авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«Министерство образования и науки Российской Федерации АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК 517.946 +539.3+536.252 № госрегистрации 01201175878 Инв.№ ...»

-- [ Страница 2 ] --

Meylan & Masson (2006) исследовали рассеяние волн на основе линейных уравнений Больцмана, Ogasawara & Sakai (2006) использовали методы граничных и конечных элементов, Bennetts et al. (2010) представили трехмерную модель затухания волны в зоне битого льда больших размеров. Dumon et al. (2011) представили модель распространения волн в зоне битого льда, используя другой критерий разрушения льдин и теорию рассеяния. Williams et al. (2012) использовали вероятностный подход к описанию возможности разрушения льда.

Vaughan et al. (2009) исследовали затухание изгибно-гравитационных волн вдоль границы между льдом и моря, с учетом неоднородности ледяного покрова.

В связи со сложностью уравнений, описывающих поведение ледового покрова, исследований включающих нелинейные эффекты относительно немного. Так Peake (2001) исследовал нелинейную устойчивость упругих пластин при воздействии гидродинамических сил. Hegarty & Squire (2004) изучали воздействие волн большой амплитуды на одиночной льдину с учетом нелинейных членов, как в уравнениях жидкости так и в уравнениях упругости. Использовалась теория возмущений и методы сращивания. Изучая влияние движущейся нагрузки на ледяной покров, Parau & Dias (2002) применили слабо нелинейную модель. Их решение основано на теории динамических систем. Hegarty & Squire (2008) продолжили исследование распространения волн большой амплитуды через льдины, применив метод граничных элементов. Parau & Vanden-Broeck (2011) провели дальнейшее изучение воздействия движущейся нагрузки на ледяной покрова, применив формулу Грина и метод граничных элементов, а также используя результаты работы Forbes (1989). Модель ледового покрова в этой работе является линейной, но уравнения жидкость полностью нелинейны. Bonnefoy et al. (2009) использовали нелинейные спектральные методы высокого порядка для той же задачи.

Дальнейший прогресс связан с применением нелинейных уравнений для моделирования взаимодействия жидкости и ледового покрова. Так нелинейные гидроупругие волны моделируются в работе Plotnikov & Toland (2011), которые использовали теорию гиперупругих оболочек Коссера. Mollazadeh et al. (2011) применили метод фундаментальных решений для задачи о полубесконечной плавающей упругой пластине, используя полностью нелинейные уравнения для жидкости.

Реология льда и его термодинамические свойства описаны в монографиях Мальмгрена Ф.

«О свойствах морского льда» (1930г.), Цурикова В.Л. «Жидкая фаза в морских льдах» (1976г.), имеется справочное пособие «Морской лед» (1997г.). Однако известно, что в различных ситуациях лед ведет себя совершенно по-разному. Его свойства зависят от его структуры, толщины, температуры, солености образующей его жидкости. Кроме того, геометрия и природа задач, возникающих в каждом конкретном случае совершенно различны. Поэтому при прогнозировании поведения ледового покрова не существует единой модели. Наиболее изученным является поведение ледового покрова под действием изгибно-гравитационных волн. Многочисленные исследования проведены как в нашей стране (Букатов А.Е., Голушкевич С.С., Доценко С.Ф., Козин В.М., Жесткая В.Д., Коробкин А.А., Стурова И.В., Ткачева Л.А., Хабахпашева Т.И.) так и за рубежом (Hermans, A.J. Faltinsen O.M., Kashiwagi M., Meylan M., Squire V.A., Porter, D., Takagi, K. Zilman G., Miloh T., Taylor R.E.). Они посвящены воздействию поверхностных волн на образование изгибно-гравитационных волн распространяющихся в ледовом покрове, а также воздействию этих волн на морские и прибрежные сооружения, такие как вертикальные колонны платформ и стенки. При этом ледовый покров моделируется упругой пластиной. Эти исследования показывают, что даже волны малой амплитуды могут приводить к большим силам и моментам, которые, в случае хрупкого льда, могут приводить к образованию трещин в нем и его разрушению.

Проведенные до настоящего времени исследования не включали в себя задачи, связанные с взаимодействием льда с сооружениями с учетом фазовых переходов, а также задачи о воздействии льда на сооружения при наличии заранее неизвестных областей контакта.

1.2.4. Обсуждение тематики курсового и дипломного проектирования Темы диссертаций:

Костиков В.К. «Нестационарное движение эллиптического цилиндра под свободной поверхностью и ледовым покровом»- подготовлена к защите, защита планируется на 2 квартал 2013 года Токарева М.А. «Математические вопросы движения жидкости в деформируемой пористой среде» - защита планируется в 2014 году.

Темы магистерских диссертационных работ:

Гоман В.А. «Движение воды и воздуха в тающем снеге» - защищена на «отлично» в 2012 году Шишмарев К.К. «Разрешимость краевых задач прогиба ледового покрова в замерзшем канале » - защищена на «отлично» в 2012 году Темы выпускных работ бакалавров, запланированные к защите в 2013 году:

«Автомодельные решения задачи образования морского льда».

«Проникание твердого тела в жидкость через ледовое покрытие».

«Задача протаивания мерзлых грунтов с учетом атмосферных осадков».

«Влияние учета диффузии примеси в твердой фазе на поведение решения задачи затвердевания бинарной смеси».

«О движении подземных вод в промерзающем грунте».

Темы курсовых работ Построение автомодельных решений задачи Стефана при помощи пакета MATHLAB.

О подходах к моделированию фазовых переходов в неоднородных средах.

Автомодельные решения задач для уравнений нелинейной теплопроводности.

Оценка зависимости автомодельной скорости движения фронта от скрытой теплоты фазового перехода 1.3. Разработка программы внедрения результатов исследования Таблица 1.3.1.

N Наименование мероприятия Ответственные Срок п/п. реализации 1. Внедрение в учебный процесс разработанных в ходе работы над проектом программы и материалы к УМК следующих специальных курсов:

- Механика и термодинамика Коробкин А.А., Петрова А.Г., 2012- ледового покрова уч.год Коробкин А.А., Папин А.А. 2012- - Методы механики сплошной уч.год.

среды в задачах полярной механики 2. Использование результатов НИР Папин А.А., Петрова А.Г. Начиная с 2010- в работе студенческого кружка уч.года «Индустриальная математика».

Срок реализации – начиная с 2011 года.

3. Издание учебного пособия Папин А.А., Ахмерова И.Г., Ноябрь «Математические модели Токарева М.А. г.

механики неоднородных сред»

4. Организация студенческого 2013 г.

научного общества, нацеленного Папин, А.А., Петрова А.Г.

на исследование задач, важных для региона.

6. Открытие магистерской 2013- программы «Математическое Петрова А.Г., Папин А.А. уч.год.

моделирование в механике неоднородных сред»

7. Разработка тематики курсового и Коробкин А.А., 2011-2012гг.

дипломного проектирования Хабахпашева Т.И., Папин А.А., Петрова А.Г.

Темы диссертаций:

Костиков В.К. «Нестационарное движение эллиптического цилиндра под свободной поверхностью и ледовым покровом»- подготовлена к защите, защита планируется на 2 квартал 2013 года Токарева М.А. «Математические вопросы движения жидкости в деформируемой пористой среде» - защита планируется в 2014 году.

Темы магистерских диссертационных работ:

Гоман В.А. «Движение воды и воздуха в тающем снеге» - защищена на «отлично» в 2012 году Шишмарев К.К. «Разрешимость краевых задач прогиба ледового покрова в замерзшем канале » - защищена на «отлично» в 2012 году Темы выпускных работ бакалавров, запланированные к защите в 2013 году:

«Автомодельные решения задачи образования морского льда».

«Проникание твердого тела в жидкость через ледовое покрытие».

«Задача протаивания мерзлых грунтов с учетом атмосферных осадков».

