авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА Нестандартные методы анализа А. Е. Гутман, Э. Ю. Емельянов, ...»

-- [ Страница 7 ] --

4.9.6. Из теорем 4.3.6 и 4.3.3 следует, что регулярная оболочка порядково сепарабельной архимедовой векторной решетки, в кото рой для любой последовательности порядковая сходимость и (r)-схо димость совпадают, также является архимедовой. Другой случай описывается в следующем утверждении.

Теорема. Пусть E векторная решетка, в которой для любой последовательности (xn ) E+ существует последовательность (n ) строго положительных вещественных чисел, для которой {n xn } по рядково ограничено. Тогда (r)-E является архимедовой.

Ввиду теоремы 4.3.5 нам нужно показать, что ( E) (r)-за (r) мкнутый идеал в n( E). Для этого рассмотрим 0 vn и vn v, где vn ( E). Достаточно доказать, что v ( E).

4.10. Порядковые и регулярные оболочки РНП (r) Так как vn v, существуют последовательность (n ) R+, сходящаяся к 0, и элемент d E+, для которых |vn v| n d при всех n N. Так как vn ( E), найдется элемент wn E такой, что 0 kvn wn одновременно для всех k N. Пользуясь предположением, возьмем 0 n R и w E такие, что n wn w для всех n N. Следовательно, |v| |vn v| + |v| n d + max{n, 1/n}n wn max{n, 1/n}(d + w) для всех n N. Пользуясь тем, что n 0, имеем v ( E).

Следствие. Регулярная оболочка банаховой решетки является архимедовой.

Существуют неархимедовы векторные решетки, чьи регулярные оболочки также не являются архимедовыми. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пример векторной решетки L, описанной Т. Нака ямой (см. [21, пример 62.2]). Идеал I0 (L) := x L : (y L)(n N) |nx| y не является (r)-замкнутым в L. Следовательно, существуют после довательность (xn ) I0 (L), 0 xn, и элемент x L такие, что (r) xn x I0 (L).

Поскольку I0 (L) = ( L) L, идеал ( L) не является (r)-замкну тым в n( L). Отсюда по теореме Векслера (см. [21, теорема 60.2]), (r)-L неархимедова. Вопрос об архимедовости регулярной оболочки произвольной архимедовой векторной решетки остается открытым.

4.10. Порядковые и регулярные оболочки решеточно нормированных пространств В этом параграфе определяются и изучаются порядковые и ре гулярные оболочки решеточно нормированных пространств.

4.10.1. Пусть (X,, E) внутреннее РНП, нормированное стандартной решеткой E. Рассмотрим следующие внешние под пространства внутреннего векторного пространства X :

n(X ) := x X : (x) n( E), (X ) := x X : (x) ( E), (X ) := x X : (x) ( E).

270 Глава Векторные пространства (X ) и (X ) являются подпростран ствами в n(X ). Стало быть, можно рассматривать следующие фактор-пространства:

(o)-X := n(X )/(X ), (r)-X := n(X )/(X ).

Обозначим через [x] класс эквивалентности x + (X ) в (o)- X и класс эквивалентности x+(X ) в (r)- X, где x n(X ).

через x Для x n(X ) положим [x] := (x) + ( E), := (x) + ( E).

(r) x Легко видеть, что отображения : (o)- X (o)-E и (r) :

(r)- X (r)-E определены корректно.

Определение. Назовем РНП (o)-X,, (o)-E соответствен но (r)-X, (r), (r)-E порядковой оболочкой (соответственно регу лярной оболочкой) внутреннего РНП (X,, E).

4.10.2. Теорема. Пусть (X,, E) внутреннее разложимое РНП со стандартной нормирующей векторной решеткой E. Тогда его порядковая и регулярная оболочки являются разложимыми и (r)-полными РНП.

Рассмотрим внешнее РНП n(X ),, n( E). Доказатель ство (r)-полноты n(X ),, n( E) почти такое же, как и дока зательство (r)-полноты векторной решетки n( E) в разделе 4.8. достаточно заменить n( E) на n(X ) и вести рассмотрение от носительно нормы. Легко видеть, что норма является раз ложимой в n(X ). Поскольку порядковая оболочка (соответствен но регулярная оболочка) (X,, E) является фактор-пространством РНП n(X ),, n( E) по идеалу ( E) соответственно по идеа лу ( E) в n( E), использование предложения 4.0.14 завершает доказательство.

4.10.3. Пусть (E, · ) нормированная векторная решетка.

Условное пополнение E = (E) для E является нормированной век торной решеткой с нормой x := inf{ e : e E & (e) |x|}. (2) 4.10. Порядковые и регулярные оболочки РНП РНП (o)-E является нормированной векторной решеткой с нормой x := inf{ e : e E & (e) |x|} (x (o)-E), которая продолжает норму (2) из E до (o)-E. Заметим, что вло жения : (E, · ) (E, · ) и (E, · ) ((o)-E, · ) являются изометрическими.

Напомним, что нормированная векторная решетка (E, · ) удо влетворяет слабому условию Рисса Фишера, если каждая после довательность (vn ) E, обладающая свойством, n=1 vn порядково ограничена.

Теорема. Нормированная решетка ((o)-E, · ) является банахо вой тогда и только тогда, когда (E, · ) удовлетворяет слабому усло вию Рисса Фишера.

Допустим, что (E, · ) удовлетворяет слабому условию Рисса Фишера. Тогда E банахова решетка с нормой (7) из [28, теоре ма 101.6]. Применяя результат [16, теорема 4.1.2], из (r)-полноты РНП ((o)-E, p, E), где p(x) = inf {(e) : e E & (e) |x|}, E получаем, что ((o)-E, · ) является банаховой решеткой.

Наоборот, предположим, что ((o)-E, · ) банахова решетка, и рассмотрим произвольную последовательность (vn ) E, для кото рой n=1 vn. Тогда (|vn |) = vn.

n=1 n= Следовательно, существует u (o)-E, (|vn |) (o)-E.

u = (o) n= Поскольку (E) является конфинальным в (o)-E, существует эле мент v E такой, что (v) u. Очевидно, (vn ) [v, v]. Отсюда получаем, что для (E, · ) выполнено слабое условие Рисса Фи шера.

272 Глава 4.10.4. Далее всюду в этом параграфе предполагаем, что ре шетка E архимедова. Рассмотрим фактор-решетку E := o-pns( E)/( E) и напомним, что по теореме 4.4.1 векторная решетка E является условным пополнением E. Сначала установим несколько лемм.

Лемма. Пусть y o-pns(E). Тогда [y] = inf (U (y)).

E Поскольку L(y) y U (y) и E условно полна, выполнены следующие неравенства:

sup (L(y)) [y] inf (U (y)).

E E Следовательно, inf (U (y)) [y] inf (U (y)) sup (L(y)) inf (U (y) L(y)).

E E E E Поскольку y o-pns(E), имеем inf E (U (y) L(y)) = 0. Отсюда inf (U (y) L(y)) = 0, E так как решетка E является условным пополнением ее подрешетки (E). Тем самым из установленного выше неравенства получаем [y] = inf E (U (y)).

4.10.5. Лемма. Каждое непустое порядково ограниченное под множество D E имеет супремум и инфимум в (o)-E. Более того, (1) inf (o)-E D = inf E D;

(2) sup(o)-E D = supE D.

(1) Допустим, что D E и D =. Достаточно показать, что из inf E D = 0 вытекает равенство inf (o)-E D = 0. Возьмем n(E), D. Для завершения доказательства для которого 0 и [] 4.10. Порядковые и регулярные оболочки РНП остается установить, что [] = 0, или, другими словами, нужно про верить условие inf E U () = 0. Предположим, что элемент a E удовлетворяет неравенству 0 a U (), (3) и возьмем какое-нибудь d D. Тогда d = [] для некоторого o-pns(E). Очевидно, что = + ( )+ U () + U (( )+ ).

Следовательно, U () + U (( )+ ) U (). (4) Из формул (3) и (4) вытекает, что U () + U (( )+ ).

0 a (5) Используя лемму 4.1.2 и условную полноту E, из (5) получаем, что 0 (1) inf (U ())+inf (U (()+ )) = []+inf (U (()+ )). (6) E E E В то же самое время [( )+ ] = ([] d)+ = 0. Значит, inf E U (( )+ ) = 0. Следовательно, получаем inf E (U (( )+ )) = 0. Теперь из (6) следует, что 0 (1) [] = d. (7) Ввиду произвольности d D, из inf E D = 0 и формулы (7) получаем a = 0, что и требовалось.

Утверждение (2) сразу получается из (1).

4.10.6. Пусть x (o)-E. Положим U (x) := {e E : (e) x}, U (x) := {y E : y x}.

Очевидно, что U (x), U (x) непустые порядково ограниченные под множества в E и E соответственно.

274 Глава Лемма. Для любого x (o)-E имеем:

(1) inf E U (x) U (x);

(2) inf E U (x) = inf E (U (x));

(3) если n(E) удовлетворяет условию x = [], то inf U (x) = inf (U (x)) = inf (U ()).

E E E (1) Из леммы 4.10.5 следует, что U (x) имеет инфимум в (o)-E, и inf (o)-E U (x) = inf E U (x). Значит, из U (x) x следует, что inf (o)-E U (x) x. Тогда inf E U (x) x, что и требовалось.

(2) Положим x0 := inf E U (x). Из условия (1) следует, что U (x0 ) U (x). Установим обратное включение. Пусть z U (x).

Тогда (z) x и, следовательно, (z) U (x). Значит, (z) x0, что эквивалентно условию z U (x0 ). Для завершения доказательства остается проверить равенство x0 = inf E (U (x0 )), которое справед ливо, так как E является порядковым пополнением (E).

(3) Пусть n(E) и x = []. Положим x0 := inf E U (x). По условию (1) имеем x0 x. Выберем y n(E), для которого x0 = [y] и y. По лемме 4.10.4 имеем x0 = [y] = inf (U (y)) inf (U ()). (8) E E Из очевидного включения (U ()) U ([]) следует, что inf U ([]) = x0.

inf (U ()) (9) E E Из (8), (9) и (2) получаем требуемый результат.

4.10.7. Определим отображение p : (o)-E E следующим об разом:

p(x) := inf U (|x|) (x (o)-E). (10) E Установим некоторые его свойства.

4.10. Порядковые и регулярные оболочки РНП Теорема. Отображение p является E -значной нормой на (o)-E такой, что для всех x, y (o)-E имеет место следующее:

(1) p(x) = inf E (U (|x|));

(2) p(x) |x|;

(3) из |x| |y| следует p(x) p(y).

Более того, произвольная последовательность (xn ) (o)-E яв ляется (r)-сходящейся по норме p к некоторому элементу x0 (o)-E (является (r)-последовательностью Коши по норме p) тогда и только тогда, когда эта последовательность (r)-сходится к x0 в векторной решетке (o)-E (является (r)-последовательностью Коши в (o)-E).

Решеточно нормированное пространство ((o)-E, p, E) является раз ложимым и (r)-полным.

Ввиду определения (10) доказательство сразу получается из того, что отображение p удовлетворяет условиям 4.0.10(2), 4.0.10(3) и пункту (3) теоремы. Пункт (2) вытекает из 4.10.6(1). Условия 4.0.10(1) получаются из (2). Следовательно, p является E -значной нормой на (o)-E. Условие (1) частный случай 4.10.6(2).

