авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ...»

-- [ Страница 5 ] --

Еще один первый интеграл получим, если умножить уравнения (16.3.1) соответственно на x, y, z и сложить:

J 1x 2 J 2 y 2 J 3 z 2 2T const, где T – постоянная энергии.

Определение углов Эйлера существенно упрощается, если J 1 J 2, то есть, когда ось z является осью материальной симметрии.

Уравнения (16.3.1) в этом случае будут:

J 1x ( J 3 J 1 ) y z 0;

J 2 y ( J 1 J 3 )x z 0;

(16.3.3) J 3 z 0.

Из третьего уравнения следует, что z z0 const. (16.3.4) В рассматриваемом случае момент количества движения L0 постоянен по модулю и направлению. Совмес тим неподвижную ось z1 с направле нием L0 (рис. 16.4).

Проекции L0 на оси Oxyz будут:

Lx L0 sin sin, Ly L0 sin cos, (16.3.5) Lz L0 cos.

Рис. 16. С другой стороны, Lx J 1x ;

Ly J 2 y ;

(16.3.6) Lz J 3 z.

Учитывая (16.3.4), (16.3.5), (16.3.6), найдем:

J 3 z0 Lz L0 cos const.

Откуда J cos 3 z0 const.

L Таким образом, угол нутации является постоянной величиной:

0;

0.

Кинематические уравнения Эйлера примут вид:

x sin 0 sin ;

y sin 0 cos ;

(16.3.7) z0 cos 0.

Подставим (16.3.7) в (16.3.6) с учетом (16.3.5):

J 1 sin 0 sin L0 sin 0 sin, J 1 sin 0 cos L0 sin 0 cos.

Откуда L0 J 1, и, следовательно, L 0 * const.

J Откуда * t 0, где 0 – значение угла при t 0.

Из третьей формулы (16.3.7) следует:

z0 cos 0 z0 * cos 0 0 const.

И, следовательно, 0 t 0, где 0 – начальное значение.

Решение дифференциальных уравнений движения твердого тела, таким образом, имеет вид:

0 ;

* t 0 ;

(16.3.8) 0 t 0.

Постоянные 0, 0, *, 0 связаны соотношением z0 0 * cos 0.

Движение, описываемое уравнением (16.3.8), называется регулярной прецессией (рис.

16.5). При этом ось симметрии описывает круго вой конус с угловой скоростью *, а само тело вращается вокруг оси симметрии с угловой ско ростью 0.

Однако не все режимы вращения тела во круг неподвижной точки по инерции являются устойчивыми.

В некоторых случаях при наличии малого возмущения от установившегося движения от клонения начинают возрастать с течением вре мени. Такие режимы движения называют неус Рис. 16. тойчивыми.

Предположим, что ось вращения совпадает с главной осью инерции z. Тогда x y 0, z 0 const.

Для того, чтобы выяснить, является ли режим устойчивым, придадим ма лое возмущение телу, в результате которого угловые скорости изменятся и бу дут равны:

x 1 ;

y 2 ;

z 0 3, (16.3.9) где 1, 2, 3 – малые по сравнению с 0.

Подставим значения (16.3.9) в уравнения (16.3.1):

J 11 ( J 3 J 2 )2 ( 0 3 ) 0;

J 2 2 ( J 1 J 3 )1 ( 0 3 ) 0;

(16.3.10) J 3 3 ( J 2 J 1 )12 0.

В уравнениях (16.3.10) следует пренебречь малыми высшего порядка, то есть произведениями 1, 2, 3 :

J 11 ( J 3 J 2 )2 0 0;

J 2 2 ( J 1 J 3 )10 0;

(16.3.11) J 3 3 0.

Из третьего уравнения сразу следует 3 30 const, а первые два преоб разуются к виду:

2 ( J J 1 )( J 3 J 2 ) 1 0 3 1 0;

J1 J (16.3.12) ( J 3 J 1 )( J 3 J 2 ) 2 0 2 0.

J1 J Решения уравнений (16.3.12) выражаются через тригонометрические функции, которые со временем не возрастают, если ( J 3 J 1 )( J 3 J 2 ) 0, (16.3.13) и тогда движение устойчиво.

Если же ( J 3 J 1 )( J 3 J 2 ) 0, (16.3.14) то решение выражается через показательные функции и движение будет неус тойчивым. Из (16.3.13) следует, что J 3 должно быть либо максимальным, либо минимальным.

Условие (16.3.14) возможно лишь в том случае, когда J 3 J 1 и J 3 J или наоборот, J 3 J 1 и J 3 J 2, то есть является средним по величине момен том инерции.

16.4. Случай Лагранжа–Пуассона В случае Лагранжа–Пуассона центр тяжести тела лежит на оси вращения эл z липсоида инерции. Момент внешних сил z создается силой P P( 1 i 2 j 3 k ), где 1 sin sin, l 2 sin cos, 3 cos направляющие k y косинусы вектора P в осях Oxyz (рис.

16.6).

P mg ijk y j M0 a P P 0 0 l Pl 2 i Pl 1 j, x1 i 1 2 где l lk – вектор точек приложения x силы P.

Рис. 16. Поэтому уравнения Эйлера в данном случае принимают вид:

J 1x ( J 3 J 1 ) y z Pl 2 ;

J 2 y ( J 1 J 3 )x z Pl 1 ;

(16.4.1) J 3z 0.

Эти уравнения следует дополнить кинематическими соотношениями Эйлера:

x sin sin cos ;

y sin cos sin ;

(16.4.2) z cos.

Для того, чтобы проинтегрировать систему (16.4.1) и (16.4.2), найдем три первых интеграла.

Один – тривиальный геометрический интеграл 12 2 2 3 2 1. (16.4.3) Умножим первое уравнение (16.4.1) на x, второе на y, третье на z и сложим J 1x x J 1 y y J 3 z z Pa( 2 x 1 y ) Pa sin cos ( sin sin cos ) sin sin ( sin cos sin ) Pl sin.

Интегрируя это соотношение, найдем J 1 ( x 2 y 2 ) J 3 z 2 2Pl cos h. (16.4.4) Для получения еще одного интеграла, воспользуемся теоремой об измене нии кинетического момента в проекции на ось Oz.

d Так как M z1 0, то Lz1 0 и Lz1 const.

dt Lz1 L0 k1 ( J 1x i J 1 y j J 3 z k )( 1 i 2 j 3 k ) (16.4.5) J 1 ( x 1 y 2 ) J 3 z 3 const.

Еще один нетривиальный интеграл получаем из третьего уравнения (16.4.1):

z const. (16.4.6) Введем в полученные интегралы Эйлеровы углы. Из первых двух уравне ний (16.4.2) следует x 2 y 2 2 sin 2 2.

Так как 3 cos, то объединяя в (16.4.4) J 32 с h, получаем:

z J 1 ( sin ) 2Pl cos h1, 2 2 (16.4.7) где h1 h J 32.

z Учитывая, что 1 sin sin, 2 sin cos, из первых двух уравнений (16.4.2) получим:

x 1 sin 2 sin 2 cos sin sin ;

sin 2 cos 2 sin sin cos.

y Складывая эти соотношения, найдем:

x 1 y 2 sin 2.

Тогда интеграл (16.4.5) перепишется в виде:

J 1 sin 2 J 3z cos b, (16.4.8) где b – постоянная, которую определяем по начальным условиям. Кроме того, вместо (16.4.6) получим:

cos z const.

(16.4.9) Наконец, из (16.4.7) имеем:

2 h1 Pl cos J 1 sin, 2 J из (16.4.8):

b J 3 z cos.

J 1 sin После чего найдем 2 h1 2Pl cos ( b J 3 z cos ).

(16.4.10) J 12 sin J Уравнение (16.4.10) дает выражение для квадрата скорости нутации и мо жет быть проинтегрировано.

Перепишем уравнение (16.4.10) в виде:

J 12 sin 2 2 J 1 ( h1 2Pl cos ) sin 2 ( b J 3 z cos )2.

d ds Введем новую переменную cos s, sin.

dt dt Тогда уравнение примет вид:

ds ) f ( s ), J 12 ( (16.4.11) dt f ( s ) J 1 ( h1 2Pls )( 1 s 2 ) ( b J 3 z s )2.

где (16.4.12) Рассмотрим корни уравнения (16.4.11) (рис. 16.7).

Этих корней три. Движение возможно, если s1 s s2 и невозможно во всех остальных случаях, так как f ( s ) 0 и s cos 1 согласно (16.4.11).

Вершина гироскопа описывает сферическое движение одного из трех ви дов (рис. 16.8).

При s1 s2 получается регулярная прецессия, при этом const.

Рис. 16. Рис. 16. 16.5. Дифференциальные уравнения вращения симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки в осях, не связанных с телом Уравнения Эйлера для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, были получены в главных осях, связанных с телом. Это ограничение бы ло вызвано тем, что моменты инерции для тела произвольной формы в осях, не связанных с телом, переменны и это условие ведет к усложнению уравнений динамики. Если же тело имеет ось материальной симметрии, например, в слу чае гироскопа, то можно допустить наличие ' осей, не связанных с телом, отстающих от него, например, на величину угловой скоро сти собственного вращения. Это облегчает анализ гироскопических явлений, не услож няя уравнений динамики.

При наличии круговой материальной ' симметрии, то есть в случае гироскопа, урав нение Эйлера существенно упрощается.

Пусть, например, J 1 J 2. Будем считать, что главный момент внешних сил относительно оси гироскопа равен нулю, то есть ' M z M0k 0.

' Тогда из третьего уравнения Эйлера z k const (16.2.6) получим Рис. 16. Рис.

(рис. 16.9).

Оси Oxyz считаются связанными с телом. Проекция угловой скорости на плоскость Oxy будет:

1 x i y j.

Следовательно, 1 z k.

Момент количества движения тела относительно точки O с учетом равен ства J 1 J 2 :

L0 J 11 J 3 z k. (16.5.1) Наряду с системой осей Oxyz, неизменно связанной с телом, введем сис тему осей Oxy z, вращающуюся с угловой скоростью 1 rk (рис. 16.9).

При r z получаем систему осей, связанную с телом, то есть.

dL Пользуясь теоремой об относительной производной, найдем производную dt y z (см. (16.2.2)):

в системе осей Ox dL0 d L0 d 1 d k L0 J 1 ( 1 ) J 3 z ( k ).

dt dt dt dt d k 0, так как единичный орт оси z Здесь 1 ( 1 rk ) 1 r( k 1 ), dt является неизменным в системе осей Oxy z.

