«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА Нестандартные методы анализа А. Е. Гутман, Э. Ю. Емельянов, ...»

4.9.6. Из теорем 4.3.6 и 4.3.3 следует, что регулярная оболочка порядково сепарабельной архимедовой векторной решетки, в кото рой для любой последовательности порядковая сходимость и (r)-схо димость совпадают, также является архимедовой. Другой случай описывается в следующем утверждении.

Теорема. Пусть E векторная решетка, в которой для любой последовательности (xn ) E+ существует последовательность (n ) строго положительных вещественных чисел, для которой {n xn } по рядково ограничено. Тогда (r)-E является архимедовой.

Ввиду теоремы 4.3.5 нам нужно показать, что ( E) (r)-за (r) мкнутый идеал в n( E). Для этого рассмотрим 0 vn и vn v, где vn ( E). Достаточно доказать, что v ( E).

4.10. Порядковые и регулярные оболочки РНП (r) Так как vn v, существуют последовательность (n ) R+, сходящаяся к 0, и элемент d E+, для которых |vn v| n d при всех n N. Так как vn ( E), найдется элемент wn E такой, что 0 kvn wn одновременно для всех k N. Пользуясь предположением, возьмем 0 n R и w E такие, что n wn w для всех n N. Следовательно, |v| |vn v| + |v| n d + max{n, 1/n}n wn max{n, 1/n}(d + w) для всех n N. Пользуясь тем, что n 0, имеем v ( E).

Следствие. Регулярная оболочка банаховой решетки является архимедовой.

Существуют неархимедовы векторные решетки, чьи регулярные оболочки также не являются архимедовыми. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пример векторной решетки L, описанной Т. Нака ямой (см. [21, пример 62.2]). Идеал I0 (L) := x L : (y L)(n N) |nx| y не является (r)-замкнутым в L. Следовательно, существуют после довательность (xn ) I0 (L), 0 xn, и элемент x L такие, что (r) xn x I0 (L).

Поскольку I0 (L) = ( L) L, идеал ( L) не является (r)-замкну тым в n( L). Отсюда по теореме Векслера (см. [21, теорема 60.2]), (r)-L неархимедова. Вопрос об архимедовости регулярной оболочки произвольной архимедовой векторной решетки остается открытым.

4.10. Порядковые и регулярные оболочки решеточно нормированных пространств В этом параграфе определяются и изучаются порядковые и ре гулярные оболочки решеточно нормированных пространств.

4.10.1. Пусть (X,, E) внутреннее РНП, нормированное стандартной решеткой E. Рассмотрим следующие внешние под пространства внутреннего векторного пространства X :

n(X ) := x X : (x) n( E), (X ) := x X : (x) ( E), (X ) := x X : (x) ( E).

270 Глава Векторные пространства (X ) и (X ) являются подпростран ствами в n(X ). Стало быть, можно рассматривать следующие фактор-пространства:

(o)-X := n(X )/(X ), (r)-X := n(X )/(X ).

Обозначим через [x] класс эквивалентности x + (X ) в (o)- X и класс эквивалентности x+(X ) в (r)- X, где x n(X ).

через x Для x n(X ) положим [x] := (x) + ( E), := (x) + ( E).

(r) x Легко видеть, что отображения : (o)- X (o)-E и (r) :

(r)- X (r)-E определены корректно.

Определение. Назовем РНП (o)-X,, (o)-E соответствен но (r)-X, (r), (r)-E порядковой оболочкой (соответственно регу лярной оболочкой) внутреннего РНП (X,, E).

4.10.2. Теорема. Пусть (X,, E) внутреннее разложимое РНП со стандартной нормирующей векторной решеткой E. Тогда его порядковая и регулярная оболочки являются разложимыми и (r)-полными РНП.

Рассмотрим внешнее РНП n(X ),, n( E). Доказатель ство (r)-полноты n(X ),, n( E) почти такое же, как и дока зательство (r)-полноты векторной решетки n( E) в разделе 4.8. достаточно заменить n( E) на n(X ) и вести рассмотрение от носительно нормы. Легко видеть, что норма является раз ложимой в n(X ). Поскольку порядковая оболочка (соответствен но регулярная оболочка) (X,, E) является фактор-пространством РНП n(X ),, n( E) по идеалу ( E) соответственно по идеа лу ( E) в n( E), использование предложения 4.0.14 завершает доказательство.

4.10.3. Пусть (E, · ) нормированная векторная решетка.

Условное пополнение E = (E) для E является нормированной век торной решеткой с нормой x := inf{ e : e E & (e) |x|}. (2) 4.10. Порядковые и регулярные оболочки РНП РНП (o)-E является нормированной векторной решеткой с нормой x := inf{ e : e E & (e) |x|} (x (o)-E), которая продолжает норму (2) из E до (o)-E. Заметим, что вло жения : (E, · ) (E, · ) и (E, · ) ((o)-E, · ) являются изометрическими.

Напомним, что нормированная векторная решетка (E, · ) удо влетворяет слабому условию Рисса Фишера, если каждая после довательность (vn ) E, обладающая свойством, n=1 vn порядково ограничена.

Теорема. Нормированная решетка ((o)-E, · ) является банахо вой тогда и только тогда, когда (E, · ) удовлетворяет слабому усло вию Рисса Фишера.

Допустим, что (E, · ) удовлетворяет слабому условию Рисса Фишера. Тогда E банахова решетка с нормой (7) из [28, теоре ма 101.6]. Применяя результат [16, теорема 4.1.2], из (r)-полноты РНП ((o)-E, p, E), где p(x) = inf {(e) : e E & (e) |x|}, E получаем, что ((o)-E, · ) является банаховой решеткой.

Наоборот, предположим, что ((o)-E, · ) банахова решетка, и рассмотрим произвольную последовательность (vn ) E, для кото рой n=1 vn. Тогда (|vn |) = vn.

n=1 n= Следовательно, существует u (o)-E, (|vn |) (o)-E.

u = (o) n= Поскольку (E) является конфинальным в (o)-E, существует эле мент v E такой, что (v) u. Очевидно, (vn ) [v, v]. Отсюда получаем, что для (E, · ) выполнено слабое условие Рисса Фи шера.

272 Глава 4.10.4. Далее всюду в этом параграфе предполагаем, что ре шетка E архимедова. Рассмотрим фактор-решетку E := o-pns( E)/( E) и напомним, что по теореме 4.4.1 векторная решетка E является условным пополнением E. Сначала установим несколько лемм.

Лемма. Пусть y o-pns(E). Тогда [y] = inf (U (y)).

E Поскольку L(y) y U (y) и E условно полна, выполнены следующие неравенства:

sup (L(y)) [y] inf (U (y)).

E E Следовательно, inf (U (y)) [y] inf (U (y)) sup (L(y)) inf (U (y) L(y)).

E E E E Поскольку y o-pns(E), имеем inf E (U (y) L(y)) = 0. Отсюда inf (U (y) L(y)) = 0, E так как решетка E является условным пополнением ее подрешетки (E). Тем самым из установленного выше неравенства получаем [y] = inf E (U (y)).

4.10.5. Лемма. Каждое непустое порядково ограниченное под множество D E имеет супремум и инфимум в (o)-E. Более того, (1) inf (o)-E D = inf E D;

(2) sup(o)-E D = supE D.

(1) Допустим, что D E и D =. Достаточно показать, что из inf E D = 0 вытекает равенство inf (o)-E D = 0. Возьмем n(E), D. Для завершения доказательства для которого 0 и [] 4.10. Порядковые и регулярные оболочки РНП остается установить, что [] = 0, или, другими словами, нужно про верить условие inf E U () = 0. Предположим, что элемент a E удовлетворяет неравенству 0 a U (), (3) и возьмем какое-нибудь d D. Тогда d = [] для некоторого o-pns(E). Очевидно, что = + ( )+ U () + U (( )+ ).

Следовательно, U () + U (( )+ ) U (). (4) Из формул (3) и (4) вытекает, что U () + U (( )+ ).

0 a (5) Используя лемму 4.1.2 и условную полноту E, из (5) получаем, что 0 (1) inf (U ())+inf (U (()+ )) = []+inf (U (()+ )). (6) E E E В то же самое время [( )+ ] = ([] d)+ = 0. Значит, inf E U (( )+ ) = 0. Следовательно, получаем inf E (U (( )+ )) = 0. Теперь из (6) следует, что 0 (1) [] = d. (7) Ввиду произвольности d D, из inf E D = 0 и формулы (7) получаем a = 0, что и требовалось.

Утверждение (2) сразу получается из (1).

4.10.6. Пусть x (o)-E. Положим U (x) := {e E : (e) x}, U (x) := {y E : y x}.

Очевидно, что U (x), U (x) непустые порядково ограниченные под множества в E и E соответственно.

274 Глава Лемма. Для любого x (o)-E имеем:

(1) inf E U (x) U (x);

(2) inf E U (x) = inf E (U (x));

(3) если n(E) удовлетворяет условию x = [], то inf U (x) = inf (U (x)) = inf (U ()).

E E E (1) Из леммы 4.10.5 следует, что U (x) имеет инфимум в (o)-E, и inf (o)-E U (x) = inf E U (x). Значит, из U (x) x следует, что inf (o)-E U (x) x. Тогда inf E U (x) x, что и требовалось.

(2) Положим x0 := inf E U (x). Из условия (1) следует, что U (x0 ) U (x). Установим обратное включение. Пусть z U (x).

Тогда (z) x и, следовательно, (z) U (x). Значит, (z) x0, что эквивалентно условию z U (x0 ). Для завершения доказательства остается проверить равенство x0 = inf E (U (x0 )), которое справед ливо, так как E является порядковым пополнением (E).

(3) Пусть n(E) и x = []. Положим x0 := inf E U (x). По условию (1) имеем x0 x. Выберем y n(E), для которого x0 = [y] и y. По лемме 4.10.4 имеем x0 = [y] = inf (U (y)) inf (U ()). (8) E E Из очевидного включения (U ()) U ([]) следует, что inf U ([]) = x0.

inf (U ()) (9) E E Из (8), (9) и (2) получаем требуемый результат.

4.10.7. Определим отображение p : (o)-E E следующим об разом:

p(x) := inf U (|x|) (x (o)-E). (10) E Установим некоторые его свойства.

4.10. Порядковые и регулярные оболочки РНП Теорема. Отображение p является E -значной нормой на (o)-E такой, что для всех x, y (o)-E имеет место следующее:

(1) p(x) = inf E (U (|x|));

(2) p(x) |x|;

(3) из |x| |y| следует p(x) p(y).

Более того, произвольная последовательность (xn ) (o)-E яв ляется (r)-сходящейся по норме p к некоторому элементу x0 (o)-E (является (r)-последовательностью Коши по норме p) тогда и только тогда, когда эта последовательность (r)-сходится к x0 в векторной решетке (o)-E (является (r)-последовательностью Коши в (o)-E).

Решеточно нормированное пространство ((o)-E, p, E) является раз ложимым и (r)-полным.

Ввиду определения (10) доказательство сразу получается из того, что отображение p удовлетворяет условиям 4.0.10(2), 4.0.10(3) и пункту (3) теоремы. Пункт (2) вытекает из 4.10.6(1). Условия 4.0.10(1) получаются из (2). Следовательно, p является E -значной нормой на (o)-E. Условие (1) частный случай 4.10.6(2).

