авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЕЛЕЦКИЙ ...»

-- [ Страница 5 ] --

О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ В МАЛОЧИСЛЕННЫХ КЛАССАХ В.В. Малиновский В статье предлагается определение понятия «малочисленный класс», рассматривается ряд особенностей процесса обучения в таких классах.

Ключевые слова: малочисленный класс, малокомплектная школа, дифференциация.

В настоящее время термин «малочисленные классы» в методической литературе стал достаточно распространенным. Увеличение частоты использования данного термина указывает на актуализацию проблем, связанных с преподаванием в таких классах. Однако точного определения понятия «малочисленный класс» до сих пор не предложено. Данный тер мин испо л ьзуется в мето д ическо й литер а е как интуитивно тур понятный и связывается, прежде всего, с понятием «малокомплектная школа», в качестве которых рассматриваются [5, с. 540] «неполные средние и средние школы с малой наполняемостью классов». Укажем, что там же используется и понятие «класс с обычной наполняемостью». Однако такая связь не является бесспорной. «Малокомплектность» школы указывает, прежде всего, на малое число классов-комплектов (число учеников в этих классах при этом не оговаривается). Малочисленность же класса явно указывает на число учеников в классе без указания типа школы (как показала практика, такие классы появляются и в «полнокомплектных»

школах). Иными словами, «малокомплектность», как правило, влечет «малочисленность». Обратное – выполняется не всегда. Отсутствие взаимно однозначного соответствия указанных понятий указывает на некорректность их взаимной подмены и требует более детальной разработки понятия «малочисленный класс».

Любой учебный класс с точки зрения психологии является реальной формальной малой группой, нижняя граница размера которой определяется в 2-3 человека. Однако указанный термин нельзя использовать в качестве синонима понятия «малочисленный класс», поскольку верхняя граница такой группы превосходит размеры реальных классов, относящихся к малочисленным. Более правильным, на наш взгляд, будет соотнесение малочисленного класса с термином «микрогруппа». Ее гр ницы, в а частности в [1, 2], определяются как 3-15 человек. Однако полного отождествления указанных терминов производить нельзя в силу того, что психологи разрабатывали свои понятия и определяли границы групп, исходя из своих задач, которые не всегда совпадают с педагогическими.

Мы предлагаем следующее определение: «Под малочисленным классом будем понимать формальную микрогруппу школьников численностью до 12 человек, созданную для решения учебных задач».

Укажем, что данное определение не противоречит приведенному в [6] понятию «класс».

В соответствии с предложенным определением «малочисленным классом» будет не только привычный, устоявшийся класс с малым числом учеником, но и подгруппа для проведения каких-либо занятий (в том числе и факультативов), группа для занятий кружка и пр.

Учителя-практики отмечают, что с уменьшением числа учеников в классе субъективно становится легче работать. Однако если количество учеников переходит некоторое критическое число, то субъективные трудности работы начинают возрастать. В педагогической энциклопедии [5, с. 540] указывается, «малая наполняемость классов ограничивает возможность применения ряда педагогических методов и приёмов, обусловливает повышенный контроль и опеку со стороны учителя, снижает темп урока, но в то же время создает лучшие условия для индивидуализации обучения».

Р.С. Немов [4, с. 562] указывает, что величина групп (то есть класса) не о казывает однозначного влияния на успешность ее деятельности.

Однако увеличение или уменьшение количества членов в зависимости от задачи группы, ее структуры и взаимоотношений ее членов может повлиять на р езультаты р або ты. По ло жительными психологическими следствиями увеличения числа членов группы являются, в частности, следующие: с увеличением группы в ней появляется больше людей с ярко выраженно й индивидуально с ью;

с р о то м группы обычно т с повышается ее «ресурс талантов». Очевидно, что в малочисленных классах эти положительные факторы могут отсутствовать или оказаться весьма ограниченными. В то же время рост числа членов группы имеет и отрицательные педагогические и психологические следствия. В частности, большой группой трудно управлять, организовывать взаимодействие ее членов, налаживать между ними нормальные деловые и личные взаимоотношения;

рост группы может привести к увеличению р а хо ж с дений во мнениях и о б с р е ию взаимоотношений. Для от н малочисленных классов, когда число членов группы достаточно мало, некоторые из приведённых следствий из разряда негативных перейдут в разряд позитивных, то есть станут факторами, дающими возможность обеспечения хороших результатов работы группы, и наоборот, положительные факторы роста числа членов группы в малочисленном классе могут либо вообще не проявляться, либо сказываться в незначительной степени. В частности, очевидно, что малочисленный класс, по ср авнению с о бычным, бо лее пр о с в упр авлении. Однако в т таких классах в условиях недостаточности «ресурса талантов», малого расхождения во мнениях поиск методов выполнения заданий, отличных от традиционных, может оказаться весьма проблематичным. В то же время малое число учеников позволяет учителю уделить больше времени ученику, упрощает индивидуализацию заданий и т.п.

В достаточно большой степени различные традиционные методические приемы учителей направлены на увеличение времени непосредственного или опосредованного контакта с учеником. В малочисленных же классах, когда такая задача перед учителем не стоит, применение таких приемов теряет свою целесообразность. Даже самая простая работа у доски, когда несколько учеников выполняют задания учителя, может привести к ситуации, когда у доски работает большая часть класса.

В настоящее время большинство методистов связывают термин «малочисленный класс» исключительно с сельской школой, рассматривая проблемы преподавания в таких классах не с позиций малого числа учеников, а с позиций сельскости школы, выделяя проблемы общей организации ее работы в условиях села. Таким образом, мы оказываемся перед фактом, когда дидактические, методические, психологические исследования не актуализированы на создание теории оптимального использования реально существующего источника организации индивидуального познания. По нашему мнению, это объясняется сложностью поиска путей преодоления отрицательных сторон явления «малочисленности» и выявления, максимального использования положительных сторон «малочисленного класса».

Возможность деления класса на подгруппы влечет появление малочисленных классов в условиях обычных полнокомплектных, а иногда и перегруженных, школ. Такие классы, как правило, имеют ярко выраженную профильную дифференциацию. Особенности обучения в этих классах рассматриваются только с позиций их профильности. Второй путь появления малочисленных классов в полнокомплектных (больших) школах – это факультативы. Учебная группа, организованная для факультативного изучения какого-либо предмета, достаточно часто является фактически малочисленным классом. Однако методика рассматривает факультативы также с позиций профильной дифференциации и не учитывает малочисленность учебных групп для этих занятий.

В последнее время ряд авторов указывают на специфичность преподавания в сельских школах, связанную, прежде всего, не с географическим положением таких школ, а с количеством учеников в классе. Эта специфика будет проявляться в любых «малочисленных классах» как в городских, так и в сельских школах. Этими авторами, в частности, указывается, что в малочисленных классах резко проявляются индивидуально-психологические особенности детей, нестабильность типологических групп учащихся, отсутствие в классе ученического актива, атмосферы соревновательности в усвоении знаний, что согласуется с указанными ранее психологическими следствиями малого числа членов класса. Кроме того, если исходить из наличия в классе трех типологических групп: хорошо и отлично успевающих учеников ( группа);

среднеуспевающих ( группа) и слабоуспевающих школьников ( группа), то отсутствие в классе или на конкретном уроке одной или двух типологических групп учащихся – явление не редкое в малочисленных классах. Здесь же необходимо добавить и то, что в силу малочисленности классов границы типологических групп проявляются очень резко. Добавим также, что наблюдения автора позволяют сделать вывод о том, что малочисленность классов иногда провоцирует проблемы личной психологической совместимости учеников между собой, учеников и учителя. Методические особенности преподавания учебных дисциплин в таких условиях только разрабатываются, и, более того, в ряде работ явно указывается на недостаточность такой работы. Одной из необходимых составляющих успешной работы в условиях малочисленных классов, по мнению ряда авторов, является наличие специального учебника для таких классов. Подчеркнем, не пр о с учебника для сельских шко л, а то учебника для малочисленных классов.

Современная сельская школа, с одной стороны, малокомплектная, с другой стороны, школа, удаленная от крупных населенных пунктов, в которых имеется возможность реализовать дифференцированный подход в обучении в рамках профильной дифференциации.

Количество учеников в каком-либо классе малокомплектной школы так мало, что организация параллели, содержащей профильный класс в этой школе, оказывается невозможной.

Эти обстоятельства, разумеется, не отменяют для сельских школьников необходимость их дифференцированного обучения. Важно, что бы и сельские шко льники имели возмо жно сть р еализо вать сво и способности и желания так же, как и ученики городских школ.

Деление часто и без того малочисленных классов требует определенных матер иальных затр ат, на ко то р ы го сударство идет, но е при этом следует иметь в виду, что такие затраты будут оправданными только в том случае, когда исчерпаны все возможности уровневой дифференциации, которая часто экономически более выгодна, поскольку реализуется в рамках уже существующих классов.

В настоящее время организация уровневой дифференциации является фактически личным дело м учителя, дело м его со вести, его профессионального отношения к своей работе. Естественно, при таком поло жении дел (учитывая, что не все школьники обучаются в рамках профильной дифференциации) невозможно гарантировать, что все ученики реализуют свое право на дифференцированное обучение.

