авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«Национальный институт ВЫСШАЯ ШКОЛА УПРАВЛЕНИЯ В. И. Соловьев МАТЕМАТИКА для специальностей «Государственное и ...»

-- [ Страница 2 ] --

Решение. Для вычисления в ы б о р о ч н ы х х а р а к т е р и с т и к воспользуемся программой «Описательная статистика», выбрав соответствующий пункт меню надстройки «Анализ данных» пакета Microsoft Excel.

В окне ввода исходных данных программы «Описательная статистика» (рис. 5.2.1) ука жем входной интервал (ссылку на ячейки A1:A101, содержащие данные об объеме продаж с заголовком;

так как первая строка входного интервала содержит заголовок, отметим фла жок «Метки»), установим флажок для генерации итоговой статистики — набора основных вы борочных характеристик. Укажем, что исходные данные помещены в столбце, а результаты работы программы необходимо вывести на новый рабочий лист.

Рис. 5.2.1. Окно ввода данных программы «Описательная статистика»

В результате работы программы «Описательная статистика» получены значения выборочных характеристик ежедневного объема продаж (рис. 5.2.2):

n выборочное среднее x = xi n = 49,6 ;

• i = n исправленная выборочная дисперсия s2 = (xi x)2 (n 1) = 117,8, откуда легко вы • X i = n 1 n числить выборочную дисперсию = (xi x)2 n = 2 sX = 116,6 ;

с учетом поправки X n i = Шеппарда 2 = 2 2 /12 = 113,12 ;

X X • стандартное отклонение sX = s2 = 10,85 (выборочное среднее квадратичное отклоне X ние = = 10,80, с учетом поправки Шеппарда X = 2 = 10,64 );

X X X • исправленная выборочная асимметрия A X = n(n 1)A X (n 2) = 0,091, откуда легко = µ / 3 = (n 2)A / n(n 1) = 0, A вычислить выборочную асимметрию X X n здесь = (x x)k n ;

µk i i = (n 1)[(n + 1)E X + 6] • исправленный выборочный эксцесс E X = = 0,47, откуда легко вы (n 2)(n 3) (n 2)(n 3)E X числить выборочный эксцесс = µ 4 / 4 3 = = 0,51 ;

EX (n + 1)(n 1) n + • выборочный коэффициент вариации = s / x = 0,2188 = 21,88%.

V X X Значения некоторых характеристик могут изменяться при переходе от несгруппиро ванных данных к сгруппированным (интервальному вариационному ряду). Такими величи нами являются, в том числе, выборочная медиана и выборочная мода. Программа xmed xmod «Описательная статистика» вычисляет все характеристики п о н е с г р у п п и р о в а н н ы м д а н н ы м. Между тем, указанные две характеристики несут в себе гораздо больше смысла, если их вычислять п о и н т е р в а л ь н о м у в а р и а ц и о н н о м у р я д у (по лученному в задаче 432 — см. табл. 5.1.3) при помощи формул (5.119) и (5.1.20) соответственно:

0,5 F(al ) • = al + x, где al — начало медианного интервала;

в нашем случае pl med 6, (0,5 0,45) = 48,71 ;

al = 46,911, поэтому = 46,911 + x 0, med pm pm • = am +, где am — начало модального интервала;

в нашем случае x pm1 pm+ 2pm mod 0,25 0, am = 40,422, поэтому = 40,422 + 6,49 = 44,64.

x 2 0,25 0,12 0, mod Итак, все требуемые выборочные характеристики получены.

Объем продаж за 100 дней Среднее 49, Стандартная ошибка 1, Медиана 49, Мода 37, Стандартное отклонение 10, Дисперсия выборки 117, Эксцесс –0, Асимметричность 0, Интервал 49, Минимум 24, Максимум 73, Сумма 4959, Счет Рис. 5.2.2. Результаты работы программы «Описательная статистика»

434. В условиях задачи 432 требуется с помощью программы «Описа тельная статистика» пакета Microsoft Excel требуется, заменив параметры нор мального закона распределения их выборочными характеристиками, скоррек тированными на поправку Шеппарда, рассчитать и построить графики функ ции плотности и функции распределения нормального закона, «наложив» эти графики соответственно на полигон и кумуляту.

Решение. По данным табл. 5.1.3 построим полигон и гистограмму на рис. 5.2.3 и кумуляту на рис. 5.2.4.

f( x) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, x 0 24,20 30,69 37,18 43,67 50,16 56,64 63,13 69,62 76, Гистограмма Полигон Функция плотности нормального закона Рис. 5.2.3. Гистограмма, полигон и функция плотности нормального закона F (x ) 1, 0, 0, 0, 0, x 0, 27,444 33,933 40,422 46,911 53,399 59,888 66,377 72,866 79, Кумулята Функция распределения нормального закона Рис. 5.2.4. Кумулята и функция распределения нормального закона a Заменим параметры нормального закона и их выборочными оценка ми: a = x = 49,6, = X = 10,64 и рассчитаем значения функции плотности нормального закона ( xa ) fN (x) = e fN(x) = Microsoft Excel в серединах интервалов [воспользовавшись функцией = НОРМРАСП(x;

a;

;

ЛОЖЬ)] и функции распределения (t a ) x e FN (x) = dt = НОРМРАСП(x;

a;

;

ИСТИНА) в правых концах интервалов. Результаты расчетов представлены в седьмом и восьмом столбцах табл. 5.2.1 (первые шесть столбцов табл. 5.2.1 взяты из табл. 5.1.3). Графики функ ций fN(x) и FN(x) построены на рис. 5.2.3 и 5.2.4 соответственно.

Т а б л и ц а 5.2. Результаты раасчетов в задаче Сере Интер Оценка Функция Ин Оценка функции плотности Функция рас дина валь терваль функции Интервал пределения ин ная ная отно плотности распре нормаль (aj;

aj + 1) деления ного зако нормального терва часто сительная (x ) fX j (a ) на fN (x j ) закона F (aj + 1) ла xj та mj частота pj FX j+ [20,956;

27,444) 24,20 1 0,01 0,0015 0,01 0,0022 0, [27,444;

33,933) 30,69 7 0,07 0,0108 0,08 0,0077 0, [33,933;

40,422) 37,18 12 0,12 0,0185 0,20 0,0190 0, [40,422;

46,911) 43,67 25 0,25 0,0385 0,45 0,0321 0, [46,911;

53,399) 50,16 18 0,18 0,0277 0,63 0,0374 0, [53,399;

59,888) 56,65 20 0,20 0,0308 0,83 0,0301 0, [59,888;

66,377) 63,14 9 0,09 0,0139 0,92 0,0167 0, [66,377;

72,866) 69,63 7 0,07 0,0108 0,99 0,0064 0, [72,866;

79,354) 76,12 1 0,01 0,0015 1,00 0,0017 1, Итого — 100 1,00 — — — — 435. По данным задачи 429 вычислить выборочные характеристики:

коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс, моду, медиану.

Доказать, что выборочное среднее X (5.1.1) является эффективной (в 436.

классе линейных несмещенных оценок) оценкой математического ожидания MX.

437. Доказать, что относительная частота является состоятельной, не смещенной и эффективной (в классе всех несмещенных оценок) оценкой веро ятности наступления события.

438. Доказать, что выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия являются состоятельными оценками дисперсии.

5.2.2. М е т о д ы п о с т р о е н и я т о ч е ч н ы х о ц е н о к Будем считать, что известен общий вид p(x;

) закона распределения слу чайной величины X, соответствующей генеральной совокупности, из которой извлечена выборка x1, x2,…, xn (функция вероятности p(xi ;

) = P{ X = xi } для дискретной случайной величины или плотность распределения p(x;

) = fX (x) для непрерывной случайной величины), где — некоторый неизвестный па раметр закона распределения.

Метод моментов заключается в следующем. Определяется зависимость = g(1, 2, …, k, µ1, µ 2, …, µ l ) (5.2.8) параметра от начальных моментов с первого по k й и центральных моментов с первого по l й, после чего для вычисления оценки мм параметра по мето ду моментов в эту зависимость (5.2.7) вместо неизвестных теоретических мо i µ j ментов подставляют их выборочные аналоги и:

мм = g, …, k, µ1, µ 2, …, µ l ).

(1, 2 (5.2.9) Очевидным достоинством метода моментов является его простота, одна ко качество оценок, полученных с помощью этого метода, не всегда бывает вы соким, особенно при небольших объемах выборки.

Изложим теперь алгоритм метода максимального правдоподобия. По выборке x1, x2,…, xn составляется функция правдоподобия L() = p(x1;

)p(x2 ;

) p(xn ;

), (5.2.10) равная вероятности получения и м е н н о набора x1, x2, …, xn при извлечении выборки объемом n из генеральной совокупности в случае дискретной слу чайной величины (и плотности распределения этой вероятности — в случае непрерывной случайной величины). Чем больше L(), тем вероятнее (или п р а в д о п о д о б н е е) получить при наблюдениях и м е н н о д а н н у ю к о н к р е т н у ю в ы б о р к у x1, x2, …, xn.

Оценкой максимального правдоподобия параметра называют при этом такое значение ммп, которое максимизирует функцию правдоподобия L() :

L( ммп ) = max L(). (5.2.11) Для многих распределений вместо оптимизационной задачи (5.2.11) удоб нее решать эквивалентную задачу ln L( ммп ) = max ln L(), (5.2.12) так как натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией.

Если существует состоятельная и эффективная оценка параметра (в классе всех оценок — несмещенных и смещенных), то при весьма общих усло виях такой оценкой является ммп, если при этом оценка ммп оказывается смещенной, то ее подправляют аналогично тому, как это было сделано с выбо рочной дисперсией [см. формулу (5.2.5)].

Задачи 439. По выборке x1, x2, …, xn найти оценку параметра случайной величины, распределенной по закону Пуассона: а) методом моментов;

б) методом максимального правдоподобия.

Решение. а) Известно, что начальный момент первого порядка распределения Пуассона равен 1 = MX =, откуда = 1 = MX. Поэтому оценкой метода моментов для параметра будет = = x.

мм x б) Для распределения Пуассона p(x;

) = P{ X = x} = e. Составим функцию правдо x!

подобия:

x + x + + xn x x x 1 2 n 1 en.

L() = p(x1 ;

)p(x2 ;

) p(xn ;

)= e= e e x1! x2! xn! x1! x2! xn!

