авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«Национальный институт ВЫСШАЯ ШКОЛА УПРАВЛЕНИЯ В. И. Соловьев МАТЕМАТИКА для специальностей «Государственное и ...»

-- [ Страница 4 ] --

Очевидно, событие {T t} при t 0 эквивалентно событию {X 0} — оба этих события состоят в том, что на промежутке времени длиной t произошло хотя бы одно событие из простейшего потока.

Вероятность того, что за время t не произойдет ни одного события из про (µt)0 µt e = eµt. Вероят стейшего потока, равна (по формуле 2.3.16) P{X = 0}= = 0!

ность противоположного события равна P{X 0} =1 – eµt, поэтому FT(t) = P{T t} = P{X 0} = 1 – eµt. Итак, FT(t) =1 – eµt. (2.3.17) При t 0, очевидно, FT(t) = P{T t} = 0. (2.3.18) Объединяя формулы (2.3.17) и (2.3.18), получим окончательно:

0, t 0, FT (t) = (2.3.19) 1 e, t 0.

µt Задачи 219. В диспетчерскую таксопарка поступает простейший поток заказов такси с интенсивностью µ = 1,2 заказа/мин. Найти вероятности следующих событий: а) за две минуты не поступит ни одного заказа;

б) за две минуты по ступит ровно один заказ;

в) за две минуты поступит хотя бы один заказ.

220. Магазин имеет два входа, потоки покупателей на этих входах неза висимы и являются простейшими. Через первый вход проходит в среднем µ1 = = 1,5 чел./мин, а через второй вход — µ2 = 0,5 чел./мин. Определить вероятность того, что в наугад выбранную минуту хотя бы один человек посетит магазин.

2.3.7. Г и п е р г е о м е т р и ч е с к и й з а к о н р а с п р е д е л е н и я Случайная величина X называется распределенной по гипергеометриче скому закону с параметрами K, L, l, если она принимает значения 0, 1, 2, …, min{K;

l} с вероятностями CK CLxK xl P{ X = x} = (x = 0, 1, 2, …, min{K;

l}). (2.3.20) l CL Случайную величину X, распределенную по гипергеометрическому зако ну (2.3.19), можно интерпретировать, например, так. Имеется партия из L из делий, K из которых первого сорта, а остальные (L – K) — второго сорта. Из этой партии случайным образом извлекается l изделий. Тогда случайная ве личина X — число изделий первого сорта среди отобранных — будет распре делена по гипергеометрическому закону (2.3.20).

Тот факт, что случайная величина X распределена по гипергеометриче скому закону с параметрами n, p, кратко обозначается так: X = HG(K, L, l).

Математическое ожидание случайной величины X = HG(K, L, l) равно K MX = l, (2.3.21) L а ее дисперсия l K K DX = l 1 L.

(2.3.22) L L 1 L Доказательство. Рассмотрим последовательность из l (з а в и с и м ы х) испытаний. В каждом испытании из партии (состоящей из L изделий, K из которых первого сорта, а ос тальные (L – K) — второго сорта), извлекается по одному изделию. Пусть события Ai состоят в том, что в i м из l таких испытаний произошел успех (i = 0, 1, 2, …, l). Вероятность каждого из этих событий P(Ai ) = K / L (предлагаем читателю убедиться в этом). Рассмотрим l слу чайных величин X i = IAi — индикаторов событий Ai. При этом по формуле (2.2.7) MXi = l = MIAi = P(Ai ) =K / L, а случайная величина X очевидно, равна X = X i. По свойству адди i = l K тивности математического ожидания (2.2.10) MX = MX i = l, что доказывает формулу L i = (2.3.21). Свойством аддитивности дисперсий уже воспользоваться нельзя (как мы это сделали при выводе формулы для дисперсии биномиального распределения), так как испытания за висимы. Доказательство формулы (2.3.22) для дисперсии будет проведено достаточно просто в § 3.2, когда мы подробнее изучим з а в и с и м ы е случайные величины.

