авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Национальный институт ВЫСШАЯ ШКОЛА УПРАВЛЕНИЯ В. И. Соловьев МАТЕМАТИКА для специальностей «Государственное и ...»

-- [ Страница 3 ] --

чтобы для любого x R { : X() x} S.

Перейдем к строгим определениям.

Пусть {, S, P} — некоторое вероятностное пространство.

Числовая функция X(), заданная на множестве, называется измери мой относительно алгебры S, если для любого x R { : X() x} S.

Случайной величиной называется числовая функция X(), определенная на пространстве элементарных событий и измеримая относительно алгебры событий S.

Далее случайные величины будут обозначаться заглавными буквами из конца латинского алфавита: X, Y, Z, U, V, W, …, а их возможные значения — соответствующими строчными буквами: x, y, z, u, v, w, … Пусть X() — случайная величина, т. е. функция X: R = (–;

+), измеримая относительно алгебры S, а B (–;

+) — некоторое множество на числовой прямой.

В практических задачах нас часто будут интересовать множества вида X –1(B) = { : X() B} [X –1(B) — это множество таких элементарных исходов, что X() B].

Являются ли такие множества случайными событиями? Иначе говоря, можно ли утверждать, что X –1(B) S?

Если B = (–;

x), то такое утверждение следует непосредственно из опреде ления случайной величины, так как при этом X –1(B) = { : X() (–;

x)} = = { : X() x}. Из этого следует, что множества { : X() x} = { : X() [x;

+)}, { : X() x} = { : X() (–;

x]}, { : X() x} = { : X() (x;

+)}, { : X() = x} = { : X() {x}}, { : a X() b} = { : X() [a;

b)}, { : a X() b} = { : X() (a;

b]}, { : a b} = { : X() [a;

b]}, X() { : a X() b} = { : X() (a;

b)}, где x, a, b R, также являются случайными событиями, т. е. принадлежат алгебре S.

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что { : X () x} = { : X () x}, { } x} = : X () x + { : X (), n n= { : X () x} = { : X () x}, { : X () = x} = { : X () x} { : X () x}, { : a X () b} = { : X () b} { : X () a}, { : a X () b} = { : X () b} { : X () a}, { : a X () b} = { : X () b} { : X () a}, { : a X () b} = { : X () b} { : X () a}, а алгебра S замкнута относительно операций пересечения и перехода к противоположно му событию.

Более того, для любого б о р е л е в с к о г о множества B на числовой прямой X (B) = { : X() B} S.

– Доказательство. Операция взятия прообраза, т. е. переход от множества B к множест ву X (B), сохраняет теоретико множественные операции, т. е. X 1 Bn = X 1 (Bn ), – n=1 n= X 1 Bn = X 1 (Bn ), X 1 (B) = X 1 (B). Рассмотрим класс K всех таких множеств B, что n=1 n= X (B) принадлежит алгебре S;

мы уже убедились, что этому классу принадлежат все по – луинтервалы вида [a;

b). Класс K образует алгебру, так как замкнут относительно опера ций перехода к противоположному событию и объединения счетного числа множеств. Но алгебра борелевских множеств на прямой (B) — это н а и м е н ь ш а я алгебра, содержа щая все полуинтервалы [a;

b), поэтому B содержится в K, т. е. для любого борелевского мно жества B B множество X (B) S, что и требовалось доказать.

– В дальнейшем, когда мы будем говорить о случайных величинах, мы обычно будем опускать их явную зависимость от элементарных событий и вместо X() писать просто X, а вместо X –1(B) = = {щ : X() B} — просто {X B}, например, {X x}, {a X b} и т. п.

Понятие случайной величины было впервые введено С. Пуассоном, стро гое формальное определение случайной величины было дано уже в XX в.

А. Н. Колмогоровым.

Простейшим примером случайной величины является индикатор собы тия. Рассмотрим вероятностное пространство {, S, P}. Пусть A S — некото рое событие. Случайная величина 1, A, I A = I A () = (2.1.1) 0, A, равная единице, когда событие A происходит, и нулю в противном случае, на зывается индикатором события A.

При любом x R множество, x 0, {I A x} = { : I A () x} = A, 0 x 1,, x и, следовательно, множество {IA x} S, т. е. IA действительно является слу чайной величиной.

Если X и Y — случайные величины, заданные на вероятностном про странстве {, S, P}, а c R — некоторая неслучайная постоянная, то cX, X + c, |X|, X + Y, X – Y, — также случайные величины. Предлагаем читателю дока зать этот факт в задаче 152.

Пусть X1, X2, …, Xn, … — последовательность случайных величин, задан ных на одном и том же вероятностном пространстве {, S, P}, а X — некоторая случайная величина, заданная на том же вероятностном пространстве. Тогда множества { : существует lim X ()}, { : lim X () = X()} n n n n являются случайными событиями, т. е. принадлежат алгебре S.

Доказательство этого факта оставляем читателю в задаче 153.

Задачи Доказать, что если алгебра S — минимальная у алгебра (т. е.

149.

S = {, }), то все случайные величины, которые могут быть заданы на веро ятностном пространстве {, S, P} являются константами (т. е. не зависят от ).

150. Бросают игральную кость. Проверить, является ли число выпав ших очков X случайной величиной.

Решение. Пространство элементарных событий в этом случае имеет вид = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, где элементарное событие i состоит в том, что выпало i очков (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6). В качестве алгебры S выберем максимальную алгебру, соответствую щую. Вероятности элементарных событий P( i ) = 1/6 (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Число выпавших очков X является функцией от элементарных событий, причем X(i) = i. При этом, x 1, { }, 1 x 1 2, {, }, 2 x 12 3, {IA x} = { : IA () x} = {1, 2, 3 }, 3x 4, {1, 2, 3, 4 }, 4x 5, {1, 2, 3, 4, 5 }, 5x 6,, x 6, и все эти множества принадлежат максимальной алгебре S. Поэтому число выпавших оч ков X является случайной величиной.

151. Петя и Маша договорились встретиться с 12 до 13 ч на станции метро «Первомайская» у последнего вагона поезда, идущего в центр города, однако ни один из них не смог точно указать время своего прихода. Они дого ворились обязательно дождаться друг друга. X — это время, проведенное на станции Петей. Проверить, является ли X случайной величиной.

152. Доказать, что если X и Y — случайные величины, заданные на ве роятностном пространстве {, S, P}, а c R — некоторая неслучайная посто янная, то cX, X + c, |X|, X + Y, X – Y, — также случайные величины.

153. Доказать, что если X1, X2, …, Xn, … — последовательность случай ных величин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве {, S, P}, а X — некоторая случайная величина, заданная на том же вероятно { : существует lim X ()} стном пространстве, то множества и n n { : lim X () = X()} принадлежат алгебре S.

n n 2.1.2. Ф у н к ц и я р а с п р е д е л е н и я с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы Законом распределения вероятностей случайной величины называется правило, устанавливающее соответствие между значениями этой случайной величины (или множествами значений) и вероятностями того, что случайная величина примет данное значение (или попадет в соответствующее множество).

Функцией распределения вероятностей (или, короче, функцией распре деления) случайной величины X называется функция FX(x) = P{X x} = P{ : X() x}, x R. (2.1.2) Если известно, о какой случайной величине идет речь, то индекс, обозна чающий эту случайную величину, опускается: F(x) = FX(x).

Для любой случайной величины X и любых чисел x1, x2 R, таких что x1 x2, вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал [x1;

x2) можно рассчитать по формуле X x2} = F(x2) – F(x1).

P{x1 (2.1.3) X x2} {X x2}, x1 x2, {X x1} = Доказательство. {x Если то при этом = {X x2}\{x1 X x2} и по теореме о монотонности вероятности (1.4.7) P{X x2} = = P{X x1} + P{(X x2)\(x1 X x2)} = P{X x1} + P{x1 X x2}. X x2} = P{x Отсюда P{X x2} – P{X x1} = F(x2) – F(x1), что и требовалось доказать.

Как числовая функция от числового аргумента x, функция распределе ния F(x) произвольной случайной величины обладает следующими с в о й с т в а м и.

ОГРАНИЧЕННОСТЬ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Функция F(x) является ограни ченной, т. е. для любого x R F(x) 0 1, (2.1.4) при этом F() = lim F(x) = 0, F(+) = lim F(x) = 1. (2.1.5) x x+ Доказательство. Неравенство (2.1.4) непосредственно следует из теоремы об ограничен ности вероятности (1.4.8). Рассмотрим произвольную монотонно убывающую числовую после довательность {xn}: x1 x2 · ·· xn – 1 xn · · ·, такую, что lim xn =. Пусть An = {X xn}, то n гда A1 A2 · · · An – 1 An · · ·, т. е. последовательность событий {An} является монотонно убывающей, поэтому имеет предел lim An = An = { X xn } =. По теореме о непрерыв n n=1 n= ности вероятности (см. § 1.4) lim P(An ) = P ( lim An ). Но lim P(An ) = lim P( X xn ) = lim F(xn ), n n n n n P ( lim An ) = P() = 0 [по теореме о вероятности невозможного события (1.4.6)]. Поэтому n lim F(xn ) = 0. Но поскольку мы рассматривали произвольную убывающую числовую после n довательность {xn}, имеющую пределом –, то F() = lim F(x) = 0, что доказывает спра x ведливость первого из равенств (2.1.5). Предоставляем читателю аналогичным образом дока зать справедливость второго из этих равенств.

МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Функция F(x) является н е у б ы в а ю щ е й, т. е. для любых x1, x2 R, таких что x1 x2, F(x1) F(x2). (2.1.6) Доказательство. Если x1 x2, то по формуле (2.1.3) P{x1 X x2} = F(x2) – F(x1). Но по X x2} 0, поэтому F(x2) – F(x1) аксиоме неотрицательности вероятности (1.4.1) P{x1 или F(x1) F(x2), что и требовалось доказать.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Функция F(x) является н е п р е р ы в н о й с л е в а, т. е. для любого x R F(x) = F(x 0) = lim F(z). (2.1.7) z x zx Доказательство. Рассмотрим произвольную монотонно убывающую числовую последо x, такую, что lim zn = x. Пусть An = {X zn}, тогда вательность {zn}: z1 z2 ··· zn – 1 zn ··· n A1 A2 ··· An – 1 An ···, т. е. последовательность событий {An} является монотонно возрас тающей, поэтому имеет предел lim An = An = { X zn } = { X x}. По теореме о непрерыв n n=1 n= ности вероятности (см. § 1.4) lim P(An ) = P ( lim An ). Но lim P(An ) = lim P{ X zn } = lim F(z) = n n z x n n zx = F(x 0), P ( lim An ) = P{X x}= F(x). Поэтому F(x) = F(x 0) = lim F(z), что и требовалось z x n zx доказать.

