авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЕЛЕЦКИЙ ...»

-- [ Страница 8 ] --

Хорошее наглядное представление о дискретной статистической информации может быть получено с помощью многоугольника распределения эмпирических данных. Эта ломаная, построенная в декартовой системе координат, позволяет оценить всю статистическую совокупность или стохастическое явление, которые она изображает, отмечая при этом и общие черты, и особенности. Ещё большими возможностями в формировании статистических представлений обладает полигон частот. При увеличении числа опытов во многих случаях можно наблюдать тенденцию приближения многоугольников, построенных на основе эмпирических данных, к некоторой «предполагаемой»

теоретической линии. Наблюдения за изменениями конфигураций полигонов частот при увеличении числа опытов помогут учащимся осознать факт равновозможности результатов (там, где это имеет место), а также и факт устойчивости относительных частот.

Эмпирическим прообразом графика плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины (в частности, нормального распределения) является гистограмма.

Рассматривая гистограмму как особый вид столбчатой диаграммы непрерывного распределения, можно очень просто и доступно рассказать о ней учащимся. Она, как и полигон, даёт представление о разбросе значений, определяет моду, позволяет сделать суждение о центре группирования. Она даёт возможность интерпретировать частоты как площади соответствующих фигур, что определяет подход к понятию вероятности как площади соответствующей криволинейной трапеции под некоторой частью графика плотности распределения вероятностей случайной величины, таким образом создавая предпосылки для установления внутрипредметных связей «начала анализа» – «математическая статистика».

Графическое представление всей совокупности экспериментальных данных позволяет многими способами осмыслить длинные ряды наблюдений. Тем не менее, построение графиков и таблиц представляет собой только первый шаг при анализе данных. Следующий – представление результатов в компактной форме, удобной для хранения, сопоставления с другими данными и т.д. При этом желательно, чтобы характерные особенности распределения численностей выражались небольшим числом показателей. Графические представления распределений численностей очень существенно отличаются друг от друга. Однако у всех них существуют и общие характерные особенности – числовые характеристики, которые позволяют их сравнивать между собой. Понимание многих фактов, изучаемых в школьных предметах, невозможно без использования числовых характеристик генеральной совокупности и выборки. Материал предложенного раздела даёт учащимся возможность развивать умение пользоваться ими при выявлении общих тенденций и типических свойств изучаемых явлений. Следует отметить, что все распределения группируются относительно некоторого центра. Для измерения положения этого центра существует группа показателей, носящих характеристик положения название арифметическая (средняя (выборочная средняя), мода и медиана). Другой характерной особенностью распределений численностей является разброс экспериментальных значений относительно центра распределения.

Количественная оценка этого разброса осуществляется с помощью характеристик разброса (размах, дисперсия, среднее квадратичное отклонение).

Формулы нахождения статистических показателей старшеклассникам знакомы, поэтому на данный момент можно ограничиться их повторением и закреплением при решении профессионально-прикладных задач.

Учащимся напоминают, что генеральной средней ( x г ) называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. При этом, если все значения x1, x2,..., x N признака генеральной совокупности объёма N различны, то генеральная средняя находится по формуле x1 + x2 +... + x N xг =, а если значения признака x1, x2,..., xk имеют N соответственно частоты N1, N 2,..., N k, то x N + x2 N 2 +... + xk N k. Можно доказать, что EX = х г, если xг = 1 N признак Х рассматривать как случайную величину. Действительно, так как каждый объект генеральной совокупности может быть извлечён с одной и N, то EX = xi = xг.

той же вероятностью N N i = Выборочной средней ( х ) называют среднее арифметическое значений выборки. В том случае, если все значения выборки x1, x 2,..., x n x + x2 +... + xn различны, то x = 1, а если же варианты x1, x 2,..., x k n имеют соответственно частоты n1, n 2,..., n k, то x1n1 + x2 n2 +... + xk nk x=.

n Учащиеся должны понимать, что среднее, представляющее меру центральной тенденции, является координатой точки, относительно которой группируются все значения ряда данных.

Рассмотрим пример применения выборочной средней на практике.

Задача. Осуществляя в 10 пробирках реакцию этерификации между этиловым спиртом (С 2 H 5OH ) и уксусной кислотой (CH 3COOH ), лаборант получил в каждой из них этилацетат (CH 3COOC 2 H 5 ), причём массы эфира в пробирках соответственно равны (г): 2,5;

4;

3;

4,5;

3;

5;

2,5;

4;

4;

5. Определить среднее значение эфира в каждой пробирке.

Решение. Для начала проранжируем данный ряд: 2,5;

2,5;

3;

3;

4;

4;

4;

2,5 2 + 3 2 + 4 3 + 4,5 1 + 5 4,5;

5;

5. Тогда x = = 3,75 (г).

Закрепление понятия «мода» может идти на примере. Пусть ученик получил в течение четверти следующие отметки по обществознанию: 4, 3, 5, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 4, 3, 4. Интересно, например, знать, какая отметка является типичной для ученика по предмету, т.е. какое число встречается в ряду данных чаще всего. Нетрудно заметить, что таким числом является число 4.

Говорят, что число 4 – мода рассматриваемого ряда. В отличие от выборочной средней, которую можно вычислить для любого числового ряда, моды может вообще не быть или может быть несколько мод.

Моду ряда данных обычно находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Например, если изучаются данные о размерах мужских сорочек, проданных в определённый день в универмаге, то удобно воспользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом.

Находить в этом случае среднюю выборочную не имеет смысла. Мода является наиболее приемлемым показателем при выявлении расфасовки некоторого товара, которой отдают предпочтение покупатели, цены на товар данного вида, господствующей на рынке, и т.п.

Внимание учащихся следует акцентировать на тот факт, что средняя выборочная ряда чисел может не совпадать ни с одним из этих чисел, а мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или более числами ряда. Кроме того, в отличие от средней выборочной, понятие «мода» относится не то л ько к числовым данным. Например, проведя опрос учащихся, можно получить ряд данных, показывающий, каким видом спорта они предпочитают заниматься, какую из развлекательных телевизионных программ они считают наиболее интересной. Модой будут служить те ответы, которые встретятся чаще всего. Этим и объясняется само название «мода».

Понятие «медианы» можно закрепить при решении задачи.

Задача. Пять школьников прочитали соответственно за год 4, 16, 19, 20 и 21 книгу. Какое количество прочитанных книг наилучшим образом характеризует читательский интерес пяти этих школьников?

Решение. Как видно, моды выборка не имеет (все данные различны 4 + 16 + 19 + 20 + x= = по величинам). Среднее значение:

оказалось меньше всех значений в данной выборке, кроме одного. Поэтому более точной характеристикой выборки можно считать число 19, расположенное в середине данных, записанных в порядке возрастания, и называемое медианой (число, которое «делит» пополам упорядоченную совокупность данных).

Учитель напоминает учащимся, что для нахождения медианы существует следующий алгоритм. Так, если имеется совокупность из п чисел х1, х 2,..., х п, расположенных в порядке возрастания, то:

1) медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине: Ме = х т +1, если п = 2т + 1 ;

2) медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине:

х т + х т + Ме =, если п = 2т.

Но есть и такие явления, которые трудно охарактеризовать какой либо из центральных тенденций. Например, на планете Меркурий средняя температура +15°С. Исходя из этого статистического показателя, можно подумать, что на Меркурии умеренный климат, удобный для жизни людей.

Однако, на самом деле это не так. Температура на Меркурии колеблется от –150 до +350°С. Учитель должен сделать акцент на то, что для обоснованных выводов и прогнозов на их основе помимо средних значений надо ещё указать, насколько используемые данные различаются между собой. Одной из характеристик разброса является размах, определяемый как разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных:

R = xmax xmin.

Тогда для температуры на Меркурии, например, размах равен 350°С – (–150°С) = 500°С. Конечно, такого перепада температур человек выдержать не может.

Из определения размаха видно, что он является довольно грубой мерой рассеяния, так как не несёт никакой информации о характере изменчивости распределения численностей внутри диапазона возможных изменений измеряемого признака. Кроме того, величина размаха зависит только от значений двух крайних членов ряда, так что появление хотя бы одного резко выделяющегося наблюдения существенно изменяет размах.

