авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ...»

-- [ Страница 2 ] --

Определение Многомодальное распределение (двухмодальное) – распределение, имеющее два или несколько максимумов у многоугольника распределения для дискретной случайной величины или на кривой распределения для непрерывной случайной величины. Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным Теорема (характерное свойство многоугольника распределения) Сумма ординат многоугольника распределения или сумма всех возможных значений случайной величины всегда равна is Pxi i Доказательство Значения, которые может принимать сл.величина, являются событиями несовместными( в одном опыте может выпасть только одно какое-либо значение) и в совокупности составляют полную группу событий.

Замечание is Pxi 1 говорят единица распределена между i значениями случайной величины, отсюда и термин «распределение».

Интегральный закон распределения Определение Функцией распределения F(x) случайной величины X называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее x :

F x P X x x x P x1 x x P P x2 x x F x 1 P P2 Pn 1 xn 1 x xn 1 x xn Свойства функции распределения 1) 0 F x 1.

Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность.

2)Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F x2 F x1 при x2 x1.

Это следует из того, что F x2 P X x2 P X x1 P x1 X x2 F x1.

3) lim F x 0, lim F x 1.

x x В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале a, b, то F x 0 при x a и F x 1 при x b.

Действительно, X a – событие невозможное, а X b – достоверное.

4) Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала a, b, равна разности значений функции распределения на концах интервала:

Pa X b F b F a Справедливость этого утверждения следует из определения функции распределения.

Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.

Функция распределения дискретной случайной величины имеет – ступенчата со скачками в точках возможных значений случайной величины.

Высоты ступени равны в каждой точке вероятности соответствующего значения случайной величины.

График функции распределения имеет ступенчатый вид:

З амеча ние Кажда я случай ная велич ина полностью определяется своей функцией распределения.

Замечание Функция распределения связана с законом распределения и является одной из форм его выражения (интегральный закон распределения).

Пример Пусть X -случайное число очков, выпавших при одном бросании игральной кости. Написать интегральный закон распределения случайной величины.

Решение Функция распределения (интегральный закон распределения случайной величины) имеет вид:

0, x, 1 x 1, 2 x 5 1 1 F x, 3 x 5 6 1 1 1 5 6 6 6 4 x 1 1 1 1 1 5 x 5 6 6 6 x 1, Числовые характеристики дискретной случайной величины В ТВ для общей характеристики случайной величины используются числовые характеристики. Они выражают наиболее существенные особенности того или иного распределения.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Характеристики положения Характеристики положения дают представление о положении случайной величины на числовой оси. К ним относятся:

Математическое ожидание Мода Медиана Определение Математическое ожидание – величина, равная сумме произведений отдельных значений, которые может принимать переменная на соответствующие им вероятности:

is x М X xi pxi.

i Замечание Если X - дискретная случайная величина, принимающая счетное количество значений, то математическое ожидание существует тогда и только тогда, когда ряд сходится и при том абсолютно.

Математическое ожидание – основная характеристика распределения. Она информирует о том, каков средний уровень значений, принимаемых случайной величиной.

Математическое ожидание – число, около которого колеблются значения случайных величин и их средние значения по сериям опытов.

Среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины, при неограниченном возрастании числа испытаний, стремится к математическому ожиданию.

Определение Отклонение – - центрированная случайная величина:

xi M X Теорема Математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю.

Доказательство n M x m x xk m x pk k n n n xk pk m x pk m x m x pk m x m1 1 k 1 k 1 k Замечание Отклонения противоположных знаков в среднем взаимно погашаются. Поэтому в качестве меры рассеивания берут математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины.

Свойства математического ожидания 1. Мат. ожидание линейно n n M ci xi ci M xi.

i 1 i Математическое ожидание - взвешенное среднее, так 2.

как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

3. Математическое ожидание не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольшего.

4. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина 5. Математическое ожидание дискретной случайной величины X может не совпадать ни с одним из ее возможных значений.

6. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной M C C Доказательство Если рассматривать C как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение C с вероятностью p 1, M C C 1 C то:

7. Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания M C x C M x Доказательство Если случайная величина x задана рядом распределения xi xn x1 x pi pn p1 p то ряд расположения для Cx имеет вид Cxi Cxn Cx1 Cx pi pn p1 p 8. Математическое ожидание случайной величины определяет положение центра распределения вероятностей.

9. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий M X Y M X M Y 10. Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или независимых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M X Y M X M Y Замечание Одному и тому же заданному математическому ожиданию может соответствовать бесчисленное множество случайный величин, различных не только по своей природе, но и по характеру. Математическое ожидание с.в. определяет положение центра распределения вероятностей.

Определение Мода –значение случайной величины xi, имеющее наибольшую вероятность или наиболее вероятное значение. Обозначается m0.

Определение Число называется наивероятнейшее, если вероятность осуществления этого события не меньше вероятности других событий (мода) np q m0 np p Определение Медиана - такое значение случайной величины, что выполняется условие.

P( X x1 ) P( X x1 ) 2 Обозначается медиана ME.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Замечание Все три характеристики (математическое ожидание, мода и медиана) не совпадают.

Замечание Если распределение симметрично и модальное (имеет одну моду), то все они характеризуются одним положением и совпадают.

Пример Если ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

x 1 2 3 p 0.1 0.7 0.15 0. то мода M 0 2.

Замечание Если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Пример Рассмотрим две случайные величины: X и Y, заданные рядами распределения вида X 49 50 51 Y 0 p 0.1 0.8 0.1 p 0.5 0. Найти математическое ожидание дискретных случайных величин.

Решение M X 49 0.1 50 0.8 51 0.1 50, M Y 0 0.5 100 0.5 50.

M X M Y, но если для случайной величины X M x хорошо описывает поведение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением, то значения Y существенно отстоят от M y.

Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, насколько значения случайной величины отклоняются от него, т.е. дисперсию.

Характеристики рассеивания Значения наблюдаемых в практике с.в. всегда колеблются около среднего значения. Это явление называется рассеиванием величины около ее среднего значения. Числовые характеристики, описывающие это явление называются характеристиками рассеивания и основные из них дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Само слово дисперсия – «рассеивание».

Определение Дисперсией– называется математическое ожидание квадрата разности с.в. и ее мат.ожидания is D X M x mx 2 xi mx 2 p xi i Дисперсия – сумма квадратов возможных отклонений с.в. от ее среднего значения, взятых с «весовыми» коэффициентами, равными вероятностям соответствующих отклонений.

Или Дисперсия – математическое ожидание квадратов отклонений с.в. от ее среднего значения, количественная характеристика распределения с.в.

Дисперсия, как и математическое ожидание являются величиной не случайной.

Таким образом, дисперсия – характеристика возможных отклонений с.в. от ее среднего значения. Чем большие отклонения в обе стороны от среднего значения возможны у данной с.в. и чем больше вероятности таких отклонений, тем больше дисперсия с.в. В частном случае, когда среднее значение равно нулю, дисперсия характеризует разброс значений с.в. в обе стороны от нуля.

Теорема Дисперсия разность математического ожидания квадрата сл.в. и квадрата мат. ожидания с.в.

D X M X 2 M 2 X Доказательство n n n n D x x k m x 2 p k x 2 p k 2 x k m x p k m 2 pk k k k 1 k 1 k 1 k n n n x 2 p k 2 m x x k p k m 2 p k M x 2 2m x m x m x M x 2 m k k x k 1 k 1 k Теорема Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

Dc Доказательство Dc M c c 2 M 0 Теорема Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат DcX c 2 D X Доказательство DcX M cX M cX 2 M cX cM x M c X M X c M x M x c D X 2 2 2 Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D X Y D X DY Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D X Y D X DY Замечание В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.

Замечание Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.

Замечание Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии D X M X 2 M 2 X Пример Известны законы распределения сл.в. X, Y - числа очков выбиваемых 1, 2 стрелком. Какой из стрелков стреляет лучше.

1 – имеет большие вероятности при крайних случаях, у 2 – промежуточные значения.

Стреляет лучше тот, кто в среднем выбивает большее количество очков. Это среднее количество и есть математическое ожидание.

