авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«А. П, Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский ИЗДАТЕЛЬСТВ' • общеобразовательная программа РАНО • ...»

-- [ Страница 2 ] --

168. На линейке отмечены три деления: 0 см, 2 см и 5 см. Как при помощи такой линейки построить отрезок длиной 6 ci\t?

169- Как при помощи угольника с углом 35° отложить угол 40°?

170. Дан шаблон угла в 17°. Как при помощи этого шаблона постро­ ить: а) угол 7°;

б) угол 10°?

171. Как при помощи шаблона угла в 27° по­ строить две перпендикулярные прямые?

172. Сколько углов, меньших 180°, изображе­ но на рисунке 53?

173- Лучи Ь и с делят угол {ad) на три рав­ ных угла. Докажите, что биссектриса угла (be) является биссектрисой угла (ad). Рис' 174. Точка М лежит вне внутренней области угла А О В. Луч ОС — биссектриса этого угла. Докажите, что угол М О С равен полусумме углов А О М и В О М.

175. Точка М лежит во внутренней области угла А О В. Луч ОС — биссектриса этого угла. Докажите, что угол М О С равен модулю по луразности углов А О М и В О М.

Историческая справка Древнейшая наука геометрий как и математика в целом, зарождалась из потребностей практической деятельности. Везде, где жили и работали люди, необходимо было измерять, вычислять, раз­ мышлять.

Первые документальные свидетельства о геометрических знаниях дошли до нас из Древнего Египта. Каждый год воды Нила затапливали почти все прибрежные земли, поэтому египтянам при­ ходилось вновь их размежевывать. Именно так в процессе работы Евклид устанавливались простейшие свойства геометрических фигур.

Становление геометрии. Становление геометрии как строгой науки связано с работами древнегреческих ученых: Фалеса (ориент.

625^547 гг. до н. э.), Пифагора (ориент. 570~500 гг. до н. э.), Евдокса (ориент. 408-355 гг. до к э.). Одной из выдающихся фигур в исто­ рии геометрии по праву считается Евклид Александрийский (ориент.

330-275 гг. до н. э.). Его произведение «Начала» стало учебником, по которому изучали геометрию на протяжении почти двух тысяч лет.

Евклид первым применил именно тот подход к изложению гео­ метрии, которым мы пользуемся сейчас: сначала сформули­ ровал основные определения и свойства простейших фигур (аксиомы), а затем, опираясь на них, доказал многие дру­ гие утверждения.

Возведенные за две-четыре тысячи лет до нашей эры, е ги пе тски е п и р а м и д ы и сегодня поражают точностью метрических отношений;

строители уже тогда знали немало геометрических положений и расчетов.

Профессор Харьковского универ­ ситета Алексей Васильевич Погорелов (Т919-2002) обогатил современную геомет­ рию новейшими исследованиями и создал школьный учебник, по которому занимались несколько поколений учащихся.

Исследования и открытия ученых геометров нашли применение во многих областях человеческой деятельности. Гео­ А. В. Погорелов А. П. Киселев метрия стала элементом общечеловеческой культуры - ведь без знания основ геометрии Геометрия в Украине;

Интересные невозможно представить себе современного страницы истории развития геометрии, просвещенного человека.

в частности ее преподавания в школе* свя­ заны с Украиной. Именно здесь, в одной из харьковских гимназий, в конце XIX в. начи­ нал свою деятельность известный рус­ ский педагог Андрей Петрович Кисе­ лев (1852-1940), по учебнику ко­ торого изучали геометрию на протяжении почти 60 лет.

ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства ТЕМАТИКА СООБЩЕНИЙ И РЕФЕРАТОВ К ГЛАВЕ I 1- Измерение расстояний и углов на местности.

2. Происхождение основных геометрических терминов.

3. Система геометрических аксиом — от Евклида до наших дней.

4- А. В. Погорелов — выдающийся украинский геометр.

5- Логическая правильность определений.

6. Аналогия как вид умозаключения.

Рекомендованные источники информации 1- Математична хрестомайя.— К.: Рад. шк., 1970.— Т. 1, 2.

2. Глейзер Г. И. История математики в школе. VII—V III кл.— М.:

Просвещение, 1982.

3. Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? (Популярные лекции по математике, вып. 38).— М.: Физматгиз, 1963.

4. Перельман Я. И. Занимательная геометрия.— М.: Физматгиз, 1959.

5. Гетманова А. Д. Логика.— М.: Дрофа, 1995., б- Интернет-библиотека МЦНМО. http://ilib.mirror0.mccme.ru/ 7. Гранд геометрии. А. В. Погорелов. http://kharkov.vbelous.net/avp/ homepage.htm/ § 7. Треугольник и его элементы § 8. Первый признак равенства треугольников и его применение, § 9. Перпендикуляр к прямой § 10. Второй признак равенства треугольников и его применение § 11. Равнобедренный треугольник § 12. Медиана, биссектриса и высота треуголь­ ника § 13. Третий признак равенства треугольников и его применение § 14. Признаки параллельности прямых § 15. Свойства углов, образованных при пересе­ чении параллельных прямых секущей § 16. Сумма углов треугольника § 17. Прямоугольные треугольники § 18. Сравнение сторон и углов треугольника Среди равных умов — при одинаковых прочих условиях — превосходит тот, кто знает геометрию.

Блез Паскаль, французский ученый Роль треугольника в геометрии трудно пере­ оценить. Ученые не зря называют треугольники клетками организма геометрии. Действительно, многие более сложные геометрические фигуры можно разбить на треугольники.

В этой главе мы не только изучим «внутрен­ нее устройство» треугольников и выделим их видь?, но и докажем признаки, по которым можно устано­ вить равенство треугольников, сравнивая их сторо­ ны и углы. Полученные в ходе наших рассуждений теоремы и соотношения расширят ваши представ­ ления об отрезках и углах, параллельности и пер­ пендикулярности прямых на плоскости.

В процессе решения задач и доказательства теорем о свойствах треугольников вам предстоит освоить важные геометрические методы, которые помогут в ходе дальнейшего изучения геометрии.

§7. Треугольник и его элементы 7.1. Определение треугольника и его элементов Определение Треугольником называется геометрическая фи­ гура, которая состоит из трех точек (вершин треугольника), не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (сторон треугольника), попарно соединяющих эти точки.

Треугольник обозначается знаком Л и пере­ числением его вершин в произвольном порядке.

На рисунке 54 изображен треугольник с вер­ шинами А, Б, С и сторонами А В, ВС, АС.

Этот треугольник можно обозначить так: А А Б С, A B A C, А СВА и т. д.

Определение Углом треугольника ABC при вершине А назы­ вается угол ВАС.

Рис. 54. Треугольник ABC Угол треугольника обозначают тремя буква­ ми (например, «угол ABC» или одной буквой, ко­ ) торая указывает его вершину (например, «угол А треугольника ABC »).

Если вершина данного угла треугольника не принадлежит стороне, то говорят, что данный угол противолежащий этой стороне. В противном слу­ чае угол является прилежащим к стороне. Так, гг:'\ в треугольнике ABC угол А — прилежащий к сто­ ронам АВ и АС и противолежащий стороне ВС.

Периметр - от гре­ Стороны и углы треугольника часто называ­ ческого «пери» ют его элементами.

вокруг и «метрео»

Определение измеряю, измерен­ ный вокруг Периметром треугольника называется сумма всех его сторон.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Периметр обозначается буквой Р • По определению РААВС = + ВС + А С.

Любой треугольник ограничивает часть плос­ кости. Будем считать, что точки, принадлежащие этой части, расположены внутри треугольника, а точки, которые ей не принадлежат,— вне тре­ угольника.

7.2. Равенство фигур.

Равные треугольники Согласно ранее данным определениям, два отрезка (угла) называются равными, если они сов­ мещаются наложением. Обобщим это определение для произвольных фигур.

Определение Две геометрические ф игуры называются равными, если они совмещаются наложением.

На рисунках 55 изображены фигуры Fx и F2. Если представить, что фигура F2 изобра­ жена на прозрачной пленке, то с помощью нало­ а жения этой пленки на фигуру Fx (той или другой стороной (рис. 55, а, б) можно совместить фигуры Fj и F2.B таком случае фигуры Fx и F2 по опре­ делению равны.

Для обозначения равенства фигур использу­ ют знак математического равенства «= ». Запись Ft = F2 означает «фигура Fx равна фигуре F2 ».

Рассмотрим равные треугольники1 ABC Рис. 55. Фигури Fi и F и А 1 С1 (рис. 56).

Б совмещаются наложением По определению, такие треугольники мож­ но совместить наложением. Очевидно, что при наложении соответственно совместятся стороны и углы этих треугольников, то есть каждому эле 1 Существование треугольника, равного данному, является одной из аксиом планиметрии.

Эта аксиома приведена в Приложении 1.

§7. Треугольник и его элементы В менту треугольника ABC будет соответствовать равный элемент треугольника А гВ1 С1. Условимся, что в записи А А В С = А А 1 С1 мы будем упоря­ В дочивать названия треугольников так, чтобы вер­ шины равных углов указывались в порядке соот­ ветствия. Это означает: если А А В С = А А ^ В ^, то Z A = Z A l f Z B = Z B l f Z C = ZC l9 A B = A 1Blf BC = B1 A C = A C1, C1.

Таким образом, из равенства двух треуголь­ ников вытекают шесть равенств соответствующих элементов: три — для углов и три — для сторон.

На рисунках соответственно равные стороны обыч­* но обозначают одинаковым количеством черточек, а соответственно равные углы — одинаковым ко Рис. 56. Треугольники личеством дужек (рис. 56).

АВС и равны А верно ли, что треугольники, имеющие со­ ответственно равные стороны и углы, совмещают­ ся наложением? Можно ли по равенству некоторых соответствующих элементов доказать равенство са­ мих треугольников? Ответить на эти вопросы мы попытаемся в дальнейшем.

Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 176. На прямой отмечены три точки. Могут ли эти точки быть вер­ шинами треугольника?

177. В треугольнике К М Р назовите:

а) углы, прилежащие к стороне М Р ;

б) угол, противолежащий стороне К Р ;

в) сторону, противолежащую углу К ;

г) стороны, прилежащие к углу Р.

178. Два треугольника равны. Равны ли их периметры?

179. Периметры двух треугольников равны. Обязательно ли равны сами треугольники?

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 180. Известно, что А А В С = А А 1 С1. Означает ли это, что:

В а) А САВ = A Cx iBl ;

A б) А А В С = А А 1 В1?

С 181. Известно, что A A B C = A D E F. Назовите:

а) угол, который при наложении треугольников совместится с углом Е ;

б) сторону, которая при наложении треугольников совместится со стороной А С ;

в) угол, равный углу С ;

г) сторону, равную стороне D E.

ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 182. Начертите треугольник ABC.

а) Измерьте стороны треугольника и вычислите его периметр.

б) Вырежьте построенный треугольник и с помощью получен­ ного шаблона начертите треугольник, равный данному (или скопируйте построенный треугольник на экране компьюте­ ра). Почему треугольники будут равны?

183. Начертите треугольник ABC и вырежьте его щ бумаги.

а) С помощью полученного шаблона начертите треугольник M N K, равный треугольнику ABC.

б) Приложите шаблон к треугольнику M N K так, чтобы от­ резки M N и АВ совместились, а точки С и К лежали по разные стороны от прямой А В. Обведите шаблон.

в) Перегните рисунок по прямой А В. Обязательно ли точки С и К совпадут?

ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 184. В треугольнике ABC АС ~ 6 см, сторона АВ меньше ВС на 2 см, а стороны, прилежащие к углу С, равны. Найдите периметр треугольника.

185. Периметр треугольника ABC равен 24 м, причем А В = 10 м, а сторона ВС втрое меньше АС. Назовите угол треугольника, противолежащий его наибольшей стороне.

§7. Треугольник и его элементы 186. Известно, что A A B C = A K M N. Найдите:

а) угол N, если Z C - 125°;

б) сторону А В, если К М = 11 см;

в) периметр треугольника K M N, если АВ = 11 см, M N = 8 см, K N = 1 см.

187- Известно, что A B A C = A E F K.

а) Назовите наибольший угол треугольника ВАС, если на­ ибольший угол треугольника E F K является противолежа­ щим стороне E F.

б) Назовите наименьшую сторону треугольника E F K, если АВ ВС АС • в) Назовите треугольник, равный тре­ угольнику A B C.

188. На рисунке 57 треугольник ABC равен треугольнику с вершинами в точках Р, Q, R. Закончите равенство А А В С = д....

- ^ 189. Треугольник ABC равен треугольнику с вершинами в точках X, У, Z. Запишите равенство этих треугольников, если А В = Y Z, BC = Z X, АС = Y Z.

Уровень Б 190. Точки А, В и С лежат на одной прямой, а точка D не лежит на прямой АС • Сколько треугольников с вершинами в данных точ­ ках можно построить? Сделайте рисунок.

191. В треугольнике ABC А В : В С : АС = 3 :5 :7. Найдите:

а) периметр треугольника, если ВС = 15 мм.

б) наименьшую сторону треугольника, если его периметр равен 60 мм.

в) наибольшую сторону треугольника, если разность двух дру­ гих его сторон равна 4 мм.

192. Периметр треугольника ABC равен 18 см, причем А В + ВС = = 12 см, БС + АС = 13 см. Назовите углы, прилежащие к наибольшей стороне треугольника.

193. Известно, что A A B C = A D E F = A K M N, причем Z A = 45°, A F = 80°, Z M = 55°. Найдите неизвестные углы этих треугольников.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 194. Известно, что A A B C ~ A D E F - A K M N 9 причем А В = 9 см, M N = 8 см, PADEF =24 см. Найдите неизвестные стороны этих тре­ угольников.

195. Могут ли быть равными треугольники, у которых наибольшие углы не равны? Ответ обоснуйте.

196. Если периметры двух треугольников не равны, то и сами треугольники не равны. Докажите.

Уровень В 197. Известно, что A A B C = A K M N и Z A —Z N. Докажите, что треугольник ABC имеет равные углы, назовите их.

198. Известно, что A A B C = A K M N. Назовите наименьший угол треугольника ABC, если в треугольнике K M N Z K Z N, а угол, противолежащий стороне К М, не наименьший.

199- Треугольник ABC равен треугольнику с вершинами в точках X, У, Z. Запишите равенство этих треугольников, если Z A Z X ZAZZ, ZBZZ.

200. Треугольник ABC равен треугольнику с вершинами в точках X, Y, Z. Запишите равенство этих треугольников, если АБ = Y Z, Z А Z Y, а все стороны треугольника ABC имёют разные длины.

© ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал • равенство отрезков 7i. • равенство углов • условие и заключение теоремы Задачи 201. На сторонах равных углов В и Бх отложены равные отрезки БА = Ба х и ВС = Б1 * При наложении углы В и В1 и отрезки БА А С и БхAj совместились. Совместятся ли при таком наложении отрезки ВС и Б1 С1?

202. Общая сторона двух смежных углов делит угол между биссек­ трисами этих углов пополам. Докажите, что данные углы прямые.

§8. Первый признак равенства треугольников и его применение 8.1. Первый признак равенства треугольников В соответствии с определением равных фи­ гур, два треугольника равны, если они совме­ щаются наложением. Но на практике наложить один треугольник на другой не всегда возможно.

Например, таким образом невозможно сравнить два земельных участка. Значит, возникает необ­ ходимость свести вопрос о равенстве треугольни­ ков к сравнению их сторон и углов. Но нужно ли для установления равенства сравнивать все шесть элементов данных треугольников? Если нет, то ка­ кие именно элементы двух треугольников должны быть соответственно равными, чтобы данные тре­ угольники были равны? Ответ на этот вопрос дают признаки равенства треугольников.

Докажем первый из этих признакбв.

Т е о р е м а (первый признак равенства тре­ угольников — по двум сторонам и углу между ними) В Если две стороны и угол между ними одного тре­ угольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треуголь­ с ники равны.

Доказательство Пусть даны тр еугольн и к и A и А гВ1С1, у которых А В = А 1 В1 ЛС = Л 1С1, А А - Z A t( рис. 58). Докажем,что Д ABC = A A lBlC1.

Поскольку Z A = Z A l9 т треугольник A lBiC о можно наложить на треугольник ABC так, чтобы Рис. 58. Треугольники точки А и А 1 совместились, а стороны А 1 и A Q Б ABC и А 1 1 равны по В С наложились на лучи АВ и АС соответственно. По двум сторонам и углу между ними условию АВ —А Х и АС = А Х, следовательно, ВХ СХ ГЛАВА II. Треугольники и их свойства сторона А Х совместится со стороной А В, а сторона ВХ A f i 1 — со стороной АС • Таким образом, точка Вх совместится с точкой В, а точка С3 — с точкой С, то есть стороны ВХ и ВС также совместятся. Зна­ СХ чит, при наложении треугольники ABC и А гВ1 С совместятся полностью. Итак, А А В С = А А 1 С1 по В определению. Теорема доказана. Я Задача Отрезки АВ и СО пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите ра­ венство треугольников АОС и ВОй (рис. 59}.

Решение В треугольниках АОС и BOD АО ~ ВО и СО = ОО по условию, Z-АОС - ZBO D по теореме о верти­ кальных углах. Таким образцом, LAO C - ИВОЬ по первому признаку равенства треугольников.

Практическое значение доказанной теоремы очевидно из такого примера.

Пусть на местности необходимо определить расстояние между точками А и С, прямой про­ ход между которыми невозможен (рис. 60). Один из способов измерения следующий: на местности выбирают некоторую точку О, к которой можно пройти из точек А, С, В, D, и на лучах АО и СО откладывают отрезки ВО = АО и DO = С О.

Рис. 60. Определение расстояния на местности с помощью первого признака равенства тре­ угольников § 8. Первый признак равенства треугольников и его применение Тогда, согласно предыдущей задаче, A A O C -A B O D по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что искомое рас­ стояние АС равно расстоянию B D, которое мож­ но измерить.

8.2. Опровержение утверждений.

Контрпример Проанализируем первый признак равенства треугольников. Согласно ему для доказательства равенства двух треугольников достаточно доказать равенство трех пар соответствующих элементов двух сторон и угла между ними. Требование того, чтобы равные углы обязательно лежали между равными сторонами, является очень важным.

Действительно, рассмотрим треугольники ABC и A tB fit (рис. 61). Они имеют две пары соот­ ветственно равных сторон ( АВ = А 1В1, ВС = ВхСг), но равные углы С и Сх лежат не между равными Рис. 61. Две стороны сторонами, поэтому данные треугольники не равны.

и угол двух треугольни­ С помощью приведенного примера мы пока­ ков соответственно рав­ зали, что утверждение «Если две стороны и неко­ ны, но сами треугольни­ торый угол одного треугольника соответственно ки не равны равны двум сторонам и некоторому углу другого треугольника, то такие треугольники равны» явля­ ется ошибочным. Иначе говоря, мы опровергли это утверждение конкретным примером. Такой пример, с помощью которого можно показать, что некото­ рое общее утверждение является неправильным, называется контрпримером. Принцип построения контрпримера для опровержения неправильного Контрпример утверждения довольно прост: нужно смоделировать от латинского «конт­ ра» - против ситуацию, когда условие утверждения выполняется, а заключение — нет.

Изобразим схематически опровержение ут­ верждения с помощью контрпримера.

КОНТРПРИМЕР УТВЕРЖДЕНИЕ А, но не В Если А, то В ГЛАВА И.Треугольники и их свойства Контрпримеры используются только для оп­ ровержения неправильных утверждений, но не для доказательства правильных. Заметим также, что не всякое ошибочное утверждение можно оп­ ровергнуть контрпримером. Если для опроверже­ ния некоторого утверждения не удалось подобрать контрпример, это не означает, что данное утверж­ дение верно.

