авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ...»

-- [ Страница 2 ] --

Однако использование уравнений (5.6.2) не всегда оказывается рациональ ным. Например, для определения реакций опор можно воспользоваться уравне ниями для плоской системы сил:

N N N Xi Yi M 0 ( Fi ) 0.

0;

0;

(5.6.3) i 1 i 1 i Использовав уравнение (5.6.3), можно перейти к определению усилий в стержнях. Для этого вырезаем сначала опорные узлы и рассматриваем их рав новесие. Затем переходим к соседним узлам, где имеется минимальное число неизвестных.

В ряде случаев наиболее рациональным является метод сечения. Рассмот рим ферму, изображенную на рис. 5.12.

Рассмотрим определение усилий в стержнях 8-6, 6-7, 5-7. Для этого про ведем сечение через эти стержни и рассмотрим правую отсеченную часть, где меньше нагрузок (рис. 5.13).

a/ Рис. 5. Рис. 5. P Найдем реакции R A, RB и X A :

3 R A P;

RB P, X A 0.

4 Будем считать, что все стержни, попавшие в сечение, растянуты. Возьмем в качестве моментной точки узел 6:

a 1. M 6 ( Fi ) 0;

S 57 RB 1,5a 0;

S 57 3RB P.

2 Таким образом, нижний стержень 5-7 растянут.

Возьмем теперь в качестве моментной точки узел 7:

a P 2. M 7 ( Fi ) 0;

S 86 RB a 0;

S 86 2 RB.

2 Таким образом, верхний стержень 8-6 сжат.

3. Для нахождения усилия в стержне 7-6 составим уравнение проекций на ось y :

S67 cos 45 RB 0;

P S67 RB 2 0,353P.

5.7. Равновесие гибкой нити Под гибкой нитью будем подразумевать систему материальных точек, не прерывно расположенных по кривой, причем каждая из точек соединена с со седними бесконечно коротким идеальным стержнем с шарнирами по концам, то есть расстояние между точками считается неизменным, а в самой нити момен ты сил относительно любой ее точки обращаются в нуль. Это означает, что на тяжение нити всегда направлено по касательной к ней.

Итак, пусть идеальная нить закреплена в точках A и B (рис. 5.14).

Нить находится в равновесии под действи ем сил, которые действуют на все ее точки.

Длину нити от начальной точки A до некоторой произвольной точки а обозначим через S. Рас смотрим равновесие элемента нити ab dS.

Обозначим натяжение нити в точке a черезT.

Тогда в точке b будет уже T dT. Кроме того, Рис. 5.14 на элемент dS действует сила F dS, где F – си ла, действующая на единицу длины нити.

Условие равновесия элемента dS будет:

F dS T dT T 0.

Откуда следует:

dT F dS dT 0 или F 0. (5.7.1) dS Равенство (5.7.1) представляет собой уравнение равновесия гибкой нити в векторной форме.

Векторное уравнение (5.7.1) эквивалентно трем скалярным:

dT y dTx dTz Fx 0;

Fy 0;

Fz 0, (5.7.2) dS dS dS где Tx, T y, Tz – проекции натяжения нити на оси x, y, z.

Косинусы углов, которые касательная образует с координатными осями, нахо дятся по формулам:

dx dy dz cos(T, x) cos(T, y ) cos(T, z ) ;

;

.

dS dS dS Поэтому:

dx dy dz Tx T ;

Ty T ;

Tx T.

dS dS dS Следовательно, вместо (5.7.2) можно написать:

d dx d dy d dz (T ) Fx 0;

(T ) Fy 0;

(T ) Fz 0 (5.7.3) dS dS dS dS dS dS или d 2x dT dx T 2 Fx 0;

dS dS dS d2y dT dy T 2 Fy 0;

(5.7.4) dS dS dS d 2z dT dz T 2 Fz 0.

dS dS dS Рассмотрим равновесие нити под действием сил тяжести (рис. 5.15).

Найдем форму кривой. Пусть вес единицы длины нити равен и нить однородна, то есть const.

Вследствие того, что нить находится под действием параллельных сил тяжести, фигура равновесия нити будет плоской кривой, лежащей в вертикальной Рис. 5. плоскости. Расположим в плоскости кривой систему координатOxy. Тогда Fx 0;

Fy.

Уравнения равновесия нити (5.7.3) примут вид:

d dx d dy (T ) (T ) 0;

(5.7.5) dS dS dS dS Из первого уравнения (5.7.5) следует, что dx T0 const, T dS то есть проекция натяжения на ось x есть величина постоянная.

Следовательно, натяжение нити T найдется из соотношения:

dS T T0. (5.7.6) dx Подставляя выражение (5.7.6) во второе уравнение (5.7.5), получим:

d dS dy ) (T0 (5.7.7) dS dx dS или dy d (T0 ) dS.

dx Но dy dS dx 2 dy 2 1 ( ) 2 dx.

dx Следовательно, dy dy d (T0 ) 1 ( ) 2 dx. (5.7.8) dx dx dу p.

Для интегрирования уравнения (5.7.8) полагаем dх Тогда уравнение (5.7.8) перепишется так:

Т 0 dp 1 p 2 dx. (5.7.9) Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

T Тогда, обозначая 0 a, получаем:

dp dx. (5.7.10) a 1 p Интеграл (5.7.10) берется с помощью подстановки Эйлера.

1 p 2 t p;

t p 1 p 2, откуда dp ( p 1 p 2 ) pdp dpt dt dp.

1 p2 1 p2 1 p Следовательно, dt dp.

t 1 p Тогда вместо (5.7.10) получаем:

dt dx t a или x ln t C.

a Учитывая подстановку Эйлера, получаем:

x ln( p 1 p 2 ) C.

a dy Положим, что при p 0, x 0, то есть проведем ось y через точку кривой, dx где касательная параллельна оси х. Тогда C 0 и мы будем иметь:

p 1 p2 ex/a.

Для определения p рассмотрим обратную величину:

x 1 p 1 p e. 2 a p 1 p Вычитая из первого выражения второе, получаем:

x x e e x a a p sh.

2 a dy x x Так как p sh, то dy sh dx.

dx a a Откуда, интегрируя, найдем:

x y ach C1.

a Пусть при х = 0 у = a.

x x xa y ach (e a e a ).

Тогда, так как ch0 1, то C1 0 и a То есть однородная идеальная нить, располагается в однородном поле тяжести по цепной линии.

Найдем длину нити на участке х = 0, х = b:

b b b b dy x x x b S 1 ( )2 dx 1 sh 2 dx ch dx аsh ash.

dx a a a0 a 0 0 ds Согласно равенству T T0 имеем:

dx xT T = T0ch = 0 y = g y.

aa Таким образом, натяжение нити в каждой точке равно весу отрезка той же нити, длина которого равна ординате точки этой нити.

Следовательно, если нить перекинута через два идеальных блока, то она будет в равновесии, если свободные концы касаются оси x, но при этом a должно быть больше нуля. То есть вся нить должна располагаться над осью х (рис. 5.16).

Рассмотрим нить под действием непрерывной вертикальной нагрузки, рав номерно распределенной по длине проекции нити на горизонтальную ось и приложенной во всех точках нити. Подобная ситуация имеет место в висячих мостах (рис. 5.17).

у х Рис. 5.16 Рис. 5. Найдем форму кривой, по которой расположится нить при этой нагрузке.

На элемент нити длиной dS действует нагрузка dF dx Fy dS, где – нагрузка, приходящаяся на единицу длины по оси х.

Но тогда dx Fy.

dS Рассмотрим уравнения равновесия:

d dx d dy (T ) 0;

(T ) Fy 0.

dS dS dS dS Из первого уравнения следует:

dx T0 const.

T dS ds T T Откуда.

dx Из второго уравнения получаем:

d dy dx (T ) 0.

dS dS dS Откуда следует:

dy ) dx d (T dS или d2y dS dy ) dx, T0 2.

d (T dx dS dx Полагая T0 / a, получим:

d2y.

dx 2 a Интегрируя, найдем:

x y C1 x C 2, 2a где C1,C 2 – постоянные интегрирования.

Таким образом, нить в данном случае располагается по параболе, ось кото рой вертикальна.

Выберем начало отсчета в точке минимума, где dy 0, y y 0.

dx Тогда x C1 0;

C 2 y 0, y y0.

2a dS Согласно соотношению Т Т 0 имеем:

dx dy Тdx T0 dS T0 1 dx.

dx Откуда dy 1 или T T02 2 x 2.

T T dx 5.8. Трение Трением называют сопротивление, возникающее при перемещении одного тела по поверхности другого. В курсе теоретической механики обычно рас сматривают два вида трения – трение скольжения и трение качения.

Если перемещение представляет собой скольжение, то соответствующее трение называется трением скольжения или трением первого рода.

Когда перемещение является качением, то трение называется трением ка чения или трением второго рода.

Трение скольжения Если реакция поверхности направлена по нормали к этой поверхности, то говорят, что это связь без тре ния или идеальная связь. Связь с трением, кроме нор мальной составляющей реакции N, имеет касательную составляющую F (рис. 5.18).

Нормальная реакция представляет собой давле ние поверхности на тело, в то время как тангенциаль Рис. 5. ная реакция возникает благодаря наличию сил трения в зоне контакта.

Трение между соприкасающимися телами происходит вследствие сцепле ния прижатых друг к другу тел, а также вследствие шероховатости поверхно сти.

Механизм трения до сих пор полностью не установлен из-за больших трудностей, связанных с количественной оценкой сил молекулярного сцепле ния, зависящих от состояния контактирующих поверхностей и их физико химических свойств. Поэтому при учете трения пользуются законами, которые носят качественный, эмпирический характер и являются весьма приближенным отражением действительного явления. Силы трения существенно зависят от на личия смазки. При этом следует различать статическое трение, имеющее место при относительном покое соприкасающихся тел, и трение скольжения, которое возникает при относительном движении контактирующих тел. Законы трения в результате первых опытов были установлены Г. Амонтоном (1699) и уточ нены Ш. Кулоном (1781).

