авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |

«Национальная академия наук Украины Институт прикладной математики и механики СЕРИЯ «ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ: МАТЕМАТИКА, ...»

-- [ Страница 7 ] --

Приведем наиболее интересное следствие теоремы 14.1, вытекающее из пункта 2):

Следствие 14.1. Пусть Qк.к. отображение f : C C име ет комплексную характеристику µ(z), аппроксимативно непрерывную в точке z0. Тогда f дифференцируемо по Белинскому в этой точке с µ0 = µ(z0 ).

Действительно, f дифференцируемо по Белинскому в точке z0 в том и только в том случае, когда g = h 1 конформно по Белинскому в нуле, где h(z) = f (z0 + z) f (z0 ) и (z) = z + µ0 z.

Здесь подразумевается, что µ0 C взято из (14.2).

По пункту 2) теоремы 14.1 это эквивалентно тому, что g () g0 () при 0, 0, для любого C, где g( ) g () =, g0 () =.

g( ) Последнее в свою очередь эквивалентно тому, что h (z) h0 (z) при 0, 0, для любого C, где g ((z)) h( z) (z) h (z) = =, h0 (z) =.

g ((1)) h( ) (1) Глава 14. О поведении квазиконформных отображений в точке В силу замечаний предыдущего пункта относительно µ (z) из (14.4), по следствию 11.9 (п. 11.3.1) получаем следствие 14.1.

Учитывая то обстоятельство, что для функций из L точки аппрок симативной непрерывности совпадают с точками Лебега, предыдущее следствие можно сформулировать и по другому:

Следствие 14.2. Пусть Qк.к. отображение f имеет комплекс ную характеристику µ, удовлетворяющую условию:

lim |µ(z) µ(z0 )| dx dy = 0. (14.11) r0 r |zz0 |r Тогда f дифференцируема по Белинскому в точке z0 с µ0 = µ(z0 ).

Из теорем 11.3 и 6.2 части II получаем новые критерии дифферен цируемости по Белинскому.

Следствие 14.3. Для дифференцируемости по Белинскому Qк.к.

отображения f в точке z0 необходимо и достаточно, чтобы F (µ ) F (µ0 ) при 0 слабо в L2 (C), где µ0 из (14.2) не обязательно равно µ(z0 ).

Здесь через обозначена характеристическая функция единичного круга = {z C : |z| 1}, µ задано (14.4), a F () – нелинейное преобразование, введенное в пункте 11.3.2, см. (11.75):

F () = m + m( (m)) +..., (14.12) где обозначает свертку функций, ()ei Re z d d (z) = (14.13) C – преобразование Фурье, m(z) = z/z L (C) – мультипликатор.

Из следствия 14.3 в частности имеем:

Следствие 14.4. Для конформности по Белинскому Qк.к. отоб ражения f в точке z0 необходимо и достаточно, чтобы F (µ ) при 0 слабо в L2 (C).

3. Доказательство теоремы 14.1. Мы будем придерживаться схе мы 1) 2) 3) 4) 1). При этом используем следующие обозначе ния:

fz () f ( z)/f (z), z C = C \ {0}, f0 () Геометрическая и топологическая теория функций и отображений для всех C.

1) 2). Непосредственно из (14.2), (14.3) следует, что f () f0 () при 0, 0, для любого фиксированного C.

2) 3). Утверждение 2) влечет,что f f0 л.р. (см. [270], с. 76).

Заметим также, что f|z| (z/|z|) f (z ) fz () = =, f|z| (z/|z|) f (z) когда = z /z.

Покажем, что fz () f0 () 0 при z 0, z C, равномерно относительно D = {z C : || } для любого 0.

Действительно, предположим обратное. Тогда найдется число и последовательности n D, zn 0, zn C, такие, что |gn (n ) n |, где gn () = fzn (), C. Поскольку круг D и единичная окружность D1 являются компактами, то без ограничения общности можно дополнительно предполагать, что n 0 D и n = zn /|zn | 0 D1 при n.

Обозначим через n () отображения f|zn | (), C, n = 1, 2,.... То гда, используя приведенные выше замечания, мы заключаем, что n () при n равномерно на D D1 и, кроме того, gn () = n (n )/n (n ).

Следовательно, gn () при n равномерно на D. Таким образом, gn (n ) 0 при n. Это противоречит сделанному выше предполо жению.

3) 4). Полагая в (14.6) z = z и = 2||, немедленно получаем (14.7).

Последнее означает, что fz () f0 () при z 0, z C, поточечно, а потому и локально равномерно относительно z C (см. [270], c. 76).

4) 1). Из (14.7) для z = 0, = ei, R, и w = z = ei получаем, что f (w) = f ()( + ()), где () 0 при 0. Таким образом, f (w) = A()(w + o()), где f () A() = и o()/ 0 при 0, т.е. имеет место (14.2). Кроме того, из (14.7) с z = 0 и = t 0 получаем, что A удовлетворяет (14.3).

Глава 14. О поведении квазиконформных отображений в точке 14.2. К проблеме Райха–Вальчака.

Основной результат параграфа – положительное решение проблемы Райха–Вальчака относительно конформности по Белинскому (теорема 14.2).

В пункте 1 приведены постановка проблемы и формулировка основ ного результата.

Пункт 2 содержит некоторые предварительные замечания (предло жения 14.1, 14.2).

Доказательство теоремы 14.2 проведено в пункте 3 на основе теорем 12.1 и 14.1.

1. Постановка проблемы. Формулировка теоремы. Если два Qк.к. отображения f и g имеют одинаковую комплексную характери стику µ в окрестностях точки z0, то в этой окрестности f = A g, где A – некоторая аналитическая функция. Таким образом, дифференциальные свойства квазиконформного отображения в точке полностью определя ются комплексной характеристикой этого отображения в окрестности данной точки.

В работе [322] была высказана гипотеза, что, каков бы ни был модуль комплексной характеристики k(z) = |µ(z)|, всегда можно так подобрать ее аргумент arg µ(z), что соответствующее квазиконформное отображе ние f (z) будет конформным в любой наперед заданной точке плоско сти z0 C. В той же работе было дано частичное решение этой про блемы. Именно, Райх и Вальчак показали, что для любой измеримой функции (r) : (0, 1) [0, q], q 1, существует Qк.к отображение (Q = (1 + q)/(1 q)) единичного круга на себя, которое конформно в ну ле и комплексная характеристика которого по модулю равна (|z|) п.в.

(см. также [270], с. 248–249).

Указанная проблема естественным образом переформулируется для конформности по Белинскому. Поскольку при этом сохраняются мно гие геометрические свойства конформных отображений, перечисленные в предыдущем параграфе, то следующую теорему можно также рас сматривать как частичное решение и самой исходной проблемы Райха– Вальчака:

Теорема 14.2. Пусть k(z) : C R – произвольная измеримая функция такая, что 0 k(z) q 1, и пусть z0 C – произвольная точка плоскости.

Тогда существует Qк.к. отображение f : C C с комплексной характеристикой µ : C C, |µ(z)| = k(z) п.в., которое является кон формным по Белинскому в точке z0.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений При этом, в силу сделанных выше замечаний, всегда можно дополни тельно предполагать, что f H(Q), т.е. f (0) = 0, f (1) = 1 и f () =.

При доказательстве этой теоремы основную роль будет играть кри терий 2) теоремы 14.1 конформности по Белинскому, а также теорема 12.1 о замыкании.

2. Предварительные замечания. Итак, пусть M(Q) – L -про странство комплексных характеристик µ отображений f класса H(Q), ch.

которое мы наделяем сходимостью µn µ, индуцируемой локально рав номерной сходимостью соответствующих отображений fn f (см. п.

11.3.1, 14.1.1). Отметим при этом, что локально равномерная сходимость для Qк.к. отображений эквивалентна простой (поточечной) сходимости (см. [270], с. 76). Более того, это эквивалентно поточечной сходимости на всюду плотном подмножестве плоскости C (см. там же).

Выбирая соответствующие последовательности fn и gn, n = 1, 2,..., Qк.к. отображений и используя связь характеристик µf µg gz g µf g1 = · (14.14) 1 µf µg gz (см. [16], c. 16), мы получаем:

Предложение 14.1. Пусть µ и µn M(Q), n = 1, 2,..., и пусть ch.

µn µ при n. Тогда:

1) для любого c C :

ch.

µn (z + c) µ(z + c), (14.15) 2) для любого a C = C \ {0}:

a ch. a µn (az) µ(az), (14.16) a a 3) для любых cn C, n = 1, 2,..., таких, что cn c0 при n ch.

µn (z + cn ) µ(z + c0 ), (14.17) 4) для любых an C = C \ {0}, n = 1, 2,..., таких, что an a C при n an ch. a µn (an z) µ(a0 z), (14.18) an a 5) для любого дробно-линейного отображения : C C (z) ch. (z) µn ((z)) µ((z)). (14.19) (z) (z) Глава 14. О поведении квазиконформных отображений в точке Будем говорить, что последовательность измеримых множеств En C, n = 1, 2,..., сходится к измеримому множеству E C по мере, если сходятся по мере их характеристические функции n (см. [202], c. 66).

Как известно, из любой последовательности, сходящейся по мере, всегда можно выделить подпоследовательность, сходящуюся п.в. (см., напр., [202], c. 58). Поэтому, в силу аксиомы Урысона (п. В1), а также леммы 11.7 (п. 11.3.3), имеем:

Предложение 14.2. Пусть E k, k = 1, 2,..., – некоторое покры k тие плоскости C по мере и пусть En C, k, n = 1, 2,..., – некото рые измеримые множества такие, что для каждого фиксированного k = 1, 2,..., En E k по мере при n.

k Тогда для µ и µn M(Q), n = 1, 2,..., следующие утверждения эквивалентны:

ch.

1) µn µ при n ;

ch.

2) k µn k µ для каждого k = 1, 2,... ;

ch.

3) k µn k µ для всех k = 1, 2,....

n Здесь через k и k обозначены характеристические функции мно n жеств E k и En, k, n = 1, 2,..., соответственно. Отметим, что множества k k En, k = 1, 2,..., могут и не образовать покрытие плоскости по мере ни при одном n = 1, 2,... (определение смотри в пункте 11.3.2).

3. Доказательство теоремы 14.2. Без ограничения общности мож но считать, что z0 = 0. Тогда, согласно теореме 14.1, нам достаточно по ch.

казать, что µ (z) = µ( z) 0 при 0, 0, при соответствующем выборе (z) = arg µ(z). Семейству характеристик µ(z), 0, отвечает семейство отображений f : C C, f (z) = f ( z)/f ( ), 0, (14.20) ch.

класса H(Q). Сходимость µ (z) 0 эквивалентна сходимости f (z) f0 (z) z л.р. при 0 на C. Это, в свою очередь, эквивалентно сходи мости f f0 л.р. на C0 = C \ R, где R – отрицательная вещественная полуось (см. [270], с. 76).

