авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«А. П, Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский ИЗДАТЕЛЬСТВ' • общеобразовательная программа РАНО • ...»

-- [ Страница 4 ] --

Общая точка двух окружностей в таком слу­ чае называется точкой касания окружностей.

§20. Касательная к окружности Различают два вида касания окружностей:

внутреннее и внешнее.

Касание окружностей называется внутрен­ ним, если центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной, проведенной через точку касания (рис. 171, а);

Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные сторо­ ны от общей касательной, проведенной через точ­ ку касания (рис. 171, б).

По свойству касательной радиусы данных окружностей, проведенные в точку касания, пер- пендикулярны общей касательной. Из теоремы о существовании и единственности прямой, пер­ пендикулярной данной, следует, что центры каса­ ющихся окружностей и точка касания окружное-^ тей лежат на одной прямой.

Касающиеся окружности имеют единствен­ ис. 171. Касание двух ок »ужностей: ную общую точку — точку касания.

) внутреннее;

Если данные окружности имеют радиусы R ) внешнее и г (R г ), то расстояние между центрами ок­ ружностей равно R - г в случае внутреннего ка­ сания и R + г в случае внешнего касания.

Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 558. Прямая АВ касается окружности с центром О в точке А. Мо­ жет ли треугольник ОАВ иметь тупой угол?

559. Сколько касательных к данной окружности можно провести через точку, которая лежит:

а) на данной окружности;

б) внутри круга, ограниченного данной окружностью?

560. АВ и АС — отрезки касательных, проведенных из точки А к данной окружности. Определите вид треугольника A B C.

ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения _ 561. Расстояние между центрамидвух касающихся окружностей, имеющих радиусы и i?2, равно d. Определите, является ли ка­ сание данных окружностей внутренним или внешним, если:

а) ^ = 8 см, R2= 2 см, d = 6 см;

б) R l = 3 см, R2 = 6 см, d = 9 см.

ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 562. Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точку А.

а) С помощью угольника проведите через точку А касательную к данной окружности. Какая теорема при этом используется?

б) Проведите хорду А В, не являющуюся диаметром. Проведите касательную к окружности в точке В. Отметьте точку С — точку пересечения двух касательных — и сравните длины отрезков АС и ВС.

563. Начертите окружность с центром О и радиусом 2,5 см.

а) Отметьте на окружности точку А и начертите окружность с центром К и радиусом 1,5 см, касающуюся данной окруж­ ности в точке А внешним образом. % б) Проведите общую касательную построенных окружностей.

Под каким углом она пересекает прямую О К ?

@ ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 564. Прямая А В касается окружности с центром О в точке А.

Найдите:

а) угол ОВА, если А. АОВ —20°;

б) радиус окружности, если Z A O B = 45°, А В = 8 см.

565. Прямая А В касается окружности с центром О в точке А.

Найдите углы ОВА и АОВ, если ОА = А В.

566. Через точку окружности проведены касательная и хорда, рав­ ная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

567. В окружности с центром О проведена хорда А В, причем Z A O B = 120°. Найдите угол между этой хордой и касательной, про­ веденной к окружности в точке В.

Касательная к окружности §20.

568. На рисунке 170 Z.BOC = 150°, Найдите угол В А С.

569. На рисунке 170 Z.BAC = 50°. Найдите угол ВОС.

570. Радиусы двух касающихся окружностей равны 14 см и 11 см.

Найдите расстояния между центрами окружностей в случаях внут­ реннего и внешнего касания.

Уровень Б 571. Докажите, что касательные, проведенные к концам диаметра окружности, параллельны.

572. Радиус, проведенный в точку касания окружности с прямой а, делит пополам хорду А В. Докажите, что АВ |а.

| 573. Окружность касается сторон неразвернутого угла. Докажите, что центр окружности лежит на биссектрисе угла.

574. Через концы хорды А В, равной радиусу окружности, проведе­ ны касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол А С В.

575. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точ­ ках В и С. Найдите угол В А С, если ^ ОВС = 40°.

576. Две окружности, расстояние между центрами которых равно 8 см, касаются внутренним образом. Радиус одной из окружностей равен 10 см. Какую длину может иметь радиус второй окружности?

577. Две окружности, расстояние между центрами которых равно 8 см, касаются внешним образом. Найдите диаметры этих окружнос­ тей, если их разность равна 4 см.

Уровень В 578. Докажите, что:

а) три касательные к одной окружности не могут пересекаться в одной точке;

б) прямая не может пересекать окружность более чем в двух точках.

579. Прямые А В и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите радиус окружности, если Z B O C = 120°, АО = 30 см.

580. Прямые А В и АС касаются окружности с центром О в точках Б и С. Найдите расстояние А О, если А В = 7 см, Z A B C = 30°.

ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения 581. Даны две окружности. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и имеет центр на прямой, проходящей через их центры, если радиусы данных окружностей и расстояние между их центрами равны соответственно:

а) 5, 2 и 1;

б) 3, 4 и 5.

Для каждого случая найдите все возможные решения.

ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал • измерение отрезков п. 2.3;

з.з • измерение углов / - ------ • неравенство треугольника _п* Задачи 582. Докажите, что в равностороннем треугольнике:

а) любые две медианы пересекаются под углом 60°;

б) расстояния от вершин до прямых, содержащих противолежа­ щие стороны, равны.

583. Прямая I пересекает отрезок А В в его середине. Докажите, что расстояния от точек А и В до прямой I равны.

§21. Задачи на построение 21.1. Что такое задачи на построение?

Задачи на построение представляют собой t f% ^ отдельный класс геометрических задач, решение w © © © которых подчиняется определенным правилам.

Циркуль ~ от латин­ Цель решения этих задач — построение гео­ ского «циркулус» — метрических фигур с заданными свойствами с по­ окружность, круг мощью чертежных инструментов. Если в условии задачи нет специальных примечаний, то имеются в виду построения с помощью циркуля и линейки.

С помощью линейки можно провести:

• произвольную прямую;

• прямую, проходящую через данную точку;

• прямую, проходящую через две данные точки.

Заметим, что никаких других построений линейкой выполнять нельзя. В частности, с помо­ щью линейки нельзя откладывать отрезки задан­ ной длины.

С помощью циркуля можно:

• провести окружность (часть окружности) произвольного или заданного радиуса с про­ извольным или заданным центром;

• отложить от начала данного луча отрезок за­ данной длины.

Кроме того, можно отмечать на плоскос­ ти точки и находить точки пересечения прямых и окружностей.

Все перечисленные операции называют эле­ ментарными построениями, а решить задачу на построение — это значит найти последовательность элементарных построений, после выполнения ко­ торых искомая фигура считается построенной, и доказать, что именно эта фигура удовлетворяет условию задачи.

Итак, решение задач на построение заключа­ ется не столько в самом построении фигуры, сколь­ ко в нахождении способа построения и доказательс­ тве того, что полученная фигура искомая.

ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения 21.2. Основные задачи на построение Если каждый шаг построений описывать полностью, решение некоторых задач может ока­ заться довольно громоздким. С целью упрощения работы выделяют несколько важнейших задач, ко­ торые считаются основными и не детализируются каждый раз при решении более сложных задач.

J ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА С ДАННЫМИ СТОРОНАМИ Пусть даны отрезки длиной а, Ъ и с.

