авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ...»

-- [ Страница 2 ] --

Этот практикум находится в серии заданий по теме “Диффе ренциальные уравнения”. История его появления в 1972 году та кова. Автор настоящих строк познакомился с этой классической моделью “хищник-жертва” и ее обобщениями во время пеших про гулок с А.Н. Колмогоровым в окрестностях его и П.С. Александро ва дачи в Комаровке. Несколько раз затем эта тема обсуждалась уже в интернате, причем вместе с профессором В.М. Алексеевым, который в то время в школе читал лекции по математическому анализу и в университете активно занимался вопросами матема тической биологии. Тогда-то и было принято решение о создании практикума на “экологическую” тему (терминология в разговорах была различна: караси-щуки, овцы-волки, овцы-волки-охотники и т.д.). Для реализации этой идеи В.М. Алексееву пришлось прочи тать на эту тему в вечерние часы две двухчасовые лекции (напом ним, что в интернате основные лекции по математике одночасо вые), которые проходили в актовом зале школы при самой широ кой аудитории – присутствовали не только те, для которых это Вавилов В.В. Математический практикум в школе им.

А.Н. Колмогорова МГУ им. М.В. Ломоносова нужно было, чтобы выполнить задание МП. На этих лекциях бы ло рассказано и о работе А.Н. Колмогорова, в которой в рамках модели “хищник-жертва” допускалась еще и конкурентная борь ба хищников за жертву. Автор присутствовал на этих лекциях и довольно подробно их записал, подготовил конкретные задания, а затем в течение месяца реализовывал выполнение и прием самого математического практикума.

Для построения требуемых кривых учащимся рекомендовалась методика, непосредственно заимствованная из знаменитой работы В. Вольтерры, которая затем многократно использовалась в дру гих заданиях МП. При сдаче этого задания от учащихся требова лось умение доказать замкнутость траекторий, закон периодиче ского цикла и закон сохранения средних. В МП “Изоклины” мы еще раз возвращаемся к этой модели, но уже в плане приближен ного построения интегральных кривых и с акцентом на наглядную классификацию особых точек для дифференциальных уравнений с дробно-линейной правой частью. Кроме того, в нашей школе невоз можно обойтись без разъяснений научного вклада А.Н. Колмого рова в этой области, и поэтому, в частности, учащимся в качестве творческих заданий предлагалось на конкретных примерах про верить следующие результаты качественного характера: при раз личных соотношениях параметров соответствующей системы урав нений (модель “хищник-жертва” с межвидовой конкуренцией) си стема может обладать двумя или тремя особыми точками. Одна из них находится в начале координат фазовой плоскости и всегда является узлом. Две другие могут быть седлом либо устойчивым или неустойчивым фокусом и узлом. Если стационарная точка – неустойчивый фокус, то вокруг него могут существовать предель ные циклы – устойчивые периодические колебательные решения.

В 1925 году А. Лотка выпускает книгу “Элементы физической биологии”, в которой он, отталкиваясь от моделей химической ки нетики, приходит к такой же системе дифференциальных уравне ний, как и В. Вольтерра (и раньше его). Поэтому рассказы о рабо те Лотки, о задачах химической кинетики и реакции Белоусова– Жаботинского всегда сопровождают этот МП и создают опреде ленную атмосферу поиска;

так, например, по этой “химической те 46 Глава 1. Творчество А.Н. Колмогорова в историческом аспекте ме” Р. Майоров в 1995 году не только повторил в стенах школы подобную реакцию, но и показал, что в соответствующей мате матической модели (им рассмотренной и разумной) имеется коле бательное решение с особой точкой типа “устойчивый фокус”. По итогам этих исследований он занял I место на международной кон ференции школьников в г. Черновцы.

Кривые Уатта Шарнирный механизм, о котором здесь идет речь, был предложен выдающимся английским изобретателем Джеймсом Уаттом в году, когда он работал механиком университета в Глазго и решал такую чисто практическую задачу по совершенствованию паровых двигателей: как связать поршень с точкой махового колеса, что бы вращение колеса сообщало поршню прямолинейное движение?

Пусть O1 A1 A2 O2 – трехзвенный шарнирный механизм, кото рый состоит из трех прямолинейных стержней O1 A1, A1 A2, A2 O (O1 O2 = 2l, O1 A1 = O2 A2 = R, A1 A2 = 2d);

при этом точки O1 и O закреплены, но все три указанных выше стержня могут вращать ся вокруг точек O1, A1, A2, O2, т.е. во всех этих точках стержни соединены шарнирами (механизм Уатта).

Тщательно изучив движение середины M стержня A1 A2, Д. Уатт, чисто эмпирически, определил параметры шарнирного механизма l, R, d, для которого кривая, описываемая точкой M, имеет “продолжительные” участки, незначительно отклоняющие ся от прямой линии.

Задание. Даны параметры плоского механизма Уатта: l, R, d.

1) При помощи циркуля и линейки построить кривые Уатта, описываемые серединой M стержня A1 A2.

2) Определить длину L наибольшего участка каждой из по строенных кривых, отличающегося от отрезка прямой менее чем на 5%;

найти параметры l0, r0, a0 механизма, которые давали бы подобный участок длины L0 = 0, 3 м.

Данное задание раздается учащимся сразу, как только они при ступают к изучению темы “Функции и графики”, т.е. когда рас сматриваются различные способы задания функций. При постро ении кривых Уатта используются две равные окружности с цен трами O1, O2 и радиусом R: если точка A1 расположена на первой Вавилов В.В. Математический практикум в школе им.

А.Н. Колмогорова МГУ им. М.В. Ломоносова окружности и для нее найдется точка A2 второй окружности та кая, что A1 A2 = 2d, то точку M легко построить.

В качестве творческих заданий учащимся предлагалось найти уравнение кривой Уатта в декартовой и полярной системах коор динат;

доказать, что существует всего 12 различных типов таких кривых (l – масштабный параметр), включая и вырожденные слу чаи. Кроме того, предлагалось изучить кривые, которые описывает точка M, не являющаяся серединой A1 A2 ;

изучить аналогичное се мейство кривых для несимметричного механизма Уатта. Для очень активных учащихся предлагалось рассмотреть инверсоры Поселье, Гарта и дельтоид Кемпе, вплоть до общей теоремы о том, что для любой алгебраической кривой можно построить шарнирный меха низм, состоящий из стержней, одна точка которого будет описы вать данную кривую;

такая теория важна в приложениях (луноход, роботы, станки и т.д.).

У этой темы богатая история, и рассказ об этом вызывает естественный интерес у школьников. Шарнирными механизмами много и плодотворно занимался замечательный русский ученый П.Л. Чебышев, который в связи с этими исследованиями разра ботал новый раздел теории функций – теорию наилучших при ближений. Он собственноручно изготовил множество самых разно образных шарнирных механизмов (соответствующие фотографии показываются учащимся): пресс, стопоходящую машину, гребную лодку и т.д.

Мензульная съемка на местности Задание. При помощи планшета (горизонтальная доска с прикреп ленным листом бумаги) и визирной линейки (два гвоздика на ли нейке), не производя никаких измерений реальных расстояний и углов, снять план местности в условном масштабе.

Провести оценку точности в определении положения некоторых точек на планшете.

Работа непосредственно примыкает к изучению преобразова ний гомотетии (подобия) в девятых классах массовой средней шко лы и большинству школьников представляется неожиданной и ин тригующей. Отметим, что практически все учебные пособия для массовой школы содержат задачи на измерение недоступного рас 48 Глава 1. Творчество А.Н. Колмогорова в историческом аспекте стояния между доступными точками, измерение расстояния до недоступной точки, измерение расстояния между двумя недоступ ными точками и другие варианты этих задач, имеющих важное значение в реализации принципа совершенствования прикладной направленности учебных математических курсов в обучении. Это задание у нас в школе было особенно популярным в тот период, когда в нее поступали учащиеся на трехгодичное обучение (сейчас только двухгодичное).

Теоретические основы работы нашим школьникам хорошо из вестны, и поэтому важным элементом здесь является именно ре альная задача на конкретной местности. В качестве реальных ра бот предлагались следующие: измерить расстояние от школы до видимого шпиля здания МГУ, снять план местности, где проходит общешкольная туристическая звездочка (Тучково, Дорохово,... в Подмосковье), снять план местности окрестностей, где проходи ла летняя школа для поступающих в нашу школу (Рубское озеро, 50 км. от г. Иваново) и некоторые другие. Об этой последней “кар тографической работе” со всеми подробностями, впечатлениями и эмоциями рассказано в книге [7]. Свою короткую заметку о ма тематическом практикуме А.Б. Сосинский в одной из небольших брошюр о школе закончил впечатлениями об этом практикуме так:

“... Вспоминаю холодный солнечный осенний день, группу ребят вокруг штатива с планшетом;

где-то около интерната вдали вид неется шпиль университета, идет горячий спор о том, как лучше расположить базисный отрезок, куда наводить мензур. Мы тогда измеряли расстояние от интерната до университета.

Сейчас невольно думается, не произошел ли тогда квантово механический эффект: в результате измерения не сократилось ли расстояние до университета?” Графостатика Для того, чтобы познакомить учащихся с алгеброй и геометрией скользящих векторов, без которых невозможно обойтись в построе нии физических курсов, мы и предлагаем это задание практикума.