Эта неустойчивость сужает возможности использования размаха как показателя рассеяния, несмотря на очень ясный смысл и простоту вычисления.

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние значений признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, в курсе основной школы вводилось понятие генеральной дисперсии ( S г ) – среднего арифметического квадратов отклонений значений признака Х генеральной совокупности от генеральной средней. В том случае, если все значения (x1 х г )2 +... + (х N х г ) = генеральной совокупности различны, то Sг N, а если значения генеральной совокупности имеют соответствующие (x1 х г )2 N1 +... + (хk х г )2 N k. Можно доказать, = частоты, то Sг N что DX = если признак Х рассматривать как случайную величину Sг, Действительно, так как каждый объект генеральной совокупности может быть извлечён с одной и той же вероятностью, то N (x1 х г )2 N1 +... + (хk х г )2 N k = S 2.

DX = г N Выборочной дисперсией ( S ) называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочного среднего.

Так, если все значения выборки различны, то (x1 х )2 +... + (хn х )2, = а если значения выборки имеют S п (x1 х )2 п1 +... + (хk х )2 пk.

= соответствующие частоты, то S п Учащимся стоит напомнить, что дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности генеральной (выборочной) средней, поэтому целесообразно пользоваться другой характеристикой – квадратичным отклонением, которое равно арифметическому квадратному корню из генеральной (выборочной) дисперсии: S г = S г ( S = S ).

2 Для закрепления данных понятий целесообразно предложить следующую задачу.

Задача. Имеется следующее распределение работников по стажу работы:

Стаж работы, лет До 1 1-5 5-10 10-20 20- Число работников 7 15 14 16 Таблица 2.

Найти выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратичное отклонение.

Решение. По условию задачи произведена выборка объёмом п = 60.

Для удобства вычислений составим следующую таблицу:

Число Середина (xi x )2 (xi x )2 ni Стаж x i ni xi x работнико интервал работы в, ni а, xi, лет 0-1 7 0,5 3,5 -10,1 102,01 714, 1-5 15 3 45 -7,6 57,76 866, 5-10 14 7,5 105 -3,1 9,61 134, 10-20 16 15 240 4,4 19,36 309, 20-40 8 30 240 19,4 376,36 3010, сумма 60 633,5 5035, Таблица 0,5 7 + 3 15 + 7,5 14 + 15 16 + 30 8 633, x= = 10,6 ;

60 5035, S2 = 83,93 ;

S = 83,93 9,16.

Анализ статистических данных убеждает учащихся, что собранный материал выступает не как самоцель, а лишь как некоторая пробная группа, представляющая только один из возможных вариантов исследования. На основании результатов наблюдений или измерений старшеклассники учатся делать выводы относительно более широкого круга явлений. Так, они начинают познавать основные идеи и понятия выборочного метода и учатся в простейших случаях пользоваться им на практике, что позволяет применять полученные знания в смежных областях.

Глава III. НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ НЕЙРОНАМИ В БИОЛОГИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ И.М. Буркин, К.С. Елецких В статье изучается модель, которая используется при анализе взаимодействия между тормозящим и возбуждающим нейронами в биологической системе. С помощью критерия Пуанкаре-Бендиксона проверяется существование периодических орбит. Построены фазовые портреты системы и классифицированы бифуркации, возникающие при изменении параметра.

Ключевые слова: фазовый портрет системы дифференциальных уравнений, критерий Пуанкаре-Бендиксона, бифуркация Андронова-Хопфа, периодическая орбита.

Мир динамических моделей стал поистине необъятным. Помимо механики, техники, физики, астрономии ныне он охватывает такие менее традиционные области, как химия, биология, медицина, экология, экономика. Для нелокального анализа таких моделей, то есть для решения вопросов устойчивости и неустойчивости «в целом» состояний равновесия, а также задач существования и устойчивости циклов различного типа, часто неприменимы многочисленные приближенные методы исследования. Если эти методы все-таки применяются, то, как хорошо известно, они иногда приводят к ошибкам качественного характера. Достоверные же результаты при нелокальном анализе динамических систем удается получить, лишь используя точные (качественные) методы.

Известен классический принцип Пуанкаре-Бендиксона [2], позволяющий доказывать существование циклов у динамических систем второго порядка и устанавливать их устойчивость. Использование этого принципа при исследовании конкретных систем позволяет утверждать существование в некоторой ограниченной области фазового пространства по крайней мере одного орбитально устойчивого цикла, но не позволяет гарантировать его единственность. В то же время хорошо известна бифуркационная теорема Андронова-Хопфа [3], утверждающая, говоря несколько неточно, что при наличии суперкритической бифуркации существует малый интервал изменения бифуркационного параметра, гарантирующий наличие в малой окрестности точки покоя единственного орбитально устойчивого цикла, притягивающего все траектории системы из указанной окрестности. Существование цикла при значениях параметра, далеких от точки бифуркации, при применении теоремы Андронова-Хопфа может быть подтверждено, как правило, только с использованием численного эксперимента. Поэтому при исследовании конкретных систем, встречающихся в приложениях, целесообразно сочетать все упомянутые приемы исследования: принцип Пуанкаре-Бендиксона, теорему Андронова Хопфа и численный эксперимент. Именно такое сочетание продемонстрировано в данной работе.

В статье изучается модель, которая используется при анализе взаимодействия между тормозящим и возбуждающим нейронами в биологической системе [1]. В своей простейшей форме эта модель описывает взаимодействие двух нейронов. Переменными состояниями являются x1 – выход возбуждающего нейрона и x2 – выход тормозящего нейрона. Уравнения системы имеют вид (1) Где – постоянная времени и – коэффициент усиления.

Для установления условий существования периодических орбит используем критерий Пуанкаре-Бендиксона [2]. Обозначим Система (1) имеет единственную точку равновесия x1 = 0, x 2 = 0.

Матрица Якоби системы в точке равновесия имеет вид:

(2) Ее собственные значения. При вещественные части собственных значений положительны, а при они отрицательны.

Видим, что в случае выполняется одно из условий критерия Пуанкаре-Бендиксона [2]. Проверим выполнение второго условия. Положим V ( x1, x 2 ) = ( x12 + x 2 ), M = {( x1, x 2 ) : V ( x1, x 2 ) c, c 2 2 }. Легко видеть, что M замкнуто, ограничено и содержит только одно состояние равновесия, в котором Якобиан имеет собственные значения с положительными вещественными частями. На поверхности мы имеем Так как то Поскольку при, то Следовательно, по критерию Пуанкаре-Бендиксона [2], в множестве M существует периодическая орбита.

Матрица Якоби (2) при 1 имеет собственные значения с отрицательными вещественными частями. Следовательно, точка равновесия (0,0) является устойчивым фокусом (рис.1).

При. Матрица Якоби имеет собственные значения с положительными вещественными частями. Точка равновесия (0,0) является неустойчивым фокусом.

Рис.1. Фазовый портрет системы при.

Значение является бифуркационным значением параметра, т.е. именно при этом значении качественно меняется фазовый портрет системы дифференциальных уравнений (1). В малой окрестности точки покоя (0,0), пренебрегая членами порядка в разложении и, запишем систему (1) в виде Обозначим и Рассмотрим функцию.

Пусть. Легко проверить, что при. Если то при. Поэтому,а. Следовательно, по теореме Ляпунова [2], при положение равновесия асимптотически устойчиво. Итак, при положение равновесия в точке (0,0) асимптотически устойчиво, а при оно неустойчиво, и рождается устойчивый предельный цикл, т.е.

происходит суперкритическая бифуркация Андронова-Хопфа [3]. Наличие такой бифуркации гарантирует существование единственного орбитально устойчивого цикла при малых положительных значениях разности 1.

Пользуясь численными экспериментами, покажем, что при любых положительных значениях этой разности система имеет единственный орбитально устойчивый цикл, притягивающий все остальные фазовые траектории системы [рис. 2-4].

Рис.2. Фазовый портрет системы при Рис.3. Фазовый портрет системы при.