Но, если среднее число выбиваемых очков одинаково, тогда лучше стреляет тот, у кого меньше отклонения (разброс, вариация, рассеяние) этого числа относительно среднего значения. А это и есть дисперсия. В нашем примере D( X ) D(Y ), следовательно 2 стрелку нужно сместить «центр»

распределения числа выбиваемых очков, научиться лучше целиться в мишень.

Определение Среднеквадратическое отклонение – D X.

корень квадратный из дисперсии Пользоваться среднеквадратичном отклонением удобнее, т.к.

это величина имеет размерность самой с.в.

Замечание Чем меньше рассеиваются значения с.в., тем точнее можно их предсказать.

Замечание В финансовом анализе имеют большое значение характеристики мат.ожидание и дисперсия.

X - распределение доходности некоторого актива (например акции), тогда M ( X ) - средняя (прогнозная) доходность актива, а D( X ) - мера отклонения, колебания доходности от ожидаемого среднего значения, т.е. риск данного актива Определение Начальным моментом k - порядка сл.величины Х называется математическое ожидание k степени этой величины.

k M X k xik pi n i Определение Центральным моментом k - порядка сл.величины Х называется математическое ожидание k степени отклонение сл.величины Х от ее мат.ожидания.

n k M X M X xi a pi k k i Замечание k 1 - первый начальный момент – мат.ожидание, k 2 - второй центральный момент – дисперсия.

Параметры формы Если распределение не является симметричным, то можно оценить асимметрию кривой распределения с помощью центрального момента 3-го порядка.

Действительно, для симметричного распределения все нечетные центральные моменты равны 0 ( как интегралы от нечетных функций в симметричных пределах), поэтому выбран нечетный момент наименьшего порядка, не тождественно равный 0.

Определение Коэффициент ассиметрии случайной.величины -числовая характеристика ассиметрии распределения A Если A 0, то распределение симметрично относительно мат.ожидания.

Замечание Третий центральный момент – служит для характеристики ассиметрии распределения.

Для оценки поведения кривой распределения вблизи точки максимума (для определения того, насколько «крутой» будет его вершина) применяется центральный момент 4-го порядка Определение Эксцесс - числовая характеристика крутости распределения E.

Эксцесс — показатель, который используется для характеристики островершинности фактического распределения по отношению к нормальному распределению. Для оценки эксцесса распределения используется четвертый центральный момент для двух типов данных Замечание Четвертый центральный момент – служит для характеристики крутости распределения.

E E E Вероятность попадания дискретной случайной величины в заданный интервал Пусть задан закон распределения некоторой случайной величины X.Определим вероятность того, что случайная величина попадет в интервал a, b i Pa X b Pxi i где - выбирается так, чтобы x a, x - равное или ближайшее после a значение случайной величины, выбирается так, чтобы x b, x ближайшее значение сл.величины слева от b.

Контрольные вопросы Дайте определение дискретной случайной величины.

1.

Какими способами можно задать дискретную случайную 2.

величину?

Функция распределения. Свойства функции 3.

распределения. График функции распределения.

Плотность распределения. Свойства плотности 4.

распределения Нахождение функции распределения по известной 5.

плотности распределения.

.Дайте определение математического ожидания 6.

дискретной случайной величины. Назовите свойства математического ожидания.

Определение дисперсии дискретной случайной 7.

величины. Формула для вычисления дисперсии. Свойства дисперсии.

Лекция Законы распределения дискретной случайной величины Двухточечное распределение Пусть вероятность некоторого случайного события A равна, где 0 p 1. X - сл.вел. – число наступлений сл. события p A в одном испытании. X - сл.вел может принять одно из двух значений 0 – если сл. событие A не наступило, 1 – если оно произошло.

Закон распределения вероятностей сл. вел., имеющей двухточечное распределение можно записать следующим образом:

PX 0 1 p PX 1 p Математическое ожидание этой случайной величины будет M X 0 1 p 1 p p Дисперсия D X M X 2 M 2 X M X 2 0 1 p 1 p p D X p p 2 p 1 p Двухточечное распределение редко применяется непосредственно, но его можно представить как суммы сл. вел., имеющих двухточечное распределение.

Распределение выборочного значения признака Рассмотрим пример. Пусть в университете обучаются N студентов. В качестве выборочного признака возьмем количественный признак- размер обуви. Обозначим его xk.

после обследования всех студентов, получили следующие результаты, которые занесены в таблицу, где 1-ый столбик- xk, 2-ой- количество студентов с данным количественным признаком (размером обуви):

x1 M x2 M … … xk Mk k Mi N i Вероятность того, что y наудачу выбираемого студента размер обуви будет равен xi, вычислим по классической формуле P X xi Mi, N где M i - количество студентов с данным размером обуви.

Получим ряд распределения ДСВХ - размера обуви всех студентов университета:

… xi xk x1 x … pi pk p1 p k pi i Пример: Подбрасывают два кубика. Составить ряд распределения ДСВХ- сумма очков на двух кубиках.

Решение Выборочный количественный признак- сумма очков на кубиках. Общее количество исходов по правилу умножения n 6 6 36. Всевозможные значения ДСВХ: все натуральные числа от 2-х до 12. Найдем количество благоприятствующих исходов для каждого значения ДСВХ:

X 2: m 1;

X 3 : m 2 ;

X 4: m 3;

X 5 : m 4 ;

X 6: m 5;

X 7 : m 6 ;

X 8 : m 5;

X 9 : m 4 ;

X 10 : m 3 ;

X 11 : m 2 ;

X 12 : m 1.

Сумма всех mi равна 36.

m Находя отношения, вычислим вероятности и заполним n ряд распределения:

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 pi 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 По полученному ряду распределения можно построить многоугольник распределения, вычислить числовые характеристики, построить интегральную функцию распределения, используя методы и формулы описанные в предыдущем параграфе.

Биноминальное распределение (закон Бернулли) Данное распределение описывает весьма характерную для практики ситуацию последовательного осуществления ряда независимых опытов с одинаковыми возможными исходами при каждом из них.

Например, если производится группа выстрелов по одной и той же цели, нас интересует не результат каждого выстрела, о общее число попаданий.

Подобно династиям монархов, существовала знаменитая династия ученых Бернулли - их даже звали, как королей: Якоб I, Иоганн I, Даниил I...

Эти трое - математики и механики - снискали наибольшую известность. Всего в семье было 11 детей Якоб Бернулли доказал частный случай важнейшей теоремы теории вероятностей - закона больших чисел (названный позднее закон Пуассона). Он был опубликован после смерти Якоба Бернулли в его книге 'Искусство предположений' (1713).

Через 200 лет та часть книги, что относилась к закону больших чисел, была переведена на русский язык Я.В.Успенским и издана в Петербурге под редакцией академика А.А.Маркова.

Пусть вероятность наступления некоторого случайного события A при единичном испытании равна p, производится n - испытаний и в каждом из них случайное событие A может наступить с вероятностью p.

Отдельные испытания независимы одно от другого. Это означает, что наступление (или ненаступление) случайного события A в данном испытании не влияет на вероятность наступления этого события в последующих испытаниях.

Данное распределение описывает весьма характерную для практики ситуацию последовательного осуществления ряда независимых опытов с одинаковыми возможными исходами при каждом из них.

Например, если производится группа выстрелов по одной и той же цели, нас интересует не результат каждого выстрела, о общее число попаданий.

Найдем вероятность PX m - вероятность того, что событие A наступит в m испытаниях.

Для того чтобы X m необходимо и достаточно, чтобы событие A наступило в m испытаниях, и не наступило в n m испытаниях.

Так как по условию испытания независимы, то в соответствии с теоремой об умножении вероятностей независимых событий p m 1 p n m - вероятность того что событие A наступило в m испытаниях, и не наступило в n m испытаниях, если заранее установлено, в каких испытаниях событие произойдет, а в каких нет.

