авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |

«А. Г. Хованский Т Г Разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде Издательство ...»

-- [ Страница 5 ] --

Ответ на этот вопрос положителен. Одной теории Галуа для доказательства этого факта недостаточно: чтобы алгебраические рассуждения было к чему применять, необходимо иметь много мероморфных функций на многообразии. Нам будет достаточно Теория Галуа позволяет получить следующий результат. Пусть для подгруппы G ответ на вопрос положителен, и пусть fa Pa (O) – росток, стационарная группа кото – рого равна G. Тогда для всякой группы, содержащей группу H, где H – наибольший – нормальный делитель, лежащий в группе G, ответ тоже положителен. Для доказа тельства нужно применить основную теорему теории Галуа для минимального рас ширения Галуа поля K(X ), содержащего росток fa.

§. Накрытия и алгебраические расширения сформулированного ниже факта, который мы будем называть тео ремой существования Римана и применять без доказательства.

(Доказательство использует функциональный анализ и совсем не алгебраично. Отметим, что есть двумерные компактные комплекс ные аналитические многообразия, единственными мероморфными функциями на которых являются константы.). Для всякого конечного Т Р подмножества любого одномерного аналитического многообразия существует функция, мероморфная на многообразии, аналитичная в окрестности подмножества и принимающая в разных точках подмножества разные значения.

.. Для любой подгруппы G конечного индекса в фун Т даментальной группе 1 ( X \ O) существует росток fa Pa (O), ста ционарная группа которого равна G.

. Пусть 1 (M, b) ( X, a) – конечнолистное – Д разветвленное накрытие над X, критические значения которого лежат в O и которое соответствует подгруппе G 1 ( X \ O). Обо значим через F = f 1 (a) слой накрытия над точкой a. По теореме существования Римана на многообразии M существует мероморф ная функция, принимающая различные значения в точках мно жества F. Пусть 1 – росток отображения, обратный к проекции b,a – и переводящий точку a в точку b. Росток функции f 1 по b,a построению лежит в поле Pa (O), и его стационарная группа при действии фундаментальной группы 1 ( X \ O) равна группе G.

Итак, мы показали, что классификация алгебраических расшире ний поля K( X ) мероморфных функций на многообразии X, содер жащихся в поле Pa (O), эквивалентна классификации разветвленных конечнолистных накрытий : (M, b) ( X, a), критические значе ния которых лежат в множестве O. И те, и другие объекты клас сифицируются подгруппами конечного индекса в фундаментальной группе 1 ( X \ O, a). В частности, справедлива следующая теорема.

.. Соответствие между подгруппами конечного ин Т декса в фундаментальной группе и алгебраическими расширениями поля Ka (M), лежащими в поле Pa (O), взаимно однозначно. Если подгруппа G1 лежит в подгруппе G2, то поле, соответствующее группе G2, лежит в поле, соответствующем подгруппе G1. Подполе в Pa (O) является расширением Галуа поля Ka ( X ), если ему соот ветствует некоторый нормальный делитель H фундаментальной Глава. Накрытия и теория Галуа группы. Группа Галуа этого расширения изоморфна факторгруппе 1 ( X \ O, a)/H.

.. Поле функций на разветвленном накрытии. Здесь мы по казываем, что неприводимые алгебраические уравнения над полем K( X ) задают изоморфные расширения этого поля, если и только ес ли римановы поверхности этих уравнений задают эквивалентные разветвленные накрытия над многообразием X.

Из утверждения. вытекает такое следствие.

.. Алгебраическое уравнение над полем K( X ) не С приводимо, если и только если его риманова поверхность связна.

Пусть : (M, b) ( X, a) – конечнолистное накрытие с отмечен – ными точками, многообразие M связно и точка a не принадлежит множеству критических значений отображения. Применим ре зультаты о поле Pa (O) и его подполях для описания поля мероморф ных функций на M. Здесь полезна следующая конструкция.

Обозначим через 1 росток в точке a обратного отображения b,a к проекции, переводящего точку a в точку b. Пусть Kb (M) – поле – ростков в точке b мероморфных функций на многообразии M. Это поле изоморфно полю K(M). Отображение (1 ) вкладывает поле b,a Kb (M) в поле Pa (O). Выбирая различные прообразы b точки a, мы получим различные вложения поля K(M) в поле Pa (O).

Пусть уравнение T = 0 неприводимо над полем K( X ). Тогда его риманова поверхность M связна и мероморфные функции на ней образуют поле K(M). Поле K(M) содержит подполе (K( X )), изо морфное полю мероморфных функций на многообразии M. Пусть y : M P 1 – мероморфная функция, фигурирующая в определении – римановой поверхности. Справедливо следующее утверждение.

.. Поле K(M) мероморфных функций на по У верхности M порождено функцией y над своим подполем (K( X )).

Функция y удовлетворяет неприводимому алгебраическому уравне нию T = 0 над подполем (K( X )).

. Пусть b M – точка на многообразии M, про – Д ектирующаяся в точку a, (b) = a, и 1 – росток в точке a обратно – b,a го отображения, переводящего точку a в точку b. Обозначим через Kb (M) поле ростков в точке b мероморфных функций на многообра зии M. Это поле изоморфно полю K(M). Отображение (1 ) вкла b,a дывает поле Kb (M) в поле Pa (O).

§. Геометрия расширений Для каждой мероморфной функции g : M P 1 росток gb 1 a лежит в поле Pa (O). Стационарная группа этого ростка относитель но действия группы 1 ( X \ O, a) содержит стационарную подгруп пу точки b относительно действия группы монодромии. Для ростка yb 1 стационарная группа равна стационарной группе точки b a при действии группы монодромии, так как функция y по определе нию принимает различные значения в точках слоя 1 (a). Теперь утверждение вытекает из п. теоремы..





.. Неприводимые уравнения T1 = 0 и T2 = 0 над полем Т K( X ) задают изоморфные расширения этого поля, если и только если разветвленные накрытия 1 : M1 X и 2 : M2 X, фигуриру ющие в определении римановых поверхностей этих уравнений, зада ют эквивалентные разветвленные накрытия над многообразием X.

. Точки римановых поверхностей уравнений Д T1 = 0 и T2 = 0, лежащие над почти каждой точкой x многообразия X, однозначно задаются значениями корней y1 и y2 уравнений T1 = и T2 = 0 над точкой x. Если уравнения T1 = 0 и T2 = 0 определяют одинаковые расширения поля K( X ), то y1 = Q1 ( y2 ) и y2 = Q2 ( y1 ), где Q1, Q2 – полиномы с коэффициентами из поля K( X ). Эти поли – номы задают определенное почти над каждой точкой x обратимое отображение одной римановой поверхности в другую, которое ком мутирует с проекциями этих поверхностей на X. По непрерывности оно продолжается до изоморфизма накрытий.

Если римановы поверхности уравнений имеют эквивалентные накрытия, то отображение h : M1 M2, устанавливающее экви валентность, коммутирует с проекциями и поэтому аналитично.

Отображение h : K(M2 ) K(M1 ) устанавливает изоморфизм полей K(M1 ) и K(M2 ) и переводит подполе (K( X )) в подполе (K( X )), 2 так как 1 = 2 h.

§.

В этом параграфе мы подводим итоги. В п.. мы обсуждаем связь между нормальными разветвленными накрытиями над связным комплексным многообразием X и расширениями Галуа поля K( X ).

В п.. эта связь применяется для описания расширений поля схо дящихся рядов Лорана.

Глава. Накрытия и теория Галуа В п.. идет речь о компактных одномерных комплексных много образиях. Теория Галуа помогает описать поле мероморфных функ ций на компактном многообразии, а геометрия разветвленных на крытий позволяет достаточно явно описать все алгебраические рас ширения поля рациональных функций от одного переменного.

Группа Галуа расширения поля рациональных функций совпада ет с группой монодромии римановой поверхности алгебраической функции, задающей это расширение. Поэтому теория Галуа достав ляет топологическое препятствие к представимости алгебраических функций в радикалах.

.. Расширения Галуа поля K(X). Согласно теореме. ал гебраические расширения поля мероморфных функций на связном комплексном многообразии X имеют прозрачную геометрическую классификацию, совпадающую с классификацией связных конечно листных разветвленных накрытий над многообразием X. При этом расширениям Галуа поля K( X ) соответствуют нормальные разветв ленные накрытия многообразия X. Опишем геометрически все про межуточные расширения для таких расширений Галуа.

Пусть X – связное аналитическое многообразие, : M X – – – связное нормальное разветвленное конечнолистное накрытие над X, O – конечное множество в X, содержащее все критические зна – чения отображения, и a X – любая точка, не лежащая в O. Мы – имеем поле мероморфных функций K( X ) на многообразии X и его расширение Галуа – поле K(M) мероморфных функций на много – образии M.

Согласно утверждению. из этой главы промежуточные раз h f ветвленные накрытия M 1 Y1 X находятся во взаимно однознач ном соответствии с подгруппами группы N преобразования наложе ния нормального накрытия : M X. С каждым промежуточным h f накрытием M 1 Y1 X связано подполе h (K(Y1 )) поля K(M) ме роморфных функций на многообразии M. Из основной теоремы теории Галуа видно, что каждое промежуточное поле между полями K(M) и K( X ) имеет такой вид, т. е. является полем h (K(Y )) для h f некоторого промежуточного разветвленного накрытия M Y X.

При этом промежуточные расширения Галуа соответствуют про h f межуточным нормальным накрытиям M Y X, а группы Галуа промежуточных расширений Галуа равны группам преобразования §. Геометрия расширений наложения соответствующих промежуточных нормальных накры тий.

Вот немного другое описание того же расширения Галуа. На нор мальном разветвленном накрытии M действует конечная группа N автоморфизмов наложения. С каждой подгруппой G группы N свя зано подполе K N (M) мероморфных функций на M, инвариантных относительно группы G.

