авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 8 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЕЛЕЦКИЙ ...»

-- [ Страница 4 ] --

проверочные, обзорные, итоговые. Каждый вид математических диктантов имеет свои особенности, свои цели, и, следовательно, требования, предъявляемые к составлению этих работ, должны быть различны.

Проверочные диктанты предназначены для контроля усвоения отдельного фрагмента курса в период изучения темы. При их выполнении учитель своевременно получает информацию о том, как усваивается тема, что позволяет ему вовремя выявить ошибки, обнаружить плохо усвоивших тот или иной материал и в зависимости от этого строить работу по изучению данной темы. Учащиеся же получают дополнительную практику в самостоятельном решении задач и тем самым готовятся к контрольной работе по данной теме. Например:

1. Первый член арифметической прогрессии равен 4, второй 6. Найти разность d.

2. Первый член арифметической прогрессии равен 6, второй 2.

Найдите третий член.

3. Найти десятый член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность d равна 4.

4. Является ли последовательность четных чисел арифметической прогрессией ?

5. (bn)-арифметическая прогрессия. Выразите через b1 и d, b10, b100, bk, bk+1.

6. Определение арифметической прогрессии. Понятие разности арифметической прогрессии. Вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Обзорный диктант позволит учащимся повторить материал, систематизировать знания, установить связи между изученными вопросами.

Для этого необходимо определить, какие основные понятия должен усвоить ученик при прохождении этого раздела, какие умения и навыки должен приобрести, какие задания уметь выполнять, каков уровень сложности этих заданий. Задания должны быть четкими, конкретными, понятными. Сюда входят вопросы по проверке изученных определений, теорем, правил, задания на решение несложных задач и упражнений. Основу обзорных диктантов составляют задания репродуктивного характера.

Составленный таким образом диктант дает возможность учителю проверить усвоение узловых вопросов этого раздела. Например:

1. Из данных выражений выберите то, которое является одночленом:

(a+x)(a-x);

xy3xy;

x+x-1.

2. Упростите выражение (3m-11m+4) – (6m-2m-3).

3. Приведите выражение 3x(2x+5) – 7x к многочлену стандартного вида.

4. Разложите на множители выражение 6x-12x+18x.

5. Найдите значение выражения при a=1, b=-2:

ab(4ab - ab)+0,5 ab.

3 1 6. Решите уравнение 2 x + = 6 3x 4 4 Итоговые диктанты являются завершающим моментом повторения в конце года по основным содержательным линиям изученного курса.

В них следует включать задания репродуктивного и реконструктивного характера, которые должны проверять основные умения и навыки;

задания на повторение основных теоретических вопросов:

воспроизведение определений и свойств математических объектов.

Например:

1. Найдите корни уравнения:

а) ( а+11)(а-4)=0;

б) (x+3)x(x+5)=0;

в) 2x-18=0;

г)0,4x 1,6x=0;

y2 д) 6x+5x-4=0;

ж) x-5x+6=0;

з) e) x-6x +9=0;

+7= y y +7.

2. Составьте уравнение по условию задачи.

Расстояние между двумя пристанями 150 км. Теплоход тратит на путь от одной пристани до другой и обратно 14 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч.

Итоговые диктанты, составленные по вопросам курса, дают возможность ученику сосредоточиться на одном вопросе. Если учитель найдет время провести все итоговые диктанты или самостоятельные работы, то в результате их выполнения учащиеся повторят весь материал и продемонстрируют основные знания и умения, приобретенные в период изучения математики.

Способы проведения диктантов:

а) спроецирован на доску с помощью компьютера;

б) зачитан учителем;

в) воспроизведен с помощью звукозаписи;

г) с графической записью ответа.

Организация проверки: обычный способ проверки, когда учитель собирает и проверяет дома, малоэффективен: ребенок жаждет узнать результаты своей работы непосредственно после завершения, на следующий день они его интересуют меньше. Поэтому организовать проверку можно так: учащиеся пишут диктант под копирку, первый экземпляр сдается учителю сразу, а копия остается у ученика и используется для проверки правильности выполнения работы: учитель записывает на доске правильные ответы. Можно проверить диктанты с помощью сигнальных карточек. О совпадении или не совпадении ответов должны одновременно сигнализировать все ученики. Например, совпадение – поднимается зеленая карточка, не совпадение – красная. Учитель видит одновременно ответы всех учащихся и может сказать каждому, верен ли его ответ.

Процесс обучения – процесс двусторонний;

для успеха обучения требуется не только высокое качество работы учителя, но и активная деятельность учащихся, их желание овладеть передаваемыми учителем знаниями, их интерес к обучению, сосредоточенная и вдумчивая работа под руковод-ством учителя. Все эти реакции у учащихся должен вызвать к действию учитель, опираясь на свой авторитет, на контакт с учащимися, на свою увлеченность предметом, любовь и благожелательное отношение к детям.

Систематически применяя на уроках диктанты наряду с другими формами проверки знаний, убеждаемся в том, что они являются эффективным средством активизации учебной деятельности. С их помощью можно проверить, усвоили ли учащиеся обязательный минимум знаний, но нельзя организовать углубленную проверку. Поэтому было бы ошибкой противопоставлять диктанты другим формам контроля. В математическом диктанте контроль может вестись лишь по конечному результату.

ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ОБУЧЕНИИ ИНФОРМАТИКЕ О.М. Киселёва В статье рассматриваются вопросы, посвященные автоматизации учебного процесса и использованию методов математического моделирования как основы для создания образовательных систем автоматизированного проектирования.

Ключевые слова: математическая модель, система автоматизированного проектирования, автоматизация учебного процесса.

В современных условиях основным источником образовательного запроса к системе образования становится личность учащегося. Его интересы, потребности, способности, мотивы должны во все большей степени учитываться при проектировании и организации процесса обучения.

Появление нового источника образовательного запроса делает востребованным учет индивидуальных особенностей учащихся, их личности.

Существующая система образования, на наш взгляд, не удовлетворяет сегодняшнему социальному заказу. Причин такого положения дел несколько. Первая обусловлена процессами глобальной информатизации. Речь в данном случае идет о росте информационной составляющей цивилизации, процессе становления информационного общества, о развитии социальной информатики, в частности, занятой изучением вопросов влияния информатизации на систему образования.

Вторая причина: изменился источник запросов к системе образования. Теперь, когда все большую роль в этом процессе играют учащиеся, их семьи или микросоциальные группы, школа вынуждена учитывать специфические, уникальные запросы каждого конкретного ученика. Но чтобы школа действительно могла это делать, необходима гибкая система, способная быстро адаптироваться к большому числу меняющихся факторов.

Одно из свидетельств кризиса в системе образования — появление и широкое распространение внесистемных источников образовательных услуг, в том числе репетиторства. Его причина — неудовлетворенность учащихся и их родителей качеством или количеством того, что им доступно в рамках системы образовании. Не поднимая вопроса о необходимости коренного изменения в целом роли и места образования в обществе, будем рассматривать указанное противоречие, ограничившись пределами самой образовательной системы [2].

Для учителя новые условия деятельности означают заметное увеличение объема информации, обрабатываемой в процессе подготовки к уроку, его проведения и анализа результатов. Выход — передать часть его функций компьютеру, создав компьютеризованные обучающие системы, обрабатывающие часть информации и выдающие некоторые управленческие решения. Система средств обучения, реализующая определенные функции учителя, называется системой автоматизированного проектирования.

В настоящее время автоматизация учебного процесса практически сводится к разработке и использованию автоматизированных обучающих систем. Эти системы ориентированы на учащегося, которого они рассматривают как основного пользователя, и отводят учителю пассивную роль. Предполагается даже отрыв учителя от подготовки учебного материала.

В таком подходе отражается основная черта ранних этапов разработки всех автоматизированных систем – недооценка роли человека как субъекта управления (в учебном процессе эта роль принадлежит учителю). Термин «автоматизированная система» понимается, скорее, как «автоматическая система», в которой роль человека сводится к минимуму.

Однако главная, наиболее трудная, творческая роль в принятии решения принадлежит человеку, а ЭВМ играет лишь вспомогательную роль.

В процессе работы учитель находится в динамически изменяющейся среде. Уровень знаний и навыков учащихся постоянно колеблется. Разные классы предъявляют различные требования к уровню сложности объяснения материала и самостоятельных знаний. В учебном процессе творческий учитель вынужден постоянно решать сложнейшие проблемы в процессе подготовки к объяснению нового материала, подбора демонстрационных примеров, закрепляющих и контролирующих заданий. Эта работа требует от учителя поистине титанических усилий, направленных на переработку множества учебных, методических и дидактических материалов. Однако их количество с каждым годом растет, и ориентироваться в этом потоке одному человеку невозможно.