Выходом из сложившейся ситуации, как мы считаем, будет эффективное использование имеющихся и создание новых педагогических условий для учеников и учителей, когда уровневая дифференциация станет естественной составной частью педагогической технологии.

иям мы о т о с м следующие. Во – первых, К таким усло в ни сложившуюся естественным путем в сельских школах малочисленность классов и такую же малочисленность классов, которая появляется даже в условиях городских школ в результате реализации профильной дифференциации. Во – вторых, создание уровневых учебных пособий, которые позволили бы учителю при минимальной специальной подготовке иметь возможность дифференцированно работать с учениками на каждом уроке, а в малочисленных классах – практически индивидуализировать обучение.

Частичное продвижение в исследовании в этом направлении применительно к преподаванию математики в средней школе сделано автором в [3]. В исследовании предложен вариант решения указанных проблем на основе уровневых учебных материалов. Использование таких материалов позволяет осуществить дифференциацию в обучении по: уровню освоения учебного материала, времени, затраченному на изучение материала, степени помощи учителя ученику при работе с материалами.

Практика показала, что ориентация на максимально возможное самостоятельное изучение предмета приводит к тому, что ученики чрезвычайно сильно «расслаиваются» по материалу. Учителю становится сложно контролировать учебную работу, оказывать индивидуальную помощь ученикам. Малочисленный же класс, снимая указанные проблемы, позволяет в полной мере реализовать все преимущества малого числа учеников не только для дифференцированного обучения, но и фактически реализовать идею индивидуализации обучения.

Библиографический список 1. Десев Л. Психология малых групп. М.: Прогресс, 1979.

2. Коломинский Я.Л. Психология взаимоотношений в малых группах. Минск:

Изд-во БГУ, 1976.

3. Малиновский В.В. Уровневые учебные материалы по математике как средство осуществления дифференцированного обучения // Вестник Елецкого государственного университета. Выпуск 17. Серия «Педагогика». Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2008. С. 221 237.

4. Немов Р.С. Психология. Учеб. для студентов высш. пед. учеб. заведений. В кн. Кн. 2. Психология образования. 3-изд. М.: гуманит. изд. центр. ВЛАДОС, 1997.

5. Российская педагогическая энциклопедия. В 2 том. Гл. ред. В.В.Давыдов. М.:

Большая Российская энциклопедия. 1993.

6. Современный словарь по педагогике. Сост. Рапацевич Е.С. Минск:

Современное слово, 2001.

ОБ ОПЫТЕ РАЗРАБОТКИ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «ПРЕРЫВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

А.А. Малютин Статья посвящена описанию элективного курса «Прерывная геометрия». Этот курс адресован учащимся 10-х классов физико математического профиля.

Ключевые слова: элективный курс, Н.В. Бугаев, разрывные функции, Е(х).

В настоящее время эксперимент по введению профильного обучения учащихся в общеобразовательных учреждениях практически завершен. В связи с реализацией этого эксперимента в базовых учебных планах школы появились элективные курсы, которые позволяют поддерживать изучение основных профильных предметов на заданном стандартом уровне или служат для внутрипрофильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных траекторий.

В современном школьном курсе математики изучаются преимущественно непрерывные функции. Между тем огромную роль в математике играют разрывные функции. «В соответствии с канторовской теорией множества всех непрерывных функций на отрезке имеет мощность континиума, множества всех числовых функций – мощность гиперконтиниума, то есть разрывных функций гораздо больше» [4, с. 29].

Разрывные функции являются объектом изучения дискретной математики и одного из разделов функционального анализа «Обобщенные функции».

Поэтому согласно принципу научности требуется включение в школьный курс математики разрывных функций. Одним из простейших примеров разрывных функций является кусочно-непрерывная функция Е(х).

Интересные идеи об изучении этой функции (с помощью графического метода) были высказаны еще в конце 19 века московским профессором математики Н.В. Бугаевым. Эти идеи и легли в основу концепции разработанного нами элективного курса «Прерывная геометрия».

Элективный курс «Прерывная геометрия» предлагается учащимся 10 го класса физико-математического профиля. Его целями являются: развитие логического мышления учащихся;

формирование навыков и умений, необходимых для реализации полученных знаний на практике (на уроках математики, физики, информатики) и в продолжении образования;

развитие общей культуры учащихся.

Данный курс служит продолжением и развитием трех содержательных линий школьной математики: функциональной, геометрической и линии уравнений и неравенств. Он также выполняет важную пропедевтическую роль в подготовке к изучению разрывных функций и функций нескольких переменных в вузе. Его частно методическая задача состоит в том, чтобы углубить знания учащихся о координатном методе, познакомить с графиками линий, уравнения которых содержат Е(х), и научить решать простейшие уравнения с целой и дробной частью числа.

Учебно-тематический план ТЕМА Количество часов 1. История координатного метода. Прямоугольные координаты.

2. Свойства и графики функций Е(х) и {x} 3. Решение уравнений с целой и дробной частью числа 4. Элементарные преобразования графиков функций Е(х) и {x}.

5. Уравнения линий и фигур (окружности и круга, квадрата и пр.) 6. График линии Е(х) = Е(у) 7. Графики линий, уравнения которых содержат х, Е(х), у, Е(у).

8. Контрольная работа Итого Содержание Тема 1. История координатного метода. Прямоугольные координаты.

Тема 2. Свойства и графики функций Е(х) и {x} Тема 3. Решение уравнений с целой и дробной частью числа Тема 4. Элементарные преобразования графиков функций Е(х) и {x}.

Тема 5. Уравнения линий и фигур (окружности и круга, квадрата и пр.) Тема 6. График линии Е(х) = Е(у) Тема 7. Графики линий, уравнения которых содержат х, Е(х), у, Е(у).

Тема 8. Контрольная работа Приведем примерные конспекты нескольких занятий.

Занятие 2. Свойства и графики функций Е(х) и {x}.

Определение 1. Целой частью числа х называется наибольшее целое число n, такое, что n x.

Обозначение: [x] или Е(х). (Здесь Е – первая буква французского слова entier – целый).

Определение 2. Дробной частью числа х называется разность х – [x].

Обозначение: {х} = х – [x].

Примеры.

1. [5] = 5, 2. [7,2] = 7, 3. [0]=0, 4. [– 3] = –3, 5. [–1,2] = –2, 6. [] = 3, 7. [ 2 ]=1, 8. [cos151о]= –l, 9. {l} = 0, 10. {– 10} = 0, 1 1, 13. {} = – 3, 14. { 2 } = 2 – 1, 11.{ }=3, 12. {– } = 3 3 15. {– е} = 3 – е.

Графики функций у = [х] и у ={х} строятся непосредственно по определению (рис. 1 и рис.2).

y -3 -2 -1 0 1 2 3x Рис. y -3 -2 -1 0 1 2 3x Рис. Отметим некоторые свойства функций y = [x] и y = {x}:

1. Обе функции имеют смысл для всех значений переменной х.

2. Функция y = [x] – кусочно-постоянная и неубывающая:

[х1] [x2] для любых x1,Х2, таких, что х1 х2.

3. Функция у = {х} – ограниченная: 0 {х} 1.

4. Для всех целых n справедливы равенства:

[х + n] = [х] + n, { х + n} = {х}.

Замечание. Последнее равенство означает, что функция у = {х} яв ляется периодической с периодом Т=1.

5. Если х – не целое число, то 1) [– х] = – [ х] – 2){ –х} = 1–{х}.

6. Пусть n – целое число, тогда [x] = n n x n + 1 x 1 n x Все эти свойства доказываются непосредственно с помощью определений 1 и 2 и могут быть проведены школьниками самостоятельно.

Занятие 3. Решение уравнений с целой и дробной частью числа Основные уравнения с целой и дробной частью имеют вид:

[х] = b, {х} = b.

Рассмотрим примеры решения уравнений с целой и дробной частью числа.

Пример 1. Решить уравнение [x] = sin.

Рассмотрим правую часть уравнения, т.е. не является целым числом, поэтому уравнение не sin = 4 имеет корней.

Пример 2. Решим уравнение [x] = – 6.

По свойству 6 это уравнение равносильно неравенству – 6 x – 5. Поэтому решением уравнения будет промежуток [– 6;

–5).

Используя определения и свойства, решаются следующие уравнения 3) [x] = –x, 4) [x2 + 5x] = – 4, 5) [x]2 = 9, 6) [x]2 + 8[x] – 9 = 0, 7) {х}2 +{х} – 1 = 0, 8) [x]2 + [x] – 1 = 0, 9) {х}2 = 3, 10) {х}2 =, 11) {х}2 – 8{х} + 7 = 0, 12) 25{х}2 - 10{х} +1 = 0, 13) {х}2 = {х}, 15) sin x = [x].

14) ( x – {х})2 = 4, Занятие 4. Элементарные преобразования графиков функций Е(х) и {x}.

Простейшие преобразования графиков.

1. Параллельный перенос (сдвиг).

