авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ...»

-- [ Страница 7 ] --

2 В интеграле энергии первый член представляет собой кинетическую энер гию точки в относительном движении, а второй – потенциал центробежной си лы инерции, который складывается с потенциальной энергией П. Гироскопиче ский член T1 m xy yx в интеграл энергии не входит. Гироскопические си лы будут:

d T1 T QxГ x T1 2my;

dt x x d T1 T QyГ y T1 2mx.

dt y y То есть гироскопической силой является кориолисовая сила инерции. Ее мощность N Г QxГ x QyГ y 2m yx xy 0, что соответствует общим соображениям, высказанным ранее.

21.11. Уравнения Лагранжа второго рода, разрешенные относительно старших производных Запишем в явном виде левые части уравнения (21.10.21):

d 1 n n 1 n n A dn Akm qk qm Aks qk km qk qm s ( T2 ) dt qs qs 2 k 1 m 1 2 k 1 m 1 qs dt k n 1 Akm A A n n n Aks qk ks qk qm ks qk.

k 1 m 1 qm 2 qs k 1 t k Преобразуем выражение n Aks 1 Akm 1 n n A A A n 1 m 1 q 2 q qk qm ms ks km qk qm 2 k 1 m 1 qk qm qs m s k n n k,m,s qk qm, k 1 m где величины k,m,s – называются символами Кристоффеля первого рода для матрицы Aks k,s 1,m A квадратичной формы T2. Уравнения (21.10.21) теперь записываются так:

П * n n n Aks qk m 1 k,m,s qk qm Г s Qs q k 1 k 1 s (21.11.1) Bs A n ks qk, s 1,n.

t k 1 t Матрица A является невырожденной. Элементы обратной матрицы най дутся по формуле:

Asl1 sl, A где sl – алгебраическое дополнение элемента Asl определителя A матрицы A.

Умножив на Asl1 каждое уравнение (21.11.1) и просуммировав по всем s эти произведения, получим n n n ql Asl1 k,m,s qk qm s 1 m 1 k (21.11.2) Aks П * Bs n n Asl1 Г s Qs qk.

qs t t s 1 k Здесь учтено, что 0, k l, 1n n Aks Asl kl 1, k l.

Aks Asl A s 1 s Введем величины:

ll n Asl1 k,m,s k m m k, (21.11.3) s которые называются символами Кристоффеля второго рода для матрицы A.

После чего уравнения (21.11.3) перепишутся в виде:

l n n ql qk qm m 1 k 1 k m (21.11.4) Aks П * Bs n n Asl1 Г s Qs qk, l 1,n.

qs t t s 1 k В случае стационарных связей уравнения (21.11.1) и (21.11.4) упрощаются и принимают вид:

П n n n 1 Aks qk 1 m 1 k,m,s qk qm Qs q, s 1,n;

(21.11.5) k k s 1 П s n n n qs qk qm Als Ql, s 1,n.

(21.11.6) ql k 1 m 1 k m l 21.12. Циклические координаты Обобщенную координату qs голономной системы будем называть цикли ческой, если соответствующая ей обобщенная сила равна нулю, а также кине тическая энергия T T2 T1 T0 не зависит от этой координаты. Обобщенная скорость qs будет называться циклической обобщенной скоростью. Нецикличе ские координаты называются позиционными.

Если система подчинена потенциальным силам, то циклическими коор динатами будут те координаты, которые не входят в выражение кинетического потенциала L.

Так, например, если материальная точка массы m движется в плоскости под действием ньютоновой центральной силы тяготения, то, пользуясь поляр ными координатами, можно записать:

M M m m T r 2 r 2 2, П m, L r 2 r 2 m, 2 r 2 r где r – расстояние точки до центра тяготения;

– гравитационная постоянная;

M – масса центрального тела;

– угловая координата, которая является цик лической.

Пусть в системе с n степенями свободы позиционными являются коорди наты q1,...,qk, а остальные qk 1,...,qn – циклическими.

Тогда Qs Qs q1,...,qk, s 1,k, Qk 1 0,...,Qn 0, (21.12.1) T T q1,...,qk ;

q1,...,qn ;

t, (21.12.2) и в случае потенциальных сил L L q1,...,qk ;

q1,...,qn ;

t.

(21.12.3) Выражение кинетической энергии может быть разбито следующим обра зом:

T T2 T1 T0 T2* V T2** T1* T1** T0 q1,...,qk, t. (21.12.4) Здесь T2* и T2** – квадратичные формы соответственно позиционных и циклических скоростей, V – их билинейная форма:

1k k T2 Asr qs qr, * 2 r 1 s 1 nk nk T2** Ak s,k r qk s qk r, (21.12.5) 2 r 1 s 1 k nk V Ar,k s qr qk s.

2 r 1 s Величины T1* и T1** представляют линейную часть кинетической энергии также определяемую соответственно позиционными и циклическими скоростя ми:

nk k T Bs qs,T1** Bk s qk s.

* (21.12.6) s 1 s Квадратичные формы T2* и T2** образованы с помощью квадратных матриц A11... A1k Ak 1,k 1... Ak 1,n A*, A**....... (21.12.7) Ak 1... Akk An,k 1... Ann Эти матрицы – невырожденные, так как определители этих матриц A* и A** представляют диагональные миноры определителя A и являются поло жительными, поскольку неравенства Сильвестра (21.8.9) выполнены. Диффе ренциальные уравнения движения разобьем на две группы:

d T T Qs, s 1,k, (21.12.8) dt qs qs и для циклических d T 0, s 1,n k. (21.12.9) dt qk s Группа уравнений для циклических координат сразу интегрируется. В ре зультате получаем n k первых интегралов движения:

T pk s k s, s 1,n k. (21.12.10) qk s Эти n k первых интегралов выражают тот факт, что обобщенные цикли ческие импульсы сохраняют при движении постоянные значения, равные k s.

Заметим, что для линейной координаты r при движении точки в центральном поле обобщенный импульс будет T pr mr, r то есть представляет собой проекцию количества движения на направление r, а для угловой координаты T p mr 2, то есть равен моменту количества движения точки. Уравнения (21.12.10) в бо лее подробной записи, с учетом (21.12.5) и (21.12.6), имеют вид:

nk k A qk r k s Ar,k s qr Bk s, s 1,n k.

(21.12.11) k s,k r r 1 r Эта система линейных уравнений относительно циклических обобщенных скоростей qk r, вследствие положительности определителя A**, может быть разрешена относительно последних:

nk nk k qk r k s Bk s Ak r,k s qr Ar,k s Ak r,k s. (21.12.12) s 1 r 1 s k r,k s k r,k s ** Здесь A, A где k r,k s – алгебраическое дополнение элемента Ak s,k r определителя A**.

Если подставить (21.12.12) в уравнение (21.12.8) d T T Qs, s 1,k, dt qs qs то в них войдут позиционные обобщенные координаты и скорости, время t и постоянные циклические импульсы k s, s 1,n k. Причем при выполнении указанных преобразований сохранится форма уравнений Лагранжа второго ро да. Однако выполнение этих преобразований в общем виде весьма затрудни тельно и проще идти путем, предложенным Раусом.

21.13. Функция Рауса Метод Рауса основан на введении вместо кинетической энергии T другой функции R, зависящей от позиционных координат и скоростей, времени t и циклических постоянных импульсов. Эта функция определяется следующим образом:

R q1,...,qk ;

q1,...,qk ;

k 1,..., n t (21.13.1) nk T k s qk s, qk r fk r s 1 где через f k r обозначены правые части уравнения (21.12.12).

Составим выражения производных R R R, s 1,k, r 1,n k.

,, qs qs k r Учитывая, что правая часть является сложной функцией аргументов qs, qs, k r, получаем:

R T n k T f k r n k f T k r k r, (21.13.2) qs qs r 1 f k r qs qs qs r так как T k r f k r и, поэтому T f k r f k r k r. (21.13.3) f k r qs qs Аналогично устанавливаем R T, s 1,k.

qs qs Повторяя предыдущие выкладки для k s, находим:

T f k r f R nk nk qk s k r k r qk s (21.13.4) k s r 1 f k r k s k s r или R qk s.

k r Подставляя выражения для производных (21.13.3) и (21.13.4) в дифферен циальные уравнения (21.12.8), получим:

d T T s ( T ) s ( R ) Qs, s 1,k. (21.13.5) dt qs qs Уравнения (21.13.5), полученные Раусом, имеют структуру уравнений Ла гранжа, причем роль кинетической энергии в них играет функция Рауса R. Эти уравнения содержат только позиционные координаты и соответствующие им обобщенные скорости и ускорения. Поэтому метод Рауса называется методом игнорирования циклических координат, а сами циклические координаты – иг норируемыми или скрытыми. В то время как позиционные координаты назы ваются явными.

Проинтегрировав систему уравнений (21.13.5), получим выражение для обобщенных позиционных координат и скоростей как функции времени t, n k постоянных k s и еще 2k постоянных интегрирования:

qs qs t, k 1,...,n, c1,...,c2k, (21.13.6) qs qs t, k 1,...,n, c1,...,c2k, s 1,k.

Значения (21.13.6) следует подставить в выражения (21.13.4), после чего определение циклических координат сведется к квадратурам t R qk s dt qk s, s 1,n k.

(21.13.7) k r t Уравнения (21.13.6), (21.13.7) и (21.13.4) представляют собой полную сис тему интегралов уравнений движения, содержащей 2n постоянных интегриро вания k 1,...,n, c1,...,c2k, qk s, s 1,n k. Наличие n k циклических коорди нат позволило понизить порядок интегрируемой системы уравнений до 2k.

Таким образом, задача свелась к интегрированию системы дифференциальных уравнений (21.13.5) и нахождению n k квадратур (21.13.7). Следует добавить, что от рационального выбора обобщенных координат зависит число цикличе ских координат. Например, при задании положения материальной точки в поле центральной силы декартовыми координатами x, y, z циклических координат не будет. Если же применяются сферические координаты, то одна из них будет циклической. В случае потенциальных сил вводится кинетический потенциал Рауса nk LR R П L k r qk s, (21.13.8) qk r f k r s 1 где П П q1,...,qk – потенциальная энергия.

Дифференциальные уравнения (21.13.8) принимают вид:

d LR L R s LR 0, s 1,k. (21.13.9) dt qs qs Если время t в выражение LR явно не входит, то для уравнения (21.13.9) по аналогии с (21.13.7) имеет место следующий интеграл энергии:

LR q qs LR h.

(21.13.10) s s Функция Рауса R может быть разбита на три слагаемых R R2 R1 R0, (21.13.11) где R2 – квадратичная, R1 – линейная однородные формы обобщенных скоро стей qs, s 1,k, а R0 от последних не зависит. Поэтому и выражение интегра ла энергии приводится к виду 2R2 R1 R2 R1 R0 П h R2 П R0 h. (21.13.12) Как видно R1 и в данном случае исчезает из интеграла энергии. Учитывая представление (21.13.11), уравнения движения для позиционных координат приводятся к виду:

R d R2 R Qk Г k 0, k 1,n, (21.13.13) dt qk qk qk где Г k – гироскопические силы, соответствующие линейной форме R1. При этом R2 можно трактовать как кинетическую энергию, а R0 – как потенциальную.