Таким образом, конформность по Белинскому f в нуле эквивалентна сходимости Ft () F () e при t +, где Ft () = f (et )/f (et ), t R, (14.21) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений – семейство отображений Ft () : C\f (R ), t R, заданных в полосе = { C : |Im | }. (14.22) Их комплексные характеристики N (t) () = N ( t),, t R, где N () = µ(e )e2 i Im, (14.23) т.е.

|N ()| = k(e ) (14.24) и def () = arg N () = (e ) 2 Im. (14.25) Пусть N (),, () = (14.26) 0, C \.

В силу секвенциальной компактности класса H(Q) (предложение 11.9, п. 11.3.1), аксиомы Урысона (п. В1), а также леммы 11.7, доказываемое ch.

утверждение эквивалентно тому, что ( t) 0 при t +, t R+.

Обозначим через l = { : l Re l + 1}, (14.27) l = 0, ±1, ±2,..., – полуоткрытые прямоугольники, образующие дизъ юнктное покрытие полосы, а через l – характеристические функ ции этих прямоугольников. В дальнейшем, для произвольной функции () : C C обозначаем l () = ()l (), l = 0, ±1, ±2,..., (14.28) и (t) () = ( t), t R. (14.29) Поскольку указанные операции срезания и сдвига функций не коммути руют друг с другом, то также уточним обозначения (t) l () = [(t) ()]l = ( t)l (). (14.30) В этих обозначениях критерий доказываемого утверждения состоит в том, что при t + ch.

(t) 0. (14.31) В силу предложения 14.2 это эквивалентно тому, что при t + (t) ch.

l 0 (14.32) Глава 14. О поведении квазиконформных отображений в точке для всех l = 0, ±1, ±2,.... Однако, поскольку l () = 0 ( l), то (t) (r) l () = l (w), (14.33) где w = l и r = t l. Таким образом, в силу предложений 14.1, 14. совокупность соотношений (14.32) эквивалентна одному соотношению:

(t) ch.

0 0 (14.34) при t +, t R+.

Пусть k(e ),, m() = (14.35) 0, C \.

Полагаем + = { : Re 0}, m()eil (), l, l = 0, 1, 2,..., () = (14.36) C \ +, m(), функции l () подобраны так, что (l) (0, 0) 2l, l = 0, 1, 2,..., (14.37) где – метрика, перенесенная из пространства H(Q) в пространство M(Q) через естественное соответствие (см. 11.3.1). Это всегда можно (l) сделать в силу теоремы 12.1 для M () = { C : || = m0 ()}, C.

Таким образом, по построению (l) ch.

0 0 (14.38) при l, l = 1, 2,.... Покажем, что это уже влечет (14.34). В силу секвенциальной компактности пространства H(Q), по аксиоме Урысона для этого достаточно проверить, что (t ) ch.

0 n 0 (14.39) при n для произвольной последовательности tn, tn R+, n = 1, 2,.... Пусть ln = [tn ] и n = {tn } – целая и дробная части чисел tn, n = 1, 2,..., соответственно. Тогда ln при n, a n = [0, 1), n = 1, 2,.... Поэтому без ограничения общности можно считать, что n 0 [0, 1].

Для любого [0, 1]:

0 () = 0 ()[0 ( ( 1)) + 0 ( )] = () + (), (14.40) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений где и – характеристические функции полуоткрытых прямоуголь ников:

P = { C : |Im |, 0 Re } и R = { C : |Im |, Re 1}.

Как видим, 0 = P R. В указанных обозначениях из (14.40) имеем:

(t ) 0 n () = 0 () ( ln n ) = (l ) = 0 () [o n ) ( (n 1)) + 0 n ( n )] (1+l (1+ln ) l = n () 0 ( (n 1)) + n () 0n ( n ).

Поэтому в силу предложений 14.1 и 14.2 из (14.38) получаем (14.39), что и завершает доказательство. 14.3. О дальнейших следствиях и приложениях.

Главным результатом параграфа является теорема 14.3 о поведении логарифма модуля квазиконформного отображения, которое конформно по Белинскому в данной точке.

Формулировка и доказательство теоремы 14.3 приведены в пункте 1.

На основе этой теоремы, в качестве иллюстрации возможных прило жений, в пункте 2 сформулировано предложение 14.3 о существовании решений с особенностями логарифмического типа для одного из уравне ний математической физики.

Доказательство предложения 14.3 проведено в пункте 3 через реше ние экстремальных задач в соответствующих компактных классах ква зиконформных отображений с последующими предельными переходами.

1. Переход к логарифмической плоскости. Делая переход к логарифмической плоскости, описанный в книге Лехто–Виртанена (см.

[270], c. 238), можно вполне однозначно и корректно задать ln f как функ цию = ln z C. На основе соотношения (14.6) и из неравенства тре угольника получаем:

Следствие 14.5. При выполнении посылок и одного из условий 1)– 4) теоремы 14.1 существует |f (z )| |z | lim =0 (14.41) |f (z)| |z| z Глава 14. О поведении квазиконформных отображений в точке при |z | |z| для любого 0.

Отсюда и из теоремы Штольца О. мы докажем следующее утвер ждение:

Теорема 14.3. Пусть квазиконформное отображение f конформно по Белинскому в точке z0 C, где f (z0 ) =. Тогда:

ln |f (z) f (z0 )| lim = 1. (14.42) ln |z z0 | zz Отсюда на основе следствия 14.1 немедленно получим:

Следствие 14.6. Пусть комплексная характеристика µ(z) квази конформного отображения f (z) аппроксимативно непрерывна в точке z0 C, где f (z0 ) =, и пусть µ(z0 ) = 0. Тогда имеет место соотно шение (14.42).

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 14.3. Без ограничения общно сти можно считать, что z0 = 0 и f (0) = 0, f () =. Покажем, что существует ln |f (z)| lim = 1. (14.43) z0 ln |z| Действительно, допустим, что соотношение (14.43) не имеет место, т.е. существуют 0 и последовательность zn 0 такие, что ln |f (zn )| 1, (14.44) ln |zn | для всех n = 1, 2,.... Для сокращения записи введем обозначения tn = ln |zn | и n = ln |f (zn )|. Тогда (14.44) перепишется в виде:

n 1. (14.45) tn При необходимости переходя к подпоследовательности, можно счи тать, что tn tn1 1 для всех n = 1, 2,.... Далее, вставляя, если нужно, между соседними членами последовательности tn, n = 1, 2,..., их среднее арифметическое, можно добиться, чтобы tn tn1 2. При этом неравенство (14.45) сохраняется для бесконечного числа членов по следовательности.

Таким образом, последовательность n = |zn | = etn удовлетворяет неравенствам e2 n /n1 e1. Из соотношения (14.41) получаем, что exp(n1 n ) = exp(tn1 tn ) + n, где n 0 при n, или, Геометрическая и топологическая теория функций и отображений по-другому, exp(n1 n ) = (1 + n ) exp(tn1 tn ) c n 0 при n.

Отсюда имеем, что (n n1 ) = (tn tn1 ) + n c n 0 при n и, поскольку tn tn1 1, (n n1 )/(tn tn1 ) = 1 + n, где n при n. По теореме Штольца тогда заключаем, что n /tn 1 в противоречии с (14.45). Полученное противоречие и доказывает (14.43).

2. О решениях с особенностями одного уравнения матема тической физики. Здесь речь пойдет вновь об уравнении div (a(z) grad u) = 0, (14.46) которое является основным уравнением в теории стационарных потоков, гидродинамике, магнито- и электростатике неоднородных сред. При этом нам удобно будет интерпретировать коэффициент a как функцию ком плексной переменной z = x + iy. В дальнейшем мы предполагаем, что коэффициент a положителен и равномерно отделен как от 0, так и от, т.е.

M = ess sup a(z) (14.47) и m = ess inf a(z) 0. (14.48) Эти условия являются естественным с физической точки зрения. Кроме того, дополнительной нормировкой всегда можно добиться, чтобы m = ess inf a(z) = 1. (14.49) Предложение 14.3. Пусть функция a : C R+ принадлежит классу L и удовлетворяет нормирующему условию (14.49). Тогда для любого z0 C существует решение уравнения (14.46) с особенностями в точках z0 и, представимое в виде:

U (z, z0 ) = c ln |f (z) f (z0 )|, c 0, (14.50) где f – некоторое квазиконформное отображение, нормированное усло виями f (0) = 0, f (1) = 1 и f () =.

Кроме того, если функция a(z) аппроксимативно непрерывна в точ ке z0, а a(1/z) – в нуле, то при любых и 0, / = a()/a(z0 ), можно дополнительно потребовать, чтобы U (z;

z0 ) lim =1 (14.51) z ln |z| Глава 14. О поведении квазиконформных отображений в точке и U (z;

z0 ) lim = 1. (14.52) ln |z z0 | zz В частности, если = 1/a(), то = 1/a(z0 ). Для 1/a() всегда можно подобрать f при c = 1, а для 1/a() – при c 1.

Следствие 14.7. Если a(z) является непрерывной функцией, то все заключения предложения 14.3 имеют место для любого z0 C.

Поскольку по теореме Данжуа любая п.в. конечная измеримая функ ция является п.в. аппроксимативно непрерывной (см. [360], с. 199), то мы также имеем:

Следствие 14.8. Если функция a(z) непрерывна на, то для по чти всех z0 C имеют место все заключения предложения 14.3.

Под решением уравнения (14.46) с особенностями в точках z0 и здесь понимается функция U, которая обладает локально сопряженной функцией V такой, что пара (U, V ) удовлетворяет п.в. обобщенной си стеме Коши–Римана Vx = aUy, Vy = aUx, (14.53) в соответствующей окрестности каждой точки 0 C \ {z0 }. Под этим подразумевается, что U и V обладает в этой окрестности обобщенными первыми производными. На самом же деле, в силу представления (14.50) 1, и известных свойств квазиконформных отображений, U Wloc (C\{z0 }).

1,p Более того, U Wloc (C \ {z0 }) для всех p 2 достаточно близких к (см., напр., [270], с. 226). Кроме того, U непрерывно в C \ {z0 }.

Наконец, заметим, что система уравнений (14.53) эквивалентна од ному комплексному уравнению Fz = k(z)Fz, (14.54) где F = U + iV, z = x + iy и k(z) = (a(z) 1)/(a(z) 1). (14.55) 3. Доказательство предложения 14.3. 1) Решение уравнения (14.46) вида (14.50) мы построим из решения уравнения f (z) f (z0 ) fz = k(z) fz, (14.56) f (z) f (z0 ) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений где k(z) задано (14.55). Существование решения уравнения (14.56) мы докажем через решение экстремальной задачи о max |f (z0 )| в соответ ствующих классах квазиконформных отображений и последующие пре дельные переходы.

Именно, пусть Fr,R – класс a(z)к.к. отображений расширенной ком плексной плоскости C на себя, конформных в областях |z z0 | r и |z| R, r + |z0 | R, с гидродинамической нормировкой на бесконечно сти:

f (z) = z + +....

z Обозначим через Mr,R множество всех комплексных дилатаций µ(z) отоб ражений класса Fr,R. Очевидно, что Mr,R – выпуклое множество.

