свойством, что он не содержит точек ln |m|, m M. Положим n = (n + tn )/2 и определим измеримую функ цию q, для t [en n, en +n ], n = 1, 2,..., k(t) = 0, для остальных t 0.

Здесь 0 q 1 – произвольное число. Такое k порождает по формуле (6.51) квазиконформное отображение h : C C.

Как легко вычислить, ln |m| k(e ) h(m) = exp d 1 k(e ) h(m) ln |m| и поэтому h(m) lim =.

h(m) m mM С другой стороны, h(en e) 2q lim = ee 1q = e.

n h(en ) Это и завершает доказательство предложения 6.6. 6.2.3. Об одном обобщении конформности по Белинскому.

Пусть f : C C, f (0) = 0, является произвольным Q–квазиконформным отображением. Тогда функция F (, z) = f (z)/f (z) по переменной C при каждом фиксированном z C принадлежит классу FQ. В силу Геометрическая и топологическая теория функций и отображений секвенциальной компактности этого класса, справа в (6.62) должно сто ять отображение того же класса. Оказывается, все возможные легко описать.

Предложение 6.7. Пусть f : C C, f (0) = 0, является произ вольным Q–квазиконформным отображением, для которого существу ет предел f (z) lim = (), C. (6.73) z0 f (z) zC Тогда имеет вид ||c, Re c 0.

() = (6.74) || При этом, комплексная характеристика отображения имеет вид () = 0, (6.75) где c 0 = (6.76) c+ может быть произвольным комплексным числом из единичного круга D.

Таким образом, здесь мы имеем дело с отображениями весьма част ного вида из предложения 6.4.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть t =, где и являются комплексны ми. Тогда из (6.73) следует, что f ( z) f ( )()(z) при t 0. Теперь мы поменяем ролями и, чтобы доказать, что f ( z) f ( )(z).

Следовательно, предельная функция должна удовлетворять следующе му характеристическому условию (z) = ()(z),, z C. (6.77) Обозначая через комплексную характеристику отображения, и используя (6.77), находим, что (z) = (z).

Отсюда следует, что z (z) = 0, z Глава 6. Локальные свойства где 0 – произвольное комплексное число, удовлетворяющее условию |0 | (Q 1)/(Q + 1). Теперь мы можем применить предложение 1.4 и записать в виде (6.74).

Отметим, что при c = 1 мы возвращаемся к случаю асимптотической однородности. Как видим из предложения 6.7, прямое обобщение асимптотической однородности недостаточно богато. Более плодотворным, с точки зрения дальнейших приложений, оказывается другое обобщение, основанное на теореме 6.1, если в качестве множества M выбрать положительную по луось R+.

Предложение 6.8. Пусть f : C C, f (0) = 0, является произ вольным Q–квазиконформным отображением, для которого существу ет предел f (t) lim = (), C. (6.78) t0 f (t) t Тогда также является квазиконформным отображением, причем его комплексная характеристика () зависит только от arg, то есть () = (), для любого 0, а само имеет представление (6.29).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассуждая также, как при доказательстве предыдущего предложения, непосредственно из (6.78) выводим, что () = ()(), C, 0. (6.79) Из (6.79) следует, что комплексная характеристика (z) отображения должна удовлетворять соотношению () = () для любого 0. Последнее эквивалентно тому, что зависит только от arg. В силу предложения 6.4 предельные функции () представимы по формуле (6.29). Предложение 6.9. Пусть f : C C, f (0) = 0, является произ вольным Q–квазиконформным отображением. Тогда соотношение f (t) ()f (t), C, (6.80) при t 0, t 0, равносильно асимптотической однородности в нуле отображения g = f 1, то есть g(wz) wg(z), w C, Геометрическая и топологическая теория функций и отображений при z 0, z C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку отображение из (6.80) удо влетворяет характеристическому соотношению (6.79), то условие эквива лентности (6.80) можно переписать в виде f 1 ((t)()) lim = (), C, f 1 ((t)) t t или f 1 ( w) lim = w, C, f 1 ( ) l где l = { C : = (t), t 0} – некоторая простая непрерывная кривая, идущая из в начало координат. По теореме 6.1, последнее соотношение равносильно асимптотической однородности отображения g в нуле. Другими словами, g(wz) wg(z), w C, при z 0, z C.