.. Поле K(M) является расширением Галуа поля У K N (M) = (K( X )). Группа Галуа этого расширения Галуа равна N.

При соответствии Галуа подгруппе G N соответствует поле KG (M).

.. Алгебраические расширения поля ростков мероморф ных функций. В этом пункте связь между нормальными накрыти ями и расширениями Галуа применяется для описания алгебраиче ских расширений поля сходящихся рядов Лорана.

Пусть L0 – поле ростков мероморфных функций в точке 0 1.

– Это поле можно отождествить с полем сходящихся рядов Лорана cm x m.

mm.. Для каждого k существует единственное расши Т рение степени k поля L0. Оно порождено элементом z = x 1/k. Это расширение нормально, его группа Галуа равна /k.

. Пусть y k + ak1 y k1 +... + a0 = 0 – неприводи – Д мое уравнение над полем L0. Из неприводимости уравнения выте кает существование малого открытого диска Dr с центром в точке 0, такого что ) ряды Лорана коэффициентов ai, i = 1,..., k, сходятся в проколотом диске Dr ;

) уравнение неприводимо над полем K(Dr ) мероморфных функций в диске Dr ;

) дискриминант уравнения от личен от нуля во всех точках проколотого диска Dr.

Пусть : M Dr – риманова поверхность полученного непри – водимого уравнения над диском Dr. По условию в диске Dr лишь точка 0 является критическим значением отображения. Фунда ментальная группа проколотого диска Dr изоморфна аддитивной группе целых чисел. Группа k является единственной подгруп пой индекса k в группе. Эта подгруппа является нормальным делителем, и факторгруппа /k является циклической группой по рядка k. Поэтому существует единственное расширение степени k.

Оно соответствует ростку k-листного накрытия f : ( 1, 0) ( 1, 0), Глава. Накрытия и теория Галуа где f (z) = z k, нормально, и его группа Галуа равна /k. Далее, функция z : Dq 1, где q = r 1/k, разделяет все прообразы точки a Dr при отображении x = z k. Поэтому функция z = x 1/k порождает поле K(Dq ) над полем K(Dr ). Теорема доказана.

Согласно теореме функция z и ее степени 1, z = x 1/k,..., z k1 = = x (k1)/k образуют базис в расширении L степени k поля L0, рас сматриваемого как векторное пространство над полем L0. Функ ции y L можно рассматривать как многозначные функции от x.

Разложение элемента y L по базису y = f0 + f1 z +... + fk1 z k1, f0,..., fk1 L0, эквивалентно разложению y(x) = f0(x) + f1(x)x 1/k + +... + fk1 (x)x (k1)/k многозначной функции y(x) в ряд Пюизо.

Отметим, что элементы 1, z,..., z k1 являются собственными век торами изоморфизма поля L над полем L0, порождающего группу Галуа и соответствующего обходу вокруг точки 0. Собственные чис ла этих векторов соответственно равны 1,,..., k1, где – перво – образный корень из единицы степени k. Существование такого ба зиса доказывается в теории Галуа (см. утверждение. главы ).

. Поле L0 во многом аналогично конечному полю З /p, а обход вокруг точки нуль аналогичен изоморфизму Фро бениуса. Действительно, у каждого из этих полей для каждого натурального k есть единственное алгебраическое расширение степени k. Каждое из этих расширений нормально, группа Галуа каждого из них есть циклическая группа из k элементов. Образу ющая группы Галуа расширения первого поля соответствует петле, обходящей точку нуль, а образующая группы Галуа расширения второго поля является изоморфизмом Фробениуса. Аналогичные свойства имеет любое конечное поле. Для поля Fq, содержащего q = p n элементов, роль петли, обходящей точку нуль, играет n-я степень автоморфизма Фробениуса.

.. Алгебраические расширения поля рациональных функ ций. Рассмотрим теперь случай связных компактных комплексных многообразий. Применяя теорию Галуа, мы покажем, что поле ме роморфных функций на таком многообразии является конечным расширением степени трансцендентности один поля комплексных чисел. С другой стороны, геометрия разветвленных накрытий над сферой Римана дает ясное описание всех конечных алгебраических расширений поля рациональных функций.

§. Геометрия расширений Сфера Римана P 1 является простейшим из компактных ком плексных многообразий. Будем считать, что на проективной пря мой P 1 фиксированы бесконечно удаленная точка, 1 {} = = P 1, и координатная функция x : P 1 P 1, имеющая полюс первого порядка в точке. Каждая мероморфная функция на P является рациональной функцией от x.

Скажем, что пара мероморфных функций f, g на многообразии M разделяет почти все точки многообразия M, если существует конеч ное множество A M, такое что вектор-функция ( f, g) определена на множестве M \ A и принимает в его точках разные значения.

.. Пусть M – связное компактное одномерное ком – Т плексное многообразие. Тогда ) любые две мероморфные функции f, g на M связаны некоторым полиномиальным соотношением (т. е. существует полином Q от двух переменных, для которого выполняется тождество Q( f, g) 0);

) если функции f, g разделяют почти все точки многообразия M, то каждая мероморфная функция на многообразии M является композицией рациональной функции R двух переменных с функция ми f и g, = R( f, g).

.. Если функция f тождественно равна кон Д станте C, то в качестве полиномиального соотношения можно взять тождество f C. В противном случае отображение f : M P 1 яв ляется разветвленным накрытием с некоторым множеством точек ветвления O. Осталось воспользоваться п. теоремы..

. Если функция f тождественно равна константе, то функция g принимает различные значения в точках множества M \ A. Следова тельно, разветвленное накрытие g : M P 1 является взаимно од нозначным отображением многообразия M на сферу Римана P 1. В этом случае каждая мероморфная функция на M является компо зицией рациональной функции R одной переменной с функцией g, = R(g).

Если функция f не равна тождественно константе, то она задает разветвленное накрытие f : M P 1 над сферой Римана P 1. Пусть O – объединение образа множества A при отображении f и множе – ства критических значений отображения f, a O – любая точка сфе /– ры Римана, не лежащая в O, и F – слой разветвленного накрытия – f : M P 1 над точкой a. По условию функция f должна разделять точки множества F. Осталось воспользоваться п. теоремы..

Глава. Накрытия и теория Галуа Пусть y n + a1 y n1 +... + a0 = 0 () – неприводимое уравнение над полем рациональных функций. Ри – манова поверхность : M P 1 этого уравнения называется также римановой поверхностью алгебраической функции, определенной этим уравнением, а группа монодромии разветвленного накрытия : M P 1 называется также группой монодромии этой алгебраи ческой функции. Согласно утверждению. группа Галуа уравнения () совпадает с группой монодромии.

Итак, группа Галуа неприводимого уравнения () над полем ра циональных функций имеет топологический смысл: она равна груп пе монодромии римановой поверхности алгебраической функции, определенной уравнением (). Совпадение группы Галуа уравне ния () и группы монодромии алгебраической функции, опреде ленной этим уравнением, было известно Фробениусу, но, возможно, было открыто еще раньше.

Результаты теории Галуа доставляют топологическое препят ствие к разрешимости уравнения () в радикалах и в k-радикалах.

Из теории Галуа вытекают следующие теоремы.

.. Алгебраическая функция y, определенная уравне Т нием (), представима в радикалах над полем рациональных функ ций, если и только если ее группа монодромии разрешима.

.. Алгебраическая функция y, определенная урав Т нением (), представима в k-радикалах над полем рациональных функций, если и только если ее группа монодромии k-разрешима.

Связные разветвленные накрытия над сферой Римана P 1, кри тические значения которых лежат в фиксированном конечном мно жестве O, допускают полное конечное описание. Связные k-лист ные разветвленные накрытия с отмеченной точкой : (M, b) ( P 1 \ O, a) классифицируются подгруппами индекса k в фунда ментальной группе 1 ( P 1 \ O). Для каждой группы G справедлива следующая лемма.

.. Классификация подгрупп индекса k группы G эквива Л лентна классификации транзитивных действий группы G на мно жестве с отмеченной точкой, содержащем k точек.

. Действительно, с подгруппой G0 индекса k в Д группе G связано транзитивное действие группы G на множестве §. Геометрия расширений правых классов смежности группы G по подгруппе G0, состоящем из k элементов. В этом множестве отмечен правый класс смежности единичного элемента. Обратно, каждому транзитивному действию группы G на множестве из k точек, из которых одна точка отмечена, соответствует стационарная подгруппа G0 отмеченной точки, име ющая индекс k в группе G.

Фундаментальная группа 1 ( P 1 \ O, a) свободная с конечным числом образующих. Она имеет конечное число различных транзи тивных действий на множестве из k точек, которые можно перечис лить. Вот их описание.

Занумеруем точки множества O. Пусть оно содержит m + 1 точку.

Фундаментальная группа 1 ( P 1 \ O, a) является свободной груп пой, порожденной кривыми 1,..., m, где i – кривая, обходящая – i-ю точку множества O. Возьмем множество из k элементов, в ко тором одна точка отмечена. В группе S(k) перестановок этого мно жества произвольным образом выбираем m элементов 1,..., m.

Нас интересуют упорядоченные наборы 1,..., m, подчиненные одному-единственному условию: нужно, чтобы группа переста новок, порожденная этими элементами, была транзитивной. Есть конечное число наборов элементов 1,..., m. Их можно перебрать и выбрать все наборы, порождающие транзитивные группы. С каж дым таким набором связано единственное разветвленное накрытие : (M, b) ( P 1, a) с отмеченной точкой. Оно соответствует ста ционарной подгруппе отмеченного элемента при гомоморфизме F : 1 ( P 1 \ O, a) S(k), переводящем образующую i в элемент i.

