авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ...»

-- [ Страница 8 ] --

Теперь надо составить систему дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять новые переменные, в предположении, что старые переменные являются решением уравнений (22.11.1), а не (22.11.2). Тогда «новые переменные» были бы постоянными по условию. Тождества (22.11.6) при этом сохраняются, так как форма уравнений (22.11.4), в силу которых они являются тождествами, не изменилась. Не изменяют своего вида и скобки Пуассона (22.11.5).

Составим выражение производных по времени в силу системы дифференциальных уравнений (22.11.1). Дифференцируя выражения для s, получим:

n s s n s qk pk s, H 0 s, H s Qk.

s t k 1 qk pk k 1 pk Здесь учтены тождества (22.11.6), и qk и pk заменены их значениями из уравнений (22.11.1). Аналогично находим и производную. После s несложного преобразования получаем систему уравнений:

s n s s, H H 0 Qk, pk k (22.11.7) s n s s, H H 0 Qn, s 1,n.

pk k Уравнения (22.11.7) называются уравнениями возмущенного движения, при этом их правые части должны быть записаны с помощью формул (22.11.3) через k и k. Приведем уравнения (22.11.7) к другому виду, воспользовавшись формулой (22.8.13) преобразования скобок Пуассона. В ней надо заменить Qs, Ps на s, s, а u, v – на s и H H 0. Тогда получим:

s H H 0 s H H n n s, H H0 r, k r, k r k r k k 1 r s H H 0 H H 0 k, r s r, k.

k r r k s s sr, 0. Поэтому приходим к равенству:

Здесь r r 0 H H n H H s, H H0 s, k s, k, (22.11.8) k k k 1 и, аналогично, 0 H H n H H s, H H 0 s, k s, k. (22.11.9) k k k 1 Система дифференциальных уравнений возмущенного движения (22.11.7) приводится к виду:

0 H H n H H s s, k s,k s Qk, k k pk k 1 (22.11.10) H H0 H H0 n s s, k s, k s Qk.

k k pk k 1 Скобки Пуассона, фигурирующие в этих уравнениях, либо постоянны, либо выражаются через k, k. Если система (22.11.10) решена, то решение системы (22.11.1) находим по формулам (22.11.3). При этом, если система (22.11.10) решена приближенно, то и решение системы (22.11.1), найденное по формулам (22.11.3), будет также приближенным. Точность приближенного решения будет тем выше, чем меньше отличается вспомогательная система (22.11.2) от системы (22.11.1). Это означает, что H H 0 и Qk должны быть малыми. Тогда и производные s, s будут малыми, а сами функции s и s будут мало отличаться от постоянных. В этих условиях для решения системы (22.11.10) становятся применимыми различного рода приближенные методы.

Обозначим для кратности правые части уравнений (22.11.10) через Фs ;

t и s ;

t. Тогда, если время t мало, можно в правых частях уравнений (22.11.10) k и k заменить их значениями при t 0, то есть заменить на 0 и 0. Тогда задача сводится к квадратурам:

k k t s Фs 0 ;

t dt, s (22.11.11) t s 0 s 0 ;

t dt.

s Для разыскания периодических решений весьма удобен метод усреднения. Первое приближение находится из усредненных уравнений:

s Фs, s s, (22.11.12) 1T Фs Фs 0 ;

t dt, где T 1T s s 0 ;

t dt, T T – некоторый промежуток времени.

22.12. Канонические уравнения возмущенного движения Система уравнений возмущенного движения упрощается, когда решение (22.11.3) вспомогательной системы уравнений (22.11.2) представляет каноническое преобразование величин k, k в qs, ps.

Это может быть в случае, если (22.11.3) представляет интеграл Коши для системы уравнений (22.11.2), то есть s, s – начальные значения переменных qs, ps и если решение (22.11.3) представляет общий интеграл канонической системы (22.11.2), полученный из полного интеграла уравнения в частных производных Якоби-Гамильтона.

