авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЕЛЕЦКИЙ ...»

-- [ Страница 7 ] --

2. Актуализация базовых знаний Учащимся предлагается ответить на вопросы:

1). Что называют линейной функцией?

2). Как построить график линейной функции?

3). Какие из указанных ниже функций являются линейными:

1 у =5х2 +7;

3у =6х+9;

у =S - ;

у = 3х – 4;

у = t+5;

у =3х+8х2?

2 4). Приведите примеры линейных функций.

5). Что называют прямой пропорциональностью? Приведите примеры.

3. Исследование Учитель формулирует проблему, которой посвящены исследования.

Учащиеся класса, заранее поделившиеся на 4 группы, получают задания для исследования: у каждой группы-лаборатории своя работа.

Задания группам – лабораториям.

Лаборатория №1. Роль знака углового коэффициента.

Выяснить, как влияет значение углового коэффициента на расположение графиков линейных функций относительно положительного направления оси абсцисс.

Постройте графики функций:

у=2х-3, (k 0);

у= - 2х-3, (k 0) ;

у= -5, (k =0).

Сделайте выводы:

Если k 0, то угол наклона, образованный графиком линейной функции с положительным направлением оси абсцисс … Если k 0, то угол наклона, образованный графиком линейной функции с положительным направлением оси абсцисс … Если k =0, то … Лаборатория №2. Угловые коэффициенты функций равны.

Выяснить, как расположены графики линейных функций, если их угловые коэффициенты равны.

В одной системе координат постройте графики функций:

у=2х+3, у=2х-3, у=2х.

Сделайте вывод:

Если угловые коэффициенты линейных функций равны, то их графики расположены … Лаборатория №3. Свободные члены линейных функций равны.

Выяснить, как расположены графики линейных функций, если равны их свободные члены.

В одной системе координат постройте графики функций:

у =2х-2, у = х-2, у = -3х-2.

Сделайте вывод:

Если свободные члены линейных функций равны, то их графики … Лаборатория №4. Общий случай.

Выяснить, как расположены графики линейных функций, если не равны их угловые коэффициенты и свободные члены.

В одной системе координат постройте графики функций:

у=2х-3, у=0,5х+3, у=-4х+1.

Сделайте вывод:

Если угловые коэффициенты и свободные члены линейных функций не равны, то их графики… Прокомментируем работу групп. Каждый участник группы выполняет построение графиков заданных функций на листах формата А4.

Получив результаты, группа делает выводы, записывает их, готовится к защите.

4. Защита результатов исследования Каждая группа по очереди демонстрирует результат своего исследования перед участниками других групп, которые в тетради записывают выводы, делают необходимые чертежи, задают (если необходимо) вопросы.

5. Постановка домашнего задания Учащимся предлагается дома на листах формата А4 оформить результаты исследования других групп и таким образом создать исследовательский проект по данной теме.

6. Подведение итогов. Анкетирование Учитель задает вопросы:

1). Какую проблему мы рассматривали сегодня на уроке?

2). Какие результаты исследований были получены?

Далее учащимся предлагается ответить на вопросы небольшой анкеты.

Анкета Ф.И.О. Класс_ Дата заполнения Тема лабораторной работы Какую проблему исследовала Ваша группа?_ Что нового Вы узнали при выполнении данной работы? Наиболее ценным для Вас было: Что привлекло Ваше внимание в ходе выполнения лабораторной работы?_ Было ли Вам интересно на уроке?_ Библиографический список 1. Алгебра. Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова;

Под ред. С.А. Теляковского. 9-е изд. М.:

Просвещение, 2000.

2. Исследовательская деятельность учащихся в профильной школе. Авт.-сост.

Б.А. Татьянкин, О.Ю. Макаренков, Т.В. Иванникова, И.С. Мартынова, Л.В. Зуева. Под ред.

Б.А. Татьянкина. М., 2007.

3. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс. Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В.

Кузнецова, С.С. Минаева;

Под ред. Г.В. Дорофеева. 2-е изд. М.: Дрофа, 1998.

4. Опыт организации исследовательской деятельности школьников: «Малая Академия наук». Авт.-сост. Г.И. Осипова. Волгоград: Учитель, 2007.

5. http://S24.stanovoe.lipetsk.ru.

6. http://www.festival@1September.ru ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В.Д. Селютин, И.А. Уман В статье приводятся отдельные фрагменты взаимодействия аппарата интегрального исчисления и стохастики в условиях междисциплинарных связей при обучении студентов физико математического факультета. Раскрываются методические приемы доказательств некоторых теорем о вероятностных распределениях с привлечением интегралов.

Ключевые слова: межпредметные связи, интеграл, случайная величина, плотность распределения.

В настоящее время происходит усиление межпредментых связей при изучении различных дисциплин. Такая тенденция имеет два основных выражения. Во-первых, достаточно перспективным оказалось изучение отдельных тем одной дисциплины как вытекающих из другой. При этом следует отметить, что данный способ позволяет экономить учебное время, т.к. две дисциплины изучаются параллельно. Во-вторых, использование средств и методов одного раздела науки при изучении другого позволяет облегчить и ускорить понимание обучающимися материала.

Возможности использования межпредметных связей хорошо прослеживаются на примере стохастики и математического анализа. С одной стороны, достаточно прозрачным является использование стохастического знания при изучении таких понятий математического анализа, как и С другой стороны, не «производная» «интеграл».

представляется возможным изучение некоторых разделов стохастики без использования аппарата математического анализа.

Обратимся к изучению вероятностных распределений.

Рассматривая некоторые распределения случайных величин, используют так называемую гамма-функцию, которая определяется через интеграл. Например, она участвует в доказательстве теоремы: если 1, 2,..., n независимые нормально распределенные одномерные случайные величины с параметрами M i = 0, i = 1, то случайная величина 12 + 22 +... + n2 имеет 2 распределение с n степенями свободы.

Проводя доказательство этого утверждения, студенты предпринимают попытки найти плотность распределения случайной величины = 12 + 22 +... + n2 - радиуса n-мерной сферы. Вероятность события { x } можно получить из плотности распределения случайной величины, интегрируя по n-мерному сферическому слою, толщиной dx, так как dF (x) = P(x x + dx ) = f (x ) · dx Так как объем n-мерного слоя пропорционален x n - 1, то x f (x ) = cn x, где коэффициент n Cn пропорциональности. Коэффициент C n находят из условия + f (x )dx = 1, учитывая, что x 0, так как 0.

+ x Cn x n 2 dx = 1.

+ x2 k k Предварительно доказывается, что x k dx = 2 2, x 2. Получают f (x ) = поэтому C n = n x (1), n n n n 2 Зная эту плотность, находят плотность x 0.

распределения случайной величины = 12 + 22 +... + n2.

( x ) x 1 1 n x = · = f 2 x n n x x n 1 x 2 n n 2 Последнее выражение представляет собой плотность 2 распределения с n степенями свободы для x 0. Этим и завершается доказательство рассматриваемой теоремы.

Заметим, что многие студенты испытывают потребность в пояснениях к доказательству. Поэтому преподавателю необходимо обратить их внимание на следующие факты.

1. Для одномерной нормально распределенной случайной величины x с параметрами (0, 1) имеем dp = d F (x) = (x) · dx = · dx, так как F/ (x) = (x).

2. Для двумерной случайной величины, имеющей сферическое нормальное распределение, имеем dp = dV = S кольца · (x), где x (x) = x12 + x 2.

,x= Sкольца = · ( x + dx )2 - · x 2 = 2 · x · dx + · dx2 2 · x · dx.

При n = 3 имеем 4 с 4 · · x2 · dx · · ( x + dx )3 · · x Vслоя = 3 точностью до бесконечно малых, более высокого порядка по сравнению с dx.

x dp = Vслоя · (x) = 4 · · x · dx · – площадь круга (объем двумерного шара), · x площадь кольца (объем двумерного слоя) пропорционален x;

-объем трехмерного шара, объем трехмерного · x сферического слоя пропорционален x, и так далее: объем n мерного сферического слоя пропорционален x n - 1.

3. Из теории вероятностей известно, что если = ( ), то плотность распределения случайной величины находится следующим образом f ( x ) = f ( (x )) ' (x ), где - функция, обратная, если непрерывная, монотонная и интегрируемая. Например, если = 2, то = n, ( x) = x, ' ( x) =.

2x Двойной интеграл приходится применять при доказательстве следующего утверждения: если 0, 1,..., n независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с параметрами (0, 1), то случайная величина имеет распределение Стьюдента с n n = 1n i n i = степенями свободы.

