авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«А. П, Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский ИЗДАТЕЛЬСТВ' • общеобразовательная программа РАНО • ...»

-- [ Страница 3 ] --

в) через любую точку плоскости можно провести прямую, па­ раллельную данной;

г) через любую точку плоскости можно провести не больше од­ ной прямой, параллельной данной.

353. Через точку С, не принадлежащую ни одной из прямых а и Ъ, проведена прямая с. Определите взаимное расположение прямых Ъ и с. если:

а) а |Ь, с |а ;

| | б) a -L Ь, с -L а.

Изменятся ли ответы, если точка С лежит на прямой Ь ?

§14. Признаки параллельности прямых 14.1. Углы, образованные при пересечении двух прямых третьей Пусть прямая с пересекает каждую из двух прямых а и Ъ (рис. 118). В таком случае говорят, что прямая с является секущей прямых а и Ъ При.

таком пересечении двух прямых третьей образу­ ются пары неразвернутых углов, имеющих специ­ альные названия:

• внутренние накрест лежащие углы лежат между прямыми а и Ъ по разные стороны от се­ кущей: 3 и 6, 4 и 5;

• внутренние односторонние углы лежат Рис. 118. Прямая с пере­ между прямыми а и b по одну сторону от секу­ секает прямые а и Ъ щей: 3 и 5, 4 и 6;

• соответственные углы лежат по одну сторо­ ну от секущей, причем сторона одного из них являет­ ся частью стороны другого: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6, 4 и 8.

14.2. Признаки параллельности прямых Вы уже изучили две теоремы, которые ут­ верждают, что две прямые параллельны:

1) если две прямые параллельны третьей, то они параллельны;

2) если две прямые перпендикулярны треть­ ей, то они параллельны.

Докажем еще несколько признаков парал­ лельности прямых.

Т е о р е м а (признак параллельности двух прямых, которые пересекаются секущей) Если при пересечении прямых секущей внутрен­ ние накрест лежащие углы равны, то прямые парал­ лельны. Ц. ;

Л ' 1Ш1Й... §...

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Доказательство Пусть прямая с пересекает прямые а в точках А и В соответственно, причем Z1 = Z (рис. 119). Докажем, что а||Ь.

Если углы 1 и 2 прямые, то а ± с и Ь ± с.

Тогда а ЦЪ по теореме о двух прямых, перпенди­ кулярных третьей.

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Проведем из точки О — середины отрез­ Рис. 119. Z l = Z2, ка АВ — перпендикуляр О Н л к прямой а. Пусть тогда а | | Н 2 — точка пересечения прямых О Н х и Ь. * Рассмотрим треугольники ОАНг и ОВН2.

У них Z1 = Z2 по условию, Z 3 = Z 4 как вер­ тикальные и АО = ВО по построению. Итак, А О А Н 1= А О В Н 2 п о второму признаку равенства треугольников. Отсюда Z O H xA = Z O H 2 = 90°, то B есть прямая Н х г перпендикулярна прямым а и Ь.

Н Тогда а||Ь по теореме о двух прямых, перпенди­ кулярных третьей. Теорема доказана. I Для доказательства параллельности прямых можно использовать не только внутренние накрест лежащие углы, но и другие пары образовавшихся углов.

Следствие Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180“, то пря­ мые параллель»»

Действительно, если Z 2 + Z 3 = 180° (рис. 120) и по теореме о смежных углах Z l + Z 3 = 180°, то Рис. 120. Z2 + Z3 = Z1 = Z2 = 1 8 0 °-Z 3. Тогда по доказанной теореме = 180°, тогда а | Ь | а\\Ь.

§ 14. Признаки параллельности прямых Следствие Если при пересечении двух прямых секущей соответ­ ственные углы равны, то прямые параллельны.

Действительно, если Z1 = Z 3 (рис. 121), a Z 2 = Z3 как вертикальные, то Z 1 = Z 2. Тогда по доказанной теореме а |Ь.

| Следствия 1 и 2 можно объединить с дока­ занной теоремой в одно утверждение, выражаю­ а |b | да щее признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей вы­ полняется хотя бы одно из условий:

1) внутренние накрест лежащие углы равны;

2) сумма внутренних односторонних углов равна 180°;

3) соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.

Если выполняется одно из трех приведенных условий, то выполняются и два других (докажите это самостоятельно).

Задача На рисунке 122 АВ = ВС. АС - биссектриса угла ВАЬ. Докажите, что ВС | АЬ.

| Решение По условию задачи треугольник ABCравнобедренный с основанием АС. По свойству углов равнобедренно­ го треугольника Z l = Z3. Вместе с тем Z 1 = ^2, так как АС — биссектриса угла ВАЬ. Отсюда, Z2 = = Z3. Углы 2 и 3 внутренние накрест лежащие при Рис. 122 прямых АО и ВС и секущей АС Поскольку эти уг­ лы равны, то по признаку параллельности прямых AD ||.fiC.HTQ и требовалось доказать.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 14.3. О существовании прямой, параллельной данной Доказанные признаки параллельности пря­ мых позволяют подробнее проанализировать фор­ мулировку аксиомы параллельных прямых (ак­ сиомы Евклида, п. 4.1). В этой аксиоме утверж­ далась единственность прямой, проходящей через данную то.чку и параллельной данной прямой, но не утверждалось ее существование.

На основании признака параллельности прямых существование такой прямой можно до­ казать.

Пусть даны прямая А В и точка С, не прина­ длежащая этой прямой (рис. 123). Проведем пря­ мую АС. От луча СА отложим угол ACD, равный углу САБ, так, как показано на рисунке. Тогда уг­ лы ACD и САВ — внутренние накрест лежащие Рис. 123. Прямая CD при прямых АВ и CD и секущей АС. По доказанно­ проходит через точку С му признаку А В |CD, то есть существует прямая, | и параллельна пря­ мой АВ проходящая через точку С параллель^ прямой АВ.

Таким образом, мы можем объединить дока­ занный факт с аксиомой параллельных прямых в следующей теореме.

Т е о р е м а (о существовании и единствен­ ности прямой, параллельной данной) ЖМШ I тттФРЩ:

Вообще, аксиома Евклида и связанные с ней утверждения были предметом особого внимания ученых на протяжении многих веков. В начале позапрошлого столетия выдающийся русский ма­ тематик Николай Иванович Лобачевский создал неевклидову геометрию, в которой аксиома парал­ лельных прямых не выполняется.

§ 14. Признаки параллельности прямых Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 354- На рисунке 124 укажите угол, который вместе с углом 4 составляет:

а) пару внутренних накрест лежащих углов;

б) пару внутренних односторонних углов;

в) пару соответственных углов.

355. По рисунку 124 определите, будут ли пря­ Рис. мые а и b параллельными, если:

a )Z 3 = Z 6 ;

6 )Z 5 = Z 8 ;

в) Z1 = Z 7 ;

г) Z 2 = Z 6 ;

Д) Z 3 + Z 5 = 180°;

е) Z2 + Z 4 = 180°.

356. По рисунку 124 определите, при каких значениях п будет вер ным утверждение:

а) если Z 6 = Z n, то а\\Ь;

б)если Z 6 + Z n = 180°, то a\\b. t 357. Определите, какие из следующих утверждений верны:

а) если при пересечении двух прямых секущей образуются во­ семь равных углов, то прямые параллельны;

б) если при пересечении двух прямых секущей образуются че­ тыре равных угла, то прямые параллельны;

в) сумма двух углов треугольника может быть равна 180°.

ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 358- Начертите прямые а и b и проведите секущую с.

а) Выделите на рисунке одну пару внутренних накрест лежащих углов красным цветом, а другую пару — синим цветом.

б) Выделите углы, соответственные с «красными» углами, красным цветом, а углы, соответственные с «синими» угла­ ми, — синим цветом.

ГЛАВА т р е у го л ь н и к и и их свойства 359. Начертите угол ABC, равный 60°.

а) От луча А В отложите угол DAB, равный 120°, так, чтобы точки С и ! ) лежали по одну сторону от прямой АВ.

б) Параллельны ли прямые A D и ВС? Почему?

ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 360. Дан треугольник ABC. Прямая I пересекает сторону А В в точ~ ке D, а сторону ВС — в точке Е. Назовите внутренние накрест лежа­ щие, внутренние односторонние и соответственные углы при прямь& АВ и ВС и секущей DE.

361. По данным рисунка 125, а—в докажите, что а\\Ъ.

- 362. По рисунку 124 определите, параллельны ли прямые а и Ъ если:

, а) Z 4 = 125°, Z5 = 125° ;

б) Z 5 = 115°, Z 3 = 65°;

в) Z 3 = 65°, Z 7 = 65°.

363. На рисунке 126 A A B D = A C D B. Докажите, что A D |В С.

| 3 64. На рисунке 127 A A O B = A C O D. Докажите, что AB\\CD.

§ 14. Признаки параллельности прямых Уровень Б 365. Прямые а и b пересекают прямую с под равными углами. Обя зательно ли а |b ?

| 366. По данным рисунка 128, а—в докажите, что а\\Ь.

Рис. 367. По рисунку 124 определите, параллельны ли прямые а и Ьуесли:

а) Z5 = 135°, a Z4 втрое больше, чем Z 3 ;

б) Z 2 = 7 2 °, a Z 6 : Z 8 = 2 :3, 368. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке, которая является их общей серединой. Докажите, что AC |B D.

| 369. На рисунке 129 А В = В С, CD = D E. В Докажите, что прямые АВ и DE парал­ лельны.

— 370. Известно, что ААВС = ACDA. Назо­ ^ вите параллельные стороны этих треуголь­ ников и докажите их параллельность.

371. В треугольнике ABC проведена бис­ D сектриса BL. На стороне ВС отмечена точ­ Рис. ка К так, что В К = K L. Докажите парал­ лельность прямых АВ и KL.

