авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Министерство наук

и и образования РФ

Федеральное Государственное Бюджетное Образовательное Учреждение

Высшего Профессионального Образования

Уральский

государственный горный университет

На правах рукописи

Пяткова Вера Борисовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ПАРАМЕТРИ-

ЧЕСКИХ СИСТЕМ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ МЕТО-

ДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ 051318. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, с. н. с. Сурнев Виктор Борисович Екатеринбург – ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы исследования ………………………….................................. Степень разработанности проблемы …………………………………………….. Цели и задачи исследований ……………………………………………………... Методология и методы исследования …………………………………………… Научная новизна исследований ………………………………………………….. Теоретическая и практическая значимость работы ………………...................... Положения, выносимые на защиту ……………………………………………… Степень достоверности и апробация результатов ……………………………… ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ Экзогенные воздействия на систему как причина 1.1.

возникновения композиционных зависимостей структурных параметров линейных систем Физический анализ композиционных зависимостей структурных параметров 1.1. системы от внешних воздействий ……………………………………………….. Феноменологический метод учта экзогенных возмущений в математической 1.1.2.

модели системы на примере линейного гармонического осциллятора ……….. Общий случай динамики непрерывной системы с сосредоточенными пара 1.1.3.

метрами, находящейся под воздействием конечного числа внешних возму щений ……………………………………………………………………… Параметрическая модель индуктивного измерительного 1.2.

преобразователя Структурная схема электромагнитного зондирования ………………………… 1.2.1. Индуктивные методы электроразведки ………………………………………….

1.2.2. Описание идеальной модели индуктивного измерительного преобразователя 1.2.3.

дифференциальным уравнением второго порядка ……………………………... Описание идеальной модели индуктивного измерительного преобразователя 1.2.4.

системой дифференциальных уравнений первого порядка ……………………. Функциональные зависимости элементов электрических цепей от температу 1.2.5.

ры………………………………………………………………………... Температурные коэффициенты ………………………………………………….

1.2.6. Зависимость температурных коэффициентов от скорости изменения темпе 1.2.7.

ратуры ……………………………………………………………………… Описание параметрической модели индуктивного измерительного преобра 1.2.8.

зователя дифференциальным уравнением второго порядка ………… Описание параметрической модели индуктивного измерительного преобра 1.2.9.

зователя системой дифференциальных уравнений первого порядка. Параметрические модели экономических систем 1.3. Кейнсианские одномерные математические модели динамических экономи 1.3.1.

ческих систем …………………………………………………………… Математическая модель Самуэльсона-Хикса …………………………………… 1.3.2. Многомерные математические модели динамики экономических систем …… 1.3.3. ГЛАВА 2. ПРИНЦИП ДЮАМЕЛЯ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ Принцип Дюамеля и решение задачи Коши 2.1. Принцип Дюамеля ………………………………………………………………… 2.1.1. Решение задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального 2.1.2.

уравнения порядка n …………………………………………………………….. Фоновая система и решение возмущнной задачи Коши для одномерной 2.1.3. предметной параметрической системы …………………………………………..

Векторное представление многомерной системы ……………………………….

2.1.4. Матричная функция Грина линейной системы обыкновенных дифференци 2.1.5.

альных уравнений ………………………………………………… Вторичные источники и система интегральных уравнений, эквивалентная 2.1.6.

возмущнной задаче Коши для многомерной системы ………………………… Конструкция S -матрицы линейной 2.2.

параметрической системы Решение системы интегральных эволюционных уравнений методом подста 2.2.1.

новок ……………………………………………………………………….. Системный анализ борновского ряда …………………………………………… 2.2.2. Интегральные эволюционные уравнения предметных 2.3.

параметрических систем Система интегральных эволюционных уравнений параметрической модели 2.3.1.

индуктивного измерительного преобразователя ……………………………….. Интегральное эволюционное уравнение параметрической экономической 2.3.2.

системы кейнсианского типа …………………………………………………….. Интегральное эволюционное уравнение экономической системы в модели Самуэль 2.3.3.

сона-Хикса ……………………………………………………………………….

Система интегральных эволюционных уравнений многомерной параметри 2.3.4.

ческой экономической системы в межотраслевой балансовой модели Леонть ева ……………………………………………………………….. ГЛАВА 3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Постановка обратной задачи для параметрической системы 3.1. Задача определения коэффициентов системы дифференциальных уравнений.

3.1.1. Предметный смысл обратной динамической задачи …………………………… 3.1.2. Метод решения обратной динамической задачи для 3.2.

параметрической системы с сосредоточенными параметрами Нелинейное интегральное уравнение обратной динамической задачи ………..

3.2.1. Интегральные уравнения реконструкции ………………………………………..

3.2.2. Замечания о природе приближнного характера ЛУР ………………………….

3.2.3. ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЛИНЕЙНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Программная реализация алгоритма численного 4.1.

моделирования динамики линейной параметрической системы Структура программного комплекса для численного моделирования эволю 4.1.1.

ции параметрической системы …………………………………………… Подпрограммы-процедуры ………………………………………………………..

4.1.2. Примеры численного решения основной задачи для 4.2.

одномерной модели параметрической Предварительные замечания об алгоритме численного решения основного 4.2.1.

интегрального уравнения ………………………………………………………… Разностный алгоритм решения интегрального эволюционного уравнения од 4.2.2.

номерной параметрической модели …………………………………………... Программная реализация разностного и итерационного алгоритмов решения 4.2.3.

интегрального эволюционного уравнения для одномерной параметрической модели ……………………………………………………………………………... Некоторые результаты тестовых расчтов ……………………………………… 4.2.4. Результаты численного решения основной задачи математического модели 4.2.5.

рования динамики малого предприятия разностным методом и методом по следовательных приближений ……………………………………… Примеры численного решения основной задачи для 4.3.

многомерной модели параметрической системы Трхмерная модель параметрической системы ………………………………….

4.3.1. Сравнение результатов численного решения основной задачи для трхмерной 4.3.2.

модели параметрической системы с результатами аналитического решения для соответствующей фоновой системы ………………………………………… Пример численного моделирования переходного 4.4.

процесса в параметрической модели ИИП Структурные параметры модели ИИП …………………………………………...

4.4.1. Результаты численного моделирования ………………………………………….

4.4.2. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА СПИСОК ИЛЛЮСТРАТИВНЫХ МАТЕРИАЛОВ ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы исследования Сущность математического моделирования состоит в разработке и ис следовании математических моделей объектов, процессов и явлений окру жающего мира на базе тврдо установленных элементарных законов приро ды и сконструированных на их основе фундаментальных математических моделей. Математическая модель – это идеальный образ объекта исследова ния, формализованный средствами математики. Это весьма общее толкова ние понятия математической модели не является достаточно строгим с точки зрения математики. Ниже для полноты изложения и подчркивания акцентов приведено формальное определение математической модели, ориентирован ное на приложения к конкретным вопросам математического моделирования, рассматриваемым в данной диссертационной работе.

Математическое моделирование может быть подразделено на три ос новные составляющие части (стадии) [53].

1. На начальной стадии математического моделирования устанавлива ются связи объекта исследования с внешними объектами. Для установления связей объекта конструируется функция объекта, позволяющая “определить место объекта в окружающем мире”, которая и является по существу матема тической моделью объекта исследования. Например, при описании объекта в формализме Лагранжа такой функцией (моделью) является функция Лагран жа, а в формализме Гамильтона – функция Гамильтона. В полевых теориях эту роль выполняют соответствующие плотности. Альтернативным способом конструирования модели объекта является установление элементарных фе номенологических законов композиции, управляющих внутренними связями в объекте, путм записи определяющих уравнений. Например, в линейной теории упругости таким элементарным принципом является принцип напря жений Коши, а определяющим уравнением – уравнение закона Гука. Второй способ конструирования математической модели объекта исследования при меняется в том случае, если по каким-либо причинам записать функцию объ екта в явном виде не представляется возможным.

2. На второй стадии математического моделирования после построения математической модели объекта из не получают уравнения движения, яв ляющиеся математической моделью процесса эволюции объекта. Например, в формализме Лагранжа такими уравнениями являются уравнения Лагранжа, а в формализме Гамильтона – канонические уравнения Гамильтона. И те и другие получаются, например, из вариационного принципа Гамильтона.

Уравнения движения могут быть получены и из элементарных законов путм их непосредственного применения или феноменологического обобщения.

Так в механике сплошной среды на элементарный объм среды обобщается второй закон Ньютона, который первоначально был установлен для совер шенно другого объекта – материальной точки в классической механике.

Если чтко разделить первую и вторую стадии математического моде лирования затруднительно, то их объединяют и под моделью объекта пони мают систему уравнений, описывающую эволюцию последнего.