Таким образом, предложение 6.9 позволяет свести проблему обоб щенной асимптотической однородности (6.80) к обычной асимптотиче ской однородности соответствующей композиции.

Заключительный результат этого пункта является существенным обобщением леммы об асимптотической конформности, доказанной нами в работе [157].

Предложение 6.10. Пусть fj : C C, fj (0) = 0, j J – семей ство Q–квазиконформных отображений. Тогда следующие утвержде ния эквивалентны:

1. Существует предел fj (t) lim = j (), C, (6.81) fj (t) t t равномерный относительно параметра j J.

2. Все функции семейства fj могут быть представлены в виде fj (z) = Aj ()(j (z) + oj ()), (6.82) где = |j (z)|. Здесь oj ()/ 0 при 0 и Aj (t) lim = 1, t 0 (6.83) 0 Aj () равномерно относительно j J.

Глава 6. Локальные свойства 3. Существует предел fj (z ) j (z ) lim =0 (6.84) fj (z) j (z) z,z равномерный относительно j J при z, z C и |z /z| для 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предложения 6.9, семейство функ ций gj = fj j является асимптотически однородным в точке z = равномерно относительно параметра j J. Теперь все заключения сле дуют непосредственно из упомянутой выше леммы из [157], примененной к семейству gj. 6.2.4. Асимптотическая однородность и аппроксимативная непрерывность. Функция µ(z) называется аппроксимативно непрерыв ной в точке z0, если существует измеримое множество E такое, что µ(z) µ(z0 ) при z z0 по множеству E и z0 является точкой плотности E, то есть mes E D(z0 ;

) lim = 1, mes D(z0 ;

) где D(z0 ;

) = {z C : |z z0 | } (см. [300], с. 199). Для функций из L точки аппроксимативной непрерывности совпадают с точками Лебега:

lim |µ(z) µ(z0 )|dmz = 0.

r0 r 2 |z|r Предложение 6.11. Пусть f : C C, f (0) = 0, – квазиконформ ное отображение, комплексная характеристика которого µ(z), µ(0) = 0, аппроксимативно непрерывна в нуле. Тогда отображение f асимп тотически однородно в нуле.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, условие аппроксиматив ной непрерывности характеристики µ эквивалентно сходимости по мере µt (z) 0, где µt (z) = µ(tz), t 0.

Рассматривая семейство отображений класса FQ с указанными характе ристиками f (tz) ft (z) =, t 0, f (t) по предложению 6.1 заключаем, что ft (z) f0 (z) z, z C, локально равномерно при t 0. Таким образом, по теореме 6.1, получаем асимп тотическую однородность отображения f. Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Предложение 6.11 допускает далеко идущие обобщения. Именно, име ет место Лемма 6.1. Пусть fj : C C, fj (0) = 0, j J, – семейство ква зиконформных отображений и пусть их комплексные характеристики µj (z) при некотором 0 удовлетворяют интегральному условию |µj (z) j (z)| dmz = lim (6.85) r0 r |z|r равномерно относительно j J, где j (z) зависит только от arg z.

Тогда существует предел fj (tz) lim = j (z) (6.86) fj (t) t tR\{0} равномерный относительно j J, где j (z) – квазиконформные отобра жения класса FQ с комплексными характеристиками j (z), описанными в предложении 6.4.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, квазиконформные отоб ражения fj (tz) gj,t (z) =, t fj (t) класса FQ имеют характеристики µj,t (z) = µj (tz), t 0.

Полагая в (6.85) последовательно r = nt, n = 1, 2,..., при t 0, t 0, и делая под знаком интеграла замены z tz, получаем |µj,t (z) j (z)| dmz = 0, lim t |z|n n = 1, 2,..., равномерно относительно j J поскольку j удовлетворяют соотношению j (tz) = j (z), t 0. Таким образом, из предложений 6.1, 6.2 и 6.4 приходим к (6.86) при t 0. Наконец, переходя от отображений fj (z) к отображениям fj (z), получаем (6.86) и при t 0. Глава 6. Локальные свойства 6.3. Об асимптотической симметрии 6.3.1. Непрерывная строго возрастающая функция h, отображаю щая вещественную ось R на себя, называется квазисимметричной (M – квазисимметричной), 1 M, если 1 h(x + t) h(x) M M h(x) h(x t) для всех t = 0 и всех x R (см. [270], с. 81).

