авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК ПОД РЕДАКЦИЕЙ э.в. шпольского том XXIV ВЫПУСК ...»

-- [ Страница 2 ] --

Так или иначе легко одновременно указать температурную зави симость концентраций электронов и дырок, если считать, что уро вень химического потенциала проходит достаточно далеко и от ниж него края зоны проводимости, и от верхнего края почти заполнен ной полосы (что почти всегда имеет место).

Если через Л, как и в начале этого параграфа, обозначить ширину запрещенной зоны, то согласно уравнениям (2,13) и (2,14) концентрации электронов и дырок будут следующие:

«", (2,30) е кг р (2,31).

Для полного знания зависимости от необходимо еще знать в функции от Т. Во многих случаях, однако, относительное из менение химического потенциала с температурой очень мало. Поэтому уравнения (2,30) и (2,31) могут давать правильные зависимости от Г в довольно широких температурных областях, если приближенно считать не зависящим от температуры.

Если благодаря большому количеству примесей концентрация электронов проводимости или дырок станет порядка 10 1 9 —10 2 0 см~я, то наступит вырождение и все соотношения будут носить более сложный характер.

ТКОРИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ 3. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ В СЛАБОМ ПОЛЕ, ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕ СКИЕ, ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ II ТЕРЛЮМАГНПТНЫЕ ЭФФЕКТЫ 3 При рассмотрении кинетики электронных процессов главную роль играет понятие времени свободного пробега электронов г: это то время, в течение которого электрон в основном теряет составляю щую своего квазиимпульса в заданном направлении. Точнее, изме нение составляющей квазпимпульса в заданном направлении в еди ницу времени, благодаря рассеянию - может зависеть от скорости. Длина свободного пробега l = ~v.

Исследование полупроводников проводится, обычно, при таких высоких температурах, что рассеяние электронов, главным образом, происходит из-за тепловых колебаний атомов, а не из-за наличия примесей. Нашей задачей поэтому является определение вероятности рассеяния электрона, происходящего из-за наличия колебаний ато мов решетки.

В первом приближении силы, возвращающие атомы в положение равновесия, являются квазиупругими. Колебания поэтому носят гар монический характер. Если в кристалле имеется N элементарных ячеек и в каждой ячейке 5 атомов, то число степеней свободы всей системы равно 3Ns. Столько же будет независимых собственных коле баний с различными частотами. Собственное колебание кристалла, отвечающее частоте, имеет вид /;

= ek c o s (Qr/, — Й) ^~Ь?) ) (3,2) т. е. соответствует волне, бегущей через весь кристалл. В этой l формуле r k — радиус-вектор атома/е-сорта /-ой элементарной ячейки, и' А —смещение этого атома из положения равновесия, q — волновой вектор упругой волны (q—-^-'п, — длина волны, — единичный вектор распространения волны), е/{ — вектор поляризации.

Спектр упругих колебаний состоит из 35 ветвей". Каждой длине волны и направлению ее распространения соответствует 3s колеба ний, различающихся своей частотой и поляризацией. Из этих 3s ветвей только первые три (соответственно трем поляризациям) явля ются акустическими. Частота колебаний бесконечно длинных волн акустических колебаний равна нулю, и потому для длинных волн частота пропорциональна волновому вектору:

(3,3) (u—-wq, где w — скорость звука. К се остальные колебания, соответствующие данному волновому вектору, обладают большими частотами. Они называются оптическими колебаниями. Длинноволновые оптические колебания обладают не обращающимися в нуль, при с/^=0, частотами Б. И. ДАВЫДОВ И И. М. 1ИМУШКЕВИЧ. ( / = 4, 5,..., 3s). Эти предельные частоты по порядку величины близки к дебаевской частоте. Опыты с остаточными лучами показы вают, что величина 0 -— ~ в различных веществах колеблется от до 1 500° К.

В двухатомной решетке (водной элементарной ячейке находятся два атома) при акустических длинноволновых колебаниях соседние атомы колеблются приблизительно в одной фазе, оптических же колеба ниях с блчьшой длиной волны фазы соседних атомов пли ионов смещены примерно на полпериода. В этом случае длинноволновые оптические колеба ния можно представлять себе как колебания решетки, составленной из атомов одного только сорта (находящихся в соответ ствующих им узлах) по отношению ко всей совокупности атомов другого сорта.

С уменьшением длины волны разность фаз колебаний соседних атомов уменьшается.

Поэтому с возрастанием q частота оптиче ских колебаний уменьшается (так как уменьшается сила, возвращающая атомы в положение равновесия).

Характерный вид зависимости частоты с от волнового вектора q о изображен на рис. 7. Нижняя кривая соответствует акустической ветви, верхняя — оптической. В кубической решетке и для малых q можно определить эту зависимость (для оптической ветви) путем разложения в ряд по составляющим волнового вектора qv q Именно:

=: + ' (3-4) ik В силу кубической симметрии решетки материальный вектор с ком понентами, равен нулю, а тензор второго ранга п1к вырождается в скаляр. (3,4) мы можем поэтому переписать следующим образом;

(Дг) =---(1 — асАА где /;

— расстояние между соседними атомами, а а — безразмерный коэфнцпент, который по порядку величины равен - - ;

— ширина • оптической ветви колебании.

Произвольное смещение любой частицы решетки можно предста вить в виде суперпозиции всех собственных колебаний с различными амплитудами:

Для удобства мы перешли к комплексной форме записи;

но этим же причинам введен нормировочный множитель ——. Временные мно 1 Лг ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ жители c~imt и eJ-'imt включены в амплитуды- а, и я*. соответственно.

При этом векторы поляризации удовлетворяют соотношению орто гональности ^mk^je,,j, =-0 при ]]. (3,7) /г Их можно еще нормировать, положив Полная энергия колебаний кристалла, т. е. сумма потенциаль ной и кинетической энергий, выражается следующим образом через амплитуду aqj и d:qj:

Полагая получаем где /. имеет вид гамильтоновой функции осциллятора с собственной частотой, и массой 1. При переходе к квантовомеханическому описанию • и, трактуются как операторы координаты и импульса соответствующего (упругого осциллятора;

. Как известно из кван товой механики, энергия такого осциллятора где М( / — колебательное квантовое число. Если осциллятор ^/'находится в TV-ом квантовом состоянии, то принято говорить, что имеется ' фононов сорта qj. Каждому фонону, кроме энергии lico^., можно приписать еще импульс frq. Нзапмодейсгвуя с упругими колебаниями, электрон может поглотить или испустить фоной. Вероятность такигк перехода определяется согласно теории возмущений и равна W=-= \\ - 5 (sp, — гр ·- 1шс,;

), (3,13) где \и\—матричный элемент энергии взаимодействия электрона с упругими колебаниями. Он отличен от ПУЛЯ ТОЛЬКО В ТОМ случае, когда р':. p ^ h q ;

(3,14) функция у, с 5 имеет очень острый максимум, когда ее аргумент равен нулю, и вдали от этой точки почти равна нулю. Поэтому 40 Б. Н. ДАВЫДОВ II И.. ШМУШКЕВНЧ Таким образом, в процессах столкновения электронов с фононами имеют место законы сохранения квазиимпульса (3,14) и энергии (3,15). Верхние знаки перед. н hq в формулах (3,13), (3,14) и (3,151 относятся к поглощению фонона, нижние—-к испусканию.

Соответственно изложенному выше мы рассмотрим отдельно по лупроводники с простой атомной решеткой (в элементарной ячей к е — один атом), обладающие только акустическими колебаниями.

и полупроводники с ионной решеткой.

Л. ПОЛУПРОВОДНИКИ С АТОМНОЙ РЕШЕТКОЙ Из законов сохранения (3,14) и (3,15), с помощью соотноше нии — {г— и u = -wq, получаем:

J 1т ' '2Р cos ». (3,16) Верхние знаки относятся к поглощению фонона, нижние-—к испус канию, fl — угол между векторами и q. Так как скорость звука w много меньше средней скорости электронов v=—, то первым членом в правой части (3,16) можно пренебречь для подавляющего большинства электронов. В таком случае по порядку величины Ьш —-= ]iwq == mvw.

5 (3,17) В самом деле, средняя энергии электронов в зоне проводимости = kT и, следовательно, средний квазиимнульс /;

=к \ mkT. Поэтому & JL ^ t ^ i/-*ZL. (3,18) = mw mw У mw' Если для скорости звука взять 2 • 10г см сек, то при комнатных температурах -—г, = 0,001.

Из уравнения (3,16) мы также заключаем, что во взаимодействии с электронами играют роль, главным образом, те фонопы, им пульс которых ~- ] mkT. Соответствующая этому импульсу длина волны упругого колебания -h ') (3,19) гораздо больше постоянной решетки. Но для таких длинных волн можно не только оценить порядок величины матричного элемента | и |, входящего в вероятность перехода (3,13), но и определить его зависимость от q. He приводя вычислений8, дадим сразу результат:

вероятность перехода оказывается пропорциональной волновому век тору q, и для испускания электроном фонона она равна W- :-- - i Woq (Nq -j- 1) ? ( - -f- Ъад). (3,20) ГКОРНЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ Для поглощения фонона W,. ^--- ~ WtiqN4i (' — з — Ь(0(/). (3,21) По порядку величины где Vn — величина порядка УГОМНОЙ энергии, /И — масса атома.

N в знаменателе формул (3,20) и (3,21)—число атомов в кристалле (не путать с N —числом фононов). Таким образом, вероятность поглощения фонона пропорциональна числу имеющихся фононов данно го сорта, а вероятность испускания складывается из вероятности спон танного испускания и вероятности индуцированного испускания, причем последняя также пропорциональна Ng.

Так как решетку ли считаем находящейся в состоянии тепло вого равновесия, то Nq есть функция Планка екТ Теперь мы можем перейти к кинетическому уравнению для электро нов в зоне проводимости. Оно имеет вид:

^ _ i _ v. T / + ' ( e V ! p — - |, \)/, (3,24) (b — a)f.

Здесь —электрический потенциал внешнего поля, — магнитное поле, V означает градиент в обычном пространстве, — в про странстве квазиимпульсов. Члены -Y/-J- -[, Hjj V,/ да ют уменьшение числа электронов в единице объема фазового про странства под влиянием внешнего поля и градиента концентрации.

(Ь — в)/означает перевес числа электронов, входящих в результате столкновений с фопонами, в единицу объема фазового простран ства, над электронами, выходящими по тем же причинам из этого объема.