а • —-• Построим треугольник со сторонами *а, Ъ b 9 • и с.

С • « Проведем произвольный луч и отметим на нем точку А. Раствором циркуля, равным а, по­ строим окружность с центром А. Пусть В — а' • точка пересечения этой окружности с лучом.

В А * С Раствором циркуля, равным Ъ, опишем ок­ ружность с центром А у а раствором циркуля, X равным с,— окружность с центром В. Пусть • ' — С — точка пересечения этих окружностей.

В А Проведем отрезки АС и В С. По построению С треугольник ABC имеет стороны длиной а, Ъ и с, то есть треугольник ABC искомый1.

В А 1 По данным задачи можно построить четыре разных треугольника с общей сторо­ ной А В. По третьему признаку эти треугольники равны, то есть совмещаются наложе­ нием. В таких случаях решением задачи считают любой из этих равных треугольников.

§21. Задачи на построение Отметим, что эта задача имеет решение при условии, что длины отрезков а, Ъ и с удовлетво­ ряют неравенству треугольника.

С помощью описанных операций несложно решить задачу о построении угла, равного данно­ му неразвернутому углу А. Для этого достаточ­ но отложить на сторонах данного угла А отрезки А В и АС и построить треугольник, равный тре­ угольнику A B C.

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ УГЛА Пусть дан неразвернутый угол с вершиной А.

У Построим его биссектрису.

С помощью циркуля построим окружность произ­ вольного радиуса с центром А. Пусть В и С — точки пересечения этой окружности со сторона­ В\ У ми данного угла.

с!

а Построим окружности того же радиуса с цен­ трами В и С. Пусть D — точка пересечения этих окружностей.

Проведем луч A D По построению A A B D = A A C D (по третьему признаку). Отсюда Z BAD —Z CAD, то есть A D — биссектриса данного угла А.

ГЛАВА lii. О кружность. Геометрические построения ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПРЯМОЙ Пусть даны прямая а и точка О. Построим а прямую, проходящую через точку О и перпен­ О дикулярную прямой а. Рассмотрим два слу­ чая.

•о а j L Точка О леж ит на прямой а Построим окружность произвольного радиуса * с центром О.Пусть А и В — точки пересече­ ния этой окружности с прямой а.

t А’ а о 1JB Построим окружности радиуса А В с центра­ ми А и В.Пусть С — одна из точек их пересе­ ?

чения. Проведем прямую через точки С и О.

i i А1 о а ]В у По построению отрезок С О — медиана рав­ сС ностороннего треугольника A B C, которая яв­ ляется также его высотой. Итак, С О L A B, то есть прямая С О — искомая.

Ат о а Точка О не леж ит на прямой а Построим окружность с центром О, которая пе­ ресекает прямую а в точках А и В.

О • V а J А\ §21. Задачи на построение Построим окружности того же радиуса с центрами А и В. Пусть Ог точка пересе­ чения этих окружностей, причем точки О и Ог лежат по разные стороны от прямой а.

X О, Проведем прямую ООг. Пусть С — точка пе­ О ресечения прямых ОО, и а. По построению АА001=АВ001 (по третьему признаку). От­ сюда Z A O C = Z B O C. Тогда ОС — биссектриса равнобедренного треугольника АОВ, проведен­ ная к основанию. Она также является медиа­ ной и высотой треугольника. Следовательно, ОС _L а, то есть прямая ООг — искомая.

Отметим, что построенная прямая ООг пер­ пендикулярна отрезку А В и проходит через его середину. Такую прямую называют серединным перпендикуляром к отрезку.

Пользуясь описанными построениями, не­ сложно решить задачи на построение середины данного отрезка и на построение прямой, парал­ лельной данной.

Для построения середины отрезка А В до­ статочно провести две окружности радиуса АВ Рис. 172. Построение се­ с центрами в точках А и В (рис. 172). Обозна­ редины отрезка чив точки пересечения этих окружностей через О и Ох, можно определить середину отрезка А В как точку пересечения прямых А В и ООг, после чего с О провести доказательство, аналогичное доказатель­ L ству предыдущей задачи.

Для построения прямой, проходящей через а Г данную точку О параллельно данной прямой а, достаточно провести через точку О прямую Ъ, пер­ ь пендикулярную а, и прямую с, перпендикуляр Рис. 173. Построение ную Ь (рис. 173). Тогда а\с по теореме о двух прямой, параллельной прямых, перпендикулярных третьей.

данной ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения Таким образом, основными задачами на построение будем считать следующие:

1) построение треугольника с данными сторонами;

2) построение угла, равного данному неразвернутому углу;

3) построение биссектрисы данного неразвернутого угла;

4) построение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой;

5) построение серединного перпендикуляра к данному отрезку;

6) построение середины данного отрезка;

7) построение прямой, проходящей через данную точку параллельно дан­ ной прямой.

Если эти задачи применяются как вспомогательные при решенщл бо­ лее сложных задач, соответствующие построения можно подробно не опи­ сывать.

21.3.* Решение задач на построение Решение задач на построение состоит из четырех основных этапов:

анализ, построение, доказательство, исследование.

ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ # 1 Анализ Выполнение рисунка-эскиза искомой фигуры и уста­ новление связи между ее элементами и данными зада­ чи. Определение плана построения искомой фигуры.

2 Построение Осуществление плана, разработанного в ходе анализа.

3 Доказатель­ Обоснование того, что построенная фигура имеет за­ ство данную форму, а размеры и расположение ее элемен­ тов удовлетворяют условию задачи.

4 Исследование1 Определение количества решений и условий сущес­ твования искомой фигуры или обоснование невоз­ можности ее построения.

Если задача достаточно проста, то отдельные этапы ее решения можно проводить устно.

1 В некоторых задачах для исследования необходимы геометрические утверждения и соот­ ношения, изучаемые в 8— 9 классах. В этих случаях исследования мы будем проводить в сокращенном виде или вообще опускать.

§21. Задачи на построение Рассмотрим на конкретных примерах некоторые методы решения за­ дач на построение.

! Задача Постройте треугольник по двум сторонам и медиа­ не, проведенной к одной из них.

Решение Пусть о, Ь, ть — две стороны и медиана треугольни­ ка ABC, который необходимо построить (рис. 174).

а Анализ Допустим, что треугольник ABC построен (рис. 175).

Если ВМ — данная медиана треугольника ABC, то в треугольнике АВМ известны длины трех сторон т.

(АВ = а, ВМ = ть, АМ ~ | по условию задачи). Таким Рис. 174 образом, мы можем построить треугольник Лб/И и най­ ти вершины А и В искомого треугольника. Чтобы най­ ти вершину С, достаточно отложить на луче AM отре -ь зок МС длинои -.

Построение -‘---г 1. Разделим отрезок Ь пополам.

2. Построим треугольник АВМ со сторонами А В = а, ВМ = mb, A M М Ь/2 С Ь/ с и 3. О т л о ж и м на луче AM отрезок МС - —.

Рис. 4. Соединим точки В и С.

Доказательство В треугольнике ЛбС АВ = а, /4С = b, 6AI = /г?ь, ВМ — медиана (по построению). Следовательно, треуголь­ ник ABC искомый.

Исследование Задача имеет решение при условии существования Ь треугольника АВМ, то есть, если числа о, tnb, — удовлетворяют неравенству треугольника.

