авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 8 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ...»

-- [ Страница 4 ] --

k Свободные затухающие колебания материальной точки при наличии си лы сопротивления, пропорциональной скорости, как и свободные колебания без наличия сил сопротивления, являются изохронными. Силы сопротивления вы зывают уменьшение круговой частоты и увеличение периода T.

Наибольшие отклонения движущейся точки от положения равновесия пред ставляют убывающую геометрическую прогрессию:

T n( ) n x1 ae x2 ae ;

,..., поэтому 1 T x2 x3 n e, x1 x2 q где q e nT – величина, характеризующая быстроту затухающих колебаний, на зывается декрементом колебаний.

ln q nT – называется логарифмическим декрементом колебаний.

Сравним влияние сил сопротивления на частоту колебаний и скорость их затухания. Пусть n 0,1k.

Тогда k1 k 2 ( 0,1k )2 0,995k.

Найдем отношение:

x1 0,1k e k e0,2 1,87, x то есть x3 0,553x1.

Таким образом, частота изменилась на 0,5 %, а амплитуда за цикл на 53,3 %. За 10 циклов отклонение будет составлять около 0,002 от первоначаль ного.

Таким образом, влияние сил сопротивления незначительно на частоту ко лебаний, и, как правило, может не учитываться.

Напротив, это влияние весьма существенно на скорость затухания колебаний.

В заключении этого пункта рассмотрим решения при большом трении.

Если n k, то частота k1 становится мнимой.

k1 ik1 i n 2 k 2.

* Общее решение однородного уравнения дается формулой (13.2.5) и может быть получено из решения (13.2.10), если учесть, что cos i k1 t chk1 t;

sin i k1 t i shk1 t.

* * * * Следовательно, в данном случае * x nx x e nt x0 chk1 t 0 * 0 shk1 t, * (13.2.12) k где k1 n 2 k 2.

* При k n, когда k1 k1 0, имеем * x e nt x0 ( x0 nx0 )t.

(13.2.13) Это решение получается из любого предыдущего в результате предельного пе рехода.

Рассмотрим, например, выражение (13.2.12). Если k1 0, то chk1 t 0.

* * shk * t k* t lim *1 lim 1* t.

k1 0 k1 k1 0 k * * Таким образом, видно, что из (13.2.12) получается выражение (13.2.13).

При этом оба решения (13.2.12) и (13.2.13) носят апериодический характер.

13.3. Вынужденные колебания материальной точки при отсутствии силы сопротивления среды Пусть материальная точка подвешена на пружине (рис.

13.6). При действии силы Q( t ), меняющейся во времени, происходят вынужденные колебания материальной точки.

В дальнейшем эту силу будем называть возмущающей.

Рассмотрим случай, когда возмущающая сила является гар монической Q H sin pt, где H – амплитуда возмущающей силы;

p – ее частота.

Начало координат расположим в положении статического равновесия. Дифференциальное уравнение движения матери альной точки под действием восстанавливающей си лы Fcx C( x st ), силы веса P mg и возмущающей силы Q H sin pt будет Рис. 13. mx cx H sin pt.

(13.3.1) Разделив (13.3.1) на массу m, получим:

k 2 x h sin pt, x (13.3.2) c где k – частота свободных незатухающих колебаний;

m H h – приведенная амплитуда возмущающей силы.

m Уравнение (13.3.2) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Общее решение неоднородного уравнения складывается из общего решения x1, соответствующего однородного уравнения и частного решения x2 неоднород ного уравнения:

x x1 x2. (13.3.3) Причем здесь x1, согласно (13.1.7), дается формулой:

x1 C1 cos kt C2 sin kt. (13.3.4) Частное решение уравнения (13.3.2) будем искать в виде x2 A sin pt. (13.3.5) После подстановки (13.3.5) в уравнение (13.3.2) будем иметь Ap 2 Ak 2 h.

Откуда h A, (13.3.6) k p и, следовательно, h x2 sin pt. (13.3.7) k p Таким образом, общее решение уравнения (13.3.2) согласно (13.3.3), (13.3.4) и (13.3.7) имеет вид:

h x C1 cos kt C2 sin kt 2 sin pt. (13.3.8) k p Найдем решение дифференциального уравнения (13.3.2), соответствующее начальным условиям:

x t 0 x0 ;

x t 0 x0.

(13.3.9) Для этого подставим начальные условия в соотношение (13.3.8) и в соотношение hp x C1 k sin kt C2 k cos kt cos pt k p при t 0.

Тогда найдем hp x0 C1 ;

x0 C2 k.

k p Откуда x hp C2 0.

k k( k 2 p 2 ) Подставляя найденные постоянные C1 и C2 в уравнение (13.3.8), получим ки нематическое уравнение движения точки, соответствующее начальным услови ям (13.3.9) и действию гармонической возмущающей силы Q H sin pt :

x hp h x x0 cos kt 0 sin kt sin kt 2 sin pt. (13.3.10) k( k p ) k p 2 k В уравнении (13.3.10) первые два слагаемых характеризуют свободные колеба ния точки с частотой k, третье – вынужденные колебания точки также с часто той свободных колебаний k, четвертое – вынужденные колебания с частотой возмущающей силы р. Амплитуда A вынужденных колебаний с частотой воз мущающей силы р, определяемая формулой (13.3.6), зависит от соотношения частоты собственных колебаний k и частоты возмущающей силы р.

Для анализа этой зависимости представим A в виде A A, 1 hH где A 2 – статическое отклонение материальной точки от действия си C k лы H, равной амплитуде возмущающей силы;

p / k – отношение частот, называемое коэффициентом расстройки.

A Отношение – называется коэффициентом динамичности. Введем A0 1 следующее обозначение для коэффициента динамичности:

A.

A График зависимости представлен на рис.

13.7 пунктиром, сплошной линией показана зави симость ( ). Как видно, величина ( ) слева от точки 1 равна, а справа. То есть при совпадении частоты возмущающей силы с собст венной частотой колебаний амплитуда вынужден ных колебаний неограниченно возрастает. При дальнейшем увеличении коэффициента расстройки амплитуда вынужденных колебаний убывает, стремясь к нулю.

Явление, когда частота возмущающей силы совпадает с собственной частотой и при котором отмечается рост амплитуды вынужденных колеба Рис. 13. ний, называется резонансом.

Покажем, что при отсутствии сил сопротивления амплитуда при резонансе возрастает пропорционально времени.

В случае резонанса сумма третьего и четвертого слагаемых в выражении (13.3.10) принимает неопределенное значение и может быть найдена с помо щью правила Лопиталя:

d p p (sin pt sin kt ) sin pt sin kt h h dp k k h lim t cos kt 2 sin kt.

h lim d k 2 p2 2k 2k p k pk (k p 2 ) dp Итак, в случае резонанса при отсутствии сил сопротивления, движение оп ределяется уравнением x h h x x0 cos kt 0 sin kt t cos kt 2 sin kt. (13.3.11) k 2k 2k В решении (13.3.11) содержится растущий со временем член h x* t cos kt. (13.3.12) 2k График зависимости (13.3.12) показан на рис. 13.8.

Как видно, резонанс не сразу развивается во времени. В некоторых случаях его можно избежать быстрым изменением частоты возмущающей силы или собственной частоты.

Возможность возникновения резонанса следует учитывать при проектировании машин, так как резо нанс способен вызвать разрушения. С другой сторо ны, резонанс широко используется в радиотехнике как полезное явление. Рис. 13. 13.4. Вынужденные колебания материальной точки с учетом силы сопротивления среды Рассмотрим вынужденные колебания материальной точки под действием гармонической возмущающей силы Q H sin pt, происходящие в среде, в ко торой сила сопротивления Fv пропорциональна первой степени скорости Fv bv.

Тогда дифференциальное уравнение колебаний точки будет:

mx bx cx H sin pt.

(13.4.1) Поделив (13.4.1) на m, получим уравнение в стандартной форме:

2nx k 2 x h sin pt, x (13.4.2) c b H где k ;

n h.

;

2m m m Уравнение (13.4.2) является неоднородным дифференциальным уравнени ем второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение складывает ся из общего решения соответствующего однородного уравнения x1 и частного решения x2 неоднородного уравнения.

Будем рассматривать случай малого трения, когда k n. Общее решение однородного уравнения x1 было получено ранее:

x1 e nt ( C1 cos k1 t C2 sin k1 t ), (13.4.3) где k1 k 2 n 2.

Частное решение x2 будем искать в виде:

x2 A1 sin pt A2 cos pt, (13.4.4) где A1, A2 – некоторые постоянные.

Подставляя (13.4.4) в уравнение (13.4.2), получим A1 p 2 sin pt A2 p 2 cos pt 2nA1 p cos pt 2nA2 p sin pt k 2 A1 sin pt k 2 A2 cos pt h sin pt.

Приравнивая коэффициенты у одноименных тригонометрических функ ций, получим:

( p 2 k 2 )A1 2npA2 h;

(13.4.5) 2npA1 ( p 2 k 2 )A2 0.

Решая систему (13.4.5), найдем:

h( k 2 p 2 ) 2nph A1 2 ;

A2 2. (13.4.6) ( k p 2 )2 4n 2 p 2 ( k p 2 )2 4n 2 p Следовательно, общее решение неоднородного уравнения, согласно (13.4.3), (13.4.4) и (13.4.6), таково:

x e nt ( C1 cos k1 t C2 sin k1 t ) (13.4.7) h( k 2 p 2 ) 2nph 2 sin pt 2 cos pt.

( k p 2 )2 4n 2 p 2 ( k p 2 )2 4n 2 p Найдем скорость:

x ne nt ( C 1 cos k1 t C 2 sin k 1 t ) e nt ( C 1 k1 sin k 1 t C 2 k1 cos k1 t ) (13.4.8) hp( k 2 p 2 ) 2np 2 h 2 cos pt 2 sin pt.

( k p 2 )2 4n 2 p 2 ( k p 2 )2 4n 2 p Воспользовавшись начальными условиями x t 0 x0 ;

x t 0 x0, получим, согласно (13.4.7) и (13.4.8):

2nph x0 С1 ;

( k 2 p 2 ) 2 4n 2 p hp(k 2 p 2 ) x0 nС1 C2 k1.

