авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ П.Р. Андронов, С.В. Гувернюк, Г.Я. Дынникова ВИХРЕВЫЕ МЕТОДЫ ...»

-- [ Страница 2 ] --

Рассмотрим плоскую прямоугольную рамку, циркуляция которой изменилась за время t на величину Г. Представим, что она запол нена поверхностными вихревыми элементами бесконечно малой плотности virt, причем вихревые линии поля virt представляют собой Глава рамки, геометрически подобные рассматриваемой (см. рис. 4). Ско рость движения виртуальных вихревых элементов направлена от точки O и имеет такую величину, что рамки растягиваются, сохра няя геометрическое подобие, и в конечном итоге «приклеиваются» к основной рамке. При этом векторная функция u virt virt постоянна по всей площади и равна n t, где n – нормаль к поверхности.

uvir Г O.

Рис. Вклад в давление в точке R от потока вихрей по поверхности i ой рамки pi (R ) согласно (6.5) выражается формулой:

1 ( R r ) ( u virt virt ) pi (R ) 1 virt ( R r ) 4 i 4 i = u virt ds = ds = 3 R r Rr s s i ( R r ) n i 4t i R r = ds = i.

4t s Величина i/4 представляет собой потенциал скорости замкнутой вихревой линии единичной циркуляции. Нетрудно видеть, что i представляет собой телесный угол, под которым площадка si видна из точки R. В случае треугольной площадки телесный угол можно вычислить, спроектировав треугольник на единичную сферу и вы числив площадь проекции на сфере. Согласно формуле сферической геометрии, площадь треугольника на сфере равна S = Rs2 ( A + B + C ), (7.12) 7. Представление эволюции присоединенной завихренности где Rs –радиус сферы, A,B,C – значения углов в треугольнике.

Пусть заданы координаты точки наблюдения R и вершин тре угольника rA=rA+R;

rB=rB+R;

rC=rC+R. Проекции точек B и C на сферу радиуса rA обозначим как B и С. Угол А между дугами AB и АС равен углу между касательными к сфере, проведенными из точ ки А в плоскостях этих дуг, а, следовательно, и в плоскостях ABR и ACR соответственно. Следовательно, угол А равен углу между век торами rA1 и rA2, перпендикулярными rA и лежащими в плоскостях ABR и ACR:

rA1 = rB rA ( rB rA ) / rA, rA 2 = rC rA ( rC rA ) / rA.

Нетрудно убедиться, что оба эти вектора перпендикулярны век тору rA и лежат в нужных плоскостях, так как являются линейными комбинациями пар векторов: rA и rB;

rA и rC.

Угол А равен rA1 rA A = arccos, rA1 rA rA1 rA 2 = ( rB rC ) ( rC rA )( rB rA ) / rA, (7.13) rA1 = r ( rB rA ) / r, 2 B A rA 2 = rC ( rC rA ) / rA.

2 Аналогично можно вычислить углы В и С, сделав циклические перестановки в формуле (7.13). Если хотя бы один из векторов rA, rB, rC равен нулю, следует полагать =0, так как это может быть толь ко в случае, если точка наблюдения находится в вершине треуголь ника и телесный угол равен нулю.

Функция arccos дает значения углов в интервале от 0 до.

Сумма углов треугольника на сферической поверхности, получен Глава ного при пересечении сферы и пирамиды больше, чем сумма углов плоского треугольника, т.е. больше, чем. Соответственно величи на S, вычисленная по формуле (7.12) положительна, тогда как может быть и положительной, и отрицательной величиной в зави симости от ориентации площадки. Для определения знака можно вычислить смешанное произведение векторов r C r B r A. После че го можно записать:

= ( A + B + C )sign ( r C r B r A ).

Важно, чтобы порядок обхода вершин треугольника был согла сован с выбором направления отсчета циркуляции по этому конту ру. В данном случае он соответствует изображенному на рис. 5. При этом направление нормали нужно выбирать в соответствии с на правлением обхода контура по правилу буравчика.

C Г A B Рис. 5.

8. Связь виртуальных перемещений с силами 8. Связь виртуальных перемещений вихрей с неконсерватив ными силами и разностью давления на поверхностях разрыва Как известно, при замене обтекаемых тел жидкими объемами и поверхностями разрыва, движение жидкости в этих объемах может быть описано уравнениями Эйлера с внешними массовыми силами Fb (в общем случае неконсервативными, т.е. Fb 0).

V p V V = Fb ( + ). (8.1) t Поскольку течение внутри области тела и массовые силы явля ются гипотетическими, для одного и того же распределения скоро сти (и, соответственно, завихренности) в пространстве и времени функция Fb может быть выбрана не однозначно, а с точностью до потенциальной составляющей (т.е. к ней может быть добавлен гра диент произвольной функции, которая затем добавляется к функции p/ ), что приводит к неоднозначности распределения давления.

Выше было показано, что если эволюция завихренности пред ставлена как результат реального (со скоростью точек тела ub) и виртуального (со скоростью uотн) перемещения вихревых элементов по описанным правилам, то завихренность удовлетворяет уравне нию (4.10) = (u ), t u = ub +uотн.

Применив оператор ротор к обеим частям уравнения (8.1) и сравнив полученное равенство с (4.10), запишем V p V V = ( u V ) ( + ). (8.2) t Глава Вектор ( u V ) выступает в роли силы Fb. Следовательно, можно говорить, что на вихревой элемент dГ, совершающий выну жденное движение со скоростью u, действует внешняя массовая си ла Fb, равная Fb d = (u V ) d.

Эта сила является аналогом силы Жуковского, но направлена в противоположную сторону. В этом нет противоречия, так как Fb яв ляется внешней силой, а не действующей на элемент со стороны ок ружающей жидкости.

Предыдущее выражение силы можно также записать в виде Fb = ( ub V ) + u virt virt, где, как и в разделе 7, введено обозначение u virt virt = u отн, при этом virt бесконечно малая величина, а u virt бесконечно боль шая. Тогда можно считать, что вихревой элемент d = d движет ся вместе с телом, и на него действует сила ( ub V ) d. А вирту альные вихревые элементы d virt = virt d движутся с бесконечно большой скоростью, и на них действует массовая сила u virt d virt.

Покажем, что если эволюция завихренности представлена как результат движения вихревых элементов, то разность давления на поверхностях разрыва равна проекции на ее нормаль силы Жуков ского и аналогичной силы, действующей на источники.

p+ p = ( ( ub V ) + ( virt u virt ) qs ( ub V ) ) n +. (8.3) qs – плотность источников на поверхности ( qs = n + (V V+ ) ), V = (V+ + V–)/2. Разность давления на поверхности замкнутой облас ти гипотетического течения, давление внутри которой описывается уравнением (8.2), выражается формулой (8.3) с точностью до кон станты.

8. Связь виртуальных перемещений с силами Как было показано в разделе 7, изменение плотности циркуля ции на неподвижной трехмерной поверхности связано с потоками завихренности уравнением = n + ( u + + ) n ( u ) + s ( u virt virt ), где поле virt имеет бесконечно малую плотность и соленоидально на поверхности, а скорость uvirt является бесконечно большой, но векторное произведение конечно. Если поверхность не деформиру ется и движется поступательно, то в уравнении (7.11) все скорости следует заменить на относительные. Частная производная по време ни при этом берется при фиксированной лагранжевой координате на теле.

= J + J + s ( u virt virt ), J + = n + ( ( u + ub ) + ), J = n ( ( u ub ) ).

При произвольном движении поверхности в уравнение (8.3) должны быть добавлены слагаемые, связанные с ее вращением (при этом изменяется направление вектора ) и с растяжением в направ лении, перпендикулярном вихревым линиям (при этом изменяется модуль плотности циркуляции ). Выразим соответствующие сла гаемые e и e через скорость движения поверхности ub. В ло кальной системе координат,,, в которой единичные векторы e и e лежат в касательной к поверхности плоскости, причем e = e, а e перпендикулярен к ней, они равны e + e = e ub + e ub e ub = (8.4) = e ub + e ub + e ub ub + ub = = ( ) ub ( s ub ).

Глава Оператор s содержит только производные в плоскости, каса тельной к поверхности s = e + e.

Добавляя (8.4) в (8.3), получим для произвольного движения поверхности скорость изменения циркуляции.

= ( s ub ) + ( s ) ub + s ( u virt virt ) J + J. (8.5) С другой стороны, эту же функцию можно выразить из уравне ний движения жидкости на внешней и внутренней сторонах поверх ности. Производная при фиксированных лагранжевых координа тах, связанных с поверхностью, равна = + ub.

t По определению = ( V+ V ) n +, следовательно, = + ub = n + + ub ( V+ V ) + ( V+ V ) n +.

t t Изменение векторных полей V+ и V- описывается уравнением Навье – Стокса в области жидкости, которое мы записали в виде (8.2). Следовательно, = n + ( ( ub )( V+ V ) + u + + u ) + (8.6) p V2 p V +n + + + + + ( V+ V ) n +.

2 Изменение во времени нормали к поверхности при ее движении выражается формулой ub ub = ( n + ) ub n + ( s ub ).

n + = e e (8.7) 8. Связь виртуальных перемещений с силами Преобразуем (8.6) c учетом (8.7) = n + ( ( u + u b ) + ( u u b ) ) + p+ V+2 p V +n + + 2 2 (8.8) n + ( ( ub )( V+ V ) + u b ( + ) ) ( V+ V ) ( ( n + ) ub + n + ( s u b ) ).

( V+ V ) ( ( n + ) ub ) Выражение преобразуем как двойное векторное произведение, учитывая, что n + = n + s ( V+ V ) ( ( n + ) ub ) = ( n + s ) ( ( V+ V )ub ) ((( V ) ( ( V+ V )( n + ) ) ub = n + V ) s ) ub + ( V+ V ) ( s u b ) + ((( V ) V ) n + ) u b = n + ( ( V+ V ) s ) ub + + +n + ( ( V+ V ) ( s u b ) ) ( ) ub.

Подставим в (8.8), учитывая, что n + ( ( u b )( V+ V ) + u b ( + ) ) n + ( ( V+ V ) s ) ub n + ( ( V+ V ) ( s u b ) ) = = n + ( ( V+ V ) u b ).

Получим = J + J + ( ) u b ( s u b ) + (8.9) p V2 p V + n + + + + ( ( V+ V ) u b ).

2 2 Глава V 2 V 2 Выражение + ( ( V+ V ) ub ) можно преобразовать к 2 2 виду V+2 V2 1 ( ( V+ V ) ub ) = ( V+ V ) ( V+ + V ) ub = 2 2 = ( n + qs n + )( V ub ) = ( ( V ub ) ) n + qs n + ( V ub ).

Подставляя полученное выражение в (8.9), запишем = J + J + ( ) u b ( s u b ) + (8.10) p p ( ( V u b ) ) n + qs n + ( V u b ).