ГЛАВА ill. Окружность. Геометрические построения Сравним только что решенную задачу с задачей о доказательстве ра венства треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной и;

них (п. 13.1). Решая обе эти задачи, мы использовали треугольник А В М в котором все стороны известны по условию. Его рассмотрение помоглс в задаче на доказательство получить необходимые соотношения для угло* данных треугольников, а в задаче на построение — найти две вершинь искомого треугольника. Треугольник А В М называют вспомогательным а соответствующий метод решения — методом вспомогательного тре угольника.

Решение задач на построение с помощью метода вспомогательное треугольника подробно рассмотрено в Приложении 2.

к Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 584. Опишите, как разделить:

а) данный отрезок на четыре равных отрезка;

б) данный угол в отношении 1 : 3., 585. Опишите, как построить:

а) угол 45°;

б) угол 135°.

^ ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 586. Решите в тетради или на экране компьютера основные задачи на построение. Выделите полужирными линиями исходные данные задачи, пунктирными линиями — промежуточные построения, крас­ ным цветом — результаты решения.

@ ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 587. Даны отрезки а и Ъ, причем а Ь. Постройте отрезок длиной:

а) З а ;

б) b - а ;

в ) а + 2Ь.

§21. Задачи на построение 588. Даны острые углы а и Р, причем а р. Постройте угол с гра дусной мерой:

а) 0,5Р;

б) х+ Р ;

в) 2 р ~ а.

589. Постройте треугольник ABC по следующим данным:

а) А В = 4 см, ВС = 3 см, Z B = 45°;

б) А В = 6 см, ВС —10 см, АС = 8 см;

в) А В = 3 см, Z A = 30°, Z B = 70°.

590. Постройте треугольник ABC по следующим данным:

а) АС = 5 см, А В = 3 см, Z A = 60°;

б) А В - 3 см, ВС = 5 см, АС = 6 см;

в) ВС = 4 см, Z C = 90°, Z B = 60°.

591. Дан треугольник ABC. Постройте треугольник АВСг, равный данному треугольнику.

592. Дан треугольник. Постройте все его:

а) медианы;

б) биссектрисы;

в) высоты, если данный треугольник остроугольны^;

г) высоты, если данный треугольник тупоугольный.

593. Постройте:

а) отрезок, равный расстоянию между двумя данными парал­ лельными прямыми;

б) касательную, проходящую через точку данной окружности.

Уровень Б 594. Постройте угол 60°.

595. Постройте углы и 120° и 30°.

596. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и пери­ метру.

597. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высо­ те, проведенной к основанию.

598. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании.

Г Л А В А III. О к р у ж н о с т ь. Г е о м е т р и ч е с к и е п о с т р о е н и я 599. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и остро­ му углу.

6 0 0. Постройте прямоугольный треугольник по катету и углу, про­ тиволежащему данному катету.

601. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу, противолежащему основанию.

Уровень В 60 2. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведенной к боковой стороне.

603. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведен­ ной к третьей стороне. 6 0 4. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне.

605. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной к одной из двух других сторон.

6 0 6. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон.

607. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других сторон. % © ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал • определение окружности • перпендикуляр к прямой • биссектриса угла Задачи 6 0 8. На сторонах острого угла О отмечены точки А и В, при­ чем ОА = О В. Через эти точки проведены прямые, пересекающиеся в точке С. Докажите, что ОС — биссектриса данного угла, если:

а) А С ± О А, В С ± О В ;

б) А С ± О В, В С ± О А.

609. Найдите расстояние между параллельными прямыми, если от секущей, пересекающей их под углом 30°, они отсекают отрезок дли­ ной 22 см.

§22. Геометрическое место точек 22.1. Понятие о геометрическом месте точек До сих пор мы описывали геометрические фигуры с помощью определений и устанавливали их особенности путем доказательства свойств и признаков, относящих­ ся к фигуре в целом. Для случаев, когда определенное свойство и соответствующий ему признак имеет каждая точка фигуры, существует еще один способ описания.

Определение * Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ) на плоскости называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, удовлетворяющих определенному ус­ ловию.

Например, по определению окружность является геометрическим местом точек, удаленных от данной точки плоскости на одинаковое расстояние.

В определении ГМТ обратим внимание на слово «всех». Оно указывает на то, что для выяснения гео­ метрического места точек недостаточно доказать, что точки указанной фигуры удовлетворяют определенному условию (то есть установить свойство точек). Необходи­ мо также показать, что других точек, удовлетворяющих данному условию, на плоскости нет, то есть доказать со­ ответствующий признак: если точка удовлетворяет ука­ занному условию, то она принадлежит данной фигуре.

Иначе говоря, доказательство того, что некото­ рая фигура F является геометрическим местом то­ чек, удовлетворяющих условию Р, состоит из доказа­ тельства двух утверждений — прямого и обратного:

1) если определенная точка принадлежит фи гуре F, то она удовлетворяет условию Р ;

2) если определенная точка удовлетворяет ус ловию Р, то она принадлежит фигуре F.

Г Л А В А ML О к р у ж н о с т ь. Г е о м е т р и ч е с к и е п о с т р о е н и я 22.2. Основные теоремы о ГМТ Часто геометрическим местом точек являет­ ся прямая или часть прямой. Докажем две важ­ ные теоремы о ГМТ.

Т е о р е м а (о серединном перпендикуляре) Серединный перпендикуляр к отрезку является гео­ метрическим местом точек, равноудаленных от кон­ цов этого отрезка.

к С Доказательство Нам необходимо доказать два утверждения:

1) если точка принадлежит серединному пер­ пендикуляру к отрезку, то она равноудалена от концов этого отрезка;

с 2) если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпенди­ Рис. 176. Точка середин­ ного перпендикуляра куляру к этому отрезку.

равноудалена от концов Докажем первое из этих утверждений.

отрезка Пусть точка С лежит на прямой с, перпен­ дикулярной отрезку А В и проходящей через его середину — точку О (рис. 176). В треугольнике АСВ отрезок СО — медиана и высота, значит, D этот треугольник равнобедренный с основани­ ем А В. Отсюда АС = ВС, то есть расстояния от точки С до концов отрезка А В равны.

Докажем второе утверждение.

Пусть точка D равноудалена от точек А и В, то есть A D = BD (рис. 177). Тогда в рав­ нобедренном треугольнике A D B отрезок DO — Рис. 177. Точка, равно­ медиана, проведенная к основанию, которая яв­ удаленная от концов ляется также и высотой. Таким образом, пря­ отрезка, принадлежит мая DO — серединный перпендикуляр к отрез­ серединному перпенди­ ку А В. Теорема доказана.

куляру § 22. Геометрическое место точек Т е о р е м а (о биссектрисе угла) Биссектриса неразвернутого угла является геомет­ рическим местом точек, равноудаленных от сторон этого угла*.

Доказательство По аналогии с предыдущей теоремой д жем сначала, что любая точка биссектрисы равно­ удалена от сторон угла.

Пусть даны неразвернутый угол с верши­ ной А и точка D на его биссектрисе (рис. 178).

Опустим из точки D перпендикуляры DB и DC на стороны данного угла. По определению, DB и DC — расстояния от точки D до сторон Рис. 178. Точка биссект­ рисы угла равноудалена угла А.

