авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки Российской Федерации

Южно-Российский государственный технический университет

(Новочеркасский политехнический институт)

Волгодонский

институт ЮРГТУ

Л.С. Лунин, А.В. Благин, А.А. Баранник

ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ

Часть I

Механика, молекулярная физика

и термодинамика

Новочеркасск 2006

УДК 530.1 (075.8)

ББК 22.3

Л

Рецензенты: д-р физ.-мат.наук, проф. В.Н. Лозовский, к.ф.-м.н., доц. Т.А. Аскарян Лунин Л.С., Благин А.В., Баранник А.А.

Л Лекции по физике. Ч.1. Механика, молекулярная физика и термоди намика / Волгодонский институт ЮРГТУ. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2006.

184 с.

Физика является теоретической основой всех технических дисциплин и, наряду с математикой, базой инженерного образования. Лекции состав лены с учетом требований государственных образовательных стандартов для технических специальностей высших учебных заведений, изучающих общую физику в течение четырех семестров.

Материал рассчитан на студентов, приступающих к изучению курса общей физики (34 часа лекций в семестр).

© Волгодонский институт ЮРГТУ, © Лунин Л.С., Благин А.В., Баранник А.А., ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ………………………………………………………… МЕХАНИКА……………………………………………………………… Лекция 1. Основы кинематики…………………………………………… Лекция 2. Динамика поступательного движения материальной точки.. Лекция 3. Работа и механическая энергия……………………………… Лекция 4. Динамика вращательного движения………………………… Лекция 5. Тяготение. Элементы теории поля…………………………… Лекция 6. Основы специальной теории относительности……...……… Лекция 7. Элементы общей теории относительности………………….. Лекция 8. Элементы механики жидкостей и газов……………………... МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА……………. Лекция 9. Основы молекулярной физики – I……………………………. Лекция 10. Основы молекулярной физики – II…………………………. Лекция 11. Основы общей термодинамики – I…………………………. Лекция 12. Основы общей термодинамики – II………………………… Лекция 13. Реальные газы, жидкости и твердые тела – I………………. Лекция 14. Твердые тела – II…………………………………………….. Лекция 15. Теплоемкость и фазовые переходы………………………… Лекция 16. Растворы……………………………………………………… ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………. РЕКОМЕНДУЕМЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……. ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее пособие предназначено, в первую очередь, для студентов инженерно-технических специальностей;

может быть полезным для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме физику. Оно представляет собой курс лекций в 3 частях, соответствующих трем семест рам курса физики, предусмотренных унифицированным учебным планом, по которому студенты специальностей "Микроэлектроника и твердотель ная электроника", "Автоматизация технологических процессов", "Электри ческие станции", "Информационные системы и технологии", "Оборудова ние и технология сварочного производства" обучаются с 2002/03 учебного года. Пособие может быть использовано студентами также для самостоя тельного изучения соответствующего материала, является базой для под готовки к семестровым экзаменам по физике. Кроме того, книга должна помочь студенту и в тех случаях, когда он что-то не успел записать на лек ции, какие-то лекции были пропущены, в чем-то трудно разобраться по другим учебникам.

Первая часть содержит изложение основ механики, молекулярной физики и термодинамики и адресована первокурсникам. Набор освещае мых вопросов хорошо виден из оглавления.

Особое внимание в книге уделено изложению традиционно сложных для усвоения физических понятий, идей и теорий – таких, как механика твердого тела, теория относительности, физика реальных газов, жидкостей и растворов. Впервые в учебной литературе по общей физике в настоящем пособии излагаются основные выводы общей теории относительности.

Достаточно подробно освещаются вопросы, помогающие осмысленному выполнению заданий лабораторного практикума по механике и молеку лярной физике.

Авторы выражают надежду, что данное пособие будет способство вать более глубокому изучению студентами курса физики и решит про блему основательного методического обеспечения студентов младших курсов.

МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ 1. Предмет физики и ее связь с другими науками.

2. Система СИ (System International – SI).

3. Физические модели. Система отсчета (СО). Траектория.

Длина пути. Вектор перемещения.

4. Скорость. Ускорение, его тангенциальная и нормальная составляющие. Линейные и угловые величины.

1.1. Предмет физики и ее связь с другими науками Физика – наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи, за коны ее движения (физика – наука о наиболее общих формах движения материи).

Под движением понимают всякое изменение, происходящее в материальном мире. Формы движения: механическая, тепловая, оптиче ская, ядерная, химическая, психическая, социальная. Физика изучает пер вые 4 формы. Физика относится к числу точных наук, ее понятия и за коны могут быть количественно охарактеризованы, поэтому, например, эмоции, чувства (психическая форма движения) пока не являются предме том физики. Физика – естественная наука. Она является основой всего естествознания и тесно связана с другими естественными науками – хими ей, биологией, астрономией и т.д. Границы между физикой и естествен ными науками условны. На стыке этих наук рождаются новые отрасли знания – биофизика, геофизика, физическая химия и другие.

В соответствии с многообразием предмета исследования естествен ными науками в зависимости от критерия классификации подразделяется:

- по объекту: физика элементарных частиц, физика ядра, физика ато мов и молекул и т.д.

- по процессам и формам движения: механика материальной точки и твёрдого тела, сплошных сред, электродинамика, термодинамика, теория тяготения, физика волновых процессов и т.д.

- по целям исследования: теоретическая, экспериментальная и при кладная (техническая) физика.

Целью экспериментальной физики является постановка и проведение наблюдений и опытов по обнаружению новых физических явлений и про верке данных по уже известным явлениям. Целью теоретической физики является установление закономерностей (связей, общего для широкого круга процессов, объектов) известных физических явлений и предсказание существования новых явлений (рекомендации по постановке эксперимен тов и выбору путей и способов исследования). Следует отметить, что не все процессы, изучаемые современной физикой, наглядны и исследуются прямо (и) экспериментально. Прикладная (техническая) физика занимается разработкой путей использования физических представлений о свойствах и поведении объектов для нужд человека. Таким образом, развитие физи ки протекает по известной схеме - философской спирали познания.

Физика является теоретической основой всех технических дис циплин (электро- и радиотехника, сопротивление материалов, электроника и др.) и, наряду с математикой, базой инженерного образования.

1.2. Система СИ (System International – SI) Так как физика – точная наука, важную роль в ней играют измере ния. Измерить величину – значит сравнить ee c однородной величиной, ycлoвнo принятой за единицу. Единицу любой физической величины мoжнo ycтaнoвить пpoизвoльнo, поэтому нa XI Гeнepaльнoй кoнфepeнции пo мepaм и вecaм (oктябpь 1960 г.) было принято peшeниe об ycтaнoвлeнии (вместо гауссовой системы – СГС) для мeждyнapoдныx связей единой пpaктичecкoй cиcтeмы единиц, пoлyчившeй мeждyнapoднoe нaимeнoвaниe SI, в pyccкoй тpaнcкpипции – CИ. Эта cиcтeмa была yтoчнeнa нa пocлeдyющиx XII-XV кoнфepeнцияx пo мepaм и вecaм.

Для пocтpoeния cиcтeмы единиц физичecкиx величин дocтaточнo выбpaть нecкoлькo нeзaвиcимыx дpyг от дpyгa единиц, охватывающих все физические явления. Эти единицы называют основными. Единицы физических величин, кoтopыe определяются по уравнениям c помощью ос новных единиц, нaзывaют пpoизвoдными. Выбор основных единиц обу словливает значение коэффициентов пропорциональности в формулах при записи физических законов. Совокупность основных и производных еди ниц называют системой единиц.

Meждyнapoднaя cиcтeмa единиц СИ cocтoит из ceми ocнoвныx, двyx дoпoлнитeльныx радиан (рад) и стерадиан (ср), а также бoльшoгo чиcлa пpoизвoдныx единиц.

Оcнoвныe единицы СИ (SI):

метр (м) – длина пути, пpoxoдимoгo cвeтом в вaкyyмe зa 1 /299 458 c;

килoгpaмм (кг) – eдиницa мaccы – пpeдcтaвлeн мaccoй мeждyнapoднoгo пpoтотипa килoгpaммa (Международная палата мер и весов, г. Севр, Франция);

сeкyндa (с) – вpeмя, paвнoe 9 192 631 770 пepиoдaм излyчeния, cooтвeтcтвyющeгo пepexoдy мeждy двумя тонкими ypoвнями ocнoвнoгo cocтoяния aтoмa цeзия-133 (133Cs);

ампep (А) – cилa нeизмeняющeгocя тoкa, кoтopый при пpoxoждeнии пo двyм пapaллeльным пpямoлинeйным пpoвoдникaм бecкoнeчнoй длины и ничтoжнo мaлoй плoщaди пoпepeчнoгo ceчeния, pacпoлoжeнным в вaкyyмe нa paccтoянии 1 м oдин от дpyгoгo, вы звал бы нa кaждoм yчacткe npoвoдникa длиной 1 м cилy взaимoдeйcтвия, paвнyю 2·10-7 H;

кельвин (К) – единица тeмпepaтypы, paвнaя 1/273, тepмoдинaмичecкoй тeмпepaтypы тpoйнoй тoчки вoды;

моль (моль) – кoличecтвo вeщecтвa cиcтeмы, coдepжaщeй cтoлькo же cтpyктypныx элeмeнтoв (частиц), сколько coдepжитcя aтoмoв в нуклиде 12С (yглepoдe-12) массой 0,012 кг;

кaндeлa (кд) – cилa cвeтa в заданном направлении источника, иcпycкaющегo монохроматическое излучение частотой 540·1012 Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении 1/683 Вт/ср (cилa cвeтa, иcпycкaeмoгo c пoвepxнocти плoщaдью 1/600000 м пoлнoгo излyчaтeля в пepпeндикyляpнoм нaпpaвлeнии при тeмпepaтype излyчaтeля, paвнoй тeмпepaтype зaтвepдeвaния плaтины при дaвлeнии 101 325 Па);

радиан – угол, опирающийся на дугу, равную радиусу;

стерадиан – телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезаю щий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.