Законы трения скольжения формулируются следующим образом:

1. Наибольшая сила трения скольжения пропорциональна величине нормальной составляющей реакции поверхности связи, то есть:

F max fN, (5.8.1) где F max – максимальное значение касательной составляющей реакции по верхности связи;

f – коэффициент трения;

N – нормальное давление на по верхность связи или нормальная составляющая реакции поверхности связи.

2. Сила трения не зависит от площади контакта соприкасающихся поверхно стей. На самом деле это не так, хотя и выполняется в довольно широком диапазоне параметров.

3. Сила трения скольжения при движении меньше силы трения при покое. Хотя и этот закон не всегда выполняется. В настоящее время созданы антифрик ционные материалы, у которых сила трения растет с увеличением скорости скольжения.

В дополнение к сказанному отметим, что коэффициент трения скольжения при покое, например, для пары чугун-чугун f 0 0,15 0,25, при трении дерева о дерево f 0 0,4 0,7.

Коэффициент трения зависит от степени обработки и состояния тру щихся поверхностей и от скорости скольжения. Обычно с увеличением скорости скольжения величина f убы вает, затем стабилизируется и снова Рис. 5. растет (рис. 5.19).

Реакция поверхности с трением. Угол и конус трения Реакция при наличии силы трения состоит из двух составляющих: силы трения F, которая направлена по касательной к поверхности в точке касания, и нормальной составляющей реакции N. Таким образом, реакция шероховатой поверхности равна векторной сумме этих сил:

R F N. (5.8.2) Рассмотрим предельный случай равновесия тела на плоскости с трением (рис. 5.20).

Составим уравнения равновесия. На тело действует сила Q, составляющая угол с вертикалью. Поскольку имеет место равновесие системы сходящихся сил, то имеем два уравнения:

N Fix 0;

F Q sin 0;

1.

i N Fiy 0;

N Q cos 0.

2.

i Но F fN, где f – коэффициент трения скольжения. Поэтому имеем:

F Q sin fQ cos. j Откуда f tg, где – так называемый угол трения. Очевидно при, где – угол между силой и вертикалью, имеет место равно Рис. 5. весие при любой силе Q.

Следовательно, угол трения – это наи больший угол, на который отклоняется реак ция шероховатой поверхности от нормали к ней.

Линия действия реакции образует кониче j скую поверхность с углом раствора 2, назы ваемую конусом трения (рис. 5.21).

F 49 Рис. 5. Внутренняя часть конуса определяет область равновесия. Причем коэффи циент равен тангенсу угла трения.

Трение гибкой нити о цилиндрическую поверхность Нить касается поверхности кругового цилиндра вдоль дуги AEDB с центральным углом (рис.

5.22). Коэффициент трения нити о цилиндр равен f.

К одному концу нити приложена сила P. Найти наименьшую силу Q, которую необходимо прило dJ жить к другому концу, чтобы сохранить равновесие.

J Для этого рассмотрим равновесие элемента нити DE длиной dS Rd, где R – радиус цилиндра. На него действуют приложенные в точках D и E натя жения T dT и T, нормальная реакция dN и сила трения dF. Составим уравнения равновесия в про Рис. 5. екциях на касательную и нормаль n, считая d d d d Td.

1;

dT dF ;

dN 2T sin sin, cos 2 2 2 Рассматриваемое положение равновесия является предельным, поэтому dF f dN. Подставляя в это равенство dF и dN, получим:

dT fTd.

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

P dT T f d, Q или P f.

ln Q Откуда Q Pe f.

Согласно этой формуле, полученной Эйлером, оказывается, что уравновеши вающая сила не зависит от радиуса цилиндра и быстро убывает с увеличением.

Трение качения Опыт показывает, что для качения тяжелого цилиндра по горизонтальной плоскости к оси цилиндра необходимо приложить некоторую горизонтальную силу F, чтобы преодолеть сопротивление, возникающее при качении цилиндра.

Это сопротивление называется силой трения качения или силой трения второго рода.

Появление трения качения объясняется изменением формы поверхности, по которой катится тело. При качении цилиндр деформируется и несколько вдавливается в плоскость. При этом сила трения качения тем больше, чем силь нее деформации в зоне контакта.

Вследствие деформации тел под действием силы веса P их касание проис ходит по некоторой площадке. На рис. 5.23 этой площадке соответствует дуга AB с центральным углом.

Нормальная реакция N приложена в точке B. Как видно, имеет место равновесие трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости. Поэтому они пересекаются в точке O. При этом горизонтальная проекция реак ции N равна по величине движущейся силе F N sin. Очевидно, горизонтальная про екция N и есть сила трения качения.

Составим уравнение моментов сил, дей Рис. 5. ствующих на каток относительно точки B, считая деформации малыми:

P FR 0, где – проекция дуги AB на горизонталь.

Тогда:

FP. (5.8.3) R В формуле (5.8.3) – называется коэффициентом трения качения. Оче видно, имеет размерность длины.

Например, для шарикоподшипников 0,001 см, а для вагонных колес 0,005 см. Отношение обычно меньше f. Поэтому в технике трение R скольжения стремятся заменить на трение качения.

6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ 6.1. Соотношение между главными моментами относительно двух различных центров приведения Статическое действие любой системы сил полностью характеризуется главным вектором и главным моментом, приложенными в центре приведения.

При этом главный вектор по определению от центра приведения не зависит и, следовательно, является статическим инвариантом. Главный момент – это свободный вектор, который зависит от центра приведения.

Рассмотрим, как меняется главный момент, если поменять центр приведе ния. Пусть новым центром будет точка O1 (рис. 6.1).

Главный вектор F и главный момент M 0, расположенные в старом центре приведения – точке O, и главный вектор F и главный момент M 0 1, расположенные в новом центре – точке O1, совершенно равноправны и порознь эквивалентны исходной системе сил. Поэтому исходную систему сил при дальнейших преобразованиях можно не принимать во внимание. Найдем главный момент силовых факторов, расположенных в точке O1, относительно точки O.

Рис. 6. Очевидно, M 0 M 01 F.

M 01 M 0 F, Тогда (6.1.1) где – радиус-вектор, направленный от точки O к точке O1.

Формула (6.1.1) дает соотношение главных моментов относительно двух различных центров приведения.

Главный момент относительно нового центра приведения равен гео метрической разности главного момента относительно старого центра и момента главного вектора, расположенного в новом центре приведения, относительно старого.

6.2. Статические инварианты Первый статический инвариант – это главный вектор, который не за висит от центра приведения:

N F Fi.

i Второй статический инвариант – это проекция главного момента на направление главного вектора.

Иными словами, поскольку главный вектор сам по себе является статиче ским инвариантом, то скалярное произведение главного вектора и главного мо мента системы сил для любого центра приведения есть величина постоянная.

Воспользуемся формулой (6.1.1) и рассмотрим скалярное произведение:

M 01 F ( M 0 F ) F. (6.2.2) В формуле (6.2.2) смешанное произведение F F 0 и, следовательно, M 01 F M 0 F (6.2.3) или M 01 x Fx M 01 y Fy M 01 z Fz M 0 x Fx M 0 y Fy M 0 z Fz.

Как известно, скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей, умноженных на косинус угла между ними. Поэтому вместо (6.2.3) имеем (см. рис. 6.1):

M 0 F cos M 01 F cos 1.

Откуда следует, что M 0 cos M 01 cos 1. (6.2.4) На рис. 6.1 отрезки OA и O1 A1, являющиеся проекциями главных моментов на направление главного вектора, согласно формуле (6.2.4), равны между собой.

6.3. Приведение пространственной системы сил к равнодействующей Пространственная система сил сводится к равнодействующей, если равен нулю второй статический инвариант, то есть равна нулю проекция главного момента на направление главного вектора. Это означает, что главный вектор F и главный момент M 0 системы сил взаимно перпенди кулярны (рис. 6.2).

Итак, пусть в точке O, являющейся центром при ведения, главный вектор F и главный момент M 0 вза имно перпендикулярны, то есть угол между F и M равен / 2. Как было показано ранее, главный вектор F и главный момент M 0 полностью характеризуют статическое действие исходной системы сил. Поэтому в Рис. 6. результате дальнейших эквивалентных преобразований мы будем получать новую систему сил, эквивалентную исходной системе. Заменим главный момент парой сил F и F с плечом M h 0. Силы F и F в точке O уравновешиваются. Сила, приложенная в F точке O1, таким образом, оказывается равнодействующей, что и требовалось доказать.

6.4. Теорема о моменте равнодействующей Вышеописанное построение по приведению системы сил к равнодейст вующей одновременно является доказательством теоремы о моменте равнодей ствующей в общем случае.

Суть этой теоремы в том, что если пространственная система сил име ет равнодействующую, то ее момент относительно некоторой точки ра вен векторной сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Действительно, по определению главный момент:

N M 0 M 0 ( Fi ), i а по построению:

M 0 h F F M 0 (F ), где – радиус-векторы точек на линии действия равнодействующей.

Следовательно, N M 0 ( F ) M 0 ( Fi ). (6.4.1) i В любой точке приведения второй статический инвариант обращается в нуль и поэтому данное построение может быть осуществлено также для любой точки.

Следовательно, точку O можно считать произвольной, а значит, и выра жение (6.4.1), если у системы сил есть равнодействующая, справедливо для лю бой точки.

Из доказанного следует, что момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же оси.

6.5. Приведение пространственной системы сил к паре Если главный вектор F равен нулю, а главный момент системы сил M не равен нулю, то система сил приводится к паре. Момент этой пары равен главному моменту рассматриваемой системы сил:

N M M 0 M 0 ( Fi ).

i То есть главный момент уже не зависит от выбора точки приведения.

Таким образом, если система сил сводится к паре, то равен нулю первый статический инвариант.

6.6. Приведение пространственной системы сил к динаме Динамой или силовым винтом называется система, состоящая из силы и пары, вектор момента которой на правлен по этой силе.

Пространственная система сил сводится к динаме, если отличны от нуля оба статических инварианта, иными словами, не равные нулю главный вектор F и главный момент M 0 образуют между собой угол, отличный от / 2 (рис. 6.3).

