авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 16 |

«А. П. ЛЕВИЧ ИСКУССТВО И МЕТОД В МОДЕЛИРОВАНИИ СИСТЕМ ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ЭКОЛОГИИ СООБЩЕСТВ, СТРУКТУРНЫЕ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ, КАТЕГОРИИ И ...»

-- [ Страница 13 ] --

q k+ Если теперь A = max k 1, то для любого фиксированного 0, как Lk L k =1, m ;

w q x ( t ) L, k 1, m, L только t t ( ) = 0.

, то k k k 1 + A ii i = w w w Пусть теперь C = xi ln xi xi ln xi — максимальное зна i =1 i =1 i = чение функции H ( x ) в задаче (П3.1.1). Тогда H ( x ( t ) ) = t xi + ln xi + xi ln xi ln i =1 i =1 i =1 x ( t ) пересекается с множеством уровня и, следовательно, прямая H ( x ) = C при C t = t () =, xi + ln xi + xi ln xi ln i =1 i =1 i =1 а при t t ( ) получим H ( x ( t ) ) C. Из формулы для функций t ( ) и t ( ) видно, что при 0 t ( ) 1, 0 t ( ) 1 и lim t ( ) = lim t ( ) = 1, lim t ( ) = 0.

+0 + + t () = 0, Но, применяя правило Лопиталя, можно показать, что lim t () 1 + и поэтому существует такое 1, что при любых таких, что 0 1, мы имеем t ( ) t ( ). Возьмем некоторое 2 такое, что 0 2 Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования Lk и 2 t ( 2 ) min k. Следовательно, существует такое, что t Lk = 0,q k+1 q + k1, m 0 t ( 2 ) t0 t ( 2 ). Но теперь если x1 = x1 t0, x2 = x2 t0,..., x = x t0, x +1 = 2t0, x + 2 = … = xw = 0, w q x L, то по свойству функций t ( ) и t ( ) мы получаем k = 1, m, k k ii i = H ( x1,..., xw ) C, и поскольку xi 0, i = 1, w, то мы нашли точку, в кото рой удовлетворяются все неравенства-ограничения в (П3.1.1), но H ( x1,..., xw ) С — максимального значения в (П3.1.1). Полученное проти воречие доказывает лемму.

Поскольку, согласно лемме, максимум в (П3.1.1) достигается при xi 0, i = 1, w, и при таких xi функция H ( x ) гладкая, то необходимое ус ловие максимума в (П3.1.1) имеет вид [Алексеев и соавт., 1979]:

m xi + k qik = 0, i = 1, w, А) 0 ln w x k = i i = w Б) k qik xi Lk = 0, k = 1, m, (П3.1.2) i =1 В) k 0, k = 0, m и ( 0, 1,..., m ) 0.

Заметим, что т. к. q k = ( q1k,..., qw ) 0, k = 1, m, то из А) и В) мы получаем k 0 0, и поэтому можно положить 0 = 1.

Из А) мы получаем вид решения задачи (П3.1.1):

( ) xi = n exp, qi, i = 1, w, (П3.1.3) w где qi = ( qi1,..., qim ), n обозначает x и вместе с вектором множителей Ла i i = гранжа = ( 1,..., m ) находится из системы уравнений и неравенств, полу чающихся из (П3.1.2) при подстановке (П3.1.3):

w ( ) exp, qi = 1, i = k n q k exp, q Lk = 0, k = 1, m, ( ) w i (П3.1.4) i =1 i k 0, k = 1, m.

Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования Находя из (П3.1.4) n и, мы находим xi (П3.1.3). Заметим, что со гласно лемме, решение (П3.1.2), а следовательно, и (П3.1.4), всегда суще ствует.

В дальнейшем мы будем называть решение (П3.1.3) формулой структуры сообщества.

Покажем теперь, что решение (П3.1.3) (формула видовой структуры) действительно дает решение задачи (П3.1.1), т. е., что выполняются доста точные условия максимума. Для этого нужно исследовать вторую квадра тичную форму, связанную с гессианом функции Лагранжа нашей задачи w () m L x, = H ( x ) + k qik xi Lk.

i =1 k = Пусть x = ( x1,..., xw ) есть решение (П3.1.3). Из номеров k = 1, m выде w q x = Lk (такие номера всегда существуют, т. к. из лим те, для которых k ii i = первого уравнения системы (П3.1.4) следует, что существует j 0, j 1, m, а из второй группы уравнений системы (2.4) следует, что для этого w q x = Lj ). Не ограничивая общности, считаем, номера j выполняется j i i i = w q x L ( m ). Кроме того, обозначим что это — номера j = 1, как j j i i i = f j ( x ), j = 1,, а H ( x ) как f 0 ( x ). Тогда достаточное условие локального максимума в задаче (П3.1.1) имеет вид [Алексеев и соавт., 1979]: сущест вует 0 такое, что () Lxx x t, t t (П3.1.5) для любого вектора t, принадлежащего конусу допустимых вариаций { }.

( () ) P = t IR w | f j x, t 0, j = 0, f f () f j (x) ( x1,..., xw ), f j x = j,..., j Здесь градиент в — x1 xw () Lxx x t, t — значение квадратичной формы, связанной с гессианом L ( x, ) в ( x,..., x ) на векторе t.

1 w Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования t Заменяя Lxx на H xx, а t на, перепишем (П3.1.5) в виде t H xx ( x1,..., xw ) [ n, n ] (П3.1.6) для любого n S P, где S = {n IR | n = 1} — единичная сфера в IR w.

w Но 1 1 x n … n n 1 1 11 2H … = n x2 n n n, (П3.1.7) xi x j 1 1 xw n n w где n = xi. (Мы полагаем xi 0, i = 1, w.) i = Считая угловые миноры матрицы (П3.1.7), мы получаем, что угловой k n xi минор порядка k Dk = i =. Поэтому ранг матрицы (П3.1.7) равен w n xi i = w 1 и D1 0,..., Dw1 0, Dw = 0 (у нас xi 0, i = 1, w ). Применяя правило Якоби для подсчета сигнатуры квадратичной формы [Гантмахер, 1953], мы получаем, что для всех x таких, что xi 0, i = 1, w, квадратичная форма, связанная с гессианом H ( x ), имеет w 1 отрицательное собственное чис ло и одно нулевое собственное число, причем в некоторой точке x = ( x1,..., xw ) собственный вектор, соответствующий этому числу, имеет координаты t1 = x1,..., tw = xw ( 0 ).

Вернемся теперь к (П3.1.6). Т. к. множество S K компактно, квад ратичная форма H xx достигает на нем своего максимума. Из свойств H xx получаем, что 0. Если 0, то, приняв =, получаем (П3.1.6).

Предположим, что = 0. Тогда существует вектор m P (т. к. m P S ) такой, что m = x ( 0 ). Т. к. m P, следовательно, w xi H w w x1,..., xw ) mi = ln i =1 xi 0, ( i =1 xi xi i = Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования w w 0 Lj = qij xi = qij mi и поэтому 0. Но тогда для j = 1, i =1 i = (по определению P ). Полученное противоречие доказывает, что 0. Та ким образом, мы получаем, что x = ( x1,..., xw ) (П3.1.3) действительно дает решение (П3.1.1).

Докажем, наконец, что (П3.1.1) имеет единственное решение. Пред положим, что в результате решения (П3.1.2)–(П3.1.4) мы получаем два значения x 1 и x 2 ( x 1 x 2 ), каждое из которых есть локальный максимум для задачи (П3.1.1). Из анализа свойств квадратичной формы, связанной с гессианом H ( x ), мы видим, что H ( x ) — выпуклая функция, и, таким образом для любых y1 и y 2 таких, что yij 0, i = 1, w, j = 1,2, и всех [ 0;

1] H ( y1 + (1 ) y 2 ) H ( y1 ) + (1 ) H ( y 2 ).

выполняется неравенство Стандартными методами выпуклого анализа [Алексеев и соавт., 1979] от сюда можно показать, что всякий локальный максимум в (П3.1.1) является глобальным, и поэтому H ( x 1 ) = H ( x 2 ) = C = H ( x 1 + (1 ) x 2 ), [ 0;

1], т. е. H ( x ) постоянна на отрезке с концами x 1 и x 2. Пусть t = x 1 x 2, сле 2H w довательно H ( x 2 t ) = C. Поэтому ( x 2 ) t it j = 0. Отсюда мы по i, j =1 xi x j лучаем t = x 2 ( 0 ), и поэтому x 1 = x 2 для некоторого 0. Но тогда H ( x 1 ) = H ( x 2 ), что вместе с условием H ( x 1 ) = H ( x 2 ) = C 0 дает = 1, и поэтому x 1 = x 2.

Суммируя, мы приходим к следующему результату.

Теорема существования и единственности.

Для любого вектора { } L IR+ = L IR m | Lk 0, k = 1, m m решение задачи (П3.1.1) существует, единственно и дается формулой видо вой структуры (П3.1.3) ( ) xi = n exp, qi, i = 1, w, где qi = ( qi1,..., qim ), а n и = ( 1,..., m ) есть решение системы (П3.1.4):

w ( ) exp, qi = 1, i = k n q k exp, q Lk = 0, k = 1, m, ( ) w i i =1 i k 0, k = 1, m.

Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования П3.2. Теорема стратификации Как было показано выше, для любого L IR+ на решении (П3.1.1) m w q x L, k = 1, m, обязательно обращаются некоторые из неравенств k k ii i = в равенства. В принципе, возможно 2m 1 вариантов наборов таких ра венств. Все ли эти варианты действительно реализуются, когда L пробега ет все IR+ ? Можно ли как-нибудь описать подмножества IR+, соответст m m вующие каждому из возможных вариантов?

Будем пока рассматривать случай w m.

Прежде всего, рассмотрим задачу с ограничениями-равенствами:

w w w H ( x1,..., xw ) = xi ln xi xi ln xi max, i =1 i =1 i = w k qi xi = L, k = 1, m, k (П3.2.1) i = xi 0, i = 1, w.

Мы считаем, что L в (П3.2.1) принадлежит внутренности конуса w K = L IR m | L = xi qi, xi 0, где qi — те же, что и в (П3.1.1).

i = Исследование (П3.2.1) похоже на исследование (П3.1.1). Т. к. H ( x ) — непрерывна, а ограничения задают компактное множество, то решение (П3.2.1) существует.

Для L, принадлежащих внутренности K, максимум в (П3.2.1) дос тигается при xi 0, i = 1, w. Действительно, если мы предположим против ное, т. е. что максимум достигается в точке x1 0, x2 0,..., x 0, x +1 = 0,..., xw = 0 ( w ) для некоторого L0 из внутренности K, то найдем для этого L0 решение x 1 = ( x1,..., x1 ) системы w w qi xi = L0, i =.....................

w qim xi = Lm, i = Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования такое, что x1 0,..., x1 0. Такое решение существует, т. к. если ввести w w q = qi, то для малых 0 вектор L1 = L0 q по-прежнему принадле i = w жит внутренности K, следовательно, L1 = xi qi, xi 0, и поэтому если i = w x = xi + 0, то L0 = x q. Поэтому если i = xi1 xi0, i = 1, w, то для дос 1 i ii i = таточно малых 0 точка x ( ) = x 0 + ( = ( 1,..., w ) ) удовлетворяет F всем ограничениям в (П3.2.1). Но если F ( ) = H ( x ( ) ), то = w w xi0 + i xi0 + i = ln i =1 0 + ln i =1 0 при малых 0. Но w i =1 i = xi + i i i i i =l i = + F ( 0 ) = C — максимальное значение в (П3.2.1). Таким образом, существует допустимая точка x, в которой H ( x ) C. Это противоречие и показывает, что на решении задачи (П3.2.1) xi 0, i = 1, w.

Выписывая необходимое условие экстремума для гладких задач с ог раничениями-равенствами [Алексеев и соавт., 1979], мы получаем, что ре шение (П3.2.1) должно иметь вид ( ) xi = n exp, qi, i = 1, w, (П3.2.2) где n и вектор множителей Лагранжа = ( 1,..., m ) ищутся из системы w ( ) exp, qi = 1, i = w (П3.2.3) ( ) n q k exp, q = Lk, k = 1, m.

i i i = Достаточное условие того, чтобы (П3.2.2) было решением (П3.2.1), имеет вид [Алексеев и соавт., 1979] H xx ( x ) [ n, n ] для некоторого 0 и для любого n S P, где S — единичная сфера w в IR w, а P = t IR w | qik ti = 0, k = 1, m. Рассуждая аналогично случаю i = задачи с неравенствами (П3.1.1), мы получаем, что максимум H xx ( x ) на S P равен 0 только в том случае, когда существует t P такой, что Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования t = x, где x имеет вид (П3.2.2), а 0. Но этого быть не может, посколь w w ку 0 = qik ti = qik xi = Lk 0, k = 1, m. И, таким образом, (П3.2.2) дейст i =1 i = вительно дает решение (П3.2.1).

То, что решение (П3.2.1) единственно, доказывается абсолютно так же, как и единственность решения (П3.1.1).

