авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт) Волгодонский ...»

-- [ Страница 2 ] --

vk mM = man = m G2, RЗемли RЗемли GM vk = RЗемли = g 0 RЗмли. (5.15) RЗемли Для Земли v = g 0 R 8 км/с – первая космическая ско k Земли рость – скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало искусст венным спутником Земли.

При параболическом движении (Е=0) из формулы (5.12) имеют для Земли: v = 2 g R 11,2 км/с – вторая космическая скорость – п 0 Земли скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Солнца. При сообщении телу третьей космической скоро сти г оно, тело, без действия дополнительных сил преодолеет притяжение Земли и Солнца и покинет пределы Солнечной системы (по гиперболе).

Так как скорость Земли на орбите при движении вокруг Солнца 29,8 км/с, чтобы тело покинуло Солнечную систему, ему нужна скорость 2 29,8км / c 42,1км / с, реально же еще большая, т.к. необхо v г min димо преодолеть земное притяжение. Причем эта скорость минимальна, если ориентирована по направлению орбитального движения Земли, и максимальна – если противонаправлена. Также необходим учет положения Земли на орбите (дальняя ли точка от Солнца – перигелий (П, см. рис.

5.1), ближайшая ли – афелий (А), положение других планет и звезд):

г16,772,7 км/с. Четвертой космической скоростью называется ско рость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно упало в заданной точке Солнца (429,231,8 км/с) или чтобы тело покинуло нашу Галак тику (Млечный Путь) и ушло во Вселенную (тогда 4285 км/с).

5.3. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.

Вес тела и невесомость Как известно, в ИСО выполняются законы Ньютона и форма за r r писи II закона – F = ma. Найдем теперь форму записи для неинерциальной системы отсчёта (неИСО), т.е. СО, движущейся относительно любой ИСО с ускорением. Ограничимся при этом нерелятивистским рассмотрением (m=const при vc, с – скорость света в вакууме).

S S Z Z m r r O Y r X Y O X Рис. 5. Пусть относительно неподвижной СО S с началом отсчета в точке О r тело (масса m) движется с ускорением a, а относительно движущейся по r ступательно с ускорением a СО S1 с началом отсчета в точке О1 тело по коится (рис. 5.6). Тогда в любой момент времени получаем выражение rrr r = r1 + r0, дифференцируя которое по времени, получают:

• • • r = r1 + r0 v = v1 + v0 v =v +v ;

(5.16) абс отн пер •• •• •• r = r1 + r0 а = а1 + а0 а =а +а. (5.17) абс отн пер Величины, характеризующие движение тела относительно непод rr вижной СО, называются абсолютными (, а ), относительно движущейся rr СО – относительными ( 1, а1 ), а характеризующие движение систем друг rr относительно друга – переносными ( 0, а0 ).

Подставляя формулу (5.17) во II закон Ньютона, получаем:

m а1 = { m а0 = F + Fи.

F (5.18) =m а r где F – сила, являющаяся результатом взаимодействия тел. Она зависит только от разностей скоростей и координат, и в нерелятивистской механи ке ее форма записи не изменяется (инвариантна) при переходе от одной СО кrдругой (это сила в том смысле, в котором мы к ней привыкли). Слагаемое r Fu = ma0 – называется поступательной силой инерции, она возникает не из-за взаимодействия тел, а из-за ускоренного движения СО (существует также разновидность – центробежная сила (инерции при вращательном r движении)). В общем случае для силы инерции, в отличие от F по III закону Ньютона, не существует равной ей по модулю силы противодействия, при ложенной к другому телу. Она всегда направлена противоположно ускоре нию и является внешней силой для любой СО. Запись силы инерции не инва риантна относительно перехода от одной СО к другой.

Многие практические задачи решаются проще при рассмотрении сил инерции, при этом с точки зрения ньютоновской механики эти силы не яв ляются силами в привычном смысле этого слова, т.е. они фиктивны. С дру гой стороны, их можно представлять как действие на тела каких-то сило вых полей и реально использовать это на практике. Часто при рассмотре нии задач трудно разделить результирующую силу на силу инерции и «ньютоновскую» силу.

Пример. Рассмотрим силу инерции, действующую на тело, покоящееся в дви жущейся поступательно СО: поезд в метро разгоняется на горизонтальном участке с ускорением а=5 м/с2. Кота, оказавшегося в поезде, согнали с места, и он остался сидеть, прислонившись спиной к стенке, с обиженным выражением глядя по направлению движения (рис.5.7). Какова перегрузка кота, находящегося в поезде?

F N Y O X a Fи N P=mg Рис. 5. Решение. Перегрузкой называется отношение силы F, действующей на кота, к силе тяжести Р=mg. Кот в неИСО, связанной с поездом, покоится, а в ИСО относительно земли r движется с ускорением а. Противоположно направлению движения (ускорению) на кота r r действует сила инерции Fu = ma, вжимающая кота в стенку, ее компенсирует сила реак r r ции опоры стенки N1 = ma0, действующая на кота. Тогда в проекциях II закон Ньютона:

OX: N1 = ma, OY: N = mg.

a2 + g F k= = N Ответ: Так как F = N+, то mg g a2 + g F k= = то.

mg g Силу инерции, действующую на тело, покоящееся во вращаю щейся СО (рис. 5.8), называют центробежной (направлена противопо ложно ускорению). Она направлена противоположно центростреми тельной силе, создаваемой натяжением шнура.

an an Y TX O Fц Fи mg Рис. 5.8.

Для шарика II закон Ньютона в проекциях на оси будет иметь вид:

ОХ: Fц=Тsin=man=-Fu, 2r a OY: Tcos-mg=0 tg = n =, g g где r – расстояние от оси вращения.

Еще одной разновидностью сил инерции является сила Корио лиса (1792–1843). Она возникает только тогда, когда СО S1 (рис. 5.6) вра щается, а тело движется относительно этой СО. Если рассмотреть движе ние незакрепленного шарика массы m из центра вращающегося с угло- вой r скоростью диска, то его траектория – кривая 12 (рис. 5.9).

Рис. 5. Если же дать шарику возможность катиться (трением пренебрегаем) из центра прямолинейно по глубокому желобу, вырезанному вдоль одного из радиусов диска, то шарик, отклоняясь влево от направления движения вдоль r желоба, будет давить на его стенку с силой Fk (рис. 5.10), названной корио r лисовой (уравновешивается силой реакции опоры стенки желоба F ).

Fk v F Рис. 5. Эта сила определяется выражением F = 2 m v отн. (5.19) k Сила Кориолиса отличается от других сил тем, что зависит от отно сительной скорости тела во вращающейся СО S1. При обращении в нуль этой скорости, обращается в нуль и сила Кориолиса. То есть, если тело по коится во вращающейся СО, то на него действует (см. рис. 5.8) центро бежная сила инерции, а если движется – то еще и кориолисова сила.

Действием силы Кориолиса объясняется подмывание (обрывистость) правых берегов рек, текущих в океан с юга на север в северном полушарии.

Размышления о свойствах движения в ИСО и неИСО привели А.Эйнштейна к мысли о независимости движения тел в поле сил инерции от их массы, что наблюдается и в гравитационном поле, и формулированию од ного из важнейших принципов физики – принципа эквивалентности: свой ства движения в неИСО такие же, как и в ИСО при наличии гравитационного поля (т.е. поля сил инерционных и гравитационных эквивалентны – равноус коренная СО эквивалентна однородному гравитационному полю).

Таким образом, если тело двигается равноускоренно под действием гравитационного поля в ИСО, то, переходя в неИСО, где тело покоится, по лучаем, что его уравновешивает сила инерции. При данном переходе изме няется геометрия пространства – времени, что изучается в общей теории от носительности (ОТО) А.Эйнштейна (подробнее об этом см. лекцию 7).

r Весом тела называется приложенная к телу сила Р, равная силе, с которой это тело действует на опору или подвес. При этом предпола гается, что опора или подвес покоятся в системе отсчета, в которой взве r r шивают тело. В среднем P = mg 0, в общем случае, вес – есть геометриче ская сумма силы гравитационного притяжения Земли и центробежной си лы инерции, вызванной ее вращением.

При ускоренном движении системы могут возникнуть особые со стояния, называемые перегрузками (см. рис. 5.7 и пример) и невесомостью.

Вспомним известную со школы задачу о лифте (рис.5.11). При сона r правленности ускорения движения лифта а и ускорения свободного паде r ния g вес тела P=N=m(g-a), т.е., если лифт движется с ускорением a=g, то Р=0. Это состояние называют невесомостью. Если же ускорения противо направлены, то P=N=m(g+a). Увеличение веса приводит к перегрузкам.

N ( a( a mg Рис. 5. Тяжелые перегрузки и невесомость в повседневной жизни – состоя ния редкие (быстрая езда в транспорте, полет на самолете, катание на ка челях, подъемы и спуски в лифтах), с ними часто приходится сталкиваться лишь космонавтам, которых специально тренируют на центрифугах и в бас сейнах для привыкания к состояниям деформации внутренних органов и изменениям внутреннего давления. В космических кораблях невесомость (движение с ускорением свободного падения) может быть компенсирова на путем создания вращения корабля (действием сил инерции), при этом предметы вновь обретут вес, который будет зависеть от скорости вращения.

ЛЕКЦИЯ 6. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 1. Принцип относительности в механике (механический принцип относительности Г. Галилея). Преобразования Г. Галилея.

2. Постулаты специальной теории относительности (СТО). Пре образования Х. Лоренца.

3. Следствия из преобразования Лоренца (относительность времени и его промежутков, линейных размеров вдоль направления движения (длины), релятивистский закон сложения скоростей в СТО, инвари антность пространственно-временного интервала).

4. Основной закон релятивистской динамики материальной точки.

5. Закон взаимосвязи массы и энергии. Энергия связи.

6. Вывод преобразований Х. Лоренца.

6.1. Принцип относительности в механике (механический принцип относительности Г. Галилея).