21.14. Уравнения движения неголономной системы в обобщенных координатах с множителями Пусть на систему материальных точек наложено r голономных связей f k t,x1, y1,z1,...,xN, y N,z N 0, k 1,r (21.14.1) и l неголономных связей N d k aki xi bki yi cki zi 0, k 1,l.

(21.14.2) i Учитывая сначала только голономные связи и вводя n 3N r обобщен ных координат qi, преобразуем общее уравнение динамики (21.7.3) к виду:

r Q d T T q 0.

N N Fi mi ri i (21.14.3) s s qs s dt q s i Однако в данном случае вариации qs зависимы и поэтому выражения в круглых скобках в формуле (21.14.3) вообще говоря не равны нулю. Для полу чение уравнений движения запишем уравнения неголономных связей в обоб щенных координатах. Перепишем уравнение (21.14.2) в виде:

N d k eki vi 0, k 1,l, (21.14.4) i где vi xi i1 yi i2 zi i3, e ki aki i1 bki i2 cki i.

Учитывая, что ri r n i qs, vi t s 1 qs вместо (21.14.4) можно написать ri r N n d k eki eki i qs 0, t s 1 qs i или, меняя порядок суммирования:

n a qs ak 0, k 1,l, (21.14.5) ks s где ri r N N aks eki, ak d k eki i.

qs t i 1 i Уравнения (21.14.5) представляют уравнения неголономных связей в обобщенных координатах. Условия, налагаемые этими связями на вариации обобщенных координат, таковы:

n a qs 0, k 1,l. (21.14.6) ks s Умножая теперь обе части равенства (21.13.6) на множители k и сумми руя их с выражением (21.14.3), получаем:

d T T n l k Qs k aks qs 0. (21.14.7) dt qs qs s 1 В равенстве (21.14.7) всего n l независимых вариаций обобщенных коор динат qs. Однако можно всегда выбрать множители k так, чтобы l квадрат ных скобок обратились в нуль. Остальные скобки также должны обращаться в нуль, так как n l вариаций обобщенных координат, на которые они умножа ются, уже можно считать независимыми. В итоге получим n уравнений движе ния системы:

d T T l Qs k aks, s 1,n.

(21.14.8) dt qs qs k Присоединив к ним уравнения связей (21.14.5) получим замкнутую систе му n l уравнений с n l неизвестными: q,...,qn, 1,..., l. Уравнения (12.14.8), предложенные Раусом, включают обобщенные реакции связей l Rs k aks k и благодаря этому утрачивают преимущества уравнений Лагранжа второго рода.

В качестве примера рассмотрим движение двухколесного экипажа при ма лых отклонениях от прямолинейного пути (рис. 21.15).

Переднее колесо находится на расстоянии l1 от шарнира O, заднее – на расстоянии l2. Предположим, что центр массы тележки располагается в точке O. Пружины c стремяться распрямить тележку. Величина c имеет размер ность момента, деленного на угол поворота, который измеряется в радианах.

Колеса независимы и катятся только в плоскости своего расположения без скольжения. Неподвижная тележка, если деформировать пружины, может со вершать колебательное движение. При этом центр тяжести O будет двигаться по направлению x. Предположим, что реакции R1 и R2 со стороны плоскости качения нормальны к плоскостям колес, а угол излома мал.

Рассмотрим в начале связи, наложен ные на данную систему. Сообщим тележке скорость v. За время dt переднее колесо пройдет путь vdt. Проекция этой величины dx1 на направление x1 будет равна:

x x dx1 vdt 1.

l (21.14.9) Аналогичное соотношение получим для второго колеса:

x x dx2 vdt.

l (21.14.10) В результате из (21.1.29) и (21.14.10) Рис. 21.15 получаем уравнение неголономных связей:

dx1 v x1 x, dt l (21.14.11) dx2 v x x2. (21.14.12) dt l В качестве обобщенных координат возьмем координату центра масс x и координат колес x 1 и x2. Для того чтобы составить уравнение динамики этой неголономной системы, найдем кинетическую энергию T и потенциальную энергию П :

c mx T,П, 2 где – угол излома тележки, равный x1 x x x.

l1 l Следовательно, 1 x x x x П c 1.

2 l1 l Соответствующие уравнения будут:

d T T П ;

(21.14.13) dt x x x d T T П 1 ;

(21.14.14) dt x1 x1 x d T T П 2. (21.14.15) dt x2 x2 x В уравнения (21.14.11) и (21.14.12) неголономных связей обобщенная ско рость x не входит. Поэтому коэффициенты при 1 и 2 равны нулю в уравне нии (21.14.13). Коэффициент при обобщенной скорости x1 в первом уравнении связей равен единице, а во втором уравнении – равен нулю. Поэтому в правой части уравнения (21.14.14) имеем лишь 1. Аналогично для уравнения (21.14.15) имеем коэффициенты при x2 в первом уравнении связей (21.14.11), равный нулю и единицу во втором уравнении связей. Следовательно, в правую часть уравнения добавляем 2. Вычислим соответствующие производные кине тической и потенциальной энергии и подставим их в уравнения (21.14.13), (21.14.14) и (21.14.15). Добавим к полученным уравнениям уравнения неголо номных связей (21.14.11) и (21.14.12). В итоге будем иметь:

1 1 x x x x mx c 1 0;

l1 l2 l1 l c x x x2 x 1 1 0;

l1 l1 l c x x x2 x 1 2 0;

(21.14.16) l2 l1 l v x1 x1 x ;

l v x x2.

x l Два вторых уравнения системы (21.14.16) являются алгебраическими.

Из них определяются реакции неголономных связей:

c x x x2 x 1 R1 1 ;

l1 l1 l (21.14.17) c x1 x x2 x 2 R2.

l2 l1 l Выражения (21.14.17) для реакций связей могут быть получены непосред ственно из условия обращения в нуль момента в шарнире. Действительно, вос x x x x станавливающий момент найдется по формуле M c 1.

l1 l Этот момент с одной стороны равен R1l1, а с другой – R2l2, так как в шар нире суммарный момент равен нулю. Поэтому из условий M R1l1 и M R2 l получаем формулы (21.14.17). Нетрудно видеть, что сумма 1 1 x x x x R1 R2 c 1, l1 l2 l1 l поэтому первое уравнение системы (21.14.16) можно переписать так:

mx R1 R2.

(21.14.18) Уравнение (21.14.18) можно считать результатом применения теоремы о движении центра масс к рассматриваемой механической системе. Таким обра зом, вид уравнения (21.14.18) не является неожиданным.

Итак, после ряда преобразований мы имеем следующую систему уравнений:

1 1 1 1 x x mx c x c 1 2 0;

l1 l2 l1 l2 l1 l v v x x1 x1 0;

(21.14.19) l1 l v v x x2 x2 0.

l2 l Если координаты x1 и x2 постоянны, то получаем уравнение гармониче ских колебаний для системы с одной степенью свободы.

Уравнения (21.14.19) имеют несимметричные связи, которые могут при вести к появлению характеристических чисел с положительной вещественной составляющей и, следовательно, к неустойчивости. Ограничимся нахождением характеристических чисел этой линейной системы дифференциальных уравне ний. Для этого рассмотрим характеристический определитель 1 1 c 1 1 c 1 mr c ;

;

;

l1 l2 l1 l1 l2 l2 l1 l v v r;

0.

;

0;

l1 l v v r;

;

0;

l2 l Если развернуть определитель, то получим характеристической уравнение:

1 1 v v c 1 1vv mr c r r r l1 l2 l1 l2 l1 l1 l2 l1 l c 1 1 v v r 0, l2 l1 l2 l2 l1 которое после ряда преобразований приводится к виду:

mv 1 1 1 r mr vm r c 0.

2 l2 l1 l1 l2 l1l Множитель r означает наличие двух нулевых корней. Следовательно, в общем решении будут члены c1t c2, где c1 и c2 – постоянные. Если движение прямолинейно и параллельно оси O1 y, то c1 и c2 равны нулю. То есть началь ное положение и начальное направление движения тележки безразличны для исследования устойчивости. Об устойчивости и характере колебаний судим по уравнению:

1 1 1 1 mv mr vm r c 0.

l2 l1 l1 l2 l1l 1 Демпфирование колебаний определяется членом vm. Если l2 l 1 vm 0, то движение устойчиво при положительном свободном члене, l2 l а это значит, что или l1 l2 и, следовательно центр тяжести должен быть l2 l смещен назад. Если v настолько велико, что 1 1 mv c 0, l1 l2 l1l то характеристическое уравнение имеет положительные корни и решение на растает по экспоненциальному закону. Рассмотрим приложение к самолетному шасси. На рис. 21.16 – классический тип.

Рис. 21.16 Рис. 21. Здесь l2 l1, c 0;

1 1 mv mr vm r 0.

(21.14.20) l2 l1 l1l Согласно характеристическому уравнению движение всегда неустойчиво.

На рис. 21.17 – новый вариант расположения колес. Здесь l1 0, поэтому имеем:

1 1 mv mr vm r 0.

l l1 l1 l 2 Так как коэффициенты характеристического уравнения положительны, то движение устойчиво всегда.

21.15. Дифференциальные уравнения Аппеля Уравнения Аппеля близки к уравнениям Лагранжа второго рода и приме нимы к неголономным системам, а, следовательно, и к голономным, которые являются частным случаем неголономных. Эти уравнения также являются следствием общего уравнения динамики, в котором осуществляется переход к обобщенным координатам, но при этом, с учетом неголономных связей вирту альные перемещения ri выражаются только через независимые вариации обобщенных координат. Итак, нами рассматривается система материальных то чек, конфигурация которых задается n независимыми координатами qs, s 1,n.

Уравнения неголономных связей, выраженные через обобщенные координаты, записываются в виде:

n a qs ak 0, k 1,l, (21.15.1) ks s где aks и ak – функции обобщенных координат и времени.

Уравнения (21.15.1) должны быть разрешены относительно l обобщенных скоростей q1,...,ql. То есть необходимо иметь систему равенств:

qr br,l 1 ql 1... brn qn br, r 1,l.

(21.15.2) Уравнения, связывающие вариации обобщенных координат, следующие из (21.15.1):

n a qs 0, k 1,l, (21.15.3) ks s позволяют выразить q1,..., ql через n l вариаций ql 1,..., qn, которые будут независимыми. Очевидно, qr br,l 1ql 1... brn qn, r 1,l. (21.15.4) Дифференцируя (21.15.2), найдем выражения обобщенных ускорений:

n l n l qr br,l s ql s br,l s ql s br.

(21.15.5) s 1 s Найдем выражение вектора ускорения ai через обобщенные координаты.

Для этого продифференцируем вектор скорости точки M i r r n vi i qs i s 1 qs t по времени:

ri 2 ri 2 ri 2 ri n n n n ai vi qs qk qs qs 2.

s 1 qs k 1 s 1 qk qs s 1 qs t t Подставим (21.15.5) в формулу для ускорений. Имеем:

r r r nl n l ai i qm... i qr i ql s...

