авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки Российской Федерации

АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 517.946 +539.3+536.252

№ госрегистрации 01201175878

Инв.№

УТВЕРЖДАЮ

Ректор

С.В. Землюков

«_»_ г.

ОТЧЕТ О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы по теме:

МЕХАНИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ЛЕДОВОГО ПОКРОВА (заключительный, этап № 4) Наименование этапа: «Проведение численных расчетов. Сравнительный анализ, обобщение и оценка результатов исследования»

Шифр заявки 2011-1.5-503-002- Государственный контракт от 29 апреля 2011 г. № 14.740.11. Руководитель НИР, _ д-р физ.-мат. наук, проф. А.А. Коробкин подпись, дата Барнаул СПИСОК ИСПОЛНИТЕЛЕЙ Руководитель темы, д-р физ.-мат. наук, А.А. Коробкин _ Профессор (разделы 1, 2, 3, 4) подпись, дата Исполнители темы Д-р. физ.-мат. наук, доцент _ А.А. Папин подпись, дата (разделы 1, 2, 3, 4) Д-р. физ.-мат. наук, доцент _ А.Г. Петрова подпись, дата (разделы 1, 2, 3, 4) К.ф.-м.н.

_ И.Г. Ахмерова подпись, дата (разделы 2, 3, 4) Инженер _ П.В. Нуждин подпись, дата (разделы 1,2,3,4) Аспирант _ М.А. Токарева подпись, дата (разделы 1, 2, 3, 4) Магистрант _ В.А. Гоман подпись, дата (разделы 1, 2, 3) Студент _ А.Н. Пергаева подпись, дата (разделы 1, 3) Студент _ А.Н. Сибин подпись, дата (разделы 1, 3) Студент _ Д.П. Хворых подпись, дата (разделы 1, 3) Студент _ В.В. Янцен подпись, дата (разделы 1, 3) Нормоконтролер _ Т.Н. Алешина подпись, дата Соисполнители:

Д-р. физ.-мат. наук, доцент _ В.А. Вайгант подпись, дата (разделы 1, 2, 3, 4) Д-р. физ.-мат. наук, доцент _ Т.И. Хабахпашева подпись, дата (разделы 1, 2, 3, 4) Канд. геогр. наук, младший научный _ Н.С. Малыгина Сотрудник подпись, дата (разделы 1, 2, 3, 4) Аспирант _ В.К. Костиков подпись, дата (разделы 2, 3, 4) УДК 517.946 +539.3+536. Ключевые слова: тепломассоперенос, фазовый переход, многофазные течения в нефтепроводах, динамика снежного покрова, численные алгоритмы.

РЕФЕРАТ Отчет 107 с., включая 32 рисунка, 3 таблицы, 31 источника, 1 приложение.

ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС, ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД, МНОГОФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В НЕФТЕПРОВОДАХ, ДИНАМИКА СНЕЖНОГО ПОКРОВА, ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ.

Объектом исследования являются механика и термодинамика ледового покрова.

Цель работы по проекту - создание модели и программ численного расчета взаимодействия конструкций с ледовым покровом с учетом реальных характеристик льда и термодинамических условий, получение результатов мирового уровня в математическом моделировании ледового покрова, подготовка и закрепление в сфере науки и образования научных и научно-педагогических кадров, формирование эффективных и жизнеспособных научных коллективов.

Целями третьего этапа являются:

Проведение численных расчетов. Сравнительный анализ, обобщение и оценка результатов исследования.

Результат работы – отчет о выполненной работе, включающий в себя:

Промежуточный отчет о НИР, в том числе:

Проведение численных расчетов.

Проведение научных семинаров под руководством приглашенного ученого:

«Тепломассообмен на границах фаз с учетом физических факторов (лед - твердое тело)», «Тепломассоперенос в многокомпонентных, многофазных системах», «Методы аналитического и численного исследования задач механики и термодинамики ледового покрова», «Обсуждение тематики курсового и дипломного проектирования».

Разработка программы внедрения результатов ПНИР в образовательный процесс Сравнительный анализ, обобщение и оценка результатов исследования.

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................................ 1. Содержание выполненных работ............................................................................... 1.1. Проведение численных расчетов.................................................................... 1.1.1. Обратная задача определения температурных напряжений с помощью измерений прогиба ледового покрова при заданных стационарных нагрузках........................................................................................ 1.1.2. Задача солепереноса в тающем снеге.................................................... 1.1.3. Численное моделирование разрушения льда в области контакта с конструкциями.................................................................................. 1.2. Проведение научных семинаров под руководством приглашенного ученого........................................................................................... 1.2.1. Тепломассообмен на границах с учетом физических факторов (лед – твердое тело)........................................................ 1.2.2. Тепломассоперенос в многокомпонентных, многофазных системах........................................................................................ 1.2.3. Методы аналитического и численного исследования задач механики и термодинамики ледового покрова...................................................................... 1.2.4. Обсуждение тематики курсового и дипломного проектирования....... 1.3. Разработка программы внедрения результатов ПНИР в образовательный процесс..................................................................................... 1.4. Сравнительный анализ, обобщение и оценка результатов исследования........................................................................... 1.5. Дополнительные результаты исследований................................................ 1.5.1. Аналитическое и численное исследование квазиизотермической задачи взаимодействия ледового покрова канала и поверхностных волн.................... 1.5.2. Приближение мелкой воды................................................................... 2. Результаты работы................................................................................................... 2.1. Результаты четвертого этапа........................................................................ 2.2. Результаты проекта....................................................................................... 3. Выполнение показателей программного мероприятия программы в рамках данной работы.................................................................................................. 4. Области и направления использования и внедрения полученных результатов.... ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................................... Список использованных источников............................................................................. Приложение А................................................................................................................. ВВЕДЕНИЕ Новые нефтяные и газовые месторождения были открыты вблизи северного побережья России. Большую часть года море в этих местах покрыто льдом (10 месяцев в году для Карского моря). Геофизические исследования, бурение и добыча должны проводиться с учетом ледовых условий.

Пятнадцать лет назад начались совместные работы учёных России и Германии, специалистов в области наук о Земле, по изучению моря Лаптевых, Карского, Баренцева морей и Центральной Арктики. В ходе исследований проведено более морских экспедиций, а также экспедиции на острова и материковую сушу. Об организации и результатах выполненных работ, о планах на будущее рассказывается в статье А.П. Лисицына, Й. Тиде, Х. Кассенса (2011).

Глобальное изменение климата оказывает значительное влияние на состояние льда и его характеристики. Требуются модели, основанные не столько на многолетних наблюдениях, сколько на подробном описании физических процессов, происходящих в ледовом покрове при его взаимодействии с нефтяными платформами и другими конструкциями. Такие модели должны предсказывать ожидаемые ледовые нагрузки на сооружения, напряжения в ледовом покрове и возможные его разрушения с целью обеспечения безопасности работ при разработке месторождений. Использование таких моделей должно сопровождаться натурными наблюдениями для корректировки предсказаний и отслеживания процессов, происходящих в толще льда.

Научная значимость таких исследований заключается в том, что математическое (и численное) моделирование воздействия ледового покрова на конструкции и их взаимодействие еще слабо изучено, несмотря на большое число экспериментальных исследований в этой области. Совместное изучение механики и термодинамики льда поможет сделать значительное продвижение в этом направлении.

Проблема учета термодинамики льда при его взаимодействии с конструкциями является новой и актуальной. Реология льда и его термодинамические свойства хорошо исследованы. В качестве примера отметим хорошо известные монографии Мальмгрена «О свойствах морского льда» (1930г.), Цурикова «Жидкая фаза в морских льдах»

(1976г.), справочное пособие «Морской лед» (1997г.). Однако, анализ работ, выполненных в этом направлении, показывает, что в различных ситуациях лед ведет себя совершенно по-разному. Как следствие, единой модели, пригодной для всех случаев, не существует, что является существенным препятствием в надежном прогнозировании поведения ледового покрова.

Наиболее изученным является поведение ледового покрова под действием поверхностных или изгибно-гравитационных волн. Многочисленные исследования (Букатов А.Е., Голушкевич С.С., Доценко С.Ф., Жесткая В.Д., Коробкин А.А., Стурова И.В., Ткачева Л.А., Хабахпашева Т.И.) посвящены воздействию волн, распространяющихся в ледовом покрове, на морские сооружения, такие как вертикальные колонны платформ и стенки. Показано, что даже волны малой амплитуды приводят к большим силам и моментам. Одним из ведущих специалистов в данной области является руководитель проекта А.А. Коробкин. Но даже исследования, проведенные до настоящего времени под его руководством, не включают в себя термодинамики льда и, в частности, температурных напряжений в ледовом покрове.

В настоящем проекте предлагается использовать комбинированный подход, который включает в себя прямые и обратные задачи термодинамики и механики льда.

При таком подходе реологические свойства льда и все его характеристики определяются для конкретного участка и для определенного периода времени в ходе решения обратных задач и используются в дальнейшем для краткосрочного предсказания поведения льда и характера его воздействия на инженерные сооружения.

Такой подход ранее не использовался.

1. СОДЕРЖАНИЕ ВЫПОЛНЕННЫХ РАБОТ 1.1. Проведение численных расчетов 1.1.1. Обратная задача определения температурных напряжений с помощью измерений прогиба ледового покрова при заданных стационарных нагрузках Термические напряжения, возникающие в ледовом покрове при его формировании, а также напряжения в установившимся покрове, связанные с ветровыми сдвигами нагрузками и подледными течениями, приводят к распределению сжимающих (растягивающих) начальных напряжений в ледовой пластине [1].В случае ледового покрова постоянной толщины и равномерного распределения начальных продольных напряжений в ледовой пластине, нестационарный прогиб пластины (,, ) oписывается уравнением + + + = (,, ), (1.1.1.1) =, - плотность льда, где - масса пластины на единицу площади, толщина льда, -жесткость пластины, = /[12(1 )], - модуль упругости Юнга для льда, -коэффициент Пуассона, - продольное 0 и растяжения при 0), напряжение в ледовой пластине (сжатия при (,, ) - внешняя нагрузка на ледовую пластину, включая плотность воды, гидродинамическое давление со стороны жидкости под пластиной. В уравнении (1.1.1.1) коэффициенты и определяют как динамическое поведение ледового покрова, так и его несущую способность по отношению к статическим нагрузкам.