- » 372. В треугольнике ABC А В = ВС, Z C = 80°. Прямая I пересекает стороны АВ и ВС в точках D и Е соответственно, причем A D = D E и Z E A C = 40°. Дока­ жите, что 11АС.

| ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Уровень В 373. На рисунке 130 A D = C F, ВС = D E, Z1 = Z 2. Докажите, что А В |E F.

| 374. На рисунке 131 A B = D E, BC = E F, A D = C F. Докажите, что ВС IIE F. ^ в е Рис. 375. В треугольнике ABC Z А = 20°, Z В = 80°. Из точки В проведен луч BD так, что ВС — биссектриса угла ABD. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.

376. В треугольнике ABC Z A = 70°, Z B = 40°. На луче СВ отме­ чена точка D, не принадлежащая отрезку ВС. Луч ВЕ — биссек­ триса угла ABD. Докажите, что прямые АС и ВЕ параллельны.

© ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал:

• параллельные прямые • определение перпендикуляра;

расстояние от точки до прямой • смежные углы • вертикальные углы Задачи 377. В треугольнике построены все медианы, все биссектрисы и все высоты. Какое наименьшее количество отрезков построено внутри треугольника? Какое наибольшее количество отрезков построено вне треугольника?

378. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ABC и пересе­ кающая сторону ВС, пересекает также и сторону АС. Докажите.

§15. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей 15.1. Теорема о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей В предыдущем параграфе мы установили со­ отношения углов между двумя прямыми и секу­ щей, гарантирующие параллельность данных пря-, мых. Но обязательно ли эти соотношения сохра­ няются для любой пары параллельных прямых, пересеченных секущей? Докажем утверждение, обратное признаку параллельности прямых.

Т е о р е м а (свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей) Доказательство Докажем первое из утверждений теоремы.

Пусть секущая с пересекает параллельные пря­ мые а и & в точках А и В соответственно (рис. 132).

Докажем методом от противного, что внутренние накрест лежащие углы при этих прямых равны.

Пусть эти углы не равны. Проведем через точку А прямую аг так, чтобы внутренние на­ ?ис. 132. К предположе­ крест лежащие углы при прямых аг и Ъ и секу­ нию о том, что внутренние щей с были равны. Тогда по признаку параллель­ яакрест лежащие углы ности прямых имеем at \ b. Но а\\Ь по условию \ при параллельных пря­ мых а и Ъ не равны теоремы, а по аксиоме параллельных прямых че­ рез точку А можно провести лишь одну прямую, ГЛАВА Н. Треугольники и их свойства параллельную & Таким образом, мы получили.

противоречие. Следовательно, наше предположе­ ние ошибочно, то есть внутренние накрест лежа­ щие углы равны.

Из доказанного утверждения нетрудно полу­ с чить другие два утверждения теоремы (сделайте а Л..............

это самостоятельно).

Следствие Ь 1.

Если прямая перпендикулярна одной из двух парал­ лельных прямых* то она перпендикулярна и другой прямой, Рис. 133. а | Ь, с ± а, * тогда с 1 b Это следствие обоснуйте самостоятельно по рисунку 133.

Задача Сумма двух внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 210°. Найдите все образовавшиеся углы.

Решение Пусть а | Ь с — секущая. Внутренние углы, о ко­ | торых говорится в условии, могут быть односто­ ронними, накрест лежащими или смежными. П о ­ скольку при пересечении параллельны х прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180° и сумма смежных углов также рав­ на 180°, то данные углы — внутренние накрест лежащие. Пусть Z 4 + Z 5 = 210° (рис. 134). П о ­ Рис. Ь то Z, 4 = Z 5 = 210°:2 = 105°. Тогда:

скольку а II Z 1 = 105°, так как углы 1 и 5 соответственные;

Z 3 = 180° - 105° = 75°, так как углы 3 и 5 внутрен­ ние односторонние;

Z2 = 75°,так как углы 2 и3вертикальные;

Z6 = 75°,так как углы 5 и6 смежные;

Z7 = 75°,так как углы 7 и3соответственные;

Z8 = 105°,так как углы 8 и4 соответственные.

§15. Свойства углов при параллельных прямых и секущей 15.2. Расстояние между параллельными прямыми Как вы уже знаете, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Можно предположить, что расстояние между параллельными прямыми то­ же будет определяться с помощью перпендикуляра.

Но прежде чем сформулировать определение, дока­ жем еще одно свойство параллельных прямых.

Т е о р е м а (о расстояниях от точек прямой до параллельной прямой) Расстояния от любых дву к точек прямой до парал­ лельной ей прямой равны Доказательство Пусть а и b — данные параллельные п мые, А хВх и А 2 — расстояния от точек A t и А% В прямой а до прямой b (рис. 135). Докажем, что А Б2• А 1В 1 = Поскольку по определению расстояния от точки до прямой A X L b и А 2 J_b, то по тео­ BX В реме о двух прямых, перпендикулярных третьей, А Д IIА В2 • Рассмотрим треугольники А 1 А г и В2 В1 А В1.

У них сторона В1 г общая, Z1 = Z 2 как внутрен А ние накрест лежащие при параллельных прямых Рис. 135. а | Ъ точки А х |, а и & и секущей В1 2, Z3 = Z 4 как внутренние Л и А 2 равноудалены от накрест лежащие при параллельных прямых прямой Ъ А1 В1 и А 2В2 и секущей В1 2. Таким образом, А А А 1 А 2= А В 2 В1 А В1 по второму признаку равен­ ства треугольников, откуда A X = А^В2. Теорема BX доказана.

Из только что доказанной теоремы следует, что расстояние от точки прямой а до прямой Ъ не зависит от выбора точки, то есть одинаково для всех точек прямой а. Это позволяет сформулиро­ вать следующее определение.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Определение Расстоянием между параллельными прямы­ ми называется расстояние от лю бой точки одной •из этих прямых д о другой прямой.

Таким образом, расстояние между парал­ лельными прямыми — длина перпендикуляра, А а опущенного из произвольной точки одной прямой на другую прямую.

На рисунке 136 а |b, АВ ± Ъ, то есть АВ | а В расстояние между прямыми а и Ь. Заметим, что по следствию теоремы о свойствах углов,^образо­ Рис. 136. Перпендику­ ванных при пересечении параллельных прямых ляр АВ — расстояние секущей, А В 1 а, то есть АВ — общий п е р п е н ­ между прямыми а и b д и ку л я р к прямым а и Ъ.

Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 379. Обязательно ли среди углов, которые образуются при пересече­ нии двух параллельных прямых секущей, найдутся:

а) ровно четыре острых угла;

б) не больше четырех острых углов;

в) не меньше четырех тупых углов;

г) не меньше четырех равных углов?

380. При пересечении двух параллельных прямых секущей образова­ лись два угла с градусными мерами 80°. Могут ли эти углы быть:

а) внутренними накрест лежащими;

б) внутренними односторонними;

в) соответственными?

381. Один из углов, образованных при пересечении двух параллель­ ных прямых секущей, равен 120°. Может ли один из остальных се­ ми углов равняться 50° ? Почему?

§15. Свойства углов при параллельных прямых и секущей 382. Внутренние односторонние углы, образованные при пересече­ нии двух параллельных прямых секущей, равны. Под каким углом секущая пересекает данные прямые?

383. Отрезок АВ — расстояние между параллельными прямыми а и Ь. Под каким углом секущая АВ пересекает прямые а и &?

@ ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 384. Начертите параллельные прямые а и &и секущую с, не перпен­ дикулярную им.

а) Закрасьте восемь образовавшихся углов красным или синим цветом так, чтобы сумма любых двух углов разных цветов была равна 180°.

б) Из точки пересечения прямых а и с проведите отрезок, явля­ ющийся расстоянием между параллельными прямыми а и Ъ.

Под каким углом этот отрезок пересекает прямую 6?

385. Начертите треугольник ЛВС.

а) Проведите прямую, параллельную стороне АС и пересекаю­ щую стороны АВ и ВС в точках D и Е соответственно.

б) Отметьте красным цветом угол треугольника ЛВС, равный углу BDE.

в) Отметьте синим цветом угол треугольника ЛВС, сумма кото­ рого с углом DEC равна 180°.

( 5 ) ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 386. По данным рисунка 137, а, б найдите углы 1 и 2, если а |Ь.

| Рис. ГЛАВА If. Треугольники и их свойства 387. Один из углов, образованных при пересечении двух парал­ лельных прямых секущей, равен 18°. Найдите остальные углы.

38 8. Угол ABC равен 62°, а угол BCD равен 118°. Могут ли прямые АВ и CD:

а) быть параллельными;

б) пересекаться?

Ответ обоснуйте.

389. Угол ABC равен 29°, а угол BAD равен 141°. Могут ли пря­ мые A D и ВС быть параллельными? Ответ обоснуйте.

390. На плоскости проведены прямые а, &и с, причем а ||b, a J-с.

Определите взаимное размещение прямых б и с.

391. Прямые а и Ъ параллельны. Точки А х и А 2 лежат на прямой а, отрезки A X и А 2 — расстояния между прямыми а и 6. Назови­ BX В те отрезки, которые являются расстояниями между прямыми А 1 В и А2 В2. Ответ обоснуйте.

Уровень Б 392. По данным рисунка 138, а, б найдите угол х.

Рис. 393. Найдите все углы, образованные при пересечении двух парал­ лельных прямых секущей, если:

а) один из внутренних односторонних углов на 30° больше дру­ гого;

б) сумма двух соответственных углов равна 56° • 3 9 4. По данным рисунка 137, а определите, параллельны ли прямые а и 6, если Z 2 - Z 1 = 54°.

—^ 395. Угол ABC равен 72°. Из точек А и С внутри угла проведены лу­ чи, параллельные сторонам угла и пересекающиеся в точке D. Най­ дите угол ADC.