Для канонического преобразования s, k 0, s,k sk, s.k 0 (22.12.1) уравнения возмущенного движения приобретают вид:

H H 0 n s s Qk, s 1,n, s k 1 pk (22.12.2) H H 0 n s s Qk, s 1,n.

s k 1 pk Если Qk 0, k 1,n, то есть когда уравнение (22.12.1) – каноническое, то есть каноническими будут уравнения возмущенного движения:

H H0 H H s, s, s 1,n.

(22.12.3) s s Ранее было рассмотрено каноническое преобразование с производящей функцией третьего рода:

n q p Pi Qi V3 p,Q,t, i i i согласно которому V3 V qi, Pi 3.

pi Qi Если в нем заменить Qi на i и Pi на i, то получим:

qi k. (22.12.4) k pi Аналогично, если исходить из канонического преобразования с производящей функцией четвертого вида:

n q p Pi Qi V4 p, P,t i i i согласно которому V4 V qi, Qi 4, pi Pi то получим qi k (22.12.5).

k pi Учитывая (22.12.4) и (22.12.5), вместо (22.12.2) получим:

H H0 n q Qk k, s s s k (22.12.6) H H0 qk n Qk s, s 1,n.

s s k Для получения уравнений (22.12.6) уже не требуется знание обратного преобразования (22.11.4). Если обобщенные силы зависят только от времени, то уравнения (22.12.6) запишутся в канонической форме:

n H H 0 Qk qk, s s k n H H 0 Qk qk, s 1,n.

s s k 23. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА–ОСТРОГРАДСКОГО 23.1. Действие по Гамильтону Исходные положения динамики – законы Ньютона и принцип Даламбера – позволяют сформулировать законы движения в виде дифференциальных уравнений движения. Однако равноправными оказываются вариационные формулировки, устанавливающие стационарные свойства некоторых величин и позволяющие не только заменить вышеупомянутые положения, но и расширить возможности решения задач.

Пусть q1 ( t ),...,qn ( t ) (23.1.1) являются обобщенными координатами материальной системы, подчиненной идеальным голономным связям. Пусть активные силы потенциальны. Будем говорить, что совокупность функций (23.1.1) определяет истинный путь системы, а любая из n, допускаемых связями конфигураций, бесконечно близких к истинному пути q1 q1 ( t ) q1,...,q* qn ( t ) qn, * (23.1.2) n qs где вариации являются произвольными бесконечно малыми дифференцируемыми функциями времени, определяет окольный путь.

Рассмотрим кинетический потенциал L, представляющий разность кинетической и потенциальной энергии. На истинном пути L q1,...,qn,q1,...,qn,t (23.1.3) является вполне определенной функцией времени.

Вариация кинетического потенциала при переходе к одному из n окольных путей будет:

L n L L L n L qs qs. (23.1.4) qs qs s 1 qs qs s 1 qs qs Из всей совокупности мыслимых окольных путей выделим такие, которые в два фиксированных, произвольно выбранных момента времени t0 и t совпадают с истинным путем:

qs t0 0, qs t1 0, s 1,n. (23.1.5) Введем в рассмотрение величину S, называемую действием по Гамильтону за промежуток t0,t1 и определяемую выражением t S Ldt. (23.1.6) t Действие по Гамильтону представляет функционал, определяемый выбором n функций времени qs t.

На истинном пути S принимает вполне определенное числовое значение, при этом qs t и qs t являются обобщенными координатами и скоростями в действительном движении.

Рассмотрим приращение, которое приобретает действие S при переходе от истинного пути к одному из n окольных. Тогда:

t1 t1 t S S L L dt Ldt Ldt.

t0 t0 t Согласно (23.1.4), получаем t1 n L L S qs dt.

qs (23.1.7) qs qs t0 s 1 Интегрируя по частям с учетом (23.1.5), получаем:

t1 t t L L d L d L t1 1 qs qs dt qs qs t qs dt qs dt t qs dt qs dt.