(r) Если xn x0 в норме p с регулятором e E, то ввиду пункта (r) (2) теоремы xn x0 в (o)-E с тем же самым регулятором. Наобо (r) (r) рот, если xn x0 в (o)-E с регулятором d (o)-E, то xn x0 в норме p с регулятором p(d) в соответствии с пунктом (3) теоремы.

Для (r)-последовательностей Коши доказательство аналогично.

По теореме 4.8.4 фактор-решетка (o)-E (r)-полна. Таким обра зом, как мы показали, ((o)-E, p, E) является (r)-полной. Проверим разложимость p. Для этого ввиду предложения 4.0.10 достаточно установить (d)-разложимость p. Пусть x (o)-E и e1, e2 E тако вы, что p(x) = e1 + e2 и e1 e2 = 0. Положим x1 := x+ e1 x e1 ;

x2 := x+ e2 x e2.

Легко видеть, что p(x1 ) = e1, p(x2 ) = e2 и x = x1 + x2.

4.10.8. Рассмотрим отображение p : (o)-X E, где :

(o)- X (o)-E (o)-E -значная норма, определенная в 4.10.1.

Теорема. Тройка ((o)-X, p, E) разложимое (r)-полное РНП.

276 Глава Легко видеть, что p E -значная норма в (o)-X. Рас смотрим произвольную последовательность (xn ) (o)-X, являю щуюся (r)-последовательностью Коши в норме p с регулятором e E. По теореме 4.10.7(2) наша последовательность также яв ляется (r)-последовательностью Коши в норме с тем же самым регулятором. Отсюда по теореме 4.10.2 следует существование эле (r) мента x0 (o)-X такого, что xn x0 в норме с регулятором e.

(r) Из теоремы 4.10.7(3) следует, что xn x0 в норме p с регуля тором p(e) = e. Значит, каждая последовательность (xn ) (o)-X, являющаяся (r)-последовательностью Коши в норме p, является (r)-сходящейся в (o)-X с тем же самым регулятором. Отсюда (o)-X (r)-полна в норме p.

Ввиду (r)-полноты и по предложению 0.10 для доказательства разложимости в норме p достаточно проверить условие (d)-разло жимости. Пусть x (o)-X и e1, e2 E таковы, что p (x) = e1 + e и e1 e2 = 0. Из разложимости в норме p следует существование 1, 2 (o)-E таких, что (x) = 1 + 2, p(1 ) = e1 и p(2 ) = e2.

По теореме 4.10.7(2) имеем 1 e1, 2 e2. Из условий 1 + 2 = (x) 0, e1 e2 = 0 получаем, что 1 0 и 2 0. Остается вос пользоваться разложимостью в норме для нахождения элементов x1, x2 (o)-X таких, что x1 + x2 = x, (x1 ) = 1 и (x2 ) = 2.

Очевидно, p (x1 ) = e1 и p (x2 ) = e2.

4.11. Ассоциированные пространства Банаха Канторовича Дадим нестандартное построение порядкового пополнения раз ложимого РНП. Схема построения основана на вложении РНП в ассоциированное пространство Банаха Канторовича (ПБК). Изу чим продолжения внутренних мажорируемых операторов, имеющих стандартные (o)-непрерывные мажоранты, на ассоциированные ПБК.

Всюду на протяжении этого параграфа будем предполагать, что (X, a, E) и (Y, b, F ) разложимые РНП, в которых векторные решетки E, F являются условно полными.

4.11.1. Определенное в 4.10.8 решеточно нормированное про странство ((o)-X, p, E), называется ассоциированным с поряд ковой оболочкой (o)-X,, (o)-E решеточно нормированного про 4.11. Ассоциированные пространства Банаха Канторовича странства (X, a, E). Покажем, что такое РНП является простран ством Банаха Канторовича.

Поскольку векторная решетка E является условным пополнени ем E, имеем E E. Более точно, отображение : E E решеточ = ный изоморфизм E на E. Рассмотрим отображение E : (o)-E E, определенное правилом E (x) := inf {e E : (e) |x|} (x (o)-E).

E Справедлива следующая лемма.

Лемма. Отображение E связано с нормой p : (o)-E E отно шением E = 1 p. Более того, для каждого x n(E) имеем E ([]) = inf {e E : e ||}.

E Первая часть леммы следует из определений p и E, вторая из соотношения E ([]) = inf U (|[]|) = E = 1 inf (U (|[]|)) = 1 inf (U (||)) = E E = inf U (||) = inf {e E : e ||}, E E в котором второе и четвертое равенства справедливы ввиду того, что решеточный изоморфизм, а третье в силу леммы 4.10.6(3).

Из теоремы 4.10.8 и леммы 4.11.1 получаем.

Следствие. Тройка ((o)-X, E, E) является разложимым (r)-полным решеточно нормированным пространством. Более того, для любого x n(E) имеем E ( ) = inf {e E : e ()}. (11) E 4.11.2. Обозначим через B(E) семейство всех порядковых про екторов в E. Заметим, что для каждого внутреннего порядкового проектора B(E) существует единственный порядковый проек тор h( ) в X, удовлетворяющий условию (h( )) = () ( X ).

Это свойство легко получается из разложимости во внутренней нор ме : X E.

278 Глава Лемма. Для всех B(E), n(X ) имеем E ( ) = E ( h() ).

Пусть x n(X ). Покажем, что для каждого B(E) справедливо неравенство E ( h() ).

E ( ) (12) Для этого рассмотрим e E, e (). Тогда e (()) = (h()). Применив формулу (11), получаем, что (h())} = E ( h() ).

inf {f E : f (e) E Ввиду произвольности выбора e E, e (), свойства порядковой непрерывности и формулы (11) получаем, что E ( ) = inf {e E : e ()} = E E ( h() ).

= inf {e : e E & e ()} E Неравенство (12) установлено.

Рассмотрим некоторый порядковый проектор B(E) и обо значим через d дополнительный проектор к. Тогда, применяя неравенство (12) к и d, имеем E ( ) = E ( ) + d E ( ) E ( h() ) + E ( h( d ) ) E ([ () + d ()]) = E ( ).

Значит, E ( ) + d E ( ) = = E ( h() ) + E ( h( d ) ).

Следовательно по неравенству (12) имеем E ( ) = E ( h() ), что и требовалось.

4.11. Ассоциированные пространства Банаха Канторовича 4.11.3. Лемма. Ассоциированное РНП ((o)-X, E, E) явля ется дизъюнктно полным.

Возьмем произвольное разбиение единицы ( ) B(E) и ограниченное по норме E семейство (x ) (o)-X. Предпо ложим, что для e E выполнено E (x ) e ( ). (13) Выберем X таким, что = x для всех. Используя определение нормы, соотношение E = 1 p и пункт (2) теоре мы 4.10.7, перепишем неравенство (13) в виде [( )] (e). Сле довательно, для подходящего (E) справедливо неравенство ( ) e + ( ). Отсюда по лемме 4.0.13 найдутся элементы n(X ), для которых ( ) (E), e ( ).

( ) (14) Зафиксируем некоторое N \ N и обозначим через F мно жество всех внутренних отображений из в X. Пусть Card внутренняя мощность. Определим для каждого внутреннее подмножество A множества F следующим образом:

A := { F : ( ) [e, e] & & () = & & Card({ : () = 0}) }.

Легко видеть, что семейство (A ) является центрированным. Сле довательно, по общему принципу насыщения существует элемент 0 {A : }. Обозначим := { : 0 () = 0}.

Поскольку Card( ), множество является гиперконечным. Кро ме того, очевидно, что e ( и (0 ()) ).

280 Глава Для удобства положим := 0 () для. Это не приводит к недоразумению, поскольку 0 () = для всех ввиду выбора 0.

Значит, семейство ( ) расширяется до гиперконечного се мейства ( ) X такого, что e ( ( ) ). (15) Пусть ( ) := (( ) ) нестандартное расширение разбиения единицы ( ). Тогда ( ) внутреннее разбиение единицы в B(E). Кроме того, = для всех. Гиперконечная сумма := h( ) является элементом внутреннего векторного про странства X, где h( ) проекторы, определенные в 4.11.2. Из того, что проекторы попарно дизъюнктны, и неравенства (15) следует, что || e. В частности, n(X ).

Для любого 0 рассмотрим следующую цепочку равенств:

0 E (x0 ) = 0 E ( 0 ) = = E ( h( 0 )(0 ) ) = = E h(0 ) h( ) = 0.

\{0 } Первое равенство выполнено ввиду выбора элементов и формулы (14). Справедливость второго обеспечивает лемма 4.11.2. Третье вы полнено ввиду выбора и равенства 0 = 0, упомянутого выше.

Последнее равенство следует из попарной дизъюнктности элементов. Следовательно, E (x ) = 0 для каждого и = mix( x ).

Отсюда следует, что для каждого разбиения единицы ( ) B(E) и каждого ограниченного по норме E семейства (x ) существует перемешивание mix( x ) (o)-X. Лемма доказана.

4.11.4. Теперь мы готовы доказать основной результат этого параграфа.

Теорема. Ассоциированное РНП ((o)-X, E, E) является пространством Банаха Канторовича.

4.11. Ассоциированные пространства Банаха Канторовича Немедленно следует из следствия 4.11.1 и леммы 4.11.3 с ис пользованием предложения 4.0.11.

Напомним, что, когда мы берем внутреннее нормированное про странство X в качестве внутреннего разложимого РНП, ассоцииро ванное пространство совпадает с классической нестандартной обо лочкой X. Следовательно, по уже установленной выше теореме получаем хорошо известное утверждение о том, что нестандартная оболочка внутреннего нормированного пространства является бана ховым пространством.

Рассматривая внутреннее решеточно нормированное простран ство (E, | · |, E) получаем, что соответствующее ассоциированное пространство ((o)-E, E, E) является решеточно нормированным. Из определения отображения E : (o)-E E очевидно, что для всех x, y (o)-E из условия |x| |y| следует неравенство E (x) E (y).

Отсюда получаем, что ассоциированное РНП ((o)-E, E, E) является пространством Банаха Канторовича.

4.11.5. Известно, что пополнение по норме нормированного про странства можно получить в виде замыкания этого пространства в его нестандартной оболочке. Аналогично, как будет указано ниже, (o)-пополнение разложимого РНП можно построить, используя вло жение в ассоциированное ПБК.

Для простоты обозначим через ((o)-X, E a, E) ПБК, ассоции рованное с порядковой оболочкой (X, a, E). Рассмотрим отображе ние : X (o)-X такое, что (x X).

(x) := x (16) Легко видеть, что является изометрическим изоморфизмом РНП (X, a, E) в ((o)-X, E a, E). Обозначим через X множество пределов всех сходящихся по норме E a сетей, состоящих из элементов (X).

Лемма. Для каждого элемента x (o)-X следующие условия эквивалентны:

(1) x X;

(2) inf E a(x (y)) = 0.

yX (1)(2): Сразу получается из определения X.

(2)(1): Пусть элемент x (o)-X удовлетворяет условию (2).

Покажем, что x X. Определим на X отношение следующим 282 Глава образом:

z E a(x (y)) E a(x (z)).

y Множество X направлено вниз относительно. В самом деле, для всех y, z X имеем y, z h()y + h( d )z, где B(E) проектор, удовлетворяющий условию E a(x (y)) + d E a(x (z)) = = E a(x (y)) E a(x (z)), d и h(), h( ) соответствующие проекторы в (X, a, E). Рассмот рим сеть ((y))y(X, ). Из определения (X, ) и условия inf E gX a(x (y)) = 0 следует, что сеть ((y))y(X, ) сходится к x в (o)-X.