Таким образом, для любого Mr,R семейство функций µ = µ + ( µ) Mr,R, [0, 1], и в силу известной теоремы о диффе ренцировании квазиконформных отображений по параметру (см. [17] и теорему 7.1 главы 7):

µ() () f (z) = f (z) + f d d + o(), (14.57) f () f (z) C где o()/ 0 при 0 л.р.

По теореме 11.2 и лемме 11.9 класс Fr,R является секвенциально ком пактным. В силу известной теоремы Вейерштрасса о сходимости ана литических функций (см., например, [105], с. 17), функционал |f (z0 )| непрерывен в указанном классе. Отсюда следует существование экстре мали в задаче о max |f (z0 )|2 на классе Fr,R. Непосредственно из условия максимума и вариационной формулы (14.57) получаем необходимое усло вие экстремума в виде уравнения (14.56) в кольцевой области и fz = для |z z0 | r и |z| R.

Отметим, что отображение (f (z) f (0))/(f (1) f (0)) также удовле творяет уравнению (14.56) в кольцевой области. Поэтому в дальнейшем предполагаем, что f (0) = 0, f (1) = 1 и f () =, т.е. f H(a(z)).

По предложению 11.10 класс f H(a(z)) является секвенциально ком пактным. В силу этого можно выделить последовательности rn 0 и Rn, для которых соответствующие отображения fn f H(a(z)) л.р. По следствию 11.9 предельное a(z)к.к. отображение f удовлетво ряет уравнению (14.56) во всей комплексной плоскости. Функция F (z) = ln(f (z)f (z0 )) локально в C\{z0 } является решением уравнения (14.54), а потому U (z, z0 ) = ln |f (z)f (z0 )| есть решение уравнения (14.46) с син гулярностями в точках z0 и.

Глава 14. О поведении квазиконформных отображений в точке 2) Покажем, что при дополнительных предположениях имеют место соотношения (14.51), (14.52) при = 1/a() и = 1/a(z0 ). Для опреде ленности докажем (14.52). Соотношение (14.51) доказывается аналогич но.

Для этого рассмотрим отображение = g, где g(z) = f (z0 + z) f (z0 ), (w) = w|w|1, = a(z0 ). Заметим, что (0) = 0, (1) = 1, () = и удовлетворяет уравнению Бельтрами:

w w = w (14.58) w c = ( 1)/( + 1). Ввиду (14.56), отображение h, обратное к g, удо влетворяет уравнению w hw = k(z0 + h(w)) hw, (14.59) w h(0) = 0, h() = (см. [16], с. 15). Таким образом, = h1, (0) = 0, () =, имеет комплексную характеристику k(z0 ) k(z0 + z) g(z) gz M (z) = ·, (14.60) 1 k(z0 )k(z0 + z) g(z) gz (см. [16], с. 16). Как видим, M (z) аппроксимативно непрерывно в нуле и M (0) = 0. По теореме 14.3 и следствию 14.6, поскольку ln || = ln |g|, получаем (14.52) при = 1/ = 1/a(z0 ).

3) Рассматривая уравнение (14.46) с заменой a(z) на A(z) = a(z) с произвольным 1, по предыдущему получаем существование решений с особенностями, которые удовлетворяют (14.50)–(14.52) с любыми 1/a(), = a()/a(z0 ) и c = 1.

4) Наконец, для 1/a() получаем тоже из решения, указанного в пунктах 1)–2) доказательства, домножая его на константу c = · a().

В заключение отметим, что в последние годы был получен целый ряд новых теорем существования для уравнения Бельтрами с вырождением условия строгой эллиптичности, см., например, обзор [161] и цитируемую там литературу. В этой связи, проблемы сходимости и компактности, а также теория вариационного метода и его приложений получили свое дальнейшее развитие в работах [275, 276] и [277].

Приложение А Об инвариантно-выпуклых множествах Здесь мы приведем достаточно полное для наших целей изложение теории инвариантно-выпуклых множеств, которые были введены и изу чены в одной из малодоступных работ второго автора (Деп. в ВИНИТИ 16.04. 82 г., № 1874). Отдельные элементы этой теории можно найти так же в статьях [343, 357].

Значение инвариантно-выпуклых множеств состоит в том, что они наиболее адекватно отражают поведение комплексных характеристик при локально равномерной сходимости отображений с обобщенными про изводными. В частности, в их терминах формулируются основные теоре мы сходимости, компактности и замыкания (теоремы 11.2, 12.1, 12.2), ко торые усиливают и обобщают известные теоремы сходимости Штребеля и Берса–Боярского, а также теорему компактности Шиффера–Шобера (см. [53, 71, 270, 404, 409]).

В пункте 1 даны определение и геометрический критерий инвариан тно-выпуклых множеств (предложение А1), а также различные пред ставления таких множеств (теорема А1, следствие А1).

Пункт 2 содержит определение инвариантно-выпуклой оболочки inv co M и ее описание в различных терминах (теоремы А2, А3, след ствие А2).

В пункте 3 введено понятие множества инвариантно-крайних точек inv ext M, роль которого определяется тем обстоятельством, что оно яв ляется минимальным по включению подмножеством M, по которому еще восстанавливается inv co M (теорема А4, предложение А2). Приво дится также один критерий и более подробный анализ этого множества (предложение А3 и следствие А3).

Наконец, в пункте 4 сформулированы аналоги классических теорем выпуклого анализа – теорем Крейна–Мильмана и Каратеодори-Минков ского (теоремы А5 и А6).

1. Определения и основные свойства. Пусть = {µ C : |µ| 1} – единичный круг и G – группа всех дробно-линейных отображений Приложение А. Об инвариантно-выпуклых множествах на себя. Множество M из назовем инвариантно-выпуклым, если все множества g(M ), g G, являются выпуклыми.

Приведем критерий инвариантной выпуклости. Для этого заметим, что через каждые три точки µ1, µ2 и приходит единственная окружность. Замкнутую дугу этой окружности, соединяющую µ1 и µ внутри, обозначим через [µ1, µ2 ](). В силу кругового свойства дробно линейных отображений (см., напр., [396], с. 47) немедленно получаем:

Предложение А1. Замкнутое множество M из инвариантно выпукло тогда и только тогда, когда вместе с каждой парой точек µ1, µ2 M этому множеству принадлежит и вся совокупность дуг [µ1, µ2 ](), || = 1.

Введем аналог опорной полуплоскости. Именно, замкнутый круг D из, касающийся, назовем опорным к множеству M из, если M D и D M =. Обозначим через DM () единственный опорный к M круг, касающийся в точке C, || = 1. Отметим, что радиус r() и центр c(z) = (1 r()) опорного круга DM () являются непрерывными функциями параметра, || = 1, если M.

Теорема А1. Любое замкнутое инвариантно-выпуклое множество M из представимо в виде M= DM (). (A1) ||= Эта теорема является прямым следствием следующей леммы.

Лемма А1. Пусть M – произвольное замкнутое инвариантно выпуклое множество из. Тогда для любой точки C \ M найдется опорный к M круг D такой, что C \ D.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что = 0. Пусть µ0 – точка из M, на которой реализуется 0 = min |µ| = 0.

Можно считать, что µ0 0. Покажем, что 1 + µ0 1 µ D= µC: µ 2 является искомым опорным кругом. Для этого достаточно показать вклю чение M D.

Допустим, что это не так, т.е. найдется точка µ1 из M, которая не принадлежит D. Тогда дуга окружности, порождаемой тройкой точек µ0, µ1 и 1, которая соединяет µ0 и µ1 в, имеет непустое пересечение с Геометрическая и топологическая теория функций и отображений кругом D0 = {µ C : |µ| 0 }. Следовательно, в силу предложения А1, и M D0 =, что противоречит определению 0.

Следствие А1. Любое компактное инвариантно-выпуклое множе ство M из имеет представление:

M= D, (A2) DDM где DM – совокупность всех замкнутых кругов D из таких, что M D.

Действительно, вместе с опорным кругом D, найденным в лемме, найдется очевидно и замкнутый круг D такой, что M D, а C \ D.

2. Об инвариантно-выпуклой оболочке. В соответствии с пред ложением А1 инвариантно-выпуклой оболочкой inv co M множества M из, M, будем называть минимальное по включению замкнутое инвариантно-выпуклое множество, содержащее M.

Теорема А2. Если M, то inv co M = DM (). (A3) ||= Доказательство. Прежде всего заметим, что DM () = Dinv co M (). (A4) Действительно, по определению M inv co M и поэтому DM Dinv co M ().

Кроме того, если M, то найдется 0 q 1 такое, что M q = {µ C : |µ| q} и, таким образом, M q DM (), || = 1. Следова тельно, inv co M q DM () DM () и тем самым (A4) доказано.

Отсюда и из теоремы А1 немедленно следует соотношение (A3).

Следствие А2. Если M, то inv co M = D, (A5) DDM где DM – совокупность всех замкнутых кругов D из таких, что M D.

Приложение А. Об инвариантно-выпуклых множествах Действительно, если D DM, то по определению inv co M D.

Таким образом, DM Dinv co M. Обратное включение очевидно. Следо вательно, DM = Dinv co M (A6) и по следствию А1 получаем соотношение (A5).

Дуговым замыканием M множества M из называется в дальней шем множество, возникающее в результате попарного соединения точек M внутри дугами всех тех окружностей, которые пересекают или ка саются. В соответствии с обозначением, введенным в предыдущем пункте, M= [µ1, µ2 ](). (A7) ||= µ1, µ2 M Теорема А3. Если M – замкнутое множество из, то inv co M = M. (A8) Доказательство этой теоремы базируется на следующей лемме:

Лемма А2. Пусть M и – граница inv co M. Тогда пред ставляет собой строго выпуклую жорданову кривую и при этом = (), (A9) ||= где () = DM () = (A10) при каждом, || = 1, является замкнутой дугой окружности DM (), возможно вырождающейся в единственную точку, концы которой при надлежат M.

Доказательство теоремы А3. Действительно, в силу леммы А и замкнутости M, имеет место включение M. В виду выпуклости inv co M M. Обратное включение M inv co M следует из пред ложения А1 и замкнутости inv co M. Тем самым теорема А3 полностью доказана.

Рассмотрим для примера множество M состоящее из пары точек µ1, µ2. Заметим, что существует в точности две окружности, ко торые проходят через обе точки и касаются. Этот факт становится Геометрическая и топологическая теория функций и отображений очевидным, благодаря круговому свойству дробно-линейных отображе ний расширенной комплексной плоскости C, например, после преобразо вания P (µ) := 1/(µ µ2 ) (см. [396], с. 47). Действительно, существует в точности две прямые, проходящие через точку µ = P (µ1 ) и касающиеся окружности P ( ).

Пусть D1 и D2 – замкнутые круги, ограниченные указанными окруж ностями. Тогда:

{µ1, µ2 } = inv co {µ1, µ2 } = D1 D2. (A11) Действительно, т.к. D1 и D2 по построению являются опорными к M = {µ1, µ2 } кругами, то в силу теоремы А2 inv co M D1 D2. Далее, ввиду замкнутости inv co M и предложения А1, M inv co M. Наконец, из очевидного включения D1 D2 M получаем (A11).