В обязательной программе курса по геометрии соответствующего раздела нет. Эта тема с интересом изучалась (также в “практиче ском исполнении”) учащимися двух летних школ в г. Пущино на Вавилов В.В. Математический практикум в школе им.

А.Н. Колмогорова МГУ им. М.В. Ломоносова Оке, организованных для желающих поступить в нашу школу.

Установочная лекция по этому заданию МП практически всегда начинается с цитирования известной басни И.А. Крылова “Лебедь, Рак и Щука”. После такого литературного экскурса и рассказов на конкретных примерах о теории веревочного многоугольника гол ландского инженера С. Стевина и ее развитии в трудах француз ского ученого П. Вариньона, о расчетах мостов и сводов, которые проводили в России французские инженеры и ученые Габриэль Ла ме и Бенуа Клапейрон, о применении этой теории в трудах швей царских профессоров П. Кульмана и Дж. Максвела в расчетах опорных реакций и изгибающих моментов балок и ферм, о вкладе итальянского математика Л. Кремоны в графостатику, собственно, и рассказывать из теории (довольно простой) для выполнения это го любопытного и важного задания нечего. Более того, в 1985 году была опубликована в журнале “Квант” статья “Геометрия сколь зящих векторов” бывших преподавателей школы Ю.П. Соловьева и А.Б. Сосинского, в которой, по существу, изложены материалы одной из наших летних школ Пущино–80 и нашего практикума, проводимого в стенах школы. Ясно, что при обсуждении итогов практикума доказывалась правота Крылова – воз будет вращаться (при разумном выборе сил) вокруг некоторой точки и не сдвинется с места. Отметим, что каждый учащийся получает для расчетов свою ферму и свои наборы векторов.

Задание а) Заменить данную систему скользящих векторов в простран стве на эквивалентную ей систему из меньшего числа скользящих векторов.

б) Построить веревочный многоугольник и найти равнодейству ющую данной системы скользящих векторов, расположенных в од ной плоскости (т.е. определить направление и точку приложения).

в) При помощи диаграммы Максвелла-Кремоны графически определить реакции опор данной фермы и усилия в ее стержнях.

Группа изометрий Задание. Описать группу изометрий для правильной прямой приз мы и указать минимальное число образующих этой группы. Со ставить таблицу умножения в этой группе.

50 Глава 1. Творчество А.Н. Колмогорова в историческом аспекте Пример выполнения этого задания для треугольной призмы можно описать так. Обозначим грани: 1 и 2 – основания, а 3,4, – боковые грани. Рассмотрим прямую, проходящую через центры оснований и обозначим через A поворот по часовой стрелке от носительно этой прямой (оси) на угол 120. Через B обозначим преобразование симметрии пространства относительно плоскости, проходящей через боковое ребро призмы и центр противоположной грани. Наконец, рассмотрим симметрию C относительно плоско сти, равноудаленной от плоскостей верхнего и нижнего оснований призмы. Тогда эти три преобразования (для вершин призмы) мо гут быть записаны так:

12345 12345 A=, B=, C=.

12534 12435 В искомой группе изометрий призмы эти преобразования яв ляются образующими и представляют минимально возможное их число (при сдаче МП эти все утверждения школьниками обосно вываются). Различных изометрий в группе всего 12:

G = {E, B, A, AB, A2, A2 B, C, CB, CA, CAB, CA2, CA2 B};

тем самым, 12345, 12345 12345 12345 12345 12345,,,, 12345 12435 12543 12543 12453 G=.

12345 12345 12345 12345 12345 12345,,,,, 21345 21453 21534 21543 21543 На основе этих данных составляется таблица умножения в группе G, которую здесь мы приводить не будем.

Многогранники Задание. Дан чертеж (рисунок) полуправильного или правильного многогранника (см. книгу М. Венниджера “Модели многогранни ков”).

Вавилов В.В. Математический практикум в школе им.

А.Н. Колмогорова МГУ им. М.В. Ломоносова а) Начертить развертку этого многогранника.

б) Изобразить диаграмму Шлегеля (граф центральной проек ции) данного многогранника.

в) Изготовить из плотной бумаги модель многогранника M (ис пользуя рецептуру из той же книги).

г) Раскрасить грани модели (и многоугольные области на диа грамме Шлегеля) в четыре цвета так, чтобы грани, имеющие общее ребро, были окрашены разным цветом.

д) Описать группу GM вращений многогранника M : найти чис ло ее элементов NM ;

указать все типы осей поворотов (на рисунке многогранника и его модели), порядок осей и число осей каждого порядка.

Развертка, раскрашенная диаграмма и рисунок многогранника с указанными осями поворотов изображаются на основном листе в достаточно большом масштабе. Там же приводится таблица осей поворотов. Модель многогранника, в цветном исполнении, изготав ливается одна на двух учащихся.

Развертка и диаграмма чертятся, по возможности, симметрич но. Диаграмму удобно рисовать, имея перед собой уже изготовлен ную модель. Учащимся рекомендуется (для изучения группы вра щений) сначала понять, как данный полуправильный многогран ник связан с каким-либо правильным многогранником (на уровне подсказки – название многогранника). Нужные раскраски прово дятся методом “проб и ошибок”. Модель многогранника изготавли вается по развертке или последовательно склеивается из граней.

Задание выдается одно на двоих учащихся. При этом мы пред лагаем (в обязательной части) только платоновы и архимедовы тела: октаэдр, додекаэдр, икосаэдр, 4-угольная антипризма, усе ченный октаэдр, усеченный куб, кубооктаэдр, ромбокубооктаэдр, псевдоромбокубооктаэдр Ашкинузе, усеченный кубооктаэдр, усе ченный икосаэдр, усеченный додекаэдр, икосододекаэдр, ромбои косододекаэдр, усеченный икосододекаэдр, курносый куб, курно сый додекаэдр.

В качестве творческих (или дополнительных) заданий пред лагалось перечислить все тела Пуансо и изготовить их модели;

предлагалось также изучить вопрос о выпуклых параллелоэдрах – 52 Глава 1. Творчество А.Н. Колмогорова в историческом аспекте также с изготовлением их моделей. Многие из учащихся выража ют желание построить модели более сложных многогранников (од но время в школе была коллекция моделей всех полуправильных многогранников и их звездных форм и некоторых других. Жаль, что она со временем погибла). Сама тема и изготовленные руками школьников модели доставляют преподавателю много возможно стей для любопытных и интересных исторических экскурсов.

Исторически этот МП возник из таких трех заданий первых лет существования школы (они имели порядковые номера 8, 9 и 10):

а) Найти двугранные углы полуправильного многогранника (точный ответ и приближенный ответ в градусах). Описать по строение его проекции на плоскость. Описать группу вращений данного многогранника.

б) Построить проекцию додекаэдра на горизонтальную и верти кальную плоскости. Повернуть многогранник относительно “вер тикальной” оси на 17 и спроектировать его на те же плоскости.

Повернуть многогранник на 21 относительно “горизонтальной” оси и спроектировать его на те же плоскости. Натуральная ве личина ребра многогранника должна составлять 4 см.

в) Построить модель данного многогранника в произвольном масштабе.

Учащимся выдавался (и вывешивался для всеобщего обозре ния) образец выполнения первых двух из этих заданий, а готовая модель додекаэдра практически всегда была под рукой в готовом виде (поэтому речь шла только о возможных способах изготовле ния модели).

Две проекции Задание. а) Задана одна из одиннадцати возможных плоских моза ик (правильный паркет на плоскости). Построить ее параллельную и центральную проекции на другую плоскость, задав проекцию од ного из правильных многоугольников. Полный каталог мозаик см.

в [11].

б) Построить при помощи заданной параллельной и централь ной проекций плоское изображение какой-либо фигуры, составлен ной из кубиков (самостоятельно придуманной!).

в) Построить центральную проекцию окружности на плоскость Вавилов В.В. Математический практикум в школе им.

А.Н. Колмогорова МГУ им. М.В. Ломоносова для трех различных случаев расположения центра проекции, соот ветствующих эллипсу, параболе и гиперболе. Для построения вы брать на окружности не менее 16 точек.

В каждом из заданий на основном листе оформляется итоговый результат работы с ясно выделенными элементами (с использо ванием различных цветов), определяющими (задающими) полно ту изображения. На вспомогательных листах приводятся все (или многие) дополнительные и необходимые построения.

Первые два пункта задания нацелены на то, чтобы закрепить основные свойства параллельной и центральной проекций, поня тие изображения фигуры и содержание теорем Польке-Шварца о проекциях треугольника и тетраэдра.

Третий пункт задания знакомит учащихся с определением кри вой второго порядка как проекции окружности. Методика изготов ления чертежей состоит в том, что, поворачивая плоскость, в кото рой находится проектируемая окружность, до совпадения с плос костью изображения (поворот осуществляется вокруг линии пере сечения), мы получаем задачу на построение, которая уже только при помощи одной линейки позволяет построить сколько угодно точек соответствующей кривой второго порядка.