Суммируя, можно сказать, что решение (П3.2.1) для L = ( L1,..., Lm ), w принадлежащих внутренности конуса K = L IR m | L = xi qi, xi 0, су i = ществует, единственно и дается формулой (П3.2.2), где n и = ( 1,..., m ) ищутся из системы (П3.2.3).

Заметим, что этот вывод сохраняется и для случая w = m, хотя в этом случае для любого вектора L, принадлежащего внутренности конуса K, система уравнений w q x = Lk, k = 1, m k ii i = однозначно определяет x = ( x1,..., xw ) c xi 0, i = 1, w, и поэтому формально экстремальная задача (П3.2.1) теряет смысл. Но при w = m мы можем рас суждать следующим образом. По заданному L мы находим x = ( x1,..., xw ), а потом находим единственное решение = ( 1,..., m ) системы (, q ) = ln xi, i = 1, w, i w xi i = w и тогда n = xi и = (,..., ) удовлетворяют системе (П3.2.3) и xi, 1 m i = i = 1, w имеет вид (П3.2.2).

Можно также заметить, что все приведенные рассуждения о задаче (П3.2.1) полностью применимы (при w m ) к семейству задач вида w w w H ( x1,..., xw ) = xi ln xi xi ln xi max, i =1 i =1 i = w qi xi = L, j J, j j (П3.2.4) i = xi 0, i = 1, w, где J {1;

2;

...;

m}, J, матрица ( qij ), i = 1, w, j J получена из мат (q ) задачи (П3.1.1) вычеркиванием столбцов с номерами j J, рицы j i Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования { а L = ( Lj, j J ) K J = L IR | L = J принадлежит внутренности конуса w = xi qiJ, xi 0, где qiJ — i -тая вектор-строка матрицы ( qij ), i = 1, w, i = j J, если соблюдено дополнительное условие: для каждого i 1, w суще ствует такой j J, что qij 0.

Будем теперь рассматривать взаимосвязь (П3.1.1) и (П3.2.1) при ус ловии qij 0, i = 1, w, k = 1, m и w m.

Прежде всего, отметим, что при m = 1 (П3.1.4) и (П3.2.3) совпадают, и поэтому при m = 1 задачи (П3.1.1) и (П3.2.1) эквивалентны (имеют оди наковые решения для одинаковых L ).

Пусть теперь m 2. Перейдем от (П3.2.3) к системе только на 1,..., m w ( ) exp, qi = 1, i = w k ( ) qi exp, qi (П3.2.5) Lk i =1 = m, k = 1,..., m 1.

w m ( ) qi exp, qi L i = Lm L В координатах t1 = m,..., t m1 = m внутренности конуса K будет L L соответствовать некоторая ограниченная область T в IR+ = {t IR m1 | t i 0, m q k Lk qk } i = 1, m 1, ибо 0 min im m max im +, k = 1, m 1, для L i L qi i =1, w q i =1, w из K.

Рассмотрим теперь отображение поверхности N в m с координа w exp ( q 2 qi2... m qim ) = тами 1,..., m, задаваемой уравнением i i = с координатами t1,..., t m1 по формулам в m + () w q exp, qi k i, k = 1,..., m 1.

t= i = k (П3.2.6) q exp (, q ) w m i i i = Покажем, что функция (П3.2.6) отображает N в T. Для любой w ( ) = ( 1,..., m ) из N, если n = qim exp, qi, то для вектора i =1 Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования ( ) w x = ( x1,..., xw ) с xi = n exp, qi, i = 1, w вектор L = xi qi принадлежит i = Lm L внутренности конуса K по определению, и поэтому m,..., m принадле L L Lk жит T. Но m = t k, k = 1, m 1.

L С другой стороны, для любой точки t T мы можем найти некото Lk рый вектор L = ( L1,..., Lm ) из внутренности конуса K, такой, что t k = m, L k = 1, m 1 и для этого вектора L решить систему (П3.2.3), т. к. система (П3.2.3) дает по формуле (П3.2.2) решение задачи (П3.2.1), которое суще ствует для этого L. Тогда образом полученного при решении (П3.2.3) ( ) = 1,..., m будет при отображении (П3.2.6) наша точка t. Предполо жим, что для некоторой t T существуют два вектора 1 = ( 1,..., 1 ) 1 m и 2 = ( 1,..., m ), таких, что отображаются в эту выбранную t. Тогда, 2 по-прежнему беря для этой t некоторый вектор L из внутренности K, ( ) ( ) мы получаем, что xi1 = n1 exp 1, qi, i = 1, w, и xi2 = n 2 exp 2, qi, i = 1, w, L, j = 1,2, дают решение (П3.2.1) для данного L и nj = q exp (, q ) w i j i i = (т. к. выполнены необходимые и достаточные условия максимума). Но ре шение у (П3.2.1) единственно, поэтому ( ) ( ) n1 exp 1, qi = n 2 exp 2, qi, i = 1, w, exp (, q ) = exp (, q ) = 1, w w то n1 = n 2, а потому если и поскольку 1 i 2 i i =1 i = () = 1 2, то, qi = 0, i = 1, w, и т. к. rank ( qij ) = m, то = 0 и поэтому 1 = 2. Таким образом, мы получаем, что отображение (П3.2.6) задает би екцию N на T.

Утверждение. Биекция поверхности N на область T, задаваемая формулой (П3.2.6), есть C — диффеоморфизм.

Доказательство. Прежде всего, отметим, что из уравнения по exp (, q ) = 1, где w = ( 1,..., m ), мы можем определить верхности N i i = Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования функцию m ( 1,..., m ) : IR m1 IR и по теореме о неявной функции m C ( IR m1;

IR ).

Лемма. Квадратичная форма, определяемая гессианом m ( 1,..., m ), положительно определена (т. е. m — строго выпуклая функция).

Доказательство. Пусть h = ( h1,..., h m1 ) — произвольный ненулевой вектор. Тогда прямое вычисление дает 2 m m 1 k hk h = k, = 2 w 2 w m w w w m w m 2 w i i qi i 2 i qi i i i qi i + ( qi ) i i i m i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1, = w m qi i i =1 m ( ) где i = exp qi11... qim1 m1 qim m ( 1,..., m1 ) и = h k qik, i = 1, w.

i k = w w Нас интересует случай, когда i qimi i i 0, ибо в проти i =1 i =1 воположном случае лемма очевидно верна. Заменяя в случае необходимо w w сти h на h, мы всегда можем считать, что q i 0 и i 0.

m ii i i =1 i= Обозначив теперь w w w w (q ) i qimi, b = i i i, m a= i i i =1 i =1 i =1 i = i = q i и i = i, i = 1, w, m i i мы имеем следующую цепочку равенств и неравенств:

2 w w w w 1) a 2 + b 2 = 2i qim i + ( qim ) i i i 2ab = i i =1 i =1 i =1 i =1 w w w w (q ) i qim i i i = m =2 i i i i =1 i =1 i =1 i = w 2) w w w w w w q i i i 2 ii qim i i i = =2 2 2 m i i i i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i = w w w w w w 3) = 2 ( i ( qi i qi i i i 2 i qi i qi i i i.

m m m m i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования В этой цепочке неравенства 1) и 3) очевидны, а 2) — прямое следст вие неравенства Гельдера. Но 3) обращается в равенство тогда и только то гда, когда i 0, i = 1, w. Но в этом случае 2) обращается в равенство толь и qim = ( q1m,..., qw ) пропорциональны, но это противоречит усло ко если m вию rank ( qik ) = m. Лемма полностью доказана.

Докажем теперь утверждение. Если 1,..., m1 принять за локальные координаты на N и заметить, что t k в формуле (П3.2.6) есть не что иное, m как k, k = 1,..., m 1, то отсюда непосредственно получаем, что якобиан (П3.2.6), рассматриваемого как отображение ( 1,..., m1 ) ( t1,..., t m 1 ), есть не что иное, как гессиан m = m ( 1,..., m1 ), и, в частности, не вырож ден на IR m1. Поэтому по теореме об обратной функции отображение (П3.2.6) есть локальный C диффеоморфизм N на T. Но (П3.2.6) есть би екция, из чего и следует наше утверждение.

( t,..., t ) m Следствие. Для обратного к (П3.2.6) отображения i (,..., ) 0 всюду области T на поверхность N выполняется 1 m t i в T, i = 1,..., m 1.

Доказательство: По теореме об обратной функции 1 i t i 2 m i = i = i j, i, j = 1,..., m 1.

t 2 m Но, как было показано в доказательстве утверждения, i j — положительно определенная квадратичная форма и поэтому имеет положи тельный определитель, положительные элементы на диагонали и положи тельные главные миноры (т. е. миноры с одинаковыми номерами строк и столбцов) [Гантмахер, 1953]. После этого наблюдения наше следствие по лучается из явной формы для диагональных элементов обратной матрицы.

Продолжим исследование взаимосвязи (П3.1.1) и (П3.2.1). Обозначив z k = exp ( k ), k = 1, m, мы получаем, что отображение w q z k q1 qi2 m q z...zmi i i, k = 1,..., m t= i = k (П3.2.7) w q m qi qi qim z z...z i12 m i = Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования задает C — диффеоморфизм поверхности N z, задаваемой уравнением { } w z q1 qi2 m z...zmi = 1 в IR+ = z IR m | zk 0, k = 1, m на область T.

q m i i = { } Пусть теперь V = z IR m | 0 zk 1, k = 1, m — единичный куб в IR. Рассмотрим некоторые из его открытых граней, а именно множества m F ( J ) = { z IR m | 0 z j 1, j J ;

z j = 1, j {1;

2;

...;

m} \ J }, где J — некоторое непустое подмножество {1;

2;

...;

m}. Размерность грани F ( J ) равна J, число k -мерных граней равно Cm ( k = 1,..., m ), и если k J = {1;

2;

...;

m}, то F ( J ) не что иное, как внутренность V, которую мы обо значим V.

Докажем индукцией по k (размерности грани), что N z F ( J ) w z qij для любого J. Действительно, если J = k = 1, то уравнение = 1 все i = гда имеет решение 0 z 1 при любых j 1, m, ибо w 1 и qi 0. Пусть, далее, без ограничения общности J = {1;

2;

...;

k } ( k m ) и z1,..., zk 1 — неко w z k q = 1,..., k 1, то мы можем...zkq1 = 1. Т. к. 0 z 1, торое решение i i i = k найти некоторые z такие, что z z 1, и, определив ai = z1qi … zkq1, рас i w w смотреть функцию f ( z ) = ai z qi. Т. к. f ( 0 ) = 0, f (1) = ai 1, то суще k i =1 i = ствует z ( 0 z 1 ) такое, что f z = 1. Но тогда z1,..., zk 1, z — решение w z q1 k = 1,...,k.

...zkqi = 1, удовлетворяющее условиям 0 z 1, i i = Рассмотрим теперь V N z и пусть K t — образ V N z при отобра { } жении (П3.2.7). Пусть K — конус в IR+ = L | Lk 0, k = 1, m, соот m m k L, k = 1,..., m 1.

ветствующий K t при отображении t k = Lm О конусе K мы можем сказать, что, во-первых, K K, т. к. K T по построению и, во-вторых, каждому непустому подмножеству J {1;

2;

...;

m} соответствует некоторая открытая J -мерная часть K, отвечающая пере сечению грани F ( J ) куба V c N z. В частности, внутренность K соответ Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования ствует V N z. Заметим также, что, как следует из формул (П3.2.6) и (П3.2.7), конус K непрерывно зависит от параметров задачи qik, i = 1, w, k = 1, m.

Пусть теперь L K. Тогда для k, k = 1, m, полученных из (П3.2.5) для данного L, мы имеем k 0, k = 1, m. Поэтому для L K n и, по лученные из (П3.2.5) и (П3.2.3), удовлетворяют (П3.1.4), и, следовательно, формула видовой структуры (П3.1.3), которая дает решения (П3.1.1) для этого L, совпадает с (П3.2.2), которая дает решения (П3.2.1) для того же L.

Используя то, что в силу теорем единственности других решений у (П3.1.1) и (П3.2.1) нет, получаем, что для L K задачи (П3.1.1) и (П3.2.1) эквивалентны.

Рассмотрим теперь задачу с неравенствами (П3.1.1) с некоторым конкретным L = ( L1,..., Lm ) IR+. Пусть на решении (П3.1.3) x = ( x1,..., xw ) m w w q q x L, xi = L p, j p J и k J, где J — некоторое jp j мы имеем k k i ii i =1 i = (непустое) подмножество {1;

2;

...;

m}. Тогда для соответствующих этому { } решению n и мы имеем из (П3.1.4): k = 0, k J, а J = j1, j2,..., j, j J, p = 1, и n удовлетворяют w ( ) exp J, qi = 1, J i = w (П3.2.8) ( ) n q j p exp, q J = Lj p, j J, i J i p i = где векторы qiJ = ( qij1,..., qijl ), j p J, p = 1, получены вычеркиванием из qi элементов qik для k J. Из (П3.2.8) мы видим, что решение (П3.1.3) ( ) ( ) xi = n exp, qi = n exp J, qiJ, i = 1, w дает одновременно решение зада чи (П3.2.4) с этим J и в силу единственности других решений у задачи (П3.2.4) нет. Таким образом, мы показали, что для каждого данного L = ( L1,..., Lm ) IR+ можно найти такое подмножество J, что задачи (П3.1.1) m и (П3.2.4) с этим J эквивалентны (имеют одинаковые решения).

