авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Министерство науки и образования РФ Федеральное Государственное Бюджетное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования Уральский ...»

-- [ Страница 2 ] --

Источник первич ного поля Контур с током Силовые линии первичного поля E Индуцированные в объекте токи Проводящий объект Рис. 1.2.2. Аномальное электромагнитное поле проводящего объекта Следует отметить что, вообще говоря, вмещающие исследуемый объект горные породы сами обладают конечной проводимостью и могут быть неодно родными по проводимости. По этой причине первичное поле и во вмещающих породах наводит вихревые токи. Изучение аномальных полей над рудовмещаю щими горными породами, представляет интерес для геологического картирова ния. При изучении полей от рудных объектов, аномалии полей от вмещающих горных пород рассматриваются как аномалии-помехи, а аномальные поля, суще ствование которых обусловлено рудными телами, приходится выделять тем или иным методом.

Методы индуктивной электроразведки можно классифицировать по способу возбуждения первичного поля, методике измерения магнитного поля и по харак теру изменения этого поля во времени. Такую классификацию можно найти, на пример, в работах [2, 18, 70], и мы е обсуждать не будем, так как анализ методов индуктивной электроразведки не является задачей данного параграфа. Остано вимся только на методе переходных процессов, на примере которого разъясним важность для практики введения модели параметрической системы электрораз ведки. При обсуждении метода переходных процессов будем следовать работам [7, 18, 70].

В методе переходных процессов (МПП) изучается нестационарное электро магнитное поле, возбужднное в изучаемой неоднородной геологической среде при помощи незаземлнных контуров с током, то есть посредством явления ин дукции.

Физическая суть метода переходных процессов состоит в следующем (ри сунок 1.2.3). Если через незаземлнный контур (на рисунке 1.2.3 – рамка генера тора) пропускается кратковременный импульс тока, то в пространстве вокруг контура возникает первичное магнитное поле. Это поле индуцирует в проводя щем полупространстве нестационарные электрические токи, которые существуют и после окончания импульса тока. Индуцированные токи зависят от характери стик первичного поля, от положения и формы генераторной рамки и от распреде ления проводимости и, вообще говоря, магнитной проницаемости среды в ниж нем полупространстве. В соответствии с законом индукции токи, индуцирован ные в проводящих структурах, в свою очередь генерируют в пространстве вто ричное магнитное поле.

Зависимость поля от конструктивных характеристик источника учитывается при расчте нормального поля источника, а основную полезную информацию не ст в себе вторичное поле, обусловленное наличием в среде неоднородных объек тов. В силу того, что первичное поле имеет конечное время затухания, через неко торое время после окончания действия импульса тока в генераторной рамке в пространстве существует только вторичное поле, которое и нест в себе инфор мацию о строении геологической среды.

Конвективный перенос тепла Атмосфера Земли Солнечные лучи Поверхность Земли Приёмная ап Генератор паратура Рамка генератора Рамка приёмника Исследуемый про водящий объект Рис. 1.2.3. Иллюстрация метода переходных процессов В работе [70] отмечено, что метод переходных процессов выгодно отлича ется от методов, основанных на изучении вторичного поля, генерируемого в про странстве гармоническими токами, следующими двумя особенностями.

1. Вторичное магнитное поле измеряется после того, как исчезнет первич ное поле генераторной рамки. Тем самым решается проблема разделения первич ного поля, не несущего информации о строении геологической среды, и вторич ного поля, несущего в себе полезную информацию об исследуемой среде.

2. Время затухания наведнных в среде токов зависит от проводимости и размеров, находящихся в ней рудных тел, что позволяет разделить наблюдаемое поле во времени на поля, обусловленные переходными процессами в различных областях изучаемой геологической среды.

Недостатком метода переходных процессов является объективная трудность измерения нестационарного поля. Эта трудность влечт конструктивное усложне ние аппаратуры для измерения нестационарного поля по сравнению с аналогич ной аппаратурой для измерения гармонического поля, что приводит к снижению помехоустойчивости измерительной аппаратуры в целом. В частности, результа ты измерений достаточно сильно зависят от экзогенных (внешних) воздействий на измерительную систему (комплекс измерительной аппаратуры). В качестве од ной из таких причин выступает экзогенное тепловое воздействие на измеритель ную систему со стороны окружающей среды (рисунок 1.2.3). Так как это воздей ствие не слишком сильное, в каждый момент времени измерительная система ос татся линейной, но е параметры опосредовано через температуру зависят от ас трономического времени – измерительная система является параметрической.

1.2.3. Описание идеальной модели индуктивного измерительного преобразователя дифференциальным уравнением второго порядка Измеряемые в эксперименте вторичные магнитные поля, как правило, яв ляются слабыми, и провести их измерение без предварительного усиления невоз можно. На входе измерительной аппаратуры (регистратора) должно быть устрой ство, преобразующее напряжнность магнитного поля в электрическое напряже ние. Преобразование напряжнности магнитного поля в электрическое напряже ние (ЭДС) осуществляется при помощи так называемых индуктивных измери тельных преобразователей – ИИП (второе название – индукционные магнитопри мники). На рисунке 1.2.4 показана электрическая схема индуктивного измери тельного преобразователя, который является по существу электрическим колеба тельным контуром. Индуктивные измерительные преобразователи широко ис пользуются в индуктивной геофизической электроразведке при поисках месторо ждений рудных полезных ископаемых (индукционное электромагнитное зонди рование, методы переходных процессов) [9, 68, 70], в инженерной геофизике для контроля за состоянием различных коммуникаций [3], при поисках металличе ских предметов в различных системах безопасности (металлодетекторы) [40], в дефектоскопии [5].

В электроразведке применяются ИИП двух типов: многовитковые кольце вые рамки без сердечника и рамки с разомкнутым сердечником стержневого типа, выполненные в виде многослойных катушек (рисунок 1.2.4). Введение в конст рукцию ИИП ферромагнитного сердечника вытянутой формы, не изменяя прин ципа действия преобразователя, существенно увеличивает магнитный поток, про низывающий рамку и, тем самым, существенно увеличивает чувствительность преобразователя при ограниченных его габаритах, что весьма важно для практики полевых работ. Теория идеальных индуктивных измерительных преобразователей подробно изложена в работах [10, 38]. Приведм только основные результаты этой теории.

Пусть, возбудитель тока (генератор) пропускает через генераторную катуш ку импульс тока, который индуцирует в среде первичное магнитное поле. Взаи модействие первичного поля с проводящими объектами возбуждает в среде вто ричное магнитное поле, которое наводит в рамке примника токи, регистрируе мые посредством индуктивного измерительного преобразователя.

L R E r C Рис. 1.2.4. Принципиальная схема ИИП Согласно работе [7] можно рассмотреть эквивалентную электрическую схе му, которая приведена на рисунке 1.2.5. На эквивалентной схеме ЭДС, наводимая в примной катушке ИИП вторичным магнитным полем, заменена ЭДС эквива лентного источника напряжения.

Из правил Кирхгофа следует обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в идеальном индуктивном измерительном преобразователе, которое имеет вид [38] d 2 uC du 2 C п uC 0 E, 2 (1.2.1) dt dt где 1 r 1 r, п 0,.

2 2 L rR 2 м CR Lм C Подчеркнм, что в уравнении (1.2.1) постоянство коэффициентов не про диктовано физикой задачи, а предполагается априори.

Заметим, что уравнение (1.2.1) легко получается применением правил Кирх гофа к электрической схеме 1.2.4 и представляет собой по существу уравнение колебаний. Более общий метод получения уравнений вида (1.2.1) для различных электрических схем – метод электромеханических аналогий, рассмотрен в работе [69].

Выбирая длительность импульса так, чтобы переходные процессы, обуслов ленные передним фронтом импульса, к моменту выключения поля полностью за кончились, приходим к задаче Коши для уравнения (1.2.1) с нулевыми начальны ми условиями uC t0 0, duC t0 0. (1.2.2) dt В упомянутых выше работах [10, 38] решение задачи Коши найдено операторным методом, что возможно в силу независимости параметров системы от времени – система идеальная.

Решение задачи Коши (1.2.1), (1.2.2) можно также легко найти методом функции Грина, которая для линейного обыкновенного дифференциального опе ратора с постоянными коэффициентами всегда легко находится. При таком под ходе решение нулевой задачи Коши (1.2.1), (1.2.2) датся формулой [12, 57, 59] t y t G t, E d, (1.2.3) где Gt, – функция Грина, вид которой зависит от соотношения структурных параметров исследуемой системы, то есть в конечном итоге от вида корней харак теристического уравнения для уравнения (1.2.1).

1.2.4. Описание идеальной модели индуктивного измерительного преобразователя системой дифференциальных уравнений первого порядка Описание динамики системы уравнением второго порядка вида (1.2.1) име ет вполне конкретные недостатки, о которых будет сказано ниже. Поэтому логи чески оправдано попытаться записать систему уравнений первого порядка, опи сывающую динамику рассматриваемой системы. Решение таких систем часто можно найти более просто, а сам метод исследования, основанный на системах дифференциальных уравнений первого порядка, кроме очевидного преимущества, заключающегося в простоте записи, более физичен.

A a К i b r iR iC E C uC R Рис. 1.2.5. Расчётная схема ИИП Для схемы индуктивного измерительного преобразователя, изображнной на рисунке 1.2.5, по второму закону Кирхгофа для падений напряжений на эле ментах цепи имеем uL t ur t uC t Et, где u L t L di – падение напря dt жения на индуктивности L, ur t rit – падение напряжения на сопротивлении r, uC t – падение напряжения на мкости – выходе схемы, E t – эквивалентная ЭДС, которой заменн ток в индуктивности после коммутации. По первому зако ну Кирхгофа ток i в неразветвлнной части цепи равен сумме i iC iR отте duC u кающих от узла A токов, причм iC C, iR C. Подставим падения на dt R пряжений и токи в уравнения законов Кирхгофа и опустим индекс у падения на пряжения на мкости, получим di ri u E t, L (1.2.4) dt du u i iC iR C. (1.2.5) dt R Объединяя (1.2.4) и (1.2.5) в систему, имеем di L dt ri u E t, du u (1.2.6) C i 0.

dt R Деля в (1.2.6) обе части на индуктивность L и мкость C соответственно, приво дим систему уравнений (1.2.6) к нормальной форме di r 1 i u E t, dt L L L du u (1.2.7) i 0.

dt RC C Систему (1.2.7) можно переписать в матричном виде r 1 0 d 0 1 dt yt L yt f t, L (1.2.8) C RC где 1 it E t.

yt ut, f t L (1.2.9) Снова, как и в уравнении (1.2.1), постоянство коэффициентов системы уравнений (1.2.7) или (1.2.8) предполагается априори и не диктуется физикой за дачи.