Следовательно, d dL J1 ( J 3 z J 1 r )( 1 k ).

dt dt dL M 0, получаем:

Учитывая, что dt d ( J 3 z J 1 r )( 1 k ) M 0. (16.5.2) J dt При r z из (16.5.2), спроектировав на оси x, y, получим два первых уравнения Эйлера.

В ряде случаев при рациональном выборе величины r можно существенно упростить уравнения динамики 16.6. Регулярная прецессия симметричного тела Рассмотрим быстро вращающееся симметричное относительно оси z твер дое тело. Будем считать, что вектор угловой скорости собственного вращения 0 имеет постоянную величину, а вектор угловой прецессии * постоянную величину и направление (рис. 16.10).

Оси Oxy z отстают от осей, связан ных с телом, на величину угловой скоро- ' сти собственного вращения 0. Таким образом, полная угловая скорость осей Oxyz равна угловой скорости прецессии *.

' Обозначим через k и k * единичные векторы, имеющие направление собст венного вращения 0 и прецессии *.

Тогда 0 0 k, * * k *.

Вектор k * – единичный вектор, ' имеющий неизменное направление. Век- ' тор k вращается с угловой скоростью *. Поэтому скорость конца вектора k Рис. Рис. 16. будет:

dk 0 * k.

dt Угловая скорость тела, совершающего регулярную прецессию, по теореме сложения угловых скоростей вокруг пересекающихся осей равна:

0 *.

Ее проекция на ось собственного вращения z k 0 * k 0 * cos.

Эта проекция постоянна, так как 0 const, const, const.

Поперечная составляющая угловой скорости 1 z k * * cos k.

Вектор * имеет постоянную величину. Поэтому в уравнении (16.5.2) d 0. Оси Oxyz вращаются с угловой скоростью пре первое слагаемое J dt цессии. Это полная их угловая скорость, поэтому *.

Следовательно, z 0 * cos ;

r * cos.

Тогда второе слагаемое в уравнении (16.5.2) будет:

[ J 3 ( 0 * cos ) J 1 * cos ]( * * cos k ) k J 3 J 1 * J 3 0 ( 1 cos )* k.

J 3 Учитывая, что 0 k 0, получим:

J J1 * J 3 * 0 ( 1 3 cos ) M 0. (16.6.1) J Если 0 весьма велико, то из (16.6.1) получим уравнение приближенной dL J 3 * 0 M 0, откуда следует теории (16.1.4) dt J 3 0 * sin mgl sin.

Определим условия, когда имеет место регулярная прецессия гироскопа.

Пусть P – вес гироскопа, l – расстояние центра тяжести до точки опоры. Угол между 0 и * равен, поэтому M 0 Pl sin и * 0 * 0 sin.

Следовательно, из (16.6.1) получим:

J 3 0 * ( J 3 J 1 )* 2 cos Pl. (16.6.2) Выражение (16.6.2) представляет собой квадратное уравнение относитель но *. Его корни представляют собой значения угловой скорости прецессии:

J 3 0 J 3 2 0 2 4Pl( J 3 J 1 )cos *. (16.6.3) 2( J 3 J 1 )cos Регулярная прецессия возможна, если J 3 2 0 2 4Pl( J 3 J 1 )cos 0.

Пусть угловая скорость 0 достаточна велика. Тогда представляя корень в (16.6.3) в виде ряда 4Pl( J 3 J 1 ) cos 2Pl( J 3 J 1 ) cos J 3 0 1 J 3 0 ( 1...), J 3 2 0 2 J 3 2 0 получим J 3 Pl 1* ;

2 *.

J 3 0 ( J 3 J 1 ) cos Угловая скорость 1 * соответствует медленной скорости прецессии.

Значение 1 * получается из приближения теории. Другой корень соответствует быстрой прецессии.

16.7 Уравнения движения гироскопа на подвижном основании Центр инерции гироскопа расположим в точке пересечения осей карданова подвеса. Для вывода уравнений движения воспользуемся векторным уравнением (16.5.2), которое справедливо при подвижном центре инерции, если начало координат расположить в этом центре (рис. 16.11).

Оси Cx1 y1 z1 неизменно свя жем с основанием. Вектор угловой скорости вращения основания и, следовательно, осей Cx1 y1 z1 обо значим через. Ось Cz1 этой сис темы будем считать направленной по оси вращения наружного кольца карданова подвеса.

Вторую систему, связанную с подвижными осями, определим так: ось Cx направлена по оси внутреннего кольца;

ее положение определяется углом, отсчиты ваемым от оси Cx1 вокруг оси Cz1.

Ось Cz направлена по оси враще ния ротора. Ее направление зада ется углом, отсчитываемым во круг оси Cx. Ось Cy перпендику лярна плоскости Czx. Поворот ро- Рис. 16. тора задается углом. Углы,, – это Эйлеровы углы пре цессии, нутации и собственного вращения. Ось вращения внутрен него кольца Cx является линией узлов. На рис. 16.11, поэто му оси y и z1 совпадают.

' Обозначим через n,n,k еди ничные орты осей Cx, Cy и Cz.

Орт n1 перпендикулярен линии уз лов Cx и расположен в плоскости Cx1 y1 под углом к оси Cx1.

Орт наружного кольца Cz1 обозна чим через k *. Очевидно, k* k cos n sin. (16.7.1) Рис. 16. Оси Cxyz отстают от осей, связанных с ротором, на величину угловой скорости собственного вращения k k 0. Поэтому их угловая скорость относительно абсолютно неподвижной системы определяется соотношением (рис. 16.12) k * n.

(16.7.2) Угловая скорость ротора отличается от слагаемым k, поэтому k.

(16.7.3) Ранее было получено уравнение (16.5.2) динамики гироскопа. Здесь роль точки О играет центр инерции. Поэтому d ( J 3 z J 1 r ) 1 k M C.

J1 (16.7.4) dt Остается вычислить величины, входящие в уравнение (16.7.4).

Согласно (16.7.1) и (16.7.2), получаем выражения для r :

r k k k * k z cos.

Из (16.7.3) получаем z :

z k r.

Проекция угловой скорости осей Cxyz на плоскость Cxy, перпендикуляр ная оси вращения ротора Cz, равна 1 ( x )n ( y sin )n.

Это поперечная составляющая угловой скорости. Здесь предполагается, что проекции угловой скорости вращения основания x и y на оси x и y из вестны.

В уравнение (16.7.4) входит векторное произведение 1 k :

1 k ( x )n k ( y sin)n k.

Здесь n k n ;

n k n.

Поэтому 1 k ( x )n ( y sin )n.

Найдем J 3 z J 1 r J 3 ( r ) J 1 r J 3 ( J 3 J 1 )( z cos ).

Подставим соответствующие величины в уравнение (16.7.4) и спроектиру ем на оси Cx и Cy :

d ( x ) J 3 ( J 3 J 1 )( z cos ) ( y sin ) M Cx ;

J dt (16.7.5) d ( y sin ) J 3 ( J 3 J 1 )( z cos ) ( x ) M Cy.

J dt Уравнения (16.7.5) представляют уравнения динамики гироскопа на под вижном основании и являются основой для исследования гироскопических приборов и устройств.

В этих уравнениях M Cx – главный момент внешних сил относительно оси вращения внутреннего кольца;

M Cy – главный момент внешних сил относи тельно перпендикулярного к оси вращения ротора направления.

В уравнения (16.7.5) входят проекции угловой скорости вращения основа ния на оси Cxyz. Вектор через известные проекции x1, y1, z1 в осях Cxyz представляется следующим образом:

( x1 cos y1 sin )n ( x1 sin y1 cos ) cos z1 sin n (16.7.6) ( x1 sin y1 cos ) sin z1 cos k.

Для того, чтобы получить выражение (16.7.6), необходимо каждую состав ляющую x1, y1, z1 последовательно спроектировать на оси Cxyz.

16.8. Гиротахометр (датчик угловых скоростей) Если закрепить наружное кольцо относительно основа ния и совместить его ось Cz с осью вращения, то 0, x1 0 (рис. 16.13).

Оси x и x1 совмещены, ось y1 направлена противопо ложно оси z. Угол в началь ном положении рамки, пока занной на рис. 16.13, равен.

Оси Cx1 y1 z1 связаны с основа нием. Вектор угловой скорости Рис. 16. основания направлен вдоль оси z1, поэтому x1 y1 0 и, кроме того, поскольку ось рамки x перпенди кулярна z1, то x 0. Угол будем считать мало отличающимся от :

, где – малая величина. Тогда sin cos 1.

Кроме того, здесь 0, так как ось закреплена от поворота по отношению к основанию.

Согласно общим зависимостям:

y z1 sin sin ;

z z1 cos cos, где – измеряемая угловая скорость основания.

Воспользуемся первым уравнением (16.7.5) для гироскопа на подвижном основании:

J 1 J 3 ( J 3 J 1 ) cos sin M Cx.

(16.8.1) В уравнении (16.8.1) учтено, что x 0 и 0.

Угловая скорость собственного вращения 0 существенно больше уг ловой скорости основания, то есть.

Поэтому из (16.8.1) получаем J 1 J 3 M Cx.

(16.8.2) Чтобы получить измерительный прибор, присоединим к внутреннему кольцу пружину и демпфер. Тогда M Cx c, (16.8.3) где c – жесткость кольца при повороте;

– коэффициент демпфирования.

Величины c и находятся по формулам:

c c0 h12, bh2, где c0 – линейная жесткость пружины;

h1 – плечо упругой силы по отношению к оси x ;

b – коэффициент сопротивления при движении поршня в демпфере;

h2 – плечо демпфирующей силы по отношению к оси x.

Подставляя (16.8.3) в (16.8.2) с учетом того, что, получим c J J1 или 2n k 2 H, (16.8.4) J c 2n ;

k ;

H 3, где J J1 J при достаточно высокой собственной частоте прибора k свободные колебания быстро затухают, и мы получаем из (16.8.4) J H 2 3 k J1 k или c.

J Следовательно, в некоторых пределах отклонение стрелки прибора про порционально угловой скорости основания.

16.9. Гироскопы Фуко Пусть подвижным основанием гироскопа является Земля (рис. 16.14).