Поскольку сеть состоит из элементов (X), имеем x X.

4.11.6. Теорема. Тройка (X, E a, E) является (o)-пополне нием разложимого РНП (X, a, E).

Достаточно проверить свойства 4.0.12 (1)–(3). Легко видеть, что (X, E a, E) РНП. Покажем, что оно является (o)-полным.

Рассмотрим произвольную (o)-сеть Коши (x ). Тогда из (o)-полноты ассоциированного РНП следует существование элемента x (o)-X такого, что x = (o)- lim(x ). Покажем, что x X. Из условий x X, x = (o)- lim(x ) следует, что inf E a(x (y)) = 0, inf E a(x x ) = 0. (17) yX Из (17) получаем inf E a(x (y)) yX inf inf (E a(x x ) + E a(x (y))) yX inf E a(x x ) + inf inf E a(x (y)) = 0.

yX Отсюда inf E a(x (y)) = 0, и по лемме 4.11.5 имеем x X. Зна yX чит, каждая (o)-сеть Коши (x ) X является (o)-сходящейся. Сле довательно, X (o)-полно в норме E a. Легко проверить, что норма 4.11. Ассоциированные пространства Банаха Канторовича E a является (d)-разложимой на X. Следовательно, используя доказанную (o)-полноту и учитывая предложение 4.0.10, получаем разложимость нормы E a в X. Свойство 4.0.12 (1) установлено.

Свойство 4.0.12 (2) очевидно для вложения : X X.

Для проверки свойства 4.0.12(3) рассмотрим произвольные x X и e E+. Положим E := { B(E) : E a(x (y)) e для некоторого x X}.

Так как x X, имеем inf E a(x (x)) = 0.

xX Следовательно, множество E плотно в полосе Be (E), порожденной проектором pre. Согласно принципу исчерпывания существует раз биение ( ) E проектора pre. В соответствии с определением множества E существует семейство (x ) X, для которого E a(x (x )) e ( ). (18) := {0 }, 0 := prd и x0 := 0.

Выберем 0 / и положим e Для каждого в силу разложимости пространства (X, a, E) существует единственный проектор в пространстве X, удовлетво ряющий a = a. Определим семейство (x ) X так, чтобы x := x при всяком. Из (18) следует, что a(x ) = a( x ) = a(x ) = E a ((x )) E a (x ) + E a (x (x )) 2E a (x ) + e для любого. Таким образом, семейство (x ) ограничено по норме a. В силу (o)-полноты пространства (X, E a, E) суще ствует перемешивание mix(, (x )) X. Снова привлекая (18), нетрудно показать, что pre E a(x mix(, (x ))) e.

Ввиду произвольности выбора элементов x X и e E+ свойство 4.0.12(3) установлено. Теорема доказана.

284 Глава 4.11.7. Обозначим пространство регулярных (соответственно по рядково непрерывных) операторов из E в F через Lr (E, F ) (соот ветственно через Ln (E, F )) и обозначим через M (X, Y ) множество всех внутренних линейных операторов из X в Y, имеющих стан дартную мажоранту Q, Q Lr (E, F ) (см. 4.0.15). Пусть Mn (X, Y ) множество всех операторов в M (X, Y ), имеющих мажоранту ви да S, где S Ln (E, F ).

Лемма. Для каждого внутреннего линейного оператора T, дей ствующего из X в Y, выполнены следующие условия:

(1) T M (X, Y ) T (n(X )) n(Y );

(2) T Mn (X, Y ) T ((X )) (Y ).

Проверим только условие (1). Условие (2) устанавливается аналогично. Поскольку T M (X, Y ), существует оператор Q Lr (E, F ), для которого Q() ( X ).

(T ) (19) Рассмотрим произвольное n(X ). Тогда () e для некото рого e E. Из (19) имеем (T ) Q(e) и, следовательно, T n(Y ).

Всюду в дальнейшем векторная решетка Ln (E, F ) будет обозна чаться через L.

4.11.8. Предположим, что T Mn (X, Y ). По лемме 4.11. корректно определено отображение T : (o)-X (o)-Y такое, что ( n(X )).

T ( ) := T (20) Теорема. Отображение T мажорируемый линейный опера тор, действующий из ассоциированного ПБК ((o)-X, E, E) в ассоциированное ПБК ((o)-Y, F, F ). Кроме того, выполняется T L ([ T ]).

Прежде чем приступать к доказательству, сделаем некоторые пояснения. Через T (соответственно T ) обозначена наимень шая (соответственно внутренняя наименьшая) мажоранта операто ра T (соответственно оператора T ). Через L обозначена L-значная норма в РНП ((o)-L, L, L).

4.11. Ассоциированные пространства Банаха Канторовича Достаточно установить, что оператор L ([ T ]) Ln (E, F ) является мажорантой оператора T. Возьмем произвольный опера тор S L, удовлетворяющий условию S T. Тогда, используя соотношение (19), для любого n(X ) получаем F (T ) = inf {f F : f (T )} F inf {f F : f inf {Se : e E : e T ()} ()} = F F = S inf {e E : e ()} = S E ( ).

F Следовательно, S T. Привлекая лемму 4.11.1, получаем L ([ T ]) = inf {S L : S T} T, L что и требовалось.

4.11.9. Обозначим через Mn (X, Y ) множество всех линейных операторов из X в Y имеющих (o)-непрерывные мажоранты. Яс но, что условия T Mn (X, Y ) и T Mn (X, Y ) эквивалентны.

Возьмем произвольный T Mn (X, Y ). Тогда согласно формуле (20) существует отображение T : (o)-X (o)-Y такое, что ( n(X )).

T ( ) = T Теорема. Для всякого T Mn (X, Y ) отображение T является мажорируемым линейным оператором из ПБК ((o)-X, a, E) в ПБК ((o)-Y, b, F ). Кроме того, (1) T (X (x)) = Y (T x) (x X );

(2) T = T, где X : X (o)-X и Y : Y (o)-Y канонические вложения, определенные в (16).

Отображение T линейно по построению. Равенство (1) непо средственно вытекает из определений отображений X, Y, T. Ма жорируемость оператора T и неравенство T T установлены в теореме 5.2. Остается проверить обратное неравенство.

Пусть x X. Учитывая (1), а также тот факт, что X и Y изометрически изоморфные вложения, получаем b(T (x)) = F b(Y (T x)) = F b(T (X (x))) 286 Глава T (E a(X (x))) = T a(x).

Отсюда в силу произвольности элемента x X вытекает требуемое неравенство T T.

Пусть X и Y (o)-пополнения пространств X и Y, построен ные в теореме 4.11.6. Из предыдущей теоремы получаем следующее утверждение [19, 14, теорема 2.3.3].

Следствие (А. Г. Кусраев, В. З. Стрижевский). Для лю бого оператора T Mn (X, Y ) существует единственный оператор T Mn (X, Y ), продолжающий T в том смысле, что T (E (x)) = F (T x) для всех x X. При этом T = T.

Достаточно в качестве T взять ограничение оператора T на пространство X. Единственность продолжения вытекает из требо вания T Mn (X, Y ) и построения X.

Литература 1. Aliprantis C. D. and Burkinshaw O. Positive Operators. New York and London: Academic Press, 1985.

2. Альбеверио С., Фенстад Дж., Хеэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестан дартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М.: Мир, 1990.

3. Bernau S. J. Sums and extensions of vector lattice homomorphisms // Acta Appl. Math. 1992. V. 27. P. 33–45.

4. Conshor H. Enlargements contain various kinds of completions // Victoria Symposium of Nonstandard Analysis. Berlin etc.: Springer Verlag, 1974. P. 60–79. (Lecture Notes in Math., 369.) 5. Cozart D and Moore L. C. The nonstandard hull of a normed Riesz space // Duke Math. J. 1974. No. 41. P. 263–275.

6. Емельянов Э. Ю. Порядковые и регулярные оболочки вектор ных решеток // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 6. С. 1243– 1252.

7. Емельянов Э. Ю. Пространства Банаха Канторовича, ассо циированные с порядковыми оболочками разложимых реше точно нормированных пространств // Сиб. мат. журн. 1995.

Т. 36, № 1. С. 72–85.

Литература 8. Емельянов Э. Ю. Инфинитезимальный подход к представле нию векторных решеток пространствами непрерывных функ ций на компакте // Докл. РАН. 1995. Т. 344, № 1. С. 9–11.

` 9. Emel yanov E. Yu. Innitesimal analysis and vector lattices // Siberian Adv. Math. 1996. V. 6, No. 1. P. 19–70.

10. Емельянов Э. Ю. Инвариантные гомоморфизмы нестандарт ных расширений булевых алгебр и векторных решеток // Сиб.

мат. журн. 1997. Т. 38, № 2. С. 286–296.

11. Henson C. W. and Moore L. C. Nonstandard analysis and the the ory of Banach spaces // Nonstandard Analysis: Recent Develop ments. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1983. P. 27–112. (Lecture Notes in Math., 983.) 12. Hurd A. E. and Loeb P. A. An Introduction to Nonstandard Real Analysis. Orlando etc.: Academic Press, 1985.

13. Kusraev A. G. Dominated operators. I // Siberian Adv. Math.

1994. V. 4, No. 3. P. 51–82.

14. Kusraev A. G. Dominated operators. II // Siberian Adv. Math.

1994. V. 4, No. 4. P. 24–59.

15. Kusraev A. G. Dominated operators. III // Siberian Adv. Math.

1995. V. 5, No. 1. P. 49–76.

16. Kusraev A. G. Dominated operators. IV // Siberian Adv. Math.

1995. V. 5, No. 2. P. 99–121.

17. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нестандартные методы анализа.

Новосибирск: Наука, 1990.

18. Kusraev A. G. and Kutateladze S. S. Nonstandard methods for Kantorovich spaces // Siberian Adv. Math. 1992. V. 2, No. 2.

P. 114–152.

19. Кусраев А. Г., Стрижевский В. З. Решеточно нормированные пространства и мажорируемые операторы // Исследования по геометрии и функциональному анализу. Новосибирск: Наука, 1987. С. 132–158.

20. Luxemburg W. A. J. A general theory of monads // Applications of Model Theory to Algebra, Analysis, and Probability. New York:

Holt, Rinehart, and Winston, 1969. P. 18–86.

21. Luxemburg W. A. J. and A. C. Zaanen A. C. Riesz Spaces. Vol 1.

Amsterdam and London: North-Holland, 1971.

22. Meyer-Nieberg P. Banach Lattices. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1991.

288 Глава 23. Robinson A. Non-standard analysis // Proc. Roy. Acad. Amster dam Ser. A. 1961. No. 64. P. 432–440.

24. Schaefer H. H. Banach Lattices and Positive Operators. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1974.

25. Сикорский Р. Булевы алгебры. М.: Мир, 1969.

26. Векслер А. И. Принцип Архимеда в гомоморфных образах l групп и векторных решеток // Изв. вузов. Математика.

1966. № 5 (53). С. 33–38.

27. Wol M. P. H. An introduction to nonstandard functional analysis.

Nonstandard analysis (Edinburgh, 1996) // NATO Adv. Sci. Inst.

Ser. C. Math. Phys. Sci., 493 Dordrecht: Kluwer Academic Publishing, 1997. P. 121–151.

28. Zaanen A. C. Riesz Spaces. Vol. 2. Amsterdam etc.: North Holland, 1983.

Глава Векторные меры и мажорируемые отображения А. Г. Кусраев, С. А. Малюгин Векторные меры и мажорируемые отображения В современной теории векторных мер можно выделить два на правления, слабо связанных друг с другом.