Коэффициенты и можно определить по результатам статических исследований. Их значения зависят от условий формирования льда и от текущего температурного режима. Сжимающие напряжения могут вызывать разрушение ледовой пластины.

Критическая величина =2 (1.1.1.2) была получена в [2] и подтверждена в [1]. При увеличении начальных напряжений до / =2 ( / ), лед выпучивается в виде волны, длина которой вычислена в [2].

=( / ), который известен как характерный Удобно ввести масштаб длины линейный размер ледового покрова, и записать стационарный вариант уравнения (1.1.1.1) для точечной нагрузки в полярных координатах 1 + + + + =, (1.1.1.3) 0 где - масса груза с площадью основания. Введем безразмерную радиальную координату = и масштаб прогиба. В безразмерных переменных уравнения (1.1.1.3) перепишется так 1 + ( ) + 2 + ( ) + ( ) = 1 / =. (1.1.1.4) 0 / =, 1 и = /. Заметим, что Определим безразмерные параметры может быть отрицательным, что соответствует растягивающим начальным напряжением в плоскости ледового покрова. Удобно определить масштаб прогиба по формуле =, (1.1.1.5) тогда правая часть в (1.1.1.4) запишется так 1 (1.1.1.6) 1 Применим к уравнению (1.1.1.4) преобразование Ганкеля ( )= ( ) ( ). (1.1.1.7) Обратное преобразование вычисляется по формуле ( ) = () ( ). (1.1.1.8) Отметим, что преобразование Ганкеля, применимое к функции (1.1.1.6) дает ( ). (1.1.1.9) 0 и конечных, что соответствует Последнее выражение стремится к при случаю точечной нагрузки. Преобразование Гангеля (1.1.1.7) обладает следующим свойством + = ( ). (1.1.1.10) После преобразования Ганкеля и с учетом (1.1.1.9) и (1.1.1.10) уравнение (1.1.1.4) принимает вид ( ) ( 2 + 1) =.

Решение уравнения (1.1.1.4) дается формулой обращения (1.1.1.8) ( ) ( ) ( ) =. (1.1.1.11) Формула (1.1.1.11) предсказывает прогиб ледовой пластины постоянной толщины под действием заданной внешней нагрузки, равномерно распределенной вблизи начала отсчета = 0, с учетом изгибающих и сжимающих напряжений, а также реакции жидкости. В случае точечной нагрузки, когда радиус области приложения нагрузки мал по сравнению с характерным линейным размером, формула (1.1.1.11) принимает вид ( ) ( ) =. (1.1.1.12) В дальнейшем расчеты проводятся для приближения точечной нагрузки (1.1.1.12). Заметим, что расчеты для конечной области приложения нагрузки (1.1.1.11), не представляют существенных трудностей и могут быть полезными для определения максимального размера пятна давления, при котором приближение (1.1.1.12) перестает быть применимым.

Величина прогиба в точке приложения нагрузки = 0 ожидается максимальной.

Получаем (0) = = + (1.1.1.13) где 0 1 по определению этого параметра. При = 0 имеем (0) = и, возвращаясь к размерным величинам (0) = = =. (1.1.1.14) Формула (1.1.1.14) совпадает с формулой для прогиба под точечной нагрузкой, полученной впервые в [3], использованной в [4] для определения модуля Юнга льда, обобщенной на случай периодической по времени нагрузки в [5]. Обзор результатов для нагруженных пластин на упругом основании дан в [6].

Формула (1.1.1.13) предсказывает, что прогиб непосредственно под нагрузкой существенно зависит от начальных напряжений в ледовом покрове. Отношение прогиба при = 0 и (1,1) к значению прогиба при = 0, когда термические = 0, напряжения отсутствуют, (в соответствии с рисунком 1.1.1.1.) Видно что при = 0 на 50%. Растягивающие прогиб увеличивается по отношению к прогибу при 0.

напряжения в ледовом покрове приводят к уменьшению прогиба при Рисунок 1.1.1.1 – Отношение прогиба в центре приложения нагрузки с учетом сжимающих ( 0) и растягивающих ( 0) напряжений к прогибу в отсутствии начальных напряжений ( = 0).

Формулы (1.1.1.13) и (1.1.1.14) определяют прогиб под нагрузкой с учетом начальных напряжений (0, ) = ( ), ( ) = 1+. (1.1.1.15) ( ) показана в соответствии с рисунком (1.1.1.1.). Измеряя прогиб Функция (0), мы получаем зависимость между коэффициентами и в уравнении (1.1.1.1).

Требуется ещё одно уравнение для определения каждого из коэффициентов.

Предположим, прогибы были измерены в нескольких точках вокруг конструкции, стоящей на льду. Расстояния этих точек до конструкции должно быть достаточно большим по сравнению с размером основания конструкции. Тогда нагрузку на лед от конструкции можно принять точечной и использовать приближение (1.1.1.12).

Для конструкции с круглым основанием рекомендуется использовать формулу (1.1.1.11) и малые расстояния до точек измерений. Прогибы, измеренные в точках, лежащих на одинаковых расстояниях до центра конструкции, ожидаются одинаковыми.

Разные значения таких прогибов означают, что ледовая пластина неоднородная и коэффициенты и в (1.1.1.1) зависят от координат и. Заметим, что для (, ), (, ) уравнение (1.1.1.1) имеет более сложный переменных коэффициентов вид. Настоящий метод определения жесткости ледовой пластины и наличия начальных напряжения в ней основан на предположении, что свойства пластины слабо изменяются на расстояниях порядка характерного размера, и прогиб пластины под действием стационарной нагрузки слабо зависит от свойств ледового покрова на значительных расстояниях от места измерения. Проводя измерения в различных местах ледового покрова, разные значения коэффициентов и в (1.1.1.1) следует ожидать.

(, )и (, ).

Для динамических процессов необходимо знать коэффициенты Отражение гидроупругих волн, распространяющихся в ледовой пластине, от участков неоднородностей может существенно изменить распределение напряжений в ледовой пластине и оказать влияние на оценку ее несущей способности. Для правильной интерпретации данных измерений и выработки рекомендаций по выбору точек, в которых прогибы и возможно, относительные удлинения, должны быть измерены, требуется исследовать зависимость профиля прогиба (1.1.1.12) от параметра и от размера площади, на которой приложена нагрузка (1.1.1.11).

Рисунок 1.1.1.2: Безразмерный прогиб ( )вычисленый по формуле (1.1.1.12) = 0 (сплошная линия) = 0,1 (пунктирная линия) и = 0,2 (точечная линия).

для ( ) вычисленые (в соответствии с рисунком 1.1.1.2) показаны безразмерные прогибы = 0 (сплошная линия) = 0,1 (пунктирная линия) и = 0, по формуле (1.1.1.12) для (точечная линия). Видно, что даже небольшие сжимающие напряжения приводят к изменению профиля прогиба, но только на расстояниях от точки приложения нагрузки, не превышающих 2. При более значительных начальных напряжениях прогиб увеличивается, но только вблизи от места приложения нагрузки.

( ) при = 0 (сплошная линия ), = 0, Рисунок 1.1.1.3 – Прогибы = 0,5 (точечная линия).

(пунктирная линия) и ( ) при = 0 (сплошная (в соответствии с рисунком 1.1.1.3) представлены прогибы = 0,3 (пунктирная линия) и = 0,5 (точечная линия). При отрицательных линия), (растягивающие напряжения в ледовом покрове) прогибы уменьшаются.

= 0 (сплошная линия), = 0,5 (пунктирная Рисунок 1.1.1.4 – Прогибы при = 1 (точечная линия).

линия) и = 0 (сплошная линия), (в соответствии с рисунком 1.1.1.4) представляет прогибы при = 0,5 (пунктирная линия) и = 1 (точечная линия). Видно, что растягивающие напряжения той же величины, что и сжимающие, приводят к меньшему изменению профиля прогиба. Во всех случаях изменения профиля прогиба заметны только на расстояниях меньше 2 в безразмерных переменных. В размерных переменных это расстояние равно 2, удвоенной характерной длине. Однако величина зависит от коэффициента жесткости, который подлежит определению по результатам измерений.

Измерения статических прогибов проводились на озере Сарома в феврале года [7]. Измерялась также температура воздуха и воды в разные дни. Температура воды была постоянной 1, 8о. Температура воздуха менялась от 2о до 11о, за исключением одного дня, когда температура опускалась до 18, 6о. Интересно отметить, что в тот день прогибы были больше, чем в более теплые дни. Это указывает на сжимающиеся температурные напряжения в ледовом покрове. Толщина льда в месте измерения менялась незначительно от 17 до 18 см. Отмечается, что температура на поверхности льда во все дни измерений была выше температура воздуха и повышалось при удалении от поверхности льда в сторону жидкости от 4о до 2, 4о. Нагрузка = 235кг. Размеры оснований саней были 2,43м создавалась мотосанями массой 0,79м. Измерения проводились в нескольких точках на расстоянии, не превышающем = 0 формула (1.1.1.12) дает размерный прогиб м в сторону от центра нагрузки. При ( )= ( ), (1.1.1.16) зависящий от неизвестной длины. Сравнивая данные измерений с предсказанными значениями по формуле (1.1.1.16), был вычислен характерный размер, который менялся по дням от 2,2м до 2,7м. Следует обратить внимание, что размеры области приложения нагрузки сравнимы с характерным масштабом длины. Максимальный прогиб не превышал 6 мм. По вычисленной длине, ускорению свободного падения = 9,8 м / = 1026кг/м и плотности воды определялся модуль Юнга для = 1/3. Модуль Юнга по измеренной толщины льда и коэффициента Пуассона 5,1 10 9,8 10 /м.

результатам измерений менялся от до Результаты, представленныев [7] показывают, что характеристики ледового покрова можно определить по результатам измерений только приближенно с указанием достоверного интервала изменения требуемых характеристик. Соответственно при проведении расчетов по модели (1.1.1.1) коэффициенты и следует рассматривать не как конкретные числа, а с учетом интервалов их возможного изменения. В результате прогибы и напряжения, вычисляемые по модели (1.1.1.1) для заданных нагрузок, могут быть представлены только вместе с достоверными интервалами их изменений.