Десятичные кратные и дольные единицы образуются умножением исходной единицы на один из множителей, приведенных в табл. 1.1.

Таблица 1. Mнoжитeли и пpиcтaвки для oбpaзoвaния дecятичныx кратных и дoльныx единиц SI Пpиcтaвкa Пpиcтaвкa Mнoжитeль Наимено- Обозначе- Mнoжитeль Наименова- Обозначе вание ние ние ние 10- 1018 экca Э дeци д l0- 1015 пeтa П caнти c 1012 l0- тepa Т милли м l09 l0- гигa Г микро мк l06 l0- мeгa М нaнo н l03 l0- килo к пикo п l02 l0- гeкто г фeмто ф l01 l0- дeкa да aтто a 1.3. Физические модели. Система отсчета (СО). Траектория.

Длина пути. Вектор перемещения В физике используются различные модели: при описании объектов выделяются их главные качества и отбрасываются второстепенные (материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругий и неуп ругий удары, идеальный газ, черное тело, линейный осциллятор и т.д.).

Построение физико-математической модели, как правило, вы полняется методом последовательных приближений. В первом или ну левом, самом грубом, приближении учитывают только самые необходи мые аспекты (свойства) процесса (тела), математические уравнения при этом обычно самые простые и легко разрешимы аналитически. Проведя расчет по этим уравнениям, результат сравнивают с данными эксперимен та. При удовлетворительном согласии данных останавливаются на полу ченной модели (описании) процесса (тела). При несогласии (второе и т.д.

приближение) вносят в рассмотрение новые факторы, усложняются опи сывающие явление уравнения, они уже могут не решаться в явном виде (аналитически), а только численно, процесс повторяется до получения с требуемой (необходимой) точностью согласия теоретических и достаточно большого числа экспериментальных данных.

Примеры физико-математических моделей:

- материальная точка – это тело, размеры которого в данной задаче несущественны;

- абсолютно твердое тело – тело, которое ни при каких условиях не деформируется, при этом расстояние между любыми двумя точками тела остается неизменным.

Механика изучает механическое движение. Механическое движе ние – это взаимные изменения положения тел друг относительно друга или взаимного расположения частей тела. Любому описанию механиче ского движения тела должен предшествовать выбор системы отсчета (СО). Она состоит из какого-либо неподвижного твердого тела (отсчета) и связанной с ним системы координат, в которой указывается начало отсчета времени. В механике чаще всего используется координатная форма описа ния движения: положение материальной точки задается ее радиус rr вектором r = r (t ). Это уравнение эквивалентно трем скалярным: x=x(t);

y=y(t);

z=z(t).

Z S r0 A r O Y B r X Рис. 1. Рассмотрим (рис. 1.1) движение материальной точки вдоль произ вольной траектории. Отсчет времени начинают с момента, соответствую щего точке А. Длина участка АB, пройденного телом с начала отсчета вре мени, называется длиной пути s и является скалярной функцией времени.

rrr Вектор r = r r0 называется перемещением тела. В случае прямо r линейного движения r = s. Сказанное справедливо для движения в r одном направлении, а в общем случае r s.

Траектория – это линия, которую описывает тело при движении в пространстве. Если траектория лежит в одной плоскости, движение назы вается плоским или двумерным (движение тела, брошенного под углом к горизонту, движение заряженной частицы в магнитном v поле, когда ско r рость перпендикулярна вектору магнитной индукции v B.

1.4. Скорость. Ускорение, его тангенциальная и нормальная составляющие. Линейные и угловые величины Для характеристики движения тела вводится векторная величина – r скорость v, которая определяет быстроту движения и его направление в данный момент времени t.

Если тело проходит за время t путь s, модуль которого равен r (при условии r r r v= малости промежутка t), скорость определяется как - средняя скорость t • r dr (м/c);

v = lim v = lim = = r – мгновенная скорость (всегда направле t 0 t dt t на по касательной в данной точке траектории).

dr ds • = s и ds = v dt.

Тогда v = v = = dt dt t + dt t + dt Следовательно, s (t ) = v(t ) dt = v dt = v t.

t t v = const Движение, при котором скорость постоянна, называется равномер ным. В случае неравномерного движения важно знать, как изменяется r скорость с течением времени, по модулю (величине) v и направлению r vn (последний интеграл будет иметь другой вид). Для этого вводят век r торную величину – ускорение а.

r r v a= (м/c2), Среднее ускорение а мгновенное t r r v dv r r r & a = lim a = lim = =v.

t 0 t dt t Как и скорость, ускорение можно в любой момент времени пред rr r ставить в виде двух составляющих ar ( ar – тангенциальной) и an r ( an – нормальной): по теореме Пифагора (ок. 580–500 гг. до н.э.) r rr a = a2 + an, так как a an, v v dv • a = lim = lim = =v. (1.1) t 0 t t 0 t dt D С B A 1 n E R R O Рис. 1. Согласно рис. 1.2 v = v1 v или v = v + vn, скорость в любой мо мент времени v = v + vn. Треугольник AED подобен треугольнику AOB, v n vn v1 v = 1 (дуга АВ близка к хорде АВ).

= следовательно, или v t R AB R Умножив обе части равенства на, получим:

v1v v vn an = lim = lim =, (1.2) t 0 t t 0 R R где R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Если точки A и B бесконечно близки друг к другу, тогда AED90°, rr r r так что v vn и an v.

В общем случае t + t v = a dt. (1.3) t В зависимости от значений ar и an, можно выделить следующие типы движения:

1. ar =0, an =0 – равномерное движение;

2. a = const 0, an = 0 – равнопеременное прямолинейное дви жение;

при этом v = v0 ± a t (1.3), тогда t + dt a t s (t ) = v (t ) dt = v0 t ± 2. (1.4) t Следует помнить о различии в общем случае изменения пути и коор динат(ы): не всегда s (t ) = x(t ) x0.

v 3. ar =0, an = = const 0 – равномерное вращение по окружно R сти, так как R=const. В общем случае ar = f (t ) и an = f (t ).

При описании вращательного движения пользуются осевыми или аксиальными (axse – лат., axis – англ.) векторами (псевдовектора ми). Направление их связано с поступательным движением винта, закручиваемого слева направо вращением тела по окружности (правого винта). Эти скользящие вектора не имеют строго определенной rrr r точки приложения, в отличие от полярных векторов v, a, p, F, и могут быть отложены из любой точки на оси вращения (рис. 1.3):

r r r d (характеризующий угол поворота), и (угловые скорость и ускорение).

Можно провести сопоставление угловых (при вращательном,, ) и линейных (при поступательном движении – s, v, a ) величин.

r r r d r d r Так, = lim (рад/с), а = = (рад/с2) – при равноуско t 0 t dt dt r r ренном вращении вектора сонаправлен с вектором, а при равно замедленном – противонаправлен.

С учетом равенства s = r имеют:

s = r или векторно v = r.

v = lim = r lim t 0 t t 0 t d d dt dt O O d r O d Рис. 1. Согласно формулам (1.1) и (1.2), получают:

dv d (r ) d = r a = = =r dt dt dt v an = = 2 r.

и r При вращении тела относительно неподвижного начала (точки, оси) все его точки движутся с равными угловыми скоростями v1 v = = = const, но с различными линейными.

r1 r При равномерном вращении его характеризуют периодом T и час тотой n вращения. Период – время поворота на угол 2: T =, а час тота – число полных оборотов в единицу времени: n = =.

T Аналогично (см. формулы (1.3) и (1.4), сопоставляя s-, -v, -ar) можно получить для равнопеременного вращения по окружности зависи t = 0 ± t, = 0 t ± мости.

ЛЕКЦИЯ 2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 1. Законы Ньютона, их физическое содержание и взаимосвязь.

Силы в природе.

2. Закон сохранения импульса.

3. Центр масс.

4. Движение тела переменной массы. Уравнения К.Э. Циолковского и И.В. Мещерского 2.1. Законы Ньютона, их физическое содержание и взаимосвязь. Силы в природе Динамика является основой механики. Уравнения движения (кине матика) и условия равновесия тел (статика) могут быть получены из зако нов динамики И. Ньютона (1643 – 1727гг.), опубликованных им в 1687г. в труде «Математические начала натуральной философии».

Законы Ньютона – это обобщение большого количества эмпири ческих (опытных) данных. Они являются базой классической динами ки и обычно рассматриваются совместно.

Первый закон Ньютона: "Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, по ка и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние".

I закон Ньютона: если внешние силы отсутствуют или их действие на материальную точку скомпенсировано, то эта точка сохраняет состоя ние покоя равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не выведет ее из этого состояния.

Свойство тел сохранять скорость называется инерцией. I закон Ньютона называется законом инерции. Он утверждает, что для поддержа ния равномерного движения не требуется внешних воздействий.

Механическое движение относительно в том смысле, что харак теристики движения тела зависят от выбора СО. Системы, в которых выполняется закон инерции, называются инерциальными системами от счета (ИСО). I закон Ньютона утверждает их существование.

С высокой точностью инерциальной является гелиоцентриче ская (солнечная) СО. Оси могут быть проведены к удаленным звездам.

Очевидно, «земные» задачи механики – такие, как полет мяча, столкнове ние бильярдных шаров, весьма неудобно решать в гелиоцентрической ИСО. Немногим проще описание в СО, связанной с Землей – геоцентриче ской. Однако чаще мы вынуждены использовать СО, связанную с поверх ностью Земли. Систему отсчета, связанную с поверхностью Земли, назы вают земной или лабораторной. Неинерциальные эффекты, связанные с суточным вращением Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца, малы, так что ими обычно пренебрегают.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях разные тела по-разному изменяют характер своего движения, то есть приобретают раз личные ускорения. Таким образом, ускорение зависит не только от воздей ствия, но и от свойств тела (массы).