Разложим главный момент M 0 по направлению Рис. 6.3 главного вектора и перпендикулярно ему. На рис. 6. первая составляющая M 01 направлена по силе F, а вторая M 02 ей перпендику лярна. Заменим вторую составляющую M 02 парой сил F и F с плечом M h = 02.

F В точке O силы F и F уравновешиваются, а в точке O1 получаем силу F и момент M 01, который переносим из точки O.

Сила F и момент M 01, направленные по одной прямой, называемой цен тральной осью системы сил или линией действия динамы, образуют динаму или динамический винт.

Из построения следует, что элементами динамы являются главный вектор F и проекция главного момента M 0 на направление главного вектора.

M 01 M 0 cos.

Причем Fx M 0 x Fy M 0 y Fz M 0 z cos.

FM Уравнение оси динамы определяется условием cos 1, то есть векторы и F должны быть параллельны. Но M M 01 = M 0 - r F, где xi yj zk – радиус-векторы точек линии действия динамы.

Условие параллельности векторов записывается так:

M 01x M 01 y M 01z = = Fx Fy Fz или M 0 x ( yFz zFy ) M 0 y ( zFx xFz ) M 0 z ( xFy yFx ). (6.6.1) Fx Fy Fz Уравнение (6.6.1) является уравнением прямой, которая представляет со бой линию действия динамы.

7. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ 7.1. Центр параллельных сил Центром параллельных сил называется точка на линии действия ее равнодействующей, не меняющая своего положения при одновременном по вороте всех сил на один и тот же угол вокруг их точек приложения.

Рассмотрим систему параллельных, одинаково направленных сил F1, F2,..., FN, приложенных к твердому телу в точках A1, A2,..., AN. Эта система имеет равнодействующую, которая может быть найдена последовательным сложением сил (рис. 7.1).

Сложим сначала силы F1 и F2. Их равнодей ствующая F12 (на рис. не показана) приложена в точке C1, которая находится из условия:

F1 A1C1 F2 C1 A2, и равна по модулю сумме F12 F1 F2. Положе ние точки C1 не меняется при одновременном по вороте сил на угол. На рис. 7.1 – это силы, обо значенные звездочкой. Затем, складывая F12 и F3, получим точку C 2, где приложена равнодейст вующая сил F12 и F3, равная по модулю Рис. 7. F1 F2 F3. На последнем этапе сложения полу чим точку C, где приложена равнодействующая всей системы и которая, оче видно, также не меняет своего положения при повороте всех сил на один и тот же угол. Равнодействующая этих сил F, приложенная в точке C, являющейся центром параллельных сил, находится согласно равенству:

N F Fi. (7.1.1) i Если некоторые силы на правлены в противоположную сторону, то это не меняет сути де ла, так как положение точек при ложения равнодействующей ан типараллельных сил находится по правилу рычага второго рода и также неизменно при одновре менном повороте всех сил на один и тот же угол.

Пусть система сил F1, F2,..., FN параллельна оси z (рис. 7.2).

Рис. 7. Зная координаты точек приложения сил, определим положение центра па раллельных сил, применив теорему о моменте равнодействующей.

Для определения координаты xc центра параллельных сил составим урав нение моментов сил относительно оси у:

N M y ( F ) M y ( Fi ) i или N Fxc Fi xi, i откуда N Fi xi xc i. (7.1.2) F Если составить уравнение моментов сил относительно оси x, то получим координату у c центра параллельных сил:

N M x ( F ) M x ( Fi ) i или N Fy c Fi y i.

i Откуда N Fi yi yc i. (7.1.3) F Для определения координаты z c центра параллельных сил повернем сна чала все силы на один и тот же угол / 2, как показано на рис. 7.2 и соста вим уравнение моментов относительно оси x :

N M x ( F ) M x ( Fi ) i или N F z c Fi z i.

i Откуда, учитывая, что Fi Fi, получим N Fi z i zc i. (7.1.4) F Формулы (7.1.2), (7.1.3), (7.1.4) можно объединить в одно векторное равенство:

N Fi ri rc i, (7.1.5) F где ri xi i y i j z i k – радиус-вектор точки приложения i -й силы, rc xc i y c j z c k – радиус-вектор центра параллельных сил.

7.2. Центр тяжести тела Согласно закону всемирного тяготения на все частицы тела, которое нахо дится вблизи земной поверхности, действуют силы притяжения к Земле. Эти силы называются силами тяжести.

Силы тяжести, строго говоря, не являются параллельными, так как они сходятся в центре Земли. В связи с небольшими размерами тела по сравнению с радиусом Земли, силы тяжести отдельных частиц тела с достаточно большой точностью можно считать параллельными.

Равнодействующая параллельных сил тяжести отдельных частиц тела называется весом тела. Силу веса или силу тяжести тела будем обо значать буквой р.

Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести отдельных частиц тела.

Центр тяжести неоднородного тела Пусть неоднородное тело произвольной формы раз бито на n элементов.

Обозначим вес i-го элемента через pi. Точка при ложения силы pi находится внутри элемента (рис. 7.3).

Однако где именно внутри элемента находится эта точка, не известно.

О В зависимости от выбора этой точки получим при ближенные значения координат центра тяжести тела.

Чтобы получить точные значения, необходимо со Рис. 7. вершить предельный переход:

N xi pi xdp xc i 1 V lim ;

p p N, pi N yi pi ydp yc V i lim ;

(7.2.1) p p N, pi N z i pi zdp zc i 1 V lim.

p p N, pi Интегралы в формулах (7.2.1) берутся по объему V твердого тела.

Центр тяжести однородного тела Если тело однородно, то удельный вес его постоянный. Тогда вес тела будет p V и, следовательно, dp dV.

Тогда вместо формул (7.2.1) получим:

xdV ydV zdV xc ;

yc ;

zc V V V. (7.2.2) V V V Таким образом, центр тяжести однородного тела является центром тяжести его объема. Интегралы в числителях формул (7.2.2) называются статическими моментами объёма относительно координатных плоскостей. Интеграл xdV – V ydV статический момент относительно плоскости Oyz, интеграл – относи V тельно плоскости Oxz, интеграл zdV – относительно плоскости Oxy.

V Центр тяжести плоской фигуры Пусть плоская фигура расположена в плоскости Оxy (рис. 7.4). Поступая так же, как и в случае пространственно- у го тела, получаем формулы для нахождения координат цен тра тяжести.

N xi pi xdp xc i 1 S lim ;

х p p N, pi Рис. 7. (7.2.3) N yi pi ydp yc i 1 S lim.

p p N, pi Интегралы в формулах (7.2.3) берутся по площади S плоской фигуры. Если плоская фигура однородна, то сила тяжести пропорциональна ее площади:

p S, где S – площадь фигуры;

const – вес единицы площади.

Тогда получим xdS ydS xc ;

yc S S. (7.2.4) S S В формулах (7.2.4) интегралы xdS и ydS называются статическими S S моментами площади плоской фигуры относительно оси y и х соответственно.

Если плоскую фигуру разбить на элементы, у центры тяжести которых известны, например, прямоугольники, то получаем точные формулы.

При наличии отверстий соответствующее слагае мое берем со знаком минус (метод отрицательных площадей или объемов).

На рис. 7.5 элемент S 2 является отверстием, поэтому:

х S1 x1 S 2 x Рис. 7. xC ;

S1 S S1 y1 S 2 y yC.

S1 S Центр тяжести линии К понятию линии приходим, рассматривая тело, поперечное сечение которого мало по сравнению с длиной (рис. 7.6). В случае, если dl поперечное сечение постоянно и постоянен вес единицы длины, имеем:

xdl ydl zdl xC ;

yC ;

zC l l l, (7.2.5) l l l Рис. 7.6 где l – длина линии, dl=ds (рис. 7.6).

Интегралы, входящие в формулы (7.2.5) на зываются криволинейными.

7.3. Примеры определения центров тяжести Центр тяжести дуги окружности Рассмотрим дугу окружности с центральным углом 2, симметричную относительно оси х (рис. 7.7).

Согласно общим формулам для центра тяжести имеем xdl xC l, (7.3.1) l 2 где dl dx dy – элемент длины линии;

Рис. 7.7 dx ab, dy ac – соответствующие проекции эле мента dl на оси x и y. Треугольники OAB и abc по добны. Следовательно, справедлива пропорция:

x dy, r dl где r – радиус окружности.

Подынтегральное выражение в формуле (7.3.1), таким образом, удовлетво ряет равенству:

xdl rdy и, следовательно, интеграл xdl rdy r dy rh, (7.3.2) l l l где h – проекция дуги на ось y.

В итоге формула (7.3.1) с учетом (7.3.2) переписывается так:

rh xC. (7.3.3) l Это общая формула для координат xC центра тяжести несимметричной дуги.

В рассматриваемом случае h 2r sin, l 2r. (7.3.4) Подставляя (7.3.4) в (7.3.3), получим:

r sin xC. (7.3.5) Формула (7.3.7), естественно, может быть получена непосредственным ин тегрированием. Пусть – полярный угол элемента dl rd.

Координата x r cos, тогда:

r 2 cos d r sin xC.

2 r Центр тяжести площади треугольника Разобьем площадь треугольника прямыми, параллельными основанию, на очень большое число узких полосок, которые можно рассматривать как матери альные отрезки прямых линий (рис. 7.8). Центр тяжести каждого отрезка лежит на его середине, а, следовательно, центр тяжести всей площади треугольника лежит на его медиане. Разбив площадь прямыми, параллельными каждой из сторон, можно утверждать, что центр тяжести тре угольника лежит на каждой из медиан. Следова тельно, он лежит на пересечении медиан. Из гео метрии известно, что медианы пересекаются на расстоянии одной трети от основания и двух третей от вершины.

Рис. 7. Центр тяжести площади кругового сектора Рассмотрим симметричный сектор с углом 2. Разобьем сектор на элемен тарные секторы с центральными углами d. Каждый такой сектор можно рас сматривать как треугольник с высотой r и основанием rd. Центр тяжести ка ждого такого треугольника лежит на расстоянии r от центра круга. Следова тельно, необходимо найти центр тяжести материальной дуги круга радиуса r.