3. На третьей, заключительной стадии математического моделирования проводится исследование на физически допустимых промежутках времени последовательности состояний объекта, то есть воссоздатся процесс эволю ции объекта. Состояния объекта описываются, очевидно, функциями, кото рые являются решениями уравнений или системы уравнений, описывающих его эволюцию. Каждое состояние характеризуется множеством значений этих функций в заданные моменты времени.

Получение решений уравнений эволюции (движения) аналитическими или численными методами относится к первой основной задаче математиче ского моделирования. Можно сказать, что первая основная задача математи ческого моделирования – это, как правило, решение уравнений движения с учтом начальных и (или) граничных условий и заданных источников. Ино гда к первой основной задаче можно отнести и качественное исследование уравнений движения.

В данной диссертационной работе основное внимание уделяется разви тию метода решения первой основной задачи математического моделирова ния для специального класса систем с сосредоточенными параметрами. Для определения места данной работы и актуальности темы исследований на помним формулировки некоторых понятий математического моделирования.

Объект исследования может быть простым или сложным, причм по нятие простоты объекта, используемое в данной работе, не подразумевает от сутствия у него внутренней структуры, но указывает на то, что его внутрен няя структура и связи с внешней по отношению к нему средой являются в определнном смысле слова “простыми”. Критерий простоты, устанавлива ется априори и, конечно, должен быть чтко определн. Такой критерий, принятый для рассматриваемых в данной работе систем, будет сформулиро ван ниже. Существование внутренней структуры объекта подразумевает на личие внутри объекта элементов или элементарных объектов (элобов), из ко торых состоит объект исследования. Причм элобы должны быть такими, чтобы в процессе исследования объекта их можно было бы считать неразло жимыми, то есть, не состоящими в свою очередь из элобов более низкого уровня.

Элобы, составляющие изучаемый объект, связаны между собой внут ренними связями. Внутренние связи, действующие между элобами, состав ляющими изучаемый объект, приводят к наличию у него свойства целостно сти, которое собственно и позволяет выделить объект из окружающего мира и исследовать его. Объект, составленный из элементарных объектов (элобов), обладающий свойством целостности, обусловленным имеющимися внутрен ними связями между составляющими элобами, следуя известным работам [6, 13, 26, 39], будем называть системой. Это нестрогое, очевидно, определе ние системы принимается дальше в качестве “рабочего определения”. Мате матически строгая теория систем [37] дат более полное представление об объекте исследования. Чтобы сделать смысл используемых ниже терминов прозрачным целесообразно напомнить некоторые определения из общей тео рии систем, базирующейся на теории алгебраических систем [43].

Пусть X и X ' – две однотипные алгебраические системы (напомним, что две системы X и Y называются однотипными, если между множества ми внутренних и внешних бинарных алгебраических операций в системах установлено взаимно однозначное соответствие N X NY и M X M Y ).

Пусть H : X X ' – гомоморфизм системы X на систему X '. Если гомо морфизм является изоморфизмом (взаимно однозначен) то алгебраические системы X и X ' называются изоморфными. Как известно, изоморфные ал гебраические системы можно отождествить, если рассматривать их только с точки зрения алгебраических свойств, то есть свойств, связанных с наборами внутренних и внешних бинарных операций.

Если в определении алгебраической системы множество X абстракт ных элементов отождествить с множеством элобов некоторой предметной области с установленным набором законов взаимодействий между ними (внутренних связей), то полученное множество и называется системой в за данной предметной области. Теперь можно сформулировать понятие модели системы, основанное на приведнном отождествлении.

Пусть X N, L – пара, где N – множество элобов некоторой пред метной области, а L – фиксированный набор внутренних связей между ни ми, и пусть Y M, K – пара абстрактных множеств, где M – множество абстрактных элементов, K – множество внутренних законов композиции на множестве M. Система Y называется моделью предметной системы X, ес ли эти системы изоморфны, то есть существует изоморфизм H : X Y.

В этом определении множество M Y называется носителем модели, а множество K Y – сигнатурой модели. Если элементы носителя модели M – некоторые математические объекты (числа, векторы, функции, тензоры и т. п.), а элементы сигнатуры – математические законы композиции элемен тов носителя, то мы приходим к понятию математической модели Y M, K предметной системы X N, L.

Элобы предметной области могут принадлежать механической, физи ческой, химической, биологической, экономической и т. п. областям кон кретных наук. Поэтому математические модели можно строить для системы, принадлежащей любой предметной области, при условии возможности уста новления изоморфизма между изучаемой предметной системой и некоторой системой математических объектов вместе с их законами композиции, то есть, при условии, что возможна математическая формализация изучаемой системы.

В известной работе [8] отмечено: “Поскольку мы можем толковать о физической реальности, только опираясь на ту или иную модель, самое про стое – вообще забыть о различии между объектом и построенной нами моде лью этого объекта”. Действительно, изоморфные системы можно отождест вить с точки зрения их свойств, а математическая модель предназначена как раз для исследования свойств системы. По этой причине, если это не приве дт к недоразумениям, будем дальше термины система и модель использо вать как синонимы.

С точки зрения моделирования всякая предметная система может рас сматриваться как некоторая “машина”, переводящая входные сигналы, по ступающие на вход системы, в выходные сигналы, регистрируемые наблюда телем на выходе системы. Если входным и выходным сигналам поставить в соответствие их математические образы, например, элементы некоторого функционального пространства, то “машине”, представляющей систему, сле дует поставить в соответствие некоторый оператор, действующий из про странства входных сигналов в пространство выходных сигналов. В этом слу чае математическая модель системы примет вид операторного соотношения следующего вида yt Sf t. (В.1) Здесь S – явно заданный оператор, описывающий преобразование входного сигнала в выходной сигнал – силового воздействия на систему в отклик сис темы на это воздействие. Сама изучаемая система отождествляется с опера тором S и, как принято в системном анализе, рассматривается как белый или чрный ящик в зависимости от решаемой задачи [1].

Соотношение (В.1) является, в общем случае, некоторым отображени ем из одного множества функций (входных сигналов f t ) в другое множе ство функций (выходных сигналов yt ) (рисунок В.1 а, б). Ясно, что сконст руировать оператор системы S, учитывающий все основные свойства изу чаемой системы, практически невозможно и, следовательно, оператор S, учитывая далеко не все даже существенные свойства изучаемой системы, имеет модельный характер. Поэтому дальше оператор S, при условии, что он может быть задан явно, будет рассматриваться именно как оператор моде ли системы, но для простоты будет называться оператором системы или про сто S -матрицей системы (термин впервые появился в теории рассеяния) [59].

Экзогенные воздействия Экзогенные Входные Выходные воздействия сигналы сигналы Входной Выход сигнал ной сиг нал S S а) Простая (одномерная) система: б) Сложная (многомерная) система: не один вход и один выход сколько входов и несколько выходов.

Рис. В.1. Одномерная и мно гомерная система В данной работе система, имеющая один вход и один выход, считается простой и называется простой системой типа “вход-выход” [1] (независимо от имеющейся у не внутренней структуры!). Простую систему естественно назвать одно-одно канальной, или просто одноканальной системой. Для од ноканальной системы оператор системы преобразует один входной сигнал (функцию) в один выходной сигнал (функцию). Если система имеет несколь ко входных и несколько выходных каналов, то она в данной работе (не зави симо от имеющейся у не внутренней структуры!) будет определяться как сложная система. Таким образом, критерием простоты системы в данной ра боте является наличие у системы одного входного и одного выходного кана ла. Отметим, что математические модели простых систем, как правило, уда тся описать одним уравнением относительно одной неизвестной функции, а математические модели сложных систем – системой уравнений относительно многомерной вектор-функции. По этой причине математические модели про стых систем называются одномерными математическими моделями, а мате матические модели сложных систем – многомерными математическими мо делями. В соответствие с замечанием, приведнным выше, термины “одно мерная” и “многомерная” будем относить также и к самой системе.

В работе рассматриваются только динамические системы, то есть такие системы, для которых S - матрица зависит от времени явно. Описание систе мы явным операторным соотношением вида (В.1) является, в некотором смысле слова, наиболее удобным. Задача нахождения отклика системы на входное воздействие дальше будет называться “прямой динамической зада чей” (ПДЗ). Задача нахождения оператора системы S при известном вход ном воздействии и известном отклике системы будет называться “обратной динамической задачей” (ОДЗ). В большинстве ситуаций, однако, связь вход ного сигнала и отклика на него не удатся описать явно, но возможно неяв ное описание такой связи, то есть, удатся тем или иным способом устано вить уравнение вида Lyt f t, (В.2) где L – оператор, обратный оператору изучаемой системы, входной сигнал f t рассматривается как силовое воздействие на систему, а отклик yt на ходится как решение в общем случае векторного уравнения (В.2). Для дина мических систем оператор L S 1 также зависит от времени t явно и явля ется для систем, эволюционирующих во времени непрерывно, обыкновен ным дифференциальным оператором, дифференциальным оператором с ча стными производными или интегральным оператором. Задачу решения при дополнительных начальных или краевых условиях уравнения (В.2), описы вающего эволюцию динамической системы, также будем называть прямой динамической задачей, имея в виду, что решение уравнения (В.3) позволит сконструировать общий вид S -матрицы системы.