( k p 2 ) 2 4n 2 p Откуда находим постоянные C1 и C2 :

2nph С1 x0 2 ;

( k p 2 ) 2 4n 2 p x0 nx0 hp(k 2 p 2 ) 2n 2 ph C2.

k1 [(k 2 p 2 ) 2 4n 2 p 2 ] k1 [(k 2 p 2 ) 2 4n 2 p 2 ] k Таким образом, искомое решение будет:

x nx x ent ( x0 cos k1 t 0 sin k1 t ) k 2nph ent cos k1 t ( k 2 p2 )2 4n2 p (13.4.9) hp( k 2 p2 ) 2n2 ph nt e sin k1t k1 [( k 2 p2 )2 4n2 p2 ] k1 [( k 2 p2 )2 4n2 p2 ] h( k 2 p2 ) 2nph 2 sin pt 2 cos pt.

( k p2 )2 4n2 p2 ( k p2 )2 4n2 p Как видно, по истечении некоторого промежутка времени, из-за влияния множителя e nt, существенную роль в полученном решении (13.4.9) будут иг рать только два последних слагаемых, то есть частное решение h(k 2 p2 ) 2nph x2 2 sin pt 2 cos pt. (13.4.10) (k p2 )2 4n2 p2 (k p2 )2 4n2 p Выражение (13.4.10) описывает чисто вынужденные колебания. Если вве сти обозначения:

h( k 2 p 2 ) 2nph A cos ;

A sin, ( k p ) 4n p ( k p 2 )2 4n 2 p 2 22 22 вместо (13.4.10) получим:

x 2 = A sin(pt - ), (13.4.11) h A где – (13.4.12) ( k 2 p 2 )2 4n 2 p амплитуда вынужденных колебаний:

2np 2np, (13.4.13) tg 2 ;

arctg k p k p 2 = – сдвиг фазы между перемещением и возму щающей силой при чисто вынужденных колебаниях. =0, Исследуем амплитуду вынужденных колеба ний, определяемую формулой (13.4.12) (рис. 13.9). =0, Разделив числитель и знаменатель на k 2, получим: 0, = A0 A, (13.4.14) ( 1 ) 22 h H A0 2 0,5 1 1, где – статическая деформация пру c k жины от действия силы H, равной амплитуде Рис. 13. n p – расстройка;

= возмущающей силы;

– коэффициент, характери k k зующей действие сил сопротивления.

Величина, равная отношению A / A, (13.4.15) ( 1 2 )2 4 2 называется коэффициентом динамичности.

Выясним, при каких значениях коэффициент динамичности будет иметь максимум и минимум. Для этого исследуем зависимость f ( ) ( 1 ) 4 на экстремум.

22 При f ( )max получим min и наоборот, при f ( )min получим max.

f ( ) Найдем производную и приравняем ее к нулю:

2( 1 2 )( 2 ) 8 2 0.

Корни этого уравнения 1 0;

2 1 2 2.

При малом сопротивлении среды, когда n k, 2 – вещественная величина.

Найдем вторую производную:

f ( ) 4( 1 32 ) 8 2.

f ( 1 ) 4( 2 2 1 ) 0;

При 1, При 2, f ( 2 ) 4 1 3( 1 2 2 ) 8 2 8( 1 2 2 ) 0.

Таким образом, при 1, f ( ) имеет максимум, а при 2 – мини мум.

Следовательно, у коэффициента динамичности первая точка 1 0 – минимум, а вторая точка 2 1 2 2 – максимум.

В начале амплитуда вынужденных колебаний возрастает, а потом падает.

Ее максимум смещен от резонанса в сторону низких частот. При значениях 2 0, когда 2 / 2, максимум у коэффициента динамичности исчезает и с увеличением частоты возмущающей силы p коэффициент динамичности будет монотонно убывать.

Рассмотрим изменение сдвига по фазе между вынужденными колеба ниями и возмущающей силой в зависимости от частоты вынужденных колеба ний.

Перепишем формулу для сдвига фазы (13.4.13) в виде 2np arctg arctg.

k p 1 2 При значении расстройки 1 имеем tg, следовательно, / 2.

То есть при резонансе сдвиг фаз равен / 2 ;

при 0 и, независимо от v имеем ( 0 ) 0 ;

( ).

Найдем производную d 2v(1 2 ) 22(1 2 ),(13.4.16) d (1 ) (2 ) 22 где – коэффициент динамичности, опреде ляемый формулой (13.4.15).

=0, Согласно формуле (13.4.16), производная d положительна при любых значениях.

d =0, Поэтому монотонно возрастает от нуля до =, приобретая значение / 2 при 1 (рис. 13.10). При 0, – разрывная функ ция, имеющая значения 0 при 1, Рис.13. при 1.

13.5. Вынужденные колебания материальной точки под действием периодической возмущающей силы общего вида Пусть на материальную точку, колеблющуюся в среде с силой сопротив ления Fv bv, действует произвольная периодическая возмущающая сила, имеющая период T :

Q( t T ) Q( t ). (13.5.1) Разложим силу Q( t ) в ряд Фурье:

a Q( t ) m 0 ( a j cos j t b j sin j t ), (13.5.2) 2 j 1 где m – масса точки;

Q( t )cos jtdt, aj j 0,, m Q( t ) sin jtdt, bj j 1,, m.

T Обозначим a j h j sin j ;

b j h j cos j.

Тогда ряд (13.5.2) перепишется в виде:

Q( t ) m h0 h j sin( j t j ), (13.5.3) j aj a где h0 ;

h j a 2 b 2 ;

j arctg.

j j 2 bj Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки под действием возмущающей силы, определяемой рядом (13.5.3), будет:

2nx k 2 x h0 h j sin( j t j ).

(13.5.4) x j Рассмотрим чисто вынужденную составляющую решения уравнения (13.5.4), которую будем искать также в виде ряда Фурье:

x x0 x j sin( j t j j ). (13.5.5) j После подстановки (13.5.5) в уравнение (13.5.4) получим:

k 2 x0 h0 ;

(13.5.6) j sin( j t j j ) 2nj cos( j t j j ) 2 j (13.5.7) k sin( j t j j ) x j h j sin( j t j ).

j Обозначив j t j j j, перепишем (13.5.7) в виде:

( j sin j 2nj cos j k 2 sin j )x j 2 j h j (sin j cos j cos j sin j ).

j Приравнивая коэффициенты у одноименных тригонометрических функций уг ла j, получаем:

( j 2 2 k 2 )x j h j cos j ;

2nj x j h j sin j.

Откуда находим hj 2nj xj j arctg (13.5.8) ;

.

k j 2 ( k j ) 4n j 2 2 2 2 2 2 Таким образом, искомое решение, согласно (13.5.6) и (13.5.8), будет hj h x 2 sin( j t j j ). (13.5.9) k ( k 2 j 2 2 )2 4n 2 j 2 j Если осуществляется одно из условий:

j k, j 1,, то, как следует из выражения (13.5.9), имеет место резонанс первого, второго или высшего порядков.

Исследование действия произвольной периодической возмущающей силы не содержит принципиальных трудностей, если возмущающая сила Q( t ) не имеет разрывов, когда ухудшается сходимость ряда (13.5.2).

13.6. Вынужденные колебания под действием произвольной возмущающей силы Рассмотрим вначале свободные затухающие колебания материальной точ ки под действием единичного импульса mv0 mx 0 1, где m – масса точки;

v 0 x 0 – начальная скорость.

Для этого следует рассмотреть решение однородного уравнения 2nx k 2 x 0, x при следующих начальных условиях:

x t 0 x 0 0;

x t 0 x 0.

m Это решение согласно (13.2.10) имеет вид e nt sin k1t, (13.6.1) mk где k1 k 2 n 2.

Функция называется реакцией на единичный импульс. Если последний на кладывается не в момент времени t 0, а при t, то в выражении (13.6.1) на до заменить t на ( t ).

( t ) e n( t ) sin k1 ( t );

t ;

mk1 (13.6.2) ( t ) 0;

t.

Действие произвольной силы H( t ) в промежутке времени ( 0,t ) можно пред ставить как последовательное приложение импульсов бесконечно малой вели чины H( )d. Каждый такой импульс вызывает движение, определяемое вы ражением H( )( t )d, а окончательное движение, согласно принципу независимости действия сил или принципу суперпозиции, определится интегралом:

t t x ( t ) H( )( t )d H( )e n( t ) sin k1 ( t )d. (13.6.3) * mk1 Для того, чтобы учесть влияние начальных условий, наложим на решение (13.6.3) свободные колебания, возникающие за счет начального отклонения x и начальной скорости x0 :

x0 nx x( t ) e nt ( x0 cos k1t sin k1t ) k (13.6.4) t H( )e n( t ) sin k1 ( t )d.

mk1 Отметим, что если сделать замену переменных t 1, то выражение (13.6.3) перепишется в виде:

H( t 1 )e 1 sin k1 1 d n x (t ) * mk1 t t H( t )e sin k1 d.

n mk1 Рассмотрим действие на систему возмущающей силы в виде ступенчатой функции:

1;

0;

H( ) 0;

0, при x0 0;

x0 0.

Это означает, что следует найти интеграл t t 1 e e sin k1 d n( t ) n x sin k1 ( t )d mk1 0 mk1 1 1 n n nt nt 1 e (cos k1t sin k1t ) 1 e (cos k1 t sin k1t ).

m( k n k1 c k ) 13.7. Комплексная форма решения задачи о вынужденных колебаниях материальной точки при произвольном периодическом возмущающем воздействии. Передаточная функция Пусть произвольная периодическая нагрузка представлена в виде ряда Фу рье (13.5.2). Воспользуемся формулами Эйлера:

1 sin x ( eix e ix );

cos x ( eix e ix ) 2i и заменим с их помощью в ряде (13.5.2) тригонометрические функции на пока зательные от мнимого аргумента. Тогда вместо ряда (13.5.2) получим следую щее выражение C e ij t Q( t ) (13.7.1), j j Q( t )e ij t где C j dt. (13.7.2) 2 В выражении (13.7.1) каждому положительному j, например j n, соот ветствует j n, при этом члены Cn ei n t и C n e i n t являются комплексными сопряженными, поэтому их сумма оказывается вещественным числом. Это со ответствует тому, что возмущающая сила Q( t ) – вещественна.

Ограничимся рассмотрением установившегося режима чисто вынужден ных колебаний, когда переходный процесс, обусловленный начальными усло виями, закончился.

