авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» Л.С. Барковская, Л.В. Станишевская, Ю.Н. Черторицкий ...»

-- [ Страница 2 ] --

m Пример 6.1. Изделия некоторого производства содержат 5 % брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий: а) нет ни одного ис порченного;

б) будут два испорченных.

Решение. а) По условию задачи n = 5, p = 0,05. Так как вероятность наступ ления события А (появление бракованной детали) постоянна для каждого испы тания, то задача подходит под схему Бернулли. Находим вероятность того, что среди пяти взятых наудачу изделий нет ни одного испорченного n = 5, m = 0, p = 0,05. По формуле Бернулли а) P0;

5 = C5 0,050 0,955 = 1 1 0,774 = 0,774 ;

б) n = 5, m = 2, p = 0,05, P2;

5 = C5 0,052 0,953 = 5 4 0,0025 0,857 = 0,021.

Ответ: а) P0;

5 = 0,774 ;

б) P2;

5 = 0,021.

Определение. Число наступлений события А называется наивероятней шим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз.

Наивероятнейшее число наступлений события А в n испытаниях заключе но между числами np q и np + p : np q m0 np + p. Если np q — целое число, то наивероятнейших чисел два np q и np + p.

Пример 6.2. В помещении четыре лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы 0,8. Чему равно наивероятнейшее число ламп, которые будут работать в течение года?

Решение. По формуле np q m0 np + p найдем m0. По условию n = 4, p = 0,8, q = 1 0,8 = 0,2 :

4 0,8 0,2 m0 4 0,8 + 0,8 3 m0 4.

Следовательно, имеются два наивероятнейших числа m0 = 3 или m0 = 4.

Ответ: m0 = 3 или m0 = 4.

Пример 6.3. Вероятность попадания в кольцо при штрафном броске для баскетболиста равна 0,8. Сколько надо произвести бросков, чтобы наивероят нейшее число попаданий было равно 20?

Решение. Известно, что p = 0,8, m0 = 20. Тогда q = 1 0,8 = 0,2 и n найдем из системы неравенств n 20, n 0,8 0,2 20 0, 24 n 25,25.

n 0,8 + 0,8 20 n 19, 0, Так как n — целое число, то n = 24 или n = 25.

Ответ: 24 или 25.

Задачи для самостоятельного решения 6.1. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?

Ответ: P ;

8 0,2787.

6.2. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный ис ход партии исключен) три партии из четырех или пять из восьми?

Ответ: P ;

4 P ;

8.

3 6.3. В банк поступило 6 заявлений от физических лиц на получение креди та. Вероятность получить первый кредит для каждого равна. Найти вероят ности следующих событий:

1) будет выдано ровно 3 кредита;

2) будет выдано не менее двух кредитов.

Ответ: P = 0,32.

6.4. Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки 0,485. В не которой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек.

Ответ: P1 0,132 ;

P2 0,995.

6.5. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попа дания мяча при каждом броске равна соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероят ность того, что у обоих будет равное количество попаданий.

(C3m ) 3 0,6m 0,43 m (0,7)m (0,3)3 m 0,32076.

Ответ: P = m= 6.6. Игральная кость подбрасывается 5 раз. Найти вероятность того, что два раза появится число очков, кратное трем.

Ответ: P =.

6.7. Экзаменационный билет состоит из пяти вопросов в виде теста с тре мя возможными ответами на каждый из пяти вопросов, из которых нужно вы брать один правильный. Какова вероятность сдать экзамен методом простого угадывания, если достаточно ответить хотя бы на 4 вопроса?

Ответ: P =.

6.8. Три охотника одновременно выстрелили по волку. Вероятности попа дания каждым из охотников одинаковы и равны 0,4. Определить вероятность того, что волк будет убит, если известно, что при одном попадании охотники убивают волка с вероятностью 0,2, при двух – с вероятностью 0,5 и при трех – с вероятностью 0,8.

Ответ: P = 0,2816.

6.9. На контроль поступила партия деталей из цеха. Известно, что 5 % всех деталей не удовлетворяет стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь?

Ответ: n 59.

6.10. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,4. Произведено 10 бросков. Найти наивероятнейшее число попа даний и соответствующую вероятность.

Ответ: m0 = 4, P = 0,251.

6.11. Найти наивероятнейшие числа отрицательных и положительных ошибок и соответствующую вероятность при четырех измерениях, если при каждом измерении вероятность получения положительной ошибки равна 2, а отрицательной — 1.

Ответ: m0 = 3;

m0 = 1;

P = 32 0,395.

+ 6.12. Вероятность попадания в десятку при одном выстреле р = 0,2.

Сколько нужно провести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не ме нее 0,9 попасть в десятку хотя бы один раз?

1.

Ответ: n 1 3 lg 6.13. Какое наименьшее количество чисел необходимо взять из таблицы случайных чисел, чтобы с наибольшей вероятностью обеспечивалось появле ние среди них трех чисел, оканчивающихся цифрой 7?

Ответ: n = 29.

6.14. Вероятность появления события в каждом из независимых испыта ний равна 0,3. Найти число испытаний n, при котором наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях будет равно 30.

Ответ: 100 n 102.

6.15. Доля крупных заказов в строительной фирме составляет 40%. Чему равно наивероятнейшее число крупных заказов, если фирма предполагает за ключить 120 договоров на следующий год?

Ответ: m 0 = 48.

6.16. Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08.

Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.

Ответ: m 0 = 7.

6.17. Чему равна вероятность р наступления события в каждом из 49 неза висимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 30?

Ответ: 0,6 p 0,62.

6.18. Чему равна вероятность р наступления события в каждом из 39 неза висимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 25?

Ответ: 0,625 p 0,650.

Предельные теоремы для схемы Бернулли Теорема 1 (Пуассона). Предположим, что произведение np является по стоянной величиной, когда n неограниченно возрастает. Обозначим = np. То гда для любого фиксированного mи любого постоянного :

m lim Pm,n = e.

m!

n np = В случае, когда n велико, а р мало (обычно p 0,1 ;

npq 9 ) вместо фор мулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона m Pm, n e, где = np.

m!

Пример 6.4. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероят ность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

Решение. Для определения вероятности P ;

1000 применим приближенную формулу Пуассона 45 e4 0,1563.

= np = 0,004 1000 = 4 ;

P5;

5!

Значение функции Пуассона найдено по прил. 3 для m = 5 и = 4.

Ответ: P5;

1000 0,1563.

Теоремы Муавра-Лапласа Теорема 2 (Муавра-Лапласа (локальная)). Если вероятность наступле ния события А в каждом из n независимых испытаниях равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Pm, n то го, что в n испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна (чем больше n, тем точнее) значению функции Pm;

n 1 f (u ), npq m np где f (u ) = 1 e u 2, u =. Таблица значений функции f (x) приведена в npq прил. 1.

Пример 6.5. Вероятность найти белый гриб среди прочих равна. Какова вероятность того, что среди 300 грибов белых будет 75?

Решение. По условию задачи p =, m = 75, n = 300, q = 1 p = 1 1 = 3.

4 75 300 m np 4 = 0. По таблице находим (x) = 0,3989.

Находим x = = npq 300 1 (x) 0,3989 4 0, P75;

300 = 0,053.

= = npq 900 Ответ: P75;

300 0,053.

Теорема 3 (Муавра-Лапласа (интегральная)). Если вероятность наступ ления события А в каждом из n независимых испытаний равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n испытаниях число успехов m находится между m1 и m2, приближенно равна (чем больше n, тем точнее) m np m np P(m1 m m2 ) 1 2 npq, 2 npq где р — вероятность появления успеха в каждом испытании, q = 1 p, x t ( x ) = 2 e значения (x) приведены в прил. 2.

2 dt, 2 Пример 6.6. В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью. Найти вероятность того, что количество спелых арбузов бу дет в пределах от 564 до 600.

Решение. По условию n = 768, p = 0,75, m1 = 564, m2 = 600. По интегральной теореме Лапласа P(564 m 600) 1 600 768 0,75 564 768 0,75 = 2 768 0,25 0,75 768 0,25 0, = 1 600 576 564 576 = ((2) + (1)) 1 (0,9545 + 0,6827) = 0,8186.

2 12 12 Ответ: P768(564 m 600) 0,8186.

Пример 6.7. Город ежедневно посещает 1000 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ре сторанов желает, чтобы с вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест долж но быть для этого в его ресторане?

Решение. Пусть А = «турист пообедал у заинтересованного владельца».

Наступление события А будем считать «успехом», p = P( A) = 0,5, n = 1000. Нас интересует такое наименьшее число k, что вероятность наступления не менее чем k «успехов» в последовательности из n = 1000 независимых испытаний с вероятностью успеха р = 0,5 приблизительно равна 1 – 0,99 = 0,01. Это как раз вероятность переполнения ресторана. Таким образом, нас интересует такое наименьшее число k, что P = (k, 1000) 0,01. Применим интегральную тео рему Муавра-Лапласа k 1 1000 P1000 (k m 1000 ) 0,01 2 250 1 100 k 500 k 1.

10 5 10 2 2 5 Откуда следует, что k 0,98.

5 k Используя таблицу для Ф(х) (прил. 2), находим 2,33, значит 5 k = 2,33 5 10 + 500 536,8. Следовательно, в ресторане должно быть 537 мест.

Ответ: 537 мест.

Из интегральной теоремы Лапласа можно получить формулу P m p n.

pq n Пример 6.8. Вероятность появления события в каждом из 625 независи мых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

Решение. По условию n = 625, p = 0,8, q = 1 0,8 = 0,2, = 0,04.

Требуется найти вероятность P m 0,8 0,04. Воспользуемся формулой 625 P m p n.

pq n P m 0,8 0,04 0,04 625 = (2,5) = 0,9876.