(r) Если xn x0 в норме p с регулятором e E, то ввиду пункта (r) (2) теоремы xn x0 в (o)-E с тем же самым регулятором. Наобо (r) (r) рот, если xn x0 в (o)-E с регулятором d (o)-E, то xn x0 в норме p с регулятором p(d) в соответствии с пунктом (3) теоремы.

Для (r)-последовательностей Коши доказательство аналогично.

По теореме 4.8.4 фактор-решетка (o)-E (r)-полна. Таким обра зом, как мы показали, ((o)-E, p, E) является (r)-полной. Проверим разложимость p. Для этого ввиду предложения 4.0.10 достаточно установить (d)-разложимость p. Пусть x (o)-E и e1, e2 E тако вы, что p(x) = e1 + e2 и e1 e2 = 0. Положим x1 := x+ e1 x e1 ;

x2 := x+ e2 x e2.

Легко видеть, что p(x1 ) = e1, p(x2 ) = e2 и x = x1 + x2.

4.10.8. Рассмотрим отображение p : (o)-X E, где :

(o)- X (o)-E (o)-E -значная норма, определенная в 4.10.1.

Теорема. Тройка ((o)-X, p, E) разложимое (r)-полное РНП.

276 Глава Легко видеть, что p E -значная норма в (o)-X. Рас смотрим произвольную последовательность (xn ) (o)-X, являю щуюся (r)-последовательностью Коши в норме p с регулятором e E. По теореме 4.10.7(2) наша последовательность также яв ляется (r)-последовательностью Коши в норме с тем же самым регулятором. Отсюда по теореме 4.10.2 следует существование эле (r) мента x0 (o)-X такого, что xn x0 в норме с регулятором e.

(r) Из теоремы 4.10.7(3) следует, что xn x0 в норме p с регуля тором p(e) = e. Значит, каждая последовательность (xn ) (o)-X, являющаяся (r)-последовательностью Коши в норме p, является (r)-сходящейся в (o)-X с тем же самым регулятором. Отсюда (o)-X (r)-полна в норме p.

Ввиду (r)-полноты и по предложению 0.10 для доказательства разложимости в норме p достаточно проверить условие (d)-разло жимости. Пусть x (o)-X и e1, e2 E таковы, что p (x) = e1 + e и e1 e2 = 0. Из разложимости в норме p следует существование 1, 2 (o)-E таких, что (x) = 1 + 2, p(1 ) = e1 и p(2 ) = e2.

По теореме 4.10.7(2) имеем 1 e1, 2 e2. Из условий 1 + 2 = (x) 0, e1 e2 = 0 получаем, что 1 0 и 2 0. Остается вос пользоваться разложимостью в норме для нахождения элементов x1, x2 (o)-X таких, что x1 + x2 = x, (x1 ) = 1 и (x2 ) = 2.

Очевидно, p (x1 ) = e1 и p (x2 ) = e2.

4.11. Ассоциированные пространства Банаха Канторовича Дадим нестандартное построение порядкового пополнения раз ложимого РНП. Схема построения основана на вложении РНП в ассоциированное пространство Банаха Канторовича (ПБК). Изу чим продолжения внутренних мажорируемых операторов, имеющих стандартные (o)-непрерывные мажоранты, на ассоциированные ПБК.

Всюду на протяжении этого параграфа будем предполагать, что (X, a, E) и (Y, b, F ) разложимые РНП, в которых векторные решетки E, F являются условно полными.

4.11.1. Определенное в 4.10.8 решеточно нормированное про странство ((o)-X, p, E), называется ассоциированным с поряд ковой оболочкой (o)-X,, (o)-E решеточно нормированного про 4.11. Ассоциированные пространства Банаха Канторовича странства (X, a, E). Покажем, что такое РНП является простран ством Банаха Канторовича.

Поскольку векторная решетка E является условным пополнени ем E, имеем E E. Более точно, отображение : E E решеточ = ный изоморфизм E на E. Рассмотрим отображение E : (o)-E E, определенное правилом E (x) := inf {e E : (e) |x|} (x (o)-E).

E Справедлива следующая лемма.

Лемма. Отображение E связано с нормой p : (o)-E E отно шением E = 1 p. Более того, для каждого x n(E) имеем E ([]) = inf {e E : e ||}.

E Первая часть леммы следует из определений p и E, вторая из соотношения E ([]) = inf U (|[]|) = E = 1 inf (U (|[]|)) = 1 inf (U (||)) = E E = inf U (||) = inf {e E : e ||}, E E в котором второе и четвертое равенства справедливы ввиду того, что решеточный изоморфизм, а третье в силу леммы 4.10.6(3).

Из теоремы 4.10.8 и леммы 4.11.1 получаем.

Следствие. Тройка ((o)-X, E, E) является разложимым (r)-полным решеточно нормированным пространством. Более того, для любого x n(E) имеем E ( ) = inf {e E : e ()}. (11) E 4.11.2. Обозначим через B(E) семейство всех порядковых про екторов в E. Заметим, что для каждого внутреннего порядкового проектора B(E) существует единственный порядковый проек тор h( ) в X, удовлетворяющий условию (h( )) = () ( X ).

Это свойство легко получается из разложимости во внутренней нор ме : X E.

278 Глава Лемма. Для всех B(E), n(X ) имеем E ( ) = E ( h() ).

Пусть x n(X ). Покажем, что для каждого B(E) справедливо неравенство E ( h() ).

E ( ) (12) Для этого рассмотрим e E, e (). Тогда e (()) = (h()). Применив формулу (11), получаем, что (h())} = E ( h() ).

inf {f E : f (e) E Ввиду произвольности выбора e E, e (), свойства порядковой непрерывности и формулы (11) получаем, что E ( ) = inf {e E : e ()} = E E ( h() ).

= inf {e : e E & e ()} E Неравенство (12) установлено.

Рассмотрим некоторый порядковый проектор B(E) и обо значим через d дополнительный проектор к. Тогда, применяя неравенство (12) к и d, имеем E ( ) = E ( ) + d E ( ) E ( h() ) + E ( h( d ) ) E ([ () + d ()]) = E ( ).

Значит, E ( ) + d E ( ) = = E ( h() ) + E ( h( d ) ).

Следовательно по неравенству (12) имеем E ( ) = E ( h() ), что и требовалось.

4.11. Ассоциированные пространства Банаха Канторовича 4.11.3. Лемма. Ассоциированное РНП ((o)-X, E, E) явля ется дизъюнктно полным.

Возьмем произвольное разбиение единицы ( ) B(E) и ограниченное по норме E семейство (x ) (o)-X. Предпо ложим, что для e E выполнено E (x ) e ( ). (13) Выберем X таким, что = x для всех. Используя определение нормы, соотношение E = 1 p и пункт (2) теоре мы 4.10.7, перепишем неравенство (13) в виде [( )] (e). Сле довательно, для подходящего (E) справедливо неравенство ( ) e + ( ). Отсюда по лемме 4.0.13 найдутся элементы n(X ), для которых ( ) (E), e ( ).

( ) (14) Зафиксируем некоторое N \ N и обозначим через F мно жество всех внутренних отображений из в X. Пусть Card внутренняя мощность. Определим для каждого внутреннее подмножество A множества F следующим образом:

A := { F : ( ) [e, e] & & () = & & Card({ : () = 0}) }.

Легко видеть, что семейство (A ) является центрированным. Сле довательно, по общему принципу насыщения существует элемент 0 {A : }. Обозначим := { : 0 () = 0}.

Поскольку Card( ), множество является гиперконечным. Кро ме того, очевидно, что e ( и (0 ()) ).

280 Глава Для удобства положим := 0 () для. Это не приводит к недоразумению, поскольку 0 () = для всех ввиду выбора 0.

Значит, семейство ( ) расширяется до гиперконечного се мейства ( ) X такого, что e ( ( ) ). (15) Пусть ( ) := (( ) ) нестандартное расширение разбиения единицы ( ). Тогда ( ) внутреннее разбиение единицы в B(E). Кроме того, = для всех. Гиперконечная сумма := h( ) является элементом внутреннего векторного про странства X, где h( ) проекторы, определенные в 4.11.2. Из того, что проекторы попарно дизъюнктны, и неравенства (15) следует, что || e. В частности, n(X ).

Для любого 0 рассмотрим следующую цепочку равенств:

0 E (x0 ) = 0 E ( 0 ) = = E ( h( 0 )(0 ) ) = = E h(0 ) h( ) = 0.

\{0 } Первое равенство выполнено ввиду выбора элементов и формулы (14). Справедливость второго обеспечивает лемма 4.11.2. Третье вы полнено ввиду выбора и равенства 0 = 0, упомянутого выше.

Последнее равенство следует из попарной дизъюнктности элементов. Следовательно, E (x ) = 0 для каждого и = mix( x ).

Отсюда следует, что для каждого разбиения единицы ( ) B(E) и каждого ограниченного по норме E семейства (x ) существует перемешивание mix( x ) (o)-X. Лемма доказана.

4.11.4. Теперь мы готовы доказать основной результат этого параграфа.

Теорема. Ассоциированное РНП ((o)-X, E, E) является пространством Банаха Канторовича.

4.11. Ассоциированные пространства Банаха Канторовича Немедленно следует из следствия 4.11.1 и леммы 4.11.3 с ис пользованием предложения 4.0.11.

Напомним, что, когда мы берем внутреннее нормированное про странство X в качестве внутреннего разложимого РНП, ассоцииро ванное пространство совпадает с классической нестандартной обо лочкой X. Следовательно, по уже установленной выше теореме получаем хорошо известное утверждение о том, что нестандартная оболочка внутреннего нормированного пространства является бана ховым пространством.

Рассматривая внутреннее решеточно нормированное простран ство (E, | · |, E) получаем, что соответствующее ассоциированное пространство ((o)-E, E, E) является решеточно нормированным. Из определения отображения E : (o)-E E очевидно, что для всех x, y (o)-E из условия |x| |y| следует неравенство E (x) E (y).

Отсюда получаем, что ассоциированное РНП ((o)-E, E, E) является пространством Банаха Канторовича.

4.11.5. Известно, что пополнение по норме нормированного про странства можно получить в виде замыкания этого пространства в его нестандартной оболочке. Аналогично, как будет указано ниже, (o)-пополнение разложимого РНП можно построить, используя вло жение в ассоциированное ПБК.

Для простоты обозначим через ((o)-X, E a, E) ПБК, ассоции рованное с порядковой оболочкой (X, a, E). Рассмотрим отображе ние : X (o)-X такое, что (x X).

(x) := x (16) Легко видеть, что является изометрическим изоморфизмом РНП (X, a, E) в ((o)-X, E a, E). Обозначим через X множество пределов всех сходящихся по норме E a сетей, состоящих из элементов (X).

Лемма. Для каждого элемента x (o)-X следующие условия эквивалентны:

(1) x X;

(2) inf E a(x (y)) = 0.

yX (1)(2): Сразу получается из определения X.

(2)(1): Пусть элемент x (o)-X удовлетворяет условию (2).

Покажем, что x X. Определим на X отношение следующим 282 Глава образом:

z E a(x (y)) E a(x (z)).

y Множество X направлено вниз относительно. В самом деле, для всех y, z X имеем y, z h()y + h( d )z, где B(E) проектор, удовлетворяющий условию E a(x (y)) + d E a(x (z)) = = E a(x (y)) E a(x (z)), d и h(), h( ) соответствующие проекторы в (X, a, E). Рассмот рим сеть ((y))y(X, ). Из определения (X, ) и условия inf E gX a(x (y)) = 0 следует, что сеть ((y))y(X, ) сходится к x в (o)-X.