(21.15.6) m 1 qm r 1 qr s 1 ql s В формуле (21.15.6) многоточием отмечены слагаемые, не зависящие от обобщенных скоростей, и которые в дальнейшем не потребуются. Воспользо вавшись соотношениями (21.15.5), исключим qr из (21.15.6):

r ri n l nl l ai i br,l s ql s ql s...

r 1 qr ql s s 1 s (21.15.7) ri r n l l i br,l s ql s...

s 1 ql s r 1 qr Обозначим ri r l i br,l s ci,l s, i 1, N, s 1,n l. (21.15.8) ql s r 1 qr После чего имеем n l ai ci,l s ql s...

s Здесь многоточием также обозначены слагаемые, независимые от обоб щенных ускорений. Поэтому:

ai ci,l s. (21.15.9) ql s Виртуальные перемещения ri выражаются через независимые вариации ql s с помощью линейных соотношений, подобных (21.15.7), если отбросить слагаемые, обозначенные многоточием:

r r r n l n l ri i qk i qr i ql s k 1 qk r 1 qr s 1 ql s ri r n l l i br,l s ql s, s 1 ql s r 1 qr или, согласно (21.15.8) и (21.15.9), ai n l nl ri ci,l s ql s ql s. (21.15.10) s 1 ql s s Перейдем теперь к преобразованию общего уравнения динамики. Начнем со второго слагаемого:

ai a nl N N N mi ai ri mi ai q ql s ql s mi ai q i.

s 1 l s l s i 1 i 1 i Как видно ai 1N S N q q 2 mi ai ai q, mi ai (21.15.11) l s l s i 1 l s i 1N где S mi ai 2 – энергия ускорений.

2 i При этом из выражения S при помощи уравнений неголономных связей исключены ускорения q1,...,ql. Итак, имеет место равенство:

S n l N mi ai ri q ql s. (21.15.12) s 1 l s i Преобразуем первое слагаемое в общем уравнении динамики:

n l n l N N A Fi ri Fi ci,l s ql s Ql s ql s, (21.15.13) i 1 i 1 s 1 s где N Ql s ci,l s Fi, s 1,n l (21.15.14) i – обобщенные силы для независимых вариаций обобщенных координат. Общее уравнение динамики теперь преобразуется к виду:

n l S q Ql s ql s 0. (21.15.15) l s s 1 Откуда вследствие независимости вариаций ql s следуют уравнения дви жения неголономных систем в форме Аппеля:

S Ql s, s 1,n l, (21.15.16) ql s число уравнений (21.15.16) равно числу степеней свободы системы. В общем случае в них входят все обобщенные координаты и скорости. Поэтому их сле дует дополнить уравнениями неголономных связей в форме (21.15.1) или (21.15.2). Тогда получим систему n дифференциальных уравнений, содержа щую столько же неизвестных. Порядок для такой системы равен 2 n l l 2n l, в то время как порядок системы дифференциальных урав нений неголономной системы с множителями равен 2n l.

Уравнения Аппеля применимы и при отсутствии неголономных связей, при этом, когда составляется выражение S, то следует учитывать лишь члены, содержащие обобщенные ускорения. Для энергии ускорений имеет место тео рема, аналогичная теореме Кенига. Представим ri в виде суммы ri rc i, где rc – радиус-вектор центра масс системы, i – радиус-вектор точки M i по отношению к центру масс. По определению d 2 ri d 2 ri 1 N d2 d 1N 1N S mi ai mi 2 mi 2 rc i 2 rc i dt dt 2 i 1 2 i 1 2 i 1 dt dt 2 d 2 rc d 2 i d 2 rc d 2 i 1 N 1N N mi 2 mi 2 mi 2.

dt dt 2 i 1 dt 2 i 1 dt i d 2 i d 2 rc a c – ускорение центра масс, a i – ускорение точки M i Здесь dt 2 dt по отношению к центру масс.

d 2 rc d 2 i d2 N N N Величины mi 2 a c 2 mi i 0, так как mi i 0 по опре dt dt 2 dt i i 1 i делению. Следовательно 1 1N S Mac mi ai2, (21.15.17) 2 2 i N где M mi – масса системы.

i Формула (21.15.17) является аналогом соответствующей формулы, выра жающей суть теоремы Кенига. Выражением (21.15.17) удобно пользоваться для вычисления энергии ускорений твердых тел.

В качестве примера применения уравнений Аппеля рассмотрим движение саней по наклонной плоскости, пренебрегая трением (рис. 21.18). Система явля ется неголономной, если считать, что сани не могут перемещаться в направле нии, перпендикулярном полозьям. Положение саней в плоскости движения Oxy определяется тремя координатами: центра масс x, y и углом, который поло зья образуют с линией наибольшего ската.

Следовательно, обобщенные координаты будут:

q1 x, q2 y, q3.

О Рис. 21. Вектор скорости центра масс саней всегда направлен параллельно полозь ям, что налагает на его проекции x, y условие:

vy tg или y xtg.

(21.15.18) vx Это уравнение неинтегрируемой связи. На сани в плоскости движения дей ствует составляющая силы тяжести P1 mg1, где g1 g sin. Сила P1 парал лельна оси x. Кроме того, будем считать, что к саням в центре масс C прило жена постоянная сила F ma, параллельная оси y.

Для составления энергии ускорений используем теорему Кенига и соответ ствующие формулы для плоско-параллельного движения. Ускорение точки M во вращательном движении относительно центра масс будет:

aM hM 2 4, где hM – расстояние точки M до центра масс;

– угловое ускорение;

– угло вая скорость. Энергия ускорения в относительном вращении вокруг точки C будет:

J 1 Sc aM dm 2 4 h 2 dm c 2 4.

2 m 2 m Следовательно, J m 2 2c 2 4.

S xy Исключим и оставим только члены, зависящие от вторых производных y координат x и :

m S 2 1 tg 2 2xtg x J c...

x cos mx 2tg J c x x, 2 cos 2 cos 2 где многоточием обозначены слагаемые, не зависящие от вторых производных.

Для нахождения обобщенных сил Qi воспользуемся выражением элемен тарной работы:

A mg1x may 0.

Учитывая, что y tg x получим:

A mg1 matg x.

Следовательно, Qx m g1 atg ;

Q 0.

Составим, теперь уравнения Аппеля:

S S Qx ;

Q ;

x tg x m g1 atg ;

x (21.15.19) m cos cos J c 0.

Рассмотрим интегрирование уравнений движения. Пусть при t 0, x 0, y 0, 0, x v0, 0. Величина y0 не может быть задана, так как связана с x0 соотношением:

y0 x0 tg.

Кроме того, положим a 0. Тогда из второго уравнения системы (21.15.19) получаем:

0 t, а первое уравнение принимает вид:

0 xtg 0 t g1 cos 2 0 t.

x (21.15.20) Найдем интеграл этого уравнения. Решение будем искать подстановкой x pq, где p и q – неизвестные функции времени. Дифференцируя x, найдем:

pq pq.

x Подставим в уравнение (21.15.20):

x pq pq 0 pqtg 0 t g1 cos 2 0 t.

Потребуем, чтобы pq 0 pqtg 0 t 0.

Тогда получим дифференциальное уравнение с разделяющимися перемен ными:

p 0 ptg 0 t или dp 0 tg 0 tdt.

p Интеграл этого уравнения:

ln p ln cos 0 t ln c или p c1 cos 0 t. Потребуем, чтобы pq g1 cos 2 0 t.

Но, тогда g q 1 cos 0 t.

c Интеграл этого уравнения:

g q 1 sin 0 t c2.

0 c Следовательно:

g x pq 1 sin 0 t cos 0 t c2 c1 cos 0 t.

Так как x t 0 v0, то v0 c2 c1 и, следовательно, g x 1 sin 0 t cos 0 t v0 cos 0 t.

(21.15.21) Для y, учитывая уравнения связи, получаем:

g y 1 sin 2 0 t v0 sin 0 t.

(21.15.22) Интегрируя уравнения (21.15.21) и (21.15.22) еще раз, получаем:

v g x sin 2 0 t 0 sin 0 t, 20 (21.15.23) g sin 20 t v 1 cos 0 t, y 1 t 20 20 где постоянная интегрирования 1= c3.

В частном случае, когда v0 0, центр масс описывает циклоиду g x 12 1 cos 20 t ;

4 g 20 t sin 20 t.

y Если g1 0, то движение происходит по горизонтальной плоскости, и мы имеем:

v x 0 sin 0 t;

v 1 cos 0 t, y а это уравнения окружности. Если же 0 0, то уравнения (21.15.23) дают три виальный результат:

gt x v0 t ;

y 0.

Реакции неголономных связей будут:

N x tg 0 t;

N y, где my (см. уравнения (21.14.8)).

21.16. Уравнение Аппеля в квазискоростях Составление уравнений Аппеля значительно упрощается, если при вычис лении энергии ускорений использовать так называемые квазиускорения.

Пусть конфигурация системы задается n независимыми параметрами q1,...,qn. При определении скоростей точек системы часто оказывается удобнее пользоваться не обобщенными скоростями q1,...,qn, а некоторыми их линейны ми комбинациями с коэффициентами, зависящими от обобщенных координат:

s as1 q1... asn qn, s 1,n.

(21.16.1) Величины s называются квазискоростями. В качестве примера можно привести проекции вектора угловой скорости твердого тела на оси ( Ox1 y1 z1 ) связанные с телом:

x1 cos sin sin, sin sin cos, (21.16.2) y z1 cos, где,, – углы Эйлера.

Величины s, как правило, имеют вполне определенный смысл. При этом выражения (21.16.1), как видно на примере соотношений (21.16.2), могут быть и не быть полными производными по времени от каких-либо функций обоб щенных координат и времени. Наряду с (21.16.1) рассмотрим линейные формы дифференциалов обобщенных координат d s as1 dq1... asn dqn, s 1,n. (21.16.3) Величины ds называются дифференциалами квазикоординат. Однако в общем случае соотношения (21.16.3) неинтегрируемы и поэтому s как функ ции обобщенных координат не существуют. Вместе с тем условное введение величины s и наименование их квазикоординатами позволяет сократить за пись и формулировки и поэтому оправдано. Таким образом, можно условно также обозначить d s s. (21.16.4) dt Предположим, что найдены соотношения, обратные (21.16.1):

qr br11... brn n, r 1,n.

(21.16.5) Из (21.16.5) следует:

n dqr brs d s. (21.16.6) s Рассмотрим выражение полного дифференциала некоторой функции q1,...,qn обобщенных координат. Учитывая (21.16.6), получим:

n n n n n n d dqr brs d s d s q brs d s, (21.16.7) r 1 qr r 1 qr s 1 s 1 r 1 s r s где также условно обозначено n q brs. (21.16.8) r 1 r s Теперь можно выписать ряд следующих соотношений r r n i bls, (21.16.9) s l 1 ql ri r n i s, vi ri (21.16.10) t s 1 s откуда следует:

vi r i. (21.16.11) s s Аналогично получаем обратные соотношения:

ri r n n akr akr i ;

(21.16.12) qr k 1 k qr k 1 k Если вместо (21.16.1) принять выражение, содержащее свободный член as,n 1, то можно ввести дополнительно n 1 qn 1 1, то есть добавить в (21.16.1) еще одну скорость. При этом все вышеприведенные рассуждения ос таются в силе, то есть указанное расширение числа квазискоростей не ведет к увеличению общности. Запишем уравнение неголономных связей в виде:

s 0, s 1,l, (21.16.13) то есть сами по себе линейные формулы обобщенных скоростей, выражающие неголономные связи, назовем квазискоростями.

