авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ...»

-- [ Страница 6 ] --

Тогда каждая ее точка находится в равновесии и, согласно принципу освобож даемости от связей, равнодействующая внешних сил Fi и реакций связей Ri, приложенная к какой-либо точке, должна равняться нулю:

Fi Ri 0.

Равна нулю и элементарная работа этой равнодействующей:

( Fi Ri )ri 0.

Суммируя последние равенства, получим N F R r i i i i или N N Fi ri Ri ri 0.

i 1 i Вторая сумма равна нулю по условию идеальности связей. Поэтому оста ется принять, что N F r 0.i i i Следовательно, необходимость принципа доказана.

Для доказательства достаточности принципа, то есть наличия равновесия при выполнении условия A 0, предположим обратное, что N A Fi ri 0, i но система не находится в равновесии, хотя скорости точек равны нулю.

На основании теоремы об изменении кинетической энергии в дифференци альной форме сумма элементарных работ всех внешних сил и реакций связей на множестве виртуальных перемещений системы будет положительна, так как при переходе из состояния покоя в состояние движения система получит поло жительное приращение кинетической энергии. Поэтому:

N F R r 0.

i i i i По условию идеальности связей N R r 0,i i i и, следовательно N F r 0.i i i Это противоречит исходному положению (20.4.1). Поэтому остается при нять, что система находится в равновесии, что доказывает достаточность прин ципа виртуальных перемещений.

Если внешние силы консервативны, то есть существует потенциальная энергия П = П x1, y1,z1,...,xN, y N,z N, то N N A Fi ri Fix xi Fiy yi Fiz zi i 1 i П П П N xi yi zi П.

xi yi zi i 1 Таким образом, принцип виртуальных перемещений выражается равенством П = 0, которое представляет собой необходимое условие экстремальности потенци альной энергии в положении равновесия.

Следовательно, необходимое и достаточное условие равновесия несвобод ной системы с идеальными связями под действием консервативных сил совпа дает с необходимыми, но недостаточными условиями экстремума потенциаль ной энергии.

20.5. Применение принципа виртуальных перемещений Условия равновесия свободного твердого тела Пусть твердое тело находится в равновесии под действием произвольной системы внешних сил. Элементарная работа этих сил выражается формулой N A Fi ri F r0 M 0, i где r0 – виртуальные перемещения полюса О;

– виртуальный угол поворота вокруг произвольной мгновенной оси, проходящей через полюс О;

F – глав ный вектор;

M 0 – главный момент.

Поскольку здесь виртуальные перемещения тела включают в себя действи тельные перемещения, то dr0 r0 и d.

Согласно принципу виртуальных перемещений A = 0.

Величины r0 и произвольны и независимы, то есть r0 0 и 0.

Поэтому равенство A = 0 можно обеспечить лишь в том случае, когда F 0 ;

M 0 =0. А это условия статики твердого тела.

При выводе уравнений статики предполагалось, что твердое тело свобод но. Однако на самом деле это не так. Используя принцип освобождаемости от связей, включив реакции связей в число внешних сил, получаем возможность применять принцип виртуальных перемещений для нахождения реакций связей.

В качестве примера рассмотрим балку (рис. 20.2). Определим ее опорные реакции. Отбросим опору В. Балка получает возможность вращаться вокруг опоры А. Виртуальное перемещения – это угол поворота.

Элементарная работа A P11 P2 2 RB B 0, где 1, 2 – элементарные перемещения в точках приложения сил;

B – элемен тарная работа перемещения опоры В.

Учитывая, что 1 a1 ;

2 a2 ;

B l, получим:

P1a1 P2 a RB.

l P ( l a1 ) P2 ( l a2 ) RA Аналогично:.

l l Рис. 20. Определение реакций составных тел Использование аналитических методов при решении задач статики состав ных конструкций с помощью принципа виртуальных перемещений часто при водит к вычислительным трудностям. Эти трудности возникают при составле нии зависимостей виртуальных перемещений от вариаций координат. Однако в случае стационарных связей эта трудность может быть успешно преодолена.

Метод основан на эквивалентной формулировке принципа виртуальных перемещений в виде принципа виртуальных скоростей.

Скорости точек системы в действительном движении имеют направление drk, а при стационарных связях действительные перемещения являются част ным случаем виртуальных:

drk rk.

Поэтому можно дать частную формулировку принципа виртуальных пере мещений, заменив виртуальные перемещения rk на «виртуальные» скорости dr vk0, пропорциональные действительным скоростям k.

dt Принцип виртуальных скоростей дается формулой N F v kk k или N cos Fk,vk 0.

F v kk k Формулировка принципа виртуальных скоростей практически дословно совпадает с формулировкой принципа виртуальных перемещений:

Необходимым и достаточным условием равновесия механической сис темы, подчиненной стационарным идеальным связям, является условие ра венства нулю виртуальной «мощности» внешних сил, действующих на точки системы.

Здесь под виртуальной мощностью понимается величина N N Fk vk0.

k В качестве примера рассмотрим определение реакций составной конструк ции, изображенной на рис. 20.3, а.

Рис. 20.3, а Необходимо найти составляющие RAX и RAY реакции опоры А. Для этого отбрасываем ту связь, в которой эта реакция или ее составляющая возникает.

Так, например, допуская подвижность опоры А в направлении оси y (рис. 20.3, б) и включив неизвестную RAY в число внешних сил, следует построить вирту альное поле скоростей образовавшейся подвижной системы с одной степенью свободы. В данном случае мгновенный центр скоростей части АС и центра вращения СВ совпадают, – это опора В. Поэтому виртуальные угловые скоро сти обоих частей равны:

1 2, где 1 – виртуальная угловая скорость части АС;

2 – виртуальная угловая ско рость части СВ.

Рис. 20.3, б Рис. 20.3,в Уравнение виртуальных мощностей RAY 4 q 2 3 P 1 M 0.

Здесь 4 – виртуальная скорость точки А в направлении y;

3 – проекция виртуальной скорости точки приложения равнодействующей распределенной нагрузки на направление ее действия;

1 – проекция виртуальной скорости точки приложения силы Р на направление ее действия;

– виртуальная угло вая скорость вращения сосредоточенного момента М.

Из уравнения виртуальных мощностей получаем q 6 P 1 M RAY.

Аналогично составляем уравнения виртуальных мощностей для определе ния составляющей реакции RAX (рис. 20.3, в.):

RAX 4 M q 2 1 P 1 0 ;

M P q RAX.

Здесь мгновенный центр виртуальных скоростей для АС – точка О, а для части СВ – точка В. Поэтому, 1 2.

Рычаг Жуковского Решение задач на равновесие плоских многозвенных механизмов с помо щью принципа виртуальных перемещений так же, как и решение задач статики составных конструкций, связано с вычислительными трудностями. Эти трудно сти также возникают при составлении зависимостей виртуальных перемещений точек от вариаций координат. В 1912 г. Н. Е. Жуковский предложил графоана литический метод решения задач на равновесие плоских многозвенных меха низмов, основанный на принципе виртуальных скоростей. Этот метод получил название «рычаг Жуковского».

Принцип виртуальных скоростей в случае равновесия системы дается N F v 0, формулой (20.5.1) kk k N F vcos Fk,vk 0.

или kk k Если силы повернуть на угол 2, то, чтобы сохранить выражение (20.5.1), необходимо написать N sin Fk*,vk 0.

F v kk k Но это уже моменты сил F, повернутых на 2, приложенных к концам * k вектора vk, относительно полюса плана скоростей.

Поэтому решение задач можно проводить в следующей последовательности:

1. Вычертить схему механизма в рассматриваемом положении;

2. Изобразить на чертеже внешние силы;

3. Задавшись скоростью одной из точек механизма, построить для данного положения механизма план скоростей;

4. Приложить все внешние силы на плане скоростей к концам соответст вующих векторов скоростей. Затем эти силы надо повернуть по часовой стрелке на угол 900.

5. План скоростей считать жесткой фигурой (рычаг Жуковского) и напи сать уравнения ее равновесия. Из условия равновесия плоской фигуры находит ся неизвестная сила.

Недостаток «рычага Жуковского» в том, что построение приходится по вторять для каждого положения механизма.

Рассмотрим примеры.

1. Рассмотрим шарнирный четырехзвенник (рис. 20.4).

Требуется найти силу FD.

Рис. 20. Применение аналитического метода при решении этой задачи нецелесооб разно, поэтому воспользуемся рычагом Жуковского. Найдем силу FD. Постро им план скоростей (рис. 20.5).

Рис. 20. Здесь vB v A vBA ;

vD v A vDA ;

vDA ad AD ;

vBA ab AB FAv A FD.

h Для нового положения построение приходится повторять сначала.

2. Требуется найти силу FE для механизма, изображенного на рис. 20.6.

Рис. 20. Строим план скоростей, считая, что скорость точки А задана. Пользуемся формулами vB v A vBA, vE vD vED. Из равновесия «рычага Жуковского» (рис. 20.7) имеем v Pa FE A FA FA.

vE Pe Рис. 20. 20.6. Принцип Даламбера–Лагранжа. Общее уравнение динамики Принцип Даламбера–Лагранжа представляет собой синтез принципа вир туальных перемещений Лагранжа и принципа Даламбера.

Рассмотрим механическую систему, подчиненную двусторонним идеаль ным связям. Для каждой точки системы, согласно принципу Даламбера, можно написать уравнение Fi Ri mi 0, i 1,N.

ri (20.6.1) Умножив скалярно выражения (20.6.1) на виртуальные перемещения ri, после суммирования, получим N N Fi mi i ri Ri ri 0.

r (20.6.2) i 1 i N R r 0, С учетом условия идеальности связей i i i из (20.6.2) следует N F m r 0.

r (20.6.3) i ii i i То есть, движение механической системы, подчиненной идеальным свя зям, происходит таким образом, что для каждого момента времени эле ментарная работа внешних сил и сил инерции на множестве виртуальных перемещений равна нулю.

Уравнение (20.6.3) называется общим уравнением динамики и может слу жить средством для решения задач.

20.7. Обобщенные координаты. Тождества Лагранжа Чтобы придать методам механики большую гибкость, общность и эффек тивность, вводят понятие об обобщенных координатах.

Обобщенными координатами механической системы называется совокуп ность параметров q j, однозначно определяющих ее положение в пространстве.

В качестве обобщенных координат могут быть выбраны произвольные ве личины: расстояния, углы поворота, площади, объемы. Таким образом, размер ности обобщенных координат могут быть любыми.

Декартовы координаты также могут играть роль обобщенных координат.

Так, например, положение твердого тела в пространстве определяется тремя де картовыми координатами полюса x0, y0, z0 и тремя углами Эйлера,,.

Величины q j, q j называются соответственно обобщенными скоростями и ускорениями механической системы.

При наличии голономных связей между радиус-векторами точек системы и обобщенными координатами существуют зависимости:

ri ri ( t,q j ), i 1,N, j 1,n. (20.7.1) Эти функции являются однозначными и непрерывными.