В статье [7] приводятся результаты измерений сжимающих напряжений в ледовом покрове (термические напряжения), опубликованных в [8]. Термические напряжения в морском льду в близи Аляски были оценены в [8] как 65кПа при толщине 7 10 / м в уравнении (1.1.1.1). Формула (1.1.1.2) с = льда 2,1м. Это дает 2,1 м, и = 6 10 / м дает 4 10 и 0,02, что указывает на малое влияние остаточных напряжений на величину статического прогиба. Однако при меньших толщинах льда льда параметр может быть больше. Заметим, что в формуле (1.1.1.2) пропорциональна. Соответственно, для критического напряжения, величина / пропорциональна и уменьшение толщины ледового покрова в 4 раза приводит к уменьшению в 8 раз.Таким образом, при толщине льда 50см и сохранении термических остаточных напряжений на уровне указанном в [8], мы получаем 0,14, что может проявиться в результатах измерения.

Расчет параметров по формуле (1.1.1.16) В формуле (1.1.1.16) присутствует две величины, подлежащих определению и. Пусть измерения проведены в точках на расстоянии и от нагрузки и измеренные прогибы равны и. Это дает два уравнения, =,,, =. (1.1.1.17) Результаты расчетов безразмерного прогиба, представленные (в соответствии с /и / должны быть не меньше 2.

рисунками 1.1.1.2-1.1.1.4), дают, что отношения Выполнение последних неравенств можно проверить только после решения системы (1.1.1.17). Однако, измерения должны быть выполнены достаточно близко к месту приложения нагрузки.

Рисунок 1.1.1.5 – Профили прогиба при изменении площади приложения = 0,1: красная линия нагрузки. Расчеты выполнены по формуле (1.1.1.11) с = 0. Остальные кривые показывают профили соответствует точечной нагрузки с = 0,1 (сплошная линия ), = 0,2 (пунктирная линия) прогибов при = 0,5 (точечная линия).

и (в соответствии с рисунком 1.1.1.5) показанно, что приближение точечной нагрузки применимо даже при значительных размерах пятна нагрузки. Расчеты выполнены по = 0,1. Красная линия соответствует прогибу, вычисленному по формуле (1.1.1.11) с приближению точечной нагрузки (1.1.1.12). Остальные линии получены по формуле = 0,1 (сплошная линия), = 0,2 (пунктирная линия) и = 0, (1.1.1.11) при (точечная линия). Размер области приложения нагрузки заметен только вблизи этой области. Поэтому только интервал 0 1 показан на рис. 1.1.1.5. Можно заключить, что только при / 0,2 размер области нагрузки следует учитывать.

= 0 и воспользуемся Для численного решения системы (1.1.1.17) полагаем разложением = +( (1.1.1.18) )( ) Разложение (1.1.1.18) позволяет представить прогиб (1.1.1.12) так (, ) = ( ) + (, ), (1.1.1.19) где ( ) ( ) = = ( ), + ( ) - функция Кельвина, (0) =, ( ) (, ) =.

( + 1)( 2 + 1) = 0 имеем = 0 и разложение (1.1.1.19) позволяет В точке измерения записать второе уравнение в (1.1.1.17) в виде (0) + (0, ) =, (1.1.1.20) где в правой части собраны все известные величины, а величины, подлежащие определению, оставлены в левой части уравнения. Уравнение (1.1.1.20) можно представить в виде = (), (1.1.1.21) ( ) определена в (1.1.1.15). Формула (1.1.1.21) что следует из (1.1.1.15). Функция позволяет вычислить характкрную длину по известной массе груза, прогибу ледовой пластины непосредственно под грузом, и безразмерной величине температурных напряжений если последняя известна.

0 и представление (1.1.1.19) дают Первое уравнение в (1.1.1.17) с +,=. (1.1.1.22) Формула (1.1.1.21) позволяет записать правую часть в (1.1.1.22) как = ( )= () 8 / как и отношение 8 1 8 = =.

() () Введем два безразмерных параметра / = (8 /), = и перепишем уравнение (1.1.1.22) в виде +2, = () (1.1.1.23) () () Это уравнение служит для определения параметра по известным результатам измерений.

= 0, то (0) = 1 и уравнение Если температурные напряжения отсутствуют, (1.1.1.23) дает ( )=, что дает связь между измеренными прогибами и.

Уравнение (1.1.1.23) решалось методом итераций с начальным приближением = 0. Итерации были организованы так ( ) (/ ( )) =. (1.1.1.24) (/ ( ), ) Постоянные и вычисляются по данным и условиям измерений. Условия = измерений принимались близкими к приведенным в [7]. Плотность воды 1026кг/м = 234 кг, значение прогиба под нагрузкой = 6мм.

, масса груза = 3м прогиб ледовой пластины = 3мм. При этих Полагалось, что на расстоянии = 0,3927 и = 1,3763. Параметр условиях находим довольно быстро сходится к значению 0,141. Остальные вычисленные величины такие = 275511,64 Н м, = 14857,34 Н/м = 2,28 м. Видно, что измерения были проведены при.

и характерная длина = 2,2м и = 4мм, что дает = 0,5236 и В следующих расчетах изменим = 1. Итерации сходятся к следующим значениям = 0,2, = 301797,89 Н м, = 22167,63 Н/м, = 2,34 м.

Сходимость метода показана в Таблице 1.1.1.1.

Таблица 1.1.1. D N L 0.00000 227232.73026 0.00000 2. 0.09237 256977.19979 9395.73362 2. 0.14237 276039.91907 15009.07847 2. 0.16940 287395.04194 18221.31513 2. 0.18399 293871.01637 20012.77026 2. 0.19187 297473.79023 20997.23025 2. 0.19612 299451.02668 21533.90180 2. 0.19842 300527.59517 21825.04845 2. 0.19965 301111.18532 21982.56390 2. 0.20032 301426.95854 22067.70289 2. 0.20068 301597.61373 22113.68863 2. 0.20088 301689.78162 22138.51702 2. 0.20098 301739.54230 22151.91942 2. 0.20104 301766.40254 22159.15322 2. 0.20107 301780.89991 22163.05736 2. 0.20109 301788.72420 22165.16438 2. 0.20109 301792.94686 22166.30150 2. 0.20110 301795.22575 22166.91517 2. 0.20110 301796.45560 22167.24635 2. 0.20110 301797.11932 22167.42508 2. 0.20110 301797.47750 22167.52153 2. 0.20110 301797.67081 22167.57359 2. 0.20110 301797.77513 22167.60168 2. 0.20110 301797.83142 22167.61684 2. 0.20111 301797.86181 22167.62502 2. 0.20111 301797.87820 22167.62944 2. 0.20111 301797.88705 22167.63182 2. 0.20111 301797.89183 22167.63310 2. Выводы: Предложен метод, позволяющий определить температурные (остаточные) напряжения в ледовом покрове и коэффициент жесткости ледовой пластины. Расчеты проведены методом итераций для уравнения (1.1.1.24).

Определяется параметр, который используется в (1.1.1.21) для определения = характерной длины и затем жесткости ледовой пластины. Показано, что коэффициент в (1.1.1.1) вычисляется по формуле = (), (1.1.1.25) где - прогиб под грузом весом. Расчеты показывают, что измерения надо проводить вблизи нагрузки. Если вычисленное значение характерной длины превышает, надо сделать измерения ближе к нагрузке. Проводя расчеты для различных и, получим различные значения коэффициентов и. В расчетах поведения пластины при динамических нагрузках, предлагается использовать средние значения этих коэффициентов вместе с достоверными (доверительными) интервалами их изменения. Не рекомендуется проводить определение коэффициентов и для вибрирующих нагрузок. Последний подход ожидается быть менее достоверным, так как динамический отклик ледовой пластины существенно зависит от топографии дна, которая сама подлежит определению. Полезно проводить измерения при различных нагрузках, что позволит установить насколько поведение ледовой пластины является линейным.

1.1.2. Задача солепереноса в тающем снеге Модели снежно-ледового покрова используются при решении задач о движении снежных лавин и ледников, о формировании стока на речном водосборе, распространении загрязнений в тающем снеге. При построении математических моделей снежно-ледового покрова в период таяния используются общие принципы динамики многофазной среды [9]. Особенностью этих моделей является обязательный учет фазовых переходов и использование фильтрационного приближения, поэтому основными уравнениями модели являются законы сохранения масс и энергии, а также закон Дарси для подвижных фаз [10]. Первые результаты о движении воды, воздуха в ледяном пористом скелете получены в работах [11], [12]. В этих работах термодинамика процесса не рассматривалась. В работе [13] задача о движении воды в тающем снеге рассматривалась при постоянной температуре, без фазовых переходов и учета движения льда. В [14], [15], [16] пористая среда также предполагалась неподвижной. В [19] учитывалось движение льда, но фазовые переходы не конкретизировались.

В настоящей работе изучаются две математические модели тающего снежно ледового покрова, учитывающие фазовые переходы и деформацию ледового скелета при различных реологических соотношениях. После нахождения поля скоростей и насыщенности воды рассматривается движение динамически нейтральной примеси.

Движение воды в тающем подвижном льде Лед рассматривается как вязкоупругая деформируемая пористая среда, в порах которой движется сжимаемая вязкая жидкость (концентрацией воздуха пренебрегаем).

Для описания процесса используются уравнения сохранения массы для каждой фазы с учетом фазовых переходов ( ) ( ) + ((1 ) )=, + ( )=, (1.1.2.1) закон Дарси для жидкой фазы, учитывающий движение льда () ( ) = ( + ), (1.1.2.2) и соотношение типа Максвелла для эффективного давления [31] = ( + ), = + ( ). (1.1.2.3) В соответствии с принципом Терцаги [17] деформация двухфазной среды = +. Тогда в случае полного определяется через эффективное напряжение насыщения среды динамическое эффективное давление удовлетворяет соотношению = [18].

Уравнение сохранения энергии берется в виде [15] ( ) ( + (1 )) +( + ) = ( )+. (1.1.2.4) Эффективное давление и давления в жидкой и твердой фазах связаны соотношениями = + (1 ) ;

= (1 )( ). (1.1.2.5),,, Здесь – соответственно истинные плотности и скорости фаз;

– ( ) – проницаемость,, пористость;

– динамическая вязкость жидкости ;

– заданные параметры среды;

– вектор ускорения силы тяжести;

– температура среды = = ), (, )= 0 – теплоемкости фаз при постоянном объеме;

( = 0 – удельная теплота плавления льда;

– теплопроводность льда ( = + = + (1 ), = 0, = 0);

, – общее давление (заданная функция).

