авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |

«Национальная академия наук Украины Институт прикладной математики и механики СЕРИЯ «ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ: МАТЕМАТИКА, ...»

-- [ Страница 4 ] --

Отметим, что импликация 3 1 может быть выведена из леммы 6.2, также как это было сделано для доказательства импликации 3 6. 6.3.3 Мы завершим этот раздел аналогичной теоремой для квази симметричных гомеоморфизмов единичной окружности S 1, включив в ее содержание лишь те критерии асимптотической симметрии, которые потребуются нам в следующем параграфе.

Теорема 6.3. Пусть g(ei ) = ei() – квазисимметричный авто морфизм единичной окружности S 1. Тогда следующие условия эквива лентны:

1. g асимптотически симметричен на S 1, то есть ( + ) () lim = 0 () ( ) равномерно относительно R.

2. Существует асимптотически конформное продолжение F : D D гомеоморфизма g.

3. Существует квазиконформное продолжение F : D D гомео морфизма g с комплексной характеристикой () такой, что |() (ei )| dm = lim (6.93) t0 t ||t D Глава 6. Локальные свойства равномерно относительно S 1, где = arg( ) и выполняется соотношение 1 (ei )e2i Im d = 0.

1 + (ei )e2i Д о к а з а т е л ь с т в о. Редуцируем задачу, поставленную для круга D к соответствующей проблеме для верхней полуплоскости H.

Пусть h(x) = i ln g(eix ), x R, и f (z) = i ln F (eiz ), z H.

Здесь для 0 x = Re z 2 выбрана произвольная непрерывная ветвь логарифма, а далее логарифм продолжен по непрерывности так, что h(x + 2) = h(x), x R, и f (z + 2) = f (z), z H.

По построению очевидно, что условие 1 теоремы 6.3 для функции g эквивалентно условию 1 теоремы 6.3 для функции h, а условие 2 для F – условию 3 для f.

Поскольку f = 1 F, где (z) = eiz – аналитическая функция, то прямые вычисления показывают, что µ(z) = ei(+z) (eiz ).

z Поэтому условие 3 теоремы 6.3 эквивалентно условию 4 теоремы 6.3 с x (ei ) = e2ix eix (ei ).

Действительно, квазиконформный гомеоморфизм f можно продол жить по симметрии из H на всю комплексную плоскость C с сохранением всех перечисленных выше соотношений. Интегральные условия (6.88) и (6.93) эквивалентны сходимости по мере mes µ(x + t(z x)) x (ei ) (6.94) и mes ( + t( )) (ei ) (6.95) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений при t 0 равномерно относительно x R и S 1, соответственно.

Далее, поскольку якобиан отображения J (z) = e2Im z при z x равномерно относительно x R, то условия (6.94) и (6.95) также эквивалентны. Таким образом, мы завершили доказательство тео ремы 6.3. 6.4. Асимптотически конформные кривые 6.4.1. Кривая Жордана C называется квазиконформной кривой или квазиокружностью, если она является образом единичной окруж ности S 1 при квазиконформном автоморфизме комплексной плоскости C. Альфорс доказал, что кривая является квазиконформной тогда и только тогда, когда отношение |w1 w| + |w w2 | |w1 w2 | ограничено для всех w1, w2 и w (w1, w2 ), где (w1, w2 ) обозначает дугу кривой с концами в w1, w2, имеющую наименьший диаметр.

Пусть C – квазиконформная кривая и f – конформное отобра жение единичного круга D на ее внутренность. Тогда f допускает квази конформное продолжение через S 1 до квазиконформного гомеоморфиз ма комплексной плоскости C (см. [16], с. 71), причем такое продолжение не единственно. Если среди них существует квазиконформное продолже ние с комплексной характеристикой µ(z) такой, что ess sup |µ(z)| 0, t 1 + 0, 1|z|t тогда кривая называется асимптотически конформной (см., также ра боты Агарда и Геринга [2] и Карлесона [206]). Беккер и Поммеренке [33] установили критерий асимптотической конформности жордановой кри вой C, который заключается в существовании предела |w1 w| + |w w2 | lim = 1, (6.96) |w1 w2 | |w1 w2 | равномерного относительно w (w1, w2 ).

Глава 6. Локальные свойства Хорошо известно, что квазиокружности могут быть неспрямляемы ми (см. [48], с. 42, [270], с. 104). Несмотря на кажущуюся простоту, асимп тотически конформные кривые сохраняют за собой это свойство.

Асимптотически конформные кривые и их связи с различными вели чинами в терминах внутренних и граничных свойств конформного отоб ражения и его квазиконформного продолжения исследовались многими авторами (см. например, [21, 33] и цитируемую там литературу). Опи сание асимптотически конформных кривых в терминах асимптотиче ской однородности квазиконформного отображения было дано в рабо тах [156, 157]. Вопросы спрямляемости и гладкости квазиконформных кривых рассмотрены в работах [72] и [158].

В настоящем параграфе мы приводим новые критерии асимптоти ческой конформности и связываем это понятие с понятием асимптоти ческой симметрии.

6.4.2. Начнем с формулировки критерия асимптотической конформ ности кривой в терминах существования квазиконформного продолже ния с комплексной характеристикой, равномерно аппроксимативно непре рывной на S 1.

Теорема 6.4. Жорданова кривая C является асимптотически конформной, если существует квазиконформное отображение f : C C, = f (S 1 ), с комплексной характеристикой µ(z) такой, что для некоторого |µ(z) µ()| dmz = lim (6.97) t0 t |z|t zD равномерно относительно S 1.

Отметим, что частный случай теоремы 6.4, когда µ() 0 на S 1, был установлен ранее в работе [157] на основе сочетания понятия асимптоти ческой однородности и геометрического критерия (6.96). Предлагаемое ниже доказательство теоремы 6.4 не использует упомянутый выше кри терий асимптотической конформности кривой.

Переходя к анализу сформулированного результата, заметим, что принадлежность комплексной характеристики µ(z) классу C, 0 1, гарантирует принадлежность кривой классу C 1+. Однако, непрерыв ность µ(z) не влечет, в общем случае, гладкость кривой. В этой связи следующий критерий представляет самостоятельный интерес.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Следствие 6.4.1 Если квазиконформный автоморфизм f : C C имеет непрерывную комплексную характеристику в окрестности S 1, то квазиокружность = f (S 1 ) является асимптотически конформ ной кривой.

Действительно, в этом случае µ(z) является равномерно непрерыв ной в достаточно малой окрестности единичной окружности S 1 и поэто му выполнено условие (6.97).

Обозначим через (t, ) существенный модуль непрерывности ком плексной характеристики µ(z) в фиксированной точке S 1, то есть (t, ) = ess sup |µ(z) µ()|.

|z|t Следствие 6.4.2. Пусть для некоторого 0 условие Дини (t, ) lim dt = t выполняется равномерно относительно S 1. Тогда – асимптоти чески конформна.

Для доказательства следствия 6.4.2 достаточно заметить, что (t, ) 1 |µ(z) µ()| dmz 2 dt.

2 t |z| Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 6.4. Пусть f – квазиконформный автоморфизм C с комплексной характеристикой µ(z), удовлетворяющей условию (6.97). Тогда (z), для z D, f (z) = (z), для z C \ D, где и – конформные отображения круга D и его внешности на внут ренность и внешность кривой = f (S 1 ), а и – квазиконформные автоморфизмы D и z C \ D с комплексной характеристикой µ(z). По теореме 6.2 автоморфизмы и можно заменить на асимптотически конформные автоморфизмы и с сохранением граничных соответ ствий, то есть |S 1 |S 1 и |S 1 |S 1. Далее, рассмотрим гомеомор физм комплексной плоскости C (z), для z D, F (z) = (z), для z C \ D, Глава 6. Локальные свойства который является квазиконформным в D и C\D. По теореме об устрани мости аналитических дуг (см. [270], с. 45), примененной к гомеоморфиз му f 1 F, заключаем, что F : C C – квазиконформный автоморфизм.

Положим (z), для z D, G(z) = j F 1 j(z), для z C \ D, F где j означает отражение z 1/ относительно S 1. Применяя еще раз z теорему об устранимости, и привлекая асимптотическую конформность автоморфизмов и, приходим к заключению, что G дает асимпто тически конформное продолжение конформного отображения.

Таким образом, = f (S 1 ) = (S 1 ) – асимптотически конформная кривая. Теорема доказана. 6.4.3. Пусть – замкнутая жорданова кривая в C и k (z), k = 1, – конформные отображения круга D и его внешности, соответственно, на внутренность и внешность кривой. Хорошо известно, что кривая является квазиконфорной тогда и только тогда, когда гомеоморфизм 1 1 окружности S 1 является квазисимметричным (см. [270], с. 100).

Мы завершим данный параграф аналогичным критерием для асимпто тически конформных кривых.

Теорема 6.5. Пусть – квазиконформная кривая в C. Тогда сле дующие условия эквивалентны:

1. – асимптотически конформная кривая.

2. 1 1 – равномерно асимптотически симметричный автомор физм окружности S 1.

При выполнении одного из этих условий, конформные отображения k, k = 1, 2, удовлетворяют соотношению k (ei(+) ) k (ei ) lim =1 (6.98) 0 k (ei ) k (ei() ) равномерно относительно R.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 2 1. По теореме 6.3 функция g = 1 допускает асимптотически конформное продолжение F на всю плоскость C. Тогда 1 (z), для z D, f (z) = 2 F (z), для z C \ D, Геометрическая и топологическая теория функций и отображений представляет собой искомое асимптотически конформное продолжение 1 и, следовательно, кривая = 1 (S 1 ) – асимптотически конформна.

1 2. Пусть – асимптотически конформная кривая. Обозначим через f асимптотически конформное продолжение 1 на всю плоскость.

Тогда 1 (z) f (z), для z C \ D, F (z) = z, для z D, доставляет асимптотически конформное продолжение гомеоморфизма g = 1 1 на всю плоскость и по теореме 6.6 g равномерно асимп тотически симметричен на S 1.

Поскольку 1 2, то отображения k допускают асимптотически конформные продолжения fk на всю комплексную плоскость. По лем ме 6.1 и предложению 6.1 отсюда следует соотношение (6.98). Теорема доказана. 6.5. К проблеме Райха–Вальчака.

В работе [322] была высказана гипотеза, что, каков бы ни был модуль комплексной характеристики q(z) = |µ(z)| q 1, всегда можно так подобрать ее аргумент arg µ(z), что соответствующее квазиконформное отображение f (z) будет конформным в нуле. В той же работе было дано частичное решение этой проблемы, когда q(z) = (|z|) зависит только от |z| (см. также [270], с. 248–249).

Указанное частичное решение проблемы можно получить из следую щего утверждения.

Предложение 6.12. Пусть k(t) : R+ R – произвольная измери мая функция с |k(t)| q 1 и h FQ – квазиконформное отображение с комплексной характеристикой µ(z) = k(|z|)z/. Тогда для конформно z сти h в нуле необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел k(t) dt lim =. (6.99) 1 k(t) t z |z| Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, из предложения 6.5 имеем явную формулу Глава 6. Локальные свойства |z| dt k(t) h(z) = z exp 2 =.