Поэтому 2 sin xC r. (7.3.6) Центр тяжести поверхности сферического сегмента Дана поверхность сферического сегмента ABCEF. Чтобы найти центр тяжести, рассмотрим определение его площади (рис. 7.9).

Площадь пояска с образующей dl rd :

dS 2adl 2r 2 sin d, j где a = r sin j Откуда площадь всего сегмента:

S 2r 2 sin d 2r 2 (1 cos ).

Однако r (1 cos ) H, следовательно, Рис. 7. S 2rH. (7.3.7) Из формулы (7.3.7) следует, что площадь сферического сегмента равна произведению дуги окружности большого круга на его высоту. Очевидно, пло щадь сферического пояса оказывается также равной произведению дуги боль шого круга на его высоту.

Разделим высоту H на большее число равных частей H и через точки деления проведем плоскости, параллельные основанию сегмента. Тогда по верхность сегмента, согласно формуле (7.3.7), разделится на большое число равных по площади поясов, центр тяжести которых лежит на их геометриче ском центре, то есть на отрезке BD.

Таким образом, высота H будет равномерно покрыта материальными точ ками и, следовательно, центр тяжести сегмента будет находиться в центре от резка BD.

Следовательно, H yC r. (7.3.8) В частном случае, когда H r, то есть для полусферы, имеем rr yC r.

То есть центр полусферы находится на середине радиуса, перпендикулярного основанию.

Центр тяжести многогранной пирамиды Начало координат расположим в вершине пира- о миды (рис. 7.10). Ось z направим вертикально вниз.

Найдем соотношение между площадями основания F и некоторого сечения Fz, находящегося на расстоянии z от вершины.

Fz z Очевидно,.

F0 h Следовательно, Fz F0 z 2 / h 2.

Рис. 7. Согласно общей формуле для центра тяжести имеем zdV zC V. (7.3.9) V Вычисление интеграла в числителе можно упростить, если в качестве dV взять объем заштрихованного элемента толщиной dz :

F dV Fz dz 2 z 2 dz.

h Тогда интеграл в числителе формулы (7.3.9) будет F0 h F0 h zdV h 2 z dz 4. (7.3.10) V Объем пирамиды V F0 h, тогда, согласно (7.3.9) и (7.3.10), zC h. (7.3.11) Из приведенных рассуждений следует, что координата z C не зависит от формы основания пирамиды и расположена на расстоянии четверти высоты от основания. Следовательно, это относится и к любому конусу, независимо от уг ла его наклона.

7.4. Теоремы Паппа–Гульдина Эти теоремы были открыты александрийским механиком Паппом, по од ним сведениям в третьем, а по другим в четвертом веке новой эры, и затем в 1635 году они же были вновь открыты монахом Гульдиным.

Теорема 1. Поверхность тела, образованного вращением плоской кри вой вокруг оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равна произ ведению длины кривой на длину окружности, описываемой ее центром тяжести.

Пусть дуга плоской кривой АВ (рис. 7.11) образует при вращении вокруг оси z некоторую поверхность. Вы делим элемент dl этой кривой. Площадь пояска, образо ванного вращением этого элемента, будет:

dS 2xdl, где х – расстояние элемента до оси вращения.

о Чтобы найти площадь поверхности вращения, не Рис. 7. обходимо вычислить интеграл S 2 xdl. (7.4.1) l Но известно, что xdl xC l, (7.4.2) l где l – длина дуги AB ;

xC – координата центра тяжести дуги AB.

Следовательно, согласно (7.4.1) и (7.4.2), S 2xC l. (7.4.3) что и доказывает первую теорему Паппа–Гульдина.

Формула (7.4.3) позволяет определять координаты центра тяжести плоских кривых:

S xC. (7.4.4) 2l Например, для полуокружности получим: S 4r 2 - так как в результате 2r ее вращения получается сфера;

l r, следовательно, xC.

Теорема 2. Объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

Выделим элемент dS в пределах плоской фигуры (рис. 7.12). При вращении этого элемента вокруг оси z получается кольцо, объем которого находится по фор муле:

dV 2xdS, где х – расстояние элемента до оси z.

о Объем тела вращения найдем интегрированием:

V 2 xdS. (7.4.5) Рис. 7.12 S По определению центра тяжести:

xdS xC S, (7.4.6) S где xC – координата центра тяжести;

S – площадь фигуры.

Тогда, согласно (7.4.5) и (7.4.6), V 2xC S, (7.4.7) что доказывает вторую теорему Паппа–Гульдина.

Из (7.4.7) получаем:

V xC.

2S Для полукруга имеем:

V r 3 – так как при его вращении получается шар.

r S и, следовательно, 4r xC.

КИНЕМАТИКА 8. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 8.1. Введение в кинематику Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изу чается механическое движение материальных тел независимо от действующих на них сил. В связи с этим в кинематике не встречаются такие понятия, как «сила» и «масса».

В кинематике изучается зависимость между пространственными характе ристиками движения, поэтому кинематику называют также геометрией движе ния. В основе кинематики лежит понятие об абсолютном пространстве и времени, введенное И. Ньютоном.

Абсолютное пространство обычно представляется в виде некоторого проницаемого безграничного твердого тела, свойства которого не зависят от распределения материальных тел и от их движения. Абсолютное время одинаково во всех точках пространства и течет равномерно и непрерывно.

Геометрические свойства пространства в классической механике опреде ляются системой аксиом и теорем геометрии Евклида.

Астрономы предприняли ряд попыток оценить пределы применимости геометрии Евклида.

Один из методов проверки был предложен Шварцшильдом.

Между двумя наблюдениями с интервалом в шесть месяцев удаленной звезды положение Земли относительно Солнца меняется на длину диаметра, то есть на 3·1013 см (рис. 8.1).

При этом сумма углов и должна быть меньше 180°, если пространство оказывается пло ским, и может оказаться больше, если пространст во криволинейно. Однако в настоящее время нет данных наблюдений, согласно которым сумма уг лов + где-либо становилась бы больше 180°, при этом оказалось, что радиус кривизны, опреде ляемый триангуляцией, в любом случае должен быть больше, чем 6·1019 см. При помощи более Рис. 8. точных астрономических наблюдений было уста новлено, что радиус кривизны должен иметь величину порядка 1028 см. Но при этом неизвестно, имеет ли пространство кривизну в масштабах длин, превы шающих эту величину. С другой стороны, исследования на современных уско рителях позволяют утверждать, что Евклидова геометрия выдерживает экспе риментальную проверку вплоть до размеров 10–13 см.

Одной из важнейших задач кинематики является установление связи пара метров движения, заданного в различных системах координат, движущихся от носительно друг друга. При этом наличие инерциальной системы отсчета, имеющей принципиальное значение в динамике, для кинематики не сущест венно.

Предметом изучения кинематики, как и механики в целом, являются те же модели материальных тел, а именно: материальной точки, системы материаль ных точек, твердого тела, а также различные модели сплошных сред.

8.2. Три способа определения движения точки Основной задачей кинематики точки является изучение законов ее движения.

Закон движения точки задается с помощью зависимости от времени ее по ложения в пространстве. При этом закон движения считается известным, если положение точки в пространстве можно определить в произвольный момент времени. Кривая, которую описывает точка, называется ее траекторией.

Если траектория является прямой линией, то движение точки называется прямолинейным. В противном случае движение называется криволинейным.

Движение точки можно определить тремя способами: векторным, коор динатным и естественным.

Векторный способ Положение точки можно определить с помо- z щью радиус-вектора r, проведенного из некото рой заданной неподвижной точки O в данную точку M (рис. 8.2).

При движении точки радиус-вектор r изме няется по величине и направлению. Положение точки M в каждый момент времени является вполне определенным, иными словами, точка M в у данный момент может находиться только в одном месте пространства, поэтому функция r=r(t) яв х Рис. 8. ляется однозначной. Кроме того, r=r(t) является почти всюду непрерывной и дважды дифференцируемой функцией времени.

Геометрическое место концов вектора r=r(t) называется годографом. Следова тельно, траектория точки является годографом радиус-вектора r=r(t).

Уравнение r=r(t). (8.2.1) называется кинематическим уравнением движения точки в векторной форме и представляет собой уравнение ее траектории.

Координатный способ Этот способ определения движения состоит в том, что задаются координа ты точки как функции времени. Например, в декартовых координатах следует задать три зависимости:

x x(t ), y y (t ), z z (t ), (8.2.2) где x, y, z – соответствующие декартовы координаты точки M (см. рис. 8.2).

Между векторным и координатным способами задания движения точки суще ствует очевидная связь:

r = x i+ y j+ z k, (8.2.3) где i, j, k – координатные орты.

Зависимости (8.2.2) являются уравнениями траектории в параметрической форме. Эти зависимости также однозначны, непрерывны и дважды дифферен цируемы.

Если из соотношений (8.2.2) исключить время, то получим уравнение тра ектории в явной форме.

Естественный способ При естественном способе задания движения траектория точки должна быть известна заранее. Поэтому для определения положения точки в простран стве достаточно задать ее положение на траектории. Для этого на траектории выбирается начало отсчета дуговых координат, а положение точки М опреде ляется ее ориентированным расстоянием S, отсчитываемым по дуге траектории от выбранной точки. Иными словами, необходимо задать уравнение S S (t ). (8.2.4) Уравнение (8.2.4) определяет закон движения точки по траектории. При этом функция S S (t ) должна быть непрерывной и дважды дифференцируе мой.

Дуговая координата S отлична от пройденного точкой пути. Если дуга S является монотонной функцией времени, то путь и дуговая координата не от личаются друг от друга. Если же это не так, то путь, пройденный точкой, сле дует разбить на участки монотонного изменения дуговой координаты и затем просуммировать.

8.3. Скорость и ускорение точки при векторном и координатном способах задания движения Пусть точка М движется по некоторой кривой z (рис. 8.3). В момент времени t она занимает положе ние M. Соответствующий радиус-вектор r. Через ма лый промежуток времени t точка переходит в поло жение M 1. Ее радиус-вектор изменяется на величину r, становится равным r + r. Скоростью точки в данный момент времени называется величина:

r dr у v = lim = (8.3.1) Dt 0 t dt х или Рис. 8. v= r.