Студентам предлагается представить случайную величину 0 n n в виде отношения двух случайных величин n =, где = 12 + 22 +... + n2. Числитель имеет нормальное распределение (0, n ), с параметрами а знаменатель имеет плотность распределения (1). Напоминая студентам, что плотность совместного распределения независимых случайных величин равна произведению их плотностей, записываем:

u2 v v n du dv = [u = y z, v = z ] = F n (x ) = P( n x ) = 2n 2 n n n Д z2 y y2 x ( + 1) dy z dz = [ z n + 1 = w ] = = n 2n n n 2 n n + n +1 n + w y2 y x x 1 dy w n n n + 2 + 1 dy dw = = n n n 2n F\n ( x ) Дифференцируя по x, получим = n + n + 2 2 1 + x - плотность распределения Стьюдента с n n n степенями свободы.

Здесь также приходится давать необходимые пояснения к доказательству, которые касаются способа нахождения интеграла.

Эффективность методических приемов доказательства теорем о вероятностных распределениях с привлечением интегралов подтверждается практикой обучения студентов физико-математического факультета Орловского государственного университета.

ПРОБЛЕМЫ ПОДГОТОВКИ ШКОЛЬНИКОВ К ЕДИНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ Г.А. Симоновская, Н.В. Черноусова В статье рассмотрены проблемы, связанные с подготовкой к сдаче школьниками единого государственного экзамена по математике в году, предложен один из возможных путей решения представленных проблем.

Ключевые слова: единый государственный экзамен, математика, подготовка к сдаче школьного экзамена.

Вот уже около десяти лет выпускники средней школы сдают государственный экзамен по математике в форме единого государственного экзамена (ЕГЭ). И, казалось бы, что за это время содержание экзамена, структура экзаменационного варианта, методика проверки и выставление итоговых баллов должны были бы отшлифоваться и быть удовлетворительными для двух сторон, участвующих в экзамене: учеников и учителей.

Но каждый год мы видим изменения: то меняется структура контрольно-измерительных материалов, то содержание (особенно это касается части С), то особенности выставления итоговых баллов для аттестата или для сертификата. И такая лихорадка каждый год.

И в этом году школьников ожидают новшества и в структуре, и в содержании, и в оценивании.

Итак, в контрольно-измерительных материалах отсутствует часть А.

Таким образом, школьники, особенно успевающие ниже среднего, лишены возможности выполнять задания (или зарабатывать необходимые баллы), в которых тестируемые могли воспользоваться элементами самопроверки:

решил и сравнил с возможными ответами. А как показывает практика, чаще всего ответ, полученный школьником, не совпадал ни с одним из приведенных. Далее тестируемый подходил к выполнению данных заданий «творчески»: или пытался угадать верный ответ, или проводил грубую оценку, или, если это возможно, решал задачу подстановкой ответов в само задание.

В части В изменены задания, они стали более приближены к практической стороне. Например, задания В1, В2, В5, В9, В12 (часть заданий – задачи на движение, на смеси и растворы). А задания В6 – интегрируемы с физикой, причём возможны задания, редко используемые при обучении математике в школе, чаще такие задания решаются при изучении физики.

Например, такое задание:

Задание B6.

Заданы точки O (0;

0 ), A (8;

4 ), F (5;

2 ). Найдите работу силы F = OF по перемещению материальной точки из точки O (0;

0 ) в точку A (8;

4 ).

y A O x F Рассматривая отдельно данное конкретное задание, можно заметить следующее:

- даны точки с координатами и рисунок с координатной плоскостью и построенными на ней точками (данное построение тестируемый мог бы выполнить самостоятельно), необходимо отметить, что в ходе решения школьник, скорее всего, и не обратится к чертежу;

- при изучении школьного курса физики такого типа задачи можно решать двумя способами, но в курсе математики к таким заданиям очень редко обращаются;

- решение задачи требует прочных навыков работы с векторами (нахождение координат векторов, правила нахождения скалярного произведения двух векторов).

Всё выше сказанное говорит о том, что не самая сложная задача вряд ли будет верно решена.

К такому виду задач может быть отнесено и следующее задание.

Задание B10.

Сцепленные зубчатые колёса вместе в сумме делают 240 оборотов в минуту. Найдите количество зубьев у второго колеса, если у первого их 100 и делает оно на 80 оборотов в минуту больше, чем второе колесо.

Данная задача не очень сложная, может быть решена фактически устно путём логических рассуждений. Но если школьник столкнётся с ней впервые на экзамене, то он окажется в затруднительном положении. На наш взгляд, такие задания могут вызвать у школьников больше затруднений, чем задания с параметрами из части С (к заданиям с параметрами особое внимание: они прорешены, разобраны до экзаменов).

Анализируя часть В контрольно-измерительных материалов по математике, можно сделать вывод о несогласованности уровня сложности заданий по одним и тем же темам. В различных версиях тематики заданий весьма амплитудно разнятся по сложности. А что ожидает школьников на экзамене – тайна для всех.

Переходя к рассмотрению части С, нужно сказать, что число заданий увеличилось. Да и содержание подверглось корректировке. Особенно настораживает задание С6. Оно представляет собой смесь комбинаторики, теории вероятностей, логики, решение уравнений на множестве натуральных или целых чисел и т.п. Да и с оформлением этой задачи много сложностей, а, учитывая субъективность проверки, следует отметить, что максимальное число баллов за него получить практически невозможно.

Задания части С настораживают ещё и тем, что из года в год на самом экзамене предлагаются задания, откровенно говоря, выходящие за рамки школьного курса дисциплин естественно-математического цикла, да и коренным образом изменённые по сравнению с аналогичными заданиями из демоверсий. Поэтому предположить, что ожидает выпускника на экзамене, весьма трудно.

Таким образом, в ходе подготовки школьника к единому государственному экзамену по математике необходимо предлагать для решения задания нестандартные, интегрируемые по дисциплинам естественно-математического цикла. При решении таких задач от школьника требуются не только прочные знания по школьному курсу математики, но и умения применять знания в других областях. На наш взгляд, таких заданий должно быть достаточное количество и не нужно дублировать их однотипными. Такие задачи и хороши своей непохожестью и нестандартностью. К таким задачам можно отнести следующие задания:

1. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа, в оставшейся руде содержание железа повысилось на 20%. Какое количество железа осталось в руде?

1) 104 кг 2) 105 кг 3) 160 кг 4) 180 кг 5) 187,5 кг 2. Выражение sin 6 + cos 6 равно 8 13 5 72 72 1) 4) 2) 3) 5) 16 8 16 16 ( ) ( ) 3 x 5 x 3. Корень уравнения = 0 заключён в 2 +1 2 промежутке 3) (0,4;

0,7 ) 4) (3;

3,5) 5) (2;

2,5) 1) (1;

1,5) 2) (1,5;

1,8) 64 4. Числовое выражение равно 2 2 2 2 + 3) 3 5) 2 2) 1) 3 4) 2 5. В равнобедренной трапеции с высотой 2 2 и углом между её диагоналями, противолежащими боковой стороне, средняя линия равна 4) 3 2 4 5) 2 + 3) 1) 2 2) 2 31+sin x +sin x ++ sin n x + 6. Все решения уравнения = 3 9 определяются формулой 1) ( 1) 3) ( 1) n + + n;

n Z + n;

n Z 2) ;

n 6 4) ( 1) n + + n;

n Z + 2n;

n Z 5) ± 3 7. Все решения уравнения 2log 2 sin x + 3log3 cos x = 1 определяются множеством 2) + 2n;

n Z 1) + 2n;

n Z 3) ± + 2n;

n Z 2 5) нет решений n 4) ( 1) + n;

n Z 8. Если = 217 30, = 187 30, то sin sin равно 3 2 3+ 2 2 3 2 1 2 + 1) 2) 3) 4) 5) 4 4 4 4 9. Среднее арифметическое всех чисел n Z, при которых дробь 2n 2 + n + является также целым числом, равно n+ 1) 2 2) -2 3) 1,5 4) -1,5 5) x + 10. Область значений функции y = arcctg совпадает с x + множеством 1) ;

2) ;

;

3) 0;

4 4 4 2 3 4) 0;

;

5) 0;

;

4 4 4 11. Строительная фирма построила один дом за 81 день;

при уменьшении производительности на 20% другой дом этой фирмой был построен за 50 дней. За сколько дней фирма могла бы построить оба дома, если бы строительство шло с постоянной производительностью на 10% больше первоначальной?

1) 120 2) 115 3) 105 4) 100 5) Библиографический список 1. http // www. edu. ege. ru 2. http // www. fipi. ru ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ MATHCAD ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИСЦИПЛИНЫ «ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ЭВМ»

И.Н. Тарова, Д.А. Таров В статье рассматриваются различные аспекты применения математической системы Mathcad в учебном процессе.

Ключевые слова: математическое моделирование, математический пакет, Mathcad, учебный процесс.

В настоящее время значительное место занимает использование различных информационных технологий при изучении учебных дисциплин как в средней, так и в высшей школе. При этом большое внимание уделяется созданию компьютерных моделей, что, в свою очередь, способствует развитию творческих способностей студентов, визуализации изучаемых процессов, явлений и понятий.