0,8 0, 625 Ответ: Р = 0,9876.

Пример 6.9. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события откло нится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Решение. По условию p = 0,5, q = 0,5, = 0,02;

P m 0,5 0,02 = 0,7698.

n Воспользуемся формулой P m p n.

pq n Следовательно, n = 0,7698 0,04 n = 1, 0,02 n = 30 n = 900.

0,5 0, Ответ: n = 900.

Задачи для самостоятельного решения 6.19. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в те чение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов?

Ответ: P 0,0916.

6.20. Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рож дения в фиксированный день равна 1/365.

Ответ: Р 0,2385.

6.21. Радиоаппаратура состоит из 2000 элементов. Вероятность отказа од ного элемента в течение года равна 0,001. Какова вероятность отказа двух эле ментов за год? Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год?

Ответ: P 0,2707;

P 0,594.

6.22. Завод отправил в магазин 5000 лампочек. Вероятность того, что лам почка разобъется при транспортировке равна 0,0002. Найти вероятность того, что в магазин привезли не более трех разбитых лампочек.

Ответ: P 0,951.

6.23. Среди семян пшеницы 0,6 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить а) не менее 3 семян сорняков;

б) не более 16 семян сорняков;

в) ровно 6 семян сорняков?

Ответ: а) 0,93803;

б) 0,9998;

в) 0,16062.

6.24. Вероятность изготовления стандартной детали на автомате равна 0,95. Изготовлена партия в 200 деталей. Найти наиболее вероятное число не стандартных деталей в этой партии. Найти вероятность этого количества не стандартных деталей.

Ответ: P 0,13.

6.25. В камере хранения ручного багажа 80 % всей клади составляют чемо даны, которые вперемешку с другими вещами хранятся на стеллажах. Через ок но выдачи были получены все вещи с одного из стелажей в количестве 50 мест.

Найти вероятность того, что среди выданных вещей было 38 чемоданов.

Ответ: P 0,11.

6.26. На факультете 730 студентов. Вероятность рождения каждого студен та в данный день равна. Найти вероятность того, что найдутся три студен та с одним и тем же днем рождения.

Ответ: P 0,18.

6.27. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8.

Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

Ответ: P 0,04565.

6.28. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков?

Ответ: P 0,0782.

6.29. Известно, что в среднем 70% продукции завода является продукцией первого сорта. Какова вероятность того, что в партии из 200 изделий имеется 120 изделий 1-го сорта?

Ответ: P 0,000031.

6.30. Для поступления в колледж необходимо успешно сдать вступитель ные экзамены. В среднем их успешно сдают 65% абитуриентов. В приемную комиссию поступило 700 заявлений. Какова вероятность того, что хотя бы поступят в колледж?

Ответ: P 0,0002.

6.31. При установившемся технологическом процессе цех выпускает в среднем 80 % продукции первого сорта. Какова вероятность того, что в партии из 125 изделий будет не менее 100 изделий первого сорта?

Ответ: P 0,5.

6.32. В страховом обществе застраховано 10 000 лиц одного возраста и од ной социальной группы. Вероятность смерти в течение года для каждого лица равна 0,006. Каждый застрахованный вносит 1 января 12 у.е. страховых, и в случае смерти его родственники получают от общества 1000 у.е. Найти вероят ность того, что: а) общество потерпит убыток;

б) общество получит прибыль, не меньшую 40 000, 60 000, 80 000 у.е.

Ответ: а) 0;

б) 0,9952;

0,5;

0,0048.

6.33. Вероятность рождения мальчика р = 0,512. Вычислить вероятность событий: А = «среди 100 рожденных будет больше мальчиков, чем девочек», В= = «разница между количеством мальчиков и количеством девочек из 100 ново рожденных не превысит 10».

Ответ: P( A) 0,5160;

P(B ) = 0,6689.

6.34. Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0,2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 конденсаторов выйдут из строя: а) не менее 20;

б) менее 28;

в) от 14 до 26 конденсаторов.

Ответ: a ) P 0,5 ;

) P = 0,97725;

) P = 0,86639.

6.35. При социологических опросах граждан каждый человек независимо от других может дать неискренний ответ с вероятностью 0,2. Найти вероятность то го, что из 22 500 опросов число неискренних ответов будет не более 4620.

Ответ: P 0,9773.

6.36. В банк поступило 1000 стодолларовых купюр. Какова вероятность того, что среди них окажется 5 фальшивых купюр, если известно, что на рынке 0,1% купюр фальшивых?

Ответ: P = 0,0031.

6.37. Сколько семян надо отобрать для определения процента всхожести, чтобы с вероятностью 0,977 можно было утверждать, что отклонение частости доброкачественных семян от их доли, равной 0,9, не превышало по абсолютной величине 0,02?

Ответ: n = 1170.

6.38. Отдел технического контроля проверяет на стандартность 900 дета лей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число m стандартных деталей среди проверенных.

Ответ: 792 m 828.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 7. Дискретная случайная величина Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Обозначают случайные величины буквами Х, Y, Z, а их возможные значе ния — х, у, z.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным, но счетным.

Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределе ния — это соответствие между возможными значениями и их вероятностями:

Х … x1 x2 xn Р … p1 p2 pn pi = P( X = xi ), i = 1, n.

События X = x1, X = x2,, X = xn образуют полную группу, следователь но, сумма вероятностей этих событий равна единице:

p1 + p 2 + p3 + p n = 1.

Ряд распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически в виде полигона или многоугольника распределения вероятностей.

Для этого по горизонтальной оси в выбранном масштабе нужно отложить зна чения случайной величины, а по вертикальной — вероятности этих значений, тогда точки с координатами ( xi, pi ) будут изображать полигон распределения вероятностей;

соединив же эти точки отрезками прямой, получим многоуголь ник распределения вероятностей.

Пример 7.1. Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения Х –2 –1 0 2 Р 0,1 0,2 0,3 0,2 0, Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.

Решение. На оси Х откладываем значения xi, равные –2, –1, 0, 2, 4, а по вертикальной оси вероятности этих значений (рис. 7.1):

y...

. А3 0, А4 А.

А 0, А 0, А0 А6 x –3 –2 –1 0 1 2 3 4 Рис. 7. Точки A1, A2, A3, A4, A5 изображают полигон распределения, а ломаная A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 — многоугольник распределения вероятностей.

Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределе ния. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F ( x ), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х:

F ( x ) = P( X x ) Функцию F ( x ) иногда называют интегральной функцией распределения.

Если значения случайной величины — точки на числовой оси, то геомет рически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х попадает левее заданной точки х (рис. 7.2):

Хx х 0 х Рис. 7. F(x) обладает свойствами:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

0 F ( x ) 1.

Утверждение следует из того, что функция распределения — это вероят ность.

2. Функция распределения есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна 1, т.е.

F ( ) = lim F ( x ) = 0 ;

F (+ ) = lim F ( x ) = 1.

x x + 4. Вероятность попадания случайной величины в интервал [x1, x 2 ) (вклю чая x1 ) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.

P( x1 X x 2 ) = F ( x 2 ) F ( x1 ).

Числовые характеристики случайной величины Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины Пусть случайная величина Х может принимать только значения x1, x 2,, x n, вероятности которых соответственно равны p1, p 2,, p n. Тогда математиче ское ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством n M ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + + xn pn = xi pi.

i = Из определения следует, что математическое ожидание дискретной слу чайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическо му значений случайной величины: X M ( X ).

Свойства математического ожидания 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой посто янной M (C ) = C.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожи дания M (CX ) = CM ( X ).

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа слу чайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий M ( X ± Y ) = M ( X ) ± M (Y ).

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий M ( XY ) = M ( X ) M (Y ).

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее мате матического ожидания равно нулю M ( X M ( X )) = 0.

Дисперсия случайной величины Только математическое ожидание не может в достаточной степени харак теризовать случайную величину.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений слу чайной величины вокруг ее среднего значения.

Дисперсией D( X ) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

D( X ) = M [ X M ( X )]2.

Дисперсия — это мера рассеяния случайной величины около ее математи ческого ожидания.

Если Х — дискретная случайная величина, то дисперсию вычисляют по следующим формулам:

n D( X ) = ( xi a )2 pi, i = где а = М(Х);

D( X ) = M (X 2 ) (M ( X ))2.

Свойства дисперсии случайной величины 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю D(C ) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат D(CX ) = C 2 D( X ).

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D( X + Y) = D( X ) + D(Y).

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий D( X Y) = D( X ) + D(Y).

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристи ки. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называ ется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии = D( X ).

Среднее квадратическое отклонение характеризует степень отклонения случайной величины от ее математического ожидания и имеет размерность значений случайной величины.

Рассмотрим некоторые распределения дискретной случайной величины.

Биномиальный закон распределения Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р, то число появлений события А — дискретная случайная величина Х, принимающая значения 0, 1, 2, …, m,, n с вероятностями Pn (m ) = C n p m q nm m (формула Бернулли), где 0 p 1, q = 1 p, m = 0, 1,, n.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распреде ленной по биномиальному закону, вычисляется по формулам:

M ( X ) = np, D( X ) = npq.

Распределение Пуассона Если число испытаний велико, а вероятность появления события р в каж дом испытании очень мала, то вместо формулы Бернулли пользуются прибли женной формулой Пуассона m e Pn (m ), m!

где m число появлений события в n независимых испытаниях;

m принимает значения 0, 1, 2,, n. = np (среднее число появлений события в n испытаниях).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распреде ленной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру, который опреде ляет этот закон, т.е.

M ( X ) = D( X ) =.

Геометрическое распределение Дискретная случайная величина X = m имеет геометрическое распреде ление, если она принимает значения 1, 2, …, m, …(бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями P = ( X = m) = pq m1, где 0 p 1, q = 1 p, m = 1, 2,....