Поскольку сеть состоит из элементов (X), имеем x X.

4.11.6. Теорема. Тройка (X, E a, E) является (o)-пополне нием разложимого РНП (X, a, E).

Достаточно проверить свойства 4.0.12 (1)–(3). Легко видеть, что (X, E a, E) РНП. Покажем, что оно является (o)-полным.

Рассмотрим произвольную (o)-сеть Коши (x ). Тогда из (o)-полноты ассоциированного РНП следует существование элемента x (o)-X такого, что x = (o)- lim(x ). Покажем, что x X. Из условий x X, x = (o)- lim(x ) следует, что inf E a(x (y)) = 0, inf E a(x x ) = 0. (17) yX Из (17) получаем inf E a(x (y)) yX inf inf (E a(x x ) + E a(x (y))) yX inf E a(x x ) + inf inf E a(x (y)) = 0.

yX Отсюда inf E a(x (y)) = 0, и по лемме 4.11.5 имеем x X. Зна yX чит, каждая (o)-сеть Коши (x ) X является (o)-сходящейся. Сле довательно, X (o)-полно в норме E a. Легко проверить, что норма 4.11. Ассоциированные пространства Банаха Канторовича E a является (d)-разложимой на X. Следовательно, используя доказанную (o)-полноту и учитывая предложение 4.0.10, получаем разложимость нормы E a в X. Свойство 4.0.12 (1) установлено.

Свойство 4.0.12 (2) очевидно для вложения : X X.

Для проверки свойства 4.0.12(3) рассмотрим произвольные x X и e E+. Положим E := { B(E) : E a(x (y)) e для некоторого x X}.

Так как x X, имеем inf E a(x (x)) = 0.

xX Следовательно, множество E плотно в полосе Be (E), порожденной проектором pre. Согласно принципу исчерпывания существует раз биение ( ) E проектора pre. В соответствии с определением множества E существует семейство (x ) X, для которого E a(x (x )) e ( ). (18) := {0 }, 0 := prd и x0 := 0.

Выберем 0 / и положим e Для каждого в силу разложимости пространства (X, a, E) существует единственный проектор в пространстве X, удовлетво ряющий a = a. Определим семейство (x ) X так, чтобы x := x при всяком. Из (18) следует, что a(x ) = a( x ) = a(x ) = E a ((x )) E a (x ) + E a (x (x )) 2E a (x ) + e для любого. Таким образом, семейство (x ) ограничено по норме a. В силу (o)-полноты пространства (X, E a, E) суще ствует перемешивание mix(, (x )) X. Снова привлекая (18), нетрудно показать, что pre E a(x mix(, (x ))) e.

Ввиду произвольности выбора элементов x X и e E+ свойство 4.0.12(3) установлено. Теорема доказана.

284 Глава 4.11.7. Обозначим пространство регулярных (соответственно по рядково непрерывных) операторов из E в F через Lr (E, F ) (соот ветственно через Ln (E, F )) и обозначим через M (X, Y ) множество всех внутренних линейных операторов из X в Y, имеющих стан дартную мажоранту Q, Q Lr (E, F ) (см. 4.0.15). Пусть Mn (X, Y ) множество всех операторов в M (X, Y ), имеющих мажоранту ви да S, где S Ln (E, F ).

Лемма. Для каждого внутреннего линейного оператора T, дей ствующего из X в Y, выполнены следующие условия:

(1) T M (X, Y ) T (n(X )) n(Y );

(2) T Mn (X, Y ) T ((X )) (Y ).

Проверим только условие (1). Условие (2) устанавливается аналогично. Поскольку T M (X, Y ), существует оператор Q Lr (E, F ), для которого Q() ( X ).

(T ) (19) Рассмотрим произвольное n(X ). Тогда () e для некото рого e E. Из (19) имеем (T ) Q(e) и, следовательно, T n(Y ).

Всюду в дальнейшем векторная решетка Ln (E, F ) будет обозна чаться через L.

4.11.8. Предположим, что T Mn (X, Y ). По лемме 4.11. корректно определено отображение T : (o)-X (o)-Y такое, что ( n(X )).

T ( ) := T (20) Теорема. Отображение T мажорируемый линейный опера тор, действующий из ассоциированного ПБК ((o)-X, E, E) в ассоциированное ПБК ((o)-Y, F, F ). Кроме того, выполняется T L ([ T ]).

Прежде чем приступать к доказательству, сделаем некоторые пояснения. Через T (соответственно T ) обозначена наимень шая (соответственно внутренняя наименьшая) мажоранта операто ра T (соответственно оператора T ). Через L обозначена L-значная норма в РНП ((o)-L, L, L).

4.11. Ассоциированные пространства Банаха Канторовича Достаточно установить, что оператор L ([ T ]) Ln (E, F ) является мажорантой оператора T. Возьмем произвольный опера тор S L, удовлетворяющий условию S T. Тогда, используя соотношение (19), для любого n(X ) получаем F (T ) = inf {f F : f (T )} F inf {f F : f inf {Se : e E : e T ()} ()} = F F = S inf {e E : e ()} = S E ( ).

F Следовательно, S T. Привлекая лемму 4.11.1, получаем L ([ T ]) = inf {S L : S T} T, L что и требовалось.

4.11.9. Обозначим через Mn (X, Y ) множество всех линейных операторов из X в Y имеющих (o)-непрерывные мажоранты. Яс но, что условия T Mn (X, Y ) и T Mn (X, Y ) эквивалентны.

Возьмем произвольный T Mn (X, Y ). Тогда согласно формуле (20) существует отображение T : (o)-X (o)-Y такое, что ( n(X )).

T ( ) = T Теорема. Для всякого T Mn (X, Y ) отображение T является мажорируемым линейным оператором из ПБК ((o)-X, a, E) в ПБК ((o)-Y, b, F ). Кроме того, (1) T (X (x)) = Y (T x) (x X );

(2) T = T, где X : X (o)-X и Y : Y (o)-Y канонические вложения, определенные в (16).

Отображение T линейно по построению. Равенство (1) непо средственно вытекает из определений отображений X, Y, T. Ма жорируемость оператора T и неравенство T T установлены в теореме 5.2. Остается проверить обратное неравенство.

Пусть x X. Учитывая (1), а также тот факт, что X и Y изометрически изоморфные вложения, получаем b(T (x)) = F b(Y (T x)) = F b(T (X (x))) 286 Глава T (E a(X (x))) = T a(x).

Отсюда в силу произвольности элемента x X вытекает требуемое неравенство T T.

Пусть X и Y (o)-пополнения пространств X и Y, построен ные в теореме 4.11.6. Из предыдущей теоремы получаем следующее утверждение [19, 14, теорема 2.3.3].

Следствие (А. Г. Кусраев, В. З. Стрижевский). Для лю бого оператора T Mn (X, Y ) существует единственный оператор T Mn (X, Y ), продолжающий T в том смысле, что T (E (x)) = F (T x) для всех x X. При этом T = T.

Достаточно в качестве T взять ограничение оператора T на пространство X. Единственность продолжения вытекает из требо вания T Mn (X, Y ) и построения X.

Литература 1. Aliprantis C. D. and Burkinshaw O. Positive Operators. New York and London: Academic Press, 1985.

2. Альбеверио С., Фенстад Дж., Хеэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестан дартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М.: Мир, 1990.

3. Bernau S. J. Sums and extensions of vector lattice homomorphisms // Acta Appl. Math. 1992. V. 27. P. 33–45.

4. Conshor H. Enlargements contain various kinds of completions // Victoria Symposium of Nonstandard Analysis. Berlin etc.: Springer Verlag, 1974. P. 60–79. (Lecture Notes in Math., 369.) 5. Cozart D and Moore L. C. The nonstandard hull of a normed Riesz space // Duke Math. J. 1974. No. 41. P. 263–275.

6. Емельянов Э. Ю. Порядковые и регулярные оболочки вектор ных решеток // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 6. С. 1243– 1252.

7. Емельянов Э. Ю. Пространства Банаха Канторовича, ассо циированные с порядковыми оболочками разложимых реше точно нормированных пространств // Сиб. мат. журн. 1995.

Т. 36, № 1. С. 72–85.

Литература 8. Емельянов Э. Ю. Инфинитезимальный подход к представле нию векторных решеток пространствами непрерывных функ ций на компакте // Докл. РАН. 1995. Т. 344, № 1. С. 9–11.

` 9. Emel yanov E. Yu. Innitesimal analysis and vector lattices // Siberian Adv. Math. 1996. V. 6, No. 1. P. 19–70.

10. Емельянов Э. Ю. Инвариантные гомоморфизмы нестандарт ных расширений булевых алгебр и векторных решеток // Сиб.

мат. журн. 1997. Т. 38, № 2. С. 286–296.

11. Henson C. W. and Moore L. C. Nonstandard analysis and the the ory of Banach spaces // Nonstandard Analysis: Recent Develop ments. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1983. P. 27–112. (Lecture Notes in Math., 983.) 12. Hurd A. E. and Loeb P. A. An Introduction to Nonstandard Real Analysis. Orlando etc.: Academic Press, 1985.

13. Kusraev A. G. Dominated operators. I // Siberian Adv. Math.

1994. V. 4, No. 3. P. 51–82.

14. Kusraev A. G. Dominated operators. II // Siberian Adv. Math.

1994. V. 4, No. 4. P. 24–59.

15. Kusraev A. G. Dominated operators. III // Siberian Adv. Math.

1995. V. 5, No. 1. P. 49–76.

16. Kusraev A. G. Dominated operators. IV // Siberian Adv. Math.

1995. V. 5, No. 2. P. 99–121.

17. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нестандартные методы анализа.

Новосибирск: Наука, 1990.

18. Kusraev A. G. and Kutateladze S. S. Nonstandard methods for Kantorovich spaces // Siberian Adv. Math. 1992. V. 2, No. 2.

P. 114–152.

19. Кусраев А. Г., Стрижевский В. З. Решеточно нормированные пространства и мажорируемые операторы // Исследования по геометрии и функциональному анализу. Новосибирск: Наука, 1987. С. 132–158.

20. Luxemburg W. A. J. A general theory of monads // Applications of Model Theory to Algebra, Analysis, and Probability. New York:

Holt, Rinehart, and Winston, 1969. P. 18–86.

21. Luxemburg W. A. J. and A. C. Zaanen A. C. Riesz Spaces. Vol 1.

Amsterdam and London: North-Holland, 1971.

22. Meyer-Nieberg P. Banach Lattices. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1991.

288 Глава 23. Robinson A. Non-standard analysis // Proc. Roy. Acad. Amster dam Ser. A. 1961. No. 64. P. 432–440.

24. Schaefer H. H. Banach Lattices and Positive Operators. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1974.

25. Сикорский Р. Булевы алгебры. М.: Мир, 1969.

26. Векслер А. И. Принцип Архимеда в гомоморфных образах l групп и векторных решеток // Изв. вузов. Математика.

1966. № 5 (53). С. 33–38.

27. Wol M. P. H. An introduction to nonstandard functional analysis.

Nonstandard analysis (Edinburgh, 1996) // NATO Adv. Sci. Inst.

Ser. C. Math. Phys. Sci., 493 Dordrecht: Kluwer Academic Publishing, 1997. P. 121–151.

28. Zaanen A. C. Riesz Spaces. Vol. 2. Amsterdam etc.: North Holland, 1983.

Глава Векторные меры и мажорируемые отображения А. Г. Кусраев, С. А. Малюгин Векторные меры и мажорируемые отображения В современной теории векторных мер можно выделить два на правления, слабо связанных друг с другом.