Можно доказать, что если некоторая функция F(x) обладает свойствами ограниченности (2.1.4)—(2.1.5), монотонности (2.1.6) и непрерывности (2.1.7), то найдется такая случайная величина X, что F(x) будет ее функцией распреде ления. Любознательный читатель найдет доказательство во многих учебниках по теории вероятностей, например, [16, 49].

По аналогии с независимыми событиями определяются независимые случайные величины. Две случайные величины X и Y называются независи мыми, если для всех x, y R P{(X x) (Y y)} = P{X x}P{Y y} = FX (x)FY (y), (2.1.8) т. е. если для всех x, y R события {X x} и {Y y} независимы.

Найдем функцию распределения индикатора события A (2.1.1):

P(), x 0, FIA (x) = P{I A x} = P{ : I A () x} = P(A), 0 x 1, P(), x или, окончательно, 0, x 0, FIA (x) = 1 P(A), 0 x 1, (2.1.9) 1, x 1.

Задачи Функция распределения некоторой случайной величины X такова:

154.

0, x 0, FIA (x) = cx, 0 x 2, 1, x 2.

Найти все возможные значения параметра c.

Решение. Для того, чтобы существовала случайная величина X, которая бы имела функцию распределения F(x) необходимо и достаточно, чтобы F(x) обладала свойствами ограниченности (2.1.4)—(2.1.5), монотонности (2.1.6) и не 1 при x (0;

2], от cx прерывности (2.1.7). Из условия (2.1.4) следует, что куда c [0;

0,25]. Из условия (2.1.6) следует, что производная F'(x) 0, значит, 0 при x (0;

2], откуда c 2cx 0. Условия (2.1.5), (2.1.7), очевидно, выполнены.

Поэтому c [0;

0,25].

155. В условиях предыдущей задачи известно, что F(x) непрерывна в точке x = 2. Найти значение постоянной c, а также вероятность P{X 1}.

Решение. Из условия непрерывности функции F(x) в точке x = 2 следует, что 2 cx | x = 2 = c·2 = 4c =1, c = 0,25. 1} = 1 – P{X 1} = 1 – F(1) = P{X откуда При этом x2 =1 =.

4 x = Функция распределения некоторой случайной величины X такова:

156.

x 2, 0, F(x) = (x a), 2 x 3, x 3.

1, Найти значение постоянной a, а также вероятность P{1 X 2,5}.

157. Определить, может ли функция x 0, 0, F(x) = 1, 0 x 1, x x 1, быть функцией распределения какой либо случайной величины.

158. Найти функцию распределения случайной величины X, опреде ленной в задаче 150.

Решение. При решении задачи 150 мы ввели вероятностное пространство {, S, P} и оп ределили события {X x} для всех x. При этом P{ i } = 1/6, поэтому x 0, 1, 1 x, 2, P(), x 1, P{1 }, 1 x 2, 2, 2 x 3, 3, P{1, 2 }, 2 x F(x) = P{ X x} = P{1, 2, 3 }, 3x 4, =, 3x 4, P{1, 2, 3, 4 }, 4x 5, 4x, 5, P{1, 2, 3, 4, 5 }, 5x 6, P(), x 5x, 6, x 6.

1, 159. Найти функцию распределения случайной величины X, опреде ленной в задаче 151.

Доказать, что если F(x) — функция распределения некоторой слу 160.

x} = F(x + 0) = lim F(x) ;

б) P{a чайной величины X, то: а) P{ X X b} = F(b + 0) – z x zx – F(a);

в) P{a X b} = F(b) – F(a + 0);

г) P{a X b} = F(b + 0) – F(a + 0).

161. Доказать, что множество точек разрыва (скачков) функции рас пределения случайной величины не более, чем счетно.

Проверить, являются ли независимыми случайные величины X и Y, 162.

если X = X() = 1 для всех, Y = Y() = 2 для всех.

Пусть А S — некоторое событие, p = P(А). Проверить, являются 163.

ли независимыми случайные величины X = X() = IA() и Y = Y() = X() для всех в случае, когда: а) 0 p 1;

б) p = 0;

в) p = 1.

Пусть X и Y — независимые случайные величины, g(x), x R и 164.

h(y), y R — некоторые взаимно однозначные функции. Доказать, что слу чайные величины U = g(X) и V = h(Y) независимы.

§ 2.2. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 2.2.1. С п о с о б ы з а д а н и я дискретных случайных величин Дискретная случайная величина X — это случайная величина, прини мающая значения из конечного или счетного множества.

Рассмотрим такую случайную величину, заданную на вероятностном пространстве {, S, P}. Пусть эта случайная величина X принимает значения x1, x2, …, xn, … Для любой случайной величины, в том числе, для X, множество {X = x} = { : X() = x} (как мы убедились в п. 2.1.1) является случайным событием, а потому определена его вероятность при любом x R;

в частности, определены числа pi = P{X = xi}, i = 1, 2, … З а к о н р а с п р е д е л е н и я дискретной случайной величины задается чаще всего не функцией распределения, а рядом распределения — таблицей X x1 x2 xn (2.2.1) p p1 p2 pn в которой x1, x2, …, xn, … — р а з л и ч н ы е значения дискретной случайной величины X, а p1, p2, …, pn, … — отвечающие этим значениям вероятности.

Число столбцов в этой таблице может быть конечным (если соответствующая случайная величина принимает конечное число значений) или бесконечным (счетным).

Часто ряд распределения записывают в виде матрицы x1 x2 xn.

(2.2.2) p1 p2 pn Очевидно, все pi 0, i = 1, 2, … [по аксиоме неотрицательности вероятно сти (1.4.1)], и p =1 (2.2.3) i i [так как = (X = x1) (X = x2) ··· (X = xn) · · ·, а события {X = xi} и {X = xj} несовместны при i j, то по аксиоме счетной аддитивности вероятности (1.4.4) P() = P{ X = xi } = pi, но по аксиоме нормированности вероятности (1.4.2) i i P() = 1].

Кривой (или многоугольником) распределения вероятностей дискретной случайной величины X называется ломаная, соединяющая точки (xi;

pi) в по рядке возрастания xi.

Если значения дискретной случайной величины расположены в ряде распределения по возрастанию1, то по ряду распределения дискретной слу чайной величины можно восстановить ее функцию распределения, и наоборот.

Действительно, пусть есть дискретная случайная величина, заданная ря дом распределения (2.2.1), причем – x1 x2 ··· xn ··· +.

Тогда, x x1, { X = x1 }, x1 x x2, { X = x } { X = x }, x2 x x3, 1 { X = x1 } { X = x2 } { X = x3 }, x3 x x4, { X x} = n { X = xi }, xn x xn+1, i= а F(x) = P{ X x} = P{}, x x1, P{ X = x1 }, x1 x x2, P{( X = x ) ( X = x )}, x2 x x3, 1 P{( X = x1 ) ( X = x2 ) ( X = x3 )}, x3 x x4, = = n P { X = xi }, xn x xn+ i=1 0, x x1, p1, x1 x x2, p + p, x2 x 1 x3, p + p2 + p3, x3 x x4, = n pi, xn x xn+ i= Итак, мы убедились, что функция распределения любой дискретной слу чайной величины является кусочно постоянной (ступенчатой) функцией со А так бывает не всегда, например, невозможно упорядочить по возрастанию с ч е т н о е множество рациональных чисел!

скачками в точках, соответствующих значениям случайной величины, причем величина скачка в каждой точке равна вероятности того, что случайная вели чина попадет в эту точку, а значение функции распределения в каждой точке равно сумме вероятностей значений случайной величины, не превосходящих данной точки)1.

Пусть теперь нам дана некоторая ступенчатая функция 0, x x1, q1, x1 x x2, q, x2 x x3, x3 x F(x) = q3, x4, qn, xn x xn+1, обладающая свойствами ограниченности (2.1.4)—(2.1.5), монотонности (2.1.6) и непрерывности (2.1.7).

Тогда по формуле (2.1.3) P{X = xi} = P{xi X xi+1} = F(xi+1) – – F(xi) = qi+1 – qi (i = 1, 2, …). Если же x xi (i = 1, 2, …), то P{X = x} = = 0 (предла гаем читателю доказать это самостоятельно).

Составим ряд распределения индикатора события (2.2.1). Вспомним, что индикатор события может принимать одно из двух значений: нуль (когда A не наступило), или единица (когда A наступило). Поэтому ряд распределения ин дикатора события A имеет вид IA 0 (2.2.4) 1 P(A) P(A) p УСЛОВИЕ НЕЗАВИСИМОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Пусть дискретная случайная величина X принимает значения x1, x2, …, xm, … с вероятностями p1, p2, …, pm, … соответственно, а дискретная случайная величина Y прини мает значения y1, y2, …, yn, … с вероятностями q1, q2, …, qn, … соответст венно. Эти случайные величины X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда для всех i = 1, 2, …, m, …, j = 1, 2, …, n, … P{(X = xi) (Y = yj)} = P{X = xi}P{Y = yj}. (2.2.5) Доказательство этого утверждения оставляем любознательному читателю в задаче 171.

Задачи 165. В лотерее на каждые 100 билетов приходится 15 выигрышей. Ко личество и размеры выигрышей таковы:

Мы убедились в этом, на самом деле, только для случая, когда x1 x2 ··· xn ···. В об щем случае функция распределения дискретной случайной величины также обязательно будет кусочно постоянной;

сложность состоит не в доказательстве этого факта, а в невоз можности указать способ расстановки по возрастанию произвольного счетного множества, например, невозможно указать такой способ для множества циональных чисел.

Размер выигрыша, руб. 2 000 500 Количество билетов 1 4 Случайная величина X описывает размер выигрыша на один случайно вы бранный билет. Составить ряд распределения случайной величины X. Постро ить многоугольник распределения вероятностей. Найти функцию распределе ния случайной величины X и построить ее график. Найти P{X 100}, P{X = 55}, P{X 2500}.

Решение. Случайная величина X может принимать значения 2000, 500, 100 и 0 руб. Ве роятности этих значений можно вычислить по классической формуле вероятности (1.3.1):

1/100 = 0,01, 4/100 = 0,04, 10/100 = 0,10, 1 – – 0,01 – 0,04 – 0,10 = 0,85 соответственно.

Расположив пары (xi;

pi) в порядке возрастания значений случайной величины X, получим ее ряд распределения:

X 0 100 500 p 0,85 0,10 0,04 0, Соединив точки (xi;

pi) отрезками, получим многоугольник распределения случайной величины X (рис. 2.2.1, а).

Функция распределения случайной величины X имеет следующий вид:

0, 0, x x 0, 0, 0,85, 0,85, 0 x 100, 0 x 100, F(x) = P{ X x} = 0,85 + 0,10, 100 x 500, = 0,95, 100 x 500, 0,85 + 0,10 + 0,04, 500 x 2000, 0,99, 500 x 2000, 0,85 + 0,10 + 0,04 + 0,01, 1, x 2000 x 2000.

