авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |

«Национальная академия наук Украины Институт прикладной математики и механики СЕРИЯ «ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ: МАТЕМАТИКА, ...»

-- [ Страница 5 ] --

Теорема существования и единственности Давида [165] позволяет продвинуться много дальше в указанном направлении. Именно, обозна чим MM класс всех измеримых функций, удовлетворяющих указанно му включению, где, вообще говоря, Q L. Через HM в дальнейшем / обозначается совокупность всех гомеоморфизмов плоскости f : C C класса ACL с комплексными характеристиками из MM и нормировками f (0) = 0, f (1) = 1, f () =.

В параграфе 12.1 доказана теорема 12.1 о замыкании классов HM в топологии локально равномерной сходимости: пусть функция Q(z) : C I = [1, ] экспоненциально ограничена по мере и M (z), z C, – про извольное семейство непустых замкнутых множеств из q(z), измеримое по параметру z, тогда HM = Hinv co M, где inv co M (z), z C, – семейство инвариантно-выпуклых оболочек множеств M (z), z C. При этом, класс Hinv co M является секвенци ально компактным.

Здесь условие измеримости семейства множеств M (z) по параметру z является существенным. Можно привести пример, когда для неизмери мого M (z) класс HM пуст, а класс Hinv co M не пуст. Если (z) : C R+ – какая-либо неизмеримая функция, (z) q 1, то в качестве примера можно взять семейство двуточечных множеств M (z) = {(z), (z)}, z C. Тoгда HM =, a Hinv co M =, поскольку содержит тождествен ное отображение.

В случае измеримого семейства множеств M (z) = п.в., по теореме об измеримых сечениях (теорема Б3), MM = и, следовательно, по теореме существования Давида HM = в условиях теоремы 12.1.

Семейство непустых замкнутых множеств плоскости M (z), z C, здесь называется измеримым по параметру z, если для любого замкну того множества M0 C измеримо по Лебегу множество точек E0 = {z C : M (z) M0 }.

Часть III. Введение и обзор результатов Указанное понятие восходит к работе Шоке [408].

Отметим, что понятие измеримого семейства множеств первоначаль но появилось в теории вероятностей и теории оптимального управления под названиями “случайное множество” и “измеримое многозначное отоб ражение”, соответственно (см., например, [169, 184, 194, 207, 231, 283, 305, 335, 362]). Здесь мы используем классический термин Бурбаки [77] “се мейство множеств”.

Теория измеримых семейств во многом аналогична теории измери мых функций. Основные моменты этой теории изложены в приложении Б. В частности, теорема Б1 содержит целый ряд критериев измеримости семейств.

Из теоремы 12.1 следует важное заключение: для любого 1 Q существует последовательность Qк.к. отображений fn : C C, которая сходится л.р. к Qк.к. отображению f : C C такая, что µn не сходится к µ слабо ни в одном из пространств Lp, 1 p.

loc Необходимые и достаточные условия компактности классов HM уста новлены в теореме 12.2. А именно, если функция Q(z) : C I = [1, ] экспоненциально ограничена по мере и семейство непустых замкнутых множеств M (z) q(z), z C, измеримо по параметру z, то следующие утверждения эквиваленты:

1) класс HM секвенциально компактен относительно локально равномерной сходимости;

2) множества M (z) инвариантно-выпуклы для п.в. z C.

При этом, условие 2) остается достаточным для компактности клас са HM и при отсутствии измеримости M (z) по z, как это видно непосред ственно из теоремы 11.2. Однако в этом случае данное условие перестает быть необходимым, как показывает пример, приведенный в предыдущем параграфе. В этом случае также нет гарантий непустоты класса.

Для сравнения, в упомянутой выше работе Шиффера и Шобера [404] были получены следующие достаточные условия компактности классов Qк.к. отображений:

1) F(µ, z) удовлетворяет условиям Каратеодори, т.е. непрерывна по µ при почти всех z и измерима по z при всех µ;

2) для почти всех z C множества M (z) = {µ C : F(µ, z) 0} являются q – выпуклыми, т.е. предоставляют собой пересечения за мкнутых кругов из q = { C : || q}, 0 q 1.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений В параграфе 12.3 приведены основные следствия для теории вари ационного метода на классах HM. В частности, доказан вариационный принцип максимума (теорема 12.3).

Обозначим через H множество всех гомеоморфизмов f : C C класса ACL с нормировками f (0) = 0, f (1) = 1 и f () =. Из теоремы 12.1 о замыкании классов HM получается следующий принцип редукции экстремальных задач из некомпактных классов в компактные: в услови ях теоремы 12.1 для любого непрерывного функционала : H R sup (f ) = max (f ).

f Hinv f HM co M В силу принципа редукции, мы можем ограничиться в дальнейшем рассмотрением экстремальных задач только на компактных классах HM.

Компактные классы обладают тем основным преимуществом, что в них всегда гарантируется существование экстремальных отображений для любых непрерывных, в том числе, нелинейных функционалов. По этому необходимые условия экстремума в таких классах могут быть ис пользованы для доказательства существования и представления реше ний различных дифференциальных уравнений, возникающих при этом.

Наоборот, в некоторых некомпактных классах необходимые условия экстремума относятся, вообще говоря, к пустому множеству отображе ний и они в значительной степени обесцениваются.

Кроме того, как показывает теорема 12.2, в компактных классах HM множество комплексных характеристик MM является выпуклым.

Последнее обстоятельство имеет исключительно важное значение для теории вариационного метода. Действительно, если µ и MM, то µ = µ + ( µ) также принадлежит MM при всех [0, 1].

Функционал : HM R называется дифференцируемым по Гато, если (f ) = (f ) + Re g d + o() C для любой вариации f = f + g + o() в классе HM, где = f – некото рая конечная борелевская комплексная мера с компактным носителем.

Для вариации f, соответствующей µ, 1 g() = ((z) µ(z)) (f (z), f ()) fz dx dy C Часть III. Введение и обзор результатов где 1 w w (w, w ) =.

(w w ) w w Далее говорим, что дифференцируем по Гато без вырождения на классе HM, если (w, f ()) локально интегрируемо для любого f HM относительно произведения мер dmw d(), где m – мера Лебега, и п.в.

A(w) = (w, f ()) d() = 0.

C В указанных терминах имеет место вариационный принцип макси мума, установленный в теореме 12.3. Пусть измеримое по z семейство непустых замкнутых инвариантно-выпуклых множеств M (z), z C, удовлетворяет включению M (z) q(z), q(z) = (Q(z) 1)/(Q(z) + 1), c Q(z) экспоненциально ограниченной по мере, а функционал : HM R дифференцируем по Гато без вырождения на HM. Если на отображении f HM достигается max по классу HM, то его комплексная характе ристика удовлетворяет включению µ(z) M (z) для п.в. z C.

Для формулировки других необходимых условий экстремума нам потребуется еще одно понятие. Именно, пусть µ MM. Тогда через µ (z) обозначим конус допустимых направлений для множества M (z) в точке µ(z), т.е. множество всех C, = 0, таких, что µ + M при всех [0, 0 ] для некоторого 0 0 (см., напр., [278], с. 12). Отметим, что для строго выпуклых множеств, каковыми являются инвариантно-выпуклые множества, конус допустимых направлений является открытым выпук лым конусом.

А тогда, в условиях теоремы 12.3, экстремаль f в задаче о max на классе HM удовлетворяет неравенствам:

Re B(z) для п.в. z C при всех из конуса допустимых направлений µ (z), где B(z) = A(f (z))fz.

Здесь A задано соотношением (III).

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Если дополнительно для п.в. z C граница M (z) регулярна, т.е. в каждой своей точке имеет касательную, то n(z)B(z) для п.в. z C, где n(z) – единичный вектор внутренней нормали к M (z) в точке µ(z).

В частности, если M (z) представляет собой семейство кругов:

M (z) = { C : | c(z)| k(z)} для некоторых измеримых функций c(z) и k(z), то c(z) µ(z) n(z) =, k(z) а тогда c(z) µ(z) B(z) =, k(z) |B(z)| т.е.

B(z) µ(z) = c(z) k(z).

|B(z)| Таким образом, в условиях теоремы 12.3, если M (z) – семейство кругов (III), то экстремаль задачи о max на классе HM существует и удовле творяет уравнению A(f (z)) fz = c(z)fz k(z) fz.

A(f (z)) При c(z) = 0 получаем уравнение A(f (z)) fz = k(z) fz.

A(f (z)) Отметим, что уже простейшее из подобных уравнений fz = k(z)f z эквивалентно обобщенной системе Коши–Римана vx = K(z) uy, vy = K(z) ux, Часть III. Введение и обзор результатов где f = u + iv, z = x + iy, K(z) = (1 + k(z))/(1 k(z)). Обобщенные решения (III) можно рассматривать как слабые решения уравнения div (K grad u) = 0, которое является основным уравнением стационарных тепловых пото ков, гидродинамики, магнито– и электростатики неоднородных сред.

Таким образом, при соответствующем выборе функционала и клас са HM из необходимых условий экстремума на компактных классах мож но получать теоремы существования и представления решений различ ных уравнений математической физики. Один из примеров такого их использования приводится в последней главе (предложение 14.3).

В главе 13 рассмотрены гомеоморфизмы класса ACL с ограничени ями на дилатацию интегрального типа.

Различные классы отображений, квазиконформных в среднем, изу чались в работах Альфорса, И.Н. Песина, Кюнау, С.Л. Крушкаля и дру гих авторов (см., напр., [13,66, 67,214–216, 219,226,227,286,287,309]). Од ним из основных достижений последнего времени в этой области стала уже упоминавшаяся нами теорема существования и единственности Да вида [165].

Действительно, в силу эквивалентности условий Давида и Тукиа, результаты Давида относятся, в частности, к отображениям, дилатации которых удовлетворяют интегральному ограничению:

(p(z))dx dy M C для функций 0 с экспоненциальным ростом на бесконечности:

(t) et, t T;

0, 0.

Отметим, что в гораздо более ранней работе И.Н. Песина [309] были сформулированы теоремы существования, равностепенной непрерывно сти и замкнутости классов с интегральными ограничениями вида:

1+ e[p(z)] dx dy M для любого 0. Там же было замечено, что для любого n = 1, 2,..., ограничения вида pn (z) dx dy M Геометрическая и топологическая теория функций и отображений не дают равностепенно непрерывных классов отображений (см. также [165]).

Незамкнутость классов Давида впервые была обнаружена в работе [315], см. также [380], c. 63.

Обозначим через H совокупность всех сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов f : C C класса ACL с нормировками f (0) = 0, f (1) = 1, f () =, и с интегральным ограничением на дилатацию p(z) вида:

(p(z)) dx dy 1, C где : I R+, I = [1, ], – произвольная функция.