Первое направление изучение мер со значениями в нормиро ванных или в локально-выпуклых пространствах начиная с клас сических работ С. Бохнера, И. М. Гельфанда, Н. Данфорда и Б. Пет тиса второй половины 1930-х годов. В настоящее время оно пред ставляет собой красивую теорию с богатыми приложениями и хоро шо освещено в монографической литературе, см. книги Н. Динку ляну [1], Дж. Дистеля и Дж. Улья [2] о векторных мерах, а также соответствующий том из трактата Н. Бурбаки.

Второе направление изучение мер, принимающих значения из упорядоченного векторного пространства. Здесь вместо топологии используется сходимость, связанная с порядком, а роль топологи ческой полноты играет порядковая полнота. Такие меры как само стоятельный объект исследования возникли, по-видимому, в связи с вопросом об аналитическом представлении линейных операторов в полуупорядоченных пространствах, см. монографию Л. В. Кан торовича, Б. З. Вулиха и А. Г. Пинскера [3]. Разумеется, меры со значениями в векторных решетках неявно появлялись гораздо рань ше как, например, гомоморфизмы абстрактных булевых алгебр и спектральные характеристики самосопряженных операторов в гиль бертовом пространстве. Именно, изучение самосопряженных опера торов с позиций порядкового анализа приводит к понятиям меры и интеграла со значениями в упорядоченном векторном пространстве, см. монографии А. И. Плеснера [7], Б. З. Вулиха [8].

Начиная с 1950-х годов под влиянием теории упорядоченных векторных пространств для булевых мер стали рассматриваться во просы, характерные для классической теории меры (В. И. Соболев, Б. З. Вулих, Д. А. Владимиров и др.). Меры со значениями в вектор ных решетках с тех же позиций интенсивно изучал М. Райт в серии публикаций с конца 1960-х годов. После этих работ интерес к мерам в упорядоченных пространствах резко возрос. За истекший период в этом направлении накоплен весьма богатый материал, однако до сих пор нет ни одного обстоятельного обзора.

В настоящей работе предлагается единый подход к указанным выше двум направлениям в теории меры на основе фундаментальной c А. Г. Кусраев, С. А. Малюгин 292 Глава концепции решеточно нормированного пространства (РНП). Дело в том, что специальными случаями решеточно нормированного про странства являются как нормированные и локально-выпуклые про странства, так и векторные решетки. Поэтому все встречающиеся в математической литературе векторные меры являются мерами со значениями в РНП.

Стоит подчеркнуть особо, что новая теория векторных мер воз никает отнюдь не механическим соединением ранее известных разно родных фактов. Наоборот, существенно различные идеи и методы, обслуживающие топологический и порядковый подходы к вектор ным мерам, переплетаясь в тесных взаимосвязях, приводят к новым аналитическим средствам и новым результатам. Пока еще рано го ворить о сформировавшейся теории, но в некоторых вопросах уже достигнуто существенное продвижение.

В параграфе 5.1 дается определение меры ограниченной вектор ной вариации и определяется интеграл типа Лебега по такой мере.

В параграфе 5.2 изучаются квазирадоновы меры, которые, в случае, когда нормирующее K-пространство не обладает свойством слабой -дистрибутивности, являются наиболее адекватным анало гом скалярных радоновых мер. Доказывается, что свойство квази радоновости меры эквивалентно свойству квазирадоновости ее век торной вариации.

В параграфе 5.3 получен критерий интегральной представимо сти мажорируемого оператора квазирадоновой мерой. Рассмотрена задача о продолжении квазирадоновой меры с плотной подалгебры (векторный аналог теоремы Прохорова).

В параграфе 5.4 для произведения векторных мер получен один вариант теоремы Фубини.

В параграфе 5.5 для мажорированной последовательности век торов из решеточно нормированного пространства решается аналог проблемы моментов Хаусдорфа. В параграфах 5.6 и 5.7 рассмотрена векторная постановка проблемы моментов Гамбургера.

В параграфе 5.8 на локально-компактной абелевой группе да ется понятие мажорируемого отображения, являющееся векторным аналогом положительно определенного отображения. Для таких отображений в параграфе 5.9 доказывается векторная теорема Бох нера о представимости мажорируемого отображения квазирадоно вой мерой, определенной на борелевской -алгебре двойственной груп 5.1. Векторные меры пы. В параграфе 5.10 по заданному билинейному отображению опре деляется свертка квазирадоновых мер. В этом же параграфе полу чены теорема о представлении гомоморфизма локально-компактной абелевой группы в K-пространство и векторный аналог теоремы Бохнера для положительно определенных отображений, принима ющих значения в монотонно полном частично упорядоченном век торном пространстве. В параграфе 5.11 дается булевозначная ин терпретация леммы Винера.

5.1. Векторные меры Пусть X вполне регулярное топологическое пространство;

T (соответственно F ) семейство всех открытых (замкнутых) под множеств X;

T0 (соответственно F0 ) семейство всех функциональ но-открытых (функционально-замкнутых) подмножеств из X;

B := B(X) := BX (соответственно K ) семейство всех борелевских (ком пактных) множеств из X;

M (X) пространство всех борелевских функций на X;

Mb (X) (соответственно Cb (X)) пространство всех ограниченных борелевских (непрерывных) функций на X. Симво лом C00 (X) (соответственно C0 (X)) обозначаем пространство всех непрерывных функций f : X R с компактными носителями (со ответственно таких, что inf{sup{|f (x)| : x X \ K} : K K } = 0).

семейство подмножеств из X, то символом A (C) (соот Если C ветственно (C)) обозначается наименьшая алгебра (-алгебра), по рожденная семейством C. Все стандартные понятия, относящиеся к K-пространствам, решеточно нормированным пространствам и ма жорируемым операторам, имеются в [8–10].

Говорим, что на K -пространстве F (на -полной булевой алгеб ре B) выполняется закон слабой -дистрибутивности, если для любой ограниченной двойной последовательности {xij : i, j N} элементов из F (из B) такой, что для любого i N последовательность xij убывает к нулю при j, выполняется равенство xi(i) : NN = 0.

i= Говорим, что на K-пространстве F (на полной булевой алгебре B) выполняется закон слабой (, )-дистрибутивности, если для любой 294 Глава ограниченной последовательности убывающих к нулю направленно стей {xi, : i } (i N) элементов из F (из B) справедливо равен ство xi,(i) : = 0.

i i=1 i= Через Y всегда будем обозначать o-полное решеточно нормиро ванное пространство с нормирующим K-пространством F. Вектор ная F -норма элемента y Y обозначается символом y. Через G(e) обозначается булева алгебра всех осколков положительного элемен та e F.

Пусть задана алгебра A0 подмножеств из X. Мерой µ : A0 Y называется аддитивное отображение из A0 в Y. Говорят, что мера µ имеет ограниченную векторную вариацию, если существует по ложительная мера : A0 F такая, что µ(A) (A) (A A0 ).

В K-пространстве ba(A0, F ) всех ограниченных мер из A0 в F су ществует наименьшая, удовлетворяющая вышеприведенному нера венству. Она называется векторной вариацией меры µ и обознача ется через µ. Пространство всех мер из A0 в Y, имеющих ограни ченную векторную вариацию, будем обозначать через F ba(A0, Y ).

Векторную вариацию µ можно вычислять по следующей формуле:

n µ(Ai ) : (Ai )n A0, µ (A) = i= i= n (A A0 ).

Ai Aj = (i = j), Ai = A i= Пространство всех -аддитивных мер из A0 в Y обозначается через F bca(A0, Y ).

пространство всех A0 -простых функций на X, Пусть S(A0 ) n т. е. g S(A0 ) означает, что g = i=1 ci Ai для некоторых (ci )n i= R и (Ai )i=1 A0. Рассмотрим меру µ F ba(A0, Y ). Для g S(A0 ) n полагаем по определению n gdµ = ci µ(Ai ).

i= 5.2. Квазирадоновы и квазирегулярные меры По равномерной непрерывности интеграл распространяется на равномерное замыкание S(A0 ) пространства S(A0 ). В случае A0 = B и µ F bca(A0, Y ) этот интеграл можно продолжить на гораздо более широкий класс функций. Функцию f M (X) будем называть µ-интегрируемой, если множество { gd µ : g S(A0 ), 0 g |f |} ограничено в F. Пространство всех µ-интегрируемых функций обо значим через L1 (µ). Пусть f L1 (µ), f 0, и последователь ность функций (gn ) S(A0 ) возрастая сходится поточечно к n= f. Тогда последовательность интегралов от функций gn будет o фундаментальной, и мы полагаем f dµ = o- lim gn dµ.

n По аддитивности интеграл распространяется на все пространство L1 (µ). Построенный интеграл обладает всеми основными свойства ми классического интеграла Лебега. В частности, справедлива тео рема о предельном переходе.

Теорема Лебега. Пусть fn, g L1 (µ), |fn | g (n N) и fn сходится к f поточечно. Тогда f L1 (µ) и f dµ = o- lim fn dµ.

n Отметим, что в случае положительной меры, принимающей зна чения в пространстве Стоуна, такой интеграл рассматривался в [14].

5.2. Квазирадоновы и квазирегулярные меры Пусть E A0. Рассмотрим два направленных множества KE = {K : K K A0, K E} и FE = {F : F F A0, F E}, элементы которых считаются упорядоченными по включению.

5.2.1. Определение. Мера µ : A0 Y называется радоновой (квазирадоновой), если для любого E A0 (для любого E T A0 ) справедливо равенство µ(E) = o- lim{µ(K) : K KE }.

5.2.2. Определение. Мера µ : A0 Y называется регулярной (квазирегулярной), если для любого E A0 (для любого E T A0 ) выполняется равенство µ(E) = o- lim{µ(F ) : F FE }.

Если пространство X компактно, то определения 5.2.1 и 5.2. эквивалентны. Кроме того, стандартными рассуждениями устанав ливается следующий факт.

296 Глава 5.2.3. Теорема. Мера µ F ba(A0, Y ) является радоновой (регулярной) тогда и только тогда, когда ее векторная вариация ра донова (регулярна).

Целью этого параграфа является доказательство аналогичной теоремы для квазирадоновых мер.

5.2.4. Теорема. Пусть мера µ F ba(A0, Y ) удовлетворяет одному из следующих двух условий:

(1) A0 = A (F A0 );

(2) A0 = (F A0 ) и µ F bca(A0, Y ).

В этом случае мера µ является квазирадоновой (квазирегуляр ной) тогда и только тогда, когда векторная вариация µ квазирадо нова (квазирегулярна).

Мы рассмотрим здесь только доказательство квазирадоново сти при выполнении условия (2). Случай (1) рассматривается ана логично. Допустим, что µ квазирадонова, а векторная вариация µ не квазирадонова. Тогда существует множество U T A0 та кое, что µ (U ) { µ (K) : K K A0, K U } 0. Пусть K K A0, K U и e = µ (U ). Существуют 0 0, 0 e0 G(e) и конечное семейство (Ei )n A0 такие, что i= n n Ei = U \K, Ei Ej = (i = j), µ(Ei ) 0 e0.

i=1 i= Пусть 1 первый несчетный ординал. Для некоторого счетно го ординала 0 1 все Ei (i = 1,..., n) принадлежат бэровскому классу B0 (A (F A0 )), построенному из алгебры A (F A0 ) (см.