Рассмотрим единичную комплексную нагрузку Q( t ) ei t. (13.7.3) Согласно уравнению mx bx cx eit, полагая x W ( i )eit, получим ( m2 ib c )W ( i ) 1. (13.7.4) Из (13.7.4) следует, что W ( i ) (13.7.5).

m2 ib c Зависимость W ( i ) называется передаточной функцией. Из выражения (13.7.5) видно, что W ( i ) является комплексно-сопряженным с W ( i ). Поэтому в со ответствии с принципом суперпозиции установившаяся реакция рассматривае мой системы на периодическое воздействие в комплексной форме записывается следующим образом:

W ( ij )C e ij t x. (13.7.6) j j Решение (13.7.6) также является вещественным числом, так как W ( ij ) и W ( ij ) – комплексные сопряженные. При этом оно совпадает с решением (13.5.9), однако выгодно отличается от последнего простотой записи.

13.8. Некоторые свойства передаточной функции Для дальнейшего передаточную функцию системы с одной степенью сво боды (13.7.5) перепишем в виде k W ( i ), (13.8.1) T2 iT1 1m b T22 ;

T1 ;

1 c c k – статическая податливость;

c T1,T2 – постоянные времени.

Отделим вещественную и мнимую части в выражении (13.8.1):

W ( i ) ReW ( i ) i ImW ( i ), (13.8.2) k( 1 T22 2 ) где ReW ( i ) ;

(13.8.3) ( 1 T22 2 ) T12 kT ImW ( i ). (13.8.4) ( 1 T22 2 ) T12 Если нанести в комплексной плоскости точки вектора (13.8.2), то получим кривую (рис. 13.11), которая называется амплитуд но-фазо-частотной характеристикой (АФЧХ). Она начинается со значения ReW ( i ) k, ImW ( i ) 0.

Величина 1max означает частоту, при которой вещественная часть характеристики приобретает максимальное значение. Вели чина 1 – резонансная частота, когда мни мая часть АФЧХ приобретает максимальное Рис. 13. (отрицательное) значение. Кривая на рис.

13.11 может быть снята экспериментально. Для этого при гармоническом сило вом воздействии Q( t ) sin t измеряется амплитуда перемещения x( t ) A sin( t ) и сдвиг фаз между силовым воздействием и перемеще нием. Затем откладывается амплитуда A под углом к вещественной оси, как показано на рис. 13.11.

По экспериментальной АФЧХ легко находятся постоянные времени T1,T и величина статической податливости k, которая в данном случае может быть еще названа коэффициентом усиления. Оказывается, что данная кривая облада ет замечательными свойствами и может служить средством для исследования рассеяния энергии, а также для приближенного моделирования сложных меха нических систем в виде системы с одной степенью свободы.

Исследуем ReW ( i ) на экстремум. Для этого найдем производную d ReW ( i ) и приравняем ее к нулю при 1max :

d k( 1 T22 2 ) d ReW ( ) d d d ( 1 T22 2 )2 T12 2T22 (1 T22 2 )2 T12 2 (1 T22 2 ) 2(1 T22 2 )( 2T22 2 ) 2T k.

(1 T22 2 )2 T12 Рассмотрим числитель этого выражения:

( 1 T22 2 )2 T22 T12T22 3 T12 T12T22 3 0.

1max После несложных преобразований получим:

( 1 T22 2 )2 T22 T12 1max Учитывая, что T2 1 / 1, находим T 1 T22 21max 1 1max. (13.8.5) T Величина T2 1 / 1 определяется по максимальному отрицательному значению ImW ( i ). После чего нетрудно найти T1 b / с. И, наконец, определив макси мальную амплитуду А, можно найти T kA 1, (13.8.6) T где A ImW ( i1 ).

14. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 14.1. Общие теоремы динамики как методы исследования механического движения Полное исследование механического движения системы материальных то чек сопряжено, как правило, со значительными трудностями, связанными с ин тегрированием дифференциальных уравнений движения и нахождением внут ренних сил. В ряде случаев эти трудности оказываются непреодолимыми даже при условии применения современных вычислительных машин. Однако суще ствует класс разнообразных задач динамики, при решении которых полная ин формация о движении не требуется и не нужно решать динамические уравне ния. К числу подобных задач относятся задачи, когда достаточно определить суммарные меры механического движения системы: количество движения, мо мент количества движения, кинетическую энергию в зависимости от главного вектора и главного момента внешних сил или работы сил, действующих в системе.

Соотношения между суммарными мерами движения системы материаль ных точек и суммарными воздействиями сил, приложенных к точкам системы, даются общими теоремами динамики систем материальных точек. При этом использование общих теорем в конкретных случаях приводит к решению вы шеуказанных задач, и в этом состоит их методологическое значение. Общие теоремы динамики являются следствием дифференциальных уравнений движе ния и могут быть сформулированы как в дифференциальной, так и в интеграль ной формах.

К числу общих теорем динамики относятся: теорема об изменении количе ства движения и ее частный случай, теорема о движении центра масс, теорема об изменении момента количества движения и теорема об изменении кинетиче ской энергии.

Как известно, внутренние силы не в состоянии изменять такие характери стики механического движения, как количество движения и момент количества движения, в то время как они могут существенно влиять на величину кинетиче ской энергии. С этой точки зрения кинетическая энергия является более общей мерой механического движения, более полно отражающей его свойства.

Понятие энергии вводится для описания механических и электрических явлений, явлений микромира и может быть использовано для установления свя зи между явлениями различной физической природы, например, тепловых, ядерных и механических процессов.

Остановимся подробнее на понятиях двух основных мер движения: коли чества движения и кинетической энергии.

Количеством движения материальной точки называется вектор, рав ный произведению массы точки на ее скорость:

K i mi vi. (14.1.1) Количеством движения системы материальных точек называется векторная сумма количеств движения всех ее точек:

N N K K i mi vi. (14.1.2) i 1 i Суммарное количество движения системы K может быть представлено как произведение массы системы на скорость ее центра масс.

Понятие центра масс аналогично понятию центра параллельных сил.

Центром масс или центром инерции системы называется центр парал лельных сил Fi mi a, i 1, N, сообщающих всем точкам движение с одинако выми ускорениями.

Поэтому для центра масс rc имеем следующую формулу:

N N N Fr a mi ri m r ii ii rc i 1 i 1 i.

N N N F a mi m i i i 1 i 1 i N m m является массой системы, следовательно, Здесь i i N m r ii rc i (14.1.3).

m Понятие центра масс или центра инерции является более общим, чем поня тие центра тяжести, так как свободно от требования о параллельности сил тя жести.

Возьмем производную от обеих частей равенства (14.1.3) N mrc mi ri.

i N N mi ri mi vi K – ее ко Но здесь rc vc – скорость центра масс системы, а i 1 i личество движения, то есть K mvc. (14.1.4) Кинетической энергией материальной точки называется скалярная вели чина, равная половине произведения массы точки на квадрат модуля ее скорости:

Ti mi vi 2. (14.1.5) Кинетической энергией системы материальных точек называется сумма кинетических энергий всех точек:

mv N N T Ti i i. (14.1.6) i 1 i Следует заметить, что формулу (14.1.5) можно записать как скалярное произведение:

1 Ti ( mi vi )vi K i vi, (14.1.7) 2 где K i – количество движения материальной точки. Следовательно, и формула (14.1.6) перепишется так:

1N T K i vi. (14.1.8) 2 i Формулы (14.1.7) и (14.1.8) показывают, что кинетическая энергия и количест во движения как меры механического движения не противоречат, а взаимно до полняют одна другую.

14.2. Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме Дифференциальные уравнения движения свободной или несвободной сис тем материальных точек согласно второму закону Ньютона могут быть записа ны в виде:

d( mi vi ) Fi Ri, i 1,N, (14.2.1) dt где Fi – равнодействующая внешних сил, приложенных к i-й точке;

Ri – равно действующая внутренних сил, приложенных к i-й точке.

В случае несвободной системы уравнения (14.2.1) являются также следст вием применения принципа освобождаемости от связей. Суть этого принципа в том, что состояние покоя или движения несвободной системы материаль ных точек не нарушится, если ее освободить от наложенных связей, а их действие заменить реакциями. В результате формально несвободную систему можно рассматривать как свободную, дополнив, однако, уравнения (14.2.1) уравнениями связей.

Суммируя уравнения (14.2.1), получим:

dN N mi vi Fi. (14.2.2) dt i 1 i Главный вектор внутренних сил, будь то силы взаимодействия между точками или реакции связей, для системы в целом, согласно третьему закону Ньютона, равен нулю N R 0.

i i Главный вектор внешних сил F по определению:

N F Fi.

i Так как количество движения системы N K mi vi, i то из (14.2.2) получаем следующее соотношение:

dK F. (14.2.3) dt Таким образом, справедлива теорема:

Первая производная по времени от количества движения системы материальных точек равна главному вектору внешних сил.

Это теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме.

Из этой теоремы следует, что внутренние силы не могут изменить количе ства движения. Изменение количества движения системы вызывается только внешними силами.

Если главный вектор внешних сил равен нулю, то количество движения dK 0 и, системы будет постоянно, то есть, если F 0, то согласно (14.2.3) dt следовательно, K const. (14.2.4) Условие (14.2.4) означает, что вектор K является неизменным как по ве личине, так и по направлению.

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. На корме находящейся в покое баржи установлен автомобиль.

В некоторый момент времени автомобиль начал перемещаться по палубе, направля ясь к носу баржи. Пренебрегая сопротив лением воды движению баржи, опреде лить ее скорость v в зависимости от ско рости автомобиля u относительно баржи.

Масса баржи равна m1, а масса автомоби Рис. 14. ля m2 (рис. 14.1).

На рассматриваемую систему действуют вертикальные силы: вес баржи P1 m1 g, вес автомобиля P2 m2 g и архимедова сила G. Сила сопротивления Fv 0.

В данном случае, поскольку проекции сил на ось x равны нулю, то проек ция количества движения на эту ось сохраняет постоянное значение, равное на чальному:

K x K x0 const.

Если считать, что при t 0 система находилась в покое, то есть v 0,u 0, тогда K x0 0. Полагая, что баржа движется в сторону, противоположную дви жению автомобиля, получим K x m1 v m2 ( u v ) 0.

m Откуда v u.

m1 m Из последней формулы видно, что как только остановится автомобиль, то сразу же остановится и баржа. Разумеется допущение, что Fv 0 в данном слу чае не оправдано.

Пример 2. Пусть на корпус бар жи действует сила сопротивления Fv, пропорциональная скорости, а автомобиль перемещается по закону, изображенному на рис. 14.2. Для простоты будем считать, что разо гнавшись с постоянным ускорением до величины скорости u0, автомо биль по такому же закону тормозит Рис. 14.2 до полной остановки.