+n + + Из сравнения (8.10) с (8.5) следует s ( u virt virt ) = p p ( ( V u b ) ) n + qs n + ( V u b ).

= n+ + Вектор u virt virt направлен по нормали к поверхности. Обо значим его J virt = u virt virt = J virt) n.

(s) (s e e e s ( u virt virt ) = 0= J virt) (s 0 (s = e e J virt) = n + s J virt) (s Следовательно, с учетом того, что n + = n + s, справедливо равенство 8. Связь виртуальных перемещений с силами p p (s ( ( V ub ) ) n + qs n + ( V ub ) + J virt) = 0.

n+ s + Отсюда следует, что выражение под знаком градиента равно константе.

p p ((( V u ) ) n+ ) + J virt = n + + + n+ (s) b (8.11) + qs n + ( n + ( V ub ) ) + const.

Значение константы не существенно, когда речь идет о замкну той области, так оно не влияет на равнодействующую сил давления.

Если поверхность не замкнута, и на ее границе в жидкости дав ление p+ равно p-, то для выполнения равенства (8.11) с константой, равной нулю, необходимы следующие граничные условия для поля s) J (virt = ( ( V ub ) ) n f.

(s) J virt n (8.12) C Здесь nf – нормаль к свободной поверхности разрыва. Это условие означает непрерывность потоков завихренности в точках, где цир куляция не накапливается. Оно совпадает с условием, принятым при представлении эволюции завихренности в виде движения вихревых элементов.

Таким образом, показано, что разность давления на двух сто ронах поверхности выражается формулой (8.3), т.е. утверждение, сформулированное в начале данного раздела, доказано.

Равенство (8.3) можно также переписать в виде ( p+ p ) n + = ( virt u virt + ( ub V )t + qs ( V ub )n ). (8.13) (индексы n и t означают нормальную и тангенциальную части век торов).

Глава 9. Теорема Жуковского «в малом»

При использовании традиционного варианта вихревого метода, не учитывающего влияние вязкости, расчет аэродинамических на грузок в потенциальных стационарных течениях производился с помощью классической теоремы Н.Е. Жуковского «в малом», со гласно которой разность давлений p на двух сторонах бесконечно тонкой двумерной поверхности равна (см., например, [23]):

p + p = (u b V ) e l, а в нестационарных задачах p+ p = ( (ub V ) el J 0 l ), (9.1) где V – скорость, с которой двигался бы вихрь в данной точке по верхности, если бы он был свободным (в случае бесконечно тонкой поверхности эта скорость равна полусумме скоростей жидкости на обеих ее сторонах), ub – скорость движения поверхности, el – каса тельный к поверхности единичный вектор, соответствующий вы бранному направлению обхода контура, l – скорость изменения циркуляции части контура между рассматриваемой точкой и на чальной точкой его обхода, J0 – поток завихренности, сходящий с начальной точки, индексом «+» помечена правая от контура сторо на.

В работе [34] теорема Жуковского в малом была обобщена на случай трехмерных нестационарных вихревых течений идеальной жидкости.

Формула (8.3), полученная в предыдущем разделе, является обобщением теоремы на случай вязких течений при произвольном движении деформируемой и проницаемой поверхности, содержащей источники.

В самом деле, в случае плоскопараллельных течений из (8.3) следует 9. Теорема. Жуковского «в малом»

p+ p = ( el ( ub V ) + virt uvirt qs ( ub V ) n + ).

Как показано в разделе 7, в идеальной жидкости произведение virt uvirt равно l virt uvirt = l Jdl J 0.

Следовательно, если вихревые элементы сходят только с кон цов контура (J =0), выражение (8.3) переходит в (9.1), а в общем случае произвольного движения проницаемой и деформируемой по верхности в вязкой жидкости при наличии источников формула имеет вид l p+ p = el ( ub V ) l Jdl J 0 qs ( ub V ) n +. (9.2) При вихревом моделировании обтекания проницаемых поверх ностей давление не может быть исключено из уравнений, описы вающих эволюцию завихренности, так как поток жидкости сквозь проницаемую поверхность зависит от разности давления на ней.

Полученное соотношение (9.2) можно использовать в качестве до полнительного уравнения при постановке задачи вихревыми мето дами.

В случае замкнутого контура виртуальный поток завихренно сти, а, следовательно, и давление внутри поверхности может быть определено с точностью до константы, что не влияет на давление снаружи и равнодействующую сил давления. В этом случае произ вольно назначается точка, которая считается началом контура. В данной работе принято обозначать индексом «–» внутреннюю об ласть контура, что соответствует обходу его против часовой стрел ки.

В случае бесконечно тонкой поверхности в трехмерном про странстве достаточно вычислить виртуальные потоки по алгоритму, описанному в разделе 3. Далее для определения разности давления можно воспользоваться формулой (8.3).

Глава 10. Касательные напряжения Помимо нормальной нагрузки, действующей на поверхность вследствие разности давления, на нее может действовать тангенци альная нагрузка q, связанная с потерей импульса при прохождении жидкости сквозь проницаемую поверхность.

q = ( q+ V+ q V ), (10.1) где q+ = ( V+ u b ) n +, q = ( V u b ) n.

При наличии источников на поверхности, распределенных с плотностью qs, имеет место разрыв нормальной составляющей ско рости жидкости (V+ V ) n + = q+ + q = qs.

Разрыв тангенциальной составляющей выражается через плот ность завихренности ( V+ V )t = n +, следовательно, V+ V = n + qsn +.

По определению скорость V на поверхности разрыва равна по лусумме скоростей по обе стороны ( V+ + V ) / 2 = V.

Из этих формул следует n + n + qs n n + qs V+ = + V;

V = + + + V;

2 2 2 q q q+ = ( V ub ) n + s ;

q = ( V ub ) n + s.

2 Подставляя эти выражения в правую часть (10.1), после не сложных преобразований получаем q+ V+ q V = ( n + n + qs ) ( ( V ub ) n + ) qs V. (10.2) 10. Касательные напряжения Вектор n + ( ( V ub ) n + ) представляет собой нормальную к по верхности составляющую вектора ( V ub ). Обозначим его как ( V ub )n. С учетом этого обозначения после подстановки (10.2) в (10.1) получим (( ) ) q = ( V ub )n qs ( V ub )n qs V.

Складывая нормальную (8.13) и касательную нагрузку, получа ем:

pn + + q = ( ( ub V ) + virt u virt qs V ). (10.3) Из полученного выражения видно, что сумма нормальной и тангенциальной (без учета трения) нагрузок на единичной площади поверхности равна силе Жуковского минус импульс жидкости, ис текающей с нее за единицу времени.

При учете вязкости необходимо также рассмотреть касатель ную нагрузку w, связанную с силой трения, действующей на по верхность.

Как известно [7], тензор напряжения в вязкой несжимаемой жидкости имеет вид:

V y V Vx V Vz p + 2 x + x + x y x z x V V y V y V y V P = x +.

p + 2 z + y x y y z V y V V x + V z Vz z + p + z x y z z Действующее на тело вязкое напряжение w на площадке s = ns выражается формулой Глава Vx Vy Vx Vz V + z + x 2x x y x nx V Vz Vy Vy Vy w = x + ny = + y x y y z nz Vz Vy Vx + Vz V + 2z z x y z z 1 0 0 nx = 2 ( V ) 0 1 0 n y + 0 0 1 nz Vy Vz Vy Vz + y z x x n x V Vx Vz V +2 x + z ny y x z y n z Vy Vx Vy V x + z z x y Vx Vy Vx Vz x z x y nx V Vy Vz Vx ny = y z y x y nz Vz Vx Vz Vy y z x z = ( 2n ( V ) 2 ( n ) V + n ( V ) ).

Поскольку в несжимаемой жидкости V=0, получаем 10. Касательные напряжения w = ( 2 ( n ) V + n ). (10.4) Оператор n не содержит производных по направлению к нормали поверхности, а скорость жидкости на поверхности при ус ловии прилипания равна скорости поверхности ub. Поэтому на по верхности тела ( n ) V = ( n ) ub.

Если поверхность является жесткой, ub можно выразить форму лой ub = Vc + ( r rc ), где Vc – скорость точки, через которую проходит ось вращения, – вектор угловой скорости вращения.

( n ) ub = ( n ) ( ( r rc ) ) = ( ( n )( r rc ) ) ( ( n ) )( r rc ) = ( n ( ( r rc ) ) ) ( ( n ) )( r rc ) = n.

Подставляя это выражение в (10.4), получим для касательной нагрузки, связанной с силой трения на жесткой поверхности:

w = ( n 2n ). (10.5) В случае деформируемой поверхности имеем ( n ) ub = ( n s ) ub = ( n s ) ub + n ( s ub ) n ( s ub ).

Так как оператор s не содержит дифференцирования в на правлении нормали, скалярное произведение n s равно нулю. Сле довательно, связанная с вязкостью нагрузка на деформируемой по верхности при условии прилипания выражается формулой w = ( n 2 n ( s ub ) + 2n ( s ub ) ). (10.6) Как видно из формулы, помимо касательного напряжения в этом случае имеет место и нормальная составляющая вектора w. Второе слагаемое связано с локальным поворотом поверхности, третье – с локальным ее растяжением.

Глава 11. Гидродинамическая сила На тело, обтекаемое жидкостью, действуют силы давления и трения, а при наличии проницаемости поверхности и (или) отсоса (вдува) жидкости на нее действуют еще и силы, связанные с соот ветствующим изменением импульса среды. В данном разделе при водится вывод выражения гидродинамической силы через характе ристики вихревого поля для произвольного движения тела (включая деформационное) в идеальной и вязкой жидкости при наличии пе речисленных эффектов.

Как было показано в разделе 8, обтекаемое тело можно пред ставить как жидкий объем, внутри которого движение жидкости происходит в общем случае под действием неконсервативной мас совой силы Fb, равной Fb = ( ub V ) + u virt virt. (11.1) Уравнение движения в этой области имеет вид V + ( V ) V Fb = p. (11.2) t В частном случае, когда присоединенные вихри и их виртуаль ные перемещения задаются только на поверхности, сила Fb равна нулю, однако мы будем рассматривать общий случай, так как при деформационном и вращательном движении тела удобно задавать ненулевую завихренность внутри области тела.

Сила давления Fp, действующая на тело, равна Fp = n + p+ ds = n + ( p+ p ) ds n p ds. (11.3) S S S Разность давления с двух сторон поверхности определяется ра венством (8.13).

( p+ p ) n + = ( uvirt virt + ( V ub )t + qs ( V ub )n ).

11. Гидродинамическая сила Индексы t и n указывают на тангенциальную и нормальную к поверхности составляющие векторов;

qs = q+ + q- –плотность источ ников на поверхности.

