авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 16 |

«А. П. ЛЕВИЧ ИСКУССТВО И МЕТОД В МОДЕЛИРОВАНИИ СИСТЕМ ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ЭКОЛОГИИ СООБЩЕСТВ, СТРУКТУРНЫЕ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ, КАТЕГОРИИ И ...»

-- [ Страница 4 ] --

Равносильность структур есть факторизация предпорядка и поэто му — эквивалентность (теорема 2 раздела об отношениях эквивалентно сти). Изоморфность структур — также эквивалентность. Поэтому на сово купности одинаково структурированных множеств оказываются заданны ми разбиения, в классы которых входят множества с равносильными или изоморфными структурами.

Определение 4. Элементы фактормножества совокупности одинако во структурированных множеств по отношению равносильности структур называем эквиструктурами структурированных множеств.

Определение 5. Элементы фактормножества совокупности одинако во структурированных множеств по отношению изоморфизма структур на зываем изоструктурами, или абстрактными структурами.

Примеры.

1) Изоструктурами совокупности всех множеств по отношению равномощности являются кардинальные числа множеств. Заметим еще раз, что равномощность множеств эквивалентна существованию прямой и об ратной инъекций, т. е. равносильности кардинальных структур множеств.

2) Рассмотрим совокупность пар ( A, Q), где A — множества, а Q — заданные на них отношения линейного (для любых a, b A выполняется (a, b) Q или (b, a) Q ) и полного (любое непустое X A имеет наи меньший элемент) порядка. Морфизмами структурированных множеств ( A, Q) служат монотонные отображения. Изоструктуры структуры линей ного полного порядка называются ординальными, или порядковыми, чис лами. Ординальные числа бесконечных множеств называются трансфи нитными.

Замечания.

1) Изоструктуры можно рассматривать как обобщение понятия ко личества на структурированные множества. Причем, в отличие от коли Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем честв — кардинальных чисел неструктурированных множеств — упорядо чение изоструктур может оказаться нелинейным (не любые изоструктуры сравнимы, замечание 2 к определению 1 настоящего раздела). Если изо морфность структур не эквивалентна их равносильности, то эквиструктуры будут еще «существеннее», нежели изоструктуры, обобщать понятие ко личества.

2) Поскольку конструкция изоструктур является обычной фактори зацией предпорядка «сила структур» (теорема 2 раздела об отношениях эк вивалентности), то на множестве изоструктур оказывается определенным отношение порядка между изоструктурами, которое является распростра нением предпорядка «сила структур» на фактормножества. Более строго, факторизацией предпорядка «сила структур» будет не изоморфность, а равносильность структур. Если изоморфность не совпадает с равносиль ностью, то классы изоморфных объектов оказываются включенными в классы равносильных и на изоструктуры индуцируется порядок «сила структур» как на подмножества.

6.3.3. Пример: структура булевозначных множеств Вводятся два произвольных множества: универсум U и пространст во истинности I.

Определение 1. Отображения A : U I универсума U в простран ство истинности I называем I -армадами универсума U. Таким образом, армады — это элементы множества-степени I U. Пусть пространство ис тинности I состоит из двух элементов 0 и 1, тогда армады оказываются характеристическими функциями универсума или — при содержательной интерпретации знаков истинности 0 и 1 как непринадлежности и принад лежности элементов множеству — подмножествами универсума. Если пространство истинности представляет собой отрезок [ 0,1] множества действительных чисел, армады называют нечеткими множествами. Ко гда в качестве пространства истинности I рассматривают положительные действительные числа, армады носят название дескрипторных мно жеств. Если в пространстве истинности I задана структура порядка (мо жет быть, удовлетворяющая ряду дополнительных аксиом), то для армад употребляется термин булевозначные множества.

В разделе 6.1.2 было установлено существование взаимно однознач ного соответствия между подмножествами универсума и характеристиче скими функциями универсума. В дальнейшем изложении (разделы 6.1. и 6.1.4) оказалось, что булеан универсума P (U ) и множество его характе Глава 6. Упорядочение состояний систем ристических функций I U изоморфны как алгебраические системы. Таким образом, армады представляют собой обобщение конструкции множеств на не двузначные пространства истинности при описании множеств на языке характеристических функций. Если в обычной логике элементы пространства истинности интерпретировали как принадлежность элемен та a из универсума U подмножеству A универсума U ( a A A (a) = 1 ) или его непринадлежность ( a A A (a ) = 0 ), то в случае многозначного пространства истинности семантика его знаков становится более многооб разной. Например, для пространства I = {0,1,2} можно знаки 0 и 1 по прежнему интерпретировать как «ложность» и «истинность», а знак 2 — как «неопределенность» вхождения элемента a из универсума в подмно жество A этого универсума. В теории нечетких множеств числа из про странства истинности I = [ 0,1] понимают как степень принадлежности элементов универсума его нечетким подмножествам. В общем случае можно говорить о принадлежности элемента a из универсума U арма де A : U I со знаком k, где k — элемент пространства истинности I, и записывать A(a) = k, или a k A.

Рассматривая армады как расширение понятия множества, можно обобщать конструкции, обычно связываемые с множествами. Например, для армад в форме нечетких множеств можно ввести включение A B, если для любых элементов a из универсума U выполняется неравенство A(a) B(a), дополнением нечеткого множества A назвать множеством A, для которого A(a ) = 1 A(a), объединением ( A B)(a) = max { A(a), B(a)}, соответственно пересечением назовем множество, для которого ( A B)(a ) = = min { A(a), B(a)} и т. д.

Определение 2. Пусть заданы универсумы U и V, пространства ис тинности I и J, а также множества армад I U и J V. Тройка { f, F, } соот ветствий f : U V ;

F : I U J U и : I J называется морфизмом ар мад, если для любой армады A I U коммутативна диаграмма:

, т. е. fF ( A) = A.

Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем Пример.

Пусть I J {0,1}, т. е. рассматривается обычное двузначное про странство истинности. Пусть также : I I есть тождественное отобра жение I ;

пара ( f, F ), где f : U V, есть произвольное соответствие, а F : 2U 2V — его распространение на булеаны (т. е. F ( A) { f (a)}, где a A ) — оказывается морфизмом армад — характеристических функ ций. Образами по соответствию F подмножеств универсума U оказыва ются такие подмножества универсума V, в которые входят (имеют в них знак 1 по соответствующей характеристической функции) только образы по соответствию f элементов из U, имевших тот же знак 1 в своей харак теристической функции.

Определение морфизма армад можно сформулировать как «сохране ние» принадлежности при преобразованиях универсумов и пространств истинности: a k A F (a) ( k ) F ( A).

Корреспонденцией армад будет тройка ( f, F, ), такая, что x m X f ( x) *( m ) F * ( X ).

Здесь x — элемент универсума V, X — армада X : V влечет J, а f, F и — соответствия, сопряженные соответствиями f, F и.

На языке диаграмм определение корреспонденции армад формулируется как коммутативность:

, т. е. f F ( X ) = X.

Предложение 1. Для любых соответствий f : U V и : I J су ществует соответствие F : I U J V такое, что тройка ( f, F, ) оказывается морфизмом армад.

Доказательство. Для произвольной армады A из множества степени I U определим образ F ( A) = X следующим образом:

f A если элемент x содержится в соответствии f f ;

X ( x) = любое k из множества J,если элемент x не содержится в соответствии f f.

Глава 6. Упорядочение состояний систем Здесь f — соответствие, сопряженное соответственно f. На таких эле ментах из множества U, где соответствие f определено, оказывается, что fX = ff A = A (при этом соответствие должно быть таким, что соот ветствие A оказывается неопределенным на тех же элементах из множе ства U, где не определено соответствие f, поскольку A — отображение).

Предложение 2. Если ( f, F, ) — морфизм армад A : U I и X : V J, то ( I A ) J X, где I A = A(U ) и J X = X (V ).

Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент k из множе ства I A и элементы a из множества U такие, для которых A(a) = k. Если соответствие f определено на этих элементарных a, то f (a) V и X ( f (a)) J X, но X ( f (a)) = ( A(a)) = (k ), т. е. (k ) J X. Если же соот ветствие f не определено на элементах a, то и соответствие не опреде лено на элементе k = A(a), иначе условие A() = fX не будет выполнено.

Определение 3. Будем говорить, что кардинальная структура ар мады X : V J сильнее кардинальной структуры армады A : U I и писать Card X Card A, если существует морфизм армад ( f, F, ) такой, что f и — отображения, а f к тому же инъекция и X = F ( A).

Предложение 3. Если кардинальная структура армады X : V J сильнее кардинальной структуры армады A : U I, то структура разбие ния (V, E X ) сильнее структуры разбиения (U, E A ), где E X и E A — эквива лентности, являющиеся ядрами соответствующих отображений.

Доказательство. Напомним, что в классы разбиения, определяемо го ядром отображения (раздел 6.1.3), входят те элементы из области от правления отображения, которые имеют общий образ по этому отображе нию. Чтобы разбиение множества V было сильнее разбиения множест ва U, нужно (пример 1 к определению 1 раздела 6.3.2) существование инъекции f : U V, переводящей любой класс одного разбиения целиком в класс другого. Покажем, что инъекция f, существующая согласно опре делению силы структур армад A и X, обладает нужным свойством. Дей ствительно, для элементов a и b из универсума U, эквивалентных по от ношению E A, т. е. таких, что A(a) = A(b) = k, поскольку f и — соответ ствия из морфизма структуры армад и — функциональное соответствие (даже и всюду определенное, что, заметим, не является необходимым для ут верждения предложения), образ (k ) единственен и X ( f (a)) = X ( f (b)), т. е. образ f (a) эквивалентен образу f (b) по отношению E X.