При наличии связей, выражаемых уравнениями (20.7.1), действительные перемещения находим из соотношений:

r r n dri i dt i dq j, (20.7.2) t j 1 q j в то время как виртуальные перемещения выражаются через вариации обоб щенных координат по формулам:

r n ri i q j. (20.7.3) j 1 q j Найдем скорость i-й точки:

r r n vi ri i i q j. (20.7.4) t j 1 q j Скорости vi являются линейными формами от обобщенных скоростей q j.

vi r i.

Поэтому: (20.7.5) q j q j Формула (20.7.5) представляет собой тождество Лагранжа. В символиче ской форме она может быть переписана так:

dt ri r d i.

dt q j q j d d То есть, как будто бы оператор дифференцирования по времени в левой dt части формулы можно сократить.

Найдем частную производную от скорости vi, определенной по формуле (20.7.4), по qk :

vi 2 ri 2 ri n qj. (20.7.6) qk qk t j 1 qk q j r Производная по времени от частной производной i будет:

qk d ri 2 ri 2 ri n qj. (20.7.7) dt qk tqk j 1 q j qk Вторые смешанные производные радиус-векторов не зависят от порядка дифференцирования в силу предположений, наложенных на функциональные зависимости ri ri ( t,q j ).

Поэтому, сравнивая выражения (20.7.6) и (20.7.7), приходим к выводу, что они равны между собой. То есть, d ri v i. (20.7.8) dt qk qk Это второе тождество Лагранжа. Оно также может быть записано в симво dt ri d ri d лической форме:.

dt qk qk d Иными словами, здесь оператор дифференцирования по времени до dt пускает перестановку с оператором частного дифференцирования.

qk 20.8. Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах Согласно принципу виртуальных перемещений в состоянии равновесия элементарная работа внешних сил A на множестве виртуальных перемещений ri равна нулю:

N A Fi ri 0. (20.8.1) i Соотношение (20.8.1) эквивалентно уравнениям равновесия и содержит в себе всю информацию о равновесии механической системы. Осуществим в нем замену переменных, в качестве которых возьмем обобщенные координаты q j.

Виртуальные перемещения ri выражаются через вариации обобщенных коор динат при помощи соотношений:

r n ri i q j.

j 1 q j Подставляя их в равенство (20.8.1), получаем:

nN r ri N N n A Fi ri Fi q j Fi i q j 0. (20.8.2) q j j 1 q j j 1 i 1 i 1 i Величины N ri x y z N Fi q Fix qi Fiy qi Fiz qi zi Q j (20.8.3) i 1 i 1 i j j j называются обобщенными силами.

Учитывая обозначения (20.8.3), вместо выражения (20.8.2) получим:

N n A Fi ri Q j q j 0.

i 1 j Следовательно, аналитическое выражение принципа виртуальных переме щений в обобщенных координатах записывается следующим образом:

n A Q j q j 0. (20.8.4) j Казалось бы, принципиальной разности между выражениями (20.8.1) и (20.8.4) нет. Однако, в силу того, что вариации обобщенных координат незави симы друг от друга и произвольны, то есть q j 0, то равенство (20.8.4) га рантировано при условии, когда Q j 0, j 1,n. (20.8.5) Иными словами, принцип виртуальных перемещений в обобщенных коор динатах приводит к требованию обращения в нуль всех обобщенных сил в со стоянии равновесия механической системы. При вычислении обобщенных сил совсем не обязательно пользоваться общей формулой (20.8.3). Часто гораздо удобнее выписать выражение элементарной работы. Коэффициенты при вариа ции обобщенных координат будут соответствующими обобщенными силами.

20.9. Примеры вычисления обобщенных сил Потенциальная сила Потенциальные или позиционные силы определяются как соответствую щие частные производные от потенциальной энергии:

П П П Fxi ;

Fyi ;

Fzi.

xi yi zi Иначе эти силы называются консервативными. Воспользуемся общей фор мулой для обобщенных сил (20.8.3):

N x y z Q j Fix i Fiy i Fiz i zi П q q j q j i 1 j (20.9.1) N П xi П yi П zi П.

x q yi q j zi q j q j i 1 i j В состоянии равновесия Q j 0, поэтому потенциальная энергия, если нет других сил, принимает экстремальные значения. Это необходимое условие экс тремума.

Силы, пропорциональные скорости Предположим, что силы сопротивления, действующие на точки системы пропорциональны скоростям их движения:

Fi bi vi, i 1,N, где bi 0 – коэффициенты сопротивления, являющиеся постоянными величинами.

Обобщенные силы, согласно общей формуле, будут:

ri vi N1 N bi vi N N Q j Fi bi vi bivi vi q 2.

qi q j q j i 1 j i i 1 i Введем обозначение 1N Ф bi vi2. (20.9.2) 2 i Функция Ф называется функцией рассеяния энергии или функцией Релея.

Qj Таким образом, Ф. (20.9.3) q j При стационарных голономных связях, когда ri ri ( q j ), i 1,N, j 1,n, функция Релея – однородная квадратичная форма обобщенных скоростей.

Действительно, для скоростей vi имеем формулу r n vi i q j. (20.9.4) q j j Подставим (20.9.4) в выражение для функции Релея (20.9.3), получаем:

1 n ri ri 1n n N n Ф bi qj ql b jl q j ql, j 1 q j l 1 ql i 1 2 2 j 1 l ri ri N где b jl blj bi – называются обобщенными коэффициентами сопро q j ql i тивления. Согласно теореме об изменении механической энергии:

Ф n n dE Q j dq j dq j.

j 1 q j j То есть, убыль механической энергии равна элементарной работе непотен циальных сил. Иначе:

Ф dE n q.

j q j dt j Но, поскольку функция Релея при стационарных связях является однород ной квадратичной формой обобщенных скоростей, то по теореме Эйлера об од нородных функциях Ф n q q j 2Ф, j j dE 2Ф.

и, стало быть:

dt Таким образом, скорость уменьшения механической энергии равна удво енной функции Релея.

21. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 21.1. Уравнения Лагранжа первого рода Рассмотрим систему N материальных точек, подчиненных r голономным связям:

f k t,x1, y1,z1,...,xN, y N,z N 0, k 1,r, (21.1.1) и r неголономным связям N d k aki xi bki yi cki zi 0, k 1,r.

(21.1.2) i Поскольку связи сохраняются в варьированных состояниях, то есть наряду с (21.1.1) имеет место равенство f k t,x1 x1, y1 y1,z1 z1,...,xN xN, y N y N,z N z N 0, то обращается в нуль и вариация f k функции f k :

f N f f N f k k xi k yi k zi gradi f k ri 0, (21.1.3) i 1 xi yi zi i f f f gradi f k k i1 k i2 k i3, k 1,r, где xi yi zi где i1, i2, i3 – координатные орты oxyz.

Кроме того, уравнения (21.1.2) накладывают на вариации еще r условий N N akixi bkiyi ckizi ekiri 0, k 1,r, (21.1.4) i 1 i где вектор eki aki i1 bki i2 cki i3.

Умножим каждое уравнение (21.1.3) и (21.1.4) соответственно на неопре деленные пока множители k и k, сложим сначала между собой, а затем с об щим уравнением динамики (20.6.3). Перегруппировав слагаемые, получим:

r N r Fi mri k gradi f k eki ri 0.

(21.1.5) k i 1 k 1 k Уравнение (21.1.5) в развернутом виде запишется так:

N f r r Fix mi i k k k aki xi x xi k i 1 k f k r r Fiy mi i k k bki yi y (21.1.6) yi k k f k r r Fiz mi i k k cki zi 0.

z zi k k Подчиним r r неопределенных множителей k и k условиям обраще ния в нуль r r выражений в каких-либо круглых скобках в соотношении (21.1.6). В целом выражение (21.1.6) должно обращаться в нуль при любых значениях вариаций xi, yi, zi, среди которых 3N r r уже можно считать независимыми. Поэтому выражения и в оставшихся 3N r r круглых скоб ках также должны обращаться в нуль.

Следовательно, все выражения в 3N круглых скобках в формуле (20.7.6) должны обращаться в ноль. Это приводит к системе уравнений:

f r r mi i Fix k k k aki, x xi k k f k r r mi i Fiy k k bki, y (21.1.7) yi k k f k r r mi i Fiz k k cki, z zi k k которые в векторном виде записываются так:

r r mi Fi k gradi f k k eki.

ri (21.1.8) k 1 k Это уравнения Лагранжа первого рода, которые совместно с r r уравне ниями связей (21.1.1) и (21.1.2) образуют замкнутую систему 3N r r урав нений, содержащих неизвестные:

x1, y1, z1,...,xN, y N, z N, 1,..., r,,...,r.

Воспользуемся принципом освобождения от связей и составим уравнения динамики системы непосредственно исходя из второго закона Ньютона:

mi Fi Ri.

ri (21.1.9) Сопоставляя уравнения (21.1.9) и (21.1.8), приходим к выводу, что реакции связей находятся по формулам:

r r Ri k gradi f k k eki, i 1,N (21.1.10) k 1 k или в проекциях fk r r Rix k k aki, xi k k fk r r Riy k bki, (21.1.11) k yi k k fk r r Riz k k cki.

zi k k Уравнения Лагранжа первого рода обычно решают, выразив сначала r r множителей k и k из каких-либо уравнений (21.1.7) и исключив их из 3N r r остальных уравнений. Затем, объединив эти 3N r r уравнений с r r уравнениями связей (21.1.1) и (21.1.2), получают систему 3N уравнений, из которых находят 3N координат, как функции времени, после чего определя ют множители k и k и реакции связей Rix, Riy, Riz.

Уравнения Лагранжа первого рода приобретают особенно отчетливый смысл при движении материальной точки по поверхности или кривой. Пусть уравнение поверхности задано уравнением f(t, x, y, z) = 0. (21.1.12) Поверхность считается идеально гладкой, но при этом она движется и де формируется. То есть связь (21.1.12) является идеальной. Поэтому реакция R направлена по нормали к этой поверхности. Градиент f f f gradf i1 i2 i3 (21.1.13) x y z представляет собой вектор, который также направлен по нормали к этой по верхности. Условие коллинеарности реакции R и gradf записывается следую щим образом Ry Rx Rz, f x f y f z где – некоторая неизвестная величина, представляющая собой множитель связи. Таким образом:

f f f Rx ;

Ry ;

Rz. (21.1.14) x y z Формулы (21.1.14) являются частным случаем формул (21.1.11), а уравне ния (20.7.7) в данном случае запишутся так:

f f f mx Fx ;

my Fy ;

mz Fz, (21.1.15) x y z при этом очевидно, что R gradf.

Три уравнения (21.1.15) и уравнение связи (21.1.12) содержат четыре неиз вестных. Аналогично получаются уравнения Лагранжа первого рода в случае движения по гладкой кривой. Уравнение кривой можно представить, как пере сечение двух поверхностей:

f1 ( t,x, y,z ) 0;

f 2 ( t,x, y,z ) 0.