Рис.4. Фазовый портрет системы при.

Библиографический список 1. Tonnelier A., Meignen S., Bosch H. and Demongeot J. Synchronization and desychronization of neural oscillators. Neural Networcks, 1999. P. 1213-1228.

2. Khalil Hassan K. Nonlinear Systems. Michigan State University: Prentice-Hall, 1996.

P. 64-80.

3. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.:

УРСС, 2004. С. 58-64.

ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ МЕЛЬНИКОВА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА С СИНУСОИДАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ И.М. Буркин, И.В. Новикова В статье речь идёт о том, как применяется известный в нелинейной динамике критерий Мельникова для исследования хаотической динамики осциллятора с синусоидальной нелинейностью. Изложена суть критерия, выведены условия существования гомоклинической структуры у нелинейного осциллятора с синусоидальной нелинейностью, показаны фазовый портрет системы и область существования гомоклинической структуры.

Ключевые слова: нелинейный осциллятор, критерий Мельникова, хаотическая динамика, гомоклиническая структура, сепаратриса, устойчивое многообразие, неустойчивое многообразие, уравнения Гамильтона, состояние равновесия типа седла, метод разделения переменных.

Хорошо известно [1-2, 4], что наличие пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий седловой особой точки двумерного отображения влечет существование в фазовом пространстве системы, для которой построено это отображение, гомоклинической структуры. В свою очередь, наличие гомоклинической структуры позволяет сделать заключение [1, 2] о наличии в системе хаотической динамики, а именно, о наличии в малой окрестности гомоклинической структуры бесконечного числа периодических движений и асимптотических к ним устойчивых, по Пуассону, непериодических движений рассматриваемой системы.

Рассмотрим задачу, для которой известен простой и изящный критерий присутствия гомоклинической структуры – критерий Мельникова [3]. Изложим суть этого критерия, следуя книге С. Кузнецова [2].

Пусть динамика невозмущенной системы описывается уравнениями Гамильтона (1) где На функцию Гамильтона накладывается требование, чтобы система имела состояние равновесия типа седла, причем неустойчивая сепаратриса, совершив петлю, возвращалась бы в то же седло.

Внешнее периодическое воздействие, диссипацию, прочие поправки будем рассматривать как малое возмущение, и запишем уравнения в виде (2) где — малый параметр, а f и g являются периодическими функциями времени t. Подчеркнем, что возмущение (f, g), вообще говоря, может выводить систему из класса гамильтоновых.

Пусть х = X(t), p = P(t) есть решение невозмущенных уравнений (1), отвечающее движению по сепаратрисе из седла в седло. Будем искать решение возмущенной задачи в виде (3) Подстановка в (2) в первом порядке по дает (4) На невозмущенной сепаратрисе вектор скорости движения изо бражающей точки на фазовой плоскости есть это вектор, касательный к сепаратрисе. Ортогональным к нему будет вектор. Скалярное произведение этого вектора на вектор возмущения можно рассматривать как меру смещения изображающей точки по нормали от невозмущенной сепаратрисы («Mel'nikov's distance» — «расстояние по Мельникову»). Обозначая его символом D, имеем (5) Вычислим производную по времени:

(6) Подставляя сюда выражения для производных в соответствии с (1) и (4), обнаруживаем, что большинство членов сокращается, и получаем:

(7) Мы можем рассмотреть два решения уравнений (4), отвечающих устойчивому и неустойчивому многообразиям возмущенной системы, которые будем обозначать, соответственно, и. Расстояния по Мельникову от невозмущенной сепаратрисы для этих двух решений, и, будут подчиняться одному и тому же уравнению (7), но разным условиям на бесконечности. Устойчивое многообразие при и неустойчивое при должны стремиться к одной и той же неподвижной точке, так что и, соответственно,. Интегрируя (7), для произвольно взятого момента времени можно записать:

Вычитая друг из друга эти два равенства, получаем расстояние по Мельникову между устойчивой и неустойчивой возмущенными сепаратрисами:

Напомним, что X(t), P(t) есть решение невозмущенных уравнений (1), отвечающее движению по петле сепаратрисы из седла в седло. Сдвигом начала отсчета времени на произвольную константу можно получить однопараметрическое семейство таких решений. При подстановке этих решений вида X(t +), P(t +) в формулу (9) получаем функцию (). Если функция () знакопеременная, то это свидетельствует о наличии трансверсального пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий неподвижной точки в возмущенной системе и служит признаком присутствия гомоклинической структуры, а также связанной с ней сложной динамики (бесконечное счетное множество периодических орбит, континуум непериодических траекторий). В этом и состоит критерий Мельникова.

В книге [2] критерий Мельникова применен для нахождения условий существования гомоклинической структуры у нелинейного осциллятора с квадратичной и кубической нелинейностями в предположении малой диссипации и малой амплитуды внешнего воздействия на систему. В данной работе при аналогичных предположениях получены условия существования гомоклинической структуры у нелинейного осциллятора с синусоидальной нелинейностью.

Рассмотрим нелинейный осциллятор, находящийся под воздействием внешней периодической силы. (10) Это уравнение, которое можно переписать в виде системы двух уравнений первого порядка:

(11) Это соответствует форме (2), где следует положить (12) Решение невозмущенной задачи, отвечающее движению по сепаратрисе, оказывается возможным получить в явном виде через элементарные функции. Выпишем интеграл энергии (13) и выберем значение константы С=1 так, чтобы равенство (13) удовлетворялось в точке седла. Тогда из (13) находим:

(14) Используя стандартный метод разделения переменных, получаем:

(15) где — константа интегрирования. Выражая отсюда X, имеем:

(16) и, соответственно, (17) С учетом (16) и (17), выражение для мельниковского расстояния между возмущенными сепаратрисами (9) принимает вид:

Фигурирующие здесь интегралы вычисляются аналитически:

Имеем:

Представим подынтегральную функцию в виде ряда следовательно, Применяя формулу интегрирования по частям, имеем:

Из полученного уравнения находим:

Тогда Имеем:

Итак, Сумма последнего ряда находится с помощью формулы суммирования Пуассона.

Введем обозначение и в соответствие с формулой суммирования Пуассона имеем:

Используя этот результат, получаем:

Тогда.

Эта функция становится знакопеременной, если Согласно критерию Мельникова, при выполнении этого условия возникает гомоклиническая структура и сложная динамика вблизи сепаратрисы. На рис. 1 показано расположение области сложной динамики на плоскости параметров.

(а) (б) Рис. 1. Фазовый портрет невозмущенной системы (а) и область существования гомоклинической структуры (б).

Библиографический список 1. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука. 1976.

2. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001.

3. Мельников В.К. Устойчивость центра при периодических во времени возмущениях // Труды Московского математического общества, 1963. Т.12. С. 3- 4. Неймарк Ю.И, Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.

Наука. 1987.

О ДВУМЕРНЫХ АНАЛОГАХ ПОЛУПРИВОДИМЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ О.С. Германов В статье приведена классификация римановых поверхностей, являющихся аналогами полуприводимых римановых пространств (в связности этих поверхностей разрешимы, так называемые, уравнения полуприводимости). Поверхности классифицируются по характеру корней характеристического уравнения.

Ключевые слова: риманова поверхность, полуприводимость риманова пространства, характеристическое уравнение поверхности и его корни, изотермические координаты.

Риманово пространство Vn называется [1, 2] полуприводимым, если существует такая система координат, в которой его метрика имеет следующий вид ds 2 = ds0 ( x1, x 2,..., x m ) + ( x1, x 2,..., x m )ds12 ( x m+1, x m+ 2,..., x n ), где ds 0 и ds12 - самостоятельные m- и (n-m)-мерные метрики, зависящие каждая только от “своих” переменных, а функция зависит только от переменных из ds 0. Поэтому говорить о полуприводимости римановых поверхностей, вообще говоря, некорректно, ибо [3] все они конформно приводимы (всегда найдется такая (изотермическая) система координат, в которой метрика поверхности приводится к виду ds 2 = g[ (dy 1 ) 2 + (dy 2 ) 2 ] или ds 2 = 2 g12 dy 1 dy 2, g, g12 – некоторые функции, =±1).