Для того чтобы облегчить подготовку учителя и создаются системы автоматизированного проектирования работы учителя. Однако для создания таких систем необходима предварительная формализация содержания той предметной области, в которой они должны функционировать.

В общем виде формализация понимается как сведение некоторого содержания (содержания текста, смысла научной теории, воспринимаемых сигналов и пр.) к выбранной форме.

Например, оглавление книги – это формализация ее содержательных частей, а сам текст книги можно рассматривать как формализацию посредством языковых конструкций мыслей, идей, размышлений автора.

Итогом формализации научной теории является, как правило, совокупность формул, графиков, схем, таблиц и пр. План действий в результате формализации превращается в алгоритм [1].

В настоящее время существует много методов математического моделирования (графовые, вероятностные, алгебраические методы и др.), поэтому моделирование может стать удобным средством формализации.

Основу математического моделирования составляет использование формул. Считается, что математическое моделирование – это наиболее распространенный вид моделирования в науке, именно поэтому язык математики называют универсальным языком науки. Математические формулы возникают в большинстве случаев как результат исследования реальных физических, экономических, социальных и педагогических систем. Основное их назначение – описание наблюдаемого поведения систем и предсказание свойств и поведения этих систем за пределами видимых наблюдений.

Математическое моделирование – мощный метод познания, прогнозирования и управления процессом обучения. Анализ математических моделей позволяет проникнуть в сущность изучаемых педагогических явлений. Это обусловливает широкое распространение данного вида моделирования в педагогической науке и в практической деятельности педагога, а также особую роль математических моделей в обучении [3].

Использование математических моделей в обучении позволяет:

- давать описание педагогического объекта в наиболее компактном виде;

- отразить причинно-следственные связи процесса обучения;

- передать такие свойства педагогического объекта, которые не поддаются описанию другими средствами;

- предсказать свойства и поведение моделируемого педагогического объекта за пределами видимых наблюдений.

Библиографический список 1. Бешенков С. Моделирование и формализация. Метод. пособие. М.:

Лаборатория базовых знаний, 2002.

2. Бояринов Д.А. О формализации некоторых теоретических понятий методики преподавания математики // Вестник высшей школы, 2003. № 3. С. 27-30.

3. Емельченков Е.П. Математические модели в педагогических исследованиях // Методология и методика информатизации образования: концепции, программы, технологии. Материалы Всероссийской научно-практической конференции, 17-19 октября 2005 года. Смоленск: СГПУ, 2005. Вып. 1. С. 32-51.

ИЗУЧАЕМ СВОЙСТВА ТРАПЕЦИИ Г.И. Ковалёва Статья посвящена изучению свойств трапеции, предложен вариант включения «неизвестных» свойств в содержание школьного курса планиметрии.

Ключевые слова: трапеция, свойство, признак, средняя линия трапеции, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое.

Читая лекцию по элементарной математике на математическом факультете педагогического университета, автор статьи попросила сформулировать будущих учителей математики известные им свойства трапеции. Пятикурсники припомнили свойство средней линии трапеции и свойства равнобедренной трапеции. Эксперимент был продолжен при встрече с учителями математики. Результат был не на много богаче. Какими же замечательными свойствами обладает трапеция? Где и когда их изучать в школьном курсе геометрии?

После изучения свойства средней линии трапеции можно сформулировать и доказать свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

MO – средняя линия треугольник ABC и B C равна BC. MQ – средняя линия M N треугольника ABD и равна AD.

ОQ Тогда OQ = MQ MO, следовательно D OQ = 1 AD 1 BC = 1 ( AD BC ).

A 2 2 Отрабатывая основной прием решения задач на трапецию «провести две высоты», учащимся необходимо предложить задачу: «Пусть BT – высота равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD. ВС = а, AD = b.

Найдите длины отрезков AT и TD».

Решение задачи не вызывает у a B C учащихся затруднения, главное усилие ba а Т A D ba b+a b 2 педагога должно быть направлено на свойства высоты отработку равнобедренной трапеции, проведенной из вершины тупого угла:

высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований.

Тема «Подобие фигур» очень благодатна для изучения свойств трапеции. Например, диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики. Назовем это утверждение свойством треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями. Причем первая часть утверждения доказывается очень легко через признак подобия треугольников по двум углам. Вторую часть можно предложить учащимся в виде задачи.

Треугольники BOC и COD имеют общую B C высоту, если принять за их основания S BO отрезки BO и OD. Тогда BOC = = k.

O SCOD OD Следовательно, SCOD = S BOC.

k D A Аналогично, треугольники BOC и АОВ имеют общую высоту, если S CO принять за их основания отрезки CO и OA. Тогда BOC = =k и S AOB OA S AOB = S BOC.

k Из этих двух предложений следует, что SCOD = S AOB.

Было бы замечательно не останавливаться на сформулированном утверждении, а найти связь между площадями треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями, предложив учащимся решить задачу: «Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями BC и AD. Известно, что площади треугольников BOC и AOD равны соответственно S 1 и S 2. Найдите площадь трапеции».

Так как SCOD = S AOB. Отсюда S ABCD = S1 + S 2 + 2 SCOD, из подобия BO S треугольников BОC и AOD следует, что.Следовательно, = OD S S1 BO S = = SCOD = S1 S 2.

SCOD OD S ( ) Тогда S ABCD = S1 + S 2 + 2 S1 S 2 = S1 + S 2.

С использованием подобия доказывается и свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. Предлагаем учащимся решить задачу: «Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями BC и AD. ВС = а, AD = b. Найдите длину отрезка PK, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. На какие отрезки делится PK точкой О».

C B Из подобия треугольников AOD и BOC AO AD b Р К следует, что = =.

OC BC a О Из подобия треугольников AOP и ACB AO PO b следует, что = =.

D A AC BC a + b b ab Отсюда PO = BC =.

a+b a+b Аналогично, из подобия треугольников DOK и DBC следует, что 2ab ab. Отсюда PO = OK и PK = OK =.

a+b a+b Добиваемся от учащихся осознания доказанного свойства: отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции.

Следующее свойство четырех точек не вспомнили ни студенты, ни учителя, что является свидетельством того, что учащиеся тоже его не знают.

В трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной линии.

Треугольники BSC и ASD подобны, и в S каждом из них медианы ST и SG делят угол при вершине S на одинаковые части. Следовательно, точки S, T и G лежат на одной прямой.

Точно так же на одной прямой T С В расположены точки T, O и G. Это следует из подобия треугольников O BOC и AOD.

Значит, все четыре точки S, T, O и G лежат на одной прямой.

А D G Знакомя учащихся с подобием фигур (не треугольников), можно предложить найти длину отрезка, разбивающего трапецию на две подобных.

a B C Если трапеции ALFD и LBCF a LF подобны, то =.

L F LF b Отсюда LF = ab.

D A b Таким образом, отрезок, разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований.

После вывода формулы площади трапеции полезно доказать свойство отрезка, делящего трапецию на две равновеликие.

Пусть площадь трапеции равна S.

B a C h1 и h2 – части высоты, а х – длина искомого отрезка. Тогда h x Н Е S a+x b+x h2 и = h1 = 2 2 h2 a+b (h1 + h2 ).

S= D A b Составим систему h2 a + x h = b + x, (a + x )h1 = (b + x )h2, a+b (a + x )h1 = 2 (h1 + h2 );

a + x = a + b 1 + h2.

h ( ) Решение системы x = a + b2.

Таким образом, длина отрезка, делящего трапецию на две a2 + b равновеликие, равна (среднему квадратичному длин оснований).

Итак, для трапеции ABCD с основаниями AD и BC ( AD = b, BC = a ) доказали, что отрезок 1) MN, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям и равен их полусумме (среднему арифметическому чисел a и b);

2) PK, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции 2ab параллельно основаниям, равен (среднему гармоническому чисел a и a+b b);

3) LF, разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину, равную среднему геометрическому чисел a и b, ab ;

4) EH, делящий трапецию на две равновеликие, имеет длину a2 + b (среднее квадратичное чисел a и b).

Чтобы учащиеся осознали связь между указанными отрезками, необходимо попросить построить их для данной трапеции. Без труда учащиеся построят среднюю линию трапеции и отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. Где будет лежать третий и четвертый отрезок? Ответ на этот вопрос должен привести учащихся к открытию связи между средними величинами.

Признак и свойство вписанного четырехугольника должны быть конкретизированы для всех известных учащимся четырехугольников, в том числе и для трапеции. Свойство вписанной трапеции: трапеция может быть вписана в о к ужно с ь в то м и то л ко в то м случае, ко г а она р т ь д равнобедренная.