Определение геометрического распределения корректно, так как сумма p вероятностей pi = pq i 1 = p = = 1.

1 q p i =1 i = Случайная величина X = m, имеющая геометрическое распределение, пред ставляет собой число m испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с веро ятностью р наступления события в каждом испытании до первого положи тельного исхода.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, имею щей геометрическое распределение с параметром р вычисляются по формулам:

M (X ) =, p q D( X ) = 2, p где q = 1 p.

Гипергеометрическое распределение Пусть имеется N элементов, из которых М элементов обладают некоторым признаком А. Извлекаются случайным образом без возвращения n элементов. Х — дискретная случайная величина, число элементов обладающих признаком А, сре ди отобранных n элементов. Вероятность, что Х = m определяется по формуле C M C Nm mn P( X = m ) = M.

n CN Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распреде ленной по гипергеометрическому закону, определяются формулами:

M M (X ) = n, N M M n D( X ) = n.

1 N N N Пример 7.2. В аккредитации участвуют 4 коммерческих вуза. Вероятности пройти аккредитацию и получить сертификат для этих вузов, соответственно равны 0,5;

0,4;

0,3;

0,2. Составить закон распределения числа коммерческих ву зов, не прошедших аккредитацию. Найти числовые характеристики этого рас пределения.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число коммерче ских вузов, не прошедших аккредитацию. Возможные значения, которые может принять случайная величина Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Для составления закона распределения необходимо рассчитать соответ ствующие вероятности. Обозначим через событие A1 — первый вуз прошел ак кредитацию, A2 — второй, A3 — третий, A4 — четвертый. Тогда P ( A ) = 0,5 ;

P ( A2 ) = 0,4 ;

P ( A3 ) = 0,3 ;

P ( A4 ) = 0,2. Вероятности для вузов не пройти аккреди () () ( )= тацию соответственно равны P A = 1 0,5 = 0,5 ;

P A2 = 1 0,4 = 0,6 ;

P A () = 1 0,3 = 0,7 ;

P A4 = 1 0,2 = 0,8.

Тогда имеем:

P( X = 0) = P( A1A2 A3 A4 ) = 0,012.

P( X = 1) = P(A1 A2 A3 A4 ) + P(A1 A2 A3 A4 ) + P(A1A2 A3 A4 ) + P(A1A2 A3 A4 ) = 0,106.

P( X = 2) = P(A1 A2 A3 A4 ) + P(A1 A2 A3 A4 ) + P(A1 A2 A3 A4 ) + P(A1 A2 A3 A4 ) + + P(A1 A2 A3 A4 ) + P(A1A2 A3 A4 ) = 0,320.

P( X = 3) = P(A1 A2 A3 A4 ) + P(A1 A2 A3 A4 ) + P(A1A2 A3 A4 ) + P(A1A2 A3 A4 ) = 0,394.

P( X = 4) = P(A1A2 A3 A4 ) = 0,168.

Запишем закон распределения в виде таблицы Х 0 1 2 3 Р 0,012 0,106 0,320 0,394 0, Проверка: 0,012 + 0,106 + 0,32 + 0,394 + 0,168 = 1.

Вычислим n M ( X ) = xi pi = 0 0,012 + 1 0,106 + 2 0,320 + 3 0,394 + 4 0,168 = 2,6.

i = () Вычислим D( X ) = M X 2 (M ( X ))2 :

() n M X 2 = xi 2 pi = 0 0,012 + 1 0,106 + 4 0,32 + 9 0,394 + 16 0,168 = 7,62, i = (M ( X ))2 = 2,6 2 = 6,76. D( X ) = 7,62 6,76 = 0,86.

Пример 7.3. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, ко торые последовательно посетит студент, чтобы взять необходимую книгу, если в городе 3 библиотеки.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число библиотек, которые посетит студент, чтобы получить необходимую книгу. Возможные значения, которые примет случайная величина Х: 1, 2, 3.

Обозначим через событие A1 — книга свободна в первой библиотеке, A2 — во второй, A3 — в третьей. Тогда P ( A ) = P ( A2 ) = P ( A3 ) = 0,3. Вероят () () ( )= ность противоположного события, что книга занята P A = P A2 = P A 1 = 1 0,3 = 0,7.

Для составления закона распределения рассчитаем соответствующие веро ятности:

P( X = 1) = P( A1 ) = 0,3, P( X = 2) = P(A1A2 ) = P(A1)P( A2 ) = 0,7 0,3 = 0,21, P( X = 3) = P(A1A2 A3 ) + P(A1A2 A3 ) = P(A1)P(A2 )P( A3 ) + P(A1)P(A2 )P(A3 ) = = 0,7 0,7 0,3 + 0,7 0,7 0,7 = 0,147 + 0,343 = 0,49.

Запишем закон распределения в виде таблицы.

Х 1 2 Р 0,3 0,21 0, Проверка: 0,3 + 0,21 + 0,49 = 1.

Пример 7.4. Из поступающих в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя та кие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить закон распределения числа просмотренных часов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число просмотрен ных часов. Возможные значения, которые примет случайная величина Х: 1, 2, 3, 4.

Все значения случайной величины зависимы.

Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений. Для расчета вероятностей будем использовать формулу классической вероятности и теоре му умножения для зависимых событий.

Пусть событие A1 — первые, взятые наугад, часы, нуждающиеся в чистке, A2 — вторые, A3 — третьи, A4 — четвертые. Тогда имеем:

P( X = 1) = P( A1 ) =, P( X = 2) = P(A1A2 ) = P(A1)P( A2 ) = 3 7 = 7, 10 9 P( X = 3) = P(A1A2 A3 ) = P(A1)P(A2 )P( A3 ) = 3 2 7 = 7, 10 9 8 P( X = 4) = P(A1A2 A3 A4 ) = P(A1)P(A2 )P(A3 )P( A4 ) = 3 2 1 7 = 1.

10 9 8 7 Запишем закон распределения в виде таблицы Х 1 2 3 Р 7 7 7 10 30 120 n Проверим, что pi = 1 :

i = 7 7 7 1 84 + 28 + 7 + 1 = 1.

+ + + = = 10 30 120 120 120 Вычислим математическое ожидание случайной величины по формуле n 7 7 7 1 33 M ( X ) = xi pi = 1 =.

+ 2 + 3 + 4 = 10 30 120 120 24 i = Вычислим дисперсию случайной величины по формуле () D( X ) = M X 2 (M ( X ))2.

() 7 7 7 1 Вычислим M X 2 = 1 + 4 +9 + 16 =, 10 30 120 120 55 33 55 1089 231 D( X ) =.

= = = 24 24 24 576 576 Пример 7.5. Известно, что в определенном городе 20 % горожан добира ются на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны 4 человека. Со ставить закон распределения числа людей, добирающихся на работу личным автотранспортом. Найти числовые характеристики этого распределения. Напи сать функцию распределения и построить ее график.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число людей в вы борке, которые добираются на работу личным автотранспортом. Возможные значения, которые может принять случайная величина Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Вероятность того, что каждый из отобранных людей, которые добираются на работу личным автотранспортом, постоянна и равна p = 0,2. Вероятность противоположного события, т.е. того, что каждый из отобранных людей доби рается на работу не личным автотранспортом, равна q = 1 p = 1 0,2 = 0,8. Все 4 испытания независимы. Случайная величина X = m подчиняется биномиаль ному закону распределения вероятностей с параметрами n = 4 ;

p = 0,2 ;

q = 0,8.

Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что слу чайная величина примет каждое из своих возможных значений.

Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли:

n!

Pn (m) = Cn pmqn m = m p mq n m.

m!(n m) !

P( X = 0 ) = P4 (0 ) = C4 0,2 0 0,8 4 0 = 1 1 0,8 4 = 0,4096, P( X = 1) = P4 (1) = C4 0,21 0,8 4 1 = 4 0,2 0,83 = 0,4096, P( X = 2 ) = P4 (2 ) = C4 0,2 2 0,8 4 2 = 6 0,2 2 0,8 2 = 0,1536, P( X = 3) = P4 (3) = C4 0,23 0,8 4 3 = 4 0,23 0,8 = 0,0256, P( X = 4 ) = P4 (4 ) = C4 0,2 4 0,8 4 4 = 1 0,2 4 1 = 0,0016.

Запишем закон распределения в виде таблицы Х 0 1 2 3 Р 0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0, Так как все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей должна быть равна 1.

Проверка: 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 + 0,0016 = 1.

Найдем числовые характеристики дискретной случайной величины: мате матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Мате матическое ожидание может быть рассчитано по формуле n M ( X ) = xi pi = 0 0,4096 + 1 0,4096 + 2 0,1536 + 3 0,0256 + 4 0,0016 = 0,8.

i = Так как случайная величина подчиняется биноминальному закону, то для расчета математического ожидания можно воспользоваться формулой M ( X ) = np = 4 0,2 = 0,8.

Дисперсия случайной величины может быть рассчитана по формуле D( X ) = () = M X 2 (M ( X ))2 :

(M ( X ))2 = 0,82 = 0,64, () n M X 2 = xi 2 pi = 0 0,4096 + 1 0,4096 + 4 0,1536 + 9 0,0256 + 16 0,0016 = 1,28, i = D( X ) = 1,28 0,64 = 0,64.

В данном случае дисперсию можно рассчитать по формуле D( X ) = npq = 4 0,2 0,8 = 0,64.

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение случайной величины по формуле = D( X ) = 0,64 = 0,8.

Составим функцию распределения случайной величины Х по формуле F ( x ) = P( X x ).

x 0, F ( x ) = 0.

1.

0 x 1, F ( x ) = 0,4096.

2.