Ее логарифм равен n xi i = n n e = ln xi n ln(x1 ! x2 !

l() = ln L() = ln xn !).

x !x ! x ! 1 2 i = n Чтобы функция l() достигала максимального значения, необходимо, чтобы ее произ водная l () = 0, а вторая производная l () 0. В нашем случае n n n x xi xi i d n d i= n = i=12, xn !) = i=1 n, l () = ln xi n ln(x1 ! x2 !

l () = d d i = n x i i = n = 0 :

поэтому оценку максимального правдоподобия найдем из условия ммп n x i = i = ммп = x. При этом вторая производная отрицательна, так как в числителе дроби n стоит положительное число (поскольку генеральная совокупность распределена по закону Пуассона и ее элементы не могут принимать отрицательных значений), в знаменателе дроби также стоит положительное число, а перед дробью стоит знак «минус».

ммп 440. Случайная величина X = U(a;

b). По выборке x1, x2, …, xn найти оценки параметров a и b: а) методом моментов;

б) методом максимального правдоподобия.

и оценки bмм Решение. а) Найдем aмм методом моментов. Известно, что a +b 1 =, a+b (b a) 1 ( X) = MX =, µ1 ( X ) = DX =. Решив систему относительно a и b µ = (b a) 2 a b ), a = 1 3µ 2, b = 1 + 3µ 2, (учитывая, что получим: а потому = 1 3µ 2 = x 3X, bмм = 1 + 3µ 2 = x + 3X.

2 aмм, x [a;

b], б) Так как fX = b a то функция правдоподобия 0, x [a;

b], все xi [a;

b], i = 1,2,…, n, L(a;

b) = (b a)n, 0, хотя бы одно значение xi [a;

b].

min{x1, x2, …, xn }, а b max{x1, x2, …, xn }, то максимум функции L достига Так как a ется при a ммп = min{x1, x2, …, xn } и bммп = max{x1, x2, …, xn }.

441. Построить по выборке x1, x2, …, xn оценку параметра p геометри ческого распределения а) методом моментов;

б) методом максимального прав доподобия.

442. По выборке x1, x2, …, xn найти оценку параметра µ случайной ве личины, распределенной по показательному закону: а) методом моментов;

б) методом максимального правдоподобия.

443. Случайная величина X = N (a;

). По выборке x1, x2, …, xn найти оценки параметров a и : а) методом моментов;

б) методом максимального правдоподобия.

444. По данным социологического опроса получено распределение чис ла групп по числу респондентов в группе, отрицательно отзывающихся о но вой рекламной политике фирмы (в каждой группе по 10 респондентов):

Число респондентов, не поддерживающих 0 1 2 новую рекламную политику 132 43 20 3 Число групп Предполагая, что число респондентов в группе, не поддерживающих но вую рекламную политику, распределено по закону Пуассона, оценить пара метр этого закона и определить долю групп, в которых все респонденты поддерживают новую рекламную политику.

§ 5.3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ Вычисляя по выборке оценку какого либо параметра, мы отдаем себе отчет, что даже если она будет обладать свойствами состоятельности, несме щенности и эффективности, она все равно остается всего лишь п р и б л и ж е н н ы м значением параметра. Насколько же может отклониться это приближенное значение от истинного? Иными словами, можно ли указать ин тервал (1;

2 ), который с заранее заданной вероятностью (близкой к едини це) накрывал бы истинное значение параметра. Такой интервал называется доверительным интервалом или интервальной оценкой, а вероятность — доверительной вероятностью или надежностью интервальной оценки.

Предположим, что наблюдения независимы и проводятся в одинаковых условиях, т. е. элементы выборки X1, X2, …, Xn представляют собой независи мые случайные величины, распределенные по одному и тому же закону с ма тематическим ожиданием a и дисперсией 2. Тогда, если объем выборки n ве лик (на практике — при n 30 ), то в силу центральной предельной теоремы n (см. § 4.4) случайная величина X = X i n имеет нормальное распределение с i= параметрами a и / n, поэтому, как несложно показать, случайная величина (X a) n Z= распределена по нормальному закону с параметрами 0 и 1.

Найдем по таблице значений функции Лапласа 0 такое значение u/2, чтобы 0 (u /2 ) = /2. При этом P{| Z | u /2 } =P{u /2 Z u /2 }=0 (u /2 ) 0 (u /2 ) = 20 (u /2 ) =.

( X a) n u (X a) n u /2 a X / = P u /2. Но Итак, n u u u u /2 a X /2 X /2 a X + /2, значит, n n n n u u (X a) n u /2 = P X /2 a X + /2, = P (5.3.1) n n т. е. вероятность того, что интервал X u /2 ;

X + u / (5.3.2) n n н а к р о е т истинное значение математического ожидания, равна. Таким образом, получена интервальная оценка математического ожидания при большом объеме выборки.

В пакете Microsoft Excel есть функция НОРМСТОБР(), которая является обратной к функции нормального распределения НОРМРАСП(u;

0;

1;

ИСТИНА) = + 0 (u), т. е. для любого [0;

1] НОРМРАСП(НОРМСТОБР();

0;

1;

ИСТИНА)) совпадает с.

Поэтому uг/2 можно найти так: uг/2 = НОРМСТОБР((1 + )/2) и вообще для любо го [0;

1] u = НОРМСТОБР(+1/2).

Предположим, что выборка X1, X2,…, Xn взята из генеральной совокупно сти, соответствующей индикатору некоторого события (успеха), тогда смысл элементов выборки таков:

1, если произошел успех в i м испытании, Xi = 0, если не произошел успех в i м испытании.

n При этом MX i = p, DX i = p(1 p), число m = Xi можно считать количе i= ством успехов в серии из n испытаний Бернулли, а выборочное среднее X совпадает с относительной частотой p:

n X i m i= X= = = p, n n поэтому m p ( X a) n n Z= =, p(1 p)/ n и по формуле 5.3. m p ( X a) n u /2 = P u /2 = n = P (5.3.3) p(1 p)/ n m p(1 p) p(1 p) = P u /2.

m p + u / n n n n Истинное значение вероятности успеха p в единичном испытании нам не известно, но при большом объеме выборки n можно в качестве p взять при p= ближенное значение — относительная частота m / n, являющуюся состоя тельной, несмещенной и эффективной оценкой вероятности (см. п. 5.2.1). В ре зультате получим п р и б л и ж е н н ы й д о в е р и т е л ь н ы й и н т е р в а л m m m m 1 n m m u, n n ;

+u n (5.3.4) n /2 / n n n который с вероятностью накроет истинное значение вероятности успеха p в единичном испытании.

На практике точное значение среднего квадратичного отклонения не известно, но по выборке можно получить его состоятельную, несмещенную и (для нормальной случайной величины) эффективную оценку n (X X) i n2 i= s = s2 = =X.

n 1 n X При большом объеме выборки n оправдано использование s в качестве приближенного значения в доверительном интервале (5.3.2) для математи ческого ожидания a. Если же объем выборки не очень велик ( n 30 ), так де лать нельзя.

Рассмотрим статистику ( X a) n T=. (5.3.5) s Оказывается, распределение величины Tn1 не зависит ни от X, ни от s, а зависит только от числа n 1, называемого числом степеней свободы. Это распределение называется р а с п р е д е л е н и е м С т ь ю д е н т а (см.

п. 2.5.5). Для этого закона распределения составлены таблицы значений t;

k, при которых P{| Tk |tp;

k } = p, а в пакете Microsoft Excel есть функция tp;

k = СТЬЮДРАСПОБР(p;

k).

Поэтому при небольшом объеме выборки интервальная оценка (5.3.2) для математического ожидания переходит в оценку X st1;

n1 ;

X + st1;

n1, (5.3.6) n n где X — выборочное среднее, s — стандартное отклонение, а t1–г;

n–1 = = СТЬЮДРАСПОБР(1 – ;

n – 1).

Для удобства сведем рассмотренные интервальные оценки основных чи словых характеристик и параметров случайных величин в табл. 5.3.1.

Т а б л и ц а 5.3. Интервальные оценки основных числовых характеристик и параметров случайных величин Параметр Предположения Интервальная оценка P X u /2 a X + u /2 = 2 известно параметр a n n нормального закона s s P X t1;

n1 a X + t1;

n1 = распределения 2 не известно n n вероятность p успеха p) p( p) P p u /2 = p( n порядка нескольких p u / p+ в серии из n n десятков или более n испытаний Бернулли Задачи 445. При выборочной проверке 100 банковских счетов была получена оценка x = 25 тыс. руб. для среднего остатка на счете. Известно среднее квад ратичное отклонение = 8 тыс. руб. Построить 90% ный доверительный ин тервал для математического ожидания суммы, находящейся на счете случай но выбранного клиента.

Решение. По условию = 90% = 0,9. При этом u /2 = u0,45 = 1,65, и по формуле (5.3.2) по 8 1, 8 1,65 или, окончательно, лучаем искомый доверительный интервал: 25 ;

25 + (23,68;

26,32).

446. Из некоторой отрасли было случайным образом отобрано 20 ком паний. По выборочным данным оказалось, что выборочное среднее для срока, прошедшего с момента основания компании, составило x = 6 лет при исправ ленном выборочном среднем квадратичном отклонении s = 2 г. Построить 99% ный доверительный интервал для среднего времени, прошедшего с момента основания компании, для всех компаний в отрасли.

447. В институте 500 студенческих групп. Из них было случайным об разом отобрано 20 групп. По выборочным данным оказалось, что в среднем в группе учится 22 девушки при исправленном выборочном среднем квадра тичном отклонении s = 5. Пользуясь 95% ным доверительным интервалом, оценить число девушек во всем институте.

448. Маркетинговое агентство хочет установить степень известности некоторого продукта в данном городе. Для этого было опрошено 400 человек, 80 из которых сказали, что знакомы с продуктом (остальные — что незнако мы). Построить 95% ный доверительный интервал для степени известности продукта среди всех жителей города.

§ 5.4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 5.4.1. П р о в е р к а г и п о т е з о п а р а м е т р а х нормального закона распределения Статистической гипотезой называется любое высказывание относи тельно генеральной совокупности, проверяемое по выборочным данным. Гипо теза называется параметрической, если в ней содержится утверждение о значении какого либо параметра генеральной совокупности, и непараметри ческой в противном случае. Параметрическую гипотезу называют простой, если в ней значение параметра приравнивается конкретному числу, или сложной, если значение параметра выбирается из какого либо интервала.