Аналогично электронам число колебаний в элементе объему dt]xdqydq, равно [см. формулу (2,4)] ^ y Поэтому _ a)f= ! J J 4[ / ( р _j_b q ) (N/ _^_ !} (Ь (' — — ?) dqx dqy dqz -p + J^?[/(—bq)N g —f(p)(N q J r \)] • 5(3—s'- \uti)dqxdqydqz}. (3,20, При написании этого уравнения мы предположили, что концентра ция электронов в зоне проводимости так мала, что можно пре 42 R. И. ДАВЫДОВ И И. М. ШМУШК1Л1ИЧ небречь принципом Паули. Поэтому легко видеть, что в стационар ном случае (— ==0) и при отсутствии внешнего возмущения [левая часть уравнения (3,24) равна нулю] макспелловская функция fu--= --ekT обращает (b— a)f в нуль. В этом параграфе мы будем предполагать, что внешнее электрическое поле, а также градиент концентрации так малы, что функция распределения мало отли чается от равновесной. Тогда можно положить причем мало по сравнению с / и.

Так как члены ·/-|-· / в левой части уравнения (3,24) не обращаются в нуль при подстановке / 0 вместо /, то в них мы можем пренебречь поправочной функцией у. Наоборот, в правой части уравнения (3,24) и в том члене левой части, который содер жит магнитное поле Н, мы должны удержать функцию у, так как (Ь — а)/о = О и |, ] / 0 = 0. Таким образом, магнитное поле лишь постольку вызывает изменение в функции распределения, поскольку последняя отлична от равновесной. Поэтому в дальнейшем можно будет получать результаты, годные не только для слабого магнит ного поля, но и для сильного.

Итак, в стационарном случае:

· / + * · \pfu - j [, Xpy == (b - ) у, (3,26) Относительно функции у сделаем предположение, что она имеет вид:

='ii!p.j_, (3,27) Zr где j —вектор, зависящий лишь от энергии электрона, но не от направления его квазиимпульса. Переходя к сферическим координа там в (/-пространстве, с осью Z, совпадающей с направлением вектора р, имеем:

(I) — а) у -••= "." • ~ \ \ J _ (Z-\-Ti'S)) У _ ( ;

W, | ^ X ( j ^\-Щ j) I ~ -j- ^ cos i\ — liwq j q* dq sin 0 dH as -\ f Jl"y_ (;

- Щ (Pj-tyj) - У ( г ) - Р / К % + 1) X j | _.b-'?;

-. !_1Zi c o s {) _ kwg ^з. d q 3 i n у rff} ^ I (3 28) x J/n- ' m- 'J J ' где, как и раньше, 0 — объем элементарной ячейки кристалла.

Интегрирование по углам выполняется легко. В самом деле:

I 5 4- ^ - -•!- ^ cos & — fovq sin {I rf9 rfa =•: '-^-. (3,29) ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ cos cos s n sul cos гд е Г()Л Далее, а • — ' q ( ^ ^' 4~~ ' ^ ^' 'f) - ''*'" "' У между векторами и j. Так как cos = 0, ТО гг—— -\~ -t-^- COS ) iiZi!)ff i Sill ft fl[(0- " Oil-'— ' ij \ Aff'l ill I i t b.j -}- н;

да 2r.ni • (3,30) — i/ COS ' bpq Все это подставляется в (3,28). При этом границы интегрирования определяются из уравнения (3,16) 2р ± 2nw _^ min ' imai Итак, (3,31) В подинтегралышм выражении можно пренебречь mw по сравнению с Ь/, ибо последнее =^ ]///Г. Далее, так как = \/mkT !см. (3,17)], то можно, во-первых, пренебречь tico по сравнению с г в аргументе функций _/(г-)-1ш) и у (г — tua) и, -вторых. раз, \\wq ловчить плапковскую функцию по степеням, ограничившись первым, не равным нулю, членом.

После таких упрощений интегрирование выполняется элементарно н дает:

Легко показать, что совпадает с определенным в начале этого параграфа временем свободного пробега. Существенно для дальней шего, что оно обратно пропорционально температуре и скорости электрона. Длина свободного пробега поэтому не зависит от энергии.

,, Mw- та- ша r -''wЬ _ (3,33) К Mw"- ma- ^ · 1, порядка атом порядка единицы, а 44 Б. и. ДАВЫДОВ н и. м. ШМУШКЕВИЧ ной энергии);

поэтому длина свободного пробега гораздо больше постоянной решетки.

— А Функция / 0 = ;

*, следовательно, ^ 7 4 - ( - ) ] ^, (3,34) 3'35) Virf^i-!· При подстановке (3,32), (3,33), (3,34) и (3,35) в уравнение (3,27) вектор сокращается. Этим оправдывается предположение (3,27) о виде функции у. Остающееся после сокращения уравне ние для определения вектора j имеет вид:

(3,36) Очевидно, такое же уравнение будет для дырок в почти заполнен ной полосе. Разница только в том, что знак заряда у дырок дру гой. Так же, как и массу, длину свободного пробега дырок и век тор j снабдим знаком -j- в отличие от электронов, у которых эти же величины снабжены знаком —. Вспоминая, что химический потенциал дырок в отсутствии внешнего поля равен — S E —..

имеем + ( ^+) ' ) - - ^ [H,jJ = -gj +. (3,37) С помощью уравнений (3,36) и (3,37) можно рассчитать все инте ресующие нас эффекты.

а. Электропроводность Магнитное поле Н---—0, температура и концентрация всюду оди наковы. Полупроводник находится и однородном электрическом поле Е = — Vcp, направление которого примем за ось X. С помощью уравнений (3,36) и (3,37) находим:

(3 38) eEl ' -p ' (If., ' (3 39) еЕ ' ж +т Плотность электрического тока 00 O 4» /+ 2 frf/' | ( 1 - 2 Cdf 3 ( in -ь № J· dz iti— h^ J di j ТЬОРИЯ ЭЧГ.К1 РОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ Учитывая, что тп —, по =. я- " i\ чаем отсюда электропроводность (3,41') Подвижность электронов и дырок 4г/ (3,42) и гг. = - — 31 2г.т~кГ Если длина свободного пробега эчсчтронов и дырок обратно пропорциональна температуре, то подвижность и ывная зависимость элекфопроводности or leMnepaijpi заключена в мпожитетяч п_ и (ести даншлй полупроводник не является примесным металлом/ и если мы находимся в области гемтюра, дгпеких от насыщения) Как было установлено во втором разделе, концентрации электронов и дырок экспоненциально возрастают _ _ I и. | AF - | с температурой: именно,. ^= е и л + ^= е. Так ' ' как обычно концентрация носителей 1аряда одного знака гораздо больше концентрации носителей другого знака, то по такому же экспоненциальному закону возрастает с 1емпературой и электропроводность. Igc Если откладывать по оси абсцисс 1' Т, а по оси ординат ]g3, то гра фик зависимости электропроводности от температуры будет прямой линией.

Тангенс угла наклона этой прямой к оси X (умноженный на k) равен химическому потенциалу носителей, обусловливающих проводимость полу ± проводника (электронов или дырок). Рис. 8 При низких температурах этот химиче ский потенциал приблизительно равен половине расстояния от соот ветствующей разрешенной полосы до уровня примесей (предположим, для простоты, что в запретной зоне все локальные уровни проходят на одной высоте). При высоких температурах он равен половине ширины всей запретной зоны. Поэтому график зависимости lg or \\Т имеет характерный вид кривой // на рис. 8. Грубо говоря, эта кривая состоит из двух прямых, плавно переходящих одна в другую.

Прямая /, являющаяся асимптотой для кривой // при высоких температурах, дает зависимость lg от \\Т для чистых полупровод пиков, лишенных примесей. Подобные кривые получались в опытах 46 Б. И. ДАВЫДОВ И И. * !. ШМУШКЕВИЧ Жузе и Курчатова9, которые изучали влияние примесей и темпера туры на электропроводность закиси меди (Си3О). По их измерениям ширина запретной зоны в этом полупроводнике равна 1,44 eV.

б. Т е р м о э л е к т р о д в и ж у щ а я сила Магнитное поле попрежнему считаем равным нулю. В таком случае (3,43) ^ [ (3,44) Плотность тока со Зт+ (3,45) Интегрирование дает:

(3,46) Термоэлектродвижущая сила измеряется при токе, равном нулю.

При этом условии находим:

(3,47) Пусть наш проводник находится между двумя металлическими электродами, сделанными из одинакового материала, и пусть рас пределение температуры таково, как указано на рис. 9. Отрезок be соответствует полупроводнику, ab и cd — металлические элек троды, крайние точки которых а и d находятся при одинаковой температуре. В месте соприкосно вения металла с полупроводни ками имеются контактные разно сти потенциалов, вследствие чего " ' *" в этих точках испытывает ска Рис. 9 чок;

однако, — — непрерывно.

Так как, с другой стороны, металл в точках a n d находится в одинаковом состоянии, то Me = Md- Поэтому, чтобы получить полную электродвижущую силу, надо проинтегрировать (3,47) ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ по всей цепи от а Аола. Термо-эдс, вносимая металлом, очень мала;

ею можно пренебречь, и тогда Ъ 2kT—y. 2kT-\-(bE+y.) "_И_ = = П+11+ 0= dT= J ° Г, -fit"-(ч-** ^) (3,48) T.

Если концентрация носителей одного знака гораздо больше концентрации носителей другого знака, то формула (3,48) сильно упрощается. В этом случае Если приближенно = (где АЕ—ширина запретной зоны -^-kT или расстояние от края разрешенной полосы до примесного уровня), то 0==±^lg^· (3,50) В формулах (3,49) и (3,50) верхние знаки относятся к электро нам, нижние к дыркам. Из формулы (3,48) видно, что дырки ча стично компенсируют термо-эдс, создаваемую электронами, и могут даже изменить знак ее. Это понятно, поскольку и электроны и дырки диффундируют от горячего конца полупроводника к хо лодному.

Мы уже знаем, что введение примесей меняет концентрацию и электронов и дырок. В последнее время Ю. П. Маслаковцу (ЛФТИ) удается 3 концентрации серы в сернистом свинце изменять характер проводимости с электронного на дырочный. При этом меняется знак термо-эдс.