Вектор скорости i точки системы, согласно (21.16.10), найдется по формуле r n l r vi i i l s. (21.16.14) t s 1 l s Дифференцируя (21.16.14), найдем вектор ускорений:

r n l ai i l s... (21.16.15) l s s Здесь точками обозначены члены, не зависящие от обобщенных ускоре ний. Следствием (21.16.15) будет соотношение:

ai ri. (21.16.16) l s l s Согласно уравнению неголономных связей (21.16.13) имеем:

s 0, s 1,l. (21.16.17) Далее, исходя из (21.16.14) с учетом (21.16.16), можно записать ri ai n l n l ri l s l s. (21.16.18) s 1 l s s 1 l s Теперь можно преобразовать общее уравнение динамики. Начнем со вто рого слагаемого.

ai ai n l n l N N N mi ai ri mi ai l s l s mi ai l s l s i 1 i 1 s 1 s 1 i 1N n l l s mi ai ai, l s 2 i s или S n l N mi ai ri l s, (21.16.19) s 1 l s i где S – энергия ускорений. Элементарная работа внешних сил может быть за писана в виде n l A Pl s l s, (21.16.20) s где Pl s – обобщенные силы, соответствующие квазикоординатам, и которые вычисляются с учетом неголономных связей.

Общее уравнение динамики преобразуется к виду:

n l S Pl s l s 0, (21.16.21) s 1 l s из которого, вследствие независимости вариаций l s, следуют уравнения Ап пеля в квазискоростях:

S Pl s, s 1,l. (21.16.22) l s К системе n l уравнений, содержащей квазискорости l s и квазиускоре ния l s, а также, в общем случае, обобщенные координаты q1,...,qn – следует присоединить n уравнений первого порядка n l b qr l k, s 1,l, (21.16.23) r,l k k где n 1 =1, выражающей обобщенные скорости через псевдоскорости.

Составим уравнения Аппеля в квазискоростях для тяжелого однородного шара, катящегося по наклонной плоскости, образующей угол с горизонталь ной плоскостью (рис. 21.19).

За независимые обобщенные координа ты примем q1 xc, q2 yc, q3, q4, q5, где xc, yc – координаты центра масс:

,, – углы Эйлера.

Уравнение голономной связи выражает тот факт, что расстояние центра шара точки C до точки касания с плоскостью всегда постоянно, то есть zc a.

Уравнения неголономных связей полу чаются из условия равенства нулю скорости точки M :

vM vc rM 0, (21.16.24) где rM 0i 0 j ak, то есть rM a.

Рис. 21. Раскрывая условие (21.16.24), получаем:

xc a y 0;

yc ax 0.

(21.16.25) Проекции угловой скорости шара на оси (Oxyz ):

x cos sin sin, sin sin cos, (21.16.26) y z cos.

Примем за независимые квазискорости выражения (21.16.26) 1 x cos sin sin, sin sin cos, (21.16.27) 2 y 3 z cos.

Определим обобщенные скорости через независимые квазискорости (21.16.25) и (21.16.27) xc a2 ;

yc a1 ;

sin cos 1 2 ;

sin sin (21.16.28) cos 1 sin 2 ;

sin ctg 1 cos ctg 2 3.

Найдем энергию ускорений. Воспользуемся теоремой Кенига:

S mac2 S1, (21.16.29) где S1 r ( r ) dm ;

– вектор угловой скорости шара;

– его 2 m угловое ускорение;

r – расстояние элемента массы dm до центра масс.

В выражении S1 следует сохранить только члены, зависящие от ускорений:

S1 r dm r ( r ) dm...

(21.16.30) 2 m m В формуле (21.16.30) члены, обозначенные точками, от ускорений не зави сят. Первое слагаемое в выражении S1 вычислим, пользуясь аналогией с выра жением для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной точки:

J 1 T v 2 dm r dm 2 m 2 m J x 2x J y 2y J z 2z 2J xy x y 2J yz x z 2J yz y z.

В главных осях, когда J xy J xz J yz 0, остаются только три первых сла гаемых. В случае шара J x J y J z J, поэтому имеем:

J 2 2 2.

T x y z Следовательно, r dm J 2 2.

2 y z (21.16.31) x m В дальнейшем будем считать, что второе слагаемое (21.16.30) рассматри вается в главных осях:

r ( r ) dm r v dm, (21.16.32) m m где v r – скорости точек тела.

В дальнейшем потребуется тождество:

r v v r v r 0. (21.16.33) В этом соотношении последнее слагаемое равно нулю, так как r v.

Воспользовавшись тождеством (21.16.33), преобразуем выражение (21.16.32):

r v dm v rdm r ( v ) dm m m m v r dm r vdm.

m m r vdm Lc представляет собой момент количества движения Интеграл m твердого тела во вращательном движении вокруг неподвижной точки, который в главных осях записывается следующим образом:

Lc J x x i J y y j J z z k.

В итоге выражение (21.16.32) будет:

J x x i J y y j J z z k J z J y y z i J x J z x y j J y J x x y k J z J y y z x J x J z x y y J y J x x y x.

Если J x J y J z J, что имеет место для шара, то выражение (21.16.32) равно нулю. Следовательно, энергия ускорений, согласно (21.16.29), а также (21.16.31), будет:

1 S m c2 c2 J 2 2 2...

x y z xy (21.16.34) 2 Если воспользоваться выражением квазискоростей (21.16.28), то получим:

1 1 S J ma 2 1 J ma 2 2 J 3.

2 2 (21.16.35) 2 2 Вычислим виртуальную работу:

A X xc Y yc Z zc, но X 0;

Y mg sin ;

Z mg cos.

Согласно формулам (21.16.25), xc a2 ;

yc a1 ;

zc 0, и, следова тельно, A mga sin 1. (21.16.36) Таким образом, с учетом (21.16.36) P1 mga sin, P2 0, P3 0.

Уравнения Аппеля S S S P1 ;

P2 ;

P 1 2 в рассматриваемом случае будут иметь вид:

J ma 2 1 mg sin ;

J ma 0;

(21.16.37) J 3 0, откуда mg sin 1 t c1 ;

J ma 2 c2 ;

(21.16.38) 3 c3, где c1, c2, c3 – постоянные интегрирования. Для обобщенных скоростей имеем формулы:

mga 2 sin xc ac2 ;

yc t ac1, J ma mga sin sin sin cos c1 c, J ma 2 sin sin sin (21.16.39) mga sin cos t c1 cos c2 sin, J ma mg sin sin ctg t sin ctg c1 c2 cos ctg c3.

J ma Интегрируя два первых уравнения (21.16.39), находим:

xc ac2 c4 ;

mga 2 sin t yc ac1t c5.

J ma 2 Как видим, в общем случае центр масс шара движется по параболе, распо ложенной в плоскости, параллельной наклонной плоскости.

В качестве другого примера рассмотрим, как с помощью уравнений Аппе ля могут быть получены динамические уравнения Эйлера для твердого тела с закрепленной точкой O. Пусть x1, y1, z1 – проекции угловой скорости на главные оси инерции ( O, x1, y1, z1 ), связанные с телом. Они являются линейны ми комбинациями обобщенных скоростей,,, где,, – углы Эйлера:

x1 sin sin cos, sin cos sin, y z1 cos.

Энергия ускорений была найдена нами ранее S J x12 J y12 J z12 J z1 J y1 y1z1x x1 y1 z1 J x1 J z1 x1z1 y1 J y1 J x1 x1 y1z1...

Величины x1, y1, z1 мы принимаем за псевдоскорости:

x1 1, y1 2, z1 3.

Элементарная работа внешних сил:

A M 0 M x 1 M y 2 M z 3, где x i y j z k, причем x 1 ;

y 2 ;

z 3, поэтому P1 M x ;

P2 M y ;

P3 M z – составляющие внешнего момента.

Уравнения Аппеля будут:

S S S P1 ;

P2 ;

P3.

1 2 Учитывая предыдущие обозначения, получаем:

J x1x1 J z1 J y1 y1z1 M x y1 J x1 J z1 x1z1 M y1.

J y J z1z1 J y1 J x1 x1 y1 M z 22. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И ТЕОРЕМА ЯКОБИ 22.1. Центральное уравнение Лагранжа Рассмотрим общее уравнение динамики:

N F m a r 0, (22.1.1) i ii i i которое является синтезом принципа виртуальных перемещений Лагранжа и принципа Даламбера. Вывод его основан на принципе освобождаемости от связей и на предположении, что последние, независимо от их вида, являются идеальными. Существует другая форма записи уравнения динамики (22.1.1), называемая центральным уравнением Лагранжа. Преобразуем второе слагаемое уравнения (22.1.1):

d mi ai ri mi vi ri mi vi ri mi vi ri dt (22.1.2) d mi vi ri mi vi vi mi vi vi ri.

dt Последнее слагаемое исчезает, если применить правило перестановки действий варьирования и дифференцирования. Учитывая, что 1 vi vi vi vi vi2, 2 общее уравнение динамики (22.1.1) приведем к виду:

dN 1N N mi vi ri mi vi2 Fi ri, dt i 1 2 i 1 i или dN mi vi ri T A, (22.1.3) dt i 1N где T mi vi2 – кинетическая энергия системы, T – ее вариация, 2 i N A Fi ri – элементарная работа активных сил.

i Соотношение (22.1.3), являющееся по сути дела преобразованным общим уравнением динамики, называется центральным уравнением Лагранжа.

22.2. Преобразование центрального уравнения Лагранжа Осуществим переход к обобщенным координатам в центральном уравнении Лагранжа. Учитывая, что r n ri i qs, s 1 qs имеем d nN r r dN n mi vi i qs mi vi i qs.

s 1 qs qs dt i 1 dt s 1 i Величины ri N ps mi vi (22.2.1) qs i по аналогии с тем как определялись обобщенные силы можно назвать обобщенными импульсами. Используя тождество Лагранжа, преобразуем (22.2.1):

ri vi N N N ps mi vi mi vi mi vi vi qs i 1 qs qs i i или T ps, s 1,n. (22.2.2) qs Таким образом имеется равенство:

N n m v r p q. (22.2.3) ii i s s i 1 s Наконец, вспоминая определение обобщенной силы r N Qs Fi i, qs i запишем центральное уравнение Лагранжа в виде:

dn n ps qs T Qs qs. (22.2.4) dt s 1 s Если силы потенциальны, то T A T П T П. (22.2.5) Величина L T П называется кинетическим потенциалом Лагранжа.