Масса (m) – одна из основных характеристик материи, характеризу ет инертные свойства тел (mин – инертная масса) и способность тел участ вовать в тяготении (mгр – гравитационная масса). Их эквивалентность доказана в общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна в четырех мерном пространстве (пространство-время). Различие появляется при пе реходе к обычному трехмерному пространству (см. лекция 5, п.3.):

mгр mин ~ 1012.

mгр Для характеристики взаимодействия тел вводят понятие силы.

Сила – это векторная величина, являющаяся мерой механического воздей ствия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело либо изменяет свою скорость (динамическое проявление силы), либо де формируется (статическое проявление силы). Единица измерения силы кг м с 2 = [Н ] (ньютон).

Поле – особая форма материи, связывающая частицы вещества или тела в единые системы и передающая с конечной скоростью воздействие тел друг на друга (так называемая «гипотеза близкодействия»).

Второй закон Ньютона: "Изменение количества движения пропор ционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует".

II закон Ньютона определяет характер изменения движения тела под F действием внешней силы. Он утверждает, что если Fi 0, то a =, m i где F = Fi – равнодействующая всех сил.

i r r В системе СИ: F = ma.

II закон Ньютона – основной закон динамики поступательного дви r r r d v d (mv ) d p r жения. Его можно представить в виде: F = m = =, так как dt dt dt в ньютоновской (классической) механике тc (с – скорость света в ва r r кууме), т.е. m = const. Величина p = mv называется импульсом (количе ством движения) тела.

Третий закон Ньютона: ”Действию всегда есть равное и противопо ложное противодействие, иначе взаимодействия двух тел друг на друга ме r r жду собой равны и направлены в противоположные стороны” : F12 = F21.

III закон Ньютона позволяет перейти от динамики одного тела к динамике системы тел. Многообразие взаимодействий в системе можно свести к попарным взаимодействиям.

Y N a X Fтр Fтя ги Fтя ж=mg Рис. 2. В ряде случаев III закон Ньютона не применим, т.к. предполагает «мгновенность» взаимодействия, т.е. не учитывает конечность скорости распространения воздействия одного тела на другое.

В механике рассматривают различные силы – трения, упругости, тяго тения (тяжести). Силы, о которых идет речь в III законе Ньютона, – это все гда силы одной природы.

Если на тело действуют несколько сил, то каждая из них сообщает телу ускорение. В этом заключается принцип независимости действия сил, поэтому во многих задачах (рис. 2.1) движение может быть разделено покоординатно (II закон Ньютона записывается в проекциях):

OY: N mg = 0, где g – ускорение свободного падения (g9,81 м/с2);

ОХ: Fтяги Fтр = ma, На практике вводится род особых сил – реакция связи (силы натяже ния, реакция опоры (N) и т.д.). В этом заключается принцип освобождае мости тел. Свободными называются тела, перемещению которых ничего не препятствует. В ряде случаев тело можно «освободить», заменив дейст вия ограничивающих его движение тел спецсимволами – реакциями связи.

Силы трения – силы, препятствующие движению соприкасающихся тел относительно друг друга, которые могут проявляться как в состоянии покоя (равновесия тела) (Fтр.покоя), так и в состоянии движения (Fтр.скольжения, Fтр. качения, Fтр. верчения). Сила трения изменяется от нуля до не которого максимального значения, которое обычно считают равным си ле трения скольжения. В результате действия сил трения механическая энергия преобразуется во внутреннюю энергию (теплоту).

Силы трения обусловлены шероховатостью и деформацией по верхности и силами межмолекулярного взаимодействия. Сила трения скольжения, согласно равна:

закону Кулона–Амонтона, Fтр = µ ( N + Sp0 ), где S – площадь соприкосновения;

p0 ~ r – дополни тельное давление, обусловленное силами межмолекулярного взаимодейст вия, резко убывает с увеличением расстояния (об этом см. подробнее в разделе «Молекулярная физика и термодинамика»);

µ – коэффициент тре ния скольжения;

N – сила реакции опоры, поэтому Fтр µN.

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (вязкое) трение. Вязкое трение делится на гидродинамическое (толстый слой смазки) и гранич ное (тонкий слой смазки, менее 1 мкм).

Коэффициент трения скольжения µ = tg (безразмерная вели чина), где – угол наклона, при котором одно тело съезжает по другому.

Сила трения качения возникает из-за деформации материала перед катящимся телом и из-за разрыва временно образующихся молекулярных связей в месте контакта. Сила трения качения по закону Кулона:

N (µк имеет размерность). µ к µ, но при больших скоро Fтр = µ к r стях качения, сравнимых со скоростью распространения деформации в сре де (скорость звука в веществе), сила трения качения резко возрастает.

2.2. Закон сохранения импульса Совокупность тел, рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между телами системы называются внутренними. А силы, действующие на тела системы со стороны внешних тел, называются внешними. Замкнутой называется система тел, на которую не действуют внешние силы.

Пусть равнодействующая внешних сил, действующих на i-е тело, / равна Fi, а внутренних сил – F. Тогда для каждого из тел системы может i быть записан II закон Ньютона:

d vi / = Fi + Fi mi dt. (2.1) Просуммировав по всем телам системы, получают:

dv dp = = F, (где p – импульс системы;

F – совокупная внешняя m dt dt F = 0 согласно III закону Ньютона.

/ сила), так как i i Для замкнутой системы F = 0, p = const. В этом содержание закона сохранения импульса – фундаментального закона природы. Он является следствием однородности пространства, которое заключается в том, что при параллельном переносе физической системы на любое рас стояние ее физические свойства и законы движения не меняются.

2.3. Центр масс В классической механике из-за независимости массы от скорости, импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс (центра инерции).

Центром масс системы называется воображаемая точка С, положе ние которой характеризует распределение массы в системе. Её радиус m x m r i i i i вектор определяется:, что эквивалентно, = = i i rC XC m m i i i i m y m z i i ii, ZC (для твердого тела – непрерывное распределение = = i i YC m m i i i i r dm массы – необходимо брать интеграл по объему RC = V ).

m С С С2 Рис. 2. Центр масс сложного тела не обязательно лежит внутри тела (системы тел), но он всегда находится внутри многогранника, полу чаемого при соединении крайних точек тела (системы).

Если тело состоит, например, из двух частей (рис. 2.2), то центр масс лежит на линии, соединяющей центры масс его частей, т.е. можно найти центр масс 1-й и 2-й частей, а затем определить положение центра масс сис темы на этой линии как для двух материальных точек, находящихся в точках С1 и С2 и обладающих всей массой этих частей m1 и m2 соответственно.

Пример расчета для системы материальных точек. Пусть даны три материальные точки массы m, жестко скрепленные между собой неве сомыми стержнями длины d (рис. 2.3). Определить координаты центра (масс) инерции системы.

m Y 30° d d С m m d/2 d/2 X O Рис. 2. Расположим оси, как показано на рис. 2.3, тогда 0m + d / 2m + d m d 0 m + 0 m + d cos 30 o m XC = =, YC = = d.

3m 2 3m Если однородное тело обладает центром, осью или плоскостью симметрии, то центр масс находится соответственно в центре симмет рии, на оси или в плоскости симметрии.

dri mi dr dt = p. Тогда, запи Скорость центра масс равна: vC = C = i dt mi m i сывая II закон Ньютона для системы тел аналогично формуле (2.1), полу чаем, что изменение импульса системы равно: d p = F dt. Таким образом, центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется прямо линейно и равномерно. Если центр масс покоится, то система либо пол ностью покоится, либо участвует во вращательном движении относи тельно оси, проходящей через ее центр масс.

2.4. Движение тела переменной массы.

Уравнения К.Э. Циолковского и И.В. Мещерского В некоторых случаях движение тел сопровождается изменением их массы. Рассмотрим движение системы ракеты и газа (рис. 2.4). Если в мо r мент времени t масса ракеты m, а скорость v, то спустя время dt (m–dm) – rr масса уменьшается, а скорость увеличивается ( v + dv ).

v u Рис. 2. r Изменение импульса ракеты (пренебрегаем малым dmd v ):

r r rr dp = dp ракеты + dm(v + u ) = r r rr r = [(m dm)(v + dv ) + dm(v + u )] mv = rr r = mdv + dmu = Fdt, (2.2) где F – внешняя сила.

Тогда окончание уравнения (2.2) можно переписать в виде:

r dv r r dm r r rr m = F u = F u Qm = F Fp, (2.3) dt dt где Qm– расход топлива, r Fp – реактивная сила.

Уравнение (2.3), полученное в 1897г., называется уравнением И.В. Мещерского (1859–1935).

Если на ракету внешние силы не действуют, то из уравнения (2.3) следует r dvmax r dm dm dm =u dvmqx = u, vmax = u = u ln m + const.

m dt dt m m Константа интегрирования С1 определяется из начальных условий (при t=0 н.у.): v(t ) = v(0) = 0, m = m0, следовательно, С1=ulnm0, тогда m0 m vmax = u ln = u ln. (2.4) m0 m m сгоревшего _ топлива Релятивистская форма в пределе, переходящая в уравнение (2.4), имеет вид:

c m0 1 + 2u = m 1, (2.5) =/с, здесь с – скорость света в вакууме.

где Уравнения (2.4) и (2.5) называются уравнениями К.Э. Циолков ского (1857–1935).

Формулы (2.4) и (2.5) получены при условии отсутствия действия на ракету внешних сил (тяготения), но даже при этом условии анализ уравне ний (2.3) и (2.4) показывает, что для ракет на химическом топливе (при скорости струи газа u~10 км/с) для достижения космических скоростей (см. лекции далее) отношение масс m0/m должно быть очень велико. На пример, для достижения скорости 0,5с требуется m02103332 кг при по лезной массе m=20 тонн (т). Для сравнения: масса Метагалактики (дос тупной обнаружению современными методами радиоастрономии части Вселенной) по приблизительным оценкам М1053 кг.

ЛЕКЦИЯ 3. РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ 1. Работа силы, мощность.

2. Механическая (кинетическая и потенциальная) энергия.

Закон сохранения механической энергии. Графическое представление энергии. Коэффициент полезного действия (КПД).

3. Теория удара.

