авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

А. П, Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский

ИЗДАТЕЛЬСТВ'

• общеобразовательная программа РАНО

допрофильная подготовка

. углубленное изучение

Геометрия есть познание всего сущ его.

П лат он, древнегреческий философ

ДОРОГИЕ ДРУЗЬЯ!

Вы начинаете изучение нового математического предмета. Со страниц этого учебника вы почерпнете знания, которые уже много веков приносят людям огромную пользу. В будущем эти знания помогут и вам.

Наверное, каждый из вас когда-нибудь представлял себя великим путешественником, который, подобно Христофору Колумбу, прокладывает курс к неизведанным странам в бушующем океане. Кто-то мечтал стать зна­ менитым детективом, современным Шерлоком Холмсом, чтобы, используя стройное логическое мышление, решать самые сложные задачи, разгадывать тайны. Кто-то видел себя прославленным египетским фараоном, по чьей во­ ле среди пустыни возводятся величественные пирамиды. Но, вероятно, не все вы догадывались, что есть наука, без которой невозможно осуществить эти мечты. Эта наука — геометрия, к изучению которой вы приступаете.

Почему именно геометрия? Прежде всего, это одна из наиболее древ­ них математических наук. Она возникла еще в Древнем Египте, где каждый год после разливов Нила жители вынуждены были восстанавливать грани­ цы земельных участков. Сам термин «геометрия» в переводе с греческого оз­ начает «землемерие». Изучать геометрические формы нужно было не уолько земледельцам, но и строителям, ведь без геометрии ни одна из египетских пирамид не была бы построена.

Геометрия как раздел математики, связанный с вычислениями и рас­ четами, способствовала их развитию. Благодаря геометрии стали возможны великие научные открытия, в частности географические. Не случайно в эпо­ ху Средневековья геометрию относили к тем немногим наукам, которыми должен был овладеть каждый просвещенный человек.

Отметим также, что геометрия — это искусство правильного мышле­ ния. Изучая этот предмет, можно увидеть, как закономерности окружаю­ щего мира отражаются в логических утверждениях, из которых извлекают полезные следствия.

На протяжении многих веков основы геометрии почти не изменялись.

Немало утверждений, которые вы будете изучать, даже более древние, чем Библия. Благодаря многим выдающимся ученым, среди которых Евклид, Пи­ фагор, Декарт, Лобачевский, эта наука вышла на качественно новый уровень.

Итак, в добрый путь! Не бойтесь задавать вопросы, находить и при­ менять собственные методы решения задач. Не все будет получаться сразу, но внимание и настойчивость помогут вам получить истинное удовольствие от изучения геометрии.

Желаем вам успехов!

Как пользоваться учебником Учебник имеет три главы, каждая из которых состоит из параграфов, а параграфы — из пунктов. В тексте содержится как теоретический матери­ ал, так и примеры решения задач. Важнейшие понятия и факты выделены полужирным шрифтом.

Упражнения и задачи, представленные в учебнике, делятся на четы­ ре группы.

Устные задачи помогут вам понять, насколько успешно вы Vcboh*™ теоретический материал. Эти упражнения не обязательно решать мыслен­ но — вы можете выполнить необходимые рисунки, вычисления, записать ход рассуждений в черновике. После устных упражнений можно перехо­ дить к графическим упражнениям, которые выполняются в тетради или на компьютере. Далее следуют письменные задания. Сначала проверьте свои знания, выполняя задачи уровня А. Более сложными являются зада­ чи уровня Б. И наконец, если вы хорошо овладели материалом и желаете проявить свои творческие способности, вас ждут задачи уровня В.

После каждого параграфа в рубрике « Повторение» указано, какие именно понятия и факты следует вспомнить для успешного изучения даль­ нейшего материала, и приведены задачи для повторения, которые подгото­ вят вас к восприятию следующей темы. Для самостоятельной работы дома предназначены задачи, номера которых обозначены стрелками. Решать все задачи каждого уровня не обязательно.

В конце каждой главы помещены контрольные вопросы и задачи для подготовки к контрольным работам, благодаря которым вы смо­ жете лучше выполнить тематическое оценивание. Дополнительные за­ дачи к главам откроют вам новые грани геометрии, помогут обобщить изученный материал и почувствовать красоту нестандартного мышления.

Итоговые обзоры в конце каждой главы послужат своеобразным геометрическим компасом и помогут ориентироваться в изученном мате­ риале. Приложения, приведенные в концы учебника, углубят ваши зна­ ния по отдельным изученным темам, а исторические справки познако­ мят с некоторыми интересными фактами, касающимися развития геомет­ рии и деятельности выдающихся ученых-геометров.

:-\.Л * 5 rS /Л V Глава!ч nSi Ж or ^' ПРОСТЕЙШИЕ § 2. Отрезки, Измерение и отк ладыва ние отрезков § 3. Угол, Измерение и откладывание § 4. Параллельные прямые § 5. Смежные углы ‘'^ у Л § 6. Вертикальные углы. П ерпенд ику­ лярные прямые Геометрия — правительница всех м ы сленны х изысканий.

М ихаил Ломоносов, российский ученый Начиная возводить дом, строители сначала закла­ дывают фундамент — основу, на которой будет держать­ ся сооружение. Нечто подобное необходимо сделать и нам.

Мы начинаем изучать планиметрию — раздел гео­ метрии, в котором рассматриваются фигуры на плоскос­ ти. Из курса математики вы уже имеете представление о некоторых из них. Наша ближайшая цель — восста­ новить и дополнить эти начальные знания. Геометри­ ческие сведения мы будем излагать в определенной ло­ гической последовательности, чтобы они стали прочным фундаментом для дальнейшего изучения геометрии.

Основу любой науки составляют утверждения, ко­ торые принимаются как исходные и не требуют обос­ нования. В математике такие утверждения называют аксиомами. Аксиомы планиметрии, которые мы рас­ смотрим в этой главе, выражают основные свойства про­ стейших геометрических фигур. На их основе с помо- * щью логических рассуждений мы будем получать более сложные геометрические факты.

§1. Основные геометрические фигуры 1.1. Точка и прямая Основными геометрическими фигурами на Планиметрия плоскости являются точка и прямая. Плоскость от латинского «пла­ нум» “ плоскость можно представить как лист бумаги, точку и греческого «мет- как след, оставленный иголкой на этом листе, рео» — измеряю а прямую — как тонкую натянутую нить. Точ­ ки обычно обозначают прописными латинскими буквами ( А, В, С, D,...), а прямые строч­ ными латинскими буквами ( а, Ь, с, с,...).

В На рисунке 1 точки А и D лежат а • • — •- на прямой а, а точки В и С не лежат Л * с D на прямой а. Можно это же сказать иначе:

Рис. 1. Точки А и D прямая а проходит через точки А и D, но не ле­ жат на прямой а, а точки проходит через точки В и С.

Б и С не лежат на пря­ Прямая бесконечна и состоит из бесконеч­ мой а ного множества точек. На рисунках мы изобра­ жаем лишь часть прямой.

1.2. Свойства точек и прямых Через одну точку на плоскости можно про­ вести бесконечно много прямых. Рассмотрим пря мые а и Ь, проходящие через точку С (рис. 2).

Рис. 2. Прямые а и b пе­ В этом случае говорят, что прямые а и b пересе­ ресекаются в точке С каются в точке С, а их общая точка С является точкой пересечения прямых а и Ъ.

Если на плоскости обозначены две точки1 А и В, то через них можно провести прямую с (рис. 3).

А В Отметим, что через точки А и В невозможно про­ Рис. 3. Прямая с проходит вести другую прямую, которая не совпадала бы через точки А п В с прямой с.

1 Здесь и далее, говоря «две точки» («две прямые», «три точки» и т. д.), мы будем считать, что эти точки (прямые) различны.

ГЛАВА Г Простейшие геометрические фигуры и их свойства Это свойство называют аксиомой проведения ёё прямой.

Аксиома — qt гречес­ Аксиома проведения прямой кого «аксиос» — обще­ принятый, безогово­ Через любые две точки можно провести прямую, рочный, не вызываю и притом только одну.

“ сомнения Из этого следует, что две прямые не могут иметь две или более общих точек: они либо име­ ют одну общую точку, либо не имеют общих точек вообще. Прямую, с выбранными на ней двумя точ­ ками, можно обозначать прописными буквами, ко­ торыми названы эти точки. Так, прямую на рисун­ ке 3 молено назвать прямой А В или прямой В А.

Через три точки плоскости не всегда можно провести прямую. Так на рисунке 1 нельзя провес­ ти прямую через точки А, В, D.

На рисунке 4 точки А, В, С лежат на од­ А СВ ной прямой, причем точка С лежит между точ­ ками А и В. Можно также сказать, что*точки А Рис. 4. Точка С лежит и В лежат по разные стороны от точки С.

между точками А и В Точки В и С лежат по одну сторону от точки А, а точки А и С лежат по одну сторо­ ну от точки В.

Аксиом а расположения точек на прямой Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

1.3. Луч а Любая точка делит прямую на две части Ах А Л2 (рис. 5). Каждую из этих частей можно условно считать половиной прямой, поэтому образовавшие­ Рис. Б. Точка А делит прямую а на две полу­ ся части прямой и получили название «полупря­ прямые А Л Хи А А г мые», или иначе — лучи.

§1. Основные геометрические фигуры Лучом (или полупрямой} называется часть йря мой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от некоторой данной т ней точки, а также самой этой точки. Данная точка называется начальной точкой {тп началом) луча На рисунке 5 точка А — начальная точка ш 9 5- двух лучей прямой а. Лучи, как и прямые, мож~ В С но обозначать строчными латинскими буквами или двумя точками: начальной (обязательно на первом месте!) и еще какой-нибудь точкой этого Рис. 6. Луч ВС луча. Так, луч на рисунке 6 можно обозначить Ь или ВС, но нельзя обозначить С В.

Два различных луча одной прямой с общей началь­ ной точкой называются дополнительными лучами.

На рисунке 5 А АХ и AA% — дополнитель­ ные лучи. Они дополняют друг друга до прямей а и имеют только одну общую точку — их начало.

Задача На прямой точка С лежит между точками А и В.

Могут ли лучи АВ и АС быть дополнительными?