Преобразования Г. Галилея Проведя какой-либо эксперимент и повторяя его при тех же услови ях, но в другом месте и в другое время, мы получим те же результаты. Этот факт – воспроизведение лабораторных опытов – естественным образом вытекает из независимости физических законов от таких понятий, как вы бор положения системы координат и начала отсчета времени. Это является следствием однородности и изотропности пространства и однородности времени. Наличие этих свойств ведет к тому, что сохраняется часть физи r ческих величин: р, E и т.д. Из опыта следует, что кроме такой независи мости имеет место независимость уравнений физики от состояния движе ния систем, которое заключается в равноправии всех инерциальных систем отсчета.

S S z z m r r O y r0 y O x u x Рис. 6. Пусть ИСО S1 движется относительно ИСО S с постоянной скоро r стью u (рис. 6.1). Найдем связь между координатами, скоростями и уско рениями точки m в обеих ИСО. Поскольку многие величины изменяются при переходе от одной СО к другой, необходимо всегда указывать, относи тельно какой СО происходит рассмотрение движения. Именно поэтому го ворят, что механическое движение относительно.

В любой момент времени для точки m можно записать:

r = r1 + r0 = r1 + u t, (6.1) что эквивалентно трем скалярным уравнениям:

x = x1 + u t, x y = y1 + u t, (6.2) y z = z1 + u t.

z В классической механике предполагается, что ход времени не за висит от состояния движения ИСО (t=t1 – преобразование Г. Галилея (1564–1642) для времени). Преобразования (6.2) Г. Галилея для коор динат верны только для uc (с – скорость света в вакууме), в общем слу чае их необходимо заменять на релятивистские.

Дифференцируя уравнение (6.1) по времени, получаем:

• • • r = r1 + r0 v = v1 + u. (6.3) Выражение (6.3) – это классический закон сложения скоростей (правило сложения): скорость тела относительно неподвижной СО равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся СО и скорости движущейся СО относительно неподвижной.

v =v +u ;

v =v +u ;

v =v +u.

Можно записать:

x 1x x y 1y y z 1z z •• •• •• r = r1 + r0 а = а1, т.к u = const. (6.4) Тогда в силу выражений (6.4) и m=m1 (для uc) получаем F1 = m a1 = F = m a, (6.5) т.е. ускорение имеет одно и то же значение в обеих СО, и II закон Ньютона инвариантен (не изменяется его форма записи) относительно перехода от одной ИСО к другой. Можно утверждать, что если в ИСО S тело движется с постоянной скоростью, то и в ИСО S1 характер движения тот же. Если система S ИСО, а S1 движется относительно нее с постоянной скоростью, то система S1 тоже ИСО.

Таким образом, равномерное и прямолинейное движение системы как целого не влияет на ход процессов, происходящих внутри системы. В этом заключается содержание механического принципа относительно сти Г.Галилея: никакими опытами, проведенными внутри ИСО, нельзя установить, движется ли она с постоянной скоростью или покоится (или: законы механики Ньютона инвариантны при переходе от одной ИСО к другой). Например, пассажир, читающий газету в поезде, трогаю щемся мягко, без толчка и с малым ускорением, будет считать себя непод вижным.

6.2. Постулаты СТО. Преобразования Х. Лоренца К концу XIX в. был проведен ряд экспериментов по определению скорости света в вакууме c. Обсуждался важный вопрос: к какой СО отно сится эта скорость (значение)? Согласно принципу относительности Г.Галилея, говорить о конкретной скорости без указания СО бессмыслен но, т.е. скорость света должна быть различна в различных СО, поэтому значение скорости света должно относиться к СО, связанной, например, с источником света. Тогда можно предполагать, что при перемещении ис точника света относительно неподвижного прибора (наблюдателя), реги стрирующего скорость света, этот прибор должен показывать значения как большее, так и меньшее скорости света в вакууме c в зависимости от на правления перемещения источника и приемника света.

Первые эксперименты по определению скорости света в движущейся СО были проведены А. Майкельсоном (1852–1931) в 1881г. Позже по добные эксперименты ставились не раз, причем точность определения ско рости света возрастала. Оказалось, что с=c1=c2=c.

Классический закон сложения скоростей был подвергнут сомнению.

Пришлось признать, что область его применения ограничена, а так как он есть следствие преобразований Г. Галилея, то они не имеют универсально го характера. Таким образом, возникла потребность в радикальном пере смотре существующих представлений о пространстве и времени. Эту зада чу выполнил в 1905 г. А. Эйнштейн в своей статье «К электродинамике движущихся тел». Он дал основы специальной теории относительности (СТО). Эйнштейн показал, что преобразования Галилея в неявном виде основывались на двух ошибочных предположениях, казавшихся очевид ными: а) одновременность двух событий – абсолютное понятие (t=t1), вре мя во всех ИСО протекает одинаково;

б) длина тел (линейный размер) не изменна во всех ИСО.

Специальная теория относительности (СТО) А. Эйнштейна ба зируется на двух постулатах:

1. Принцип относительности – во всех ИСО все физические явле ния протекают одинаково (обобщения принципа относительности Галилея на все законы природы).

2. Принцип инвариантности скорости света – скорость света в ва кууме c не зависит от движения источника света или наблюдателя и оди накова во всех ИСО (утверждается как опытный факт).

В начале XX в. стало ясно, что уравнения физики должны быть пере смотрены. Стали предприниматься попытки записать уравнения движения и электродинамики так, чтобы они были инвариантны относительно пере хода от одной СО к другой.

S S z z1 u m r r O x r O x1н l1 x1к x y y Рис. 6. Х. Лоренц (1853–1928) решил (1904г.), что если сделать следующие преобразования координат и времени, то уравнения (60 гг. XIX в.) Дж.

Максвелла (1831–1879) будут инвариантны, т.е. не изменят своей формы r (в случае направления скорости u вдоль параллельных осей Ох и О1х1 (рис.

6.2)):

S S1 S1 S x + ut x ut x= x1 = v v 1 1 c, c, y1 = y, y = y1, (6.6) z1 = z, z = z1, ux ux t 2 t1 + c c t1 = t= v2 v 1 2 1 c. c.

Покажем относительный характер одновременности событий. Пусть система S1 движется со скоростью u относительно системы S, и в началь ный момент времени t=0 их начала координат совпадают. Пусть в момент времени t=0 в ИСО S источник излучает импульс света в направлении оси Ох. Тогда, дойдя до некоторой точки с абсциссой x, свет пройдет расстоя ние х=ct, а в системе S1 – x1=сt1;

поскольку x1х (так как S1 движется отно r сительно S со скоростью u =const), то и отсчет времени будет иметь отно сительный характер в силу относительности понятий «подвижная» и «не подвижная» СО.

В уравнениях (6.6) наблюдается симметрия (уравнения обратимы).

Преобразования от S к S1 и обратно отличаются знаком перед u, что оче видно, поскольку, если S1 движется относительно S со скоростью u, то сис тема S движется относительно S1 со скоростью (–u).

Это не означает, что описанное ниже замедление времени является кажущимся явлением. Правильнее говорить не об изменении хода времени в разных СО, а о различии протекания локализованного в пространстве временного процесса. Для того чтобы установить, какие часы отстают, не обходимо «движущиеся» и «неподвижные» часы свести вместе. Но для этого необходимо или вернуть «движущиеся» часы, или ускорить «непод вижные». Очевидно, что результаты должны зависеть от характера сбли жения часов, т.к. ускорение абсолютно. Отстанут те часы, которые будут двигаться ускоренно. Именно этим объясняется меньшее старение близне ца–космонавта, вернувшегося на Землю, по сравнению с другим близне цом – жителем Земли.

Прочитайте последние три абзаца еще раз после изучения всего материала данной лекции Таким образом, преобразования Х. Лоренца удовлетворяют СТО, т.к. все физические явления описываются законами, не меняющимися при преобразованиях. А. Эйнштейн показал, что преобразования (6.6) имеют универсальный характер.

Преобразования Галилея (6.2) являются предельным случаем (6.6) при uc (формально в пределе при c) – в этом заключается суть принципа соответствия (каждая новая теория должна заключать в себе предыдущую в качестве частного случая), впервые введенного в научную методологию великим датским физиком Нильсом Бором (1885–1962).

6.3. Следствия из преобразования Лоренца (относительность времени и его промежутков, линейных размеров (длины), релятивистский закон сложения скоростей в СТО, инвариантность пространственно-временного интервала) Относительность времени:

а. Если два события ((1) и (2)) происходят одновременно (t1(1)=t1(2)) в СО S1 и x1(1)=x1(2) (в одной и той же точке), то и в ИСО S t(1)=t(2), x(1)=x(2) (со гласно формуле (6.6));

если же в СО S1 (t1(1)=t1(2)), но x1(1) x1(2), то в ИСО S не только x(1)x(2), но и t(1)t(2). Таким образом, события не только про странственно разобщены, но и не одновременны. В теории вероятности события, которые могут произойти одновременно, называют совмест ными. Для совместных событий как первое может предшествовать второ му, так и второе первому в зависимости от координат и скорости u. Несо вместными являются события, которые по каким-либо причинам не мо гут произойти одновременно, например, события, связанные друг с другом причинно-следственной связью, т.е. одно из событий является причиной (основанием) для наступления второго события (следствия), которое ни при каких обстоятельствах не произойдет раньше причины. Совмест ность/несовместность, причинно-следственные связи учитывают при реля тивистском рассмотрении вопроса о том, какое из событий наступит рань ше, а какое – позже.

б. Если длительность события (индексы: (1) – начало, (2) – конец со t t бытия) в ИСО S =t(2)-t(1), то в ИСО S1 1 = t1(2 ) t1(1) = (2 ) (1), где 1 2=(u/c)2, т.е. в движущейся ИСО S1 для того, чтобы событие завершилось, требуется время 1 (время идет медленнее в ИСО, относительно которой точка, где происходит событие, покоится).

Относительность линейных размеров вдоль направления дви жения (лоренцево сокращение длины). Пусть в движущейся ИСО S1 по коится стержень (рис. 6.2) длиной l1=x1к-х1н («н» – начало, «к» – конец).

x x l Согласно формуле (6.6) l = x x = к н=, т.е. размеры 1 1к 1н 1 2 1 стержня, измеренные в ИСО, относительно которой он движется, меньше длины, измеренной в ИСО, относительно которой он покоится: l1l.