Как было показано в п. 1.6.1, CK CLkK kl = Clk pk (1 p)lk, lim PK,L (k, l) = lim l L L CL K K p p L L поэтому при L, K / L p случайная величина X = HG(K, L, l) переходит в слу чайную величину, распределенную по биномиальному закону с параметрами l, p.

Гипергеометрический закон распределения широко используется в управ ления качеством (в задачах статистического контроля качества продукции), со циологии (при организации выборочных опросов) и др.

Задачи 221. На автомобиле, прибывшем в авторемонтную мастерскую, требу ется заменить четыре тормозных колодки. У автомеханика есть девять таких колодок, из которых пять — новые, а оставшиеся четыре — бывшие в упот реблении. Из этих колодок автомеханик наугад выбирает четыре. Случайная величина X — число новых колодок среди выбранных. Составить ряд распре деления этой случайной величины.

Найти математическое ожидание случайной величины X, опреде 222.

ленной в предыдущей задаче, двумя способами: а) непосредственно по ряду рас пределения [т. е. по формулам (2.2.6), (2.2.16)];

б) по формулам (2.3.21)—(2.3.22).

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1986.

1.

Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Теория вероятностей и прикладная статистика: Учеб 2.

ник. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2001.

Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях:

3.

Учебник. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2001.

Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983.

4.

Боровков А. А. Теория вероятностей: Учебник. – М.: Эдиториал УРСС, 1999.

5.

Боровков А. А. Математическая статистика. – Новосибирск: Наука, 1997.

6.

Ван дер Варден Б. Л. Математическая статистика. – М.: Издательство иностранной 7.

литературы, 1960.

Ватутин В. А., Ивченко Г. И., Медведев Ю. И., Чистяков В. П. Теория вероятностей и 8.

математическая статистика в задачах. – М.: Дрофа, 2004.

Вентцель Е. С. Теория вероятностей: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 2000.

9.

Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учебное 10.

пособие. – М.: Высшая школа, 2000.

Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – 11.

М.: Наука, 1988.

12. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1999.

Вуколов Э. А., Ефимов А. В., Земсков В. Н. и др. Сборник задач по математике для вту 13.

зов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – М.: Наука, 1990.

Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Теория вероятностей и математическая 14.

статистика: Учебник. – Киев: Вища школа, 1979.

Гланц С. Медико биологическая статистика. – М.: Практика, 1999.

15.

Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: Учебник: 7 е издание. – М.: Эдиториал 16.

УРСС, 2001.

Гнеденко Б. В. Очерк по истории теории вероятностей. – М.: Эдиториал УРСС, 2001.

17.

Дороговцев А. Я., Сильвестров Д. С., Скороход А. В., Ядренко М. И. Теория вероятно 18.

стей: Сборник задач: Учебное пособие. – Киев: Вища школа, 1980.

Елисеева И. И., Князевский В. С., Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Теория статисти 19.

ки с основами теории вероятностей: Учебное пособие. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2001.

Емельянов Г. В., Скитович В. П. Задачник по теории вероятностей и математической 20.

статистике: Учебное пособие. – Л.: Издательство Ленинградского университета, 1967.

Зубков А. М., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Сборник задач по теории вероятно 21.

стей: Учебное пособие. – М.: Наука, 1989.

Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика: Учебное пособие. – М.:

22.

Высшая школа, 1993.

Калинина В. Н. Математическая статистика в примерах и задачах: Учебное пособие.

23.

– М.: ГУУ, 1996.

Калинина В. Н., Панкин В. Ф. Математическая статистика: Учебник. – М.: Дрофа, 2002.

24.

Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. Прикладная математика: Учебное по 25.

собие. – М.: ИНФРА М, 2002.

Кендел М., Стюарт А. Теория распределений. – М.: Наука, 1966.

26.

Кендел М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. – М.: Наука, 1973.

27.

Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика:

28.

Учебник. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2003.

Колемаев В. А., Калинина В. Н., Соловьев В. И. и др. Теория вероятностей в примерах 29.

и задачах: Учебное пособие. – М.: ГУУ, 2001.