Предложение 4. Если для армад A : U I и X : V J структура разбиения (V, E X ) слабее структуры разбиения (V, E X ), где E A и E X — Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем ядра соответствующих отображений, то кардинальная структура арма ды A слабее кардинальной структуры армады X.

Доказательство. Для выполнения условия Card A Card X нужно существование тройки ( f, F, ), где f — инъекция, — отображение, F — соответствие, по которому F ( A) = X и fX = A. В качестве инъек ции f рассмотрим инъекцию из U в V, осуществляющую сравнимость разбиений (U, E A ) и (V, E X ). В нашем распоряжении имеются канониче ские биекции i : I U E A и j : J V E X. Отображение f порождает ото бражение : U E A V E X, являющееся распространением отображения f на булеаны. Отображение сопоставляет каждому классу из факторм ножества U E A тот класс K из фактормножества V E X, которому при надлежат образы по отображению f элементов из класса K. Отображение i j 1 : I J станем рассматривать как необходимое нам отображение : I J. Имеющиеся теперь у нас в распоряжении отображения f и порождают (предложение 1) некоторое соответствие F, для которого коммутативность fF ( A) = A выполнена. Осталось показать, что F (a) = X. Пусть для произвольного элемента x из универсума V выпол няется X ( x) = m. Если у элемента x существует прообраз a по отображе нию f, то по конструкции соответствия F (из предложения 1) X = F ( A) = = f A = f Ai j 1, а именно образ X ( x) таков, что класс, куда входит элемент x, переводится в класс, куда входит элемент a, а этот класс пере ходит в знак k из множества I, что по отображению соответствует зна ку m. Т. е. оказывается, что X = X = F (a).

Предложения 3 и 4 может объединить.

ТЕОРЕМА о характеризации силы кардинальных структур ар мад. Пусть заданы армады A : U I, X : V J и их ядра E A и E X. Для Card A Card X необходимо и достаточно, чтобы Str(U, E A ) Str(V, E X ).

Определение 4. Кардинальные структуры армад A и X равносиль ны, если Card A Card X и Card A Card X.

Предложение 5. Если кардинальные структуры армад A и X рав носильны и отображение, фигурирующее в определении силы структур армад, является биекцией, то кардинальные структуры армад A и X изо морфны.

Доказательство. Для изоморфизма структур нужно существование обратимого биективного морфизма. По равносильности армад и благодаря предложению 2 и замечанию к нему из раздела об упорядочении карди нальных чисел имеем тройку ( f, F, ), где f — биекция и выполнено ус ловие fX = A того, что тройка есть морфизм структуры армад. Осталось Глава 6. Упорядочение состояний систем показать, что тройка ( f, F, ) будет и корреспонденцией структуры армад.

Это следует из того, что f и — биекции, а именно из fX = A следует:

, т. е. X 1 = f 1 A.

Определение 5. Рассмотрим совокупность rm, объединяющую множества I iUi, т. е. совокупности I i -армад универсумов U i. Элементы фактормножества совокупности Arm по отношению изоморфности армад называются кардинальными структурами входящих в них армад.

Замечание. Рассмотрим совокупность Arm, состоящую из характе ристических функций одного лишь универсума U. Для двузначного про странства истинности I = {0,1}, а также при условии, что отображение : I I, которое фигурирует в определении изоморфизма армад, есть то ждественная биекция, изоморфность армад-подмножеств универсума есть их равномощность. Кардинальная структура армад совпадает с кардиналь ной структурой множеств. Таким образом, как сама конструкция армад обобщает понятие множества, так и кардинальная структура армад обоб щает понятие кардинальных чисел, эксплицирующих понятие «количест во». Если для множеств упорядочение кардинальных чисел линейно, то кардинальные структуры армад оказываются упорядоченными лишь час тично (упорядочение кардинальных структур армад есть стандартное про должение на фактормножества предпорядка силы структур).

Примеры.

1) Рассмотрим универсум U = {а, б, в, г}, пространство истинности I = {0,1}, армады :U и отображение = I. Приведем таблицу 6.5, где A обозначает разбиение универсума U, порождаемое ядром E A ;

I A есть множество A(U ) — область изменения отображения A в области его прибытия I ;

символами (m, n) обозначены кардинальные структуры армад. В прямоугольники с жирной границей заключены армады — эле менты соответствующих кардинальных структур.

2) Рассмотрим универсум U = {а, б, в, г}, пространство истинности I = {0,1,2}, армады :U и отображение = I (табл. 6.6, обозначения в которой те же, что описаны в примере 1 для табл. 6.5).

Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем В заключение можно заметить, что конструкция армад находит все более широкое применение при описании естественных систем: в форме нечетких множеств — для конструкции лингвистической переменной в теории принятия решений, при разработке проблемы искусственного ин теллекта и в квантово-механических расчетах микросистем;

в форме нор мированных нечетких множеств — для вероятностного моделирования языка, в форме дескрипторных множеств — в биологии при количествен ном описании и сравнении экологических сообществ.

Таблица 6.5 Кардинальная структура армад А :{а, б, в, г} {0,1} A (0) (1) IA абвг абвг {а, б, в, г} 0000 (0,4) (4,0) A (0 1) IA абвг абвг {{a}{б, в, г}} 1000 абвг абвг {{б}{а, в, г}} 0100 абвг абвг {{в}{а, б, г}} 0010 {{г}{а, б, в}} абвг абвг 0001 (3,1) (1,3) абвг абвг {{а, б}{в, г}} 1100 абвг абвг {{а, в}{б, г}} 1010 абвг абвг {{а, г}{б, в}} 1001 (2,2) Глава 6. Упорядочение состояний систем Таблица 6.6. Кардинальная структура армад А :{а, б, в, г} {0,1, 2} A (0) (1) (2) IA абвг абвг абвг {абвг} 0000 1111 (400) (040) (004) A (01) (02) (12) IA абвг абвг абвг абвг абвг абвг {{а}{бвг}} 0111 1000 0222 2000 абвг абвг абвг абвг абвг абвг {{б}{авг}} 1011 0100 2022 0200 абвг абвг абвг абвг абвг абвг {{в}{абг}} 1101 0010 2202 0020 абвг абвг абвг абвг абвг абвг {{г}{абв}} 1110 0001 2220 0002 (310) (130) (103) (301) (031) (013) абвг абвг абвг абвг абвг абвг {{аб}{вг}} 0011 1100 0022 2200 2211 абвг абвг абвг абвг абвг абвг {{ав}{бг}} 0101 1010 0202 2020 2121 абвг абвг абвг абвг абвг абвг {{аг}{бв}} 0110 1001 0220 2002 2112 (220) (202) (022) A (012) IA Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем Таблица 6.6. Продолжение абвг абвг абвг абвг {{аб}{вг}} 2100 0211 2011 0122 абвг абвг абвг абвг {{ав}{бг}} 2010 2101 0121 0212 абвг абвг абвг абвг {{аг}{бв}} 2001 2110 1012 0221 абвг абвг абвг абвг {{бв}{аг}} 2110 1021 2102 2012 0210 абвг абвг абвг абвг {{бг}{ав}} 1201 1021 2021 2120 0201 абвг абвг абвг абвг {{вг}{аб}} 1120 1102 2201 2210 0021 (121) (112) (211) 6.3.4. Функторное сравнение структур В разделе 6.3.2 шла речь о сравнении структур с совпадающей ак сиоматикой при помощи специально выбранных морфизмов, например, групп между собой или различных множеств с разбиениями. Конструкция силы структур позволила среди структурированных одной и той же аксио матикой множеств выделять «одинаково» O равносильно или изоморф но O структурированные множества и вводить понятие абстрактной структуры как факторизацию по отношению изоморфности.

В настоящем разделе предложен способ сравнения между собой структур объектов не непосредственно, а с помощью структур с иной ак сиоматикой. Например, топологические пространства можно сравнивать с помощью групп гомологий и гомотопий, множества с разбиениями мож но сравнивать при помощи кардинальных чисел множеств.

Прежде чем формулировать способ переноса упорядочения одних структур на другие (способ состоит в конструировании монотонного отно сительно силы структур функтора между соответствующими категория ми), следует описать упорядочение однотипных структур между собой на категорном языке.

В данном разделе станем рассматривать категорию как частичную полугруппу, где объекты категории отождествлены с единичными мор физмами полугруппы. Будем считать, что, наряду со всякой рассматривае мой категорией S, задана ее подкатегория, содержащая все объекты ка Глава 6. Упорядочение состояний систем тегории S. Морфизмы подкатегории будут служить для сравнения морфизмов (и объектов) категории S и называться в дальнейшем ормор физмами (напомним, что в разделе о силе структур структурированные множества сравнивались с помощью мономорфизмов, или инъекций).

Определение 1. Будем говорить, что морфизм S сильнее мор физма u S, если существуют орморфизмы x, y такие, что выполняет ся условие x = uy, т. е. коммутативна диаграмма.

Будем записывать в этом случае u.

Сравнимость единичных морфизмов категории S дает определение сравнимости объектов из S : A C, если существует орморфизм x : A C, т. е. H ( A, C ) не пусто.

Очевидно, что отношение силы морфизмов есть предпорядок на ка тегории S, и теперь на S обычным образом появляется эквивалент ность R — факторизация этого предпорядка.

Определение 2. Будем говорить, что морфизмы (объекты) u и равносильны относительно орморфизмов из, если u и u.

Определение 3. Классы эквивалентности категории S по отноше нию равносильности R станем называть структурами входящих в них морфизмов.

На факторсовокупности S R стандартным образом (см. теорему о факторизации предпорядков раздела 6.1.3) оказывается определенным порядок между структурами, задаваемый определением 4.