Релятивистский закон сложения скоростей в СТО. Пусть в ИСО r S1 тело имеет произвольно направленную скорость, а ИСО S1 движется r относительно ИСО S со скоростью u, как показано на рис. 6.2.

udx dt1 + dx1 + udt1 c 2 и по аналогии получают:

;

dt = С учетом dx = 1 S1S dt1 v + u dx (6.6) dx1 + udt1 1 2 dx1 + udt = 1x v= = = uv, x dt 1 2 dt + udx1 dt + udx 1 + 1x 1 2 c c c т.к. y=y1 и z=z1, то dy=dy1 и dz=dz1, то 2 dt1 v 1 (6.6) dy 1y v= = dy1 =, y dt udx1 uv dt1 + 2 1x 1+ c c dt1 v 1 dz (6.6) 1 = 1z v= = dz1.

z dt udx1 uv dt1 + 2 1x 1+ c c В силу симметрии преобразований и по аналогии: SS1, v u v 1 v 1 v=x y z, v1z =, v1y = uv. (6.7) 1x uv uv 1 2x 1 2x 1 2x c c c В случае, когда скорость v параллельна скорости u (y=z=0), u + v v =v= uv1. (6.8) x 1+ c Формулы (6.7), (6.8) – релятивистский закон сложения скоростей.

Для vc формально в пределе при c получаем классический закон сложения скоростей (6.3): v = v1 + u. Если материальная точка движется со c+u c+u скоростью с (v1=c), тогда: v = = = c. Согласно закону сложения cu u 1+ 2 1+ c c скоростей, в теории относительности скорость тела не может быть больше скорости света, что согласуется со II постулатом А. Эйнштейна.

Таким образом, координаты (линейные размеры), время, скорость относительны: их значения различны в различных ИСО. Однако для че тырехмерного пространства А. Эйнштейна (пространство-время: 3 ко ординаты и время неразрывно связаны между собой) величиной, не зави сящей от выбора СО (инвариантной к преобразованиям) является ин тервал между двумя событиями – пространственно-временной интервал (в СО S1):

s1 = c 2 (t1( 2 ) t1(1) ) 2 ( x1( 2 ) x1(1) ) 2 ( y1( 2 ) y1(1) ) 2 ( z1( 2 ) z1(1) ) 2 = 2 2 2 2 2 = c 2 t1 x1 y1 z1 = c 2 t1 l1. (6.9) x 2 + y 2 + z 2 = R 2 – уравнение сферы, если источник света находится в центре сферы, то за некоторое время t (R=ct) свет дойдет от центра до поверхности сферы, т.е. равенство x2+y2+z2–(ct)2=0 должно быть справед ливым в любой СО, т.е. x12+ y12+ z12–(ct1)2= x2+y2+z2–(ct)2.

Покажем на основании формулы (6.6), что s = s1 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 ;

x u t 2 2 = x 2xut + u t, а y=y1, z=z1, x1 = 1 2 1 tux x 2 u u x t 2 t 2 2 + c4.

c = c t1 = 1 2 u c Тогда 2 2 2 2 s1 = c 2 t1 x1 y1 z1 = 6 II 8 II 6I8 6I 7 } x 2u 2 x + 2xut u t 2 c t 2tux + c y 2 z 2 = = u c x 2 1 u u c t 1 c c y 2 z 2 = (I и II - слагаемые для группировки) = u c = с 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = s что и требовалось доказать.

Если s20, то он действителен и называется временноподобным, если s20, то это – мнимая величина и называется пространственнопо добным.

Итак, существует кинематический инвариант – пространственно временной интервал. Поэтому, несмотря на относительность длины и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от выбора СО. Пространство и время связаны между со бой и образуют единую форму существования материи: пространство время.

Дальнейшее развитие теории относительности (общая теория отно сительности) показало, что свойства пространства-времени в данной об ласти определяются действующими в ней (гравитационными) полями: си лы (геометрия, а именно, отношение между параллельными прямыми, уг лы между прямыми, углы в треугольнике и т.п.) изменяются при переходе от одной области к другой, в зависимости от концентраций масс в данных областях и их движения.

6.4. Основной закон релятивистской динамики материальной точки В релятивистской динамике масса тел есть функция их скорости:

m m = f (v ) =, (6.10) v 1 c где m0 – масса покоя тела (частицы) в ИСО, относительно которой оно покоится (minimum);

m – масса в ИСО, относительно которой оно движется со скоростью v, т.е. масса различна в разных ИСО и с ростом скорости движения u – увеличивается.

r В релятивистской динамике основной закон имеет вид ( р – реля тивистский импульс):

dv dp F =m = dt dt d m v F= или 1 (v c )2. (6.11) dt Уравнение (6.11) внешне совпадает с уравнением классической ме ханики, т.е. инвариантно к преобразованиям Лоренца, тем самым удовле творяя принципу относительности Эйнштейна. Важно отметить, что ни си r r ла F, ни релятивистский импульс p не являются инвариантами. В общем r r случае вектор силы F не коллинеарен ускорению a.

r Уравнение (6.11) справедливо и для проекций F на координатные оси Fx, Fy, Fz с учетом формул (6.7), (6.10) для проекций px, py, pz релятиви r стского импульса p.

В силу однородности и изотропности пространства в релятивистской механике также справедливы законы сохранения релятивистских им пульса и момента импульса (в замкнутой системе). Разумеется, вблизи крупных гравитирующих (притягивающих) объектов (см. лекция 7) эти свойства и законы могут нарушаться.

6.5. Закон взаимосвязи массы и энергии. Энергия связи Найдем выражение для кинетической энергии (КЭ) Т релятивистской частицы. Приращение КЭ равно работе силы:

m v dv =vdv d 0v v dt = v d m0 v dT = A = F dr = = dt 1 v 2 c 2 1 v2 c2 m0v 2 2v 2 1 v c m0vdv 2 dv 2 1 v2 c2 c m0vdv = = 3/ 2. (6.12) ( ) 1 v2 c2 1 v2 c d dv = 1 2v m0 m dm = m(v)dv = 2 dv = dv 1 v 2 c 2 2 (1 v 2 c 2 ) c m0vdv = (6.13) c (1 v c ) 2 2 2 Сравнивая уравнения (6.12) и (6.13), получают:

dT = c 2 dm. (6.14) Интегрируя выражение, учитывая, что при v=0, m=m0, получают m 1.

T = c dm = c (m m0 ) = c m 2 2 (6.15) 1 v2 c2 m При vc выражение, стоящее в скобках можно разложить в ряд 1 v2 3 v = 1+ + +... ;

пренебрегая членом второго Тейлора:

2 c2 8 c 2 1 v c порядка малости, получают формулу классической механики 1 v 2 m0v T = c m0 1 + 2 c 2 1 = 2.

Можно показать, что тело обладает не только кинетической, но и энергией покоя.

Полная энергия тела E, согласно А. Эйнштейну, пропорциональ на массе:

E = mc 2. (6.16) В формулу (6.16) не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.

Получим выражение полной энергии как функцию релятивистского импульса (6.11):

! 4! 678 6 m0 c m0 v 2c 2 + m0 c 4 m0 v 2c 2 2 2 E =m c = = = 1 v2 c2 1 v2 c, m0 c 2 (c 2 m0 v 2 v ) c = m0 c 4 + p = + 22 1 v c 1 v c E = m0 c 4 + p 2c 2.

т.е. (6.17) Формулу (6.15) можно записать в следующем виде:

Т = Е m0 c 2 = E E0. (6.18) При v=0 и T=0, т.е. тело обладает энергией E=m0c2, называемой энергией покоя.

Для характеристики устойчивости материи (например, устойчи вости ядра как системы нуклонов), вводят понятие энергии связи. Энер гия связи равна работе, которую надо совершить, чтобы разделить систему на составные части:

n n E = m c M 0 c = с m0i M 0 = mc 2, 2 (6.19) св 0i i =1 i =1 где m0i – масса покоя свободной частицы;

М0 – масса покоя системы, состоящей из n частиц;

m – называется дефектом массы (масса составляющих больше мас сы целого).

Энергию покоя и дефект масс обычно не учитывают при решении задач в механике, но исторически используют при расчете тепловых эф фектов ядерных реакций. Теплота – одна из форм энергии, и закон взаимо связи массы и энергии (6.16) был полностью подтвержден в экспериментах по определению теплоты, выделяющейся в ядерных реакциях.

6.6. Вывод преобразований Х. Лоренца Примем как опытный факт, что скорость света в вакууме c не зависит от движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех ИСО.

Дана линейка, на одном конце которой находится источник света, дающий очень короткие вспышки, а на другом – зеркало. Пусть линейка r расположена перпендикулярно оси Ох и движется со скоростью u вдоль оси Ох относительно неподвижного наблюдателя (т.е. относительно СО S).

СО S1 движется вместе с линейкой и другим наблюдателем (линейка и на блюдатель относительно нее покоится).

S1 S A1 Au ct c t c t O1 O ut C ut B x Рис. 6. Для наблюдателя в СО S1 свет пройдет расстояние 2A1O1=2ct1, а для наблюдателя в СО S – 2AO=2ct. Так как A1O1=ACOA, то из условия постоянства скорости света следует, что будет различно время t1 и t. Из OAC по теореме Пифагора:

OA2 = OC 2 + AC 2 c 2 t 2 = u 2 t 2 + c 2 t12. (6.20) u t1 = t 1, Тогда (6.21) c (т.е. получили случай 1, б) следствий из преобразований Х.Лоренца):

а) если линейка движется, как показано на рис. 6.3 (перпендикулярно оси Ох), то обозначив его длину в СО S l, получают из уравнения (6.20):

l l, t1 = c 2 t 2 = u 2 t 2 + l t =.

c u c c Тогда с учетом выражения (6.21) получают:

l = l1. (6.22) б) если же стержень движется вдоль в СО S оси Ох с постоянной r скоростью u, то для наблюдателя в СО S при движении света в направле нии оси Ох (рис. 6.4): l||+utI=ctI, а при движении света обратно (после 2cl отражения от зеркала): ctII=l||–utII, т.к. t=tI +tII, то t =. Для c2 u 2l наблюдателя в СО S1 t1 =. То есть, с учетом выражения (6.21) полу c чают:

u l = l1 1 (6.23) c (т.е. получили случай 2) следствий из преобразований Х. Лоренца).