«Влияние учета диффузии примеси в твердой фазе на поведение решения задачи затвердевания бинарной смеси».

«О движении подземных вод в промерзающем грунте».

Темы курсовых работ Построение автомодельных решений задачи Стефана при помощи пакета MATHLAB.

О подходах к моделированию фазовых переходов в неоднородных средах.

Автомодельные решения задач для уравнений нелинейной теплопроводности.

Оценка зависимости автомодельной скорости движения фронта от скрытой теплоты фазового перехода Программа спецкурса «Механика и термодинамика ледового покрова»

Цель:

Подготовка экспертов в области механики (динамики сплошных сред, теории упругости), а также ее приложений в мультидисциплинарных областях (мерзлотоведение, полярная механика, физика океана) Учебные задачи курса:

Основными задачами изучения дисциплины является изучение базовых математических моделей фазовых переходов в неоднородных средах, моделей промерзания и протаивания насыщенных и ненасыщенных грунтов, взаимодействия ледового покрытия с конструкциями.

Новизна.

Новизна курса состоит в изучении моделей, учитывающих реальные характеристики льда и термодинамические условия его формирования и в прикладной нацеленности рассматриваемых задач.

Структура курса Моделирование фазовых переходов в неоднородных средах (12 часов) Непрерывные движение и движения с сильным разрывом: условия на фронте.

Задача Стефана: классическое и обобщенное решение.

Задача затвердевания бинарного сплава. Учет движения в жидкой фазе.

О фазовых переходах в мерзлых грунтах.

Физические свойства морского льда (12 часов) Образование и рост кристаллов льда.

Фазовый состав морского льда.

Теплофизические характеристики морского льда.

Общие закономерности роста и таяния морского льда.

Механические свойства морского льда.

Поведение льда под нагрузкой.

Математическое моделирование фазовых переходов в насыщенных и ненасыщенных грунтах (12 часов) Промерзание грунта, насыщенного раствором соли. Промерзание ненасыщенного грунта. Фазовые переходы лед-вода-пар слабопроницаемых грунтах. Протаивание ненасыщенного грунта.

Взаимодействия ледового покрытия с конструкциями (18 часов).

Ледовые нагрузки и воздействия на сооружения. Феноменологическая модель процесса разрушения ледяной плиты при контакте с сооружением.

Численное моделирование (36 часов).

Численные методы решения базовых задач тепломассопереноса. Численное моделирование задач промерзания грунтов. Численное моделирование задач взаимодействия льда с сооружениями и судами.

Список литературы 1. Васильев В.И., Максимов А.М., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. Москва, 2. Беккер А.Т. Вероятностные характеристики ледовых нагрузок на сооружения континентального шельфа. Владивосток, 2005.

3. Доронин Ю.П. Физика океана. Санкт-Петербург, 2000.

4. Папин А.А. Краевые задачи двухфазной фильтрации. Барнаул, 2009.

5. Петрова А.Г. Задачи с фазовыми переходы в неоднородных средах.

Барнаул, 2009.

6. Хабахпашева Т.И., Коробкин А.А. Соударение упругих тел с тонким слоем жидкости. Нижний Новгород, 2011.

Программа спецкурса «Методы механики сплошной среды в задачах полярной механики»

Цель:

Подготовка экспертов в области механики (динамики многофазных сплошных сред, теории упругости), а также ее приложений в мультидисциплинарных областях (фильтрация, мерзлотоведение, полярная механика) Учебные задачи курса:

Основными задачами изучения дисциплины является изучение базовых математических моделей фазовых переходов в неоднородных средах, моделей промерзания и протаивания насыщенных и ненасыщенных грунтов, взаимодействия ледового покрытия с конструкциями, распространение загрязнений в тающем снеге.

Новизна.

Новизна курса состоит в изучении моделей, учитывающих реальные характеристики льда и термодинамические условия его формирования и в прикладной нацеленности рассматриваемых задач.

Структура курса:

Модели механики сплошных сред (27 часов) Жидкости и газы.

Частные модели. Диссипативные процессы.

Деформируемые твердые тела.

Линейная теория упругости.

Сильный разрыв.

Задачи тепломассопереноса в тающем снеге (27 часов) Постановка задачи.

Автомодельное решение задачи тепломассопереноса в тающем снеге.

Перенос динамически нейтральной примеси в тающем снеге.

Аналитическое и численное исследование квазиизотермичиской задачи взаимодействия ледового покрова канала и поверхностных волн. (18 часа).

Аналитическое и численное решение начально-краевых задач фильтрации жидкости в вязкоупругой горной породе (18 часов).

Постановка задачи и основные результаты Локальная разрешимость задачи фильтрации сжимаемой жидкости в вязкоупругой горной породе.

Глобальная разрешимость одномерной задачи фильтрации несжимаемой жидкости в вязкоупругой горной породе.

Список литературы 1. Овсянников Л.В. Введению в механику сплошных сред. Часть I. Новосибирск, 1976. 76 с.

2. Овсянников Л.В. Введению в механику сплошных сред. Часть II. Новосибирск, 1977. 70 с.

3. Папин А.А. Краевые задачи двухфазной фильтрации. Барнаул, 2009.

4. Ахмерова И. Г., Папин А.А., Токарева М.А. Математические модели механики неоднородных сред : учебное пособие : в 2 ч. -- Ч.I. / Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2012.

-127с.

5. Kolev N.I. Multiphase Flow Dynamics 1. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002.

6. Kolev N.I. Multiphase Flow Dynamics 2. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005.

7. Kolev N.I. Multiphase Flow Dynamics 3. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007.

8. Multiphase flow-Handbooks, manuals, etc. I. Crowe, C. T. (Clayton T.) TA357.5.M84.M85 2005 620.1’064-dc 1.4. Сравнительный анализ, обобщение и оценка результатов исследования.

Распространение гидроупругих волн вдоль канала, покрытого льдом, было исследовано в предположении о малой амплитуде таких волн. Ледовая пластина имеет постоянную толщину и приморожена к стенкам канала. Выведено дисперсионное соотношение для таких волн. Несмотря на важные практические приложения, ранее такая задача не рассматривалась. Показано, что гидроупругие волны в канале представляют собой комбинацию распространяющихся вдоль канала волн и волн плескания. При отсутствии ледового покрова существуют волны, которые распространяются вдоль канала без плескания. Показано, что при наличии ледового покрова такие волны отсутствуют. Построены решения для канала конечной глубины и канала малой глубины.

В последнем случае построено приближение четвертого порядка по отношению к малой глубине жидкости. Вычислены изгибающие напряжения в ледовой пластине при распространении волны вдоль канала. Показано, что изгибающие напряжения максимальны на стенках канала, где ожидается отлом льда от стенки. Построенные решения необходимы для исследования несущей способности льда при движении заданной нагрузки вдоль канала. Проведенные исследования позволили сформулировать и обосновать задачу о поведении ледовой пластины, которая только частично прикреплена к стенке конструкции и свободна от напряжений в зонах отрыва.

Обратная задача об определении термоупругих остаточных напряжений в ледовой пластине была исследована для модели пластины Кирхгофа с дополнительными сжимающими напряжениями в плоскости пластины. Для тестирования метода использовались экспериментальные результаты, полученные на японском острове Сарома. Предлагается использовать только результаты измерений со стационарными нагрузками. Метод определения жесткости пластины по результатам измерения ее прогиба под действием заданной нагрузки был известен ранее. Однако остаточные температурные напряжения ранее не определялись. Эти напряжения измерялись прямыми методами для льдов Аляски. Решенная в ходе выполнения проекта обратная задача является более сложной, чем обратные задачи, рассматриваемые ранее. Предложена методика измерений и вычислительная процедура интерпретации результатов измерений.