Но так как, безразлично произойдет ли событие A в 1, 3 или 5 испытании – лишь бы общее число наступлений его было m, то необходимо учесть все порядки наступления события A.

m Число таких порядков есть Сn Таким образом, закон распределения будет PX m Cn p m 1 p n m m где m 0,1,, n, n -известное количество всех проведенных испытаний, m -число тех испытаний, в которых произошло событие A, p -вероятность появления события A в одном опыте.

Определение ДСВХ, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностью Pn m P X m Cn p m q n m, m где p q 1, m 0,1,2,3,, n, называется распределенной по биноминальному закону, а p - параметром биноминального распределения.

Ряд распределения случайной величины, подчиненной биномиальному закону, можно представить в следующем виде:

X m … … 0 1 k n Pn m … … Cn p1q n 1 k nk Cn p 0 q n 0 1 k Cn p n q n Cn pq Функция распределения в этом случае определяется формулой 0 x m m nm F x Cn p q 0 xn 1 xn При значениях p близких к 0, весьма вероятны малые значения X т.е. весьма вероятны малые числа наступлений случайного события A. При значениях p близких к 1, весьма вероятны значения X, близкие к n т.е. весьма вероятно, что сл. событие A наступит почти во всех испытаниях Замечание Формула Бернулли совпадает с общим членом бинома Ньютона p q n p n C n p n1 q C n p n2 q 2 C n 1 p q n1 q n 1 2 n Замечание При p - распределение симметрично, при остальных ассиметрично.

Пример Пассажиру удобно, когда все его попутчики лица одного пола, что и он. Сколько % таких пассажиров попадают в удобные условия.

Решение Каждый пассажир покупает билет независимо от других людей. Мужчин, путешествующих, столько же сколько и женщин. Опыт – продажа одного билета. Событие A - пассажир мужчина.

p A 0.5, P4 4 P4 0 0. P P4 4 P4 0 0.125, 12% пассажиров попадают в удобные условия.

Пример Составим ряд распределения случайной величины X – числа попаданий при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

p X 0 1 0.25 0.00032 ;

p X 1 1 0.24 0.0064 ;

p X 2 10 0.82 0.2 3 0.0512 ;

p X 3 10 0.83 0.22 0.2048 ;

p X 4 5 0.84 0.2 0.4096 ;

p X 5 1 0.85 0.32768.

Таким образом, ряд распределения имеет вид:

X 1 2 0 3 p 0.00032 0.0064 0.0512 0. 0.2048 0. Пример Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 деталей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение Вероятность рождения девочки p, тогда q.Найдем 2 вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

, P 1 C5 p1q P5 0 q 1, 32 P5 2 C5 p 2q3, P 3 C5 p3q 10 2.

32 Следовательно, искомая вероятность P P5 0 P5 1 P5 2 P5.

Числовые характеристики биноминального распределения Математическое ожидание n n M X m PX m m Cnm p m 1 pn m np m0 m Если вероятность наступления некоторого сл. события в единичном испытании равна p, то при n испытаниях число наступлений его в среднем должно быть np Дисперсия D X np 1 p npq Дисперсия имеет максимальное значение при p,и наоборот, чем более p отличается от p, тем дисперсия меньше.

Вывод: Для того чтобы случайная величина была распределена по закону Бернулли необходимо, чтобы все контролируемые факторы были неизменные, а испытания не должны зависеть друг от друга.

Вероятность попадания ДСВХ, распределенной по биноминальному закону в k1, k 2.

Рассмотрим теперь вероятность попадания ДСВХ, распределенной по биноминальному закону в некоторый интервал k1, k 2.

По теореме сложения несовместных событий, вероятность того, что событие A появилось в n испытаниях от k1 до k 2 раз, равна Pn k1, k 2 Cnm p m q n m k1 m k Наивероятнейшее значение случайной величины Пусть в одном испытании вероятность появления события A равна P A p. Производится n таких испытаний. Будем считать, что исход каждого из n испытаний не зависит от исхода предшествующего испытания, то есть от того наступило ли событие A в предыдущем испытании или нет. Такие испытания называются независимыми относительно события А.

В каждом из n испытаний вероятность появления события A вообще говоря может быть различной или одинаковой.

Будем считать, что условия каждого испытания организованы одни и те же для того, чтобы событие A могло появиться в каждом из них с одной и той же постоянной вероятностью p.

Испытания, проведнные по такой схеме, то есть повторные независимые испытания с постоянной вероятностью появления события A называются испытаниями, проведнными по схеме Бернулли.

Заметим, что P А в одном испытании P А 1 P A 1 p q Определение Наивероятнейшее значение случайной величины k0 – число испытаний, при котором достигается максимальная вероятность в n независимых испытаниях np q k0 np p Замечание Наивероятнейшее значение k 0 числа наступления события A при проведении n повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, является целым числом.

Пример Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в мишень равна 0,8. Стрелок произвел 7 выстрелов. Найти а) наивероятнейшее число попаданий в мишень;

б) вероятность наивероятнейшего числа попаданий в мишень.

Решение Эксперимент состоит в том, что стрелок последовательно производит 7 выстрелов по мишени, т.е. проводится повторных независимых испытаний (количество испытаний конечно).

Каждое испытание имеет два исхода: стрелок попал в мишень и стрелок не попал в мишень. Вероятность попадания в мишень в каждом испытании постоянно. Каждое испытание является независимым, так как по условию задачи вероятность попасть в мишень при одном выстреле (испытании) является величиной постоянной и не зависит от других испытаний.

Следовательно, указанный эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли (схема Бернулли выполняется).

a). По условию имеем:

n 7 - число выстрелов (число испытаний в эксперименте);

p 0.8 - вероятность попасть в мишень при одном выстреле (вероятность «успеха»);

q 1 p 1 0.8 0.2 - вероятность не попасть в мишень при одном выстреле (вероятность «неудачи»).

Найдем наивероятнейшее число k 0 числа попаданий в мишень по формуле:

np q k0 np p.

Тогда, 7 0.8 0.2 k0 7 0.8 0. Или 5.4 k0 6.4.

Так как наивероятнейшее число есть целое число, то наивероятнейшее число попаданий в мишень равно 6, то есть k0 6.

б). Рассмотрим событие F – из 7 выстрелов стрелок попадет в мишень ровно 6 раз. По условию имеем: n 7 - число выстрелов (число испытаний в эксперименте);

p 0.8 - вероятность попасть в мишень при одном выстреле (вероятность «успеха»);

q 1 p 1 0.8 0.2 - вероятность не попасть в мишень при одном выстреле (вероятность «неудачи»);

k 6 – число попаданий в мишень.

Найдем вероятность события F, то есть PF используя формулу Бернулли (1), так как эксперимент проводится по схеме Бернулли:

Pn k Cn p k q n k.

k Тогда, подставляя исходные данные, получим искомую вероятность PF P7 6 C7 0.86 0.27 6 C7 6 0.86 0. 6 C7 0.86 0.2 7 0.262144 0.2 0.3670016 0. При вычислении числа сочетаний C7 воспользовались известным свойством Cn Cn k k n Ответ: а) k 0 6 ;

б) PF 0. Закон Пуассона Закон Пуассона используют в технических исследованиях, действует в теории помехозащищенности, теории надежности.

Пуассон Симеон Дени 1781-1840-выдающийся французский ученый, один из создателей современной математической физики, уже в двадцать лет Пуассон сделал свои первые математические работы, сразу принесшие ему известность.

Написал свыше 350 работ в области небесной механики, механики, определенных интегралов, дифференциальных уравнений, рядов, теории вероятностей, статистики. Ввел термин «закон больших чисел».

Он уделял большое внимание применениям теории вероятностей в уголовном судопроизводстве. Один из его трактатов называется «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах», трактат «О преимуществе банкира при игре в тридцать и сорок».

С помощью открытой им же формулы можно, подсчитать вероятность того, что в коллективе, состоящем из 1999 человек, ровно k человек родились в тот же день, что и Пуассон ( k = 0,1,2,3,4,....).

Можно вычислить как распределены опечатки в какой нибудь книге при условии, что существует постоянная вероятность того, что любая буква будет набрана наборщиком неправильно.

Наблюдается некоторое случайное событие, вероятность наступления которого в единичном испытании есть p.