Задача отыскания решения системы дифференциальных уравнений (1.2.8), удовлетворяющего начальному условию it yt0 0, ut (1.2.10) является задачей Коши и описывает эволюцию во времени идеальной модели ис следуемой системы – индуктивного измерительного преобразователя.

Находя матричную функцию Грина дифференциального оператора для кон кретных значений параметров системы r, R, L и C (для идеальной модели па раметры постоянны), r 1 0 d 0 1 dt L L L (1.2.11) C RC методом, изложенным в третьей главе работы, решение задачи Коши (1.2.8), (1.2.10) представим в виде t yt Gt, f d. (1.2.12) t Формула (1.2.12) описывает эволюцию во времени идеальной модели индуктив ного измерительного преобразователя.

1.2.5. Функциональные зависимости элементов электрических цепей от температуры Из физических соображений следует [29], что численные значения элемен тов электрической цепи зависят от температуры, то есть имеют место функцио нальные зависимости R RT, L LT, C C T. (1.2.13) Температурная нестабильность как раз и является следствием указанных функ циональных зависимостей.

Для описания температурной нестабильности разложим функции (1.2.13) в ряд Тейлора в окрестности T T0 [55]:

dRT RT RT0 T T0 члены, начиная со второго порядка, T T dT (1.2.14) dLT LT LT0 T T0 члены, начиная со второго порядка, T T dT (1.2.15) dCT C T C T0 T T0 члены, начиная со второго порядка.

T T dT (1.2.16) Ограничиваясь в приведнных разложениях только линейными членами, можем записать следующие линеаризованные соотношения 1 dRT RT RT0 1 T T T T0, (1.2.17) RT0 dT 1 dLT LT LT0 1 T T0, (1.2.18) LT0 dT T T 1 dCT C T C T0 1 T T T T0. (1.2.19) C T0 dT 1.2.6. Температурные коэффициенты Вводя в (1.2.17) – (1.2.19) по определению средние температурные коэффи циенты сопротивления, индуктивности и мкости 1 dRT def kR, (1.2.20) R T0 dT T T 1 dLT def kL, (1.2.21) LT0 dT T T 1 dC T def kC, (1.2.22) C T0 dT T T получаем RT R0 1 kR T T0, (1.2.23) LT L0 1 kL T T0, (1.2.24) CT C0 1 kC T T0, (1.2.25) где R0 RT0, L0 LT0, C0 CT0.

Следует отметить, что температурные коэффициенты остаются постоянны ми только в определнном диапазоне возмущения температуры. За пределами вы деленного диапазона линейная зависимость может нарушаться и в этом случае в разложениях (1.2.14) – (1.2.16) нужно учитывать члены, начиная со второго по рядка и выше. Впрочем, если исключить экзотический случай слишком высоких температур, температурные коэффициенты, начиная со второго порядка, имеют весьма малые значения. Для сопротивления, например, определнная эмпириче ски температурная зависимость в достаточно широком диапазоне температур T 0, 600 C 0 имеет вид RT R0 1 k R1T k R2 T 2 k R3T 3 T 100, где k R1 3,9083103 oC 1, k R2 5,775107 o C 2, k R3 4,183 1012 oC. В температурном диапазоне T 0, 300 Co е можно заменить зависимостью RT R0 1 k R1T k R2 T 2. В более «реалистичном» температурном диапазоне T 20, 60 Co с большой точностью справедлива линейная зависимость (1.2.23).

Нужно отметить, что температурный коэффициент индуктивности носит комплексный характер, так как температурная нестабильность (зависимость от температуры) индуктивности измерительной катушки обусловлена целым рядом факторов:

1) при изменении температуры изменяются длина и диаметр провода об мотки, а также длина и диаметр каркаса, в результате чего изменяются шаг и диа метр витков;

2) при изменении температуры изменяется диэлектрическая проницаемость материала каркаса, что ведт к изменению собственной мкости катушки;

3) при изменении температуры изменяется магнитная проницаемость сер дечника, что непосредственно влияет на величину индуктивности.

Аналогично, температурный коэффициент мкости является комплексным коэффициентом, зависящим от ряда факторов, например, для плоского конденса тора:

1) от температурного коэффициента расширения диэлектрического мате риала прокладки;

2) от температурного коэффициента расширения материала пластин.

1.2.7. Зависимость температурных коэффициентов от скорости изменения температуры В практических приложениях определнные выше температурные коэффи циенты зависят от времени. Действительно, в практике индуктивной геофизиче ской разведки измерения магнитного поля проводятся на некотором временном промежутке, например, в течение светового дня. Тепловой поток, воздействую щий на измерительную систему, в течение суток изменяется – температура окру жающей среды является функцией времени, что приводит к изменению парамет ров измерительной системы. Поэтому временную зависимость нужно ввести в формулы (1.2.11) – (1.2.13). Лучше всего это сделать несколько раньше, в форму лах (1.2.4), (1.2.5).

Для преобразования формул (1.2.4), (1.2.5) к нужному виду достаточно за метить [55], что так как T T t, где t – астрономическое время, то параметры электрической цепи сложным образом зависят от времени, то есть имеем компо зиции функций Rt RT t, Lt LT t, C t C T t. (1.2.26) Тогда разложения (1.2.14) – (1.2.16) с учтом того, что T0 T t0, принимают следующий вид:

dRT t dT RT RT0 t t t t dt dT члены, начиная со второго порядка, (1.2.27) dLT t dT LT LT0 t t t t dt dT члены, начиная со второго порядка, (1.2.28) dC T t dT C T C T0 t t t t dt dT члены, начиная со второго порядка. (1.2.29) Ограничиваясь линейными членами и используя определения температурных ко эффициентов (1.2.20) – (1.2.22), получим t t0, dT RT R0 1 k R (1.2.30) t t dt t t0, dT LT L0 1 k L (1.2.31) t t dt t t0.

dT C T C0 1 kC (1.2.32) t t dt где R0 RT t0, L0 LT t0, C0 CT t0, а величина dT – скорость t t dt изменения температуры в момент t 0.

1.2.8. Описание параметрической модели индуктивного измерительного преобразователя дифференциальным уравнением второго порядка В предыдущем пункте приведены краткие сведения о физических свойствах элементов радиотехнических систем, из которых следует, что если радиотехниче ская система, в частности индуктивный измерительный преобразователь, подвер жена экзогенному тепловому воздействию со стороны окружающей среды, то для параметров системы имеет место композиционная функциональная зависимость от времени через температуру окружающей среды. Выше возможность такой за висимости уже отмечалась. Поэтому в каждый момент времени измерительная система, оставаясь линейной, является параметрической [55]. По указанной при чине, руководствуясь правилом перехода от идеальной системы к линейной пара метрической системе, сформулированным в параграфе 1.1, уравнение (1.2.1) сле дует заменить отвечающим физической реальности уравнением с переменными коэффициентами d 2 uC du 2 t C п t uC 0 E t, 2 (1.2.33) dt dt которое и будет дифференциальным эволюционным уравнением для рассматри ваемой динамической системы – индуктивного измерительного преобразователя.

Уравнение (1.2.33) описывает динамику модели индуктивного измерительного преобразователя, учитывающую экзогенное тепловое воздействие на измеритель ную систему и, тем самым, более точно соответствующую физике рассматривае мого процесса измерения вторичного магнитного поля.

1.2.9. Описание параметрической модели индуктивного измерительного преобразователя системой дифференциальных уравнений первого порядка Выше было отмечено, что описание динамики параметрической системы с помощью дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэф фициентами приводит к трудностям в процессе численного моделирования, свя занным с выполнением процедуры численного дифференцирования (более точные пояснения даны ниже). Избавиться от этих трудностей численного моделирования удатся с помощью описания динамики параметрической системы уравнениями первого порядка вида (1.2.7). Применяя правило перехода от предметной идеаль ной системы с сосредоточенными параметрами к линейной параметрической сис теме, сформулированное в параграфе 1.1, для случая для индуктивного измери тельного преобразователя, можем сформулировать математическую модель пред метной параметрической системы в виде системы обыкновенных дифференци альных уравнений с коэффициентами, сложным образом зависящими от внешних воздействий на систему.

Итак, пусть измерительная система подвержена экзогенным температурным воздействиям. Следовательно, коэффициенты системы (1.2.7) являются сложными функциями времени, и для системы обыкновенных дифференциальных уравнений имеем общую матричную запись [55], аналогичную (1.2.8) p1 t p1 t 1 0 d 0 1 dt y t p t p 2 t y t f t, (1.2.34) 1 r t 1 1 1 p1 t, p2 t, p12 t, p2 t 1. (1.2.35) Lt Lt C t Rt C t Эволюция ИИП во времени как параметрической динамической системы описывается вектор-функцией it yt ut – решением задачи Коши p1 t p1 t 1 0 d 0 1 dt y t p t p 2 t y t f t, (1.2.36) 1 y t y0. (1.2.37) t t Предполагая, что коэффициенты системы уравнений (1.2.34) под действием возмущений температуры варьируют в окрестности некоторых фоновых значе ний, отвечающих значению температуры T0 T t0, разложим их в ряды Тейлора:

r T t r T t p1 t LT t LT t t t drT t dLT t dT t LT t r T t t t0 L2 T t dT t t dt dT r T0 r T0 LT0 1 drT0 1 dLT0 dT t t t0 L2 T0 r T0 dT LT0 dT dt LT0 r T0 r T k r k L dT t0 t t0, (1.2.38) LT0 LT0 dt 1 p1 t LT t LT t t t dLT t dT t t t0 L T t dT t t dt 1 dLT0 dT t t t0 LT0 L T0 dT dt k dT t t t0, L (1.2.39) LT0 LT0 dt 1 p12 t C T t C T t t t dCT t dT t t t0 C 2 T t dT t t dt 1 dCT0 dT t t t0 C T0 C T0 dT dt k dT t t t0, C (1.2.40) C T0 C T0 dt 1 p2 t RT t C T t RT t C T t t t dRT t dCT t dT T t t t t t0 2 dT dT R T t C T t RT t C 2 T t dt dRT0 dCT dT T t t0 2 dT dT RT0 C T0 R T0 C T0 RT0 C T0 dt k kC dT T t t0, R (1.2.41) RT0 C T0 RT0 C T0 dt В разложениях (1.2.38) – (1.2.41) элементов матрицы P T t системы уравнений (1.2.34) температурные коэффициенты определены формулами (1.2.30) – (1.2.32).