Классификацию систем (математических моделей систем) можно про водить как по виду оператора системы S, так и по виду обратного к нему оператора L. Следует отметить, что вид оператора S модели системы, как правило, заранее не известен, а вид обратного к нему оператора L может быть установлен исходя из фундаментальных законов или закономерностей.

Поэтому принято проводить классификацию моделей систем, исходя из вида оператора, обратного оператору системы.

Уравнение (В.2) может быть дифференциальным или интегральным уравнением – в этом случае параметры системы изменяются во времени не прерывно, а е модель называется моделью с непрерывным временем, или просто непрерывной моделью. Само уравнение (В.2), описывающее эволю цию системы во времени (или систему таких уравнений), в случае непрерыв ной системы будем называть дифференциальным или, соответственно, инте гральным эволюционным уравнением системы (системой эволюционных уравнений). Если уравнение (В.2) является разностным уравнением, то сис тема изменяется во времени дискретно и называется дискретной системой, а е модель – дискретной моделью. В работе рассматриваются исключительно непрерывные модели систем, когда оператор, обратный оператору системы, является дифференциальным оператором – такие системы называются также дифференциальными системами. Если оператор L S 1 является дифферен циальным оператором, например, линейным обыкновенным дифференциаль ным оператором порядка n, то дальнейшая классификация моделей систем проводится достаточно просто по типу оператора L.

В общем случае оператор L является нелинейным и имеет как явную зависимость от основных переменных, так и неявную зависимость от по следних через параметры, которые могут быть числами, функциями, вектор функциями или даже тензорными функциями основных переменных – вре мени и пространственных координат. В общем случае такой оператор вклю чает в себя функциональные зависимости от времени, пространственных пе ременных, частных производных различного порядка и параметров, то есть имеет вид L Ln t, j, pk x, t, (В.3) x где pk – параметры, а x – в общем случае многомерный вектор “простран ственных” переменных j 1, 2,, n. Непрерывная система в этом случае называется нелинейной системой.

Если оператор L S 1 является линейным оператором, то система на зывается линейной. Динамическая система называется идеальной, если она линейна и е параметры не зависят от основной переменной, а именно, от времени. Идеальные системы наиболее изучены в силу того, что они подда ются исследованию в спектральном представлении, когда временные зависи мости заменяются частотными и система уравнений, описывающих модель предметной системы, не содержит производных по времени [6, 7, 35].

Свойство целостности любой предметной системы обеспечивается на личием в ней взаимодействий между составляющими элобами системы.

Пусть l – характерный размер элобов системы, а – характерный “радиус” их взаимодействия. Тогда, если выполняется неравенство l (простран ственные размеры элобов несущественны), система называется системой с сосредоточенными параметрами. Если это неравенство не выполняется, то система называется системой с распределнными параметрами. Непрерыв ные системы с сосредоточенными параметрами описываются, как правило, обыкновенными дифференциальными уравнениями и системами таких урав нений, непрерывные системы с распределнными параметрами – уравнения ми и системами уравнений с частными производными.

Линейные системы изучены очень хорошо: весьма полно разработаны математические методы их описания, сформулированы и доказаны теоремы, строго обосновывающие немногочисленные эффективные методы решения уравнений, описывающих эволюцию линейных систем. Для нелинейных сис тем систематических методов решения основной задачи математического моделирования не существует и почти для каждого нового случая приходит ся или изобретать новый метод решения нелинейных уравнений основной задачи, или использовать старый подход, основанный на идее последова тельных приближений. Тем не менее, во 2-й, 3-й и 4-й четвертях двадцатого века в области исследования нелинейных систем получены весьма значи тельные результаты, некоторые из которых изложены, например, в работах [17, 33, 41, 42]. Таким образом, следует констатировать, что имеется полная и строгая теория математического моделирования линейных систем, строго обосновывающая немногочисленные эффективные методы решения эволю ционных уравнений, и множество в значительной степени разрозненных, но, тем не менее, существенных результатов относительно нелинейных систем.

Существует, однако, класс систем, занимающий пограничное место между линейными и нелинейными системами – так называемые линейные параметрические системы (дальше просто параметрические системы).

Параметрические системы, как следует из их названия, являясь линей ными системами, в отличие от идеальных систем характеризуются зависимо стью структурных параметров системы от внешних параметров, которые в свою очередь зависят от времени. Таким образом, кроме явной зависимости S -матрицы системы от времени имеется ещ и неявная (параметрическая) зависимость, которая наиболее ясно проявляется при описании эволюции системы оператором L S 1 в приведнной выше форме записи (В.3). Сис тема эволюционных уравнений параметрической системы будет иметь вид, Ln t, j, pk x, t y x, t f x, t (В.4) x и – векторы-столбцы, координатами которых явля где y x, t f x, t ются компоненты векторных функций, описывающих состояние объекта ис следования.

Параметрическим системам присущи некоторые свойства, роднящие их с нелинейными системами. Последнее является, по-видимому, причиной не которой путаницы в терминологии, когда параметрические системы относят к нелинейным системам. Математическое исследование моделей предметных параметрических систем в силу их специфики затруднено – широко исполь зуемый для исследования идеальных систем спектральный метод [6, 7, 35] не применим для исследования параметрических систем. Широко известен только один метод решения основной задачи математического моделирова ния параметрических систем – метод медленно меняющихся амплитуд [11], который применяется при изучении параметрических систем в радиотехнике.

Здесь имеет смысл провести предварительный физический анализ при чин, приводящих к существованию зависимостей параметров линейной сис темы от внешних причин и, как следствие, наличие неявной (композицион ной) зависимости S -матрицы системы от времени, то есть к существованию собственно параметрической системы. Более общий анализ проведн в пара графе 1.2.

Итак, рассмотрим математическую модель простейшей колебательной системы, являющуюся основой для исследований в различных предметных областях – математическую модель простого маятника (на рисунке 1.1.2 а, б, приведены хорошо известные обозначения всех элементов данной модели). В случае идеальной модели (рисунок В.2 а) станина считается неподвижной, подвес рассматривается как абсолютно тонкий невесомый стержень неизме няемой длины l, а сопротивлением среды, в которой колеблется маятник, пренебрегают. Это и есть классическая модель математического маятника.

Эволюционное уравнение для такой модели имеет известный вид [29] Y O Y O l l mg mg X X б) а) Рис. В.2. Модель простого маятника g sin. (В.5) l Уравнение (В.5) является нелинейным обыкновенным дифференциаль ным уравнением второго порядка. Если угол отклонения подвеса от вертика ли мал то, раскладывая sin в ряд Тейлора в окрестности 0 0 и пренеб регая нелинейными поправками, получим линейное уравнение g, l g которое путм замены 2 приводится к виду l 2 0. (В.6) Уравнение (В.6) известно как уравнение свободных колебаний [29].

Если подвес является пружиной с жсткостью, длина подвеса зави сит от угла отклонения, который в свою очередь зависит от времени t, то есть, имеем функциональную зависимость l l t. Нелинейное уравнение колебаний маятника принимает вид g sin. (В.7) l t Линеаризация уравнения (В.7) приводит к уравнению следующего вида g, (В.8) l t которое описывает процесс колебаний в линейной параметрической системе.

Это уравнение, записанное в специальной форме d2y p qt y 0, (В.9) dt называется уравнением Матье [24]. В уравнении (В.9) функция qt – перио дическая функция, характеризующая воздействие на один из параметров сис темы. Например, в случае маятника функция qt описывает периодический закон изменения длины маятника. Общее решение уравнения Матье имеет вид [24] yt A expt 1 t B exp t 2 t, где A и B – постоянные, зависящие от начальных условий;

1 t, 2 t – периодические функции с периодом k ;

k, 2, 1, 0, 1, 2,, а – комплексное число.

В случае, когда подвес маятника является пружиной (рисунок В.2 б), при определнных значениях жсткости пружины может возникнуть явле ние параметрического резонанса, даже если внешняя энергия в систему не податся (эндогенные воздействия на систему). Этот случай решений урав нения Матье хорошо исследован [24], и по этой причине дальше нами анали зироваться не будет. Далее нас будет интересовать случай непериодических изменений параметров системы, находящейся под экзогенными (внешними) воздействиями. Примером воздействия такого рода, приводящего к, вообще говоря, непериодическим изменениям параметров системы в случае маятника является удлинение подвеса маятника при изменении температуры окру жающей среды. В линейном случае такое изменение описывается при помо щи температурного коэффициента удлинения формулой l l0 kT, где тем пература T может изменяться со временем: T T t. В качестве причин та кого изменения могут фигурировать искусственные воздействия на систему, например, целенаправленное регулирование температуры специальными устройствами, или естественные воздействия, например, суточные или се зонные изменения температуры.