Одним из средств математического компьютерного моделирования является математическая система Mathcad, снабженная инструментарием для численного и символьного решения не только математических, но и технических задач различной степени сложности. Облегчая решение сложных математических задач, она снимает психологический барьер, делая обучение более интересным и понятным, поэтому без преувеличений можно сказать, что грамотное применение системы в учебном процессе способствует повышению качества математической подготовки студентов.

Как математический пакет вышеуказанная система характеризуется некоторыми особенностями, выгодно отличающими его от других программных средств, в частности, наличием текстового и графического редакторов, позволяющих эффективно работать с формулами, графиками, таблицами, текстовыми фрагментами, рисунками, создавая тем самым высококачественные документы, а также максимальная приближенность языка моделирования к реальному физико-математическому языку. Все это позволяет эффективно использовать Mathcad как средство автоматизации решения разнообразных математических задач.

Возможности математической системы широко Mathcad используются нами в процессе преподавания студентам V курса физико математического факультета, обучающимися по специальности «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика», учебного курса «Практикум по решению задач на ЭВМ». Кроме того, следует заметить, что рассматриваемый математический пакет находит значительное применение при преподавании на физико-математическом факультете таких дисциплин, как «Информационные технологии в математике», «Программное обеспечение ЭВМ», «Системное и прикладное программное обеспечение»

Задания на осуществление элементарных вычислений, решение систем уравнений, матричные вычисления, решение дифференциальных уравнений, вычисление интегралов в математической системе Mathcad выполняются студентами в ходе лабораторных занятий.

Кроме решения типовых заданий вышеназванный математический пакет применяется нами при рассмотрении более сложных задач в рамках подготовки курсовых работ, семестровых заданий и выпускных квалификационных работ.

Использование математической системы освобождает студентов от большого объема рутинных вычислений, способствует визуализации рассматриваемых понятий и исследуемых процессов, но ни в коем случае не умаляет роли творческого мышления в поисках решения той или иной задачи, грамотного владения математическими понятиями и методами.

Следует особо отметить значительную роль рассматриваемой математической системы в организации самостоятельной работы студентов.

Задания, выполняемые в системе Mathcad, занимают значительный объем в общем курсе дисциплины, практически на них приходится большая часть 10 семестра.

К позитивным моментам использования данного пакета следует также отнести большое количество литературы по различным разделам математики с поддержкой данной системы, в том числе и литературы, подготовленной преподавателями нашего ВУЗа (в частности учебно методическое пособие «Практикум по решению задач на ЭВМ» авторов:

Таровой И.Н., Терехова Ю.П., Масиной О.Н., Скокова А. – Елец, ЕГУ им.

И.А.Бунина. 2005), а также наличие у ЕГУ им. И.А.Бунина лицензии на использование Mathcad в учебном процессе.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ: ПРОБЛЕМА ПОНИМАНИЯ В.А. Тестов Переход к «информационному обществу» несет в себе не только позитивные возможности, но и мало учитываемые негативные тенденции, в частности «бегство от мышления». Конечный смысл образования – не знание, а понимание. С этих позиций информационные технологии следует вводить продуманно, не заменяя обычное обучение, а дополняя его.

Ключевые слова: информация, знание, понимание, познавательные математические ситуации, роль учителя, диалог.

Двадцать первый век все больше связывают с развитием и преобладанием информационных технологий, проникновением их во все большее число сфер социальной жизни. Это явление приводит к тому, что значительная часть информационных процессов, происходящих в обществе, может быть реализована с помощью тех или иных технических информационных систем. При этом воздействие информации на общество выступает важнейшим инструментом управления. Сегодня мы являемся свидетелями и участниками формирования нового типа общества, характер и содержание которого можно обозначить как «постиндустриальное общест во», «информационное общество», «общество знаний» и т. п. В качестве фундаментального признака такого общества можно выделить возможность всякого субъекта (человека, группы и т.п.) фактически в любое время получить любую информацию по интересующему вопросу. В течение всего нескольких десятилетий информация превратилась в самый ценный по содержанию и массовый по форме товар, потребителем которого является все общество.

Становится очевидным, что становление нового типа общества требует и новой системы образования, радикального обновления его целей и содержания, внедрения в обучение новых информационных технологий. В российском образовании в этом направлении был сделан ряд шагов, происходит процесс информатизации школ и вузов, насыщение их компьютерами и программными средствами, создание «цифровых» школ, предоставление учителям и школьникам доступа в Интернет.

Широкое распространение новых информационных технологий, несомненно, облегчило доступ каждому человеку, в том числе школьникам и студентам, к самой современной информации, но вместе с тем привело к тому, что человек наряду с действительно нужной и полезной информацией получает много совершенно бесполезной, искаженной и даже ложной информации, так называемых «информационных шумов», «информационных отходов». В целом можно говорить о переизбытке информации.

Тем самым переход к «информационному обществу» несет в себе не только позитивные возможности, но и мало учитываемые негативные тенденции. Во многом именно этим объясняется наступление антрополо гического кризиса и «бегства от мышления». Торжество технократического мышления приводит, в условиях компьютерной революции и победного шествия по планете Интернета, к тому, что сегодня знание зачастую отождествляется с информацией, а вместо понимания говорят о памяти.

Как отмечает И.М. Ильинский, «что касается молодых людей, то они попадают в своего рода ножницы, когда знания, получаемые от учителя, из учебника, перекрываются потоком хаотичной информации, идущей, прежде всего, от Интернета и СМИ. Причем эта информация, не имеющая структурно-содержательной логической связи, подаваемая не системно, а бисерно, не просто не вписывается в рамки стационарного образования, но представляет собой качественно иной тип, где, в частности, принципиально меняется сочетание зрительного и слухового восприятия [4].

Порой высказывается точка зрения, что роль учителя с развитием информационных технологий в современном мире уменьшилась, что теперь главное в обучении – это применение инновационных информационных технологий. Да, действительно, в сфере образования информационные технологии занимают все больше места, у школьников сегодня настолько широкое поле для получения информации, что 15-20 минут, которыми располагает учитель на уроке для изложения нового материала, могут некоторым показаться пустой формальностью, данью традиции.

Между тем в последнее время многие вузы обнаружили, что интеллектуальный уровень выпускников школ стал стремительно падать. Не прослеживается ли здесь непосредственная связь между двумя этими процессами?

Следует отметить, что имеется существенное различие во владении человеком информацией и знаниями. Знаменитый ЗУН, конечно, не устраняется, без знаний нет образования. Но, как известно, многие знания в нашу эпоху устаревают так быстро, что студент, не успев получить диплом, вынужден снова учиться. Человечество подошло к такому моменту своего развития, когда оно не успевает осознавать происходящее и адаптироваться к нему. Дело не только и не столько в количестве знаний, которыми владеет человек. Давно известно, что многознание уму не научает. В этой связи академик Раушенбах справедливо говорил о «кроссвордном образовании». А Н.Н. Моисеев отмечал, что «мир информационного многознания дан человеку как готовое информационное пространство, как формальная образованность и в сочетании с информационно-образной наркоманией неизбежно ведет к ситуации “информационного тоталитаризма”».

Информация выступает в качестве обязательного и необходимого структурного элемента процесса познания, однако знание не тождественно информации. Информация является фундаментом знания, она перерабаты вается, осознается, упорядочивается, сохраняется и только тогда превращается в знание. В отличие от информации, которая может быть передана с помощью тех или иных материальных носителей, знание, в том числе теоретическое, не транслируемо, оно носит сугубо личностный характер, потому что оно неразрывно связано со структурами сознания. За вершенная мысль вообще не передается, передается только незавершенная мысль и незавершенное знание. Незавершенность же знания состоит в том, что оно требует понимания: его нужно нарастить, напитать собственным опытом сознания, который невоспроизводим, нетранслиру ем, который уникально-событиен и в этом плане незавершен. (М.К.

Мамардашвили и A.M. Пятигорский).

Процесс коммуникации знаний происходит гораздо сложнее, чем передача информации. Сообщение, посланное другому человеку, наталки вается на мощные и разнообразные барьеры – интеллектуальные, психологические, социально-психологические, коммуникативные, культур ные, эстетические. В итоге результат воздействия сообщения может быть противоположным ожидаемому. Однако в практике обучения этот эффект, как правило, не учитывается. Интенсивное применение современных информационных технологий зачастую приводят к тому, что происходит «паралич человеческого мышления», полное подчинение сознания Интернету или телевидению.

Компьютер отучил детей не только писать и слушать, но и говорить.

Это уже проявляется в московских вузах, когда студент, зная на экзамене ответ, стесняется говорить вслух. Слишком увлекаясь компьютеризацией, мы лишаем молодежь возможности самовыражения, а это ведет человека к изоляции, делает его одиноким. Мы все помним крылатую фразу: «Счастье – это когда тебя понимают». Неумение словами выразить свои мысли и чувства приводит к непониманию, то есть делает людей несчастными [8].

При получении знаний ученик сталкивается с проблемой понимания.