в. Э ф ф е к т ы Т о м с о н а и Пельтье При Н = 0 найдем также вектор плотности потока энергии S (3,51) К потоку энергии, переносимой электронами, мы должны прибавить тепло, переносимое самой решеткой;

0 — коэфициент ее теплопро водности. С помощью формул -(3,26), (3,28), (3,36), (3,37), (3,43) 4-8 Б. И. ДАВЫДОВ И И. М. ШМУШКЕВИЧ л (3,44) находим: щ (3,52) Подставляя в эту формулу ( — ез) из (3,46), получаем (3,53) где [2fe7·—] — л + м + [ 2 + lg ——, — — п + u+kT 2 -Mg г, — n-u-kT L ^r J L ! I (3,54) f^Lt : · '—Щ=—-.(3,55) v ' n+u+ -\-n-u- ' e e eT — полная теплопроводность кристалла.

В стационарном состоянии d i v S = 0 и divi = 0. Поэтому при переходе из одного тела в другое нормальные составляющие век торов S и i непрерывны. Если — — также непрерывно, то из (3,53) следует:..

- у., (V Т)щ, + 7.2 (V Т)п 2 = (П, - П2) L (3,56) Это равенство означает, что (П1 — П2) i есть тепло, выделяемое в 1 сек. в месте контакта (тепло Пельтье), которое отводится тепло проводностью [левая часть уравнения (3,56)]. Если речь идет о контакте между полупроводником и ' металлом, то коэфициентом Пельтье для металла WM можно пренебречь, так как он значительно меньше коэфициента Пельтье для полупроводника П л.

Аналогичным образом имеем:

div S = iV — f ) — iVII — div {xVT). (3,57) Подставляя V(p — ~) из (3,46), имеем / TT \ •Vr. (3,58) Таким образом, при наличии градиента температуры в единице объема, кроме джоулевого тепла —, выделяется еще тепло Том Gf •сона ai-Vr. Величина ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ " называется коэфициентом Томсона. Формулы (3,48), (3,54) и (3,59) находятся в согласии с термодинамическими соотношениями Онза гера-Томсона. Как и для термо-эдс, наличие, кроме электронов, ды рок уменьшает эффекты Томсона и Пельтье. Если имеются только электроны, то формулы упрощаются:

(3,60) При наличии одних дырок \"i" u ;

— ' dT J' e\ В том же приближении, в каком верна формула (3,50), имеем П= ± ^, = + · | § ;

(3,64) верхние знаки относятся к электронным (в узком смысле слова), нижние — к дырочным полупроводникам.

г. Э ф ф е к т Холла и эффект Нернста При наличии магнитного поля уравнения 3,36) и (3,37) имеют следующие решения:

ср ^. (3-65) 4 Успехи физических наук, т. XXIV, вып 1.

50 Б. И. ДАВЫДОВ И И. М. ШМУШКЕВИЧ В случае слабого магнитного поля, когда можно пренебречь квадратичными членами относительно Н, имеем:

(3 67) e_U M^+jO -(-,)]}. (3,68) Плотность тока +§ ( ) ]. (3,69) Плотность потока энергии. (3,70) Из уравнения (3,69), в том же приближении (пренебрегая выс шими степенями И), находим следующее выражение для V ( — — ):

) = - • — —VT—RU, ] — Q[H, V7], (3,71) [±— где 3« я ^ и ^ — ^ „ « ^ (3,72) 8ге (/г+и+ -\- n-u- ' ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ Зт. п+и+ -п-и- (и+ 4- и-) ' rfe • — термо-эдс, приходящаяся на один градус разности температур ™ [см. (3,48)]..

Если в полупроводнике в направлении оси X идет ток, а пер пендикулярно ему по оси включено магнитное поле, то в направ лении оси возникает электрическое поле (поперечное холлорское поле).

(3,74) E,, — — —=RHJ.

.

У ду Полупроводник при этом предполагается равномерно нагретым — V r = = 0. Это явление называется эффектом Холла, а величина R — по стоянной Холла [см. (3,72)]. В случае одного рода носителей (375) R=± ic7b измерения над эффектом Холла позволяют определить концентрацию электронов или дырок [в формуле (3,75) -\- относится к дыркам, — к электронам].

В отличие от изотермического эффекта Холла, который мы сейчас рассматривали, на опыте благодаря теплонепроницаемости боковых стенок могут иногда осуществляться условия так называемого адиа батического эффекта Холла, при котором Sy=0.

Если вместо электрического тока имеется градиент температуры, в направлении оси X, то перпендикулярно ему и магнитному полю (направленному по оси Z) также возникает электрическое поле ^ = — QH,z- (3,76) ^ г dx v/ У ду Это явление называется эффектом Нернста, а величина Q—постоян ной Нернста [см. (3,73)].

д. Изменение сопротивления в слабом магнитном поле Удельное сопротивление есть отношение составляющей напря женности электрического поля, в направлении вектора плотности тока, к величине плотности тока:

(3,77) P^-f.

Из формулы (3,69) при ? 7 " = 0 имеем:

52 Б. И. ДАВЫДОВ И И. М. ШМУШКЕВИЧ т. е. изменения сопротивления нет. Чтобы получить его, надо при разложении выражений (3,65) и (3,66) по степеням сохранить еще следующие члены разложения. Оставляя квадратичные и кубические члены относительно и полагая V r = 0, имеем:

, (3,79) V»[H, E ] l. (3,80) Плотность тока = + ^(«_«2_-« + « + )[, EJ + 3 + - « - + «+« +)[,, ] ] «_«L — « + и 4 + ) Я 2 [ Н, Е]. (3,81) Отсюда с той же степенью точности находим:

п+и2+—п_и2_ ( i 1 -4 8се (л+и++Я-И-) Я+ И + -Л_М2_(И+—Ы._) + Л+ М + -Л_И_ (И+ — И?

8it \ "" [l6c2"n_u_ + n+u+ 64c2* ( г е и r a M )2J " J ' [ Следовательно, Я _ Й ^ + Л+Й3+ i-E 1( Г (, I и если магнитное поле перпендикулярно току, то (л_«1-л + и 2 + )2] р-ро 9«?//»| l b c 2 rf I v + + Ро ' ~ —' 4 л_и_-|-л+и+ J \/ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ Магнитное поле, параллельное току, не вызывает изменения со противления, как это легко видеть из формулы (3,83). Из уравне ния (3,82) находим также, что постоянная Холла л+и+п_и 3 ( [ п_и2_ )/г_м_)2 \ ^ 8 [ 8 ' ( + 2 \ е. С о п р о т и в л е н и е и э ф ф е к т Х о л л а в сильном магнитном поле Если, наоборот, магнитное поле очень велико, то можно выражения (3,65) и (3,66) разложить по степеням тт · Тогда Плотность тока /"32 (пе е.,гс „, пе\ /г_е\1 (, ) | (3 88),,„ „ „ J|S|· ' Решая это уравнение относительно Е, имеем гн 32с 7^,Л (3,89) 9 п+и+тП и - - L V t + 't П m I.

Отсюда постоянная Холла г- (3,90) R=—,— v се(п+— л_) '' Сопротивление в поле //, перпендикулярном току, 32 Г+^Г_ ;

54 в. и. ДАВЫДОВ и и. м. ШМУШКЕВИЧ Продольный эффект отсутствует, т. е. магнитное поле, параллельное току, не вызывает изменения сопротивления.

Физически оазличие между движением электронов в слабом магнит ном поле и в сильном сводится к тому, что в слабом поле траектория электрона за время свободного пути лишь слегка искривляется, тогда как в сильном поле электрон успевает за это время описать несколько витков наклонной винтовой линии, по которой он двигается.

Следует сказать, что приведенные выше расчеты не являются вполне общими, ибо гальваномагнитные эффекты сильно зависят от имеющейся в кристалле анизотропии. Мы же ограничились рассмотре нием кубической решетки, в которой тензор обратной массы тт^ сводится к одному скаляру.

В заключение укажем, что большинство приведенных в этом параграфе формул для полупроводников с атомной решеткой, при на личии носителей обоих знаков, было выведено ранее Н. Л. Писаренко (ЛФТИ).

Б. П О Л У П Р О В О Д Н И К И С ИОННОЙ РЕШЕТКОЙ В качестве простейшего случая рассмотрим кубическую двух атомную решетку, в узлах которой находятся ионы с массами М+ и М_ и зарядами Ze и — Z e. Расстояние между соседними ионами обозначим через а. Объем элементарной ячейки такого кристалла 0 = 2 8. Как уже говорилось в начале этого раздела, взаимодействие электронов с оптическими колебаниями больше, чем с акустическими.

Эти последние поэтому можно совсем не учитывать.

Возникающий при оптических колебаниях решетки дипольный момент, приходящийся на единицу объема вблизи /-ой ячейки, + = 6 -. (3,92) Отличие от единицы определяется деформацией электронных обо лочек при колебаниях ионов. Для не слишком сильно выраженных гетерополярных соединений, вероятно, может быть значительно меньше единицы. Вместо и'+ и и' следует подставить их разложения по собственным колебаниям решетки (3,6). Поскольку для дальней шего существенны только длинноволновые колебания, то можно считать непрерывной функцией координат. В таком случае возникающий при колебаниях дополнительный потенциал удовлетворяет уравне нию Пуассона 2 = 4(. (3,93) Решая это уравнение, мы находим энергию возмущения (3,94) U=— еФ, матричный элемент которой определяет вероятность перехода. Вы численные с помощью (3,94) вероятности перехода равны: для по глощения электроном фонона ^p, — sp — ^uq) (3,95). ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ и для испускания фонона —j— 1) (s, — -j-k(o ), (3,96) W~ = w(N где (2)322* + ·_ При этом оказывается, что взаимодействуют с электронами только продольные колебания. Так как в двухатомных решетках имеется всего только три оптических ветви (соответственно трем поляризациям), то нам придется иметь дело только с одной ветвью. Мы не будем приводить здесь подробного решения кинетического уравнения, как это было сделано для атомной решетки, а ограничимся указаниями на имеющиеся различия. Изменение энергии электрона при погло щении или испускании акустического фонона очень мало по сравнению с энергией электрона. Для оптических же колебаний величина Ь'о может быть в различных кристаллах и при различных температурах либо меньше, либо больше, чем средняя энергия электрона. о 0 — пре дельная частота продольных оптических колебаний.

Если kT^ii(i0, то для подавляющего количества электронов изменение энергии при поглощении или испускании фонона незна чительно. Если же &Г^Ьш0, то почти все электроны могут только поглощать фононы, переходя при этом в интервал энергии от до 2h(o0, т. е. очень сильно изменяя свою энергию. Испуская фононы, электроны из второго интервала будут переходить обратно в первый.