Опровержение утверждений с помощью контрпримеров применяется не только в матема­ тике. Пусть, например, некто утверждает, что все птицы, которые водятся в Украине, осенью улета­ ют на юг. Это утверждение можно опровергнуть, приведя в качестве контрпримера воробьев. А оп­ ровергнуть утверждение «В русском языке нет су­ ществительного, в котором содержались бы пять согласных подряд» можно с помощью самого слова «контрпример».

Вопросы и задачи фУСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 203. В треугольниках АБС и А 1 С1 АС = А 1 и БС = Б1 Какое Б1 С1 С1.

равенство необходимо добавить к условию, чтобы можно было дока­ зать равенство данных треугольников по первому признаку?

2 0 4. В треугольниках АБС и A ^ Q АС = А 1 и Z C ~ Z C X. Какое С равенство необходимо добавить к условию, чтобы можно было дока­ зать равенство данных треугольников по первому признаку?

205. Можно ли утверждать, что A A B C - A D E F, если A B = D E, AC = D F, Z A = Z E ?

206. Если сумма двух сторон и угол между ними одного треуголь­ ника соответственно равны сумме двух сторон и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Верно ли это утверждение? Приведите контрпример.

§8Лервы й признак равенства треугольников и его применение ^^ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 207. Начертите две прямые, пересекающиеся в точке О.

а) Отложите на одной прямой по разные стороны от точки О рав­ ные отрезки О А и О В, а на другой -равные отрезки ОС и OD.

б) Соедините последовательно точки А, С, В и D. Выделите цве­ том пары равных треугольников. Как доказать их равенство?

208. Начертите треугольник A B C.

а) От луча АС отложите угол С А М, равный углу САВ, так, что­ бы точки В и М лежали по разные стороны от прямой А С.

б) На луче A M отложите отрезок A D, равный отрезку А В.

Соедините точки D и С.

в) Докажите равенство треугольников ABC и ADC по перво­ му признаку равенства треугольников. Как нужно перегнуть рисунок, чтобы доказать равенство этих треугольников по определению?

@ ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 209. По данным рисунка 62 докажите равенство треугольников ABC и А 1 С1.

В 210. На рисунке 63 Z B A C = Z D A C, А В = A D. Докажите равенство треугольников ABC и A D C.

211. На рисунке 64 Z.A B D —Z.C D B, А В = CD. Докажите равенство треугольников A B D и CDB.

ЛАВА II. Треугольники и их свойства 212. Через точку D — середину отрезка А В — проведена прямая CD, перпендикулярная А В.

а) Докажите равенство треугольников ACD и B C D.

б) Найдите длину отрезка ВС, если АС = 8 см.

“ ^ 213. В треугольнике ABC А В = СВ, Z A = Z C. Точка М — середина стороны А С.

а) Докажите равенство треугольников А В М и С В М.

б) Найдите угол А В М, если Z C B M = 25°.

214. С помощью рисунка-контрпримера опровергните утверждения:

а) если точка С лежит на луче А В, то она лежит между точ­ ками А и Б ;

б) если два равных угла имеют общую вершину, тЪ эти углы вертикальные.

- 215. С помощью рисунка-контрпримера опровергните утверждения:

а) если луч ОС делит тупой угол АОВ на два угла, то оба эти угла острые;

б) если два луча не пересекаются, то они параллельны.

Уровень Б 216. На рисунке 65 A D = А Е, B D - С Е. Докажете, что Z B = Z C.

217. На рисунке 66 точка С — середина отрезка А Е, А В = D E, Z l - Z 2. Докажите, что ВС = DC.

А В D В Рис. Рис. 218. В треугольнике ABC Z A = Z C. На сторонах А В и ВС от­ ложены равные отрезки А А Х и СС, соответственно. Найдите длину отрезка АСХ, если СА1= 14 см.

219. В треугольнике ABC А В = СВ. Биссектриса угла В пере­ секает сторону АС в точке D. Найдите длину отрезка A D, если АС = 8 см.

§ 8. Первый признак равенства треугольников и его применение 220. Известно, что А А В С = А А 1 С1. На сторонах А В и В1 от­ ложены равные отрезки A D и A lD1 соответственно. Докажите, что A A C D = A A 1 D1.

C — 221. Известно, что А А В С = А А 1 С1. Точки D и Е — середины ^ В сторон А В и В С, а точки Dt и Ег — середины сторон A V и ВгСt BY соответственно. Докажите, что D E = DlEl.

222. С помощью рисунка-контрпримера опровергните утверждения:

а) если прямая параллельна стороне треугольника, то она пере­ секает две другие его стороны;

б) если два угла имеют общую сторону и в сумме составляют 180°, то эти углы смежные.

223. С помощью рисунка-контрпримера опровергните утверждения:

а) если прямая пересекает один из двух параллельных лучей, то она пересекает и второй луч;

б) если биссектрисы двух углов являются дополнительными лу­ чами, то эти углы вертикальные.

Уровень В 224. В треугольнике ABC А В = С В. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Докажите, что прямые АС и B D перпенди­ кулярны.

225. Через середину отрезка А В проведена прямая I, перпендику­ лярная прямой А В. Докажите, что каждая точка прямой I равно­ удалена (лежит на одинаковом расстоянии) от точек А и В.

Повторение перед изучением § Теоретический материал * теорема о смежных углах и ее следствия ^ 52 * • перпендикулярные прямые v_~.l_.l_L, ’ / Задачи 226. Представьте, что на рисунке изображена пара смежных углов и их биссектрисы. Какое наибольшее количество прямых углов мо­ жет быть на таком рисунке?

227. На стороне ВС треугольника ABC отмечена точка М, причем А В А М = А С А М. Найдите градусные меры углов A M В и А М С.

§9. Перпендикуляр к прямой 9.1. Существованием единственность прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой Признаки равенства треугольников приме­ няются не только для решения задач, но и для доказательства новых геометрических утвержде­ ний, в частности и тех, в формулировках которых не упоминается треугольник. Докажем с помощью первого признака равенства треугольников тео­ рему о прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данной прямой.

Т е о р е м а (осуществовании и единствен­ ности перпендикулярной прямой) Через любую точку плоскости можно провести пря­ мую, перпендикулярную данной, и только одну.

Перед началом доказательства теоремы про­ анализируем ее формулировку. Теорема содержит два утверждения:

1) существует прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная дан­ ной прямой;

2) такая прямая единственна.

м Первое утверждение теоремы говорит о су­ а ществовании прямой с описанными свойствами, второе — о ее единственности. Каждое из этих утверждений необходимо доказать отдельно.

Доказательство Рассмотрим сначала случай, когда дан точка не лежит на данной прямой.

Рис. 67. Прямая А А Хпро­ 1) Существование. Пусть даны прям ходит через точку А и точка А, не лежащая на данной прямой. Выбе­ и перпендикулярна пря­ мой а рем на прямой а точки В и М так, чтобы угол А В М был острым (рис. 67).

§9. Перпендикуляр к прямой С помощью транспортира отложим от луча В М угол С В М, равный углу А В М так, чтобы точки А и С лежали по разные стороны от пря­ мой а. На луче ВС отложим отрезок ВАг, равный отрезку В А, и соединим точки А и Д. Пусть D — точка пересечения отрезка ЛАХ с прямой а.

Рассмотрим треугольники A B D и A X D. B Они имеют общую сторону B D, a Z A B D = = ZA^B D и ВА = ВАг по построению. Таким обра­ зом, A A B D = A A lB D по первому признаку ра­ венства треугольников. Отсюда следует, что Z A D B = Z A J ) B. Но эти углы смежные, поэтому по теореме о смежных углах Z A D B = Z A xb B = ' = 180°: 2 - 90°. Итак, прямая ААг перпендику­ лярна прямой а.

2) Единственность. Применим метод зательства от противного.

Пусть через точку А проходят две прямые Ь и Ъ перпендикулярные прямой а (рис. 68). Тог­ х, да по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Ъ1Ъ Но это невозможно, поскольку пря­ | х, мые Ь и имеют общую точку А. Итак, наше а предположение неверно, то есть прямая, проходя­ щая через точку А перпендикулярно прямой а, Рис. 68. К предположе­ нию о том, что прямые Ъ единственна.

и Ъ перпендикулярны а х Теперь рассмотрим случай, когда точка А и проходят через точку А лежит на прямой а. От любой полупрямой пря­ мой а с начальной точкой А можно отложить прямой угол (рис. 69). Отсюда вытекает сущест­ вование перпендикулярной прямой, содержащей сторону этого угла.

Доказательство единственности такой пря­ мой повторяет доказательство, представленное вы­ ше. Теорема доказана.

--------------------- а ----------------- Утверждения о существовании и единс­ А а твенности уже встречались нам в аксиомах, но Рис. 69. От любол полу­ необходимость доказывать их возникла впервые.

прямой прямой а можно В математике существует целый ряд теорем, ана­ отложить прямой угол логичных доказанной (их называют теоремами ГЛАВА II. Треугольники и их свойства существования и единственности). Общий под­ ход к таким теоремам состоит в отдельном доказа­ тельстве каждого из двух утверждений.

Необходимость двух отдельных этапов дока­ зательства в шутку можно пояснить так: утверж­ дение «У дракона есть голова» не означает, что эта голова единственная. Доказательство существова­ ния определенного объекта чаще всего сводится # к описанию способа его получения. Единственность обычно доказывают методом от противного.

9.2. Перпендикуляр. Расстояние от точки до прям ой Определение Перпендикуляром к данной прямой, проведен­ ны м из точки А, называется отрезок прямой, пер' пендикулярной данной, одним из концов которого является точка А, а вторым (основанием перпен­ дикуляра) - точка пересечения этих прямых.

На рисунке 70 отрезок АВ является перпен­ дикуляром к прямой а, проведенным из точки А.