1 k(t) t Поэтому, для существования предела h(z) lim = 0, z0 z как раз необходимо и достаточно выполнение условия (6.99).

Далее, каков бы ни был модуль q(t) = |k(t)|, этого всегда можно добиться за счет знака k(t). Точнее, полагая r(t) = (1)n q(t) при t (1/n, 1/(n 1)), n = 1, 2,..., имеем 1/(n1) k(t) dt Q.

1 k(t) t n 1/n При этом знак указанного интеграла совпадает с (1)n. Таким образом, мы имеем дело со знакопеременным рядом, общий член которого стре мится к нулю при n. Такой ряд всегда сходится. С другой стороны, 1 k(t) dt k(t) dt Q|z|, 1 k(t) t 1 k(t) t |z| 1/N где N – целая часть числа 1/|z| и N 1 1/(n1) k(t) dt k(t) dt =, 1 k(t) t 1 k(t) t 1/N 1/n n= то есть интеграл сходится к тому же пределу, что и указанный ряд. Мы еще вернемся к обсуждению этой проблемы в главе 9 при об суждении новой теоремы о конформной дифференцируемости квазикон формных отображений. В заключительной части III данной книги, за менив условие конформности на более слабое условие конформности по Белинскому, мы дадим решение проблемы при произвольном измеримом k(z).

В заключение отметим, что описанные выше подходы к исследова нию локального поведения квазиконформных отображений на плоско сти нашли свое дальнейшее развитие, применительно к случаю квази конформных и квазирегулярных отображений в пространстве, в рабо тах [133, 134, 147–150].

Глава ВАРИАЦИЯ КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ Развитие вариационного исчисления в различных классах квазикон формных и более общих отображений и решение на этой основе актуаль ных экстремальных проблем представляет собой интенсивно развиваю щееся направление современного анализа и теории функций. Фундамен тальные результаты в этом направлении получены, прежде всего, в рабо тах П.П. Белинского, С.Л. Крушкаля, Шиффера, Шиффера и Шобера, см. [48, 223, 403, 404] и цитируемую там литературу.

Основная цель данной главы, представить достаточно общую вари ационную процедуру исследования экстремальных задач в компактных классах квазиконформных отображений, предложенную нами в [129] и развитую в работах [125, 151, 153, 359].

7.1. Вариационные формулы Для иллюстрации общей вариационной процедуры мы введем в рас смотрение один специальный класс квазиконформных автоморфизмов комплексной плоскости C.

Пусть Q : C [1, ] – измеримая функция, такая, что норма Q = ess sup Q(z) C конечна и пусть µ – измеримая функция в C, удовлетворяющая услови ям:

|µ(z)| (Q(z) 1)(Q(z) + 1) для почти всех z C\{ P K(zn, n )R }, где K(zn, n ) = {z : |zzn | n= n }, R = {z : |z| R}, и µ = 0 в остальных точках комплексной плос кости. Множество всех таких функций µ(z) мы обозначим через M. Мы также предполагаем, что круги K(zn, n ) и R не имеют общих точек.

Глава 7. Вариация квазиконформных отображений Для любой такой µ мы обозначим через f (z) Q(z) – квазиконформ ный автоморфизм плоскости, удовлетворяющий уравнению Бельтрами fz = µ(z)fz и нормированный условиями f () = и f () = 1. В силу леммы Вейля, отображение f (z) будет конформно в областях K(zn, n ) и R. Изменяя µ, мы получаем класс N всех таких отображений.

В классе N имеет место следующая вариационная формула.

Теорема 7.1. Пусть f N и имеет комплексную характеристику µ M. Тогда для любой функции M и всех достаточно малых значениях параметра t, t 0 функция (µ() ())f () dd f (z) = f (z) + t + o (z, t), (7.1) f () f (z) C также принадлежит классу N. Здесь t1 o(z, t) 0 при t 0 равно мерно на компактных множествах.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как множество M выпукло, то функции µ(z, t) = µ(z) + t((z) µ(z)) также принадлежат классу M для всех t, 0 t 1. Обозначим че рез f (z) надлежащее решение уравнения Бельтрами с коэффициентом µ(z, t), принадлежащее классу N. По теореме о зависимости решений уравнения Бельтрами от параметров, см., например, [16], с. 95, 96, это решение при малых значениях параметра t, t 0 приобретает вид (7.1).

7.2. Необходимые условия экстремума Вариационные формулы вида (7.1) служат эффективным инстру ментом при исследовании экстремальных проблем. Они позволяют ре дуцировать широкий класс нелинейных экстремальных задач на ком пактных классах квазиконформных отображений к линейным экстре мальным задачам на выпуклых классах их комплексных характеристик.

В качестве иллюстрации метода мы вновь обратимся к классу N.

Пусть : N R – полунепрерывный сверху функционал, опреде ленный на классе N. Класс N является компактным относительно топо логии локально равномерной сходимости и, следовательно, существует Геометрическая и топологическая теория функций и отображений функция f N, такая что (f ) = max. (7.2) N Мы будем предполагать также, что дифференцируем по Гато, то есть, (f ) = (f ) + tRe gd + o(t) C для любой допустимой вариации f = f + tg + o(t) в классе N. Здесь – конечная комплексная борелевская мера с компактным носителем.

Более того, мы предполагаем, что ядро (w f (z))1 локально интегри руемо относительно произведения мер dm d, где m – мера Лебега на плоскости, и 1 d A(w) = = C (w f (z)) почти всюду.

Следующее теорема содержит необходимые условия экстремума в терминах комплексной дилатации µ экстремального отображения f N, реализующего maxN.

Теорема 7.2. Пусть µ – комплексная характеристика экстре мального отображения f N. Тогда, при сформулированных выше усло виях на функционал, экстремальная функция f существует и удовле творяет уравнению Бельтрами A(f (z) fz (z) = k(z) fz (z) (7.3) |A(f (z)| для почти всех z C, где k(z) = (Q(z) 1)(Q(z) + 1)1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть µ - комплексная характеристика экстремального отображения f. Применим вариационную формулу (7.1) и вычислим соответствующую вариацию функционала:

(µ() ())f dm dz t = (f ) (f ) = = Re + o(t) 0, (f () f (z)) CC где dm = d d. Разделим обе части неравенства на t и затем выпол ним предельный переход при t 0. Меняя, по теореме Фубини порядок интегрирования, запишем необходимое условие экстремума в виде Re (µ() ())A(f ())f d d 0. (7.4) C Глава 7. Вариация квазиконформных отображений Из этого неравенства, в силу произвола в выборе функции M, сле дует, что комплексная характеристика µ экстремального отображения f, реализующего maxN (f ), одновременно доставляет экстремум функци оналу min Re ()A(f ())f d d M C на классе измеримых функций M. Таким образом, мы свели первона чальную экстремальную задачу на классе N квазиконформных отоб ражений к линейной экстремальной задаче на выпуклом классе M их комплексных характеристик. Из (7.4) следует, что комплексная характе ристика экстремального отображения имеет вид A(f (z) fz µ(z) = k(z) |A(f (z))| fz для почти всех z. Таким образом, экстремальная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (7.3). В следующем параграфе, для иллюстрации метода, мы дадим реше ние одной конкретной экстремальной задачи, непосредственно связанной с известной проблемой М.А. Лаврентьева об оценках произведения кон формных радиусов неналегающих областей.

7.3. Произведение конформных радиусов неналегающих об ластей Пусть µ – измеримая функция в комплексной плоскости C, удовле творяющая условиям: |µ| k 1 для почти всех z K(R, 1) = {z : R |z| 1}, и µ = 0 для почти всех z DR, где DR = {z : |z| R} и = {z : |z| 1}. Множество всех таких функций обозначим через MR,1.

Обозначим через w = f (z) гомеоморфное обобщенное решение урав нения Бельтрами wz = µ(z)wz, нормированное условиями: f (0) = a1, f () = a2. Это решение осуществляет Q = (1 + k)/(1 k) – квази конформное отображение расширенной комплексной плоскости на себя, причем в областях DR и отображение конформно. Изменяя µ, мы по лучим класс NR,1 (a1, a2 ;

Q) всех таких отображений.

Следуя Н.А. Лебедеву [258], обозначим через M(a1, a2 ) множество пар {f1 (z), f2 (z)} функций, конформно и однолистно отображающих еди ничный круг D на области Bl, al Bl, l = 1, 2, не имеющие общих точек, причем так, что fl (0) = al. Очевидно, если f NR,1 (a1, a2 ;

Q), Геометрическая и топологическая теория функций и отображений то {f (Rz), f (1/z)} M(a1, a2 ). Отметим, что в этом случае области Bl ограничены квазиконформными кривыми. Множество всех таких пар функций, когда f NR,1 (a1, a2 ;

Q), образуют подкласс класса M(a1, a2 ), который мы обозначим MR (a1, a2 ;

Q).

М.А. Лаврентьев [245] доказал, что если {f1 (z), f2 (z)} M(a1, a2 ), a1 =, a2 =, и функции fl (z), l = 1, 2, регулярны в круге D, то |f1 (0)| · |f2 (0)| |a2 a1 |2. (7.5) Знак равенства имеет место только для функций, отображающих круг D на полуплоскости, общая граница которых перпендикулярна отрезку, соединяющему точки a1 и a2, и делит его на две равные части. Задача об оценке произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей изучалась многими авторами (более подробно см. [258], с. 32).

Сформулированная теорема М.А. Лаврентьева содержит в себе, как частный случай, классическую теорему Кёбе об 1/4. Действительно, пусть f (z) – однолистная аналитическая функция из класса S. Предположим, что f (z) = w в единичном круге D. Тогда пара функций fk (z) = ± f (z) w, k = 1, 2, удовлетворяет всем условиям теоремы М.А. Лаврентьева. Так как f (0) |fk (0)| = =, 2 |w| 2 |w| то в силу (7.5), 4|w|.

4|w| Таким образом, если точка w не принадлежит множеству f (D), то |w| 1/4.

Мы вариационным методом доказываем теорему 7.3, которая, в част ности, содержит в себе упомянутую выше теорему М.А. Лаврентьева.

Теорема 7.3. В классе NR,1 (a, ;

Q) Q - квазиконформных отоб ражений f : C C, f (0) = a, f () =, конформных в круге DR и в области, справедливы точные оценки f (z) a 2k(k cos 1) Re {ei I(f )} Re ei lim ln R, (7.6) 1 k zf () z где Q k=, 0 2, Q+ Глава 7. Вариация квазиконформных отображений и под логарифмом понимается непрерывная ветвь, обращающаяся в нуль при z стремящемся к бесконечности. Знак равенства имеет ме сто только для функций вида i a + zR 2k(ke2 ) при |z| R, 1k i f (z) = a + z|z| 2k(ke2 ) при R |z| 1, (7.7) 1k a + z при |z| 1, где – произвольное комплексное число.

Непосредственно из этой теоремы следует, что если {f1 (z), f2 (z)} MR (a1, a2 ;

Q), al =, то RQ |a2 a1 |2 |f1 (0)| · |f2 (0)| R1/Q |a2 a1 |2. (7.8) Для доказательства теоремы нам потребуется следующая вариаци онная лемма.