Итак, за конечное число операций можно перечислить все транзи тивные действия F : 1 ( P 1 \ O, a) S(k) фундаментальной группы 1 ( P 1 \ O, a) на множестве из k элементов.

На конечном множестве гомоморфизмов F : 1 ( P 1 \ O, a) S(k), образ которых транзитивен, действует конечная группа гомомор физмов сопряжения группы S(k). Орбиты действия конечной груп пы на конечном множестве можно перечислить. Поэтому классы со пряженности подгрупп индекса k в фундаментальной группе тоже можно перечислить за конечное число операций.

Итак, мы получаем полное геометрическое описание всевоз можных расширений Галуа поля рациональных функций одной переменной. Отметим, что в этом описании мы использовали теоре му существования Римана. Теорема Римана не помогает описывать Глава. Накрытия и теория Галуа алгебраические расширения других полей, скажем, поля рациональ ных чисел. Вопрос об описании алгебраических расширений поля рациональных чисел еще открыт. Неизвестно, например, существу ет ли расширение поля рациональных чисел, у которого группа Галуа – заданная конечная группа.

– Гл а в а ОД Н О М Е Р Н А Я Т О П ОЛ О Г И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я ГА Л УА Группа монодромии алгебраической функции совпадает с группой Галуа расширения поля рациональных функций, связанного с этой алгебраической функцией. Поэтому группа монодромии отвечает за представимость алгебраической функции в радикалах. Но группа монодромии есть не только у алгебраических функций. Она опре делена для логарифма, арктангенса и для многих, многих других функций, для которых группа Галуа не имеет смысла. Естественно попытаться для таких функций использовать группу монодромии вместо группы Галуа для доказательства непринадлежности функ ции тому или иному лиувиллевскому классу. Именно этот подход реализуется в одномерной топологической теории Галуа ([]–[], [], []).

В одномерном варианте топологической теории Галуа мы рас сматриваем функции, представимые в квадратурах, как многознач ные аналитические функции одного комплексного переменного.

Оказывается, что существуют топологические ограничения на ха рактер расположения над комплексной плоскостью римановой поверхности функции, представимой в квадратурах. Если функ ция не удовлетворяет этим ограничениям, то ее нельзя выразить в квадратурах.

Этот подход, кроме геометрической наглядности, имеет следую щее преимущество. Топологические запреты относятся к характеру многозначности функции. Они сохраняются не только для функций, представимых в квадратурах, но и для значительно более широкого класса функций. Этот более широкий класс получится, если к функ циям, представимым в квадратурах, добавить все мероморфные функции и разрешить им участвовать во всех формулах. Из-за это го топологические результаты о непредставимости в квадратурах оказываются более сильными, чем алгебраические. Дело в том, что суперпозиция функций – не алгебраическая операция. В дифферен – циальной алгебре вместо суперпозиции функций рассматривается дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет. Но, на пример, -функция Эйлера не удовлетворяет никакому алгебраиче Глава. Одномерная топологическая теория Галуа скому дифференциальному уравнению. Поэтому безнадежно искать уравнение, которому удовлетворяет, скажем, функция (exp x).

Единственные известные результаты о непредставимости функций в квадратурах и, скажем, в -функциях Эйлера получены только нашим методом.

С другой стороны, этим методом невозможно доказать непред ставимость в квадратурах какой-либо однозначной мероморфной функции.

Используя дифференциальную теорию Галуа (точнее, ее линей но-алгебраическую часть, имеющую дело с алгебраическими мат ричными группами и их дифференциальными инвариантами), мож но показать, что единственные причины неразрешимости в квадра турах линейных дифференциальных уравнений типа Фукса тополо гические (ср. § главы ). Другими словами, если к разрешимости в квадратурах дифференциального уравнения типа Фукса не суще ствует топологических препятствий, то оно решается в квадратурах.

Существуют следующие топологические препятствия к пред ставимости функций в квадратурах, обобщенных квадратурах и в k-квадратурах.

Во-первых, функции, представимые в обобщенных квадратурах, и, в частности, функции, представимые в квадратурах и в k-квад ратурах, могут иметь не более чем счетное число особых точек на комплексной плоскости (см. § ). (Хотя уже для простейших функ ций, представимых в квадратурах, множество особых точек может быть всюду плотным!) Во-вторых, группа монодромии функции, представимой в квад ратурах, обязательно разрешима (см. п..). (Хотя уже для простей ших функций, представимых в квадратурах, группа монодромии может содержать континуум элементов!) Аналогичные ограничения на расположение римановой поверх ности существуют и для функций, представимых в обобщенных квадратурах и в k-квадратурах. Однако эти ограничения форму лируются сложнее. В них группа монодромии фигурирует не как абстрактная группа, а как группа перестановок множества листов функции. Другими словами, в этих ограничениях фигурирует не только группа монодромии, но и монодромная пара функции, со стоящая из ее группы монодромии и стационарной подгруппы некоторого ростка (см. п..).

§. О топологической неразрешимости В § обсуждается понятие топологической неразрешимости, при надлежащее В. И. Арнольду, и приводится его доказательство топо логической неэлементарности эллиптических функций. В § приво дится критерий представимости функций в радикалах, доказатель ство которого содержит идею топологической теории Галуа.

§.

Арнольд доказал топологическую неразрешимость ряда классиче ских задач математики []–[]. Среди них задача о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах (см. § ).

Как показал еще Жордан, группа Галуа алгебраического урав нения над полем рациональных функций имеет топологическую интерпретацию. Рассмотрим неприводимое алгебраическое урав нение y n + r1 y n1 +... + rn = 0 () над полем рациональных функций PS, ri PS. Группа Галуа уравнения () над полем рациональных функций изоморфна группе монодро мии (многозначной) алгебраической функции y, определенной урав нением (). Из теории Галуа вытекает такое следствие.

... Алгебраическая функция представима в ради С калах, если и только если ее группа монодромии разрешима.

. Алгебраическая функция представима в k-радикалах, если и только если ее группа монодромии k-разрешима.

Приведем принадлежащее В. И. Арнольду определение.

). Отображение f : X Y называется О (А топологически нехорошим (например, топологически неэлементар ной функцией), если среди (лево-право) топологически эквивалент ных ему нет хороших (например, элементарных).

С каждой многозначной аналитической функцией f комплексно го переменного связаны ее риманова поверхность M f и проекция f : M f S2 этой поверхности на сферу Римана S2.

.. Пусть проекции f и g римановых поверхно С стей M f и M g функций f и g на сферу Римана топологически экви валентны. Тогда функции f и g представимы или непредставимы в радикалах (k-радикалах) одновременно (т. е. топологический тип проекции римановой поверхности функции на сферу Римана отве чает за представимость функции в радикалах и в k-радикалах).

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа. Следствие. немедленно вытекает из след Д ствия.. Действительно, алгебраичность функции связана с ком пактностью ее римановой поверхности, ее представимость в ради калах связана с разрешимостью ее группы монодромии, а ее пред ставимость в k-радикалах связана с k-разрешимостью ее группы монодромии. Все эти свойства топологические.

Для алгебраических функций группа Галуа совпадает с группой монодромии. Это дает возможность отдельно доказывать относя щиеся к теории Галуа результаты об алгебраических функциях, не вводя общих определений и не доказывая общих теорем. Классики широко пользовались этим приемом. Так, в книге [] в парагра фе, посвященном группе монодромии, читаем: «Нижеследующие теоремы убедят в этом [в том, что группа монодромии есть группа Галуа, – А. Хованский] знающего теорию Галуа, а незнающий полу – чит в них понятие о теории Галуа, приспособленное к специальным полям».

В -х годах, занимаясь с одаренными школьниками в Колмо горовском интернате, Владимир Игоревич доказал, что достаточно общая алгебраическая функция степени не меньше 5 от одной пе ременной не представима в радикалах. Он нашел чисто топологи ческое доказательство, не апеллирующее к теории Галуа, непред ставимости в радикалах алгебраических функций с неразрешимой группой монодромии (ср. § ). Арнольд прочел курс лекций о своем доказательстве в Колмогоровском интернате. Позднее этот курс был значительно переработан и опубликован В. Б. Алексеевым []. Со гласно Арнольду, топологическое доказательство неразрешимости какой-либо задачи, как правило, влечет за собой новые следствия.

Например, из топологического доказательства непредставимости в радикалах алгебраической функции с неразрешимой группой мо нодромии легко вытекает непредставимость такой функции форму лой, включающей в себя не только радикалы, но и любые целые функции;

см. [].

В -е годы Арнольд получил также результаты о топологической неэлементарности эллиптических функций и интегралов (и других близких вещей), но ничего не опубликовал на эту тему. В декабре г. Владимир Игоревич написал мне письмо об этом. Следую щая теорема, так же как и приведенное выше определение, заим ствованы из этого письма.

§. О топологической неразрешимости ). Если мероморфная функция g : U P 1,. (А Т определенная в комплексной области U, топологически эквива лентна эллиптической функции f : P 1, то g – эллиптическая – функция (возможно, с другими, чем у функции f, периодами).

. Эллиптическая функция f инвариантна от Д носительно группы сдвигов 2 (z z + k1 1 + k2 2, (k1, k2 ) 2 ).

Поэтому функция g инвариантна относительно группы гомеомор физмов 2 области U. Каждый гомеоморфизм h этой группы на са мом деле является биголоморфным отображением области U в се бя. Действительно, по теореме об обратной функции из тождества g(z) g(h(z)) вытекает голоморфность отображения h в окрестно сти каждой точки, не принадлежащей прообразу при отображении h множества критических точек функции g. В точках этого прооб раза отображение h голоморфно по теореме об устранимой особен ности. По условию область U гомеоморфна. Следовательно, по теореме Римана область U либо совпадает с, либо биголоморфно эквивалентна внутренности единичного круга. Область U совпада ет с, так как группа биголоморфных преобразований единичного круга не содержит подгруппы 2. Подгруппа 2 группы биголоморф ных преобразований, действующая на без неподвижных точек, является группой сдвигов (z k1 1 + k2 2, (k1, k2 ) 2 ). Поэтому g – – эллиптическая функция.