Проверяемую гипотезу называют нулевой и обозначают H0. Гипотезу H1, логически противоречащую гипотезе H0, называют альтернативной. Прави ло, по которому принимают решение «принять или отклонить гипотезу H0 », называют критерием.

Статистику = ( X1, X2, …, Xn ), (5.4.1) измеряющую согласие выборки ( X1, X2, …, Xn ) с гипотезой H0, называют ста тистикой критерия.

Из множества S значений статистики выделяется такое подмножество Sкр, что при условии истинности гипотезы H0 вероятность P{ Sкр | H0 } =, где — уровень значимости — достаточно малое число (обычно берут равным 0,05;

0,01;

0,005 или 0,001). Это подмножество Sкр называется крити ческой областью.

ОБЩАЯ СХЕМА ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ.

1. Формулируется в виде статистической гипотезы задача исследования (т. е. определяется нулевая гипотеза H0 и альтернативная гипотеза H1 ).

2. Выбирается статистическая характеристика гипотезы — статистика критерия.

3. Анализируются возможные ошибочные решения и их последствия.

4. Задается уровень значимости и рассчитываются границы критиче ской области Sкр, в которую статистика может попасть только с малой ве роятностью.

5. Если фактическое значение статистики (вычисленное по конкретной выборке x1, x2, …, xn ) попадает в критическую область, то нулевая гипотеза H отвергается и принимается альтернативная гипотеза H1 ;

в противном случае нулевая гипотеза H0 не отвергается. Множество S \ Sкр называется областью принятия гипотезы H0.

Если гипотеза H0 отвергается, это значит, что выборочные данные проти воречат ей, т. е. она неверна, если же гипотеза H0 принимается, то это вовсе не означает, что H0 является единственно верной гипотезой: просто гипотеза Н н е п р о т и в о р е ч и т результатам испытаний;

однако таким же свойством, наряду с H0, могут обладать и другие гипотезы. Таким образом, приняв или отклонив гипотезу H0, можно оказаться правым, а можно совершить ошибку первого или второго рода (табл. 5.4.1).

Т а б л и ц а 5.4. Риски при проверке гипотез Принятая гипотеза H0 H Истинная гипотеза правильное решение, ошибка первого рода, P{H0 |H0 } = P{ (S \ Sкр )|H0 } =1 — P{H1 |H0 } = P{ Sкр |H0 } = — H надежность уровень значимости ошибка второго рода, правильное решение, P{H0 |H1 } = P{ (S \ Sкр )|H1 } = P{H1 |H1 } = P{ Sкр |H1 } =1 — H мощность К одной и той же нулевой гипотезе H0 можно предложить несколько раз личных альтернативных гипотез H1, например, нулевой гипотезе H0 : MX = a0 о равенстве математического ожидания случайной величины конкретному зна чению a0 могут соответствовать такие альтернативные гипотезы:

H1 : MX a0 ;

H1 : MX a0 ;

H1 : MX a0.

Поэтому в каждом конкретном случае важно правильно выбирать аль тернативную гипотезу, удобную для принятия содержательного решения.

Критерии проверки основных параметрических гипотез приведены в табл. 5.4.2, а идея вывода критериев проверки гипотез содержится в задаче 449.

Задачи 449. Из многолетнего опыта руководитель отдела продаж знает, что в среднем каждые три из десяти визитов коммерческого представителя к пред полагаемым клиентам заканчиваются подписанием контракта. Продавец Ива нов за последний месяц провел 100 встреч с предполагаемыми клиентами и заключил 48 договоров, после чего потребовал повышения зарплаты. Опреде лить, какое решение должен принять начальник Иванова: «Иванов — выдаю щийся продавец» либо «Иванов — такой же, как все остальные, и его высокие результаты объясняются только случайностью».

Решение. Выберем уровень значимости = 0,05, т. е. допустим возможность ошибки первого рода с вероятностью 0,05. Будем проверять нулевую гипотезу H0: p = p0, состоящую в том, что Иванов — такой же, как все остальные, т. е. вероятность заключения договора Ивановым равна средней вероятности заключения договора p0 = 3/10 = 0,3. В качестве аль тернативной выберем гипотезу H1: p p0, соответствующую тому, что Иванов выдающийся продавец, и у него вероятность заключения контракта выше, чем у остальных его коллег.

В предположении справедливости нулевой гипотезы (т. е. если p = p0) можно записать, согласно (5.3.3), формулу p (1 p0 ) p p (1 p0 ) u /2 = P p0 u /2 0.

p = P p0 + u /2 p p0 (1 p0 )/ n n n Т а б л и ц а 5.4. Критерии проверки гипотез о числовых значениях параметров нормального распределения Проверяемая Альтернативная Критическая Статистика критерия Предположения гипотеза H0 гипотеза H1 область Z u(12 )/ a = a1 a ( X a0 ) n 2 Z u(12 )/ a = a1 a Z= известно a = a1 a0 |Z| u(1 )/ a = a Tn1 t2 ;

n a = a1 a ( X a0 ) n 2 Tn1 t2 ;

n a = a1 a Tn1 = не известно s a = a1 a0 |Tn1 | t ;

n Z u(12 )/ p = p1 p n порядка несколь (p ких десятков или бо p0 ) n Z u(12 )/ p = p1 p Z= p = p0 лее, np0 10, p0 (1 p0 ) |Z| u(1 )/ p = p1 p n(1p0 ) Z u(12 )/ a1 a X (1) X (2) Z= 1, 2 Z u(12 )/ a1 a a1 = a2 1 2 + известны a1 a2 |Z| u(1 )/ n1 n Z u(12 )/ p1 p p2 ) n (p Z=, Z u(12 )/ p1 p 1 + n1, n2 порядка не p) p(1 p1 = p2 n1 n скольких десятков p1 p2 |Z| u(1 )/ или более m1 + m p= где n1 + n Пусть = 1 2 = 0,9, тогда с вероятностью = 0,9 относительная частота m / n p= p (1 p0 ) p (1 p0 ) (при этом с вероятностью должна лежать в границах p0 u /2 0 ;

p0 + u /2 n n = 0,05 относительная частота окажется правее этого интервала и с вероятностью = 0,05 — левее).

Отметим этот интервал на координатной оси (рис. 5.4.1). Он разобьет всю числовую p (1 p0 ) ;

p0 u /2 0 прямую на три области: — слева от интервала, n p (1 p0 ) p (1 p0 ) p0 (1 p0 ) ;

+ — p0 u /2 0 ;

p0+ u /2 0 — внутри интервала и p0 + u /2 n n n справа от интервала.

p= Если справедлива гипотеза H0: p = p0, то относительная частота m / n, рассчитан ная по выборочным данным, скорее всего (с вероятностью ), попадет в центральную об ласть;

при этом такая ситуация, чтобы при истинной гипотезе H0 относительная частота по p (1 p0 ) ;

+, маловероятна, зато эта ситуация пала в самую правую область p0 + u /2 0 n очень вероятна, если считать, что p p0, поэтому к р и т и ч е с к о й о б л а с т ь ю являет p (1 p0 ) ся область p0 + u /2 p ;

+, т. е. в случае, когда n p0 (1 p0 ) p0 + u / p, (5.4.2) n нулевая гипотеза H0: p = p0 отвергается, и принимается гипотеза H1: p p0.

Относительная час Относи Относитель p= тота m / n с боль тельная частота ная частота = m / n нахо = m / n может p p шой вероятно стью на ходится правее вероят дится левее веро находиться как левее ности p0. Если гипотеза H ятности p0, поэто вероятности p0, так и справедлива, то такое собы му нет оснований правее нее, поэтому тие может произойти лишь с отвергнуть прове нет оснований отверг очень малой веростностью ряемую гипотезу нуть проверяемую ги = 0,05, поэтому есть осно H0: p = p0 при аль потезу H0: p = p тернативе вания отвергнуть проверяе мую гипотезу H0: p = p0 и H0: p = p принять альтернативную p гипотезу H1: p p p0 (1 p0 ) p0 (1 p0 ) p0 u /2 p0 u / p n n Рис. 5.4.1 Критическая область (заштрихована) и область принятия нулевой гипотезы в задаче В нашем случае = 0,9, n = 100, p= = 0,48, p0 = 0,3, с помощью Microsoft Excel получа p (1 p0 ) 0,3(1 0,3) ем u/2 = u0,45 = НОРМСТОБР((1 + 0,9)/2)) = 1,64, p0 + u /2 0 = 0,3 + 1,65 = n = 0,3 + 1,65 0,38, поэтому неравенство (5.4.2) выполняется, что является основанием от вергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу, состоящую в том, что веро ятность заключение контракта Ивановым выше, чем средним сотрудником.

Преобразуем неравенство (5.4.2):

p0 (1 p0 ) (p p0 ) n p0 + u / p u /2.

p0 (1 p0 ) n Теперь можно при проверке нулевой гипотезы H0: p = p0 при альтернативной гипотезе (p p0 ) n H1: p p0 вычислить по выборочным данным значение статистики Z = и сравнить p0 (1 p0 ) его с критическим значением u/2. Критической области при этом соответствует неравенство Z u /2.

450. Торговая компания собирается открыть в новом районе города фи лиал. Из опыта работы компании известно, что филиал будет работать при быльно, если за неделю средний доход жителей района превышает ден. ед.;

также известна дисперсия дохода 2 = 400. Требуется: а) определить правило принятия решения, с помощью которого, основываясь на выборке объемом n = 100 и уровне значимости = 0,05, может быть установлено, что филиал будет работать прибыльно;

б) предположив, что в действительности средний доход за неделю достигает 406 ден. ед., рассчитать вероятность того, что при применении предложенного правила принятия решения будет совер шена ошибка второго рода.

Решение. а) Компания не откроет филиал, если средний доход жителей не превысит 400 ден. ед. Потому будем считать, что H0 : a = a0 = 400, H1 : a a0. Так как значение гене 2 = 400 H ральной дисперсии известно, то гипотезу принимают, если ( X a0 ) n u(12 )/2. По условию a0 = 400, u0,45 = 1,65, потому гипотезу H1 : a a0 прини Z= мают и, следовательно, филиал открывают, если если недельный среднедушевой доход жителей x 400 + 21,65 = 403,3.

б) Альтернативное значение среднего дохода равно a1 = 430, и гипотеза H1: a = 406 a0.