Лемма. Пусть f NR,1 (a, ;

Q) и – произвольный элемент из MR.1. Тогда при всех достаточно малых значениях параметра t, t 0, классу NR,1 (a, ;

Q) принадлежит функция (f (z) a)f () dx dy f (z) = f (z) + t (µ() ()) + o(t), (7.9) (f () a)(f () f (z)) K(R,1) где o(t)/t 0 при t 0 равномерно на компактных множествах.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если µ и принадлежат MR,1, то, в силу выпуклости класса MR,1, и функция µ(z, t) = µ(z) + t((z) µ(z)) входит в класс MR,1 при всех 0 t 1. Обозначим через f (z) решение уравнения Бельтрами с коэффициентом µ(z, t), принадлежащее классу NR,1 (a, ;

Q). По теореме о дифференцируемости по параметру, см. [16], с. 95, 96, представим это решение в виде (7.9). Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 7.3. Существование экстремальных функций следует из компактности класса NR,1 (a, ;

Q) и непрерывности функционала. Пусть f - одна из них. Применяя вариационную формулу (7.9), вычислим вариацию функционала:

µ() () (Re {ei I(f )}) = ei Re f () dx dy.

(f () a) K(R,1) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Из условия максимума и произвола в выборе MR,1 следует, что ком плексная характеристика µ экстремального отображения имеет f (z) a fz Q µ(z) = kei ·, k= f (z) a fz Q+ для почти всех z K(R, 1). Отсюда обычным образом, с использованием леммы Вейля, заключаем, что функция g(z) = ei/2 ln(f (z) a) + kei/2 ln(f (z) a) является аналитической в кольце K(R, 1). Рассмотрим в комплексной плоскости C однозначную непрерывную функцию f (z) a h(z) = ln, zf () где под логарифмом понимается непрерывная ветвь, обращающаяся в нуль при z. Эта функция аналитична в областях DR и и является гармонической в кольце K(R, 1). Положим n z n h(z) = n= ви n z n h(z) = I(f ) + n= в DR. Тогда гармоническая в кольце K(R, 1) функция h(z) представима в виде n R2n R2n 1 n I(f ) zn + zn h(z) = + ln |z|.

1 R2n zn 1 R2n zn ln R n=1 n= Замечая связь между функциями h(z) и g(z) и учитывая аналитичность g(z), приходим к системе уравнений:

ei I(f ) + k(I(f ) + 2 ln R) = 0, kei n R2n = 0, n kei = 0.

n n Из первого уравнения следует, что в экстремальном случае 2k(r ei ) I(f ) = ln R.

1 k Глава 7. Вариация квазиконформных отображений Следовательно, 2k(k cos 1) Re ei I(f ) = ln R.

1 k Далее находим, что все n = n = 0. Отсюда определяем все экстремаль ные функции. Приведем некоторые утверждения, вытекающие из теоремы 7.3.

Следствие 7.3.1. Множество значений комплекснозначного функ ционала f (z) a I(f ) = lim, (7.10) z0 zf () определенного на классе NR,1 (a, ;

Q), где ветвь логарифма выбирается как и раньше, представляет собой замкнутый круг с центром в точ 2k2 2k ке 1k2 ln R и радиусом 1k2 ln R. Граничные функции определяются по формуле (7.7).

Следствие 7.3.2. В классе NR,1 (a, ;

Q) справедливы точные оцен ки |f (0)| R Q 1.

RQ1 (7.11) |f ()| Знак равенства имеет место только для функций вида (7.7) при = 0, в случае максимума и при =, в случае минимума.

Следствие 7.3.3. Если пара функций {f( z), f2 (z)} принадлежит классу MR (, a;

Q), то |f2 (0)| RQ RQ, (7.12) |f1 (0)| где f1 (0) = limz0 zf1 (z). Экстремальные функции имеют вид, f2 (z) = a + zR Q, f2 (z) = a + zRQ.

f1 (z) = a + (7.13) z Следствие 7.3.4. Если {f( z), f2 (z)} MR (a1, a2 ;

Q), то RQ |a2 a1 |2 |f1 (0)||f2 (0)| R Q |a2 a1 |. (7.14) Знак равенства имеет место только для функций f1 (z) = (a1 a2 z)/(1 z), f2 (z) = (a2 a1 z)/(1 z), Геометрическая и топологическая теория функций и отображений причем = R1/Q в случае максимума и = RQ - в случае минимума.

Неравенство (7.14) получается из (7.12), если заметить, что из при надлежности пары {f( z), f2 (z)} классу MR (a1, a2 ;

Q) следует, что 1 1, MR, ;

Q.

f1 (z) a1 f2 (z) a1 a2 a Осуществляя в (7.14) предельный переход при Q, приходим к оценке (7.5) М.А. Лаврентьева, справедливой для класса M(a1, a2 ).

Аналогичная задача в классе, состоящем из пар {f1, f2 }, соответ ственно, Q1 и Q2 квазиконформных гомеоморфизмов круга UR : |z| R, R 1, конформных в U1 и отображающих UR на взаимно неналегающие области, исследована в работе [232].

Следствие 7.3.5. Если f NR,1 (a, ;

Q), то 1 q f (z) a lim arg ln R, (7.15) zf () 2Q z где под аргументом понимается непрерывная ветвь, обращающаяся в нуль при z. Знак равенства имеет место только для функций вида (7.7) при = ±/2.

Отметим, что если пара функций {f1 (z), f2 (z)} принадлежит классу M(a1, a2 ), но не входит в класс MR (a1, a2 ;

Q), то существует последова тельность µn (z) MR,1, limn |µ(z)| = 1 для почти всех z K(R, 1) такая, что пара {fn (Rz), fn (1/z)} MR (a1, a2 ;

Qn ), fn (z) NR,1 (a1, a2 ;

Qn ), будет локально равномерно в круге D сходится к {f1 (z), f2 (z)}. Это поз воляет уже рассмотренным путем изучать свойства всего класса M(a1, a2 ).

7.4. Обобщенная система Коши–Римана В данном разделе, на примере исследования обобщенной системы Коши–Римана, мы рассмотрим приложение вариационного метода к до казательству теорем существования надлежащих решений и их представ ления через квазиконформные гомеоморфизмы, см. также [154, 155].

Пусть Q : C [1, ) – измеримая функция такая, что Q = esssupC Q конечна. Рассмотрим следующее эллиптическое дифференци альное уравнение в частных производных div(Q(z) U ) = 0. (7.16) Глава 7. Вариация квазиконформных отображений Это уравнение естественно возникает при исследовании различных фи зических полей в неоднородных средах.

Под слабым решением уравнения div(Q(z) U ) = 0 с особенностями в точках z1,..., zP и мы будем понимать вещественнозначную функ 1, цию U Wloc (C \ {z1,..., zP }), для которой существует сопряженная функция 1, V Wloc (C \ {z1,..., zP }) в том смысле, что U и V удовлетворяют обобщенной системе Коши– Римана Vx = QUy, Vy = QUx. (7.17) Если ввести в рассмотрение комплексный потенциал по формуле F (z) = U + iV, то система (7.17) эквивалентна следующему уравнению Бельтрами Fz = k(z)Fz. (7.18) с измеримой функцией k(z) = (Q(z) 1)(Q(z) + 1)1.

Теорема 7.4. Пусть Q : C [1, ) – измеримая функция, удовле творяющая условию Q. Тогда для всех x1,..., xP R суще ствует Q(z)-квазиконформный гомеоморфизм f : C C, сохраняющий точки 0, 1 и неподвижными, и такой что P U (z) + iV (z) = xn ln[f (z) f (zn )] n= представляет собой слабое решение системы (7.17) с логарифмически ми особенностями в точках z1,...zP и.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим следующую экстремальную задачу P (zn ) (zl ) max Re xn xl ln zn zl N n,l= на классе N квазиконформных отображений комплексной плоскости, введенного в рассмотрение ранее, полагая, для простоты, n =, n = 1,..., P. Из теоремы 7.2 следует, что экстремальная функция (z) суще ствует, принадлежит классу N и удовлетворяет уравнению P xn /((z) (zn )) n= z (z) = k(z) · z (z) (7.19) P xn /((z) (zn )) n= Геометрическая и топологическая теория функций и отображений P для почти всех z C \ { K(zn, ) R }. Легко проверить, что функ n= ция (z) (0) f,R (z) = (1) (0) также удовлетворяет уравнению (7.19) и принадлежит компактному клас су FQ(z), см., например, [407], c. 135, и теорему 12.2 настоящей книги, со стоящему из Q(z) - квазиконформных отображений комплексной плос кости, сохраняющих неподвижными точки 0, 1 и. А тогда существуют последовательности k 0 и Rk при k, такие, что fk,Rk (z) f (z) FQ(z) локально равномерно относительно z C. Поскольку соот ветствующие комплексные характеристики µfk,Rk µ(z) почти всюду, то предельная функция f, по теореме Берса - Боярского [53], [71], лемма 4.2, примененной к уравнению Бельтрами вида fz = µ(z)fz, удовлетво ряет уравнению (7.19) для почти всех z C. Остается заметить, что функция P F (z) = xn ln f (z) f (zn ) n= удовлетворяет локально уравнению (7.18) для z C \ {z1,..., zN }. Следо вательно, F (z) является требуемым слабым решением системы (7.17) с логарифмическими особенностями в точках z1,..., zP и. Теорема 7.4 вместе с результатами о локальном поведении квазикон формных отображений позволяет исследовать регулярность полученных выше фундаментальных решений обобщенной системы Коши–Римана.

Случай, когда P = 1, представляет особый интерес.

Теорема 7.5. Пусть Q : C [1, ) – измеримая функция, такая что норма Q = ess supC Q конечна. Тогда существует слабое ре шение уравнения (7.16) с логарифмическими особенностями в точках z1 C и, представимое в виде U (z) = log |f (z) f (z1 )|, где f : C C - Q(z)-квазиконформный гомеоморфизм, сохраняющий точки 0, 1 и неподвижными. При этом, если Q(z) аппроксимативно непрерывна в точке z0, то lim max U (z) min U (z) =0 (7.20) r0 |zz1 |=r |zz1 |=r Глава 7. Вариация квазиконформных отображений и U (z) log |z z1 | + C1 (7.21) Q(z1 ) в окрестности точки 0 для любого 0 1 и некоторой постоянной C1. Если, дополнительно, |Q(z) Q(z1 )| dx dy, (7.22) |z z1 | |zz1 | и |Q(1/z) Q()| dx dy, |z| |z| то существует конечные пределы lim U (z) ln |z z1 |, (7.23) Q(z1 ) zz lim U (z) ln |z|.

Q() z Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть g(z) = f (z + z1 ) f (z1 ), (w) = w|w|Q(z1 )1 и (z) = g(z). Так как g(z) gz (z) µg (z) = k(z + z1 ) · ·, g(z) gz (z) w µ (w) = k(z1 ) · w и µ (g(z)) gz (z) + µg (z) k(z1 ) k(z + z1 ) g(z) gz (z) gz (z) µ (z) = = · ·, 1 k(z1 ) g(z) gz (z) µg (z) gz (z) 1 + µ (g(z)) · gz (z) мы видим, что µ (z) аппроксимативно непрерывна при z = 0. В силу предложения 6.11, отображение является асимптотически однородным в точке z = 0. А это означает, что сохраняет инфинитезимальные окружности:

max |(z)| |z|=r lim =1 (7.24) r0 min |(z)| |z|=r Геометрическая и топологическая теория функций и отображений модули инфинитезимальных колец:

|(z)| lim = || (7.25) |z|0 |(z)| и углы между лучами, выходящими из начала:

lim[arg (z) arg (z)] = arg (7.26) z для каждого C = C \ {0}. И частности, соотношение (7.24) в терми нах U (z) читается следующим образом:

lim max U (z) min U (z) = r0 |zz1 |=r |zz1 |=r и мы получаем (7.20).