Первое направление изучение мер со значениями в нормиро ванных или в локально-выпуклых пространствах начиная с клас сических работ С. Бохнера, И. М. Гельфанда, Н. Данфорда и Б. Пет тиса второй половины 1930-х годов. В настоящее время оно пред ставляет собой красивую теорию с богатыми приложениями и хоро шо освещено в монографической литературе, см. книги Н. Динку ляну [1], Дж. Дистеля и Дж. Улья [2] о векторных мерах, а также соответствующий том из трактата Н. Бурбаки.

Второе направление изучение мер, принимающих значения из упорядоченного векторного пространства. Здесь вместо топологии используется сходимость, связанная с порядком, а роль топологи ческой полноты играет порядковая полнота. Такие меры как само стоятельный объект исследования возникли, по-видимому, в связи с вопросом об аналитическом представлении линейных операторов в полуупорядоченных пространствах, см. монографию Л. В. Кан торовича, Б. З. Вулиха и А. Г. Пинскера [3]. Разумеется, меры со значениями в векторных решетках неявно появлялись гораздо рань ше как, например, гомоморфизмы абстрактных булевых алгебр и спектральные характеристики самосопряженных операторов в гиль бертовом пространстве. Именно, изучение самосопряженных опера торов с позиций порядкового анализа приводит к понятиям меры и интеграла со значениями в упорядоченном векторном пространстве, см. монографии А. И. Плеснера [7], Б. З. Вулиха [8].

Начиная с 1950-х годов под влиянием теории упорядоченных векторных пространств для булевых мер стали рассматриваться во просы, характерные для классической теории меры (В. И. Соболев, Б. З. Вулих, Д. А. Владимиров и др.). Меры со значениями в вектор ных решетках с тех же позиций интенсивно изучал М. Райт в серии публикаций с конца 1960-х годов. После этих работ интерес к мерам в упорядоченных пространствах резко возрос. За истекший период в этом направлении накоплен весьма богатый материал, однако до сих пор нет ни одного обстоятельного обзора.

В настоящей работе предлагается единый подход к указанным выше двум направлениям в теории меры на основе фундаментальной c А. Г. Кусраев, С. А. Малюгин 292 Глава концепции решеточно нормированного пространства (РНП). Дело в том, что специальными случаями решеточно нормированного про странства являются как нормированные и локально-выпуклые про странства, так и векторные решетки. Поэтому все встречающиеся в математической литературе векторные меры являются мерами со значениями в РНП.

Стоит подчеркнуть особо, что новая теория векторных мер воз никает отнюдь не механическим соединением ранее известных разно родных фактов. Наоборот, существенно различные идеи и методы, обслуживающие топологический и порядковый подходы к вектор ным мерам, переплетаясь в тесных взаимосвязях, приводят к новым аналитическим средствам и новым результатам. Пока еще рано го ворить о сформировавшейся теории, но в некоторых вопросах уже достигнуто существенное продвижение.

В параграфе 5.1 дается определение меры ограниченной вектор ной вариации и определяется интеграл типа Лебега по такой мере.

В параграфе 5.2 изучаются квазирадоновы меры, которые, в случае, когда нормирующее K-пространство не обладает свойством слабой -дистрибутивности, являются наиболее адекватным анало гом скалярных радоновых мер. Доказывается, что свойство квази радоновости меры эквивалентно свойству квазирадоновости ее век торной вариации.

В параграфе 5.3 получен критерий интегральной представимо сти мажорируемого оператора квазирадоновой мерой. Рассмотрена задача о продолжении квазирадоновой меры с плотной подалгебры (векторный аналог теоремы Прохорова).

В параграфе 5.4 для произведения векторных мер получен один вариант теоремы Фубини.

В параграфе 5.5 для мажорированной последовательности век торов из решеточно нормированного пространства решается аналог проблемы моментов Хаусдорфа. В параграфах 5.6 и 5.7 рассмотрена векторная постановка проблемы моментов Гамбургера.

В параграфе 5.8 на локально-компактной абелевой группе да ется понятие мажорируемого отображения, являющееся векторным аналогом положительно определенного отображения. Для таких отображений в параграфе 5.9 доказывается векторная теорема Бох нера о представимости мажорируемого отображения квазирадоно вой мерой, определенной на борелевской -алгебре двойственной груп 5.1. Векторные меры пы. В параграфе 5.10 по заданному билинейному отображению опре деляется свертка квазирадоновых мер. В этом же параграфе полу чены теорема о представлении гомоморфизма локально-компактной абелевой группы в K-пространство и векторный аналог теоремы Бохнера для положительно определенных отображений, принима ющих значения в монотонно полном частично упорядоченном век торном пространстве. В параграфе 5.11 дается булевозначная ин терпретация леммы Винера.

5.1. Векторные меры Пусть X вполне регулярное топологическое пространство;

T (соответственно F ) семейство всех открытых (замкнутых) под множеств X;

T0 (соответственно F0 ) семейство всех функциональ но-открытых (функционально-замкнутых) подмножеств из X;

B := B(X) := BX (соответственно K ) семейство всех борелевских (ком пактных) множеств из X;

M (X) пространство всех борелевских функций на X;

Mb (X) (соответственно Cb (X)) пространство всех ограниченных борелевских (непрерывных) функций на X. Симво лом C00 (X) (соответственно C0 (X)) обозначаем пространство всех непрерывных функций f : X R с компактными носителями (со ответственно таких, что inf{sup{|f (x)| : x X \ K} : K K } = 0).

семейство подмножеств из X, то символом A (C) (соот Если C ветственно (C)) обозначается наименьшая алгебра (-алгебра), по рожденная семейством C. Все стандартные понятия, относящиеся к K-пространствам, решеточно нормированным пространствам и ма жорируемым операторам, имеются в [8–10].

Говорим, что на K -пространстве F (на -полной булевой алгеб ре B) выполняется закон слабой -дистрибутивности, если для любой ограниченной двойной последовательности {xij : i, j N} элементов из F (из B) такой, что для любого i N последовательность xij убывает к нулю при j, выполняется равенство xi(i) : NN = 0.

i= Говорим, что на K-пространстве F (на полной булевой алгебре B) выполняется закон слабой (, )-дистрибутивности, если для любой 294 Глава ограниченной последовательности убывающих к нулю направленно стей {xi, : i } (i N) элементов из F (из B) справедливо равен ство xi,(i) : = 0.

i i=1 i= Через Y всегда будем обозначать o-полное решеточно нормиро ванное пространство с нормирующим K-пространством F. Вектор ная F -норма элемента y Y обозначается символом y. Через G(e) обозначается булева алгебра всех осколков положительного элемен та e F.

Пусть задана алгебра A0 подмножеств из X. Мерой µ : A0 Y называется аддитивное отображение из A0 в Y. Говорят, что мера µ имеет ограниченную векторную вариацию, если существует по ложительная мера : A0 F такая, что µ(A) (A) (A A0 ).

В K-пространстве ba(A0, F ) всех ограниченных мер из A0 в F су ществует наименьшая, удовлетворяющая вышеприведенному нера венству. Она называется векторной вариацией меры µ и обознача ется через µ. Пространство всех мер из A0 в Y, имеющих ограни ченную векторную вариацию, будем обозначать через F ba(A0, Y ).

Векторную вариацию µ можно вычислять по следующей формуле:

n µ(Ai ) : (Ai )n A0, µ (A) = i= i= n (A A0 ).

Ai Aj = (i = j), Ai = A i= Пространство всех -аддитивных мер из A0 в Y обозначается через F bca(A0, Y ).

пространство всех A0 -простых функций на X, Пусть S(A0 ) n т. е. g S(A0 ) означает, что g = i=1 ci Ai для некоторых (ci )n i= R и (Ai )i=1 A0. Рассмотрим меру µ F ba(A0, Y ). Для g S(A0 ) n полагаем по определению n gdµ = ci µ(Ai ).

i= 5.2. Квазирадоновы и квазирегулярные меры По равномерной непрерывности интеграл распространяется на равномерное замыкание S(A0 ) пространства S(A0 ). В случае A0 = B и µ F bca(A0, Y ) этот интеграл можно продолжить на гораздо более широкий класс функций. Функцию f M (X) будем называть µ-интегрируемой, если множество { gd µ : g S(A0 ), 0 g |f |} ограничено в F. Пространство всех µ-интегрируемых функций обо значим через L1 (µ). Пусть f L1 (µ), f 0, и последователь ность функций (gn ) S(A0 ) возрастая сходится поточечно к n= f. Тогда последовательность интегралов от функций gn будет o фундаментальной, и мы полагаем f dµ = o- lim gn dµ.

n По аддитивности интеграл распространяется на все пространство L1 (µ). Построенный интеграл обладает всеми основными свойства ми классического интеграла Лебега. В частности, справедлива тео рема о предельном переходе.

Теорема Лебега. Пусть fn, g L1 (µ), |fn | g (n N) и fn сходится к f поточечно. Тогда f L1 (µ) и f dµ = o- lim fn dµ.

n Отметим, что в случае положительной меры, принимающей зна чения в пространстве Стоуна, такой интеграл рассматривался в [14].

5.2. Квазирадоновы и квазирегулярные меры Пусть E A0. Рассмотрим два направленных множества KE = {K : K K A0, K E} и FE = {F : F F A0, F E}, элементы которых считаются упорядоченными по включению.

5.2.1. Определение. Мера µ : A0 Y называется радоновой (квазирадоновой), если для любого E A0 (для любого E T A0 ) справедливо равенство µ(E) = o- lim{µ(K) : K KE }.

5.2.2. Определение. Мера µ : A0 Y называется регулярной (квазирегулярной), если для любого E A0 (для любого E T A0 ) выполняется равенство µ(E) = o- lim{µ(F ) : F FE }.

Если пространство X компактно, то определения 5.2.1 и 5.2. эквивалентны. Кроме того, стандартными рассуждениями устанав ливается следующий факт.

296 Глава 5.2.3. Теорема. Мера µ F ba(A0, Y ) является радоновой (регулярной) тогда и только тогда, когда ее векторная вариация ра донова (регулярна).

Целью этого параграфа является доказательство аналогичной теоремы для квазирадоновых мер.

5.2.4. Теорема. Пусть мера µ F ba(A0, Y ) удовлетворяет одному из следующих двух условий:

(1) A0 = A (F A0 );

(2) A0 = (F A0 ) и µ F bca(A0, Y ).

В этом случае мера µ является квазирадоновой (квазирегуляр ной) тогда и только тогда, когда векторная вариация µ квазирадо нова (квазирегулярна).

Мы рассмотрим здесь только доказательство квазирадоново сти при выполнении условия (2). Случай (1) рассматривается ана логично. Допустим, что µ квазирадонова, а векторная вариация µ не квазирадонова. Тогда существует множество U T A0 та кое, что µ (U ) { µ (K) : K K A0, K U } 0. Пусть K K A0, K U и e = µ (U ). Существуют 0 0, 0 e0 G(e) и конечное семейство (Ei )n A0 такие, что i= n n Ei = U \K, Ei Ej = (i = j), µ(Ei ) 0 e0.

i=1 i= Пусть 1 первый несчетный ординал. Для некоторого счетно го ординала 0 1 все Ei (i = 1,..., n) принадлежат бэровскому классу B0 (A (F A0 )), построенному из алгебры A (F A0 ) (см.