В общем случае L является функцией обобщенных скоростей, обобщенных координат и времени. В случае потенциальных сил центральное уравнение Лагранжа записывается в виде:

dn ps qs L. (22.2.6) dt s Не трудно видеть, как в случае голономных связей из формулы (22.2.4) следуют уравнения Лагранжа второго рода. Действительно, n d T dn n ps qs ps qs ps qs qs ps qs s 1 dt qs dt s 1 s n T T qs qs Qs qs.

s 1 qs qs После чего имеем:

d T T n dt q Qs qs 0.

qs s 1 s Откуда в силу независимости qs получаем уравнения Лагранжа второго рода d T T Qs, s 1,n.

dt qs qs Однако система n дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода отнюдь не всегда является оптимальной. Существует весьма совершенная запись уравнений движения, когда, например, активные силы потенциальны в виде системы 2n уравнений первого порядка, к изучению которой мы сейчас перейдем. Прежде всего, рассмотрим один из важнейших вспомогательных приемов, которым является преобразование Лежандра.

22.3. Преобразование Лежандра Преобразование Лежандра позволяет осуществлять переход от старых переменных к новым при помощи так называемой производящей функции. Это преобразование, как будет показано ниже, позволяет записать уравнения динамики системы материальных точек, находящейся под действием потенциальных сил, в особо совершенной форме.

Рассмотрим функцию Ф x1,..., xn переменных x1,..., xn непрерывную, однозначную, имеющую непрерывные частные производные первого и второго порядков по всем переменным. При помощи функции Ф, которую далее будем называть производящей, осуществим преобразование от переменных x1,..., xn к новым переменным, определяемым формулами:

Ф ys, s 1,n. (22.3.1) xs При помощи системы уравнений (22.3.1) старые переменные могут быть выражены через новые:

xs xs y1,..., yn, s 1,n. (22.3.2) Однако формулы обратного преобразования (22.3.2) могут быть получены, если якобиан системы функций ys будет отличен от нуля. Якобиан для функций ys называется гессианом функции Ф и обозначается H Ф :

2Ф 2Ф 2Ф...

x1 x2x1 xn x H Ф.... (22.3.3) 2Ф 2Ф 2Ф...

x1xn x2 xn xn Таким образом, условием разрешимости системы (22.3.1) относительно старых переменных xs является условие необращения в нуль гессиана Н (22.3.3).

Это преобразование можно записать в форме (22.3.1), при этом производящая функция y1,..., yn новых переменных определяется равенством:

n y1,..., yn xk yk Ф x1,..., xn, (22.3.4) k в котором старые переменные xs заменены их значениями согласно (22.3.2).

То есть процедура получения соотношений (22.3.2) в явном виде считается выполненной. Вычислим частную производную по ys. Учитывая (22.3.1), найдем:

xk Ф xk n n xs yk xs, ys k 1 ys k 1 xk y s то есть xs, s 1,n, (22.3.5) ys что и требовалось доказать.

Формулы (22.3.1) и (22.3.5) определяют прямое и обратное преобразование Лежандра.

Рассмотрим частный случай, когда производящая функция Ф – квадратичная форма.

Ф xT ax, (22.3.6) T где x x1,..., xn – вектор переменных xs, a aik i,k 1,n – симметричная матрица коэффициентов квадратичной формы.

Гессианом квадратичной формы (22.3.6) является определитель a матрицы a. Если a невыраженная матрица, то система линейных уравнений:

Ф 1 T n n n aik xi xk aks xk ys x ax (22.3.7) xs xs 2 xs i 1 k 1 k разрешима относительно старых переменных. Систему (22.3.7) можно записать так:

ax y, (22.3.8) T где y y1,..., yn – вектор новых переменных ys. Решение системы (22.3.8) записывается в виде:

x by, (22.3.9) где b a 1 bsk – матрица, обратная a. Иначе выражение (22.3.9) можно s,k 1,n переписать так:

n xs bsk yk. (22.3.10) k Вспоминая теорему Эйлера об однородных функциях, имеем:

Ф n n xk yk Ф xk Ф 2Ф Ф Ф. (22.3.11) xk k 1 k Следовательно, выражение для производящей функции получается, если в (22.3.6) подставить (22.3.9):

1 a 1 y a a 1 y yT a 1 y.

T (22.3.12) 2 Так как n Ф xk yk, (22.3.13) k то есть поскольку мы получили одну и ту же квадратичную форму для Ф и, то ее можно представить в билинейной форме. Говорят, что квадратичная форма Ф союзна квадратичной форме. Примером преобразования Лежандра может служить теорема Кастильяно.

Пусть система материальных точек, подчиненная идеальным связям, находится в равновесии под действием внешних сил F1,...,FN и потенциальных сил, определяемых потенциальной энергией П q1,...,qn. Сумма элементарных работ всех сил на виртуальных перемещениях точек системы из положения равновесия должна равняться нулю:

n П N A Fk rk П Qs qs, qs s k где Qs – обобщенные силы, обусловленные нагрузкой. Откуда в силу независимости qs следует:

П Qs, s 1,n. (22.3.14) qs Преобразование (22.3.14) представляет собой вариант преобразования (22.3.1), в котором новые переменные Qs выражаются через старые qs.

Производящей функцией обратного преобразования будет функция N П Q1,...,Qn Qs qs П, (22.3.15) * s называемая дополнительной работой. Тогда соотношение, аналогичное (22.3.5), будет П * qs, s 1,n. (22.3.16) Qs Формулы (22.3.14) и (22.3.16) носят более общий характер по сравнению со случаем, когда П является квадратичной формой. В частном случае, когда П является квадратичной формой, дополнительная работа П * является союзным выражением для П.

22.4. Канонические уравнения движения Рассматривается голономная система с n степенями свободы. Уравнения Лагранжа этой системы представляют систему n дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат, разрешимую относительно вторых производных qs. Эту систему уравнений можно заменить системой 2n уравнений множеством способов. Например, обозначив qs rs, можно внести в рассмотрение 2n переменных qs, rs, которые в дальнейшем полагаются независимыми переменными, определяющими поведение системы.

Конечно, никакой существенной роли такое тривиальное преобразование не играет.

Однако, если, например, в качестве 2n переменных взять обобщенные координаты qs и обобщенные импульсы T ps, s 1,n, (22.4.1) qs то при таком выборе переменных уравнения движения, когда активные силы потенциальны, записываются в весьма совершенной форме, называемой канонической. Эта форма уравнений, компактная и симметричная, облегчает исследование общих свойств движения и допускает сведение задачи интегрирования канонических уравнений к разысканию полного интеграла некоторых уравнений в частных производных первого порядка (теорема Якоби).

Кинетическая энергия T, являющаяся функцией обобщенных скоростей, берется в качестве производящей функции для перехода от старых переменных qs к новым переменным ps. Ее гессианом будет определитель матрицы A коэффициентов положительно определенной квадратичной формы T2, входящей в T. Этот определитель положительный, отличный от нуля. Поэтому уравнения (22.4.1), линейные относительно обобщенных скоростей qi, разрешимы относительно них:

qs qs p1,..., pn,q1,...,qn,t.

(22.4.2) Уравнения (22.4.2) линейны относительно обобщенных импульсов и представляют первую группу канонических уравнений. Эта группа состоит из уравнений первого порядка, определяющих производные по времени от обобщенных координат через обобщенные импульсы, обобщенные координаты и время t. Преобразование Лежандра позволяет весьма просто записать уравнения (22.4.2). Для этого составим, согласно (22.3.4), производящую функцию обратного преобразования:

n T ps qs T T p1,..., pn,q1,...,qn,t, (22.4.3) s в которой обобщенные скорости выражены через обобщенные импульсы.

Тогда, согласно (22.3.5), получим:

T qs, s 1,n.

(22.4.4) ps С помощью функции T составляется вторая группа уравнений движения, при этом уравнения второй группы являются результатом преобразования общего уравнения динамики.

Запишем общее уравнение динамики в форме центрального уравнения Лагранжа (22.2.4):

dn n ps qs T Qs qs. (22.4.5) dt s 1 s Учитывая, что n T ps qs T, s и что T T T qs ps, qs ps из (22.4.5) получим:

n dn n ps qs ps qs T Qs qs dt s 1 s 1 s или ps qs ps qs ps qs qs ps T qs T ps Qs qs. (22.4.6) n n s 1 qs ps s Откуда, перегруппировав слагаемые, получаем:

n T T Qs qs ps qs qs qs q ps ps 0.

ps s 1 s Предпоследняя группа слагаемых исчезает согласно правилу переставимости операций дифференцирования и варьирования (правило d d ), а последняя – согласно уравнениям (22.4.4). Следовательно n T ps Qs qs 0.

(22.4.7) qs s 1 Из соотношения (22.4.7) вследствие независимости вариаций находим:

T ps Qs, s 1,n.

(22.4.8) qs Это вторая группа канонических уравнений движения для системы переменных qs, ps. Если силы потенциальны, то подобно тому, как уравнения Лагранжа второго рода могут быть записаны с помощью одной функции L – кинетического потенциала, достаточно одной функции H, называемой функцией Гамильтона, что бы записать уравнения (22.4.4) и (22.4.8). В этом случае соответствующие уравнения называются каноническими уравнениями Гамильтона. Функция Гамильтона, чтобы составить каноническую систему, определяется так:

n n H p1,..., pn,q1,...,qn,t T П ps qs T П ps qs L.

(22.4.9) s 1 s В выражении (22.4.9) обобщенные скорости исключены с помощью соотношений (22.4.2).

Время t может войти явно в функцию Гамильтона H через выражение T при нестационарных связях и через обобщенную потенциальную энергию П.

Учитывая, что потенциальная энергия не зависит от обобщенных импульсов, вместо (22.4.4) и (22.4.8) имеем:

T H T П H qs, ps.

ps ps qs qs qs В итоге получаем системы канонических уравнений Гамильтона H H qs, ps, s 1,n.

(22.4.10) ps qs Переменные qs и ps, удовлетворяющие системе канонических уравнений (22.4.10), называются каноническими. Если связи стационарны, то T – положительно определенная квадратичная форма обобщенных скоростей.

Тогда T является союзным выражением кинетической энергии. Обозначим его T. Тогда при стационарных связях функция Гамильтона представляет полную механическую энергию H T П.

При этом, согласно (22.3.12), T pT A1 p, (22.4.11) где pT p1,..., pn – вектор, компонентами которого являются обобщенные импульсы;

A – матрица квадратичной формы T.

При нестационарных связях T2 T1 n, ps qs 2T2 T1, ps qs qs s и, следовательно n H ps qs L 2T2 T1 T2 T1 T0 П T2 П T0.

(22.4.12) s При этом T2 должно быть выражено через импульсы.


В случае стационарных связей T – квадратичная форма импульсов, поэтому и H также квадратичная форма. При нестационарных связях H разбивается на квадратичное, линейное и независящее от импульсов слагаемое.

Составим полную производную функции Гамильтона по времени в силу канонических уравнений (22.4.10) dH H n H H H n H H H H H qs ps. (22.4.13) t s 1 qs ps t s 1 qs ps ps qs t dt Если t явно не входит в выражение функции Гамильтона, то она остается постоянной во время движения. Тогда получаем интеграл уравнений движения H q1,...,qn, p1,..., pn h, (22.4.14) называемый интегралом энергии. В случае стационарных связей выражение (22.4.14) означает постоянство кинетической и потенциальной энергии системы.