Исследовано поведение плавающей полубесконечной пластины при локальном воздействии на ее край, например при наползании на ее край ледокола. Задача решена в двумерной и трехмерной постановках. Получено распределение прогибов и напряжений в ледовой пластине. В трехмерной постановке получено фундаментальное решение задачи. Показано, что в случае узкой области приложения нагрузок, прогиб пластины незначительно отличается от прогиба в случае приложения точечной нагрузки. На расстоянии порядка пяти характерных длин пластины от точки приложения нагрузки, прогиб и напряжения в пластине становятся близкими к нулю.

Кроме того, чтобы воздействие прямоугольной плиты (носа ледокола) на кромку ледовой пластину можно было заменить воздействием в двух краевых точках, ширина плиты должна быть меньше некоторой величины. Тогда абсолютные значения прогиба между краевыми точками приложения нагрузки будут больше, чем абсолютные значения прогиба в краевых точках, и ледокол будет соприкасаться с ледовой пластиной только в двух точках.

Полученные в трехмерном случае распределения изгибных напряжений в пластине, показывают, что разламывание пластины произойдет в точках приложения нагрузки и трещины будут направлены перпендикулярно кромке.

Модели снежно-ледового покрова используются при решении задач о движении снежных лавин и ледников, о формировании стока на речном водосборе, распространении загрязнений в тающем снеге. При построении математических моделей снежно –ледового покрова в период таяния используются общие принципы динамики многофазной среды [9]. Особенностью этих моделей является обязательный учет фазовых переходов и использование фильтрационного приближения, поэтому основными уравнениями модели являются законы сохранения масс и энергии, а также закон Дарси для подвижных фаз [10]. Первые результаты о движении воды, воздуха в ледяном пористом скелете получены в работах [11, 12]. В этих работах термодинамика процесса не рассматривалась. Нами изучены две математические модели тающего снежно-ледового покрова, учитывающие фазовые переходы и деформацию ледового скелета при различных реологических соотношениях. Показано, что исследуемые модели дают адекватное описание процесса.

Впервые проведена количественная оценка термических изменений последних десятилетий в Русском и Монгольском Алтае. Результаты показали, что в период максимума последнего потепления (1980-1999 гг.) рост температур на Алтае был в 2 4.5 раза интенсивней по сравнению с периодом 1940 -1979 гг., что существенно превышает, как усредненные значения по России, так и глобальные значения.

Проведенные исследования показали, что данные ледникового керна массива г. Белуха, являются репрезентативные для оценки эмиссии свинца в Восточной Европе и на Алтае. При этом, полученные концентрации свинца сопоставимы со значениями для Западной Европой и Северной Америки. Стоит отметить, что максимальная эмиссия свинца в регионе отмечалась в 1970-е года прошлого века и была связанная с применением не этилированных сортов бензина. Впервые было показано, что в более ранний период (1680-1935 гг.) основными эмиссии свинца (около 40%) в Восточной Европе и Алтае были предприятия Рудного Алтая.

1.5. Дополнительные результаты исследований 1.5.1. Аналитическое и численное исследование квазиизотермической задачи взаимодействия ледового покрова канала и поверхностных волн В рамках линейного приближения рассматривается безвихревое движение (,,,) жидкости в канале шириной и высотой, покрытом льдом. Потенциал скоростей течения удовлетворяет задаче + + = 0;

( 0, 0, );

= 0, ( = 0, );

= 0, ( = );

=, ( = 0), (,, ) – прогиб ледовой поверхности.

здесь Интеграл Бернулли берется в виде + + = 0, где – давление;

– плотность воды;

– ускорение свободного падения [26].

(,, ) удовлетворяет уравнению вида [27, 28] Функция + ( (, ) ) = (,, 0, ), (0, ) и условиям = = 0, ( = 0, ), = ;

– толщина покрова);

(, ) – где – масса покрова на единицу площади ( температурные напряжения, связанные с образованием ледового покрова;

– оператор градиента.

= /[12(1 )], где Изгибная жесткость вычисляется по формуле – – коэффициент Пуассона для льда. Толщина льда и его плотность модуль Юнга и считаются постоянными. Краевые условия для означают, что ледовое покрытие приморожено к стенкам канала.

(,, )= Решение сформулированной задачи для ищется в виде ( / )sin( + ), где = = – амплитуда волны;

– волновое число;

= ( ), =, удовлетворяет условиям – частота волны;

искомая функция = = 0 при = 0, = 1. Температурные напряжения считаются постоянными, следовательно, для каждой заданной температуры получим собственную функцию.

В безразмерных переменных (знак тильда опускается) исходная задача для сводится к следующей задаче относительно и +( + ж) ( ) = = ( + ( )), (0 1);

(1.5.1.1) = = 0, ( = 0,1), = ;

2 =2 + = = ;

ж= + где ;

;

.

= Учитывая условие и вид функции, потенциал скоростей будем = (, )cos( + ), где функция (, ) удовлетворяет задаче искать в виде + =, ( 0, 0 1);

= 0, ( = 0,1);

= 0, ( = );

= ( ), ( = 0), где ( ) = (, 0) и = /.

,, ж, Требуется, при заданных параметрах найти собственные значения и ( ), а также исследовать зависимость ( ) при соответствующие функции уменьшении толщины льда и сравнить вычисления с дисперсионным соотношением, полученным для задачи со свободной поверхностью [29]. Полученный результат будет использован для изучения возможности разрушения ледового покрова в канале движущимся судном на воздушной подушке. Ранее подобные задачи о ледовом покрове в канале не рассматривались. Задача без учета температурных напряжений исследовалась в [29]. Задача без учета температурных напряжений с одной вертикальной стенкой исследовалась в [30].

Алгоритм численного решения задачи (1.5.1.1) Определим ортонормированную систему функций { ( )} на интервале (0, 1) как решения следующей спектральной задачи =, (0 1);

= = 0, ( = 0,1);

(1.5.1.2) () = 1, = 0 ( ).

( ) называются балочными функциями. Они дают формы колебаний балки Функции постоянного поперечного сечения, защемленной на обеих концах;

соответствующие собственные значения связаны с собственными частотами колебаний балки.

Решение задачи (1.5.1.1) будем искать в виде ( )= ( ). (1.5.1.3) Подставляя (1.5.1.3) в (1.5.1.1) и используя (1.5.1.2), получим систему линейных однородных уравнений относительно коэффициентов и параметра. Система имеет бесконечное число уравнений. При ее приближенном решении ограничимся конечным числом уравнений и находим собственные числа полученной матрицы. Проводя расчеты при различных N, получаем последовательности вида,,,...

,,...

,,..., сходимость которых при фиксированном и растущем проверяется численно.

( ) вычисляются аналитически, а собственные значения Функции – численно.

( ), Подставляя (1.5.1.3) в (1.5.1.1) и умножая обе части полученного равенства на после интегрирования с учетом (1.5.1.2) приходим к равенству:

+2 +( + ) =( + ), (1.5.1.4) где = ( ) (, 0) ;

= = =.

рассмотрим вспомогательную задачу относительно (, ):

Для вычисления =, (0 1, 0);

= 0, = 0,1;

= 0, = ;

= ( ), ( = 0,0 1), где ( ) определен в (1.5.1.3).

Функцию (, ) представим в виде (, )= (, ), (, ) удовлетворяют следующей задаче:

где новые искомые функции =, (0 1, 0);

= 0, = 0,1;

(1.5.1.5) = 0, = ;

= ( ), ( = 0, 0 1).

Тогда для имеем = = = (, 0).

Повторяя анализ, проведенный в [29], находим:

= ( + ).

Следовательно, =.

Поэтому приходим к равенству =, =.

Используя введенные элементы и, равенство (1.5.1.4) представим в виде ( + + ж) +2 =( + ), или в матричной форме +2 = ( + ), (1.5.1.6) =(,,,...) = { + +, + +,...} где – вектор;

– ={ } ={ } диагональная матрица;

и – симметричные матрицы.

,, Умножим обе части (6) на ( + ) и обозначим =( + ) +2.