вектор = (0,0, );

(,, )= Предположим, что в системе координат ;

входящие в систему (1.1.2.1)–( 1.1.2.5) функции зависят от,. Для возникшей системы рассмотрим следующую задачу: лед занимает область (, ), 0. При = вода отсутствует ( = 0, = 0), лёд неподвижен ( = 0), и задана = = температура (ниже температуры плавления льда);

при известны скорости = = = воды ( ), льда ( ) и задана температура (равная температуре плавления льда). Полагая, что все искомые функции зависят лишь от переменной = ( – неизвестная постоянная) и считая скорость льда малой приходим к следующей системе уравнений относительно искомых функций,,, () (( + (1 ) ) ) = 0, =, (1.1.2.6) | |( = ( ) ( ), (1.1.2.7) ) ( ) ( ( + (1 )) + ) =. (1.1.2.8) Граничные условия имеют вид (0) = (0,1), | = 0, (0) = 0, (1.1.2.9) (0) =, | =, | = 0.

Интегрируя первое уравнение (1.1.2.6), выводим равенство ( + (1 ) ) = =. (1.1.2.10) Используя условия (1.1.2.9) из равенства (1.1.2.10) выводим представления для = 0, = постоянных и :. После этого, возвращаясь в (1.1.2.10), ( ) = 0, из которого следует, что = 0.

приходим к равенству при = 0, то будем считать = 0.

Если же Далее предполагается, что коэффициент при производной в левой части | | уравнения (1.1.2.8) близок к постоянной, а величина мала. Первое предположение позволяет из (1.1.2.8) получить равенство +( ) (1 ) = =, (1.1.2.11) = где с учетом (1.1.2.9) имеем.

Второе предположение позволяет привести уравнение для к виду () () || () = 0.

(1 ) Разрешимость подобного уравнение исследована в [19]. После определения температура находится из (1.1.2.11).

Фильтрация воды и воздуха в тающем снеге Снег рассматривается как пористая среда, твердый каркас которой составляют частички льда. В процессе таяния в пористой среде происходит совместное движение воды ( = 1), воздуха ( = 2) и льда ( = 3). Для описания процесса используются уравнения сохранения массы для каждой фазы [10] )=,, + (, = 1,2,3, = = 0, (1.1.2.12) cистема уравнений двухфазной фильтрации Маскета-Леверетта для воды и воздуха [10] = ( + ), = 1,2. (1.1.2.13) Учет капиллярных сил означает, что фазовые давления различаются на величину капиллярного скачка:

= (, ). (1.1.2.14) Капиллярное давление определяется кривизной границы раздела двух несмешивающихся жидкостей, насыщенностью смачивающей жидкости, характеристиками пористой среды и жидкостей и выражается формулой Лапласа [10]:

/ (, )= ( ) ( ), ( ) = (| ), (1.1.2.15) | – коэффициент межфазного натяжения, ( ) – функция Леверетта, | |= где, – контактный угол [10].

Уравнение сохранения энергии для тающего снега (в пренебрежении сублимацией и обменом массами между водой и воздухом) берется в виде [15] ( + ( ) ) = ( )+. (1.1.2.16) Следуя [20] уравнение движения льда берем в виде = + ( ). (1.1.2.17) Для сжатия ледяных кристаллов в снеге принимается реологическое соотношение [20] =, (1.1.2.18),, = 1,2,3 – коэффициенты пропорциональности.

где В системе уравнений (1.1.2.12)–( 1.1.2.18) приняты следующие обозначения: – скорость -й фазы;

– приведенная плотность, связанная с истинной плотностью и (условие = = 1 является объемной концентрацией соотношением следствием определения );

– интенсивность перехода массы из -й в -ю составляющую в единице объема в единицу времени;

= – скорости фильтрации воды и воздуха, = 1,2;

– пористость снега;

, – насыщенности воды = = = 1 ), = (1 ) – расход льда;

и воздуха (,, – ( ), = тензор фильтрации;

– фазовые проницаемости воды и воздуха ( 0, | = 0);

динамическая вязкость;

– давление фазы;

– капиллярное =, = 1,2,3), = 0 – теплоемкость -й давление;

– температура среды ( = + = фазы при постоянном объеме;

– теплопроводность снега (, = 0, = 0).

,. Пусть 0 Введем конечные значения температуры, и.

(0, ) имеют место соотношения ( ) = 0, при Считаем, что для всех ;

( )=1 ( ), при ( )=1 ;

, при.

= ( ) (0,1), = (1 )/( ) – заданные параметры.

Здесь = 0);

= Кроме того, предполагается, что пористая среда однородна ( 0, в системе координат вектор = (0,0, );

входящие в систему (1.1.2.12)–( 1.1.2.18) функции зависят от,. Вместо уравнений (1.1.2.17) - ( 1.1.2.18) = 0, где = 0 и рассмотрим модельное уравнение вида:

= 0.

Для возникшей системы рассмотрим следующую задачу: снег занимает область (, ), 0. При = вода отсутствует ( = 0, = 0), воздух и лёд = 0, = 0), и задана температура = неподвижны ( (ниже температуры = = = плавления льда );

при известны скорости воды ( ), воздуха ( ), = = = льда ( ), давление воздуха ( ) и задана температура (равная температуре плавления льда). Полагая, что все искомые функции зависят лишь от = переменной ( – неизвестная постоянная) получаем систему вида ( )+ ( )= ;

( )+ ( ) = 0;

(1.1.2.19) ( (1 )) + ( )= ;

(1.1.2.20) = ( ), = (, ), + = 1;

(1.1.2.21) = 0;

( ( )) = ( );

(1.1.2.22) | = 0, | =, | = 0, | = 0, | = 0;

(1.1.2.23) (0) =, (0) =, (0) = (0) =, = 1,2,3. (1.1.2.24) ( ), ( ), ( ), ( ), = 1,2,3 и постоянная.

Искомыми являются функции Решение задачи (1.1.2.19)–(1.1.2.24) строится следующим образом. Интегрируя уравнения (1.1.2.19)–(1.1.2.20) и (1.1.2.22), находим постоянную и получаем представления для скоростей и температуры. Используя эти представления и (1.1.2.21), ( ). Нахождение ( ) и ( ) завершает приходим к уравнению для насыщенности построение решения задачи (1.1.2.19)–(1.1.2.24). Следуя [19] выводим = + ( ), = (1 ), = (1 ).

Причем ( ) =1 =( 0 при = 0, 0;

, )( / ) ( ) = (1 ) =( 0 при = 0, 0;

, )( / ) ( ) ( ) ( )= (+ ), =( 0 при 0, 0, )( / ) 0.

Насыщенность и температура удовлетворяют следующей задаче = (, ), = ( ), (0) =, (0) =, (1.1.2.25) где =, ( )= ( ) ( )+( + )( ) ( ), 1 (, )= + + || | |( ) + +, 1 (1 )( + ),, 2 ( ) (1 ( )) = (1 )( ) ( ),, (1 )( ), = (1 ), =, (, ) = ( ) ( ), 0, = 0, при 0;

=, при 0 1;

= 1, при 1, =( ), = +, = +, =, =, = 1,2.

1. Предполагается, что функция ( )= 0 при Здесь постоянные (0,1) и ( ) = 0 при 0 и 1.

Решение задачи (1.1.2.19)–(1.1.2.24) обладает следующими свойствами:

[0,1], то 0 ( ) 1 для всех (, 0].

1. Если 2. Температура ( ) – является монотонной убывающей функцией, причем на бесконечности убывает экспоненциально.

Последнее обстоятельство позволяет установить свойство конечной скорости распространения возмущений:

() ( ) [0,1], то существует точка 3. Если выполнено условие, ( ) 0 при всех ( ) = 0 и дополнительно такая, что. Если () ( )| = 0, то =.

Для численного решения задачи (1.1.2.25) использовался пакет MathLab. Точка замерзания воды определялась из уравнения для насыщенности.

Рассматриваемые модели дают адекватное математическое описание процесса таяния снежно-ледового покрова и позволяют определить важные для приложений характеристики процесса: распределение насыщенностей воды и воздуха, температуру среды, скорости и давления фаз.[16] В соответствии с рисунком 1.1.2.1. изображены графики зависимости = при разных начальных условиях – (0) = насыщенности от температуры при и (0) = 1. Отметим, что при (0) часть воды быстро замерзает и насыщенность опускается до уровня, после чего график изменения насыщенности ведет себя также, как график с начальным условием (0) =.

В соответствии с рисунком 1.1.2.2. изображены графики зависимости насыщенности от температуры на интервале [, 0.9855] при =, где принимает значения 0.5,1,1.5,2, =1 и =.

(а) [s(0)=0.3515] (b) [s(0)=1] Рисунок 1.1.2.1.– Изменение насыщенности от температуры при 1 s.

= Рисунок 1.1.2.2.– Зависимость насыщенности от температуры, при, принимает значения.,,.,.

где Задача солепереноса в тающем снеге Численное решение задачи переноса динамически нейтральной примеси в тающем снеге После определения si,, и, следовательно, vi можно рассмотреть задачу о движении консервативной примеси, обусловленном переносом водной фазой и диффузией. Этот процесс описывается уравнение конвективной диффузии [10]:

(ms1 ) div (v1 D ) = 0.

S t Здесь – концентрация примеси, v1 – скорость фильтрации воды, S – источник, учитывающий возможное отложение (поступление) примеси. Для D и S используются зависимости: D = 0 | v1 |, = const 0 – коэффициент молекулярной 0 = const 0 – параметр дисперсии;

S = s( ), = const 0, диффузии, = const [0,1].

Для концентрации примеси в автомодельном случае возникает следующая задача:

3 d d (| c | 0 (m m ) D s ( ) ) = 0, d d 1 (1.1.2.26) | = 0, (0) = (0,1].

| = 0, Поскольку s ( ) = 0 при, то ( ) = 0,. Тем самым для ( ) рассматривается задача d d | c | r ) s( ) = 0, 0, (D (1.1.2.27) d d ( ) = 0, (0) = (0,1], [0,1].