Сила сопротивления воды Fv bv, где b – коэффициент сопротивления, направлена в сторону, противо положную скорости баржи v. Количество движения в проекции на ось x было установлено в предыдущей задаче:

K x ( m1 m2 )v m2 u.

dK x Fx получаем:

Согласно теореме об изменении количества движения dt dv du ( m1 m2 ) m2 bv, dt dt dv b kv f ( t ), где k или.

m1 m dt du tg.

На первом этапе движения dt m2 du m tg a.

Тогда m1 m2 dt m1 m du tg, поэтому f ( t ) a.

На втором этапе имеем dt Следовательно, на первом этапе уравнение движения будет:

dv kv a, a t T / 2.

dt Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение таково:

a v C1e kt.

k Постоянную C1 найдем из начальных условий v t 0 0 :

a 0 C1.

k a Откуда C1. После чего получаем k a v ( 1 e kt ), 0 t T / 2.

k При t T / 2 скорость будет a v1 ( 1 e kT / 2 ).

k Это значение скорости будет начальным условием для второго промежутка T / 2t T.

На втором этапе дифференциальное уравнение движения уже будет иметь вид:

dv kv a, T / 2 t T.

dt Его общее решение a v C2 e kt.

k Учитывая начальное условие a a v1 ( 1 e kT / 2 ) C2 e kT / 2, k k получим выражение для C2 :

a a C2 ( 2 e kT / 2 )ekT / 2 ( 2e kT / 2 1 ), k k откуда a v 2e k( T / 2 t ) e kt 1, T / 2 t T.

k При t T скорость будет a v2 ( 2e kT / 2 e kT 1 ).

k В этот момент происходит остановка автомобиля. После остановки автомобиля дифференциальное уравнение движения уже будет dv kv 0, T t.

dt Его решение v C3 e kt.

Постоянную интегрирования C3 найдем из начального условия v t T v2, или v2 C3 e kT.

C3 v2 e kT Откуда и, следовательно, v v2 e k( T t ), T t.

Как видно, скорость с течением времени будет асимптотически стремиться к нулю. При этом v2 может оказаться и отрицательной, то есть при определен ных условиях автомобиль и баржа могут двигаться в одном направлении.

14.3. Теорема о движении центра масс Центр масс или центр инерции системы определяется с помощью формулы (14.1.3), а количество движения по формуле (14.1.4) K mvc, где m – масса системы;

vc – скорость центра масс.

Воспользуемся дифференциальной формой теоремы об изменении количества движения (14.2.3) dK F, dt и подставим в нее выражение (14.1.4) dv m c F.

dt dv Но c ac – ускорение центра масс. Следовательно, dt mac F. (14.3.1) В результате можно сформулировать теорему:

Центр масс системы материальных точек движется как свободная материальная точка с массой, равной массе системы, под действием силы, равной главному вектору внешних сил, приложенных к точкам системы.

Согласно теореме о движении центра масс, если F 0, то vc const при vc 0, rc const. Эти соотношения выражают законы сохранения скорости и положения центра масс.

Пример 1. Тело А и тело В нахо дятся на горизонтальной плоскости.

Массы тел m1 и m2 соответственно.

Тело А въезжает на неподвижное тело со скоростью v0. Длина основания те ла В равна L. Определить перемеще ние тела В за время взаимодействия Рис. 14. тел, трением пренебречь (рис. 14.3).

Здесь возможны два случая: тело А, поднявшись на некоторую высоту, скатывается обратно, и когда тело А перекатывается через тело В.

Прежде всего найдем скорость центра масс системы vc. Количество дви жения системы неизменно и равно m1v0 ( m1 m2 )vc, где vc скорость центра масс.

m1v Следовательно, vc.

m1 m Рассмотрим случай, когда тело А скатывается обратно.

В момент касания, при начале взаимодействия и в момент скатывания, ко гда тело А вновь находится на плоскости, тела друг относительно друга зани мают одинаковые положения. Поэтому можно считать, что оба тела прошли за время взаимодействия расстояние, пройденное центром масс Sc.

Следовательно, тело В пройдет расстояние S, равное Sc :

m1 v S Sc t, m1 m где t – время взаимодействия.

Если же тело А перекатится через тело В, то имеет место взаимное распо ложение, показанное на рис. 14.4.

Путь, пройденный центром масс, одинаков как в первом, так и во втором случае:

m1v Sc t. Рис. 14. m1 m Рассмотрим инерциальную систему, которая движется со скоростью цен тра масс. В этой системе положение центра масс неизменно, то есть m x m2 x2 m1 ( x1 L ) m2 ( x2 ) xc 1 1 const, m1 m2 m1 m где x1, x2 – исходные координаты тел А и В;

– относительное смещение тела В после окончания взаимодействия.

Lm Откуда:.

m1 m Суммарное перемещение тела В состоит из переносного перемещения цен тра масс Sc и относительного смещения. Следовательно, m S Sc ( v0 t L ).

m1 m Пример 2.

На гладком горизонтальном фунда менте установлен электромотор весом P (рис. 14.5). На валу мотора под прямым углом к оси вращения закреплен одно родный стержень длиной 2l и весом P2, на конце которого насажен конечный груз весом P3. Вал вращается равномерно с угловой скоростью. Определить:

1. Уравнение горизонтального движе ния мотора, поставленного на фунда мент свободно.

2. Наибольшее горизонтальное давле ние на болты, если электромотор Рис. 14. прикреплен ими к фундаменту.

3. Вертикальную реакцию.

Если мотор поставлен на фундамент свободно, то на систему действуют внешние силы P1, P2, P3 и реакция опорной плоскости N. Допустим, что в на чальный момент угол 0. Проекция главного вектора внешних сил на ось x равна нулю, поэтому xC const.

Если в начальный момент центр масс системы находится на оси y, то xC 0. Так как координата xC постоянна, то при смещении центра масс стерж ня и груза влево от оси y центр масс мотора смещается вправо и наоборот.

Координата центра масс системы в любой момент времени:

m x m2 x2 m3 x3 m1 x1 m2 ( l sin x1 ) m3 ( 2l sin x1 ) xC 1 1 0, m m где x1, x2, x3 – координаты центра масс мотора, стержня и груза;

здесь xC 0 ;

m m1 m2 m3 – масса системы;

t.

m2 2m x1 l sin t.

Откуда m Следовательно, мотор совершает гармонические колебания с амплитудой m2 2m l.

m Если мотор прикреплен к фундаменту болтами, как это показано на рис.

14.5, то x1 0. Центр масс системы перемещается по окружности и, следова тельно, меняются его координаты xC и yC. При этом движется центр масс под действием реакций Fx и Fy.

Определим координату xC в любой момент времени t :

m x m2 x2 m3 x3 m 2m xC 1 1 2 l sin t.

m m m 2m3 Найдем C 2 l sin t.

x m Согласно теореме о движении центра масс, mx Fx, поэтому Fx ( m2 2m3 )l 2 sin t.

Найдем вертикальную реакцию. Координата yC центра масс:

m y m2 y2 m3 y yC 1 1.

m Здесь y1 0;

y2 l cos ;

y3 2l cos.

Следовательно, m 2m yC 2 l cos t.

m m2 2m3 Найдем C l cos t.

y m Согласно теореме о движении центра масс, myC Fy.

Поэтому, Fy N mg myC ( m2 2m3 )l 2 cos t.

Следовательно, N mg ( m2 2m3 )l 2 cos t.

Максимальное значение N будет:

N max mg ( m2 2m3 )l 2 2 ;

минимальное – N min mg ( m2 2m3 )l 2 2.

14.4. Теорема об изменении количества движения в интегральной форме Теорему об изменении количества движения в интегральной форме иногда называют теоремой импульсов. Рассмотрим теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме dK F, dt N где K mi vi – количество движения системы;

i N F Fi – главный вектор внешних сил.

i Проинтегрируем обе части вышеприведенного основного соотношения по вре мени в пределах ( t1,t2 ).

Тогда получим:

t2 t2 N dK dt dt t Fi dt. (14.4.1) i t1 Величина Fi dt – элементарный импульс силы Fi.

t Интеграл Fi dt Si – называется импульсом силы Fi.

t t2 N t N S F dt Fdt S Сумма импульсов – называется главным импульсом i i i 1 t1 i 1 t внешних сил.

Следовательно, уравнение (14.4.1) можно переписать так:

K( t2 ) K( t1 ) S. (14.4.2) Здесь K( t2 ) K( t1 ) K – представляет собой изменение количества движе ния за промежуток времени ( t1,t2 ).

Равенство (14.4.2) представляет собой математическое выражение теоремы об изменении количества движения в интегральной форме или теоремы импульсов.

Приращение количества движения системы материальных точек за некоторый промежуток времени равно главному импульсу внешних сил, приложенных к системе.

Рассмотрим пример.

Материальная точка массой m, получив на чальную скорость v0, поднимается по шеро ховатой наклонной плоскости с коэффициен том трения f, наклоненной к горизонту под углом (рис. 14.6).

Найти время подъема точки до полной остановки.

Для решения этой задачи нет необходи мости составлять и интегрировать дифферен циальные уравнения движения. Здесь целесо образно воспользоваться теоремой импуль сов. Направим ось x по наклонной плоско сти.

Рис. 14. Рис.

На точку действует сила веса P mg, сила трения F fP cos и реакция плоскости N P cos.

Проекция равнодействующей силы на эту плоскость Fx mg(sin f cos ).

Следовательно, проекция импульса равнодействующей силы на ось x будет S x Fx t, где t – время подъема точки до полной остановки. Согласно (14.2.2) имеем:

m( vx vx0 ) S x, где vx 0;

vx0 v0.

Откуда следует mv0 mg(sin f cos )t, v t.

g(sin f cos ) 14.5. Динамика точки переменной массы Основоположником динамики точки переменной массы является И. В. Мещерский (1859–1935) – профессор механики С.-Петербургского поли технического института. Его сочинение под названием «Динамика точки пере менной массы» было опубликовано в 1897 г. и является основой ракетной техники.

15. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА) СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 15.1. Понятие о моменте количества движения материальной точки и системы материальных точек В механике большое значение имеет понятие момента количества движения.

Моментом количества движе ния K mv материальной точки относительно центра О называет ся векторное произведение радиуса вектора материальной точки на ее количество движения (рис. 15.1).

О L0 r K r mv. (15.1.1) Рис. 15. Проекции вектора момента ко личества движения (15.1.1) на оси координат найдутся из соотношения i jk L0 r mv m x y z m( yvz zv y )i vx v y v z m( zvx xvz ) j m( xv y yvx )k L0 x i L0 y j L0 z k.