Однако полуприводимые римановы пространства характеризуются, как известно [1], тем, что их связность допускает существование невырожденного тензорного поля aij (i, j, k = 1, n, n = dim Vn ), тензор которого удовлетворяет в данной связности вместе с некоторым градиентом qi уравнению k aij = qi a kj + q j aik, (1) (здесь k - символ ковариантного дифференцирования в Vn). Таким образом, возникает задача исследования этих уравнений и их решений на римановой поверхности и построения, тем самым, некоторых, в известном смысле, аналогов полуприводимых пространств.

Известные решения этой задачи [1, 2] соответствуют тому случаю, когда характеристическое уравнение aij g ij =0 (2) имеет действительные корни, число которых не меньше двух, а характеристическая матрица, соответствующая (2), имеет простые элементарные делители.

В настоящей работе уравнения (1) исследуются, учитывая характер корней уравнения (2), которые могут быть различными действительными или комплексными или же это уравнение имеет один действительный корень (кратности 2).

Рассмотрим риманову поверхность V2, отнесенную к изотермическим ([3] стр. 300) координатам y1, y2. В этой системе координат метрическая форма поверхности и форма, порожденная полем aij, будут выглядеть соответственно так ds 2 = 2 g12 dy 1 dy 2 (3) aij dy i dy j = a11 (dy 1 ) 2 + 2a12 dy 1 dy 2 + a 22 (dy 2 ) 2 (4) aa a 1, 2 = и, следовательно, при а11а220 корни поэтому ± 11 g12 g характеристического уравнения (2) действительны и различны, при а11а – комплексно-сопряженные, и если а11 или а22 равны нулю, то это уравнение имеет один действительный кратный корень.

Расписав (1) во введенных координатах, будем иметь:

g i aii 2 i 12 aii = 2qi aii, i = 1,2 (5) g i a12 = 2q j a12, i = 1,2 (6) i g ij i aij aij = qi aij + q j aii, i j, i, j = 1,2. (7) g ij Положив, учитывая, что вектор q k градиентен, q k = k ln 4 ( y 1, y 2 ), из (5) получим a11 = g12 11 ( y 2 ), a 22 = g12 22 ( y 1 ), где = ±1, ii ( y j ), 2 2 2 i j - некоторые функции указанных координат.

Введем новые функции g и a, полагая g = g12 11 22, a = a12 11 22, и dy 1 dy запишем (3) и (4) соответственно так ds 2 = 2 g, 22 2 dy dy 1 dy 1 dy aij dy dy = g + g2.

+ 2a i j 22 11 dy Это позволяет ввести такую систему координат (х1, х2) dx1 =, dy, в которой вид (3), (4) значительно упростится: ds 2 = 2 gdx1 dx 2, dx 2 = aij dx dx j = g 2 (dx 1 ) 2 + 2adx 1 dx 2 + g 2 (dx 2 ) 2 (мы оставили прежние i обозначения для функций a ( y 1 ( x 1, x 2 ), y 2 ( x 1, x 2 )) и g ( y 1 ( x 1, x 2 ), y 2 ( x 1, x 2 )) ).

Дальнейшее изучение уравнений (1) будем проводить в этой системе координат.

Записав (6) следующим образом a a 1 ( g 2 ) = 2 ( ), 2 ( g 2 ) = 1 ( ), 2 ( g ) 1 ( ) получим = B( x1, x 2 ). Условия интегрируемости = 1 ( g ) 2 ( ) последнего требуют, чтобы B(x1,x2)=const.

k Положив B( x1, x 2 ) = 1, где k1, k 2 - постоянные, выводим отсюда k = (k1 x1 + k 2 x 2 ), g 2 = (k 2 x1 + k1 x 2 ), где и - произвольные функции указанных переменных, а из уравнений (6) заключаем, что a =.

Перейдем теперь к исследованию уравнений (7).

После очевидных преобразований их можно записать так k j i =, i j. Отсюда следует = (k 2 x 1 + k1 x 2 ), где - некоторая функция указанной переменной, связанная с так:

( 2 ) = (или = 1 ( 2 С ), где С – постоянна). Кроме того, = k = const 0. Отсюда получаем, что = Ae k ( k x +k x ), где = 1 1 A=const – произвольная постоянная, и = k. (8) 1 ( 2 С ) При исследовании (8) приходится учитывать знак.

А. = +1. При этом характеристическое уравнение (2) имеет два различных действительных корня.

C + B 2 e 2 k ( k2 x + k1x ) 1 Интегрируя последнее, получаем =.

2 Be k ( k2 x + k1x ) 1 Б. = 1. В этом случае уравнение (2) имеет пару комплексно сопряженных корней.

k ( k 2 x 1 + k1 x 2 ) Из (8) выводим = C sin.

Теперь осталось рассмотреть последний возможный случай, – случай, когда характеристическое уравнение (2) имеет один действительный (и поэтому кратный) корень.

В. Будем считать, что 1 = 2 за счет того, что a11 = 0 (случай, когда a 22 = 0 приводится к предыдущему “переименованием” координат). При этом из (5) получаем a 22 = g12 22 ( y 1 ), где 22 – произвольная функция 2 y 1, а из (6) при i=1, что = ( y 2 ).

Так же, как и выше, введем новые функции g и a, полагая g = g12 22, a = a12 22, и с их помощью приведем метрическую форму рассматриваемой поверхности и форму, порожденную полем aij, к виду ds 2 = 2 gdx1 dx 2, aij dx i dx j = 2adx 1 dx 2 + g 2 (dx 2 ) 2. В новых координатах из (6) при i= 4 2 получаем a = g 1 g, а из (7 ) - 1 ( 1 g ) = 0, 2 ( 1 g ) = 0. Их + ( x 2 ), = А ( x 2 ) + B, где интегрирование дает g = x 4 ( A + B ), постоянны, произвольные функции поэтому A 0, B - x2, 4 x1 x +.

A + B + 4 A + B, a 22 = a= A A + B 4 ( A + B) Все изложенное можно сформулировать в виде теоремы, достаточность которой проверяется непосредственно.

Терема. Для того, чтобы на римановой поверхности были разрешимы уравнения полуприводимости (1), необходимо и достаточно, чтобы существовала такая система координат, в которой метрика этой поверхности приводилась бы к виду ds 2 = 2 gdx1 dx 2, а форма, порожденная полем тензора (1), к виду aij dx i dx j = g 2 (dx 1 ) 2 + 2adx 1 dx 2 + g 2 (dx 2 ) 2, = Ae k ( k x +k x ), g 2 = (k 2 x1 + k1 x 2 ), = 1 ( 2 С ), и при 1 1 А. при = +1 (корни характеристического уравнения (2) 2 k ( k 2 x1 + k1 x 2 ) C+B e действительны и различны) = ;

2 Be k ( k2 x + k1x ) 1 Б. при = 1 (корни характеристического уравнения – комплексные) k ( k 2 x 1 + k1 x 2 ) = C sin ;

и соответственно к виду В. (в этом случае характеристическое уравнение имеет лишь один действительный корень).

ds 2 = 2 gdx1 dx 2, aij dx i dx j = 2adx 1 dx 2 + g 2 (dx 2 ) 4 x 1 x +, A + B A + B + A + B, a= при a 22 = 4 ( A + B) A x + ( x 2 ), = А ( x 2 ) + B,.

g= ( A + B) Здесь A, B, C, k,k1, k2 – постоянны,, - произвольные функции x2.

Библиографический список 1. Кручкович Г.И. Об одном классе римановых пространств. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1961. Т. 11. С. 103-128.

2. Шапиро Я.Л. Об одном классе римановых пространств. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1963. Т. 12. С. 203-212.

3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. 2-е изд. М.: Наука, 1976.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРИ ТОЧЕЧНЫХ СООТВЕТСТВИЯХ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ В.И. Грачёва В статье изучаются точечные соответствия собственно евклидовых, вполне ортогональных в E 2 n пространств E n, E n. При некоторых особенностях расположения векторов вынужденной кривизны линий сети графика отображения найдены характеристические направления, принадлежащие двумерному подпространству пространства En.