Колемаев В. А., Калинина В. Н., Соловьев В. И. Математическая статистика в приме 30.

рах и задачах: Учебное пособие. – М.: ГУУ, 2001.

Колемаев В. А., Староверов О. В., Турундаевский В. Б. Теория вероятностей и мате 31.

матическая статистика: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1991.

Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: ФАЗИС, 1998.

32.

Королев В. Ю. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.:

33.

Проспект, 2006.

Коршунов Д. А., Фосс С. Г. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей:

34.

Учебное пособие. – Новосибирск: Издательство НИИ МИОО НГУ. – 1997.

Коршунов Д. А., Чернова Н. И. Сборник задач и упражнений по математической ста 35.

тистике: Учебное пособие. – Новосибирск: Издательство Института математики. – 2001.

Крамер Г. Математические методы статистики: 2 е издание. – М.: Мир, 1975.

36.

Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.:

37.

ЮНИТИ–ДАНА, 2003.

Лоэв М. Теория вероятностей. – М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

38.

Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика: Начальный курс:

39.

Учебник. – М.: Дело, 2001.

Макарова Н. В., Трофимец В. Я. Статистика в Excel: Учебное пособие. – М.: Финансы и 40.

статистика, 2002.

Малыхин В. И. Математика в экономике: Учебное пособие. – М.: ИНФРА–М, 2000.

41.

Малыхин В. И. Финансовая математика: Учебное пособие. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2003.

42.

Мацкевич И. П., Свирид Г. П. Высшая математика: Теория вероятностей и математи 43.

ческая статистика: Учебное пособие. – Минск: Вышэйшая школа, 1993.

Мацкевич И. П., Свирид Г. П, Булдык Г. М. Сборник задач и упражнений по высшей 44.

математике: Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – Минск: Вы шэйшая школа, 1996.

Мельников А. В. Риск менеджмент: Стохастический анализ рисков в экономике фи 45.

нансов и страхования. – М.: Анкил, 2003.

Мешалкин Л. Д. Сборник задач по теории вероятностей. – М.: Издательство Москов 46.

ского университета, 1963.

Прохоров А. В., Ушаков В. Г., Ушаков Н. Г. Задачи по теории вероятностей: Основные 47.

понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы: Учебное пособие. – М.: Наука, 1986.

Розанов Ю. А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процес 48.

сы: Учебник. – М.: Наука, 1989.

Ротарь В. И. Теория вероятностей: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1992.

49.

Севастьянов Б. А. Вероятностные модели. – М.: Наука, 1992.

50.

Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики: Учебник.

51.

– М.: Наука, 1982.

Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. – М.: Мир, 1990.

52.

Сигел Э. Практическая бизнес статистика. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2002.

53.

Смирнов Н. В., Дунин Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической 54.

статистики для технических приложений: Учебное пособие. – М.: Наука, 1965.

Соловьев В. И. Математические методы управления рисками: Учебное пособие. – 55.

М.: ГУУ, 2003.

Соловьев В. И. Стохастические модели математической экономики и финансовой ма 56.

тематики: Учебное пособие. – М.: ГУУ, 2001.

Сулицкий В. Н. Методы статистического анализа в управлении: Учебное пособие. – 57.

М.: Дело, 2002.

Тутубалин В. Н. Теория вероятностей: Краткий курс и научно методические указа 58.

ния. – М.: Издательство Московского университета, 1972.

Тутубалин В. Н. Теория вероятностей и случайных процессов: Учебное пособие. – М.:

59.

Издательство Московского университета, 1992.

Уилкс С. Математическая статистика. – М.: Наука, 1967. – 632 с.

60.

Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах: Учебное посо 61.

бие. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 1999.

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: В 2 х т.. – М.: Мир, 1984.

62.

Четыркин Е. М., Калихман И. Л. Вероятность и статистика. – М.: Финансы и стати 63.

стика, 1982.

Чистяков В. П. Курс теории вероятностей: Учебник. – М.: Наука, 1987.

64.