Интеграл n p ds выразим через характеристики вихрей и ис S точников внутри тела, используя теорему Стокса и уравнение (11.2), полагая для простоты, что внутри области тела B поля скорости и давления непрерывны и дифференцируемы. Получим 1 n p ds = p ds = S В V db + ( V ) Vdb V ( V ) db Fb db = = (11.4) t B В B B V ( n V ) V ds V ( V ) db F db.

= db + b t B S B B Здесь использована также формула (2.1). Первый интеграл в правой части (11.4) выразим из формулы для производной от интеграла по переменной области V d ( n u ) V ds.

Vdb = t db + b dt B B S Из (11.3) с учетом (8.13), (11.1), (11.2) и определения qb получа ем Fp d (n ( V ub ) ) V ds dt = Vdb + B S qb Vdb ( ( ub V ) + u virt virt ) db B B ( ) u virt virt + ( ub V )t qs ( V ub )n ds.

S Глава Выражения ( ( ub V ) + u virt virt ) db, и B ( u virt virt + ( ub V ) ) ds S представляет собой аналог силы Жуковского. Введем обозначения FZh = ( u b V ) db (u V ) ds, b B S (11.5) = u virt virt db u virt virt ds.

virt F Zh B S Используя эти обозначения и учитывая, что вектор ( V ub ) на проницаемой поверхности содержит помимо тангенциальной нор мальную составляющую, запишем Fp d Vdb + FZh + FZh qb Vdb + = virt dt B (11.6) B (( V u ) ) + ( n ( V ub ) ) V ds qs ( V ub )n ds.

bn S S Преобразуем подынтегральные выражения, используя обозна чения, принятые в разделе 10.

(n ( V ub ) ) V = q V ;

( V u b ) n qs ( V u b ) n = ( q q+ ) n = q q+ n + ( ( V+ V ) n + ) ( q + q+ ) = + 2 q q+ ( ) V+ V n + ( ( V+ V ) n + (q q+ ) ) = = q q+ ( V+ V ).

= Подставляя полученные выражения в (11.6), получим 11. Гидродинамическая сила Fp d Vdb + FZh + FZh = virt dt B (11.7) V V qb Vdb + q+ + q V ds.

S B В случае проницаемой поверхности, помимо силы давления, на тело действует сила Fq, связанная с изменением импульса среды за счет поглощенной или вышедшей из тела жидкости, Fq = q+ V+ ds. Складывая с выражением силы Fp, получим S Fp + Fq d Vdb + FZh + FZh VdQ, = virt (11.8) dt B VdQ = Vq db + Vq ds.

где b s B S В случае непроницаемых поверхностей и отсутствия источни ков интеграл Vdb равен скорости смещения центра тяжести объе B ма um, умноженной на объем b, а производная по времени от него – произведению ускорения на объем. Формула в этом случае прини мает вид Fp = ( u mb + FZh + FZh ).

virt (11.9) При наличии источников интеграл Vdb можно выразить через B их характеристики и скорость движения границы. Используем фор мулу (2.16) Глава Vdb = r ( V ) db + r ( n V ) ds = B B S = r ( V ) db + r ( n ( V ub ) ) ds + r ( n ub ) ds = B S S = rqb db rq ds + r ( n ub ) ds.

B S S Последний интеграл в правой части можно записать как d d d r ( nub ) ds = rdb = ( rm b ) = u m b + rm b.

dt dt dt S B Здесь rm - центр тяжести объема.

Следовательно, d Vd = rq db rq ds + u b + rm b. (11.10) b m dt B B S Скорость изменения объема тела при заданном потоке жидко сти через поверхность связана с интенсивностями источников, мо делирующих тело, формулой d b = qb db + q ds = dQb + dQ.

dt B S Подставим это выражение в (11.10) и продифференцируем (11.10) по времени (дифференцирование под знаками интегралов выполним при фиксированных лагранжевых координатах, в которых r равно скорости движения точек тела u b ) 11. Гидродинамическая сила rdQb rdQ + u m b + rm dQb + rm dQ.

d Vdb = ( 2u m ub ) dQ + ( 2u m ub ) dQb dt (11.11) B + ( rm r ) dQ + ( rm r ) dQb + u m b.

Из (11.7), (11.10) и (11.11) следует Fp V V+ = u m b + FZh + FZh dQ+ + virt + ( 2u m ub V ) dQ + ( 2u m ub V ) dQb + (11.12) + ( rm r ) dQ + ( rm r ) dQb.

В случае проницаемой поверхности, помимо силы давления, на тело действует сила Fq, связанная с изменением импульса среды за счет поглощенной или вышедшей из тела жидкости.

Fq = q+ V+ ds. Складывая с выражением силы Fp (11.12), получим s Fp + Fq = u m b + FZh + FZh VdQ+ + virt + ( 2u m ub V ) dQ + ( 2u m ub V ) dQb + (11.13) + ( rm r ) dQ + ( rm r ) dQb.

Формула (11.13) для случая непроницаемой поверхности (Q+ = 0, Fq = 0) деформируемого тела, в вихревом течении идеальной жидкости доказана в работе [34].

Глава virt Выражению FZh можно придать вид, не требующий вычисле ния виртуальных потоков. Преобразуем FZh, используя формулу virt (2.15) и (2.19). Получим r ( ( u virt virt ) ) db r ( n ( u virt virt ) ) ds + FZh = virt B S + r ( ( u virt virt ) ) ds r ( nC ( u virt virt ) ) dl, S C (11.14) n C = n el.

Выше изменение объемной циркуляции было представлено как результат движения вихревых нитей вместе с телом и виртуального движения относительно тела. Скорость изменения завихренности в результате виртуального движения описывается выражением ( u virt virt ). Обозначим соответствующую скорость изменения интенсивности вихревого элемента dГ как db db = ( u virt virt ) db. (11.15) Аналогичное изменение циркуляции присоединенных поверх ностных элементов, не связанное с вращением и деформацией по верхности, а только с виртуальным движением и потоками свобод ной завихренности обозначим соответственно d s. Из (8.5) следует, что эта величина равна d s = ( + ( s ub ) ( s ) ub ) ds = (11.16) = ( s ( u virt virt ) J + J ) ds.

Скорость приращения свободной циркуляции J+ ds на гладкой поверхности и выражение nC ( u virt virt ), представляющее собой поток завихренности, сходящий с тела на линиях разрыва, обозна чим как 11. Гидродинамическая сила d f = J + ds, (11.17) dC = nC ( u virt virt ) dl.

Используя принятые обозначения и учитывая, что J в данном случае равно J = n ( u virt virt ), запишем выражение (11.14) в ви де ( r d + r d + r d + r d ), FZh = virt b s с f или еще более коротко r d, (11.18) FZh = virt понимая под d совокупность величин db, d s, d f, dс. Отметим, что при моделировании течений вихревыми методами циркуляции присоединенных и генерируемых вихревых элементов вычисляются на каждом шаге по времени, что позволяет легко получить скорости их изменения и использовать для расчета гидродинамической силы.

Таким образом Fp + Fq = u m b ( u b V ) d r d VdQ+ + (11.19) + ( 2u m ub V ) dQin + ( rm r ) dQin, dQin совокупность источников dQ и dQb.

Формула (11.19) в случае плоских течений переходит в извест ную формулу Седова [4] для потенциальных течений с точечными особенностями.

Выражение силы (11.19) также согласуется с полученным в [1] выражением, связывающим силу F, действующую на тела в безгра ничной идеальной жидкости, с изменением вихревого импульса тела I V (по определению I V = r db, интегрирование по объему B Глава тела). Согласно [1], в случае безотрывного бесциркуляционного об текания идеальной жидкостью сила, действующая на тело, равна dI d Vdb dtV + V db.

F= dt B B Сила трения Fw, действующая на обтекаемую поверхность S, получается интегрированием формулы (10.5) по поверхности тела Fw = ( 2 ( n ) V ) ds + ( n ) ds.

S S Первый интеграл в правой части при непрерывном поле скоро сти вблизи тела равен нулю. Следовательно Fw = ( n ) ds. (11.20) S При решении задачи обтекания тела вязкой жидкостью методом вязких вихревых доменов сила Fw выражается через вычисляемые в процессе расчета течения скорости отталкивания вихрей от поверх ности по формулам (5.7), (5.8).

12. Момент гидродинамических сил 12. Момент гидродинамических сил Так же, как и при выводе выражения для гидродинамической силы, заменим обтекаемое тело жидкостью, которая движется под действием объемной силы Fb, распределенной внутри области тела, и поверхностной силы, уравновешивающей разность давления и ка сательные напряжения на его границе. Течение в этой области описывается уравнением (11.2). Момент сил Mp. относительно точки rс равен M p = r ' n + p+ ds = r ' n + ( p+ p ) ds r ' n p ds, (12.1) S S S r ' = r rc.

Разность давления с двух сторон поверхности определяется ра венством (8.13) ( p+ p ) n + = u virt virt + ( V ub )t + qs ( V ub )n.

r ' n p ds через характеристики Для того чтобы выразить S вихрей и источников, проинтегрируем по области тела уравнение движения жидкости (11.2), предварительно умножив его на вектор r.

V r ' t db + r ' ( V ) Vdb r ' ( ( ub V ) + uvirt virt ) db = B B B p = r ' db.

B (12.2) Подынтегральное выражение в правой части можно выразить из формулы (2.3), в которой, согласно принятому в данной работе пра вилу, оператор действует на все сомножители, стоящие справа от него, Глава rp = r p + p r = r p.

Из этого соотношения, применив теорему Стокса, получаем r ' pdb = r ' pdb = n r ' p ds. (12.3) B B S Подынтегральное выражение во втором интеграле слева выра зим из формулы ( V )( r V ) = ( r V )( V ) + ( r ( V ) V ) ( V ( V ) r ) и применим теорему Стокса. Получим r ' ( V ) Vdb = ( V ) r ' Vdb r ' V ( V ) db = B B B (12.4) ( n V ) r ' V ds r ' Vq db.

= b S B Из (12.2), (12.3), (12.4) следует V p ( n V ) r ' V ds r ' n ds = r ' db + t (12.5) S B S qb r ' Vdb r ' ( ( ub V ) + u virt virt ) db.

B B Первый интеграл в правой части (12.5) выразим из формулы дифференцирования интеграла по переменной области V d r ' Vdb = r ' t db dt B (12.6) B ( n u ) r ' V ds, u c Vdb + b B S u c скорость движения точки rc, относительно которой вычисляет ся момент сил.

Подставляя (12.5) и (8.13) в (12.1), с учетом (12.6) получим 12. Момент гидродинамических сил Mp d r ' Vdb + u c Vdb + r ' ( n ( V ub ) ) V ds dt = B B S qb r ' Vdb r ' ( ( ub V ) + u virt virt ) db B B ( ) r ' u virt virt + ( ub V )t qs ( V ub )n ds.