Электрон, однако, с гораздо большей вероятностью переходит из второго интервала в первый, чем обратно, так как вероятность испускания содержит множитель N -(- 1, который при низких темпе ратурах гораздо больше, чем соответствующий множитель N в пе N4-1 — роятности испускания:—9г^— = е * г. Поэтому время пребывания электрона во втором интервале настолько мало, что мы можем считать, что электрон сразу, после поглощения фонона, испускает другой фонон почти той же энергии (но не в точности такой же, посколь ку зависит от q;

это существенно для установления стационар ного распределения электронов, хотя явно не входит в вычисления в случае слабого электрического поля). В результате такого двой ного перехода электрон попадает в состояние, в котором его энер гия почти не отличается от исходной, но направление квазиимпульса может сильно измениться. Таким образом, можно попрежнему счи тать, что в результате взаимодействия с колебаниями решетки электрон рассеивается, почти не меняя энергии. Благодаря этому упрощению кинетическое уравнение можно приближенно решить в обоих предельных случаях низких и высоких температур по отно шению к температуре = -~.

Функцию распределения /, как и раньше, положим равной / 0 -\- у, (AE+) + (+p) + V кт кт где' / 0 = е для электронов и /о = е для дырок 56 Б. И. ДАВЫДОВ И И. М. ШМУШКЕВИЧ а = -^2 · j.

-- Векторы j и j _ удовлетворяют уравнениям (3,36) + и (3,37). Длину свободного пробега, фигурирующую в правых частях этих уравнений, мы приведем без вывода.

При При, М / ha0 \ 2 _^ а_ / Ьо0 \ 2 е (3 9 8 ) а ^)4 '?0" П РИ так как N -\- у = ^ Все эффекты, рассмотренные для атомной решетки, можно легко рассчитать и для ионных решеток в указанных двух предельных случа ях. В промежуточной области все интересующие нас величины можно находить интерполяцией. Вычисления в этом случае аналогичны про деланным для атомной решетки, и мы приводим сразу результаты.

Фигурирующую при этом в формулах (3,97) и (3,98) величину iL. _ /_J!!L\ имеющую размерность длины и не зависящую от тем 2 m т Zei j \ aJ.

пературы, м обозначим для удобства через /0.

ы а. Электропроводность о=е(я+к++я_и_). (3,99) При &7"5c:fc.(u0 подвижность (3,100) при kT^Y\OQ (3,101) б. Термоэлектродвижущая сила (3,102) dT.

(3,103) dT.

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ 5-Т в. Э ф ф е к т ы Т о м с о н а и П е л ь т ь е При kTztiiii0 коэфициент Пельтье ( ( % П= — — -. (3,104) ' С При АГ^Ьш = -"-(~)~++( + \ + ) _ (3 105) Что касается коэфициента* Томсона, то для него лучше пользоваться термодинамическим соотношением а= 7 ^ (3,Ю вместе с формулами (3,104) и (3,105).

г. Теплопроводность При &7*;

0 коэфициент теплопроводности всего кристалла При + Зя+й+^+3«_к_^. (3,108) Теплопроводность самой решетки х 0 обычно гораздо больше теп лопроводности электронов. Мы привели эти формулы потому, что если имеются и электроны, и дырки в сравнимых количествах, то второй член в формулах (3,107) и (3,108), связанный с переносом / \\ энергии диссоциации электронов, в ( ^=) раз больше чисто электронной или дырочной теплопроводности. Быть может, в неко торых случаях он может иметь значение.

д. Э ф ф е к т Холла При низких температурах АГ^Ьм,, благодаря тому, что время свободного пробега не зависит от энергии [см. формулу (3,97)], можно дать формулу, годную и для слабых, и для сильных полей:

58 Б. И. ДАВЫДОВ И И. М. ШМУШКЕВИЧ Зависимость от поля здесь имеется лишь постольку, поскольку су ществуют в полупроводнике одновременно и дырки, и электроны.

В слабом магнитном поле — — 1 и се (п+и+ + л_и_) В сильном поле ^.

R =- (3,111) се п+ — п_ При высоких температурах /7*;

Ьй)в и в слабом магнитном поле 15 3 n+u\-n_J_ l*5.11^ К ~ 16 ' Ые' ( л + « + + л _ и _ ) 2 · В сильном поле (также при АГ^Ьш,)) / г ( з и з ) се п+ —п_ е. Т е р м о м а г н и т н ы й эффект Нернста При &Г;

Ьо)0 коэфициент Нернста (Я 114) v (л + и + 4-л-И-) се ' 7" ' При &7"^Ью « 1 3, « + " + · « - « - ( « + + « - ) — Г Те" to («+й++« ж. Изменение сопротивления в магнитном поле Продольный эффект отсутствует как в слабых, так и в сильных полях и при низких, и при высоких температурах. Этот эффект не исчезает при наличии анизотропии 1 Сопротивление в поперечном магнитном поле при Как и для эффекта Холла, зависимость от поля имеется здесь, если в полупроводнике есть носители обоих знаков.

В слабом поле ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ При высоких температурах АГ^Ьш0 и в слабом магнитном поле 1Ьъ(п+и\ — п_и В сильном поле при Конечно, во все формулы для низких и высоких температур следует подставить различные выражения для подвижностей. В первом случае надо пользоваться формулой (3,100), во втором — фор мулой (3,101).

Рассмотренными явлениями все возможные эффекты подобного типа в полупроводниках не ограничиваются. Так, например, остался нерассмотренным вопрос об адиабатическом эффекте Холла и связан ный с ним эффект Эттингсхаузена — образование поперечной раз ности температур — и некоторые другие эффекты. Мы рассмотрели наиболее существенные явления;

другие при необходимости можно легко рассчитать теми же методами.

По внешнему виду формулы для ионной решетки отличаются от таковых для атомной решетки лишь несущественными коэфициен тами. Однако, температурная зависимость подвижностей электронов и дырок в ионной решетке иная, чем в атомной. В атомной решетке подвижность и = Т~31\ в ионной при низкой температуре и = ект и при высоких и =: "1!2. Вследствие того, что подвижности входят во все формулы для электропроводности, термо-эдс и пр., темпера турная зависимость этих величин в ионной решетке иная, чем в атомной. Кроме того, гак как электроны сильнее взаимодействуют с оптическими колебаниями, чем с акустическими, то длина свобод ного пробега, а вместе с нею и подвижность в ионной решетке должны быть меньше, чем в атомной.

В связи с этим следует сделать одно принципиальное замечание о применимости всех расчетов, проделанных в этом параграфе. Для вероятности столкновения электрона с фононом мы пользовались формулами теории возмущений. Эти формулы законны, если воз мущение мало. Для электронов условие малости возмущения выра жается в том, что их де-броглевская длина волны — должна быть значительно больше длины свободного пробега. Во многих же слу чаях мы, повидимому, находимся на границе применимости всего метода, и тогда полученные результаты следует рассматривать лишь как грубые качественные оценки.

Что касается примесных металлов, то, чтобы перенести на них все формулы, выведенные в этом параграфе, следует концентрацию тех носителей, которые имеются в этих металлах, считать незави сящей от температуры, а концентрацию носителей другого знака положить равной нулю. Формулы, конечно, пригодны, только если электронный газ не вырожден.

60 Б. И. ДАВЫДОВ И И. М. ШМУЩКЕВИЧ 4. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ В СИЛЬНЫХ ПОЛЯХ В противоположность металлам, для которых закон Ома верен во всей области практически достижимых полей, электропроводность полупроводников зависит от напряженности поля. Эмпирически эта зависимость обычно выражается так называемым ростом электропро водности с полем = №. (4,1) При некотором критическом поле порядка 10 — 1 0 6 V-см' плавный рост электропроводности сменяется резким ее увеличением с переходом к нестационарному режиму. Это — электрический про б о й, — явление, для которого еще не существует законченной теории.

Мы этого вопроса подробно рассматривать не будем и только в конце скажем о нем несколько слов.

Что же касается роста электропроводности, то школа Гуддена вообще считает, что электропроводность полупроводников не зависит от поля вплоть до пробоя. Так, Хенингер 1 8, исследовавший пове дение полупроводников в сильном поле, объясняет рост электро проводности с полем пробоем и выведением из строя плохо проводя щих прослоек.

Устранение прослоек приводит, конечно, к увеличению электро проводности. Более того, во второй части этого обзора будет показано, что явления, происходящие на границе между микрокристалликами, могут приводить к росту проводимости с полем.

Тщательные измерения А. В. Иоффе и А. Ф. Иоффе 1 4 показали, однако, что отклонения от закона Ома далеко не всегда могут быть сведены к влиянию плохо проводящих прослоек. Даже там, где исключено влияние этих прослоек, например в монокристаллах, все же вслед за более или менее широким омическим участком (независимость от Е) наступает возрастание электропроводности с полем.

С другой стороны, теоретически нет оснований предполагать, что в сильном электрическом поле полупроводники должны подчиняться закону Ома. Наоборот, мы сейчас покажем, что в сильных полях должны наступать отклонения от закона Ома.

Рассмотрим сначала полупроводники с атомной решеткой ^.

Как мы видели в первой части третьего раздела, электрон при каждом столкновении с фононом теряет или приобретает лишь малую часть своей энергии. Поэтому в сильном поле электроны могут накопить энергию, значительно превышающую их среднюю тепловую энергию / 2 kT. Благодаря этому функция распределения будет сильно от личаться от равновесной максвелловской. Можно поэтому ожидать, что в сильном поле не только средняя энергия электронов, но и их подвижность будут зависеть от поля. Подтвердим это коли чественно.

Энергия, приобретаемая или теряемая электроном, при каждом столкновении \s = \iqw. Для электронов, у которых s^kT, можно следующим образом оценить теряемую ими в среднем при каждом ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ столкновении энергию : отношение вероятности испускания фонона к вероятности его поглощения равно — J J —, где N = -=— ·;

Тт " е -\ поэтому Так как подавляющее большинство электронов взаимодействует kT с фононами, у которых hex^kT, то 2N -\-\ = 2 ^ -. С другой стороны, из законов сохранения при столкновении электрона с фоно ном следует, что Ьш = \qw =ь mv · w, где — скорость электрона [см. (3,17)]. Поэтому ^. (4,3) Поскольку —-=г 1, это соотношение подтверждает то, что мы го ворили о малой потере энергии электрона при столкновениях с фононами. В стационарном состоянии эта потеря энергии должна компенсироваться действием электрического поля. Следовательно, Здесь и — средняя поступательная скорость электронов в направлении поля, а — время их свободного пробега. В разделе 3 было показа " но, что / не зависит от энергии.