Множество квазисимметрических гомеоморфизмов инвариантно по отношению к линейным преобразованиям и после нормировки h(0) = 0, h(1) = 1, представляет собой компакт H0 (M ) относительно локально равномерной сходимости (см. [16], с. 64).

Различные аналитические и геометрические свойства квазисимметри ческих гомеоморфизмов и вопросы их продолжения до квазиконформ ных автоморфизмов H изучались, например, Карлесоном [206], Фелма ном [384], Андерсоном, Беккером и Лесли [21], Хейманом и Хинкане ном [389], Тукиа [379], Дуади и Ирлом [177] и Партука [306]. Проблема па раметрического представления исследовалась Агардом и Келингосом [3] и Рейманом [321]. В недавней работе Гардинер и Салливан [94] обнару жили новые замечательные приложения квазисимметрических отобра жений к теории комплексных банаховых многообразий. Некоторые свой ства регулярности и симметрии квазисимметрических отображений в за висимости от свойств комплексных характеристик их квазиконформных продолжений были установлены в работе [157].

6.3.2. Квазисимметричный гомеоморфизм h : R R будем назы вать асимптотически симметричным на R, если h(x + t) h(x) lim =1 (6.87) t0 h(x) h(x t) равномерно относительно x R (ср. [94]).

Наряду с асимптотически симметричными гомеоморфизмами мы бу дем рассматривать асимптотически конформные автоморфизмы верх ней полуплоскости H, которые характеризуются условием, что k(t) = ess sup |µ(z)| 0Im zt при t 0 (см. [21, 206]).

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Берлинг и Альфорс [61] доказали, что гомеоморфизм h веществен ной оси R является квазисимметричным тогда и только тогда, когда су ществует его квазиконформное продолжение на всю комплексную плос кость C. Подобная связь имеет место также между асимптотически сим метричными автоморфизмами вещественной оси R и асимптотически конформными отображениями верхней полуплоскости H на себя (см.

[94], предложения 3.1 и 3.2).

Основная цель данного параграфа заключается в том, чтобы уста новить связь между понятиями асимптотической симметрии и асимпто тической однородности.

Теорема 6.2. Пусть h : R R – квазисимметричный гомеомор физм. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. h(x) асимптотически симметричен на R.

2. Для любого R h(x + t) h(x) lim = t0 h(x + t) h(x) равномерно относительно x R.

3. Существует асимптотически конформное продолжение f : H H гомеоморфизма h.

4. Существует квазиконформное продолжение функции h до авто морфизма верхней полуплоскости H с комплексной характеристикой µ(z) такой, что |µ(z) x (ei )|dmz = lim (6.88) t0 t |zx|t zH равномерно относительно x R, где = arg(z x) и выполняется соотношение 1 (ei )e2i Im d = 0.

i 2i 0 1 + (e )e 5. Существует квазиконформное продолжение функции h до авто морфизма f комплексной плоскости C, сохраняющее инфинитезималь ные окружности с центрами на R, причем max|zx|=t |f (z) f (x)| lim = t0 min|zx|=t |f (z) f (x)| равномерно относительно x R.

Глава 6. Локальные свойства 6. Существует квазиконформное продолжение функции h до авто морфизма f комплексной плоскости C, который асимптотически од нороден на R, то есть f (x z) f (x) lim = f (x z) f (x) z zC для всех C равномерно относительно x R.

Пункт 4 теоремы 6.2 содержит ряд эффективных критериев симмет рии. Отметим некоторые из них.

Следствие 6.2.1. Пусть h допускает квазиконформное продолже ние f в верхнюю полуплоскость с комплексной характеристикой µ(z) такой, что ее существенный модуль непрерывности k(t, x) = ess sup |µ(z) µ(x)| 0Im zt стремится к нулю при t 0, равномерно относительно x R. Тогда имеет место условие асимптотической симметрии (6.87).

В частности, при µ(x) 0, x R, квазиконформное продолжение f является асимптотически конформным (ср. [94], предложение 3.1).

Следствие 6.2.2. Пусть в (6.88) x (ei ) = Ax (e2i ), где Ax (ei ), x R, представляют собой радиальные граничные значения семейства ограниченных аналитических функций Ax () в круге D. Тогда имеет место условие (6.87) асимптотической симметрии.

Действительно, по лемме Фату 1 Ax (e2i )e2i d = 1 + Ax (e2i )e2i для всех x R.