S Обозначим интеграл от момента силы Жуковского, действую щей на все объемные и поверхностные присоединенные вихри дан ного тела, как MZh, а на все виртуальные вихри M virt.

Zh M Zh = r ' ( ( ub V ) ) db r ' ( ( ub V ) ) ds, (12.7) B S = r ' ( u virt virt ) db r ' ( u virt virt ) ds.

virt M Zh B S По аналогии с выражением Fp получим Mp d dt r ' Vdb + u c Vdb = M Zh + M virt + Zh B B (12.8) q qb r ' Vdb + r ' ( V+ V ) + q V ds.

B S Помимо силы давления, на тело действует момент сил M q, свя занный с изменением момента импульса среды за счет поглощенной или вышедшей из тела жидкости M q = r ' q+ V+ ds. Сумма Mp и S Mq равна M p + Mq d K + u c Vdb r ' VdQ, = M Zh + M virt + (12.9) Zh dt B где K = r ' Vdb, r VdQ = qb r ' Vdb + q r ' Vds.

s B B S Глава По аналогии с выражением силы, можно придать формуле M virt Zh вид, не требующий вычисления виртуальных потоков. Применим формулу (2.17) к (12.7) M virt 1 2 = r ' ( ( u virt virt ) ) db r '2 ( n ( u virt virt ) ) ds + Zh 2B 2S (12. 1 + r '2 ( ( u virt virt ) ) ds r '2 ( nC ( u virt virt ) ) dl.

2S 2C ) Используя обозначения для добавочной циркуляции (11.16) (11.18), введенные в предыдущем разделе, получим из (12.10) ( r ' d + r ' d + r ' d + r ' d ).

M virt = 2 2 2 Zh b s C f Таким образом, сила M virt связана с рождением добавочной Zh циркуляции формулой, которую мы в обобщенном виде запишем так M virt = r '2 d.

Zh Интеграл r ' Vdb не выражается через скорость движения B центра масс объема тела, но его можно привести к виду, более удобному для практического применения. Используем (2.17) 12 r ' Vdb = 2 r ' ( V ) db + 2 r ' ( n V ) ds = B B S 12 1 r ' db + r '2 ( n ( V ub ) ) ds + r '2 ( n ub ) ds = = 2S 2S B 12 1 r ' db 2 r ' ds + 2 r ' ( n ub ) ds.

= 2 2B S S (12.11) 12. Момент гидродинамических сил Сумма первых двух интегралов в правой части равна враща тельному импульсу внутренней области тела 12 r ' db r '2 ds.

AV = 2S B Интеграл по поверхности равен 1 r '2 ( n ub ) ds = ( ub ) r '2 db = Ab + K b, 2 2B s br ' db, b = ub, K b = ( r ' ub ) db.

где Ab = 2B B Здесь A b и K b - вращательный импульс и кинетический момент, соответствующие движению жидкости внутри контура со скоростью ub.

Таким образом K = AV A b + K b. В случае твердого тела, вра щающегося с угловой скоростью, относительно оси, проходящей через центр тяжести объема, скорость движения его точек ub выра жается формулой ub = u m + ( r rm ). (12.12) Соответственно, выражения величин A b и K b имеют вид A b = ( r rm + rm rc ) db = ( rm rc ) b ( r rm ) db, 2 2 B B K b = ( r rc ) ( u m + ( r rm ) ) db = (12.13) B = ( rm rc ) u m b + ( r rm ) ( ( r rm ) ) db.

B Чтобы получить формулу для момента силы трения, проинтег рируем (10.5) по поверхности тела, умножив его векторно на r:

Глава M w = 2 r ( ( n ) V ) ds + r ( n ) ds. (12.14) S S Подынтегральное выражение в первом интеграле в правой час ти можно записать в виде, в котором, согласно принятому в первом разделе правилу, оператор действует на все сомножители, стоя щие справа от него.

r ((n ) V ) = ((n ) V ) r ( V (n )) r. (12.15) Так как в вязкой жидкости распределение V вокруг тела непре рывно, интеграл по замкнутой поверхности ( ( n ) V ) rds ра S вен нулю. Двойное векторное произведение под интегралом равно ( V ( n ) ) r = n ( V ) r ( Vn ) r = n V.

Подставляя это выражение в (12.15), получим r ((n ) V+ ) ds = n + V+ ds = + S S = n + ( V+ V ) ds n + V ds = ds + db.

S S S B Отсюда после подстановки в (12.14) следует M w = 2 ds + db + r ( n ) ds. (12.16) S B B При бесциркуляционном обтекании тела первое слагаемое в правой части равно нулю. При обтекании твердого тела, вращающегося с угловой скоростью, и при выполнении условия прилипания на по верхности, момент сил трения равен:

M w = 4 b + r ( n ) ds. (12.17) S 13. Связь сил и моментов с гидродинамическим импульсом 13. Связь сил и моментов, действующих на тела, с гидродинамическим и вращательным импульсами среды Известно, что гидродинамический импульс I, определяемый формулой I = r d (интегрирование по всему пространст ву, включая области, занятые телами, размерность пространст ва), играет важную роль в гидродинамике, так как связан простыми соотношениями с силами, действующими на жидкость. При финит ном распределении завихренности в пространстве (завихренность отлична от нуля в ограниченной области или экспоненциально убы вает на бесконечности) в отсутствие неконсервативных сил гидро динамический импульс сохраняется. При движении жидкости в без граничном пространстве в отсутствие обтекаемых тел справедливо Fd = I, где F – результирующая неконсерва соотношение [8] тивных сил, действующих на единицу объема жидкости. Предпола гается, что распределение силы в пространстве также финитно.

Покажем, что из формулы для гидродинамической силы (11.12), действующей на тело в вязкой жидкости при его произвольном движении и наличии проницаемых поверхностей, в системе коорди нат, неподвижной относительно бесконечно удаленных точек, сле дует соотношение, справедливое при обтекании нескольких таких тел d Fn = I + dt Vdb (13.1) n n Bn Fn– гидродинамическая сила, действующая на n-е тело (Fn = Fp,n +Fq,n +Fw,n ). Интегрирование ведется по объемам тел. Скорость V в этих областях определяется как индуцированная всеми вихрями и источниками. Для непроницаемых тел интеграл Vdb равен скоро Bn Глава сти центра тяжести объема тела, умноженной на массу вытесненной жидкости (безразмерная плотность жидкости равна единице).

Для простоты будем считать, что сингулярное распределение завихренности и источников, а, следовательно, и разрывы поля ско рости существуют только на поверхностях тел.

Гидродинамический импульс P представляет собой сумму ин тегралов по областям тел Bn, их поверхностям Sn и пространству те чения. Запишем производную 1 d r d + r ds + r d I= (13.2) 1 dt n Bn n Sn Продифференцируем последний интеграл в скобках.

1 1d r d + ( ubn + ) r + ds = 1 dt r d = 1 t n Sn 1 r ( ( V ) ) d + ( ubn + ) r + ds = 1 n Sn Используя формулу (2.15) и определение (8.5) потока завихрен ности в обобщенном виде J + = n + ( ( V+ ub ) + + ), полу чим 1d r d = V Re d + 1 dt 13.3) ( r J + + ( +n+ ) r ub ) ds + 1 n Sn Первый интеграл в правой части преобразуем в поверхностный, используя теорему Стокса.

13. Связь сил и моментов с гидродинамическим импульсом V2 ( V ) d = ( V ) V d n + + ds = n Sn (13.4) V+ 2 V2 = n+ ( V+ n + ) V+ n + + ds + n ( Vn ) V ds 2 n Sn S Здесь S – бесконечно удаленная поверхность. Интеграл по этой поверхности при финитном распределении завихренности и источ ников стремится к нулю независимо от выбора инерциальной сис темы координат, если сумма всех источников, моделирующих тело, равна нулю, и равен нулю интеграл от завихренности во всем про странстве. В этом случае скорость на бесконечности равна констан те плюс слагаемое, убывающее как 1/R2 в двумерном пространстве и как 1/R3 в трехмерном пространстве. Вклад константы равен нулю, так как по любой замкнутой поверхности nds = 0. Вклад осталь ных членов при R стремится к нулю. Если сумма интенсивно стей источников и (или) интеграл от завихренности не равны нулю, то интеграл по S будет стремится к нулю только в системе коорди нат, неподвижной относительно бесконечности благодаря квадра тичной зависимости подынтегрального выражения от скорости. Бу дем считать, что выбрана именно такая система координат.

Подставляя (13.4) в (13.3), запишем 1d 1 dt r d = V+ 2 = n+ ( V+n + ) V+ n + + ds + (13.5) n Sn ( r J + + ( +n+ ) r ub ) ds + 1 n Sn Глава Аналогичным образом преобразуем производную от интеграла по области тела 1 1d r db = 1 B r t db + S ( ubn ) r ds = 1 dt Bn n n 1 r ( ( ub + u virt virt ) ) db + ( ubn ) r ds = = 1 Bn Sn r ( J + ub ( n ) ) ds = ( u b + u virt virt ) db + 1 Sn Bn (13.6) Производная от интеграла по поверхности с учетом (8.5) и (1.15) преобразуется следующим образом 1 1d r ( + ( ub ) ) ds + ub ds = 1 dt r ds = 1 S S S r ( s ( u virt virt ) ) ds + r ( s ) ub ds = (13.7) S S r ( J + J + ) ds + ub ds S S При сделанном выше предположении о непрерывном распреде лении скорости в пространстве отсутствуют линии разрыва функции u virt virt, следовательно, согласно (1.15) r ( (u virt ) ) ds = ( 1) ( u virt virt ) ds (13.8) s virt S S Второй интеграл в правой части (13.7) в случае двумерного евклидова пространства равен нулю, так как вектор ортогонален 13. Связь сил и моментов с гидродинамическим импульсом оператору s. В случае трехмерного пространства преобразуем этот интеграл с использованием теоремы Стокса r ( ) u ds = ( )( r u ) ds s b s b S S ( r ub )( s ) ds + ub ( s ) rds = S S = ( r ub )( s ) ds + ub ds S S Здесь использовано, что вследствие непрерывности функций r ub и интеграл по замкнутой поверхности ( s )( r ub ) ds ра S вен нулю.

