авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
-- [ Страница 1 ] --

LP-проблемы для ранговых неравенств

над полукольцами: граничные ранги

Л. Б. БИСЛИ

Государственный университет Юты

e-mail: lbeasley@math.usu.edu

А. Э. ГУТЕРМАН

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова e-mail: guterman@mmascience.ru С.-Ч. ЙИ Национальный университет Чангвая e-mail: scyi@changwon.ac.kr УДК 512. Ключевые слова: ранговые неравенства, эндоморфизмы матричных пространств, граничный ранг.

Аннотация Получена характеризация линейных отображений матриц над полукольцами, со храняющих множество упорядоченных наборов матриц, удовлетворяющих экстремаль ным ранговым свойствам для граничного и нулевого граничного рангов суммы и про изведения матриц.

Abstract L. B. Beasley, A. E. Guterman, S.-C. Yi, Linear preservers of extremes of rank in equalities over semirings: term-rank and zero-term-rank, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 10 (2004), no. 2, pp. 3—21.

We characterize linear operators on matrices over semirings that preserve the extremal cases in the bounds on term- and zero-term-ranks of sums and products of matrices.

1. Введение Определение 1.1. Полукольцом S называется алгебраическая система, со стоящая из множества S и двух бинарных операций: сложения и умножения, удовлетворяющих следующим аксиомам:

• S является коммутативным моноидом по сложению (нейтральный элемент обозначается 0);

Работа второго автора частично поддержана грантами РФФИ 02-01-00218, НШ-1910.2003.01 и INTAS YSF 03-55-1919.

Фундаментальная и прикладная математика, 2004, том 10, № 2, с. 3—21.

c 2004 Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы»

4 Л. Б. Бисли, А. Э. Гутерман, С.-Ч. Йи • S является полугруппой по умножению (если существует нейтральный элемент, то он обозначается 1);

• умножение дистрибутивно относительно сложения с двух сторон;

• s0 = 0s = 0 для всех s S.

В этой статье мы предполагаем существование в полукольце S единицы 1, от личной от 0.

Определение 1.2. Полукольцо называется антинегативным, если в нём только нулевой элемент имеет аддитивный обратный.

Определение 1.3. Полукольцо называется цепным, если множество S яв ляется вполне упорядоченным с универсальными максимальным и минималь ным элементами и операциями, заданными по правилам a + b = max{a, b} и a · b = min{a, b}.



Тривиальная проверка показывает, что цепное полукольцо коммутативно и антинегативно.

Пусть S — полукольцо, Mm,n (S) — множество всех (m n)-матриц с эле ментами из полукольца S.

Определение 1.4. Линией в матрице A называется строка или столбец мат рицы A.

Следующие ранговые функции часто используются для решения различных задач в теории матриц над полукольцами.

Определение 1.5. Матрица A Mm,n (S) имеет граничный ранг k (t(A) = k), если наименьшее число линий, необходимых, чтобы покрыть все ненулевые элементы матрицы A, равно k. Будем обозначать через c(A) наи меньшее число столбцов, необходимых, чтобы покрыть все ненулевые элементы матрицы A, и через r(A) — наименьшее число строк, необходимых, чтобы по крыть все ненулевые элементы A.

Определение 1.6. Матрица A Mm,n (S) имеет нулевой граничный ранг k (z(A) = k), если наименьшее число линий, необходимых для покрытия всех нулевых элементов A, равно k.

Пусть S является подполукольцом некоторого поля. Тогда определена обыч ная функция матричного ранга (A) для любой матрицы A Mm,n (S).

Поведение функции относительно матричного сложения и умножения уста навливается следующими классическими неравенствами:

неравенствами для суммы матриц:

|(A) (B)| (A + B) (A) + (B), неравенствами Сильвестра:

(A) + (B) n (AB) min{(A), (B)} и неравенством Фробениуса:

(AB) + (BC) (ABC) + (B), где A, B, C — матрицы подходящих размеров с элементами из поля.

LP-проблемы для ранговых неравенств над полукольцами: граничные ранги Арифметические свойства граничного и нулевого граничного рангов описы ваются следующими неравенствами, доказанными в [3]:

1) t(A + B) t(A) + t(B);

2) t(A + B) max{t(A), t(B)};

3) t(AB) min(c(A), r(B));

t(AB) t(A) + t(B) n;

4) если S содержится в полукольце неотрицательных вещественных чисел, 5) то (AB) + (BC) t(ABC) + t(B);

6) z(A + B) 0;

7) z(A + B) min{z(A), z(B)};

8) z(AB) 0;

9) z(AB) z(A) + z(B).

2. Предварительные результаты Мы будем использовать следующие обозначения для семейств матриц, воз никающих в экстремальных случаях в вышеперечисленных неравенствах:

T1 (S) = {(X, Y ) Mm,n (S)2 | t(X + Y ) = t(X) + t(Y )};

T2 (S) = {(X, Y ) Mm,n (S)2 | t(X + Y ) = max(t(X), t(Y ))};

T3 (S) = {(X, Y ) Mm,n (S)2 | t(XY ) = min{r(X), c(Y )}};

T4 (S) = {(X, Y ) Mn (S)2 | t(XY ) = t(X) + t(Y ) n};

T5 (S) = {(X, Y, Z) Mm,n (S)3 | t(XY Z) + t(Y ) = (XY ) + (Y Z)};

Z1 (S) = {(X, Y ) Mm,n (S)2 | z(X + Y ) = min{z(X), z(Y )}};

Z2 (S) = {(X, Y ) Mm,n (S)2 | z(X + Y ) = 0};

Z3 (S) = {(X, Y ) Mm,n (S)2 | z(XY ) = 0};

Z4 (S) = {(X, Y ) Mm,n (S)2 | z(XY ) = z(X) + z(Y ).

Определение 2.1. Преобразование T сохраняет множество P, если из X P следует, что T (X) P, или, если P является множеством упорядоченных пар [троек], предполагается, что из условия (X, Y ) P [(X, Y, Z) P] следует, что (T (X), T (Y )) P [(T (X), T (Y ), T (Z)) P].

Определение 2.2. Преобразование T строго сохраняет множество P, если X P тогда и только тогда, когда T (X) P, или, если P является множе ством упорядоченных пар [троек], (X, Y ) P [(X, Y, Z) P] эквивалентно (T (X), T (Y )) P [(T (X), T (Y ), T (Z)) P].





Определение 2.3. Матрица X Y обозначает произведение Адамара, т. е.

элемент (i, j) матрицы X Y есть xi,j yi,j.

6 Л. Б. Бисли, А. Э. Гутерман, С.-Ч. Йи Определение 2.4. Преобразование T называется (P, Q, B)-оператором, ес ли существуют матрицы перестановки P и Q и матрица B без нулевых элемен тов, такие что T (X) = P (X B)Q для всех X Mm,n (S), или, если m = n, T (X) = P (X B)t Q для всех X Mm,n (S).

Как было доказано в [3], неравенства 1—9 точны и неулучшаемы.

Естественный вопрос состоит в характеризации случаев равенства в рас сматриваемых неравенствах. Даже для матриц над полями это открытый вопрос (см. [12, 13, 16, 17]). Структура матричных многообразий, возникающих в каче стве экстремальных случаев в этих неравенствах, неизвестна ни над полями, ни над полукольцами. Стандартный способ выбора элементов таких многообразий состоит в применении линейных преобразований, сохраняющих данное много образие, к семействам матриц, заведомо ему принадлежащих. Классификация аналогичных преобразований матриц над полями была получена в [1, 4, 6, 11].

Исследование соответствующей проблемы над полукольцами было начато в ра боте [2], где предпочтение было отдано факторизационному рангу. Эта работа является продолжением [2]. Она посвящается изучению линейных преобразо ваний, сохраняющих экстремальные случаи в ранговых неравенствах для гра ничного и нулевого граничного рангов. Другие результаты по теории линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты над полями и кольцами, можно найти в работе [15] и приведённых там ссылках. Граничный и нуле вой граничный ранги подробно изучаются в [10, 14]. В частности, линейные отображения, сохраняющие граничные ранги, изучались в [5, 7—9].

Определение 2.5. Пусть S — не обязательно коммутативное полукольцо.

Преобразование T : Mm,n (S) Mm,n (S) называется линейным, если оно аддитивно и, кроме того, T (X) = T (X) и T (X) = T (X) для всех X Mm,n (S), S.

Определение 2.6. Матрица A мажорирует матрицу B, если из bi,j = следует, что ai,j = 0, что обозначается A B или B A.

Определение 2.7. Если A и B — матрицы, причём A B, то A\B обозначает матрицу C, где если bi,j = 0, 0, ci,j = иначе.

ai,j Пусть Z(S) обозначает центр полукольца S. Будем предполагать, что m n.

Пусть In — тождественная (n n)-матрица, Jm,n — (m n)-матрица, все эле менты которой — единицы, Om,n — нулевая (m n)-матрица. Мы будем опус кать нижние индексы для обозначения размеров матриц, если это не приводит к недоразумениям, и будем писать I, J, O соответственно. Пусть Ei,j обозначает матрицу, у которой на (i, j)-м месте стоит единица, а все остальные элементы нулевые, такая матрица называется клеткой. Пусть Ri обозначает матрицу, у которой i-я строка целиком состоит из единиц, а на всех остальных позициях находятся нули, Cj обозначает матрицу, у которой j-й столбец целиком состоит LP-проблемы для ранговых неравенств над полукольцами: граничные ранги из единиц, а на всех остальных позициях находятся нули. Мы обозначаем че рез |A| число ненулевых элементов в матрице A. Пусть A[i, j | k, l] обозначает (2 2)-подматрицу A, которая лежит на пересечении i-й и j-й строк с k-м и l-м столбцами.

Приведём без доказательства некоторые результаты, доказанные в [2], кото рые понадобятся нам в дальнейшем.

Теорема 2.8 ([2, теорема 2.14]). Пусть S — антинегативное полукольцо без делителей нуля, T : Mm,n (S) Mm,n (S) — линейный оператор. Следующие утверждения являются эквивалентными:

1) отображение T является биективным;

2) отображение T является сюръективным;

3) существуют перестановка на множестве {(i, j) | i = 1, 2,..., m, j = = 1, 2,..., n} и обратимые элементы bi,j Z(S), i = 1, 2,..., m, j = = 1, 2,..., n, такие что T (Ei,j ) = bi,j E(i,j).

Замечание 2.9. Непосредственно проверяется, что при m = 1 или n = все рассматриваемые линейные преобразования являются (P, Q, B)-оператора ми, а если m = n = 1, то (P, P t, B)-операторами.

Далее мы будем предполагать, что m, n 2.

Лемма 2.10 ([2, лемма 2.16]). Пусть S — антинегативное полукольцо, T : Mm,n (S) Mm,n (S) — линейное преобразование, отображающее линии в линии, задаваемое формулой T (Ei,j ) = bi,j E(i,j), где является переста новкой на множестве {(i, j) | i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n} и bi,j S — некоторые ненулевые элементы, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. Тогда T явля ется (P, Q, B)-оператором.

3. Граничный ранг Напомним, что T1 (S) = {(X, Y ) Mm,n (S)2 | t(X + Y ) = t(X) + t(Y )}.