Соотношение (A11) позволяет ввести в inv co {µ1, µ2 } некоторую си стему координат. Именно, пусть || = 1, [0, 1]. Тогда через тройку то чек, µ1, µ2 проходит единственная окружность. При дробно линейном отображении P (µ) = ( + µ)/( µ) указанная окружность переходит в прямую, проходящую через пару точек i = P (µi ), i = 1, 2, 1 = 2. Пусть = 1 + (1 )2. Тогда лежит на отрезке прямой, соединяющем 1 и 2, и при обратном дробно-линейном отоб ражении переходит в некоторую точку µ, которая расположена на дуге, соединяющей µ1 и µ2 в, указанной выше окружности.

Такое µ будем обозначать через (, ;

µ1, µ2 ). Из соотношения (A11) и построения ясно, что µ inv co {µ1, µ2 } и что вообще любая точка µ inv co {µ1, µ2 } представима в таком виде при некоторых C, || = 1, [0, 1].

В вырожденном случае, когда µ1 = µ2 = µ, функцию (, ;

µ1, µ2 ) доопределяем соотношением: (, ;

µ1, µ2 ) µ при всех C, || = 1, [0, 1].

Ввиду бесконечной дифференцируемости всех определяющих соот ношений, функция (, ;

µ1, µ2 ) удовлетворяет условию Липшица по со вокупности переменных на декартовом произведении [0, 1] q q, q = { C : || q}, q 1, т.е.

|| c(q){|| + || + |µ1 | + |µ2 |}, (A12) где c(q) – константа, зависящая только от q.

Доказательство леммы А2. Строгая выпуклость кривой сле дует из предложения А1.

Приложение А. Об инвариантно-выпуклых множествах Соотношение (A9) эквивалентно включению:

DM (). (A13) ||= Допустим, что (A13) не выполнено, т.е. существует точка µ0 такая, что µ0 DM () ни при каком C, || = 1. Тогда при всех C, || = 1, () = min |µ µ0 | 0.

µDM () Если 0 = inf () = 0, то, в силу теоремы А1 и соотношения (A4), {µ C : |µ µ0 | 0 } inv co M, что невозможно, т.к. µ0. Следова тельно, 0 = 0 и потому существует последовательность n, n = 1, 2,..., такая, что (n ) 0 при n. В силу компактности = { C :

|| = 1} можно считать, что n 0 при n. Ввиду непрерыв ности радиуса r() и центра c() опорного круга DM () по параметру C, || = 1, последовательность окружностей DM (n ) при n стягивается к DM (0 ) и т.к. (n ) 0, то µ0 DM (0 ). Полученное противоречие и доказывает (A13), а вместе с тем и (A9).

Докажем, (A10), т.е. что () =, || = 1. Действительно, по опре делению опорного круга для любого, || = 1, найдется точка µ M DM (). В силу теоремы А2, µ, т.е. µ () M.

Далее, в виду замкнутости и inv co M, а также в силу предложения А1, () при каждом C, || = 1, представляет собой замкнутую дугу окружности DM ().

Таким образом, остается только показать, что концы дуги () при надлежат M при каждом. Допустим, что это не так для неко торого 0. Пусть µ0 – конец дуги (0 ), который не принадлежит M. Тогда все точки из (0 ) M лежат по одну сторону от µ0 на ду ге DM (0 ) \ {0 }. Благодаря круговому свойству дробно-линейных отоб ражений, преобразование плоскости P (µ) = 1/(µ µ0 ) переводит круг DM (0 ) в полуплоскость, содержащую P (M ), которой в точке P (0 ) ка сается внешним образом круг P (C \ ). При этом все множество P (M DM (0 )) лежит на прямой P (DM (0 )) по одну сторону от точки P (0 ).

Поскольку же µ0 M, то множество P (M ) = P (M ) расположе но в некотором кольцевом секторе с центром в точке P (0 ) и раствором, меньше. Такой сектор заведомо можно погрузить в замкнутый круг K, который не пересекается с кругом P (C \ ). По построению замкнутый круг D = P 1 (K) содержит внутри себя M, но не содержит точку µ0. Таким образом, в силу следствия А2, µ0 inv co M в противоречии с определением (µ0 () = (inv co M )). Полученное противоречие и показывает, что концевые точки дуг (), || = 1, принадлежат M.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений 3. Об инвариантно-крайних точках. В силу предложения А1, инвариантно-выпуклые множества являются строго выпуклыми множе ствами, т.е. их границы не могут содержать отрезков прямых. Таким образом, все граничные точки таких множеств являются крайними.

Граничную точку множества M, M, назовем инвариантно крайней, если на некоторой опорной окружности DM (), || = 1, она является ближайшей из M к точке по или против часовой стрелки.

Множество всех инвариантно-крайних точек M в дальнейшем обознача ется через inv ext M.

В силу леммы А2 мы немедленно получаем:

Теорема А4. Пусть M – произвольное множество из с M.

Тогда inv co M = inv co (inv ext M ). (A14) Если же M0 – некоторое замкнутое подмножество M такое, что (inv ext M ) \ M0 =, (A15) то (inv co M ) \ (inv co M0 ) =. (A16) Также легко доказывается.

Предложение А2. Множество inv ext M при M, является замкнутым подмножеством M.

Таким образом, роль подмножества inv ext M определяется тем об стоятельством, что оно является минимальным по включению замкну тым подмножеством M, по которому еще восстанавливается inv co M.

Как видно из леммы А2, утверждение (A16) можно усилить соотно шением:

(inv ext M ) \ (inv co M0 ) =. (A17) Поэтому подмножество inv ext M можно охарактеризовать в других терминах, которые более близки к классическому определению крайних точек и потому лучше высвечивают эту аналогию:

Предложение А3. Пусть M – замкнутое инвариантно-выпуклое множество из и µ0 M. Тогда для принадлежности µ0 inv ext M необходимо и достаточно, чтобы не существовало такой пары µ1, µ M, µi = µ0, i = 1, 2, для которой бы µ0 принадлежала дуге µ1 µ2 неко торой окружности, пересекающей или касающейся единичной окруж ности.

Приложение А. Об инвариантно-выпуклых множествах Для дальнейшего нам потребуется более тонкий анализ inv ext M.

Именно, пусть def inv extM () = DM () inv ext M. (A18) Тогда по Лемме А2 inv extM () =, || = 1, состоит из не более чем двух точек и inv ext M = inv extM (). (A19) ||= При этом, inv extM () = {inv ext+ ()} {inv ext ()}, (A20) + где inv ext () и inv ext () – ближайшие к, || = 1, точки по и против часовой стрелки, соответственно, вдоль опорной окружности DM () из M.

Предложение А2 получается непосредственно из следующего про стого следствия леммы А2:

Следствие А3. Пусть M. Тогда lim inv ext± (ei ) = inv ext+ (ei ), (A21) + lim inv ext± (ei ) = inv ext (ei ). (A22) Здесь, как обычно, подразумевается, что угол растет при вращении против часовой стрелки.

Действительно, пусть (), || = 1, – дуги границы = (inv co M ) из леммы А2. Эти дуги циклически упорядочены на точно также, как на единичной окружности. Поскольку радиус r() и центр c() опор ной окружности DM () непрерывно зависит от параметра, то точки накопления inv ext± (ei ) при 0 находятся на опорной окружности DM (ei ) и, ввиду замкнутости, на дуге (ei ). В силу указанной упо рядоченности (), || = 1, и леммы А2 немедленно получаем соотноше ния (A21) и (A22).

Предложение А2 следует из соотношений (A21) и (A22) в силу се квенциальной компактности единичной окружности = { C : || = 1}.

4. О некоторых аналогах классических теорем. Здесь мы при ведем аналоги классических результатов выпуклого анализа. Напомним формулировку теоремы Крейна-Мильмана. Если X – компактное вы пуклое подмножество локально выпуклого пространства, то X совпада ет с замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек. Ее аналог, Геометрическая и топологическая теория функций и отображений который следует непосредственно из теоремы А4, звучит следующим об разом:

Теорема А5. Пусть M – компактное инвариантно-выпуклое под множество. Тогда:

M = inv co (inv ext M ). (A23) Другим классическим результатом выпуклого анализа является тео рема Минковского: Пусть X – компактное выпуклое подмножество ко нечномерного векторного пространства E и x – элемент из X. Тогда x есть конечная выпуклая комбинация крайних точек. Теорема Каратео дори усиливает результат Минковского: Если X – компактное выпуклое подмножество nмерного пространства E, то каждая точка x из X явля ется выпуклой линейной комбинацией не более чем n + 1 крайних точек X. Ее аналог можно сформулировать в следующем виде:

Теорема A6. Пусть M – компактное инвариантно-выпуклое под множество. Тогда любая точка µ из M принадлежит инвариантно выпуклой оболочке некоторой тройки точек из inv ext M.

В силу теоремы А2, это эквивалентно тому, что µ принадлежит дву кратному дуговому замыканию некоторой тройки точек µ1, µ2, µ3 из inv ext M или, по-другому, некоторому криволинейному треугольнику, который может вырождаться в двуугольник или точку и стороны кото рого состоят из дуг окружностей, опорных к множеству N = {µ1, µ2, µ3 }.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы А6. Пусть µ0 – произвольная точка из inv ext M. Обозначим через (), || = 1, – криволинейный треугольник с вершинами в точках µ0 и µ1 () = inv ext+ (), µ2 () = inv ext (), одна из сторон которого совпадает с дугой () из леммы А2, а две другие представляют собой отрезки прямых, соединяющих µ с µ1 () и µ2 (), соответственно (конечно же, треугольник () может вырождаться в двуугольник или точку). Тогда согласно лемме А M= ().

||= Поскольку же () inv co{µ0, µ1 (), µ2 ()}, то доказательство завершено. Приложение Б О семействах множеств, измеримых по параметру Рассматриваемое понятие представляет собой совершенный аналог измеримой функции. Это понятие возникло первоначально в теории ве роятностей и теории оптимального управления под названиями “случай ное множество” и “измеримое многозначное отображение”, соответствен но (см., напр., [169, 184, 194, 207, 231, 283, 305, 335, 362, 408]). Здесь мы ис пользуем классический термин Бурбаки [77] “семейство множеств”. Ав торам принадлежат только специальные результаты теории измеримых семейств, относящиеся к теории инвариантно - выпуклых множеств, та кие как измеримость inv co M (z) и inv ext M (z).

Пункт 1 содержит основные определения и предварительные замеча ния. В пункте 2 доказан целый ряд критериев измеримости (теорема Б1).