[6]). Можно считать 0 непредельным ординалом. Любое множество из бэровского класса B = B (A (F A0 )) есть либо счетное объ единение, либо счетное пересечение множеств из предыдущих бэров ских классов. Поэтому существуют 1 0 и последовательности (Ei,k ) B1 (i = 1,..., n) такие, что при каждом i последова k= тельность (Ei,k ) монотонно сходится к Ei. Кроме того, можно k= считать, что для всех i, k имеет место включение Ei,k U \K. Для любого 0 существуют e1 G(e), 0 e1 e0, и номер k1, для которых n µ Ei,k1 \ Ej,k1 e1.

i=1 ji 5.2. Квазирадоновы и квазирегулярные меры Это следует из -аддитивности меры µ. Обозначим Ei = Ei,k1 (i = 1,..., n). Повторяя вышеописанную процедуру достаточное число раз, мы получим убывающую последовательность ординалов m m1 · · · 0, последовательность элементов (ek )m G(e) и k= последовательности (Ei )n Bk (k = 0, 1,..., m) такие, что n i= em em1... e1 и n k k µ Ei \ 0 · · · k+1 ek Ej (k = 0, 1,..., m).

4 i=0 ji Из полной упорядоченности ординалов следует, что этот процесс не может продолжаться до бесконечности. Поэтому можно считать, что m = 0. Полагая n m m Fi = E i \ F0 = (U \K)\ Ej (i = 1,..., n), Fi, g = em, ji i= n мы будем иметь 0 g e, g G(e) и i=0 µ(Fi ) (0 2 )g, при n этом (Fi )i=0 A (F A0 ), Fi Fj = (i = j) и i=0 Fi = U \K. Без n ограничения общности можно считать, что каждый элемент Fi имеет вид Fi = Ui \Vi, где Ui, Vi T A0, Ui Vi U \K (i = 0, 1,..., n), поскольку любой элемент из алгебры A (F A0 ) представляется в виде конечного дизъюнктного объединения элементов вида Ui \Vi, где Ui, Vi T A0.

Занумеруем все Ui и Vi в одну последовательность (Wi )m. Обо i= значим M = {1,..., m}. Для любого J M полагаем HJ = {Wi :

i M \J}. Очевидно, HJ HJ = HJJ. Из квазирадоновости µ следует для любого 0 существование компакта K K A0, K H и элемента g0 G(e), 0 g0 g, таких, что при любом K K A0, K K H, справедливы соотношения g0 µ(K \K ) g0 µ(H \K ) e, e (здесь подразумеваем умножение в идеале F (e), в котором e счита ется кольцевой единицей, см. [8]). Для любого i M существуют K{i} K A0, gi G(e) такие, что K{i} H{i} \K, 0 gi g0, и при любом K K A0, для которого K{i} K H{i} \K, выполняются соотношения gi µ(K \K{i} ) gi µ((H{i} \K )\K{i} ) e, e.

298 Глава Можно считать все gi упорядоченными, например, следующим обра зом: gm gm1... g1. При i = j будем иметь K{i} K{j} = H, поэтому g0 µ(K{i} K{j} ) e. Далее делаем индуктивный шаг.

Допустим, что при некотором k m такое построение проведено для всех J M, у которых мощность cardJ k. В частности, для любого J M, cardJ k, построено KJ K A0. Пусть J M и cardJ = k. Возьмем KJ K A0, gJ G(e) такими, чтобы KJ HJ \ {KJ : J J}, 0 gJ {gJ : cardJ k} и для лю бого K K A0 такого, что KJ K HJ \{KJ : J J}, выпол e, gJ µ((HJ \ {KJ : J нялись соотношения gJ µ(K KJ ) J})\KJ ) e. Можно считать все gJ с cardJ k линейно упорядо ченными. Кроме того, для двух подмножеств J M, J M, J J, таких, что либо cardJ = k, cardJ k, либо cardJ k, cardJ = k, будем иметь KJ KJ HJ HJ = HJJ. Если J J J, то по построению либо KJ KJ =, либо KJ KJ =. Это озна чает, что для любого K K A0, K KJ KJ справедливо e, где g = {gJ : cardJ g µ(K ) k}. Вышеописанное индук тивное построение заканчивается при k = m 1. В итоге получаем следующие факты.

(i) m Для любой функции : M {0, 1} обозначим W = i=1 Wi, где Wi0 = (U \K)\Wi, Wi1 = Wi (i M ). Мы доказали, что при лю q и K K A0 ( бом 0 существуют g G(e), 0 g M {0, 1} ) такие, что K U \K и g µ(W ) µ(K ) g, g µ(K ) g (2.1) (K K A0, K K K,, {0, 1}M, = ).

Это означает, что для K1 = {K : {0, 1}M } будем иметь µ K\ K : {0, 1}M + g µ (K1 ) g = +g µ({K K :, {0, 1}M, = }) µ(K ) g K K g µ.

= 5.2. Квазирадоновы и квазирегулярные меры Оценим для каждого {0, 1}M величину g µ = K K.

Для этого обозначим M = {0, 1}M \{}, L = K K и рассмот рим тождество l (1)k+1 µ(L1 · · · Lk ).

µ L = 1 ···k k= Здесь, 1,..., k M, l = 2m 1 и, кроме того, считается, что элементы множества M каким-либо образом линейно упорядоче ны. Количество членов в правой части суммы равно 2l 1, причем каждый член этой суммы можно оценить по формулам (2.1). Тогда n µ(W ) 2l+m g µ(Fi ) 2l+m g (0 )g.

g µ (K1 ) g g i= Последнее неравенство будет справедливым, если взять достаточ но малым.

Итак, доказан следующий факт. Для любых e1 G(e), K K A0, 0 таких, что 0 e1 e0, K U, существуют e G(e), K1 K A0, для которых 0 e2 e1, K1 U \K и (0 )e2. Полагаем сначала K =. Находим K1 с µ (K1 ) вышеописанными свойствами. Далее, полагаем K = K1 и находим K2 K A0, e3 G(e), для которых K2 U \K1, 0 e3 e2 и (0 /2)e3. Продолжая далее этот процесс, мы по µ (K2 ) лучим последовательности (Kn ) K A0 и (en ) G(e), для n=1 n= которых выполняются свойства n Kn K1, 0 en+1 en, i= (0 · · · /2n1 )en+1 (n N).

µ (Kn ) Это означает, что для любого n N имеет место неравенство n(0 2)en+1.

µ (U ) Пришли к противоречию с тем, что для n N справедливо неравен ство en+1 e = µ (U ).

300 Глава Обратно, если теперь предположить, что векторная вариация µ квазирадонова, то квазирадоновость µ сразу получается из нера венства µ (E\F ) (E, F A0, F E).

µ(E) µ(F ) 5.2.5. Следствие. Пусть мера µ F ba(A0, Y ) удовлетворяет одному из двух условий (1), (2) теоремы 5.2.4. Следующие опреде ления квазирадоновости µ эквивалентны:

(1) равенство µ(E) = o- lim{µ(K) : K KE } справедли во при любом E T A0 ;

(2) равенство из условия (1) справедливо при любом E A (F A0 );

(3) равенство µ (E) = { µ (K) : K KE } справедли во при любом E T A0 ;

(4) равенство из условия (3) справедливо при любом E A (F A0 ).

5.2.6. Следствие. Если в 5.2.5 заменить направленное множе ство KE на FE, то условия (1)–(4) будут равносильными определе ниями квазирегулярности меры µ.

5.2.7. Следствие. Если мера µ F ba(A0, Y ) квазирадонова и удовлетворяет одному из двух условий (1), (2) теоремы 5.2.4, то она квазирегулярна.

В связи с этим отметим очевидный факт: если мера µ : A0 F положительна и квазирадонова, то она квазирегулярна. Кроме того, имеет место 5.2.8. Лемма. Пусть для меры µ F ba(A0, Y ) ее векторная вариация µ квазирегулярна и справедливо равенство { µ (K) : K K A0 }.

µ (X) = (2.2) Тогда µ и µ квазирадоновы.

5.2.9. Теорема. Если мера µ F ba(A0, Y ) квазирадонова, то ограничение µ на алгебру A (F A0 ) является -аддитивной мерой.

5.2. Квазирадоновы и квазирегулярные меры Будем обозначать ограничение µ на алгебру A (F A0 ) той же буквой. Векторная вариация µ относительно этой алгебры будет уже другой, и мы ее обозначим через µ 0. Докажем -аддитивность µ (тогда -аддитивность µ на алгебру A (F A0 ) будет следовать из аддитивности µ 0 ). Пусть последовательность (Ak ) A (F A0 ) k= убывает к пустому множеству. Полагаем e = µ 0 (X). Допустим, что n=1 µ 0 (An ) 0. Тогда для некоторых 0 0 и 0 e0 G(e) будем иметь µ 0 (An ) 0 e0 (n N). По теореме 5.2.5 мера µ 0 квазира донова. Значит, существуют K1 K A0, e1 G(e0 ) такие, что K1 A1, 0 e1 e0 и e1 µ 0 (A1 \K1 ) (0 /4)e0. Продолжая далее индуктивно этот процесс, получим последовательности (Kn ) n= K A0 и (en ) G(e) такие, что 0 en, Kn An en+ n= n (0 /2n+1 )e0 (n N). Полагая Kn = i=1 Ki, и en µ 0 (An \Kn ) находим, что en µ 0 (An \Kn ) (0 /2)e0 (n N). Отсюда следует неравенство µ 0 (Kn ) = µ 0 (An ) µ 0 (An \Kn ) (0 /2)en. Так как, то при некотором n0 N будет Kn0 =. Это противоречие Kn доказывает теорему.

Аналогичный факт для радоновых мер справедлив без всяких ограничений.

5.2.10. Теорема. Если мера µ F ba(A0, Y ) является радо новой, то она -аддитивна.

Следующий пример показывает, что даже в случае веществен ных мер требование -аддитивности меры µ в условии (2) теоремы 5.2.4 является существенным.

5.2.11. Пример. Пусть Q множество всех рациональных чи сел. Рассмотрим на Q топологию TQ, индуцированную естественной топологией T на R. Рассмотрим на борелевской -алгебре B(R) пря мой R вероятностную меру, нулями которой являются все борелев ские множества первой категории (см. [12]). Эта мера индуцирует на алгебре A (TQ ) меру следующим образом. Пусть A A (TQ ).

Тогда существует B A (T ) такое, что A B Q. Полагаем (A) = (B). Можно проверить корректность такого определения.

Если компактное множество K входит в Q, то оно первой категории в R. Поэтому (K) = 0 и мера не квазирадонова. Разобьем Q на два плотных в R множества Q1 и Q2. По теореме Лося Марчев ского меру можно продолжить на алгебру 2Q всех подмножеств Q (см. [13]). Рассмотрим два таких продолжения 1, 2, удовлетворя 302 Глава ющих равенствам 1 (Q1 ) = 1 = 2 (Q2 ). Это возможно в силу того, что если A A (TQ ) и A Q1 (A Q2 ), то замыкание A совпадает с R, и поэтому (A) = 1. Рассмотрим на -алгебре (TQ ) = 2Q меру µ = 1 2. Так как ограничение µ на алгебру A (TQ ) равно нулю, то µ квазирадонова мера. Однако вариация µ, равная 1 + 2, не является квазирадоновой мерой.

5.3. Интегральные представления и продолжение мер На вполне регулярном топологическом пространстве X рассмот рим векторную решетку функций L Cb (X). Слабейшую тополо гию, в которой непрерывны все функции из L, будем обозначать через T (L). Если T (L) совпадает с исходной топологией T на X, то говорят, что L порождает T.