Ключевые слова: точечное соответствие, евклидово пространство, график отображения, характеристические направления отображения.

1. Рассмотрим дифференцируемое биективное отображение T :

, E n, E n, где плоскости E n, E n помещены в пространство E 2 n и вполне ортогональны в нем с общей точкой O. Если x1, x2 = Tx1, то точка x с радиус-вектором Ox = Ox1 + Ox2 описывает поверхность Vn, называемую ([1]) графиком отображения. Известно ([1]), что график отображения T определяется самим отображением с точностью до изометрических преобразований пространства E 2 n.

В областях плоскостей соответственно заданы, En, En { }{ } подвижные реперы x1, ei, x 2, en +i, при этом поверхность Vn отнесена к {x,, }, где i = ei + en+i, n+i = ei ij jk en+ k.

реперу Здесь n +i i ij = ei e j, ij = en+i en+ j, ij jk = ik, i j = g ij ;

i, j, k {,2,, n}.

Для указанных реперов формулы инфинитезимального перемещения имеют вид:

() d ox1 = i ei, d ei = i j e j ;

d (ox ) = e, d en+i = i j en+ j ;

i 2 i d (ox ) =, d = i j j + in+ j n+ j, i i i d n+i = nj+i i + nn+i j n+ j, i = i = i.

+ График отображения задается системой уравнений Пфаффа n+i = 0, при продолжении которой получаем, что jn+i = b n+i k, b n+i = bkj+i. Сеть линий n jk jk i в области обозначим n, а соответствующую ей сеть в обозначим n. Возникающую при этом сеть графика Vn, переходящую при соответственно в n, n, ортогональных проектированиях на En, En обозначим. * n n В дальнейшем считаем, что сеть является основанием n, n, n ортогональны и отображения ([1]). В этом случае сети * ij = ij = g ij = 0 при i j. Полуоси эллипсоида деформации, по которым направлены векторы ei, считаем попарно различными, т.е. отображение T отнесено к типу (1,1,,1), согласно классификации отображений, введенной G.Melzi ([2]).

2. Всякую кривую (l ), проходящую через точку x1, x1, можно задать соотношениями форм i = l i, где l i - функции координат точки x1, а - линейная дифференциальная форма. Направление l = l i ei, касательное к (l ) в точке x1, называется характеристическим, если при любом выборе кривой (l ) ее образы в отображениях T и K af имеют точке x геометрическое касание по крайней мере второго порядка. Здесь через K af обозначено аффинное отображение, касательное к T в точке x1 ;

его называют ([3]) касательным аффинитетом. Направление l называют K af главным, если образы кривой (l ) при отображениях T и K af имеют в точке x2 аналитическое касание по крайней мере второго порядка. Ясно, что всякое K af -главное направление является в то же время и характеристическим. Как известно ([3]), в рассматриваемом случае для всех кривых (l ), касающихся направления l = l i ei, условия того, что l характеристическое в отображении T, представлены в виде:

b n+i j k = ii i (1) jk В каждой точке x графика отображения в общем случае существует n асимптотических конусов n+i b n+i j k = 0, которые при ортогональном jk проектировании на плоскость En переходят в конусы n+i b n+i j k = 0. О jk конусе n+i = 0 говорят, что он соответствует направлению i сети n. В случае, когда bij + k = 0 (k i, j ), говорят ([3]), что направления i, j n сопряжены относительно конуса n+k = 0. Вектор bll = bll + k n+ k называют n ([3]) вектором вынужденной кривизны линии l сети n. * 3. Вопросам расположения характеристических не K af -главных направлений отображения T, из общего числа, изучению признаков характеристических направлений посвящены исследования автора, опубликованные в ряде работ ([3], [4], [5]). В основном здесь изучался случай, когда все направления основания отображения являются характеристическими. Теперь мы остановимся на рассмотрении случая, когда направления основания отображения не являются ei характеристическими.

[ ] Рассмотрим плоскость x1, ei, e j и зададим направление l1 = ei + s e j, i, j где s 0. Для выбранного направления формы связаны зависимостью = s, где i, j фиксированы и i j. Характеристические j i направления в рассматриваемой плоскости, как видно из формулы (1), находятся из условий:

( ) + b ( ) + 2b =, bii +i i 2 j n +i n +i n i j i jj ij ii ( ) + b ( ) + 2b =, i2 j bii + j n+ j n+ j n i j j jj ij jj b ( ) + b ( ) + 2b = i2 j n+k n+ k n+ k i j ii jj ij при всех k, где k, i, j - различны. Пусть направление l1 = ei + s e j является характеристическим не K af -главным в отображении T. Тогда указанные выше условия перепишутся в виде:

( ) bii +i + s 2b n+i + 2 sbij +i i = ii, n n jj (b ) + s 2 b n + j + 2sbij + j i = s jj n+ j n (2) ii jj b + s b + 2 sb = 0 (k i, j ).

n+ k 2 n+ k n+ k ii jj ij Из первых двух условий системы (2) получаем равенство:

s jj (bii +i + s 2b n+i + 2 sbij +i ) = ii (bii + j + b n+ j s 2 + 2 sbij + j ) n n n n (3) jj jj Потребуем, что векторы вынужденной кривизны bii, b jj линий i, j соответственно графика отображения связаны условием:

bii + s 2 b jj = 0 (4) Тогда из равенства (3) находим, что s jj bij +i = ii bij + j, откуда следует, что:

n n ii bij + j n s= (5) jj bij +i n При этом мы полагаем, что направления линий i, j не сопряжены относительно конуса, соответствующего направлению ei сети n. В результате этого условия (2) сводятся к следующим требованиям:

s jj bij +i ii bij + j = 0, bij +k = 0, где k -любое, причем k i, j.

n n n В случае, когда направления основания отображения ei, e j n +k сопряжены относительно всех конусов = 0, где k i, j, последнее из указанных требований будет выполнено.

Рассмотрим вектор a1 = jj bij +i ei + ii bij + j e j, сонаправленный с l1.

n n Если рассмотреть векторную проекцию вектора bii jj на направление ei и проекцию вектора ii bij на направление e j, а затем эти проекции сложить, то сумма совпадет с вектором a1 и, следовательно, несет направление l1. Тем самым оказывается доказанным следующее утверждение:

Пусть векторы вынужденной кривизны линий i, j сети n связаны * зависимостью bii + s 2 b jj = 0, где s находится из условия (5). Если сумма векторных проекций векторов jj bij и ii bij на ei и e j соответственно задает характеристическое не K af -главное направление отображения T, то направления ei, e j сопряжены относительно всех конусов n+k = 0 при k i, j.

Заметим, что если вместо вектора l1 взять l2 = ei s e j (s 0 ) и провести для него рассуждения, аналогичные указанным выше, то роль вектора a1 будет выполнять вектор a2, равный разности проекции вектора jj bij на направление ei и проекции вектора ii bij на e j.

Выясним, при каких условиях верно утверждение, обратное доказанному выше. Если выполнено условие (4) при:

ii bij + j n s=± (6) jj bij +i n и при этом направления ei, e j сопряжены относительно всех конусов, соответствующих направлениям ek при k i, j, то, как следует из условий [ ] (1), характеристические направления в плоскости x1, ei, e j определяются соотношениями:

[ s ( ) + ( ) ] b + 2b =, i2 j2 n +i n +i 2 i j i [ s ( ) + ( ) ] b + 2b =, jj ij ii i2 j2 n+ j n+ j 2 i j j (7) [ s ( ) + ( ) ] b = 0 (k i, j ).

jj ij jj i2 j2 n+ k jj [ ] () () Если b jj не лежит в плоскости x, n+i, n+ j, то j = s 2 i, т.е.

2 j = ± s i. Тогда из первых двух соотношений системы (7) получаем, что направления l1 и l2 являются характеристическими. Таким образом, доказана Теорема 1. Пусть векторы вынужденной кривизны линий i, j сети n связаны зависимостью bii + s 2 b jj = 0, где s находится из условия (6) и * [ ] b jj x, n+i, n+ j. Сумма и разность векторных проекций векторов jj bij и ii bij на ei и e j соответственно задают характеристические не K af -главные направления отображения T тогда и только тогда, когда направления ei, e j сопряжены относительно всех конусов n+k = 0 при k i, j.