Согласно (21.1.7), получаем уравнения Лагранжа первого рода с двумя множителями связей:

f f mx Fx 1 1 2 2, x x f f my Fy 1 1 2 2, y y f f mz Fz 1 1 2 2, z z R R1 R2, при этом реакция кривой где R1 1 gradf1, R2 2 gradf 2.

Пример: Рассмотрим движение тяжелой мате риальной точки массы m по внутренней поверхно сти цилиндра радиуса r (рис. 21.1). Ось цилиндра горизонтальна. Начало координат расположим но оси цилиндра в точке О. Ось x направим верти кально вниз, а ось z вдоль по оси цилиндра.

Начальное положение точки определяется координатами x0 0, y0 0, z0 0.

x0 vx0 0, y0 v y0 0, Начальная скорость Рис 21. Рис.

z0 vz0 v0. На материальную точку действует си ла тяжести P mg и реакция поверхности R. Уравнение связи представляет собой уравнение цилиндрической поверхности:

f ( x, y,z ) x 2 y 2 r 2 0.

Найдем f f f 2x;

2 y;

0.

x y z Учитывая, что Fx mg, Fy Fz 0, согласно (21.1.15) получим:

mx mg 2x;

my 2y;

mz 0.

(21.1.16) Из третьего уравнения (21.1.16) с учетом начальных условий следует:

z v0t.

Умножим первое уравнение (21.1.16) на y, а второе – на x и вычтем из первого второе:

m mgy.

xy yx (21.1.17) Затем умножим первое уравнение на x, а второе – на y и сложим:

m mgx 2 x 2 y 2. (21.1.18) xx yy Перейдем к цилиндрическим координатам:

x r cos, y r sin, z z.

Найдем производные:

x r sin, y r cos, r sin r 2 cos, x r cos r 2 sin.

y Подставим соответствующие производные в уравнения (21.1.17):

m r 2 sin 2 r 2 2 cos sin r 2 cos 2 r 2 2 sin cos mgr sin.

Откуда следует:

g sin 0, r то есть известное уравнение колебаний математического маятника. Запишем это уравнение в виде:

g d sin d.

r Интегрируя, получим:

2 g cos C.

2r Воспользуемся начальными условиями:

0 2, 0 0.

Тогда 2g 2 cos.

(21.1.19) r Движение ограничено областью cos 0, следовательно, угол будет на ходиться в интервале 2 2. Воспользуемся уравнением (21.1.18) и подставим в него производные:

m r 2 sin cos r 2 2 cos 2 r 2 cos sin r 2 2 sin 2 mgr cos 2 r 2 cos 2 r 2 sin 2.

Откуда найдем: mr 2 2 mgr cos 2r 2.

Учитывая (21.1.19), получим формулу для множителя связи:

3mg cos.

2r В соответствии с формулами (21.1.14) находим реакции связи:

f f Rx 3mg cos 2 ;

Ry 3mg sin cos ;

Rz 0.

x y Модуль реакции R 3mg cos, R 0 при 2, максимальное значе ние реакции R Rmax 3mg при 0.

21.2. Уравнения Лагранжа второго рода Уравнения Лагранжа второго рода являются следствием принципа Лагранжа–Даламбера для механическим систем, подчиненных идеальным го лономным связям, то есть, когда радиус-векторы ri точек системы определяют ся соотношениями:

ri ri ( t,q j ), i 1,N, j 1,n. (21.2.1) В соотношениях (21.2.1) q j – обобщенные координаты. Зависимости (21.2.1) являются однозначными, непрерывными и, по крайней мере, дважды дифференцируемыми функциями обобщенных координат.

Виртуальные перемещения ri выражаются через вариации обобщенных координат q j согласно формулам:

ri n ri q j. (21.2.2) qj j Уравнения Лагранжа второго рода есть результат замены переменных в общем уравнении динамики (20.6.3) на обобщенные координаты:

nN )r F ri m ri q 0.

N N ( F mi ri i ri (21.2.3) q j i i j q j i j 1 i 1 i r N Здесь величины Fi i Q j – представляют собой обобщенные силы, q j i r N mi i Si – обобщенные силы инерции.

ri q j i Вопрос об обобщенных силах обсуждался ранее. Были получены формулы для потенциальных обобщенных сил:

П Q jП, q j где П – потенциальная энергия системы и обобщенных сил, обусловленных вязким сопротивлением:

Ф Qv, j q j где Ф – функция Релея.

Рассмотрим преобразование второго слагаемого в выражении (21.2.3):

r d N r d r N N q dt i 1 q i 1 dt qi mi i mi ri i mi ri ri i 1 j j j v v d T T dN N q i 1 q dt q q, mi vi i mi vi i j j dt i 1 j j mi vi vi N mi vi N где T – кинетическая энергия системы. Кроме того, здесь 2 i 1 i мы воспользовались тождествами Лагранжа (20.7.5) и (20.7.8). По аналогии с обобщенной силой Q j, данное слагаемое можно назвать обобщенной силой инерции. Итак, вместо (21.2.3) мы можем написать:

n d T T N ( F mi )ri Q j q j 0.

ri (21.2.4) dt q j q j j 1 i Но, поскольку q j – независимые величины и одновременно не обращают ся в нуль, иначе q j 0, то равенство (21.2.4) может быть гарантировано лишь при условии, что:

d T T Q j, j 1,n. (21.2.5) dt q j q j Если в системе действуют потенциальные силы и силы вязкого сопротив ления, то уравнение (21.2.5) можно записать так:

d T T П Ф Q*j, (21.2.6) dt q j q j q j q j где Q*j – прочие обобщенные силы – непотенциальные и не вязкого сопротивле ния.

Дифференциальные уравнения (21.2.6) и есть дифференциальные уравне ния Лагранжа второго рода.

Пусть механическая система в положении равновесия находится под дей ствием только потенциальных сил. Если ограничиться рассмотрением малых отклонений системы от положения равновесия, то структура выражения ее по тенциальной энергии существенно упрощается. Это, в свою очередь, ведет к упрощению процедуры вычисления обобщенных сил.

Рассмотрим, например, систему материальных точек и твердых тел под действием cил тяжести, соединенных невесомыми пружинами, находящуюся в равновесии.

В положении равновесия все обобщенные силы равны нулю, поэтому П Q jП 0. (21.2.7) q j q j Потенциальная энергия вычисляется с точностью до постоянной, поэтому всегда можно считать 0.

П (21.2.8) q j Сообщим системе малые отклонения от положения равновесия и разложим ее потенциальную энергию в ряд Тейлора по этим малым отклонениям:

П 1 n n 2 П n П( q j ) П q j 0 q j q j ql... (21.2.9) q j q j 0 2 j 1 l 1 q j ql q j,l j Если учесть соотношения (21.2.7), (21.2.8), то оказывается, что ряд (21.2.9) начинается с членов второго порядка малости. Поэтому приближенное выраже ние потенциальной энергии таково:

1n n П( q j ) c jl q j ql, (21.2.10) 2 j 1 l 2 П где c jl clj – так называемые обобщенные жесткости системы.

q j ql q j,l Выражение (21.2.10) – однородная квадратичная форма обобщенных коор динат. Использование этого выражения существенно упрощает процедуру на хождения обобщенных потенциальных сил.

Рассмотрим сначала в качестве примеров колебания механических систем с одной степенью свободы.

1. Малые колебания физического маятника Рассмотрим однородный стержень, подве шенный в точке О (рис. 21.2).

Силами сопротивления пренебрегаем. В ка честве обобщенной координаты возьмем угол поворота относительно положения равновесия.

Это консервативная система с одной степенью свободы. Поэтому уравнение Лагранжа одно:

d T T П. (21.2.11) dt J ml Здесь T, где J, m – масса стержня, l – его длина.

П mgh, (21.2.12) l где h 1 cos – высота подъема центра Рис. 21. тяжести стержня. Найдем величины, входящие в уравнение (21.2.11) d T d ml 2 T J J ;

0.

(21.2.13) dt dt Представим потенциальную энергию (21.2.13) в виде ряда:

l 2 4 l П mg 1 1... mg. (21.2.14) 2 2! 4! Выражение потенциальной энергии (21.2.14) соответствует структуре, предсказанной из общих соображений. При этом П l mg. (21.2.15) Согласно формулам (21.2.13) и (21.2.15) уравнение малых свободных ко лебаний таково:

ml 2 l mg 0, (21.2.16) 3 k 2 0, 3g где k – частота малых свободных колебаний.

2l Решение уравнения (21.2.16) 0 cos kt sin kt, k где 0,0 – соответственно начальное отклонение и начальная угловая ско рость.

Пусть стержень оперт в точке А (рис. 21.3) на упругую пружину жесткости с. Выражение кинетической энергии будет то же самое.

Потенциальная энергия с точностью до малых высшего порядка:

l 2 cl 2 П mg. (21.2.17) 22 Дифференциальное уравнение малых колебаний, согласно (21.2.13) и (21.2.17), будет ml 2 l mg cl 2 0.

(21.2.18) 3 3 g 3c Из (21.2.18) следует, что их частота k. (21.2.19) 2l m В формуле (21.2.19) второе слагаемое под корнем обусловлено действием пружины. Расположим стержень, опирающийся в точке А на пружину, верти кально (рис. 21.4). Выражение потенциальной энергии, в связи с тем, что центр тяжести при отклонении от положения равновесия понижается, будет:

l 2 cl 2 П mg. (21.2.20) 22 с с Рис. 21. Рис. 21. Следовательно, согласно (21.2.20), уравнение малых свободных колебаний будет отличаться от уравнения (21.2.18) знаком величины, учитывающей сме щение центра тяжести стержня:

ml 2 l mg cl 2 0.

(21.2.21) 3 l При условии, что cl 2 mg, решение уравнения (21.2.21) такое же, как и l решение уравнения (21.2.18). Если же cl 2 mg, то решение принципиально меняет свой вид и выражается через гиперболические функции:

0 chk * t * shk * t, (21.2.22) k 3 g 3c где k *.

2l m Решение (21.2.22) неограниченно растет во времени, что говорит о том, что положение равновесия является неустойчивым.

2. Малые колебания сложной механической системы с одной степенью свободы Рассматриваемая система приведена на рис. 21.5. Она состоит из сосредо точенной массы m1, подвешенной на гибкой нити, перекинутой через идеаль ный блок массой m2, являющейся однородным диском;

из однородного стерж ня, расположенного вертикально, массой m3, и однородного цилиндра, массой m4, закрепленного пружиной жесткостью c4, обладающей линейным внутрен ним трением с коэффициентом сопротивления b1. Кроме того, стержень в цен тре имеет демпфер с коэффициентом сопротивления b2. В точке B3 действует возмущающая сила Q3 H 3 sin pt.

y Рис. 21. Вначале строим поле скоростей. Поскольку малые перемещения y про порциональны возможным скоростям y, то можно ограничиться полем скоростей.