Теорема 3.1. Пусть S — антинегативное полукольцо без делителей нуля, T : Mm,n (S) Mm,n (S) — линейное сюръективное отображение. Тогда отоб ражение T сохраняет множество T1 (S) в том и только том случае, когда T яв ляется (P, Q, B)-оператором, где P и Q — матрицы перестановки подходящего размера, элементы bij Z(S) обратимы.

Доказательство. Легко видеть, что все (P, Q, B)-операторы сохраняют гра ничный ранг. Следовательно, они сохраняют множество T1.

По теореме 2.8 имеем T (Ei,j ) = bi,j E(i,j) для всех i, j, 1 i m, 1 j n, где bi,j Z(S) обратимы, — перестановка на множестве пар (i, j).

Покажем, что отображение T переводит линии в линии. Допустим, что обра зы двух клеток лежат в одной линии, тогда как сами клетки не лежат, т. е. пусть 8 Л. Б. Бисли, А. Э. Гутерман, С.-Ч. Йи существуют такие клетки Ei,j, Ek,l, что t(Ei,j +Ek,l ) = 2, а t(T (Ei,j +Ek,l )) = 1.

Тогда (Ei,j, Ek,l ) T1, однако (T (Ei,j ), T (Ek,l )) T1 — противоречие. Таким об / разом, отображение T переводит линии в линии. Следовательно, по лемме 2. отображение T является (P, Q, B)-оператором, где P и Q — перестановочные матрицы подходящих размеров, элементы bij Z(S) обратимы.

Для некоторых классов полуколец теорема 3.1 может быть усилена следую щим образом.

Теорема 3.2. Пусть S — конечное антинегативное или произвольное цепное полукольцо. Линейное отображение T : Mm,n (S) Mm,n (S) строго сохраняет множество T1 (S) тогда и только тогда, когда T является (P, Q, B)-оператором, где элементы bi,j Z(S) не являются делителями нуля.

Доказательство. Если все элементы bi,j не являются делителями нуля, то любой (P, Q, B)-оператор сохраняет граничный ранг и, следовательно, строго сохраняет множество T1 (S).

Пусть отображение T строго сохраняет множество T1, S — конечное антине гативное полукольцо с 1 или цепное полукольцо. Непосредственная проверка по казывает, что существуют такие положительные целые, что · 1S = · 1S.

В [8] доказано, что в конечном полукольце существует степень T, являющаяся идемпотентом. Аналогичное доказательство справедливо для цепных полуколец.

В самом деле, согласно определениям умножения и сложения в цепном полу кольце, элементы каждой степени данной матрицы A содержатся в множестве элементов A. Поэтому множество различных матриц среди степеней A явля ется конечным. Следовательно, существуют положительные целые s и t, такие что для всех p, q s, p q (mod t) справедливо, что Ap = Aq. В частности, Ast = A2st. Следовательно, у каждого оператора над цепным полукольцом най дётся идемпотентная степень. В обоих случаях обозначим L = T d и L2 = L.

Легко проверяется, что L строго сохраняет множество T1.

Заметим, что если X Mm,n (S) и (X, X) T1, то X = O. Следовательно, если A = O, то L(A) = O, так как L строго сохраняет T1.

Предположим, что существует такой индекс i, 1 m, что L(Ri ) не i мажорируется Ri. Тогда существуют такая пара индексов (r, s), что Er,s L(Ri ), Ri. Легко видеть, что (Ri, Er,s ) F1 и существует матрица тогда как Er,s X = (xi,j ) Mm,n (S) с xr,s = 0, такая что L(Ri ) = aEr,s + X для некоторого 0 = a S. Тогда (Ri, Er,s ) T1, L(Ri ) = aEr,s + X, здесь xr,s = 0.

Имеем L(Ri + ( )aEr,s ) = L(Ri ) + L(( )aEr,s ) = = L2 (Ri ) + L(( )aEr,s ) = L(L(Ri )) + L(( )aEr,s ) = = L((aEr,s + X)) + L(( )aEr,s ) = L(aEr,s + X) + L(( )aEr,s ) = = L(X) + L(aEr,s ) + L(()aEr,s ) = L(X) + L(aEr,s + ()aEr,s ) = = L(X) + L(aEr,s ) = L(X) + L(aEr,s ) = L((X + aEr,s )) = = L(L(Ri )) = L2 (Ri ) = L(Ri ) = L(Ri ).

LP-проблемы для ранговых неравенств над полукольцами: граничные ранги Таким образом, (Ri, ( )aEr,s ) T1, однако L(Ri ) + L(( )aEr,s ) = L(Ri + ( )aEr,s ) = L(Ri ).

Следовательно, (L(Ri ), L(( )aEr,s )) T1 — противоречие.

/ Мы установили, что L(Ri ) Ri для всех i. Аналогично, L(Cj ) Cj для всех j. Рассматривая матрицу Ei,j, которая мажорируется как Ri, так и Cj, имеем, что L(Ei,j ) Ei,j. В силу антинегативности S получаем, что T отобра жает клетки в клетки с весами, или |T (Ei,j )| = 1 для всех i, j, и все элементы T (J) ненулевые.

Следовательно, T индуцирует перестановку на множестве индексов {1, 2,..., m}{1, 2,..., n}, т. е. T (Ei,j ) = bi,j E(i,j) для некоторых скаляров bi,j.

Из линейности T следует, что bi,j Z(S).

Повторяя доказательство теоремы 3.1, получим, что T является (P, Q, B)-опе ратором.

Напомним, что T2 (S) = {(X, Y ) Mm,n (S)2 | t(X + Y ) = max(t(X), t(Y ))}.

Теорема 3.3. Пусть S — антинегативное полукольцо без делителей нуля T : Mm,n (S) Mm,n (S) — сюръективное линейное отображение. Тогда T сохраняет множество T2 (S) в том и только том случае, когда T является (P, Q, B)-оператором, где P и Q — матрицы перестановки подходящего разме ра, элементы bij Z(S) обратимы.

Доказательство. По теореме 2.8 имеем, что T биективно и T (Ei,j ) = n, где bi,j Z(S) — обратимые = bi,j E(i,j) для всех i, j, 1 i m, 1 j элементы, — перестановка на множестве пар (i, j).

Предположим, что образы двух клеток не лежат в одной линии, тогда как клетки лежат. Пусть Ei,j, Ei,l — такие клетки, т. е. T (Ei,j ), T (Ei,l ) не лежат в одной линии. Это означает, что t(T (Ei,j + Ei,l )) = 2. Тогда (Ei,j, Ei,l ) T2, но (T (Ei,j ), T (Ei,l )) T2 — противоречие. Следовательно, T 1 отображает линии / в линии. По лемме 2.10 отсюда следует, что T 1 является (P, Q, B)-оператором, где P и Q — матрицы перестановки подходящего размера, элементы bij Z(S) обратимы. Следовательно, T также имеет такой вид.

Все (P, Q, B)-операторы сохраняют граничный ранг, а значит, и множество T2 (S).

Напомним, что T3 (S) = {(X, Y ) Mm,n (S)2 | t(XY ) = min{r(X), c(Y )}}.

Теорема 3.4. Пусть S — антинегативное полукольцо без делителей нуля, T : Mn (S) Mn (S) — линейное сюръективное отображение. Тогда T сохра няет множество T3 (S) в том и только том случае, когда существуют матрица перестановки P Mn (S) и матрица B = (bij ) Mn (S), bij Z(S), такие что T (X) = P (X B)P t для всех X Mn (S).

10 Л. Б. Бисли, А. Э. Гутерман, С.-Ч. Йи Доказательство. Легко видеть, что все операторы рассматриваемого вида сохраняют t(A), c(A), r(A) и, следовательно, так как S антинегативно, они сохраняют множество T3.

По теореме 2.8 получаем, что T (Ei,j ) = bi,j E(i,j) в этом случае.

Покажем, что T переводит линии в линии. Для всех k имеем (Ei,j, Ej,k ) T3, так как t(Ei,j Ej,k ) = t(Ei,k ) = 1 = min{r(Ei,j ), c(Ej,k )}.

Следовательно, t(T (Ei,j )T (Ej,k )) = min{r(T (Ei,j )), c(T (Ej,k ))} = 1 поскольку T отображает клетки в клетки. Однако T (Ei,j )T (Ej,k ) = bi,j bj,k E(i,j) E(j,k), т. е.

E(j,k) лежит в той же строке, что и E(j,1), для каждого k. Значит, T отоб ражает строки матрицы в строки. Аналогично проверяется, что T отображает столбцы в столбцы. Тогда T (X) = P (X B)Q для подходящих матриц переста новки P и Q.

Следовательно, T (Ei,j ) = bi,j E(i), (j), где — перестановка, соответству ющая матрице P, — перестановка, соответствующая матрице Qt. Однако (E1,i, Ei,1 ) T3. Следовательно, (E(1), (i), E(i), (1) ) T3, т. е., отку да Q = P t.

Заметим, что если существует ненулевой мультипликативно необратимый элемент s Z(S), то отображение T : Mm,n (S) Mm,n (S), заданное форму лой T (X) = sX для всех X Mm,n (S), сохраняет все матричные множества, упомянутые в этой работе, однако не является сюръективным. Таким образом, представляется интересным указать неинъективные и вырожденные (обладаю щие нетривиальным ядром) линейные отображения, сохраняющие указанные множества, или доказать их отсутствие.

Покажем, что существуют вырожденные линейные отображения, сохраняю щие множество T3.

Пример 3.5. Пусть T : Mn (S) Mn (S) — линейное отображение, опреде ляемое на множестве клеток следующим образом: T (En,n ) = 0, T (Ei,j ) = E1, для всех 1 i, j n, (i, j) = (n, n). Тогда T сохраняет множество T3.

Доказательство. Результат следует из того, что все пары матриц, принад лежащих образу отображения T, лежат в множестве T3.

Напомним, что T4 (S) = {(X, Y ) Mn (S)2 | t(XY ) = t(X) + t(Y ) n}.

Для изучения случая равенства в нижней оценке на ранг произведения нам понадобится следующая редукция.

Лемма 3.6. Пусть S — произвольное полукольцо, линейное отображение T : Mn (S) Mn (S) сохраняет множество T4 (S). Тогда T сохраняет множе ство матриц граничного ранга n.

Доказательство. Пусть A = 0, B — произвольная матрица граничного ран га n. Тогда t(A) = 0, t(AB) = 0, т. е. t(AB) = t(A) + t(B) n. Отсюда LP-проблемы для ранговых неравенств над полукольцами: граничные ранги t(T (A)T (B)) = t(T (A)) + t(T (B)) n. Таким образом, 0 = 0 + t(T (B)) n.

Следовательно, t(T (B)) = n. Значит, отображение T сохраняет множество мат риц граничного ранга n.

Лемма 3.7. Пусть S — антинегативное полукольцо без делителей нуля, T : Mm,n (S) Mm,n (S) — сюръективное линейное отображение. Тогда T со храняет множество матриц граничного ранга n тогда и только тогда, когда T является (P, Q, B)-оператором, где P и Q — матрицы перестановки подходящего размера, элементы bij Z(S) обратимы.

Доказательство. Легко видеть, что все (P, Q, B)-операторы с обратимыми матрицами P, Q и элементами bi,j, не являющимися делителями нуля, сохра няют граничный ранг.