от его сторон Прямоугольные треугольники DBA и DCA имеют общую гипотенузу D A, Z D A B = Z D A C по условию. Тогда A D B A = A D C A по гипотенузе и острому углу. Отсюда DB = D C, то есть точка D равноудалена от сторон данного угла.

Теперь докажем, что любая точка, равноуда­ ленная от сторон угла, принадлежит его биссект­ рисе. Пусть F — некоторая точка, равноудален­ ная от сторон угла А, то есть перпендикуляры FB и F C, опущенные из точки F на стороны данного угла, равны (рис. 179). Соединим точки Рис. 179. Точка, рав­ F и А. Тогда прямоугольные треугольники FBA ноудаленная от сторон и FCA равны по гипотенузе и катету.

угла, принадлежит его Отсюда Z F A B = Z F A C, то есть луч A F — биссектрисе биссектриса угла А.

Теорема доказана.

1 Здесь и далее, говоря о точках, равноудаленных от сторон угла, мы имеем в виду точки, лежащие внутри угла и равноудаленные от прямых, содержащих его стороны.

ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения 22.3. М етод геом етрических мест Понятие ГМТ часто используется при реше­ нии задач на построение. Например, пусть необхо­ димо построить точку, удовлетворяющую услови­ ям Рг и Р2. Если геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию Рг, является фигура Fx, а геометрическим местом точек, удовлетворя­ ющих условию Р2,— фигура F2, то искомая точка будет общей для фигур Fx и F2, то есть точкой их пересечения.

Рассуждения по такой схеме лежат в основе мет ода геомет рических мест.

] Задача Постройте прямоугольный треугольник по гипоте­ нузе и катету.

r j Решение Пусть в искомом прямоугольном треугольнике ЛВС а гипотенуза АВ равна с, катет ВС равен а (рис. 180).

Для построения треугольника воспользуемся ме­ Рис. тодом геометрических мест. Для этого на стороне прямого угла С отложим катет ВС, ВС = а (рис. 181).

Точка А должна принадлежать второй стороне пря­ мого угла и быть удаленной от точки В на рассто­ яние с, то есть А — точка пересечения окружности с центром В радиуса с со второй стороной прямого угла. Построенные точки А, В и;

С являются верши­ нами искомого прямоугольного треугольника ABC, В соответствии со следствием теоремы о сравнении сторон и углов треугольника задача имеет решение Рис при условии а с.

§ 2 2.Геометрическое место точек Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 610. Фигура F — геометрическое место точек, удовлетворяющих условию Р. Верно ли, что:

а) на плоскости существуют точки, удовлетворяющие усло­ вию Р, но не принадлежащие F, б) среди точек фигуры F есть точки, не удовлетворяющие усло­ вию Р ;

, в) любая точка, удовлетворяющая условию Р, принадлежит фи­ гуре F ?

611. Можно ли круг радиуса 5 см считать геометрическим место точек, удаленных от центра этого круга на расстояние:

а) равное 5 см;

б) не более 5 см;

в) не менее 5 см;

г) не более 4 см?

612. Отрезок А В равен 4 см. Можно ли считать серединныи перпен­ дикуляр к этому отрезку геометрическим местом точек, которые:

а) удалены от А и В на 2 см;

б) удалены от А и В на одинаковые расстояния;

в) являются вершинами равнобедренных треугольников с осно­ ванием А В ?

613. Луч B D — биссектриса угла ABC. Можно ли считать его гео­ метрическим местом точек, которые равноудалены:

а) от лучей ВА и ВС ;

а) от прямых ВА и ВС ?

ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 614. Начертите треугольник ABC.

а) Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от вершин А и В.

б) Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от сторон АС и А В.

в) Отметьте точку пересечения построенных геометрических мест и опишите ее свойства.

ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения 615. Начертите окружность с центром О и проведите хорду АВ не являющуюся диаметром.

а) Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от то­ чек А и В. Проходит ли построенная прямая через точку О ?

Почему?

б) Постройте геометрическое место точек окружности, равноуда­ ленных от сторон угла АОВ.

^ ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 616. Дан отрезок А В. Постройте геометрическое место точек С, таких, что треугольник ABC равносторонний.

617. Дан луч ВС. Постройте геометрическое место точек А таких, что угол ABC прямой.

618. На географической карте Украины постройте точку, равноуда­ ленную от Чернигова, Луцка и Запорожья.

619. Даны точки А, В, С. Постройте точку, которая равноудалена от точек А и В и находится на заданном расстоянии от точки С.

620. Постройте точку, которая равноудалена от сторон данного угла и лежит на расстоянии d от его вершины.

621. Точка А лежит на данной окружности радиуса JR. Постройте точки данной окружности, которые удалены от точки А на расстоя­ ние R.

Уровень Б 622. Докажите, что геометрическим местом точек, удаленных от данной прямой а на расстояние d, являются две прямые, парал­ лельные а и отстоящие от нее на d.

623. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух парал­ лельных прямых, является прямая, параллельная данным прямым и проходящая через середину их общего перпендикуляра. Докажите.

624. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходя­ щих через данные точки А и В.

§ 22. Г е о м е т р и ч е с к о е м е с т о т о ч е к 625. Найдите геометрическое место центров окружностей радиу­ са R, проходящих через данную точку А.

626. Найдите геометрическое место центров окружностей, касаю­ щихся сторон данного неразвернутого угла.

— 627. Дан отрезок А В. Найдите геометрическое место точек С, кото­ ^ рые являются вершинами треугольников с основанием А В и задан­ ной высотой h.

628. Дана прямая А В. Постройте точки, которые равноудалены от точек А и -В и лежат на расстоянии I от прямой А В.

629. На сторонах неразвернутого угла В отменены точки А и С, причем А В Ф СВ. Постройте точку, равноудаленную от сторон данно­ го угла и равноудаленную от точек А и С. Сколько решений имеет задача, если А В = СВ ?

630. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведенной к одной из этих сторон.

Уровень В 631. Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окруж­ ности, параллельных данной прямой.

632. Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окруж­ ности, имеющих заданную длину.

633. Найдите геометрическое место центров окружностей, касаю­ щихся данной окружности с центром О в данной точке А.

634. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых.

635. Постройте окружность, касающуюся каждой из двух пересека­ ющихся прямых, причем одной из них — в данной точке.

636. Постройте окружность данного радиуса, которая проходит через данную точку и касается данной прямой.

637. На рисунке 182 изображен угол (оЬ), вершина которого недоступна. Постройте бис­ сектрису этого угла.

638. Постройте треугольник по стороне и двум высотам, проведенным к другим сторонам.

639. Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте. Рис. ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § Теоретический материал * окружность * касательная к окружности Задачи 640. Окружность касается катетов прямоугольного треугольника в точках А и В, а центр окружности О лежит на гипотенузе. Най­ дите угол А О В.

641. Вершины А и В треугольника ABC лежат на окружнбсти с центром О, причем точка О лежит на стороне А С. Докажите, что касательная к окружности в точке В параллельна прямой А С, если Z B A O = 45° • §23. Описанная и вписанная окружности треугольника 23.1. О круж ность, описанная около треугольника Определение описанной около тре­ Окружность называется угольника, если все вершины треугольника лежат на данной окружности.