§15. Свойства углов при параллельных прямых и секущей 396. Дан угол ABC (рис. 139). Через точку А проведена прямая, параллель­ ная стороне ВС и пересекающая биссек­ трису данного угла в точке D. Докажите, что треугольник ABD равнобедренный.

— 397. Дан равнобедренный треугольник в ^ ABC с основанием АС. Прямая, парал­ лельная АС, пересекает сторону АВ в точке А х, а сторону ВС — в точке Сг.

Докажите, что треугольник А гВСг рав­ нобедренный.

398. Отрезок АВ — расстояние между параллельными прямыми аЛ и Ь. Точка М — середина отрезка АВ. Докажите, что любой отрезок с концами на данных прямых, проходящий через точку М, делится ею пополам.

— 399. Через вершину В равнобедренного треугольника ABC проведена ^ прямая / параллельная основанию АС. Отрезок ВК — медиана треу­, гольника ABC. Докажите, что ВК — расстояние между прямыми I и АС.

Уровень В 4 0 0. По данным рисунка 140, а, б определите, параллельны ли пря­ мые АВ и CD.

А В А В а б Рис. — 401. Найдите все углы, которые образовались при пересечении двух ^ параллельных прямых секущей, если:

а) пять из них — не острые;

б) сумма двух внутренних накрест лежащих углов в пять раз меньше суммы двух других внутренних углов;

в) сумма шести из них равна 620°.

ГЛАВА II. т реугольники и их свойства 402. Биссектрисы внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, взаимно пер­ пендикулярны. Докажите.

403. Биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образован­ ных при пересечении двух параллельных прямых секущей, парал­ лельны. Докажите.

ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал:

• смежные углы * равнобедренный и равносторонний §5;

треугольники С/ Задачи 4 0 4. Прямая I проходит через вершину В остроугольного треуголь­ ника АБС параллельно стороне АС. Докажите, что прямая I образует с прямыми АВ и СВ углы, равные двум углам треугольника.

4 0 5. В треугольнике ABC А В + ВС = ВС + АС = АВ + АС. Докажите, что Z А = Z B = Z C.

§16. Сумма углов треугольника 16.1. Теорема о сумме углов треугольника и ее следствия Т е о р е м а (о сумме углов треугольника) Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство В ь Пусть ABC — произвольный треугольн Докажем, что Z A + Z B + Z C = 180°, Проведем через вершину В прямую Ъ па­, раллельную АС (рис. 141). Тогда углы 1 и 4 равны как внутренние накрест лежащие при параллель­ ных прямых b и АС и секущей АВ. Аналогично Z 3 - Z 5 как внутренние накрест лежащие при Рис. 141. К доказатель­ тех же параллельных прямых, но секущей ВС.

ству теоремы о сумме Имеем: Z l + Z 2 + Z 3 = Z 4 + Z 2 + Z 5 = 180°. Тео­ углов треугольника рема доказана. * Следствие В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.

Действительно, если треугольник имел бы два неострых угла (тупых или прямых), то сумма всех углов превышала бы 180°, что противоречит доказанной теореме.

Следствие Каждый угол равностороннего треугольника равен 60° Поскольку все углы равностороннего тре­ угольника равны, то каждый из них равен 180°:3 = 60°.

Рассмотрим еще одно важное утверждение, которое следует из доказанной теоремы.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Задача Если в равнобедренном треугольнике один из у г­ лов равен 60°, то этот треугольник равносторонний.

Докажите.

В Решение Пусть ABC — равнобедренный треугольник с осно­ ванием АС. Рассмотрим два случая.

1) Пусть угол 60° — один из углов при основании, например ZA - 60° (рис. 142, а). Тогда zC - Z A - 60° как угл ы при основании равнобедренного тре­ а угольника. Таким образом, zB - 180° - z /t - zC = = 180° - 60° - 60° = 60° Значит, zA = ZB = ZC, В то есть ABC — равносторонний треугольник.

2) Пусть угол 60s — угол, противолежащий основа­ нию, то есть zB = 60° (рис. 142, б). Тогда zA - ZC как углы при основании равнобедренного треугольника.

Каждый из этих углов равен (180° - 60°). 2 = 60°.

б Снова имеем, что все углы треугольника ABC равны, Рис. 142 значит, этот треугольник равносторонний.

Только что решенная задача является опорной, то есть на нее можно ссылаться при решении других задач, кратко пересказывая ее содержание.

В дальнейшем условия таких задач в учебнике будут выделены полужир­ ным шрифтом и словом «опорная».

16.2. Виды треугольников по величине углов.

Классиф икация Как уже было доказано, любой треугольник имеет не менее двух ост. рых углов. Это означает, что возможны три случая:

1) все углы треугольника острые — остроугольный треугольник;

2) два угла треугольника острые, а третий угол прямой — прямоуголь­ ный треугольник;

3) два угла треугольника острые, а третий угол тупой — тупоугольный треугольник.

§16. Сумма углов треугольника Исходя из этого, все треугольники можно раз­ делить по величине углов на три вида: остроуголь­ ные, прямоугольные и тупоугольные (рис. 143).

Обратим внимание на то, что величина уг­ лов — это признак, по которому любой данный треугольник можно отнести лишь к одному из трех названных видов. Такое деление объектов на отде­ льные виды по определенному признаку называют классификацией. Признак, по которому осущест­ вляется классификация, является ее основанием.

Так, треугольники можно разделить и по другому основанию — длине сторон — на разносторонние (то есть не имеющие равных сторон), равнобедрен­ ные, но не равносторонние (у которых только две стороны равны) и равносторонние треугольники.

Классификация считается правильной, если любой из объектов можно отнести лишь к одно­ му из названных классов. Так, неправильно бу­ дет разделять прямые на плоскости по взаимному расположению на параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные (ведь перпендикулярность — частный случай пересечения). Ошибочно подраз­ делять по величине неразвернутые углы на острые и тупые, поскольку есть еще и прямые углы.

Очень важно проводить классификацию лишь по одному основанию. Например, неверным было бы разделять треугольники на остроугольные, \ /Л а...Ш д.

. ^ Остроугольный Прямоугольный Тупоугольный Ш\х\ Рис. 143. Виды треугольников по величине углов ГЛАВА II. Треугольники и их свойства прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные, ведь равнобедренным может быть и остроугольный, и прямоугольный, и тупоугольный треугольник.

Допустить такую ошибку — то же самое, что раз­ делить всех людей на мужчин, женщин и учителей.

Примеры классификаций нетрудно найти и в других науках. Так, филологи делят члены предложения на главные (подлежащее и сказуе­ мое) и второстепенные (дополнение, определение и обстоятельство). Попробуйте найти примеры классификации в физике, географии, биологии.

16-3- Внешний угол треугольника Определение Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом данного треуголь­ ника.

Рис. 144. Внешний угол На рисунке 144 угол DAB — внешний угол треугольника ABC при треугольника ABC при вершине А.

вершине А Очевидно, что при любой вершине треуголь­ ника можно построить два внешних угла, которые по отношению друг к другу являются вертикаль­ ными (рис. 145).

Теорема (о внеш не м угле тр е уго л ьн и ка ) Внешний угол треугольника равен сумме двух внут­ ренних углов, не смежных с ним.

Рис. 145. Внешние углы треугольника ABC Доказательство Пусть углы 1, 2 и 3 — внутре углы треугольника ABC, a Z 4 — внешний угол, смежный с углом 1 (рис. 146). По теореме о сумме углов треугольника Z 2 + Z3 = 1 8 0 ° - Z l.

С другой стороны, по теореме о смежных уг­ лах Z 4 = 1 8 0 °-Z 1. Отсюда, Z 4 = Z 2 + Z 3, что Рис. 146. Внешний угол и требовалось доказать.

равен сумме углов 2 и §1 6. Сумма углов треугольника Следствие Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Действительно, по доказанной теореме (рис. 146) Z 6 = Z1 + Z 2, Z 4 = Z 2 + Z 3 и Z5 = Z1 + Z 3.

Тогда для их суммы имеем: Z 6 + Z 4 + Z 5 = (Z 1 + + Z 2 ) + ( Z 2 + Z 3 ) + (Z 1 + Z 3 ) = 2 (Z 1 + Z 2 + Z 3 ) = = 2 180° = 360°.

Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 406. Может ли треугольник иметь три тупых угла;

два тупых угла;

не иметь ни одного тупого угла?

407. Может ли угол при основании равнобедренного треугольника быть тупым;

прямым?

408. Может ли прямоугольный треугольник быть равнобедренным;

равносторонним?

409. Могут ли быть равны тупоугольный и прямоугольный треуголь­ ники;

тупоугольный и остроугольный треугольники?

410. Даны три внешних угла треугольника при разных вершинах.

Сколько из них могут быть острыми?

ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 411. Начертите остроугольный треугольник ABC.

а) Измерьте углы треугольника и вычислите их сумму.

б) На луче АС отметьте точку D, не принадлежащую отрез­ ку АС. Определите градусную меру угла BCD, используя тео­ рему о внешнем угле треугольника.

в) Определите вид треугольника BCD по величине углов.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 412, Начертите треугольник ABC с тупым углом А.

а) Проведите высоту BD и определите вид треугольника ABD по величине углов.

б) Измерьте угол BAD. Как связана его градусная мера с градус­ ными мерами углов треугольника ABC?

О ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 413. Найдите неизвестный угол треугольника, если два его угла равны:

а) 65° и 45°;

б) 120° и 18°;

в) 90° и 64°.

414. Найдите неизвестные углы равнобедренного треугольника, если:

а) угол при его основании равен 40° ;

б) угол, противолежащий его основанию, равен 40°.

415. Найдите неизвестные углы треугольника:

а) прямоугольного, с углом 28°;

б) равнобедренного, с углом при основании 80°.

416- Докажите методом от противного, что угол при основании рав­ нобедренного треугольника не может быть тупым.