Далее, по теореме 4.2 из [162] отображение слабо липшицево в точке 0, то есть, |(z)| C|z| в окрестности 0 для любого 0 1 и некоторой постоянной C 0. Следовательно, решение U удовлетворяет неравенству U (z) log |z z1 | + C Q(z1 ) в окрестности точки 0 для любого 0 1 и некоторой постоянной C1.

Наконец, из (7.22) следует, что |µ (z)|dxdy.

|z| |z| По теореме Тейхмюллера–Виттиха–Белинского, см. §9.4, а также [270], с. 232, примененной к отображению g(z), следует, что существует конечный предел | g(z)| lim log = |z| z Q(z1 ) lim log |f (z) f (z1 )| log |z z1 |.

Q(z1 ) zz Случай, когда z =, исследуется аналогично.

Отметим, что если функция Q удовлетворяет более сильному усло вию Дини (r) dr, (r) = ess sup |Q(z) Q(zn )|, r |zzn |r Глава 7. Вариация квазиконформных отображений то соотношение (7.23) было доказано Шиффером и Шобером в рабо те [403]. Пример, который мы приводим ниже, показывает, что условие (7.22) слабее условия Дини.

Пусть zn = 0 и Q(z) = 1 + (|z|) для z = 0 и Q(0) = 1, где (r) = для r [1/n, 1/n + 1/n3 ], n = 1, 2,..., и (r) = 0 для остальных r 0.

Тогда (r) 1 и условие Дини не выполняется. Однако |Q(z) Q(0)| (r) dx dy = 2 dr |z|2 r |z| 2.

n n= Глава ТЕОРЕМА ПЛОЩАДЕЙ ДЛЯ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ С КВАЗИКОНФОРМНЫМ ПРОДОЛЖЕНИЕМ В главе 8, на основе принципа площадей и принципа Дирихле, вы водится коэффициентное неравенство для квазиконформных гомеомор физмов f (z) расширенной комплексной плоскости, конформных в обла сти |z| 1 и нормированных условиями f () =, f () = 1. Это нера венство содержит в себе, в качестве предельного случая классическую теорему площадей Гронуолла, а также неравенства площадей Н.А. Ле бедева [257], Гарабедяна и Шиффера [93], Педерсона и Шиффера [307] и И.Е. Базилевича [29].

8.1 Неравенство площадей Обозначим через Q класс Q – квазиконформных гомеоморфизмов f комплексной плоскости C таких, что их сужение на область |z| принадлежит классу.

Теорема 8.1. Пусть f Q и (w) – произвольная, отличная от постоянной однозначная аналитическая в области f (D) функция.

Пусть разложение функции F (z) = (f (z)) в ряд Лорана в некотором кольце 1 |z| имеет вид n n z n.

F (z) = n z + (8.1) n=1 n= Тогда справедливо неравенство площадей 2 n|n |2.

n|n | k (8.2) n=1 n= Глава 8. Теорема площадей в классе Q Знак равенства имеет место в том и только в том случае, если kei n z n, n=1 |z| 1, n (f (z)) n z = (8.3) i ke n n=1 n z, |z| 1, n= где 0 2.

Сформулированный в теореме 8.1 принцип площадей для функций класса Q первоначально был доказан нами в работе [123], а ее частный случай, когда (w) = w, в работе [268].

Заметим, что если в теореме 8.1 выполнить предельный переход при k 1, то получим теорему площадей Н.А. Лебедева [257]. Полагая (w) = w и выполняя предельный переход при k 1, получим клас сическое неравенство площадей Гронуолла. По поводу развития этой те матики см., например, работу [164].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через () площадь образа круга |z|, 1, при отображении квазирегулярной функцией F (z).

Тогда | (w)|2 dmw.

() = (8.4) f (|z|) По формуле Грина () = F (z)dF (z) 2i |z|= (n2n |n |2 n2n |n |2 ).

= (8.5) n= С другой стороны (|Fz (z)|2 |Fz (z)|2 ) dmz.

() = (8.6) |z| Если µ(z) – комплексная характеристика отображения f (z), то квазире гулярная функция F (z) удовлетворяет уравнению Бельтрами Fz = µ(z)Fz Геометрическая и топологическая теория функций и отображений почти всюду в круге |z| и соотношение (8.6) можно записать в виде 1 |µ(z)| (|Fz (z)|2 + |Fz (z)|2 ) dmz.

() = (8.7) 1 + |µ(z)| |z| Используя неравенство |µ(z)| k, справедливое для почти всех |z|, и принцип Дирихле, из (8.7) получаем, ср. [398], что 1 k2 1 k () D|z| [F ] D|z| [G]. (8.8) 1 + k2 1 + k Здесь D|z| [] – интеграл Дирихле функции в области |z|, а G – гармоническая функция в |z|, совпадающая на границе области с функцией F (z).

Очевидно, 2n n n z n G(z) = n z+ (8.9) n=1 n= и, следовательно, (|Gz (z)|2 + |Gz (z)|2 ) dmz D|z| [G] = |z| (n2n |n |2 + n2n |n |2 ).

= (8.10) n= Таким образом, мы приходим к неравенству 1 k n2n |n |2 n2n |n |2 (n2n |n |2 + n2n |n |2 ).

1 + k Неравенство (8.2) получается в результате предельного перехода при 1.

Если F (z) = G(z) в |z| 1 и имеет комплексную характеристику µ(z) такую, что |µ(z)| = k почти всюду в |z| 1, то во всех приведенных выше неравенствах будет иметь место знак равенства. В этом случае ана литическая в круге функция Gz /Gz для почти всех |z| 1 удовлетворяет условию |Gz /Gz | = k и, в силу принципа максимума модуля, Gz = kei Gz (8.11) для |z| 1. Из (8.11) следует соотношение (8.3).

Глава 8. Теорема площадей в классе Q 8.2. Приложения Выбирая надлежащим образом функцию (w), можно получить раз личные оценки в классе Q, связанные с геометрическими свойствами го меоморфизмов рассматриваемых классов. Ограничимся формулировкой лишь нескольких результатов, отметив при этом, что многочисленные другие приложения могут быть выведены из соображений, аналогичных тем, которые изложены, например, в работах [256, 258, 260, 289].

Рассмотрим регулярные в области || 1, |z| 1, функции F () F (z) m ()z m = n,m n z m, ln = z m=1 n,m= где F Q, и [F () F (z)]( + z) 2m1 ()z (2m1), ln =2 (8.12) [F () + F (z)]( z) m= где F принадлежит подклассу нечетных функций из Q. Здесь выбраны ветви логарифмов, которые обращаются в нуль при =.

Следствие 8.1.1. Пусть F () Q и xp, xp, p = 1, 2,..., - постоян ные такие, что 0 |xp |2 /p, 0 |xp |2 /p. Тогда p=1 p= |xp | q p,q xp k (8.13) p q=1 p=1 p= и 1 |xp |2 |x |2.

p,q xp xq k (8.14) qq p p,q=1 p=1 q= Неравенство (8.13) представляет собой аналог известного для класса неравенства Н.А. Лебедева (см. [256], с. 218, случай одной области), И.М. Милина [288], Поммеренке [310] и Дженкинса [171]. Это неравенство вытекает из теоремы 8.1, если положить 1 F (z) w dz xp z p (w) = ln, 1.

2i z z p= |z|= Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Из (8.13) и неравенства Коши получается неравенство (8.14). Если в неравенстве (8.14) положить xq = xq и k устремить к единице, то по лучим неравенство Грунского [115] для функций класса. Распростра нению неравенства Дженкинса на класс, состоящий из пар квазикон формных гомеоморфизмов круга UR : |z| R, R 1, конформных в круге |z| 1 и отображающих UR на взаимно неналегающие области, посвящена работа [142].

Опираясь на неравенство (8.14) и следуя работе Н.А. Лебедева [257], для функций класса Q можно вывести аналоги неравенств Гарабедяна и Шиффера [93], Педерсона и Шиффера [307] и И.Е. Базилевича [29].

Следствие 8.1.2. Пусть F () Q. Тогда при каждом = 0, 1,...

в области || 1 выполняется неравенство 2 ln[1 ()1 ] z m|m ()|2 k (). (8.15) z z= m= Следствие 8.1.3. Пусть F () Q. – нечетная функция Тогда при каждом = 0, 1,... в области || 1 выполняются неравенства z + k 2 ln z () 1)|2m1 ()| (2m, (8.16) 2 z m=1 z= k 2 ln 1() z () 2m|2m ()|2. (8.17) z 2 m=1 z= Заметим, например, что неравенство (8.15) следуют из (8.13) при надлежащем выборе постоянных xp, а также могут быть выведено непо средственно из теоремы 8.1 при F (z) w (w) = ln.

z z Аналогично, для вывода неравенства (8.16), при любом конечном z, |z| 1, выбирается функция w + F (z) (w) = ln, z w F (z) а для вывода (8.17) (w) = ln.

z (w F (z))(w + F (z)) Глава 8. Теорема площадей в классе Q Следствие 8.1.4. В классе Q для производной Шварца в любой точке || 1 справедливы точные оценки 6k |{F (), }|. (8.18) ||2 Следствие 8.1.5. Если F () Q, то в любой точке, || 1, || | ln F ()| k ln, (8.19) ||2 где под логарифмом понимается ветвь, которая обращается в нуль при =.

Последние две оценки следуют непосредственно из неравенства (8.15).

Следствие 8.1.6. Пусть f (z) – однолистная аналитическая функ ция класса S в единичном круге D с Q–квазиконформным продолжением на плоскость C. Тогда zf (z) f () 1 + |z| ln + ln k ln, (8.20) f (z) f () f (z) 1 |z| где выбраны ветви логарифмов, обращающиеся в нуль при z = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f ()f (z) (z) = f () f (z) принадлежит классу S, допускает Q–квазиконформное продолжение на плоскость и нормирована условием () =. Построим функцию F (z) =.

(1/z 2 ) Это нечетная функция класса Q и имеет место тождество z 2 (z 2 ) F () =.

2) (z F () Положив в разложении (8.12) z =, получим F () ln 2n1 (2n1).

= 2 (8.21) F () n= Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Применяя неравенство Коши и оценку (8.16) при = 0, из (8.21) получим 1/ F () ln 1)|2n1 ()| 2k (2n 2n 1||2(2n1) F () n=1 n= 1 + r k ln.

1 r Следовательно, z 2 f (z 2 ) 1 + r f () ln + ln k ln.

f (z 2 ) f () f (z 2 ) 1 r В частности, справедлива следующая теорема.