Следовательно, L0 x m( yvz zv y );

L0 y m( zvx xvz );

(15.1.2) L0 z ( xv y yvx ).

Понятие момента количества движения аналогично понятию момента силы. Ранее момент силы F относительно точки О был определен как вектор ное произведение радиус-вектора r точки приложения силы и вектора силы F :

M0 r F.

Аналогично понятию момента силы относительно оси введем понятие мо мента количества движения материальной точки относительно оси.

Моментом количества движения материальной точки относительно оси на зывается проекция момента количества движения относительно любой точки, взятой на оси, на эту ось. Следовательно, момент количества движения точки относительно оси можно искать по формулам (15.1.2).

В ряде случаев для вычисления момента количества движения относитель но оси, можно в любой точке оси провести плоскость, перпендикулярную к ней, спроектировать на эту плоскость количество движения материальной точки и составить произведение модуля полученной проекции на ее расстояние до точ ки пересечения оси с плоскостью.

Знак берется так же, как и в случае вычисления момента силы относитель но оси. То есть, если глядя со стороны положительного направления оси мы видим вращающее действие проекции количества движения против часовой стрелки, то это положительная величина. В противном случае – отрицательная.

Моментом количества движения материальной системы относительно цен тра О будем называть геометрическую сумму моментов количества движения отдельных точек относительно того же центра:

N N L0 L0i ri mi vi.

i 1 i Соответствующие моменты количества движения относительно коорди натных осей будут:

N N Lx Lxi mi ( yi vzi zi v yi );

i 1 i N N Ly Lyi mi ( zi vxi xi vzi );

i 1 i N N Lz Lzi mi ( xi v yi yi vxi ).

i 1 i 15.2. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки Дифференцируя момент количества движения материальной точки L0 r mv по времени, найдем dL0 dr d( mv ) mv r. (15.2.1) dt dt dt В формуле (15.2.1) первое слагаемое равно нулю, так как сомножители па раллельны:

dr mv v mv 0.

dt Во втором слагаемом, согласно второму закону Ньютона, d( mv ) F, dt где F – равнодействующая сила, приложенная к точке.

Поэтому второе слагаемое представляет собой момент силы F относи тельно центра О:

d( mv ) r r F M0( F ).

dt Следовательно, вместо (15.2.1) можно написать dL M0( F ). (15.2.2) dt Равенство (15.2.2) представляет собой математическое выражение теоремы об изменении момента количества движения материальной точки.

Первая производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какого-либо центра равна моменту равнодействующей силы, приложенной к этой точке относительно того же центра.

Пример 1. Математический маятник.

Математический маятник – это тяжелый груз малых размеров, подвешен ный с помощью нерастяжимой нити к неподвижной опоре. В случае отклоне ния от положения равновесия, представленный сам себе груз принуждается си лой тяжести совершать колебания по дуге окружности, радиус которой равен длине подвеса.

Совместим плоскость движения гру за с плоскостью чертежа (рис. 15.2). О На рис 15.2 m – масса груза;

l – длина подвеса;

– угол отклонения под веса;

T – сила натяжения нити;

l sin – плечо силы веса P по отношению к точке m подвеса О.

Воспользуемся теоремой об измене нии количества движения. Если движение происходит в плоскости чертежа, то dL M0( Р ), Рис. 15. (15.2.3) dt где M 0 ( Р ) – момент силы веса относительно точки подвеса. Сила натяжения нити T момент не создает, так как проходит через точку О.

Скорость точки выражается через производную от угла :

v l.

Поэтому L0 lmv ml 2, а dL ml 2.

dt Момент силы веса относительно точки О будет M 0 mgl sin.

Подставляя соответствующие величины в исходное равенство (15.2.3), получим ml 2 mgl sin, или g sin 0.

(15.2.4) l Уравнение (15.2.4) пригодно для описания больших колебаний маятника.

Если ограничиться рассмотрением малых колебаний, то в ряду для 3 sin...

3! 5!

следует сохранить один член. То есть при малых полагаем sin.

Тогда уравнение малых колебаний математического маятника будет g 0.

(15.2.5) l Следовательно, частоты малых колебаний g k, l а период колебаний l T 2.

g Решение уравнения (15.2.5) известно:

0 cos kt 0 sin kt, k где 0 и 0 – начальное отклонение от положения равновесия и начальная уг ловая скорость подвеса.

Частота малых колебаний математического маятника не зависит от на чальных условий, следовательно, они изохронны.

Пример 2. Движение в поле центральной силы.

Центральной силой может быть, например, сила тяготения. Выражение для центральной силы запишем в виде (рис. 15.3) F F rr, (15.2.6) r где Fr – проекция силы на радиус-вектор r ;

r – модуль радиус-вектора.

r То есть – единичный вектор на r правления r. Если сила F является силой тяготения, то Fr отрицательно.

Согласно теореме об изменении мо мента количества движения, учитывая (15.2.6), имеем О dL0 F r F r r r 0.

Рис. 15.3 dt r Следовательно, L0 const, поэтому dr L0 r mv mr const. (15.2.7) dt Векторное произведение r dr в (15.2.7) представляет удвоенную пло щадь dS, описанную радиус-вектором r за время dt, то есть 1 dS r dr r 2 d.

2 dS Производная есть так называемая секторная скорость точки, представ dt ляющая собой площадь, охватываемую радиус-вектором в единицу времени.

Таким образом, L dS 1 r 0 const.

dt 2 2m Следовательно, при движении точки в поле центральной силы площадь, охватываемая радиус-вектором, пропорциональна времени.

L S 0 t S0.

2m Это закон площадей. Применительно к движению планет – это второй за кон Кеплера.

15.3. Теорема об изменении момента количества движения системы материальных точек Рассмотрим несвободную систему материальных точек. Если воспользо ваться принципом освобождаемости от связей, то для каждой точки можно на писать следующее дифференциальное уравнение d( mi vi ) Fi Ri, i 1,N, (15.3.1) dt где mi vi – количество движения i -й точки;

Fi – равнодействующая внешних сил, действующих на точку;

Ri – равнодействующая внешних сил, приложенных к точке.

В случае свободной системы материальных точек уравнение (15.3.1) также справедливо. Только под величинами Ri следует понимать силы взаимодейст вия между точками.

Согласно теореме об изменении момента количества для отдельной мате риальной точки можно написать:

dL0i M 0 ( Fi ) M 0 ( Ri ), i 1,N. (15.3.2) dt Суммируя (15.3.2) по всем точкам системы, получим:

dN N N L0i M 0 ( Fi ) M 0 ( Ri ). (15.3.3) dt i 1 i 1 i Согласно третьему закону Ньютона внутренние силы попарно равны по величине, противоположно направлены и имеют общую линию действия. При этом каждая Ri представляет некоторую геометрическую сумму этих сил.

Поэтому для системы в целом N N M (R ) 0.

Ri 0 и 0 i i 1 i Последние равенства не означают, что внутренние силы Ri уравновешены, так как приложены они к разным точкам системы.

N L L0 – главный момент количества Учитывая, что по определению 0i i N M ( F ) M движения системы, а – главный момент внешних сил, прило 0 i i женных к точкам системы, получим:

dL M0.

dt Следовательно, справедлива теорема:

Первая производная по времени от момента количества движения системы относительно какого-либо центра равна главному моменту внешних сил, приложенных к точкам системы относительно того же центра.

Теорема об изменении момента количества движения допускает кинемати ческую интерпретацию. Кинематическое истолкование теоремы об изменении dL момента количества движения дал Резаль (1829–1886). Производную 0 мож dt но считать скоростью конца вектора L0 по его годографу, если началом того вектора является центр О.

Следовательно, скорость конца вектора момента количества движения L0 относи тельно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил M 0 относительно того же центра (рис. 15.4).

Теорема об изменении момента количества движения в такой формулировке применяется, на пример, в приближенной теории гироскопа.

Кроме того, воспользовавшись формулиров кой Резаля теоремы об изменении момента коли чества движения, можно определить давление Рис. 15. вращающегося ротора на подшипники.

15.4. Главный момент количества движения твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси Вычислим главный момент количе ства движения твердого тела, вращающе гося с угловой скоростью вокруг не подвижной оси z (рис. 15.5).

Рассмотрим момент количества движения элементарной массы dm, рас- h положенной на расстоянии h до оси вращения.

Скорость точки v h, где – ал гебраическое значение угловой скорости.

Тогда момент количества движения мас сы dm будет dLz hvdm h 2 dm.

(15.4.1) Для нахождения главного момента количества движения необходимо проин тегрировать (15.4.1) по массе твердого тела:

Lz dLz h 2 dm.

(15.4.2) Рис. 15. (m) (m) В выражении (15.4.2) интеграл J z h 2 dm (x y 2 )dm, (15.4.3) (m) (m) то есть интеграл от произведения массы элементарной частицы на квад рат расстояния до некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно этой оси. В случае дискретной системы материальных точек интеграл заменяется конечной суммой. Отношение J z / m 2 имеет размер ность квадрата длины. Величина называется радиусом инерции тела от носительно рассматриваемой оси.

Перепишем выражение (15.4.2) Lz J z.

(15.4.4) Момент количества движения тела, вращающегося вокруг неподвиж ной оси, равен произведению осевого момента инерции тела на угловую ско рость его вращения.

Момент инерции при вращательном движении играет роль, аналогичную массе при поступательном движении.

15.5. Моменты инерции Планарным, осевым или полярным моментом инерции системы матери альных точек называется сумма произведений масс точек на квадраты их рас стояний соответственно до плоскости, оси или точки, именуемой полюсом.

Таким образом, общая формула для момента инерции такова:

N J mi hi2, (15.5.1) i где mi – масса i -й материальной точки;

hi – расстояние этой точки либо до плоскости, либо до оси, либо до полюса.

Пронумеруем плоскости, образо ванные осями координат, как показано на рис. 15.6.

Радиус-вектор i -й точки:


ri xi i yi j zi k.

Ее расстояние до плоскости ( y,z ) x и, следовательно, соответст вующий момент инерции будет:

N J 1 mi xi2.

i Формулы для планарных моментов инерции относительно плоскостей ( z,x ) Рис. 15. и ( x, y ):

N N J 2 mi yi2 ;

J 3 mi zi2.

i 1 i Осевые моменты инерции:

N N N J x mi ( y z );

J y mi ( x z );

J z mi ( yi2 xi2 ).

2 2 2 (15.5.2) i i i i i 1 i 1 i Квадрат расстояния до полюса ri 2 xi 2 yi 2 zi 2.