Выражение ( s ) равно s ( ( V+ V ) n + ). Оператор s можно заменить на, так как добавленный оператор в смешанном произ ведении даст нулевой вклад. Произведя далее циклическую пере становку, получим ( s ) = ( + ) n + В результате получаем в трехмерном пространстве r ( s ) ubds = ( r ub ) ( ( + ) n+ ) ds + ub ds S S S Можно объединить двумерный и трехмерный случаи формулой r ( s ) ubds = ( r ub ) ( ( + ) n+ ) ds + S S (13.9) + ( 2 ) ub ds S Первое слагаемое в правой части мы оставили без изменения, так как оно в двумерном пространстве обращается в ноль. Подставив (13.8) и (13.9) в (13.7), получим Глава 1d 1 dt r ds = S 1 r ( J + J + ) ds + r ub ( ( + ) n + ) ds + = S S + ( u virt virt + ub ) ds S После подстановки (13.5), (13.6) и (13.7) в (13.2) получаем V+ 2 I = ( Fw,n + F + FZh,n ) + n + ( V+ n + ) V+ ds + virt Zh,n n Sn n + ( V ) db + ( V ) ds n Bn n Sn ( V ) db равен Интеграл Bn V2 ( V ) db = B 2 ( V ) V db = n Bn V2 ( Vn ) V + Vqb db = n Sn Bn Складывая подынтегральные выражения в поверхностных ин тегралах, получим V2 V2 ( Vn ) V + n + + ( V+n + ) V+ + V = VqS n 2 Таким образом, I = ( Fw,n + FZh,n + FZh,n ) + VqS ds + Vqb db virt n n Sn n Bn Сравнивая с (11.8), получаем 13. Связь сил и моментов с гидродинамическим импульсом d d I = ( Fw,n + Fp,n + Fq,n ) + Vdb = Fn + dt Vdb dt n Bn n n n Bn Равенство (13.1) доказано.

Докажем аналогичное соотношение для момента силы относи тельно начала координат при условии, что скорость жидкости в бес конечно удаленных точках стремится к нулю и интегралы от завих ренности и от источников по всему пространству равны нулю.

d M = A + r Vdb (13.10) n dt Bn n n A= r d вращательный импульс (интегрирование по всему пространству), Mn – момент гидродинамической силы, действую щей на n-е тело.

Для простоты также будем считать, что сингулярное распреде ление завихренности и источников, а, следовательно, и разрывы по ля скорости существуют только на поверхностях тел.

Производная вращательного импульса А равна 1d r 2db + r 2 ds + r 2d A= (13.11) 2 dt n Bn n Sn Продифференцируем интеграл по области.

1d 2 1 r d = r 2 d + ( u sn + ) r 2+ ds = 2 dt 2 t 2 n Sn 12 r ( ( V ) ) d + ( u sn + ) r 2+ ds = = 2 n Sn ( r 2J + + ( +n+ ) r 2u s ) ds = r ( V ) d + 2 n Sn Глава (13.12) Первый интеграл в правой части преобразуем в поверхностный, используя теорему Стокса.

V2 r ( V ) d = r ( V ) V d 2 r ( n + + ) ds 2 d = n Sn (13.13) V+ 2 = r n+ ( V+n + ) V+ n + + ds + n Sn V+ 2 ( V+n + ) V+ ds 2 d + r n+ S Здесь S -бесконечно удаленная поверхность. В системе коор динат, неподвижной относительно бесконечности при финитном распределении вихрей и источников и равенстве нулю их суммар ных интенсивностей этот интеграл стремится к нулю. Будем счи тать, что выбрана именно такая система координат.

Подставляя (13.13) в (13.12), запишем 1d 2 dt r d = V+ 2 = r n + ( V+n + ) V+ n + + ds + 13.14) n Sn +2 d + ( r 2 J + + ( +n + ) r 2u s ) ds 2 n Sn Производная от интеграла по области тела равна 13. Связь сил и моментов с гидродинамическим импульсом 1 1d r db = 2 B r t db + 2 S ( u sn ) r ds = 2 2 dt Bn n n r ( ( u s + uvirt virt ) ) db + = 2 Bn (13.15) + ( u sn ) r 2 ds = r ( u s + u virt virt ) db + 2 Sn Bn r ( J + u s ( n ) ) ds + 2 Sn И, наконец, от интеграла по поверхности 1d r 2 ds = r 2 ( + ( u s ) ) ds + (u s (r ) r (u s ))ds = 2 dt Sn 2 Sn Sn 1 = r 2 ( s ( u virt virt ) J J + ) ds + r 2 ( s ) u s ds + 2 Sn Sn + (u s (r ) r (u s )) ds = (13.16) Sn 1 = r 2 ( J + J + ) ds + r 2u s ( ( + ) n + ) ds 2 Sn Sn r ( u virt virt + u s ) ds Sn Из (13.14), (13.15) (13.16)и (13.12) получаем Глава A = ( M w,n + M virt,n + M Zh,n ) + Zh n V+ 2 + r n+ ( V+n + ) V+ ds + (13.17) n Sn + r ( V ) db + r ( V ) ds n Bn n Sn Интеграл r ( V ) db равен bn V2 r ( V ) db = r ( V ) V db = 2 Bn Bn V2 ( Vn ) V + r Vqb db = r n Bn Sn Складывая подынтегральные выражения в поверхностных ин тегралах, получим V2 V+2 ( Vn ) V + n + ( V+n + ) V+ + V = VqS n 2 Таким образом A = ( M w,n + M virt,n + M Zh,n ) + r VqS ds + r Vqb db Zh n n Sn n Bn Сравнивая с (12.9), получаем d A = ( M w,n + M p, n + M q, n ) + r Vd = dt n Bn n d = M n + r Vd dt n Bn n Равенство (13.10) доказано.

ГЛАВА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ ДВУМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ В этой главе все параметры следует понимать как безразмерные величины, отнесенные к некоторым характерным масштабам длины L, скорости U, давления U2, времени L/U, вязкости UL/Re, силы на единицу длины U2L и т.д.

14. Непроницаемая поверхность в идеальной жидкости Этот класс задач широко представлен в литературе. Здесь он рассматривается для систематизации изложения. Кроме того, в этом разделе приводится способ постановки сопряженной задачи для описания движения поверхности под действием аэродинамических и заданных внешних сил и моментов.

Контур поверхности разбивается на K отрезков. Если предпола гается отрывное течение на одной или обеих кромках поверхности, то вблизи такой кромки помещается неизвестный вихрь, циркуляция которого должна определяться из условия непротекания вместе с циркуляциями вихрей, распределенных по контуру поверхности.

При этом получается K + 1 неизвестных циркуляций gk (k = 1, …, K + 1), сосредоточенных в точках разбиения контура или распределенных вблизи них по заданному закону, часть из них яв ляются присоединенными вихрями gk = Гk, а другие свободными (например, на концах линии) g k = (kg ). Условие непротекания запи сывается либо в контрольных точках, либо в виде интегралов по от резкам. При этом получается K уравнений.

K +1 N g k vlk nl = i vlinl + ( ul V ) nl, (l = 1,..., K ) (14.1) k =1 i = Здесь v lk - скорость, индуцированная k-ым вихрем в контроль ной точке с номером l (или средняя скорость по соответствующему Глава отрезку), v li скорость, индуцированная там же i-ым свободным вихрем с циркуляцией Гi, N – число свободных вихрей, u l -скорость движения отрезка, nl - вектор его нормали, V - скорость на беско нечности.

Для замыкания системы уравнений используется условие со хранения циркуляции в пространстве течения K +1 N g = i (14.2) k k =1 i = После того, как найдены все неизвестные циркуляции, скорость движения свободных вихрей и их новое положение через интервал времени t могут быть вычислены с использованием формулы Био Савара. При этом возможны ситуации, когда отдельные свободные вихри пересекают поверхность из-за того, что условие непротекания выполнено только в контрольных точках или интегрально по отрез ку, а не тождественно во всех точках, а также из-за погрешностей схемы интегрирования по времени. Обычно такие вихри либо уда ляются, либо перемещаются по принципу отражения от поверхности или каким-либо иным способом. Такое «насильственное» переме щение вихрей приводит к изменению суммарного импульса и мо мента в области течения, и хотя оно практически не меняет картину распределения вихрей, может повлиять на результат вычисления си лы. При очередном решении системы уравнений, обеспечивающей условие непротекания, новые значения циркуляций будут компен сировать проведенные удаления или перемещения. Например, вме сто удаленного вихря возникнет новый на поверхности, тогда как в «идеальной» схеме старый вихрь останется вблизи поверхности и компенсирующего прибавления циркуляции не будет. Аналогично при зеркальном отражении – «насильственное» перемещение вихря приведет к компенсаторным изменениям присоединенной завихрен ности. Поэтому, для уменьшения погрешности при вычислении дав ления и сил следует учитывать удаленные или перемещенные вихри, 14. Непроницаемая поверхность в идеальной жидкости «запоминая» на каждом шаге циркуляции (jd ) и координаты удаленных вихрей (или суммируя их вклады в давление, силы и мо менты по мере удаления). «Насильственно» перемещаемые вихри следует рассматривать как удаленные в точках, где они были бы при движении с индуцированной скоростью, и возникшие в точках, куда были перемещены. После этого вычисляются значения k по форму ле (7.8).

Перепад давления на k-ом отрезке согласно формуле (9.1) ра вен:

(( )) n l k pk = p+ p = k u k Vk (14.3) + l =1 t Здесь k плотность циркуляции на k-ом отрезке, = ( + ) 2d ;

u - скорость движения отрезка;

V - скорость k +1 k k k k k в контрольной точке или средняя по отрезку, индуцированная всеми вихрями (включая бесконечно удаленный, если в выбранной систе ме координат скорость на бесконечности не равна нулю). Область, помеченная индексом «+», расположена справа от контура при его обходе, начиная с крайней точки i = 1;

n+ – внешняя по отношению к этой области нормаль к контуру.

В случае разветвления контура при вычислении pk суммиро вание должно проводиться по всем узлам, лежащим между первым и k-ым отрезком, и на всех ветках, исходящих из этих узлов. Напри мер, для отрезка, лежащего между узлами 5 и 6 на рис. 6 суммиро вание следует проводить от k = 1 до k = 5, а для отрезка, лежащего между узлами 7 и 8 от k = 1 до k = 7, а также k = 10.

2 8 1 6 Рис. Глава Давление в произвольной точке R течения выражается форму лой (7.6) с учетом (7.3):

p p V V + Vi v i (R ) + u k v k (R ) = + + 2 2 i k (14.4) 1K k ( rk +1 rk ) ( e z K ( R, rk ) ) k t k =1 k1 = ( rk +1 + rk ) 1 ( R rk ) K ( R, rk ) = rk =, 2 ( R rk ) 2 Под первым знаком суммирования в правой части (14.4) vi(R) – ско рость, индуцированная i-ым свободным вихрем в точке R, 1 ri R v i (R ) = i, Vi – скорость движения этого вихря;

под 2 ( ri R ) вторым знаком суммирования – аналогичное выражение для при соединенных вихрей;

u k – скорость движения k-го узла контура поверхности.