Определяя матрицу r T0 RT0 LT A, (1.2.42) 1 C T RT0 C T и вводя обозначение для матрицы флуктуаций r T0 r T t 1 RT0 LT0 RT LT t def Pt A Pt, 1 1 C T t RT t C T t C T RT0 C T0 (1.2.43) перепишем систему уравнений (1.2.34) в виде d yt At yt Pt yt f t.

I (1.2.44) dt Добавляя начальные условия (1.2.37), получим возмущнную задачу Коши (1.2.44), (1.2.37) описывающую динамику линейной параметрической системы – индуктивного измерительного преобразователя, находящейся под действием внешних возмущений температуры. В векторном обыкновенном дифференциаль ном уравнении (1.2.44) величина Pt yt является вектором-столбцом, компо ненты которого представляют собой вторичные источники возмущений во вре менной области [49-52].

1.3. Параметрические модели экономических систем В этом параграфе показано, что при наличии экзогенных возмущений дина мика одномерной и многомерной экономических систем с непрерывным време нем описывается обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка (модель Кейнса), второго порядка (модель Самуэльсона-Хикса), или системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (динамическая модель Леонтьева) соответственно с переменными коэффициентами [49 – 51].

1.3.1. Кейнсианские одномерные математические модели динамических экономических систем В динамической модели экономики Кейнса с непрерывным временем эво люция экономической системы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка [27, 28], коэффициент которого имеет вполне опре делнный экономический смысл. Основной задачей динамики экономической системы в рамках модели Кейнса является задача Коши для эволюционного диф ференциального уравнения первого порядка вида (1.2.11), (1.2.12) dyt pyt f t, (1.3.1) dt yt0 y0, (1.3.2) причм коэффициент p считается постоянным.

Напомним, что в уравнении (1.3.1) искомая функция yt имеет смысл ва лового внутреннего продукта (ВВП);

коэффициент pt 1 c, где c –склонность к потреблению, называется склонностью к накоплению;

входное воздействие на систему описывается функцией f t I t C, где C – минимальный объм фонда потребления, I t – функция инвестиций.

Этим же уравнением описывается динамика малого предприятия [20, 67] (уравнение (В.10)). Коэффициент p теперь выражается формулой 1 c 1 f p, (1.3.3) 1 2 k 1 где величины, входящие в выражение (1.3.3), имеют смысл, описанный во введе нии к работе. В работах [20, 67] предполагается, что ставки налогообложения на объм выпуска 1 и прибыль 2, удельная себестоимость выпуска продукции c (в стоимостном выражении), коэффициент k (доля реинвестируемых средств), а также показатель фондоотдачи f, характеризующий технологию, на основе ко торой малое предприятие осуществляет сою деятельность, в течение всего изу чаемого периода остаются постоянными.

Логично предположить, что ставки налогообложения могут меняться в со ответствие с законодательством и постановлениями различного уровня, удельная себестоимость может изменяться в связи с изменением цен поставщиков на ком плектующие изделия, а технология может меняться в связи с новыми разработка ми в области оборудования, осуществляемыми сторонними организациями. В свя зи с перечисленными причинами коэффициенты, входящие в формулу (1.3.3), превращаются в функции времени и, таким образом, сам коэффициент p приоб ретает сложную композиционную функциональную зависимость от времени вида (1.1.1):

1 t ct 1 f t.

pt p 1 t, 2 t, 1 t, ct, k t, f t 1 2 t k t 1 (1.3.4) Таким образом, математическая модель является линейной параметрической мо делью.

Предполагая далее, что коэффициент p pt является функцией класса N m, можем записать для этого коэффициента представление по формуле Тей лора вида (1.1.2), а уравнение переписать в виде, аналогичном (1.1.14).

Если принять, что явный вид функциональных зависимостей i i t, c ct, k k t, f f t, (1.3.5) где i 1, 2, установлен тем или иным методом, то можно для упрощения выкла док считать, что для коэффициента p pt как функции одного переменного, будет справедливо более простое представление t t0 d m1 p t t0, m k dpk pt pt0 k t m (1.3.6) m 1!

dt m k!

k 1 dt где t, t0. Обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее дина мику экономики или малого предприятия, находящегося под воздействием воз мущений внешних факторов, примет следующий вид t t0 d m1 p t t0.

dyt m k m dp k pt0 yt f t k t m 1!

dt m dt k!

k 1 dt (1.3.7) Добавляя к уравнению (1.3.7) соответствующее начальное условие, приходим к возмущнной задаче Коши, решения которой описывают состояние малого пред приятия в каждый момент времени.

Если принять далее, что функции (1.3.5) являются аналитическими (беско нечно дифференцируемым), то представление (1.3.6) превращается в разложение в ряд Тейлора t t0 k dp k pt pt0 k t0, (1.3.8) k!

k 1 dt что приведт к значительному упрощению соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения, описывающего динамику экономики или малого предприятия, которое примет следующий вид:

t t dyt k dp k pt0 y t f t k t0, (1.3.9) dt k!

k 1 dt или более коротко dyt 1 ct0 yt ct yt f t, (1.3.10) dt где введено обозначение для флуктуации функции склонности к потреблению t t0 k dc k ct ct ct0 k t0, k!

k 1 dt которая имеет математический смысл вторичного источника возмущения во вре менной области, действующего на систему.

Отметим, что методы экспериментального определения функциональных зависимостей вида (1.3.5) являются предметом эконометрики и лежат за рамками исследований положенных в основу данной работы.

1.3.2. Математическая модель Самуэльсона-Хикса В динамической модели Самуэльсона-Хикса эволюция экономической сис темы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго по рядка с постоянными коэффициентами, имеющими вполне определнный эконо мический смысл. Основной задачей динамики экономической системы в рамках модели Самуэльсона-Хикса является задача Коши для обыкновенного дифферен циального уравнения второго порядка обычного вида d 2 y t dyt qyt f t, p (1.3.11) dt 2 dt dyt yt0 y0, y1, (1.3.12) dt коэффициентам которого p, q и искомой функции y yt придатся опреде лнный экономический смысл.

Напомним экономический смысл величин, входящих в уравнение (1.3.11) [27]: искомая функция yt имеет смысл валового внутреннего продукта (ВВП);

pt 1 r, где r – коэффициент акселерации, показывающий, на сколько воз растут инвестиции, если ВВП возрастт на единицу;

q 1 c, где c – склонность к потреблению;

f t I t C, где C – минимальный объм фонда потребления, а I t – инвестиции.

Аналогично тому, как это сделано выше, следует принять для входящих в уравнение (1.3.11) коэффициентов сложные композиционные зависимости от времени. Система превратится в параметрическую систему, а е динамика будет описываться задачей Коши вида d 2 yt dyt pt qt yt f t, (1.3.13) dt dt dyt yt0 y0, y1. (1.3.14) dt Предполагая, что коэффициент акселерации r r t и склонность к потреб лению c ct являются функциями класса N, запишем для них представления по формуле Тейлора, аналогичные представлению (1.3.6):

t t0 d m1 p t t0, m k dpk pt pt0 k t m (1.3.15) m 1!

dt m k!

k 1 dt t t0 d m1q t t0. m k dqk qt qt0 k t m (1.3.16) m 1!

dt m k!

k 1 dt Подставляя эти представления в уравнение (1.3.13), можем записать обыкновен ное дифференциальное уравнение второго порядка, которое вместе с начальными условиями вида (1.3.14) приводит к возмущнной задаче Коши, описывающей ди намику параметрической экономической системы в рамках модели Самуэльсона Хикса:

d 2 y t dyt dyt 1 r t0 1 ct0 yt r t qt yt f t, dt 2 dt dt (1.3.17) dyt yt0 y0, y1. (1.3.18) dt Здесь флуктуации коэффициентов уравнения (1.3.13) 1 d k pt0 1 d k r t pt pt pt 0 t t0 t t0 k, k k k k 1 k! k 1 k!

dt dt (1.3.19) 1 d k qt0 1 d k ct qt qt qt 0 t t0 t t0 k, k k k k 1 k! k 1 k!

dt dt (1.3.20) определяются через флуктуации параметров системы 1 d k r t r t t t0 k, (1.3.21) k k 1 k! dt 1 d kc ct t0 t t0 k. (1.3.22) k k 1 k! dt Из дальнейшего изложения будет видно, что уравнение (1.3.17) не очень удобно для проведения математического моделирования развиваемым в работе методом. Поэтому мы рассмотрим модели многомерных параметрических систем, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений, имея в виду известный факт, что обыкновенное дифференциальное уравнение любого конечного порядка можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [39, 65].

В заключение этого пункта на примере модели Самуэльсона-Хикса пока жем, как одномерная математическая модель может быть сведена к многомерной математической модели.

В модели экономики Самуэльсона-Хикса с непрерывным временем [28] эволюция экономической системы описывается решением задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (1.3.13), (1.3.14).

Произведм в уравнении (1.3.13) замену переменной:

dy t.

y1 yt, y (1.3.23) dt Нетрудно видеть, что замена (1.3.23) в (1.3.13), (1.3.14) приводит нас к задаче Ко ши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений dy t y 2 t 0, dt 2 (1.3.24) dy t pt y 2 t qt y1 t f t dt с начальными условиями y1 t0 y1, y 2 t0 y0.

(1.3.25) Вводя обозначения y1 t 0 1 y t 2, Pt, f t f t, qt pt y t приходим к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравне ний в векторно-матричной форме записи d y t Pt y t f t, (1.3.26) dt y1 t0 y1, y 2 t0 y0.

(1.3.27) 1.3.3. Многомерные математические модели динамики экономических систем В предыдущем пункте сформулирована параметрическая математическая модель экономической системы Самуэльсона-Хикса (1.3.13), (1.3.14). Дана также формулировка параметрической модели Самуэльсона-Хикса в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (1.3.24) или (1.3.26). Рассмотрим более общую параметрическую динамическую модель экономической системы – параметрическую модель Леонтьева.

В динамической модели экономики Леонтьева с непрерывным временем эволюция идеальной экономической системы описывается системой обыкновен ных дифференциальных уравнений первого порядка [27, 28] с постоянными ко эффициентами d Y 1 I A Y 1 X, I (1.3.28) dt где A – матрица прямых материальных затрат, – матрица коэффициентов вло жений или коэффициентов приростной фондомкости, I – единичная матрица, вектор-столбец Y t y1 t y 2 t y n t T – n-мерный вектор-столбец конечной продукции каждой из n отраслей произ водства, а X t x1 t x 2 t x n t T – n-мерный вектор-столбец входных воздействий на систему.