Возьмем теперь произвольное непустое J {1;

2;

...;

m}. Рассмотрим грань K, соответствующую грани F ( J ) единичного куба V. Выберем произвольный L = ( L1,..., Lm ), принадлежащий этой грани. Тогда для него (П3.2.3) имеет единственное решение n и = ( 1,..., m ), где k = 0, k J, Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования j 0, j J. Возьмем теперь произвольный L0 IR+, такой, что L0 = Lj, j m j J, а Lk Lk, k J. Тогда n и, полученные ранее для L, дают реше ние (П3.1.4) для L0. Поэтому формула видовой структуры (П3.1.3) дает w q x ( x1,..., xw ), = L0, jJ, и решение причем на этом решении j j i i i = w q x L, k J. Это решение единственно, и, таким образом, для любо k k ii i = го L0 такого, что существует L, принадлежащий грани K, соответствую щий F ( J ) с условием, что L0 = Lj, j J и Lk Lk, k J, задача (П3.1.1) j эквивалентна (П3.2.4) с этим J.

Рассмотрим теперь взаимосвязь задач (П3.1.1) и (П3.2.1) в случае w m, по-прежнему полагая qik 0, i = 1, w, k = 1, m. Как уже было сказано при рассмотрении случая w = m, в случае w m задача (П3.2.1) формально лишена смысла, т. к. для L из внутренности K из системы уравнений w q x = Lk, k = 1, m k ii i = однозначно определяется x = ( x1,..., xw ) с xi 0, i = 1, w. Но мы просто по определению назовем этот x решением (П3.2.1).

Несколько подробнее скажем о задаче (П3.2.4). Если для матрицы ( qi ), i = 1, w, j J выполняется условие rank ( qij ) w, то однозначно на j ходимый из ограничений вектор x = ( x1,..., xw ) с xi 0, i = 1, w по-прежнему по определению считаем решением (П3.2.4) с этим J. Если же rank ( qij ) w, то мы приходим к обычной экстремальной задаче. И ее един ственное решение мы считаем решением (П3.2.4).

При таком понимании решения задачи (П3.2.4) остается совершенно справедливым вывод о том, что для каждого данного L = ( L1,..., Lm ) IR+ m существует такое непустое подмножество J {1;

2;

...;

m}, что задачи (П3.1.1) и (П3.2.4) с этим J эквивалентны.

Покажем теперь, что, когда L пробегает все IR+, соответствующее m J пробегает все 2m1 варианта.

Полностью аналогично случаю w m можно показать, что поверх w z q1 qi2 m z...zmi = 1, имеет непустое пересе ность N z, задаваемая уравнением q i i = { } чение со всеми гранями единичного куба V = z 0 zk 1, k = 1, m.

m Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования Возьмем теперь произвольное непустое J {1;

2;

...;

m}. Пусть z = ( z1,..., zm ) — некоторая точка из N z F ( J ), и, следовательно, если exp (, q ) = 1 для w k = ln z k, k = 1, m, то j 0, j J, k = 0, k J, и i i = = ( 1,..., m ). Определим теперь ( ) i = exp, qi, i = 1, w.

i w = 1 и 0 i 1, i = 1, w. Тогда если xi =, i = 1, w 1, Тогда w i i= w xw = 1, то определим вектор L = xi qi. Пусть теперь, как и в случае w m, i = и, полу такой, что L = L, j J, а Lk Lk, k J. Тогда n = т L0 IR j j + m 0 ченное ранее, дают решение системы (П3.1.4) для этого L0, и поэтому формула видовой структуры (П3.1.3) дает решение ( x1,..., xw ) задачи (П3.1.1) ( xi = i, i = 1, w 1, xw = 1 ). Это решение единственно и для него w w w q x q x L, = L0, j J и k J. Заметим, что и в этом случае ко j j k k i i ii i =1 i = нус K зависит от qik, i = 1, w, k = 1, m непрерывно (и даже C -гладко).

Снимем, наконец, ограничение qik 0, i = 1, w, k = 1, m.

Вывод о том, что для каждого данного L = ( L1,..., Lm ) IR+ сущест m вует такое непустое подмножество J {1;

2;

...;

m}, что задачи (П3.1.1) и (П3.2.4) с этим J эквивалентны, остается по-прежнему справедливым.

Важно теперь понять, какие возможны варианты для J, когда L пробегает всё IR+.

m Из нашего рассмотрения в случае qik 0, i = 1, w, k = 1, m, видно, что надо исследовать вопрос о пересечении поверхности N z, по-прежнему за w z z...zmi = 1, с гранями F ( J ) единичного ку q1 qi2 m даваемой уравнением q i i = ба V.

Пусть J {1;

2;

...;

m} такое, что существует номер j 1, w такой, что ( ) q jJ = q jj1,..., q jj = 0, j p J, p = 1,.

Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования w z qij1 j2 j Тогда в сумме z q2i...z qi слагаемое с этим номером равно 1 для j1 j j i = 0 z j p 1, j p J, p = 1,, а остальные слагаемые положительны и поэтому поверхность N z не пересекает соответствующую грань F ( J ), т. к. уравне w z q1 qi2 m z...zmi = 1 не имеет таких решений, что 0 z j p 1, j p J, z j = 1, ние q i i = j {1;

2;

...;

m} \ J.

Покажем, что для всех остальных непустых подмножеств J Nz F ( J ) =.

Назовем непустое подмножество J {1;

2;

...;

m} допустимым, если для любого i 1, w qiJ = ( qij1,..., qij ), j p J, p = 1,.

Отметим, что множество допустимых подмножеств не пусто, т. к. по самому смыслу задачи {1;

2;

...;

m} — допустимое подмножество.

Пусть J 0 — некоторое допустимое подмножество. Если существует цепочка J 0 J1 J 2... J такая, что J p = J p 1 1, p = 1,, J p — до пустимые, p = 0,, J = 1, то, полностью повторяя доказательство для случая qik 0, i = 1, w, k = 1, m, мы получаем N z F ( J ). Предположим теперь, что для J 0 такой цепочки нет. Не ограничивая общности, предпо ложим, что J 0 = {1;

2;

...;

k } ( k m ) и J1 = {1;

2;

...;

k 1} не являются допусти мым. Если для некоторого номера j 1, w q k = 0, то, поскольку J 0 — до j пустимое, среди потребностей q1j,..., q k 1 существуют ненулевые (положи j тельные), и поэтому можно найти z1,..., zk 1 такие, что 0 z 1, = 1, k 1, w w и z1qi z2qi...zkq1 1. Тогда для функции f ( z ) = ai z qi с ai = z1qi z2qi...zkq1 k k 1 1 1 2 k i i i =1 i = qik = мы имеем f (0) 1 и f (1) 1 (поскольку J1 не является допустимым).

И поэтому существует z0 такое, что 0 z0 1 и f ( z0 ) = 1, но тогда точка z1,..., zk 1, z0 N z F ( J ).

Суммируя, получаем следующий результат.

Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования Непустое подмножество J множества {1;

2;

...;

m} назовем допусти мым, если для любого i 1, w имеет место ( ) qiJ = qij1,..., qij 0, j p J, p = 1,.

Тогда имеет место { } Теорема стратификации. Область IR+ = L IR m | Lk 0, k = 1, m m является объединением непересекающихся конусов S, находящихся во J взаимооднозначном соответствии с допустимыми подмножествами J множества {1;

2;

...;

m} в том смысле, что если некоторый L принадлежит конусу S J, отвечающему J, то для этого L задача (П3.1.1) эквивалентна задаче (П3.2.4) с этим J, т. е. задаче w w w H ( x1,..., xw ) = xi ln xi xi ln xi max, i =1 i =1 i = w qi xi = L, j J, j j i = xi 0, i = 1, w.

П3.3 Теорема о максимуме видовых обилий { Здесь рассмотрена задача о том, при каких L IR+ = L IR m | Lk 0, m } k = 1, m относительная (а следовательно, и абсолютная) численность вида с номером i 1, w максимальна. При этом мы будем полагать qik 0, i = 1, w, k = 1, m. Как будет видно дальше, это условие естественно при формули ровке основного результата. О случае, когда допускаются нулевые квоты, мы сделаем замечание в конце раздела.

Начнем со случая w m.

Прежде всего, заметим, что из формулы видовой структуры (П3.1.3) следует, что относительные численности ( ) xi pi = = exp, qi, i 1, w, (П3.3.1) n зависят только от = ( 1,..., m ), и поэтому из теоремы стратификации и системы (П3.2.5) получается, что pi из формулы (П3.3.1) зависят лишь от Lm L отношений m,..., m. (В областях однофакторного лимитирования pi во L L обще от L не зависят.) Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования Далее, как было показано при доказательстве теоремы стратифика ции, если L = ( L1,..., Lm ) принадлежит грани конуса K (см. П3.1 и П3.2), соответствующей некоторому непустому J {1;

2;

...;

m}, то любому L0 IR+, m такому, что L0 = Lj, j J, Lk Lk, k J соответствуют те же n и 1,..., m, j что и L.

Из этих двух замечаний мы получаем, что значения pi из формулы (П3.3.1) для всего множества L0 IR+ полностью определяются значения m ми pi на множестве K t в пространстве с координатами t1,..., t m1 — образе при отображении (П3.2.6):

() w q exp, qi k i t=, k = 1, m 1, i = k (П3.3.2) q exp (, q ) w m i i i = { } множества IR+ N, где IR+ = IR m | k 0, k = 1, m и N — поверх m m exp (, q ) = exp q w w m = 1.

ность k k i i i =1 i =1 k = Вспоминая, что, согласно утверждению из раздела П3.2, отображение (П3.3.2), рассматриваемое на всей поверхности N, есть C -диффеоморфизм на образ, мы видим, что задача о максимуме pi на K t эквивалентна задаче ( ) на IR+ N. Т. к. IR+ N о максимуме i = exp, qi компактно, а i — m m непрерывна, то максимум в обеих задачах достигается. Этот максимум для i лежит среди максимумов i на множествах F ( J ) N, где F ( J ) — откры { } тые грани IR+, т. е. F ( J ) = IR+ | j 0, j J, k = 0, k J, где J — m m непустое подмножество {1;

2;

...;

m}. Таким образом, мы должны рассмот реть множество задач на условный экстремум вида jp jp exp qi max, p =1 w (П3.3.3) jp jp exp qi = 1.

p =1 i = В (П3.3.3) j p J, p = 1,, J — непустое подмножество {1;

2;

...;

m} и J = 1. (Если J = 1, то мы просто находим единственный положи Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования w exp ( q ) = 1 и по нему находим значение i.) По тельный корень j i i = скольку все задачи типа (П3.3.3) рассматриваются одинаково и exp — мо нотонная функция, то рассмотрим задачу (П3.3.3) с J = {1;

2;

...;

m}, которая эквивалентна m k k qi min, k = w (П3.3.4) exp k q k = 1.

m i i =1 k =1 Необходимое условие экстремума в (П3.3.4) есть [Алексеев и соавт., 1979] w k ( ) qi exp, qi = qi, k = 1, m, k i = w (П3.3.5) ( ) exp, q = 1, i i = где 0 — неизвестный множитель Лагранжа. От (П3.3.5) мы можем пе рейти к системе w ( ) exp, qi = 1, i = w k ( ) qi exp, qi (П3.3.6) qk i =1 = im, k = 1, m 1.

( ) w qi exp, qi qi m i = Lk qik =, k = 1, m 1, Но система (П3.3.6) — это система (П3.2.5) для Lm qim и поэтому (П3.3.6) имеет не более одного решения. (Чтобы решение (П3.3.6) существовало, необходимо и достаточно, чтобы вектор qi = ( qi1,..., qim ) w принадлежал внутренности конуса K = L IR m | L = xi qi, xi 0, qi = i = = ( qi1,..., qim ), i = 1, w, — см. раздел П3.2.) Если решение (П3.3.6) существу ет, то по нему находим из (П3.3.5) 0.

Покажем, что решение (П3.3.6), если оно существует, действительно дает минимум в задаче (П3.3.4). Для этого проверим достаточные условия.

Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования w ( ) m L = k qik + exp, qi 1 — функция Лагранжа задачи Если i =1 k = (П3.3.4), то рассмотрим вторую квадратичную форму L m (,..., ) 1 m k, (П3.3.7) k k, = где ( 1,..., m ) — решение (П3.3.6). Тогда прямой счет дает, что (П3.3.7) равно (, q ) ( ) w exp, qi, (П3.3.8) i i = и поскольку rank ( qik ) = m, i = 1, w, k = 1, m, то для любого ненулевого значение (П3.3.8) больше w. И поэтому квадратичная форма (П3.3.7) по ложительно определена на касательных вектора к поверхности N в точ ке решения (П3.3.6). А это и есть [Алексеев и соавт., 1979] достаточные ус ловия минимума.