Точка В — основание этого перпендикуляра. По­ скольку по предыдущей теореме через точку А можно провести единственную прямую, перпенди­ кулярную прямой а, то отрезок А В — единствен­ ный перпендикуляр к прямой а, проведенный из точки А.

Из доказанной теоремы следует, ч т о из точки, Рис. 70. Отрезок АВ — не лежащ ей на данной прям ой, м ож но опустить перпендикуляр к пря мои а на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Это утверждение называют теорем ой о су­ щ ествовании и единственности перпендикуля­ ра к прямой.

Определен ие Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую §9. Перпендикуляр к прямой Иногда расстоянием от точки до прямой на­ зывают сам этот перпендикуляр. Таким образом, отрезок АВ (см. рис. 70) является расстоянием от точки А до прямой а • Задача Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а, АВ и СО — расстояние от данных точек до прямой а, причем АВ = СО (рис. 71). Докажите, что АЬ = СВ.

Решение Рассмотрим треугольники АВЬ и СОВ. У них сторо­ C D на 60 общая, АВ = по условию. По определению расстояния от точки до прямой АВ и СО — перпен-, AD B дикуляры к прямой а, то есть Z = Z СОВ - 90°.

Тогда ЛИ 60 = йСйВ по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что АО - СВ, что Рис. и требовалось доказать.

I Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 228. Могут ли два угла треугольника быть прямыми? Почему?

229. На прямой отмечена точка. Сколько через эту точку можно про­ вести:

а) прямых, перпендикулярных данной прямой;

б) перпендикуляров к данной прямой?

Изменятся ли ответы, если точка не будет лежать на данной прямой?

230. Среди геометрических фигур с заданными свойствами укажите те, которые существуют и являются единственными:

а) луч, дополнительный к данному лучу;

б) отрезок, равный данному отрезку;

в) угол, смежный с данным неразвернутым углом;

г) угол, вертикальный данному неразвернутому углу.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 231. Среди геометрических фигур с заданными свойствами укажите те, которые существуют, но не являются единственными:

а) прямая, параллельная данной прямой;

б) прямая, проходящая через точку вне данной прямой и парал­ лельная данной прямой;

в) точка, являющаяся концом данного отрезка;

г) точка, делящая данный отрезок пополам.

ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 232. Проведите прямую а и отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. »

а) С помощью угольника проведите через точку А перпендику­ ляр АВ к данной прямой.

б) Измерьте расстояние от точки А до прямой а.

в) Отметьте на данной прямой точку С, не совпадающую с точ­ кой В. Измерьте отрезок А С и сравните его длину с длиной отрезка А В. Выскажите предположение о сравнении длины отрезка А В и длин других отрезков, соединяющих точку А с точками прямой а.

233. Проведите прямую Ъ и отметьте на ней точку В.

а) С помощью угольника проведите через точку В прямую, перпендикулярную прямой Ъ, и отметьте на ней точку А.

б) На прямой Ъ по разные стороны от точки В отложите рав­ ные отрезки ВС и B D. Соедините точки С и D с точ­ кой А. Равны ли треугольники ABC и A B D ? Почему?

@ ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 234. В треугольнике ABC Z B = 90°. Назовите отрезок, который является расстоянием:

а) от точки С до прямой А В ;

б) от точки А до прямой ВС.

235. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. Отрезок A D — расстояние от точки А до прямой ВС. Какой отрезок является рас стоянием от точки С до прямой A D ?

ЯП §9. Перпендикуляр к прямой 236, Через точку на плоскости проведены три прямые. Сколько прямых углов может при этом образоваться? Рассмотрите все воз­ можные случаи.

237, Отрезки АС и ВС — перпендикуляры, опущенные из точек А и В на прямую с. Могут ли точки А, В и С не лежать на одной прямой? Ответ обоснуйте.

Уровень Б 238. Точка А лежит на прямой а, а точка В лежит на прямой Ъ.

Отрезок А В — расстояние от точки А до прямой Ъ и расстояние от точки В до прямой а. Определите взаимное расположение прямых а и Ъ. Ответ обоснуйте.

239. На плоскости даны точки А, В, С, D, Е. Определите, какие четыре из этих точек лежат на одной прямой, если BD — расстоя­ ние от точки В до прямой А С, a E D — расстояние от точки Е до прямой B D.

240. Известно, что Л A B C = A K M N и отрезок АС — расстояние от точки А до прямой ВС. Какой отрезок является расстоянием:

а) от точки К до прямой M N ;

б) от точки М до прямой K N ?

241. Известно, что А А В С ~ А А В С 1 и точка В лежит на отрез­ ке ССг. Какой отрезок является расстоянием:

а) от точки А до прямой ССг ;

б) от точки С до прямой АВ ?

Уровень В 242, Точка D лежит внутри неразвернутого угла В. Отрезки D A и DC — расстояния от точки D до сторон угла, причем D A = DC и ВА = ВС. Докажите, что луч BD — биссектриса угла В.

243, Точка С — середина отрезка А В, отрезок DC — расстояние от точки D до прямой А В. Докажите, что луч DC — биссектриса угла A D B.

2 4 4, Расстояния от сел Антоновка и Вольное до прямой автомагист­ рали равны 5 км и 7 км соответственно. Может ли расстояние между Антоновкой и Вольным быть равным 12 км;

2 км? Ответ обоснуйте.

ГЛАВА и.Треугольники и их свойства — 245. Отрезки ААХ и ВВХ — расстояния от точек А и Б до пря­ ^ мой с. При каком условии прямые А В и с будут перпендикулярны?

Ответ обоснуйте.

ф ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал • определение треугольника и его элементов • равные треугольники п. 7.1;

7. ".

Задачи 246. В треугольнике ABC точка М — середина стороны ВС. Дан­ ный треугольник перегнули по прямой A M, причем углы А М В и А М С и отрезки M B и М С совместились. Совместятся ли при таких условиях углы А М В и A C M ;

отрезки А В и АС ?

247. Известно, что A A B C - А А Х СХ. На сторонах ВС и ВХ от­ ВХ СХ мечены точки М и М х соответственно, причем А А В М = А А Х М Х.

ВХ Докажите равенство треугольников A C M и А 1 М 1.

С §10. Второй признак равенства треугольников и его применение 10.1. Второй признак равенства треугольников В первом признаке равенства треугольников равенство двух треугольников было доказано по трем элементам: двум сторонам и углу между ни­ ми. Однако это не единственный возможный набор элементов, равенство которых гарантирует равенс­ тво треугольников. Еще один такой набор — это сторона и прилежащие к ней углы.

Т е о р е м а (второй признак равенства тре­ угольников — по стороне и прилежащим к ней углам) Если сторона и прилежащие к.ней углы одного тре­ угольника соответственно равны стороне и приле жащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство П усть даны тр еугольн и к и A и А1 С1, у которых A C - A lC1, Z A = Z A l t В Z C - ZC r (рис. 72). Докажем, что A ABC = Л AjBjCj.

Поскольку АС - AjCj, то треугольник можно наложить на треугольник ABC так, что­ бы сторона АС совместилась со стороной А Х СХ, а точки В и Вх лежали по одну сторону от пря­ мой А С. По условию Z A = ZA^ и Z C = Z C X, поэ­ тому сторона AjBj наложится на луч А В, а сторона С1 — на луч С В. Тогда точка Вх — общая точ­ В Рис. 72. Треугольники ка сторон AjBj и CjBj — будет лежать как на ABC и -AjBjCj равны по луче А В, так и на луче С В, то есть совместится стороне и прилежащим с общей точкой этих лучей — точкой В. Таким к ней углам ГЛАВА И.Треугольники и их свойства образом, совместятся стороны А В и A XBX, а так­ же ВС и В1. Значит, при наложении треуголь­ С ники ABC и А Х ВjCj совместятся полностью, то есть по определению А А В С = А А 1 С1. Теорема В доказана. В 10.2. Решение геом етрических задач «от конца к началу»

Рассмотрим пример применения второго приз­ нака равенства треугольников для решения задачи.

Прежде чем привести решение этой задачи, попытаемся ответить на вопрос: как именно надо рассуждать, чтобы найти путь к нему?

1) Сначала проанализируем вопрос задачи. Нам не­ обходимо найти градусную меру угла D. Оче­ видно, что для этого должны быть использованы числовые данные. Мы имеем лишь одно такое ус­ ловие: Z B = 110°. Таким образом, можно пред­ положить, что углы В и D должны быть как-то связаны. Как именно?

2) Заметим, что углы В и D являются углами тре­ угольников ABC и ADC соответственно, причем оба эти угла противолежат стороне АС. Отсю­ да возникает идея о том, что углы В и D могут быть равными, и их равенство может следовать из равенства треугольников ABC и ADC.

§ 10. Второй признак равенства треугольников и его применение 3) Следующий шаг рассуждений: действительно ли треугольники ABC и ADC равны? Если да, то на основании какого признака можно доказать их ра­ венство? Здесь на помощь приходят другие данные задачи — равенства углов: Z l = Z 2, Z 3 = Z 4.

Как вы уже знаете, две пары соответственно рав­ ных углов рассматриваются в формулировке вто­ рого признака равенства треугольников, то есть следует попробовать применить именно его.

4) Для окончательного определения хода решения задачи осталось ответить на вопрос: каких еще данных нам не достает для применения второ­ го признака равенства треугольников? Откуда их можно получить? Отметим, что углы 1 и треугольника ABC, а также углы 2 и 4 тре­ угольника A D C являются прилежащими к стороне А С, которая, кроме того, является общей стороной данных треугольников.

Итак, путь определен, и остается лишь запи­ сать решение, повторяя рассуждения в обратном порядке — от 4-го к 1-му пункту. Решение Рассмотрим треугольники ABC и АйС. В них сто­ рона АС общая, Z l = Z2, Z 3 = ^ 4 по условию, и эти углы прилежат к стороне АС. Таким образом, ДABC = ААЬС по второму признаку равенства тре­ угольников.