(m m ), D = 0 | v1 |, Здесь r = 0, D = 0 | c | m s при [, 1 ] ;

r = v1 =| c | m( s r/m) (1 m)v3 при [1,0].

Будем решать уравнение (1.1.2.27) численно, используя метод прогонки.

Заметим, что решение существует только для случаев, когда * существует. Для этого, используя разностный метод, сведем дифференциальную задачу (1.1.2.27) к системе алгебраических уравнений. Разобьем промежуток [*,0] на n отрезков с шагом h.

Заменяя производные в уравнении (1.1.2.27) следующими конечно разностными отношениями с погрешностью O( h 2 ) d d i d ) = p 1 i 1 2 i p 1 i 2 i 1, | c | r = qi i (D, d d d h h 2h i i 2 где pi - значение D в точке i = i * h, qi - значение | c | r в точке i, получаем i 1 i i p 1 i 2 i 1 qi i p ri yi = f i, 1 h h 2h i i 2 где ri – значение – s в точке i, f i – значение s * в точке i. Значения si, i в точке i вычисляются численно из предыдущей задачи тепломассопереноса в тающем снеге с учетом деформации льда.

Перепишем последнее уравнение в следующем виде Ai i 1 Bi y i C i i 1 = Fi, 2h 2 ri, Ci = 2 p hqi, Fi = 2h 2 f i.

hqi, Bi = 2 p 2p где Ai = 2 p 1 1 i i i i 2 2 Решение i будем искать в виде i = i i 1 i, F Ci i Ai, i = i где i =.

Bi Ci i 1 Bi Ci i Результаты вычислений при = 1, 0 = 0.5, = 2.29*109, = 0.75, * = 0. представлены (в соответствии с рисунком 1.1.2.3.) Рисунок 1.1.2.3.– Изменение концентрации примесей в тающем снеге при s 2, 5.

1.1.3. Численное моделирование разрушения льда в области контакта с конструкциями Двумерная задача В двумерной постановке рассматривается задача о разрушении ледового покрова надвигающимся на него телом [21,22,23]. Ледовая поверхность занимает положительную полуось x 0. Наклонная жесткая пластина, являющаяся стенкой клина, горизонтально перемещается в сторону льда. В начальный момент клин начинает медленное движение слева направо, при этом кромка ледовой пластины отклоняется вниз. Жесткая пластина, наползающая на ледовый покров, имеет наклон к горизонту, трение между ней и льдом отсутствует (в соответствии с рисунком 1.1.3.1). Рассматривается начальная стадия взаимодействия, при которой прогиб ледовой пластины мал. Положение пластины определяется уравнением y ( x s (t ))tg, s ( 0) 0, s v (t ), где s (t ) – перемещение пластины. Отсюда следует, что кромка льда, x 0, смещается вниз на s (t )tg.

Рисунок 1.1.3.1 – Схема взаимного расположения жесткого клина и ледовой пластины, (a) начало взаимодействия, (b) соприкосновение пластины и клина в единственной точке, (с) соприкосновение пластины и клина на некотором участке В начале процесса движения клина его стенка и лед соприкасаются в единственной точке x 0 (в соответствии с рисунком. 1.1.3.1b). При этом край ледовой пластины свободен от напряжений и отклоняется вниз в соответствии с положением стенки клина. Если это не приводит к разрушению ледовой пластины (часть льдины отламывается в том месте, в котором напряжения достигают предельных значений), то при дальнейшем движении клина ледовая поверхность отклоняется вниз и соприкасается со стенкой клина на участке 0 x xc (t ) (в соответствии с рисунком.

1.1.3.1c). Тогда в точке x c (точке отслоения) определены положение и наклон ледовой пластины. Напряжения в ледовом покрове (в том числе и в точке отслоения) определяются исходя из условий покоя на бесконечности.

Уравнение для прогиба ледовой пластины на свободном участке (в соответствии с рисунком 1.1.3.1b,с) имеет вид:

4w d 4 gw 0 x xc (t ) 0. (1.1.3.1) x Здесь d – коэффициент жесткости ледовой пластины ( d Eh3 / 12(1 2 ) ). Задача рассматривается в квазистационарном приближении, учитывается только гидростатическая часть давления gw, где - плотность воды. Требуется определить распределения w(x ) и w' ' ( x ), а также максимум w' ' ( x ) при x xc и положение этого максимума при заданных краевых условиях и условии затухания на бесконечности ( x ).

w( x ) Краевые условия в первом случае (в соответствии с рисунком 1.1.3.1b, xc 0 ) w(0) w0 s tan, w' ' (0) 0, (1.1.3.2) а во втором (в соответствии с рисунком 1.1.3.1c) w( xc ) w0 s tan, w' ( xc ) w1 tan. (1.1.3.3) Значения w0 и w1 (положение и угол наклона стенки клина) считаются заданными функциями от времени. Отметим, что во втором случае точка отслоения x c и прогиб пластины в ней неизвестны и должны определяться вместе с решением из дополнительных условий. Таким условием служит условие непрерывности напряжений в точке x c. Так как в левой части пластины, прилегающей к стенке клина, напряжения равны нулю, то это дополнительное условие приобретает вид w' ' ( xc ) 0. (1.1.3.4) Относительные удлинения льда определяются по формуле h ( x) w' ' ( x).

Введем новую безразмерную координату вдоль пластины x x c 2 A, (1.1.3.5) Где A (d / g )1 / 4 – характерная длина ледовой пластины, и будем искать ~ w w( ). Уравнение для прогиба льда принимает вид ~ ~ w IV 4w 0 ( 0) (1.1.3.6) Краевые условия (1.1.3.2) при этом сохраняются, а второе условие (1.1.3.3) s ~ tan.

переписывается в виде w' (0) 2A Соприкосновение жесткого клина и ледовой пластины в единственной точке.

Взаимное расположение пластины и наползающей плоскости показаны (в соответствии с рисунком 1.1.3.1b).

Прогиб ледовой пластины описывается уравнениями (1.1.3.6), (1.1.3.2). Затухающее на бесконечности решение этой задачи представляется в виде ~ w( ) w cos exp( ). (1.1.3.7) Или, в исходных переменных, x x w( x) w0 cos exp.

2A 2A Отметим, что в данной постановке прогиб пластины и напряжения в ней зависят только от глубины погружения ее кромки w0. Если w 0 s tan, то для различных углов наклона стенки клина, при росте s мы можем получить как и случай прилегания ледовой пластины к поверхности клина (Случай 2, рассматриваемый ниже), так и случай обламывания льдины при контакте с клином в единственной точке. Наклон s tan. Значит, при s 2 A w' (0) ледовой пластины максимален в кромке, 2A наклон ледовой пластины меньше наклона перемещающейся стенки клина и реализуется первый случай (Рис. 1.1.3.1b).

Значения физических параметров, используемы ниже, взяты из [24] для антарктического льда и морской воды E=4.2 109 H/м2, cr =8 10-5, =1024кг/м3.

=0.33, cr – предельные удлинения для льда. Таким образом, коэффициент жесткости ледовой пластины d = 3.93 108h3 (пропорционален h3), A = 14.06 h3/4, x 19.88h3 / 4 м.

В соответствии с рисунком 1.1.3.2 приведены распределения прогиба ледовой пластины (a) и максимальных удлинений в ней (b) для нескольких значений заглубления кромки пластины w0. Толщина льда h=0.5м. При данной толщине льда ~ h | w | ~ d=4.1 107, A=8.36, x 11.82 м, 1.79 10-3 | w |.

2 2A Рисунок 1.1.3. (a) Распределения прогиба ледовой пластины (b) Распределения максимальных удлинений в пластине w0 =0, -2, -4, -6, -8 и -10см.

Прогибы пластины показаны в сантиметрах, а относительные удлинения помножены на 106. Предельно допустимые удлинения, cr, также помноженные на 106, показаны прямой линией. Таким образом, при рассматриваемых параметрах ледовой при w0 7см и пластина пластины предельные напряжения будут достигнуты разломится. Отметим, что максимальные напряжения (а, следовательно, и максимальные удлинения) в ледовой пластине достигаются при значении безразмерной длины / 4( x 2 A / 4), т.е. они зависят только от жесткости ледовой пластины и плотности жидкости. Максимальные напряжения равны ~ max | w' ' ( ) | 2 w0 exp( / 4).

Тогда в размерных переменных 1 | w0 | exp( / 4). (1.1.3.8) max | w' ' ( x) | A 2A h Относительные максимальные удлинения льда max max | w' '| будут меньше h | w0 | критического cr при cr exp.

2A 2A Значит, льдина не отламывается, если для вертикального смешения кромки |w0 | выполнено неравенство.

Eh. cr 0.098 h. (1.1.3.9) | w0 | 2 2 exp 4 h 12(1 ) g Длина отломанной льдины, в предположении, что лед разломится в точке максимальных напряжений, вычисляется по формуле E h 3 / 4 15.615 h 3 / 4.

L= 2 A= (1.1.3.10) 2 12(1 2 ) g 4 Эти величины для заданной жесткости льда зависят только от толщины ледовой пластины. В размерных переменных эти зависимости представлены (в соответствии с рисунком 1.1.3.3.) Кривая 1 (в соответствии с рисунком 1.1.3.3а) показывает заглубление кромки ледовой пластины, при котором в некоторой точке напряжения превышают предельно допустимые и происходит облом льдины. В соответствии с рисунком 1.1.3.3b показана длина отломанной льдины в зависимости от толщины льда (для h=0.5м длина отломанной льдины будет 9.3м, отломается она при заглублении края на 7см, а при h=1м льдина длиной 15.6м отломается при заглублении края на 9.8см) Рисунок 1.1.3. (a) максимальное отклонение кромки пластины, при котором не происходит облом льдины (кривая 1), значения отклонения кромки пластины, при которых начинается прилегание пластины к стенке клина (кривая 2).

(b) длина отломанной льдины в зависимости от толщины льда.

Рисунок 1.1.3. Зависимость длины отломанной льдины от толщины льдины E 9 10 9 П (кривая 1), E 4.2 109 П (кривая 2), E 2 10 9 П (кривая 3) Отметим, что на практике жесткость льда зависит от многих параметров, таких как температура, соленость воды, «старость» льда, наличие на нем снежного покрова [2, 5, 6, 7], и зачастую неизвестна. В различных источниках указываются значения модуля Юнга E от 2 до 9гигапаскаля. В соответствии с рисунком 1.1.3.4 приведены зависимости длины отломанной льдины от толщины льдины при трех различных значениях E. На практике можно заключить, что длина обломанной льдины будет находиться в диапазоне значений, находящихся между кривыми 1 и 3.