Ее график представлен на рис. 2.2.1, б.

p F(x) 1 0,75 0, 0,5 0, 0,25 0, x x 0 100 500 1000 1500 2000 0 100 500 1000 1500 а) б) Рис. 2.2.1. Многоугольник распределения (а) и график функции распределения (б) в задаче Далее вычисляем P{X 100} = P{X = 500} + P{X = 2000} = 0,04 + 0,01 = 0,05.

Выигрыш X ни при каких условиях не может оказаться равным 55 руб. или превысить 2500 руб, поэтому имеем: P{X = 55} = P{X 2500} = 0.

166. В результате анализа счетов 400 инвесторов на фондовой бирже получена следующая информация о количестве сделок за последний месяц:

X, количество сделок 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Количество инвесторов 146 97 73 34 23 10 6 3 4 2 Определить вероятности того, что случайно выбранный инвестор произ вел: а) ноль сделок;

б) по крайней мере, одну сделку;

в) более пяти сделок;

г) менее шести сделок.

167. Вечером Пете понадобилось купить хлеб. В микрорайоне, где жи вет Петя, есть три булочных, в каждой из которых в это время хлеб может быть с вероятнгстью 1/3. Составить ряд распределения числа N булочнгых, которые придется посетить Пете.

168. Независимые случайные величины X и Y распределены одинаково:

X 5 Y 0 5 10 0 5 p p 0,1 0,2 0,5 0,2 0,1 0,2 0,5 0, Составить ряды распределения случайных величин Z = X2 и V = XY.

2 2 2 2 Решение. Случайная величина Z = X может принимать значения (–5), 0, 5 и 10 с теми же вероятностями, с которыми случайная величина X принимает значения (–5), 0, 5 и 10 со ответственно. Поэтому случайная величина Z имеет ряд распределения Z 0 25 p 0,2 0,6 0, (здесь P{Z = 25} = P{X = 25} = P{X = –5} + P{X = 5} = 0,1 + 0,5 =0,6).

Случайная величина V = XY может иметь в качестве значений произведения любых пар чисел из множества {–5;

0;

5;

10}, при этом вероятности этих значений вычисляются по теореме умножения вероятностей для независимых событий:

V (5)(5) (5)0 (5)5 (5)10 0(5) 0 0 0 5 010 5 (5) 5 0 5 5 510 10 (5) 10 0 10 5 p 0,01 0,02 0,05 0,02 0,02 0,04 0,10 0,04 0,05 0,10 0,25 0,10 0,02 0,04 0,10 0, или 25 50 25 V 25 0 0 0 0 0 0 25 50 0 50 p 0,01 0,02 0,05 0,02 0,02 0,04 0,10 0,04 0,05 0,10 0,25 0,10 0,02 0,04 0,10 0, Чтобы получить ряд распределения случайной величины V, сложим вероятности, соот ветствующие одинаковым значениям этой случайной величины:

V 50 25 0 25 50 p 0,04 0,10 0,36 0,26 0,20 0, 169. Начальный капитал начинающего торговца составляет 10 000 руб.

Опытные коллеги сказали ему, что после продажи каждой партии товара ка питал с вероятностью 0,5 увеличивается в полтора раза, с вероятностью 0, остается без изменений и с вероятностью 0,25 уменьшается в полтора раза.

Составить ряд распределения капитала торговца после продажи двух партий товара.

170. Проект состоит из трех этапов. Первый и второй этапы можно вы полнять параллельно, а третий этап можно начинать только по завершении первых двух. Длительности этапов (в рабочих днях) описываются дискретны ми случайными величинами Ti (i = 1, 2, 3) с рядами распределения T1 T2 T 2 3 4 2 3 4 2 3 p p p 0,1 0,8 0,1 0,4 0,4 0,2 0,2 0,3 0, Составить ряд распределения времени выполнения проекта T и найти веро ятность того, что от начала работ по проекту до его завершения пройдет более шести рабочих дней.

171. Доказать формулу (2.2.5) для независимых дискретных случайных величин.

172. Между Петей и Васей происходит дуэль (из за Маши). Стреляют по очереди до первого попадания. Вероятность того, что попадет Петя, состав ляет 0,3, вероятность того, что попадет Вася, — 0,6. Иванов стреляет первым.

Найти вероятность того, что Вася поразит противника первым.

173. 90% деталей, изготовленных первым заводом, и 80%и деталей, изго товленных вторым заводом, обладают высшим качеством. Из деталей, произве денных первым заводом, случайным образом отобрано три штуки, а из деталей, произведенных вторым заводом, — две. Случайная величина X — это количе ство деталей высшего качества из пяти отобранных. Составить ряд распреде ления случайной величины X.

174. Стопку из двенадцати денежных купюр, из которых ровно три фальшивых, разделили на три равные по числу купюр части. Случайная вели чина X — это максимальное количество фальшивых купюр, попавших в ре зультате деления в какую либо часть. Составить ряд распределения случайной величины X.

2.2.2. М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е, д и с п е р с и я и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины Наиболее употребительной ч и с л о в о й х а р а к т е р и с т и к о й ц е н т р а г р у п п и р о в а н и я значений случайной величины является матема тическое ожидание. Математическим ожиданием д и с к р е т н о й случай ной величины X называется число MX = xi pi = xi P{ X = xi }, (2.2.6) i i равное среднему взвешенному значению случайной величины с весами — ве роятностями.

(В случае, когда дискретная случайная величина принимает счетное число значений, математическое ожидание определено, естественно, только в том случае, когда ряд xi pi в i правой части (2.2.6) сходится абсолютно.) В пакете Microsoft Excel существует функция СУММПРОИЗВ для вычисле ния суммы попарных произведений элементов массивов [мы уже пользовались этой функцией при вычислениях по формуле полной вероятности (см. п. 1.5.2)].

С помощью этой функции можно рассчитать математическое ожидание дис кретной случайной величины, принимающей конечное число значений:

MX = xi pi = СУММПРОИЗВ(массив xi;

массив pi).

i Найдем математическое ожидание индикатора события (2.1.1). В преды дущем пункте мы нашли ряд распределения (2.2.4) индикатора события A:

IA 0 1 P(A) P(A) p поэтому математическое ожидание индикатора события A по определению (2.2.6) равно MIA = 0[1 – P(A)] + 1P(A) = P(A). Итак, MIA = P(A). (2.2.7) Математическое ожидание дискретной случайной величины обладает следующими с в о й с т в а м и.

ФОРМУЛА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ КОНСТАНТЫ. Для любой неслучай ной постоянной c R Mc = c. (2.2.8) Доказательство. Рассмотрим случайную величину Z = Z(щ= c, где c R — некоторая ) неслучайная постоянная. Тогда, очевидно, эта случайная величина Z принимает единствен ное значение z1 = c с вероятностью p1 = 1 и по определению математического ожидания (2.2.6) Mc = MZ = z1p1 = c·1 = c, что и требовалось доказать.

ЛИНЕЙНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ. Для любой дискретной случайной величины X и любой неслучайной постоянной c R M(cX) = cMX. (2.2.9) Доказательство. Пусть случайная величина X принимает значения x1, x2, …, xn, … с ве роятностями p1, p2, …, pn, … соответственно. Рассмотрим случайную величину V = cX, где c R — некоторая неслучайная постоянная. Тогда, очевидно, эта случайная величина V при нимает значения v1 = cx1, v2 = cx2, …, vn = cxn, … с вероятностями p1, p2, …, pn, … соответствен но и по определению математического ожидания (2.2.6) M(cX) = MV = vi pi = i = (cxi )pi = c xi pi = cMX, что и требовалось доказать.

i i АДДИТИВНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ. Для любых дискретных слу чайных величин X и Y M(X + Y) = MX + MY. (2.2.10) Доказательство. Пусть случайная величина X принимает значения x1, x2, …, xm, … с вероят ностями p1, p2, …, pm, … соответственно, а случайная величина Y принимает значения y1, y2, …, yn, … с вероятностями q1, q2, …, qn, … соответственно. Рассмотрим события Ai = {X = xi}, Bj = {Y = yj}, Cij = Ai Bj = {(X = xi) (Y = yj)} для всех возможных i = 1, 2, …, m, …, j = 1, 2, …, n, … При этом Cij будет множеством постоянства и случайной величины X, и случайной величины Y, т. е. множе ством постоянства случайной величины X + Y, и по определению математического ожидания ( ) ) ( (2.2.6) M(X + Y) = (xi + yj )P(Cij ) = xi P(Cij ) + yj P(Cij ) = xi pi + yj q j = MX + i j i j j i i j + MY, что и требовалось доказать [мы учли при доказательстве, что Ai = Cij, Cij Cik = j (при j k), Bj = Cij, Cij Ckj = (при i k) ].

i ФОРМУЛА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУ ЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Для любых н е з а в и с и м ы х дискретных случайных вели чин X и Y M(XY) = MXMY. (2.2.11) Доказательство. Пусть случайная величина X принимает значения x1, x2, …, xm, … с веро ятностями p1, p2, …, pm, … соответственно, а случайная величина Y принимает значения y1, y2, …, yn, … с вероятностями q1, q2, …, qn, … соответственно, и при этом X и Y независимы, т. е. для любых i = 1, 2, …, m, …, j = 1, 2, …, n, … P{(X = xi) (Y = yj)} = P{X = xi}P{Y = yj} [по формуле M(XY) = Тогда по определению математического ожидания (2.2.4)]. (2.2.6) = (xi yj )P{( X = xi ) (Y = yj )} = xi yj P{ X = xi }P{Y = yj } = xi P{ X = xi } yj P{Y = yj } = i j i j i j = MXMY, что и требовалось доказать.

Если случайные величины X и Y зависимы, то условие (2.2.11) может и не выполняться. Например, рассмотрим случайные величины X = X() = IA() и Y = Y() = X() для всех (где А S — некоторое событие, вероятность которого равна p = P(А)). Если читатель решал задачу 163, он убедился в том, что данные случайные величины X и Y являются зависимыми при 0 p 1 и независимыми при p = 0 или p = 1. При этом M(XY) = p, MXMY = p2 (предлага ем читателю убедиться в этом самостоятельно), поэтому при p = 0 или p = (т. е. когда X и Y независимы) M(XY) = MXMY, а при 0 p 1 (т. е. когда X и Y зависимы) M(XY) MXMY.

ФОРМУЛА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. Если случайная величина X принимает значения 0, 1, 2, …, и у этой случайной величины существует математическое ожидание MX, то MX = P{ X x} = P{ X x}. (2.2.12) x=0 x= Доказательство. При k k k k xP{X = x} = x[P{X x 1} P{X x}] = (x 1)P{X x 1} + x =0 x =1 x =.

k k + P{ X x 1} xP{ X x} = P{ X x} kP{ X k}.

x =1 x =1 x = Если устремить k к, то kP{ X k} = k P{ X = x} xP{X = x} 0 в силу конечно x =k +1 x =k сти ряда MX = xP{ X = x}, и x = k k k MX = xP{ X = x} = lim x [ P{ X x 1} P{ X x}] = lim x [ P{ X x 1} P{ X x}] = k k x =0 x =1 x = k k = lim (x 1)P{ X x 1} + lim P{ X x 1} lim xP{ X x} = k k k x =1 x =1 x = k1 = lim P{ X x} lim (kP{ X k}) = P{ X x}, k k x =0 x = что и требовалось доказать.