Определение 4. Для структур, S R будем считать, ес ли существуют морфизмы u и такие, что u. Будем в этом случае говорить, что структура сильнее структуры.

Примеры.

1) S — категория множеств с соответствиями в качестве морфизмов.

Орморфизмы — инъекции. Структурами множеств оказываются карди нальные числа.

2) S — категория множеств с отношениями порядка. Морфизмы — монотонные соответствия, орморфизмы — монотонные инъекции. Струк туры — ординальные числа множеств.

Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем Заметим, что в предложенных примерах структуры речь идет о структурах лишь объектов соответствующих категорий, и эти структуры можно было бы назвать и изоструктурами, понимая под этим, что между изоструктурными объектами должен существовать изоморфизм. Понятие изоструктуры морфизмов (и объектов) можно, наряду со структурами, без труда ввести и в произвольных категориях (что и сделано для структури рованных множеств в разделе о силе структур). При этом изоструктурные морфизмы оказываются и равносильными, если изоморфизмы категории входят в ее подкатегорию орморфизмов.

Перейдем к конструкции представления структур одной категории структурами другой. Пусть заданы категории S1 и S 2 (по-прежнему рас сматриваемые как частичные полугруппы) и их подкатегории орморфиз мов 1 и 2.

Определение 5. Соответствие F из категории S1 в категорию S будем называть монотонным соответствием, или представлением структур, определяемых факторизацией по подкатегориям орморфизмов 1 и 2, если для u, S1 и F ( u ), F ( ) S2 выполняется: u 1 влечет F (u ) 2 F ().

Соответствие F : S1 S2 называем комонотонным соответствием, или копредставлением, структур, если F (u ) 2 F () влечет u 1.

Соответствие F : S1 S2 есть бимонотонное соответствие, или би представление, структур, если u 1 равносильно F (u ) 2 F ().

Определение 6. Соответствие F из категории S1 в категорию S будем называть функторным, если F (u) = F (u ) F () для любых u, S и соответствующих F (u ), F (), F (u) S2.

ТЕОРЕМА о достаточных условиях монотонности представле ния.

1) Для того чтобы соответствие F из категории S1 с орморфизмами из 1 в категорию S 2 с орморфизмами из 2 было представлением струк тур, достаточно выполнение условий:

а) F — функторное соответствие;

б) F — фунциональное соответствие;

в) F ( 1 ) 2.

2) Для того чтобы соответствие F : S1 S2 было копредставлением структур, достаточно выполнение условий:

а) F — функторное соответствие;

б) F — инъективное соответствие;

в) выполнялось F ( 1 ) 2.

Глава 6. Упорядочение состояний систем 3) Для того чтобы соответствие F : S1 S2 было бипредставлением структур, достаточно выполнение условий:

а) F — функторное соответствие;

б) F — функциональное и инъективное соответствие;

в) выполнялось F ( 1 ) = 2.

Доказательство.

1) u 1 по определению силы морфизмов влечет существование x, y 1 таких, что x = uy, откуда из функциональности F следует F ( x) = F (uy). Функторность F влечет F ( x) F () = F (u ) F ( y ) и по усло вию (в) теоремы F ( x), F ( y ) 2, что по определению силы морфизмов оз начает F (u ) 2 F ().

2) F (u ) 2 F () по определению силы морфизмов влечет сущест вование X, Y 2 таких, что XF () = F (u )Y. По условию теоремы суще ствуют x, y 1 такие, что F ( x) = X и F ( y ) = Y, т. е. выполняется F ( x) F () = F (u ) F ( y ), и из функторности соответствия F следует F ( x) = = F (uy ), откуда в силу инъективности соответствия F следует, что x = uy или, по определению силы структур, u 1.

3) Является конъюнкцией 1 и 2.

Каждому соответствию F : S1 S2 можно сопоставить соответствие F : S1 1 S2 2 как композицию Str11 F Str2, где под соответствия ми Str : S S понимается каноническая проекция совокупности на ее факторсовокупность. Конструкция факторизации категории гарантирует бимонотонность, как проекции Str, так и обратного к ней соответствия Str 1. Поэтому соответствие F оказывается монотонным, комонотон ным или бимонотонным в зависимости от наличия аналогичного свойства порождающего его соответствия F. Таким образом, задав нужное соответ ствие F : S1 S2, структуры морфизмов одной категории можно упорядо чивать с помощью соответствующих им по соответствию F структур другой категории.

Предложение 1. Основной одноместный функтор h X : S Set моно тонен, если Mono s, где — подкатегория орморфизмов категории S и nS — подкатегория мономорфизмов категории S.

Доказательство. Достаточно показать, что h X ( ) MonoSet, т. е.

функтор h X ( ) есть инъекция, если — мономорфизм категории S.

Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем Функтор h X ( ) есть отображение : H K ( X, A ) ( X, B ), по которому ( v ) =. Пусть ( 1 ) = ( 2 ), т. е. 1 = 2, что, поскольку — мо номорфизм, влечет 1 = 2, т. е. — инъекция.

6.4. Функторные инварианты структур 6.4.1. Определение функторных инвариантов Рассмотрим частный случай категорного сравнения структур. Будем считать заданной категорию структурированных конечных множеств S и категорию конечных множеств Set. В категории S в качестве орморфиз мов рассмотрим ее мономорфизмы. Пусть в категории множеств Set под категория орморфизмов Set есть MonoSet, т. е. орморфизмы категории Set — это инъекции множеств. Сравнение множеств с помощью инъекций порождает кардинальную структуру множеств — мощности множеств (раздел 6.3.1). Применяя конструкцию функторного сравнения структур, будем сравнивать объекты категории S с помощью структур их образов в категории Set, т. е. с помощью кардинальных чисел множеств I, которые назовем инвариантами структуры объектов из категории S.

Инварианты математических структур можно рассматривать как еще один способ обобщения понятия количества. Вспомним, что в качестве обобщения количества уже рассматривали эквиструктуры и изоструктуры структурированных множеств (раздел 6.3.2), кардинальные структуры ар мад (раздел 6.3.3). Заметим, однако, что указанное обобщение могло не об ладать одним из важных качеств традиционных числовых множеств — ли нейным упорядочением, порядок оказывался лишь частичным. Так, для множеств с разбиениями, где сравнение производят инъекциями, перево дящими один класс разбиения целиком в другой класс, между объектами {{ a, b}, {c, d }} и {{ a, b, c}, { d }} не существует нужных инъекций. Они не сравнимы. Предлагаемое обобщение чисел с помощью инвариантов совпа дает с традиционным упорядочением мощностей, будучи применимо к ка тегории S Set, т. к. Card A Card B равносильно I ( A) I ( B) (знаком I ( A) обозначен инвариант структуры множества A, Card M есть мощность множества M или число элементов в конечном множестве M ). В случае же приложения категорного сравнения структур к иным категориям ситуа ция менее однозначна. Функтор, представляющий произвольную структу ру в категорию множеств, таков, что если структуры сравниваются при по мощи мономорфизмов, то их упорядочение согласовано с упорядочением инвариантов. Точнее, влечет I I (, — структуры, I, I — инварианты), но не наоборот. При исследовании структур могла бы ока Глава 6. Упорядочение состояний систем заться полезной обратная импликация, но имеет место более слабое утвер ждение:

;

I I или и не сравнимы.

В теории систем можно постулировать принцип продолжения упо рядочения структур по упорядочению инвариантов: по определению, если I I (причем, если структуры и сравнимы, то это опре деление не противоречит сравнению структур с помощью мономорфиз мов).

Перейдем к формальным определениям. Рассмотрим стандартное представление категории S в категорию множеств — основной одномест ный ковариантный функтор h X.

На объектах из категории S по определению h X ( A) = H S ( X, A). Если объекты категории S сравниваются при помощи мономорфизмов, т. е. Mono S, иными словами, выполнено условие теоремы раздела 6.3.4, то упорядочение мощностей образов в категории множеств этих объ ектов по представлению h X оказывается согласованным с упорядочением объектов, а именно влечет Card h X () Card h X (). Это следует из двух определений:

1) t — мономорфизм, если отображение : H S ( X, A) H s ( X, B), где (u ) = ut есть инъекция;

2) мощность одного множества меньше или равна мощности друго го, если существует инъекция из первого во второе (тот же результат полу чен в предложении 1 раздела 6.3.4).

Обычно на факторсовокупности оказывается определенным порядок, если факторизация проводилась с помощью предпорядка. В нашем случае, если для эквиструктур из факторсовокупности S R, то для любых A и B справедливо A B, и тем самым, для этих произвольных представителей эквиструктур и произвольного объекта X S выполнено неравенство Card H S ( X, A) Card H S ( X, B), где Card M — мощность множества M.

Приведенные только что доводы оправдывают введение следующих определений.

Определение 1. Инвариантом I X ( A) объекта A относительно объекта X назовем мощность множества всех морфизмов из X в A:

I X ( A) = Card H S ( X, A).

Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем Определение 2. Инвариантом эквиструктуры относительно объ екта X назовем инвариант относительно X произвольного объекта A.

Тем самым любому объекту категории сопоставлено кардинальное число, причем упорядочение чисел согласовано с упорядочением объектов, в частности, эти числа одни и те же для всех объектов с одинаковой экви структурой.

6.4.2. Функторные инварианты множеств с соответствиями В качестве категории S станем рассматривать категорию Seta, где индекс a принимает одно из 16 значений, являющихся подмножествами набора свойств { p, f, s, i}. Объектами категории Seta будут произвольные множества, а морфизмами — соответствия, обладающие свойствами из на бора a. Свойство p это всюду определенность соответствий, свойство f — их функциональность, свойство s сюръективность и свойство i — инъективность соответствий (см. раздел 6.1.2). Например, Set p, f означает категорию множеств с морфизмами — всюду определенными и функцио нальными соответствиями, т. е. отображениями.