4. В пространстве En можно рассмотреть n различных двумерных плоскостей, определяемых точкой x1 и парой различных направлений основания отображения. Если при этом сеть n голономна (т.е. bij + k равны n * нулю при всех различных i, j, k ), а векторы вынужденной кривизны линий этой сети не лежат в двумерных плоскостях и для каждой пары значений индексов i, j связаны зависимостью (4), то в каждой из n таких двумерных плоскостей пространства En обнаружатся характеристические не K af главные направления ei ± s e j. Общее число найденных характеристических направлений плоскости En в этом случае равно 2n. Тем самым можно утверждать, что имеет место следующая Теорема 2. Пусть для каждой пары значений i, j, где i j, векторы bii, b jj вынужденной кривизны линий i, j сети n связаны зависимостью:

* [ ] ii bij + j n bii + s 2b jj = 0, где b jj x, n+i, n+ j и s = ± jj bij +i n Сеть n является голономной в том и только том случае, когда для каждой * пары различных значений i, j сумма и разность векторных проекций jj bij и ii bij на ei и e j соответственно векторов задают характеристическое не K af -главное направление отображения T.

Библиографический список 1. Базылев В.Т. К геометрии дифференцируемых отображений евклидовых пространств // Ученые записки. М.: МГПИ им. В.И.Ленина, 1970. Т.1. № 374. С. 41-51.

2. Melzi G. Trasformazioni fra iperspazi euclidei reale estendenti le transformazioni conformi // Rend, Jst Lombardo sci lettere sci, mat, fis, chim. e geol, 1961. A-95. № 2 P. 301-316.

3. Грачева В.И. О некоторых случаях дифференцируемых отображений евклидовых пространств // Известия вузов. Математика, 1970. № 11(102). С. 22-30.


4. Грачева В.И. О существовании дважды характеристических направлений при точечных соответствиях евклидовых пространств // Вестник Елецкого государственного ун та им. И.А. Бунина. Вып.17. Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2008. С. 437-444.

5. Грачева В.И. О характеристических направлениях дифференцируемых отображений евклидовых пространств // Вестник Чувашского государственного педагогического университета. Чебоксары: ЧГПУ, 2006. № 5(52). С. 49-54.

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ЭВОЛЮЦИОННОГО ОПЕРАТОРА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И.А. Елецких, М.П. Левченко В статье предлагается для решения дифференциальных уравнений использовать эволюционный оператор. Приводятся примеры интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка с помощью введенного оператора. Рассматриваются решения задач из различных областей естествознания.

Ключевые слова: эволюционный оператор, дифференциальное уравнение, задача Коши, оператор-функция, вектор-функция, линейный оператор.

Создание дифференциального исчисления открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда математических дисциплин, в том числе и теорию дифференциальных уравнений, которая возникла в конце XVI века в связи с решением различных проблем физики, математики и механики. В своем развитии теория дифференциальных уравнений прошла ряд этапов: создание классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, построение теории уравнений с частными производными, разработка приближенных методов решения, создание качественной теории и теории устойчивости. В начале XX века развиваются новые методы исследования, как в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в теории уравнений в частных производных. В основе этих методов – функциональный анализ, топология, учение об обобщенных функциях и др.

В это же время ставится задача моделирования реальных процессов с помощью дифференциальных уравнений и их систем. Составить дифференциальное уравнение, описывающее эволюционный процесс, часто оказывается не проще, чем решить его. Особенно полезным в последние десятилетия при изучении явлений природы, решении многих задач физики, химии, биологии и других наук оказался функционально-аналитический подход к решению дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. В своей статье мы остановимся лишь на простейшем дифференциальном уравнении и методе его решения, разработанном в [1].

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного линейного дифференциального уравнения dx = A(t ) x + f (t ), (1) dt с переменными оператор-функцией A(t) и вектор-функцией f(t), зависящими от вещественного параметра. Существование и единственность решения задачи (1) установлены в [1]. Там же найден вид этого решения t x(t ) = U (t )x0 + U (t )U 1 ( ) f ( )d, t где линейный оператор U(t) определяется равенством t tn t t U (t ) = I + A(t1 )dt1 +... A(t n )A(t n1 )... A(t1 ) dt1...dt n.

n = 2 t0 t t0 t Здесь – функции сильно интегрируемые,, а интегрирование ведется по Бохнеру [1].

Обозначим U (t, ) = U (t )U ( ). Оператор U (t, ) называется эволюционным (разрешающим) оператором дифференциального уравнения (1) [1]. Можно показать, что этот оператор не зависит от выбора значения t 0, по которому построен оператор U (t ). Обозначение U (t ) в дальнейшем будет применяться для оператора U (t ) = U (t,0 ), который называется оператором Коши дифференциального уравнения (1).

При помощи эволюционного оператора решение задачи Коши для = A(t )x, x( ) = x записывается в виде dx однородного уравнения dt x(t ) = U (t, )x, а для неоднородного уравнения – в виде t x(t ) = U (t, t 0 )x0 + U (t, ) f ( )d. (2) t Следующие фундаментальные свойства эволюционного оператора вытекают непосредственно из его определения [1]:

а) U (t, t ) = I, б) U (t, s )U (s, ) = U (t, ), в) U (t, ) = [U (, t )], t г) U (t, ) exp A( ) d ( t ).

Рассмотрим приложение эволюционного оператора к решению дифференциальных уравнений и некоторых практических задач из различных областей естествознания. Этот метод может использоваться в качестве дополнения к классическим приемам решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Более общий случай, когда A(t) является линейным оператором, требует дополнительных знаний из области функционального анализа.

sin 2 t dx Задача 1. Найти решение уравнения sin t x cos t = 2, которое dt t стремится к нулю при t [2].

Решение.

Пусть x(t) – искомое решение данного уравнения. Тогда при помощи эволюционного оператора решение неоднородного уравнения можно записать следующим образом.

Преобразуем исходное уравнение dx sin t x cos t = sin2 t к виду dt t dx sin t = ctg t x 2. Здесь A(t) = ctg t, f(t)= sin t.

t dt t Тогда dU dU = ctg t U = ctg t dt ln U = ln sin t U (t ) = sin t, dt U sin t.

U (t, ) = sin Решение уравнения находим по формуле (2) с учетом того, что t sin t sin t sin t sin t t sin t sin t sin t y (t 0 ) + ( 2 )d ] = lim[ x(t ) = lim[ |t0 ] = t tlim t = t sin t t0 sin t 0 t sin t Таким образом, x(t ) =.

t dx sin 2t = 2( x + cos t ), которое Задача 2. Найти решение уравнения dt остается ограниченным при t [2].

Решение.

Пусть x(t) – искомое решение данного уравнения. Тогда при помощи эволюционного оператора решение неоднородного уравнения можно записать следующим образом.

Преобразуем данное дифференциальное уравнение к виду 2 2 cos t dx 2 2 cos t. Здесь A(t) = = x+, f(t)=.

sin 2t sin 2t dt sin 2t sin 2t dU Для нахождения U(t) получаем уравнение: U, интегрируя = dt sin 2 x которое, получим:

dU dt cos tdt dy U = sin t cos t = sin t (1 sin = [ y = sin t, dy = cos tdt ] = = y (1 y 2 ) t) 1 1 y2 (1 y ) y + (1 + y ) ydy y 2 = = ln = ln tgt.

y (1 y 2 ) y2 tg t Откуда U (t ) = tg t, U (t, ) =.

tg Решение задачи ищем в виде:

cosd ctg t t x(t ) = tgt ctgt 0 x0 + tgt d = tgt ctgt 0 x0 + tgt = sin sin t0 t tgt tgt = tgt ctgt 0 x0 + = c tgt.

sin t sin t 0 cos t Так как по условию решение x ограничено при t, имеем lim([ctgt ] cos t ) = 0 lim(c sin t 1) = 0 c = 1 x(t ) = tgt.

cos t cos t t t 2 Задача 3. На материальную точку m действует постоянная сила, сообщающая точке ускорение а. Окружающая среда оказывает движущейся точке сопротивление, пропорциональное скорости ее движения, коэффициент пропорциональности равен Как изменяется скорость.