S S ut u ut A1 A x O1,O Рис. 6. Рассмотрим для простоты двумерные системы координат (рис. 6.5), оси которых вначале совпадали. Повернем систему Y1OX1 на угол отно сительно YOX как показано на рис. 6.5, тогда:

2 2 2 OA 2 = AB 2 + AC 2 = AB1 + AC1 = x 2 + y 2 = x1 + y1, (6.24) x1 = OC1 = OD + DC1 = OC cos + BK1 sin = x cos + y sin y1 = OB1 = OK1 K1B1 = y cos x sin = x sin + y cos, что удовлетворяет уравнению (6.24).

YY A K1 B BK X DC X D C O Рис. 6. Если обозначить cos=a, sin=b, то x1=ax+by, y1= – bx+ay, причем a2+b2=1. (6.25) Если рассматривать сферу радиусом R, то ее уравнение x2+y2+z2=R2.

Представим, что в центре сферы расположен источник, а на ее поверхно сти – наблюдатель, тогда в СО S x2+y2+z2–c2t2=0, а в СО S1:

x12+y12+z12–c2t12=0. (6.26) Если свет распространяется вдоль оси ОХ (параллельной ей оси ОХ1), то с учетом уравнений (6.23) и (6.24) формула имеет вид y=y1, z=z1. (6.27) Обобщая двумерный случай (6.24) на четырехмерный случай (6.26) с учетом равенства (6.27):

2 x 2 + i 2с23 = x1 + i 2с 2 t 2 1 t Т T 2 2 x + T = x1 + T1, или (6.28) где Т и Т1 – четвертая координата в этом случае;

i – мнимая единица ( i = 1 ).

Равенство (6.25) справедливо для любой пары координат, поэто му, рассматривая его в терминах x, T и x1, T1, можно записать:

x1=ax+bT, T1= – bx+aT, причем a2+b2=1. Так как координаты х, х1 – дей ствительные, то следует положить, что b=id. Тогда, ведя отсчет време ни с нуля и обозначая t=t, получают равенство x1 = ax dct, (6.29) верное для любых произвольных координат х и х1 в любой момент времени t. На основании уравнения (6.29) для любой пары точек с разными коорди натами х(1) и х(2) в СО S и х1(1) и х1(2) в СО S1 в один и тот же момент време ни t можно записать:

x1( 2) x1(1) = a ( x( 2) x(1) ). (6.30) x1(1) = l1, x( 2) x(1) = l, то с учетом формулы Так как x1( 2) (6.23) получают u a = 1. (6.31) c Из a2+b2=1=a2– d2 следует u2 u и d =+ d=, (6.32) u 2 u c 1 c c c где знак «+» при извлечении квадратного корня выбрали из тех соображе ний, чтобы при (u/c)0 (при малых скоростях) совпадало с преобразова нием координат Г. Галилея. Подставляя формулу (6.32) в выражение (6.29) и далее в (6.28), получают преобразования Лоренца:

SS x ut x1 =, v 1 c y1=y, (6.33) z1=z, ux t c t1 =.

v 1 c ЛЕКЦИЯ 7. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 1. Общая теория относительности (ОТО) – релятивистская теория тяготения.

2. Космология и ОТО. Стационарные и нестационарные модели Вселенной.

3. Некоторые следствия из ОТО.

Перед изучением данной лекции следует ознакомиться с лекциями 5 и 6.

7.1. Общая теория относительности – релятивистская теория тяготения Строение и развитие Метагалактики (наблюдаемой современными методами радиоастрономии части Вселенной) управляются, в основном, тяготением. ОТО представляет собой теорию тяготения, находящуюся в согласии с требованием о конечности скорости распространения лю бых «сигналов», в том числе сил тяготения. Согласно ОТО тяготение проявляется в неэвклидовости (см. ниже) пространства и времени.

Ньютоновская теория всемирного тяготения (НТТ), в которой силы действуют на расстоянии без всякого запаздывания, совершенно очевид ным образом не удовлетворяет требованиям частной, специальной теории относительности (СТО). Успех НТТ связан с достаточной точностью для описания движения планет, звезд и даже целых галактик, когда их относи тельные скорости много меньше скорости света в вакууме c, а разность гравитационных потенциалов много меньше c2. Часто в небесной механике малы поправки, обусловленные запаздыванием и вообще конечностью скорости света. Такое утверждение ясно из следующего сопоставления:

свет от Земли до Солнца идет 8 минут, что в 60 000 раз меньше года – вре мени обращении Земли вокруг Солнца.

Ясно, что ньютоновская теория гравитации – это гравитостати ка, аналогом которой является электростатика с ее законом Кулона. Необ ходимость создания релятивистской теории гравитации (тяготения) была осознана сразу же после возникновения специальной теории относитель ности (1905г.). Но задача оказалась очень сложной, и построение реляти вистской теории тяготения – ОТО (1916г.) – заняло у А. Эйнштейна почти 10 лет (многие ученые считают датой рождения ОТО выход в свет статьи А. Эйнштейна «О принципе относительности и его следствиях» – 1907г.).

Дело здесь в том, что можно предложить несколько теорий тяготения, удовлетворяющих требованиям СТО. Действительности же отвечает лишь одна. Конечно, как и всегда в естествознании верная теория может быть отобрана из сравнения выводов теорий с опытом и наблюдениями. Но да же наблюдений (не говоря уже об опытах) тогда еще не было сделано в си лу несовершенства техники (средств измерений). Некоторые следствия из ОТО невозможно проверить и сейчас – после выхода человека в космос, например, существование «черных дыр».

Размышления о свойствах движения в инерциальных системах от счета (ИСО) и неИСО привели А. Эйнштейна к мысли о независимости движении тел в поле сил инерции от их массы, что наблюдается и в грави тационном поле, и формулированию одного из важнейших принципов фи зики – принципа эквивалентности, лежащего в основе ОТО: свойства движения в неИСО такие же, как и в ИСО при наличии гравитационного поля, (т.е. поля сил инерционных и гравитационных эквивалентны – рав ноускоренная СО эквивалентна однородному гравитационному полю. Ес тественно предположить (это и было сделано А. Эйнштейном), что подоб ная эквивалентность имеет место для всех физических явлений и процес сов, а не только для механических движений.

Если однородное и постоянное поле тяготения влияет на все физиче ские процессы совершенно так же, как равномерное ускорение систем от счета, то и произвольное поле тяготения можно связать с геометрией и ки нематикой. В пределах достаточно малой области пространства и в тече ние достаточно небольшого интервала времени любое поле тяготения можно считать однородным и постоянным. Поэтому в любой малой про странственно-временной области поле тяготения можно «исключить» (т. е.

устранить его действие) выбором ускоренной СО – неИСО.

Представив себе как бы «жидкую» СО, ускорение которой в разных точках различно, можно исключить и более сложные поля тяготения. Это не значит, однако, что любое поле тяготения можно «навсегда» ликви дировать выбором СО. Например, поле тяжести Земли направлено к ее центру и может быть на некоторое время исключено, если выбрать сво бодно падающую на центр Земли СО. Но совершенно очевидно, что ис пользование такой свободно падающей СО ограничено во времени. Следо вательно, речь идет не о том, чтобы полностью «свести» поле тяжести к выбору СО. Можно лишь видеть, что поле тяготения полностью характе ризуется величинами, определяющими свойства пространства и времени. Та ких величин 10, и они в совокупности называются метрическим тензором и обозначаются символом gik. Смысл записи gik таков: индексы i и k соответст вуют координатам x, у и z и времени t, причем обычно устанавливают такое соответствие: t – индекс 0, х – индекс 1, у – индекс 2, z – индекс 3. Величины g10 и g01 и аналогичные равны между собой, и, таким образом, всего из возможных имеется именно 10 независимых величин: g00, g11, g22, g33, g10, g20, g30, g12, g13, g23, которые и можно записать в символической форме gik. При переходе от одной СО пространственных координат и времени к другой из меняются как сами координаты х, у, z и t, так и величины gik.

Существуют, однако, другие величины, которые не зависят от СО или, как говорят, являются инвариантными, например, пространственно временной интервал. В ОТО (ds)2=gikdxidxk при i, k = 0 относится к вре мени так, что cdt=dx0.

Поясним сказанное выше на примере плоскости (двумерное про странство), на которой находятся две близкие точки. Расстояние между этими точками r не зависит от выбора системы координат на плоскости.

В наиболее привычных нам прямоугольных (декартовых) координатах х и у имеем (r)2=(x)2+(y)2, где x и y – разности координат х и у для рас сматриваемых точек. В произвольной же системе координат х' и у' на той же плоскости (r)2=g11(x')2+2g12x'y'+g22(y')2. Для трехмерного про странства – (координаты х, у, z) – и четырехмерного пространства-времени – координаты х, у, z и t (термин пространство-время ввел нем. физик и ма тематик Г. Минковский (1864–1909) в статье «Пространство и время» в 1908г.) ситуация аналогична. С помощью величин gik можно выразить все свойства пространства-времени, в частности, определить расстояния (про странственно-временной интервал) между любыми событиями.

Итак, в ОТО поле тяготения описывается величинами gik, которые в известном смысле приходят на смену одной величине – ньютоновскому потенциалу (см. лекцию 5, вопрос 1). Поле тяготения называется слабым, если потенциал мал по сравнению с величиной с2 (или, что одно и то же, скорость тел, движущихся в поле с потенциалом, мала по сравнению со скоростью света с). Если нет никаких тел (практически на большом рас стоянии от всех массивных тел), то можно ввести ИСО, в которой g11=g22=g33 =–1, g00=1, а все остальные gik=0. Помещая в эту СО некоторое невращающееся тело (например, звезду), создающее слабое поле тяготе ния, будем иметь g11=g22=g33=–1, g12=g23=g10=g20=g30=0 и g00=1+2/c.

В гравитационных полях отдельных небесных тел, например звезд и планет, обычно можно выбрать систему координат так, чтобы наиболее существенной оказалась величина g00, т. е. коэффициент перед (dt)2:

2GM g 00 1, Rc где М – масса гравитирующего тела;

R – расстояние до его центра.