Приведем результаты (табл. 6.8) вычисления инвариантов для всех 16 вариантов категории Set a (вывод формул приведен настоящем разделе, но часть из них фактически выведена в разделе 6.3.1 в предложении и следствии к нему). Символ I aX ( A) в формулах означает инвариант мно жества A относительно множества X в категории Set a, другими словами, количество соответствий из множества X в множество A, обладающих свойствами из набора a.

Приведем доказательства формул из табл. 6.8.

1. I X ( A) = 2 xa.

Доказательство. Проведем доказательство по индукции. В силу симметричности множеств X и A (любое соответствие из множества X в множество A при «обращении стрелок» становится соответствием из множества A в множество X ), достаточно провести индукцию по элемен там одного из множеств, например множества A.

Пусть a = 1. Тогда каждый элемент из множества X может либо иметь единственный образ из множества A, либо не иметь ни одного об раза, т. е. имеется два варианта. Тогда всего соответствий окажется 2 x = 2 xa.

Пусть теперь при a = m формула справедлива, докажем ее для m + 1.

В каждом из имеющихся соответствий любой элемент из множества X может как иметь в качестве образа добавленный элемент из множества A, Глава 6. Упорядочение состояний систем так и не иметь его, т. е. каждое соответствие «разрастается» в 2 x различ ных соответствий. Таким образом, общее количество соответствий увели чивается в 2 x раз. В итоге получаем 2mx 2 x = 2( m+1) x соответствий.

Таблица 6.8. Количество соответствий из множества X (с количеством элементов x ) k в множество A (с количеством элементов a ). Символ C означает множество C с ко m личеством элементов в нем k. Символ означает число сочетаний из m элементов n m!

по n элементам, равное. Нижние индексы означают, что подсчитано количе n !( m n )!

ство соответствий, обладающих теми свойствами, обозначения которых вошли в ин дексы:

p всюду определенные соответствия;

f функциональные соответствия;

i инъективные соответствия;

s сюръективные соответствия x A x 9. I fX, s ( A) = I p, f,s ( C k ) 1. I X ( A) = 2 x a k =0 k a x min( x, a ) 10. I fX, i ( A) = k !

2. I p ( A) = ( 2 a 1) x X k =0 k k 3. I fX ( A) = ( a + 1) 11. I sXi ( A) = x a x, a a 12. I p, f, s ( A) = ( 1) ( a k ) 4. I sX ( A) = ( 2 x 1) a k x X k =0 k a!

5. I iX ( A) = ( x + 1) 13. I p, f, i ( A) = X a ( a x )!

x 6. I p, f ( A) = a x X x 14. I p, s, i ( A) = ( 1) ( x k ) k a X k =0 k I 7. I p,s ( A) = X X x!

( PA ), 15. I fX, s, i ( A) = p, f,s ( x a )!

PATA множество всевозможных где T A покрытий множества А a X a 8. I p, i ( A) = I p, f,s ( C k ) 16. I p, f, s, i ( A) = x !

X X k =0 k Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем 2. I p ( A) = (2a 1) x.

X Доказательство. Так как нас интересуют только всюду определен ные соответствия, то каждый элемент из множества X должен иметь об раз. Это означает, что для каждого элемента из множества X имеется 2a 1 возможностей. Следовательно, всего таких соответствий окажется (2a 1) x.

3. I fX ( A) = (a + 1) x.

Доказательство. В данном случае нас интересуют только функ циональные соответствия, т. е. каждый элемент из множества X имеет не более одного образа из множества A или не имеет образов вовсе. Это оз начает, что для каждого элемента из множества X имеется ровно a + возможность. А всего функциональных соответствий (a + 1) x.

4. I sX ( A) = (2 x 1) a.

Доказательство. Количество сюръективных соответствий из мно жества X в множество A в точности равно количеству всюду определен ных соответствий из множества A в множество X (см. формулу 2), что и доказывает формулу 4.

5. I iX ( A) = ( x + 1) a.

Доказательство. Число инъективных соответствий из множест ва X в множество A совпадает с числом функциональных соответствий из множества A в множество X (см. формулу 3).

6. I p, f ( A) = a x.

X Доказательство. У всюду определенного и функционального соот ветствия (отображения) каждому элементу из множества X соответствует ровно один элемент из множества A (т. е. имеется a возможностей для каж дого элемента из множества X ), т. е. всего таких соответствий будет a x.

7. I p,s ( A) = I ( K A ), где PA — всевозможные покрытия X X p, f,s PA K APA множества A, а K A — элементы этих покрытий.

Доказательство. Любое всюду определенное и сюръективное соот ветствие можно представить в виде совокупности всюду определенных, функциональных и сюръективных соответствий из множества X в под множества множества A, образующие его покрытие. Таким образом, нуж но рассмотреть всевозможные покрытия множества A и подсчитать коли чество сюръективных отображений из множества X в элементы этих по крытий. Получим искомую формулу.

Глава 6. Упорядочение состояний систем a X a 8. I p, i ( A) = I p, i,s ( C k ), a x.

X k =0 k Доказательство. Всюду определенные и инъективные соответствия из множества X в множество A складываются из всюду определенных, сюръективных и инъективных соответствий из множества X в различные подмножества множества A с мощностью не меньшей, чем множество X, количество которых нам известно из формулы 14. Кроме того, в множест a ве A имеется ровно подмножеств из k элементов. Отсюда получаем k нужную формулу.

x A x 9. I fX, s ( A) = I p, f,s ( C k ), x a.

k =0 k Доказательство. Каждое функциональное и сюръективное соот ветствие из множества X в множество A является всюду определенным и инъективным соответствием из множества A в множество X, и наоборот.

Поэтому нужная формула может быть получена переобозначением симво лов в формуле 8.

a x min ( x, a ) 10. I fX, i ( A) = k !.

k =0 k k Доказательство. Функциональные и инъективные соответствия из множества X в множество A являются по сути биективными отображе ниями между их подмножествами равной мощности. Это означает, что общее число функциональных и инъективных отображений из множест ва X в множество A складывается из биективных отображений между пустыми подмножествами, подмножествами из одного элемента и т. д. до подмножеств из числа элементов, равного min( x, a). В множестве X име k a ется подмножеств из k элементов;

в множестве A имеется под x k множеств из k элементов, число взаимно однозначных соответствий меж ду подмножествами из k элементов равно k ! (см. формулу 16). В резуль тате получаем необходимую формулу для общего числа функциональных и инъективных соответствий из множества X в множество A.

11. I sXi ( A) = x a.

, Доказательство. Каждое сюръективное и инъективное соответст вие из множества X в множество A является всюду определенным Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем и функциональным соответствием из множества A в множество X, и на оборот, поэтому нужная формула может быть получена переобозначением символов в формуле 6.

a a 12. I p, f, s ( A) = ( 1) ( a k ), x a.

k x X k =0 k Доказательство. Проведем доказательство по индукции.

Начнем с индукции по числу элементов x в множестве X. При x = выполняется a = 1 и существует единственное соответствие, являющееся сюръективным отображением, что подтверждает доказываемую формулу:

k (1)k (1 k )1 = 1 + 0 = 1. Таким образом, база индукции верна.

k = Пусть для x = m формула справедлива. Посмотрим, что получится при добавлении к множеству X еще одного элемента. Для каждого из имеющихся уже соответствий появится a возможностей: новый элемент может перейти в любой из элементов множества A, не нарушая свойства соответствия (всюду определенность, функциональность и сюръектив ность). Кроме того, добавятся сюръективные соответствия из множест ва X мощности m в подмножества множества A мощности a 1 (количе ство таких соответствий мы уже знаем в силу индукции;

имеет a = a подмножеств такой мощности), «дополненные» переходом ся a добавочного элемента множества X в оставшийся «незанятым» элемент множества A. Подсчитаем общее количество требуемых соответствий:

a 1 a a a a (1) k (a k ) x + a (1) (a 1 k ) = k x k =0 k k =0 k a a a a = a ( (1) k (a k ) x C (1) k (a k ) x ) = k k =0 k k = a a a = aa x + a (1) k ( )(a k ) = x k k k = (a 1)!

a a!

= a x +1 + a (1) k (a k ) x = k !(a k )! (k 1)!(a k )!

k = a (a 1)!

a = a x +1 + (1) k (a k ) x (a k ) = k !( a k )!

k = a a a a = a x +1 + (1) k ( a k ) x +1 = (1) k ( a k ) x +1.

k =1 k k =0 k Глава 6. Упорядочение состояний систем Теперь проведем индукцию по числу элементов a во множестве A.

Заметим, что при a = 1 существует единственное сюръективное отображе ние, что соответствует доказываемой формуле. База индукции верна.

Пусть теперь для a = n формула справедлива. Добавим к множест ву A еще один элемент и подсчитаем, сколько стало сюръективных ото бражений. Для этого из общего числа отображений из X в A уберем: все сюръективные отображения из X в одноэлементные подмножества мно жества A, из X во все двухэлементные подмножества множества A и т. д.

до всех отображений из X в n -элементные подмножества множества A (число таких отображений нам известно в силу индукции;

общее число отображений нам известно из формулы 6;

количество k -элементных под n + множеств множества A равно ). После этого останутся сюръектив k ные отображения из X на A. Итак, n + 1 n k n + 1 n1 k n (1) (n k ) 2 n 1 (1) (n 1 k ) … = (n + 1) x k x k x 1 k =0 k =0 n + 1 n+1 n = (n + 1) x + ( 1) ( n + 1 k ) k x 1 k =1 k n + 1 n+1 n (1) (n + 1 k ) + … = k x 2 k =2 k n + 1 x n + 1 n n + = (n + 1) x + n + (n 1) x k 1 1 n + 1 n n + 1 n 1 n + 1 n +1 n + 2 2 1 + 3 + … = k ( 1) (n + 1 k ).

k x 1 k =0 a!