(a a ) n u(12 )/2 = В этом случае вероятность ошибки второго рода = 0,5 0 1 0 6 10 = 0,5 0 1,65 = 0,09.

20 451. Производитель электроламп утверждает, что средний срок их службы составляет a0 = 1000 ч. Проверить эту гипотезу на 5% ном уровне значимости по выборке из n = 25 ламп, для которой x = 875 ч, s = 50 ч.

Решение. Будем проверять на уровне значимости = 5% = 0,05 нулевую гипотезу H0 : MX = a0 о том, что математическое ожидание срока службы лампы равно a0 = 1000 ч при альтернативной гипотезе H1 : MX a0, что на самом деле математическое ожидание срока службы лампы меньше, чем заявляет их производитель. Значение ( X a0 ) n (875 1000) tn1;

2 = t24;

0,1 = 21,71, а значение статистики T = = 12,5.

равно s Поскольку T tn1;

2, нулевую гипотезу H0 не отвергаем, т. е. считаем, что производи тель не завышает истинный срок службы ламп.

452. В условиях задачи 432 требуется, предположив нормальность рас пределения объема продаж, на 5% ном уровне значимости проверить гипоте зу H0: MX = [x] при альтернативной гипотезе H1: MX [x] (здесь [s] — целая часть числа s);

рассчитать вероятность ошибки второго рода, задавшись аль тернативным числовым значением MX.

Решение. В предположении нормальности распределения объема продаж проверим на 5% ном уровне значимости справедливость гипотезы H0: MX = 49 при альтернативной гипо тезе H1: MX 49.

( X a0 ) n (49,6 49) Наблюдаемое числовое значение статистики Tn1 = = 0,55.

равно sX 10, При = 0,05 значение критической точки t ;

n1 = t0,05;

99 = 1,98. Поскольку |0,55| t0,05;

99, нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу H0.

Пусть альтернативное значение математического ожидания равно a1 = 50, тогда веро ятность ошибки второго рода равна (a a1 ) n (a a1 ) n = P Tn1 0 t ;

n1 P Tn1 0 + t ;

n1 = sX sX (49 50) 100 (49 50) = P T99 t0,05;

99 P T99 + t0,05;

99 = 10,85 10, = P {T99 0,92 1,98} P {T99 0,92 + 1,98} = P {T99 2,9} P {T99 1,06} = = 1 0,002 0,146 = 0,857.

Здесь вероятности P{Tk t} можно рассчитать с помощью функции Microsoft Excel P{Tk t} = СТЬЮДРАСП(t;

k;

1).

453. Инвестиционный фонд объявил, что доходность по вложениям в него превысила среднерыночную на 0,003. В течение последнего года средняя доходность по рынку составила 0,005, а средняя доходность по фонду состави ла 0,0065 с исправленным средним квадратичным отклонением 0,019. Прове рить на 5% ном уровне значимости, насколько справедливо заявление фонда.

454. Продюсер некоторой телепередачи утверждает, что она должна привлечь внимание, по крайней мере, трети телезрителей. Из 64 опрошенных только 16 заявили о своем намерении посмотреть эту передачу. Оценить ут верждение продюсера на 5% ном уровне значимости.

455. Средняя оценка контрольной работы в студенческой группе из 25 человек оказалась равной 3,25. После контрольной работы преподаватель провел консультацию, после чего была повторно написана контрольная рабо та, и средняя оценка оказалась равной 3,3. Проверить на 5% ном уровне зна чимости, помогла ли консультация, считая средние квадратичные отклонения оценок известными и в обоих случаях равными 1 = 2 = 1.

456. Такси оснащается двумя видами шин A и B. Десять шин вида A имеют x1 = 40 000 км, s1 = 5 950 км, двенадцать шин вида B — x2 = 38 000 км, s2 = 5150 км. Определить, существенно ли различие между стойкостью двух видов шин, если генеральные совокупности нормальны и 1 = 2.

5.4.2. К р и т е р и и с о г л а с и я Разобьем множество возможных значений случайной величины X на k р а з р я д о в (для непрерывной случайной величины роль разрядов играют ин тервалы значений, а для дискретной — отдельные возможные значения или их группы). Выдвинем нулевую гипотезу H0: FX (x) = F теор. (x) (состоящую в том, что генеральная совокупность распределена по закону F теор. (x) ) при альтерна тивной гипотезе H1: FX (x) F теор. (x). Одним из критериев согласия выборочно го и теоретического распределений является критерий 2 (критерий Пир сона), который основывается на том, что распределение статистики (ni npiтеор. ) k =, (5.4.3) l npiтеор.

i= (где ni — число попаданий элементов выборки в i й разряд, n — общее число элементов выборки, а piтеор. — теоретическая вероятность попадания случайной величины X в i й разряд при условии истинности нулевой гипотезы) не зави сит от выдвинутой гипотезы и определяется только числом степеней свободы k = l 1, где — число разрядов, а l — число оцениваемых параметров.

Если выбрать уровень значимости, то = 1 = P {2 l1 2 l1;

}, (5.4.4) и критическая область определяется неравенством 2 l1;

.

(5.4.5) l1 О б р а т и м в н и м а н и е на то, что критерий Пирсона можно использо вать только в том случае, когда npiтеор. 5, поэтому разряды, для которых это условие не выполняется, необходимо объединять с соседними.

Задачи 457. Были случайно отобраны 80 банковских счетов, и зафиксированы остатки на них. Результаты таковы:

Остаток на счете, [2,5;

3,5) [3,5;

4,5) [4,5;

5,5) [5,5;

6,5) [6,5;

7,5) [7,5;

8,5) [8,5;

9,5) [9,5;

10,5) тыс. ден. ед.

Число 2 4 13 25 16 11 6 вкладчиков Проверить на 5% ном уровне значимости гипотезу о том, что остаток на счете распределен по нормальному закону.

Решение. Построим по данному интервальному вариационному ряду гистограмму и по лигон (рис. 5.4.2). По их виду, действительно, можно предположить, что наблюдаемая слу чайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a и. Значения па раметров возьмем равными их несмещенным, состоятельным и эффективным оценкам:

a = x;

= s. Вычислим эти оценки:

n x n 3 2 + 4 4 + 5 13 + 6 25 + 716 + 8 11 + 9 6 + 10 3 i i x= = = = 6,5125, i = n 80 n (x ) n 9 2 + 16 4 + 25 13 + 36 25 + 4916 + 64 11 + 81 6 + 100 3 i i x2 = = = = 44,7625, i = n 80 n 2 = (x x)2 2,35, s2 = 2 = 2,35 2,38, s = 2,38 1,54.

n 1 На том же рис. 5.4.2 начертим график кривой нормального распределения с парамет рами a = 6,5125, = 1,54.

f(x) 0, 0, 0, x 1 2 3 4 5 6 7 8 Рис. 5.4.2 Гистограмма, полигон и кривая теоретического распределения в задаче Между гистограммой и кривой распределения есть различия. Выясним, можно ли на 5% ном уровне значимости отнести эти различия на счет случайности, или же мы выдвину ли ложную гипотезу.

Вычислим значение статистики 2 l1. Для этого сначала найдем вероятности, кото рые приходятся на каждый интервал [при этом первый интервал считаем начинающимся в точке, а последний интервал — заканчивающимся в точке + ].

3,5 6,5125 1 +0 6,5125 = 0,0252 0 = 0,0252.

1 p1 = P{ X 3,5} = F(3,5) F() = +0 2 2 1,54 1, p2 = P{3,5 X 4,5} = 0,0704, p3 = P{4,5 X 5,5} = 0,1598, p4 = Аналогично, = P{5,5 X 6,5} = 0,2413, p5 = P{6,5 X 7,5}= 0,2426, p6 = P{7,5 X 8,5}=0,1623, p7 = P{8,5 X 9,5} = 0,0722, p8 = P{ X 9,5} = 0,0262. Дальнейшие вычисления для удобства и наглядности сведем в табл 5.4.3. Критерий Пирсона можно использовать только в том случае, когда npiтеор. 5, поэтому интервалы, для которых это условие не выполняется, объединим с соседними. Новое число интервалов обозначим = 6.

Окончательное значение 2 l1 равно сумме величин в последнем столбце, т. е. 3,0934.

Теперь найдем критическую точку 2 l1;

. Для этого, прежде всего, рассчитаем число использовалось = 6 интервалов, у предполагаемого степеней свободы: при расчете l нормального распределения были неизвестны l = 2 параметра, поэтому l 1 = 6 2 1 = 3.

С помощью Microsoft Excel находим ;

l1 = 2 3 = ХИ2ОБР(0,05;

3) = 7,81.

0,05;

;

l1, нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распре 2 Поскольку l делении остатка на счете.

Т а б л и ц а 5.4. Расчет в задаче l (ni npiтеор ) F(ai ) F(ai +1 ) piтеор = F(ai +1 ) F(ai ) теор ai ai +1 ni np i npiтеор 2,5 3,5 2 0,0000 0,0252 2, 0, 6 7, 0, 3,5 4,5 4 0,0252 0,0956 5, 0, 4,5 5,5 13 0,0956 0,2554 0,1598 12,78 0, 5,5 6,5 25 0,2554 0,4968 0,2413 19,31 1, 6,5 7,5 16 0,4968 0,7393 0,2426 19,40 0, 7,5 8,5 11 0,7393 0,9016 0,1623 12,98 0, 8,5 9,5 6 0,9016 0,9738 5, 0, 9 7, 0, 9,5 10,5 3 0,9738 1,0000 2, 0, 3, l 458. Для каждого из 100 компьютеров в офисе фирмы регистрирова лось число поломок в течение года:

0 1 2 3 4 и более Число поломок Число компьютеров 50 25 18 7 Проверить на 5% ном уровне значимости гипотезу о том, что число поло мок компьютера за год распределено по закону Пуассона.

459. Дано распределение успеваемости 50 студентов, сдавших 4 экза мена в сессию:

Число сданных экзаменов 0 1 2 3 1 1 3 15 Число студентов Проверить на уровне значимости = 0,1 гипотезу о том, что число сдан ных экзаменов (из четырех) имеет биномиальный закон распределения.

460. В условиях задачи 432 требуется с помощью программы «Описатель ная статистика» пакета Microsoft Excel на 5% ном уровне значимости проверить ги потезу о нормальном законе распределения объема ежедневных продаж.