Как известно, эллиптические функции неэлементарны. Из этого классического результата и доказанной выше теоремы вытекает то пологическая неэлементарность эллиптических функций.

Ниже приводится цитата из письма Владимира Игоревича.

«Эти соображения доказывали, мне помнится, топологическую неэлементарность как эллиптических функций, f, так и эллипти ческих интегралов, f 1, да и многого другого. Причем все это Неэлементарность эллиптических функций вытекает из обобщения теории Пи кара– –Вессио, принадлежащего Колчину []. Это обобщение применимо не только к линейным, но и к некоторым нелинейным дифференциальным уравнениям, напри мер к уравнению на -функцию Вейерштрасса. Группа Галуа дифференциального по ля эллиптических функций над полем констант, очевидно, содержит группу / 2, состоящую из факторгруппы группы сдвигов f (z) f (z + a) по подгруппе 2 перио дов эллиптических функций. Несложно показать, что группа Галуа совпадает с этой группой. Непредставимость эллиптических функций в обобщенных квадратурах, со гласно Колчину, вытекает из несуществования у группы / 2 нормальной башни подгрупп, каждая факторгруппа относительно которой является или конечной груп пой, или аддитивной, или мультипликативной группами комплексных чисел.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа обобщается и на кривые других родов (с другими накрытиями, или хотя бы с универсальными накрытиями). Не помню, доказал ли я аккуратно, но думаю, что у меня были соображения, почему анало гичные приведенной теореме многомерные высказывания должны быть неверны: помнится, что сохранение топологического типа в многомерном случае не гарантирует сохранение алгебраичности.

Само по себе это не препятствует топологической неэлементар ности (нехорошести), но препятствует моему доказательству его, доказательству путем сведения к неэлементарности классического (алгебраического) объекта вроде эллиптической функции».

§.

В этом параграфе приводится вариант топологического доказа тельства Арнольда непредставимости функций в радикалах, осно ванный на заметке [] и содержащий в зародыше рассуждения одномерной топологической теории Галуа.

Класс функций от одной переменной, представимых в радикалах, можно задать при помощи следующих двух списков.

Список основных функций: комплексные константы y C, неза висимая переменная y = x и функции y = x 1/n, где n 1 – любое на – туральное число.

Список допустимых операций: арифметические операции и су перпозиции.

Класс функций, представимых в радикалах, – это множество всех – функций, которые получаются из основных функций при помощи допустимых операций. В этом параграфе обсуждается следующий. Функция предста К вима в радикалах, если и только если она является алгебраической функцией и имеет разрешимую группу монодромии.

Критерий легко выводится из теории Галуа. Дело в том, что груп па монодромии алгебраической функции изоморфна группе Галуа расширения поля рациональных функций, полученного присоеди нением к этому полю всех ветвей алгебраической функции.

В этом параграфе приводится простое доказательство критерия, независимое от теории Галуа и от остального содержания книги (правда, в п.. мы используем без доказательства несложную ли §. Топология непредставимости в радикалах нейную алгебру из главы ). Пункт. посвящен (почти очевидной) проверке разрешимости групп монодромии основных функций, представимых в радикалах. В п.. формулируются нужные нам утверждения о разрешимых группах. В п.. доказана представи мость в радикалах алгебраических функций с разрешимой группой монодромии.

.. Класс функций, представимых в радикалах, опре З делен в п.. введения немного по-другому. Легко видеть, что это определение эквивалентно определению, приведенному выше.

. Операции с многозначными функциями в настоящем парагра фе, как и в остальной части книги (кроме главы ), понимаются в смысле п.. введения.

.. Группы монодромии основных функций. Легко вычислить группы монодромии основных функций, представимых в ради калах. Группы монодромии констант и независимой переменной тривиальны (т. е. состоят из одного единичного элемента), так как эти функции однозначны.

.. Группа монодромии функции y = x 1/n являет У ся циклической группой /n.

. Действительно, функция x 1/n не имеет точек Д ветвления в области = \ {0, }, фундаментальная группа кото рой изоморфна аддитивной группе целых чисел. В группе 1 (, 1) в качестве образующей можно выбрать петлю (t) = exp(2it), 0 t 1. Функция y = x 1/n имеет n ростков yk, 0 k n, в точке, значения которых в этой точке задаются следующими формулами:

2ki. Продолжение ростка yk вдоль кривой в точке (t) yk (1) = exp n 2(k + t)i принимает значение exp. При обходе по кривой пара n метр t возрастает от 0 до 1. Поэтому при обходе по этой кривой росток yk переходит в росток ym, где m = (k + 1) mod n.

.. Группы монодромии основных функций, пред С ставимых в радикалах, разрешимы.

.. Разрешимые группы. Сформулируем нужные нам факты о разрешимых группах. Группу G будем называть разрешимой груп пой глубины l 0, если ) существует цепочка вложенных подгрупп G = G0... Gl = e, в которой группа Gl совпадает с единичным Глава. Одномерная топологическая теория Галуа элементом e и при i = 1,..., l группа Gi является нормальным делите лем группы Gi1, причем факторгруппа Gi1 /Gi коммутативна;

) не существует цепочки вложенных подгрупп меньшей длины с анало гичными свойствами. Группа называется разрешимой, если она яв ляется разрешимой глубины l при некотором l 0.

Положим [G]0 = G. Обозначим через [G]1 коммутатор группы G.

Для каждого натурального l по индукции определяется l-й комму татор [G]l группы G как коммутатор группы [G]l1. Легко прове рить следующее утверждение.

... Для любого натурального l группа [G]l яв У ляется нормальным делителем в группе G. (Более того, любой авто морфизм группы G переводит группу [G]l в себя.). Группа G является разрешимой группой глубины l 0, если и только если [G]l = e и [G]l1 = e.

. Для любого гомоморфизма : G1 G2 группы G1 в группу G2 и любого натурального l справедливо включение [(G1 )]l [G2 ]l.

. Для любых натуральных чисел l и m и любой группы G справед ливо включение [G]l [G]l+m.

.. Замкнутость класса алгебраических функций с разреши мой группой монодромии. Легко показать, что класс алгебраи ческих функций замкнут относительно суперпозиций и арифмети ческих операций. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого хорошо известного факта. Докажем, что класс алгебраических функций, имеющих разрешимую группу монодромии, тоже замкнут относительно этих операций.

Пусть y – алгебраическая функция комплексной переменной, – A – множество ветвления функции y и U A = \ A – дополнение к – – множеству ветвления A в сфере Римана. Пусть 1 (U A, ) – фунда – ментальная группа области U A с отмеченной точкой U A.

... Если группа монодромии алгебраической У функции y является разрешимой группой глубины не больше l, то любой росток функции y в точке не изменяется при продолжении вдоль l-го коммутатора [1 (U A, )]l группы 1 (U A, ).

. Если хотя бы один из ростков функции y в точке не изменя ется при продолжении вдоль l-го коммутатора [1 (U A, )]l группы 1 (U A, ), то группа монодромии алгебраической функции y являет ся разрешимой группой глубины не больше l.

§. Топология непредставимости в радикалах. Утверждение. автоматически вытекает Д из утверждения.. Ограничимся следующим замечанием. Группа [G]l – нормальный делитель фундаментальной группы G =1 (U A, ) – (см. п. утверждения.). Поэтому если хотя бы один росток функ ции y не меняется при продолжении вдоль кривых из подгруппы [G]l, то продолжение вдоль кривых из этой подгруппы не меняет ни одного ростка функции y.

Пусть B – любое конечное множество, содержащее множество то – чек ветвления A функции y, UB = \ B – дополнение к множеству B – в сфере Римана и – точка в области UB.

–... Если группа монодромии алгебраической функ С ции y является разрешимой группой глубины не больше l, то любой росток функции y в точке не изменяется при продолжении вдоль l-го коммутатора [1 (UB, )]l группы 1 (UB, ).

. Если хотя бы один из ростков функции y в точке не изменя ется при продолжении вдоль l-ого коммутатора [1 (UB, )]l группы 1 (UB, ), то группа монодромии алгебраической функции y являет ся разрешимой группой глубины не больше l.

. Каждую перестановку ростков функции y, Д которая получается при обходе по кривой из группы 1 (U A, ), можно получить в результате обхода по кривой из группы 1 (UB, ).

Для этого достаточно чуть пошевелить первоначальную кривую и избавиться от ее точек пересечения с множеством B \ (B A) (если, разумеется, такие точки пересечения изначально существовали).

Поэтому следствие. и утверждение., в сущности, не различа ются.

.. Класс алгебраических функций с разрешимой груп Т пой монодромии замкнут относительно арифметических операций.

. Пусть алгебраические функции y и z имеют Д множества ветвления A1 и A2 и разрешимые группы монодромии M1 и M2 глубин l1 и l2 соответственно. Пусть B = A1 A2, UB = \ B и – точка в области UB. Обозначим через m максимум из чисел l – и l2. По следствию. мероморфное продолжение вдоль кривых из группы [1 (UB, )]m не меняет ростков функций y и z. Поэтому при продолжениях вдоль кривых из этой группы ростки функций y + z, y z, y z и y : z возвращаются к своим прежним значениям. Зна чит, по следствию. группы монодромии этих ростков разрешимы и имеют длины не больше m.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа.. Класс алгебраических функций с разрешимой груп Т пой монодромии замкнут относительно суперпозиций.