Напомним экономический смысл элементов указанных матриц.

Элемент a ij матрицы A – коэффициент прямых материальных затрат, пока зывает, какое количество продукции i -той отрасли производства необходимо, ес ли учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j той отрасли производства.

Элемент ij матрицы – коэффициент приростной фондомкости, пока зывает, какое количество продукции i -той отрасли должно быть вложено в j -тую отрасль для увеличения производственной мощности j -той отрасли на единицу продукции.

Вводя следующие обозначения f t 1 X, Pt 1 I A, систему уравнений (1.3.28) запишем в виде d yt Pt yt f t.

I (1.3.29) dt Добавляя к системе уравнений (1.3.29) начальные условия yt0 y0, (1.3.30) видим, что динамика многомерной экономической системы описывается задачей Коши (1.3.29), (1.3.30).

Подчеркнм, что в модели Леонтьева коэффициенты прямых материальных затрат и коэффициенты приростной фондомкости считаются постоянными в те чение всего изучаемого периода.

Прямые материальные затраты складываются из объема производства то варной продукции, структуры товарной продукции, уровня затрат на единицу продукции (расход сырья и материалов на единицу продукции и средней стоимо сти единицы сырья и материалов), а также удельной зарплаты на единицу про дукции (трудоемкость продукции и уровень оплаты труда за 1 чел./час.). Расход материалов на единицу продукции зависит от качества сырья и материалов, заме ны одного вида материала другим, изменения рецептуры сырья, техники, техно логии и организации производства, квалификации работников, отходов сырья и других параметров. Уровень средней цены материалов зависит от рынков сырья, отпускной цены поставщика, внутригрупповой структуры материальных ресур сов, уровня транспортно-заготовительных расходов, качества сырья и т.д.

Таким образом, видно, что элементы матрицы P – структурные параметры системы, являются, вообще говоря, сложными функциями времени. Причм вид но, что функциональные зависимости элементов матрицы P от времени опосре дованы и реализуются через достаточно большое число внешних параметров сис темы. В качестве таких параметров можно назвать среднюю стоимость сырья, удельную зарплату на единицу произведнной продукции, качество сырья, изме нение рецептуры сырья, применяемую в процессе производства технику, техноло гию и организацию производства, квалификацию работников, стоимость утилиза ции отходов сырья и другие параметры. Привести полный перечень параметров вряд ли возможно. Если учитывается известное конечное число m таких парамет ров, то чисто формально можно записать, что p ij p ij c1 t, c2 t,, cm t, t, то есть, получаем как раз функциональные зависимости вида (1.1.11). Так как число внешних параметров ck ck t для системы, вообще говоря, неопределн но, и зависит от степени детальности исследования системы, то можно принять, что зависимости структурных параметров системы – элементов матрицы P, от времени задано явно, что значительно упростит форму записи дифференциаль ных уравнений, описывающих динамику системы.

Предполагая указанную явную зависимость от времени известной, и пола гая, что внешние воздействия имеют характер возмущений, запишем для элемен тов матрицы P представления по формуле Тейлора вида (1.1.13) d k Pt0 t t0 d m1 P t t0 m1, k Pt A m (1.3.31) m 1!

t t dt m dt k k!

k d k Pt d k Pt A Pt0, (1.3.32).

t t dt k dt k Подставляя (1.3.31) в уравнение (1.3.29), получаем d yt At yt Pt yt f t, I (1.3.33) dt где введено обозначение m d k Pt0 t t0 k d m1 P t t0 m def Pt A Pt m 1!

.

t t dt m dt k k!

k (1.3.34) Если считать структурные параметры системы гладкими функциями, то вместо представления по формуле Тейлора, для них можно записать разложение в ряд Тейлора и уравнение (1.3.33) примет более простой вид:

d yt At yt Pt yt f t, I (1.3.35) dt d k Pt0 t t k def Pt A Pt. (1.3.36) dt k k!

k Добавляя к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (1.3.33) или (1.3.35) начальные условия (1.3.30), приходим к возмущнной задаче Коши, описывающей динамику многомерной экономической системы, находящейся под воздействием внешних возмущающих факторов, в модели, которую назовм па раметрической моделью Леонтьева. Отметим, что элементы матрицы (1.3.36) имеют математический смысл вторичных источников возмущения во временной области, действующих на систему.

ГЛАВА 2. ПРИНЦИП ДЮАМЕЛЯ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ 2.1. Принцип Дюамеля и решение задачи Коши 2.1.1. Принцип Дюамеля Для изучения эволюции параметрических динамических систем с сосредо точенными параметрами в работе используется принцип Дюамеля, суть которого состоит в следующем.

Пусть требуется решить линейное обыкновенное дифференциальное урав нение порядка n d Ln t, y t f t, (2.1.1) dt d n d dn d Ln t, a0 n a1 n1 an1 an dt dt dt dt – линейный обыкновенный дифференциальный оператор с постоянными коэффи циентами, действующий на множестве допустимых функций. Уравнение (2.1.1) описывает эволюцию во времени линейной параметрической системы с сосредо точенными параметрами. Пусть для линейного обыкновенного дифференциально го оператора Ln существует обратный оператор L1 :

n L1 Ln Ln L1 I. (2.1.2) n n Здесь I – единичный, или тождественный оператор. Логично предположить [1], что обратный оператор L1 является интегральным оператором с ядром Gt, s, n то есть, записывается в виде L1 dsGt, s, (2.1.3) n где символом обозначено место для функции, на которую действует опера тор. Далее считается, что рассматриваемые функции являются финитными [12] и, следовательно, интегрирование производится в бесконечных пределах. Поэтому обозначения пределов интегрирования можно опустить.

Действуя интегральным оператором (2.1.3) на обе части уравнения (2.1.1), получаем:

yt L1 f t dsGt, s f s. (2.1.4) n Подействуем на обе части (2.1.4) оператором Ln, предполагая, что переста новка операций дифференцирования и интегрирования законна, в результате с учтом (2.1.2) получим f t Ln yt Ln dsGt, s f s dsLnGt, s f s. (2.1.5) Учитывая в (2.1.5) формальное определение дельта-функции f t ds t s f s, (2.1.6) получаем dsLnGt, s f s ds t s f s, откуда имеем LnGt, s t s. (2.1.7) Из соотношения (2.1.7) следует, что ядро интегрального оператора (2.1.3) удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению (2.1.1), что и функция yt, но с “силовой функцией”, заменнной дельта функцией Дирака. Ядро инте грального оператора (2.1.3) называется фундаментальным решением или функци ей Грина дифференциального оператора Ln [12].

Таким образом, решение дифференциального уравнения (2.1.1) в соответст вие с формулой (2.1.4) может быть представлено в виде yt dsGt, s f s, (2.1.8) где функция Грина Gt, s дифференциального оператора L удовлетворяет уравнению LnGt, s t s. (2.1.9) Формула (2.1.9) выражает известный принцип Дюамеля [12]. Эта формула дат решение ПДЗ и определяет оператор системы в виде S L1 dsGt, s. (2.1.10) 2.1.2. Решение задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения порядка n Приведнное выше изложение является эвристическим. Строгое изложение можно найти, например, в работе [12]. Рассмотрим решения задачи Коши для од ного обыкновенного дифференциального уравнения порядка n.

Из (2.1.7) следует, что фундаментальное решение линейного обыкновенного дифференциального оператора (2.1.3) удовлетворяет уравнению d nk G d nG n pk nk t, (2.1.11) dt n k 1 dt где использована приведнная форма записи дифференциального оператора, по лучающаяся после умножения обеих частей (2.1.1) на и обозначения a ak pk, k 1, 2,, n. Фундаментальное решение не единственно, но опреде a ляется с точностью до произвольного решения однородного уравнения d Ln t, u 0. Для дальнейшего имеют большое значение следующие теоремы dt [12].

Теорема 2.1.1. Фундаментальное решение (функция Грина для начальных условий) G t линейного обыкновенного дифференциального оператора d nk d d n n Ln t, n pk nk dt dt dt k имеет вид G t H t Z t, (2.1.12) где Z t – решение однородного уравнения Ln Z t 0 с начальными условиями d n1 Z dZ 0 d 2 Z 0 d n2 Z Z 0 1.

0, (2.1.13) dt n dt n dt dt В (2.1.12) H t – функция Хевисайда, которая определяется формулой:

t 0, def 1, H t (2.1.14) 0, t 0.

Теорема 2.1.2. Решение задачи Коши для линейного обыкновенного диффе ренциального уравнения порядка n с постоянными коэффициентами d n y t d n1 y t d 2 y t dyt pn y t f t, p1 pn2 pn dt n dt n dt 2 dt (2.1.15) dy0 d 2 y 0 d n1 y y0 y0, y1, y 2,, y n1, (2.1.16) dt n dt dt где f t – непрерывно дифференцируемая функция на луче t 0, датся форму лой d k Z t n y t Z t s f s ds ck, (2.1.17) dt k k где коэффициенты ck выражаются через коэффициенты уравнения (2.1.15) и начальные условия.

Формула (2.1.17) выражает принцип Дюамеля, причм функция Грина G t s для начальных условий находится по формуле (2.1.12). Учитывая (2.1.12), формулу (2.1.17) можно записать в виде d k Z t n t y t G t s f s ds ck. (2.1.18) dt k k Формула (2.1.18) используется для решения нулевой задачи Коши в виде [10] t yt Z t s f s ds. (2.1.19) Теоремы 2.1.1 и 2.1.2, формулы (2.1.12), (2.1.18) и более простая формула (2.1.19) будут использованы ниже.

2.1.3. Фоновая система и решение возмущнной задачи Коши для одно мерной предметной параметрической системы Для одномерной параметрической системы, эволюция которой описывается обыкновенным дифференциальным уравнением порядка n с зависящими от вре мени коэффициентами, рассматриваем задачу Коши d n y t d n1 y t d 2 y t dyt p1 t pn2 t pn1 t pn t y t f t, dt n dt n dt 2 dt (2.1.20) d 2 y t 0 d n1 y t dyt yt0 y0, y 2,, y n1.

y1, (2.1.21) dt n dt dt Решение этой задачи позволило бы сконструировать оператор системы S. Поста новка прямой динамической задачи для простой динамической системы форму лируется следующим образом: зная оператор системы S (оператор L S 1 ), по известному входному воздействию на систему определить е отклик. В работах [48 – 52, 54] показано, что ПДЗ для рассматриваемых в данном параграфе (и во всей работе) классов параметрических систем сводится к эквивалентному инте гральному уравнению Вольтерра.