Если координаты qm 1,...,qn циклические, то и соответствующие обобщенные импульсы сохраняют при движении постоянные значения.

Действительно, так как H pm l 0, l 1,n m, (22.4.15) qm l то pm 1 m 1, l 1,n m. (22.4.16) Поэтому система 2n уравнений первого порядка H H qs, ps, s 1,m, (22.4.17) ps qs оказывается замкнутой, то есть содержит такое же количество неизвестных.

Если же система (22.4.17) решена, то определение циклических координат сводится к квадратурам, так как правые части соответствующих уравнений H H qm l 0, l 1,n m, (22.4.18) pm l m l окажутся известными функциями.

Рассмотрим пример составления канонических уравнений движения.

Механическая система (рис. 22.1) представляет собой однородный цилиндр, который скатывается по призме без проскальзывания. Призма, в свою очередь, может двигаться без трения по горизонтальной плоскости. Масса цилиндра m, а масса призмы M.

Обозначим расстояние центра масс цилиндра АВ от верхнего края призмы через s, а перемещение центра призмы – через x. Рис. 22. Абсолютная скорость центра масс цилиндра равна сумме переносной скорости vc, которая представляет собой скорость призмы, и относительной скорости vr, которая представляет собой скорость центра масс цилиндра по отношению к призме:

v0 vr vc, при этом vr s,vc x.

Воспользовавшись теоремой косинусов, найдем:

v0 x 2 s 2 2xs cos.

Кинетическая энергия системы:

1 2 s 1 T Mx m x s 2xs cos mr 2 2 2 2 4 r 1 1 Mx 2 m x 2 s 2 2xs cos ms 2 2 1 M m x 2 mxs cos ms 2.

2 Составим матрицу M m;

m cos a11 ;

a.

m cos ;

m a21 ;

a Определитель этой матрицы:

M m m m 2 cos 2.

Выражение союзной матрицы:

m 2 ;

m cos.

m cos M m ;

Следовательно, союзное выражение кинетической энергии:

m;

mcos px T p x, ps 2 ps mcos ;

M m 1 3 mpx mcos ps px mcos px M m ps ps 2 2 1 3 2 2 mpx 2mcos px ps M m ps.

2 Потенциальная энергия системы:

П mgs sin, Функция Гамильтона H T П, так как связи стационарны. Первая группа канонических уравнений будет:

H 13 x mpx m cos ps ;

px 2 H m cos px M m ps.

s ps Вторая группа канонических уравнений:

H px 0, x (22.4.19) H ps mg sin.

s То есть x является циклической координатой. Следовательно, px px0, то есть проекция количества движения на ось x постоянна. Но, T M m x ms cos px0.

px x Проинтегрируем второе уравнение (22.4.19):

ps tmg sin ps0.

Подставим px и ps в первую группу канонических уравнений:

1 3 x mpx0 m cos tmg sin ps0 ;

2 s m cos px0 M m tmg sin ps0.

Пусть x0 s0 0 и px0 ps0 0, то есть система в начальный момент времени была в покое. Тогда получим:

m 2 g sin 2 t 2 g sin x t2, 3 M m 2 cos 2 m M m mg sin 2 g sin s t t2.

2 3 m 2 cos 2 M m В качестве еще одного примера составления канонических уравнений рассмотрим движение материальной точки в поле центральной силы. Введем сферические координаты r,, (рис. 22.2). Составляющие скорости:

vr r, v r, v r sin.

Кинетическая энергия точки m T r r 2 2 r 2 sin 2 2.

Соответствующие обобщенные импульсы:

pr mr, p mr 2, p mr 2 sin 2. (22.4.20) Для того, что бы составить функцию Гамильтона H, необходимо найти сумму Рис. 22. H T П. Причем выражение T T должно быть записано через обобщенные импульсы (22.4.20):

1 2 p p H T П pr 2 2 П( r ). (22.4.21) 2m r sin r Первая группа канонических уравнений представляют собой уравнения (22.4.20), разрешенные относительно обобщенных скоростей:

p H p H H p r r ;

2 ;

(22.4.22).

pr p mr p mr 2 sin m Вторая группа уравнений, согласно (22.4.21), будет:

12 p П H pr p ;

r mr 3 sin 2 r H p p cos ;

(22.4.23) mR sin 2 H p 0.

Из последнего уравнения получаем циклический интеграл p const.

Кроме того, имеется интеграл энергии.

22.5. Метод Якоби Уравнение Якоби Уравнение в частных производных первого порядка в общем виде можно записать так:

F x1,...,xn ;

z;

p1,..., pn 0, (22.5.1) z где pi. Функция xi z z x1,..., xn ;

a1,...,an, удовлетворяющая уравнению (22.5.1), зависящая от стольких неаддитивных произвольных постоянных, сколько уравнение содержит независимых переменных, называется полным интегралом уравнения (22.5.1). Если функция F не содержит явно z, то есть уравнение в частных производных имеет вид:

F x1,..., xn ;

p1,..., pn 0, (22.5.2) то одна из произвольных постоянных будет аддитивной, то есть полный интеграл уравнения (22.5.2) будет иметь вид:

z z x1,..., xn ;

a1,...,an an.

Если часть независимых переменных, например, x1, x2,..., xk,k n, будут входить в функцию F не явно, а только через частные производные p1, p2,..., pk, то число независимых переменных уравнения F xk 1,...,xn ;

p1,..., pn 0, (22.5.3) можно сделать равным n k, то есть понизить на k единиц.

Действительно, положим z a1 x1... ak xk xk 1,..., xn.

Найдем дифференцированием:

p1 a1,..., pk ak, pk 1,..., pn, xk 1 xn и, следовательно, уравнение (22.5.3) примет вид:

0.

F xk 1,..., xn ;

a1,...,ak ;

,..., (22.5.4) xk 1 xn Уравнение (22.5.4) имеет n k независимых переменных. Полный интеграл этого уравнения запишется в виде:

xk 1,..., xn ;

a1,...,ak ;

ak 1,...,an 1 an.

и, следовательно, z a1 x1... ak xk xk 1,..., xn ;

a1,...,ak ;

ak 1,...,an 1 an.

Уравнения характеристик для уравнения (22.5.2) представляют следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

dx1 dx dp dp... n 1... n, p1 pn x1 xn F F где pi, xi.

pi xi Каноническую систему уравнений движения H H qs, ps, s 1,n (22.5.5) ps qs можно представить в виде:

dq dpn dq1 dp1 dt... n..., H H H H p1 pn q1 qn где H H q1,...,qn ;

p1,..., pn ;

t – функция Гамильтона.

Необходимо разыскать полную систему интегралов уравнений (22.5.5):

qs qs t;

1,..., n ;

1,...,n ;

ps ps t;

1,..., n ;

1,...,n.

Оказывается, что эта задача эквивалентна задаче интегрирования следующего уравнения в частных производных первого порядка V V V H q1,...,qn ;

;

t 0,,..., (22.5.6) t q1 qn при этом каноническая система уравнений (22.5.5) может рассматриваться как уравнения характеристик этого уравнения.

Уравнение (22.5.6) называется уравнением Якоби и во многих случаях оказывается проще найти полный интеграл этого уравнения, а затем уже и сами интегралы системы (22.5.5).

Неизвестная функция V называется главной функцией Гамильтона.

Очевидно, независимыми переменными для функции V будут q1, q2,...,qn, t, и поэтому полный интеграл уравнения (22.5.6) будет содержать n произвольных постоянных, из которых одна, поскольку V явно не входит в уравнения Якоби, будет аддитивной:

V V q1,...,qn ;

t;

c1,...,cn cn 1.

Постоянная cn 1 может не приниматься во внимание, так как во всех соотношениях фигурируют только производные функции V. Поэтому в дальнейшем будем иметь в виду выражение V V q1,...,qn ;

t;

1,..., n. (22.5.7) Теорема Якоби Предположим, что полный интеграл (22.5.7) уравнения Якоби (22.5.6) найден. Составим n соотношений V V s ;

ps, (22.5.8) s qs где s – произвольная постоянная.

Теорема Якоби состоит в том, что, если известен полный интеграл уравнений Якоби:

V V V H q1,...,qn ;

;

t 0,,..., (22.5.9) t q1 qn то есть найдена функция V V q1,...,qn ;

t;

1,..., n, тождественно удовлетворяющая уравнению (22.5.9), то уравнения (22.5.8) будут интегралами канонической системы (22.5.5).

Дифференцируя первые n уравнений (22.5.8) по времени, получим:

d V 2V 2V 2V 2V H n n 0 qm. (22.5.10) dt s t s m 1 qm s t s m 1 qm s pm Докажем, что полученное уравнение (22.5.10) является тождеством.

Поскольку функция V является полным интегралом уравнения Якоби, то она ему удовлетворяет, то есть V H q1,...,qn ;

p1,..., pn ;

t 0, (22.5.11) t V ps. Дифференцируя (22.5.11), найдем так как qs H pm 2V n 0, s t m 1 pm s или 2V 2V H n 0, s t m 1 s qm pm что совпадает с выражением (22.5.10). Следовательно, соотношение (22.5.10) представляет собой производную от уравнения Якоби:

V V V H t;

q1,...,qn ;

,..., s t q1 qn и является тождеством.

Таким образом, первая группа уравнений (22.5.8) тождественно удовлетворяет канонической системе (22.5.5).

Аналогично докажем это же и для второй группы уравнений (22.5.8), то есть, что величины ps,qs, определенные из канонических уравнений, тождественно удовлетворяют уравнениям (22.5.8).

Дифференцируя по t вторую группу уравнений (22.5.8) найдем:

dps d V 2V 2V n qm.

dt qs t qs m 1 qm qs dt Предположим, что ps и qs удовлетворяют канонической системе и перенесем все члены этого равенства в левую сторону:

H 2V 2V H n 0.

qs t qs m 1 qm qs pm Не трудно видеть, что это равенство можно переписать в виде:

H pm 2V H n qs t qs m 1 pm qs или V V V H t;

q1,...,qn ;

0,,..., (22.5.12) qs t q1 qn то есть (22.5.12) есть частная производная уравнения Якоби по qs и, следовательно, представляет собой тождественный нуль.


Таким образом, если полный интеграл уравнения Якоби (22.5.7) известен, то по теореме Якоби канонические переменные qs, ps определяются как функции времени t и 2n произвольных постоянных 1,..., n ;

1,...,n из уравнений (22.5.8), представляющих собой по отношению к qs, ps систему алгебраических уравнений:

qs qs 1,..., n ;

1,..., n ;

ps ps 1,..., n ;

1,..., n.

Рассмотрим частный случай, когда H не зависит явно от времени t :

H H q1,...,qn ;

p1,..., pn.

Уравнение Якоби будет иметь вид:

V V V H q1,...,qn ;

0.

,..., (22.5.13) t q1 qn Поскольку t в уравнение явно не входит, то число независимых переменных можно уменьшить на единицу. Для этого положим:

V ht W q1,...,qn, где h – постоянная. Функция W называется характеристической функцией.