Заметим, что если : I R+ – произвольная функция с () =, то для непустоты класса H необходимо и достаточно, чтобы inf (t) = 0.

tI В §13.1 доказана центральная теорема 13.1 о замыкании некомпакт ных классов H : Если : I R+ имеет экспоненциальный рост на, то в топологии локально равномерной сходимости H = H 0, где 0 : I R+ – нижняя огибающая функции. При этом, класс H является секвенциально компактным.

Под нижней огибающей функции здесь понимается функция 0 (t) = sup (t), t I, где – семейство всех непрерывных неубывающих выпуклых функций : I R+ таких, что (t) (t), t I. Нижняя огибающая функции : I R+ представляет собой наибольшую неубывающую выпуклую функцию 0 : I R+, которая непрерывна в смысле R+ слева в точке Q = sup t (t) и график которой лежит ниже графика. При этом, 0 (t) для t Q и 0 (t) при t Q.

В §13.2, в теореме 13.2, найдены необходимые и достаточные условия компактности классов H. Именно, если : I R+, I = [1, ], имеет Часть III. Введение и обзор результатов экспоненциальный рост на и inf = 0, то следующие утверждения эквивалентны:

1) H секвенциально компактен относительно локально равномер ной сходимости;

2) не убывает, выпукла и непрерывна в смысле R+ слева в точке Q из (III).

Если Q, то условие экспоненциального роста на выполнено автоматически и, таким образом, мы приходим к следующему заключе нию. Пусть : I R+ – произвольная функция с inf = 0 и Q.

Тогда для секвенциальной компактности класса H необходимо и доста точно, чтобы была непрерывной, неубывающей и выпуклой функцией на отрезке [1, Q]. Здесь непрерывность, по-прежнему, понимается в смысле R+.

Наконец, приведем наиболее интересный пример некомпактного клас са. Таковым является класс всех Qк.к. отображений с интегральным ограничением |µ(z)|dx dy 1.

C Действительно, в наших обозначениях это есть класс H с (t 1)/(t + 1), 1 t Q, (t) =, t Q.

Как легко видеть, функция (t) = (t 1)/(t + 1) не является выпуклой, поскольку (t) = 4/(t + 1)3 0. Таким образом, не выполнено одно из условий компактности.

В §13.3 собраны следствия для теории вариационного метода на классах H. Теорема 13.1 имеет следствием принцип редукции (след ствие 13.4), а теорема 13.2 – выпуклость множества комплексных харак теристик M в компактных классах H (следствие 13.5). Вариационный принцип максимума сформулирован в теореме 13.3. Пусть неубывающая, выпуклая функция : I R+, (1) = 0, (Q) = 0, имеет экспоненци альный рост на и функционал : H R дифференцируем по Гато без вырождения. Тогда для любого отображения f H, на котором до стигается max по классу H, дилатация p(z) удовлетворяет равенству:

(p(z))dx dy = 1.

C Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Более полно необходимые условия экстремума отражены в предло жении 13.5.

Глава 14 посвящена исследованию поведения квазиконформных отоб ражений в точке.

Различные вопросы дифференцируемости квазиконформных отоб ражений изучались в работах Лехто, Б.В. Боярского, Тейхмюллера, Вит тиха, Райха, Вальчака, П.П. Белинского, Ю.Ю. Трохимчука, Б.В Шаба та и других авторов (см., напр., [38, 40, 48, 71, 86, 88, 166, 167, 262, 266, 322, 371, 373, 376, 377]).

Напомним, что отображение f называется конформным в точке z0, если оно дифференцируемо в этой точке в смысле Дарбу–Штольца:

f (z) f (z0 ) = fz (z0 )(z z0 ) + fz (z0 )(z z0 ) + o(|z z0 |) и если fz (z0 ) = 0, a fz (z0 ) = 0.

Как показывает пример Шабата ( [48], c. 40) w = z(1 ln |z|), при непрерывной комплексной характеристике µ(z) отображение w = f (z) может быть недифференцируемым в этом смысле.

Как, по-видимому, впервые установлено П.П. Белинским, если µ непрерывна в точке z0, то w = f (z) дифференцируемо в следующем смысле (см. [48], с.41) w = A()[z + µ0 z + o()], где µ0 = µ(z0 ), = |z + µ0 z|, A() зависит только от и o()/ при 0.

Отметим, что здесь A() может не иметь определенного конечного предела при 0, но при этом, как мы покажем, обладает дополни тельным свойством A(t) lim = 0 A() для любого t 0.

Дифференцируемость отображений f в смысле (III) с дополнитель ным условием (III) в дальнейшем именуется как дифференцируемость по Белинскому. При этом, в случае отсутствия непрерывности µ(z), в соотношении (III) не обязательно µ0 = µ(z0 ). Если µ0 = 0, то говорим также, что f конформно по Белинскому в точке z0.

В параграфе 14.1, в теореме 14.1, найдены необходимые и достаточ ные условия конформности по Белинскому. Именно, пусть f : C C – Часть III. Введение и обзор результатов квазиконформное отображение с f (0) = 0. Тогда следующие утвержде ния эквивалентны:

1) f конформно по Белинскому в нуле;

2) для любого C при f ( ) lim =, 0 f ( ) 3) для любого 0 при |z | |z| и z, z C:

f (z ) z lim = 0, f (z) z z 4) для любого C при z C = C \ {0} f (z) lim =.

z0 f () При этом, последний предел является локально равномерным относи тельно.

В частности, при |z | = |z| из условия 3) получаем, что существует max |f (z)| |z|=r lim = 1, min |f (z)| r |z|=r т.е. что характеристика Лаврентьева p(0) = 1. В этом случае естествен но говорить, что отображение f конформно по Лаврентьеву в нуле. Как мы видим, из обычной конформности следует конформность по Белин скому, а из последней – конформность по Лаврентьеву, означающей гео метрически, что инфинитезимальный круг с центром в нуле переходит в инфинитезимальный круг.

Однако последнее условие теоремы 14.1 гораздо сильнее условия конформности по Лаврентьеву. Из (III) мы получаем также асимпто тическое сохранение углов между лучами, исходящими из начала в на правлении соответствующих точек:

lim[arg f (z) arg f (z)] = arg z и сохранение модулей инфинитезимальных колец |f (z)| lim = ||.

z0 |f (z)| Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Отметим, что последние два геометрических свойства являются харак теристическими для конформности по Белинскому.

Как показывают пример Б.В. Шабата и f (z) = zei ln |z|, при конформности по Белинскому, в отличии от обычной конформности, допускаются бесконечно большие растяжения и сжатия в точке, а также переход радиальных линий в бесконечно накручивающиеся спирали.

Из пункта 2) теоремы 14.1, в частности вытекает: если Qк.к. отоб ражение f : C C имеет комплексную характеристику µ(z), аппрокси мативно непрерывную в точке z0, то f дифференцируемо по Белинскому в этой точке с µ0 = µ(z0 ).

Напомним, что функция µ(z) аппроксимативно непрерывна в точке z0, если µ(z) µ(z0 ) при z z0 по некоторому измеримому множеству E, для которого z0 E является точкой плотности, т.е.

mes E D(z0 ;

) lim = 1, mes D(z0 ;

) где D(z0 ;

) = {z C : |z z0 | }. Как легко видеть, условие аппрок симативной непрерывности эквивалентно сходимости по мере µ (z) µ0 = µ(z0 ) при 0, где µ (z) = µ(z0 + z), 0.

Поэтому, в силу следствия 11.9, аппроксимативная непрерывность харак теристики является достаточным условием дифференцируемости отоб ражения по Белинскому.

Учитывая то обстоятельство, что для функций из L точки аппрок симативной непрерывности совпадают с точками Лебега, предыдущее следствие можно сформулировать и по другому: если Qк.к. отображе ние f имеет комплексную характеристику µ, удовлетворяющую условию lim |µ(z) µ(z0 )| dx dy = 0, r0 r |zz0 |r то f дифференцируема по Белинскому в точке z0 c µ0 = µ(z0 ).

Для сравнения, согласно известному результату Тейхмюллера–Виттиха– Белинского (см. [48, 86, 262, 373]), если µ удовлетворяет условию |µ(z) µ0 | dx dy, |z z0 | |zz0 |r Часть III. Введение и обзор результатов то f дифференцируемо в точке z0 по Дарбу–Штольцу и µ(z0 ) = µ0. От метим, что (III) эквивалентно условию |µ(z) µ0 | lim dx dy = 0.

|z z0 | r |zz0 |r Таким образом, последнее условие является достаточным условием обычной дифференцируемости квазиконформного отображения f с ха рактеристикой µ. Необходимые и достаточные условия такой дифферен цируемости не найдены до сих пор. Дальнейшие комментарии по этому поводу смотри в следующем параграфе.

Благодаря теореме 11.3, а также пункту 2) теоремы 14.1, мы можем здесь привести необходимые и достаточные условия дифференцируемо сти по Белинскому: для дифференцируемости по Белинскому Qк.к.

отображения f в точке z0 необходимо и достаточно, чтобы F (µ ) F (µ0 ) при 0 слабо в L2 (C), где µ0 не обязательно равно µ(z0 ).

Здесь через обозначена характеристическая функция единичного кру га = {z C : |z| 1}, µ (z) = µ(z0 + z), а нелинейное преобразование F задано в теореме 11.3.

В частности, отсюда имеем: для конформности по Белинскому Qк.к.

отображения f в точке z0 необходимо и достаточно, чтобы F (µ ) при 0 слабо в L2 (C).

В параграфе 14.2 положительно разрешен аналог проблемы Райха– Вальчака относительно конформности по Белинскому (теорема 14.2).

В силу теоремы единственности, дифференциальные свойства ква зиконформного отображения f в точке полностью определяются ком плексной характеристикой µ этого отображения в окрестности данной точки.

В работе [322] была высказана гипотеза, что, каков бы ни был модуль комплексной характеристики k(z) = |µ(z)|, всегда можно так подобрать ее аргумент arg µ(z), что соответствующее квазиконформное отображе ние f (z) будет конформным в любой наперед заданной точке плоско сти z0 C. В той же работе было дано частичное решение этой про блемы. Именно, Райх и Вальчак показали, что для любой измеримой функции (r) : (0, 1) [0, q], q 1, существует Qк.к. отображение (Q = (1 + q)/(1 q)) единичного круга на себя, которое конформно в ну ле и комплексная характеристика которого по модулю равна (|z|) п.в.

(см. также [270], с. 248–249).

Полное решение указанной проблемы до сих пор не найдено. Про блема естественным образом переформулируется для конформности по Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Белинскому. Поскольку при этом сохраняются многие геометрические свойства конформных отображений, перечисленные в предыдущем пара графе, следующую теорему можно также рассматривать как частичное решение и самой исходной проблемы Райха–Вальчака: если k(z) : C R – произвольная измеримая функция такая, что 0 k(z) q 1, и z0 C – произвольная точка плоскости, то существует Qк.к. отображе ние f : C C с комплексной характеристикой µ : C C, |µ(z)| = k(z) п.в., которое является конформным по Белинскому в точке z0.