При наличии естественных экзогенных воздействий на систему, вызы вающих изменение е параметров, систему будем называть экзогенной пара метрической системой. Если же воздействия, изменяющие параметры систе мы, имеют целенаправленный характер, систему можно назвать эндогенной параметрической системой. В дальнейшем в работе изучаются (естествен ные) экзогенные параметрические системы.

Теперь мы можем сформулировать предмет исследований данной рабо ты.

Предметом исследований данной работы являются математические мо дели одномерных и многомерных экзогенных параметрических систем – ли нейных динамических систем, находящихся под воздействием внешних фак торов, приводящих к зависимости параметров системы от времени, и описы вающие их динамику эволюционные уравнения.

Отметим одну характерную особенность непрерывных экзогенных па раметрических систем: если экзогенные воздействия на систему имеют ха рактер возмущений, то есть приводят к относительно малому изменению е структурных параметров, то это изменение можно охарактеризовать малыми отклонениями структурных параметров от некоторого фонового их значения – возмущениями структурных параметров. Эти возмущения могут носить случайный характер и рассматриваться как флуктуации параметров в окрест ности некоторых средних значений, а могут быть детерминированными. В работе исследуется случай детерминированных отклонений, которые будем называть вариациями или также флуктуациями. Случай сильных (катастро фических) экзогенных воздействий на систему в работе не рассматривается.

Для выяснения актуальности темы работы рассмотрим коротко вопрос о распространнности параметрических систем в окружающей нас реально сти. Для этого приведм некоторые примеры систем, которые можно рас сматривать как экзогенные параметрические системы.

В работах [20, 64] предложена модель малого предприятия (МП), ба зирующаяся на следующих предположениях:

1. МП может развиваться как за счт внутренних источников (прибы ли), так и за счт внешних инвестиций;

2. функционирование МП происходит при неизменной технологии;

3. единственным лимитирующим фактором, определяющим выпуск продукции, являются производственные фонды.

При этих предположениях показано, что динамика МП описывается обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка dA pAt I t, (В.10) dt где 1 c 1 f p (В.11).

1 2 k 1 Входящие в уравнение (В.10) и формулу (В.11) величины имеют следующий экономический смысл:

f – показатель фондоотдачи;

f At – выпуск продукции в момент t в стоимостном выражении;

At – стоимость основных производственных фондов;

M об t 1 c f At – общая прибыль МП;

c – удельная себестоимость выпуска продукции в стоимостном выра жении;

M t M об t N t – чистая прибыль МП за вычетом налоговых от числений N t ;

N t 1Pt 2 k 1 M t – суммарные налоговые отчисления;

1 и 2 – ставки налогообложения на объм выпуска и прибыль соот ветственно;

k – коэффициент, отражающий долю реинвестируемых средств при были, не имеющих льгот по налогообложению, оцениваемый статистическим путм 0 k 1 ;

– доля чистой прибыли, отчисляемой на реинвестирование 0 1;

I t – внешние инвестиции.

Рассматриваются внешние инвестиции трх типов:

1) постоянные – с фиксированными объмами инвестиций для рассмат риваемого периода времени I t I 0 const ;

2) линейно возрастающие – с темпом роста I t t ;

3) возрастающие по экспоненциальному закону I t I 0 expt со средним темпом роста 0 и с минимально гарантированным уровнем поддержки I 0 I 0 (при t 0 ).

На начальном этапе авторы работ [20, 64] рассматривают случай, когда модель описывается уравнением с постоянными коэффициентами (все пара метры системы не зависят от времени), то есть для любого момента времени полагается, что доля чистой прибыли, отчисляемой на реинвестирование t, а также все параметры, входящие в формулу (В.11), являются постоян ными. Таким образом, на начальном этапе рассматривается идеальная мо дель.

Там же авторы рассматривают более сложную модель с переменными во времени как внешними, так и внутренними инвестициями. Динамика внутренних инвестиций вводится в модель через зависимость от времени пе ременной, отражающей долю чистой прибыли, отчисляемой на реинвестиро вание: t. Экономический смысл данной переменной – управляющий параметр, определяемый лицом, управляющим предприятием, и характери зующий размер средств, направляемых на потребление и накопление. Таким образом, указанная функциональная зависимость обусловлена внутренними причинами и может быть охарактеризована как эндогенная. Если малое предприятие рассматривается на промежутке времени 0, T, то его динамика описывается уравнением dA pt At I t, (В.12) dt где 1 c 1 t f pt (В.13).

1 2 k 1 t Уравнение (В.12) трактуется как нелинейное дифференциальное урав нение, что является, очевидно, ошибочным, так как дифференциальный опе ратор в уравнении (В.12) линеен. В силу зависимости t в уравнении (В.12) коэффициент pt зависит от времени согласно формуле (В.13) и, та ким образом, уравнение (В.12) описывает малое предприятие как одномер ную эндогенную параметрическую систему с сосредоточенными параметра ми. Случай функциональной зависимости pt, обусловленной внешними (экзогенными) причинами, рассмотрен ниже в параграфе 1.4. Отметим, что в силу естественной ограниченности чистой прибыли зависимость (В.13) от времени не может быть “слишком сильной” в том смысле, что значения функции pt сосредоточены в малой окрестности некоторого фонового зна чения. В силу экономического смысла инвестиций – инвестиции как функции времени могут принимать только неотрицательные значения, указанное фо новое значение является левым концом компактного промежутка, являюще гося множеством значений функции (В.13). Такое поведение функции pt можно описать посредством следующей зависимости:

t 0 t, где 0 t.

Ещ одним примером параметрической системы является модель коле бательного контура радиотехнической цепи [7]. Для схемы колебательного контура, изображнной на рисунке В.3, сумма падений напряжений на эле ментах цепи L и R равна ЭДС E uL Ri E, откуда получаем дифференциальное уравнение di Ri E. (В.14) L dt Это дифференциальное уравнение описывает при замыкании ключа пе реходный процесс в электрической цепи. Параметры электрической цепи L и R в рассматриваемом простейшем случае переходного процесса являются постоянными. Для практики геофизических измерений представляет, однако, интерес случай, когда измерительная цепь находится под экзогенными воз действиями, приводящими к зависимости, как параметра L, так и параметра R от времени (параграф 1.2 данной работы). В этом случае имеем экзоген ную параметрическую систему (электрическую цепь) с сосредоточенными параметрами, описываемую линейным обыкновенным дифференциальным уравнением с зависящими от времени коэффициентами di Lt Rt i E t. (В.15) dt Можно привести и другие многочисленные примеры предметных па раметрических систем с сосредоточенными параметрами и их моделей. Та кой обзор, однако, выходит за рамки данной работы.

Из приведнных примеров следует, что параметрические системы ши роко распространены и их математические модели могут быть применены как в различных научных исследованиях, так и в технических приложениях.

L R E Рис. В.3. Колебательный кон тур радиотехнической цепи Теперь можно сформулировать следующий вывод: в силу широкой распространнности параметрических систем с сосредоточенными парамет рами тема данной работы является актуальной.

Степень разработанности проблемы В приложениях для решения основной задачи математического моде лирования систем с сосредоточенными параметрами применяются несколько методов. Приведм их сжатый обзор и проанализируем применимость этих методов для решения основной задачи математического моделирования па раметрических систем с сосредоточенными параметрами. Для краткости ос тановимся только на одномерных моделях, описываемых одним дифферен циальным уравнением.

Широко известным методом решения обыкновенных дифференциаль ных уравнений, как первого, так и более высокого порядков, является метод вариации произвольных постоянных или метод Лагранжа [36]. Суть этого метода весьма проста и состоит в замене произвольных постоянных, которые появляются в процессе интегрирования дифференциального уравнения, под лежащими определению функциями, что позволяет найти общее решение уравнения. После того, как получено общее решение, применение начальных условий позволяет найти решение основной задачи теории обыкновенных дифференциальных уравнений – задачи Коши. К сожалению, область приме нения этого метода ограничена уравнениями с постоянными коэффициента ми, когда возможно нахождение фундаментальной системы решений (ФСР) соответствующего однородного уравнения. Исключением являются извест ные случаи [36], когда удатся преобразовать дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами к уравнению с постоянными коэффициента ми. Метод Лагранжа широко применяется для исследования идеальных сис тем с сосредоточенными параметрами в математической экономике [27], а также под названием “классический метод” в электротехнике [7].