417. Докажите методом от противного, что треугольник не может иметь больше одного прямого угла.

418- Найдите внутренние углы треугольника, если внешние углы при двух его вершинах равны 135° и 110°.

419- Один из внутренних углов треугольника равен 40°, а один из внешних — 125°. Найдите остальные внутренние и внешние углы.

Уровень Б 4 2 0. Найдите все углы треугольника, если:

а) один из них вдвое меньше второго и на 20° больше третьего;

б) их градусные меры относятся как 1 :3 :5.

§16. Сумма углов треугольника 421. Один из углов равнобедренного треугольника равен 50°. Най­ дите другие углы. Сколько решений имеет задача?

4 2 2. Найдите:

а) углы треугольника, если их градусные меры относятся как 2 :7 :9 ;

б) углы равнобедренного треугольника, если один из них ра­ вен 100°.

423. Может ли треугольник с углом 40° быть равным треугольнику с углом 140°? Ответ обоснуйте.

4 2 4. Треугольник с углом 120° равен треугольнику с углом 30°.

Докажите, что данные треугольники равнобедренные.

4 25. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС про­ ведена биссектриса AD. Найдите углы данного треугольника, если Z A D C = 150°.

4 2 6. Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Найдите угол А, если Z C = 35°, Z B D C = 105°.

427. В треугольнике ABC биссектрисы, проведенные из вершин А и В, пересекаются в точке О. Найдите угол АОВ, если Z А = 82°, Z B = 38°.

4 2 8. В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы, проведенные из вершин при основании АС, пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника, если Z A O C - 140°.

429. Один из внешних углов равнобедренного треугольника ра­ вен 60°. Найдите внутренние углы треугольника.

4 3 0. Внешние углы треугольника относятся как 3 : 4 : 5. Найдите внутренние углы треугольника.

431. Найдите внутренние углы треугольника, если сумма двух из них равна 150°, а один из внешних углов равен 80°.

Уровень В 43 2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины угла при основании, равна основанию треугольника. Най­ дите его углы.

433. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины угла при основании, пересекает боковую сторону под углом, равным углу при основании. Найдите углы треугольника.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 4 3 4. Биссектриса внешнего угла при основании равнобедренного тре­ угольника пересекает продолжение боковой стороны. Длина отрезка биссектрисы от начала до точки пересечения равна основанию тре­ угольника. Найдите внутренние углы треугольника.

435. Биссектриса внешнего угла при основании равнобедренного треугольника пересекает продолжение боковой стороны под углом, равным углу при основании треугольника. Найдите углы треуголь­ ника.

4 3 6. В треугольнике ABC биссектрисы, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке О. Найдите угол АОС, если Z В = а.

437. Биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника при вершине, противолежащей основанию, параллельна основанию тре­ угольника. Докажите. 4 3 8. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утвержде­ нию предыдущей задачи.

ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал _ \ • признаки равенства § 8, 10, треугольников ^ • медиана, биссектриса и высота треугольника Задачи 439. Известно, что А А В С = A D B C, причем точка С лежит на отрез­ ке A D. Докажите, что равные треугольники прямоугольные.

4 4 0. Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее осно­ вание АС (точки В и D лежат по одну сторону от прямой АС). Дока­ жите, что B D 1 АС.

_ §17. Прямоугольные треугольники 17.1. Элементы прямоугольного треугольника Как известно, прямоугольный треугольник А имеет один прямой и два острых угла. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две дру­ гие стороны — катетами. На рисунке 147 в тре угольнике ABC Z B -9 0 °, АС — гипотенуза, АВ и ВС — катеты.

Из теоремы о сумме углов треугольника сле­ Рис. 147. Прямоугольный дует: сумма острых углов прямоугольного тр& треугольник угольника равна 90°. Имеет место и обратное ут­ верждение — признак прямоугольного треуголь­ ника: если в треугольнике сумма двух углов рав­ А А на 90°, то этот треугольник прямоугольный.

17.2. Признаки равенства прямоугольных треугольников Пользуясь признаками равенства треугольни­ ков и теоремой о сумме углов треугольника, можно сформулировать признаки равенства, характерные Рис. 148. Прямоуголь­ только для прямоугольных треугольников.

ные треугольники ABC Приведем сначала два из них.

и А^В1 равны по двум С катетам Признак равенства прямоугольных треуголь­ ников по двум катетам (рис. 148) А А Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямо­ угольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу (рис. 149) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны ка­ Рис. 149. Прямоугольные треугольники ABC тету и прилежащему к нему острому углу другого прямо­ и AyBfix равны по катету угольного треугольника, то такие треугольники равны, и прилежащему острому углу ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Данные признаки частные случаи первого и второго признаков равенства треугольников.

Следующие два признака нетрудно получить из второго признака равенства треугольников, ис­ пользуя теорему о сумме углов треугольника.

Признак равенства прямоугольных треугольни­ ков по катету и противолежащему углу (рис. 150) 1 ~ Рис. 150. Прямоуголь­ Если катет и противолежащий ему угол одного прямо­ ные треугольники ABC угольного треугольника соответственно равны катету и А\ВгСу равны по катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного и противолежащему углу треугольника, то такие треугольники равны П ризнак равенства прямоугольны х треуголь­ ников по гипотенузе и острому углу (рис. 151) Если гипотенуза и острый угол одного прямоуголь­ ного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Действительно, если данные треугольни­ ки имеют по равному острому углу а, то другие Рис. 151. Прямоуголь­ острые углы этих треугольников равны 9 0 ° - а, ные треугольники АБС то есть также соответственно равны.

и A-iB-fi-i равны по гипо­ тенузе и острому углу Еще один признак равенства прямоугольных треугольников докажем отдельно.

Т е о р е м а (признак равенства прям оуголь­ ны х треугольников по гипотенузе и катету) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного тре­ угольника соответственно равны гипотенузе и катету Гипотенуза от греческого «гипо- Другого прямоугольного треугольника, то такие тре гейнуса» - стягиваю­ угольники равны.

щая. Название связано Доказательство :о способом построе ия прямоугольных Пусть АБС и А1В1 С1 — данные прям реугольников натяги­ угольные треугольники, в которых Z B = Z = ванием бечевки ^ = БХ (рис. 152). Докажем, С, что АА ВС = АА1В1С1.

§17. Прямоугольные треугольники На продолжениях сторон СВ и С1 отло­Б А жим отрезки BD и BX X, равные катетам ВС D и ВХ соответственно. Тогда A A B D = ААВС СХ и Л Л 1Иг Р1- А А ^ С ^ по двум катетам. Таким образом, AD = AC = А Х = AjD,. Это значит, СЛ что ЛАО С = ZXA1 1 по трем сторонам. Отсюда J9 C АС = Z C j. И наконец, ААВС = A A ^ C j по гипо­ тенузе и острому углу. Теорема доказана. I Обратим внимание на дополнительное пост­ роение, состоящее в достраивании прямоугольного треугольника до равнобедренного.

Такой прием позволяет применять свойс­ тва равнобедренного треугольника при решении Рис. 152. Прямоуголь­ ные треугольники ABC задач, в условиях которых о равнобедренном тре­ и А Л С1 равны по гипо­ В угольнике речь не идет.

тенузе и катету 17.3*. Прямоугольный треугольник с углом 30° Прямоугольный треугольников котором один из острых углов равен 30°, имеет полезное свойство.

Опорная задача В прямоугольном треугольнике катет, противоле­ жащий углу 30°, равен половине гипотенузы. До­ кажите.

Решение Пусть в треугольнике ABC АА = 30°, АВ~90°. Д о­ кажем, что ВС- 0,5 АС. Очевидно, что в треугольни­ ке ABC ZC~ 60°. Отложим на продолжении стороны СВ отрезок BD, равный ВС (рис. 153). Прямоугольные треугольники ABC и ABD равны по двум катетам.

Отсюда след ует, что Z 0 - Z C - 60° и Z 0 A C = -30°+30°=60°. Таким образом, треугольник йА С рав­ Рис. носторонний, а отрезок АВ — его медиана, та есть ВС- 0,506*- 0,5 АС, что и требовалось доказать.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Имеет место также обратное утверждение (опорное):

если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий данному катету, равен 30°.

Попробуйте доказать это утверждение само­ стоятельно при помощи дополнительного построе­ ния, аналогичного только что описанному.

Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 441. В прямоугольном треугольнике ABC Z A + Z B = ZC. Назовите гипотенузу треугольника.

4 4 2. В прямоугольном треугольнике DEF высота ЕА лежит внутри треугольника. Назовите катеты треугольника.

4 4 3. Прямоугольный треугольник с острым углом а равен прямо­ угольному треугольнику с острым углом 20°. Каким может быть значение а ?

4 4 4. В треугольниках АБС и Z A = Z A i3 А В = А гВ1У ВС = В1 С1. По каким признакам можно доказать равенство этих тре­ угольников, если:

а) угол А прямой;

б) угол В прямой?

4 4 5. Могут ли неравные прямоугольные треугольники иметь две пары соответственно равных катетов;

равные гипотенузы?

ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 4 4 6. Начертите прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой АВ.

а) Измерьте угол А и вычислите градусную меру угла В.

б) Отметьте на рисунке наименьший внешний угол треугольни­ ка. Какова его градусная мера?

в) Проведите высоты треугольника. Сколько отрезков вы про­ вели?

§17- Прямоугольные треугольники 447. Начертите равнобедренный треугольник ABC с основанием АС.

а) Проведите высоту BD. Выделите цветом равные треугольни­ ки и докажите их равенство с помощью различных призна­ ков равенства прямоугольных треугольников.

б) Назовите высоты треугольника BCD, проведенные к катетам.

( 2 ) ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 4 4 8. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

4 4 9. В равностороннем треугольнике ABC проведена медиана AD.