Наиболее употребительной ч и с л о в о й х а р а к т е р и с т и к о й с т е п е н и р а з б р о с а значений случайной величины (произвольной, не обяза тельно дискретной) вокруг центра группирования является дисперсия. Дисперси ей случайной величины X называется число DX = M(X – MX)2, (2.2.13) равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величи ны от своего математического ожидания.

В теоретических выкладках иногда проще использовать еще две форму лы для вычисления дисперсии:

DX = M(X 2) – (MX)2. (2.2.14) DX = M[X(X – 1)] + MX – (MX)2. (2.2.15) 2 2 2 Доказательство. Имеем: DX = M(X – MX) = M[X –2XMX + (MX) ] = M(X ) – 2M(XMX) + 2 2 2 2 + M[(MX) ] = M(X ) –2MXMX + (MX) = M(X ) – (MX), что доказывает справедливость фор 2 2 мулы (2.2.14). Случайную величину X представим в виде X = X(X – 1) + X. При этом M(X ) = 2 = M[X(X – 1) + X] = M[X(X – 1)] + MX, и из формулы (2.2.14) получаем: DX = M(X ) – (MX) = = M[X(X – 1)] + MX – (MX), что доказывает справедливость формулы (2.2.15).

Формулы (2.2.14)—(2.2.15) к а т е г о р и ч е с к и н е л ь з я и с п о л ь з о в а т ь д л я п р а к т и ч е с к и х р а с ч е т о в, если случайная величина име ет сколь нибудь большое число различных возможных значений, поскольку эти формулы обладают существенно бульшей вычислительной погрешностью, чем формула (2.2.13).

Для дискретных случайных величин формулы (2.2.13)—(2.2.15) принима ют вид DX = (xi MX)2 pi, (2.2.16) i DX = xi2pi (MX )2, (2.2.17) i DX = xi (xi 1)pi + MX (MX)2 (2.2.18) i соответственно.

Найдем дисперсию индикатора события (2.1.1). Ранее мы нашли ряд рас пределения (2.2.4) индикатора события A:

IA 0 1 P(A) P(A) p и его математическое ожидание (2.2.7): MIA = P(A). Дисперсия индикатора по формуле (2.2.17) равна DIA = 02[1 – P(A)] + 12P(A) – (MIA)2 = 0 + P(A) – [P(A)]2 = = P(A)[1 – P(A)]. Итак, DIA = P(A)[1 – P(A)]. (2.2.19) Дисперсия дискретной случайной величины обладает следующими с в о й с т в а м и.

ФОРМУЛА ДЛЯ ДИСПЕРСИИ КОНСТАНТЫ. Для любой неслучайной постоянной cR Dc = 0;

(2.2.20) а если для некоторой случайной величины X выполняется равенство DX = 0, то существует такое число c = MX, что P{X = c} = 1, т. е. с вероятностью, равной единице1, эта случайная величина равна константе.

Доказательство. По определению дисперсии (2.2.13) имеем: Dc = M(c – Mc). Но по свой 2 2 ству (2.2.8) Mc = c, поэтому Dc = M(c – Mc) = M(c – c) = M(0 ) = M0. Поскольку 0 — это кон станта, вновь воспользуемся свойством (2.2.8): M0 = 0. Окончательно получаем: Dc = 2 2 = M(c – Mc) = M(c – c) = M(0 ) = M0 = 0, что доказывает первую часть утверждения. Вто рую часть утверждения мы докажем в § 4.1.

КВАДРАТИЧНАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ ДИСПЕРСИИ. Для любой случайной величины X и любой неслучайной постоянной c R D(cX) = c2DX;

(2.2.21) Доказательство. По определению дисперсии (2.2.13) имеем: D(cX) = M[cX – M(cX)]. По 2 2 свойству (2.2.9) M(cX) = cMX, поэтому D(cX) = M[cX – c(MX)] = M[c (X – MX) ]. Вновь воспользу 2 2 2 2 емся свойством (2.2.9): M[c (X – MX) ] = c M(X – MX) = c DX, что и требовалось доказать.

АДДИТИВНОСТЬ ДИСПЕРСИИ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (РАВЕНСТВО БЬЕ НЭЙМЕ). Для любых н е з а в и с и м ы х случайных величин X и Y D(X + Y) = DX + DY. (2.2.22) В таких случаях говорят «почти наверное».

2 Доказательство. По формуле (2.2.14) имеем: D(X + Y) = M(X + Y) – [M(X + Y)]. Во первых, 2 2 M(X + Y) = M(X + 2XY + Y ). Раскроем скобки в последнем выражении, воспользовавшись адди 2 2 2 тивностью математического ожидания (2.2.10): M(X + Y) = M(X + 2XY + Y )= MX + M(2XY) + + MY. По свойству линейности математического ожидания (2.2.9) M(2XY) = 2M(XY), поэтому 2 2 M(X + Y) = MX + 2M(XY) + MY. Во вторых, по свойству аддитивности математического ожи 2 2 2 дания (2.2.10) M(X + Y) = MX + MY, поэтому [M(X + Y)] = [MX + MY] = (MX) + 2MXMY + (MY).

2 2 2 2 Собирая все вместе, получим: D(X + Y) = M(X + Y) – [M(X + Y)] = MX + 2M(XY) + MY – (MX) – 2 2 2 2 – 2MXMY – (MY) = [MX – (MX) ] + [MY – (MY) ] – 2[M(XY) – MXMY]. Первые два слагаемых в последнем выражении представляют собой выражения для DX и DY по формуле (2.2.14), поэтому D(X + Y) = DX + DY – 2[M(XY) – MXMY]. Теперь для доказательства формулы (2.2.22) достаточно заметить, что поскольку случайные величины X и Y независимы, то по формуле (2.2.11) для мате матического ожидания произведения независимых случайных величин M(XY) = MXMY, значит, если X и Y независимы, то D(X + Y) = DX + DY, что и требовалось доказать.

Средним квадратичным отклонением (или стандартным отклонени ем) случайной величины X называется неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

X = + DX. (2.2.23) Некоторые с е м е й с т в а о д н о т и п н ы х с л у ч а й н ы х в е л и ч и н часто встречаются в различных практических ситуациях. Такие семейства распределений хорошо изучены, в частности, вычислены их основные число вые характеристики в зависимости от параметров (см. прил. 1). С одним из та ких семейств мы уже знакомы — это семейство индикаторов событий (2.1.1).

В следующем параграфе мы познакомимся подробнее с другими дискрет ными случайными величинами, часто встречающимися в экономической практике.

Задачи 175. В условиях задачи 165 оценить средний выигрыш игрока и разброс этого выигрыша, вычислив математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины X.

Решение. Ряд распределения случайной величины X был получен в решении задачи 165. Оценим средний выигрыш на один билет с помощью математического ожидания выиг рыша X: MX = 0·0,85 + 100·0,1 + 500·0,04 + 2000·0,01 = 0 + 10 + 20 + 20 = 50 (при расчете ма тематического ожидания случайной величины X мы перемножаем возможные значения xi случайной величины X на соответствующие этим значениям вероятности pi и все эти произ 2 2 ведения складываем). Далее находим DX = M(X – MX) = (0– 50) ·0,85 + (100– 50) ·0,1 + 2 + (500– 50) ·0,04 + (2000– 50) ·0,01 = 2500·0,85 + 2500·0,1 + 202 500·0,04 + 3802500·0,01 = 48 (при расчете математического ожидания случайной величины (X – MX) мы перемножаем возможные значения (xi MX )2 случайной величины (X – MX) на соответствующие этим значениям вероятности pi (ведь случайная величина (X – MX) принимает значения (xi MX )2 тогда и только тогда, когда случайная величина X принимает значения xi, а это происходит с вероятностями pi) и все эти произведения складываем). Наконец, среднее квадратичное отклонение X = DX = 48 500 220,23. Расчеты с помощью Microsoft Excel приведены на рис. 2.2.2.

176. В условиях задачи 166 найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа сделок случайно выбранного инвестора.

177. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадра тичное отклонение случайной величины X, заданной рядом распределения X x1 x2 xn 1 1 p n n n 178. Банк выдал ссуду в 510 000 руб. под 10% годовых сроком на один год под залог дома клиента. В случае, если дом сгорит, разрушится и т. п. (т. е.

произойдет страховой случай), клиент ничего не вернет банку, поэтому для уменьшения риска банк обязал клиента приобрести страховой полис на 500 000 руб., заплатив за него 10 000 руб. Дом был оценен экспертами страхо вой компании в 500 000 руб., а вероятность наступления страхового случая с таким домом в течение года — в 0,001. Составить ряды распределения дохода банка Xб и дохода страховой компании Xс/к за год. Найти ожидаемые доходы банка и страховой компании.

A B C D E 0 100 500 X 0,85 0,1 0,04 0, p (X – MX) =(B1 $B$6)^ 3 =(C1 $B$6)^2 =(D1 $B$6)^2 =(E1 $B$6)^ 5 MX =СУММПРОИЗВ(B1:E1;

B2:E2) 6 DX =СУММПРОИЗВ(B3:E3;

B2:E2) 7 X =КОРЕНЬ(B7) а) формулы A B C D E 0 100 500 X 0,85 0,1 0,04 0, p (X – MX) 2500 2500 202 500 3 802 5 MX 6 DX 48 7 X 220, б) результаты расчетов Рис. 2.2.2. Расчеты в задаче 179. Клиент должен вернуть банку кредит до сегодняшнего дня. Неде лю назад он отправил денежный перевод из другого города, который до сих пор не дошел. Время T прибытия денег оценивается клиентом так:

T1 2 3 4 p 0,3 0,3 0,2 0,1 0, За каждый день опоздания возврата кредита клиент должен выплатить банку 3% от его суммы (проценты простые). Есть возможность обратиться к ча стному детективу, который обязуется за 5% от суммы разыскать ее в течение дня. Определить, что клиенту выгоднее — обратиться к детективу или ждать прихода денег, вычислив математическое ожидание времени прибытия денег.

180. Оценить ожидаемое время T, которое Петя потратит на поход за хлебом в условиях задачи 167, если известно, что на посещение каждого бу лочной уходит полчаса.

181. В условиях задачи 169 найти математическое ожидание капитала торговца после двух продажи двух партий товара.

182. В условиях задачи 170 найти математическое ожидание и диспер сию времени выполнения проекта.

183. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распре деления X 1 0 1 Y 2 p 0,1 0,1 ? p ? 0, где знаком «?» отмечены неизвестные вероятности.