Наконец, в параграфе 14.3 получена теорема 14.3, которая гласит:

если квазиконформное отображение f конформно по Белинскому в точке z0 C, где f (z0 ) =, то ln |f (z) f (z0 )| lim = 1.

ln |z z0 | zz В частности, если комплексная характеристика µ(z) квазиконформ ного отображения f (z) аппроксимативно непрерывна в точке z0 C, где f (z0 ) =, и µ(z0 ) = 0, то имеет место последнее соотношение.

На основе теоремы 14.3 доказывается, к примеру, теорема существо вания и представления решений с особенностями логарифмического типа для одного из основных уравнений математической физики (предложе ние 14.3).

Кроме того, часть III книги содержит несколько приложений. Их функциональное назначение различно. Если вспомогательный материал приложений А и Б используется при доказательстве основных резуль татов, то приложения В и Г предназначены для распространения этих результатов на более общие классы отображений.

В приложении А вкратце изложена теория инвариантно-выпуклых множеств, о которой уже шла речь перед формулировкой теоремы 11.2.

В приложении Б приводится теория так называемых измеримых се мейств множеств M (z). Автору третьей части монографии принадле жит только специальные результаты этой теории, связанные с теорией инвариантно-выпуклых множеств, такие как измеримость inv co M (z) и inv ext M (z).

В приложении В излагается теория абстрактных пространств со схо димостями, восходящая к Фреше (1906) и Урысону (1924). Основная часть этого приложения посвящена так называемому ядерному простран ству, состоящему из открытых множеств произвольного топологическо го пространства и наделенному сходимостью к ядру. При весьма об щих предположениях доказана секвенциальная компактность этого про Часть III. Введение и обзор результатов странства. В частности, доказана секвенциальная компактность ядерных пространств произвольных топологических многообразий.

В приложении Г введено понятие голоморфного оператора, кото рое позволяет переносить доказанные в диссертации теоремы на отоб ражения, внутренние по Стоилову. Главное внимание здесь уделено ана лизу поведения точек ветвления, а также радиусов листности и инъек тивности при локально равномерной сходимости отображений. Отметим также, что предыдущее приложение и известная теория униформиза ции позволяют переносить эти теоремы на отображения с переменными областями определения, которые заданы на произвольных римановых поверхностях.

Глава ТЕОРЕМЫ СХОДИМОСТИ Данная глава является базовой для всей третьей части книги. Имен но на основе теорем сходимости, полученных в ней, в последующих гла вах будут исследованы проблемы компактности различных классов ква зиконформных отображений и их обобщений.

В §11.1 доказан один из основных результатов данной части книги – теорема 11.1 о полунепрерывности дилатации гомеоморфизмов класса ACL. Главное следствие этой теоремы – обобщение неравенства Штребе ля на случай локально суммируемой верхней границы дилатации (след ствие 11.5).

На этой основе в §11.2 получена вторая теорема сходимости об об ласти значений и множестве хорошей аппроксимации предельной ком плексной характеристики для Q(z)квазиконформных отображений с локально суммируемой границей Q(z). В качестве следствий приведены усиления и распространения известных теорем сходимости Штребеля и Берса – Боярского на локально суммируемый случай (следствия 11.6– 11.8).

Наконец, в §11.3, в терминах преобразования Фурье комплексных характеристик найдены необходимые и достаточные условия сходимости нормированных Q(z)квазиконформных отображений плоскости в слу чае, когда Q(z) экспоненциально ограничена по мере (теорема 3). Наи более просто этот критерий формулируется для Qквазиконформных отображений, комплексные характеристики которых имеют компактный носитель (следствие 11.12). Приведены также достаточные условия ло кально равномерной сходимости отображений, которые сводятся к схо димости характеристик по мере (следствие 11.9). Построены различные метрики, генерирующие локально равномерную сходимость.

Глава 11. Теоремы сходимости 11.1. О полунепрерывности деформации гомеоморфизмов класса ACL Основной целью данного параграфа является доказательство полу непрерывности дилатации (теорема 11.1).

С этой целью в пункте 1 приведены общие свойства гомеоморфиз мов класса Соболева. В частности, сформулирована знаменитая лемма Геринга–Лехто–Меньшова. Здесь же доказаны утверждения о предель ном переходе (предложение 11.1) и эквивалентности гомеоморфизмов класса Соболева и класса ACL (предложение 11.2) при локальной сум мируемости дилатаций.

Основной результат – теорема о полунепрерывности в среднем дила тации гомеоморфизмов класса ACL – сформулирован в пункте 2. При водятся также следствия этой теоремы (следствия 11.1–11.5). Отметим, что последнее следствие распространяет известное неравенство Штребе ля из теории квазиконформных отображений на локально суммируемый случай. Это следствие лежит в основе дальнейших рассмотрений §§11.2– 11.3.

Пункт 3 содержит основную лемму (лемма 11.1) и следствия из нее (предложения 11.3, 11.4). В этих теоремах приводятся некоторые нера венства для комплексных характеристик и дилатаций, которые имеют место в любой точке дифференцируемости предельного отображения и, в силу леммы Геринга–Лехто–Меньшова, почти всюду.

Наконец, используя эти неравенства, в пункте 4 мы проводим дока зательство теоремы 11.1. При этом, основная идея доказательства бази руется на применении покрытий Витали.

1. О гомеоморфизмах класса Соболева. Пусть D – некоторая область комплексной плоскости C. Будем говорить, что гомеоморфизм 1, f : D C принадлежит классу Соболева, если f Wloc. Как известно, 1, функции f класса Wloc абсолютно непрерывны на линиях (f ACL), то есть на почти всех горизонтальных и вертикальных линиях f абсолютно непрерывны по x и y, соответственно. Такие функции f – имеют почти всюду обычные частные производные fx и fy, которые п.в. совпадают с их обобщенными производными (см., напр., [296], c. 41, [16], c.31).

Всякий сохраняющий ориентацию гомеоморфизм f, который п.в. об ладает частными производными, удовлетворяет уравнению Бельтрами:

fz = µ(z)fz, (11.1) где µ : D C – некоторая измеримая функция с |µ(z)| 1 п.в. (11.2) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений и, как обычно, fz = (fx + ify )/2, fz = (fx ify )/2, z = x + iy (см. [270], с.

10). Полагая µ(z) = 0 при fz = fz = 0, мы устраняем связанную с этим случаем неопределенность. Функцию µ(z) принято назвать комплексной характеристикой отображения f.

В силу леммы Геринга–Лехто–Меньшова (см., напр., [285] и [16], с.28) любой гомеоморфизм f, обладающий п.в. частными производными, яв ляется п.в. дифференцируемым в смысле Дарбу–Штольца:

f = fz z + fz z + o(|z|). (11.3) 1,p Отметим, что в случае отсутствия гомеоморфности f Wloc обладает п.в. дифференциалом, вообще говоря, только при p 2 (см. [71], теоре ма 1.3). Доказательство этого факта базируется на известном критерии Радамахера–Степанова о дифференцируемости функции п.в.

В точках дифференцируемости существуют производные по любому направлению :

f = fz + fz e2i. (11.4) Как легко видеть, max | f | = |fz | + |fz |, (11.5) [0,2) min | f | = |fz | |fz |. (11.6) [0,2) Поэтому величину 1 + |µ(z)| p(z) = (11.7) 1 |µ(z)| принято именовать дилатацией или деформацией отображения f в точке z (см. [48], c.7).

Точка дифференцируемости называется регулярной точкой отобра жения f, если его якобиан в этой точке отличен от нуля:

J(z) = |fz |2 |fz |2 = 0. (11.8) Как известно, необходимым и достаточным условием того, что гомеомор физм, обладающий хотя бы одной регулярной точкой, сохраняет ориен тацию, является положительность якобиана во всех регулярных точках ( [270], c. 10).

Нерегулярные точки могут быть трех видов. Если f недифференци руемо в точке z0, то эту точку мы будем называть нерегулярной точкой 1-го рода. Если же f дифференцируемо в точке z0, но |fz | = |fz | = 0, то точку z0 назовем нерегулярной точкой 2-го рода. Наконец, если f диф ференцируемо в точке z0 и |fz | = |fz | = 0, то z0 называется нерегулярной точкой 3-го рода.

Глава 11. Теоремы сходимости Во всякой регулярной точке z бесконечно малый эллипс с отноше нием полуосей (11.7) и углом 1 (z) = arg µ(z) + (11.9) 2 между большой его осью и действительной осью переходит в бесконечно малую окружность (при µ(z) = 0 полагаем для определенности (z) = ). Величины p(z) и (z) принято называть первой и, соответственно, второй характеристиками Лаврентьева, который в работе [246] впервые ввел для квазиконформных отображений термин “характеристики”.

Условимся считать соотношения (11.7) и (11.9) определяющими для p(z) и (z) и в нерегулярных точках дифференцируемости отображения f. Таким образом, если fz = fz = 0, то µ(z) = 0, p(z) = 1, (z) =. Если же |fz | = |fz | = 0, то |µ(z)| = 1 и p(z) =, соответственно. Итак, по определению значения величины p(z) лежат на отрезке I = [1, ] R+ = R+ {+}.

Отметим также, что гомеоморфизмы f класса Соболева могут не быть абсолютно непрерывными и потому J(z) dx dy S(f (B)), (11.10) B где равенство может не достигаться на некоторых борелевских множе 1, ствах B (см. [270], с. 137). Но это имеет место локально, если f Wloc ( [270], c.158).

Предложение 11.1. Пусть fn : D C, n = 1, 2,..., – сохраняю 1, щие ориентацию гомеоморфизмы класса Соболева Wloc и пусть fn f при n локально равномерно, где f : D C. Если неопределен ные интегралы их дилатаций pn (z) локально равностепенно абсолютно 1, непрерывны, то f Wloc и (fn )z fz, (fn )z fz при n слабо в L1. В частности, это выполнено, когда pn (z), n = 1, 2,..., имеют loc локально суммируемую мажоранту p0 (z).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обобщенные производные fz и fz единствен ны (см., напр., теорему 2.3.1 в [296]). В силу определения обобщенных производных и критерия слабой компактности в L1 (см., напр., след ствие IV.8.11 в [168]), достаточно показать, что неопределенные инте гралы функций (fn )z и (fn )z локально равностепенно абсолютно непре рывны. Пусть C – компакт в D и пусть U – открытое множество, такое, что C U и U D – компакт. Заметим, что п.в.

|(fn )z | |(fn )z | + |(fn )z | = p1/2 (z)Jn (z) 1/ (11.11) n Геометрическая и топологическая теория функций и отображений и по неравенству Шварца (см. [387], с. 161):

|(fn )z |dx dy pn (z)dx dy Jn (z)dx dy.