Прежде чем доказывать теорему., немного уточним ее. Рас смотрим алгебраические функции y и z. Пусть A1 и A2 – множества – ветвлений функций y и z, а M1 и M2 – группы монодромии этих – функций, являющиеся разрешимыми группами глубин l1 и l2. Обо значим через y 1 (A2 ) полный прообраз множества A2 при много значном соответствии, порожденном функцией y (т. е. x y 1 (A2 ), если существует росток функции y, значение которого в точке x принадлежит множеству A2 ).

.. При сделанных выше предположениях суперпози Т ция z( y) алгебраических функций y и z имеет разрешимую группу монодромии глубины не больше l1 + l2. Множество ветвления функ ции z( y) является подмножеством множества B = A1 y 1 (A2 ).

. Очевидно, что множество B = A1 y 1 (A2 ) со Д держит все точки ветвления функции z( y). Пусть UB = \ B и – – точка в области UB. Положим U A2 = \ A2. Обозначим через G группу 1 (UB, ) и через [G]l1 – ее l1 -й коммутатор.

– По следствию. мероморфное продолжение вдоль кривых из группы [G]l1 не меняет ростков функций y. Это означает, что для каждого ростка yi функции y в точке определен гомоморфизм i :

G 1 (U A2, ), где = yi (), сопоставляющий кривой : [0, 1] UB, (0) = (1) =, из группы G = [1 (UB, )]l1 кривую yi () : [0, 1] U A2, yi ((0)) = yi ((1)) = yi() =, полученную мероморфным продолже нием ростка yi вдоль кривой.

По определению мероморфное продолжение вдоль кривых из группы [1 (U A2, )]l2 не меняет ростка z. Следовательно, мероморф ное продолжение вдоль кривых из группы i1 ([1 (U A2, )]l2 ) не ме няет ростка z( yi ). По п. утверждения. группа 1 ([1 (U A2, )]l2 ) содержит l2 -й коммутатор группы [G]l1. Поэтому мероморфное про должение вдоль кривых из группы [1 (UB, )]l1 +l2 не меняет ростка суперпозиции z( yi ). Для завершения доказательства теоремы.

осталось воспользоваться следствием..

.. Алгебраическая функция с разрешимой группой моно дромии представима в радикалах. Пусть y – n-значная алгебра – ическая функция одной переменной, A – множество ее точек ветв – ления, U A = \ A и U A – отмеченная точка. Пусть V – открытый – – §. Об одномерном варианте круг с центром в точке, не пересекающийся с множеством A. В круге V существуют n голоморфных ветвей y1,..., yn функции y.

Поэтому в этом круге мероморфны все функции из поля R y = = R y1,..., yn, полученного присоединением элементов y1,..., yn к полю R всех рациональных функций. Каждая функция z из поля R y мероморфно продолжается вдоль любой кривой из фунда ментальной группы 1 (U A, ), так как вдоль мероморфно про должаются рациональные функции и все ветви функции y. Меро морфное продолжение вдоль кривой сохраняет арифметические операции. Поэтому мероморфное продолжение вдоль кривой за дает автоморфизм поля R y. Автоморфизм тождествен, если и только если кривой соответствует тривиальное преобразование монодромии M функции y. Функция z R y, неподвижная относи тельно всех автоморфизмов, является рациональной функцией.

Действительно, z – однозначная алгебраическая функция, следова – тельно, z – рациональная функция.

– Мы доказали следующую теорему.

.. Группа монодромии M функции y действует на Т поле R y как группа автоморфизмов. Полем инвариантов относи тельно этого действия является поле рациональных функций R.

Соединяя теорему. с результатами из линейной алгебры, изло женными в § главы, получаем такое следствие.

.. Алгебраическая функция с разрешимой группой С монодромии представима в радикалах.

Доказательство критерия представимости в радикалах закон чено.

§.

Группа монодромии есть не только у алгебраических функций.

Она определена для основных элементарных функций и для мно гих, многих других функций, для которых группа Галуа не имеет смысла. Для доказательства непринадлежности таких функций то му или иному лиувиллевскому классу можно использовать группу монодромии вместо группы Галуа. Этот подход реализуется в топо логической теории Галуа. Приведем пример, который показывает, какие трудности приходится преодолевать на этом пути.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа Рассмотрим элементарную функцию f, определенную следующей формулой:

n j ln(z a j ), f (z) = ln j= где a j, j = 1,..., n, – различные точки на комплексной прямой и j, – j = 1,..., n, – комплексные константы. Обозначим через аддитив – ную группу комплексных чисел, порожденную константами 1,...

..., n. Ясно, что если n 2, то почти для всякого набора констант 1,..., n группа всюду плотна на комплексной прямой.

.. Если группа всюду плотна на комплексной У прямой, то элементарная функция f имеет всюду плотное множе ство точек логарифмического ветвления.

. Пусть ga – один из ростков функции g, опре – Д n деленной формулой g(z) = j ln(z a j ) в точке a, a = a j, j =1,..., n.

j= После обхода точек a1,..., an к ростку ga прибавится число 2i, где – элемент группы. Обратно, всякий росток ga + 2i, где, – получается при аналитическом продолжении ростка ga вдоль неко торой кривой. Пусть U – малая окрестность точки a и G : U – – – аналитическая функция, росток которой в точке a есть ga. Образ V области U при отображении G : U открыт. Поэтому в области V найдется точка вида 2i, где. Функция G 2i является одной из ветвей функции g над областью U, причем множество нулей этой ветви в области U непусто. Поэтому одна из ветвей функции f = ln g имеет в U точку логарифмического ветвления.

Несложно проверить, что в условиях утверждения группа моно дромии функции f континуальна (это неудивительно: фундамен тальная группа 1 (S \ A), где A – счетное всюду плотное множество – на сфере Римана, очевидно, содержит континуум элементов).

Можно показать также, что образ фундаментальной группы до полнения к множеству A b, где b A – точка на комплексной пря /– мой, в группе перестановок листов функции f является собственной подгруппой группы монодромии функции f. (То обстоятельство, что удаление одной лишней точки может изменить группу моно дромии, несколько усложняет все доказательства.) Итак, уже простейшие элементарные функции могут иметь всю ду плотное множество особых точек и континуальную группу мо §. Класс -функций нодромии. Тем не менее, множество особых точек элементарной функции одного переменного не более чем счетно, а ее группа монодромии разрешима. Если функция не удовлетворяет этим огра ничениям, то она не может быть элементарной. Существуют ана логичные топологические препятствия к принадлежности функции одного комплексного переменного другим лиувиллевским классам функций.

Переходим к подробному описанию этого геометрического под хода к проблеме разрешимости.

§.

В этом параграфе определяется обширный класс функций одной комплексной переменной, нужный для построения топологической теории Галуа.

.. Запрещенные множества. Определим класс функций, внут ри которого будут проводиться дальнейшие рассмотрения. Много значная аналитическая функция одного комплексного переменного называется -функцией, если множество ее особых точек не более чем счетно. Уточним это определение.

Два регулярных ростка fa и gb, заданные в точках a и b сферы Римана S2, называются эквивалентными, если росток gb получает ся из ростка fa регулярным продолжением вдоль некоторой кривой.

Каждый росток gb, эквивалентный ростку fa, называется также ре гулярным ростком многозначной аналитической функции f, порож денной ростком fa.

Точка b S2 называется особой для ростка fa, если существует кривая : [0, 1] S2, (0) = a, (1) = b, вдоль которой росток не мо жет быть регулярно продолжен, но для любого t, 0 t 1, росток регулярно продолжается вдоль укороченной кривой : [0, t] S2.

Легко видеть, что у эквивалентных ростков множества особых точек совпадают.

Регулярный росток называется -ростком, если множество его особых точек не более чем счетно. Многозначная аналитическая функция называется -функцией, если каждый ее регулярный ро сток является -ростком.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа Нам понадобится лемма, согласно которой малым шевелением кривую на плоскости можно снять со счетного множества точек.

. ( Л ).

Пусть A – не более чем счетное множество точек на плоскости, – : [0, 1] – кривая и – непрерывная положительная функция – – на интервале 0 t 1. Тогда существует кривая : [0, 1], такая что (t) A и |(t) (t)| (t) при 0 t 1.

/ «Научное» доказательство леммы заключается в следующем.

В функциональном пространстве кривых кривые, близкие к, |(t) (t)| (t), и не проходящие через одну из точек множества A, образуют открытое плотное множество. Пересечение счетного числа открытых плотных множеств в таких функциональных про странствах не пусто.

Приведем элементарное доказательство леммы (оно почти до словно переносится на более общий случай, когда множество A несчетно, но имеет нулевую длину по Хаусдорфу;

ср. § ). Сначала построим бесконечнозвенную ломаную с вершинами, не при надлежащими A, такую что |(t) (t)| 1 (t). Такую ломаную можно построить, так как дополнение к множеству A всюду плотно.

Покажем, как изменить каждое звено [p, q] ломаной, чтобы она не пересекала множества A. Возьмем отрезок [p, q]. Пусть m – пер – пендикуляр к его середине. Рассмотрим двузвенные ломаные [p, b], [b, q], где b m и точка b достаточно близка к отрезку. Они пере секаются только по концам p, q и их число континуально. Значит, среди них есть ломаная, не пересекающая множества A. Заменив таким образом каждое звено бесконечнозвенной ломаной, получим искомую кривую.


Кроме множества особых точек удобно рассматривать и другие множества, вне которых функция неограниченно продолжается. Не более чем счетное множество A называется запрещенным множе ством для регулярного ростка fa, если росток fa регулярно про должается вдоль кривой (t), (0) = a, пересекающей множество A лишь, может быть, в начальный момент.

. ( ). Не более чем Т счетное множество является запрещенным множеством ростка, если и только если оно содержит множество его особых точек.