Любой познавательный цикл, начиная с момента выделения предмета познания и заканчивая его относительным завершением, есть процесс понимания, глубина которого всякий раз обусловлена психофизическими возможностями индивида. Конечный смысл образования – не знание, а именно понимание. Эта истина справедлива для всех времен, но сегодня проблема понимания остра, как никогда. Понимание служит созиданию и в этом смысле является условием выживания человечества. Кризис понимания берет свое начало в избытке информации. Идти дальше в образовании и науке путем наращивания только компонента знаний бессмысленно.

Современная школа стонет от перегрузки, число обязательных дисциплин оказывается все большим и большим. Существует стремление рассказать ученикам обо всем на свете. Поток информации оказывается предельно насыщенным. Но он фактически слабо развивает интеллект и тем более чувственно-волевую сферу. Все подменяется натаскиванием, зубрежкой, нравственным безразличием. Насущной потребностью для того, чтобы сформировать человека думающего и понимающего, становится изменение общераспространенной модели образования, пересмотр содержания образования и смысла обучения. Образование должно рассматриваться не только как форма трансляции накопленного количества информации в результате чужих умственных усилий, но в первую очередь как преемственность человеческого понимания и осознанности бытия. Школа и вуз должны через знание развивать мышление до стадии понимания. В этом и состоит назначение обр а в зо ания, а не в то м что бы выпустить в жизнь, людей, нашпигованных специальными знаниями, но не способных разобраться в происходящем.

Понимание это способность разума адекватно реагировать на каждое событие жизни, как оно случается, а не согласно программе или алгоритму. Понимание это логика творческого восприятия канонов бытия.

Понимание это творческая деятель ность, соответствующая сущности че ловека. Поэтому, как отмечает О. Долженко, феномен образованности связан не столько с эрудицией или «знаниями, умениями, навыками», сколько с творческой одаренностью, проективным характером понимания, опережающим мышлением и предвосхищающей осознанностью. Такой идеал не может быть формализован. Образовательный стандарт может формализовать только нижний, минимальный порог обученности этот своеобразный показатель «остановленного умственного усилия», предназначенный для безупречного функционирования социотехнической системы. Смысл образования состоит не в том, чтобы только дать выпускнику узкую специализацию, а в том, чтобы он смог отыскать свою область раскрытия таланта и одаренности. Развитие человека это развитие его способностей и дарований, его уникальной самобытности. Но само бытность может раскрыться только в процессе самостоятельного развития человека, т.е. развития, движимого не извне, а изнутри. Такой задаток ода ренности свойствен каждому человеку [2].

Однако современная система образования все менее способствует осуществлению задатка одаренности, зачастую разрушает творческие способности, подавляет предпосылки интеллектуального и художественного развития, стремится к уничтожению творческой сущности человека.

Природная творческая одаренность детей нередко атрофируется в процессе «получения образования». Задача подлинного образования вос становить и приумножить эту одаренность, подняв человека к высотам творчества, ос вободив его от подчиненности технике, компьютеру, Интернету.

Насущной потребностью для того, чтобы сформировать человека думающего и понимающего, становится изменение общераспространенной модели образования, основанной на отождествлении мышления с навыком, понимания с многознанием. Школа и вуз должны через знание развивать мышление до стадии понимания. Знать и понимать это не о дно и то же.

Можно загрузить мозг полезной информацией, но ослабить вместе с тем ресурсы осознавания, рефлексии, творчества.

Хотя проблема понимания достаточно широкая и отсутствует даже однозначное определение самого термина «понимание», однако во всех трактовках этого понятия имеется инвариантное ядро выделение существенных связей, – определяющих некоторую целостность. Понимание достигнуто, если в результате получена некоторая целостность (целостное знание). Иными словами, понять можно только целостный объект. И процесс понимания характеризуется движением от целого к частям и обратно.

Следовательно, в подходе к обучению, нацеленном на понимание, текст должен быть специальным образом структурирован с целью придания ему свойства целостности, а учащийся специальным образом сориентирован на обнаружение свойства целостности изучаемого материала. Поэтому в процессе изучения материала любого предмета, в том числе математике, важно соблюдать принцип взаимосвязанности знаний, который предполагает рассмотрение совокупности устойчивых связей, обеспечивающих целостность изучаемого объекта, его принадлежность к некому общему. То, чему учат, должно иметь много связей этого требовал еще Я.А. Коменский.

Как установлено психологами, чем больше разных связей изучаемого объекта может быть установлено с уже имеющимися в долговременной памяти знаниями, тем глубже и шире понимание, тем прочнее и эффективнее запоминание. О необходимости установления многосторонних связей писал и известный математик-методист М.В. Потоцкий: «Понять какое-нибудь явление это значит осознать сущность этого явления, характерные его черты, его истоки и следствия, его взаимосвязь с другими явлениями, его место в системе окружающих явлений. Короче говоря, явление может быть осознано, если оно рассматривается в причинно следственной связи с окружающими явлениями. Чем этих связей устанавливается больше, чем они многостороннее, тем понимание оказывается глубже и полнее.» [6, с. 14].

Как известно, научные связи в математике наиболее полно отражаются в виде математических структур, а при обучении формируются и развиваются соответствующие им когнитивные структуры. Поэтому можно утверждать, что формирование и развитие представлений о математических структурах, иными словами, о когнитивных мате матических структурах, является основой и условием достижения понимания в процессе обучения математике [7].

При таком взгляде обеспечивается единство научной концепции, выделение системы ведущих понятий, определение на этой основе содержательно-методических линий курса, группирующих другие понятия, и определение наиболее эффективной с точки зрения внутрипредметных связей структуры курса и последовательности его изучения. Математи ческие структуры, будучи тесно взаимосвязанными, создают объективную основу такого построения учебного процесса, при котором как при изложении теоретического материала, так и при формировании практических умений и навыков происходит интеграция различных содер жательно-методических линий в этом процессе. Среди этих линий обяза тельно должны присутствовать линия обобщающего повторения и линия формирования потребностей к углублению знаний.

Через установление связей между различными математическими структурами достигается должная научность содержания, выраженная не столько в строгости его изложения, сколько в логически правильной после довательности и систематичности построения в системе его внутренних взаимосвязей. Разумеется, что при этом необходим полный учет и психо лого-педагогических факторов.

Особую актуальность приобретает взаимосвязанность знаний в вузов ском преподавании математики. Вуз должен дать студентам представление о математике в целом, чему в значительной степени препятствуют «стены»

между отдельными вузовскими предметами, отсутствие между ними необ ходимых связей. Одной из основных задач происходящей перестройки высшего образования является интеграция различных отраслей наук, в частности, различных разделов математики.

Идея математических структур в значительной степени может облег чить решение этой проблемы, снять барьеры между алгеброй, геометрией, теорией чисел, математическим анализом. Эта «большая упрощающая идея, отмечал известный французский математик Г. Шоке, дает возможность перебросить мосты между различными дисциплинами».

При обучении с помощью компьютера необходимо особое внимание уделить тому, чтобы у учащихся (студентов) при изучении математики возникала потребность понимать. Между тем часто у них такой потребности не возникает. Одним из объяснений этого явления может быть следующее: в школе детям учитель (компьютер) старается объяснить как можно лучше, подробнее, всё растолковать. А ведь понимание – это я, мои мысли, мои суждения, мой опыт. Если обучение протекает гладко, без видимых противоречий, то потребности в понимании вообще не возникает.

Психологи (Л.М. Веккер, А.А. Залевская и др.) называют понимание продуктивно-личностным процессом, так как результатом (продуктом) этого процесса является нечто личностно-новое. Непонятая мысль, если в ней действительно отсутствуют проблески понимания, перестаёт быть мыслью и может быть только механически воспроизведённым фактом, что и происходит при заучивании материала. Такой ситуации, когда кто-то передаёт своё личностное знание другому, поскольку у того его ещё недостаточно, просто не может быть: личностное знание можно только «наработать» самому, но не взять у кого-то в готовом виде.

Понимание выступает как присвоение знания и обращение его в составную часть психологического механизма, регулирующего деятельность в соответствии с практикой. В результате понимания знание становится частью внутреннего мира личности и влияет на реализацию ее деятельности.

В обучении важна не только языковая информация. Это могут быть и графические иллюстрации, и наглядные пособия, и опыты, и даже мимика и жесты преподавателя. Но языковая информация является преобладающей.

Одну и ту же мысль можно выражать и понимать в разной языковой форме.

По М.К. Мамардашвили и A.M. Пятигорскому, знание всегда представляет собой знаковую систему. Но знак не исходен. Знаку предшествует символ. Чтобы возникло знание, сначала должен возникнуть символ, который затем будет преобразован в знак. Таким образом, генезису всякого знания, в том числе научно-теоретического, предшествует определенное состояние сознания и определенный опыт пребывания в нем.