Максимальный наклон ледовой пластины наблюдается в кромке и равен w0 / 2 A s tan / 2 A. Таким образом, прилегание ледовой пластины к поверхности клина происходит при s 2 A и предельное заглубление кромки определяется формулой | w0 | 2 A tan. (1.1.3.11) В соответствии с рисунком 1.1.3.3а линия 2 показывает предельные значения заглубления кромки ледовой пластины, при увеличении которых начинается прилегание пластины к поверхности клина. Угол клина при этом мал и равен 0,125.

При толщине ледовой пластины h такой, что 0 h h *, стенка клина начинает соприкасаться с ледовой пластиной до того момента, когда лед разломиться, а при h h обламывание льда происходит раньше, чем ледовая пластина становится параллельной стенке клина. Из соотношений (1.1.3.8) и (1.1.3.11) следует, что h* связано с остальными параметрами задачи соотношением E =9.18 10-3.

h tan 2 cr exp 4 (1.1.3.12) 4 12(1 ) g Зависимость угла от толщины льда, вычисленная по этой формуле показана в соответствии с рисунком 1.1.3.5. Видно, что чтобы произошло прилегание клина к ледовой пластине без обламывания ледовой пластины, клин должен быть очень плоским.

Рисунок. 1.1.3.5 – Зависимость предельного угла наклона клина (в градусах) от толщины пластины.

Физические параметры поведения ледовой пластины под действием нагрузки показаны в [25]. Они близки к приведенным здесь, однако в [25] плавающая пластина моделировалась пластиной на упругом основании.

Соприкосновение клина и ледовой пластины на некотором участке Если обламывания ледовой пластины при наползании клина не произошло, ледовая поверхность отклоняется вниз и соприкасается с клином на участке 0 x xc (t ) в соответствии с рисунком 1.1.3.1с.

Общее решение задачи (1.1.3.6), (1.1.3.3), затухающее на бесконечности, имеет вид ~ w( ) (C1 cos C2 sin )e. (1.1.3.13) Из краевых условий при ~ C1 w0, C2 w0 w1. (1.1.3.14) Условие непрерывности напряжений (1.1.3.5) приводит к соотношению C 2 0, которое в свою очередь определяет связь между углом наклона клина и отклонением кромки ледовой пластины. Оно имеет вид | w0 | 2 A tan, аналогичный (1.1.3.11).

Отметим, что это соотношение получено из решения уравнения для прогиба с условиями на нулевую и первую производные, с последующим выполнением условия на равенство нулю второй производной, тогда как к соотношению (1.1.3.11) мы пришли, решая задачу для заданного отклонения кромки и равенства нулю второй производной и проверяя наклон ледовой пластины в точке контакта.

Таким образом, при малых углах наклона клина происходит соприкасание его с ледовой пластиной без отламывания льдины и с прилеганием части льдины к стенке клина в соответствии с рисунком 1.1.3.2с. Лед не поломается при смещениях конструкции, т.ч. s 2 A. При этом заглубление льдины в точке отслоения однозначно определяется толщиной льда и углом наклона клина (в соответствии с рисунком 1.1.3.3 а, кривая 2) и остается постоянным при горизонтальном движении клина. В соответствии с рисунком 1.1.3.5 показана зависимость предельного угла наклона клина (в градусах) от толщины пластины. Если больше указанного значения происходит обламывание пластины, если меньше – то облома не происходит и стенка клина соприкасается с ледовой пластиной. При этом, если разлома льдины не произошло до того, как пластина и стенка клина стали параллельны друг другу, его и не произойдет при дальнейшем движении клина.

Трехмерная задача.

Рассматривается наползание трехмерного тела с плоским жестким днищем ширины 2b на кромку ледовой пластины, занимающей правую полуплоскость. Контакт тела с пластиной происходит на участке ( x 0, | y | b). Толщина пластины h, осадка d, коэффициент жесткости D Eh 3 /[12(1 2 )]. Задача формулируется относительно вертикального прогиба пластины z w( x, y ). Прогибы пластины до ее разрушения малы, что позволяет использовать линейную теорию изгиба. Горизонтальным перемещением кромки пластины можно пренебречь. Схематически геометрия задачи (вид сбоку и вид сверху) показаны в соответствии с рисунком 1.1.3.1.

Рисунок 1.1.3.1 – Схема задачи в плоскости xOz и xOy.

В размерных переменных уравнение прогиба пластины имеет вид g wxxxx 2wxxyy wyyyy w0 (1.1.3.15) ( x 0, y ) D Последнее слагаемое в (1.1.3.15) соответствует силе гидростатического давления, действующего на изогнутую пластину. На части ледовой кромки, не находящейся в контакте с телом, выставляются условия свободного края (1.1.3.16) ( x 0, | y | b).

wxx w yy 0, wxxx ( 2 ) wxyy Считается, что на часть кромки, которая находится под телом, действует нагрузка V ( y ). Имеем (1.1.3.17) V ( y ) D[ wxxx ( 2 ) wxyy ] ( x 0, | y | b).

Кроме того, на пластине должно быть выполнено условие на бесконечност 0 ( ).

+ (1.1.3.18) Определим характеристическую длину упругой пластины Lc ( D / g )1 / 4 и введем безразмерные переменные =, =, =, ( ) ( )=. Масштаб внешней нагрузки где а - характерный прогиб пластины, считается заданным. Он определяется равенством () =.

Условия (1.1.3.16)–( 1.1.3.17) показывают, что характерный прогиб а определяется по формуле /[ ].

= Далее рассматриваем задачу (1.1.3.15)–(1.1.3.18) в безразмерных переменных, опуская тильду:

4 w 4 w 0 ( x 0, y ) (1.1.3.19) ( x 0) w xx w yy ( x 0) w xxx ( 2 ) w xyy V ( y ) ( x 2 y 2 ) w где () = 1.

(1.1.3.20) Пусть прогиб w( x, y ) найден. Тогда напряжения в пластине определяются по формулам Ez a Ez a Ez a x (wxx wyy ) 2, y ( wyy wxx ) 2, xy (1.1.3.21) w xy 2 1 1 b b b где h / 2 z h / 2. Главные напряжения 1, 2 ( 1 2 ) в каждой точке пластины находятся как собственные числа тензора напряжений x xy (1.1.3.22) xy y Используем следующие критерии разрушения:

При низких температурах, когда лед ведет себя как хрупкое тело:

| 1 | n ' | 2 | n ' ', или (1.1.3.23) где n ' - предельное напряжение, при котором лед разрушается растяжением, а n ' ' предельное напряжение, при котором лед разрушается сжатием.

При высоких температурах, когда лед ведет себя как вязкоупругое тело ( 12 1 2 2 )1 / 2 yp ', (1.1.3.24) где yp ' – напряжение начала пластических деформаций при растяжении.

Значения предельных напряжений и их использование будет уточнено позднее.

Фундаментальное решение задачи Решение задачи (1.1.3.19) имеет вид (, )= () (, ), где W(x,y) – фундаментальное решение задачи, соответствующее прогибу пластины, нагруженной сосредоточенной силой единичной интенсивности на кромке пластины в точке x=0, y=0. Фундаментальное решение W(x,y) удовлетворяет уравнениям (1.1.3.18) с заменой V(y) на функцию Дирака (y). Прогиб W(x,y) зависит от коэффициента Пуассона v и не зависит от других параметров задачи.

Решение W(x,y) ищется с помощью преобразования Фурье по переменной у.

1 W F ( x, ) F W ( x, y ) exp(iy )dy, W ( x, ) ( x, ) exp(iy )d. (1.1.3.25) W 2 Находим:

d 4W F d 2W F 2 2 ( 4 1)W F 0 (1.1.3.26) ( x 0) 4 dx dx d 2W F 2W F 0 (1.1.3.27) ( x 0) dx d 3W F dW F ( 2 ) 2 (1.1.3.28) ( x 0) dx dx (, ) 0, ( ). (1.1.3.29) Решение этой задачи ищется в виде W F ( x, ) exp(x). Уравнение пластины (1.1.3.26) дает =2 + + 1 = 0, или ( ) = 1.

= ± и = ±. Получаем четыре корня характеристического Откуда уравнения =± ± =± ±,,,, = [( +1+ )/2], = [( +1 )/2] [24]. Из этих корней только два где ( +, ) с отрицательной вещественной частью дают решения, затухающие. Общее решение уравнения пластины представляется в виде при () (, )= [ ( )cos( )+ ( )sin( )] (1.1.3.30) ()и ( ), которые определяются краевыми условиями при с коэффициентами = 0. Предварительно вычислим производную / с учетом равенств =, = 1/2, = (, )+ [ ( )sin( ) ( )cos( )].

Отсюда (0, ) = ( ), (0, ) = +, (0, ) =, (0, ) = ( + )+ +.

= Подставляем полученные формулы в краевые условия при о = 0, ( )+ (+ ) (2 ) ( + )= и решаем систему уравнений относительно и () (1 ), =, = (1.1.3.31) () ( ) = 2(1 ) + 1 + (1 ) + 1.

где Формулы (1.1.3.25), (1.1.3.30), (, ) в виде (1.1.3.31) дают решение () () (, ) = [cos( )+ (1 )sin( )] cos( ). () При этом форма края пластины вычисляется по формуле () ( ) (0, ) =. (1.1.3.33) () = (1 + (| | )) и ( )= (3 2 ) + 2 + (| | ) при.

Здесь (0, ) приводит к интегралу, который расходится при = 0.

Вторая производная от Производные, входящие в формулу для напряжений (1.1.3.21) имеют вид () () (, ) = [cos( )+ (1 н)sin( )] cos( ), (1.1.3.34) () () () (, )= (, ) [sin( ) (1 )cos( )] cos( ), () { [sin( )+ (1 )cos( )] [cos( )+ (1 )sin( )]} (, )= () () sin( ).

() Эти интегралы позволяют определить главные напряжения в пластине (1.1.3.22) и исследовать ледовую пластину на разрушение.