Углы В и D — соответственно равные углы равных треугольников. Значит, Z D - Z B - 110q.

Ответ: 110°.

Отметим, что в рассуждениях 1) — 4) мы на­ чинали с вопроса задачи, а затем использовали ее условия, то есть шли «от конца к началу». Во мно­ гих геометрических задачах именно такой способ рассуждений позволяет найти правильный путь к решению.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 2 4 8 -В треугольниках ABC и А1ВХ Z B ~ Z B l9 Z C = Z C 1. Какое С равенство необходимо добавить к условию, чтобы равенство данных треугольников можно было доказать по второму признаку?

249. В треугольниках ABC и A 1 Cl A B = A X Z A - Z A X. Какое B1 BX равенство необходимо добавить к условию, чтобы равенство данных треугольников можно было доказать по второму признаку?

250. Можно ли утверждать, что A ABC = A D E F, если А В = D E, Z A = Z D,z b = z f?

251. Если сторона и сумма прилежащих к ней углов одного тре­ угольника соответственно равны стороне и сумме прилежащих к ней углов другого треугольника, то такие треугольники равны. Верно ли это утверждение?

@ ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 252. Начертите острый угол А и проведите его биссектрису A D • а) От луча D A по разные стороны от прямой DA отложите равные углы и отметьте точки В и С — точки пересечения сторон построенных углов со сторонами угла А.

б) Равны ли треугольники A B D и ACD ? Как это доказать?

253. Начертите тупой угол А и проведите его биссектрису A D • а) Проведите через точку D прямую, перпендикулярную пря­ мой A D, и отметьте точки В и С — точки пересечения по­ строенной прямой со сторонами угла А.

б) Выделите цветом равные треугольники и докажите их ра­ венство.

§ 10. Второй признак равенства треугольников и его применение ^ ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 2 5 4. По данным рисунка 74 докажите равенство треугольников ABC и А 1 С1.

В В С Рис. 255. На рисунке 75 Z B = Z C, В О = С О, Докажите равенство тре­ угольников АОВ и D O C.

256. На рисунке 76 Z A B D = Z C D B, Z A D B - Z C B D. Докажите равенство треугольников A B D и CDB.

Рис. Рис. 257- На биссектрисе угла В отмечена точка В, а на сторонах уг­ ла — точки А и С, причем Z A D B = Z C D B. Найдите длину отрез­ ка D C, если В А = 8 см.

258. В треугольнике ABC А В = С В, Z A = Z C. Биссектриса угла В -) пересекает сторону АС в точке М. Докажите:

а) равенство треугольников А В М и С В М ;

б) что прямые АС и В М перпендикулярны.

Уровень Б 259. На рисунке 77 Z A = Z F, Z A D E = Z F C B, A D = F C. Докажи­ те равенство треугольников ABC и F E D.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 260. На рисунке 78 Z B A D = Z C D A, Z C A D = Z B D A. Докажите равенство треугольников A B D и D C A.

Рис. 77 Рис. 261. В треугольнике ABC на равных сторонах АС и ВС отмечены точки D и 2? соответственно, причем Z C A E = Z C B D. Докажите, что А Б —B D.

262. Отрезки АС и BD пересекаются в точке О, которая является серединой отрезка B D, причем А В J B D, CD _L B D.

_ а) Докажите равенство треугольников АОВ и COD.

б) Найдите длину отрезка АС, если АО = 4 см.

263. На биссектрисе неразвернутого угла А отмечена точка В. До­ кажите, что прямая, перпендикулярная биссектрисе А В и проходя­ щая через точку В, отсекает на сторонах угла равные отрезки.

Уровень В 26 4. С помощью контрпримера опровергните утверждение: «Если сторона и два угла одного треугольника равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны».

265. В пункте 8.1 приведен способ нахождения расстояния между точками А и С на местности (см. рис. 60), основанный на примене­ нии первого признака равенства треугольников. Предложите другой способ нахождения этого расстояния на основании второго признака равенства треугольников.

266. Треугольники ЛВС и А у В ^ равны. На сторонах АС и AjCj отмечены точки д и Д соответственно, причем Z A B D = -Z A 1 D1.

B Докажите, что B D - BlDl.

§ 10, Второй признак равенства треугольников и его прим енение 267. На рисунке 79 Л ABC = A DC В. Докажите, что Л АОВ = Л D O C.

268. На рисунке 80 Л A O D = А С О Е. Докажите, что Л А В Е = Л C B D.

В С Рис. 79 Рис. © ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал • равенство отрезков • равенство углов • существование и единственность перпендикуляра к прямой Задачи 269. Известно, что A ABC = /\M N K, А В = В С, N K = М К. Дока­ жите, что все стороны данных треугольников равны.

270. Точки С и ) лежат по разные стороны прямой А В, причем ZC A B = Z D A B, Z C B A - Z D B A. Среди треугольников, вершинами которых являются данные точки, назовите треугольники, обязатель­ но имеющие две равные стороны. Ответ обоснуйте.

§11. Равнобедренный треугольник Доказательство Пусть дан равнобедренный треугольник В ABC с основанием АС • Докажем, что Z A - Z C.

Проведем биссектрису угла В. Пусть она пересекает сторону АС в точке D (рис. 83). Рас­ смотрим треугольники A B D и CBD У них сто­ рона B D общая, АВ = СВ как боковые стороны равнобедренного треугольника, Z A B D - ZCBD по определению биссектрисы угла. Значит, A A B D = A C B D по первому признаку равенства треугольников.

бис Рис. 83. Луч BD Отсюда следует равенство соответствующих сектриса угла В углов этих треугольников, то есть Z A - Z C, что и требовалось доказать.

Следствие В равностороннем треугольнике все углы равны.

Задача Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равно­ бедренного треугольника.

Решение Пусть ABC — равнобедренный треугольник с осно­ ванием АС, точки О, Е, F — середины сторон АВ, ВС В и АС соответственно (рис. 84). Д окаж ем, что тр е уго л ьн и к ОEF равнобедренный. Рас­ см отрим тр е уго л ь н и ки OAF и ECF. У н и х АО = СЕ как половины равных сторон АВ и СВ, AF - CF (поскольку по условию точка F — се­ A ), C редина Z А - Z C как углы при основании равнобедренного треугольника ABC. Следователь­ но, ADAF - LECF по первому признаку равенства треугольников. Тогда отрезки ОF = EF как соответс­ твующие стороны равных треугольников, то есть треугольник OEF равнобедренный.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 11.3. Признак равнобедренного треугольника Из предыдущей теоремы следует, что в тре­ угольнике против равных сторон лежат равные углы. Но всегда ли стороны, противолежащие рав­ ным углам, должны быть равными? Ответим на этот вопрос следующей теоремой.

Т е о р е м а (признак равнобедренного тре­ угольника) Если 0 деа угла равны, т ои равшйед рданмй: А Доказательство Пусть в треугольнике ABC Z A - А Докажем, что этот треугольник равнобедрен­ ный.

dВ Через точку D — середину стороны АС — проведем прямую d, перпендикулярную АС.

Пусть эта прямая пересекает луч А В в точ % ке Вх (рис. 85). Соединим точки С и В, и рас­ смотрим треугольники AB X и CBX. У них D D сторона BX D общ ая, Z A D B X~ Z C D B l =90° и A D = CD по построению. Таким образом, Л AB lD = A C B lD по первому признаку. От­ сюда A B l =CB1, Z B lA D = Z B lC D. П оскольку Рис. 85. К доказатель­ по построению точка Вг леж ит на луче А В, ству признака равно­ угол BlA D совпадает с углом А треугольни­ бедренного треуголь­ ника ка ABC. Тогда по условию теоремы и по доказан­ ному имеем: Z B 1 D = Z B A D = Z B C D = Z B X.

A CD Таким образом, по аксиоме откладывания у г­ лов углы BX CD и BCD совпадают, то есть точ­ ка Вх лежит и на луче СВ. Поскольку лучи А В и СВ имеют единственную точку пересечения, точки В и Вх совпадают, то есть А В - С В. Тео­ рема доказана.

§11. Равнобедренный треугольник Следствие В равны, то он ртшвщ§г роишй, Отметим, что теперь мы имеем два пути до­ казательства того, что треугольник равнобедрен­ ный:

1) по определению равнобедренного треугольника Рис. 86. Признак (то есть путем доказательства равенства двух сто­ равностороннего тре­ угольника рон);

# 2) по признаку равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух уг­ лов). * ;

Задача На продолжении основания АС равнобедренного тре­ угольника ABC отмечены точки D и Ё, причем. АО - СЁ (рйс. 87). Докажите, что треугольник DBE равнобед­ ренный.

Решение Рассмотрим треугольники ЬАВ и ЕСВ. У них AD = = СЕ по условию» АВ = СВ как боковыё стороны рав­, • нобедренного треугольника ABC. По свойству углов при основании равнобедренного треугольника ABC Z: ВАС - Z ВСА, тогда 2-DAB-- Z ЕСВ как углы, Рис. смежные с равными углами. Значит, LOAB - йЕСВ по первому признаку равенства треугольников.

Завершить доказательство можно одним из двух способов.

1-й способ. Поскольку &ЬАВ = Д6С6, то 6D - BE.

Таким образом, треугольник ЬВЕ равнобедренный по определению....

у......

/ t, ' f ? | I i f • • ?

2-й способ. Поскольку hbAB - LECB, то Z D = АС.

Таким образом, треугольник 0BE равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.

ГЛАВА 1. Треугольники и их свойства 11.4. Прямая и обратная теоремы Проанализируем две предыдущие теоремы о равнобедренном треугольнике, выделив в каж­ дой из них условие и заключение. Свойство углов равнобедренного треугольника можно сформули­ ровать так: «Если треугольник равнобедренный, то в нем два угла (при основании) равны». Теперь становится очевидным, что условие первой тео­ ремы («треугольник равнобедренный») — это за­ ключение второй, а заключение первой теоремы («в треугольнике два угла равны») — это условие второй теоремы. В.таком случае вторая теорема является обратной первой (прямой).

