авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 9 |

«Национальная академия наук Украины Институт прикладной математики и механики СЕРИЯ «ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ: МАТЕМАТИКА, ...»

-- [ Страница 6 ] --

Обозначим через T комплексное преобразование Гильберта, T : Lp (C) Lp (C), 1 () T (z) = d d, (11.83) ( z) C Глава 11. Теоремы сходимости а через cp – его норму в пространствах Lp (C), 1 p. Как известно, c2 = 1 и по теореме Рисса-Торина log cp является выпуклой функцией от 1/p, так что cp 1 при p 2 (см. [16], с. 102). Следовательно, qcp для p достаточно близких к 2 и q [0, 1). Зафиксируем некоторое такое p 2.

Оказывается, что для любой функции µ(z) L (C) с компактным носителем и |µ(z)| q 1 существует и единственно решение f уравне ния Бельтрами (11.1) такое, что f (0) = 0 и fz 1 Lp (C). Такие f на зываются нормальными решениями. Всякое нормальное решение урав нения Бельтрами является Qк.к. гомеоморфизмом, Q = (1 + q)/(1 q) (см. [16], с. 84–89).

Пусть P : Lp (C) C, = 1 2/p, – линейный ограниченный оператор, определяемый равенством 1 1 P (z) = () d d. (11.84) z C Тогда нормальное решение запишется в виде f (z) = z + P (µ) + P (µN (µ)), (11.85) где N (µ) = Tµ + T (µT µ) +... (11.86) – нелинейное преобразование характеристики.

Отметим, что ряд (11.86) сходится по норме любого из пространств Lp (C), 1 p, для которого qcp 1. В частности, это имеет место в L2 (C).

Пусть E C – ограниченное измеримое множество. Обозначим че рез Nq (E) класс всех нормальных решений уравнения Бельтрами с ком плексными характеристиками µ(z) такими, что:

|µ(z)| q 1, z E;

µ(z) = 0, z C \ E. (11.87) Лемма 11.9. Для любого ограниченного измеримого множества E C и q 1 класс Nq (E) секвенциально компактен относительно локально равномерной сходимости.

На основе этой леммы мы докажем:

Лемма 11.10. Пусть E C – произвольное ограниченное измери мое множество, 0 q 1, и f, fn Nq (E), n = 1, 2,.... Тогда для схо димости fn f л.р. необходимо и достаточно, чтобы N (µn ) N (µ) слабо в L2 (C).

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений На самом деле лемма 11.10 позволяет также получить описание схо димости нормальных решений уравнения Бельтрами в терминах преоб разования Фурье.

К сингулярным интегралам преобразования Фурье впервые приме нил А. Кальдерон и Л. Зигмунд в статье [197]. Интегральный оператор типа свертки в Rn S(x) = k = k(x y)(y)dy (11.88) Rn корректно определен и ограничен в Lp (Rn ), 1 p, если k L1 (Rn ) (см. [365], с. 9). Однако часто и в случае несуммируемого ядра k можно корректно определить интеграл (11.88) в смысле главного значения по Коши как предел в Lp (Rn ) или п.в.

S(x) = lim k(x y)(y)dy. (11.89) |xy| Типичным примером является двумерное преобразование Гильберта (11.83). Операторы такого типа принято называть сингулярными инте гральными операторами или сингулярными интегралами.

Основная проблема, которой были посвящены работы Кальдерона– Зигмунда, это – проблема ограниченности многомерных сингулярных интегральных операторов в пространствах Lp (Rn ), p 1. В статье [197] рассмотрены интегралы вида (11.88) c (x/|x|) k(x) =. (11.90) |x|n Для их исследования применено преобразование Фурье. Установлено, что сингулярный оператор ограничен в L2 (Rn ), если ограничено преоб разование Фурье его ядра, а также, что S = k · (11.91) (см. также [295], c. 99–103). С.Г. Михлиным в работе [293] установлено, что преобразование Фурье ядра k совпадает с так называемым символом сингулярного интегрального оператора (см. также [295], c. 106). Сим вол оператора (11.83) весьма прост, () = e2i = k(z), где = arg z (см. [295], с. 76–78). Таким образом, T (z) = m(z)(z), (11.92) Глава 11. Теоремы сходимости где z m(z) =. (11.93) z По теореме Планшереля (см., напр., [301], c. 255-256), для каждой функции L2 (Rn ) существуют ее преобразования Фурье и L2 (Rn ):

(u)eivu du, (v) = lim (11.94) N (2)n/ N (u)eivu du, (v) = lim (11.95) N (2)n/ N n где u = (u1,..., un ), v = (v1,..., vn ), uv = uj v j, j= N = {u Rn : |uj | N, j = 1,..., n} и сходимость понимается в смысле L2 (Rn ). При этом, преобразования Фурье и отображают L2 (Rn ) на себя взаимооднозначно, и – взаимно обратные, = = на L2 (Rn ), сохраняют скалярное произведение (, ) = (, ) = (, ),, L2 (Rn ), и, таким образом, изометричны 2 = 2 = 2. Другими словами, преобразование Фурье является унитарным оператором, а – обратный к нему оператор в пространстве L2 (Rn ).

Покажем, что для L2 (Rn ) и b L2 (Rn ) L (Rn ):

b · = b. (11.96) Действительно, пусть C0 – совокупность всех бесконечно дифференци руемых функций с компактным носителем в Rn и пусть B : C0 L2 (Rn ) – оператор, определенный равенством B = b. Тогда норма оператора B равна b и B = (b ) = b (11.97) (см. [365], c. 38). Таким образом, оператор B и формула (11.97) могут быть распространены на все L2 (Rn ). Полагая =, L2 (Rn ), будем иметь (b ) = b · (11.98) или, применяя к обеим частям (11.98) обратное преобразование Фурье, получим b · = b. (11.99) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Поскольку для любого L2 (Rn ) (x) = (x), (11.100) то приходим к (11.96). Обозначим через Mq (E) множество всех комплексных характери стик отображений f класса Nq (E). Тогда Mq (E) L (C) L2 (C) и из унитарности преобразования Фурье в L2 (C) в соответствии с формулами (11.75), (11.76), (11.86), (11.92), (11.93) и (11.96) получаем равенство N (µ) = F (µ) (11.101) для любого µ Mq (E). Еще раз привлекая унитарность оператора Фурье, из леммы 11.10 получаем:

Лемма 11.11. Пусть E C – произвольное ограниченное изме римое множество, 0 q 1, и f, fn Nq (E), n = 1, 2,.... Тогда для сходимости fn f л.р. необходимо и достаточно, чтобы F (µn ) F (µ) слабо в L2 (C).

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 11.9. Поскольку нормальные решения Бельтрами класса Nq (E) являются Qк.к. отображениями, нормирован ными условиями f (0) = 0, f () = (см. [16], с. 89), то они образуют нормальное семейство (см. [270], c. 76). Поэтому из любой последователь ности fn Nq (E), n = 1, 2,..., можно выделить подпоследовательность gm = fnm, m = 1, 2,..., которая сходится л.р. в сферической метрике.

При этом, предельная функция g является либо Qк.к. отображением C на себя, либо g(z) 0 при z C и g() =, либо g(0) = 0 и g(z), при z C \ {0} (см. [270], с. 76–77). Покажем, что два последних случая на самом деле исключаются.

В первом из этих случаев gm 0 л.р. в C. Но тогда по формуле Грина (см. [270], с. 156):

i (gm )z dx dy = gm dz 0 (11.102) R R на любом прямоугольнике R. Однако это противоречит оценке (см. [16], c. 86) qcp (mes E)1/p = C(p, q, E).

gz 1 p (11.103) 1 qcp Глава 11. Теоремы сходимости Действительно, в силу (11.102) для любого прямоугольника R из нера венств Гельдера и треугольника имеем:

(gm )z 1 (gm )z 1 Lp (R) p (p1)/p (mes R) (gm )z 1 L1 (R) (p1) (mes R) (gm )z dx dy mes R (mes R) p p R при m и ввиду произвола R, норма (gm )z 1 p становится беско нечно большой в противоречии с оценкой (11.103). Тем самым рассмат риваемый случай исключен.

Во втором случае gm л.р. в C \ {0} относительно сферической метрики. Ввиду гомеоморфности отображений и нормировки gm (0) = это приводит к тому, что площадь образа gm (r ) круга r = {z C :

|z| r} стремится к при m для любого r 0. Однако это противоречит следующей оценке в классе Nq (E):

1/ [S(g(r ))]1/2 = (1 |µ|2 )|gz |2 dx dy |z|r + r 1/ gz gz L2 (r ) L2 (r ) q + r 1/2 (mes E)1/2 + r 1/ gz 1 L2 (C) 1q (см. [16], с. 36, 85–86). Здесь мы воспользовались также изометрично стью оператора Гильберта в пространстве L2 (C) (см. [16], с. 81). Таким образом, второй случай также исключается.

В случае gm g л.р., где g – некоторое Qк.к. отображение, имеем (см. [270], c. 196):

lim [(gm )z 1]dx dy = [gz 1]dx dy (11.104) m R R для любого осепараллельного прямоугольника R. Характеристические функции таких прямоугольников образуют фундаментальное множество 1 в пространстве Lp, где p + p = 1 (см. [168], с. 63). В силу оценки (11.103) [(gm )z 1] [gz 1] слабо в Lp (см. [168], с. 316). Ввиду слабой замкну тости шара в нормированных пространствах (см. [168], c. 81) из (11.104) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений имеем gz 1 p C(p, q, E), т.е. gz 1 Lp (C). Нормировка g(0) = 0 оче видна. Кроме того, из следствия 11.5 вытекает, что комплексная харак теристика µ(z) отображения g(z) удовлетворяет (11.87), т.е g Nq (E).

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 11.10. 1). Необходимость. Итак, пусть fn f л.р. Но тогда (см. [270], c. 196):

lim (fn )z dx dy = fz dx dy n R R и, следовательно, lim N (µn )dx dy = N (µ)dx dy n R R для любого осепараллельного прямоугольника R C (см. [16], с. 85–86).

Характеристические функции таких прямоугольников образуют фунда ментальное множество в L2 (C). Ввиду соотношения изометрии для пре образования Гильберта (см. [16], c. 81), N (µn ), n = 1, 2,..., ограничено в L2 (C) и потому N (µn ) N (µ) слабо в L2 (C) (см. [168], с. 316).

2). Достаточность. Пусть N (µn ) N (µ) слабо в L2 (C). По лемме 11.9 пространство Nq (E) секвенциально компактно. Поэтому по аксиоме Урысона (см. п. В1) достаточно рассмотреть произвольную сходящуюся подпоследовательность gm = fnm g Nq (E) и убедиться, что g = f.

В силу теоремы существования и единственности нормального решения для этого достаточно проверить, что комплексная характеристика (z) отображения g совпадает с µ(z) п.в.

Действительно, из необходимости условия заключаем, что N (m ) N () слабо в L2 (C), где m = µnm, а в силу единственности слабого пре дела имеем N (µ) = N () (см. [168], с. 80). Пусть = N (µ) = N ().