Линейный оператор T : L Y называем мажорируемым, если существует положительный оператор S : L F такой, что T f S|f | (f L). Наименьший из таких операторов S называется мажорант ной нормой оператора T и обозначается через T.

5.3.1. Теорема. Пусть векторная решетка L Cb (X) содержит единичную функцию 1X и порождает топологию T. Для мажориру емого оператора T : L Y существует единственная квазирадонова мера µ F bca(B, Y ), удовлетворяющая условию f dµ (f L), Tf = (3.1) тогда и только тогда, когда K } : K K { T g : g L, g T (1) =. (3.2) Допустим, выполняется (3.2) и направленность (f )A функ ций из L убывает поточечно к нулю. Фиксируем 0 A и 0.

Тогда при некотором M 0 и любом 0 будем иметь 0 x M 1X. Пусть K K. Существует 1 0 такое, что при всех будет 0 T f T (1X ) + M aK. (3.3) 5.3. Интегральные представления и продолжение мер Здесь мы обозначили aK = T (1X ) { T f : f L, f K }. По условию (3.2) направленность {aK : K K } убывает к нулю. По ре ализационной теореме компонента [ T (1X )] K-пространства F изо морфна фундаменту в пространстве C (Q), где Q экстремально несвязный компакт. Можно считать, что T (1X ) при этом изомор физме переходит в единичную функцию на Q. Так как aK порядково убывает к нулю, то существует котощее множество Q0 Q такое, что числовая направленность aK (q) сходится к нулю для всех q Q0. Из оценки (3.3) следует, что если направленность (f )A L убывает к нулю, то для любого q Q0 направленность q (f ) = ( T f )(q) сходится к нулю. По известной теореме Даниеля Стоуна поло жительный функционал q продолжается до положительного се квенциально o-непрерывного функционала q : Mb (X) R (K пространственные варианты этой теоремы изучались в [3–5]). Рас смотрим отображение V : Mb (X) RQ, определяемое формулами wq (f ), q Q0, (V f )(q) = 0, q Q0 (f Mb (X)).

/ Ясно, что V f Mb (Q) для любого f L. Кроме этого, из се квенциальной o-непрерывности функционала q следует, что если V fn Mb (Q) для некоторой последовательности fn Mb (X), o сходящейся к f, то V f Mb (Q). Отсюда можно заключить, что V f Mb (Q) для любой функции f Mb (X). Полагаем W = V, где : Mb (Q) F гомоморфизм Биркгофа Улама. Тогда W : Mb (X) F будет секвенциально o-непрерывным продолжением оператора. Продолжение самого оператора T осуществляется по сле дующей схеме. Допустим, f Mb (X) и существует ограниченная на правленность (g )A L, поточечно возрастающая к f. Из оценки T g T g W ( g g ) (, A) следует o-фундаментальность направленности T g. Теперь полагаем T0 f = o- lim T g. Если обо значим через Cb конус всех ограниченных полунепрерывных снизу функций на X, то T можно продолжить до мажорируемого опера тора T0 : M0 Y, где M0 = Cb Cb. Дальнейшее продолжение оператора T0 осуществляется с помощью трансфинитной индукции до первого несчетного ординала 1.

Оценка нормы при этом сохраняется:

(f M0 ).

W (|f |) T0 f 304 Глава Предположим, что для всех ординалов 1 мы уже опре делили линейные подрешетки M Mb (X) и линейные операторы T : M Y, удовлетворяющие оценкам (f M ) W (|f |) T f и такие, что M M, T |M = T при. Если – предельный ординал, то полагаем M := {M : } и опре деляем линейный оператор T : M Y так, чтобы T |M = T ( ). Если непредельный ординал, то рассматриваем множе ство M1 всех x Mb (X), являющихся супремумами ограниченных счетных подмножеств из M1. Если возрастающая последователь ность (fn )nN содержится в M1 и supn fn = f M1, то из сооб ражений, аналогичных вышеприведенным, следует o-фундаменталь ность последовательности (T1 fn )nN. Значит, можно будет поло жить T1 f := o- lim T1 fn. Из секвенциальной o-непрерывности оператора W видно, что таким способом корректно определяется оператор T1 : M1 Y, удовлетворяющий неравенствам f M1 ).

T1 f Wf ( Из соображений, аналогичных вышеприведенным, следует, что T можно продолжить по аддитивности до линейного оператора T :

M Y, где M := M1 M линейная подрешетка в Mb (X). Теперь легко понять, что Mb (X) = M1 и оператор T1 := T является секвенциально o-непрерывным продолжением оператора T на пространство Mb (X). Мажорированность оператора вытекает из оценки W (|f |) (f Mb (X)).

T1 f Мера µ теперь определяется из равенств µ(E) = T1 (E ) (E B).

Докажем, что она квазирегулярна. Пусть U T. Тогда функ ция U полунепрерывна снизу и по построению µ (U ) = T (U ) = { T f : f L+, f U }. Для фиксированных 0 и f U, f L, положим F = {x X : f (x) }. Тогда f F + 1X и µ (F ) + µ (U ). Это означает, что µ (U ) = { µ (F ) : F Tf F, F U }. Аналогичным образом из условия (3.1) доказывается, что µ (X) = { µ (K) : K K }. В силу леммы 5.2.8 меры µ и µ квазирадоновы.

5.3. Интегральные представления и продолжение мер Наоборот, допустим, что T имеет интегральное представление (3.1) с квазирадоновой мерой µ F bca(B, Y ). Если K K, то µ (X\K) = { µ (K ) : K K, K U \K}. Так как для любого K U \K существует функция f L такая, что 0 f 1X и f [K ] = {0}, f [K] = {1}, то µ (K) = { T f : f L, f K }.

Следовательно, будет выполняться равенство (3.2).

В качестве первого применения этой теоремы рассмотрим за дачу о продолжении квазирадоновой меры, являющуюся одним из вариантов известной теоремы Прохорова.

5.3.2. Определение. Алгебра A0 2X называется плотной, если выполняются условия:

(1) для любого V A0 T0 существует функция S(A0 ) Cb (X) такая, что V = {x X : (x) 0};

(2) векторная решетка L = S(A0 ) Cb (X) порождает T.

5.3.3. Теорема. Пусть квазирадонова мера µ0 F ba(A0, Y ) определена на плотной алгебре A0 = A (F0 A0 ). Тогда существует единственная квазирадонова мера µ F bca(B, Y ), продолжаю щая µ0.

На векторной решетке L = S(A0 ) Cb (X) рассмотрим мажо рируемый оператор T : L Y, определяемый равенствами T f = f dµ0 (f L). Так как L разделяет компактные множества из X, то мажорантная норма T удовлетворяет условию (3.2). Поэтому существует единственная квазирадонова мера µ F bca(B, Y ), для которой справедливо интегральное представление (3.1). Пока жем, что µ продолжает µ0. Для этого достаточно доказать, что если U T0 \A0, то µ0 (U ) = µ(U ). Из условия плотности алгебры A следует существование функции L такой, что U = {x X :

(x) 0}. Полагаем n = (n) 1X (n N). Тогда n U и из -аддитивности мер µ, µ0 получаем µ0 (U ) = o- lim n dµ0 = o- lim n dµ = µ(U ).

В известных в литературе теоремах о продолжении -аддитив ных мер со значениями в упорядоченном пространстве предпола гается выполнение в пространстве образов закона слабой (, ) дистрибутивности (см. [14–16]). Из теоремы 5.3.1 следует, что этот результат справедлив и для некоторых классов некомпактных про странств.

306 Глава 5.3.4. Следствие. Пусть X локально-компактное -компакт ное топологическое пространство и дана алгебра A0 = A (F0 A0 ).

Тогда любая мера µ0 F bca(A0, Y ) продолжается единственным образом до квазирадоновой меры µ F bca(B, Y ).

Отметим, что требование локальной компактности простран ства X в следствии 5.3.4 является существенным. Более того, спра ведлива 5.3.5. Лемма. Пусть -полная булева алгебра B не обладает свойством слабой -дистрибутивности. Тогда существует F -подмножество X в канторовом дисконтинууме {0, 1} и существует -гомоморфизм µ0 : U (X) B, заданный на алгебре U (X) всех открыто-замкнутых подмножеств X, который не продолжается до -гомоморфизма боре левской -алгебры пространства X в B.

Так как на B не выполняется свойство слабой -дистрибу тивности, то существуют ненулевые элементы e B, ei,j B (i, j N) 0 при j (i N) и для любой функции такие, что ei,j : N N имеет место i=1 ei,(i) = e. По теореме Стоуна реа лизуем B алгеброй всех открыто-замкнутых подмножеств Clop(Q) в квазиэкстремальном компакте Q. Пусть h стоуновский изомор физм B на Clop(Q). Пусть h(ei,j ) (Q\h(e)).

E= i=1 j= Рассмотрим в E счетную алгебру E, порожденную множествами Q\h(e), h(ei,j ) E (i, j N). Рассмотрим E в качестве базы новой топологии на E. Полученное топологическое пространство (E, T ) регулярно. Пусть E фактор-пространство пространства E по разбиению замыканий одноточечных множеств. Пространство E с фактор-топологией T является отделимым, регулярным, -ком пактным, вполне несвязным и имеет счетную базу. По теореме Алек сандрова оно гомеоморфно F -подмножеству X в канторовом дис континууме {0, 1}. Пусть гомеоморфизм E на X и p канони ческая проекция E на E. Рассмотрим любое открыто-замкнутое под множество U в X. Тогда множество ( p)1 (U ) открыто-замкнуто в E. Существует открытое множество V Q такое, что V E = ( p)1 (U ). Если x U, то ( p)1 (x) является пересечением 5.3. Интегральные представления и продолжение мер счетной последовательности элементов h(e), h(ei,j ) и их дополне ний. Следовательно, существует открыто-замкнутое Vx такое, что (p)1 (x) Vx V. Так как каждое Vx является конечным пересе чением элементов из счетного семейства Q\h(e), h(ei,j ), h(e)\h(ei,j ), то существует открытое F -множество V1 V, для которого V E = V1 E. В силу квазиэкстремальности замыкание W = c1(V1 ) будет открыто-замкнутым в Q, и для него тоже выполняется равенство W E = ( p)1 (U ). Теперь полагаем µ0 (U ) = h1 (W ). По строенный -гомоморфизм µ0 : U (X) B алгебры U (X) открыто замкнутых подмножеств X в B не продолжается на борелевскую алгебру B пространства X. Допустим, существует такое продолже ние µ : B B. Тогда для множеств Ei,j = h(ei,j E) будем иметь p(Ei,j ) = e=µ ei,j = 0.

i=1 j=1 i=1 j= Полученное противоречие доказывает лемму.

Аналогичным образом устанавливается 5.3.6. Лемма. Пусть на полной булевой алгебре B не выпол няется закон слабой (, )-дистрибутивности. Тогда существуют F -подмножество X в обобщенном канторовом дисконтинууме и гомоморфизм µ0 : U (X) B, который не продолжается до квази радонового -гомоморфизма борелевской -алгебры пространства X в B.

От требования -компактности X в следствии 5.3.4 тоже нельзя отказываться. В этом легко можно убедиться, взяв в качестве X несчетное дискретное пространство.

Рассмотрим теорему о представлении мажорируемого операто ра, заданного на векторной решетке, не содержащей единицу.

: C0 (X) Y назовем мажорируемым, Линейный оператор если существует положительный оператор : C0 (X) F такой, что (|f |) (f C0 (X)).