Операторный метод является одним из наиболее простых и прозрачных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем [7, 32]. Метод предложен американским физиком и электротехником Хеви сайдом сначала без какого-либо строгого обоснования. Метод был обоснован только после его успешного применения. Современный вариант метода ос нован на преобразовании Лапласа функции f t, которое задатся формулой F p e pt f t dt. (В.16) Преобразованию Лапласа подвергаются функции f t, удовлетворяющие следующим условиям:

а) функция f t непрерывна при t 0 за исключением быть может ко нечного числа точек, и f t 0 при t 0 ;

б) f t Met при t 0, причм постоянные M и выбираются для каждой функции f t.

Функции f t, удовлетворяющие приведнным условиям, называются оригиналами, а функция F p называется – изображением. Символическая запись того, что F p является изображением оригинала f t, имеет вид f t F p. Справедливы следующие хорошо известные свойства преобра зования Лапласа [4]:

1. f t g t F p G p ;

df n2 d n1 f dn f n p F p p f 0 p n2 0 n1 0;

(В.17) n 2.

dt n dt dt 3. f t a e pa F p.

Вторая формула (В.17) является основной. Из не следует, что диффе ренцированию оригиналов соответствует умножение изображений на p. Это свойство позволяет решить задачу Коши d n1 y dny a1 n1 an y f t, dt n dt d n1 y y0 y0, dy 0 y1,, n1 0 yn dt dt для уравнения с постоянными коэффициентами. Обозначая yt Y p, f t F p и применяя преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, получим Q pY p R p F p, где Q p и R p – многочлены. Отсюда имеем F p R p Y p (В.18).

Q p Применяя к обеим частям (В.18) формулу обращения преобразования Лапла са 1 bi pt f t e F p dp, 2i bi где интеграл бертся по прямой линии с уравнением Re p b, получаем ре шение задачи коши. На практике применяются таблицы обратного преобра зования Лапласа.

Как было сказано выше операторный метод, будучи весьма прозрач ным и технически простым, нашл широкое применение в теории электро технических и радиотехнических цепей, в теории идеальных экономических систем и в теории управляемых систем [4, 7, 21, 22, 27]. К сожалению, он пригоден только для решения дифференциальных уравнений (и систем диф ференциальных уравнений) с постоянными коэффициентами. По этой при чине применить операторный метод для решения основной задачи математи ческого моделирования параметрических систем невозможно.

Ещ одним методом решения основной задачи математического моде лирования линейных систем является метод, основанный на принципе Дюа меля. Этот метод широко применяется для решения основной задачи матема тического моделирования радиотехнических цепей с постоянными во време ни параметрами [4] и для решения основной задачи математического моде лирования линейных динамических систем в математической экономике [27].

Для нахождения реакции системы на внешнее воздействие нужно, зная импульсную характеристику (весовую функцию) системы h, вычислить интеграл наложения – интеграл Дюамеля t f реакц t f возд t g d. (В.19) В теории переходных процессов в электрических цепях формула (В.19) мо жет быть записана в следующих четырх видах [4, 7]:

df t y t f 0ht ht d, 0 d df t t y t f 0ht h d, d t y t f t h0 g f t d, t y t f t h0 g t f d, где ht – переходная функция, связанная с импульсной реакцией формулой dht g t. Весовая функция называется ещ функцией Грина для началь dt ных условий или фундаментальным решением [12] линейного обыкновенно го дифференциального оператора. Каждая из приведнных форм интеграла Дюамеля может оказаться более удобной для применения в зависимости от вида функций f, h или g. В частности, если на вход цепи податся скачок напряжения, то наиболее удобной формой интеграла Дюамеля является фор мула [4] du t it u 0g t g t d, 0 d где i t – ток в цепи в момент времени t, а g t – так называемая пере ходная проводимость в момент времени t, обусловленная скачком напряже ния в цепи в момент времени.

Метод решения основной задачи математического моделирования, ос нованный на применении интеграла наложения, выражающего принцип Дюамеля [12], весьма широко применяется при исследовании линейных сис тем в различных прикладных предметных областях. Применение этого мето да для анализа параметрических систем с распределнными параметрами, ко торые испытывают пространственные флуктуации в окрестности некоторого фонового значения, по-видимому, впервые было описано в работах [60, 61].

В дальнейшем метод широко использовался во многих работах по теории систем с распределнными параметрами, например, в работах [44 – 46]. Ме тод, основанный на принципе Дюамеля, будет использован и в данной работе в переработанной специальной форме, названной методом вторичных источ ников во временной области.

Метод медленно меняющихся амплитуд предложен Ван-дер-Полем [11]. Этим методом можно исследовать параметрические системы, описы ваемые системами уравнений вида dx d y P( x;

y ), dy (В.20) x Q( x;

y ), d где параметр 1. Системы вида (В.20) называются системами, близкими к линейным консервативным системам. В данной системе уравнений pt – безразмерное время, p – резонансная частота.

LC Системы вида (В.20) не имеют точного решения. Суть метода медленно меняющихся амплитуд сводится к следующему. Полагая в системе (В.20) 0, находим решение линейной консервативной системы dx dt y, (В.21) dy x.

dt Это решение может быть записано или в виде x R sin R sin, (В.22) y R cos R cos, или в виде x R cos R cos, (В.23) y R sin R sin.

Подставляя одно из решений (В.22) или (В.23) в систему (В.20) и полагая, что амплитуда R и фаза в системе (В.20) являются медленно меняющими ся функциями времени, получаем укороченное дифференциальное уравне ние, которое описывает процесс установления амплитуды R и фазы.

Например, при подстановке решения (В.22) дифференциальные уравнения установления амплитуды R и фазы принимают вид dR d PR sin, R cos sin QR sin, R cos cos, (В.24) d PR sin, R cos cos QR sin, R cos sin.

d R Учитывая, что 1 и на протяжении каждого отдельного периода при ращение амплитуды R и фазы достаточно малы, можно заменить R и их средними значениями за каждый период колебательного процесса рав ный 2. Производя усреднение за период, приходим к системе укороченных уравнений установления амплитуды и фазы колебаний dR d 2 P( R sin, R cos ) sin Q( R sin, R cos ) cos d, d P( R sin, R cos ) cos Q( R sin, R cos ) sin d.

d 2R (В.25) Учитывая, что функции PR sin, R cos и QR sin, R cos – перио дические по и могут быть представлены рядами Фурье, уравнения (В.25) могут быть записаны в виде dR d 2 P S Q1C, (В.26) d P1C Q1S, d 2 R где P C, P S и Q1C, Q1S – косинусоидальные и синусоидальные состав 1 ляющие первой гармоники разложения функций P и Q в ряд Фурье.

К сожалению, применение метода медленно меняющихся амплитуд ог раничено колебательными системами, описываемыми системами уравнений исключительно указанного специального вида (В.20).

Итак, можно сформулировать следующий вывод: несмотря на то, что обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие динамику ли нейных параметрических систем, являются линейными, их решение не может быть осуществлено описанными выше методами в силу имеющейся функ циональной зависимости коэффициентов уравнений от времени.

Классический метод (Лагранжа) для своей реализации требует нахож дения фундаментальной системы решений исследуемого дифференциального уравнения, что для уравнений с переменными коэффициентами в подавляю щем числе случаев невозможно [36].

Операторный метод изначально ориентирован на решение дифферен циальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами.

Метод, основанный на принципе Дюамеля, в обычной формулировке также не дат возможности решения дифференциальных уравнений с пере менными коэффициентами.

Метод медленно меняющихся амплитуд, будучи ориентирован на ис следование как раз параметрических систем, позволяет исследовать только системы уравнений специального вида (В.20).

Методы численного интегрирования – метод Эйлера и метод Рунге Кутта предполагают выполнение операции численного дифференцирования и по этой причине исследование этими методами систем уравнений, описы вающих динамику многомерных параметрических систем, затруднительно.

Таким образом, ни один из широко известных методов решения обык новенных дифференциальных уравнений в классическом виде не дат воз можности разработки на его основе эффективного алгоритма решения основ ной задачи математического моделирования параметрических систем.

Цели и задачи исследований Проведнные исследования преследовали три основные цели:

1) разработать метод описания экзогенных параметрических систем, адекватный смыслу исследуемой задачи, и предложить на его основе алго ритм численного решения прямой динамической задачи для одномерной и для многомерной линейной экзогенной параметрической системы, описы ваемых соответственно одним обыкновенным дифференциальным уравнени ем, или системой обыкновенных дифференциальных уравнений;

2) реализовать в виде вычислительной программы алгоритм решения первой основной задачи математического моделирования как одномерных, так и многомерных экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами;

3) разработать теоретическую основу алгоритмизации численного ре шения второй основной задачи математического моделирования экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами.