(23.1.8) t t0 0 Вариация действия, таким образом, n t1 n t L d L S qs dt s L qs dt, (23.1.9) qs dt qs s 1 t0 s 1 t где s L – Эйлеров оператор от L.

23.2. Принцип Гамильтона–Остроградского Выражение (23.1.9) для вариации действия, если считать, что выполняются уравнения Лагранжа s L 0, s 1,n, (23.2.1) должно обращаться в нуль:

S 0. (23.2.2) Это означает, что решение динамической задачи соответствует законам Ньютона и принципу Даламбера.

Однако возможен иной подход, когда равенство (23.2.2) выставляется как самостоятельное требование. Но тогда необходимо доказать, что законы Ньютона и принцип Даламбера являются его следствием. То, что это имеет место и будет доказано ниже. Подобный подход к формулировке принципа Гамильтона-Остроградского, устанавливающего некоторое свойство происходящих в действительности движений и отличающего их от всех мыслимых движений, совместимых со связями, и есть это самостоятельные требования.

Если вариация функционала S, вычисленная с точностью до вариаций первого порядка, равна нулю, то говорят, что функционал приобретает стационарное значение.

Таким образом, принцип Гамильтона–Остроградского формулируется следующим образом: действие по Гамильтону S имеет стационарное значение на истинном пути системы, если к сравнению с ним привлекается многообразие окольных путей, совпадающих с истинным в начальный и конечный моменты времени t0 и t1.

Докажем, что принцип Гамильтона–Остроградского содержит в себе исходное положение динамики. Для этого следует показать, что уравнение Лагранжа (23.2.1) является следствием уравнения (23.2.2). Доказательство осуществляется следующим образом. В силу независимости вариаций qs, причем за окольный путь такой, в котором q1 0,..., qk 1 0, qk 1 0,..., qn 0, а qk 0, тогда уравнение (23.1.9) примет вид:

t1 t L d L k L qk dt qk dt 0. (23.2.3) t0 qk dt qk t Допустим, что величина d L L s L 0, (23.2.4) dt qk qk при t t*. Тогда определим промежуток t*0,t*1, содержащий t*, такой, что в нем k L сохраняет знак. Поскольку qk – произвольная функция времени, выберем ее так, что бы она обращалась в нуль при t0 t*0 и при t*1 t1 и также сохраняла знак в указанном промежутке. Тогда:

t1 t* L q dt L q dt.

k k k k t0 t* Таким образом, выражение под знаком интеграла, по условию, сохраняет знак и интеграл не может быть равен нулю. Это противоречит неравенству (23.2.4), поэтому k L 0.

Приведенное рассуждение пригодно для любого k 1,n, что и требовалось доказать.

Из принципа Гамильтона–Остроградского следуют также и канонические уравнения движения. Будем исходить из равенства L n n L q H ps qs H.

(23.2.5) s s 1 qs s Найдем вариацию H n H n L q ps ps qs s qs.

(23.2.6) ps qs s 1 s 1 Соотношения:

H qs, s 1,n, (23.2.7) ps представляющие первую группу канонических уравнений, являются лишь формой записи соотношения между обобщенными скоростями и импульсами и поэтому не связаны с положениями механики. Следовательно, n H L ps qs qs.

(23.2.8) qs s 1 Учтем, что t1 t1 t t p q dt p q ps qs dt ps qs dt.

s s s s t t0 t0 t Поэтому:

n H t t S Ldt ps qs dt 0.

(23.2.9) qs t0 s t Повторив рассуждения, которые позволили из равенства (23.2.2) получить уравнения Лагранжа, приходим ко второй группе канонических уравнений:

H ps, s 1,n.