Теорема 8.2. В классе SQ (), состоящим из однолистных анали тических функций класса S в единичном круге D с Q–квазиконформным продолжением на плоскость C и нормировкой f () =, имеет место точная оценка zf (z) 1 + |z| ln k ln.

f (z) 1 |z| Отметим, что этот результат, имеющий важные приложения, был впервые установлен нами в 1972 году и опубликован в работе [123]. В частности, отсюда немедленно вытекает Следствие 8.1.7. В классе SQ () – радиус звездообразности r (Q) равен th 4k.

Глава ВРАЩЕНИЕ ПРИ КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ Глава 9 посвящена точному решению задачи вращения Джона из нели нейной теории упругости для произвольных билипшицевых отображений и их обобщений.

9.1. Задача вращения и класс BM O В 1961 году Джон [172], изучая взаимосвязи между напряжением и вращением внутри упругого тела, доказал, что если f : Q Rn осу ществляет (1+) – билипшицево отображение куба Q Rn объема m(Q), то f принадлежит классу BM O(Q) функций с ограниченным средним колебанием. Другими словами, существует универсальная постоянная D, такая что для данного куба и любого параллельного вложенного куба R |f (x) fR |dv D, m(R) R где fR обозначает интегральное среднее f по кубу R. Применив к ком понентам вектора f fR фундаментальную лемму о функциях класса BM O, доказанную совместно с Ниренбергом в работе [173], Джон пока зал, что для каждого M мера µ(M ) тех x из R, для которых |f (x)fR | M, удовлетворяет неравенству µ(M ) EeF M m(R) (9.1) с универсальными постоянными E и F. В качестве иллюстрации послед него результата, он установил следующую теорему вращения.

Теорема 9.1. Пусть f : C C – (1 + ) – билипшицево отобра жение комплексной плоскости, такое что z, если |z| b, f (z) = i ze, если |z| a b, Геометрическая и топологическая теория функций и отображений и [0, ]. Тогда O(1 + log(b/a)).

Для полноты рассуждений, приведем оригинальное доказательство теоремы.

Пусть R – квадрат |x1 | 2b, |x2 | 2b, z = x1 + ix2, и пусть fR обозначает интегральное среднее от f по квадрату R. Мы имеем f = for |z| b, f = ei для |z| a. Если q = max(|fR 1|, |fR ei |), то 1 q |ei 1|.

2 Положим M = q/. Тогда, либо внутри меньшего круга, либо в области R {|z| b}, выполняется неравенство |f fR | M. Следовательно, мера µ(M ) части R, где |f fR | M должна быть не меньше, чем min[(16 )b2, a2 ] = a2.

C другой стороны, в силу неравенства (9.1), µ(M ) EeF q/ 16 b2.

Отсюда следует, что b O(1 + log ). (9.2) a 9.2. Точное решение задачи вращения Джона Оценка (9.2) не является оптимальной. Оказывается, что точное ре шение задачи следует искать в классе квазиконформных отображений, который включает в себя билипшицевы отображения. Более того, такой подход ведет к точным интегральным оценкам вращения в терминах ло кальных коэффициентов искажения. Прежде чем привести формулиров ки результатов, напомним некоторые определения и обозначения.

Пусть G – область в комплексной плоскости C. Напомним, что со храняющий ориентацию гомеоморфизм f : G C называется Q–квази 1, конформным, Q 1, если f Wloc (G) и если ||f (z)||2 Q Jf (z) почти всюду в G.

Глава 9. Вращение при квазиконформных отображениях Здесь Jf (z) – якобиан отображения f (z) и ||f (z)|| = |fz (z)| + |fz (z)|. Для почти всех z G мы определим коэффициент искажения Kf (z) отобра жения f в точке z и комплексную характеристику µ(z) по формулам ||f (z)||2 fz (z) Kf (z) =, µ(z) =.

Jf (z) fz (z) Гомеоморфизм f : G C называется L–билипшицевым, если он удовле творяет следующему двойному неравенству |z z | |f (z) f (z )| L|z z | L для любых z, z G. Наименьшее из L 1, для которой это неравен ство имеет место, называется изометрическим коэффициентом искаже ния отображения f. Заметим, что каждое L–билипшицево отображение f является L2 –квазиконформным.

Точное решение задачи Джона выводится из следующего результата, установленного нами совместно с Мартио в работе [143].

Теорема 9.2. Пусть f представляет собой Q–квазиконформное отображение кругового кольца R(a, b) : a |z| b, с комплексной ди латацией µ(z) и такое, что f (z) = z для |z| = b и f (z) = zei для |z| = a. Тогда для любой непрерывной неубывающей выпуклой функции справедливы точные оценки dx dy dx dy (Kf (z)) (Kf (z)). (9.3) |z|2 |z| R(a,b) R(a,b) Экстремальное отображение f имеет вид ln(|z|/b) f (z) = zei ln(b/a).

Действительно, полагая в неравенстве (9.3) (u) = u, мы получаем, что || 1 Kf (z) || + 1+ dx dy. (9.4) 4 log2 (b/a) |z| 2 log(b/a) R(a,b) Оценка является точной и знак равенства реализуется для функции f (z). Поскольку, как уже было отмечено выше, L–билипшицево отоб ражение является одновременно L2 –квазиконформным, то мы приходим к точному неравенству в теореме Джона.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Теорема 9.3. [143]. Пусть f – L–билипшицево отображение кру гового кольца R(a, b) : a |z| b, такое, что f (z) = z для |z| = b и f (z) = zei для |z| = a. Тогда имеет место следующая точная оценка || (L 1/L) log(b/a).

В частности, если L = 1 +, то 2+ b || log.

1+ a 9.3. Интегральные оценки углового смещения Приведенные выше оценки углового смещения записаны либо в тер минах максимальной дилатации отображения, либо в терминах инте гральных средних, зависящих только от |µ(z)|. Следующий результат позволяет учитывать влияние аргумента комплексной дилатации µ(z) на вращение при квазиконформных отображениях, см. также [146].

Пусть µ(z) – произвольная измеримая функция в комплексной плос кости C, удовлетворяющая условию ||µ|| k 1. Положим |1 µ(z)/z| z Dµ (z) = 1 |µ(z)| и заметим, что если через f : C C обозначить квазиконформный гомеоморфизм с комплексной дилатацией µ(z), то почти всюду справед ливы соотношения | f (tei )|, z = tei, Dµ (z) = t2 Jf (tei ) и |t f (tei )| Dµ (z) =.

Jf (tei ) Теорема 9.4. Пусть f – квазиконформный автоморфизм круго вого кольца A(r, R) с комплексной дилатацией µ(z) и h : A(r, R) A(r, R) произвольный квазиконформный автоморфизм, сохраняющий Глава 9. Вращение при квазиконформных отображениях объемы. Тогда справедливо следующее неравенство |df h (rei ) df h (Rei )|d R 1 D (z)/2 log + dx dy. (9.5) |z| r A(r,R) Здесь через обозначена комплексная характеристика отображения f h.

Доказательство. Фиксируем в кольце A(r, R) радиальный сегмент (t) = tei, r t R, и сохраняющий объемы автоморфизм h : A(r, R) A(r, R) и заметим, что 1/ |dw| R 2 h () + log. (9.6) f |w| r f h Здесь f h () = |df h (Rei ) df h (rei )| угловое колебание отображения (z) = f (h(z)) в концевых точках сег мента (t). В силу неравенства Минковского 2 1/ R d 2 h () + log f r 2 2 2 f h () d + log(R/r) d. (9.7) 0 С другой стороны, R R 1/2 1/ D (tei ) · J (tei ) |t (tei )| |dw| = dt = dt |(tei )| |(tei )| |w| r r f h для почти всех [0, 2]. Здесь (z) обозначают комплексную характе ристику отображения (z). Обозначая |dw| = (), |w| f h Геометрическая и топологическая теория функций и отображений и применяя неравенство Шварца, мы получаем R R J (tei ) dt 2 i () D (te ) · t dt, |(tei )| t r r и, следовательно, R J (tei ) () t dt |(tei )| () r для почти всех [0, 2], где функция () определена формулой R dt D (tei ) () =.

t r Интегрируя обе части последнего неравенства по от 0 до 2 и применяя теорему Фубини, мы приходим к неравенству f h () J (z) d dx dy.

|(z)| () 0 A(r,R) Принимая во внимание тот факт, что h(A(r, R) = A(r, R) и отображе ние h сохраняет объемы, то есть якобиан Jh (z) = 1 для почти всех z A(r, R), мы видим, что J (z) Jf (z) du dv dx dy = dx dy = = 2 log(R/r). (9.8) |(z)|2 |f (z)|2 |w| A(r,R) A(r,R) A(r,R) Таким образом, () d 2 log(R/r), () и в силу неравенства Шварца 2 2 2 f h () () d d · ()d () 0 0 dx dy 2(log(R/r)) D (z).

|z| A(r,R) Глава 9. Вращение при квазиконформных отображениях Объединяя последнее неравенство с неравенствами (9.6) и (9.7), мы по лучаем 1 log(R/r) dxdy f h () d + log2 (R/r) D (z).

|z| 2 0 A(r,R) Отсюда, в силу элементарного неравенства a2 + b2 2ab, следует, что 1 1 D (z)/2 f h ()d log(R/r) + dx dy.

|z| 2 0 r|z|R Теорема доказана. Выбирая допустимый автоморфизм h надлежащим образом, можно получить различные следствия теоремы 9.4.

Следствие 9.4.1. Пусть f : A(r, R) A(r, R) – квазиконформный автоморфизм с комплексной характеристикой µ(z). Тогда df (h+ (rei )) df (Rei ) + log(R/r) d |µ(z)|2 Im (µ(z)/z) dxdy 1 z log(R/r) + ·, (9.9) 2 |z| 1 |µ(z)| r|z|R где h+ (z) = zei log(R/|z|).

Доказательство. Положим h(z) = h+ (z). Это отображение являет ся билипшицевым, сохраняет объемы, отображает кольцо A(r, R) на себя и тождественно на окружности |z| = R. Тогда f h+ () = |df (h+ (rei )) df (Rei ) + log(R/r)|.

Далее, вычисления h+ (z) = h+ (z)(1 i)/t, h+ (z) = h+ (z)(1 + i)/t, |h+ (z)| = t, t t Геометрическая и топологическая теория функций и отображений показывают, что | t f (h+ (z))| D (z) = = Jf h+ (z) 2|fz (h+ ) + ifz (h+ )h+ /h+ | = 2Diµ (h+ (z)), = Jf (h+ ) где z = tei. Следовательно, Diµ (h+ (z)) 1 D (z)/2 1 dx dy = dx dy.

2 |z| 2 |z| A(r,R) A(r,R) Выполняя под знаком интеграла замену переменных по формуле z h+ (z), и принимая во внимание тот факт, что |h+ (z)| = |z| и Jh+ (z) = 1, мы получаем Diµ (h+ (z)) 1 1 Diµ (z) dxdy = dx dy = |z|2 |z| 2 A(r,R) A(r,R) |µ(z)|2 Im (µ(z)/z) dx dy 1 z = ·.

2 |z| 1 |µ(z)| r|z|R Теперь неравенство (9.5) принимает вид (9.9) и мы завершаем доказа тельство следствия 9.1. Следствие 9.4.2. Пусть f : A(r, R) A(r, R) – квазиконформный автоморфизм с комплексной характеристикой µ(z). Тогда df (Rei ) df (h (rei )) + log(R/r) d |µ(z)|2 + Im (µ(z)/z) dxdy 1 z log(R/r) + ·, (9.10) 2 |z| 1 |µ(z)| r|z|R где h (z) = zei log(R/|z|).