В то время как задача Коши (2.1.20), (2.1.21) для идеальной системы (коэф фициенты уравнения постоянны) может быть решена, по крайней мере, теорети чески, аналитическими методами, последние применимы для решения соответст вующей задачи Коши (2.1.20), (2.1.21) для параметрических систем лишь в огра ниченной степени. Этот факт легко объясняется, если вспомнить проведнный во введении краткий анализ методов решения систем обыкновенных дифференци альных уравнений, из которого следует, что фундаментальная система решений для уравнения с зависящими от основной переменной (времени) коэффициентами может быть найдена лишь в исключительных случаях [36]. По этой причине в ра боте, основное внимание уделяется методу решения ПДЗ для параметрических систем – методу вторичных источников, берущему начало в квантовомеханиче ской теории рассеяния [62].

Примем в качестве “разумного” предположения, что моделирование пред метной параметрической системы во многих случаях может проводиться в пред положении, что коэффициенты соответствующего модельного дифференциально го уравнения в окрестности некоторой точки t 0, в которой задаются начальные данные, являются функциями класса N, то есть, непрерывно дифференцируемы в указанной окрестности нужное число N раз или даже аналитическими функция ми. Это предположение сужает, вообще говоря, класс рассматриваемых систем до систем, параметры которых слабо зависят от времени. Как было установлено во введении, такие системы с зависящими от внешних возмущений параметрами весьма часто встречаются в различных предметных областях и, следовательно, предположение, например, об аналитичности коэффициентов уравнения (2.1.20) не является чрезмерно ограничительным. Для простоты выкладок предполагаем, что композиционные зависимости параметров системы от внешних возмущений таковы, что возможно восстановление их явного вида от времени.

Преобразуем задачу Коши (2.1.20), (2.1.21), предполагая, что коэффициенты уравнения можно представить формулой Тейлора d k p j t0 t t0 k d m1 p j t t0 m p j t p j t 0 m, (2.1.22) m 1!

dt m dt k k!

k d k p j t0 d k p j t где. Подстановка (2.1.22) в (2.1.20) дат:

t t dt k dt k n m d p t t t k d n j y t d n y t n d n j y t k p j t0 f t j n j k! dt n j j 1 k n k dt dt dt j d m1 p j t t0 m1 d n j y t n m 1! dt n j. (2.1.23) m j 1 dt В правой части (2.1.23) первое слагаемое по-прежнему является входным сигна лом или силовым воздействием на систему, а второе слагаемое описывает так на зываемые вторичные источники, появление которых обусловлено зависимостью от времени структурных параметров системы (коэффициентов обыкновенного дифференциального уравнения).

Предметная система, описываемая дифференциальным уравнением d n y t n d nk y t pk t0 0, (2.1.24) dt nk dt n k дальше будет называться фоновой системой. Описанный прим преобразования дифференциального уравнения (2.1.20) заимствован из теории рассеяния стацио нарных полей [62], где подобное преобразование позволило решить многие при кладные задачи теории взаимодействия волновых полей с пространственными не однородностями среды. Основанный на преобразовании (2.1.23) метод решения прямой динамической задачи будем называть методом вторичных источников во временной области.

Итак, рассматриваем решение прямой динамической задачи в следующей постановке: найти решение возмущнной задачи Коши (2.1.23), (2.1.21) и постро ить по этому решению оператор системы S.

Определяя вариации коэффициентов в уравнении (2.1.23) как отклонения параметров моделируемой предметной системы от соответствующих значений фоновых параметров формулами d k p j t0 t t0 k d m1 p j t t0 m p j t p j t p j t 0 m, m 1!

dt m dt k k!

k где j 1, n, запишем для переменных коэффициентов уравнения (2.1.20) более короткое представление p j t p j t0 p j t. (2.1.25) Подстановка (2.1.25) приводит уравнение (2.1.23) к виду d n y t n d n j y t p j t0 f t dt n j dt n j m d p j t0 t t0 d m1 p j t t0 m1 d n j y t k k n m 1! dt n j. (2.1.26) dt m j 1 k 1 dt k k!

Функция Грина для решения задачи Коши (2.1.23), (2.1.21) теперь может быть легко найдена в соответствии с теоремой 2.1.1 как решение специальной за дачи Коши d n Z t n d nk Z t pk t0 0, (2.1.27) dt nk dt n k d n1 Z t dZ t 0 d 2 Z t 0 d n2 Z t Z 0 0, 1, (2.1.28) dt n2 dt n dt dt так как коэффициенты pk t0 уравнения (2.1.27) – это постоянные числа. Как d nk d d n только функция Грина оператора Ln t, n pk t0 nk найдена, реше n dt dt dt k ние задачи Коши (2.1.26), (2.1.21) записывается по формуле (2.1.17) в виде y t G t s f s m d k p j t0 s t0 k d m1 p j s t0 m1 d n j ys d k Z t n n ds c m 1! dsn j k 0 k dt k, ds m j 1 k 1 dt k k!

или по формуле (2.1.18) d k p j t0 s t0 k d n j ys t t yt Gt s f s ds Gt s n m ds ds n j dt k k!

j 1 k t0 t n d m1 p j s t0 m1 d n j ys d k Z t n t Gt s ds c m 1! dsn j k 0 k dt k, m j 1 dt t (2.1.29) Из теоремы 2.1.2 следует, что уравнение (2.1.29) эквивалентно возмущнной за даче Коши (2.1.23), (2.1.21). Уравнение (2.1.29) – это линейное интегральное уравнение типа Вольтерра второго рода.

Сформулируем полученный результат в виде утверждения.

Утверждение 2.1.1. Пусть на компактном промежутке a, b изменения переменной t поставлена задача Кош (2.1.23), (2.1.21), причм коэффициенты уравнения (2.1.20) непрерывны на промежутке a, b и дифференцируемы m раз на соответствующем открытом промежутке a, b. Тогда, если известна функция Грина – решение задачи Коши для однородного уравнения с постоянны ми коэффициентами (2.1.27) и начальными условиями (2.1.28), то существует окрестность U t0 произвольного начального значения t0 a, b такая, что при любых t U t0 a, b, удовлетворяющих условию t t0, возмущнная задача Коши (2.1.23), (2.1.21) сводится к эквивалентному интегральному уравнению Вольтерра (2.1.29).

Замечание 1. Уравнение (2.1.29) в условиях утверждения 2.1.1 является точным. Однако осуществить численное моделирование на основе этого уравне ния достаточно сложно из-за наличия третьего слагаемого, в котором подынте гральная функция должна вычисляться в точке, удовлетворяющей условию t0 t. Поэтому на практике достаточно предположить, что коэффициенты pk pk t уравнения (2.1.20) являются аналитическими функциями и, следова тельно, могут быть разложены в ряд Тейлора. Тогда третье слагаемое в уравнении (2.1.29) обращается в нуль, и мы приходим к интегральному уравнению d n j ys d k Z t n t t yt Gt s f s ds Gt s pk s n ds ck.

ds n j dt k j 1 k t0 t (2.1.30) Замечание 2. Интегральное уравнение (2.1.30) не является приближнным, но может быть получено при изначально более сильном предположении анали тичности коэффициентов уравнения (2.1.20).

Интегральное уравнение (2.1.29) или (2.1.30) предположительно описывает эволюцию модельной параметрической системы, находящейся под воздействием внешних возмущений, во времени и его решение, если оно существует, является решением прямой динамической задачи. Доказательство существования решения уравнения (2.1.30) мы не приводим. Подобное доказательство будет приведено ниже сразу для многомерной системы, здесь же ограничимся ссылкой на то, что уравнение (2.1.29) или (2.1.30) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, для которого справедлива известная теорема существования и един ственности решения.

Дальше считаем, что интегральное уравнение (2.1.30) описывает эволюцию моделируемой параметрической системы во времени и, следовательно, его реше ние является решением прямой динамической задачи. По этой причине дальше уравнение (2.1.29) или (2.1.30) называется интегральным эволюционным уравне нием системы.

Для практики наиболее важны два случая систем, описываемых обыкновен ным дифференциальным уравнением первого порядка и обыкновенным диффе ренциальным уравнением второго порядка. Выпишем интегральное эволюцион ное уравнение для этих случаев.

Возмущнная задача Коши для обыкновенного дифференциального уравне ния первого порядка ставится так: найти решение уравнения dyt pt yt f t, (2.1.30) dt где pt p0 pt, удовлетворяющее начальному условию yt0 y0. (2.1.31) Преобразованное уравнение, имеет вид dyt p0 yt f t pt yt. (2.1.32) dt Легко видеть, что решением специальной задачи Коши dZ t p0 Z t 0, dt Z 0 1, является функция Z t e p0t, и, следовательно, по формуле (2.1.12) функция Грина Gt H t e p0t. (2.1.33) Формула (1.1.19) для уравнения первого порядка записывается так y t G t s f s ds p0 y0 Z t. (2.1.34) Подстановка (2.1.33) в (2.1.34) дат t yt Z t s f s ds p0 y0 Z t.


t Используя эту формулу для уравнения (2.1.32), получаем интегральное эволюци онное уравнение следующего вида t yt e p t s f s ps ys ds p0 y0 Z t. (2.1.35) t Уравнение (2.1.35) будет использовано ниже при исследовании некоторых мо дельных параметрических систем.

Возмущнная задача Коши для обыкновенного дифференциального уравне ния второго порядка ставится так: найти решение уравнения d 2 y t dyt p1 t p2 t y t f t. (2.1.36) dt 2 dt при заданных начальных условиях dyt yt0 y0, y1, (2.1.37) dt считая, что коэффициенты уравнения могут быть представлены в виде p1 t p1 p1 t, (2.1.38) p2 t p2 p2 t, (2.1.39) где p1 p1 t0 и p2 p2 t0 – постоянные коэффициенты, описывающие фоно 0 1 d j pk t вую систему, а вариации pk t t t0 j, где k 1, 2, коэффици j j 1 j! dt ентов, описывающие изменение параметров моделируемой предметной системы во времени под действием внешних возмущений, определены выше. Подстановка (2.1.38), (2.1.39) в уравнение (2.1.36) приводит к неоднородному уравнению вида d 2 y t dyt dyt p2 y t p1 t p2 t y t f t, (2.1.40) p10 dt dt dt dyt где p1 t p2 t yt – вторичные источники силового воздействия, воз dt никновение которых обусловлено изменением параметров системы во времени.