В этом случае говорят, что треугольник яв­ ляется вписанным в данную окружность.

На рисунке 183 окружность с центром О описана около треугольника ABC.

Поскольку все вершины треугольника лежат на описанной окружности, то все они равноудалены от центра окружности. Этот факт лежит в основе Рис. 183. Окружность, доказательства теоремы об описанной окружности.

описанная около тре­ угольника ABC Т е о р е м а (об окружности, описанной около треугольника) Около любого треугольника можно описать един­ ственную окружность. Центр этой окружности являет* ся точкой пересечения серединных перпендикулйров к сторонам треугольника.

В Доказательство П Пусть прямые а и Ъ — серединные пер­ пендикуляры к сторонам А В и ВС данного тре­ угольника ABC (рис. 184).

Сначала докажем методом от противного, что прямые а и Ъ пересекаются. Предположим, что эти прямые не пересекаются, то есть а |Ъ. Тогда | поскольку a _L А В, то А В J_ Ь по следствию из тео­ Рис. 184. Точка О — точ­ ремы о свойствах углов при параллельных пря­ ка пересечения середин­ ных перпердикуляров мых. Но ВС i b по построению, отсюда А В |В С,| к сторонам треугольни­ что невозможно по условию. Следовательно, пря­ ка ABC мые а и Ъ пересекаются в некоторой точке О.

ГЛАВА III Окружность. Геометрические построения По теореме о серединном перпендикуляре точка О равноудалена от точек А и В (то есть ОА = О В ) и равноудалена от точек Б и С (то есть ОВ = О С ). Отсюда ОА = ОВ = О С. Следовательно, существует окружность с центром О, проходящая через все вершины треугольника A B C.

Докажем методом от противного, что такая окружность единственна.

Допустим, что около треугольника можно описать еще одну окруж­ ность, отличную от построенной. Тогда центр этой окружности равноудален от вершин треугольника и потому совпадает с О, точкой пересечения се­ рединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Радиус этой окруж­ ности равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Значит, эта окружность совпадает с построенной.

И наконец, серединный перпендикуляр с к стороне АС содержит вое точки, равноудаленные от точек А и С. Поскольку точка О также рав­ ноудалена от точек А и С, то этот серединный перпендикуляр проходит через точку О. Теорема доказана.

Следствие Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Отметим, что центр описанной окружности не всегда лежит внутри треугольника;

он также может лежать на одной из его сторон или вне тре­ угольника (рис. 185).

У Внутри треугольника Вне треугольника На стороне треугольника Рис. 185. Расположение центра описанной окружности Описанная и вписанная окружности треугольника §23.

23.2. Окружность, вписанная в треугольник Определение Окружность называется вписанной в треуголь­ ник, если она касается всех его сторон.

В этом случае треугольник является описан­ ным около данной окружности.

В На рисунке 186 окружность с центром О впи­ сана в треугольник A B C. Прямые, содержащие стороны треугольника, являются касательными к вписанной окружности, а точки касания лежа* на сторонах треугольника. Радиусы вписанной ок­ ружности, проведенные в точки касания, перпенди­ кулярны сторонам данного треугольника.

Далее в таком случае мы будем говорить, что Рис. 186. Окружность, вписанная в треуголь­ центр вписанной окружности равноудален от сто­ ник ABC рон треугольника.

Т е о р е м а (об окружности, вписанной в тре­ угольник) t В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Доказательство П Пусть А В и B E — биссектрисы данного В треугольника ABC (рис. 187).

Докажем методом от противного, что эти бис­ сектрисы пересекаются. Пусть А В и B E не пере­ секаются. Тогда А В I B E, а углы В А В и А В Е — внутренние односторонние при параллельных пря­ мых А В и B E и секущей А В. Сумма этих углов должна быть равна 180°, что противоречит теореме Рис. 187. Точка О — точ­ о сумме углов треугольника.

ка пересечения биссект­ Итак, биссектрисы А В и B E пересекаются рис треугольника ABC в некоторой точке О. Тогда по теореме о биссектри­ се угла точка О равноудалена от сторон АВ и А С, а также равноудалена от сторон А В и ВС. Таким III. О кружность. Геометрические построения ГЛАВА образом, три перпендикуляра, опущенные из точки О на стороны данного треугольника, равны. Сле­ довательно, существует окружность с центром О, которая касается всех сторон треугольника ЛВС.

Докажем методом от противного, что эта ок­ ружность единственна.

Допустим, что в треугольник можно вписать еще одну окружность, отличную от построенной.

Тогда ее центр одинаково удален от сторон тре­ угольника и совпадает с О, точкой пересечения биссектрис треугольника. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон треуголь­ ника. Таким образом, эта окружность совпадает с построенной.

И наконец, биссектриса CF содержит все точ­ ки, равноудаленные от сторон СА и СВ. Посколь­ ку точка О также равноудалена от СА и С В, то эта биссектриса проходит через точку О. Теорема доказана.

Следствие f Три биссектрисы треугольника пересекается е одной J точке.

Поскольку все биссектрисы треугольника ле­ жат внутри него, то и центр вписанной окружнос­ ти всегда лежит внутри треугольника.

Задача В равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Докажите.

Решение В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы AAlt ВВ, и СС1 являются также медианами и высо­ тами (рис. 188), Это означает, что прямые ААи ВВ, и СС, — серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC. Поскольку все они пересекают­ ся в одной точке, то эта точка — центр описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

§23. Описанная и вписанная окружности треугольника Верно также и обратное утверждение: если в треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают, то этот треугольник равносторонний. Попробуйте доказать это само­ стоятельно.

Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 642- Даны треугольник и окружность. Определите, является ли дан­ ная окружность описанной около треугольника или вписанной в не­ го, если:

а) центр окружности равноудален от всех сторон треугольника;

б) центр окружности равноудален от всех вершин треугольника;

в) все стороны треугольника — хорды окружности;

г) все стороны треугольника касаются окружности.

64 3. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC пересекаются в точке О. Означает ли это, что:

а) ОА = ОВ ;

* б) Z A B O = ZC B O ;

в) точка О может лежать на одной из сторон треугольника?

6 4 4. Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник A B C.

Означает ли это, что:

а) ОА = О В ;

б) Z A B O = Z C B O ;

в) точка О может лежать вне данного треугольника?

645- Около треугольника описана окружность и в него вписана ок­ ружность. Могут ли эти окружности иметь равные радиусы;

общий центр?

ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 646. Начертите окружность и отметьте на ней точки А, В и С. Про­ ведите перпендикуляры из центра окружности к сторонам треугольни­ ка A B C. В каком отношении они делят стороны треугольника?

ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения 647. Начертите окружность с центром О и проведите к ней три по­ парно пересекающиеся касательные. Обозначьте точки пересечения касательных А, В и С. В каком отношении лучи А О, ВО и СО делят углы треугольника ABC ?

ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ & Уровень А 648. Около равнобедренного треугольника ABC ( А В - В С ) описана окружность с центром О (рис. 189).

а) Докажите, что Z A O B = Z C O B.

б) Найдите угол А О С, если Z A B C = 40°.

649. В равнобедренный треугольник ABC (А В = = ВС) вписана окружность с центром О (рис. 190).

Рис. а) Докажите, что треугольник АОС равнобед­ ренный.

б)Найдите угол A B C, если Z A O C = 100°.