C C C Кроме того, в силу (11.10) lim sup Jn (z)dx dy S(f (U )).

n C Сопоставляя два последних неравенства, получим нужную оценку. Замечание 11.1. В частности, если неопределенные интегралы от (pn (z)) локально равностепенно абсолютно непрерывны для некоторой неубывающей выпуклой функции : I R+, const, то pn (z) также локально равностепенно абсолютно непрерывны.

Действительно, для такой функции при t T : t/(t) C (см. [78], с. 63, [213], с. 15). Поэтому, если на некотором измеримом множестве E, (pn (z))dx dy M, n = 1, 2,..., E то pn (z)dx dy C M + T mes E, n = 1, 2,....

E Предложение 11.2. Пусть f – сохраняющий ориентацию гомео морфизм класса ACL с локально суммируемой дилатацией p(z). Тогда f принадлежит классу Соболева.

Действительно, в силу неравенств (11.10), (11.11) и неравенства Швар ца 1/ |fz |dx dy S 1/2 (f ()) p(z) dx dy (11.12) для любого достаточно малого круга с центром в данной точке z0 D.

1, Следовательно, f Wloc (см. [296], с. 42).

Как уже отмечалось в начале этого пункта, верно и обратное заклю чение. Таким образом, в случае локальной суммируемости дилатации 1, гомеоморфизма, f ACL f Wloc.

Глава 11. Теоремы сходимости 2. О полунепрерывности дилатации. Функцию : I R+ бу дем называть выпуклой, если для любых t1, t2 I = [1, ], [0, 1], (t1 + (1 )t2 ) (t1 ) + (1 )(t2 ). (11.13) При этом, мы условимся в соответствии с теорией интеграла, что 0· = (см., напр., [360], с. 18).

Теорема 11.1. Пусть f и fn : D C, n = 1, 2,..., – сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы класса ACL и пусть fn f при n локально равномерно. Тогда на любом открытом множестве D:

(p(z)) dx dy lim inf (pn (z)) dx dy (11.14) n для любой неубывающей выпуклой функции : I R+, которая непре рывна в смысле R+ слева в точке Q = sup t (11.15) (t) и (t) lim =. (11.16) t t Отметим, что при Q условие (11.16) автоматически выполня ется. Кроме того, в силу (11.13), функция в условиях теоремы являет ся обычной (конечной) выпуклой функцией на полуоткрытом интервале [1, Q) и (t) при t Q.

Замечание 11.2. Выпуклая на [1, Q) функция (t) непрерывна на (1, Q) и (1 + o) (1) (см., [78], с. 60, 66). Таким образом, в усло виях теоремы, (t) непрерывна на [1, Q). Более того, она непрерывна в смысле R+ на отрезке [1, Q] и (t) при t Q.

Следствие 11.1. В частности, если отклонения деформации от единицы [pn (z) 1] принадлежит классу Орлича L () для некоторой N функции равномерно относительно n = 1, 2,..., то отклонение [p(z) 1] принадлежит тому же классу Орлича.

Напомним, что функция : R R+ называется N функцией, если она строго возрастает на R+, выпукла, четна, удовлетворяет (11.16) и (t) lim = 0. (11.17) t t Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Здесь мы доопределяем (+) = +. Функция (z) : R принад лежит классу Орлича L (), если ((z))dx dy M (11.18) (см. [213], с. 16–19, 76.) Следствие 11.2. Для любого 0:

ep(z) dx dy lim inf epn (z) dx dy. (11.19) n Следствие 11.3. Для любого 1:

p (z)dx dy lim inf p (z)dx dy. (11.20) n n Следствие 11.4. Пусть функция p0 (z) : C I такова, что p0 (z) 1 принадлежит некоторому классу Орлича L (). Если pn (z) p0 (z), n = 1, 2,..., то p(z) lim sup pn (z) п.в.

n Этот факт следует из (11.14) для (t) = (t 1), t I = [1, ]. Дей ствительно, по теореме Лебега о почленном интегрировании (см. [360], c.

50):

lim (pn (z))dx dy lim (pn (z)) dx dy n n E E и из (11.14) получаем (p(z))dx dy ( lim pn (z)) dx dy n E E для любого открытого подмножества E. По теореме о дифференци ровании неопределенного интеграла имеем (p(z)) lim pn (z) n для п.в. z (см. [360], c. 180). Отсюда приходим к заключению след ствия 11.4.

Глава 11. Теоремы сходимости Следствие 11.5. Пусть функция p0 (z) : C I локально суммиру ема и п.в.

pn (z) p0 (z), n = 1, 2,.... (11.21) Тогда p(z) lim sup pn (z) п.в. (11.22) n В частности, отсюда следует, что деформация предельного отображе ния также локально суммируема.

Последнее следствие получается из предыдущего, если учесть, что каждая суммируемая на каком-либо круге функция (z) принадлежит некоторому классу Орлича L () (см. [213], с. 76–77).

Неравенство (11.22) хорошо известно в теории квазиконформных отображений. Оно было доказано Штребелем [409] в предположении, что п.в.

pn (z) K, n = 1, 2,.... (11.23) Как видим, здесь неравенство Штребеля обобщается на деформации с локально суммируемой мажорантой.

3. Основная лемма. Доказательство теоремы 1 базируется на сле дующей лемме и следствиях из нее.

Лемма 11.1. В условиях теоремы 1 п.в.

p(z) lim lim pn ()d d, (11.24) h0 n h K(z;

h) где K(z;

h) – квадрат с центром в точке z и длиной стороны h, одна из сторон которого повернута под углом (z) – второй характеристики Лаврентьева отображения f в точке z. Неравенство (11.24) имеет ме сто по крайней мере во всeх точках дифференцируемости отображения f.

Предложение 11.3. В условиях и обозначениях леммы 1.1. п.в.

(p(z)) lim lim (pn (z))d d (11.25) h0 n h K(z;

h) для любой неубывающей выпуклой функции : I R+, которая непре рывна в смысле R+ слева в точке Q из (11.15).

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Предложение 11.4. Пусть в условиях и обозначениях предыдуще го предложения const и lim inf (pn ())d d = M (11.26) n на некотором открытом множестве D. Тогда функция p(z) п.в.

конечна на и p(z) Q для п.в. z.

В дальнейшем мы используем интегральное неравенство Иенсена для выпуклых функций : R R t d(t) (t)d(t), (11.27) где – произвольная вероятностная борелевская мера на R. Эта фор мула естественным образом распространяется на выпуклые функции :

R+ R+. Далее, если g(z) : C R+ – произвольная измеримая по Лебегу функция, а E C – измеримое множество с 0 mes E, то отсюда по известной теореме о замене переменной (см. [385], c. 161) получаем неравенство 1 g(z)dx dy (g(z))dx dy, (11.28) mes E mes E E E которое также принято называть интегральным неравенством Иенсена (см., напр., [213], c. 78).

Приведем также еще одну простенькую лемму, которая фактически является переформулировкой леммы Фату (см., [360], с. 50) для рядов.

Лемма 11.2. Пусть amn 0, m, n = 1, 2,..., – двойная последо вательность неотрицательных чисел. Тогда lim inf amn lim inf amn. (11.29) n n m=1 m= Если amn могут быть отрицательными, то для выполнения (11.29) достаточно дополнительно потребовать, чтобы |amn | bm, где bm.

Действительно, случай рядов редуцируется к интегральному случаю через ступенчатые функции m1 m m k 2k, n (t) = 2 amn, 2 t m = 1, 2,..., n = 1, 2,..., k=1 k= Глава 11. Теоремы сходимости заданные на отрезке [0, 1].

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 11.1. Итак, пусть во всех точ ках дифференцируемости (z;

dz) = fz dz + fz dz и n (z;

dz) = (fn )z dz + (fn )z dz, dz C. Обозначим через E множество всех точек дифференци руемости f, в которых |fz |+|fz | 0. Отметим, что p(z) = 1 и неравенство (11.24) автоматически выполняется, если fz = fz = 0.

По определению дифференциала, в каждой точке z E для любого 0 при h = (, z) и всех K(z;

h):

|f () f (z) (z;

z)| h и при n N = N (h):

|fn () f (z) (z;

z)| h, (11.30) т.е. fn () находится в прямоугольнике с центром в точке f (z) и длина ми сторон (|fz | + |fz | + 2) h и (|fz | |fz | + 2) h, соответственно. Таким образом, площадь образов квадратов fn (K(z;

h)) при n N не превы шает (|fz | + |fz | + 2) · (|fz | |fz | + 2) h2. В силу (11.10) отсюда имеем при h (, z) и n N (h):

Jn ()d d [J(z) + 4 (|fz | + )] h2. (11.31) K(z;

h) Обозначим через ln (v), h/2 v h/2, длину образа отрезка из квадрата K(z;

h) при отображении fn, заданного параметрически z + iei (u + iv), h/2 u h/2, где (z) – вторая характеристика Лаврен тьева для отображения f в точке z. Поскольку fn ACL, n = 1, 2,..., то для п.в. v [h/2, h/2] и всех n = 1, 2,..., h/ |n z + iei(z) (u + iv);

iei(z) | du.

ln (v) = h/ В силу (11.30) имеем оценку снизу:

ln (v) |(z;

i h ei(z) )| 2h = (|fz | + |fz | 2) h.

Интегрируя последнее неравенство по v, из теоремы Фубини (см., [360], c. 120), получаем:

(|fz | + |fz | 2) h2 |n ;

iei(z) |d d.

K(z;

h) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Если pn () п.в. конечна в квадрате K(z;

h) и суммируема на нем, то отсюда, в силу неравенства треугольника, соотношений (11.11) и (11.31), а также неравенства Шварца заключаем, что 1/ |fz | + |fz | 2 pn ()d d. (11.32) h {J(z) + 4(|fz | + )}1/2 K(z;

h) Если же интеграл справа бесконечен, то последнее неравенство стано вится очевидным.

Переходя в неравенстве (11.32) к пределу сначала по n, затем по h 0 и, наконец, по 0, приходим к неравенству (11.24). Д о к а з а т е л ь с т в о предложения 11.3. В силу замечания 11. из (11.24) имеем:

1 (p(z)) lim lim 2 pn ()d d.

h h0 n K(z;

h) Отсюда и из интегрального неравенства Иенсена (11.28) немедленно по лучаем (11.25). Д о к а з а т е л ь с т в о предложения 11.4. В силу предыдущего предложения при почти всех z для любого 0 и любого h = (, z):

M (p(z)) 2 +. (11.33) h Следовательно, p(z) Q для почти всех z. Если Q =, то (Q) =, поскольку const. Но тогда p(z) Q = п.в. Если Q, то тем более p(z) п.в. 4. Доказательство теоремы 11.1. Если правая часть в (11.14) бес конечна, то доказывать нечего. Поэтому в дальнейшем мы предполагаем (11.26).