“^ Найдите углы треугольника CAD. * 4 5 0. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если:

а) один из этих углов в пять раз меньше другого;

б) их разность равна 10°.

451. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если:

—^ а) один из его внешних углов равен 130°;

б) их градусные меры относятся как 2 : 7.

4 52. На рисунке 154 Z A = Z C, Z A D B = Z C D B. Докажите равенс­ тво треугольников ADB и CDB. ^ 4 53. На рисунке 155 AD\\BC, Z ВАС = Z DCA - 90°. Докажите равенство треугольников ВАС и DCA.

4 5 4. В треугольнике ABC углы А и С острые, BD — высота треуголь­ ника. Какая из точек А, С, D лежит между двумя другими?

455. В треугольнике ABC угол С тупой, BD — высота треугольника.

—^ Какая из точек А, С, D лежит между двумя другими?

4 56. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе проведена высота ВН. Найдите углы треугольника АВН, если Z C = 25°.

457. В треугольнике ABC высота A D делит угол А на два угла, при­ чем Z B A D = 38°, Z C A D = 42°. Найдите углы треугольника ABC.

В В ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Уровень Б 4 5 8. В прямоугольном треугольнике AB C с гипотенузой АС Z A = 45°, катет А В = 8 см. Найдите катет ВС.

459. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, образует с основанием треугольника угол 35°. Найдите уг­ лы данного треугольника.

- 460. В треугольнике ABC Z B = 90°. Биссектриса угла А пересекает катет ВС под углом 74°. Найдите острые углы треугольника ABC.

461. Если в треугольнике две высоты равны, то этот треугольник равнобедренный. Докажите.

4 6 2. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению предыдущей задачи.

46 3. В треугольнике ABC проведена высота BD. Найдите углы дан­ ного треугольника, если Z A B D - 25°, Z C B D = 40°. Сколько реше­ ний имеет задача?

464. Биссектриса, проведенная из вершины прямого угла треуголь­ ника, пересекает гипотенузу под углом 70°. Найдите углы, которые образует с катетами высота, проведенная к гипотенузе.

465. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, проведенной к гипотенузе.

466. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и биссектрисе, проведенной к гипотенузе.

467. В равнобедренном треугольнике K M N с основанием K N высо­ ты К А и NB пересекаются в точке О. Найдите углы данного тре­ угольника, если Z K O N = 140°.

— 468. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС высо­ ^ ты A D и BE пересекаются под углом 50°. Найдите углы данного треугольника.

Уровень В 469 (опорная). Медиана прямоугольного треугольника, проведен­ ная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Докажите.

—^ 470 (опорная). Если медиана треугольника равна половине сторо­ ны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.

Докажите.

i/1/i §17. Прямоугольные треугольники 471. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен 22°. Найдите острые углы треугольника.

472. Высота, проведенная из вершины при основании равнобедрен­ ного треугольника, делит пополам угол между основанием и биссект­ рисой угла при основании. Найдите углы данного треугольника.

473. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а раз­ ность между гипотенузой и катетом, прилежащим к данному углу, равна 6 см. Найдите эти стороны треугольника.

474. В треугольнике ABC А В - 90°, а внешний угол при верши­ не С равен 120°. Найдите стороны ВС и АС, если их сумма рав­ на 21 см.

475. В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу 30°, равен 18 см. Найдите длину биссектрисы треугольника, проведенной к данному катету.

476. В треугольнике ABC А С = 90°. Биссектриса ВЕ образует с ка­ тетом АС угол 60°. Найдите катет АС, если СЕ = 4 см.

ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический м атери ал свойства точек и прямых п ^ 2- § равнобедренный треугольник Задачи 477. В треугольнике ABC медиана В М равна стороне ВС. Отре­ зок ВН — высота треугольника. Найдите длину стороны АС, если НС = 2 см.

478. В треугольнике ABC биссектриса BL равна стороне ВС. Отрез­ ок ВН — высота треугольника. Найдите угол ABC, если А С В Н = 20°.

§18. Сравнение сторон и углов треугольника 18.1. Соотношения между сторонами и углами треугольника Т е о р е м а (соотношения между сторонами и углами треугольника) В треугольнике 1) против большей стороны лежит больший угол;

2) против большего угла лежит большая сторона * Доказательство Данная теорема содержит два утверж ния — прямое и обратное. Докажем каждое из них отдельно.

1) Пусть в треугольнике ABC А В АС. Дока­ жем, что Z C Z B. Отложим на стороне АВ А отрезок AD, равный стороне АС (рис. 156).

Поскольку A D А В, то точка D лежит меж­ ду точками Л и В, значит, угод 1 является частью угла С, то есть Z C Z 1. Очевидно, что треугольник ADC равнобедренный с ос­ нованием DC, откуда Z 1 = Z 2.

Кроме того, угол 2 — внешний угол тре­ угольника BDC, поэтому Z 2 Z В. Следова­ тельно, имеем: Z B Z 2, Z 2 —Z \, Z 1 Z C, откуда Z B Z C.

В 2) Пусть в треугольнике ABC Z C Z B. Дока­ жем от противного, что А В АС. Если это Рис. 156. К доказатель­ не так, то А В = АС или А В АС. В первом ству соотношений между случае треугольник ABC равнобедренный сторонами и углами тре­ с основанием ВС, то есть Z B = Z C. Во втором угольника случае, по только что доказанному утвержде­ нию, против большей стороны должен лежать больший угол, то есть Z В Z С. В обоих слу­ чаях имеем противоречие условию Z C Z B.

Таким образом, наше предположение неверно, то есть А В А С. Теорема доказана.

§18. Сравнение сторон и углов треугольника Следствие В тупоугольном треугольнике сторона, лежащая про­ тив тупого угла, - наибольшая.

Следствие В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

18.2. Неравенство треугольника Т е о р е м а (неравенство треугольника) * В треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

Доказательство Рассмотрим произвольный треуго ник ЛВС и докажем, что АС А В + ВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок BD, равный стороне ВС (рис. 157). Треугольник BCD равнобед­ ренный с основанием CD, откуда Z 1 = Z 2. Но угол 2 является частью угла ACD, то есть Z2 Z ACD.

Таким образом, в треугольнике ACD Z C Z D. Учи­ тывая соотношение между сторонами и углами тре­ Рис. 157. К доказатель­ угольника, имеем: АС A D = А В + BD = А В + ВС.

ству неравенства тре­ Теорема доказана.

угольника Следствие Если для трех точек А, В, С справедливо равенство А С - А В + ВС, то эти точки лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С Действительно, если точка В не лежит на прямой АС, то по неравенству треугольника АС А В + ВС. Если точка В лежит на прямой АС вне отрезка АС, это неравенство также очевидно справедливо. Остается единственная возможность:

точка В лежит на отрезке АС.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Неравенство треугольника позволяет проана­ лизировать возможность построения треугольника с заданными сторонами. В частности, если хотя бы одно из трех положительных чисел а, Ь, с больше или равно сумме двух других, то построить тре­ угольник со сторонами а, Ъ с невозможно.

, С неравенством треугольника связана клас­ сическая задача о нахождении кратчайшего пу­ ти на плоскости. Ее решение было известно еще великому древнегреческому ученому Архимеду (287—212 гг. до н. э.).

Задача Точки А и В лежат по одну сторону от прямой с. Най­ дите на данной прямой такую точку С, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей (рис. 158).

Решение В Опустим из точки А перпендикуляр АО к прямой с и отложим на его продолжении отрезок OAh равный АО. Для лю бой точки С прямой с прямоугольные треугольники АОС и АгОС равны по двум катетам, откуда АС - AtC и АС + СВ = AjC + СВ.

Очевидно, что по следствию неравенства треуголь­ ника сумма АхС + СВ будет наименьшей в случае, когда точки Alt, С \л В лежат на одной прямой. Та­ ким образом, искомая точка должна быть точкой пересечения отрезка АхВ с прямой с.

Отметим, что в условиях данной задачи пря­ мые АС и СВ образуют с прямой с равные углы.

Именно так распространяется луч света, который исходит из точки А уотражается от прямой с и попа­ дает в точку В. Физики в таком случае говорят, что угол падения светового луча равен углу отражения.

§18. Сравнение сторон и углов треугольника Вопросы и задачи Э УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 479. Назовите:

а) наибольшую сторону треугольника DEF, если Z D Z E Z F ;

б) наименьший угол треугольника M NK, если М К N K M N.

480. Из одной вершины треугольника проведены медиана, биссект­ риса и высота, причем никакие два из этих отрезков не совпадают.

Какой из данных отрезков наименьший?

481. Определите:

а) могут ли стороны треугольника быть равны 13 см, 20 см и 6 см;

б) может ли сторона треугольника составлять половину его пе­ риметра;

в) могут ли стороны треугольника относиться как 2 : 3 : 5 ;

г) может ли основание равнобедренного треугольника быть втрое больше боковой стороны?

482. В треугольнике ABC сторона АС наименьшая. Может ли угол В быть прямым или тупым? Ответ обоснуйте.

483. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 16 см, а другая — 5 см. Найдите длину основания треугольника.

ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 484. Начертите треугольник ABC, в котором Z.C —100°.

а) Назовите наибольшую сторону треугольника и проверьте свой ответ с помощью измерений.

б) Измерьте все стороны треугольника и проверьте, выполняется ли неравенство треугольника для сторон треугольника ABC.

в) Пользуясь результатами измерений, назовите наименьший угол треугольника.

485. Начертите остроугольный треугольник ABC.

а) Измерьте углы треугольника и определите его наибольшую и наименьшую стороны.

б) Проведите медиану BD. Запишите неравенство треугольника для стороны BD в треугольниках ABD и CBD.

ГЛАВА II Треугольники и их свойства ^ ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 1 486. В треугольнике ABC А В = 3,3 см, ВС = 3— см, АС = 3— см.