Применяя к обеим частям равенства 1 + = 1 + N (µ) оператор Pµ () = T (µ) получаем равенство = T (µ(1 + )). Аналогично, приме няя к равенству 1 + = 1 + N () оператор P () = T (), имеем:

= T ((1 + )). Следовательно, T ((µ )(1 + )) = 0. Но тогда из соотношения изометрии для оператора T получаем (µ )(1 + ) = п.в. Однако, 1 + = gz = 0 п.в. (см. [16], с. 37, 85–86). Таким образом, µ(z) = (z) п.в., что и завершает доказательство леммы. 5. Доказательство теоремы 11.3. 1). Необходимость. Итак, пусть пусть fn f л.р. и пусть µ и µ, n = 1, 2,..., – срезки комплексных n Глава 11. Теоремы сходимости характеристик µ и µn, n = 1, 2,..., соответственно, на некотором мно жестве E из покрытия Ej, j J. Тогда по аксиоме Урысона (см. п. В1), леммам 11.7, 11.9 и 11.11 немедленно получаем, что F (µ ) F (µ ) слабо n в L2 (C).

2). Достаточность. Пусть, наоборот, F (µ ) F (µ ) слабо в L2 (C) n на каждом из множеств Ej, j J.

Отметим одно важное обстоятельство. Обозначим через M L про странство всех измеримых и п.в. конечных по Лебегу функций : C R со сходимостью по мере. Это пространство метризуемо и сепарабельно (см. [202], c. 63–67). Но тогда и его подпространство X M, состоя щее из характеристических функций j множеств Ej, j J, также се парабельно (см. [229], с. 215). Следовательно, можно выделить счетное подпокрытие Em = Ejm, m = 1, 2,..., плоскости C по мере.

Таким образом, по аксиоме Урысона, предложению 11.10, леммам 11.7 и 11.11 получаем, что fn f л.р. Глава ОБ ОТОБРАЖЕНИЯХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОГО ТИПА В данной главе исследуются классы Q(z)к.к. отображений с огра ничениями теоретико-множественного типа на их комплексные характе ристики общего вида. При этом Q(z) предполагается экспоненциально ограниченной по мере.

В §12.1 получена теорема 12.1 о замыкании таких классов. В ка честве следствия показано, что при локально равномерной сходимости Q(z)к.к. отображений их комплексные характеристики могут не схо диться даже слабо ни в одном из пространств Lp, 1 p (следствия 12.1–12.2). Отметим также, что теорема 12.1 позволит нам в главе дать частичное решение проблемы Райха–Вальчака о конформности в точке (теорема 14.2).

В §12.2, опять же на основе теоремы 12.1, доказана теорема 12.2 о необходимых и достаточных условиях компактности классов с указан ными ограничениями. Эта теорема усиливает и обобщает известный ре зультат Шиффера–Шобера о достаточных условиях компактности.

Наконец, в §12.3 собраны фундаментальные следствия к теории ва риационного метода – принцип редукции (следствие 12.4), построение вариаций (лемма 12.2) и один из основных результатов – вариационный принцип максимума (теорема 12.3). Приводятся также другие необходи мые условия экстремума.

12.1. Теорема замыкания Главной целью параграфа является теорема 12.1 о замыкании Q(z)к.к. отображений с ограничениями общего теоретико-множествен ного типа.

В пункте 1 приводится точная формулировка этого результата. В качестве следствия обнаружен тот интересный факт, что при локаль но равномерной сходимости Q(z)к.к. отображений их комплексные ха Глава 12. Об отображениях с ограничениями теоретико-множественного типа рактеристики, вообще говоря, не сходятся даже слабо ни в одном из пространств Lp, 1 p (следствия 12.1, 12.2).

Пункт 2 содержит доказательства основной леммы (лемма 12.1). На ее базе с привлечением теоремы 11.2 в пункте 3 проведено доказательство теоремы 12.1.

1. Формулировка основных результатов. Обозначим через HM класс всех Q(z)к.к. отображений f : C C с нормировками f (0) = 0, f (1) = 1, f () =, комплексные характеристики которых удовле творяют условию µ(z) M (z) п.в. (12.1) с M (z) q (z) = { C : || q(z)}, (12.2) где q(z) = (Q(z) 1) / (Q(z) + 1). (12.3) При этом, если Q(z) = в некоторой точке z C, то по определению q(z) = 1. Через MM в дальнейшем обозначается класс всех измеримых функций µ, удовлетворяющих (12.1).

Теорема 12.1. Пусть функция Q(z) : C I = [1, ] экспонен циально ограничена по мере и M (z), z C, – произвольное семейство непустых замкнутых множеств из q(z), измеримое по параметру z.

Тогда в топологии локально равномерной сходимости:

HM = Hinv co M, (12.4) где inv co M (z), z C, – семейство инвариантно-выпуклых оболочек множеств M (z), z C. При этом, класс Hinv co M является секвенци ально компактным.

Отметим также, что класс Minv co M всех комплексных характери стик отображений из Hinv co M образует выпуклое множество, что имеет важное значение для теории вариационного метода.

Здесь условие измеримости семейства множеств M (z) по парамет ру z является существенным. Можно привести пример, когда для неиз меримого M (z) класс HM пуст, а класс Hinv co M не пуст. Именно, если (z) : C R+ – какая-либо неизмеримая функция с (z) q 1, то в качестве примера можно взять семейство двуточечных множеств M (z) = {(z), (z)}. Тогда ясно, что MM =, а Minv co M = вклю чает по крайней мере тождественно нулевую функцию µ(z) 0. Следо вательно, заведомо класс HM пуст, а класс Hinv co M не пуст, поскольку содержит тождественное отображение.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Наоборот, в случае измеримого семейства непустых замкнутых мно жеств M (z), по теореме Б3 об измеримых сечениях, класс MM не пуст.

Следовательно, в условиях теоремы 12.1, по теореме Давида [165] класс HM также не пуст.

Приведем еще одно интересное следствие теоремы 12.1. В связи с этим заметим,что в соответствии с известными критериями (см. [202], c. 290), слабая сходимость в любом из пространств Lp (C), 1 p, loc для последовательности равностепенно ограниченных функций, эквива лентна слабой сходимости в L1 (C). Таким образом, в силу леммы 11.6, loc если µn слабо в каком-либо из пространств Lp (C), 1 p, то loc (z) co M (z) п.в., (12.5) где co M – семейство выпуклых оболочек множеств M (z) = Ls {µn (z)}. (12.6) n Отметим, что соотношение (12.5) является аналогом соотношения (11.39) из теоремы 11.2 и что всегда:

co M (z) inv co M (z). (12.7) Однако ясно, что обратное включение имеет место не всегда. На этом основано:

Следствие 12.1. Для любого 1 Q существует последова тельность Qк.к. отображений fn : C C которая сходится л.р. к Qк.к. отображению f : C C такая, что µn не сходится к µ слабо ни в одном из пространств Lp, 1 p.

loc Действительно, если в теореме 12.1 выбрать M = M (z) {0, q}, z C, q = (Q 1)/(Q + 1), то inv co M \ co M =. Тогда функция µ(z) µ0 inv co M \co M принадлежит Minv co M и имеется единственное отоб ражение f Hinv co M :

z + µ0 z f (z) = 1 + µ с комплексной характеристикой µ. Согласно теореме 12.1 найдется по следовательность отображений fn HM, n = 1, 2,..., такая, что fn f л.р. Пусть µn MM – комплексные характеристики отображений fn. По построению для µn (z) заведомо не выполнено необходимое условие (12.5) слабой сходимости µn (z) µ(z).

При этом, согласно критерию слабой компактности (см. [168], с. 317) можно дополнительно предполагать, что µn (z) сходится слабо в про странстве Lp к некоторой функции (z) = µ(z) п.в. Напомним, что loc Глава 12. Об отображениях с ограничениями теоретико-множественного типа в силу известного представления линейных функционалов (см. [202], c. 252) это влечет за собой слабую сходимость µn (z) (z) одновре менно во всех пространствах Lp, 1 p. Таким образом, получаем усиление следствия 12.1:

Следствие 12.2. Для любого 1 Q существует последова тельность Qк.к. отображений fn : C C, которая сходится л.р. к Qк.к. отображению f : C C, такая, что µn (z) (z) слабо од новременно во всех пространствах Lp, 1 p, но µ(z) = (z) loc п.в.

2. Основная лемма. Здесь мы докажем лемму, которая является центральной для решения проблем замыкания различных классов ква зиконформных отображений и их обобщений. Конструкция этой леммы восходит к работам [343, 357]. В явном виде она впервые была сформу лирована автором в работе [153].

Лемма 12.1. Пусть 1, 2, – произвольные комплексные числа с |1 | и |2 | k 1, || = 1 и пусть [0, 1]. Тогда существует последо вательность Kк.к. отображений Fn : C C, K = (1 + k)/(1 k), с комплексными характеристиками µn (z), n = 1, 2,..., принимающими только два значения 1 и 2, которая сходится локально равномерно к некоторому аффинному Kк.к. отображению F : C C с комплексной характеристикой µ(z) 0, где 0 однозначно определяется из соотно шения + 0 + 1 + = + (1 ). (12.8) 0 1 Кроме того, для любой функции () : C R на каждом измеримом множестве E c mes E существует предел lim (µn (z))dx dy = (12.9) n E = {(1 ) + (1 )(2 )} mes E.

При этом, выбор последовательности измеримых множеств En = {z C : µn (z) = 1 } (12.10) зависит только от чисел и, но не зависит от конкретных значений 1 и 2.

Здесь, в силу секвенциальной компактности класса H(K) (см. п.

11.3.1), леммы сравнения 11.7 (п. 11.3.3), а также аксиомы Урысона Геометрическая и топологическая теория функций и отображений (п. В1) можно дополнительно предполагать, что F и Fn H(K), n = 1, 2,..., т.е. что отображения нормированы: f (0) = 0, f (1) = 1, f () =.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть = ( + )/2, где = arg.

Рассмотрим аффинные Kквазиконформные отображения gl (z) = (z + l z)/(ei + l ei ), l = 0, 1, 2.

При этих отображениях растяжение в направлении ei равно единице, а прямые, параллельные ei, переходят в прямые, параллельные веще ственной оси. Далее, gl = ihl при z = ihei, где l = ( + l )/( l ), Re l 0, l = 0, 1, 2. Таким образом, указанные отображения можно склеивать непрерывным образом с сохранением ориентации и однолист ности вдоль любых прямых, параллельных вектору ei, простым сдвигом на комплексную постоянную. В силу устранимости аналитических дуг (см. [270], c. 47) получаемые отображения будут Kквазиконформными.

Зафиксируем n = 1, 2,..., и разобьем плоскость на полосы, парал лельные вектору ei, прямыми zmn (t) = ei t + iei m2n, t R, m = 0, ±1, ±2,.... Каждую такую полосу, в свою очередь, разобьем на две полоски промежуточной прямой zmn (t) = ei t + iei (m2n + 2n ). Меж ду прямыми z0n (t) и z0n (t) полагаем Fn (z) g1 (z). Во всех остальных полосах принимаем по определению Fn (z) gl (z) + cl, где l = 1 между mn прямыми zmn (t) и zmn (t) и l = 2 между zmn (t) и z(m+1)n (t), а постоянные cl находятся индукцией по m = 0, ±1, ±2,..., в обе стороны от нуля mn из условия склеивания.