Изобразим наглядно связь прямой и обрат­ ной теорем.

ПРЯМАЯ ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРЕМА Если А, то В Если В, то А Теорема, обратная данной, не обязательно верна. Рассмотрим, например, теорему о верти­ кальных углах, сформулировав ее так: «Если два угла вертикальные, то они равны». Понятно, что обратная теорема неверна: ведь если два угла рав­ ны, то они не обязательно вертикальные.

Немало подобных примеров можно привести и из повседневной жизни. Например, если ученик является семиклассником, то он изучает геомет­ рию. Обратное утверждение ошибочно: если уче­ ник изучает геометрию, то он не обязательно се­ миклассник, ведь геометрию изучают и в старших классах. Попробуйте самостоятельно найти при­ меры прямых и обратных утверждений в других науках, изучаемых в школе.

§ П - Равнобедренный треугольник Таким образом, пользоваться утверждени­ ем, обратным доказанной теореме, можно лишь тогда, когда оно также доказано.

Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 271. Является ли равнобедренным любой равносторонний треуголь­ ник? Является ли равносторонним любой равнобедренный трехуголь­ ник?


272. В треугольнике D E F D E = E F. Назовите равные углы тре­ угольника.

273. В треугольнике K M N Z M = Z N • Назовите равные стороны треугольника.

274. В треугольнике ABC стороны, прилежащие к углу В, рав­ ны, и углы, прилежащие к стороне А В, равны. Определите вид тре угольника.

ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 275. Начертите угол В и отложите на его сторонах равные отрезки ВА и В С.

а) Соедините точки А и С. Является ли треугольник ABC равнобедренным? Почему?

б) Измерьте углы А и С треугольника ABC. Сделайте вывод.

276. Начертите угол А, равный 60°, и проведите его биссектрису A D.

а) Проведите через точку D прямую, перпендикулярную пря­ мой A D, и отметьте точки В к С — точки пересечения по­ строенной прямой со сторонами угла А.

б) Измерьте стороны и углы треугольника ABC. Сделайте вывод.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Уровень А 277. Периметр равнобедренного треугольника равен 2,6 м. Найдите стороны треугольника, если его основание больше боковой стороны на 0,2 м.

278. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Найдите:

а) основание треугольника, если его боковая сторона равна 7,5 см;

б) боковую сторону треугольника, если его основание равно 4 см;

в) стороны треугольника, если его боковая сторона относится к основанию как 3 : 4.

279. Если боковая сторона и угол, противолежащий основанию од­ ного равнобедренного треугольника, соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию другого равнобедрен­ ного треугольника, то такие треугольники равны. Докажите.

280. Если основание и угол, прилежащий к основанию одного рав нобедренного треугольника, соответственно равны основанию и углу, прилежащему к основанию другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. Докажите.

281. По данным рисунка 88 докажите, что треугольник ABC равно­ бедренный, и назовите его боковые стороны.

282- По данным рисунка 89 докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и назовите его основание.

283. Треугольники A B D и CBD равны (рис. 90). Докажите, что треугольники ABC и ADC равнобедренные.

284. В равнобедренном треугольнике ABC точки А г и Сх— се­ редины боковых сторон А В и ВС соответственно. Докажите, что Z B A tC1= Z B C 1 i.

A В С С С А В D Рис. Рис. Рис. § П - Равнобедренный треугольник Уровень Б 285. Периметр равнобедренного треугольника равен 21 м. Найди­ те стороны треугольника, если одна из них больше другой на 3 м.

Сколько решений имеет задача?

286. Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 18 см, причем основание АС меньше боковой стороны на 3 см. Найдите периметр равностороннего треугольника ADC.

287. В равнобедренном треугольнике углы, прилежащие к боковой стороне, равны. Дока­ жите, что данный треугольник равносторонний.

288. Докажите, что середины сторон равно­ стороннего треугольника являются вершинами другого равностороннего треугольника, 289. На рисунке 91 А В = В С, CD = D E. Дока­ Рис. жите, что Z B A C = Z D E C • 290. Равнобедренные треугольники ABC и AD C имеют общее основа­ ние АС (см. рис. 90). Докажите равенство треугольников A B D и CBD.

291. На продолжениях боковых сторон А В и СВ равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки ВАХ и ВСг {рис. 92).

а) Докажите равенство треугольников АСгВ и САХ. В б) Докажите равенство треугольников АСгС и САХ. А 292. На рисунке 93 треугольник ABC равнобедренный с основанием А С, точка D — середина отрезка А С. Докажите, что треугольник АЕС равнобедренный.

293. На рисунке 94 треугольник ADC равнобедренный с основанием A C, Z A D E = Z C D E. Докажите, что треугольник ABC равнобед­ ренный.

В Рис. ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Уровень В 294. Сформулируйте утверждения, обратные:

а) теореме о смежных углах;

б) теореме о двух прямых, параллельных третьей;

в) первому признаку равенства треугольников.

Какие из этих утверждений верны?

295. Проанализируйте доказательство признака равнобедренного тре­ угольника (рис. 85). Почему прямая d не может быть параллельна;

а) каждой из прямых А В и СВ ;

б) одной из прямых А В или СВ ?

296. Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее осно­ вание АС (точки В и D лежат по разные стороны от прямой А С ).

Отрезки BD и АС пересекаются в точке К. Докажите, что точ­ ка К — середина отрезка АС.

297. Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее ос­ нование АС (точки В и й лежат по одну сторону от прямой А С ).

Докажите, что прямые BD и АС перпендикулярны.

298. На боковых сторонах А В и ВС равнобедренного треугольни­ ка ABC отложены равные отрезки ААХ и ССХ соответственно. От­ резки АСХ и САХ пересекаются в точке О. Докажите, что треуголь­ ник АОС равнобедренный.

299. Треугольники ABC и A B D равны. Докажите, что их общая сторона перпендикулярна прямой CD.

© Повторение перед изучением § Теоретический материал • середина отрезка • биссектриса угла • перпендикуляр к прямой Задачи 300. Дан угол АОВ • Из точки А проведен перпендикуляр A D к прямой ОВ. Лежит ли точка О между точками В и D, если данный угол острый;

тупой;

прямой?

301. В треугольнике ABC А В = ВС Проведите из вершины В от­ резок, который делит данный треугольник на два равных треуголь­ ника. Какие свойства имеет этот отрезок? Приведите необходимые доказательства, выскажите предположения.

§12. Медиана, биссектриса и высота треугольника 12.1. Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника Помимо сторон и углов, с треугольником связано несколько важных элементов, имеющих специальные названия.

А ' м ' с Определение Рис. 95. Отрезок В М — ме­ Медианой треугольника называется отрезок, диана треугольника ABC соединяющий вершину треугольника с середи­ ной противолежащей стороны.

На рисунке 95 отрезок В М является меди­ аной треугольника A B C. В любом треугольнике можно провести три медианы — по одной из каж­ Рис. 96. Три медианы тре­ дой вершины. Далее будет доказано, что все они угольника пересекаются пересекаются в одной точке (рис. 96)1.

в одной точке Определение Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

A L На рисунке 97 отрезок B L — биссектриса треугольника ABC. Обратим внимание на то, Рис. 97. Отрезок BL — что, в отличие от биссектрисы угла, являющей­ биссектриса треуголь­ ника ABC ся лучом, биссектриса треугольника — отрезок.

Очевидно, что любой треугольник имеет три бис­ сектрисы (рис. 98). Все они также пересекаются в одной точке (этот факт будет доказан далее).

Определение Высотой треугольника называется перпенди­ Рис. 98. Три биссектрисы куляр, опущенный из вершины треугольника на треугольника пересекают­ прямую, которая содержит его противолежащую ся в одной точке сторону.

1Подчеркнем, что здесь и далее, приводя утверждения, которые будут доказаны позднее, мы не будем ссылаться на них до того момента, когда они будут доказаны.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства На рисунке 99 отрезок В Н — высота тре­ угольника A B C.

По теореме о существовании и единственнос­ ти перпендикуляра к прямой, из каждой вершины треугольника можно провести только одну его вы­ соту. Высоты треугольника не обязательно лежат внутри него. В отличие от медиан и биссектрис, некоторые из высот могут совпадать со сторонами Рис. 99. Отрезок ВН — или проходить вне треугольника (рис. 100).

высота треугольника ABC Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (это утверждение до­ кажем позднее).

Две высоты совпадают со Две высоты лежат вне сторонами треугольника треугольника внутри треугольника 4.

Рис. 100, Расположение высот в треугольнике ЛВС JLjL 12.2. Свойство м едианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника Т е о р е м а (свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедрен ного треугольника) В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Доказательство Доказательство данной теоремы состоит из трех частей.

1) Пусть B D — медиана равнобедренного треугольника A B C, пр денная к основанию АС (рис. 101, а). Докажем, что BD является также биссектрисой и высотой треугольника ABC.

Рассмотрим треугольники A B D и C B D. У них А В = СВ по опреде­ лению равнобедренного треугольника, Z A = Z C как углы при основании §12. Медиана, биссектриса и высота треугольника равнобедренного треугольника, A D = CD по опре­ делению медианы. Следовательно, A A B D = A C B D по первому признаку равенства треугольников.

В Из этого вытекает, что Z A B D = Z C B D у то есть BD — биссектриса треугольника A B C.

Кроме того, Z A D B = Z C D B, а поскольку эти углы смежные, то оба они прямые. Значит, BD — высота треугольника A B C. Таким обра­ зом, отрезок BD — медиана треугольника A B C, проведенная к основанию,— является также бис­ сектрисой и высотой треугольника.