[6]). Можно считать 0 непредельным ординалом. Любое множество из бэровского класса B = B (A (F A0 )) есть либо счетное объ единение, либо счетное пересечение множеств из предыдущих бэров ских классов. Поэтому существуют 1 0 и последовательности (Ei,k ) B1 (i = 1,..., n) такие, что при каждом i последова k= тельность (Ei,k ) монотонно сходится к Ei. Кроме того, можно k= считать, что для всех i, k имеет место включение Ei,k U \K. Для любого 0 существуют e1 G(e), 0 e1 e0, и номер k1, для которых n µ Ei,k1 \ Ej,k1 e1.

i=1 ji 5.2. Квазирадоновы и квазирегулярные меры Это следует из -аддитивности меры µ. Обозначим Ei = Ei,k1 (i = 1,..., n). Повторяя вышеописанную процедуру достаточное число раз, мы получим убывающую последовательность ординалов m m1 · · · 0, последовательность элементов (ek )m G(e) и k= последовательности (Ei )n Bk (k = 0, 1,..., m) такие, что n i= em em1... e1 и n k k µ Ei \ 0 · · · k+1 ek Ej (k = 0, 1,..., m).

4 i=0 ji Из полной упорядоченности ординалов следует, что этот процесс не может продолжаться до бесконечности. Поэтому можно считать, что m = 0. Полагая n m m Fi = E i \ F0 = (U \K)\ Ej (i = 1,..., n), Fi, g = em, ji i= n мы будем иметь 0 g e, g G(e) и i=0 µ(Fi ) (0 2 )g, при n этом (Fi )i=0 A (F A0 ), Fi Fj = (i = j) и i=0 Fi = U \K. Без n ограничения общности можно считать, что каждый элемент Fi имеет вид Fi = Ui \Vi, где Ui, Vi T A0, Ui Vi U \K (i = 0, 1,..., n), поскольку любой элемент из алгебры A (F A0 ) представляется в виде конечного дизъюнктного объединения элементов вида Ui \Vi, где Ui, Vi T A0.

Занумеруем все Ui и Vi в одну последовательность (Wi )m. Обо i= значим M = {1,..., m}. Для любого J M полагаем HJ = {Wi :

i M \J}. Очевидно, HJ HJ = HJJ. Из квазирадоновости µ следует для любого 0 существование компакта K K A0, K H и элемента g0 G(e), 0 g0 g, таких, что при любом K K A0, K K H, справедливы соотношения g0 µ(K \K ) g0 µ(H \K ) e, e (здесь подразумеваем умножение в идеале F (e), в котором e счита ется кольцевой единицей, см. [8]). Для любого i M существуют K{i} K A0, gi G(e) такие, что K{i} H{i} \K, 0 gi g0, и при любом K K A0, для которого K{i} K H{i} \K, выполняются соотношения gi µ(K \K{i} ) gi µ((H{i} \K )\K{i} ) e, e.

298 Глава Можно считать все gi упорядоченными, например, следующим обра зом: gm gm1... g1. При i = j будем иметь K{i} K{j} = H, поэтому g0 µ(K{i} K{j} ) e. Далее делаем индуктивный шаг.

Допустим, что при некотором k m такое построение проведено для всех J M, у которых мощность cardJ k. В частности, для любого J M, cardJ k, построено KJ K A0. Пусть J M и cardJ = k. Возьмем KJ K A0, gJ G(e) такими, чтобы KJ HJ \ {KJ : J J}, 0 gJ {gJ : cardJ k} и для лю бого K K A0 такого, что KJ K HJ \{KJ : J J}, выпол e, gJ µ((HJ \ {KJ : J нялись соотношения gJ µ(K KJ ) J})\KJ ) e. Можно считать все gJ с cardJ k линейно упорядо ченными. Кроме того, для двух подмножеств J M, J M, J J, таких, что либо cardJ = k, cardJ k, либо cardJ k, cardJ = k, будем иметь KJ KJ HJ HJ = HJJ. Если J J J, то по построению либо KJ KJ =, либо KJ KJ =. Это озна чает, что для любого K K A0, K KJ KJ справедливо e, где g = {gJ : cardJ g µ(K ) k}. Вышеописанное индук тивное построение заканчивается при k = m 1. В итоге получаем следующие факты.

(i) m Для любой функции : M {0, 1} обозначим W = i=1 Wi, где Wi0 = (U \K)\Wi, Wi1 = Wi (i M ). Мы доказали, что при лю q и K K A0 ( бом 0 существуют g G(e), 0 g M {0, 1} ) такие, что K U \K и g µ(W ) µ(K ) g, g µ(K ) g (2.1) (K K A0, K K K,, {0, 1}M, = ).

Это означает, что для K1 = {K : {0, 1}M } будем иметь µ K\ K : {0, 1}M + g µ (K1 ) g = +g µ({K K :, {0, 1}M, = }) µ(K ) g K K g µ.

= 5.2. Квазирадоновы и квазирегулярные меры Оценим для каждого {0, 1}M величину g µ = K K.

Для этого обозначим M = {0, 1}M \{}, L = K K и рассмот рим тождество l (1)k+1 µ(L1 · · · Lk ).

µ L = 1 ···k k= Здесь, 1,..., k M, l = 2m 1 и, кроме того, считается, что элементы множества M каким-либо образом линейно упорядоче ны. Количество членов в правой части суммы равно 2l 1, причем каждый член этой суммы можно оценить по формулам (2.1). Тогда n µ(W ) 2l+m g µ(Fi ) 2l+m g (0 )g.

g µ (K1 ) g g i= Последнее неравенство будет справедливым, если взять достаточ но малым.

Итак, доказан следующий факт. Для любых e1 G(e), K K A0, 0 таких, что 0 e1 e0, K U, существуют e G(e), K1 K A0, для которых 0 e2 e1, K1 U \K и (0 )e2. Полагаем сначала K =. Находим K1 с µ (K1 ) вышеописанными свойствами. Далее, полагаем K = K1 и находим K2 K A0, e3 G(e), для которых K2 U \K1, 0 e3 e2 и (0 /2)e3. Продолжая далее этот процесс, мы по µ (K2 ) лучим последовательности (Kn ) K A0 и (en ) G(e), для n=1 n= которых выполняются свойства n Kn K1, 0 en+1 en, i= (0 · · · /2n1 )en+1 (n N).

µ (Kn ) Это означает, что для любого n N имеет место неравенство n(0 2)en+1.

µ (U ) Пришли к противоречию с тем, что для n N справедливо неравен ство en+1 e = µ (U ).

300 Глава Обратно, если теперь предположить, что векторная вариация µ квазирадонова, то квазирадоновость µ сразу получается из нера венства µ (E\F ) (E, F A0, F E).

µ(E) µ(F ) 5.2.5. Следствие. Пусть мера µ F ba(A0, Y ) удовлетворяет одному из двух условий (1), (2) теоремы 5.2.4. Следующие опреде ления квазирадоновости µ эквивалентны:

(1) равенство µ(E) = o- lim{µ(K) : K KE } справедли во при любом E T A0 ;

(2) равенство из условия (1) справедливо при любом E A (F A0 );

(3) равенство µ (E) = { µ (K) : K KE } справедли во при любом E T A0 ;

(4) равенство из условия (3) справедливо при любом E A (F A0 ).

5.2.6. Следствие. Если в 5.2.5 заменить направленное множе ство KE на FE, то условия (1)–(4) будут равносильными определе ниями квазирегулярности меры µ.

5.2.7. Следствие. Если мера µ F ba(A0, Y ) квазирадонова и удовлетворяет одному из двух условий (1), (2) теоремы 5.2.4, то она квазирегулярна.

В связи с этим отметим очевидный факт: если мера µ : A0 F положительна и квазирадонова, то она квазирегулярна. Кроме того, имеет место 5.2.8. Лемма. Пусть для меры µ F ba(A0, Y ) ее векторная вариация µ квазирегулярна и справедливо равенство { µ (K) : K K A0 }.

µ (X) = (2.2) Тогда µ и µ квазирадоновы.

5.2.9. Теорема. Если мера µ F ba(A0, Y ) квазирадонова, то ограничение µ на алгебру A (F A0 ) является -аддитивной мерой.

5.2. Квазирадоновы и квазирегулярные меры Будем обозначать ограничение µ на алгебру A (F A0 ) той же буквой. Векторная вариация µ относительно этой алгебры будет уже другой, и мы ее обозначим через µ 0. Докажем -аддитивность µ (тогда -аддитивность µ на алгебру A (F A0 ) будет следовать из аддитивности µ 0 ). Пусть последовательность (Ak ) A (F A0 ) k= убывает к пустому множеству. Полагаем e = µ 0 (X). Допустим, что n=1 µ 0 (An ) 0. Тогда для некоторых 0 0 и 0 e0 G(e) будем иметь µ 0 (An ) 0 e0 (n N). По теореме 5.2.5 мера µ 0 квазира донова. Значит, существуют K1 K A0, e1 G(e0 ) такие, что K1 A1, 0 e1 e0 и e1 µ 0 (A1 \K1 ) (0 /4)e0. Продолжая далее индуктивно этот процесс, получим последовательности (Kn ) n= K A0 и (en ) G(e) такие, что 0 en, Kn An en+ n= n (0 /2n+1 )e0 (n N). Полагая Kn = i=1 Ki, и en µ 0 (An \Kn ) находим, что en µ 0 (An \Kn ) (0 /2)e0 (n N). Отсюда следует неравенство µ 0 (Kn ) = µ 0 (An ) µ 0 (An \Kn ) (0 /2)en. Так как, то при некотором n0 N будет Kn0 =. Это противоречие Kn доказывает теорему.

Аналогичный факт для радоновых мер справедлив без всяких ограничений.

5.2.10. Теорема. Если мера µ F ba(A0, Y ) является радо новой, то она -аддитивна.

Следующий пример показывает, что даже в случае веществен ных мер требование -аддитивности меры µ в условии (2) теоремы 5.2.4 является существенным.

5.2.11. Пример. Пусть Q множество всех рациональных чи сел. Рассмотрим на Q топологию TQ, индуцированную естественной топологией T на R. Рассмотрим на борелевской -алгебре B(R) пря мой R вероятностную меру, нулями которой являются все борелев ские множества первой категории (см. [12]). Эта мера индуцирует на алгебре A (TQ ) меру следующим образом. Пусть A A (TQ ).

Тогда существует B A (T ) такое, что A B Q. Полагаем (A) = (B). Можно проверить корректность такого определения.

Если компактное множество K входит в Q, то оно первой категории в R. Поэтому (K) = 0 и мера не квазирадонова. Разобьем Q на два плотных в R множества Q1 и Q2. По теореме Лося Марчев ского меру можно продолжить на алгебру 2Q всех подмножеств Q (см. [13]). Рассмотрим два таких продолжения 1, 2, удовлетворя 302 Глава ющих равенствам 1 (Q1 ) = 1 = 2 (Q2 ). Это возможно в силу того, что если A A (TQ ) и A Q1 (A Q2 ), то замыкание A совпадает с R, и поэтому (A) = 1. Рассмотрим на -алгебре (TQ ) = 2Q меру µ = 1 2. Так как ограничение µ на алгебру A (TQ ) равно нулю, то µ квазирадонова мера. Однако вариация µ, равная 1 + 2, не является квазирадоновой мерой.


5.3. Интегральные представления и продолжение мер На вполне регулярном топологическом пространстве X рассмот рим векторную решетку функций L Cb (X). Слабейшую тополо гию, в которой непрерывны все функции из L, будем обозначать через T (L). Если T (L) совпадает с исходной топологией T на X, то говорят, что L порождает T.