Находя функцию Грина как решение специальной задачи Коши d 2 Z t dZ t dZ p2 Z t 0, Z 0 0, p10 1, dt dt dt и применяя формулу (1.1.21), которая для задачи (2.1.36), (2.1.37) имеет вид dZ t t yt Z t s f s ds y0 p10 y0 y1 Z t, dt t приходим к интегральному эволюционному уравнению Вольтерра второго рода dZ t yt y0 t p10 y0 y1 Z t dt dys G t, s f s p1 s p2 s y s ds. (2.1.41) ds которое, учитывая вид функции Грина (2.1.12), можно переписать так dZ t yt y0 t p10 y0 y1 Z t dt dys t Z t, s f s p1 s p2 s ys ds. (2.1.42) ds t Вид решения специальной задачи Коши – функции Грина G t, определяет ся видом характеристического уравнения [36] для фоновой системы k 2 p1 k p2 0.

0 Если это уравнение имеет вещественные и различные корни, то p p0 H t 4 p exp t Gt 1 p 4 p2 02 p p0 4 p exp t.

1 (2.1.43) Если характеристическое уравнение имеет вещественный корень кратности 2, то p Gt H t t exp 2 t. (2.1.44) Если характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряжнные корни, то 4 p0 p0 2 H t p10 t.

Gt exp 2 t sin 2 (2.1.45) 4p p 2 2.1.4. Векторное представление многомерной системы Перейдм к рассмотрению общего случая многомерных систем с сосредото ченными параметрами, состоящих из конечного числа элобов и имеющих не сколько входных и несколько выходных каналов. Сигнал на входе такой системы представим вектором, компонентами которого служат некоторые входные функ ции, а выходной сигнал – вектором, компонентами которого служат выходные функции. Тогда, с точки зрения математического моделирования, получим опера торное соотношение вида yt S f t, (2.1.46) где S – явно заданный оператор, описывающий преобразование вектора входного сигнала f t в вектор выходного сигнала yt. Так же, как и в случае простых систем, оператор S в соотношении (2.1.46) называется оператором системы, а са ма система рассматривается как белый или чрный ящик в зависимости от решае мой задачи. Соотношение (2.1.46) является, в общем случае, некоторым отобра жением из одного векторного пространства размерности m в другое векторное пространство размерности n. Сложную систему, имеющую n входов и n выхо дов, будем называть многомерной.

Оператор S является, вообще говоря, матричным оператором, элементами матрицы которого служат интегральные операторы, описывающие отклик на входное воздействие составляющих систему элобов и зависящие от функций Гри на каждого из элобов, поэтому уравнение (2.1.46) можно записать в виде:

y1 t dsG1 t, s dsG2 t, s dsGm t, s f 1 s 1 1 2 y t dsG1 t, s dsG2 t, s dsGm t, s f s 2 2 2...................................................................................

y n t dsG n t, s dsG n t, s dsG n t, s f m s 1 2 m (2.1.47) Основываясь на аналогии с теорией рассеяния, явно заданный матричный опера тор системы S в соотношении (2.1.47) часто называют матрицей рассеяния (см.

также введение), входы и выходы системы – каналами рассеяния, а саму сложную систему – многоканальной. Учитывая представление (2.1.47), мы дальше не будем вводить специального обозначения для оператора сложной системы, то есть, бу дем обозначать его буквой S и, как это принято, говорить об операторе системы как о S -матрице (опуская слово “рассеяния”), а векторы считать векторами столбцами. Тем самым мы будем рассматривать все уравнения в некотором кон кретном функциональном представлении. Отметим, что для важного случая мно гомерной системы S -матрица – матричный интегральный оператор размеров n n.

Если S -матрица задана неявно, то эволюция во времени сложной системы с сосредоточенными параметрами описывается обратным оператором, который яв ляется матричным дифференциальным оператором и, следовательно, эволюция системы описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, которую нетрудно представить в виде одного векторного уравнения.

Можно показать, что линейное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка выше первого или систему таких уравнений всегда можно свести к сис теме линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида 1 0 0 y1 t p1 t p1 t p1 t y1 t f 1 t 2 2 2 2 n 0 1 0 d y t p1 t p2 t pn t y t f t 2.................... dt.......................................... 0 0 1 y n t p n t a n t p n t y n t f n t 1 2 n (2.1.48) методом дополнительных переменных [39, 45, 65]. По этой причине в данном па раграфе предполагается, что системы с сосредоточенными параметрами описы ваются системами обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида (2.1.48) с переменными во времени коэффициентами, то есть в системе урав нений (2.1.48), коэффициенты есть функции времени (или другого параметра) p ij p ij t i, j 1, n и, тем самым рассматривается общий случай параметриче ской системы.

Если для матриц коэффициентов и векторов-столбцов, компоненты которых являются искомыми функциями, в системе уравнений (2.1.48) ввести обозначения p1 t p1 t p1 t 1 0 0 2 2 n p1 t p2 t pn t 0 1 0 2, Pt I..........................................

,....................

0 0 p n t a n t p n t 1 2 n (2.1.49) y1 t f 1 t 2 y t f t y t, f t, y n t f n t то задачу Коши для системы уравнений (2.1.48) можно записать в матрично векторном виде:

d yt Pt yt f t, yt0 y0.

I (2.1.50) dt Соответствующая однородная система уравнений d yt A yt 0, I (2.1.51) dt где A Pt0, описывает эволюцию фоновой системы. Если известна матричная функция Грина для начальных условий, то решение задачи Коши (2.1.50) нахо дится при помощи обобщнной формулы Дюамеля t yt Gt, s f s ds, (2.1.52) t которая может быть переписана в индексной форме:

n y t Gk t, s f k s ds.

i i (2.1.53) k 2.1.5. Матричная функция Грина линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Как упомянуто выше, линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, вводя дополнительные переменные, всегда можно переписать в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Сформу лируем теорему, аналогичную теореме 2.1.1 для матричного линейного обыкно d венного дифференциального оператора первого порядка вида L I A.

dt Теорема 2.1.3. Функция Грина для начальных условий (фундаментальное решение) матричного дифференциального оператора с постоянными коэффици ентами d d L, A I A dt dt выражается через решение задачи Коши d I A Z t O, Z t0 I (2.1.54) dt формулой Gt H t Z t H t Y t Y 1 t0, (2.1.55) где O – нулевая матрица, H t – функция Хевисайда, а Y t – фундаментальная матрица однородной системы d I A y t 0.

dt Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала проверим, что решение задачи Коши d yt A yt 0, (2.1.56) dt yt0 y0 (2.1.57) может быть записано в виде матричной экспоненты [14]:

t2 2 k t kt y t I y0 A y0 A y0 1 Ak y0 e At y0.

1! 2! k!

(2.1.58) Действительно, подставляя (2.1.58) в (2.1.56) и учитывая легко получаемую фор мулу дифференцирования матричной экспоненты k 1 k t 2 A d At t k 1 t A 1 Ae At, e A I A k 1!

1! dt 2!

получаем тождество Ae At y0 Ae At y0 0.

В соответствии с формулой (2.1.58) решением задачи Коши (2.1.56), (2.1.57) при t 0 является матричная функция Z t exp At. (2.1.59) Проверим выполнение начальных условий (2.1.54). По известным формулам для матричной экспоненты Z t exp At S exp tS 1, где S T, T – мат T рица перехода к базису собственных векторов матрицы A, и e 1t 0 2t 0 e exp t........................

.

0 0 e nt Поэтому e0 0 0 e 0 Z 0 exp A0 S exp 0S 1 S S I.

........................

0 0 e Окончательно формула для функции Грина линейной системы обыкновен ных дифференциальных уравнений принимает вид Gt H t Z t H t exp At H t S e t S 1, (2.1.60) что в силу формулы для общего решения однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [36, 60] совпадает с формулой (2.1.55). На этом до казательство теоремы закончено.

Справедлива следующая теорема [60].

Теорема 2.1.4. Пусть поставлена задача Коши d yt A yt f t, yt0 0, I (2.1.61) dt тогда решением задачи (2.1.61) при t t0 является функция t yt Z t, s f s ds, (2.1.62) t где Z t – решение задачи Коши (2.1.54).

Примем соглашение что дальше, как правило, не будем вводить отдельного обозначения для решения специальной задачи Коши (2.1.54), а будем использо вать для этого решения и для функции Грина единое обозначение G t. Тогда для общего случая решение задачи Коши (2.1.61) можно записать в виде t yt Gt, t0 y0 Gt, s f s ds. (2.1.63) t 2.1.6. Вторичные источники и система интегральных уравнений, эквивалентная возмущнной задаче Коши для многомерной системы Рассмотрим теперь решение возмущнной задачи Коши, соответствующей задаче (2.1.50), принимая в качестве “разумного” предположения (параграф 1.2), что коэффициенты соответствующей модельной системы дифференциальных уравнений в окрестности начального значения t 0 являются функциями класса N.


Предполагая для простоты известной явную зависимость коэффициентов системы уравнений (2.1.50) от времени, представим функциональную матрицу коэффици ентов Pt системы (2.1.50) в окрестности значения t0 a, b формулой Тейлора:

d k Pt0 t t0 d m1 P t t0 m1, k Pt A m (2.1.64) m 1!

t t dt m dt k k!

k d k Pt d k Pt A Pt0,, (2.1.65) t t dt k dt k Подставляя (2.1.64) в уравнение (2.1.50), получаем d yt At yt Pt yt f t, I (2.1.66) dt где введено обозначение m d k Pt0 t t0 k d m1 P t t0 m def Pt A Pt m 1!

. (2.1.67) t t dt m dt k k!

k Относя Pt yt к вторичным источникам и записывая решение векторного уравнения (2.1.66) по принципу Дюамеля (2.1.52) или (2.1.62), получаем инте гральное уравнение, эквивалентное возмущнной задаче Коши для системы урав нений (2.1.66) с начальными условиями yt0 y0, следующего вида t yt Gt, t0 y0 y0 t Gt, s Ps ys ds, (2.1.68) t t где вектор y0 t dsGt, s f s.

t Сформулируем полученный результат в виде утверждения.