3.1. Работа силы, мощность В качестве единой количественной меры различных форм движения материи и соответствующих им взаимодействий в физике вводится ска лярная величина – энергия.

В механике рассматривают механическую энергию (энергию ме ханического движения и механических взаимодействий). Для количе ственного описания обмена энергии между телами используют понятие r работа силы. Элементарной работой A силы F на малом перемещении r dr точки О приложения силы называется скалярное произведение:

(*) A = F d r = F v dt = Fds cos, (3.1) r где – радиус-вектор точки О;

r v – ее скорость;

r dt – малый промежуток времени, в течение которого сила F совер шает работу A;

r – угол между направлением действия силы F и направлением пе r r ремещения dr (или v ).

Если угол –острый, то A0 и сила ускоряющая, если угол – тупой, то A0 и сила тормозящая (трения, например). Переход (*) в r уравнение (3.1) справедлив в силу равенства t = dt 0 dr = ds. Из уравнения (3.1) следует, что сила не совершает работу, если точка при r ложения силы неподвижна ( dr = 0 ) и если сила направлена перпенди rr кулярно (по нормали) к траектории ( F v ).

Таким образом, работа силы на участке траекторий от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных, бесконечно малых участках:

2 A = F dr = F ( s ) cos ds. (3.2) 1 1 Fs Геометрически работа – это площадь под кривой (рис. 3.1).

A FS S dS Рис. 3. r Если F = const, то A = Fs ds = Fs cos. Сила называется по тенциальной (консервативной), если ее работа зависит только от на чального и конечного положений тела и не зависит от формы ее тра ектории. Для таких сил интеграл по замкнутому контуру L равен A = F dr = 0. Для диссипативных сил работа зависит от формы тра L ектории при перемещении тела (сила трения).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят поня r rr dA F совершает работу( A = Fdr ) и тие мощности N =. За время dt сила dt мощность силы в данный момент (мгновенная мощность) равна Fd r N= = F v. Единицы измерения: [A]=Дж;

[N]=Ватт – Вт.

dt 3.2. Механическая (кинетическая и потенциальная) энергия. Закон сохранения механической энергии.

Графическое представление энергии. Коэффициент полезного действия (КПД) Кинетическая энергия (КЭ) системы – это энергия механического r движения этой системы. Сила F, действующая на покоящееся тело и вы зывающая его движение, совершает работу;

энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA си r лы на пути, который тело проходит от нулевой скорости до скорости v, идет на увеличение КЭ r тела Т:

r r mdv mv v dA = dT = Fdr = dr = m v dv = mvdv T = mvdv =. (3.3) dt Кинетическая энергия Тr является функцией состояния движе ния тела. Поскольку скорость v зависит от выбора СО, КЭ тела в раз личных инерциальных системах отсчета (ИСО) имеет разные значения, определяемые согласно теореме Кёнига: КЭ системы материальных то чек равна сумме КЭ всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и КЭ той же системы в ее относи тельном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.

Потенциальная энергия (ПЭ) – это механическая энергия систе мы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Телу присуща потенциальная энергия U, если оно находится в поле потенциальных (консервативных) сил. Работа консервативных сил на элементарном перемещении равна приращению энергии U, взятому со знаком «–», так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии (зная U=f(r), можно определить r модуль и направление силы F):

r dA = dU = Fdr, (3.4) тогда U = F d r + const, т.е. энергия U определяется с точностью до не которой произвольной постоянной, но это не влияет на физические законы, так как в них, обычно, входят или разность энергий, или их про изводные по координатам. Нулевой уровень ПЭ выбирается произвольно из соображений удобства, поэтому может быть как больше, так и меньше нуля. Согласно уравнению (3.4) для консервативных сил можно записать:

U U U Fx = ;

Fy = ;

Fz = ;

F = gradU = U, (3.5) x y z U U U gradU = i+ j+ k – градиент скаляра U, обозначается где x y z U r r r (набла) и называется оператором Гамильтона или набла-оператором;

i, j, k – единичные векторы координатных осей (орты).

Конкретный вид функции U=f(r) зависит от характера силового поля. Так, тело, находящееся на высоте hRЗемли от поверхности земли в поле сил тяготения, обладает потенциальной энергией:

RЗемли + h R Земли + h mM Земли консерв U = Aтяготен = Fdr = dr = G r R Земли R Земли (3.6) 1 GM Земли = GmM Земли =U m h = mgh, (h + RЗемли ) RЗемли RЗемли консерв где Атягот - работа консервативных сил тяготения.

Энергия же сил тяготения отрицательна:

Mm U (r ) = G + const. (3.6') r Подобно выражению (3.6) находится работа переменной силы тяже сти при удалении ракеты на расстояние h от центра Земли, сравнимое по ве личине с RЗемли, с учетом того, что сила и перемещение противонаправлены.

Аналогично, при упругих деформациях, деформирующая сила по III закону Ньютона равна по величине упругой силе kx. Элементарная ра kx 2 x бота: dA=kxdx, а полная работа A = kxdx = ПЭ упруго– деформированного тела kx U=. (3.7) Потенциальная энергия системы является функцией ее состоя ния. Она зависит только от взаимного расположения тел (конфигура ции) системы и от ее положения по отношению к внешним телам.

Полная энергия тела складывается из его кинетической и потенци альной энергий: E=T+U.

Рассмотрим систему материальных точек массами m1,…,mn, движу r r щихся со скоростями v1,..., vn. Обозначим равнодействующие внутренних r r / / консервативных сил F1,..., Fn, а внешних консервативных сил – F1,..., Fn ;

внешние неконсервативные силы обозначим f1,..., f n.

При vc массы тел не меняются и уравнения II закона Ньютона имеют следующий вид:

m1 dv1 = F1 + F1/ + f1, dt................................ (3.8) dvn / mn dt = Fn + Fn + f n.

Двигаясь под действием сил, материальные точки за время dt пере мещаются на расстояние dr1,..., drn. Умножим уравнения (3.8) на соответ ствующие перемещения (для i-го случая):

dvi / dri ( Fi + Fi ) dri = f i dri.

mi (3.9) dt Сложим уравнения (3.9) с учетом dri / dt = vi и (3.3), (3.4):

mi vi dvi ( Fi + F ) dri = f i dri / i i i i неконс dT + dU = dA или. (3.10) Переход системы из состояния 1 в состояние 2. (3.10) – закон изме нения механической энергии.

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то E=T+U=const. (3.11) Формула (3.11) – закон сохранения механической энергии: в системе тел, на которые действуют только консервативные силы, полная меха ническая энергия сохраняется, то есть не изменяется со временем (нет ее диссипации, т.е. рассеяния).

При этом может возникнуть вопрос: "А как же быть с внешними консервативными силами?" Ответ: "Если внешние консервативные силы нескомпенсированы, то в систему включают тела, воздействующие этими силами, т.е. такие силы можно сделать «внутренними»".

Закон сохранения энергии является следствием фундаментального свойства времени – однородности. Однородность времени заключается в том, что физические законы инвариантны относительно выбора нача ла отсчета времени.

Во многих случаях потенциальная энергия является функцией толь ко одной координаты U=U(x). График зависимости U от какого-то одного аргумента называется потенциальной кривой.

U E T U h Рис. 3. Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тела. Особый случай представляют консервативные и замк нутые системы, в которых E=U+T=const.

Например, на рис. 3.2 приведено графическое представление потенциальной энергии тела в поле сил тяготения, с учетом уравнения (3.6) тангенс угла наклона зависит от массы тела: tg=mg.

Для ПЭ (рис. 3.3) сжатой пружины функция U(x) имеет вид парабо лы В точках ± xm – ПЭ достигает максимума (КЭ Т=0). Система не может выйти за пределы ± xm;

говорят, что она находится в потенциальной яме.

В общем случае функция U(x) может иметь сложный график (см., на пример, рис. 3.4).

U E xx -xm 0 +m Рис. 3. Частица, обладая энергией E, как показано на рисунке, может нахо диться только в областях II и IV. Перейти из области II в область IV части ца не может: область III является потенциальным барьером, для преодо ления которого частице надо сообщить дополнительную энергию (U1-E). В точке минимума производная dU/dx=0, т. е. в этой точке находится по ложение равновесия.

Коэффициентом полезного действия (КПД) называется отношение полезной (для какой-то практической цели) совершенной работы (энер гии) ко всей работе, совершенной системой (к поступившей в систему энергии):

Aполезн Еполезн = = Асоверш Есоверш. (3.12) U U E x I II III VI Рис. 3. 3.3. Теория удара Удар абсолютно упругих и неупругих тел является ярким приме ром выполнения законов сохранения импульса и энергии. Под ударом (столкновением) в физике понимают взаимодействие тел при их сближе нии, которое длится очень короткое время, и условии, что на достаточно большом расстоянии тела можно рассматривать как свободные.

В механике рассматривают удары, предполагающие контакт между телами (удары бильярдных шаров, метеорита о землю, попадание пули в тележку с песком). Ударные Fудар dp/dt=p/t (или мгновенные (tмкс)) силы взаимодействия между соударяющимися телами столь велики, что внешними силами можно пренебречь и считать для таких систем законы сохранения импульса и энергии выполненными. Тела во время удара ис пытывают деформации (упругие или неупругие). КЭ тел во время удара преобразуется в ПЭ упругого соударения, а затем частично или полностью вновь переходит в КЭ. Плоскость контакта называется плоскостью удара, а прямую, ей перпендикулярную и пересекающую ее в точке соприкосно вения, называют линией удара. Если линия удара параллельна скоро стям сталкивающихся тел, удар называется прямым;

если эта линия проходит через центры сталкивающихся тел, удар называют централь ным. Скорость тел не достигает своего прежнего значения после удара.

Отношение нормальных составляющих скорости после и до удара / называют коэффициентом восстановления (скорости): = vn vn. Если =0 – абсолютно неупругий удар (АНУ), =1 – абсолютно упругий удар (АУУ). Для шаров из слоновой кости коэффициент =0,89, из стали – =0,56, а для свинцовых – =0,01 т.е. для реальных тел 01.