Объектом исследований в данной работе являются экзогенные пара метрические системы с сосредоточенными параметрами, описывающие их динамику дифференциальные и интегральные уравнения и их системы. Из всего многообразия предметных областей, для которых изучение параметри ческих систем представляет научный и практический интерес, для иллюстра ции развитых положений теории и эффективности разработанных алгорит мов выбраны две области:


1) теория электротехнических систем (математическая модель индук тивного измерительного преобразователя в геофизической разведке);

2) теория динамических экономических систем с непрерывным време нем (математическая экономика).

Основные задачи

, поставленные при проведении исследований:

1) анализ физико-математических основ математического моделирова ния экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами;

2) разработка и физико-математическое обоснование экзогенных пара метрических моделей некоторых предметных систем (индуктивного измери тельного преобразователя и линейных динамических систем экономики);

3) разработка унифицированного метода решения первой основной (прямой) задачи математического моделирования динамики экзогенных па раметрических систем с сосредоточенными параметрами на основе инте гральных эволюционных уравнений и их систем;

4) разработка теоретической основы алгоритмизации численного реше ния второй основной (обратной) задачи математического моделирования па раметрических систем;

5) реализация алгоритма численного решения первой основной задачи математического моделирования параметрических систем в виде программ ного вычислительного комплекса, позволяющего проводить численное моде лирование динамики экзогенных параметрических систем с сосредоточен ными параметрами.

Методология и методы исследований Теоретической основой для решения первой основной задачи исследо ваний, поставленной в диссертационной работе, является:

1) основные понятия общей теории систем;

2) общие понятия из теории аналитических функций.

В процессе анализа физико-математических основ математического моделирования экзогенных параметрических систем с сосредоточенными па раметрами использовались:

а) понятие системы, элементарных объектов и математической модели системы;

б) понятие композиции функций нескольких действительных перемен ных;

в) понятие функций класса N и гладких функций.

Теоретической основой для решения второй основной задачи исследо ваний, поставленной в диссертационной работе, является:

1) концепция экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами;

2) концепция вторичных источников во временной области.

В процессе разработки и физико-математического обоснования экзо генной параметрической модели индуктивного измерительного преобразова теля, применяемого в геофизических методах индукционных зондирований и переходных процессов, использовались:

а) основные законы теории и определения элементов электрических цепей;

б) правила Кирхгофа;

в) понятие температурной нестабильности элементов электрической цепи;

г) основные понятия теории обыкновенных дифференциальных урав нений и их систем.

В процессе разработки и физико-математического обоснования мате матических моделей экзогенных параметрических экономических систем ис пользовались:

а) концепция динамической модели экономики кейнсианского типа;

б) концепция многомерной динамической модели экономики Леонтье ва.

Теоретической основой для решения третьей основной задачи исследо ваний, поставленной в диссертационной работе, является:

1) теория обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем;

2) теория интегральных уравнений и систем интегральных уравнений Вольтерра.

В процессе разработки унифицированного метода математического моделирования непрерывных параметрических систем с сосредоточенными параметрами использовались:

а) математический аппарат теории обобщнных функций;

б) концепция обобщнных решений задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем;

в) концепция вторичных источников силового воздействия во времен ной области;

г) принцип наложения Дюамеля.

Теоретической основой для решения четвртой основной задачи иссле дований, поставленной в диссертационной работе, является:

1) понятие нелинейных интегральных уравнений типа Ляпунова Шмидта;

2) концепция линеаризации нелинейных интегральных уравнений.

В процессе разработки теоретической основы алгоритмизации числен ного решения второй основной задачи математического моделирования па раметрических систем использовались:

а) понятие дифференциала Фреше;

б) определение пропогаторов и кратных взаимодействий.

Теоретической основой для решения пятой основной задачи исследо ваний, поставленной в диссертационной работе, является:

1) концепция структурного программирования;

2) концепция языка программирования высокого уровня.

В процессе реализации алгоритма численного решения первой основ ной задачи математического моделирования параметрических систем ис пользовались:

а) основные понятия синтаксиса языка программирования высокого уровня FORTRAN;

б) понятия декларативных операторов и операторов ввода-вывода, по нятие подпрограммы-процедуры.

Научная новизна работы Научная новизна работы заключается в разработке единого математи ческого подхода к математическому моделированию экзогенных параметри ческих систем с сосредоточенными параметрами на основе совместного при менения концепции вторичных источников воздействия на систему во вре менной области и принципа наложения Дюамеля, и в получении следующих основных результатов:

1) разработан метод вторичных источников силового воздействия на систему во временной области, включающий алгоритм определения пара метров фоновой системы;

2) получены интегральные эволюционные уравнения для одномерных и системы интегральных эволюционных уравнений для многомерных парамет рических систем;

3) реализованы программы численного моделирования одномерных и многомерных экзогенных параметрических систем с сосредоточенными па раметрами;

4) предложены постановка и разработан метод решения обратной ди намической задачи в теории экзогенных параметрических систем с сосредо точенными параметрами.

Теоретическая и практическая значимость работы Теоретическая значимость работы состоит в том, что в результате про веднных исследований разработан унифицированный метод решения пер вой основной задачи математического моделирования экзогенных парамет рических систем с сосредоточенными параметрами (прямой динамической задачи) и развит метод решения второй основной задачи математического моделирования экзогенных параметрических систем (обратной задачи опре деления коэффициентов эволюционного дифференциального уравнения).

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанный ме тод решения первой основной задачи математического моделирования экзо генных параметрических систем с сосредоточенными параметрами реализо ван в виде программно-вычислительного комплекса, доставляющего широ кие возможности численного моделирования экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами в различных предметных областях.

Положения, выносимые на защиту 1. Разработан метод интегральных эволюционных уравнений, основан ный на концепции вторичных источников во временной области и принципе Дюамеля, позволивший сформулировать первую основную задачу математи ческого моделирования динамики одномерных и многомерных линейных де терминированных параметрических систем с сосредоточенными параметра ми – возмущнную задачу Коши, как задачу решения эквивалентного инте грального уравнения (системы интегральных уравнений) типа Вольтерра.

2. Разработана и обоснована линейная параметрическая модель подсис темы экзогенной индукционной измерительной системы – индуктивного из мерительного преобразователя. Получена система интегральных эволюцион ных уравнений, описывающих динамику индуктивного измерительного пре образователя, находящегося под воздействием внешних возмущений.

3. Разработаны и обоснованы линейные параметрические модели од номерных и многомерных экзогенных параметрических экономических сис тем с непрерывным временем. Получены интегральные эволюционные урав нения одномерных и системы интегральных эволюционных уравнений мно гомерных параметрических моделей экономических систем, описывающих динамику экономических систем, находящихся под воздействием внешних возмущений.

4. Разработана теоретическая основа метода решения обратной дина мической задачи определения функциональных зависимостей коэффициен тов дифференциального эволюционного уравнения (системы уравнений) изучаемой параметрической системы. Получены линеаризованные инте гральные уравнения для определения вариаций параметров изучаемой систе мы.

Степень достоверности и апробация результатов Достоверность полученных в работе результатов подтверждается об щефизическими выводами, адекватностью и логикой применения математи ческих методов решения основных задач, а также сопоставлением с извест ными из литературы экспериментальными данными результатов численного исследования разработанных моделей предметных систем.

Основные результаты диссертационной работы докладывались или бы ли представлены на следующих научных конференциях и семинарах:

на Четвртой Всероссийской научной конференции с международным участием “Математическое моделирование и краевые задачи” (Май 2007 го да, ГОУ ВПО Самарский технический университет, г. Самара);

на Девятой Всероссийской научной конференции с международным участием “Математическое моделирование и краевые задачи” (Май 2013 го да, ГОУ ВПО Самарский технический университет, г. Самара);

на Всероссийской научно-технической конференции “Математическое моделирование механических явлений” (Май 2007 года, Май 2011года, Май 2013 года, ГОУ ВПО Уральский государственный горный университет, г. Екатеринбург).


Результаты работы неоднократно докладывались на научном семинаре факультета геологии и геофизики Уральского государственного горного уни верситета, на семинаре «Отдела некорректных задач анализа и приложений»

ИММ УрО РАН, на научном семинаре механико-математического факульте та Южно-Уральского государственного университета.

Основные научные результаты автора по теме диссертации опублико ваны в рецензируемых научных журналах. Три публикации осуществлены в изданиях, включнных в список журналов, рекомендованных ВАК РФ. Всего по теме диссертации опубликовано 11 печатных работ.

Основу диссертации составляют научные исследования, выполненные совместно с В. Б. Сурневым при равном вкладе авторов.

Диссертационная работа состоит из оглавления, введения, четырх глав, заключения и списка литературы, изложенных на 191 странице маши нописного текста;

содержит 33 рисунка, 2 таблицы и библиографический список из 70 наименований.