Утверждение 2.1.2. Пусть на компактном промежутке a, b изменения переменной t поставлена задача Коши (2.1.50), причм элементы матрицы флуктуаций коэффициентов P t векторного уравнения (2.1.66) непрерывны на промежуткеa, b и дифференцируемы m 1 раз на соответствующем от крытом промежутке a, b. Тогда, если известна функция Грина – решение за дачи Коши (2.1.54), то существует окрестность U t0 произвольного начального значения t0 a, b такая, что при любых t U t0 a, b, удовлетворяющих условию t t0, возмущнная задача Коши для системы уравнений (2.1.66) с на чальными условиями yt0 y0 сводится к эквивалентному векторному инте гральному уравнению Вольтерра (2.1.68).

Замечание 1. Уравнение (2.1.68) в условиях утверждения 2.1.2 является точным. Осуществить численное моделирование на основе этого уравнения слож но, так как интегральный член в уравнении (2.1.68) имеет вид t Gt, s Ps ys ds t d k Pt0 s t0 d m1 P s t m k t t Gt, s y s ds Gt, s y s ds, m 1!

dt m dt k k!

k t0 t где во втором слагаемом подынтегральная функция должна вычисляться в точке, удовлетворяющей условию t0 t. Поэтому на практике достаточно пред положить, что матрица коэффициентов Pt уравнения (2.1.50) является аналити ческой функцией и, следовательно, может быть разложена в ряд Тейлора. Тогда второе слагаемое в интегральном члене уравнения (2.1.68) обращается в нуль, и мы приходим к интегральному уравнению t yt Gt, t0 y0 y0 t Gt, s Ps ys ds, (2.1.69) t где интегральный член имеет вид d k Pt0 s t k t t Gt, s Ps ys ds Gt, s ys ds dt k k!

k t0 t t Gt, s A Ps ys ds.

t Замечание 2. Интегральное уравнение (2.1.69) не является приближнным, но может быть получено в более сильном изначально предположении аналитич ности коэффициентов уравнения (2.1.50).

Векторное интегральное уравнение (2.1.69) предположительно описывает эволюцию модельной параметрической системы, находящейся под воздействием внешних возмущений, во времени и его решение, если оно существует, является решением прямой динамической задачи. Доказательство существования решения уравнения (2.1.69) будет приведено ниже, а сейчас ограничимся ссылкой на то, что уравнение (2.1.68) или (2.1.69) является векторным интегральным уравнением Вольтерра второго рода. Дальше это уравнение называется интегральным эволю ционным уравнением системы.

Следует подчеркнуть, что интегральное уравнение (2.1.68) или (2.1.69) эк вивалентно именно возмущнной задаче Коши для уравнения (2.1.66) с началь yt0 y0, а не задаче Коши (2.1.50). Поэтому структура по ными условиями лученных в этом параграфе интегральных эволюционных уравнений (2.1.29), (2.1.30) и (2.1.68), (2.1.69) существенно отличается от структуры интегральных уравнений, применяемых при доказательстве теоремы существования и единст венности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений [34, 60], наличием мультипликативных ядер и вторичных источников во временной облас ти в интегральном члене. Кроме этого, данные уравнения получены с использова нием принципа Дюамеля и понятия обобщнного решения. Следует отметить, что интегральные эволюционные уравнения (2.1.29), (2.1.30) и (2.1.68), (2.1.69) можно получить классическими методами, например, на основе формулы Коши [63].

2.2. Конструкция S -матрицы линейной параметрической системы 2.2.1. Решение системы интегральных эволюционных уравнений методом подстановок Воспользуемся для решения интегральных эволюционных уравнений мето дом последовательных подстановок [34]. Не уменьшая общности, перепишем век торное интегральное уравнение Вольтерра (1.3.24) в виде уравнения Фредгольма b y t y0 t G t, t1 Pt1 y t1 dt1, (2.2.1) a где матричные элементы Gk t, s в верхней половине s t квадрата a t, s b i доопределены условием i, k 1, n Gk t, s 0 и введено обозначение i b y0 t G t, t0 y0 dsGt, s f s.

a Уравнение (2.2.1) по аналогии с теорией рассеяния называется уравнением Лип мана-Швингера [62] (УЛШ). Решение УЛШ (2.2.1) представляется борновским рядом, который получается методом последовательных подстановок. Для этого запишем (2.2.1) для различных моментов времени t1, t2, t3, a, b:

b y t1 y0 t1 G t1, t 2 Pt 2 y t 2 dt2, a b y t 2 y0 t 2 G t 2, t3 Pt3 y t3 dt3, a..........

..........

..........

..........

..........

...........

......

Совершая бесконечную подстановку в (2.2.1), получаем решение УЛШ в виде ис комого ряда:

b y t y0 t G t, t1 Pt1 y0 t1 dt a bb Gt, t1 Pt1 Gt1, t 2 Pt 2 y0 t 2 dt2 dt aa bbb G t, t1 Pt1 G t1, t 2 Pt 2 G t 2, t3 Pt3 y0 t3 dt3 dt2 dt1.

aaa (2.2.2) Решение (2.2.2) УЛШ (2.2.1) теперь может быть записано в виде (1.3.1).

Действительно, меняя в (2.2.2) обозначение переменной интегрирования, опреде лим матрицу взаимодействия def b bb T dt1G t, t1 Pt1 dt1dt2G t, t 2 Pt 2 G t 2, t1 Pt a aa bbb dt1dt2 dt3G t, t3 Pt3 G t3, t 2 Pt 2 G t 2, t1 Pt1.

aaa (2.2.3) Подставляя (2.2.3) в (2.2.2), получаем решение УЛШ (2.2.1) в виде yt I T y0 t. (2.2.4) Сравнивая (2.2.4) с (1.3.1), видим, что S -матрица системы может быть определе на равенством def S I T. (2.2.5) Таким образом, S -матрица системы представлена явной конструкцией в виде матричного интегро-степенного ряда.

Программа решения первой основной задачи математического моделирова ния для одномерной и многомерной параметрической системы с сосредоточен ными параметрами может считаться завершнной, если будет показано, что инте гральные уравнения (2.1.30) и (2.1.69) эквивалентные задачам Коши (2.1.20), (2.1.21) и (2.1.50) соответственно, описывают эволюцию во времени соответст вующей линейной параметрической системы с сосредоточенными параметрами.

Для этого следует выяснить вопрос о сходимости Борновского ряда (2.2.2) и типе этой сходимости.

Теорема 2.2.1. Если i, j 1, n функции yt, f t и матрица P t непрерывны на компактном промежутке a, b, то ряд Борна (2.2.2) сходится на этом промежутке абсолютно и равномерно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Матричная функция Грина уравнения (2.2.1) огра ничена на a, b, а вектор-функция f t непрерывна на a, b, следовательно, max y j например, по норме справедливы оценки y ta, b j 1, n Gki t, t1 p kj t1 M, y t1 N, откуда для общего члена V ji t, n ряда n j k M b a n.

t, n N i (2.2.2) имеем V Ряд с положительным общим членом j n!

M b a n сходится при любых числах M, N, b a и является мажорантой N n!

функционального ряда (2.2.2). Поэтому функциональный ряд (2.2.2) сходится аб солютно и равномерно на всм промежутке времени a, b.

Доказанная равномерная сходимость ряда последовательных приближений позволяет утверждать, что предлагаемый метод описания параметрических сис тем адекватен физической ситуации. Сведм воедино результаты утверждений 2.1.1 и 2.1.2.

Утверждение 2.2.1. Пусть эволюция многомерной параметрической сис темы S с сосредоточенными параметрами, находящейся под воздействием внешних возмущений, на промежутке времени a, b описывается решением за дачи Коши для уравнения (2.1.50), а эволюция фоновой системы описывается со ответствующей задачей Коши для уравнения с постоянными коэффициентами (2.1.51), и пусть элементы матрицы коэффициентов Pt уравнения (2.1.50) как функции времени непрерывны на всм промежутке a, b и дифференцируемы m 1 раз на соответствующем открытом промежутке a, b. Тогда сущест вует такая окрестность U t0 произвольного начального значения времени t0 a, b, что при любых t U t0 a, b таких что t t0, динамика системы может быть описана интегральным уравнением вида (2.1.68) или (2.1.69), экви валентным соответствующей возмущнной задаче Коши.

Утверждение 2.2.1 является основным для всей работы, так как позволяет описать эволюцию во времени линейной параметрической системы с сосредото ченными параметрами, находящейся под воздействием внешних возмущений, ин тегральным эволюционным уравнением Вольтерра второго рода. Как известно [25] численное решение этого уравнения осуществить намного проще, чем реше ние исходного векторного обыкновенного дифференциального уравнения (систе мы обыкновенных дифференциальных уравнений).

С соответствующими упрощениями аналогичное утверждение справедливо, конечно, и для одномерной линейной параметрической системы с сосредоточен ными параметрами. Сформулируем его как следствие утверждения 2.2.1.

Следствие из утверждения 2.2.1. Пусть эволюция одномерной параметри ческой системы S с сосредоточенными параметрами на промежутке времени a, b описывается решением задачи Коши (2.1.20), (2.1.21), а эволюция фоновой системы описывается соответствующей задачей Коши для уравнения с посто янными коэффициентами (2.1.24), и пусть коэффициенты pk pk t уравнения (2.1.20) как функции времени непрерывны на всм промежутке a, b и диффе ренцируемы m 1 раз на соответствующем открытом промежутке a, b. То гда существует окрестность U t0 произвольного начального значения времени t0 a, b такая, что при любых t U t0 a, b таких что t t0, динамика системы может быть описана интегральным уравнением вида (2.1.29) или (2.1.30), эквивалентным соответствующей возмущнной задаче Коши.

2.2.2. Системный анализ борновского ряда Решение (2.2.2) уравнения (2.2.1) записано в самом общем виде. Покажем, что это решение учитывает последовательно все возможные взаимодействия ме жду элементами системы. Для этого перепишем (2.2.2) так:

b y t y0 t dt1G t, t1 Pt1 y0 t a b b dt1G t, t1 Pt1 dt2G t1, t 2 Pt 2 y0 t 2 a a b b b dt1Gt, t1 Pt1 dt2Gt1, t2 Pt2 dt3Gt2, t3 Pt3 y0 t3.

a a a (2.2.5) Обозначая кратные взаимодействия b y ti dti 1G ti, ti1 Pti 1 y 1 ti 1, (2.2.6) a видим, что все взаимодействия в системе в конечном итоге выражаются через од b нократное взаимодействие dt1G t, t1 Pt1 y0 t1. Теперь решение (2.2.5) урав a нения ЛШ записывается в виде ряда по кратности взаимодействия:

b y t y0 t dt1G t0, t1 Pt1 y t1. (2.2.7) 0 a Если ряд (2.2.7) формально развернуть, то смысл его членов становится более прозрачным, действительно, имеем:

b b y t y0 t dt1G t, t1 Pt1 y0 t1 dt1Gt, t1 Pt1 y1 t a a b b dt1G t, t1 Pt1 y2 t1 dt1G t, t1 Pt1 y t1.

a a (2.2.8) В (2.2.8) y t1 – это векторы, описывающие кратные взаимодействия в системе, выражаемые рекуррентными формулами (2.2.6).