Много раз вводную лекцию по этому заданию практикума чи тал А.Н. Колмогоров (широко известна фотография, которая име ется в школе, когда он как бы держит за вершину многогранник;

снимок сделан в ФМШ примерно в 1970 году). На своей лекции, в частности, он обсуждал со школьниками следующую задачу: семь точек на плоскости общего положения являются образами семи вершин каркасного “кубоида” (многогранник типа куба, в кото ром, вообще говоря, нет различных параллельных сторон и граней) после некоторого центрального проектирования. Как при помощи только одной линейки построить точку, в которую проектирует ся восьмая вершина “кубоида”? Такой шестигранник и эту задачу мы использовали также при проведении МП “Сечения многогран ников”. На занятиях геометрического кружка, которым руководил А.Н. Колмогоров, в этот период рассматривался вопрос о правиль ных паркетах;

участниками кружка доказывалось (!), что таких различных паркетов ровно одиннадцать.

54 Глава 1. Творчество А.Н. Колмогорова в историческом аспекте Алгоритм Евклида Задание. а). На целочисленной решетке Z 2 отметить те ее узлы, координаты которых являются решениями уравнения вида 3x + 5y = c для различных значений c.

б) Построить фрагменты ломаных (в алгоритме “вытягивания носов”), которые соответствуют разложению в цепную дробь дан ного иррационального числа, и на этом примере проверить (уста новить) три основных свойства подходящих дробей.

Этот интересный и важный практикум используется, как пра вило, не во всех классах. Акцент здесь делается на то, что алго ритм Евклида используется в математике не только для нахожде ния НОД двух чисел, но и в задачах разбиения прямоугольника на квадраты, для разложения чисел в непрерывные дроби. Общая же идея поиска общей меры находит потом еще одну реализацию в школьной программе обучения в курсе математического анали за при изучении бесконечных периодических и непериодических десятичных представлений, т.е. в теории действительного числа.

Геометрический “носатый характер” этого древнего арифметиче ского алгоритма на решетке (например, на клетчатой бумаге) был отмечен Ф. Клейном, а само это яркое название принадлежит на шему выдающемуся геометру Б.Н. Делоне, который эффективно использовал геометрические свойства алгоритма Евклида в ряде важных и трудных задач теории чисел.

Эти задания пользуются у учащихся значительным интересом, и поэтому не случайно, что несколько человек только в послед нее время подготовили доклады для участия в школьных научных конференциях: “Равноугольные и равносторонние многоугольники на решетках и правильных паркетах”, “Окружности на решетках” и т.д.

Латинские квадраты Задание. а) Построить полные наборы ортогональных латинских квадратов порядков 3, 4, 5 и 7.

б) Изготовить цветную аппликацию для греко-латинского квад рата пятого порядка.

в) Построить шесть пучков параллельных прямых аффинной плоскости на двадцати пяти точках.

Вавилов В.В. Математический практикум в школе им.

А.Н. Колмогорова МГУ им. М.В. Ломоносова Латинским квадратом порядка n называется квадратная таб лица, которая содержит в каждой строке перестановку элементов 1,2,...,n, и эти перестановки выбраны так, что ни один столбец не содержит повторяющихся элементов. Латинские квадраты (aij ) и (bij ) называются ортогональными, если все пары (aij, bij ) различ ны (i, j = 1, 2,..., n). Пример двух ортогональных латинских квад ратов порядка 3 можно увидеть из такой таблицы (сама эта табли ца называется греко-латинским или эйлеровым квадратом порядка 3) (1, 1) (2, 2) (3, 3) (2, 3) (3, 1) (1, 2).

(3, 2) (1, 3) (2, 1) Это задание МП было организовано в поддержку курса лекций по геометрии, которые читал А.Н. Колмогоров. Этот аксиомати ческий курс начинался с аксиоматики аффинной и проективной плоскостей, а на занятиях рассматривались задачи, связанные с конечными плоскостями.

Для тех порядков латинских квадратов, которые предложены в практикуме, особых сложностей нет, и, в принципе, даже в слу чае n = 7 при известном числе таких квадратов можно перебо ром выполнить п.а) задания (и такие учащиеся были). Однако мы стремились к тому, чтобы на установочных занятиях (или после выполнения заданий МП) были доказаны теоремы о том, что – число попарно ортогональных латинских квадратов порядка n 3 не превосходит n 1;

– если n = p, где p – простое и – натуральные числа, то суще ствует полный набор из n 1 ортогональных латинских квадратов порядка n.

– каждое полное семейство попарно ортогональных квадратов порядка n порождает аффинную плоскость порядка n.

Другими словами, мы стремились к тому, чтобы учащиеся по нимали связи между конечными полями Галуа и конечными аф финными плоскостями и методикой их установления. Сами дока зательства были довольно традиционны в этих вопросах, с ними 56 Глава 1. Творчество А.Н. Колмогорова в историческом аспекте можно познакомиться в прекрасной книге Э. Артина “Геометриче ская алгебра”. Для поля Галуа из четырех элементов таблицы сло жения и умножения школьникам сообщались, для других конеч ных полей простого порядка p элементы полей Галуа выбирались в виде полной системы вычетов по модулю p. Здесь уместно ска зать, что на лекциях и на занятиях по алгебре традиционно всегда рассматривается арифметика остатков, конечные поля, кольца, и, конечно, время выдачи такого практикума выбирается тогда, ко гда школьники или уже знакомы с необходимым минимумом ма териала, или, наоборот, совсем не знакомы – тогда мы преследуем пропедевтические цели.

Интерес к этому практикуму у школьников велик, и однажды группа школьниц, отказавшись от изготовления бумажной аппли кации, сделала ее в форме изящной вышивки мелким крестом (ко торая у автора статьи бережно хранится).

В одной статье невозможно с достаточной степенью подробно сти описать все задания математического практикума, которые мы проводили в стенах школы им. А.Н. Колмогорова при МГУ (их создавали и реализовывали А.Н. Колмогоров, И.Г. Журбен ко, А.Б. Сосинский, А.М. Абрамов, В.В. Вавилов, А.Н. Земляков, В.Н. Дубровский, Н.М. Бовт, Т.Н. Трушанина и многие другие).

Поэтому ограничимся только перечислением тех тем заданий МП, о которых выше речь не шла. О характере установочных лекций и образцах выполнения учащимися заданий можно судить по пуб ликациям, указанным ниже в библиографии (особенно по работам [4, 5, 7, 14, 16, 18, 21, 24–34]).

Методы вычислений. Приближенное вычисление корней урав нений. Графические методы решений уравнений и их систем. Ме тод Гаусса. Две задачи линейного программирования. Итерации.

Метод секущих и касательных Ньютона. Номограммы. Числен ное дифференцирование и интегрирование. Разностные уравнения.

Дискретные гармонические функции. Непрерывные дроби. Зада чи на клетчатой бумаге. Магические квадраты. Конечные поля и латинские квадраты. Неприводимые многочлены.

Функции и графики. Графики дробно-квадратичных рациональ ных функций. Фигуры Лиссажу. Циклоиды. Розы и розетки. Эво Вавилов В.В. Математический практикум в школе им.

А.Н. Колмогорова МГУ им. М.В. Ломоносова люты циклоидальных кривых. Кривые второго порядка. Пучок кривых второго порядка. Ортогональные семейства кривых.

Геометрия. Построения циркулем и линейкой. Сечения много гранников. Вычисление объемов и площадей. Орнаменты. Группы самосовмещений плоских фигур. Круговые преобразования плос кости. Теоремы Паскаля и Дезарга и построения при помощи од ной линейки. Инверсия и построения при помощи только циркуля.

Навигация. Расчет лунных затмений. Конечные аффинные и про ективные плоскости и пространства.

Математический анализ. Интерполяция и сплайны. Квадра турные формулы Гаусса. Расчет полета многоступенчатой ракеты.

Космические поезда. Диаграммы касательных. Прыгающий мя чик. Изоклины. Фазовые портреты. Теория часов. Полет диска в сопротивляющейся среде. Динамическое программирование. Аэро динамическая задача Ньютона. Тригонометрические многочлены и ряды Фурье. Профили собственных колебаний натянутой нити с бусинками.

Комплексный анализ. Дробно-линейные преобразования. Рас положение комплексных корней многочлена, зависящего от пара метра. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. Линии равного модуля и аргумента. Области однолистности многочленов. Фрак талы.

Теория вероятностей. Доска Гальтона. Модель размножения и гибели. Случайные блуждания. Датчики случайных чисел. Крип тография и расшифровка текстов.

Библиографический список 1. Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. М.: ФАЗИС, МИРОС, 1999.

2. Колмогоров в воспоминаниях / Ред.-сост. А.Н. Ширяев. М.:

Физматлит, 1993.

3. Колмогоров А.Н. Математика – наука и профессия / Сост.

Г.А. Гальперин. М.: Наука, Библиотечка журнала “Квант”, вып.64, 1988. 88 с.

58 Глава 1. Творчество А.Н. Колмогорова в историческом аспекте 4. Колмогоров А.Н., Вавилов В.В., Тропин И.Т. Физико математическая школа при МГУ. М., 1981. 64 с.

5. Колмогоров А.Н. О воспитании на уроках математики и физики диалектико-материалистического мировоззрения // Математи ка в школе. 1978. № 3.

6. Колмогоров А.Н. Диалектико-материалистическое мировоззре ние в школьных курсах математики и физики // Квант. 1980.

№ 4.

7. Колмогоров А.Н. и др. Летняя школа на Рубском озере. М.:

Просвещение, 1971.