Поэтому полярный момент инерции N J 0 mi ( xi 2 yi 2 zi 2 ) J 1 J 2 J 3 ( J x J y J z ). (15.5.3) i Рассмотрим примеры вычисления моментов инерции.

1. Стержень.

Определим момент инерции относитель но оси z, перпендикулярной стержню.

Пусть стержень расположен как показано на рис. 15.7.

В качестве dm возьмем малый участок стерж ня длиной dx :

dm dx, где – погонная масса стержня.

Рис. 15. Согласно общей формуле (15.5.1):

l l J z x dm x dx 2, (m) где l – длина стержня.

Если учесть, что его масса m l, то для момента инерции J z получим формулу ml Jz. (15.5.4) 2. Круговой диск.

Требуется найти моменты инерции тонкого диска радиусом R и массой m относительно осей, расположенных в его центре (рис. 15.8).

В данном случае осевые моменты инерции J x y 2 dm и J y x 2 dm в силу симметрии О (m) (m) равны между собой J x J y.

Их сумма равна полярному моменту инер ции:

J 0 ( x 2 y 2 )dm J x J y 2J x 2J y.

Рис. 15. (m) Если учесть, что квадрат расстояния элементарной массы до центра О равен 2 x 2 y 2, то формулу для J 0 можно переписать так:

J 0 2 dm.

(m) В качестве dm возьмем массу бесконечно тонкого кольца радиусом и толщиной d. Тогда двойной интеграл по площади превратится в одинарный интеграл в интервале ( O,R ). Поэтому проще сначала вычислить J 0 и уже за J тем J x J y 0.

Итак, dm 2 d, где – плотность единицы площади диска, которая считается всюду одинако вой. Полярный момент инерции:

R R J 0 dm 2 3 d.

(m) Масса диска m R 2.

Поэтому mR J0, (15.5.5) mR Jx J y. (15.5.6) 3. Круговой цилиндр.

Требуется найти осевой момент инерции цилиндра относительно его про дольной оси z.

Здесь dm 2 d l (рис. 15.9), где l – длина цилиндра.

Тогда R R 4 mR J 0 2 l d l, (15.5.7) 2 где m R l.

Формулу (15.5.7) можно было бы написать сразу, так как момент инерции не изменится, если массу сместить парал лельно вдоль оси z. Поэтому здесь спра ведлива формула для диска (15.5.5).

Рис. 15. 4. Шар.

Рассмотрим однородный шар с постоянной удельной плотностью, ра диусом R и массой m (рис. 15.10).

В силу симметрии здесь J x J y J z J0, где J 0 – полярный момент инерции.

Если в качестве dm взять массу бесконечно тонкой сферы радиусом и толщиной d dm 4 2 d, то получим R R J 0 dm 4 d 4.

2 (m) Масса шара m R 3.

о Следовательно, J 0 mR 2, откуда Рис. 15. J x J y J z mR 2. (15.5.8) 15.6. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей В ряде задач динамики приходиться вычислять моменты инерции несколь ких тел или тел сложной формы. При этом система разбивается на простейшие элементы, для каждого из которых известен момент инерции относительно его центральных осей. Но вычислять момент инерции этих элементов приходится относительно других осей, параллельных центральным осям. Затем осуществ ляется поэлементное суммирование, чтобы получить момент инерции всего те ла или системы.

В ряде случаев вычисление моментов инерции для отдельного тела отно сительно параллельных осей представляет самостоятельный интерес.

При решении подобных задач используется теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса–Штейнера):

Момент инерции системы материальных точек относительно произ вольной оси равен моменту инерции относительно центральной оси, па раллельной данной, сложенному с произведением массы системы на квад рат расстояния между осями.

На рис. 15.11 оси o1 x1 y1 z1 – централь ные.

Координаты i -й точки в рассматривае мых осях связаны соотношениями xi x1i a, yi y1i b, zi z1i c.

о Рассмотрим момент инерции относи тельно оси z.

Согласно рис. 15.11, имеем:

N J z mi ( xi2 yi2 ) о i N N ( x1i a )2 ( y1i b )2 mi ( x1i y1i ) 2 i 1 i N N N ( a 2 b 2 ) mi 2a mi x1i 2b mi y1i. Рис. 15. i 1 i 1 i Однако, поскольку оси o1 x1 y1 z1 являются центральными, то статистические моменты относительно их равны нулю, то есть:

N m x mx01 i 1i i N m y my01 0.

i 1i i N m m – масса системы, а a 2 b 2 d 2 – квадрат расстоя Кроме того, i i ния между осью z и z1.

Следовательно, J z J z1 md 2, (15.6.1) что и доказывает приведенную выше теорему.

Очевидно, что момент инерции относительно центральной меньше любого другого момента инерции относительно другой оси, ей параллельной.

15.7. Момент инерции относительно оси, произвольно расположенной в пространстве Простейшие задачи динамики твердого тела: вращение вокруг неподвиж ной оси или плоское движение не требуют общих сведений о моментах инер ции. Изложение более сложных вопросов, таких как динамика автомобиля, са молета, ракеты, гироскопа, космического корабля требуют изложения общих соотношений для моментов инерции.

Рассмотрим в некоторой точке О твердого тела систему взаимно перпен дикулярных осей Oxyz и ось OA с направляющими косинусами:

cos( x,OA ) ;

cos( y,OA ) ;

cos( z,OA ).

Найдем момент инерции системы материальных точек относительно оси N OA. По определению момента инерции J mi hi2, где hi – длина перпенди i куляра, опущенного из точки mi на ось OA (рис. 15.12).

Обозначим радиус-вектор точки mi через ri.

Его проекция на ось OA будет r0i r1 cos i, где i – угол между ri и осью OA.

Но, с другой стороны, величину r0i мож но представить как скалярное произведение единичного вектора оси OA e i j k и ri xi i yi j zi k, Рис. 15. то есть r0i ri cos i e ri xi yi zi.

Тогда hi2 ri 2 r0i 2 ( xi 2 yi 2 zi 2 ) ( xi yi zi ) xi 2 ( 1 2 ) yi 2 ( 1 2 ) zi 2 ( 1 2 ) 2 xi yi 2 yi zi 2 zi xi.

Учитывая соотношение e e e 2 1 2 2 2, перепишем предыдущее равенство в виде hi2 xi 2 ( 2 2 ) yi 2 ( 2 2 ) zi 2 ( 2 2 ) 2 xi yi 2 yi zi 2 zi xi 2 ( yi2 zi2 ) 2 ( zi2 xi2 ) 2 ( xi2 yi2 ) 2 xi yi 2 yi zi 2 zi xi.

Подставляя hi2 в общее равенство для момента инерции, получим:

N N m ( y m (z J z ) xi2 ) 2 2 2 2 i i i i i i 1 i N N N N m (x y ) 2 mi xi yi 2 mi yi zi 2 m z x.

2 2 i i i ii i i 1 i 1 i 1 i Как видно, здесь величины N N J x mi ( yi2 zi2 );

J y mi ( zi2 xi2 );

i 1 i N J z mi ( xi2 yi2 ) i представляют собой осевые моменты инерции относительно осей x, y,z.

Величины N N J xy mi xi yi ;

J yz mi yi zi ;

i 1 i N J xz mi zi xi i называются центробежными моментами инерции.

Таким образом, окончательно для момента инерции относительно оси OA получим формулу J J x 2 J y 2 J z 2 2J xy 2J yz 2J xz (15.7.1) В случае непрерывного распределения масс во всех вышеперечисленных формулах конечные суммы заменяются интегралами:

J x ( y 2 z 2 )dm;

J y ( z 2 x 2 )dm;

J z ( x 2 y 2 )dm;

(m) (m) (m) J xy xydm;

J yz J xz zxdm. (15.7.2) yzdm;

(m) (m) (m) В любой точке твердого тела существуют оси инерции, относительно которых центробежные моменты инерции обращаются в нуль, а осевые приобретают экстремальные значения. Такие оси называются главными, этих осей три и они взаимоперпендикулярны.

Для доказательства прибегнем к геометрическому толкованию формулы (15.7.1).

Вдоль оси OA отложим отрезок ON (рис. 15.13).

J Координаты конца этого отрезка в системе осей Oxyz будут:

x ON cos( OA,x ) ;

J y ON cos( OA, y ) ;

(15.7.3) J z ON cos( OA,z ).

J Рис. 15. Тогда x J;

y J;

z J.

Подставляя формулы (15.7.3) в выражение для момента инерции J относитель но оси OA (15.7.1), получим:

1 J x x 2 J y y 2 J z z 2 2J xy xy 2J yz yz 2J xz xz. (15.7.4) Это поверхность второго порядка. Она определяет геометрические места концов отрезков ON при любых направлениях оси OA.

Поскольку момент инерции относительно любой оси есть величина суще ственно положительная, ограниченная и не обращается в нуль, то поверхность, определяемая уравнением (15.7.4), есть эллипсоид. Этот эллипсоид называется эллипсоидом инерции тела в точке О.

Уравнение эллипсоида может быть приведено к канонической форме.

В новых осях получим:

2 2 x1 y1 z 1, a 2 b2 c где a,b,c – полуоси эллипсоида.

По построению 1 1 a ;

b ;

c, J2 J J где J 1,J 2,J 3 – главные моменты инерции. Центробежные моменты инерции здесь равны нулю.

Главная ось инерции относительно какой-либо точки уже не обязательно является главной осью инерции для другой точки оси.

Пусть ось Oz является главной осью инерции относительно точки O.

Тогда N N J zy mi zi yi 0;

J zx mi zi xi 0.

i 1 i Для другой точки O1 на этой оси на расстоянии a от точки O1 получим:

N N J z1 y = mi (zi - a)yi = -a mi yi = -amyc ;

i=1 i= N N J z1 x = mi (zi - a)xi = -a mi xi = -amxc.

i=1 i= Здесь xc, yc – координаты центра масс.

Если ось Oz не является центральной, то J z1 y 0;

J z1 x 0.

Следовательно, для точки O1 ось Oz уже не является главной. Если тело имеет ось материальной симметрии, то эта ось будет главной и центральной.

15.8. Вычисление момента количества движения (кинетического момента) твердого тела во вращательном движении вокруг неподвижной точки При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной точки О скорости его точек определяются по формуле v r (рис. 15.14).

Поэтому кинетический момент твердого тела L0 r vdm r ( r )dm.

(m) (m) Согласно формуле векторной алгебры A ( B C ) B( A C ) C( A B ), имеем: r ( r ) r 2 r ( r ).