Рассмотрим применение законов сохранения для прямого централь ного удара двух шаров.

1 x Рис. 3. r r Абсолютно упругий удар (АУУ). Пусть v1 и v2 – скорости тел до, а r v'1 и v'2 – после удара (рис. 3.5). В случае, если скорость v2 направлена r r навстречу v1, в формулах ниже учитывают, что проекция скорости v2 бу дет равна v2 и все рассуждения остаются верными.

Для АУУ выполняются законы сохранения импульса (так как импульс – векторная величина, то записан в проекции на ось Ох) и энергии:

m1v1 + m2v2 = m1v1 + m2v2. (3.13) m1v12 m2v2 m1 (v'1 ) m2 (v'2 ) 2 + = +, (3.14) 2 2 2 откуда m1 (v1 v1 ) = m2 (v2 v2 ) v1 + v1 = v2 + v (3.15) m1 (v12 (v'1 ) ) = m2 ((v'2 ) v2 ) 2 2 Выражая одну из скоростей ((3.13), (3.15)) m1v1 + m2v2 m1v1 m1 m v1 + v2 1, v'2 = v1 + v'1 v2 и приравни v2 = = m2 m2 m m m вая их v1 + v1 v2 = 1 v1 + v2 1, группируем m2 m m m v1 1 + 1 = 2v2 + v1 1 1, m m2 откуда получаем m 2v2 + v1 1 m 2 = 2m2v2 + v1 (m1 m2 ), v1 = m m2 + m 1+ m 2m v + v (m m1 ) v = 1 1 2 2. (3.16) m1 + m При анализе упругих столкновений удобно один из шаров представ лять покоящимся (относительно шара m2 скорость v1/ = v1 v2 ).

Рассмотрим частный случай: АУУ – прямой центральный (лобо v1 (m1 m2 ) v1 = вой) удар при 2=0. Тогда из формулы (3.16) и m2 + m 2m1v v2 = получают:

m1 + m а) m1=m2, тогда v1 = 0, v2 = v1 (как бы «передача скорости»);

б) m1m2, тогда v1 0, v2 0 (оба мяча движутся в направлении ско рости первого мяча до удара);

в) m1m2, тогда v1 0, v2 0 (первый мяч отскочит от второго);

г) m1m2, тогда v1 v1, v2 0 (мячик отскочит от стены, см. рис.

3.6, pстены m1v1 = m1 pстены = 2 p мяча ) x 1/ Рис. 3. Рассмотрим частный случай: АУУ – непрямой нецентральный удар при 2=0 и m1m2 (мяч ударяется о стенку, см. рис. 3.7). Для опре деления импульса, переданного стене, воспользуемся результатами пункта г) решения предыдущего примера с учетом проекций импульса на ось Ох.

В данном случае:

рстены(Ox ) = 2 р мяча (Ox ) = 2m1v1 cos.

Равенство углов падения и отражения в рассматриваемом случае следует из закона сохранения механической энергии при АУУ.

x 1/ Рис. 3. В случае нецентрального удара частицы разлетаются под углом, причем угол, на который изменяется направление скорости налетающей частицы, называется углом рассеяния.

При m1=m2 угол рассеяния – прямой, при m1m2 угол рассеяния лю бой (даже рассеяние назад), при m1m2 тяжелая частица не может откло m ниться на угол, превышающий = arcsin.

m Рассмотрим частный случай: АУУ – прямой нецентральный удар при 2=0 и m1=m2=m (шары в бильярде, см. рис. 3.7).

Из формул (3.13) и (3.14) имеем: v1 = v1 cos + v2 cos и () () 2 + v 2 (*), из треугольника скоростей (рис. 3.8) по теореме коси v12 = v1 нусов:

() () [ ] 2 2 v12 = v1 + v2 + 2v1v2 cos 180o ( + ), 144 44 2 (*) откуда с учетом (*) 2v1v2 cos[180°-(+)]=0, cos[180°-(+)]=0 и +=90°, т.е. при прямом нецентральном ударе бильярдные шары разле тятся под прямым углом.

2/ 1 x 1/ Рис. 3. Абсолютно неупругий удар (АНУ). В этом случае тела объединяют ся и двигаются как одно целое. Потеря механической энергии при неуп ругом ударе происходит потому, что в этом случае помимо сил, пропор циональных деформациям, действуют силы, пропорциональные скорости – подобные силам сопротивления. При АНУ выполняется закон сохране ния импульса и рассеивается часть КЭ T:

m1v1 + m2 v2 = ( m1 + m2 )U, m1v12 m2 v2 (m1 + m2 )U + = + T. (3.17) 2 2 m1v1 + m2 v Тогда U = и m1 + m (m1 + m2 )U 2 m1v12 m2 v 2 (U ) m1m (v1 v2 ) 2.

T = + = 2(m1 + m2 ) 2 2 Рассмотрим частный случай АНУ: молот(ок) m1 забивает сваю (гвоздь) m2, т.е. 2=0, тогда m1v1 m1m2 m U= и T = v1 = T1, m1 + m2 2(m1 + m2 ) (m1 + m2 ) а для удара T m = =.

T1 (m1 + m2 ) Чем больше величина m1 по сравнению с m2, тем больше КЭ T и, следовательно, КПД –.

ЛЕКЦИЯ 4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 1. Момент инерции материальной точки и твердого тела (ТТ).

Теорема Гюйгенса-Штейнера.

2. Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала. Основной закон динамики вращательного движения.

Закон изменения момента импульса. Кинетическая энергия вращения.

3. Гироскоп.

4. Законы сохранения и симметрия пространства-времени.

4.1. Момент инерции материальной точки и твердого тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера Движение твердого тела (ТТ), при котором все точки прямой OO/, жестко связанной с телом, остаются неподвижными, называется вращени ем тела вокруг неподвижной оси вращения OO/.

При рассмотрении вращательного движения пользуются понятием момента инерции материальной точки и ТТ, являющимся наряду с массой мерой инертности тела, но при непоступательном (вращательном) движении. С точки зрения инерции важна не только масса, но и расстоя ние ее от оси вращения.

Моментом инерции материальной точки I относительно заданной оси называется физическая скалярная величина, равная произведению мас сы m на квадрат ее расстояния r до оси:

I = mr 2 ;

(4.1) для системы материальных точек:

I = mi ri2. (4.2) i Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно опреде лить расчетом или экспериментально. В случае непрерывного распреде ления вещества (массы) в теле (ТТ) расчет сводится к вычислению инте грала по всему его объему V (массе) (мысленно разбиваем обычно одно родное тело на материальные точки dm):

I = r 2 dm. (4.3) V Аналитическое вычисление интегралов возможно лишь в простей ших случаях – для тел правильной геометрической формы (цилиндр (стер жень, кольцо, диск), параллелепипед, шар и т.д.), для тел неправильной формы интегралы находятся численно.

Вычисление моментов инерции во многих случаях можно упро стить, используя соображения подобия и симметрии, а также теорему Гюйгенса-Штейнера (Х.Гюйгенс (1629–1699), Я. Штейнер (1796–1863)) и ряд некоторых соотношений.

dm r r / O A a Рис. 4. Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух неподвижных параллельных осей. Пусть оси перпендикулярны плоскости рисунка и проходят соответственно через точки О и А (все точки находятся в плоскости рис. 4.1). Используя теорему косинусов для данного треуголь ника, получают:

(r/ )2 =r2 +a2 2(a r), тогда интеграл (4.3) примет вид 4 3 (r / ) 2 dm = r 2 dm + a 2 dm 2 a r dm.

1 24 1 IA IO Последнее слагаемое можно представить в виде r dm = m R C, где r RC – составляющая радиуса-вектора центра масс С тела относительно оси О, параллельная плоскости рисунка. Здесь следует вспомнить, что mi ri rC = i для дискретного распределения массы, т.е. в системе матери mi i альных точек (см. лекцию 2, п. 2.3), а в случае непрерывного распределе r dm. Таким образом, I = I + ma 2 2m( C ). Ес aR = ния массы RC A O m ли же ось О проходит через центр масс тела, то третье слагаемое в правой части равно нулю и получают уравнение, которое выражает теорему Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходя щей через его центр масс С, сложенному с величиной ma2, где а – рас стояние между осями, m – масса тела.:

I A = I O + ma 2, (4.4) Далее вычисляют моменты инерции некоторых тел правильной фор мы.

1. Тонкий однородный стержень (длина l, масса m, линейная плотность =m/l=const):

а) ось вращения ОО/ проходит перпендикулярно стержню через его центр масс С (рис. 4.2).

A/ O/ l/ l/ C dm A O Рис. 4. В силу симметрии получают:

l l/2 l/ ml I = 2 r dm = 2 r dr = 2 = ;

(4.5) 12 0 б) ось вращения АА/ проходит перпендикулярно стержню через его конец. По теореме Гюйгенса-Штейнера (4.4) получают:

ml 2 ml l I= + m = 12 2 3. (4.6) 2. Однородные прямоугольная пластина и параллелепипед (ли нейные размеры a, b, c, масса m). Согласно теореме Пифагора и формулы (4.1) для точки m (рис. 4.3) имеют:

I = m( y 2 + z 2 ), I y = m ( x 2 + z 2 ), I = m ( x 2 + y 2 ), x z тогда их сумма равна:

I + I + I = 2m( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2mR 2.

x y z Z m(x,y,z) R O Y X Рис. 4. Можно увидеть, что если рассматривать любые три взаимно перпенди кулярные оси, пересекающиеся в точке О, то моменты инерции Ix, Iy, Iz будут меняться, а их сумма останется постоянной. Обозначив в случае дискретного распределения масс (система материальных точек) = mi Ri или для не i = R 2 dm, можно запи прерывного распределения масс (в твердом теле) сать, что I x + I y + I z = 2. (4.7) На основании вышеизложенного имеем:


а) если дана тонкая прямоугольная пластина, то можно считать, что вещество распределено тонким слоем по плоскости XOY, т.е. z-координаты всех точек 0. Тогда формула (4.7) примет вид I + I + I = 2 m( x 2 + y 2 ) = 2 I, (4.8) x y z z следовательно I +I =I.

x y z Y b C X a Рис. 4. Так как дана тонкая однородная прямоугольная пластина, то пред ставляют, что все вещество смещено (направление смещения обозначено стрелками на рис. 4.4) параллельно оси ОХ и сконцентрировано на оси ОY.