8. Колмогоров А.Н. Паркеты из правильных многоугольников // Квант. 1970. № 3.

9. Колмогоров А.Н. и др. Курс математики для физико математических школ. М.: Изд-во МГУ, 1971. 223 с.

10. Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в со временной школе // Математика в школе. 1971. № 6.

11. Колмогоров А.Н. Общие проблемы математического образова ния в СССР // История математического образования в СССР.

Киев: Наукова думка, 1975.

12. Колмогоров А.Н. Группы преобразований // Квант. 1976. № 10.

13. Колмогоров А.Н., Вавилов В.В. ФМШ при МГУ – 15 лет // Квант. 1979. № 1.

14. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. Введение в теорию вероятностей. М.: Наука, 1982. 160 с.

15. Вавилов В.В. Школа математического творчества. М.: РОХОС, 2004. 72 с.

16. Вавилов В.В. Школа им. академика А.Н. Колмогорова Мос ковского государственного университета им. М.В. Ломоносо ва // Сборник статей ко дню рождения А.Н. Колмогорова. М.:

Научно-техн. центр “Университетский”, 2003.

17. Вавилов В.В. Многоугольники на решетках. М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, “Самообразование”, 2002. 56 с.

Вавилов В.В. Математический практикум в школе им.

А.Н. Колмогорова МГУ им. М.В. Ломоносова 18. Вавилов В.В. Итерации радикалов. М.: Школа им. А.Н. Кол могорова, “Самообразование”, 2000. 20 с.

19. Вавилов В.В. Радикалы правые, левые и нейтральные. М.:

Школа им. А.Н. Колмогорова, препринт 1995 года. 28 с.

20. Вавилов В.В. Изобретатель криволинейных координат. М.:

Школа им. А.Н. Колмогорова, “Самообразование”, 2000. 24 с.

21. Вавилов В.В., В.А.Бахтина. Спецкурсы по математике. М.:

Школа им. А.Н. Колмогорова, “Самообразование”, 1999. 56 с.

22. Вавилов В.В. Избранные лекции по геометрии. Алматы: РНПЦ “Дарын”, 1999. 84 с.

23. Вавилов В.В. Число и роман “Война и мир” // Квант. 1977.

№ 2.

24. Вавилов В.В. Сечения многогранников // Квант. 1978. № 10.

25. Вавилов В.В., Земляков А.Н. Из опыта работы летней физико математической школы при МГУ // Математика в школе. 1978.

№ 4.

26. Вавилов В.В. Сетчатые номограммы // Квант. 1978. № 6.

27. Вавилов В.В. Геометрия круга // Квант. 1977. № 6.

28. Вавилов В.В. Шарнирные механизмы. Кривые Уатта // Квант.

1978. № 1.

29. Вавилов В.В., Мельников И.И. Касательная // Квант. 1978.

№ 5.

30. Вавилов В.В., Земляков А.Н. Учебные задания по математи ке. Практические работы № 1–2. М.: НИИ СИМО АПН СССР.

1977. 23 с.

31. Вавилов В.В., Земляков А.Н. Учебные задания по математи ке. Практические работы № 3–6. М.: НИИ СИМО АПН СССР.

1977. 38 с.

32. Вавилов В.В., Земляков А.Н. Учебные задания по математике.

Практические работы № 7-10. М.: НИИ СИМО АПН СССР.

1978. 47 с.

33. Вавилов В.В. Об одной формуле Христиана Гюйгенса // Квант.

1985. № 11;

1998. № 4;

также Quantum. 1993. № 2.

60 Глава 1. Творчество А.Н. Колмогорова в историческом аспекте 34. Вавилов В.В. Эволюта и эвольвента // Квант. 1981. № 7.

35. Вавилов В.В. Об одной дискуссии П.Л. Капицы и А.Н. Колмо горова // Журнал ФМШ. 1996. № 1.

36. Вавилов В.В., Егоров А.А., Русаков А.А. Школа научного твор чества // Квант. 2004. № 5.

37. Вавилов В.В. Школьные Харитоновские чтения // Математи ка. 2004. № 18.

38. Гнеденко Б.В. Политехнические аспекты преподавания мате матики в средней школе // Математика в школе. 1974. № 6.

39. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в со временном мире. М.: Просвещение, 1985. 192 с.

40. Сборник статей ко дню рождения А.Н. Колмогорова. М.:

Научно-технический центр “Университетский”, 2003. 150 с.

Использование методических идей А.Н. Колмогорова для развития математических способностей школьников Н.А. Меньшикова В статье рассматриваются взгляды А.Н. Колмогорова на работу с одаренными детьми на занятиях по математике и их важность как для современных уроков математики в средней школе, так и для различных форм внеурочной работы. Приводится ряд примеров математических задач, способствующих развитию интеллектуаль ных способностей учащихся и отобранных с учетом рекомендаций, имеющихся в работах А.Н. Колмогорова.

В многогранной научно-методической деятельности А.Н. Кол могорова выделяется важное направление – работа с учащимися, проявляющими интерес и способности к математике. В рамках это го направления он занимался организацией математических олим пиад, физико-математических школ, изданием научно-популярной литературы для учащихся. Ученый являлся сторонником диффе ренцированного обучения в старших классах. Многие его идеи ока зались плодотворными, они продолжают использоваться и в наши дни.

Меньшикова Н.А. Использование методических идей А.Н. Колмогорова для развития математических способностей школьников А.Н. Колмогорова прежде всего интересовала систематическая подготовительная работа со школьниками, которая никоим обра зом не должна ограничиваться решением олимпиадных задач. Это циклы лекций, практикумы по решению задач, общекультурные аспекты математического образования. Им было написано нема ло книг и статей для учащихся, эти работы актуальны и поныне.

Одним из его основных педагогических принципов является требо вание к законченности, содержательности, доступности и нагляд ности математических текстов для учащихся. А.Н. Колмогоров по стоянно настаивал на необходимости включения в учебные пособия текстов, дополняющих основное содержание, а также задач повы шенной трудности. Этот материал предназначался для ребят, инте ресующихся математикой. С этой же целью он публиковал статьи в журнале “Квант”. Эти статьи и сегодня используются многими учителями для работы с учащимися как на уроках, так и во вне урочное время.

В различных публикациях А.Н. Колмогоров неоднократно рас сматривал проблему выявления и развития способностей к изуче нию математики у учащихся средней школы. Он считал, что мате матическое образование оказывает большое влияние на интеллек туальное развитие человека в целом, способствует формированию логического мышления, осознанному выбору профессии.

Современные взгляды на общие и специальные способности подтверждают актуальность высказанных им идей и в настоящее время. В современной науке принято считать, что проблема раз вития способностей и проблема роли деятельности как средства развития личности тесным образом взаимосвязаны. Например, в работах Н.Ф. Талызиной, В.Д. Шадрикова и др. показано, что способности имеют сложную структуру, отражающую системную организацию мозга, межфункциональные связи и деятельностный характер психических функций. Способности раскрываются преж де всего тогда, когда есть свобода деятельности, свобода в выбо ре самой деятельности, в формах ее реализации, в возможности творчества. От природы человек наделен общими способностями, а специальные способности являются общими способностями, приоб ретшими черты оперативности под влиянием требований деятель 62 Глава 1. Творчество А.Н. Колмогорова в историческом аспекте ности. Творческие способности отдельной личности проявляются в индивидуальном развитии. Одаренность рассматривается как си стемное проявление способностей, определяющее возможный успех в деятельности.

Термины “математические способности”, “математическое мыш ление”, “математический стиль мышления” не являются термина ми психологии, однако признаются многими учеными. С помощью этих терминов можно обозначить те особенности стиля мышления и способностей, которые присущи личности, успешно овладеваю щей математикой. Математические способности можно рассмат ривать в двух аспектах: как творческие (научные) способности, дающие новые и объективно значимые для общества результаты, и как учебные способности – способности к изучению и усвоению математики, быстрому и успешному овладению соответствующими знаниями, умениями, навыками. Развитие математических способ ностей учащихся и выявление у них математической одаренности будет эффективно происходить тогда, когда они будут вовлечены в процесс активной творческой деятельности (на школьном этапе – субъективно творческой). Это позволяет сделать обучение мате матике личностно значимым для ученика. Способные к математи ке школьники обладают особенностями переработки полученной в процессе решения задач информации. Они склонны к обобще нию математических объектов, отношений и действий, к сверты ванию процесса математического рассуждения и системы соответ ствующих действий. Им присущи гибкость мыслительных процес сов, свободное переключение с прямого на обратный ход мысли.

Академик А.Н. Колмогоров указывал на несколько видов ма тематических способностей:

– геометрическую интуицию;

– умение рассуждать последовательно и логически;

– вычислительные способности.

Он писал: “Различные стороны математических способностей встречаются в разных комбинациях. Уже исключительное разви тие одной из них иногда позволяет приходить к неожиданным и замечательным открытиям, хотя чрезмерная односторонность, ко нечно, опасна. Само собой разумеется, что никакие способности Меньшикова Н.А. Использование методических идей А.Н. Колмогорова для развития математических способностей школьников не помогут без увлечения своим делом, без систематической по вседневной работы” [2. C. 31–32]. По его мнению, математические способности проявляются обычно довольно рано и требуют непре рывного упражнения.