650. Постройте окружность, вписанную в данный треугольник.

651. Постройте окружность, описанную около дан­ ного треугольника.

652. Точка О — центр окружности, описанной около треугольника A B C, OD — расстояние от Рис. точки О до стороны А В. Найдите длину отрезка А В, если A D = 9 см.

653. Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник A B C.


Найдите угол В АО, если ZB A C - 100°.

Уровень Б 6 5 4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC пе­ ресекаются в точке О. Найдите длину стороны А В, если ОА - 8 см, Z A O B = 60°.

- 655. В треугольнике ABC биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найдите угол ВАС, если АВ = ВС, Z A B O = 35°.

§23. Описанная и вписанная окружности треугольника 656. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.

657. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.

658. В равнобедренном треугольнике ABC с ос­ нованием АС вписанная окружность касается сто­ рон треугольника в точках D, Е и F (рис. 191).

Найдите периметр треугольника, если A F = 5 см, Рис. 1 B D = 6 см.

659. Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону равнобедренного треугольника на отрезки 3 см и 5 см, начиная от основания. Найдите периметр треугольника. * Уровень В 660. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности.

661. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведенным из одной вершины, и радиусу описанной окружности.

662. Периметр равнобедренного треугольника равен 220 см. Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки в отношении 3 : 4. Найдите стороны треугольника. Сколько решений имеет задача?

663. а) В треугольнике ABC вписанная окружность касается сторон тре­ угольника А В, ВС и АС в точках D, Е, F соответственно. Докажите, А В+ А С - В С что A D - ---------------.

б) (Опорная.) В прямоугольном треугольнике с катетами а, Ь и гипотенузой с радиус вписанной окружности вычисляется а+ Ъ-с по формуле г = --------. Докажите.

6 6 4 (Опорная.) а) В прямоугольном треугольнике центр описанной окружнос­ ти лежит на середине гипотенузы.

б) Если радиус окружности, описанной около треугольника, ра­ вен половине его стороны, то этот треугольник прямоугольный.

Докажите.

ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения Задачи для подготовки к контрольной работе № 1. Через точку А окружности с центром О проведены хорда А В и диаметр А С. Найдите угол В А С, если угол ВОС равен 70°.

2. Прямые СА и СВ — касательные к окружности с центром в точ­ ке О (рис. 192). Докажите, что ОС — биссектриса угла А О В.

3. Две окружности с радиусами 32 см и 12 см касаются. Найдите расстояние между центрами окружностей. Сколько решений имеет задача?

4. Точка касания вписанной окружности делит сторону равносторон­ него треугольника на два отрезка, один из которых на 15 см меньше периметра треугольника. Найдите сторону треугольника.

5. Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе, проведен­ ной к основанию, и радиусу описанной окружности.

6. Две равные и взаимно перпендикулярные хорды окружности точ­ кой пересечения делятся на части длиной 4 см и 16 см (рис. 193).

Найдите радиус окружности, которая касается этих хорд и имеет общий центр с данной окружностью.

А Рис. 192 Рис. Итоги ИТОГОВЫЙ ОБЗОР ГЛАВЫ III ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ Окружностью называется геометрическая фи­ гура, состоящая из всех точек плоскости, уда­ ленных от данной точки (центра окружности) на одинаковое расстояние.

Кругом называется часть плоскости, ограничен­ ная окружностью и содержащая ее центр Радиусом окружности (круга) называется рассто­ яние от центра окружности до любой ее точки.

Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметром называется хорда, проходящая че­ рез центр окружности.

Диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину.

Диаметр, проведанный через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой КАСАНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку Свойство касательной: касательная к окруж­ ности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания Признак касательной: если прямая проходит через точку окружности перпендикулярно ра­ диусу, проведенному в эту точку, то она явля­ ется касательной к окружности Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны КАСАНИЕ Д В УХ ОКРУЖНОСТЕЙ Две окружности, име­ ющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную Внешнее касание Внутреннее касание ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ Построение треугольника с данными сторо* нами Построение угла, равного данному Построение биссектрисы данного неразвернуто­ го угла А Построение прямой, перпендикулярной (D О уС данной и проходящей через точку О ®|/ А N к® о, Точка О лежит на Точка р лежит данной прямой вне данной прямой Построение середины данного отрезка и сере­ динного перпендикуляра к нему Построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой геометрическое место точек, удаленных от данной точки плоскости на оди­ наковое расстояние Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек* равноудаленных от концов этого отрезка Биссектриса неразвернутого угла является гео­ метрическим местом точек, равноудаленных от сторон этого угла Окружность называется описанной около тре­ угольника, если все вершины треугольника ле­ жат на данной окружности Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центр этой окруж­ ности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ Окружность называется вписанной в треуголь­ ник, если она касается всех его сторон В любой треугольник можно вписать единствен­ ную окружность» Центр этой окружности явля­ ется точкой пересечения биссектрис треуголь ника * Q КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1- Дайте определение окружности. В данной окружности укажите центр, радиус, диаметр, хорду.

2. Дайте определение касательной к окружности.

3. Сформулируйте и докажите свойство и признак касательной.

4. Сформулируйте и докажите свойство отрезков касательных, про­ веденных из одной точки к окружности.

5. Дайте определение касания двух окружностей. Назовите виды касания окружностей.

6. Объясните, как построить треугольник с данными сторонами.

7. Объясните, как построить угол, равный данному неразвернутому углу.

8. Объясните, как разделить данный угол пополам.

9. Объясните, как провести через данную точку прямую, перпенди­ кулярную данной прямой.

10. Объясните, как построить серединный перпендикуляр к данному отрезку.

ГЛАВА ШОкружность. Геометрические построения 11. Объясните, как разделить данный отрезок пополам.

12- Объясните, как провести через данную точку прямую, парал­ лельную данной прямой.

13. Дайте определение геометрического места точек. Назовите гео­ метрическое место точек, удаленных от данной точки на заданное расстояние.

14. Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуля­ ре к отрезку.

15. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла.

16. Дайте определение окружности, описанной около треугольника.

17. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около треугольника.

18. Дайте определение окружности, вписанной в треугольник.

19. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник.

^ДОПОЛНИТЕЛЬНЫ Е ЗАДАЧИ 665. Параллельные прямые а и Ъ являются касательными к окруж­ ности радиуса R. Найдите расстояние между данными прямыми.

666. Отрезок АВ — диаметр окружности, хорды АС и B D парал­ лельны друг другу. Докажите, что отрезок CD также является диа­ метром окружности.

667. На плоскости необходимо найти точки, удаленные от каждой из данных точек -А и Б на 3 см. Как зависит количество таких точек от длины отрезка АВ ?

668. Если прямая пересекает две окружности, имеющие общий центр (концентрические окружности), то ее отрезки, заключенные между этими окружностями, равны. Докажите.

669. Прямая, параллельная хорде А В, касается окружности в точ­ ке С. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

670. Докажите равенство равнобедренных треугольников по боковой стороне и радиусу описанной окружности.


671. Докажите, что радиусы окружностей, вписанных в равные тре­ угольники, равны.

Итоги к главе III 672. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а 9 проведена касательная, пересекающая две стороны тре­ угольника. Найдите периметр треугольника, отсекаемого от данного.