Следовательно, скорость – это первая производная радиус-вектора точки по времени (рис. 8.3).

Приращение радиус-вектора r является секущей. В пределе секущая пе реходит в касательную, поэтому и скорость в данной точке направлена по каса тельной к траектории в сторону изменения дуги.

Пусть движение точки задано координатным способом. В силу равенства (8.2.3) получаем:

v r xi yj zk vx i v y j vz k.

(8.3.2) Откуда следует, что v x x, v y y, v z z.

(8.3.3) v vx v Очевидно v v x v 2 v z2, cos(v, x) ;

cos(v, y ) y ;

cos(v, z ) z.

y v v v Выберем некоторую точку O1 и расположим в ней декартову систему осей x1, y1, z1. Если перенести в точку параллельно самим себе векторы v, то концы векторов v образуют кривую, называемую годографом скорости. Очевидно, координаты точек годографа скорости определяются согласно равенствам:

x1 vx (t );

y1 v y (t );

z1 vz (t ). (8.3.4) Это уравнение годографа в параметрической форме. Если исключить время, являющееся па- z раметром, то получим уравнение годографа ско рости в явной форме.

Физическая величина, характеризующая бы строту изменения скорости движения точки во времени, называется ускорением.

Рассмотрим два близких положения точки М у и М 1 на траектории (рис. 8.4). Скорости в точках х М и М 1 будут соответственно v и v+v. Вектор Рис. 8. ускорения в данный момент времени будет:

v dv a = lim = t dt или a v.

r (8.3.5) Следовательно, ускорение – это первая производная вектора скорости по времени.

Если движение точки задано координатным способом, например, в декар товых осях, то согласно соотношению (8.3.3) и (8.3.2), имеем:

a v vx i v y j vz k, xi yj zk (8.3.6) a x vx, a y v y, a z vz.

x z y То есть, В качестве примера рассмотрим кинематический анализ кривошипно шатунного механизма (рис. 8.5).

Кривошип ОА равномерно вращается против часовой стрелки. Его угол по ворота t. Звено АВ называется шатуном. Размеры звеньев:

OA r, AB l. В начальный момент Рис. 8.5 времени поршень В находится в верх ней мертвой точке B0, причем OB0 OA AB r l – перемещение поршня отсчитывается от точки B0 :

B0 B S (t ).

Из треугольника OAB имеем:

OB r cos l cos.

r r l, откуда sin sin.

По теореме синусов:

sin sin l r Введем обозначение. Тогда получим: cos 1 2 sin 2 и, следова l тельно, S (t ) r (1 cos ) l (1 1 2 sin 2 ).

Движение ползуна колебательное с частотой и ходом поршня 2r. обыч но величина, то есть, достаточна мала. Поэтому, если разложить радикал в ряд и пренебречь величинами порядка 4, то выражение для S (t ) существен но упрощается. Итак:

1 cos 2 t 1 1 2 sin 2 t (1 2 sin 2 t )1 / 2 1 2 sin 2 t... 1 2 ( ).

2 2 Подставим это выражение в формулу S (t ) :

12 12 S (t ) r (1 cos t ) l ( cos 2 t ) l ( cos t cos 2 t ).

4 4 4 Найдем скорость и ускорение поршня:

v = S = l w( sin w t + sin 2w t );

a = S = lw ( cos w t + 2 cos 2w t ).

Как видно, уравнение движения точки содержит две существенно прояв ляющих себя гармоники.

8.4. Скорость и ускорение точки в полярных координатах Пусть движение точки происходит в плоскости Oxy. Кинематические уравнения движения точки в декартовых осях заданы: x x (t );

y y (t ). Заданы также и полярные координаты точки: r r (t ), (t ). Пусть er – единичный вектор (орт), направленный вдоль радиус-вектора r точки M относительно точки О в сторону возрастания r, а ej – единичный вектор трансверсального направления, получающийся поворотом вектора er на у угол / 2 против часовой стрелки.

В системе координат Oxy векторы er и ej, если использовать матричную форму, записываются сле дующим образом (рис. 8.6):

er (cos, sin ), e ( sin, cos ), (8.4.1) T T так как x r cos, y r sin, х Рис. 8. то в системе координат Oxy получим:

vT ( х, y ) ( r cos r sin, r sin r cos, (8.4.2) a (, ) (( r )cos (r 2r)sin,( r )sin (r 2r)cos).

T 2 r r xy (8.4.3) Проекции vr и v на радиальную и трансверсальную оси представляют со бой радиальную и трансверсальную скорости, которые, согласно (8.4.1) и (8.4.2), являются следующими скалярными произведениями:

v r (v er ) ( r cos r sin ) cos ( r sin r cos ) sin r, (8.4.4) v (v e ) (r cos r sin ) sin (r sin r cos ) cos r, (8.4.5) Для проекций ускорения осуществим аналогичные выкладки, найдем:

a r (a er ) r 2 ;

r (8.4.6) a (a e ) r 2r.

(8.4.7) Переход от системы осей Oxy к осям Mer e можно осуществить с помощью матрицы поворота на угол :

cos, sin A, (8.4.8) sin, cos при этом:

vx vr x A. (8.4.9) vy v y ax ar x A. (8.4.10) ay a y Не трудно увидеть, что матрица A образована векторами er и e j :

A er, e.

Учитывая (8.4.4) и (8.4.5), согласно (8.4.9), приходим к формуле (8.4.2). Анало гично подставляя (8.4.6) и (8.4.7) в (8.4.10) получим формулу (8.4.3).

Важным является тот факт, что A AT I, где I – единичная матрица.

Следовательно, транспонированная матрица A равна своей обратной:

AT A Соответствующие определители матриц A и AT равны единице:

A AT cos 2 sin 2 1.

В математике преобразование с матрицей типа (8.4.8) называется унитарным.

8.5. Скорость и ускорение при естественном способе задания движения Естественные оси (натуральный триэдр) В каждой точке кривой есть три взаимно перпендикулярных направления:

касательная, главная нормаль и бинормаль.

Единичные орты этих направлений обозначим соответственно,n,b (рис.

8.7). Орт касательной направляется в сторону положительного отсчета дуго вых координат S, орт главной нормали n – в сторону вогнутости траектории, орт бинормали b направлен так, чтобы векторы,n,b образовывали правую систему координат. На рис. 8.7 показаны также соприкасающиеся плоскость П 0 и нормальная плоскость N 0.

Проведем в точке М плоскость N 0, перпендикулярную к касательной (рис. 8.7). Эта плоскость называется нормальной плоскостью кривой. Любая прямая, проведенная в этой плоскости через точку М, будет перпендикулярна, то есть будет нормалью к кривой. Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей называется главной нормалью кривой. Следовательно, главная нормаль ле жит в соприкасающейся плоскости, а бинор маль перпендикулярна к главной нормали. Со вокупность трех взаимно ортогональных осей,n,b, образующих правую систему координат, называется натуральным триэдром или ес тественными осями.

Рис. 8. Рассмотрим предельный пе реход, в результате которого по лучается соприкасающаяся плос кость. Для этого, наряду с точкой М, рассмотрим близко располо женную точку М 1 (рис. 8.8).

Дуговая координата точки М, отсчитываемая от точки М 0, S S (t ). Точка M 1 находится на расстоянии S от точки M, то есть положение точки M 1 опре деляется значением дуги S S, причем S 0. Орт касательной в точке M 1 обозначается через 1. Рис. 8. Перенесем орт 1 в точку М и через образовавшийся треугольник проведем плоскость П *. Если устремить точ ку M 1 к точке М, то плоскость П * будет вращаться вокруг касательной и при уменьшении S до нуля займет некоторое предельное положение П 0, называе мое соприкасающейся плоскостью.

Найдем выражения единичных векторов натурального триэдра через ради ус-вектор r=r(S).

dr dr Рассмотрим векторную производную. Вектор направлен по каса dS dS тельной к годографу вектора r=r(S) в сторону возрастания дуг S. С другой стороны, численная величина производной равна dr dr = =1.

dS dS dr Таким образом, векторная производная представляет единичный век dS тор касательной:

dr =. (8.5.1) dS Для определения орта главной нормали n рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный векторами и 1 в плоскости П * (рис. 8.8). Если точка M 1 взята на малом расстоянии S от точки М, то угол будет тоже мал, а вектор можно приближенно считать перпендикулярным к и парал лельным вектору нормали n *, лежащему в плоскости П *. По величине как основание равнобедренного треугольника с малым углом при вершине и боковыми сторонами, равными единице, будет равен:

Dj Dj » 2 1 = Dj.

=2 sin 2 Следовательно, » Dj n *.

Поделим обе части этого равенства на S и перейдем к пределу:

Dj lim n *.

= lim lim DS 0 DS DS DS 0 S По определению производной:

Dj d j d = = lim, lim.

dS DS 0 DS dS DS 0 S Поскольку орт n * при приближении точки M 1 к M стремится к n, то lim n * =n.

DS Таким образом, d d j = n.

dS dS d k называется кривизной кривой.

Производная dS При этом k, где – радиус кривизны кривой.

Следовательно, d 2r d 1 d = n или n= = 2. (8.5.2) dS r dS dS Если через данную точку кривой М и две близкие к ней точки провести круг, то при стремлении этих точек к точке М круг будет стремиться к некото рому предельному кругу, называемому соприкасающимся кругом, который лежит в соприкасающейся плоскости. Радиус этого круга будет радиусом кри визны кривой, центр круга – центром кривизны кривой.

Наконец найдем орт бинормали b :

dr d 2 r b=n=( 2 ).

dS dS Скорость в естественных осях По определению скорость – это векторная производная радиуса-вектора r по времени. Согласно этому определению и используя (8.5.1), получим:


dr dr dS v= = = S.

dt dS dt Здесь S – производная дуговой координаты по времени. Найдем скалярное произведение v = S = S.