По теореме 2.8 имеем, что отображение T биективно и T (Ei,j ) = bi,j E(i,j) для всех i, j, 1 i, j n, где все элементы bi,j Z(S) обратимы, — переста новка на множестве пар индексов. Проверим, что отображение T 1 переводит линии в линии. Предположим, что прообраз некоторой строки не мажорирует ся ни одной линией. Тогда существуют такие индексы i, k, l, что T 1 (Ei,k ) и T 1 (Ei,l ) не лежат в одной линии, т. е. существуют такие индексы p, r, q, s, p = r, q = s, что T 1 (Ei,k +Ei,l ) Er,s +Ep,q и T 1 (Ei,k +Ei,l ) не мажорируется ни одной из клеток Er,s, Ep,q. Добавим к матрице Er,s + Ep,q сумму n 2 клеток таким образом, что получится матрица перестановки. Обозначим её A. Имеем t(A) = n. Поскольку отображение T сохраняет множество матриц граничного ранга n, имеем t(T (A)) = n. С другой стороны, T (A) мажорируется n 1 лини ей, поскольку T (Er,s ) = br,s Ei,k и T (Ep,q ) = bp,q Ei,l лежат в одной строке. Это противоречит условию t(T (A)) = n. Следовательно, прообразами строк явля ются строки или столбцы. Аналогично, прообразами столбцов являются строки или столбцы. Из леммы 2.10 следует, что T является (P, Q, B)-оператором.

Теорема 3.8. Пусть S — антинегативное полукольцо без делителей нуля, T : Mn (S) Mn (S) — линейное сюръективное отображение. Преобразова ние T сохраняет множество T4 (S) тогда и только тогда, когда существуют матрица перестановки P Mn (S) и матрица B = (bij ) Mn (S), bij Z(S), такие что T (X) = P (X B)P t для всех X Mn (S).

Доказательство. Покажем, что отображения рассматриваемого типа сохра няют множество T4 (S). Легко видеть, что все (P, Q, B)-операторы сохраняют граничный ранг. Следовательно, правая часть равенства, определяющего мно жество T4, не меняется под действием T и остаётся только проверить, что t(XY ) = t(P (X B)P t P (Y B)P t ). Однако t(P (X B)P t P (Y B)P t ) = = t((X B)(Y B)) = t(XY ), поскольку полукольцо S является антинегативным и все элементы матрицы B обратимы.

Проверим теперь, что все сюръективные линейные отображения, сохраняю щие множество T4 (S), являются (P, Q, B)-операторами. Для этого заметим, что по лемме 3.6 отображение T сохраняет множество матриц граничного ранга n.

12 Л. Б. Бисли, А. Э. Гутерман, С.-Ч. Йи Тогда по лемме 3.7 отображение T является (P, Q, B)-оператором, bi,j Z(S) обратимы.

Покажем, что отображение T (Z) = P (Z B)t Q не сохраняет множество T4 (S). Действительно, поскольку подобие сохраняет множество T4 (S), можно вместо отображения T рассматривать отображение T1 (Z) = P t P (Z B)t QP = = (Z B)t D, где D = QP — перестановочная матрица. Пусть C = (cij ), cij = b1 ij для всех i, j. Тогда при i = j справедливо (X = ((D1 )t Ei,j ) C, Y = I \ Ej,j ) T4 (S), так как t(XY ) = t(O) = 0 = 1 + (n 1) n. Однако ((X B)t D = = Ej,i, (Y B)t D = ((I\Ej,j )B t )D) T4 (S), поскольку t(Ej,i ((I\Ej,j )B t )D)) = / = t(Ej,i ) = 1 = 0.

Остаётся проверить, что P Q = I. Предположим, что (P, Q, B)-оператор со храняет множество T4 (S). Тогда t(XY ) = t((X B)QP Y ) для всех пар (X, Y ) T4 (S). Матрица QP является матрицей перестановки, как произведение двух матриц перестановки. Предположим, что QP переставляет i-й и j-й столбцы Ej,j. Тогда t(X) = 1, t(Y ) = n 1, матрицы X. Пусть X = Ei,i, Y = j=i t(XY ) = t(0) = 0 = t(X) + t(Y ) n, т. е. (X, Y ) T4 (S). С другой сторо ны, (X B)QP = bii Ei,j. Следовательно, (X B)QP (Y B) = bi,i bj,j Ei,j = 0, откуда (P (X B)Q, P (Y B)Q) T4 (S). Полученное противоречие завершает / доказательство.

Замечание 3.9. Рассматривая матрицы (((QP )1 )t E1,1 ) C, C = (cij ), cij = b1 для всех i, j, и E2,1 + E3,2 +... + En,n1, можно аналогичным образом ij убедиться, что отображение T (Z) = P (Z B)t Q не сохраняет множество F4R (см. [2, теорема 9.2]).

Пусть полукольцо S содержится в множестве неотрицательных действитель ных чисел R+.

Напомним, что T5 (S) = {(X, Y, Z) Mm,n (S)3 | t(XY Z) + t(Y ) = (XY ) + (Y Z)}.

Определение 3.10. Матрица A Mm,n (S) имеет факторизационный ранг k (rank(A) = k), если существуют такие матрицы B Mm,k (S) и C Mk,n (S), что A = BC и k — наименьшее положительное целое число, для которого суще ствует такое разложение. По определению единственной матрицей, обладающей нулевым факторизационным рангом, является нулевая матрица O.

Лемма 3.11. Пусть S — полукольцо, содержащееся в R+, B = (bi,j ) Mm,n (S), m, n 2. Допустим, что bi,j обратимы для всех 1 i n, m. Пусть (k, l) — произвольная фиксированная пара целых чисел, 1 j удовлетворяющих неравенствам 2 m. Предположим, что k n, 2 l факторизационный ранг каждой (l k)-подматрицы матрицы B равен 1. Тогда факторизационный ранг каждой ((l + 1) k)-подматрицы (если она существует) равен 1 и факторизационный ранг каждой (l (k + 1))-подматрицы (если она существует) равен 1.

LP-проблемы для ранговых неравенств над полукольцами: граничные ранги Доказательство. Рассмотрим произвольную (l (k + 1))-подматрицу матри цы B. Применяя, если это необходимо, перестановку строк и столбцов, можно предположить, что эта подматрица имеет вид b1,1 b1,2... b1,k b1,k+ b... b2,k b2,k+ b B = 2,1 2,2.............................

bl,1 bl,2... bl,k bl,k+ По условию теоремы существуют четыре вектора s = (s1,..., sl ) S l, t = = (t1,..., tk ) S k, u = (u1,..., ul ) S l, v = (v1,..., vk ) S k, такие что b1,1 b1,2... b1,k b2,1 b2,2... b2,k t (1).................... = s t bl,1 bl,2... bl,k и b1,2... b1,k b1,k+ b2,2... b2,k b2,k+ t (2)...................... = u v.

bl,2... bl,k bl,k+ Рассмотрим матрицу B = st (t1, t2,..., tk, s1 u1 vk ) и проверим, что B = B. Первые k столбцов этих матриц совпадают по опре делению векторов s и t. Рассмотрим последний столбец. Имеем b1,k+1 = s1 · s1 u1 vk = u1 vk = b1,k+1, где последнее равенство следует из формулы (2). Из определения векторов u, v и равенств (1), (2) следует, что si tj = bi,j = ui vj1 для всех i = 1,..., l, j = 2,..., k. Тогда s1 ui = tj vj1 для всех i = 1,..., l. Следовательно, i s1 u1 =... = s1 ul.

1 l Для любого i = 2,..., l имеем bi,k+1 = si · s1 u1 vk = si · s1 ui vk = ui vk = bi,k+1, 1 i т. е. B = B. Отсюда rank(B ) = 1. Аналогичные рассмотрения для ((l + 1) k)-матрицы завершают доказательство.

Лемма 3.12. Пусть S — полукольцо, содержащееся в R+, B = (bi,j ) Mm,n (S), m, n 2. Предположим, что коэффициенты bi,j обратимы для всех 1 i n, 1 j m и rank(B) 2. Тогда rank(B) = (B).

Доказательство. Легко видеть, что для любой матрицы B Mm,n (S) спра ведливо неравенство (B) rank(B). Следовательно (B) 2. Рассмотрим 14 Л. Б. Бисли, А. Э. Гутерман, С.-Ч. Йи отдельно каждый из трёх случаев: (B) = 0, (B) = 1 или (B) = 2. В слу чае (B) = 2 имеем 2 2, т. е. rank(B) = 2. Если (B) = 0, то rank(B) B = 0 и, следовательно, rank(B) = 0. Остаётся проверить, что если (B) = 1, то rank(B) = 1. Хорошо известно, что факторизационный ранг матрицы над любым подполем поля R равен факторизационному рангу этой матрицы над полем R. Пусть K обозначает минимальное подполе в поле вещественных чисел R, содержащее S. Поскольку (B) = 1, существуют такие векторы s = (s1,..., sm ) Km, t = (t1,..., tk ) Kn, что B = st t, т. е. bi,j = si tj, i = 1,..., m, j = 1,..., n.

Заметим, что si, tj отличны от нуля, поскольку bi,j — ненулевые элементы.

Без ограничения общности можно считать, что s1 = 1 (в противном случае рассмотрим разложение B = s t, где si = si s1, ti = ti s1 ). Поскольку для t всех j = 1,..., n справедливо равенство b1,j = tj, имеем tj S, элементы tj обратимы в S для всех j = 1,..., n.

Отсюда для всех i = 1,..., m следует, что si = bi,1 t1 S. Следовательно, rank(B) = 1.

Следующий пример показывает, что предположение обратимости элементов матрицы действительно необходимо в леммах 3.11 и 3.12.

Пример 3.13. Рассмотрим матрицу 6 10 M2,3 Z+ 2 2, 3 2, 5 2.

B= 6 2 10 2 15 Заметим, что (B) = 1, так как её строки линейно зависимы. Легко видеть, что для любой (2 2)-подматрицы B матрицы B справедливо rank(B ) = 1.

Например, 6 10 3 5.

= 6 2 10 2 Поскольку элемента 2 в полукольце Z+ 2 2, 3 2, 5 2 нет, разложение матрицы B в произведение столбца и строки невозможно. Следовательно, rank(B) = 2.

Лемма 3.14. Пусть S — полукольцо, содержащееся в R+. Если T (X) = X B для всех X Mm,n (S) и rank(B) = 1, то существуют такие диагональные матрицы D и E, что T (X) = DXE для всех X Mm,n (S).

Доказательство. Если rank(B) = 1, то существуют такие векторы d = = [d1, d2,..., dm ] и e = [e1, e2,..., en ], что B = det, т. е. bi,j = di ej. Рассмот рим D = diag{d1, d2,..., dm } и E = diag{e1, e2,..., en }. По условию (i, j)-й элемент матрицы T (X) равен bi,j xi,j, (i, j)-й элемент матрицы DXE равен di xi,j ej = bi,j xi,j. Лемма доказана.

Лемма 3.15. Пусть S — полукольцо, содержащееся в R+, T : Mn (S) Mn (S) — линейное сюръективное отображение. Если T сохраняет множе ство T5 (S), то T имеет вид T (X) = P DXEP t, где P — матрица перестановки, D, E — обратимые диагональные матрицы из Mn (S).

LP-проблемы для ранговых неравенств над полукольцами: граничные ранги Доказательство. По теореме 2.8 имеем T (Ei,j ) = bi,j E(i,j), где bi,j Z(S) обратимы для всех i, j.