Мы приходим к следующей лемме.

( ) имеет максимум на F ( J ) N Лемма 1. Функция i = exp, qi с J 1 тогда и только тогда, когда система w jp jp exp qi = 1, p =1 i = w j qi p exp p qi p j j jp i =1 p =1 = qi, p = 1, 1, w qij qij exp j p qij p i =1 p =1 в которой j p J, p = 1,, имеет решение j1 0,..., j 0. Причем это решение единственно (если существует) и дает искомую точку максимума.

Вернемся теперь к отображению (П3.3.2), множеству K t и функ ции pi на нем. Каждому множеству F ( J ) N отображение (П3.3.2) ста вит в соответствие ( J 1 )-мерную часть K t (открытую в индуцирован ной топологии), которую мы будем обозначать F t ( J ). В частности, F t ({1;

2;

...;

m} ) есть просто внутренность Пусть теперь Kt.

m q q,..., t m1 = t1 =. Тогда из леммы 1 выводится i i m m q q i i Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования Следствие: функция pi на F t ( J ), ( J 1 ) имеет единственный мак симум в точке пересечения плоскости t k = t k, k J, k m, в случае m J tk tk =, k, J, — фиксировано, k, в случае m J или плоскости t t с Ft ( J ). Если это пересечение отсутствует, то pi на Ft ( J ) максимума не имеет. В частности, pi имеет (единственный) максимум во внутренно сти K t в том и только том случае, когда ( t1,..., t m1 ) принадлежит этой внут ренности.

Следствие получается из того факта, что точка пересечения с Ft ( J ), о которой в нем говорится, есть не что иное, как образ = ( 1,..., m ), где k = 0, k J, а j –j J — решение системы (П3.3.9) из леммы 1, при отображении (П3.3.2).

Вернемся теперь к отображению (П3.3.2). Как уже было показано, это отображение есть C -диффеоморфизм поверхности N на образ, ко торый в разделах П3.1 и П3.2 был обозначен как открытая область T — w внутренность конуса K = L IR m | L = xi qi, xi 0 в координатах i = Lm L t1 = m,..., t m1 = m. Поскольку на поверхности N мы можем в качестве L L координат рассматривать 1,..., m1, то их же можно рассматривать как ко ординаты на T.

Пусть xi, i = 1, w — решение (П3.2.2) задачи (П3.2.1). В дальнейшем нам понадобится рассмотреть задачу о нахождении максимума функции pi = w i, i = 1, w, рассматриваемой как функции от t = ( t1,..., t m1 ), на по x xi i = верхностях вида p = o p, p = 1,, где { j1,..., j } {1;

2;

...;

m 1} и o p — не j j j которые постоянные.

Полностью аналогично лемме 1 и следствию из нее получаем сле дующее Утверждение 1. Функция pi имеет единственный максимум на по qik верхности p = o p, p = 1,, в точке пересечения плоскости t k = to = j j k, qim k { j1;

...;

j }, с этой поверхностью.

Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования j Если мы обозначим ci = exp o p qi p, то аналогично доказатель j p =1 w ству леммы 1 мы видим, что функция ci exp k qik c k { j1;

...;

j } k i = строго выпукла и поэтому максимум функции pi, о котором говорится в утверждении 1, будет строгим глобальным максимумом.

Замечание. Полностью аналогично лемме 1 и следствию из нее можно также показать, что функция pi имеет единственный максимум на поверхности p = o p, m ( 1,..., m1 ) = o, где { j1,..., j } {1;

2;

...;

m 1}, j j m exp (, q ) = w m 3, а m ищется из уравнения поверхности N : i i = t k qk k в точке пересечения плоскости t n = o = in, k, n { j1,..., j }, n — фиксиро n t to qi вано, k n с этой поверхностью.

Лемма 2. Пусть A — максимум pi на Ft ( J1 ) и B — максимум pi на Ft ( J 2 ). Тогда если J 2 J1, то A B.

xi Доказательство. Прежде всего опять введем функцию pi =, где xi, n i = 1, w — решение (П3.2.2) задачи с ограничениями в виде равенств (П3.2.1). На K t pi pi, поэтому лемма будет доказана, если мы докажем ее для pi.

После этого лемма 2 сразу следует из утверждения 1 и замечания к нему, поскольку точка A есть не что иное, как точка строгого глобального максимума pi на поверхности k = 0, k J1.

Учитывая, что для данного J совокупность всех F t ( J ) таких, что J J есть замыкание (в индуцированной топологии) F t ( J ), мы получаем Следствие: максимум pi на F t ( J ) есть одновременно максимум pi на замыкании (в индуцированной топологии) F t ( J ).

Кроме того, лемма 2 позволяет нам исключить из рассмотрения мак симумы pi на некоторых F t ( J ). А именно: если существует максимум pi на F t ( J ) для J J, то максимум pi на F t ( J ) можно не рассматривать, т. к. он заведомо меньше.

Утверждение 2. Пусть w m. Функция pi (П3.3.1) достигает макси мума при L = qi, 0, qi = ( qi1,..., qim ), i 1, w.

Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования Доказательство. Если qi лежит в S J и J = {1;

2;

...;

m} (см. теоре qi му стратификации), то это соответствует тому, что точка t1 =,..., qim qim t m1 = лежит во внутренности K t, и в этом случае теорема о максимуме qim видовых обилий прямо следует из леммы 2. Поэтому предположим, что J 0, для которого qi S J, не совпадает с {1;

2;

...;

m}, и пока считаем, что m J.

Предположим, не ограничивая общности, что J 0 = {1;

2;

...;

m}. Отсюда tk tk, k = 1,.., m 2, пересекает = непосредственно следует, что прямая m t m t F t ( J 0 ) и в этой точке пересечения, которую мы обозначим A, pi имеет максимум на всей замкнутой F t ( J 0 ). Т. к. наша прямая проходит через ( t,..., t ) m и pi на ней постоянно, то теорема будет доказана, если мы до кажем, что pi ( A ) pi ( B ), где B — любая из K t. Это будет доказано, если мы установим, что pi ( A ) pi ( B ), = 1,..., n ( n 2m 1 ), где B — точки, оставшиеся после отбрасывания на основании леммы 2 некоторых из точек максимума pi на всевозможных F t ( J ), где они существуют (см. следствие из леммы 1).

Пусть B1 — одна из таких точек ( B1 A ). B1 F t ( J ). Тогда J {1;

2;

...;

m} и m J, т. к. все J такие, что m J принадлежат J o, и поэтому соответствующие точки отброшены согласно лемме 2. Пусть J = {d ;

...;

m}, d 2, и поэтому B1 имеет координаты t 1,..., t d 1, t d,..., t m1.

Весь конус t1 t 1,..., t d 1 t d 1, t d = t d,..., t m1 = t m1 лежит во множестве, ко Lm L торое является множеством S J, записанным в t1 =,..., t m1 = m, и по m L L этому ( t1,..., t m1 ) не может ему принадлежать, ибо S J S J =. Поэтому существует j 1, d 1 такой, что t j t j. Пусть j = d 1. Далее мы движем ся вдоль сечения F t ({d 1;

...;

m} ) плоскостью t d = t d,..., t m1 = t m 1, умень шая t d 1, и смотрим, что происходит с pi. Отметим при этом, что плоскость t d 1 = t d 1, t d = t d,..., t m1 = t m1 не пересекает F t ({d 1;

...;

m} ), т. к. в про тивном случае мы бы отбросили B1.

{ } Тогда, обозначив J = {d 1;

...;

m}, введем M J = IR m j = 0, j J.

Рассмотрим поверхность L — образ M J N при отображении (П3.3.2) Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования exp (, q ) = 1). На w ( N, как и раньше, — поверхность M J N за коор i i = динаты можно принять d 1,..., m1. Но если мы рассмотрим задачу с ра венствами (П3.2.4) с нашим J, то для нее система уравнений для поиска множителей Лагранжа имеет вид w exp ( qi... qi ) = 1, d 1 d 1 mm i = w k qi exp ( d 1qid 1... m qim ) (П3.3.10) Lk i =1 = m = t, k = d 1;

...;

m 1, k w m qi exp ( d 1qid 1... mqim ) L i = и поэтому полностью аналогично задаче (П3.2.1) мы получаем, что по следние m d + 1 уравнений системы (П3.3.10) задают C -диффеомор физм M J N на L. Поэтому мы получаем, что d 1,..., m1, точно так же i как и t d 1,..., t m1, служат координатами на L и при этом 0, t i i = d 1,..., m (cм. следствие из утверждения раздела П3.2).

Но F t ({d 1;

...;

m} ) есть часть L, и поэтому при движении вдоль се чения плоскостью t d = t d,..., t m1 = t m 1 мы имеем pi ( ) exp d 1 ( t d 1,..., t m1 ) qid 1... m ( t d 1,..., t m1 ) qim = = t d 1 t d m k d 1 m1 k m 1 m = pi d 1 ( qik + t k qim ).

= pi qid 1 d 1... qim1 d 1 qim d t t k = d 1 t k = d 1 t k В этом вычислении m = m ( d 1,..., m 1 ) находится из первого урав нения системы (П3.3.10), и поэтому по теореме о неявной функции m = t k, k = d 1,..., m 1.

k qk Но вдоль нашего сечения t k = to = im, k = d,..., m 1, и поэтому k qi d pi = pi d 1 ( qid 1 + t d 1qim ).

d t t qid 1 d и d 1 0, и поэтому при движении вдоль Но у нас t d 1 to 1 = d t qim сечения pi строго монотонно убывает.

Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования В конце концов из-за ограниченности K t мы «натыкаемся» на неко торую C Ft ( J ), такую, что J {d 1;

...;

m} и pi ( C ) pi ( B1 ). Если m J, то мы получили pi ( A ) pi ( C ) pi ( B1 ).

Если же m J, то мы берем B2 из набора Bn такую, что B2 Ft ( J ) с J J. Может вполне быть, что B2 = C, но в любом случае pi ( B2 ) pi ( B1 ). С B2 мы поступаем так же, как и с B1, и делаем так даль ше. Цикла в этом процессе быть не может, т. к. точек Bn конечное число и pi ( B1 ) pi ( B2 ).... Процесс завершается, когда мы приходим к некото () рой D Ft J, где pi ( B1 ) pi ( B2 )... pi ( B j ) m J. Мы получаем pi ( D ) pi ( A ).

После этого мы удаляем из множества точек Bn те, которые мы обошли, и для любой из оставшихся применяем ту же процедуру.

Итого мы получаем pi ( A ) pi ( B ) для i, = 1,..., n.

Если же m J 0, то, возможно, на некотором этапе обхода мы должны t k tok = будем двигаться вдоль сечения вида для некоторых k и. В ос t to тальном построение полностью аналогично.

Утверждение полностью доказано.

Замечание. Из вышеприведенного рассмотрения следует, что макси мум pi строгий только в том случае, когда qi лежит во внутренности K или, q m qi,..., t m1 = i m лежит во внутренности K t.

что эквивалентно, когда t1 = m qi qi Рассмотрим теперь случай w m. При этом будем предполагать, что матрица квот ( qik ), i = 1, w, k = 1, m, подчиняется следующему условию «общего положения»: при вычеркивании из матрицы любого количества строк (столбцов) она остается матрицей максимально возможного ранга.

И в случае w m существует конус K такой, что для любого вектора { } L IR+ = L | Lk 0, k = 1, m существует единственный вектор Lo из m m K ( Lk Lk, k = 1, m ) с тем свойством, что решение x (П3.1.3) задачи o (П3.1.1), отвечающее вектору L, однозначно находится из линейной системы w qi xi = Lo, i =...................... (П3.3.11) w qim xi = Lm.

i = o Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования Утверждение 3. Утверждение 2 справедливо при w m.

Доказательство. Возьмем L = qi = ( qi1,..., qim ), i 1, w и найдем для него Lo из K. Пусть среди неравенств qik Lo, k = 1, m, равенств и m строгих неравенств. Покажем, что w.

Предположим противное, т. е. что w, и пусть номера равенств 1,2,..., w,..., w + p ( p 0, w + p = ). Тогда, беря первые w из них, мы полу чаем, что для решения x = ( x1,..., xw ) задачи (П3.1.1) выполняется w q j x j = qi, j =....................... (П3.3.12) w q w x j = qiw.

j j = Но из (П3.3.12) x находится однозначно: xi =1, x j = 0, j i. Но та кое x не может быть решением задачи (П3.1.1), т. к. для решений должно выполняться xi 0, i = 1, w (см. раздел П3.1). Поэтому w.

Не ограничивая общности, считаем, что имеет место w q j x j = Lo qi, 1 j = w q j x j = Lo = qi, 2 j =................................

w w q j x j = Lo = qi, w w (П3.3.13) j = w w+ q j x j = Lw+1 qiw+1, o j =................................

w m q j x j = Lo qi.

m m j = ( ) Поскольку x имеет вид (П3.1.3): xi = n exp, qi, где n и ( ) = 1,..., m находятся из системы (П3.1.2), то из (П3.3.13) мы имеем = 0, 0,..., w 0, w+1 = 0,..., m = 0.