а 2) Пусть теперь BD — биссектриса равнобед- * В ренного треугольника A B C, проведенная к основа­ нию АС (рис. 101, б). Аналогично предыдущему случаю можно доказать, что BD является также медианой и высотой треугольника ABC • Действи­ тельно, в этом случае A A B D = A C B D по второму признаку ( Z A = ZCy А В = СВ Z A B D = ZC B D ).

Отсюда A D = C D, то есть BD — медиана тре­ угольника, и Z A D B = Z C D B - 90°, то есть BD — высота треугольника. * 3) Пусть BD — высота треугольника A B C.

Рис. 101. Отрезок BD — медиана, биссектриса Докажем от противного, что BD является медиа­ и высота равнобедренно­ ной и биссектрисой данного треугольника. Пусть го треугольника ABC существуют медиана BDX и биссектриса BD2, не совпадающие с B D - Тогда по доказанному выше отрезки BDX и BD2 также являются высотами треугольника. Таким образом, из точки В к пря­ мой АС проведены три различных перпендикуля­ ра, что противоречит теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Из этого противоречия следует, что отрезки BD, BDX и BD2 совпадают, то есть B D — медиана и бис­ Медиана ~ сектриса данного треугольника.


от латинского «ме Итак, в равнобедренном треугольнике меди­ дианус» - средний ана, биссектриса и высота, проведенные к основа­ нию, совпадают.

Теорема доказана.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Следствие В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса, и высота, проведенные из одной вершины, совпадают.

Теорема, обратная данной, также верна: если в треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный (докажите это утверждение самостоятельно).

На практике для решения задач вместо доказанной теоремы часто исполь­ зуют утверждение с условием совпадения лишь двух из трех указанных отрезков:

1) если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной вер­ шины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;

2) если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;

3) если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный.

Первые два утверждения докажите самостоятельно. Третье утвержде­ ние мы рассмотрим в п. 12.3.

, Задача Докажите равенство равнобедренных треугольников по углу, противолежащему основанию, и медиане^ прове­ денной к основанию.

J...Решение •. : _ t _, Пусть ABC и AfijCj — данные равнобедренные треуголь­ ники с основаниями АС и A f v ААВС - AAfijC^ ВМ и В М1— медианы этих треугольников, причем ВМ = BtA 1, (рис. 102). Докажем, что ААВС = AAfijCj.

Рассмотрим треугольники А ВМ и A fi/Л^ По условию ВМ = В2 Г Поскольку по свойству медианы биссек­ Л трисы и высоты равнобедренного треугольника ВМ и В/Лг являются также биссектрисами равных углов ABC и AtB flt то А АВМ - AAjBjMjl отрезки ВМ и б,Мх— высоты равнобедренныхтреугольников,поэтому А АВМ- А А ^Х - М{ - 90°. Таким образом, А АВМ = А а 1 М1по второму призна­ В ку равенства треугольников, откуда АВ = А1, тогда и ВС = В = В1. Знйчит, треугольники ABC и AfilCl равны по перво­ С № Рис. му Признаку равенства треугольников.

1П?

М едиана, биссектриса и высота треугольника §12.

12.3*. Дополнительные построения в геометрических задачах. М етод удвоения медианы Для решения некоторых геометрических задач необходимо проводить дополнительные построения, то есть достраивать отрезки и углы, не упомя­ нутые в условии задачи. Это нужно для получения вспомогательных фигур, рассмотрение которых позволяет найти или доказать требуемое. Сущест­ вуют определенные виды дополнительных построений, применяемые чаще других. Один из них мы рассмотрим в следующей задаче.

Задача Если в треугольнике медиана и биссектриса, про;

веденные из одной вершины, совладают,, то такой треугольник равнобедренный Докажите, Решение Пусть ВО — медиана и биссектриса данного тре­ угольника /В С (рис, 103). Докажем, что треугольник ABC равнобедренный.

В;

На луче ВО от точки 0 отложим отрезок50В!? рав­ А- О у " Y ный ВО (то есть удвоим медиану ВО).

Рассмотрим треугольники ВОС и BtbA. У них Ай = СО я \ по определению медианы, ВО - В,0 по построению, ZBDC = Z. B,DA как вертикальные. Таким образом, АЛ% D1 С А ВйС= A B fiA по первому признаку равенства тре­ % угольников. Отсюда следует, что Z 3 = Z 2 и АВЛ = = СВ. Рассмотрим теперь треугольник ВАВГ С уче­ у.

.

_ ‘\%! том того, что ВО — биссектриса угла ABC, име­ -* А В ем / ! - 4 2, тогда Z 1 = 4 3. По признаку рав­ нобедренного треугольника, треугольник ВАВг рав­ нобедренный с основанием ВВ,, Отсюда ABt = АВ, Рис. а поскольку по доказанному АВ, = СВ, то АВ - СВ.

Таким образом, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать..

1 Здесь и далее звездочкой обозначен теоретический материал, изучение которого не яв­ ляется обязательным.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Проанализируем решение этой задачи. Отображение всех данных ус­ ловия на рисунке не выявило набора элементов, позволяющих сразу начать доказательство. Это обусловило необходимость дополнительного построения, благодаря которому образовался вспомогательный треугольник BX A. До­ D казав его равенство с треугольником B D C, мы получили дополнительные равенства отрезков и углов и решили задачу.

Дополнительное построение состояло в удвоении отрезка B D. Такое построение используется чаще всего именно для медиан треугольников, по­ этому основанный на нем метод доказательства называют методом удвое­ ния медианы.

Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 302. В треугольнике D E F проведен отрезок ЕА (рис. 104). Определите, является ли этот отрезок медианой, биссектрисой или высотой данного треугольника, если:

а) D A = FА ;

б) Z D A E = Z F A E ;

в) Z D E A = Z F E A ;

г) D E = F E и D A = FА.

303. Может ли лежать внутри треугольника только одна из трех его высот;

только две из трех его высот?

304. Может ли медиана треугольника совпадать с его высотой, но не совпадать с биссектрисой, проведенной из той же вершины?

305. В треугольнике ABC отрезок A D — медиана, биссектриса и высота. Назовите равные стороны треугольника.

306. В треугольнике ABC Z A = Z C. Биссектриса какого из углов треугольника совпадает с медианой и высотой?

307. В равнобедренном, но не равностороннем треугольнике прове­ дены все медианы, биссектрисы и высоты. Сколько разных отрезков проведено? Как изменится ответ, если данный треугольник равносто­ ронний?

§ 12. М едиана, биссектриса и высота треугольника ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 308. Начертите неравнобедренный треугольник ABC.

а) Отметьте точку М — середину стороны ВС. Проведите от­ резок A M. Как он называется?

б) Проведите биссектрису угла В и отметьте точку L ее пере­ сечения со стороной АС. Как называется отрезок B L ?

в)Проведите из точки С перпендикуляр С Н к прямой А В.

Как называется построенный отрезок в треугольнике ABC ?

309. Начертите равнобедренный треугольник ABC с основани­ ем АС и тупым углом В.

а) Проведите высоту A D. Лежит ли точка D на отрезке в Ь ?

б) Проведите медиану В М. Равны ли углы А В М и C B M ?

Почему?

ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 310. В равнобедренном треугольнике ABC отрезок B D * медиана, — проведенная к основанию. Найдите периметр треугольника ABC если PAABD =12 см, B D = 4 см.

- » 311. В равнобедренном треугольнике ABC отрезок B D — медиана, проведенная к основанию. Найдите периметр треугольника B D C, если РААВС =18 см, B D = 5 см.

312. В треугольнике ABC Z A = Z C, BD — биссектриса треуголь­ ника. Докажите, что A D = C D.

— 313. В треугольнике ABC отрезок CD является медианой и высо­ ^ той. Докажите, что Z A = Z B.

314. На высоте М Р равнобедренного треугольника K M N с основа­ нием K N отмечена точка О (рис. 105). Докажите, что треугольник K O N равнобедренный.

— 315. В равнобедренном треугольнике K O N с основанием K N на ^ продолжении биссектрисы О Р отмечена точка М (см. рис. 105). До­ кажите, что треугольник K M N равнобедренный.

ГЛАВА II, Треугольники и их свойства 316. Докажите, что медианы равных треугольников, проведенные к соответственно равным сторонам, равны.

317. Докажите, что биссектрисы равных треугольников, проведен­ ные из вершин соответственно равных углов, равны.

Уровень Б 318. В равнобедренном треугольнике ABC отрезок B D биссек­ триса, проведенная к основанию. Найдите ее длину, если периметр треугольника ABC равен 28 см, а периметр треугольника A B D ра­ вен 20 см.

319. Докажите, что треугольник, в котором медиана делит^периметр пополам, равнобедренный.

320. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, прове­ денные к боковым сторонам, равны.

— 321. Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы, ^ проведенные из вершин при основании, равны.

322. Треугольники ABC и DBC равны (рис. 106). Докажите, что точка пересечения отрезков A D и ВС делит отрезок A D пополам.

— 323. Перпендикулярные отрезки A D и ВС пересекаются в точ­ ^ ке О, причем Z A B C = Z D B C (рис. 106). Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

324. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основа­ нию и проведенной к нему медиане.

325. Докажите равенство равнобедренных треугольников по углу, лежащему против основания, и высоте, проведенной из вершины этого угла.

В М А D А N К Р С Рис. Рис. § 12. М едиана, биссектриса и высота треугольника Уровень В 326. Докажите равенство треугольников по стороне, прилежащему углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла.

327. Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, прове­ денной к этой стороне, и углу между ними.

328. Докажите равенство треугольников по медиане и двум углам, на которые она делит угол треугольника.

329. Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе, прове­ денной из вершины этого угла, и углу, который она образует с про­ тиволежащей стороной.

Повторение перед изучением § Теоретический материал • равенство треугольников • равнобедренный треугольник Задачи 330. Даны треугольники ABC и, в которых А В = А Х ВХ, ВС = ВХ СХ, Z A = Z A l9 Z B = Z B x. Какое из четырех данных усло­ вий можно исключить, чтобы оставшихся условий было достаточно для доказательства равенства треугольников по первому признаку;

по второму признаку?