При этом расстояния всех материальных точек до оси ОХ не изменятся. В результате получают тонкий однородный стержень массы m и длины b (случай 1, а), а с учетом формул (4.5) и (4.8):

mb 2 ma 2 m I= (аналогично I y = ) I z = (a + b ). (4.9) x 12 12 На рис. 4.4 ось OZ проходит через точку С и плоскости XOY – плоскости рисунка;

б) формула (4.9) справедлива и для однородного прямоугольного па раллелепипеда. В этом можно убедиться, если мысленно сжать параллеле пипед вдоль одной из его геометрических осей в тонкую пластинку. При этом масса его и расстояния всех точек до этой оси не изменятся.

3. Однородное тонкое круглое кольцо (масса m, радиус R,). В силу симметрии очевидно (рис. 4.5), что I = mR 2, (4.10) z а с учетом формулы (4.8) в силу симметрии mR I =I =. (4.11) x y Z Z dr R R C h Y X Рис. 4.5 Рис. 4. 4. Однородный диск или сплошной цилиндр (масса m, радиус R, объемом V). Начало координат (пересечение) трех взаимно перпендику лярных осей располагают в центре масс цилиндра (можно аналогично случаю 2, а) сместить все вещество вдоль оси ОZ, т.е. получить тонкий диск малой толщины h/, плотности =m/V, V=R2 h – объем после смещения, см. рис. 4.6), для которого ( hR 2 ) R 2 mR R R I = r dm = r ( h 2 rdr ) = 2 =. (4.12) z 2 0 Согласно уравнению (4.8) имеют:

mR I =I =. (4.13) x y Z R Y C X Рис. 4. 5. Полый шар с бесконечно тонкими однородными стенками (сфера массы m, радиуса R). Расположим начало координат (пересече ние) трех взаимно перпендикулярных осей в центре сферы, в ее центре масс С (рис. 4.7), тогда в силу симметрии и формулы (4.7):

I = I = I = I = mR 2. (4.14) x y z 6. Сплошной однородный шар (масса m, радиус R, объем V). Рас положим начало координат (пересечение) трех взаимно перпендикулярных осей в центре шара и рассмотрим шар как совокупность тонких сфер. Мо мент инерции такого тонкого сферического слоя по формуле (4.14) будет иметь вид:

dV сф 2 2 4 r 2 dr 2mr 22 dI = r dm = r m = rm = dr, сф 3 4 R 3 V 3 R тогда момент инерции шара:

R 2mr 4 I = 3 dr = mR 2. (4.15) 0R В некоторых задачах используется понятие момента инерции отно сительно точки. Поскольку ориентация различных элементов тела (ТТ) от носительно его произвольной точки должна задаваться тремя координатами, то его инертность должна характеризоваться набором 9 чисел – тензором инерции (в математике используются скаляры – одно число, векторы – трой ки чисел и тензоры – запись их представляет собой матрицу III порядка).

4.2. Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала.

Основной закон динамики вращательного движения.

Закон изменения момента импульса. Кинетическая энергия вращения (см. также лекцию 1, п.1) Вращение является составляющей большинства рассматривае мых в механике движений. Каждый день мы являемся свидетелями вели кого космического вращения. Данные последних теоретических исследо ваний говорят, что всё вокруг и мы сами по свойствам напоминаем вра щающиеся с большой частотой поля.

Динамические характеристики – момент силы и момент импуль са, используемые при описании вращательного движения, играют в тео рии вращательного движения такую же большую роль, какую сила и импульс играют в динамике поступательного движения.

Рис. 4. Известно, что передвинуть массивный предмет (например, ящик) вручную тяжело, гораздо легче передвинуть его с помощью длинной пал ки, трубы (лома), т.е. перекантовать с помощью рычага, причем, чем длин ней этот рычаг, тем легче это сделать (прикладывается меньшая сила при большей длине рычага (см. рис. 4.8)). Вспомним знаменитое изречение Архимеда (ок. 286–212 гг. до н.э.): «Дайте мне точку опоры (и рычаг) и я переверну Землю».

Другой пример – взвешивание предметов на весах (см. рис. 4.9): при равных плечах (силы) весов li перевесит тот груз, масса которого mi боль ше, а если массы грузов равны, то перевесит груз, для которого плечо силы li больше.

l1 l m2g m1g Рис. 4. Следует различать момент силы и момент импульса относительно точки и относительно оси, в первом случае – это вектора, а во втором – проекции векторов (скаляры).

Рис. 4. Пусть дана точка О (полюс), относительно которой находится мо r мент силы. Моментом силы F относительно точки О называется век r торное произведение (вектор) радиуса-вектора r, проведенного из точки r О в точку А приложения силы на вектор F :

[] r rr M = rF (4.16) Модуль момента силы:

M = rF sin = Fl, (4.17) где l=rsin – кратчайшее расстояние до линии АВ действия силы (рис.4.10), называемое плечом силы l.

r r При этом вектор M не изменится, если точку приложения силы F пе ренести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы, например в точку А/. При этом параллелограмм ОАВС перейдет в параллело грамм ОА/В/С. Оба параллелограмма имеют одинаковые основание и высоту, а следовательно, и площадь.

rrr r В отличие от полярных векторов, а, р, F (именно их изучают в школе), вектора, характеризующие вращательное движение d,,, M, L, не имеют конкретной точки приложения (см. также лекция r 1, п.1), их называют скользящими. Так, вектор M можно откладывать от любой точки параллельно одному из направлений, полученному в резуль тате векторного произведения (по свойствам векторного произведения r M перпендикулярно плоскости, в которой лежат два перемножаемых век r тора – M r, M F ), направление вектора M совпадает с направлением r поступательного движения правого винта при его вращении от вектора r к r F (в математике термин – «левая тройка»).

r Главным моментом M нескольких внешних сил, действующих на систему, относительно точки О называется сумма моментов их относи тельно этой точки (принцип независимости действия сил):

M = M i = r Fi = r F результир, (4.18) i i r где силы Fi считают приложенными к одной точке О, что можно получить r путем параллельного переноса векторов Fi (часто в механике для удобства при решении задач силы рассматривают как приложенные к центру масс r тела, хотя это не для всех сил так, пример – сила трения Fтр приложена к поверхности тела).

При вращении ТТ (системы материальных точек) необходимо учитывать только внешние силы, так как внутренние силы взаимодей ствия двух любых элементов ТТ (системы) всегда равны по модулю (вели чине) и противонаправлены вдоль одной прямой (их векторная (геометри ческая) сумма равна нулю).

Моментом силы относительно некоторой оси OZ (рис. 4.10) назы r вается скаляр – проекция вектора M на эту ось (Mz).

Ось, положение которой в пространстве остается неизменным при вращении вокруг нее тела в отсутствии внешних сил, называется свобод ной осью тела. Можно показать, что для тела любой формы и с произ вольным распределением массы существуют три взаимно перпендику лярные, проходящие через центр инерции (масс) тела, оси, которые мо гут служить свободными осями – они называются главными осями инерции тела (пример: вращение детского волчка или юлы произвольной формы). Моменты инерции относительно главных осей называются глав ными моментами инерции.

Аналогично вышесказанному можно определить момент импульса от r носительно точки (вектор L ) и относительно оси (проекция вектора Lz):

L = r p = m r v, (4.19) r r r p = m – импульс (материальной) точки А, р. Важно отметить, что где моментом импульса относительно точки может обладать и тело, движу щееся поступательно (достаточно наличие импульса и плеча). Тело, обла дающее импульсом, может не обладать моментом импульса относительно одних точек (в отсутствие плеча) и обладать относительно других.

Единицы измерения [М]=Нм (не путать с [А]=Дж=Нм), а кг м [L] =.

с r r В общем случае F bb v (неколлинеарна) и p = m, т.е. и M bb L, // // r но если полюс (точка) О неподвижен, то импульс р точки А сонаправлен с r r' ее скоростью = (r )t, тогда:

dp M = r F = r, dt / / d dr dp dp т.к. L = r p = r p = +r =r p, t t dt dt dt dt { v p =m v v = то есть получают основное уравнение динамики вращательного движения:

dL =M. (4.20) dt Этот закон остается справедливым и для системы материальных то чек, в этом случае L = Li и M = M i. (4.21) i i Особенность вращения ТТ, по сравнению с системой несвязанных друг с другом материальных точек, заключается в том, что при вращении ТТ вокруг неподвижной оси все его элементы движутся по окружностям, r причем угловая скорость вращения для них одинакова (а линейная раз r r личная). Поэтому естественным будет выразить вектор L через скорость.

O / m r ri mi C C m r O Рис. 4.11.

Разобьем ТТ (рис. 4.11), вращающееся относительно оси ОО/, на эле менты (материальные точки). Момент импульса каждого элемента Li = ri mi vi.

С учетом равенства v = r (см. лекция 1, п.1) Li = ri mi ri = mi ri ri.

В математике известно, что двойное векторное произведение имеет вид a b c = b a c c a b, ri ri = ri ri ri ri = ri2.

т.е.

1234 =0, ri Таким образом, ( ) Li = mi ri = I i, (4.22) Ii – момент инерции i–го элемента.

где Суммируя (интегрируя) по всем элементам, получают:

L = I. (4.23) С учетом формул (4.20) и (4.23) получаем еще одну форму записи основного уравнения динамики вращательного движения:

d (*) dL = I, =M =I (4.24) dt dt – угловое ускорение.

где Переход (*) в формуле (4.24) справедлив, если конфигурация систе мы (форма и размеры ТТ, положение оси) остается постоянной, тогда мо мент инерции I(t)=const.

Пример. Вал массой m и радиусом R вращался с частотой n. К ци линдрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F, под действием которой вал остановился, спустя время t. Определить коэф фициент трения f.