В пункте 3 показано, что при элементарных операциях типа объединения и пересечения измеримость сохраняется. Основным результатом данного пункта является теорема Б2 об измеримости верхнего топологического предела. Пункт 4 содержит теорему о так называемых измеримых се чениях (теорема Б3). В пункте 5 доказана теорема о представлении из меримых семейств через измеримые функции (теоремы Б4). В пункте сформулирована теорема о равенстве классов измеримых функций, по рождаемых измеримыми семействами множеств (теорема Б5). Пункт включает теорему об измеримости семейств инвариантно-выпуклых обо лочек inv co M (z) (теорема Б6), а пункт 8 – теорему об измеримости се мейств инвариантно-крайних точек inv ext M (z) (теорема Б7). Наконец, в пункте 9 доказана лемма Б5 о так называемых измеримых опорах, а в пункте 10 – лемма Б6 об измеримости точек касания опорных кругов с единичной окружностью.

1. Определения и предварительные замечания. Будем гово рить, что семейство замкнутых множеств комплексной плоскости M (z), z E C, измеримо по параметру z, если для любого замкнутого множества M0 C множество точек E0 = {z E : M (z) M0 } (Б1) Геометрическая и топологическая теория функций и отображений измеримо по Лебегу (ср. [360], c. 27).

Напомним также некоторые топологические понятия. Верхним то пологическим пределом последовательности множеств Mn называется множество M = Ls Mn = Mn. (Б2) n m=1 nm Другими словами, точка µ принадлежит M, если любая ее окрестность пересекается с бесконечным числом множеств Mn (см. [229], с. 344–345).

В соответствии с этим, множество M называется топологическим пределом последовательности множеств Mn, n = 1, 2,..., если для лю бой ее подпоследовательности Mnk, k = 1, 2,..., M = Ls Mnk. (Б3) k В этом случае пишем (см. [229], с. 347):

M = Lim Mn. (Б4) n Над пространством всех ограниченных замкнутых множеств из C можно ввести метрику Хаусдорфа (см. [229], с. 223):

dist(M1, M2 ) = max{ sup (µ1, M2 ), sup (µ2, M1 )}, (Б5) µ1 M1 µ2 M где, как обычно, (µ0, M0 ) = inf |µ µ0 | (Б6) µM обозначает расстояние от точки µ0 до множества M0.

Отметим, что для компактных множеств из C топологический пре дел (Б4) эквивалентен сходимости по метрике Хаусдорфа (см. [230], с. 54–56):

lim dist(Mn, M ) = 0. (Б7) n В дальнейшем будем говорить, что семейство множеств M (z), z E C, непрерывно по параметру z в точке z0 E, если для любой последовательности zn E, n = 1, 2,..., zn z0, имеет место равенство M (z0 ) = Ls M (zn ). (Б8) n Этот факт фиксируем записью M (z0 ) = Lim M (z). (Б9) zz Приложение Б. О семействах множеств, измеримых по параметру Методом от противного легко доказывается следующее:

Замечание Б1. Непрерывность семейства множеств M (z) в точ ке z0 эквивалентна соотношению M (z0 ) = M (z). (Б10) 0 0|zz0 | zE Для дальнейшего будет полезно следующее:

Замечание Б2. Eсли семейство компактов M (z), z E, и функ ция µ(z) : E C непрерывны в точке z0 E, то функция расстояния:

r(z) = min |µ µ(z)| (Б11) µM (z) также непрерывна в этой точке.

Действительно, как легко видеть, r(z) = dist (N (z), M (z)), |µ µ(z0 )| = dist (N (z), N (z0 )), где N (z) = {µ(z)}, z E, – семейство одноточечных множеств. По скольку же µ(z) µ(z0 ) и dist (M (z), M (z0 )) 0 при z z0, то, в силу непрерывности любой метрики, r(z) r(z0 ).

Нам также потребуется понятие аппроксимативной непрерывности.

Семейство множеств M (z), z E, будем называть аппроксимативно непрерывным в точке z0 E, если существует такое измеримое подмно жество E0 E, для которого z0 является точкой плотности, а семейство M (z), z E0, непрерывно в точке z0. Точка z0 E0 называется точкой плотности множества E, если lim mes E0 Dz0, / 2 = 1, (Б12) где Dz0, = {z C : |z z0 | } (ср. [360], с. 199).

Как легко следует из замечания Б2, имеет место Замечание Б3. Если семейство компактов M (z), z E, и функ ция µ(z) : E C аппроксимативно непрерывны в точке z0 E, то функция расстояния (Б11) также аппроксимативно непрерывна в этой точке.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Введем еще одно понятие. Последовательность множеств En E будем называть исчерпанием по мере измеримого множества E, если mes E \ En = 0. (Б13) n= В дальнейшем мы также говорим, что семейство множеств M (z), z E, непрерывно на исчерпании En, n = 1, 2,..., множества E, если семей ства множеств M (z), z En, n = 1, 2,..., непрерывны в каждой точке En.

2. Критерии измеримости. Приведем ряд критериев измеримости семейств множеств, которые во многом аналогичны хорошо известным критериям измеримости обычных числовых функций (ср. [360], c. 26–28, 112, 199–200;

см. также [194, 207]).

Теорема Б1 (о критериях измеримости). Пусть M (z), z E C – семейство непустых компактов из C. Тогда следующие свойства M (z) эквивалентны:

a) M (z) – измеримое по z семейство множеств;

b) для любого открытого множества M0 C множество точек E0 = {z E : M (z) M0 } (Б14) измеримо относительно плоской меры Лебега;

c) M (z) непрерывно на некотором исчерпании множества E по ме ре;

d) M (z) аппроксимативно непрерывно для п.в. z E;

е) для любой измеримой функции µ(z) : E C функция расстояния rµ,M (z) = min |µ µ(z)| (Б15) µM (z) аппроксимативно непрерывна при п.в. z E;

f ) для любой измеримой функции µ(z) : E C функция расстояния (Б15) измерима;

g) для любого µ0 C функция расстояния rµ0,M (z) = min |µ µ0 | (Б16) µM (z) измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Общая схема доказательства эквивалент ности перечисленных свойств имеет вид:

a) b) c) d) e) f ) g) a).

Приложение Б. О семействах множеств, измеримых по параметру a) b). Поскольку множества M (z), z E, являются компактами, то {z E : M (z) M0 } = {z E : M (z) Ml }, l= где Ml = M0 Dl, Dl = {µ C : |µ| l}, l = 1, 2,.... Поэтому без ограничения общности можно считать, что M0 – ограниченное открытое множество. Пусть M (n) = {µ M0 : (µ, M0 ) 1/n}, где – расстояние от точки µ до M0 :

(µ, M0 ) = min | µ|.

M Заметим, прежде всего, что все множества M (n), n = 1, 2,..., явля ются замкнутыми множествами. Действительно, пусть µm M (n), m = 1, 2,... и µm µ0 при m. Тогда, выбирая, например, в замечании Б2 µ(z) z, M (z) M0, E = {µm }, получаем, что (µm, M0 ) (µ0, M0 ) при m и, следовательно, (µ0, M0 ) 1/n.

Таким образом, M (n), M0 = n= (n) где все множества M, n = 1, 2,..., являются замкнутыми. Поскольку множества M (z), z E, компактны, то {z E : M (z) M (n) }.

{z E : M (z) M0 } = n= Отсюда немедленно получаем импликацию a) b).

b) c). Пусть Dm, m = 1, 2,..., – перенумерация всех замкнутых кругов плоскости C, координаты центров и радиусы которых принима ют рациональные значения. Тогда по условию измеримы, в частности, множества точек:

Em = {z E : M (z) C \ Dm } = {z E : Dm C \ M (z)} и потому измеримы их характеристические функции m (z), m = 1, 2,...

(см. [360], c. 29).

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений По критерию Лузина при любом фиксированном m найдется после (n) довательность замкнутых множеств Em E, n = 1, 2,..., таких, что mes(E \ Em ) 1/n 2m, (n) на которых функция m (z) непрерывна. Полагая (n) (n) E = Em, m= отсюда имеем оценку меры (n) (n) mes(E \ E ) mes(E \ Em ) 1/n.

m= Таким образом, последовательность замкнутых множеств E (n) образует исчерпание множества E по мере. Кроме того, на E (n) непрерывны все функции m (z), m = 1, 2,....

Покажем, что M (z) также непрерывно по z на каждом из множеств E. Последнее означает, что для любого z0 E (n) и любой последо (n) вательности zk E (n), k = 1, 2,..., такой, что zk z0 при k, выполнено соотношение M (z0 ) = Ls M (zk ), а это в свою очередь, экви k валентно равенству O C \ M (z0 ) = (C \ M (zk )) (Б17) l=1 kl где через O обозначена операция взятия внутренности множества. Пере ходим к доказательству (Б17).

Итак, пусть µ C \ M (z0 ). Тогда найдется круг Dm такой, что µ Dm C \ M (z0 ). Поскольку функция m (z) непрерывна на E (n), то для достаточно больших k = 1, 2,..., m (zk ) = 1, т.е. Dm C \ M (zk ) и, следовательно, µ принадлежит правой части (Б17).

Наоборот, пусть выполнено последнее включение. Тогда найдется та O кое l, что µ (C \ M (zk )) и потому найдется круг Dm, удовлетво kl ряющий включениям µ Dm C\M (zk ) при всех k l. Таким образом, m (zk ) = 1 при k l и, в силу непрерывности m (z) на E (n), m (z0 ) = 1, т.е. Dm C \ M (z0 ). В частности, тогда µ C \ M (z0 ). Следовательно, равенство (Б17) полностью доказано.

Приложение Б. О семействах множеств, измеримых по параметру c) d). Пусть E (n) – исчерпание множества E по мере, на кото ром семейство M (z) непрерывно по параметру z. Поскольку множества E (n), n = 1, 2,..., являются измеримыми множествами, то почти все их точки являются точками плотности (см. [360], c. 196). Поэтому M (z) аппроксимативно непрерывны для п.в. z E.

d) e). Так как по теореме Данжуа всякая измеримая функция µ(z) : E C аппроксимативно непрерывна п.в. на E (см. [360], c. 199), то в силу замечания Б3 импликация становится очевидной.

e) f ). Поскольку всякая функция, аппроксимативно непрерывная п.в. на E, является измеримой (см. [360], c. 200).

f ) g). Очевидно, т.к. функция µ(z) µ0 измерима.

g) a). Пусть Dm, m = 1, 2,..., как и при доказательстве им пликации b) c), – некоторая перенумерация всех замкнутых кругов плоскости C, координаты центров µm и радиусы rm, m = 1, 2,..., кото рых принимают рациональные значения.

Пусть M0 – произвольное замкнутое множество плоскости C. Тогда C \ M0 = Dm, mN где N0 = {m = 1, 2,... : Dm C \ M0 }.

Таким образом, {z E : M (z) M0 } = {z E : C \ M0 C \ M (z)} = = {z E : Dm C \ M (z)} = mN = {z E : rµm,M (z) rm }, mN где функции расстояния rµm,M (z) = inf |µ µm | µM (z) по условию g) являются измеримыми функциями. Следовательно, мно жество (Б14) действительно является измеримым.