Замечание. Теорема 6.2 остается в силе, если R заменить на произ вольное открытое множество X R, а условие равномерности на R по x – на условие локально равномерной сходимости на X, включая опре деление асимптотической конформности.

Прежде чем приступить к доказательству сформулированного утвер ждения, приведем известную лемму Берлинга–Альфорса с необходимы ми для дальнейших рассуждений комментариями, и докажем лемму об асимптотической конформности.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Лемма 6.2 (см. [16], с. 64). Если h H0 (M ), то 1 M h(x)dx. (6.89) M +1 M + Обозначим через H0 (M, N ) подкласс H0 (M ) таких h, для которых 1 h(x + t) h(x) N N h(x) h(x t) для всех троек x t, x и x + t из [0, 1]. Повторяя рассуждения Берлинга– Альфорса (см. [16], с. 63–64), можно показать, что, если h H0 (M, N ), то в неравенстве (6.89) M можно заменить на N.

Лемма 6.3. Пусть h : R R – квазисимметрический гомеомор физм, такой, что h(x + t) h(x) lim = t0 h(x) h(x t) равномерно относительно x R. Тогда продолжение f : H H Бер линга – Альфорса имеет комплексную характеристику µ(z) 0 при y = Im z 0 равномерно относительно x = Re z R.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Продолжение квазисимметричного гомео морфизма h по Берлингу–Альфорсу до квазиконформного отображения комплексной плоскости C имеет вид f (z) = u(x, y) + iv(x, y), где x+y u(x, y) = h(t) dt, 2y xy x+y x h(t) dt.

v(x, y) = h(t)dt 2y x xy Отметим, что частные производные функций u(x, y) и v(x, y) суще ствуют и непрерывны в верхней полуплоскости.

Зафиксируем произвольную точку z = x + iy H и наряду с h рассмотрим функцию h(x + ty) h(x) g(z) =, h(x + y) h(x) Глава 6. Локальные свойства которая нормирована условиями g(0) = 0, g(1) = 1, и также являет ся квазисимметричным гомеоморфизмом вещественной оси R. Обозна чая через F () = U (, ) + iV (, ), = + i, продолжение Берлинга– Альфорса для g, легко увидеть, что f и F связаны соотношением f (x + y) h(x) F () =.

h(x + y) h(x) Поэтому, значение комплексной характеристики µ отображения f в точ ке z = x + iy совпадает со значением комплексной характеристики отоб ражения F в точке = i.

Как в [16], с. 68, вычисляем значения частных производных в точке =i:

1 U = (1 + ) U = ( ), 2 2 (6.90) 1 V = (1 ) V = ( + ), 2 где =1 g(t)dt, = g(1), (6.91) =+ g(t)dt.

По лемме 6.2, с учетом сделанного замечания, получаем (см. [16], с. 63– 66), что 1 N, N, N +1 N +1 N (6.92) N 2, N +N N + где N = N (x, y) M – коэффициент квазисимметричности функции g на отрезке [1, 1], который совпадает с коэффициентом квазисиммет ричности функции h на отрезке [x y, x + y].

Из (6.87) следует, что указанный коэффициент N (x, y) стремится к единице при y 0 равномерно относительно x R. Поэтому, из (6.90) – (6.92) следует, что U 1, U 0, V 0, V 1 при y 0 равномерно относительно x R. Таким образом, µ(z) 0 при y 0 равномерно относительно x R и мы завершаем доказательство леммы 6.3. Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Замечание. Если предел (6.87) имеет место только на некотором открытом множестве X R локально равномерно относительно x X, то µ(z) 0 при y 0 локально равномерно относительно x X.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 6.2. Импликации 6 5 являются очевидными. Импликация 1 3 получается из леммы 6.3.

Далее, импликация 3 6 извлекается из леммы 6.2. Таким образом, нами установлены эквивалентности 1 3 5 6.

Импликация 4 1 следует из леммы 6.2 и предложения 6.4. Обрат ное утверждение 1 4 следует из леммы 6.3.

В последовательности импликаций 6 2 1 6 две первые яв ляются очевидными, а последняя уже установлена нами выше. Отсюда имеем эквивалентность 6 2. Тем самым установлена эквивалентность всех шести условий, сформулированных в теореме 6.2.

По поводу доказательства эквивалентности условий 1 и 3 сравни [94].



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.