Решение. Для проверки гипотезы о нормальном законе распределения воспользуемся критерием. По данным табл. 5.2.1 вычислим значения интервальных частот для нормаль ного закона распределения npj = n[FN(aj+1) – FN(aj)], предварительно приняв FN(a1) = 0 и FN(a+1) = 1. Объединим те интервалы, в которых npj (в данном случае необходимо объединить первый интервал со вторым, а восьмой — с девя тым), при этом соответствующие выборочные интервальные частоты mj (и теоретические частоты npj) складываются. Затем в каждом из интервалов (с учетом объединения) вычис лим значение величины (npj mj ) npj и просуммируем эти значения по интервалам — получим выборочное (наблюдаемое) число вое значение статистики (npj m j ) =, l npj j= это значение равно 3,80.

Здесь — число интервалов после их объединения (в данном случае = 7), l — число * * параметров нормального закона распределения, точные значения которых неизвестны (в данном случае нам неизвестны точные значения обоих параметров нормального закона a и, поэтому l = 2).

Значение статистики 2 l1 сравним с критической точкой 2 ;

l1, где — уровень зна чимости (по условию задачи = 5% = 0,05). Критическая точка 2 ;

l1 = 2 4 = 9,49 [это зна 0,05;

чение получено с помощью функции Microsoft Excel 2 ;

k = ХИ2ОБР(;

k)]. Наблюдаемое значение статистики 2 оказалось меньше критической точки, поэтому нет оснований отверг нуть гипотезу о нормальном законе распределения объема ежедневных продаж.

Результаты расчетов сведены в табл. 5.4.4.

Т а б л и ц а 5.4. Расчет в задаче l Оценка Функция Ин Сере Интер npj mj Оценка Функция рас функции плотности терваль (npj m j ) дина валь pj = функции после объ Интервал пределения Частота ин = F (aj + 1)– F (aj) npj ная ная отно плотности распре нормаль единения нормального (aj;

aj + 1) npj деления ного зако терва часто сительная –F (aj) интерва (x ) fX j закона F (aj + 1) pj ла xj (a ) на fN (x j ) FX j+ та mj частота лов [20,956;

27,444) 24,20 1 0,01 0,0015 0,01 0,0022 0,0187 0,0000 0,0187 1, 7,04 8 0, [27,444;

33,933) 30,69 7 0,07 0,0108 0,08 0,0077 0,0704 0,0187 0,0518 5, [33,933;

40,422) 37,18 12 0,12 0,0185 0,20 0,0190 0,1942 0,0704 0,1237 12,37 12,37 12 0, [40,422;

46,911) 43,67 25 0,25 0,0385 0,45 0,0321 0,4002 0,1942 0,2060 20,60 20,60 25 0, [46,911;

53,399) 50,16 18 0,18 0,0277 0,63 0,0374 0,6395 0,4002 0,2393 23,93 23,93 18 1, [53,399;

59,888) 56,65 20 0,20 0,0308 0,83 0,0301 0,8332 0,6395 0,1937 19,37 19,37 20 0, [59,888;

66,377) 63,14 9 0,09 0,0139 0,92 0,0167 0,9426 0,8332 0,1094 10,94 10,94 9 0, [66,377;

72,866) 69,63 7 0,07 0,0108 0,99 0,0064 0,9856 0,9426 0,0430 4, 5,74 8 0, [72,866;

79,354) 76,12 1 0,01 0,0015 1,00 0,0017 1,0000 0,9856 0,0144 1, — 100 1,00 — — — — — — — — Итого =3, КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Организация выполнения контрольных заданий По дисциплине «Математика» в каждом семестре предусмотрено выполнение контрольных заданий. В процессе работы над контрольным заданием студент ак тивно закрепляет и углубляет теоретические знания, полученные на лекциях и практических занятиях.

Во втором семестре студент должен выполнить четыре задачи: три по теории вероятностей и одну по математической статистике. Условия задач приведены да лее, а конкретные числовые данные для каждого варианта — в прил. 3. Номер ва рианта выбирается по последней цифре номера зачетной книжки студента.

При выполнении контрольного задания следует строго придерживаться ука занных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчи тываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Контрольное задание выполняется аккуратно в рабочей тетради. Графики либо строятся при помощи компьютера и вклеиваются в работу (рекомендуется ис пользование пакета Microsoft Excel), либо вычерчиваются от руки (черными или цвет ными карандашами средней твердости на обычной или миллиметровой бумаге). Листы с текстом контрольного задания и графики должны быть сшиты.

2. В работу должны быть включены все требуемые задачи строго по по ложенному варианту. Контрольные работы, содержащие задания не своего вари анта, не засчитываются.

3. Перед решением каждой задачи необходимо полностью выписать ее усло вие. В том случае, когда формулировка задачи одна для всех вариантов, а различаются лишь исходные данные, необходимо переписывая общее условие задачи, заменять об щие данные конкретными, соответствующими своему варианту.

4. Текст работы должен содержать все необходимые расчеты и пояснения.

Контрольное задание сдается преподавателю до экзамена для проверки. На экзамене студент должен показать, кроме владения теоретическим материалом, умение математически ставить, решать и анализировать конкретные задачи, в первую очередь, те, которые он решал при выполнении контрольного задания. При указании рецензента работы на требуемую переработку все необходимые допол нения студент прилагает к первоначальному тексту работы, не делая в нем ника ких исправлений.

Содержание контрольного задания 1. Апостериорное исследование качества продукции. Магазин получает од нотипный товар от трех поставщиков: m1 единиц товара поступило от первого по ставщика, m2 единиц от второго и m3 единиц от третьего. Продукция, поступающая от первого поставщика, содержит k1 процентов брака, поступающая от второго по ставщика — k2% брака, а поступающая от третьего поставщика — k3% брака. По купатель оставил в книге пожеланий покупателей жалобу о неудовлетворитель ном качестве приобретенного товара. Найти вероятности того, что плохой товар, вызвавший нарекания покупателя, поступил от первого, второго и третьего по ставщиков (числа mi и ki (i = 1, 2, 3) приведены для каждого варианта в прил. 3).

Указание. См. решения задач 97, 113.

2. Оптимальность инвестиционных операций по Парето. Инвестор рассматри вает четыре инвестиционные операции со случайными эффективностями, описы ваемыми случайными величинами E1, E2, E3, E4 с рядами распределения, приведен ными для каждого варианта в прил. 3. Требуется определить, какие из этих опера ций оптимальны по Парето.

Указание. См. решение задачи 283.

3. Определение рациональной стоимости опционов. Найти рациональные стоимости опционов покупателя и продавца с терминальной стоимостью X руб. и сроком исполнения 1 год, выписанного на акцию, текущая цена которой составляет S0 руб., если известно, что годовая безрисковая процентная ставка составляет i = 10%, а год разбивается на четыре периода, в каждом из которых акция может возрасти в цене или упасть в цене в u раз (параметры X, S0, u приводятся для каж дого варианта в прил. 3).

Указание. См. решения задач 199, 201, 202.

4. Статистическое исследование объемов продаж. Служба маркетинга оце нивает дилеров фирмы по объему продаж. Сведения об объеме ежедневных про даж товара (в тыс. ден. ед.) некоторым дилером за последние 100 дней приведены для каждого варианта в прил. 3. Требуется: а) построить интервальный вариаци онный ряд;

полигон и гистограмму (на одном рисунке);

кумуляту (на другом рисун ке);

б) вычислить выборочные характеристики: среднее, дисперсию, среднее квад ратичное отклонение, коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс, моду, медиа ну;

в) заменив параметры нормального закона распределения их выборочными ха рактеристиками, скорректированными на поправку Шеппарда, рассчитать и по строить графики функции плотности и функции распределения нормального зако на, «наложив» эти графики соответственно на полигон и кумуляту;

г) на 5% ном уровне значимости проверить гипотезу о нормальном законе распределения объе ма ежедневных продаж;

д) предположив нормальность распределения объема продаж, построить 95% ные интервальные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения, а также на 5% ном уровне зна чимости проверить гипотезу H0: MX = [x] при альтернативной гипотезе H1: MX [x] (здесь [s] — целая часть числа s);

рассчитать вероятность ошибки вто рого рода, задавшись альтернативным числовым значением MX.

Указание. См. решения задач 432—434, 461.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1986.

1.

Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Теория вероятностей и прикладная статистика: Учеб 2.

ник. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2001.

Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях:

3.

Учебник. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2001.

Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983.

4.

Боровков А. А. Теория вероятностей: Учебник. – М.: Эдиториал УРСС, 1999.

5.

Боровков А. А. Математическая статистика. – Новосибирск: Наука, 1997.


6.

Ван дер Варден Б. Л. Математическая статистика. – М.: Издательство иностранной 7.

литературы, 1960.

Ватутин В. А., Ивченко Г. И., Медведев Ю. И., Чистяков В. П. Теория вероятностей и 8.

математическая статистика в задачах. – М.: Дрофа, 2004.

Вентцель Е. С. Теория вероятностей: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 2000.

9.

Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учебное 10.

пособие. – М.: Высшая школа, 2000.

Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – 11.

М.: Наука, 1988.

12. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1999.

Вуколов Э. А., Ефимов А. В., Земсков В. Н. и др. Сборник задач по математике для вту 13.

зов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – М.: Наука, 1990.

Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Теория вероятностей и математическая 14.

статистика: Учебник. – Киев: Вища школа, 1979.

Гланц С. Медико биологическая статистика. – М.: Практика, 1999.

15.

Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: Учебник: 7 е издание. – М.: Эдиториал 16.

УРСС, 2001.

Гнеденко Б. В. Очерк по истории теории вероятностей. – М.: Эдиториал УРСС, 2001.

17.

Дороговцев А. Я., Сильвестров Д. С., Скороход А. В., Ядренко М. И. Теория вероятно 18.

стей: Сборник задач: Учебное пособие. – Киев: Вища школа, 1980.

Елисеева И. И., Князевский В. С., Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Теория статисти 19.

ки с основами теории вероятностей: Учебное пособие. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2001.

Емельянов Г. В., Скитович В. П. Задачник по теории вероятностей и математической 20.

статистике: Учебное пособие. – Л.: Издательство Ленинградского университета, 1967.

Зубков А. М., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Сборник задач по теории вероятно 21.

стей: Учебное пособие. – М.: Наука, 1989.

Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика: Учебное пособие. – М.:

22.