Рассмотрим сначала параллельный перенос вдоль оси абсцисс. Пусть дан график функции у = f(x). Как по отношению к нему будет расположен график функции у =f (x – a), a 0. Для всякой точки М0(хо ;

уо), принадлежащей графику функции y = f(x – a), точка М1(хо – а ;

уо), смещенная по сравнению с точкой М0(хо ;

уо) на а единиц влево, будет принадлежать графику функции y = f(x). В самом деле, это означает, что y0 = f(xo – а).

Построим график функции у = Е(х – 1) (рис. 3).

y -3 -2 -1 0 1 2 3x Рис. Подобным же образом легко установить, что если точка М2(х2;

у2) принадлежит трафику функции y = f(x), то точка М3(х2 + а ;

у2), смещенная по сравнению с ней на а единиц вправо, принадлежит графику функции y=f(x—a). В самом деле, это означает, что у2 = f(x2). Отсюда заключаем, что если а0, то график функции y=f(x—a) получается из графика функции y = f(x), смещением на а единиц вправо.

Ясно, что если а0, то график функции y = f(x—a) получается из графика функции y = f(x) смещением на a единиц влево. Замечание. Тот же результат можно получить, если перенести ось у влево (при а0) или соответственно вправо (при а0) на a единиц.

Рассмотрим теперь параллельный перенос вдоль оси ординат. В этом случае график функции y = f(x) + b получается из графика функции y = f(x) при b0 смещением на b единиц вверх, а при b 0 — на b единиц вниз.

Так, чтобы построить график функции у = Е(х) – 1, сначала строим рафик функции у= Е(х), а затем сдвигаем его вниз на единицу (рис. 4).

y -3 -2 -1 0 1 2 3x Рис. 2. Деформация (растяжение и сжатие) графика.

График функции у = f(kx), k0 получается из графика функции y = f(x) «сжатием» к о си у в k раз при k1. Например, если к = 2, то график функции у = Е(2х) получается сжатием графика функции у = Е(х) в 2 раза.

(рис. 5, а) y -1 x Рис. 5, а x и «растяжением» от оси у в k раз при 0 k 1. у = Е( ) (рис. 5,б).

y -3 -2 -1 0 1 2 3x Рис.5, б График функции y = kf(x), k0 получается из графика функции y=f(x) «растяжением» от оси х в k раз при k1, что можно предложить проиллюстрировать на графиках самостоятельно и «сжатием» к о си х в k раз при 0 1.

k 3. Отражение.

График функции y = – f(x) получается зеркальным отражением графика функции y = f(x) относительно оси х (рис.6), y -3 -2 -1 0 1 2 3x Рис. График функции y = f(-x) получается зеркальным отражением графика функции y = f{x) относительно оси у (рис. 7).

y -3 -2 -1 0 1 2 3x Рис. Занятие 6. График фигуры Е(х) = Е(у) Пусть требуется построить фигуру, заданную уравнением Е(х) = Е(у).

Замечаем, что для х, заключенных между 0 и 1, Е(х) = 0.

Следовательно, у найдется из равенства Е(у) = 0.

Из этого равенства видно, что у принимает все значения от 0 до 1 ( не включая).

Аналогично рассуждая, для х, заключенным между 1 и 2, Е(х) = 1.

Следовательно, у найдется из равенства Е(у) = 1. Из этого равенства видно, что у принимает все значения от 1 до 2 (2 не включая). И так далее… Графиком этих решений является фигура, заштрихованная на рисунке (рис. 8).

Рис. Финский педагог-математик Р. Неванлинна говорил: «Существует много различных способов преподавать, а еще больше – преподавать плохо, а наихудший способ – преподавать скучно» [5, с.253]. Надеемся, что данный элективный курс не только закрепит знания в области алгебры, но и вызовет интерес у школьников.

Библиографический список 1. Бугаев Н.В. Прерывная геометрия. М.: Университетская типография, 1891.

2. Добрина Е.А., Саввина О.А. Замечательные кривые. Учебное пособие. Елец:

ЕГУ им. И.А.Бунина, 2005.

3. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Мерлина Н.И., Мерлин А.В., Саввина О.А., Авдеева Т.К., Терентьева Л.П. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учеб. пособие. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2009.

4. Еровенко В.А., Михайлов Н.В. Философия прерывности Н.В.Бугаева и математических импровизаций в терминах целой и дробной части числа // Математическое образование, 2001. № 4(19). С. 26-37.

5. Райхмист Р.Б. Графики функций: задачи и упражнения. М.: «Школа – Пресс», 1997.

6. Неванлинна Р. Реформа в преподавании математики // Успехи математических наук, 1967. Т. 22. Вып. 2. С. 241-253.

ОТБОР И КЛАССИФИКАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ, НАПРАВЛЕННЫХ НА РАЗВИТИЕ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ М.А. Мацыгин В статье рассматриваются различные виды классификаций арифметических задач и предлагается собственная классификация, используемая для развития интеллектуальных способностей учащихся 5 – классов средней общеобразовательной школы.

Ключевые слова: арифметические задачи, интеллектуальные способности, отбор задач, классификация задач.

В настоящее время активно осуществляется процесс переориентации школьного математического образования со знаниевой парадигмы (усвоения знаний, умений, навыков) на развивающую (развитие мышления учащихся).

Арифметические задачи признаются многими психологами и педагогами основным средством развития математических и общеинтеллектуальных способностей, необходимых для становления личности в целом. Уровень интеллектуальных способностей является одним из определяющих условий хорошей успеваемости не только по математике, но и практически по всем школьным предметам [1]. Этот факт объясняется психологическими особенностями, проявляющимися у личности в процессе решения задач арифметическим методом. Необходимость осмысления всех арифметических действий на каждом шаге решения, соотнесение каждого шага решения с искомым и с о писанно й в задаче проблемной ситуацией в целом и другие особенности решения задач арифметическим способом установлены в исследованиях Л.Я. Юрцевой [2]. Однако решение задач арифметическим способом используется главным образом в начальной школе, а уже в 5-6 классах происходит переход к алгебраическому методу, который остается единственным способом решения задач в курсе алгебры.

По мнению ряда исследователей [1, 3], существующий подход к использованию арифметических задач в школе не является в полной мере обоснованным.

Исходя из возрастных психологических особенностей учащихся 5 – классов, именно в этот период можно попытаться повлиять на процесс формирования интеллектуальных способностей путем изменения практики текстовых задач, внедрив в школьную программу по математике небольшой комплекс арифметических задач. Как современные методические разработки, так и дореволюционные учебники по арифметике дают нам богатый материал для подбора и разработки арифметических задач, направленных на развитие интеллектуальных способностей школьников.

Очевидно, что для достижения поставленной цели необходимо объединение этих задач в единый комплекс.

Отбор арифметических задач для целей развития мышления сводится к выделению ряда критериев, согласно которым он и будет производиться.

Такие возможности нам предоставляют исследования математических способностей В.А. Крутецкого [4], Н.А. Менчинской [5], а также методические разработки по использованию задач в обучении Ю.М.

Колягина [6] и В. И Крупича [7]. При этом главным принципом отбора.

становится положение о том, что процессы решения задач должны преимущественно влиять на способности учащихся, а не на уровень их знаний, умений и навыков. Учитывая данный принцип, можно выделить следующие критерии отбора задач.

1) Исключение типовых задач, изучаемых в школьном курсе математики, кроме тех, которые в качестве исключения даются с опережением школьной программы. Задачи, в значительной степени удовлетворяющие этому критерию, часто называют нестандартными.

2) Наличие поисковых (проблемных) задач, процесс решения которых имеет творческий характер, развивает приемы и навыки самостоятельного нахождения ответа.

3) Подборка задач должна удовлетворять принципу минимакса, разработанному в концепции программы «Школа 2000…» [8], согласно которому должен осуществляться подбор задач разных уровней сложности.

Этот принцип обеспечивает как доступность большинства этих задач для многих учащихся, так и наличие задач повышенной сложности для учащихся с высоким уровнем математической подготовки. При этом степень сложности задач варьируется от высокого уровня («максимума») до уровня образовательного стандарта («минимума).

4) Очень важным представляется введение исторического материала – старинных арифметических задач, использовавшихся в отечественном математическом образовании на протяжении столетий. В наше время старинные задачи, имеющие отношение к многовековым традициям развития мышления у учащихся, неизменно вызывают у школьников повышенный интерес и к тому же играют важную роль в приобщении молодого поколения к культурному наследию своего народа.

Если процесс отбора задач не представляет существенных трудностей, то их объединение в единый комплекс сталкивается со значительными затруднениями, связанными в первую очередь с проблемами классификации арифметических задач, не преодоленными до конца и в настоящее время.

В методической литературе встречаются классификации арифметических задач при помощи четырех арифметических действий с точки зрения их содержания, приемов решения и др.

Классификация по числу действий делит все арифметические задачи на 2 группы: 1) простые (решаемые одним из четырех арифметических действий) и 2) сложные (составные). Сложные в свою очередь подразделяются по действиям и числу действий. Предполагалось, что сложность задач возрастает по мере увеличения действий, однако на практике эта зависимость не получила достаточного подтверждения.