Таким образом, мы фактически возвращаемся к НТТ. Даже на поверх Gm = 2,12 10 6 (масса Солнца m0=1,991030 кг, ности Солнца / с = r0 c радиус Солнца r0=6,96108 м), т.е. величина g001 и ньютоновское прибли жение (НТТ) оказывается хорошим. Но все же отклонения от НТТ можно наблюдать уже в пределах солнечной системы. А. Эйнштейн указал на три таких эффекта ОТО, которые можно наблюдать уже в пределах солнечной системы, и все они действительно были обнаружены. Первый эффект – из менение частоты света при его распространении в поле тяготения, второй – дополнительный поворот орбит планет и спутников, третий – отклонение световых лучей, проходящих вблизи Солнца вследствие их притяжения.

Здесь нет возможности подробно останавливаться на вопросе о проверке ОТО, поэтому ограничимся для примера только эффектом отклонения лу чей. Он состоит в том, что видимое положение звезд на небе изменяется, если световые лучи проходят вблизи Солнца. Для обнаружения такого из менения небо фотографируется во время полного солнечного затмения, чтобы можно было зафиксировать звезды, свет от которых проходит близ ко от яркого солнечного диска. Через некоторое время (скажем, через пол года) Солнце будет находиться в силу годичного движения Земли уже в другой области звездного неба, и можно получить фотографию тех же звезд, что и в первом случае, но уже в условиях, когда световые лучи прак тически не отклоняются.

Отклонение луча, даже проходящего совсем близко к солнечному диску, достигает лишь 1,75 угловой секунды (примерно под таким углом человек был бы виден с расстояния в 200 км). Это отклонение впервые удалось измерить в 1919 г. Наблюдения подтверждают выводы ОТО в пре делах достигнутой точности, составляющей примерно 10%.

В классической теории пространство считалось абсолютным, т. е.

одинаковым всегда и везде и никак не зависящим от физических явлений, которые в нем происходят. Точно так же и время считалось абсолютным, т.

е. неизменным по скорости протекания и одинаковым для всех точек про странства вне зависимости от каких-либо физических явлений. ОТО де монстрирует неотделимость пространства и времени друг от друга и от физических явлений. Теория тяготения А. Эйнштейна устанавливает связь между распределением и движением материи, с одной стороны, и метрикой пространства-времени, с другой.

Тот факт, что световые лучи распространяются вблизи тел не по прямым линиям, отражает, быть может, самое глубокое следствие ОТО.

Именно при наличии полей тяготения пространство становится неэвклидо вым (с «негалилеевым» временем, «протекающим» в разных местах с раз ной скоростью, т.е. можно говорить о четырехмерном пространстве времени). Вообще, в неэвклидовом пространстве нет ничего загадочного.

Например, на сферической поверхности геометрия не является эвклидовой.

Так, сумма углов треугольника не равна 180°, а непересекающихся прямых нет вообще, более того, кратчайшими расстояниями являются дуги окруж ностей. Конечно, представить себе замкнутое неэвклидово трехмерное пространство довольно трудно, но сравнительно небольшие отклонения от эвклидовой геометрии вполне наглядны.

Представление о том, что геометрия реального пространства (Вселенной) является эвклидовой (Евклид (III в. до н.э.) в его знамени том математическом сочинении «Начала») было обобщением по вседневного опыта, но при переходе к большим расстояниям или в случае измерений с достаточно высокой точностью вполне может оказаться не верным. Неэвклидова геометрия уже была создана к моменту появления ОТО (К. Гаусс (1777–1855), Н.И. Лобачевский (1792–1856), Я. Больяйи (1802–1860), Г. Риман (1826–1866)).

По ОТО установлено, что пространство (и пространство-время) и в самом деле не является эвклидовым, а опыт подтвердил это заключение.

Геометрия пространства-времени определяется материей, зависит от нее.

Можно сказать, что тяготение полностью отражается в отклонении гео метрии пространства-времени от эвклидовой. Отсюда особенно ясно, что поле тяготения отнюдь не сводится к кинематике, не может быть полно стью создано или «исключено» выбором СО. В самом деле, как бы мы ни выбирали СО (координаты) в эвклидовом пространстве, от этого простран ство неэвклидовым не станет. Иначе говоря, неэвклидовость пространства является признаком существования «истинного» поля тяготения.

7.2. Космология и ОТО. Стационарные и нестационарные модели Вселенной Космология – наука о Вселенной как едином целом, представление о мироздании, космогония – наука о развитии небесных тел и их систем.

Доэйнштейновская космология (стационарная однородная эвклидова (СОЭ) модель) столкнулась с большими затруднениями. Необходимо было отказаться, по крайней мере, от одного из «трех китов», на которые она опиралась, – от стационарности, однородности или эвклидовости про странства. Правда, имеется и еще одна возможность – видоизменить НТТ.

ОТО обобщила НТТ, устранив противоречие с принципом конечности скорости распространения любых взаимодействий. При этом выяснилось, что геометрия пространства не является, вообще говоря, эвклидовой.

В такой ситуации вполне естественно, что современная космология, базирующаяся на ОТО, начала свое развитие на пути отказа не от стацио нарности или однородности Вселенной, а от ее эвклидовости. Вселенная Эйнштейна, родившаяся в его работе 1917 г., – это замкнутый на себе, не изменяющийся во времени (его возраст бесконечен) трехмерный сфериче ский мир конечного объема.

Человечество живёт в мире, где положение любой точки определяет ся тремя её координатами точки в какой-то СО. Обычные для нас поверх ности являются двухмерными, а линии – одномерными образованиями.

Трехмерная сфера подобна двухмерной – можно сказать, что она является таким же переходом от обычной сферы, каким обычная (двухмерная) сфе ра является в отношении «одномерной сферы» – окружности. Никаких «краев» у трехмерной сферы, очевидно, нет, но ее объем конечен подобно тому, как конечна поверхность привычной нам двухмерной сферы. Уже на блюдения с Земли позволяют определить, является ли окружающее про странство эвклидовым или нет. Отклонение световых лучей вблизи Солнца доказывает, что некоторая «местная неэвклидовость» действительно имеется.

Для нахождения радиуса кривизны (трехмерной сферической) Все ленной необходимо измерять огромные расстояния порядка нескольких миллиардов световых лет. Неудивительно, что радиус кривизны Вселенной до сих пор не измерен и, более того, не доказано, что ее объем конечен.

Тем не менее уже можно утверждать, что если объем все же конечен (это вполне возможно), то радиус мира в нашу эпоху по порядку величины ра вен 1010 световых лет, т.е. равен 1025 м (отсюда объем V=22R2~1079 м3).

А.Эйнштейн попытался с помощью уравнений ОТО связать радиус кривизны Rэ и среднюю плотность вещества в мире э (индекс «э» – мо дель Эйнштейна). Выяснилось, однако, что уравнения для гравитационно го поля – метрического тензора gik не имеют соответствующего решения.

Казалось бы, что в рамках ОТО стационарная модель противоречива. Од нако уравнения допускают одно (и только одно) простое обобщение, а именно: к ним можно добавить член вида gik. Новый член в уравнениях ОТО получил название лямбда-члена (чаще пишут так: - член, используя не строчную, а прописную букву лямбда). Уравнения для поля gik с - чле ном уже имеют не зависящее от времени (стационарное или статическое) сферическое решение, причем радиус кривизны пространства Rэ =,а с 2 с средняя плотность материи в мире э = (т.е Rэ = ). Если 4G 4G э Rэ=1025 м, то =10-52 м-2 и э 10-26 кг/см3. Для газообразного водорода с та кой плотностью концентрация атомов равна примерно 0,1 м-3, т. е. один атом приходится на объем в 100 л. При атмосферном давлении и комнат ной температуре в таком объеме находится около 51034 атомов водорода.

Вся масса вещества в такой модели Мэ=22Rэ3э21053 кг, что в 1023 раз больше массы Солнца, равной 21030кг. Масса нашей Галактики, принад лежащей к числу больших спиральных галактик, 1011 масс Солнца, т.е. в мире А.Эйнштейна с выбранными выше параметрами могло бы находиться 1012 галактик, подобных нашей. Такого числа галактик в реальной Вселен ной не увидишь и в лучший существующий сейчас телескоп. Вместе с тем цифра 1012 в самом деле является разумной оценкой для существующего во Вселенной числа галактик.

Это не значит, что модель Эйнштейна подтвердилась. Напротив, бы ло выяснено, что эта модель не отвечает действительности, т.к. Вселенная нестационарна – она должна расширяться или сжиматься и ее свойства меняются во времени.

Исторически к выводу о расширении Вселенной пришли по двум путям – в результате наблюдений и теоретически (на основе ОТО). Только примерно в 1929 г. оба пути окончательно слились воедино. Теоретически это было показано, исходя из ОТО в 1922 г. российским ученым А.А.

Фридманом (1888–1925) почти без всякой связи с наблюдениями (более того – этот вывод не обязательно связан с ОТО, он вполне понятен уже в рамках ННТ (см. объяснение ниже)). Уравнения ОТО имеют решения, от вечающие однородному пространству, все расстояния в котором (скажем, расстояния между галактиками) изменяются во времени. Средняя плот ность вещества, заполняющего пространство, при этом соответственно уменьшается.

С точки зрения нестационарной космологии Фридмана, введение члена не необходимо и связано с внесением в теорию дополнительной не определенной постоянной, значение которой можно определить только из сопоставления получающихся формул с наблюдениями. Фридман не от бросил - член (хотя одно из общих правил физиков–теоретиков: если мо жешь не вводить лишней постоянной, то не вводи ее;

это обобщение из вестного правила-совета У. Оккама (1285–1349) – «бритвы Оккама»: «Не вводи новые сущности без надобности»), но оказалось ясным, что и без этого члена (т.е. при =0) существуют нестационарные решения. Для краткости такие модели без -члена будем называть фридмановскими. Во фридмановских моделях показывается, что при отличной от критической 3Н средней плотности вещества во Вселенной ( ) радиус кривизны про 8 G странства переменен: при плотности меньше критической, когда расшире ние продолжается неограниченно, общая кривизна пространства отрица тельна и его полный объем бесконечен;

в то же время при плотности, пре вышающей критическую, когда расширение сменяется сжатием, общая кривизна положительна и пространство имеет конечный объем. В первом случае говорят об открытом, а во втором – о замкнутом пространстве.