Необходимое условие. Доказать, что B около равнобедренной трапеции C можно описать окружность. Так как (как углы A + B = 180° прилежащие к боковой стороне трапеции) и B = C (как углы при А D основании равнобедренной трапеции), то A + С = 180°.

Аналогично, B + D = 180°. Имеем A + B = B + D = 180°, следовательно, около трапеции можно описать окружность.

Достаточное условие. Трапеция вписана в окружность. Доказать, что она равнобедренная. A + B = 180° (по свойству трапеции) и A + С = 180° (так как трапеция вписана в окружность). Следовательно, B = C и трапеция ABCD – равнобедренная.

Свойства описанной трапеции. Около окружности можно описать трапецию тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

Необходимое условие. Известно, что BN C сумма длин оснований трапеции равна M сумме длин ее боковых сторон. Доказать, K что в трапецию можно вписать окружность.

О D A L Доказательство полностью совпадает с признаком описанного четырехугольника (№ 724 «Геометрия 7 9» под ред. Л.С. Атанасяна).

Достаточное условие. Трапеция описана около окружности. Доказать, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Отрезки АМ и AL равны как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности. Аналогично, MB = BN, NC = CK, KD = DL.

Тогда AB + CD = AM + MB + CK + KD = AL + BN + NC + DL = AD + BC.

Для решения задач очень полезны следствия:

1. Высота описанной трапеции равна двум радиусам вписанной окружности.

2. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под прямым углом.

Первое очевидно. Для доказательства второго следствия необходимо установить, что угол COD прямой, что также не составляет большого труда.

Зато знание этого следствия позволяет при решении задач использовать прямоугольный треугольник.

Для осознания учащимися следствий попросим конкретизировать их для равнобедренной описанной трапеции.

Высота равнобедренной описанной С В трапеции есть среднее геометрическое N оснований трапеции. h = 2r = ab.

K O А D L Каждое предложенное свойство не должно стать для учащихся догмой. Некоторые из них являются продолжением работы по закреплению изученных теорем, другие предъявляются в форме задач и закрепляются через задачи. Изучение этих свойств не является обязательным, но если учитель сумеет естественным образом встроить их в учебный процесс, то это позволит учащимся не только познать трапецию, но и поможет научиться решать задачи на трапецию. А для этого учитель математики (или будущий учитель) как минимум должен знать свойства трапеции.

ИНТЕРАКТИВНАЯ ДОСКА – ИНСТРУМЕНТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Е.А. Курилина В статье делается акцент на значимость использования интерактивной доски в учебном процессе, рассматриваются вопросы, связанные с особенностями применения информационных технологий в образовательном процессе.

Ключевые слова: интерактивная доска Новые аппаратные, программные и коммуникационные средства существенно повысили роль информационных технологий в образовании.

Информационные технологии лежат в основе накопления, обработки, представления и использования информации с помощью электронных средств. К числу крупномасштабных инноваций, пришедших в российскую школу в последние десятилетия, относится компьютеризация школьного образования. Многие методики образования связаны сегодня с применением интерактивных методов обучения. Интерактивное обучение – это диалоговое обучение, в ходе которого осуществляется взаимодействие учителя и ученика.

Интересную часть новых технических средств информационных технологий сегодня представляют интерактивные доски, которые постепенно могут вытеснить традиционные доски на основе мелков и маркеров. Полностью функционирующие интерактивные доски интегрируют в себе четыре компонента: компьютер, мультимедийный проектор, программное обеспечение и собственно доска [1].

Известно, что на интерактивной доске можно делать все то же, что и на обычном компьютере: набирать, редактировать, форматировать и сохранять текст, показывать слайды и фильмы. Достаточно всего лишь коснуться поверхности доски, чтобы открыть нужный файл с используемым документом. Специальное программное обеспечение позволяет работать с текстами и объектами, аудио- и видеоматериалами, Internet-ресурсами.

Интерактивная доска значительно расширяет возможности представления учебной информации и позволяет усилить мотивацию учеников.

Применение мультимедиа технологий (цвета, графики, звука и современных средств видеотехники) позволяет моделировать различные ситуации, активизировать познавательную деятельность обучающихся и усиливает усвоение материала. Развитие электронных средств мультимедиа открывает для сферы обучения принципиально новые дидактические возможности.

Так, системы интерактивной графики и анимации позволяют в процессе анализа изображений управлять их содержанием, формой, размерами, цветом и другими параметрами для достижения наибольшей наглядности.

При условии внедрения интерактивных досок в образовательный процесс необходимо знать технические возможности компьютера, хорошо ориентироваться в компьютерных программах и программном обеспечении интерактивных досок, владеть методикой применения их в учебном процессе. К сожалению, преподаватели в большинстве случаев используют интерактивную доску либо как проектор, либо как традиционную меловую, используя электронный маркер как мел часто даже без сохранения проделанной работы. Но интерактивный урок — это не только презентация в традиционном понимании, тут можно было бы просто применить проектор. При использовании интерактивной доски нужно работать с учебным материалом, например, что-то вычеркивать, компоновать, демонстрировать работу одного ученика всем остальным ученикам класса, демонстрировать веб-сайты через интерактивную доску всем слушателям, использовать групповые формы работы, осуществлять совместную работу над документами, таблицами или изображениями, управлять компьютером без использования самого компьютера и т.д. Интерактивные доски, компьютеры и информационные технологии – это удобные инструменты, которые при разумном использовании способны привнести в школьный урок элементы новизны, повысить интерес учащихся к приобретению знаний, облегчить учителю задачу подготовки к занятиям. При условии систематического использования электронных мультимедиа обучающих программ в учебном процессе в сочетании с традиционными методами обучения и педагогическими инновациями значительно повышается эффективность обучения детей с разноуровневой подготовкой. Нет сомнения в том, что именно такая организация обучения, в котором внедряются интегрированные уроки с использованием информационных технологий, позволит воспитать образованных и творческих людей.

Поэтому важной задачей для преподавателя является не просто освоить новые технологии, а научиться эффективно, целесообразно и экономно соединять их со всем наработанным ранее опытом. Новые информационные технологии в образовании дают возможность педагогам не только сделать изучение материала более наглядным и проблемно ориентированным, но и показать связь между отдельными предметными областями. Разумеется, как и при классических уроках, центральное место при проведении уроков с интерактивными досками принадлежат тематическому наполнению, зависящему от направленности и назначения уроков.

Библиографический список 1. Галишникова Е.М. Использование интерактивной доски в процессе обучения // Учитель, 2007. № 4. С. 8-10.

2. Голодов Е.А., Гроцкая И.В., Бельченко В.Е. Интерактивная доска в школе.

Волгоград: Учитель, 2010.

3. Роберт И.В. Современные информационные технологии в образовании. М.:

Школа-Пресс, 1994.

4. http://www.smartboard.ru/view.pl?mid= МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИСТОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ С ПРИВЛЕЧЕНИЕМ ЗАДАЧ ПРОГНОСТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА Е.В. Лебедева, В.Д. Селютин В статье излагается способ обучения студентов-экономистов вероятностно-статистическим методам на основе прогнозирования.

Раскрывается сущность разработанного содержания курса теории вероятностей и методических приёмов его изучения с привлечением задач прогностического характера.

Ключевые слова: прогнозирование, теория вероятностей, прикладная направленность, студенты-экономисты, статистические представления.

На современном этапе своего развития общество предъявляет все более высокие требования к высшей школе. В условиях рыночной экономики особенно остро встает вопрос подготовки высококвалифицированных специалистов экономического профиля. При этом особую роль играет овладение ими вероятностно-статистическими методами, поскольку любая предпринимательская деятельность связана с неопределенностью достижения конечного результата из-за влияния большого числа случайных и неконтролируемых факторов. Важное значение имеет изучение основ науки о случайном для формирования умений планировать и прогнозировать экономические процессы. Высшими образовательными учреждениями накоплен достаточно богатый опыт в обучении теории вероятностей будущих специалистов в области экономики.

Однако проблема прикладного характера этого раздела вузовской математики остается не решенной. Современные учебные пособия, как правило, не содержат задач с профессионально ориентированным содержанием, с помощью которых студенты могли бы утвердиться в мысли, что теория вероятностей действительно важна в их будущей профессиональной деятельности.

Данное обстоятельство заставляет нас обратить внимание на то, что в изучении теории вероятностей не задействованы механизмы мотивации, связанные с заинтересованностью студентов в овладении умениями планировать и прогнозировать экономические процессы. Они не осознают тех возможностей, которые даёт изучение теории вероятностей для предвидения кризисных явлений, для построения прогнозов о перспективах развития экономических объектов и процессов в будущем.