1 x 2, F ( x ) = 0,4096 + 0,4096 = 0,8192.

3.

2 x 3, F ( x ) = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 = 0,9728.

4.

3 x 4, F ( x ) = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 = 0,9984.

5.

x 4, F ( x ) = 1.

6.

Запишем функцию распределения 0, x 0;

0,4096, 0 x 1;

0,8192, 1 x 2;

F (x ) = 0,9728, 2 x 3;

0,9984, 3 x 4;

1, x 4.

График функции распределения вероятностей имеет ступенчатый вид (рис. 7.3). Скачки равны вероятностям, с которыми случайная величина прини мает возможные значения.

F(х) 0, 0, 0, 0, х 0 1 2 3 Рис. 7. Пример 7.6. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа воз вращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число кредитов, возвращенных клиентами в срок. Возможные значения, которые может принять случайная величина Х: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Вероятность того, что каждый клиент возвратит кредит в срок, постоянна и равна p = 0,9. Вероятность того, что кредит не будет возвращен в срок, равна q = 1 0,9 = 0,1. Все 5 испытаний независимы. Случайная величина подчиняется биномиальному распределению с параметрами n = 5 ;

p = 0,9 ;

q = 0,1;

X = m.

Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что слу чайная величина примет каждое из своих возможных значений. Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли Pn (m) = Cn pmqn m, m P ( X = 0 ) = P5 (0 ) = C5 0,9 0 0,15 = 0,15 = 0,00001, P( X = 1) = P5 (1) = C5 0,91 0,14 = 5 0,9 0,14 = 0,00045, P( X = 2) = P5 (2) = C5 0,9 2 0,13 = 10 0,9 2 0,13 = 0,0081, P( X = 3) = P (3) = C5 0,93 0,12 = 10 0,93 0,12 = 0,0729, P ( X = 4 ) = P5 (4 ) = C5 0,9 4 0,11 = 5 0,9 4 0,1 = 0,32805, P ( X = 5) = P5 (5) = C5 0,95 0,10 = 0,95 = 0,59049.

Запишем закон распределения в виде таблицы Х 0 1 2 3 4 Р 0,00001 0,00045 0,0081 0,0729 0,32805 0, Математическое ожидание вычислим по формуле M ( X ) = np = 5 0,9 = 4,5.

Дисперсию вычислим по формуле D( X ) = npq = 5 0,1 0,9 = 0,45.

Пример 7.7. Из 10 телевизоров на выставке оказались 4 телевизора фирмы «Сони». Наудачу для осмотра выбраны 3 телевизора. Составить закон распре деления числа телевизоров фирмы «Сони» среди 3 отобранных.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число телевизоров фирмы «Сони». Возможные значения, которые может принять случайная вели чина Х: 0, 1, 2, 3. Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений. Эти m вероятности можно рассчитать по формуле классической вероятности p = :

n 03 C4 C6 1 C4 C6 P( X = 2) = P( X = 0) = =;

= 3 C10 C10 12 C4C6 1 C4C6 P( X = 1) = P( X = 3) = =.

= 3 C10 C 2 Запишем закон распределения Х 0 1 2 Р 1 3 6 2 10 1 1 3 1 5 + 15 + 9 + 1 n pi = 6 + 2 + 10 + 30 = Убедимся, что = 1.

= 30 i = Пример 7.8. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производи мых в течение смены на каждом из них:

Х: для первого Х 0 1 2 Р 0,1 0,6 0,2 0, Y: для второго yj Y 0 1 pj Р 0,5 0,3 0, Составить закон распределения числа производимых в течение смены бра кованных изделий обоими станками. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.

Решение. Для того чтобы составить закон распределения Х + Y необходи мо складывать xi + y j, а соответствующие им вероятности умножить pi p j :

x1 + y1 = 0 + 0 = 0 ;

p0 = 0,1 0,5 = 0,05, x1 + y2 = 0 + 1 = 1 ;

p1 = 0,1 0,3 + 0,6 0,5 = 0,33, x1 + y3 = 0 + 2 = 2 ;

p2 = 0,1 0,2 + 0,6 0,3 + 0,2 0,5 = 0,3, x2 + y1 = 1 + 0 = 1 ;

p3 = 0,6 0,2 + 0,2 0,3 + 0,1 0,5 = 0,23, x2 + y2 = 1 + 1 = 2 ;

p4 = 0,2 0,2 + 0,1 0,3 = 0,07, x2 + y3 = 1 + 2 = 3 ;

p5 = 0,1 0,2 = 0,02, x3 + y1 = 2 + 0 = 2, x3 + y 2 = 2 + 1 = 3, x3 + y3 = 2 + 2 = 4, x4 + y1 = 3 + 0 = 3, x4 + y2 = 3 + 1 = 4, x4 + y3 = 3 + 2 = 5.

Закон распределения запишем в виде таблицы Х+Y 0 1 2 3 4 P 0,05 0,33 0,3 0,23 0,07 0, Проверим свойство математического ожидания M ( X + Y) = M ( X ) + M (Y) :

n M ( X ) = xi pi = 0 0,1 + 1 0,6 + 2 0,2 + 3 0,1 = 1,3, i = n M (Y) = y j p j = 0 0,5 + 1 0,3 + 2 0,2 = 0,7, j = M ( X + Y) = 0 0,05 + 1 0,33 + 2 0,3 + 3 0,23 + 4 0,07 + 5 0,02 = 2, M ( X ) + M (Y) = 1,3 + 0,7 = 2.

Пример 7.9. Дискретная случайная величина Х имеет только два возмож ных значения: x1 и x2, причем x2 x1. Вероятность того, что Х примет значение x1, равна 0,6. Найти закон распределения величины Х, если математическое ожидание M ( X ) = 1,4 ;

D( X ) = 0,24.

Решение. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной вели чины равна единице, поэтому вероятность того, что Х примет значение x2 = 1 0,6 = 0,4. Напишем закон распределения Х x x X P 0,6 0, Для того чтобы отыскать x1 и x2 необходимо составить два уравнения. Из условия задачи следует, что M ( X ) = 0,6 x1 + 0,4 x2 = 1,4, D( X ) = 0,6 x12 + 0,4 x2 1,4 2 = 0,24.

Составим систему уравнений 0,6 x1 + 0,4 x2 = 1,4, 2 0,6 x1 + 0,4 x2 = 2,2.

Решив эту систему, имеем x1 = 1;

x2 = 2 и x1 = 1,8 ;

x2 = 0,8.

По условию x2 x1, поэтому задаче удовлетворяет лишь первое решение, т.е. x1 = 1;

x2 = 2. Тогда закон распределения имеет вид X 1 P 0,6 0, Пример 7.10. Случайные величины X и Yнезависимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 2 X + 3Y, если известно, что D( X ) = 4, D(Y) = 5.

Решение. Так как имеют место свойства дисперсии D( X + Y) = D( X ) + D(Y) и D(CX ) = C 2 D( X ), то получим D(Z ) = D(2 X ) + D(3Y) = 2 2 D( X ) + 32 D(Y) = 4 4 + 9 5 = 16 + 45 = 61.

Задачи для самостоятельного решения 7.1. Среди 10 изготовленных приборов 3 неточных. Составить закон рас пределения числа неточных приборов среди взятых наудачу 4 приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины и построить ее график.

Ответ:

X 0 1 2 P 1 1 3 6 10 M ( X ) = 1,2 ;

D( X ) = 0,56.

при x ( ;

0], 1 при x (0;

1], F (x ) = 2 при x (1;

2], 29 при x (2;

3], при x (3;

+ ).

7.2. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Со ставить закон распределения случайной величины — числа импортных из 4 наудачу взятых телевизоров. Найти функцию распределения и построить ее график.

Ответ:

X 0 1 2 P 1 3 3 7 14 0 при x ( ;

0], при x (0;

1], при x (1;

2], F (x ) = 14 при x (2;

3], при x (3;

+ ).

7.3. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй — 0,8, третьей — 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Ответ:

X 0 1 2 P 0,006 0,092 0,398 0, M ( X ) = 2,4 ;

D( X ) = 0,46.

7.4. Поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность сдачи первого экзамена 0,9, второго — 0,8, третьего — 0,7. Следующий экзамен по ступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить за кон распределения числа приходов на экзамен для лица, поступающего в ин ститут. Найти математическое ожидание случайной величины.

Ответ:

X 1 2 P 0,1 0,18 0, M ( X ) = 2,62.

7.5. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10 %. Составить закон распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года и найти числовые характери стики этого распределения.

Ответ:

X 0 1 2 3 P 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0, M ( X ) = 0,4 ;

D( X ) = 0,36 ;

( X ) = 0,6.

7.6. Вероятность поражения земляники вирусным заболеванием равна 0,2.

Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

X 0 1 2 3 P 0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0, M ( X ) = 0,8 ;

D( X ) = 0,64.

7.7. В урне находятся шары трех весов 3, 4 и 5 кг с соответствующими ве роятностями 0,2;

0,3;

0,5. Извлекаются два шара с возвращением обратно. Со ставить закон распределения суммарного веса двух извлеченных шаров. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

X 6 7 8 9 P 0,04 0,12 0,29 0,30 0, M ( X ) = 8,6 ;

D( X ) = 1,22.

7.8. Производится стрельба из орудия по удаляющейся цели. При первом выстреле вероятность попадания равна 0,8, при каждом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается в 2 раза. Случайная величина Х — число попаданий в цель при трех выстрелах. Составить закон распределения случай ной величины Х.

Ответ:

X 0 1 2 P 0,096 0,472 0,368 0, 7.9. Найти закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каж дому из них равна соответственно 0,5;

0,6;

0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

X 0 1 2 P 0,06 0,29 0,44 0, M ( X ) = 1,8 ;

D( X ) = 0,7.