Отдельные испытания независимы друг от друга, так что, наступление данного события в одном испытании не влияет на вероятность наступления этого события в других испытаниях.

Эта вероятность находится по формуле Бернулли.

Пусть вероятность в единичном испытании есть p. – весьма мала и что число испытаний весьма велико. Т.е. np - есть постоянное, не слишком большое число.

m PX m e m!

Закон Пуассона. np - параметр Пуассона.

m - число тех опытов, в которых произошло СС, m является случайной величиной в законе Пуассона. PX m вероятность того, что СС произойдет ровно m раз.

Определение ДСВХ, которая принимает целые неотрицательные значения с вероятностями, m PX m e m!

вычисляемыми по формуле Пуассона:, называется распределенной по закону Пуассона, где np - параметр распределения.

Замечание При большом числе испытаний n и малой вероятности p формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, 0.97 999 вычислить трудно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях ( n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p 0.1 и np 10. При больших np рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа).

Числовые характеристики пуассоновского распределения Математическое ожидание и дисперсия M X np DX np Отличительная особенность данного распределения состоит в том, что математическое ожидание и дисперсия равны параметру распределения X np, т.е.

M X np D X.

Это свойство часто применяют на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что сл. величина распределена по закону Пуассона.

Для этого определяют из опыта мат. ожидание и дисперсию.

Если их значения близки, то это пуассоновское распределение.

Распределение Пуассона находит широкое применение в статистическом контроле качества продукции.

Один из методов контроля состоит в том, что в небольших контрольных партиях, случайно отобранных из готовой продукции, выясняется число X дефектных изделий в каждой партии.

Это число есть случайная переменная с распределением Пуассона. Параметр Пуассона – среднее число дефектных изделий, обнаруженных в партиях Свойства распределения Пуассона 1. Вероятность того, что событие не появится ни разу при m P0 e 2. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз.P 1 1 P0 1 e 3. Вероятность того, что сл. величина примет значение не меньшее заданного k P X k Pk Pk 1 1 P0 P Pk 4. Закон Пуассона приближенное выражение формулы Бернулли, когда число опытов велико, а вероятность наступления события в каждом из них мала (закон Пуассона асимптотичен закону Бернулли).

От этого свойства закона Пуассона – выражать биноминальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события происходит и его другое название закон редких явлений. Изучается редкий случай, когда вероятность появления случайного события в одном испытании p 1. Теоретически считается, что p 0.

Рассмотрим примеры решения задач на применение биноминального закона и закона Пуассона.

Пример В партии, содержащей 30 деталей имеется стандартных. Наудачу выбирают три детали с возвращением.

Составить ряд распределения ДСВХ- количество стандартных деталей среди отобранных.

Решение:

ДСВХ имеет биноминальное распределение, т.к. вероятность появления стандартной детали в каждом испытании - отбора детали, постоянна и равна. Возможные значения ДСВХ:

0,1,2,3. Найдем по формуле Бернулли вероятность появления каждого из возможных значений:

0 0 2 P X 1 C3 1 1 3 3 27 1 1 2 P X 1 C3 3 21 3 3 39 2 2 P X 41 C3 3 3 93 3 3 2 P X 8 C3 1 3 3 27 Проверка:

27 9 9 Ряд распределения имеет вид:

0 1 2 X 1 2 4 p 9 27 Найдем числовые характеристики :

M X np X D X 3 21 0. 33 Пример АТС производит в среднем 2000 соединений в час. Вероятность неверного соединения равна 0,001. Какова вероятность того, что за час неверных соединений будет а) ровно три;

б) менее трех;

в) более трех.

Решение Число n 2000 - велико, вероятность p 0.001 - мала и рассматриваемые события (неверные соединения) независимы, k e поэтому имеет место формула Пуассона Pn k k!

а) Найдем параметр :

np 2000 0.001 2.

ровно 3 ( k 3 ) а) Найдем вероятность того, что будет неверных соединения:

e P2000 3 0. 3!

б) Найдем вероятность того, что будет менее трех неверных соединений:

e P2000 0 P2000 1 P2000 2 e 2 e 2 0. в) Найдем вероятность P того, что будет повреждено более трех изделий.

События «повреждено более трех изделий» и «повреждено не более трех изделий» (обозначим вероятность этого события через q)—противоположны, поэтому p q 1.

Отсюда:

P2000 1 P2000 0 P2000 1 P2000 2 P2000 1 0.338 0.0226 0. Пример. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий.

Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке.

Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение Выбор каждого из 1000 изделий можно считать независимым испытанием, в котором вероятность появления изделия первого сорта одинакова и равна р = 0,96.

Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным.

mx pn 1000 0,96 960;

Dx npq 1000 0,96 0,04 38,4;

Контрольные вопросы Что называется биноминальным законом? Какие 1.

значения принимает ДСВХ? Записать формулы для вычисления числовых характеристик.

Когда применяются теоремы Муавра- Лапласа? При 2.

каком условии приближенные формулы дают более точный результат?

В каком случае применяется закон распределения 3.

Пуассона и в чем состоит его особенность?

Какое распределение называется геометрическим? Какие 4.

значения может принимать ДСВХ? Почему распределение называется геометрическим? Чем отличаются ряды распределения в случае, если число испытаний неограниченно и в случае, если - ограниченно?

5. Какое распределение называется биномиальным?

6. Какое распределение называется распределением Пуассона?

7. Какое распределение называется равномерном?

Какая формула используется для вычисления 8.

вероятности того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз при малом числе испытаний?

Какая формула используется для вычисления 9.

вероятности того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз при большом числе испытаний и вероятности p, отличной от 0 и 1?

Какая формула используется для вычисления 10.

вероятности того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз при большом числе испытаний и малой вероятности p?

11. Какая формула используется для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие А появится от a до b раз при большом числе испытаний и вероятности p, отличной от 0 и 1?

Лекция Непрерывные случайные величины В противоположность дискретной случайной величине совокупность возможных непрерывных значений случайной переменной не только неконечна, но и не поддается счислению.

Определение Непрерывная случайная величина (НСВ) случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Пример Диаметр изготавливаемой детали на станке непрерывная случайная величина, т.к. возможны отклонения из за возникающих погрешностей ввиду температурных изменений, силы трения, неоднородности материала и т.д., а диаметр может принять любое значение из промежутка c, d.

Замечание Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно.

Функция распределения непрерывной случайной величины Непрерывную случайную величину, так же как и ДСВ, можно задать с помощью функции распределения, которая равна вероятности того, что СВХ приняла значение меньшее заданного х. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения, а именно:

x f ( x)dx F ( x) где f ( x) - функция плотности, F ( x).-функция распределения или интегральный закон распределения.

Функция распределения непрерывной величины всюду непрерывна. По виду функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси.

Функция плотности непрерывной случайной величины Законом распределения вероятностей непрерывной случайной величины – называют зависимость плотности от x.

В такой форме закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется дифференциальным.

Определение Функция f (x), называемая плотностью распределения непрерывной случайной величины, определяется по формуле:

f ( x) F x, где F x - функция распределения.

Замечание Смысл функции плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина X в некоторой окрестности точки x при повторении опытов.

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что вероятность попадания НСВХ в заданный интервал равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми x a и x b графиком функции f (x) который называется кривой распределения вероятностей.

Т.к. в результате опыта случайная величина обязательно примет какое - либо из возможных значений, то :

f ( x)dx или b f ( x)dx a -условие нормировки плотности.

Свойства функции плотности распределения.

1) Функция плотности неотрицательна f ( x) 0, так как функция распределения является неубывающей.

2) Функция распределения x F x f t dt, что следует из определения плотности распределения.

3) Вероятность попадания случайной величины в интервал a, b определяется формулой b pa X b f x dx a Действительно, b a b P a x b F b F a f x dx f x dx f x dx a 4) Условие нормировки f x dx f x dx F, Его справедливость следует из того, что а lim F x 1.

x 5) lim f x 0 так как F x const при x.

x Таким образом, график плотности распределения представляет собой кривую, расположенную выше оси Ох.