Рассмотрим малые свободные колебания. Это система с одной степенью свободы и, следовательно, уравнение Лагранжа одно:

d T T П Ф. (21.2.23) dt y y y y Кинетическая энергия рассматриваемой системы:

y m m1 y 2 J 2 2 J 33 J 4 4.

T (21.2.24) 2 2 2 2 Здесь mR2 y J2 ;

2, 2 R где R2 – радиус диска;

m3l 2 y J3 ;

3, 3 l где l – длина стержня;

m4 R42 y J4 ;

4, 2 2R где R4 – радиус однородного цилиндра.

Подставляя указанные величины в уравнение кинетической энергии (21.2.24), получим 1 1 T m1 m2 m3 m4 y 2. (21.2.25) 2 2 3 Выражение потенциальной энергии:

y c4 y st c4 2 c4 y y l П m1 gy m3 g 1 cos m3 g. (21.2.26) st 2 l 2 2 2 4l y Здесь st – статическая деформация пружины, при этом m1 gy c4 y st ;

– l угол поворота стержня. Приближенное выражение потенциальной энергии (21.2.26) имеет структуру, формулы (21.2.10), и могло быть написано сразу.

Функция рассеяния энергии Релея в данном случае такова:

y b b1 y 1 b b1 2 y 2.

Ф (21.2.27) 2 2 2 Согласно выражениям (21.2.25), (21.2.26) и (21.2.27), дифференциальное уравнение малых свободных колебаний будет:

my by cy 0, (21.2.28) mg 1 1 3 b где m m1 m2 m3 m4 ;

b b1 2 ;

c c4 3.

2 3 8 4 2l Если в уравнении (21.2.28) c 0, то система устойчива, ее поведение опи сывается выражением y ny y e nt y0 cos k1t 0 sin k1t, (21.2.29) k b c где n ;

k1 k 2 n 2 ;

k 2, если k n.

2m m Здесь y0 и y0 – начальное отклонение и начальная скорость массы m1. При k n тригонометрические функции в уравнении (21.2.29) превращаются в ги перболические:

* y ny y e nt y0 chk1 t 0 * 0 shk1 t, * (21.2.30) k где k1 n 2 k 2.

* * shk1 t В случае, когда k n, k 0, chk t 1 в (21.2.30). Предел lim * t.

* * 1 k1 0 k * Поэтому вместо (21.2.30) или (21.2.29) получим y e nt y0 y0 ny0 t.

(21.2.31) Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний 2ny k 2 y h sin pt, y (21.2.32) H где h (см. рис. 21.5).

m В рассматриваемом примере элементарная работа непотенциальных сил:

y H A Q3 3 sin pt y. (21.2.33) 2 Поэтому, исходя из выражения (21.2.33), приходим к выводу, что в урав H нении (21.2.32) h 3. Решение уравнения (21.2.32) было рассмотрено ранее.

2m 21.3. Построение математической модели сложной механической системы с одной степенью свободы На практике при записи свободных колебаний сложных механических сис тем часто обнаруживается, что с незначительной погрешностью реализуется переходных процесс, соответствующий формуле (21.2.29), а при возбуждении вынужденных колебаний получается АФЧХ, соответствующая формуле k W ( i ), (21.3.1) T22 2 iT1 где 1 m b T22 2 ;

T1 ;

(21.3.2) 1 c c k – статическая податливость. Величины k,T2,T1 находятся непосредствен c но по графику. В этом случае говорят, что механическая система проявляет себя как система с одной степенью свободы. Затем, исходя из выражения (21.3.2), находится эквивалентная масса, коэффициент рассеяния энергии b и эквива лентная жесткость c, если в этом есть необходимость:

T22 T m ;

b 1 ;

c. (21.3.3) k k k Но дело в том, что, если чаще всего жесткость системы c линейна, то о си лах трения этого сказать нельзя. Силы трения имеют сложную природу и носят нелинейных характер. Многие вопросы, связанные с силами трения, не ясны до сих пор, и поэтому их описание носит феноменологический характер. Чаще всего различают линейное трение (на самом деле не существующее в природе), силы сухого трения или Кулонова трения, силы гистерезисного трения, силы трения, пропорциональные квадрату скорости. Модель линейного трения весь ма удобна, так как получаются решения в замкнутом виде. Поэтому возникает вопрос: каким образом сложный механизм трения заменить простой эквива лентной моделью? Именно на этом мы сейчас и остановимся.

Прежде всего рассмотрим некоторые соотношения для линейного трения или рассеяния энергии. Будем считать, что рассеяние энергии мало. Это усло вие необходимо, чтобы эффект нелинейного рассеяния энергии представить эк вивалентным вязким демпфером.

Рассмотрим уравнения движения системы с одной степенью свободы:

mx bx cx H sin t.

(21.3.4) Если установившееся вынужденное колебание системы x A sin( t ), то рассеяние энергии E за один цикл движения:

T T E H sin tdt H sin txdt HA sin t cos( t )dt 0 (21.3.5) HA sin t cos( t )d( t ) HA sin.

Здесь – путь, пройденный массой за цикл.

Уравнение (21.3.5) показывает, что если фазовый угол между силой и перемещением равен нулю, то работа за цикл E также равна нулю. Когда 2, то E равна максимуму. Таким образом, рассеяние энергии обусловле но силой, находящейся в фазе со скоростью.

Для системы с линейным рассеянием энергии, описываемой уравнением (21.2.28), имеем T T E ( bx )xdt b A cos 2 ( t )dt bA2.

2 (21.3.6) 0 Если рассеяние энергии нелинейно, то для нахождения коэффициента эк вивалентного демпфирования bэ используется уравнение (21.3.6):

E bэA2. (21.3.7) При этом E находим по формуле T E Fv xdt, (21.3.8) где Fv – демпфирующая сила.

При сухом трении сила Fv записывается так:

v Fv F Fsignv, (21.3.9) v где символ sign обозначает знак v, то есть Fv имеет знак, противоположный знаку скорости v x. За цикл путь, пройденный массой, приближенно равен 4 A. Поэтому, согласно (21.3.9), E 4FA. (21.3.10) Следовательно, если принять во внимание (21.3.7) и (21.3.10), то F bэ 4. (21.3.11) A Как видно bэ – переменная величина, зависящая от величины F, частоты колебаний и амплитуды перемещения A.

Рассмотрим конструкционное (гистерезисное) демпфирование.

Конструкционное демпфирование является следствием несовершенной уп ругости материала, из которого изготовлены колеблющиеся тела. Хорошее приближение к опыту дает предположение, что демпфирующие силы пропор циональны амплитуде деформаций и не зависят от частоты колебаний. В таком случае:

Fv c0 Asignv, (21.3.12) где c0 – коэффициент демпфирования.

Очевидно, здесь, в отличие от (21.3.11), E 4c0 A2, (21.3.13) 4c откуда bэ 0. Эта формула отличается от формулы (21.3.11) отсутствием A в 4c знаменателе. Обозначим 0. Тогда c c bэ. (21.3.14) Рассмотрим выражение (21.3.1), подставив в него согласно формуле (21.3.14). Тогда:

W ( i ). (21.3.15) m c( 1 i ) Согласно (21.3.15), для решения задачи о вынужденных колебаниях при конструкционном демпфировании необходимо все жесткостные характеристи ки заменить на комплексные по формуле c c( 1 i ).

Эта формула представляет суть гипотезы Е. С. Сорокина.

При этом формула (13.8.5) будет выглядеть так:

1 max T 1 2. (21.3.16) T 21.4 Свободные колебания при гистерезисном (конструкционном) рассеянии энергии При гистерезисном рассеянии энергии, уравнение свободных колебаний может быть записано в виде mx c0 Asignx cx 0, (21.4.1) где A – переменная амплитуда колебаний.

Если демпфирование мало, то работа диссипативных сил выражается фор мулой (21.3.13). Решение уравнения (21.4.1) может быть получено методом энергетического баланса. Суть этого метода заключается в приравнивании ра боты сил сопротивления изменению потенциальной энергии системы за один период колебаний. При этом обе величины выражаются приближенно, предпо лагая, что процесс затухания колебаний не является слишком быстрым.

Рассмотрим потенциальную энергию в двух последовательных состояниях:

1 Пi cAi2 ;

Пi 1 cAi2 1.

2 Уменьшение энергии за период c c П Ai2 Ai2 1 Ai Ai 1 Ai Ai 1 cAi Ai, (21.4.2) 2 A Ai где Ai Ai Ai 1, Ai i.

dA Ai T Согласно рис. 21.6,, (21.4.3) dt где T – период колебаний системы. Тогда, подставляя в (21.4.2) выражение для Ai (21.4.3), можно написать dA П cAT. (21.4. 4) dt Приравнивая работу сил гистерезисного сопротивления E, согласно формуле (21.3.13), к выражению (21.4.4), получим:

dA 4c0 A2 cTA. (21.4.5) dt Или, учитывая, что T 2, где – частота колебаний, из (21.4.5), разде ляя переменные, приходим к дифференциальному уравнению для амплитуды A :

2c0 dA dt. (21.4.6) c A Рис. 21. Интегрируя (21.4.6), получаем 2c A 0 t.

ln c A Откуда 2c t c A A0 e, или, согласно формуле (21.3.14), t A A0 e. (21.4.7) Используя выражение (21.4.7), запишем формулу, описывающую зату хающие колебания:

1t x0 2 1 x xe x0 cos t sin 1t, (21.4.8) где 1 1 4 ;

– частота свободных колебаний, без учета затухания. Как видно из выражения (21.4.8) при гистерезисном рассеянии энергии процесс за тухания ускоряется с ростом собственной частоты.

Если воспользоваться методом энергетического баланса для получения решения в случае вязкого рассеяния энергии, то получим формулу (21.2.29).

Величина 2 4 имеет на практике порядок 10 2, поэтому ее можно не учи тывать. Тот же результат, что и формула (21.4.8), следует из линеаризованного уравнения:

c mx x cx 0, (21.4.9) куда подставлено bэ, согласно формуле (21.3.14). При этом следует считать, что 1. Тогда, согласно уравнению (21.4.9), 2n c m. Имея в распоря жении выражение (21.4.8), получаем следующую формулу для логарифмиче ского декремента колебаний :

ln e nT. (21.4.10) В формуле (21.4.10) считается, что 1, то есть частота свободных зату хающих колебаний мало меняется в зависимости от сил трения. Постоянная времени T1 в передаточной функции (21.3.1), характеризующая рассеяние энер гии, найдется по формуле T1.

21.5. Дифференциальные уравнения малых колебаний произвольной системы твердых тел, соединенных упругими связями 1. Плоская система Прежде всего отметим, что на систему наложены стационарные голоном ные связи, когда ri ri ( q j ), j 1,n. Поэтому для скоростей точек имеем формулу ri n vi q j, i 1,N, j 1,n.