Расположим ось вращения наружного кольца гироскопа Cz1 по вертикали мес та, а ось Cx1 по горизонтали на север;

ось Cy1 будет находиться в той же плос кости и окажется направленной на Запад.

Рис. 16.14 Рис. 16. Тогда проекции угловой скорости основания на оси ( x1, y1, z1 )будут:

x1 cos ;

y1 0;

z1 sin, (16.9.1) где – угловая скорость Земли;

– северная широта места.

В гироскопе Фуко первого рода внутреннее кольцо жестко связано с на ружным так, что оно находится в плоскости горизонта. Следовательно, / 2 (рис. 16.15). Поэтому ось ротора гироскопа Cz тоже остается в этой же плоскости.

Когда ось располагается в плоско сти меридиана, угол равен / 2, а ось Cx направлена на запад. Обозна чим через угол отклонения оси гиро скопа Cz от плоскости меридиана (рис.

16.16).

Тогда угол прецессии будет / 2, при этом, согласно (16.9.1), x cos sin ;

y sin ;

z cos cos. (16.9.2) Если пренебречь силами трения в подшипниках наружного кольца, то следует считать, что Рис. 16. M Cy 0.

И, поскольку внутреннее кольцо закреплено, то момент M Cx найдется из первого уравнения (16.7.5):

M Cx J 1 cos cos J 3 ( J 3 J 1 ) cos cos ( sin ).

Второе уравнение (16.7.5) приводится к виду:

J 1 J 3 ( J 3 J 1 ) cos cos ( cos sin ) 0.

Учитывая, что, это уравнение можно упростить:

J 1 J 3 cos sin 0.

(16.9.3) Если 0, то есть вращение ротора происходит в ту же сторону, что и вращение Земли, то уравнение (16.9.3) представляет уравнение колебаний ма ятника вокруг положения равновесия. При этом, если мало, то период коле баний будет J T 2. (16.9.4) J 3 cos При 0 положение 0 соответствует неустойчивому вертикальному положению маятника. В подобной ситуации ось гироскопа должна опрокинуть ся в положение, причем конец вектора k должен быть направлен снова на север.

Следовательно, гироскоп Фуко первого рода позволяет в принципе уста навливать плоскость меридиана.

В гироскопе Фуко второго рода (рис. 16.17) наружное кольцо закреплено.

Ось вращения внутреннего кольца Cx направляется на Запад перпендику лярно к плоскости меридиана. Угол / 2. Ось вращения ротора Cz, нахо дясь в плоскости меридиана, имеет возможность вращаться вокруг оси внут реннего кольца. Угол между вектором угловой скорости Земли и осью соб ственного вращения гироскопа обозначим через.

Тогда (рис. 16.18) / 2.

Найдем проекции угловой скорости основания на оси ( x, y, z ):

x 0 ;

y sin ;

z cos. (16.9.5) По первому уравнению (16.7.5) согласно (16.9.5) получаем:

J 1 J 3 ( J 3 J 1 ) cos sin 0.

(16.9.6) При из (16.9.6) получаем уравнения типа уравнения колебаний маятника:

J 1 J 3 sin 0.

(16.9.7) Рис. 16. Рис. 16. Откуда получаем формулу для периода малых колебаний, который не за висит от широты места:

J T 2. (16.9.8) J Согласно (16.9.7) ось гироскопа располагается параллельно оси вращения Земли и, таким образом, возникает возможность, измеряя угол между плоско стью гироскопа и вертикалью, определить широту места. Однако на практике влияние моментов сил трения оказывается весьма велико. Кроме того, сущест венную роль могут оказать несовершенства ротора гироскопа, а именно, несов падение точки пересечения осей Cx, Cy, Cz с центром тяжести ротора. Это приводит к существенным погрешностям. Поэтому при создании гирокомпасов на основе первоначальной идеи гироскопов Фуко пришлось ввести ряд новых принципов, а именно, жидкостные и электромагнитные опоры, оптический съём сигнала.

Пусть ротор гироскопа вращается, например, в электростатическом подве се и свобода поворота собственной оси вращения ничем не ограничена.

Воспользуемся уравнением динамики гироскопа вокруг точки на его оси симметрии (16.5.2):

d ( J 3 z J 1 r )( 1 k ) M 0, J dt здесь 1 – поперечная составляющая угловой скорости ротора.

В данном случае можно считать, что M 0 0.

Пусть величина r z, тогда J 3 z J 1 r ( J 3 J 1 )z J 1.

z – проекция угловой скорости ротора на ось z ;

r – проекция угловой скорости осей, отстающих от осей, связанных с ротором, на величину угловой скорости собственного вращения. Из уравнения (16.5.2) получаем:

J 1 1x ( J 3 J 1 )z J 1 1 y 0;

(16.9.9) J 1 1 y ( J 3 J 1 )z J 1 1x 0.

Введем в рассмотрение комплексную переменную U 1x i1 y.

Поделим оба уравнения на J 1. Затем умножим второе уравнение на i 1 и сложим его с первым.

В итоге получим уравнение первого порядка:

J J U i( 3 z )U 0.

(16.9.10) J Общее решение этого уравнения (16.9.10) J 3 J z )t i( U U0 e J.

Следовательно, вектор поперечной угловой скорости 1 совершает коле бания с частотой:

J J k 3 z.

J При большой угловой скорости собственного вращения z.

Поэтому J J k 3 z 3.

J1 J Если ротором является шар, то J 3 J 1 и, следовательно, k.

При малом возмущении и большой угловой скорости собственного враще ния ротор гироскопа сохраняет в среднем начальное направление неизменным, совершая относительно его малые колебания.

17. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 17.1. Работа силы. Мощность Работа силы является мерой действия на материальную точку на протяже нии пути, ею пройденного.

Если материальная точка движется прямолинейно (рис. 17.1) и к ней приложена постоянная по величине и направлению сила F, то работа A находится по формуле A Fs cos, (17.1.1) где s – путь, пройденный силой;

– угол между линией действия силы и направлением движения.

На рис. 17.1 путь материальной точки – это прямолинейный отрезок M 1 M 2 s.

Вспоминая формулу для скалярного произве дения векторов, вместо (17.1.1) можно написать:

A Fs cos (17.1.2) F s Fx sx Fy s y Fz sz, где Fx, Fy, Fz – проекции силы F на оси ко ординат;

sx,s y,sz – проекции перемещения s.

Рассмотренное определение работы для постоянной силы, действующей на прямоли- Рис. 17. нейном участке пути, допускает обобщение на случай криволинейного движения при действии переменной силы.

Рассмотрим бесконечно малое переме щение M 1 M ds (рис. 17.2).

Дуге ds соответствует приращение ра диус-вектора dr. При этом ds dr dr, то есть бесконечно малая дуга эквивалентна хорде. На бесконечно малом перемещении ds силу F можно считать постоянной по вели чине и направлению.

Будем называть работу силы F на бес конечно малом перемещении элементарной работой и обозначим d A. Воспользовавшись определением скалярного произведения век- Рис. 17. торов, получаем:

d A Fds cos Fdr cos Fdr (17.1.3) Fx dx Fy dy Fz dz.

Штрих в обозначении элементарной работы означает, что она не всегда имеет структуру полного дифференциала.

Работа силы на конечном участке пути M 1 M 2 представляет собой сумму элементарных работ, определяемых формулой (17.1.3):

M2 M2 M d A Fdr ( F dx F dy F dz ).

A (17.1.4) x y z M1 M1 M Следовательно, работа силы представляет собой криволинейный интеграл, взятый по дуге кривой M 1 M 2.

Криволинейный интеграл (17.1.4) сводится к обыкновенному интегралу, если задана функция F F( t ).

dr и, следовательно, dr dt, вместо Действительно, учитывая, что dt (17.1.4) получим M2 t Fdr F dt.

A (17.1.5) M1 t Выражение (17.1.5) представляет собой уже обыкновенный интеграл по времени.

Из определения работы следует, что работа равнодействующей силы на каком-либо перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении.

Кроме того, работа силы на полном перемещении равна сумме работ этой же силы на составляющих перемещениях, на которые разбито перемещение.

Работа, которую может совершить сила за единицу времени, называ ется мощностью.

Таким образом, мощность характеризует работоспособность какого-либо источника силы.

Следовательно, мощность может быть определена по формуле:

d A dr N F F Fx x Fy y Fz z. (17.1.6) dt dt То есть мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки. При этом, чем больше скорость, тем меньше сила при одной и той же мощности.

17.2. Примеры вычисления работы силы Работа силы тяжести материальной точки и системы материальных точек Силу тяжести P материальной точки m вблизи поверхности Земли можно считать постоянной и направленной по вертикали вниз.

Py 0 ;

Px 0 ;

Пусть ось направлена вверх (рис. 17.3). Тогда z Pz P mg.

Найдем работу:

M2 M ( P dx P dy P dz ) mg dz mg( z A z1 ) mgh, (17.2.1) x y z M1 M где h z1 z2 – высота опускания точки.

Следовательно, работа силы тяжести положительна при опускании точки и от рицательна при подъеме.

В случае системы материальных то чек работа сил тяжести представляет со бой сумму работ для отдельных точек:

P N N A g( mi zi1 mi zi 2 ).(17.2.2) i 1 i Согласно определению центра масс N N m z mzc1 ;

mi zi 2 mzc2, i i i 1 i 1 Рис. 17. где m – масса системы;

zc1 – начальное положение центра масс;

zc2 – конечное положение центра масс.

Следовательно, формулу (17.2.2) можно переписать так:

A mg( zc1 zc2 ) mgh. (17.2.3) Здесь h – высота опускания центра масс материальной системы.

Таким образом, при вычислении работы сил тяжести, любую систему ма териальных точек можно рассматривать как материальную точку, которая на ходится в центре масс, при этом работа силы тяжести равна произведению мас сы системы на высоту опускания центра масс (17.2.3). В этом случае работа по ложительна. Если же центр масс поднимается, то работа сил тяжести системы будет отрицательной.

Как видно, работа силы тяжести не зависит от формы траектории и определя ется только разностью уровней центра масс.

Работа линейной упругой силы Рассмотрим сначала случай, когда сила действует вдоль пружины. Пусть, например, упругая пружина расположена вдоль оси y и так же действует сила Fy (рис. 17.4). Тогда упругая сила будет Рис. 17. Fcy cy, где c – коэффициент жестко сти пружины;

y – перемещение конца пружины из ненапряженного состояния или статического равновесия. Очевидно, элементарная работа упругой силы d A dA cydy.