(23.2.10) qs При наличии непотенциальных сил, соотношение, аналогичное принципу Гамильтона–Остроградского, записывается в виде t1 n t S Adt S Qs qs dt 0. (23.2.11) s 1 t t n t L d L t Но S Ldt qs dt, и поэтому имеем равенство:

s 1 t0 qs dt qs t n t L d L q dt q Qs qs dt 0. (23.2.12) s s 1 t0 s Оттуда следуют уравнения Лагранжа. Следует отметить, что между соотношениями (23.2.2) или (23.2.9) и соотношением (23.2.11) есть принципиальное отличие, заключающееся в том, что имеют место требования об обращении в нуль величины t1 t R S Adt T П A dt (23.2.13) t0 t не означает, что существует функционал R. То есть в общем случае нет функционала, вариация которого бы равнялась R.

Таким образом, следует отличать вариационный принцип Гамильтона Остроградского от более общей точки зрения, выраженной равенством (23.2.13), которое справедливо и для неголономных систем.

В качестве примера применения принципа Гамильтона–Остроградского рассмотрим колебания висящей цепи (А. И. Лурье).

Рассматривается гибкая, нерастяжимая однородная тяжелая цепь длиной l, конец О которой неподвижен;

положение точки M 0 на цепи задается ее абсциссой x в положении равновесия (рис. 23.1).

Рассмотрим плоские колебания цепи.

Обозначим через u u x,t и v v x,t проекции перемещения точки M 0 при колебаниях на оси OX и OY соответственно. Через и обозначим координаты положения точки M, в которое переходит точка M 0 при колебаниях. Очевидно:

x u, (23.2.14) v.

Уравнения (23.2.14) представляют собой параметрическое уравнение кривой OA при фиксированном t. Дифференциал дуги dS этой кривой по условию нерастяжимости цепи равен dx, поэтому Рис. 23. 2 u v S d 2 d 2 1 dx dx.

x x Отсюда находим:

1 u v 2 2 2 u v u 1 1,. (23.2.15) x x x 2 x x Будем считать величины u,v и их производные по x и t малыми v v величинами. Тогда, считая v,, малыми первого порядка, на основании x t u u (23.2.15) следует принять u,, малыми второго порядка.

x t u Поэтому в выражении (23.2.15) будет четвертого порядка малости, x и уравнение (23.2.15) следует записать в виде:

u 1 v. (23.2.16) x 2 x Это условие нерастяжимости цепи, представляющее собой уравнение связи. Кинетическая энергия системы в таком же приближении равна:

1 l u v 2 2 1 l v T dx dx, (23.2.17) 2 0 t t 2 0 t где – масса единицы длины цепи.

Потенциальная энергия силы веса дается выражением l П lg c, где c – координата центра масс кривой OA. Знак минус принят в связи с тем, что ось OX направлена вертикально вниз.

По определению, координата центра масс находится из выражения 1l 1l l 1l c dx x u dx udx.

l0 l0 2 l Интеграл в последнем выражении проинтегрируем по частям:

1 l u 1 l u 1l 1 l xdx u l,t l udx ux xdx.

l 0 x l 0 x l Воспользовавшись уравнением связи (23.2.16), найдем:

1 l u 1 l v u l,t dx dx, l 0 x 2l 0 x l 1 l v u x xdx 2 x xdx.

0 После чего выражение для c можно записать в виде:

v l l l x x dx, c 2 2l и, следовательно, v 1l П g l x dx. (23.2.18) x Таким образом, кинетический потенциал Лагранжа будет записан так:

1 l v v 2 L g l x dx, (23.2.19) 2 0 t x а действия по Гамильтону 1 1 l v v t1 t 2 S Ldt dt g l x dx. (23.2.20) 2 t0 0 t x t Вариационная задача, к которой приводит принцип Гамильтона– Остроградского формулируется так: из всех функций v x,t, непрерывных и имеющих непрерывные производные по x и t при 0 x l и при t 0, удовлетворяющих краевому условию:

v 0,t 0, (23.2.21) определить такую, которая сообщает стационарное значение выражению действия (23.2.20).

«Истинный путь» здесь определяется функцией v x,t, а окольный – функцией v v x,t, при чем выражение v x,t представляет произвольно v v задаваемую при 0 a l и t0 t t1 непрерывную, вместе с и t x функцию, удовлетворяющую условиям:

v x,t0 0, v x,t1 0, v 0,t 0. (23.2.22) Из условий (23.2.22) два первых выражают условие выбора окольных путей в принципе Гамильтона–Остроградского, а последнее является следствием краевого условия.