3. Об элементарных операциях над измеримыми семейства ми. Точной верхней гранью последовательности множеств Mn, n = 1, 2,..., из C будем называть множество def sup Mn = Mn. (Б18) n n= Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Предложение Б1. Пусть Mn (z), z E, n = 1, 2,..., – последо вательность семейств непустых замкнутых множеств из C, измери мых по параметру z. Тогда M (z) = sup Mn (z), z E, также измеримо n по z.


Следствие Б1. Пусть µn (z) : E C, n = 1, 2,..., – последова тельность измеримых функций. Тогда семейство множеств M (z) = {µn (z)}, z E, (Б19) n= измеримо по z.

Следствие Б2. Если Mn (z), z E, n = 1,..., m, – конечная сово купность семейств множеств измеримых по z, то семейство m M (z) = Mn (z), z E, (Б20) n= также измеримо по z.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение очевидно из определения измеримых семейств и тождеств:

{z E : M (z) M0 } = {z E : Mn (z) M0 } = n= = {z E : Mn (z) M0 } = n= = {z E : Mn (z) M0 }, n= справедливых для любого замкнутого множества M0 из C. Точной нижней гранью последовательности множеств Mn C, n = 1, 2,..., будем называть множество:

def inf Mn = Mn. (Б21) n n= Предложение Б2. Пусть Mn (z), z E, n = 1, 2,..., – после довательность измеримых семейств компактов из C и пусть M (z) = inf Mn (z) =, z E. Тогда семейство множеств M (z) также изме n римо по z.

Приложение Б. О семействах множеств, измеримых по параметру Доказательство этого предложения будет базироваться на следую щей лемме:

Лемма Б1. Пусть M (k) (z), z E, k = 1, 2,..., m, – конечный набор измеримых семейств компактов из C и пусть M (k) (z) = M (z) =, z E.

k= Тогда M (z), z E, также представляет собой измеримое по z семей ство компактов.

При этом мы воспользуемся следующим простым замечанием, кото рое вытекает прямо из определения верхнего топологического предела:

(k) Замечание Б4. Для любых множеств Mn C, k = 1, 2,..., m;

n = 1, 2,..., m m (k) (k) Ls Mn Ls Mn. (Б22) n n k=1 k= Д о к а з а т е л ь с т в о леммы Б1. Согласно критерия с) теоремы Б при каждом фиксированном k = 1,..., m найдется последовательность (k) (k) замкнутых множеств El, l = 1, 2,..., таких, что mes(E \ El ) 1/l (k) и M (k) (z) непрерывно на El, l = 1, 2,.... Тогда последовательность m (k) замкнутых множеств El = El такова, что mes(E \ El ) m/l и k= M (k) (z), k = 1, 2,..., непрерывны на El, l = 1, 2,....

Покажем, что функция расстояния r(z) = rµ,M (z) = min | µ| M (z) полунепрерывна снизу на El, l = 1, 2,..., для любого µ C.

Если z0 El таково, что r(z0 ) = 0, то доказывать нечего. Пусть z El, r(z0 ) 0 и zn El, n = 1, 2,..., – произвольная последовательность такая, что zn z0 при n. Тогда M (k) (z0 ) = Lim M (k) (zn ), k = n 1,..., m, и, благодаря (Б22) Ls M (zn ) M (z0 ), n т.е.

M (zn ) M (z0 ).

j=1 nj Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Последнее равносильно соотношению O C \ M (z0 ) (C \ M (zn )), j=1 nj где через O обозначена операция взятия внутренности множества.

Пусть r – произвольное число из интервала (0, r(z0 )). Тогда для всех достаточно больших n { C : | µ| r} C \ M (zn ), т.е. r(zn ) r. Отсюда в частности имеем lim inf r(zn ) r n и ввиду произвола r lim inf r(zn ) r(z0 ).

n В силу же произвола zn, n = 1, 2,..., вообще lim inf r(z) r(z0 ), zz0, zEl т.е. функция r(z) действительно полунепрерывна снизу на El, l = 1, 2,....

Поэтому r(z) является измеримой функцией на каждом El, l = 1, 2,... (см. [360], c. 70). По критерию Лузина (см. [360], c. 112) най дется замкнутое множество El El такое,что mes(El \ El ) 1/l и r(z) непрерывна на El. Таким образом, mes(El \ El ) (m + 1)/l и, вновь по критерию Лузина, r(z) измерима на E. Следовательно, по критерию g) теоремы Б1, M (z), z E, является измеримым семейством. Д о к а з а т е л ь с т в о предложения Б2. Полагаем n (n) def M = Mk (z).

k= Так как M (z) =, z E, то тем более M (n) (z) =, z E, n = 1, 2,....

Отметим также, что M (n) (z) – монотонно убывающая по n последова тельность замкнутых множеств при всяком фиксированном z. Кроме того, M (n) (z).

M (z) = (Б23) n= Приложение Б. О семействах множеств, измеримых по параметру Пусть M0 C – произвольное открытое множество. Докажем ра венство {z E : M (n) (z) M0 }.

{z E : M (z) M0 } = (Б24) n= Действительно, в силу соотношения (Б23), если M (n) (z) M0 при неко тором n, то тем более M (z) M0. Покажем, что и, наоборот, M (z) M влечет существование такого n, для которого M (n) (z) M0. Допустим, что это не так. Тогда def (n) M0 (z) = M (n) (z) (C \ M0 ) = (n) при всех n = 1, 2,..., для некоторого z E. Однако M0, n = 1, 2,..., является монотонно убывающей последовательностью непустых компакт ных множеств и по условию Кантора (см. [230], c. 8) (n) M (z) (C \ M0 ) = M0 (z) =, n= что противоречит включению M (z) M0.

В силу леммы Б1 семейства множеств M (n) (z), z E, измеримы.

Отсюда и из (Б24) по критерию b) теоремы Б1 получаем измеримость семейства M (z), z E. Доказательство предложения Б2 завершено. Наконец, в силу предложений Б1 и Б2, а также условия Кантора получаем:

Теорема Б2. Пусть (z) : E R+ – произвольная функция, а Mn (z), z E, n = 1, 2,...,– последовательность измеримых семейств непустых замкнутых множеств из (z) = { C : || (z)}.Тогда M (z) = Ls Mn (z), z E, n также является измеримым семейством непустых замкнутых мно жеств.

Следствие Б3. Пусть (z) : E R+ – произвольная функция, а µn (z) : E C, n = 1, 2,..., – последовательность измеримых функций с |µn (z)| (z). Тогда множества точек накопления последовательно сти µn (z), M (z) = Ls {µn (z)}, z E, n Геометрическая и топологическая теория функций и отображений образует измеримое по z семейство непустых замкнутых множеств плоскости C.

4. Теорема об измеримых сечениях. Измеримая функция µ(z) :

E C называется измеримым сечением семейства множеств M (z) C, z E C, если µ(z) M (z) (Б25) для п.в. z E.

Главной целью данного пункта является:

Теорема Б3. Пусть M (z), z E – измеримое семейство непу стых компактов. Тогда найдется хотя бы одно измеримое сечение µ(z) семейства M (z).

Эта теорема содержится в следующей лемме:

Лемма Б2. Пусть M (z), z E, – измеримое семейство непустых компактов и пусть (z) : E C – произвольная измеримая функция.

Тогда найдется измеримое сечение µ(z) семейства M (z), для которого |µ(z) (z)| = min | (z)|. (Б26) M (z) При этом, мы воспользуемся следующим простым замечанием:

Замечание Б5. Пусть (z) : E C и r(z) : E R+ – произволь ные измеримые функции. Тогда семейство окружностей (z) = { C : | (z)| = r(z)}, z E, измеримо по z.

Действительно, какова бы ни была измеримая функция µ(z) : E C, функция расстояния (µ(z), (z)) = |r(z) |(z) µ(z)|| измерима и, следовательно, по критерию e) теоремы Б1 семейство M (z), z E, измеримо.

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы Б2. По критерию е) функция расстояния r(z) = min | (z)| = r(z), z E, M (z) измерима и, следовательно, по замечанию Б5 семейство окружностей (z) = { C : | (z)| = r(z)} Приложение Б. О семействах множеств, измеримых по параметру также измеримо. По построению, ввиду компактности множеств M (z), семейство M1 (z) = (z) M (z) не пусто и в силу леммы Б1 измеримо.

Рассмотрим измеримую функцию 1 (z) = (z) + r(z).

Повторяя рассуждения, получаем измеримость функции расстояния r1 (z) = min | 1 (z)|, M1 (z) семейства окружностей 1 (z) = {z C : | 1 (z)| = r1 (z)} и семейства множеств M2 (z) = 1 (z) M1 (z) = 1 (z) (z) M (z) =.

Аналогично, рассмотрев функцию 2 (z) = (z) + ir(z), получаем измеримость функции расстояния r2 (z) = min | 2 (z)|, M2 (z) семейства окружностей 2 (z) = { C : | 2 (z)| = r2 (z)} и семействa множеств M0 (z) = 2 (z) M2 (z) = 2 (z) 1 (z) (z) M (z).

При этом, M0 (z) =, z E.

Поскольку M0 (z) (z) 1 (z) 2 (z), т.е. входит в пересечение трех окружностей с центрами (z), (z)+r(z) и (z) + i r(z), то M0 (z) при каждом z E состоит из единственной точки.

Действительно, если бы в M0 (z) нашлась хотя бы одна пара точек, то Геометрическая и топологическая теория функций и отображений все три центра должны были бы лежать на срединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему точки. Итак, M0 (z) = {µ(z)} измеримо по z.

Пусть E0 E – множество всех точек аппроксимативной непрерыв ности семейства M0 (z), z E. По критерию d) теоремы Б1 mes E\E0 = 0.

Однако, dist (M0 (z1 ), M0 (z2 )) = |µ(z1 ) µ(z2 )| и эквивалентность (Б4) и (Б7) приводит к аппроксимативной непрерыв ности функции µ(z) : E C во всех точках z E0. Поэтому µ(z) измерима (см. [360], c. 200). 5. Теорема о представлении измеримых семейств. На основе леммы Б2 можно получить усиление теоремы Б3 об измеримых сечениях.

Именно, имеет место:

Теорема Б4. Для измеримости по параметру z семейства непу стых замкнутых множеств M (z), z E, необходимо и достаточно, чтобы для п.в. z E M (z) = {µn (z)}, (Б27) n= где µn (z), n = 1, 2,..., – некоторая последовательность измеримых функций.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность следует из предложения Б1.

Теперь пусть семейство множеств M (z), z E, измеримо по пара метру z и пусть n, n = 1, 2,..., – некоторая перенумерация всех то чек плоскости C с рациональными координатами. Отметим, что n, n = 1, 2,..., всюду плотны в C.

По лемме Б2 найдется последовательность измеримых функций µn (z) M (z) п.в., n = 1, 2,..., таких, что |µn (z) n | = min | n |.

M (z) Следовательно, по неравенству треугольника для п.в. z0 E и любого µ0 M (z0 ):

|µn (z0 ) µ0 | 2|n µ0 |.