Прогиб полубесконечной пластины под действием двух сосредоточенных сил одинаковой интенсивности Пусть внешняя нагрузка приложена к кромке ледовой пластины в двух точках, отстоящих друг от друга на растояние 2. Как и ранее, ось направлена вдоль кромки пластины, а ось -перпендикулярна кромке. Начало кооринат выбирается посередине между точками приложения внешней нагрузки. Полная интенсивность этой нагрузки определяет маштаб и характерный прогиб. Если прогиб вызван шириной 2, то = / = / = только весом жесткой пластины и / ( )= ( )+ (+ ). В безразмерных переменных нагрузка =±, = /. Здесь приложена в точках появляется в связи с условием нормировки (1.1.3.20). Из (1.1.3.30) результирующий прогиб ледовой пластины опрееляется так (, )= (, )+ (, ) (1.1.3.35) (, )-фундаментальное решение (1.1.3.25), 0 и.

где (, ) справеливо только тогда, когда наклонная жесткая плита Полученное решение (днище судна) находится в контакте с ледовой пластиной только в двух точках = 0, = ±. Расчеты показывают, что такое возможно только для достаточно пологой формы днища и угол наклона плиты не может быть малым. Кроме того, для того, чтобы воздействие прямоугольной плиты на кромку ледовой пластину можно было бы заменить воздействием в двух краевых точках плиты, ширина плиты должна быть меньше некоторой величины, такой, что абсолютные значения прогиба между точками приложения нагрузки должны быть больше, чем абсолютные значения прогиба в точках приложения нагрузки.


= 8.36 м. ( = 4. Отметим, что для ледовой пластины толщиной 50см 10 /м, = 0.33, = 1024кг/м.) Численные результаты Численное исследование прогиба и напряжений в ледовой пластине производилось в безразмерных переменных. Предполагалось, что нагрузка приложена в точках b. На Рис. 1.1.3.2 и 1.1.3.3 приведены графики прогиба пластины для параметра b. Можно заключить, что при b 1, абсолютная различных значений величина прогиба пластины между точками приложения нагрузки, больше, чем прогиб в самих точках. Т.е. если мы воздействуем на край пластины жестким штампом, то при ширине штампа меньше, чем удвоенный характерный размер ледовой пластины, контакт пластины со штампом происходит только в краевых точках. Области, занимаемые таким штампом, также показаны в соответствии с рисунками 1.1.3.2 и 1.1.3.3 соответствующими кривыми. Начиная с b 1, прогиб пластины в центре выше, чем в точках b, поэтому, чтобы определить прогибы пластины под действием штампа, необходимо вводить еще одну или несколько точек контакта штампа и пластины. Отметим также, что в случае узкой области приложения нагрузок (малом значении b ), прогиб пластины незначительно отличается от прогиба в случае приложения точечной нагрузки. На расстоянии порядка 5 характерных длин пластины от точки приложения нагрузки, прогиб пластины становится близким к нулю (в соответствии с рисунком 1.1.3.8).

Рисунок. 1.1.3.6 – Безразмерный прогиб пластины: толстая сплошная линия – нагрузка приложена к центру пластины, точечная линия b 0.25, тонкая сплошная b 0.5, штриховая линия b 0.75.

Рисунок. 1.1.3.7 – Безразмерный прогиб пластины толстая сплошная линия b 1.25, тонкая сплошная b 1, штриховая линия b 0.75.

Также приведены контуры штампа.

Рисунок. 1.1.3.8 – Безразмерный прогиб пластины: толстая сплошная линия b 0, штриховая линия b 0.5, тонкая сплошная b 1.

Также приведены контуры штампа.

Главные напряжения в кромке пластины показаны в соответствии с рисунками 1.1.3.9-1.1.3.11 для случаев, соответствующих показанным в соответствии с (, ) в формуле (1.1.3.34) рисунками 1.1.3.6-1.1.3.8. Отметим, что интеграл для имеет особенность в точке контакта. Поэтому максимальные напряжения в этих точках бесконечны. Однако интеграл от напряжений в окрестности точки контакта конечен.

Рисунок. 1.1.3.9 – Безразмерные главные напряжения в пластине: толстая сплошная линия – нагрузка приложена к центру пластины, точечная линия b 0.25, тонкая сплошная b 0.5, штриховая линия b 0.75.

Рисунок. 1.1.3.10 а – Безразмерные главные напряжения в пластине: толстая сплошная линия b 1.25, тонкая сплошная b 1, штриховая линия b 0.75.

Рисунок. 1.1.3.10 б – Безразмерные главные напряжения в пластине: толстая сплошная линия b 0, штриховая линия b 0.5, тонкая сплошная b 1.

Рисунок. 1.1.3.11 а – Линии уровня прогиба при b 1.

Рисунок. 1.1.3.11 б – Форма ледовой пластины.

Рисунок. 1.1.3.12 а – Ледовая пластина и линии уровня 1, b 1.

Рисунок. 1.1.3.12 б – Распределение максимальных напряжений 1.

Рисунок. 1.1.3.12 в – Линии уровня 2 при b 1.

Рисунок. 1.1.3.12 – Распределение напряжений 2.

1.2. Проведение научных семинаров под руководством приглашенного ученого 1.2.1. Тепломассоперенос на границах с учетом физических факторов (лед – твердое тело) ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ (статьи выводятся на экран и комментируются):

В работе:

Мейрманов А.М. Задача Стефана. Новосибирск, 1986.

выделены два подхода к математическому описанию процессов тепломассопереноса в условиях фазовых переходов:

- фазовый переход локализован на резкой границе (фронте фазового перехода) между двумя фазами одного вещества (классическая задача Стефана);

- фазовый переход происходит в области ненулевой меры (обобщенная модель Стефана с переходной фазой).

В работе:

Кузнецов В.В. Тепломассообмен на поверхности раздела жидкость-пар // Механика жидкости и газа. №5. 2001. С. 83- приведен вывод условий на фазовых границах с учетом всех действующих физических факторов. На поверхности раздела выполняются: кинематические условия, динамические условия, условие баланса энергии, условие непрерывности температуры.

В задачах образования морского льда обычно границы считают плоскими, что существенно упрощает динамические условия и условия баланса энергии.

В работе:

Кучмент Л.С., Демидов В.Н., Мотовилов Ю.Г. Формирование речного стока.

Физико-математические модели. М., 1983.

Трофимова Е. Б. Математическая модель снежного покрова как многофазной среды // Тр. IV всесоюзн. гидролог. съезда. 1976. Т. 6.

Трофимова Е. Б. Математическое описание тающего снежного покрова // Труды САРНИГМИ. 1977. Вып. 52 (133).

предложена модель снежного покрова. Снег рассматривается как пористая трехфазная среда, твердый подвижный каркас которой составляют частички льда. В процессе таяния происходит совместное движение воды, воздуха и льда. Данная модель рассматривается на микроуровне с учетом фазовых переходов в снежном покрове без выделения фронтов.

В работе:

Богородский П.В., Марченко А.В., Пнюшков А.В. Основные закономерности замерзания снежниц на многолетнем льду арктического бассейна (по данным 23-го рейса НЭС «Академик Федоров») // Проблемы арктики и антарктики.

№75. 2007. С. 85-98;

Доронин Ю. П.. Физика океана.– Гидрометеоиздат, предложена более простые модели, в которых распределение температур в снежном покрове считается линейным.

В зависимости от целей исследования делаются упрощающие предположения и выбирается конкретная модель.

При наличии снежного покрова возникают две дополнительные зоны:

рекристаллизационный лед и талая вода. На границе снег-рекристаллизационный лед выполняются условия непрерывности температуры и теплового потока.

В работе:

Богородский П.В., Марченко А.В., Пнюшков А.В. Основные закономерности замерзания снежниц на многолетнем льду арктического бассейна (по данным 23-го рейса НЭС «Академик Федоров») // Проблемы арктики и антарктики.

№75. 2007. С. 85- показано, что наличие прудов талой воды, даже с небольшой соленостью, является качественным элементом морского снежно-ледяного покрова, оказывающим существенное влияние на его нарастание в целом. В этом случае задачу о фазовом переходе «рекристаллизационный лед – талая вода» следует рассматривать как задачу затвердевания бинарной смеси:

Иванцов Г.П. «Диффузионное» переохлаждение при кристаллизации бинарного сплава. ДАН, 1951. Т. 81. №2;

Петрова А.Г. Локальная разрешимость термодиффузионной задачи Стефана // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1984. Вып.64.

Используя подход работы Emms P.W, Fowler A.C. Compositional convection in the solidification of binary alloys // J. Fluid Mech. – 1994. – Vol. 262. – P.11–39.

можно выписать условия на границе раздела с учетом движения жидкой фазы.

Таким образом, в рамках методов механики многофазных сред выполняется описание процессов формирования льда, позволяющее учесть наиболее существенные факторы.

Задачи.

В одномерной постановке выписать условия на границе твердая фаза двухфазная зона.

Выписать условия на границе двухфазная зона-жидкость.

Выписать условия на границе «талая вода-лед» с учетом солености морского льда.

Проблемы.

Нам семинаре рассмотрен подход к описанию фазовых переходов, основанный на равновесной термодинамике. Однако, во многих работах используется кинетическая модель фазового перехода, допускающая переохлаждение на фронте, от которого зависит скорость продвижения фазовой границы. Целесообразно ли применять такой подход в задачах фазовых переходов в морском льде?

Как учесть поглощением света микроводорослями в нижней зоне?

Как учесть влияние атмосферных осадков, в частности, дождя при потеплении?

1.2.2. Тепломассоперенос в многокомпонентных, многофазных системах ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ (статьи выводятся на экран и комментируются):

В монографиях Rajagopal K.L., Tao L. Mechanics of mixtures. L.: World Scientific Publishing, 1995.

Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1-2. М., 1987.

можно познакомится с основными понятиями и подходами моделирования многокомпонентных, многофазных систем.

В частности, важным является моделирование процессов образования (таяния) снега и льда.

Целью работы Decang Lou, David W. Hammond, Heat and Mass Transfer for Ice Particle Ingestion Inside Aero-Engine // Journal of Turbomachinery. Vol.133, 031021-1 – 031021-5.