Линейный оператор T : L Y называем мажорируемым, если существует положительный оператор S : L F такой, что T f S|f | (f L). Наименьший из таких операторов S называется мажорант ной нормой оператора T и обозначается через T.

5.3.1. Теорема. Пусть векторная решетка L Cb (X) содержит единичную функцию 1X и порождает топологию T. Для мажориру емого оператора T : L Y существует единственная квазирадонова мера µ F bca(B, Y ), удовлетворяющая условию f dµ (f L), Tf = (3.1) тогда и только тогда, когда K } : K K { T g : g L, g T (1) =. (3.2) Допустим, выполняется (3.2) и направленность (f )A функ ций из L убывает поточечно к нулю. Фиксируем 0 A и 0.

Тогда при некотором M 0 и любом 0 будем иметь 0 x M 1X. Пусть K K. Существует 1 0 такое, что при всех будет 0 T f T (1X ) + M aK. (3.3) 5.3. Интегральные представления и продолжение мер Здесь мы обозначили aK = T (1X ) { T f : f L, f K }. По условию (3.2) направленность {aK : K K } убывает к нулю. По ре ализационной теореме компонента [ T (1X )] K-пространства F изо морфна фундаменту в пространстве C (Q), где Q экстремально несвязный компакт. Можно считать, что T (1X ) при этом изомор физме переходит в единичную функцию на Q. Так как aK порядково убывает к нулю, то существует котощее множество Q0 Q такое, что числовая направленность aK (q) сходится к нулю для всех q Q0. Из оценки (3.3) следует, что если направленность (f )A L убывает к нулю, то для любого q Q0 направленность q (f ) = ( T f )(q) сходится к нулю. По известной теореме Даниеля Стоуна поло жительный функционал q продолжается до положительного се квенциально o-непрерывного функционала q : Mb (X) R (K пространственные варианты этой теоремы изучались в [3–5]). Рас смотрим отображение V : Mb (X) RQ, определяемое формулами wq (f ), q Q0, (V f )(q) = 0, q Q0 (f Mb (X)).

/ Ясно, что V f Mb (Q) для любого f L. Кроме этого, из се квенциальной o-непрерывности функционала q следует, что если V fn Mb (Q) для некоторой последовательности fn Mb (X), o сходящейся к f, то V f Mb (Q). Отсюда можно заключить, что V f Mb (Q) для любой функции f Mb (X). Полагаем W = V, где : Mb (Q) F гомоморфизм Биркгофа Улама. Тогда W : Mb (X) F будет секвенциально o-непрерывным продолжением оператора. Продолжение самого оператора T осуществляется по сле дующей схеме. Допустим, f Mb (X) и существует ограниченная на правленность (g )A L, поточечно возрастающая к f. Из оценки T g T g W ( g g ) (, A) следует o-фундаментальность направленности T g. Теперь полагаем T0 f = o- lim T g. Если обо значим через Cb конус всех ограниченных полунепрерывных снизу функций на X, то T можно продолжить до мажорируемого опера тора T0 : M0 Y, где M0 = Cb Cb. Дальнейшее продолжение оператора T0 осуществляется с помощью трансфинитной индукции до первого несчетного ординала 1.

Оценка нормы при этом сохраняется:

(f M0 ).

W (|f |) T0 f 304 Глава Предположим, что для всех ординалов 1 мы уже опре делили линейные подрешетки M Mb (X) и линейные операторы T : M Y, удовлетворяющие оценкам (f M ) W (|f |) T f и такие, что M M, T |M = T при. Если – предельный ординал, то полагаем M := {M : } и опре деляем линейный оператор T : M Y так, чтобы T |M = T ( ). Если непредельный ординал, то рассматриваем множе ство M1 всех x Mb (X), являющихся супремумами ограниченных счетных подмножеств из M1. Если возрастающая последователь ность (fn )nN содержится в M1 и supn fn = f M1, то из сооб ражений, аналогичных вышеприведенным, следует o-фундаменталь ность последовательности (T1 fn )nN. Значит, можно будет поло жить T1 f := o- lim T1 fn. Из секвенциальной o-непрерывности оператора W видно, что таким способом корректно определяется оператор T1 : M1 Y, удовлетворяющий неравенствам f M1 ).

T1 f Wf ( Из соображений, аналогичных вышеприведенным, следует, что T можно продолжить по аддитивности до линейного оператора T :

M Y, где M := M1 M линейная подрешетка в Mb (X). Теперь легко понять, что Mb (X) = M1 и оператор T1 := T является секвенциально o-непрерывным продолжением оператора T на пространство Mb (X). Мажорированность оператора вытекает из оценки W (|f |) (f Mb (X)).

T1 f Мера µ теперь определяется из равенств µ(E) = T1 (E ) (E B).

Докажем, что она квазирегулярна. Пусть U T. Тогда функ ция U полунепрерывна снизу и по построению µ (U ) = T (U ) = { T f : f L+, f U }. Для фиксированных 0 и f U, f L, положим F = {x X : f (x) }. Тогда f F + 1X и µ (F ) + µ (U ). Это означает, что µ (U ) = { µ (F ) : F Tf F, F U }. Аналогичным образом из условия (3.1) доказывается, что µ (X) = { µ (K) : K K }. В силу леммы 5.2.8 меры µ и µ квазирадоновы.

5.3. Интегральные представления и продолжение мер Наоборот, допустим, что T имеет интегральное представление (3.1) с квазирадоновой мерой µ F bca(B, Y ). Если K K, то µ (X\K) = { µ (K ) : K K, K U \K}. Так как для любого K U \K существует функция f L такая, что 0 f 1X и f [K ] = {0}, f [K] = {1}, то µ (K) = { T f : f L, f K }.

Следовательно, будет выполняться равенство (3.2).

В качестве первого применения этой теоремы рассмотрим за дачу о продолжении квазирадоновой меры, являющуюся одним из вариантов известной теоремы Прохорова.

5.3.2. Определение. Алгебра A0 2X называется плотной, если выполняются условия:

(1) для любого V A0 T0 существует функция S(A0 ) Cb (X) такая, что V = {x X : (x) 0};

(2) векторная решетка L = S(A0 ) Cb (X) порождает T.

5.3.3. Теорема. Пусть квазирадонова мера µ0 F ba(A0, Y ) определена на плотной алгебре A0 = A (F0 A0 ). Тогда существует единственная квазирадонова мера µ F bca(B, Y ), продолжаю щая µ0.

На векторной решетке L = S(A0 ) Cb (X) рассмотрим мажо рируемый оператор T : L Y, определяемый равенствами T f = f dµ0 (f L). Так как L разделяет компактные множества из X, то мажорантная норма T удовлетворяет условию (3.2). Поэтому существует единственная квазирадонова мера µ F bca(B, Y ), для которой справедливо интегральное представление (3.1). Пока жем, что µ продолжает µ0. Для этого достаточно доказать, что если U T0 \A0, то µ0 (U ) = µ(U ). Из условия плотности алгебры A следует существование функции L такой, что U = {x X :

(x) 0}. Полагаем n = (n) 1X (n N). Тогда n U и из -аддитивности мер µ, µ0 получаем µ0 (U ) = o- lim n dµ0 = o- lim n dµ = µ(U ).

В известных в литературе теоремах о продолжении -аддитив ных мер со значениями в упорядоченном пространстве предпола гается выполнение в пространстве образов закона слабой (, ) дистрибутивности (см. [14–16]). Из теоремы 5.3.1 следует, что этот результат справедлив и для некоторых классов некомпактных про странств.

306 Глава 5.3.4. Следствие. Пусть X локально-компактное -компакт ное топологическое пространство и дана алгебра A0 = A (F0 A0 ).

Тогда любая мера µ0 F bca(A0, Y ) продолжается единственным образом до квазирадоновой меры µ F bca(B, Y ).

Отметим, что требование локальной компактности простран ства X в следствии 5.3.4 является существенным. Более того, спра ведлива 5.3.5. Лемма. Пусть -полная булева алгебра B не обладает свойством слабой -дистрибутивности. Тогда существует F -подмножество X в канторовом дисконтинууме {0, 1} и существует -гомоморфизм µ0 : U (X) B, заданный на алгебре U (X) всех открыто-замкнутых подмножеств X, который не продолжается до -гомоморфизма боре левской -алгебры пространства X в B.

Так как на B не выполняется свойство слабой -дистрибу тивности, то существуют ненулевые элементы e B, ei,j B (i, j N) 0 при j (i N) и для любой функции такие, что ei,j : N N имеет место i=1 ei,(i) = e. По теореме Стоуна реа лизуем B алгеброй всех открыто-замкнутых подмножеств Clop(Q) в квазиэкстремальном компакте Q. Пусть h стоуновский изомор физм B на Clop(Q). Пусть h(ei,j ) (Q\h(e)).

E= i=1 j= Рассмотрим в E счетную алгебру E, порожденную множествами Q\h(e), h(ei,j ) E (i, j N). Рассмотрим E в качестве базы новой топологии на E. Полученное топологическое пространство (E, T ) регулярно. Пусть E фактор-пространство пространства E по разбиению замыканий одноточечных множеств. Пространство E с фактор-топологией T является отделимым, регулярным, -ком пактным, вполне несвязным и имеет счетную базу. По теореме Алек сандрова оно гомеоморфно F -подмножеству X в канторовом дис континууме {0, 1}. Пусть гомеоморфизм E на X и p канони ческая проекция E на E. Рассмотрим любое открыто-замкнутое под множество U в X. Тогда множество ( p)1 (U ) открыто-замкнуто в E. Существует открытое множество V Q такое, что V E = ( p)1 (U ). Если x U, то ( p)1 (x) является пересечением 5.3. Интегральные представления и продолжение мер счетной последовательности элементов h(e), h(ei,j ) и их дополне ний. Следовательно, существует открыто-замкнутое Vx такое, что (p)1 (x) Vx V. Так как каждое Vx является конечным пересе чением элементов из счетного семейства Q\h(e), h(ei,j ), h(e)\h(ei,j ), то существует открытое F -множество V1 V, для которого V E = V1 E. В силу квазиэкстремальности замыкание W = c1(V1 ) будет открыто-замкнутым в Q, и для него тоже выполняется равенство W E = ( p)1 (U ). Теперь полагаем µ0 (U ) = h1 (W ). По строенный -гомоморфизм µ0 : U (X) B алгебры U (X) открыто замкнутых подмножеств X в B не продолжается на борелевскую алгебру B пространства X. Допустим, существует такое продолже ние µ : B B. Тогда для множеств Ei,j = h(ei,j E) будем иметь p(Ei,j ) = e=µ ei,j = 0.

i=1 j=1 i=1 j= Полученное противоречие доказывает лемму.

Аналогичным образом устанавливается 5.3.6. Лемма. Пусть на полной булевой алгебре B не выпол няется закон слабой (, )-дистрибутивности. Тогда существуют F -подмножество X в обобщенном канторовом дисконтинууме и гомоморфизм µ0 : U (X) B, который не продолжается до квази радонового -гомоморфизма борелевской -алгебры пространства X в B.


От требования -компактности X в следствии 5.3.4 тоже нельзя отказываться. В этом легко можно убедиться, взяв в качестве X несчетное дискретное пространство.

Рассмотрим теорему о представлении мажорируемого операто ра, заданного на векторной решетке, не содержащей единицу.

: C0 (X) Y назовем мажорируемым, Линейный оператор если существует положительный оператор : C0 (X) F такой, что (|f |) (f C0 (X)).