В частности, росток обладает некоторым запрещенным множе ством, если и только если он является ростком -функции.

§. Класс -функций. Предположим, что существует особая точка b Д ростка fa, не лежащая в некотором запрещенном множестве A этого ростка. По определению должна существовать кривая : [0, 1] S2, (0) = a, (1) = b, вдоль которой не существует регулярного про должения ростка fa, но вдоль которой росток продолжается до любой точки t 1. Не ограничивая общности, можно считать, что точки a, b и кривая (t) лежат в конечной части сферы Римана, т. е. (t) = при 0 t 1. Обозначим через R(t) радиус сходимо сти рядов f(t), получающихся при продолжении ростка fa вдоль кривой (t). Функция R(t) непрерывна на полуинтервале [0, 1).

Согласно лемме существует кривая (t), (0) = a, (1) = b, такая что |(t) (t)| 3 R(t) и (t) A при t 0. Росток fa по условию должен / продолжаться вдоль кривой до точки 1. Но отсюда легко следует, что росток fa продолжается вдоль кривой. Полученное противоре чие доказывает, что множество особых точек ростка fa содержится во всяком запрещенном множестве этого ростка. Обратное утвер ждение (счетное множество, содержащее множество особенностей ростка, является запрещенным для ростка) очевидно.

.. Замкнутость класса -функций. Докажем замкнутость введенного класса функций относительно всех естественных опера ций.

. ( ). Класс Т всех -функций замкнут относительно следующих операций:

) дифференцирования, т. е. если f, то f ;

) интегрирования, т. е. если f и g = f, то g ;

) суперпозиции, т. е. если g, f, то g f ;

) мероморфных операций, т. е. если F(x1,..., xn ) – мероморфная – функция n переменных, fi, i = 1,..., n, и f = F( f1,..., fn ), то f ;

) решения алгебраических уравнений, т. е. если fi, i = 1,..., n, и f n + f1 f n1 +... + fn = 0, то f ;

) решения линейных дифференциальных уравнений, т. е. если fi, i = 1,..., n, и f (n) + f1 f (n1) +... + fn = 0, то f.

.,. Пусть fa, a =, – росток -функции с – Д множеством особых точек A. Если росток fa регулярно продолжа ется вдоль некоторой кривой, лежащей в конечной части сфе ры Римана, то интеграл и производная этого ростка регулярно продолжаются вдоль кривой. Поэтому в качестве запрещенного Глава. Одномерная топологическая теория Галуа множества для интеграла и производной ростка fa достаточно взять множество A {}.

. Пусть fa и gb – ростки -функций с множествами особых точек – A и B и fa (a) = b. Обозначим через f 1 (B) полный прообраз мно жества B при многозначном соответствии, порожденном ростком fa. Иными словами, x f 1 (B), если и только если существует ро сток x, эквивалентный ростку fa и такой, что (x) B. Множество f 1 (B) не более чем счетно. В качестве запрещенного множества ростка gb fa достаточно взять множество A f 1 (B).

. Пусть fia – ростки -функций, Ai – множества их особых точек – – и F – мероморфная функция n переменных. Мы предполагаем, что – ростки fia и функция F таковы, что росток fa = F( f1a,..., fna ) является вполне определенным мероморфным ростком. Заменив, если надо, точку a близкой точкой, можно считать, что росток fa регулярен. Ес ли кривая (t) не пересекает множество A = Ai при t 0, то росток fa мероморфно продолжается вдоль этой кривой. Пусть B – проек- – ция на сферу Римана множества полюсов функции f, порожденной ростком fa. В качестве запрещенного множества ростка достаточно взять множество A B.

. Пусть fia – ростки -функций, Ai – множества их особых точек – – и fa – регулярный росток, удовлетворяющий равенству – fan + f1a · fan1 +... + fna = 0.

Если кривая (t) не пересекает множества A = Ai при t 0, то существует продолжение ростка fa вдоль этой кривой, содержащее, вообще говоря, мероморфные и алгебраические элементы. Пусть B – проекция множества полюсов функции f и точек разветвления – ее римановой поверхности на сферу Римана S2. В качестве запре щенного множества для ростка fa достаточно взять множество A B.

. Если коэффициенты уравнения fa(n) + f1a · fa(n1) +... + fna = регулярно продолжаются вдоль некоторой кривой, лежащей в ко нечной части сферы Римана, то любое решение fa этого уравнения также регулярно продолжается вдоль кривой. Поэтому в качестве запрещенного множества ростка fa достаточно взять множество A = Ai {}, где Ai – множества особых точек ростков fia.

–. Арифметические операции и потенцирование яв З ляются примерами мероморфных операций, поэтому класс -функ §. Группа монодромии ций замкнут относительно арифметических операций и потенци рования.

.. Если многозначную функцию f можно получить С из однозначных -функций с помощью интегрирования, дифферен цирования, мероморфных операций, суперпозиций, решения алгеб раических уравнений и линейных дифференциальных уравнений, то функция f имеет не более чем счетное число особых точек. В част ности, функцию, имеющую несчетное число особых точек, нельзя представить в обобщенных квадратурах.

§.

В этом параграфе обсуждаются различные понятия, связанные с группой монодромии.

.. Группа монодромии с запрещенным множеством. Груп па монодромии -функции f с запрещенным множеством A – это – группа всех перестановок листов функции f, которые происходят при обходе точек множества A. Дадим теперь точное определение.

Пусть Fa – множество всех ростков -функции f в точке a, не ле – жащей в некотором запрещенном множестве A. Возьмем замкну тую кривую в S2 \ A с началом в точке a. Продолжение каждого ростка из множества Fa вдоль кривой приводит к ростку из мно жества Fa.

Итак, каждой кривой соответствует отображение множества Fa в себя, причем гомотопным в S2 \ A кривым отвечают одинаковые отображения. Произведению кривых отвечает произведение отоб ражений. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы мно жества S2 \ A в группу S(Fa ) взаимно однозначных преобразований множества Fa. Этот гомоморфизм будем называть гомоморфизмом A-монодромии. Группой монодромии -функции f с запрещенным множеством A или, короче, группой A-монодромии называется об раз фундаментальной группы 1 (S2 \ A, a) в группе S(Fa ) при гомо морфизме.

... Группа A-монодромии -функции не зави У сит от выбора точки a.

. Группа A-монодромии -функции f транзитивно действует на листах функции f.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа Оба утверждения просто доказываются при помощи леммы..

Остановимся, например, на доказательстве второго из них.

. Пусть f1a и f2a – некоторые ростки функции f – Д в точке a. Так как ростки f1a и f2a эквивалентны, то существует кри вая, при продолжении вдоль которой ростка f1a получается росток f2a. Согласно лемме. существует сколь угодно близкая кривая, не пересекающая множество A. Если кривая достаточно близка к кривой, то соответствующая ей перестановка листов переводит росток f1a в росток f2a.

.. Замкнутая группа монодромии. Зависимость группы A-мо нодромии от выбора множества A заставляет ввести тихоновскую топологию в группе перестановок листов. Оказывается, что замы кание группы A-монодромии уже не зависит от множества A.

Группу S(M) взаимно однозначных преобразований множества M мы будем рассматривать вместе со следующей топологией. Для каждого конечного множества L M определим окрестность UL тож дественного преобразования как совокупность преобразований p, таких что p(l) = l при l L. Базис окрестностей тождественного пре образования определяется как множество окрестностей вида UL, где L пробегает все конечные подмножества в M.

. ( ). Замыка Л ние группы монодромии -функции f с запрещенным множеством A в группе S(F) всех перестановок листов функции f не зависит от выбора запрещенного множества A.

. Пусть A1 и A2 – два запрещенных множества – Д функции f и Fa – совокупность листов функции f в точке a, не при – надлежащей множеству A1 A2. Пусть 1, 2 S(Fa ) – группы моно – дромии функции f с этими запрещенными множествами. Достаточ но показать, что для каждой перестановки µ1 1 и для каждого конечного множества L Fa существует перестановка µ2 2, такая что µ1 |L = µ2 |L. Пусть кривая 1 (S2 \ A1, a) задает перестановку µ1. Так как множество L конечно, всякая кривая 1 (S2 \ A1, a), достаточно близкая к кривой, задает перестановку µ1, совпадаю щую с перестановкой µ1 на множестве L, µ1 |L = µ1 |L. По лемме из п.. такую кривую можно выбрать так, чтобы она не пересекала множества A2. Перестановка µ1 в этом случае будет лежать в груп пе 2.

§. Группа монодромии Лемма делает корректным следующее определение: замкнутой группой монодромии -функции f называется замыкание в группе S(F) группы монодромии функции с некоторым запрещенным мно жеством A.

.. Транзитивное действие группы на множестве и моно дромная пара -функции. Группа монодромии функции f – это – не просто абстрактная группа, но транзитивная группа переста новок листов этой функции. В этом пункте напоминается алгеб раическое описание транзитивных действий группы на множе ствах.

Действием группы на множестве M называется гомоморфизм группы в группу S(M). Два действия 1 : S(M1 ) и 2 :


S(M2 ) называются эквивалентными, если существует такое вза имно однозначное отображение q : M1 M2, что q 1 = 2, где q : S(M1 ) S(M2 ) – изоморфизм, индуцированный отображением q.

– Стационарной подгруппой a точки a M при действии на зывается подгруппа, состоящая из всех элементов µ, таких что µ(a) = a. Действие называется транзитивным, если для любых точек a, b M существует µ, такое что µ(a) = b. Очевидно следующее утверждение.

... Действие группы транзитивно, если и У только если стационарные подгруппы любых двух точек a, b M со пряжены. Образ группы при транзитивном действии изоморфен µa µ1.

факторгруппе / µ. Существует и при этом единственно с точностью до эквива лентности транзитивное действие группы с фиксированной ста ционарной подгруппой некоторой точки.