Приходим к задаче вида ( ) = 0. (1.5.1.7) Элементы матрицы вычисляются численно по указанным выше формулам.

После этого находятся собственные значения и вычисляется функция.

Численное решение задачи (1.5.1.7).

Будем решать численно задачу (1.5.1.7) при следующих значениях параметров:

= = 100;

ж = 144.452;

= 0.0183.

Решение в вычислительной среде MatLab строится в несколько этапов:

1) Матрица не зависит от параметров задачи, вычисляется заранее и сохраняется в ( ).

файле. Это же справедливо для последовательности и функций 2) Вычисляются матрицы и, зависящие от параметров задачи.

3) Вычисляется матрица заданной размерности.

4) Вычисляются собственные значения и собственные вектора.

5) По найденным значениям находятся частоты.

В таблице 1.5.1.1 приведены 4 первых значения, соответствующие полученным собственным значениям для разного числа уравнений в (1.5.1.7) Таблица 1.5.1.1 – Значения в зависимости от числа уравнений 5 уравнений 20 уравнений 50 уравнений 113,9748 105,6593 105, 205,7769 193,6093 192, 328,8829 305,2569 302, 419,2954 397,1653 394, Заметим, что разность чисел, полученных для матриц размерности 50 50 и 20 20, на порядок меньше от разности чисел, полученных для 50 50 и 5 5.

Разность первых двух частот для матриц 50 50 и 20 20 по модулю не превышает 1, когда разности 3 и 4 чисел больше разности первого числа в 6 раз. Для более высокой точности полученных значений требуется построение матриц с большим числом уравнений в (1.5.1.7).

В соотвтствии с рисунками 1.5.1.2 – 1.5.1.3 представлены графики изменения = 105,6593, при прогиба ледового канала, соответствующие частоте волны = = 1, [10,10] и = = 0, [0,0.1] соответственно.

Будем увеличивать волновое число от 1 до 4 с шагом по равным 0,1.

Получим при каждом свои собственные частоты. Начнем уменьшать толщину льда и сравним полученные последовательности с частотами, полученными для задачи со свободной поверхностью [29] = + tanh[ + ], = /;

где - волновое число;

- частота волны;

- высота канала;

- ширина канала.

Результаты вычислений представлены в соответствии с рисунком 1.5.1.4.

Рисунок 1.5.1.2 – График функции при = 105,6593;

= Рисунок 1.5.1.3: – График функции при = 105,6593;

= ( ) в зависимости от толщины канала Рисунок 1.5.1.4: – График функции 1.5.2. Приближение мелкой воды Это приближение относится только к оператору ( ), где = (, 0) и (, ) есть решение краевой задачи:

+ = (0 1, 0), = 0 ( = 0,1), (1.5.2.1) = 0 ( = ), = ( ) ( = 0), при 1. Проинтегрируем уравнение (1.5.2.1) по с учетом граничных условий (,) + ( )= (,), и введем усредненный потенциал скоростей по глубине слоя ( )= (,).

Получаем точное соотношение ( ) = ( ).

(1.5.2.2) Приближение мелкой воды (тонкого слоя) основано на соотношении (, 0) = ( ) + (1) 0. (1.5.2.3) Подставляем (1.5.2.2) с учетом (1.5.2.3) и получаем в главном порядке при 0:

( ) ( )= ( )+ Поделим обе части уравнения на и перегруппируем слагаемые ( ) + [ ]( ) = (1.5.2.4) Краевые условия для этого уравнения такие = 0, ( = 0,1), = 0, =, = (1.5.2.5) = = 0 при = 0,1, и определения где второе и третье следуют из уравнений, (1.5.2.2) Общее решение уравнения ищем в виде ( )=, (1.5.2.6) - корни уравнения где ( ) + ( )( ) + = 0. (1.5.2.7) = Уравнение (1.5.2.7) – кубическое уравнение относительно, коэффициенты в (1.5.2.7) вещественные и неизвестная величина входит с квадратом. Это означает, = +, + и, также что если - корень уравнения (1.5.2.7), то корни этого уравнения. Следовательно, если мы нашли один комплексный корень, то еще три корня получаются заменами знаков у вещественной и мнимой частей этого 0 и 0. Если = 0 или = 0, то корня. Это утверждение справедливо при имеем корни ± и ±, соответственно. Полное число корней уравнения (1.5.2.7) равно шести с учетом их кратности.

Уравнение (1.5.2.7) сводится подстановкой к кубическому уравнению +( ) + /) = 0, (1.5.2.8) = /, = /, = /, = /[12(1 )], где – модуль Юнга льда, i - коэффициент Пуассона, hi - толщина ледового покрова, m i h i - масса ледовой пластины единичной площади, i - плотность льда, - плотность воды, g 9.81 м/с2 – ускорение свободного падения, b - ширина канала, - частота волны, h H / b, H - глубина канала, D - коэффициент жесткости ледовой пластины.

Уравнение (1.5.2.8) имеет либо три вещественных корня, либо один вещественный и два комплексно-сопряженных. Один из корней всегда вещественный и отрицательный.

Обозначим его v1. Действительно, левая часть уравнения (1.5.2.8) положительна и равна / h при v 0 и стремиться к при v, следовательно, на интервале (,0) находится по крайней мере один корень.

Обозначим для краткости последующих выкладок k e, / h f, где f 0. Коэффициент может быть как положительным, так и отрицательным. Запишем уравнение (1.5.2.8) в виде G (v) 0, где G(v) v3 ev f. Здесь G ' (v) 3v 2 e положительная при e 0. Следовательно, G (v ) - монотонно возрастающая функция при любых v, причем G ( 0) f 0 и G (v) при v. Получаем, что при e уравнение (1.5.2.8) имеет одно вещественное и отрицательное решение и два комплексно-сопряженных решения. Если e 0, то уравнение G ' (0) e 0. Уравнение имеет два вещественных положительных корня, если G ( e / 3 ) 0.

G (v ) Последнее неравенство в исходных обозначениях дает 3( / 2h) 2 / 3. (1.5.2.9) При выполнении неравенства (1.5.2.9) уравнение (1.5.2.8) имеет один отрицательный и два положительных корня. Эти три корня вычисляются по формуле A e3 / 27 f 2 / 4, (1.5.2.10) при выполнении неравенства (1.5.2.9) имеем A 0. Корни вычисляются по формуле vk 2 | e | / 3 cos( / 3 2k / 3), (1.5.2.11) где k 1, 0, 1 и arctan(2 | A | / f ).

Если неравенство (1.5.2.9) не выполняется, то A в (1.5.2.10) положительно.

Вычисляем w1 f A и корни e e vk ak 1 2 / 3 ibk 1 2 / 3, 3w 3w 1 2k 2k ak w1 / 3 cos bk w1 / 3 sin,. (1.5.2.12) 3 При k 1, 0, 1 находим a1 w1 / 3, b1 0 ;

a2 w1 / 3 / 2, b2 w1 / 3 3 / 2 ;

a3 a2, b3 b2.

Заметим, что при A 0 корни, вычисленные по формулам (1.5.2.11) и (1.5.2.12) совпадают. Действительно, A 0 означает e 0 и | e | / 3 ( f / 2 ) 2 / 3. Тогда e | e| / w1 f / 2 (| e | / 3)3 / 2 a1 (| e | / 3)1 / 2. Вычисляем и и 1 2/ ( f / 2) 2 / 3w v1 2(| e | / 3)1 / 2, что соответствует (1.5.2.11) при получаем vk 2ak. В частности, и k 1.

При A ~ ~, v2,3 S cos v1 S cos( / 3), ~ S 2(| e | / 3)1 / 2.

v1 0 v2 v3, arctan(2 | A | / f ), Соответственно ~ 12, 2 K 2 S cos( / 3) G ( G 0, 1, 2 G ;

G 0, 1, 2 | G | ). (1.5.2.13) Остальные корни связаны с 1, 2 формулой 3, 4,5,6 v1, 2 K 2. (1.5.2.14) Аналогично вычисляются корни при A 0. В результате для каждого случая j вида получаем шесть решений, которые представляются функциями exp( ax ) cos(bx) или exp( ax ) sin( bx ).