Интегрируя последнее соотношение в пределах y1, y2, найдем:

y c( y2 y1 ) 2 A c ydy. (17.2.4) y Согласно (17.2.4) работа линейной упругой силы на перемещении из со стояния статического равновесия всегда отрицательна:

cy A.

Если изобразить на графике зависимость силы Fy как функцию перемеще ния y, то получим прямую, переходящую через начало координат (рис. 17.5).

При этом работа силы на участке ( y1, y2 ) численно будет равна площади за штрихованной трапеции. Соответствующая работа упругой силы Fcy будет равна по ве личине и противоположна по знаку.

Рассмотрим более сложный случай.

Пусть упругим элементом является круг лый стержень, заделанный одним концом (рис. 17.6). Перемещения будем считать малыми, чтобы иметь линейную зависи Рис. 17.5 мость между силой F и перемещением r.

Тогда проекции упругой силы на оси x и y будут Fcx cx, Fcy cy.

Жесткость стержня c находится по известной формуле сопротивления мате риалов:

3EJ c 3, l где E – модуль упругости;

J – момент инерции относительно цен тральной оси сечения;

l – длина стержня.

Элементарная работа будет r d A Fc dr c( xdx ydy ) cr dr cd( ).

Рис. 17.6 Интегрируя последнее выражение, найдем:

M2 r ( r12 r22 ) r Fc dr c d( ) c A. (17.2.5) 2 M1 r В данном случае элементарная работа является полным дифференциалом, и поэтому работа не зависит от формы траектории. Кроме того, работа опреде ляется разностью квадратов расстояний до центра стержня в начальном и ко нечном состоянии.

Работа силы сухого трения Сила сухого трения определяется силой нормального давления и противо положна по направлению скорости движения v :

F fNsignv, где f – коэффициент трения скольжения;

N – сила нормального давления;

v signv – знак скорости скольжения v (рис. 17.7).

v При движении вдоль оси x в положительном направлении d A fNdx.

Откуда следует, что A fN( x2 x1 ) fNs, (17.2.6) где x2 x1 s – путь, пройденный телом.

Если тело меняет направление движения, то меняется знак силы и y знак перемещения. Поэтому вновь получается формула (17.2.6).

Вообще при вычислении работы N силы сухого трения необходимо вы числить путь, пройденный телом, то F v O есть разбить перемещение на участки x его монотонного изменения и про суммировать. Затем воспользоваться Рис. 17. формулой (17.2.6). Очевидно, работа силы сухого трения всегда отрицательна.

Элементарная работа сил, действующих на абсолютно твердое тело Выберем в качестве полюса произвольную точку O (рис. 17.8). Обозначим радиус-вектор i -й точки M i через i. Элементарное перемещение точки M i складывается из элементарного перемещения полюса dr0 dx0 i dy0 j dz0 k и перемещения за счет поворота d i, где d d x i d y j d z k – элемен тарный угол поворота тела.

Таким образом, элементарное перемещение точки M i будет:

dri dr0 d i. (17.2.7) Вектор элементарного поворо та d связан с вектором мгновен ной угловой скорости соотноше нием d dt. Элементарная ра бота сил d A будет:

N N d A Fdri ( Fi )dr i i 1 i.(17.2.8) N F( d i ) i i В выражении (17.2.8) N F F – главный вектор сил, Рис. 17.8 i i действующих на твердое тело.

Второе слагаемое в (17.2.8), согласно свойству скалярно-векторного про изведения, преобразуется следующим образом:

N N F ( d ) ( i Fi )d M 0 d, i i i 1 i N где M 0 i Fi – главный момент сил Fi относительно полюса O.

i Таким образом, вместо (17.2.8) можно написать:

d A Fdr0 M 0 d. (17.2.9) Главный момент и главный вектор внутренних сил, действующих на твер дое тело, равен нулю. Поэтому внутренние силы, действующие в твердом теле, не совершают работы.

Окончательно можно сформулировать следующее утверждение.

Элементарная работа сил, действующих на абсолютно твердое тело, равна алгебраической сумме работы главного вектора этих сил на элемен тарном поступательном перемещении тела вместе с произвольно выбран ным полюсом и работы главного момента сил, взятого относительно по люса, на элементарном вращательном перемещении тела вокруг полюса.

17.3. Кинетическая энергия системы материальных точек Теорема Кенига Кинетическая энергия материальной точки наряду с количеством движе ния является мерой ее механического движения и определяется формулой mv T, (17.3.1) где m – масса точки;

v – ее скорость, v 2 v v.

Если учесть, что количество движения K mv, то выражение (17.3.1) для T можно переписать в виде скалярного произведения:

1 T mv v K v. (17.3.2) 2 Кинетическая энергия системы материальных точек есть сумма кинетиче ских энергий отдельных точек:

1N T mi vi2, (17.3.3) 2 i или по аналогии с (17.3.2), 1N T K i vi. (17.3.4) 2 i Здесь K i mi vi – количество движения i -й материальной точки.

При вычислении кинетической энергии полезной является теорема Кенига (1712–1757). Методика вычисления кинетической энергии основана на том, что движение системы представляется в виде суммы переносного движения вместе с центром масс и относительного движения по отношению к поступательно движущейся системе осей вместе с центром масс.

Суть теоремы Кенига в следующем:

Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме ки нетической энергии материальной точки, масса которой равна массе сис темы и которая движется со скоростью центра масс, и кинетической энергии точек в относительном движении по отношению к поступатель но движущейся системе осей вместе с центром масс:

1 2 1N T mvc mi ui2. (17.3.5) 2 2 i В формуле (17.3.5) через m обозначена масса системы;

vc – скорость ее центра масс;

ui – скорости точек системы по отношению к поступательно дви жущимся осям вместе с центром масс.

Докажем эту теорему.

Пусть скорость i -й точки представлена в виде суммы:

vi vc ui. (17.3.6) Кинетическая энергия T, если воспользоваться формулой (17.3.6), запи шется в виде:

1N 1N 1N mi vi2 mi vi vi mi ( vc ui )( vc ui ) T 2 i 1 2 i 1 2 i 1N N 1N mi vc vc miui vc miui ui 2 i 1 2 i i mvc2 1 N N miui2 vc miui.

2 2 i 1 i Если начало подвижной системы находится в центре масс, то слагаемое N vc mi ui 0.

i Действительно, N m u muc, ii i где uc – относительная скорость центра масс по отношению к подвижному нача лу. Но эта величина равна нулю, так как подвижное начало является центром масс.

Поэтому mvc2 1 N mi ui2.

T 2 2 i Если подвижное начало не совпадает с центром масс, то для кинетической энергии получаем формулу mvc2 1N mu0 v0 mi ui2.

T (17.3.7) 2 2 i Здесь v0 – скорость начала некоторой поступатель но движущейся системы;

u0 – относительная скорость центра масс по отношению к подвижному началу O ;

ui – относительная скорость i -й точки по отношению к подвижным осям.

Формула (17.3.7) может быть полезна при вычис лении кинетической энергии, если по каким-либо сооб v ражениям за полюс целесообразно взять точку, отлич ную от центра масс.

17.4. Кинетическая энергия твердого тела при вра щательном движении вокруг неподвижной оси, точки и в общем случае движения Вращение вокруг неподвижной оси Скорости точек тела при вращении вокруг непод вижной оси (рис. 17.9) находятся по формуле:

Рис. 17.9 v z h. (17.4.1) В формуле (17.4.1) z – угловая скорость вращения тела;

h – расстояние точки M до оси вращения.

Кинетическая энергия материальной точки M массой dm будет 1 dT dmv 2 2 h 2 dm. (17.4.2) z 2 Интегрируя выражение (17.4.2) по массе тела, найдем его кинетическую энергию T dT 2 h 2 dm.

z 2 (m) (m) h 2 dm J z представляет собой осевой момент инерции те Но величина (m) ла относительно оси z. Следовательно, J z T z. (17.4.3) Формула (17.4.3) аналогична формуле (17.3.1), выражающей кинетическую энергию точки.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки Формула (17.4.3) не меняет своего вида при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной точки.

Известно, что распределение ско ростей соответствует вращению вокруг мгновенной оси, являющейся вектором угловой скорости (рис. 17.10). Ско рость точки находится по формуле Эй лера v r, ее модуль v h, где h – отрезок перпендикуляра, опущенного из точки M на мгновенную ось.

Поэтому в случае вращения твер дого тела вокруг неподвижной точки для кинетической энергии получим вы- Рис. 17. ражение J T. (17.4.4) Только величина момента инерции будет переменной, так как непрерывно меняется направление мгновенной оси.

Момент инерции относительно оси, произвольно расположенной в про странстве, определяется по формуле J J x 2 J y 2 J z 2J xy 2J xz 2J yz, где,, – направляющие косинусы мгновенной оси.

Учитывая, что проекции вектора угловой скорости на оси x, y, z опре деляются соотношениями x, y, z, формула (17.4.4) пере писывается следующим образом:

T ( J x 2 J y 2 J z 2 2J xy x y 2J xz x z 2J yz y z ). (17.4.5) x y z Кинетическая энергия твердого тела в общем случае движения При вычислении кинетической энергии твердого тела в случае произволь ного движения целесообразно воспользоваться теоремой Кенига.

Если расположить начало подвижной системы в центре масс, то для кине тической энергии справедлива формула 1 T mvc2 J 2, (17.4.6) 2 где m – масса тела;

vc – скорость центра масс;

J – момент инерции относи тельно мгновенной оси, являющейся вектором угловой скорости, проходя щей через центр инерции.

Величина J 2 находится по формуле (17.4.5).

Если учесть, что количество движения тела K mvc, а момент количества движения Lc относительно центра масс C Lc ( J x x J xy y J xz z )i ( J yx x J y y J yz z ) j ( J zx x J zy y J z z )k, то формулу (17.4.6) можно переписать следующим образом:

1 T K vc Lc. (17.4.7) 2 В формулу (17.4.7) вошли количество движения тела и момент количества движения тела относительно центра масс.

Формула (17.4.6), естественно, справедлива и при плоском движении. При таком движении скорости всех точек тела в каждый момент времени распреде лены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к плоско сти движения и проходящей через мгновенный центр скоростей p.