По построению Fn = i{1 + (1 )2 }2n = i0 2n = g0 при z = iei 2n и Fn (z) g1 (z) g0 (z) на прямой z0n (t). Следователь но, Fn (z) g0 (z) на всех прямых zmn (t), m = 0, ±1, ±2,.... Так как zmn (t) z(2m)(n+1) (t), то при увеличении n происходит лишь добавле ние указанных прямых дробления. Таким образом, на множестве всех точек прямых zmn (t), t R, m = 0, ±1, ±2,..., n = 1, 2,..., кото рое всюду плотно в C, последовательность Fn (z) сходится при n к Kквазиконформному отображению F (z) g0 (z), а потому сходится к нему и локально равномерно (см. [270], c. 76). Соотношение (12.9) сле дует непосредственно из распределения мер между значениями 1 и 2 в комплексных характеристиках µn (z), n = 1, 2,.... Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 12.1. 1) Секвенциальная компакт ность класса Hinv co M H(Q(z)) вытекает непосредственно из теоремы 11.2, предложения 11.10 и замечания, следующего за ним.

Глава 12. Об отображениях с ограничениями теоретико-множественного типа 2) Включение HM Hinv co M очевидно и потому в силу предыдущего пункта доказательства:

HM Hinv co M. (12.11) 3) Докажем обратное включение Hinv co M HM. (12.12) Поскольку (см. [229], c. 44) HM HM, (12.13) то в силу теоремы А3 для этого достаточно показать, что H HM, (12.14) M где M – дуговое замыкание M.

Итак, пусть отображение f H и µ M – его комплексная M M характеристика. Тогда, по лемме Б5 об измеримых опорах, найдется пара функций, MM таких, что для почти всех z C:

µ(z) = ((z), (z);

(z), (z)) при некоторых измеримых функциях (z) = ei(z), (z) : C R и (z) :

C [0, 1].

Пусть Tm = {t R : l2m t (l + 1)2m }, l l = 0, ±1, ±2,..., m = 1, 2,..., – последовательность сетей, покрываю щих R, и Em = {z C : Q(z) m}, m = 1, 2,....

При каждом фиксированном m = 1, 2,..., совокупность множеств то k k k чек плоскости z Em, для которых (z) Tm1, (z) Tm2, Re (z) Tm3, k4 k5 k Im (z) Tm, Re (z) Tm и Im (z) Tm образуют счетное дизъ k юнктное покрытие Em, k = (k1, k2,..., k6 ), множества Em.

Полагая m (z) k = k1 2m, m (z) k = k2 2m, (z) k = m m m (k3 + ik4 )2m, m (z) m = (k5 + ik6 )2m на каждом из множеств Em и k k m (z) 0, m (z) 0, m (z) m (z) (z) на множестве C \ Em, мы можем определить последовательность функций µm (z) = (m (z), m (z);

m (z), m (z)) k такую, что на каждом Em def µm (z) µk = m, k ;

k, m k k m m m Геометрическая и топологическая теория функций и отображений и µm (z) (z) на C \ Em. При этом, как видно из построения и условия Липшица (А12), µm (z) µ(z) при m и 1 + |µm (z)| pm (z) = Q(z) 1 |µm (z)| п.в. на C, и, в частности, pm (z) m п.в. на Em. В дальнейшем fm H(Q(z)) – отображение с характеристикой µm.

По лемме 12.1 при каждом фиксированном k и m найдется последо l вательность множеств плоскости Emn, n = 1, 2,..., такая, что для k, z Emn, k µk (z) = m k k mn m, z C \ Emn.

k соответствующие нормированные mк.к. отображения fmn сходятся л.р.

к аффинному mк.к отображению fm c характеристикой µk (z) µk, z k m m C.

Пусть при любом фиксированном m, n = 1, 2,... :

µmn (z) µk (z) mn k на каждом из множеств Em и µmn (z) (z) на C \ Em. Обозначим че рез fmn и fm отображения класса H(m) с характеристиками µmn и µm, соответственно. Тогда по построению, в силу леммы сравнения (лемма 11.7), секвенциальной компактности H(m) и аксиомы Урысона (п. В1) fmn fm л.р. при n.

Пусть теперь – какая-либо метрика в пространстве H(Q(z)) (см.

п. 11.3.1). Тогда для каждого m = 1, 2,..., найдется индекс nm такой, что (f (m), fm ) 1/m, где f (m) H(Q(z)) – отображение с характеристикой µ(m) (z) = µmnm (z).

Поскольку µm (z) µ(z) п.в. при m, то по следствию 11.9 (см.

п. 11.3.1) fm f л.р. и потому (fm, f ) 0 при m. Но тогда и (f (m), f ) 0, т.е. f (m) f л.р. при m.

Далее, пусть для любых m, n = 1, 2,..., k k (z), z Em Emn, k k µmn (z) = (z), z Em C \ Emn, (z), z C \ Em, Глава 12. Об отображениях с ограничениями теоретико-множественного типа где в мультииндиксе k = (k1, k2,..., k6 ), kl, l = 1, 2,..., 6, пробегают значения 0, ±1, ±2,....

k k Полагая µm (z) µmnm (z), Em = Emnm, по построению имеем, что k k m (z) (z), z Em Em, (m) k k µ (z) µm (z) = (z) (z), z Em C \ Em, m 0, z C \ Em.

Таким образом, |µ(m) (z) µm (z)| max{|m (z) (z)|, |m (z) (z)|} для почти всех z C и, поскольку m, m (z) п.в., то и µ(m) (z) µm (z) 0 п.в. при m. Обозначим через fm H(Q(z)) – отображения с характеристиками µm, m = 1, 2,.... Тогда опять же по лемме сравнения 11.7, предположению 11.10 и аксиоме Урысона fm f л.р. Oстается только заметить, что fm HM, m = 1, 2,..., и, следова тельно, f HM. 12.2. Критерий компактности В параграфе доказаны необходимые и достаточные условия ком пактности Q(z)к.к. отображений с ограничениями общего теоретико множественного типа (теорема 12.2). Эта теорема усиливает и обобщает известный результат Шиффера-Шобера о достаточных условиях ком пактности.

1. Необходимые и достаточные условия компактности. В обо значениях пункта 12.1.1 имеет место:

Теорема 12.2. Пусть функция Q(z) : C I = [1, ] экспоненци ально ограничена и семейство непустых замкнутых множеств M (z) q(z), z C, измеримо по параметру z. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) класс HM секвенциально компактен относительно локально рав номерной сходимости;

2) множества M (z) инвариантно-выпуклы для п.в. z C.

При этом, условие 2) остается достаточным для компактности клас са HM и при отсутствии измеримости M (z). Однако в этом случае данное Геометрическая и топологическая теория функций и отображений условие перестает быть необходимым, как показывает пример, приведен ный в п. 12.1.1. В этом случае также нет гарантий непустоты класса HM.

Отметим также, что в компактных классах HM множество комплекс ных характеристик MM является выпуклым. Это имеет важное значение для теории вариационного метода.

Следствие 12.3. Пусть K(z) = {z C : | c(z)| r(z)} – семейство кругов из с измеримой комплексной координатой центра c(z) и измеримым радиусом r(z). Если при этом функция Q(z) = (1 + q(z))/(1q(z)), q(z) = r(z)+|c(z)|, экспоненциально ограничена по мере, то класс HK секвенциально компактен и не пуст.

В качестве примера некомпактного класса можно привести HM, где M (z) { R : 0 q}, 0 q 1, состоит из отрезка прямой. Это множество не является инвариантно выпуклым, хотя и выпукло. Любое инвариантно-выпуклое множество M из является строго выпуклым множеством, т.е. его граница не может содержать отрезков прямых.

Вообще инвариантно-выпуклые множества могут быть охарактери зованы в терминах кривизны границы. Именно, пусть – выпуклое мно жество из. Тогда является спрямляемой кривой. Пусть (s) – ее естественная параметризация. В силу выпуклости в каждой ее точке существуют односторонние производные d(s)/ds, которые определяют единичные векторы ± (s) односторонних касательных к этой кривой.

Обозначим через n± (s) единичные векторы соответствующих “внутрен них” нормалей к. Далее, опять же в силу выпуклости, единич ные векторы ± (s) монотонно вращаются при изменении s и потому су ществуют вторые, конечные или бесконечные, односторонние производ ные d2 (s)/ds2 = d ± (s)/ds, модули которых определяют односторонние кривизны k ± (s) кривой. Как показывают элементарные выкладки, в случае границы инвариантно-выпуклого множества имеют место характеристические неравенства (см. теорему А1):

1 + (n± (s), (s)) k ± (s) 2, (12.15) 1 |(s)| где через (n, ) обозначено скалярное произведение векторов n и. Ес ли кривая при этом принадлежит классу C 2, то (12.15) переходит в Глава 12. Об отображениях с ограничениями теоретико-множественного типа неравенство:

1 + (n(s), (s)) k(s) 2, (12.16) 1 |(s)| где k(s) – кривизна, а n(s) – единичный вектор внутренней нормали кривой.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 12.2. 2) = 1). При указанных условиях M = inv co M, следовательно, HM = Hinv co M и по теореме 12. класс секвенциально компактен.

1) = 2). По следствию 11.10 секвенциальная компактность класса HM эквивалентна его замкнутости, т.е.

HM = HM.

Но тогда по теореме 12. Hinv co M = HM.

Отсюда, в силу результата Давида (см. п. 11.3.1), Minv co M = MM и по теореме Б5 для п.в. z C:

inv co M (z) = M (z), т.е. M (z) являются инвариантно-выпуклыми множествами для п.в. z C. 12.3. К теории вариационного метода.

В данном параграфе собраны основные следствия теорем замыкания и компактности для теории вариационного метода.

В пункте 1 сформулирован принцип редукции экстремальных за дач из некомпактных классов в компактные (следствия 12.4). Главное преимущество компактных классов заключается в том, что для любых непрерывных, в том числе нелинейных, функционалов гарантировано существование экстремальных отображений.

Кроме того, в компактных классах множество комплексных харак теристик оказывается выпуклым множеством. На этой основе в пункте 2 проведено построение вариаций (лемма 12.2).

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Главный результат параграфа – вариационный принцип максимума – сформулирован и доказан в пункте 3 (теорема 12.3).

В пункте 4 приводятся также и другие необходимые условия экстре мума (предложение 12.1, следствия 12.5, 12.6).

1. Принцип редукции. Пусть H – множество всех гомеоморфиз мов расширенной комплексной плоскости C на себя класса ACL с нор мировками f (0) = 0, f (1) = 1 и f () =. Непосредственно из теоремы 12.1 о замыкании классов HM получаем:

Следствие 12.4. Пусть выполнены условия теоремы 12.1. Тогда для любого непрерывного функционала : H R sup (f ) = max (f ). (12.17) f Hinv co M f HM Заметим, что в силу теоремы 12.1 класс Hinv co M компактен. Таким образом, экстремальная задача о sup, первоначальна заданная, вообще говоря, на некомпактном классе HM, сводится к экстремальной задаче о max на компактном классе того же вида. Поэтому в дальнейшем мы можем ограничиться рассмотрением экстремальных задач на компакт ных классах HM.