Эта ось является ее горизонтальной асимптотой при x (последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений которых является все множество действительных чисел).

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.

Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточены на интервале [a, b], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала [a, b] f ( x) 0.

Пример Плотность распределения непрерывной случайной величины задана формулой f x C, x 1 x Найти:

а) значение константы C ;

б) вид функции распределения;

в)вероятность попадания в интервал p 1 x 1.

Решение. а) значение константы С найдем из условия нормировки:

C 1 x 2 dx C arctgx C 2 2 C откуда значение константы равно C.

б) вид функции распределения x x F x 1 1 1 1 1 t dt arctgt arctgx arctgx 2 в) вероятность попадания в интервал p 1 x 1 p 1 x 1 1 1 x 2 dx arctgx 1 4 4 0. Пример Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

x 0, x F x,2 x x 1, Найти плотность распределения.

Решение Плотность распределения определяется по формуле:

f ( x) F x, где F x - данная функция распределения.

x 0, 0, x x f x, 2 x 4 0.5, 2 x 2 0, x x 1, Числовые характеристики непрерывной случайной величины Определение Мода – числовая характеристика, определяющая наиболее вероятностное значение для непрерывной случайной величины, то значение, в котором плотность максимальна. Обозначается M 0.

Определение Медиана Me – числовая характеристика, для которой одинаково вероятно окажется ли случайная величина меньше или больше Me P X Me P X Me Замечание Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам. В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.

M x Определение Математическое ожидание непрерывной случайной величины x, возможные значения которой принадлежат отрезку a, b - числовая характеристика, выраженная определенным интегралом M x x f x dx Здесь предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т. е. существует.

Определение Дисперсия непрерывной случайной величины X - числовая характеристика возможные значения которой принадлежат отрезку a, b, вида:

D x x M x f xdx При вычислении дисперсии НСВХ также можно пользоваться формулой Dx M x 2 M x Определение Среднее квадратическое отклонение числовая характеристика, равная корню квадратному из дисперсии x Dx.

Свойства математического ожидания и дисперсии НСВХ аналогичны свойствам числовых характеристик ДСВХ.

Пример. НСВХ задана интегральной функцией 0;

x 1;

F x x ;

1 x 3;

4 1;

x Найти вероятность того, что НСВХ примет значение из интервала(-2;

2).

Решение:

Т.к. значения НСВХ распределены на интервале (-1;

3) и левее данного интервала F(x)=0, то интервал (-2;

2) заменим на 1 1 1 интервал (-1;

2), тогда P 1,2 2 1 4 4 4 Пример НСВХ задана плотностью распределения 0, x p x a cos x, x 2 0, x Найти вероятность попадания в интервал ;

.

Решение:

b px dx Найдем коэффициент а из условия a a cos x a sin x 2a 1, a Все значения НСВХ распределены на интервале ;

, 2 тогда задача сводится к вычислению вероятности попадания НСВХ в интервал ;

:

2 1 cos xdx sin x 1 0. P ;

2 2 2 4 2 2 Пример Задан график интегральной F x функции распределения НСВХ (парабола с вершиной в начале координат). Задать НСВХ аналитически. Найти плотность распределения px и построить график, вероятность попадания в x интервал (-2;

4), числовые 0 характеристики.

Решение Все значения НСВХ распределены на интервале (0;

6). На данном интервале графиком функции F x является парабола, уравнение которой y kx2. Найдем k, подставив в уравнение параболы координаты точки (6;

1): 1 36 k, откуда k.

Тогда интегральная функция имеет вид:

0, x 0;

F x x 2, 0 x 6;

1, x 6.

Плотность распределения равна первой производной интегральной функции:

0, x 0;

F x x, 0 x 6;

0, x 6.

Построим ее график:

Вычислим вероятность попадания НСВХ в интервал (-2;

4).

Т.к. левее х=0 вероятность равна нулю, вычислим вероятность попадания в интервал (0;

4):

P0, 1 16 0. 36 Найдем числовые характеристики:

x 3 6 M x x dx 4, 54 0 18 x 4 6 x3dx 4, Mx 72 0 Dx M x 2 M x 2 18 16 2, x 2 1.41.

Вероятность попадания в интервал b P a X b f ( x)dx F (b) F (a) a Если надо найти вероятность того, что случайная величина превысит заданное значение или меньше какого-то значения, то необходимо верхний предел положить или нижний Контрольные вопросы Сформулировать определение непрерывной случайной 1.

величины.

Что такое плотность распределения вероятностей?

2.

Каким свойством обладает плотность распределения 3.

вероятностей?

Какими свойствами обладает функция распределения 4.

непрерывной случайной величины?

Как найти интегральную функцию, зная плотность 5.

распределения и наоборот?

Перечислить свойства интегральной функции.

6.

Дать определения числовым характеристикам НСВХ.

7.

В чем различие между дискретной и непрерывной 8.

случайными величинами?

Как можно задать случайные величины?

9.

Чем можно охарактеризовать случайные величины?

10.

В чем смысл математического ожидания случайной 11.

величины?

Что характеризует дисперсия случайной величины?

12.

Задачи для самостоятельного решения Плотность равномерного распределения сохраняет в 1.

интервале (а, b) постоянное значение, равное С;

вне этого интервала f(x)=0. Найти значение постоянного параметра С.

Закон равномерного распределения задан плотностью 2.

вероятности f(x)=1/(b—а) в интервале (а, b);

вне этого интервала f(x)=0. Найти функцию распределения F (х).

Найти математическое ожидание случайной величины X, 3.

равномерно распределенной в интервале (а, b).

Найти математическое ожидание случайной величины, 4.

X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

Найти дисперсию и стандартное отклонение случайной 5.

величины X, распределенной равномерно в интервале (a, b).

Найти дисперсию и стандартное отклонение случайной 6.

величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

Равномерно распределенная случайная величина Х 7.

задана плотностью распределения f(x)= 1/(2l) в интервале (а-1, а+l);

вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание и дисперсию X.

Диаметр круга х измерен приближенно, причем аxb.

8.

Рассматривая диаметр как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале {а, b), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

Ребро куба х измерено приближнно, причм axb.

9.

Рассматривая ребро куба как случайную величину Х, распределнную равномерно в интервале (a,b), найти математическое ожидание и дисперсию объма куба.

Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания 10.

округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02А.

Лекция Основные законы непрерывных случайных величин В теории и практике надежности чаще всего используются следующие законы распределения:

равномерный закон распределения нормальный (Гаусса), логарифмически нормальный, Вейбулла, экспоненциальный (показательный) и др.

Равномерный закон распределения Часто на практике мы имеем дело со случайными величинами, распределенными определенным типовым образом, то есть такими, закон распределения которых имеет некоторую стандартную форму. В лекции 8 были рассмотрены примеры таких законов распределения для дискретных случайных величин (биномиальный и Пуассона).

Для непрерывных случайных величин тоже существуют часто встречающиеся виды закона распределения, и в качестве первого из них рассмотрим равномерный закон.

Определение Закон распределения непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение const, при a x b f x,.

0, при x a, x b Для того чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы ее значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны.

Найдем значение, которое принимает f x при x a, b Из условия нормировки следует, что b b f x dx cdx cb a a a Откуда f x c 1.

ba Плотность равномерного распределения имеет вид:

, x a, b f x b a 0, x a, b Непрерывное равномерное распределение характеризуется тем, что вероятность любого интервала зависит только от его длины.

График плотности распределения Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал, (a Ј a b Ј b) равна при этом b a dx.

ba P x ba Замечание Равномерное распределение непрерывный аналог дискретного распределения вероятностей для опытов с равновероятными исходами.

Вид функции распределения для нормального закона:

0, x a x a F x,a xb ba 1, x b График функции распределения равномерной случайной величины Пример Автобусы некоторого маршрута идут с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что пришедшему на остановку пассажиру придется ожидать автобуса не более минут.

Решение Время ожидания является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [0, 5].

Тогда f x, p0 x 2 0.4.

1 5 Замечание Случайная величина имеет непрерывную строго возрастающую функцию распределения.