Следовательно, L0 r 2 dm r ( r )dm (m) (m) ( x 2 y 2 z 2 )dm Рис. 15. (m) ( x y z z )rdm.


x y (m) Вектор L0 имеет три составляющие:

L0 L0 x i Loy j L0 z k, его проекции:

(y L0 x x z 2 )dm y xydm z xzdm;

(m) (m) (m) (z L0 y x yxdm y x 2 )dm z yzdm;

(m) (m) (m) (x L0 z x zxdm y zydm z y 2 )dm.

(m) (m) (m) Если учесть обозначения (15.7.2), то получим:

L0 x x J x y J xy z J xz ;

L0 y x J yx y J y z J yz ;

(15.8.1) L0 z x J zx y J zy z J z.

Как видно, если, например, x y 0, то L0 x z J xz ;

L0 y z J yz ;

L0 z z J z.

Следовательно, при вращении вокруг неподвижной оси, если оси инерции не являются главными, все остальные составляющие кинетического момента отличны от нуля.

15.9. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z. Тогда его момент коли чества движения относительно этой оси будет:

Lz J z z J z, где z – угловая скорость вращения.

Согласно теореме об изменении момента количества движения dLz Mz, dt получим Jz M z.

(15.9.1) Уравнение (15.9.1) является диффе ренциальным уравнением вращения твер дого тела вокруг неподвижной оси.

В качестве примера рассмотрим кру тильные колебания диска (рис. 15.15).

Момент инерции однородного диска mR Jz.

Упругий момент вала Рис. 15. Рис.

GJ Mz, l где G – модуль сдвига;

J – полярный момент инерции поперечного сечения упругого элемента (вал считается круглым).

Sr 2 D Для круглого вала J, где 2 r – радиус вала;

D – диаметр вала;

S – площадь вала;

l – длина упругого вала.

Следовательно, дифференциальное уравнение крутильных колебаний будет:

GJ mR, 2 l или k 2 0, (15.9.2) 2GJ где k – частота свободных крутильных колебаний диска.

mR 2 l Решение уравнения (15.9.2) хорошо известно:

0 cos kt 0 sin kt, k где 0 и 0 – начальные условия движения.

15.10. Физический маятник Физический маятник представляет собой твердое тело произвольной формы, имеющее горизонтальную ось вращения, не проходящую через центр его тяже сти. Пусть ось подвеса перпендикулярна плоскости чертежа. Воспользуемся диффе ренциальным уравнением вращения тела вокруг неподвижной оси:

J0 M 0, (15.10.1) где – угол поворота тела;

J 0 – момент инерции твердого тела вокруг оси, перпен дикулярной плоскости чертежа и проходя щей через точку О (рис. 15.16);

M 0 – мо мент силы тяжести P mg вокруг точки O : Рис. 15. M 0 mgl sin, где l – расстояние между центром тяжести C и точкой (осью) подвеса O.

Подставляя выражение M 0 в уравнение (15.10.1), получим J 0 mgl sin или mgl sin 0.

(15.10.2) J При малых вместо (15.10.2) имеем k 2 0, mgl где k – частота малых свободных колебаний физического маятника.

J В качестве примера рассмотрим шар, подвешенный на невесомой нити длиной R, равной радиусу шара (рис. 15.17).

О Найдем момент инерции относительно точки подвеса:

2 J 0 mR 2 4mR 2 mR 2. (15.10.3) 5 Согласно формуле (15.10.3) 5mg2R 5g k. Если учесть, что 22mR 11 R 10 g g l 2R, k 0,953.

11 l l Рис. 15. Если бы вся масса шара была сосредо точена в точке С, то это был бы математический маятник, частота малых коле баний которого g g k0, 2R l следовательно, k 0,953k0.

Момент инерции относительно центра масс J c, если известен радиус инерции, выражается формулой J c m2.

Согласно теореме о моментах инерции относительно параллельных осей, J 0 m( 2 l 2 ).

Частота малых колебаний gl k.

2 l Следовательно, длина эквивалентного математического маятника будет 2 l l0. (15.10.4) l Отложим отрезок l0 вдоль по прямой OC. Конец отрезка обозначим O1.

Перепишем формулу (15.10.4) в виде l 2 l0 l 2 0.

Это квадратное уравнение относи тельно l, причем его корни l и l1, соглас но теореме Виета, удовлетворяют равенствам:

l l1 2 ;

l l1 l0.

Оба корня входят симметрично в эти соотношения. Поэтому тот же период ко лебаний физического маятника можно по лучить, если ось подвеса расположить либо на расстоянии l от центра тяжести в точке O, либо в точке O1 на расстоянии l1.

l l Здесь l0,1 2 (рис. 15.18).

2 Период колебаний физического маят- Рис. 15. 2 2 l T ника.

k gl Если известна величина l – расстояния центра тяжести до точки подвеса, то не представляет труда найти квадрат радиуса инерции 2 :

T 2 gl l 2.

После чего находим J c m2.

Таким образом, по экспериментальному периоду малых колебаний физи ческого маятника можно найти его центральный момент инерции, а затем и момент инерции относительно оси подвеса.

В заключение рассмотрим физический маятник в виде однородного стерж L 2 L2 L ня длиной L. Тогда l, l l1 и, следовательно, l1.

2 12 L То есть, подвесив однородный стержень в точке O1 на расстоянии l1, получим тот же период малых колебаний, что и в случае, когда он подвешен в точке О, расположенной на его конце.

15.11. Давление на ось вращающегося тела Пусть RA,RB – динамические ре акции связей в точках A и B (рис.

N 15.19), F Fi – главный вектор i внешних (активных) сил.

Для определения реакций RA,RB воспользуемся теоремами об измене нии количества движения и момента количества движения. Кроме того, по скольку выгодно использовать оси Axyz, связанные с телом, так как в них моменты инерции неизменны, то не обходимо пользоваться формулой, связывающей абсолютную и относи тельную производные вектора:

dr d r r. (15.11.1) dt dt Количество движения K и момент ко Рис. 15. личества движения LA находятся по формулам:

K mvc, (15.11.2) где vc – скорость центра масс тела;

LA J xz z i J yz z j J z z k, (15.11.3) где J xz, J yz – центробежные моменты инерции;

J z – осевой момент инерции;

z – угловая скорость вращения тела.

Тогда, согласно формуле (15.11.1) и формулам (15.11.2), (15.11.3), полу чим:

d v m c mz vc RA RB F, (15.11.4) dt d LA z LA M A AB RB, (15.11.5) dt где M A – главный момент внешних сил относительно опоры А.

i j k Учитывая, что vc 0 z ( z yc )i ( z xc ) j 0k ;

xc yc zc i j k z vc z ( 2 xc )i ( 2 yc ) j 0k ;

0 0 z z z yc z xc vc z rc, найдем vcx yc z, vcy xc z ;

i j k z LA z ( J yz 2 )i ( J xz 2 ) j 0k.

0 0 z z J xz z J yz z J yz z Тогда в развернутом виде уравнения (15.11.4) и (15.11.5) будут таковы:

myc mxc 2 RAx RBy Fx ;

mxc myc 2 RAy RBy Fy ;

(15.11.6) 0 RAz RBz Fz ;

J xz J yz 2 M x hRBy ;

J yz J xz 2 M y hRBx ;

Jz M z, где учтено, что z, и положено AB h.

Уравнения (15.11.6) при известном ( t ) позволяют решить первую за дачу динамики, то есть найти неизвестные реакции.

Чтобы найти ( t ), необходимо проинтегрировать шестое уравнение (15.11.6).

Первые два уравнения при отсутствии внешних сил и реакций имеют вид:

yc xc 2 0;

xc yc 2 0, их определитель 2 4 0, (15.11.7) в общем случае не равен нулю. Поэтому они имеют лишь нулевое решение, то есть xc yc 0.

Аналогично четвертое и пятое уравнения J xz J yz 2 0;

J yz J xz 2 0, при отсутствии внешних сил и реакций удовлетворяются лишь при условии, что J xz J yz 0, так как их определитель дается формулой (15.11.7).

Следовательно, динамические реакции отсутствуют, если центр тяжести лежит на оси вращения, а центробежные моменты инерции равны нулю.

15.12. Теорема об изменении момента количества движения в относительном движении относительно центра инерции Рассмотрим неподвиж ную систему декартовых осей Oxyz и подвижную систему Cx1 y1 z1, начало ко торой расположено в центре инерции системы матери альных точек, движущуюся поступательно вместе с цен С (рис.

тром инерции 15.20).

Абсолютное движение системы представим как сумму переносного движе ния вместе с подвижной Рис. 15.20 системой Cx1 y1 z1 и относи тельного движения по отношению к подвижному центру инерции.

Переносное движение здесь поступательное, поэтому переносные скорости всех точек системы одинаковы и равны скорости центра инерции vie vc.

Обозначив относительную скорость i -й точки системы vir ui, для абсолютной скорости получим:

vi vc ui, i 1,n.

Между радиус-векторами существует зависимость ri rc i, где rc – ра диус-вектор подвижного начала относительно неподвижного, i – радиус вектор i -й точки по отношению к подвижной системе осей. При этом N m mc 0, i i i где c – радиус-вектор центра масс в подвижной системе осей;

c 0 по опре делению подвижной системы.

Найдем кинетический момент системы относительно подвижного центра инерции:

N N Lc i mi vi i mi ( vc ui ) i 1 i N N ( mi i ) vc i mi ui.

i 1 i N Здесь ( mi i ) vc 0, поэтому i N Lc i mi ui.

i Таким образом, при вычислении момента количества движения относи тельно подвижного центра масс можно не обращать внимания на переносное движение центра масс.

Найдем момент количества движения относительно неподвижного начала:

N N L0 ri mi vi ( rc i ) mi vc i 1 i N N rc mi vi i mi vi i 1 i N N rc mi vi i mi ( vс ui ) rc K Lc.

i 1 i N mv K – количество движения системы.

Здесь учтено, что ii i Следовательно, L0 Lc rc K. (15.12.1) Аналогичное соотношение имеем и для главного момента M 0 :

N N ri Fi ( rc i ) Fi M i 1 i N M c rc Fi M c rc F, i N где F Fi – главный вектор внешних сил, приложенных к точкам системы.

i То есть M 0 M c rc F. (15.12.2) По существу, это известная из статистики формула для преобразования главного момента при изменении центра приведения.