Высшая школа, 1993.

Калинина В. Н. Математическая статистика в примерах и задачах: Учебное пособие.

23.

– М.: ГУУ, 1996.

Калинина В. Н., Панкин В. Ф. Математическая статистика: Учебник. – М.: Дрофа, 2002.

24.

Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. Прикладная математика: Учебное по 25.

собие. – М.: ИНФРА М, 2002.

Кендел М., Стюарт А. Теория распределений. – М.: Наука, 1966.

26.

Кендел М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. – М.: Наука, 1973.

27.

Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика:

28.

Учебник. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2003.

Колемаев В. А., Калинина В. Н., Соловьев В. И. и др. Теория вероятностей в примерах 29.

и задачах: Учебное пособие. – М.: ГУУ, 2001.

Колемаев В. А., Калинина В. Н., Соловьев В. И. Математическая статистика в приме 30.

рах и задачах: Учебное пособие. – М.: ГУУ, 2001.

Колемаев В. А., Староверов О. В., Турундаевский В. Б. Теория вероятностей и мате 31.

матическая статистика: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1991.

Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: ФАЗИС, 1998.

32.

Королев В. Ю. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.:

33.

Проспект, 2006.

Коршунов Д. А., Фосс С. Г. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей:

34.

Учебное пособие. – Новосибирск: Издательство НИИ МИОО НГУ. – 1997.

Коршунов Д. А., Чернова Н. И. Сборник задач и упражнений по математической ста 35.

тистике: Учебное пособие. – Новосибирск: Издательство Института математики. – 2001.

Крамер Г. Математические методы статистики: 2 е издание. – М.: Мир, 1975.

36.

Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.:

37.

ЮНИТИ–ДАНА, 2003.

Лоэв М. Теория вероятностей. – М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

38.

Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика: Начальный курс:

39.

Учебник. – М.: Дело, 2001.

Макарова Н. В., Трофимец В. Я. Статистика в Excel: Учебное пособие. – М.: Финансы и 40.

статистика, 2002.

Малыхин В. И. Математика в экономике: Учебное пособие. – М.: ИНФРА–М, 2000.

41.

Малыхин В. И. Финансовая математика: Учебное пособие. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2003.

42.

Мацкевич И. П., Свирид Г. П. Высшая математика: Теория вероятностей и математи 43.

ческая статистика: Учебное пособие. – Минск: Вышэйшая школа, 1993.

Мацкевич И. П., Свирид Г. П, Булдык Г. М. Сборник задач и упражнений по высшей 44.

математике: Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – Минск: Вы шэйшая школа, 1996.

Мельников А. В. Риск менеджмент: Стохастический анализ рисков в экономике фи 45.

нансов и страхования. – М.: Анкил, 2003.

Мешалкин Л. Д. Сборник задач по теории вероятностей. – М.: Издательство Москов 46.

ского университета, 1963.

Прохоров А. В., Ушаков В. Г., Ушаков Н. Г. Задачи по теории вероятностей: Основные 47.

понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы: Учебное пособие. – М.: Наука, 1986.

Розанов Ю. А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процес 48.

сы: Учебник. – М.: Наука, 1989.

Ротарь В. И. Теория вероятностей: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1992.

49.

Севастьянов Б. А. Вероятностные модели. – М.: Наука, 1992.

50.

Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики: Учебник.

51.

– М.: Наука, 1982.

Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. – М.: Мир, 1990.

52.

Сигел Э. Практическая бизнес статистика. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2002.

53.

Смирнов Н. В., Дунин Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической 54.

статистики для технических приложений: Учебное пособие. – М.: Наука, 1965.

Соловьев В. И. Математические методы управления рисками: Учебное пособие. – 55.

М.: ГУУ, 2003.

Соловьев В. И. Стохастические модели математической экономики и финансовой ма 56.

тематики: Учебное пособие. – М.: ГУУ, 2001.

Сулицкий В. Н. Методы статистического анализа в управлении: Учебное пособие. – 57.

М.: Дело, 2002.

Тутубалин В. Н. Теория вероятностей: Краткий курс и научно методические указа 58.

ния. – М.: Издательство Московского университета, 1972.

Тутубалин В. Н. Теория вероятностей и случайных процессов: Учебное пособие. – М.:

59.

Издательство Московского университета, 1992.

Уилкс С. Математическая статистика. – М.: Наука, 1967. – 632 с.

60.

Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах: Учебное посо 61.

бие. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 1999.

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: В 2 х т.. – М.: Мир, 1984.

62.

Четыркин Е. М., Калихман И. Л. Вероятность и статистика. – М.: Финансы и стати 63.

стика, 1982.

Чистяков В. П. Курс теории вероятностей: Учебник. – М.: Наука, 1987.

64.

Ширяев А. Н. Вероятность: Учебное пособие: В 2 х кн. – М.: МЦНМО, 2004.

65.

ПРИЛОЖЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, РАСПРОСТРАНЕННЫХ В ЭКОНОМИКЕ Т а б л и ц а СВ. Законы распределений дискретных случайных величин, часто встречающиеся на практике Краткое Обозначение случайной величины, Название обозначение механизм ее формирования и обо закона распределения закона значения параметров закона закон распределения IA = 1, если событие A наступило, и X = IA индикатора события IA = 0 — в противном случае A альтернативный X = 1 означает успех в единичном (вместо него X = A(p) испытании (с вероятностью p), X = чаще используется — неудачу (с вероятностью (1 – p)) индикатор события) X = Bi(n;

p) X — число успехов в n испытаниях или Бернулли с вероятностью p успеха биномиальный X = B(n;

p) в единичном испытании X — число испытаний Бернулли, которые придется произвести до X = G(p) геометрический первого успеха (иногда — номер ис пытания, на котором впервые про изошел успех) X — число изделий первого сорта среди l изделий, отобранных слу чайным образом из партии, состоя гипергеометрический X = H(L;

K;

l) щей из L изделий, K из которых первого сорта, а остальные (L – K) — второго сорта 1. X — число успехов в n испытани ях Бернулли с вероятностью p ус пеха в единичном испытании, при чем n, np = const;

на прак X = () тике данным распределением поль зуются в случае, когда n велико (не Пуассона сколько десятков или более), а = np 2. X — число наступлений события X = (мt) простейшего потока с интенсивно стью м за время t Т а б л и ц а СВ. Законы распределений непрерывных случайных величин, часто встречающиеся на практике Название Краткое обо Обозначение случайной величины, закона распределения значение за механизм ее формирования и обозна кона чения параметров закона X — случайная величина, принимаю щая значения только из некоторого X = U(a;


b) отрезка [a;

b], причем с содержатель равномерный ной точки зрения все значения внутри этого отрезка одинаково возможны X — интервал времени между двумя показательный последовательными наступлениями X = Exp(м) (экспоненциальный) события в простейшем потоке с ин тенсивностью м X = X1 +X2 + ··· +Xn при n, где X1, X2, …, Xn — независимые в сово купности одинаково распределенные случайные величины (согласно цен тральной предельной теореме, см.

X = N(a;

) § 4.4);

на практике этим распределе нормальный ние можно пользоваться, когда воз действие каждой из величин X1, X2, …, Xn равномерно, незначитель но и равновероятно по знаку, а число n достаточно велико (n 60) логарифмически нор X = LN(a;

) X = ln N(a;

) мальный (n) = N (0;

1) + N 22 (0;

1) + + N k2 (0;

1), 2 где N1(0;

1), N2(0;

1), …, Nn(0;

1) — неза «Хи квадрат»

X = с k степенями свободы висимые в совокупности случайные k (Пирсона с k степеня величины, распределенные по нор ми свободы) мальному закону с параметрами a = 0, = N (0;

1) Tk=, где N(0;

1) и — неза Стьюдента k X = Tk /k с k степенями свободы k висимые случайные величины 2 / k, где 21 и 22 — неза Фишера Fk1 ;

k2 = k k1 / k X = Fk1 ;

k2 k k с k1 и k2 степенями сво боды висимые случайные величины ПРИЛОЖЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ Т а б л и ц а СТ. u 1 Значения плотности стандартного нормального распределения (u) = e ut 1 и функции Лапласа 0 (u) = e 2 dt o (u) (u) (u) 0 (u) 0 (u) 0 (u) u u u 0,00 0,3989 0,0000 1,40 0,1497 0,4192 2,80 0,0079 0, 0,05 0,3984 0,0199 1,45 0,1394 0,4265 2,85 0,0069 0, 0,10 0,3970 0,0398 1,50 0,1295 0,4332 2,90 0,0060 0, 0,15 0,3945 0,0596 1,55 0,1200 0,4394 2,95 0,0051 0, 0,20 0,3910 0,0793 1,60 0,1109 0,4452 3,00 0,0044 0, 0,25 0,3867 0,0987 1,65 0,1023 0,4505 3,05 0,0038 0, 0,30 0,3814 0,1179 1,70 0,0940 0,4554 3,10 0,0033 0, 0,35 0,3752 0,1368 1,75 0,0863 0,4599 3,15 0,0028 0, 0,40 0,3683 0,1554 1,80 0,0790 0,4641 3,20 0,0024 0, 0,45 0,3605 0,1736 1,85 0,0721 0,4678 3,25 0,0020 0, 0,50 0,3521 0,1915 1,90 0,0656 0,4713 3,30 0,0017 0, 0,55 0,3429 0,2088 1,95 0,0596 0,4744 3,35 0,0015 0, 0,60 0,3332 0,2257 2,00 0,0540 0,4772 3,40 0,0012 0, 0,65 0,3230 0,2422 2,05 0,0488 0,4798 3,45 0,0010 0, 0,70 0,3123 0,2580 2,10 0,0440 0,4821 3,50 0,0009 0, 0,75 0,3011 0,2734 2,15 0,0396 0,4842 3,55 0,0007 0, 0,80 0,2897 0,2881 2,20 0,0355 0,4861 3,60 0,0006 0, 0,85 0,2780 0,3023 2,25 0,0317 0,4878 3,65 0,0005 0, 0,90 0,2661 0,3159 2,30 0,0283 0,4893 3,70 0,0004 0, 0,95 0,2541 0,3289 2,35 0,0252 0,4906 3,75 0,0004 0, 1,00 0,2420 0,3413 2,40 0,0224 0,4918 3,80 0,0003 0, 1,05 0,2299 0,3531 2,45 0,0198 0,4929 3,85 0,0002 0, 1,10 0,2179 0,3643 2,50 0,0175 0,4938 3,90 0,000199 0, 1,15 0,2059 0,3749 2,55 0,0154 0,4946 3,95 0,000163 0, 1,20 0,1942 0,3849 2,60 0,0136 0,4953 4,00 0,000134 0, 1,25 0,1826 0,3944 2,65 0,0119 0,4960 4,25 0,000048 0, 1,30 0,1714 0,4032 2,70 0,0104 0,4965 4,50 0,000016 0, 1,35 0,1604 0,4115 2,75 0,0091 0,4970 5,00 0,0000015 0, Указание. При u 5 (u) 0, 0 (u) 0,5. Следует также обратить внимание на то, что функция (u) четная, т. е. (u) = (u), а функция 0 (u) — нечетная, т. е. 0 (u) = 0 (u).