Предположим, что некоторая строка, например i-я, отображается под дей ствием T не в строку. Тогда без ограничения общности можно предположить, что (i, i) = (y, r), (i, k) = (x, s) и y = x. Тройка матриц (Ei,i, Ei,i, Ei,i ) при надлежит T5 (S), поэтому (bi,i Ey,r, bi,i Ey,r, bi,i Ey,r ) T5 (S).

Отсюда с необходимостью y = r. Симметрично переставляя строки и столбцы, можно предположить, что y = r = i.

Пусть индексы l и j таковы, что для произвольного j справедливо (l, j) = = (pl, ql ) и (j, i) = (u, v). Если v = i, то (El,j, Ej,i, Ei,i ) T5 (S) и, следовательно, (bl,j Epl,ql, bj,i Eu,v, bi,i Ei,i ) T5 (S).

Получаем, что ql = u для всех l. Если v = i, то (El,j, Ej,i, Ei,k ) T5 (S) и, следовательно, (bl,j Epl,ql, bj,i Eu,v, bi,k Ex,s ) T5 (S).

Имеем ql = u для всех l. Следовательно, j-й столбец отображается в u-й. Так как j было выбрано произвольно, получаем, что T переводит столбцы в столбцы.

Заметим, что (Ei,k, Ei,i, Ei,k ) T5 (S), в то время как (bi,k Ex,s, bi,i Ei,i, bi,k Ex,s ) T5 (S), / так как из k = i следует s = i. Данное противоречие показывает, что T перево дит строки в строки.

Аналогичные рассуждения показывают, что T переводит столбцы в столбцы.

Следовательно, T является нетранспонированным (P, Q, B)-оператором, где все элементы B обратимы по лемме 2.10.

Для доказательства того, что Q = P t, достаточно заметить, что (Ei,j, Ej,j, Ej,i ) T5.

Следовательно, (E(i), (j), E(j), (j), E(j), (i) ) T5, откуда.

Покажем, что (B) = 1. Непосредственная проверка убеждает, что преобра зование X P XP t сохраняет T5. Следовательно, T0 (X) = X B сохраняет T5.

16 Л. Б. Бисли, А. Э. Гутерман, С.-Ч. Йи В силу антинегативности полукольца имеем t(X B · Y B · Z B) = t(XY Z) и t(Y · B) = t(Y ). Поэтому если (X, Y, Z) T5, то (X B · Y B) + (Y B · Z B) = (XY ) + (Y Z).

2. Следовательно, существует (2 2)-подматрица Предположим, что (B) в матрице B, имеющая ранг 2, а именно (B[i, j | k, l]) = 2. Рассмотрим X = 0, Y = (Ei,k + Ei,l + Ej,k + Ej,l ) C, где C = (ci,j ), ci,j = b1 для всех i,j 1 i, j n, Z = I. Следовательно, (XY ) + (Y Z) = 0 + 2 = t(XY Z) + t(Y ), т. е. (X, Y, Z) T5. С другой стороны, (Y B · Z B) = (Ei,k + Ei,l + Ej,k + Ej,l ) = 1 = 2 = (Y Z).

Получено противоречие, так как X = 0, т. е. (X B · Y B) = (XY ) = 0. По лемме 3.12 получаем, что rank(B) = 1. Следовательно, по лемме 3.14 T имеет требуемый вид.

Лемма 3.16. Пусть S — антинегативное полукольцо, A, B — матрицы подхо дящего размера с элементами в S и D — диагональная матрица без делителей нуля на диагонали. Тогда t(ADB) = t(AB).

Доказательство следует из антинегативности полукольца S.

Теорема 3.17. Пусть S является подполукольцом в R+, n 4и T : Mn (S) Mn (S) — линейное сюръективное отображение. Тогда T сохра няет множество T5 (S) в том и только том случае, если T имеет вид T (X) = = P DXEP t, где P — матрица перестановки, D, E — обратимые диагональные матрицы в Mn (S), такие что ED = kI для некоторых ненулевых k S.

Доказательство. Пусть T — сюръективный линейный оператор, сохраняю щий T5 (S). По лемме 3.15 T (X) = P DXEP t, где P — матрица перестановки, D, E — обратимые диагональные матрицы в Mn (S). Достаточно установить, что ED = kI. Обозначим DE = diag(f1,..., fn ) (матрица DE является диагональ ной, как произведение диагональных матриц). Предположим, что ED = kI для всех k S, тогда fi = fi+1 для некоторого i. Переставляя i-е строку/столбец с первыми и (i+1)-е со вторыми, можно предполагать, не ограничивая общности рассуждений, что ED = diag{d1, d2,..., dn } и d1 = d2. Пусть 1 1 d1 d1 d1 101 d2 d2 d2 O4,n O2,n и Y =1.

X = 0 1 1 3 0 On2,3 On2,n3 0 On4,3 On4,n Имеем 2 4 O2,n d1 + 1 d1 d d2 + 3 d2 + XY = XY I = d2, On2,3 On2,n LP-проблемы для ранговых неравенств над полукольцами: граничные ранги значит, t(XY ) = 2, (XY I) = 2, следовательно, t(XY )+t(Y I) = (XY I)+(Y ), так как t(Y I) = (Y ) = 3. Поэтому (X, Y, I) T5 (S). Имеем T (X)T (Y ) = = P DXEP t P DY EP t = P D(XEDY )EP t, а значит, t(T (X)T (Y )) = t(XY ) = по лемме 3.16 и так как умножение на матрицы перестановки и обратимые диагональные матрицы с обеих сторон не меняет граничный ранг. Далее, (T (X)T (Y )T (I)) = (XEDY ), так как если (Y ) = n, то (XY ) = (Y X) = = (X) для произвольной матрицы X. Имеем d1 d1 d d1 d1 d O4,n EDY = d3 3d3 3d3 0 0 d On4,3 On4,n и d1 + d3 d1 + 3d3 d1 + 3d O2,n XEDY = d1 + d3 d1 + 3d3 d1 + 3d3.

On2,3 On4,n Следовательно, (T (X)T (Y )T (I)) = 1 (XY I) и (T (Y )) = (Y ). Значит, t(T (X)T (Y )) + t(T (Y )T (I)) = 2 + 3 = 5 4 = 1 + 3 = (T (X)T (Y )T (I)) + + (T (Y )), т. е. (T (X), T (Y ), T (I)) T5 (S) — противоречие. Следовательно, / ED = kI для некоторого ненулевого k S.

Непосредственная проверка показывает, что если T (X) = P DXEP t, где P — матрица перестановки, D, E — обратимые диагональные матрицы в Mn (S), такие что ED = kI для некоторого ненулевого k S, то T сохраняет T5 (S).

Покажем, что существуют вырожденные линейные отображения, сохраняю щие множества T4 и T5.

Пример 3.18. Пусть T : Mn (S) Mn (S) является линейным преобра зованием, заданным на множестве матричных единиц следующим образом:

T (En,n ) = 0, T (Ei,j ) = I для всех 1 n, (i, j) = (n, n). Тогда T со i, j храняет множества T4 и T5.

Доказательство. Действительно, единственная пара матриц, принадлежа щая образу T и не лежащая в T4, — это (O, O). В силу антинегативности S и линейности T получаем, что полный прообраз пары (O, O) является множе ством K = {(O, O), (En,n, O), (O, En,n ), (En,n, En,n )}. Непосредственно проверя ется, что K T4 =. Следовательно, T сохраняет T4. Аналогично проверяется, что T сохраняет T5.

4. Нулевой граничный ранг Напомним, что Z1 (S) = {(X, Y ) Mm,n (S)2 | z(X + Y ) = min{z(X), z(Y )}}.

18 Л. Б. Бисли, А. Э. Гутерман, С.-Ч. Йи Теорема 4.1. Пусть S — антинегативное полукольцо без делителей нуля, T : Mm,n (S) Mm,n (S) — сюръективное линейное отображение. Тогда T сохраняет множество Z1 (S) в том и только том случае, если T является (P, Q, B)-оператором, где P, Q — матрицы перестановки, B = (bij ), элементы bi,j Z(S) обратимы для всех i, j.

Доказательство. По теореме 2.8 имеем T (Ei,j ) = bi,j E(i,j) для всех i, j, 1 i m, 1 j n, где все элементы bi,j Z(S) обратимы, — перестановка на множестве пар (i, j).

Покажем, что отображение T переводит линии в линии. Предположим, что образы двух клеток, лежащих в одной линии, не лежат в одной линии. Пусть Ei,j, Ei,k — такие клетки, что T (Ei,j ), T (Ei,k ) не лежат в одной линии. Тогда z((J \Ei,j \Ei,k )+Ei,k ) = 1 = z(J \Ei,j \Ei,k ), т. е. (J \Ei,j \Ei,k, Ei,k ) Z1, тогда как z(T (J \ Ei,j \ Ei,k ) + T (Ei,k )) = 1 2 = min{z(T (J \ Ei,j \ Ei,k )), z(T (Ei,k )}, т. е. (T (J Ei,j Ei,k ), T (Ei,k )) Z1 — противоречие. Следовательно, T пере / водит линии в линии.

По лемме 2.10 отсюда следует, что T является (P, Q, B)-оператором, где P и Q — матрицы перестановки подходящего размера, все элементы bij Z(S) обратимы.

Прямая проверка показывает, что все (P, Q, B)-операторы сохраняют нулевой граничный ранг. Следовательно, они сохраняют множество Z1 (S).

Напомним, что Z2 (S) = {(X, Y ) Mm,n (S)2 | z(X + Y ) = 0}.

Теорема 4.2. Пусть S — антинегативное полукольцо без делителей нуля, T : Mm,n (S) Mm,n (S) — сюръективное линейное отображение. Тогда отоб ражение T сохраняет множество Z2 (S) в том и только том случае, если T (Ei,j ) = bi,j E(i,j) для всех i, j, 1 n, здесь все элемен i m, 1 j ты bi,j Z(S) обратимы, — перестановка на множестве пар (i, j).

Доказательство. По теореме 2.8 имеем T (Ei,j ) = bi,j E(i,j) для всех i, j, n, здесь все элементы bi,j Z(S) обратимы, — переста 1 i m, 1 j новка на множестве пар {(i, j) | 1 i m, 1 j n}.

Из антинегативности полукольца S следует, что если матрица (X + Y ) не содержит нулевых элементов, то множества нулевых клеток матриц X и Y не пересекаются. Тогда множества нулевых клеток матриц T (X) и T (Y ) не пере секаются, так как — перестановка. Следовательно, матрица (T (X) + T (Y )) не содержит нулевых элементов. Отсюда следует, что все отображения указанного вида сохраняют множество Z2 (S).

Напомним, что Z3 (S) = {(X, Y ) Mm,n (S)2 | z(XY ) = 0}.

Теорема 4.3. Пусть S — антинегативное полукольцо без делителей ну ля, T : Mn (S) Mn (S) — сюръективное линейное отображение. Тогда отоб ражение T сохраняет множество Z3 (S) в том и только том случае, если LP-проблемы для ранговых неравенств над полукольцами: граничные ранги T (X) = P (X B)P t, где P — матрица перестановки, B = (bij ), элементы bij Z(S) обратимы для всех i, j.

Доказательство. Легко видеть, что отображения указанного типа сохраня ют множество Z3 (S).

По теореме 2.8 имеем, что отображение T биективно и T (Ei,j ) = bi,j E(i,j) для всех i, j, 1 i m, 1 j n, здесь все элементы bi,j Z(S) обратимы, — перестановка на множестве пар (i, j).