Поэтому использование классификации задач по числу действий может быть оправдано только в начальных классах.

С точки зрения содержания задачи наиболее старой является классификация арифметических задач по типам, которые соответствовали частным случаям их практического применения («Арифметика» Магницкого и др.). Она хорошо соответствовала направленности математического образования того времени на нужды повседневных бытовых и торговых расчетов. В старину задачи обычно группировали по внешним признакам содержания, приемам решения или их сочетаниям.

И в настоящее время, положив в основание классификации содержание задачи, чаще всего выделяют группы задач: «на движение», «на работу», «на смеси и сплавы», «на смешение и концентрацию», «на проценты», «на части», «на время», «на покупку и продажу» и т.п.

Классифицировать задачи таким образом очень сложно, так как тематика условий задач бывает очень разнообразной. Кроме того, как показали исследования Н.Ф. Талызиной, трудность задачи определяется не ее сюжетом и не арифметическими действиями, используемыми при ее решении, а логикой отношений, представленных в условии задачи [9].

Задачи, в которых имеется одинаковая зависимость между величинами, при возможном различии их числовых данных и сюжета образуют определенный вид задач. Арифметические задачи одного вида имеют одну и ту же алгебраическую модель. Поэтому в основание классификации можно положить способы решения задач:

1) задачи на тройное правило;

2) задачи на нахождение неизвестных по результатам действий;

3) задачи на пропорциональное деление;

4) задачи на исключение одного из неизвестных;

5) задачи на среднее арифметическое;

6) задачи на проценты и части;

7) задачи, решаемые с конца, или «обратным ходом», и т.д.

Еще один признак классификации был выделен отечественным методистом А.И. Гольденбергом, который подразделял задачи на «чисто арифметические» и «алгебраические» в курсе арифметики. В качестве критерия служил субъективный фактор «простоты» зависимости между данными задачи и искомым числом.

Е.С. Березанская отмечает, что содержание задач не может быть основным критерием классификации: как задачи «чисто арифметические», так и задачи «алгебраические в курсе арифметики» могут иметь своим содержанием одну и ту же фабулу: движение тел, выполнение определенной работы, оплату покупки и т.д. [10]. Е.С. Березанская строит классификацию задач, совмещая зависимость между данными и искомым задачи с приемами, методами решения.

Если в качестве основания классификации выбрать соответствие числа данных и искомых задачи, выделяют задачи следующих видов:

1) Определенные задачи (в которых условий столько, сколько необходимо и достаточно для получения ответа).

2) Задачи с альтернативным условием (в ходе их решения необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы).

3) Неопределенные задачи (задачи с недостающими данными).

4) Переопределенные задачи (задачами с избыточными данными) – задачи, имеющие условия, которые не используются при их решении выбранным способом (лишние условия). Обычно лишние условия при решении задачи не используются и не влияют на ответ. Однако может оказаться, что при решении задачи другим способом лишними могут стать уже другие условия.

Таким образом, классификации арифметических задач достаточно многочисленны, разнообразны и не всегда являются строгими, т.е. не всегда позволяют отнести конкретную задачу к единственному типу. В зависимости от методических целей классификации выбирают одно или несколько оснований для ее проведения и на его основе получают те или иные группы текстовых задач. В то же время представляется очевидным, что одной только математической классификации недостаточно для разработки комплекса задач с целью развития интеллектуальных способностей учащихся. Для этой цели большое значение имеет и психологический компонент. В работе В.А. Крутецкого «Психология математических способностей школьников» [4] в основу классификации положены серии – специальные виды экспериментальных задач. Эти серии сгруппированы по разделам, три из которых соответствуют трем основным этапам решения задачи, а четвертый касается исследования типов математических способностей. Внутри каждого раздела серии объединяются в группы согласно компонентам математических способностей, исследованию которых они служат. Поскольку в любой выделенной таким образом серии задачи могут влиять на различные компоненты математических способностей, в основу классификации было положено главное назначение серии задач. Классификация В.А. Крутецкого, использующая психологический компонент, наряду с упомянутыми выше «математическими» классификациями послужила основой для разработки классификации задач, направленной на развитие интеллектуальных особенностей. Отметим, что процесс мышления тесно связан с восприятием, вниманием, памятью, творческими особенностями личности. При разработке системы арифметических задач, направленной на формирование интеллектуальных способностей, важно охватить как можно больше компонентов. В связи с этим отметим, что в структуре интеллектуальных способностей учащихся большое значение имеет качество мыслительных операций: сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации. Выделяют и особые свойства мышления: гибкость, критичность, логичность рассуждения и др. Рассмотрим разработанную классификацию и приведем примеры задач из различных серий.

I. Задачи на восприятие условия. Развивают такие качества мышления, как критичность, креативность, самостоятельность.

1.1. Задачи с несформулированным вопросом. В этих задачах не формулируется вопрос, но этот вопрос логически вытекает из данных в задаче математических отношений. Учащиеся упражняются в осмысливании логики данных в задаче отношений и зависимостей. Задача решается после того, как ученик сформулирует вопрос (иногда к задаче можно поставить несколько вопросов).

Образец задачи. «До конца суток осталось 4/5 того, что уже прошло с начала суток» (Сколько сейчас времени?).

1.2. Задачи с недостающими и (или) излишними данными.

В задачах с недостающими данными отсутствуют некоторые данные, вследствие чего дать точный ответ на вопрос задачи не представляется возможным. Школьник должен проанализировать задачу и доказать, почему нельзя дать точного ответа на вопрос задачи, чего не хватает, что надо добавить.

В задачи с излишними данными введены дополнительные ненужные данные, маскирующие необходимые для решения показатели. Ученики должны выделить те данные, которые необходимы для решения, и указать на лишние, ненужные.

Образец задачи. «На стоянке находятся 40 транспортных средств:

автомобили и мотоциклы. У них вместе 100 колес и 40 рулей. Сколько тех и других машин?»

II. Задачи на обобщение. Развивают способности к обобщению, анализу.

2.1. Разнотипные задачи. В каждой группе есть задачи со сходными отношениями и внутренней структурой, но отличающиеся внешне по содержанию. Другие же задачи внешне похожи, но разнотипны. Учащиеся должны выявить сходные задачи.

Образец группы задач.

«1. Имеются кролики и клетки. Если в каждую клетку посадить по одному кролику, то один кролик останется без места. Если в каждую клетку посадить по два кролика, то одна клетка окажется пустой. Сколько было кроликов и сколько было клеток?

2. Во дворе бегают куры и кролики. У них вместе 35 голов и 94 ноги.

Сколько тех и других?

3. Если на каждую скамью в классе посадить по 5 учеников, то четверо останутся без места. Если же посадить на каждую скамью по человек, то два места останутся свободными. Сколько учеников в классе и сколько скамеек?

4. Рубль разменяли на монеты 10 коп. и 15 коп. Сколько получили тех и других монет, если всего их было 9?

5. Девочка наклеивала в альбом картинки. Если на каждой странице наклеивать по 1 картинке, то останутся 4 картинки, если же на каждой странице наклеивать по 2 картинке, то одна страница останется пустой.

Сколько было картинок и страниц в альбоме?»

2.2. Задачи на доказательство. Сущность этих задач в доказательстве определенных утверждений. Учащиеся упражняются в построении правильного, обоснованного, последовательного рассуждения.

Образец задачи. «Написать любое трехзначное число, цифры сотен, десятков и единиц которого есть последовательные числа натурального ряда. Затем написать число теми же цифрами, но в обратном порядке. Из большего числа вычесть меньшее. Доказать, что во всех случаях должно получиться 198».

III. Задачи на гибкость мышления. Воздействуют на процессы как анализа, так и синтеза, обобщения.

3.1. Задачи с несколькими способами решения. Для упражнения гибкости мышления важно, чтобы школьник умел находить несколько решений одной и той же задачи. Если эти решения неравноценны с точки зрения экономичности и рациональности, то ученик должен дать с этой точки зрения оценку каждому решению. Надо побуждать школьника найти наиболее рациональное, ясное, простое, изящное решение.

Образец задачи. «Найти сумму всех целых чисел от 1 до 50».

3.2. Задачи с альтернативным условием. В ходе решения этих задач необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все возможные варианты будут исследованы.

Образец задачи. «На дереве сидело 7 галок и несколько воробьев.

Сколько на дереве было воробьев, если после того, как 3 птицы улетели, галок и воробьев стало поровну».

3.3. Задачи на соображение. Отличаются нестандартностью нахождения решения. Для решения указанных задач не требуется никаких специальных знаний, однако в ряде случаев необходимо проявить изобретательность.

Образец задачи. «Для нумерации страниц словаря потребовалось 6869 цифр. Сколько страниц было в словаре?».

3.4. Задачи на логическое рассуждение. На задачах этой серии тренируется способность логически рассуждать, смекалка и сообразительность. К этой категории относятся в основном старинные арифметические задачи.

Образец задачи. «Шли 12 человек и несли дюжину хлебов. Каждый мужчина нес по 2 хлеба, каждая женщина по полхлеба, а каждый ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?»