Поэтому прогнозирование должно быть внедрено в методическую систему обучения теории вероятностей будущих экономистов в качестве способа реализации его прикладной направленности, а это позволит существенно повысить качество усвоения базовых вероятностных понятий, одновременно способствуя формированию и актуализации определенных профессионально значимых умений выявления экономических тенденций.

Предложенный способ соответствует требованиям к подготовке студентов по теории вероятностей, установленным в Государственном образовательном стандарте высшего профессионального образования по экономическим специальностям. Однако традиционно сложившееся содержание и последовательность изучения теории вероятностей становятся в некоторой степени помехой его осуществлению, так как некоторые понятия теории вероятностей, изучаемые по традиционной методике, не согласуются с идей прогнозирования как способа осуществления прикладной направленности. Поэтому изучение теории вероятностей должно базироваться на статистических представлениях, которые составляют ее эмпирическую основу. Необходимо начинать с темы «Первичная обработка результатов опытов», которая будет способствовать формированию у студентов первичных статистических представлений и позволит развить умения и навыки, необходимые для осуществления начальных этапов прогнозирования.

Сведенные в таблицу или представленные графически статистические данные наталкивают студента на попытки экстраполировать подмеченные свойства объектов выборки на всю генеральную совокупность, спрогнозировать динамику экономических показателей.

Пример. Владелец фирмы считает, что добиться более высоких финансовых результатов ему помешала неравномерность поставок комплектующих по месяцам года, несмотря на то, что поставщик в полном объеме выполнил свои обязательства за год.

Распределение поставок по месяцам года представлено на рис. 1.

На какой объем поставок может рассчитывать владелец фирмы в будущем?

Изобразите «предполагаемый» отрезок на графике.

Взаимодействие с накопленным в целях прогнозирования эмпирическим материалом, знакомство с конкретными экспериментальными проявлениями закона больших чисел способствуют развитию представлений о статистической устойчивости в мире случайностей, упорядоченности случайных факторов. В результате складываются благоприятные возможности для естественного перехода к некоторым вероятностным понятиям непосредственно от своих статистических предшественников в терминологии прогнозирования.

Базовые вероятностные понятия (вероятность, математическое ожидание, график функции распределения, график плотности распределения и др.) целесообразно вводить на основе «теоретически ожидаемых»

математических абстракций в ходе мысленного прогнозирования при неограниченном увеличении числа опытов:

– вероятность события как результат прогнозирования значений частоты;

– математическое ожидание случайной величины как результат прогнозирования выборочной средней;

– график функции распределения вероятностей случайной величины как результат прогнозирования конфигураций ломаных накопленных частот;

– график плотности распределения вероятностей как результат прогнозирования конфигурации гистограммы;

– линия регрессии как результат прогнозирования ломаной средних (эмпирической линии регрессии);

– коэффициент корреляции двух случайных величин как результат прогнозирования эмпирического коэффициента корреляции двух признаков.

При данном подходе к введению базовых вероятностных понятий предлагается рассматривать мотивирующие примеры, обеспечивающие через их анализ переход от конкретного к абстрактному и только затем к формальным построениям.

Например, рассматривая сведения о времени, определяющем длительность инвестиционного проекта жилищного строительства, ставим задачу спрогнозировать, насколько велика вероятность того, что длительность инвестиционного проекта составит менее 12 месяцев.

Построив гистограмму, студенты делают вывод, что вероятность завершения инвестиционного проекта менее чем за 12 месяцев можно приближенно оценить в 55%. Более того, они прогнозируют поведение конфигурации гистограммы в условиях массового статистического исследования. Создается благоприятная ситуация, чтобы сформулировать свойство устойчивости гистограммы: при увеличении числа опытов и измельчении интервалов группировки конфигурация гистограммы непрерывного признака приближается (за редким исключением) к некоторой линии. Эту теоретически ожидаемую линию называют графиком плотности распределения y = f (x) (рис.2).

Введение каждого нового вероятностного понятия требует закрепления путем прямого и непосредственного вычисления (нахождения или построения). Закрепление изученных вероятностных понятий и методов следует проводить путем математического моделирования статистических экономических ситуаций прогностического характера. При этом возможно осуществление всех этапов решения прикладных задач: от постановки цели на языке прогнозирования, через выбор вероятностно-статистических средств ее достижения и получения математического результата, к истолкованию его в терминах построения прогноза.

Например, с целью закрепления формул полной вероятности и Байеса студентам предлагаются данные, полученные в ходе обследования населения по вопросам занятости (табл.1), и поручается сделать предположение (прогноз) об уровне образования лица, которое в ближайшее время может стать безработным, если из 250 безработных оказалось мужчины и 168 женщин.

Таблица 1 – Распределение безработного населения Орловской области по уровню образования Пол Мужчины Женщины Образование Высшее образование 0,189 0, Средне-профессиональное образование 0,458 0, Общее среднее образование 0,306 0, Не имеют среднего образования 0,375 0, Информация о распределении мужского и женского экономически активного, занятого и безработного населения по уровню образования и её вероятностная интерпретация позволяют студентам рассматривать относительные частоты как оценки условных вероятностей появления соответствующих событий.

Например, если 0,304 - доля имеющих высшее образование лиц среди безработных женщин, то 0,3 - оценка вероятности наличия у безработного высшего образования при условии, что это женщина.

Используя формулу полной вероятности, студенты выполняют расчеты, которые позволяют предположить, что у лиц с общим средним образованием возможность стать безработным выше, чем у лиц с высшим образованием в 0,607 / 0,515 = 1,18 раза.

Как показывает практика, обучение студентов-экономистов теории вероятностей с использованием элементов прогнозирования способствует лучшему усвоению вероятностно-статистических понятий. Студенты более осознанно применяют изученные методы в сфере профессиональной деятельности, связанной с экономическим прогнозированием.

МУЗЫКА В МАТЕМАТИКЕ С.Ю. Луконина, Л.Р. Шакирова Статья посвящена проблеме взаимосвязи науки и искусства на примере математики и музыки. Рассматриваются средства развития интереса учащихся к математике.

Ключевые слова: наука, искусство, математика, музыка, Пифагор.

Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства.

Генрих Нейгауз Наука и искусство тесно связаны между собой. Нельзя воспитать гармонически развитую личность, не учитывая принципы художественной педагогики, художественного познания жизни. Влияние искусства на развитие эмоциональной сферы школьника, личностные качества, развитие фантазии, интуиции, воображения – доказывают и научные исследования и повседневная жизнь. Эмоционально развитый ребенок во много раз быстрее освоит науки, справится с любыми проблемами успешнее, чем человек робот, многому обученный, но мало чувствующий. Искусство повышает творческий потенциал и познавательную активность. Очень важно, чтобы способы познания мира – научный и художественный – гармонично сочетались в урочной и внеурочной деятельности. Только единство этих двух видов познания, их гармония могут дать нам мыслящую, чувствующую личность, способную к преобразованию жизни по законам красоты.

Математика с древних времен была связана с искусством. Долгое время затруднялись, куда ее отнести: к естественным или гуманитарным наукам. Первые теоретические образы прекрасного и первые абстракции, понятия о прекрасном были связаны с математикой и развивались на ее основе.

Математика – это язык, на котором говорят не только наука и техника, математика – это язык человеческой цивилизации. Она практически проникла во все сферы человеческой жизни. Современное производство, компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности. Это предполагает и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления, вырабатываемый математикой.

Идеи, заложенные в методике преподавания, основаны на нестандартности подачи материала, который более полно раскрывает красоту окружающего мира и показывает связь с ним, объясняет совершенство окружающих нас форм. Это проявляется в использовании путей и методов для реализации эстетического потенциала математики на уроках и во внеурочной деятельности, в изучении математики как части искусства и культуры.

Самое важное – вызвать у учеников интерес к предмету и пробудить желание заниматься математикой в дальнейшем.

Успешными средствами в развитии интереса к математике являются:

1. Разработка разовых интегрированных уроков и элементов уроков.

2. Разработка компьютерных презентаций и уроков, объединяющих материал одного или ряда предметов.

3. Рождение новых спецкурсов, обновляющих содержание математики, и спецпредметов в рамках предпрофильной и профильной подготовки учащихся.

4. Рассказ учителя или реферативный доклад учащегося – красивая история или легенда о математическом открытии, числе, формуле.

Рассмотрим опыт работы учителей математики медико биологического лицея № 116 Вахитовского района г. Казани. В данную школу ребята идут целенаправленно изучать биологию и химию. Поэтому учителя алгебры и геометрии особое внимание уделяют развитию интереса к их предметам, так как эти две науки нужны для изучения профилирующих предметов, для развития логического мышления, воображения и красоты мысли, для сдачи ЕГЭ.