Покажем, что T отображает линии в линии. Предположим, что образы двух клеток лежат в одной линии, а сами клетки не лежат. Пусть Ei,j, Ei,k — та кие клетки, что T 1 (Ei,j ), T 1 (Ei,k ) не лежат в одной линии. Рассмотрим матрицу A = T 1 (J \ Ri ). Матрица A не имеет нулевых строк, так как T — перестановка на множестве клеток и прообраз i-й строки не является стро кой в силу выбора i. Тогда из-за антинегативности матрица AJ не имеет нулевых элементов и z(AJ) = 0. Следовательно, (A, J) Z3 (S), тогда как (T (A), T (J)) = (J \ Ri, T (J)) Z3 (S) — противоречие. Отсюда следует, что T / отображает линии в линии. Следовательно, T отображает линии в линии.

По лемме 2.10 отсюда следует, что T является (P, Q, B)-оператором, где P и Q — матрицы перестановки подходящего размера, все элементы bij Z(S) обратимы.

Чтобы убедиться, что отображение T (X) = (X B)t D, где D — матрица перестановки, не сохраняет множество Z3 (S), достаточно рассмотреть пару матриц A = ((D1 )t C1 ) C, где C = (cij ), cij = b1, B = R1. Тогда z(AB) = ij = z((C1 C) · R1 ) = 0), так как D — матрица перестановки. С другой стороны, T (A) = ((((D1 )t C1 ) C) B)t D = R1 D1 D = R1, T (B) = (R1 B)t D = n = (C1 B t )D. Поскольку матрица R1 · (C1 B t ) = b1i E11 имеет нулевой i= граничный ранг n, отсюда следует, что T не сохраняет множество Z3 (S). Сле довательно, T (X) = P (X B)t Q не сохраняет множество Z3 (S), так как подобие сохраняет множество Z3 (S).

Проверим, что Q = P t. Предположим противное, т. е. P Q = I. Тогда суще ствуют такие индексы i, j, что матрица P Q переводит i-й столбец в j-й. В этом случае рассмотрим матрицы A = J \ (E1,1 +... + E1,n ) + E1,i, B = J \ Ej,1. Тогда B) = 0. Однако элемент матрица AB не содержит нулевых элементов, т. е. z(A с индексом (1, 1) матрицы T (A)T (B) является нулевым, т. е. z(T (A)T (B)) = 0.

Полученное противоречие завершает доказательство.

Напомним, что Z4 (S) = {(X, Y ) Mm,n (S)2 | z(XY ) = z(X) + z(Y ).

Теорема 4.4. Пусть S — антинегативное полукольцо без делителей ну ля, T : Mn (S) Mn (S) — сюръективное линейное отображение. Тогда отоб ражение T сохраняет множество Z4 (S) в том и только том случае, если T (X) = P (X B)P t, где P — матрица перестановки, B = (bij ), элементы bij Z(S) обратимы для всех i, j.

20 Л. Б. Бисли, А. Э. Гутерман, С.-Ч. Йи Доказательство. Непосредственная проверка показывает, что отображения указанного типа сохраняют множество Z4 (S).

По теореме 2.8 имеем, что отображение T биективно и T (Ei,j ) = bi,j E(i,j) для всех i, j, 1 i m, 1 j n, здесь все элементы bi,j Z(S) обратимы, — перестановка на множестве пар (i, j).

Покажем, что T отображает линии в линии. Предположим, что образы двух клеток, не лежащих в одной линии, лежат в одной линии. Пусть Ei,j, Ei,k — такие клетки, что T 1 (Ei,j ), T 1 (Ei,k ) не лежат в одной линии. Заметим, что z((J \ R1 )J) = z(J \ R1 ) = 1 = 1 + 0 = z(J \ R1 ) + z(J). Следовательно, (J \ R1, J) Z4 (S). С другой стороны, при доказательстве теоремы 4.3 было проверено, что (T (J \ R1 ), T (J)) Z4 (S). Полученное противоречие показывает, / что отображение T переводит линии в линии.

По лемме 2.10 отсюда следует, что T является (P, Q, B)-оператором, где P и Q — матрицы перестановки подходящего размера, все элементы bij Z(S) обратимы.

Чтобы убедиться, что отображение T (X) = (X B)t D, где D — матрица перестановки, не сохраняет множество Z4 (S), достаточно рассмотреть пару матриц A = ((D1 )t J \ R1 ) C, где C = (cij ), cij = b1, B = J \ C1. Тогда ij T (X) = P (X B) Q не сохраняет множество Z4 (S), так как подобие сохраняет t множество Z4 (S).

Предположим, что Q = P t. Тогда Cj P Q = Ci для некоторых j = i. В этом случае имеем z((J \Ci )Ri ) = z(0) = n = z(J \Ci )+z(Ri ), т. е. ((J \Ci ), Ri ) Z4, тогда как z((J \ Ci )P QRi ) = z(J \ Cj )Ri = z(J) = 0, т. е. ((J \ Ci )P Q, Ri ) Z4.

/ Полученное противоречие завершает доказательство.

Заметим, что существуют вырожденные линейные отображения, сохраняю щие оба случая равенства в обоих неравенствах для нулевого граничного ранга.

Пример 4.5. Пусть T : Mn (S) Mn (S) — линейное отображение, опре делённое на множестве клеток правилом T (En,n ) = 0, T (Ei,j ) = J для всех 1 i, j n, (i, j) = (n, n). Тогда T сохраняет множества Z1, Z2, Z3 и Z4.

Доказательство. Утверждение следует непосредственно из определения рассматриваемых множеств и из антинегативности полукольца S.

Литература [1] Beasley L. B. Linear operators which preserve pairs on which the rank is additive // J. Korean S. I. A. M. — 1998. — Vol. 2. — P. 27—30.

[2] Beasley L. B., Guterman A. E. Linear preservers of extremes of rank inequalities over semirings: The factor rank // J. Math. Sci. — 2004. — To appear.

[3] Beasley L. B., Guterman A. E. Rank inequalities over semirings // J. Korean Math.

Soc. — To appear.

[4] Beasley L. B., Guterman A. E., Neal C. L. Linear preservers for Sylvester and Frobenius bounds on matrix rank // Rocky Mountain J. Math. — 2004. — To appear.

LP-проблемы для ранговых неравенств над полукольцами: граничные ранги [5] Beasley L. B., Lee S.-G., Song S.-Z. Linear operators that preserve zero-term rank of Boolean matrices // J. Korean Math. Soc. — 1999. — Vol. 36, no. 6. — P. 1181—1190.

[6] Beasley L. B., Lee S.-G., Song S.-Z. Linear operators that preserve pairs of matrices which satisfy extreme rank properties // Linear Algebra Appl. — 2002. — Vol. 350. — P. 263—272.

[7] Beasley L. B., Pullman N. J. Term rank, permanent and rook polynomial preservers // Linear Algebra Appl. — 1987. — Vol. 90. — P. 33—46.

[8] Beasley L. B., Pullman N. J. Operators that preserve semiring matrix functions // Linear Algebra Appl. — 1988. — Vol. 99. — P. 199—216.

[9] Beasley L. B., Pullman N. J. Linear operators that preserve term rank 1 // Proc. Roy.

Irish Acad. — 1990. — Vol. 91. — P. 71—78.

[10] Brualdi R., Ryser H. Combinatorial Matrix Theory. — Cambridge: Cambridge University Press, 1991.

[11] Guterman A. E. Linear preservers for matrix inequalities and partial orderings // Linear Algebra Appl. — 2001. — Vol. 331. — P. 75—87.

[12] Marsaglia G., Styan P. When does rk(A + B) = rk(A) + rk(B)? // Canad. Math.

Bull. — 1972. — Vol. 15, no. 3. — P. 451—452.

[13] Marsaglia G., Styan P. Equalities and inequalities for ranks of matrices // Linear and Multilinear Algebra. — 1974. — Vol. 2. — P. 269—292.

[14] Minc H. Permanents // Encyclopedia in Mathematics and its Applications. Vol. 6. — Addison-Wesley Publishing Company, 1978.

[15] P. Pierce and others. A survey of linear preserver problems // Linear and Multilinear Algebra. — 1992. — Vol. 33. — P. 1—119.

[16] Tian Y. Rank equalities related to outer inverses of matrices and applications // Linear and Multilinear Algebra. — 2002. — Vol. 49. — P. 269—288.

[17] Tian Y. Upper and lower bounds for ranks of matrix expressions using generalized inverses // Linear Algebra Appl. — 2002. — Vol. 355. — P. 187—214.

Автоморфизмы колец эндоморфизмов блочно-жёстких почти вполне разложимых групп Е. А. БЛАГОВЕЩЕНСКАЯ Санкт-Петербургский государственный политехнический университет e-mail: kate@robotek.ru, kblag2002@yahoo.com УДК 512.541+512.553. Ключевые слова: абелевы группы без кручения конечного ранга, почти вполне разложимые группы, кольцо эндоморфизмов, группа автоморфизмов.

Аннотация Для блочно-жёстких почти вполне разложимых групп X кольцевого типа найдено описание автоморфизмов их колец эндоморфизмов и, исходя из этого, получена группа Aut(End X) для групп X из данного класса с циклическим регуляторным фактором.

Abstract E. A. Blagoveshchenskaya, Automorphisms of endomorphism rings of a class of almost completely decomposable groups, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 10 (2004), no. 2, pp. 23—50.

For block-rigid almost completely decomposable groups X of ring type a description of automorphisms of their endomorphism rings is obtained and the group Aut(End X) for such groups X with cyclic regulator quotient is found on this basis.

1. Введение Теория почти вполне разложимых групп интенсивно развивается в послед ние десятилетия, и монография [20] служит тому подтверждением и содержит широкий спектр результатов, в том числе связанных с кольцами эндоморфиз мов этих групп. В действительности, свойства абелевых групп находятся в тес ной взаимосвязи со свойствами их колец эндоморфизмов, что прослеживается в монографии [7]. Эта книга представляет собой фундамент для дальнейших исследований подобного рода, поскольку наряду с классическими результатами содержит и недавно установленные факты. Следует также отметить книгу [1], в которой, в частности, рассматриваются условия для автоморфизма регулятора почти вполне разложимой группы порождать автоморфизм всей группы.

В основе распространения методов, возникших в теории почти вполне разло жимых групп, на их кольца эндоморфизмов лежит хорошо известный факт, что End X по отношению к операции сложения является почти вполне разложимой Фундаментальная и прикладная математика, 2004, том 10, № 2, с. 23—50.

c 2004 Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы»

24 Е. А. Благовещенская группой, если таковой является группа X (см., например, [20, 25.2]). Таким об разом, установлены двойственные связи между рассматриваемыми группами и их кольцами эндоморфизмов. Наиболее эффективно комбинация методов теории почти вполне разложимых групп и линейной алгебры применяется в изучении колец эндоморфизмов так называемых групп кольцевого типа.

Поскольку почти вполне разложимые группы входят в более широкий класс батлеровских групп, допускающих неизоморфные прямые разложения, (см. [2—4, 12, 17—19, 22]), они традиционно рассматриваются с точностью до почти изоморфизма — эквивалентности, которая слабее изоморфизма, но доста точно точно сохраняет свойства прямых разложений (см. [11, теорема 7.16]).

В [13] было показано, что кольца эндоморфизмов почти вполне разложимых групп кольцевого типа, рассматриваемые как группы, являются почти изоморф ными, если таковыми являются сами группы.