Глава 9. Вращение при квазиконформных отображениях Доказательство. Положим в теореме 9.2 h = h (z). Тогда f h () = |df (Rei ) df (h (rei )) + log(R/r)|. Вычисления h (z) = h (z)(1 + i)/t, h (z) = h (z)(1 i)/t, |h (z)| = t, t t показывают, что | t f (h (z))| = 2Diµ (h (z)), D (z) = Jf h (z) где z = tei. Следовательно, Diµ (h (z)) 1 D (z)/2 1 dx dy = dx dy.

2 |z| 2 |z| A(r,R) A(r,R) Выполняя замену переменных под знаком интеграла по формуле z h (z), и принимая во внимание соотношения |h (z)| = |z| и Jh (z) = 1, мы получаем Diµ (h (z)) 1 1 Diµ (z) dx dy = dx dy = 2 |z| 2 |z| A A(r,R) |µ(z)|2 + Im (µ(z)/z) dx dy 1 z = · 2 |z| 1 |µ(z)| r|z|R и, тем самым, завершаем доказательство. В задаче Джона df (aei ) =, df (bei ) = 0 для всех 0 2 и мы приходим к следующим двусторонним оценкам вращения.

Следствие 9.4.3. Пусть f : C C – квазиконформное отобра жение комплексной плоскости с комплексной характеристикой µ(z), такое что z, если |z| b, f (z) = (9.10) zei, если |z| a b.


Тогда |µ|2 + Im (µ/z) dx dy |µ|2 Im (µ/z) dx dy 1 z 1 z · ·.

2 2 2 |z| 1 |µ| |z| 1 |µ| A(a,b) A(a,b) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Таким образом, |µ|2 ± Im (µ/z) dx dy 1 z || max ·.

2 |z| 1 |µ| A(a,b) Если еще заметить, что |µ|2 ± Im (µ/z) dx dy 1 z 1 |µ| dx dy · = 2 2 1 |µ| |z| 1 |µ| |z| A(a,b) A(a,b) 1 Kf (z) = dx dy, |z| A(a,b) тогда 1 Kf (z) || dx dy, |z| A(a,b) ср. с формулой (9.4).

Основные неравенства, доказанные в этом параграфе, не зависят от максимальной дилатации квазиконформных отображений и они остают 1, ся в силе для более общих гомеоморфизмов класса Соболева Wloc при надлежащих условиях на существование несобственных интегралов.

Теорема 9.4 допускает следующее обобщение, ср. [164].

Теорема 9.5. Пусть f : A(r, R) G представляет собой Q – квазиконформное отображение с комплексной характеристикой µ(z).

Если G содержит кольцо A(r(1 + ), R/(1 + )) и содержится в кольце A(r/(1 + ), R(1 + )), то для любого сохраняющего объемы квазикон формного автоморфизма h кольца A(r, R) справедливо неравенство |df h (rei ) df h (Rei )|d log(R/r)+ 1 D (z)/2 + dx dy + 2(1 + Q). (9.11) |z| A(r,R) Здесь обозначает комплексную характеристику отображения f h.

Глава 9. Вращение при квазиконформных отображениях Д о к а з а т е л ь с т в о. Повторяя рассуждения из доказательства теоремы 9.4, заметим что теперь неравенство (9.6) должно быть заменено неравенством 1/ |f (Rei )| |dw| 2 h () + log f |f (rei )| |w| f h f h ()d + 4 2 (log(R/r) 2)2, (9.12) поскольку A(r(1 + ), R/(1 + )) f (A(r, R)), и значит |f (Rei )| log2 (log(R/r) 2)2, |f (rei )| а соотношение (9.8) – неравенством J (z) Jf (z) dx dy = dx dy = |(z)|2 |f (z)| A(r,R) A(r,R) du dv = 2(log(R/r) + 2), |w| f (A(r,R)) так как f (A(r, R)) A(r/(1 + ), R(1 + )). После элементарных преоб разований мы получаем неравенство (9.11). Повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве следствий 9.1 и 9.2, приходим к следующему утверждению.

Следствие 9.4. В условиях теоремы 9.5 справедливы оценки df (h+ (rei )) df (Rei ) + log(R/r) d |µ(z)|2 Im (µ(z)/z) dx dy 1 z log(R/r) + · + 2(1 + Q), 2 |z| 1 |µ(z)| r|z|R Геометрическая и топологическая теория функций и отображений df (Rei ) df (h (rei )) + log(R/r) d |µ(z)|2 + Im (µ(z)/z) dx dy 1 z log(R/r) + · + 2(1 + Q), 2 |z| 1 |µ(z)| r|z|R где h± = ze±i log(R/|z|).

9.4. Конформная дифференцируемость Пусть f : G C – квазиконформное отображение с комплексной характеристикой µ и пусть z0 G. Хорошо известно, что свойства регу лярности отображения f в точке z0 тесно связаны с регулярностью µ(z) в окрестности этой точки. В данном разделе мы исследуем конформность отображения f в точке z0. Это означает, что комплексная производная f (z) f (z0 ) f (z0 ) = lim z z zz существует в точке z0 и f (z0 ) = 0. Не теряя общности, мы будем пред полагать, что z0 = 0 и отображение нормировано условием f (0) = 0.

Следующий результат, который принято называть теоремой о кон формной дифференцируемости Тейхмюйлера–Виттиха–Белинского, яв ляется классическим, см. [270], с. 248.

Теорема (TWB). Пусть f : D D, f (0) = 0, – квазиконформное отображение. Если |µ| dx dy, (9.13) |z| |z| то f (z) является конформным в точке z = 0.

Доказательство этой теоремы имеет долгую историю. Тейхмюйлер [373] в начале показал, что из условия (9.13) следует, что |f (z)| C|z| при z 0 для квазиконформных диффеоморфизмов f. Затем Вит тих [86] распространил этот результат на весь класс квазиконформных отображений. Наконец, П.П. Белинский [40, 48], см. также Лехто [262], доказал конформность отображения f (z) при условии (9.13). Позднее, Райх и Вальчак [322], а также Бракалова и Дженкинс [75] несколько Глава 9. Вращение при квазиконформных отображениях ослабили условие (9.13) для поведения |f (z)|. И лишь спустя почти по ловину века, удалось значительно ослабить условие (9.13) конформной дифференцируемости квазиконформных отображений.

9.5. Усиление теоремы Тейхмюллера–Виттиха–Белинского Начнем непосредственно с формулировки основного результата.

Теорема 9.6. (см. [144, 145]). Если |µ|2 dx dy · (9.14) 1 |µ|2 |z| |z| и если сингулярный интеграл µ dx dy · (9.15) 2 z 1 |µ| |z| существует в смысле главного значения по Коши, тогда отображение f (z) конформно в точке z = 0.

Нетрудно видеть, что для K–квазиконформных отображений, удо влетворяющих условию (9.14), второе условие (9.15) эквивалентно более простому условию существования интеграла µ lim dx dy. (9.16) z |z| С другой стороны, условие (9.14) теперь может быть заменено на экви валентное условие |µ| dx dy. (9.17) |z| |z| Простые рассуждения показывают, что условие (9.13) влечет одно временно сходимость интеграла (9.14) и сингулярного интеграла (9.15).

Обратное заключение не имеет места. Заметим, что одно условие (9.14) не гарантирует конформности отображения f (z). Билипшицево отобра жение f (z) = zei log log(e/|z|), z D, Геометрическая и топологическая теория функций и отображений которое, очевидно, не является конформным в точке 0, имеет комплекс ную характеристику 1 z µ(z) = (9.18) 1 + 2i log(e/|z|) z и эта µ удовлетворяет (9.14) и не удовлетворяет условию (9.15).

Теорема 9.7. Для каждой измеримой функции µ(z), ||µ|| 1, удовлетворяющей условию (9.14) в круге D, существует квазиконформ ное отображение f : D D, f (0) = 0, конформное в точке z = и такое, что комплексная характеристика µf этого отображения f удовлетворяет условию |µf (z)| = |µ(z)| (9.19) для почти всех z D.

Таким образом, теорема 9.6 содержит теорему Тейхмюллера–Виттиха– Белинского как частный случай. Недавно Бракалова распространила теорему 9.6 на класс µ - гомеоморфизмов, см. [73] и [74].

Замечание. Теорема 9.7 решает задачу Райха–Вальчака, рассмот ренную в главе 6, в случае комплексной характеристики, удовлетворяю щей условию (9.14).

Мы завершим данный раздел следующим результатом.

Теорема 9.8. Если |µ|2 dx dy · (9.20) 1 |µ|2 |z| |z| и если сингулярный интеграл µ dx dy Re · (9.21) 2 z 1 |µ| |z| существует в смысле главного значения по Коши, то существует пре дел |f (z)| lim = 0,.

z0 |z| Доказательства сформулированных теорем основаны на надлежа щих оценках искажения модулей колец при квазиконформных отобра жениях и оценках углового смещения, рассмотренных в предыдущем разделе. Заинтересованному читателю мы рекомендуем познакомиться с подробными доказательствами в оригинальной работе [164].

Глава ВАРИАЦИЯ ОДНОЛИСТНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Основная цель главы 10, познакомить читателя с “квазиконформ ной” версией доказательства фундаментальной вариационной теоремы Шиффера–Голузина, предложенной нами в 1980 году, см. [126]. Подход к построению вариаций, который мы изложим ниже, допускает далеко идущие обобщения и, в частности, применим к однолистным функциям, заданным в многосвязных областях и на римановых поверхностях.

10.1. Квазиконформные деформации Следующая вариационная лемма, которую мы используем при дока зательстве основного результата, имеет, на наш взгляд, и самостоятель ный интерес.

Лемма 10.1. Пусть – квазиконформный автоморфизм единично го круга D, конформный в окрестности начала координат, с комплекс ной характеристикой вида µ = tza(z) + o(z, t), где t - вещественный параметр, za(z) L и o(z, t)/t 0 при t 0, нормированный условиями (0) = 0, (1) = 1. Тогда представим в виде (z) = z 1 + t T a(z) t T a(1/) + i t + o(z, t), z (10.1) где T a(z) обозначает преобразование Коши на плоскости, 1 a()d d T a(z) =, = + i, z C 2 a() = Im d d || и o(z, t)/t 0 при t 0 равномерно на D.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Д о к а з а т е л ь с т в о. Продолжим (z) по симметрии во внешность круга D. Тогда (z), |z| 1, f (z) = (10.2) 1/(1/), |z| z представляет собой квазиконформный автоморфизм комплексной плос кости C, сохраняющий точки 0 и неподвижными. Вычисления пока зывают, что комплексная характеристика отображения f имеет вид µ(z), |z| 1, µf (z) = (10.3) z µ(1/), |z| z z и, следовательно, имеет компактный носитель. По теореме 1 из [223], с учетом того, что µf (z) = tza(z) + o(z, t), z D, и µf (z) = tza(1/)/2 + zz o(z, t) для |z| 1, где o(z, t)/t 0 при t 0 равномерно на компактных множествах, имеем z(z 1) a() a() f (z) = z t d d ( 1)( z) ( 1)(1 z ) || z a() d d z za() d d + o(z, t) = z t t + itz + o(z, t) z 1 z ||1 || = z + tz[T a(z) T a(1/) + i] + o(z, t). (10.4) z Здесь 2 a() = Im d d || и o(z, t)/t 0 при t 0 равномерно на D. Остается заметить, что f |D =. 10.2. Теорема Шиффера–Голузина Покажем, что фундаментальная вариационная теорема Шиффера – Голузина, см. [105], глава 3.4, может быть получена с применением техники квазиконформных отображений.