Замечание Случайная величина, распределенная по равномерному распределению имеет практическое применение в имитационном моделировании, выступая основой генерирования любых случайных величин, потоков и случайных процессов.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по равномерному закону По определению вычислим математическое ожидание:

b2 a 2 ab b x M X v1 xf x dx dx 2b a ba a ab M X или, b M ( X ) v2 x f x dx x dx 2 2 ba a, b a b ba a 3 3 2 3 b a D( X ) 2 M ( X 2 ) M 2 ( X ) b 2 ba a 2 a 2 2ba b 2 b a 3 4 или b a D( X ) Замечание Мода равномерного распределения – любое число из отрезка a, b Замечание Коэффициент ассиметрии равен нулю Замечание Коэффициент эксцесса равен -6/5.

Замечание Медиана совпадает с математическим ожиданием.

Экспоненциальное распределение Экспоненциальное распределение является одним из основных распределений, используемых в теории надежности.

Например, продолжительность безотказной работы многих технических устройств, а также время задержки вылета самолта по вине технических служб аэропорта удовлетворительно описываются соответствующими экспоненциальными распределениями.

Экспоненциальное распределение описывает наработку до отказа объектов, у которых в результате сдаточных испытаний отсутствует период приработки, а назначенный ресурс установлен до окончания периода нормальной эксплуатации.


Экспоненциальный закон характерен для распределения случайных величин, изменение которых обусловлено влиянием доминирующего фактора. Он используется при рассмотрении внезапных отказов деталей в тех случаях, когда явления изнашивания и усталости выражены настолько слабо, что ими можно пренебречь.

Определение Случайная величина имеет x экспоненциальное (показательное) распределение с параметром 0, если плотность распределения.

e x, x f x x 0, Функция распределения при x 0, F ( x) x 1 e при x Графически функция плотности и функция распределения экспоненциального распределения имеет вид представленный ниже.

Математическое ожидание и дисперсия u x;

e x dx dv;

M ( X ) xf ( x)dx xe x d e x du dx;

v;

xe x e x x e x dx e dx.

0 0 0 Следовательно, окончательно имеем 1 1 M (X ) ;

D( X ) 2 ;

x.

Замечание Коэффициент ассиметрии равен 2.

Замечание Коэффициент эксцесса равен 6.

ln Замечание Медиана равна.

Замечание Экспоненциального распределения имеет одинаковое математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

P(a x b) F (b) F (a) e a e b.

Задачи для самостоятельного решения Непрерывная случайная величина Х распределена по 1.

показательному закону, заданному плотностью вероятности f ( x ) 3e 3 x при x 0 ;

f ( x ) 0 при x 0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (0.13, 0.7).

Непрерывная случайная величина Х распределена по 2.

показательному закону, заданному при x 0 плотностью f ( x ) 0.04e 0.04 x ;

при x 0 функцией распределения f ( x ) 0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (1, 2).

Непрерывная случайная величина Х распределена по 3.

показательному закону, заданному функцией распределения F ( x ) 1 e 0.6 x при x 0 ;

при x 0 F ( x ) 0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (2, 5).

Найти математическое ожидание показательного 4.

распределения f ( x ) e x при x 0 ;

f ( x ) 0 при x 0.

Найти математическое ожидание показательного 5.

x 0 : а) плотностью распределения, заданного при f ( x ) 5e 5 x ;

б) функцией распределения F ( x ) 1 e 0.1x.

Найти: а) дисперсию;

б) стандартное отклонение 6.

показательного распределения, заданного плотностью x вероятности: f ( x ) e при x 0 ;

f ( x ) 0 при x 0.

Найти дисперсию и стандартное отклонение 7.

показательного распределения, заданного плотностью вероятности f ( x ) 10e 10 x при x 0.

Найти дисперсию и стандартное отклонение 8.

показательного закона, заданного функцией распределения F ( x ) 1 e 0.4 x при x 0.

Закон Вейбулла Опыт эксплуатации очень многих электронных приборов и значительного количества электромеханической аппаратуры показывает, что для них характерны три вида зависимостей интенсивности отказов от времени, соответствующих трем периодам жизни этих устройств Интен сивность отказов монотонно убывает (период приработки), монотонно возрастает (период износа).

Распределение Вейбулла - двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Распределение Вейбулла достаточно близко подходит для ряда механических объектов (к примеру, шарикоподшипников), оно может быть использовано при ускоренных испытаниях объектов в форсированном режиме Определение Случайная величина имеет X распределение Вейбулла с параметрами m и a, если плотность распределения m x f x m m 1 a xe a Функция распределения имеет вид:

1 ex, x x Fx x f x t dt 0, x Плотность с различными значениями m имеет вид:

Плотность с различными значениями a имеет вид:

Замечание Значение параметра m зависит от коэффициента вариации и определяется по таблицам, расчетом или графоаналитическим путем. Величина его влияет на форму дифференциальной кривой.

При m 1 распределение Вейбулла преобразуется в экспоненциальное, при m 2,53,5 и a 0,3 0,4 — приближается к нормальному.

Замечание Если a 1, то распределение Вейбулла превращается в показательное распределение.

Нормальное распределение (закон Гаусса) Нормальное распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это—наиболее часто встречающийся на практике закон распределения.

Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Нормальное распределение имеет очень широкое распространение в прикладных задачах. Это связано с тем, что в реальной жизни многие исследуемые случайные величины являются следствием различных случайных событий.

Рост людей на нашей планете хорошо описывается нормальным распределением. Это, по-видимому, связано с тем, что на рост влияют разнообразные независимые случайные факторы: климат, экология окружающей среды, экономические условия, болезни и т.д. Хотя, конечно, "бесконечно" большие люди (великаны) и "бесконечно" маленькие люди (гномы) бывают только в сказках. Это говорит о том, что "хвосты" истинного распределения роста людей отличаются от нормального распределения.

В частности, при достаточно общих предположениях сумма большого числа независимых СВ имеет распределение близкое к нормальному.

Часто нормальное распределение называют распределением Гаусса (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), или Муавра, в честь тех, кто, как считается, открыл его и, веком ранее, что не так достоверно, Авраам де Муавр (1667-1754). Термин был впервые использован Гальтоном в 1889 г.

CВ подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Такая ситуация распространена, поэтому в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Нормальный закон наблюдается, когда на измеряемую случайную величину действуют разнообразные факторы, не связанные между собой и равнозначно действующие на случайную величину.

Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым Доска Гальтона Доска Гальтона -вертикально установленная доска в форме равнобедренного треугольника.

В доске расположены колышки, один в верхнем ряду, два во втором, и так далее. Каждый последующий ряд имеет на один колышек больше. Колышки в сечении треугольные, так что, когда падает шарик, у него есть вероятность 50/50 пойти вправо или влево.

В основании доски находится серия желобов для подсчета попаданий каждого броска.

Шарики, падающие через доску Гальтона и достигающие желобов, начинают формировать нормальное распределение.

Чем «глубже» доска (то есть чем больше рядов она имеет) и чем больше шариков бросается, тем больше конечный результат будет напоминать нормальное распределение.

Определение Нормальное распределение (гауссовское) определяется функцией плотности следующим образом x a x 1 2 e, где a – математическое ожидание.

Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение. Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса Функция плотности при различных значениях параметров Замечание Графики плотности нормального распределения, имеют единственный максимум в точке x m.

Функция распределения имеет вид:

x m x x F x f x dx exp 2 2 dx 2 xm y, dy dx xm y x m 2 dy e Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех x функция распределения принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента x, значение функции стремится к нулю.

4) Найдем экстремум функции.

( x m) xm 2 y 0;

x m;

e 3 Т.к. при y 0 при x m и y 0 при x m, то в точке x m функция имеет максимум, равный.

5) Функция является симметричной относительно прямой x a, т.к. разность x a входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

( x m) ( x m) 1 2 y 1 e 3 2 При x m и x m вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.

В этих точках значение функции равно.

e Построим график функции плотности распределения.

0. 0. 0. 0. -4 -2 2 4 - Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения 1, 2 и 7.

Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается..