(21.5.1) j 1 q j Следовательно, кинетическая энергия – однородная квадратичная форма обобщенных скоростей:

mi n ri ri mi vi2 1n n N N n T qj ql m jl q j ql, (21.5.2) i 1 2 j 1 q j l 1 ql 2 2 j 1 l i ri ri N где m jl mlj mi – инерционные характеристики системы.

q j ql i Так как рассматриваются малые колебания, а радиус-векторы точек систе мы непрерывные, однозначные и, по крайней мере, дважды дифференцируемые r функции обобщенных координат, то можно считать частные производные i q j постоянными. Поэтому инерционные характеристики m jl также можно считать постоянными.

Потенциальная энергия системы П является однородной квадратичной формой обобщенных координат и берется согласно формуле (21.2.10).

Будем различать силы внешнего и внутреннего сопротивления. Часть функции Релея, которая обусловлена силами внешнего сопротивления, подобна структуре кинетической энергии.

yi Соответственно, i yOi часть функции Релея, xi yl которая обусловлена Oi r lij силами внутреннего i l трения, подобна по yOl Ol структуре потенциаль lr c rji t llj xl ной энергии.

yj l ji В качестве примера c tjl j рассмотрим систему твердых тел (рис. 21.7), yOj Oj центры масс которых x j имеют возможность пе l tjl редвигаться только вер ls jk j тикально. Кроме того, допускается вращение yk c sjk каждого из тел вокруг k y его центра масс.

Ok Движение по гори Ok s xk зонтали либо отсутст lkj k вует, либо пренебрежи мо мало. Количество Рис. 21. твердых тел и количе ство упругих элементов произвольно. Цепь, состоящая из тел, может быть раз ветвленной, то есть, каждое тело может быть соединено упругим элементом с любым другим. Кинетическая энергия j -го тела будет m j y 2 J j 2j j Tj. (21.5.3) 2 Кинетическая энергия системы в целом найдется суммированием выраже ний вида (21.5.3) T Ti T j Tk... Tl.... (21.5.4) Потенциальная энергия пружин, соединяющих j -е и i -е твердое тело най дется по формуле 1 П ji cij yi lij i y j l ji j, r r r (21.5.5) 2r где r – число пружин, соединяющих j -е и i -е тело.

Полная потенциальная энергия упругих элементов будет суммой выраже ний (21.5.5) вида:

П Пij П jk... П jl.... (21.5.6) Функция Релея повторяет структуру выражений (21.5.4) и (21.5.6):

Ф Фi Ф j Фk... Фl Фij Ф jk... Ф jl.... (21.5.7) В формуле (21.5.7), например:

bj 2j bj y2 j Фj, (21.5.8) 2 bij yi lij i y j l r j, Ф ji r r (21.5.9) ji 2r r где b j,bj – коэффициенты внешнего рассеяния энергии, bij – коэффициенты внутреннего рассеяния энергии.

Как видно, выражение (21.5.8) подобно выражению (21.5.3), а выражение (21.5.9) – выражению (21.5.5).

Чтобы получить дифференциальное уравнение движения, необходимо рас смотреть два уравнения Лагранжа:

d T T П Ф Fyj ( t );

dt y j y j y j y j (21.5.10) d T T П Ф M j ( t ), dt j j j j где Fyj ( t ) – сумма проекций внешних возмущающих сил на ось y, приложен ных к j -му телу;

M j ( t ) – суммарный момент внешних сил, приложенных к j -му телу относительно центра инерции.

В развернутом виде уравнения (21.5.10) таковы:

m j j b j y j bij y j l r j y i lij i r r y ji r cij y j lij j y i lij i F yj ( t );

r r r (21.5.11) r J j j b j j b l y j l j y i l i rr r r ij ji ji ij r cij l r y j l r j y i lij i M j ( t ).

r r ji ji r Уравнениям (21.5.11) можно придать компактную матричную форму. Для этого введем матрицу инерции:

mi ;

mj ;

(21.5.12) 0;

J j матрицу внешнего рассеяния энергии:

bi ;

bj ;

(21.5.13) 0;

b j матрицы внутреннего рассеяния энергии:

bij ;

bij l r r r ji br r r r r 2 ;

ji (21.5.14) bij l ji ;

b jil ji r rr bij ;

bij lij b ij, (21.5.15) r bij lij ;

b r lij l r rr r ji ji а также матрицы жесткостей:

cij ;

lij l r r r ji c ji, (21.5.16) r cij l r ;

c rjil r r ji ji r rr cij ;

cij lij c ij. (21.5.17) r cij lij ;

c rjilij l r rr r ji Введем вектор перемещений:

u T y j, j j и возмущающих сил:

F jT ( t ) Fyj ( t ),M j ( t ).

Тогда уравнения (21.5.11) запишутся так:

m j u j b j brji u j brij ui crjiu j crij ui Fj ( t ).

(21.5.18) r r r r Если объединить все уравнения (21.4.11), то получим матричное уравнение:

mu bu cu F( t ), (21.5.19) где m – матрица инерции, b – матрица рассеяния энергии, c – матрица жестко стей, u T u1,u2,...,un – вектор перемещений, F( t )T F1T,F2T,...,FnT – вектор T T T возмущающих сил, n – число твердых тел.

Формирование матриц m, b, c в уравнении (21.5.19) осуществляется по формулам (21.5.12) – (21.5.17) согласно номерам твердых тел по правилам, ко торые следуют из уравнения (21.5.18).

Для этого поле, занимаемое, например, матрицей c, разбивается на квадрат ные блоки, число которых равно n. На диагонали с номером блочного элемента jj будет находиться матрица crji csjk... ctjl. В эту сумму входят мат r s t рицы жесткостей всех упругих элементов, присоединенных к j -му узлу.

Внедиагональные элементы, например, с номером ji, представляют собой сумму crij. В эту сумму входят матрицы жесткостей всех упругих элемен r тов, соединяющих элементы с номерами j и i.

2. Произвольная система твердых тел Принципиально система дифференциальных уравнений малых колебаний произвольной системы твердых тел, соединенных произвольным образом про извольным числом пружин, строится так же как и система уравнений для плос кого случая.

Анализируя уравнения (21.5.18) для плоской систе мы, нетрудно заметить, что все матрицы, которые в нее входят, формируются едино образно, поэтому достаточно было бы рассмотреть только два твердых тела, так как при любом их количестве соответ ствующие соотношения фор мально отличаются лишь ин дексами. При этом в начале формируется диагональный элемент, представляющий со бой сумму матриц по всем со седним элементам. Затем строятся внедиагональные элементы в соответствии с номерами масс, присоединен ных к основной массе.

Итак, рассматривается сложная механическая систе ма, состоящая из произволь ного количества твердых тел, соединенных между собой произвольным числом произ вольно расположенных упру- Рис. 21. гих элементов (рис. 21.8).

Малое перемещение некоторой точки ki i -го твердого тела можно запи сать в виде:

uki u0i i rki, (21.5.20) где uki ukix i ukiy j ukiz k – вектор малого перемещения точки ki ;

u0i u0ix i u0iy j u0iz k – вектор малого перемещения полюса Oi ;

i xi i yi j zi k – вектор малого угла поворота i -го твердого тела;

rki xki i yki j zki k – вектор, определяющий положение точки ki по отноше нию к полюсу Oi.

Величина вектора rki при малых перемещениях с точностью до этих малых величин является неизменной.

Формулу (21.5.20) можно записать в матричном виде. Для этого следует ввести матрицы-столбцы:

uki ukix ;

ukiy ;

ukiz ;

T u0i u0ix ;

u0iy ;

u0iz ;

T T ix ;

iy ;

iz, i и матрицу переноса перемещений в твердом теле:

0 zki yki rki zki 0 xki. (21.5.21) yki xki Тогда формулу (21.5.20) можно записать так:

uki u0i rki i. (21.5.22) Введем векторы перемещений:

U 0i u0ix ;

u0iy ;

u0iz ;

ix ;

iy ;

iz ;

T (21.5.23) U ki ukix ;

ukiy ;

ukiz ;

ix ;

iy ;

iz T (21.5.24) и матрицу yki 100 0 zki 0 1 0 zki 0 xki xki 0 0 1 yki Lki. (21.5.25) 000 1 0 000 0 1 000 0 0 Матрица (21.5.25) является комбинацией единичных матриц, матрицы (21.5.21) и нулевой матрицы. Тогда можем записать следующую зависимость между векторами (21.5.23) и (21.5.24) U ki LkiU 0i. (21.5.26) Не трудно проверить, что первые три строки матричного соотношения (21.5.26) соответствуют формуле (21.5.22). Остальные три строки дают тожде ство i i.

Геометрический смысл матрицы Lki заключается в том, что с ее помощью определяется линейное поле малых перемещений точек твердого тела через три проекции малого перемещения полюса и три проекции малых углов поворота тела вокруг полюса.

Таким образом, с помощью матричного соотношения (21.5.26) можно най ти разности перемещения и углов поворота концов упругих элементов, иными словами, найти деформации этих упругих элементов. А это, в свою очередь, по зволяет найти потенциальную энергию упругого элемента, выраженную через перемещения полюсов и углы поворотов твердых тел.

k В простейшем случае матрица жесткостей упругого элемента cij имеет диагональную структуру:

cx 0 0 0 0 0 cy 0 0 0 0 0 cz 0 0 c k. (21.5.27) ij 0 0 0 cx 0 0 0 0 0 c y 0 0 0 0 0 cz Здесь cx, c y, cz – коэффициенты жесткости упругого элемента при линей ных перемещениях;

cx, c, cz – коэффициенты жесткости при угловых переме y щениях. Если два твердых тела соединены, например, невесомой балкой, то k матрицу жесткости cij следует формировать по соответствующим формулам k строительной механики. Потенциальная энергия упругого элемента cij будет:


LkiU 0i LkjU0 j cijk LkiU 0i LkjU 0 j.

T Пij k (21.5.28) Здесь соотношения LkiU 0i LkjU 0 j представляют векторы разностей пере мещений точек крепления упругого элемента, иначе – векторы деформаций уп ругих элементов.

Если ввести матрицу инерции i -го твердого тела в виде mi 0 0 0 0 0 mi 0 0 0 0 0 mi 0 0 Mi, (21.5.29) 0 0 J xi J xyi J xzi 0 0 J yxi J yi J yzi 0 0 J zxi J zyi J zi то для кинетической энергии получим формулу 1 T Ti U 0i M iU 0i mi u0ix u0iy u0iz J xi ix J yi iy J zi iz 2 2 2 2 2 2 (21.5.30) 2J xy ix iy 2J xzi ix iz 2J yzi iy iz.

Формула (21.5.30) является следствием теоремы Кенига для свободного твердого тела. При этом считается, что полюс Oi является центром масс.

В противном случае матрица (21.5.29) имеет более сложную структуру.