Очевидно S = v, то есть производная дуги по времени равна проекции вектора скорости v на орт касательной.

Следовательно, вектор скорости в естественных осях записывается следующим образом:

v=v. (8.5.3) Для сравнения напомним выражение вектора скорости в декартовых осях:

v=vx i+v y j+vz k.

Ускорение в естественных осях Для того чтобы найти выражение вектора ускорения в естественных осях, воспользуемся определением ускорения и формулой (8.5.3) для вектора скоро сти в естественных осях:

dv d dv d a= = (v )= +v. (8.5.4) dt dt dt dt Применим ранее полученные выражения для ортов осей натурального триэдра.

Согласно (8.5.2) d d dS = = v n. (8.5.5) dt dS dt Подставим (8.5.5) в выражение (8.4.5):

dv v + n. (8.5.6) a= dt Равенство (8.5.6) представляет собой разложение вектора ускорения по осям натурального триэдра. При этом величина dv d 2 S a = =. (8.5.7) dt dt называется касательным ускорением и характеризует изменение вектора ско рости по величине.

Величина v v an (8.5.8) называется нормальным ускорением и характеризует изменение вектора ско рости по направлению.

Если учесть обозначения (8.5.7) и (8.5.8), то формулу (8.5.6) можно пере писать так:

a a a n n. (8.5.9) Равенство (8.5.9) говорит о том, что проекция ускорения на бинормаль равна нулю. Для сравнения приведем выражение вектора ускорения в декарто вых осях:

a=ax i+a y j+az k.

Связь естественного и координатного способов задания движения Не представляет труда найти все кинематические характеристики движе ния точки в естественных осях по заданным координатным способом ее урав нениям движения.

Пусть известны уравнения движения точки в декартовых осях:

x x(t ), y y (t ), z z (t ).

Найдем проекции скорости и ускорения:

v x x, v y y, v z z, a x, a y, a z.

x y z Квадрат модуля скорости:

v v=v 2 =x 2 +y 2 +z 2 =v2.

Найдем производную по времени от v 2 :

dv 2 dv =2v =2(xx+yy+zz)=2va.

dt dt Учитывая, что v=v и a=a +an n, получим:

v a=(v )(a +an n)=v a.

Следовательно, ( x y z) x y z a.

v Если скалярное произведение v a0, то движение ускоренное и, если v a0, то замедленное.

v Из равенства a a 2 следует:

2 v.

a 2 a Представляет определенный интерес проанализировать частные случаи движения. Приведем некоторые примеры.

1. Прямолинейное движение. Если во время движения точки нормальное ускорение a n равно нулю, то движение точки является прямолинейным. Дейст v 0, то. Следовательно, траекторией является вительно, если a n прямая, при этом полное ускорение равно касательному: a=a. Если во время движения точки ее ускорение равно нулю a 0, то движение является равно мерным и прямолинейным, так как скорость в этом случае не изменится ни по величине, ни по направлению.

2. Равномерное криволинейное движение.

Если во время движения точки касательное ускорение равно нулю a 0, то величина проекций скорости v на орт касательной не изменяется. Действи тельно, если a = v = 0, то v const. В этом случае точка движется равно мерно по кривой, а полное ускорение равно нормальному a= a n.

3. Равнопеременное движение. Если во время движения точки по некото рой кривой касательное ускорение постоянно a = c o n s t, то дуговая координа та меняется по закону:

a t S v 0 t S 0.

Примеры определения радиуса кривизны траектории у 1. Пусть даны уравнения движения точки:

x t, y t 2 1.

Исключив время, получим уравнение траектории (рис. 8.9). х y x 2 Найдем скорость и ускорение:

vx x 1;

v y y 2t.

ax 0;

a y 2;

a ay. Рис. 8. Точка движется из вершины параболы по правой ее вет ви. При t 1, v 5 2.24.

Касательное ускорение будет:

x x y y a 1.789.

v Нормальное ускорение:

an a 2 a2 0.894.

Радиус кривизны траектории:

v2 5 5.59.

an 2. Определим радиус кривизны эллипса в произвольной точке. Уравнения эл липса в параметрической форме: x a cos t, y b sin t Если исключить время, то получаем уравнение эллипса в явной форме:

x 2 y 1.

a2 b Для радиуса кривизны имеем формулу v.

an Найдем составляющие скорости и ускорения:

x a sin t, y b cos t, a cos t, b sin t.

x y Тогда:

v = x 2 + y 2 = a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t, a = x 2 + 2 = a 2 cos 2 t + b 2 sin 2 t, y dv 2 (a 2 b 2 ) 2 sin 2 t cos 2 t (a ) ( ), a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t dt (a 2 b 2 ) 2 sin 2 t cos 2 t a n a 2 a2 a 2 cos 2 t b 2 sin 2 t 2 a sin 2 t b 2 cos 2 t ab.

2 2 2 a sin t b cos t Наконец, найдем:

(a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t ) 3 /.

ab 8.6. Криволинейные координаты Движение точки в пространстве не обязательно задается только декарто выми координатами. Как было показано ранее, это движение, например, в плоскости, можно задать в полярных координатах. В пространстве трех изме рений движение можно задать с помощью любых трех чисел, однозначно опре деляющих положение точки.

Эти три числа q1, q 2, q3, в отличие от прямолинейных декартовых коорди нат, называются криволинейными координатами. Движение точки считается заданным, если ее криволинейные координаты qi, i 1,2,3 представляют из вестные функции времени: qi qi (t ).

В силу однозначности соответствия между определением положения точки при помощи радиус-вектора r и определением ее положения при помощи кри волинейных координат qi, i 1,2,3 можно написать:

r = r (q 1,q 2,q 3 ). (8.6.1) Последнее соотношение утверждает, что радиус-вектор r является одно значной функцией криволинейных координат.

Пусть М 0 – некоторая точка в пространстве. Ее криволинейные координа ты обозначим q01, q02, q03. Координатными линиями, проходящими через точку М 0, назовем зависимости r=r(q 1,q 02,q 03 ), r=r(q01,q 2,q03 ), r=r(q01,q02,q3 ), которые получаются из (8.6.1) при фиксировании координат, в обозначении ко торых имеется индекс 0. Касательную к i-й координатной линии в точке М 0 на зовем i-й координатной осью.

Приращение дуги вдоль i-й координатной оси будет:

r dSi = dqi, qi r r x y z k, dri dqi.

i j где qi qi qi qi qi Следовательно, 2 2 x y z r q q q H i.

qi i i i dS i Hi.

Величины H i называются коэффициентами Ламе. При этом dqi Единичный вектор i-й координатной оси, направленный по касательной и соот ветствующей координатной линии, будет:

r dqi 1 r dr ei. (8.6.2) dS i qi dS i H i qi В дальнейшем ограничимся рассмотрением ортогональных криволинейных координат. В этом случае:

1 r r 1 x x y y z z 0, (8.6.3) ei e j H i H j qi q j H i H j qi q j qi q j qi q j если i j.

Рассмотрим дифференциал дуги произвольной кривой в заданной системе криволинейных координат. Для этого воспользуемся формулой для произволь ного малого перемещения:

r r r dr dq1 dq 2 dq3.

q1 q 2 q Чтобы найти квадрат дифференциала дуги dS 2, необходимо найти скаляр ное произведение dr dr :

r r r dS dr dr dr dq1 dq dq3.

q1 q 2 q Учитывая (8.6.3) получим выражение дифференциала дуги в ортогональ ной криволинейной системе координат:

r 2 r 2 r dS 2 ( ) (dq1 ) 2 ( ) (dq 2 ) 2 ( ) (dq3 ) q1 q 2 q3 (8.6.4) 2 2 2 2 2 H 1 dq1 H 2 dq 2 H 3 dq3.

Найдем проекции скорости v и ускорения a точки М на оси криволиней ной системы координат. По определению скорости, с учетом (8.6.2), получаем:

dr r r r v q1 q2 q 3 H 1q1e1 H 2q 2e2 H 3q 3e3.

(8.6.5) dt q1 q 2 q В формуле (8.6.5) величины:

v qi H i qi, i 1,2,3.

(8.6.6) представляют собой проекции вектора скорости на криволинейные координаты.

Согласно формуле (8.6.5), квадрат величины скорости будет:

2 2 v 2 H 1 q1 H 2 q 2 H 3 q3. (8.6.7) что соответствует также формуле (8.6.4).

Для определения проекций ускорения представим их в виде:

1 r.

a qi a ei v H i qi Откуда r d (v r ) v d r.

H i a qi v (8.6.8) qi dt qi dt qi Из выражения для скорости (8.6.5) следует:

v r. (8.6.9) qi qi Кроме того:

d r 2r 2r 2r q1 q q dt qi q1qi q 2 qi q3 qi и v 2r 2r 2r q1 q q3.

qi qi q1 qi q 2 qi q Ввиду того, что r – дважды дифференцируемые функции q1, q 2, q3, то смешан ные производные не зависят от порядка дифференцирования, поэтому:

d r v. (8.6.10) dt qi qi Подставляя (8.6.9) и (8.6.10) в формулу (8.6.8), получим:

v v d H i a qi (v )v.

dt qi qi Введем обозначение v 2 / 2 T. Тогда для a qi получим следующее выражение:

1 d T T a qi ), i 1,2,3.

( (8.6.11) H i dt qi qi d Оператор i ) – называется оператором Эйлера, так как dt qi qi он впервые получил его при решении задач оптимизации.

Примеры 1. Найти скорость и ускорение точки в цилиндрической системе z координат (рис. 8.10).

В этом случае:

q1 r, q 2, q3 z, причем x r cos ;

y r sin ;

z z. у H r 1;

H r ;

H z 1.

х v r r ;

v r;

v z z.

Рис. 8. T (r 2 r 2 2 z 2 );

a r r 2 ;

a r 2r ;

a z.

r z 2. Найти скорость и ускорение точки в сферической системе координат (рис. 8.11).

q1 r, q 2, q 3.

x r sin cos ;

y r sin sin ;

z r cos. z H r 1;

H r sin ;

H r.

v r;

v r sin ;

v r.

r 1 у T (r 2 r 2 sin 2 2 r 2 2 );

х ar r sin 2 2 r 2 ;

r Рис. 8. a r sin 2r sin 2r cos ;

a r 2r r sin cos 2.

9. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 9.1. Поступательное движение твердого тела Поступательным называется такое движение твердого тела, когда любая проведенная в нем пря мая остается параллельной самой себе.

В качестве примера поступательного движения можно привести движение спарника колес паровоза, имеющих одинаковый радиус (рис. 9.1).


Рис. 9. Стержень АВ, соединяющий две точки колес с центрами в точках О1 и О2, называется спарником.

При движении паровоза, если колеса вращаются без проскальзывания, спарник остается параллельным самому себе и, следовательно, движется поступательно.

При поступательном движении точки твердого тела описывают одинако вые траектории.

Пусть отрезок rAB соединяет две произвольные точки тела, совершающего поступательное движение (рис. 9.2).

Положение точек А и В определим их радиус векторами rA и rB. Радиус-вектор rAB постоянен по ве личине и направлению:

rAB = const.

Поскольку rB = rA + rAB, (9.1.1) то траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением точек этой траектории на Рис. 9. постоянный вектор rAB.

В рассматриваемом примере у спарника колес паровоза траекториями точек А и В, а, следовательно, и точки М, являются циклоиды одинаковой формы.

Докажем, что при поступательном движении твердого тела все его точки движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями.

Воспользовавшись соотношением (9.1.1), найдем:

drA drB drAB.

dt dt dt Согласно определению поступательного движения:

drAB 0.

dt Следовательно, скорости точек А и В равны между собой:

v A = vB.

Дифференцируя последнее выражение по времени, приходим к выводу, что и ускорения этих точек также одинаковы:

a A = aB.

Таким образом, для изучения поступательного движения твердого тела достаточно изучить движение одной точки. Следовательно, кинематика посту пательного движения сводится к кинематике точки.

9.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при ко тором, по крайней мере, две его точки остаются непод вижными. Прямая, проходящая через эти две точки, на зывается осью вращения (рис. 9.3).

Положительным направлением вращения будем счи тать вращение против часовой стрелки. Проведем плоскость через ось вращения и некоторую точку M 0.

Положение тела определим, задав угол поворота этой плоскости как функцию времени:

(t ). (9.2.1) Рис. 9. Угол будем считать положительным, если поворот происходит против часовой стрелки, в противном случае будем считать его от рицательным. Угол измеряется в радианах.

Угловая скорость тела характеризует интенсивность изменения угла поворота и равна первой производной от угла поворота по времени:

d.

(9.2.2) dt Угловое ускорение тела характеризует интенсивность изменения уг ловой скорости и равно первой производной от угловой скорости по времени или второй производной по времени от угла поворота:

d.

(9.2.3) dt Угловую скорость и угловое ускорение принято изображать скользящими векторами. Вектор угловой скорости направляют вдоль по оси вращения в ту часть пространства, откуда вращение видно против часовой стрелки.

Если вращение ускоренное, то вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости.

Траекториями точек тела при вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения.

Центры этих окружностей находятся в точках пересечения оси с указанными плоскостями. Радиусы данных окружностей представляют собой расстояния точек до оси вращения.

Поскольку траектории точек известны, то можно считать, что движение задано естественным способом. Обозначим дугу M 0 M через S. При повороте тела на угол закон движения точки по траектории будет:

S R, (9.2.4) где S – дуговая координата, соответствующая углу поворота (t ).

Для определения скоростей и ускорений точки воспользуемся общими формулами, полученными в естественных осях.

Для скорости точки, согласно (9.2.4), имеем:

vt = S = Rj = Rw.

(9.2.5) Касательное ускорение будет:

a v S R R.

(9.2.6) Учитывая формулу для скорости (9.2.5), найдем нормальное ускорение:

v 2 v an = t = = Rw 2. (9.2.7) R R Формулам для скоростей и ускорений точек при вращении тела вокруг не подвижной оси можно придать векторную форму (рис. 9.4).

Пусть тело вращается против часовой стрелки. Век z тор угловой скорости w направлен по оси Oz. Положе ние рассматриваемой точки М определим с помощью ра диус-вектора r, проведенного из начала координат. Ра диус вращения R будет R r sin, где – угол между осью вращения и радиус-вектором r. Следовательно, модуль линейной скорости будет равен модулю вектор ного произведения w r. Но и направление линейной у скорости v совпадает с направлением этого векторного х произведения, т.е.

Рис. 9. v = w r. (9.2.8) Формула (9.2.8) называется формулой Эйлера. Проекции скорости на про извольные оси координат будут:

v x y rz z ry ;

v y z rx x rz ;

v z x ry y rx, где rx, ry, rz – проекции радиус-вектора r на оси координат x, y, z – соот ветствующие проекции вектора угловой скорости.

Векторная формула для ускорений может быть получена путем дифферен цирования формулы Эйлера (9.2.8):

dw dv d dr a= = ( w r ) = r + w = e r + w ( w r ), (9.2.9) dt dt dt dt dw dr где e = = v = w r – скорость точки.

– угловое ускорение;

dt dt e r = at Здесь – вращательное ускорение;

( r ) 2 R an – центростремительное уско рение (рис. 9.5).

На рис. 9.5 изображены составляющие полного ускорения точки М: at и an, их векторная сумма a = at + an.

a При этом tg 2. Угол откладывается an у х от полного ускорения a при ускоренном вращении в Рис. 9. сторону вращения. При замедленном вращении – в сторону, противоположную вращению.

9.3. Плоско-параллельное движение твердого тела Плоско-параллельным или плоским движением твердого тела называется такое движение, при ко тором все точки тела движутся в плоскостях, парал лельных некоторой неподвижной плоскости (рис. 9.6).

Из определения плоско-параллельного движения следует, что движение точек тела, расположенных на перпендикуляре к неподвижной плоскости П 0, одина ково. Поэтому можно рассматривать движение проек ции тела на неподвижную плоскость по этой плоскости. Рис.9. Теорема о перемещениях плоской фигуры Теорема. Перемещение плоской фигуры в ее плоскости можно осуще ствить путем поступательного перемещения вместе с произвольно вы бранным полюсом и вращения вокруг полюса. При этом угол поворота от выбора полюса не зависит.

Доказательство. Пусть отрезок АВ, определяющий положение плоской фигуры, занял новое положение А1 В1 (рис. 9.7). В это положение можно по пасть двумя путями. Первый путь – это параллельный перенос отрезка в положение А1 В1 и поворот вокруг точки А1, принятой за полюс, на угол. Второй путь – это параллельный перенос отрезка в положение А1 В1 и поворот на угол уже вокруг точки В1. По построе нию в обоих случаях угол поворота одинаков.

Полное перемещение состоит из поступательного Рис. 9. перемещения и поворота на один и тот же угол вокруг соответствующего полюса, что и доказывает сформу лированную выше теорему.

Указанные соображения справедливы и для бес конечно малых перемещений отрезка АВ (рис. 9.8).

Перемещение точки А равно:

drA drB drAB, В1 причем drAB = d j rBA, где d – вектор бесконечно малого угла поворота, направленный перпендикулярно плоскости, в которой движется отрезок АВ в ту часть пространства, откуда поворот виден против часовой стрелки;

drB – переме Рис. 9. щение точки В.

Окончательно имеем:

drA = drB + d j rBA. (9.3.1) Из формулы (9.3.1) следует, что плоско-параллельные перемещения можно рас сматривать как совокупность некоторого переносного движения вместе с полю сом и относительно вращательного движения вокруг полюса.

Кинематические уравнения плоско-параллельного движения Пусть плоская фигура движется в неподвижной плос у кости (рис. 9.9).

Выберем в качестве полюса точку А плоской фи гуры и свяжем с ней подвижную систему координат, движущуюся вместе с фигурой. Для определения по ложения подвижной системы координат относительно неподвижной следует задать положение полюса А и угол поворота вокруг полюса:

о х y A y A (t ), (t ), x A x A (t ), (9.3.2) Рис. 9. где x A, y A, – однозначные, непрерывные и дважды дифференцируемые функции времени.

Координаты любой точки М будут:

x M x A x1 cos y1 sin ;

(9.3.3) y M y A x1 sin y1 cos или в матричной форме:

rM rA A, где cos ;

sin A ;

sin ;

cos rM ( x M, y M ), rA ( x A, y A ), T ( x1, y1 ).

T T Скорости точек тела при плоско-параллельном движении При плоско-параллельном движении твердого тела скорость любой его точки равна векторной сумме скорости полюса и относительной вращательной скорости вокруг полюса. Чтобы доказать это положение, воспользуемся фор мулой (9.3.1) и поделим обе ее части на dt drA drB d rBA.

dt dt dt Согласно определению линейной скорости и угловой скорости, получаем:

v A v B rBA, (9.3.4) где v A – скорость точки А;

v B – скорость точки В, принятой за полюс;

d – угловая скорость плоской фигуры (рис. 9.10).

dt На рис. 9.10 v AВ rBA вращательная скорость точки А по отношению к точке В. При этом vAВ rBA. Поэтому проекции скоростей концов отрезка v B и v A на направление отрезка равны между собой.

Если известен вектор скорости одной точки и направление скорости дру гой, то можно графически найти скорость любой точки плоской фигуры (рис.

9.11,а).

Построение осуществляем согласно формуле: v B v A v BA, причем vВA AB (рис. 9.11, б).

В А а с в Рис. 9. Рис. 9. Для нахождения скорости точки С воспользуемся формулами:

vС v A vСA, vС v B vСB, при этом v AC AC ;

vCB BC. Из построения сле дует, что треугольник abc подобен треугольнику ABC, при этом vCA v v = BA = CB = w.

AC AB BC Треугольник abc повернут на угол / 2 по отношению к треугольнику ABC в сторону вращения.

Мгновенный центр скоростей В каждый момент времени существует точка плоской фигуры, скорость которой равна нулю. Эта точка называет ся мгновенным центром скоростей. Докажем его существо вание.