Приложение Б. О семействах множеств, измеримых по параметру Таким образом, последовательность точек (n) = µn (z0 ) образует счетное всюду плотное подмножество M (z0 ) и потому имеет место (Б27). 6. Теорема о равенстве. Обозначим через MM класс всех измери мых сечений семейства множеств M (z), z E.


Теорема Б5. Пусть M1 (z) и M2 (z) – семейства непустых неза мкнутых множеств, измеримые по параметру z E. Тогда для вы полнения равенства MM1 (z) = MM2 (z) (Б28) необходимо и достаточно выполнения семейства равенств M1 (z) = M2 (z) (Б29) для п.в.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность очевидна.

Теперь пусть выполнено (Б28). Для доказательства (Б29) нужно по казать, что включения M1 (z) M2 (z) и M2 (z) M1 (z) выполнены для п.в. z E. Для определенности покажем первое включение, второе до казывается точно также ввиду симметрии относительно M1 и M2.

По теореме 4 найдутся измеримые функции µn (z) M1 (z) п.в. n = 1, 2,..., для которых выполнено равенство (Б27) п.в. при M (z) M1 (z).

В силу (Б28), в частности, µn (z) M2 (z) п.в. n = 1, 2,.... Поскольку µn всюду плотны в M1 (z) для п.в. z E, то отсюда и из замкнутости M2 (z) имеем доказываемое включение M1 (z) M2 (z) для п.в. z E. 7. Об измеримости семейств инвариантно-выпуклых оболо чек. Главной целью данного пункта является:

Теорема Б6. Пусть M (z), z E, – измеримое семейство непу стых замкнутых множеств из = {µ C : |µ| 1}. Тогда семейство инвариантно-выпуклых оболочек inv co M (z), z E, также измеримо по z.

Эта теорема является прямым следствием теорема А3, а также сле дующего:

Предложение Б3. Пусть M (z), z E, – измеримое семейство непустых замкнутых множеств из. Тогда семейство дуговых замы каний M (z), z E, измеримо по z.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Действительно, соотношение M = Ls Mn эквивалентно тому, что n любая точка µ M имеет представление lim µnk, где µnk Mnk, для k некоторой подпоследовательности nk, k = 1, 2,..., и что, наоборот, лю бая точка µ, имеющая указанное представление, принадлежит M.

После этого остается воспользоваться, например, критерием c) тео ремы Б1, а также непрерывностью функции µ = (, ;

µ(1), µ(2) ) по со вокупности переменных, и µ1, µ2 (смотри пункт А2) и компактностью множеств и [0,1].

8. Об измеримости семейства множеств инвариантно-край них точек. Совершенно естественно ожидать, что имеет место:

Теорема Б7. Пусть M (z), z E, – измеримое семейство непу стых замкнутых множеств из. Тогда семейство инвариантно-край них точек inv ext M (z), z E, также измеримо по z.

Доказательство этой теоремы базируется на следующей лемме:

Лемма Б3. В условиях теоремы Б7 семейство радиусов r(z, ) и центров c(z, ) = (1 r(z, )) опорных кругов DM (z) () измеримо по параметру z E при каждом фиксированном.

Как уже отмечалось в пункте А1, r(z, ) непрерывно по.

Таким образом, r(z, ) и c(z, ) удовлетворяют условиям Каратеодори.

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы Б3. В силу критерия с) без ограни чения общности можно предполагать, что M (z) q, z E, где q = { C : || q} для некоторого q 1.

Обозначим Mn = M (zn ) и Dn = DMn (0 ), n = 0, 1, 2,..., для произ вольного фиксированного 0 и пусть rn – радиусы опорных кругов Dn. Соотношение M0 = Ls Mn в частности означает, что любая точка n µ, представимая в виде µ = lim µnk, где µnk Mnk, для некоторой k последовательности nk, k = 1, 2,..., принадлежит M0. Поэтому для лю бого 0 все Mn, начиная с некоторого n, принадлежат окрестности множества M0 и, тем более, окрестности q D0. Следовательно, lim sup rn r0.

n Таким образом, на любом исчерпании Em, m = 1, 2,..., множества E по мере, на котором семейство M (z) непрерывно, функция (z) = Приложение Б. О семействах множеств, измеримых по параметру r(z, 0 ) является полунепрерывной сверху и, следовательно, измеримой (см. [360], c. 26–27, 69, 108, 112). Следствие Б4. Пусть M (z), z E, – измеримое семейство непу стых замкнутых множеств из. Тогда семейство опорных кругов D(z;

) = DM (z) () измеримо по z E и непрерывно по.

Действительно, как легко видеть dist (D(z1, ), D(z2, )) = 2|r(z1, ) r(z2, )|, где r(z, ) – семейство радиусов опорных кругов D(z, ). Как уже от мечалось в пункте Б1, соотношение N = Lim Nn для компактных мно n жеств эквивалентно соотношению lim dist (N, Nn ) = 0. Таким образом, n заключение следствия вытекает из леммы Б3, теоремы Лузина (см., напр., [360], c. 112) и критерия c) теоремы Б1.

Используя обозначения пункта А3, сформулируем еще одну лемму:

Лемма Б4. Пусть M (z), z E, – измеримое семейство непустых замкнутых множеств из. Тогда функции inv ext± (z;

) = ± inv extM (z) (z;

) измеримы по z E.

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы Б4. По определению inv ext M = inv ext (inv co M ) и по теореме Б6 без ограничения общности можно счи тать, что семейство M (z), z E, состоит из инвариантно-выпуклых множеств (смотри также лемму А2). В силу критерия с) теоремы Б1 без ограничения общности можно также дополнительно предполагать, что M (z) q = {µ C : |µ| q}, z E, при некотором q 1.

По предложению Б2 и следствию Б4 семейство дуг (z) = M (z) D(z, 0 ) измеримо по z при любом фиксированном 0.

Отобразим на правую полуплоскость P с помощью дробно-линей ного отображения p(µ) = (0 + µ)/(0 µ). При этом отображении круг q переходит в круг K с центром в точке (1 + q 2 )/(1 q 2 ) и радиусом = 2q/(1 q 2 ).

Тогда по критерию с) теоремы Б1 семейство множеств P (z) = p((z)), z E, измеримо по параметру z E. Заметим при этом, что семейство множеств P (z), z E, состоит из замкнутых вертикальных отрезков, расположенных внутри круга K, а значит и внутри полосы |Im |.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений По лемме Б2 существует пара измеримых функций ± (z) P (z) п.в.

таких, что |± (z) ± i| = min | ± i|.

P (z) Однако, как видно из определения, ± (z) при каждом фиксированном z E совпадает с верхним и, соответственно, нижним концом отрезка P (z). Таким образом, inv ext± (z, 0 ) = p1 (± (z)), действительно, явля ются измеримыми функциями.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы Б7. Пусть n, n = 1, 2,..., – произвольное счетное всюду плотное подмножество. Тогда, как это видно из следствия А3, inv ext± (z, n ).

inv ext M (z) = n= Отсюда по теореме Б4 и лемме Б4 получаем измеримость inv ext M (z). 9. Об измеримых опорах. Покажем, что функции класса M M можно строить, опираясь на пары функций MM и используя функцию из пункта А2.

Лемма Б5. Пусть M (z), z E, – измеримое семейство непустых замкнутых множеств из. Тогда любая функция µ0 (z) M для п.в.

M z E представима в виде:

µ0 (z) = ((z), (z);

µ1 (z), µ2 (z)), (Б30) где µ1 и µ2 MM, а (z), |(z)| = 1, и (z) [0, 1] п.в. – некоторые измеримые функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Через (µ, w), µ, w K = {w = u + iv : (u, v) [0, 2] [0, 2]}, обозначим ту единственную окружность, которая проходит через точки µ, 1 = eiu и 2 = eiv (при 1 = 2 = 0 через (µ, w) обозначается та единственная окружность, которая проходит через точку µ и касается в точке 0 ).

Пусть теперь 1 (µ, w) (соответственно, 2 (µ, w)) – замкнутая дуга окружности (µ, w), лежащая внутри от µ до пересечения с по часовой стрелке (против часовой стрелки). Тогда ясно, что j (µ, w), j = 1, 2, являются семействами непустых замкнутых множеств из, кото рые непрерывны по совокупности переменных (µ, w) K.

В силу критерия Лузина об измеримых функциях и критерия с) тео ремы Б1 семейство множеств j (z, w) = j (µ0 (z), w), j = 1, 2, измеримы Приложение Б. О семействах множеств, измеримых по параметру по z E и непрерывны по w K. По лемме Б1 и замечанию Б4 семей ство множеств Mj (z, w) = M (z) j (z, w), j = 1, 2, измеримы по z E и полунепрерывны сверху по w K, т.е.

Ls Mj (z, wn ) Mj (z, w0 ).

wn w Далее, поскольку µ0 (z) M (z) п.в., то W (z) = п.в., где def W (z) = {w K : Mj (z, w) =, j = 1, 2}.

В силу полунепрерывности Mj (z, w) по w K, множества:

def Wj (z) = {w K : Mj (z, w) = }, j = 1, 2, z E, являются открытыми в относительной топологии квадрата K. Это до казывается от противного. Поэтому семейство W (z), z E, состоит из п.в. непустых замкнутых подмножеств этого квадрата.

Покажем, что семейство множеств W (z), z E, измеримо по z.

Действительно, пусть 0 – произвольное. По критерию Лузина и критерию с) теоремы Б1 найдется такое измеримое подмножество E E, что M (z) и µ0 (z) непрерывны на E, a mes (E \ E ).

Покажем сначала, что W (z) – полунепрерывно сверху на E. Итак, пусть zk E, k = 0, 1, 2,..., zk z0 при k и w0 Ls W (zk ), k т.е. существует подпоследовательность kl, l = 1, 2,..., такая, что w0 = lim wl при некоторых wl W (zkl ), l = 1, 2,.... Тогда Mj (zkl, wl ) = l, j = 1, 2;

l = 1, 2,..., и, ввиду полунепрерывности Mj (z, w), j = 1, (см. замечание Б4), получаем, что Mj (z0, w0 ) =, j = 1, 2, т.е. w W (z0 ). Итак, W (z), z E полунепрерывны сверху на E.

Для доказательства измеримости W (z) по z на E воспользуемся критерием в) теоремы Б1. Действительно, пусть W0 – произвольное от крытое множество плоскости C. Рассуждая от противного, из полуне прерывности W (z) на E получаем, что множество E = {z E : W (z) W0 } является открытым в относительной топологии E. В частности, отсюда следует измеримость множества E. Следовательно, W (z) измеримо на E.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Наконец, прибегая к критерию с) теоремы Б1, получаем измери мость семейства множеств W (z) на E.

Отсюда по теореме Б3 следует, что существует измеримая функция w0 (z) W (z) п.в. Опираясь на критерий Лузина, а также критерий с) теоремы Б1, получаем, что j (µ0 (z), w0 (z)), j = 1, 2, измеримы по z E.