Подчеркнем, что компактные классы обладают тем основным пре имуществом, что в них всегда гарантируется существование экстремаль ного отображения. Поэтому необходимые условия экстремума в таких классах могут быть использованы для доказательства теорем существо вания и представления решений различных уравнений, возникающих при этом.

Наоборот, в некомпактных классах необходимые условия экстрему ма относятся, вообще говоря, к пустому множеству отображений и они в значительной степени обесцениваются.

Кроме того, как мы увидим, в компактных классах гораздо проще построение вариаций.

2. Построение вариаций в компактных классах. В силу теоре мы 12.2 в компактных классах HM множество комплексных характери стик MM является выпуклым. Поэтому, если µ и MM, то µ = µ + ( µ) (12.18) также принадлежит MM при всех [0, 1]. Таким образом, вариация µ, [0, 1], характеристики µ порождает соответствующую вариацию f, [0, 1], отображения f в классе HM.

Глава 12. Об отображениях с ограничениями теоретико-множественного типа Лемма 12.2. Пусть Q(z) : C I = [1, ] экспоненциально ограни чена по мере и пусть M (z), z C, – произвольное семейство выпуклых множеств из q(z) = { C : || q(z)}, q(z) = (Q(z) 1)/(Q(z) + 1).

Далее, пусть µ MM – комплексная характеристика отображения f HM, a MM такова, что = ( µ)/(1 |µ|2 ) (12.19) принадлежит открытому единичному шару в L (C). Тогда существу ет вариация f отображения f в классе HM вида f () = f () ((z) µ(z))(f (z), f ())fz dx dy + o(), (12.20) C где 1 w w (w, w ) =. (12.21) ww w w Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (z) n (z) = = (z) (z)µ(z). (12.22) 1 (z)µ(z) n= Поскольку = k 1, то при [0, 1/2]:

k k = q 1. (12.23) 1 k 2k Далее, пусть fz f 1 (w).

= (12.24) fz В силу теоремы Давида, f является локально абсолютно непрерывным гомеоморфизмом вместе со своим обратным f 1 (см. [165], c. 27). Поэто му q 1 при [0, 1/2].

Рассмотрим семейство Qк.к. (Q = (1 + q)/(1 q)) отображений g : C C, [0, 1/2], с характеристиками, которые оставляют неподвижными точки 0, 1, и. Тогда по теореме о дифференцировании Qк.к. отображений по параметру (см. [16], с. 96):

g (w ) = w (w)(w, w )du dv + o(, w ), (12.25) C Геометрическая и топологическая теория функций и отображений где fz f 1 (w) (w) = (12.26) fz и o(, w )/ 0 при 0 л.р. относительно w C.

Как легко видеть, f = g f, где через f HM обозначены отобра жения с характеристиками µ из (12.18). Следовательно, f () = f () (w)(w, f ()) du dv + o(, ), (12.27) C где o(, )/ 0 при 0 л.р. относительно C. Отсюда, опять же в силу локальной абсолютной непрерывности гомеоморфизма f, делая замену переменной (см. [270], с.126 и 136), после элементарных преобра зований приходим к (12.20). 3. Вариационный принцип максимума. Будем говорить, что функционал : HM R является дифференцируемым по Гато, если (f ) = (f ) + Re gd + o() (12.28) C для любой вариации f = f + g + o() в классе HM, где = f – некото рая конечная комплексная борелевская мера с компактным носителем.

Другими словами, существует непрерывный и линейный по первой пере менной функционал L(g;

f ) такой, что (f ) = (f ) + Re L(g;

f ) + o() (12.29) (см. [407], с. 138–139).

Ниже предполагается, что (w, f ()) локально интегрируемо для любого f HM относительно произведения мер dmw d(), где – ядро из (12.21), m – плоская мера Лебега, и п.в.

A(w) = (w, f ())d() = 0. (12.30) C В этом случае говорим, что дифференцируем по Гато без вырождения на классе HM.

В указанных терминах имеет место:

Глава 12. Об отображениях с ограничениями теоретико-множественного типа Теорема 12.3. (Вариационный принцип максимума) Пусть измеримое по z семейство непустых компактных инвариантно - вы пуклых множеств M (z), z C, удовлетворяет включению (12.2) с Q(z) экспоненциально ограниченной по мере, а функционал : HM R дифференцируем по Гато без вырождения. Если на отображении f HM достигается max по классу HM, то его комплексная характери стика удовлетворяет включению µ(z) M (z) (12.31) для п.в. z C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку µ MM, то без ограничения общности можно считать, что µ(z) M (z) для всех z C. Допустим, что множество E = {z C : µ(z) M (z)} имеет положительную меру.

Введем обозначения Em = {z C : Q(z) m}, m = 1, 2,..., и Kz0,r = {z C : |z z0 | r}, z0 C, r 0.

Обозначим через, m, z0,r – характеристические функции множеств E, Em, Kz0,r. Далее, пусть n, n = 1, 2,..., – перенумерация всех ра циональных чисел из [0, 2). Обозначим через n (z), n = 1, 2,..., – рас стояние от µ(z) до точек пересечения лучей µ(z) + tein, t 0, c M (z).

Покажем, что функции n (z), n = 1, 2,..., являются измеримыми по z. Действительно, пусть n (z) = { C : = µ(z) + tein, 0 t 2} – отрезок луча, исходящего из точки µ(z) в направлении ein длины 2.

Измеримость n (z) по z следует, например, из критерия f ) теоремы Б и общих свойств элементарных операций над измеримыми функциями (см., напр., [360], c. 29–31). Следовательно, измеримы также семейства множеств Mn (z) = M (z) n (z) и {n (z)} = n (z), где = { C : || = 1} – единичная окружность (см. лемму Б1). Таким образом, функции n (z), n = 1, 2,..., измеримы, например, в силу теоремы Б4.

По критерию f ) теоремы Б1 измеримы также функции расстояния rn (z) = min | n (z)|.

n (z) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений После этого остается заметить, что n (z) = |µ(z) n (z)| rn (z).

Рассмотрим функции µn (z) = µ(z) + n (z)ein.

Они очевидно принадлежат классу MM. Поскольку указанный класс яв ляется выпуклым множеством, то и функции n (z) = µ(z) + (z)(µn (z) µ(z)) = (1 µ(z))µ(z) + (z)µn (z) принадлежат классу MM для произвольной измеримой функции (z) :

C [0, 1]. В частности, классу M принадлежат функции m,n z0,r (z) = µ(z) + m (z)z0,r (z)(µn (z) µ(z)), где 1 |µ(z)| m (z) = (z)m (z).

При этом, функции m,n z0,r (z) µ(z) µn (z) µ(z) m,n z0,r := = (z)m (z)z0,r (z) 1 |µ(z)| принадлежат замкнутому шару радиуса qm = (m 1)/(m + 1) 1 в пространстве L (C).

m, n В силу экстремальности f, применяя лемму 2.2 с = z0, r, получаем, что Re mn (z, )dx dy d() 0, C |zz0 |r где m,n (z, ) = m (z)(µn (z) µ(z))fz (f (z), f ()).

Рассмотрим вспомогательные функции fz m,n m,n f 1 (w) (w, f ()).

z0,r (w, ) = z0,r (z) · fz Они интегрируемы относительно произведения мер dmw d() (см. [79], с. 215) и по теореме Лебега-Фубини (см. [79], с. 353) после замен перемен ной (см. [270], с. 126, 136) в условии экстремальности можем поменять Глава 12. Об отображениях с ограничениями теоретико-множественного типа порядок интегрирования:

Re mn (z, )d() dx dy 0, C |zz0 |r В силу теоремы Лебега о дифференцировании неопределенного интегра ла (см. [360], c. 180), m, n = 1, 2,..., для п.в. z C имеем неравенства m (z) Re (µn (z) µ(z))B(z) 0, где B(z) = A(f (z))fz, A(w) задано (12.30). Другими словами n (z) Re B(z)ein 0, n = 1, 2,..., для п.в. z E Em. Поскольку же Em, m = 1, 2,..., образуют исчерпание плоскости C по мере, то последнее имеет место для п.в. z C. С другой стороны, n (z) 0, n = 1, 2,..., на E и, таким образом, это равносильно неравенствам Re B(z)ein n = 1, 2,..., для п.в. z E.

В силу произвола n, n = 1, 2,..., отсюда имеем вообще:

Re B(z)ei для п.в. z E при любом [0, 2). В частности, при = 0 и = получаем ±Re B(z) 0, т.е.

Re B(z) = 0, а при = /2 и = 3/ ± Im B(z) 0, т.е.

Im B(z) = 0.

Таким образом, B(z) = для п.в. z E.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Однако это невозможно, т.к. A(w) = 0 п.в. и по теореме Давида гомеоморфизмы f и f 1 являются абсолютно непрерывными (см. [165], с. 27). Полученное противоречие и показывает, что mes E = 0, т.е. µ(z) M (z) п.в. 4. Другие необходимые условия экстремума. Для формули ровки необходимых условий экстремума нам потребуется еще одно по нятие. Именно, пусть µ MM. Тогда через µ (z) обозначим конус допу стимых направлений (см., например, [278], с. 12) для множества M (z) в точке µ(z), т.е. множество всех C, = 0, таких, что µ(z)+ M (z) при всех [0, ] для некоторого 0 0. Отметим, что для строго выпук лых множеств M (z), каковыми являются инвариантно-выпуклые множе ства, конус допустимых направлений µ (z) при каждом z является от крытым выпуклым конусом. Почти дословно повторяя доказательство предыдущей теоремы 12.3, получаем:

Предложение 12.1. В условиях теоремы 12.3 экстремаль f в за даче о max на классе HM удовлетворяет неравенствам Re B(z) 0 (12.32) для почти всех z C при всех из конуса допустимых направлений µ (z), где B(z) = A(f (z))fz. (12.33) Здесь A(w) задается соотношением (12.30).

Следствие 12.5. Если дополнительно при п.в. z E граница M (z) регулярна, т.е. в каждой своей точке имеет касательную, то (12.32) переходит в неравенство n(z)B(z) 0 (12.34) для п.в. z E, где n(z) – единичный вектор внутренней нормали к M (z) в точке µ(z).

В частности, если функционал : HM R дифференцируем по Гато без вырождения и M (z) = { C : | c(z)| k(z)} (12.35) – семейство замкнутых кругов в открытом единичном круге в C при некоторых измеримых функциях c(z) и k(z), то по принципу максимума c(z) µ(z) n(z) = (12.36) k(z) Глава 12. Об отображениях с ограничениями теоретико-множественного типа и соотношение (12.34) п.в. эквивалентно тому, что c(z) µ(z) B(z) =, (12.37) k(z) |B(z)| т.е.

B(z) µ(z) = c(z) k(z). (12.38) |B(z)| Таким образом, имеем:

Следствие 12.6. Пусть M (z), z C – семейство кругов (12.35) измеримое по параметру z, q(z) := k(z) + |c(z)| и функция Q(z) := (1 + q(z))/(1 q(z)) экспоненциально ограничена по мере, а функционал :

HM C дифференцируем по Гато без вырождения.