Ответ обоснуйте.

Решение Пусть А, В и С — данные точки (рис. 7). Поскольку точка С лежит между точками А и В, то точки С g q щ и В лежат по одну сторону от точки А, значит, они t принадлежат одному лучу с началом А. Этот луч можно назвать АВ или АС. Следовательно, данные Рис. лучи совпадают, поэтому они не являются допол­ нительными.

Ответ: не могут.

ГЛАВА I-Простейшие геометрические фигуры и их свойства 1.4. Определение и его роль в геометрии В пункте 1.3 описаны два понятия — «луч», которое известно вам из курса математики 5 клас­ са, и новое понятие — «дополнительные лучи».

Благодаря этим описаниям можно четко пред­ ставить, какие именно фигуры рассматриваются.

М N Данные нами описания являются определени­ а ями, указывающими на особенности описанной фигуры, которые отличают ее от других фигур.

—t -— »—.

Прочитаем еще раз определение дополнитель­ В А С D ных лучей. Если в нем пропустить лишь слова «од­ б ной прямой», то лучи M N и М К на рисунке 8, а Рис. 8. К объяснению по­ придется считать дополнительными. Если же не нятия «дополнительные уточнить, что дополнительные лучи должны иметь лучи»:

общее начало, то лучи АВ и CD на рисунке 8, б а) лучи M N и М К тоже следует назвать дополнительными. Таким об­ не дополнительные;

разом, эти измененные определения не будут опи­ б) лучи АВ и CD сывать тот объект, который мы имеем в виду.

не дополнительные Эти соображения свидетельствуют о том, как важно уделять внимание каждому слову в опреде­ лении: только так можно по-настоящему понять геометрию.

Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 1. На прямой А В отмечена точка С. Лежит ли точка А на прямой ВС? Лежит ли точка В на прямой АС?

2. Точка А лежит на прямой с, а точка В не лежит на прямой с.

Пересекаются ли прямые с и АВ ? Если да, то назовите точку их пересечения.

3- Через точку А проведены две прямые. Могут ли эти прямые иметь общую точку В, отличную от точки А ?

4. Точка В лежит на прямой между точками А и С. Как располо­ жены точки Б и С относительно точки А ?

§1. Основные геометрические фигуры 5. На прямой отмечены точки К, L, К L М N М, N (рис. 9). Назовите: рис g а) точку, лежащую между точками L и N ;

б) точки, лежащие между точками К и N ;

в) две точки, лежащие по одну сторону от точки L ;

г) точку, по разные стороны которой лежат точки К и М.

6. На луче А В отмечена точка С. Может ли точка А лежать между точками В и С? Может ли точка В лежать между точками А и С?

7. Лучи DE и D F — дополнительные. Какая из точек D, Е и F лежит между двумя другими?

8. Два луча имеют общую начальную точку. Обязательно ли они являются дополнительными?

^ ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 9. Проведите прямую.

а) Отметьте точки А и В, лежащие на данной прямой, и точ­ ки С и D, не лежащие на данной прямой. Как можно обозна­ чить данную прямую?

б) Проведите еще одну прямую через точки А и С. Сколько* об­ щих точек имеют построенные прямые?

— 10. Отметьте точку А.

^ а) Проведите луч с началом А и отметьте на нем точку В. Назо­ вите прямую, частью которой является луч А В.

б) Проведите луч с началом В, который не проходит через точ­ ку А. Можно ли назвать построенный луч ВА ?

( S ) ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 11. Отметьте точки В и С. Проведите через них прямую. Проведите еще одну прямую так, чтобы она проходила через точку В, но не проходила через точку С. Сколько общих точек имеют эти прямые?

12. Отметьте две точки и от руки проведите через них прямую. Про­ верьте правильность построения с помощью линейки. Какую аксиому вы использовали?

ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 13- На прямой точки Е и F лежат по разные стороны от точки D.

Как расположены точки D и F относительно точки Е ? Может ли точка F лежать между точками D и Е ?

— 14. Точки М и N лежат на прямой по одну сторону от точки К.

^ Какая из этих трех точек не может лежать между двумя другими?

Ответ объясните.

15. Отметьте точки А и В. Проведите луч А В. Являются ли допол­ нительными лучи А В и ВА ?

16- На прямой отмечены две точки. Сколько пар дополнительных лучей при этом образовалось?

— 17, Постройте дополнительные полупрямые PQ и P R. Назовите ^ точки, лежащие по одну сторону от точки R. Лежит ли точка Q на луче R P ?

Уровень Б 18. Даны четыре точки, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две из данных точек проведена прямая.

Сколько прямых проведено?

— 19. Точки А, В, С находятся на одной прямой, а точка D не лежит на данной прямой. Через каждые две из данных «точек проведена прямая. Сколько всего прямых проведено?

20, По пути из Днепропетровска в Харьков автомобиль проезжает Красноград, а по пути из Краснограда в Днепропетровск — Пере щепино. Какой из этих городов расположен на пути из Харькова до Перещепино?

— 21. На прямой отмечены точки X 9 Y, Z, причем точки X и Y ^ лежат по одну сторону от точки Z, а точки X и Z — по одну сто­ рону от точки У. Какая из трех точек лежит между двумя другими?

22. Точка С лежит на луче А В, а точка В — на луче С А. Какая из этих трех точек лежит между двумя другими?

23- Точки А, В и С находятся на одной прямой, причем лучи А В и АС не являются дополнительными, а точки А и С лежат по одну сто­ рону от точки В. Какая из этих трех точек лежит между двумя другими?

24. Могут ли два луча одной прямой не быть дополнительными? Сде­ лайте рисунок.

25- Два луча имеют единственную общую точку. Будут ли такие лучи дополнительными? Сделайте рисунки.

§1,Основные геометрические фигуры Уровень В 26. Сколько прямых трасс необходимо проложить, чтобы соединить любые два из четырех городов? Рассмотрите все возможные случаи.

Сделайте рисунки.

— 27. Даны три прямые, причем любые две из них пересекаются.

^ Сколько точек пересечения может при этом образоваться? Рассмот­ рите все возможные случаи. Сделайте рисунки.

28. Как должны быть расположены на плоскости п точек, чтобы они определяли ровно п прямых, если п 2 ?

— 29. На прямой отмечены три точки А, В и С. Сколько различных ^ лучей можно назвать с помощью этих точек? Сколько среди эти^ лучей пар дополнительных лучей? Изменится ли ответ, если данные точки не лежат на одной прямой?

@ ПОВТОРЕНИЕ Теоретический материал • прямая и отрезок • построение и измерение отрезков Задачи 30. На прямой точка В лежит между точками А и С. Существует ли на данной прямой:

а) точка, которая лежит между точками А и В, но не лежит между точками А и С;

б) точка, которая лежит между точками А и С, но не лежит между точками А и В ?

31. На прямой отмечены пять точек. Определите, какие из данных утверждений верны:

а) любые три из данных точек лежат между двумя другими;

б) среди данных точек найдутся три, лежащие между двумя дру­ гими;

в) среди данных точек существует по крайней мере одна, не ле­ жащая между двумя другими данными точками;

г) среди данных точек существует ровно одна, не лежащая меж­ ду двумя другими данными точками.

§2. Отрезок. Измерение и откладывание отрезков 2.1. Определение отрезка Любой луч является частью прямой, «огра­ ниченной» с одной стороны начальной точкой. Рас­ смотрим теперь отрезок — часть прямой, «ограни­ ченную» точками с обеих сторон.

Определение * Отрезком называется часть прямой, состоящая щ двух данных точек этой прямой (концов от и всех точек, лежащих между ними.

Отрезок обозначают, записывая его концы А В в произвольном порядке. Так, отрезок на рисун­ Рис. 10. Отрезок АВ — ке 10 можно назвать «отрезок А В » или «отрезок часть прямой АВ ВА ». Очевидно, что отрезок А В является частью прямой А В. При этом следует различать, идет ли речь о прямой А В или об отрезке А В.

Если рассмотреть вместе с точками А и В сг ва а некоторую другую точку прямой, то, в соответст­ вии с аксиомой расположения точек на прямой, Рис. 11. Точка Сг лежит на отрезке АВ, точка С2 она либо лежит между точками А и В, то есть не лежит на отрезке АВ принадлежит отрезку А В (на рисунке 11 такой точкой является Сг), либо не лежит между точка­ ми А и В, то есть не принадлежит отрезку А В (на рисунке 11 такой точкой является С2).

2.2. Равенство отрезков. Середина отрезка Определение Два отрезка называются равными, если они совме­ щаются наложением §2. Отрезок. Измерение и откладывание отрезков •--- / ---- / • --- -- D Е F Рис. 14. Точка Е — Рис. 13. Отрезки АВ Рис. 12. Отрезки АВ середина отрезка DF и AjB} не совмещаются и AjBj совмещаются на­ наложением ложением Нанесем отрезок А у на прозрачную пленку и наложим ег^на Ву отрезок АВ так, чтобы точка А, совпала с точкой А и эти отрез­ ки имели другие общие точки. Если точка Ву совместится с точкой В (рис. 12), то отрезки А В и равны (пишут так: А В - А 1В1).

Если же точки В и Ву не совместятся, то меньшим из двух отрезков является тот, который составляет часть другого.

На рисунке 13 точка Вх совместилась с некоторой точкой отрез­ ка А В, отличной от точки В, поэтому отрезок А В больше отрезка AjBj. Кратко это обозначают так: А В А }Вг • t Определение Серединой отрезка называется точка отрезка, делящая его пополам (то есть на два равных отрезка).

На рисунке 14 отрезки D E и E F равны, то есть точка Е — се­ редина отрезка D F. Обычно на рисунках равные отрезки обозначают одинаковым количеством черточек.

2.3. Измерение и откладывание отрезков Важным свойством отрезка является его длина. Она выража­ ется положительным числом, которое может быть определено срав­ нением данного отрезка с отрезком, принятым за единицу измере­ ния,— единичным отрезком. В качестве единичного отрезка можно выбрать отрезок любой длины. На практике выбирают единичные отрезки длиной 1 мм, 1 см, 1 м и др.

ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства C D Е "mIj1П f1Т ИТ Т Т Т Г Т Т11 tfПП Г![ПГ riTllijTi Iш|П [Т Т Т 1П Г 1 ггттпттп ПМ I!111 И1]м 11 1 ] Г Т Т ПТГ П! И ];

1 Г т | Т И ПТ 11 Т фТ 1 Н 11 Ш 11 / О ММ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 см _ / Рис. 15. Измерение отрезка с помощью линейки Например, на измерительной линейке, которой мы обычно пользуемся, маленькие деления задают единичные отрезки длиной 1 миллиметр, а большие — длиной 1 сантиметр (рис. 15).

Прикладывая линейку к данному отрезку, мы определяем, сколько единичных отрезков и их частей в нем содержится. Это чис­ ло выражает длину отрезка. Число, выражающее длину отре&ка, зависит от единицы измерения.

На рисунке 15 длина отрезка СЕ равна 70 мм, pл и 7 см, или i 0,07 м и т. д. Длина отрезка CD равна 3 см, а отрезка D E — 4 см.

Можно сказать, что отрезок СЕ состоит из двух частей — отрезков CD и D E. Точка D лежит между точками С и Е, а длина отрезка СЕ равна сумме длин отрезков CD и D E (пишут так: CD + D E = СЕ ).

Сформулируем аксиомы измерения и откладывания отрезков.

i Аксиома измерения отрезков Каждый отрезок имеет -определенную длину, которая выражается поло­ жительным числом в заданных единицах измерения. Длина отрезка равна сумме длин частей* на которые отрезок делится любой его точкой.

Аксиома откладывания отрезков На любом луче от его начашной точки можно.отложить отрезок данной длины и только один, Очевидно, что измерение отрезков состоит в последовательном наложении на данный отрезок определенного количества единичных отрезков. Поэтому равные отрезки имеют равные длины, а боль­ ший отрезок имеет большую длину. Верно и другое утверждение:

если отрезки имеют равные длины, то они равны, а большим из двух отрезков является тот, который имеет большую длину.

Таким образом, для сравнения отрезков можно сравнить их длины.

§2. Отрезок. Измерение и откладывание отрезков Длину отрезка А В называют также расстоянием между точка­ ми А и В. Часто, говоря «отрезок АВ », мы имеем в виду его длину.

I Задача На луче АВ отмечена точка С, причем АВ - 12см, ВС - 7 см. Найдите длину отрезка АС.

• Решение Рассмотрим два случая расположения точки С на луче АВ.

С В 1 Точка С не лежит на;

отрезке АВ (рис. 16, а).

.

Тогда точка В лежит на отрезке АС По аксиоме измерения отрезков АС - АВ + ВС, то есть С J...| В АС - 12 +7 =19 (см). :

бj 2. Точка С лежит на отрезке АВ (рис. 16, б). Тогда Рис. АВ - АС"+ ВС, то есть 12 - АС +7. Таким обра­ зом, АС - 12 - 7 - 5 (см).

Ответ'- 19 см или 5 см.

Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 32. На прямой отмечены три точки. Сколько отрезков образова­ лось?

33. На прямой точка А лежит между точками В и С. Какой из отрезков с концами в данных точках является наибольшим?

34. Если точка С лежит на отрезке А В, то она лежит и на луче А В.

Верно ли такое утверждение?

35. Если точка С лежит на луче А В, то она обязательно лежит и на отрваке А В. Верно ли такое утверждение?

36. Можно ли разбить прямую на отрезок и два луча? Если да, то могут ли полученные лучи быть дополнительными?

ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 37. Точки А, В и С находятся на одной прямой. Отрезок А В боль­ ше отрезка АС. Может ли точка С лежать между точками А и В ?

Может ли точка А лежать между точками В и С ?

38. Отрезки АВ и БС равны и лежат на одной прямой. Какая из точек А, В, С лежит между двумя другими?

ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 39- Проведите луч с началом в точке А.

а) На данном луче отложите отрезок А В, равный 6 см, и*отметь те на этом отрезке точку С б) Измерьте длину отрезка АС.

в) Вычислите длину отрезка С В. Проверьте полученный резуль­ тат измерением.

—^ 40. Проведите луч с началом в точке С.

а) На данном луче отложите отрезок CD равный 4 см.

б) Постройте точку Е так, чтобы точка D была серединой отрез­ ка СЕ. Какова длина отрезка СЕ ?, ( S ) ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 41. На прямой точка М лежит между точками К и N. Найдите длину отрезка:

а) K N, если К М = 2,9 см, M N - 4,1 см;

б) M N, если-KTV = 8,3 см, К М = 5,8 см.

42- Точки Б и С лежат на отрезке A D, равном 10 см. Найдите дли­ ну отрезка ВС у если А В - 2,4 см, CD = 3,6 см.

43. На отрезке M N отмечены точки Р и R так, что М Р = P R = R N.

Сделайте рисунок. Какие еще равные отрезки с концами в данных точках образовались на рисунке?

44. На прямой точка Б лежит между точками А и С. Какие из отрез­ ков с концами в данных точках могут быть равными? Ответ обоснуйте.

§2. Отрезок. Измерение и откладывание отрезков 45- На луче с началом А отмечены точки В и С так, что А В = 6,4 см, ВС = 2,6 см. Какой может быть длина отрезка АС ? Рассмотрите два возможных случая расположения точек на луче.

- 46. На луче CD отмечена точка Е. Найдите длину отрезка С Е, если CD = 8 м, D E = 6,2 м. Сколько решений имеет задача?

47. На прямой отмечены точки Р, R и S, причем P R P S R S.

Какая из трех данных точек лежит между двумя другими? Ответ обоснуйте.

Уровень Б * 48. На прямой точка М лежит между точками К и N. Найдите длины отрезков:

а) К М и M N, если K N = 24 см, а отрезок К М больше отрезка M N на 8 см;

б) К М и K N, если M N —9 см, a K N : К М = 7 : 4.

49. Точки Б и С лежат на отрезке A D. Найдите длину отрезка ВС, если A D = 10 см, АВ = 6,8 см, CD = 8,3 см. f 50. На отрезке MiV отмечены точки А и Б так, что М А = 7 мм, —^ АВ = 4,3 мм, BiV = 5,l мм. Найдите длину отрезка M N. Рассмот­ рите все возможные случаи.

51* На луче с началом А отмечены точки В, С и D, причем А В = 4 см, ВС = 5,2 см, СХ) = 2,4 см. Какой может быть длина от­ резка A D ? Рассмотрите все возможные случаи.

^ 52. Точка С — середина отрезка А В, а точка D — середина отрез­ — ка АС. Найдите длину отрезка:

а) BD, если АС = 16 см;

б) А В, если B D = 12 см.

53. На прямой отмечены точки М, N и К, причем отрезок MiV больше iV X, а отрезок N K не является наименьшим среди обра­ зовавшихся отрезков. Какой из полученных отрезков наименьший?

Ответ обоснуйте.

54. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Назовите наибольший —^ из отрезков с концами в данных точках, если точка С лежит на луче А В, а точка В лежит на луче СА. Ответ обоснуйте.

ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Уровень В 55. На прямой отмечены точки А и В, расстояние между которы­ ми составляет 6 см. Укажите расположение на данной прямой всех точек М таких, что:

а) A M + M B = 8 см;

б) A M + M B = 6 см;

в) A M - 2М В.

— 56. Отрезок разделен тремя точками на четыре части, каждая из ^ которых равна а. Сколько при этом образовалось равных отрезков, длина которых не равна а ? Укажите их длины.

57. Точка С лежит на отрезке А В. Докажите, что расстояние меж­ ду серединами отрезков АС и СВ не зависит от расположезЛш точ­ ки С. Найдите это расстояние, если АВ = 20 см.

- 58. Точка С лежит на отрезке А В • Найдите длину отрезка А В, если расстояние между серединами отрезков АС и СВ равно 5 см.

59- Отрезки А В и CD лежат на одной прямой. Докажите, что если они имеют общую середину, то АС = B D.

— 60- На прямой отмечены точки А, В, С и Й, причем А В = CD.

^ Образовались ли при этом другие равные отрезки с концами в дан­ ных точках? Если да, то докажите их равенство. * (^П О В ТО РЕН И Е ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал • угол • построение и измерение углов Задачи 61. Из точки А проведены лучи А В и А С, не являющиеся допол­ нительными. Обязательно ли данные лучи будут совпадать?

62- Отрезки B D и D K имеют единственную общую точку D.

а) Обязательно ли точка D лежит между точками В и К ?

б) Может ли некоторая прямая, не проходящая через точку D, пересекать оба данных отрезка?

§3. Угол. Измерение и откладывание углов 3.1. Определение угла При изучении дополнительных лучей мы а рассматривали случай, когда два луча имеют об­ щую начальную точку. Рассмотрим теперь случай, когда два луча имеют общую начальную точку, но не обязательно являются полупрямыми одной прямой.

Определение Углом называется геометрическая фигура, кото­ рая состоит из двух лучей {сторон угла), исходя­ щих из одной точки (вершины угла).

Для обозначения углов используют знак Z.

На рисунке 17, а изображен угол с вершиной В, сторонами которого являются лучи а и 6 (или ВА в и ВС ). Этот угол можно обозначить одним из сле­ дующих способов: Z B, A ABC, Z C B A, Z (a b ) Рис. 17. Обозначение угла Z (b a ). Если угол обозначают по вершине и двум точкам на сторонах, то вершину обязательно ука­ зывают на втором месте. Иногда углы обозначают греческими буквами (а У»--*) (рис. 17, б), или числами (рис. 17, в).

Стороны угла делят плоскость на две части.

Внутренней областью угла считается та из них, которая целиком содержит любой отрезок с кон­ цами на сторонах угла (на рисунке 17, а она за­ штрихована). Луч, который исходит из вершины Рис. 18. Луч BD делит угла и проходит в его внутренней области, делит угол ABC на два угла данный угол на два угла. На рисунке 18 луч BD делит угол ABC на углы A B D и В В С.

ГЛАВА I. Простейшие геометрические ф игуры и их свойства Определение Развернутым углом называется угод, стороны ко На рисунке 19 изображен развернутый угол АОВ.

Прямая А В делит плоскость на две части, каждую из которых можно считать внутренней Рис. 19. Развернутый областью развернутого угла АО В. Договоримся угол АОВ ту из частей, которую мы рассматриваем как внут­ реннюю, обозначать дужкой.