Подставим в уравнение Якоби вместо V ее производные:

V V W h,, s 1,n.

t qs qs Тогда получим:

W W h, H q1,...,qn ;

,..., (22.5.14) q1 qn не содержащее переменной t. Предположим, что полный интеграл уравнения (22.5.14) найден:

W W q1,...,qn ;

1,..., n ;

h n.

Тогда полный интеграл уравнения (22.5.13) будет:

V ht W q1,...,qn ;

1,..., n ;

h n. (22.5.15) Отсюда получаем систему интегралов канонических уравнений. Принимая V W V W, во внимание, что, получим:

i i qi qi W i, i 1,n 1, (22.5.16) i W pi,i 1,n, (22.5.17) qi V W t t h h W t t0, или (22.5.18) h где t0 – произвольная постоянная. Первые n 1 интегралов называются геометрическими и отделяют траекторию в фазовом пространстве. Они не содержат времени. Последний интеграл (22.5.18), содержащий время, называется кинематическим, так как он дает закон движения изображающей точки по траектории. Интегралы (22.5.17) называются промежуточными и служат для определения импульсов ps и постоянных интегрирования.

Рассмотрим применение метода Якоби в задаче о движении волчка.

Пусть оси Oxyz связаны с волчком, вращающимся вокруг неподвижной точки O. Система Ox1 y1 z осей считается неподвижной.,, – углы Эйлера.

– угол прецессии, – угол нутации, – угол собственного вращения. Оси Oxyz – главные оси инерции;

пусть J x J 1, J y J 2, J z J 3 – главные моменты инерции;

J 1 J 2 в силу симметрии.

Найдем проекции абсолютной Рис. 22. угловой скорости на оси Oxyz (рис.

22.3):

x cos sin sin ;

sin sin cos ;

(22.5.19) y z cos.

Кинетическая энергия волчка, согласно (22.5.19), будет:

T J 12 J 2 2 J 3 x y z 1 J 1 2 2 J 3 x y z 2 1 J 1 2 2 sin 2 J 3 cos.

2 Потенциальная энергия:

П P OC cos Pl cos, где OC l.

Найдем обобщенные импульсы:

T J 1 sin 2 J 3 cos cos ;

P T P J 1;

T J 3 cos.

P Для того чтобы построить союзное выражение кинетической энергии T *, выразим угловые скорости прецессии, нутации и собственного вращения через импульсы:

P P cos P P ;

cos ;

.

J 3 sin J1 J Очевидно, 1 P2 1 P P cos 1 P T *.

J 1 sin 2 J1 2 2 J Функция Гамильтона:

1 P2 1 P P cos 1 P H T П Pl cos.

* J 1 sin 2 J1 2 2 J Координаты и являются циклическими. Выпишем канонические уравнения:

P ;

J P J 3 cos 2 J 1 sin P P cos P cos P cos ;

J 1 sin 2 J 1 sin 2 J 1 J 3 sin J P P cos.

J 1 sin (22.5.20) Вместо громоздкого второго уравнения первой группы (22.5.20) лучше P иметь дело с уравнением: cos, которое получается, если J воспользоваться третьим уравнением и подставить его во второе.

Вторая группа уравнений будет следующей:

P 0;

P 0;

(22.5.21) H P.

Поскольку и – циклические переменные, то P P0, P P 0.

Выразим импульсы через функцию W :

W W W P ;

P ;

P.

Уравнение (22.5.14) для волчка будет:

W W 1 W cos 2J 1 2J 1 sin (22.5.22) 1 W Pl cos h.

2J 3 Будем искать W в виде W.

Подставляя W в (22.5.22), найдем:

1 J cos J 1 2J1Pl cos 2J1h, sin cos J1 f.

2J 1 h 2J 1 Pl cos sin 2 J f d и, следовательно, W f d.

То есть 0 W d J t t0 (22.5.23) ;

f h cos W d ;

f sin cos cos J1 2 d.

W J3 f sin Кроме того, мы имеем:

W T J 3 cos, P W T J 1 sin 2 J 3 cos cos, P W f J 1.

P Перепишем уравнение (22.5.23) в виде:

J1d dt f или J 12 2 f.

(22.5.24) Обозначим cos s и найдем производную sin s. После чего уравнение (22.5.24) перепишется в виде:

s J1 J1 s 2J 1h 2J 1 Pls 1 s2 1 s2 J или s.

h Pl 1 s s 2 s 2 J 2J 1 J 3 J 1 J1 Это уравнение может быть записано в форме (16.4.11) см. пункт 16.4. Его решение достаточно полно исследовано и приводится в курсах аналитической механики1.

22.6. Скобки Пуассона и скобки Лагранжа Рассмотрим две функции u, v от двух групп независимых переменных, каждая из которых содержит n переменных u u q1,...,qn, p1,..., pn u q p, (22.6.1) v v q1,...,qn, p1,..., pn v q p.

Выражение u v u v u v u v...... q1 p1 qn pn p1 q1 pn qn называется скобками Пуассона от этих функций и обозначается n u v u v u,v. (22.6.2) qk pk pk qk k Из определения скобок Пуассона следует:

u,v v,u, u,u 0, u,c 0, (22.6.3) если c – не зависит от рассматриваемых переменных. Кроме того, u,v1 v2 u,v1 u,v2. (22.6.4) Частные производные u по qs и ps можно представить в форме скобок Пуассона:

u u ps,u, qs,u. (22.6.5) qs ps Это позволяет записать канонические уравнения Гамильтона в виде:

см. Л. Парс. Аналитическая динамика. – М. : Наука, 636 с.

qs qs, H, ps ps, H, s 1,n.

(22.6.6) Имеют место следующие частные значения скобок Пуассона:

qs,qt 0, ps, pt 0, qs, pt st, (22.6.7) где st – символ Кронекера. Эти скобки называются фундаментальными.

В дальнейшем потребуется тождество Якоби:

u, v,w v, w,u w, u,v 0. (22.6.8) Каждое слагаемое левой части этого тождества содержит вторую производную одной из функций u,v,w. Например, вторая производная w входит в сумму двух первых скобок и не входит в третью скобку. Эту сумму можно, согласно (22.6.3), записать в виде:

u, v,w v, u,w. (22.6.9) u,w v,w Скобки и представим ввиде линейных форм первых n w w v,w B w Bk Bn k производных от w :, pk qk k 1 n w w u,w A w Ak An k, (22.6.10) pk qk k v v u u Bk, Bk n, Ak, An k где. (22.6.11) qn pn qk pk Тогда:

u, v, w v, u, w A B w B A w n w w n As Bk An s Bn k p s q s k 1 pk qk s n n w w Bs Ak Bn s An k p s q s k 1 pk qk s 2 w 2 w n n As Bk Ak Bs As Bn k An k Bs ps pk ps qk s 1 k 2w 2w An s Bk Bn s Ak An s Bn k An k Bn s...

qs pk qs qk Здесь под многоточием подразумеваются члены, не содержащие вторых производных w. Выражение в квадратных скобках меняет знак при замене индексов суммирования s на k, но поскольку равенство при этом не должно меняться, то остается принять, что оно равно нулю.

Следовательно, в выражении (22.6.9) вторая производная w сокращается.

Повторив рассуждения для u, v, приходим к выводу, что должны сокращаться вторые производные всех функций. Но, поскольку каждое слагаемое содержит вторые производные одной из трех функций, значит сократятся попарно все слагаемые.

Имеет место еще одно свойство скобок Пуассона, которое следует из определения:

u v u,v,v u,. (22.6.12) t t t Наряду со скобками Пуассона в дальнейшем потребуются выражения:

q p q p q1 p1 q p... n n 1 1... n n, u v u v v u v u называемые скобками Лагранжа и обозначаемые q p q p n u,v k k k k. (22.6.13) k 1 u v v u Кроме того, по аналогии с (22.6.7), имеем:

qs,qk 0, ps, pk 0, qs, pk sk, s,k 1,n. (22.6.14) Это фундаментальные скобки Лагранжа. Пусть u1,v1,...,un,vn (22.6.15) – n пар функций от n пар переменных q1, p1,...,qn, pn. (22.6.16) Логично также считать величины (22.6.16) функциями переменных (22.6.15). Рассмотрим 4n 2 скобок Пуассона uk,us, uk,vs, vk,us, vk,vs, k,s 1,n, являющихся элементами квадратной матрица Пуассона P :

u1,u1 u1,un u1,v1 u1,vn............

un,u1 un,un un,v1 un,vn P. (22.6.17) v1,u1 v1,un v1,v1 v1,vn............

vn,u1 vn,un vn,v1 vn,vn Аналогично определяется матрица Л, элементами которой служат скобки Лагранжа:

uk,us,uk,vs,vk,us,vk,vs. (22.6.18) Обе матрицы P и Л являются кососимметричными и могут быть записаны в форме симметричных 22 матриц от n n матриц:

u,u u,v u,u u,v P,Л, (22.6.19) v,u v,v v,u v,v u,u, v,v – матрицы, определенные в (22.6.17) пунктиром.

где Матрицы P и Л меняют знак при транспонировании PT P и Л T Л. (22.6.20) Произведение матриц PЛ ЛP E2n, (22.6.21) где E2n – единичная матрица.

Эта запись эквивалентна четырем матричным равенствам:

u,u u,u u,v v,u E, n v,u u,u v,v v,u 0, (22.6.22) u,u u,v u,v v,v 0, v,u u,v v,v v,v E, n где En – единичная матрица.

Одна из строк первого равенства (22.6.22) в развернутом виде записывается так:

n u u u,ur us,vk vk ur sr. (22.6.23) sk k k 22.7. Теорема Пуассона Запишем производную некоторой функции q1,...,qn, p1,..., pn по времени в силу канонических уравнений движения Гамильтона n H H t s 1 qs ps ps qs с помощью скобок Пуассона, H.

(22.7.1) t Если q p ;

t представляет первый интеграл уравнений движения, то есть сохраняет при движении постоянное значение, то, H 0. (22.7.2) t Это равенство удовлетворяется при всех значениях аргументов qs, ps, t, то есть является тождеством. Основываясь на тождестве Якоби и на соотношении (22.6.12), докажем теорему Пуассона.

Если:

1 q p ;

t и 2 q p ;

t (22.7.3) два первых интеграла канонических уравнений, тогда скобка Пуассона 1, 2 (22.7.4) сохраняет при движении системы постоянное значение c.

Действительно, согласно (22.7.2), имеем:

1 1, H 0, 2, H 0. (22.7.5) t t Проверим, что 1, 1, 2, H 0. (22.7.6) t Воспользовавшись соотношением (22.6.12), преобразуем выражение (22.7.6):

1 t, 2 1, t 1, 2, H 0.

1 Подставляя в него и из соотношения (22.7.5), найдем:

t t 1, H, 2 1, 2, H 1, 2, H 2, 1, H 2, H, 1 H, 2, 1 0, согласно тождеству Якоби (22.6.8), что и требовалось доказать.