Тогда экстремаль задачи о max на классе HM существует и удо влетворяет уравнению A(f (z)) fz = c(z)fz k(z) fz. (12.39) |A(f (z))| В частности, при c(z) = 0 получаем решение уравнения A(f (z)) fz = k(z) fz (12.40) |A(f (z))| в классе H(K(z)), где функция K(z) = (1 + k(z))/(1 k(z)) экспоненци ально ограничена по мере.

Глава О КЛАССАХ ОТОБРАЖЕНИЙ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ТИПА В главе исследуются классы гомеоморфизмов с ограничениями на дилатацию интегрального типа. В остальном, как легко заметить, струк тура этой главы совершенно аналогична предыдущей.

Единственным априорным условием здесь является экспоненциаль ный рост на подынтегральной функции, а какие-либо предваритель ные условия регулярности типа измеримости или, тем более, непрерыв ности отсутствуют. Таким образом, изучается предельно общая ситуа ция.

В §13.1 доказана теорема о замыкании указанных классов, сфор мулированная в терминах так называемой нижней огибающей (теорема 13.1).

В §13.2 получены необходимые и достаточные условия компактности таких классов (теорема 13.2).

Наконец, в §13.3 приведены основные следствия к теории вариацион ного метода в подобных классах, которые включают принцип редукции (следствие 13.4), выпуклость множества комплексных характеристик в компактных классах (следствие 13.5), построение вариаций (лемма 13.4).

Главным результатом здесь является вариационный принцип максимума (теорема 13.3). Приведены и другие необходимые условия экстремума.

13.1. Теорема замыкания Основной результат данного параграфа – теорема замыкания клас сов гомеоморфизмов с ограничениями на дилатацию интегрального типа (теорема 13.1).

В пункте 1 приведены определения и предварительные замечания. В частности, здесь содержится описание так называемой нижней огибаю щей (предложение 13.1), в терминах которой в пункте 2 сформулирован основной результат.

Глава 13. О классах отображений с ограничениями интегрального типа Доказательство теоремы 13.1 проведено на основе теоремы 11.1 в пункте 5 после того как в пункте 3 дано более конструктивное описание нижней огибающей, а в пункте 4 доказана "лемма о плотности".

1. Определения и предварительные замечания. Обозначим че рез H совокупность всех сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов f : C C класса ACL с нормировками f (0) = 0, f (1) = 1, f () =, и с интегральным ограничением на деформацию p(z) вида:

(p(z))dx dy 1, (13.1) C где : I R+ – произвольная функция, где I = [1, ], R+ = [0, ].

Нижней огибающей функции будем называть функцию 0 (t) := sup (t), t I, (13.2) где – семейство всех непрерывных неубывающих выпуклых (см. п.

11.1.2) функций : I R+ таких, что (t) (t), t I.

Из общих свойств выпуклых функций (см. [78], с. 56–66) получаем:

Предложение 13.1. Нижняя огибающая функции : I R+ представляет собой наибольшую неубывающую выпуклую функцию 0 :

I R+, которая непрерывна в смысле R+ слева в точке Q = sup t (13.3) (t) и график которой лежит ниже графика. При этом, 0 (t) для t Q и 0 (t) для t Q.

Более конструктивное описание нижней огибающей приведено ниже в пункте 3.

Будем говорить, что функция : I R+ имеет экспоненциальный рост на бесконечности, если (t) et (13.4) для всех t T при некоторых T 1, 0, 0.

Предложение 13.2. Пусть функция : I R+ имеет экспонен циальный рост на. Тогда ее нижняя огибающая 0 : I R+ также имеет экспоненциальный рост на и, при этом, для нее неравенство Геометрическая и топологическая теория функций и отображений (13.4) выполняется при тех же 0 и 0, что и для, при всех t T = T + 1/.

Действительно, при t = T = T + 1/ касательная к графику функ ции 0 (t) = et проходит через точку (, t) = (0, T ), что эквивалентно равенству 0 (T ) = 0 (T )(T T ) и поэтому функция 0, t [1, T ], 0 (T )(t T ), t [T, T ], (t) = (t), t [T, ], принадлежит классу, определяющему 0.

Обозначим через M класс всех измеримых функций µ(z) : C C, |µ(z)| 1, для которых p(z) = (1 + |µ(z)|)/(1 |µ(z)|) удовлетворяет неравенству (13.1). Благодаря результату Давида [165] (см. п. 11.3.1), получаем:

Предложение 13.3. Пусть : I R+ имеет экспоненциальный рост на. Тогда для любой функции µ M существует и единствен но отображение f H с комплексной характеристикой µ.

Подчеркнем, что нигде в этом параграфе не предполагаются какие либо дополнительные условия регулярности на (t) типа измеримости или, тем более, непрерывности. При этом имеет место:

Предложение 13.4. Пусть : I R+ – произвольная функция с () =. Тогда для непустоты класса H необходимо и достаточно, чтобы inf (t) = 0. (13.5) tI Действительно, необходимость условия (13.5) очевидна. Достаточ ность проверяется непосредственно. Именно, пусть tn [1, ) – про извольная последовательность чисел таких, что (tn ) 2n /, n = 1, 2,.... Рассмотрим отображение f (z) = cn z|z|tn 1, n 1 |z| n, n = 1, 2,..., (13.6) где c1 = 1, а последующие cn находятся по индукции из условия склеи вания: tn+ tn cn n 2 = cn+1 n 2.

Глава 13. О классах отображений с ограничениями интегрального типа Комплексная характеристика отображения f легко вычисляется:

tn 1 z µ(z) =, n 1 |z| n, n = 1, 2,..., tn + 1 z т.е. деформация отображения f равна p(z) = tn, n 1 |z| n, n = 1, 2,..., (13.7) и по построению удовлетворяет (13.1). Как легко видеть, f (0) = 0 и f (1) = 1. Кроме того, отображение f переводит окружности с центром в нуле в такие же окружности, но с другими радиусами. Очевидно, что:

tn+ f ( n + 1) n+1 n+ =, n = 1, 2,..., n f ( n) n и потому, рассуждая по индукции, имеем:

f ( n) n, (13.8) т.е. f (z) при z или f () =. В силу устранимости анали тических дуг (см. [270], c. 47), f является локально квазиконформным.

2. Теорема замыкания. Как мы уже видели в пункте 11.3.1, ло кально равномерная сходимость метризуема, а потому порождает неко торую топологию в пространстве всех нормированных гомеоморфизмов плоскости.

Теорема 13.1. Пусть : I R+ имеет экспоненциальный рост на. Тогда в топологии локально равномерной сходимости:

H = H 0, (13.9) где 0 : I R+ – нижняя огибающая функции. При этом, класс H является секвенциально компактным.

Отметим также одно обстоятельство, которое важно для теории ва риационного метода:

Предложение 13.5. Класс комплексных характеристик M0 яв ляется выпуклым множеством.

Это следует из выпуклости и возрастания 0 (предложение 13.1).

Действительно, как непосредственно проверяется вычислением первой и второй производных, функция 1+ ( ) = = 1 (13.10) 1 Геометрическая и топологическая теория функций и отображений является возрастающей и выпуклой. Таким образом, привлекая еще нера венство треугольника, имеем:

0 ( (|µ(z) + (1 )(z)|)) 0 ( (|µ(z)|) + (1 )0 ((|(z)|)).

3. Конструктивное описание нижней огибающей. В поряд ке подготовки к доказательству и применению теоремы 13.1 приведем более детальное описание нижней огибающей. Пусть I0 = [1, Q], где Q определено в (13.3). Как известно, (ср. [78], c. 56) выпуклость функции : I0 R+ эквивалентна выпуклости ее надграфика, как двумерного множества:

epi = {(, t) R+ I0 : (t)}. (13.11) Если функция непрерывна, то ее надграфик является замкнутым мно жеством. Любое же замкнутое выпуклое множество можно представить в виде пересечения всех опорных к нему полуплоскостей (ср. [336], c. 115). На этом основано следующее описание нижней огибающей:

Лемма 13.1. График нижней огибающей 0 на отрезке I0 = [1, Q] функции : I0 R+ состоит из замкнутых отрезков прямых, опор ных к графику с углами наклона [0, /2]. При этом концы этих отрезков, возможно вырождающихся в точку, принадлежат замыка нию графика по крайней мере для всех (0, /2). При = / соответствующий отрезок всегда вырождается в точку Q, min (Q), lim inf (t).

tQ При = 0 левый конец такого отрезка есть точка (1, inf ) которая, в отличии от правого конца, не всегда принадлежит замыканию графика.

Д о к а з а т е л ь с т в о. График нижней огибающей 0 пред ставляет собой не что иное, как нижнюю часть границы ее надграфика epi 0. Любая же точка границы выпуклого множества epi 0 лежит на некоторой прямой, опорной к этому множеству (ср., напр., [336], c. 116). Обозначим через 0 () опорные полуплоскости к epi 0 с углами наклона,. Можно предполагать, что 0 () при некото ром [0, /2], т.к. опорные прямые 0 () при [/2, 0) содержат единственную точку графика gr 0 неубывающей функции 0 (t) – его левый конец, который к тому же принадлежит 0 () при = 0.

Поскольку функция 0 непрерывна на отрезке I0, то ее надгра фик epi 0 представляет собой замкнутое выпуклое множество и потому Глава 13. О классах отображений с ограничениями интегрального типа def gr () = gr 0 0 (), [0, ], является замкнутым отрезком, кото рый может, конечно, вырождаться в единственную точку.

Покажем, что опорные прямые 0 () и () к надграфикам и на I0, соответственно, совпадают при [0, /2]. Действительно, поскольку 0 (t) (t), то () 0 (), 0,.

Допустим, что хотя бы одна опорная прямая 0 () лежит строго ни же (), [0, ). Однако линейная функция отвечающая прямой () выпукла, непрерывна и не убывает, а также (t) (t), t I.

Следовательно, по определению нижней огибающей 0 (t) (t), t I.

С другой стороны, опорной прямой 0 () принадлежит хотя бы одна точка графика 0 и таким образом по предположению эта точка должна лежать строго ниже графика. Полученное противоречие и доказывает, что () = 0 (), [0, ). Для = /2 это очевидно.

Итак, gr 0 = gr (), [0, ] где gr () = gr 0 (), 0,, действительно представляют собой замкнутые отрезки опорных к гра фику прямых.

Докажем, что при (0, ) концы этих отрезков принадлежат за мыканию графика. Предположим, что для некоторого (0, ) для определенности правый конец g0 = (t0, (t0 )) отрезка gr (0 ) не принад лежит gr. Тогда найдется круговая окрестность U = {g : |g g0 | }, 0, которая не содержит точек gr. При этом плоскость графика нам удобно представить как комплексную плоскость C, g = t + i.


Тогда ясно, что любая прямая, описываемая в параметрической форме g() = g0 + ei, R, для всех [0, + ] при достаточно малом 0, не содержит точек gr. Иначе справа от g0 на (0 ) нашлась бы точка из gr (0 ) epi 0 (0 ) = gr 0 (0 ) = gr (0 ), что противоречит определению точки g0. Отсюда заключаем, что gr лежит выше прямой, проходящей через точки g0 ei0 и g0 + ei(0 +) :

(g0 ei0 ) + (ei(0 +) + ei0 ), R, в то время как точка g0 лежит ниже этой прямой. Таким образом, g0 не может принадлежать gr 0 по определению 0. Полученное противоре Геометрическая и топологическая теория функций и отображений чие и показывает, что концы отрезков gr (), (0, ), действительно принадлежат gr.