движения со временем, если в начальный момент точка находится в покое?

[2] Решение.

Пусть v(t) – скорость движения точки в момент времени t. Тогда v(0)=0. В произвольный момент t на точку действует сила ma v(t ).

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает точке ускорение, ma v(t ) равное. Ускорение в момент t – это производная скорости как m dv ma v(t ) = функции времени. Поэтому. Запишем это уравнение dt m dv = v + a. Здесь A(t) =, f (t ) = a.

иначе dt m m t dU dU = A(t )U = U U (t ) = e Найдем U(t): m.

dt m dt ( t ) = e m, U (t, ) = e m U ( ) =.

U ( ) Тогда t ( t ) ( t ) t t m m v(t ) = U (t,0) v(0) + ae d = a = a (1 e | m m m e ).

Задача 4. Ускорение локомотива, начальная скорость которого равна v0, прямо пропорционально силе тяги F и обратно пропорционально массе поезда m. Сила тяги локомотива F(t) = b - kv(t), где v(t) – скорость локомотива в момент t, а b и k – постоянные величины. Определить зависимость силы тяги локомотива от времени t [2].

Решение.

Ускорение локомотива есть производная от его скорости: a = dv.

dt dv b kv b k, v(0)=v0. Здесь A(t)=, f (t ) =.

Поэтому, согласно условию, = m dt m m k k ( t ) k t dU = U U (t ) = e m, U ( ) = e m, U (t, ) = e m k.

dt m Тогда решение можно записать в следующем виде:

k k k k k t b ( t ) t t b t b b t v0 + e m v(t ) = e = e m v0 + (1 e m ) = + (v0 )e m m k k k m k k t t F (t ) = b kv(t ) = b b (v0 k b)e = (b v0 k )e m m.

Задача 5. В воздухе комнаты объемом 200м3 содержится 0,15% углекислого газа СО2. Вентилятор подает в минуту 20м3 воздуха, содержащего 0,04% СО2. Через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое?

Решение.

Пусть Q(t ) м3 – количество углекислого газа в комнате в момент Q(t ) времени t после начала работы вентилятора. Тогда есть концентрация его в комнате в момент времени t. Следовательно, 20м3 воздуха, которые уходят из комнаты за минуту, содержат 0,1 Q(t ) м3 СО2. Поэтому за время dt мин из комнаты уйдет 0,1Q(t)dt м3 CO2. За это же время вентилятор подаст 0,04% 20dt м3 = 0,008 dt м3 СО в комнату. Таким образом, приращение dQ 100% газа СО2 за время dt равно (0,008 — 0,1Q(t)) dt. Приходим к следующему dQ dU = 0,1Q + 0,008 = 0,1U, дифференциальному уравнению:


dt dt U (t ) = e 0,1,U 1 ( ) = e 0,1,U (t, ) = e 0,1( t ), решение t Q(t ) = e 0,1t 0,3 + e 0,1( t ) 0,008d = которого имеет вид:

0,08 + 0,22e 0,1t, поскольку Q(0) = 0,3. Момент времени Т, когда количество СО2 будет 0,1м3, находим из равенства 0,1=0,08+0,22е-0,1Т.

Получаем Т 24 мин.

Задача 6. Определить, во сколько раз увеличится количество бактерий за 9 часов, если в течение 3 часов их количество изменилось от до 200 [3].

Решение.

Пусть x(t) – количество бактерий в момент времени t, тогда скорость dx изменения их количества. Так как скорость размножения бактерий dt пропорциональна количеству, то существует такая постоянная k, что dx = kx. В операторной форме это уравнение может быть записано в виде dt dx = A(t ) x + f (t ), A(t ) = k, f (t ) = 0. В соответствии с приведенной dt x(t ) = U (t, ) x - решение однородного уравнения. Поэтому теорией x(t ) = U (t ) x0, x0 = 100, U (t ) = e kt. Тогда x (t ) = e x0 = 100e.

kt kt t За время t=3 и x=200: 200 = 100 e k = 3 ln 2 x = 100 2.

3t За время t = 9: x(9) = 100 2 = 800. Таким образом, количество бактерий за 9 часов увеличится в 8 раз.

Библиографический список 1. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М: Наука, 1970.

2. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи. М.: Высшая школа, 1989.

3. Захаров В.Б., Мамонтов С.Г. Общая биология. М.: Дрофа, 1999.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ Бакуров Александр Николаевич – преподаватель Мезенского педагогического колледжа (Орловская область).

Бакурова Татьяна Михайловна – старший преподаватель кафедры алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета.

Болдина Людмила Витальевна – директор МОУ ООШ с. Докторово Лебедянского района Липецкой области, аспирант кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Буркин Игорь Михайлович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа Тульского государственного университета, профессор кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Быков Александр Александрович – кандидат педагогических наук, доцент кафедры информатики и электрорадиотехники Смоленского государственного университета.

Германов Олег Степанович – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии факультета математики, физики и информатики Нижегородского государственного педагогического университета.

Грачёва Валентина Ивановна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии факультета математики, физики и информатики Нижегородского государственного педагогического университета.

Гридчина Ирина Николаевна – ассистент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Дворяткина Светлана Николаевна – кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики, докторант кафедры педагогики начального обучения ЕГУ им. И.А. Бунина.

Добрина Екатерина Александровна – кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Елецких Ирина Адольфовна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Елецких Константин Сергеевич – аспирант кафедры физики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Жук Лариса Викторовна – кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры алгебры и геометрии ЕГУ им. И.А. Бунина.

Киселёва Лидия Александровна – учитель математики высшей категории МОУ гимназии № 11 г. Ельца Липецкой области.

Киселёва Ольга Михайловна – кандидат педагогических наук, доцент кафедры информатики и электрорадиотехники Смоленского государственного университета.

Князева Лариса Евгеньевна – кандидат педагогических наук, доцент кафедры геометрии и методики преподавания математики Педагогического института Южного федерального университета.

Ковалёва Галина Ивановна – кандидат педагогических наук, доцент кафедры методики преподавания математики Волгоградского государственного педагогического университета.

Курилина Елена Александровна – аспирант кафедры информатики и электрорадиотехники Смоленского государственного университета.

Лебедева Елена Валерьевна – ассистент кафедры алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета.

Левченко М.П. – ассистент кафедры автоматизированных систем управления и математического обеспечения ЕГУ им. И.А. Бунина.

Луконина Светлана Юрьевна – учитель математики и информатики МОУ «Гимназия» № 96 г. Казани, аспирант кафедры теории и методики обучения математике Татарского государственного гуманитарно педагогического университета.

Лыков Евгений Николаевич – ассистент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Малечкина Татьяна Константиновна – учитель математики категории МОУ гимназии № 11 г. Ельца Липецкой области.

Малиновский Василий Васильевич – кандидат педагогических наук, проректор по учебной работе Витебского государственного университета им. П.М. Машерова (Белоруссия).

Малютин Алексей Андреевич – аспирант кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Марушкина Ираида Алексеевна – аспирантка кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Мастеркова Дарья Владимировна – специалист по довузовской подготовке и связям с образовательными учреждениями Орловского государственного университета.

Мацыгин Максим Александрович аспирант кафедры – математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Мельников Роман Анатольевич – кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Михайлова Ирина Алексеевна – кандидат педагогических наук, доцент кафедры геометрии и методики преподавания математики, заместитель декана по учебной работе факультета математики, информатики и физики Педагогического института Южного Федерального университета.

Морозова Наталия Николаевна – кандидат физико-математических наук, доцент Академии Федеральной Службы Охраны (г. Орёл).

Новикова Ирина Владимировна ассистент кафедры – математического анализа и элементарной математики, аспирант кафедры физики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Перцев Владимир Владимирович – кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Перекалина Вера Петровна – учитель математики высшей категории МОУ гимназии № 11 г. Ельца Липецкой области.