Вариация действия равна:

t l v v v v S dt g l x dx.

0 t t x x t Затем с помощью интегрирования по частям избавимся от производных v по x и по t, используя правило d d для обеих переменных. Получим с учетом (22.2.22):

t1 t1 t v v 2v 2v t1 t t dt 2 v 2 vdt, v v dt t t t0 t t t0 t v v v v l t l g l x x x dx g l x x v 0 g v x l x x dx 0 v t l x x vdx.

g 0 x Учитывая проведенные выкладки, находим:

l 2v t v l x vdx.

S dt 2 g 0 t x x t Поскольку вариация v, рассматриваемая как функция, t – произвольна, то выражение под знаком интеграла должно быть нулем:

2v v l x.

g x x t 2 При этом должны выполняться условия:

v v при x 0, v 0,t 0;

при x l, и конечны.

x x l t Кроме того, должны быть заданы начальное смещение и скорости:

v x,0 f x, v g x.

t t Решение получившейся краевой задачи математической физики ищется в виде суммы частных решения vk x,t, каждое из которых представляет гармоническое колебание пока неизвестной частоты k :

vk x,t Фk x Ak cos k t Bk sin k t. (23.2.23) Функция Фk, определяющая форму колебаний, удовлетворяет уравнению:

Ф l x k 0, k 1,, 2Фk g (23.2.24) x k x при краевых условиях Фk l Фk 0 0;

, k 1,.

x При замене независимой переменной x с помощью подстановки:


g lx 42k дифференциальное уравнение (23.2.24) приводится к уравнению Бесселя.

Действительно, перепишем уравнение (23.2.24) в виде:

d 2Фk 1 dФk Фk 0.

k g l x l x dx dx Осуществим переход к новой переменной:

2k l x.

g Первая производная преобразуется следующим образом:

dФk dФk d 2k dФk dФ k.

k d dx d d g g2 l x dx Вторая производная:

d 2Фk d dФk 22 d 2Фk 4 4 dФk 4.

k k k dx d g d g d g 2 2 22 dx Кроме того, учитывая, что dФk 22 4 2 8 4 dФk 1 dФk 3 k2, k k l x dx d g g g d окончательно получаем следующее дифференциальное уравнение:

d 2Фk 1 dФk Фk 0.

d 2 d Общее решение этого уравнения:

Фk c1k J 0 c2k N0, где J 0 и N0 – функции Бесселя первого и второго рода. Замечая, что функция N0 – функция Бесселя второго рода (функция Неймана) при 0, то есть при x l обращается в бесконечность, возьмем решение в виде:

lx Фk J 0 J 0 2k.

g Уравнения частот получаем из краевого условия Фk 0 0, или l J 0 2k 0.

g Его корни l 21 2.4048;

g l 22 5.520, g откуда:

l l 1 1.2024, 2 2.760.

g g Выражение для форм колебаний записывается в виде:

lx Фk x J 0 2k, k 1,.

g Решение выражается рядом lx v x,t J 0 2k Ak cos k t Bk sin k t, g k причем lx 1l f x J 0 2k Nk Ak dx;

g lx 1l g x J 0 2k k N k Bk dx, g lx l где N k J 0 2k dx.

g При получении решения используется условие ортогональности:

lx lx 0,k m, l J 0 2k J 0 2m dx N k,k m.

g g Нами рассмотрено точное решение задачи. Однако преимуществом принципа Гамильтона–Остроградского является то, что можно получать приближенные решения, задавая приближенное выражение функции Лагранжа.

С этой целью в рассматриваемом случае задаются приближенным выражением для v x,t в виде отрезка некоторого функционального ряда:

v x,t q1 f1 x q2 f 2 x... qn f n x, при этом величины q1,q2,...,qn подбираются так, что бы наилучшим образом удовлетворялся принцип Гамильтона–Остроградского.