0 корни уравнения (1.5.2.8) такие При = 1, = 1+, (1.5.2.15) || || = arctan, 0, = 2. (1.5.2.16) Вычисляем = 2 =.

, | |.

0 = ±, 0 =± (1.5.2.17),, Остальные корни такие =± ±, (1.5.2.18),,, где и вычисляются так = + + = ( 0), ( + 0), = arctan + = arctan, ( + 0), ) (1.5.2.19) | | = ( + = 0).

= cos, = sin.

Соответствующие решения находятся так:

0 и 0, все корни ( = 1, …,6) вещественные и решения exp( ).

При 0 и 0, имеем четыре решения exp( ) ( = 3, 4, 5, 6) и два решения При sin( ), cos( ) где = | |. При 0и 0, два решения exp( ) ( = 1,2) и решения вида exp(± )cos( ), exp(± )sin( ). При 0 и 0, два решения sin( ), cos( ) где = |G| и 4 решения вида exp(± )cos( ), exp(± )sin( ).

Так как при разных знаках решения имеют различные вид, то получаемые функции нумеруются параметром 1) 0 1: exp( ) где вещественные 2) 1 2: cos( ) 3) 2 3: sin( ) 4) 3 4: exp( )sin( ) 5) 4 5: exp( )sin( ) (,,, ).

Расчет таких функций проводится подпрограммой Получаем ( )= () Краевые условия (1.5.2.5) дают (0) = (1) = ( (0) (0)) = ( (1) (1)) = 0 (1.5.2.20) (0) = (1) = 0.

Получаем 6 однородных уравнений относительно шести коэффициентов.

Определитель системы должен быть равен нулю, только тогда система имеет нетривиальное решение. Для вычисления коэффициентов системы надо знать = 0, 1 и 0 5. Эти производные вычисляются производные,,, при по специальным подпрограммам.

Расчеты проводятся для частоты изменяющейся от 0.1 до 10 c шагом 0.1. Для каждого значения частоты вычисляются определители системы (1.5.2.20) для безразмерного волнового числа K от нуля до 40 с шагом 0.001. Если на интервале (, ) определитель меняет знак, то интервал делится пополам. Эта процедура продолжается до тех пор, пока длина интервала не становится меньше 10. Отметим, что при фиксированной частоте имеется несколько корней определителя.

( ) представлены в соотвествии с рисунками 1.5.2.1, 1.5.2.2, 1.5.2. Зависимости маркерами для толщены льда 1мм, 1см и 10см. В случае очень малой толщины ледовой ( ) близки к вычисленным для волн в пластины (1мм), полученные зависимости канале без льда. Последние показаны сплошными линиями и определяются по формуле = /( ) ( ) для = 0,1,... причем правая часть в последней формуле ( ) уменьшается. Это должна быть положительной. При увеличении толщина льда означает, что гидроупругие волны длиннее, чем волны на свободной границе воды в канале.

Рисунок 15.2.1. – Дисперсионные кривые для волн на воде в канале (сплошные линии) и для ледяного покрова толщиной в 10 см (маркеры) Рисунок 1.5.2.2 – Дисперсионные кривые для волн на воде в канале (сплошные линии) и для ледяного покрова толщиной в 1 мм (маркеры) Рисунок 1.5.2.3 – Дисперсионные кривые для волн на воде в канале (сплошные линии) и для ледяного покрова толщиной в 1 см (маркеры) Приближение мелкой воды 4-ого порядка Приведенная в предыдущем пункте схема приближенного решения задачи при малой глубине канала может быть обобщена без большого труда на случай более точного приближения потенциала (, 0) чем (1.5.2.4).

= и ищем (, ) в виде В задаче (1.5.2.1) введем (, ) = (, ) = (,, ), где – новая искомая функция. Вычисляем производные =, =, умножаем первое уравнение в (1.5.2.1) на, четвертое на, введем оператор = (для сокращения выкладок) и перепишем задачу в новых переменных + = 0 (0 1, 1 0), = 0 ( = 0,1), (1.5.2.21) = 0 ( = 1), = ( ) ( = 0).

Решение ищем в виде (,, ) = ( )+ (, )+ (, )+...

Подставим последнее разложение в (1.5.2.21) и собираем слагаемые одного порядка при 0:

(): (, 0) = ( ), (, 1) = 0, + = 0, = 0, (1.5.2.22) ( = 0,1), от 1 до 0 и используем краевые условия для Интегрируем (1.5.2.22) по :

+ ( ) = 0.

( ):

Отсюда получаем краевую задачу для = ( ) (0 1), (1.5.2.23) = 0 ( = 0,1) ( ) = ( ).

Сравнивая (1.5.2.23) и (1.5.2.2), находим (, ):

Вычисляем теперь ( ) (0 1), = = ( ) ( = 0), = 0 ( = 1) о (, ) = ( ) + ( ) + ( ). Имеем Решение ищем в виде 2 =, 2 0 + ( ) = ( ), 2 (1) + = 0, (1.5.2.24) = ( ), что следует из (1.5.2.23). Тогда здесь ( )= ( ), ( ) = ( ), Третье равенство в (1.5.2.24) выполняется автоматически. Получаем (, )= () + ( ) + ( ), (1.5.2.25) где с( ) определяется с помощью следующих приближений.

+ = 0 (0 1, 1 0), (1.5.2.26) (, 1) = 0, (, 0) = Интегрируем (1.5.2.26) по, используем краевые условия и (1.5.2.25):

(,) = 0, () ( +) + ( ) = 0, (1.5.2.27) ( )= ( ).

Окончательно (, )= ( ) ( ), ( )= + +. (1.5.2.28) Важно, что () = 0. Решение (1.5.2.28) удовлетворяет краевым = 0 ( = 0,1), так как функция ( ) должна удовлетворять этим условиям условиям (см (3)).

Задача (1.5.2.25) теперь перепишется так =ц ( ) (0 1, 1 0), откуда (, )= ( )+ ( ), (1.5.2.29) где ( ) (1 0), = 0 ( = 1,0).

= Решение этой краевой задачи такое 1 1 ( )= + + + +.

24 6 (0) = 0, = 0. Постоянную Используем условие которое дает можно ( ). Тогда присоеденить к ( )= ( + + 1) (1.5.2.30) удовлетворяет уравнению и всем краевым условиям (проверяется подстановкой).

( ) определяется из следующего приближения.

Функция ( ): + = 0, = 0 ( = 1,0).

Интегрируем уравнение по с учетом краевых условий. Получаем = 0, или () + = 0, где () =.

Имеем = (0 1) (1.5.2.31) = 0 ( = 0,1). Вычисляем Краевые условия для (1.5.2.31) следуют из уравнений = 0,1:

при = ( ) + ( ) = ( )+ ( ) = 0 при = 0,1. Так как 0, в общем случае, при здесь использовано, что = 0,1, то условие = 0 при = 0,1 может быть выполнено только в среднем | (,) =, откуда ( ) () + ( ) = 0 ( = 0,1), ( )= ( ) = ( = 0,1). (1.5.2.32) Сравнивая (1.5.2.31) и (1.5.2.32), видим, что ( )=. (1.5.2.33) Окончательно (, )= ( ) = ( ), (1.5.2.34) ( )= ( + + 1).

(, ) удовлетворяет краевым условиям при = 0,1 только в Функция среднем. Для полного удовлетворения этим условиям требуются погранслойные = 0 и при = 1. Эти поправки экспоненциально быстро затухают при поправки при удалении от краев. Ожидается, что они дают малый вклад в поведение ( ) при 0.

Возвращаемся к уравнению для :

= = ( ) (1 0), (1.5.2.35) = 0 ( = 1, 0).