Для расчета (u) можно пользоваться стандартной функцией НОРМРАСП( u ;

0;

1;

ЛОЖЬ) = = (u), а для расчета плотности нормального распределения N (a;

) — функцией u a.

НОРМРАСП( u ;

a ;

;

ЛОЖЬ) = 0 (u) Для расчета функции можно пользоваться стандартной функцией НОРМРАСП( u ;

0;

1;

ИСТИНА) = 0 (u), а функция распределения случайной величины N (a;

) равна при этом НОРМРАСП( u ;

a ;

;

ИСТИНА).

Т а б л и ц а СТ., соответствующие вероятности p = P { } Значения 2 2 p ;

k p ;

k p p 0,99 0,95 0,9 0,1 0,05 0,01 0,99 0,95 0,9 0,1 0,05 0, k k 1 0,0002 0,0039 0,02 2,71 3,84 6,63 18 7,01 9,39 10,86 25,99 28,87 34, 2 0,02 0,10 0,21 4,61 5,99 9,21 19 7,63 10,12 11,65 27,20 30,14 36, 3 0,11 0,35 0,58 6,25 7,81 11,34 20 8,26 10,85 12,44 28,41 31,41 37, 4 0,30 0,71 1,06 7,78 9,49 13,28 21 8,90 11,59 13,24 29,62 32,67 38, 5 0,55 1,15 1,61 9,24 11,07 15,09 22 9,54 12,34 14,04 30,81 33,92 40, 6 0,87 1,64 2,20 10,64 12,59 16,81 23 10,20 13,09 14,85 32,01 35,17 41, 7 1,24 2,17 2,83 12,02 14,07 18,48 24 10,86 13,85 15,66 33,20 36,42 42, 8 1,65 2,73 3,49 13,36 15,51 20,09 25 11,52 14,61 16,47 34,38 37,65 44, 9 2,09 3,33 4,17 14,68 16,92 21,67 26 12,20 15,38 17,29 35,56 38,89 45, 10 2,56 3,94 4,87 15,99 18,31 23,21 27 12,88 16,15 18,11 36,74 40,11 46, 11 3,05 4,57 5,58 17,28 19,68 24,73 28 13,56 16,93 18,94 37,92 41,34 48, 12 3,57 5,23 6,30 18,55 21,03 26,22 29 14,26 17,71 19,77 39,09 42,56 49, 13 4,11 5,89 7,04 19,81 22,36 27,69 30 14,95 18,49 20,60 40,26 43,77 50, 14 4,66 6,57 7,79 21,06 23,68 29,14 40 22,16 26,51 29,05 51,81 55,76 63, 15 5,23 7,26 8,55 22,31 25,00 30,58 50 29,71 34,76 37,69 63,17 67,50 76, 16 5,81 7,96 9,31 23,54 26,30 32,00 100 70,06 77,93 82,36 118,50 124,34 135, 17 6,41 8,67 10,09 24,77 27,59 33,41 150 112,67 122,69 128,28 172,58 179,58 193, 2 ;

k Указание. Для расчета можно пользоваться стандартной функцией p ХИ2ОБР( p ;

k ) = 2 ;

k.

p Т а б л и ц а СТ. Значения tp;

k, соответствующие вероятности p = P{| Tk |tp;

k } p p 0,1 0,05 0,01 0,005 0,1 0,05 0,01 0, k k 1 6,31 12,71 63,66 127,32 14 1,76 2,14 2,98 3, 2 2,92 4,30 9,92 14,09 15 1,75 2,13 2,95 3, 3 2,35 3,18 5,84 7,45 16 1,75 2,12 2,92 3, 4 2,13 2,78 4,60 5,60 17 1,74 2,11 2,90 3, 5 2,02 2,57 4,03 4,77 18 1,73 2,10 2,88 3, 6 1,94 2,45 3,71 4,32 19 1,73 2,09 2,86 3, 7 1,89 2,36 3,50 4,03 20 1,72 2,09 2,85 3, 8 1,86 2,31 3,36 3,83 25 1,71 2,06 2,79 3, 9 1,83 2,26 3,25 3,69 30 1,70 2,04 2,75 3, 10 1,81 2,23 3,17 3,58 40 1,68 2,02 2,70 2, 11 1,80 2,20 3,11 3,50 60 1,67 2,00 2,66 2, 12 1,78 2,18 3,05 3,43 120 1,66 1,98 2,62 2, 1,64 1,96 2, 13 1,77 2,16 3,01 3,37 2, tp;

k Указание. Для расчета можно пользоваться стандартной функцией СТЬЮДРАСПОБР( p ;

k ) = tp;

k.

Т а б л и ц а СТ. Значения fp;

k1 ;

k2, соответствующие вероятности p = P{Fk1 ;

k2 fp;

k1 ;

k2 } p = 0, k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 50 k 1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 248,02 250,10 251,77 253, 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,45 19,46 19,48 19, 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,66 8,62 8,58 8, 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,80 5,75 5,70 5, 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,56 4,50 4,44 4, 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 3,87 3,81 3,75 3, 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,44 3,38 3,32 3, 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,15 3,08 3,02 2, 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 2,94 2,86 2,80 2, 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,77 2,70 2,64 2, 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,12 2,04 1,97 1, 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 1,93 1,84 1,76 1, 50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,78 1,69 1,60 1, 100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93 1,68 1,57 1,48 1, p = 0, k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 50 k 1 4052 4999 5404 5624 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6209 6260 6302 2 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39 99,40 99,45 99,47 99,48 99, 3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 26,69 26,50 26,35 26, 4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,02 13,84 13,69 13, 5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,55 9,38 9,24 9, 6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,40 7,23 7,09 6, 7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,16 5,99 5,86 5, 8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,36 5,20 5,07 4, 9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 4,81 4,65 4,52 4, 10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,41 4,25 4,12 4, 20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 2,94 2,78 2,64 2, 30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,55 2,39 2,25 2, 50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70 2,27 2,10 1,95 1, 100 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50 2,07 1,89 1,74 1, Указание. Следует учитывать, что f1p;

k1 ;

k2 =. Для расчета fp;

k1 ;

k2 можно пользоваться стан fp;

k2 ;

k дартной функцией FРАСПОБР( p ;

k1 ;

k2 ) = fp;

k1 ;

k2.

ПРИЛОЖЕНИЕ ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ Исходные данные для задачи исследования качества продукции m1 m2 m3 k1 k2 k 1. 6 19 24 2 6 2. 7 18 23 3 7 3. 8 17 22 4 8 4. 9 16 21 5 9 5. 10 15 20 6 10 6. 11 14 19 7 11 7. 12 13 18 8 12 8. 13 12 17 9 13 9. 14 11 16 10 14 10. 15 10 15 11 15 Исходные данные для задачи оптимизации по Парето 1. (0, 1/2) (2, 1/4) (4, 1/8) (16, 1/8) 2.

(0, 1/4) (4, 1/4) (6, 1/3) (12, 1/6) 3. (0, 1/3) (1, 1/3) (2, 1/6) (8, 1/6) 4. (0, 1/5) (4, 1/5) (6, 1/5) (10, 2/5) 5. (0, 1/5) (1, 2/5) (5, 1/5) (14, 1/5) 6. (0, 1/2) (8, 1/8) (16, 1/8) (20, 1/4) 7. (0, 1/4) (4, 1/4) (10, 1/4) (14, 1/4) 8. (0, 1/2) (4, 1/4) (5, 1/5) (20, 1/20) 9. (0, 1/2) (4, 1/4) (8, 1/8) (32, 1/8) 10. (0, 1/4) (8, 1/4) (12, 1/3) (24, 1/6) 11. (0, 1/3) (2, 1/3) (4, 1/6) (16, 1/6) 12. (0, 1/5) (8, 1/5) (12, 1/5) (20, 2/5) 13. (0, 1/5) (2, 2/5) (10, 1/5) (28, 1/5) Указание. В варианте с номером n необходимо выбрать операции с номерами n, n + 1, n + 2, n + 3 из числа приведенных выше (для каждой операции компактно записан ряд ее распределе ния: первое число в скобках означает возможное значение эффективности операции, а второе — вероятность соответствующего значения). Например, первая операция имеет эффектив ность, описываемую таким рядом распределения:

E1 0 2 4.