Большую роль в структуре математических способностей А.Н. Колмогоров отводил геометрическому воображению (“геомет рической интуиции”), играющей большую роль при работе почти во всех разделах математики, даже самых отвлеченных.

Существенной стороной математических способностей являет ся также искусство последовательного, правильно расчлененного логического рассуждения. Этому способствуют систематический курс геометрии и метод математической индукции, умелое приме нение которого служит хорошим критерием логической зрелости, необходимой математику.

Характерным среди математических способностей является и развитие алгоритмических способностей.

Для наиболее полного удовлетворения запросов учащихся, про являющих математические способности и повышенный интерес к математике, предназначены (по мнению А.Н. Колмогорова) как специализированные классы, так и система факультативных заня тий, которые должны быть доступны всем ученикам, имеющим се рьезное намерение в них заниматься. Большая роль здесь отводит ся таким формам внеурочной работы по математике, как олимпиа ды, кружки, а также самостоятельное чтение учащимися популяр ной литературы и самостоятельное решение задач. По его мнению, для внеклассной работы желательно подбирать задачи, требую щие серьезной работы мысли, похожей на ту, которая требуется от взрослого, самостоятельно работающего математика. Для самосто ятельного чтения целесообразно подбирать такие книги, в которых читателя вводят в круг вопросов, служащих и в настоящее время предметом еще не законченного научного исследования.

А.Н. Колмогоров отмечал необходимость формирования про странственных представлений учащихся с помощью задач по та ким темам, как сечения многогранников плоскостью, описанные и вписанные в сферу многогранники.

Заметим, что круг вопросов, затронутых в его методических 64 Глава 1. Творчество А.Н. Колмогорова в историческом аспекте трудах, не потерял актуальности и по сей день.

Опираясь на рекомендации А.Н. Колмогорова, можно осуществ лять отбор тем и составлять организованные наборы упражнений для проведения факультативных занятий, разрабатывать для уча щихся элективные курсы.

Рассмотрим один из вариантов подобной тематики занятий фа культативных курсов, апробированной на практике. Приведенные ниже примеры конкретных задач избраны автором статьи из раз личных источников.

1. Построение сечений многогранников плоскостью и опреде ление площадей полученных сечений (с индивидуализацией зада ний);

изучение взаимного расположения сферы и многогранников разных видов, взаимного расположения шаров разного диаметра.

Учащимся можно предложить, например, такие задачи:

а) изучить варианты взаимного расположения куба и плоско сти. Вычислить площадь сечения единичного куба плоскостью в том случае, когда в сечении получается правильный шестиуголь ник;

б) шар касается всех ребер правильного тетраэдра. Длина ребра тетраэдра равна 10. Найти радиус шара;

в) четыре шара радиуса R располагаются так, что каждый шар касается трех других. Найти радиус сферы, касающейся каждого из этих 4 шаров и находящейся во внутреннем пространстве между ними;

г) решить аналогичную задачу, определив радиус сферы, каса ющейся каждого из этих 4 шаров и содержащей их внутри себя.

Наглядными примерами по этому разделу могут служить и за дачи третьего уровня из вариантов единого государственного экза мена по математике, в которых рассматриваются комбинации гео метрических тел и сформулированы задания на вычисление эле ментов этих тел.

2. Большую роль А.Н. Колмогоров отводил развитию логиче ского мышления учащихся, их умению рассуждать. Уже в средних классах с учениками можно решать логические задачи олимпиад ного характера, избирая их из дополнительной литературы.

Развитию логического мышления способствуют в немалой сте Меньшикова Н.А. Использование методических идей А.Н. Колмогорова для развития математических способностей школьников пени задачи по таким темам, как “Применение метода математиче ской индукции”, “Применение принципа Дирихле для решения сю жетных задач”. При проведении занятия по использованию метода математической индукции обращается внимание на суть принци па математической индукции, основанного на нем метода, после довательности действий по данному методу, его области приме нимости. Рассматриваются примеры на доказательство формул, равенств и неравенств, признаков делимости, для опровержения ложных утверждений. Например:

а) вывести формулу для вычисления суммы кубов первых N натуральных чисел;

б) доказать неравенство Бернулли;

в) доказать, что выражение (4n + 15n 1) кратно 9 для всех натуральных значений n;

г) доказать равенство для всех натуральных значений n:

1 1 1 n + +... + =.

1·2 2·3 n · (n + 1) n+ На занятии, посвященном использованию принципа Дирихле, прежде всего разъясняется суть этого принципа. Ее можно пред ложить учащимся в следующем виде: “Если в N ячейках располо жено (N + 1) элементов, то в некоторой из ячеек расположено не менее двух элементов”. Далее рассматриваются сначала неслож ные задачи, например:

а) в лесу растет миллион елок, на каждой из них не более иголок;

докажите, что в лесу есть 2 елки с одинаковым числом иголок;

б) в магазине есть 25 ящиков яблок трех разных сортов, причем в каждом ящике яблоки только одного сорта;

докажите, что среди них содержится по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

Далее учитель предлагает другие задачи по теме, подобранные из дополнительной литературы.

3. В тематике занятий, предложенных А.Н. Колмогоровым, со держится и тема “Применение графического метода для изучения 66 Глава 1. Творчество А.Н. Колмогорова в историческом аспекте свойств функций”. На факультативных занятиях тему можно рас ширить и рассматривать не только графики функций, но и гра фики уравнений, графический метод решения систем уравнений, построение различных точечных множеств на координатной плос кости и т.п. Среди заданий могут быть, например, такие:

а) построить фигуру, координаты точек которой удовлетворяют заданному неравенству или системе неравенств;

б) построить график функции, заданной кусочно;

в) решить графически систему уравнений с параметром и т.п.

4. Большое внимание А.Н. Колмогоров уделял изучению в шко ле элементов математического анализа. Помимо примеров, рас сматриваемых на основных уроках, можно провести цикл занятий факультатива по теме “Приложения производной”. На этих заня тиях целесообразно помимо других вопросов рассматривать слу чаи, где производная используется для составления математиче ской модели сюжетной задачи или перевода геометрической задачи на аналитический язык. Например:

а) вокруг прямоугольного поля площадью 400 га надо посадить со всех сторон деревья в форме полосы шириной 10 м. Каковы должны быть линейные размеры поля, чтобы площадь, занимае мая деревьями, была наименьшей?

б) в шар вписан конус наибольшего объема;

в этот конус, в свою очередь, вписан цилиндр наибольшего объема. Найти отношение высоты цилиндра к радиусу шара;

в) канат висячего моста имеет вид параболы и прикреплен к вертикальным опорам, отстоящим одна от другой на 200 м. Самая нижняя точка каната находится на 40 м ниже точек подвеса. Найти угол между канатом и опорными колоннами.

По этой теме целесообразно провести семинарское занятие, на котором каждый учащийся рассматривает в качестве доклада ре шение избранной им задачи. В качестве источников ученикам мож но рекомендовать не только учебники для общеобразовательных классов, но и учебники для классов с математической специализа цией, отдельные вузовские учебники, где материал излагается на наглядном уровне, например, в книгах Н.Я. Виленкина и др.

5. С точки зрения А.Н. Колмогорова, учащимся обязательно на Меньшикова Н.А. Использование методических идей А.Н. Колмогорова для развития математических способностей школьников до предлагать задачи, способствующие развитию математической интуиции, развивающие гибкость мышления, способность рассуж дать нестандартным образом. Здесь можно подбирать не только геометрические задачи на применение знаний в нестандартной си туации, но и рассматривать нестандартные уравнения и неравен ства. Например:

а) найти площадь треугольника, координаты вершин которо го (1;

4), (3;

1), (2;

2). В этой задаче ученик должен дога даться представить искомую площадь как разность площадей пря моугольника, порождаемого целочисленными координатами, и до полняющих заданный треугольник до этого прямоугольника пря моугольных треугольников;

б) на какой высоте висит уличный фонарь, если тень от вер тикально поставленной палки высотой 0,9 м имеет длину 1,2 м, а при перемещении палки на 1 м от фонаря вдоль направления тени длина тени стала равной 1,5 м. Непосредственное измерение расстояния до источника света недоступно.

6. Актуальными являются и такие темы занятий, как решение комбинаторных и вероятностных задач. Таких задач немало в пуб ликациях А.Н. Колмогорова, пособиях Н.Я. Виленкина и др.

7. Отдельного внимания заслуживают задачи на построение геометрических фигур, при решении которых применяются не только приемы, изученные на основных уроках, но и используются геометрические преобразования. Например:

а) построить ромб по сумме диагоналей и углу, образованному диагональю со стороной;

б) построить четырехугольник ABCD по четырем сторонам, зная, что диагональ AC делит угол A пополам.

Перечисленные выше темы могут быть использованы учителем математики для конструирования учебно-исследовательских мате матических задач и организации учебно-исследовательской мате матической деятельности школьников. Примеры подобных задач приводятся автором статьи в источнике [3].

Изучая методические работы А.Н. Колмогорова и рассматри вая темы, указанные им как наиболее важные и ценные для фор мирования математических способностей, учитель может состав 68 Глава 1. Творчество А.Н. Колмогорова в историческом аспекте лять программы факультативных и элективных курсов, помогать школьникам в организации их индивидуальной образовательной траектории, развивать у них математический стиль мышления.