Приведенная формула, так же, как и формула Био-Савара, со держит особенность, которая обычно регуляризируется введением радиуса дискретности. В [35] показано, что если при вычислении распределения давления в пространстве брать значения давления в точках нахождения вихрей, а затем усреднять по ансамблю близко расположенных вихрей (например, вихрей, попавших в заданную прямоугольную ячейку), то получается достаточно гладкое распре деление, так как сингулярные вклады близко расположенных вихрей взаимно уничтожаются. В случае, когда точка наблюдения находит ся вблизи какого-либо отрезка контура, а именно, если расстояние до него сравнимо или меньше его длины, то надо либо разбить отре зок на более мелкие, либо вычислить его вклад, используя формулу 14. Непроницаемая поверхность в идеальной жидкости (7.7), то есть следует заменить выражение ( rk +1 rk ) ( e z K ( R, rk ) ) на ( R, rk, rk +1 ) / 2, где ( R, rk, rk +1 ) =atan2 ( (rk R ) (rk +1 R ), e z ( (rk R ) (rk +1 R ) ) ) Аэродинамическая сила, действующая на контур в целом, мо жет быть вычислена по формуле (11.19), которая в данном случае имеет вид:

F = ( k ( u k Vk ) ) + k rk (14.5) t k k Момент сил относительно точки rс определяется выражением:

M = ( rk rc ) ( k ( u k Vk ) ) + ( rk rc ) kt (14.6) 2k k В обеих формулах в первой сумме учитываются присоединен ные вихри. Если в крайней точке рождается свободный вихрь, то он в эту сумму не входит. Во второй сумме учитываются все вновь ро жденные и удаленные вихри, а также приращения циркуляций при соединенных вихрей;

uk и Vk – скорость движения k-го узла и ин дуцированная скорость в этой точке. При вычислении скорости Vk можно не учитывать вклады присоединенных вихрей, моделирую щих данное тело, так как при суммировании они взаимно уничто жаются.

Скорость движения каждой точки жесткой поверхности в дву мерном пространстве выражается через скорость выделенной точки uc и угловую скорость вращения относительно оси, проходящей через эту точку:


u k = u c + ( rk rc ). (14.7) Если скорость движения не детерминирована, и поверхность движется под действием аэродинамических и заданных внешних сил Fe и момента Me при наличии двух поступательных и одной враща Глава тельной степеней свободы, то в качестве выделенной точки можно взять центр масс поверхности (rc = rM, uc = uM). В этом случае неиз вестные величины uM и могут быть найдены при решении систе мы уравнений (14.1) - (14.2), дополненной уравнениями движения поверхности:

F + Fe = mu M (14.8) M + Me = I M Здесь m – масса тела, моделируемого бесконечно тонкой по верхностью, IM – его момент инерции относительно точки rM, uM – скорость движения центра масс.

Поскольку гидродинамическая сила и момент сил, действую щие на тело, связаны с изменением гидродинамического и враща тельного импульсов среды, для выполнения соответствующих зако нов сохранения в уравнениях (14.8) целесообразно использовать вы ражения силы и момента, обладающие свойством консервативности, а именно, удовлетворяющие соотношениям (13.1) и (13.10). В дис кретном виде они могут быть записаны следующим образом.

K + ( mu M ) = Fe t + g k rk old rkfree (jd ) r j (14.9) k k =1 k j 1 K +1 g k (rk rM ) 2 old (rkfree rM ) ( I M ) = M e t + k 2 k =1 k (jd ) (r j rM ) 2j Здесь индексом old помечены значения величин, вычисленных в момент времени t – t, rkfree – точка, куда переместился бы k-ый присоединенный вихрь, если бы был свободным, rj – положение удаленного вихря после пересечения контура, rM – положение цен тра масс тела в момент времени t. При эйлеровой схеме интегриро вания rkfree = rkold + Vk t. Можно показать, что формула для аэроди намической силы при этом переходит в (14.5), где выражение 14. Непроницаемая поверхность в идеальной жидкости ( (u Vk ) ) вычислено на предыдущем шаге по времени, а в ка k k честве rc выбрана точка rM. Аналогичным образом формула для мо мента переходит в (14.6), но с точностью до членов порядка t2.

Уравнения (14.9) вместе с (14.1) и (14.2) образуют линейную систему уравнений относительно gk, uM,, что позволяет решать сопряженную задачу аэродинамики и динамики тела. Отметим, что построенная система уравнений позволяет находить решение при исчезающе малых значениях массы и момента инерции тела, что было бы невозможным при последовательном нахождении аэроди намической силы и ускорения тела.

Если задан закон движения выделенной точки поверхности, и поверхность движется под действием аэродинамического и заданно го внешнего момента Me при наличии одной вращательной степени свободы, то в качестве выделенной точки следует взять точку закре пления rc. В этом случае неизвестная величина может быть най дена при решении системы уравнений (14.1) - (14.2), дополненной уравнением движения поверхности:

M + M e = I c + m(rM rc ) u c (14.10) Здесь Ic –момент инерции тела относительно точки rc, uc – за данная скорость ее движения. В этом случае момент гидродинами ческих сил целесообразно вычислять по формуле 1 K +1 g k ( rk rc ) k ( rk rc ) j ( r j rc ).

M= old free (d ) 2t k =1 k j Глава 15. Непроницаемая поверхность в вязкой жидкости При обтекании поверхности вязкой жидкостью в качестве гра ничного условия ставится условие прилипания, означающее равен ство скоростей жидкости и поверхности в каждой ее точке. Следо вательно, в такой постановке скачок скорости на поверхности отсут ствует, т.е. присоединенная завихренность всегда равна нулю, а за вихренность, генерируемая поверхностью, считается свободной во всех точках. Если в некоторый момент времени граничное условие выполнено, и известно положение всех свободных вихрей, то можно вычислить скорости движения всех вихрей по формуле Био-Савара и формулам диффузионного смещения вихрей относительно жидко сти, приведенным в разделе 5 главы 1. Далее вычисляется новое по ложение свободных вихрей через интервал времени t. В течение этого времени на поверхности генерируется новая завихренность.

Если шаг по времени мал, эта добавочная завихренность сосредото чена в узкой области вблизи контура. Можно искать плотность до бавочной циркуляции, полагая, что она сосредоточена на линии. Для этого контур поверхности разбивается на K отрезков. При этом по лучается K+1 неизвестных циркуляций g k = (kg ), (k=1,…,K+1), со средоточенных в точках разбиения контура или распределенных вблизи них по заданному закону.

Условие непротекания записывается либо в контрольных точ ках, либо в виде интегралов по отрезкам и совпадает с (14.1). Для замыкания системы уравнений также используется условие сохра нения циркуляции в пространстве течения (14.2).

После того, как найдены все неизвестные циркуляции, необхо димо во всех узлах, кроме крайних, определить, какая часть цирку ляции образовалась с каждой из сторон поверхности, то есть найти векторы (kg ) и (kg ), которые выражаются через скорости Vk + и Vk + формулами (kg ) = ( Vk + u k ) n + l, (kg ) = ( Vk u k ) n l.

+ 15. Непроницаемая поверхность в вязкой жидкости Поскольку полусумма скоростей Vk + и Vk равна индуцирован ной скорости Vk, а сумма (kg ) + (kg ) = g k, можно выразить (kg ) и + + (kg ) через Vk и gk ( g k + ( Vk u k )( rk +1 rk 1 ) ) (kg ) = + (15.1) = ( g k ( Vk u k )( rk +1 rk 1 ) ) (g) k При выводе этих выражений использована следующая аппрок симация вектора nl в k-ой узловой точке гладкого контура:

n + l ( rk +1 rk 1 ) e z / 2.

Таким образом, определены вихри, образовавшиеся по обе сто роны поверхности. После этого вычисляются индуцированные и диффузионные скорости всех вихрей по формулам, приведенным в разделе 5 главы I. Далее вихри перемещаются в соответствие с вы численной скоростью. При этом отдельные свободные вихри могут пересекать поверхность. Такие вихри должны быть удалены, при этом необходимо «запомнить» циркуляции и координаты (после пе ремещения) удаленных вихрей, так как эта информация будет нужна при вычислении сил, действующих на поверхность.

Перепад давления на k-ом отрезке можно вычислить по форму ле (9.1) k pk + pk = l l =1 t Здесь величина l представляет собой сумму циркуляций вих рей, рожденных и удаленных (с обратным знаком) вблизи l-ого узла, индекс «+» соответствует правой стороне контура при его обходе, начиная с точки l = 1.

Давление в произвольной точке R течения выражается согласно (7.6) формулой Глава p(R ) p V V + ui v i (R ) = + + 2 2 i (15.2) 1K k ( rk +1 rk ) ( e z K ( R, rk ) ) k t k =1 k1 = Здесь ui – скорость движения i-го свободного вихря, равная сумме диффузионной и индуцированной скоростей. Все остальные обозначения такие же, как и в формуле (14.4).

Аэродинамическая сила, действующая на контур в целом, мо жет быть вычислена по формуле (d ) j K + g F = k rk r j + Fw (15.3) t t k =1 j Индекс j относится к вихрям, удаленным при пересечении кон тура;

rj – положение вихря в момент удаления (после пересечения контура). Сила трения Fw согласно (11.20) и (5.9) может быть выра жена через скорости отталкивания вихрей от поверхности w ik = w ( r i, r k ) d k I 0 ( ri ) K Fw = i w ik (15.4) I 0 ( rk ) k = i Функции wik и I0 определены формулами (5.7) и (5.6).

Формула для момента сил относительно точки rс имеет вид (d ) 2 j 1 K +1 2g M = ( rk rc ) k ( r j rc ) + Mw (15.5) t 2 j t 2 k = Mw – момент сил трения.

I 0 ( ri ) K M w = i ( ( rk rc ) w ik ) (15.6) I 0 ( rk ) k = i 15. Непроницаемая поверхность в вязкой жидкости Если скорость движения не детерминирована, и твердая по верхность движется в вязкой жидкости под действием аэродинами ческих силы F и момента M и заданных внешних силы Fe и момента Me при наличии двух поступательных и одной вращательной степе ней свободы, неизвестные величины угловой скорости и скорости движения центра масс тела uM могут быть найдены при решении системы уравнений (14.1) – (14.2), дополненной уравнениями дви жения поверхности (14.8).

Выражения гидродинамических сил и моментов (15.3), (15.5) линейны относительно gk, uM и, поэтому уравнения (14.1), (14.2), (14.8) также являются линейными относительно неизвестных вели чин.

Если задан закон движения выделенной точки поверхности и поверхность движется под действием аэродинамического момента M и заданного внешнего момента Me при наличии одной враща тельной степени свободы, то так же, как и в случае идеальной жид кости, в качестве выделенной точки следует взять точку закрепле ния rc. Неизвестная величина может быть найдена при решении системы уравнений (14.1), (14.2), дополненной уравнением движе ния поверхности (14.10).