1 Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования В дальнейшем для каждого L K ( L = ( L1,..., Lm ) ) будем рассматри вать его проекцию Lw = ( L1,..., Lw ), и множество всех проекций образуют некоторый конус K w. Тогда для каждого L K w можно однозначно найти x = ( x1,..., xw ) из системы w qi xi = L, i =...................... (П3.3.14) w qiw xi = Lw.

i = L xi При этом pi =, i = 1, w, будут функциями лишь от t1 =,..., w Lw x i i = w L t w1 =.

Lw Утверждение 3 будет доказано, если мы докажем, что pi, i = 1, w, Lw L,..., t w1 = 0w.

максимально при t 1 = w L0 L Чтобы сделать это, еще раз вспомним, что pi, i = 1, w можно единст ( ) венным образом представить в виде pi = n exp, qi, = ( 1,..., w ). При этом отображение () w q exp, qi k i = t, k = 1, w 1, i =1 k q exp (, q ) w w i i i = задает C -диффеоморфизм поверхности N, определяемой уравнением exp (, q ) = 1, на свой образ T. В нашем случае этот образ есть не что w i i = w | L = xi qi, иное, как проекция K w внутренности конуса K = L m i = xi 0}, записанная в координатах t1,..., t w1.

Т. к. K K, то и K w K w, и поэтому, если L K w, то соответст Lw L вующая точка t1 = w,..., t w1 = w лежит в T. Обозначим часть T, соот L L Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования ветствующую K w, как T и отметим, что в T, а следовательно, и в T, наря ду с t1,..., t w1, можно в качестве координат рассматривать 1,..., w1.

Лемма. Для любой точки из T выполнено 1 0.

Доказательство. Пусть t = ( t1,..., t w1 ) лежит в T. Тогда по t мы можем построить некоторый L* K w, а по нему найти x = ( x1,..., xw ) такой, ( ) что выполняется (П3.3.14) и xi = n exp w, qiw, i = 1, w, w = ( 1,..., w ), ( ) qiw = ( qi1,..., qiw ). Компоненты xi можно представить в виде xi = n exp 1, qi, 1 = (,...,, ), w+1 w+,..., =,..., =, =…= = 0, где 1 w m 1 1 w w m 1 1 1 1 1 1 1 qi = ( q,..., q ). Но если мы теперь возьмем вектор L = ( L,..., L ) из K, при 1 m m i i проектировании которого мы получили L*, то можем для него решить задачу ( ) (П3.1.1) и решение будет иметь вид xo = ( x1o,..., xw ) с xio = no exp 2, qi, o w 2 = ( 1,..., m ), причем o 0, k = 1, m. Поскольку L K, то x q = Lk, k ok 2 2 ii i = k = 1, m. Беря из этих равенств первые w, мы немедленно получаем, что ( ) w w xo = x, и поскольку n = xi = xio = no, то мы получаем exp 1, qi = i =1 i = ( ) ( ) ( ) = exp 2, qi, i = 1, w, или если exp 1, qi = exp 2, qi, i = 1, w, то =, k = 1, m, удовлетворяет однородной системе k k k o 2 q1 1 + … + q1m m = 0,..................................... (П3.3.15) q1 1 + … + q m m = 0.

w w Теперь умножим j -тое уравнение этой системы с j i (i — тот ин декс, который мы фиксировали вначале, см. правую часть системы (П3.3.13)) на x j, а i -тое уравнение — на xi 1, где x = ( x1,..., xw ) — единст венное решение (П3.3.13). После такого умножения сложим строчки сис темы. Мы получим m x q (1 x ) q = 0, k k k j j i i k =1 j i или k w k m qi x j q j = 0.

k k =1 j = Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования Тогда из системы (П3.3.13) мы видим, что любое решение = ( 1,..., m ) однородной системы (П3.3.15) должно удовлетворять равен ству 11 + w+1 w+1 … + m m = 0 (П3.3.16) с 1 0, w+1 0,…, m 0.

Этому равенству должно удовлетворять и o = ( 1,..., o ). Но по m o скольку 1 = 0, k = w + 1, m, а k 0, k = 1, m, то o 0, k = w + 1, m, и если k k мы предположим, что 1 = 1 0, то 1 0, и поэтому (П3.3.16) не будет 1 o выполняться.

Полученное противоречие и показывает, что 1 0. Лемма доказана.

Вернемся теперь к доказательству утверждения 3. У нас есть точка q w L1o qi1 2 qi t 1 = w w, t = w,..., t w1 = i w, и ей соответствует 1 = 0, 2 0,… Lo qi qi qi w1 0. Пусть t = ( t1,..., t w1 ) — произвольная точка из T и в -коор динатах ей соответствует = ( 1,..., w1 ) c 1 = 1 0. Рассмотрим теперь o поверхность 1 = 1 в T. Как было показано выше, максимум pi на этой по o верхности достигается в точке пересечения прямой t 2 = t 2,..., t w1 = t w с этой поверхностью. Но поскольку 1 0, то в этой точке пересече t ния t1 t 1.

Вычисления, аналогичные использованным при доказательстве ут верждения 2, показывают, что вдоль прямой t 2 = t 2,..., t w1 = t w1 выполня ется pi = pi 1 ( qi1 + t1qiw ), t1 t p qi и поскольку 1 0, t1 t 1 w, то 1i 0 и следовательно строго моно t t qi тонно убывает при уменьшении t 1. Поэтому максимумы pi на поверхно стях 1 = const, соответствующие точкам из T меньше, чем значение pi в t 1,..., t w1.

Это и доказывает утверждение 3.

Суммируя, мы приходим к основному результату данного раздела.


Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования Теорема о максимуме видовых обилий. Пусть qik 0, i = 1, w, k = 1, m. Тогда функция pi (П3.3.1) достигает максимума при L = qi, 0, qi = ( qi1,..., qim ), i 1, w.

В заключение рассмотрим частный случай ситуации, когда некоторые q равны нулю. Предположим, что w m, q1 = 0, а все остальные qik 0. В k i этом случае L = q1 IR+ и поэтому формально не удовлетворяет ограни m чениям, при которых мы исследовали задачу (П3.1.1). Посмотрим, однако, как ведут себя решения (П3.1.3) задачи (П3.1.1) при L IR+ и достаточно m близких к q1.

exp (, q ) = 1.

w Рассмотрим уравнение поверхности N : Из это i i = го уравнения видно, что при 2 +0,..., m +0 должно быть 1 + ( q1 = 0 ). При таком стремлении ( )q w q exp, qi k k i t=, k = 1, m 1.

i = k q exp (, q ) w m q m i i i = Вспоминая, что система w ( ) exp, qi = 1, i = w k ( ) qi exp, qi Lk i =1 = m, k = 1, m 1, w m ( ) qi exp, qi L i = есть система (П3.2.5) для поиска множителей Лагранжа в задаче с равенст вами (П3.2.1), мы видим, что можем приближать L к q1 таким образом, чтобы 2 +0,..., m +0, 1 +, т. е. находясь все время в конусе K, в котором задача с равенствами (П3.2.1) эквивалентна задаче с неравенст вами (П3.1.1).

Потому для задачи (П3.1.1) мы получаем, что при L qi p1 1, p2 0,..., pw 0.

Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования Эту ситуацию можно рассматривать как предельный случай теоремы о максимуме видовых обилий: при L = qi p1 = 1, т. е. максимально воз можное.

Из рассмотрения этого частного случая видно также, что теорема о максимуме видовых обилий не противоречит нашей интуиции. Действи тельно, если у какого-нибудь вида сообщества нет потребности в некото ром факторе cреды, а у остальных она есть, то естественно ожидать, что на среде, где количество данного фактора очень мал, сможет выжить лишь вид, у которого потребность в этом ресурсе отсутствует, а остальные виды будут близки к вымиранию. Именно этот результат мы формально и полу чили.

П3.4. «Теорема Гиббса»

Пусть имеется вектор множителей Лагранжа = (1,…, m ), соответ ствующий решению (П3.1.3) вариационной задачи (П3.1.1), и пусть m c = k Lk, где вектор ресурсов с данными компонентами Lk принадлежит k = некоторому страту S J ( k 0 для k J, k = 0 для k J ). Рассмотрим следующую экстремальную задачу:

w j qi xi min, j J, i = H ( x ) c, (П3.4.1) w qik xi Lk, k = 1, m, k j.

i = Тогда решение (П3.1.3) задачи (П3.1.1) является одновременно ре шением системы (П3.4.1). Верно и обратное утверждение: если вектор x = ( x1,… xw ) — решение системы (П3.4.1), то вектор x будет и решением w задачи (П3.1.1) с Lj = qij xi.

i = Поскольку в термодинамике аналогичное утверждение об эквива лентности задачи на максимум энтропии при фиксированном уровне энер гии задаче на минимум энергии при фиксированном уровне энтропии ввел Д. Гиббс [Gibbs, 1902], то сформулированное утверждение было названо «теоремой Гиббса» [Левич, Алексеев, 1997].

Доказательство. Запишем функции Лагранжа и необходимые усло вия экстремума задач (П3.1.1) и (П3.4.1).

Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования Для задачи (П3.1.1):

w m J 1 = 0 ( H ( x )) + k qik xi Lk, i =1 k = H ( x ) m k k 0 x + qi = 0, i = 1, w, k = i k q k x Lk = 0, k = 1, m, w i i i =1 k 0, k = 0, m.

Если множитель 0 равен 0, то и все остальные множители Лагран жа, k = 1, m должны быть нулевыми, что противоречит существованию k ненулевого вектора Лагранжа. Поэтому примем 0 = 1. Тогда необходимые условия экстремума задачи (П3.1.1) имеют вид H ( x ) m k k x + qi = 0, i = 1, w, k = i k q k x Lk = 0, k = 1, m, w i i (П3.4.2) i =1 k 0, k = 1, m.

Для задачи (П3.4.1) функция Лагранжа имеет вид m m w w J 2 = 0 qij xi + l k Lk H ( x ) + k qik xi Lk.

k =1 k j i =1 i = Аналогичные рассуждения приводят к возможности принять l = 1.

В этом случае необходимые условия экстремума задачи (П3.4.1) задаются системой уравнений H ( x ) m k k x + qi + qi = 0, i = 1, w, 0j k j i m k k L H ( x ) = 0, k =1 (П3.4.3) w k qik xi Lk = 0, k = 1, m, k j, i =1 k 0, k = 1, m.

Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования Заметим, что при подстановке формулы видовой структуры (П3.1.3) m в формулу для H ( x ) получаем H ( x ) = k Lk, т. е. второе уравнение сис k = темы (П3.4.3) верно, а остальные уравнения систем (П3.4.3) и (П3.4.2) сов падают с точностью до обозначения множителей Лагранжа (исключая из системы (П3.4.2) уравнение для k = j ). Таким образом, решение задачи (П3.1.1) является экстремалью задачи (П3.4.1). Кроме того, при выполне w w нии равенства Lj = qij xi получаем, что выражение j qij xi Lj равно i =1 i = нулю для всех значений j, а остальные необходимые условия экстремума задачи (П3.1.1) совпадают с соответствующими условиями задачи (П3.4.1) с точностью до обозначения множителей Лагранжа и.

w q x, k = 1, m, и функция H ( x ) Поскольку линейные комбинации k ii i = являются выпуклыми функциями, а множители Лагранжа при экстремизи руемых функциях задач (П3.1.1) и (П3.4.1) отличны от нуля (множитель 0 0, т. к. ему соответствует множитель j 0, j J ), то, согласно тео реме Куна–Таккера [Галеев, Тихомиров, 1989];

см. также раздел П3.6), найденные экстремали являются решениями соответствующих вариацион ных задач.

П3.5. Теорема о монотонном возрастании энтропии («теорема Больцмана») Теорема. Для функционала H ( x ) ( x = x ( L ) ) выполняется свойство H 0, k = 1, m.

Lk Доказательство. Согласно теореме стратификации (см. раздел П3.2) { } все пространство R+ = L = ( L1,..., Lm ) Lk 0, k = 1, m распадается на 2m – m непересекающихся подмножеств S, J {1,..., m}. В каждом страте S J за J дача с неравенствами (П3.1.1) эквивалентна задаче с равенствами (П3.2.4).

Рассмотрим S J — внутренность страта S J, которая выделяется условием j 0, j J [Левич и соавт., 1994]. Для экстремальной задачи с ограниче o ниями в виде равенств (П3.2.4) в S J выполнено H H = j, j J, и k = 0, k J, L L j Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования где j — соответствующий множитель Лагранжа. Приведем доказательст во этого факта согласно теореме о дифференцировании экстремизируемых функций [Бертсекас, 1987].

Рассмотрим систему уравнений w qij xi Lj ( H ( x )) + i =1 j = 0, i = 1, w, xi xi (П3.5.1) jJ w qij xi = Lj + l j, j J.

i = Пусть x * — решение задачи (П3.2.4), а * — множитель Лагранжа, соответствующий этому решению. Тогда решением системы уравне ний (П3.5.1) относительно переменных ( x,, l ) является точка ( x *, *,0) ( x = ( x1,..., xw ), а компоненты векторов и l есть j и l j, j J, соответ ственно), поскольку в этом случае система (П3.5.1) превращается в необ ходимые условия экстремума задачи (П3.2.4).