Приведенное рассуждение применимо также к правому концу отрез ка gr (0). Очевидно, что левый конец этого отрезка есть (1, inf ) и что он, вообще говоря, не принадлежит gr. Но это так, если только inf (t) = min((1), lim inf (t)).

t1+ tI Далее, по определению графика gr 0 на отрезке I0 ясно что gr всегда вырождается в точку g0 = (Q, 0 (Q)). Покажем, что эта точка принадлежит gr. Итак, пусть tn, n = 1, 2,..., – произвольная последо вательность чисел из полуоткрытого интервала [1, Q), стремящаяся к Q.

Так как 0 (t) непрерывна в R+ на отрезке I0, то 0 (Q) = lim 0 (tn ). Как было показано выше, (tn, 0 (tn )) gr (n ) при некоторых n [0, ), n = 1, 2,.... Пусть gn = (n, 0 (n )) – правые концы отрезков gr (n ). По скольку 0 (t) – неубывающая функция, то lim gn = g0. Как было пока зано выше, gn gr, n = 1, 2,..., и, следовательно, g0 gr.

Ввиду включения gr epi 0, точка g0 = (Q, 0 (Q)) не может лежать выше точки g= Q, min (Q), lim inf (t).

tQ С другой стороны, точка g является самой нижней точкой gr, распо ложенной на вертикальной прямой t = Q, и g0 gr не может лежать ниже g. Следовательно, g0 = g. 4. Лемма о плотности.

Лемма 13.2. Пусть s I = [1, ] и : I R+ имеет экспонен циальный рост на. Тогда класс H(s) H 0, наделенный топологией локально равномерной сходимости, содержит всюду плотное подмно жество гомеоморфизмов со ступенчатыми комплексными характери стиками.

Здесь измеримая функция µ(z) : C C называется ступенчатой, если она принимает не более чем счетное число значений.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Итак, пусть отображение f H(s) H имеет комплексную характеристику µ(z) = q(z)ei(z).

Глава 13. О классах отображений с ограничениями интегрального типа Полагаем µm (z) = qm (z)eim (z), где qm (z) = k 2m, m (z) = l 2m на каждом из множеств Ek l = {z C : k 2m q(z) (k + 1)2m, l 2m (z) (l + 1)2m }, m m k, l = 0, ±1, ±2,... ;

m = 1, 2,.... Отметим, что все множества Ek l так же измеримы (см. [360], с. 28). Поэтому все функции µ(z), 0 (pm (z)), pm (z) = (1 + qm (z))/(1 qm (z)), m = 1, 2,..., также измеримы. Кроме того, 0 qm (z) q(z), |q(z) qm (z)| 2m, |(z) m (z)| 2m. Следовательно, µm (z) µ(z) при m равно мерно по всей плоскости. По предложению 13.3 существует единственный гомеоморфизм fm класса Соболева с комплексной характеристикой µm.

По построению fm H(s) H 0, m = 1, 2,.... Наконец, по следствию 11.9 (см. п. 11.3.1) fm f л.р. при m.

5. Доказательство теоремы 13.1.

1) Секвенциальная компактность класса H 0 следует непосредствен но из теоремы 11.1 с учетом замечания 11.1, предложений 11.1, 13.1 и 13.2, а также теорем Давида (см. п. 11.3.1) и Арцела–Асколи (см. [168], c. 289).

2) Легко доказать включение H H 0. (13.12) Действительно, по определению нижней огибающей 0 (t) (t), t I.

Кроме того, в силу предложения 3.1, функция 0 измерима по Борелю, т.е. прообраз всякого борелевского множества есть борелевское множе ство. Следовательно, 0 суперпозиционно измерима. Таким образом, ес ли p(z) – деформация отображения f H, то суперпозиция 0 (p(z)) является измеримой функцией и 0 0 (p(z)) (p(z)), т.е. f H 0.

Другими словами, H H 0, а потому и H H 0. Наконец, в силу секвенциальной компактности, H 0 = H 0 и мы получаем (13.12).

3) Для доказательства обратного включения покажем сначала, что def H = H(Q ) H 0 H (13.13) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений для любого Q Q, где Q из (13.3). При этом мы будем предполагать, что inf = 0, т.е. что 0 (1) = 0, т.к. иначе по предложению 13.4 классы пусты и доказывать нечего.

По лемме 13.2. существует подмножество гомеоморфизмов H0 H со ступенчатыми характеристиками такое, что H H0. Поскольку (см.

[229], с. 44):

H = H, (13.14) то нам достаточно показать, что H0 H. (13.15) Итак, пусть отображение f H0 и, следовательно, его комплексная характеристика имеет вид:

µ(z) = l, z El, l = 1, 2,..., (13.16) где El = C, l = l l, l [0, q], q = (Q 1)/(Q + 1), l C, |l | = 1.

Обозначим l = 0 (tl ), tl = (1 + l )/(1 l ).

Без ограничения общности можно считать, что 0 (p(z))dx dy 1, (13.17) C где p(z) = (1 + |µ(z)|)/(1 |µ(z)|). Действительно, пусть M0 – класс ха рактеристик µ отображений f из H0 и пусть H – класс нормированных гомеоморфизмов f с характеристиками µ (z) = µ(z), µ M0, (0, 1). В силу монотонности 0, H H. При 1, µ (z) µ(z) и по следствию 11.9 (п. 11.3.1) f f л.р. Таким образом, H0 H, (0,1) и, следовательно, H H H.

(0,1) (0,1) Это позволяет при необходимости заменить H0 на H, (0, 1). Од нако, в классах H, (0, 1), заведомо имеет место (13.17).

Доопределим функции и 0 с отрезка Io = [1, Q] на отрезок [Q1, 1] соотношениями (t) = (t1 ) и 0 (t) = 0 (t1 ). Согласно лемме 13. Глава 13. О классах отображений с ограничениями интегрального типа точки (tl, l ), l = 1, 2,..., принадлежат отрезкам прямых, опорных к (1) (1) (2) (2) графику функции. Пусть (tl, l ) и (tl, l ), l = 1, 2,..., – концы этих отрезков в графике функции 0, а l [0, 1] – числа, определяемые из равенств (1) (2) tl = l tl + (1 l )tl, l = 1, 2,....

Тогда (1) (2) l = l l + (1 l )l, l = 1, 2,..., (1) и, согласно той же лемме, существуют такие последовательности tlm (1) (2) (2) (1) (1) (1) (2) (2) (2) tl и tlm tl, что lm = tlm l и lm = tlm l при m. Таким образом, при m (0) def (1) (2) tlm = l tlm + (1 l )tlm tl (13.18) и (0) def (1) (2) lm = l lm + (1 l )lm l. (13.19) Для дальнейшего важно, что указанные последовательности, в силу предложений 13.1 и 13.2, всегда можно выбрать так, что (j) (j) 1 tlm Q0, 1 lm 0, для всех j = 0, 1, 2;

l, m = 1, 2,..., где выбор Q0 Q и 0 при заданной зависит только от Q.

За счет дополнительной сегментации плоскости всегда можно до биться, чтобы mes El для всех El, l = 1, 2,... из (13.16). При этом, прямо по построению можно предполагать, что (0) lm l 2(l+m) / mes El (13.20) для всех l = 1, 2,....

Полагаем (j) (j) lm = lm l, где l взяты из (13.16), |l | = 1, и (j) (j) (j) lm = tlm 1 / tlm + j = 0, 1, 2;

l, m = 1, 2,.... Тогда по лемме 12.1 (при = l и = l ) (n) найдется последовательность отображений Flm : C C, n = 1, 2,...

класса H(Q0 ) с характеристиками (1) (n) lm, z El, (n) µlm (z) = (2) (n) lm, z C \ El, Геометрическая и топологическая теория функций и отображений которая сходится к отображению Flm H(Q0 ) с характеристикой (0) µlm (z) lm, z C, при этом, на любом измеримом множестве E C c mes E (n) (0) lim (plm (z)) dx dy = lm mes E, n E (n) где plm (z) – соответствующие деформации.

Пусть – метрика на классе H(Q0 ), введенная в пункте 11.3.1 по формулам (11.73) и (11.74). Тогда по построению (n) Flm, Flm при n. Поэтому для любых фиксированных l и m = 1, 2,..., най дется номер k = n(l, m) такой, что (n) Flm, Flm 1/m, где (n) (k) Flm (z) = Flm (z), и (0) (plm (z))dx dy lm mes El 2(l+m), El где plm – деформации отображений F lm.

Пусть Fl H(Q0 ) – отображение с характеристикой µl (z) l, z C, и, соответственно, с деформацией pl (z) tl, z C. Тогда в силу следствия 11.9 (п. 11.3.1) и соотношений (13.18) и (13.19) lim (Flm, Fl ) = 0, m (0) lim lm mes El = 0 (pl (z))dx dy m El и, следовательно, lim (F lm, Fl ) = 0, m (plm (z))dx dy = lim 0 (pl (z))dx dy.

m El El Глава 13. О классах отображений с ограничениями интегрального типа Полагая µm (z) = µlm (z), z El, l = 1, 2,..., для соответствующих деформаций, в силу (13.20), получаем:

(pm (z))dx dy 0 (p(z))dx dy 2m.

C C Таким образом, (pm (z))dx dy = lim 0 (p(z))dx dy.

m C C Пусть F m H(Q0 ) – отображения с характеристиками µm, m = 1, 2,....

Тогда в силу (13.17) F m H для достаточно больших m.

По предложению 11.10 H(Q0 ) – секвенциально компактный класс и по аксиоме Урысона (см. п. В1), а также по лемме 11.7 имеем, что F m f л.р. при m.

4) Наконец, докажем обратное включение H 0 H. (13.21) Итак, пусть отображение f H 0 и µ(z) – его комплексная характери стика, а p (z) – деформация. Полагаем µ(z), z Em, µm (z) = 0, z C \ Em, где Em = {z C : p(z) m}.

Обозначим через fm отображение класса H(m) H 0 с характеристикой µm. Поскольку µm (z) µ(z) по мере и деформации pm (z) p(z), m = 1, 2,..., т.е. fm H(p(z)), m = 1, 2,..., то по следствию 11.9 (п. 11.3.1) fm f л.р. Однако, в силу предыдущего пункта доказательства fm H. С учетом (13.14), f H, что и завершает доказательство.

13.2. Критерий компактности.

Основной результат параграфа – необходимые и достаточные усло вия компактности классов гомеоморфизмов с ограничениями на дилата цию интегрального типа (теорема 13.2).

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Пункт 1 содержит формулировку этой теоремы и некоторые след ствия из нее для Qк.к. отображений (следствия 13.1 и 13.2). Здесь же приведен довольно неожиданный пример некомпактного класса с инте гральным ограничением (13.22).

Доказательство теоремы 13.2 проведено на основе теоремы 13.1 в пункте 4 после топологических замечаний пункта 2 (следствие 13.2) и леммы о равенстве пункта 3 (лемма 13.3).