Глава 16. Проницаемая поверхность Рассмотрим вначале общую схему расчета. Пусть в некоторый момент времени нам известно распределение всех свободных и при соединенных вихрей. Тогда можно вычислить скорости всех сво бодных вихрей и найти их положение через время t. Поскольку на наветренной стороне поверхности скачок тангенциальной скорости может существовать даже в вязкой жидкости, так как заторможен ные поверхностью слои просачиваются сквозь нее, а на их место приходит незаторможенная жидкость, будем моделировать прони цаемую поверхность присоединенной завихренностью с плотностью, которую предстоит определить в ходе расчетов. На подветренной стороне образуется узкий (при достаточно малом t) слой жидкости, прошедшей сквозь поверхность. Плотность циркуляции в этой об ласти также не известна. Однако вместе с неизвестной циркуляцией она должна обеспечивать условие просачивания, а именно связь между перепадом давления на поверхности и скоростью просачива ния. Будем считать, что слой достаточно узок и что вся неизвестная циркуляция g сосредоточена на поверхности. Разность давления на двух сторонах проницаемой поверхности выражается формулой (9.1). В дискретном виде для рассматриваемого случая на l-ом от резке контура она имеет вид d 1l pl + pl = ( g k old ) + l 2 ( lold (ulold Vlold ) + lold (ulold Vlold ) ), +1 +1 + k t k =1 2d l (16.1) где dl = rl +1 rl, индекс «+» соответствует правой стороне контура при его обходе, начиная с точки l = 1, индекс old показывает, что со ответствующие величины берутся с предыдущего шага. Использо вание таких значений в выражениях l (ul Vl ) делает уравнение линейным относительно неизвестных величин и, как было показано в разделе 14, приводит к более точному выполнению закона сохра нения импульса среды и тела. При этом получается среднее за по 16. Проницаемая поверхность следний временной шаг значение перепада давления.


Скорость просачивания жидкости сквозь поверхность на l-ом отрезке контура (Vl – ul) nl является функцией от перепада давления (Vl ul)nl = f(pl). В простейшем случае это линейная зависимость (Vl – ul) nl = pl,, (16.2) nl – внешняя нормаль к области, помеченной индексом «+».

С другой стороны, нормальная составляющая скорости Vl nl вы ражается через распределение завихренности K +1 N Vl n l = g k v lk n l + i v li n l + V nl (16.3) k =1 i = Здесь v lk - скорость, индуцированная k-ым вихрем в контроль ной точке с номером l (или средняя скорость по соответствующему отрезку), v li скорость, индуцированная там же i-ым свободным вихрем с циркуляцией Гi, N – число свободных вихрей.

Поскольку выражение (16.1) соответствует среднему за вре менной шаг значению перепада давления, при подстановке (16.2) в (16.1) следует взять среднее значение скорости просачивания.

( ) ( Vl ul ) nl + ( Vlold ulold ) nlold = d 1l = ( g k old ) + l 2 ( lold (ulold Vlold ) + lold (ulold Vlold ) ).

+1 +1 + k t k =1 2d l Подставляя в полученное выражение (16.3), получим K уравне ний для неизвестных циркуляций gk. Система замыкается условием K +1 N g k + i = 0.

сохранения суммарной циркуляции k =1 i = После того, как функция g найдена, можно определить танген циальные скорости по обе стороны поверхности разрыва по форму лам, аналогичным (15.1).

Vk + (rk +1 rk 1 ) = g k + Vk (rk +1 rk 1 ), Глава Vk (rk +1 rk 1 ) = g k + Vk (rk +1 rk 1 ), Vk скорость, индуцированная в k-ой точке всеми вихрями.

Для того, чтобы определить циркуляции свободных вихревых элементов, образовавшихся за время t, требуются дополнительные условия. В идеальной жидкости таким условием может быть коэф фициент сохранения тангенциального импульса T, который опреде ляется свойствами пор поверхности. Если длина пор много больше ширины, на выходе из них тангенциальная составляющая скорости просочившейся жидкости оказывается равной тангенциальной ско рости поверхности (T = 0). В противном случае (0 T 1) может иметь место частичная потеря импульса. В идеальной жидкости на наветренной стороне свободная завихренность отсутствует, и если задан коэффициент T, можно вычислить циркуляцию свободных вихревых элементов (kg ) на подветренной стороне и присоединен ± ную циркуляцию k по следующим формулам:

в случае, когда сторона « » – наветренная k = (V t V+ t ) l = (1 T )V ( rk +1 rk 1 ) / 2, (kg ) = g k k, + в случае, когда сторона «+» – наветренная:

k = (V+ t V t ) l = (1 T )V+ ( rk +1 rk 1 ) / 2, (kg ) = g k k.

В общем случае течения вязкой жидкости сквозь пористую по верхность одного дополнительного условия недостаточно, так как при малой (по сравнению с диффузионной) скорости просачивания завихренность на наветренной стороне может распространяться от поверхности навстречу течению. Задача упрощается, если коэффи циент сохранения импульса равен нулю. Тогда можно полагать, что тангенциальная скорость жидкости на входе и выходе из пор равна 16. Проницаемая поверхность скорости поверхности. При этом k = 0, а циркуляции свободных вихревых элементов на обеих сторонах выражаются формулами (kg ) = ( g k + ( Vk u k ) (rk +1 rk 1 ) ), + (16.6) k = ( g k ( Vk u k ) (rk +1 rk 1 ) ), (g) u k скорость движения k-ого узла поверхности.

Если скорость просачивания больше диффузионной, можно считать, что на наветренной стороне имеется только присоединен ная завихренность и для вычисления циркуляций свободных вихре вых элементов пользоваться формулами (16.4), (16.5).

При малой (по сравнению с диффузионной) скорости просачи вания значение коэффициента T не имеет существенного значения, так как с обеих сторон относительная тангенциальная скорость бу дет близка к нулю, поэтому можно пользоваться формулами (16.6).

Таким образом, неопределенным оказывается только диапазон, ко гда скорость просачивания близка к диффузионной и T 0.

Суммарные вихри на острых кромках целиком считаются сво бодными, т.е. 1 = K +1 = 0, а 1 g ) = g1 и (Kg+)1 = g K +1.

( После разделения свободные вихревые элементы смещаются с учетом как конвективной, так и диффузионной скоростей. Затем происходит переход к следующему шагу по времени.

Гидродинамическая сила и момент сил относительно точки rc вычисляются по формулам, аналогичным (15.3), (15.5) 1 K +1 1 F = g k rk old rkfree (jd ) r j + Fw k t k =1 t k t j 1 K +1 g k ( rk rc ) old ( rkfree rc ) (jd ) ( r j rc ) + M w M= 2t k = k k Fw и Mw – сила и момент сил трения, определяемые формулами (15.4) и (15.6).

Глава 17. Поступательное движение твердых тел При моделировании обтекания объемных тел область, занимае мая телом, моделируется как некое гипотетическое течение, харак теристики которого входят в выражения сил, момента и разности давлений на двух сторонах поверхности.

При поступательном движении твердого тела скорость течения во внутренней области при отсутствии в ней вихрей и источников равна скорости движения тела u b. При движении с постоянной ско ростью давление во внутренней области постоянно, но может быть определено с точностью до константы. При ускоренном движении p = u br + const.

При вращательном или деформационном движении тел струк тура внутреннего течения оказывается более сложной, поэтому эти виды движения тел будут рассмотрены отдельно.

При поступательном движении тел в идеальной и вязкой жид кости со скоростью u b так же, как и в случае аналогичных течений вокруг бесконечно тонких поверхностей, на каждом шаге по време ни определяются значения циркуляций вихрей, образовавшихся на поверхности тела. Отличие состоит лишь в том, что система уравне ний, выражающих условие непротекания, оказывается близкой к вырожденной (при условии непротекания в контрольных точках) или строго вырожденной (если условие непротекания задано в инте гральном виде по каждому элементу контура). В первом случае про блема обычно решается введением дополнительного неизвестного источника внутри тела, который в результате расчета оказывается пренебрежимо малым. Во втором случае одно из уравнений просто отбрасывается.

Идеальная жидкость При расчете отрывного обтекания тела идеальной жидкостью точки отрыва на контуре поверхности должны быть заданы. Обычно такими точками являются острые кромки. В точках отрыва 17. Поступательное движение твердых тел g k = (kg ), а в остальных g k = k (все обозначения такие же, как и в разделе 14).

Давление в произвольной точке R может быть вычислено по формуле (14.4). Также может быть использована формула (7.10), ко торая в дискретном представлении имеет вид V V 2 N K + v i Vi + ub v k p p = + + 2 2 i =1 k = (17.1) j (d ) k + (kg ) 1K ( R, R 0, r j ) ( R, R 0, rk ) +, 2 k =1 t 2 j t ( R, R 0, rk ) – угол, под которым отрезок ( R 0, rk ) виден из точки R, для вычисления его можно использовать формулу (7.9);

R0 – произ вольная точка внутри области тела, такая, что отрезки, соединяю щие ее с узлами контура и точками удаления вихрей, лежат внутри контура или на контуре;

rj – координаты удаленных вихрей (взятые после пересечения контура). Если вихри не удалялись, а перемеща лись по принципу отражения или иному закону, в выражение долж (jd ) на быть добавлена сумма ( R, R 0, r j ) new.

2 j t Перепад давления на k-ом отрезке pk = pk + pk контура вы ражается формулой (( )) n l + const, k pk = k ub Vk (17.2) + l =1 t k = ( k + k +1 ) 2d k.

Наличие константы в правой части связано с тем, что давление во внутренней области может быть определено неоднозначно (с точностью до константы). Также выбор начальной точки нумерации узлов может быть произвольным, что влияет только на величину этой константы. Поскольку при поступательном движении тела дав Глава ление во внутренней области равно p k = ( u br k ) + const, давление в жидкости на поверхности тела выражается формулой (( )) n t (u r ) + const.

k pk + = k ub Vk (17.3) l + bk l = Гидродинамическая сила, действующая на контур в целом, в соответствии с формулами (11.7), (11.8) равна k K K F = ( k ( ub Vk ) ) rk + ub S, (17.4) t k =1 k = S площадь области тела.

Формула для момента сил относительно точки rc согласно (12.8) имеет вид 2 k + k (g) K 1K M = ( rk rс ) ( k ( ub Vk ) ) + ( rk rс ) t 2k k = (d ) ( r j rс ) j + ( rk rс ) ub S t 2j (17.5) Если скорость движения не детерминирована, и тело поступа тельно движется под действием гидродинамической силы F и за данных внешних сил Fe, то уравнения, выражающие условие непро текания, дополняются уравнением движения (14.8), которое в дис кретном виде, обладающем свойством консервативности, может быть записано по аналогии с (14.9) K + Fe t + g k rk old rkfree (jd ) r j = ( m 1) ( u b u b ) S old k k =1 k j Здесь m – масса тела, отнесенная к массе вытесненной жидкости.