3.2. Равенство углов.

Биссектриса угла Определение Два угла называются.равными, если они совмеща­ ются наложением.

На рисунке 20 изображены углы 1 и 2. На­ Биссектриса ~ от ложим угол 1 на угол 2 так, чтобы их вершины латинского «бйс» ~ совпали, сторона первого угла совместилась со сто­ дважды и «сект» — роной второго, а внутренние области этих углов рассекаю - рассекаю* были расположены по одну сторону от прямой, со­ держащей совместившиеся стороны. Если другие стороны этих углов тоже совместятся, то углы и 2 являются равными (пишут так: Z l = Z 2 ).

§ 3. Угол. Измерение и откладывание углов W V ^ V ‘u v i-’ сотещ акггся наложением Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, сторона которого принадлежит внутренней области второго угла. На рисунке 21 угол 1 является частью угла 2, то есть он меньше угла 2 (пишут так: Z l Z 2 ).

Определение Биссектрисой угла называется луч, которы й исходит из вершины угла и делит угол пополам (то есть на два равных угла) Рис. 22. Луч ек биссектриса угла DEF На рисунке 22 углы D E K и K E F равны, по­ этому луч Е К — биссектриса угла D E F. Обычно на рисунках равные углы обозначают одинаковым количеством дужек.

3.3. Измерение и отклады вание углов Измерение углов имеет много общего с изме­ рением отрезков. Величина отрезка количественно выражается мерой (длиной) отрезка, а величина угла — мерой угла. Мера угла выражается поло­ Градус — от латинско­ жительным числом, которое можно определить из­ го «градус» - шаг По мерением, основанным на сравнении данного угла наблюдению вавило­ с углом, принятым за единицу измерения.

нян солнечный диск на дневном пути «делает Обычно такой единицей является 1 гра 180 шагов» дус (обозначается 1°) — угол, равный ---- части ГЛАВА I. Простейшие геометрические ф игуры и их свойства развернутого угла.Градусная мера угла указывает, сколько углов величиной 1° и их частей содержится в данном угле. Для измерения углов обычно исполь­ зуют транспортир, деления которого задают меру угла в градусах (рис. 23)1.

Сформулируем аксиомы измерения и откла­ дывания углов.

Аксиома измерения углов Каждый угол имеет градусную меру, которая выра жается положительным числом. Развернутый угол равен 180°.

Если луч делит данный угол на два угла, то градусная Рис. 23. Измерение угла мера данного угла равна сумме градусных мер двух с помощью транспортира полученных углов.

Аксиома откладывания углов От любого луча данной прямой можно отложить в за­ данную сторону or прямой угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

Так, на рисунке 18 градусная мера угла ABC равна сумме градусных мер углов A B D и DBC (это утверждение можно записать в виде равенства: Z ABC = Z A B D + Z DBC ). Часто, гово­ ря «угол ABC », мы имеем в виду градусную меру этого угла.

Биссектриса развернутого угла делит его на два угла, каждый из которых равен 90° (рис. 24).

Такие углы называются прямыми. В отличие от других углов, обычно обозначаемых дужками, Рис. 24. Биссектриса де лит развернутый угол на прямой угол обозначают знаком —. i два прямых угла 1 В 7 классе мы будем рассматривать углы, градусная мера которых не превы­ шает 180°. Д ля более точных измерений используется 1 минута (обозначает / 1 rt -t ) — ---- часть градуса и 1 секунда (обозначается А ) — ---- часть минуты.

60 §3. Угол. Измерение и отклады вание углов \ П Тупой Прямой Острый Рис. 25. Виды неразверяутых углов Неразвернутые углы делятся на три вида (рис. 25):

• острые углы, меньше 90°;

• прямые углы, равны 90°;

• тупые углы, больше 90°, но меньше 180°.

На практике для построения углов используют транспортир.

Для построения прямых углов используют угольник.

Измерение углов можно считать последовательным наложением на данный угол определенного (не обязательно целого) числа углов, равных 1°. Поэтому равные углы имеют равные градусные меры, а больший угол имеет большую градусную меру. Верно и другое утверждение: если углы имеют равные градусные меры, то они равны, а из двух углов большим является тот, который имеет большую градусную меру. Таким образом, для сравнения двух углов достаточно сравнить их градусные меры.

Задача --. *............ | - - - - - '-f f "* * l Луч b делит угол (ас), равный 120°, на два угла, один из которых втрое меньше угла (ас). Найдите....эти углы.

J | j i 1;

Решение Пусть у го л (ab) втрое меньше угла (ас). Тог­ да Л (ab) = 120° : 3 = 40°. Согласно аксиоме из­ мерения углов, если луч b делит угол (ас) на ---V ---- два у гл а г то и х сумма равна данному угл у:

Z (ас) - Z (ab) + Z (Ьс). Тогда Z (b c ) = Z (ac) - Z (ab);

Z (be) = 120° - 40° = 80°.

Ответ: 40°( 80° ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 3.4. А налогия в геометрии Иногда при решении задач о свойствах отрезков и углов приме­ няются одни и те же методы и подходы. Это объясняется сходством некоторых свойств этих фигур. Такое сходство в науке называется аналогией.

Объясним суть аналогии на примере двух следующих задач.

-Т — - г.. Задача Задача На отрезке АВ, равном 20 см, от­ Луч С делит угол (ab), равный 140°, мечена точка С. Найдите рассто­ на два угла. Найдите угол между яние между серединами отрезков биссектрисами углов (ас), (cb).

АС и СВ.

На первый взгляд, перед нами совершенно разные задачи, по­ скольку в одной речь идет об отрезках, а во второй — об углах. Однако в обеих задачах дано некоторое «целое», разделенное на части. Кроме того, понятия середины отрезка и биссектрисы угла связаны с деле­ нием целого пополам, и в обеих задачах нам необходимо найти сумму половин каждой из частей фигуры.

Решение Решение А, С В, В Рис. Пусть точка С принадлежит отрез­ ку АВ, точки Д, и б, — середины отрез­ Пусть луч с делит угол (ab) на два уг­ ков АС и СВ соответственно (рис. 26).

1 ла, лучи а, и bj — биссектрисы углов Тогда А,С - — АС, СВ, = — СВ.

1 2 1 (ас) и (cb) соответственно (рис. 27) Найдем длину отрезка AtB Тогда Z (а с) = — Z (ас), Z (cb.) = A,Bt = A f t.CBr i X (AC * CB) = 1 = - ^ (сЬ).

' §3. Угол. Измерение и откладывание углов Найдем градусную меру угла (ар.);

Поскольку по условию задачи АВ = 20 см, имеем' Z (а р ) = Z (а,с) + Z (cb.) = АI В. -• — -1 0 см. 4 = - : ( Z (ас) + Z (cb ))~ - i z (a b )!

| 1 г 2 Ответ: 1Q см. П оскольку по услов и ю за­ дачи Z (a b ;

= 1 4 0 °, и м еем :

) Щ г7 0 ° 2v Ответ: 70е Как видим, в основе обоих решений лежит общая идея. Найдя ее при решении первой задачи, мы можем повторить основные этапы рассуждений применительно к условиям второй задачи, то есть решить ее аналогично.

Рассуждения по аналогии довольно часто при­ меняются и в других науках. Например, биологи ус тановили, что летучая мышь в полете испускает уль­ тразвуковые колебания и, воспринимая колебания, отраженные от преграды, ориентируется по этим сиг­ налам в темноте. По аналогичному принципу ученые создали радиолокатор, определяющий местонахожде­ ние объектов в любых погодных условиях. Но анало­ гия в науке не всегда дает желаемый результат: в те­ чение многих веков человек старался взлететь в небо с помощью искусственных крыльев, аналогичных птичьим, но эти старания были напрасными. И толь­ ко более основательные научные исследования при­ вели к созданию дельтапланов, самолетов и других летательных аппаратов, с помощью которых человек поднялся в воздух. Выдающийся немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер считал аналогии «свои­ ми верными учителями» и подчеркивал, что «анало­ гиями менее всего следует пренебрегать в геометрии».

Однако при этом нужно учитывать, что аналогия, полезная как способ рассуждений, сама по себе не может служить доказательством каких-либо свойств геометрических фигур.

ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 63. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. Может ли угол ABC быть развернутым?

6 4. Определите, каким (острым, прямым, тупым или развернутым) является угол, который образуют стрелки часов в 3 часа;

в 8 часов;

в 11 часов;

в 6 часов.

65. Назовите градусную меру угла, на который поворачивается:

а) минутная стрелка часов в течение 15 минут;

30 минут;

10 минут;

б) часовая стрелка часов в течение 3 часов;

1 часа;

30 минут.

66. Луч I делит угол (т п) на два угла. Сравните углы (m l) и (т п).

67. На рисунке 28 назовите все острые уг­ лы;

все прямые углы;

все тупые углы.

68. Может ли сумма градусных мер двух острых углов быть:

а) меньше градусной меры прямого угла;

б) равна градусной мере прямого Угла;

Рис в) больше градусной меры прямого угла;

г) больше градусной меры развернутого угла?

69. Луч Ъ — биссектриса неразвернутого угла (а с ). Может ли угол (ab) быть прямым;

тупым?

ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 70. Начертите угол A B C, равный 100°.

а) Проведите биссектрису B D данного угла. Какова градусная мера угла DBC ?

б) Перегните рисунок по прямой B D. Совпадают ли лучи ВА и ВС ? Как это объяснить?

§3. Угол. Измерение и откладывание углов 71. Начертите на отдельном листе острый угол (аЪ) и проведите из его вершины луч с, делящий данный угол на два угла.

а) С помощью транспортира измерьте все образовавшиеся углы и сравните градусные меры углов (ас) и (c b ).

б) Покажите с помощью наложения, какой из углов меньше:

(ас) или (сЬ).

( 2 ) ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 72. Луч Ъ делит угол (ас) на два угла. Найдите:

а) угол (а с ), если Z (ab) = 63°, Z (Ьс) = 63°;

б)угол ( а Ь ), если z (a c ) = 109°, Z (b c ) = 28°.

73. Лучи ОБ и ОС делят угол A O D на три угла. Найдите угол Б О С, если Z A O D = 142°, Z A O B = 12°, а угол COD прямой.