Глава 10. Вариация однолистных аналитических функций Теорема 10.1. Пусть f – однолистная аналитическая функция в единичном круге D, нормированная условиями f (0) = 0, f (0) 0.

Предположим, что F (z, t) = f (z) + t zf (z)p (z) + o(z, t), где o(z, t)/t 0 при t 0 локально равномерно в D, представляет собой однолистную аналитическую функцию в кольце R(r, 1) = {r |z| 1} при всех значениях параметра t, |t| t0. Пусть Gt означает объедине ние множества F (R(r, 1), t) с ограниченной компонентой множества C \ F (R(r, 1), t). Если f (z, t), f (0, t) = 0, f (0, t) 0, отображает D на Gt, то f (z, t) = f (z) + tzf (z) L(z) + S(1/) + i + o(z, t).

z Здесь L(z) и S(z) – правильная и главная части разложения функции p(z) в ряд Лорана в кольце r |z| 1, – подходящий вещественный параметр и o(z, t)/t 0 при t 0 локально равномерно в D.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При достаточно малых t функцию F можно продолжить до квазиконформного отображения круга D на Gt с комплексной характеристикой µ = 0 при r |z| 1 и |z| r0 r, и Fz µ(z, t) = = tzpz (z) + o(z, t) Fz для остальных точек круга D. В силу леммы 10.1, квазиконформный автоморфизм (z, t) круга D, сохраняющий точки 0 и 1 неподвижными, с той же самой комплексной характеристикой, имеет представление (10.1), где a(z) = pz (z). В силу обобщенной формулы Коши T p(z) = p (z) L(z) для z D и T p(z) = S(z) для z C \ D. Таким образом, (z, t) = z(1 + t(p (z) L(z) S(1/) + i )) + o(z, t).


z Следовательно, в силу теоремы единственности для квазиконформных отображений, f (z, t) = F 1 = f (z) + tzf (z)(L(z) + S(1/) + i ) + o(z, t), z где представляет собой инфинитезимальное вращение единичного кру га, обеспечивающее необходимую нормировку f (0, t) 0. Часть III Топологические аспекты теории квазиконформных отображений и их обобщений ВВЕДЕНИЕ И ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ В данной части рассматриваются топологические аспекты теории квазиконформных отображений и их обобщений – различные проблемы сходимости, компактности и замыкания – с приложениями к теории ва риационного метода, уравнениям математической физики и исследова ниям поведения отображений в точке. Все эти вопросы, как мы увидим, очень тесно взаимосвязаны между собой. Часть III написана на основе работ [151–161, 338–359].

Теорема существования и единственности для уравнения Бельтра ми, полученная Давидом [165] в 1988 году, придала сильнейший импульс дальнейшим исследованиям общих гемеоморфизмов плоскости. При этом ключевую роль играет известная лемма Геринга–Лехто–Меньшова о диф ференцируемости [16, 100, 270, 286]. Вопросы компактности классов Да вида начали изучаться в работе Тукиа [380].

Как мы уже отмечали ранее, аналитический подход к исследованию топологических отображений связан с изучением эллиптических систем уравнений. В этом отношении уникальное положение в геометрической теории дифференциальных уравнений занимает комплексное уравнение Бельтрами, которому удовлетворяет любой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм плоскости с обобщенными производными. Поэтому мно гие свойства квазиконформных отображений и их обобщений могут быть получены, исходя из теории дифференциальных уравнений.

В случае классических квазиконформных отображений мы имеем дело с равномерно эллиптическими системами дифференциальных урав нений. Находясь же в условиях теоремы существования Давида, мы стал киваемся с вырождением эллиптичности. При этом, вырождение может Часть III. Введение и обзор результатов наблюдаться сразу во всех окрестностях любой точки из области опре деления, а не только при подходе к границе. Специалистам по диффе ренциальным уравнениям известно с какого рода трудностями связано исследование таких систем.

Вопросы сходимости и компактности всегда занимали одно из цен тральных мест в теории квазиконформных отображений. Среди наибо лее известных результатов в этом направлении следует отметить теоре мы сходимости Штребеля и Берса–Боярского, а также теоремы компакт ности Шиффера–Шобера и Песина (см. [53, 71, 87, 210, 270, 309, 404, 409]).

Более подробный комментарий по этому поводу приводится ниже в срав нительном анализе.

Одним из важных приложений теорем компактности является тео рия вариационного метода. Дело в том, что в секвенциально компакт ных классах всегда гарантируется существование экстремальных отоб ражений для любых непрерывных, в том числе, нелинейных функциона лов. Иначе, как отмечалось в сравнительно недавно вышедшей моногра фии [226], вопрос о существовании экстремали становится чрезвычайно трудным. Поэтому масса интересных необходимых условий экстремума, которые могли быть использованы для доказательства теорем существо вания и представления решений различных уравнений, повисает в возду хе. Кроме того, как будет видно из дальнейшего, в компактных классах множества комплексных характеристик оказываются выпуклыми, что значительно облегчает построение вариаций и получение необходимых условий экстремума.

Вариационный метод исследования экстремальных задач для квази конформных отображений был впервые применен П.П. Белинским. Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах Шиффера, Шобера, Кюнау, С.Л. Крушкаля, и многих других (см., например, [41, 42, 44, 47, 48, 66–68, 124, 125, 151, 153, 216–219, 222–226, 239–241, 243, 244, 323–325, 402– 405, 407]).

Другим, довольно неожиданным, приложением теорем сходимости и компактности оказались исследования локального поведения квази конформных отображений. В связи с этим напомним, что различные вопросы дифференцируемости изучались в работах Альфорса, Берса, Геринга, Лехто, Тейхмюллера, Виттиха, Райха, Вальчака, Б.В. Боярско го, П.П. Белинского, Б.В. Шабата, Ю.Ю. Трохимчука и других авторов (см., напр. [17, 38, 40, 48, 71, 86, 100, 166, 167, 262, 266, 322, 373, 376, 377]).

Некоторые из относящихся сюда результатов приводятся позже в срав нительном анализе.

Таким образом, вырисовывается широкий круг взаимосвязанных во Геометрическая и топологическая теория функций и отображений просов:

1) теоремы сходимости, 2) теоремы компактности, 3) теоремы замыкания, 4) теория вариационного метода, 5) локальное поведение отображений.

При этом следует отметить, что теоремы сходимости служат базой для получения теорем компактности и замыкания, которые являются центральными результатами данной части книги. Следствия же к теории вариационного метода и исследованию локального поведения отображе ний демонстрируют широкие возможности приложений этих результа тов. Основные результаты перечислены в конце данного введения.

Часть III книги содержит 4 главы. В главе 11 собраны все теоре мы сходимости. Глава 12 посвящена изучению классов отображений с ограничениями теоретико-множественного типа. Она включает крите рий компактности, теорему замыкания и приложения к теории вариа ционного метода. Аналогична структура главы 13, в которой изучаются классы отображений с интегральными ограничениями на характеристи ки. Наконец, в главе 14 мы продолжаем исследование локального пове дение квазиконформных отображений, начатое в главе 6.

В части III также имеется 4 приложения, в которых сосредоточены большие блоки однородного вспомогательного материала.

Перейдем к обзору основных результатов.

В главе 11 изучается поведение дилатации и комплексной характе ристики при локально равномерной сходимости квазиконформных отоб ражений и их обобщений. Полученные в ней теоремы сходимости служат базой для решения проблем компактности в последующих двух главах.

Как известно, любой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм f :

D C класса ACL(D), заданный в области D комплексной плоскости C, удовлетворяет почти всюду (п.в.) в D уравнению Бельтрами fz = µ(z)fz, где µ : D C – некоторая измеримая функция с |µ(z)| 1, и, как обычно, fz = (fx + ify )/2, fz = (fx ify )/2, z = x + iy. Пола гая µ(z) = 0 при fz = fz = 0, мы устраняем связанную с этим случаем Часть III. Введение и обзор результатов неопределенность. Функцию µ(z) принято называть комплексной харак теристикой или просто характеристикой, а величину p(z) = (1 + |µ(z)|)/(1 |µ(z)|) – дилатацией или деформацией отображения f в точке z.

В §11.1 доказана теорема 11.1 о полунепрерывности в среднем ди латации общих гомеоморфизмов класса ACL. Именно, пусть f и fn :

D C, n = 1, 2,..., – сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы клас са ACL и пусть fn f при n локально равномерно. Тогда на любом открытом множестве D:

(p(z)) dx dy lim inf (pn (z)) dx dy n для любой неубывающей выпуклой функции : I R+, которая непре рывна в смысле R+ слева в точке Q = sup t (t) и (t) lim =.

t t Заметим, что если Q, то последнее условие выполняется авто матически. Кроме того, в условиях теоремы 11.1 на некотором полуот крытом интервале [1, Q) функция является обычной (конечной) непре рывной неубывающей выпуклой функцией, (Q) = (Q 0) и (t) при t Q.

В частности, как отмечено в следствии 11.1, если отклонения ди латации от единицы [pn (z) 1] принадлежат классу Орлича L () для некоторой N -функции равномерно относительно n = 1, 2,..., то от клонение [p(z) 1] принадлежит тому же классу Орлича.

Напомним, что функция : R R+ называется N функцией, если она строго возрастает на R+, выпукла, четна, удовлетворяет предыду щему выносному условию и (t) lim = 0.

t0 t Здесь мы доопределяем () =. Функция (z) : R принадлежит классу Орлича L (), если ((z)) dx dy M.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Тогда для любого 1:

p (z) dx dy lim inf p (z) dx dy, n n и для любого 0:

ep(z) dx dy lim inf epn (z) dx dy.

n Далее, пусть функция p0 (z) : D I = [1, ] локально суммируема и п.в.

pn (z) p0 (z), n = 1, 2,....

Тогда п.в.

p(z) lim sup pn (z).

n В частности, отсюда следует, что дилатация предельного отображения также локально суммируема.

Последнее неравенство хорошо известно в теории квазиконформных отображений. Оно было доказано Штребелем [409] в предположении, что п.в.

pn (z) K, n = 1, 2,....

Как видим, здесь неравенство Штребеля удается доказать для дилата ций с локально суммируемой мажорантой.

В параграфе 11.2 доказана теорема об области значений и множестве хорошей аппроксимации предельной комплексной характеристики для гомеоморфизмов класса ACL с локально суммируемой верхней границей дилатаций.

Сохраняющий ориентацию гомеоморфизм f : D C класса ACL, заданный в некоторой области D комплексной плоскости C, будем назы вать Q(z) - квазиконформным (Q(z)к.к.) отображением, если его ди латация p(z) Q(z) п.в., где Q(z) : C I = [1, ] – произвольная функция.