Так, например, под руководством учителя I категории Салиной Натальи Юрьевны ее учеником проведена и представлена на Ломоносовских чтениях исследовательская работа по взаимосвязи математики и искусства под названием «Алгебра музыки», занявшая I место. В данной работе ученик показал, что математика и музыка – два полюса человеческой культуры, две системы мышления.

Математика связана со строгим логическим мышлением, упорядоченным и неограниченным пространством чисел. Музыка связана с воображением, фантазией, многогранным и многоцветным восприятием, с таинственным и также безграничным миром звуков. Музыка принимает многообразие, математика – единственность. Музыка действует на чувства, душу, математика – на разум. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства. И эту связь можно найти уже в «назначении» математики и музыки. Цель человека – познание мира, а в идеале – истины мира.

Поскольку человек – не каменное образование, не бездушная машина, в нем присутствует то, что не поддается логике (и можно назвать «это» красивым словом иррациональность). Однако без «почвы под ногами» также невозможно представить себе жизни, поскольку каждая вещь материального мира несет эмоциональную нагрузку, а значит, нельзя и без рациональности.

Музыка, на наш взгляд, является «идеальным» из всех видов искусства, поскольку она способна непосредственно воздействовать на чувства человека, а значит, на его иррациональную часть. Из вышесказанного можно заключить, что если человек не может жить либо без одной, либо без другой своей части, значит части не могут жить друг без друга, как не могут быть разъединены и идеальные инструменты их познания, откуда следует, что музыка и математика навек соединены в человеке. И именно человек, как существо думающее и стремящееся дать оценку и объяснение всему происходящему, действительно оценил и сам нашел взаимосвязь музыки и математики.

Также в этой работе рассматривались такие вопросы, как музыкальная гармония Пифагора и пифагорова комма.

Пифагор был не только математиком и философом, но и теоретиком музыки. Он занимался поисками музыкальной гармонии, поскольку верил в то, что такая музыка необходима для очищения души и врачевания тела и способна помочь разгадать любую тайну. Однажды, проходя мимо кузницы, Пифагор случайно услышал, как удары молотов создают вполне определенное созвучие, и после этого занялся экспериментами, пытаясь найти соотношения между высотой тона и числами. С помощью чаши с водой и однострунной арфы он изучил взаимосвязь между уровнем воды и длиной струны и обнаружил, что половина длины струны поднимает ноту на одну октаву вверх. Восемь звуков — до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до — древнейшая музыкальная гамма. В наши дни темперированная гамма включает в себя двенадцать нот, включая диезы и бемоли, но в основе ее лежит изобретение, за которое мы должны благодарить Пифагора.

Необычность открытия заключалась в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

В основе музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых – Пифагора и Архита. Вот эти законы:

1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е.

как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n/(n+1) (n=1, 2, 3), тем созвучнее получающийся интервал.

2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l. w=a/l, где a - коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

Рассмотрим сущность пифагоровой коммы.

Итак, для того, чтобы иметь возможность переходить из лада в лад и из тональности в тональность, строй должен быть равномерным, т.е. иметь одинаково высотные расстояния (интервальные коэффициенты) между звуками.

Рассмотрим ряд, составленный из степеней числа 3/2:

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3...,,,,,,,,,,...

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Оказывается, с помощью этого красивого симметричного ряда можно получить все интервальные коэффициенты пифагорова строя. Начнем с сер е ины р я а и все по л д д учаемые звуки будем сво д ить в о д о к ну таву, умножая или деля их интервальные коэффициенты на нужные степени числа 2 (интервальный коэффициент октавы). Новые звуки будем обозначать либо ближайшим снизу основным звуком с добавлением слова «диез» при движении по квинтам вверх, либо ближайшим сверху основным звуком с добавлением слова «бемоль» при движении по квинтам вниз. Это означает соответственно повышение или понижение основного звука. Итак, Получается, что простой математический анализ многих музыкальных шедевров позволяет совершенно иными глазами взглянуть на них, увидеть их скрытую внутреннюю математическую красоту, которую мы только ощущаем, слушая произведение.

Таким образом, исследовательская работа формирует интерес к научному творчеству, обучает методике и способам самостоятельного решения научно-исследовательских задач, развивает творческое мышление и самостоятельность, а также воображение и красоту мысли. Это способствует и повышению интереса учащихся к получению знаний вообще и к изучению математики в частности.

Библиографический список 1. http://www.mathforum.ru Пенкин М. Искусство и наука. М.: Современник, 1982.

2.

КОМПОНЕНТЫ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ Е.Н. Лыков В статье рассмотрены компоненты познавательной самостоятельности студентов при изучении математики и указаны некоторые способы их формирования.

Ключевые слова: познавательная самостоятельность студентов, мотивационный компонент, задачи на практическое содержание, дифференциальные уравнения, содержательно-операционный компонент, научные общества, волевой компонент, летние математические школы.

Вопрос о познавательной самостоятельности уходит своими корнями в глубокую древность. Ещё Сократ подчёркивал важность специального руководства познавательной активности и самостоятельности в процессе обучения. Углубление мысли о познавательной самостоятельности как средстве активизации обучения получило в работах Я.А. Каменского, а затем в трудах И.Г. Песталоцци.

Исследователи вкладывают разный смысл в содержание понятия познавательной самостоятельности. Очевидно, это интегративное свойство личности, требующее системного подхода к его анализу.

Познавательная самостоятельность характеризуется такими проявлениями, как саморегуляция познавательной деятельности, синтез познавательного мотива и способов самостоятельного поведения, устойчивое отношение обучаемых к познанию [6].

Можно выделить следующие компоненты познавательной самостоятельности студентов.

1. Мотивационный компонент.

Мотив – это внутренний стимул к действию, осознанное побуждение для определённого вида действия. Мотивационный компонент познавательной самостоятельности характеризуется побуждением к деятельности, которое возникает на основе осознания противоречия между возникшей познавательной потребностью и возможностью её удовлетворения своими силами. Он включает мотивы долга и интереса.

Для развития интереса студентам необходимо на занятиях давать различные задачи на практическое содержание, а также задачи, которые имеют оригинальные решения.

Например, при изучении темы «Системы дифференциальных уравнений» студентам может быть предложена следующая задача:

Миноносец охотится за подводной лодкой в густом тумане. В какой то момент времени туман поднимается и подводная лодка оказывается обнаруженной на поверхности воды на расстоянии 3 миль от миноносца.

Скорость миноносца вдвое больше скорости подводной лодки. Требуется определить траекторию (кривую погони), по которой должен следовать миноносец, чтобы он прошёл точно над подводной лодкой, если последняя сразу же погрузилась после её обнаружения и ушла на полной скорости прямым курсом в неизвестном направлении [1, с. 38].

Решение данной задачи сводится к решению системы dr dt = v, дифференциальных уравнений: где v – скорость подводной d r dt = 3v.

d dr скорость, с которой миноносец удаляется от полюса, а r лодки, dt dt линейная скорость вращения миноносца относительно полюса.

Дифференциальные уравнения дают возможность решать многие вопросы общетехнических и специальных прикладных дисциплин: физики, теоретической механики, сопротивления материалов, гидравлики, химии, биологии, экономики. Поэтому вместо приведённого примера можно было бы привести и бесконечное множество других ещё более интересных и оригинальных. То же самое наблюдается и при изучении других тем и разделов математики.

Проводилось анкетирование среди студентов физико математического и инженерно-физического факультета. Более 95% опрашиваемых студентов высказались за то, что им необходимо решать задачи, которые имеют практический смысл. Более 60% считают, что недостаточным решить задачу одним способом и при решении задачи необходимо продумать другие возможные способы её решения.


2. Содержательно-операционный компонент.

Этот компонент познавательной самостоятельности студентов включает в себя систему ведущих знаний и способов учебно-познавательной деятельности, которые определяют умение самостоятельно овладевать новыми знаниями и способами деятельности.

Студенты должны уметь планировать свою деятельность, рационально её организовывать, определять пути и средства выполнения работы, осуществлять самоконтроль, организовывать её достижение и т.д.

Для того чтобы человек имел знания в какой-либо сфере деятельности, необходимо систематически заниматься этим вопросом.

Например, учащиеся музыкальных школ каждый день не менее чем по одному часу играют на музыкальном инструменте, тем самым оттачивают мастерство, и уже на пятом году обучения могут исполнять очень сложные музыкальные произведения известных классиков.

Для организации самостоятельной работы большую роль могут сыграть научные общества, где заинтересованные студенты хотя бы один раз в неделю смогут собираться и обсуждать подготовленные доклады, научные статьи, возможно, какие-то задачи и проблемы.