Найти MX, MY, DX, DY. Составить ряд распределения случайной величины Z = X + Y, найти MZ и DZ, убедиться в справедливости формул (2.2.10) и (2.2.21). Составить ряд распределения случайной величины V = XY, найти MV и DV, убедиться в справедливости формулы (2.2.11). Составить ряд распреде ления случайной величины W = min {0;

X}, найти MW и DW.

184. Случайная величина X принимает значения 7;

9;

10;

11 и 13 (каж дое с вероятностью 1/5), а случайная величина Y принимает значения 22;

24;

25;

26;

28 (также каждое с вероятностью 1/5). Найти DX и DY, проверить, вы полняется ли равенство DY = DX.

185. Выразить D(XY) для независимых дискретных случайных вели чин X и Y через MX, MY, MX 2, и MY 2.

186. Доказать, что для независимых дискретных случайных величин X и Y D(XY) DXDY.

187. Петя поехал на каникулы на n дней и решил, что будет ежедневно тратить соответствующую часть денег: в первый день — 1/n, во второй день — 1/(n – 1) от остатка и т. д. Пусть Xi — часть от остатка денег, которая отде ляется на расходы в i й день (i = 1, 2, …, n). Здраво понимая, что траты каж дый день будут различными, Петя решил, что их можно описать независимы ми случайными величинами Xi с математическими ожиданиями MX i = 1/(n i 1). Найти математическое ожидание случайной величины Y = (1 – X1)(1 – X2)···(1 – Xn), равной остатку денег к последнему дню.

X MX 188. Пусть X — дискретная случайная величина, X =. Дока X зать, что M X = 0, D X = 1.

189. Известно, что MX1 = MX2 = ··· = MXn = a, DX1 = DX2 = ··· = DXn =2.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное откло n нение случайной величины X = X i n.

i= n n X X i i 1 n Решение. Имеем: MX = M i=1 = MX i = (na) = a, DX = D i=1 2 = 2 (n2 ) =, 1 nn n n n n i = DX DX X = DX = = = X.

n n n 190. Один час занятий в 25% фитнес центров города стоит 200 руб, в 25% фитнес центров — 400 руб., а в 50% фитнес центров час занятий стоит 600 руб.

Маша случайно выбирает четыре фитнес центра, и идет в тот, стоимость часа занятий в котором ниже (если таких центров несколько, Маша выбирает любой из них). Оценить ожидаемую стоимость часа занятий в том фитнес центре, ко торый выберет Маша.

191. Найти среднюю продолжительность m(x) игры, описанной в зада че 105.

§ 2.3. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ПРАКТИКЕ 2.3.1. Б и н о м и а л ь н ы й з а к о н р а с п р е д е л е н и я Случайная величина X называется распределенной по биномиальному закону с параметрами n, p (где n N, 0 p 1), если она принимает значения 0, 1, 2, …, n с вероятностями P{ X = x} = Cn p x (1 p)nx (x = 0,1, 2,..., n).

x (2.3.1) Поскольку вероятности P{X = x} рассчитываются по формуле Бернулли (1.6.1), случайную величину X, распределенную по биномиальному закону (2.3.1), можно интерпретировать как число успехов в последовательности из n испытаний Бернулли, в каждом из которых успех может произойти с вероят ностью p.

Формула (2.3.1) действительно определяет дискретную случайную вели чину, поскольку все P{X = x} 0и n n P{X = x} = C p (1 p)nx = [p + (1 p)]n = 1n = 1.

x x n x=0 x= Тот факт, что случайная величина X распределена по биномиальному за кону с параметрами n, p, кратко обозначается так: X = Bi(n;

p).

Математическое ожидание случайной величины X = Bi(n;

p) равно MX = np, (2.3.2) а ее дисперсия DX = np(1 – p). (2.3.3) Доказательство. Пусть события Ai состоят в том, что в i м из n испытаний Бернулли произошел успех (i = 0, 1, 2, …, n). Рассмотрим n случайных величин X i = IAi — индикаторов событий Ai. При этом по формуле (2.2.7) MX i = MIAi = P(Ai ) =p, по формуле (2.2.19) DX i = DIAi = P(Ai )[1 P(Ai )] =p(1 p), а случайная величина X — число успехов в последова n тельности из n испытаний Бернулли — очевидно, равна X = X i. По свойству аддитивно i = n сти математического ожидания (2.2.10) MX = MXi = np, что доказывает формулу (2.3.2).

i = По свойству аддитивности дисперсии независимых случайных величин (2.2.22) n DX = DX i = np(1 p) [а случайные величины Xi независимы, так как независимы испыта i = ния Бернулли], что доказывает формулу (2.3.3).

В пакете Microsoft Excel для вычисления вероятностей P{X = x} и P{X x} можно пользоваться функциями P{X = x} = БИНОМРАСП(k;

n;

p;

ЛОЖЬ), x} = БИНОМРАСП(k;

n;

p;

ИСТИНА).

P{X Задачи 192. В банк поступило 30 платежных поручений, пять из которых фальшивые. Тщательной проверке (которая гарантированно выявляет фаль шивые документы) подвергаются 10 случайно выбранных платежных поруче ний. Найти ожидаемое количество и среднее квадратичное отклонение выяв ленных фальшивых платежных поручений.

Решение. Ожидаемое количество выявленных фальшивых платежных поручений можно найти как математическое ожидание случайной величины X, распределенной по биномиальному закону с параметрами n = 10, p = 5/30 = 1/6: MX = np = 5/3 = 1, среднее квадратичное откло 15 50 5 нение равно при этом X = DX = np(1 p) = 10 = = 1,18.

66 36 Случайная величина X = Bi(n = 5;

p = 2/3). Составить ряд распреде 193.

ления этой случайной величины, найти ее функцию распределения, математи ческое ожидание и дисперсию. Построить график ее функции распределения.

194. Построить ожидаемое распределение результатов испытаний, ко торое было бы получено для 256 абсолютно невежественных экзаменующихся, случайно угадывающих ответы на четыре вопроса с четырьмя возможными ва риантами ответа на каждый вопрос (из которых один и только один верен).

Решение. Угадывание каждым экзаменующимся ответов на четыре вопроса можно ин терпретировать как n = 4 испытания Бернулли. При этом, поскольку экзаменующийся не вежествен, для него равновероятны все четыре ответа на каждый вопрос, т. е. вероятность успеха (правильного ответа на вопрос) равна p = 1/4. Тогда число X угаданных одним экза менующимся ответов на четыре вопроса представляет собой биномиальную случайную ве 4x x 1 x личину X = Bi(n = 4;

p = 1/4) и P{ X = x} = Cn p x (1 p)nx= C4, x = 0, 1, 2, 3, 4, а ожи x 4 даемое распределение результатов для 256 экзаменующихся, учитывая их независимость друг от друга, будет иметь следующий вид:

Число правильных ответов, X 0 1 2 3 Число экзаменующихся, 256P{ X = xi } 81 108 54 12 1 256P{ X = xi } = i= 195. Абитуриент при поступлении в институт сдает четыре экзамена, вероятность успешно сдать каждый экзамен равна 0,8. Случайная величина X описывает число сданных абитуриентом экзаменов (в предположении, что различные экзамены представляют собой независимые испытания). Соста вить ряд распределения случайной величины X. Определить, каким будет ряд распределения, если место абитуриента займет студент, сдающий четыре се местровых экзамена.

196. В группе из 16 человек 12 поддерживают некоторую правительст венную программу. Из этой группы наудачу отбирают троих человек. Соста вить ряд распределения числа людей в выборке, поддерживающих програм му, найти среднее число таких людей и дисперсию числа таких людей.

197. Финансовая операция форвард состоит в заключении сделки на продажу (или покупку) в будущем некоторого товара по цене, определяемой сторонами в настоящий момент времени. Фермер предполагает, что через ме сяц, когда он соберет урожай, цена пшеницы в каждом из десяти регионов, куда он обычно ее продает, может с вероятностью 0,9 понизиться и с вероятностью 0,1 повыситься. Поэтому он заключает с десятью мельниками в этих регионах десять форвардов на поставку им пшеницы через месяц по сегодняшней цене.

Цены в регионах изменяются независимо. Найти математическое ожидание числа форвардов, которые окажутся выгодными для фермера и вероятность того, что все десять проданных форвардов окажутся для него выгодными (фор вард окажется выгодным, если в данном регионе за месяц цена понизится).

198. Две игральных кости подбрасывают до тех пор, пока хотя бы на одной из них не выпадет шестерка. Найти вероятность того, что две кости бу дут брошены ровно k раз (k = 1, 2, 3, …).

2.3.2. Б и н о м и а л ь н а я м о д е л ь ценообразования финансовых инструментов Предположим, что инвестор имеет возможность:

• размещать средства на банковском счете и брать с него в долг;

• покупать и продавать ценные бумаги.

Тогда для этого инвестора на рынке существует один б е з р и с к о в ы й а к т и в (банковский счет) B и n р и с к о в ы х а к т и в о в (ценных бумаг) S(1), S(2), …, S(n).

Будем считать, что проценты на банковский счет начисляются по схеме сложных процентов с постоянной ставкой i(t)= i = const, так что в конце каж дого периода сумма на счете увеличивается в (1 + i) раз:

Bt = Bt–1(1+i).

Это означает, что за время t сумма на банковском счете увеличивается с B0 до Bt = B0(1+i)t.

Отсюда следует, что процентная ставка, начисляемая за время t (не обя зательно за целое число лет), составляет i(t) = (1+i)t – 1, например, процентная ставка за полгода равна i(1/2) = (1+i)1/2 – 1, за месяц — i(1/12) = (1+i)1/12 – и т. п.

Предположим для простоты, что на рынке обращается о д н а ценная бу мага (для определенности — акция), и ее стоимость в конце периода времени t составляет St.

Будем предполагать, что операционные издержки, связанные с перево дом средств между активами, отсутствуют, а также что активы являются без гранично делимыми, т. е. можно купить и продать любую часть ценной бумаги, положить на счет и снять с него любую его часть.

Функционирующий по таким правилам рынок будем называть (B, S) рынком.

Рассмотрим поведение стоимости акции St на (B, S) рынке в течение года, т. е. в течение периода времени [0;

1].

Предположим, что в течение данного периода времени стоимость акций может увеличиться в u раз или увеличиться в d раз (уменьшиться в 1/d раз), причем 0 d 1 + i u (рис. 2.3.1).

На идеальном рынке о т с у т с т в у ю т а р б и т р а ж н ы е в о з м о ж н о с т и, т. е. невозможно извлечь безрисковый доход, больший чем доход по банковскому депозиту.