Аналогично условию для энергии (4,4) мы можем написать условие для импульса. Именно, ти=е-. (4,5) Это соотношение выражает то обстоятельство, что в стационарном состоянии импульс, приобретаемый электроном в поле за время свободного пробега, в среднем полностью теряется при каждом столкновении.

Соотношения (4,4) и (4,5) дают kT (4,6) еЕ1, и^у -^rv.

Ш / — - — ^= 103 У\см средняя Таким образом, уже при полях =5= у энергия электронов начинает заметно возрастать с усилением поля el * Подв] Подвижность и = —. Используя первое из соотношений (4,6), получаем где н 0 — подвижность в слабом поле.

62 Б. И. ДАВЫДОВ И И. М. ШМУШКЕВИЧ (4,7) показывает, что в сильном поле подвижность электронов уменьшается как — -. Электропроводность о = я е и ;

поэтому можно было бы думать, что, несмотря на уменьшение подвижности, электро проводность все-таки увеличивается благодаря возрастанию концен трации. В самом деле, средняя энергия электронов в сильном поле гораздо больше тепловой;

поэтому меняется характер равновесия электронного газа с решеткой. Например, может уменьшиться веро ятность прилипания электронов к атомам примеси и благодаря этому увеличится концентрация электронов проводимости. Поскольку, од нако, средняя энергия значительно меньше атомной, вероятность рекомбинации электрона с положительной дыркой монно считать независящей от и, следовательно, от поля. Как указывают Фрелих и Мотт 1 0, это соответствует закону \\ для поперечного сечения захвата медленных нейтронов ядрами.

Таким образом, концентрация электронов проводимости не долж на изменяться при не слишком сильных полях, и, следовательно, электропроводность должна уменьшаться. Надо, однако, сказать, что уменьшения электропроводности в сильных полях до сих пор никогда не наблюдалось.

Несколько слов о решении кинетического уравнения для элек тронов в сильном электрическом поле. Второе из соотношений (4,6) показывает, что антисимметричная часть функции распределения (которая только и создает среднюю поступательную скорость) го раздо меньше, чем симметричная часть. Математически это приводит к тому, что также и в сильном поле функция распределения, с точ ностью до членов высшего порядка относительно —р=, может быть представлена в виде =/о(е)+Л(з)*?, (4,8) т. е. в виде, подобном функции распределения в слабом поле [см.

уравнение (3,38);

/, () соответствует функции - ^ j · p в этом уравне нии!. Однако, /о () теперь уже не является максвелловской функ цией распределения. Вычисляя (Ь — а)/0, мы можем произвести разложение всех функций кроме -функции, входящих под знак ин теграла, по степеням —, ограничившие квадратичными членами. На пример, При этом первый член разложения (b — a)f0 равен нулю. Таким приемом интегральное выражение (Ь — a)f0 превращается в дифе ренциальное. При вычислении (Ь — «) (Л — ) можно везде пренеб ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ речь Ьв) по сравнению с, так как здесь, в отличие от / 0, уже первый член (не зависящий от — ) не равен нулю (так же как и при решении кинетического уравнения в слабом поле).' В результате для / 0 и /j получаются следующие диференциальные уравнения:

Л Г (4 9) 5 + ^ Я - ^ ( + * ТKf *|=°· ' Г \ 2ms L дг / 3 J dt Ikf \ Уравнение (4,9) можно рассматривать как уравнение непрерыв ности, и величина, стоящая под знаком производной--, равна по току электронов уе в энергетическом пространстве:, если при этом / 0 нормировать так, что (4,12) Tde = n, где — концентрация электронов (или дырок).

В стационарном состоянии д 4=° ж=°»^= На бесконечности в энергетическом пространстве не должно быть потока электронов. Мы должны, следовательно, положить у Е = 0.

Это дает следующее уравнение для / 0, если /j с помощью (4,10) выразить через - ^ :

1^ 1^ 0. (4,13) В предельном случае сильных полей единицей в квадратных скоб ках можно пренебречь. Тогда:

e (4,14) iy • Постоянная С определяется из условия нормировки (4,12). Сред няя энергия 64 Б. И. ДАВЫДОВ И И. М. ШМУШКЕВИЧ Плотность тока 2е г,,,, = / ( ^ = «^-5—ггГ ( —) ( )· (4,16) о Отсюда подвижность (4,17) Уравнения (4,15) и (4,17) отличаются от приближенных соотноше ний (4,7) и первого из соотношений (4,6) численным множителем порядка единицы ( Г (-j-J = 0, Переходим к полупроводникам с ионной решеткой 1 7. Здесь сле дует различать два предельных случая: а) средняя энергия электро нов е^Ьш 0 и Ь) ^Ь(о0. В первом случае, очевидно, /гГ^Ь(о и, кроме того, поле не слишком велико, так что г^Ьм 0. Установ ление стационарного распределения электронов происходит здесь благодаря двойным переходам, описанным в начале второй части третьего раздела. При этом существенна зависимость частоты опти ческих колебаний от волнового вектора [см. уравнение (3,5)].

Второй случай, sjba0, осуществляется либо при высокой темпе ратуре (&Г^Ь(оо) и любом поле, либо при низкой температуре и очень сильном поле. При этом зависимостью от q можно пренеб речь и считать, что все фононы обладают одинаковой энергией Ьа)0.

а) Уравнение непрерывности в энергетическом пространстве в ста ционарном случае имеет вид:

dfn. 1, \ 2еЕ,\,.. а.

1 4X3,/·-— d( ^-{--.f0 \ _ _ _ e / 1.(4,18) di { 3 К 2 / и Ь о У 2ms \ da kT / ) Согласно (3,97) время свободного пробега 2Ь V т Здесь удобнее пользоваться не длиной, а временем свободного про бега, так как оно не зависит от энергии. В (4,18) обозначено:

= -§4 (4,20) г 2та где — коэфициент в формуле (3,5). Связь между / х и / 0 дается обычной формулой:

f/ff. (4,21) ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ Подставляя (4,21) в (4,18) и полагая поток в энергетическом пространстве j \ равным нулю, получаем уравнение, решение кото рого: »

/0=*. (4,22) Таким образом, получается максвёлловское распределение с темпе ратурой, отличающейся от температуры решетки fx (4,23) kb = kT\l + ( У].

Средняя энергия JTir +f «*)'1 (4,24) Подвижность « = · (4,25) Независимость подвижности, а вместе с нею и электропроводно сти, от поля (несмотря на рост средней энергии) является, конечно, следствием того, что время свободного пробега не зависит от энергии.

Границы применимости формул (4,24) и (4,25) устанавливаются из требования, чтобы было значительно меньше, чем Ью 0. Необ ходимо, следовательно, чтобы выполнялось неравенство ^ (4,26) ^L I Y 2mho0 ^ kT или rlOOOV/сл, (4,27) т. е. вплоть до этих полей выполняется закон Ома [формула (4,25) J Ь) е^Ьш 0.

Основные уравнения в этом случае следующие:

У^2/яе ds. hoo L V* 2 / rfe J ff2ms ds \ Ma?

= 0, (4,28) (4,29) fi( m di Если Е=0, то при kT^^w0, bo0 (Nq-\- —) =s kT и из уравнения (4,28) для / 0 получается максвёлловское распределение.

н Если же &Г;

Ь(о 0, то h ( o 0 / Л ^ + у ) ^ у Ь»о тогда уравне ние (4,28) не справедливо.

5 Успехи физических наук, т. XXIV, вып. 66 Б. И. ДАВЫДОВ И И. М. ШМУШКЕВИЧ В рассматриваемом случае s^h.coo, мы не можем положить / е равным нулю, так как решение уравнения у е = 0 дает такую функцию /о (), которую нельзя нормировать, ибо интеграл ос \ / 0 () У2тг аг расходится на верхнем пределе. Это обстоятельство о связано с возрастанием длины свободного пробега электронов при увеличении их энергии. Согласно формуле (3,98) / пропорциональ но. Поэтому уже в слабых полях (конечно, при высоких темпера турах /гГЬю 0 ) происходит сильное изменение функции распреде ления электронов в области больших энергий. Торможение быстрых электронов благодаря их столкновениям с фононами незначительно.

Вследствие этого необходимо учитывать ионизацию электронами атомов решетки или же атомов примесей, если их энергия иониза ции - значительно меньше, чем для атомов решетки. Вместе с иони зацией тогда нужно принимать во внимание также и прилипание электронов.

Мы не можем здесь входить в детали вычислений и ограничимся лишь приведением результатов. Оказывается, что заметные откло нения от закона Ома, именно рост электропроводности с полем, на 1 0 5 V CM ступают в полях порядка / e ^ ^ f ^ · ^ - ~ I Итак, мы имеем следующую картину зависимости электропро водности от поля для полупроводников с ионной решеткой. При низких температурах йГ^Нм 0 подвижность до полей порядка 1 000 Ч\см не зависит от поля, т. е. выполняется-закон Ома, несмо тря на то, что средняя энергия электронов может стать значительно больше ь\ъкТ- Подвижность при этом экспоненциально уменьшается с температурой [см. (3,100)]. Далее начинается возрастание электро проводности, которое становится значительным при полях порядка \0~°У\см. В этих полях подвижность перестает зависеть от темпе ратуры (при кТ*\щ, ^+-)· При fcr^iift0 электропроводность при полях, меньших чем 10 V|CM, не зависит от поля. Подвижность пропорциональна _ L. [см. формулу (3,101)]. При полях, больших чем 105 \\см, электропроводность возрастает с полем как благодаря увеличению подвижности, так и благодаря возрастанию концентрации электро нов из-за ионизации. Одновременно возрастает и средняя энергия электронов. Что касается результирующей концентрации электронов в сильном поле, то для ее определения необходимо, кроме вероят ности ионизации, знать е.ще вероятность рекомбинации или прили пания электронов. Эта последняя и зависимость ее от самой кон центрации зависят от расположения и заполнения локальных уров ней энергии. Подобный расчет для полупроводников с атомной решеткой был сделан Н. Л. Писаренко.

Может случиться, что электронам с большой энергией легче за тратить свою энергию, например, на возбуждение атомов, чем на их ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ ионизацию. В таком случае концентрация электронов не будет от личаться от равновесной. Рост электропроводности в сильном поле будет тогда обязан только увеличению подвижности электронов.

Мы видим, что поведение полупроводников с ионной решеткой в сильном поле значительно отличается от поведения полупроводни ков с атомной решеткой и как будто лучше согласуется с экспери ментальными фактами.