Величина может представлять новый интеграл канонических уравнений, но может таковыми и не являться. В частности она может оказаться функцией известных интегралов 1 q p ;

t c1 и 2 q p ;

t c2, то есть 1, 2 c1,c2, (22.7.7) или тождественно обращаться в постоянную, которая может быть и нулем.

Пусть H не содержит t явно. Тогда имеется интеграл энергии H q1,...,qn, p1,..., pn h, комбинируя который с интегралом q p ;

t, на основании теоремы Пуассона, получаем H, a, где a – постоянная величина. Но, согласно равенству (22.7.2), H,, H a, t что представляет собой новый интеграл.

Продолжив это рассуждение, найдем еще интеграл a1.

t Но, если c и не содержит время явно, то H, не дает нового интеграла.

22.8. Канонические преобразования Рассматриваются новые переменные Qs q1,...,qn ;

p1,..., pn ;

t Qs q p ;

t, (22.8.1) Ps q1,...,qn ;

p1,..., pn ;

t Ps q p ;

t, s 1,n, являющиеся функциями старых. Эти соотношения разрешимы относительно старых переменных:

qk qk Q P ;

t, pk pk Q P ;

t, k 1,n. (22.8.2) Преобразование (22.8.1) называется каноническим, если соблюдено условие, что выражение n n pk qk Pi Qi (22.8.3) k 1 i является вариацией некоторой функции старых и новых переменных и времени t, которое при варьировании считается фиксированным.

Исключим из (22.8.3) вариации qk. Из первого соотношения (22.8.2) имеем:

n q q qk k Qi k Pi. (22.8.4) Qi Pi i 1 После чего выражение (22.8.3) может быть представлено в виде:

n n qk q n k 1 Q pk Pi Qi pk k Pi. (22.8.5) Pi i 1 k i Выражение (22.8.5) будет вариацией некоторой функции новых переменных, если выполняются три варианта соотношений:

во-первых, производная по Ql коэффициента при Qi в выражении (22.8.5) должна быть равной производной по Qi коэффициента при Ql :

pk qk 2 qk Pi pk qk 2 qk Pl n n Q Q pk Q Q Q Q Q pk Q Q Q ;

k 1 i k 1 l l i l l i l i i во-вторых, должны быть равны производные по Pl и Pi коэффициентов Pi и Pl :

pk qk 2 qk n pk qk 2 qk n P P pk PP P P pk PP ;

k 1 i k 1 l l i l i l i и, наконец, в третьих, требуется равенство производных по Pl и Qi коэффициентов Qi и Pl :

pk qk 2 qk Pi n 2 qk pk qk n 1 P Q pk P Q P 1 Q P pk Q P.

k i k l l i l l i l i Учитывая, что новые переменные Pi,Qi независимы, то есть Pi P 0, i il, Ql Pl и определение скобок Лагранжа, приходим к равенствам:

Ql,Qi 0, Pl, Pi 0, Qi, Pl il, i,l 1,n. (22.8.6) В новых переменных Pi, Qi равенства (22.6.14) для фундаментальных скобок Лагранжа могут быть представлены в виде:

Ql,Qi QP 0, Pl, Pi QP 0, Qi, Pl QP il. (22.8.7) Таким образом, согласно (22.8.6) и (22.8.7), имеются соотношения:

Ql,Qi qp Ql,Qi QP, Pl,Pi qp Pl,Pi QP, Qi,Pl qp Qi,Pl QP. (22.8.8) Эти соотношения выражают инвариантность фундаментальных скобок Лагранжа при канонических преобразованиях.

Матрица Лагранжа Л системы функций Qs, Ps от старых переменных в соответствии с (22.8.6) записывается в виде 0 En Л, (22.8.9) En где 0 обозначает n n матрицу. Такую же структуру (22.8.9) имеет и матрица Пуассона, поэтому наряду с (22.8.6) имеют место равенства:

Ql,Qi 0, Pl, Pi 0, Qi, Pl il, i,l 1,n. (22.8.10) Это другая запись необходимых и достаточных условий каноничности уравнений (22.8.4). Фундаментальные скобки Пуассона (22.6.7) также являются инвариантами канонического преобразования.

Более общим является предложение: функции u,v рассматриваются сначала как зависящие от старых переменных, затем от новых, связанных со старым каноническим преобразованием. Тогда:

u,v qp u,v QP. (22.8.11) Это проверяется подстановкой. Выразим в скобках Пуассона n u v u v u,v qp k 1 qk pk pk qk частные производные по старым координатам с помощью формул вида:

n P Q r r, qk r 1 qk Qr qk Pr n P Q s s.

pk s 1 pk Qs pk Ps После подстановки и суммирования по k придем к равенству:

u v u v n n u,v qp Qr,Qs qp Qr, Ps qp Q Qs Qr Ps s 1 r 1 r (22.8.12) u v u v Pr,Qs qp Pr, Ps qp, Pr Qs Pr Ps которое в случае канонического преобразования, то есть при соблюдении условий (22.8.10), дает:

n u v u v n u,v qp rs s 1 r 1 Qr P Pr Qs s (22.8.13) u v u v n u,v QP.

Qr Pr Pr Qr r 22.9. Производящие функции По определению канонического преобразования существует функция, вариация которой дает выражение (22.8.3):

n n p q Pi Qi. (22.9.1) k k k 1 i В принципе она может зависеть от всех 4n аргументов qs, ps, Qs, Ps и t.

Но, поскольку имеются соотношения Qs Qs q p ;

t, Ps Ps q p ;

t, s 1,n, qk qk Q P ;

t, pk pk Q P ;

t, k 1,n, и достаточно считать ее зависящей от 2n аргументов и времени t. При этом n аргументов должны быть старых и n новых. Следовательно, возможны четыре типа производящих функций:

V1 q,Q;

t,V2 q, P;

t,V3 p,Q;

t,V4 p, P;

t. (22.9.2) Взяв за основу формулу (22.9.1). условие каноничности преобразования можно записать в одном из четырех видов:

n p q Pi Qi V1 q,Q;

t, 1. (22.9.3) i i i n n pi qi Qi Pi V1 q,Q;

t Qi Pi V2 q, P;

t, 2. (22.9.4) i 1 i n n 3. qi pi Pi Qi V1 q,Q;

t pi qi V3 p,Q;

t, (22.9.5) i 1 i n n 4. qi pi Qi Pi V3 q,Q;

t Qi Pi V4 p, P;

t. (22.9.6) i 1 i Согласно (22.9.3)–(22.9.6) получаем системы канонических преобразований, осуществляемых производящими функциями каждого из типов:

V V pi 1, Pi 1, i 1,n, (22.9.7) qi Qi V V pi 2, Qi 2, i 1,n, (22.9.8) qi Pi V V qi 3, Pi 3, i 1,n, (22.9.9) pi Qi V V qi 4, Qi 4, i 1,n. (22.9.10) pi Pi Рассмотрим, например, преобразование (22.9.7). Для этого задаемся функцией V1 q1,...,qn ;

Q1,...,Qn ;

t и составляем формулы (22.9.7), разрешив первую группу уравнений (22.9.7) относительно Qi. Это возможно при неравенстве нулю якобиана 2V1 2V...

Q1q1 Q1qn 0. (22.9.11)...

2V1 2V...

Qn q1 Qnqn Выражение новых переменных Qs через старые qi, pi, найденные из первой группы уравнений (22.9.7), должны быть подставлены во вторую группу уравнений. Это даст вторую группу равенств (22.9.1), определяющую Ps через старые переменные.

Соотношения, связывающие производящие функции (22.9.4)–(22.9.6), могут быть записаны так:

n V1 q,Q;

t V2 q, P;

t Qi Pi, (22.9.12) i n V3 p,Q;

t V2 q, P;

t Qi Pi qi pi, (22.9.13) i n V4 p, P;

t V2 q, P;

t qi pi. (22.9.14) i Не трудно видеть, что если V2 q, P;

t может быть рассматриваема как производящая функция преобразования Лежандра от переменных q и P и V3 p,Q;

t, наоборот, является производящей переменных p и Q, то функцией для преобразования от p, Q и q, P. Аналогично можно рассматривать и другие соотношения (22.9.12) и (22.9.14).

22.10. Инвариантность канонических переменных Переменные, удовлетворяющие системе канонических уравнений, обобщенные координаты qs и обобщенные импульсы ps называются каноническими переменными. Переменные Qs, Ps, связанные с каноническими переменными qs, ps каноническим преобразованием, являются каноническими:

K K Qs, Ps, (22.10.1) Ps Qs где K – новая функция Гамильтона. Причем V KH i, (22.10.2) t где Vi – производящая функция канонического преобразования. В частности, если Vi явно от t не зависит, то:

K H. (22.10.3) Рассмотрим преобразование с производящей функцией V1 q,Q,t.

Переменные qs, Qs, t рассматриваются как независимые и поэтому:

Qs 0. (22.10.4) t Вместе с тем:

Ps 2V (22.10.5).

t t Qs Переменные Qs, Ps являются функциями времени и старых переменных.

Найдем Qs и Ps в силу канонических уравнений движения:

Q Q, H, (22.10.6) s s qp V Ps, H qp.

Ps (22.10.7) t Qs Вследствие инвариантности скобок Пуассона при канонических преобразованиях и вследствие их свойств имеем:

H Qs Qs, H qp, Ps (22.10.8) V1 P, H V1 H.

Ps Qs t s t Qs qp Но, поскольку V1 не зависит от Ps, то V H t H.

Ps Ps Обозначая V K H, t приходим к системе канонических уравнений K K Qs, Ps, s 1,n, Ps Qs что и требовалось доказать.

22.11. Теория возмущений. Метод вариации постоянных Наряду с заданной системой уравнений движения H H qs, ps Qs, s 1,n, (22.11.1) ps qs рассматривается вспомогательная, более простая каноническая система:

H 0 H qs, ps 0, s 1,n, (22.11.2) ps qs общее решение которой найдено:

qs qs t;

1,..., n ;

1,..., n, (22.11.3) ps ps t;

1,..., n ;

1,..., n, s 1,n.

Здесь k, k – постоянные. Их общее число равно 2n. Система (22.11.3) разрешима относительно k, k :

k k q1,...,qn ;

p1,..., pn ;

t, (22.11.4) k k q1,...,qn ;

p1,..., pn ;

t, k 1,n.

Любая из скобок Пуассона k, s, k, s, k, s, (22.11.5) согласно теореме Пуассона, или постоянна, например, равна нулю, или выражается через эти же величины k, k. Ни одна из скобок не содержит явно t, ни переменные qs, ps, так как в противном случае в числе скобок (22.11.5) содержался бы 2n 1 -й независимый интеграл, что невозможно. Кроме того, можно записать 2n тождеств:

s s s, H 0 0, s, H 0 0. (22.11.6) t t Идея метода вариации постоянных состоит в том, что общее решение исходных уравнений (22.11.1) разыскивается в той же форме (22.11.3), но предполагается, что s и s являются непостоянными функциями времени.

Тогда уравнения (22.11.3) можно рассматривать как формулы преобразования новых переменных i, i в старые qs, ps, а уравнения (22.11.4) – как формулы обратного преобразования.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.