Применение теоремы о неявной функции к системе (П3.5.1) (обосно вание возможности применения данной теоремы можно найти в цитируе мой работе [Бертсекас, 1987]) дает следующий результат: существует и функции xi (l ) и i (l ), i = 1, w ( xi (l ) C1, i (l ) C1 на S (0, ) ), такие, что w qij xi (l ) Lj ( H [ x (l )]) i =1 = 0, i = 1, w, + (l ) j (П3.5.2) xi xi jJ и w q x (l ) L =l j, jJ.

j j (П3.5.3) i i i = При этом x (0) = x *, (0) = *.

Используя (П3.5.2), можно записать выражение w qij xi Lj xi (l ) ( H ( x )) xi (l ) j (l ) i =1 = 0, i = 1, w, k J, + l k xi jJ l xi k или w qij xi Lj ( H [ x (l )]) xi (l ) j (l ) i =1 = 0, i = 1, w, k J. (П3.5.4) = l k jJ l xi k Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования С другой стороны, дифференцируя (П3.5.3), получим w w qij xi (l ) Lj qij xi Lj = xi i = i =1, j J, j = k, I = l k l k xi (П3.5.5) w j j qi xi L x i =, j J, j k.

0 = ki l xi Объединяя (П3.5.4) и (П3.5.5), получаем ( ) H [ x (l )] = k (l ).

l k Рассмотрим переменную z k = Lk + l k. Имеют место следующие соот ношения:

H H z k H H z k H H l k z k = = = = k.

,, Lk z k Lk l k z k l k Lk z k l k Lk Поскольку в S J множители Лагранжа решения задачи (П3.2.4) по ложительны, j 0, j J, а в S J задачи (П3.1.1) и (П3.2.4) эквивалентны, S то имеем H Lk 0, k = 1, m, в для задачи с ограничениями в виде J J неравенств (П3.1.1).

Отмечу, что при интерпретации ресурсов Lk как метаболического времени системы [Левич, 1996а;

Левич, 2009в];

см. также главу 16) дока занная теорема становится аналогом Н-теоремы Больцмана о возрастании энтропии статистической системы монотонно параметру времени.

П3.6. Формулировки используемых теорем из теории экстремальных задач Формулировки теорем приведены по книге Э. М. Галеева, В. М. Ти хомирова (1989).

Необходимые условия экстремума в задачах с равенствами и не равенствами. Пусть f i : n, i = 0, m, — функции n переменных. Ко нечномерной экстремальной задачей с ограничениями типа равенств и не равенств называется следующая задача в n :

f 0 ( x) inf ;

f i ( x) 0, i = 1,..., m ;

f i ( x) = 0, i = m + 1,..., m. (П3.6.1) Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования Теорема. Пусть x — точка локального минимума в задаче (з), а функции fi, i = 0, m непрерывно дифференцируемы в некоторой окрест ности точки x (условие гладкости). Тогда существует ненулевой вектор множителей Лагранжа задачи (П3.6.1) m L(x, ) = i fi ( x), i = выполняются условия:

а) стационарности:

L( x, ) m Lx ( x, ) = 0 i fi( x ) = 0 = 0, j = 1, n ;

x j i = б) дополняющей нежесткости:

i f i ( x ) = 0, i = 1,..., m ;

в) неотрицательности:

i 0, i = 0,..., m.

Задачи выпуклого программирования. Задачей выпуклого про граммирования (или выпуклой задачей) называется следующая экстре мальная задача:

f 0 ( x) inf ;

f i ( x) 0, i = 1, m, x A.

Здесь fi : X R, i = 0, m — выпуклые функции (функционалы), ото бражающие некоторое линейное (не обязательно нормированное) про странство X в расширенную прямую, A — выпуклое подмножество в X.


Точка x называется допустимой, если x A и fi ( x) 0, i = 1, m.

Теорема Куна-Такера. Пусть X — линейное пространство, fi : X R, i = 0, m, — выпуклые функции на X, A — выпуклое подмно жество X.

1. Тогда, если x — решение задачи выпуклого программирования, найдется ненулевой вектор множителей Лагранжа = ( 0, 1,..., m ), такой, m что для функции Лагранжа L(x, ) = i fi ( x) выполняется:

i = а) принцип минимума для функции Лагранжа min L( x, ) = L( x, ) ;

xA Приложение 3. Доказательства теорем вариационного моделирования б) условие дополняющей нежесткости:

i f i ( x ) = 0, i = 1, m ;

в) условие неотрицательности:

i 0, i = 0, m.

2. Если 0 0, то условия а) – в) достаточны для того, чтобы допус тимая точка x была решением задачи.

3. Для того чтобы 0 0, достаточно выполнения условия Слейтера, т. е. существования точки x A, для которой f i ( x ) 0, i = 1, m.

Приложение ПЕРВИЧНЫЕ ДАННЫЕ ПО ЛАБОРАТОРНЫМ ЦЕНОЗАМ ОДНОКЛЕТОЧНЫХ ОРГАНИЗМОВ П4.1. Культивирование моно- и смешанных культур диссоциантов бактерий Pseudomonas aeruginosa Концентрации углерода, азота, фосфора (мг/мл;

обозначение: [C], [N], [P]), оптическая плотность (единицы нефелометра х 100;

обозначение: Оп. пл.), возраст культуры (ч;

обозначение: Возр. к.), рН среды (pH).

* — в конце опыта в популяции обнаружены другие диссоцианты.

R-диссоциант Начальный состав № среды по прописи Возр. к. 0 3 6 9 12 14 16 18 20 22 24 26 27 [С] [N] [P] 1 7,98 1,81 0,11 [C] 1,3 1,25 1,19 0,73 0, 7,98 1,81 0,11 [N] 1,95 1,69 1,72 1,71 1, 7,98 1,81 0,11 [P] 0,27 0,25 0,25 0,23 0, Оп. пл.

7,98 1,81 0,11 0 36 62 110 2 4 0,9 0,056 [C] 0,67 0,52 0,44 0, 4 0,9 0,056 [N] 0,76 0,57 0,48 0, 4 0,9 0,056 [P] 0,076 0,055 0,053 0, 0,056 Оп. пл.

4 0,9 0 93 180 рН 4 0,9 0, 3 4 0,9 0,056 [C] 0,77 0,69 0,63 0, 4 0,9 0,056 [N] 0,71 0,62 0,39 0, 4 0,9 0,056 [P] 0,056 Оп. пл.

4 0,9 0 56 123 рН 4 0,9 0,056 7,3 7,0 7,1 7, 4 7,8 0,72 0,056 [C] 0,96 0,91 0, 7,8 0,72 0,056 [N] 0,57 0,27 0, 7,8 0,72 0,056 [P] 0,055 0,022 0, 0,72 0,056 Оп. пл.

7,8 0 58 84 рН 7,8 0,72 0,056 7,0 7,0 7,5 7, 5 7,8 0,72 0,056 [C] 1,21 1,22 0, 7,8 0,72 0,056 [N] 0,57 0,27 0, 7,8 0,72 0,056 [P] 0,056 0,038 0, 0,72 0,056 Оп. пл.

7,8 0 105 136 рН 7,8 0,72 0,056 7,5 7,4 7,7 7, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам 30 32 33 34 36 40 42 44 46 48 50 51 54 55 56 58 60 64 66 0,51 0,45 0, 1,43 1,47 1, 0,21 0,19 0, 415 0,01 0, 0,27 0, 0,031 0, 365 430 348 0,057 0,041 0,006 0, 0,22 0,15 0,13 0, 180 318 342 8,1 7,9 8, 0,73 0,16 0, 0,001 0,001 0,01 0,009 0, 224 144 7,3 7,7 8, 0,24 0, 0 0,019 0, 252 256 7,3 7,5 8, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам 6 7,8 0,9 0,056 [C] 1,04 0,67 0, 7,8 0,9 0,056 [N] 0,72 0,62 0, 7,8 0,9 0,056 [P] 0,051 0,019 0, 0,056 Оп. пл.

7,8 0,9 0 59 111 рН 7,8 0,9 0,056 7,8 7,1 7,3 7, 0,028 Оп. пл.

7 0,78 0,4 0 11 40 рН 0,78 0,4 0,028 7,6 7,2 7,2 7, 0,028 Оп. пл.

8* 3,18 0,1 0 10 40 рН 3,18 0,1 0,028 7,6 7,1 7,2 7, 0,007 Оп. пл.

9* 3,18 0,4 0 9 25 рН 3,18 0,4 0,007 8,3 7,3 7,2 7, 10 0,282 0,1 0,008 [C] 0,043 0, 0,282 0,1 0,008 [N] 0,048 0, 0,282 0,1 0,008 [P] 0,012 0, 0,008 Оп. пл.

0,282 0,1 0 7 9 рН 0,282 0,1 0,008 7,5 7,3 7,1 7, 11 1,6 0,03 0,008 [C] 0,277 0, 1,6 0,03 0,008 [N] 0,002 1,6 0,03 0,008 [P] 0,012 0, 0,03 0,008 Оп. пл.

1,6 0 8 9 рН 1,6 0,03 0,008 7,3 7,2 7,1 7, 12 1,6 0,1 0,002 [C] 0,277 0, 1,6 0,1 0,002 [N] 0,04 0, 1,6 0,1 0,002 [P] 0,006 0, 0,002 Оп. пл.

1,6 0,1 0 2 5 рН 1,6 0,1 0,002 7,5 7,5 7,4 7, Оп. пл.

13* 0,4 0,035 0,01 12 рН 0,4 0,035 0,01 7,7 7, Оп. пл.

14 1,6 0,14 0,04 0 рН 1,6 0,14 0,04 7, Оп. пл.

15 0,4 0,015 0,01 0 12 рН 0,4 0,015 0,01 8,2 7,9 7, Оп. пл.

16* 1,6 0,06 0,04 0 рН 1,6 0,06 0,04 7,9 7, Оп. пл.

17* 0,12 0,035 0,01 0 9 рН 0,12 0,035 0,01 7,9 7, Оп. пл.

18 0,48 0,14 0,04 0 19 24 рН 0,48 0,14 0,04 7,4 7,4 7, Оп. пл.

19* 0,12 0,015 0,01 0 9 12 рН 0,12 0,015 0,01 8,2 7,9 7,6 7, Оп. пл.

20* 0,48 0,06 0,04 0 23 рН 0,48 0,06 0,04 7,8 7,1 7, Оп. пл.

21 0,78 0,1 0,01 0 рН 0,78 0,1 0,01 7,8 7, Оп. пл.

22 3,24 0,4 0,04 0 рН 3,24 0,4 0,04 7,6 6, Оп. пл.

23* 1,6 0,2 0,01 0 рН 1,6 0,2 0,01 7,9 7, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам 0,49 0,15 0, 0,14 0,086 0, 0,024 0,013 0, 222 222 249 6,7 7,3 7,7 9, 87 82 8,8 8,8 8, 89 84 4,1 4,1 4, 95 69 7,5 4,0 4, 0, 0, 21 8, 0, 0, 37 4,4 4, 0, 0, 0, 26 4,1 4, 25 8,6 8, 80 101 105 7,4 5,0 7,9 7, 22 6,8 6, 110 109 107 7,6 9,0 9,0 8, 7, 7, 7, 50 39 8,3 8,7 8, 51 59 63 60 7,3 8,8 8,8 8,9 8, 145 171 165 200 7,9 8,3 8,4 5,3 9, 90 88 7,8 8,8 7, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам Оп. пл.

24 6 0,8 0,04 0 рН 6 0,8 0,04 7,8 6, Оп. пл.

25 1,2 0,035 0,01 0 рН 1,2 0,035 0,01 7,9 7, Оп. пл.

26 4,8 0,14 0,04 0 рН 4,8 0,14 0,04 7,7 7, 0,05 0,008 Оп. пл. 1, 27 0,9 1,5 3 4 6 рН 0,9 0,05 0,008 7,5 7,7 7,5 7,4 7,3 7, 0,05 0,008 Оп. пл.

28 0,9 3 3 4 5 6 44 рН 0,9 0,05 0,008 7,4 7,7 7,5 7,4 7,2 7,2 6, Оп. пл.

29 0,76 0,165 0,02 2 рН 0,76 0,165 0,02 7,4 7, Оп. пл.

30 0,76 0,165 0,02 27 рН 0,76 0,165 0,02 7,4 7,1 7, Оп. пл.

31 2,4 0,04 0,02 25 рН 2,4 0,04 0,02 7,5 7,3 6, 0,08 0,006 Оп. пл.

32 1,6 8 рН 1,6 0,08 0,006 7,4 7,2 0,25 0,006 Оп. пл.