Решение. Вал (сплошной цилиндр, см. рис. 4.12), участвуя во враща тельном движении, останавливается под действием момента силы трения.

Ox: F–N=0 N=F, тогда Mтр=FтрR=NR=FR=I, согласно формуле (4.24).

mR 2 0 mR 2 0 2 n / (FR ) = / (FR ).

Ответ: f = 2 t t Fтр N F R O x Рис. 4. При вращении ТТ (системы материальных точек) необходимо учитывать только внешние силы, так как внутренние силы взаимодей ствия двух любых элементов ТТ (системы) всегда равны по модулю (вели чине) и противонаправлены вдоль одной прямой (их векторная (геометри ческая) сумма равна нулю). Согласно уравнению (4.21) для замкнутой сис темы имеем:

• dL = M iвнешн = 0, L= (4.25) dt i L = const.

т.е.

Значит, для замкнутых систем выполняется закон сохранения мо мента импульса.

Пример. В крайнюю от неподвижной оси вращения ОО/ точку А покоящейся системы жестко соединенных между собой тонких однородных одинаковых стержней, массой М и длиной l каждый (см. рис. 4.13), ударяется летящий со скоростью v мячик массой m и прилипает в точке А. Определить угловую скорость системы в начальный момент после удара. Трением при вращении системы пренебречь. Вектор скорости мя ча считать направленным по нормали к плоскости конструкции из стержней.

Рис. 4. Решение. Так как рассматривается неупругий удар, то ударные или мгновенные силы в момент столкновения настолько велики, что действием внешних сил можно пренебречь и считать систему замкнутой. В такой системе выполняется закон сохране rr ния момента импульса (4.25): L1 = L2. Хотя мяч сначала и движется поступательно, до прилипания в точке А, он обладает моментом импульса относительно оси ОО/ L1=ml.

После столкновения для системы стержни – мяч:

L1 = L2 = I = ( I1 + I 2 + I 3 + I мяча ).

mvl Ml Ответ: = + Ml 2 + ml 2.

, где I = 0 + I Если работа силы идет только на вращение тела, т.е. на увеличение кинетической энергии (КЭ) вращения, то d dA = dT = Fds = Frd = Md = Id = I d = Id.

dt При увеличении скорости вращения от 0 до КЭ вращения равна I Tвр = A = Id =. (4.26) Пример. Сплошной цилиндр массой m и радиусом R скатывается без проскаль зывания с наклонной плоскости высотой h. Определить скорость цилиндра у основания наклонной плоскости. Трением пренебречь.

Решение. Трением пренебрегают, т.е. в системе не будет неконсервативных сил.

Для нее выполняется закон сохранения механической энергии. Так как цилиндр дви жется без проскальзывания, то угловая скорость его вращения вокруг своей оси сим метрии и линейная скорость точек на ободе, равная по модулю скорости поступатель ного движения его центра масс, связаны соотношением =/R и, следовательно, mR 2 v I 2 2 mv mv R = 3 mv 2.

mgh = + = + 2 2 2 2 2 3 gh Ответ: v =.

4.3. Гироскоп Гироскоп (Г) – с греческого языка можно перевести словами: круг, кружусь, вращаюсь и смотрю, наблюдаю. В широком смысле под гироско пом понимают обладающее большим моментом инерции быстро вращаю щееся ТТ, ось вращения которого может изменять свое положение в про странстве. Простейший пример гироскопа – детский волчок или юла, у которых нижний конец оси не закреплен, поэтому она может изменять свое положение в пространстве. Если гироскоп обладает симметрией и ось вращения проходит через центр инерции (масс) С тела, то он называется астатическим (уравновешенным), в противном случае – тяжелым.

В технике, в основном, применяют уравновешенные Г, у которых свободный поворот оси Г обеспечивают, закрепляя его, например, в рам ках (кольцах) карданова подвеса (рис. 4.14, 4.15), позволяющего оси за нять любое положение в пространстве.

Гироскоп характеризуется двумя свойствами:

1) ось Г стремится сохранить в пространстве приданное ей направ ление;

2) если на ось начинает действовать сила (пара сил), то Г будет от клоняться в направлении, перпендикулярном плоскости действия силы (сил).

Это происходит потому, что момент сил всегда направлен перпенди кулярно плоскости, в которой лежат сила и ее плечо. В результате Г начи нает вращаться с постоянной угловой скоростью в направлении действия моментов сил.

Рис. 4. Это движение называют прецессией, а проявление второго свой ства Г в целом – гироскопическим эффектом. На указанных особенно стях Г основано его применение в технике для навигации, проведения маркшейдерских, топографических, геодезических и др. работ.

r При приложении силы F (рис. 4.15), вследствие возникновения ее момента, Г будет поворачиваться относительно оси АА/, а не DD/.

A Прецессия / O lC / D D r OF M=[ r F ] A/ Рис. 4. Так как момент импульса Г будет меняться, то из прямоугольного треугольника (рис.4.16) dL ( 4.25) Mdt dL = Ltg(d ) Ld, d = =.

L L C L d L/ dL Рис. 4. d M p = = Тогда угловая скорость прецессии или в общем dt L случае M = L, (4.27) p M, где – угловая скорость собственного вращения Г, p = т.е.

I sin вокруг оси ОО/.

4.4. Законы сохранения и симметрия пространства-времени Как уже говорилось при любом (поступательном и/или вращательном) движении ТТ (системы материальных точек) необходимо учитывать только внешние силы, так как внутренние силы взаимодействия двух любых элементов ТТ (системы) всегда равны по модулю (величине) и противонаправлены вдоль одной прямой – их векторная (геометрическая) сумма равна нулю и векторная сумма их моментов также равна нулю по III закону Ньютона. Однако эти выводы можно сделать исходя из II закона Ньютона (основной закон динамики) и свойств симметрии пространства – однородности и изотропности.

Ранее (лекции 2, 3, 4) говорилось о том, что законы сохранения им пульса (момента импульса) и энергии являются следствием однородности пространства и времени соответственно. Однородность пространства за ключается в том, что при параллельном переносе физической системы на любое расстояние ее физические свойства и законы движения не меняются, а изотропность пространства в том, что эти свойства и за коны не меняются при повороте системы как целое на любой угол.

Иначе говоря, физические законы не изменятся, если систему как це лое без изменения внутреннего строения передвинуть в пространстве пу r тем параллельного переноса на величину dr (повернуть как целое на угол r d ). В частности, при этом должна быть равна нулю работа всех (внут ренних) сил в системе, тогда получают:

- для поступательного движения (вспомним III закон Ньютона) A = Fnk dr = Fnk dr = 0 т..к. dr 0, то Fnk = 0 ;

nk nk nk - для вращательного движения M nk d = M nk d = 0 т..к. d 0, то M nk = 0.

A= nk nk nk Однородность времени заключается в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени, т.е. в одинаковых условиях все процессы в замкнутой системе будут протекать одинаково в разные моменты времени. В частности, при неизменности внутреннего строения потенциальная энергия (ПЭ) U(t), то есть U/dt=0. Тогда при отсутствии в системе непотенциальных сил или отсут ствии совершения ими работы из уравнения (3.10) лекции 3 в любой мо мент времени вытекает закон сохранения механической энергии.

Следует заметить, что уравнения классической механики инва риантны по отношению к направлению хода времени – его возраста нию или убыванию. Из сохранения вида уравнений механики при замене переменной t на –t следует принципиальная возможность обратимости механических процессов: если механическая система совершает под дей ствием сил какое-либо движение, то она под действием этих же сил может совершать и прямо противоположное движение, при котором система бу дет проходить через те же самые состояния в обратном порядке. В общем случае обратимости для процессов иной (немеханической) природы может и не существовать.

ЛЕКЦИЯ 5. ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 1. Законы И.Кеплера и закон всемирного тяготения И.Ньютона.

Поле тяготения как пример центрального поля, его напряженность и потенциал.

2. Космические скорости (первая – четвертая).

3. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.

Вес тела и невесомость.

5.1. Законы И.Кеплера и закон всемирного тяготения И.Ньютона. Поле тяготения как пример центрального поля, его напряженность и потенциал Издревле человек пытался ответить на вопросы: кто он, для чего он, как устроен он и окружающий его мир? Эти вопросы остаются актуаль ными и по сегодняшний день, хотя человек приобрел довольно много зна ний об устройстве Вселенной. Процесс познания не всегда протекал спокой но и эволюционно. Например, смена господствовавшей более 1350 лет гео центрической или птолемеевой (К. Птолемей (II в. н.э.)) системы мира (Земля – центр Вселенной, всё вращается вокруг нее) на гелиоцентриче скую (современную: Солнце – одна из звезд, а планеты, в т.ч. и Земля, вра щаются вокруг него) систему мира Н. Коперника (1473–1543) противоре чила интересам католической церкви (ее догматам). Н.Коперник под страхом пыток и смертной казни публично отрекся от своей системы. Труд Н.Коперника «Об обращении небесных сфер» был под запретом Папы Рим ского вплоть до 1835г. Тем не менее истина нашла себе дорогу, и уже к XVII веку гелиоцентрическая система мира была признана большинством ученых.

В начале XVII века И. Кеплер (1571–1630) на основе собственных наблюдений и 35-летних наблюдений Т.Браге (1546–1601) сформулиро вал три закона движения планет:

I. Современная формулировка: при невозмущенном движении (за дача двух тел) орбита движущейся материальной точки (небесного тела, в т.ч. и планеты) есть кривая второго порядка, в одном из фокусов которой находится Солнце, т.е. орбита материальной точки при невозмущенном движении – одно из конических сечений (окружность, эллипс (для планет), парабола, гипербола). Формулировка И. Кеплера (1609г., труд «Новая ас трономия»): каждая планета движется по эллипсу в одном из фокусов ко торого находится Солнце.