( )), а включаем в общее решение Решение имеет вид (мы не отделяем здесь уравнения (1.5.2.35) (, )= ( ), где = ( ) (1 0), = 0 ( = 1,0).

Решение такое ( )= + + +, (1.5.2.36) вычисляется из условия () = 0, которое гарантирует выполнение где = 0,1 в среднем и, как следствие, экспоненциальное затухание условий для при =0и = 1. Вычисления дают = погранслойных поправок при.


Решение исходной задачи теперь запишем так (,, ) = ( )+ ( ) ( )+ ( ) ( ) + ( ) = 0 находим При (, 0, ) = ( )+ ( )= + ( ) (1.5.2.37) = 0,1, Последняя формула несправедлива при где требуется построение =0 и = 1 (1.5.2.37) погранслойных поправок. Решение в пограничных слоях при = экспоненциально быстро затухают при удалении от границ. Например, при /. Здесь 0 и, как видно, погранслойное решение затухает как с ростом область действия погранслойных поправок чрезвычайно мала.

Запишем уравнение (1.5.2.23) в виде + = ( + (, 0)) и подставим (1.5.2.37) [1 + ] + + ( )=( + ( ) + ( )).

= Подействуем теперь оператором на обе части уравнение и учтем, что ( ) (см. (1.5.2.23)):

(1 + ) + + ( ) = (1.5.2.38) с точностью до ( ). Характеристическое уравнение ( = ) для (1.5.2.38) имеет вид (1 + )( )+ ( ) + ( [ + ])( )+ =0 (1.5.2.39) Уравнение (1.5.2.38) - шестого порядка и требует шесть краевых условий. В задаче (1.5.2.23) имеется 4 условия. Еще два условия получаются если = 0 или = 1 и учесть продифференцировать уравнения (1.5.2.23) по, положить условия = 0, = 0 при = 0,1. Получаем =2 ( = 0,1). (1.5.2.40) Кубическое относительно уравнение (1.5.2.39) решается с помощью явных формул Кардано. Дальнейший анализ задачи проводится по плану, указанному для приближения мелкой воды первого порядка.

Возвращаемся к гидродинамической части + = (0 1, 0) = 0 ( = 0,1) = 0 ( = )) (1.5.2.41) = ( ) ( = 0) Решение будем искать в виде ( ) + (, )= ( )cos( ).

(1.5.2.42) )} Здесь {1, cos( - ортогональная система функций на (0,1), удовлетворяющих = 0,1.

требуемым условиям при Уравнение Лапласа дает = ( +( )) ( 0, 0) () = 0, (0) =, где такие, что ( )= cos( ).

+ (1.5.2.43) Находим cosh[ +( ) ( + )] ( )= +( ) sinh[ +( ) ] и тогда (, 0) =, cos( ) (1.5.2.44) ) + tanh( tanh( ) ( 0).

= + ( ), получаем решение задачи в виде (1.5.2.44). Элементы Заменяя в (1.5.2.41) на матрицы вычисляются теперь так = (, 0) = () = = +2, tanh( ) tanh( ) (1.5.2.45) где = ( )cos( ) ( 0).

поступаем так: умножаем уравнение в (23) на cos( ) и интегрируем Для расчета по частям (, ) cos( ) = ( )cos( ) =, )| cos( ) = cos( ) = ( )cos( [cos( )] = (1)(1) (0) + sin( ), sin( ) = cos( ) = cos( ) + ( sin( )) = ( ) sin( ) = +( ) cos( ) =( ), ( )( ) ( ) = (1.5.2.46) ( ) ( ) ( ) = В частности,, что следует непосредственно после интегрирования обеих частей по от 0 до 1.

2 РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 2.1. Результаты четвертого этапа Обратная задача об определении термоупругих остаточных напряжений в ледовой пластине была исследована для модели пластины Кирхгофа с дополнительными сжимающими напряжениями в плоскости пластины. Предложена методика измерений и вычислительная процедура интерпретации результатов измерений.

Проведено численное и аналитическое исследование задачи переноса динамически нейтральной примеси в тающем деформируемом снеге.

Исследовано поведение плавающей полубесконечной пластины при локальном воздействии на ее край, например при наползании на ее край ледокола. Задача решена в двумерной и трехмерной постановках. Получено распределение прогибов и напряжений в ледовой пластине. В трехмерной постановке получено фундаментальное решение задачи. Показано, что в случае узкой области приложения нагрузок, прогиб пластины незначительно отличается от прогиба в случае приложения точечной нагрузки.

Разработана программа внедрения результатов ПНИР в образовательный процесс.

Руководителем проекта Коробкиным А.А. проведены четыре семинара по тематике проекта.

Издано учебное пособие: А.А. Папин, И.Г. Ахмерова, М.А. Токарева.

Математические модели механики неоднородных сред. Часть 1. Издательство АлтГУ. Барнаул. 2012. 128с.

Кроме того, получен ряд новых результатов, не заявленных в Техническом задании 4-ого этапа (см. п.1.5).

Приняты к печати следующие публикации:

Батяев Е.А., Хабахпашева Т.И. Наклонное падение тела на тонкий слой жидкости // МЖГ.

Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. Elastic wedge impact onto a liquid surface:

Wagner's solution and approximate models // J. Fluids and Structures. (starting from 29 September 2012 is available online).

Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A., Malenica S. Fluid impact onto a corrugated panel with trapped gas cavity // Applied ocean research.

Направлена в печать статья:

Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A., Oblique impact of a smooth body on a thin layer of the inviscid liquid // Proc. Royal Society (A) Перечень публикаций по результатам работы, опубликованных за отчетный период участниками коллектива в высокорейтинговых российских и зарубежных журналах и журналах списка ВАК 1. Scolan Y.-M., Korobkin, A.A. (2012) Mixed boundary value problem in Potential Theory:

Application to the hydrodynamic impact (Wagner) problem, Comptes Rendus Mcanique, Available online 17 October 2012, ISSN 1631-0721, 10.1016/j.crme.2012.09. 006.

2. Папин А.А., Коробкин А.А., ШишмаревК.А., Аналитическое и численное исследование квазиизотермической задачи взаимодействия ледового покрова ка нала и поверхностных волн // Известия АлтГУ, Барнаул, 2012. Вып. 1/2 (76), с. 23 3. Папин А.А., Токарева М.А., Динамика тающего деформируемого снежно-ледового покрова// Вестник НГУ.Серия: Математика, механика, информатика. 2012. Т.99, вып. 4.

Перечень докладов участников коллектива на международных и всероссийских конференциях за отчетный период 1. Папин А.А., Токарева М.А., Динамика тающего деформируемого снежно-ледового покрова(тезисы) // Материалы Всерос. конф. ”Полярная механика-2012”.

Новосибирск, 2 - 9 июня, 2012, с.43.

2. Петрова А.Г., Коробкин А.А., Моделирование сегрегации парафинов в подводных нефтепроводах (тезисы) // Материалы Всерос. Конф. ”Полярная механика-2012”.

Новосибирск, 2 - 9 июня, 2012, с.45.

3. Коробкин А.А., Шишмарев К.А., Волновое движение в трехмерном канале покрытом льдом (тезисы) // Материалы Всерос. конф. ”Полярная механика-2012”.

Новосибирск, 2 - 9 июня, 2012, с.32.

4. Токарева М.А. Трехмерная задача фильтрации жидкости в вязкоупругой деформируемой среде // Материалы международной школы-семинара ”Ломоносовские чтения на Алтае” - Барнаул, 20-23 ноября, 2012.

5. Сибин А.Н. Проникание острого тонкого конуса в жидкость через слой покрытия // Материалы международной школы-семинара ”Ломоносовские чтения на Алтае” Барнаул, 20-23 ноября, 2012.

6. Папин А.А., Хворых Д.П. Движение подземных вод в условиях промерзающего грунта // Материалы международной школы-семинара ”Ломоносовские чтения на Алтае” - Барнаул, 20-23 ноября, 2012.