Следовательно, пользуясь формулой для кинетической энергии при вра щении вокруг оси, получим T J p 2, где J p – момент инерции твердого тела относительно мгновенной оси;

– уг ловая скорость тела.

Но, согласно теореме Штейнера–Гюйгенса о моментах инерции относительно параллель ных осей, J p J c m2.

Здесь J c – момент инерции относительно центра масс;

m – масса тела;

– расстояние мгновенного центра скоростей до центра масс (рис. 17.11).

Учитывая, что vc, получим выражение для кинетической энергии:

1 T mvc2 J c 2. (17.4.8) Рис. 17. 2 Формула (17.4.8) является непосредственным следствием общей зависимо сти (17.4.6) и могла бы быть написана сразу без вывода.

17.5. Теорема об изменении кинетической энергии Теорема об изменении кинетической энергии устанавливает связь между работой сил, действующих на точки механической системы, и ее кинетической энергией.

Рассмотрим в начале отдельную материальную точку. Воспользуемся ее уравнением динамики:

dv F, m (17.5.1) dt где F – равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке.

Умножим скалярно (17.5.1) на элементарное перемещение точки dr dv dr F dr.

m (17.5.2) dt В выражении (17.5.2) справа стоит выражение элементарной работы d A.

Учитывая, что mv dv dr m dr mdv mvdv d ( v v ) d dT, m dt dt 2 mv где T – кинетическая энергия материальной точки, из (17.5.2) получим, что dT d A. (17.5.3) Соотношение (17.5.3) выражает теорему об изменении кинетической энер гии для материальной точки в дифференциальной форме:

Приращение кинетической энергии материальной точки на элемен тарном перемещении равно элементарной работе равнодействующей силы, приложенной к точке на этом же перемещении.

Интегрируя соотношение (17.5.3) в пределах, соответствующих началу M и концу движения M 2, получим:

T2 T1 A12. (17.5.4) Здесь M mv mv ;

A12 d A.

T2 ;

T 2 2 M Выражение (17.5.4) представляет собой теорему об изменении кинетиче ской энергии в интегральной форме:

Приращение кинетической энергии материальной точки на конечном перемещении равно работе равнодействующей силы, к ней приложенной, на том же перемещении.

В ряде случаев полезной может быть другая формулировка дифференци альной формы доказанной теоремы.

dr Умножим скалярно обе части уравнения динамики на v :

dt dv v F v.

m (17.5.5) dt В полученном выражении d mv 2 dT dv v m ;

dt dt 2 dt F v N – мощность силы.

Поэтому вместо (17.5.5) получаем dT N (17.5.6) dt.

То есть, производная по времени от кинетической энергии материаль ной точки равна мощности равнодействующей силы, к ней приложенной.

В случае системы материальных точек доказанная теорема справедлива для каждой в отдельности материальной точки.

В частности, справедлива ее дифференциальная форма:

dTi d Ai.

Однако здесь следует подчеркнуть, что элементарная работа d Ai обуслов лена действием как внешних сил, приложенных к точке, так и внутренних сил, то есть реакций связей и сил взаимодействия между точками.

Суммируя эти уравнения по всем точкам системы, получаем:

N N dTi d Ai.

i 1 i N N dT d Ti dT, Поскольку i i 1 i mi vi N N где T – кинетическая энергия системы и d Ai d A d A* – работа i 1 i внешних и внутренних сил на совокупности элементарных перемещений dri, то можно написать dT d A d A*. (17.5.7) Здесь d A – элементарная работа внешних сил;

d A – элементарная работа * внутренних сил.

Равенство (17.5.7) выражает теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:

Приращение кинетической энергии системы материальных точек на множестве ее элементарных перемещений равно элементарной работе внешних и внутренних сил на этом же множестве перемещений.

Интегрируя равенство (17.5.7) в пределах, соответствующих началу и кон цу движения:

(2) (2) dT ( d A d A * ), (1) (1) получим:

T2 T1 A12 A12, * (17.5.8) то есть приращение кинетической энергии системы на множестве ее ко нечных перемещений равно сумме работ внешних и внутренних сил, при ложенных к точкам системы на этом же множестве перемещений.

Дифференциальная форма (17.5.6) для отдельной точки обобщаются и на случай системы материальных точек:

dT N N Fi vi Ri vi N N *. (17.5.9) dt i 1 i Здесь N – мощность внешних сил;

* N – мощность внутренних сил Ri.

То есть производная по времени от кинетической энергии системы матери альных точек равна мощности внешних и внутренних сил, приложенных к системе.

Рассмотрим примеры.

1. Для механической системы, изобра женной на рис. 17.12, найти скорость груза D при опускании его на высоту h. Массы тел связаны соотношениями:

mA mB mC mD m.

Радиусы дисков, которые считаются однородными, одинаковы:

Рис. 17. RA RB RC R.

Коэффициент трения качения тела A равен. Угол наклона плоскости –. В начальный момент времени система находилась в покое.

Согласно теореме об изменении кинетической энергии в интегральной форме имеем:

T2 T1 A12.

Поскольку в начальный момент времени система находилась в покое, то T1 0. Сначала построим план скоростей, так как это облегчает составление выражения кинетической энергии.

mA v A J A 2 J B 2 mC vC J C C mD vD 2 2 T2 A B.

2 2 2 2 2 Согласно плану скоростей 2v v v v A v ;

A ;

B ;

vC vD v ;

C.

R R R С учетом этих соотношений выражение для T2 будет:

mR 2 4v 2 3 2 2mv 2 T2 mv 2 mv mv 2.

4 2 2R 4 2 Работа сил тяжести и сил трения:

A12 mgh( sin cos 3 ), R тогда v gh( 3 sin cos ).

7 R 2. В качестве другого приме ра рассмотрим определение собст венной частоты колебаний меха нической системы, изображенной на рис. 17.13, пользуясь диффе ренциальной формой теоремы об изменении кинетической энергии.

Система состоит из платформы, Рис. 17. расположенной на двух катках.

Платформа прикреплена пружиной к неподвижной опоре. Масса платформы M, масса каждого из катков m. Жесткость пружины c. Найти частоту колеба ний системы.

Согласно (17.5.9), dT N.

dt Mv2 3v 1 T 2 m( )2 ( M m )v2.

2 42 2 N cxv.

dT и N в математическое выражение теоремы об изменении Подставляем dt кинетической энергии в дифференциальной форме:

M m vx cxv, или M m cx 0.

x Запишем последнее уравнение в стандартной форме:

k 2 x 0.

x Откуда следует формула для собственной частоты колебаний:

c k.

M m 18. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО СИЛОВОГО ПОЛЯ 18.1. Понятие о силовом поле Класс сил, зависящих от координат точки в пространстве или от взаимного расположения точек, занимает особое место в механике. Такие силы называют ся позиционными. Позиционными являются силы тяготения, электростатиче ские, силы упругости.

Часть пространства, в котором на материальную точку действует некоторая сила, являющаяся однозначной функцией координат и не зави сящая от скорости движения точки, называется силовым полем.

Силовое поле может меняться в данной точке с течением времени или ос таваться постоянным. В первом случае оно называется нестационарным, во втором – стационарным. В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь ста ционарных силовых полей.

В стационарном силовом поле вектор силы F можно рассматривать как векторную функцию радиус-вектора:

F F( r ).

Эта зависимость эквивалентна трем скалярным соотношениям, опреде ляющим проекции силы на оси координат:

Fx Fx ( x, y, z ), Fy Fy ( x, y, z ), Fz Fz ( x, y, z ), которые не зависят от движения точки в пространстве.

Структура поля геометрически интерпретируется системой силовых ли ний, проходящих через каждую точку пространства.

Проведем через точку поля M век ' тор силы F, с которой поле действует '' на материальную точку. На линии дей ''' '' ствия силы F выберем близкую точку ' M и через нее также проведем силу F, с которой поле действует на материаль ную точку. Продолжая построение, по ''' лучим ломаную линию, которая в преде ле при сближении соседних точек пре Рис. 18.1 вращается в кривую, называемую сило вой линией поля (рис. 18.1).

Согласно определению, силы поля направлены по касательной к силовой линии. Это условие выражается следующей системой соотношений:

dx dy dz, Fx Fy Fz которые являются дифференциальными уравнениями силовых линий.

18.2. Необходимые и достаточные условия независимости работы сил поля от формы траектории В результате перемещения точки из начального положения M 0 в конечное положение M 1 совершается работа:

M1 M Fdr ( F dx F dy F dz ).

A01 (18.2.1) x y z M0 M Криволинейный интеграл в общем случае зависит от формы траектории.

Однако, если подынтегральное выражение будет иметь структуру полного дифференциала некоторой функции, которую обозначим П( x, y,z ), то инте грал берется сразу и его величина равна разности начального и конечного зна чения функции П( x, y, z ).

Функция П( x, y, z ) называется потенциальной энергией или потенциалом.

Итак, пусть функция П( x, y, z ) определена единственным образом в точке рассматриваемой области пространства и пусть П П П d A dA dП dx dy dz x y z (18.2.2) Fx dx Fy dy Fz dz, то есть выполняются условия, что П П П Fx ;

Fy ;

Fz. (18.2.3) x y z Тогда вместо (18.2.1) можно написать:

M A01 dП П( x0, y0, z0 ) П( x, y, z ), M так как интеграл от полного дифференциала некоторой функции равняется раз ности этой функции от верхнего и нижнего предела.

Следовательно, работа по переводу точки из начального в конечное поло жение не зависит от формы траектории.

Таким образом, доказана достаточность условий (18.2.3).

Иными словами, для того, чтобы работа в силовом поле не зависела от формы траектории, а определялась только начальным и конечным поло жением точки, необходимо существование однозначной функции коорди нат, частные производные которой равны соответствующим проекциям силы на оси координат.

Для доказательства необходимости предположим, что M ( F dx F dy F dz ) П( x, y, z ) П( x, y, z A01 ), x y z 0 0 M и затем докажем, что из этого условия следуют формулы (18.2.3).

Рассмотрим некоторую точку M 2, бесконечно близкую к M 1, и найдем ра боту A02.

M ( F dx F dy F dz ) П( x dx, y dy,z dz ) П( x, y,z A02 ).

x y z 0 0 M Разность работ A02 A01 представляет элементарную работу на бесконечно малом пути M 1 M 2 dr :

d A Fx dx Fy dy Fz dz П( x dx, y dy, z dz ) П( x, y, z ) П П П dП dx dy dz.

x y z Учитывая, что дифференциалы dx, dy, dz независимы друг от друга, оста ется принять, что справедливы условия (18.2.3).