II. Современная формулировка: при невозмущенном движении площадь, описываемая радиусом-вектором движущейся точки, изменяется пропорционально времени (закон площадей). Формулировка И. Кеплера (II и III законы опубликованы в 1619г., труд «Гармония мира»): радиус вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

III. Современная формулировка: при невозмущенном эллиптиче ском движении двух материальных точек (планет) вокруг центрального те ла (Солнца (m0)) произведения квадратов времен обращения на суммы масс центральной и движущейся точек относятся как кубы больших полу осей их орбит (III закон относится уже не к одной планете, а к Солнеч ной системе, рис.5.1):

Т12 m0 + m1 a = 3, Т 2 m0 + m2 a при m0mi:

Т12 a = 3.

Т 2 a Формулировка И. Кеплера: квадраты времен обращения планет относятся как кубы больших полуосей их эллиптических орбит:

Т12 r = 3. (5.1) Т 2 r r b a A П O r F1 F b Рис. 5. r Из формулы (5.1) следует, что отношение 2 = const = K – кон T станта Кеплера.

В первом приближении орбиты планет принимают за круговые с учетом:

2 r 4 2 K v2 = r = a= 2=, nr r T r тогда сила, действующая на планету, равна:

mM GM 4 2 K r Солнца Солнца F = ma = m 2 = G K= 2=. (5.2) n r2 4 r Т По современным данным G – гравитационная постоянная, Нм G = 6,6745 10 11.

кг Обосновать математически и физически II и III законы Кеплера можно. Если рассматривать материальную точку массы m (рис. 5.2), дви r r жущуюся по эллипсу со скоростью v, то ее радиус-вектор r за время dt описывает площадь dS (бесконечно малый треугольник FKP), причем 1 1 dS = F1 P KN = r dr sin = r dr 2 2 2 или 1 dS = r v dt.

dS r/ K F dr =vdt r FNP Рис. 5. Секториальной скоростью называется величина L = m r v / dS 1 L S = = r = v. (5.3) t dt 2 2m r Если сила F, действующая на материальную точку – центральная, т.е. всегда направлена к центру (полюсу) силы (в данном случае – к Солн цу как к центру тяготения, см. рис. 5.2), то по определению M = r F = 0 dL = 0 и L = const. (*) dt Так как m=const при нерелятивистском (vc, с – скорость света в вакууме) движении, то и секториальная скорость, определяемая по форму ле (5.3), также является константой. Это доказывает II закон Кеплера. Пе риод обращения Т=площадь/S'=const, тогда r3/T2=const. Это доказывает III закон Кеплера.

Для описания взаимодействия тел на расстоянии (концепция близ кодействия: все взаимодействия в природе характеризуются конечной скоростью передачи) пользуются понятием силового поля, т.е. считают, что тело изменяет свойства окружающего его пространства, а другое тело это «чувствует». Полю приписывается роль передатчика взаимодейст вия, энергии, его считают одной из форм существования материи (по казанная А.Эйнштейном (1879–1955) в его теории относительности взаи мосвязь массы и энергии (E=mc2) позволяет это утверждать).

Попытки создать единую теорию поля, объясняющую все извест ные явления с единой точки зрения, пока не увенчались успехом.

Поле называется силовым, если в каждой точке рассматриваемого r пространства определен вектор F силы любой природы происхождения.

Силовое поле (СП) называется однородным, если в любой его точке на тело действует одинаковая по модулю и направлению сила (лю бое поле в малой окрестности тела (точки) можно считать однородным).

Силовое поле называется центральным, если на тело, помещенное в поле, действует сила, всегда направленная вдоль луча, соединяющего те ло (точку) и центр СП (полюс), а величина силы зависит только от рас стояния от тела до центра поля. Примером такого поля может служить гра витационное поле, так как сила тяготения, согласно закону всемирного тяготения (И.Ньютон, 1687г., труд «Математические начала натуральной философии») равна mM r F =G, (5.4) r2 r где (сравните с выводом формулы (5.2)) r – расстояние между центрами взаимодействующих тел массами m и M.

Сравните формулу (5.4) с выводом формулы (5.2). Данная форма за писи свидетельствует о том, что взаимодействие происходит мгновенно, это в действительности не так, что отмечалось еще А.Эйнштейном. Со гласно А.Эйнштейну, даже световой луч (электромагнитная волна (ЭМВ)) имеет массу, т.к. обладает энергией, и, следовательно, должен быть под вержен тяготению.

Силовой характеристикой любого силового поля является на пряженность. Для гравитационного поля напряженность определяется по формуле M ( 5.4 ) F Mr = G 2, g =G 2.

g= (5.5) m rr r Зная напряженность поля, мы можем определить силу, действую rr щую со стороны поля на любое другое тело: F1 = g m1. На поверхности M 9,81 м/с 2 в среднем. Так как планета Земля имеет Земли g 0 = G R Земли форму слегка сплюснутого у полюсов шара, то эта величина изменяется (от 9,78 – на экваторе до 9,832 – на полюсах) в зависимости от места опре деления на планете (расстояния до центра планеты в этом месте).

Энергетической характеристикой силового поля является ска лярная величина потенциал – потенциальная энергия, которой в данной точке поля будет обладать тело единичной массы:

U =. (5.6) m mM С учетом формул (3.4), (3.6/) можно записать U = G + const, r тогда:

M = G + const1, (5.7) r откуда g =, g = grad, (5.8) r ( ) ( ) ( ) r gr ad ( ) – градиент скаляра ( ), grad ( ) = i+ j+ k где x y z v обозначается ( ) (набла) и называется оператором Гамильтона или набла оператором;

rrr i, j, k – единичные векторы координатных осей (орты).

Градиент всегда направлен в сторону максимального возрастания r функции, в данном случае g, поэтому вектор напряженности в каждой точке перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям (состоя щим из точек равного потенциала).

Силовое поле называется стационарным, если его характеристики неизменны во времени. Для удобного, наглядного представления силовое поле графически изображают с помощью силовых линий – линий, каса тельные, в каждой точке которых совпадает по направлению с результирую щим вектором напряженности. Расстояние между линиями характеризует «мощь» поля: там, где линии гуще – поле сильнее, наоборот – слабее. Удоб ство этого способа связано с необходимостью рассматривать поля, создавае мые несколькими источниками (рассматривать несколько полюсов – центров поля, например, планет или звезд). При этом результирующая напряжен ность в каждой точке находится как векторная сумма напряженностей в этой точке каждого из полей, как если бы других полей не существовало (принцип наложения или суперпозиции полей):

g =g. (5.9) i i Аналогично для потенциалов:

= i. (5.10) i Если находить векторную сумму g = g i в каждой точке поля, то i бумага будет испещрена векторами, т.е. получаемое изображение не на глядно, проведя же заранее расчет по формуле (5.9) можно наглядно пред ставить результирующее поле в виде силовых линий.

H S B mg A S mg r r1 r r 1 r1 r O Рис. 5. Гравитационное поле является потенциальным, т.е. его работа на замкнутом участке пути равна нулю:

A = F dr = 0 (5.11) L Найдем работу силы тяжести при выполнении самолетом замкнутой фигуры пилотажа (рис. 5.3). Будем считать, что высота подъема над по верхностью Земли мала по сравнению с радиусом Земли, т.е. сила тяже сти, как центральная сила, в любой точке траектории будет направлена r к центру Земли (вниз), постоянна и равна mg (см. (3.2)).

При движении самолета работа совершается лишь на вертикальных r r участках траектории ( r 1, r 2, т.д.), на горизонтальных же участках rr ( r 1, r 2, т.д.) перемещение перпендикулярно линии действия силы и сила тяжести работы не совершает (3.1). Таким образом, работа силы тяжести определяется лишь разностью h высот в точках Н и О.

При подъеме самолета S из нижней точки О в верхнюю точку Н тра ектории направления действия силы и перемещения противоположны (ра бота отрицательна: –mgh), а при последующем спуске совпадают (работа положительна: +mgh), т.е. сумма этих работ дает нуль.

Подобно приведенным выше рассуждениям и рассмотрению форму лы (3.6) находится работа переменной силы тяжести при удалении ракеты на расстояние h от центра Земли сравнимое с радиусом Земли, с учетом то го, что сила и перемещение противонаправлены. При этом разбивку траек тории на точки проводят так, чтобы точки 1 и 2, 2 и 3, т.д. лежали как можно ближе одна к другой, тогда в этих промежутках движения силу тя готения можно считать постоянной (далее см. определение работы соглас но формуле (3.6)).

5.2. Космические скорости (первая – четвертая) Полная энергия тела в поле гравитационных сил определяется по формуле:

C= 6const GmM mv 2 C mv Е = Т +U = = +. (5.12) 2 r 2 r y v v m vr r x z Рис. 5. Перейдем от декартовых (x,y,z) к полярным координатам (r, ) в формуле (5.12) для материальной точки массы m, движущейся со скоро стью v в гравитационном поле (рис. 5.4).

2 Так как v vr : v = v + vr, то mv • • mvr C m r 2 mr 2 2 C E= + += + +. (5.13) 2 2 r 2 2 r С учетом L = m r v = m r v + m r v = m r v r 1 = 0,sin 0o = и (*), получают:

• Lz = mr = const (5.14) • • 2C 2 E = m r + mr + 2 r Уравнение (5.14) содержит первые производные по времени, поэто му легче разрешимы, чем уравнения, получаемые из II закона Ньютона со вторыми производными. Интегрируя формулу (5.14) можно найти r(t) и (t), т.е. определить траекторию и характер движения частицы. Решение формул (5.14) громоздко (и выходит за рамки этого курса), поэтому обсу дим лишь результат решения (рис. 5.5).

E E= E F1 F Рис. 5. Траектория частицы представляет собой коническое сечение (эллипс, парабола, гипербола). В случае финитного (в определенной области про странства) движения тела, траектория движения – эллипс и преобладают силы притяжения (Е0). В случае удаления тела в бесконечность (инфи нитное движение) возможные траектории – парабола (Е=0) и гипербола (E0) – преобладают силы отталкивания.

Принимая в первом приближении орбиту тела за круговую с уче том формул (5.4), (5.5), получают для тела массы m:



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.