1) При (Q) функция (p(z)) по предложению 11.4 локально суммируема в. Тогда по теореме о дифференцировании неопределен ного интеграла lim (p())d d = (p(z)) п.в.

h0 h K(z;

h) Глава 11. Теоремы сходимости (см. [360], c. 180) и по предложению 11.3 имеет место (11.25) для z E, где mes \ E = 0. Таким образом, в каждой точке z E для любого 0 при h = (, z) (pn ())d d + h2, (p())d d lim inf n K(z;

h) K(z;

h) где K(z;

h) из предложения 11.3. Система квадратов K(z;

h), z E, h min((z, )/ 2, (, z)), образует покрытие множества E в смысле Витали и по теореме Вита ли (см. [360], c. 167) можно выбрать не более чем счетную последова тельность непересекающихся квадратов Em = K(zm ;

hm ) из указанного покрытия такую,что mes(E \ Em ) = 0. По построению Em и, сле довательно, mes( \ Em ) = 0, mes = mes Em.

Из счетной аддитивности интеграла (см. [360], с. 49), а также леммы 11.2. применительно к amn = (pn ())d d, m, n = 1, 2,..., Em получаем (p())d d lim inf (pn ())d d + mes n и в силу произвола 0 приходим к (11.14) для ограниченных.

2) При (Q) = найдется монотонно возрастающая последователь ность tm (1, Q), m = 1, 2,..., такая, что tm Q при m и (t) дифференцируема в каждой точке tm, (tm ) 0 (см. [78], c. 61). Введем в рассмотрение вспомогательные функции (t), t tm, m (t) = (tm ) + (tm )(t tm ), t tm ;

и, (tm ), m ( ) = (m + m ), (tm );

где коэффициенты m = tm (tm )/ (tm ) m = 1/ (tm ) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений находятся из условия m + m [(tm ) + (tm )(t tm )] t и, таким образом, по построению:

m (m (t)) (t), m = 1, 2,.... (11.34) Как легко видеть, все функции m и m являются выпуклыми и неубы вающими (см. [78], c. 63) и в силу (11.16) m ( ) lim =. (11.35) Кроме того, последовательность m монотонно возрастает и стремится к при m поточечно.

Легко доказать суммируемость функций m (p (z)), m = 1, 2,..., для ограниченных. Действительно, в силу (11.26), (11.28) и (11.34) для любого E c mes E 0 можно считать, что для всех n = 1, 2,...

и M = M + :

1 M m m (pn ())d d. (11.36) mes E mes E E Если Q, то из (11.35) и (11.36) получаем, что m (pn ())d d Qm = (tm ) + (tm )(Q tm ) mes E E и по теореме о дифференцировании неопределенного интеграла m (pn (z)) Qm, m, n = 1, 2,..., для п.в. z. В силу предложения 11.3, таким образом, m (p (z)) Qm и суммируемость m (p(z)) становится очевид ной.

Если Q =, то в силу (11.35) и (11.36) m (pn ()) d d M 0, m ( ) E где = 1 (M / mes E) при mes E 0. Кроме того, m mes 1 (M / mes ).

m (pn ) L1 () m Глава 11. Теоремы сходимости Таким образом, последовательность m (pn ), n = 1, 2,..., слабо ком пактна в L1 () (см. [168], с. 317, 377). Поэтому можно считать, что m m L1 () слабо в L1 () при n. По предложению 11.3 и теореме о дифференцировании неопределенного интеграла m (p(z)) m (z) для п.в. z и, следовательно, m (p) L1 ().

Поэтому, в точности повторяя рассуждения первого пункта доказа тельства применительно к каждой из функций m, m = 1, 2,..., имеем:

m (p())d d lim inf m (pn ())d d.

n По теореме Лебега об интегрировании монотонной последовательности функций (см. [360], с. 48):

lim m (p ())d d = (p ())d d, m lim m (pn ())d d = (pn ())d d.

m Остается только заметить, что двойная последовательность чисел amn = m (pn ())d d монотонно возрастает по m и потому, см. лемму 11.2, lim lim amn lim lim amn. (11.37) m n n m Это приводит нас к соотношению (11.14) в случае ограниченных.

3) Наконец, устраивая исчерпание m = {z : |z| m}, m = 1, 2,..., и применяя неравенство (11.37) к другой двойной последова тельности amn = (pn ())d d = m ()(pn ()) d d, (11.38) m где m – характеристические функции множеств m, по упомянутой тео реме Лебега получаем (11.14) в общем случае. Геометрическая и топологическая теория функций и отображений 11.2. Об области значений предельной комплексной харак теристики.

Параграф содержит теорему 11.2 об области значений и множестве хорошей аппроксимации предельной комплексной характеристики для гомеоморфизмов класса ACL с локально суммируемой верхней границей дилатаций.

Пункт 1 включает формулировку теоремы и следствий из нее, кото рые усиливают и обобщают известные теоремы сходимости Штребеля и Берса–Боярского (следствия 11.6–11.8).

Пункт 2 содержит доказательство первой части теоремы 11.2 об об ласти значений.

В пункт 3 вошли так называемые основные леммы.

Наконец, в пункте 4 проведено доказательство второй части теоремы 11.2 о множестве хорошей аппроксимации.

1. Теоремы сходимости для Q(z)-квазиконформных отобра жений. Аналогично работе [403], сохраняющий ориентацию гомеомор физм класс ACL будем называть Q(z)квазиконформным (Q(z)к.к.) отображением, если его деформация p(z) Q(z) п.в., где Q(z) : C I = [1, ] – произвольная функция.

Теорема 11.2. Пусть fn : D C, n = 1, 2,..., – последователь ность Q(z)к.к. отображений с локально суммируемой Q(z) и fn f л.р., где f : D C – некоторый гомеоморфизм. Тогда f также являет ся Q(z)к.к. отображением и (fn )z fz, (fn )z fz при n слабо в L1. Кроме того, для почти всех z E loc µ(z) inv co M (z) (11.39) и µn (z) µ(z) по мере на E0 = {z E : µ(z) inv ext M (z)}, (11.40) где E – множество всех регулярных точек отображения f и M (z) = Ls {µn (z)}. (11.41) n Здесь, как обычно, через Ls{µn (z)} обозначен верхний топологиче ский предел одноточечных множеств {µn (z)}, т.е. множество всех точек накопления последовательности µn (z) (см. [229], c. 344).

В работе [409] Штребель установил, что при локально равномерной сходимости Q(z)к.к. отображений, когда Q(z) Q :

|µ(z)| lim sup |µn (z)| п.в. (11.42) n Глава 11. Теоремы сходимости и на множестве E0 = {z : |µ(z)| = lim sup |µn (z)|} (11.43) n можно выбрать подпоследовательность µn (z), которая сходится п.в. к µ(z).

Из теоремы 11.2 мы получаем обобщение теоремы сходимости Штре беля:

Следствие 11.6. В условиях теоремы 11.2 имеет место (11.42) и µn (z) µ(z) по мере на множестве E0.

В случае одноточечных множеств M (z) из теоремы 11.2 также по лучается обобщение теоремы сходимости Берса–Боярского (см., напр., [57, 71, 270]).

Следствие 11.7. Пусть в условиях теоремы 11.2 µn (z) (z) п.в.

при n. Тогда µn (z) = (z) п.в. на E.

Следствие 11.8. Пусть в условиях теоремы 11.2 µn (z) (z) при n на некотором измеримом множестве E E по норме Lp, 1 p, просто по мере или п.в. Тогда µ(z) = (z) п.в. на E.

Аналогично [270] будем говорить, что fn хорошо аппроксимирует f на множестве E, если fn f л.р. и µn µ по мере на E. Здесь, как обычно, если mes E =, под сходимостью по мере на множестве E понимается таковая на любом подмножестве E E c mes E (см., напр., [202], c. 57).

Как видим из теоремы 11.2, fn хорошо аппроксимирует f на множе стве E0. Можно показать (см., напр., [353]), что это – наиболее широкое множество, на котором гарантируется хорошая аппроксимация.

2. Доказательство первой части теоремы 11.2. Все утвержде ния теоремы за исключением утверждений о хорошей аппроксимации на множестве E0 доказываются легко.

Действительно, непосредственно по предложениям 11.1 и 11.2 и след ствию 11.5 f является Q(z)к.к. отображением и (fn )z fz и (fn )z fz слабо в L1. Остается доказать (11.39).

loc В силу следствия А2 п.в.

inv co M (z) = Km, (11.44) mN (z) где Km, m = 1, 2,..., – некоторая перенумерация всех замкнутых кру гов из, координаты центров и радиусы которых являются рациональ ными числами, а N (z) – множество всех натуральных чисел m = 1, 2,..., Геометрическая и топологическая теория функций и отображений для которых M (z) Km. Поэтому достаточно показать, что µ(z) Km при всех m N (z) для почти всех z E.

Пусть cm и km – центр и радиус круга Km в гиперболической метрике (см., напр., [316], с. 128–129). Тогда при помощи дробно-линейного отображения на себя µ cm m (µ) = (11.45) 1 µcm круг Km преобразуется в некоторый круг с центром в нуле. Евклидов радиус этого круга обозначим через rm.

Рассмотрим теперь аффинные преобразования плоскости:

zm () = cm, m = 1, 2,..., которые одновременно являются Qm квазиконформными отображени ями C на себя, где Qm = (1 + |cm |)/(1 |cm |).

(m) Пусть µ(m) и µn – комплексные характеристики отображений f (m) = (m) f zm и fn = fn zm, m, n = 1, 2,..., соответственно. Поскольку для (m) каждого фиксированного m = 1, 2,..., очевидно, что fn f (m) л.р.

при n, то по следствию 1. |µ(m) ()| lim |µ(m) ()| rm n n для всех E (m) \ e(m), где e(m) – некоторое подмножество нулевой меры множества E (m) = zm (Em ), a Em – множество всех точек z D, для которых M (z) Km.

Таким образом, при каждом m = 1, 2,..., |m (µ(z))| rm (11.46) для всех z E Em \ em, где em = zm (e(m) ) – множество нулевой меры (см. [16], c. 36). Пусть E = em. Тогда E – множество нулевой меры и для любого z E \ E неравенство (11.46) имеет место cразу при всех m N (z). Однако (11.46) эквивалентно при z E включению µ(z) Km и тем самым включение (11.39) доказано для почти всех z E.


Доказательство второй части теоремы 11.2 технически гораздо слож нее. Поэтому мы отнесем его в конец данного параграфа (пункт 5).

3. Основные леммы. Здесь мы приведем серию лемм, на которых будет базироваться доказательство второй части теоремы 11.2 о множе стве хорошей аппроксимации.

Глава 11. Теоремы сходимости Лемма 11.3. В условиях теоремы 11.2 для всех регулярных точек E отображения f выполняется неравенство (µ(z)) lim lim (µn ()) d d, (11.47) h0 n h K(z;

h) где ||2 Re () =, (11.48) 1 || а K(z;

h) – осепараллельный квадрат с центром в точкe z и длиной стороны h.