Математический стиль мышления является весьма распространен ным явлением, он может проявляться у человека в видах деятель ности, даже не связанных непосредственно с математикой, и часто способствует успешному решению самых разнообразных проблем.

Его развитие принесет пользу всем учащимся, независимо от их последующего самоопределения.

Библиографический список 1. Абрамов А.М. О педагогическом наследии А.Н. Колмогорова // УМН. 1988. Т. 43. Вып. 6.

2. Колмогоров А.Н. Математика – наука и профессия. М.: Наука, 1988. 288 с.

3. Меньшикова Н.А. Основы методики работы с учебно исследовательскими математическими задачами // Яросл. пед.

вестник. 2002. № 3. С. 109–114.

4. Черкасов Р.С. Академик Колмогоров и школьное математиче ское образование // Математика в школе. 1992. № 1.

Глава История математики и математического образования К истории российской системы школьного математического образования С.С. Демидов, С.С. Петрова 1. Зарождение и первые шаги: XVIII–начало XIX вв.


Математические исследования и математическое образование в том смысле этих слов, в каком их понимают сегодня, начинают свою историю в России с реформами Петра Великого. Практически все, что было до них (а было немало и значительного – достаточ но вспомнить хотя бы хронологическое сочинение новгородского монаха XII века Кирика), следует отнести к средневековой куль туре (об этом можно прочитать, например, в “Истории математики в России до 1917 года” А.П. Юшкевича [1], в первом томе “Исто рии отечественной математики” [2] или в работах Р.А. Симонова (скажем, в [3])). Безусловно, эта культура, в том числе и культура математическая, оказалась той плодородной почвой, на которой успешно прижились и получили успешное развитие ростки новой науки (1)1.

Уже в ходе петровских реформ в области науки и образования математика и ее преподавание заняли одно из приоритетных мест - вспомним основанную в 1701 году Навигацкую школу, где обуче нию математике уделялось особое внимание и преподаватель ко торой Л.Ф. Магницкий в 1703 г. опубликовал знаменитую “Ариф метику”;

по ней обучалось несколько поколений русских школь ников (и среди них великий М.В. Ломоносов). В созданной Пет ром в 1724 году Академии наук математика также была выделена особо – среди 23 академиков, приглашенных в Академию в пер 1 Цифры в круглых скобках означают номер примечания в конце статьи.

70 Глава 2. История математики и математического образования вые годы ее существования, семь были математиками. Им было вменено в обязанность преподавать математику молодым людям, привлеченным в организованный тогда при Академии университет.

Особую роль в этой деятельности сыграл крупнейший математик XVIII века Леонард Эйлер. Он и его ученики – С.К. Котельни ков, С.Я. Румовский, Н.И. Фусс, М.Е. Головин и другие – внесли значительный вклад в становление российского математического образования. Они сделали первые шаги в создании современных руководств по математике на русском языке. Так, перу самого Л. Эйлера принадлежит “Руководство к арифметике для употреб ления в гимназии при Императорской Академии наук”, изданное в 1738–1740 гг. в двух частях по-немецки, а в 1740–1760 гг. в русском переводе, а также “Универсальная арифметика”, опубликованная по-русски в 1768–1769 гг. В большинстве своем основополагающие монографии великого математика не были адресованы широкому читателю, тем более, не были они приспособлены для лиц, матема тике только обучающихся. Адаптировав его изложение, приспосо бив его к нуждам школы, ученики Л. Эйлера создали замечатель ную учебную литературу для средней школы, стоящую на самом передовом для того времени научном уровне. Ограничимся одним примером. Как известно, современная форма изложения тригоно метрии восходит к Л. Эйлеру. В 1789 году по решению Академии наук была опубликована “Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами” М.Е. Головина – учебник, ко торый “превосходил по научному уровню все более ранние и даже некоторые изданные позднее” [1. C. 82]. Во многом именно бла годаря этим учебным руководствам русская математика добилась своих первых ощутимых успехов уже в первой трети XIX века – вспомним об открытии Н.И. Лобачевским неевклидовой геометрии и результатах М.В. Остроградского.

Ученики и последователи Л. Эйлера (сам характер деятельно сти которых позволяет исследователям говорить о “методической школе Эйлера” (см. [4. C. 118–165]) приняли активное участие в развитии народного образования в последней трети XVIII–начале XIX века, в том числе, в знаменитых реформах начала царство вания Александра I, в ходе которых была сформирована система Демидов С.С., Петрова С.С. К истории российской системы школьного математического образования народного образования в стране (2). Эта система, которую венчало созданное в 1802 г. Министерство Народного Просвещения, объ единяла шесть учебных округов с центрами в Петербурге, Москве, Харькове, Казани, Дерпте и Вильно. В каждом из этих городов должен был быть организован университет (до этого существовал единственный - в Москве) (3). Он должен был являться головной “учебной” организацией округа. Университет курировал гимназии, которые учреждались в каждой губернии, а под призором гим назий оказывались уездные училища, которые было предписано организовывать в каждом уездном городе. Такая система позво ляла осуществлять непрерывный учебный процесс – по окончании уездного училища было можно перейти в гимназию, полный курс которой был достаточным для поступления в университет. Для методического и административного руководства училищами при Министерстве народного просвещения было организовано Главное правление училищ, среди сотрудников которого мы видим учени ков Л. Эйлера – С.Я. Румовского и Н.И. Фусса. Во многом имен но их активной и целенаправленной деятельности Россия обязана хорошей постановке обучения математике в школе в начальный период становления системы народного образования.

Процессы развития математических исследований и ма тематического образования в России, начиная со време ни петровских реформ, отличают следующие характерные черты:

– власть, понимая важное значение математики для прогрес сивного развития государства (в том числе, не в последнюю оче редь, для военных нужд) придавала особое значение поднятию уровня математических исследований и совершенствованию мате матического образования;

отсюда – всегдашнее преобладание госу дарственной системы образования и подчиненный характер част ного образования;

– организация математического образования всех уровней (от элементарного до высшего) стала одной из постоянных и важней ших забот математической элиты российского научного мира (в XVIII–XIX вв. это – члены Петербургской академии наук, веду щие профессора российских университетов, в их числе Л. Эйлер, 72 Глава 2. История математики и математического образования М.В. Остроградский, Н.И. Лобачевский, П.Л. Чебышев) (4);

– взгляд на российскую систему образования как на органич ную часть европейской системы образования (при этом ведущие деятели математического образования в России в большинстве сво ем старались бережно относиться к ее самобытности).

Именно эти родовые черты и определили высокий уровень пре подавания математики в русской школе. Этот уровень и природ ная предрасположенность русских к математическим наукам стали тем основанием, на котором упрочилась высокая репутация рус ской математической школы. Власти всегда (и царское правитель ство, и советская власть) понимали важность математических на ук для процветания государства, тем более, что занятия матема тикой, совершенствуя умственные способности учащегося и делая его способным к решению различных технических задач, государ ству полезных, не вносят в его голову опасных в идеологическом отношении идей. Об этом российские власти не забывали никогда.

2. Становление классической системы школьного матема тического образования: от эпохи Николая I до 90-х годов XIX века.

Мы не будем здесь особенно останавливаться на усилиях, пред принимавшихся в этот период государством для поддержания и развития научных исследований и народного образования. И, хо тя эти усилия в разные исторические моменты были различны ми по интенсивности, – зачастую они ослаблялись соображениями идеологического характера (боязнью проникновения революцион ных идей, атеистических учений и т.п.), колебания эти менее всего сказывались на математике (5). Важность математики и математи ческого образования для государства никем не оспаривались. Все более значительными становились успехи на ее ниве отечествен ных ученых. Напомним еще раз, что уже в первой половине века профессором из Казани Н.И. Лобачевским была открыта неевкли дова геометрия – одно из важнейших достижений математики XIX века. Во вторую же его половину и в начале следующего столетия Россия уже заявила о себе как о стране, обладавшей достаточ ным математическим потенциалом, сосредоточенным, в основном, Демидов С.С., Петрова С.С. К истории российской системы школьного математического образования в двух ведущих национальных школах – прежде всего, в Петер бургской школе П.Л. Чебышева, а также Московской философско математической школе, в недрах которой накануне Второй миро вой войны возникла одна из самых блистательных математических школ ХХ века – Московская школа теории функций Д.Ф. Егоро ва и Н.Н. Лузина. Значительным оказался вклад математиков в разработку прикладных наук и задач инженерного (в частности, военного) характера(6).

В ходе реформ Александра II была существенно преобразова на средняя школа. По уставу гимназий 1864 г., наряду с “класси ческими” гимназиями учреждались “реальные” гимназии, в про грамме которых отсутствовали древние языки, зато усиливались курсы математики и естественных наук. В 1907 г. в реальных учи лищах, а в 1911 г. в кадетских корпусах были введены начала аналитической геометрии и математического анализа. Правитель ство следило за тем, чтобы в комитеты Министерства народного просвещения, определявшего содержание и программы преподава емых в средней школе дисциплин, входили ведущие ученые стра ны. Так, крупнейший русский математик второй половины XIX века, уже упоминавшийся нами П.Л. Чебышев на протяжении лет (с 1856 по 1873 г.) состоял членом Ученого комитета Министер ства народного просвещения. Он представлял доклады о програм мах и методах обучения, писал многочисленные рецензии на учеб ные пособия, требуя от авторов строгости и ясности изложения.