Итак, транзитивные действия группы описываются парами групп. Пару групп [, a ], где a – стационарная подгруппа некото – рой точки a при транзитивном действии группы, будем назы вать монодромной парой точки a относительно действия. Группу µa µ1 будем называть группой монодромии пары () / µ [, a ].

Гомоморфизм A-монодромии задает транзитивное действие фундаментальной группы 1 (S2 \ A) в множестве Fa листов функции f в точке a.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа Монодромную пару ростка fa относительно действия будем на зывать монодромной парой ростка fa с запрещенным множеством A.

Монодромную пару ростка fa при действии замкнутой группой мо нодромии будем называть замкнутой монодромной парой ростка fa. У разных ростков -функции f монодромные пары с запрещен ным множеством A изоморфны, поэтому имеет смысл говорить о монодромной паре с запрещенным множеством A и замкнутой монодромной паре -функции f. Замкнутую монодромную пару -функции f будем обозначать [ f ].

.. Почти нормальные функции. Пару групп [, 0 ], 0, будем называть почти нормальной парой, если существует конечное множество P, такое что µ0 µ1 = µ0 µ1.

µ µP. ( ). Образ () группы Л при транзитивном действии : S(M) является дискретной подгруппой в S(M), если и только если монодромная пара [, 0 ] некоторого элемента x0 M почти нормальна.

. Пусть группа () дискретна. Обозначим Д такое конечное подмножество множества M, что окрест через P ность тождественного преобразования UP не содержит преобразо ваний группы (), отличных от тождественного. Это означает, что пересечению x стационарных подгрупп точек x P отвечает x P µ0 µ1.

тривиальное действие на множестве M, т. е. x µ x P Группы x сопряжены группе 0, поэтому можно выбрать такое µ0 µ1 = µ0 µ1. Обратное конечное множество P, что µP µ утверждение доказывается аналогично.

Будем называть -функцию f почти нормальной, если ее группа монодромии дискретна. Из леммы вытекает, что функция f почти нормальна, если и только если почти нормальна ее замкнутая мо нодромная пара [ f ].

Дифференциальной рациональной функцией от нескольких фун кций называется рациональная функция от этих функций и их про изводных.

§. Группа монодромии. ( ). Пусть Л каждый росток -функции f в точке a является дифференциальной рациональной функцией от конечного числа фиксированных ростков функции f в точке a. Тогда функция f почти нормальна.

Действительно, если при продолжении вдоль замкнутой кривой не изменяются фиксированные ростки функции, то не меняются и дифференциальные рациональные функции от них.

Из леммы о конечно порожденных функциях вытекает, что любое решение линейного дифференциального уравнения с рациональны ми коэффициентами является почти нормальной функцией. То же самое верно и для многих других функций, естественно встречаю щихся в дифференциальной алгебре.

.. Классы пар групп. В § мы опишем, как изменяются за мкнутые монодромные пары функций при суперпозициях, интегри рованиях, дифференцированиях и т. д. Для этого нам понадобится ввести некоторые понятия, связанные с парами групп.

Парой групп мы всегда будем называть пару, состоящую из груп пы и некоторой ее подгруппы. Будем отождествлять группу с парой групп, состоящей из этой группы и ее единичной подгруппы.

. Совокупность пар групп будем называть по О чти полным классом пар групп, если ) для каждой пары групп [, 0 ], 0, и любого гомомор физма : G, где G – некоторая группа, пара групп [, 0 ] так – же содержится в, ) для каждой пары групп [, 0 ], 0, и любого гомомор физма : G, где G – некоторая группа, пара групп [1, 1 0 ] – также содержится в, ) для каждой пары групп [, 0 ], 0, и группы G, наде ленной T2 -топологией и содержащей группу, G, пара групп [ 0 ] также содержится в, где, 0 – замыкания групп, 0 в –, группе G.

. Почти полный класс пар групп будем называть О полным классом пар групп, если ) для каждой пары групп [, 0 ] и группы 1, 0 1, пара групп [, 1 ] также содержится в, ) для каждых двух пар групп [, 1 ], [1, 2 ] пара групп [, 2 ] также содержится в.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа Минимальные почти полный и полный классы пар групп, содер жащие фиксированное множество пар групп, будем обозначать соответственно и.

... Если группа монодромии пары [, 0 ] содержится в Л некотором полном классе пар, то пара [, 0 ] также содержится в.

. Если почти нормальная пара [, 0 ] содержится в некотором полном классе пар, то ее группа монодромии также содержится в.

Остановимся на доказательстве второго утверждения. Пусть i, i = 1,..., n, – конечное число подгрупп, сопряженных с 0, таких – n µ0 µ1. Пары [, i ] изоморфны паре [, 0 ], поэто что i = µ i= му [, i ]. Пусть : 2 – гомоморфизм вложения, тогда – (1 ) = 2 1, поэтому [2, 2 1 ]. Класс содержит пары [, 2 ] и [2, 2 1 ], следовательно, [, 1 2 ]. Продолжая n это рассуждение, получим, что класс содержит пару, и i i= µ0 µ1.

вместе с ней группу / µ. ( [ f ]). Почти полный класс пар У содержит замкнутую монодромную пару [ f ] -функции f, если и только если этот класс содержит монодромную пару функции f с запрещенным множеством A.

. Пусть [, 0 ] – монодромная пара функции f – Д с запрещенным множеством A. Тогда [ f ] = [ 0 ]. Поэтому всякий, почти полный класс, содержащий пару [, 0 ], содержит и пару [ f ]. Обратно, если [ 0 ] содержится в классе, то и [, 0 ].

, Действительно, топология в группе перестановок устроена таким образом, что 0 = 0. Поэтому пара [, 0 ] является прообразом 0 ] при вложении группы в ее замыкание.

пары [, §.

Здесь формулируется и доказывается основная теорема топологиче ской теории Галуа.

.. Класс -функций, состоящий из О -функций, замкнутые монодромные пары которых лежит в неко §. Основная теорема тором полном классе пар, замкнут относительно дифференци рования, суперпозиций и мероморфных операций. Если, кроме того, класс содержит ) группу комплексных чисел по сложению, то класс замкнут относительно интегрирования, ) группу S(k) перестановок k элементов, то класс замкнут относительно решения алгебраических уравнений степени не вы ше k.

Доказательство основной теоремы состоит из следующих лемм.

. ( ). Для всякой -функции f спра Л ведливо включение [ f ] [ f ].

. Пусть A – множество особых точек -функ – Д ции f и fa – росток функции f в неособой точке a. Обозначим через – фундаментальную группу 1 (S2 \ A, a), а через 1 и 2 – стацио – нарные группы ростков fa и fa. Группа 1 содержится в группе 2.

Действительно, при продолжении вдоль кривой 1 не изменяется росток fa, а значит, не меняется и его производная. Из определения полного класса пар следует, что [, 2 ] [, 1 ]. Воспользовав шись утверждением., получим, что [ f ] [ f ].

. ( ). Для всяких -функций f и g Л справедливо включение [g f ] [ f ], [g].

. Пусть A и B – множества особых точек функ – Д ций f и g. Пусть f 1 (B) – прообраз множества B при многозначном – соответствии, порожденном многозначной функцией f. Положим Q = A f 1 (B). Пусть fa – некоторый росток функции f в точке a Q – / и gb – некоторый росток функции g в точке b = f (a). Множество Q – будет запрещенным для ростка gb fa. Обозначим через фундамен тальную группу 1 (S2 \ Q, a), через 1 и 2 – стационарные подгруп – пы ростков fa и gb fa. Обозначим через G фундаментальную группу 1 (S2 \ B, b), а через G0 – стационарную группу ростка gb.

– Определим гомоморфизм : 1 G. Каждой кривой 1 поста вим в соответствие кривую (t) = f ((t)), где f(t) – росток, полу – ченный при продолжении ростка fa вдоль кривой до точки t. Кри вые будут замкнуты, так как при продолжении вдоль кривых из 1 росток fa не изменяется. При гомотопии кривой в множе стве S2 \ Q будет происходить гомотопия кривой в множестве S2 \ B, так как f 1 (B) Q. Следовательно, гомоморфизм определен корректно.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа Росток gb fa не будет меняться при продолжении вдоль кривых из группы 1 (G0 ), или, другими словами, 1 (G0 ) 2. Отсюда и вытекает лемма. Действительно, мы получаем включения 2 1 (G0 ) 1 (G) = 1, из которых следует, что [, 2 ] [G, G0 ], [, 1 ]. Воспользовавшись утверждением., полу чим, что [g f ] [ f ], [g].

. ( ). Для всякой -функции f справед Л f (x) dx [ f ],, где – группа комплексных ливо включение – чисел по сложению.

. Пусть A – множество особых точек функции – Д f и Q = A {}. Пусть fa – некоторый росток функции f в точке a Q – / и ga – росток функции – f (x) dx в этой точке, ga = fa. В качестве запрещенного множества для ростков fa и ga можно взять множе ство Q. Обозначим через фундаментальную группу 1 (S2 \ Q, a), через 1 и 2 – стационарные подгруппы ростков fa и ga.

– Определим гомоморфизм : 1. Каждой кривой 1 поста вим в соответствие число f ((t)) dx, где f(t) – росток, получен – ный продолжением ростка fa вдоль кривой до точки t, и x = (t).

Стационарная подгруппа 2 ростка ga совпадает с ядром гомомор физма, откуда следует, что [, 2 ] [, 1 ],. Воспользовав шись утверждением., получим, что f (x) dx [ f ],.

В дальнейшем будет удобно пользоваться векторными функция ми. На векторные функции непосредственно переносятся определе ния запрещенного множества, -функции, группы монодромии.