IV. Задачи на математическую память.

4.1.Задачи со сложным для запоминания условием. Эти задачи отличаются либо большим количеством числовых данных, либо сложностью отношений между данными. Кроме необходимости удерживать в памяти необходимую информацию, задачи данного типа развивают воображение;

процессы синтеза, выявления главного в отношениях между данными.

Учащимся предъявляется карточка с заданием. После однократного прочтения карточка отбирается или закрывается. Если учащийся не может воспроизвести условие задачи, показ карточки повторяется.

Образец задачи. «Число 80 разделить на две неравные части так, чтобы половина большей части была на 10 больше меньшей части».

V. Задачи, связанные с пространственным представлением. Являются мощным средством для развития воображения, образной стороны мышления, творческих способностей.

5.1. Задачи с наглядным решением. Эти задачи сравнительно легко решаются с применением наглядно-образных средств (рисунков, схем, чертежей). Тренируется способность наглядно выражать математические соотношения задачи. Сначала ученика просят решить указанные задачи рассуждением, без опоры на наглядные образы.

Образец задачи. «Пассажир, проехав полпути, заснул. Когда он проснулся, ему оставалось ехать еще половину того пути, что он проехал спящим. Какую часть пути он проспал?»

Подобранные таким образом арифметические задачи следует внедрить в программу математики 5-6 классов с целью формирования интеллектуальных способностей.

Библиографический список 1. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики / Роль текстовых задач в школьном курсе математики. Лекции 1-4. М., 2006..

2. Юрцева Л.Я. Особенности умственной деятельности учащимися в процессе решения задач алгебраическим и арифметическим способами. Автореф. дисс. … канд. пед.

наук. М., 1971.

3. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач / Вопросы методики математики. Известия АПН РСФСР. Вып. 6. М., 1946. C. 7-28.

4. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М., 1968.

5. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. М.: Просвещение, 1965.

6. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. М.: Просвещение, 1977.

7. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. М.: Прометей, 1995.

8. Кубышева М.А. Математика. 5-6 классы. Методические материалы к учебникам Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон. М.: Ювента, 2006. С. 5-6.

9. Никола Г., Талызина Н.Ф. Формирование общих приемов решения арифметических задач // Формирование приемов математического мышления. М.: ТОО «Вентана-Граф», 1995.

10. Березанская Е.С. Методика арифметики для учителей средней школы. М.:

УЧПЕДГИЗ, 1955.

ФОРМИРОВАНИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ И.А. Михайлова, А.А. Удот В статье рассматриваются результаты исследования познавательного интереса у школьников, полученные в результате анкетирования учащихся.

Ключевые слова: познавательный интерес, стадии познавательного интереса, средства формирования познавательного интереса учащихся к математике, задачи по математике.

Познавательный интерес – интерес к учебно-познавательной деятельности – является мощным двигателем в обучении. Наличием познавательного интереса обеспечивается самостоятельно совершаемый встречный процесс в деятельности ученика, усиливается эффект воспитания, развития, обучения.

Вопрос о формировании познавательного интереса учащихся в процессе обучения не является новым. К нему в разное время обращались А.С. Белкин, Г.Ж. Танеев, В.А. Крутецкий, С.Л. Рубинштейн, Л.М.

Фридман, Г.И. Щукина и др. В этих работах неоднократно подчеркивалось, что важнейшая задача, стоящая перед каждым учителем, – забота о создании, поддержании и развитии интереса к предмету, к процессу познания. А.В. Антипова, В.Б. Бондаревский, Л.В. Виноградова, Н.А.

Демченкова, Е.А. Моисеева и др. рассматривают вопросы необходимости и целесообразности дальнейшего изучения и разработки этой проблемы при изучении математики.

Все вышесказанное актуализирует необходимость исследований, посвященных формированию познавательного интереса в процессе обучения учащихся. Каковы основные средства формирования познавательного интереса учащихся при обучении математике? Какие факторы влияют на этот процесс? Эти и другие проблемы, связанные с познавательным интересом, несомненно, актуальны для современного школьного математического образования, так как они позволяют не только выявить условия успешной реализации этого процесса, но и наметить перспективные направления его совершенствования.

Мы попытались выяснить, как обстоят дела на практике, найти ответы на поставленные выше вопросы. С этой целью нами был разработан анонимный опросный лист, направленный на определение специфики формирования познавательного интереса в процессе обучения математике.

Вопросы листа были сгруппированы по следующим направлениям:

1) выявление характера зависимости уровня развития познавательного интереса учащихся от уровня их успеваемости;

2) определение отношения учащихся к различным средствам формирования познавательного интереса;

3) раскрытие основных тенденций в деятельности учащихся в процессе решения математических задач как одного из средств формирования познавательного интереса.

Инструкция, расположенная в начале опросного листа, предлагала определить отношение к изучению математики для того, чтобы сделать преподавание этого предмета более интересным и увлекательным. Кроме того, что респондентам были предложены различные варианты ответов, им предоставлялась возможность указать свое мнение по тому или иному вопросу.

К исследованию нами были привлечены учащиеся 7-х и 9-х классов МОУ гимназия №10 г. Шахты Ростовской области. В опросе приняли участие 52 ученика 7-х классов и 55 учеников 9-х классов.

Проанализируем полученные результаты.

Субъективное мнение респондентов об уровне их познавательного интереса к математике мы получили в процессе анализа ответов на вопрос №2 опросного листа, в котором респондентам предлагалось оценить этот уровень по шкале:

а) интерес к математике поверхностный, не систематический, нравятся отдельные фрагменты уроков, учебного материала;

б) стремление к более глубокому, основательному изучению математики, к пониманию закономерности материала, его связи с ранее изученным;

в) привлекает сама учебная деятельность, нравится самостоятельно открывать что-то новое, ранее неизвестное, искать закономерности;

г) стремление к осуществлению самостоятельной, творческой, поисковой деятельности по математике.

Каждая из перечисленных характеристик характеризует уровень развития познавательного интереса: любопытство, любознательность, познавательный интерес и творческий интерес соответственно [1].

Результаты опроса показали, что большее количество учащихся 9-х классов определили для себя более высокие стадии развития познавательного интереса (18,2% - творческий интерес и 29,1% познавательный интерес). Для учащихся седьмых классов эти показатели составляют 15,4% и 19,2% соответственно. Это объясняется тем, что учащиеся 9-х классов уже оканчивают основную школу. Некоторые из них (9%) посещают школу для одаренных детей «Эрудит», 7,3% составляют основу сборной команды 9-11 классов гимназии для участия в математических боях. Учащиеся 7-х классов только приступили к изучению систематического курса алгебры, и поэтому многие еще находятся на начальных стадиях развития познавательного интереса. Переход к более высокой стадии осуществляется целенаправленно, последовательно. Для этого нужны специально организованные учителем предпосылки и условия.

При исследовании зависимости уровня развития познавательного интереса учащихся от уровня их успеваемости возник вопрос об измерении количественной характеристики этой зависимости, на который мы попытались получить ответ с помощью корреляционного анализа. Для характеристики уровня познавательного интереса учащихся мы выбрали следующую шкалу оценок:

«1» - творческий интерес;

«2» - познавательный интерес;

«3» - любопытство;

«4» - любознательность.

Для характеристики уровня успеваемости учащихся мы выбрали следующую оценочную шкалу:

«1» - отличная успеваемость;

«2» - хорошая успеваемость;

«3» - удовлетворительная успеваемость;

«4» - неудовлетворительная успеваемость.

Полученный нами коэффициент корреляции rху0, позволяет констатировать, что изменение оценок в исследуемом случае на 60% зависит от уровня познавательного интереса учащихся к математике.

Здесь мы считаем необходимым заметить, что для большей репрезентативности полученных данных необходимо привлечь к исследованию больше учащихся из разных школ. В дальнейшем мы планируем такое исследование. Пока же мы описываем лишь результаты начального этапа нашего опыта, не претендуя при этом на проведение полномасштабного педагогического эксперимента.

Один из вопросов нашего опросного листа имел форму задания, в котором мы обратились к учащимся с просьбой оценить по 5-балльной системе наиболее значимые средства формирования познавательного интереса учащихся в процессе обучения математике: математические задачи, самостоятельные исследования, дидактические игры, софизмы, кроссворды по математике, заочные и очные конкурсы по математике, математические сказки и др.

Анализ результатов показал, что самыми высокими баллами по средним показателям учащиеся 7-х классов достаточно единодушно оценили дидактические игры на уроках математики и математические сказки. В то время как учащиеся 9-х классов отвели им третье место после самостоятельных исследований и математических задач. При этом надо отметить, что в значениях средних оценок наблюдается довольно значительный разрыв. Это отличие вполне объяснимо: учащиеся 7-х классов не обладают достаточно большим опытом в проведении самостоятельных исследований. Результаты опроса по этому показателю вселяют оптимизм и говорят о том, что есть резерв тех учащихся, которым еще предстоит попробовать себя в исследовательской деятельности, и есть надежда, что к 9-му классу мнение станет другим. Для ученика наиболее ценным будет тот материал, который он пропустил через себя путем глубокого изучения, исследования и т.д. Умение и желание заниматься исследованием также необходимо для развития и формирования познавательного интереса.