Руководитель научного студенческого общества поможет студентам организовать работу в поиске информации и её изучении. И только ежедневный кропотливый труд поможет студенту на пятом году обучения самостоятельно изучать труды выдающихся математиков.

3. Волевой компонент.

Самостоятельное продвижение в познании даже при наличии стремления к овладению знаниями и чёткой организации работы может не произойти, если обучаемый не совершит определённого волевого усилия.

Поэтому волевой компонент, в основе которого лежит готовность к совершению волевого усилия по преодолению познавательного затруднения и её реализация в деятельности, является неотъемлемой частью познавательной самостоятельности.

Как сказано выше, только кропотливый труд может привести к какому-либо результату. Однако определённые бытовые причины могут помешать грамотно спланировать свою работу и достигнуть желаемого.

Приведём ещё одну аналогию, используя уже студентов спортивных факультетов. Иногда для спортсменов организуются сборы на учебно спортивной базе. Здесь студенты тренируются на свежем воздухе, для них организовано питание и созданы условия для достижения отличных результатов.

Для того чтобы студенты-математики имели такие же возможности, необходимо организовывать летние математические школы.

Летние математические школы могут быть различны и по содержанию занятий, и по принципам организации, но во всех школах создаётся высокоинтеллектуальная, творческая атмосфера, осуществляется программа обучения, в которой органично соединены и занятия, и культурный досуг, и отдых, и обучение. В круг интересов входят не только наука, но и вопросы общественной жизни, культуры.

Юность неразлучна со спортом, и спортивные соревнования, секции, туристические походы обеспечат ребятам здоровье.

Можно закрепить со временем определённые традиции, например, «симпозиум фантастических проектов», как в Новосибирском государственном университете, или спортивно-математические состязания и празднование Дня математика, как в Красноярской летней школе, и многое другое.

Наличие возле летней математической школы крупного водоёма или реки может поспособствовать проведению математическо-спортивной эстафеты под названием «Дифференциальный катамаран», суть которой состоит в том, что участники должны продемонстрировать не только быструю скорость при передвижении на катамаране, но и быструю смекалку при решении дифференциальных уравнений. При этом и то и другое они должны делать одновременно.

Организовывать такую работу смогут молодые преподаватели, однако на отдельные мероприятия необходимо приглашать выдающихся деятелей науки, профессоров, академиков, организовывать Интернет общение.

Студенты, обучаемые в летней математической школе, могут также проводить математические олимпиады среди воспитанников детских оздоровительных лагерей, тем самым будет организована профориентационная работа с молодёжью на самом раннем этапе.

Итак, мы рассмотрели компоненты познавательной самостоятельности студентов. Очевидно, решение проблемы формирования познавательной самостоятельности надо искать на пути моделирования всех трёх выше названных компонентов, и только через их единение мы придём к высоким результатам.

Библиографический список 1. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: УРСС, 2003.

2. Вестник ЕГУ им. И.А.Бунина. Вып. 17.: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2008.

3. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. Под ред. С.Н. Федина. М.: Айрис-пресс, 2004.

4. Пономарёв К.К. Составление и решение дифференциальных уравнений инженерно-технических задач. М.: Просвещение, 1962.

5. Профессиональная подготовка в высшей педагогической школе накануне XXI века. Межвузовский сборник научных трудов. Под ред. Э.Д. Новожилова. М.: МПУ, ЕГПИ, 1997.

6. Саранцев Г.И. Формирование познавательной самостоятельности студентов педвузов в процессе изучения математических дисциплин и методики преподавания математики. Саранск: МГПИ, 1997.

7. 7. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П. Савин. М.:

Педагогика, 1989.

К ВОПРОСУ О ПОДГОТОВКЕ К ГИА ПО АЛГЕБРЕ В КЛАССАХ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ Т.К. Малечкина В статье говорится о методике подготовки к ГИА учащихся классов (классы с углубленным изучением математики) Ключевые слова: ГИА, подготовка к экзамену, алгебра 9 класс.

Вопрос, касающийся подготовки к ГИА учащихся в 9 классах по алгебре в новой форме, достаточно объемный и несомненно актуальный.

В первую очередь в силу новизны формы. Экзамен по алгебре – итог работы и ученика, и учителя на протяжении пяти лет обучения в школе, и подготовка к нему является важной составляющей учебного процесса.

Несомненно, эта фраза характеризует идеальный вариант: когда, зная, к чему в итоге мы должны прийти, гораздо легче создавать систему не только подготовки к экзамену, но и обучения в целом.

Но, как показывает практика, наиболее остро проблема подготовки к экзамену встает в 8 классе. В нашей гимназии это связано, в первую очередь, с тем, что именно на этом этапе организации учебного процесса осуществляется внешняя дифференциация (учащиеся впервые выбирают профиль в 8-х классах).

Таким образом, возникает ряд психолого-педагогических и методических проблем.

Во-первых, социальная адаптация учащихся данной возрастной группы проходит более длительно и остро по сравнению, например, с учащимися 10-х классов, что связано непосредственно с переходным возрастом детей. Именно в этот период психологи наблюдают спад в мотивации обучения учащихся. Нельзя не упомянуть о такой проблеме, как демографический спад, и в связи с ним определенную борьбу за учеников.

Многие учащиеся приходят в класс не совсем готовые к углубленному изучению математики, хотя и имеют определенные задатки и математические способности. Поэтому при внешней дифференциации классов просто необходимо производить внутреннюю дифференциацию, то есть индивидуализацию обучения.

Вторая проблема связана с выбором учебника. К сожалению, невозможно создать один идеальный учебник, и даже если нам дать только одну книгу, то творчески мыслящий учитель все равно будет что-то придумывать, доставать еще какие-то учебники, чтобы посмотреть, «а что же там?». На эту проблему нужно взглянуть под другим углом, а именно как на проблему существования единой системы оценки качества знаний, которую как раз и призван решить ГИА, а дальше пусть учитель подбирает себе то, что ему ближе. Поэтому при выборе учебника мы остановились на учебном комплекте «Алгебра 8, 9», авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова и учебном пособии «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8, 9 класса», авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г.

Миндюк. С одной стороны, комплект содержит материал обязательного минимума основной общеобразовательной программы, с другой стороны, материал, соответствующий профильному изучению математики, строится по принципу модульного дополнения действующих учебников и естественным образом примыкает к курсу, углубляет и расширяет его.

Такой подход к изложению материала дает большие возможности для внутренней дифференциации и позволяет удовлетворить интересы всего класса.

Планируя свою работу, каждый учитель создает систему не только подготовки к экзамену, а обучения в целом! Система работы учителя включает в себя несколько аспектов – методический, организационный, психолого-педагогический. Здесь и выбор учебника, подходящего учителю и учитывающего специфику конкретного класса, и особенности планирования (кто-то, например, любит блочное изложение материала), и система контроля знаний (сочетание письменного контроля и устного), и разнообразные формы организации урока, включая уроки нестандартные, интегрированные, проекты и пр. У каждого учителя своя система работы, свой «конек». Чтобы система функционировала должным образом и выдавала хорошие результаты, надо отладить ее компоненты, их взаимодействие. Это происходит с годами и с о п ыто м А о п. ытом надо обмениваться, примеряя к себе то, что заинтересовало в работе коллег.

Так как в данной статье идет речь о работе в классах с углубленным изучением математики, то такой путь, как натаскивание, для учащихся не приемлем, хотя и позволяет решить сразу несколько проблем. А именно, во первых, справиться с психологическим барьером (задания в форме тестов, распределение времени на легкие и сложные задания), во-вторых, выявить пробелы в знаниях учащихся, начиная с 5-го класса, повторить сравнительно давно изученные темы. Но такой тип обучения направлен на применение знаний в стандартных условиях. От учащихся в профильных классах требуется более глубокое знание и понимание материала: умение интегрировать знания из различных тем курса алгебры, уверенное владение формально-оперативным математическим аппаратом, а также широкий набор приемов и способов рассуждений, умение математически грамотно и ясно записывать решения, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования.


Учитывая выше перечисленные требования к подготовке учащихся профильных классов, не удивительно, что атрибутом практически всех экзаменационных работ высокого уровня становятся задачи с параметрами.

Решение уравнений и неравенств с параметрами – один из труднейших разделов школьного курса математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений и неравенств, приходится обдумывать, по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на классы, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости. Здесь проверяется не «натасканность» ученика, а подлинное понимание материала.

Предлагаем один из вариантов урока по изучению решения уравнений с параметром в 8 классе.

Тема: «Решение линейных уравнений и уравнений, приводимых к линейным, содержащих параметр».

Тип урока: комбинированный.