74. Может ли луч Ъ делить угол (ас) на два угла, если Z (b c ) = 70°, Z (a c ) = 65°? Ответ обоснуйте.

75. Луч B D — биссектриса угла A B C. Найдите углы ABC и A B D, если угол ABC больше угла DBC на 38°., 76. Луч Ъ — биссектриса угла (а с ). Найдите:

а) угол (а с ), если Z (b c ) = 52° ;

б)угол (аЬ), если Z (a c ) прямой.

Уровень Б 77. Луч Ъ делит угол (а с ), равный 150°, на два угла. Найдите углы ((ab) и (Ь с), если:

а) угол (ab) меньше угла (Ьс) на 40°;

б) градусные меры углов (a b ) и (Ьс) относятся как 2 : 3.

“ ^ 78. Луч ОВ делит угол А О С, равный 120°, на два угла. Найдите углы АОВ и В О С, если:

а) угол ВОС больше угла АОВ в 5 раз;

б) градусные меры углов АОВ и ВОС относятся как 3 : 5.

79. Лучи ОВ и ОС делят угол AO D на три угла. Найдите угол В О С, если Z A O D -1 1 0 °, Z A O C = 85°, Z B O D - 60°.

“ ^ 8 0. Угол (ad) разделен лучами Ъ и с на три угла. Найдите угол (а с ), если Z (ab ) = 28°, Z (b d ) = 92°, Z (c d ) = 44°.

ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 81. Луч I — биссектриса угла (т п ). Найдите угол (т п ), если угол между биссектрисами углов (m l) и (in ) равен 70°.

82. Луч ОБ — биссектриса угла А О С, а луч ОЕ — биссектриса угла ВОС • Найдите угол А О С, если угол А О Е прямой.

Уровень В 83. Луч О К делит угол M O N на два угла. Найдите угол M O N, если угол между биссектрисами углов М О К и K O N равен 40°.

8 4. Из данной точки проведены три луча так, что углы между лю­ быми двумя из них равны. Найдите эти углы.

8 5. Из данной точки проведено несколько лучей так, что угол меж^у любыми двумя соседними лучами равен 72°. Сколько всего лучей проведено?

ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал • параллельные прямые Задачи 86. На плоскости отмечены точки А, В, С не лежащие на одной прямой. Существует ли прямая, которая проходит через точку А :

а) и пересекает прямую ВС, но не пересекает луч ВС ;

б) пересекает луч ВС, но не пересекает прямую ВС ;

в) не пересекает прямую ВС ? Выскажите предположение.

87. Внутри острого угла ABC отмечена точка D. Определите, какие из данных утверждений верны:

а) существует прямая, которая проходит через точку D, пересе­ кает луч ВА и не пересекает луч ВС ;

б) существует прямая, которая проходит через точку D, пересе­ кает луч ВА и не пересекает прямую ВС ;

в) существует прямая, которая проходит через точку D и не пе­ ресекает ни одну из прямых ВА и ВС.

Изменятся ли ответы, если угол ABC будет прямым;

тупым;

развер­ нутым? Выскажите предположение.

§4. Параллельные прямые 4.1. Определение параллельных прям ы х Известно, что если две прямые на плоскости имеют только одну общую точку, то они пересека­ ются. Рассмотрим теперь случай, когда две пря­ мые не имеют общих точек.

Параллельный от греческого слова Определение параллелос» ~ Две прямые на плоскости называются параллель­ идущий ными, если они не пересекаются.

Представление о параллельных прямых да­ ют, например, железнодорожные рельсы или ли­ нейки нотного стана.

На рисунке 29 прямые с и 6 параллельны.

а Кратко это обозначают так: а |b. Такая запись чи­ | Ь тается: «Прямая а параллельна прямой Ь.

Итак, можно выделить два случая взаимного расположения прямых на плоскости: две прямые на Рис. 29. Параллельные плоскости или параллельны, или пересекаются.

прямые Наряду с параллельностью прямых мы бу­ дем рассматривать также параллельность отрезков и лучей.

Определение Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралл ельи ых прямы х.

Аналогично формулируются определения па­ раллельности двух лучей, прямой и отрезка, луча В А и отрезка и т. п.

На рисунке 30 прямые А В и CD параллель­ D С.. — -------•— ны, поэтому отрезки А В и CD параллельны, лу­ чи ВА и CD параллельны, отрезок А В паралле­ Рис. 30. Параллельные лен прямой CD и т. д.

отрезки ГЛАВА I. Простейшие геометрические ф игуры и их свойства На практике довольно часто приходится проводить прямую, параллельную данной,— на­ пример, делать разметку дороги или чертить поля в тетради. Всегда ли можно провести через данную точку прямую, параллельную данной? Сколько та­ ких прямых проходит через точку, не лежащую на данной прямой? Ответ на эти вопросы дает аксио­ ма параллельных прямых (аксиома Евклида).

Аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида) Через точку, не лежащую на данной прямой, мож­ но провести не более одной прямой, параллельной данной1.

Мы сформулировали лишь некоторые из ак­ сиом планиметрии. Более полный перечень аксиом представлен в Приложении 1.

4.2. Теорема о д вух прям ы х, параллельных третьей На основе аксиом с помощью логических рассуждений (доказательств) мы будем получать новые геометрические факты. В математике ут­ верждение, справедливость которого устанавлива­ ется путем доказательства, называется теоремой.

Доказывая теорему, используют определения, ак­ сиомы и теоремы, доказанные ранее.

Ъ Итак, сформулируем и докажем первую теоре­ му — теорему о параллельных прямых (рис. 31).

с Т е о р е м а (о двух прямых, параллельных третьей) Рис. 31. Две прямые па­ Две прямые, параллельные третьей, параллельны раллельны третьей между собой.

1 На самом деле имеет место такое утверждение: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну». Воз­ можность провести такую прямую мы докажем в п. 14.3.

§ 4. Параллельные прямые Доказательство Пусть а у Ъ и с — данные прямые, п а чем а |с, Ъ|с. Докажем, что прямые а я b па­ | | раллельны.

Предположим, что прямые а и Ъ не парал­ лельны. Тогда они должны пересекаться в некото­ рой точке С (рис. 32). Таким образом, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с.

Рис. 32. К предположе­ Но согласно аксиоме параллельных прямых через нию о том, что прямые а точку вне данной прямой может проходить не бо­ и b не параллельны лее одной прямой, параллельной данной. Следова­ тельно, наше предположение о том, что прямые а и Ъ могут пересекаться, неверно, то есть эти прямые параллельны. Теорема доказана.

Применим доказанную теорему для решения задачи.

Задача Если прямая пересекает одну из двух параллель­ ных прямых, то она пересекает и вторую*прямую.

Докажите.

Решение Пусть а\\Ь, и прямая с пересекает прямую а (рис. 33).

Докажем, что прямые Ь и с пересекаются. Предпо­ ложим, что эти прямые не пересекаются. В таком случае Ь||с. Поскольку с\\Ь и а\\Ь, то по теореме о двух прямых, параллельных третьей, прямые а и с параллельны. Но это невозможно, так как по условию задачи прямые а и с пересекаются.

Таким образом, предположение о том, что bit с, неверно. Значит, прямые b и с пересекаются, что и требовалось доказать.

1 Начало и окончание доказательства мы будем обозначать знаками П и соответственно.

ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Обратим внимание на рисунок 32, который ис­ пользовался в ходе доказательства теоремы. Взаим­ ное расположение прямых a, ft, с на этом рисунке не соответствует формулировке теоремы, и это легко объяснить: ведь рисунок отражает предположение, впоследствии оказавшееся неверным. Вообще, ри­ Теорема ~ от греческого «тео- сункам в геометрических теоремах и задачах отво­ ремос» — рассмат­ дится особая роль — то, что на них изображено, сле­ ривать, обдумывать дует из имеющихся у нас сведений, но не наоборот.

Недоказанные свойства геометрических фи­ гур, даже если они кажутся очевидными из ри­ сунков, использовать нельзя. Рисунок в геометрии лишь отражает свойства и утверждения, выражен­ ные словами, но сам по себе не является доказатель­ ством. К тому же рисунок может не охватывать всех возможных вариантов расположения элементов фи­ гур, которые подразумеваются в задаче или теоре­ ме. Недаром геометрию называют «искусством пра­ вильно рассуждать на неправильных чертежах».

4.3. Условие и заключение теоремы.

Доказательство от противного В формулировке любой теоремы всегда можно четко выделить две части: то, что дано (условие), и то, что надо доказать (заключение). Перефор­ мулируем теорему о двух прямых, параллельных третьей, следующим образом: «Если две прямые параллельны третьей прямой, то эти прямые па­ раллельны между собой». Нам известно, что две прямые параллельны третьей прямой — это ус­ ловие теоремы. Требуется доказать, что эти пря­ мые параллельны между собой — это заключе­ ние теоремы. Вообще говоря, выделить условие и заключение легче всего для утверждения, пред­ ставленного в виде: «Если... {условие), то... (заклю­ чение)».

Проанализируем доказательство теоремы о двух прямых, параллельных третьей. Сначала §4 Параллельные прямые мы предположили, что прямые а и Ъ не парал­ лельны, то есть что заключение теоремы ошибоч­ но. Затем, опираясь на известные свойства вза­ имного расположения прямых, установили, что через некоторую точку С проходят две прямые, параллельные с, то есть пришли к противоречию с аксиомой параллельных прямых. На основании этого противоречия мы сделали вывод о том, что наше предположение было неверным, а значит, верным является утверждение теоремы. Этот ме­ тод доказательства называется доказательством от противного, им мы воспользовались и в зада­ че, которую рассматривали после теоремы. Но этот метод не единственный: уже в следующем параг­ рафе мы будем применять и другие методы дока­ зательств.

Метод доказательства от противного иногда используется как в других науках, так и в повсед­ невной жизни. Например, врач, чтобы убедиться, что пациент не болен гриппом, может рассуждать IB так: «Допустим, что у больного грипп;

тогда у него должны быть характерные симптомы: повышение температуры, головная боль и т. п. Но этих симп­ томов нет, то есть предположение о гриппе невер­ но. Значит, пациент не болен гриппом».