33 4,8 рН 4,8 0,25 0,006 7,4 7, 34 0,76 0,04 0,006 Оп. пл. 15 рН 0,76 0,04 0,006 7,5 7 7, 35 0,76 0,04 0,006 Оп. пл. 5 рН 0,76 0,04 0,006 7,3 7,9 7, S-диссоциант Начальный состав № среды по прописи Возр,к, 0 3 6 9 12 14 16 18 20 22 24 26 27 [С] [N] [P] 1 7,98 1,81 0,11 [C] 0,97 0,9 0,83 0, 7,98 1,81 0,11 [N] 1,74 1,37 1,27 1,19 1, 7,98 1,81 0,11 [P] 0,21 0,2 0,2 0,17 0, Оп. пл.

7,98 1,81 0,11 0 38 96 118 2 7,98 1,81 0,11 [C] 1,37 1,24 1,23 1,18 0, 7,98 1,81 0,11 [N] 2,08 1,96 1,88 1,65 1, 7,98 1,81 0,11 [P] 0,11 0,1 0,1 0,1 0, Оп. пл.

7,98 1,81 0,11 0 25 53 104 3 4 0,9 0,056 [C] 0,85 0,73 0,68 0, 4 0,9 0,056 [N] 0,68 0,51 0,6 0, 4 0,9 0,056 [P] 0,083 0,081 0,072 0, 0,056 Оп. пл.

4 0,9 0 60 120 4 4 0,9 0,056 [C] 0,99 0,71 0,42 0, 4 0,9 0,056 [N] 0,79 0,54 0,49 0, 4 0,9 0,056 [P] 0,056 Оп. пл.

4 0,9 0 67 118 рН 4 0,9 0,056 7,2 6,6 6,6 6, 5 7,8 0,72 0,056 [C] 1,57 0,36 0, 7,8 0,72 0,056 [N] 0,54 0,28 0, 7,8 0,72 0,056 [P] 0,054 0,05 0, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам 165 200 205 220 8,1 8,0 7,8 6,8 8, 49 45 44 7,1 4,5 4,4 7, 36 33 99 7,1 8,1 3,6 4, 60 60 61 7,3 7,6 7,6 8, 54 56 50 7,2 7,3 7,7 8, 58 8,6 8, 51 8,2 8, 42 36 4,5 5,1 55 88 91 7,1 6,8 7,2 7, 76 101 125 93 4,2 4,1 4,2 4,4 4, 54 46 43 7,9 8, 26 7,4 7, 30 32 33 34 36 40 42 44 46 48 50 51 54 55 56 58 60 64 66 0,53 0, 1,0 1, 0,14 0, 310 376 0,49 0,40 0, 1,36 1, 0,06 0,05 0, 372 286 0, 0, 0, 376 360 325 0,024 0, 0,27 0, 334 290 7,7 8,9 9, 0,4 0,46 0, 0,13 0,023 0,019 0,019 0, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам 0,72 0,056 Оп. пл.

7,8 0 69 112 рН 7,8 0,72 0,056 7,2 6,7 6,7 6, 6 7,8 0,72 0,056 [C] 1,32 1,01 1, 7,8 0,72 0,056 [N] 0,51 0,3 0, 7,8 0,72 0,056 [P] 0,055 0,052 0, 0,72 0,056 Оп. пл.

7,8 0 26 77 рН 7,8 0,72 0,056 7,2 6,2 6,5 6, 7 7,8 0,9 0,056 [C] 1,31 0, 7,8 0,9 0,056 [N] 0,77 0,59 0,51 0, 7,8 0,9 0,056 [P] 0,074 0, 0,056 Оп. пл.

7,8 0,9 0 18 48 рН 7,8 0,9 0,056 7,4 6,9 6,7 7, 8 7,8 0,9 0,056 [C] 1,31 1,28 0, 7,8 0,9 0,056 [N] 0,773 0,715 0, 7,8 0,9 0,056 [P] 0,044 0,042 0, 0,056 Оп. пл.

7,8 0,9 0 18 56 рН 7,8 0,9 0,056 7,3 7,0 7,1 7, 0,028 Оп. пл.

9 0,78 0,4 0 3 9 рН 0,78 0,4 0,028 7,6 7,5 7,4 7, 0,028 Оп. пл.

10 0,78 0,4 рН 0,78 0,4 0, 0,028 Оп. пл.

11* 3,18 0,1 0 3 18 рН 3,18 0,1 0,028 7,6 7,6 7,1 7, 0,028 Оп. пл.

12 3,18 0,1 рН 3,18 0,1 0, 0,007 Оп. пл.

13* 3,18 0,4 0 2 12 рН 3,18 0,4 0,007 8,3 8,1 7,4 6, 0,007 Оп. пл.

14* 3,18 0,4 рН 3,18 0,4 0, 15 0,282 0,1 0,008 [C] 0, 0,282 0,1 0,008 [N] 0, 0,282 0,1 0,008 [P] 0, 0,008 Оп. пл.

0,282 0,1 0 7 9 рН 0,282 0,1 0,008 7,5 7,4 7,3 7, 16 0,282 0,1 0,008 [C] 0,056 0, 0,282 0,1 0,008 [N] 0,037 0, 0,282 0,1 0,008 [P] 0,011 0, 0,008 Оп. пл.

0,282 0,1 0 7 7 рН 0,282 0,1 0,008 7,5 7,5 7,4 7, 17 7,8 0,03 0,008 [C] 0, 7,8 0,03 0,008 [N] 0, 7,8 0,03 0,008 [P] 0, 0,03 0,008 Оп. пл.

7,8 0 7 8 рН 7,8 0,03 0,008 7,4 7,6 7,3 6, 18 7,8 0,03 0,008 [C] 0,16 0, 7,8 0,03 0,008 [N] 0,004 7,8 0,03 0,008 [P] 0,01 0, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам 280 310 330 4,0 4,7 5,2 6, 0,59 0,66 0, 0,06 0,031 0, 0,018 0,025 0, 328 340 4,5 4,3 6, 1,0 0, 0,29 0, 0,034 0, 204 212 249 6,0 6,1 5,4 8, 0,49 0, 0,26 0, 0,026 0, 180 232 243 6,5 4,8 4,4 3, 52 51 45 8,4 8,8 8,7 8, 74 8,0 8, 94 111 102 4,4 4,0 4,0 4, 100 4,1 4, 75 106 100 3,7 3,7 3,7 3, 71 4,1 3, 0, 0, 22 20 8,3 7,5 8, 0, 0, 25 21 8,2 8,3 7, 0, 0, 53 53 6,9 6,9 7, 0, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам 0,03 0,008 Оп. пл.

7,8 0 7 6 рН 7,8 0,03 0,008 7,4 7,4 7,4 6, 19 7,8 0,1 0,002 [C] 0, 7,8 0,1 0,002 [N] 0, 7,8 0,1 0,002 [P] 0, 0,002 Оп. пл.

7,8 0,1 0 3 6 рН 7,8 0,1 0,002 7,3 7,3 7,1 7, 20 7,8 0,1 0,002 [C] 0,156 0, 7,8 0,1 0,002 [N] 0,033 0, 7,8 0,1 0,002 [P] 0,007 0, 0,002 Оп. пл.

7,8 0,1 0 6 8 рН 7,8 0,1 0,002 7,3 7,3 7,1 6, Оп. пл.

21 0,4 0,035 0,01 0 11 рН 0,4 0,035 0,01 7,7 7, Оп. пл.

22 1,6 0,14 0,04 0 рН 1,6 0,14 0,04 6, Оп. пл.

23 0,4 0,015 0,01 0 11 рН 0,4 0,015 0,01 8,2 7,8 7, Оп. пл.

24 1,6 0,06 0,04 0 рН 1,6 0,06 0,04 7,9 6, Оп. пл.

25 0,12 0,035 0,01 0 11 рН 0,12 0,035 0,01 8,1 7, Оп. пл.

26 0,48 0,14 0,04 0 28 17 рН 0,48 0,14 0,04 7,5 7,2 7, Оп. пл.

27 0,12 0,015 0,01 0 11 11 рН 0,12 0,015 0,01 8,2 7,9 7,6 7, Оп. пл.

28 0,48 0,06 0,04 0 13 рН 0,48 0,06 0,04 7,8 7,2 7, Оп. пл.

29 0,78 0,1 0,01 0 рН 0,78 0,1 0,01 7,8 7, Оп. пл.

30 3,24 0,4 0,04 0 рН 3,24 0,4 0,04 7,6 6, Оп. пл.

31* 1,6 0,2 0,01 0 рН 1,6 0,2 0,01 7,9 6, Оп. пл.

32 6 0,8 0,04 рН 6 0,8 0,04 7, Оп. пл.

33* 1,2 0,035 0,01 0 рН 1,2 0,035 0,01 7,9 7, Оп. пл.

34 4,8 0,14 0,04 0 рН 4,8 0,14 0,04 7,7 8, 0,05 0,008 Оп. пл. 0, 35 0,9 0 0 7 9 рН 0,9 0,05 0,008 7,6 7,7 7,8 7,6 7,2 6, Оп. пл.

36 0,76 0,165 0,02 3 рН 0,76 0,165 0,02 7,4 7, Оп. пл.

37 0,76 0,165 0,02 24 рН 0,76 0,165 0,02 6,9 7, Оп. пл.

38 2,4 0,04 0,02 21 рН 2,4 0,04 0,02 7,1 6, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам 45 51 7,8 7,2 7, 0, 0, 0, 27 34 6,9 6,6 6, 0, 0, 0, 29 30 7,0 6,6 5, 18 8,6 8, 85 120 88 7,3 7,7 8,4 8, 28 7,6 7, 93 136 117 7,3 8,8 9,0 8, 7, 6, 8, 46 44 7,9 8,8 8, 31 71 58 65 7,2 8,8 8,9 8,9 8, 112 177 160 165 7,3 8,3 8,8 9,0 8, 97 90 7,3 8,7 8, 136 188 220 220 7,3 6,2 7,8 8,9 8, 49 68 42 7,0 7,3 8,6 4, 91 118 117 114 7,2 3,7 4,7 4,4 3, 40 45 56 47 47 6,7 4,3 4,6 4,7 4, 70 62 7,8 7,8 8, 60 55 8,4 8, 45 37 4,5 5,1 Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам 0,08 0,006 Оп. пл.

39 1,6 0 10 рН 1,6 0,08 0,006 7,2 6,9 6, 0,25 0,006 Оп. пл.

40 4,8 рН 4,8 0,25 0,006 7, 0,76 0,04 0,006 Оп. пл.

41 16 рН 0,76 0,04 0,006 6,9 0,76 0,04 0,006 Оп. пл.

42 3 рН 0,76 0,04 0,006 8,1 7, M-диссоциант Начальный состав № среды по прописи Возр,к, 0 3 6 9 12 14 16 18 20 22 24 26 27 [С] [N] [P] 1 4 0,9 0,056 [C] 0,6 0,58 0,6 0, 4 0,9 0,056 [N] 0,57 0,32 0,4 0, 4 0,9 0,056 [P] 0,056 0,038 0,043 0, Оп. пл.

4 0,9 0,056 0 36 64 рН 4 0,9 0,056 7,0 4,7 3,5 3, 2 4 0,9 0,056 [C] 0,88 0,56 0,47 0, 4 0,9 0,056 [N] 0,65 0,48 0,49 0, 4 0,9 0,056 [P] 0,059 0,052 0,049 0, Оп. пл.

4 0,9 0,056 0 30 61 рН 4 0,9 0,056 7,4 5,1 4,4 3, 3 1,6 0,9 0,056 [C] 0,3 0,27 0,07 0, 1,6 0,9 0,056 [N] 0,8 0,61 0,56 0, 1,6 0,9 0,056 [P] 0,055 0,046 0, Оп. пл.

1,6 0,9 0,056 0 27 86 рН 1,6 0,9 0,056 7,8 5,6 5,5 3, 4 1,6 0,9 0,056 [C] 0,27 0,15 0,14 0, 1,6 0,9 0,056 [N] 0,71 0,68 0,73 0, 1,6 0,9 0,056 [P] 0,058 0,055 0,05 0, Оп. пл.

1,6 0,9 0,056 0 25 62 рН 1,6 0,9 0,056 7,7 5,7 4,9 3, 5 7,8 0,2 0,056 [C] 1,21 0,99 0,96 0, 7,8 0,2 0,056 [N] 0,11 0,04 0, 7,8 0,2 0,056 [P] 0,056 0,056 0, Оп. пл.

7,8 0,2 0,056 0 33 37 рН 7,8 0,2 0,056 7,6 4,7 4,0 3, 6 7,8 0,2 0,056 [C] 1,37 1,32 1,38 1, 7,8 0,2 0,056 [N] 0,12 0,03 0,04 0, 7,8 0,2 0,056 [P] 0,055 0,052 0,051 0, Оп. пл.

7,8 0,2 0,056 0 26 32 рН 7,8 0,2 0,056 7,6 5,3 4,1 3, 7 7,8 0,9 0,01 [C] 1,32 0,93 1,27 1, 7,8 0,9 0,01 [N] 0,773 0,558 0,585 0, 7,8 0,9 0,01 [P] 0,016 0,017 0,010 0, Оп. пл.