, a x.

13. I p, f,i ( A) = X (a x)!

Доказательство. В данном случае нас интересуют инъективные отображения, т. е. случай, когда все элементы из множества X имеют единственные и различные образы. Это означает, что множество X пере ходит в равномощное себе подмножество множества A. Остается только подсчитать общее число таких подмножеств и количество отображений из множества X в каждое из таких подмножеств. Общее число подмножеств a мощности x равняется. Отображения из множества X в эти подмно x Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем жества являются биективными и, по формуле 16, их количество равно x !.

Итак, a a! a!

I p, f,i ( A) = x ! = x! = X = X.

x !(a x)! (a x)!

x x x 14. I p,s,i ( A) = (1) k ( x k ) a, a x.

X k =0 k Доказательство. Формула получена переобозначением символов в формуле 12.

x!

, xa.

15. I fX,s,i ( A) = ( x a )!

Доказательство. Формула получена переобозначением символов в формуле 13.

16. I p, f,s,i ( A) = a ! = x!, x = a.

X Доказательство. Нас интересуют биективные отображения из множества X в множество A, причем кардинальные числа этих множеств равны.

Первый элемент из множества X может перейти в любой из a эле ментов множества A;

второй — в любой элемент множества A, кроме того элемента, в который перешел первый (т. е. имеется a 1 возможность);

третий — в любой, кроме тех, в которые перешли первые два (т. е. сущест вует a 2 вариантов) и т. д. Для последнего элемента из множества X ос танется единственный «незанятый» элемент из множества A. Подсчитаем количество возможных соответствий: a (a 1) … 3 2 1 = a!.

6.4.3. Функторные инварианты множеств с разбиениями Объектами соответствующей категории служат пары ( A, RA ), где A — множество, а RA — его разбиение, т. е. совокупность классов { K A }, таких, что K A = A и для любых классов K A K A из разбиения RA выполняется соотношение K A K A = (совокупность { K A }, для которой условие пус тоты пересечений не обязательно выполнено, называется покрытием мно жества A).

Любое разбиение множества является одновременно и его покрыти ем. Имея в виду дальнейшее обобщение результатов на структуру мно жеств с покрытиями, сформулируем понятие морфизма структуры мно жеств с покрытиями, пригодное и для разбиений.

Глава 6. Упорядочение состояний систем Определение 1. Пусть заданы множество A с покрытием PA и множество B с покрытием PB. Рассмотрим распространение соответст вия t : A B на булеаны 2 A и 2 B, ограничив распространение на PA 2 A.

Соответствие T : PA PB определяется следующим образом: K B = T ( K A ), если существует b K B такое, что b = t (a), где a K A. Будем называть со ответствие T распространением соответствия t на покрытия.

Определение 2. Соответствие t : A B будем называть морфизмом структуры множеств с покрытиями, если его распространение на по крытия T : PA PB есть функциональное и инъективное соответствие.

Предложение 1. Пусть заданы соответствие t : A B, его распро странение на покрытия T : PA PB и сопряженные с t и T соответствия t * и T *. Соответствие t будет морфизмом структуры множеств с покрытиями тогда и только тогда, когда оно переводит каждый класс K A покрытия PA (для которого t ( K A ) определено) целиком в некоторый класс покрытия PB и никакие два класса из покрытия PA не переводит в один и тот же класс из покрытия PB. Или для любого класса K A PA такого, что существует эле мент a K A, на котором соответствие t определено, выполняется включе ние t ( K A ) T ( K A ) и для любого класса K B PB такого, что существует элемент b K B, на котором соответствие t * определено, выполняется включение t * ( K B ) T * ( K B ).

Доказательство.

Пусть соответствие t — морфизм структуры покрытий. Пусть 1) существуют классы K B и K B такие, что t ( a) K B и t ( a) K B, где элементы a, a K A. Определение распространения на покрытия влечет равенства K b = T ( K A ) и K в = T ( K A ), а функциональность соответствия T влечет со отношения Kb = K в или t ( K A ) T ( K A ).

Поскольку инъективность соответствия T означает функциональность соответствия T *, сопряженного с T, то приведенное доказательство, приме ненное к сопряженным соответствиям t * и T *, дает единственность образа по T * или единственность прообраза по T, т. е. t * ( K B ) T * ( K B ).

Если класс K A целиком переводится в класс K B, то это значит, 2) что образ класса K A по соответствию T единственен и T — функциональ ное соответствие (частичное отображение). То, что никакие два класса K A не переводятся в один класс, означает, что соответствие T к тому же инъектив но.

Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем Заметив, что соответствие T *, сопряженное к функциональному и инъ ективному соответствию T, само будет функциональным и инъективным, а также то, что распространением (на покрытия) соответствия t * будет соот ветствие T *, где T распространение на покрытия соответствия t, прихо дим к следствию.

Следствие. Если соответствие t : A B морфизм структуры мно жеств с покрытиями, то сопряженное с ним соответствие t * : B A также морфизм структуры множеств с покрытиями.

Предложение 2. Пусть существует I j различных соответствий t j : M j L j, пусть к тому же M j M j = для любых j и j, не равных между собой. Тогда число соответствий t : M j L j, для которых су j j I.

жение t на M j совпадает с t j, равно j j Доказательство. Заметим, что нужные нам соответствия t можно по лучить перебором всевозможных соответствий t j, и количество таких ком бинаций как раз задается произведением числа вариантов I j.

Из приведенных предложений следует, что морфизмами структуры множеств с разбиениями каждый класс K A разбиения RA отображается це ликом в класс T ( K A ), и общее число морфизмов, т. е. инвариант структуры, отображается формулой I K X (T ( K X ) ), IX (A) = T K X R X где T — всевозможные инъективные и функциональные соответствия из RX в RA, K X — классы разбиения RX и I K X (T ( K X ) ) — количество соот ветствий из класса K X в класс T ( K X ).

Пусть, к примеру, в качестве морфизмов рассматриваются не произ вольные соответствия, а отображения t (тогда и T с необходимостью будет отображением), и инвариант структуры множеств с разбиениями в этом слу чае примет вид ( Card T ( K ) ) I X (A) = Card K X.

X T K X R X Пусть теперь нас интересует частный случай инварианта разбиения множества A, связанный с тождественным отображением классов, т. е. коли чество таких отображений множества A самого в себя, при которых каждый класс разбиения переходит в себя же. В этом случае Глава 6. Упорядочение состояний систем IA (A) = Ni Ni, i где произведение берется по всем классам разбиения множества A.

6.4.4. Функторные инварианты множеств с покрытиями Объектами категории служат пары ( A, PA ), где A — множество, PA — его покрытие. (Покрытие PA это совокупность { K A } подмножеств мно жества A таких, что K A = A ;

для покрытий были сформулированы и справедливы определения 1 и 2 и предложение 1 раздела 6.4.3).

В последующих леммах 1 и 2 и предложении 1 считаются заданными множество A с покрытием PA, множество B с покрытием PB, морфизм ка тегории множеств с покрытиями t : A B и его распространение на по крытия T : PA PB.

Лемма 1. Для любых классов K A, K A PA выполняется соотношение t(K A K A ) T (K A ) T (K A ).

Доказательство. a K A K A влечет a K A и a K A. По предло жению 1 предыдущего раздела 6.4.3 это означает, что t (a ) T ( K A ) и () t (a) T K A, т. е. t (a ) T ( K A ) T ( K A ).

Лемма 2. Для любых классов K A, K A PA выполняется соотношение ( ) () t KA KA T (KA ) T KA.

Доказательство. Пусть a K A K A. По предложению 1 раздела 6.4. t (a ) T ( K A ). При этом или t (a ) T ( K A ) T ( K A ), или t ( a ) T ( K A ) T ( K A ).

Принадлежность пересечению невозможна в силу леммы 1. Действитель но, если b = t (a ) T ( K A ) T ( K A ), то a K A K A, так как по следствию к предложению 1 раздела 6.4.3 соответствие t * является морфизмом мно жеств с покрытиями, что противоречит предложению, будто a K A K A.

Определение 1. Пусть задано покрытие PA { K A } множества A.

{ } множества Рассмотрим разбиение R ( PA ) = Y Y 2 PA A, устроенное сле дующим образом: для каждого элемента a из множества A элемент a Y, если выполняется условие a K A для любого K A Y, и a K A для любого K A Y, т. е. Y = K A K A. Назовем R ( PA ) разбиением, ассоцииро K AY K AY ванным с покрытием PA.

Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем Другими словами, элементами ассоциированного разбиения являют ся подмножества всевозможных пересечений и разностей классов покры тия PA. Класс Y R ( PA ) состоит или из тех элементов пересечения K, которые не входят в пересечение классов K A из Y с классами K A, A K AY не входящими в Y, или из соответствующих разностей классов покрытий.

Определение 2. Пусть заданы покрытие PA множества A, покрытие PB множества B, функциональное и инъективное соответствие (частичная инъекция) T : PA PB, а также R ( PA ) и R ( PB ) — разбиения, ассоцииро ванные с покрытиями PA и PB. Соответствие H T : R ( PA ) R ( PB ), для ко торого H T (Y ) = T (Y ), где T (Y ) = {T ( K A ) K A Y }, назовем соответстви ем, ассоциированным с соответствием T.