Диссертационная работа выполнена на кафедре математики ФГБОУ ВПО “Уральский государственный горный университет” в процессе совмест ных исследований с научным руководителем, заведующим кафедрой матема тики, доктором физ.-мат. наук, профессором В. Б. Сурневым, которому автор искренне благодарен за предложенную тему работы и проведение совмест ных исследований. Автор благодарен ведущему научному сотруднику лабо ратории электрометрии Института геофизики УрО РАН доктору технических наук А. И. Человечкову за совместную работу над статьй по теории индук тивного измерительного преобразователя. Автор искренне благодарен члену корреспонденту РАН, доктору физ.-мат. наук, профессору В. В. Васину за предоставление возможности выступления на семинаре «Отдела некоррект ных задач анализа и приложений» ИММ УрО РАН. Автор благодарен также главному научному сотруднику ИГФ УрО РАН, доктору физ.-мат. наук, про фессору Ю. В. Хачаю за предоставление возможности проведения некоммер ческого численного эксперимента с использованием лицензионного экземп ляра программного продукта “ Intel Visual Fortran Compiler Professional Edi tion for Widows - Vision 10.01 Serial Number LK8S- BF3GXJKX” и подроб ную рецензию работы, способствовавшую значительному улучшению е тек ста.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 1.1. Экзогенные воздействия на систему как причина возникновения композиционных зависимостей структурных параметров линейных систем 1.1.1. Физический анализ композиционных зависимостей структурных параметров системы от внешних воздействий Система называется идеальной, если она линейная и е структурные пара метры (дальше просто параметры) в процессе эволюции остаются постоянными [6]. Наличие сложных (композиционных) функциональных зависимостей пара метров системы от внешних факторов превращает е из идеальной системы в па раметрическую систему. Рассмотрим физические причины появления указанных композиционных функциональных зависимостей параметров системы от внешних воздействий.

Существование композиционных функциональных зависимостей парамет ров системы от внешних воздействий обусловлено наличием каналов связи сис темы с внешним миром. Следовательно, параметры системы будут функциями внешних воздействий только в случае, если система является открытой. Известно, что по каналам связи с внешним миром осуществляется обмен системы с окру жающей средой потоками, которые могут быть как материальными, так немате риальными, например, информационными [1, 13, 26]. В случае параметрических систем такие потоки являются материальными и влияют на параметры системы (рисунок 1.1), обуславливая композиционную функциональную зависимость по следних от внешних воздействий. Потоки можно подразделить на входящие и выходящие потоки. Причм, возмущающие потоки часто считают входящими, например, приток тепла в систему из окружающей среды (экзогенные возмуще ния). Возмущающие потоки, однако, могут быть и выходящими. Так материаль ные тела могут в процессе движения терять массу, например, автомобиль в про цессе движения сжигает топливо и его масса уменьшается – продукты сгорания “уходят” в атмосферу (эндогенные возмущения). Таким образом, подразделение потоков на входящие и выходящие условно.

Более логично подразделять потоки на возмущающие и компенсационные потоки. Из общей теории систем известно [37], что возмущающие потоки, по крайней мере, для систем, находящихся под экзогенным воздействием, являются “вредоносными”. Они влияют на функционирование системы, приводя к отклоне нию системы от “идеальности”, а в случае, когда возмущения не слишком интен сивные, приводят к функциональным зависимостям параметров системы от внешних воздействий, не нарушая существенно линейность последней. Компен сационные потоки стремятся вернуть систему в исходное состояние идеальной системы, или перевести е в новое состояние, в котором система может считаться идеальной.

В технических системах компенсационные потоки могут быть как естест венными, так и создаваемыми искусственно. Так тепло может отводиться из сис темы при помощи дополнительно созданных устройств, например, радиаторов, что, конечно же, не отменяет естественного отвода тепла посредством контакта самой системы с внешней средой. Искусственные компенсационные потоки “ор ганизуются” в том случае, когда естественные компенсационные потоки не могут обеспечить стабилизации системы в новом состоянии динамического равновесия.

Переход системы из первоначального состояния в новое состояние происходит в случае, когда возмущающие потоки являются более сильными, чем компенсаци онными. Следует отметить, что в процессе эволюции системы внешние воздейст вия могут исчезнуть и система может вернуться в первоначальное состояние иде альной (непараметрической) системы. Вполне очевидно, что с физической точки зрения полностью исключить взаимодействие системы с внешним миром невоз можно. Поэтому любая система, даже если она является линейной, в той или иной мере является также и параметрической.

Возмущающие потоки S a ij, t Компенсационные потоки Рис. 1.1. Взаимодействие системы с внешним миром 1.1.2. Феноменологический метод учта экзогенных возмущений в математической модели системы на примере линейного гармонического осциллятора Наиболее общим методом учта экзогенных возмущений в математической модели системы с сосредоточенными параметрами является известный из класси ческой механики метод Лагранжа, основанный на принципе Гамильтона [29], в схему которого изначально следует заложить на феноменологическом уровне за висимости параметров системы от экзогенных возмущений. В качестве примера возникновения параметрических зависимостей рассмотрим простейшую, но имеющую многочисленные приложения, математическую модель гармонического осциллятора (рисунок 1.2).

Описать гармонический осциллятор на этапе разработки качественной мо дели объекта можно следующим образом: шарик малого размера, лежащий на го ризонтальной плоскости, посредством пружины с жсткостью k соединн с не подвижной массивной стенкой. Трение между шариком и плоскостью, а также трение в пружине, отсутствует. Вся система совершает малые колебания в том смысле, что возвращающая сила, обусловленная растяжением пружины, подчиня ется закону Гука.

m O X Рис. 1.2. Модель гармонического осциллятора Пусть в положении равновесия шарик занимает положение x x0. Тогда смещение из положения равновесия можно обозначить x x x0. Упругая сила, действующая на шарик, зависит, вообще говоря, как от смещения x, так и от температуры внешней среды, влияющей на жсткость пружины:

F F x x0,. (1.1.1) Разложим функцию F в (1.1.1) по формуле Тейлора [15] m 1 k m d f f x f x0 d f x m 1!

k 1 k! в окрестности x0, 0, где 0 – значение температуры, соответствующее нормаль ным условиям (пружина не напряжена), ограничиваясь членами первого порядка:

F x, F x0, 0 dF x0, 0 d F, 2!

x0, 0 x t f x0, t0 t 1 d 2 f,.

F F x0, x t t 2!

Полагая, что при x0 0, t0 0 выполняются условия 0 t0, F 0, 0 0, производя замену x dx, t dt и, пренебрегая бесконечно малыми величи нами, начиная со второго порядка, получаем 0, 0 dx dt f 0, t0 d dt.

F F x, (1.1.2) x dt dt Далее предположим, что скорость изменения температуры слабо зависит от вре мени, то есть выполняется условие d dt – жсткость пружины со временем меняется медленно. Это предположение озна чает, что процесс внешнего воздействия на систему изменяет систему намного медленнее, чем происходят процессы в самой системе. При таком предположении вторым слагаемым в формуле (1.1.2) можно пренебречь и мы получаем F F x, 0 x.

x Учитывая естественное направление возвращающей силы и, обозначая коэффици ент жсткости (структурный параметр системы) F def 0 0, (1.1.3) x для силы получаем окончательное выражение F x, 0 0 x, (1.1.4) где коэффициент жсткости очевидным образом имеет параметрическую зависи мость от температуры, определяемую формулой (1.1.3).

Кинетическая энергия гармонического осциллятора определяется массой и скоростью движения шарика:

m dx T. (1.1.5) 2 dt Потенциальная энергия определяется жсткостью и растяжением пружины.

Вычислим е как работу, затрачиваемую на растяжение пружины на величину x:

x x x U Fd 0 d 0. (1.1.6) 0 Исходя из полученных выражений для кинетической энергии (1.1.5) и для потенциальной энергии (1.1.6), составим функцию Лагранжа системы:

m dx x L 0. (1.1.7) 2 dt Из (1.1.7) следует, что функционал действия имеет вид m dx 2 x t S x, 0 0 dt. (1.1.8) t1 2 dt Записывая действие (1.1.8) на окольных путях m d x 2 0 x 2 dt t S x, 0 t1 2 dt и производя вычисление вариации, имеем d 2x t S x, 0 0 m 2 0 x t dt.

d (1.1.9) d t1 dt Используя принцип Гамильтона, с учтом выражения (1.1.9) для вариации функционала действия, получаем d 2x t m 2 0 x t dt 0.

t1 dt Применяя к последнему равенству лемму Лагранжа, получаем уравнение движе ния линейного гармонического осциллятора в виде d 2x m 2 0 x. (1.1.10) dt Из уравнения (1.1.10) видно, что имеется параметрическая зависимость структурного параметра системы от температуры и, так как имеет место функ циональная зависимость температуры от времени, от времени.