Процесс порождения знания связан с погружением в некую «символическую «среду обитания». Порождаемое знание фиксируется в явлениях науки и культуры, и лишь после этого становится возможным его анализ с применением объектных терминов, к которым мы обращаемся, рассматривая знаковые (знание), логические (наука) и ценностные (культура) структуры. При «распаковке» знания, т.е. при «извлечении информации из знаковых систем», необходим обратный ход - от знаков к символам, что предполагает, в свою очередь, активизацию деятельности сознания.

«Извлечение и есть переход к структуре сознания, понимаемый как переход от знания к пониманию» [5].

Говорящий всегда переводит свою мысль с внутреннего, семантического языка на естественный язык, а слушающий (читающий) – с естественного языка на семантический. В этом смысле под пониманием следует считать перевод с естественного языка на внутренний. С психолого педагогической позиции каждый человек мыслит на своем собственном языке. При традиционной системе обучения преподаватель общается не с одним студентом, а сразу с группой студентов, и ему приходится иметь в виду некий усредненный «язык мышления».

Но, как отмечают многие ученые, понимание возникает тогда, когда есть активное обучение, есть диалог, поскольку мышление неразрывно от речи, и в этом суть диалогичности понимания.

На диалог надо уделить особое внимание, так как восприятие нового материала, его понимание возникают исключительно в процессе общения (диалога). При этом не исключается и общение с самим собой (если нет собеседника), ведь когда хочешь что-то узнать, то «мозг сам ищет ответ на вопрос, примеряя рассматриваемую ситуацию к разным явлениям или воспринимая внешнюю информацию». В итоге проясняются вопросы, ранее казавшиеся запутанными. И не только потому, что участники общения узнают что-то новое, хотя это тоже очень важно. Тут, прежде всего, играет важную роль то, что «общение будит мысль» [1].

В.П. Зинченко утверждает, что понимание неизбежно диалогично. «Я знаю что-то лишь, в то время как я это тебе объясняю, приглашая тебя делать поправки, перебивать, задавать вопросы на ходу» [3].

Поэтому, чтобы нацелить обучение на понимание, необходимым является наличие диалога или его модификации, но чтобы он возник (в силу специфики математики), нужна определенная организация учебного материала. Основная цель обучения, к которой следует стремиться, в том числе и средствами математики, – это воспитать, развить человека думающего, мыслящего. Для этого необходимо нацелить процесс обучения на понимание. При таком подходе обычно нарушается линейность процесса накопления знаний, сам процесс становится более объемным и трудоемким, появляются параметры глубины и т.п.

Дело в том, что любое проявление понимания связано с двумя универсальными субъектно-личностными факторами – мышлением и языком. Если говорить о мыслительной деятельности, то она совершается с помощью мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение, конкретизация). Чем большим числом операций владеет человек, тем быстрее и осознаннее он воспринимает новый материал. Но для понимания нужны еще и другие действия, такие как моделирование;

различные интерпретации, вскрывающие смысл понятия;

перевод с одного языка на другой;

системы вопросов;

особая организация учебного материала;

диалог и др.

При реализации в вузе процесса обучения, рассчитанного на понимание, может возникнуть ряд проблем: определенные ограничения дают установленная программа обучения, регламентированное время, планируемые результаты обучения, требуются другие средства обучения, формы организации процесса обучения и т.п.

Образование с помощью компьютера создает все условия для решения этих проблем, нужно лишь правильно ими воспользоваться.

Необходимо создание при обучении проблемных ситуаций, т.е. таких ситуа ций, при которых, с одной стороны, происходит осознание некоторого незнания, а с другой стороны, возникает потребность преодоления этого незнания. Такие проблемные ситуации при изучении математики могут быть названы познавательными математическими ситуациями.

Под познавательными математическими ситуациями понимается конкретный математический материал, представленный в целостном виде, в котором обозначено противоречие. Этот материал представляет математи ческие факты, содержательные связи между математическими фактами, способы их организации и изучения. Познавательные математические ситуации направлены на приобретение новых смыслов. Но так как понимание по своему характеру диалогично, то разрешение таких ситуаций возможно и эффективно в диалоге со студентами.

Познавательные учебные ситуации выступают условием, средством для познания, связаны с конкретизацией фактов, установлением содержательных связей, с обнаружением незнания, порождением сомнения.

Одной из важнейших психолого-педагогических особенностей познаватель ной учебной ситуации является ее большая или меньшая проблемность.

Разрешение таких ситуаций возможно и эффективно в диалоге студент – преподаватель, студент – студент. Такой диалог неизбежно возникает в коллективной учебно-проектной деятельности.

Кроме проектной деятельности для создания познавательных учебных ситуаций можно использовать проблемные лекции и проблемные семинары. Проблемные лекции должны дополнять обзорные лекции и посвящаться отдельным, наиболее важным и трудным вопросам изучаемого модуля. Проблемные лекции и проблемные семинары должны предшествовать занятиям-тренингам, их основная цель – добиться понимания студентами узловых вопросов модуля.

Проблемные лекции должны читаться наиболее квалифици рованными и опытными преподавателями. Как известно, мастерство преподавателя достигается после 10-15 лет работы в вузе. Как правило, только такие преподаватели могут овладеть приемами диалогового обучения. Основным и исходным компонентом диалогового обучения, кроме хорошего владения материалом, является умение ставить вопросы.

Без вопросов невозможно усвоение новых знаний, обмен мыслями между людьми. Все истины современной науки есть не что иное, как с трудом обретенные ответы на когда-то стоявшие перед наукой вопросы. В прямом противоречии с общепринятым мнением наукой, еще со времен Платона, было осознано, что зачастую вопрос труднее ответа.

Непревзойденным примером диалога являются «Диалоги о математике» известного венгерского математика А. Реньи. В этой книге автор не поучает читателя, не стремится вложить в него уже готовые собственные мысли, а как бы беседует с ним. В результате читатель сам становится как бы участником диалога – предмет изложения перестает быть для него чем-то навязываемым извне, и обсуждаемые проблемы восприни маются уже как собственные. Такую диалогичность изложения можно организовать в учебных материалах, особенно электронных, по любому предмету.

В зависимости от содержания можно выделить следующие виды диалога учебного материала: диалог по актуализации знаний, по установлению связей с прошлым опытом;

диалог по установлению и раскрытию связей нового материала со старым или между компонентами нового знания;

диалог проецирования изучаемого вопроса в разные сферы его применения.

На проблемных семинарах каждый вид диалога может проходить на разных смысловых уровнях.

1. Вопросно-ответный уровень диалога. Этот уровень диалога характеризуется обращением к памяти студентов до обращения к их мыслительной деятельности. Связи в учебном материале, таким образом, устанавливаются на основе уже имеющихся знаний учащихся.

2. Диалог, в основе которого обобщение разнообразных позиций по одной теме. Этот уровень диалога характеризуется тем, что студенты сами видят противоречие и предлагают свой выход из него. Каждый устанавливает удобные ему взаимосвязи. Кто-то высказывает мысль, а кто то другой, слушая это высказывание, понимает его, но это понимание зависит от индивидуального «контекста», который может измениться.

3. Диалог, в процессе которого идёт совместный поиск смысла. Этот уровень диалога характеризуется высокой степенью заинтересованности студентов, проявляется в стремлении «докопаться до истины». В такой ситуации фоновые знания не сразу пополняются, как в предыдущем случае, а ставятся под сомнение. Если говорить о понимании, то этот уровень диалога наиболее предпочтителен.

Процесс обучения с помощью компьютера, организованный по традиционной схеме, представляет собой легко просматриваемый, последовательный и контролируемый порядок с четко заявленными стадиями и их результатами: от восприятия к запоминанию и затем тестовому контролю. Но диалогичность обучения при этом отсутствует. Для успешного ответа на тесты не надо обладать развитым мышлением: глубоко понимать материал, понимать скрытые смыслы, иносказания, метафоры, достаточно помнить информацию о предмете и механически ее применять.

Естественно, в каждом из компонентов этой последовательности присутствуют, в определенной мере, процессы понимания, но они в основном спонтанны, зависят только от индивидуального проявления студентов, не расчленены и не осознаваемы. А потому малорезультативны для развития личности и продуктивного усвоения учебного материала.

И хотя запоминания совсем без понимания не бывает, как и понимания без запоминания, однако еще в 1966 г. А.А. Смирнов доказал, что запоминание материала будет продуктивным, только если оно осуществляется на основе понимания. Именно поэтому в обучении математике становится значимой другая последовательность усвоения знаний: восприятие, понимание («знание-понимание»), запоминание, воспроизведение.

«Знание-понимание» включает в себя и знание на основе первичных действий осознанного понимания, и подлинное понимание, то есть установление глубинных связей между ранее присвоенными знаниями, даже и в том случае, когда они в основном заучены (запомнены). «Смысловая память» обязательно выделяется среди различных характеристик математических способностей, т.е. память, опирающаяся на смысл, на понимание, пусть и разного уровня глубины.