Назовите наибольший угол треугольника.

487. В треугольнике ABC А В ВС, Z A Z B. Назовите наимень­ ший угол треугольника.

— 488. В прямоугольном треугольнике ABC Z B Z C, А В В С.

^ Назовите гипотенузу треугольника.

489. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две дру­ гие его стороны равны:

а) 14 см и 6 см;

б) 5 см и 10 см;

в) 3 см и 4 см.

490. Найдите периметр равнобедренного треугольника, две стороны которого равны 2 см и 7 см.


491. Точка на основании равнобедренного треугольника, отличная от вершины, соединена с вершиной, противолежащей основанию. Докажи­ те, что полученный отрезок меньше боковой стороны треугольника.

— 492. Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности ^ двух других сторон.

493. Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой, если А В - 12,3 см, ВС = 9,7 см, АС = 2,6 см.

494. Определите, лежат ли точки Л, В и С на одной прямой, если:

а) А В = 7,5 см, ВС = 8,Зсм, АС = 11,5 см;

б) А В = 16,3 см, ВС = 0,8 см, АС = 15,5 см.

Уровень Б 495. В равнобедренном треугольнике ABC А В ВС, Z B Z A. На­ зовите основание треугольника.

-) 496. В треугольнике ABC Z A = Z C. Назовите наименьший угол треугольника, если АС А В.

497. Сторона равнобедренного треугольника на 3 см больше другой стороны. Найдите все стороны треугольника, если его периметр ра­ вен 18 см.

§18. Сравнение сторон и углов треугольника 498. Периметр равнобедренного треугольника равен 70 м. Найдите стороны треугольника, если одна из них равна 10 м.

499. Две стороны треугольника равны 1,2 м и 0,4 м. Найдите длину третьей стороны, если она выражается целым числом метров.

500- Докажите, что медиана треугольника меньше половины его пе­ риметра.

501. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше половины его периметра.

Уровень В 502. В прямоугольном треугольнике ABC отрезок CD — биссектриса, проведенная из вершины прямого угла. Назовите наименьшую сторо­ ну треугольника, если угол CDA тупой.

503. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе проведена высота CD. Назовите наименьший угол треугольника, если A D B D.

504. Высота тупоугольного треугольника, проведенная из вершины острого угла, лежит вне треугольника. Докажите.

505. Даны положительные числа а и Ъ. Известно, что существует треугольник со сторонами а + 56, 5а + 66 и За + 26. Какое из чисел больше: а или 6?

506. Две стороны треугольника равны а и 6 (а b ). В каких пределах может изменяться:

а) длина третьей стороны;

б) периметр треугольника?

507- Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сто­ рон, между которыми она проходит.

—^ 508. Докажите, что сумма высот треугольника меньше его пери­ метра.

ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал • окружность И круг п.

5 класс;

12. свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника Треугольники и их свойства Задачи 509. На плоскости отмечена точка О. Сколько точек, удаленных от точки О на заданное расстояние а, существует:

а) на луче с началом О;

б) на прямой, проходящей через точку О;

в) на двух прямых, пересекающихся в точке О;

г) на плоскости?

Выскажите предположения.

510. Прямые а и b пересекаются в точке О. На прямой а от точки О отложены равные отрезки ОА и ОС, на прямой b — равные отрезки ОБ и OD. Запишите все пары образовавшихся равных треугольников и докажите их равенство. * Задачи для подготовки к контрольной работе № 1. Определите, параллельны ли прямые а и 6, если Z 1 = 36°, а угол в 4 раза меньше угла 3 (рис. 159).

2. Найдите все углы, образованные при пересечении двух парал­ лельных прямых секущей, если внутренние односторонние углы от­ носятся как 11:25.

3. Найдите углы треугольника ЛВС, если угол А на 35° меньше угла В, а угол В на 25° больше угла С.

4. Биссектрисы углов Л и С треугольника ABC пересекаются в точ ке О, Z.A O C - 100°. Найдите Z ARC.

5. Докажите, что треугольники A B D и DCA равны, если Z B = Z C = 90° и АО = DO (рис. 160).

6. В треугольнике ЛВС Z C = 90°, Z A D B = 120°, Z A B C = 6 0 °, A D = 16 см (рис. 161). Найдите CD.

ъ / _а В С в А С D А Рис. 159 Рис. 160 Рис. Итоги ИТОГОВЫЙ ОБЗОР ГЛАВЫ II ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Первый признак Если две стороны и угол (по двум сторонам между ними одного треу­ и углу между ними) гольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого тре­ угольника, то такие треу­ гольники равны Второй признак Если сторона и прилежа­ (по стороне и приле­ щие к ней углы одного тре­ жащим к ней углам) угольника соответственно равны стороне и прилежа­ щим к ней углам другого треугольника, то такие тре­ угольники равны Третий признак Если три стороны одного (по трем сторонам) треугольника сос*тветствен но равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК Равнобедренный Равносторонний треугольник — треугольник — треугольник, у ко­ треугольник, у ко­ торого две стороны торого все стороны равны. равны.

В равнобедренном треугольнике уг­ В равностороннем треугольнике все лы при основании равны. углы равны.

Если в треугольнике два угла рав­ Если в треугольнике все углы рав­ ны, то он равнобедренный ны, то он равносторонний МЕДИАНА, БИССЕКТРИСА И ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА Медианой треуголь- Биссектрисой тре- Высотой треугольника ника называется от­ угольника называется называется перпенди­ резок, соединяющий отрезок биссектрисы куляр, опущенный из вершину треугольни­ угла треугольника, вершины треугольни­ ка с серединой проти­ соединяющий вер­ ка на прямую, кото­ волежащей стороны шину данного угла рая содержит проти­ с точкой на противо­ волежащую сторону лежащей стороне РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, прове­ денные к основанию, совпадают СВОЙСТВА УГЛОВ, ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ОБРАЗОВАННЫХ ДВУХ ПРЯМЫХ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ Если при пересечении Если секущая пе­ двух прямых третьей ресекает две парал­ выполняется хотя бы лельные прямые, одно из условий:

то:

1) внутренние накрест 1) внутренние на­ лежащие углы равны;

крест лежащие уг­ лы равны;

2) сумма внутренних односторонних углов 2) сумма внутрен­ равна 180°;

них односторонних 3) соответственные уг­ углов равна 180°;

лы равны, 3) соответственные то прямые параллель­ углы равны ны ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И РАССТОЯНИЯ ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПРЯМОЙ Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикуляр­ ную данной, и только одну аА Расстояние от точ­ Расстояние между па­ J раллельными прямы­ ки до прямой — ми — расстояние от длина перпендику­ Л ъ любой точки одной из ляра, опущенного “I аВ В данных прямых до дру­ из данной точки на данную прямую гой прямой СУМ М А УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА Сумма углов треугольника рав- Сумма внешних углов треугольника, на 180° взятых по одному при каждой верши­ не, равна Z l + Z2 + Z3 = 180( Z 4 + Z 5 + Z 6 = 360* ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ По двум Если два катета одного Прямоугольно­ го треугольника соответственно равны катетам двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны По кате­ Если катет и прилежащий к нему ост­ рый угол одного прямоугольного тре­ ту и при­ угольника соответственно равны ка­ лежащему тету и прилежащему к нему острому острому углу другого прямоугольного треуголь­ углу ника, то такие треугольники равны По кате­ Если катет и противолежащий ему ту и про­ угол одного прямоугольного треуголь­ ника соответственно равны катету тиволежа­ и противолежащему ему углу другого щему углу прямоугольного треугольника, то та­ кие треугольники равны ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ (продолжение) По гипо­ Если гипотенуза и острый угол од­ \ тенузе ного прямоугольного треугольника и остро­ соответственно равны гипотенузе му углу и острому углу другого прямоуголь­ ного треугольника, то такие тре­ угольники равны По гипо­ Если гипотенуза и катет одного пря­ тенузе моугольного треугольника соответ­ и катету ственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольни­ 1А ка, то такие треугольники равны ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК С УГЛОВЛ В прямоугольном тре­ Если катет прямоугольного угольнике катет, про** треугольника равен полови­ тиволежащий углу 30°, не гипотенузы, то угол, про­ равен половине гипоте­ тиволежащий этому катету, нузы равен 30° СРАВНЕНИЕ СТОРОН И УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА В треугольнике:

1) против большей стороны лежит больший угол;

2) против большего угла лежит большая сторона НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон { ! КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Дайте определение треугольника.

2. Какие фигуры называются равными?

3. Сформулируйте и докажите первый признак равенства треуголь­ ников.

4. Сформулируйте и докажите теорему о существовании и единс­ твенности прямой, перпендикулярной данной.

5. Дайте определение перпендикуляра и расстояния от точки до прямой.

Итоги к главе II 6. Сформулируйте и докажите второй признак равенства треуголь­ ников.

7- Дайте определение равнобедренного треугольника. Как называ­ ются его стороны?

8, Сформулируйте и докажите свойство углов равнобедренного тре­ угольника.

9, Сформулируйте и докажите признак равнобедренного треугольника.

10, Дайте определение равностороннего треугольника. Сформулируй­ те его свойство и признак.

11- Дайте определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

12- Сформулируйте и докажите свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника.

13. Сформулируйте и докажите третий признак равенства треуголь­ ников.

14. Объясните по рисунку, какие углы при двух прямых и секущей называются внутренними накрест лежащими, внутренними односто­ ронними, соответственными. * 15. Сформулируйте и докажите признак параллельности двух пря­ мых, пересеченных третьей. Сформулируйте следствия этой теоремы.

16. Сформулируйте теорему о существовании и единственности пря­ мой, параллельной данной, и докажите существование таксой прямой.

17. Сформулируйте и докажите свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

18- Докажите теорему о расстояниях от точек прямой до параллель­ ной ей прямой. Дайте определение расстояния между параллельны­ ми прямыми.


19- Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника.

Какие следствия она имеет?

20- Назовите виды треугольников по величине углов.

21- Дайте определение внешнего угла треугольника.

22. Сформулируйте и докажите теорему о внешнем угле треугольника.

23- Как называются стороны прямоугольного треугольника?

24- Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольни­ ков. Докажите равенство прямоугольных треугольников по гипотену­ зе и катету.

25- Сформулируйте свойство прямоугольного треугольника с углом 30°.

26. Сформулируйте и докажите теорему о сравнении сторон и углов треугольника. Какие следствия она имеет?

27- Сформулируйте и докажите неравенство треугольника.

1С~ ГЛАВА И Треугольники и их свойства »

Q ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 511- Докажите равенство треугольников АБС и, если:

а) А Б = А 1Б1, Z A ^ Z A ^ S S 0, Z B = 40°, Z C ^ S S 0;

б) А Б = А 1В1, Б С ^ В Д, Z B = 30°, Z A 1= 7 2 °, Z C X= 7 8 °.

512. Через вершины треугольника проведены пряные, параллельные противолежащим сторонам. Сколько треугольников, равных данно­ му, при этом образовалось? Докажите их равенство.

513. Угол одного из двух равных треугольников равен сумме двух углов другого треугольника. Докажите, что данные треугольники прямоугольные. * 514. В треугольниках ABC и M N K A B = M N, Z A = Z M, Z B ^ Z N.

Может ли треугольник ABC быть равен треугольнику с вершинами М, N, К ?

515. Треугольник пересекается четырьмя параллельными прямыми.

Докажите, что по крайней мере одна из них не проходит через вер­ шину треугольника.

516. Стороны треугольника лежат на прямых, углы между которы­ ми равны 20°, 30° и 50°. Найдите углы треугольника.

517- Могут ли биссектрисы двух углов треугольника быть взаимно перпендикулярными? Ответ обоснуйте.

518. Докажите, что две высоты треугольника не могут точкой пере­ сечения делиться пополам.

519. Докажите равенство равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при основании.

520. Треугольники АБС, BCD и DCE равносторонние. Докажите:

а) параллельность прямых А Е и BD;

б) равенство треугольников ABD и EDB;

в) равенство треугольников АВЕ и EDA.

Найдите углы треугольника А В Е.

521. Треугольники ABC и AJ\C равны, причем точки Б и В1 лежат по разные стороны от прямой АС. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек Б и Бг на прямую АС, имеют общее основание.

522. Прямая CD перпендикулярна отрезку А В и проходит через его середину. Докажите равенство треугольников ACD и BCD.

Итоги к главе И 523. Прямые а и Ъ параллельны, если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую Ъ Докажите.

.

524. Точки А и В лежат по одну сторону от прямой а на равных рас­ стояниях от нее. Докажите, что АВ |а.

| 525. Равные отрезки АВ и CD пересекаются в точке О и делятся ею в отношении АО : ОВ = СО : O D. Прямые AD и ВС пересекаются в точке М. Докажите, что треугольник DM B равнобедренный.

526. Один из углов треугольника равен а. Найдите угол между пря­ мыми, которые содержат высоты, проведенные из вершин двух дру­ гих углов.

527. Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины одного из углов треугольника, равен половине разности двух других углов треугольника. Докажите.

528. Медиана A M треугольника ABC перпендикулярна его биссект­ рисе BL. Найдите ВС, если АВ = 3 см.

529. Перпендикуляр, проведенный из вершины А треугольни­ ка ABC к медиане ВМ, делит эту медиану пополам. Найдите АВ, если АС = 10 см.

530. Через вершины А и С треугольника ABC проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла ABC и пересекающие лучи ВС и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину стороны АВ, если A M = 2 см, ВС = 7 см. Сколько решений имеет задача?

531. В треугольнике ABC АВ ВС АС. Один из углов треугольни­ ка вдвое меньше второго угла и на 100° меньше третьего. Найдите угол В.

532. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками, ле­ жащими на сторонах треугольника, не больше наибольшей из его сторон.

533. Определите, сколько треугольников можно составить из отрез­ ков длиной:

а) 2, 3, 4, 5;

б) 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Историческая справка Аксиомы Евклида;

Аксиомы, сформулированные Евкли­ дом, легли в основу современной геометрии. Ученые на протя­ жении более двух тысяч лет исследовали, возможно ли доказать некоторые из евклидовых постулатов (аксиом), опираясь на дру­ гие. Особое внимание вызывала аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида). Среди великих геометров прошлого не было, пожалуй, ни одного, кто не попытался бы доказать ее как теорему.

И только в начале XIX века выдающийся русский математик Нико­ лай Иванович Лобачевский (1792— 1856) доказал, что эту аксиому невозможно вывести из других аксиом.

Неевклидова геометрия. Лобачевский создал другую, неевклидову геометрию. По Лобачевскому, прямая, параллель­ ная данной прямой и проходящая через данную точку вне ее, не является единственной. Большинство современников это открытие не приняли. Такая же судьба постигла и работы других ученых,.по­ лучивших аналогичные результаты: венгра Яноша Больяи и немца Карла Гаусса. И только через столетие неевклидова геометрия была признана и оценена как выдающееся научное открытие.

Становление геометрической аксиоматики, В XX в. ис­ следования вопросов аксиоматического построения геометрии вышли на качественно новый уровень. Немецкий математик Давид Гильберт (1862— 1943) обобщил и усовершенствовал систему евкли­ довых аксиом. Авторский вариант геометрических аксиом, разра­ ботанный на основе трудов Евклида и Гильберта, предложил наш | соотечественник Алексей Васильевич Погорелов (1919— 2002)* Геометрия треугольников. Евклид ввел понятие о равен­ [ стве геометрических фигур, совмещаемых наложением. В исследо­ ваниях древнегреческих геометров многие задачи и теоремы сво­ дились к доказательству равенства треугольников (доказательство Давид Гильберт второго признака равенства треугольников приписывают Фалесу).

Грекам была известна и теорема о сумме углов треугольника (впер- щ wmm % вые она встречается в комментариях Прокла к «Началам» Евклида).

г * h Хш Р "*rj • 1 **' A o.-V.;

V fi V * :

V-M. V. ;

Геометрия треугольника стала основой для изуче­ ния более сложных видов многоугольников, которые мож­ но разбить на треугольники.

ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 0 ТЕМАТИКА СООБЩЕНИЙ И РЕФЕРАТОВ 1. Евклид Александрийский — родоначальник современной гео­ метрии.

2. Н. И. Лобачевский — реформатор геометрической науки.

3. Признаки равенства для различных видов треугольников. При­ кладные задачи, связанные с равенством треугольников.

4. Неравенства в треугольнике и их следствия. Кратчайшие пути на плоскости.

5. Доказательство и опровержение. Логические основы теории аргу­ ментации.

6. Деление и классификация понятий.

Рекомендованные источники информации 1. Бевз Г. П. Геометр1я трикутника.— К.: Генеза, 2005.

2. Гетманова А. Д. Логика.— М.: Дрофа, 1995.

3. Глейзер Г. И. История математики в школе. V II—V III кл.— М.:

Просвещение, 1982.

4. Интернет-библиотека МЦНМО. http://ilib.mirrdrO.mccme.ru/ 5. К уш тр I. А. Трикутник i тетраедр в задачах. К.: Рад. шк., 1991.

6. Математична хрестомайя. Т. 1, 2.— К.: Рад. шк., 1970.

7. Холодковський В. Микола 1ванович Лобачевський.— К.: Рад. шк., 1950.

8. Шарыгин И. Ф. Геометрия 7—9.— М.: Дрофа, 1997.

т ш-.

l &. /»®:- ? ‘.

- с 4* § 19. Окружность § 20. Касательная к окружности с, 1 § 21- Задачи на построение § 22. Геометрическое место точек § 23. Описанная и вписанная окружности треугольника яГ Пусть в природе не существовало бы ни одного круга или треугольника, и все-таки истины, доказанные Евклидом, навсегда сохранили бы свою достоверность и очевидность.

Дэвид Юм, английский философ В предыдущих главах вы знакомились с ос­ новными геометрическими фигурами, устанавлива­ ли особенности этих фигур и их взаимное располо­ жение. Но на практике довольно часто приходится решать «обратную» задачу — по определенным осо­ бенностям находить фигуру, имеющую их. Именно таково содержание задач на построение, которые будут рассматриваться в этом разделе.

Еще в работах древнегреческих математиков описаны задачи на построение и методы их реше­ ния.

Многие из этих задач составляют классику евклидовой геометрии. Кроме практической цен­ ности, такие задачи представляют значительный исследовательский интерес, поскольку в ходе их решения определяются новые особенности постро­ енных фигур.

§19. Окружность 19.1. Определение окруж ности и ее элементов Пусть на плоскости отмечена точка О. Оче­ видно, что от точки О можно отложить беско­ нечное множество отрезков длиной R (рис. 162).

Концы всех таких отрезков на плоскости образуют окружность — фигуру, уже известную из курса ма­ тематики.

Определение Рис. 162. Расположение точек плоскости, удален­ Окружностью называется геометрическая фигу- ных от точки О на рас­ ра, состоящая из всех точек плоскости, удаленных стояние R от данной точки (центра окружности) на одина­ ковое расстояние.

Иначе говорят, что все точки окружности равноудалены от ее центра.

Определение Кругом называется часть плоскости, ограничен­ ная окружностью и содержащая ее центр'.

Иначе говоря, круг состоит из всех точек плос­ Рис. 163. Окружность и круг кости, удаленных от данной точки (центра круга) на расстояние, не превышающее заданного.

ъ & На рисунке 163 заштрихованная часть плос­ кости — круг, ограниченный окружностью с тем Радиус - от латинс­ кого «радиус» - луч, же центром. Центр окружности и круга является спица точкой круга, но не является точкой окружности.