Подаев Михаил Валерьевич – ассистент, аспирант кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Подаева Наталия Георгиевна – доктор педагогических наук, профессор, заведующая кафедрой алгебры и геометрии ЕГУ им. И.А.

Бунина.

Приймак Элеонора Игоревна – учитель математики первой категории МОУ гимназии № 11 г. Ельца Липецкой области.

Проскурякова Людмила Константиновна кандидат – педагогических наук, доцент Академии Федеральной Службы Охраны (г.

Орёл).

Рыманова Татьяна Евгеньевна – кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Саввина Анастасия Владимировна – ассистент кафедры алгебры и геометрии ЕГУ им. И.А. Бунина.

Саввина Ольга Алексеевна – доктор педагогических наук, профессор, заведующая кафедрой математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Самко Наталия Александровна – учитель математики высшей категории МОУ гимназии № 11 г. Ельца Липецкой области.

Сафронова Татьяна Михайловна – кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Селютин Владимир Дмитриевич – доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета.

Симоновская Галина Александровна – кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Солосина Ирина Сергеевна – ассистент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Суханова Татьяна Ивановна – студентка пятого курса физико математического факультета ЕГУ им. И.А. Бунина.

Тарасова Оксана Викторовна – доктор педагогических наук, профессор, заведующая кафедрой геометрии и методики преподавания математики Орловского государственного университета.

Таров Дмитрий Анатольевич – кандидат педагогических наук, доцент кафедры вычислительной математики и информатики ЕГУ им. И.А.

Бунина.

Тарова Инна Николаевна – кандидат педагогических наук, доцент кафедры вычислительной математики и информатики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Тестов Владимир Афанасьевич – доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры, геометрии и теории обучения математике Вологодского государственного педагогического университета.

Токарева Екатерина Сергеевна секретарь кафедры – вычислительной математики и информатики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Удот Алексей Алексеевич – ассистент кафедры геометрии и методики преподавания математики Педагогического института Южного Федерального университета.

Уман Илья Аркадьевич – преподаватель кафедры математического и информационного анализа экономических процессов Орловского государственного университета.

Черкасова Анна Михайловна – аспирант Астраханского государственного университета.

Черноусова Наталья Вячеславовна – кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Шакирова Лилиана Рафиковна – доктор педагогических наук, профессор кафедры теории и методики обучения математике Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.

Щербатых Сергей Викторович – кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

СОДЕРЖАНИЕ Раздел I. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ Теорема сложения на страницах Князева Л.Е.

учебников второй половины XVIII – начала веков XX ………………………….....................

Динамика целей урока математики в Марушкина И. А.

советской средней школе …………………...

Применение исторического материала на Мастеркова Д.В.

уроках математики в начальной школе … Становление и развитие операционного Мельников Р.А.

исчисления ………………………………... Математика в дореволюционной Перцев В.В.

гимназии …………………………………..……...

Документы о жизни и деятельности Саввина О.А.

Дмитрия Фёдоровича Егорова …………... Тема «Уравнения» в «Курсе элементарной Солосина И.С.

алгебры» Н.А. Извольского ….…………..... Алексей Николаевич Острогорский – Тарасова О.В.

автор первого методического пособия по геометрии в России ………………………. Раздел II. ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ И ВУЗЕ О формировании системы аксиом Бакуров А.Н.

стереометрии с помощью динамических компьютерных моделей …………………. Математическое ожидание и дисперсия Бакурова Т.М.

как критерии принятия экономических решений в условиях неопределенности … Элективный курс как дидактический Болдина Л.В.

способ преодоления проблем переходного периода от начальной к средней школе … Современные проблемы и особенности Быков А.А.

преподавания дисциплины «Математика и информатика» для специальности в классическом «Юриспруденция»

университете …………………..........................

Актуализация математического знания Гридчина И.Н.

студентов в процессе НИР ……………..... Развитие вероятностного мышления как Дворяткина С.Н.

существенная компонента профессиональной компетенции специалиста …..….

Примеры лабораторных работ по Добрина Е.А.

аналитической геометрии …………………...….

К вопросу о математической подготовке Елецких И.А., студентов факультета педагогики и Сафронова Т.М., методики начального образования Черноусова Н.В. ………...….

О классификации геометрических задач..

Жук Л.В. Математический диктант как форма Киселёва Л.А.

проверки знаний ……………………….……...

Теоретико-методологические аспекты Киселёва О.М.

применения методов математического моделирования в обучении информатике Изучаем свойства трапеции ……………...

Ковалёва Г.И. Интерактивная доска инструмент Курилина Е.А. – информационных технологий ………...…….

Методические основы обучения Лебедева Е.В., студентов-экономистов теории Селютин В.Д.

вероятностей с привлечением задач прогностического характера ………………………………..… Музыка в математике...…………….…….

Луконина С.Ю., Шакирова Л.Р.

Компоненты познавательной Лыков Е.Н.

самостоятельности студентов при изучении математики ……………….…………………….

К вопросу о подготовке к ГИА по алгебре Малечкина Т.К.

в классах с углубленным изучением математики ……….……………………….….

К вопросу об углубленном изучении Малечкина Т.К.

математики в среднем звене (8, 9 классы)..

О некоторых особенностях процесса Малиновский В.В.

обучения в малочисленных классах ………...

Об опыте разработки элективного курса Малютин А.А.

«Прерывная геометрия» ……………….… Отбор и классификация арифметических Мацыгин М.А.

задач, направленных на развитие интеллектуальных способностей учащихся …...

Формирование познавательного интереса Михайлова И.А., учащихся в процессе обучения Удот А.А.

математике …………………………………………...

Некоторые аспекты Морозова Н.Н., дифференцированного подхода к Проскурякова Л.К.

организации учебно-познавательной деятельности в плане личностно профессионального развития обучающихся ………….…………………..

Уравнения и неравенства, содержащие Перекалина В.П.

обратные тригонометрические функции. Методика формирования геометрических Подаев М.В.

понятий у школьников в рамках пропедевтического курса геометрии в 5- классе …………………………………………...

От формирования ЗУНов – к развитию Подаева Н.Г.

культурных базовых способностей …….. Развитие мотивационной сферы Приймак Э.И.

учащихся (из опыта работы) ……………….……..

Моделирование процесса формирования Рыманова Т.Е.

познавательного интереса школьников к математике …………………………..……. Формирование приёмов мышления Саввина А.В.

младших подростков при решении арифметических задач …...…………………….

Неделя математики в МОУ гимназии Самко Н.А.

№ 11 ………………………………….……. К вопросу о внеклассной работе с Сафронова Т.М., одарёнными детьми Зайцева Г.Н. …………………..……… К вопросу об организации Сафронова Т.М., исследовательской деятельности Суханова Т.И.

школьников на уроках математики …………………..…… Использование интегралов при изучении Селютин В.Д., вероятностных распределений ……...…...

Уман И.А. Проблемы подготовки школьников к Симоновская Г.А., единому государственному экзамену по Черноусова Н.В.

математике ……………………………..…. Использование возможностей Mathcad Тарова И.Н., при изучении дисциплины «Практикум Таров Д.А.

по решению задач на ЭВМ» ……………... Информационные технологии в Тестов В.А.

математическом образовании: проблема понимания К вопросу изучения тригонометрии в Токарева Е.С.

школе ……………………………………… Организация домашней самостоятельной Черкасова А.М.

работы младших школьников по математике с целью формирования их познавательной самостоятельности ……………...

Методика обучения старшеклассников Щербатых С.В.

элементам математической статистики … Раздел III. НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ Исследование модели взаимодействия Буркин И.М., между нейронами в биологической Елецких К.С.

системе ………………….……………………..

Применение критерия Мельникова для Буркин И.М., исследования хаотической динамики Новикова И.В.

нелинейного осциллятора с синусоидальной нелинейностью …………………...…..

О двумерных аналогах полуприводимых Германов О.С.

римановых пространств …... Характеристические направления Грачёва В.И.

двумерных плоскостей при точечных соответствиях евклидовых пространств ……..

Приложение теории эволюционного Елецких И.А., оператора к решению дифференциальных Левченко М.П.

уравнений первого порядка ……………... СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ …….……………………………………

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.