Замечание. Отметим, что здесь нельзя заменить выражение () на более простое ||2 Re. Имеется соответствующий контрпример.

Отметим также, что неравенство (11.47) равносильно неравенству |1 µ(z)|2 |1 µn ()| lim lim 2 d d, (11.49) 1 |µ(z)|2 h0 n h 1 |µn ()| K(z;

h) см. тождество (11.63) ниже в доказательстве леммы 11.3.

Наконец, заметим, что неравенство (11.49), а следовательно, и нера венство (11.47), очевидно в нерегулярных точках z отображения f тре тьего рода.

Лемма 11.4. В условиях теоремы 11. ((µ(z)))dx dy lim inf ((µn (z))) dx dy, (11.50) n E E где () : – произвольное дробно-линейное отображение единич ного круга на себя, E E – произвольное ограниченное измеримое множество.

Лемма 11.5. Пусть выполнены условия теоремы 11.2 и пусть E E – произвольное ограниченное измеримое множество, на кото ром Q(z) Q0. Тогда для функции из (11.48) (n (z)e(z) )dx dy 0, lim inf (11.51) n E где (z) : C R – произвольная измеримая функция, n (z) = (z, µn (z)) (11.52) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений и µ(z) (z, ) = (11.53) 1 µ(z) – семейство дробно-линейных отображений на себя, зависящее от z как от параметра.

Отсюда в качестве следствия получаем:

Предложение 11.5. Пусть в условиях и обозначениях леммы 1. E E, где E = {z D : N (z) K(z)}, (11.54) N (z) = Ls {n (z)}, (11.55) n 1 i(z) K(z) = C: e. (11.56) 2 Тогда (n (z)ei(z) ) dx dy = 0.

lim (11.57) n E В свою очередь, в силу ограниченности последовательности подын тегральных функций в (11.57), из предложения 11.5 имеем (см. [168], с.

316):

Предложение 11.6. В условиях теоремы 2 подынтегральные функ ции в (11.57) сходятся к нулю слабо в пространстве L1 (E).

Прежде чем переходить к другим следствиям, мы приведем еще одну лемму, которая, с учетом критерия слабой сходимости в L1 (E) (см. [168], с. 320) и критерия сходимости по мере (следствие BI), фактически яв ляется переформулировкой известной леммы из вещественного анализа (см., например, [271], с. 34):

Лемма 11.6. Пусть E C – произвольное измеримое множество и n, n = 1, 2,..., – последовательность вещественнозначных функ ций из L1 (E), которая сходится к функции слабо в L1 (E). Тогда п.в.

на E lim inf n (z) (z) lim sup n (z). (11.58) n n При этом, если на некотором измеримом множестве в (11.58) хотя бы с одной стороны достигается равенство, то на нем n по мере.

Отсюда и из предыдущего предложения немедленно получаем:

Глава 11. Теоремы сходимости Предложение 11.7. В условиях теоремы 11.2 и обозначениях лем мы 11. n (z) = |n (z)|2 Re n (z) ei (z) 0 (11.59) при n по мере на множестве E из предложения 11.5. В частно сти, найдется подпоследовательность nk (z) 0 п.в. на E.

Это основано на следующем простом наблюдении:

Замечание 11.3. Принадлежность z E равносильна неравен ству:

lim sup n (z) 0. (11.60) n Отметим также, что n 0 по норме Lp (E), 1 p, в силу следствия В2. Однако, в дальнейшем мы этого не используем.

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 11.3. Итак, пусть n (z;

dz) = (fn )z dz + (fn )z dz и (z;

dz) = fz dz + fz dz во всех точках дифференцируемости отображений f и fn, n = 1, 2,..., соответственно.

По определению дифференциала, в каждой точке z E для любого 0 при h = (, z) и всех K(z;

h):

|f () f (z) (z;

z)| h и, следовательно, при n N = N (h):

|fn () f (z) (z;

z)| h. (11.61) Последнее означает, что точка fn ()/h находится в окрестности парал лелограмма, являющегося образом квадрата K(z;

h) при аффинном (по переменной ) отображении (f (z) + (z;

z))/h. Отметим, что площадь указанного параллелограмма не зависит от h и равна якобиану J(z) отоб ражения f в точке z. Площадь его окрестности равна J(z) + (z;

), где – бесконечно малая величина по переменной. В силу неравенства (11.10) Jn ()d d (J(z) + (z;

)) h2. (11.62) K(z;

h) Обозначим через ln (u), h/2 u h/2, длину образа вертикально го отрезка из квадрата K(z;

h) при отображении fn, заданного парамет рически z + (u + iv), h/2 v h/2. Поскольку fn ACL, n = 1, 2,..., Геометрическая и топологическая теория функций и отображений то для почти всех u [h/2, h/2] и всех n = 1, 2,..., h/ ln (u) = |n (z + (u + iv);

i)| dv.

h/ В силу неравенства (11.61) имеем оценку этой длины снизу:

ln (u) {|(z;

i)| 2}h.

Интегрируя последнее неравенство по u, из теоремы Фубини (см. [360], c. 120), получаем:

|n (;

i)|d d {|fz fz | 2} h2.

K(z;

h) При 0 (z), z E, выражение справа положительно. Поэтому отсюда, используя неравенство (11.62), а также неравенство Шварца, для достаточно малых в любой фиксированной точке z E имеем:

(|fz fz | 2)2 |1 µn ()| 2 d d.

1 |µn ()| J(z) + (z;

) h K(z;

h) Переходя здесь к пределу по n, затем по h 0 и, наконец, по приходим к неравенству |1 µ(z)|2 |1 µn ()| lim lim 2 d d.

2 1 |µn ()| 1 |µ(z)| h0 n h K(z;

h) Поскольку |1 | = 1 + 2() (11.63) 1 || из последнего неравенства немедленно получаем (11.47). Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 11.4. Общий вид дробно-линейного отображения на себя:

i () = e, где C и R – произвольные (см., напр., [396], с. 197).

Глава 11. Теоремы сходимости Пусть w = A(z) = ei z + ei z – аффинные N к.к. отображе ния, где N = (1 + ||)/(1 ||), = /2. Далее, пусть g = f A1 и gn = fn A1, n = 1, 2,.... Как легко видеть, g и gn, n = 1, 2,..., являются B(w)к.к. отображениями с локально суммируемой B(w) = N Q (A1 (w)) и gn g л.р. При этом, их комплексные характеристики имеют следующий вид: = ((µ)) A1 и n = (n (µn )) A1, где и n – характеристические функции множеств E и En.

По лемме 11.3, примененной к последовательности gn, имеем ((w)) lim lim (n ()) d d h0 n h K(w;

h) для любой точки w A(E), где = + i. Отметим, что |((w))| B(w). Следовательно, по теореме о дифференцировании неопределенно го интеграла (см. [360], с. 180):

((w)) = lim (()) d d п.в.

h0 h K(w;

h) Таким образом, для почти всех w A(E) для любого 0 при h = (w, ) (n ()) d d + h2.

(())d d lim n K(w;

h) K(w;

h) В силу регулярности меры Лебега (см. [360], c. 108), E = A(E) мож но погрузить в открытое ограниченное множество c mes( \ E). Система квадратов K(w;

h), w E, h min((w, ), (w, )/ 2), образует покрытие множества E в смысле Витали и по теореме Витали (см. [360], c. 167) найдется не более чем счетная последовательность непе ресекающихся квадратов Em = K(wm ;

hm ) из указанной системы такая, что mes (E \ Em ) = 0.

Поскольку |(n (w))| B(w) L1, то по лемме 11.2, примененной loc к двойной последовательности amn = (n ())d d, m, n = 1, 2,..., Em а также в силу счетной аддитивности интеграла ( [360], c. 49) (()) d d lim (n ()) d d + mes + (), n E E Геометрическая и топологическая теория функций и отображений где () = 2 B()d d.

\E Ввиду абсолютной непрерывности интеграла, величина () является бесконечно малой. Поэтому в силу произвола 0 приходим к нера венству (()) d d lim inf (n ()) d d.

n E E Наконец, после обратной замены переменной = A(z) получаем (11.50).

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 11.5. Пусть µ(z) = (z)ei(z). Рас смотрим последовательность покрытий множества E непересекающими ся системами множеств:

Eml r = z E : (z) Tm, (z) Tm, (z) Tm, k k l r k, l, r = 0, ±1, ±2,..., m = 1, 2,..., где Tm = t R : l2m t (l + 1)2m l l = 0, ±1, ±2,... ;

m = 1, 2,... – последовательность сетей, покрываю щих R. Полагаем на каждом из множеств Eml r k m (z) = k2m, m (z) = l2m, (z) = r2m m и, соответственно, на всем E:

µ(m) (z) = m (z)eim (z), m = 1, 2,.... По построению |µ(m) (z)| |µ(z)| и, кроме того, |µ(m) (z) µ(z)| 2(m1), |m (z) (z)| 2m, т.е. µ(m) (z) µ(z) и m (z) (z) равномерно на множестве E.

Множество упорядоченных троек чисел (k, l, r), k, l, r = 0, ±1, ±2,..., счетно. Перенумеруем все такие тройки чисел рядом натураль p ных чисел p = 1, 2,..., и обозначим через Em, p, m = 1, 2,..., – соот ветствующие множества Eml r. По построению при каждом фиксирован k p ном m = 1, 2,..., множества Em, p = 1, 2,..., образуют дизъюнктное Глава 11. Теоремы сходимости p покрытие множества E. На каждом из множеств Em, p = 1, 2,... функ ции µ(m) (z) и m (z) являются постоянными. Применяя леммы 1.2 и 1.4, а также используя счетную аддитивность интеграла, имеем:

(m) (z)dx dy lim inf (m) n (z)dx dy, (11.64) n E E где (m) (z) = (m) (z)eim (z), n (z) = n (z)eim (z), (m) (m) µ(z) µ(m) (z) (m) (z) =, 1 µ(z)µ(m) (z) µn (z) µ(m) (z) (m) n (z) =.

1 µn (z)µ(m) (z) Применение леммы 11.2 здесь корректно, благодаря тому, что | (m) (z)| (m) и |n (z)| Q0 п.в. на E и mes E.

Функции i e и () бесконечно дифференцируемы по совокупности своих переменных и их производные равномерно ограничены для (,, ) k k R и k для любых k и k 1, где k = { C : || k}. Поэтому | (m) (z) 0 (z)| c 2m, |n (z) n (z)| c 2m, (m) где 0 (z) 0, n (z) = (n (z)ei ). Следовательно, из (11.64) следует (11.51). Д о к а з а т е л ь с т в о предложения 11.5. По теореме Лебега о почленном интегрировании (см. [360], c. 50) lim sup n (z)dx dy lim sup n (z)dx dy n n E E и по замечанию 11.3 имеем lim sup n (z)dx dy 0, n E Геометрическая и топологическая теория функций и отображений где n (z) = (n (z)ei(z) ). Сопоставляя последнее неравенство с (11.51), приходим к (11.57). 4. Доказательство второй части теоремы 11.2. Напомним, нам оставалось доказать, что µn µ по мере на множестве E0 из (11.40).