St S0 u S S0d t 0 Рис. 2.3.1. Изменение цены акции за один период времени Предположение о том, что на рынке отсутствуют арбитражные возмож ности, означает, что математическое ожидание цены акции на таком рынке к концу года MS1 должно совпадать с суммой, которая оказалась бы на банков ском счете к концу года, если бы сумма S0 была в начале года положена на счет, т. е. с суммой S0(1 + i): MS1 = S0(1 + i). Истинные вероятности того, что в течение данного периода акция подорожает и подешевеет, нам неизвестны, но в предположении отсутствия арбитражных возможностей можно с помощью только что полученного условия вычислить так называемые вероятности, нейтральные к риску: пусть p — вероятность того, что в начале следующего периода цена акции окажется равной S0u, тогда вероятность того, что цена ак ции будет равна S0d, составит (1 – p);

при этом MS1 = S0up + S0d(1 – p). Отсюда S0up + S0d(1 – p) = S0(1 + i).

Разделим обе части этого равенства на S0:


up + d(1 – p) = 1 + i или (u – d)p + d = 1 + i, поэтому 1+ i d p=. (2.3.4) ud Теперь рассмотрим промежуток времени от 0 до T.

Предположим теперь, что рассматриваемый промежуток [0, T] разбит на n периодов, в каждом из которых стоимость акции может увеличиться в u или в d раз. Вероятность того, что стоимость акции увеличится в u или в d раз, не известна, однако можно вновь воспользоваться принципом вероятности, ней тральной к риску. Основное отличие состоит в том, что корректируются про центные ставки, т. е. проценты, выплачиваемые за год, естественно, больше, чем проценты, выплачиваемые за часть года, и в числителе формулы (2.3.4) вместо (1 + i) будет (1 + i)T/n, т. е.

(1 + i)T / n d p(T / n) =. (2.3.5) ud Процесс изменения цены акции в течение n периодов (для случая n = 4) проиллюстрирован рис. 2.3.2.

При этом процесс изменения цены акции в течение n периодов можно представить как последовательность n независимых испытаний, в которых успехом считается повышение цены акции в u раз, а неудачей — ее пониже ние в 1/d раз. Если в течение n периодов цена акции поднималась k раз и опускалась (n – k) раз, то ее цена к концу последнего периода составит ST = S0ukdn – k. Вероятность наступления k повышений и (n – k) понижений це ны акции составит по формуле Бернулли (1.6.1) Pn (k) = Cn pk (1 p)nk. Вероят k ность успеха p здесь имеет смысл оценить с помощью нейтральной к риску вероятности p(T/n), определяемой формулой (2.3.5). Таким образом, цена акции к концу n го периода (т. е. в момент времени T) может принимать значения ST = S0ukd n – k с вероятностями nk P{ST = S0 uk d nk } = Cn p(kT / n) (1 p(T / n) ) k = 0,1, 2,..., n.

k (2.3.6), S S0u S0u S0u S0u S S0d S0d t 0 1 2 3 Рис. 2.3.2. Изменение цены акции в течение четырех периодов Формула (2.3.6) действительно определяет дискретную случайную вели чину, поскольку все вероятности неотрицательны и в сумме дают единицу, точно так же, как это было показано в предыдущем пункте для случайной ве личины, распределенной по биномиальному закону.

Данная модель (2.3.6), называемая биномиальной моделью ценообразова ния акции, была предложена в 1979 г. Дж. Коксом, Р. Россом и М. Рубинштейном.

Опцион — это ценная бумага, представляющая собой договор, по которо му одна из сторон (эмитент опциона) продает опцион за определенную пре мию, а другая сторона (держатель опциона) при этом п о л у ч а е т п р а в о (но не обязанность) в течение срока, оговоренного в условиях опциона, либо купить определенный актив по фиксированной цене, определяемой в момент заключения договора и называемой терминальной стоимостью опциона (такой опцион называется опционом покупателя), либо продать актив по тер минальной стоимости (такой опцион называется опционом продавца). По сро кам исполнения опционы делятся на европейские и американские. Американ ский опцион может быть предъявлен к исполнению в любое время до истече ния срока опциона, европейский опцион может быть использован только в день истечения его срока.

Рассмотрим ценообразование опционов в рамках биномиальной модели Кокса — Росса — Рубинштейна.

Рациональной считается такая стоимость финансового инструмента, ко торая исключает возможность арбитража без риска, иными словами, доход ность безрискового финансового инструмента, имеющего рациональную стои мость, должна совпадать с доходностью банковского счета.

Очевидно, рациональная стоимость опциона в момент его исполнения совпадает с прибылью, которую можно получить, исполнив опцион. Эта при быль называется платежной функцией опциона и обозначается fT. Пусть в момент исполнения T цена акции, на которую выписан европейский опцион покупателя, составляет ST, а цена исполнения этого опциона равна X. Тогда если ST окажется не больше X, исполнять опцион бессмысленно, т. е. его пла тежная функция равна нулю. Если же ST будет больше X, то выигрыш от ис полнения такого опциона составит (ST – X). Объединяя эти два случая, полу чаем формулу для платежной функции европейского опциона покупателя:

fT = max{ST – X;

0}.

ФОРМУЛА КОКСА — РОССА — РУБИНШТЕЙНА. Рациональная стоимость T стандартного европейского опциона покупателя на биномиальном (B, S) рынке определяется формулой n max{S u d nk X;

0}Cn p(kT / n) (1 p(T / n) ) nk k k = k=, (2.3.7) T (1 + i)T где S0 — стоимость акции в начальный момент, T — срок действия опциона (в годах), X — цена исполнения опциона, i — годовая безрисковая процентная ставка, n — количество периодов, на которые делится срок действия оп циона (в каждый из периодов цена акции, на которую выписан опцион, мо жет повыситься в u или в d раз), p(T/n) — нейтральная к риску вероятность, определяемая формулой (2.3.5).

Доказательство. Опцион покупателя имеет смысл исполнять, т. е. пользоваться зало женным в нем правом покупки акции по цене X, лишь в том случае, когда рыночная цена ST этой акции к моменту окончания срока действия опциона, т. е. к концу последнего периода, будет больше X. Если рыночная цена акции ST окажется больше X, держатель опциона, ис полнив его, получит доход (ST – X). Если же рыночная цена акции ST окажется меньше X, держатель опциона просто не будет его исполнять и получит нулевой доход. Таким образом, если цена акции в момент исполнения опциона известна и равна ST, то доход от исполнения такого опциона составит CT = max{ST – X;

0}. Поскольку цена акции ST является случайной величиной, определяемой рядом распределения (2.3.6), доход от исполнения опциона поку пателя CT также является случайной величиной, которая принимает значения nk ck = max{S0u d – X;

0} (k = 0, 1, 2, …, n) с вероятностями Pn (k) = Cn p(kn) (1 p(n) ).

k n–k k Оценка опциона происходит перед началом первого периода, поэтому для получения его рациональной стоимости T достаточно дисконтировать ожидаемый доход от исполне ния опциона на срок его действия:

n max{S u d nk X;

0}Ck p(kT / n) (1 p(T / n ) ) nk k n MCT = = k =.

T (1 + i)T (1 + i)T На реальном рынке продавцу опциона выгодны цены, не меньшие рацио нальной стоимости опциона, а покупателю — не большие.

Пусть одновременно заключаются два опционных контракта (опцион по купателя и опцион продавца) с одной и той же ценой исполнения X и одним и тем же сроком исполнения T на одну и ту же акцию, стоимость которой в на чальный момент равна S0, банковская (годовая) процентная ставка равна i и пусть CT и PT — рациональные стоимости этих опционов.

Рациональность стоимости означает, что из инструментов с такой стои мостью невозможно создать безрисковый портфель, доходность которого пре высит безрисковую доходность. Если X PT CT + S0, (1 + i)T то для получения безрисковой прибыли можно использовать следующую тор говую стратегию: одновременно продать акцию, продать опцион продавца на нее и купить опцион покупателя. Тогда в начальный момент времени будет получена сумма PT – CT + S0, а в момент исполнения опционов необходимо бу дет выплатить сумму X, современная ценность которой составляет X/(1 + i)T.

Таким образом, будет получен выигрыш по сравнению с безрисковыми вло жениями в банковский счет, что противоречит предположению о рациональ ности стоимости опционов. Аналогично, если PT – CT + S0 будет меньше, чем X/(1 + i)T, то для получения безрисковой прибыли можно использовать сле дующую торговую стратегию: купить акцию, купить опцион продавца на нее и продать опцион покупателя. Тогда в начальный момент времени будет выпла чена сумма PT – CT + S0, а в момент исполнения опционов — получена сумма X, современная ценность которой составляет X/(1 + i)T, т. е. данная стратегия принесет выигрыш по сравнению с безрисковыми вложениями в банковский счет, что противоречит предположению о рациональной стоимости опционов.

Полученные противоречия показывают, что для рациональной стоимости T опциона покупателя и рациональной стоимости PT опциона продавца спра ведлива ТЕОРЕМА О ПАРИТЕТЕ ОПЦИОНОВ ПОКУПАТЕЛЯ И ПРОДАВЦА:

X PT CT + S0 =.

(1 + i)T Отметим, что данное соотношение паритета справедливо т о л ь к о д л я е в р о п е й с к и х о п ц и о н о в.

Теперь легко найти оценку опциона продавца: рациональная стоимость P T европейского опциона продавца определяется формулой n X + max{S0 uk d nk X;

0}Ck p(kn) (1 p(n) )nk n PT = S0.

k= (1 + i)T Задачи 199. Составить ряд распределения цены акции к концу года, разбив этот год на четыре периода, если текущая цена акции составляет S0 = 35 ден. ед., годовая безрисковая процентная ставка составляет i = 10% = 0,1 и известно, что в каждом периоде акция может возрасти в цене или упасть в цене в u = 1,105 раз.

(1 + i)1/4 d 1,024 0, 0,595, Решение. Вероятность, нейтральная к риску, p(1/4) = = ud 1,105 0, 1 – p(1/4) 0,405 (здесь d = 1/u = 1/1,105 0,905). Теперь мы можем составить ряд распреде k 4–k ления цены акции к концу четвертого периода: цена принимает значения S0u d (k = 0, 1, 2, 4k 3, 4) соответственно с вероятностями P4 (k) = C4 p(1/4) (1 p(1/4) ). Окончательно имеем:

kk S1 23,478 28,667 35,002 42,737 52, p 0,027 0,158 0,348 0,341 0, 200. Составить ряд распределения цены акции к концу года, разбив этот год на пять периодов, если текущая цена акции составляет S0 = 100 ден. ед., годовая безрисковая процентная ставка составляет i = 16% = 0,16 и известно, что в каждом периоде акция может возрасти в цене или упасть в цене в u = 1,2 раза.

201. Вычислить рациональную стоимость опциона покупателя с терми нальной стоимостью X = 40 ден. ед. и сроком исполнения 1 год, выписанного на акцию из задачи 199.