673. На окружности строится последовательность точек: первая точка выбирается произвольно, а каждая последующая точка удалена от пре­ дыдущей на расстояние, равное радиусу окружности. Какое наиболь­ шее количество различных точек можно построить таким способом?

674. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на одной из его высот. Найдите углы треугольника, если один из них втрое больше другого.

675. Центр О окружности, описанной вокруг треугольника A B C,* лежит на медиане В М. Найдите углы данного треугольника, если Z A O B = 140°.

676. Известно, что А А В С = A A D C.

а) Докажите, что прямая АС — геометрическое место точек, равноудаленных от В и В.

б) Всегда ли луч АС является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла BAD ? Ответ обоснуйте.

677. Постройте на катете прямоугольного треугольника точ&у, оди­ наково удаленную от гипотенузы и второго катета.

678. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС сере­ динный перпендикуляр к стороне А В пересекает сторону ВС в точ­ ке М. Найдите угол MAC, если Z C = 70°.

679. Точки D, Е, F — точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника A B C. Докажите, что биссектрисы углов треугольника ABC перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника D E F.

680. Если две окружности с центрами Ох и 0 2 пересекаются в точ­ ках А и В, то прямые А В и Ог02 взаимно перпендикулярны. До­ кажите.

681. Точка А лежит вне окружности с центром О. Постройте каса­ тельную к данной окружности, проходящую через точку А.

682. В треугольник ABC ( АВ = с, ВС = а, А С - Ь ) вписана ок' ружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны АВ и ВС в точках К и L соответственно. Найдите периметр треуголь­ ника K B L.

Историческая справка Простейшие геометрические за­ не удавалось решить с помощью циркуля дачи на построение Возникновение задач и линейки - о квадратуре круга, трисекции на построение было обусловлено необхо­ угла и удвоении куба. Задача о квадратуре димостью измерения земельных участков круга состояла в построении квадрата, пло­ и строительством. Значительных успехов щадь которого равна площади данного круга.

в решении таких задач достигли древнегре­ В задаче о трисекции угла пытались разде­ ческие ученые, прежде всего Евклид и Пла­ лить данный угол на три равные части. Та­ тон, в VII-III в. до н. э. Именно со времен Пла­ кую задачу несложно решить для некоторых тона в решении задач на построение стали конкретных углов, например развернутого, выделять четыре этапа: анализ, собственно прямого, но не для любого угла. Задача об построение, доказательство и исследование. удвоении куба состояла в построении куба, Задачи, которые невозможно ре­ объем которого вдвое больше объема дан­ шить с помощью циркуля и линейки. ного куба. Невозможность решить эти задачи Особый интерес математиков древности с помощью циркуля и линейки была доказана вызывали три классические задачи, которые в XIX в.

Циркуль или линейка? Интересна датчанин Г Мор. Так, теорема о возможнос­.

история ограничений в выборе инстру­ ти построений только циркулем получила ментов для решения задач на построение. название «теоремы Мора - Маскерони».

В X веке арабский математик Абу-ль-Вафа В 1833 г. швейцарский геометр Якоб Штей­ предложил ограничиться в геометричес­ нер показал, что, при наличии на плоскости ких построениях односторонней линейкой окружности с отмеченным центром, любую и циркулем постоянного раствора. В 1797 г. задачу на построение можно решить с по­ итальянец Лоренцо Маскерони доказал: лю­ мощью одной линейки.

бая задача на построение, решенная с по­ мощью циркуля и линейки, может быть ре­ шена и с помощью одного циркуля (при этом предполагалось, что через любые две точки может быть проведена прямая). А еще раньше, в 1672 г. к такому же выводу пришел Задачи на построение играют особую роль в обучении геометрии, ведь они прекрасно развивают логику и абстрактное мышление. Специалисты считают ъ задачи на построение одними из самых полезных и красивых задач геометрии.

sSwkУ „ - А-.

ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения О ТЕМАТИКА СООБЩЕНИЙ И РЕФЕРАТОВ К ГЛАВЕ III 1. Окружность в математических играх и головоломках.

2. Касание двух и трех окружностей.

3. Вневписанная окружность треугольника.

4. Методы геометрических построений. Построения, выполненные одним циркулем, одной линейкой.

5. Геометрические места точек.

Рекомендованные источники информации 1. Александров И. И. Сборник геометрических задач на построе ние.— М.: УРСС, 2004.

2. Бурда М. I. Розв’язування задач на побудову.— К.: Рад. шк., 1986.

3. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения.— М.:

Оникс, 1994.

4. Глейзер Г. И. История математики в школе. V lf—V III кл.— М.:

Просвещение, 1982.

5. Интернет-библиотека МЦНМО. http://ilib.mirrorO.mccmt.ru/ 6. Методика розв’язування задач на побудову / О. М. Астряб, О. С. Смогоржевський, М. Б. Гельфанд та iH.— К.: Рад. шк., 1960.

7. Перельман Я. И. Занимательная геометрия.— М.: Физматгиз, 1959.

8. Тесленко I. Ф. Геометричш побудови.— К.: Рад. шк., 1956.

ПРИЛОЖЕНИЯ П р и л о ж ен и е 1- Об акси о м ах ге о м етр и и В главе I вы ознакомились с начальными понятиями геометрии: точкой и прямой, а также лучом, отрезком и углом. Их основные свойства — аксио­ мы — не доказываются, но являются фундаментом для доказательства других утверждений.

Первую попытку провести логическое обоснование геометрии с помощью систематизированного перечня исходных положений (аксиом или постулатов) осуществил древнегреческий математик Евклид в своей знаменитой книге «На­ чала». На протяжении многих веков ученые-геометры опирались именно на евклидовы аксиомы. Но в X IX—X X вв., после создания Лобачевским неевк­ лидовой геометрии, исследования системы геометрических аксиом вышли на качественно новый уровень. Одним из тех, кто внес заметный вклад в усовер­ шенствование аксиоматики, был выдающийся украинский математик Алексей Васильевич Погорелов. В своей фундаментальной работе «Основания геомет­ рии» (1983) он разработал собственную усовершенствованную систему аксиом евклидовой геометрии, которая решила проблему преодоления ряда существен­ ных трудностей, возникших при введении понятия меры для отрезков и углов.

Более того, А. В. Погорелов предложил упрощенный вариант геометрической аксиоматики, предназначенный именно для преподавания геометрии в школе.

Этот вариант был положен в основу учебника «Геометрия», по которому свыше четверти века изучали и, без сомнения, будут изучать геометрию в школе.

Вот как выглядит система аксиом школьного курса, предложенная А. В. Погореловым.

I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

II. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя дру­ гими.

III. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

IV. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

V. Каждый угол имеет градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на ко­ торые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Приложения VI- На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

VII- От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

V III- Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник, в заданном расположении относительно данной полупрямой.

IX- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плос­ кости не более одной прямой, параллельной данной.

Этой системы аксиом мы придерживаемся и в нашем учебнике с уче­ том принятой нами терминологии. Некоторые аксиомы были сформулирова­ ны в главе I, другие аксиомы не формулировались, но фактически использо­ вались в рассуждениях. Отметим, что авторы не ставили цель представлять в этом учебнике абсолютно совершенную и логически завершенную систему аксиом, а сосредоточили основное внимание на практическом применении основных свойств простейших геометрических фигур при доказательстве теорем и решении задач. В дальнейшем, при изучении свойств фигур в про­ странстве, формулировки некоторых аксиом будут уточнены, а сама система аксиом — расширена.