Цели: способствовать овладению алгоритмом решения линейных уравнений с параметром;

сформировать умение решать уравнения, приводимые к линейным, содержащие параметр;

развивать логику мышления;

обучать рациональным способам познавательной деятельности.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Повторение изученного.

На данном этапе целесообразно повторить основные понятия темы «Одночлены» и «Многочлены» и привести примеры.

III. Изучение нового материала.

Объяснение учителя: сообщение общих подходов к решению линейных уравнений.

Определение. Уравнение вида А(а)х – В(а) = 0, где А(а) и В(а) выражения, зависящие только от параметра а, а х - неизвестное, называется линейным уравнением относительно х.

Далее следует сделать обобщение данного определения на случай уравнения не с одним, а с несколькими параметрами. Например А(а,b)х – В(а, b) = Способ решения:

Уравнение приводится к виду А(а)х = В(а) 1) при А(а) имеет единственное решение B(a) х= при каждой паре допустимых значений параметров.

A(a ) Допустимыми мы будем считать те значения параметров, при которых А(а) и В(а) - действительные числа.

2) при А(а) = 0 и В(а) = мы приходим к уравнению вида 0х=0, где х- любое число, 3) при А(а) = 0 и В(а) мы приходим к уравнению вида А(а)х=0, корней нет.

IV. Первичное осмысление и закрепление изученного.

Так как алгоритм решения известен, то разбор примера решения линейного уравнения с параметром можно предложить одному, более сильному ученику класса у доски с подробным объяснением. Если таких учащихся нет, целесообразно учителю самому разобрать решение примера.

Пример1.

(а2- 1)х-(2а2 + а-3) = или (а2 - 1) х = 2а2 + а - -это уравнение является линейным относительно х. Оно имеет смысл при любых действительных значениях параметра а.

Приведем его к виду:

(а-1)(а+1)х = (2а + 3) (а-1).

При а = 1 оно принимает вид: 0х = 0, т.е. решением его служит любое действительное число.

При а = - 1 уравнение имеет вид: 0х = 2, т.е. корней нет.

При а ± 1 уравнение имеет единственное решение (это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х).

2a + х=.

a + При записи ответа стоит напомнить учащимся, что решить уравнение с параметром – значит для каждого значения параметра указать множество корней соответствующего уравнения.

2a + Ответ: при а ± 1, х = ;

при а = 1, х- любое число;

a + при а = - 1, корней нет.

Следующее уравнение решает на доске учащийся.

Пример 2. Решить относительно х:

3mx 5 3m 11 2 x + + =. (1) (m 1)( x + 3) m 1 x+ Решение. По смыслу задачи (m-1)(х+3)0, т.е. m1, x-3.

Умножив обе части уравнения на (m-1)(х+3)0 и выполнив тождественные преобразования, получим уравнение (4m-9)x=31-2m.

Получили линейное уравнение с параметром, алгоритм решения которого известен. Подводим итог решения данного уравнения.

При m=2,25 корней нет.

31 2m При m2,25 х =.

4m Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений m, при которых найденное значение х равно - 3.

31 2m =-3, при m=-0,4.

4m Таким образом, при m2,25 и m-0,4 уравнение имеет единственное решение 31 2m х=.

4m При m = 2,25 и m = - 0,4 корней нет, При m = 1 уравнение не имеет смысла.

Далее следует провести обсуждение решения, обобщение, сделать выводы. Задать вопрос учащимся: «Верно ли обратное утверждение?»

Необходимо иметь в виду, что если при каком-нибудь значении параметра т = т0 данное уравнение не имеет смысла, то, разумеется, и решения нет при т = т0. Обратное утверждение неверно. Нельзя утверждать, например, что при т = - 0,4 решенное выше уравнение не имеет смысла. Если в уравнение (1) подставить т = - 0,4, получится вполне 6 x + 25 61 2 x + определенное уравнение + =. (2) 7( x + 3) 7 x+ Значит, при т = - 0,4 уравнение (1) имеет смысл. Однако корней это уравнение не имеет, т.к. корень х = - 3 уравнения 53х = - 159, к которому сводится уравнение (2), является для него посторонним.

Таким образом, допускается следующая форма записи ответа.

31 2m Ответ: при m2,25 и m-0,4, х= ;

при m = 2,25, m = - 0,4 и 4m m=1, корней нет.

При решении следующего уравнения можно предоставить учащимся большую самостоятельность, не исключая возможности консультиро вания с учителем или одноклассниками.

Пример3. Решить относительно х:

a 2 + x a 2 x 4abx + 2a 2 2b =.

b2 x b2 + x b2 x Решение: х ± b 2.

Умножив обе части уравнения на b 2 x 2 0 и выполнив тождественные преобразования, получим уравнение ( a b) 2 = a 2 b 2.

При а= b оно принимает вид: 0х=х, т.е. удовлетворяет любым значениям х, кроме х = ± b 2.

a+b При a b x =.

ab a+b Найдем теперь те значения a и b, при которых =± b 2 :

a b b(b 2 ± 1) a= 2.

b b(b 2 ± 1) a+b Ответ: при a b и a 2, x= ;

ab b при а= b, х- любое число, кроме х=± b b(b 2 ± 1) при a =, корней нет.

b2 V. Самостоятельная работа. (Дифференцированные задания) Для контроля можно дать задание: самостоятельно решить уравнения по вариантам.

Вариант 1.(для менее подготовленных учеников) x(a 2 1) = (a + 1)(1 x).

Вариант 2.

1 x a =.

1+ x a + Вариант 3.

m m= +.

m m( x 1) Вариант 4. (для более подготовленных учеников) 2b 1 =.

x ab a+b VI. Подведение итогов урока.

Учитель. Сегодня мы применили алгоритм решения линейных уравнений к уравнениям, содержащим параметр, т.е. к более общим случаям. Приобретенные навыки позволят вам в дальнейшем решать не только линейные уравнения в общем виде, но и нелинейные уравнения, неравенства.

VII. Домашнее задание.

К ВОПРОСУ ОБ УГЛУБЛЕННОМ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕМ ЗВЕНЕ (8, 9 КЛАССЫ) Т.К. Малечкина В статье рассмотрены некоторые аспекты углубленного изучения математики школьниками в среднем звене (8, 9 классы) Ключевые слова: профильное обучение, углубленное изучение математики.

Профильное обучение в старших классах стало требованием времени, но переход к нему достаточно труден. Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике в среднем звене, позволяющей, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой - удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.

Математическое образование в системе основного общего об разования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности. Таким образом, математика является не только учебным предметом, необходимым для будущей профессиональной подготовки по многим специальностям, но и предметом, обладающим большим общеобразовательным и развивающим потенциалом.

В классах физико-математического профиля основная цель обучения математике состоит в том, чтобы заложить фундамент математической культуры, включающий достаточно высокий уровень логического мышления, развитое пространственное воображение, глубокое понимание логических связей в построении курсов алгебры и начал анализа и геометрии, понимания роли математических понятий и методов в других разделах естествознания;

высокий уровень вычислительных и других математических навыков, знакомство с программированием и использованием в обучении ИКТ. Другая важная сторона, тесно связанная с фундаментальной математической подготовкой, – развитие творческого начала, воспитание интереса к математическому творчеству.

Открытые уроки в математических классах обычно впечатляют умными ответами ребят, кажущейся легкостью работы учителя, интересным диалогом учителя и учеников, да и самих детей.

Приходится признать, что для занятий математикой на профильном уровне необходимы особые способности, но с одной оговоркой.

Способности можно развивать, здоровый ребенок может очень многое.

Гораздо чаще школьник не желает заниматься математикой, так как это занятие требует от него терпения и усидчивости и на первых порах не всегда вознаграждается. Поэтому основная проблема, стоящая перед учителем, работающим в профильном классе, заключается в том, чтобы его ученики, развивая свои способности к математике, не теряли интерес к решению сложных проблем. А интерес к углубленному изучению математики может появиться только тогда, когда уже есть некоторые успехи, когда ребенок не испытывает трудностей с основными законами математики и освоил школьную программу.

Подбор учеников, специальная программа заставляют много времени уделять изучению предмета. Но при подготовке к уроку на первое место выходит, как ни странно, не проблема подачи материала, а деятельность детей на уроке. Цель учителя – удовлетворить их глубокий интерес к познанию предмета.

Движущей силой учебного процесса является противоречие между выдвигаемыми ходом обучения познавательными и практическими задачами и уровнем знаний, умений и умственного развития школьника. А успех проведения урока в немалой степени зависит и от того, насколько точно удалось определить уровень сложности задач, которые позволили бы наиболее эффективно организовать процесс обучения.