если a 0, то график сместится в положительном направлении, если a 0 – в отрицательном.

при a 0 и 1 кривая называется нормированной.

Определение Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1 N 0,1.

Замечание Нормальное распределение формируется под влиянием большого числа случайных факторов, служит хорошим приближением для построения математических моделей.

Функция Лапласа.

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

b ( x m) b P ( a X b) e f ( x)dx dx a a xm am bm t;

;

;

Обозначим 2 2 Тогда 1 1 () () e e t 2 t P ( a X b) 2dt dt 2 e t Так как интеграл dt не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция, x 2 t e x) ( dt, которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей.


Ниже показан график функции Лапласа.

0. 0. 0. -3 -2 -1 1 2 -0. -0. -0. - Свойства функции Лапласа Ф x определена при всех значениях х.

1.

Ф(0)=0.

2.

2 1 t2 e dt 2 2 2.

( ) 3.

2 ( ).

4.

Ф x монотонно возрастает при всех x (,).

5.

Ф x – функция нечетная: Ф x = –Ф x.

6.

Значения этой функции при различных значениях x посчитаны и приводятся в специальных таблицах, приведены в приложении. Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x.

Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

x 1 x 1 t 2 / e ( x) dt;

2 2 Ниже показан график нормированной функции Лапласа.

0. 0. 0. -3 -2 -1 1 2 -0. -0. -0. - Замечание Математическое ожидание, мода и медиана совпадают и равны математическому ожиданию.

Замечание Коэффициент ассиметрии и коэффициент эксцесса равны 0.

Правило трех сигм Нормально распределенная случайная величина с большой вероятностью принимает значения, близкие к своему математическому ожиданию.

Величина (среднее арифметическое) показывает X смещение кривой f x вдоль оси абсцисс без изменения ее формы, т. е. расстояние от начала координат до абсциссы с максимальной ординатой. Величина (среднее квадратичное отклонение) показывает разброс отдельных значений случайной величины x относительно среднего арифметического.

На участке кривой, ограниченной ординатами и расположено 68,3% значений случайной величины;

на участке, ограниченном ординатами 2 -95,4%;

на участке с ординатами 3 - 99,7%.

Правило трех сигм: вероятность того, что случайная величина x лежит в пределах 3, близка к единице или к 100%. Следовательно, значения случайной величины, лежащие за пределами 3 - сигм, можно отбросить как промахи.

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Правило k :

0.6827, k 1, P X m k k k 0.9545, k 2, 0.9973, k 3.

Пример Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание а = 65 т и средним квадратичным отклонением = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

Решение Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (10065 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т. Т.к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.

Получаем:

100 21,111 2 0,3665 0, P( X M ( X ) 100 Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – а =2 – математическое ожидание и = 1 – среднее квадратическое отклонение.

Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1;

3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.

Решение Плотность распределения имеет вид:

( x 2) f ( x) e ;

Построим график:

0. 0. 0. 0. 1 2 3 Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1;

3).

1 3 2 1 P 1 X 1 t e dt 2 2 0.7071 0.7071 0. Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2.

P( X 2 2) 2 ) 0,95.

( 2 Контрольные вопросы Верно ли, что математическое ожидание, медиана и мода 1.

нормально распределенной НСВ X совпадают.

Верно ли, что кривая Гаусса симметрична относительно 2.

своего математического ожидания.

Верно ли, что кривая Гаусса имеет максимум в точке 3.

равной значению M(X).

Верно ли, что кривая Гаусса тем круче, чем больше 4.

сигма?

Верно ли, что математическое ожидание и среднее 5.

квадратическое отклонение показательно распределенной НСВ X совпадают.

Верно ли, что кривая плотности, показательно 6.

распределенной НСВ X убывает на всей своей области определения?

Объясните почему распределение Гаусса называется 7.

нормальным?

Поясните на изменении кривой плотности распределения 8.

отказов влияние параметров распределения: математическое ожидания и дисперсии?

Почему нормальный закон распределения вынесен в 9.

отдельную тему теории вероятностей? К какому типу случайных величин он относится?

Что такое функция Лапласа, для чего она используется и 10.

какими свойствами обладает? Функция распределения нормально распределнной случайной величины.

Математическое ожидание и дисперсия нормально 11.

распределнной случайной величины, их влияние на график функции плотности вероятностей.

Свойства случайной величины, имеющей нормальный 12.

закон распределения. Правило трх сигм.

Задачи для самостоятельного решения Математическое ожидание и стандартное отклонение 1.

нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12, 14).

Математическое ожидание и стандартное отклонение 2.

нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15, 25).

Автомат штампует детали. Контролируется длина детали 3.

X, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше мм.

Производится измерение диаметра вала без си 4.

стематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному закону со стандартным отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, 5.

если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со стандартным отклонением 0.4 мм. Найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, 6.

если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со стандартным отклонением 5 мм и математическим ожиданием a 0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

Случайная величина Х распределена нормально с 7.

математическим ожиданием a 10. Вероятность попадания Х в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0, 10)?

Случайная величина Х распределена нормально с 8.

математическим ожиданием a 25. Вероятность попадания Х в интервал (10, 15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (35, 40)?

Случайная величина Х распределена нормально с 9.

математическим ожиданием a 10 и стандартным отклонением 5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0, попадет величина Х в результате испытания.

Случайная величина Х распределена нормально со 10.

стандартным отклонением 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет Х в результате испытания.

Лекция Дискретные двумерные случайные величины Закон распределения дискретной двумерной случайной величины X, Y имеет вид таблицы с двойным входом, задающей перечень возможных значений каждой компоненты и вероятности p xi, yi с которыми величина принимает значение xi, yi.

x y … … x1 x2 xi xn px2, y1 pxi, y1 pxn y px1, y1 … … y … … … … … … … px1, yi p x 2, y i p xi y i p x n y i … … yi … … … … … … … px1, y m p x 2, y m px1, y m p x n y m … … ym При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.

Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распределения ее составляющих.

Действительно, событие X x1 представляется собой сумму X x1Y y 2,…, X x1 Y y1, несовместных событий X x1Y y m, поэтому p X x1 px1, y1 px1, y 2 +…+ px1, y m (в правой части находится сумма вероятностей, стоящих в столбце, соответствующем X x1.

Так же можно найти вероятности остальных возможных значений X.

Для определения вероятностей возможных значений Y нужно сложить вероятности, стоящие в строке таблицы, соответствующей Y y i.

Пример Дан закон распределения двумерной случайной величины:

Y X -2 3 -0,8 0,1 0,3 0, -0,5 0,15 0,25 0, Найти законы распределения составляющих.

Решение Складывая стоящие в таблице вероятности «по столбцам», получим ряд распределения для X :

-2 3 X p 0,25 0,55 0, Складывая те же вероятности «по строкам», найдем ряд распределения для Y:

-0,8 -0, Y p 0,5 0, Числовые характеристики двумерных случайных величин Определение Функцией распределения F(x, y) двумерной случайной величины X, Y называется вероятность того, что X x, a Y y:

F x, y p X x, Y y.

Это означает, что точка X, Y попадет в область, заштрихованную, если вершина прямого угла располагается в точке x, y.

Замечание Определение функции распределения справедливо как для непрерывной, так и для дискретной двумерной случайной величины.

Свойства функции распределения 0 F x, y 1 (так как F x, y является вероятностью).

1) 2) F x, y есть неубывающая функция по каждому аргументу:

F x2, y F x1, y,если x2 x1 ;

F x, y2 F x, y1,если y2 y1.

Доказательство F x2 y p X x2, Y y p X x1, Y y px1 x x2, Y y p X x1, Y y F x1, y Аналогично доказывается и второе утверждение.

3) Имеют место предельные соотношения:

F x, 0 ;

F, y 0 ;

F, 0 ;

F, 1.

Доказательство События F, y 0 ;

F x, 0, F, невозможны ( так как невозможно событие x или y ), F, событие достоверно, откуда следует справедливость приведенных равенств.

4) При функция распределения двумерной y случайной величины становится функцией распределения составляющей Х:

F x, F1 x.

При x функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Y :

F, y F2 y.