является построение модели роста сферической частицы льда в насыщенном водой потоке воздуха. Выделяются две сферические области: область льда (внутренняя сфера) и область воды (внешняя сфера), и устанавливаются зависимости радиусов сфер от параметров задачи.

В работе Kazuto Ueno and Masoud Farzaneh, Linear stability analysis of ice growth under supercooled water film driven by a laminar airflow // Physics of flids 23, 042103 1 – 042103-18.

рассматривается совместное движение тонкого слоя воды и тонкого слоя воздуха с учетом границы раздела между фазами. В качестве модели используются уравнения сохранения массы и импульса для воды и воздуха (как вязких жидкостей), а также уравнение температуры для воды и воздуха и твердой поверхности, на которой происходит движение фаз.

Интересными и актуальными в качестве приложений являются следующие задачи:

Движение подземных вод в условиях промерзающего грунта.

Нестационарная неизотермическая задача фильтрации жидкости в пористой среде с учетом вечной мерзлоты, деформации твердого скелета, влияния осадков (испарения), поступающих с поверхности, на температурный режим 1.

2.3. Методы аналитического и численного исследования задач механики и термодинамики ледового покрова Актуальность аналитического и численного исследования задач механики и термодинамики ледового покрова связана с тем, что большое количество новых нефтяных и газовых месторождений России открыты вблизи северного побережья России, на арктическом шельфе. Предполагается, что в этом регионе к 2030 году будет добываться до 85% извлекаемых запасов российских углеводородов и Арктика станет главной точкой приложения крупнейших нефтегазовых компаний. Геофизические исследования, бурение и добыча должны проводиться с учетом реальных ледовых условий – ледовых нагрузок, вызванных колебаниями ледовых полей, их дрейфом, их термическим сжатием или расширением, а также обледенением конструкций вследствие брызг и низкой температуры. Осваивать шельфовые месторождения в Арктике представляется возможным только со специальных морских платформ, сконструированных в соответствии с предполагаемыми ледовыми условиями.

Волновые нагрузки на такие платформы достаточно хорошо изучены. Несмотря на то, что волновые нагрузки на плавающие тела изучены достаточно хорошо, ледовые нагрузки на оффшорные инженерные сооружения изучены достаточно слабо, так как сам объект исследования появился относительно недавно. В настоящее время нет моделей, позволяющих учитывать как гидроупругие, так и термоупругие нагрузки на тело одновременно.

При эксплуатации в северных районах инженерные сооружения подвергаются различным неблагоприятным воздействиям со стороны окружающей среды. Это обледенение, как за счет замерзания окружающей буровые платформы жидкости, так и за счет капель воды, попадающих на охлажденную поверхность. Ледовый покров, образующийся на поверхности жидкости, оказывает нагрузки на тело, как за счет температурных напряжений, так и из-за движения ледового покрова под действием течения, ветра или волн. Кроме того, оффшорные сооружения подвержены ударам волн, которые могут также содержать обломки льда и льдины. Поэтому возникает комплекс задач гидро- и термоупругости, в рамках которого следует моделировать взаимодействие ледового покрова и инженерных конструкций.

Глобальное изменение климата в последние годы оказывает значительное влияние на состояние льда и его характеристики. Требуются модели, основанные не столько на многолетних наблюдениях, сколько на подробном описании физических процессов, происходящих в ледовом покрове при его взаимодействии с нефтяными платформами и другими конструкциями. Такие модели должны предсказывать ожидаемые ледовые нагрузки на сооружения, напряжения в ледовом покрове и возможные его разрушения с целью обеспечения безопасности работ при разработке месторождений. Использование таких моделей должно сопровождаться натурными наблюдениями для корректировки предсказаний и отслеживания процессов, происходящих в толще льда.

Сложность задач, требующих решения, заключается в их комплексности. Так, образование морского льда и его физические характеристики изучаются и на основе многолетних наблюдений описаны достаточно подробно. Взаимодействие волн с ледовыми пластинами особенно интенсивно изучается на протяжении последних 15 20 лет и на основании полученных результатов можно достаточно точно предсказать картину изгибно-гравитационных волн в ледовых пластинах и возникающие в них напряжения. Кроме того построены модели таяния морского льда, учитывающие его пористость и соленость. Однако общих, совместных моделей пока нет.

Прежде всего, необходимо научиться предсказать силовое воздействие льдин на платформу. Отметим, что обычно подводные части льдин и их характеристики известны только приближенно, в некоторых диапазонах. Этот элемент неопределенности нужно учитывать в расчетах. Кроме того, места, где ледовая пластина присоединена (приморожена) к стенке, заранее неизвестны и должны быть определены в ходе решения задачи.

В ближайшем будующем необходимо моделирование и исследование следующих конкретных задач:

Стационарная изотермическая задача о прогибе ледовой пластины, находящейся в частичном контакте с вертикальной стенкой, под действием заданной нагрузки с учетом возможного отрыва льда от стенки и возникновения участка свободного края.

Нестационарная задача об отрыве плавающей ледовой пластины от стенки под действием вибрирующей нагрузки, с учетом возможного образования конечной трещины вдоль линии присоединения ледовой пластины к стенке и учетом гидродинамических сил, действующих на ледовую пластину со стороны жидкости.

Задача о движении пятна давления по ледовой пластине вблизи стенки с учетом возможного отрыва пластины от стенки.

Термодинамическая задача о возможности отделения ледового покрова от поверхности конструкции посредством подачи тепла на конечном интервале вблизи линии соприкосновения, а также с учетом снежного покрова на льду вблизи стенки и с выделением фронта фазового перехода.

Задача о совместном воздействии механической и тепловой нагрузок на ледовую пластину вблизи поверхности вмороженной конструкции.

Необходимо изучать как вопросы обледенения конструкций, так и вопросы разрушения льда при взаимодействии с конструкциями.

Известны несколько подходов к расчету ледовых нагрузок на колонны мостов в северных районах Канады, Финляндии и Китая. Эти подходы основаны на результатах наблюдений и замерах в конкретном месте. Делаются попытки обобщения собранных результатов с целью их приложения к новым объектам и районам.

Первые попытки описания ледового покрова относятся к 19-му столетию (Greenhill 1887). Однако, первые модели не учитывали упругого поведения льда, заменяя его «массовыми нагрузками», так называемой «весомой границей».

Первые модели, в которых для описания ледового покрова использовались модели тонких упругих пластин, описаны в нескольких технических отчетах (Evans & Davies 1968), изначально предназначавшихся для военного применения, однако именно эти работы явились стартовой площадкой для последующих исследований в этой области на базе гидроупругости. Первоначально Evans & Davies (1968) рассматривали гармонические по времени колебания пластины на поверхности жидкости конечной глубины. Но решение этой задачи оказалось слишком сложным для вычислений, и авторы были вынуждены ограничиться приближением мелкой воды. Модель упругой пластины признана наиболее адекватной моделью для описания ледяного покрова.

Теория гидроупругости ледовых полей была развита в работах под руководством W.Squire (c 1984 до наших дней). В этих работах получены дисперсионные соотношения. Несколько работ были выполнены в России в 90-е годы (Тимохов, Хейсин, 1987). Примеры разрушения ледового покрова приведены в работах Squire & Martin, 1980;

Goodman et al., 1980, примеры столкновения льдин рассмотрены в работах Martin & Becker, 1987, 1988;

Crocker, 1992;

Rottier, 1992. Эти работы, связанные со сложным взаимодействием льдин в Маргинальной Ледовой Зоне получили широкое признание:

В серии работ Fox & Squire (1990, 1991b, 1994) изучены волны на границе раздела лед-вода. В этих работах впервые правильно поставлены условия сращивания потенциалов на этой границе.

Падение периодических волн на пластину является наиболее естественной задачей в теории ледовых пластин. В работе Meylan & Squire (1993a,b) была решена задача для пластины конечной длины, предсказано полное прохождение волн для некоторых значений длин волн и диаметра льдин и получены коэффициенты отражения и прохождения. Аналогичная задача для жидкости конечной глубины решена в работе (Meylan & Squire,1994). Интересные результаты по дифракции волн на конечных и полубесконечных пластинах получены в ИГиЛ в работах Коробкина, Стуровой, Ткачевой, Хабахпашевой (1997-2008гг).

Исследования продолжаются и в настоящее время, при этом изучается поведение пластин и ледового покрова под действием нестационарной внешней нагрузки, используются усложненные модели, учитывающие топографию дна и различную форму пластины или систем пластин (Букатов, Завьялов 1995;

Khabakhpasheva, Korobkin 2003;

Стурова 2003, 2006;

Peter, Meylan 2006;

Peter, Meylan & Linton 2006;

Adrianov, Hermans 2005 и многие другие). Кроме того в настоящее время множество расчетов проводится в рамках прямого численного моделирования (см., например, Adrianov, Hermans 2002, 2003;

Hermans 2003, 2004;

Kashiwagi 1998;

Porter, Porter 2004;

Takagi 2002;

Zilman, Miloh 2000).

В виду тенденции глобального потепления увеличился интерес к моделированию взаимодействия морских и океанических волн с льдинами конечных размеров.

Meylan (2002) исследовал воздействие волн в бесконечно-глубокой жидкости на одиночную льдину произвольной геометрии, решив явно трехмерную задачу. Он пришел к выводу, что жесткость льдины является наиболее важным фактором, определяющим ее движение. Peter & Meylan (2004) рассмотрели взаимодействие нескольких льдин произвольной формы.

С развитием теории модели стали более сложными. Так Williams & Squire (2004), учли пространственную неоднородность льда, переменную толщину, торосы и полыньи. Williams & Squire (2006) исследовали рассеяния волн на границе между тремя плавающими пластинами произвольной толщины. Bennetts (2007) исследовал рассеяние изгибно-гравитационных волн во льду переменной толщины. Некоторые авторы изучали влияние изменения рельефа дна, например, Wang & Meylan (2002) и Belibassakis и Athanassoulis (2005). Porter & Porter (2004), Стурова(2008) исследовали влияние неоднородности и льда, и рельефа дна. Brevdo & Il’ichev (2006) рассмотрели влияние ветровых нагрузок на пластину в рамках вязкоупругой модели льда и учитывая сжимаемость воды.

Исследуя распространение волн в зоне большого количества льдин большого размера Kohout и Meylan (2008) описали затухание волн и механизм разрушения льдин.



Pages:   || 2 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.