Для описания некоторых последних результатов, включая результаты данной статьи, нам необходимо утвердить систему обозначений. Прямая сумма групп ранга 1 называется вполне разложимой группой.

Почти вполне разложимая группа (пвр-группа) — это абелева группа конеч ного ранга без кручения, содержащая вполне разложимую подгруппу конечного индекса. Любая пвр-группа X содержит особую вполне разложимую подгруппу R(X), которая является её вполне характеристической подгруппой и называет ся регулятором X. Вместе с ней рассматриваются числа, индекс регулятора [X : R(X)] и регуляторный показатель, т. е. показатель e = : exp X/R(X) фак тор-группы X/R(X), которая будет называться регуляторным фактором. Если конечная группа X/R(X) является циклической, то мы будем говорить, что пвр-группа X является группой с циклическим регуляторным фактором.

Для группы, порождённой некоторым множеством элементов, мы использу ем обозначение..., ранг группы X обозначается rk X. Как обычно, V X означает, что V — подгруппа X, а V = {g X : существует n N, для которого ng V } обозначает чистую оболочку V в X. Подгруппа V называется чистой или сервантной подгруппой X, если V = V.

Тип элемента g X (g = 0), обозначаемый tpX g, можно определить как класс изоморфизма рациональной группы, которая изоморфна g в X и содержит Z. Тогда мы можем сказать, что элемент g имеет тип, Z Q.

Далее, tpX g совпадает с типом группы, tp X, если X — однородная группа.

Следуя стандартным определениям, введём также X ( ) = X() и X ( ) — чистую оболочку X ( ) в X. Тип называется критическим для группы без кручения X и является элементом множества Tcr (X), если X( )/X ( ) = (см. [20, с. 37, определение 2.4.6]).

Мы называем группу X группой кольцевого типа, если Tcr (X) состоит толь ко из идемпотентных типов (т. е. тех, которые представляются характеристи ками, состоящими только из символов 0 и, см. [20, с. 13], [10, раздел 85]).

Если простому числу p соответствует символ, мы пишем (p) =.

Автоморфизмы колец эндоморфизмов блочно-жёстких почти вполне разложимых групп Группа A = R(X) единственным образом с точностью до изоморфизма раз лагается в прямую сумму своих -однородных компонент A, т. е. прямых сумм групп ранга 1 типа, где Tcr (X) (A = 0, если Tcr (X)). Мы говорим, / что X является блочно-жёсткой группой, если множество Tcr (X) представляет собой антицепь (т. е. состоит из попарно несравнимых типов). Если при этом rk A = 1 для всех Tcr (X), то A и X называются жёсткими группами.

В общем случае rk A называется -рангом группы A.

Класс блочно-жёстких пвр-групп с циклическим регуляторным фактором представляет особый интерес как источник новых идей, а также ввиду того, что допускает лаконичные формулировки многих результатов. Наиболее ярким подтверждением этого может служить теорема Бэра—Капланского (см. [16]).

Доказано, что две группы X и Y кольцевого типа из этого класса почти изо морфны тогда и только тогда, когда End(X) End(Y ). Следует подчеркнуть, = что для важных понятий теории колец и модулей были найдены приложения в теории этих групп и их колец эндоморфизмов (см. [21, 22]).

Классификация с точностью до почти изоморфизма для таких групп и их пря мых разложений получена в [17]. Более того, комбинаторный подход, впервые применённый к ним в [2], был распространён на более общий случай пвр-групп конечного ранга в [3, 4], а также использовался для изучения прямых раз ложений некоторых групп бесконечного ранга в [15]. Класс блочно-жёстких пвр-групп кольцевого типа с циклическим регуляторным фактором допускает полную классификацию, т. е. с точностью до изоморфизма [14].

Данная статья содержит некоторые результаты, касающиеся колец эндомор физмов и их автоморфизмов для блочно-жёстких пвр-групп кольцевого типа.

В частности, найдено матричное представление регулятора аддитивной группы End X + в случае, когда пвр-группа X обладает примарным регуляторным фак тором. Для таких групп X получено описание автоморфизмов кольца End X.

Одним из основных результатов является доказательство того, что любой авто морфизм кольца End X может быть расширен до автоморфизма кольца End A, где A — это регулятор группы X. Используя этот факт, мы находим группу Aut(End X) для групп X с циклическим регуляторным фактором, не обязатель но примарным.

Основные определения и обозначения содержатся в монографии [20] и став шей классической книге [10], а также могут быть найдены в статьях [16, 17].

Если группа X изоморфна Y, мы пишем X Y, почти изоморфизм обо = значается X nr Y. Как обычно, Z — это группа (кольцо) всех целых чисел, = N — множество всех натуральных чисел, Q — аддитивная группа (кольцо) раци ональных чисел.

Если целое число q делится на целое p, мы будем писать p | q. Как обыч но, |c| обозначает порядок элемента группы c C, |C| обозначает мощность группы C и используется только для конечных групп (множеств).

Обозначение E + используется для аддитивной группы кольца E, в то время как E соответствует его мультипликативной группе (т. е. группе всех обра тимых элементов). В частности, нам понадобится End X +, аддитивная группа 26 Е. А. Благовещенская кольца эндоморфизмов пвр-группы X. Традиционно Aut X обозначает мульти пликативную группу её автоморфизмов.

Мы рассматриваем кольца Mn (K), состоящие из матриц размерности n с элементами из кольца (поля) K. Если матрица B принадлежит некоторо му множеству матриц определённой формы, данной в скобках [...], мы будем писать.........

B..........

.........

Столбец (вектор), состоящий из элементов 1,..., n, будет записываться в виде (1,..., n )T.

Следуя [9, глава 1, предложение 3], мы будем представлять кольца эндо морфизмов вполне разложимых групп как в виде прямой суммы идеалов, K = K, так и в виде прямого произведения колец K K, где K K, = = = иногда будет удобно использовать символ для прямого произведения.

Поскольку для любого элемента a абелевой группы X без кручения и любого натурального числа q существует не более одного элемента b X, для которого qb = a, мы можем рассматривать b как a. Если такой элемент a существует, q q мы говорим, что a делится на q в X. Наибольшее целое число k 1, для a которого существует pk, где p N, будет называться p-высотой элемента a в X (см. [20, 2.1]). Другими словами, pk — это наивысшая степень p, делящая a.

Мы распространяем это обозначение на случай всей группы X, погружая её в делимую оболочку QX = X Q и записывая группу Y в виде X, если q qY = X. Заметим, что размерность векторного пространства QX совпадает с рангом группы X, что даёт возможность для применения методов линейной алгебры.

2. Предварительные сведения Мы рассматриваем класс A блочно-жёстких почти вполне разложимых групп X кольцевого типа с регулятором A = R(X), A (1) A= n, = T T где T = Tcr (A) и n — ранг -однородной компоненты A = A( ) группы A, прямой суммы n экземпляров (Z Q).

Положим e = exp X/A и определим канонические эпиморфизмы : A A = A/eA, : Z Z/eZ и индуцированные гомоморфизмы : End A End A, : Aut A Aut A. (2) Автоморфизмы колец эндоморфизмов блочно-жёстких почти вполне разложимых групп Заметим, что группа A/eA изоморфна прямой сумме n = n экземпляров T Z/eZ.

Определение 2.1 ([20, 2.5.9]). Пусть A — вполне разложимая группа, а e — положительное целое число. Мультипликативная группа TypAut A — это под группа всех автоморфизмов группы A = A/eA, удовлетворяющих условию A( ) A( ) для каждого критического типа Tcr (A).

Среди различных эквивалентных определений почти изоморфизма (near isomorphism) мы выбираем следующее (см. [20, определение 9.1.2, теорема 9.1.4, 5], [11, теорема 7.16]).

Определение 2.2. Пусть G и H — группы конечного ранга без кручения.

Тогда G и H почти изоморфны (обозначение: G nr H) тогда и только то = гда, когда для каждого простого q существует мономорфизм q : G H, для которого индекс [H : Gq ] конечен и q не делит [H : Gq ].

Из определения видно, что любые две почти изоморфные пвр-группы X и X имеют изоморфные регуляторы, т. е. R(X) R(X ), и мы можем принять, = что одна и та же вполне разложимая группа A является регулятором для обеих групп. Это верно и для так называемых слабо изоморфных групп (type-isomorphiс groups) (см. [20, теорема 9.2.4]).

Определение 2.3 ([20, 8.1.14, 9.2.3]). Пусть X и X — пвр-группы с одним и тем же регулятором A. Тогда X и X называются слабо изоморфными (обо значение: X tp X ), если существует TypAut A, для которого eX = eX = в A = A/eA при некотором целом e, удовлетворяющем условию eX, eX A.

Почти изоморфизм совпадает со слабым изоморфизмом для пвр-групп, что видно из следующей теоремы.

Теорема 2.4 ([20, теорема 9.2.4]). Пусть X и X — пвр-группы с одним и тем же регулятором A. Тогда X tp X, если и только если X nr X. Условие = = X/A X /A необходимо для того, чтобы группы X и X были слабо (почти) = изоморфны.

Следующая характеристика кольца эндоморфизмов пвр-группы является ча стью [20, лемма 8.1.5] и основывается на том факте, что регулятор A является вполне характеристической подгруппой группы X и, следовательно, для любо го End X верно, что |A End A. Кроме того, X содержится в делимой оболочке QA регулятора A, что позволяет рассматривать End X как подкольцо кольца End A.

Лемма 2.5. Пусть X A и для целого положительного числа e выполняется eX A. Тогда End X = { End A : (eX) eX}, или, в эквивалентной форме, End X = { End A : (eX) eX}.

Мы используем условия изоморфизма групп, которые тесно связаны с пре дыдущим описанием и даются в [20, лемма 8.1.6] в следующей форме.

28 Е. А. Благовещенская Лемма 2.6. Пусть пвр-группы X и X содержат одну и ту же вполне разло жимую группу A и для целого положительного числа e выполняется eX A и eX A.

1. Если : X X является изоморфизмом, таким что A A, то сужа ется до Aut A, причём eX = eX.

2. Если Aut A и eX eX, то существует единственный изоморфизм : X X, такой что = на A. В частности, если A = R(X), то Aut X = { Aut A : eX = eX}.

3. Регулятор группы End X + для блочно-жёсткой пвр-группы X с примарным регуляторным фактором Мы рассматриваем End X как подкольцо кольца End A. В [20, 15.2], [16] показано, что если X является пвр-группой, то End X тоже пвр-группа по от ношению к операции сложения.

Утверждение 3.1. Пусть X — пвр-группа с регулятором A = A, регуля T торным показателем e, множеством критических типов T = Tcr (X) и n = rk A.

Тогда 1) имеется цепочка колец e End(A) End(X) End(A);

2) End(X)+ — пвр-группа с множеством критических типов T, R(End(X)+ ) = End(A)+ и для всех T R(End(X)) имеет -ранг n n.

= На протяжении всей статьи мы ограничиваемся рассмотрением класса A блочно-жёстких пвр-групп кольцевого типа. Все эти группы имеют один и тот же регулятор A ранга n, который характеризуется антицепью T = Tcr (A). В этом случае -ранг группы R(End X + ) равен n2 и End X +, как и её регулятор, яв ляются блочно-жёсткими группами.