7. Петрова А.Г., Янцен В.В. Влияние усадки на скорость движения фронта плавления // Материалы международной школы-семинара ”Ломоносовские чтения на Алтае” Барнаул, 20-23 ноября, 2012.

8. Петрова А.Г., Пергаева А.Н. Об учете диффузии примеси в твердой фазе и «диффузионном переохлаждении» в задаче затвердевания бинарной смеси // Материалы международной школы-семинара ”Ломоносовские чтения на Алтае” Барнаул, 20-23 ноября, 2012.

2.2. Результаты проекта Изучено распространение гидроупругих волн вдоль канала, покрытого льдом, в предположении о малой амплитуде волн. Выведено дисперсионное соотношение для таких волн. Показано, что гидроупругие волны в канале представляют собой комбинацию распространяющихся вдоль канала волн и волн плескания. Вычислены изгибающие напряжения в ледовой пластине при распространении волны вдоль канала и показано, что изгибающие напряжения максимальны на стенках канала.


Для модели пластины Кирхгофа с дополнительными сжимающими напряжениями в плоскости пластины, исследована обратная задача об определении термоупругих остаточных напряжений в пластине.

В двумерной и трехмерной постановках, исследовано поведение плавающей полубесконечной пластины при локальном воздействии на ее край. Полученные в трехмерном случае распределения изгибных напряжений в пластине, показывают, что разламывание пластины произойдет в точках приложения нагрузки и трещины будут направлены перпендикулярно кромке ледовой пластины.

Рассмотрена проблема многих масштабов общей модели движения нефти по подводным трубопроводам и предложен подход, основанный на выделении двух масштабов времени: «быстрого», обусловленного аксиальным переносом и «медленного» времени теплопроводности и молекулярной диффузии.

Сформулированы и исследованы задачи нулевого и первого приближения по малому параметру, связанному с обратным характерным временем диффузионных процессов. Построено точное решение асимптотической задачи нахождения профилей скоростей, температуры и границы раздела движущейся нефти и неподвижного депозита вблизи входа в трубу в случае постоянной температуры ее стенок.

Доказана теорема существования автомодельного решения задачи о переносе загрязнений в тающем снеге, установлена конечная скорость распространения возмущений для этой задачи.

Для уравнений совместного движения воды и ледового покрова канала сформулированы изотермическая и квазиизотермическая начально-краевые задачи в случае, когда ледовый покров закреплен на стенках канала. Проведено аналитическое и численное исследование задач.

Рассмотрена задача о движении сжимаемой жидкости в деформируемой пористой среде. Доказано существование локального классического решения и теорема единственности.

Для системы уравнений одномерного нестационарного движения теплопроводной двухфазной смеси (газ - твердые частицы) доказана локальная разрешимость начально - краевой задачи.

Получены результаты по реконструкции содержания свинца и соотношения его изотопов по ледниковому керну горы Белуха за последние 300 лет, которые показали, что в период 1935-1995 гг. основной вклад в эмиссию свинца в атмосферу Центрально-Азиатского региона вносили металлургические предприятия Рудного Алтая.

Плоская задача о нестационарном движении цилиндра под ледовым покровом сведена к решению эквивалентной системы интегро-дифференциальных уравнений на границе льда и жидкости;

Построена начальная по времени асимптотика решения для движения цилиндра с постоянным ускорением;

рассмотрены и проанализированы различные режимы движения (вертикальное погружение и всплытие, горизонтальное движение) при различных характеристиках ледового покрова (упругий или битый лед) и геометрии цилиндра, Таблица 2.2.1. – Индикаторы и показатели № подтверждение Наименование программных Ед.

пока- план факт индикаторов изм.

зателя Количество кандидатов наук п.3, – исполнителей ПНИР, подтверждающие представивших докторские документы И.1.5.1 чел. 1 диссертации в (Приложение А) диссертационный совет (нарастающим итогом) Количество аспирантов – п.3, исполнителей ПНИР, подтверждающие представивших кандидатские документы И.1.5.2 чел. 2 диссертации в (Приложение А) диссертационный совет (нарастающим итогом) Количество студентов, п.3, аспирантов, докторантов и подтверждающие молодых исследователей, документы закрепленных в сфере науки, (Приложение А) образования и высоких технологий (зачисленных в аспирантуру или принятых на работу в учреждения высшего профессионального образования, научные И.1.5.3 чел. 2 организации, предприятия оборонно-промышленного комплекса, энергетической, авиационно-космической, атомной отраслей и иных приоритетных для Российской Федерации отраслей промышленности) в период выполнения ПНИР (нарастающим итогом) Количество исследователей – приложение к исполнителей ПНИР, аннотации результаты работы которых в рамках ПНИР опубликованы И.1.5.4 чел. 10 в высокорейтинговых российских и зарубежных журналах (нарастающим итогом) № подтверждение Наименование программных Ед.

пока- план факт показателей изм.

зателя Количество молодых п.3, кандидатов наук – подтверждающие П.1.5.1 чел. 2 исполнителей ПНИР, документы работающих в научной или (Приложение А) образовательной организации на полную ставку, принявших участие в работах в течение всего срока реализации ПНИР Количество аспирантов, п.3, принявших участие в подтверждающие П.1.5.2 чел. 2 работах в течение всего документы срока реализации ПНИР (Приложение А) Количество студентов, п.3, приложение к принявших участие в аннотации П.1.5.3 чел. 4 работах в течение всего срока реализации ПНИР Доля фонда оплаты труда п.3, приложение к руководителя ПНИР, аннотации П.1.5.4 проживающего за рубежом, в % 30 общем объеме фонда оплаты труда по ПНИР Продолжительность очного п.3, участия в исследованиях подтверждающие зарубежного руководителя документы П.1.5.5 мес. 2 4, ПНИР на территории (Приложение А) Российской Федерации в календарном году Организация приглашенным п. 1.2.

П.1.5.6 исследователем проведения в кол.. 8 России научных семинаров 3 ВЫПОЛНЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПРОГРАММНОГО МЕРОПРИЯТИЯ ПРОГРАММЫ В РАМКАХ ДАННОЙ РАБОТЫ Показатель И.1.5.1. выполнен.

В 2011 году защищена докторская диссертация Петровой А.Г. (см. отчет 1-ого этапа) Показатель И.1.5.2. выполнен.

В 2011 году защищена кандидатская диссертация Ахмеровой И.Г. (см. отчет 3-его этапа).

Защита кандидатской диссертации Костикова В.К. «Нестационарное движение эллиптического цилиндра под свободной поверхностью и ледовым покровом» по специальности 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы в диссертационном совете Д 002.240.01 планируется на весну 2013 года.

Показатель И.1.5.3. выполнен.

В 2011 году принята в аспирантуру Токарева М.А. (см. отчет 2-ого этапа). Ахмерова И.Г. принята на работу в Алтайский государственный университет на 0,25 ставки преподавателя (см. отчет 3-его этапа). В этом году Гоман В.А. принят в аспирантуру.

Показатель И.1.5.4. выполнен.

Количество исследователей, результаты которых в рамках НИР опубликованы в высокорейтинговых российских и зарубежных журналах составило 11 человек (см.

приложение к аннотации).

Показатель П.1.5.1. выполнен.

Количество молодых кандидатов наук, работающих в научной или образовательной организации на полную ставку, принявших участие в работах составило 2 человека:

Малыгина Н.С. (см. отчет 2-ого этапа), Ахмерова И.Г. (принята в сентябре 2012 г. на полную ставку на должность старшего преподавателя кафедры гуманитарных и естественных дисциплин Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ) Показатель П.1.5.2. выполнен.

Количество аспирантов, принявших участие в работах – 3 (Токарева М.А., Костиков В.К.;

Гоман В.А.).

Показатель П.1.5.3. выполнен.