(f ) (3.4) При этом существует наименьший положительный оператор с ука занным свойством, который обозначают через.

308 Глава : C0 (X) Y 5.3.7. Теорема. Пусть мажорируемый оператор удовлетворяет неравенству (f C0 (X)+ ) (f ) bf при некотором b F +. Тогда существует единственная мера µ из qca(X, Y ) такая, что f ()µ(d) (f C0 (X)).

(f ) = X Пусть ограничение оператора на C00 (X). По теореме Райта (см. [17, теорема 1]) существует единственная квазирегуляр ная мера : B(X) F + {}, порядково ограниченная на компак тах из X, для которой f ()(d) (f C00 (X)).

(f ) = X Представляющая мера в нашем случае порядково ограничена, так как из неравенства (f C00 (X)+ ) (f ) bf следует оценка (X) = sup{ (f ) : f C00 (X), 0 1X } f b.

Тем самым qca(X, F )+. Пусть направленность (f )A из C00 (X) возрастая сходится поточечно к 1X. Из оценки (f ) (f ) (|f f |) = |f () f ()|(d) X следует o-фундаментальность направленности { (f ) : A}.

Если f = f0 + a1X, где f C00 (X), a R, то полагаем (f ) = o- lim (f0 + af ).

A 5.4. Теорема Фубини Ясно, что такое определение корректно. Мы исключаем из рассмот рения случай, когда само пространство X компактно. Таким обра зом, определено продолжение до линейного оператора, опреде ленного на векторной решетке функций L = C00 (X) R · 1X, имею щей порядковую единицу. Докажем мажорируемость оператора.

Пусть f L + и f = f0 + a1X (f0 C00 (X), a R). Тогда будем иметь a 0 и f0 := (f0 ) 0 a1X. При a 0 направленность g = f f0 /a также возрастает к 1X. Поэтому в силу мажорант ной оценки (3.4) получаем (f0 ) a (g ) (f ) = o- lim A + ag f0 = f0 + o- lim (f ).

A Следовательно, оператор мажорируемый и определен на вектор ной решетке функций, удовлетворяющей всем условиям теоремы 5.3.1. В силу этой теоремы существует единственная мера µ qca(X, Y ) такая, что (f L ).

(f ) = f ()µ(d) X Так как оператор является продолжением оператора, то f ()µ(d) (f C00 (X)).

(f ) = X Из квазирадоновости меры µ следует справедливость этого пред ставления для всех f из C0 (X).

5.4. Теорема Фубини Рассмотрим o-полные K-нормированные пространства Y, Y и Z с нормирующими K-пространствами F, F и G соответственно.

Пусть задано билинейное отображение : Y Y Z, которое мажорируется положительным o-непрерывным билинейным отобра жением : F F G, т. е.

yy yy (y Y, y Y ).

310 Глава Кроме этого, пусть X и X два полных по Чеху топологических пространства. Рассмотрим две борелевские меры µ : BX Y и µ :

BX Y. Обозначаем C := BXX. Через A A будем обозначать алгебру подмножеств, порожденную всеми прямоугольниками A A, где A A, A A. Задача состоит в построении борелевской меры µ µ : C Z такой, что (B BX, B BX ).

(µ µ )(B B ) = µ(B) µ (B ) Будем называть меру µ µ произведением мер µ и µ.

Рассмотрим несколько примеров.

Примеры. (1) Пусть Y := F и Y := F, где F и F фундамен ты одного и того же расширенного K-пространства mF = mF, в ко тором фиксирована единица 1. Тогда в пространстве mF однозначно определено умножение, превращающее его в решеточно упорядочен ное кольцо с единицей 1. Возьмем еще один фундамент G mF та кой, что F · F G. В этом случае для любой пары элементов x F и x F определено их произведение x · x G;

o-непрерывность такого произведения и равенство |x · x | = |x| · |x | (x F, x F ) хорошо известны, и мы можем говорить о произведении двух боре левских мер µ : BX F и µ : BX F. Если F = F = G, то F будет упорядоченным кольцом, и все меры µ, µ, µ µ будут принимать значения в одном и том же K-пространстве F.

(2) Пусть Y = F = Orth(F ) и векторная норма пространства Y разложима (см. [9]). Известно [9], что в этом случае на Y можно определить структуру F -модуля, т. е. задать билинейное отображе ние из F Y в Y такое, что a · y = |a| · y (a F, y Y ). Если даны борелевские меры µ : BX F и µ : BX Y, то можно говорить об их произведении µ µ : C Y. При F = R имеем дело с обычным умножением скалярной меры на векторную.

(3) Будем считать, что F и F являются фундаментами одно го расширенного K-пространства mF = mF, в котором фиксиро вана порядковая единица, определяющая умножение в mF. Пусть G := Orth(F ) Orth(F ) и для любых a F, a F определено произведение a · a mF. Кроме этого, считаем, что векторные нор мы пространств Y и Y разложимы. Тогда по [9] на Y и Y можно определить структуру G-модуля. Пусть Y G Y алгебраическое тензорное произведение G-модулей Y и Y, см. [18]. Рассмотрим 5.4. Теорема Фубини векторную полунорму на Y G Y со значениями в mF, определяе мую формулой n yk · y z := inf, k= где inf в K-пространстве mF берется по всевозможным представле n ниям элемента z в виде k=1 yk yk, yk Y, yk Y (k := 1,..., n).

Так как G коммутативное кольцо, то пространства Y и Y на делены структурой бимодуля. Поэтому их тензорное произведение Y G Y тоже является G-модулем (см. [18, п. 10.2.2]). Значит, вы полняется равенство g·z = g Z (g G, z Y G Y ).

В частности, полунорма разложима.

Выделим в Y G Y подпространство Z := {z Y G Y : z = 0}. Следуя [9], можно построить o-пополнение фактор-пространства (Y G Y )/Z по норме.

Это пополнение естественно называть проективным тензорным произведением K-нормированных пространств Y и Y, которое бу дем обозначать через Y G Y. Обозначаем через y y тензорное произведение двух элементов y Y, y Y. Очевидно, y y = y · y (y Y, y Y ) (мы сохраняем за фактор-нормой на Y G Y прежнее обозначение · );

o-непрерывность билинейного отображе ния : Y Y Y Y очевидна. Следовательно, мы можем вве сти в рассмотрение тензорное произведение µ µ : C Y G Y двух борелевских мер µ : BX Y и µ : BX Y. Аналогич но можно определить индуктивное тензорное произведение. Суще ствует также другой способ построения тензорного произведения K нормированных пространств с привлечением методов булевозначно го анализа, см. [9].

Будем говорить, что умножения : Y Y Z и : F F G связаны кросс-равенством, если yy = y y (y Y, y Y ).

В примерах (1), (2) и (3) рассмотрены умножения как раз такого сорта.

312 Глава 5.4.1. Лемма. Если для двух борелевских мер µ : BX Y и µ : BX Y существует произведение µ µ : C Z, являющееся квазирадоновой мерой, то оно единственно.

Возьмем открытое множество U X X и компактное под множество K U. Тогда существуют конечные наборы откры тых подмножеств Uk X, Uk X (k := 1,..., n) такие, что K n k=1 (Uk Uk ) U. Ввиду квазирадоновости µ µ будет µ µ (U ) = sup{ µ µ (K) : K U, K KXX } = = sup{ µ µ (V ) : V U, V BX BX }.

Значит, µ µ (U ) = o- lim{µ µ (V ) : V U, V BX BX }.

Но мера µ µ на алгебре BX BX определяется однозначно по зна чениям µ µ (B B ) (B BX, B BX ). Тогда и µ µ (U ) опре деляется однозначно. Из -аддитивности сразу следует однозначная определенность всех значений µ µ (C) (C C).

5.4.2. Теорема. Пусть X и X полные по Чеху топологиче ские пространства и µ : BX Y, µ : BX Y квазирадоновы меры. Тогда существует их произведение µ µ : C Z, являюще еся квазирадоновой мерой. Для векторных вариаций справедливо неравенство µ µ µ µ. Если умножения и связаны кросс-равенством, то µ µ = µ µ.

Обозначим через X, X компактификации Стоуна Чеха пространств X и X. Рассмотрим меры µ : BX Y, µ : BX Y, определяемые равенствами µ(B) = µ(BX), µ (B ) = µ (B X ) (B BX, B BX ). Существует единственная мера : BX BX Z, для которой (A A ) = µ(A) µ (A ) (A BX, A BX ). Лег ко проверяется, что мера имеет ограниченную векторную вариа µ µ. Покажем, что удовлетворяет услови цию, при этом ям плотности из определения 5.3.2. Условие (1) очевидно. Условие (2) достаточно проверить на произвольном множестве A A, где A BX, A BX. Пусть последовательности (Ak )kN BX и (Ak )kN BX такие, что A = Ak, A = Ak, cl(Ak ) k=1 k= A, cl(Ak ) A (k N). Тогда cl(Ak Ak ) A A и inf { (A A \Ak Ak )} inf{ µ (A\Ak ) µ (A Ak )} = 0.

k 5.4. Теорема Фубини Из теоремы 5.3.3 следует существование квазирегулярной ме ры µ µ : BXX Z, продолжающей. По определению µ(A) µ (A ) = µ µ (A A ). Из квазирегулярности мер µ, µ, µ µ и o-непрерывности умножения вытекает справедливость этого равенства для любых A T и A T. Из -аддитивности и леммы о монотонном классе следует, что это равенство справед ливо для любых A BX, A BX. Отсюда видно, что ме ра µ µ действительно является произведением мер µ и µ. Так как значения µ µ на всех борелевских подмножествах множе ства (X (X \X )) ((X\X) X ) равны нулю, то, рассматри вая ограничение µ µ на борелевские подмножества пространства X X X X, мы получим требуемое произведение µ µ мер µ и µ, являющееся квазирегулярной борелевской мерой. Векторные вариации µ и µ тоже удовлетворяют условию этой теоремы, по этому существует их произведение µ µ : C G. Кроме этого, как легко видеть, µ µ µ µ. Квазирадоновость меры µ µ выводится из этого неравенства, из квазирегулярности µ µ и того, что inf{ µ µ (X X \K K ) : K KX, K KX } inf{ µ (X) µ (X \K ) + µ (X\K) µ (X )} = 0.

Допустим, что умножения и связаны кросс-равенством. Пусть (Ck )n BX и (Cl )m BX произвольные разбиения множеств k=1 l= C BX C BX соответственно. Тогда (Ck Cl )n m k=1,l=1 является разбиением для C C и мы имеем n m n m µ(Ck ) µ µ ((Ck Cl ) µ µ (C C ).

µ (Cl ) = k=1 l=1 k=1 l= Это влечет неравенство µ µ (C C ) µ µ (C C ), которое по аддитивности распространяется на произвольные конеч ные объединения множеств вида C C (C BX, C BX ), т. е.

оно справедливо для множеств из BX BX. Квазирадоновость и аддитивность µ µ позволяют распространить это неравенство на произвольные множества из C. Значит, µ µ µ µ. Как уже отмечалось, обратное неравенство выполняется всегда. Отсюда µµ = µ µ.

314 Глава 5.4.3. Замечание. На самом деле теорема 5.4.2 справедлива, если считать X и X произвольными вполне регулярными простран ствами, образующими борелевские подмножества в каких-нибудь из своих компактификаций.

5.4.4. Замечание. Произведение борелевских мер на локально компактных пространствах, принимающих значения в монотонно полном упорядоченном векторном пространстве, построено в [19].