Задавшись функцией v x,t, получаем приближенное выражение L L q1,...,qn,q1,...,qn, как функцию конечного числа параметров. И, поскольку, t S Ldt, t t а S Ldt, то необходимо, чтобы:

t d L L 0, s 1,n.

dt qs qs Пусть f1 x, f 2 x 3. Тогда 1 l L q1 x q2 x 3 g l x q1 3x 2 q2 dx.

2 2 0 Интегрируя, найдем S12 2S1 S 2 S2 g S12 S1 S 2 3S M L, 2 3 5 7 l2 2 где обозначено q1l S1, q2l S2, M l. Таким образом, систему с бесконечным числом степеней свободы заменили на систему с двумя степенями свободы.

Сначала ограничимся системой с одной степенью свободы:

M S12 g S L.

23 l То есть цепь заменена стержнем:

g S S L M 1 0, 3 l 3g g 1 1.2205, 2l l что отличается от точного решения на величину примерно 2%.

Если рассмотреть более точное решение для двух степеней свободы, то получим:

S1 S 2 g S1 S 0, 3 5 l2 S1 S 2 g S1 3S 0.

5 7 l 4 Собственные частоты:

g 1 1.204, l g 2.822.

l Важность принципа Гамильтона–Остроградского в том, что он позволяет приближенно решать задачи динамики механических систем и задачи математической физики.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики. Т.1. / Н. В. Бутенин, Я. Л.

Лунц, Д. Р. Меркин. – М. : Наука, 1985. – 250 с.;

Т. 2. – 1985. – 496 с.

2. Лойцянский, Л. Г. Курс теоретической механики. Ч. 1. / Л. Г.

Лойцянский, А. И. Лурье. – М. : Наука, 1982. – 350 с.;

Ч. 2. – 1983. – 640 с.

3. Кильчевский, Н. А. Курс теоретической механики. Ч. 1. / Н. А.

Кильчевский. – М. : Наука, 1977. – 480 с.;

Ч. 2. – 1977. – 544 с.

4. Бухгольц, Н. Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. / Н. Н.

Бухгольц. – М. : Наука, 1965. – 467 с.;

Ч. 2. – 1969. – 332 с.

5. Лурье, А. И. Аналитическая механика / А. И. Лурье. – М. : Наука, 1961. – 824 с.

6. Гантмахер, Ф. Р. Аналитическая механика / Ф. Р. Гантамхер. – М. :

Наука, 1960. – 296 с.

7. Маркеев, А. П. Теоретическая механика / А. П. Маркеев. – М. : Наука, 1990. – 416 с.

8. Мещерский, И. В. Сборник задач по теоретической механике / И. В.

Мещерский. – М. : Наука, 1981. – 480 с.

9. Бать, М. Л. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. 1. / М. Л.

Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. – М. : Наука, 1967. – 510 с.;

Т. 2.

– 1968. – 624 с.;

Т. 3. – 1973. – 486 с.

10. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике : учеб.

пособие для техн. вузов / под ред. А. А. Яблонского. – М. : Высшая школа, 1985. – 367 с.

11. Санкин, Ю. Н. Динамика несущих систем металлорежущих станков / Ю. Н. Санкин. – М. : Машиностроение, 1986. – 96 с.

12. Рокар, И. Неустойчивость в механике / И. Рокар. – М. : Издательство иностранной литературы, 1959. – 287 с.

13. Санкин, Ю. Н. Лекции по теоретической механике. Ч. 1. Статика, кинематика : учебное пособие / Ю. Н. Санкин. – 2-е изд. – Ульяновск :

УлГТУ, 2010. – 124 с.

Учебное издание САНКИН Юрий Николаевич ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Редактор М. В. Теленкова ЛР № 020640 от 22.10. Подписано в печать 16.04.2012. Формат 70100/16.

Усл. печ. л. 31,61. Тираж 200 экз. Заказ 415.

Ульяновский государственный технический университет, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.

Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.