7.10. В лотерее разыгрывается один автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., четыре телевизора – стоимостью 250 ден. ед. каждый, пять магнитофонов – стоимостью 200 ден. ед. каждый. Продано 1000 билетов стоимостью 7 ден. ед.

каждый. Составить закон распределения случайной величины Х – чистого вы игрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Ответ:

X –7 193 243 P 0,990 0,005 0,004 0, 7.11. В карточной игре игрок, который извлекает из колоды карт (52 кар ты) валет или даму, выигрывает 15 очков;

тот, кто вытащит короля или козыр ного туза, выигрывает 5 очков. Игрок, который достанет любую другую карту, проигрывает 4 очка. Если вы решили участвовать в этой игре, определите сум му очков ожидаемого выигрыша.

Ответ:

Число очков X 15 5 – 8 8 P 52 52 M ( X ) 0,3077.

7.12. Дискретная случайная величина Х может принимать только два зна чения x1 и x2, причем x1 x2. Известны вероятность p1 = 0,1 возможного зна чения x1, математическое ожидание M ( X ) = 3,9 и дисперсия D( X ) = 0,09.

Найти закон распределения этой случайной величины.

Ответ:

X 3 P 0,1 0, 7.13. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по два выстрела. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,5. Пусть Х – число попаданий в мишень первым стрелком, Y– число попаданий в мишень вторым стрелком. Построить закон распределения случайной величины Z = X – Y и найти M(Z), D(Z).

Ответ: M(Z) = –0,2;

D(Z) = 0,98.

7.14. Имеется шесть ключей, из которых только один подходит к замку.

Составить закон распределения числа попыток при открывании замка, если ис пробованный ключ в последующих опробованиях не участвует. Найти матема тическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

7 Ответ: M(Х) = ;

D(Х) =.

2 7.15. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2 : 3. Куп лено четыре пары обуви. Построить закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленных первой фабрикой. Найти математическое ожидание, дис персию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Ответ: M(Х) = 1,6;

D(Х) = 0,96;

( X ) = 0,9799.

7.16. В партии из десяти изделий имеется одно бракованное. Чтобы его об наружить вынимают наугад одно изделие за другим и каждое вынутое изделие проверяют. Построить закон распределения и найти математическое ожидание числа проверенных изделий.

Ответ: M(Х) = 5,5.

7.17. Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бра кованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон рас пределения числа проверенных деталей. Найти M(Х) и D(Х) случайной величи ны, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.

Ответ: M(Х) = 10;

D(X)= 90.

7.18. Независимые случайные величины Х и Y заданы следующими зако нами распределения:

X Y 5 2 4 7 P Р 0,6 0,1 0,3 0,8 0, Найти M ( X + Y ), M ( X Y ) и проверить, что M ( X + Y ) = M ( X ) + M (Y ), M ( X Y ) = M ( X ) M (Y ).

Ответ: M ( X + Y ) =11,8;

M ( X Y ) = 32,56.

7.19. Дискретная случайная величина задана законом распределения 0 1 2 X 0,2 0, p1 p P Найти вероятность p1 = P( X = 0 ), если известно, что p1 в 2 раза больше, чем вероятность p3 = P( X = 2 ).

Ответ: p1 = 0,2.

7.20. Найти дисперсию случайной величины Y = 2 X + 3, если известно, что D( X ) = 3.

Ответ: D(Y ) = 12.

7.21. Найти дисперсию случайной величины Y = 3 X 4, если известно, что D( X ) = 4.

Ответ: D(Y ) = 36.

7.22. Даны две независимые случайные величины Х и Y;

дисперсии кото рых равны D ( X ) = 7, D(Y ) = 3. Найти дисперсию D( X + 2Y ).

Ответ: D( X + 2Y ) = 19.

7.23. Даны две независимые случайные величины Х и Y;

дисперсии кото рых равны D( X ) = 3, D(Y ) = 4. Найти дисперсию D(3 X 2Y ).

Ответ: D(3 X 2Y ) = 43.

7.24. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и Y.

X 1 2 0 2 Y 0,6 0,4 0,1 0,2 0, P P Найти вероятность того, что случайная величина X + Y примет значение, равное 4.

Ответ: P = 0,5.

7.25. Даны все возможные значения дискретной случайной величины Х:

x1 = 2, x2 = 4 и M ( X ) = 3,2. Найти P( X = x1 ).

Ответ: P( X = x1 ) = 0,4.

7.26. Даны все возможные значения дискретной случайной величины Х:

x1 = 2, x2 = 3 и M ( X ) = 2,3. Найти P( X = x1 ).

Ответ: P( X = x1 ) = 0,7.

7.27. Случайную величину умножили на постоянный множитель k. Как от этого изменится среднее квадратическое отклонение?

Ответ: Увеличится в k раз.

8. Непрерывные случайные величины.

Плотность вероятности Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х: F ( x ) = P( X x ).

Функцию F(х) иногда называют интегральной функцией распределения, или интегральным законом распределения.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распре деления непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Примеры непрерывных случайных величин: диаметр детали, которую токарь обтачивает до заданного размера, рост человека, дальность полета снаряда и др.

Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю P( X = x1 ) = 0.

Следствие. Если Х — непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал ( x1, x2 ) не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т.е.

P( x1 X x2 ) = P( x1 X x2 ) = P( x1 X x2 ) = P( x1 X x2 ).

Если непрерывная случайная величина Х может принимать только значе ния в границах от а до b (где а и b — некоторые постоянные), то функция рас пределения ее равна нулю для всех значений x a и единице для значений x b.

Для непрерывной случайной величины P( x1 X x2 ) = F ( x2 ) F ( x1 ).

Все свойства функций распределения дискретных случайных величин вы полняются и для функций распределения непрерывных случайных величин.

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распреде ления не является единственным.

Плотностью вероятности (плотностью распределения или плотностью) р(х) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения p( x) = F ( x).

Плотность вероятности р(х), как и функция распределения F(х), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин.

Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией, или дифференциальным законом распределения.

График плотности вероятности называется кривой распределения.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

p ( x) 0.

1.

b P(a X b ) = p( x ) dx (рис. 8.1).

2.

a р(х) Р(аХ b) а b х Рис. 8. x F ( x) = p(x) dx (рис. 8.2).

3.

р(х) F(х) х х Рис. 8. + p(x) dx = 1.

4.

Геометрически свойства плотности вероятности означают, что ее гра фик — кривая распределения — лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Пример 8.1. Минутная стрелка электрических часов передвигается скач ками поминутно. Вы бросили взгляд на часы. Они показывают а минут. Тогда для вас истинное время в данный момент будет случайной величиной. Найти ее функцию распределения.


Решение. Очевидно, что функция распределения истинного времени равна для всех x a и единице для x a + 1. Время течет равномерно. Поэтому вероят ность того, что истинное время меньше а + 0,5 мин, равна 0,5, так как одинаково вероятно, прошло ли после а менее или более полминуты. Вероятность того, что истинное время меньше а + 0,25 мин, равна 0,25 (вероятность этого времени втрое меньше вероятности того, что истинное время больше а + 0,25 мин, а сумма их равна единице, как сумма вероятностей противоположных событий). Аналогично рассуждая, найдем, что вероятность того, что истинное время меньше а + 0,6 мин, равна 0,6. В общем случае вероятность того, что истинное время меньше а + + мин (0 1), равна. Следовательно, функция распределения истинного времени имеет следующее выражение:

0 для x a, F (x) = для x = a + (0 1), 1 для x a + 1.

Она непрерывна всюду, а производная ее непрерывна во всех точках, за исключением двух: х = а и х = а + 1. График этой функции имеет вид (рис. 8.3):

F(х) х а а+ Рис. 8. Пример 8.2. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция 0 при x 0, F ( x) = x3 при 0 x 1, 1 при x 1.

Решение.

F(х) х Рис. 8. Все значения этой функции принадлежат отрезку [0;

1], т.е. 0 F ( x ) 1.

Функция F(х) является неубывающей: в промежутке ( ;

0] она постоянна, равна нулю, в промежутке (0;

1] возрастает, в промежутке (1;

+ ) также постоянна, равна единице (см. рис. 8.4). Функция непрерывна в каждой точке х области ее определения — промежутка ( ;

+ ), поэтому непрерывна слева, т.е. выполняется равенство lim F ( x ) = F ( x0 ), F ( x0 0 ) = F ( x0 ).

x x0 Выполняются и равенства:

lim F ( x ) = 0, lim F ( x ) = 1.

x x + Следовательно, функция F ( x) удовлетворяет всем свойствам, характерным для функции распределения. Значит данная функция F ( x) является функцией распределения некоторой случайной величины Х.

Пример 8.3. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция 0 при x 0, F (x) = cos x при 0 x / 2, 1 при x / 2.

Решение. Данная функция не является функцией распределения случай ной величины, так как на промежутке 0;

она убывает и не является непрерывной. График функции изображен на рис. 8.5.

F(х) х / Рис. 8. Пример 8.4. Случайная величина Х задана функцией распределения 0 при x 0, F ( x) = ax3 при 0 x 2, 1 при x 2.

Найти коэффициент а и плотность вероятности случайной величины Х.

Определить вероятность неравенства 0 X 1.

Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения 0 при x 0, p( x ) = F ( x ) = 3ax 2 при 0 x 2, 0 при x 2.

Коэффициент а определяем с помощью равенства 3ax dx = 1, отсюда 1 1 a= =.

= 3 x 3 x 2 dx Тот же результат можно было получить, используя непрерывность функ ции F ( x) в точке x = lim F ( x) = lim ax3 = 8a, lim F ( x) = 1.

x20 x20 x2+ Следовательно, 8a = 1 a =.