Следовательно, условия (18.2.3) являются необходимыми и достаточны ми условиями независимости работы в силовом поле от формы траектории.

Система равенств (18.2.3) эквивалентна одному векторному равенству:

F gradП. (18.2.4) В выражении (18.2.4) gradП – это вектор с проекциями П П П,,, x y z который называется градиентом функции П.

Для сокращенной записи дифференциальных векторных операций вводит ся оператор (Набла).

i j k.

x y z Тогда равенство (18.2.4) можно переписать следующим образом:

F П.

Кроме того, 2 П 2 П 2 П 2 П 2 П 2 П ;

;

.

xy yx xz zx yz zy Последние условия можно записать в символической форме:

i j k rotF F 0, (18.2.5) x y z Fx Fy Fz где rotF – вихрь поля.

Равенство (18.2.5) также представляет собой условие потенциальности си лового поля, так как оно является следствием соотношений (18.2.3).

В выражение работы потенциальная энергия входит в виде разности ее значений в начальной и конечной точках. Поэтому саму потенциальную энер гию можно определить с точностью до постоянной и, в частности считать, что П x0, y0, z0 0, A01 A10 П( x, y, z ).


Работа представляет собой работу по возвращению точки в начальное по ложение. Следовательно, при вышеуказанном выборе постоянной, потенциаль ная энергия П( x, y, z ) представляет собой работу по переводу точки из данного положения в начальное.

Рассмотрим поверхность П( x, y, z ) C, где C – некоторая постоянная.

Поверхность, соответствующая фиксированному уровню потенциальной энергии, называется поверхностью уровня.

На поверхности уровня:

П П П dП dx dy dz 0.

x y z Последнее равенство есть скалярное произведение двух векторов:

dr dxi dyj dzk и П П П dradП i j k, x y z причем вектор dr представляет собой касательную к поверхности уровня в данной точке и ориентирован произвольным образом.

Следовательно, вектор gradП направлен по нормали к поверхности уров ня в сторону возрастания П.

Поэтому сила F gradП направлена в сторону убывания потенциальной энергии.

В случае системы материальных точек потенциальная энергия является функцией xi, yi, zi координат точек. При этом П П П Fix ;

Fiy ;

Fiz.

xi yi zi Элементарная работа:

N dA ( Fix dxi Fiy dyi Fiz dzi ) i П П П N ( dxi dyi dzi ) dП.

i 1 xi yi zi Рассмотрим примеры вычисления потенциальной энергии.

1. Потенциальная энергия поля силы тяжести.

Пусть ось z направлена вертикально вверх. В случае одной точки веса P mg будем иметь:

d A dП Pdz mgdz.

Откуда П Pz mgz.

В случае системы материальных точек N П mi gzi mgzc, i где zc – координата центра масс системы;

m - ее масса.

2. Потенциальная энергия упругого тела.

В случае пружины П cy 2, где c – жесткость пружины;

y – ее деформация положения статического рав новесия.

В общем случае для упругого тела, подчиняющегося закону Гука, имеем:

Fx ( a11 x a12 y a13 z ) ;

Fy ( a21 x a22 y a23 z ) ;

Fz ( a31 x a32 y a33 z ).

Согласно условиям Fx Fy Fz Fx Fy Fz ;

;

.

x x z z y y получаем a12 a21 ;

a13 a31 ;

a32 a23, то есть матрица a11 a12 a C a21 a22 a23, (18.2.6) a31 a32 a называемая матрицей упругих постоянных, является симметричной.

Потенциальная энергия найдется как интеграл:

M M dП ( F dx F dy F dz ) П x y z M0 M y x ( a11 x a12 y a13 z )dx ( a21 x a22 y a23 z )dy (18.2.7) 0 z ( a31 x a32 y a33 z )dz ( a11 x 2 a22 y 2 a33 z 2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz ).

Следовательно, потенциальная энергия упругой системы является одно родной квадратичной формой координат. При этом формула (18.2.7) может быть записана в виде:

П U T CU, (18.2.8) где U T x, y, z – вектор перемещений в точке приложения силы;

C – матрица упругих постоянных (18.2.6).

3. Потенциальная энергия поля центральной силы тяготения.

Согласно закону всемирного тяготения, mm r F 1 2 2, rr где – гравитационная постоянная;

m1, m2 – массы притягивающихся точек, r – расстояние между ними.

Элементарная работа m m rdr mm d A dA dП Fdr 1 2 2 1 2 2 dr.

r r r Если принять за начальную бесконечно удаленную точку r0, а в каче стве конечной взять некоторое значение расстояния r, то получим r mm mm П 1 2 2 dr 1 2. (18.2.9) r r 18.3. Теорема об изменении механической энергии Закон сохранения механической энергии Рассмотрим систему материальных точек, на каждую точку которой дейст вуют потенциальные силы и силы сопротивления, направленные в сторону, противоположную скорости движения.

Относительно характера сил сопротивления Fvi не будем делать никаких предположений. Это могут быть силы, зависящие или не зависящие от скорости движения. Единственный существенный признак этих сил – это то, что угол между силой и скоростью равен.

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в дифферен циальной форме:

dT d A. (18.3.1) Здесь элементарная работа d A состоит из двух слагаемых: элементарной работы потенциальных сил dП и элементарной работы непотенциальных сил сопротивления d A* d A dП d A*.

Поэтому равенство (18.3.1) принимает вид dT dП d A* или d( T П ) d A*. (18.3.2) Элементарная работа сил сопротивления отрицательна:

N N N d A* Fvi dri Fvi dri cos Fvi dri. (18.3.3) i 1 i 1 i Подставим (18.3.3) в равенство (18.3.2):

N d( T П ) Fvi dri. (18.3.4) i В соотношении (18.3.4) под знаком дифференциала находится величина T П, которую естественно считать полной механической энергией системы E:

T П E. (18.3.5) При этом величина d( T П ) dE при действии непотенциальных сил, со гласно (18.3.3), всегда отрицательна, то есть полная энергия системы убывает.

dr Разделим обе части равенства (18.3.4) на dt, учитывая, что i vi и T П E :

dt dE N Fvi vi 0. (18.3.6) dt i Величина справа в этом выражении представляет собой мощность непо тенциальных сил N N * Fvi vi, (18.3.7) i то есть производная по времени от полной энергии системы отрицательна.

Следовательно, полная механическая энергия системы под действием сил сопротивления убывает, переходя при этом в другие формы.

Рассмотрим случай, когда силы сопротивления Fv пропорциональны ско рости движения. Это случай вязкого сопротивления:

Fvi bi vi.

Подставляя значения модуля силы Fvi в выражение мощности непотенци альных сил N * (18.3.7), найдем N N bi vi2.

* i Если ввести функцию 1N Ф bi vi2, (18.3.8) 2 i то окажется, что модуль силы Fvi найдется по формуле Ф Fvi.

vi Функция Ф (18.3.8) называется функцией рассеяния энергии Релея и игра ет важную роль в механике. Используя понятие о функции Релея, формулу (18.3.6) можно переписать в виде dE 2Ф, dt то есть скорость убывания полной механической энергии при наличии сил вяз кого сопротивления равна удвоенной функции Релея.

При условии, что N * 0, имеем:

dE 0, dt и, следовательно, E const.

Это равенство выражает закон сохранения полной механической энергии системы, который имеет место при движении системы в потенциальном сило вом поле.

Рассмотрим примеры.

1. Определить высоту h над поверхностью Земли, на которую поднимает ся вертикально запущенная ракета, начальная скорость которой равна v0. Найти скорость, при которой ракета не упадет на Землю. Силами сопротивления атмо сферы пренебречь. Радиус Земли равен 6370 км.

Применим закон сохранения механической энергии T0 П0 T П const.

Учтем, что конечная скорость ракеты v 0, а для потенциальной энергии следует использовать формулу (18.2.9). Таким образом:

mm mv T0 ;

П0 З ;

2 R mm T 0 ;

П З, Rh где mЗ – масса земли;

m – масса ракеты;

R – радиус Земли;

h – высота подъе ма ракеты.

Подставляя величины T0, П0, T, П в исходное уравнение, получим mv0 mm mm З З Rh 2 R На поверхности Земли сила притяжения равна силе тяжести, то есть mm mg 2 З, R поэтому mЗ gR.

С учетом последнего равенства найдем h :

v0 R h.

2gR v Если ракета покидает Землю, то h, следовательно, 2gR v0 0 и v0 2gR 2 9,81 6370 10 3 11,2 10 3 м/с.

Это вторая космическая скорость.

2. Доказать, что при косом соударении биллиардных шаров, они разлетятся под прямым углом. Удар считать абсолютно упругим, силами сопротивления пренебречь.

Массы шаров одинаковы: m1 m2 m.

Выберем инерциальную систему координат Oxy, движущуюся со скоро стью v10 const (рис. 18.2).

Тогда относительные скорости шаров по от ношению к осям Oxy до соударения будут:

v10 r 0;

v20 r v20 v10.

Законы механики справедливы в любой инерциальной системе координат. Поэтому, со гласно закону сохранения количества движения, mv20 r mv1r mv2 r, Рис.

Рис. 18.2 где v1r и v2 r – относительные скорости шаров по сле соударения, а согласно закону сохранения механической энергии:

2 2 mv20 r mv1r mv2 r.

2 2 Поскольку массы шаров одинаковы, то v20 r v1r v2 r, v20 r v1r v2 r.

2 2 Но это возможно лишь при условии, что v1 v2 r, то есть, если шары раз летаются под прямым углом.

19. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА 19.1 Основные определения. Связь принципа Даламбера с теоремой об изменении количества движения и момента количества движения Если воспользоваться принципом освобождаемости от связей по отноше нию к несвободной системе материальных точек, то для каждой точки можно написать следующее дифференциальное уравнение:

mi Fi Ri, i 1,N, (19.1.1) ri где Fi – равнодействующая внешних сил, действующих на точки системы;

Ri – равнодействующая внутренних сил, приложенных к точке.

Уравнения (19.1.1) можно переписать и в такой форме:

Fi Ri mi 0.

ri Величина Si mi ri называется силой инерции, поэтому формально уравнения Fi Ri Si 0, i 1,N, (19.1.2) можно рассматривать как уравнения равновесия. В этом как раз и состоит суть принципа Даламбера.