Если ограничиться внутренним рассеянием энергии, то функция Релея бу дет подобна по структуре потенциальной энергии системы. Например, для уп k ругого элемента сij будем иметь LkiU 0i LkjU0 j bijk LkiU 0i LkjU 0 j.

T Фij k (21.5.31) k Матрица коэффициентов внутреннего рассеяния bij подобна по структуре k матрице сij. Характерная матричная строка для i -го элемента будет иметь вид M U LT b k L U LT b k L U i 0i ki ij ki 0i ki ij kj 0j k k (21.5.32) LT cij LkiU 0i LT cij LkjU 0 j Fi, k k ki ki k k где Fi Fxi,Fyi,Fzi,M xi,M yi M zi – вектор нагружения i -го тела. Каждая мат T ричная строка (21.5.32) содержит шесть характерных уравнений. Уравнения (21.5.32) имеют структуру, характерную для метода конечных элементов.

Система уравнений в целом имеет вид (21.5.19).

21.6. Динамическое гашение колебаний Рассмотрим систему с двумя степенями свободы (рис. 21.9).

Обе массы m1 и m2 могут перемещаться только в вертикальном направлении. К массе m1 приложена воз мущающая сила Q1 H sin pt. Оказывается, что при оп ределенном значении жесткости c12 и массы m2 можно существенно уменьшить колебания массы m1. Начало отсчета перемещения обоих масс расположим в поло жении статического равновесия, благодаря чему упро щается выражение потенциальной энергии. Обобщен ные координаты системы – это x1 – перемещение первой массы и x2 – перемещение второй.

Уравнений Лагранжа у рассматриваемой системы два:

d T T П Q1 ;

Рис. 21. dt x1 x1 x (21.6.1) d T T П Q2.

dt x2 x2 x Кинетическая энергия системы:

2 m1 x1 m2 x T. (21.6.2) 2 Потенциальная энергия определяется деформациями пружин:

c01 x1 c12 x2 x П. (21.6.3) 2 Здесь ( x2 x1 ) – деформация пружины c12, равная разности перемещений ее концов.

Найдем величины, входящие в уравнение (21.6.1). Согласно (21.6.2) и (21.6.3), имеем:

d T d T m1 x1 m1 1 ;

0;

x dt x1 dt x П c01 x1 c12 x2 x1 ;

Q1 H sin pt;

x d T d T m2 x2 m2 2 ;

0;

x dt x2 dt x П c12 x2 x1 ;

Q2 0.

x Тогда уравнения колебаний системы без учета сил сопротивления будут:

m1 1 c01 x1 c12 x1 x2 H sin pt;

x (21.6.4) m2 2 c12 x2 x1 0.

x Найдем частоту свободных колебаний. Для этого рассмотрим однородную систему дифференциальных уравнений (21.6.4), когда возмущающая сила от сутствует:

m1 1 c01 x1 c12 x1 x2 0;

x (21.6.5) m2 2 c12 x2 x1 0.

x Будем искать решение системы (21.6.5) в виде:

x1 A1 sin k1t;

x2 A2 sin kt, (21.6.6) где A1, A2 – амплитуды свободных колебаний;

k – частота свободных колеба ний.

Подставляя ожидаемое решение (21.6.6) в уравнение (21.6.5), после не сложных преобразований получим:

m1k 2 c01 c12 A1 c12 A2 0;

c12 A1 m2 k 2 c12 A2 0.

Это однородная система алгебраических уравнений относительно ампли туд свободных колебаний A1 и A2 имеет нетривиальное решение в том случае, когда ее определитель равен нулю:

m1k 2 c01 c12 ;

c 0.

c12 ;

m2 k 2 c Но определитель равен нулю только при определенных значениях частот, а именно, когда частоты представляют собой частоты свободных колебаний.

Таким образом, из условия равенства нулю определителя системы получа ем частотное уравнение:

m k c01 c12 m2 k 2 c12 c12 0.

2 Откуда имеем c c c cc k 4 01 12 12 k 2 01 12 0. (21.6.7) m1 m2 m1m Решая это биквадратное уравнение, получаем формулы для двух собствен ных частот колебаний:

1c c c 1 c01 c12 c12 c01c k 01 12 12.

1, 2 m1 m2 4 m1 m2 m1m Под корнем находится положительная величина. Поэтому величина k всегда положительна и, следовательно, корни частотного уравнения (21.6.7) вещественны. Найдем амплитуды вынужденных колебаний. Для этого рассмот рим систему дифференциальных уравнений (21.6.4). Будем искать ее решение в виде:

x1 A1 sin pt;

x2 A2 sin pt, (21.6.8) где p – частота возмущающей силы.

Подставляя выражения (21.6.8) в уравнения (21.6.4) получим систему ал гебраических уравнений для амплитуд колебаний:

m1 p 2 c01 c12 A1 c12 A2 H ;

(21.6.9) c12 A1 m2 p c12 A2 0.

Для решения системы (21.6.9) воспользуемся методом определителей:

H m2 p 2 c A1 ;

(21.6.10) Hc A2, где m1 p 2 c01 c12 m2 p 2 c12 c12.

Согласно (21.6.10) при c12 m2 p 2 амплитуда колебаний первой массы об ращается в нуль. Таким образом, при отсутствии рассеяния энергии в системе c на частоте p 12 происходит гашение колебаний.

m Если изобразить зависимость амплитуды колебаний A1 как функцию час тоты возмущающей силы p, то получим картину, изображенную на рис. 21.10.

Это амплитудно-частотная характеристика. При прохождении через резо нансы в точках k1 и k2, когда частота возмущающей силы совпадает с собст венными частотами, амплитуда обращается в бесконечность и скачкообразно c меняет знак. На частоте гашения p 12, как было отмечено выше, теорети m чески A1 0. Однако из-за наличия сил сопротивления амплитуда колебаний отлична от нуля. Если учесть силы сопротивления, то амплитудно-частотная характеристика имеет вид, показанный пунктиром. При этом возможно сущест венное снижение уровня вибрации в значительном диапазоне частот.

A Рис.Рис 21. Рассмотрим учет рассеяния энергии. Различают внешнее и внутреннее рас сеяние энергии.

Ограничимся вязким сопротивлением. В этом случае рассеяние энергии характеризуется функцией Релея. Причем, часть функции Релея, которая харак теризует внешнее рассеяние энергии, подобна по структуре кинетической энер гии. Внутреннее рассеяние энергии зависит от разности скоростей движения концов упругих элементов. Поэтому часть функции Релея, которая характери зует внутреннее рассеяние энергии, подобна по структуре потенциальной энер гии.

Таким образом, в рассматриваемом нами случае функция Релея такова:

b1 x1 b2 x2 b01 x2 b12 x2 x 2 Ф.

2 2 2 И, если учесть рассеяние энергии, вместо уравнений (21.6.4) получим:

m1 1 b1 x1 b01 x1 b12 x1 x2 c01 x1 c12 x1 x2 H sin pt;

x (21.6.11) m2 2 b2 x2 b12 x2 x1 c12 x2 x1 0.

x Уравнения (21.6.11) можно записать в матричном виде. Для этого введем xT x1, x вектор перемещений и вектор возмущающих сил QT Q1,Q2 H sin pt,0. Здесь индекс T означает транспонирование.

Введем матрицу масс m, матрицу рассеяния энергии b и матрицу жестко стей c :

b1 b01 b12 ;

b12 c01 c12 ;

c m ;

m 1 ;

b ;

c.

b12 ;

b2 b12 c12 ;

0;

m2 c Тогда система уравнений (21.6.11) запишется в виде:

mx bx cx Q.

(21.6.12) При этом все матрицы, которые входят в уравнение (21.6.12), имеют сим метричную структуру.

21.7. Построение математической модели сложной механической системы Дифференциальные уравнения динамики сложной механической системы в матричном виде записываются следующим образом:

mu bu cu F( t ), (21.7.1) где u – вектор перемещений узловых точек системы n -го порядка, n – число степеней свободы системы, m – матрица масс, b – матрица рассеяния энергии, c – матрица жесткостей, F( t ) – вектор возмущающих сил.

Собственные частоты и формы колебаний находятся из решения однород ной системы уравнений:

mu cu 0.

(21.7.2) Будем искать ее решение в виде:

u A sin t, (21.7.3) где A – вектор амплитуд колебаний. Поставив (21.7.3) в уравнение (21.7.2), получим m2 c A 0. (21.7.4) Однородная система алгебраических уравнений (21.7.4) имеет нетривиаль ное решение, когда ее определитель равен нулю:

m2 c 0. (21.7.5) Условие равенства нулю определителя (21.7.5) приводит к частному реше нию n -го порядка относительно 2, которое имеет n корней, равное числу сте пеней свободы системы. Эта задача по существу является задачей на собствен ные значения. Задача по нахождению собственных форм колебаний является задачей по нахождению собственных векторов их системы уравнений:

mi2 c Ai 0, (21.7.6) где i2 – квадрат i -й собственной частоты;

Ai – вектор амплитуд i -й формы ко лебаний. Собственные формы колебаний ортогональны. Действительно, если умножить соотношения mi2 c Ai 0 и m2j c Aj для i -й и j -й форм соответственно, первое на Aj, а второе на Ai, то получим:

mi c Ai Aj 0;

T (21.7.7) m c Aj Ai 0.

T j В силу симметрии матрицы c и матрицы m имеем:

Aj cAj Ai ;

cAi T T Aj mAj Ai.

mAi T T Поэтому, если вычесть из первой строки (21.7.7) вторую, то окажется, что 2j i2 mAi T Aj 0.

Собственные частоты j и i считаем различными. Тогда остается при нять, что 0,i j;

mAi T Aj (21.7.8) Ai i j.

mAi T В выражении (21.7.8) Ai Ai называется энергетической нормой i -й форм колебаний. При этом очевидно, что:

i2 mAi Ai cAi Ai, T T (21.7.9) cAi T Aj 0. (21.7.10) Будем искать решение уравнения (21.7.1) в виде ряда по формулам собст венных колебаний:

n u i ( t )Ai, (21.7.11) i где i ( t ) – неизвестные коэффициенты, являющиеся функциями времени.

Подставим выражение (21.7.11) в уравнение (21.7.1):

n n n m i ( t )Ai b i ( t )Ai c i ( t )Ai F( t ).

(21.7.12) i 1 i 1 i Умножим скалярно уравнение (21.7.12) на векторы Aj, j 1,n. Тогда полу чим n уравнений вида:


T n n n m i ( t )Ai b i ( t )Ai c i ( t )Ai Aj F ( t )Aj.

T (21.7.13) i 1 i 1 i Уравнение (21.7.13) существенно упрощается, если воспользоваться усло виями (21.7.8):

T n j ( t ) Aj b i ( t )Ai Aj 2j j ( t ) Aj F T ( t )Aj.