Таким образом, для того, чтобы процесс обучения математике при использовании информационных технологий был нацелен на понимание, необходима несколько иная последовательность усвоения математических знаний: восприятие, понимание («знание-понимание»), запоминание, воспроизведение. Для этого после обзорной лекции при изучении каждого модуля должны следовать проблемные лекции и проблемные семинары, а только после этого выполнение домашних заданий и коллективные тренинги. При чтении проблемных лекций и написании рабочих учебников необходимо широко использовать диалог со слушателями (читателями).

Восприятие не должно сводиться только к зрительному восприятию информации, необходимо задействовать и слуховой и кинестетический каналы. Известно, что люди сильно различаются по тому, какой сенсорный канал в них является преобладающим: выделяются визуалы, аудиалы и кинестетики. Компьютерное обучение, как правило, отдает предпочтение первым, дискриминируя остальных.


Очень важным для обретения понимания является этап воспроизведения. У многих учащихся понимание достигается только после того, как они проговорят учебный материал. Именно этим можно объяснить давно замеченную педагогами эффективность работы учащихся в парах.

Однако при компьютерном обучении этот этап чаще всего выпадает. Ответы на вопросы теста никак нельзя назвать воспроизведением. По этой же причине устные экзамены приносят гораздо больше пользы.

Преподаватель по-прежнему остается критичным звеном процесса обучения, с двумя важнейшими функциями поддержки мотивации, содействия формированию познавательных потребностей и модификации процесса обучения группы или конкретного ученика. Электронная образовательная среда способствует формированию его новой роли. В такой высокоинформативной среде преподаватель и ученик равны в доступе к информации, содержанию обучения, поэтому преподаватель уже не может быть главным или единственным источником фактов, идей, принципов и другой информации. Его новую роль можно охарактеризовать как наставничество. Он поводырь, который вводит учащихся в образовательное пространство, в мир знания и мир незнания.

Профессиональные качества преподавателя всегда являлись основой качества образования. Роль педагога в современном мире не только не уменьшилась с развитием информационных технологий, а наоборот возросла в связи со становлением личностно-ориентированной парадигмы образования. Установлено, что нет лучшего способа научить людей чему нибудь, как на личном примере пробудить в них высокие душевные и познавательные качества и помочь их развитию. Среди преподавателей этими качествами обладают далеко не все, поэтому такие преподаватели студенческой аудиторией не воспринимаются.

Исследования показывают, что для личностно-ориентированного образования наиболее благоприятной дистанцией между учителем и учащимися можно считать «личную» (от 40 см до 1,5 м), которая характерна для друзей и коллег. При этой дистанции, как показывают исследования, оптимально организуется общение, взаимопонимание и взаимодействие людей. При общении же учителя и учащегося через компьютер (экран телевизора) дистанция между ними становится «открытой», и для того, чтобы ученик без волевых усилий воспринимал учителя, от педагога требуется специальная подготовка и наличие у него ораторских и актерских способностей. Однако при этом есть большая опасность превращения преподавателя в диктора, транслятора знаний.

Как мы видим, обучение с применением информационных технологий не является панацеей. Оно имеет ряд существенных недостатков и ограничений. С этих позиций эти технологии следует вводить продуманно, не заменяя обычное аудиторное обучение, а дополняя его. Однако само по себе использование новых информационных технологий еще не делает образование эффективным. Необходимо приложить много усилий психологам, педагогам, методистам, преподавателям, чтобы разработать принципиально новые учебные пособия, выработать новые, нетрадиционные методы, приемы и средства учебной деятельности, которые обеспечили бы высокий образовательный эффект обучения с применением информационных технологий.

Подводя итог, следует подчеркнуть, что интенсивное внедрение информационных и коммуникационных технологий в образование – процесс неизбежный. Именно поэтому при проектировании и внедрении таких технологий необходимо нацелить процесс обучения на понимание. При таком подходе обычно нарушается линейность процесса накопления знаний, сам процесс становится более объемным и трудоемким, появляются параметры глубины и т.п.

Библиографический список 1. Брудный А.А. Психологическая герменевтика. Учебное пособие. М.:

Издательство «Лабиринт», 1998.

2. Долженко О.В., Тарасова О.М. Будущее: общество информационного много знания или Человек понимающий? // Высшее образование в России, 2009. № 8. С. 32-40.

3. Зинченко В.П. Психологическая педагогика. Материалы к курсу лекций. Ч. 1.

Живое слово. Самара: «Самарский дом печати», 1998.

4. Ильинский И.М., Гуревич П.С. Понимание как цель образования // Знание.

Понимание. Умение. Научный журнал Московского гуманитарного университета, 2006.

№ 1. С. 5-15.

5. Мамардашвили M.K., Пятигорский А.М. Символ и сознание. Метафизические рассуждения о сознании, символике и языке. М.: Школа «Языки русской культуры», 1997.

6. Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. М.: Просвещение, 1975.

7. Тестов В.А. Стратегия обучения математике. М.: Технологическая школа бизнеса. 1999.

8. Щадриков В.Д., Шемет И.С. Информационные технологии в образовании:

плюсы и минусы // Высшее образование в России, 2009. № 11. С. 61-65.

К ВОПРОСУ ИЗУЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ В ШКОЛЕ Е.С. Токарева Анализируются вопросы изучения тригонометрии в современной школе, а также рассматриваются возможности обучения школьников тригонометрии в рамках отдельной учебной дисциплины.

Ключевые слова: тригонометрия.

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине XVIII века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Это имеет не только математико-исторический, но и методико-педагогический интерес.

В настоящее время изучению тригонометрии отводится мало времени в школьном курсе. Сейчас тригонометрия является только аппаратом для вычисления. А ведь темы, рассматриваемые в курсе тригонометрии, например, тригонометрические функции, представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов, как периодичность. Поэтому изучению тригонометрии следует уделить пристальное внимание.

Большие трудности при изучении тригонометрии в школьном курсе возникают из-за несоответствия между достаточно большим объемом содержания и относительно небольшим количеством часов, выделенны на изучение данного раздела. Таким образом, проблема состоит в необходимости устранения этого несоответствия за счет тщательного отбора содержания и разработки эффективных методов изложения данного материала, а также внедрения специальных учебных предметов за счет школьного компонента.

В настоящее время вопросы тригонометрии изучаются в 8 классе в курсе геометрии, в 9 классе – в курсе алгебры, в 10-11 классах – в рамках 85-часового курса «Алгебра и начала анализа». В разных вариантах тематических планов, опирающихся на учебники разных авторов, отводится от 15 до 28 часов;

при этом в основном ставятся следующие цели:

- ввести понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса для произвольного угла;

- систематизировать, обобщить и расширить уже имеющиеся у учащихся знания о тригонометрических функциях углового аргумента;

- изучить свойства тригонометрических функций;

- научить учащихся строить графики тригонометрических функций и выполнять некоторые преобразования этих графиков.

Ни в одной математической дисциплине нет столь резкого разрыва между школьным курсом и наукой, как в тригонометрии. Школьные курсы алгебры и геометрии, хотя и далеки по своему содержанию от современной науки, но, во всяком случае, не содержат ничего противоречащего ей. Эти курсы содержат элементы науки, и ученик, усвоивший их, может беспрепятственно изучать математику дальше. Школьный же курс тригонометрии прививает ученикам антинаучные навыки, приносящие при дальнейшем изучении математики прямой вред. При изучении высшей математики приходится отучаться от многих идей, прививаемых в школь ном курсе тригонометрии.

Поэтому содержание школьного курса тригонометрии следует об судить с точки зрения того, даёт ли этот курс необходимую подготовку для изучения высшей математики и для изучения физики в средней школе и содействует ли он расширению кругозора учащихся в области изучения функций. Говоря о высшей математике, мы будем подразумевать потребности студентов втузов. Во-первых, это — самый многочисленный контингент «потребителей» тригонометрии. Во-вторых, если будет доказано, что школьный курс тригонометрии не годится в качестве фундамента даже для курса высшей математики во втузах, то это тем более будет относиться к гораздо более солидному курсу математики, проходимому на математических факультетах университетов и пединститутов.

Часто приходится сталкиваться с возражением: не существует особой науки — тригонометрии. В современной математике тригонометрия никогда не выделяется в особую науку, равноправную с алгеброй или геометрией. О науке, называющейся «тригонометрия», говорят только в школьном курсе. Всё это верно, и тем не менее, в рамках школьного курса, выделение тригонометрии в особую науку вполне законно. Тригонометрия есть глава математического анализа, изучающая свойства некоторого класса функций и некоторые приложения этих функций. Поскольку курс анализа в средней школе отсутствует, эта глава уже перестаёт быть главой, и её значение вырастает до ранга науки.