Настораживают следующие данные. Некоторую солидарность учащиеся 7-х и 9-х классов проявили в оценке очных и заочных конкурсов по математике. Обе группы респондентов поставили практически одинаковые и не очень высокие баллы этим средствам формирования познавательного интереса. На наш взгляд, это свидетельствует о том, что участие в таких мероприятиях требует определенного рода усилий, что не по плечу всем учащимся. Подавляющее большинство школьников не принимает участие в таких конкурсах по разным причинам:

отсутствие необходимой математической подготовки, неуверенность в своих силах и др. Дл того чтобы преломить ситуацию в положительном направлении, необходима систематическая, трудоемкая и планомерная работа учителя.

Решение задач является одним из самых важных умений в обучении математике. Ведь если учащийся хочет переходить на более высокий уровень развития познавательного интереса, то ему нужно владеть не только теорией, но и применять ее в нестандартных ситуациях. Поэтому для нас особую важность имела оценка учащимися результатов решения задач.

Поэтому мы обратились к респондентам с просьбой оценить по пятибалльной системе различные виды задач по математике. Для ответа на выбор были предложены следующие варианты:

1) олимпиадные задачи;

2) задачи, содержащие элементы историзма;

3) задачи-шутки;

4) задачи-головоломки;

5) другие задачи.

Наибольшей популярностью у учащихся 7-х и 9-х классов пользуются задачи-головоломки. Им были поставлены самые высокие баллы (4,6 и 4,8 соответственно). Следующий тип задач, который вызывает наибольший интерес учащихся, – задачи, содержащие элементы историзма.

Это вполне понятно и еще раз свидетельствует о том, что история математики является одним из основных средств реализации гуманитаризации [2] в процессе обучения. В качестве другого вида задач, вызывающих интерес, 13% учащихся назвали задачи с интересным сюжетом.

Для того чтобы исследовать особенности работы с задачами в процессе обучения, мы предложили учащимся ответить на следующий вопрос: с какой целью вы решаете задачи по математике? Для удобства анализа ответов мы предложили на выбор следующие варианты:

1) чтобы получить положительную оценку, поощрение со стороны родителей и учителя;

2) для того чтобы избежать отрицательной реакции со стороны родителей и учителя;

3) получаю удовольствие от процесса решения;

4) для того чтобы совершенствовать свои знания в области математики;

5) другое.

Более трети опрошенных нами учащихся 7-х и 9-х классов (32,7% и 38,2%) указали, что получают удовольствие от процесса решения и преодоления возникающих при этом трудностей. Следующие показатели свидетельствуют о том, что зачастую для учащихся результат имеет самое большое значение. 19,2% и 16,4% респондентов соответственно в качестве основной цели назвали желание получить положительную оценку. И только 14% от общего количества опрошенных нами школьников указали, что хотят совершенствовать свои знания в области математики. Несмотря на то, что мы предлагали вписать свой вариант ответа на поставленный вопрос, ни один из учащихся не заявил других целей.

Далее мы уделим подробнее внимание задачам по математике как одному из основных средств формирования познавательного интереса. Нас заинтересовал вопрос: какие виды деятельности при решении задач вызывают наибольший интерес у учащихся? Для ответа на выбор были предложены следующие варианты:

1) поиск различных способов решения задачи;

2) выбор наиболее рационального способа решения задачи;

3) самостоятельное составление задач;

4) другое.

Более чем две трети опрашиваемых (70%) выбрали первый вариант ответа. 38,5% семиклассников и 34,5% девятиклассников утверждают, что им нравится самостоятельно составлять задачи. При этом 38,3% от общего числа респондентов никогда не пытались по разным причинам заниматься этим видом деятельности. Хотя очевидно, что процесс составления задач иногда может быть и сложнее процесса решения задачи. Показательно, на наш взгляд, также и то, что ни один из учащихся не заявил свой вариант ответа. Эти результаты свидетельствуют о необходимости использовать в учебном процессе различные виды деятельности при решении задач.

Далее сосредоточимся на анализе ответов учащихся на вопрос об источниках, из которых они могут заимствовать занимательные задачи. К ним мы отнесли следующие:

1) математические журналы;

2) историко-математическую литературу;

3) различные сайты сети Интернет;

4) другое.

Прежде всего, обращает на себя внимание тот факт, что только 32% респондентов выделили математические журналы и историко математическую литературу. И это несмотря на относительную распространенность и доступность этих источников информации.

Немаловажное значение в сложившейся ситуации имеют библиотеки учителей математики, которые должны помочь в решении данной проблемы. Важно отметить, что для формирования познавательного интереса к математике работа с дополнительной литературой – одна из самых эффективных и действенных.

В качестве одного из потенциально эффективных средств развития познавательного интереса учащихся сегодня выступают информационно коммуникационные технологии. 35% учащихся указали, что активно использую этот источник информации при подготовке к урокам.

Использование сети Интернет в качестве источника информации оживляет образовательный процесс, делая его ярким, запоминающимся и интересным для ученика.

Итак, в этой статье была выполнена попытка описать результаты проведенного нами исследования. Мы надеемся, что полученные данные позволят скорректировать работу учителя математики для решения вопроса формирования познавательного интереса в процессе обучения математике.

Библиографический список 1. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе.

Ростов-на-Дону: Феникс, 2005.

2. Полякова Т.С. Историко-методическая подготовка учителя математики в педагогическом университете. Дис. … докт. пед. наук. СПб., 1998.

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ПОДХОДА К ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕБНО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В ПЛАНЕ ЛИЧНОСТНО-ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ Н.Н. Морозова, Л.К. Проскурякова В статье изложены некоторые подходы к реализации методики уровневой дифференциации в процессе преподавания математики.

Проанализирована специфика компоновки наборов дифференцированных задач в целях обеспечения успешного усвоения студентами дисциплины и развития их профессионально-значимых качеств. Рассмотрены примеры таких наборов с аргументацией их содержания.

Ключевые слова: дифференциация, профессионально-значимые качества, личностное развитие.

Основными направлениями повышения качества и эффективности образовательного процесса являются его четкое планирование и организация;

оптимальный отбор учебного материала;

рациональное сочетание традиционных и инновационных подходов и методов;

гуманизация и демократизация, создающие условия для проявления и использования личностного потенциала субъектов образовательного процесса, развития способностей и профессионально-значимых качеств.

Эффективным механизмом комплексной реализации указанных направлений при обучении математике служит дифференциация образовательного процесса, предполагающая определенную вариативность содержания, методов и интенсивности обучения, исходя из индивидуально типологических особенностей обучающихся. В частности, применение методики уровневой дифференциации при соблюдении требования обязательного достижения всеми обучающимися программного минимума дисциплины (В.В.Фирсов) позволяет преподавателю более четко и адресно организовать учебно-познавательную деятельность студентов;

реально ее активизировать;

обеспечить студентам оперативную помощь в усвоении учебного материала;

предупредить их устойчивое отставание;

способствовать развитию навыков самообразования;

создавать психологически комфортную атмосферу на занятиях;

формировать у студентов позитивное отношение к учебному труду;

в целом, повысить качество математической подготовки и обеспечить личностный рост каждого студента. Вместе с тем, обучающиеся получают возможность гарантированно овладеть базовым уровнем знаний и умений;

создать прочный фундамент для дальнейшего, более глубокого изучения дисциплины и применения математического аппарата при решении прикладных задач;

сформировать навыки эффективного планирования и выполнения учебной работы;

почувствовать удовлетворение от ее успешного протекания;

всемерно раскрыть свои способности и возможности.

Реализуемая форма методики уровневой дифференциации предполагает изложение нового материала проводить одновременно для всех студентов потока или учебной группы. Дифференцируются лишь задания, предлагаемые обучающимся для самостоятельной работы, которая является доминирующей на групповых занятиях при формировании у обучающихся практических умений и навыков. Характерная особенность такой самостоятельной работы состоит в том, что она протекает в условиях отсутствия жестких временных рамок ее выполнения, что обеспечивает оптимальный темпоритм и психологический комфорт обучающихся на занятии и, вместе с тем, высокую интеллектуально-познавательную активность.

Для проведения этой работы студентам на каждом занятии предлагается определенный набор типовых задач, условия которых дифференцируются на 3-5 вариантов, различающихся по содержанию, степени сложности и трудоемкости, а также характеру методических рекомендаций. При этом обучающимся предоставляется право самостоятельного выбора того или иного варианта, исходя из их познавательных потребностей, уровня подготовки, психологического состояния. Подобный прием, с одной стороны, способствует повышению ответственности студентов за результаты своей работы, а с другой формированию у них адекватной самооценки, что особенно важно для студентов-первокурсников в период их адаптации к специфике образовательного процесса в вузе.