2 (21.7.14) i 1 Если бы матрица b была подобна матрице m или c, то второе слагаемое также упростилось бы и система разбилась бы на независимые уравнения.

bA T bAi T Aj Aj j 2n jj и 2nij, запишем систему уравнений Обозначая 2 Aj Aj (21.7.14) в виде F T ( t )Aj n j ( t ) 2n jj j ( t ) j ( t ) 2nij i ( t ) 2 (21.7.15).

j Aj i i j Если структуры матриц b и c близки, то можно пренебречь слагаемыми с nij. Тогда вместо (21.7.15) получим:

F T ( t )Aj j ( t ) 2n jj j ( t ) j ( t ) 2 (21.7.16).

j Aj Начальные условия для коэффициентов i ( t ) получаются из соотношений:

n u0 i ( 0 )Ai, i n u0 i ( 0 )Ai.

i Умножая их на матрицу m, а затем на Aj, получаем:

( mu0 )T Aj j ( 0 ) Aj, ( mu0 )T Aj j ( 0 ) Aj.

( mu0 )T Aj ( mu0 )T Aj Откуда следует: j ( 0 ), j( 0 ).

2 Aj Aj Преобразуем (21.7.16) по Лапласу и найдем преобразованные коэффициен ты j ( p ) :

F( p ) m( pu0 u0 ) bu0 F( p ) m( pu0 u0 ) bu T T Aj Aj j( p ),(21.7.17) p T p T1 j p 2 2n jj p Aj 2 2 2 2 Aj j j 2j 2n jj где T22j ;

T1 j 2.

2j j Подставляя выражение (21.7.17) при нулевых начальных условиях в пре образованное по Лапласу решение (21.7.11), найдем:

n F T ( p )A A u jj 22 (21.7.18).

T2 j p T1 j p A i j j A A F( p ) k F( p ).

T F T ( p )Aj Aj j j При этом j 2 2j Aj 2j Aj AT Aj j Величины k j образуют матрицу коэффициентов усиления. Эта Aj j матрица имеет диадную структуру. Тогда формула (21.7.18) перепишется так:

kj n u 2 2 (21.7.19) F( p ).

T2 j p T1 j p j Рассмотрим действие на упругую систему сосредоточенной силы. Для на хождения динамического перемещения можно воспользоваться формулой (21.7.19), оставив в векторе F( p ) одну составляющую. Положив p i, полу чим амплитудно-фазо-частотную характеристику (АФЧХ).

Типичный вид такой характеристики показан на рис. 21.11.

На рис. 21.11 показан график kj n W ( i ) 2 2.

T2 j iT1 j j Рис. 21. Для получения математической модели упругой системы, предположим, что каждый виток АФЧХ соответствует одному члену ряда (21.7.19). Кроме то го, будем считать, что соседние витки АФЧХ мало влияют на экстремальные точки 1 max, 1 и т.д. Амплитуды A1, A2 и т.д. будем находить приближенно, экстраполируя витки АФЧХ, при этом воспользуемся формулами (13.8.5), (13.8.6), (21.3.1) и (21.3.16) для системы с одной степенью свободы. Тогда, на пример, 1 max T 1, k1 A1T111 и т.д.

T В формуле (21.7.19) оставляем столько членов ряда, сколько витков прояв ляют себя существенным образом на АФЧХ. На рис. 21.11 их три. Следователь но, в ряду (21.7.19) необходимо оставить три члена. После построения форму лы (21.7.19) сравниваем теоретическую и экспериментальную АФЧХ. Обычно без труда удается получить хорошее приближение модельной кривой, постро енной по формуле (21.7.19) к экспериментальной кривой. Если АФЧХ сначала строится путем непосредственного решения системы (21.7.1), которая иногда имеет порядок несколько сотен и более, то обычно на АФЧХ также получается лишь несколько витков, например, для несущих систем металлорежущих стан ков их два, три и в редком случае – четыре. Поэтому в ряду (21.7.19) берется также два, три или четыре члена и они моделируют решение нескольких сотен или тысяч уравнений.

Рис. 21. В качестве примера приведем график АФЧХ для тяжелого фрезерного станка из работы [11] и ее представление по формуле (21.7.19):

W( ) 1.90 3.3898 10 2 2 i5.5010 10 3 8.777 1.6949 10 2 2 i2.2203 10 3 (21.7.20) 3.00 1.3513 10 2 2 i1.5 10 3 1.

На рис. 21.12 сплошной линией показан график, соответствующий форму ле (21.7.20). Пунктирная линия получена экспериментально. Для построения теоретической зависимости решалась система 72 порядка. Решение этой систе мы моделируется формулой (21.7.20) с высокой точностью.

21.8. Анализ выражения кинетической энергии для нестационарной голономной системы Для того, что бы составить уравнения Лагранжа второго рода, нужно пред варительно найти выражение кинетической энергии в виде зависимости от вре мени t, обобщенных координат q j и обобщенных скоростей q j, i 1,n.

В случае нестационарной голономной системы выражения для скоростей точек записываются в виде ri r n i qj.

vi t j 1 q j Следовательно, для кинетической энергии получим формулу r r r r 1N 1N n n T mi vi2 mi i i q j i i ql 2 i 1 t j 1 q j t l 1 ql 2 i 1 (21.8.1) 1 n n n Ajl q j ql B j q j C.

2 j 1 l 1 j В выражении (21.8.1) коэффициенты Ajl, B j и C – функции от времени t и обобщенных координат q j, i 1,n, определяются равенствами:

ri ri N Ajl mi, q j ql i ri ri N B j mi (21.8.2), q j t i r 1N C mi i, j, l 1,n.

2 i 1 t Формула (21.8.1) показывает, что кинетическая энергия голономной сис темы представляет собой многочлен второй степени относительно обобщенных скоростей:

T T2 T1 T0, (21.8.3) где 1n n n T2 Ajl q j ql,T1 B j q j,T0 C.

(21.8.4) 2 j 1 l 1 j В случае стационарных связей время t явно не входит в зависимость ri и qi и поэтому ri 0, i 1,N.

t Но тогда, согласно равенствам (21.8.3), B j C 0 и 1N n Ajl q j ql.

T T2 (21.8.5) 2 j 1 l Таким образом, кинетическая энергия голономной системы при стацио нарных связях представляет собой однородную квадратичную форму обобщен ных скоростей. Квадратичная форма T2 для произвольной голономной системы, независимо от того, стационарны или нестационарны наложенные связи, всегда является невырожденной, то есть определитель, составленный из ее коэффици ентов, отличен от нуля:

det Ajl 0. (21.8.6) j,l 1,n Действительно, если это не так, то однородная система линейных уравнений n A 0, j 1,n (21.8.7) jl l l имеет вещественное решение, отличное от нуля.

Умножая систему на j и суммируя по j от 1 до n, с учетом формул (21.8.2) получим:

N r r n r n n n n N 0 Ajl l j mi i i l j mi i j.

q j ql j 1 q j 1 l 1 i 1 j 1 l 1 i 1 j Последнее равенство возможно лишь при условии, что r n qi j 0, i 1,N.

j 1 j Эти N векторных равенств можно заменить 3N скалярными:

xi yi z n n n q j 0;

j 0 ;

i j 0, i 1,N. (21.8.8) j 1 q j j 1 q j j 1 j Равенства (21.8.8) показывают, что в якобиане x1 x,..., q1 qn y1 y,..., q1 qn z1 z,,..., q1 qn...

z N z,..., N q1 qn столбцы линейно зависимы, то есть ранг этой функциональной матрицы меньше n. Тогда среди 3N функций xi, yi, zi, i 1,N от n аргументов q j, j 1,n, при условии что t рассматривается как параметр, имеется лишь независимых, через которые могут быть выражены все остальные декартовы координаты системы. Но минимальное число независимых координат системы равно числу степеней свободы n, а n. Следовательно, мы пришли к проти воречию, и остается принять, что неравенство (21.8.6) выполняется.

Величина T2 представляет собой кинетическую энергию при «заморо женных» связях. Поскольку T2 0, то из неравенства (21.8.6) следует, что квад 1N n ратичная форма T2 Ajl q j ql является положительно определенной, при 2 j 1 l этом T2 0 только тогда, когда q j 0, j 1,n.

Поэтому для коэффициентов Ajl имеют место неравенства Сильвестра:

A11 A12...A1n A11 A12 A21 A22...A2n A11 0, 0,..., 0. (21.8.9) A21 A22...

An1 An2...Ann В качестве примера рассмотрим составление уравнений движения матема тического маятника длиною l, точка O1 подвеса которого совершает гармони ческие колебания в вертикальной плоскости вдоль прямой, наклоненной под углом к горизонту. Эта система с нестационарной связью (рис. 21.13).

Пусть OO1 a sin t. Найдем координаты точки М:

x l cos a sin sin t;

y l sin a cos sin t.

Проекция скорости на оси координат:

x l sin a sin cos t;

y l cos a cos cos t.

Квадрат скорости точки М будет:

v 2 x 2 y 2 l 2 2 a 2 2 cos 2 t 2la cos( )cos t.

Следовательно, кинетическая энергия:

T m l 2 2 2la cos( )cos t a 2 2 cos 2 t.

Рис. 21. Откуда T ml 2 mla cos( )cos t;

T mla sin( )cos t.

Виртуальная работа A mg x mgl sin.

Откуда получаем выражение обобщенной силы:

Q mgl sin.

Следовательно, уравнение Лагранжа будет:

d ml 2 mlac cos t cos( ) mla sin( )cos t mgl sin.

dt Откуда ml 2 mla2 sin t cos( ) mgl sin 0.

Или a g 2 sin t cos( ) sin 0.

l l При малых углах это уравнение имеет вид:

g a a 2 sin sin t 2 cos sin t.

l l l Диссипативная функция такова:

Ф k l 2 2 2la cos( )cos t a 2 2 cos 2 t.

2 Здесь k – коэффициент сопротивления. Соответствующая обобщенная сила:

Ф kl 2 kla cos( )cos t.

Qv Уравнение колебаний с учетом рассеяния энергии:

g a k k sin 2 sin t cos t cos( ) 0.

l m l m При малых углах получаем:

g a k k 2 sin t cos t sin m l l m a k 2 sin t cos t cos.

l m 21.9 Диссипативная функция для сил сопротивления общего вида До сих пор мы рассматривали силы сопротивления, пропорциональные скорости движения. Здесь будут рассмотрены силы сопротивления общего вида.

Диссипативными силами называются силы сопротивления движению то чек системы, направленные противоположно их скорости.

Рассмотрим случай сил сопротивления, представленных в виде:

v Fi ki f i vi i, i 1,N, (21.9.1) vi где vi – величина скорости точки M ;

ki и fi vi положительные функции соот ветственно от обобщенных координат и от скоростей vi.