Последовательность множеств Em = {z E0 : |z| m, Q(z) m}, m = 1, 2,..., образует исчерпание множества E0 по мере, т.е. mes(E0 \ Em ) = 0. По этому в силу следствия В1 нам достаточно убедиться, что последователь ность функций µn (z) компактна относительно сходимости по мере и что функция µ(z) является единственной точкой накопления этой последо вательности на каждом из множеств Em, m = 1, 2,... (см. также [202], с. 63–64). Как видно из очевидного неравенства |µn (z) µ(z)| 2|n (z)|, для этого в свою очередь, достаточно показать, что последовательность функций n (z) из леммы 11.5 компактна относительно сходимости по ме ре и что тождественно нулевая функция 0 (z) 0 является единствен ной точкой накопления этой последовательности на каждом из множеств E = Em, m = 1, 2,....

По следствию Б3 семейство множеств N (z) = Ls{n (z)} является семейством непустых замкнутых множеств, измеримым по параметру z и 0 inv ext N (z) для z E0. Пусть K(z;

), z Em, C, || = 1 – семейство опорных кругов для N (z), z Em. Тогда по лемме Б H(z) := { : 0 K(z;

)}, z Em, (11.65) также представляет собой семейство непустых замкнутых множеств, из меримое по параметру z. По следствию Б5 при этом найдется измеримая функция (z) : Em R такая, что (z) = ei(z) H(z) или, что то же самое, N (z) K(z) п.в. на Em, где 1 i(z) K(z) = C: e.

2 Рассмотрим последовательность функций:

n (z) n (z) =, n = 1, 2,....

1 |n (z)| Поскольку |n (z)| m на Em, то n слабо компактна в L1 (Em ) (см. [168], с. 317). Поэтому без ограничения общности можно считать, что n при n слабо, где – некоторая функция из L1 (Em ).

Глава 11. Теоремы сходимости Из леммы 11.5 и предложения 11.5 получаем, что для любой изме римой функции (z) : Em R на любом измеримом множестве E Em Re n (z)[ei(z) ei(z) ] dx dy 0.

lim inf n E Следовательно, (p r p r ) dx dy 0, E где через p r обозначена проекция вектора на направление. В силу произвола E Em по теореме Лебега о дифференцировании неопреде ленного интеграла (см. [360], c. 180):

p r(z) (z) p r(z) (z) для п.в. z Em. В частности, полагая последовательно (z) l, где l, l = 1, 2,..., – некоторая перенумерация всех рациональных чисел, получаем равенство p r(z) (z) = max p r (z) (11.66) R п.в. на Em. Это означает, что п.в. на Em (z) = |(z)|ei(z). (11.67) С другой стороны, по предложению 11.7 из последовательности n можно выделить подпоследовательность nk, для которой nk = |nk | Re nk ei будет сходиться к нулю п.в. на Em. Последнее означает, что точки накопления этой подпоследовательности n (z) сосредоточены на окружностях 1 C(z) = C : ei(z) = (11.68) 2 для почти всех z Em.

+ 0 + Далее, Em = Em Em Em, где Em, Em и Em – измеримые дизъюнкт ные множества, определенные в следствии Б6 и отвечающие функциям 0 (z) 0, (z) = ei(z), z Em. При этом, nk может накапливаться только к 0 для z Em и только к одной дуге окружности C(z), распо ложенной внутри qm = { C : || qm }, qm = (m 1)/(m + 1), по + или против часовой стрелки от 0 на C(z), для z Em или Em, соответ ственно. Эти дуги лежат внутри острых углов с вершиной в нуле между Геометрическая и топологическая теория функций и отображений направлениями {(z)+ } и {(z)+arccos qm } при z Em, а также меж + ду {(z) } и {(z) arccos qm } при z Em, соответственно. Обратим внимание, что точки накопления nk (z) лежат внутри тех же углов.

По лемме 11.6, примененной к соответствующим последовательно стям k (z) = Re nk (z) и k (z) = Im nk (z), z Em, получаем, что 0 (z) = 0 п.в. на Em и, что nk (z) 0 по мере на Em. Аналогично, приме i(z) нив лемму 11.6 к последовательности Re nk (z) e, где (z) = (z) + i(z) + +arccos qm, получаем, что Re (z) e 0 п.в. на Em. Это совместимо + с (11.67) только при (z) = 0 п.в. на Em. Тогда, применив вторую часть леммы 11.6 к последовательностям функций K (z) = Re nk (z)ei(z) и k (z) = Im nk (z)ei(z) = Re nk (z)ei((z) 2 ), получаем, что nk (z) + по мере на Em.

Точно также это доказывается и для множества Em. Таким образом, nk 0 по мере на Em и тем самым теорема полностью доказана. Мы завершаем данный параграф следующим важным дополнением к теореме 11.1.

Предложение 11.8. В условиях теоремы 11. p(z)dx dy lim inf pn (z)dx dy n E E для любого ограниченного измеримого множества E D.

Д о к а з а т е л ь с т в о предложения 11.8. По условию теоремы 11. Q(z) локально суммируема. Поэтому по теореме о дифференцировании неопределенного интеграла (см. [360], c. 180):

lim p()d d = p(z) h h K(z;

h) и по лемме 11.1 имеет место неравенство (11.24) для z D \ E0, где mes E0 = 0. Таким образом для всех z D \ E0 для любого 0 при h = (, z):

pn ()d d + h2.

p()d d lim inf n K(z;

h) K(z;

h) В силу регулярности меры Лебега ограниченное измеримое множе ство E можно погрузить в ограниченное открытое множество D Глава 11. Теоремы сходимости такое, что mes \ E (см. [360], с. 108). Система квадратов K(z;

h), z \ E0, h = (, z) образует покрытие множества \ E0 в смысле Витали и по теореме Витали (см. [360], c. 167) можно выбрать не более чем счетную последовательность непересекающихся квадратов Em = K(zm ;

hm ) из указанного покрытия такую, что mes \ Em = 0.

Из счетной аддитивности интеграла, а также леммы 11.2, применен ной к amn = pn ()d d, m, n = 1, 2,..., Em получаем p()d d lim inf pn ()d d + mes.

n Следовательно, p()d d lim inf pn ()d d + mes + Q()d d.

n E E \E Наконец, в силу произвола 0 и абсолютной непрерывности интеграла приходим к заключению предложения 11.8. 11.3 Критерии сходимости квазиконформных отображений.

В данном параграфе найдены необходимые и достаточные условия сходимости нормированных гомеоморфизмов плоскости.

Пункт 1 содержит предложение 11.10 о секвенциальной компактно сти нормированных Q(z)квазиконформных отображений с экспоненци ально ограниченной по мере Q(z), следствие 11.9 о достаточных условиях сходимости, а также следствие 11.10, которое показывает эквивалент ность секвенциальной компактности, компактности (бикомпактности) и замкнутости классов таких отображений.

В пункте 2, в терминах преобразования Фурье комплексных харак теристик, сформулирован основной результат о необходимых и достаточ ных условиях локально равномерной сходимости нормированных Q(z)– квазиконформных отображений (теорема 11.3). Наиболее просто кри терий формулируется для Q(z)–квазиконформных отображений с ком пактным носителем (следствие 11.12). В тех же терминах здесь постро ены различные метрики, генерирующие локально равномерную сходи мость.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Пункты 3 и 4 включают в себя лемму сравнения и леммы о нормаль ных решениях уравнения Бельтрами (леммы 11.7–11.11).

Наконец, в пункте 5 приводится доказательство теоремы 11.3.

1. О пространствах нормированных гомеоморфизмов. В ра боте [165] Давид доказал теорему существования и единственности нор мированных гомеоморфных решений уравнения Бельтрами (11.1) класса ACL с ограничениями по мере на комплексные характеристики вида mes{z C : |µ(z)| 1 } c0 e (11.69) для всех 0 ;

0 (0, 1], 0, c0 0. При этом решение автоматиче 1,s ски принадлежит всем классам Соболева Wloc для любых s 2. Там же были установлены равностепенная непрерывность и локальная абсолют ная непрерывность совокупности всех таких гомеоморфизмов вместе с их обратными при фиксированных 0, и c0 (см. [165], с. 27, 55).

Соотношение (11.69) может быть переписано в эквивалентной фор ме:

mes{z C : p(z) t} cet (11.70) для всех t T ;

T = 1 + 2/0 1, = /2 0, c = c0 e 0, где p(z) = (1 + |µ(z)|)/(1 |µ(z)|) – дилатация.

Будем говорить, что измеримая функция Q(z) : C I = [1, ] экспоненциально ограничена по мере, если существуют постоянные T 1, 0 и c 0 такие, что для всех t T :

mes{z C : Q(z) t} c et. (11.71) Обозначим через H(Q(z)) множество всех Q(z)к.к. отображений f : C C с нормировками f (0) = 0, f (1) = 1 и f () =. Через M(Q(z)) в дальнейшем обозначается множество всех измеримых функ ций µ(z) : C C c p(z) = (1 + |µ(z)|)/(1 |µ(z)|) Q(z) п.в., (11.72) а через fµ – гомеоморфизм класса H(Q(z)) с комплексной характеристи кой µ.

Если Q(z) экспоненциально ограничена по мере, то Q(z) локально интегрируема и потому к классу H(Q(z)) применима вся теория, разви тая в предыдущем параграфе. В частности, по теореме 11.2 с привле чением результата Давида, а также на основе теоремы Арцела–Асколи (см., напр., [168], c. 289) получаем секвенциальную компактность клас са H(Q(z)) относительно локальной равномерной сходимости. Отметим, Глава 11. Теоремы сходимости (см. п. В1), что указанная сходимость на H(Q(z)) порождается метрикой 1 j (f, g) (f, g) =, (11.73) 2j 1 + j (f, g) j= где j, j = 1, 2,..., – псевдометрики:

j (f, g) = max |f (z) g(z)|. (11.74) |z|j Итак, мы имеем:

Предложение 11.9 Пусть функция Q(z) : C I = [1, ] экспо ненциально ограничена по мере. Тогда класс гомеоморфизмов H(Q(z)) является метризуемым секвенциально компактным L пространст вом относительно локальной равномерной сходимости.

Далее, в силу локальной абсолютной непрерывности прямых и об ратных гомеоморфизмов Давида, почти все точки плоскости являются регулярными точками отображений класса H(Q(z)) (см. [270], c. 137).

Поэтому из предложения 11.9, следствия 11.7 и аксиомы Урысона (см.