Для K-пространств этот результат содержится в теореме 5.4.2. С другой стороны, если в примере 3 взять F = F = R, то теорема 5.4.2 дает существование тензорного произведения банаховозначных мер (см. [20–22]).

Теперь мы переходим к изложению вопросов, связанных с тео ремой Фубини. Для этого необходимо определить новый интеграл от векторной функции по векторной мере. Пусть X и X полные по Чеху топологические пространства. Обозначим через M (X, Y ) пространство всех функций f : X Y, представимых в виде f = y1 g1 +· · ·+yn gn, где yk Y и gk : X R ограниченные измеримые по Борелю функции. Пусть также µ : BX Y и µ : BX Y, квазирадоновы меры. Для любой функции f M (X, Y ), имеющей вышеприведенное представление, полагаем по определению n yi f dµ = gk dµ.

k= Стандартным образом проверяется корректность такого определе ния интеграла. Легко устанавливается также оценка µ (X ), f dµ f где f := sup{ f (t) : t X }. Пусть M (X, Y ) r-замыкание про странства M (X, Y ) по норме ·, т. е. f M (X, Y ) тогда и толь ко тогда, когда существуют последовательность функций (fn )nN M (X, Y ) и регулятор b F + такие, что f fn n1 b. Теперь по непрерывности в такой норме мы можем определить интеграл по мере µ от любой функции f M (X, Y ) с сохранением вышеприве денной нормативной оценки.

Обозначим через M (X X ) пространство вещественных функ ций на X X, являющихся равномерными пределами функций h 5.4. Теорема Фубини n на X X, представимых в виде h = i=1 gi gi, где gi : X R и gi : X R ограниченные измеримые по Борелю функции. Для любого t X функция h(·, t ) измерима по Борелю, и поэтому су ществует интеграл n h(·, t )dµ = f (t ) = yi gi (t ), i= hdµ M (X, Y ) и где yi = gi dµ (i = 1,..., n). Значит, n hdµ dµ = gi dµ hd(µ µ ).

gi dµ = i= Переходя в этих равенствах к соответствующим r-пределам, мы по лучаем следующую теорему Фубини.

5.4.5. Теорема. Пусть h M (X X ). Тогда hdµ M (X, Y ), hdµ M (X, Y ) и hdµ dµ = hd(µ µ ) = dµ hdµ.

Класс функций M (X X ) не очень широк, но когда простран ства X и X компактны, имеет место включение C(X X ) M (X X ). Оказывается, что в общем виде для произвольных ограничен ных измеримых на X X функций теорема Фубини просто не верна.

Пример. Пусть X = X = [0, 1], а Y = F = Y = F = M [0, 1] пространство всех классов эквивалентности по лебеговой мере боре левских ограниченных функций на [0, 1]. Для любого борелевского A [0, 1] полагаем µ(A) = [A ] класс эквивалентности, содержа щий характеристическую функцию A. В качестве операции умно жения в M [0, 1] рассмотрим обычное умножение функций. Тогда, очевидно, µ µ(A B) = [AB ] (A, B B[0,1] ).

диагональ квадрата [0, 1] [0, 1], := {(t, t) : t [0, 1]}.

Пусть Полагаем P (t, u) = t. Теперь можно в явном виде выписать меру µ µ, а именно:

(µ µ)(C) = µ(P ( C)) = [P ( C) ] 316 Глава для любого борелевского C [0, 1] [0, 1]. Тогда (µ µ)( ) = 1 = d(µ µ).

Но для любого фиксированного выполнено t [0, 1] (·, t )dµ = µ({t }) = 0.

Значит, при любом разумном определении интеграла от функций f : [0, 1] M [0, 1] мы должны будем иметь d(µ µ).

dµ dµ = 0 = Этот пример показывает, что теорема Фубини для функции в принципе не может выполняться.

Интеграл от вектор-функции : G Y по радоновой мере : B(G) R строится по типу интеграла Бохнера. Для простых функций вида n (y1,..., yn Y, B1,..., Bn B(G)) s= yj 1Bj j= полагаем, как обычно, n s(g)(dg) = yj (Bj ).

j= G Далее определяем пространство интегрируемых функций L (G, Y ), полагая L (G, Y ) в том и только в том случае, когда имеется направленность простых функций (s )A, для которой b F +, sup{ s (g) : A, g G} (K K (G)).

inf sup{ (g) s (g) :, g K} = A 5.4. Теорема Фубини После этого считаем, что (g)(dg) = o- lim s (g)(dg).

A G G Вектор-функция : G Y называется равномерно o-непрерыв ной на множестве K, если inf sup{ (g1 ) (g2 ) : g1, g2 K, g1 g2 U } = 0.

U U Понятно, что порядково ограниченные и равномерно o-непре рывные на компактах K X отображения входят в L (G, Y ).

Пусть 1 : B(G1 ) C, 2 : B(G2 ) C две радоновы ме ры, определенные на борелевских -алгебрах локально-компактных групп G1 и G2. Их прямое произведение = 1 2 : B(G1 G2 ) C также является радоновой мерой.

5.4.6. Теорема. Пусть : G1 G2 Y является равномерно o непрерывным на компактах порядково ограниченным отображением и 1 (g1 ) = (g1, g2 ) 2 (dg2 ), 2 (g2 ) = (g1, g2 ) 1 (dg1 ).

G2 G Тогда отображения 1 : G1 Y, 2 : G2 Y равномерно o непрерывны на компактах и порядково ограничены, причем (g)(dg) = 1 (g1 )1 (dg1 ) = 2 (g2 )2 (dg2 ).

G1 G2 G1 G Порядковая ограниченность отображений 1, 2 очевидна.

Возьмем K1 K (G1 ) и докажем равномерную o-непрерывность отображения 1 на K1. Обозначим b = sup{ (g) : g G1 G2 }.

Пусть U = U1 U2, где U1 и U2 любые окрестности нуля в группах G1 и G2 соответственно. Для любого K2 K (G2 ) полагаем bU = sup{ (g) (h) : g, h K1 K2, g h U }.

318 Глава По условию направленность bU убывает к нулю. Справедлива оценка 1 (g1 ) 1 (h1 ) |2 |(G2 )bU + |2 |(G2 \ K2 )b.

Отсюда следует, что inf sup{ 1 (g1 ) 1 (h1 ) : g1, h1 K1, g1 h1 U1 } |2 |(G2 \ K2 )b.

U Так как K2 K (G2 ) произвольно, а мера 2 радонова, из этой оцен ки видна равномерная o-непрерывность отображения 1 на любом компакте K1 K (G1 ). То же самое верно для 2.

Возьмем теперь любые окрестности нуля U1 и U2 в группах G и G2 и произвольные K1 K (G1 ), K2 K (G2 ). Рассмотрим два разбиения единицы (для K1 и K2 соответственно):

{uj }n C00 (G1 )+, {vk }m C00 (G2 )+ j=1 k= такие, что из g1, h1 supp uj, g2, h2 supp vk следует g1 h1 U1, g2 h2 U2 (j = 1,..., n, k = 1,..., m).

Выберем по элементу g1,j supp uj, g2,k supp vk (j = 1,..., n, k = 1,..., m). Справедливы оценки (g)(dg) (g1,j, g2,k )uj (g1 )vk (g2 )(dg) j,k K K K1 K2 1 ||(G1 G2 )bU, 1 (g1 )1 (dg1 ) K (g1,j, g2,k )uj (g1 )vk (g2 )1 (dg1 )2 (dg2 ) j K K 1 (g1, g2 ) (g1,j, g2,k ) vk (g2 )|2 |(dg2 ) uj (g1 )|1 |(dg1 )+ j,k K K (g1, g2 ) |2 |(dg2 ) |1 |(dg1 ) + K1 G2 \K |1 |(G1 )|2 |(G2 )bU + |1 |(G1 )|2 |(G2 \ K2 )b.

5.5. Проблема моментов Хаусдорфа Здесь g = (g1, g2 ), U = U1 U2, а b и bU те же, что и выше.

Кроме того, (g)(dg) ||(G1 G2 \ K1 K2 )b, (g)(dg) G1 G2 K1 K 1 (g1 )1 (dg1 ) |1 |(G1 \ K1 )|2 |(G2 )b.

1 (g1 )1 (dg1 ) G1 K Следовательно, (g)(dg) 2||(G1 G2 )bU + 1 (g1 )1 (dg1 ) G1 G2 G +2(|1 |(G1 \ K1 )|2 |(G2 ) + |1 |(G1 )|2 |(G2 \ K2 ))b.

После перехода к o-пределу по убывающей направленности bU и по возрастающим направленностям K1 K (G1 ), K2 K (G2 ) получа ем требуемое равенство (g)(dg) = 1 (g1 )1 (dg1 ).

G1 G2 G Аналогичным образом получается второе равенство (g)(dg) = 2 (g2 )2 (dg2 ).

G1 G2 G 5.5. Проблема моментов Хаусдорфа Классическая задача о нахождении борелевской меры по извест ной моментной последовательности (именуемая проблемой момен тов, см., например, [3, 23, 24]) продолжает привлекать внимание и в настоящее время. Об этом свидетельствуют недавние публикации [25–27]. Одно из интересных обобщений указанной задачи связа но с рассмотрением векторной или операторной моментной последо вательности [28–32]. Здесь рассматривается следующая векторная постановка: по заданной последовательности (ak ) из решеточно k= 320 Глава нормированного пространства Y требуется найти Y -значную боре левскую меру на отрезке [0, 1], для которой k-й момент совпадает с ak (k = {0, 1, 2,... }). Стоит особо выделить два частных случая векторной проблемы моментов, в которых Y пространство Канто ровича.

Пусть T самосопряженный оператор в гильбертовом прост ранстве (не обязательно ограниченный). Требуется отыскать спект ральную меру µ, для которой Tk = k dµ (k ).

R Как видно, это переформулировка задачи о спектральном разложе нии. Близкие постановки рассматривались в [28–31].

Пусть теперь (ak ) последовательность случайных величин k= на вероятностном пространстве (Q,, P ). Требуется найти случай ную меру (µt )tQ на борелевской -алгебре B(R) такую, что равен ства ak (t) = k dµt () (k ) R выполняются для почти всех t Q. Под случайной мерой понима ется семейство счетно-аддитивных мер (µt )tQ, для которого отоб ражение µ(·) (B) · t µt (B) (t Q) измеримо для любого B B(R). Случайной мере (µt )tQ однозначно соответствует векторная мера µ, определяемая тем условием, что µ(E) класс эквивалентности измеримой функции µ(·) (E).

5.5.1. Определение. Называем последовательность векторов (ak ) F позитивной (по Хаусдорфу), если справедливы нера k= венства n (1)k Cn ak+l k (n, l ).

k= 5.5.2. Определение. Последовательность векторов (yk ) k= Y называется мажорируемой (по Хаусдорфу), если существует по следовательность (ak ) F такая, что k= n n (1)k Cn yk+l k (1)k Cn ak+l k (n, l ).

k=0 k= 5.5. Проблема моментов Хаусдорфа 5.5.3. Теорема. Для данной последовательности (yk ) Y k= существует единственная борелевская мера µ : B([0, 1]) Y огра ниченной векторной вариации, удовлетворяющая равенствам k dµ (k ), yk = тогда и только тогда, когда последовательность (yk ) мажорируе k= ма (по Хаусдорфу).

Определим линейный оператор U на пространстве полиномов P[0, 1] со значениями в F следующим образом:

n n U (p) = pk k.