(f ) (3.4) При этом существует наименьший положительный оператор с ука занным свойством, который обозначают через.

308 Глава : C0 (X) Y 5.3.7. Теорема. Пусть мажорируемый оператор удовлетворяет неравенству (f C0 (X)+ ) (f ) bf при некотором b F +. Тогда существует единственная мера µ из qca(X, Y ) такая, что f ()µ(d) (f C0 (X)).

(f ) = X Пусть ограничение оператора на C00 (X). По теореме Райта (см. [17, теорема 1]) существует единственная квазирегуляр ная мера : B(X) F + {}, порядково ограниченная на компак тах из X, для которой f ()(d) (f C00 (X)).

(f ) = X Представляющая мера в нашем случае порядково ограничена, так как из неравенства (f C00 (X)+ ) (f ) bf следует оценка (X) = sup{ (f ) : f C00 (X), 0 1X } f b.

Тем самым qca(X, F )+. Пусть направленность (f )A из C00 (X) возрастая сходится поточечно к 1X. Из оценки (f ) (f ) (|f f |) = |f () f ()|(d) X следует o-фундаментальность направленности { (f ) : A}.

Если f = f0 + a1X, где f C00 (X), a R, то полагаем (f ) = o- lim (f0 + af ).

A 5.4. Теорема Фубини Ясно, что такое определение корректно. Мы исключаем из рассмот рения случай, когда само пространство X компактно. Таким обра зом, определено продолжение до линейного оператора, опреде ленного на векторной решетке функций L = C00 (X) R · 1X, имею щей порядковую единицу. Докажем мажорируемость оператора.

Пусть f L + и f = f0 + a1X (f0 C00 (X), a R). Тогда будем иметь a 0 и f0 := (f0 ) 0 a1X. При a 0 направленность g = f f0 /a также возрастает к 1X. Поэтому в силу мажорант ной оценки (3.4) получаем (f0 ) a (g ) (f ) = o- lim A + ag f0 = f0 + o- lim (f ).

A Следовательно, оператор мажорируемый и определен на вектор ной решетке функций, удовлетворяющей всем условиям теоремы 5.3.1. В силу этой теоремы существует единственная мера µ qca(X, Y ) такая, что (f L ).

(f ) = f ()µ(d) X Так как оператор является продолжением оператора, то f ()µ(d) (f C00 (X)).

(f ) = X Из квазирадоновости меры µ следует справедливость этого пред ставления для всех f из C0 (X).

5.4. Теорема Фубини Рассмотрим o-полные K-нормированные пространства Y, Y и Z с нормирующими K-пространствами F, F и G соответственно.

Пусть задано билинейное отображение : Y Y Z, которое мажорируется положительным o-непрерывным билинейным отобра жением : F F G, т. е.

yy yy (y Y, y Y ).

310 Глава Кроме этого, пусть X и X два полных по Чеху топологических пространства. Рассмотрим две борелевские меры µ : BX Y и µ :

BX Y. Обозначаем C := BXX. Через A A будем обозначать алгебру подмножеств, порожденную всеми прямоугольниками A A, где A A, A A. Задача состоит в построении борелевской меры µ µ : C Z такой, что (B BX, B BX ).

(µ µ )(B B ) = µ(B) µ (B ) Будем называть меру µ µ произведением мер µ и µ.

Рассмотрим несколько примеров.

Примеры. (1) Пусть Y := F и Y := F, где F и F фундамен ты одного и того же расширенного K-пространства mF = mF, в ко тором фиксирована единица 1. Тогда в пространстве mF однозначно определено умножение, превращающее его в решеточно упорядочен ное кольцо с единицей 1. Возьмем еще один фундамент G mF та кой, что F · F G. В этом случае для любой пары элементов x F и x F определено их произведение x · x G;

o-непрерывность такого произведения и равенство |x · x | = |x| · |x | (x F, x F ) хорошо известны, и мы можем говорить о произведении двух боре левских мер µ : BX F и µ : BX F. Если F = F = G, то F будет упорядоченным кольцом, и все меры µ, µ, µ µ будут принимать значения в одном и том же K-пространстве F.

(2) Пусть Y = F = Orth(F ) и векторная норма пространства Y разложима (см. [9]). Известно [9], что в этом случае на Y можно определить структуру F -модуля, т. е. задать билинейное отображе ние из F Y в Y такое, что a · y = |a| · y (a F, y Y ). Если даны борелевские меры µ : BX F и µ : BX Y, то можно говорить об их произведении µ µ : C Y. При F = R имеем дело с обычным умножением скалярной меры на векторную.

(3) Будем считать, что F и F являются фундаментами одно го расширенного K-пространства mF = mF, в котором фиксиро вана порядковая единица, определяющая умножение в mF. Пусть G := Orth(F ) Orth(F ) и для любых a F, a F определено произведение a · a mF. Кроме этого, считаем, что векторные нор мы пространств Y и Y разложимы. Тогда по [9] на Y и Y можно определить структуру G-модуля. Пусть Y G Y алгебраическое тензорное произведение G-модулей Y и Y, см. [18]. Рассмотрим 5.4. Теорема Фубини векторную полунорму на Y G Y со значениями в mF, определяе мую формулой n yk · y z := inf, k= где inf в K-пространстве mF берется по всевозможным представле n ниям элемента z в виде k=1 yk yk, yk Y, yk Y (k := 1,..., n).

Так как G коммутативное кольцо, то пространства Y и Y на делены структурой бимодуля. Поэтому их тензорное произведение Y G Y тоже является G-модулем (см. [18, п. 10.2.2]). Значит, вы полняется равенство g·z = g Z (g G, z Y G Y ).

В частности, полунорма разложима.

Выделим в Y G Y подпространство Z := {z Y G Y : z = 0}. Следуя [9], можно построить o-пополнение фактор-пространства (Y G Y )/Z по норме.

Это пополнение естественно называть проективным тензорным произведением K-нормированных пространств Y и Y, которое бу дем обозначать через Y G Y. Обозначаем через y y тензорное произведение двух элементов y Y, y Y. Очевидно, y y = y · y (y Y, y Y ) (мы сохраняем за фактор-нормой на Y G Y прежнее обозначение · );

o-непрерывность билинейного отображе ния : Y Y Y Y очевидна. Следовательно, мы можем вве сти в рассмотрение тензорное произведение µ µ : C Y G Y двух борелевских мер µ : BX Y и µ : BX Y. Аналогич но можно определить индуктивное тензорное произведение. Суще ствует также другой способ построения тензорного произведения K нормированных пространств с привлечением методов булевозначно го анализа, см. [9].

Будем говорить, что умножения : Y Y Z и : F F G связаны кросс-равенством, если yy = y y (y Y, y Y ).

В примерах (1), (2) и (3) рассмотрены умножения как раз такого сорта.

312 Глава 5.4.1. Лемма. Если для двух борелевских мер µ : BX Y и µ : BX Y существует произведение µ µ : C Z, являющееся квазирадоновой мерой, то оно единственно.

Возьмем открытое множество U X X и компактное под множество K U. Тогда существуют конечные наборы откры тых подмножеств Uk X, Uk X (k := 1,..., n) такие, что K n k=1 (Uk Uk ) U. Ввиду квазирадоновости µ µ будет µ µ (U ) = sup{ µ µ (K) : K U, K KXX } = = sup{ µ µ (V ) : V U, V BX BX }.

Значит, µ µ (U ) = o- lim{µ µ (V ) : V U, V BX BX }.

Но мера µ µ на алгебре BX BX определяется однозначно по зна чениям µ µ (B B ) (B BX, B BX ). Тогда и µ µ (U ) опре деляется однозначно. Из -аддитивности сразу следует однозначная определенность всех значений µ µ (C) (C C).

5.4.2. Теорема. Пусть X и X полные по Чеху топологиче ские пространства и µ : BX Y, µ : BX Y квазирадоновы меры. Тогда существует их произведение µ µ : C Z, являюще еся квазирадоновой мерой. Для векторных вариаций справедливо неравенство µ µ µ µ. Если умножения и связаны кросс-равенством, то µ µ = µ µ.

Обозначим через X, X компактификации Стоуна Чеха пространств X и X. Рассмотрим меры µ : BX Y, µ : BX Y, определяемые равенствами µ(B) = µ(BX), µ (B ) = µ (B X ) (B BX, B BX ). Существует единственная мера : BX BX Z, для которой (A A ) = µ(A) µ (A ) (A BX, A BX ). Лег ко проверяется, что мера имеет ограниченную векторную вариа µ µ. Покажем, что удовлетворяет услови цию, при этом ям плотности из определения 5.3.2. Условие (1) очевидно. Условие (2) достаточно проверить на произвольном множестве A A, где A BX, A BX. Пусть последовательности (Ak )kN BX и (Ak )kN BX такие, что A = Ak, A = Ak, cl(Ak ) k=1 k= A, cl(Ak ) A (k N). Тогда cl(Ak Ak ) A A и inf { (A A \Ak Ak )} inf{ µ (A\Ak ) µ (A Ak )} = 0.

k 5.4. Теорема Фубини Из теоремы 5.3.3 следует существование квазирегулярной ме ры µ µ : BXX Z, продолжающей. По определению µ(A) µ (A ) = µ µ (A A ). Из квазирегулярности мер µ, µ, µ µ и o-непрерывности умножения вытекает справедливость этого равенства для любых A T и A T. Из -аддитивности и леммы о монотонном классе следует, что это равенство справед ливо для любых A BX, A BX. Отсюда видно, что ме ра µ µ действительно является произведением мер µ и µ. Так как значения µ µ на всех борелевских подмножествах множе ства (X (X \X )) ((X\X) X ) равны нулю, то, рассматри вая ограничение µ µ на борелевские подмножества пространства X X X X, мы получим требуемое произведение µ µ мер µ и µ, являющееся квазирегулярной борелевской мерой. Векторные вариации µ и µ тоже удовлетворяют условию этой теоремы, по этому существует их произведение µ µ : C G. Кроме этого, как легко видеть, µ µ µ µ. Квазирадоновость меры µ µ выводится из этого неравенства, из квазирегулярности µ µ и того, что inf{ µ µ (X X \K K ) : K KX, K KX } inf{ µ (X) µ (X \K ) + µ (X\K) µ (X )} = 0.

Допустим, что умножения и связаны кросс-равенством. Пусть (Ck )n BX и (Cl )m BX произвольные разбиения множеств k=1 l= C BX C BX соответственно. Тогда (Ck Cl )n m k=1,l=1 является разбиением для C C и мы имеем n m n m µ(Ck ) µ µ ((Ck Cl ) µ µ (C C ).

µ (Cl ) = k=1 l=1 k=1 l= Это влечет неравенство µ µ (C C ) µ µ (C C ), которое по аддитивности распространяется на произвольные конеч ные объединения множеств вида C C (C BX, C BX ), т. е.

оно справедливо для множеств из BX BX. Квазирадоновость и аддитивность µ µ позволяют распространить это неравенство на произвольные множества из C. Значит, µ µ µ µ. Как уже отмечалось, обратное неравенство выполняется всегда. Отсюда µµ = µ µ.

314 Глава 5.4.3. Замечание. На самом деле теорема 5.4.2 справедлива, если считать X и X произвольными вполне регулярными простран ствами, образующими борелевские подмножества в каких-нибудь из своих компактификаций.

5.4.4. Замечание. Произведение борелевских мер на локально компактных пространствах, принимающих значения в монотонно полном упорядоченном векторном пространстве, построено в [19].