Задания подбираются таким образом, чтобы студенты с соответствующим уровнем готовности при достаточно интенсивной работе имели возможность выполнить их непосредственно на занятии полностью самостоятельно, или, при необходимости, прибегая к помощи товарища или преподавателя. В случае, если обучающийся не справляется со всем объемом задания на занятии, ему предоставляется возможность завершить работу во внеаудиторное время. Зная об этом, студенты не испытывают на занятиях эмоциональных и интеллектуальных перегрузок, осмысленно усваивают программный материал, получая настоящее эмоционально нравственное удовлетворение от результатов «посильной» учебной работы в условиях максимально психологически комфортного ее протекания. При этом частичный перенос аудиторной работы на самостоятельную внеаудиторную работу не приводит к серьезным перегрузкам студентов в силу соответствующей адекватности предлагаемых учебных заданий.

Компоновка дифференцированных вариантов заданий происходит с учетом требований целесообразности, полноты, посильности (доступности), ориентации на «зону ближайшего развития» (по Л.С.Выготскому) личности обучающегося.

Требование полноты обусловливает тот факт, что добросовестное выполнение студентом даже самого простого варианта задания гарантирует овладение им предусмотренным учебной программой минимумом знаний и умений. Реализация этого требования потребовала на подготовительном этапе работы необходимость детального анализа учебной программы, глубинных внутридисциплинарных связей, имеющихся в курсе математики, а также выявления в процессе совместной работы с представителями смежных кафедр и последующего учета междисциплинарных связей.

Требование «посильности» непосредственно связано с эмоционально-психологическим комфортом обучающегося на занятии, с его самоанализом готовности к выполнению конкретного варианта заданий определенной степени сложности, с рациональным использованием учебного времени занятия и предотвращением его непродуктивных потерь.

Причем последнее имеет место не только тогда, когда неоправданно много времени тратится на одно задание и, в результате, весь запланированный объем заданий оказывается невыполненным в аудитории, но и тогда, когда студент очень быстро, практически не задумываясь, выполняет все задания, и оставшееся время занятия проводит впустую, подчас лишь создавая иллюзию занятости. Но даже в том случае, когда весь объем задания полностью и своевременно выполнен и чисто внешне не наблюдается потерь учебного времени, возможны его потери психологического характера. Они возникают в том случае, если студент выполняет задания заниженной степени сложности по отношению к своему уровню интеллектуально познавательной подготовки, и при этом одна из основных целей любого учебного занятия – развитие познавательных способностей обучающихся – оказывается не достигнутой. Вот почему выбор студентом заниженного по уровню сложности варианта задания, при отсутствии объективных на то причин, является показателем невысокого уровня развития его познавательной активности и становится предметом особого внимания преподавателя.

Выполнение студентом задания, адекватного его уровню предметно познавательной подготовки, обеспечивает результативность учебной работы, подлинный познавательно - психологический комфорт ее выполнения, порождает потребность в такой работе, стимулирует интерес и познавательную активность, формирует у студента уверенность в своих силах, создает предпосылки личностного роста. В связи с этим, изучив познавательно-интеллектуальные возможности и личностные особенности студентов, при выявлении устойчивых фактов неадекватности выбора вариантов заданий для самостоятельного выполнения некоторыми из них целесообразно убедить таких студентов в необходимости выполнения заданий, соответствующих их уровню подготовки, причем убедить, аргументируя, но не навязывая свои рекомендации. С особым тактом подобные рекомендации необходимо давать тем студентам, которым предлагается для выполнения самый простой вариант. В этих случаях непременно оговаривается тот факт, что в дальнейшем студент, наверное, будет делать более сложные задания и что выполнение этого простого варианта – лишь временное явление, которое позволит студенту быстрее устранить пробелы в его предметной подготовке и сформировать необходимый фундамент для последующей успешной учебной работы.

На протяжении всего периода изучения дисциплины полезно проводить регулярную, четкую фиксацию выбираемых студентами вариантов заданий, поскольку наблюдаемая при этом динамика является одним из показателей развития их познавательной активности, учебной мотивации, культуры самооценки. Вместе с тем, анализ такой динамики дает важную информацию для соответствующей оперативной корректировки преподавания дисциплины.

Непосредственно с требованием «посильности» связано требование ориентации на «зону ближайшего развития», поскольку успешное обучение обусловлено предметно-познавательным, творческим ростом и самосовершенствованием обучающихся. Каждое занятие должно быть шагом вперед, но не шагом на месте. Выполнение студентами заданий опережающего характера способствует их целенаправленной пропедевтической подготовке к эффективному восприятию нового материала и интенсивному развитию интеллектуально-познавательных способностей.

Наряду с обязательным набором дифференцированных заданий, на каждом занятии полезно предлагать студентам дополнительные задания оригинального, нередко междисциплинарного содержания, требующие нестандартного, исследовательского подхода к решению, что является одним из реальных направлений профессионального становления личности обучающихся. Введение таких заданий предназначено для развития математической интуиции, гибкости мышления. Их выполнение углубляет процесс дифференциации, приобщает студентов к поисковой, творческой учебно–познавательной работе, а частота обращения к таким заданиям является показателем высокого уровня учебной мотивации и развития познавательной активности.

Необходимо отметить, что применение дифференцированных заданий обеспечивает известную индивидуализацию образовательного процесса в том объеме, который возможен в условиях массового обучения.

Очевидно, что успешность реализации дифференцированного подхода особенно на начальном этапе обучения в значительной мере зависит от умения преподавателя выявлять и анализировать особенности предметно-познавательной работы обучающихся, их личные качества, особенности социально-психологического развития, и согласно результатам этой своеобразной диагностики необходимо выстраивать эффективную стратегию и тактику организации и управления образовательным процессом.

Примером дифференцирования по возрастающей степени трудоемкости заданий может служить следующий набор заданий по исследованию функций на экстремум:

5 =3 ( x + 1) ;

= 1 3 x2;

3) y = + x x 1) y 2) y ;

x 5) y = 4) y = ( x 2) (2 x + 1) ;

.

x+ Все эти функции имеют критическую точку, в которой первая производная бесконечна. Для первой функции критическая (нестационарная) точка единственная, она является и точкой экстремума.

Интерес исследования данной функции обусловлен, прежде всего, наличием именно критической, но не более часто встречающейся стационарной точки, а также необходимостью, как и в последующих случаях, построения графика функции с выяснением его особенностей в связи с наличием вертикальной касательной в точке, абсциссой которой служит точка экстремума. Вторая функция также имеет единственную критическую точку, но, в отличие от первой функции, эта точка не является точкой экстремума, поскольку, как выясняется в ходе исследования, функция убывает на своей области определения, и потому при всей внешней простоте этого задания его выполнение имеет важное методологическое значение в плане демонстрации взаимосвязи между множествами критических точек и точек экстремума. Третья – пятая функции имеют также и стационарную то ку. Но по ср внению ч а с тр тьей е четвер ая т функция труднее дифференцируется, да и сам способ задания третьей функции отчетливо указывает на необходимые для использования формулы таблицы производных. Исследование пятой функции и построение ее графика осложняются наличием точки бесконечного разрыва.

Примером содержательной дифференциации может служить набор задач (представленных, как и в первом случае, по возрастающей сложности) на составление уравнения плоскости, проходящей: 1) через две данные точки параллельно данному вектору;

2) через данную точку параллельно двум данным прямым с каноническими уравнениями;

3) через данную точку и прямую, заданную параметрически;

4) через данную точку перпендикулярно прямой, представленной общими уравнениями;

5) через одну из координатных осей и заданную точку, не лежащую на этой оси.

Решение любой из этих задач студентам рекомендуется выполнять по методу, который основывается на использовании условия компланарности трех векторов и предполагает необходимость взятия на плоскости произвольной точки M (точки с текущими, переменными координатами) и нахождение соответствующей тройки компланарных векторов, для одного из которых эта произвольная точка является концом.

При решении первой задачи этого набора (рис.1) студенту достаточно взять на плоскости произвольную точку, найти вектор, лежащий в плоскости, и тройка компланарных векторов становится практически очевидной.

a Решение второй задачи (рис.2) M M S2 l M S Рис.1 M предполагает определение вектора l M на плоскости и анализ уравнений данных прямых на предмет определения их направляющих Рис. векторов с целью получения l M1 n S n M M l Рис. 3 M необходимой тройки. M При решении третьей задачи (рис. 3) возникает необходимость Рис. рассмотрения структуры уравнения заданной прямой для выявления ее точки и направляющего вектора с последующим выбором тройки компланарных векторов.

Для решения четвертой задачи (рис. 4) принципиально важен анализ способа задания указанной в условии прямой в связи с особенностями ее взаимного расположения с искомой плоскостью и установление того факта, что нормальные векторы плоскостей, пересечением которых служит данная прямая и которые могут быть найдены из уравнений этих плоскостей, в совокупности с вектором, который может быть построен в искомой плоскости, образуют интересующую тройку компланарных векторов.

Процесс решения пятой задачи (рис. 5) базируется на осознании факта x задания в условии задачи координатной M i оси, что в свою очередь приводит к выводу M о необходимости и вместе с тем O достаточности рассмотрения не только орта данной оси, но и некоторой ее точки, Рис. 5 например (и это проще всего), начала координат, и выявления тройки векторов, лежащих в этой плоскости.