1. Необходимые и достаточные условия компактности. В обо значениях пункта 13.1.1 имеет место:

Теорема 13.2. Пусть : I R+, I = [1, ], имеет экспоненци альный рост на и inf = 0. Тогда следующие утверждения эквива лентны:


1) H секвенциально компактен относительно локально равномер ной сходимости;

2) не убывает, выпукла и непрерывна в смысле R+ слева в точке Q из (13.3).

Напомним, что условие inf = 0 при () = является необходи мым и достаточным для того, чтобы класс H был не пуст (предложение 3.4).

Если Q, где Q задано в (13.3), то условие экспоненциального роста на автоматически выполнено и, таким образом мы имеем:

Следствие 13.1. Пусть : I R+ – произвольная функция с inf = 0 и Q. Тогда для секвенциальной компактности класса H необходимо и достаточно, чтобы была непрерывной, неубывающей и выпуклой функцией на отрезке I0 = [1, Q].

Заметим, что непрерывность функции здесь понимается в смысле топологии R+, т.е., если (Q) =, то (Q 0) =.

Обозначим H (K) подкласс H всех Kк.к. отображений, K, т.е.

H (K) = H H(K).

Как легко видеть, H (K) = H K, где (t), 1 t K, K (t) =, t K.

Поэтому в силу предыдущего следствия имеем:

Глава 13. О классах отображений с ограничениями интегрального типа Следствие 13.2. Пусть : I R+ и inf (t) = 0, (13.22) 1tK где K Q. Тогда для секвенциальной компактности класса H (K) необходимо и достаточно, чтобы была неубывающей, выпуклой и непрерывной в R функцией на отрезке IK = [1, K].

Приведем несколько характерных примеров:

Пример 1. Пусть (t) = c(e(t1) 1), где c и 0. Тогда класс H не пуст и секвенциально компактен.

Пример 2. Пусть 1 K и (t) = c(t 1), где c 0 и 1.

Тогда класс H (K) секвенциально компактен.

Пример 3. Пусть 1 Q и t, 1 t Q, Qt (t) =, t Q.

Тогда класс H секвенциально компактен, поскольку (t) и (t) для t [1, Q) и (Q 0) =.

Наконец, приведем пример некомпактного класса. Таковым явля ется класс всех Qк.к. отображений с интегральным ограничением на комплексную характеристику вида:

|µ(z)|dx dy 1. (13.23) C Действительно, в наших обозначениях это есть класс H с (t 1)/(t + 1), 1 t Q, (t) =, t Q.

Как легко видеть, функция (t) = (t 1)/(t + 1) не является выпуклой, поскольку (t) = 4/(t + 1)3 0. Таким образом, не выполнено одно из условий компактности.

2. Топологические замечания. Согласно теореме 13.1, для лю бой функции : I R+ с экспоненциальным ростом на, класс H является секвенциально компактным относительно локально равномер ной сходимости, где 0 – нижняя огибающая. Пространство гомео морфизмов H 0 метризуемо (см. п. 11.3.1). Поэтому имеет место аналог следствия 11.10:

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Следствие 13.3. Пусть : I R+, I = [1, ], имеет экспоненци альный рост на и пусть 0 : I R+ – нижняя огибающая функции. Тогда для любого подкласса H H 0 следующие утверждения экви валентны:

1. H замкнут;

2. H компактен (бикомпактен);

3. H секвенциально компактен.

Благодаря этому, теорема 13.1 о замыкании классов H сыграет ключевую роль при доказательстве критерия компактности H, сфор мулированного в предыдущем пункте.

Отметим, что для пространства гомеоморфизмов H 0 сохраняют также силу и все остальные топологические замечания, которые мы при вели в конце пункта 11.3.1 относительно H(Q(z)).

3. Лемма о равенстве. В обозначениях пункта 13.1.1 имеет место:

Лемма 13.3. Пусть 1 и 2 : I R+, I = [1, ], – произволь ные функции с inf 1 = inf 2 = 0 и 1 () = 2 () =. Тогда для выполнения равенства M1 = M2 (13.24) необходимо и достаточно, чтобы 1 (t) 2 (t), t I. (13.25) Эта лемма, наряду со следствием 13.3, позволит нам редуцировать доказательство теоремы 13.2 прямо к теореме 13.1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность условия (13.25) для равенства (13.24) самоочевидно.

Пусть теперь (13.25) не имеет место, т.е. пусть для определенности 1 = 1 (t0 ) 2 (t0 ) = в некоторой точке t0 I \ {}. Пусть 0 1.

Тогда найдется r такое, что 1+ r 1 Глава 13. О классах отображений с ограничениями интегрального типа и, соответственно, c такое, что r2 (2 + c) 1.

Поскольку inf 2 = 0 и 2 () =, то найдется также последователь ность tn I \ {} такая, что 2 (tn ) c 2n.

def Полагаем µ(z) = (tn 1)/(tn + 1) при r n |z| r n + 1 для n = 0, 1, 2,..., имеем, что 1 (p(z))dx dy r2 1 (1 + )2 1, C т.е. µ M1. С другой стороны, 2 (p(z))dx dy r2 2 + r2 c 1, C т.е. µ M2. Таким образом, (13.24) заведомо не имеет место и необхо димость условия (13.25) доказана. 4. Доказательство теоремы 13.2. 2) 1). При указанных усло виях на по предложению 13.1 (п. 13.1.1) 0 =, следовательно, H = H 0 и по теореме 13.1 класс секвенциально компактен.

1) 2). По следствию 13.3 секвенциальная компактность класса H эквивалентна его замкнутости, т.е. тому, что H = H.

Тогда по теореме 13.1 имеем:

H 0 = H.

Отсюда, в силу предложений 13.2 и 13.3 (п. 13.1.1) получаем равенство M0 = M и по лемме 13. (t) 0 (t).

Однако, по предположению 13.1 функция 0 удовлетворяет условиям 2) в теореме 13.2. Геометрическая и топологическая теория функций и отображений 13.3. К теории вариационного метода.

В этом параграфе собраны основные следствия к теории вариацион ного метода для классов гомеоморфизмов с ограничениями на дилата цию интегрального типа. Структура результатов этого параграфа пол ностью аналогична §2.3.

В пункте 1 сформулирован принцип редукции экстремальных задач из некомпактных классов в компактные (следствие 13.4).

Пункт 2 содержит построение вариаций в компактных классах (лем ма 13.4). При этом мы используем выпуклость множества комплексных характеристик в компактных классах (следствие 13.5).

В пункте 3 сформулирован и доказан один из основных результатов – вариационный принцип максимума (теорема 13.3).

Наконец, в пункте 4 приведены другие необходимые условия экстре мума (предложение 13.5).

1. Принцип редукции экстремальных задач. Пусть H – мно жество всех гомеоморфизмов расширенной комплексной плоскости C на себя класса ACL с нормировками f (0) = 0, f (1) = 1, f () =, и пусть : H R – вещественнозначный функционал. Будем говорить, что функционал непрерывен, если (fn ) (f ) при fn f л.р.

Непосредственно из теоремы замыкания (теорема 13.1) получаем:

Следствие 13.4. (Принцип редукции) Пусть : I R+, I = [1, ], – произвольная функция с экспоненциальным ростом на.

Тогда для любого непрерывного функционала : H R sup (f ) = max (f ), (13.26) f H f H где через 0 обозначена нижняя огибающая функции.

Заметим, что в силу теоремы 13.1 класс H 0 компактен. Таким об разом, экстремальная задача о sup, первоначально заданная, вообще говоря, на некомпактном классе H, сводится к экстремальной задаче на компактном классе. Поэтому в дальнейшем все экстремальные зада чи рассматриваются только в компактных классах H.

Отметим,что принцип редукции сохраняет свою силу и для функци оналов, заданных только на H. Кроме того, условие непрерывности можно заменить на более слабое условие полунепрерывности снизу, состоящее в том, что (f ) lim inf (fn ) (13.27) n для любой последовательности fn f л.р.

Глава 13. О классах отображений с ограничениями интегрального типа 2. Построение вариаций в компактных классах.

Пусть функция : I R+, I = [1, ], имеет экспоненциальный рост на. Согласно предложению 13.4 для непустоты класса H необ ходимо и достаточно, чтобы inf = 0. Тогда по теореме 13.2 для ком пактности класса H необходимо и достаточно, чтобы не убывала, была выпуклой и непрерывной слева в точке Q из (13.3) в смысле R+.

В силу предложений 13.1 и 13.5 для таких множество комплексных характеристик M является выпуклым. Таким образом, имеет место:

Следствие 13.5. Пусть : I R+, I = [1, ] – произвольная функция с экспоненциальным ростом на. Если класс отображений H секвенциально компактен, то класс комплексных характеристик M является выпуклым множеством.

Поэтому, если µ и M, то µ = µ + ( µ) (13.28) также принадлежит M при всех [0, 1]. По предложению 13.3 ва риация µ, [0, 1], характеристики µ порождает соответствующую вариацию f, [0, 1], отображения f в классе H.

Лемма 13.4. Пусть неубывающая выпуклая функция : I R+, I = [1, ], имеет экспоненциальный рост на и пусть µ M – комплексная характеристика отображения f H, a M такова, что функция = ( µ)/(1 |µ|2 ) (13.29) принадлежит открытому единичному шару в L (C). Тогда существу ет вариация f, [0, 1], отображения f в классе H вида:

f () = f () ((z) µ(z))(f (z), f ())fz dx dy + o(;

z), (13.30) C где 1 w w (w, w ) =. (13.31) ww w w Эта лемма доказывается совершенно аналогично лемме 12.2.

3. Вариационный принцип максимума. В терминах пункта 12.3. имеет место:

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Теорема 13.3. Пусть неубывающая выпуклая функция : I R+,c (1) = 0 и (Q) = 0 имеет экспоненциальный рост на, а функционал : H R дифференцируем по Гато без вырождения.

Тогда для любого отображения f H, на котором достигается max по классу H, деформация p(z) удовлетворяет равенству:

(p(z))dx dy = 1. (13.32) C Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что (p(z))dx dy = 1.

C Пусть Q из (13.3). Тогда p(z) Q п.в. Если (Q) =, то найдется монотонно возрастающая последовательность Qm Q, m = 1, 2,..., такая, что Qm Q при m. Если же (Q), то полагаем Qm = Q, m = 1, 2,....

Характеристика µ отображения f имеет вид µ(z) = k(z)ei(z), где k(z) = (p(z)1)/(p(z)+1), (z) : C R – некоторая измеримая функция.

Рассмотрим функции µ± (z) = µ(z) ± m (z)z0,r (z), m m (z) = 0 (qm k(z))ei(z) m (z).

Здесь qm = (Qm 1)/(Qm + 1), m (z) – характеристическая функция множества Em = {z C : p(z) Qm }, a z0,r (z) – характеристическая функция круга Kz0,r = {z C : |z z0 | r}, z0 C, r 0, 0 (0, 1), m = 1, 2,....