p 1/2 1/4 1/8 1/ Исходные данные для задачи определения рациональной стоимости опционов X S0 u 1. 120 80 1, 2. 110 80 1, 3. 120 80 1, 4. 110 80 1, 5. 120 80 1, 6. 110 80 1, 7. 120 80 1, 8. 110 80 1, 9. 120 80 1, 10. 110 80 1, Исходные данные для статистического анализа 1 0,91 0,62 1,07 1,38 1,36 1,52 0,34 0,93 1,33 0,67 0,79 0,49 0,45 0,71 0,77 0,36 0,83 0,88 1,04 0, 0,90 0,89 1,40 0,97 0,94 0,85 1,59 1,26 1,71 0,80 1,50 0,52 1,16 1,27 1,58 0,97 0,84 1,20 0,89 1, 0,57 0,75 0,54 0,89 0,99 1,01 0,90 1,66 0,48 0,78 0,23 1,43 0,62 0,80 1,23 1,14 1,26 1,18 0,59 0, 1,21 1,10 0,72 0,93 1,04 1,17 1,04 0,73 1,57 1,15 1,02 1,25 1,26 0,81 0,72 1,33 0,64 0,53 1,21 1, 1,66 1,43 1,39 1,03 1,00 1,14 0,99 0,68 0,47 1,25 1,13 1,19 1,06 0,69 1,37 0,91 0,75 0,75 0,87 0, 2 2,39 1,80 1,91 1,64 1,91 0,66 1,92 1,20 2,09 2,30 2,79 1,63 1,55 2,09 1,86 1,88 2,95 2,02 1,91 3, 1,62 2,76 1,99 1,96 2,97 2,22 2,26 1,86 2,41 1,96 1,56 1,34 2,12 1,41 3,16 1,92 1,05 1,80 2,57 1, 1,61 1,18 2,19 1,90 2,34 1,62 1,79 2,17 1,80 2,13 0,52 1,96 2,15 3,27 1,08 1,06 0,62 2,70 3,42 1, 1,40 2,33 2,40 1,49 2,49 2,40 1,88 1,07 2,61 2,46 1,79 1,59 2,52 2,21 2,33 3,25 2,16 1,34 2,29 1, 2,34 1,91 2,18 2,21 2,08 1,84 1,19 3,27 2,96 2,63 1,11 1,33 2,32 2,04 1,99 2,10 0,87 1,85 1,44 1, 3 2,54 3,42 3,32 2,92 2,90 3,81 1,47 1,46 3,52 4,64 1,52 4,12 3,87 3,82 2,53 2,98 3,36 2,95 5,26 2, 3,65 3,55 3,60 3,63 3,22 3,58 1,73 1,34 4,03 4,33 2,94 4,01 3,25 1,74 3,29 3,08 2,90 2,81 3,95 3, 3,41 3,67 2,34 3,29 3,16 3,00 2,89 3,72 3,15 2,55 4,71 2,86 3,71 3,33 2,97 4,38 2,76 3,74 2,25 4, 2,96 2,79 0,51 3,52 3,65 2,94 1,00 2,42 4,05 3,12 3,21 3,61 3,18 2,65 2,50 2,13 3,20 2,35 3,72 2, 2,80 5,11 2,76 2,62 3,98 2,60 1,63 1,97 3,20 2,76 3,03 3,50 2,83 4,14 2,93 3,93 3,76 1,17 3,12 3, 4 4,95 4,03 4,16 5,09 3,10 4,78 3,64 2,96 3,02 3,61 2,64 1,44 4,55 5,11 3,04 3,83 3,61 4,77 4,28 3, 3,52 4,27 4,18 4,12 3,74 3,53 3,54 2,08 5,85 3,62 2,47 3,79 4,25 2,97 2,76 3,66 3,81 3,37 3,28 3, 3,09 4,39 5,11 3,56 5,47 5,68 3,51 5,39 3,62 4,12 4,53 2,37 5,07 6,73 2,36 3,59 6,53 4,65 3,92 5, 3,15 3,57 2,61 3,99 4,85 3,20 2,52 3,90 3,58 1,06 5,22 2,90 4,48 3,06 5,06 6,24 5,21 2,79 6,73 5, 5,89 3,27 2,03 4,12 4,61 4,21 5,10 3,42 6,01 4,17 1,84 4,69 5,18 5,79 6,09 3,78 3,76 4,37 5,21 2, 5 5,73 5,87 3,14 4,29 5,37 4,77 3,35 3,11 4,45 5,49 5,89 3,70 5,12 5,97 5,26 6,61 5,95 3,45 4,53 7, 6,98 7,99 5,16 5,28 5,35 6,26 3,22 5,68 7,57 4,26 8,23 3,99 5,44 4,69 5,56 5,25 7,80 6,69 5,12 6, 3,77 6,67 3,88 4,18 5,43 6,08 5,12 4,56 4,44 4,38 6,03 6,09 4,60 5,77 3,43 4,92 5,68 4,24 7,00 5, 4,00 3,91 5,39 5,99 5,13 2,89 4,91 4,58 3,99 5,66 5,13 5,62 4,37 1,40 6,09 2,54 4,65 5,17 4,97 3, 7,00 4,16 3,51 5,23 5,68 6,08 5,19 4,91 1,90 4,64 6,20 5,92 9,01 4,43 2,34 5,32 2,14 3,79 4,36 6, 6 5,11 3,18 9,57 6,29 7,43 6,67 6,16 7,72 5,90 4,02 4,90 5,03 4,31 5,80 2,25 4,06 7,24 4,56 7,02 7, 8,42 4,12 4,41 1,79 6,58 5,16 7,18 3,15 6,31 6,25 8,29 7,73 2,84 4,67 4,54 4,12 6,68 7,94 6,36 5, 5,36 6,37 9,46 3,49 3,58 2,63 8,39 8,21 5,81 6,63 6,77 7,18 8,60 8,32 6,53 5,73 8,37 6,72 6,18 4, 2,98 7,88 5,57 5,50 5,16 8,36 5,79 3,82 3,64 3,96 2,18 3,88 7,62 4,97 11,04 6,63 5,94 7,41 5,46 6, 6,38 6,35 7,05 5,85 6,26 4,76 8,90 3,80 6,46 5,27 5,99 5,40 7,66 6,03 3,44 7,08 5,85 5,53 2,31 7, 7 4,85 7,15 7,40 5,27 7,69 4,00 4,59 7,77 3,40 7,69 4,22 8,90 6,79 4,24 10,96 4,20 8,31 7,23 4,81 12, 8,00 8,86 8,25 9,89 7,56 4,30 6,14 8,07 4,85 6,73 6,30 5,46 4,46 7,17 5,02 8,70 4,59 7,76 8,54 4, 9,19 5,81 7,82 5,67 7,77 5,94 3,86 7,27 5,53 10,10 7,05 7,22 7,15 7,68 8,32 10,75 9,26 5,43 3,66 10, 2,89 4,98 5,39 7,54 6,26 5,86 7,77 6,09 3,30 4,44 5,57 7,03 3,81 9,78 8,53 7,95 2,98 7,67 8,14 8, 4,61 10,14 8,73 2,63 6,99 6,18 5,27 4,43 6,34 9,37 5,93 6,37 4,73 12,84 5,43 3,63 8,35 7,18 3,77 9, 8 7,12 9,42 7,35 8,61 6,35 6,46 8,81 11,78 6,09 10,73 9,59 6,52 9,09 10,23 11,22 8,92 5,43 11,24 6,30 9, 6,73 10,57 9,54 7,56 10,03 8,23 9,57 7,44 7,72 4,71 9,55 4,27 11,34 7,24 1,91 6,89 8,66 12,65 11,43 6, 11,64 3,03 7,66 8,14 8,34 5,13 8,23 6,45 9,83 9,58 4,69 7,41 9,75 6,27 4,62 8,02 9,62 10,20 8,61 8, 10,21 10,15 7,38 8,90 8,30 7,65 7,96 4,17 2,52 7,04 10,92 9,08 7,54 6,79 7,40 12,19 3,71 6,10 12,36 10, 7,54 10,03 8,04 8,74 10,42 5,99 7,62 5,96 10,14 10,19 5,02 6,35 8,45 8,66 5,77 9,87 8,47 5,99 6,55 10, 9 10,31 12,30 10,01 8,55 13,49 5,55 16,47 8,46 12,20 9,55 12,50 6,70 9,01 9,73 14,79 3,82 5,74 8,79 7,39 9, 10,68 7,56 8,00 11,20 9,41 10,99 11,88 6,52 11,04 11,83 12,01 4,46 8,55 7,01 7,33 8,66 10,87 9,53 9,25 13, 9,48 7,87 4,25 12,10 6,89 6,34 7,91 8,59 10,15 10,05 9,73 11,23 6,19 9,57 9,21 7,03 5,57 7,23 13,44 9, 10,01 5,85 9,41 4,51 8,62 7,96 11,69 11,01 6,67 9,02 10,22 12,27 9,15 13,36 10,61 9,84 9,58 6,49 5,24 8, 6,27 10,50 6,92 8,40 8,65 10,41 11,13 10,78 9,05 12,67 7,23 6,17 8,35 7,29 2,83 10,04 4,53 9,09 11,44 7, 10 10,30 12,87 12,80 13,40 8,09 6,87 13,08 10,61 11,40 10,79 8,60 12,11 4,06 14,75 7,28 10,35 9,94 7,56 13,96 7, 10,33 9,79 9,26 7,57 8,09 9,19 9,97 5,99 14,39 6,14 9,21 17,57 9,86 9,51 5,21 5,32 2,53 6,64 12,86 6, 14,17 13,55 8,78 11,10 16,11 13,75 15,09 6,38 12,90 14,68 12,20 9,99 7,33 9,38 10,22 7,61 8,50 9,86 9,14 9, 2,00 12,05 13,38 4,34 11,62 11,24 3,21 8,50 13,23 14,14 4,28 6,44 7,90 7,28 9,59 12,86 9,07 9,64 5,99 5, 11,64 7,13 13,12 15,07 11,22 10,98 10,80 6,71 8,33 11,34 7,84 7,22 11,19 7,94 6,63 12,36 10,24 12,51 5,56 11, ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 4. Случайные последовательности...................................................................................... § 4.1. Некоторые вероятностные неравенства и их следствия......................... § 4.2. Виды сходимости случайных последовательностей.................................... § 4.3. Законы больших чисел........................................................................................................... § 4.4. Центральная предельная теорема............................................................................... 4.4.1. Теоремы Леви, Ляпунова и Линдеберга............................................................................................... 4.4.2. Теоремы Муавра — Лапласа.......................................................................................................................... § 4.5. Математические основы теории страхования................................................ Глава 5. Введение в математическую статистику.............................................................. § 5.1. Основы выборочного метода............................................................................................. 5.1.1. Генеральная совокупность и выборка.................................................................................................... 5.1.2. Допустимый объем выборки для обеспечения ее репрезентативности................... 5.1.3. Оценка функции распределения и плотности распределения........................................ § 5.2. Точечные оценки параметров.......................................................................................... 5.2.1. Свойства точечных оценок............................................................................................................................... 5.2.2. Методы построения точечных оценок.................................................................................................... § 5.3. Интервальные оценки параметров............................................................................. § 5.4. Проверка статистических гипотез.............................................................................. 5.4.1. Проверка гипотез о параметрах нормального закона распределения...................... 5.4.2. Критерии согласия.................................................................................................................................................. Контрольные задания............................................................................................................................................ Список использованной литературы................................................................................................... Приложение 1.............................................................................................................................................................. Приложение 2.............................................................................................................................................................. Приложение 3..............................................................................................................................................................

Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.