В 1901–1915 гг. членом Совета Министерства и председателем его Ученого комитета состоял академик Н.Я. Сонин. В 1905–1908 гг.

для работы над реформой школьного математического образова ния в Министерство народного просвещения был приглашен из вестный математик, президент Московского математического об щества П.А. Некрасов. Все они немало сделали для совершенство вания школьного математического образования в России.


На протяжении XIX века в стране сложилось национальное математическое сообщество, центрами притяжения которого были находившиеся между собой в известной конфронтации математи ческие Петербург с Императорской академией наук и Москва с ее математическим обществом и выполнявшим тогда отчасти обще 74 Глава 2. История математики и математического образования национальные функции “Математическим сборником”. Выдающу юся роль в консолидации этого сообщества сыграли всероссийские съезды естествоиспытателей и врачей, первый из которых был со бран в 1868 г. в Петербурге, а последующие проходили в обеих столицах, а также в Киеве, Казани, Варшаве и, наконец, в Ти флисе, где в 1913 г. состоялся последний XIII съезд. Съезды были чрезвычайно многолюдны, математическая секция на них работа ла особенно активно [6]. Ее заседания собирали очень разнообраз ный состав участников – от наиболее видных российских ученых (в них традиционно участвовал П.Л. Чебышев [7] и другие чле ны Петербургской Академии наук, профессора ведущих универси тетов, блистала С.В. Ковалевская) до преподавателей гимназий, составлявших большинство участников секции. Одной из главных тем, рассматривавшихся на секции, традиционно оставались во просы преподавания математики в средней школе. Ведущие педа гоги (А.П. Киселев, С.И. Шохор-Троцкий и др.) обсуждали свои проблемы с крупнейшими математиками своего времени, тради ционно (еще со времен Л. Эйлера) в них заинтересованными. Ве дущие математики не только охотно обсуждали проблемы школь ной математики, но и сами писали учебники для средней школы, некоторые из которых (например, учебники М.В. Остроградско го, А.Н. Тихомандрицкого, О.И. Сомова, А.Ю. Давидова (7)) по лучили широкое распространение. Впрочем, авторами большин ства успешных учебников выступали преподаватели средних школ (8) – очевидно, опыт практической работы в школе оказывался чрезвычайно важным для успешной работы над учебником (9) [4.

C. 429–468, 5. C. 82–86]. Так, самым знаменитым в России автором школьных математических учебников, ставшим в истории россий ской культуры фигурой почти легендарной, стал преподаватель ре ального училища и кадетского корпуса в г. Воронеже Андрей Пет рович Киселев (10). Его замечательные руководства для средней школы – “Систематический курс арифметики для средних учеб ных заведений” (СПб., 1884), “Элементарная алгебра” (СПб., 1888) и “Элементарная геометрия” (СПб., 1892), совершенствовавшиеся от издания к изданию, стали основными учебными руководствами для русских школ. Эти книги (например, первая из них до 1938 г.

Демидов С.С., Петрова С.С. К истории российской системы школьного математического образования выдержала 36 изданий общим тиражом в 1800000 экземпляров, а руководство по алгебре только в дореволюционной России изда валось 30 раз) после их переработки в 1938 году были приняты советской школой в качестве стабильных учебников. На них осно вывалось школьное математическое образование в стране вплоть до 60-х годов XX века. Эти руководства явились, может быть, са мым ярким проявлением сложившейся к 90-м годам российской модели системы, которую известный методист И.К. Андронов [9.

C. 6] называл международной классической системой школьно го математического образования. Для этой системы характерны 1) разделение математики как предмета изучения на два отде ла – “элементарную математику”, изучаемую в средней школе, и “высшую математику”, изучаемую в высшей школе;

2) составление “элементарной математики” из четырех предметов – арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии, рассматриваемых “как само стоятельные и не зависимые друг от друга” [9. C. 7];

3) изучение в начальной школе не “математики” в целом, но лишь пропедевти ческой арифметики, осуществляемое “на эмпирической основе без теории предмета” [9. C. 7];

4) изучение в высшей школе “высшей математики”, составленной из двух разделов – аналитической гео метрии и математического анализа. Эта система преследовала це ли дать учащемуся значительный запас математических знаний и развить его формально-логическое мышление. В этом процессе ак тивную роль исполнял учитель, на долю же учащегося оставались пассивное восприятие учения и умение его воспроизводства. Так к 90-м годам XIX века сложилась оригинальная российская мо дель международной классической системы школьного математи ческого образования, обеспеченная корпусом квалифицированных преподавателей, хорошо проработанными программами и превос ходной учебной литературой. (О математическом школьном обра зовании в России в XIX веке см. также [10, 11].) 3. Русская система школьного математического образова ния накануне Первой мировой войны Сложившаяся в 90-е годы XIX века система довольно быстро столкнулась с рядом проблем. Первая и самая главная из них (не 76 Глава 2. История математики и математического образования получившая удовлетворительного решения по сию пору) – рази тельное несоответствие содержания математики, преподаваемой в школе, и математики как развивающейся науки. В результате об разовывался разрыв между элементарной и высшей математикой.

В статье “Математика как наука и ее школьные суррогаты”, опуб ликованной в 1895 г. в журнале “Русская мысль”, В.П. Шереметев ский писал [12. C. 105]: “Молодые люди конца XIX века, готовящи еся принять официальное удостоверение в умственной зрелости, искусственно задерживаются на средневековом уровне математи ческой мысли: считаются неспособными усвоить хотя бы элемен ты математики как науки нового времени”. Шереметевский высту пал за перестройку школьного курса математики вокруг понятия функциональной зависимости, за введение в него элементов ана литической геометрии и математического анализа. Другим серьез ным недостатком складывавшейся системы стала проявившаяся в школьном курсе слабость взаимосвязей дисциплин, составлявших элементарную математику.

Эти проблемы (а также целый ряд других, на которых мы здесь не будем специально останавливаться) стали предметом активных дискуссий в среде педагогов-математиков и шире – в российском математическом сообществе, традиционно, как мы уже отмеча ли, интересующемся проблемами средней школы. Этим проблемам школы уделяло большое внимание уже упоминавшееся влиятель нейшее в стране Московское математическое общество (мы еще бу дем говорить об этом в разделе, посвященном ХХ веку). В началь ный период существования общества вторая часть издававшегося им журнала “Математический сборник” предназначалась специ ально для преподавателей и учащихся гимназий (она просущество вала до 10 тома) [4. C. 376–378, 13]. Каждой гимназии и реально му училищу Министерством просвещения рекомендовалось иметь в своей библиотеке комплект этого журнала. (Проблемы школь ной математики в конце XIX–начале XX века живо обсуждались на страницах специальных периодических изданий, адресованных учителям, издаваемого в Одессе “Вестника опытной физики и эле ментарной математики” (1886–1917), “Математического образова ния” (1912–1917) и др. (11).) Университетская профессура стала Демидов С.С., Петрова С.С. К истории российской системы школьного математического образования руководящей и активной частью общероссийского движения за со вершенствование школьного математического образования. Так, в 1906 г. при Московском университете оформился Московский мате матический кружок, объединивший деятельность в этом направ лении сотрудников университета и учителей. Его председателем стал профессор Московского университета Б.К. Млодзеевский. В 1912 г. кружок начал издавать получивший широкую известность журнал “Математическое образование” [4. C. 387–388].

Чрезвычайно активизировавшаяся в начале ХХ века методико математическая деятельность требовала новых форм ее организа ции. И уже на стыке 1911 и 1912 гг. в Санкт-Петербурге состоялся Первый всероссийский съезд преподавателей математики, собрав ший 1217 участников из различных уголков страны. Среди них и представители российских университетов (К.А. Поссе, В.В. Бобы нин, А.В. Васильев, Б.К. Млодзеевский, П.А. Некрасов, С.О. Ша туновский, Д.М. Синцов, В.Ф. Каган, Д.Д. Мордухай-Болтовской) и известные педагоги (А.П. Киселев, С.И. Шохор-Троцкий). На съезде был сделан 71 доклад: о преподавании геометрии и об изло жении идей неевклидовой геометрии, о теоретической арифметике и введении в школьные курсы новых идей в этой области, о при ближенных вычислениях, о реформе курса алгебры, о введении в преподавание сведений из истории математики, о преподавании в школе элементов высшей математики и т.д. [15, 4. C. 361–366, 5. C. 110–112]. Методика математики приобрела на этом съезде статус науки – ей была отведена отдельная третья секция. В ре шениях съезда (см. [4. C. 365–366]) подчеркивалась необходимость усиления активности и самодеятельности учащихся, обращалось особое внимание на наглядность обучения, на необходимость поло жить в основу всего школьного курса математики идею функцио нальной зависимости, приблизить школьный курс к уровню совре менной математики, включив в него идеи аналитической геомет рии и математического анализа. А уже на стыке 1913 и 1914 гг.