То есть, если к точкам несвободной системы наряду с внешними сила ми приложить силы инерции, то совокупность внешних сил уравновешива ется реакциями связей и силами инерции.

Принцип Даламбера, таким образом, в некоторых случаях позволяет сво дить решение задач динамики к задачам статики.

Это имеет место при решении первой задачи динамики, когда по заданным кинематическим уравнениям движения определяется сила. При решении второй задачи динамики принцип Даламбера иногда позволяет упростить составление уравнений движения, то есть облегчает постановку задачи. Но необходимость интегрирования уравнений движения при этом сохраняется.

Использование понятия силы инерции и рассмотренная формулировка принципа Даламбера положены в основу кинетостатики – раздела механики, целью которого является применение методов статики, в том числе и принципа виртуальных перемещений, к решению задачи динамики машин и механизмов.

Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находящихся в равно весии, и сумма их моментов относительно любого центра O равны нулю. По этому для системы в целом на основании принципа Даламбера можно написать:


N ( F R S ) 0;

i i i i (19.1.3) N M ( F ) M ( R ) M ( S ) 0.

0 i 0 i 0 i i В уравнениях (19.1.3) главный вектор и главный момент относительно центра O внутренних сил равны нулю, поэтому N ( F S ) 0;

i i i (19.1.4) N M ( F ) M ( S ) 0.

0 i 0 i i Уравнения (19.1.4) не содержат внутренних сил и эквивалентны по суще ству теоремам об изменении количества движения и момента количества дви жения.

Рассмотрим главный вектор сил инерции:

N N Si mi ai mac, (19.1.5) i 1 i где ai – ускорения точек системы;

ac – ускорение центра масс;

m – масса системы.

Таким образом, главный вектор сил инерции системы материальных точек, совершающей произвольное движение, равен произведению массы системы на ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению. Однако точка приложения равнодействующей сил инерции не совпадает в общем слу чае с центром масс.

Главный момент сил инерции M 0S находим по формуле N N M 0S M 0 ( Si ) ri mi ai. (19.1.6) i 1 i Пример.

Однородный стержень AB длиной l и весом P mg прикреплен шарни ром A к вертикальному валу, вращаю щемуся с угловой скоростью. Найти натяжение T горизонтальной нити, удерживающей стержень (рис. 19.1).

Центробежная сила инерции для эле мента стержня dm равна dm2 x, где x – расстояние до оси вращения. Таким образом, силы инерции распределены по линейному закону.

A Главный вектор сил инерции опре деляется ускорением центра масс:

l S mac m2 xc m2 sin.

Рис. 19. Здесь m – масса стержня;

l ac 2 sin – ускорение центра масс.

Однако равнодействующая сил инерции приложена на расстоянии h от вершины треугольника.

В данном случае сумма моментов всех сил относительно шарнира A равна нулю:

2 l Th S h P sin 3 l 2 l Tl cos m2 sin l cos mg sin 0.

или 2 3 g l T m( tg 2 sin ).

Откуда 2 19.2. Уравнения плоско-параллельного движения твердого тела В качестве примера рассмотрим уравнения кинетостатики плоского дви жения твердого тела. Воспользуемся уравнениями (19.1.4).

В качестве полюса возьмем центр масс, точку C. Найдем главный момент сил инерции M 0S. В данном случае он вычисляется интегрированием:

M 0S r dma. (19.2.1) (m) В формуле (19.2.1) a – ускорения точек тела, которые определяются по формуле a ac r ( r ).

Рассмотрим ряд соотношений:

r dmac ac r dm ac mrc 0.

(m) (m) Здесь m – масса тела;

rc – радиус-вектор центра масс. В данном случае он равен нулю, так как центр масс взят в качестве полюса.

r ( r )dm r dm r ( r )dm.

(m) (m) (m) При плоском движении радиус- векторы r перпендикулярны векторам уг ловой скорости и углового ускорения.

Поэтому, r 0. Интеграл r 2 dm J c – момент инерции твердого тела (m) вокруг центра масс.

Выражение r ( ( r ))dm r [ ( r ) r ]dm 0.

(m) (m) Так как здесь r 0 ;

r r 0.

Следовательно, M 0S J c.

Таким образом, уравнения плоского движения твердого тела, например, в проекциях на декартовы оси, будут:

Fx max 0 ;

Fy ma y 0 ;

M c J c 0. (19.2.2) В проекциях на естественные оси уравнения плоского движения таковы:

F ma 0 ;

Fn man 0 ;

M c J c 0. (19.2.3) Здесь F, Fn – проекции главного вектора внешних сил на касательную и нормаль к траектории центра масс;

a – касательное ускорение центра масс;

an vc2 / – нормальное ускорение центра масс;

vc – скорость центра масс;

– радиус кривизны траектории.

Пример.

Цилиндрическое тело A радиуса r, на ходясь внутри цилиндра радиуса R в нижнем положении, получает начальную скорость vc (рис. 19.2). Найти угол, на который под нимается тело A без проскальзывания. Ко эффициент трения скольжения равен f, а ко A эффициент трения качения равен нулю.

A Положение тела A будем определять углом, образованным вертикалью и ра диусом, проведенным через центры обоих цилиндров. На тело A наряду с силой веса P действуют реакции связей F и N.

Рис. 19. Движение центра масс задано естест венным образом. Поэтому воспользуемся уравнениями (19.2.3). В данном слу чае эти уравнения имеют вид:

dv m c F mg sin ;

dt vc N mg cos ;

m (19.2.4) Rr mr 2 R r F r.

2 r Здесь угловое ускорение тела A находится из следующих соображений:

(R r) v vc ( R r );

c.

r r (Rr ).

Следовательно, r Рассмотрим первое и третье уравнения системы (19.2.4).

dv Исключим силу F, учитывая, что c ( R r ), имеем: dt m( R r ) F ;

m( R r ) m( R r ) mg sin.

2g sin.

Иначе (19.2.5) 3Rr Пользуясь этими уравнениями, найдем соотношение между силой F и ве сом тела P mg в зависимости от угла :

m( R r ) F mg sin ;

m( R r ) F.

F mg sin.

Очевидно, (19.2.6) То есть сила трения, пока не началось проскальзывание, не зависит от ко эффициента трения.

Проинтегрируем уравнение (19.2.5).

Угловое ускорение можно представить так:

d.

dt d d d d.

Поэтому dt 2g d sin d, Далее 3 Rr 2g d 3 R r sin d.

или 0 2 0 2 g (cos 1 ).

Откуда 3 Rr Умножая на ( R r )2, получим:

vc2 vc0 g( R r )(cos 1 ).

2 vc2 vc0 g( R r )(cos 1 ).

Иначе m 2 4 N mg cos vc0 3 g( R r )(cos 1 ).

Rr Качение без проскальзывания будет до тех пор, пока vc0 F fN fmg cos (cos 1 ).

( R r )g Подставляя F по формуле (19.2.6), получаем:

7 vc 1 sin f cos.

3 ( R r )g 3 ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Материальные тела движутся в соответствии с законами Ньютона. Однако законы Ньютона можно заменить единым постулатом – вариационным принци пом, который в ряде случаев, особенно при формулировке новых задач, оказы вается гораздо удобнее. Возможны различные модификации вариационных принципов, эквивалентные законам Ньютона и содержащие физические соот ношения, такие как закон Гука, соотношения пластичности и так далее. Схему постановки задач механики, основанную на непосредственном применении за конов Ньютона, можно назвать векторной механикой, так как она имеет дело с такими величинами, как сила, скорость, ускорение. Другая схема, основанная на эквивалентной вариационной формулировке, связанная с именами Лейбница, Эйлера, Лагранжа, Гамильтона и Якоби, называется аналитической механикой. Основные величины здесь являются уже скалярными и динамиче ские соотношения получаются в результате дифференцирования. Задачей дан ного раздела лекций является показать эффективность и универсальность упо мянутых выше методов аналитической механики.

20. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ЛАГРАНЖА И ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА-ДАЛАМБЕРА 20.1. Классификация связей Прежде чем перейти к обсуждению принципа виртуальных перемещений Лагранжа и принципа Лагранжа–Даламбера остановимся на описании систем материальных точек, на движение которых наложены ограничения. В механике материальные системы рассматриваются как совокупности материальных то чек. Различные рода ограничения, наложенные на перемещения и скорости то чек системы, называются связями. Эти ограничения считаются независимыми от закона движения, то есть они выполняются независимо от действующих в системе сил и начальных условий движения.

При наличии связей система материальных точек называется несвободной системой. Если же связи отсутствуют, то система называется свободной. При мером может служить солнечная система, поскольку размеры Солнца и планет весьма малы по сравнению с расстояниями между ними. В качестве другого примера можно привести упругое тело, бесконечно малые частицы которого считаются соединенными невесомыми пружинами. Примером несвободной системы является твердое тело, расстояние между любыми точками которого остаются неизменными при его движении.

Физически связи осуществляются в виде стержней или гибких тросов, со единяющих точки системы. Это могут быть поверхности, по которым принуж денны двигаться точки системы. Математически действия связей выражаются уравнениями, которые устанавливают связь между координатами точек и их скоростями. Простейшим и наиболее часто встречаемым видом связи являются позиционные или голономные связи.

Термин «голономная связь» – происходит от греческого «голос» – целый и «номос» – закон.

Позиционные связи осуществляют зависимости между координатами то чек системы и выражаются уравнениями вида:

f j t,x1, y1,z1,...,xN, y N,z N 0, j 1,r. (20.1.1) Здесь r – число уравнений связей.

При этом предполагается, что 3N r. В случае, если имеет место равенст во, то движение системы заранее предопределено.

Система материальных точек, в которых действуют только голо номные связи, называется голономной.

Неголономные или кинематические связи выражают зависимости между скоростями точек системы, не сводящиеся к зависимостям между ее координатами.

Ограничимся рассмотрением неголономных связей, линейных относитель но скоростей точек системы.

Уравнения таких связей имеют вид:

N Dm Aim xi Bim yi Cim zi 0, m 1,s, (20.1.2) i где s – число неголономных связей.

Величины Aim, Bim, Cim, Dm – могут зависеть от координат и времени.