Полученная линейная система уравнений может быть использо вана при решении сопряженной задачи аэродинамики и динамики тела. Данный подход позволяет находить решение при исчезающе 17. Поступательное движение твердых тел малом значении массы тела, что было бы невозможным при после довательном нахождении гидродинамической силы и ускорения те ла. Если m = 1, величина u b выпадает из уравнения движения, но остается в уравнениях, выражающих условие непротекания, поэто му сопряженная задача так же может быть решена.

Вязкая жидкость Общая схема расчета аналогична случаю обтекания бесконечно тонкой поверхности вязкой жидкостью. При расчете вязких течений в качестве граничного условия на поверхности обычно ставится ус ловие прилипания, т.е. равенства скорости жидкости и скорости по верхности. При поступательном движении тела это означает, что (g ) присоединенная завихренность отсутствует, т.е. gk = k.

Условие непротекания записывается либо в контрольных точ ках, либо в виде интегралов по отрезкам так же, как и при обтекании идеальной жидкостью. И так же, как при моделировании обтекания тела идеальной жидкостью, вводится дополнительный неизвестный источник для регуляризации системы уравнений (при записи усло вия непротекания в контрольных точках), либо одно из уравнений отбрасывается (при интегральной формулировке).

После того, как циркуляции новых вихрей найдены, вычисля ются индуцированные и диффузионные скорости всех вихрей по формулам, приведенным в разделе 5 главы 1. Далее вихри переме щаются в соответствие с вычисленной скоростью. Отдельные сво бодные вихри могут пересекать поверхность. Такие вихри должны быть удалены, при этом необходимо «запомнить» циркуляции и ко ординаты (после перемещения) удаленных вихрей, так как эта ин формация будет нужна при вычислении сил, действующих на тело.

Давление в произвольной точке R может быть вычислено по формуле (15.2). А также может быть использована формула (7.10), которая в данном случае имеет вид Глава V V 2 N + v iui p p = + + 2 2 i = (17.6) (d ) (kg ) 1K ( R, R 0, r j ) j ( R, R 0, rk ) + 2 k =1 t 2 j t Здесь ui – скорость движения i-го свободного вихря, равная сумме диффузионной и индуцированной скоростей. Все остальные обозна чения те же, что и в (17.1). Если вихри не удалялись, а перемеща лись по принципу отражения или иному закону, в выражение долж на быть добавлена сумма (d ) ( R, R 0, r jnew ) j.

2 j t Перепад давления на k-ом отрезке согласно теореме Жуковско го «в малом», доказанной теперь и для вязких течений, равен k pk + pk = l + const (17.7) l =1 t Величина l представляет собой сумму циркуляций рожденных и удаленных (с обратным знаком) вблизи l-ого узла вихрей.

Наличие константы в правой части связано с тем, что давление во внутренней области может быть определено неоднозначно (с точностью до константы). Также выбор начальной точки нумерации узлов может быть произвольным, что влияет только на величину этой константы. Поскольку при поступательном движении тела дав ление с внутренней стороны k-ого отрезка равно p k = ( u br k ) + const, давление в жидкости на поверхности тела вы ражается формулой k pk + = l ( u brk ) + const (17.8) t l = Гидродинамическая сила, действующая на твердое тело, при его поступательном движении со скоростью u b может быть вычислена 17. Поступательное движение твердых тел по формулам (11.7) и (11.18):

(k ) (d ) g K F= rk j r j + Fw + u bS (17.9) k =1 t t j В отличие от случая бесконечно тонкой поверхности здесь при сутствует член, связанный с ускорением тела. Индексы j относятся к вихрям, удаленным при пересечении контура, rj – положение вихря в момент удаления (после пересечения контура). Сила трения Fw оп ределяется выражением (15.4).

Формула для момента сил относительно точки rс для твердого тела, совершающего поступательное движение со скоростью u b, со гласно (12.8) и (12.17), имеет вид:

() (d ) g 2j 1K 2 k (r j rc ) M = (rk rc ) + t 2 j t 2 k = +M w + ( r m r c ) u b S Здесь Mw – момент сил трения, определяемый выражением (15.6).

Постановка сопряженной задачи аналогична случаю обтекания по ступательно движущегося тела в идеальной жидкости. Дискретные уравнения, обладающие свойством консервативности, имеют вид K + Fe t + (kg ) rk (jd ) r j + Fwt = ( m 1) ( u b u b ) S, old (17.10) k =1 j m – масса тела, отнесенная к массе вытесненной жидкости.

Уравнения, выражающие условия непротекания, вместе с урав нением сохранения циркуляции (14.2) и (17.10) образуют систему, (g ) которая является линейной относительно неизвестных величин k и ub.

Глава 18. Произвольное движение тела При моделировании вращательного или деформационного дви жения тела гипотетическая жидкость в области, занятой телом, не может быть покоящейся или движущейся с постоянной во всей об ласти скоростью. Так как внешнее течение не зависит от внутренне го, последнее может моделироваться разнообразными способами.

Рассмотрим некоторые из них.

Задана скорость ub движения точек тела, включая поверх ность (скачок скорости с внутренней стороны поверхности от сутствует) Примером может быть случай вращающегося твердого тела, ко гда во внутренней области скорость задана формулой ub ( r ) = u c + ( r rc ). Поле b = ub считается присоединен ной завихренностью внутри тела. Если при этом ub 0, то поле qb = ub считается плотностью источников внутри тела. Присоеди ненная завихренность на поверхности тела (или свободная завих ренность, образовавшаяся вблизи контура за время очередного шага по времени) определяется из условия непротекания. Очевидно, что скорость V, индуцированная всей совокупностью вихрей и источни ков при выполнении условия непротекания совпадает внутри облас ти тела с ub. Это следует из единственности функции с заданным распределением ротора и дивергенции при заданной нормальной со ставляющей на поверхности.

При вычислении скорости движения вихрей должна учитывать ся скорость, индуцированная всей совокупностью вихрей и источ ников, включая находящиеся внутри тела. В общем случае это тре бует интегрирования по области тела. Однако в случае поступатель но-вращательного движения тела неизменной формы интегралы по площади в области тела могут быть преобразованы в контурные, что существенно упрощает вычисления.

18. Произвольное движение тела Так, скорость V, индуцированная вихрями, распределенными в области B с плотностью b = 2, может быть вычислена по формуле 1 (R r) V ( R ) = 2 ( R r ) 2 db = r ln R r db = B B (18.1) K n ln R r dl d k ln R rk.

= C k = Если расстояние от точки R до одного из отрезков много мень ше или по порядку величины близко к его длине, то данный отрезок следует разбить на более мелкие и просуммировать вклады всех частей. Если точка R лежит на отрезке, то вклад этого отрезка вы числяется аналитически и равен d k ( R rk ln R rk + R rk +1 ln R rk +1 rk +1 rk ).

Отметим, что вклад в нормальную к этому отрезку составляю щую скорости равен нулю.

Расчет давления в произвольной точке пространства проводится по обобщенной формуле Коши-Лагранжа также с учетом внутрен них вихрей и источников. В случае обтекания тела неизменной формы интегрирование по площади внутри контура также можно заменить интегрированием по контуру.

Скорость V = ub удовлетворяет уравнению движения жидкости F b = u virt virt = ( r r c ) внутри тела (8.1) при и p = ( r r c ) 2 ( u c r ). Поток завихренности с внутренней стороны поверхности соответственно равен ( ) J = virt ( n u virt ) = n ( r r c ).

Вклад в давление присоединенных вихрей внутри тела, движу щихся вместе с ним, равен Глава 2 ( R r ) ( u c + ( r R + R rc ) ) ( R r ) 2 dS = 2 S = ( u c + ( R rc ) ) V S.

Вклад в давление виртуальных потоков внутри тела равен (R - r) (R - r) 1 ( ( r rc ) ) 2 u virt virt ds = ds = (R - r) (R - r) 2 S S (R - r) ( R rc ) = ds = S (R - r) 2 ( R rc ) ln R - r ds = = 2 S ( R rc ) n ln R - r dl = 2 C 1 K ( R rc ) ( d k e z ) ln R - rk = 2 k = K ( ( R rc ) d k ) ln R - rk = 2 ( R rc ) V ( R ).

= 2 k = В результате получаем выражение давления в произвольной точке идеальной жидкости 18. Произвольное движение тела V V 2 N + v i Vi + v k ( u c + ( rk rc ) ) + p = p + + 2 2 i =1 k (d ) k + (kg ) 1K ( R, r j, R 0 ) jt + + ( R, rk, R 0 ) 2 k =1 t 2 j K + ( R, rk, R 0 ) ( n ( rk rc ) ) ( R rc ) V ( R ) + 2 k =1 + ( u c + ( R rc ) ) V ( R ) S.

(18.2) Обозначения те же, что и в (17.1).

Разность давления на двух сторонах поверхности в данном слу чае равна + k +1 ( ) pk + pk = k u k Vk n + 2d k (18.3) k k l ( rl rc ) dl.

t l =1 l = При этом p k = ( r k r c ) 2 u c ( r k r c ) + const.

Применение теоремы Жуковского «в малом» при деформаци онном движении тела нецелесообразно, так как для нахождения давления на поверхности с ее помощью требуется вычисление дав ления во внутренней области.

Сила, действующая на тело при произвольном движении в иде альной жидкости в отсутствие вдува и отсоса на его поверхности, может быть вычислена по формуле (11.13), которая в этом случае имеет вид Глава k F = u m S + k ( u k Vk ) + rk r d + t k k (18.4) +2 ( u m ub )dQ + ( rm r )dQ где d = b ds, dQ = qb ds, а d, dQ – скорости изменения этих величин при постоянных лагранжевых координатах.

Момент сил относительно точки rc согласно (12.9) выражается формулой 1 M = k ( ( rk rc )( u k Vk ) ) + k ( rk rc ) + ( r rc ) d + 2 2 k t k ( d + ( r rc ) ub ds + u c ub db ( r rc ) ub dQ dt S B S.5) В случае вязких течений аналогичные формулы имеют сле дующий вид.

(kg ) (nd ) F = um S + rk rk r d + t n t (18.6) k +2 ( u m ub ) dQ + ( rm r ) dQ + Fw 1 j (d ) 1 ( g ) ( rj rc ) + M = k ( rk rc ) 2 k t 2 j t 1 d ( r rc ) d + dt ( r rc ) ub ds + (18.7) 2 S ( r rc ) ub dQ + u c ub db + M w.

B Выражение силы трения совпадает с (15.4), а формула момента сил трения отличается от (15.6) дополнительным слагаемым, свя занным с интегральной циркуляцией внутреннего течения (12.16).



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.