Ряд (2.2.8), дающий отклик многомерной динамической системы на внеш нее возмущение y0 t, учитывает последовательно всевозможные кратные мно говременные взаимодействия элементов системы между собой и, тем самым, с точки зрения системного анализа выражает свойство целостности изучаемой сис темы во времени. Следует подчеркнуть, что в силу вида функции Грина для на чальных условий (1.3.10) борновский ряд учитывает только взаимодействия эло бов, происходящие в направлении роста времени t и, тем самым, резко отличает ся от борновского ряда стационарной теории рассеяния [62]. Отметим также, что имеется некоторая аналогия построенному борновскому ряду в стационарной теории рассеяния Тверского [23].

В качестве примера рассмотрим частный случай системы, состоящей из че тырх элобов, математическая модель которой описывается системой двух обык новенных дифференциальных уравнений первого порядка в стандартной форме:

dy dt a1 y a2 y q1 t y q2 t y f t, 11 12 1 1 1 2 2 (2.2.9) dy a12 y1 a2 y 2 q12 t y1 q2 t y 2 f 2 t.

2 dt Напомним, что коэффициенты a ij i, j 1, 2 – это постоянные коэффициенты, определяемые по (1.3.73) и являющиеся параметрами фоновой модели системы.

Функция Грина системы уравнений (2.2.9) легко выписывается по формуле (1.3.10), если найдена фундаментальная система решений соответствующей одно родной системы. Поэтому система интегральных эволюционных уравнений для данной системы в покомпонентной записи принимает вид b y t y t Gk t, t1 p k t1 y j t1 dt1, i i i (2.2.10) 0 j a k 1 j или в матрично-векторной форме записи y1 t y1 t b G1 t, t1 G2 t, t1 p1 t1 p1 t1 y1 t 1 1 2 0 2 2 y t y 2 t a G t, t G 2 t, t p t p 2 t y 2 t dt1.

0 1 1 2 1 1 2 (2.2.11) Здесь знак «минус» для удобства отнесн к вариациям q k t. Распишем два пер j вых слагаемых i 1, 2 борновского ряда для системы (2.2.11):

2b y t y t dt1G ij t, t1 pkj t1 y0 t i i k k 1 j 1 a 2 2 b 2 2b dt2 dt1G ij t, t1 pkj t1 G p t1, t 2 plp t 2 y0 t k l j 1 k 1 a l 1 p 1 a b b dt1G1i t, t1 p1 t1 y1 t1 dt1G2 t, t1 p12 t1 y1 t 1 i 0 a a b b dt1G t, t1 p t1 y t1 dt1G2 t, t1 p2 t1 y0 t i 1 2 i 2 1 2 a a b b dt2 dt1G1i t, t1 p1 t1 G1 t1, t 2 p1 t 2 y1 t 1 a a b b dt2 dt1G1i t, t1 p1 t1 G12 t1, t 2 p1 t 2 y1 t 2 a a b b dt2 dt1G2 t, t1 p12 t1 G1 t1, t 2 p1 t 2 y1 t i a a b b dt2 dt1G2 t, t1 p2 t1 G12 t1, t 2 p1 t 2 y1 t i a a b b dt2 dt1G1i t, t1 p1 t1 G2 t1, t 2 p12 t 2 y1 t 1 a a b b dt2 dt1G1i t, t1 p1 t1 G2 t1, t 2 p12 t 2 y1 t 2 a a b b dt2 dt1G2 t, t1 p12 t1 G2 t1, t 2 p12 t 2 y1 t i a a b b dt2 dt1G2 t, t1 p2 t1 G2 t1, t 2 p12 t 2 y1 t i 2 a a b b dt2 dt1G1i t, t1 p1 t1 G1 t1, t 2 p1 t 2 y0 t 1 1 a a b b dt2 dt1G1i t, t1 p1 t1 G12 t1, t 2 p1 t 2 y0 t 2 a a b b dt2 dt1G2 t, t1 p12 t1 G1 t1, t 2 p1 t 2 y0 t i 1 a a b b dt2 dt1G2 t, t1 p2 t1 G12 t1, t 2 p1 t 2 y0 t i 2 a a b b dt2 dt1G1i t, t1 p1 t1 G2 t1, t 2 p2 t 2 y0 t 1 1 a a b b dt2 dt1G1i t, t1 p1 t1 G2 t1, t 2 p2 t 2 y0 t 2 a a b b dt2 dt1G2 t, t1 p12 t1 G2 t1, t 2 p2 t 2 y0 t i 1 a a b b dt2 dt1G2 t, t1 p2 t1 G2 t1, t 2 p2 t 2 y0 t 2.

i 2 2 a a Первые четыре слагаемых описывают однократные взаимодействия элобов системы с входным сигналом во времени. Последующие слагаемые опи сывают двукратные взаимодействия в системе, причм в фигурных скобках выпи саны так называемые пропогаторы [8], описывающие последовательные двукрат ные взаимодействия элобов с переменными параметрами в различные моменты времени. Последующие члены борновского ряда учитывают взаимодействия бо лее высоких порядков. Разумно предположить, что взаимодействия высоких по рядков в системах с сосредоточенными параметрами не играют существенной ро ли, что в конечном итоге и обуславливает сходимость борновского ряда. Борнов ский ряд, как видно из его записи, учитывает всевозможные процессы взаимодей ствия элобов системы между собой. Не смотря на сложную структуру борновско го ряда, возможность простой реализации вычислений его членов и доказанная выше его сходимость, позволяют использовать данный подход в качестве альтер нативного подходу, основанному на построении структурных схем сложных сис тем.

2.3. Интегральные эволюционные уравнения предметных параметрических систем 2.3.1. Система интегральных эволюционных уравнений параметрической модели индуктивного измерительного преобразователя Рассмотрим параметрическую математическую модель индуктивного изме рительного преобразователя (1.2.36), (1.2.37). Предполагая, что коэффициенты системы уравнений (1.2.36) являются аналитическими функциями внешних воз мущений, то есть варьируют в окрестности некоторых средних значений, отве чающих “нормальному” значению температуры T0 T t0, и, записывая для них разложения в ряды Тейлора (1.2.38) – (1.2.41), придм к векторному дифференци альному уравнению (1.2.44), в котором матрица A характеризует фоновую систе му и имеет вид (1.2.42), а матрица P t характеризует параметрическую систему и имеет вид (1.2.43).

Интерпретируя вектор Pt yt как вектор вторичных источников внеш них возмущений системы, на основании утверждения 2.1.2 и замечания 1 к этому утверждению, запишем интегральное эволюционное уравнение для индуктивного измерительного преобразователя в виде (2.1.69) t yt A y0 y0 t Gt, s Ps ys ds, (2.3.1) t где Gt, s – матричная функция Грина для начальных условий (1.2.37). В урав нении (2.3.1) вектор t y0 t dsGt, s f s. (2.3.2) t Векторное интегральное уравнение (2.3.1) с учтом обозначений (1.2.35), (1.2.42) и (1.2.43) является искомым интегральным эволюционным уравнением динамической системы – индуктивного измерительного преобразователя. Не трудно видеть, что это уравнение является уравнением типа Вольтерра второго рода. Как известно [34] (см. также теорему 2.2.1), для интегральных уравнений этого типа имеет место сходимость метода последовательных подстановок (при ближений) при физически приемлемых предположениях относительно подынте гральных функций.

Чтобы решение уравнения (2.3.1) можно было эффективно найти численно методом последовательных приближений, нужно знать функциональные зависи мости элементов матрицы Pt, что требует знания зависимости T T t темпе ратуры от времени. Задача может быть упрощена, если в разложениях (1.2.38) – (1.2.41) ограничиться линейным приближением, что соответствует случаю слабо монотонного изменения температуры со временем. Тогда вместо формулы (1.2.43) для матрицы P t будем иметь выражение r T0 k L k R kL LT0 dT T LT def Pt A Pt t t0.

k R kC dt kC C T RT0 C T (2.3.3) и в интегральном эволюционном уравнении (2.3.1) вектор вторичных источников принимает вид r T0 k L k R kL LT0 is dT T0 LT Ps y s s t0.

k R kC u s dt kC C T0 RT0 C T Векторное интегральное эволюционное уравнение в скалярной форме за пишется в виде системы интегральных уравнений в матричной форме r T0 E s it LT0 LT0 i0 t G1 t, s G2 t, s 1 u G t, s G 2 t, s Ls ds u t 0 t0 1 1 C T RT0 C T r T0 k L k R kL LT0 is G1 t, s G2 t, s dT T0 LT 1 t s t 2 ds, k R kC u s G2 t, s t0 G1 t, s dt kC RT0 C T C T (2.3.4) или в разврнутом виде r T0 E s t it u0 G1 t, s i0 ds LT0 LT0 dT t t s t L0 1 k L t dt r T t k G1 t, s 0 k L k R is L u s RT0 LT0 t dT T k kR k G2 t, s L is C u s s t0 ds, (2.3.5) RT0 C T0 C T dt E s t 1 u t u0 G12 t, s i0 ds RT0 C T0 C T0 dT t t s t L0 1 k L t dt r T t k G12 t, s 0 k L k R is L u s LT0 LT0 t dT T k k kC G2 t, s C is R u s s t0 ds, (2.3.6) C T0 RT0 C T dt где использована линеаризованная временная зависимость индуктивности (1.2.31). Для численного решения системы уравнений (2.3.4) или (2.3.5), (2.3.6), эквивалентной задаче Коши (1.2.36), (1.2.37), нужно знать функцию Грина линей ного дифференциального оператора r0 1 0 d L0 L L 0 1 dt 1, C R0C векторного дифференциального уравнения (1.2.36), которая находится по форму ле (2.1.55).

Интегральные уравнения системы (2.3.4) относятся к типу Вольтерра и, сле довательно, в силу выполнения всех условий теоремы существования, решение этой системы может быть записано в виде ряда последовательных приближений, сходящегося равномерно и абсолютно (теорема 2.2.1).



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.