Ширяев А. Н. Вероятность: Учебное пособие: В 2 х кн. – М.: МЦНМО, 2004.

65.

ПРИЛОЖЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, РАСПРОСТРАНЕННЫХ В ЭКОНОМИКЕ Т а б л и ц а СВ. Законы распределений дискретных случайных величин, часто встречающиеся на практике Краткое Обозначение случайной величины, Название обозначение механизм ее формирования и обо закона распределения закона значения параметров закона закон распределения IA = 1, если событие A наступило, и X = IA индикатора события IA = 0 — в противном случае A альтернативный X = 1 означает успех в единичном (вместо него X = A(p) испытании (с вероятностью p), X = чаще используется — неудачу (с вероятностью (1 – p)) индикатор события) X = Bi(n;

p) X — число успехов в n испытаниях или Бернулли с вероятностью p успеха биномиальный X = B(n;

p) в единичном испытании X — число испытаний Бернулли, которые придется произвести до X = G(p) геометрический первого успеха (иногда — номер ис пытания, на котором впервые про изошел успех) X — число изделий первого сорта среди l изделий, отобранных слу чайным образом из партии, состоя гипергеометрический X = H(L;

K;

l) щей из L изделий, K из которых первого сорта, а остальные (L – K) — второго сорта 1. X — число успехов в n испытани ях Бернулли с вероятностью p ус пеха в единичном испытании, при чем n, np = const;

на прак X = () тике данным распределением поль зуются в случае, когда n велико (не Пуассона сколько десятков или более), а = np 2. X — число наступлений события X = (мt) простейшего потока с интенсивно стью м за время t ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие....................................................................................................................................................................... Глава 1. Случайные события...................................................................................................................... § 1.1. Основы комбинаторики............................................................................................................ 1.1.1. Правила суммы и произведения.................................................................................................................... 1.1.2. Комбинации без повторений.............................................................................................................................. 1.1.3. Комбинации с повторениями.......................................................................................................................... § 1.2. Исчисление событий................................................................................................................. § 1.3. Элементарные подходы к определению вероятности............................. 1.3.1. Классическая вероятностная схема......................................................................................................... 1.3.2. Дискретная вероятностная схема с неодинаково возможными исходами............. 1.3.3. Схема геометрических вероятностей..................................................................................................... 1.3.4. Статистическая вероятность.......................................................................................................................... § 1.4. Аксиоматическое построение теории вероятностей................................. § 1.5. Условные вероятности............................................................................................................ 1.5.1. Условные вероятности. Независимость событий.......................................................................... 1.5.2. Формула полной вероятности....................................................................................................................... 1.5.3. Формула Байеса........................................................................................................................................................ § 1.6. Последовательности испытаний................................................................................... 1.6.1. Биномиальная схема. Формула Бернулли......................................................................................... 1.6.2. Наиболее вероятное число успехов в последовательности независимых испытаний........................................................................... 1.6.3. Формула Пуассона.................................................................................................................................................. 1.6.4. Полиномиальная схема....................................................................................................................................... Глава 2. Случайные величины............................................................................................................... § 2.1. Определение случайной величины............................................................................. 2.1.1. Понятие случайной величины....................................................................................................................... 2.1.2. Функция распределения случайной величины.......................................................................... § 2.2. Дискретные случайные величины и их важнейшие числовые характеристики.................................................. 2.2.1. Способы задания дискретных случайных величин................................................................ 2.2.2. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины................ § 2.3. Дискретные случайные величины, часто встречающиеся в экономической практике................................... 2.3.1. Биномиальный закон распределения.................................................................................................. 2.3.2. Биномиальная модель ценообразования финансовых инструментов.................... 2.3.3. Геометрический закон распределения............................................................................................... 2.3.4. Отрицательный биномиальный закон распределения........................................................ 2.3.5. Закон распределения Пуассона................................................................................................................ 2.3.6. Простейший поток событий.......................................................................................................................... 2.3.7. Гипергеометрический закон распределения................................................................................ Список использованной литературы................................................................................................... Приложение 1..............................................................................................................................................................

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.