Могут ещё сказать, что тригонометрия — не единственный раздел анализа, проходимый в средней школе. Прогрессии, показательная и логарифмическая функции, изучаемые в курсе алгебры, тоже относятся к анализу. Однако нецелесообразно присоединять эти вопросы к тригонометрии. Поскольку в средней школе отсутствуют общие методы исследования функций, теорию тригонометрических функций, с одной стороны, и аналитические элементы в курсе алгебры, с другой стороны, следует рассматривать как обломки анализа, связь между которыми (при тех точках зрения, какие даются в средней школе) незаметна. Если бы изучались какие-нибудь общие вопросы, относящиеся к функциям, то эти обломки осознавались бы как части единого целого. При существующем же положении вполне естественно и законно, говоря о школьном курсе, рассматривать тригонометрию как автономную науку.


Анализируя такое положение дел, был разработан и внедрен курс «Тригонометрия», основной целью изучения которого является формирование у школьников целостного представления о тригонометрии как математической дисциплине. В процессе курса решаются следующие задачи:

1. Подготовить учащихся к глубокому и прочному усвоению математического материала школьной программы.

2. Воспитать устойчивый интерес у школьников к математике.

3. Расширить кругозор учащихся.

Данный курс затрагивает две из четырех основных ведущих линий алгебры, а именно тригонометрические функции и тригонометрические уравнения и неравенства.

Учебный предмет работает за счёт школьного компонента учебного плана. Он способствует созданию положительной мотивации. Помогает ученикам проверить себя, ответить на вопросы: «Могу ли я, хочу ли я учить это, заниматься этим?». Вместе с тем надо помнить, что чрезмерная перегруженность курса новым содержанием может не позволить ученику ответить на главные вопросы. В связи с этим вполне возможна ситуация, когда не весь объём элективного курса является строго обязательным. Может быть, какой-то его объём минимально необходим, а всё остальное – «по потребностям». Доминанта умений и позитивного опыта может быть обеспечена на любом завершённом содержательном модуле или блоке.

Возможен и такой вариант, при котором ученик может выполнить обязательный набор заданий на одной содержательной теме.

Курс построен так, что он позволяет в полной мере использовать активные формы организации занятий, информационные, проектные формы работы.

Программа курса включает себя пояснительную записку, те матический план, содержание курса, основные требования к знаниям и умениям учащихся, список литературы. Пояснительная записка определяет цели, задачи курса, его место в процессе изучения той или иной учебной дис циплины, его особенности и актуальность. Тематический план включает название тем и количество часов, выделяемое на их изучение. Содержание программы включать в себя краткую аннотацию каждой темы. Отбирая содержание, учитель (автор программы, учебника) должен ответить на вопросы: «Почему ученик выберет именно этот курс, а не другой? Чем он ему полезен, интересен?».

По нашему мнению, изучать тригонометрию целесообразно в 8-ом и 9-ом классах. Во-первых, чтобы разгрузить 10-ый класс: предлагаемый материал по математике содержит очень трудные и важные вопросы. Во вторых, это позволяет рассматривать тригонометрию как средство решения прикладных задач, прежде всего, геометрических. В-третьих, проведенные нами исследования показывают, что уровень интеллектуального развития и знаний восьмиклассников достаточен для усвоения новой математической дисциплины. Предлагаемый курс рассчитан на два года, 1 час в неделю (всего 36 часов за год). В классах естественно-математического направления это профильный учебный предмет, в классах гуманитарного направления элективный учебный предмет.

Курс тригонометрии предназначен для того, чтобы учащиеся восьмых – девятых классов смогли углубить свои знания по математике.

Полученные знания должны расширить кругозор учащихся.

Исходя из этого, отбор содержания курса осуществлялся на основе факторов, стимулирующих развитие познавательных интересов школьников.

Содержание большинства занятий носит проблемный характер, рассматриваются вопросы, имеющие прикладное значение.

В значительной мере формирование интереса стимулирует связь содержания изучаемого материала с другими школьными предметами, как геометрия, физика, алгебра.

Ещё один немаловажный фактор – это свобода действий учителя и учащихся в выборе формы занятий, технологий обучения. Поэтому данные методические рекомендации следует рассматривать как примерные.

В настоящее время оснащённость школ средствами обучения различна. В одних нет даже наборов современных таблиц, в других имеются все необходимые средства обучения, включая видеомагнитофоны и компьютеры. Методические рекомендации проведения занятий разработаны с учётом того, что, в зависимости от имеющегося учебного оборудования, а также особенностей учащихся, возможно внесение коррективы в методику их проведения.

На рубеже третьего тысячелетия в образовании происходят существенные перемены. Основной целью образования становится формирование субъекта культуры – всесторонне образованного человека, способного к самостоятельному выбору, поступку, открытого к диалогу.

Модернизация образования включает личностно-ориентированное направление. Преемственность школьного и вузовского обучения особенно возросла в последние годы. Она объективно существует и должна соблюдаться между частями, разделами учебного предмета. Но проведенный анализ выявил противоречие между возросшими требованиями, предъявляемые государством, к выпускникам школы и недостаточной разработанностью отдельных вопросов изучения математики в школе.

ОРГАНИЗАЦИЯ ДОМАШНЕЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ С ЦЕЛЬЮ ФОРМИРОВАНИЯ ИХ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ А.М. Черкасова В статье рассматривается один из методов формирования познавательной самостоятельности младших школьников – самостоятельная работа. Самостоятельную работу учащиеся выполняют не только на уроке, но и дома. Активизировать детей к проявлению познавательной самостоятельности при выполнении домашней самостоятельной работы могут задания, связанные с жизненным опытом детей.

Ключевые слова: младший школьник, познавательная самостоятельность, самостоятельная работа, учитель, школа, задания, жизненный опыт, домашняя работа, математика.

Задача современной школы состоит в формировании личности самостоятельной, мобильной, способной быстро проанализировать любую жизненную ситуацию, найти различные варианты ее разрешения, выбрать из них оптимальный на данный момент, не дожидаясь помощи со стороны.

Личность, обладающая такими свойствами, необходима современному обществу.

Учебно-воспитательный процесс должен быть ориентирован на формирование такого личностного качества, как познавательная самостоятельность.

Согласно Т.И. Шамовой [4], познавательной самостоятельностью школьника является такое качество его личности, как готовность своими силами вести целенаправленную познавательно-поисковую деятельность.

Одним из методов формирования познавательной самостоятельности является самостоятельная работа.

Т.И. Шамова, считая самостоятельную работу формой организации познавательной деятельности учащихся, называет пять ее признаков:

наличие цели;

наличие конкретного задания;

чёткая форма выражения результата работы;

определение формы проверки результата;

обязательное выполнение работы каждым учеником [4].

По словам Б.П. Есипова, «…самостоятельная работа учащихся, включаемая в процесс обучения, это такая работа, которая выполняется без непосредственного участия учителя, но по его заданию в специально предоставленное для этого время;

при этом учащиеся сознательно стремятся достигнуть поставленной цели, проявляя свои усилия и выражая в той или иной форме результаты своих умственных или физических действий» [2, с. 34].

Раскрывая сущность самостоятельной работы, Н.Г. Дайри указывает:

«…учащийся ведет ее сам, без посторонней помощи» [1, с. 415].

Цель самостоятельной работы – добиться проявления познавательной самостоятельности всех детей в классе. Необходимо достичь того, чтобы каждый ребенок проявил свою самостоятельность и решил задание без помощи учителя. Необходимым условием для проявления самостоятельности ребенка является его мотивация.

Мотивация как процесс изменения состояний и отношений личности основывается на мотивах, под которыми понимаются конкретные побуждения, причины, заставляющие личность действовать, совершать поступки [3, с. 360].

При организации самостоятельной работы на уроке у учителя есть возможность для мотивации детей различными способами: словами, действиями и т. д. Однако при выполнении ребенком домашней самостоятельной работы учитель не имеет возможности непосредственно общаться с ним, и организация мотивации затруднена. Поэтому мотивировать ребенка к проявлению самостоятельности в домашних условиях могут только сформулированные учителем задания. Задание должно так заинтересовать ребенка, чтобы ему захотелось сразу решить его, не дожидаясь помощи родителей.

Такими заданиями служат задания, связанные с жизненным опытом детей: играми, в которые играют дети, мультфильмами, которые они смотрят.

Мы предлагаем объектами заданий делать героев сказок, мультфильмов. Рассмотрим организацию домашней самостоятельной работы на примерах некоторых тем.

Тема «Дециметр»

Задача. Длина Удава 98 см, а длина попугая 1 дм. Каким количеством попугаев можно измерить длину Удава?

Дети вспоминают известный им мультфильм, где Удава измеряют попугаями. Детям интересна задачная ситуация. Интерес заставляет их вспомнить тему, которую они изучали на уроке, материал, который им объяснял учитель. Если им не удается вспомнить пройденный материал, ребята обращаются к учебнику и восстанавливают весь материал при помощи учебника. Вспомнив, что 1 дм = 10 см, дети приходят к выводу, что 9 8 см = 9 дм и 8 см. Так как длина попугая р а вна 1 дм, нео бходимо попугаев, чтобы измерить длину Удава.