Таким образом, решение любой из задач данного набора требует от обучающихся синтеза их знаний и умений по таким разделам курса математики, как аналитическая геометрия в пространстве, векторная алгебра, теория определителей и, вместе с тем, определенного развития образного мышления, причем последнее существенно помогает поиску пути решения. При этом отпадает необходимость механического запоминания различных видов уравнений плоскости и искусственных приемов решения отдельных задач подобного класса.

Индивидуальный выбор студентами в условиях дефицита времени выполняемых заданий на занятии не исключает возможности, но в некоторых случаях предполагает последовательное выполнение всех вариантов одного задания, что (при подобном подходе к содержательной дифференциации задач) обеспечивает углубление предметных умений, а осознание специфики отдельных задач при проведении их сравнительного анализа способствует разностороннему освоению механизма решения, расширяя диапазон познавательных возможностей.

Практически все комплекты предлагаемых дифференцированных заданий апробируются в экспериментальном режиме на занятиях и проходят экспертную проверку ведущими преподавателями. Лишь после этого они рекомендуются к изданию в соответствующих пособиях, призванных существенно облегчить организационные моменты проведения занятий.

Таким образом, функциональное сочетание организационных и содержательных аспектов дифференциации обеспечивает максимальную отдачу данной методики в плане личностного, предметно-познавательного и профессионального развития обучающихся.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В.П. Перекалина В статье рассмотрены методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

Ключевые слова: обратные тригонометрические функции, уравнения, неравенства.

Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, часто вызывают у учащихся старших классов значительные трудности.

Связано это, прежде всего, с тем, что в действующих учебниках и учебных пособиях подобным задачам уделяется не слишком большое внимание, и если с задачами на вычисление значений обратных тригонометрических функций учащиеся ещё как–то справляются, то уравнения и неравенства, содержащие эти функции, нередко ставят их в тупик. Последнее не удивительно, поскольку практически ни в одном учебнике не излагается методика решения даже простейших уравнений и неравенств такого рода.

Предлагаем вашему вниманию методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. В связи с этим, вспомним важнейшие свойства обратных тригонометрических функций.

1. Функция у = arcsin x определена и монотонно возрастает на отрезке [-1;

1]. Область значений функции у = arcsin x - отрезок ;

.

2 arcsin (-х) = - arcsin х, при х 2. Функция у = arccos x определена и монотонно убывает на отрезке [-1;

1]. Область значений функции у = arccos x отрезок [0;

].

аrcсos (-х) = - аrcсos х, при х 3. Функция у = arctg х определена и монотонно возрастает на R.

Область значений функции у = arctg х интервал ;

.

2 arctg (-х) = - arctg х, на множестве R.

4. Функция у = arcсtg х определена и монотонно убывает на R.

Область значений функции у = arcctg х интервал (0;

).

arcсtg (-х) = - arcctg х, на множестве R.

, при х 1;

arctg x + arcctg x = на 5. arcsin x + arсcos x = 2 множестве R.

Свойства монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций являются ключевыми при решении многих уравнений и неравенств.

Рассмотрим теперь уравнения и неравенства, левые и правые части которых являются одноимёнными обратными тригонометрическими функциями.

Решение уравнений и неравенств данного вида основывается, прежде всего, на таком свойстве этих функций, как монотонность. Учитывая, что функции у=arcsin x и у=arctg х монотонно возрастают, а функции у=arсcos x и у=arcсtg х монотонно убывают на своих областях определения, то при решении уравнений и неравенств справедливы следующие равносильные переходы.

1. Уравнение arcsin f(x) = arcsin g(x) равносильно любой из двух систем:

f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x) или f ( x) 1 g ( x) Неравенство arcsin f(x) arcsin g(x) равносильно системе:

f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 2. Уравнение arcсos f(x) = arcсos g(x) равносильно любой из двух систем:

f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x) или f ( x) 1 g ( x) Неравенство arccos f(x) arccos g(x) равносильно системе:

f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) Какой из двух систем пользоваться при решении уравнений, зависит от того, какое неравенство проще f ( x) 1 или g ( x) 1.

3. Уравнение arctg f(x) = arctg g(x) равносильно уравнению f(x)=g(x).

Неравенство acrtg f(x) arctg g(x) равносильно неравенству f(x) g(x).

4. Уравнение arcctg f(x) = arcctg g(x) равносильно уравнению f(x)=g(x). Неравенство arcctg f(x) arcctg g(x) равносильно неравенству f(x)g(x).

Пример 1. Решить уравнение arcsin(2x-15) = arcsin(x2-6x-8).

Решение. Уравнение равносильно системе x = 2 x 15 = x 2 6 x 8 x 2 8x + 7 = 0 x = x= 2 x 15 1 2 x 15 1 2 x 15 Ответ: 7.

Пример 2. Решить неравенство arccos(x2-3) arccos(x+3) Решение. Неравенство равносильно системе x 2 x 6 x 2 3 x + 3 ( x 3)( x + 2) x 4 0 ( x 2)( x + 2) x + 3 1 x= x 4 x x 2 3 2 Ответ :- Рассмотрим уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются разноимёнными обратными тригонометрическими функциями.

При решении уравнений и неравенств данного вида удобно использовать известные тригонометрические тождества. Эта группа задач является более сложной, по сравнению с предыдущей. В связи с этим целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению – следствию и после его решения делать необходимую проверку.

1. arcsin f(x) = arсcos g(x). Пусть x0 – решение данного уравнения.

Обозначим arcsin f(x0) = arcсos g(x0) через. Тогда sin = f(x0), cos = g(x0) и, зная, что sin2 + cos2 = 1, получим f2(x0)+g2(x0) = 1. Таким образом, из уравнения arcsin f(x) = arcсos g(x) следует f2(x)+g2(x) = 1.

Рассуждая аналогично и используя известные тригонометрические формулы, получим следующие переходы.

2. Из уравнения arctg f(x) = arcctg g(x) cледует f(x)g(x) = 1.

3. Из уравнения arcsin f(x) = arcctg g(x) следует g2(x) +1 = 2.

f ( x) 4. Из уравнения arctg f(x) = arcсos g(x) следует f2(x)+1 = g ( x) Корнем каждого из уравнений 1 – 4 могут быть только такие значения х0, для которых f(x0) 0 и g(x0) 0. В противном случае, множество значений левой и правой частей уравнений не пересекаются.

Пример 3. Решить уравнение arcctg (3x-2) = arctg (2x-1).

Решение. Перейдём к уравнению – следствию (3x-2)(2x-1) = x = 6x -7x+1=0, x = Проверка. x=1, arcctg(3-2) = arctg(2-1), arcctg1 = arctg 1 2 x =, arcctg(-1,5) arctg( ), следовательно х= - посторонний 6 3 корень.

Ответ: 1.

Пример 4. Решить уравнение arcsin x = arcos(1-2x).

Решение. Перейдём к уравнению – следствию x2+(1-2x)2 = x = 5x - 4x = 0, x(5x-4) = 0, x = 4 4 Проверка: x=0, arcsin0 = arccos1, x =, arcsin arccos( ) 5 5 Следовательно, x = – посторонний корень.

Ответ: При решении неравенств, левая и правая части которых представляют собой разноимённые обратные тригонометрические функции, целесообразно использовать метод интервалов, а в некоторых случаях учитывать свойства монотонных функций. Однако следует понимать, что метод интервалов является более универсальным, потому что его можно применять и в тех случаях, когда использование свойств монотонных функций не приводит к искомому результату.

Пример 5. Решить неравенство arccos (2x-1) arcsin.

Решение. Перепишем данное неравенство в следующем виде:

arccos (2x-1) arccos 0,5.

Поскольку функция y = arcсos x является убывающей, то данное неравенство равносильно системе 2 x 10,5 x 0, 0 x 0, 2 x 1 1 x Ответ: [0;

0,75) x+2 3x + Пример 6. Решить неравенство arcsin arccos.

5 Решение. Перепишем данное неравенство в следующем виде:

x+2 3x + 0;

arcsin - arccos 5 x+2 3x + Рассмотрим функцию f(x) = arcsin и решим - arccos 5 неравенство f(x) 0 методом интервалов.

x+ 7 x 5 -2 x 1. D(f): 2 x 3x + 1 1 x+2 3x + 2. f(x) = 0. arcsin - arccos = 0;

5 x+2 3x + arcsin = arccos ;

5 x + 2 3x + 2 Перейдём к уравнению – следствию + = 5 x = После преобразований получим: x2+x-2 = 0,.

x = Проверкой убеждаемся, что x = -2 - посторонний корень уравнения f(x) = 0.

2. Решим неравенство f(x) 0 методом интервалов.

+ -2 Таким образом, решением данного неравенства является отрезок [ 2;

1] Ответ: [ 2;

1] Рассмотрим уравнения, решаемые с помощью замены переменной.

Некоторые уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, можно свести к алгебраическим, сделав соответствующую замену переменной. При этом следует помнить об ограниченности обратных тригонометрических функций.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.