Поэтому плотность вероятности имеет вид 0 при x 0, p( x ) = x 2 при 0 x 2, 0 при x 2.

Вероятность P(0 X 1) попадания случайной величины Х в заданный промежуток вычисляется по формуле 1 P(0 X 1) = F (1) F (0 ) =.

0= 8 Пример 8.5. Случайная величина Х имеет плотность вероятности (закон Коши) a p ( x) = ( x + ).

1 + x Найти коэффициент а и вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала (0;

5). Найти функцию распре деления этой случайной величины.

Решение. Найдем коэффициент а из равенства + a dx = 1, 1 + x dx = aarctgx + = a[arctg(+ ) arctg( )] = a + = a.

+ + a dx = a но 2 2 1 + x 1 + x Следовательно, a = 1.

Итак, p(x) =.

(1 + x2 ) Вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значе ние из интервала (0;

5), равна dx = 1 arctgx 5 = 1 (arctg5 arctg0) = 1 arctg5 0,435.

P(0 X 5) = 0 ( + x ) 12 0 Найдем функцию распределения данной случайной величины dx = 1 arctgx x = 1 (arctgx arctg( )) = 1 arctgx + = 1 + 1 arctgx.

x F (x ) = ( + x ) 2 Пример 8.6. График плотности вероятности случайной величины Х изображен на рис. 8.6 (закон Симпсона). Написать выражение плотности вероятности ифункцию распределения этой случайной величины.

р(х) х –1 0 Рис. 8. Решение. Пользуясь графиком, записываем аналитическое выражение плотности распределения вероятностей данной случайной величины 0 при x -1 и x 1, p( x ) = x + 1 при 1 x 0, x + 1 при 0 x 1.

Найдем функцию распределения.

x x Если x 1, то F ( x) = p(x) dx = 0 dx = 0.

(x + 1)2.

x x Если 1 x 0, то F ( x) = p(x) dx = 0 dx + (x + 1) dx = x x Если 0 x 1, то F (x ) = p(x) dx = 0 dx + (x + 1) dx + (1 x) dx = 1 (x + 1) 0 (1 x ) 1 (1 x ) (1 x ).

2 2 2 x + = = = 1 2 2 2 2 2 x x 1 Если x 1, то F (x) = p(x) dx = 0 dx + (x + 1) dx + (1 x) dx + 0 dx = 1 0 (x + 1) (1 x) 0 2 = 1 + 1 = 1.

= 1 2 Следовательно, функция распределения имеет вид 0 при x 1, ( x + 1) при 1 x 0, F (x ) = (1 x ) при 0 x 1, 1 1 при x 1.

Задачи для самостоятельного решения 8.1. Дана функция 0, если x, F (x) = cos x, если x 0, 1, если x 0.

Показать, что данная функция является функцией распределения некото рой случайной величины Х. Найти вероятность того, что эта случайная величи на принимает значения из интервала ;

0.

Ответ:.

8.2. Дана функция 0, если x 0, F ( x) = x2, если 0 x 2, 1, если x 2.

Является ли она функцией распределения некоторой случайной величины?

Ответ: нет.

8.3. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция F (x ) = ( x + ) ?

1 + x Ответ: нет.

8.4. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций:

e x при x 0, а) F ( x) = 1 при x 0.

e x при x 0, б) F ( x) = x e при x 0.

Ответ: а) да;

б) нет.

8.5. Дана функция распределения случайной величины Х:

0 при x 0, x F ( x) = при 0 x 2, 1 при x 2.

Найти плотность вероятности, а также вероятности P( X = 1), P( X 1), P(1 X 2 ).

0 при x 0 и при x 2, Ответ: p( x ) = x 2 при 0 x 2.

1 P( X = 1) = 0 ;

P( X 1) = ;

P(1 X 2 ) =.

4 8.6. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале [ 1;

3], задана 1 функцией распределения F ( x ) = x +. Найти вероятность попадания случай 4 ной величины Х в интервал [0;

2]. Построить график функции F(х).

Ответ: P(0 X 2 ) =.

8.7. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале [2;

6], задана ( ) функцией распределения F ( x ) = x 4 x + 4. Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значения: а) меньше 4;

б) меньше 6;

в) не меньше 3;

г) не меньше 6.

1 Ответ: P(2 X 4 ) = ;

P(2 X 6 ) = 1;

P(3 X 6 ) = ;

P(6 X 6 ) = 0.

4 8.8. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (1;

4 ), задана квадратичной функцией F ( x ) = ax 2 + bx + c, имеющей максимум при х = 4.

Найти параметры а, b, с и вычислить вероятность попадания случайной вели чины Х в интервал [2;

3].

1 8 7 Ответ: a = ;

b = ;

c = ;

P(2 X 3) =.

9 9 9 8.9. Функция распределения случайной величины Х имеет вид 0 при x 1, F ( x) = a + b arcsin x при 1 x 1, 1 при x 1.

Определить постоянные а и b. Найти плотность вероятности случайной ве личины Х и построить ее график.

при x 1, 1 1 Ответ: a = ;

b = ;

p( x ) = 1 x 2 0 при x 1.

8.10. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х опре деляется функцией p(x) = ax2ekx (k 0, 0 x +).

Найти значение коэффициента а. Найти функцию распределения F(х) ве личины Х.

3 Ответ: a = k ;

F (x) = 1 k x + 2kx + 2 e kx.

2 8.11. Функция р(х) задана в виде 0 при x 1, p ( x) = a x4 при x 1.

Найти значение постоянной а, при которой функция будет плотностью ве роятности некоторой случайной величины Х;

функцию распределения F(х);

вы числить вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрез ке [2;

3].

0 при x 1, Ответ: a = 3;

F ( x ) = P(2 X 3) =.

1 3 при x 1, x 8.12. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

0 при x / 6, p(x) = 3 sin 3x при / 6 x / 3, 0 при x / 3.

Найти функцию распределения F(х).

0 при x / 6, Ответ: F (x) = cos 3x при / 6 x / 3, 1 при x / 3.

8.13. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х в ин тервале ;

равна p(x) = 2 cos2 x ;

вне этого интервала р(х) = 0. Найти ве 2 2 роятность того, что в трех независимых испытаниях Х примет два раза значе ние, заключенное в интервале 0;

.

+ 2 2 + 2 3 ;

P3 (2) = C Ответ: P 0 X =.

4 4 8.14. Функция распределения случайной величины Х имеет вид F ( x) = a b arctgx. Определить постоянные а, b и найти плотность распреде ления вероятностей р(х).

1 1 Ответ: a = ;

b = ;

p( x) =.

(1 + x 2 ) Числовые характеристики непрерывных случайных величин Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, воз можные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством + M (X ) = xp(x) dx, где р(х) — плотность распределения случайной величины Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения b принадлежат интервалу (a;

b), то M ( X ) = xp(x) dx.

a Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения кото рой принадлежат всей оси Ох определяется равенством + [x M (X )] p(x) dx, D( X ) = если интеграл сходится, или равносильным равенством + x2 p(x) dx [M ( X )]2.

D( X ) = В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a;

b), то b D( X ) = [x M ( X )]2 p(x) dx, a или b D( X ) = x2 p(x) dx [M ( X )]2.

a Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных слу чайных величин справедливы и для непрерывных величин.


Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством ( X ) = D( X ).

Модой M 0 ( X ) непрерывной случайной величины Х называется ее наибо лее вероятное значение (для которого плотность вероятности р(х) достигает максимума).

Медианой M e ( X ) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого P ( X M e ( X )) = P ( X M e ( X )) =.

Вертикальная прямая x = M e ( X ), проходящая через точку с абсциссой, равной M e ( X ), геометрически делит площадь фигуры под кривой распределе ния на две равные части (рис. 8.7).

р(х) Р1 = 1/ Р2 = 1/ х Ме(Х) Рис. 8. Очевидно, что F (M e ( X )) = 1 / 2.

Начальный теоретический момент порядка k непрерывной случайной ве личины Х определяется равенством + x p(x ) dx.

k k = Центральный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определяется равенством + [x M (X )] p(x) dx.

k k = Если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a;

b ), то b b = x p( x ) dx, k = [x M ( X )]k p(x) dx.

k k a a Очевидно, что 0 = 1;

0 = 1 ;

1 = M ( X ) ;

1 = 0 ;

2 = D( X ). Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам:

2 = 2 1, 3 = 3 312 + 21, 2 4 = 4 413 + 61 2 31.

Математическое ожидание М(Х), или первый начальный момент, характе ризует среднее значение распределения случайной величины Х;

второй цен тральный момент, или дисперсия D( X ), — степень рассеяния распределения Х относительно М(Х).

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии рас пределения.

Величина A = 3 называется коэффициентом асимметрии случайной ве личины.

А = 0, если распределение симметрично относительно математического ожидания.

Четвертый центральный момент характеризует крутость распределения.

Эксцессом случайной величины называется число E= 3.

Кривые более островершинные, чем кривая для нормального распределе ния, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные — отрица тельным эксцессом.

Пример 8.7. Дана функция 0 при x 0, p ( x) = x cxe при x 0.

При каком значении параметра с эта функция является плотностью рас пределения некоторой непрерывной случайной величины Х? Найти математи ческое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение. Для того чтобы р(х) была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х, она должна быть неотрицательна, т.е. cxe x 0, откуда c 0, и она должна удовлетворять свойству 4 плотности вероятности.

Следовательно, b b + + p(x) dx = 0dx + cxe x xe x xe x dx = 1, dx = 0 + lim c dx = c lim b+ b+ 0 0 откуда c=.

b x xe dx lim b + b Найдем интеграл xe x dx, применив метод интегрирования по частям [ ] = xe b b b x x x x x xe dx = u = x, dv = e dx, du = dx, v = e + e dx = b = be b e x = be b e b + 1.