331. Треугольники ABC и АВгС имеют общую сторону А С, при­ чем точки В и Вх лежат по разные стороны от прямой AC, Z ВАС = = ZBX AC. Назовите дополнительное условие, необходимое для до­ казательства равенства треугольников. Приведите все возможные ответы.

§13. Третий признак равенства треугольников и его применение 13.1. Третий признак равенства треугольников Применим свойства равнобедренного тре­ угольника для доказательства третьего признака равенства треугольников.

Т е о р е м а (третий признак равенства тре­ угольников — по трем сторонам) тр*. стороны одвдгог треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треу] ольники равны.

Доказательство Пусть даны треугольники ABC и А 1 В а у которых А В = A tBx, ВС = В ^, АС = Д С,. До­ кажем, что А А В С = А А 1 С1.

В Приложим треугольник А 1 1 к треуголь­ В нику ABC так, чтобы вершина А г совместилась с вершиной А, вершина Вг — с вершиной В, а точки С и Q лежали по разные стороны от пря­ мой А В. Возможны три случая:

1) луч GCj проходит внутри угла АСВ (рис. 107, а);

2) луч ССХпроходит вне угла АСВ (рис. 107, б);

3) луч СС1 совпадает с одной из сторон угла АСВ (рис. 107, в).

Рассмотрим случаи 1 и 2. Поскольку по усло­ вию теоремы АС - Д С Х и ВС = В ^, то треуголь­ ники АСС1 и ВСС1 равнобедренные с основани­ ем C C j. По свойству равнобедренного треугольни­ ка Z 1 = Z 2, Z 3 = Z 4. Тогда Z A C B = Z A C 1 как B Рис. 107. Прикладывание суммы (или разности) равных углов. Таким образом, треугольника А 1 С ВХ А А В С = А А 1 С1 по первому признаку равенства Б к треугольнику ABC §13. Третий признак равенства треугольников и его применение треугольников. В случае 3 равенство углов С и Q следует из свойства равнобедренного треугольника с основанием ССг, а дальнейшее доказательство проводится аналогично. Теорема доказана.

Обобщая признаки равенства треугольников, можно увидеть, что во всех трех признаках равен­ ство треугольников следует из равенства трех пар соответствующих элементов. И это не случайно:

как правило, треугольник можно задать (постро­ ить) именно по трем элементам, но не произволь­ ным, а определяющим единственный треугольник.

Например, треугольник однозначно определяется длинами трех его сторон (это следует из только что доказанного третьего признака). Однако, например, градусные меры трех углов не задают треугольник однозначно. Попробуйте самостоятельно построить соответствующий контрпример — два неравных треугольника с соответственно равными углами.

Задача Докажите равенство треугольников по двум сторо­ нам и медиане, проведенной к одной из них.

Решение Пусть ЛВС и A xB f t — данные треугольники с меди­ анами ВМ и б,М, соответственно, причем АВ = AtBt, CV ВМ - BjMt (рис. 108). Рассмотрим АС = A сначала треугольники А В М и А гВгМ г В них А В = AtBt и ВМ = В,М, по условию, а AM - А }М } как половины равных сторон АС и A f i v то есть А АВМ - А /Д Л 1, по третьему призна­ ку. Отсюда, в частности, следует, что /LA = Z-Av Тогда A ABC = A A l BJCi по первому признаку (АВ = А 1В1 АС = А,С, по условию, Z.A Z A t по, доказанному).

I ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 13.2*. Свойства и признаки Проанализируем признаки равенства треугольников. Все эти утверж­ дения одинаковы по структуре: если треугольники имеют некоторую особен­ ность, то они равны. Эта особенность (равенство трех пар соответствующих элементов) и составляет признак равенства треугольников. Нетрудно дога­ даться по аналогии, что, скажем, признак параллельности прямых может вы­ глядеть так: «Если две прямые имеют определенную особенность, то они па­ раллельны» (вспомните, рассматривались ли ранее похожие утверждения).

Во многих геометрических утверждениях мы получаем новые особеннос­ ти фигур с помощью уже известных: например, если два угла вертикальные, то они равны. В этом случае равенство является свойством вертикальных углов.

По аналогии, свойство смежных углов будет иметь следующий вид: «ЕсЛи два угла смежные, то они имеют определенную особенность». Нетрудно догадаться, какое из изученных утверждений является свойством смежных углов.

Отметим еще один интересный факт. Если нам дан равнобедренный треугольник, то равенство двух его углов — свойство равнобедренного тре­ угольника. Если же из условия равенства двух углов некоторого треуголь­ ника мы делаем заключение, что этот треугольник равнобедренный, то равенство этих углов — признак равнобедренного треугольника. Таким образом, одна и та же особенность фигуры в зависимости от условия задачи может рассматриваться либо как свойство, либо как признак.

Приведем примеры свойств и признаков, не связанные с геометрией. Наличие длинной шеи яв­ ляется свойством жирафа (если животное — жи­ раф, то оно имеет длинную шею). Но длинную шею имеют также и страусы, то есть не любое животное с длинной шеей — жираф. Таким образом, наличие длинной шеи не является признаком жирафа. Дру­ гой пример: повышение температуры — признак болезни (ведь если у человека высокая температура, то он болен), но повышение температуры не свой­ ство болезни (ведь многие болезни не сопровожда­ ются повышением температуры). И наконец, пример из арифметики: последняя цифра 0 — и свойство, и признак чисел, которые делятся на 10.

Попробуйте привести собственные примеры свойств и признаков, изучаемых в школе.

§13.Третий признак равенства треугольников и его применение Вопросы и задачи фУСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 332. В треугольниках ABC и A 1 BiCl АС = А 1 и ВС = В С1 С1. Какое равенство необходимо добавить к условию, чтобы равенство данных треугольников можно было доказать по третьему признаку?

333. Три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника. Равны ли углы между соответствен­ но равными сторонами этих треугольников? Почему?

334. Верно ли, что два равносторонних треугольника равны, если они имеют одинаковые периметры?

335. Верно ли, что два произвольных треугольника равны, если они имеют одинаковые периметры? Является ли верным обратное ут­ верждение?

^^ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 336. Начертите равнобедренные треугольники ABC и A D C с об­ щим основанием А С. а) Соедините точки В и D. Выделите цветом равные треугольни­ ки, равенство которых можно доказать по третьему признаку.

б) Назовите углы, биссектрисы которых лежат на прямой B D.

337. Начертите равные треугольники ABC и A iBiC1.

а) Проведите медианы В М и В1 1.М б) Выделите цветом пары равных треугольников, образовавших­ ся на рисунке. Можно ли доказать их равенство по первому признаку;

по второму признаку;

по третьему признаку?

ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 338. На рисунке 109 А В = CD, ВС = A D. Докажите равенство тре угольников A B D и C D B.

- 339. На рисунке 110 А В = СВ, A D - C D. Докажите равенство треугольников A B D и C D B.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 340. Если основание и боковая сторона одного равнобедренного тре­ угольника соответственно равны основанию и боковой стороне дру­ гого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Докажите.

341. Если две стороны и периметр одного треугольника соответствен­ но равны двум сторонам и периметру другого треугольника, то такие треугольники равны. Докажите.

342. На рисунке 111 A ABC = A C D A. Докажите, что A A B D = A C D B.

Уровень Б 343. Равнобедренные треугольники ABC и AD C имеют общее ос­ нование АС и лежат по одну сторону от прямой АС. Докажите, что ZA D B = ZCD B.

344. На рисунке 112 A B = C D, АС = B D. Докажите равенство тре­ угольников A B D и D C A.

- 345. На рисунке 113 A B = CD, B F = С Е, A E = F D. Докажите, что треугольник E O F равнобедренный.

346. На рисунке 112 A A O B = A D O C. Докажите равенство тре­ угольников ABC и D C B. С помощью каких признаков равенства треугольников его можно обосновать?

- ) 347. Отрезки А В и CD пересекаются в точке О, которая является.

серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ABC и BAD.

§13. Третий признак равенства треугольников и его применение Уровень В 3 4 8. Точки А, В, С и D лежат на одной прямой, причем А Е Х= А Е 2, ВЕХ= В Е2 (рис. 114). Докажите, что треугольники CDEX и CDE2 равны.

349. Точки А, В, С и D лежат на одной прямой, причем АЕХ= А Е 2, СЕХ= СЕ2 (см. рис. 114). Докажите, что треугольники BDEX и BD E2 равны.

350. Докажите равенство треугольни­ ков по двум сторонам и медиане, про­ веденным из одной вершины.

351. Докажите равенство равнобедрен­ ных треугольников по боковой стороне и проведенной к ней медиане. Рис- Задачи для подготовки к контрольной работе № 1. Периметр равнобедренного треугольника равен 105 см, а боковая сторона относится к основанию как 7 : 3. Найдите стороны этого треугольника.

2. Отрезки А В и CD пересекаются в точке О, причем A O = D O, СО = ВО (рис. 115).

а) Докажите равенство треугольников АОС и DOB.

б) Найдите периметр треугольника А О С, если АС = 4 см, CD = 8 см.

3. Из концов отрезка А В, пересекающего прямую а в точ­ ке О, проведены к этой прямой перпендикуляры АС и B D, при­ чем СО = D O (рис. 116). Докажите, что точки А и В находятся на одинаковом расстоянии от прямой а.

4. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием А В, АС = BD (рис. 117). Докажите, что треугольник COD также равнобедренный.

5. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основа­ нию и периметру.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 6. В треугольнике ABC высота В Н делит сторону АС пополам.

Биссектриса A D треугольника равна 15 см. Найдите длину биссект­ рисы СЕ этого треугольника.

ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал • теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей • параллельные прямые Задачи 352. Определите, какие из приведенных утверждений верны:

а) две прямые, перпендикулярные третьей, перпендикулярны;

б) две прямые, параллельные третьей, параллельны;



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.