Все рассуждения этого раздела, разумеется, в равной мере при менимы и к электронам в верхней, почти свободной полосе уровней, и к положительным дыркам в почти заполненной нижней полосе.

Явления, связанные с электрическим пробоем, значительно слож нее и должны, вероятно, рассматриваться с учетом образования объемных зарядов и связанных с ними весьма сильных неравномер ных полей, возникающих благодаря распространению лавины 1 9.

ЛИТЕРАТУРА · 1. F. B l o c h,. Physik, 52, 555, 1928.

2... W i l s o n, Proc. Roy. Soc, A 133, 458, 1931;

A 134, 277, 1932.

3. R. H. F o w l e r, Proc. Roy. Soc, A 140, 505, 1933;

Sow. Phys., 3, 507, 1933;

Б. Г у д д е н, Успехи физич. наук, 15, 703, 1935;

В. G u d d e n u. W. S c h o t t k y, Physik. Z., 36, 717, 1935;

F. u d, Physik. Z., 36, 725, 1935. См. также: А. Ф. И о ф ф е, Электронные полупровод ники, Л., 92 стр., 1933.


4. В. R. A. N i j b o e r, Proc. Phys. Soc, 51, 575, 1939.

5.. B r o n s t e i n, Sow. Rhys., 2, 28, 1932;

3, 140, 1933.

6. J. W.. H a r d i n g, Proc. Roy. Soc, A 140, 205, 1933.

7. M. Б о и Г е п п е р т - М е й е р, Теория твердого тела, ОНТИ, 1938.

8. Г. Б е т е и А. З о м м е р ф е л ь д, Электронная теория металлов, ОНТИ, 1938.

9. В. Ж у з е и Б. К у р ч а т о в, ЖЭТФ, 2, 309, 1932.

10. Н. F r o h l i c h and N. F. о 11, Proc. Roy. Soc, A 171, 496, 1939.

11. H. F r o h l i c h Proc. Roy. Soc, A 160, 230, 1937.

12. И. Д. Р о ж а некий, ЖЭТФ, в печати.

13. F. P. H e n n i n g e r, Physik. Z., 6, 216, 1933;

Ann. Physik, 28, 245, 1937.

14. А. В. И о ф ф е и А. Ф. Иоффе, ДАН, 16, 77, 1937;

ЖЭТФ, 9, 1428, 1939.

15. Л. Л а н д а у и А. К о м п а н е е ц, ЖЭТФ, 5, 276, 1935.

16. Б. Д а в ы д о в, ЖЭТФ, 7, 1069, 1937.

17. Б. Д а в ы д о в и И. Ш м у ш к е в и ч, ЖЭТФ, в печати.

18. Н. Л. и с а р е н к о, Изв. Акад. Наук СССР, сер. физ., № 5—6, 631, 1938.

19. L. В. Loeb, Rev. Mod. Phys., 8, 267, 1936.

1940 УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК Т. XXIV, вып. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ ПОЛЯРИЗАЦИИ ДИЭЛЕКТРИКОВ Я. И. Френкель и А. И. Губанов, Ленинград ВВЕДЕНИЕ В настоящей статье дается критический обзор различных теорий поляризации диэлектриков. Речь идет, главным образом, о поляри зации дипольных диэлектриков, поскольку именно здесь до сих пор еще не было полной ясности и за последние годы появился ряд новых теорий, отличающихся различными способами учета взаимо действия между молекулярными диполями.

В начале первого раздела излагается классическая теория Клау зиуса — Мосотти и Лоренца для недипольных диэлектриков, а также критика попытки Дебая распространить эту теорию на дипольные жидкости. Далее излагается теория Онзагера, который показал, что формула Лоренца для эффективного поля, действующего на отдель ную молекулу, неприменима к дипольным диэлектрикам.

Во втором разделе излагается новая теория Дебая, относящаяся к поляризации дипольных жидкостей в постоянном поле и учиты вающая взаимодействие диполей с помощью представления о ло кальном поле. Приводятся также упрощенная форма этой теории и ее сочетание с теорией Онзагера.

В третьем разделе излагается теория Кирквуда, являющаяся развитием и уточнением теорий Онзагера и Дебая.

В четвертом разделе ] ) теория Онзагера обобщается на случай упругой поляризации жидкого диэлектрика с анизотропными моле кулами;

далее рассматриваются попытки распространения теории на кристаллы (в частности, кристаллы типа сегнетовой соли).

Последний (пятый) раздел посвящен поляризации диэлектриков в переменном поле. Здесь изложена новая теория Дебая и Рамма, дана ее критика и в заключение приведена формальная теория ди электрических потерь в переменном поле.

I. ТЕОРИЯ ОНЗАГЕРА ч § 1. Об э ф ф е к т и в н о м п о л е в д и э л е к т р и к е Всякий диэлектрик, будучи помещен в электрическое поле, по ляризуется в нем, т. е. приобретает электрический дипольный мо мент. Поляризация эта может происходить как за счет ориентации Являющемся в основном оригинальным.

ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ДИЭЛЕКТРИКОВ уже имеющихся, но ориентированных хаотически постоянных диполей (в так называемых полярных диэлектриках), так и за счет образо вания упругих диполей путем смещения зарядов противоположных знаков внутри отдельной молекулы (упругая поляризация). Для объ яснения упругой поляризации Клаузиус и Мосотти трактовали ди электрик в виде совершенно непроводящей среды, заполненной про водящими шариками. В электрическом поле на противоположных сто ронах этих шариков индуцируются заряды противоположного знака, центры которых смещены друг относительно друга, что и обусло вливает поляризацию диэлектрика 3, 2.

Если обозначить через g отношение объема всех проводящих шариков к полному объему диэлектрика, то электрическая воспри имчивость последнего оказывается равной Диэлектрическая постоянная связана с электрической восприимчи востью известной формулой:

=1+4. (2) Подставляя (1) в (2), получаем · i · s + g Ho g=-z- asN, где а — радиус проводящего шарика, а N—число о шариков в единице объема диэлектрика. Если принять, что число молекул диэлектрика равно числу проводящих шариков, т. е. что молекулы диэлектрика и являются этими проводящими шариками, и если принять во внимание, что поляризуемость отдельной молекулы s равна при этих условиях a, то из (3) получаем известную фор мулу Клаузиуса—Мосотти —=-№. (4) Представление Клаузиуса и Мосотти о диэлектрике как о систе ме проводящих шариков не лишено смысла, так как и по более современным теориям поляризуемость молекулы по порядку величины оказывается равной кубу ее радиуса. Это соответствует примерному обращению в нуль среднего поля внутри молекулы, так же как в проводящих шариках теории Клаузиуса—Мосотти.

Формула (4) позднее была получена совсем из других предста влений, а именно путем введения так называемого «эффективного поля», действующего на частицу диэлектрика.

В диэлектрике следует различать два поля: среднее макроскопи ческое поле и эффективное поле Ее. С р е д н е е поле действует в диэлектрике на некоторый пробный свободный заряд;

его не сле дует смешивать с в н е ш н и м полем Ео, в которое вносится рас сматриваемый диэлектрик. Среднее поле равно сумме поля Ео и поля, создаваемого всеми диполями диэлектрика, в том числе 70 Я. И. ФРЕНКЕЛЬ И А. И. ГУБ/ШОВ и диполем, находящимся в том элементе объема, для которого мы определяем (т. е. Е0 = Е-\-4кР). Эффективное поле Ее, действующее на рассматриваемую молекулу диэлектрика, слагается из поля Ео и из поля в с е х о с т а л ь н ы х поляризованных молекул.

Для вычисления этого поля Лоренц воспользовался следующим приемом: вокруг рассматриваемой частицы описывается сфера неко торого радиуса а, малого по сравнению с размерами диэлектрика, но в то же время настолько большого по сравнению с расстояниями между частицами, что диэлектрик вне этой сферы можно рассматри вать как равномерно поляризованный континуум (если макроскопиче ское среднее поле однородно). Поле, создаваемое таким поляризо ванным телом, эквивалентно полю от поверхностных зарядов, выделившихся на его границах, т. е. на внешней границе диэлек трика и на поверхности сферической полости J ).

В случае плоского конденсатора поле связанных зарядов, выде лившихся на внешних поверхностях, как известно, равно — 4тхР (где —поляризация, т. е. дипольный момент единицы объема диэлектрика);

в сумме с Ео оно и дает Е. В случае сферической полости на поверхности выделяется заряд о^=Р cos, где — W 0 J между положительным направлением поля и внешней нормалью к сфере. В центре сферы им создается поле (равное сумме проекций на направление внешнего поля) • 22 sm Ь db =-j ' = — —t—cosO=—. (5) fl Нетрудно показать, что это поле, называемое полем Лоренца, имеет одинаковую величину и направление во всем объеме сферической полости. В случае изотропных тел поле, действующее на централь ную молекулу со стороны всех остальных молекул, находящихся внутри сферы, равно нулю;

таким образом, эффективное поле, дей ствующее на молекулу в диэлектрике, равно Ее=Е + 4-?Р. (6) Борн высказал мнение, что этот вывел эффективного поля справедлив лишь для переменного электрического поля,, при условии малости длины волны по сравнению с линейными размерами диэлек трика, как это имеет место, например, в случае световых волн.

В противном же случае поле от зарядов на внутренней поверхности сфе рической полости более или менее компенсируется полем зарядов, выделившихся на внешней поверхности тела. В случае же коротких волн такой компенсации не происходит, так как заряды, распреде ленные в различных точках наружной поверхности, колеблются в различных несогласованных друг с другом фазах.

!) Если предполагать, что связанные объемные заряды отсутствуют, т. е.

div = 0.

ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ДИЭЛЕКТРИКОВ. Эти соображения Борна основаны на недоразумении, заключаю щемся в смешении в н е ш н е г о поля Ел со с р е д н и м полем внутри диэлектрика Е. То обстоятельство, что в некоторых случаях поправка Лоренца оказывается справедливой только для световых волн, объясняется совсем иначе, как это мы покажем ниже.

Один из авторов 4 предложил другой вывод лоренцовой поправ ки, более логичный, не требующий введения фиктивной сферы Ло ренца и приводящий к тому же результату, что и вывод Лоренца.

Этот вывод свободен от возражений Борна, что, кстати, является их косвенным опровержением. Идея вывода такова: чтобы получить эффективное поле, действующее на данную молекулу, необходимо из среднего поля внутри диэлектрика вычесть среднее значение по ля, создаваемого самой рассматриваемой молекулой, так как, оче видно, молекула сама на себя действовать не может, тогда как ее поле входит в состав поля Е, действующего на внесенный извне «пробный» заряд.