Таким образом, c= = b lim 1 b b e e b + и плотность распределения имеет вид 0 при x 0, p ( x) = x xe при x 0.

b + + M ( X ) = xp( x ) dx = 0dx + x 2 e x dx = lim x 2 e x dx.

b+ 0 bb b [ ] x2e xdx = u = x2, dv = e xdx, du = 2 xdx, v = e x = x2e x + 2 e x xdx = [ ] b2e b + 2 be b e b + 1 = 2 b2e b 2be b 2e b.

Следовательно, ( ) M ( X ) = lim 2 b 2 e b 2be b 2e b = 2.

b + Дисперсия D( X ) = M (X 2 ) (M ( X ))2.

Вначале найдем b + + M (X 2 ) = x2 p(x)dx = x3e xdx = lim x3e xdx = b + 0 0 bb [ ] = u = x3, v = e xdx, du = 3x2dx, v = e x = lim x3e x + 3 x2e xdx = b + [ ] = lim b3e b + 6 3b2e b 6be b 6e b = 6.

b + Теперь D( X ) = 6 22 = 2.

Пример 8.8. Случайная величина Х распределена по «закону прямоуголь ного треугольника» в интервале (0, a ) (рис. 8.8).

р(х) А В а х Рис. 8. 1. Написать выражение плотности распределения.

2. Найти функцию распределения F(х).

a 3. Найти вероятность попадания случайной величины Х на участок от до а.

4. Найти характеристики величины Х: М(Х), D(Х), ( X ), 3 ( X ).

Решение. Так как площадь прямоугольного треугольника есть площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, то она равна 1 1 единице: S OAB = OA OB = p(0 ) a = 1 и, следовательно, p(0 ) =. Уравнение a 2 x p ( x) = 1, откуда p(x) = p(0)1 x = прямой АВ в отрезках имеет вид + a p(0 ) a x = 1, то есть функция плотности распределения имеет вид a a x 1 при x (0;

a ), p(x ) = a a 0 при x (0;

a ).

Найдем функцию распределения F(х):

x x если x 0, то F (x) = p(x) dx = 0dx = 0;

2 1 x dx = 2 a 1 x d 1 x = 1 x x = x x если 0 x a, то F (x) = 0dx + 0a a a 0 a a a x x x = 1 + 1 = 2 ;

a a a 2 1 x dx + 0dx = 1 x a = 1.

a x если x a, то F (x) = 0dx + 0a a a a Таким образом, 0 при x 0, x x F ( x ) = 2 при 0 x a, a a 1 при x a.

a Вероятность попадания случайной величины Х на участок от до а опре деляется по формуле a a 1 1 P X a = F (a ) F = 1(2 1) 2 = 1 =.

2 2 2 2 Найдем математическое ожидание:

21 2 1 3a 2a x + M (X ) = xp(x ) dx = x1 a dx = a 2 x 3a x 0 = a0 2 a2 a3 2 a2 a = = =, a 2 3a a 6 4a a M (X 2 ) = 2 x21 x dx = 2 x x = 2 a a = 2 a = a.

3 3 4 3 a 0 a a 3 4a 0 a 3 4 a 12 Следовательно, () a2 a2 a D( X ) = M X (M ( X )) = =, 6 9 (x) = D(x) = a = a 2.

32 () 3, а = M (X ) = a, = M X 2 = a, Так как 3 = 3 312 + 21 () a 4 5 a a a 2 x 2a x x 2 3 3 = M X = x 1 dx = = =, a 4 5a 0 a a0 a 5 3 2 3 3 = a 3 a a + 2 a = a.

то 10 36 27 Пример 8.9. По данным задачи 8.5 найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х), моду М0(Х) и медиану Ме(Х).

0 при x 0 и при x 2, Решение. Так как p( x) = F ( X ) = x 2 при 0 x 2, + xp(x) dx = x dx = 1 x3 = 4.

M (X ) = то 6 Дисперсия D( X ) = M (X 2 ) (M ( X ))2.

Вначале найдем ( )= x + x p( x ) dx = x 2 dx = x 4 = 2.

2 MX 2 Следовательно, 4 D( X ) = 2 =.

3 График плотности вероятности р(х) имеет вид (рис. 8.9) р(х) 1/ х 1 Рис. 8. Плотность вероятности р(х) максимальна при х = 2, это означает, что М0(Х) = 2.

(M e ( X )) 1 Из условия F (M e ( X )) = найдем медиану Ме(Х): = ;

откуда 2 4 M e ( X ) = 2.

Пример 8.10. Дана функция 0 при x 1, (x) = 1 x2 + 8 x 7 при 1 x 4, F 9 9 1 при x 4.

Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины Х.

Решение. Плотность распределения случайной величины Х равна 0 при x 1 и при x 4, p(x) = F (x) = 2 9 x + 9 при 1 x 4.

3, эксцесс E = 4 3, то найдем начальные мо Так как асимметрия A = 3 менты первого, второго, третьего и четвертого порядков:

4 1 = xp(x) dx = 2 x2 + 8 x dx = 2 x3 + 4 x2 = 2, 9 1 9 9 4 4 (x) dx = 2 x3 + 8 x2 dx = x+ 8x = 9 = 4,5, x2 p 2 = 18 27 1 9 1 4 3 = x3 2 x + 8 dx = 2 x + 2 x = 56 = 11,2, 9 1 19 9 4 4 = x4 2 x + 8 dx = x + 8x = 151 = 30,2.

27 45 19 9 Тогда 2 = 2 1 = 9 4 = 0,5, 3 = 3 312 + 21 = 11,2 3 2 4,5 + 2 8 = 0,2, 2 4 = 4 413 + 61 2 31 = 30,2 4 2 11,2 + 6 4 4,5 3 16 = = 30,2 89,6 + 108 48 = 0,6.

Так как D( X ) = 2 = 0,5, то ( X ) = D( X ) 0,707;

3 0,353;

4 0,25.

Следовательно, 0,2 0, A= 0,566;

E = 3 0,6.

0,353 0, Пример 8.11. Плотность случайной величины Х задана следующим обра зом:

0 при x 0, p(x) = 3х2 при 0 x 1, 0 при x 1.

Найти моду, медиану и математическое ожидание Х.

Решение. Найдем математическое ожидание Х:

+ xp(x) dx = 3x3dx = 3 x4 = 3.

M (X ) = 4 Так как плотность распределения достигает максимума при х = 1, то М0(Х) =1.

Медиану Ме(Х) найдем из условия F (M e ( X )) =. Для этого вначале найдем функцию распределения F ( x ) :

x x если x 0, то F (x) = p(x) dx = 0dx = 0;

x x x если 0 x 1, то F (x) = p(x) dx = 0dx + 3x2dx = x3 =x;

x x 0 если x 1, то F (x) = p(x) dx = 0dx + 3x2dx + 0dx = x3 = 1.

0 Таким образом, 0 при x 0, F ( x ) = х 3 при 0 x 1, 1 при x 1.

1 Уравнение F (M e ( X )) = равносильно уравнению (M e ( X )) =, откуда 2 1 Me (X ) = 3 =3.

2 Пример 8.12. Случайная величина Х задана плотностью распределения 1 x + при x (0;

1), p(x ) = 2 0 при x (0;

1).

Найти математическое ожидание функции Y = X 3 (не находя предвари тельно плотности распределения Y ).

Решение. Воспользовавшись формулой для вычисления математического ожидания функции (x) от случайного аргумента Х b M [(x)] = (x) p(x) dx, a где а и b — концы интервала, в котором заключены возможные значения Х, по лучим 1 1 () 3 1 3 1 3 1 3 3 M X = x x + dx = x 4 + x 3 dx = x 5 + x 4 = + =.

16 0 10 16 2 4 2 4 0 Пример 8.13. Случайная величина Х задана плотностью распределения 32 при x (3;

5), x + 6 x p(x ) = 4 0 при x (3;

5).

Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.

3 Решение. Так как p( x ) = ( x 4 )2 +, то отсюда видно, что при х = 4 плотность распределения достигает максимума и, следовательно, М0(Х) = (можно было найти максимум методами дифференциального исчисления).

Кривая распределения симметрична относительно прямой х = 4, поэтому М(Х) = Ме(Х) = 4.

Задачи для самостоятельного решения 8.15. Случайная величина Х имеет плотность 6 (x2 + x + 1 ) при 0 x 1, p(x) = 0 при x 0 и при x 1.

Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

Ответ: М(Х) = 0,5909;

D(Х) = 0,0781.

8.16. Случайная величина Х имеет плотность 2 cos х при x 2, p(x ) = 0 при x.

Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

2 Ответ: M ( X ) = 0;

D( X ) =.

12 8.17. Случайная величина Х задана плотностью распределения sin 2 x при x 0;

2, p(x ) = 0 при x 0;

.

Найти математическое ожидание функции Y = X 2 (не находя предвари тельно плотности распределения Y ).

2 Ответ:.

8.18. Плотность случайной величины Х имеет вид ae x при x 0, p(x ) = 0 при x 0.

Найти коэффициент а. Вычислить моду, медиану, математическое ожида ние, дисперсию, начальные и центральные моменты первого, второго и третье го порядков случайной величины Х.

a = 1, M 0 ( X ) = 0, M e ( X ) = ln 2, 1 = M ( X ) = 1, D( X ) = 2 = 1, Ответ:

2 = 2, 3 = 6, 3 = 2.

8.19. Случайная величина Х задана плотностью распределения 0 при x 1, p ( x) = x7 при x 1.

Найти начальные моменты случайной величины Х.

6 при k 5;

не существуют при k 6.

Ответ: k = 6k 8.20. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид 1 cos x при x, p( x ) = 2 2 0 при x и при x.

2 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = sin 2 X.