Количество студентов, принявших участие в работах – 4 (Пергаева А.Н., Хворых Д.П., Сибин А.Н., Янцен В.В.).

Таким образом, есть основания считать все показатели выполненными.

Показатель П.1.5.4. выполнен.

Доля фонда оплаты труда руководителя ПНИР, проживающего за рубежом, в общем объеме фонда оплаты труда по ПНИР составила 30%.

Показатель П.1.5.5. выполнен.

Продолжительность очного участия в исследованиях зарубежного руководителя ПНИР на территории Российской Федерации за два года составила 4,66 месяцев.

4 ОБЛАСТИ И НАПРАВЛЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ И ВНЕДРЕНИЯ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ Геофизические исследования, бурение и добыча нефти и газа с учетом ледовых условий.

Предсказание ожидаемых ледовых нагрузок на сооружения, напряжения в ледовом покрове и возможные разрушения его, с целью обеспечения безопасности работ при разработке месторождений.

Полученные результаты используются в учебном процессе в Алтайском и Новосибирском государственных университетах при дипломном проектировании, чтении специальных курсов и научно-исследовательской работе студентов. По тематике проекта проходит подготовка кандидатских диссертаций:

1. Костиков В.К. «Нестационарное движение эллиптического цилиндра под свободной поверхностью и ледовым покровом» (3-ий год).

2. Токарева М.А. «Математические вопросы движения жидкости в деформируемой пористой среде» (2-ой год).

бакалаврских диссертаций:

1. «Автомодельные решения задачи образования морского льда».

2. «Проникание твердого тела в жидкость через ледовое покрытие». (Сибин А.Н.) 3. «Задача протаивания мерзлых грунтов с учетом атмосферных осадков». (Янцен В.В.) 4. «Влияние учета диффузии примеси в твердой фазе на поведение решения задачи затвердевания бинарной смеси». (Пергаева А.Н.) 5. «О движении подземных вод в промерзающем грунте». (Хворых Д.П.) курсовых работ:

1. Построение автомодельных решений задачи Стефана при помощи пакета MATHLAB.

2. О подходах к моделированию фазовых переходов в неоднородных средах.

3. Автомодельные решения задач для уравнений нелинейной теплопроводности.

4. Оценка зависимости автомодельной скорости движения фронта от скрытой теплоты фазового перехода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате выполнения научно-исследовательской работы по теме «Механика и термодинамика ледового покрова» за отчетный период получены следующие результаты:

разработаны новые аналитические методы исследования нелинейных задач, возникающих при моделировании тепломассопереноса в гетерогенных средах;

исследована корректность начально-краевых задач, возникающих в рассматриваемых задачах;

протестированы алгоритмы численного решения задач с использованием точных решений.

Задачи третьего этапа решены полностью.

Работа носит фундаментальный характер, результаты работы могут быть применены в области геофизических исследований, бурения и добычи нефти и газа с учетом ледовых условий;

предсказания ожидаемых ледовых нагрузок на сооружения, напряжения в ледовом покрове и возможные разрушения его, с целью обеспечения безопасности работ при разработке месторождений, а также экологических задач.

Результаты исследований применяются в учебном процессе в Алтайском государственном и Новосибирском государственном университетах и способствуют формированию современной научно-исследовательской и учебно-методической базы в Алтайском крае для проведения комплексных фундаментальных и прикладных исследований в области математического моделирования.

За время работы сформировался научный коллектив, состоящий из ведущих ученых, аспирантов и студентов Алтайского государственного университета и Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, научная молодежь оказалась вовлечена в актуальные научные исследования, что, несомненно, способствует закреплению научных кадров в науке и образовании.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Schulkes R.M.S.M., Hosking R.J. Sneyd A.D. Waves due to a steadily moving source on a floating ice plate. Part 2 J.Fluid Mech., 1987,vol.180, pp.297-318.

2. Kerr A.D. The critical velocities of a load moving on a floating ice plate that is subjected to in-plane forces. // Cold Regions Science and Technology, 1983, 6, pp.

267-274.

3. Wymann M. Deflections of an infinite plate. // Canadian Journal of Research, 1950, vol. 28 sec. A.

4. Fox C., Wilcocks L., Haskell T. A. Calculation of sea-ice Young’s modulus using under-ice pressure measurements // Dept. Math. Report 335, 1996, The University of Auckland, ISSN 1173-0889.

5. Fox C., Chung H. Green’s function for forcing of a thin floating plate // Dept. Math.

Report 408,1999, The University of Auckland.

6. Wand Y.H., Tham L.G., Cheong Y.K. Beams and plates on elastic foundations: a review // Prog. Struct. Engug Mater., 2005, vol. 7, pp. 174-182.

7. Takizawa T. Deflection of a floating sea ice sheet induced by a moving load // Cold Regions Science and Technoloqy, 1985, vol. 11, pp. 171- 8. One N. Arctic sea ice research. III Measurements of state of thermal stress induced in surface layer of sea ice cover // Low Temp. Sci.,Ser. A, vol. 34, pp. 221- 9. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М., 1987.

10. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. — М., 1971.

11. Colbeck S.C. A theory of water percolation in snow // J. Glaciol. 1972, 11(63), 369 385.

12. Colbeck S.C. Theory of metamorphism of wet snow. CRREL Res. Rep.,1973, 313.

13. Sellers S. Theory of water transport in melting snow with a moving surface // Cold Regions Science and Technology. — 2000, N 31.

14. Gray J.M.N.T. Water movement in wet snow // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A – 1996.

15. Кучмент Л.С., Демидов В.Н., Мотовилов Ю.Г. Формирование речного стока.

Физико-математические модели. — М., 1983.

16. Васильев В.И., Максимов А.М., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. М., 1997.

17. Terzaghi K. Theoretical Soil Mechanics, Jhon Wiley, New York (1943).

18. Scempton A.W. A.W. (1960), Effective stress in soils, concrete and ricks // Proceeding of the Conference on Pore Pressure and Suction in soils, pp. 4-16, Butterworths, London.

19. Папин А.А. Краевые задачи двухфазной фильтрации — Барнаул. Изд-во Алт.

ун-та, 2009, с. 220.

20. Трофимова Е.Б. Математическая модель снежного покрова как многофазной среды // Тр. IV всесоюзн. гидролог. съезда. (СССР, М.) — 1976. — Том 6.

21. Ионов Б.П., Грамузов Е.М. Ледовая ходкость судов.- СПБ: Судостроение, 2001 512с.

22. Песчанский И.С. Ледоведение и ледотехника.- Л.: Гидрометеоиздат, 1967.- с.

23. Squire, V., Robinson, W., Langhorne, P., Haskell, T. Vehicles and aircraft on floating ice // Nature 333, 159-161. 1988. (doi:10.1038/333159a0).

24. Бутягин И.П. Прочность ледяного покрова по экспериментальным исследованиям в натурных условиях // Труды Коорд. совещаний по гидротехнике. - М.-Л.: Энергия, 1964, вып.10, с.71-81.

25. Ice Characteristics and Ice Structure Interactions // Guidance note NI 565 DT R00 E September 2010, Bureau Veritas, Paris - 40 c.

26. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М., 1963.

- Ч. I, II.

27. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М., 1975.

28. Nowacki W. Thermoelasticity. - 2nd Edition. — Pergamon Press Ltd., 1986.

29. Коробкин А.А., Папин А.А., Шишмарев К.А. Поведение ледового покрова канала под действием поверхностных волн // Известия АлтГУ. — 2012. — № 1/1.

30. Brocklehurst P., Korobkin A.A., Parau E.I. Hydroelastic wave difraction by a vertical cylinder // Philos Transact A Math Phys Eng Sci. — 2011. — Vol. 369, № 19.

31. Connolly J. A. D., Y. Y. Podladchikov (2000) Temperature-dependent viscoelastic compaction and compartmentalization in sedimentary basins // Tectonophysics, 324, 137– 168.

Приложение А

Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.