Кривизна открытого пространства уменьшается при расширении, а кри визна замкнутого пространства уменьшается при расширении и увеличи вается при сжатии. В промежуточном случае, когда плотность равна кри тической и расширение неограниченно, но скорость его постепенно уменьшается, стремясь к нулю, общая кривизна пространства равна нулю и оно является эвклидовым, так что его объем бесконечен. Эти модели по предположению, которое подтверждается наблюдениями, однородны и изотропны: средняя плотность вещества в них в данный момент времени везде одинакова, а все направления в пространстве – эквивалентны. Ус реднение при этом проводится по большому объему, включающему много галактик. Только в отношении таких больших масштабов и имеет место расширение или, конкретно, удаление галактик друг от друга. Солнечная система, наша Галактика и даже группы (скопления) близких галактик свя заны силами тяготения и в общем космологическом расширении не участ вуют, т.е. не расширяются. Ситуация в этом отношении аналогична рас ширению газа, состоящего из многоатомных молекул: расстояния между молекулами увеличиваются, но сами молекулы остаются неизменными, ибо атомы в них связаны между собой.


В науке обсуждается вопрос о темпах протекания и пределах про должительности процессов расширения и сжатия (поднимался также во прос и о существовании некоей «антигравитируюшей» среды для обосно вания стационарности Вселенной). Нестационарность моделей Вселенной, в которой действуют лишь силы тяготения, вполне понятна, она обуслов лена просто тем, что для равновесия (стационарности) нужно иметь силы двух типов – притяжения и отталкивания (например, в случае надутой ре зиновой камеры – давление воздуха стремится ее расширить, а силы упру гости в резиновой оболочке – сжать).

Оказалось, что и НТТ не только качественно, но даже количественно описывает ход расширения во фридмановских моделях. Этот результат не случаен. ОТО не «отменила» НТТ, она ее только обобщила и содержит в качестве предельного случая – случая слабых полей тяготения. Количест венное совпадение между классическим и релятивистским расчетами для фридмановских моделей связано с однородностью и изотропностью про странства в этих моделях.

Почему же такой простой факт не был так долго замечен? Все дело в бесконечности классических моделей. Говоря о радиусе, считали звездный шар конечным. Фактически в НТТ можно перейти и к бесконечной систе ме, причем результат не изменяется, но такой переход требует специально го анализа, предельного перехода от конечной системы к бесконечной.

ОТО обогнала в этом отношении НТТ именно потому, что в рамках ОТО бесконечные системы рассматривать легче, а кроме того, имеются и ко нечные по объему многомерные (сферические неэвклидовы) модели.

В 1929 г. наблюдениями было установлено, что скорость удаления V любых двух точек в любом направлении пропорциональна расстоянию между точками R: V=HR, где H – постоянная Хаббла (американским ас троном E. Hubble (1889–1953)). Этот вывод был сделан после обнаруже ния красного смещения (увеличения длины волны света) в спектре реги стрируемого излучения от звезд дальних галактик (для близких галактик такое смещение часто фиолетовое).

7.3. Некоторые следствия из ОТО Гравитационный дефект массы. В классической теории Ньютона (НТТ) гравитационная масса тела (т.е. масса, определяющая создаваемое им поле тяготения), равная, как уже отмечалось (лекция 6), инертной массе, представляет собой сумму масс покоя составляющих его частиц. В реляти вистской теории масса тела может быть больше суммарной массы покоя частиц (так как энергия их движения и энергия радиации создают вклад в полную массу) и меньше ее. Например, сравнительно небольшое умень шение или, как говорят, дефект массы атомных ядер связан с тем, что при объединении нуклонов (протонов и нейтронов) в ядро выделяется энергия их связи. Поскольку в релятивистской теории всякая энергия соответствует определенной массе E = Mc 2, то при этом уменьшается и масса. Совершенно аналогично при образова нии массивного тела выделяется гравитационная энергия, что также со провождается уменьшением массы. Таким образом, существует и гравита ционный дефект массы, который можно качественно понять, даже остава ясь в рамках НТТ и учитывая, если он мал, лишь СТО. Но, как показывает ОТО, дефект массы может быть настолько велик, что масса тела окажется равной нулю. В случае же ядерных и других известных сейчас взаи модействий это невозможно.

Если бы мы могли представить себе замкнутый мир (имеющий ко нечные размеры), как, например, помещенный в пространство гораздо больших размеров, то мы должны были бы считать, что масса шара равня ется нулю;

его наличие не проявлялось бы никакими внешними действия ми, из него не выходил бы «наружу» свет и никакие другие сигналы. Про изведем теперь мысленно некоторое изменение шара: «снимем» с него тонкий наружный сферический слой. Тогда окажется, что масса оставше гося шара уже не равна нулю, но она будет много меньше суммы масс по коя его частиц. Мы рассматриваем, конечно, не реальный мир, а просто теоретическую модель, причем считаем, что имеются лишь одни частицы, а радиацией и тепловой энергией можно пренебречь. Чем больше «сни маемый» слой, тем больше остающаяся масса. Она возрастает почти до по ловины суммарной массы покоя, а при «снятии» дальнейших слоев начи нает убывать, так сказать, нормальным образом. Такое причудливое пове дение шара объясняется тем, что гравитационный дефект массы для всего замкнутого мира полностью компенсирует его массу покоя и массу, свя занную с энергией расширения, а при «снятии» наружных слоев он уменьшается быстрее, чем суммарная масса покоя, и приближается к ну лю;

тогда становится применимой теория Ньютона. Такая часть замкнуто го мира была исследована советским физиком Я.Б. Зельдовичем (1914) и названа им «полузамкнутым миром».

В.А. Рубан исследовал другой случай, предсказываемый ОТО: рас ширяющийся или сжимающийся шар, гравитационная масса которого ни как не связана с суммарной массой покоя. Она вообще не создается части цами шара, как в НТТ, и представляет собой характеристику гравитацион ного поля, т.е. искривления пространства-времени. Такую особенность этой «геометрической» массы отмечает, называя ее «массой без массы», Дж. Уилер. Что касается массы покоя частиц и массы, связанной с энерги ей расширения или сжатия, то они целиком скомпенсированы гравитаци онным дефектом массы в каждом сферическом слое. Поэтому при «сня тии» слоев гравитационная масса шара Рубана не изменяется в отличие от «полузамкнутого мира».

В обоих разобранных примерах гравитационного дефекта массы – в теории мира А.А. Фридмана, являющейся продолжением в релятивист скую область ньютоновой теории гравитирующего шара, и в теории В.А.

Рубана, не имеющей никакого классического аналога, замечательно то об стоятельство, что вся масса системы может быть скомпенсирована. Это значит, что если такие объекты могут образоваться из обычных тел конеч ной массы, то при их образовании должна выделиться энергия, эквива лентная всей их массе.

Сфера (1916г.) Шварцшильда (1873–1916). Массивное тело создает гравитационное поле, которое на больших расстояниях мало отличается от классического ньютоновского поля. Различие возрастает по мере роста от 2GM 2GM =R ношения 2, где R – расстояние от центра тела. Величина r c Rc называется гравитационным радиусом тела. Для массы порядка солнечной Rr3103 м, а для земной Rr0,01 м. Если тело настолько плотно, что его ра диус меньше гравитационного, то другое тело может приблизиться к нему на расстояние Rr. При этом скорость падения, вычисляемая по ньютонов 1/ 2GM ской формуле v =, с, так что теория Ньютона совершенно R неприменима.

ОТО приводит в этом случае к целому ряду неожиданных результатов:

– тело, падающее извне, будет приближаться к сфере радиуса Rr (ее называют сферой Шварцшильда) в течение бесконечного времени по уда ленным часам;

– по часам, находящимся на этом падающем теле, оно пересечет сферу Шварцшильда и упадет на центральное тело за конечное время;

– если падающее тело излучает свет, то при его приближении к гра витационному радиусу красное смещение будет возрастать, а частота све та, принимаемого удаленным прибором, стремиться к нулю;

– фотоны, испущенные телом, вошедшим внутрь сферы Шварц шильда, оказываются «захваченными» полем тяготения;

они уже не могут выйти наружу, а движутся внутрь сферы Шварцшильда;

– фотон, у которого траектория полета проходит мимо центрального тела на расстоянии, меньшем 2,6Rr, также «захватывается». Предполагают, что в Метагалактике существуют тела, исчерпавшие свои источники энер гии, испытавшие после этого катастрофическое сжатие (коллапс) и, со гласно сказанному, застывшие (по нашим часам) на сфере Шварцшильда.

Однако надо сказать, что такие объекты, называемые «черными дырами», еще не обнаружены наблюдениями. Можно говорить лишь о косвенном экспериментальном подтверждении этой идеи. Например, фиксируя излу чение от какой-либо звезды, можно обнаружить его отсутствие в какой-то области пространства – своеобразную прореху в покрывале принимаемого излучения в месте расположения черной дыры.

Гравитационные волны. В ОТО изменения гравитационного поля, вызванные, например, перемещением масс, передаются на расстояние не мгновенно, как было в теории Ньютона. Они распространяются с той же скоростью, что и электромагнитные волны. В частности, при ряде физиче ских процессов могут возникать изменения метрики, распространяющиеся в пространстве волнообразно. Такие волны называются гравитационными.

Источниками гравитационных волн могут быть двойные звезды, пульсары, которые, по-видимому, представляют собой нейтронные звезды, быстро вращающиеся и колеблющиеся, а также активные ядра галактик.

Для справки: пульсары (открыты в 1967г.) – космические источни ки радио-, оптического, рентгеновского и гамма-излучения, приходящие на Землю в виде периодически повторяющихся всплесков;

у радиопульсаров (быстро вращающихся нейтронных звезд – предположительно состоят из нейтронов – масса близка к массе Солнца, но радиус составляет 1/50000 от солнечного (10–20 км)), периоды импульсов 0,03–4 с;

у рентге новских пульсаров (предположительно двойных звезд, где к нейтронной звезде перетекает вещество от второй, обычной звезды) периоды со ставляют несколько секунд и более.