Согласно теореме об изменении момента количества движения, с учетом (15.12.1) и (15.12.2), имеем:

dL0 d dL dr ( Lc rc K ) c c K dt dt dt dt dK rc M 0 M c rc F.

dt drc K vc mvc 0, Но dt dK rc rc F.

dt Поэтому dLc Mc. (15.12.3) dt Следовательно, теорема об изменении момента количества движения отно сительно подвижного центра масс сохраняет свою формулировку.

То есть первая производная по времени от момента количества движе ния относительно центра масс в осях, движущихся поступательно вместе с центром масс, равна главному моменту внешних сил, приложенных к точкам системы относительно центра масс.

15.13. Закон сохранения момента количества движения Если главный момент внешних сил M 0 равен нулю, то момент количества движения L0 будет постоянным.

Действительно, если dL 0, то L0 const.

dt Сказанное относится и к отдельным проекциям.

В качестве примера рассмотрим систему (рис. 15.21), вращающуюся во круг оси z, состоящую из однородного диска массой m1, по радиусу которого движется материальная точка массой m2.

z Радиус диска равен R. В начале точка нахо дилась в центре диска, а угловая скорость m равнялась 0. Определить, как изменится угловая скорость после того, как точка дос O тигнет края диска – точки А.

m2 В данном случае R Lz J 10 ( J 1 m2 R 2 ) const, A где – конечное значение угловой скорости;

m R J1 1 – момент инерции диска.

Рис. 15 15.21 Рис Подставляя в предыдущее равенство значения момента инерции диска, по лучим:

m1 R 2 m1 R 0 ( m2 R 2 ).

2 0 2m Откуда.

m В качестве другого примера рас смотрим управление вращением кос мического корабля с помощью махо вика (рис. 15.22).

Пусть система осей Oxyz движет ся поступательно. Корабль получил вращение вокруг оси z. Момент инер ции корабля относительно точки О равен J 1, а момент инерции маховика – J 2. Корабль и маховик вращаются в одну сторону. Оси Ox1 y1 z1 связаны с кораблем.

При отсутствии внешних сил L0 z J 1 0 J 2 ( 0 0 ) Рис. 15. J 1 J 2 ( ) const, где 0 – начальная угловая скорость корабля;

0 – начальная относительная угловая скорость маховика;

и – текущие значения соответствующих угловых скоростей.

Здесь, согласно теореме о сложении вращений вокруг параллельных осей, – абсолютная угловая скорость маховика.

Если положить 0 0, то тогда ( J 1 J 2 )0 J 1 J 2 ( ) и, следовательно, J 0.

J1 J Вращение космического корабля остановится, если J J 1 0.

J При помощи маховика космический корабль можно повернуть на любой угол. Предположим, что он не вращался, тогда L0 z J 1 J 2 ( ) 0.

Пусть – угол поворота корабля;

– угол поворота маховика.

Предыдущее равенство, учитывая, что d d и, dt dt можно переписать так:

J1 d J 2 ( d d ) 0.

Интегрируя это равенство, получим:

( J 1 J 2 )( 0 ) J 2 ( 0 ) 0.

Откуда J 0 ( 0 ), J1 J где 0 и 0 – начальные значения углов и.

Следовательно, чтобы повернуть корабль на угол 0, необходимо ма ховик повернуть ну угол ( 0 ) в противоположную сторону.

16. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 16.1. Элементарная теория гироскопа Гироскопом называется твердое тело, вращающееся вокруг подвижной оси материальной симметрии, одна из точек которой неподвижна (рис. 16.1).

В качестве примера гироскопа можно привести детскую игрушку «вол чок». Будучи раскрученным до значительной угловой скорости вокруг оси симметрии, «волчок» некоторое время сохраняет устойчивое вертикальное по ложение, затем, по мере замедления вращения, его ось начинает описывать ко ническую поверхность. Это движение оси называется прецессией и, наконец, теряется устойчивость: «волчок» падает.

Свойство гироскопа сохранять направление оси вращения в пространстве широко используется в технике. Гироскопические компасы значительно точнее магнитных. С помощью гироскопических устройств осуществляется определе ние координат самолетов, ракет, кораблей. Гироскопические приборы позволя ют с высокой точностью определять угловые и линейные ускорения летатель ных аппаратов и наземных транспортных средств, стабилизировать орудийные платформы на корабле.

На рис. 16.1 изображен «волчок».

Это гироскоп с тремя степенями сво боды. Оси Oxyz связаны с ротором.

Угловая скорость вращения вокруг оси z равна 0. Ее называют угловой ско ростью собственного вращения. Ось z является осью материальной симмет рии и она описывает коническую по верхность с угловой скоростью *, у О направленной по вертикальной оси z *.

Угловая скорость * называется угловой скоростью прецессии. Оси Ox1 y1 z1 отстают от осей, связанных с телом, на величину угловой скорости собственного вращения 0, поэтому Рис. 16. Рис.

их угловая скорость равна *, то есть угловой скорости прецессии.

В силу симметрии оси Oxyz являются главными, а в главных осях момент количества движения относительно точки О будет:

L0 J x x i J y y j J z z k. (16.1.1) Однако здесь J x J y J 1. Обозначим J z J 3. Тогда формула (16.1.1) пе репишется в виде L0 J 1 ( x y ) J 3 z k.

В последнем выражении x y 1, то есть проекции полной угловой скорости на плоскость Oxy.

Очевидно, z 0 * cos, где – угол между вертикалью и осью z.

Если предположить, что 0 *, то для L0 можно принять следующую приближенную формулу:

L0 J 3 0 k. (16.1.2) Воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения в формулировке Резаля.

Конец вектора L0 описывает окружность со скоростью dL * L0.

dt Эта величина равна моменту внешней силы относительно точки О. В рас сматриваемом случае это момент силы веса P относительно точки О. Поэтому * L0 OC P. (16.1.3) Из (16.1.3) следует J 3 0 * sin OCmg sin. (16.1.4) Таким образом, находим формулу для угловой скорости регулярной прецессии mgl *, J 3 где l OC – расстояние центра масс до опоры гироскопа.

Если гироскоп имеет две степени свободы и его оси сообщено вращение, например, с угловой скоростью, то это приводит к возникновению гироско пического момента относительно точки О, равного М g М 0 J 3 0 k.

То есть вектор момента М g перпендикулярен плоскости, содержащей век тор * и ось собственного вращения ротора, и стремится совместить векторы L0 и * по кратчайшему расстоянию.

В качестве примера рассмотрим определение реакций подшипников рото ра турбины при продольной качке корабля. Ротор турбины схематично изобра жен на рис. 16.2. Угловая скорость качки Oz и направлена по оси y.

Расстояние между опорами AB l. Тогда реакции подшипников будут:

J RAy RBy 3 0.

l М g М 0 – гироскопический момент.

Рис. 16. 16.2. Уравнения Эйлера для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки Уравнения Эйлера для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, представляет собой дифференциальные уравнения, устанавливающие связь между силами, действующими на тело, и параметрами, определяющими его положение. В качестве таковых параметров могут быть взяты углы Эйлера (рис. 16.3).

Для составления дифференциальных уравнений воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения относительно неподвижной точки:

dL М0, (16.2.1) dt где L0 – момент количества движения тела относительно неподвижной точки О;

М 0 – главный момент внешних сил относительно этой же точки.

Пусть система осей Ox1 y1 z неподвижна, а система Oxyz жест ко связана с телом. При движении тела его моменты инерции относи тельно неподвижной системы осей будут меняться, так как непрерыв но меняется положение тела отно сительно этой системы. Если век тор момента количества движения определить в системе осей, связан ных с телом, то ситуация меняется, Рис. 16. так как моменты инерции будут уже постоянными величинами.

Но при вычислении производной необходимо будет пользоваться извест ной теоремой об относительной производной вектора:

dr d r r, (16.2.2) dt dt dr – абсолютная производная r ;

где dt d r – относительная производная;

dt – угловая скорость подвижной системы.

Учитывая это обстоятельство, равенство (16.2.1) перепишется в виде d L L0 М 0. (16.2.3) dt Спроектируем (16.2.3) на подвижные оси Oxyz :

d Lx y Lz z Ly М x ;

dt d Ly z Lx x Lz М y ;

(16.2.4) dt d Lz x Ly y Lx М z.

dt Если подвижные оси главные, то Lx J 1x ;

Ly J 2 y ;

Lz J 3 z, (16.2.5) где J 1, J 2, J 3 – главные моменты инерции.

Подставляя (16.2.5) в уравнения (16.2.4), получим:

J 1x ( J 3 J 2 ) y z M x ;

J 2 y ( J 1 J 3 )x z M y ;

(16.2.6) J 3 z ( J 2 J 1 )x y M z.

d y d x d z x ;

y ;

z.

Здесь обозначено dt dt dt Уравнения (16.2.6) называются динамическими уравнениями Эйлера.

Систему (16.2.6) следует дополнить кинематическими уравнениями Эйлера:

x sin sin cos ;

sin cos sin ;

(16.2.7) y z cos.

где – угол прецессии;

– угол нутации;

– угол собственного вращения, – известные углы Эйлера.

Если задаются углы Эйлера как функция времени, то уравнения (16.2.6) и (16.2.7) позволяют найти силы, действующие на тело, то есть решить первую задачу динамики.

Решение второй задачи динамики, которая заключается в интегрировании этих шести уравнений первого порядка, в общем случае представляет значи тельные математические трудности.

Поэтому рассмотрим наиболее простой случай вращения твердого тела во круг неподвижной точки по инерции. Это случай Эйлера–Пуассона.

16.3. Движение твердого тела в случае Эйлера–Пуассона Это вращение по инерции, когда M 0 0. В этом случае динамические уравнения Эйлера примут вид:

J 1x ( J 3 J 2 ) y z 0;

J 2 y ( J 1 J 3 )x z 0;

(16.3.1) J 3 z ( J 2 J 1 )x y 0.

Умножим первое уравнение на J 1x, второе – на J 2 y, третье – на J 3 z и сложим. В результате получим:

J 12 x x J 2 2 y y J 3 2 z z 0, или 1d ( J 12 x 2 J 2 2 y 2 J 3 2 z 2 ) 0.

2 dt J 12 x 2 J 2 2 y 2 J 3 2 z 2 L2 const.

Откуда (16.3.2) Равенство (16.3.2) означает, что модуль момента количества L0 сохраняет постоянную величину и представляет собой первый интеграл уравнений движения.

Соотношение (16.3.2) можно было бы написать сразу. Поскольку M 0 0, то L0 const и, следовательно, L0 L0 L0 2 const.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.