Решение. Ряд распределения дохода от исполнения опциона при расчетах по четырех периодной биномиальной модели имеет следующий вид:

C1 0 2,737 12, p 0,027 + 0,158 + 0,348 = 0,533 0,341 0, Ожидаемый доход от исполнения опциона покупателя, равный математическому ожи данию случайной величины C1, составляет MC1 = max{S0 uk d nk X;

0}C4 p(1/4) (1 p(1/4) ) 4k = kk k = = 0 0,027 + 0 0,158 + 2,737 0,341 + 12,182 0,126 = 2,468, 2, = 2,24.


и окончательно получаем:

1 + 0, 202. Чему равна рациональная стоимость опциона продавца с терми нальной стоимостью X = 40 руб. и сроком исполнения 1 год, выписанного на акцию из условия задачи 199.

Решение. Исполнять опцион продавца выгодно, если цена акции на рынке окажется не больше терминальной стоимости X, поэтому ряд распределения дохода от исполнения опциона при расчетах по четырехпериодной биномиальной модели P 16,252 11,333 4,998 p 0,027 0,158 0,348 0,341 + 0,126 = 0, легко получить, зная ряд распределения цены акции к концу четвертого периода (полученный в задаче 199).

Ожидаемый доход от исполнения опциона покупателя, равный математическому ожи данию случайной величины P1, составляет MP = max{ X S0 uk d 4k;

0}Ck p(4) (1 p(4) )4k = k 1 k = = 16,252 0,027 + 11,333 0,158 + 4,998 0,348 + 0 0,341+ 0 0,126 = 3,969.

Окончательно получаем MP 3, P1 = = 3,61 руб., 1 + i 1 + 0, т. е рациональная стоимость такого опциона равна 3 руб. 61 коп.

Теорема о паритете дает, естественно, тот же результат:

X P T = CT S0 + = 2,24 35 + 3,61 руб.

(1 + i)T 1 + 0, 203. Вычислить рациональную стоимость опциона покупателя с терми нальной стоимостью X = 60 ден. ед. и сроком исполнения 1 год, выписанного на акцию из задачи 200.

204. Вычислить рациональную стоимость опциона продавца с терми нальной стоимостью X = 60 ден. ед. и сроком исполнения 1 год, выписанного на акцию из задачи 200 двумя способами: непосредственно по ряду распределе ния и с помощью теоремы о паритете.

2.3.3. Г е о м е т р и ч е с к и й з а к о н р а с п р е д е л е н и я Случайная величина X называется распределенной по геометрическому закону с параметром p (где 0 p 1), если она принимает значения 1, 2, 3, … с вероятностями P{X = x} = p(1 – p)x – 1 (x = 1, 2, 3, …). (2.3.8) Случайную величину X, распределенную по геометрическому закону (2.3.8), можно интерпретировать как номер испытания Бернулли, на котором впервые наступил успех, если вероятность успеха в единичном испытании равна p.

Формула (2.3.8) действительно определяет дискретную случайную вели чину, поскольку все P{X = x} 0и n p P{X = x} = p(1 p)x1= =1.

1 (1 p) x=0 x= Тот факт, что случайная величина X распределена по геометрическому закону с параметрами n и p, кратко обозначается так: X = G(p).

Математическое ожидание случайной величины X = G(p) равно MX =, (2.3.9) p а ее дисперсия 1 p DX =. (2.3.10) p Доказательство. Имеем: MX = xi pi = xp(1 p)x1. Вынесем в последнем ряде p за i =1 x = скобку и обозначим q = 1 – p, получим:

d q x d x=1 1 q x dq p 1 1 MX = p xq = p x =p =p =p =p = 2=, (1 q) [1 (1 p)] 2 x =1 dq dq dq p p x = что доказывает формулу (2.3.9). Дисперсию будем вычислять по формуле (2.2.18):

1 DX = xi (xi 1)pi + MX (MX )2 = x(x 1)p(1 p)x1 + = p p x = i 1 DX = xi (xi 1)pi + MX (MX )2 = x(x 1)p(1 p)x1 + = p p x = i 1 p q q = x(x 1)p(1 p)x1 = x(x 1)pq x1 2 = pq x(x 1)q x2 2 = p p p x =2 x =2 x = d 2 q x d2 x=0 q 1 q q x q d [q ] q = pq x(x 1)q x2 2 = pq 2 = pq 2 = pq 2= dq 2 dq p x =0 dq p p p x = 2p(1 p) 1 p 2(1 p) 1 p 1 p q = pq 2= 2= 2= 2, (1 q) p3 p p p p p что доказывает формулу (2.3.10).

В пакете Microsoft Excel для вычисления вероятностей P{X = x} можно пользоваться функцией P{X = x} = ОТРБИНОМРАСП(x – 1;

1;

p).

Случайная величина X, распределенная по геометрическому закону (2.3.8), обладает свойством отсутствия последействия, т. е. при всех x = 1, 2, …, y = 1, 2, … P{X = x + y | X x} = P{X = y}. (2.3.11) Доказательство. Действительно, p(1 p)x+y P({ X = x + y} {X x}) P{ X = x + y} P{ X = x + y | X x} = = = = P{ X x} P{ X x} p(1 p) n n= x + p (1 p)x+y (1 p)x+y 1 p = (1 p)x+y [1 (1 p)] = p(1 p)y = P{ X = y}.

= = p (1 p)n n 1(1 p)n 1 p n=x+1 =x+ Интересен и о б р а т н ы й р е з у л ь т а т: если некоторая дискретная случайная величина X принимает значения 1, 2, 3, … и обладает свойством отсутствия последействия (2.3.11), то эта случайная величина распределена по геометрическому закону (2.3.8).

Доказательство. Поскольку свойство (2.3.11) выполнено, то P({ X = x + y} {X x}) P{ X = x + y} P{ X = x + y | X x} = = = P{ X = y} P{ X x} P{ X x} P{ X = x + 1} = P{ X = 1} или P{X = x + 1} = для всех y = 1, 2, 3, … Положим y = 1, тогда P{ X 1} = P{X = 1}P{X 1}, т. е. P{X = x + 1} = P{X = 1}(1 – P{X = 1}) для всех x = 1, 2, 3, … Поэтому x– P{X = x + 1} = p(1 – p), где p = P{X = 1}, т. е. X распределена по геометрическому закону (2.3.8) с параметром p = P{X = 1}, что и требовалось доказать.

Свойство отсутствия последействия (2.3.11) можно интерпретировать сле дующим образом. Пусть длительность телефонных разговоров измеряется целым числом минут, и в конце каждой минуты абонент принимает решение закончить разговор [с вероятностью p] или продолжить разговор [с вероятно стью (1 – p)]. Тогда длительность телефонного разговора будет случайной ве личиной, распределенной по геометрическому закону (2.3.8) с параметром p.

Свойство отсутствия последействия (2.3.11) означает, что условная вероят ность того, что разговор будет продолжаться ровно x + y мин, если известно, что он не закончился за x мин, равна безусловной вероятности того, что разго вор будет продолжаться ровно y мин.

Задачи 205. В среднем левши составляют 1% всего населения. Оценить количе ство людей, которых придется опросить, чтобы набрать десятерых левшей.

Решение. При интерпретации опроса как последовательности независимых испытаний с вероятностью успеха p = 1% = 0,01 число X опрошенных до появления левши в первый раз (так же, как и число опрошенных после появления левши в i й раз до появления левши в (i + 1) й раз) — это случайная величина X = G(p = 0,01), и ее среднее значение оценивается математическим ожиданием MX = 1/p = 1/0,01 = 100. Для того, чтобы отобрать десять лев шей, учитывая свойство аддитивности математических ожиданий (2.2.9), в среднем нужно опросить в 10 раз больше людей, т. е. 1000 людей.

206. Среди выпускаемых заводом автомобилей 80% некомплектны. Оп ределить, сколько автомобилей должен в среднем осмотреть покупатель, что бы выбрать комплектный автомобиль.

207. Вероятность того, что кандидат, предлагаемый агентством по подбо ру персонала, окажется подходящим для компании, равна 0,1. Записать первые пять столбцов ряда распределения числа кандидатов, которые будут отвергнуты до того, как появится подходящий кандидат, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа кандидатов, которые бу дут отвергнуты до того, как появится подходящий кандидат.

208. Петя захотел найти человека, день рождения которого совпадает с Петиным. Составить ряд распределения числа N незнакомцев, которых при дется опросить Пете, и найти среднее число опрошенных незнакомцев.

209. Бизнесмен Александр Андреевич очень любит ходить в казино, и если он туда зашел, то не выходит, пока на рулетке не выпадет «зеро» (то есть число «ноль»). Каждый раз Александр Андреевич ставит пять рублей на «зе ро» и по одному рублю на «двадцать девять» и на «тридцать два». После этого крупье вращает колесо рулетки, и шарик указывает на одно из чисел от 0 до 36. В случае, когда шарик указывает на число, соответствующее некоторой ставке Александра Андреевича, последний получает выигрыш, в 35 раз боль ший, чем эта ставка, а те ставки Александра Андреевича, которые не соответ ствуют выпавшему числу, теряются. Определить, сколько раз играет в сред нем Александр Андреевич и каков его средний выигрыш.

2.3.4. О т р и ц а т е л ь н ы й б и н о м и а л ь н ы й закон распределения Случайная величина X называется распределенной по отрицательному биномиальному закону с параметрами p, k (где 0 p 1, k N), если она при нимает значения k, k + 1, k + 2, … с вероятностями P{ X = x} = Cx1pk (1 p)xk k (x = k, k + 1, k + 2,...). (2.3.12) Случайную величину X, распределенную по отрицательному биномиаль ному закону (2.3.12), можно интерпретировать как число испытаний Бернулли, которые придется произвести до k го успеха, если успех в единичном испыта нии может произойти с вероятностью p.

Доказательство. Действительно, из того, что k появлений успеха в п е р в ы е осуще ствилось в x м испытании, следует, что после предыдущего [(x – 1) го] испытания мы имели (k – 1) успех и еще один успех произошел в x м испытании. По определению независимых событий (1.5.7) имеем [поскольку события A (в первых (x – 1) испытаний произошел (k – 1) успех) и B (в x м испытании произошел успех) независимы]:

P(A B) = P(A)P(B) = (Ck1 pk1 (1 p)x1(k1) ) p = Cx1pk (1 p)xk = P{ X = x}, k x т. е. вероятность числа испытаний Бернулли, которые придется произвести до k го успеха, действительно определяется формулой (2.3.12).

Геометрический закон (2.3.8) является, очевидно, частным случаем отри цательного биномиального закона (при k = 1).

Тот факт, что случайная величина X распределена по отрицательному биномиальному закону с параметрами p, k, кратко обозначается так:

X = Bi(p;

k). По другому этот закон распределения называется еще законом Паскаля.

Математическое ожидание случайной величины X = Bi(p;

k) равно k MX =, (2.3.13) p а ее дисперсия k(1 p) DX =. (2.3.14) p Доказательство формул (2.3.13) и (2.3.14) оставляем читателю в задаче 212.