Доказательство Так как событие Y достоверно, то F x, p X x F1 x. Аналогично доказывается второе утверждение.

Определение Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называется смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения:

2 F ( x, y ) f ( x, y ).

xy Замечание Двумерная плотность вероятности представляет собой предел отношения вероятности попадания х случайной точки в прямоугольник со сторонами и к y площади этого прямоугольника при 0, 0.

х у Свойства двумерной плотности вероятности 1) f x, y (вероятность попадания точки в прямоугольник неотрицательна, площадь этого прямоугольника положительна, следовательно, предел их отношения неотрицателен).

yx f ( x, y)dxdy F ( x, y ) 2) f ( x, y)dxdy 3) Вероятность попадания случайной точки в произвольную область Пусть в плоскости Оху задана произвольная область D.

Найдем вероятность того, что точка, координаты которой представляют собой систему двух случайных величин (двумерную случайную величину) с плотностью распределения f x, y, попадет в область D.

Разобьем эту область прямыми, параллельными осям х координат, на прямоугольники со сторонами и. y Вероятность попадания в каждый такой прямоугольник равна f ( i, i )xy, где ( i, i ) - координаты точки, принадлежащей прямоугольнику.

Тогда вероятность попадания точки в область D есть предел n f (, )xy, то есть интегральной суммы i i i p(( X, Y ) D) f ( x, y )dxdy.

D Определение Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы.

Определение Сумма случайных величин Х и Y случайная величина X Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X с каждым возможным значениемY ;

вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).

Определение Произведение независимых случайных величин Х и Y - случайная величина XY, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений X на все возможные значенияY, а соответствующие им вероятности равны произведениям вероятностей сомножителей.

Математическое ожидание двумерных случайных величин Теорема Математическое ожидание суммы двух случайных величин ( зависимых или независимых ) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M X Y M X M Y.

Доказательство Рассмотрим случайные величины, заданные рядами распределения, тогда возможными значениями X Y являются x1 y1, x1 y 2, x2 y1, x2 y 2.

Обозначим их вероятности соответственно р11, р12, р21 и р22.

M X Y x1 y1 p11 x1 y2 p12 x2 y1 p21 x2 y2 p x1 p11 p12 x2 p21 p22 y1 p11 p21 y2 p12 p Докажем, что p11 p 22 p1.

Действительно, событие, состоящее в том, что X Y примет значения x1 y1 или x1 y 2 и вероятность которого равна p11 p 22, совпадает с событием, заключающемся в том, что X x1 (его вероятность – р1).

Аналогично доказывается, что p 21 p 22 p 2, p11 p 21 g1, p12 p 22 g 2.

M X Y x1 p1 x2 p2 y1 g 2 M X M Y.

Замечание сумма любого числа случайных величин равна сумме математических ожиданий слагаемых.

Пример Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.

Решение Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости:

M X 1 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6).

Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству M X =.

Теорема Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M XY M X M Y.

Доказательство Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:

xi x1 x pi p1 p yi y1 y gi g g Тогда ряд распределения для XY выглядит так:

x1 y1 x 2 y1 x1 y 2 x2 y XY p p1 g1 p 2 g1 p1 g 2 p2 g Следовательно, M XY x1 y1 p1 g1 x2 y1 p2 g1 x1 y2 p1 g 2 x2 y2 p2 g y1g1 x1 p1 x2 p2 y2 g2 x1 p1 x2 p y1 g1 y 2 g 2 x1 p1 x2 p 2 M X M Y.

Замечание Аналогично можно доказать это свойство для большего количества возможных значений сомножителей.

Дисперсия двумерных случайных величин 1) Дисперсия постоянной величины C равна нулю:

DC 0.

Доказательство DC M C M C M C C M 0 0.

2 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

DCX C 2 D X.

Доказательство CX M CX D CX M M CX CM CM X.

M C X M X C D X 2 3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D X Y D X DY.

Доказательство D X Y M X 2 2 XY Y 2 M X M Y M X 2 2 M X M Y M Y 2 M 2 X.

2M X M Y M 2Y M X M X M Y 2 M 2 Y D X D Y 2 Следствие Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Следствие Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D X Y D X DY.

Доказательство D X Y D X D Y D X 1 DY D X D X Плотности вероятности составляющих двумерной случайной величины По определению плотности распределения x d f ( x, y ) dF1 ( x) dF ( x, ) f ( x, y )dy.

f1 ( x) dx dx dx Аналогично находится f ( x, y)dx.

f 2 ( y) Условные законы распределения составляющих двумерной случайной величины Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину и найдем закон распределения составляющей X при условии, что Y примет определенное значение (например, Y y1.

Для этого воспользуемся формулой Бейеса, считая гипотезами события X x1, X x2,…, X xn, а событием А – событие Y y1.

При такой постановке задачи нам требуется найти условные вероятности гипотез при условии, что А произошло.

Следовательно, p( xi, y1 ) р( xi / y1 ).

p( y1 ) Таким же образом можно найти вероятности возможных значений Х при условии, что Y принимает любое другое свое возможное значение:

p ( xi, y j ) р ( xi / y j ).

p( y j ) Аналогично находят условные законы распределения составляющей Y:

p ( xi, y j ) p ( y j / xi ).

p ( xi ) Пример Найдем закон распределения Х при условии Y = -0,8 и закон распределения Y при условии Х = 3 для случайной величины, рассмотренной в примере 1.

0,1 1 0,3 р ( x1 / y1 ) 0,2;

р( x 2 / y1 ) 0,6;

0,5 5 0,5 0,1 р ( x3 / y1 ) 0,2.

0,5 0,3 6 0,25 р ( у1 / х 2 ) ;

р( у 2 / х2 ).

0,55 11 0,55 Определение Условной плотностью (х/у) распределения составляющих X при данном значении Y y называется f ( x, y ) f ( x, y ) ( х / у).

f 2 ( y) f ( x, y)dx Аналогично определяется условная плотность вероятностиY при X x :

f ( x, y ) f ( x, y ) ( у / х) f1 ( х) f ( x, y)dу Определение Начальным моментом порядка k, s двумерной случайной величины ( X, Y ) называется математическое ожидание произведения X k на Y s :

k,s M ( X kY s ) Для дискретных случайных величин k,s xik y sj pij, i j для непрерывных случайных величин x k,s k y s f ( x, y )dxdy.

Определение Центральный момент порядка k, s двумерной случайной величины ( X, Y ) математическое ожидание произведения ( X M ( X )) k на (Y M (Y )) s :

k,s M (( X M ( X ))k (Y M (Y ))s ).

Для дискретных случайных величин k, s ( xi M ( X )) k ( y j M (Y )) s pij, i j для непрерывных случайных величин ( x M ( X )) k,s ( y M (Y )) s f ( x, y)dxdy.

k При этом M ( X ) 1, 0, M (Y ) 0,1, D( X ) 2, 0, D (Y ) 0, 2.

Корреляционный момент системы двух случайных величин Определение Ковариация или корреляционный момент K xy случайных величин ( X, Y ) называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий.

K xy M X M x Y M y Для дискретных случайных величин корреляционный момент находим K xy xi a x y j a j pij n m i 1 j для непрерывных случайных величин ( x M ( X ))( y M (Y )) f ( x, y)dxdy.

К ху Корреляционный момент описывает связь между составляющими двумерной случайной величины.

Действительно, убедимся, что для независимых X и Y K xy 0.

В этом случае f ( x, y ) f1 ( x) f 2 ( y ), тогда K xy ( x M ( X )) f1 ( x)dx ( y M (Y )) f 2 ( y )dy 1 ( x) 2 ( y ) 0.

Итак, две независимые случайные величины являются и некоррелированными.

Замечание Корреляционный момент системы двух случайных величин - второй смешанный центральный момент:

Ковариация (от англ. covariation - "совместная вариация") мера линейной зависимости двух величин. Ковариация показывает, есть ли линейная взаимосвязь между двумя случайными величинами, Определение Коэффициент корреляции безразмерный коэффициент коррелированности двух случайных величин K xy q.

x y Коэффициент корреляции показывает характер изменения двух случайных величин.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.