На этом основании следующие факты, касающиеся блочно-жёстких пвр-групп X, оказываются справедливыми и для их колец эндоморфизмов End X +, рассматриваемых как группы по отношению к операции сложения. На помним, что регулятор A = R(X) блочно-жёсткой пвр-группы X — это вполне разложимая подгруппа наименьшего индекса, которая однозначно определена и однозначно разложима в прямую сумму -однородных компонент A = A( ) = = X( ), являющихся сервантными, а потому вполне характеристическими, в X [17, введение].

Любая вполне разложимая подгруппа A конечного индекса блочно-жёст кой пвр-группы X A изоморфна её регулятору A, который является вполне характеристической подгруппой в X. Справедливо следующее утверждение:


если A = A и A X, то A A, (3) Автоморфизмы колец эндоморфизмов блочно-жёстких почти вполне разложимых групп поскольку однородные группы A сервантны в X и, следовательно, содержат соответствующие слагаемые A из канонического разложения A = A. Это T означает, что регулятор R(X) блочно-жёсткой пвр-группы X содержит любую подгруппу группы X, изоморфную R(X).

Пусть p — простое число. Если в X существует подгруппа A A, такая что = X/A — p-примарная группа, тогда X/A (X/A )/(A/A ) тоже p-примарна и X = является пвр-группой с p-примарным регуляторным фактором.

Почти до конца статьи мы будем рассматривать группы X A c p-при марным регуляторным фактором X/A и регуляторным показателем e = pl = = exp X/A для некоторого l N.

Перечисляя все критические типы группы X, мы можем написать T = k = Tcr (A) = {1,..., k }. Из разложения регулятора A = Ai на i -одно i= родные компоненты Ai рангов ni сразу следует, что кольцо End(A) изоморфно кольцу M, состоящему из матриц F размера n n блочно-диагональной формы F1 0... 0 F2... F =... (4)...

...

.

...

0 0 0 Fk Ясно, что k (5) M= Mk (i ), i= где Mk (i ) End Ai (6) = представляется (n n)-матрицами с одним ненулевым (ni ni )-блоком Fi. Это будет записываться в виде F = (Fi )1 i k, или, что то же самое, F = (F ) T, означающем, что матрицы F состоят из элементов соответствующих колец Tcr (A), Z Q.

Для любого T мы фиксируем разложение A = a... a. (7) n Пусть F End A. Рассмотрим A как свободный модуль над кольцом, имеющий базис a,..., a. Применяя подход линейной алгебры, мы можем n отождествить действие F на произвольном элементе a = 1 a +... + n a n A, определённом числами i, с умножением вектора (1,..., n )T слева на соответствующую матрицу F, столбцы которой суть образы элементов a, i i = 1,..., n, при отображении F, расположенные в том же порядке.

Предположим, что K = {kl+1, kl, kl1,..., k1, k0 } — это множество неотри цательных целых чисел, причём kl+1 = 0 и kl + kl1 +... + k1 + k0 = n.

30 Е. А. Благовещенская Пусть pl | pl1 |... | p | (8) H[ ] = kl kl1 k1 k является подкольцом кольца Mn ( ) и определяется множеством K следующим образом: столбцы матриц, составляющих H[ ], с номерами kl+1 + kl +... + + klj + 1, kl+1 + kl +... + klj + 2,..., kl+1 + kl +... + klj1 имеют элементы из plj1, где j = 1,..., l 1 (число kl+1 = 0 введено в K для возможности описания элементов первых kl столбцов).

Обозначим E = End X и EA = End A. Имеется разложение EA = E (9) T в сумму идеалов E End A Mn ( ), таких что E |A = 0, если =.

= = Мы будем также пользоваться тем, что EA может рассматриваться как прямое произведение колец, EA (10) End A = T (см. [9, глава 1, предложение 3]). В дальнейшем элементы F колец End A и элементы соответствующих идеалов E кольца EA мы будем обозначать одина ково, чтобы избежать введения многочисленных символов.

Определим R = Hom(X, A) E. Наша ближайшая цель — показать, что R+ является регулятором пвр-группы E +, т. е. R+ = R(E + ). Символ «+», указы вающий на операцию суммирования, будет опускаться, если это не приведёт к путанице.

Лемма 3.2. Пусть X A является блочно-жёсткой пвр-группой и e = = exp X/A = pl для некоторого простого числа p и натурального l. Любая вполне разложимая подгруппа H группы E +, изоморфная EA, содержится в R+.

Доказательство. Основываясь на предложении 3.1, мы рассматриваем H как некоторую вполне разложимую подгруппу EA, которая также входит в E и изоморфна EA. Поскольку разложение блочно-жёсткой группы EA на одно + + родные компоненты определено однозначно, EA = E, существует (един T ственное) разложение H = H, где H E также вполне разложимые T -однородные группы. Заметим, что H H E по условию. Таким образом, для любого F H верно следующее: F = F, F H и F E. Для T всех x X рассмотрим действие F на элементе pl x A, который однозначно записывается в виде pl x = a, a A. Очевидно, (pl x)F = a F = a F.

T Отсюда следует, что элемент a F A делится на pl в группе X, а значит, и в самой группе A в силу её сервантности в X. Поскольку это верно для Автоморфизмы колец эндоморфизмов блочно-жёстких почти вполне разложимых групп любого, мы получаем, что (pl x)F = a F pl A, а это влечёт требуемое T утверждение xF A, означающее, что F Hom(X, A).

Теорема 3.3. Пусть X A является блочно-жёсткой пвр-группой с p-при марным регуляторным фактором и e = pl = exp X/A. Тогда для всех T = Tcr (X) существуют и однозначно определены целые неотрицательные числа kj, j = 0,..., l, такие что n = kl + kl1 +... + k1 + k0, и при специ альном выборе базисов (7) для A кольцо R = Hom(X, A) имеет представление H H[ ] блочно-диагональными матрицами, состоящими из блоков вида = T pl | pl1 |... | p | (11) H[ ] =.

kl kl1 k1 k Доказательство. По условию для любого x X верно, что ex A, сле v x, v x A, ввиду довательно, имеется однозначное представление ex = T того, что блочно-жёсткая группа A однозначно разложима в прямую сумму v x и X/A eX A = своих -однородных компонент A. Отсюда ex = = T A /pl A. Фиксируем любое, такое что (p) =, и обозначаем = A = множество всех элементов группы A, на которые отображаются элементы из eX при канонический проекции A A, через C = {v x : x X}. По по строению C есть подгруппа группы A, прямой суммы n копий циклической группы Z/pl Z. На основании критерия Куликова [8, с. 146] C, будучи под группой прямой суммы p-примарных циклических групп, также разлагается в прямую сумму циклических групп, причём единственным, с точностью до изоморфизма, образом. При естественных ограничениях s n, li l имеем bi A, |bi | = pli.

C = b1 b2... bs, (12) Считаем циклические слагаемые расположенными в соответствии с уменьшени ем их порядков, т. е. li lj, если i j (1 i, j s).

Возьмём какой-либо прообраз b1 элемента b1 в группе A. Ясно, что b pll1 A, но b1 pll1 +1 A. Разделив b1 на соответствующее число pll1, мы / получим элемент a1, принадлежащий A, но не pA (не исключён случай l = l1 и a1 = b1 ).

Далее, не умаляя общности, полагаем a1 = a1 в группе A. Действитель но, мы можем считать эту группу разложенной в прямую сумму A = ci, i n ci A, таким образом, что (13) a1 = i ci i n n }) = НОД(i0, d ), где d = с целыми i. Тогда d = НОД({i : i n, i = i0 }) при произвольном выборе i0, в частности, мы = НОД({i : i можем взять i0, не делящееся на p (такое i0 существует, так как a1 pA).

/ Ясно, что НОД(d, p) = 1. Если d = 1, обозначим произведение всех различных 32 Е. А. Благовещенская простых делителей d через r и подберём такое t N, чтобы i0 = i0 + tpl бы ло взаимно просто с d. Для этого в качестве t возьмём наибольший делитель числа r, взаимно простой с i0. Заменив i0 на i0 в (13), мы получим новый элемент a1, имеющий тот же самый образ в A и удовлетворяющий условию сервантности ( a1 ) = a1 в группе A.

По [10, том 1, лемма 86.8] мы заключаем, что группа a1 выделяется прямым слагаемым из A и может быть дополнена до всей вполне разложимой группы A = a1 A, где A — -однородная вполне разложимая группа ранга n 1.

Таким образом, a1 A = A, значит, a1 + A = A и a1 A = 0, иначе rk A был бы меньше n. Имеем прямую сумму A = a1 A, в которой A (n 1)(Z/pl Z). Из (12), учитывая pll1 a1 = b1, мы заключаем, = что C = b1 C для некоторой группы C b2... bs, входящей в A = (для этого введём вспомогательную группу C = a1 b2... bs C и, воспользовавшись [10, том 1, с. 50 (б)], получим C = a1 C, причём C = A C является подгруппой A ).

Мы получили разложения A = a1 A, A = a1 A, C = pll1 a1 C и C A. Аналогично выделим прямое слагаемое a2 из A так, чтобы A = a2 A, A = a2 A, C = pll2 a2 C и C A. Продол (n s) жаем процесс и на s-м шаге получаем A = a1... as A, где n (n s) aj — вполне разложимая группа ранга n s, A = j=s+ A = a1 a2... as as+1... an и plli ai.

C = i=1,...,s Напомним, что C — это проекция группы eX в A. Это означает, что для любого фиксированного i = 1,..., s существует элемент x X \ A, для которого pl x = plli ai + x, где x A.

T, = Рассмотрим F Hom(X, A) E End A в виде F = F, тогда = T (pl x)F = (plli ai )F + (x )F pl A = pl A pl A.

T, = Напомним, что ai и x принадлежат разным прямым слагаемым в указанном разложении A, которые являются вполне характеристическими в X, что влечёт plli ai F = plli ai F pl A и, значит, ai F pli A, где F End A. Таким образом, F представляется некоторой матрицей F H[ ].

Автоморфизмы колец эндоморфизмов блочно-жёстких почти вполне разложимых групп Будем считать, что аналогичные прямые разложения получены для всех групп A, удовлетворяющих (p) =. Для каждого такого T обозна чим через kj, j = 1,..., l, число циклических слагаемых порядка pj группы C.

В силу изоморфизма различных прямых разложений на циклические слагаемые ([10, том 1, теорема 17.4]) числа kj определяются однозначно.

Если (p) =, то A = 0 и очевидным образом H[ ] совпадает с Mn ( ) и также имеет требуемую форму, которой соответствует множество K с един ственным ненулевым числом k0 = n.

Теперь очевидно, что любому отображению F R = Hom(X, A) в найден ном базисе будет соответствовать некоторая блочно-диагональная матрица из H H[ ], состоящая из блоков вида (11). Обозначим множество отображе = T ний A A, определённых этими матрицами, через H.

Мы показали, что R H. Обратно, для любого F H верно, что F : A A аннулирует группу eX. Это означает, что (eX)F eA и XF A. Следователь но, F R и H R. В итоге имеем требуемое равенство R = H.

Оказалось, что R+ = Hom(X, A)+ является вполне разложимой группой, изоморфной EA (см. (11)). Пользуясь леммой 3.2 и (3), мы получаем такое след + ствие.

Следствие 3.4. Пусть X A является блочно-жёсткой пвр-группой с p-при марным регуляторным фактором X/A. Тогда R(End(X)+ ) = Hom(X, A)+.