Генерация и обнаружение гравитационных волн в принципе возмож ны и в лабораторных установках, например, при помощи быстро вращаю щихся массивных асимметричных тел (гироскопов).

Наиболее чувствительная установка, предназначенная для обнару жения гравитационных волн, построена Дж. Вебером. Она состоит из двух связанных друг с другом приборов, находящихся на расстоянии примерно тысячи километров. На установке, тщательно защищенной от случайных воздействий, он обнаружил ряд совпадающих по времени сигналов. Вебер считает, что эти совпадения не могут быть случайными, и полагает, что обнаруженные им сигналы создаются приходящими из мирового про странства гравитационными волнами. Если так, то в пространстве вокруг нас должно иметься довольно много гравитационных волн.

Гравитационные волны – тот пункт, в котором ОТО соприкасается с другой фундаментальной теорией современной физики – с квантовой тео рией. Подобно тому, как электромагнитным волнам соответствуют их кванты или частицы, фотоны, гравитационным волнам также должны от вечать согласно квантовой теории определенные частицы – кванты этих волн, которые были названы гравитонами.

Квантовая теория гравитационных волн впервые разрабатывалась М.П. Бронштейном (1906–1938). Оказалось, что гравитоны, так же как и фотоны, не имеют массы покоя и движутся со скоростью света. Как и дру гие частицы, гравитоны могут испытывать столкновения, отдавать или по лучать энергию и импульс. Д.Д. Иваненко (р.1904) и А.А. Соколов показа ли, что гравитоны могут при подходящих условиях превращаться, напри мер, в пару электрон–позитрон и, наоборот, электрон и позитрон, сталки ваясь и аннигилируя, могут превратиться в гравитоны. Это означает, что гравитационные волны, или гравитоны, и вообще гравитационное поле, характеризуя геометрические свойства пространства-времени, вместе с тем представляют собой некоторую особую форму материи.

Нужно, однако, подчеркнуть, что свойства гравитонов, предсказы ваемые теорией, как и само их существование, до сих пор не получили подтверждения в эксперименте или наблюдении.

ЛЕКЦИЯ 8. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 1. Общие свойства жидкостей и газов. Гидростатическое давление и сила Архимеда.

2. Уравнение неразрывности, уравнение Д. Бернулли и его следствия.

3. Вязкость (внутреннее трение). Характеристики и критерии определения режимов течения. Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей.

4. Стационарное течение жидкости в прямой трубе. Формула Ж. Пуазейля. Вискозиметр Оствальда-Пинкевича.

Определение коэффициента вязкости методом Стокса.

5. Поверхностное натяжение в жидкостях. Капиллярные явления.

6. Движение тел в жидкостях и газах.

8.1. Общие свойства жидкостей и газов.

Гидростатическое давление и сила Архимеда Раздел механики, изучающий движение жидкой среды и ее взаимо действие с твердыми телами, называется гидродинамикой (воздушной – аэродинамикой). Движение среды (жидкости, газа) называют течением, а саму движущуюся среду – потоком. Условия массопереноса при течении среды называются режимом течения. Режим течения, при котором век тор скорости в каждой точке постоянен по модулю и направлению, назы вается стационарным или установившимся, иначе – нестационарным.

Существуют различные способы классификации течений, например, по специфике поверхностей, ограничивающей область течения: течение жидкости со свободной поверхностью, с поверхностью раздела, вдоль проницаемой границы и т.п., что позволяет кратко описывать свойства этих течений и указывать методы их исследования.

Рис. 8. Линия тока – мысленно проведенная в потоке линия, касательная, в каждой точке которой совпадает по направлению с вектором скорости жидкости в этой точке. Линии тока, проходящие через замкнутый контур, образуют трубку тока (рис. 8.1). Часть (или весь) потока, ограниченного трубкой тока называется струйкой тока.

Отвлекаясь от строения среды, ее часто представляют сплошной, несжимаемой и без внутреннего (см. ниже) трения (в гидродинамике это – модель идеальной жидкости (плотность жидкости слабо зависит от дав ления)).

В отличие от твердых тел, жидкости и газы в состоянии равнове сия обычно не обладают упругостью формы, а лишь упругостью объе ма. Это значит, что газ и жидкость принимают форму сосуда, в котором находятся, но жидкость имеет определенный объем, а газ занимает весь объем сосуда, в котором находится (плотность газов сильно зависит от давления, а жидкостей – слабо). Исключение составляют жидкие пленки и поверхностные слои жидкости, где большую роль играет поверхност ное натяжение. Механические свойства газов и жидкостей таковы, что приложение сколь угодно малой касательной силы приводит к значитель ным смещениям их частиц друг относительно друга – в связи с этим гово рят о текучести жидкостей и газов.

FS F Рис. 8. Если в покоящуюся жидкость (газ) поместить тело, то независимо от того, как тело ориентировано, части жидкости, находящиеся по раз ные стороны от него, будут действовать на каждый его элемент с оди наковыми силами (рис. 8.2).

Эти силы будут направлены по нормали к элементу поверхности, так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движе ние. Отношение нормальной силы, действующей на единицу площади, на зывается давлением жидкости (газа): p=F/S (единица измерения Паскаль:

1Па=1Н/м2).

S p C h S P=mg Рис. 8. Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления внутри покоящейся жидкости. При равновесии жидкости давление по го ризонтали всегда одинаково, иначе равновесие отсутствовало бы. На осно вании вышесказанного можно сформулировать закон Б. Паскаля (1623– 1662): давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям (горизонтальным плоскостям) и одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью. Поэтому свободная по верхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок со суда.

Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давле ния, тогда при поперечном сечении столба жидкости S и его высоте h (глу бине погружения):

p = p p0 = P / S = gSh / S = gh, (8.1) где P – вес столба;

p – давление на нижнее основание мысленно выде ленного в жидкости цилиндра;

p0 – давление на верхнее основание мыс ленно выделенного в жидкости цилиндра (атмосферное на поверхности, где h=0).

Давление р называется гидростатическим, оно линейно растет с глубиной (рис. 8.3).

Некоторые твердые тела могут находиться в равновесии в жидкости, т.е. существует противоположно направленная весу тела выталкивающая сила, обусловленная гидростатическим давлением жидкости (рис. 8.4).

Эта сила названа архимедовой (Архимед (ок. 286–212 гг. до н.э.)).

Согласно закону Архимеда FA = g V, (8.2) h M C C FA V A A A P=mg Q Q=mж g Рис. 8. r равна весу вытесненной телом жидкости Q и приложена в центре масс А вытесненного объема жидкости, называемого центром плавучести тела (вы тесняемый объем V=Q/g называется водоизмещением судна). Для равнове сия необходимо, чтобы суммарный вес тела PQ, а центр плавучести А ле жал на одной вертикали с центром масс С тела. Равновесие будет устойчи вым для полностью погруженного в жидкость тела, если точка С лежит ни же точки А, а если тело погружено частично (судно), то равновесие будет устойчивым, если точка С лежит выше точки А. При качке точка А будет r изменять свое положение на А1 (Q будет приложена уже в А1), тогда возни r r кающая пара моментов сил Р и Q будет возвращать судно в исходное по r ложение, если линия действия силы Q пересекает ось симметрии судна в точке М (метацентр), находящейся выше точки С, и способствовать усиле нию крена (и перевороту судна), если метацентр М будет ниже точки С.

8.2. Уравнение неразрывности, уравнение Д. Бернулли и его следствия Рассмотрим стационарный поток жидкости в трубе. Массы жидко сти, проходящие через любое из поперечных сечений трубки тока в едини цу времени, равны (см. рис. 8.5):

= v dS.

=... = dm dm (8.3) 1 сек n сек nn dr 1=v1 dt dr 2 v2 dt = dS v dS v1 p p h h Рис. 8. Уравнение (8.3) называется уравнением неразрывности. Так как жидкость плохо сжимаема и ее плотность практически не зависит от давления, то будут равны и секундные объемные расходы:

dV = v dS = const.

n n Найдем закон изменения механической энергии применительно к уста новившемуся течению идеальной жидкости. Выделим в трубе произвольной конфигурации струйку тока (рис. 8.5). Рассмотрим изменения, происходящие за время dt. На жидкость действуют только силы давления и тяжести, причем работа сил давления, приложенных к боковой поверхности струйки, равна нулю (направление силы и перемещения перпендикулярны).

По закону изменения механической энергии (3.10):

A = dU + dT, A = p1dS1v1dt p2 dS 2v2 dt = ( p1 p2 )v1dS1dt где dV = v1dS1 = v2 dS 2, с учетом (8.4) dm 2 dT = (v2 v1 ), dU = dm g ( h2 h1 ), dm = dV = v1dS1dt а (8.5) Проводя преобразования, получают dm = (v2 v12 ) + g (h2 h1 ) ( p1 p2 ) v12 v + g h1 + p1 = + g h2 + p2, или 2 т.е.

v + g h + p = B = const (8.6) Уравнение (8.6) называется уравнением (1738г.) Д. Бернулли (1700–1782), где слагаемые называют: p – статическое, gh – гидроста v – динамическое давление (скоростной напор). Сумму тическое, v p0 = + p называют полным давлением.

Из уравнения (8.3) следует, что на участках горизонтально располо женной трубки тока (горизонтальной трубы) с меньшей площадью попе речного сечения скорость потока будет больше, и наоборот, а из уравнения (8.6) с учетом этого следует, что статическое давление больше в широких местах, где скорость меньше, и наоборот.

а) в) б) Рис. 8. Например, (рис. 8.6,а) жидкость поднимется выше в манометриче ском колене (манометре), соединенном с узким местом трубы, по которой идет стационарный поток газа (трубка, содержащая короткий участок меньшего сечения, называется трубкой Вентури);

уровень жидкости в ма нометре (рис. 8.6,б), соединенном с узким местом трубки Вентури, меньше.