Пусть p± (z) = (1 + |µ± (z)|)/(1 |µ± (z)|). Тогда в силу монотонности m m m функций (t) : I R+ и t( ) = (1 + )/(1 ) : [0, 1] I, получаем неравенство (p± (z)) (Qm ) m для z Em Kz0,r и равенство (p± (z)) = (p(z)) m Глава 13. О классах отображений с ограничениями интегрального типа для z C \ Em Kz0,r. Поэтому при (1 ) r (Qm ) функция µ± (z) принадлежит классу M.

m При 0 0 1 qm функции µ± (z) µ(z) m (z)z0,r (z) m ± m (z) = =± 2 1 |µ(z)| 1 |µ(z)| принадлежат открытому единичному шару в L (C).

Следовательно, в силу вариационной формулы (13.30), дифферен цирования функционала по Гато (12.28) и условия экстремальности отображения f немедленно получаем, что ±Re m (z, )dx dy d() 0, C |zz0 |r т.е. Re m (z, )dx dy d() = 0, C |zz0 |r где m (z, ) = m (z)fz (f (z), f ()).

Рассмотрим также функции fz + f 1 (w) (w, f ()).

m (w, ) = m (z) fz Они интегрируемы относительно произведения мер dmw d(). Поэто му по теории Лебега-Фубини (см. [79], c. 353) m (w, ) dmw d() = m (w, ) d() dmw C C C C и, делая замену переменной (см. [270], с. 126 и 136), из предыдущего получаем: Re m (z, )d() dx dy = 0.

C |zz0 |r Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Отсюда по теореме о дифференцировании неопределенного интеграла (см. [360], с. 180) m (z)fz A(f (z)) = 0 п.в.

В силу (12.30) и абсолютной непрерывности гомеоморфизмов f и f 1 в случае Давида (см. [165], с. 27) fz A(f (z)) = 0 п.в.

Следовательно, m (z) = 0 п.в. и потому k(z) = qm п.в. на Em, m = 1, 2,....

Заметим теперь, что множества Em расширяются при увеличении m. Кроме того, Em исчерпывают всю плоскость по мере, qm q при m. Поэтому k(z) = q п.в. на C. Однако это противоречит при надлежности µ(z) классу M, т.к. (Q) = 0 по условию. Полученное противоречие и доказывает (13.32). 4. Необходимые условия экстремума. Пусть 1+ D( ) =, [0, 1]. (13.33) Предложение 13.5. В условиях теоремы 13.3 отображение f удо влетворяет уравнению fz = (z) fz, (13.34) где A(f (z)) (z) = k(z), (13.35) A(f (z)) D(k(z))dx dy = 1. (13.36) C Здесь A задано соотношением (12.30).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство (13.36) составляет принцип максимума, доказанный в предыдущем пункте. Соотношение (13.35) эк вивалентно неравенству (z)A(f (z)) 0 п.в. (13.37) или µ(z)B(z) 0 п.в., (13.38) Глава 13. О классах отображений с ограничениями интегрального типа где µ – комплексная характеристика f, а B(z) = A(f (z))fz. (13.39) В дальнейшем мы используем обозначения Qm, qm, Em, m, Kz0,r и z0,r, введенные при доказательстве предыдущей теоремы 13.3. Пусть µ(z) = k(z)ei(z).

Тогда классу M принадлежат также 0 (z) = k(z)ei0 (z), где 0 (z) : C R – произвольная измеримая функция. Поскольку любой круг является выпуклым множеством, то и µ + (0 µ) M для любой измеримой функции (z) : C [0, 1]. В частности, классу M принадлежат функции (m) z0,r (z) = µ(z) + m (z)z0,r (z)(0 (z) µ(z)), где 1 |µ(z)| m (z) = m (z).

При этом, функция (m) z0,r (z) µ(z) 0 (z) µ(z) (m) z0,r = = m (z)z0,r (z) 1 |µ(z)|2 принадлежит замкнутому шару радиуса qm 1 в пространстве L (C).

Поэтому, в силу вариационной формулы (13.30), дифференцирова ния функционала по Гато (12.28) и условия экстремальности отобра жения f, получаем неравенство:

Re m (z, )dx dy d() 0, C |zz0 |r где m (z, ) = m (z)(0 (z) µ(z))fz (f (z), f ()).

Повторяя рассуждения, которые уже использовались нами при доказа тельстве предыдущей теоремы 13.3, по теореме Фубини можем здесь из менить порядок интегрирования:

Re m (z, )d() dx dy 0.

C |zz0 |r Геометрическая и топологическая теория функций и отображений В силу теоремы Лебега о дифференцировании неопределенного ин теграла (см. [360], c. 180), имеем для п.в. z C неравенство m (z) Re (0 (z) µ(z))B(z) 0, где B(z) задано (13.39). По другому:

Re µ(z)B(z) Re 0 (z)B(z) для п.в. z Em. Поскольку же Em, m = 1, 2,..., образуют исчерпание плоскости C по мере, то для п.в. z C:

Re µ(z)B(z) k(z)Re ei0 (z) B(z).

При k(z) B(z) = 0 только для B(z) ei0 (z) = |B(z)| достигается абсолютный минимум выражения, стоящего справа. Следо вательно, имеет место (13.38). Глава О ПОВЕДЕНИИ КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В ТОЧКЕ Данная глава посвящена изучению вопроса о конформности и диф ференцируемости квазиконформных отображений в точке по Белинско му.

Основным результатом §14.1 является теорема 14.1 о критериях кон формности по Белинскому. Один из критериев сводится к асимптоти ческой однородности отображения в точке. Условия имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Отсюда, в качестве следствий теоремы 11.3, в терминах преобразования Фурье комплексных характеристик, по лучены и другие необходимые и достаточные условия (следствия 14.3, 14.4). Приводятся также эффективные достаточные условия дифферен цируемости по Белинскому, которые состоят в том, что данная точка должна быть точкой аппроксимативной непрерывности или точкой Ле бега комплексной характеристики (следствия 14.1, 14.2).

§14.2 посвящен обсуждению проблемы Райха–Вальчака о конформ ности квазиконформных отображений в точке. На основе теорем 12.1 и 14.1 здесь дается положительный ответ на аналогичный вопрос для кон формности по Белинскому (теорема 14.2). Поскольку при конформности по Белинскому сохраняются многие геометрические свойства обычной конформности, этот результат можно рассматривать как частичное ре шение исходной проблемы Райха–Вальчака.

Главным результатом §14.3 является теорема 14.3 о поведении лога рифма модуля квазиконформного отображения, конформного по Белин скому в данной точке. В качестве иллюстрации возможных приложений этой теоремы приведено предложение 14.3 о существовании решений с особенностями логарифмического типа одного из основных уравнений математической физики.

14.1. Критерии конформности по Белинскому.

Главной целью параграфа являются критерии конформности и диф ференцируемости по Белинскому квазиконформных отображений в точ ке.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений В пункте 1 содержатся все необходимые определения и предвари тельные замечания.

В пункте 2 приведена формулировка основного результата – теоремы 14.1 о необходимых и достаточных условиях конформности по Белинско му. Дана геометрическая интерпретация условий. В качестве следствий сформулированы эффективные достаточные условия дифференцируемо сти по Белинскому (следствия 14.1, 14.2).

Доказательство теоремы 14.1 проведено в пункте 3.

1. Определения и предварительные замечания. Напомним, что отображение f называется конформным в точке z0, если оно диф ференцируемо в этой точке в смысле Дарбу-Штольца f (z) f (z0 ) = fz (z0 )(z z0 ) + fz (z0 )(z z0 ) + o(|z z0 |), (14.1) и если fz (z0 ) = 0, a fz (z0 ) = 0.

Как показывает пример w = z(1ln |z|) Б.В. Шабата (см. [48], c. 40), при непрерывной комплексной характеристике µ(z) отображение w = f (z) может быть недифференцируемым в этом смысле.

Если характеристика µ(z) непрерывна в точке z0, то, как по-видимому впервые установлено П.П. Белинским (см. [48], c. 41), отображения w = f (z) дифференцируемо в z0 в следующем смысле:

w = A() z + µ0 z + o(), (14.2) где µ0 = µ(z0 ), = |z + µ0 z|, o()/ 0 при 0 и A(t) lim =1 t0. (14.3) 0 A() Дифференцируемость отображения f в смысле (14.2) с дополнитель ным условием (14.3) будет в дальнейшем именоваться как дифференци руемость по Белинскому. При этом, в случае отсутствия непрерывности µ(z), в соотношении (14.2) не обязательно µ0 = µ(z0 ). Если µ0 = 0, то говорим также, что f конформно по Белинскому в точке z0.

Как будет видно из дальнейшего, аппроксимативная непрерывность характеристики остается достаточным условием дифференцируемости f по Белинскому с µ0 = µ(z0 ). Заметим также, что условие аппроксима тивной непрерывности характеристики µ в точке z0 эквивалентно сходи мости по мере µ (z) µ0 = µ(z0 ) при 0, где µ (z) = µ(z0 + z), 0. (14.4) Глава 14. О поведении квазиконформных отображений в точке В дальнейшем для краткости будем говорить, что µn (z), n = 1, 2,..., ch.

сходится к µ(z) в смысле характеристик и писать µn µ, если fn f л.р. для соответствующих отображений класса H(Q) всех Qквазикон формных отображений плоскости с нормировками f (0) = 0, f (1) = 1, ch.

f () =. Как мы покажем, условие µ µ0 при 0 как раз являет ся необходимым и достаточным для дифференцируемости отображения f в точке z0 по Белинскому. В данной главе везде Q.

2. Критерии конформности по Белинскому.

Теорема 14.1. Пусть f : C C – квазиконформное отображение с f (0) = 0. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) f конформно по Белинскому в нуле;

2) для любого C при f ( ) lim = ;

(14.5) 0 f ( ) 3) для любого 0 при |z | |z| и z, z C f (z ) z lim = 0;

(14.6) f (z) z z 4) для любого C при z C = C \ {0} f (z) lim =. (14.7) z0 f (z) При этом, предел в (14.7) является локально равномерным отно сительно.

В частности, при |z | = |z| из (14.6) получаем, что max |f (z)| |z|=r lim = 1, (14.8) min |f (z)| r |z|=r т.е. что характеристика Лаврентьева p (0) = 1. В этом случае естественно говорить, что отображение f конформно в нуле в смысле Лаврентьева.

Как мы видим, из обычной конформности следует конформность по Бе линскому, а из последней – конформность по Ларентьеву, означающей геометрически, что инфинитезимальный круг с центром в нуле перехо дит в инфинитезимальный круг.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Однако условие (14.7) гораздо сильнее условия (14.8). Из (14.7) мы получаем также асимптотическое сохранение углов между лучами, ис ходящими из начала в направлении соответствующих точек:

lim [arg f (z ) arg f (z)] = arg (14.9) z и сохранение модулей инфинитезимальных колец |f (z )| lim = ||. (14.10) z0 |f (z)| Последние два геометрические свойства являются характеристиками для конформности по Белинскому. Как показывает пример f (z) = zei ln |z| (см. [48], c. 41) и пример Б.В. Шабата из предыдущего пункта, при конформности по Белинско му, в отличии от обычной конформности, допускается переход радиаль ных линий в бесконечно накручивающиеся спирали, а также бесконечно большие растяжение и сжатие в точке.



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.