Пусть известна скорость какой-либо точки А и мгно венная угловая скорость плоской фигуры. Отложим отре v зок AP A от вектора v A в сторону вращения (рис. 9.12).

По построению vPA v A. Следовательно, vP v A vPA 0.

Распределение скоростей фигуры соответствует мгновен Рис. 9. ному вращению вокруг мгновенного центра скоростей. По этому, например, если известны скорости двух точек, то мгновенный центр скоростей окажется на пересечении пер пендикуляров, проведенных из начала векторов этих скоро стей (рис. 9.13).

Действительно, если AP v A, и поскольку, vP v A vPA, vPA AP, vP v B vPB, vPB BP, то vP AP и v P BP.

Но скорость точки Р не может быть перпендикулярна Рис. 9. одновременно двум разным направлениям. Следовательно, vP 0.

vA v Очевидно, B. Величины скоростей пропорциональны их рас AP BP v AP стояниям от мгновенного центра скоростей: A. Таким образом, скорости vB BP точек А и В можно рассматривать как скорости в их вращательном движении вокруг мгновенного центра скоростей Р.

Примеры графического определения центра скоростей показаны на рис.

9.14, а, б, в.

Р а б в Рис. 9. В качестве другого примера построения плана скоростей рассмотрим кри вошипно-шатунный механизм (рис. 9.15, а, б, в).

Рис. 9. vA В первом случае AB. Во втором случае поршень находится в верх AP v ней мертвой точке, его скорость, равна нулю AB A. В третьем случае, ко AB гда OA OB, скорости точек А и В одинаковы: v A v B. Мгновенный центр ско ростей звена АВ находится в бесконечности и, следовательно, AB 0.

Ускорения точек тела при плоско-параллельном движении Ускорение любой точки тела при плоско-параллельном движении рав но геометрической сумме ускорения полюса, вращательного и центростре мительного ускорения относительно полюса (рис. 9.16).

Согласно формуле (9.3.4) и определению ускорения dv d a A A (v B rBA ) dt dt (9.3.5) aB dv B d drBA aAB rBA.

dt dt dt aA dv B aB – ускорение полюса;

Но n aAB dt d – угловое ускорение плоской фигуры;

aAB dt aB Рис. 9. drBA v AB rBA – относительная скорость точки А по отношению к dt точке В.

Следовательно, формулу (9.3.5) можно переписать так:

a A aB rBA ( rBA ). (9.3.6) Величина rBA a AB представляет собой вращательное ускорение. Так как sin(, rBA ) 1, то модуль вращательного ускорения a rBA. Величина AB ( rBA ) rBA a AB является центростремительным ускорением. Вектор 2 n n a AB направлен из точки А к точке В. Следовательно, относительное ускорение точки А во вращательном движении вокруг точки В будет:

a AB a AB a AB, n при этом a a AB rBA 2 4, tg AB.

n a AB С учетом введенных обозначений формула (9.3.6) перепишется так:

n a A a B a AB a AB. (9.3.7) При плоско-параллельном движении вращательное ускорение a AB следует n отличать от касательного a, а центростремительное ускорение a AB от нор мального an. Касательное ускорение направлено по касательной, а нормальное – по главной нормали к абсолютной траектории точки. Центростремительное и вращательное ускорения представляют собой ускорения в относительном вра n щательном движении вокруг полюса. Центростремительное ускорение a AB на правлено по радиус-вектору rBA, а вращательное a AB перпендикулярно радиус вектору rBA и направлено в сторону углового ускорения.

Если принять во внимание алгебраические величины проекций ускорений концов отрезка на направление отрезка, то оказывается, что проекция ускоре ния любой точки плоской фигуры на ось, проведенную из произвольного полю са через эту точку, не может быть больше проекции ускорения полюса на ту же ось (рис. 9.17).

Действительно, если построить вектор ускорения точки А согласно формуле:

a A aB a AB a AB, n то окажется, что проекция aB на направление отрезка rBA всегда больше проек n ции ускорения точки А a A из-за того, что a AB направлено от точки А к точке В, а составляющая a AB rBA. Концы ускорений точек отрезка, принадлежащего плоской фигуре, лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропор циональные расстояниям между этими точками (рис. 9.18).

Относительные ускорения точек D и В равны соответственно:

aDA AD 2 4, aBA AB 2 4.

Угол между aDA и aBA и прямой АВ одинаков, так как tg.

Следовательно, A1D1D2 A1B1B 2 и концы векторов ускорений aD и aB лежат на одной прямой. При этом A1D2 A1D1 AD.

A1B 2 A1B1 AB Таким образом, концы ускорений точек отрезка делят прямую, соединяю щую эти концы, на части, пропорциональные расстояниям между соответст вующими точками.

n aAB a BA a DA aAB aA aB aD aA aA aB aA aB Рис. 9.17 Рис. 9. Мгновенный центр ускорений Ускорение любой точки плоской фигуры определяется как геометрическая сумма ускорения полюса и ускорения этой точки во вращении вокруг полюса (рис. 9.19). Покажем, что в каждый момент времени существует точка плоской фигуры, ускорение которой в этот момент равно нулю. Ранее было установле но, что угол между вектором относительного ускорения и отрезком, соеди няющим точку и полюс, равен arctg и находится в пределах от 0 до / 2. Отложим угол от ускорения a A по направлению углового ускорения.

На проведенной полупрямой отложим отрезок aA AQ. Тогда окажется, что 2 4 aA aQA AQ 2 4 a A, причем aQA a A. Поэтому aQ a A aQA 0. Поскольку ускорение точки Q равно нулю, то эта точка является мгновенным цен- aA aQA тром ускорений. Рис. 9. Если мгновенный центр ускорений принять за a A =a AQ полюс, то ускорение любой точки плоской фигуры в данный момент определится как ускорение этой точки во вращательном движении вокруг центра ускорений (рис. 9.20).

Модули ускорений точек плоской фигуры в aK каждый момент времени пропорциональны рас a B =a BQ стояниям этих точек до мгновенного центра уско рений. Углы, которые составляют эти ускорения с лучами, проведенными в мгновенный центр уско рений, одинаковы для всех точек. Мгновенный центр ускорений и мгновенный центр скоростей – Рис. 9.20 разные точки.

Если известны модули и направления двух точек, то мгновенный центр ускорений можно найти, исходя из следующих со ображений. Ускорения точек связаны соотношением: aB a A aBA, откуда aBA aB a A.

Угол между aBA и отрезком АВ равен, причем arctg. Отложим угол от a A и aB. Точка пересечения лучей определяет мгновенный центр ус корений (рис. 9.21).

Пример. Кривошип ОА криво a BA шипно-шатунного механизма вра щается равномерно с угловой ско aA aB ростью. Длина шатуна АВ в два раза больше длины кривошипа ОА.

Определить положение точки -a A шатуна АВ, ускорение которой на правлено вдоль шатуна, в момент, когда кривошип перпендикулярен Рис. 9. направляющей ползуна (рис. 9.22).

Согласно общей формуле для ускорений при плоско параллельном движении aВ a А aBА aBА. В данном слу n aA чае АВ 0 и поэтому aBА 0, так n С как звено АВ находится в состоянии aB aC мгновенно – поступательного дви жения aВA aBА и направлено пер a BA aA пендикулярно шатуну АВ.

Рис. 9. Следовательно, arctg и, следовательно, / 2. Мгновенный центр ускорений Q, таким образом, находится на пересечении перпендикуля ров, проведенных из начала векторов ускорений в точках А и В.

Если опустить из точки Q перпендикуляр QC на АВ, то ускорение точки С будет перпендикулярно QC и, следовательно, совпадет с АВ. Поскольку ABO 30, то:

1 CB AB cos 60 AB.

2 9.4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку Пусть твердое тело имеет неподвижную точку, z вокруг которой оно может вращаться как угодно (рис.

9.23).

Выясним число параметров, которое необходимо задать для определения положения твердого тела в пространстве. Проведем в теле ось u, жестко связан ную с телом. Положение этой оси можно задать, на пример, двумя углами и, которые представляют у собой соответственно угол между осью x и осью u и х угол между осью y и осью u.

Однако этих двух углов еще недостаточно для Рис. 9. определения положения твердого тела, так как тело может вращаться вокруг оси u. Угол z поворота вокруг оси u в сово купности с углами и полностью определяют положение твердого тела.

Таким образом, положение твердого тела, имеющего неподвижную точку, определяется тремя независимыми величинами. Говорят, что в таком случае система имеет три степени свободы. Положение тела можно за- у дать при помощи матрицы направ ляющих косинусов между подвижной х системой координат ( O,x1, y1,z1 ), же стко связанной с телом, и неподвиж ной системой координат ( O,x, y,z ) Рис. 9. (рис. 9.24).

Направляющие косинусы приведены в следующей таблице:

– х1 у1 z х а11 а12 а у а21 а22 а z а31 а32 а Здесь 11 cos( x, x 1 ), 12 cos( x, y 1 ),..., 33 cos( z, z 1 ).

Тогда декартовы координаты в обеих системах будут связаны равенствами:

x1 x x x y A y1 ;

y1 A y, T z z z1 z 11 12 где A 21 22 23 – матрица направляющих косинусов.

31 32 Учитывая, что имеет место тождество:

x1 x x A y A A y1 y1, T T z z1 z можно сделать вывод, что:

AT A I, где I – единичная матрица и, следовательно, A T A -1, то есть транспонирован ная матрица А равна своей обратной.

Единичные орты подвижной системы e1, e2, e3 – записываются следующим образом:

e1 11i 21 j 31k ;

e2 12 i 22 j 32 k ;

e3 13 i 23 j 33 k Очевидно:

1 i j, ei e j k i k j ij (9.4.1) 0 i j.

k Величина ij называется символом Кронекера.

Всего имеется шесть соотношений вида (9.4.1). Можно построить соотношения вида (9.4.1), взяв обратные соотношения:

i 11e1 12 e2 13 e3 ;

j 21e1 22 e2 23 e3 ;

k 31e1 32 e2 33 e При этом получим:

1 i j, i j ij (9.4.2) 0 i j.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.