Отметим, что понятие Q(z)к.к. отображения, по-видимому, впер вые было введено в статье Шиффера и Шобера [403] для случая, когда Q(z) L, т.е. фактически для Qк.к. отображений, где Q = ||Q(z)||.

На экстремальные проблемы в классах подобного рода впервые обратил внимание еще Тейхмюллер (1939), а затем и Л.И. Волковыский. Первый Часть III. Введение и обзор результатов пример такой экстремальной проблемы был рассмотрен Кюнау. Подоб ные классы рассматривались также в работах С.Л. Крушкаля, Андриян– Казаку, М.С. Иоффе, Ренельта, Мак Ливи, Летинена и других (см., напр., [22,184,223,226,239–241,243,244,261,279,323,374,399,403–405,407]).

Перейдем к описанию области значений комплексной характеристи ки предельного отображения. Для этого на потребуются элементы вы пуклого анализа, связанные с понятием инвариантно–выпуклых мно жеств, которые можно найти в приложении А.

Пусть = { C : || 1} – единичный круг и G – группа всех дробно-линейных отображений на себя. Множество M из назовем инвариантно-выпуклым, если все множества g(M ), g G, являются вы пуклыми. Имеется простой геометрический критерий: замкнутое множе ство M из инвариантно-выпукло тогда и только тогда, когда вместе с каждой парой точек µ1, µ2 M этому множеству принадлежит и вся совокупность дуг [µ1, µ2 ](), || = 1. Здесь через [µ1, µ2 ]() обозначена дуга, соединяющая точки µ1 и µ2 внутри, той единственной окружно сти, которая проходит через тройку точек µ1, µ2 и.

Инвариантно-выпуклой оболочкой inv co M множества M из, M, будем называть минимальное по включению замкнутое инвариантно выпуклое множество, содержащее M. Согласно теореме А2:

inv co M = KM (), ||= где через KM () обозначен единственный опорный круг, касающийся в точке. Здесь замкнутый круг K из, касающийся, называет ся опорным к множеству M, если M K и K M =. Теорема А3 содержит еще одно описание inv co M в терминах так называемого дугового замыкания.

В силу предложения А1, см. приложение А, инвариантно-выпуклые множества являются строго выпуклыми множествами, т.е. их границы не могут содержать отрезков прямых. Таким образом, все граничные точки таких множеств являются крайними.

Граничную точку произвольного множества M, M, назовем инвариантно-крайней, если на некоторой опорной окружности KM (), || = 1, она является ближайшей из M к по или против часовой стрелки. Множество всех инвариантно-крайних точек M в дальнейшем обозначается через inv ext M.

Роль множества inv ext M определяется тем обстоятельством, что оно является минимальным по включению замкнутым подмножеством M, по которому еще восстанавливается inv со M (теорема А4). При этом Геометрическая и топологическая теория функций и отображений имеют место аналоги классических теорем Крейна–Мильмана и Кара теодори–Минковского (теоремы А5 и А6).

Следующий результат, сформулированный в теореме 2, является од ним из центральных в теории сходимости Q(z) – квазиконформных отоб ражений. Пусть fn : D C, n = 1, 2,..., – последовательность Q(z) – к.к. отображений с локально суммируемой Q(z) и fn f локально равномерно (л.р.), где f : D C – некоторый гомеоморфизм. Тогда f также является Q(z)к.к. отображением и (fn )z fz, (fn )z fz при n слабо в L1. Кроме того, для почти всех z E loc µ(z) inv co M (z) и µn (z) µ(z) по мере на множестве E0 := {z E : µ(z) inv ext M (z)}, где E – множество всех регуляторных точек отображения f и M (z) = Ls {µn (z)}.

n Здесь, как обычно, через Ls{µn (z)} обозначен верхний топологиче ский предел последовательности одноточечных множеств Mn (z) = {µn (z)}, т.е. множество всех точек накопления последовательности µn (z), n = 1, 2,..., (см. [229], с. 334). Условие регулярности в точке z означает, что f дифференцируемо в этой точке и якобиан J(z) = |fz |2 |fz |2 = (см. [270], с. 10).

Для сравнения, в работе [409] Штребель установил, что при локаль но равномерной сходимости Qк.к. отображений, когда Q(z) Q :

|µ(z)| lim sup |µn (z)| п.в.

n и на множестве E0 = {z : |µ(z)| = lim sup |µn (z)|} n можно выбрать подпоследовательность µn (z), которая сходится п.в. к µ(z).

Из нашей теоремы получится следующее усиление теоремы сходимо сти Штребеля: в условиях теоремы имеет место неравенство Штребеля и µn (z) µ(z) по мере на множестве E0.

В случае одноточечных множеств M (z) из нашей теоремы также следует обобщение известной теоремы сходимости Берса–Боярского (см., Часть III. Введение и обзор результатов напр., [53, 71, 270]): Если, в условиях нашей теоремы, µn (z) (z) п.в.

при n, то µ(z) = (z) п.в. на E.

Наша теорема позволяет проводить и более тонкий поточечный ана лиз: если µn (z) µ(z) при n на некотором измеримом множестве E E по норме Lp, 1 p, просто по мере или п.в., то µ(z) = (z) п.в. на E.

Аналогично [270] будем говорить, что fn хорошо аппроксимирует f на множестве E, если fn f л.р. и µn µ по мере на E. Здесь, как обычно, если mes E =, под сходимостью по мере на множестве E понимается таковая на любом подмножестве E E, mes E (см., например, [202], с. 57) Как видим из нашей теоремы, fn хорошо аппроксимирует f на мно жестве E0. Можно показать (см., например, [353]), что это – наиболее широкое множество, на котором гарантируется хорошая аппроксимация.

Наконец, в параграфе 11.3, в терминах преобразования Фурье ком плексных характеристик, найдены необходимые и достаточные условия сходимости нормированных гомеоморфизмов, верхняя граница дилата ций которых экспоненциально ограничена по мере.

Будем говорить, что измеримая функция Q(z) : C I = [1, ] экспоненциально ограничена по мере, если существуют постоянные T 1, 0 и c 0 такие, что для всех t T :

mes{z C : Q(z) t} cet.

Обозначим через H(Q(z)) множество всех Q(z)к.к. отображений f : C C с нормировками f (0) = 0, f (1) = 1 и f () =, а через M(Q(z)) – множество всех измеримых функций µ(z) : C C c 1 + |µ(z)| p(z) = Q(z) п.в.

1 |µ(z)| В сравнительно недавней работе (1988) Давид доказал теорему суще ствования и единственности нормированных указанным образом гомео морфных решений уравнений Бельтрами класса ACL с ограничениями на комплексные характеристики вида mes{z C : |µ(z)| 1 } c0 e для всех 0 ;

0 (0, 1], 0, c0 0. При этом, решение автомати 1,s чески принадлежит всем классам Соболева Wloc для любых s 2. Там же были установлены равностепенные непрерывность и локальная абсо лютная непрерывность совокупности всех таких гомеоморфизмов вместе с их обратными при фиксированных 0, и c0 (см. [165], с. 27, 55).

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Условие Давида может быть переписано в эквивалентной форме Ту киа mes{z C : p(z) t} cet для всех t T ;

T = 1 + 2/0 1, = /2 0, c = c0 e 0, где p(z) – дилатация, см. [380].

Таким образом, если верхняя граница дилатации Q(z) экспоненци ально ограничена по мере, то для каждой функции µ M(Q(z)) су ществует и единственно отображение fµ класса H(Q(z)) с комплексной характеристикой µ.

Если Q(z) экспоненциально ограничена по мере, то Q(z) локально интегрируема и потому к классу H(Q(z)) применима вся теория, разви тая в предыдущем параграфе. В частности, по нашей второй теореме схо димости, теореме Давида, а также известной теореме Арцела–Асколи по лучаем секвенциальную компактность класса H(Q(z)) относительно ло кально равномерной сходимости. Поэтому из нашего обобщения теоремы сходимости Берса–Боярского, см. выше, имеем: Если f и fn H(Q(z)), n = 1, 2,..., где Q(z) экспоненциально ограничена по мере, то для схо димости fn f л.р. достаточно выполнения любого из следующих усло вий:

1. µn µ п.в., 2. µn µ по мере, 3. µn µ в Lp, 1 p.

loc Как будет следовать из результатов двенадцатой главы, ни одно из этих условий не является необходимым. Более того, как будет явство вать из теоремы 12.1, необходимым условием не является даже слабая сходимость ни в одном из пространств Lp, 1 p (следствие 12.1).

loc Обозначим через B (C) – открытый единичный шар в простран стве L (C). Определим для любой функции µ B L2 нелинейное преобразование:

F (µ) = mµ + m (µ (mµ)) +..., где обозначает свертку функций, µ()eiRe z dd µ(z) = C – преобразование Фурье и m(z) = z/z L (C) – мультипликатор. Пусть функция Q(z) : C I = [1, ] экспоненциально ограничена по мере и пусть Ej, j J, – некоторое покрытие плоскости C по мере ограниченны ми измеримыми множествами, на каждом из которых Q(z) ограничена.

Часть III. Введение и обзор результатов Тогда для сходимости fn f л.р. в H(Q(z)) необходимо и достаточно, чтобы F (µn ) F (µ) слабо в L2 (C) для срезок комплексных характери стик µ и µn, n = 1, 2,..., на каждом из множеств Ej, j J, см. теорему 11.3.

Здесь под срезкой функции µ : C C на множестве E C пони мается функция µ = µE, где через E обозначена характеристическая функция множества E. Семейство множеств Ej, j J, называется по крытием плоскости C по мере, если mes C \ Ej = 0.

jJ В частности, если f и fn H(Q), Q, n = 1, 2,..., имеют носи тели комплексных характеристик µ и µn, n = 1, 2,..., сосредоточенные в некотором компакте K C, то для сходимости fn f л.р. необходимо и достаточно, чтобы F (µn ) F (µ) слабо в L2 (C).

Теорема 11.3 позволяет строить различные метрики, которые гене рируют локально равномерную сходимость нормированных Q(z)к.к.

отображений (следствие 11.11).

В главе 2 рассматриваются классы гомеоморфизмов с ограничения ми на комплексные характеристики теоретико-множественного типа.

В работах Тейхмюллера, Л.И. Волковыского, Шиффера, Шобера, Кюнау, С.Л. Крушкаля, Андриян-Казаку, Ренельта, Мак Ливи, Летине на, М.С. Иоффе и других авторов начались исследования классов Q(z) к.к. отображений, для которых µ(z) q(z) п.в., где q(z) = { C : || q(z)}, z C, q(z) = (Q(z) 1) / (Q(z) + 1), а также классов с дополнительными ограничениями вида:

F(µ(z), z) 0 п.в., где F(µ, z) : C C R (см., напр., [22, 223, 226, 239–241, 243, 244, 261, 279, 323,374,399,403–405,407]). Наконец, последняя из постановок Шиффера Шобера в [404] привела к рассмотрению классов с ограничениями общего теоретико–множественного вида:

µ(z) M (z) q(z) п.в.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Однако, все это развитие происходило, фактически, в рамках Qк.к.

отображений, поскольку предполагалось, что ess sup Q(z) = Q.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.