Схема доказательства от противного Утверждение Если А, то В Доказательство 1. Пусть А, но не В Предполагаем, что условие теоремы выполняется, а за­ ключение — нет 2. Рассуждения Проводим рассуждения, опираясь на аксиомы и ранее доказанные теоремы 3. Противоречие Получаем новое утверждение, противоречащее либо дан­ ному условию, либо одной из аксиом, либо ранее дока­ занной теореме 4. Тогда В Убеждаемся, что наше предположение ошибочно, т. е.

данное утверждение является верным ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 88- Известно, что а |Ъ. Означает ли это, что Ъ|а ?

| | 89- Два отрезка не имеют общих точек. Означает ли это, что данные отрезки обязательно параллельны?

90- Прямые К М и E F параллельны. Могут ли лучи М К и F E пересекаться?

91. На плоскости проведены три параллельные прямые. Может ли некоторая четвертая прямая:

а) пересекать только одну из данных прямых;

б) пересекать только две из данных прямых;

в) не пересекать ни одной из данных прямых?

92- Можно ли провести два луча с началом в точке вне данной пря­ мой, которые были бы параллельны данной прямой? Какими долж­ ны быть эти лучи?

ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 93- С помощью линейки проведите параллельные прямые а и Ь.

а) Отметьте на прямой а точку А. Можно ли провести через точку А другую прямую, параллельную прямой b ? Почему?

б) Постройте отрезок A D, параллельный прямой Ъ. Лежит ли точка D на прямой а ?

в) Проведите через точку А прямую с, не совпадающую с пря­ мой а. Пересекаются ли прямые Ъ и с ? Почему?

94- С помощью линейки проведите параллельные прямые а и Ъ.

а) Проведите прямую с, параллельную прямой а. Параллельны ли прямые Ъ и с ? Почему?

б) Отметьте на прямой с точки А, В и С. Назовите два луча, параллельные прямой Ь.

§ 4. Параллельные прямые А Уровень А 95. Даны прямая а и точки А, В и С В * а (рис. 34). Сколько прямых, параллельных прямой а, можно провести через данные • точки? Проведите все такие прямые. Мо­ гут ли они пересекаться? Ответ обоснуй- Рис. те.

96. Прямая параллельна одной из двух параллельных прямых. Мо­ жет ли она пересекать вторую прямую? Ответ обоснуйте. * 97. Две прямые параллельны. Докажите методом от противного, что любая третья прямая не может пересекать обе данные прямые в од ной и той же точке.

98. Докажите методом от противного утверждение: «Если прямая параллельна одной из сторон неразвернутого угла, то она не может быть параллельна другой его стороне».

Уровень Б 99. Три параллельные шоссейные трассы пересекаются двумя други­ ми параллельными трассами. Сколько пересечений образуется?

100. На плоскости проведены прямые а, Ь, с и d, причем а |Ъ, | c \d. Прямые а и с пересекаются. Сколько всего точек пересече­ ния имеют данные прямые?

101. Через точку, не лежащую на прямой с, проведены четыре пря­ мые. Сколько из них могут пересекать прямую с ? Рассмотрите все возможные случаи.

102. На плоскости проведены четыре прямые, причем три из них имеют одну общую точку. Сколько пар параллельных прямых мо жет образоваться на плоскости? Рассмотрите все возможные случаи.

103. Прямая а параллельна прямой & и не параллельна прямой с. Докажите, что прямые Ъ и с пересекаются.

104. Прямые а и & пересекаются, прямая с параллельна прямой b. Докажите, что любая прямая, параллельная прямой а, пере секаёт прямые Ъ и с.

ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Уровень В 105. На плоскости проведены несколько прямых, причем ника­ кие три из них не пересекаются в одной точке. Всего образовалось три точки пересечения. Сколько прямых проведено? Рассмотрите все возможные случаи.

106. На плоскости проведены три прямые. При этом образовалось две точки пересечения. Докажите, что среди данных прямых есть параллельные.

107. На плоскости проведены четыре прямые. При этом образо­ валось шесть точек пересечения. Докажите, что среди данных прямых нет параллельных.

© ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § f Теоретический материал • дополнительные лучи f- — • измерение углов * - п‘ Задачи 108. Лучи Ъ и с делят развернутый угол (ad) на три угла. Найдите угол (bd), если Z (a c ) = 135°, Z (b c ) = 20°. Сколько решений имеет задача?

109. Луч OAj является дополнительным к стороне ОА угла АО В. Най­ дите угол АО В, если он равен углу А гО В.

J §5. Смежные углы 5.1. Определение смежных углов В предыдущих параграфах мы рассматривали ииды углов в зависимости от их градусной меры. Пе­ рейдем к изучению углов, имеющих общие элементы.

Пусть на прямой точка О лежит между точ­ ками А и В, а С — произвольная точка вне пря­ о мой А В (рис. 35). Тогда углы АОС и СОВ имеют Л общую сторону, а стороны ОА и ОВ данных углов Рис. 35. Углы АОС и СОВ являются дополнительными лучами.

смежные Определение Два угла называются смежными, если они имеют общую стопону, а другие стороны этих углов явля! эт дополнительными лучами Пропуск хотя бы одного условия в форму­ лировании определения недопустим;

это может привести к тому, что будет описан иной геометри­ Рис. 36. Углы 1 и 2 име­ ческий объект. Так, если стороны двух, углов не ют общую сторону, но являются дополнительными лучами, то даже при не смежные наличии общей стороны такие углы — не смежные (рис. 36). Не являются смежными и углы, которые не удовлетворяют первому условию определения, то есть не имеют общей стороны (рис. 37).

5.2. Теорема о смежных углах.

Рис. 37. Стороны а и Ъ уг­ лов 1 и 2 — дополнитель­ Следствия из теоремы ные лучи, но эти углы не смежные Т е о р е м а (о с м е ж н ы х у г л а х ) Сумма смежных углов равна 180° Доказательство Пусть углы (аЪ) и (Ьс) — данные смеж углы (рис. 38). Тогда по определению смежных уг­ Рис. 38. Сумма углов (ab) лов лучи а и с дополнительные, то есть угол (ас) и (ihe) равна 180° ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства развернутый, а его градусная мера равна 180°. Луч Ъ делит угол (ас) на два угла, и по аксиоме изме­ рения углов Z (a b )+ Z (b c )= Z (a c ) = 180°. Теорема доказана.

Сформулируем теперь несколько утвержде ний, которые легко обосновать с помощью дока­ занной теоремы.

1. Если два угла равны, то смежные с ни­ ми углы также равны.

Действительно, по теореме о смежных углах Z1 + Z 2 = Z 3 + Z 4 = 180° (рис. 39). Если Z 1 = Z 3, то 180° —Z1 = 180° —Z3, то есть Z 2 = Z 4.

2. Два угла, смежные с одним и тем же уг­ лом, равны.

Рис. 39. Углы, смежные На рисунке 40 углы 1 и 2, а также углы с равными углами, так­ и 3 являются смежными. Поскольку сумма смеж­ же равны ных углов равна 180°, то Z 2 = Z 3 = 180°~ Z 1.

3. Угол, смежный с прямым углом, также прямой. Угол, смежный с тупым углом,— ост­ рый. Угол, смежный с острым углом,— тупой.

Эти утверждения вытекают из теоремы о смежных углах, поскольку 180° — 90° = 90° Рис. 40. Углы, смежные (рис. 41), а если два неравных угла в сумме со­ с одним и тем же углом, ставляют 180°, то один из них больше 90° (то есть равны тупой), а второй — меньше 90° (то есть острый).

В математике утверждения, непосредствен­ но вытекающие из теорем (или аксиом), называют следствиями. Обосновывая следствия 1—3, мы всякий раз упоминали теорему о смежных углах, причем делали это двумя способами: либо указы­ вали ее название, либо пересказывали ее содержа­ Рис. 41. Угол, смежный ние. Такие обращения к известному утверждению с прямым углом, пря­ с целью обоснования нового называют ссылками.

мой Ю §5. Смежные углы Решая геометрическую задачу или доказывая но­ вую теорему, необходимо ссылаться на ранее изу­ ченные определения, аксиомы, теоремы и их следс­ твия, а также на данные, содержащиеся в условии задачи или вытекающие из него. Например, при доказательстве теоремы о смежных углах мы ссы­ лались на определения смежных углов, разверну­ того угла и аксиому измерения углов, а при дока­ зательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, — на аксиому параллельных прямых.

Задача Докажите, что если два смежных угла равны, то они прямые.

Решение Если Z 1 и Z 2 — смежные углы, то Z l + Z 2 = 180° (по теореме о смежных углах), Поскольку л о ус­ ловию задачи Z l = Z 2, то каждый из этих углов равен 1 8 0 °:2 = 9 0 °. то'есть данные углы являются прямыми, что и требовалось доказать.

Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 110. Два угла имеют общую сторону. Означает ли это, что:

а) данные углы имеют общую вершину;

б) сумма этих углов равна 180°?

111- Могут ли оба смежных угла быть:

а) острыми;

б) прямыми;

в) тупыми?

ГЛАВА i. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 112. Лучи Ъ и с делят развернутый угол (ad) на три угла (рис. 42). Сколько пар смежных углов при этом образовалось? На- о.

зовите эти углы.

113. Рисунок, на котором изображены смежные углы, перегнули по прямой, содер­ жащей их общую сторону. При этом другие стороны данных углов совпали. Найдите данные смежные углы.

114. Найдите угол, смежный с углом, рав­ ным: 30°;

60°;

90°;

135°.

ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 115. Начертите развернутый угол (a b ).

а) Из вершины данного угла проведите луч с так, чтобы угол (ас) был тупым. Назовите образовавшиеся смежные углы.

б) Измерьте транспортиром угол (cb) и вычислите градусную меру угла (а с ), пользуясь теоремой о смежных углах.

в) Проведите луч d, делящий угол (ас) на ‘два угла. Сколько пар смежных углов образовалось на рисунке?

116. Начертите угол A B C, равный 45°.

а) Проведите луч BD так, чтобы углы DBA и ABC были смежными. Найдите градусную меру угла DBA.

б) Проведите луч В М, делящий угол DBA на два угла, один из которых равен углу A B C. Сколькими способами это мож­ но сделать? Будут ли равные углы смежными?

ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 117. Две прямые пересекаются. Сколько пар смежных углов при этом образовалось?

118. Через вершину неразвернутого угла проведена прямая, со­ держащая его биссектрису. Сколько пар смежных углов при этом образовалось?


§5. Смежные углы 119. Найдите смежные углы, если:

а) их градусные меры относятся как 5 : 31;

б) их разность равна 70°.

—^ 120. Найдите смежные углы, если один из нк а) втрое больше другого;

б) на 20° меньше другого.

121. Биссектриса делит угол АОВ на два угла, один из которых равен 50°. Найди­ те градусную меру угла, смежного с углом АОВ.

122. Углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 — две пары смежных углов. Сравните углы 2 и 4, если Z l Z 3.

А О D 123. На рисунке 43 Z A O B = 72°, ZC O D = 37°. Найдите угол ВОС. Рис. Уровень Б 124. Найдите данный угол, если сумма двух смежных с' ним углов равна 240°.

125. Биссектриса угла образует с лучом, дополнительным к стороне данного угла, угол 130°. Найдите данный угол.

126. Найдите угол, сторона которого образует с лучом, дополни­ тельным к биссектрисе данного угла, угол 165°.

127. Лучи Ъ и с делят развернутый угол (ad) на три угла (рис. 42). Найдите наибольший из этих углов, если z ( a c ) ~ 160°, Z(b d ) = 140°.

128. Найдите угол ВОС (рис. 43), если Z BOD = 112°, Z АОС = 138°.

Уровень В 129. Разность двух смежных углов относится к одному из них как 5: 2. Найдите эти смежные углы.

130. Биссектриса данного угла образует с его стороной угол, рав­ ный углу, смежному с данным. Найдите данный угол.

ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 131- Найдите угол между биссектрисами смежных углов.

132- Сумма двух углов, имеющих общую сторону, равна 180°. Обя­ зательно ли эти углы смежные?

— 133. Если биссектрисы углов АОВ и ВОС образуют прямой угол, ^ то точки А, О и С лежат на одной прямой. Докажите.

ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал 4* —— ( 6 класс • перпендикулярные прямые • измерение углов п. 3.3 !

Задачи 134. Углы (т п) и (kp) являются смежными с углом ( п р ). Среди лучей т, п, k, р назовите пары дополнительных лучей.’ 135. Углы (ab) и (be) смежные. Углы (be) и (cd) также смежные, причем Z (c d )~ 32°. Найдите углы (ad) и (аЪ).

§6. Вертикальные углы.

Перпендикулярные прямые 6.1. Определение вертикальных углов Рассмотрим еще один случай взаимного рас­ положения углов с общими элементами.

Вертикальный ~ от.латинского «вер- Определение тикзяис» '*вершин­ * Два угла называются вертикальными, если сторо­ ный ны одного угла являются дополнительными лучами сторон второго, На рисунке 44 прямые АС и B D пересека­ ются в точке О. Стороны OD и ОА угла AOD являются дополнительными лучами сторон ОВ и ОС угла ВОС, поэтому эти углы — вертикаль­ ные. Вертикальными являются также углы АОВ и DOC.

Таким образом, при пересечении двух пря­ Рис. 44. При пересечении м ы х 1 образуются две пары вертикальных двух прямых образуются углов.

две пары вертикальных углов Наглядное представление о вертикальных углах дают, например, обычные ножницы.

6.2.Теорема о вертикальны х углах. Угол м еж д у прям ы м и Основное свойство вертикальных углов выра­ жает следующая теорема.

Т е о р е м а (о в е р т и к а л ь н ы х у г л а х ) Вартакальные углы равны.

1 Здесь и далее, говоря об углах, образованных при пересечении двух прямых, мы будем иметь в виду неразвернутые углы.

ГЛАВА 8 Простейшие геометрические фигуры и их свойства.

Доказательство Пусть Z1 и Z 2 — вертикальные у образовавшиеся при пересечении прямых а и Ъ (рис. 45). Рассмотрим угол 3, сторонами которо­ го также являются полупрямые прямых а и Ъ.

Рис. 45. Вертикальные углы являются смеж­ Углы 1 и 2 смежные с углом 3 (по определению ными с одним и тем же смежных углов), поэтому по следствию из теоремы углом о смежных углах Z l = Z 2. Теорема доказана.

Задача Сумма двух углов, образовавшихся при ^пересече­ нии двух прямых, равна 100°. Найдите все образо­ вавшиеся углы.

Решение По условию задачи при пересечении двух прямых образовались два угла, сумма которых составля­ ет 100°. Эти углы могут быть или смежными, или вертикальными. Сумма смежных углов равна 180°, поэтому данные углы не могут;

быть смежными, Рис. значит, они вертикальные.

Пусть Z l + Z 3 ~ ЮО (рис. 46).

Так как вертикальные углы равны, то каждый из двух данных углов равен 100° : 2 = 50°. Таким об­ разом, Z l = Z 3 = 50°.

Поскольку углы 1 и 2 смежные, то Z 2 = 180°- Z l = 180°- 50° = 130° (по теореме о смеж­ ных углах).

Посколькууглы2и4вертикальные,то Z 4 = Z 2 = 130° (по теореме о вертикальных углах).

Ответ: 50°;

130°;

50°;

130°.

Определение Углом между двумя прямыми называется мень ший из углов, образовавшихся при их пересечении.

§ 6 В е р т и к а л ь н ы е угл ы. П е р п е н д и к у л я р н ы е п р я м ы е На рисунке 47 две прямые при пересечении об­ разуют два угла по 30° и два угла по 150°. Угол между данными прямыми по определению равен 30° (ина­ че говорят: прямые пересекаются под углом 30°).

Очевидно, что если при пересечении двух прямых образуются четыре равных угла, то все Рис. 47. Две данные пря­ они равны 90°, то есть данные прямые пересека­ мые пересекаются под уг­ лом 30° ются под прямым углом.

6.3. П ерпендикулярны е прямы е Определение Две прямые называются перпендикулярными, ес­ ли они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 48 прямые а и b перпендику­ Перпендикулярный^ лярны. Кратко это обозначают так: a _L Ъ.

от латинского слова Отрезки или лучи называются перпенди­ «перпендикулярис» кулярными, если они лежат на перпендикуляр­ отвесный ных прямых.

Докажем важное утверждение} связываю­ щее понятия перпендикулярности и параллель­ ности прямых.

ь а п Т е о р е м а (о двух прямых, перпендикуляр­ ных третьей) Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Рис. 48. Прямые а и b перпендикулярны Утверждение теоремы иллюстрирует рису­ нок 49. На этом рисунке a_Lc, Ь _L с, a\\b.

ъ а Доказательство Пусть даны прямые А х А% и ВгВ2, п с Л л пендикулярные прямой А В. Докажем методом от противного, что А ^2 II ВгВ2.

Предположим, что данные прямые не парал­ Рис. 49. Две прямые, пер­ лельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке пендикулярные третьей, К г (рис. 50).

параллельны ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Перегнем рисунок по прямой А В. Поскольку прямые углы 1 и 2 равны, то при перегибе луч А А Х совместится с лучом ААг. Аналогично луч ВВХсов­ местится с лучом ВВ2. Поэтому точка E v в которой пересекаются данные прямые, должна совместиться с некоторой точкой К 2, также лежащей на этих пря­ мых. Таким образом, через точки К х и К 2 проходят две прямые А Х и ВХ А^ В2, что невозможно по акси­ оме проведения прямой. Следовательно, наше пред­ положение неверно, то есть прямые А Х и ВХ А^ В параллельны. Теорема доказана. I * Рис. 50. К предполож е­ Свойство, описанное в теореме, используется нию о том, что прямые для построения параллельных прямых с помощью A j A 2 и B jB 2 пересекаются линейки и угольника (рис. 51). Дважды прикла­ дывая угольник к линейке, можно провести две прямые, перпендикулярные краю линейки. По до­ казанной теореме такие прямые параллельны.

Рис. 51. Построение параллельных прямых с помощью линейки и угольника Вопросы и задачи Ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 136. Могут ли две прямые при пересечении образовать три острых угла;

только один тупой угол;

четыре прямых угла?

§6. Вертикальные углы. Перпендикулярные прямые 137. Верно ли утверждение: «Два равных угла с общей вершиной являются вертикальными»?

138. Углы 1 и 2 образовались при пересечении двух неперпендику лярных прямых. Определите, являются ли данные углы смежными или вертикальными, если:

а) их сумма больше 180°;

б) лишь один из них острый;

в) их сумма меньше суммы двух других полученных углов.

139- Градусные меры двух смежных углов — а и р. Могут ли а и Р быть градусными мерами двух вертикальных углов? В каком случае?

140. При пересечении двух прямых образовался тупой угол а. Чему равен угол между данными прямыми?

141- При пересечении двух прямых образовались четыре угла, ни один из которых не является острым. Под каким углом пересекаются данные прямые?

142- Через точку пересечения двух перпендикулярных прямых а и Ъ проведена прямая с. Может ли она быть перпендикулярна какой либо из прямых а и Ъ ?

ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 143, Начертите прямые а и Ь, пересекающиеся в точке О под уг­ лом 80°.

а) Выделите цветом все пары вертикальных углов, образовав­ шихся на рисунке. Каковы градусные меры этих углов?

б) Проведите через точку О прямую, перпендикулярную пря­ мой а. Будет ли эта прямая перпендикулярна прямой Ъ?

144. Начертите перпендикулярные прямые а и Ъ, пересекающиеся в точке О.

а) Отметьте на прямой а точку В. С помощью угольника проведите через эту точку прямую с, перпендикулярную прямой а.

б) Параллельны ли прямые Ъ и с ? Почему?

ГЛАВА i. Простейшие геометрические фигуры и их свойства @ ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 145. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 125°. Найдите остальные углы. Чему равен угол между данны­ ми прямыми?

146. Найдите все углы, образовавшиеся при пересечении двух пря­ мых, если:

а) биссектриса отсекает от одного из них угол 23°;

б) один из углов втрое больше другого.

— 147. Найдите все углы, образовавшиеся при пересечений двух ^ прямых, если:

а) сумма двух из них равна 320°;

б) один из этих углов на 50° меньше другого.