Ответ: M (Y ) = 0;

D(Y ) = 8.

8.21. Случайная величина Х имеет функцию распределения 0 при x 0, F (x) = х4 при 0 x 1, 1 при x 1.

Найти математическое ожидание случайной величины Y =.

X + Ответ: M (Y ) = 10 4 ln 2.

1 8.22. По данным задачи 8.9 (при a =, b = ) найти моду и медиану рас пределения;

вероятность того, что случайная величина Х окажется в промежут ке 1, 1 ;

математическое ожидание и дисперсию Х.

2 1 1 Ответ: P X = ;

M e ( X ) = 0;

X моду не имеет;

M ( X ) = 0;

D( X ) =.

2 2 8.23. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид 1 x p(x ) = e (распределение Лапласа).

Ответ: M ( X ) = 0;

D( X ) = 2.

8.24. Случайная величина Х подчинена закону Симпсона («закону равно бедренного треугольника») на участке от –а до +а (рис. 8.10). Написать выра жение плотности распределения;

построить график функции распределения;

найти числовые характеристики случайной величины Х: M ( X ), D( X ), ( X ), 3( X ). Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал a ;

a.

р(х) 0 а х –а Рис. 8. 1 x 1 при x ( a;

a ), a2 a a Ответ: P( x ) = a ;

M ( X ) = 0;

D( X ) = ;

( X ) = ;

6 0 при x ( a;

a ).

a 3 ( X ) = 0;

P X a =.

2 8.25. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотно стью, которая задана формулой 0 при x 0, p( x ) = 2x при 0 x 1, 0 при x 1.

Найти коэффициент асимметрии распределения.

2 Ответ: A =.

8.26. Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины, 1 x распределнной по закону Лапласа с плотностью p ( x) = e.

Ответ: A = 0 ;

E = 3.

8.27. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (1;

4 ), задана 1 8 функцией распределения F ( x ) = x 2 + x. Найти моду и медиану случай 9 9 ной величины Х.

Ответ: M 0 ( x) = 1 ;

M e ( x) 0,8.

8.28. Найти значения M ( X ), D( X ) и ( X ) для случайной величины Х, функция распределения которой 0 при x 0, 3 F ( x ) = x 2 - x 3 при 0 x 2, 4 1 при x 2.

Ответ: M ( X ) = 1;

D( X ) = 0,2;

( X ) = 0,447.

8.29. Кривая распределения случайной величины Х представляет собой полуэллипс с полуосями а и b. Полуось а известна. Определить b. Найти M ( X ), D( X ) и функцию распределения F (x).

a Ответ: b = ;

M ( X ) = 0;

D( X ) = ;

a 0 при x a, 1 x a 2 x 2 + a 2 arcsin x + a при a x a, F (x ) = 2 a a 1 при x a.

8.30. Случайная величина Х задана плотностью распределения 0 при x 2, p( x ) = x 3 при - 2 x 0, 0 при x 0.

Найти коэффициент асимметрии и эксцесс.

Ответ: A 1,05 ;

E 0,7.

Равномерный закон распределения Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределе ния на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности р(х) постоянна на этом от резке и равна нулю вне его, т.е.

при a x b, p(x ) = b a 0 при x a, x b.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по рав номерному закону, есть 0 при x a, x a F (x ) = при a x b, ba 1 при x b.

a + b, дисперсия D( X ) = (b a ), Математическое ожидание M ( X ) = 2 ba а среднее квадратическое отклонение ( X ) =.

Пример 8.14. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 3 мин.

Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероят ность того, что ждать пассажиру придется не больше минуты. Найти математи ческое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х — времени ожидания поезда.

Решение. Случайная величина Х — время ожидания поезда на временном (в минутах) отрезке [0, 3] имеет равномерный закон распределения p( x) =.

Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более минуты, равна от равной единице площади прямоугольника (рис. 8.11), т.е.

P( X 1) = dx = x =.

(3 0)2 = 3, 0+ M (X ) = = 1,5 мин, D( X ) = 2 12 ( X ) = D( X ) = 3 0,86 мин.

р(х) 1 р(х) =1/ 1/ х 1 2 Рис. 8. Пример 8.15. Найти математическое ожидание и дисперсию произведения двух независимых случайных величин и с равномерными законами распре деления: в интервале [0;

1], — в интервале [1;

3].

Решение. Так как математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, то M () = M ( )M () = 0 + 1 1 + 3 = 1. Для нахождения дисперсии воспользуемся 2 формулой [] D() = M ()2 [M ()]2 = M ( 22 ) [M ()]2 = M ( 2 ) M (2 ) [M ( ) M ()]2.

M ( 2 ) найдем по формуле 1 M ( 2 ) = 2 p( ) d = 2d = 1 3 = 1.

0 Аналогично рассчитаем 1 2d = 1 1 3 3 = 13.

3 M( )= () d = 2 2 p 23 1 Следовательно, D() = 1 13 1 = 4.

33 Пример 8.16. Вычислить математическое ожидание и дисперсию опреде лителя 11, 2 = 21 () элементы которого ij — независимые случайные величины с M ij = 0 и () D ij = 2.

Решение. Вычислим математическое ожидание M (2 ) = M (11 22 12 21) = M (11 22 ) M (12 21) = M (11)M ( 22 ) M (12 )M ( 21) = 0.

Для нахождения дисперсии D(2 ) докажем, что если и — независимые случайные величины, то D() = D( )D() + [M ( )]2 D() + [M ()]2 D( ).

Действительно, D() = M ()2 [M ()]2 = M ( 2 )M (2 ) [M ( )]2[M ()]2 = ( )( ) = D( ) + [M ( )]2 D() + [M ()]2 [M ( )]2[M ()]2 = = D( )D() + [M ( )]2 D() + [M ()]2 D( ).

Следовательно, D(2 ) = D(11 22 12 21) = D(11 22 ) + D(12 21) = = D(11)D( 22 ) + [M (11)]2 D( 22 ) + [M ( 22 )]2 D(11) + + D(12 )D( 21) + [M (12 )]2 D( 21) + [M ( 21)]2 D(12 ) = = 22 + 0 2 + 0 2 + 22 + 0 2 + 0 2 = 24.

Замечание. Для определителя n-го порядка M (n ) = 0 ;

D(n ) = n!2n.

Пример 8.17. Автоматический светофор работает в двух режимах: 1 мин.

горит зеленый свет и 0,5 мин — красный и т.д. Водитель подъезжает к пере крестку в случайный момент времени. 1. Найти вероятность того, что он про едет перекресток без остановки. 2. Составить закон распределения и вычислить числовые характеристики времени ожидания у перекрестка.

Решение. 1. Момент проезда автомобиля t через перекресток распределен равномерно в интервале, равном периоду смены цветов светофора. Этот период равен 1 + 0,5 = 1,5 мин. Для того чтобы машина проехала через перекресток не останавливаясь, достаточно того, чтобы момент проезда пришелся на интервал времени (0;

1). Тогда 1 P(t (0;

1)) = p() d = 2 d = 2.

03 2. Время ожидания t 0 является смешанной случайной величиной: с вероят 2 ностью она равна нулю, а с вероятностью принимает с равномерной плотно 3 стью вероятностей любые значения между 0 и 0,5 мин;

тогда график функции распределения случайной величины t 0 имеет вид, изображенный на рис. 8.12:

F(t) 2/ t 0,5 1, Рис. 8. 2t То есть F (t ) = 0 при t 0 ;

F (t ) = при t (0;

0,5) ;

F (t ) = 1 при + 3 1, t [0,5;

1,5).

Среднее время ожидания у перекрестка 0,5 0, M (t0 ) = 1 tp(t ) dt + 2 0 = 1 2 1 t 2 = 1 0,25 0,083 мин.

30 3 3 Дисперсия времени ожидания 0, ) [M ( ] D(t0 ) = M ( )=1 t 2 0,5 dt (0,083) 0,0208 мин2;

2 t0 t 3 (t0 ) 0,144 мин.

Задачи для самостоятельного решения 8.31. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти: 1) математи ческое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой слу чайной величины;

2) вероятность того, что ошибка округления: а) меньше 0,01;

б) больше 0,03.

Ответ: 1) M ( X ) = 0,05;

D( X ) = 0,00083;

( X ) = 0,02887.

2а) P(0 X 0,01) + P(0,09 X 0,1) = 0,2.

2б) P(0,03 X 0,07 ) = 0,4.

8.32. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интер вал движения 4 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 2 мин.

Ответ: P(2 X 4 ) = 0,5.

8.33. Минутная стрелка часов перемещается скачком в конце каждой ми нуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, ко торое отличается от истинного не более чем на 10 с.

1 5 Ответ: P 0 X + P X 1 =.

6 6 8.34. Случайные величины Х и Y независимы и распределены равномерно:

Х — в интервале (a;

b ), Y — (c;

d ). Найти математическое ожидание и диспер сию произведения XY.

(a )( ) + ab + b 2 c 2 + cd + d Ответ: M ( XY ) = a + b c + d ;

D( XY ) = 2 (a + b)2(c + d )2.

8.35. Диаметр круга х измерен приближенно, причем 5 x 6. Рассматри вая диаметр как случайную величину Х, распределенную равномерно в интер вале (5;

6 ), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

227 ( ) ( ) 2 Ответ: M R ;

D R = =.

12 8.36. Ребро куба х измерено приближенно, причем 2 x 3. Рассматривая длину ребра куба как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (2;

3), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

() () Ответ: M X 3 = 16,25;

D X 3 30,08.

8.37. Пусть случайные величины X 1 и X 2 независимы и равномерно рас пределены на отрезке [ 1;

1]. Найти вероятность того, что min xi.

i =1, Ответ:.

8.38. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [ 4;

1].



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.