В пакете Microsoft Excel для вычисления вероятностей P{X = x} можно пользоваться функцией P{X = x} = ОТРБИНОМРАСП(x – 1;

k;

p).

Задачи 210. В определенной местности скважина дает нефть с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что третья по счету скважина с нефтью будет об наружена ровно при пятом бурении.

211. Доказать, что формула (2.3.12) действительно определяет дис n P{X = x} = 1.

кретную случайную величину, т. е. все P{X = x} 0и x= 212. Доказать формулы (2.3.13) и (2.3.14) для математического ожидания и дисперсии отрицательного биномиального распределения.

2.3.5. З а к о н р а с п р е д е л е н и я П у а с с о н а Случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона с параметром (где 0), если она принимает значения 0, 1, 2, … с вероятно стями x P{ X = x} = (x = 0,1, 2,...). (2.3.15) e x!

Поскольку вероятности P{X = x} рассчитываются по формуле Пуассона (1.6.5), случайную величину X, распределенную по закону (2.3.15), можно (со гласно теореме Пуассона — см. п. 1.6.3) интерпретировать как число успехов в последовательности из n испытаний Бернулли, в каждом из которых успех может произойти с вероятностью p в том случае, когда n, p 0, так что np = const, и на практике приближать случайные величины, распреде ленные по биномиальному закону, случайными величинами, распределенны ми по закону Пуассона, если n велико, а = np 10.

Формула (2.3.15) действительно определяет дискретную случайную ве личину, поскольку все P{X = x} 0и x x 2 e = e = e 1 + + + + = e e = 1.

P{ X = x} = x!

x=0 x ! 2! 3!

x=0 x= Тот факт, что случайная величина X распределена по закону Пуассона с параметром, кратко обозначается так: X = ().

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X = () совпадают и равны MX =DX =.

Доказательство. Математическое ожидание случайной величины X вычислим по фор x x x x e = e x = e x = e муле (2.2.6): MX = xi P{ X = xi } = x = x! x! x! x=1 (x 1)!

i =0 x =0 x =0 x = x 1 k 2 = e = e = e e =. Теперь вычислим = e 1 + + + + x =1 (x 1)! k =0 k ! 2! 3!

дисперсию случайной величины X по формуле (2.2.17):

x x x e 2 = x2 e 2 = e x2 2 = DX = xi2pi (MX)2 = x2 x! x! x!

i =0 x =0 x =1 x= k 2 = e [(k 1) + 1] 2 = e (k 1) + e 2 = k k k (k 1)!

= e k (k 1)! (k 1)!

(k 1)! k =1 k =1 k =1 k = k + e k = 2e (k 1)!2 = 2e e + e e 2 = 2 + 2 =, (k 2)! k =2 k = что и требовалось доказать.

В пакете Microsoft Excel для вычисления вероятностей P{X = x} и P{X x} можно пользоваться функциями P{X = x} = ПУАССОН(k;

;

ЛОЖЬ), x} = ПУАССОН(k;

;

ИСТИНА).

P{X Задачи 213. Случайная величина X = ( = 3). Определить вероятности P{X = 2}, P{X 1}, P{0 X 3} и P{X = 1 | X 0}, найти математическое ожида ние и дисперсию этой случайной величины, построить график ее функции распределения.

32 3 P{ X = 2} = e 0,05 = 0,225, Решение. P{X 1} = 1 – P{X = 0} – P{X = 1} = 1 – 2! 30 3 31 3 31 3 32 1 e e 1 0,05 0,05 = 0,80, P{0 X 3} = P{X = 1} + P{X = 2} = e e 0! 1! 1 1 1! 2!

3 3 0, e P{( X = 1) ( X 0)} P{ X = 1} 3 = 1! 0 0,05 + 0,05 = 0,373, P{ X = 1| X 0} = = = P{ X 0} 1 P{ X = 0} 1 2 1 e3 1 0, 0!

0, = 0,158, MX = DX = = 3.

0, Расчеты с помощью Microsoft Excel приведены на рис. 2.3.3. Естественно, значения веро ятностей, рассчитанные в Microsoft Excel, точнее, чем рассчитанные вручную с помощью таб лиц, поскольку действия в Microsoft Excel производятся с большим количеством значащих цифр, чем при ручных вычислениях.

Для построения с помощью Microsoft Excel графика функции распределения достаточно воспользоваться функцией ПУАССОН:

F(x) = P{X x} = P{X x} – P{X = x} = = ПУАССОН(x;

;

ИСТИНА) – ПУАССОН((x;

;

ЛОЖЬ).

График функции распределения представлен на рис. 2.3.4.

A B P{X = 2} = 1 =ПУАССОН(2;

3;

ЛОЖЬ) P{X 1} = 2 =1 – ПУАССОН(1;

3;

ИСТИНА) P{0 X 3} = 3 =ПУАССОН(1;

3;

ЛОЖЬ) + ПУАССОН(2;

3;

ЛОЖЬ) P{X = 1|X 0} = 4 =ПУАССОН(1;

3;

ЛОЖЬ)/(1 ПУАССОН(0;

3;

ЛОЖЬ)) а) формулы A B P{X = 2} = 0, P{X 1} = 0, P{0 X 3} = 0, P{X = 1|X 0} = 0, б) результаты расчетов Рис. 2.3.3. Расчеты в задаче F(x) 1, 0, x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Рис. 2.3.4. График функции распределения в задаче 214. Пивоваренный завод отправил в магазин 400 ящиков пива. Вероят ность того, что ящик будет разбит при транспортировке в данных условиях, рав на 0,005. По приезде в магазин экспедитор, перевозивший груз, заявил, что семь ящиков с пивом были разбиты при транспортировке. Размышляя, можно ли до верять экспедитору, директор магазина хочет найти вероятность разбить семь ящиков, вероятность разбить не менее семи ящиков, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение количества ящиков, разбитых при транспортировке, чтобы оценить возможность потерь, заявленных экспеди тором. Найти указанные величины.

215. В банк поступило 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность то го, что пакет содержит недостаточное или избыточное количество денежных знаков, равна 0,0001. Найти: а) вероятность того, что при проверке будет обна ружен хотя бы один ошибочно укомплектованный пакет;

б) вероятность того, что при проверке будет обнаружено не более трех ошибочно укомплектован ных пакетов;

в) математическое ожидание и дисперсию числа ошибочно уком плектованных пакетов.

216. Для продвижения своей продукции на рынок фирма раскладывает по почтовым ящикам рекламные листки. Прежний опыт работы фирмы пока зывает, что примерно в одном случае из 2000 за прочтением рекламного лист ка следует заказ. Найти: а) вероятность того, что при размещении 10 000 рек ламных листков поступит хотя бы один заказ;

б) среднее число поступивших заказов;

в) дисперсию числа поступивших заказов.

217. При некотором виде страхования количество страховых случаев на один страховой договор в течение года распределено по закону Пуассона с па раметром = 0,2. Найти вероятности следующих событий: а) по случайно вы бранному договору не наступит ни одного страхового случая;

б) по случайно вы бранному договору наступит ровно один страховой случай;

в) по случайно вы бранному договору наступит ровно два страховых случая;

г) по случайно вы бранному договору наступит ровно три страховых случая;

д) по случайно вы бранному договору наступит более трех страховых случаев.

218. При расчете страхового взноса по некоторому виду страхования аналитики страховой компании предполагали, что страховые случаи происхо дят с вероятностью 0,005, а средний размер страховой выплаты составит 100 000 ден. ед. В прошлом году страховая компания заключила 2000 догово ров по данному виду страхования, и за год произошло 15 страховых случаев (что на 50% больше ожидаемого количества 2000·0,005 = 10) со средним разме ром выплаты в 101 000 ден. ед. (что вполне приемлемо). Предполагая, что чис ло страховых случаев распределено по закону Пуассона, рассчитать вероят ность того, что за год наступит не менее 15 страховых случаев, и на основании этого сделать вывод, является ли превышение ожидаемого количества стра ховых случаев на 50% «невезением» по случайным причинам или результатом ошибочного предположения о вероятности страхового случая.

2.3.6. П р о с т е й ш и й п о т о к с о б ы т и й Потоком событий называется последовательность событий, наступаю щих в случайные моменты времени.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные ха рактеристики не зависят от времени (более строго, если вероятность того, что за время Д наступит ровно k событий, не зависит от начала отсчета промежут t t, ка Д а зависит только от его длины).

Поток событий называется ординарным, если за малый промежуток вре t мени Д наступление двух или более событий маловероятно (т. е. если вероят t ность наступления двух или более событий за малый промежуток времени Д пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного собы тия за этот промежуток).

Поток событий называется потоком с отсутствием последействия, ес ли будущее наступление событий не зависит от того, как они наступали в прошлом (т. е. если вероятность наступления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, сколько событий уже наступило к началу этого промежутка, и в какие моменты времени они наступили).

Поток событий называется простейшим, если он обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия. Интенсивность потока µ — это среднее число событий, наступающих в единицу времени.

Число событий простейшего потока с интенсивностью м, наступивших за время t, представляет собой случайную величину X, распределенную по зако ну Пуассона с параметром = µt:

(µt)x µt P{ X = x} = (x = 0,1, 2,...). (2.3.16) e x!

Доказательство. Разделим отрезок времени длиной t на n частей одинаковой длины t = t / n. Математическое ожидание числа событий, наступающих в каждом из таких интер валов, будет равно µt = µt / n (где µ — интенсивность потока). Поскольку простейший поток обладает свойством ординарности, при больших n можно пренебречь наступлением двух и бо лее событий на каждом из участков длиной t и считать, что возможны два варианта для каж дого участка: либо на этом участке появилось ровно одно событие из потока, либо не появилось ни одного события. Введем события Ai (i = 1, 2, …, n), состоящие в том, что на i м участке событие из потока появилось. При этом P(Ai ) = MIAi. С другой стороны, MIAi = µt / n, поэтому P(Ai ) = µt / n. Так как простейший поток обладает свойством отсутствия последействия, то со бытия Ai (i = 1, 2, …, n) являются независимыми в совокупности, при вероятность каждого из этих событий равна p = P(Ai ) = µt / n, значит, случайную величину X (число событий простей шего потока, наступивших за время t) можно представить как число успехов в n испытаниях Бернулли (см. п. 1.6.1), где успехом в i м испытании считается наступление события Ai. При этом µt произведение = np = n = µt не зависит от n. Устремив n к бесконечности, замечаем, что n p 0, а = µt = = const, поэтому для вычисления вероятности того, что число событий простей шего потока, наступивших за время t, равно x, можно воспользоваться формулой Пуассона x (µt)x µt (1.6.5): P{ X = x} = lim Pn (x) = e= e, что и требовалось доказать.

n x! x!

np Найдем теперь функцию распределения интервала времени T между двумя последовательными наступлениями события в простейшем потоке с ин тенсивностью µ.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.