. ( ). Для всякой векторной Л -функции f = ( f1,..., fn ) справедливо равенство [ f ] = [ f1 ],..., [ fn ].

. Пусть Ai – множества особых точек функ – Д ций fi. Множеством особых точек векторной функции f является множество Q = Ai. Пусть f a = ( f1a,..., fna ) – некоторый росток – векторной функции f в точке a Q. Обозначим через фунда / ментальную группу 1 (S2 \ Q, a), через i – стационарные группы – ростков fia и через 0 – стационарную группу векторного ростка fa.

– n Стационарная подгруппа 0 есть в точности i, откуда следует, i= что [, 0 ] = [, 1 ],..., [, n ].

§. Основная теорема Воспользовавшись утверждением., получим, что [ f ] = [ f1 ],..., [ fn ].

. ( ). Для всякой вектор Л ной -функции f = ( f1,..., fn ) и мероморфной функции F(x1,..., xn ), такой что функция F f определена, справедливо включение [F f ] [ f ].

. Пусть A – множество особых точек функции – Д f и B – проекция множества полюсов функции F f на сферу Ри – мана. В качестве запрещенного множества функций F f и f мож но взять множество Q = A B. Пусть f a – некоторый росток функ – ции f в точке a, a Q. Обозначим через фундаментальную груп / пу 1 (S2 \ Q, a), через 1 и 2 – стационарные группы ростков f a и – F f a. Группа 2 содержится в группе 1. Действительно, при про должении вдоль кривой 1 не изменяется векторная функция, а значит, не меняется мероморфная функция от нее. Из включения 2 1 следует, что [, 2 ] [, 1 ]. Воспользовавшись утвер ждением., получим, что [F f ] [ f ].

. ( ). Для всякой век Л торной -функции f = ( f1,..., fn ) и алгебраической функции y от нее, определенной равенством y k + f1 y k1 +... + fk = 0, () справедливо включение [ y] [ f ], S(k), где S(k) – группа пере – становок k элементов.

. Пусть A – множество особых точек функции – Д f и B – проекция множества алгебраических точек ветвления функ – ции y на сферу Римана. В качестве запрещенного множества функ ций y и f можно взять множество Q = A B. Пусть ya и fa – некото – рые ростки функций y и f в точке a Q, связанные равенством / k k ya + f1a ya +... + fka = 0.

Обозначим через фундаментальную группу 1 (S2 \ Q, a), а через 1 и 2 – стационарные подгруппы ростков fa и ya. При продолже – нии вдоль кривой 1 коэффициенты уравнения () не меняются, следовательно, при продолжении вдоль кривой корни уравнения Глава. Одномерная топологическая теория Галуа () переставляются. Возникает гомоморфизм группы 1 в груп пу S(k), : 1 S(k). Группа 2 содержится в ядре гомоморфизма, откуда следует, что [, 2 ] [, 1 ], S(k). Воспользовавшись утверждением., получим, что [ y] [ f ], S(k).

Доказательство основной теоремы закончено.

§.

В этом параграфе вычисляются классы пар групп, встречающиеся в основной теореме, и формулируются необходимые условия пред ставимости функций в квадратурах, k-квадратурах и обобщенных квадратурах.

.. Вычисление некоторых классов пар групп. Основная теорема делает актуальной задачу описания наименьшего класса пар групп, содержащего группу комплексных чисел по сложению, и наименьших пар классов пар групп, содержащих соответственно группу и все конечные группы, а также группу и группу S(k). В настоящем пункте мы приводим решение этих задач.

.. Наименьший полный класс пар, со У держащий заданные почти полные классы пар, состоит из пар групп [, 0 ], для которых существует цепочка подгрупп = 1...

... m 0, такая что для любого i, 1 i m 1, пара групп [i, i+1 ] содержится в некотором почти полном классе (i).

Для доказательства достаточно проверить, что пары групп [, 0 ], удовлетворяющие условию утверждения, во-первых, содержатся в полном классе и, во-вторых, образуют полный класс пар. И то и другое непосредственно выводится из определений.

Просто проверить также следующие утверждения.

.. Совокупность пар групп [, 0 ], где 0 есть У нормальный делитель группы и группа /0 коммутативна, обра зует наименьший почти полный класс пар, содержащий класс всех абелевых групп.

.. Совокупность пар групп [, 0 ], где 0 есть У нормальный делитель группы и группа /0 конечна, образует §. Групповые препятствия наименьший почти полный класс пар, содержащий класс всех конечных групп.

.. Совокупность пар групп [, 0 ], для которых У ind(, 0 ) k, образует почти полный класс групп.

Будем обозначать через ind k класс пар групп из утвержде ния.. Утверждение. интересно для нас в связи с характеристи ческим свойством подгрупп группы S(k) из леммы..

Цепочка подгрупп i, i = 1,..., m, = 1... m 0, называется нормальной башней пары групп [, 0 ], если группа i+1 является нормальным делителем группы i при каждом i = 1,..., m 1. Сово купность факторгрупп i /i+1 называется совокупностью делителей относительно нормальной башни.

. (,,, S(k) ).

Т. Пара групп [, 0 ] принадлежит наименьшему полному клас,, содержащему все конечные и коммутативные группы, су если и только если она обладает нормальной башней, каждый дели тель относительно которой является или конечной, или коммута тивной группой.

. Пара групп [, 0 ] принадлежит наименьшему полному классу, S(k), содержащему группу S(k) и все коммутативные груп пы, если и только если она обладает нормальной башней, каждый делитель относительно которой является или подгруппой группы S(k), или коммутативной группой.

. Пара групп [, 0 ] принадлежит наименьшему классу, если и только если группа монодромии этой пары разрешима.

. Пункт теоремы вытекает из описания клас Д сов и в утверждениях. и. и из утверждения..

Для доказательства второго пункта рассмотрим наименьший полный класс пар групп, содержащий классы и ind k.

Этот класс состоит из пар групп [, 0 ], для которых существует цепочка подгрупп = 1... m 0, такая что для любого i, 1 i m 1, либо группа i /i+1 коммутативна, либо ind(i, i+1 ) k (см. утверждения.,. и утверждение.). Описанный класс пар групп содержит группу S(k) (см. лемму.) и все коммутативные группы и является, очевидно, наименьшим полным классом пар, обладающим этими свойствами. Нам осталось переформулировать ответ. Цепочку подгрупп = 1... m 0 последовательно пре образуем в нормальную башню пары [, 0 ]. Пусть при j i группа Глава. Одномерная топологическая теория Галуа j+1 является нормальным делителем группы j и ind(i, i+1 ) k.

Обозначим через i+1 наибольший нормальный делитель группы i, содержащийся в i+1. Ясно, что факторгруппа i / i+1 является подгруппой группы S(k). Вместо исходной цепочки подгрупп рас смотрим цепочку = G1... Gm = 0, в которой G j = j при j i и G j = j i+1 при j i. Продолжая этот процесс (не более чем m раз), мы перейдем от исходной цепочки подгрупп к нормальной башне и получим описание класса, S(k) в нужных терминах.

Докажем пункт. Согласно утверждениям. и. пара групп [, 0 ] принадлежит классу, если и только если существует такая цепочка = 1... m 0, что i /i+1 – коммутативная – группа. Рассмотрим цепочку групп = G 1... G m, в которой группа G i+1 при i = 1,..., m 1 есть коммутант группы G i. Всякий автоморфизм группы переводит цепочку групп G i в себя, поэто му каждая группа G i является нормальным делителем группы.

Индукция по i показывает, что G i i и, в частности, G m m 0.

Группа G m является нормальным делителем группы, и так как µ0 µ1. В силу определения цепочки G i группа G m 0, то G m µ µ0 µ1 разрешима как факторгруп /G m разрешима. Группа / µ па группы /G m. Обратное утверждение (пара групп с разрешимой группой монодромии лежит в классе ) очевидно.

.. Каждая не более чем континуальная комму У тативная группа принадлежит классу.

. Комплексные числа образуют векторное Д пространство над рациональными числами континуальной размер ности. Пусть {e } – некоторый базис этого пространства. Подгруппа – группы, натянутая на числа {e }, является свободной абелевой группой с континуальным числом образующих. Всякая не более чем континуальная коммутативная группа есть факторгруппа группы, и, следовательно,.

Из утверждения. и результатов вычисления классов,,, S(k) и следует, что пара групп [, 0 ] с не более чем континуальной группой принадлежит классу,,, S(k) и, если и только если она принадлежит соответственно классу,,, S(k) и.

Мы вправе ограничиться этим результатом, так как группа пере становок листов функции не более чем континуальна.

§. Групповые препятствия.. Свободная некоммутативная группа не лежит в Л классе,.

. Предположим, что,, т. е. об Д ладает нормальной башней = 1... m = e, каждый делитель относительно которой есть конечная или коммутативная группа.

Каждая группа i свободна как подгруппа свободной группы (см.

[]). Группа m = e коммутативна. Пусть i+1 – первая по номеру – коммутативная группа. Для любых элементов a, b i существует нетривиальное соотношение: если факторгруппа i /i+1 коммута тивна, то коммутируют, например, элементы aba1 b1 и ab2 a1 b2 ;

если i /i+1 конечна, то коммутируют некоторые степени a p, b p элементов a, b. Следовательно, группа i имеет не более одной образующей и поэтому коммутативна. Противоречие доказывает, что,.

/.. При k 4 симметрическая группа S(k) не лежит в Л классе, S(k 1).

. При k 4 знакопеременная группа A(n) про Д ста и некоммутативна. Для этой группы, очевидно, не выполняется критерий принадлежности классу, S(k 1). Следователь но, и симметрическая группа S(n) при k 4 не лежит в классе, S(k 1).

.. Единственной транзитивной группой перестановок Л k элементов, натянутой на транспозиции, является симметриче ская группа S(k).



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |
 



Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.