Предложение 1. Пусть заданы покрытие PA множества A, покрытие PB множества B, ассоциированные с ними разбиения R ( PA ) и R ( PB ), функциональное и инъективное соответствие T : PA PB и ассоциирован ное с T соответствие H T. Множество морфизмов структуры покрытий, для которых соответствие T является распространением на покрытия, сов падает с множеством морфизмов структуры разбиений, для которых соот ветствие H T является распространением на ассоциированные с покрытия ми разбиения.

Доказательство. Пусть соответствие t : A B — морфизм покрытий.

Поскольку Y = K A K A, то по леммам для морфизмов покрытий и K A Y K A Y t ( Y ) T ( K A ) T ( K A ) = по свойству образа объединения K A Y K A Y = T (Y ) = H T ( Y ). По предложению 1 раздела 6.4.3 это означает, что t — морфизм ассоциированных разбиений.


Пусть теперь t : A B — морфизм ассоциированных разбиений. Рас смотрим класс K A. Его можно представить как K A = Y, где Z { }, и образ этого класса по t :

Y = Z {K A} t ( K A ) = t Y = PA K A и Z Z = t ( Y ) H T (Y ) = T (Y ) = T ( K A ). Включение t ( Y ) H T ( Y ) Z Z Z Z Z следует из того, что соответствие t — морфизм разбиений, и из предложе ния 1 раздела 6.4.3. Равенство T (Y ) = T ( K A ) следует из определения ас Z Глава 6. Упорядочение состояний систем социированного соответствия. Результирующее включение t ( K A ) T ( K A ), в силу предложения 1 раздела 6.4.3, означает, что соответствие t – мор физм структуры покрытий.

Доказанное предложение показывает, что инвариант структуры по крытий может быть вычислен с помощью формулы для инварианта струк туры разбиений:

I ( H ( )), I X ( A) = Y T Y T Y 2 PX суммирование ведется по всем функциональным и инъективным соответ ствиям T : PX PY, а Y — классы разбиения, ассоциированного с покры тием PX, и I Y ( H T ( Y ) ) — количество соответствий из класса Y в объе динение классов T (Y ) из ассоциированного с покрытием PX разбиения R ( PX ). Классы T (Y ) являются образами Y по ассоциированному с T со ответствию H T. Если изучаемая категория — категория с суммами или с произведениями, то инварианты сумм или произведений обладают муль типликативными свойствами [Цаленко, Шульгейфер, 1974]:

Ai B j = I i ( B j ).

A I i j i j В категории множеств сумма есть объединение непересекающихся множеств, а произведение — декартово произведение множеств. Значение инварианта для множеств с покрытиями позволяет сформулировать муль типликативное свойство для инвариантов пересекающихся множеств:

Ai I Y I i ( B) = ( B), Y 2 PA где PA { Ai } и Y — классы ассоциированного с покрытием PA разбиения.

6.4.5. Удельные функторные инварианты Согласно определению 1 раздела 6.4.1 величина инварианта объек та A категории S относительно объекта X той же категории есть I SX ( A) = CardHom S ( X, A). Для категории конечных структурированных множеств эта величина зависит, во-первых, от того, какие морфизмы до пустимы в категории S, т. е. от постулированного в S канонического типа соответствий между множествами и от аксиоматики самой структуры, за данной на множествах. Например, для заданной пары множеств, произ вольных соответствий больше, чем отображений, а последних больше, чем Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем биекций;

так же соответствий, сохраняющих покрытия, больше, чем соот ветствий, сохраняющих ассоциированные с покрытиями разбиения. Во вторых, величина инварианта зависит от мощности базовых множеств A и X. Чтобы исключить зависимость от мощностей базовых множеств, со хранив зависимость от структуры, введем понятия удельного инварианта.

Пусть задана категория S конечных структурированных множеств.

Наряду с ней рассмотрим категорию S множеств «со стертой структурой»:

класс объектов Ob S совпадает с классом объектов Ob S. В класс морфиз мов Mor S входят произвольные соответствия того же канонического типа, что и в класс Mor S, но морфизмы из категории S не обязаны сохранять структуру множеств из класса ObS. Рассмотрим объекты A и X из кате гории S.

Определение 1. Удельным инвариантом объекта A относитель I X ( A) но объекта X называем число J SX ( A) = SX (в главе 14 сформулирована I S ( A) гипотеза, вводящая величину J SX ( A) альтернативным образом — через ко личество неэквивалентных морфизмов согласно полугрупповому аналогу групповой теоремы Лагранжа).

На примере структуры множеств с разбиением и в частном случае совпадения множеств X и A покажем, что величины, обратные к удель ным инвариантам, могут быть упорядочены так же, как неудельные инва рианты.

Предложение 1. Для структуры конечных множеств с разбиениями в категории с морфизмами — отображениями — условие «разбиение мно жества A слабее множества B » влечет утверждение 1 J A ( A) 1 J B ( B ).

Доказательство. Пусть на множествах A и B заданы разбиения этих множеств на w классов. Утверждение «структура разбиения множества A слабее структуры разбиения множества B » означает, что для каждого класса разбиения множества A и соответствующего ему по морфизму структуры f класса множества B для количеств элементов в них выпол няется niA n f (i ) B, поскольку морфизмами для сравнения силы структур служат инъекции, переводящие классы i разбиения множества целиком в классы f (i) разбиения множества B.

Обозначим 1 J A ( A) = F ( A) и покажем, что nn F ( A) F (n1, n2,..., nw ) = w n ni i i = Глава 6. Упорядочение состояний систем w (здесь n = ni ) есть монотонно возрастающая функция своих натурально i = значных аргументов ni, т. е. условие « niA n f (i ) B для всех i » влечет F ( A) F ( B). Для этого достаточно показать, что F ( A) ni 0 для любо го класса i. Действительно, ln F ( A) w n (n ln n ni ln ni ) = (ln n + 1) (ln ni + 1) = ln.

= ni ni ni i = w n ln F ( A) 1 F ( A) n i =1 i = 1, то и =A 0, откуда в силу Поскольку ni J ( A) ni ni ni F ( A) 0 следует необходимое неравенство F ( A) ni 0.

Глава ТЕОРЕТИКО-КАТЕГОРНОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ Принятые методологические установки (см. часть 1) подразумевают, в частности, осуществление следующих этапов при построении динамиче ской теории:

• описание объектов теории;

• описание способов изменчивости объектов;

• формулировка закона изменчивости.

В настоящей главе предложена реализация этих этапов на языке тео рии категорий и функторов (см. раздел 6.2).

7.1. Состояние системы и преобразование состояний Обычный и, возможно, единственный путь формального описания системы — подбор для нее математической структуры, удачно экспли цирующей ее содержательные характеристики (комментарий о возмож ности альтернативного описания с помощью «качественных категорий»

содержится в главе 14). Язык теории категорий фактически создан для описания математических структур. Первая существенная черта теории категорий — рассмотрение не отдельного множества с какой-либо струк турой, а включение в поле зрения одновременно всех одинаково струк турированных множеств (другими словами, множеств вместе с заданной на них аксиоматикой, например с отношениями, законами композиции, то пологиями и т. д.). Совокупность всех таких множеств составляет класс объектов категории.

Другая существенная черта языка теории категорий — явное рас смотрение не только самих объектов, но и всех допустимых их структурой преобразований (для категории структурированных множеств это соответ ствия из одних множеств в другие, не нарушающие их структуру). Напри мер, для множеств с заданным отношением порядка допустимыми будут монотонные соответствия, для множеств с заданной структурой «близости»

элементов — топологией — допустимы непрерывные преобразования, пе реводящие «близкие» элементы в «близкие» же и т. д. (см. раздел 6.1.5).

Множество допустимых преобразований (на языке теории катего рий — морфизмов) задано в категориях для каждой пары объектов. При Глава 7. Теоретико-категорное описание систем этом категории с совпадающими объектами, но различающимися морфиз мами, строго говоря, различны и описывают различающиеся системы. На пример, система с преобразованиями — произвольными соответствиями, отлична от системы, где те же множества-объекты преобразуются лишь взаимно однозначно. Процессы, происходящие в первой системе, богаче, чем во второй — в ней допустимы переходы между состояниями с пере менным числом элементов, в то время как во второй системе число эле ментов в разных состояниях должно быть одинаковым.

Таким образом, система — это некоторая категория, объеди няющая класс объектов и класс морфизмов. Объекты категории экс плицируют состояния систем, морфизмы — допустимые способы пе рехода от одних состояний к другим (т. е. преобразование состояний).

Аксиоматика математической структуры, определяющая категорию, выде ляет заданную систему среди других систем.

7.2. Энтропия систем Пусть задана система, описываемая категорией S, и состояния X и A системы, отождествляемые с объектами X и A из S. Инвари ант I SX ( A) (см. раздел 6.4) есть количество морфизмов из X в A в катего рии S, сохраняющих структуру объектов. На языке теории систем инвари ант I есть количество преобразований состояния X в состояние A, со храняющих структуру системы. Будем интерпретировать структуру систе мы (строже — аксиоматику, задающую структуру) как ее «макросостоя ние». Преобразования состояния X в состояние A будем интерпретиро вать как способы получения состояния A из состояния X, или как «мик росостояния» системы. Тогда инвариант состояния оказывается числом микросостояний, сохраняющих макросостояние системы. Приведенные интерпретации навеяны традицией статистической физики, согласно кото рой микросостояниями называют преобразования системы, не меняющие этого состояния. (Типичный пример: выделенный фрагмент газа, состоя щего из молекул, в котором допустимы перестановки, переобозначения и другие преобразования молекул, не меняющие давление, температуру и объем выделенного фрагмента.) В силу приведенных интерпретаций естественно рассмотреть вели чину, монотонную числу микросостояний в заданном макросостоянии сис темы, как римейк больцмановского определения энтропии H = k ln, где — число микросостояний в заданном макросостоянии, k — норми ровочный коэффициент. Более строго: назовем обобщенной энтропией состояния A системы S (относительно состояния X той же системы) ве личину H SX ( A) = ln J SX ( A), где J Sx ( A) — удельный инвариант объекта A относительно объекта X в эксплицирующей систему категории S (см. раздел 6.4.5).


Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем В качестве примера рассмотрим категорию множеств с разбиениями, где морфизмами служат отображения (см. раздел 6.4.3):

w n niX wn n X I ( A) = ln i =1 nX = nX iX ln iA, iA H SX ( A) = ln S X i =1 nX nA I ( A) nA S где niX и niA — количества элементов в классах разбиения множеств X w w и A, nX = niX, nA = niA, w — число классов в разбиениях. Этот при i =1 i = мер демонстрирует тот факт, что в частных случаях обобщенная энтропия имеет привычный «больцмановский» или, если угодно, «шенноновский»

вид. В разделе 9.5.1 будет показано, что для вариационной задачи на мак симум обобщенной больцмановской энтропии с ограничениями развития системы потоками тепла Q введенная энтропия совпадает с энтропией, определяемой в термодинамике как H = Q T, и коэффициент 1 T оказы вается множителем Лагранжа вариационной задачи.

Инварианты многих (если не всех) математических структур могут быть выражены через инварианты ассоциированных со структурами раз биений (см. раздел 6.4). Инварианты множеств с разбиениями мультиплика тивны относительно инвариантов каждого из классов разбиения (см. раздел 6.4.3), поэтому логарифмы инвариантов имеют характерный «энтропиеоб разный» вид сумм по классам разбиения.

Число J SX ( A), которое есть отношение числа преобразований, сохра няющих структуру, к общему числу преобразований, может быть интер претировано как вероятность образования состояния, обладающего задан ной структурой. Также, согласно выше приведенной формуле для энтро пии состояний в категории множеств со структурой разбиений, величина w n piA = niA может быть интерпретирована как вероятность реализации iA i = класса i в соответствующем разбиении, а величина { p1 A, p2 A,..., pwA} — как распределение вероятностей, определяющее состояние A. Однако указан ная аналогия представляет собой лишь одну из возможных интерпретаций.

Важно подчеркнуть, что формула для обобщенной энтропии введена вне каких-либо статистических или вероятностных предпосылок и справедли ва для любых и больших, и малых количеств элементов в системе.

Величина F = I S I S оказывается наименьшей и равной единице, ес ли состояние A оказывается неструктурированным вовсе (т. е. если S = S ).

Чем меньше число преобразований, сохраняющих структуру, по сравне нию с их числом в «бесструктурном» базовом множестве, тем больше эта величина. Указанное свойство можно интерпретировать как критерий Глава 7. Теоретико-категорное описание систем «степени структурированности» состояния. Тогда обобщенную энтропию состояния (которая является монотонной функцией от F ) следует интер претировать как меру отклонения, «удаленности» состояния от его бес структурного аналога или как числовую меру «степени структурирован ности» состояния системы.

Из предложения 1 раздела 6.4.5 следует, что обобщенная энтропия как монотонная функция величины F может быть мерой структурированности состояния и в смысле отношения порядка «сила структур»: чем сильнее структура состояния, тем больше его энтропия. Следствие справедливо в рамках описанного в указанном предложении примера, предполагающего, что речь идет о конечном (стационарном, см. раздел 8.3) состоянии A, за вершающем цепочку переходов из состояния с меньшей в состояние с большей энтропией, т. е. из состояния A возможны переходы в себя же и это состояние обладает наибольшей силой структуры.

И, наконец, в том же смысле, в каком инварианты структур являются обобщением понятия «количество элементов» бесструктурных множеств на множества со структурой (см. раздел 6.4.1), и обобщенная энтропия может быть интерпретирована как один из вариантов обобщения понятия «количе ство элементов» для структурированных множеств.

7.3. Экстремальные принципы как закон изменчивости систем Класс объектов эксплицирующей систему категории можно предста вит как пространство состояний системы.

Главный компонент любой динамической теории — закон изменчиво сти исследуемой системы (см. раздел 2.1), т. е. свод правил, позволяющий выбрать из всех допустимых состояний те, что реализуются в действитель ности, и указать «траекторию» системы в ее пространстве состояний.

В механике, в теории поля такой закон имеет вид «уравнений движе ния», которые являются постулатами теории. Альтернативой постулирова нию уравнений движения в теоретической физике, биологии, экономике и других науках служит постулирование экстремальных принципов, порож дающих законы изменчивости исследуемых систем (см. главу 3). Но что должно быть экстремальным для моделируемых систем? Категорно функторное описание систем дает «естественный» ответ на этот вопрос, по скольку в теории категорий существует систематический метод сравнения между собой состояний систем (см. раздел 6.3). Возможность сравнения со стояний по силе их структуры позволяет предложить экстремальный прин цип для изменчивости систем: из заданного состояния система перехо дит в состояние, обладающее наиболее сильной структурой среди со стояний, допускаемых имеющимися у системы ресурсами. Ограничение экстремума доступными системе ресурсами существенно, поскольку без не Часть 2. Теория категорий и функторов как язык и аппарат теории систем го требование максимума структуры сводилось бы к неограниченной экс пансии системы (система ограничений, дополняющая требование экстрему ма целевой функции, составляет также неотъемлемую часть формализма Джейнса, см. раздел 17.2). Замечу, что включение представления о ресурсах в закон изменчивости системы подразумевает, что рассмотрен класс систем, открытых по отношению к потребляемым ими при «движении» в простран стве состояний ресурсам.

Однако «сила структур» упорядочивает состояние систем лишь час тично (см. раздел 6.3.2): среди них могут оказаться несравнимые друг с другом. Это обстоятельство затрудняет применение предложенного экс тремального принципа, поскольку допускает ситуации, в которых экстре мальный принцип не позволяет однозначно проследить траекторию систе мы в ее пространстве состояний. Трудности сравнения состояний по силе структур позволяет преодолеть функторный метод сравнения структур (см. раздел 6.3.4), который устанавливает линейный, а не частичный поря док на совокупности одинаково структурированных множеств, или состоя ний системы. Функторный метод сравнения структур не только утвержда ет, что любые состояния систем сравнимы, но и строго вводит числовую функцию состояния, которая изменяется от состояния к состоянию моно тонно «силе» их структуры. Согласно методу этой функцией является ко личество допустимых структурой системы преобразований. Однако более привычную формулировку экстремального принципа удается получить, если рассматривать монотонную функцию от удельного количества допус тимых преобразований (см. раздел 6.4.5), определенную в настоящей главе как обобщенная энтропия состояния. А именно: из заданного состояния система переходит в определяемое допустимыми ресурсами состояние с наибольшей энтропией. В силу ограничений по ресурсам соответст вующий экстремальному принципу формализм представляет собой вариа ционную задачу на условный, а не глобальный экстремум целевой функ ции — энтропии (раздел 8.5).

ЧАСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ВАРИАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Ранняя редакция материалов части 3 частично содержится в работах автора и его соавторов [Левич, 1980;

1982;

Левич и соавт., 1994;

Levich, 2000;

Фурсова и соавт., 2008в].

Глава МОДЕЛЬ СООБЩЕСТВА ОРГАНИЗМОВ ОДНОГО ТРОФИЧЕСКОГО УРОВНЯ 8.1. Экспериментальный контекст исследования Модель описывает слагающие сообщество группы организмов, кото рые потребляют несколько взаимонезаменимых ресурсов. Это могут быть, например, сообщества автотрофов, потребляющих углерод, азот, фосфор, кремний, энергию света и. т. п., или сообщество бактерий, растущих на средах, содержащих несколько необходимых им одновременно субстратов.

Организмы растут на невозобновляемом запасе ресурсов. В лабора торных условиях этой ситуации соответствует накопительное, а не про точное культивирование. Замечу, что при проточном культивировании, в отличие от накопительного, не только возобновляется запас питательных веществ в среде, но и происходит изымание биомассы всех видов сообще ства в одинаковой пропорции, обусловленной скоростью протока. Это об стоятельство существенно отличает проточное культивирование от про цессов, протекающих в естественных условиях, где элиминация биомассы всегда видоспецифична. В то же время накопительное культивирование может служить прообразом некоторых естественных систем, например, водоемов, в которых запасы биогенных элементов пополняются один-два раза в сезон при перемешивании вод из-под термоклина с водными масса ми фотического слоя [Одум, 1986]. Непроточные процессы существуют и в искусственных экосистемах, например, при реализации некоторых мик робиологических технологий.

Модель ограничена изучением периода развития от инокуляции до остановки роста, вызванной исчерпанием одного или нескольких ресурсов, Часть 3. Математические аспекты вариационного моделирования но не какими-либо другими причинами (например, не аутотоксикацией, не метаболитными взаимодействиями и др.). Подразумевается возможность гибели части организмов до достижения культурой стационарной стадии роста. Однако предполагается, что высвобождающиеся в результате лизиса отмирающих организмов количества питательных веществ малы по срав нению с общими начальными запасами ресурсов в среде и клетках.

Учтено, что рост организмов определен не только запасами ресурсов в среде, но и внутриклеточными запасами. А именно: подразумевается один из физиологических механизмов влияния запасов на рост: деление клеток прекращается, когда внутриклеточный запас хотя бы по одному из взаимонезаменимых ресурсов достигает некоторого видоспецифического минимального значения [Droop, 1973].