Эквивалентной (20.1.2) является форма записи N Dm dt Aim dxi Bim dyi Cim dzi 0. (20.1.3) i Уравнение (20.1.3) интегрируемо, если f f f f Aim m ;

Bim m ;

Cim m ;

Dm m, xi yi zi t где f m – некоторая функция.

В этом случае коэффициенты удовлетворяют условиям:

Aim Ajm Bim B jm Cim C jm ;

;

;

x j xi y j yi z j zi Aim Dm Bim Dm Cim Dm ;

;

.

t xi t yi t zi При таких условиях уравнение (20.1.3) является полным дифференциалом функции f m, которая имеет постоянное значение f m. Следовательно, уравнение (20.1.3) интегрируемо. И этот интеграл имеет вид:

f m t,x1, y1,z1,...,xN, y N,z N Cm. (20.1.4) Уравнение (20.1.4) представляет собой уравнение голономной связи. Сле довательно, соотношение (20.1.3) лишь в том случае выражает неголономную связь, когда оно не интегрируемо.

Связи называются стационарными, если время явно не входит в их уравне ния. В противном случае они называются нестационарными.

В качестве примера рассмотрим две материальные точки, соединенные аб солютно твердым стержнем длиной l.

Уравнение связи, выражающее неизменность расстояния между точками, будет f x2 x1 y2 y1 z2 z1 l 2 0, 2 2 где x1, y1, z1, x2, y2, z2 – координаты первой и второй точек;

l – длина стержня.

Это уравнение стационарной голономной связи. Если точки соединены гибкой нитью, то f x2 x1 y2 y1 z2 z1 l 2 0.

2 2 В первом случае связь называется удерживающей, во втором – неудержи вающей или односторонней связью.

Таким образом, связи, выражаемые уравнениями (20.1.1) и (20.1.2), явля ются удерживающими. Если бы имело место неравенство в этих уравнениях, то связи были бы неудерживающими или односторонними.

В дальнейшем ограничимся только удерживающими связями.

20.2. Виртуальные (возможные) перемещения системы Важнейшим понятием теоретической механики является понятие о вирту альных (возможных) перемещениях механической системы.

Виртуальными перемещениями механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, совместимые со связями, в некоторый фиксированный момент времени.

Действительные элементарные перемещения происходят за бесконечно малый промежуток времени и определяются действующими на систему силами и наложенными связями. В отличии от действительных, виртуальные переме щения определяются только действующими связями, причем время в уравнени ях связи фиксировано, иными словами виртуальные перемещения – это та кие элементарные перемещения, которые допускает система при «замо роженных» связях.

С математической точки зрения элементарные действительные пе ремещения – это дифференциалы радиус-векторов точек системы dri, ко торым соответствует дифференциал времени dt. Виртуальные перемеще ния системы характеризуются совокупностью элементарных изменений радиус-векторов ri, которые происходят не за счет изменения времени, а за счет малого изменения вида функций ri. Эти бесконечно малые переме щения называются вариациями.

В отличии от символа d, означающего операцию дифференцирования, символ означает операцию варьирования. Таким образом, действительные перемещения вычисляются путем нахождения дифференциалов перемещений, а виртуальные – путем их варьирования. Причем варьирование осуществляет ся по тем же правилам, что и дифференцирование, но при фиксированном времени.

Рассмотрим траекторию точки M i в ее истинном движении, определяемую радиус-вектором ri ri ( t ) и отметим ее положения M i и M i в моменты t и t+dt. Тогда M i M i dri. Радиус-вектор точки M i будет ri dri.

Наряду с истинной траекторией точки рассмотрим варьированную траек торию, определяемую радиус-вектором ri * ri ri, и две точки M i* и M i*, оп ределяемые теми же моментами времени (рис. 20.1).

Положение точек M i* и M i* находим с помощью операции варьирования радиус- r =r (t) векторов ri и ri dri. i i Поэтому M i M i* ri ;

M iM i* ri dri ri dri.

ri* =ri* (t) С другой стороны, поскольку радиус векторы точек M i* и M i* отвечают моментам времени t и t+dt, то Рис. 20. M i M i d ri ri dri d ri.

* * Учитывая равенство (рис. 20.1) M i M i M iM i* M i M i* M i* M i*, получаем dri ri dri ri dri d ri, или dri d ri, i 1,n. (20.2.1) Равенство (20.2.1) означает, что операции варьирования и дифференциро вания перестановочны.

Символически это правило может быть записано так:

d d. (20.2.2) Если использовать правило (20.2.2), то, например:

d ri vi. (20.2.3) dt При стационарных связях действительные перемещения принадлежат множеству виртуальных перемещений, а в случае нестационарных связей дей ствительные перемещения не входят в число виртуальных.

Пусть на механическую систему из материальных точек наложено r голо номных двусторонних связей f j t,x1, y1,z1,...,xN, y N,z N 0, j 1,r, или f j N f f j f j dt j dxi dyi dzi 0, (20.2.4) t xi yi zi i 1 и s неголономных двухсторонних связей, куда скорости входят линейно:

N Dm dt Aim dxi Bim dyi Cim dzi 0, m 1,s. (20.2.5) i Виртуальные перемещения системы удовлетворяют уравнениям связи при фиксированном времени. Поэтому в уравнениях (20.2.4) и (20.2.5) следует по ложить dt=0, а символ дифференцирования «d» заменить на символ варьиро вания « »:

N f f j f j x j xi yi zi 0, j 1,r, (20.2.6) yi zi i 1 i N A xi Bim yi Cim zi 0, m 1,s. (20.2.7) im i Выражения (20.2.6) и (20.2.7) представляют собой условия, налагаемые на вариации координат точек системы. Таким образом, вариации координат точек системы связаны между собой r+s соотношениями вида (20.2.6) и (20.2.7). По этому число независимых вариаций координат будет n=3N–r–s.

Число независимых вариаций координат или число независимых вир туальных перемещений называется числом степеней свободы механической системы.

Так, например, число степеней свободы плоской фигуры, движущейся в ее плоскости, равно трем, а число степеней свободы твердого тела, движущегося произвольно, равно шести.

20.3. Идеальные связи Пользуясь принципом освобождаемости от связей, уравнение динамики несвободной системы материальных точек можно записать в виде mi Fi Ri, i 1, N, ri (20.3.1) где Fi – активная сила, действующая на i-ю точку;

Ri – реакция связи.

Таким образом, несвободная система материальных точек формально рас сматривается как свободная под действием внешних сил и реакций связей. Од нако решение задачи динамики сложных механических систем в такой поста новке часто сопряжено со значительными трудностями. Дело в том, что в ре зультате применения принципа освобождаемости от связей возрастает число степеней свободы, что, естественно ведет к увеличению числа уравнений, в ко торые входят неизвестные реакции. Кроме того, уравнения вида (20.3.1) допол няются уравнениями связей.

Вместе с тем существует ряд задач, когда реакции связей не представляют большого интереса. Поэтому желателен такой метод решения задач динамики несвободной системы, при котором реакции связей, по крайней мере на первом этапе установления кинематического закона движения, исключались бы, и оп ределялись в дальнейшем, если по роду задачи возникала такая необходимость.

Этот метод был создан Лагранжем. Он основан на предположении, что элемен тарная работа реакций связей на любом виртуальном перемещении точек сис темы обращается в нуль. Такие связи – голономные и неголономные – называ ются идеальными или связями без трения.

Обозначим через ri вектор виртуальных перемещений i-й точки системы.

Условие идеальности связей запишем в виде N A* Ri ri 0, (20.3.2) i или в проекциях на оси координат N A Rix xi Riy yi Riz zi 0.

* (20.3.3) i Условие (20.3.2) выражает равенство нулю элементарной работы реакций связей Ri на виртуальных перемещениях точек системы ri.

К числу идеальных связей можно отнести связи, создаваемые контактом абсолютно гладких или абсолютно шероховатых недеформируемых поверхно стей. Другим видом идеальных связей являются связи, обеспечивающие неиз менность расстояний между точками системы. Реакция Ri абсолютно гладкой поверхности на движущееся по ней тело направлена по нормали к поверхности.

Поэтому она перпендикулярна к виртуальному перемещению r, которое на правлено по касательной к поверхности. При качении твердого тела по шерохо ватой поверхности элементарная работа R r равна нулю в силу того, что в точке касания равна нулю r.

В абсолютно твердом теле реакциями связей являются внутренние силы.

Согласно третьему закону Ньютона главный вектор и главный момент внутрен них сил равны нулю, поэтому равна нулю и их элементарная работа. Однако, встречаются связи, которые не могут считаться идеальными, например, связи с трением.

В этих случаях реакции неидеальных связей включаются в число внешних сил, а соответствующая система уравнений, чтобы устранить неопределенность, пополняется уравнениями, устанавливающими закон трения или физическими законами, в зависимости от характера соответствующих реакций.

20.4. Принцип виртуальных перемещений Принцип виртуальных перемещений является общим положением механи ки. В нем потенциально содержится полная информация о равновесии механи ческой системы, подчиненной идеальным стационарным голономным и него лономным связям.

При изучении условий равновесия сложных механических систем, состоя щих из большого числа тел, геометрические методы, изложенные в статике твердого тела, становятся неэффективными, так как приводят к большому чис лу уравнений.

Для решения задач статики несвободных систем значительно более удоб ным является применение принципа виртуальных перемещений, сформулиро ванного Лагранжем в 1788 г. Долгое время указанный принцип принимался без доказательств. Однако, он может быть доказан исходя из законов Ньютона.

Суть принципа виртуальных перемещений в следующем:

Необходимое и достаточное условие равновесия системы, подчиненной стационарным идеальным связям, заключается в равенстве нулю элемен тарной работы внешних сил на множестве виртуальных перемещений из рассматриваемого положения равновесия.

Обозначим через Fi равнодействующую внешних сил, приложенных к i-й точке системы, через ri – ее виртуальное перемещение и A – сумму элемен тарных работ внешних сил на виртуальных перемещениях системы. Тогда ана литическое выражение принципа виртуальных перемещений будет N A Fi ri 0 (20.4.1) i или N A Fix xi Fiy yi Fiz zi 0, (20.4.2) i иначе N A Fi si cos Fi,ri 0. (20.4.3) i В равенстве (20.4.3) si – длина перемещения ri, Fi,ri – угол между силой Fi и перемещением ri.

Докажем необходимость принципа. Предположим, что несвободная сис тема, подчиненная стационарным связям, находится в положении равновесия.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.