Соответствующие этим силам обобщенные силы определяются равенствами:

v r v v N N Qs ki fi vi i i ki fi vi i i.

vi qs vi qs i 1 i Замечая, что vi 1 1 vi2 v vi vi vi i, vi qs 2 qs 2 qs qs найдем:

v vi N i Ф N Qs ki f i vi ki fi ( u )du q, s 1,n, (21.9.2) qs qs i 1 s i где vi N Ф ki f i ( u )du (21.9.3) i 1 называется диссипативной функцией. Поскольку подынтегральная функция по ложительна, то Ф 0. При f i vi vi из (21.9.3) получаем диссипативную функцию Релея.

Диссипативная функция была введена Релеем в классическом труде «Тео рия звука» для сил сопротивления, пропорциональных первой степени скоро сти. Это понятие А. И. Лурье обобщил на силы общего вида.

При одночленной степенной зависимости для сил сопротивления fi vi vim и стационарных связях диссипативная функция m r 1N 1N n s 1 q ki i qs ki vim Ф (21.9.4) m 1 i 1 m 1 i 1 s будет однородной функцией m 1 степени от обобщенных скоростей.

Мощность диссипативных сил в рассматриваемом случае будет:

Ф n n N Qs q s q ( m 1 )Ф.

(21.9.5) s qs s 1 s При m 0 формула (21.9.5) соответствует Кулонову (сухому) трению, при m 1 – силам вязкого трения, пропорциональным первой степени скорости, m 2 – силам квадратичного сопротивления.

При выполнении операции дифференцирования в формуле (21.9.2) следует учесть, что в Ф входят модули обобщенных скоростей.

Например, при сопротивлении, пропорциональном четной степени скоро сти и n 1, получим:

k 2 s Ф q, 2s q Q kq 2 s kq 2 s signq, q где signq означает знак скорости q. Если q 0, то signq 1, и если q 0, то signq 1. Рассмотрим движение системы относительно движущихся осей Oxyz, но будем считать, что время и выражения радиус-векторов ri точек системы по отношению к полюсу O явно не входит. Силы сопротивления, дей ствующие на точки системы, определяются их скоростями относительно окру жающей среды.

Пусть, например, рассматривается движение математических маятников, точки подвеса которых имеют по отношению к земле скорость v0. Скорость на бегающего потока V. Скорость маятника по отношению к подвижной системе Oxyz – vi. Абсолютная скорость i-го маятника будет:

va v0 vi, а его скорость относительно потока равна v0 vi V. Следовательно, v0 vi V Fi ki fi v0 vi V.

v0 vi V Обозначим vi* v0 V, вместо предыдущей формулы получим:

v * vi i Fi ki fi vi vi *.

v *i vi Величина v * не зависит от обобщенных скоростей. Поэтому:

i vi vi vi* vi, qs qs qs и, следовательно, vi* vi vi* vi N Qs ki fi vi vi * v *i vi qs i Ф N ki fi vi* vi vi* vi, qs q i 1 s где vi* vi N Ф ki fi ( u )du.

i 1 21.10. Уравнения Лагранжа второго рода для системы, находящейся под действием потенциальных сил. Интеграл энергии. Гироскопические силы В этом случае уравнения, согласно (21.2.6), записываются в виде:

d T T П, j 1,n. (21.10.1) dt q j q j q j Учитывая, что потенциальная энергия при нестационарных связях является функцией только обобщенных координат и времени П П q1,q2,....qn,t, и, следовательно П 0, q j то уравнение (21.10.1) можно представить в иной форме:

d ( T П ) (T П ) 0.

q j q j dt Обозначая T П L, (21.10.2) окончательно получим:

d L L 0, j 1,n. (21.10.3) dt q j q j Уравнения (21.10.3) являются уравнениями Лагранжа второго рода для го лономных систем, находящихся под действием потенциальных сил. Функция L T П, представляющая разность между кинетической и потенциальной энергией, называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом. Эта разность, как и кинетическая энергия T, является функцией второй степени от обобщенных скоростей q j, то есть L L2 L1 L0 T2 T1 П *, (21.10.4) П * П T0.

где Величину П * можно называть измененной потенциальной энергией. Она зависит только от обобщенных координат и в общем случае от времени.

Рассмотрим так называемый интеграл энергии.

Уравнение Лагранжа второго рода представляют систему n обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Это система линейна относи тельно обобщенных ускорений q j и, поскольку det Ajl 0, то последние j,l 1,n могут быть из нее определены через обобщенные координаты q j, обобщенные скорости q j и время t :

qs f s q1,...,qn,q1,...,qn,t, s 1,n.

(21.10.5) Пусть дана некоторая функция обобщенных координат скоростей и времени:

q1,...,qn,q1,...,qn,t.

(21.10.6) Ее производной по времени в силу уравнений движения называется выра жение:

d n qs q, s t s 1 qs qs dt в котором обобщенные ускорения qs заменяются согласно уравнениям (21.10.5) d n qs f. (21.10.7) s t s 1 qs qs dt Если производная функции по времени, составленная в силу уравнений движения, окажется тождественно равной нулю, то это будет означать, что сама функция будет сохранять постоянное значение. В этом случае функция называется первым интегралом уравнений движения.

Составим производную по времени в силу уравнений движения от кинети ческого потенциала L :

dL L n L L qs qs dt t s 1 qs qs L n L d L qs q (21.10.8) s t s 1 qs dt qs Ф n n Qs qs * q.

s s 1 qs s L В данном выражении производные заменены их значениями из урав qs нения (21.2.6) с учетом того, что L T П. Назовем величины T L ps (21.10.9) qs qs обобщенными импульсами. То есть обобщенный импульс – это производная кинетической энергии по обобщенной скорости. Учитывая (21.10.9), вместо (21.10.8) можно записать:

L n * Ф dn n ps qs L t Qs qs q qs.

(21.10.10) s dt s 1 s 1 s Итак, согласно (21.10.10),уравнения движения допускают первый инте грал, если все активные силы потенциальны, а время t явно не входит в выра жение кинетического потенциала. Тогда правая часть выражения (21.10.10) об ращается в нуль. И, следовательно, L n n ps qs L q L h, (21.10.11) s qs s 1 s где h – постоянная величина.

Учитывая, что T2 – однородная квадратичная функция, а T1 – однородная обобщенная форма скоростей, найдем:

T2 T qs 2T2, 1 qs T1.

qs qs После чего выражение (21.10.11), вспоминая формулу для L, можно пере писать так: 2T2 T1 T2 T1 T0 П h или T2 П T0 h. (21.10.12) Формула (21.10.12) и есть интеграл для нестационарной системы, подчи ненной голономной связям. Если же связи стационарны, то (21.10.12) запишет ся так:

E T П h, (21.10.13) что выражает закон сохранения полной механической энергии системы. При стационарных связях L явно от времени не зависит. Тогда из равенства (21.10.10) с учетом обозначения (21.10.13) получим Ф n n dE Qj q j * q. (21.10.14) j j j 1 q dt j В первой части (21.10.14) находится мощность обобщенных сил Q*j и дис сипативных сил Q v. То есть изменение полной механической энергии системы, j подчиненной стационарным связям, равна мощности непотенциальных сил.

Наличие в выражении кинетической энергии для нестационарной системы величины T1 приводит к появлению так называемых гироскопических сил.

Запишем уравнение Лагранжа второго рода в виде s ( L ) Qs, s 1,n, (21.10.15) d где s – Эйлеров оператор;

Qs – обобщенные непотенциальные dt qs qs силы.

Уравнения движения (21.10.15) можно переписать так:

П * s T2 s T1 Qs, s 1,n. (21.10.16) qs Поскольку T2 – положительно определенная квадратичная форма обоб щенных скоростей, то ее можно рассматривать, как кинетическую энергию не которой системы. Тогда все члены, стоящие справа, в том числе и – s T1, можно трактовать как обобщенные силы. Найдем dn n Bk qk q Bk qk s T1 dt qs k k s (21.10.17) Bk Bs Bk Bs dBs n n qk qk.

k 1 qs t k 1 qs qk dt Величины Bk Bs sk ks (21.10.18) qs qk образуют кососимметричную матрицу 12... 1n 12 0... 2n. (21.10.19) 1n 2n... Выражение B B n n Г s k s qk sk qk (21.10.20) k 1 qs qk k называется обобщенной гироскопической силой, слагаемые sk qk – гироскопи ческими силами и, соответственно, sk – гироскопическим коэффициентом.

Виртуальная мощность гироскопических сил равна нулю. Действительно, со гласно (21.10.18), n n n N Г Г s qs sk qk qs 0.

s 1 s 1 k Этим объясняется исчезновение величины T1 в интеграле энергии (21.10.12).

Уравнения движения (21.10.16) теперь можно представить так:

П * Bs s T2 Г s Qs, s 1,n. (21.10.21) qs t Обобщенные скорости входят в это уравнение линейно, причем, поскольку ss 0, то в соответствующее уравнение не входит обобщенная скорость qs, а матрица, составленная из коэффициентов гироскопических сил, должна быть кососимметричной.

В качестве примера составим уравнения движения материальной точки массой m, которая движется в потенциальном силовом поле с потенциальной энергией П( x, y,z ), относительно подвижной системы отсчета (O, x, y, z ), вра щающейся с постоянной угловой скоростью вокруг оси z. Вращение проис ходит по отношению к инерциальной системе отсчета ( O, x1, y1, z1 ), рис. 21.14, причем t.

Выберем в качестве обобщенных коорди нат точки x, y, z в подвижной системе отсчета.

Для составления уравнений Лагранжа вычис лим проекции абсолютной скорости на под вижные оси:

vx x y;

v y y x;

vz z.

Тогда кинетическая энергия точки будет:

Рис. 21. m x y y x z 2 T 2 m x2 y 2 z m xy yx m2 x 2 y 2.

Составим уравнения Лагранжа П П П x T ;

y T ;

z T, x y z где T T d d mx my my m2 x m 2y 2 x ;

x T x x x dt dt T T d d my mx mx m2 y m 2x 2 y ;

y T y y y dt dt z T mz.

Следовательно П П П m 2y 2 x ;

m 2x 2 y ;

mz x y.

x y z Полученные уравнения представляют собой уравнения относительного движения точки. Первые два уравнения можно представить в виде:

П П 2mx m2 y.

mx 2my m2 x;

my x y Последние члены этих уравнений представляют собой проекции центро бежной силы инерции, а предпоследние – проекции кориолисовой силы инер ции.

В данном примере уравнения, дающие связь декартовых координат точки в инерциальной системе ( O, x1, y1, z1 ) с обобщенными координатами x, y, z, име ют вид:

x1 x cos t y sin t, y1 x sin t y cos t, z1 z.

Эти уравнения содержат время t явно. Следовательно система не является стационарной. Поэтому кинетическая энергия имеет вид T T1 T2 T0, где 1 T2 m x 2 y 2 z 2,T1 m xy yx,T0 m2 x 2 y 2.

2 Но поскольку T и П явно от времени не зависят, то имеет место интеграл энергии:

T2 T0 П h, 1 m x 2 y 2 z 2 m2 x 2 y 2 П h.



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.