Модель описывает сообщество групп организмов, где группы разли чаются между собой по физиологическим потребностям в ресурсах. Это могут быть популяции различных видов, диссоциантов, размерные или другие физиологически однородные группы особей.

Предложена модель для описания сообществ, в которых группы сла гающих сообщество организмов в процессе функционирования переходят только сами в себя. Т. е. не происходит, например, видообразования;

нет необходимости учитывать возрастную или трофическую структуру сооб щества и т. д.

8.2. Состояния и преобразования сообщества Сообщество удобно описывать множеством из n элементов, разби тых на w непересекающихся классов с количеством ni элементов в классе w n = n ), т. е. математической структурой множеств с разбие i ( i = 1, w ;

i i = ниями (см. раздел 6.1.5). Классы разбиения как раз соответствуют физио логически различным группам организмов, элементы множества — осо бям. Набор численностей входящих в сообщество групп n {n1, n2,…, nw } назову состоянием сообщества.

Переходы сообщества из одного состояния в другое могут быть опи саны соответствиями между множествами с разбиениями (см. раздел 6.1.2).

На рис. 8.1 представлены преобразования, которые могут происходить с организмами, и их математическая интерпретация соответствиями между множествами. Рассмотрим сообщество, в котором допустимо размножение и смертность организмов, но отсутствует поглощение одних организмов другими и интродукция извне, что соответствует описанной выше экспе риментальной ситуации накопительного культивирования организмов од ного трофического уровня. Таким требованиям удовлетворяют инъектив ные, сюръективные, не всюду определенные и не функциональные соот ветствия (рис 8.1), переводящие каждый класс разбиения в себя же.

Глава 8 Модель с сообщества организмо одного трофическо уровня а ов т ого 8. 8.3. Ц Целевая функция в моде я ели сооб бществ ва Модель предназн начена дл описан стаци ля ния ионарного состоян со о ния общесства, но не динами перех ики хода в нег Стацио го. онарному состоян у нию со ответс ствует осттановка роста, вызванная ис счерпание каких ем -либо рес сурсов.

В модели принят экстрема и альный принцип ( п (постулат в стац т): ционар ном соостоянии математи ическая с структура описыв а, вающая со ообществ экс во, тремалльна в прределах, допустим мых доступными организм мам запассам ре сурсов (см. раз в здел 7.3). Согласно функтор о рному меетоду сра авнения матема м тическ струк ких ктур (см. рраздел 6.4 экстремальной структуре соответ тствует 4) экстре емальное количест допустимых ст тво труктурой соответс й ствий (пр реобра зовани а такж (см. раздел 7.2) экстрем ий), же мальное зн начение ообобщенн эн ной тропиии w w nn H (n ) = n i ln i = ni ln ni + n ln n.

i =1 n n i = Выражен для эн В ние нтропии следует из форму раздела 7.2 при усло и ул и вии, что для ис скомого с состояния экстремально чис перех я сло ходов не только из люббых друг состоя гих яний, но и из само себя. В раздел 7.2 иде речь ого ле ет о коли ичестве ффункцион нальных и всюду определ ленных со оответстввий — отобраажений. В рассмат триваемой модели необход й и димо подс считать количе к ство и инъективн и сюр ных ръективны соотве ых етствий, н в силу симметр ка но у рии нонических сво ойств сооответствий при обр й ращении стрелок и согласн сим но метриччности фоормул 6 и 11 табл. 6.8 эти количеств совпада к ва ают.

.

Раз змножение организмо ов Отс сутствие фу ункционал льности соо ответствия Пог глощение оодним орга анизмом др ругого Отс сутствие ин нъективнос соответ сти тствия Смерть особи или ее эли и иминация и сообщес из ства Отс сутствие вс сюду опредделенности соответст и твия Инт тродукция особей в сообщество с о Отс сутствие сю юръективноости соответствия Рис. 8.1 Возможн преобр ные разования о особей в эк кологическ сообще ком естве и их матема 1.

тическа интерпретация ая Часть 3. Математические аспекты вариационного моделирования 8.4. От сообщества к экосистеме: ограничения на ресурсы Сообщество функционирует за счет ресурсов среды. Количество по требленных ресурсов не может быть больше, чем их запасы в начале куль тивирования. Формально указанный закон сохранения веществ и энергии может быть записан в форме балансовых неравенств:

w n q Lk, k = 1, m.

k ii i = Величина ni в неравенствах есть численность организмов группы i ;

qik — количество ресурса k, потребленное организмами группы i ;

Lk — запас ресурса k в начале опыта;

m — общее число ресурсов, необходимых для размножения входящих в сообщество организмов. Запас ресурса включает его содержание как в среде, так и внутри организмов.

Указанные неравенства выполняются в любой момент культивиро вания. На стационарной стадии роста некоторые из неравенств обращают ся в строгие равенства. Это означает, что соответствующие равенствам ре сурсы потреблены полностью и остановка роста обязана исчерпанию именно этих ресурсов. Назову такие ресурсы лимитирующими. Для ос тальных — не лимитирующих рост ресурсов — указанные нестрогие нера венства обращаются в строгие.

8.5. Постановка вариационной задачи Вариационная задача включает требование экстремальности целевой функции, ограничения на искомые функции, вызванные конечностью запа сов, необходимых для роста ресурсов, и ограничения на эти функции, свя занные с «биологическим смыслом» переменных:

w H ( n ) = ni ln ni + n ln n экстремальна, i = w ni = n, i =1 (8.1) w k qi ni Lk, k = 1, m, i = n 0, i = 1, w.

i Здесь ni и n — численности групп и всего сообщества на стационарной стадии роста;

Lk 0 — начальное содержание ресурса k в среде и в орга низмах;

qik — содержание ресурса k в организмах группы i на стационар Глава 8. Модель сообщества организмов одного трофического уровня ной стадии роста;

m — общее количество потребляемых сообществом ре сурсов;

w — число групп организмов, образующих сообщество.

Подлежат отысканию: подмножество J лимитирующих ресурсов из множества всех ресурсов {1,2,...,m}, а также переменные ni ( Lk, qik ) и n ( Lk, qik ), k J, i = 1, w как функции параметров задачи — лимитирующих ресурсов Lk и потребностей организмов в этих ресурсах qik.

Для упрощения математических свойств задачи отыскиваются не це лочисленные, а действительные значения численностей (с последующим округлением до целых чисел в биологических приложениях).

8.6. Замечания о моделировании иных структур сообщества Целевая функция в сформулированной вариационной задаче получе на в следующих предположениях о допустимых преобразованиях сообще ства:

– каждый класс преобразуется в себя же (т. е. нет необходимости учитывать, например, возрастную, трофическую и т. п. структуры сообще ства);

– допустимые соответствия не обязательно функциональны (орга низмы размножаются), но сюръективны (нет интродукции извне), инъек тивны (нет «слияния» организмов) и не обязательно всюду определены (организмы смертны).

Эти предпосылки вызваны намерением проверить предсказания мо дели на биологических объектах одного трофического уровня: однокле точных планктонных водорослях или бактериях.

Однако предлагаемый метод вывода целевых функций допускает приложение к описанию сообществ с произвольными свойствами (лишь бы эти свойства можно было описать на языке соответствий между множе ствами с разбиениями, если для моделирования сообщества выбрана имен но такая математическая структура).

Например, при сохранении первого из названных выше двух предпо ложений можно отказаться от требований отсутствия интродукции в со общество и отсутствия слияния организмов. Тогда допустимыми окажутся произвольные соответствия между множествами, переводящие каждый класс разбиения сообщества в себя же. Согласно формуле 1 из табл. 6.8 эн тропия такой структуры есть 2n w n 2 ni2.

H (n ) = ln w 2 ni2 i = i = Часть 3. Математические аспекты вариационного моделирования Может представлять интерес рассмотрение системы, в которой будут допустимы преобразования, соответствующие только биективным соот ветствиям (таковы, кстати, объединения различных групп молекул газа — не «размножающихся» и не «смертных»). Формула энтропии в этом случае (согласно формуле 16 из табл. 6.8) приобретает вид n!

H (n ) = ln.

w n ! i i = Моделирование возрастной структуры сообщества потребует уже отказа от первого предположения: каждая возрастная группа должна пере ходить не в себя же, а в следующую за ней возрастную группу. Моделиро вание трофической структуры подразумевает подсчет количества соответ ствий переводящих классы «жертв» в классы «хищников». Для подобных подсчетов необходимо будет применять более сложные, нежели в случае первого предположения, формулы для инвариантов структуры множеств с разбиениями (см. разд. 6.4.3).

Глава ТЕОРЕМЫ ВАРИАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В главе 8 сформулирована вариационная задача, решение которой описывает состояние сообщества одноклеточных организмов на стацио нарной стадии роста. Прежде чем перейти к изложению ряда строгих ма тематических результатов исследования этой задачи, необходимо сделать следующее замечание. При ni = 0, i = 1, w значение целевой функции равно нулю ( H (n1,..., nw ) = 0 ), что является глобальным минимумом в зада че (8.1). Поскольку этот тривиальный случай не представляет интереса, в дальнейшем вместо задачи на экстремум будем решать задачу на нахож дение максимума функции H [Левич и соавт., 1994].

9.1. Существование и единственность решения Исследуем задачу на условный экстремум w w w H ( n1,..., nw ) = ni ln ni ni ln ni max, i =1 i =1 i = w qi ni L, k = 1, m, k k (9.1.1) i = ni 0, i = 1, w.

Всюду в дальнейшем считается, что для всех k = 1, m выполнены ус ловия, следующие из смысла задачи:

( ) qik 0, i = 1, w, q k = q1k,..., qw 0, Lk 0, w 1 ;

rank(qik ) = min( m;

w).



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 16 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.