Замечание 3.5. Пусть X A является блочно-жёсткой пвр-группой с p-при марным регуляторным фактором X/A. Тогда R = Hom(X, A) является дву сторонним идеалом в кольце End(X), так как A — вполне характеристическая подгруппа X.

Из определения 2.3 и теоремы 2.4 сразу следует такое замечание.

Замечание 3.6. Пусть X, X A являются блочно-жёсткими пвр-группами с p-примарным регуляторным фактором. Если X nr X, то числа kj, опреде = лённые в теореме 3.3, для них совпадают.

4. Автоморфизмы кольца эндоморфизмов блочно-жёсткой почти вполне разложимой группы кольцевого типа Как и выше мы рассматриваем X A, блочно-жёсткие почти вполне разло A жимые группы кольцевого типа с регулятором A = n и = Tcr (A) Tcr (A) регуляторным показателем e = exp X/A.

34 Е. А. Благовещенская Мы используем разложение EA = End A = E в прямую сумму -од T нородных компонент E = End A и цепь eEA E EA, данную в предложе нии 3.1. Напомним, что E изоморфно кольцу Mn ( ) всех (n n )-матриц с элементами из соответствующего кольца Q (см. (5)).

Мы применяем подход, рассмотренный П. А. Крыловым, А. В. Михалёвым и А. А. Туганбаевым в [7, глава 1, раздел 5], наряду с понятиями, введёнными Д. Рейдом [22] и Д. Арнольдом [11]. Мы можем однозначно продолжить любой эндоморфизм абелевой группы Y без кручения до линейного преобразования 1 End(Y )Q её делимой оболочки Y Q, отождествляя Y с Y 1. Прини мая во внимание изоморфизм End(Q+ ) Q и используя определение [6, 10.2.1] = тензорного произведения гомоморфизмов, получим, что ( r) End(Y ) Q действует на (y q) Y Q следующим образом: (y q)( r) = (y qr).

Естественно, мы рассматриваем End(Y ) как подкольцо кольца EndQ (Y Q), состоящее из тех, которые удовлетворяют условию Y Y. Легко видеть, что если Y — кольцо и — кольцевой эндоморфизм на Y, то 1 — кольце вой эндоморфизм кольца Y Q. Вполне уместно использовать для элемента из Y Q обозначение qy вместо (y q). Тогда End(Y ) продолжается до всех элементов делимой оболочки группы Y с помощью соотношения (qy) = q(y), где y Y.

Вернёмся к группам X и E +. Пусть B Aut(E) — кольцевой автоморфизм.

Напомним, что регулятор группы E +, вполне инвариантная подгруппа того же ранга, что и сама E +, совпадает с R+ по следствию 3.4. Тогда B может рас сматриваться как эндоморфизм группы E + с дополнительными предположени ями B = BB для всех, E и RB = R (см. леммы 2.5, 2.6). Из End E + End R+ выводим, что эндоморфизм B может быть продолжен до ли нейного преобразования B 1 B Q делимой оболочки R Q регулятора R, отождествлённого с R 1.

Напомним, что R+ EA является блочно-жёсткой вполне разложимой =+ группой. Пусть R раскладывается в прямую сумму R однородных + Tcr (A) компонент R H[ ]+ (см. (11)). Известно, что End(R+ )+ также является = блочно-жёсткой вполне разложимой группой с тем же самым множеством кри тических типов, что и R+ и X, т. е. антицепью (см. (5), (6)). Из леммы 2. и (10) получаем, что B Aut R Aut R и, как элемент прямого про = Tcr (A) изведения, эндоморфизм B может быть задан равенством B= B, где B Aut R. (14) Tcr (A) Предложение 3.1, 1) утверждает, что матричное кольцо H[ ] содержит eMn ( ).

Тогда Q-алгебра H[ ] Q = eMn ( ) Q = eMn (Z) Q (15) Автоморфизмы колец эндоморфизмов блочно-жёстких почти вполне разложимых групп совпадает с Mn (Q) = Mn (Z) Q, полным матричным кольцом размерности n над Q. Для того чтобы упростить изложение, мы будем использовать одни и те же обозначения для эндоморфизмов (автоморфизмов) изоморфных структур, если это не будет приводить к путанице. Таким образом, предположим, что B определено на H[ ]. Так как Ker B = 0, мы можем естественным образом продолжить B с H[ ] на кольцо Mn (Q) = H[ ] Q, отождествляя B с отоб ражением B 1 End H[ ] Q, которое действует на (h q) H[ ] Q с помощью равенства (h q)(B 1) = (hB q). Нужно подчёркнуть, что B 1 сохраняет не только операцию сложения, но также и (матричное) умно жение в кольце H[ ]Q, и в этом смысле B индуцирует кольцевой автоморфизм всего кольца Mn (Q). Суммируя вышесказанное (см. (14)), мы утверждаем для всех Tcr (A), что B Aut H[ ] Aut(Mn (Q)). (16) Классический результат [5, глава 2, теорема 10] Джекобсона гарантирует нам, что любой автоморфизм полного матричного кольца над Q является вну тренним. Это означает, что для любого автоморфизма в Mn (Q) существует такая обратимая матрица B Mn (Q), что действует на произвольной матри це C Mn (Q) следующим образом:

C = B 1 CB.

Мы рассматриваем те Aut(Mn (Q)), которые также являются автомор физмами кольца H[ ] Mn (Q). Покажем, что из Aut H[ ] следует Aut Mn ( ).

Следующая лемма не нуждается в доказательстве.

Лемма 4.1. Пусть автоморфизм Aut(Mn (Q)) задан на элементах C Mn (Q) с помощью равенства C = B 1 CB с обратимой матрицей B Mn (Q). Тогда для любых r, q N существует матрица B = q B, также r определяющая автоморфизм с помощью C = (B)1 C B и (B)1 = r B 1.

q Следствие 4.2. Пусть автоморфизм Aut(Mn (Q)) определён на эле менте C Mn (Q) с помощью C = B 1 CB. Тогда для любого простого f отображение может быть определено с помощью такой обратимой матрицы B Mn (Q) с целыми коэффициентами, что по крайней мере один её элемент взаимно прост с f.

Доказательство. Пусть все элементы матрицы B являются несократимы ми рациональными дробями. Предположим, что q является наименьшим общим кратным их знаменателей и t 0 является наибольшим целым числом, та q ким что r = f t делит все элементы из B = qB. Тогда матрица B = r B принадлежит кольцу Mn (Z) и содержит элемент, не делящийся на f в Z.

Для изучения Aut(Mn (Q)) мы ограничимся матрицами B Mn (Z) с целыми элементами, определяющими действие автоморфизма на элементах из Mn (Q). Через B обозначим матрицу, также содержащуюся в Mn (Z) и B удовлетворяющую равенству B 1 = det B. Иными словами, B = {Bij } состоит 36 Е. А. Благовещенская из алгебраических дополнений Bij элементов bji из B = {bij }, где bij, Bij Z и i, j n.

Лемма 4.3. Пусть f — простое число и B Mn (Z). Предположим, что s 1 является наибольшим целым числом, таким что f s делит det B. Тогда B содержит элемент, не делящийся на f s.

Доказательство. Предположим, что все элементы из B делятся на f s. То гда (f s )n | det B, n является наибольшим целым числом, таким что (f s )n делит (det B)n, и B det B det B 1 det B = det det B = det B (det B)n det B является рациональным числом, которое в виде несократимой дроби имеет f s множителем своего числителя. Это противоречит равенству det B 1 det B = 1 и заканчивает доказательство.

С этого момента мы предполагаем, что автоморфизм определён на элемен тах C из Mn (Z) с помощью равенства C = det B B CB, где B, B Mn (Z) и 1 B = det B B. Сконцентрируемся на матричном произведении B CB.

Пусть C = {cij : i, j n } — матрица из кольца Mn (Z). Будем говорить, что cij является (ij)-элементом матрицы C, (ij)-элемент матрицы C будет также обозначаться через (C)ij. Мы будем писать C = (1rm ), если матрица имеет единственный ненулевой элемент crm = 1, 0 0... 0 0.....

.

......

......

.

.

0. 0 0 0.

..

.

C = 0. 0 1 0..

. (17)..

.

.

0. 0 0 0.

..

.....

.

.....

.

......

0 0... 0 0 Тогда C = nC = n(1rm ) содержит число n Z своим (rm)-элементом, а все остальные элементы матрицы равны нулю.

Рутинная проверка позволяет убедиться, что для произвольных матриц D1, D2 Mn (Z) и фиксированной матрицы C = (1rm ) выполнено следую щее:

(18) (D1 CD2 )kt = (D1 )kr (C)rm (D2 )mt = (D1 )kr 1 (D2 )mt = (D1 )kr (D2 )mt, (D1 CD2 )kt = (D1 )kr (nC)rm (D2 )mt = n(D1 )kr (D2 )mt.

Напомним, что мы рассматриваем группу X A с p-примарной фактор-груп пой X/A. Нам понадобится лемма, которая, являясь технической, на самом деле определяет все дальнейшие результаты.

Автоморфизмы колец эндоморфизмов блочно-жёстких почти вполне разложимых групп Лемма 4.4. Пусть H[ ] — кольцо вида (11) с некоторыми целыми kj и фиксированным Tcr (X), удовлетворяющим условию (p) =. Если Aut(Mn (Q)) Aut H[ ], то Aut(Mn ( )).

Доказательство. Как и выше, имеем pl = exp X/A с натуральным l 0.

Используя следствие 4.2, мы можем считать, что матрица B = {bij }, опреде ляющая с помощью равенства C = B 1 CB = det B B CB, содержит целые элементы и по крайней один из них, например bkr = 0, не делится на простое p.

Мы хотим доказать, что НОД(det B, p) = 1. Рассуждая от противного, пред положим, что p | det B, и возьмём ps (s 1) — наибольшую степень p, делящую det B. По лемме 4.3 B = {Bij } содержит элемент, не делящийся на ps в Z.

Предположим, что это будет Bmt = 0. Схема доказательства основана на том факте, что целое число bkr Bmt не делится на ps.

Пусть ph является такой наименьшей степенью числа p, что матрица C = ph (1tk ), имеющая лишь один ненулевой элемент (в k-м столбце), содер жится в H[ ]. Мы используем (18), полагая D1 = B и D2 = B. Так как (p) =, из (B CB)mr = (B (ph (1tk ))B)mr = ph Bmt bkr следует, что p-высота в Mn ( ) элемента ph Bmt bkr (19) (C)mr = det B меньше, чем p-высота элемента (C)tk, либо (C)mr вовсе не содержится в Mn ( ). Значит, C H[ ] возможно только при r k (см. (11)).

Аналогично, возьмём pg, наименьшую степень числа p, для которой матрица C = pg (1rm ) является элементом в H[ ]. Из равенства C 1 = BC B 1 = = det B BC B мы видим, что p-высота в Mn ( ) элемента (C 1 )kt = pg bkr Bmt (20) det B меньше p-высоты элемента (C )rm либо даже C 1 Mn ( ), откуда по тем / же причинам следует t m.

Отсюда можно заключить, что если матрица B определяет автоморфизм кольца Mn (Q), также являющийся автоморфизмом в H[ ], то p | bij и ps | Bij j. Фиксированные элементы bkr и Bmt, не делящиеся на p и ps для всех i соответственно, удовлетворяют неравенствам k r, m t, то есть s pZ Z... Z p Z Z... Z pZ pZ... Z ps Z ps Z... Z B.. и B... (21)..

....

....

..

..

......



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
 

Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.