Но тогда по лемме Б1 семейства Mj (z, w0 (z)), j = 1, 2, тоже измеримы по z. Опять же по теореме Б3 найдутся измеримые функции µj (z) Mj (z, w0 (z)) п.в. j = 1, 2. По построению ясно, что µj (z), j = 1, 2, явля ются искомыми функциями. При этом в качестве (z) можно взять, на пример, eiu(z), где u(z) = Re w0 (z), a (z) = [0 (z) 2 (z)]/[1 (z) 2 (z)], где j (z) = [(z) + µj (z)]/[(z) µj (z)], j = 0, 1, 2 (при µ1 (z) = µ2 (z) доопределяем (z) = 0). 10. Об измеримости точек касания.

Лемма Б6. Пусть M (z), z E, – семейство непустых замкнутых множеств из единичного круга, измеримое по параметру z, а µ(z) :

E – произвольная функция, и пусть E0 = {z E : µ(z) inv ext M (z)}, (Б31) H(z) = { : µ(z) K(z, )}, z E0, (Б32) где K(z, ) – семейство опорных к M (z) кругов, касающихся в точке C, || = 1.

Тогда H(z), z E0, образует семейство непустых замкнутых мно жеств, лежащих на единичной окружности, которое измеримо по параметру z.

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы Б6. Заметим прежде всего, что множество E0 измеримо в силу пункта f) теоремы Б1 и измеримости inv ext M (z) (см. также [360], c. 27). Далее, так как µ(z) и точка касания однозначно определяют центр и радиус опорного круга K(z, ):

c(z, ) = (1 r(z, )), (Б33) 1 |µ(z) | r(z, ) =, (Б34) 2 1 Re µ(z) то H(z) можно описать и по другому:

H(z) = { : M (z) K(z, )}, (Б35) где K(z, ) = {µ C : |µ c(z, )| r(z, )}. (Б36) Приложение Б. О семействах множеств, измеримых по параметру Как легко видеть из (Б33), (Б34), функции r(z, ) и c(z, ) удовле творяют условиям Каратеодори, то есть измеримы по z E0 при любом фиксированном C, || = 1, и непрерывны по C, || = 1, при п.в.

z E0.

Ввиду измеримости M (z) по теореме Б4 найдется последователь ность измеримых функций µl (z) M (z) для п.в. z E, l = 1, 2,..., таких, что выполняется (Б27) при п.в. z E0. Рассмотрим последова тельность вещественных функций:

Jl (z, ) = r(z, ) |µl (z) c(z, )|, l = 1, 2,....

Все они удовлетворяют условиям Каратеодори. Поэтому при каждом фиксированном l = 1, 2,..., Hl = { : Jl (z, ) 0}, z E0, образует семейство замкнутых множеств, которое измеримо по парамет ру z (см. [194], c. 346). Обратим теперь внимание, что в силу (Б27) и (Б35) H(z) = Hl и H(z) = при z E0 по определению инвариантно крайних точек. Следовательно, по предложению Б2 H(z) измеримо по параметру z. Из леммы Б6, а также из соотношений (Б33)–(Б36), в силу теоремы Б4 и пункта g) теоремы Б1, немедленно получаем:

Следствие Б5. В условиях и обозначениях леммы Б6 существует измеримая функция (z) : E0 C, |(z)| = 1, такая, что для п.в.

z E µ(z) K(z, (z)), (Б37) или, что то же самое, M (z) K(z), (Б38) где K(z) = { C : | c(z)| r(z)}, (Б39) c(z) = (z)(1 r(z)), (Б40) 1 |µ(z) (z)| r(z, ) =. (Б41) 2 1 Re µ(z)(z) Другими словами, существует измеримое по параметру z семейство K(z) опорных к M (z) кругов такое, что µ(z) K(z) для п.в. z E0.

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Следствие Б6. В условиях леммы Б6 пусть (z) H(z), z E0, – произвольная измеримая функция и пусть:

E + = {z E0 : µ(z) = µ+ (z, (z)) = µ (z, (z))}, (Б42) E = {z E0 : µ(z) = µ (z, (z)) = µ+ (z, (z))}, (Б43) 0 + E = {z E0 : µ(z) = µ (z, (z)) = µ (z, (z))}. (Б44) Тогда E0 = E + E E 0 и множества E +, E и E 0 измеримы и взаимно не пересекаются.

Здесь по лемме Б4 и следствию А3 функции def µ± (z, ) = inv ext± (z, ) (Б45) удовлетворяет односторонним условиям Каратеодори. Поэтому прежде, чем переходить к доказательству этого следствия, докажем еще одну лемму из области вещественного анализа. Известно (см. [212], c. 340), что если функция (z, t) удовлетворяет условиям Каратеодори, то ее суперпозиция с любой измеримой функцией (z) является измеримой функцией. В этом случае говорят (см. [212], c. 361), что функция (z, t) суперпозиционно-измерима. Oказывается, что для этого достаточно и односторонних условий Каратеодори:

Предложение Б4. Если функция (z, t) : E R R, E C, удовлетворяет условиям Каратеодори справа (или слева);

то (z, t) суперпозиционно-измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о предложения Б4. Итак, пусть (z) : E R– произвольная измеримая функция. Построим последовательность изме римых ступенчатых функций n (z) = k 2n, z Ek n, Ekn = E, k где Ek n = {z E : (k 1)2n (z) k 2n }, n = 1, 2,... ;

k = 0, ±1, ±2,.... Как легко видеть, n (z) (z) и |n (z) (z)| 2n, то есть n (z) (z).

В силу измеримости функции (z) все указанные множества Ek n из меримы (см. [360], c. 27). Следовательно, все функции n (z), z E, n = 1, 2,..., измеримы. Измеримость (z, n (z)), n = 1, 2,..., очевидна.

Следовательно, (z, (z)) = lim (z, n (z)) также измерима (см. [360], n c. 31). Приложение Б. О семействах множеств, измеримых по параметру Д о к а з а т е л ь с т в о следствия Б6. Рассмотрев Re и Im µ± (z, eit ), z E0, t R, по следствию Б5 получаем измеримость функций µ± (z, (z)), z E0, и, следовательно, измеримость множеств E 0 и E ± (см. [360], c. 27). Приложение В О пространствах со сходимостью.

Ядерное пространство Теория абстрактных пространств со сходимостями Фреше-Урысона вкратце изложена в пункте 1. Вся остальная часть этого приложения посвящена одному частному случаю таких пространств – ядерному про странству, которое состоит из открытых множеств произвольного топо логического пространства и наделено сходимостью к ядру. Отметим, что эта сходимость двойственна так называемому топологическому пределу замкнутых множеств.

Сходимость областей к ядру относительно точки, которая являет ся традиционным инструментом теории функций, может быть получена из общей сходимости к ядру открытых множеств непрерывной проек цией. Вопрос об изучении функций, заданных в переменных областях, разрабатывается уже давно и восходит к известным работам Биберба ха, Каратеодори, Куранта, А.И. Маркушевича, Радо, Г.Д. Суворова и других авторов (см., напр., [62, 205, 319, 369, 370]).

В пункте 2 доказана теоремa В1 о секвенциальной компактности ядерного пространства для произвольного сепарабельного метрическо го пространства. Эта теорема усиливает известную лемму Г.Д. Суворо ва. В пункте 3 изучается вопрос о метризации ядерного пространства.

Доказано, что в случае компактного метрического пространства соот ветствующее ему ядерное пространство также является метризуемым и компактным (теорема В2). В частности, отсюда следует, что ядерное про странство в этом случае является полным, сепарабельным и секвенци ально компактным пространством (теорема В3). В пункте 4 речь идет о ядерных пространствах многообразий. Показано, что ядерное простран ство произвольных топологических многообразий является секвенциаль но компактным, а в случае компактных многообразий и метризуемым (теоремы В4 и В5). Наконец, в пункте 5 приведены следствия В4–В для римановых поверхностей. Для теории функций наиболее интересен весьма частный случай комплексной плоскости.

Приложение В. О пространствах со сходимостью. Ядерное пространство 1. О пространствах со сходимостями. Абстрактные простран ства, в которых понятие предела играет роль исходного понятия, были введены Фреше (1906) в его диссертации.

Произвольное множество X абстрактной природы называют L–про странством, если в нем выделен некоторый класс последовательностей, именуемых сходящимися. Причем каждой последовательности xn, n = 1, 2,..., этого класса поставлен в соответствие единственный элемент x = lim xn, называемый пределом, таким образом, что выполняются n аксиомы:

А1. Если xn = x, n = 1, 2,..., то lim xn = x.

n А2. Если последовательность xn, n = 1, 2,..., сходится к x, то и любая ее подпоследовательность также сходится к x.

В работе [382], которая возникла в результате личного контакта Урысона с Фреше (1924), первым была введена еще одна аксиома:

А3. Если компактная последовательность xn, n = 1, 2,..., имеет единственную точку прикосновения x, то lim xn = x.

n Здесь под точкой прикосновения последовательности xn, n = 1, 2,..., понимается предел какой-либо сходящейся ее подпосле довательности. Последовательность xn, n = 1, 2,..., называется ком пактной, если из любой ее подпоследовательности можно выделить схо дящуюся подпоследовательность.

Урысон называл Lпространства с третьей аксиомой Lt простран ствами. Отметим, что аксиома А3 эквивалентна третьей аксиоме Ку ратовского (см. [229], с. 197), который называет те же пространства L пространствами.

Подчеркнем, что третья аксиома является наиболее важной. Как мы неоднократно видим в диссертации, она значительно облегчает проверку сходимости последовательностей.

Как легко видеть, сходимость по любой метрике удовлетворяет ак сиомам L пространства (см. [229], с. 215), а, например, всем известная сходимость п.в. для измеримых функций не удовлетворяет третьей ак сиоме (любая сходящаяся по мере последовательность имеет единствен ную точку накопления и компактна относительно сходимости п.в., но не любая сходится п.в.).

Как известно, в пространстве измеримых функций S(T,, m) с ко нечной мерой m можно ввести метрику, сходимость по которой эквива лентна сходимости по мере (см. [202], с. 63–64). С другой стороны, из сходимости п.в. следует сходимость по мере ( [202], с. 58). Таким обра зом, непосредственно из аксиомы Урысона получаем:

Геометрическая и топологическая теория функций и отображений Следствие В1. Пусть (T,, m) – пространство с конечной ме рой и пусть n, n = 1, 2,..., – последовательность измеримых функ ций, компактная относительно сходимости п.в. с единственной точ кой прикосновения. Тогда n по мере.

Совершенно аналогично, с привлечением теоремы Лебега ( [202], с.

59), доказывается:

Следствие В2. Пусть n Lp (T,, m), |n | 0 Lp (T,, m), 1 p, n = 1, 2,..., – последовательность, компактная относи тельно сходимости п.в. с единственной точкой прикосновения. Тогда n по норме Lp (T,, m).

Указанные следствия были получены благодаря метризуемости со ответствующих сходимостей. Слабая сходимость во многих простран ствах, наоборот, доставляет примеры неметризуемых сходимостей. Тем не менее в некоторых случаях слабая сходимость остается метризуемой.

В частности, имеет место:



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.