148. Перпендикулярные прямые А В и CD пересекаются в точке К.

Назовите:

а) три отрезка, перпендикулярных прямой C D ;

б) четыре луча, перпендикулярных отрезку А К.

149. Один из углов, образовавшихся при пересечении* двух прямых, тупой. Докажите методом от противного, что ни один из остальных образовавшихся углов не может быть прямым.

— 150. При пересечении двух прямых образовались четыре угла, один ^ из которых прямой. Докажите, что остальные углы также являются прямыми.

151. Прямые а и Ъ перпендикулярны. Прямая с проходит через точку их пересечения и образует с прямой а угол 70°. Найдите угол между прямыми с и Ъ.

^ 152. Прямая с проходит через точку пересечения прямых а и Ь, — причем прямые а и Ъ пересекаются под углом 25°, прямые а и с перпендикулярны. Найдите угол между прямыми Ъ и с.

Уровень Б 153. Найдите все углы, образовавшиеся при пересечении двух пря­ мых, если:

а) сумма трех из них равна 295°;

б) градусные меры двух из этих углов относятся как 4 : 5.

§6. Вертикальные углы. Перпендикулярные прямые ^ 154. Найдите угол между двумя пересе­ — кающимися прямыми, если:

а) сумма двух образовавшихся углов на 80° меньше суммы двух других уг­ лов;

б) один из образовавшихся углов вдвое меньше суммы трех остальных углов.

155- Три прямые пересекаются в одной точке так, что два из образовавшихся при пересече­ нии углов равны 56° и 39° (рис. 52). Найдите четыре других угла между соседними лучами.

156. Две прямые пересекаются в точке О. Биссектриса одного из углов, —^ образовавшихся при пересечении, составляет с одной из данных прямых угол 72°. Найдите угол, под которым пересекаются данные прямые.

157. Даны прямые а, Ь, с и d, причем а ± с, b ± c a\\d- Дока­ жите, что прямые b a d параллельны.

158. Прямые а и Ъ пересекаются, а прямая с перпендикулярна —^ прямой а. Докажите, что прямые Ъ и с не могут быть перпендику­ лярными.

с Уровень В 159. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен сумме двух других углов. Найдите угол между данными пря­ мыми.

160. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов являются до­ полнительными полупрямыми.

161. Два равных угла имеют общую вершину, а их биссектрисы яв­ —^ ляются дополнительными лучами. Докажите, что эти углы верти­ кальные.

162. Через точку пересечения двух перпендикулярных прямых про­ ведена третья прямая. Найдите наименьший из тупых углов, которые образовались при пересечении этих трех прямых, если наибольший из образовавшихся тупых углов равен 165°.

^ 163. Через точку на плоскости проведены пять прямых. Какое на­ — ибольшее количество пар- перпендикулярных прямых может быть среди данных прямых?

ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал • треугольник 5 класс • равные отрезки • равные углы п- 2-2;

3- Задачи 164. Отрезки АВ и CD лежат на одной прямой и имеют общую се­ редину О. Найдите длину отрезка CD, если ОА = 4 см, АС -1 2 см.

Сколько решений имеет задача? 165. Углы (ab) и (cd) имеют общую вершину и общую биссектри­ су I. Найдите угол (cb), если Z(ab) = 50°, Z (d l) = 10°. Сколько ре­ шений имеет задача?

Задачи для подготовки к контрольной работе № 1. На луче с началом в точке А постройте отрезки А В и АС так, чтобы А В = 8 см, АС = 5 см.

а) Какая из трех данных точек лежит между двумя другими?

б) Какова длина отрезка ВС ?

2. Луч OL делит угол M O N на два угла так, что Z M O L = 84° и Z L O N = 18° • Луч О К — биссектриса угла M O N • Найдите угол KO L.

3. Прямые а и Ъ пересекаются, прямая с параллельна прямой а.

Докажите методом от противного, что прямые Ъ и с не параллельны.

4. Разность двух смежных углов равна одному из них. Найдите эти смежные углы.

5. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух пря­ мых, на 60° больше четвертого угла. Найдите угол между данными прямыми.

6. Углы АОВ и СОВ смежные, причем Z A O B = 108°. Из точки О проведен луч OD так, что Z C O D = 126°. Является ли луч OD биссектрисой угла АОВ ? Ответ обоснуйте.

Итоги ИТОГОВЫЙ ОБЗОР ГЛАВЫ I ТОЧКА И ПРЯМАЯ Аксиома расположения точек на Аксиома проведения прямой прямой Через любые две точки можно про­ вести прямую, и притом только Из трех точек на прямой одна одну и только одна лежит между дву­ мя другими ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ Пе ре се ка ются Параллельны Две прямые на плоскости назы­ Углом между двумя пересека­ ваются параллельными, если они ющимися прямыми называется не пересекаются меньший из углов, образовавших­ ся при их пересечении _ Аксиома параллельных прямых Через точку, не лежащую на дан­ Перпендикулярными прямыми ной прямой, можно провести не называются две прямые, пересе- более одной прямой, параллельной кающиеся под прямым углом данной ТЕОРЕМЫ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМЫХ Теорема о двух прямых, парал­ Теорема о двух прямых, перпен­ лельных третьей дикулярных третьей и Две прямые, параллельные треть­ Две прямые, перпендикулярные ей, параллельны между собой третьей, параллельны Луч Лучом называется часть прямой, со­ Дополнительными лучами на­ стоящая из всех точек этой прямой, зываются два разных луча одной лежащих по одну сторону от неко­ прямой с общей начальной точ­ торой данной на ней точки (начала кой луча), а также самой этой точки Отрезок Угол Отрезком называется часть пря­ Углом называется геометрическая мой, состоящая из двух данных фигура, которая состоит из двух точек этой прямой (концов отрез­ лучей (сторон угла), исходящих из ка) и всех точек, лежащих между одной точки (вершины угла) ними Равными отрезками называются Равными углами называются уг­ отрезки, которые совмещаются лы, которые совмещаются нало­ наложением жением Аксиомы измерения и отклады­ Аксиомы измерения и откла­ вания отрезков дывания углов • Каждый отрезок имеет опре­ • Каждый угол имеет градусную деленную длину, которая выра­ меру, которая выражается поло­ жается положительным числом жительным числом. Развернутый в заданных единицах измерения. угол равен 180°. Если луч делит Длина отрезка равна сумме длин данный угол на два угла, то гра­ частей, на которые отрезок делит­ дусная мера данного угла равна ся любой его точкой. сумме градусных мер двух полу­ • На любом луче от его начальной ченных углов точки можно отложить отрезок • От любого луча данной прямой данной длины, и только один можно отложить в заданную сто­ рону от прямой угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один •-------j------- •------- / • Серединой отрезка называется Биссектрисой угла называется точка отрезка, которая делит его луч, который исходит из верши пополам ны угла и делит угол пополам ВИДЫ УГЛОВ (ПО ГРАДУСНОЙ МЕРЕ) ХЧ л гл Тупой угол Развернутый Острый угол — Прямой угол — — угол, больше угол — угол* угол, меньший угол, равный 90° 90°, но меньше равный 180° 90° 180° УГЛЫ. ОБРАЗУЮЩИЕСЯ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПРЯМЫХ Смежные углы — два угла, кото­ Вертикальные углы — два угла, рые имеют общую сторону, а дру­ стороны одного из которых явля­ ются дополнительными лучами гие стороны этих углов являются дополнительными лучами сторон другого Теорема о вертикальных углах Теорема о смежных углах Вертикальные углы равны Сумма смежных углов равна 180° Следствия из теоремы о смежных углах 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.

2* Два угла, смежные с одним и тем же углом, равны.

3. Угол, смежный с прямым углом, также прямой. Угол, смежный с тупым углом, — острый. Угол, смежный с острым углом, — тупой ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Q КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости. Как они обозначаются?

2, Сформулируйте аксиому проведения прямой.

3- Сформулируйте аксиому расположения точек на прямой.

4- Какая фигура называется лучом (полупрямой)? Как обозначаются лучи?

5. Какие лучи называются дополнительными?

6. Дайте определение отрезка. Как обозначается отрезок?

7. Какие отрезки называются равными? Как сравнить два от­ резка? 8. Сформулируйте аксиому измерения и откладывания отрезков.

Как сравнить два отрезка с заданными длинами?

9. Дайте определение середины отрезка.

10. Дайте определение угла. Как обозначаются углы?

11- Какой угол называется развернутым?

12. Какие углы называются равными? Как сравнить два угла?

13. Сформулируйте аксиомы измерения и откладывания углов. Как сравнить два угла с заданными градусными мерами1 ?

14. Назовите единицу измерения углов. Какие углы называются ост­ рыми, прямыми, тупыми?

15. Дайте определение биссектрисы угла.

16. Дайте определение параллельных прямых. Назовите два случая взаимного расположения прямых на плоскости. Какие отрезки (лу­ чи) называются параллельными?

17. Сформулируйте аксиому параллельных прямых. В чем состоит отличие аксиом от теорем? Приведите примеры аксиом из курса гео­ метрии.

18. Сформулируйте и докажите теорему о двух прямых, параллель­ ных третьей.

19. В чем состоит метод доказательства от противного? Опишите эта­ пы рассуждений при доказательстве от противного.

20. Дайте определение смежных углов.

21. Сформулируйте и докажите теорему о смежных углах.

22. Сформулируйте следствия из теоремы о смежных углах.

Итоги к главе I 23. Дайте определение вертикальных углов.

24. Сформулируйте и докажите теорему о вертикальных углах.

25- Дайте определение угла между прямыми. Сколько острых, тупых, прямых углов может образоваться при пересечении двух прямых?

26. Дайте определение перпендикулярных прямых.

27. Сформулируйте и докажите теорему о двух прямых, перпендику­ лярных третьей.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 166. На прямой отмечены точки А и С так, что АС = 3. Точка В лежит на отрезке А С, причем А В : ВС = 2 :1. Найдите на данной прямой все точки D такие, что A D + B D = C D.

167. Точки А и В движутся по прямой. Определите, на какую ве­ личину переместится середина отрезка А В, если точка А перемес­ тится на 3 единицы, а точка В — на 7 единиц. Рассмотрите случаи движения точек в одном направлении и в противоположных направ­ лениях.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.