Хорда - от гречес­ Определен и е кого «хорда» - стру­ Радиусом окружности (круга) называется рассто­ на, тетива яние от центра окружности до любой ее точки.

Д иам етр — от гре­ ческого «диа» — на­ Радиусом также называется любой отрезок, сквозь и «мет* соединяющий точку окружности с ее центром. На рео» - измеряющий насквозь;

другое рисунке 162 ОА1 ОА2,... — радиусы окружности значение этого сло­ с центром О. Как правило, радиус обозначается ва - поперечник буквой R (или г).

ГЛАВА III Окружность. Геометрические построения Определение Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметром называется хорда, проходящая через центр окружности.

На рисунке 164 изображены две хорды ок­ ружности, одна из которых является ее диаметром.

Обычно диаметр обозначают буквой d. Очевидно, что диаметр вдвое больше радиуса, то есть d = 2R.

Рис. 164. Хорда, Построение окружности выполняют с помо­ радиус и диаметр ок­ щью циркуля. ружности 19.2. Свойство диам етра, перпендикулярного хорде Опорная задача Диаметр, перпендикулярный хорде, проходит че­ рез ее середину. Докажите.

Решение Пусть Сй — диаметр окружности с центром О, АВ — хорда этой окружности, АВ ± Сй. Докажем, что М — точка пересечения отрезков АВ и Сй — се редина отрезка АВ.

О В случае, когда хорда АВ сама является диаметром, точка М совпадает с центром О и утверждение за­ м / дачи очевидно. Пусть хорда АВ не является диамет­ ром (рис. 165). Проведем радиусы ОА и ОВ.

Тогда в равнобедренном треугольнике АОВ высо­ та Oh1 является медианой. Итак, AM = ВМ, что и требовалось доказать.

Докажите самостоятельно еще одно утверж­ дение (опорное):

диам ет р о кр уж н о ст и, проведенной через середи­ н у хорды, не являю щ ейся диам ет ром, перпенди­ кул я р е н эт ой хорде.

§ 19. Окружность Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 534. Даны окружность радиуса R с центром О и точка А. Сравни­ те R с длиной отрезка ОА, если точка А :

а) лежит на данной окружности;

б) лежит внутри круга, ограниченного данной окружностью;

в) не принадлежит кругу, ограниченному данной окружностью.

535. Сколько общих точек с окружностью имеет:

а) луч, началом которого является центр окружности;

б) прямая, проходящая через центр окружности? * 536. Точка пересечения двух диаметров окружности соединена с точкой окружности. Какую длину имеет полученный отрезок, если диаметр окружности равен d ?

537. Две хорды окружности имеют общий конец. Могут ли обе они быть диаметрами?

© ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 538. Начертите окружность с центром О и радиусом 3 см. а) Проведите в данной окружности радиус, диаметр и хорду, не являющуюся диаметром. Какой из этих отрезков не проходит через центр окружности?

б) Выделите на рисунке отрезок, длина которого равна 6 см, в) Отметьте внутри окружности точку, не совпадающую с точ­ кой О. Сколько радиусов, диаметров, хорд можно провести через отмеченную точку?

539. Начертите окружность. Сотрите изображение центра окруж­ ности и вырежьте круг из бумаги. С помощью сгибаний полученного шаблона восстановите центр окружности.

@ ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 540. Найдите диаметр окружности, если он на 8 см больше радиуса этой окружности.

ГЛАВА 1 1 Окружность, Геометрические построения 1.

541. Диаметр циферблата часов равен 11 см. Найдите длину минут­ ной стрелки.

542. Отрезки АС и BD — диаметры окружности с центром О.

а) Докажите равенство треугольников АОВ и COD.

б) Найдите периметр треугольника COD, если АС = 14 см, А В = 8 см.

543. Отрезки ОА и ОВ — радиусы окружности с центром О, = причем Z АОВ = 60°. Найдите периметр треугольника АОВ, если А В = 5 см.

Уровень Б * 5 4 4. Из одной точки окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

545. Из одной точки окружности проведе­ ны две хорды, равные радиусу окружности.

Найдите угол между ними.

546. На рисунке 166 отрезки А В и CD — равные хорды окружности с центром О.

Докажите равенство углов АОС и BOD.

547. Отрезок А В — диаметр окружности с центром О, АС и СВ — равные хорды этой окружности. Найдите угол СОВ.

Рис. 548. Докажите, что равные хорды окруж­ ности равноудалены от ее центра.

549. Сформулируйте и докажите утвержде­ ние, обратное утверждению задачи № 548.

550. Докажите, что диаметр является наибольшей хордой окружнос­ ти.

Уровень В 551. Если одна из двух перпендикулярных хорд точкой пересечения делится пополам, то вторая хорда является диаметром окружности.

Докажите.

552. Расстояние от центра окружности О до хорды А В вдвое мень­ ше радиуса окружности. Найдите угол АОВ.

§19- Окружность i = 553. Расстояние от центра окружности О до хорды А В вдвое мень­ ше хорды А В. Найдите угол АОВ.

554. Две хорды окружности взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние от центра окружности до точки их пересечения равно расстоянию между серединами этих хорд.

555- Хорды, пересекающие диаметр в точках, которые делят данные хорды пополам, параллельны. Докажите.

© ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал 9 существование и единственность п. 9.1;

12. перпендикуляра к прямой э медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника п. 16.1;

13. сумма углов треугольника свойства и признаки Задачи 556. Докажите, что прямые а и Ь, перпендикулярные параллель ным прямым c u d, отсекают на этих прямых равные отрезки.

557. В треугольнике A B C, Z B = 130°, A D — высота треугольника.

Найдите углы треугольника A B D.

§20. Касательная к окружности 20.1. Определение и свойство касательной Любая прямая, проходящая через точки ок­ ружности, называется секущей;

ее отрезок, ле­ жащий внутри окружности, является хордой. На рисунке 167 хорда CD — отрезок секущей b. Рас­ смотрим теперь прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.

Определение Касательной к окружности называется пйл,;

ая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Общая точка касательной и окружности Рис. 167. Секущая и каса­ называется точкой касания. На рисунке тельная к окружности прямая а является касательной к окружности с центром О. Иначе говоря, прямая а касается окружности с центром О в точке А.

Определим взаимное расположение касатель­ ной и радиуса окружности, проведенного в точку касания.

Т е о р е м а (свойство касательной) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проврденному в точку касания.

Доказательство Пусть прямая а касается окружно с центром О в точке А (рис. 168). Докажем, что ОА ± а. Применим метод доказательства от про­ тивного.

Пусть отрезок ОА не является перпендику­ ляром к прямой а. Тогда, по теореме о существо­ вании и единственности перпендикуляра к пря­ Рис. 168. К доказатель­ мой, из точки О можно провести перпендикуляр ству свойства касательной ОВ к прямой а.

§20. Касательная к окружности На луче А В от точки В отложим отрезок ВС, равный А В, и соединим точки О и С. Поскольку по построению отрезок ОВ — медиана и высота тре­ угольника А О С, то этот треугольник равнобедрен­ ный с основанием А С, то есть ОА = О С. Таким об­ разом, расстояние между точками О и С равно ра­ диусу окружности, и, по определению радиуса, точка С должна лежать на данной окружности. Но это про­ тиворечит определению касательной, поскольку А единственная общая точка окружности с прямой а.

Из этого противоречия следует, что наше предположе­ ние неверно, то есть ОА J а. Теорема доказана. Ш L * 20.2. Признак касательной Докажем теорему, обратную предыдущей.

Т е о р е м а (признак касательной) Сели прямая проходит через точку окружности пер­ пендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной к окружности.

Доказательство Пусть прямая а проходит через т ку А, лежащую на окружности с центром О, причем ОА J а. Докажем, что а — касательная L к окружности. Согласно определению касательной, нам необходимо доказать, что окружность имеет с прямой а единственную общую точку. Приме­ ним метод доказательства от противного.

Пусть прямая а имеет с окружностью об­ щую точку В, отличную от А (рис. 169). Тогда из определения окружности ОА = ОВ как радиусы, то есть треугольник АОВ равнобедренный с ос­ нованием А В. По свойству углов равнобедренного В А треугольника Z.OBA = Z.OAB = 90°, что противо­ речит теореме о сумме углов треугольника.

Рис. 169. К доказатель­ Следовательно, точка А — единственная об­ ству признака касатель­ щая точка окружности и прямой а, значит, пря­ ной мая а — касательная к окружности.

ГЛАВА III Окружность. Геометрические построения 20.3. Свойство отрезков касательных Пусть даны окружность с центром О и точ­ ка А, не принадлежащая кругу, ограниченному данной окружностью (рис. 170).

Через точку А можно провести две каса­ тельные к данной окружности. Отрезки, соединя­ ющие данную точку А с точками касания, назы­ вают отрезками касательных, проведенных из точки А к данной окружности. На рисунке Рис. 170. Отрезки каса­ А В и АС — отрезки касательных, проведенных тельных, проведенных к окружности из точки А к окружности из точки А. О п ор ная задача О тр е з ки к а с а те л ь н ы х, проведенны х из д а н н о й т о ч к и к окруж ности, равны. Д о каж и те.

Решение Пусть АВ и АС — отрезки касательных, проведен­ ных к окружности с центром О из точки А (рис. 170).

Рассмотрим треугольники АОВ \л*АОС. П о свойству касательной ОВ _L АВ, ОС 1. АС, то есть эти тре­ угольники являются прямоугольными с общей ги­ потенузой АО и равными катетами (ОВ - ОС как ра­ диусы окружности). Следовательно, А АОВ - tsAOC по гипотенузе и катету, откуда АВ = АС.

20.4*. Касание д вух окруж ностей Определение Две окружности, имеющие общую точку, каса­ ются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.