Представим себе эту молекулу в виде шарика К с радиусом а, внутри которого совершенно произвольно расположены связанные электроны. Это расположение может быть заменено эквивалентным распределением зарядов на поверхности К, прив дящим к тому же значению электрического момента. Вычислим среднее значение электрической напряженности внутри концентричной с К сферой S, радиус которой b а определяется из того условия, чтобы объем 5 = тг Ь3 совпадал с объемом, приходящимся в среднем на одну о молекул/ данного тела. Если, следовательно, число молекул в еди нице объема равно /V, то b определится из равенства Потенциал молекулы вне К равен -*щ-, а внутри ' = 5_;

соот ветствующие напряженности поля выражаются формулами Среднее значение напряженности поля в объеме Ъ а 3 0 ° О так как среднее значение Еа равно нулю для различных направле ний Ro при постоянном R. Мы получаем, следовательно, Ё L-.P— аз = и согласно (7) Е=-|'ЛГР=- Т 'Р, (8) т. е. тот же результат, что и по методу Лоренца.


72 Я. И. ФРЕНКЕЛЬ И А. И. ГУБШОВ Собственное поле молекулы может быть вычислено также сле дующим, более простым и общим способом.

Допустим, что в результате поляризации диэлектрика один из его зарядов е, входящих в состав рассматриваемой молекулы, сме стился на расстояние / относительно своего исходного положения.

Проведем вокруг этого исходного положения сферу радиуса Ь и далее проведем через смещенное положение заряда плоскость, перпендикулярную к ejp смещению. Эта плоскость рассекает сферу на две- неравные части, меньшую из ко торых мы отразим в ней, выделив из боль шей части незаштрихованную лунку (рис. 1).

Среднее значение ноля, создаваемого зарядом е в заштрихованной области, очевидно, равно нулю. Чтобы определить среднее значение этого поля в объеме сферы, достаточно, следователь но, рассмотреть лишь объем лунки.

При малости / по сравнению с b интеграл Рис. от по объему лунки может быть вычислен сле дующим образом. Проведем из центра сферы радиус-вектор под углом к направлению, противоположному смещению 1. Отрезок этого радиуса, заключенный внутри лунки, т. е. толщина последней, равен, очевидно, 2/cosO. Умножая эту толщину на проекцию поля, 6 создаваемого зарядом в направлении 1, cos 6 = — — cos О и интегрируя по от 0 до -^ (т. е. по поверхности полусферы), получаем [ cos2 · 22 sin rfO= — | Е= —f 4т или 4s el (9) где и = у Суммарное среднее поле всех зарядов, входящих в состав рас сматриваемой молекулы, равно, следовательно, 4 \ ^ е\ или, так как V — = что совпадает с полученным прежде результатом.

Введение эффективного поля (6) приводит к уравнению Клау зиуса—Мосотти. Согласно определению диэлектрической постоянной имеем —1 = ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ Упругий момент, создаваемый в молекуле диэлектрика, пропорцио нален не среднему полю Е, а эффективному полю Ее. Таким образом, если а обозначает поляризуемость молекулы, то P=NaEe или по (6):

откуда 4rJVa ' Подставляя это выражение в (10), получаем уравнение Клаузиуса—:

Мосотти — 4dVn Дебай распространил это уравнение на случай полярных диэлектри ков, считая, что то же самое эффективное поле, которое вызывает упругую поляризацию молекул диэлектрика, действует ориентирующе на постоянные диполи. Изложенная ниже теория Онзагера посвя щена критике этого неверного предположения Дебая и вытекающих из нее следствий. Помимо упругой поляризации в формуле Дебая появляется ориентационный член. Для слабых полей, когда kT (здесь ' — постоянный дипольный момент молекулы, k — постоян ная Больцмана), формула Дебая в первом приближении дает В общем случае средний дипольный момент, зависящий от ориен тационной поляризации, как известно, выражается функцией Лан жевена (12) ctghx — 1.

Уравнение Дебая принимает вид:

'-- + 2 · Ограничиваясь только двумя членами в разложении функции L в ряд.

получаем 45 (kT)s Поправочный член в правой части характеризует так называемый «эффект насыщения», выражающийся в уменьшении диэлектрической постоянной в сильных полях.

74 Я. И. ФРЕНКЕЛЬ И А. И. ГУБАНОВ § 2. Вопрос о бесконечной поляризуемости и оста точной поляризации Выведенные уравнения указывают на возможность сколь угодно большой диэлектрической постоянной для некоторых веществ. Так, например, при g - " 7 V a = l левая часть уравнения (4) также должна о обратиться в единицу, что возможно только при —-оо. В случае упругой поляризации это означает бесконечно большое возрастание дипольных моментов молекул, т. е. бесконечное удаление элек тронов от ядер. В конце концов электроны должны утратить связь с определенными положительными ионами, т. е. должны как бы «коллективизироваться». По мнению Герцфельда это условие соответ ствует превращению диэлектрика в проводник (металл).

В случае -^ ] 1 уже не имеет физического смысла считать поляризацию пропорциональной полю, так что уравнение (4) должно быть заменено другим1, учитывающим нелинейную зависимость от Ее.

Правая часть формулы (11) при достаточно низкой температуре может принимать сколь угодно большие значения. Отсюда следует, что диэлектрическая постоянная любого полярного диэлектрика при абсолютной температуре порядка сотен градусов должна была бы обращаться в бесконечность. Правда, если принять во внимание насы щение (нелинейность) и рассматривать не уравнение (11), а уравне ние (13), то не может обратиться в бесконечность;

все же в области температур ниже некоторой критической диэлектрическая постоянная должна была бы принимать аномально большие значения· при малом Е.

Это явление «высокой начальной электрической восприимчивости»

связано с другим явлением — сохранением «остаточной электрической поляризации» после снятия электрического поля.

Оба явления ' характеризуют поведение «сегнетоэлектриков» — веществ, являющихся электрическими аналогами ферромагнитных тел.

Температура ниже которой г принимает у сегнетоэлектриков аномально большие значения (в этой же области должна наблюдаться и остаточная поляризация), называется температурой Кюри по ана логии с точкой Кюри для ферромагнетиков.

Отметим, что высокая начальная электрическая восприимчивость (при малых полях) и сохранение остаточной поляризации хотя и связаны друг с другом, но все же представляют собой по суще ству различные явления. Это сразу становится понятным, если вос пользоваться аналогией с ферромагнетиками. В самом деле, суще ствуют сорта мягкого железа с очень большой магнитной восприим чивостью при малых полях и в то же время с малым остаточным намагничением;

с другой стороны, существуют стали со сравнительно небольшой начальной проницаемостью, но с большим остаточным намагничением. Однако, были попытки доказать, что введение ло ренцовой поправки в выражение эффективного поля обеспечивает возможность появления остаточной электрической поляризации. При ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ДИЭЛЕКТРИКОВ этом рассуждали следующим образом. Поляризация тела, обусловлен ная ориентацией молекул в направлении приложенного поля, равна (нЕе\ где Ее= а Ро = 0— максимальное возможное значение Е-\-, (при насыщении). В отсутствии приложенного поля, т.е. при Е=0, и F И Ь Р P P Это уравнение, как известно, допускает отличные от нуля ре шения, соответствующие спонтанной или остаточной поляризации, при Т^ТС, где Тс — температура Кюри, равная °.

^° Следует, однако, иметь в виду, что «приложенное» поле отнюдь не совпадает с в н е ш н и м полем Ео, как это иногда пред полагается, представляя собой среднее «макроскопическое» поле в диэлектрике. Для того чтобы установить поведение диэлектрика при отсутствии в н е ш н е г о поля, необходимо приравнять нулю не Е, а Ео. Нетрудно видеть, что при Е0 = 0 поле должно иметь отрицательное направление ввиду деполяризующего действия связан ных зарядов, распределенных по поверхности диэлектрика и создаю щих поле, противоположное направлению поляризации. В случае плоского конденсатора это деполяризующее поле равно — 4ттР, так что оно перекрывает лоренцово поле;

в случае сферического диэ лектрика оно равно — · е · к а к Р а з компенсирует его.

О Только в случае вытянутого образца, поляризованного вдоль оси, лоренцово поле будет преобладать над деполяризующим полем.

Таким образом, сохранение остаточной поляризации (при отсутствии в н е ш н е г о поля) зависит от ф о р м ы образца, а не только от внутренних свойств рассматриваемого материала.).

Из теории Дебая вытекает, что высокая начальная электрическая восприимчивость в области низких температур и точка Кюри должны были бы существовать практически у всех полярных диэлектриков, т. е. каждый полярный диэлектрик должен был бы вести себя как сегнетоэлектрик;

в действительности же явление сегнетоэлектриче ства наблюдается лишь у очень немногих веществ и притом только в твердом состоянии. Это обстоятельство пытались объяснить тем, что для большинства диэлектриков температура кристаллизации выше точки Кюри, высокая же электрическая восприимчивость возможна только для жидких диэлектриков, так как в кристаллах молекулы не могут свободно вращаться, как это требуется теорией Дебая.

!) В случае ферромагнитных тел роль деполяризующего поля, обуслов ленного поверхностными зарядами, играет размагничивающее поле. Основ ное различие между ними и диэлектриками заключается в громадной вели чине вейссова молекулярного поля по сравнению с лоренцовым;

этим обу словливается спонтанное намагничение небольших областей («доменов») ферромагнетика, не дающее результирующего момента при отсутствии внешнего поля.

76 ' Я. И. ФРЕНКЕЛЬ И А. И. ГУБАНОВ В действительности, однако, сегнетоэлектриками являются именно кристаллические вещества. Поэтому приходится сделать вывод, что нельзя распространить уравнение Клаузиуса—Мосотти или Лоренца на вещества с полярными молекулами, т. е. выражение Е-\--^Р для эффективного поля неприменимо к случаю ориентации постоян ных диполей. Этот вопрос будет подробно рассмотрен в следующем параграфе.

Во всяком случае приходится констатировать, что сегнетоэлек тричество не может быть объяснено на основании теории Дебая, как это, например, пытался сделать И. В. Курчатов6. Причины сегнетоэлектричества следует искать в каких-то специфических свой ствах сегнетоэлектриков, в особенности их кристаллической струк туры, которые обеспечивают как большую начальную, так и сохра нение остаточного дипольного момента;

обычные же полярные ди электрики не обнаруживают явлений сегнетоэлектричества.