Для K-пространств этот результат содержится в теореме 5.4.2. С другой стороны, если в примере 3 взять F = F = R, то теорема 5.4.2 дает существование тензорного произведения банаховозначных мер (см. [20–22]).

Теперь мы переходим к изложению вопросов, связанных с тео ремой Фубини. Для этого необходимо определить новый интеграл от векторной функции по векторной мере. Пусть X и X полные по Чеху топологические пространства. Обозначим через M (X, Y ) пространство всех функций f : X Y, представимых в виде f = y1 g1 +· · ·+yn gn, где yk Y и gk : X R ограниченные измеримые по Борелю функции. Пусть также µ : BX Y и µ : BX Y, квазирадоновы меры. Для любой функции f M (X, Y ), имеющей вышеприведенное представление, полагаем по определению n yi f dµ = gk dµ.

k= Стандартным образом проверяется корректность такого определе ния интеграла. Легко устанавливается также оценка µ (X ), f dµ f где f := sup{ f (t) : t X }. Пусть M (X, Y ) r-замыкание про странства M (X, Y ) по норме ·, т. е. f M (X, Y ) тогда и толь ко тогда, когда существуют последовательность функций (fn )nN M (X, Y ) и регулятор b F + такие, что f fn n1 b. Теперь по непрерывности в такой норме мы можем определить интеграл по мере µ от любой функции f M (X, Y ) с сохранением вышеприве денной нормативной оценки.

Обозначим через M (X X ) пространство вещественных функ ций на X X, являющихся равномерными пределами функций h 5.4. Теорема Фубини n на X X, представимых в виде h = i=1 gi gi, где gi : X R и gi : X R ограниченные измеримые по Борелю функции. Для любого t X функция h(·, t ) измерима по Борелю, и поэтому су ществует интеграл n h(·, t )dµ = f (t ) = yi gi (t ), i= hdµ M (X, Y ) и где yi = gi dµ (i = 1,..., n). Значит, n hdµ dµ = gi dµ hd(µ µ ).

gi dµ = i= Переходя в этих равенствах к соответствующим r-пределам, мы по лучаем следующую теорему Фубини.

5.4.5. Теорема. Пусть h M (X X ). Тогда hdµ M (X, Y ), hdµ M (X, Y ) и hdµ dµ = hd(µ µ ) = dµ hdµ.

Класс функций M (X X ) не очень широк, но когда простран ства X и X компактны, имеет место включение C(X X ) M (X X ). Оказывается, что в общем виде для произвольных ограничен ных измеримых на X X функций теорема Фубини просто не верна.

Пример. Пусть X = X = [0, 1], а Y = F = Y = F = M [0, 1] пространство всех классов эквивалентности по лебеговой мере боре левских ограниченных функций на [0, 1]. Для любого борелевского A [0, 1] полагаем µ(A) = [A ] класс эквивалентности, содержа щий характеристическую функцию A. В качестве операции умно жения в M [0, 1] рассмотрим обычное умножение функций. Тогда, очевидно, µ µ(A B) = [AB ] (A, B B[0,1] ).

диагональ квадрата [0, 1] [0, 1], := {(t, t) : t [0, 1]}.

Пусть Полагаем P (t, u) = t. Теперь можно в явном виде выписать меру µ µ, а именно:

(µ µ)(C) = µ(P ( C)) = [P ( C) ] 316 Глава для любого борелевского C [0, 1] [0, 1]. Тогда (µ µ)( ) = 1 = d(µ µ).

Но для любого фиксированного выполнено t [0, 1] (·, t )dµ = µ({t }) = 0.

Значит, при любом разумном определении интеграла от функций f : [0, 1] M [0, 1] мы должны будем иметь d(µ µ).

dµ dµ = 0 = Этот пример показывает, что теорема Фубини для функции в принципе не может выполняться.

Интеграл от вектор-функции : G Y по радоновой мере : B(G) R строится по типу интеграла Бохнера. Для простых функций вида n (y1,..., yn Y, B1,..., Bn B(G)) s= yj 1Bj j= полагаем, как обычно, n s(g)(dg) = yj (Bj ).

j= G Далее определяем пространство интегрируемых функций L (G, Y ), полагая L (G, Y ) в том и только в том случае, когда имеется направленность простых функций (s )A, для которой b F +, sup{ s (g) : A, g G} (K K (G)).

inf sup{ (g) s (g) :, g K} = A 5.4. Теорема Фубини После этого считаем, что (g)(dg) = o- lim s (g)(dg).

A G G Вектор-функция : G Y называется равномерно o-непрерыв ной на множестве K, если inf sup{ (g1 ) (g2 ) : g1, g2 K, g1 g2 U } = 0.

U U Понятно, что порядково ограниченные и равномерно o-непре рывные на компактах K X отображения входят в L (G, Y ).

Пусть 1 : B(G1 ) C, 2 : B(G2 ) C две радоновы ме ры, определенные на борелевских -алгебрах локально-компактных групп G1 и G2. Их прямое произведение = 1 2 : B(G1 G2 ) C также является радоновой мерой.

5.4.6. Теорема. Пусть : G1 G2 Y является равномерно o непрерывным на компактах порядково ограниченным отображением и 1 (g1 ) = (g1, g2 ) 2 (dg2 ), 2 (g2 ) = (g1, g2 ) 1 (dg1 ).

G2 G Тогда отображения 1 : G1 Y, 2 : G2 Y равномерно o непрерывны на компактах и порядково ограничены, причем (g)(dg) = 1 (g1 )1 (dg1 ) = 2 (g2 )2 (dg2 ).

G1 G2 G1 G Порядковая ограниченность отображений 1, 2 очевидна.

Возьмем K1 K (G1 ) и докажем равномерную o-непрерывность отображения 1 на K1. Обозначим b = sup{ (g) : g G1 G2 }.

Пусть U = U1 U2, где U1 и U2 любые окрестности нуля в группах G1 и G2 соответственно. Для любого K2 K (G2 ) полагаем bU = sup{ (g) (h) : g, h K1 K2, g h U }.

318 Глава По условию направленность bU убывает к нулю. Справедлива оценка 1 (g1 ) 1 (h1 ) |2 |(G2 )bU + |2 |(G2 \ K2 )b.

Отсюда следует, что inf sup{ 1 (g1 ) 1 (h1 ) : g1, h1 K1, g1 h1 U1 } |2 |(G2 \ K2 )b.

U Так как K2 K (G2 ) произвольно, а мера 2 радонова, из этой оцен ки видна равномерная o-непрерывность отображения 1 на любом компакте K1 K (G1 ). То же самое верно для 2.

Возьмем теперь любые окрестности нуля U1 и U2 в группах G и G2 и произвольные K1 K (G1 ), K2 K (G2 ). Рассмотрим два разбиения единицы (для K1 и K2 соответственно):

{uj }n C00 (G1 )+, {vk }m C00 (G2 )+ j=1 k= такие, что из g1, h1 supp uj, g2, h2 supp vk следует g1 h1 U1, g2 h2 U2 (j = 1,..., n, k = 1,..., m).

Выберем по элементу g1,j supp uj, g2,k supp vk (j = 1,..., n, k = 1,..., m). Справедливы оценки (g)(dg) (g1,j, g2,k )uj (g1 )vk (g2 )(dg) j,k K K K1 K2 1 ||(G1 G2 )bU, 1 (g1 )1 (dg1 ) K (g1,j, g2,k )uj (g1 )vk (g2 )1 (dg1 )2 (dg2 ) j K K 1 (g1, g2 ) (g1,j, g2,k ) vk (g2 )|2 |(dg2 ) uj (g1 )|1 |(dg1 )+ j,k K K (g1, g2 ) |2 |(dg2 ) |1 |(dg1 ) + K1 G2 \K |1 |(G1 )|2 |(G2 )bU + |1 |(G1 )|2 |(G2 \ K2 )b.

5.5. Проблема моментов Хаусдорфа Здесь g = (g1, g2 ), U = U1 U2, а b и bU те же, что и выше.

Кроме того, (g)(dg) ||(G1 G2 \ K1 K2 )b, (g)(dg) G1 G2 K1 K 1 (g1 )1 (dg1 ) |1 |(G1 \ K1 )|2 |(G2 )b.

1 (g1 )1 (dg1 ) G1 K Следовательно, (g)(dg) 2||(G1 G2 )bU + 1 (g1 )1 (dg1 ) G1 G2 G +2(|1 |(G1 \ K1 )|2 |(G2 ) + |1 |(G1 )|2 |(G2 \ K2 ))b.

После перехода к o-пределу по убывающей направленности bU и по возрастающим направленностям K1 K (G1 ), K2 K (G2 ) получа ем требуемое равенство (g)(dg) = 1 (g1 )1 (dg1 ).

G1 G2 G Аналогичным образом получается второе равенство (g)(dg) = 2 (g2 )2 (dg2 ).

G1 G2 G 5.5. Проблема моментов Хаусдорфа Классическая задача о нахождении борелевской меры по извест ной моментной последовательности (именуемая проблемой момен тов, см., например, [3, 23, 24]) продолжает привлекать внимание и в настоящее время. Об этом свидетельствуют недавние публикации [25–27]. Одно из интересных обобщений указанной задачи связа но с рассмотрением векторной или операторной моментной последо вательности [28–32]. Здесь рассматривается следующая векторная постановка: по заданной последовательности (ak ) из решеточно k= 320 Глава нормированного пространства Y требуется найти Y -значную боре левскую меру на отрезке [0, 1], для которой k-й момент совпадает с ak (k = {0, 1, 2,... }). Стоит особо выделить два частных случая векторной проблемы моментов, в которых Y пространство Канто ровича.

Пусть T самосопряженный оператор в гильбертовом прост ранстве (не обязательно ограниченный). Требуется отыскать спект ральную меру µ, для которой Tk = k dµ (k ).

R Как видно, это переформулировка задачи о спектральном разложе нии. Близкие постановки рассматривались в [28–31].

Пусть теперь (ak ) последовательность случайных величин k= на вероятностном пространстве (Q,, P ). Требуется найти случай ную меру (µt )tQ на борелевской -алгебре B(R) такую, что равен ства ak (t) = k dµt () (k ) R выполняются для почти всех t Q. Под случайной мерой понима ется семейство счетно-аддитивных мер (µt )tQ, для которого отоб ражение µ(·) (B) · t µt (B) (t Q) измеримо для любого B B(R). Случайной мере (µt )tQ однозначно соответствует векторная мера µ, определяемая тем условием, что µ(E) класс эквивалентности измеримой функции µ(·) (E).

5.5.1. Определение. Называем последовательность векторов (ak ) F позитивной (по Хаусдорфу), если справедливы нера k= венства n (1)k Cn ak+l k (n, l ).

k= 5.5.2. Определение. Последовательность векторов (yk ) k= Y называется мажорируемой (по Хаусдорфу), если существует по следовательность (ak ) F такая, что k= n n (1)k Cn yk+l k (1)k Cn ak+l k (n, l ).

k=0 k= 5.5. Проблема моментов Хаусдорфа 5.5.3. Теорема. Для данной последовательности (yk ) Y k= существует единственная борелевская мера µ : B([0, 1]) Y огра ниченной векторной вариации, удовлетворяющая равенствам k dµ (k ), yk = тогда и только тогда, когда последовательность (yk ) мажорируе k= ма (по Хаусдорфу).

Определим линейный оператор U на пространстве полиномов P[0, 1] со значениями в F следующим образом:

n n U (p) = pk k.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.