п. В1) немедленно получаем:

Следствие 11.9. Пусть f и fn H(Q(z)) с экспоненциально огра ниченной по мере Q(z). Тогда для сходимости fn f л.р. достаточно выполнения любого из следующих условий:

1. µn µ п.в.;

2. µn µ по мере;

3. µn µ в Lp, 1 p.

loc Как будет показано в главе 12, ни одно из этих условий не является необходимым для сходимости fn f л.р. Необходимое и достаточное условие такой сходимости носит гораздо более сложный характер и будет сформулировано в следующем пункте в виде теоремы 11.3 и следствий 11.11 и 11.12 из нее.

Предложение 11.9 имеет массу других интересных следствий. Для нас будет важным (см. [229], c. 227;

[230], c. 7–9;

[80], c. 129):

Следствие 11.10 Пусть H – произвольный подкласс H(Q(z)) с экспоненциально ограниченной по мере Q(z). Тогда следующее утвер ждения эквивалентны:

1. H замкнут;

2. H компактен (бикомпактен);

3. H секвенциально компактен.

Это следствие лишний раз подчеркивает роль теорем замыкания в проблеме компактификации классов Q(z)к.к. отображений, которые Геометрическая и топологическая теория функций и отображений будут излагаться в главе второй. Вообще в дальнейшем термины “за мыкание” и “компактификация” неразличимы по указанной причине. По той же причине для нас будут неразличимы термины “компактный” и “секвенциально компактный”.

Среди прочих следствий предложения 11.10 можно отметить, что пространство гомеоморфизмов H(Q(z)) полно, вполне ограничено, сепа рабельно и обладает счетной открытой базой (см. [230], c. 27 и [229], c.

227). Любое подпространство H H(Q(z)) также является сепарабель ным ( [229], c. 215).

2. Преобразование Фурье и сходимость квазиконформных отображений. Обозначим через B – открытый единичный шар в про странстве L (C) ограниченных измеримых функций : C C. Опре делим для любой µ B (C) L2 (C) нелинейное преобразование F (µ) = mµ + m(µ (mµ)) +..., (11.75) где через обозначена свертка функций, µ()eiRe z d d µ(z) = (11.76) C – преобразование Фурье и m(z) = z/z L (C) – мультипликатор, = + i. Более подробно о свертке и преобразовании Фурье смотри пункт 4.

Теорема 11.3. Пусть функция Q(z) : C I = [1, ] экспоненци ально ограничена по мере и пусть Ej, j J, – некоторое покрытие плос кости по мере ограниченными измеримыми множествами, на каждом из которых Q(z) ограничена.

Тогда для сходимости fn f л.р. в H(Q(z)) необходимо и доста точно, чтобы F (µ ) F (µ ) слабо в L2 (C) для срезок комплексных n характеристик µ и µn, n = 1, 2,..., на каждом множестве Ej, j J.

Здесь под срезкой функции µ : C C на множестве E C по нимается функция µ = µE, где через E обозначена характеристиче ская функция множества E. Семейство Ej, j J, называется покрытием плоскости C по мере, если mes C \ Ej = 0. (11.77) jJ При этом множество индексов J не предполагается, вообще говоря, счет ным.

Глава 11. Теоремы сходимости Замечание 11.5. Как будет видно из доказательства теоремы 3, из любого покрытия плоскости C по мере ограниченными измеримыми множествами Ej, j J, всегда можно выделить счетное подпокрытие Ek = Ejk, k = 1, 2,....

Это позволяет строить различные метрики в пространстве H(Q(z)).

Действительно, пусть l, l = 1, 2,..., – произвольное счетное фунда ментальное множество функций из пространства L2 (C) (см. [168], с. 63) и пусть, = (z)(z)dx dy (11.78) C – скалярное произведение в L (C). Тогда следующая метрика порождает на H(Q(z)) локально равномерную сходимость dk l (µ, ) 2(k+l) d(fµ, f ) =, (11.79) 1 + dk l (µ, ) k,l= где dk l – псевдометрики:

l, F (µ(k) ) F ( (k) ), dk l (µ, ) = (11.80) µ(k), (k), k = 1, 2,..., – срезки комплексных характеристик µ и на множествах Ek, k = 1, 2,....

В частности, если Q(z) экспоненциально ограничена по мере, то по следовательность E k = {z C : |z| k, Q(z) k}, k = 1, 2,..., дает нам счетное покрытие плоскости C по мере ограниченными измери мыми множествами, на каждом из которых функция Q(z) ограничена.

Пусть Pl, l = 1, 2,..., – некоторая перенумерация всех квадратов плос кости C со сторонами параллельными осям координат, координаты цен тров и длин сторон которых являются рациональными числами. Выби рая в качестве фундаментального множества функций l пространства L2 (C) множество характеристических функций l указанных квадратов Pl, получаем метрику (11.79) c F (µ(k) ) F ( (k) ) dx dy.

dkl = Pl Следствие 11.11. В условиях теоремы 3 для сходимости fn f л.р. в H(Q(z)) необходимо и достаточно, чтобы d(fn, f ) 0.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Наиболее просто теорема 11.3 формулируется для Qк.к. отображе ний в случае компактных носителей:

Следствие 11.12. Пусть f и fn H(Q), n = 1, 2,..., – Qк.к.

отображения с носителями комплексных характеристик µ и µn, n = 1, 2,..., сосредоточенными в некотором компакте K C. Тогда для сходимости fn f л.р. необходимо и достаточно, чтобы F (µn ) F (µ) слабо в L2 (C).

3. Одна лемма сравнения. При доказательстве теоремы 3 будет полезной:

Лемма 11.7. Пусть Q(z) : C I = [1, ] экспоненциально ограни чена по мере и пусть h и hn, g и gn, n = 1, 2,..., являются Q(z)к.к.

отображениями с комплексными характеристиками µ и µn, и n, n = 1, 2,..., соответственно. Если hn h и gn g л.р. и при этом µn (z) n (z) 0 по мере на некотором измеримом множестве E, то µ(z) = (z) п.в. на E.

Для доказательства, в свою очередь, потребуется:

Лемма 11.8. Пусть E C – произвольное измеримое множество, f и fn, n = 1, 2,..., – Qк.к. отображения и пусть fn f л.р. Тогда на множестве E = f (E) имеет место сходимость по мере характери стических функций En (w) 1, где En = fn (E). Другими словами, мера множества E\En стремится к нулю при n 0.

Лемму 11.8 можно рассматривать как обобщение известной теоремы о сходимости к ядру (см. [270], c. 79–80).

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 11.8. 1) Пусть сначала E – область.

Тогда по теореме о сходимости к ядру область E = f (E) является связной компонентой ядра последовательности областей En, En = fn (E), m=1 n=m и, в частности, любая точка w E принадлежит En для всех достаточно больших n, т.е. En (w) 1 поточечно на E.

2) Если E – произвольное открытое множество, то E распадает ся на не более чем счетное число связных компонент и, следовательно, En (w) 1 поточечно на E по предыдущему пункту.

3) Пусть теперь E C – произвольное измеримое множество с mes f (E). Тогда в силу регулярности меры Лебега (см. [360], с. 108) E = f (E) можно погрузить в открытое множество E0 C c mes E0 \E.

Глава 11. Теоремы сходимости Отсюда, в частности, имеем mes E0.

Введем сокращения записи n (w) = fn (E) (w) и 0 (w) = fn (E0 ) (w), n w C, n = 1, 2,..., где E0 = f 1 (E0 ). Ясно,что n 0 всюду. Из n неравенства треугольника для нормы L1 (E) получаем:

n 1 n 0 + 0 1.

n n Далее 0 n (0 (w) n (w))du dv = n n E = mes{[fn (E0 \ E)] E} mes fn (E0 \ E).

В силу известного результата о слабой сходимости якобианов Q-к.к.

отображений (см. [271], c. 15, [325], c. 38) имеем, что mes fn (E0 \ E) mes f (E0 \ E) = mes E0 \ E.

Таким образом lim sup 0 n. (11.81) n n С другой стороны, 0 1 0 1 0, где через 0 обозначена норма n n L1 (E0 ). По пункту 2) доказательства и по теореме Лебега о почленном интегрировании (см. [360], c. 50–51) 0 1 0 0. Тем более 0 1 0.

n n Отсюда и из неравенства (11.81) получаем, что lim sup n n и, в силу произвола 0, n 1 0. Поэтому n 1 по мере на E.

4) Случай, когда mes E =, сводится к предыдущему случаю, когда mes E (см. [202], с. 57–58).

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 11.7. Без ограничения общности можно считать, что ess sup Q(z) = Q0. (11.82) zE Действительно, утверждение леммы достаточно проверить на множе ствах Em = {z E : |z| m, Q(z) m}, m = 1, 2,..., поскольку mes E \ Em = 0 (см. [202], с. 63–64).

Пусть fn, n = 1, 2,..., – гомеоморфизмы класса H(Q(z)) с ком плексными характеристиками n (z) = µn (z)E (z), где E – характери стическая функция множества E. В силу секвенциальной компактности Геометрическая и топологическая теория функций и отображений класса H(Q(z)) можно считать, что fn f л.р. к некоторому гомео морфизму f того же класса. Обозначим через (z) комплексную харак теристику отображения f и покажем, что (z) = (z) = µ(z) п.в. на E.

Для определенности докажем первое равенство. Второе доказыва ется аналогично. Прежде всего отметим, что в силу (11.82), а также предложения 1.10, f и fn H(Q0 ), n = 1, 2,..., то есть f и fn являются Q0 к.к. отображениями, к которым применима лемма 11.8.

По лемме 11.8, без ограничения общности, можно считать, что En (w) 1 п.в. на E = f (E), En = fn (E), n = 1, 2,..., и что n (z) n (z) 0 п.в. на E (см. [202], c. 58). Первое утверждение означает, что для п.в. w E, начиная с некоторого N = N (w), En (w) = 1, т.е.

fn (w) E при n N. Далее, ввиду счетной аддитивности меры и тео ремы Егорова (см. [360], c. 35), можно считать, что множество E огра ничено и n (z) n (z) 0 равномерно на E.

Рассмотрим последовательность отображений n = gn fn g 1, f =. По теореме Ги Давида g и gn Wloc для любого 2 (см.

1, [165], с. 27, 55), а f 1 и fn Wloc для некоторого = (Q0 ) 2 (см., 1, напр., [270], c. 226). Следовательно, и n Wloc (см. [270], с. 159) и, таким образом, и n являются K(z)к.к. отображениями с локально суммируемой K(z) = Q0 · Q(z). Их комплексные характеристики имеют вид:

n (z) n (z) (fn )z n (w) = · fn (w), 1 n (z)n (z) (fn )z (z) (z) fz f 1 (w).

(w) = · 1 (z)(z) fz Таким образом, n (w) 0 п.в. на E. Но тогда по следствию 11.5 или 11. (w) = 0 п.в. на E, т.е.

{(z) (z)} f 1 (w) = п.в. на f (E). Следовательно, действительно (z) = (z) п.в. на E (см.

[16], с. 36). 4. Леммы о нормальных решениях уравнения Бельтрами.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.