§ 3. Анализ э ф ф е к т и в н о г о п о л я в# и з о т р о п н о м полярном диэлектрике по О н з а г е р у На основании уже отмеченных соображений Онзагер7 подвергает анализу эффективное поле Дебая, показывая, что только часть его играет роль в ориентации диполей. При этом Онзагер трактует молекулу как полость радиуса а, определяемого из условия -^ а3 =, тде — объем, приходящийся на одну молекулу. Окружающие же ее молекулы рассматриваются как сплошная среда с диэлектриче ской постоянной, равной макроскопиче.кой диэлектрической по стоянной данного вещества. В центре сферы, изображающей молекулу, помещается диполь с моментом ш, который слагается из собствен ного постоянного момента 0 и момента, индуцированного электри ческим полем. Это модельное представление является слабым местом теории Онзагера;

в частности, жидкость в непосредственной близости от какой-либо молекулы никак нельзя считать сплошной средой, и локальная диэлектрическая постоянная должна отличаться от макроскопической.

Поэтому теория Онзагера является не вполне строгой. Это обстоятельство впрочем не является существенным.

Сущность теории Онзагера заключается в разложении эффектив ного поля Ее на две части по следующей схеме.

Первая часть G представляет собой поле, которое получилось бы в шаровой полости, содержащей рассматриваемую молекулу, если бы последняя, с ее моментом т, была удалена из этой полости при условии неизменности поля (и поляризации) на большом рас стоянии (в непосредственной близости к полости макроскопиче ское поле должно при этом измениться и, в частности, утратить свою однородность).

Вторая составная часть эффективного поля R представляет собой то поле, которое обусловливается поляризацией среды при внесении рассматриваемой молекулы в занимаемую ею полость (точнее, ее ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ДИЭЛЕКТРИКОВ момента m в центр последней). Это поле Онзагер называет,реак тивным», так как оно характеризует действие, производимое молекулой на самое себя через посредство окружающей среды. Реактивное поле аналогично полю, создаваемому электрическим зарядом, находя щимся над плоской поверхностью металла или диэлектрика благодаря поляризации последнего, которая родится к эффекту «электрического изображения».

Таким образом, согласно Онзагеру E t = G + R. 15) Для вычисления R найдем решение уравнения Лапласа \7 ф = О (где — потенциал, характеризующий реактивное поле), стремящееся при малых г (т. е. вблизи центра полости) к выражению, /ясоэв соответствующему точечному диполю, и удовлетворяющее гранич ным условиям Это. решение выражается формулами. т* cos где вектор „ может быть определен как «внешний» момент диполя, помещенного в центре сферической полости (с учетом поляризации окружающей среды) и Определим теперь изменение однородного среднего поля Е, обу словленное присутствием сферической полости, которая получается при удалении рассматриваемой молекулы. Математически эта задача совершенно эквивалентна расчету реактивного поля;

при этом вместо (16) мы имеем следующее условие для потенциала, характеризую щего это поле, ф(г, 6 ) j — — cos6 при г,-—оо. (22) Это условие означает, что вдали от полости среднее поле остается неискаженным.

78. Я. И. ФРЕНКЕЛЬ И А. И. ГУБАНОВ Решение рассматриваемой задачи имеет следующий вид:

= — rcosO —-^-cosO при (23) ra, ф = — Grcos6 'при (24) ra, где вектор = ^ = 3 (25) представляет собой электрический момент полости, а вектор G E — результирующее (однородное) поле, возникающее в ней при за данном макроскопическом поле Е. Заметим, что 3s Gm* ( · ' Полное поле, действующее на сферическую молекулу в поляри зованном диэлектрике, равно, следовательно, Поле полости G по направлению совпадает со средним [макро скопическим) электрическим полем. Среднее по времени или сред нее статистическое значение реактивного поля R также совпадает по направлению с,·. е. с направлением преимущественной ориен тации диполей. В теории Дебая молчаливо принимается, что ориен тирующее действие определяется с р е д н и м значением полного поля, действующего на молекулу:

E, = G + R. (29) Это, однако, неверно. Реактивное поле R по направлению всегда совпадает с полным моментом молекулы и, следовательно, не может оказывать на него ориентирующего действия, так как вращающий момент, действующий со стороны этого поля на диполь и равный векторному произведению напряженности поля на дипольный момент, равен нулю. Приписывание среднему значению R ориентирующего действия является результатом ошибочного усреднения. В действи тельности нужно сначала вычислить вращающий момент, а затем уже проводить усреднение;

при этом оказывается, что ориентирую щее действие производит только поле полости G.

Изложенное относится к изотропным диэлектрикам—-жидкостям.

В анизотропном теле (кристалле) · поле R, вообще говоря, не сов падает по направлению с т ;

следовательно, оказываемый им на диполь вращающий момент не равен нулю.

Полный дипольный момент молекулы m слагается из постоянного дштольного момента 0 и момента, образующегося за счет упругой поляризации эффективным полем Ее, ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ДИЭ7ЕКТРИКОВ Здесь и — единичный вектор, характеризующий направление, в ко тором ориентирован момент 0. Подставляя в предыдущую формулу выражение (28) для Ее, получаем ^. (30) Для удобства расчета введем· показатель преломления данного вещества п. Можно считать, что преломление световых лучей обу словливается только упругой частью поляризации, так как постоян ные диполи не успевают ориентироваться в электрическом поле с частотой световых волн. Величина п2 представляет собой упругую долю, связанную с поляризуемостью а уравнением Клаузиуса — Мосотти (4), которое может быть переписано в виде:

где а — радиус молекулы (т. е. заполняемой ею полости).

Подставляя (31) в (30), получаем ( 2 + 2)(2 + l) (Я»-1), 2 + я 2 M#i ^ Эффективное поле, определяющее упругую поляризацию, получим по Онзагеру подстановкой (32) в (28):

^.,33) Поле I по аналогии с полем Лоренца можно назвать полем Онза гера. В случ е неполярной жидкости (0 = 0 и = я 2 ) формула (33) сводится к 1) (34) ^, что совпадает с формулой Лоренца (6), если заменить в ней через ( — 1 ) ).

Производимое Дебаем распространение формулы Лоренца на ориентационную часть приводит, таким образом, к преувеличенному значению эффективного поля, обусловливающего ориентацию (со гласно Дебаю при —»• и Ее—• оо). Устранение этой ошибки означает вместе с тем устранение возможности сегнетоэлектрических явлений для обычных полярных жидкостей.

§ 4. С т а т и с т и ч е с к а я теория Онзагера Чтобы рассчитать ориентационную часть поляризации, требуется определить эффективную энергию взаимодействия между молекулами и полем. Как уже было отмечено выше, для этого следует рассмотреть Это обстоятельство было отмечено Е. В. КУЭШИНСКИМ.

80 Я. И. ФРЕНКЕЛЬ И А. И. ГУБАНОВ ориентирующую пару сил для каждого направления и. Момент этой пары равен М = [Ев,ш] = [ 0, т ] = ^ _ [ Е, ш ], ' (35) откуда на основании (32) получаем = |,3 = *[,]. · (36) Здесь введены обозначения:

3s Величина представляет собой сумму собственного момента моле кулы 0 и момента, создаваемого упругой поляризацией в реактив ном поле. По направлению он всегда совпадает с 0;

поэтому дей ствие реактивного поля сводится к увеличению собственного' момента молекулы 0 до значения ;

* представляет собой эффективный дипольный момент, характеризующий действие молекулы вне занимае-.

ной ею сферы;

отношение его к равно отношению поля полости G к среднему полю в диэлектрике Е. Во избежание путаницы отметим еще, что полный момент молекулы m (в отличие от ) включает не только упругую поляризацию, обусловленную реактивным полем R, но также и упругую поляризацию, создаваемую полем полости G.

Из (36) получаем M=p.*Esinb, где 0 —угол между направле нием среднего поля и направлением W диполя и.

Вращающий момент связан с эффективной энергией взаимодей dW ствия W соотношением -rj- =. Отсюда получаем V· *C*v* (39) W= — \i*Ecos%....

Средняя ориентация молекул в поле определяется формулой Больцмана fi ft/ j j cos 0 g sin 9 rf9 rfy И Jje 'З1П0Й!9ЙГ»

Если произвести интегрирование, то получается хорошо известная функция Ланжевена:

Для слабого поля можно ограничиться первым членом разло жения L в ряд:

ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ДИЭЛЕКТРИКОВ В этом случае поляризация на единицу объема оказывается равной.,42, Пользуясь полученными выражениями для поляризации, можно вывести уравнения, аналогичные уравнениям Дебая (11) и (14), но уже с правильным учетом сил, ориентирующих молекулярные диполи.

В случае чистой жидкости можно считать, что молекулы зани мают весь объем диэлектрика, и положить ^ 1. (43) Это, строго говоря, означает, что мы приняли за а (радиус поло сти) не радиус самой молекулы, но радиус сферы, объем которой равен объему диэлектрика, приходящемуся на долю каждой моле кулы (ср. начало § 3).

Из (43) имеем 4(2-{-2) = 4(* — 1) 3 = Зл 2 —'Д. (44) Формулы (10), (42) и (44) дают или Принимая во внимание (37) и (38), получаем из (45) окончательную формулу Онзагера для диэлектрической постоянной чистых поляр ных жидкостей:

(8 -Я») (28+Я») _ teNfi [ (/2 + 2)2. 9 • ' Рассмотрим, какой вид принимает формула (46) в двух крайних случаях: когда велико и когда оно мало отличается от л 2, т. е.

когда поляризация диэлектрика в основном обусловлена упругой поляризацией молекул.

Если ^л 2, то Это уравнение не дает никакой точки Кюри и вовсе не похоже по своей форме на уравнение Клаузиуса—Мосотти.

С другой стороны, если — 22, уравнение (46) принимает форму, сходную с уравнением Клаузиуса—Мосотти:

Отсюда следует, что в случае слабополярных жидкостей теория Онзагера мало отличается от старой теории Лоренца — Дебая.

6 Успехи физических наук, т. XXIV, вып. 82 Я. И. ФРЕНКЕЛЬ И А. И. ГУБАНОВ Онзагер ограничивается формулой, содержащей лишь первый член ориентационной части поляризации, т. е. не учитывает эффек та насыщения, что справедливо лишь для слабых полей. Формула (42), однако, легко может быть обобщена для каких угодно полей и заменена точной формулой Ограничиваясь при учете эффекта насыщения вторым членом разло жения L в ряд ( он будет третьего порядка относительно ^- \, получаем Формула (46) при точном учете насыщения заменяется следую щей:



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.