7,8 0,9 0,01 0 29 53 рН 7,8 0,9 0,01 7,8 6,7 5,5 4, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам 55 62 6,6 4,7 5, 53 76 76 66 4,1 4 3,9 4,6 4, 39 63 52 7,2 8, 26 7,4 7, 30 32 33 34 36 40 42 44 46 48 50 51 54 55 56 58 60 64 66 0, 0,37 0, 0,051 0, 71 3,3 3, 0,41 0, 0,41 0, 0,047 0, 75 3,3 3, 3, 3, 3, 1,21 1, 0,573 0, 0,011 0, 60 3,9 3, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам 8 7,8 0,9 0,01 [C] 0,96 0,67 0,79 1, 7,8 0,9 0,01 [N] 0,608 0,595 0, 7,8 0,9 0,01 [P] 0,018 0,013 0, Оп. пл.

7,8 0,9 0,01 0 40 44 рН 7,8 0,9 0,01 7,7 5,2 4,2 3, 0,028 Оп. пл.

9 0,78 0,4 0 2 8 рН 0,78 0,4 0,028 7,6 7,0 6,7 6, 0,028 Оп. пл.

10 3,18 0,1 0 4 14 рН 3,18 0,1 0,028 7,6 7,1 6,1 6, 0,007 Оп. пл.

11 3,18 0,4 0 2 6 рН 3,18 0,4 0,007 8,3 7,4 7,0 6, 12 0,282 0,1 0,008 [C] 0,06 0, 0,282 0,1 0,008 [N] 0,07 0, 0,282 0,1 0,008 [P] 0,015 0, 0,008 Оп. пл.

0,282 0,1 0 5 7 рН 0,282 0,1 0,008 7,5 7,3 7,2 6, 13 0,78 0,03 0,008 [C] 0,126 0,78 0,03 0,008 [N] 0,006 0, 0,78 0,03 0,008 [P] 0,015 0, 0,78 0,03 0,008 Оп. пл. 0 6 6 рН 0,78 0,03 0,008 7,3 7,3 7,2 6, 14 0,78 0,1 0,002 [C] 0,126 0, 0,78 0,1 0,002 [N] 0,056 0, 0,78 0,1 0,002 [P] 0,007 0, 0,002 Оп. пл.

0,78 0,1 0 2 9 рН 0,78 0,1 0,002 7,5 7,3 7,0 6, Оп. пл.

15 0,4 0,035 0,01 0 11 12 рН 0,4 0,035 0,01 8,0 7,7 7, Оп. пл.

16 1,6 0,14 0,04 0 рН 1,6 0,14 0,04 7, Оп. пл.

17 0,4 0,015 0,01 0 10 рН 0,4 0,015 0,01 8,2 7,8 6, Оп. пл.

18 1,6 0,06 0,04 0 рН 1,6 0,06 0,04 7, Оп. пл.

19 0,12 0,035 0,01 0 10 рН 0,12 0,035 0,01 8,0 7, Оп. пл.

20 0,48 0,14 0,04 0 31 30 рН 0,48 0,14 0,04 7,6 7,4 7, Оп. пл.

21 0,12 0,015 0,01 0 11 12 рН 0,12 0,015 0,01 8,2 7,9 7,7 7, Оп. пл.

22 0,48 0,06 0,04 0 21 рН 0,48 0,06 0,04 7,8 7,0 6, Оп. пл.

23 0,78 0,1 0,01 0 рН 0,78 0,1 0,01 7,8 7, Оп. пл.

24 3,24 0,4 0,04 0 рН 3,24 0,4 0,04 7,6 5, Оп. пл.

25 1,6 0,2 0,01 0 рН 1,6 0,2 0,01 7,9 6, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам 0, 0, 4, 111 100 8,5 8, 95 90 4,1 4, 69 71 3,7 3, 0, 0, 23 8, 0, 0, 52 7, 0, 0, 0, 18 31 3, 8, 77 107 7,1 7,6 8,3 8, 26 7,9 7, 103 116 129 5,9 8,5 8,8 9, 10 7,9 8, 7, 8, 41 69 7,5 8,6 8, 32 67 71 65 6,8 8,8 8,8 8,9 8, 78 142 116 4,4 3,3 3,7 3, 84 85 5,9 8,6 7, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам Оп. пл.

26 6 0,8 0,04 0 рН 6 0,8 0,04 7,8 5, Оп. пл.

27 1,2 0,035 0,01 0 рН 1,2 0,035 0,01 7,9 7, Оп. пл.

28 4,8 0,14 0,04 0 рН 4,8 0,14 0,04 7,7 7, 0,05 0,008 Оп. пл.

29* 0,9 1 1 1 1 3 45 рН 0,9 0,05 0,008 7,5 7,8 7,7 7,7 7,4 6,7 6, Оп. пл.

30* 0,76 0,165 0,02 1 8 рН 0,76 0,165 0,02 7,4 7 6, Оп. пл.

31 0,76 0,165 0,02 5 58 рН 0,76 0,165 0,02 7,4 7,2 Оп. пл.

32 0,76 0,165 0,02 21 рН 0,76 0,165 0,02 6,3 7, Оп. пл.

33 2,4 0,04 0,02 25 рН 2,4 0,04 0,02 6,8 6, 0,08 0,006 Оп. пл.

34 1,6 17 рН 1,6 0,08 0,006 6,7 6, 0,25 0,006 Оп. пл.

35 4,8 рН 4,8 0,25 0,006 6, 0,76 0,04 0,006 Оп. пл.

36 12 рН 0,76 0,04 0,006 6,9 6, 0,76 0,04 0,006 Оп. пл.

37 3 рН 0,76 0,04 0,006 8 7, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам 85 200 220 220 4,6 6,9 7,5 8,8 8, 42 66 63 6,7 7,0 7,7 7, 69 155 129 135 5,7 3,1 3,0 3,1 3, 60 68 65 7,1 7,1 8,1 8, 54 70 7,5 7,6 8, 62 64 8 8,1 8, 60 44 7,9 8, 40 49 5,6 4,7 68 76 3,7 3,8 3, 53 69 98 55 4,1 3,8 3,9 4,3 4, 52 63 50 7,4 7, 24 7,4 7, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам RS-диссоцианты Начальный состав № среды по прописи Возр. к. 0 3 6 9 12 14 16 18 20 22 24 26 27 [С] [N] [P] 0,067 0,035 0,01 Оп. пл.

1 10 11 рН 0,067 0,035 0,01 7,9 7,7 7, 0,04 Оп. пл.

2 0,27 0,14 рН 0,27 0,14 0,04 7, 0,066 0,015 0,01 Оп. пл.

3 10 рН 0,066 0,015 0,01 8,2 8,0 7, 0,04 Оп. пл.

4 0,267 0,06 рН 0,267 0,06 0,04 7,9 7, 0,02 0,035 0,01 Оп. пл.

5 рН 0,02 0,035 0,01 7, 0,04 Оп. пл.

6 0,08 0,14 25 20 рН 0,08 0,14 0,04 7,5 7,2 7, 0,02 0,015 0,01 Оп. пл.

7 12 11 рН 0,02 0,015 0,01 8,2 8,0 7,7 7, 0,04 Оп. пл.

8 0,08 0,06 рН 0,08 0,06 0,04 7,8 7, 0,01 Оп. пл.

9 0,13 0,1 рН 0,13 0,1 0,01 7,8 7, 0,04 Оп. пл.

10 0,54 0,4 рН 0,54 0,4 0,04 7,6 6, 0,01 Оп. пл.

11 0,267 0,2 рН 0,267 0,2 0,01 7,9 8, 0,04 Оп. пл.

12 1,0 0,8 рН 1,0 0,8 0,04 7,8 6, 0,035 0,01 Оп. пл.

13 0,2 рН 0,2 0,035 0,01 7,9 7, 0,04 Оп. пл.

14 0,8 0,14 рН 0,8 0,14 0,04 7,7 7, 0,76 0,165 0,02 Оп. пл. 1, 15 35 рН 0,76 0,165 0,02 7,6 7,1 7, 0,04 0,006 Оп. пл.

16 1,6 0 17 рН 1,6 0,04 0,006 7,2 6,6 4, 0,08 0,006 Оп. пл.

17 1,6 11 рН 1,6 0,08 0,006 7,1 0,04 0,006 Оп. пл.

18 0,76 5 рН 0,76 0,04 0,006 7,4 7, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам 30 32 33 34 36 40 42 44 46 48 50 51 54 55 56 58 60 64 66 8, 69 85 74 7,1 8,2 8,2 6, 21 8,0 7, 98 140 107 5,8 8,8 9,0 8, 12 7,4 7, 7, 7, 57 41 7,9 8,7 8, 48 60 64 52 7,2 9,0 8,9 8,9 8, 132 160 180 190 7,5 7,3 7,8 8,4 9, 7, 133 220 215 215 7,8 7,7 7,8 8,6 8, 52 52 52 7,1 7,5 4,5 4, 23 89 92 130 7,0 6,9 6,6 3,4 4, 71 61 8,1 8,2 8, 41 4,8 4, 55 84 90 7 6 7,1 7, 25 48 7 Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам RM-диссоцианты Начальный состав № среды по прописи Возр. к. 0 3 6 9 12 14 16 18 20 22 24 26 27 [С] [N] [P] 0,067 0,035 0,01 Оп. пл.

1 10 8 рН 0,067 0,035 0,01 7,7 7,6 7, 0,04 Оп. пл.

2 0,27 0,14 рН 0,27 0,14 0,04 7, 0,066 0,015 0,01 Оп. пл.

3 10 рН 0,066 0,015 0,01 7,8 6, 0,04 Оп. пл.

4 0,267 0,06 рН 0,267 0,06 0,04 7,9 6, 0,02 0,035 0,01 Оп. пл.

рН 0,02 0,035 0, 0,04 Оп. пл.

6 0,08 0,14 11 рН 0,08 0,14 0,04 7,7 7, 0,02 0,015 0,01 Оп. пл.

7 12 13 рН 0,02 0,015 0,01 8,2 8,1 7,8 7, 0,04 Оп. пл.

8 0,08 0,06 26 рН 0,08 0,06 0,04 7,8 7,2 7, 0,01 Оп. пл.

9 0,13 0,1 рН 0,13 0,1 0,01 7,8 7, 0,04 Оп. пл.

10 0,54 0,4 рН 0,54 0,4 0,04 7,6 6, 0,01 Оп. пл.

11 0,267 0,2 рН 0,267 0,2 0,01 7,9 7, 0,04 Оп. пл.

12 1,0 0,8 рН 1,0 0,8 0,04 7,8 6, 0,035 0,01 Оп. пл.

13 0,2 рН 0,2 0,035 0,01 7,9 7, 0,04 Оп. пл.

14 0,8 0,14 рН 0,8 0,14 0,04 7,7 7, 0,76 0,165 0,02 Оп. пл.

15 1 50 рН 0,76 0,165 0,02 7,6 7,1 7, 0,76 0,165 0,02 Оп. пл.

16 1 31 рН 0,76 0,165 0,02 7,6 7,1 7, 0,04 0,006 Оп. пл.

17 1,6 0 22 рН 1,6 0,04 0,006 6,7 4, 0,08 0,006 Оп. пл.

18 1,6 10 рН 1,6 0,08 0,006 7,2 6, 0,04 0,006 Оп. пл.

19 0,76 5 рН 0,76 0,04 0,006 7,8 7, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам 30 32 33 34 36 40 42 44 46 48 50 51 54 55 56 58 60 64 66 8, 82 85 7,4 8,1 7, 22 7,1 7, 103 123 123 7,4 8,9 9,1 8, 10 7,5 8, 7, 63 42 6,8 8,8 40 56 49 58 7,2 8,9 8,9 9,0 8, 145 185 200 175 7,6 7,1 8,4 9,0 8, 99 102 7,4 8,8 8, 145 240 220 215 7,6 7,6 8,0 9,0 8, 43 47 58 7,1 4,5 4,1 5, 40 120 117 142 6,7 4,0 3,3 3,4 3, 63 64 8 8,4 8, 67 62 8 8,5 8, 42 36 4,4 4 5, 53 105 133 6,6 7 7,4 7, 30 50 7,1 7, Приложение 4. Первичные данные по лабораторным ценозам SM-диссоцианты Начальный состав № среды по прописи Возр. к. 0 3 6 9 12 14 16 18 20 22 24 26 27 [С] [N] [P] 0,067 0,035 0,01 Оп. пл.

1 10 11 рН 0,067 0,035 0,01 8,0 7,8 7, 0,04 Оп. пл.

2 0,27 0,14 рН 0,27 0,14 0,04 7, 0,066 0,015 0,01 Оп. пл.

3 11 рН 0,066 0,015 0,01 8,2 7,9 6, 0,04 Оп. пл.

4 0,267 0,06 рН 0,267 0,06 0,04 7,9 6, 0,02 0,035 0,01 Оп. пл.

5 10 рН 0,02 0,035 0,01 8,0 7, 0,04 Оп. пл.

6 0,08 0,14 30 24 рН 0,08 0,14 0,04 7,6 7,3 7, 0,02 0,015 0,01 Оп. пл.

7 14 рН 0,02 0,015 0,01 8,2 8,0 7, 0,04 Оп. пл.



Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 16 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.