Из рис. 8.6, а и 8.6,в ясно, что вода может увлекаться потоком газа, а газ – откачиваться из сосуда за счет увлечения потоком воды до p=100 мм.рт.ст.

(1 мм.рт.ст.=133,32 Па).

Рассмотрим истечение идеальной несжимаемой жидкости через ма лое отверстие в стенке или дне широкого сосуда (рис. 8.7). Частицы жид кости подходят к отверстию, имея скорости в поперечном направлении.

Из-за инерции это приводит к сжатию вытекающей струи. Во избежание этого предположим, что истечение происходит через трубку с закруглен ными краями, благодаря чему линии тока перед истечением меняют на правление на параллельное оси трубки и сжатия струи практически не воз никает (остается лишь поверхностное натяжение). В точке А (рис. 8.7) ско рость пренебрежимо мала (0), а в точке В высота 0, тогда уравнение (8.6) можно переписать в виде v p + g h = p +, v = 2 gh.

откуда (8.7) Формула (8.7) – формула Э. Торричелли (1608–1647).

A h B Рис. 8.7.

8.3. Вязкость (внутреннее трение). Характеристики и критерии определения режимов течения. Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей Возникновение внутреннего трения (вязкости) связано с передачей друг другу импульса частицами слоев среды, движущимися с различной скоростью и взаимодействием между самими частицами среды. Таким обра зом, один слой ускоряет второй, а второй, напротив, – тормозит первый с силой, определяемой законом И. Ньютона для внутреннего трения:

v F = S х F dv = = или, (8.8) S dn где (d) – разность скоростей соприкасающихся слоев (изменение r скорости в направлении внешней нормали n );

/x(d/dn) градиент (быстрота изменения) скорости вr направле нии Ох (скорость сдвига), перпендикулярном вектору скорости ;

S – площадь соприкосновения (чем больше площадь соприкоснове ния, тем больше сила);

– касательное напряжение (создаваемое касательной силой трения F);

– коэффициент пропорциональности – динамическая вязкость или просто вязкость [Пас] (=1/ называется текучестью).

Величина =/ называется кинематической вязкостью, где – плотность жидкости.

Единицы измерения динамической вязкости в системе СИ – Пас, кинематической – м2/с. Иногда встречаются значения, указанные в «ста рой» системе единиц СГС: для динамической вязкости – Пуаз (П, P), для кинематической – Стокс (Ст, St), 1Ст=10-4 м2/с.

Зная картину течения для одной системы тел, можно предсказать те чение для геометрически подобной системы.

При сравнении двух течений рассматривают следующие параметры:

rr r, r, 0,, l,,, g, зв, (или F), где, r – скорость и радиус-вектор в подобно расположенных точках потоков;

0 – характерная скорость пото ка (значение или функция скорости, с помощью которой удобно описы вать поведение потока, например, натекание из бесконечности);

l – харак терный линейный размер охватывающего пространства (например, d – диаметр трубы);

g – ускорение свободного падения;

0 – скорость звука в текущей среде. Все эти параметры объединяет шесть независимых безраз мерных комбинаций:

vr, v0 l l v0 lv Re = = и – число О. Рейнольдса (1842–1912);

(8.9) v F= – число У. Фруда (1810–1879);

(8.10) gl v M= – число Э. Маха (1838–1916);

(8.11) v зв v Sh = – число В. Струхаля (1850–1923). (8.12) l Согласно правилу размерности одна из этих безразмерных величин яв r r ляется функцией остальных: /0=( r /l, Re, F, M, S). Течения называют ме ханически или гидродинамически подобными, если совпадают 5 из этих комбинаций (6-я совпадет обязательно) – общий закон подобия течений.

Аналогичные (8.9)–(8.12) числа вводятся и для описания процессов тепломассообмена (критерии В. Нуссельта (1882–1957) – Nu, Л. Прандтля (1875–1953) – Pr, др.).

Число Рейнольдса (8.9) есть отношение кинетической энергии жид кости к потере этой энергии, обусловленной работой сил вязкости на ха рактерной длине:

=} l v (8.8) W ~ 1 v0 l, S l = v0 l 2, A = Fl = k l W k = Re = l v0 = lv т.е., A что определяет относительную роль инерции и вязкости при течении. При больших значениях Re основную роль играет инерция, при малых значени ях – вязкость.

Аналогичную роль играет число Фруда (8.10): определяет отношение кинетической энергии жидкости к работе силы тяжести на пути, равном характерной длине. Чем оно больше, тем больше роль инерции по сравне нию с тяжестью, и наоборот.

Течения подобны, если они имеют одинаковые числа Re и F. Прак тически заключение делают по сравнению величин чисел: что играет ос новную роль при течении – вязкость или тяжесть. При малых значениях Re основную роль играет вязкость, и наоборот.

а) Vmax=2Vср б) Vmax=1,23Vср Рис. 8. Ламинарным (слоистым) называют течение, когда частицы жид кости движутся вдоль прямолинейных траекторий, параллельных оси тру бы (параллельные слои не перемешиваются, все характеристики тече ния практически неизменны). Это течение характеризуется малым числом Re1000, наблюдается при малых скоростях течения. При 1000Re наблюдается неустойчивость – переход от ламинарного к турбулентному (вихревому) течению, характеристики которого быстро и нерегулярно изменяются во времени (флуктуируют), параллельные слои перемешива ются. При дальнейшем росте Re течение турбулентно. При описании тече ния жидкости в трубе используют приближение пограничного слоя: слой жидкости, примыкающий к стенке трубы, остается неподвижным, скоро сти последующих слоев возрастают и достигают максимума у оси трубы.

Причина этого – прилипание частиц жидкости за счет вязкости.

Толщина пограничного слоя не остается постоянной и зависит от свойств жидкости, формы обтекаемого тела, места на этом теле (передняя (лобовая, здесь меньше) или задняя часть обтекаемого тела (здесь больше)). На рис. 8.8 изображены профили усредненной скорости слоя при течении жидкости в трубе: а) ламинарном;

б) турбулентном.

8.4. Стационарное течение жидкости в прямой трубе.

Формула Ж. Пуазейля. Вискозиметр Оствальда-Пинкевича.

Определение коэффициента вязкости методом Стокса Пусть вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль прямолинейной ци линдрической трубы радиуса R. Линии тока параллельны оси трубы. Из условия несжимаемости следует, что скорость течения v одинакова вдоль всей трубы, но изменяется с расстоянием радиуса r от оси трубы (рис. 8.8), т.е. =(r). Примем ось трубы за ось Ох, направленную в сторону течения.

dx p(x) p(x+dx) Рис. 8. Рассмотрим малую часть трубы длиной dx (рис. 8.9). На боковую по верхность выделенного элемента жидкости действует касательная сила 4S dv 6 (8.8) вязкости dF = 2 r dx, кроме того, на основание цилиндра dr действует сила разности давлений dp dF = r 2 ( p ( x) p ( x + dx )) = r 2 dx.

p dx При стационарном течении сумма этих двух сил равна нулю, т.е.

dv dp 2 =r.

dr dx p1 p Тогда из dv = rdr (р1 – давление на входе трубы, р2 – на 2 l выходе, l – длина трубы) следует, что const } p1 p2 v= r+C.

2 l Константа интегрирования С находится из условия, что при r=R (у стенки трубы) скорость v=0.

Тогда p1 p2 2 v= (R r ), (8.13) 2 l Откуда скорость v максимальна у оси трубы (r=0, см. рис. 8.8), а при удалении от оси трубы меняется по параболическому закону.

Масса жидкости, ежесекундно протекающая в трубе через кольце вую площадку с внутренним радиусом r, а внешним r+dr, равна dQ=2rdr. Заменяя скорость v (8.13) и интегрируя, находят (ежесе кундный) расход жидкости в трубке:

p1 p2 R 2 2 p p2 l Q = ( R r )rdr = 1 R (8.14) 4 l Формула (8.14) – формула (1840г.) Ж. Пуазейля (1799–1869), хотя Ж. Пуазейль ее не выводил, а лишь исследовал течение жидкости в капил лярах экспериментально. Представляя формулу (8.14) с учетом формулы (8.13) и рис. 8.8 (вводя среднюю скорость потока) в виде Q=R ср/2, можно опытным путем определить вязкость жидкости. Формула (8.14) справедлива только для ламинарных течений. Для ньютоновских (струк турированных) жидкостей (подчиняющихся закону (8.8)) Qp (линейная зависимость). Для неньютоновских жидкостей (кровь, лимфа) зависимость Q=(p) нелинейна, что объясняется непостоянством коэффициента.

Формулу Пуазейля используют при определении (зависимости) вязкости жидкости (от температуры) путем сравнения с некоторой эталонной (индекс «0»), для которой известны значения вязкости 0(0=0/) при ряде температур.

Рис. 8. Вискозиметр Оствальда-Пинкевича (В.Ф. Оствальд (1853–1932), А.П. Пинкевич (1883–1939)) представляет собой U-образную стеклянную трубку (рис. 8.10) с двумя расширениями 1 и 2 и насосом 3, позволяющим перегнать жидкость из одного расширения в другое. Для двух жидкостей используются два идентичных вискозиметра. Так как путь l, проходимый жидкостями между расширениями одинаков, то, зная время (t и t0) ис течения одинакового объема (V=Qt=V0=Q0t0) жидкостей, из формулы (8.14) можно определить вязкость исследуемой жидкости:

Qt (8.14) =, Q0 t откуда 0 t = 0 (8.15) t или t = t, (8.15') при данной температуре Т. Зависимость =(T) (=(T)) является нелинейной.

Если шарик падает в жидкости, простирающейся безгранично по всем направлениям, не оставляя за собой никаких завихрений, то на него действует сила внутреннего трения, равная по закону (1851г.) Д.Г. Стокса (1819–1903):

F = 6rv, (8.16) где r – радиус шарика;

– его скорость.

Если шарик свободно падает в вязкой жидкости, то на него будут действовать сила тяжести mg=ШVg и выталкивающая сила (Архимеда) FA=ЖVg, равная весу вытесненной жидкости (V – объем шарика, Ш– плотность шарика, Ж – плотность жидкости). На основании второго зако на Ньютона с учетом соотношения (8.16) получают выражение v = Vg ЖVg 6rv.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.