Вообще же, система аксиом должна удовлетворять условиям независи­ мости (не содержать аксиомы, которые можно вывести с помощью других аксиом), непротиворечивости (не иметь явных или скрытых противоре­ чий) и полноты (содержать достаточное количество аксиом, чтобы доказать основные утверждения). Исследование проблем построения таких систем аксиом является содержанием одного из разделов современной геометрии.

Приложение 2. Метод вспомогательного треугольника Метод вспомогательного треугольника применяется при решении мно­ гих задач на построение. Используя этот метод, необходимо придерживать­ ся следующей последовательности действий:

1) предположив, что искомый треугольник построен, выполнить рисунок эскиз и найти на нем вспомогательный треугольник, способ построе­ ния которого известен (или получить такой треугольник путем допол­ нительных построений);

2) установить, какие вершины искомого треугольника мы получим, по­ строив вспомогательный треугольник;

Приложения 3) определить на основании данных задачи последовательность построе­ ния других вершин, предположив, что вспомогательный треугольник построен;

4) осуществить все намеченные построения;

5) провести необходимые доказательства и исследования.

Довольно часто метод вспомогательного треугольника используют в сочетании с другими методами. Рассмотрим такие случаи на примерах.

Задача Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме второго катета и гипотенузы.

Решение Пусть а и Ь+с — катет и сумма второго катета а и гипотенузы треугольника ABC, который необхо­ Ъ+ с димо построить (рис. 194).

Анализ Допустим, что треугольник ABC построен (рис. 195).

Рис. Отложим на луче ВС отрезок СЬ длиной с и соеди­ ним точки А и D. Треугольник АВЬ прямоугольный с катетами а и b +с, то есть может быть построен по данным задачи и является вспомогательным.

Построив его, получим вершины А и б искомого тре­ угольника. Для построения вершины С воспользуемся одним из признаков равнобедренного треугольника.

Точка С является точкой пересечения серединного перпендикуляра к стороне АЬ с лучом SD.

Построение 1 Построим прямой угол с вершиной В.

.

2. Отложим на сторонах этого угла отрезки А В -а и В й -Ь + с и соединим точки А и D. Треугольник АВЬ вспомогательный.

3. Построим перпендикуляр к отрезку А й, который проходит через его середину Пусть С — точка его пересечения с лучом ВЬ.

4. Соединим точки А и С.

*эш Приложения Доказательство В треугольнике ABC Z B -9 0 0 АВ~а по построению.

, ® треугольнике АСЬ СЕ — высота и медиана (по по­ строению). Значит, треугольник АСЬ равнобедрен­ ный с основанием АЬ, откуда СА-СЬ=с. По постро­ ению ВЬ=ВС +СЬ -Ы с, следовательно, ВС+СА=Ь+с.

Таким образом, треугольник ABC искомый.

Исследование В соответствии с неравенством треугольника, задача имеет решение при условии а Ь+ с.

При решении этой задачи мы использовали метод спрямления. Суть его такова: если в усло­ вии задачи на построение заданы сумма (или раз­ ность) отрезков, то на рисунке-эскизе их необхо­ димо отложить на одной прямой от общего конца так, чтобы другие концы этих отрезков образова­ ли заданный отрезок-сумму (разность). Благодаря такому дополнительному построению, удается по­ лучить вспомогательный треугольник.

Задача Постройте треугольник по медиане и двум углам, на которые она делит угол треугольника.

Решение Пусть т — медиана треугольника ABC, который т необходимо построить, а и — углы, на которые медиана делит угол треугольника (рис. 196).

Анализ Допустим, что треугольник ABC построен (рис. 197).

Применим метод удвоения медианы. Для этого на луче ВМ отложим отрезок Mb, равный т, и соеди­ ним точки D и А. По первому признаку равенства треугольников Д /М О = LCMB (АМ=СМ по опреде­ Р ис лению медианы, ВМ = ЬМ по построению, Z A M b = ZCMB как вертикальные). Тогда Z A b M - ZCBM=f.

Приложения Следовательно, треугольник АВЬ вспомогательный, В поскольку его можно построить по стороне и приле­ жащим к ней углам (6D-2m, Z A B b -й, ZAbB-().

Построив этот треугольник, получим вершины А и б ис­ комого треугольника. Для построения вершины Сдоста­ точно удвоить в треугольнике АВЬ медиану AM.

Построение (сокращенный план) 1. Построим треугольник АВЬ, в котором SD=2rn, Z A B b=a, Z A b B -t). Треугольник АВЬ вспомогатель­ ный.

Рис. 2. Построим в треугольнике АВЬ медиану AM и на ее продолжении отложим отрезок МС, равный AM.

3. Соединим точки б и С.

Доказательство по первому признаку равенс­ Л А М й -Л С М В тва треугольников (Mb=MB А М -М С по постро­ ению, Z A M b ’ ^ C M B как вертикальные). Тогда Z C B M -Z A bM = f. Также по построению ZABM -Q В треугольнике ABC B M -tv — медиана, поскольку по построению ВЬ- 2/л и АМ-МС. Таким образом, тре­ угольник ABC — искомый.

Задача Постройте треугольник по стороне, медиане, про­ веденной к этой стороне, и высоте, опущенной на другую сторону.

Решение Пусть а — сторона искомого треугольника ABC' а mQ — проведенная к ней медиана, Ьь — высота тре­ * угольника, проведенная к другой стороне (рис. 198).

т Построим этот треугольник.

h. Анализ Пусть треугольник ABC построен (рис, 199). Тогда прямоугольный треугольник ВСН можно построить Рис. по гипотенузе ВС и катету ВН'- на стороне прямого Приложения угла Н отложим котет B H - h b, тогда С — точка пере­ сечения окружности с центром В радиуса а со второй В стороной прямого угла.

Таким образом, мы построим вершины В и С иско­ мого треугольника. Для построения вершины А снова используем метод геометрических мест. Поскольку основание высоты ВН принадлежит стороне АС, то точка А лежит на прямой НС. Поскольку /Ф = т а, то точка А должна лежать на расстоянии та от точки D.

Рис. Это означает, что А — точка пересечения прямой СН и окружности радиуса та с центром D.

Построение 1. Построим прямой угол с вершиной Н.

2. Отложим на стороне этого угла отрезок ВН, BH--hb.

3. Построим окружность с центром В радиуса р.

Пусть С — точка пересечения этой окружности с дру­ гой стороной прямого угла.

4. Соединим точки В и С и разделим отрезок ВС по­ полам. Пусть точка D — его середина.

5. Проведем прямую СН.

6. Построим окружность с центром й радиуса iv Пусть А — точка пересечения этой окружности с пря­ мой СН.

7. Соединим точки А и В.

Доказательство В треугольнике ABC ВС=а, АЬ=т а, АО - медиана, В Н - hb, ВН — высота (по построению). Следовательно, треугольник ABC — искомый.

Исследование В соответствии со следствием теоремы о сравнении сторон и углов треугольника вспомогательный тре­ угольник существует, если hba. В зависимости от длины медианы та задача имеет одно или два реше­ ния, или не имеет ни одного.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.