Так как принцип Гамильтона является наиболее общим принципом приро ды, то проведнные выше выкладки имеют общий характер и по аналогии с рас смотренным случаем линейного осциллятора могут быть проведены для любых непрерывных систем с сосредоточенными параметрами. Таким образом, необхо димость выполнения выкладок, аналогичных проведнным выше, отпадает, что позволяет записывать уравнения эволюции параметрической модели, полагая ко эффициенты дифференциальных уравнений зависящими от внешних возмущений и, следовательно, от времени. Поэтому можно дать простое правило перехода от математической модели идеальной системы к математической модели параметри ческой системы, которое существенно упростит построение математических мо делей параметрических систем разной предметной принадлежности. Сформули руем его.

Правило перехода от математической модели идеальной предметной систе мы к математической модели параметрической системы: полагая, что структур ные параметры рассматриваемой системы являются, возможно, сложными функ циями времени, вносим временную зависимость сразу в коэффициенты системы уравнений, описывающих динамику идеальной предметной системы.

1.1.3. Общий случай динамики непрерывной системы с сосредоточенными параметрами, находящейся под воздействием конечного числа внешних возмущений Основываясь на выводах предыдущего пункта, отметим, что особый инте рес с точки зрения приложений представляет случай, когда имеется зависимость параметров системы от конечного числа переменных, являющихся в свою очередь функциями одной переменной, например, времени – композиционная функцио нальная зависимость. Таким образом, функции, структурные параметры системы являются композициями функций внешних воздействий на систему и времени, то есть, имеют место функциональные зависимости вида a ij t a ij u1 t, u2 t,, um t, t. (1.1.11) Здесь i, j 1, 2,, n – индексы, пределы изменения которых зависят от размер ности системы, t – время, а аргументы u1 t, u2 t,, um t функций (1.1.11) – переменные, характеризующие внешние возмущения.

При рассмотрении общих принципов построения математических моделей параметрических систем с сосредоточенными параметрами дальше мы будем изу чать случай, когда параметры системы являются функциями класса N, то есть, являются непрерывно дифференцируемыми функциями до порядка N включи тельно, или даже гладкими функциями – функциями, дифференцируемыми нуж ное, в частности бесконечное, число раз. В таком случае параметры системы можно разложить по формуле Тейлора (или даже в ряд Тейлора) в окрестности начального состояния и оставить в разложении достаточное число слагаемых.

Разложение по формуле Тейлора с точностью до членов порядка p в окрестности U t 0 некоторого начального состояния, соответствующего начальному момен ту времени t 0, компонент вектора параметров системы, имеет следующий вид:

i p 1 k i p 1 i a u t a j u t0 d a j u t t t0 d a j u.

i p 1!

j k 1 k! (1.1.12) Здесь символом u 0 для краткости обозначен вектор-столбец компонент в началь ном состоянии, то есть в фиксированный момент времени t t0 :

u0 u1 t0 u2 t0 um t0.

T Если в окрестности U t 0 функции a ij t являются бесконечно дифференцируе мыми, то в этой окрестности они раскладываются в ряд Тейлора.

Пусть динамика системы с сосредоточенными параметрами, находящейся под внешними воздействиями, описывается системой обыкновенных дифферен циальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами dy i n i a j t y j f i t. (1.1.13) dt j Если внешние воздействия имеют характер возмущений, то есть, структурные па раметры системы можно представить в виде (1.1.12), то подставляя последние разложения в (1.1.13) для всех i 1, 2,, n, получаем:

dy i n i j a j u t0 y f i t dt j 1 np d k a ij u t t t0 d p1a ij u y j. (1.1.14) p 1!

j 1 k 1 k!

Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (1.1.14) является математической моделью процесса эволюции системы с сосредоточен ными параметрами, находящейся под воздействием m внешних возмущений (компонентов m-мерного вектора u t ). Добавляя к системе уравнений (1.1.4) на чальные условия y i t t t0 y0, (1.1.15) получаем задачу Коши (1.1.4), (1.1.5), которую дальше называем возмущнной за дачей Коши. Очевидно, что решение возмущенной задачи Коши описывает в ка ждый момент времени состояние параметрической системы, находящейся под воздействием внешних возмущений.

Отметим, что конкретный вид модельных функциональных зависимостей параметров системы от внешних воздействий в принятом способе описания дол жен определяться феноменологически из результатов экспериментальных иссле дований, или находиться из иных теоретических положений, как это проделано ниже для случая математической модели индуктивного измерительного преобра зователя. Эти функциональные зависимости определяются как типом рассматри ваемой конкретной системы, так и внешними условиями, существующими в ок ружающей среде. Предпочтительным с точки зрения получения обозримых по сложности уравнений теории является случай, когда удатся установить явный вид функциональных зависимостей параметров системы от времени. Из анализа моделей предметных систем будет видно, что такой вид зависимостей для линей ных параметрических систем удатся установить всегда. По этой причине, не на рушая общности, примем далее возможность явного выражения функциональной зависимости коэффициентов системы ОДУ (1.1.13) от времени.

1.2. Параметрическая модель индуктивного измерительного преобразователя В этом параграфе показано, что измерительная система в индуктивной элек троразведке, находящаяся под экзогенными (внешними) температурными воздей ствиями, обусловленными возмущениями температуры, является линейной пара метрической системой с сосредоточенными параметрами. Установлена парамет рическая математическая модель подсистемы этой системы [55], именуемая «Ин дуктивный измерительный преобразователь» [10].

1.2.1. Структурная схема электромагнитного зондирования Структурная схема эксперимента по электромагнитному зондированию гео логической среды приведена на рисунке 1.2.1, где система электромагнитного зондирования показана как совокупность последовательно соединнных элемен тов.

Генератор возбуждает в генераторной антенне первичное электромагнитное поле, которое проникает в исследуемую геологическую среду и возбуждает в ней вторичное электромагнитное поле, накладывающееся на первичное поле. Полное поле наводит в примной антенне электрический ток, который регистрируется и частично обрабатывается в примной аппаратуре.

Генераторная Геологическая Приёмная Измерительная Генератор антенна антенна среда аппаратура Рис. 1.2.1. Структура эксперимента по электромагнитному зондированию геологической среды Методы электромагнитного зондирования естественным образом подразде ляются на высокочастотные методы – радиоволновое просвечивание, и низкочас тотные методы – постоянными полями, зондирования переменными магнитотел лурическими полями, частотные методы зондирования, методы становления поля, индуктивные методы. Дальше рассмотрим систему электромагнитного зондиро вания только для методов индуктивной электроразведки.

1.2.2. Индуктивные методы электроразведки Под этим названием объединены методы электроразведки с источником первичного поля в виде незаземлнных контуров (рисунок 1.2.2), в которых про текает переменный ток низкой частоты (1 105 Гц). Так как геологическая среда является проводящей, первичное поле наводит в ней индукционные токи, возбуж дающие вторичное электромагнитное поле, которое в свою очередь наводит токи в примной рамке, расположенной на поверхности Земли или в иных областях пространства, например, на вертолте (аэровариант метода). Эти токи регистри руются и обрабатываются измерительной аппаратурой (регистратором).

Особенность индуктивных методов, отличающая их от других методов электроразведки, состоит в следующем. При изучении геологических объектов геометрические размеры установок, диапазон частот (если используется возбуж дение гармоническими полями) и время изучения переходного процесса (если ис пользуется возбуждение нестационарным полем) выбираются так, чтобы измере ния проводились в индукционной зоне источников первичного поля, а размеры изучаемых геологических объектов были малы по отношению к длине электро магнитной волны. Низкие частоты полей и сравнительно небольшая скорость из менения поля во времени, приводят к тому, что токи смещения не оказывают сколько-нибудь существенного воздействия на изучаемые в индуктивных методах поля [2, 9, 18, 69, 70].

На рисунке 1.2.2 показан контур с током, расположенный на поверхности Земли (дневная поверхность). В полупространстве, сложенном относительно пло хо проводящими породами, моделирующем геологическую среду, расположен хорошо проводящий и, в общем случае, намагниченный объект. Переменное элек тромагнитное поле, наблюдаемое в точках дневной поверхности, складывается из нормального поля контура с током, и аномального поля, обусловленного влияни ем проводящего объекта. Физические причины возникновения аномального поля коротко можно сформулировать следующим образом: в силу того, что хорошо проводящий объект находится в переменном электромагнитном поле, в нм инду цируются вихревые токи, магнитное поле которых накладывается на первичное поле, создавая тем самым в области наблюдения аномальное поле. Изучение ано мальных полей такого типа представляет интерес для поисков хорошо проводя щих рудных тел.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.