в Москве был собран Второй съезд (12). В нем приняли участие 1200 человек и было заслушано 32 доклада, среди которых докла ды С.Н. Бернштейна о возможных способах введения в школьном курсе понятия функции, П.А. Некрасова с обоснованием необходи 78 Глава 2. История математики и математического образования мости включения в этот курс элементов теории вероятностей и ста тистики, Н.Н. Салтыкова и Д.М. Синцова о проблемах подготовки учителей средней школы [16]. В решениях съезда особое внима ние было уделено подготовке учителей (подчеркивалась необходи мость не только научного, но и педагогического их образования), совершенствованию программ по математике, наконец, введению в школьные курсы элементов высшей математики. Надо заметить, что к этому времени русская средняя школа уже имела некоторый опыт преподавания начал аналитической геометрии и математиче ского анализа (об этом см. [17, 18]).Как отметил, открывая съезд, Б.К. Млодзеевский, “успехи естествознания и техники выдвинули вопрос о введении в среднюю школу вопросов, изучаемых теперь обыкновенно в высшей школе;

стало очевидным, что в настоящее время основные понятия исчисления бесконечно малых, аналити ческой геометрии и теории вероятностей должны быть достоянием каждого образованного человека” [16. C. 3].

Как мы видим, направленность развития преподавания мате матики в российской средней школе в конце XIX–начале XX вв.

совпадала с вектором движения за реформу преподавания мате матики, наметившегося в Европе в конце XIX–начале ХХ в. и воз главленного в Германии – Ф. Клейном, во Франции – П. Аппелем и Э. Борелем. Целью этой реформы стало воспитание у учащих ся функционального мышления и введение в школьные программы элементов “высшей математики” – аналитической геометрии и ана лиза. О необходимости такой реформы заявил в 1897 году в своем докладе “Вопросы математического образования” на Первом меж дународном математическом конгрессе в Цюрихе Ф. Клейн. Про грамма таких преобразований математического образования, раз работанная под его руководством (1905), получила наименование “Меранской программы”. Организационное оформление это дви жение получило в 1908 г. на IV Международном математическом конгрессе в Риме – была создана Международная комиссия препо давателей математики, президентом которой был избран Ф. Клейн [4. C. 357, 5. C. 108–109, 19]. Россия, в которой к идеям такой ре формы пришли уже давно (соответствующее высказывание Ше реметевского мы приводили выше, см. также [5. C. 109]), активно Демидов С.С., Петрова С.С. К истории российской системы школьного математического образования включилась в работу комиссии с самого момента ее организации.

Русскую национальную подкомиссию возглавил академик Н.Я. Со нин.

К 1917 г., события которого открыли новый период в исто рии страны, Россия пришла со сложившейся системой среднего математического образования. Ее воплощением стала российская модель международной классической системы школьного мате матического образования. Математика преподавалась в классиче ских гимназиях, реальных училищах, средних военных учебных заведениях и духовных семинариях по утвержденным програм мам и стабильным учебным руководствам. Для этого преподава ния был сформирован корпус педагогов достаточно высокого уров ня. Корпус этот, составленный преимущественно из выпускников российских университетов, сохранял неразрывную связь с универ ситетскими математиками. Этому способствовала и практика при влечения к преподаванию в гимназиях университетских приват доцентов, и традиция патронажа Академии наук и университетов над средней школой. В итоге, несмотря на существовавшие иерар хические различия (между членом Императорской академии наук и учителем гимназии из Урюпинска существовала, конечно, ди станция огромного размера), учителя средней школы ощущали се бя членами единого российского математического сообщества.

4. Математика в школе в советский период Когда по окончании гражданской войны советское правительство приступило к строительству нового государства, в числе первых перед ним встали проблемы народного образования. Центральной здесь стала задача ликвидации в стране неграмотности. Задачи же развития системы школьного математического образования в направлениях, заданных предыдущим ходом реформ, обозначен ных Первым и Вторым всероссийскими съездами преподавателей математики, отошли на второй план и затерялись в сутолоке и неразберихе, порожденных всякого рода псевдореволюционными нововведениями и преобразованиями: усилиями, направленными на замену общеобразовательных средних школ трудовыми шко лами, попытками ликвидации классно-урочной системы обучения, 80 Глава 2. История математики и математического образования бригадно-лабораторным методом, отменой домашних заданий и индивидуальных оценок знаний учащихся и пр. Ситуация нача ла выправляться к концу 20-х годов, когда советское правитель ство вплотную подошло к решению задач средней и высшей шко лы и научного строительства, взятых в их взаимосвязи. В отноше нии методики преподавания математики школа во многом начала возвращаться к российскому дореволюционному опыту, учитывая его в той мере, в какой он оказывался приемлем в новых соци альных условиях. В 1931 г. появилось постановление ЦК ВКП(б) “О начальной и средней школе”, в котором давалась отрицатель ная характеристика школьного образования: недостаточность объ ема знаний, даваемых школой, неудовлетворительная проработка учебно-педагогических основ школьного образования, извращен ное понимание идеи политехнической школы, отрывающее поли технизм от прочного усвоения основ наук (в частности, математи ки), на котором он должен основываться. В Постановлении осуж далась теория “отмирания школы”, предлагалось с 1 января 1932 г.

начать преподавание по тщательно разработанным программам. В январе 1932 г. такие программы были опубликованы. Дальнейшая работа над более рациональным распределением материала, его упрощением и согласованием с потребностями физики привела к новым программам 1935 года (подробнее об этих программах см.

[5. C. 161–170]). Для обучения по новым программам потребова лись и новые учебники. В 1937–1938 гг. в качестве основных ста бильных учебных руководств по математике в средней школе были приняты несколько переработанные А.Я. Хинчиным, Н.А. Глаго левым и др. учебники А.П. Киселева. Вот список руководств, по которым стали обучаться математике с 1938 г.[5. C. 168]: руковод ство по арифметике А.П. Киселева и задачник Е.С. Березанской (5–6 классы), руководство по алгебре А.П. Киселева и задачник Н.А. Шапошникова и Н.К. Вальцева (6–10 классы), учебники по геометрии А.П. Киселева и задачники Н.А. Рыбкина (6–10 клас сы), учебник и задачник по тригонометрии Н.А. Рыбкина (9– классы). Эти учебники обслуживали русскую школу до 1954 г., “обеспечивая обучению математике столь важную для него ста бильность” [5. C. 168]. Как считают многие современные авторы Демидов С.С., Петрова С.С. К истории российской системы школьного математического образования [4. C. 356, 5. C. 161–166], именно этот двадцатилетний период ста бильности во многом определил успехи советской науки и техники в 50-е–60-е годы (13).

Для решения проблем, которые возникают в ходе развития на родного образования, при наркомате просвещения (переименован ном впоследствии в министерство просвещения) были организова ны специальные методические советы, в которые вошли ведущие математики и педагоги страны. В 1943 г. была основана Академия педагогических наук РСФСР, в 1966 г. преобразованная в Акаде мию педагогических наук СССР (ныне Российская академия об разования), одной из основных задач которой стала теоретическая разработка принципов преподавания наук (в том числе – матема тики) в средней школе. События, происходившие в области школь ной математики (в том числе различные изменения в характере ее преподавания, появление новых учебников и т.д.) находили свое отражение в периодике, прежде всего в журнале “Математика в школе”, регулярное издание которого (шесть номеров в год) уста новилось с 1936 г.

Проблемы средней школы всегда оставались в поле внимания математической общественности. Так, старейшее Московское ма тематическое общество в 1934 г. образовало специальную секцию – секцию элементарной математики, вскоре переименованную в научно-педагогическую, а затем в секцию средней школы, объеди нившую наиболее активных педагогов-математиков столицы и ре шительно вмешивавшуюся в обсуждение всех вопросов, влияющих на политику в области математического образования. Основны ми задачами секции стало содействие повышению уровня препо давания математики в средней школе, обмен преподавательским опытом, установление постоянных связей между преподавателями средней и высшей школы. Московское математическое общество выступило с инициативой проведения школьных олимпиад – со ревнований, позволявших выявлять молодые математические та ланты. Первая такая олимпиада прошла в стенах Московского уни верситета осенью 1935 г. Ее возглавил П.С. Александров, а в оргко митет вошли такие известные математики, как А.Н. Колмогоров, Л.Г. Шнирельман, С.Л. Соболев, Л.А. Люстерник. Карьера многих 82 Глава 2. История математики и математического образования впоследствии известных математиков началась с победы на таких олимпиадах. Само олимпиадное движение с годами укреплялось и ширилось, со временем появились всесоюзные (ныне всероссий ские), а в последние десятилетия и международные олимпиады.

Московский университет выступил еще с одной инициативой – создания школ-интернатов для особо одаренных к математике детей, которых отбирали по всей стране. Первое заведение та кого рода – знаменитая Физико-математическая школа-интернат № 18 при МГУ – было основано в 1963 году А.Н. Колмогоровым.

Преподавание в нем (а он существует и поныне) ведут сотрудни ки Московского университета по особым, созданным специально для школ такого уровня программам. Московский опыт не остал ся единственным. Примером тому может служить математическая школа-интернат при Петербургском университете. Кроме этого, в крупных научных центрах появилась сеть специализированных математических школ, обучение в которых следовало усложненной математической программе (14).

Однако центральной задачей среднего математическо го образования было и остается осуществление качествен ного обучения, отвечающего уровню современной науки и запросам практики сегодняшнего дня, в обычной неспеци ализированной средней школе.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.