Искусство учителя и заключается в том, чтобы, вооружая знаниями учащихся, последовательно подводить их к все более усложняющимся задачам и готовить к выпо л нению этих задач с таким р асчето м что б, ы выполнение каждой новой задачи требовало от учащихся ровно столько самостоятельного труда и напряжения мысли, сколько могут проявить они при учете их возрастных и индивидуальных различий в данных условиях обучения.

Профильный класс требует меньше работы по усвоению алгоритмов решения, причем учащиеся значительно быстрее и часто самостоятельно обобщают показанные им приемы сразу на целый класс задач и с интересом применяют их в нешаблонных ситуациях. Конечно, и здесь должна быть проведена серьезная работа по осознанию каждого этапа алгоритма, но она проводится не на однотипных задачах.

Рассмотрим урок алгебры в 8 классе.

Тема: Корень из произведения и частного.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели: доказать свойства квадратного корня из произведения и частного и показать их применение;

формировать умение вычислять квадратные корни, упрощать выражения, решать уравнения, используя свойства;

вооружить учащихся средствами управления своим мышлением и практическими действиями.

I. Мотивационный момент. Цель — настроить ребят на мыслительную деятельность, сосредоточить их внимание на усвоении не только действий с корнями, но и «приемов человеческой мысли». Главное, чтобы ученики поверили, что на уроке они действительно будут учиться практически применять приемы человеческой мысли.

ab a II. Записывается в тетради выражение.

a Предлагается сократить эту дробь.

Ребята знают, что при а0 а = ( a ) 2 и что а= a 2, и поэтому интуитивно приходят к такому решению:

ab a ( a )2 b a aa ba = = = a b.

a a a a III. Выписываются главные моменты решения:

а= ( a ) 2 = a a (1), но а= a 2, значит a 2 = a a (2);

1) a a aa aa = a (3), но =aи = a, значит = 2) a a a a a a = (4).

a a Вопрос: всегда ли эти равенства верны? Истинность равенств (1) и (3) следует из определения арифметического корня, а равенства (2) и (4) подсказала интуиция, а значит, это надо еще доказать.

IV. Доказывается, что a 2 = a a при а0.

а) Выделите основные моменты доказательства:

1. Подкоренное выражение неотрицательно.

2. Правая часть неотрицательна.

3. Квадрат правой части равен подкоренному выражению, стоящему в левой части.

б) Проведите это доказательство про себя.

в) Проведите это доказательство вслух соседу по парте.

г) Сформулируйте словами то, что доказали (корень из квадрата неотрицательного числа равен произведению корней из этого числа, а так как a 2 = a a, то корень из произведения двух одинаковых неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел).

д) Прочитайте последнюю фразу и подумайте, верно ли аналогичное утверждение для разных множителей:

ab = a b при а0, b0.

Учащиеся записывают в тетрадь и доказывают.

V. В тетради записывается пример, опровергающий утверждение:

корень из произведения двух чисел равен произведению корней из этих чисел ( (2)(3) 2 3 ).

Вопрос: а как же поправить его, чтобы оно стало верным?

( (2)(3) = 2 3 ).

Учащиеся делают обобщения:

1) a b = a b, если а0, b0.

a b, если a и b одного знака.

a b = 2) VI. Итак, доказано, что при а0, b0 ab = a b (*).

Но по аналогии с истинностью этого равенства можно предполо жить, что верно и такое равенство:

abc = a b c.

VII. а) Вопрос: кто возьмется доказать равенство (**)?

б) Вводим ограничения: а0, b0, с0.

в) Предлагается придумать способ доказательства, при котором используется равенство (*) ( abc = (ab)c = ab c = a b c ).

VIII. Рассматриваются еще раз последовательно доказанные на уроке равенства:

1) a 2 = a a при а0.

2) ab = a b при а0, b0.

3) abc = a b c при а0, b0, с0.

Подводится итог: извлечение корня из произведения сначала распространили на случай, когда подкоренное выражение есть произведение двух не обязательно равных неотрицательных множителей, а затем и на случай трех различных неотрицательных множителей.

Предлагается сделать еще обобщение (это свойство распространяется на корни третьей, четвертой, п-й степени из произведения т чисел).

IX. Устно:

№1. Вычислите:

1) 2 8 ;

2) 2 3 6 ;

3) 7 8 56.

№2. Определите, верны ли равенства, и если верны, то при каком условии:

1) xy = x y ;

2) 5 y = 5 y ;

3) 5 (2) = 5 2.

a a, а 0, но сначала докажем более X. Теперь докажем, что = a a a a если а0, b0.

общее утверждение: = b b Это равенство доказывается традиционным способом, затем учитель предлагает такое доказательство:

a 1 1 = a = a = a, b b b b a но = a, b b a a следовательно =.

b b 1 Равенство оказалось недоказанным. Учащиеся должны = b b 1 1 заметить это и доказать его: b =1 и b= b = 1.

b b b XI. На о бло жке тетр ади (или в рамочке в тетради, или в блокноте формул) записывается:

ab = a b, а0, b0;

a b = ab, a a a a, а0, b0, = = b b b b XII. Закрепление изученного.

№ 1. Устно вычислить:

12 3 ;

2) 1).

23 Обсудить два способа решения: как корень из произведения и как корень из частного.

№ 2. Решить уравнения (1-4 решаются устно, в 5-7 достаточно записать область допустимых значений).

1) x 5) x 1 x + 2 = x 2 1 ;

=1;

x ( x 1) x = x 1 ;

2) = x;

6) 1 x x 1 x 7) x + =.

= x2 ;

3) x x x x3 = x2 ;

4) x № 3. На «сладкое» дается задание: упростить выражение 2 2+ 2 2+ 2+ 2 2 2+ Ответ: 2.

XIII. Итог урока.

Обратить внимание учащихся на полученные на уроке равенства и проговорить их словесную формулировку.

XIV. Постановка домашнего задания.

(в соответствии с пунктами и номерами учебного комплекта).

Итак, прокомментируем некоторые этапы урока.

Первое задание урока (сократить дробь) сразу включило учащихся в работу, знакомую по сути. Справиться же с теми моментами, которые еще не изучались и явились темой обсуждения, должны были помочь интуиция и понимание определения корня. Но этот пример позволял вплотную подойти к новой теме, выделить круг вопросов, которые надо решить в первую очередь. IV этап урока продуман с точки зрения организации деятельности учеников: намечен план, предложено осуществить его самостоятельно, предоставлена возможность сравнить доказательство с образцом и сформулировать его словами.

На V этапе продолжалась работа по достижению глубины понимания доказанного факта, его формулировки. Для этого правило формулировалось с умышленным пропуском слов о неотрицательности множителей произведения, стоящего под знаком корня. Для его опровержения необходимо было привести пример. Обобщение, сделанное учащимися, учитывает и тот случай, когда ab0, но а0, b0.

Ha VI этапе делается еще одно обобщение, затем уточняются условия его выполнения и дается доказательство (этап VII).

Этот этап, как впрочем и некоторые предыдущие, открывает простор догадке ребят, предлагает им участвовать в работе по поиску свойств квадратных корней и доказательству их. Причем постоянно возвращаются они к результатам, добытым ранее. Так появляется более простой способ доказательства равенства:

abc = a b c при а0, b0, с0.

VIII этап урока — остановка, осмысление сделанного, закрепление в памяти учеников самых важных результатов.

IX этап — конкретизация. Дается ряд «безобидных» примеров, легких, причем связанных друг с другом одним способом решения. Казалось бы, матер и по н и со м ал ят нений в это м не до л жно быть, но все-таки совершенно оправдано появление следующего задания этого этапа, которое контролирует понимание, а не простое механическое запоминание условий, при которых равенство ab = a b имеет смысл.

X этап возвращает к III этапу урока, обсуждается последняя a a, где а0, b0? Еще раз проблема: будет ли верно равенство = b b рассматривается традиционное доказательство. Появляется возможность убедиться в том, что только что полученные результаты можно сразу пускать в работу, использовать при доказательстве следующих фактов. Но a для этого в данном случае требуется увидеть в частном произведение b. Момент интересен еще и тем, что ученики не успевают a b насладиться красотой доказательства, как сразу же им предлагается обнару жить то место, где их «обманули». Такие ситуации учат ребят осмысливать каждый этап при проведении любого доказательства. Действительно, их просто поражает, как это они пропустили момент, когда воспользовались 1 тем, что надо доказать =.

b b Таким образом, наряду с развитием познавательного интереса к предмету, внедрением в процесс обучения ИКТ не стоит забывать о фундаментальности и научности предмета. Оставляя традиционно «сухим»

и стандартным язык изложения профильного курса, необходимо использовать разнообразные методы обучения для активизации деятельности учащихся на уроке. Преподавать нужно всегда интересно.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.