Тема «Единицы времени»

Задача. Красная Шапочка, выйдя из дома в 12 ч. 30 мин., должна была прийти к бабушке в 14 часов. На дорогу до встречи с волком она потратила 45 мин., на разговор с волком – 15 мин., на сбор цветов для бабушки – 10 мин., на оставшуюся дорогу – 35 мин. Успела ли Красная Шапочка прийти в назначенное время?

Детям становится интересно, успела ли Красная Шапочка прийти к бабушке вовремя. Это активизирует детей к поиску решения задачи.

Дети могут решать задачу разными способами.

1 способ.

Если Кр а сная Шапо ч вышла из до м в 1 2 ч. 3 0 мин., а должна ка а пр ийти к бабушке в 14 часо в, значит, на весь путь о на до лжна потр атить 14 ч. – 12 ч. 30 мин. = 1 ч. 30 мин. Далее они складывают все отрезки времени, которые потратила Красная Шапочка (45 мин. + 15 мин. + 10 мин.

+ 35 мин. = 105 мин.). Так как 1 час = 60 мин, значит, 105 мин = 1 ч. 45 мин.

Красная шапочка потратила 1 ч. 45 мин., а должна была потратить 1 ч. мин.;

1 ч. 45 мин. – 1 ч. 30 мин. = 15 мин. Красная Шапочка опоздала на мин.

2 способ.

Дети последовательно прибавляют все отрезки времени к тому времени, когда Красная Шапочка вышла из дома (12 ч. 30 мин. + 45 мин. + 15 мин. + 10 мин. + 35 мин. = 14 ч. 15 мин.). Так как Красная Шапочка должна была прийти к бабушке в 14 часов, значит, 14 ч. 15 мин. – 14 ч. = мин. Красная Шапочка опоздала на 15 мин.

3 способ.

Дети последовательно вычитают из того времени, когда Красная Шапочка должна прийти к бабушке, все отрезки времени, которые она потратила на дорогу от своего дома до домика бабушки (14 ч. – 45 мин. – мин. – 10 мин. – 35 мин. = 12 ч. 15 мин.). А так как Красная Шапочка вышла из дома в 12 ч. 30 мин., то 12 ч. 30 мин. – 12 ч. 15 мин. = 15 мин. Красная Шапочка опоздала на 15 мин.

Тема «Умножение»

Задача. Волк не может перепрыгнуть через забор высотой больше метров. Три поросенка, защищая свой домик от волка, построили забор из кирпичей. Высота одного кирпича 10 см. Поросята построили забор высотой в 30 кирпичей. Сможет ли волк перепрыгнуть через такой забор и съесть поросят?

Прочитав задачу, ребята вспоминают известную им сказку. Им становится очень интересно узнать, смогут ли поросята защитить себя от волка с помощью такого забора.

Дети рассуждают так «Если высота одного кирпича 10 см, то высота 30 кирпичей будет 10 · 30 = 300 см. Так как 1 м = 100 см, то 300 см = 3 м.

Во л не может перепрыгнуть забор высотой больше 2 м, поэтому через к построенный поросятами забор в 3 м он перепрыгнуть не может».

Практика показывает, что подобные задания заинтересовывают детей и активизируют их к проявлению самостоятельности.

Библиографический список 1. Дайри Н.Г. Обучение истории в старших классах. М.: Просвещение, 1996.

2. Есипов Б.П. Самостоятельная работа учащихся на уроках. М., 1961.

3. Подласый И.П. Педагогика: Новый курс. Учеб. для студ. высш.учеб. заведений. В кн. М.: изд. ВЛАДОС, 2001. Кн. 1.

4. Шамова Т.И. Активизация учения школьников. М., 1979.

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ ЭЛЕМЕНТАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ С.В. Щербатых В статье описан один из возможных подходов к изучению стохастической составляющей школьного курса математики в профильных классах общеобразовательной школы.

Ключевые слова: профильное обучение, математическая статистика, статистические характеристики.

В профильных классах статистическая составляющая стохастики получает своё продолжение и не является новой для учащихся. Из курса основной школы они знакомы с такими понятиями, как «генеральная совокупность», «выборка», «столбчатая и круговая диаграммы», «гистограмма», «среднее арифметическое», «выборочная средняя», «выборочная дисперсия», «мода», «медиана», «размах». Поэтому основная задача учителя состоит в обобщении ранее изученного материала и его углублении с целью дальнейшего изучения таких важных с точки зрения профессионально-прикладной направленности тем, как «Проверка статистических гипотез», «Элементы теории корреляции». Обобщение целесообразно начать с места и значения математической статистики в математике, естествознании, гуманитарных науках, будущей профессиональной деятельности старшеклассников, её предмета и задач, краткого исторического экскурса.

Так, учащимся сообщается, что математическая статистика – это раздел математики, в котором изучаются математические методы планирования экспериментов, систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Математическая статистика использует математический аппарат и выводы теории вероятностей. Связующим звеном между теорией вероятностей и математической статистикой являются предельные теоремы. В математической статистике предполагается, что результаты опытных данных и наблюдений являются реализацией различных случайных процессов, имеющих те или иные законы распределения (причём неизвестные заранее), а иногда и детерминированные составляющие.

Далее приступают к повторению понятий «генеральной» и «выборочной совокупностей». Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Лучше всего произвести сплошное обследование, т.е. изучить каждый объект. Однако в большинстве случаев по разным причинам это сделать невозможно (например, нельзя обследовать все произведённые лампочки на длительность их работы или все банки с консервами, произведёнными на данном заводе и т.д.). Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности (генеральная совокупность) ограниченное число объектов (выборочная совокупность или выборка) и подвергают их изучению. Число объектов генеральной совокупности и выборки называют соответственно объёмом генеральной совокупности (N) и объёмом выборки (n) (например, 120 плодов одного растения обследуют на наличие специфического для данного сорта вкуса, для чего отбирают плодов, тогда N = 120 – объём генеральной совокупности, а n = 20 – объём выборки). Очень важно показать старшеклассникам разницу между генеральной совокупностью и выборкой как отношений целого и его части.

Новым для учащихся может быть факт формирования выборок. Так, если выборку отбирают по одному объекту, который обследуют и снова возвращают в генеральную совокупность, то в этом случае выборку называют повторной. Если объекты выборки уже не возвращаются в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной. На практике чаще используется бесповторная выборка. Если объём выборки составляет небольшую долю объёма генеральной совокупности, то разница между повторной и бесповторной выборками незначительна. С другой стороны, свойства объектов выборки должны правильно отражать свойства объектов генеральной совокупности, или, как говорят, выборка должна быть представительной или репрезентативной, т.е. каждый объект генеральной совокупности должен иметь одинаковую вероятность попасть в выборку (Например, для того чтобы оценить стандартность произведённых в цехе изделий, необходимо сделать выборку из генеральной совокупности и исследовать их характеристики (размер, форму и т.д.)). Если вся выборка будет сделана с одного станка, то она не будет репрезентативной.

Репрезентативная выборка должна состоять из случайно выбранных изделий со случайно выбранных станков).

Не вызывает трудности у учащихся понятие о ряде, в котором все его элементы расположены в порядке возрастания, т.е. о ранжированном ряде.

После операции ранжирования опытные данные можно сгруппировать так, чтобы в каждой группе признак принимал одно и то же значение, которое называется вариантом ( xi ). При этом число элементов в каждой группе называется частотой варианта ( ni ). Следует отметить, что общая сумма частот всегда равна объёму данной совокупности. В том случае, если будет найдено отношение частоты того или иного варианта к сумме всех частот ряда, то говорят, что будет найдена относительная частота (частость) ( wi ). И в этом случае общая сумма частостей всегда равна единице.

Ряд чисел, показывающий, каким образом числовые значения признака ( xi ) связаны с их повторяемостью ( ni или wi ) в данной совокупности, называется вариационным рядом, который изображается с помощью таблицы:

x1 x2 xk xi … n1 n2 nk ni … Таблица 1.

В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами. Поэтому, основываясь на законе больших чисел, можно считать, что вариационный ряд является прообразом закона распределения случайной величины.

При изучении статистического материала учащиеся приобретают умения, связанные с использованием таблиц и диаграмм для представления результатов опытов в наиболее наглядном и компактном виде. Помимо того школьники учатся анализировать данные, видеть за ними конкретные явления с присущими им особенностями и причинными связями, обуславливающими наблюдаемые закономерности.

Самыми наглядными для учащихся средствами графического изображения статистических данных являются столбчатые и круговые диаграммы. Они показывают структуру совокупности, а также могут показывать динамику явлений.

Эти диаграммы дают обобщающую картину взаимосвязей единиц статистической совокупности и помогают выявить некоторые закономерности в её развитии. Столбчатые диаграммы могут давать представления как о дискретных распределениях, так и о непрерывных. По ним учащиеся могут делать выводы и о степени разброса значений.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.